האריתמטיקה של ניקומכוס

Book One	המאמר הראשון מספר הארתמאיטי
[Prologue by al-Kindī's Student]
May God fulfill your wishes, carry out your fantasies and increase His grace and His pleasantness upon you.	ימלא הבורא משאלותיך ויפיק זממיך ויוסיף חסדו ונעמו אצלך
[The history of the successive translations of the text:]
I have understood - may God perpetuate your glory - what you have mentioned: that you had studied the famous arithmetic book that is among us,	הבינותי יתמיד האל כבודך מה שזכרת כי עיינת בספר הארתמאיטיקא הידוע אשר בינינו
which has been established and composed by the Pythagorean Nicomachus al-Gehrasīnī [= of Gerasa],	אשר הניחו וחברו ניקומאכוש אלגהר שיני הפיתאגורי
in a version, according to which we have revised this book, on the authority of our noble master, the Revised by Ya‛qūb b. Isḥaq al-Ṣabbāḥ al-Kindī,	בנסחא אשר תקננו זה הספר ממנה על דעת מלמדנו המעולה יעקב בן אסחק אלצבאה אלכנדי
who doubted the thoughts of the Nestorian Ḥabīb Ibn Bahrīz, who translated it from Syrian into Arabic for Ṭāhir b. al-Ḥusayn the ambidextrous.	משבש מחשבות חביב בן בהריז אלנסטורי אשר תרגמו מהסריאני אל הערבי לבעל שני הימינים טאהר בן אלחסין
You have wished to revise it in the first section, from the place of the numbers and onwards, for it was indeed revised from this place, since it has already been preceded by that which in the science of logic could help him to understand the previous introduction, before the mentioning of the number, and this introduction did not reach you and you did not know its purpose nor what its author has mentioned in it.	ואתה ראית לתקנו במאמר הראשון ממקום המספרים והלאה לפי שהוא אמנם תוקן מזה המקום לפי שכבר קדם לו בחכמת ההגיון מה שיעזרהו להבין פתיחתו הקודמת לפני זכירת המספר ושזאת הפתיחה לא נפלה אליך ולא ידעת כוונתה ולא מה זכר בה מניחה
What you have asked for in this respect, is explained to you, as I explained it in our other explanations on the book.	ואשר שאלת מזה הנו מפורש לך כמו שפירשתי בשאר פירושינו הנשארים בספר
We have summarized his remarks in a concise discussion, without lengthiness or repetitions.	וקצרינו לעניניו במאמר קצר מבלתי אריכות והכפלה
You think it has a precious benefit and a wonderful guidance.	ואתה חושב שבזה תועלת יקרה והערה נפלאה
I inform you, may God grant you honor, that many times I perhaps wished to describe something by exaggeration and lengthiness, in order to reach the intention of the author of the book.	ואני מודיעך יכבדך האל אולי ארצה הרבה פעמים לתאר דבר בהפלגה ואריכות כדי להגיע בו אל כוונת מניח הספר
Then, I came across to a concise statement I heard from our master, Abū Yusūf, who already succeeded to explain what you had requested to explain and interpret what you had intended to interpret, in spite of his brevity, as a long speech would not have achieved and an exaggerate description would not have surpassed.	ויזדמן לי מאמר קצר שמעתיו ממלמדנו אבו יוסף לבאר מה ששאלת לבארו ולפרש מה שכוונת לפרשו כבר הגיע ממנו עם קצורו כאשר לא יגיעהו מאמר מאריך ולא יעברהו תאר מפליג
So, I have abandoned what I wanted to reveal through long words, in favor of his concise speech, and because of this, I will refrain from embellishing the book and decorating it more.	ואעזוב מה שראיתי לגלותו בדברים מרובים בעבור מאמרו הקצר ובעבור זה אמנע אני מליפות הספר ולקשטו ביותר
More than once I have heard our master saying that the philosophy of these two men, i.e. Ptolemy and Nicomachus, is best clarified in the introduction to their works - for Ptolemy in his introduction to the Almagest and for Nicomachus in the introduction to the arithmetic book - for the introductions of these two works stimulate elevate places of philosophy and they are of valuable virtue in knowledge.	וממה ששמעתיו ממלמדנו יותר מפעם אחת כשיאמר שהיותר ראוי ממה שתתבאר בו פילוסופית שני אלו האנשים ר"ל בטלמיוס וניקומאכוש הוא בפתיחת נושאיהם אם בטלמיוס בפתיחתו לספר המגסטי ואם ניקומאכוש בפתיחת ספר הארתמאיטיקא כי פתיחות שני אלו הספרים מעוררות על מקומות עליונים בפילוסופייא ומדרגתם יקרה בידיעה
Your thought concerning this was not erroneous. Indeed, I thought, by God, that it is true, because the considerable scope of the introduction of this book and the virtue of the quantity of its benefit and goodness are truly comprehended by you.	ולא כזבה מחשבתך בזה ואמנם אחשוב אותה חי השם שהיא אמתית למה שהתאמת אצלך גודל מעלת פתיחת זה הספר ומעלת שעור תועלתו וטובו
In answer to your request, may God glorify you, drawn to appease your mind with anything I can avail for you.	ואני השיבותיך יפארך השם למה ששאלת נמשך להפיס דעתך בכל מה שאוכל להועילך
I wrote to you the introduction of this book in my own work, here, with all that can be explained of it, completing the sufficient speech and omitting any repetition and redundancy.	וכתבתי אליך פתיחת זה הספר בספרי זה וכל מה שאפשר לבארו ממנו בהשלמת המאמר המספיק ולהשליך ההכפלה והמותר
I explained its terms and removed from it its obscurity and difficulty.	ואפרש בו מלותיו והסירותי ממנו עמקו וקשיו
In doing so, I made it more accessible to you than the words of the translator, so that there will be no difference between the meanings.	וכבר עשיתי זה והקרבתיו לך ממלת המעתיק אותו מבלתי שיהיה בין הענינים חלוף
Indeed, what is of a high virtue is far from the custom.	ואמנם מה שהיה עליון במדרגה רחוק מהמנהג
I will not depart from the order of the author of this book.	הנני לא אסור מלספר סדר מניח הספר
But, I append to each chapter in this description a discussion attached to that chapter that states the true meaning of the thesis.	אבל אני ממשיך לכל פרק שיהיה בזה התאר מאמר סמוך לאותו הפרק מגיד אמתת הדרוש
I shall not pass beyond the opinion of our master, Abū Yusūf, concerning any thing, to which I will refer.	ולא אעבור בדבר ממה שאביא בו דעת מלמדנו אבו יוסף
	ובכאן עת להתחיל במה ששאלת והיה בו מצליח יישירך השם יתע' למה שתושע בו נפשך
Introduction
Nicomachus said: According to the ancients, philosophy is the love of wisdom, derived from the linguistic meaning of the word (philo-sophia)	אמר ניקומאכוש שהקדמונים הראשונים אשר דקדקו בחכמה והעמיקו בה והיה הראשון להם פיתאגורש גדרו הפילוסופייא כשאמרו שהפילוסופיאה אהבת החכמה כמו ששמה מורה על זה ממנה כי העתקתו אהבת החכמה
	ירצה באומרו שמה מורה על זה ממנה לפי ששם הפילוסופיאה מורכב משתי מלות פילו וסופיה ופילו אוהב וסופיה חכמה הנה שמה מורכב מאוהב החכמה
Before Pythagoras, anyone who was versed in any craft or medicine was called 'wise'	אמר וכבר היה אשר היו קודם פיתאגוריש וקראו כל מי שהיה פקח בדבר מהמלאכות או הרפואה חכם בשם משולח מבלתי שיחקרו על השורש אשר בו ראוי להקרא בשם החכמה
Pythagoras restricted the definition of wisdom to the true knowledge of permanent things	אמנם פיתאגוריש למה שייחד זה השני לעיניינו והשרש אשר ממנו נגזר קרא אמתת הידיעה בדברים המתמידים ר"ל המינים והסוגים החכמה בפרט מבלתי מה שיצא מזה מן החכמות
	אמר והראוי מי שקרא החכמה סופיה והאהבה לה הפילו סופיה ר"ל אהבת החכמה
The definition that is based on the linguistic derivation of the term is the more accurate definition	אמר הנה יותר ראשון שיצדק המאמר בגדרה ויותר ראוי בשנקבל ממנו בלתי מי שגדרה נגזר משמה
Abū Yusūf said: a list of definitions of philosophy given by the ancients:	אמר אבו יוסף כי הקדמונים גדרו הפילוסופיה במספר גדרים
linguistic derivation: philosopher = loving of wisdom	אם מגזרת שמה כמו אוהב החכמה לפי שפילוסוף הוא מורכב מפילו והוא אוהב וסופיה והוא החכמה
deducing from its act: philosophy = resemblance to God according to the human capacity	ואם שגדרוה מפעולתה ואמרו שהפילוסופיאה ההתדמות בבורא ית' כפי יכולת האדם ירצה בזה שיהיה האדם שלם בחשיבות
deducing from its act: philosophy = contemplation of the intentional death – killing the desires	וגדרוה עוד מצד פעולתה ואמרו שהיא ההשגחה במות והמות אצלם שתי מיתות: מות טבעי והוא עזיבת הנפש שמוש הגוף ומות רצוניי והוא הריגת התאות והיא בחרה הבחירות החשובות וזהו המות אשר בו כוונו הנה לפי שבמיתת התאוות הדרך להגיע אל החשיבות ולזה אמרו רבים מחשובי הפילוסופים שהתענוג רע בהכרח שכאשר יהיו לנפש שני עסקים אחד מהם חושיי והאחר שכליי והיה מה שיקרא תענוג הוא מה שיקרה בהרגשה עם העסק בתענוגיה החושיים תעזוב הנפש עם זה העסק בשכל
philosophy = the art of arts, the wisdom of wisdoms	וגדרו גם כן הפילוסופיאה היא מלאכת המלאכות וחכמת החכמות
philosophy = self-consciousness of man	וגדרו גם כן הפילוסופיה כשאמרו כי היא ידיעת האדם עצמו
	וזה מאמ' נכבד ורחוק מהעול מאד
	ודרך משל אומ' שבדברים אחר שהיו גשמים ולא גשמים והיו הגשמים עצמים והיו לא גשמים אם עצמים ואם מקרים והיה האדם הוא בעל הנפש והגשם והמקרה והיתה הנפש עצם לא גשם הנה כשידע האדם עצמו ידע הגשם במקריו והמקרה בראשון והעצם אשר הוא לא גשם וכאשר ידע זה יחד הנה כבר ידע הכל ולזאת העלה קראו החכמים האדם עולם קטן
Al-Kindī's definition of philosophy: knowledge of the eternal universal things, their existences, essences, causes, and perfections, according to the human perception capacity	ואמנם מה שנגדור בו אנחנו הפילוסופיה הוא שהפילוסופיה היא ידיעת הדברי' הנצחיים הכוללים ישתויותיהם ומהיותיהם ועלותיהם ולמויותיהם כפי יכולת האדם להשיגו
	שלמו דברי אבו יוסף
The definition of wisdom as the true knowledge of permanent things, means the apprehension of the purpose of the permanent things, that never depart from their existence, unchangeable in their essence, and are never released from their quality. These naturally primary species and types when associating with the existing things and describing them are said to be existing.	אמר מניח הספר ועוד שהוא גדר החכמה בשאמר שהחכמה אמיתת הידיעה בדברים התמידים
	עוד גדר הידיעה כשאמר שהידיעה היא השגת תכלית הדברים המיוחסים לידיעה ר"ל אותם התמידיים אשר לא יעתקו מעניין מציאותם ולא ישיגם שינוי בישותם ולא יותרו מתכונתם והם המינים והסוגים הראשונים בטבע אשר בהשתתפות האישים להם וכשהם מתוארים בם היו ראויים לשם הנמצא אחר שיתנו מיניהם שמותיהם וגדריהם
The bodily perceptible existing things are in a continuous decomposition and change assimilating the nature and the primary quality – the element, the changeable wheel – of the primeval matter from which they were created	ואמנם האישים המוחשים הגשמיי' הנה הם בהתוך מתמיד ובשנוי מדובק והנה עם זה מתדמי הטבע והסגולה אל הסגולה הראשונה מן ההיולי אשר בו התוו ורצוני בסגלה היסוד כי היסוד כלו היה גלגל אחד השתנה והותר
Abū Yusūf said: God founded some of the qualities as causes for some of the things	אמר אבו יוסף ירצה בזה שהבורא ית' שם קצת תכונה לקצת עלות
	ודרך משל אומ' כראות אשר שמו עלה לנראים מהגוונים והשמע אשר שמו עלה למציאות הנשמעים
He founded nature as the cause for the motions of the bodies. Since they are moving and resting by nature, they are always subject to motion and change	וכן שם הכח אשר יקרא הטבע עלה לתנועות המתנועעים הנחים אחר התנועה
	והמתנועעים הם הגשמים ולזה יקראו הגשמים טבע לפי שאשר יקבלו מהתנועה והמנוחה אמנם יקבלוהו מן הטבע הנה הם בזה בחסרון לעולם ובתמורה
	וכן הגשמים המוחשים ר"ל האישים יקרה להם ההעתק והתמורה תמיד
Those that exist they change in their essence according to their nature	ואמנם אשר תחת ההויה מהם הנה התמורה תקרה להם בעצם ובטבע ואמנם הגלגל ומה שבו הנה תקרה להם ההעתקה במקום ואמנם האש והאויר והמים והארץ יקרה להם ההעתק והתמורה בקצת בלתי הכל
Those that are subject to change are so as long as they exist	וכל אחד מאלו אשר תארנום במה שיקרה להם מהתמורה הנה הם בו כל ימי היותם
According to Al-Kindī, the primary quality of the primeval matter is the possibility of the existence of the non-existing	ואמרו הסגלה הראשונה מן ההיולי ירצה בו אויש המתייאשים שהם יומרו מה שהיו מלא אל יש והיסוד הוא האפשרות
The accidents of the nine categories by their own are unchangeable and do not cease from their qualities	אמר מניח הספר ואמנ' אשר אינם גשמים והם מה שימצא ר"ל מאמרות התשעה המקרים הנה הם בגדר הפרדתם בלתי סרים מתכונתם ולא משתנים מענינם ירצה המקרים השיניים כי הם מושכלים יחד
When they exist and are associated with the body that carry them, these accidents are subject to change through the changes of the body, and their knowledge then is not considered wisdom	אבל מה שישיג אישי אלו המקרים המוחשים כמו לובן פלני ותנועת פלני מהשנוי והתמורה הנה הם להשתתפם לעצם הנושא אותם ר"ל כשהם עומדים ישיגם השינוי והתמורה בתוסדתו ושינויו ולזה ידיעתם לא תקרא חכמה
The knowledge of the accidents and the spiritual being is the wisdom	אבל העצמים השניים והמקרים השניים הנה הם אשר ידיעתם בפרט היא החכמה
The knowledge of the existing things is called wisdom metaphorically, since it is the way for the knowledge of those permanent eternal primary things, which are unchangeable and do not cease from their nature, which are said to be truly and clearly existing	ואמנ' על ההעברה הנה תקרא ידיעת האישים חכמה אחר שהיא הדרך אל ידיעת אותם הדברים המתמדיים הנצחיים הראשונים אשר לא ישיגם שנוי ולא הסרה מטבעם אשר יאמ' שהם נימצאים באמת ובברור
The existing things that are subject to the six motions – birth and destruction, growth and diminution, change and movement – are said to be existing because of the existence of their species that define them and give them their names. Yet they are not existing by their own nature, since they are always in motion and change and do not stay even for a moment in one condition.	אבל האישים הנופלים תחת התנועות השש אשר הן ההויה וההפסד והגדול והחסרון וההשתנות וההעתק הנה אמנם יאמרו שהם נימצאים מפני מציאות מיניהם אחר שמיניהם כמו שבארנו יתנו להם שמותיהם וגדריהם ואמנם כאשר נכוון אל אחד מאישיהם לא ימצא בטבעו נמצא לפי שלא יתקיים כהרף עין אל עניין אחד אחר שהאישים בכל עת להם תנועה ותמורה
The everlastingly homogeneous types and species, which are not subject to existence, and are apprehended by reason through guidance of the senses – things that exist forever but have no becoming. The existing things that are thought to exist at one time but are not so, since they come to be and change, so that they are not found in one condition at two occasions – things that are always coming to be but have no existence.	ולזה אמ' אפלטון בספר טימאוש מה הדבר אשר הוא נמצא לעולם ואין לו התהוות כלל ומה הדבר אשר יתהווה לעולם ואין לו מציאות כלל ירצה בראשון הסוגים והמינים המתדמים לנצח אשר לא תשיגם הויה אמנם יושגו בשכל ר"ל בהדרכה מהמוחשות ואמנם השני ירצה בו האישים אשר יחשב שהם נימצאים בעת אחד ואינם כן באמת אחר שיתהוו ויומרו מבלתי שימצאו בשני עיתים בענין אחד
Human perfection and immortality is achieved by philosophy alone, i.e. by the love of wisdom, which is the the true knowledge of the existing things	אמר הנה כבר ראוי לנו ויחוייב עלינו אם היינו נכספים לשלמות האדם אשר כפי יכלתו וההשארות המתמיד והיה זה אמנם יהיה בפילוסופיה לבדה לא בדבר זולתה והפילוסופיה כמו שזכרנו אהבת החכמה והחכמה אמיתות הידיעה בדברים הנימצאים
The existing things: 1. those that truly exist 2. those that are called as such by name association	והדברים הנימצאים מהם מה שיאמ' לא נמצא באמת ומהם מה שיאמ' זה בשתוף השם נוכל שנחקור מהדברים הנמצאים ונבארם באמתות
The perceptible existences: 1. those that are unified and continuous – have magnitudes 2. those that are discontinuous – called multitudes	ונאמ' שהנמצאות המוחשות מה שהם מתאחדי החלקים מחוברי האיברים במדרגת החי אשר חלקיו מתאחדים בו וכמו כן האילן והדומה להם ואילו יאמ' להם גדלים באמתות ומהם מה שהם מפורדים והם בהתקרב מקומותיהם ובהתקבצם יקראו כללים ורבויים ואם לא יהיו מתאחדי החלקים כמו עדרי הצאן ושורות האנשים הנה כבר התבאר שמהמוחשים מהם מה שהוא נופל תחת הרבוי אלא ששני הגודל ומהם מה שהוא נופל תחת הרבוי
Both kinds are infinite by nature: Multitude – starts from a finite origin and is increasing endlessly Magnitude – begins with a finite whole and is divided endlessly	אלא ששני אלו המינים אין תכלית להם בטבע כאשר יאמרו מאמ' משולח כי הרבוי כאשר יתחיל משרש מוגבל ויכפיל לא יהיה לו תכלית בטבע יעמד אצלו ולא יהיה לו כפל אחר אבל יוסיף ויצמח תמיד וכמו כן הגודל כאשר יתחיל בחלוקתו מכללות מוגבל לא תכלה החלוקה אל חלק אין חלק לו אבל יסבול החלוקה תמיד
Therefore, the knowledge of these two kinds of existences cannot be truly achieved – the knowing the infinite is impossible	הנה אין ידיעת שני אלו נמצאות על האמת אחר שידיעת מה שאין תכלית לו בלתי נמצאת
The true meaning of knowledge is the knowledge of inclusive limited things	ואמנ' הידיעה על אמיתתו ידיעת הדברים הניכללים המוגבלים
Since the absolute multitude is infinite, it is limitless, and thus cannot be grasp by knowledge	הנה כבר התבאר שהידיעה לא תעמד אצל הרבוי המשולח לפי שהוא בלתי ב"ת ומה שהוא בב"ת הוא בלתי מוגבל אין דרך אל הידיעה בו כלל
The multitude is knowable in comparison with the less: The multiple is great in comparison with what is less and less in comparison with what is greater The large is large in comparison with what is smaller and small in comparison with what is larger	ואמנם אם נאמ' הרבוי בהצטרף אל המיעוט ונקרא שני המצטרפים בשמותם המיוחדים היו אז ידועים לפי שהרב אמנם יהיה רב אצל מה שהוא פחות ממנו וכמו כן המעט אמנם הוא מעט אצל מה שהוא יותר ממנו (והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו) והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו ממעט אצל מה שהוא יתר ממנו הוא הרב אצל מה שהוא פחות ממנו כמו העשרה שהוא הרבה אצל מה שהוקש אל מה שתחתיו ומעט כשהוקש אל מה שעליו וכן הגדול אמנם הוא גדול כשהוקש אל מה שהוא יותר קטן ממנו ואם הוקש אל מה שהוא יותר גדול ממנו היה קטן
Although multitude and magnitude are infinite, they are finite by comparison	הנה כבר התבאר משני אלו הצדדים שאפלו היו בלתי מוגבלים בעצמם הנה הם עם ההצטרף אליהם מוגבלים
The numerical quantity is divided into two kinds: 1. what is ascribed by itself, by its nature 2. what is ascribed by its relation to another	ונאמ' עתה שהכמה המספרי יחלק לשני חלקים אחד מהם הוא אחד מה שחוייב לו יחוייב לו לבדו ובטבעו והאחד הוא שמה שיחוייב לו יחוייב לו לבד בהצטרף אמנ' המחוייב לו בטבע כמו הזוג והנפרד וזוג הזוג וזוג הנפרד והנפרד הראשון בלתי המורכב והשני המורכב כי אלו אמנם יחוייבו לכמה המספרי בטבעו לא מפני הצטרפו אל זולתו כי אין הזוג מתחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים מפני הצטרפו אל דבר אחר ואמנם אשר יחוייב לו מה שיחויב בהצטרף כמו הכפל והחצי והשליש כי החצי לדבר מה חצי והכפל לדבר מה כפל
The wisdom of quantity is investigated by two arts: 1. Arithmetic – exploration of the absolute quantity 2. Music – examination of the relative quantity	הנה אם כן התבאר שהכמה חכמה יחקרוה שתי מלאכות הם: הארתמאיתיקא והיא תחקור מהכמה הניפרד והמוסיקא והיא תחקור מהכמה המצורף
The natural quality is divided to two kinds: 1. quality of what is in movement 2. quality of what is resting	ואמנם איכות הדברים הטבעיים יחלק לשני חלקים אם איכות מתנועע ואם איכות נח
[The wisdom of quality is investigated by two arts]: 1. Astronomy – exploration of what is in movement 2. Geometry – examination of what is resting	והמתנועע הוא מה שיחקור במלאכת האסטרונומייא ר"ל התכונה והנח הוא מה שיחקר במלאכת הגאומטר' ר"ל ההנדסה
The knowledge of the kinds that truly exist is achieved only through these four arts: arithmetic, geometry, astronomy, and music	אמר הנה אין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נימצאים באמת רק באלו האומניות הד' אשר הם הארתמאיטיקא וההנדסה והתכונה וחבור הנגונים
Philosophy is achieved only through mastery of these four arts	ולא ימצא דרך אל הפילוסופיה אלא בם
	וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך עושה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפילוסופיה אשר היא מלאכת המלאכות
	וכבר יאמ' זה המאמ' אנדרוקודיס הפיתאגוריי וכן יאמר גם כן ארגוטאלס אל אטראנטיני כאשר התחיל במלאכת חבור הליחנים שהוא אמ' הביטו הראשונים במה שראו מענין אלו החכמות כי אינו בלתי אפשר כלל שיהיה להם דבר סברה אחת אמיתית
	הנה כמו שהם כבר הביטו במה שראו מענין טבע הכל כן היו מוכל מוכנים לסבור בכל א' מן החלקים סברא אמיתית כי הם הקנו לה בשערי המדות והתכונה חכמה גלויה ומבוארת ולא קצרו גם כן מזה במה שהועילונו מעלות מלאכת הליחני
	וכבר ידומה שאלו החכמות הארבעה אחים
	ואם היו כבר ישובו אל שני המינים הראשונים אשר הם הכמות והאיכות כמו שביארנו לפנים
	עם שאפלטון בסוף האופן השלשה עשר מהספר אשר הניח בנימוסים והוא הספר אשר יקראוהו האנשים הפילוסופיא בחקרו וגדרו איך ראוי שיהיה אשר הוא פילוסוף באמת כן בידיעת אלו הארבעה אחר כן שב ואמ' בקצרה אחר שהפליג בזה והקדים שכל תמונה וקיבוץ מספר והסכמת חבור ומה שיורו בו ממרוצות הכוכבים אמנם ראוי שיורגל ידיעתו כפי שעור חבורם אחד אחד
	וכבר יתבאר עלה מה שזכרנוהו כי כאשר היה האדם אמנם יתלמד הרבה להשיג בם ידוע אחד הוא כונתו מהם הנה אמנם הם דבר אחד ואם רבו
	ואמנ' אם יחליף האדם זה הדרך בחכמת הפילוסופיא אין דרך לו אליה לפי שזה האופן אשר ממנו יבא הדרך אשר ממנו המציאות אין דרך לו זולת כלל ר"ל החכמות הארבעה אשר זכרנו קשות היו או קלות רבות היו או מועטות אין ראוי להתרשל בקניניהם כי מי שקיבץ אלו החכמות על צד שתארתי הוא אשר אקראהו אני חכם אמתי ואתארהו שש בחכמתו
Through these wisdoms, the thoughts are carried from the perceptible apprehended material things to the rational theological subtle things	כי לא יעלם שאלו החכמות הם כמו גשרים בם יעברו מחשבותינו מאלו הדברים המוחשים המחושבים אל הדברים הנימצאים המושכלים ויעבירו דעותנו מאלו הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם והרגלנום אל הדברים תורים אצלנו אשר לא הרגילום ראשנו ואשר הם בדקותם דומים לנפשותינו
These wisdoms are useful for the improvement of human life:	והיותר ראוי ממה שבחרנוהו בהקדמת העיון בחכמות וקנינם מה שזכרו אפלאטון בספר הנימוסים שסקראט אמ' לו והוא יתחכם כשיביא עלות אמיתיות מועילות בענין אלו החכמות מתחייבות מצד החוכמות מועילות בתיקון חיי בני אדם אמ' שיאמ'
1. Arithmetic – for calculations, distributions, yields, expenses, debts repayments, and partnerships	אמנם מלאכת החשבון אמנם נצטרך אליה בחשבונות או בחלוקות ובתבואות ובהוצאות ופרעון החובות והשותפיות
2. Geometry – for equalizing the measures and the stations, founding of cities and sanctuaries, and measuring fields	אמנם המדות בהשואת המחנות ובניין המדינות וההיכלות ומדידת השדות
3. Astronomy – for knowing the times for cultivation of lands, tide of the sea, and other options of times for starting the arts and the periods	אמנ' חכמת הכוכבים בידיעת עיתות עבודת הקרקעות ורכיבת הים וזולת זה מבחירות עיתות התחלות המלאכות ופרק הזמנים
4. Music – for thanking God, or rejoicing in choruses or privately	אמנם חכמת הניגונים להודות בם הבורא ית' או לשמוח במקהלות או בצניעה
Only through these wisdoms the eye of the soul, which is blinded and hidden by the bodily acts, is open and awaken to see the truths of the things	ולזה יאמ' אפלאטון משיב לו והוא יוכיחהו כתחשבני כי תראה שאחמול עליך שלא תחלק עמך הנני אומ' שאלו החכמות אין לדקדק בם שזה אחלוק יקשה מאד מכל צד אבל אוסיפך חזוק שאין דרך לאחד לומ' זה כי עין הנפש ר"ל כאשר יעצומוהו ויסתמוהו שאר הפעולות הגופיות וישימו עליך מסך הנה הוא יפקח ויעור באלו החכמות ואמתת עין הנפש יותר משובח מאמתת עשרת אלפים עינים מהעינים הגופים כי בו לבדו יראו אמתויות הדברים
The learning order of the natural sciences: 1) Arithmetic: the first of all wisdoms and their origin	אמר והיותר ראשונה מאלו סדר המדעים המתמטיים החכמות הארבעה והיותר קודמת על הנשארות בטבע והיותר חזקת האמונה והיא להם כמדרגת המולידה אשר ממנה התחלה היותן ושרש צמיחתן הוא מלאכת החשבון
It existed in God's mind as an exemplary plan of the qualities of things according to which they were created and completed	אין זה לפי שהיא היא אשר התקיים בהצעת הבורא אבל לפי שהיא במדרגת ההמשל היתה ראשונה במחשבת האל והדמיון אשר ממנו יקחו תכונת הדברים אשר הצמיחם ית' מהיסוד והשלימם על הענינים המיוחדים אשר עליהם כל אחד מהם
It is prior to all other wisdoms by nature, inasmuch as they are abolished in its absence, but it is not abolished in their absence: if there is no number, there are no counted, but if there are no counted the number is not abolished	אמר מניח הספר ויורה על מלאכת החשבון ג"כ יותר קודמת בטבע מזולתה שהיא תשים זולתה מאלו החכמות אובד באבדה מבלתי שתאבד היא באבדן דבר מהן כי אם יסתלק המספר קודמת מבחינה טבעית יעדרו הספורים ולא אם יעדרו הספורים יאבד המספר
	כאמרנו בחי שהוא יותר קודם מן האדם קדימה טבעית שכאשר יעלה החי יעלה האדם בהעלותו ולא כשיעלה האדם יעלה החי וכן כל דבר יותר קודם מדבר אחר קדימה טבעית כשיעלה הקודם יעלה בהעלותו זולתו ולא יעלה הוא בהעלות דבר ממה שהוא יותר קודם ממנו
	וכן כאשר תהפך המאמ' תמצא הענין כפי זה כשיחויב דבר יחויב בחיובו מה שהוא יותר קודם ממנו קדימה טבעית ולא כשיחויב הקודם יהיה הכרח שיחויב בחיובו מה שהוא תחתיו בקדימה כמו האדם והמשורר כי האדם יותר קודם מהמשורר וכשיחויב משורר יחויב שיהיה אדם ואין הכרח כשיחויב אדם שיהיה בלי ספק משורר
2) Geometry If geometry exists, arithmetic necessarily exists, but arithmetic is not abolished when geometry is absent: measures must imply numbers, but numbers exist without measures	הנה כפי זה הסדר אלו החכמות הארבעה אשר זכרנו כאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון עמה כי כשיחויב במדות משולש ומרובע ובעל שמנה תושבות או חמש עשרה תושבות הנה כבר השתמשת בזה ממלאכת החשבון לפי שהארבעה והשלשה והשמנה והט"ו מן החשבון ולא תמצא מלאכת המדות ריקה מן החשבון והמספרים אשר יחויבו בחיובה בהכרח כי אין דרך לומר בהכרח בכפל שלשה פעמים וארבעה פעמים מבלתי ידיעת השלשה והארבעה קודם בהנחה
	ואמנם אם תהפך המאמ' תמצא השלשה והארבעה וזולתה מהמספרים כבר נתקיימו בטבע והמחשבה ואם לא היו הגדולים הניגודי השמות מהם ידועים או נמצאים הנה כבר התבאר אם כן שהמספר יותר קודם מן המדות קדימה טבעית,br> אחר שבסור החשבון תסור המדידה ולא יסור החשבון בסורה
3) Music the existence of music necessarily requires the existence of arithmetic, but the existence of arithmetic does not require the existence of music: ratios are composed of numbers, but numbers exist without ratios	וכן גם כן בכמו זה הבאור יתבאר שמלאכת החשבון יותר קודמת ממלאכת הלחנים לפי שהעצם יותר קודם מההצטרפות כמו שהממון יותר קודם מגודל העצם והאדם יותר קודם מהכלים וזה לפי שחבור הנגונים והאותותם והסכימם אמנם הוא כשיהיה תכלית הקול אחד מהם אצל האחר וזה בהסכמה אשר בארבעה ואשר בחומש ואשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל והארבעה ואשר בכל והחומש ר"ל אשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל ארבעה פעמים וכל קבוץ יחסים אמנם נרצה ממנו מספר הנעימות אשר בו ואשר בארבעה אחד מתכליותיו אצל האחר כמוהו וכמו שלישיתו ואשר בחמשה אחד מתכליותיו אצל האחד כמהו וכמו חציו ומאשר במרבע ואשר בחמש יהיו שני התכליות ביחס אשר בכל ואשר אחד מתכליותיו אצל האחר שלשה דמיוניו לפי שתכלית אשר בכל וחמש אצל אשר בכל ביחס כל וחצי כל ואשר בארבעה ובכל אחד מתכליותיו אצל האחד בשמנה אצל השלשה ואשר בכל ארבעה פעמים הוא אשר אחד מתכליותיו אצל האחר ארבעה דמיוניו ואלו כל קבוצי החבור אין דרך לחברם והחשבון בלתי נמצא וכשימצא החשבון לא יחוייב שיהיו החבורים ולא הלחנים נמצאים
4) Astronomy – arithmetic precedes astronomy:	וכמו כן גם כן מלאכת החשבון בזה הבאור יתבאר שהיא קודמת ממלאכת התכונה וזה גלוי אחר שבחשבון והמדות יושגו כל דרושיה
geometry precedes astronomy – since motion comes after resting	וכבר יתבאר גם כן שהמדה יותר קודמת מהתכונה מצד שהתנועה אמנם תהיה אחר המנוחה
music precedes astronomy – since the motions of the stars are proportional harmonies i.e. in simple ratios	ועוד שכבר יאמ' שתנועות הכוכבים הם נגונים נערכים ר"ל הן בייחס דבוריי פשוט ר"ל בפשיטות יחס בעל הכפלים ויחס המוסיף חלק וכאשר היה זה כן הנה החבור הנגוני יותר הקודם מהתכונה
the risings of the stars, their settings, eclipses, hidings, and appearances are established in geometry	ואמנ' זריחות הכוכבים ועריבותיהם וקדריותיהם והסתרתם והראותם לא יעלם שכבר יושב במדה
Since arithmetic is prior to all other [sciences], it should be treated firstly in this treatise	וכאשר היתה מלאכת החשבון יותר קודמת מזולתה בראוי אם כן ממנה מה שהקדמנו לפנים שהמאמ' עליה ומשפטי הדבור בה יותר ראשונים בקדימה ואנחנו בזה מכאן
	הנה לך אחי שלמות פתיחת זה הספר כאשר שאלת עד מקום המספר ממנו
	והיה בו ובכל מה שהשיב הבורא עליך מצליח והוא בחסדו יישירך לרצונו אמן

[Absolute Quantity - Arithmetic]
The Discussion on the Nature of Number	הדבור בטבע המספר
all things that are summed by nature are subject to a numerical order	כל הדברים שתיקן הטבע חבורם ימצאו נופלים תחת סדר המספר
	כמו היסודות והזמנים ותנועות השמים ושאר התקונים הטבעיים
	הנה בזה ראוי שיהיה המספר במדרגת ההמשל והדמיון אשר ממנו יוקח הדבר
	וחדשו הבורא ית' ראשון בטבע
	ואמנם חבור המספר עצמו אין סדר לו זולתו לפי שהוא בתכונתו נצחי בעצמו לא עומד בזולתו
	אבל לפי שכל מחובר אמנם הוא מחובר מדברים מתחלפים בלי ספק ומדברים הם גם כן נמצאים אחר שאשר אינם נמצאים אין לשער חבורם ולא אשר הם ואפי' היו נמצאים אלא לפי שהם בלתי דומים אי אפשר חבורם
	הנה נמשך לזה שהדברים המחוברים אמנם יחוברו מדברים נמצאים מתחלפים נאותים
	לפי שאם לא יהיו מתחלפים הנה הם אחד לא יצטרכו אל חבור
	ואם לא יהיו נאותים לא יהיו מתדמים
	ואם לא יהיו מתדמים אלא שהם הפכיים לא יפול בם החבור
	הנה המספר יהיה גם כן מתחלף ונאות כך אחר שהוא מחובר וזה אמת אחר שבו שתי מינים ראשונים מתחלפים נאותים דומים ר"ל הזוג והנפרד כי הבורא ית' חברם עם חלופם חבור מסתבך אין הפרדה בו כמו שיתבאר זה במה שיבא אחר זה
The Discussion on the Definition of Number and its Categorization	הדבור בגדר המספר וחלוקתו
number - a sum of units or a total quantity that consists of units	המספר בהעברה מן המאמ' הוא קבוץ האחדים או כלל הכמות המורכב מהאחדים
the first division of number: even and odd	והמספר יחלק חלוקה ראשונה אל שני חלקים אחד מהם הזוג והאחר הנפרד
even number - divisible into two equal parts with no mediator unit by which one exceeds the other	והזוג יחלק לשני חלקים שוים אין ביניהם אחדות אמצעי יעדיף בו אחד מהם על האחר
odd number - cannot be divided into two equal parts, but when it is divided as equal as possible there is necessarily a unit by which one of its parts exceeds the other	והנפרד הוא אשר אין דרך אל שיחלק בשני חלקים שוים אבל בהכרח כשיחלק בשני חלקים בתכלית הקירוב מן השווי היה בין חלקיו אחדות יעדיף בו אחד משני חלקיו על האחר
this is the definition according to the ordinary conception	וזה הוא הגדר כפי מה שיראו ההמון
according to Pythagoras	ואמנם כפי מאמ' פיתאגוריש
even number - its division demonstrates the extensive ratio of the beginning of decreasing and the beginning of increasing	הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק חלוקה יראה בה היחס המקיף בתחלת המיעוט ותחלת הרבוי
the extensive ratio of the beginning of decreasing and the beginning of increasing = the double and subdouble ratios that are evident only in the division of the even number which is divisible into two equal parts	ירצה ביחס המקיף בתחלת המיעוט ותחלת הרבוי יחס הכפל והחצי אחר שלא יראה אלא בחלוקת המספר הזוג ר"ל המתחלק בשני חלקים שוים
odd number - divisible into two unequal parts forever	אמר ואמנם הנפרד הנה הוא אשר לא יקבל זה אבל הוא יחלק בשני חלקים בלתי שוים לעולם
according to ancients	וכפי צד מאמר הראשונים גם כן
	הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים ויחלק גם כן בשני חלקים בלתי שוים בתוספת והחסרון
	מלבד השנים מהמספר הזוג שהם כאשר נחלקו יותכו אל האחדים ולא יסבלו חלקיהם התוספת והחסרון
	ולא יעבור הזוג בהחלקו בשני חלקים שוים מן אחד מן המספר ר"ל אם היה אחד משני חלקיו זוג היה האחר זוג ואם היה אחד מהם נפרד היה האחר נפרד
	והמספר הנפרד הוא אשר איך שתחלקהו לא ישתוו חלקיו ולא ימנעו מחלקיו הזוג והנפרד יחד ר"ל שאם היה אחד מחלקיו נפרד היה האחר זוג
	אם כן הוא מבואר שהיותר קרוב מה שיהיו חלקי הנפרד מן השווי כאשר היה בין שני חלקיו אחדות יעדיף בו אחד מהם לאחד
	ואמנם בגדר אשר יקרא דיאלילש וענינו ידיעת אחד משני המוסכלים באחד כי המספר הנפרד הוא המתחלף משני צדדיו לזוג באחדות אם בתוספת עליו ואם בחסרון ממנו הנה אם כן בזה הגדר לא יודע הנפרד אשר הוא מוסכל עד שיודע הזוג אשר הוא מוסכל ולא יודע הזוג אשר הוא מוסכל עד שיודע הנפרד אשר הוא מוסכל
The Discussion on the Units and the Rulership of the Unity	הדבור באחדים ושררת האחדות
every number is half the sum of its two sides	כל מספר הוא חצי שתי פאותיו כאשר יקובצו
$\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n+1\right)+\left(n-1\right)\right]$	ר"ל מה שהוא מוסיף מאותו המספר באחד ופוחת ממנו באחד כאשר יקובצו
and half the sum of the two sides of its sides $\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n+2\right)+\left(n-2\right)\right]$	וכמו כן הוא חצי שתי פאות פאותיו
$\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n+m\right)+\left(n-m\right)\right]$	וחצי גם כן מה שאחר זה כאשר היה מה שיחסר מאחת משתי הפיאות כשעור מה שיוסיף באחרת
	וכן יהיה תמיד עד שיגיע החסרון מהפאה הקטנה אל האחדות אשר לא יוכל לעברו
unit is preceded by the smallest number which is two	ואמנם האחדות הנה לא ילוה לו רק הפחות במספרים אשר הוא שנים
unit is not a number that has two sides, therefore it is half of its one side $\scriptstyle1=\frac{1}{2}\sdot2$	ולפי שאינו מספר שיהיו לו שתי פיאות היה חצי פאתו האחת ר"ל חצי השנים
two is created from its doubling $\scriptstyle2=2\sdot1$	אחר שתולדת השנים מכפלו
unit is the cause of number	הנה כבר התבאר מה שהאחדות עלת המספר בצמיחתו

Even Number	הדבור בחלקי הזוג וסגולתו זוג הזוג
the even numbers are divided into three types: 1) even-times-even 2) even-times-odd 3) even-times-even-times-odd	המספר הזוג יחלק לשלשה חלקים: אחד מהם זוג הזוג והשני זוג הנפרד והשלישי זוג הזוג והנפרד
the first two types - the even-times-even and the even-times-odd - are dissimilar due to the difference between the even and the odd by definition	הנה אם כן שני החלקים הראשונים אשר הם זוג הזוג וזוג הנפרד נבדלים להבדל הזוג והנפרד בגדר
the third type - the even-times-even-times-odd - is as a mean between the two extremes, since its name consists of the names of both types	והחלק השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד כאמצעי משני הקצוות ללקחו השם מורכב משמות שני החלקים
Even-Times-Even	הנה זוג הזוג
consists of doubling the unit	הוא מורכב מהכפלת האחד
therefore it is divisible into two equal parts, which are its halves each of its half is divisible into two halves and also the halves of its halves until reaching the one, since the even-times-even is a repetitive doubling of the unit	אם כן הוא אשר איפשר שיחלק בשני חלקים שוים הם חצאיו וכל חצי מהם לשני חצאים וכן חצאי חצאיו עד שיגיע אל האחד לפי שהוא מהכפלתו כמו שבארנו לפנים
each half of the even-times-even is an even-times-even and so are the halves of its halves since they all have halves and their halves have halves and so on until reaching the unit	הנה אם כן כבר התבאר שכל אחד מחצי זוג הזוג זוג הזוג וכן חצי חצייו לפי שכל אלו להם חציים ולחצייהם חציים עד שיגיעו אל האחדות
the names and the values of the parts of an even-times-even number are always derived from even-times-even number	ועוד כי חלקי זוג הזוג נמצאים לעולם נגזרי השם מזוג הוא זוג הזוג והגעתם ג"כ זוג הזוג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot64=8}}$ → 8 is even-times-even	כמו שמינית ס"ד אשר הוא נגזר משמנה אשר הוא זוג הזוג והגעתו שמנה והוא זוג הזוג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot64=16}}$ → 4 and 16 are even-times-even	גם כן כמו רביעיתם הנגזר בארבעה והוא זוג הזוג והגעתו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot64=32}}$ → 2 and 32 are even-times-even	וכן חצים והוא נגזר משנים והוא זוג הזוג והגעתו ל"ב והוא זוג הזוג
an even-times-even number has no part the name of which is derived from an odd number [=indivisible by an odd number]	ולא ימצא לזוג הזוג חלק נגזר השם ממספר נפרד
such as $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}}}$ which is derived from 9	כמו התשיעית הנגזר מתשעה
and $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ which is derived from 3	והשלישית הנגזר מג'
a number is called even-times-even because its parts are derived from the names of even numbers, and their values are also even numbers.	וכבר יחשב שזה המספר אמנם נקרא זוג הזוג לפי שחלקיו נגזרי השמות ממספרים זוגות והגעתם זוגות גם כן
since the parts of an even-times-even number are derived from the names of even-times-even numbers, their values are also even-times-even parts of that number	ונמצא מסגולת זוג הזוג שחלקיו אחר שהם נגזרי השמות ממספרי זוג הזוגות שאותם הזוגות גם כן הם הגעות חלקי זוגות זוגות מן המספר אשר הם לו חלקי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot64=32\longleftrightarrow\frac{1}{32}\sdot64=2}}$	כמו החצי הנגזר מב' והגעתו ל"ב מס"ד אשר החלק מל"ב מהם ב'
the sequence of the even-times-even numbers: 1; 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128	וכאשר הנחנו מדרגות מספרי זוג הזוג בהכפלה מהאחד כפי זה הסדר א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח
it has eight terms - the first term is 1; the eighth term is 128	היו שמנה מדרגות הראשונה א' והשמינית קכ"ח
it has two mean terms: 8 and 16	והיו להם שני אמצעיים והם ח' וי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}\sdot128=8}}$	והיה החלק מי"ו מקכ"ח ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot128=16}}$	ושמינית קכ"ח י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{32}\sdot128=4}}$	וכמו כן החלק מל"ב מהם ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot128=32}}$	ורביע קכ"ח ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{64}\sdot128=2}}$	וכמו החלק מס"ד מהם ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot128=64}}$	וחציים ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{1}\sdot128=128}}$	וכמו כן הם באחדות פעם אחת קכ"ח כמו שהאחד בם קכ"ח פעם
the parts of the even-times-even numbers are named after their corresponding product factors	הנה כבר התבאר במספרי זוג הזוג חלקיהם נגזרי השמות ממה שבתוכם מהגעתם כפי ההכפלה אשר תארנוה לפנים
If the number of terms is an odd number	וכמו כן גם כן אם יושלך ממדרגותיהם מדרגה עד שיהיה מספר מדרגותיהם נפרד
the last term is 64	ויהיה הקצה הגדול מהם ס"ד
	תמצא שלא יבצר דבר ממה שתארנו
the mean term: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot64=8}}$	ויהיה שמיניתו ח' אשר הוא האמצעי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}\sdot64=4}}$	וחלק מי"ו מהם ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot64=16}}$	ורביעיתם י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{32}\sdot64=2}}$	והחלק מל"ב מהם ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot64=32}}$	וחציים ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{1}\sdot64=64}}$	וס"ד באחד ס"ד פעם כמו שהאחד בו ס"ד פעם
even number of terms – two means	ועוד יתחייב למדרגות זוג הזוג כאשר יונחו על הסדר אשר המשלנו והיו המדרגות זוג ויחויב שיהיו להם שני אמצעיים
the product of the two means is equal to the product of the extremes and to the product of the terms preceding the extremes $\scriptstyle2^{n-1}\sdot2^n=1\sdot2^{2n-1}=2\sdot2^{2n-2}=2^2\sdot2^{2n-3}=\ldots=2^{n-2}\sdot2^{\left(2n-1\right)-\left(n-2\right)}$	יהיה מה שיתקבץ מהכאת אחד משני האמצעיים באחר שוה למה שיתקבץ מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר וכן מה שילווה לשני הקצוות אחד מהם באחר ומה שילוה לנלוה עד שיגיע לנלוים לשני האמצעיים
	ותבחן הקש בזה במדרגות אשר ספרנום שיהיה מספרם זוג והם אשר תחלתם אחד וסופם קכ"ח ותמצא כמו שאמרנו
odd number of terms – one mean	וכאשר היה מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד
the product of the mean by itself is equal to the product of the extremes $\scriptstyle\left(2^n\right)^2=1\sdot2^{2n}=2\sdot2^{2n-1}=2^2\sdot2^{2n-2}=\ldots=2^{n-1}\sdot2^{2n-\left(n-1\right)}$	ויהיה כח מוכה האמצעי בעצמו כהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר וכן מה שימשך להם כמו שבארנו
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}=2^n-1$	וכבר יתחייב למדרגת זוג הזוג שיהיו כאשר נכללו מן האחד היה הגעת כלם פחות מהקצה הגדול באחד
$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n+1} 2^{i-1}=2\sdot2^n-1$	ואם לוקח עמם הקצה הגדול היה כל זה פחות מכפל הקצה הגדול באחד וזה יתחייב למדרגות ימעטו או ירבו
the sum of the sequence of even-times-even numbers starting from one is always odd number	ומבואר מזה שמדרגות זוג הזוג כשנכללו מן האחד היה הגעתם נפרד לפי שהם פחות מהקצה הגדול אשר הוא לעולם זוג באחד
even number minus 1 is always an odd number: 2n-1	והחסר מהזוג אחד הוא הנפרד
The Discussion on the Even-Times-Odd	הדבור בזוג הנפרד
an even-times-odd number is divided once into two equal parts by the nature of its being an even number, but its halves cannot be divided once more into halves	המספר אשר הוא זוג הנפרד יחלק לשני חלקים דומי האחדים למה שהקנהו מטבע סוגו אחר שהוא זוג ושם יעמוד ולא יתחלק פעם שנית אחד מחלקיו בשני חצאים
even-times-odd number = doubling the odd number once $\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)$	הנה אם כן זוג הנפרד הוא הכפלת הנפרד פעם אחת
examples: 6; 10; 14; 18; 22; 26	כמו ששה ועשרה וארבעה עשר וי"ח וכ"ב וכ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{6=2\sdot3}}$	כי ששה מכפל ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{10=2\sdot5}}$	ועשרה מכפל ה'
$\scriptstyle{\color{blue}{14=2\sdot7}}$	וי"ד מכפל ז'
$\scriptstyle{\color{blue}{18=2\sdot9}}$	וי"ח מכפל ט'
The production of the even-times-odd numbers:
the sequence of the odd numbers starting from 3	הנה אם כן כשיסודרו הנפרדים הטבעיים ר"ל על משך סדר הטבע ויתחילו מתחלת הנפרדים אשר הוא ג'
3; 5; 7; 9; 11; 13	כמו ג' ה' ז' ט' י"א י"ג
each odd number exceeds the preceding odd number by 2	והיה תוספת הנפרד על הנפרד אשר לפניו מהם שנים שנים
then this sequence is doubled	עוד תכפול אלו הנפרדים על המשכם ותסדרם
6; 10; 14; 18	כמו ו' י' י"ד י"ח
each exceeds the preceding number by 4	תוסיף כל פעם על אשר לפניו ד"ד
since the odd numbers that form the even-times-odd numbers exceed one another by 2, and when they are doubled, the excess is doubled $\scriptstyle2\times2=4$	לפי שהנפרדים הטבעיים אשר חדשו אלו הזוגות מכפלם היו נוספים שנים שנים וכאשר נכפלו יכפלו התוספת והיו ד"ד כמו שהמשלנוהו ממדרגותיהם
the sequence of the even-times-odd numbers is formed by doubling once the sequence of the odd numbers	ומבואר שהם אמנם יתחדשו על משך טבעם מהכפלת הנפרדים הטבעיים פעם אחת
the type of the value of each part of an even-times-odd number differs from the type of the number after which the part is named	וכבר יתחייב לזוג הנפרד שיהיה כל אחד מחלקיו מתחלף ההגעת לשמות גזרתו בסוג
if the name of the part is derived from an odd number - its value is even number	ר"ל שאם היה החלק נגזר השם ממספר נפרד היה הגעתו זוג
if the name of the part is derived from an even number - its value is odd number	ואם היה החלק נגזר השם ממספר זוג היה הגעתו נפרד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot6=2\longleftrightarrow\frac{1}{2}\sdot6=3}}$ → 2 is an even number; 3 is an odd number	כמו ששה מזוג הנפרד כי שלישיתו הנגזר מג' והוא נפרד ב' וחציו הנגזר מב' והוא זוג ג' והוא נפרד
the even-times-even number differs from the even-times-odd number, since the parts of an even-times-even number are named after the type of their value.	אם כן כבר התבאר שזוג הזוג מתחלף לזוג הנפרד לפי שזוג הזוג חלקיו נגזרי השמות מסוג הגעתם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot8=2\longleftrightarrow\frac{1}{2}\sdot8=4}}$	כמו ח' אשר רביעיתם ב' וחציים ד'
this type of numbers is called even-times-odd because the type of the names of their parts differs from the type of their value.	וכבר יחשב שלזה נקרא זה המין זוג הנפרד אחר שהיו חלקיו מתחלפים בשם ובהגעה בסוג
the even-times-odd numbers that have a third [= that are divisible by 3]:	וכבר יתחייב לזוג הנפרד שלא יהיה לדבר ממנו שליש אלא למה שאתאר
the sequence of the even-times-odd numbers 6; 10; 14; 18; 22; 26; 30; 34; 38; 42; 46; 50; 54	וזה שתניח מדרגות זוג הנפרד אשר התחלתם ו' על הדמיון המתואר קודם זה והם ו' י' י"ח כ"ב כ"ו ל' ל"ד ל"ח מ"ב מ"ו נ' נ"ד
the forth term has a third: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot18=6}}$	עוד נעבור שלשה מדרגות מתחלת המדרגות הנה הרביעית יש לה שליש והיא י"ח ושלישיתה ו'
the subsequent fourth term has a third: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	עוד תתרחק מי"ח שלשה מדרגות והרביעית יש שליש והיא ל' ושלישיתה י'
	וכן תמיד ולא ימלטו ממך מזוג הנפרד מה שיש לו שליש
The production of the even-times-odd numbers from the sequence of even numbers that are divisible by 3:
Abū Yusūf said:	אמר אבו יוסף ואתה כאשר תקח הזוגות אשר להם שליש מתחלתם ותסדרם ימשכו קצתם לקצת
18; 30; 42; 54; 66	כמו י"ח ל' ומ"ב ונ"ד וס"ו
then this sequence is divided by 3	ותקח שליש כל אחד מהם על המשך ותסדרם ימשכו קצתם לקצת
6; 10; 14; 18; 22	כמו ו' י' י"ד י"ח כ"ב
every third term of the generated sequence is an even-times-odd number	תמצא שלשיותיהם על משך סדרם הם מדרגות זוג הנפרד מתחלתם על סדרם לא יבצר מהם דבר
The sequence of the even-times-odd numbers
even number of terms – two means	וכבר ישיג לזוג הנפרד שמדרגותיו כאשר היה מספרם זוג והיו להם שני אמצעיים
the sum of the two means is equal to the sum of the extremes and to the sum of the terms preceding the extremes and to the sum of the terms that precede the terms preceding the extremes $\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n+1\right)\right]+\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]+1\right]\right]=\left[2\sdot\left(2+1\right)\right]+\left[2\sdot\left[\left(2\sdot2n\right)+1\right]\right]$	כמו שני הקצוות מקובצים וכמו אשר ילוה לשני הקצוות ואשר ילוה לנלוה
in the sequence of the even-times-even numbers this property [the relation between the means and the extremes] relies on multiplication in the sequence of the even-times-odd numbers it relies on addition	כמו שבארנו לפנים במדרגות זוג הזוג אלו שהענין יהיה שם בהכאה ובכאן יהיה בחבור
odd number of terms – one mean	ואם היו מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד לבד
double the mean is equal to the sum of the two extremes and to the sum of the terms preceding the extremes and to the sum of the terms that precede the terms preceding the extremes	ותהיה הכפלת האמצעי האחד ממדרגות זוג הנפרד כמו מקובץ שני הקצוות וכן מה שימשך לשני הקצוות ומה שימשך לנמשך אליהם
the even-times-even numbers and the even-times-odd numbers differ from each other with regard to the sum/product of the two extremes, the single mean, or the two means	הנה כבר התבאר הנה חלוף זוג הזוג וזוג הנפרד בהתחלף ענין ההכאה וענין החבור בשני הקצוות והאמצעי ושני האמצעיים
the even-times-even number and the even-times-odd number differ from each other also in that the even-times-odd number alone is divisible [= its other divisors are indivisible], while the only indivisible part of the even-times-even number is the smallest part, i.e. 1 [= its other divisors are divisible]	וכבר יתחלף זוג הזוג לזוג הנפרד גם כן כאשר המתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד ושהבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אשר הוא האחד
The Discussion on the Quality of the Even-Times-Even-Times-Odd	הדבור בתאר זוג הזוג והנפרד
the third type of even numbers	אמנם המספר אשר הוא זוג הזוג והנפרד והוא המין השלישי ממיני הזוג
as a mean between the other types of even numbers and consists of them, since it adopts from each of them its property	כאמצעי להם ומורכב מהם ללוקחו מכל אחד כמו סגלתו
similar to an even-times-even number: divisible into two equal parts each of the parts is divisible into two equal parts the parts of its parts may be divided into two equal parts as well repeatedly, but not until the unit	אמנם מה שלקח מדמיון זוג הזוג שהוא יחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו סוגו עוד יחלק כל אחד משני חלקיו שנית בשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו בהכרח ואולי יחלקו חלקיו וחלקי חלקיו פעמים רבות אלא שלא תגיע בו החלוקה אל האחד
as it can be divided into two equal parts more than once it is similar to an even-times-even number and differ from an even-times-odd number	הנה במה שיחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים יותר מפעם אחת ידמה לזוג הזוג ויתחלף לזוג הנפרד
as its halving does not end with the unit it is similar to an even-times-odd number and differ from an even-times-even number	ובאשר לא יכלה בחצוי אל האחד ידמה לזוג הנפרד ויתחלף לזוג הזוג
by every property which it is similar to one of the two types it differs from the other type	הנה כל מה שידמה בו אחד משני המינים יתחלף באותו הענין למין האחר
this can be seen, for example in the following even-times-even-times-odd numbers: 12; 20; 24	ותבחן זה במספרי זוג הזוג והנפרד כמו י"ב וכ' וכ"ד ותמצאהו כן
the even-times-even-times-odd number has properties that the even-times-even and the even-times-odd numbers do not have; and it has properties that are shared by them as well	וכבר ישיג מספר זוג הזוג והנפרד שימצאו לו הסגלות אשר נאמרו שלא ימצאו לזוג הזוג ולא לזוג הנפרד ושימצאו לו ג"כ אותם הסגלות אשר ימצאו אליהם
a property that the even-times-even-times-odd number has while the other do not:	אמנם אשר ישיגהו ממה שלא ישיגם
the even-times-odd number alone is divisible [= its other divisors are indivisible] the only indivisible part of the even-times-even number is the smallest part, i.e. 1 [= its other divisors are divisible] the even-times-even-times-odd number has divisible parts other than itself, and it has indivisible parts other than the one	מזה שהמתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד והבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אבל זוג הזוג והנפרד אין המתחלק לבד קצהו הגדול ולא הבלתי מתחלק ממנו קצהו הקטן לבד אבל כבר ימצאו לו בלתי קצהו הגדול חלקים יקבלו ההחלק גם כן וימצאו לו בהכרח קודם שיכלה בו ההחלק אל האחד חלק לא יקבל חלוקה
a property that the even-times-even-times-odd number shares with the other:	ואמנם מה שישיגהו ממה שישיגם
the type of some of its parts is the same as the type of the numbers after which they are named - by that it is similar to the even-times-even number	הוא שבו חלקים נגזרי השמות ממספר מין הגעתם דומה בזה לזוג הזוג
the type of some of its parts differs from the type of the numbers after which they are named - by that it is similar to the even-times-odd number	ובו חלקים מתחלפים הגזרה במין להגעתם ידמה בזה לזוג הנפרד ותבחן זה ותמצאהו כן
The production of the even-times-even-times-odd numbers	ואמנם איך יתילד זה המין ואיך יצמח
since it shares similarities with the even-times-even number and the even-times-odd number, it consists of what they both consist of	הנה למה שהיה לוקח הדמוי לזוג הזוג ולזוג הנפרד יודע שהוא יורכב ממה שהורכבו ממנו יחד
the even-times-odd numbers are generated from doubling the odd numbers	הנה המספר אשר הוא זוג הנפרד אמנם יתילד מהכפלת הנפרדים הטבעיים
the even-times-even numbers are generated from doubling the unit	והמספר אשר הוא זוג הזוג אמנם יתילד מהכפלת האחדים
generating the third type - the even-times-even-times-odd numbers:	הנה כאשר תרצה להוליד זה המין השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד
column [2]: the odd numbers, starting from 3	תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם שלשה ימשכו קצתם לקצת בטור הארוך
row 1: the even-times-even numbers, starting from 4	עוד תסדר מדרגות זוג הזוג אשר הכפלתם מד' ר"ל בזה הצד לפי שאחר הנפרד הראשון מהנפרדים הטבעיים התחלת זוג הזוג ימשכו קצתם לקצת בטור הרחב
column 3: the corresponding products of each number in the second column by the first number in the first row	עוד תתחיל ותכה המדרגה הראשונה מאי זה משני הטורים שתרצה בכל מדרגות הטור האחר אחד אחד עוד תעמיד כל מה שיצא לך על מדרגותיו בטור שלישי
column 4: the corresponding products of each number in the second column by the second number in the first row	עוד אחר זה תשוב אל המדרגה הנמשכת למדרגה אשר הכית בכל מדרגות הטור האחד ותעשה בם גם כן כמו שעשית באשר לפניה ותכה אותה בכל מדרגות הטור האחד ותעמיד מה שיצא לך גם כן ג"כ מסודר בטור רביעי
so on for the rest of the columns	וכן תעשה במדרגה השלישית והרביעית או מה שהנחת מהמדרגות ותסדר זה כלו כמו שאתה מראה בזאת הצורה
	קכח סד לב יו ח ד     שפד קצב צו מח כד יב ג ו תרמ שך קס פ מ כ ה י תתצו תמח רכד קיב נו כח ז יד אלף קנב תקעו רפח קמד עב לו ט יח אלף תח תשד שנב קעו פח מד יא כב אלף תרסד תתלב תיו רח קד נב יג כו אלף תתקך תתקס תף רמ קכ ס טו ל
column [1]: the even-times-odd numbers, starting from 1 was added in order to demonstrate the properties of all three types of even numbers	וכבר הוספנו ברחב לוח הולך באורך ילוה ללוח אשר בו הנפרד הטבעי העמדנו בו זוג הנפרד על סדר מדרגותיו אשר התחלתם ששה כדי להראות בזה כל מה שזכרנו מהסגולות למיני הזוג השלשה אחר שזאת הצורה תקיף עליהם יחד
even-times-odd numbers:
the sum of the extremes equals double the mean example: small extreme = 6; large extreme = 14; mean = 20→ $\scriptstyle{\color{blue}{6+14=20=2\sdot10}}$	כי אתה כאשר תשים הקצה הקטן מזוג הנפרד ששה והקצה הגדול ממנו י"ד תמצאם מקובצים כ' ותמצא האמצעי אשר הוא י' כאשר תכפלהו כמו זה
the sum of the extremes equals the sum of the two means example: small extreme = 6; large extreme = 18; means = 10 and 14→$\scriptstyle{\color{blue}{6+18=24=10+14}}$	וכן אם שמת הקצה הגדול י"ח תמצא שני הקצוות מקובצים כ"ד וכן שני האמצעיים והם י' וי"ד כ"ד
even-times-even numbers	ואמנם זוג הזוג
the product of the extremes equals the product of the mean by itself example: small extreme = 4; large extreme = 16; mean = 8→$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot16=64=8^2}}$	הנה אתה אם שמת הקצה הקטן ממנו ד' והגדול י"ו תמצא מה שיתקבץ מהכאת ד' בי"ו שוה למה שיתקבץ ממוכה האמצעי והוא בעצמו והוא ס"ד
the product of the extremes equals the product of the two means by each other example: small extreme = 4; large extreme = 32; means = 8 and 16→$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot32=128=8\sdot16}}$	ואם שמת הקצה הגדול ל"ב תמצא כלל הכאת ד' בל"ב קכ"ח והוא שוה למה שיהיה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחד והם ח' וי"ו
even-times-even-times-odd numbers	הנה כבר התבאר ממה שבארנו לפנים מסגולות זוג הזוג וזוג הנפרד
the product of the first term of the odd numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers in each column: is far from the first even-times-even-times-odd number of that column by two intermediary terms and it is the fourth term starting from the first even-times-even-times-odd number in that column	וממה שנמצאהו משיג לזאת הצורה אחרי השלמה שאתה כשתכה תחלת מדרגה ממדרגות הנפרד הטבעי במדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד מאי זה מן הטורים ההולכים באורך המתחילים מן הרחב שתרצה תמצא ההגעה כבר תתרחק מאותה המדרגה שני אמצעיים והיה הוא המדרגה הרביעית מאותה המדרגה המוכה בה ממדרגות זוג הזוג והנפרד באורך
the product of the second term of the odd numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers in each column: is far from the first even-times-even-times-odd number of that column by five intermediary terms is far from the first product [of the first even-times-even-times-odd number of that column by the first odd number] by two intermediary terms and it is the fourth term starting from the first product [of the first even-times-even-times-odd number of that column by the first odd number] lengthwise	ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות הנפרד באותה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה מתרחקת מאותה המדרגה הראשונה ממדרגת זוג הזוג והנפרד חמש אמצעיים והיא מתרחקת מההגעה הראשונה שני אמצעיים ותהיה ההגעה השנית היא המדרגה הרביעית מההגעה הראשונה באורך
for each odd number - its product by an even-times-even-times-odd number is far from the product of the preceding odd number by the same even-times-even-times-odd number by two intermediary terms lengthwise	וכמו כן ישיג כל מדרגות הנפרד שכל מה שתרד בם מדרגה תעבור הגעת אשר לפניה בשני אמצעיים באורך כאשר היתה המדרגה המוכה בה מדרגות הנפרד ממדרגות זוג הזוג והנפרד לבדו
the product of the first term of the even-times-even numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers in each column: is far from that even-times-even-times-odd number by one intermediary term breadthwise	ואמנם אם תכה המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד מאי זה מהטורים ההולכים ברחב שתרצה תעבור אמצעי מהמדרגה המוכה בה מזוגות הזוגות והנפרד והיית בעברך האמצעי לוקח ברחב מכוין למה שהיית עושה בהכאת מדרגות הנפרד הנה נפלת על ההגעה אשר תהיה מהכאת המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הא' מאי זה מטורי זוג הזוג והנפרד שתרצה ההולכים ברחב המתחילים בארך
the product of the second term of the even-times-even numbers by the first term of the even-times-even-times-odd numbers in each column: is far from that first even-times-even-times-odd number by two intermediary terms breadthwise and it is the fourth term starting from this even-times-even-times-odd number breadthwise	ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות זוג הזוג במה שהכית בו ממדרגות זוג הזוג והנפרד ר"ל המדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה כבר נתרחקה מן המדרגה המוכה בה מזוג הזוג והנפרד שני אמצעיים והייתה המדרגה הרביעית ממנה ברחב
the product of the second term of the even-times-even numbers, which is 8, by the first term in the second column of the even-times-even-times-odd numbers, which is 24: is far from 24 by two intermediary terms breadthwise it is not far by two intermediary terms breadthwise from the product of the first term of the even-times-even numbers by the first term in the second column of the even-times-even-times-odd numbers, but from the multiplied [i.e. the first term in the second column of the even-times-even-times-odd numbers] itself	וגם כן אם תכה המדרגה השנית מזוג הזוג והיא ח' במדרגה השנית ברחב מזוג הזוג והנפרד והיא כ"ד תמצא ההגעה מתרחקת מכ"ד שני אמצעיים גם כן ולא תתרחק מההגעה הראשונה שני אמצעיים אבל מהמוכה בה
The products of the first term of the even-times-even numbers by the terms of any column of the even-times-even-times-odd numbers are arranged successively term by term lengthwise starting from the product by the first even-times-even-times-odd number of that column	הנה אם כן כבר התבאר שמוכה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג כשהוכה במדרגות טור מטורי זוג הזוג והנפרד ההולכים ברחב כל מה שירד מדרגה ירד אחרת מההגעה הראשונה לוקח ברחב
The products of the first term in each column of the even-times-even-times-odd numbers by the even-times-even numbers are arranged successively term by term breadthwise with no intermediary term	ושהמדרגה הראשונה ממדרגות טורי זוג הזוג והנפרד כאשר תוכה בכל מדרגות זוג הזוג ויצאו ההגעות ימשכו קצתם לקצת בלא אמצעי בטור אשר התחלתו היא המדרגה מזוג הזוג והנפרד
	הנה זה סוף המאמר בחלקי הזוג השלשה הנראים בחלוקה אשר זכרנו לפנים
	אמנם זכירת הזוג השוה והנוסף והחסר הוא בזולת זה המקום יותר ראוי באשר זכרו מניח הספר ושם נדבר עליו ברצון השם יתע'

Odd Number	בזכירת המספר הנפרד ובאור חלוקותיו
odd number = is divided by any division into two unequal parts greater and less, and as its division is closer as possible to equality, one of them exceeds the other by one	המספר הנפרד כמו שאמרנו לפנים הוא אשר איך שחולק חלק בשני חלקים מתחלקים בתוספת וחסרון וכשיקרבו חלוקותיו מהשווי תכלית מה שאיפשר היה ביניהם אחד יעדיף אחד מהם על האחר
odd numbers are divided naturally into two types and a third type occasionally occurs	והוא יחלק בטבע לשני חלקים ויקרה לו שיהיה לו חלק שלישי
one of the naturally two types is called incomposite prime	ואמנם האחד מהשנים אשר בטבע יאמר לו ראשון בלתי מורכב
the second is called composite	ואמנם האחר יאמר לו שני מורכב
the third is derived from the relation of both types - when a composite odd number is compared to a composite odd number so that one of them is prime and incomposite in relation to the other	ואמנם השלישי הנה יקרה משני אלו החלקים בהצטרף והוא שיהיה נפרד שני מורכב יצורף אל נפרד שני מורכב ויהיה כל אחד מהם אצל חבירו ראשון בלתי מורכב
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2$	וכבר ישיג הנפרד הטבעי שכל מספר מדרגותיו כמו הכאת מספרי המדרגות בעצמם ותבחן זה בצורה הזאת א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט כ"א כ"ג כ"ה
Prime Incomposite Number	בזכירת הנפרד הראשון הבלתי מורכב
the first type of odd numbers is incomposite, that has no divisor but the one	המספר הנפרד הראשון שהוא בלתי מורכב אשר אין לו חלק ימנהו בלתי האחד
such as: 3; 5; 7; 11; 13; 17	כמו ג' ה' ז' י"א י"ג י"ז
these numbers and others like them has no divisor and no fractional part but that of which the numerator is one and the denominator is derived from the whole number itself	אלו המספרים ומה שימצא כמותם לא ימצא להם מספר ימנם ואין להם חלק כלל ימנם בלתי האחדים שנגזר להם חלק מכלל המספר
such as: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$→ from 3; $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}}}$→ from 7	כמו השלישי מג' והשביעית מז' אשר הוא האחד
it is prime because it is measured only by the unit	הנה בראוי אם כן נאמר שהוא ראשון אחר שלא ימנהו בלתי האחדות
it is incomposite because it cannot be divided into equal parts since it is produced from the sequence of units	ושהוא בלתי מורכב אחר שאי אפשר שיחלק בחלקי מספרים שוים לפי שהוא אמנם התילד מסדר האחדים והמשכם
an odd number has a divisor if it is a product of this type of odd number, i.e. a prime incomposite odd number	ואמנם יהיה למספר הנפרד חלק ימנהו כאשר היה נכפל מזה המין מהנפרד ר"ל הנפרד הראשון הבלתי מורכב
if it is multiplied an even number of times the product is an even number $\scriptstyle2m\sdot\left(2n-1\right)$	כי אם נכפל פעמים מספרם זוג יתילד מהם מספר הזוג
an even number necessarily has a divisor, even if its divisors are greatly diminished, since two is its divisor and the number of times by which two divides it is also its divisor	והמספר הזוג לו מספר ימנהו בהכרח לפי שאפילו ימעטו חלקיו המונים אותו מאד הנה השנים ימנהו וימנהו גם כן כלל אחדי הפעמים אשר בם ימנוהו השנים
if it is multiplied by 2 alone the product is an even-times-odd number $\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)$	ואם היו הפעמים הזוג אשר נכפל בם הנפרד שנים לבד יתחדש מכל נפרד מהם זוג הנפרד
if it is multiplied an even number of times [by an even number] larger than two product is an even-times-even-times-odd number $\scriptstyle m>2\longrightarrow2^nm\sdot\left(2n-1\right)$	ואם נכפל הנפרד מספר פעמים והיה מספר הפעמים זוג והיה הזוג יותר משנים הנה המתחדש מהם זוג הזוג והנפרד
if it is multiplied an odd number of times the product is an odd number $\scriptstyle\left(2m-1\right)\sdot\left(2n-1\right)$ the multiplied odd number divides it by the number of times by which it is multiplied the number of times by which the prime incomposite odd number divides the multiplied odd number divides also the product	ואם נכפל פעמים מספרם נפרד יחודש ממנו נפרד ימנהו אותו המספר הנפרד הנכפל בשעור אחדי הפעמים אשר נכפל בם וימנהו ג"כ כלל אחדי הפעמים אשר נכפל בם אותו המספר הנפרד הראשון הבלתי מורכב רצוני לומר בשעור אחדי אותו הנפרד הנכפל
Composite Odd Number	בזכר המספר הנפרד השני המורכב
composite odd number = has a divisor beside one, and that number is a fractional part of it	המספר הנפרד המורכב הוא אשר לו עם האחד מספר ימנהו וזה המספר הוא חלק לו
the prime odd number is produced from the sequence of the units alone	וכבר אמרנו שהמספר הנפרד הראשון אמנם התילד מהמשך האחדים לבד
if the number is a multiplied odd number it is produced from the product of prime odd numbers that are multiplied an odd number of times	ואמנם אם יהיה המספר נפרד נכפל הנה לא יהיה ואמנם זה הנה אמנם יצמח ויתילד מהכפלת הנפרדים הראשונים כשנכפלו פעמים מספרם נפרד
this type of odd number consists of the prime odd number	הנה זה הנפרד אם כן מורכב מהנפרד הראשון
it is secondary as it is formed from the prime	הנה הוא אם כן שני לפי שהוא אמנם חודש מהראשון
it is composite as the prime odd number is its fractional part	והוא מורכב לפי שהנפרד הראשון חלק לו
such as: 9; 15; 25; 27	וזה כמו ט' וט"ו וכ"ה וכ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{9=3\times3}}$	כי ט' מורכב מהכפלת ג' שלשה פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{15=5\times3=3\times5}}$	וט"ו מורכב מהכפלת ה' שלשה פעמים או מהכפלת ג' חמשה פעמים
$\scriptstyle{\color{blue}{21=7\times3=3\times7}}$	וכמו כן כ"א מהכפלת ז' שלשה פעמים או מכפל ג' שבעה פעמים
	הנה אם כן כבר יכלול זה המין מהנפרד והמין הראשון שיש לו חלק נגזר השם משמו אינו מספר והוא האחדות כי זה סגולת סוג הסוגים אשר הוא המספר ר"ל שהוא מורכב מהאחדים
	ואמנם מה שנתיחד בו השני המורכב הנה הוא שיש לו חלק אינו נגזר משמו ימנהו כמו ט' כי הוא ואם היה לו חלק נגזר משמו הוא האחד אשר הוא תשיעית התשעה יש לו שליש גם כן הוא השלשה וכמו כן ט"ו יש לו חומש והוא ג' ושליש ה' עם החלק מט"ו אשר הוא האחד
The Quality of the Third Type of Odd Numbers [= Relatively Prime Numbers]	תאר המין השלישי מהמספר הנפרד
	שזה המין יתחדש לנפרד במקרה לפי שהוא אמנם יהיה עם ההקשה בין שני המספרים המורכבים אין להם מספר משותף ימנה אותם ולכל אחד מהם כאשר הושב אל טבעו מספר ימנהו הוא חלק לו
	וזה כמו ט' אשר הם מורכבים כמו שאמרנו מהכפלת ג' שלשה פעמים הנה כאשר הוקשו אל כ"ה אשר הם מורכבים מה' חמשה פעמים הנה כל אחד משני אלו המספרים אצל חבירו ראשון בלתי מורכב לפי שאין להם מספר משותף ימנם ואמנם היה שיהיה להם מספר משותף אלו היה החלק לאחד מהם חלק לאחד אחר שהחלק הוא המונה לכל ואין השלשה אשר הם חלק לתשעה חלק לחמשה ועשרים שימנום ולא החמשה אשר הם חלק לחמשה ועשרים חלק לתשעה שימנום ואמנם ישתתפו באחד אשר אינו מספר ואמנם הוא עלה למספר
	אמנם איך יוכרו אלו המינים אשר הם מיני הנפרד ואיך יוברר מין מין מהם מהנפרד הטבעי עד שיודע הראשון הבלתי מורכב מהשני המורכב הנה זה בתחבולה יקראה ארסטשאש המכבר
	והיא שתקח הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ג' על סדרם הטבעי ימשכו קצתם לקצת כפי מה שבלוח אשר למעלה
	וכשתרצה השני המורכב מאלו הנפרדים תתחיל ותעזוב שני אמצעיים אחר המדרגה הראשונה והמדרגה הרביעית מספר שיני מורכב והמדרגה הראשונה ג' והרביעית ט' והיא שני מורכב לפי שהיא מורכבת מג' שלשה פעמים
	עוד עזוב ממנו שני אמצעיים והמדרגה הרביעית גם כן ממנה נפרד מורכב והיא ט"ו מורכב מה' שלשה פעמים או מג' חמשה פעמים
	וכן תעשה תמיד ותעזוב שני אמצעיים והרביעי מספר נפרד שני מורכב עד שתגיע אל סוף מה שהנחת מהנפרדים הטבעיים
	אחר תשוב תתחיל מחמשה והיא המדרגה השנית מהנפרדים הטבעיים ותעזוב אחריה ארבע אמצעיים והמדרגה הששית ממנה נפרד שני מורכב והיא ט"ו
	עוד המדרגה השנית מט"ו והיא כ"ה וכ"ה מורכב מהכפלת ה' חמשה פעמים
	עוד תעזוב ארבע אמצעיים גם כן אחר כ"ה והמדרגה הששית ממנה היא מספר נפרד שני מורכב עד שיכלה לאשר הנחת מהמספרים הנפרדים
	וכן תעשה כל מה שתרד מן ההתחלה מדרגה תוסיף בה שיותירו שני האמצעיים שנים לכל מדרגה
	כי כשתעשה זה ורשמת על מדרגת הנפרד השני המורכב אשר תעמד עליהם בזאת התחבולה לא יבצר ממך דבר והיה מה שישאר אחר כלותך מזה ולקיחתו כפי זה הרושם אשר תארתי לך מאשר לא יפל בם סימן הם נפרדים ראשונים בלתי מורכבים
	ודע שכאשר החלות במדרגה הראשונה ותעזוב שני אמצעים בין כל שני מורכב ושני מורכב תהיה המדרגה המורכבת הראשונה תצא מורכבת מן המדרגה אשר ממנה התחילה נכפלת בעצמה ר"ל בשיעור אחדיה
	והמדרגה השנית המורכבת מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השנית
	והמדרגה השלישית המורכבת היא מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השלישית
	ואם תתחיל מן המדרגה השנית ותדלג ארבע אמצעיים בין כל מורכב ומורכב יהיו המורכבים היוצאים מורכבים מהמדרגה השנית אשר החלות ממנה נכפלת בכל אחד מהאחדים
	וכל מדרגה ראשונה מורכבת שתצא היא מן המדרגה אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה הראשונה
	והמורכב השני מורכב מהמדרגה השנית נכפלת בעצמה
	והמורכב השלישי מורכב מהמדרגה השנית אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה השלישית מראש המדרגות והיא המדרגה השלישית מאשר ממנה הוחל וכבר ציירתי לך המכבר לבחון בו כל אלו הענינים
	כג   כא ז ג יט   יז   טו ה ג יג   יא   ט ג ג ז   ה   ג   מה טו ג מג   מא   לט יג ג לז   לה ז ה לג יא ג לא   כט   כז ט ג כה ה ה
	ואחר שכבר התבאר לך איך תברור בזה המכבר המספרים השניים המורכבים מהנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים עד שיוכרו שני המינים הטבעיים ממיני הנפרד כל אחד מהם לבדו נמשיך לזה הכרת המין השלישי המקרי ונגלה איך יודע כשנקיש בין שני מספרים כל אחד מהם בעצמו שני מורכב אם הם עם ההקשה כל אחד מהם אצל חברו ראשון ר"ל שאין להם מספר משותף ימנם ואם היה להם מספר משותף ימנם איך נמצאהו כי אנו כשנרצה לידע זה בשני מספרים הנה אנו נשליך מגדול המספרים המונחים מה שבו מדמיוני הקטן
	וכאשר ישאר מהגדול פחות מן הקטן נשליך מן הקטן מה שהוא מדמיוני הנשאר מהגדול
	עוד נשליך מהנשאר מן הגדול מה שבו מדמיוני הנשאר מהקטן עוד כן לא נסור מחסר מה שביתר מדמיוני הפחות עד שנגיע אם אל האחדות או אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הגדול
	ואם יגיעו אל האחדות הנה כל אחד מהם אצל האחר ראשון בלתי מורכב ואם הגענו אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הרב הנה הקטן הוא המספר המשותף אשר ימנה שני המספרים אשר הוקש אחד מהם אל האחר
	משל זה במספרים אשר כל אחד מהם בעצמו שני מורכב ובהקש אל האחר ראשון בלתי מורכב מספר ט' וכ"ה שאנו נשליך בכ"ה מדמיוני ט' וישאר ז' נשליך מה שבט' מדמיוני ז' ישאר ב' נשליך מה שבז' מדמיוני ב' ישאר אחד והאחד ימנה השנים ואין האחד מספר הנה ט' וכ"ה כל אחד מהם אצל חברו ראשון בלתי מורכב
	ואמנם דמיון המספרים אשר כל אחד מהם שני מורכב ובהקשה ביניהם להם מספר משותף ימנם והם בו שניים מורכבים הם כמו מספר כ"א ול"ה כי אנו נשליך מה שבל"ה מדמיוני כ"א וישאר י"ד עוד נשליך מה שבכ"א מדמיוני י"ד וישאר ז' וז' ימנה י"ד הנה כ"א ול"ה להם מספר משותף ימנה אותם והוא ז' והם בו עם ההקשה שניים מורכבים
	אם כן כבר התבאר איך יוצא המין השלישי המקרי מחלקי הנפרד
	והנה נשלם המאמר על מיני המספר יחד
	וזה צורת חלוקת מה שדברנו עליו מתחלת ספרנו עד זה המקום
	זוג הזוג הוא המתחלק בשני חצאים וכל חצי לחצאים עד האחד ודימיונו ס"ד הזוג זוג הזוג הנפרד הוא הנחלק פעם אחת לשני חצאים ויעמד בנפרד י"ד הנפרד זוג זוג הזוג והנפרד הוא החלק יותר מפעם אחת ולא יכלה לאחד הנפרד הזוג ודמיונם כ"ד והנפרד נפרד הנפרד הראשון הבלתי מורכב הוא אשר לא ימנהו מספר כלל אין ראשון ראשון חלק לו אלא האחת י"א נפרד הנפרד השני המורכב הוא אשר לו מספר ימנהו ולא יהיה המספר לו שני אלא נפרד ודמיונו ט"ו מורכב המין המניין המקרי הוא מהקשת שני נפרדים מורכבים אין להם מספר ט' הג' להם בהצטרף משותף כלל כ"ה

Second Categorization of Even Numbers	חלוקה שנית למספר הזוג
three types of even numbers	המספר והזוג יחלק לשלשה חלקים
Superabundant number = the sum of its parts exceeds the whole number	אם נוסף ר"ל שהגעת כלל חלקיו מוסיף על כלו
Deficient number = the sum of its parts is less than the whole number	ואם חסר ר"ל שהגעת כלל חלקיו יחסרו מכלו
Perfect number = the sum of its parts is equal to the whole number	ואם שוה ר"ל שהגעת כלל חלקיו שוה לכלו
	וזה המין השלישי כאמצעי בין שני המינים הראשונים אשר הם בדמות קצוות נבדלים אחר שהם בתכלית ההבדל לעברם השווי בתוספת ובחסרון
	ונאמ' במספר הנוסף שהוא כמו הבעל חיים שאיבריו הם נוספים במקרה על האיברים הטבעיים לו ולכל אישי צורתו
	וזה כמו י"ב וכ"ד והדומה להם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{12}\sdot12\right)\\&\scriptstyle=6+4+3+2+1=16>12\\\end{align}}}$	כי לי"ב חצי ושליש ורובע ושתות וחלק מי"ב ואלו החלקים מי"ב הם ששה וארבעה וג' ושנים ואחד וכלל זה י"ו והנה י"ו יותר מי"ב והם חלקיו
	אמנם המספר החסר הנה הוא המתחלף בתאר למספר הנוסף והוא אשר הגעת חלקיו פחות מכלו
	וידמה לזה המספר הבעל חיים שאיבריו הטבעיים חסרים משוויים הנמצא בכל אחדי צורתו בטבע
	וזה כמו מספר ח' וי"ד והדומה להם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot8\right)=4+2+1=7<8}}$	כי לשמנה מן החלקים חצי ורביעית ושמינית והם ד' ב' א' וכלם ז' וז' פחות מח' אשר ז' כלל חלקיו
	וכמו שהיציאה מהשווי בתוספת אי אפשר לעמד על תכליתו בטבע כמו שנאמ' בפתיחת הספר כן החסרון בכמות בעל הגודל בלתי מוגבל התכלית אחר שהוא בהצטרף אלא במאמר כולל והשווי אחד אמצעי בין שני דברים אי אפשר לעמד על תכליתם כן רבוי שני המינים אשר זכרנום מהנוסף והחסר בטבע המספר הזוג ואמנ' השוה אמנם ימצא מעט לא הרבה כמו שיתרבו שני המינים הראשונים וזה שאנו אמנם נמצא מהמספר הזוג השוה מה שנגיע אליו לבד בתחבולה אשר נזכרה עתה בג"ה
The Discussion on the Quality of the Perfect Number	הדבור בתאר המספר השוה
	והוציאו כבר אמרנו שהמספר השוה הוא אשר הגעת כלל חלקיו שוה לכלו וזה המספר ידמה בעל חיים שוה האיברים ממוצע הצורה
	וזה כמו מספר ו' ומספר כ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+2+1=6}}$	כי ששה יש לו חצי ושליש ושתות והם ג' ב' א' וכלם ששה הנה אלו הששה שוים לששה אשר הם חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{14}\sdot28\right)+\left(\frac{1}{28}\sdot28\right)\\&\scriptstyle=14+7+4+2+1=28\\\end{align}}}$	וכמו כן גם כן כ"ח יש לו מהחלקים חצי ורביעית ושביעית וחלק מי"ד וחלק מכ"ח והם י"ד ז' ד' ב' א' ואלו כלם שוים למספר כ"ח אשר הם כלל חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו מהם
	ואמנם איך יתילדו אל המספרים השווים ואיך נעמוד על המספר הנמצא מהם וכמה מספרים ימצאו מהם בכל מספר מונח הנה הוא במה שאתאר וזה שנניח מדרגות מספרי זוג הזוג אשר התחלתם מהאחד בטור ותהיה המדרגה הראשונה א' והשנית ב' ונעזוב המדרגה הראשונה עוד נתחיל מב' ונניח תחתיה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה וזה ג' וכן תעשה במה שילוה לה מן המדרגות זוג הזוג תניח תחת כל מדרגה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה הנה בהכרח שיהיו המספרים המונחים תחת מדרגות זוג הזוג נפרדים לפי שהמדרגה הראשונה האחד והמדרגות אשר אחריה זוגות והזוג כאשר יוסף עליו האחד ישוב נפרד הנה יוכרו מאלו המספרים הנפרדים כל מספר ראשון בלתי מורכב ונרשום עליו רושם ונעזוב מה שזולתו עוד נכה כל מספר שרשמנו עליו במה שלמעלה ממנו עליו ר"ל במספר הזוג אשר תחתיו אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב ונעמיד מה שיצא מן ההכאה תחת אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב כדי שיסודרו גם כן הגעות המוכים כפי מדרגותיהם בטור שלישי וכאשר תחפש בזאת התחבולה כל מה שהנחת ממדרגות מספרי זוג הזוג הנה כבר הוצאת כל המספרים השלמים אשר הם נכללים תוך מספר המדרגה האחרונה ממה שהוצאת מהם ואותם המספרים הם אשר העמדתם בטור השלישי תחת הנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים והם נלוים על משך סדרם בטבע לא ידולג ביניהם מספר שלם כלל וכבר יתחייב לאלו המספרים השלמים שיהיה הפרט העודף הם על עשרה פעם ו' פעם ח' וכן תמיד ימצאו אלו המספרים בזה התאר ובחן כל מה שזכרתי לך מתארם ודרך הוצאתם בזאת הצורה בג"ה

The Discussion on the Quality of the Relative Quantity and its Division into the Equal and the Unequal	הדבור בתאר הכמה הצירופיי והחלקו אל השוה ובלתי שוה
After elaborating the discussion on the absolute quantity, completing its discription and the explanation of its interprations, now the relative quantity will be discussed, and described by a proper description in accordance with what was described beforehand	ואחר אשר הרחבנו המאמר על הכמה הנפרד והשלמנו תאריו ובאור פירושיו אנו נקח עתה לדבר בכמה המצטרף ונתארהו תאר נאות ומסכים למה שתארנו בו מה שקדם לפניו
The relative quantity is divided in the first division into two parts: one is the equality, and the other is inequality.	והכמה המצטרף יחלק חלוקה ראשונה לשני חלקים אחד מהם השווי והאחר לא שווי
For, every number is related to a number that is either equal to it, or unequal, with no third species in this division at all.	כי כל מספר יחובר אל מספר אם שיהיה שוה לו ואם שיהיה מבלתי שוה מבלתי שיהיה בזאת החלוקה מין שלישי כלל
There is no supplement nor deficiency in equality, but one of the two relatives is equal to the other.	הנה השווי אין תוספת בו ולא חסרון אבל יהיה בו אחד מן ב' המצטרפים שוה לאחר
As the hundred, when compared with the hundred, the ten with the ten,	כמו המאה כאשר הוקשו אל המאה והעשרה אל העשרה
And the similar of the equal to what is related to it among those that are related to it by matter of quantity, whose property is "equal" and "unequal".	והדומה לזה ממה שהוא שוה למה שהוקש אליו ממה שהוקשו אליו בענין הכמה אשר סגולתו שוה ולא שוה
The evenness is not to be divided into species at all, since the matter of evenness is the equal, the equal is equal to the equal, and the even is even to its even.	והישר לא יחלק למינים כלל לפי שאמנם ענין הישר השוה והשוה שוה לשוה והישר ישר למיושר לו
The species of the given numbers that differ in comparison with one another, in inequality, is divided in a second division, into two parts - one of them is greater, and the other is smaller, and they are different by name and antithetical by matter.	ואמנם המספרים המונחים המתחלפים עם הצטרף קצתם אל קצת ביציאה מהשווי הנה מינם יחלק בחלוקה השנית לשני חלקים אחד מהם גדול והאחר קטן והם מתחלפים בשם ונבדלים בענין
The greater relation is divided in a third division into five parts: the multiple to the related to it, the superpaticular to the related to it, the superpartient to the related to it, the multiple superparticular to the related to it, and the multiple superpartient to the related to it.	וההצטרפות הגדול יחלק בחלוקה השלישית לחמשה חלקים מהם בעל הכפלים למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלקים למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלקים למה שהוקש אליו
The smaller is divided, like the greater related to it, into five species, each species is parallel to a species of the greater, ascribed and named according to its corresponding, i.e. the species of the smaller are called: the submultiple, the subsuperpaticular, the subsuperpartient, the submultiple-superparticular, and the submultiple-superpartient.	ואמנם הקטן יחלק כמו הגדול ההקש בו לחמשה מינים יקביל כל מין מהם מין מהגדול ייוחס ויקרא בהקבלתו ר"ל שיקראו מיני הקטן כשיאמר מין תחת בעל הכפלים ומין תחת המוסיף חלק ומין תחת המוסיף חלקים ומין תחת בעל הכפלים המוסיף חלק ומין תחת בעל הכפלים המוסיף חלקים

[Simple Ratios]
Said Abū Yusūf: two of these five ratios are simple: the multiple ratio and the superparticular ratio	אמר אבו יוסף ומאלו היחסים החמש שנים מהם פשוטים והם בעל הכפלים והמוסיף חלק
He did not mean by superparticular ratio to the multiple superparticular ratio, but he meant the ratio between the two numbers, of which the greater is as the smaller once and as a part of the smaller.	ולא ירצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק אמנם רצה היחס אשר בין שני המספרים אשר הגדול מהם כמו הקטן פעם אחת וכמו חלק מהקטן
This is clear in what was clarified for you by Plato, in the book that is attributed to the causes of the capacities that are ascribed to the supreme individuals.	וזה מבואר במה שביארו אליך אפלטון בספר המיוחס אל עלות הכחות המיוחסות אל האישים העליונים
This is because he mentioned the numbers that are ascribed to the nine spheres, and related between them, relating to each supreme sphere, conceived by the intellect, their natures, of which the numbers ascribed, are of the numbers that are given to the spheres of the four elements.	וזה שלמה שזכר המספרים המיוחסים אל הכדורים התשעה וייחס ביניהם לחבר אל כל כדור עליון הדמוי בשכל מטבעיהם מה שיוחסו מספריהם מהמספרים המונחים לכדורי היסודות הארבעה
to the sphere of the earth and the water - 24	וייחס אל כדור הארץ והמים כ"ד
to the sphere of the fire and the air - 27	וייחס אל כדור האש והאויר כ"ז
the sphere of the moon - 36	וייחס אל כדור הירח ל"ו
the sphere of Mercury and Venus - 48	וייחס אל כדור כוכב ונוגה מ"ח
Since he explained why the sphere of these two stars is one and the number ascribed to them is one, by saying that these two stars are included in one matter, which is that their distance from the sun is only in the circles of their encirclements, and the sum of the movments of their centers and the sun is one, therefore one number is ascribed to them.	אחר שבאר למה היו שני אלו הכוכבים כדורם אחד והמספר המיוחס אליהם אחד בשאמר ששני אלו הכוכבים יכללם ענין אחד והוא שמרחקיהם מן השמש אמנם הוא בגלגלי הקפותיהם לבד ואמנם מרכזיהם הנה סך תנועותיהם והשמש אחד ולזה נתייחס אליהם מספר אחד
the sphere of the sun - 54	ונתייחס אל כדור השמש נ"ד
the sphere of the Mars - 64	ולכדור מאדים ס"ד
the sphere of the Jupiter - 72	ולכדור צדק ע"ב
the sphere of the Saturn - 72	ולכדור שבתאי צ"ו
the sphere of the fixed stars - 108	ולכדור הכוכבים הקיימים ק"ח
His theory about the attributions to these spheres, that ascribed these numbers, was not by accident, without a nesessary reason, but it was resulted from a necessary discussion that approves that this is the greater first relation described of these numbers to these spheres in this ratio.	ולא היתה הנחתו לאלו היחסים אל אלו הכדורים אשר חייבו זה המספר בהזדמן מבלתי טעם ראוי אבל אמנם נתחייב זה במאמר הכרחי המאמת שזה הוא היותר ראשון במה שיתואר מהצטרפות אלו המספרים אל אלו הכדורים בזה היחס
When he related between these numbers, he mentioned that $\scriptstyle{\color{blue}{108:24}}$ is not a simple ratio.	וכאשר ייחס בין אלו המספרים זכר שק"ח מכ"ד אינו ביחס פשוט
He said: because of this we say that the fixed stars are far from the corporeal activities, that have essence.	אמר ולזה נאמר שהכוכבים הקיימים רחוקים מהפעולות הגשמיות בעלות ההויה
$\scriptstyle{\color{blue}{108=\left(4\sdot24\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)}}$ → this is the double sesquialter ratio, which is not a simple ratio.	וק"ח כמו ארבעה דמיוני כ"ד וכמו חציים וזהו הכפל המוסיף חלק הנה לא יהיה זה היחס פשוט
This is the explanation of that he did not mean by superparticular ratio to the multiple superparticular ratio.	זהו ביאור שלא רצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק
I did not elaborate this discussion, thinking that the similar of the author's discussions were [not] unknown to you, in your casuistry and diligence when studying his talk, and your love to this craft, all the more so that you are of those who have his books	ולא הארכתי בזה המאמר הנה לחשבי שכמו זה ממאמרי המחבר נעלם ממך עם פילפולך ושקידתך בעיון דבריו ואהבתך לזאת המלאכה וכל שכן שאתה ממי שספריו אצלו
But, I wanted to remind you of it.	אבל ראיתי להזכירך זה
I have no doubt that our book will fall into the hand of the one who is ignorant concerning the teacher's opinion, of which you yourself know.	ולא אספק שספרנו זה יפול אצל מי שסכל מסברת המלמד מה שתדעהו אתה
And when the discussion has no capacity of bringing to the essence of the thesis, the thoughts become confused, the conception falls, the truths disappear, and the axioms are non-existent.	וכאשר לא היה בכח המאמר שיביא אל האמתת הדרוש יתבלבלו המחשבות ויפול הדמוי ויעלמו האמתיות ויעדרו הידיעות
May God lead you straight in the light of his explanation, to reach the brightness of his high rank.	יישירך האל לאור באורו ולהשיג זיו יקרו

The Discussion on the Multiple Ratio - its Nature and it Production	הדבור ביחס בעל הכפלים וטבעו והתילדו
Now, we shall preface the discussion on the multiple ratio, since it is the greater first by nature over the rest four remaining ratios.	ואמנם עתה נקדים המאמר על יחס בעל הכפלים אחר שהוא היותר קודם בטבע משאר היחסים הארבעה הנשארים
double 2:1 When relating the beginning of the numbers, which is 2, to 1, which is the cause of the number - its double is found.	וזה שאנו כאשר הקשנו תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר הוא עלת המספר מצאנוה כפל לו וזה הוא הנקרא הכפל השניי
triple 3:1 If relating 1 also to the second number, which is 3 - the triple ratio is created.	ואם הקשנו האחד גם כן אל המספר השני אשר הוא ג' יתחדש הכפל השלישי
quadruple 4:1 If it is related to the third number, which is 4 - the quadruple ratio is created.	ואם הקשנוהו אל המספר השלישי והוא ד' יתחדש הכפל הרביעי
n:1	עוד כן כאשר יוקש אל מדרגות המספרים הטבעיים יתחדשו כפליים יקרא בשם המספר אשר אליו יוקש האחד
	הנה התבאר שהיחס הראשון שיפל במספר הוא יחס הכפלים בהצטרף תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר מהכפלו יהיה מספר
	והתבאר שהכפל השניי ראשון למיני הרב הכפליים בטבע לפי שהוא מהקשת האחד אל תחלת המספרים
	ואין למיני הכפלים תכלית בכח להתרבותם עם התרבות המספרים הטבעיים
generating the multiples	ונתחיל ראשונה בספור התילד בעל הכפלים בלתי שאר היחסים
starting from the first in nature:	ונקדים ממנו הראשון מהם בטבע
double	ונאמר שהכפל השניי הוא אשר יתחדש מיחס כפל כל מספר אליו
4:2	כמו ד' אצל ב'
8:4	וכמו ח' אצל ד'
the natural numbers are lined up	הנה אם כן כבר התבאר איך יצמח הכפל השניי וזה כשיסודרו המספרים על משך סדר הטבע
1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; ...	כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד מה שנרצה להניח
then the even numbers are lined up respectively	עוד נסדר הזוגות הטבעיים על משך סדר הטבע בטור נכחיי לטור הראשון
2; 4; 6; 8; 10; 12; 14; ...	כמו ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד
	ויהיו מדרגותיו כמספר המדרגות אשר סדרת אותם בטור סדר המספרים הטבעיים
	עוד תקיש הראשון ממדרגות הזוג הטבעי בראשון ממדרגות המספר הטבעי והשני בשני והשלישי בשלישי וכן במה שאחר זה שאנו נמצאם יחד ביחס הכפל השני
4:2	כמו ד' אצל ב'
6:3	וו' אצל ג'
8:4	וח' אצל ד'
	וכן כלם
triple	אמנם הכפל השלישי הוא שיהיה בגדול משני המספרים המונחים שלשה דמיוני המספר הקטן
	אם כן הוא מבואר לך איך יתילד הכפל השלישי וזה כשתסדר המספרים כטבעיים על משך סדר הטבע בטור
	כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט'
	עוד נתחיל ונעבור שני מדרגות ונקח השלישית ונשימה ראש מדרגות טור אחד
	עוד נעבור גם כן שתי מדרגות אחר אותה המדרגה תקח המדרגה השלישית ונשימה ראש מדרגות השנית מהטור האחר
	עוד כן נדלג שתי מדרגות אחר כל מדרגה שנקח ונחשק בשלישית ממנה ונסדרם במדרגות אשר כטור האחד
	ואחר נקיש בין המדרגות מהטור המוצא ובין המדרגה הראשונה מטור המספר הטבעיי עוד השנית בשנית והשלישית בשלישית
	הנה אנו נמצאם ביחס הכפל השלישי
	כמו ג' אצל א'
	ו' אצל ב'
	וט' אצל ג'
	וכן תמיד עד סוף שהנחת מן המספרי'
	הנה אם כן כבר התבאר שאמנם יתחדש יחס הכפל השלישיי מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספרים הטבעיים בשלשה והעמדת אלו ההגעות במדרגות טור אחד
	וכבר יתחייב לטור אשר בו מדרגות המספרים הגדולים מזה היחס ובכל יחס נגזר ההכפלה ממספר נפרד אל מספר שיהיה נפרד ואחר כן זוג עוד נפרד כפי מה שתראה אותך הבחינה
	וכבר יתחייב גם כן בזה היחס לבד שיהיה בין כל נפרד ונפרד שני אמצעיים מן הנפרד הטבעי כבר עברו
	כמו ה' וז' אשר כבר עברו מהנפרד הטבעי בין ג' וט'
	וכן יחוייב גם כן שיהיה בין הזוג שני אמצעיים כבר עברו מהזוג השביעי
	והזוג כמו ח' וי' אשר כבר עברו בין ו' וי"ב כמו י"ד וי"ו בין י"ב וי"ח
	אמנם הכפל הרביעיי אמנם יתחדש מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספר הטבעי בד' עוד יוקיש מה שיצא מן ההכאה אל אותה המדרגה
	וכן החמשיי ומה שאחריו ממה שתרצה ממיני הכפלים
	אלא שכאשר היה הכפל נקרא למספר הזוג היו כל מדרגותיו זוגות
	כמו הכפל הרבעיי אשר תחלת מדרגותיו ארבעה עוד ח' י"ב י"ו
	ואם היה הכפל נקרא למספר נפרד היו מדרגותיו אחת זוג ואחרת נפרד
	כמו הכפל החמשיי אשר תחלת מדרגותיו ה' עוד י' עוד ט"ו עוד כ'
	וראוי שיקרא זה המין מן הגדול בעל הכפלים ומהקטן תחת בעל הכפלים

The Discussion on the Second Simple Ration which is the Superparticular Ratio	הדבור ביחס השני הפשוט והוא יחס המוסיף חלק
Since the discussion on the multiple ratio has already been brought, because it is simplier, and prior by nature, as been explained, its successive by natural succession, which is the superparticular ratio is discussed:	ואחר שכבר הבאנו הדבור על יחס הכפלים אחר שהוא יותר פשוט ויותר קודם בטבע כמו שבארנו נאמ' על אשר ימשך לו המשכות טבעי והוא המוסיף חלק
When comparing the beginning of the numbers, which is 2, with its successive, which is 3, the three is to two as its similar and its half.[$\scriptstyle{\color{blue}{3=2+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)}}$]	וזה שאנו כאשר הקשנו בין תחלת המספרים אשר הוא ב' ובין המספר אשר ימשך לו והוא ג' היה ג' אצל ב' כמהו וכמו חציו
Hence, the superparticular ratio is formed by comparing the beginning of the numbers with its successive.	הנה יתחדש המוסיף חלק מההקשה בין תחלת המספרים ואשר ימשך לו
the first superparticular ratio by nature: sesquialter ratio	והתבאר שהחלק הראשון בטבע הוא המוסיף חצי
sesquitertian: the ratio of the third number, which is 4, to the second number, which is 3 $\scriptstyle{\color{blue}{4=3+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)}}$	עוד המוסיף שליש בבקשת המספר השלישי אשר הוא ד' אל המספר השני אשר הוא ג' כי ד' כמו ג' וכמו שלישיתו
sesquiquartan ratio	עוד המוסיף רביע
sesquiquintan ratio	עוד המוסיף חומש
the ratio of each number to its preceding of the natural numbers	בהקשת כל מספר אל אשר לפניו מהמספרים הטבעיים
	הנה אם כן יחוייב שנזכיר המוסיף חלק חצי
	ונאמ' שזה היחס יתילד בשנסדר הזוג הטבעי אשר התחלתו ב' והוא הטור אשר נעשה בכפל השניי בטור ימשך קצתו לקצת
	עוד נסדר המספרים אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיי' כל א' בג' והוא אשר נראה בכפל השלישיי בטור ימשכו קצתם לקצת
	עוד יוקש בין כל מדרגה מזה הטור ובין דומה לה מהטור האחר במספר המדרגות כי יראו המדרגות יחס המוסיף חלק החציי כמו שתראה בזאת הצורה
	לב ל כח כו כד כב כ יח יו יד יב י ח ו מח מה מב לט לו לג ל כז כד כא יח טו יב ט
	ואמנם המוסיף שליש הוא אמנם יתחדש בסדור זה הטור אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיים בג' נכחיי לסדר הטור אשר יתחדש מהכאת המספרים הטבעיים בד' והוא הטור אשר חודש בכפל הרבעיי
	וכמו כן המוסיף רביע כי אחד מטוריו טור הכפל הרבעיי והאחר טור החמשיי
	וכמו כן כל מה שתרצה מהמוסיף חלק הוא כמו זה המשל אשר תארתי לך
	וכבר יתכן שיקרא המוקש בזה המין אם הגדול המוסיף חלק
	ואם הקטן תחת המוסיף חלק
	וכמו כן יקרא המוקש הקטן מכל מין כאשר הוא תחת מה שלמעלה ממנו מההצטרפות הגדול הנקרא בשם מיוחד
	וכבר רשמתי מה שזכרתי לך מהכפלים והמוסיף חלק ומה שיאות לומר גם בזאת הצורה
	י ט ח ז ו ה ד ג ב א כ יח יו יד יב י ח ו ד ב ל כז כד כא יח טו יב ט ו ג מ לו לב כח כד כ יו יב ח ד נ מה מ לה ל כה כ טו י ה ס נד מח מב לו ל כד יח יב ו ע סג נו מז מב לה כח כא יד ז פ עב סד נו מח מ לב כד יו ח צ פא עב סג נד מה לו כז יח ט ק צ פ ע ס נ מ ל כ י
Starting by arranging the numbers by natural order, from one to ten, in the first line widthwise.	וזה שאנו נתחיל ונסדר בטור הראשון הלוקח ברחב המספרים על סדר הטבע מא' עד עשרה
The double ratio in the second line, following the first line.	ובטור השני הכפל השני נלוה לטור הראשון
The triple ratio in the third line.	ובטור השלישי הכפל השלישי
The quadruple ratio in the fourth line.	ובטור הרביעי הכפל הרביעי
So on, in ten lines, and the decuple ratio.	וכן עשרה טורים ויהיה הכפל העשריי סופם
It is clear in this figure that: the two lines that meet on the square 1 and extend to the surface 1"100	וגלוי בזאת הצורה ששני הטורים אשר יפגשו על מרובע א' ויתרחבו עד שטח א'ק'
the two lines that meet on the square 4 and extend to the surface 1"100	ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ד' ויתרחבו עד שטח א'ק'
the two lines that meet on the square 9 and extend to the surface 1"100	ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ט' ויתרחבו עד שטח א'ק'
Their ratio is one, i.e. the ratio of each rank to its preceding in each two lines that meet on one of the squares that are on the diagonal, i.e. the main diagonal of the whole figure, is as the ratio of its corresponding rank on the other line to its preceding as well.	יחסם אחד ר"ל ששעור כל מדרגה מאשר לפניה מאחד מכל שני טורים מהם יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על הקוטר ר"ל קוטר הצורה הגדולה כשעור המדרגה אשר היא דומה לה מהטור האחר מאשר היא גם כן לפניה
Except that Each rank of the two first lines exceeds its preceding by one.	אלא ששני הטורים הראשונים תוסיף כל מדרגה מהם על אשר ילוה לה מכל אחד משני הטורים אחד
Each rank of the two second lines exceeds its preceding by two.	ושני הטורים השניים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה לה שנים שנים
Each rank of the two third lines exceeds its preceding by three.	ושני הטורים השלישיים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה שלשה שלשה
The fourth by four.	והרביעיים ארבעה ארבעה
	ויחסי המדרגות מאלו הטורים יחס כל מדרגה אל אשר לפניה אל היחס שתרצה אחד אחר שיהיו דומים
For example: the ratio of 42 on the seventh line breadthwise to its preceding 36 on this line is as the ratio of 7 on the first line breadthwise to its preceding 6 [$\scriptstyle{\color{blue}{42:36=7:6}}$]	משל זה שיחס מ"ב מהטור השביעי הלוקח ברחב אל ל"ו אשר לפניה מזה הטור כיחס ז' מהטור הראשון הלוקח ברחב אל ו' אשר לפניו
the ratio of 7 on the first line lengthwise to its preceding 6 on this line is as the ratio of 42 on the seventh line lengthwise to its preceding 36 of the same line [$\scriptstyle{\color{blue}{7:6=42:36}}$]	ועוד יחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך אל ו' אשר לפניו בזה הטור כיחס מ"ב מהטור הז' הלוקח באורך אל ל"ו אשר לפניו מאותו הטור
	לפי שהטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך ברחב הולך באורך והטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך באורך הולך ברחב יפגשו על מרובע ל"ו והיה ל"ו לכל אחת משתי המדרגות אשר בכל אחת מהן מ"ב משני הטורים המתחלפים מדרגה ראשונה לפי ששני הטורים יתחתכו על מרובע ל"ו
	וכן כל שני טורים מתחלפים באורך וברחב יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על קוטר המרובע הגדול הנה ממרובע אשר יפגשו עליו משותף להם
	הנה אם כן כבר התבאר איך יתילד בעל הכפלים למה שיוקש אליו לפי שהטור השני מטורי אי זה משני צדי האורך והרחב שתרצה אל הטור הראשון מאותו הצד כפל שניי והשלישי אליו שלשיי והרביעי אליו רבעיי וכן תמיד כפי סדר ועל הטבע וזה הוא המאמ' על הכפלים בזאת הצורה
	אמנם המוסיף חלק הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב
	וכבר יצאו משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב
	וכבר יצאו משני מרובעי כ' כ' ויפגשו על מרובע ד' כל מדרגה אל אשר ילוה לה
sesquialter ratio	תמצא זה ביחס המוסיף חלק החציי
	וכן יחס שאר מדרגות אלו הטורים הארבעה אל התחלותיהם ר"ל אל שני בתי ב' וג' משני הטורי' הלוקחים באורך ואל שני בתי ב' וג' משני הטורים הלוקחים ברחב
sesquitertian ratio	ואמנם יחס המוסיף חלק השלישי הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב
	וכבר יצאו משני מרובעי מ' מ' ויפגשו על מרובע י"ו כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב היוצאים משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כל מדרגה אשר לפניה מהטור האחר תמצא זה ביחס המוסיף חלק השלישי בכמו אותו הביאור אשר זכרנו כמוסיף חלק החציי
sesquiquartan ratio	וכן המוסיף חלק הרביעי
sesquiquintan ratio	וכן המוסיף חלק החמשיי
	ומה שאחר זה ממיני המוסיף חלק תמצאהו בזאת המלאכה נמשך בגזרת שמו ממשך המספרים הטבעיים המתילדים מהוספת האחדים
	הנה אם כן כבר התבאר לחוש מהיותר קודם באלו היחסים בטבע לא ברצון והנחה בעל הכפלים למה שיוחס אליו
	ושהקודם יותר בזה השניי עוד השלישי וכן תמיד כפי הגזר המספרים כמו שהם בסדר הטבע
	ושאשר ימשך לבעל הכפלים הוא המוסיף חלק
	ושתחלת זה הוא החציי עוד השלישי ועוד הרביעי עוד כן תמיד כפי הגזרה מהמספרים כמו שהם בסדר הטבע ממה שישיג סדר זאת הצורה
	שמדרגות המספרים אשר על קוטר הוצא מא' אל ק' הכתוב נגדו כל אחת נגזרת ר"ל שיש לו שורש וידובר בו כשיכפל בעצמו ר"ל בשעור אחדיו היה שוה לכלם
	כמו א' ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ק"ד פ"א ק'
	כי כל אחד מאלו מספר נגזר בפעל
	מלבד האחד שהוא נגזר בכח וגדרו אחד לפי שהוא אחד בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	וגדר ד' ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}$	וגדר ט' ג'
	ואם לקחת גדרי אלו המדרגות ותסדרם בטור תמצאם כסדר מדרגותיהם על סדר משך המספרים הטבעיים כמו א"ב ג"ד ה"ו עד תכלית מה שהנחת מן המספרים הנגדרים באלכסון המרובע
Abū Yusūf said:	אמר אבו יוסף מצאנו אלו המספרים הנגדרים אמנם יתחדשו ויצמחו מתוספת הנפרדים הטבעיים על משך סדרם
	אשר התחלתם מהאחד אשר הוא נפרד בכח על קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{blue}{1^2+\left(1+2\right)=1+3=4=2^2}}$	ג' כאשר נוסף על האחד יתקבץ מספר נגדר והוא ד' וגדרו ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{2^2+\left(3+2\right)=4+5=9=3^2}}$	וכאשר נוסף על ד' הנפרד אשר ימשך לג' והוא ה' יתקבץ מספר נגדר והוא ט' וגדרו ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2+\left(5+2\right)=9+7=16=4^2}}$	וכאשר נוסף הנפרד אשר ימשך לה' והוא ז' על ט' יתקבץ מספר נגדר והוא י"ו ושרשו ד'
	וכן תמיד הנה אם כן כבר התבאר שכאשר נוספו הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח קצתם על קצת על משך סדרם יתילדו המספרים הנגדרים הטבעיים על משך סדרם
	והיו שרשיהם לקוחים מהם על משך סדרם על סדר מספר הטבעי
	ואמנם שני הטורים אשר ימשכו וילוו לקוטר הנה מדרגותיהם זולתיות האורך ר"ל ששני המספרים אשר התקבצה מהכאת אחד מהם באחר יוסיף אחד מהם על האחר באחד ברישומו שכבר קרבו מגדר המדרגה אשר היה להם גדר מספרי ידובר בו
$\scriptstyle{\color{blue}{6=2\times3}}$	והמספרים הזולתיים כמו ו' כי הוא מהכאת ב' בג'
$\scriptstyle{\color{blue}{12=3\times4}}$	וכמו י"ב שהוא מהכאת ג' בד'
	עוד כן נמצאם תמיד בשני הטורים אשר משני צדי הקוטר כלם
	וממה שישיג זאת הצורה ששני הטורים היוצאים ממרובע א' באורך והרחב יתוספו מדרגותיהם אחד אחד עד שיגיע כל אחד מהם אל העשרה אשר הם סוף כל המדרגות בם
	וששני הטורים היוצאים משני מרובעי י"י ויפגשו על מרובע ק' יתוספו מדרגותיהם י' י'
	ואם קובץ מה שבזויות זאת הצורה הארבעה תמצא כלל זה המספר נגדר
	וממה שישיג זאת הצורה שכלל מדרגות כל מרובע יהיה קטרו נבדל מקוטר הצורה הוא נגדר
Abū Yusūf said:	אמר אבו יוסף וממה שישיג הקוטר האחד אשר תכליותיו עשרה עשרה ומספר מדרגותיו זוג שיש לו שני אמצעיים והם ל' ל'
	והמדרגות אשר בין אחד משני התכליות עד אחד משני האמצעיים ביחס קצתם אל קצת והגעות מספריהם כיחס מה שבין התכלית האחר והאמצעי האחר
	אמר הפילוסוף מניח הספר כבר נמצא המקויים בזאת הצורה כאשר ידוקדק העיון בה כי בה דברים מהתועלות והזכיות יותר מאשר תארנו אלא שאנו לא נחקרם בזה המבוא לפי שאין כונתנו בו לחקרם
	וראוי שנעתק אל המאמר על מה שהוא חזק ההאותות למה שהחלונו לדבר בו מזכר היחסים החמש
	ונאמ' עתה שהמוסיף חלקים למה שהוקש אליו יותר ראשון להקדים המאמר עליו לפי שהוא יותר פשוט משני היחסים הנשארים
	וזה שבעל הכפלים המוסיף חלק הוא מורכב משני יחסים
	ובעל הכפלים המוסיף חלקים מורכב גם כן משני יחסים
	ועוד שאנו כאשר חברנו ראש הנפרדים אשר הוא ג' אל הנפרד השני אשר הוא ה' יתחדש המוסיף שני חלקים והוא תחלת מיני המוסיף חלקים
	ולזה יחוייב שנשים המאמר על זה היחס נמשך למה שאמרנו משני היחסים הראשונים הפשוטים
	ואמנם בהצטרף על סדר הטבע הנה הכפל המוסיף חלק יראה קודם מהמוסיף חלקים
	וזה כשנקיש תחלת שני מספרים ממדרגות המספרים יתחדש בהקשתם יחס שלישי
	והוא כמו צרוף ה' אל ב' כי ה' כמו כפל ב' וכמו חציו וחציו חלק ממנו וה'
	וב' ראשוני שני מספרים ממדרגות המספרים הטבעיים יתחדש בהצטרף אחד מהם אל האחר יחס שלישי
	אבל הוא מבואר נגלה שיחס המוסיף חלקים יותר פשוט מיחס הכפל המוסיף חלק
	והפשוט יותר קודם מהמורכב קדימה טבעית
	הנה אם כן יחוייב שנקדים המאמר על המוסיף חלקים אל מה שיוקש אליו
	ונקדים ממיניו המוסיף שני חלקים אחר שהוא ראש מיניו

The Discussion on the Third Ratio which is the Superpartient Ratio	הדבור ביחס השלישי והוא היחס המוסיף חלקים
Nicomachus said: there is no superpartient ratio less than the superbipartient ratio	אמר ניקומאכוש לא יהיה היחס המוסיף חלקים בפחות מהמוסיף שני חלקים
Hence, this ratio is formed from the sequence of the natural numbers beginning with three in a line.	ולזה אמנם יתילד זה היחס מסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם השלשה בטור
Because, the number prior to three has no two parts that are smaller than it, since its parts are equal to it.[?]	לפי שהמספר אשר קודם השלשה אין לו שני חלקים יהיו פחות ממנו אחר שחלקיו שוים לו
He said: the ranks of the natural odd numbers are arranged beneath the ranks of the mentioned line, beginning with the consecutive of 3, which is 5.	אמר ויסודר תחת מדרגות הטור הנזכר מדרגות הנפרדים הטבעיים אשר הראשון מהם ימשך לג' והוא ה'
Then, each rank is compared with the one that above it.	עוד נקיש בין כל מדרגה ואשר למעלה ממנו
Thus, all successive species of the superpartient ratio are revealed, according to the rule of their succession in nature.	ויראו לנו כל מיני המוסיף חלקים נמשכים כפי משפט המשכם בטבע
If one wishes to see the production of each species of this ratio:	ואמנם כאשר תרצה שתראה איך צמיחת כל מין ממיני זה היחס
Placing the two first productive numbers of that species in one rank, the smaller above the greater.	הנה עתה תעמיד שני המספרים הראשונים הפועלים למין ההוא במדרגה אחת ותניח הקטן למעלה מהגדול
Multiplying each by 2, then placing the two products in the successive rank after the two first numbers, each follows its corresponding, the greater follows the greater and the smaller follows the smaller.	עוד תכה כל אחד מהם בב' ותעמיד שני המספרים המגיעים אחר ההכאה במדרגה תמשך לשני המספרים הראשונים כל אחת מהן תמשך לדומה לה הגדול ימשך לגדול והקטן ימשך לקטן
Multiplying again each of the first two numbers by 3, then placing the [products] in the third successive rank, as the two numbers were placed in the second rank.	עוד תשוב אל שני המספרים הראשונים ותכה אותה גם כן בג' ותעמידם במדרגה שלישית על הצד אשר העמדת בו שני המספרים במדרגה השנית
Multiplying each of the first two numbers also by 4, then placing the [products] according the above concept, in the successive rank, denominated by the number by which the two first numbers were multiplied.	וכן גם כן תכה שני המספרים הראשונים בד' ותעמידם כפי הגדר הנזכר במדרגה הנגזרת השם מהמספר אשר הכית שני המספרים הראשונים בו
The same is done always when wishing to produce any species of the superpartient ratio.	וכן תעשה תמיד כאשר תרצה להצמיח מין ממיני המוסיף חלקים
	ואמנם איך תניח המספרים הראשונים הפועלים למיני המוסיף חלקים על סדר אותם המינים הטבעיים עד שלא יפול מהם מין בפנוי מה שיונח מהמספרים הנה הוא כמו שנזכר בפתיחת זה הפרק וכמו שכבר המשלנו תחת זה המספרים הראשונים הפועלים למיני יחס המוסיף חלקים
	וזאת הצורה וע"כ דברי מחבר הספר

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

לז

לה

לג

לא

כט

כז

כה

כג

כא

יט

יז

טו

יג

יא

ט

ז

ה

	אמנם איך יוצאו שאר המינים הדומים באי זה מין שנרצה מאלו המינים הראשונים
	כמו הדומה דרך משל במוסיף שני שלישים תחת המוסיף שני חלקים שני חומשים ושני שביעים ושאר מה שיפל תחת המוסיף שני חלקים
	או במתדמים לנפלם תחת המוסיפים שלשה חלקים
	או בלתי שני אלו מאי זה ממיני המוסיף חלקים
	הנה הדרך הגלוי אל מציאות זה הוא בסדור המספרים הטבעיים בטור יהיה ראש מדרגותיו המספר אשר הוא מספר החלקים הנוספים במין המכוון להוצאת הדומים לו
	ותנשא המדרגה הראשונה על השנית ויונח מה שיתקבץ תחת השנית
	עוד נניח המדרגה הראשונה גם כן עם השלישית תחת השלישית
	וכן תונח הראשונה עם הרביעית תחת הרביעית
	ונעשה זה תמיד עד תכלית המונח מן המספרים הטבעיים
	עוד תקיש בין כל מדרגה ממנה והדומה לה
	וכבר הנחתי לזה משל מהמוסיף ארבעה כדי שיבחנהו החושב ויתישר בו בזולתו
There are species of superpartient ratio that are included in other species of superpartient ratio:	ודע שמהמוסיף חלקים מה שיכנס במין אחר מהמוסיף חלקים
6 and 10 are in the superquadrisextan ratio [$\scriptstyle{\color{blue}{10:6=1+\frac{4}{6}}}$]	כמו ו' וי' כי הם בהצטרף המוסיף הארבעה שתויות
they are also in superbitertian ratio [$\scriptstyle{\color{blue}{10:6=1+\frac{2}{3}}}$]	והם גם כן בהצטרף המוסיף שני שלישים
There are species that are included in a ratio of another type i.e. the superparticular ratio:	וממנו גם כן מה שיכנס בזולת סוגו ר"ל במוסיף חלק
8 and 12 are in the superquadrioctan ratio [$\scriptstyle{\color{blue}{12:8=1+\frac{4}{8}}}$]	כמו ח' וי"ב שהם בהצטרף המוסיף הארבעה שמיניות
they are also in a superparticular ratio, i.e. sesquialter ratio [$\scriptstyle{\color{blue}{12:8=1+\frac{1}{2}}}$]	והם גם כן בצרוף המוסיף חלק ר"ל חצי
	ואם תרצה במין מה להכיר הצרופים הגמורים אשר לא יכנסו בזולת מינם לא יספיק בזה מה שטרח בו אלכנדי מהניח מלאכה מיוחדת לכל מין לפי שהוא השתדל במה שלא נוכל עד תכליתו
	אבל המלאכה הכוללת לכל מה שהובא מזה היא שנדלג ממדרגות המספרים הטבעיים כל מדרגה שיהיה מספרה משותף למנין החלקים הנוספים
	ור"ל בהשתתפות שיהיה אחד משני המספרים חלק לאחר ולא יהיה זה אלא אם להם חלק משותף בלתי האחד ימנם יחד וזה כבר עבר ביאורו בזכירת המספר הזוג וזכירת המספר הנפרד המורכב
	ומכאן תבוקש התחבולה בהכרת המדרגות אשר נצטרך הנה לדלגם
	והיה כמו שאמרנו המדרגות אשר הם שיהיה מנין החלקים המוסיפים מכל אחד ממספריהם ולמנין החלקים חלק משותף להם בלתי האחד ימנה אותם יחד כי צירופי אלו ואם לא יכנסו בבלתי סוגם ר"ל במוסיף חלק הנה יכנסו במין בלתי מינם מהמוסיף חלקים
	הנה כאשר תדלג אלו המדרגות המשותפות למנין החלקים הנה כבר השארת המדרגות אשר לא יכנסו צרופיהם בבלתי מינם
	והם הגמורים ממדרגות המוסיף חלקים
	וכבר תארנו משל זה שאמרנו בזאת הצורה עם רושם השותפים הנזכרים בה

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

שתוף

כח

כז

כו

כה

כד

כג

כב

כא

כ

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

לב

לא

ל

כט

כח

כז

כו

כה

כד

כג

כב

כא

כ

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

Compounded Ratios
The Discussion on the Fourth Ratio which is the Multiple Superparticular Ratio	הדבור ביחס הרביעי והוא יחס הכפל המוסיף חלק
	אמר מניח הספר אמנם המינים הפשוטים ממיני הכמה המצטרף הנה הם מיני שלשת היחסים אשר קדם המאמר עליהם
	כי הם כהתחלות וכפנות לשני המינים הראשונים ר"ל מין הכפל המוסיף חלק מן הכפלים המוסיף חלקים
	אחר ששני אלו המינים כבר יתילדו מהמינים הראשונים ויותכו אליהם
	ולפשוט גם כן צד אחר ייוחד בו מין הכפל ומין המוסיף חלק בלתי מין המוסיף חלקים והוא בשיאמר שהוא יתדמה הראשון ממנו לשני
	ויאמר לו פשוט לפי שעניינו אמנם הוא של שני המספרים המצטרפים בכל אחד מאותם שני המינים התדמות בעצמם
	אם התדמות שני המספרים במין הכפל באשר הגדול מחובר מהקטן
	ואם התדמות שני המספרים במין המוסיף חלק כאשר הם יחד מחוברים מפנה אחת והוא המותר אשר ביניהם
	ולזה הקישו הראשונים הדברים הטבעיי החבור בשני אלו המינים לבד ולא יקישו אותם במין השלישי אשר יאמר לו שהוא פשוט גם כן ר"ל במין המוסיף חלקים
	ואמנם שני המינים המורכבים
	הנה אחד מהם מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלק
	ואמנם האחר מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלקים
	ולפי שהחלק קודם בטבע על החלקים היה הכפל המוסיף חלק קודם על הכפל המוסיף חלקים
	ולזה יחוייב להקדים המאמר על הכפל המוסיף חלק
	ונאמ' שזה היחס יראה משני מספרים אחד מהם יותר לאחד מדמיון אחד או דמיונים הרבה וכמו חלק ממנו
	כמו החמשה כאשר יוקשו אל שנים כי החמשה שני דמיוני שנים וכמו חציים
	וכבר יקח זה המין הדמוי משני המינים אשר הוא מורכב מהם
	אמנם מה שיקח מיחס הכפל הנה ברבות כפלו והחלק אחד בלתי מומר
	כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישיי המוסיף חצי והכפל הרביעיי המוסיף חצי וכן תמיד ברבות הכפלים והחלק אחד לא יומר
	ואמנם מה שנקחהו מדמיון המוסיף חלק יומרו חלקיו ולא יתרבו כפליו
	כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השניי המוסיף שליש והכפל השניי המוסיף רביע והכפל השניי המוסיף חומש עוד כן יומרו חלקיו ולא יתרבו כפליו
	וכבר יתחדש לו והתרכבו מהם קבוץ שני סגולותיו כאשר יתרבו כפליו ויומרו חלקיו
	כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישי המוסיף שליש והכפל הרביעיי המוסיף רביע וכן תמיד יתרבו כפליו ויומרו חלקיו
	ואמנם יתחדש המין האחד לדמוי מהמוסיף חלק לבד
Arranging the natural numbers, beginning from 2, in a line.	באשר תסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם ב' בטור
Arranging the natural odd numbers, beginning from 5, in a line.	עוד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ה' בטור
	ונקיש כל מדרגה אל הדומה לה כמו שתראה בזה הדמיון בזאת הצורה צורת הדמיון שנזכרנו

כז

כו

כה

כד

כג

כב

כא

כ

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

נה

נג

נא

מט

מז

מה

מג

מא

לט

לז

לה

לג

לא

כט

כז

כה

כג

כא

יט

יז

טו

יג

יא

ט

ז

ה

	ותמצא המין האחר לדמוי מהכפל לבד
	כשתסדר טור באורך יהיה ראשיתו שני המספרים הפועלים ביחס הכפל המוסיף חלק והם ב' ותחתיו ה'
	עוד תסדר תחת הה' מה שימשך לו ממדרגות הנפרד הטבעי ימשכו קצתם לקצת יורדים
	ותשים אלו המדרגות יתחילו בטורים לוקחים ברחב
	יתוספו מדרגות כל טור מהם כמנין המדרגה הראשונה ממנו
	עוד תקיש כל אחת ממדרגות זה המרובע באשר נכח לו והוא מקבילו מהטור הראשון
	שאתה תמצא בזה כבר העמדת בו יחס הכפל מבלתי שיצמח החלק וזה כמו שתראה בכאן
	כ יח יו יד יב י ח ו ד ב נ מה מ לה ל כה כ טו י ה ע סג נו מט מב לה כח כא יד ז צ פא עב סג נד מה לו כז יח ט קי צט פח עז סו נה מד לג כב יא קל קיז קד צא עח סה נב לט כו יג קנ קלה קכ קה צ עה ס מה ל טו קע קנג קלו קיט קב פה סח נא לד יז קצ קעא קנב קלג קיד צה עו נז לח יט רי קפט קסח קמז קכו קה פד סג מב כא
	ויתחדש זה המין האחד ליחס משני פנותיו אשר הוא מורכב מהם
	והוא אשר יתרבו כפליו ויומרו חלקיו באשר תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם מה' בטור הנרשם באודם
	ולא נרצה להקיש בו אבל לשומו רושם לקחת דמיון ממנו
	וזה שאנו נסדר טור אחד יהיה ראש מדרגותיו גם כן ה'
	והמדרגה השנית כמו אשר לפניה ר"ל כמו ה' מוסף עליו מה שלמעלה ממנו ר"ל מהטור הראשון האדום אשר לפניה
	והמדרגה השלישית כמו אשר לפניה ר"ל כמו י' מוסף עליו מה שהוא למעלה ממנו ר"ל המדרגה השנית מהטור האדום
	וכן תעשה עד שיכלה אל סוף מה שהנחת מהמספרים בטור האדום

נט

נז

נה

נג

נא

מט

מז

מה

מג

מא

לט

לז

לה

לג

לא

כט

כז

כה

כג

כא

יט

יז

טו

יג

יא

ט

ז

ה

תתקא

תתמב

תשפה

תשל

תרעז

תרכו

תקעז

תקל

תפה

תמב

תא

שסב

שכה

רצ

רנז

רכו

קצז

קע

קמה

קכב

קא

פב

סה

נ

לז

כו

יז

י

ה

ל

כט

כח

כז

כו

כה

כד

כג

כב

כא

כ

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

	וכאשר הולדנו זה הטור השני כן סדרנו נכחו טור המספרים הטבעיים והתחלתו מב'
	עוד נקיש בין מדרגותיו ובין מדרגות הטור אשר הולדנו ונעזוב הטור האדום
	ויראה בהקשתם איך יתילד המין הלוקח הדמוי משני פאותיו וזה המין השלישי ממיני הכפל המוסיף חלק ותבחנהו בצורה שעשינו והתישר בו

The Discussion on the Fifth Ratio which is the Multiple Superpartient Ratio	הדבור ביחס החמישי והוא יחס הכפלים המוסיף חלקים
As been said, it is composed from the multiple ratio and the superpartient ratio.	הוא כמו שאמרנו מורכב מיחס הכפל ומיחס המוסיף חלקים
Therefore, the technique of the production of this ratio is divided into three parts:	ולזה גם כן כבר תחלק המלאכה בהולדת זה היחס לשלשה חלקים
Striving to reveal the quality of the multiple ratio by augmenting its multiples, without changing the added parts.	אם שתשתדל בם להראות סגולת הכפל ברבות כפליו מבלתי השתנות החלקים הנוספים או תמורתם
Teaching to reveal the quality of the superpartient ratio by converting the parts, without augmenting the multiples.	ואם שתתחכם בם להראות סגולת המוסיף חלקים בהמרת החלקים בלתי רבות הכפלים
Revealing both qualities in a continuous evident ratio as it is by nature.	ואם שיראו בם שתי הסגולות יחס הראות נמשך כמו שהוא בטבע
The species whose multiples are augmented, while its parts do not change, is created when placing the two first productive numbers of whichever multiple superpartient ratio one wishes:	הנה המין אשר יצמחו כפליו ולא ישתנו חלקיו יתחדש כשנניח שני המספרים הראשונים הפועלים ליחס אי זה הכפל המוסיף חלקים שנרצה

לז

לה

לג

לא

כט

כז

כה

כג

כא

יט

יז

טו

יג

יא

ט

ז

ה

שסב

שכה

רצ

רנז

רכו

קצז

קע

קמה

קכב

קא

פב

סה

נ

לז

כו

יז

י

ה

יט

יח

יז

יו

טו

יד

יג

יב

יא

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

For example: the multiple superbitertian ratio	וכאלו נרצה יחס הכפל המוסיף שני שלישים
Placing their two first productive numbers, which are 3 and 8.	הנה נניח שני המספרים הראשונים הפועלים להם והם ג' וח'
For the rest of the multiple superbitertian ratios: leaving the smaller, and arranging a line beneath the 8 lengthwise, whose ranks begin from 8 and are added by the smaller number, i.e. added by threes.	וכאשר נרצה שאר הכפלים המוסיפים שני שלישים נעזוב הקטן על ענינו ונסדר תחתיו טור באורך לוקח תחת ח' יתחילו מדרגותיו מח' יתוספו במניין אחרי המספר הקטן ר"ל שיתוספו ג' ג'
Relating each of them to the first rank, i.e. to the first number, which is 3, because they are related to it by the multiple superbitertian ratio.	עוד נקיש כלם במדרגה הראשונה ר"ל במספר הקטן אשר הוא ג' כי הם יהיו אליו ביחס הכפל המוסיף אותם החלקים הראשונים
Thus the multiples are produced according to their natural succession, without the parts being added or converted.	וכבר התילדו הכפלים כפי המשכם בטבע מבלתי שיתוספו החלקים או יומרו
By this technique whichever multiple superpartient ratio one wishes is produced.	ובזאת המלאכה יתילדו איזה מן הכפלים המוסיף חלקים שתרצה
Such as: the multiple supertriquartan ratio, or the multiple supertriquintan ratio, or whichever one wishes of this.	כמו הכפל המוסיף שלשה רביעיות או שלשה חמשיות או מה שתרצה מזה
You will be well guided in it in the example given here.	ותתישר בו במשל אשר המשלתיו לך הנה
The production of the species whose parts are converted and reproduced by a natural successive reproduction, as the number, from which their names are derived [= the denominator], is augmented, while the number of its multiples does not change:	ואמנם איך יתילד המין אשר יומרו חלקיו ויעתקו ברבות המספר אשר ממנו יגזרו שמותיהם העתק נמשך בטבע מבלתי שיומר מנין כפליו
Its technique is divided also into two parts	זה גם כן תחלק מלאכתו לשני חלקים
Following the production of the first species of the superpartient ratio, as their natural succession.	לפי שאנו אם שנלך בזה אל תולדת המינים הראשונים מהמוסיף חלקים כפי המשכם בטבע
Such as: the superbipartient ratio, the supertripartient ratio, the superquadripartient ratio, and what follows.	כמו המוסיף שני חלקים עוד המוסיף שלשה חלקים עוד המוסיף ארבעה חלקים עוד מה שילווה לזה
Following the production of one species of them, by extracting each ratio that is denoted by the name of that same ratio.	ואם שנלך אל הולדת מין אחת מהם בהוצאת כל יחס יפל תחת שם אותו המין
Such as: the superbipartient ratio alone, or the supertripartient ratio alone.	כמו המוסיף שני חלקים לבד והמוסיף שלשה חלקים לבד
The technique that leads to the first species of the superpartient ratio, as their natural succession, without augmenting the multiples:	אבל המלאכה אשר תביא אל המינים הראשונים מהמוסיף חלקים כפי המשכם בטבע מבלתי שירבו הכפלים
Arranging the natural numbers in a line, beginning from 3.	אמנם היא כשנסדר המספרים הטבעיים שהתחלתם ג' בטור
Placing beneath 3 the number that produces with it the beginning of the superpartient ratio.	ותניח תחת ג' המספר אשר יפעל עמם תחלת יחס המוסיף חלקים
Completing the greater line with ranks added by threes.	עוד נשלים הטור הגדול במדרגות יתוספו ג' ג'
Once - if wishing for the double ratio.	פעם א' אם רצינו שיהיה הכפל שניי
twice - if wishing for the triple ratio.	ואם רצינו אותו שלישיי כזה שני פעמים
thrice - if wishing for the quadruple ratio	ואם רצינו אותו רביעיי שלשה פעמים
So on for what follows.	וכן מה שאחר זה
Relating each rank to what is above it, i.e. its corresponding in the first line	עוד נקיש כל מדרגה באשר למעלה ממנה ר"ל הדומה לה מהטור הראשון
Thus, the multiple superpartient ratio is revealed according to the natural production of the first species of the superpartient ratio, without augmenting the multiples.	הנה יראה לנו יחס הכפל המוסיף חלקים כפי התילד המינים הראשונים מהמוסיף חלק בטבע בלתי שיתרבו הכפלים
As seen in this example - examine it and you will find it with God's help.	וזה כפי מה שתראה בזה המשל ותבחנהו ותמצאהו בע"ה
	יח יז יו טו יד יג יב יא י ט ח ז ו ה ד   נג נ מז מד מא לח לה לב כט כו כג כ יז יד יא ח ג
The production of the species of the multiple superbipartient for example, or the species of the multiple supertripartient, or the species of the multiple superquadripartient, or others, without augmenting the multiples and without changing the number of the parts, yet the number, from which they are derived, is changing by a natural production:	ואמנם איך יתילדו מיני הכפלים המוסיפים שני חלקים דרך משל או מיני הכפל המוסיף שלשה חלקים או מיני המוסיף ארבעת חלקים או זולת אלו מבלתי שיתרבו הכפלים ולא ישתנה מנין החלקים אבל ישתנה בצמיחה הטבעית המנין אשר הם נגזרים ממנו
Extracting the similar by their multiples beneath the superpartient ratio of these parts, as discovered in the chapter of the superpartient ratio.	וזה כשנוציא המתדמים בכפלם תחת המוסיף אותם החלקים כמו שכבר גלינו בשער המוסיף חלקים
the smaller number in each rank is raised above the greater corresponding to it - if wishing for the double ratio.	עוד ינשא המספר הקטן מכל מדרגה על הגדול אשר נכחו אם תרצה שיהיה הכפל השניי
double the smaller - if wishing for the triple ratio.	ואם תרצה שיהיה שלישיי תשא כפל הקטן
thrice the smaller number is raised above - if wishing for the quadruple ratio.	ואם תרצה אותו רבעיי תשא שלשה כפלי הקטן
And so for all that follows. in all the ranks of the greater line.	וכן מה שאחר זה בכל מדרגות הטור הגדול
Relating each rank to its corresponding.	עוד נקיש כל מדרגה בנכחית לה
The superpartient ratio of these parts is found without augmenting the multiples or reproducing the number that one wishes.	שאתה תמצא המוסיף אותם החלקים בלתי שיוסיפו הכפלים או יעתקו מהמנין אשר תרצה
Examine what was mentioned in both descriptions in the chaper of the superpartient ratio, which are the species of the superpartient ratio, whose number does not change, and you will be well guided in them for the production of this species of the multiple superpartient ratio, by observing carefully what was noted.	ובחן מה שזכרתיו לך בשני הרשמים לפניך בשער המוסיף חלקים והם טור מיני המוסיף חלקים לא יומר מנינם ותתישר מהם להולדת זה המין מהכפל המוסיף חלקים כאשר תטיב להתבונן במה שזכרנוהו
The third type of the first division mentioned in the beginning of this chapter - the production of the species whose multiples are augmented and whose parts are changed:	ואמנם המין השלישי מהחלוקה הראשונה הנזכרת בפתיחת זה הספר והוא איך יתילדו המינים אשר יצמחו כפליהם וישתנו חלקיהם
Since the change of the parts is either by the constancy of their number and the increasing of their values in a natural growth, or by the increasing of their number as well as the increasing of their values together, the technique of extracting them is necessary divided into two parts:	הנה לפי שהשתנות החלקים אם שיהיה בקיום מנינם והתרבות הגעותיהם התרבות טבעי ואם שיהיה בהתרבות מנינם והתרבות הגעותיהם יחד יחוייב שתחלק המלאכה בהוצאת זה לשני חלקים
The production of the type in which the number of the parts is constant while their values change in the natural growth:	אבל יתילד המין אשר יתקיים בו מניין החלקים וישתנו הגעותיהם בהתרבות הטבעיי
Its technique is by extracting two lines of the superpartient ratio whose number, i.e. the number of the added parts, is as the number you wish to ascribe.	תהיה מלאכתו כאשר נוציא שני טורים מיחס המוסיף חלקים מנינם ר"ל מנין החלקים הנוספים כמניין אשר תרצה לחייבו
You will be well guided by it in the two written lines, similarly in the chapter of the superpartient ratio, which are the two lines in which the commensurability and incommensurability are recognized.	ותתישר בזה בשני הטורים הנרשמים בדומה זה בשער המוסיף חלקים והם שני הטורים אשר הוכר בם השתוף מהבלתי שתוף
Then, above each of the ranks of the greater numbers, raised the product of its corresponding in the ranks of the smaller numbers by the number of the values of the parts minus one.	עוד ינשא על כל מדרגה מן המספרים הגדולים מה שבדומה לה מן המדרגות המספרים הקטנים מוכה במנין הגעות החלקים אלא אחד
When this is done for all the ranks of the greater line - each rank of which is related to its corresponding in the ranks of the smaller line, i.e. whose numbers are the smaller - one finds all this in the multiple superpartient ratio, while the values of their parts are the numbers of the multiples, i.e. the number of the parts does not change.	וכאשר עשית זה בכל מדרגות הטור הגדול הקשת בין כל מדרגה ממנו ודומה לה ממדרגות הטור הקטן ר"ל בעל המספרים הקטנים שאתה תמצא כל זה ביחס הכפל המוסיף חלקים הגעתם הוא מנין הכפלים ר"ל שמנין החלקים לא יומרו
The second part of this type - in which the multiples, the number of the parts and their values increase together.	ואמנם החלק השני מזה המין והוא אשר יתרבו בו הכפלים ומנין החלקים והגעתם יחד
Their production technique: Placing the natural numbers, beginning from three, in a line.	הנה מלאכת הולדתם בהנחת המספרים הטבעיים אשר התחלתם ג' בטור
Placing 8 beneath the 3 and completing the second line, whose beginning is 8, by adding the natural odd numbers, beginning from 7:	עוד תניח תחת ג' ח' ותשלים הטור השני אשר התחלתו ח' בתוספת הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ז'
secone rank: $\scriptstyle{\color{blue}{7+8=15}}$	ותוסיף ז' על ח' ותעמיד מה שהתקבץ במדרגה השנית וזה ט"ו
[third] rank: $\scriptstyle{\color{blue}{7+8=15}}$	עוד תוסיף על ט"ו ט' ותעמיד מה שהתקבץ במדרגה
fourth rank: third rank + 11	וכן תוסיף על השלישית י"א ותעמיד מה שהתקבץ ברביעית
Proceeding like this in the rest of the ranks of the second line, until reaching the corresponding to the end of the natural numbers placed in the first line.	ותעשה כמו זה בשאר מדרגות הטור השני עד שתגיע לנכח סוף מה שהנחת מן המספרים הטבעיים בטור הראשון
Relating each rank to its similar, as seen in these two lines:	עוד נקיש כל מדרגה בדומה לה כמו שתראה בשני אלו הטורים
	טו יד יג יב יא י ט ח ז ו ה ד ג רכד קצה קסח קמג קכ צט פ סג מח לה כד טו ח
The species of the multiple superpartient ratio, of which the multiples, the number of the parts and their values as well, increase by a natural successive growth, are revealed with God's help.	ויראו לך בע"ה מיני הכפל המוסיף חלקים אשר התרבו כפליהם ומנין חלקיהם והגעות חלקיהם כמו כן התרבות טבעי נמשך
Thus, the five ratios and the ten numeral relations were already discussed and stated in a remarkable discussion, as needed, without multiplicity and lengthiness.	הנה כבר דברנו על היחסים החמש וההקשות המספריות העשרה ואמרנו בם מאמר מופלג כפי הצורך מבלתי רבוי ואריכות

The Discussion on the Technique of Producing the Ratios from Equality	המאמר על התחבולה בהולדת היחסים מן השווי
What follows from the aforesaid is that the way to produce these five ratios from equality will be brought with a basic valid coherent technique that imagines the natural matters in its wider sense and the true meaning of its interpretation.	וכבר ימשך למה שקדם מדברינו שנביא הצד בהולדת אלו היחסים החמש מן השווי בתחבולה שרשית קיימת בלתי מבולבלת תדמה הענינים הטבעיים בכללותה ואמתת פירושה
The fruit of what will be noted of this is very precious and honorable.	והפרי במה שנזכור מזה יקר ונכבד מאד
All the more so by the one who examines the metaphor of the knowledge of good, which is investigated.	וכל שכן אצל מי שבחן מה שאעיין בו מדמיון הידיעה לטוב
For the good is defined by the soul, its allegory and relation are known, and the souls are drawn to it.	כי הטוב אצל הנפש מוגבל וידוע המשלו וחברו ונמשכו לו הנפשות
Know, that it is first for all that is uncompounded by itself, preserving the perception, among all that is generated by its nature, and that the evil, in its disgrace, is infinite, does not reach a limit, does not branch out from a root, and is not subsequent of interpretation, indeed it is a change of the nature that is good.	ותדע שהוא ראשון לכל מה שיתפרד מעצמו מתמיד ההרגש בכל מה שיתילד מטבעו ושהרע בגנותו בלתי בעל תכלית ולא מגיע אל גבול ולא יסתעף משרש ולא נמשך על פירוש אמנם הוא שנוי הטבע אשר הוא טוב
Their deviation from their primary nature is a different deviation, not included in a limit, and not existing in order.	הנה היציאה מטבעם הראשון להם יציאה מתחלפת לא תכלל בגבול ולא תתקיים בסדר
Therefore, a rational capacity does not hold them by a rational hold, but recognizes them when they deviate from their nature.	ולזה לא יאחזהו כח מדבר אחיזה מושכלת אבל יכירהו בהתחלפו לטבע
For example: the rust in the transparent mirror and the injustice of the straight soul that are incomprehensible by way of definition and limitation, since they have no essence, but they are known by the change of the substance in which they were set and embedded.	דרך משל אומר כחלודה במראה הספירית והעול בנפש הישרה שהם בלתי מושגים בדרך הגדר וההגבלה אחר שאין עצמיות להם ואמנם יודעו בהשתנות העצם אשר נקבעו ונטבעו בו
Yet, if limited ways were found for these five ratios, by which they are produced from equality and reduced to equality by their reverse, and equality is undoubtedly good and virtue, the ratios also share the same virtue and joined together by the same good.	אבל אם אנחנו מצאנו לאלו היחסים החמש דרכים מוגבלים בהם יתילדו מהשווי ויותכו בהפוכם אל השווי והיה השווי בלי ספק טוב וחשיבות היו היחסים גם כן משותפים לאותו החשיבות ונקשרים באותו הטוב
Since their production from it is arranged, subsequent of a limit, preserving the capacity of their root, from which they are produced, as the seed preserves the capacity of the tree, since the seed becomes a tree also.	אחר שהיה התילדם ממנו מסודר נמשך על גבול שומר לכח שרשם אשר ממנו יתילדו כמו שישמור הגרגיר כח האילן אחר שכבר ישוב גם כן הגרגיר אילן
So these ratios are produced from equality and return to equality, however this is not by accident, but a technique and a correlation are needed, as the cultivation of land is needed in the matter of the seed and the tree before it sprouts.	וכן אלו היחסים יתילדו מן השווי וישובו כמו כן אל השווי אבל לא יהיה זה בהזדמן אבל כבר נצטרך בו אל מלאכה וחבור כמו שנצטרך בענין הזרע והאילן על עבודת הקרקע קודם שיצא
For it is impossible to reach the end of an assumption, be it a theoretical assumption or a practical assumption, unless using the assistance of things from the outside, which have some similarity to that assumption, that are related in some limited order, through which by guidance the assumption is reached.	כי אי אפשר להגיע אל תכלית דרוש מן הדרושים דרוש מדעי היה או דרוש מעשי אם לא בהעזר מדברים מחוץ יהיה להם קצת התדמות לאותו הדרוש ויחוברו על סדר מה מוגבל נגיע עם ההדרכה עליהם אל הדרוש
Because of this, Euclid stated the relation as one of the things from which knowledge exists and by which the practice is reached.	ולזה שם אקלידס החבור אחד מהדברים אשר מהם תהיה הידיעה ובהם נגיע אל המעשה
Therefore, in the production of each of these ratios also, three numbers are placed in three ranks, in order to reach the relation through them.	ולזה גם כן נניח אנחנו בהולדת כל אחד מאלו היחסים שלשה מספרים בשלשה מדרגות להגיע בם אל ההתיחסות
For the least relation possible is in three terms.	כי ההתיחס בפחות מה שיהיה הוא בשלשה גבולים
In relation, one is assisted by things that are apart from that by which the similarity of the ratio is.	ואמנם יעזרו בהתיחסות מהדברים אשר מחוץ למה שבו מהתדמות היחס
Since it was already said that the things, by which one is assisted, are apart from the investigation of the assumption, they should be homogeneous with the assumption.	ולפי שאנו כבר אמרנו שהדברים אשר נעזר בם מחוץ אל החקירה מהדרוש ראוי שיהיו מתדמים לדרוש
These three ranks are called first, second and third.	ויקראו אלו שלשת המדרגות ראשונה ושניה ושלישית
Each rank of them is based on a limit, beyond which it does not pass:	ותדבק כל מדרגה מהן בגבול לא תעברהו
The limit of the first rank is that one should always place beneath it the same as the number in it. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_1}}$]	אם הגבול במדרגה הראשונה הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה
The limit of the second rank is that one should always place beneath it the same as the number in it plus the same as the number in the first rank. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_1}}$]	ואמנם הגבול במדרגה השנית הוא שנניח תחתיה לעולם כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה
The limit of the third rank is that one should always place beneath it the same as the number in it plus the same as the number in the first rank and double of what in the second rank. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_3+a_1+2\left(a_2+a_1\right)}}$]	ואמנם הגבול אשר במדרגה השלישית הוא שנניח תחתיה כמו המספר אשר בה וכמו המספר אשר במדרגה הראשונה וכפל אשר במדרגה השנית
This is the general in the technique by which each of these ratios is produced.	זה הוא מה שהוא כולל במלאכה אשר בה יתילד כל אחד מאלו היחסים
Yet, what is particular in it for each of these ratios is:	ואמנם מה שהוא מיוחד בה לכל אחד מאלו היחסים
The particular in this technique for the production of the multiple ratio is that the first given numbers in the three ranks, from which this ratio is produced, are equal numbers, preserving equality in their relation.	כי אשר תיחד המלאכה בהולדת יחס הכפל השווי שיהיו המספרים הראשונים המונחים במדרגות הג' אשר מהם יתילד זה היחס מספרים שוים שומרים השווי בהצטרפם
When the aforementioned general condition is kept, the numbers in the double ratio are revealed, and this is the first of the species of this ratio.	וכשנשמור בם התנאי הכולל הנזכר יראו אלינו מספרים ביחס הכפל השניי והיה המין הראשון ממיני זה זה היחס
If the visible species is stated as given, and the aforementioned general condition is added, i.e. the formation of the three terms in the three ranks, the second species of the multiple species, which is the triple ratio, is revealed.	ואם שמנו זה המין הנראה מונח והוספנו בו התנאי הכולל הנזכר ר"ל העשות הגבולים השלשה במדרגות השלשה יראה לנו המין השני ממיני הכפל והוא הכפל השלישיי
If it was stated as given, and the first procedure was repeated on it, the third species, which is the quadruple ratio, is revealed.	ואם שמנוהו גם כן מונח והשבנו בו במעשה הראשון יראה לנו המין השלישי והוא הכפל הרביעיי
According to this way, the procedure does not cease, so the species of the multiple ratio are revealed in their natural succession.	וכפי זה הדרך לא נסור מזה המעשה יראו לנו מיני הכפל ראשון ראשון כפי המשכם בטבע
Examine this in these two lines:	ובחן זה בשני טורים אלו
	א א א   ד ב א ראשון ט ג א שני יו ד א ג
Take them as a basis for what follows them.	וקחם לשרש למה שימשך להם
The particular in this technique for the production of the superparticular ratio is that the given numbers, from which one wishes to produce the superparticular ratio, are related in the multiple ratio, the greater is in the first place, and the smaller is in the third place, then one employs the aforementioned general repetition.	ואמנם אשר הוא מיוחד בזאת המלאכה להוליד יחס המוסיף חלק הנה הוא שיהיו המספרים המונחים אשר מהם תרצה להוליד המוסיף חלק מתיחסים ביחס הכפל ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד תעשה בם הסבוב הכולל אשר זכרנו
For, what follows from this is that the species of the superparticular ratio are seen according to their natural succession.	כי ימשך לזה שיראו אלינו מיני המוסיף חלק כפי המשכם בטבע
If the given numbers were of the first species of the multiple ratio, i.e. the double ratio, the [first] species of the superparticular ratio will be seen from them, i.e., the sesquialter ratio.	ר"ל שהמספרים המונחים אם היו עליהם תחלת מיני הכפל ר"ל השניי יראו מהם מיני המוסיף חלק ר"ל המוסיף חצי
If they were of the second species of the multiple ratio, i.e. the triple ratio, the second species of the superparticular ratio will be seen from them, i.e., the sesquitertian ratio.	ואם היו על היחס השני ממיני הכפל ר"ל השלישיי יראה לנו גם כן השני מהמוסיפי חלק ר"ל המוסיף שליש
The same for what follows.	וכמו כן מה שאחר זה
Examine it from this diagram:	ותבחנהו מזאת הצורה
The particular for the production of the superpartient ratio is that the given numbers are related in the superparticular ratio, the greater is in the first place, and the smaller is in the third place, then one employs the aforementioned general repetition.	ואשר ייחד תולדת המוסיף חלקים הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסי' ביחס המוסיף חלק ויהיה הגדול מהם במקום הראשון והקטן מהם במקום השלישי עוד נעשה בם הסבוב הכולל הנזכר
For, it reveals the numbers in a species of the superpartient ratio, arranged naturally approximated according to the arrangement of the given superparticular ratio, as this:	כי הוא יראה לנו המספרים על יחס מין מהמוסיף חלקים מסודרים בקירוב מהטבע בסדור המוסיף חלק המונח וזה יהיה כן
The particular for the production of the multiple superparticular ratio is that the given numbers are related also in the superparticular ratio, only the greater is in the third place, and the smaller is in the first place, then one employs the aforementioned general repetition.	ואשר ייחד הולדת יחס הכפל המוסיף חלק הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסים ביחס המוסיף חלק גם כן אלא שהגדול מהם יהיה במקום השלישי והקטן מהם במקום הראשון
The general conditional repetition reveals a species of the multiple superparticular ratio naturally approximated, i.e. from the beginning of the species of the multiple superparticular ratio, according to the ranks of the given species of the superparticular ratio, and so it is:	ויראה לנו הסבוב הכולל המותנה מין מהכפל המוסיף חלק הוא בקרוב מהטבע ר"ל מהתחלת מיני הכפל המוסיף חלק בכמו מדרגת המין המוסיף חלק המונח ויהי כן
The particular for the production of the multiple superpartient ratio is that the given numbers are related in the superpartient ratio, the smaller is in the first place, and the greater is in the third place.	ואשר ייחד הולדת יחס הכפל המוסיף חלקים הוא שיהיו המספרים המונחים מתיחסים יחס המוסיף חלקים ויהיה הקטן מהם במקום הראשון והגדול מהם במקום השלישי
When the procedure that is general for all ratios is repeated on them, a species of the multiple superpartient ratio is revealed, arranged in its type, according to the arrangement of the given superpartient ratio in its type, as can be seen here:	וכאשר נסובב בהם המעשה אשר הוא כולל לכל היחסים יראה לנו מין מהכפלים המוסיף חלקים מסודרים בסוגו כסדר המוסיף חלקים המונח כסוגו וזה כמו שתראה הנה
It has already become clear that all these ratios that were brought here as an example, were produced from the line of the three equal ranks, which is the line of the units written in red.	הנה כבר התבאר שכל אלו היחסים שהמשלנו אותם בכאן אמנם יתילדו מהטור השוה המדרגות השלשה והוא טור האחדים הנכתבים באודם
If others than the units were placed in this line, provided that they were equal numbers, and they were employed in the described ways, all the matters necessitated in the production of these ratios that were seen, will necessary follow, except that what will be seen from this is not its cause, but its cause is the equality of the units.	ואלו הנחנו כמו כן באותו הטור בלתי האחדים רק שיהיו מספרים שוים ועשינו בם מה שעשינו אותו בדרכים אשר תארנו יחוייב שימשך לזה כל מה שנראה לנו מהענינים המתחייבים בהולדת אלו היחסים אלא שאשר נראה מזה אינו עלתו אבל עלתו שווי האחדים
It can be known that the species of the superpartient ratio produced by this technique are indeed the first of these ratios.	וכבר יתכן לנו שנדע כי מיני המוסיף חלקים אשר יתילדו בזאת המלאכה אמנם הם המינים הראשונים מאלו היחסים
The intention in the first species is to those whose values of their parts exceed their denominator by one, as the superbitertian ratio, the supertriquartan ratio, the superquadriquintan ratio, the superquintisextan ratio, and the similar that is possible.	ורצוני במינים הראשונים מאלו מהם אשר יהיו הגעות חלקיהם יותר מוסיפים ממנין חלקיהם באחד כמו המוסיף שני שלישים והמוסיף שלשה רביעיות והמוסיף ארבעה חומשים והמוסיף חמשה שתויות ומה שיעבור זה ממה שידמהו
The rest of the species of the superpartient ratio, such as the superbiquintan ratio, the supertriquintan ratio, or the supertriseptan ratio, or what is similar - the technique for their production is as is stated about it for the measure of the superpartient ratio.	ואמנם שאר מיני המוסיף חלקים כמו המוסיף שני חומשים והמוסיף שלשה חומשים או המוסיף שלשה שבעיות או מה שהוא דומה זה הנה המלאכה בהולדתם אמנם היא כמו מה שהגדנו עליה בשעור המוסיף חלקים
When the species of the multiple superpartient ratio are wished in this technique, it is necessary that the given species of the superpartient ratio to produce it will be the first species mentioned, whose value of their parts exceeds the number of their parts by one.	וכן גם כן ראוי לנו כשנרצה מיני הכפל המוסיף חלקים בזאת המלאכה שיהיו המינים המונחים מהמוסיף חלקים להוליד זה הם המינים הראשונים אשר זכרנו שהגעת חלקיהם תוסיף על מנין חלקיהם אחד
This alone is a sufficient discussion on the instruction of whichever species of the multiple superparticular ratio and whichever species of the multiple superpartient ratio are produced in the mentioned explanation, and which the rest of the types of these ratios are far from the way of their types, and because of this may be they are not visible except by a technique of much more complexity than the one whose mention is completed now.	וזה בלבד מאמר מספיק בהוראה על אי זה מיני הכפל המוסיף חלק ואי זה מיני הכפל המוסיף חלקים יתילדו בבאור הנזכר וששאר סוגי אלו היחסים יתרחקו מדרך סוגיהם ולזה אולי לא יראו אלא במלאכה היא יותר רבת ההרכבה מזאת אשר השלמנו לזכרה עתה
God is the Knower.	והאל היודע
This is for you the conception of the categorization of the relative quantity	וזה לך ציור חלוקת הכמה המצטרף
	הנה זה יישירך השם מספיק בסוף המאמר הראשון מספר הארתמאיטיקא כפי מה שתיארו ניקמאכוש אלגהר שיני הפתאגורי
Revised in al-Andalus by Abū Sulaymān Rabīʽ ben Yaḥyā usquf Elvira.	ותקנו באנדלס אבו סלימאן רביע בן יחיי אסקף אלבירה
	והעזר בעיון וההגיה בו והאל ברחמיו יישירך להבין ולמצוא חפציך בו המועילים לאחריתך אמן
	נשלם המאמר הראשון מספר הארתמאטיקא והתהלה לאל יבא אחריו המאמר השני בג"ה

Book Two	המאמר השני מספר הארתמאטיקא
The First Section: Reducing the Ratios to Equality	המאמר הראשון ממנו בהתכת היחסים אל השווי
It is said that the principle and the element is the thing from which another thing is composed and into which another thing is decomposed.	אמר שהפנה והיסוד הוא הדבר אשר הורכב ממנו דבר אחר ויותך אליו דבר אחר
For example: The Alpha Beta letters, as it is said about them that they are elements of the given writings that are composed from them and decomposed into them.	כמו אותיות האלפא ביתא כי יאמר בם שהן פנות לכתבים המונחים המחוברים מהם הנתכים אליהם
The sounds are elements of the melodies, for the melodies are composed from them and decomposed into them.	וכן הנעימות הן פנות לכל הלחנים אחר שהיו הלחנים מחוברים מהם נתכים אליהם
The four elements, i.e. the fire, air, water, and earth, are said to be principles and simple elements of for all that is subject to the generation and corruption, for they are composed from them and decomposed into them.	וכן גם כן אלו היסודות הארבעה ר"ל האש והאויר והמים והארץ יאמר שהם פנות ופשוטים לכל הנופלים תחת ההויה וההפסד אחר שחבורם מהם והתכתם אליהם
These propositions were brought forward to demonstrate that equality is a principle of the relative quantity, from which it increased and to which it is reduced.	ואמנם הקדמנו אלו ההקדמות להראות שהשווי פנה לכמות המצטרף ושהוא ממנו צמח ואליו יותך
As for the absolute quantity, its first principle, from which it is produced, and which can be added infinitely, is the one.	ואמנם הכמה הנפרד הנה פנתו הראשונה ובו התילד ואיפשר להוסיף בו אל מה שאין תכלית לו הוא אחד
What is produced from equality, and reduced to it, is common to all the relations.	ואמנם מה שיתילד מן השווי ויותך אליו הנה הוא כולל לכל הצרופים
A proof will be brought, by demonstration and true meaning, that equality is a cause of the relative quantity, from which its production is, by which it increases when added, and into which it is consumed and dissolved when subtracted.	ונביא ראיה במופת ואמתות שהשווי סבה לכמות המצטרף אשר ממנו היה הולדתו ובו צמח בהתוספו ואליו יכלה כאשר חוסר ונתך
From the general technique one knows that when setting three numbers, such that the ratio of the first of them to the second is as the ratio of the second to the third [$\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_2=a_2:a_3}}$], in any species of the five ratios mentioned in the first section, these three given numbers, the ratio of the third to the second is also as the ratio of the second to the first [$\scriptstyle{\color{blue}{a_3:a_2=a_2:a_1}}$], when the first is the smaller, the second is the mean, and the third is the greater.	ומהתחבולה הכוללת לזה הוא שתדע שכאשר תניח שלשה מספרים יחס הראשון מהם אל השני כיחס השני אל השלישי באי זה מהמינים היה מהיחסים החמש אשר זכרנום במאמר הראשון הנה אלו מספרים שלשה אם הונחו כן היה יחס גם כן השלישי אל השני כיחס השני אל הראשון והראשון הוא הקטן והשני הוא האמצעי והשלישי הוא הגדול
If one wishes to restore them to equality: subtract the smaller from the mean, then subtract from the greater the mean and what remained from the mean. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_3-\left(a_2-a_1\right)-a_2}}$] [$\scriptstyle{\color{red}{a_1;a_2-a_1;a_3-\left(a_2-a_1\right)-a_2}}$]	ואם רצה רוצה להשיבם אל השווי הנה ישליך מהאמצעי כמו הקטן עוד ישליך מהגדול כמו מה שישאר מהאמצעי וכמו מהאמצעי
If the three numbers are equalized, it is the required.	ואם השתוו המספרים השלשה הנה כבר היה מה שרצינו
If not, they departed from the species of their ratio, and restored to another species prior by nature to the ratio in which they were first.	ואם לא הנה כבר יצאו ממין צרופם ושבו אל מין אחר הוא יותר קודם בטבע ממין היחס אשר היו ממנו ראשונה
Proceed as the first procedure.	עוד תעשה בו כמו המעשה הראשון
If they are equalized, the required is found.	ואם השתוו הנה מצאנו מבוקשנו
If not, they departed from that species also and restored to a species even prior by nature to the first.	ואם לא הנה כבר יצאו מאותו המין גם כן אל מין יותר רחוק מן הראשון בטבע
One does not cease to do so, until they are equalized.	ולא תסור מעשות כן תמיד עד שישתוו
Example:	ומשל זה
Placing the equality in a line of three ranks.	נניח השווי בטור בעל שלשה מדרגות
Arranging a second line of multiple ratio	ונסדר אליו טור שני מתיחס ביחס הכפל
Arranging a third line of superparticular ratio	עוד נסדר בם טור שלישי על יחס המוסיף חלק
Continuing with a fourth line of superpartient ratio	ונמשיך בזה טור רביעי על יחס המוסיף חלקים
Placing in a fifth line numbers that relate in a multiple superparticular ratio	עוד נניח בטור החמשי מספרים מתיחסים ביחס הכפל המוסיף חלק
Completing the diagram with a sixth line relating the ranks in a multiple superpartient ratio.	ונחתום הצורה בטור ששי מתיחס המדרגות ביחס הכפל המוסיף חלקים
As in this diagram:	כפי מה שבצורה
This line, with which these lines are confronted, and on which the mentioned reduction operation is done, is restored to the ratio of a line that is closer than it to equality, i.e. closer to the line of the equal terms.	הנה זה הטור שנכוין אליו מאלו הטורים ועשינו בו מלאכת ההתכה אשר זכרנוה נשיבהו בזה אל יחס טור הוא יותר קרוב ממנו אל השווי ר"ל שהוא יותר קרוב אל טור הגבולים השוים
One does not cease to operate so, until its ranks are restored to the ratio of the line of equality itself.	עוד לא נסור מעשות זה בו עד שישובו מדרגותיו אל יחס טור השווי עצמו
What was said is more sufficient than the extending of the examples and the long repetition that are not adequate for the one who knows that the completion of the operations is not by multitude of examples, but by restoration of the terms.	ויספיק לך מה שאמרנו מלהרבות ההמשלים וההכפלה הארוכה אשר לא יאותו למי שידע שהשלמת המלאכות לא תהיה ברבוי ההמשלים אבל בתקון הגבולים
It is already clear that the procedure that was brought forward in the first section, for the production of the ratios, is reversed by itself, when trying to reduce the ratios to equality.	וכבר התבאר כי המעשה אשר הקדמנוהו להולדת היחסים במאמר הראשון הוא בעצמו יתהפך הנה כאשר נשתדל להתיך אותם היחסים אל השווי

Setting Up Series of Superparticulars	הדבור בסדור גבולי כל יחס מונח שני המספרים מיחסי המוסיף חלק
	וראוי אחר שכבר נצטרך הרבה אל שנניח מספרים נמשכים מתיחסים מהמוסיף חצי או המוסיף שליש או המוסיף רביע או זולת מה מהמוסיף חלק אחר שנביא הוצאה מלאכותית לזה ותחבולה תאמת לנו הסברא בה כדי שתהיה דרישתנו למה שנדרשנו מזה מבלתי בלבול
It is said that the sesquialter ratio is the first of the superparticular ratios, as is visible in the above.	ונאמר שיחס המוסיף חצי הוא ראש יחסי המוסיף חלק כמו שנגלה במה שקדם
The first two productive numbers of the sesquialter ratio are two and three.	ושתחלת שני מספרים פועלים יחס המוסיף חצי הם שנים ושלשה
When wishing to explain how the succeeding terms of this ratio are extracted:	וכאשר נרצה לבאר איך נוציא הגבולים הנלוים בזה היחס
Arranging the ranks of the double ratio, which are the ranks of the even-times-even numbers, in a line	נסדר מדרגות הכפל השניי בטור והם מדרגות זוג הזוג
Leaving out the first rank, since it is one, which has no half.	ונשליך המדרגה הראשונה לפי שהיא האחד ואין חצי לו
Placing beneath each rank the number that produces with it the sesquialter ratio, so a second line is generated that is one rank shorter than the first line, as one was subtracted from the corresponding.	עוד נניח תחת כל מדרגה המספר הפועל עמה יחס הדמיון וחצי ר"ל יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שני חסר מהטור הראשון מדרגה והיא אשר השלכנו בנוכח האחד
Leaving out again the first rank of this second line, since it is three, which has no half.	עוד נשוב ונשליך כמו כן המדרגה הראשונה מזה הטור השני לפי שהוא שלשה ואין חצי לו
Placing beneath each of its remaining ranks the number that produces with it the sesquialter ratio, so a third line is generated that is one rank shorter than the second line, which is the subtracted corresponding the three.	ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו הנשארות המספר הפועל עמו יחס המוסיף חצי ויתחדש טור שלישי חוסר מהטור השני מדרגה והיא המושלכת נגד השלשה
Leaving out again the first rank of this third line, since it is nine, which has no half.	עוד נשוב גם כן ונשליך המדרגה הראשונה מזה הטור השלישי לפי שהוא תשעה ואין לו חצי
Placing beneath each of its ranks the number that produces with it the sesquialter ratio, so a fourth line is generated that is one rank shorter than the third line, which is the subtracted corresponding the nine.	ונניח תחת כל אחת ממדרגותיו המספר הפועל עמו יחס המוסיף חצי הנה יתחדש טור רביעי חוסר מהטור השלישי מדרגה והיא אשר השלכנו כנגד התשעה
	וכמו כן נחדש טור חמישי וששי ולמעלה מזה כמו שתראה בזאת הצורה
	לב יו ח ד ב א מח כד יב ו ג עב לו יח ט קח נד כז קסב פא רמג
	וכבר התבאר שתחלת מה שימצא יחס המוסיף חצי בשני גבולים
	עוד התבאר בזאת הצורה איך נמצאהו בשלשה גבולים עוד בארבעה עוד בחמשה עוד בששה
	והמלאכה שנעשית בה זאת הצורה כבר יתוספו בה הגבולים בזה היחס אל מה שאין תכלית לו ולא יבצר מהם גבול בשום כנוי שלא תראה בו התחבולה
	ואם רצינו להוליד מספרים כפי זה המשל ביחס המוסיף חלק השלישי
	נסדר מה שבטור הכפל השלישי הנמשך על יחס דמיון א'ג'ט' כז פא רמג
	ונסדר טורים תחת זה הטור נעמיד תחת כל מספר כמהו וכמו שלישיתו מה שאפשר בו זה
	ונצייר צורתו כמו מה שציירנו הראשונה אשר לפניה ויראו בה מדרגות הגבולים ביחס המוסיף שליש מבלתי שיחטא בגבול מהם כמו שתראה בזאת הצורה אשר לפניך
	רמג פא כז ט ג א שכד קח לו יב ד תלב קמד מח יו תקעו קצב סד תשסח רנו אלף כד
	וכמו כן כאשר נרצה ביחס המוסיף חלק הרביעיי הנמשך על יחס דמיון א'ד' י"ו ס"ו וכמו כן מה שילוה לזה מין ממיני המוסיף חלק
	ואמנם היסוד במלאכת זאת הצורה שנשים מדרגות הטור הראשון נמשכים על יחס הכפל אשר הוא נקרא ליחס הדרוש הגבולים מיחסי המוסיף חלק ר"ל הכפל אשר ממנו מעמד אותו החלק
	וכאשר עשית אותו מזאת הצורה במלאכת הנזכרת הוא גלוי מבואר שהמספרים אשר יפלו בזויות מכל צורה הם המספרים אשר בטור הראשון המונח בצורה אשר תמשך לה
	ובכאן עניינים אחרים נכבדים ונפלאים תעמוד עליהם עם טוב בחינתך בהם ברצון השם
	על גלוי אי זה יחס מיחסי המוסיף חלק הנמצא בחבור ר"ל נמצא בחבוריהם יחס מונח
	ופי' איזה יחסים הם אשר יתחייב מחבורם יחס איזה כפל שתדרוש בחבור יחס מונח מיחסי בעל הכפלים
	אמנם המין הראשון מבעל הכפלים והוא השניי הנה הוא יתחבר ויתילד באמצעות שני המינים הראשונים ממיני המוסיף חלק והם המוסיף חצי והמוסיף שליש
	משל זה שהארבעה כמו השלשה וכמו שלישיתם
	והשלשה כמו השנים וכמו חציו
	והנה הארבעה אצל השנים ביחס הכפל השניי כמו שתראה בזאת הצורה
	ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השניי יותך אל המוסיף חצי והמוסיף שליש
	משל זה שאם לקחנו שני מספרים ביחס הכפל השניי כמו הששה והשלשה שאנו נמצא ביניהם אמצעי מן המספר יותך אצלו יחס שני הקצוות המונחים מהכפל השניי על שני היחסים הנזכרים מיחסי המוסיף ואם כן יותך אליהם חלק
	והאמצעי בין הששה והשלשה הם ארבעה
	הנה הששה כאשר הוקשו אל הארבעה היה המוסיף חצי
	והארבעה אצל השלשה תוסיף שליש
	וכאשר יותך אמנם יותך אליהם
	ואמנם המין השני מבעל הכפלים ר"ל הכפל השלישיי אמנם יולד מהמין הראשון המוסיף חלק ר"ל החצי והמין הראשון מבעל הכפלים ר"ל השניי
	משל זה שי"ח כמו י"ב וכמו חציו
	וי"ב כפל ו'
	אבל י"ח אצל ו' כיחס הכפל השלישיי
	וכמו כן גם כן תמצאהו אלא שלא יחוייב שנשים האמצעי י"ב אשר הוא כפל ו'
	אבל נשים במקומו ט' אשר הוא כמו ו' וכמו חציו וכבר המשלתי לך שתי הצורות
	ובהפך זה המאמר יתבאר שהכפל השלישי כאשר יותך אמנם יותך אל הכפל השניי והמוסיף חצי
	ובחן זה באי זה משני מספרים תרצה אם תניחם ביחס הכפל השלישיי ותמצאהו כן
	ואמנם אם יחובר הכפל השלישיי והוא והמין השני מהמוסיף חלק יתילד מזה הכפל הרביעיי
	וכאשר יותך הכפל הרביעיי הנה הוא יותך אל הכפל השלישיי ואל המוסיף חלק השניי
	וכלל המאמר שכל מין ממיני הכפל כאשר הורכב עם דומה לו במדרגה ממיני המוסיף חלק הנה יתחבר מהם המין אשר ילוה אליו בקרוב שבמדרגות אל יחס ממיני הכפל וממיני המוסיף חלק
	זהו כלל המאמר בכמה המצטרף על כל צדי צירופיו עם תכלית מה שאיפשר מהשמירה בהשלמת הענינים עם קצור המאמר במה שאי אפשר למתלמדים בלעדיו

[Absolute Quantity]
The Discussion on the Quality of the Absolute Numbers that are Potentially Commensurable with the Geometric Shapes	הדבור בתואר המספרים הנפרדים המשותפים בכחם לתמונות המידותיות
The beginning of this discussion on the geometrical shapes:	ותחלת זה הדבור בתמוניות
Now what remains of the things that belong to the absolute quantity is noted, which require a more intensive investigation than all the discussed in the first section.	אמנם עתה הנה אנחנו זוכרים מה שנשאר מהדברים המתחייבים לכמה הנפרד ממה שיצטרך לחקירה יותר חזקה מכל מה שדברנו עליו במאמר הראשון
For when one wishes to mention it, it is a thing that is necessary in order to assume from it an evidence for another.	כי כאשר אנחנו רוצים לזכרו הנה הוא דבר נצטרך אליו לקחת ממנו ראיה על זולתו
The wise men used to praise the explanation of some sciences through others.	והחכמים היו משבחים מאד לפרש קצת החכמות בקצת
Of the things whose explanation should be prefaced, it should be said that:	ומהדברים אשר ראוי להקדים בבאורם שנאמר כי
Some of the numbers are similar to lines in their arrangement.	מהמספרים מה שהוא דומה לקוים בסדרם
Some of them are similar to a surface.	ומהם מה שהוא דומה לשטח
Some of them are similar to a cube.	ומהם מה שהוא דומה למעוקב
Some of them are similar to a sphere.	ומהם מה שהוא דומה לכדור
Some of them are similar to a brick, in the deficiency of the height compared with the length and width.	ומהם מה שהוא דומה ללבנה בחסרון הגובה מהאורך והרחב
Some of them are similar to a pillar, in the deficiency of the length and width compared with the height.	ומהם מה שהוא דומה לעמוד בחסרון האורך והרחב מהגובה
Some of them are similar to an arc.	ומהם מה שהוא דומה לקשת
Likewise for each of the things of geometry, i.e. the measures - these shapes have similarity in numbers.	וכמו כן לכל אחד מהדברים אשר להנדסה ר"ל המדות יש דמיון לאותם התמונות במספרים
For geometry is based on quality more than on quantity.	כי ההנדסה לאיכות יותר דבקה מאשר לכמות
	ותעיין מה שזכרנו מקדימת המספר למדות בפתיחת המספר כי שם שמנו אליו לב ודברנו בו
	וקודם שנדבר על דמיון אלו הגדולים אשר זכרנום מהמספרים נאמר שהוראת אותיות האלפא ביתא על מה שיורו עליו מן המספרים הנרשמים בם והם הרשמים אשר אנו רואים שיקראום האנשים חשבון הכללים אינו בטבע להם ולא בדין להם כך אבל הם מורים בהסכמה ובהנחה ממנו לא זולתו
	ואמנם המורים בטבעם הנה הם כמו הנראים לחוש והוא שאנו כאשר נרצה לרשום אחד נניח סימן אחד
	וכשנרצה לרשום שנים נניח שני סמנים
	וכן אם נרצה שלשה סמנים
	ותהיה צורת האחד וצורת השני וצורת השלשה וכן מה שאחר זה
	וכאשר הבאנו זה התנאי נאמ' שאנו נניח האחד בזאת המלאכה התחלה למספר כמדרגת הנקודה במלאכת המדות אשר היא התחלת הקו מבלתי שתהיה הנקודה
	או האחד קו או מספר הנה כמו שהנקדה כאשר נכפלה בעצמה לא יתחדש גודל אחר
	שמה שאין גודל לו כאשר נכפל במה שאין גודל לו לא יתחדש גודל
	לפי שלא יהיה יש מלא יש
	כמו כן האחד אשר אינו מספר כאשר נכפל בעצמו לא יתחדש מספר לפי שלא יתחדש יש מכפל אין
	הנה אם כן אמתת האחד כמו שאמרנו שהוא תחלת המספר ואינו מספר

Plane Numbers
The Discussion on the Similarity Aspect of the Number to the Line	הדבור בצד התדמות המספר לקו
The beginning of its continuity is found in the duality.	ואמנם תחלת המשכותו אמנם ימצא בשניות
Furthermore, it increases continually according to the measure of the addition of the natural numbers and their production.	עוד יתרבה בהמשכות כפי שעור הוספת המספרים הטבעיים וצמיחתם
As the number is generated by assuming two different units such that the number is from their difference, so the line is generated by assuming two different point, such that the line is from their difference.	הנה כמו שהמספר יתחדש בהנחת שני אחדים נבדלים ויהיה מהבדלם המספר כן הקו אמנם יתחדש בהנחת שתי נקודות נבדלות הנה יהיה מהבדלם הקו
The line has one dimension.	והקו בעל משך אחד
The two-dimensional is the surface.	ומה שהיה בעל שני המשכים הוא שטח
The three-dimensional is the body.	ומה שהיה בעל שלשה המשכים הוא גשם
	ולבעל השלשה המשכים מה שיתחדש השש פאות אשר יאמר שהן מתחייבות לכל גשם ר"ל מעלה ומטה וימין ושמאל ופנים ואחור
	ובאלו השש פאות תחלק התנועה המקומית
	כי בהכרח שיתחייב לכל משך שתי תכליות מקבילים אם לאחד משתי התכליות מעלה ומטה ואם לאחר פנים ואחור ואם לאחר ימין ושמאל
	ואולי יהיה לטוען שיאמר הנה במאמר כולל שכל בעל אורך ורוחב ועומק הוא גשם
Every body has length, breadth, and depth.	וכל גשם בעל אורך ורחב ועומק
	וכמו כן יאמר מה שהיה לו אורך ורחב לבד הוא שטח
The surface is that which has only length and breadth.	והשטח הוא מה שהיה לו אורך ורחב לבד
The line is that which has only length.	והקו מה שהיה לו אורך לבד
	ומה שהיה לו אורך לבד הוא קו
The surface is one dimension less than the body.	הנה השטח חסר מהגשם במשך אחד
The line is one dimension less than the surface.	והקו מהשטח במשך אחד
The point is one dimension less than the line.	והנקודה חסרה מהקו במשך אחד
Hence, the point has no dimension at all.	הנה אם כן הנקודה אין מרחק לה כלל
It is the beginning of the line, but it is not a line.	ואמנם היא התחלת הקו ואיננה קו
The line is the beginning of the surface, but it is not a surface.	וכמו כן הקו התחלת השטח ואיננו שטח
It is the beginning of the two dimensions, but it is not two-dimensional.	והתחלת שני המשכים ואיננו שני המשכים
The surface is the beginning of the body, but it is not a body.	וכמו כן השטח התחלת הגשם ואיננו גשם
It is the beginning of the three dimensions.	והתחלת שלשה המשכים
	הנה אכן גם כן המספרים הם דומים לאלו הגבולים כפי מה שאתאר
	וזה שהמספרים הקויים הם כל מה שתניח התחלתו מהשנים עוד יתרבו באחד על סדר משך הטבע

The Discussion about the Triangle as the Foundation of All Rectilinear Surfaces	הדבור באשר המשולש יסוד לכל השטחים ישרי הקוים
The first of the rectilinear surfaces is the triangle.	ואמנם השטחים ישרי הקוים הראשון מהם המשולש
It is the one that has three angles.	והוא בעל השלש זויות
It is as a root and a beginning of all regular surfaces, such as the square, the pentagon, the hexagon, and their similar.	והוא כשרש וכהתחלה לכל השטחים הישרים כמו המרובע והמחומש והמשושה והדומה להם
For all of them are dissolved into a triangle.	כי כלם יותכו אל המשולש
The triangle does not dissolved except into its shape.	וזה המשולש לא יותך אל בלתי תמונתו
This is clear from that when drawing lines from the angles of whichever regular shapes one wishes to their center, the shape, whichever it may be, will be divided into triangles.	וזה מבואר מאשר כשתוציא מאיזה מהתמונות הישרות הקוים שתרצה קוים ישרים מזויותיהם אל מרכזה תחלק איזו תמונה שתהיה אל המשולשים
One finds that the triangle is also divided into its own [type], not different by its nature, and not deviates from its type.	ותמצא המשולש יחלק גם כן עצמו אל עצמו בלתי נבדל מטבעו ולא יצא מסוגו
It is already seen in this figure, to sense that the triangle, the square, the pentagon, and the rectilinear shapes that follow them, when drawing in them the described lines from their centers to their angles, all of them are dissolved into triangles.	וכבר תראה זה בזאת הצורה לחוש שהמשולש והמרובע והמחומש ומה שאחריהם מהתמונות הישרות הקוים כאשר הוצאנו בם ממרכזיהם אל זויותיהם הקוים אשר תארנו יותכו כלם אל משולשים
It has already been clarified that the triangle is a root and a beginning of all the shapes.	הנה כבר התבאר שהמשולש שרש והתחלה לכל התמונות כלן

The Discussion on the Triangular Numbers, their Production and their Sides	הדבור במשולשים המספריים וצמיחת' וצלעותיהם
	ואמנם המשולשים הנה הוספות המספרים הטבעיים אשר התחלתם האחד קצתם על קצת
	הנה האחד באשר נרשם הנה הוא משולש בכח
1) $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3}}$	וכאשר נוסיף על האחד השנים היו השלשה ראשית המשולשים בפעל
2) $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=3+3=6}}$	עוד תוסיף שלשה אשר ימשכו לשנים על המשולש הראשון בפעל ויהיה המשולש השני בפעל והוא ששה
3) $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=6+4=10}}$	עוד תוסיף ארבעה ויהיה המשולש השלישי בפעל והוא עשרה
	עוד כן תתחדש תולדת המשלשים בתוספת המספרים הטבעיים קצתם אל קצתם
	וממה שתבחנהו בזאת הצורה שהמספרים המשולשים יתילדו מחבור המספרים הטבעיים קצתם על קצת
	כמו ג' שתשא חבור ב' וא'
	א' ג' ו' י' ט"ו כ"א וכו'
	ואמנם התילד צלעות אלו המשולשים הוא כפי התילד המספרים הטבעיים על המשכם
The side of the first in potentia is 1.	הנה יהיה צלע הראשון בכח האחד
The side of the first in actu is 2.	וצלע הראשון בפעל ב'
The side of the second in actu is 3.	וצלע השני בפעל ג'
The side of the third in actu is 4.	וצלע השלישי בפעל ד'
	ובזה הצד מהתילד המספרים הטבעיים יתילד כל צלע מצלעות המשולשים
	וזה כאשר נתחיל להניח האחד תחלה
	עוד יתילד כל מספר מהמספרים הטבעיים בפני עצמו בטורים ימשכו קצתם לקצת תחת האחד כפי מה שתראה מצוייר בזאת הצורה
The first potential triangle is 1, and its side is 1.	המשולש הראשון בכח אחד וצלעו אחד
The first actual triangle is 3, and its side is 2.	והמשולש הראשון בפעל שלשה וצלעו השני'
The second actual triangle is 6, and its side is 3.	והמשלש השני בפועל ששה וצלעו שלשה
The third actual triangle is 10, and its side is 4.	והמשלש השלישי בפעל עשרה וצלעו ארבעה
The fourth actual triangle is 15, and its side is 5.	והמשלש הרביעי בפעל ט"ו וצלעו חמשה
	וממה שראוי שתבחנהו באלו המספרים המשולשים שכל משולש מהם יקיף מהמשלשים המדותיים במניין שוה למספר המרובע הקודם ר"ל במדרגה אחת וכן תמיד
The Discussion on the Square Numbers, their Sides and their Production	הדבור במרובעים המספריים וצלעותיהם והתילדם
The regular square shapes are not produced as the triangles are produced from the three.	ואמנם התמונות המרובעות הישרות לא יתילדו כמו שיתילדו המשולשות מן השלשה
This is because they have four sides and four angles.	וזה שהן בעלות ארבע צלעות וארבע זויות
Such as: 4; 9; 16; 25; 36	כמו ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו
	ורשמי אלו המספרים על הרבוע והשווי יהיה כפי זה המשל ר"ל המצוייר בסוף זה השער והיא התמונה אשר עליה יהיה המרובעים השוים תמיד
	ומבואר נגלה מהדמיון המצוייר למטה שצלעות המרובעים המספריים כפי המשכם יתוספו כפי שרש צמיחת המספרים הטבעיים
The side of the first in potenti, which is 1, is 1.	כי צלע הראשון בכח אשר הוא האחד אחד
The side of the first in actu is 2.	וצלע הראשון בפעל ב'
The side of the second in actu is 3.	וצלע השני בפעל ג'
The side of the third in actu is 4.	וצלע השלישי בפעל ד'
And so is their production always.	וכן צמיחתם תמיד
	וכבר אמרנו במאמר הראשון איך יתילדו המספרים השוי הצלעות למה שקרה שם זכרו
	ואמנם מחוייב להשיב המאמר עליו הנה אחר שהוא מקום זכרו המיוחד בו
It is said that the production of the square numbers is from the successive addition of the natural odd numbers.	ונאמר שצמיחת אלו המרובעים מהוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
	אחר שהתחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח ומרובע בכח
	כי השלשה אשר הם נפרד ראשון כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפעל
	וכאשר נוסף על המרובע הראשון בפעל הנפרד השני אשר הוא חמשה היה הגעת זה תשעה והוא המרובע השני בפעל
	ולפי שאנו כבר זכרנו זה פעם אחת אין צורך לנו להאריך ביותר מאשר נאמר שהולדת המרובעים השוי הצלעות אמנם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
	וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם הוא שרש אותו המרובע ר"ל כאשר ימנה בשעורי מה שבו מהאחדים היה כללו הגעת אותו המרובע
	וכאשר הונחו שרשי אלו המרובעים ילוו קצתם לקצת היו על סדר המספרים הטבעיים ימשכו קצתם לקצת וכלל זה המאמר על זה
	וזה צורת המרובעים אשר יעדנו להביאה בסוף הדברים
	המרובע הראשון בכח הוא האחד הנרשם בשחרות בזויות העליונה מצד הימין והוא הנרשם עליו א'
	והמרובע הראשון בפעל הוא המתקבץ מזה האחד ומשלשת האחדים האדומים אשר ילוו עליהם על תכונת תמונת הרושם
	והמרובע השני הוא המתקבץ מזה המרובע הראשון בפועל ומחמשת אחדים
	והמרובע השלישי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השני בפעל ומשבעה האחדים האדומים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם
	והמרובע הרביעי בפעל הוא המתקבץ מזה המרובע השלישי בפעל ומתשעת האחדים השחורים הנלוים עליהם על תכונת תבנית הרושם
	וממה שראוי לך שתבחנהו שתמונות הרושם בזאת הצורה הם הנפרדים הטבעיים כפי המשכם בסדר הטבע
The Discussion on the Pentagonal Numbers, their Production and their Sides	הדבור במחומשים המספרים והתילדם וצלעותיהם
The pentagonal number, i.e. all pentagonal numbers, their production is not through the production of the triangle and the square, since the pentagon has five sides and five angles, such as: 1, 5, 12, 22, 35, 51, and the descriptions of these numbers by the quintuple and equality are as drawn at the end of this chapter.	ואמנם המספר המחומש ר"ל כלל המחומשים המספרים אין צמיחתם בצמיחת המשלש והמרובע כי המחומש לו חמשה צלעות וחמשה זויות כמו א' ה' י"ב כ"ב ל"ה נ"א ורשמי אלו המספרים על החמוש והשווי הם כפי מה שציירתי לך בסוף זה השער
The side of the first actual pentagonal, which is 5, is 2.	הנה צלע המחומש הראשון בפעל והוא ה' שנים
The side of the second actual pentagonal, which is 12, is 3.	וצלע המחומש השני בפעל והוא י"ב שלשה
The side of the third actual pentagonal, which is 22, is 4.	וצלע המחומש השלישי בפעל והוא כ"ב ארבעה
It necessary follows that the sides of these pentagonals follow each other by the sequence of the natural numbers, as clarified concerning the triangular and the square numbers.	וכן יחוייב שיהיו צלעות אלו המחומשים נמשכים יחד על סדר המספרים הטבעיים כפי מה שהתבאר במשולש והמרובע
The production of the pentagonal numbers:	ואמנם התילד המחומש
It is already clarified that, since the first actual pentagonal is 5, the second is 12, and the third is 22, what is added to the first potential pentagonal, which is 1, until it becomes the first actual pentagonal, is 4.	הנה כבר התבאר כי אחר שהיה המחומש הראשון בפעל ה' והשני י"ב והשלישי כ"ב שאשר הוספנו אותו על המחומש הראשון אשר הוא א' בכח ארבעה עד שהיה המחומש הראשון בפעל
When 7 is added to the first actual, which is 5, until it becomes 12, which is the second actual, the excess of the 7, which was added at the end, over the 4, which was added first, is 3.	וכאשר הוספנוהו על הראשון בפעל והוא ה' ז' עד שהיה י"ב והוא השני בפעל הנה מותר השבעה אשר הוספנום לסוף על הארבעה אשר הוספנום ראשונה שלשה
The second actual pentagonal number is 12, and the third actual is 22.	והמחומש השני בפעל י"ב והשלישי בפועל כ"ב
What is added to the second actual, until it becomes the third actual, is 10, and 10 exceeds 7 by 3.	ואשר הוספנוהו על השני בפועל עד שיהיה השלישי בפעל עשרה ועשרה יותר משבעה שלשה
Hence, it is already clarified that the production of the pentagonal numbers is always by adding three to what was added to the preceding pentagonal number and so it will be found always.	הנה אם כן כבר התבאר שתולדת המחומשים בתוספת שלשה לעולם על מה שהוספנוהו במחומש אשר לפניו וכן ימצא תמיד
The fourth pentagonal number is 35, and 35 exceeds 22 by the addition of 13, and 13 exceeds 10 by 3.	כי הנה המחומש הרביעי ל"ה ול"ה יותר מכ"ב בתוספת י"ג וי"ג יותר מי' שלשה
Thus, it has already been clarified how the pentagonal numbers are produced.	הנה אם כן כבר התבאר איך יתילדו המחומשים
Furthermore, it is already clear from all that is said, how the hexagonal and the heptagonal numbers and the others are composed:	וגם כן כבר יתבאר מכל מה שאמרנו איך יתרכבו כמו כן המשושים והמשובעים וזולתם
It was already explained that the triangular numbers are generated from the successive addition of the natural numbers, and the natural numbers are added one by one.	וזה שאנו כבר בארנו שהמשלשים יתחדשו בתוספת המספרים הטבעיים קצתם על קצת והמספרים הטבעיים יתוספו באחד אחד
It was also explained that the square numbers are generated from the successive addition of the odd numbers, and the odd numbers are added two by two.	ובארנו גם כן כי המרובעים יתחדשו בתוספת המספרים הנפרדים קצתם על קצת והנפרדים יתוספו שנים שנים
It was explained that the pentagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively three by three.	ובארנו שהמחומשים יתחדשו בתוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת שלשה שלשה
It is said that the hexagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively four by four.	ונאמר שהמשושים יתחדשו בתוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת ארבעה ארבעה
The heptagonal numbers are generated from the addition of the numbers that are added successively five by five.	והמשובעים יתחדשו בהוספת המספרים אשר יתוספו קצתם על קצת חמשה חמשה
So also for the octagonal and the nonagonal numbers, or whatever one wishes of these, they are generated as this drawn description.	וכן המשומין והמתושע או מה שתרצה מזה אמנם יתחדש בזה התאר המצוייר
Examples were already given for the pentagonal, hexagonal, heptagonal, and octagonal numbers.	הנה כבר המשלנו דמיונים למחומשים ולמשושים ולמשובעים ולמשומנים
The numbers by which each plane number of them exceeds its preceding are distinguished by two colors.	והבדלנו בחלוק שני גוונים המספרים אשר בם יוסיף כל מספר משוטח מהם על אשר לפניו
These numbers were assumed as an image of geometrical shapes, in order that what was mentioned will be clarified about them, that the shapes of each species of the plane right angled numbers are produced from the addition of numbers that exceed by one number that never changes forever.	והנחנו אותם המספרים כדמות תבניות הרושם כדי שיתבאר בם מה שזכרנו מאשר כל מין ממיני המספרים המשוטחים בעלי הזויות השוות אמנם יתילדו תמונותיו בתוספת מספרים יעדיפו במספר אחד לא ישתנה לעולם אל בלתי תכלית
The squares - the numbers that are added in them, i.e. the excess of numbers of the shapes that complete them at the ends of the geometrical shapes is two by two.	אמנם המרובעים המספרים אשר יתוספו בם ר"ל מספרי התמונות אשר ישלימו אותם על גבולי תמונות הרושם תהיה העדפתם שנים שנים
The pentagonals - the excess mentioned with regard to them is three by three.	ואמנם המחומשים הנה העודף הנזכר בם יהיה שלשה שלשה
Likewise, for any rank shifted forwards in the ranks of the species of the plane numbers, the excess mentioned exceeds by one.	וכמו כן כל מה שתעתיק מדרגה אחת במדרגות מיני המספרים המשוטחים יוסיף היתרון הנזכר באחד

משולש ח	משולש ז	משולש ו	משולש ה	משולש ד	משולש ג	משולש ב	משולש א
לו כח ז א	כח כא ו א	כא טו ה א	טו י ד א	י ו ג א	ו ג ב א	ג ב א	א
מרובע ח	מרובע ז	מרובע ו	מרובע ה	מרובע ד	מרובע ג	מרובע ב	מרובע א
סד מט יג ב	מט לו יא ב	לו כה ט ב	כה יו ז ב	יו ט ה ב	ט ד ג ב	ד ב ב	א
מחומש ח	מחומש ז	מחומש ו	מחומש ה	מחומש ד	מחומש ג	מחומש ב	מחומש א
צב ע יט ג	ע נא יו ג	נא לה יג ג	לה כב י ג	כב יב ז ג	יב ה ד ג	ה ב ג	א
משושה ח	משושה ז	משושה ו	משושה ה	משושה ד	משושה ג	משושה ב	משושה א
קכ צא כה ד	צא סו כא ד	סו מה יז ד	מה כח יג ד	כח טו ט ד	טו ו ה ד	ו ב ד	א

All Plane Polygonals Consist of and Resolved into Triangles	הדבור באשר כל המשוטחים בעלי הזויות השוות מהמשולשים יתרכבו ואליהם יותכו
	וכבר קרה מזה ביאור מה שאמרנו לפנים שבעלי המספרים הישרי הקוים השוי הזויות הם מורכבים מהמשולשים ונתכים אליהם וזה שכבר נראה לנו שהמרובעים אמנם חודשו מהרכבת המשולשים כאשר הנחנו המשולשים על סדר כמו א'ג'ו'י' ט"ו
When the first potential triangle is added to the first actual triangle, which is 3, the first actual square is created, which is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4}}$	עוד חברנו המשלש הראשון בכח אל המשלש הראשון בפעל והוא ג' יחודש המרובע הראשון בפעל והוא ד'
When the first actual triangle, which is 3, is added to the second actual triangle, which is 6, the second actual square is created, which is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3+6=9}}$	וכאשר חברנו המשולש הראשון בפעל אשר הוא ג' אל השני בפעל אשר הוא ו' יתחדש המרובע השני בפעל אשר הוא ט'
When the second actual triangle, which is 6, is added to the third actual triangle, which is 10, the third actual square is created, which is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{6+10=16}}$	וכן כאשר חברנו המשולש השני בפעל והוא ו' אל המשולש השלישי בפועל והוא י' יחודש המרובע השלישי והוא י"ו
	וכן תמצא זה תמיד מתרכב מכל שני משולשים מהם מרובע כפי זה הסדר אשר המשלנו ובהפך זה המאמר יותך כל מרובע מהמרובעים אל המשולשים אשר מהם הורכב כי הארבעה אשר הוא מרובע יותך אל אחד ושלשה והם שני משולשים והתשעה אל שלשה וששה הם שני משולשים הנה כבר התבאר איך יתרכבו המרובעים מן המשולשים ויתכו אליהם
	ואמנם המחומשים כפי מה שאתאר וזה שהם יתרכבו מהמשולשים והמרובעים כאשר סדרנו המשולשים בטור כמו א'ג'י'ו' ט"ו
	עוד נסדר המרובעים בטור כמו ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו
	עוד נחבר כל מדרגה עם נכחה
The result of the sum of the first potential triangle, which is 1, with the first actual square, which is 4, is the first actual pentagonal, which is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{1+4=5}}$	הנה יתקבץ מחבור המשלש הראשון בכח אשר הוא א' עם המרובע הראשון בפעל אשר הוא ד' המחומש הראשון בפעל אשר הוא ה'
	וכן תמצאהו תמיד כאשר תרכיבהו כפי זה הסדר ובהפך זה המאמר יתבאר שהמחומשים יותכו אל המשולשים ואל מה שיורכב מהמשולשים ר"ל המרובעים כי החמשה יותך אל אחד וארבעה והי"ב אל שלשה ותשעה וכן מה שאחר זה הנה כבר התבאר איך יתרכבו המחומשים מהמשולשים ויותכו אליהם
	וכן תמצא גם כן שיתילדו המשושים מהרכבת המשולשים עם מה שיהיה נכחם בטור המחומשים כאשר הורכבו על דמיון מה שבארנו אלא שיהיה לעולם ראש הנחת המשולשים המשולש הראשון בכח אשר הוא אחד וראש מדרגות מספרי השטחים האחרים הראשון מהם בפעל
The first actual hexagonal is created from the combination of the first potential triangle, which is 1, with the first actual pentagonal, which is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{1+5=6}}$	והמשושה הראשון בפעל אמנם יחודש מהרכבת המשלש הראשון בכח אשר הוא האחד עם המחומש הראשון בפעל אשר הוא חמשה
The second hexagonal [is created] from the combination of the first actual triangle, which is 3, with the second actual pentagonal, which is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3+12=15}}$	והמשושה השני מהרכבת המשלש הראשון בפעל אשר הוא ג' עם המחומש השני בפעל אשר הוא י"ב
The first actual heptagonal is created from the combination of the first potential triangle, which is 1, with the first actual hexagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{1+6=7}}$	וכן המשובע גם כן יתחדש הראשון ממנו בפעל מהרכבת המשלש הראשון בכח אשר הוא א' עם המשושה הראשון בפעל
The second heptagonal [is created] from the combination of the first actual triangle, with the second actual hexagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{3+15=18}}$	והמשובע השני בפעל מהרכבת המשולש הראשון בפעל עם המשושה השני בפעל
	וכן ימצאו כלם תמיד המשומנים והמתושעים וזולתם מבעלי הזויות ותולדותם מן המשולשים והתכתם אל המשולש
	ולבאר זה לחוש נניח לו צורה מטורים נכחים הטור הראשון למשולשים והשני למרובעים והשלישי למחומשים והרביעי למשושים והטור החמישי למשובעים והטור השני למשומנים ומי שירצה להוסיף בזאת הצורה מספרים מבעלי השטחים ידבק בסדור אשר נשעננו וכוננו אליו
	וממה שיתבאר בזאת הצורה שהמינים הראשונים בפעל ר"ל המשוטחים המספריים יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשלש הראשון בכח והוא האחד
	והמינים השניים בפעל יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשולש הראשון בפעל ר"ל בשלשה
	והמינים השלישים בפעל יעדיפו על המשכם ברחב הצורה במשולש השני בפעל
	וכן המינים הרביעים בפעל יעדיפו על המשכם במשלש השלישי בפעל וכן מה שאחר זה
	וכבר נשלם המאמר במספרים המשוטחים בעלי הזויות

The Discussion on the Solid Numbers	הדבור במספרים הגרמיים
The distinction between the solid and the surface has already been explained in the previous discussion	כבר בארנו במה שקדם מן המאמר מה ההפרש בין הגרם והשטח
It was said that the solid adds a dimension of depth to the surface, since the surface has only length and breadth	ואמרנו שהגרם הוא אשר יוסיף משך בעומק על השטח אחר שהשטח אורך ורחב לבד
	ואמרנו עומק או גובה הכל שוה
	וכבר אמרו כל זה אנשים
	ואחר שהיה קודם במאמרנו על השטח הדבור על משולשים לעלה אשר תארנו מהיותר ראוי לקדימה אחר שהם פנה לכל השטחים ושרש יהיה הקדימנו המאמר הזה בגרמים על המזונבים ורצוני במזונבים אשר יתחילו מתושבת משוטח ישר הקוים ר"ל הצלעות עוד יעלו בגובה עד שיכלו אל האחד
	כי זאת התמונה אם שיהיו שטחיה כלם משלשים מלבד תושבתה כי התושבות לזה המין המזונב כבר יהיו משולשים או מרובעים או משושים או זולת זה מהשטחים אשר זכרנו ואמנם בשטחיו כאשר היה מזונב הם משולשים לבד
	ומפני שהמזונב אשר תושבותיו יחד משולשים ר"ל הגרם המשולש פנה ושרש לכל הגרמים בעלי הזויות אחר שהרכבתם ממנו והתכתם אליו יחוייב שנתחיל בו לתארו
	ונאמר שזה הגרם יקיפו בו ארבעה משולשים
	כי אלו ידמה מדמה מהתמונות הגרמיות מהמדתיות משולש שוה הצלעות בעל שלשה המשכים שוים באורך לצלעותיו יצאו מזויות תושבתו עוד יפגשו על נקדה נכחית למרכז בנפילת עמוד יהיה כבר ידומה גרם מזדנב לו ארבעה שטחים שוים אחד מהם התושבת והשלשה הנשארים המקיפים בו
	וכמו כן גם כן אלו ידמה מדמה מרובע שוה יצאו מזויותיו ארבע צלעות כל אחד מהם לצלע מצלעות תושבתו ויפגשו כלם על נקדה נכחית למרכז בנפילת עמוד המרובע ידומה גרם המזדנב ר"ל מחודד לו חמשה שטחים כמו זאת הצורה אחד מהם שטח מרובע והוא תושבתו והארבעה הנשארים משולשים והם המקיפים
	וגם כן אלו ידמה מדמה כמו זה במחומש והמשושה והמשובע וזולתם ימצא בכל אחד מהם המשכים יצאו מזויותיהם ויפגשו על נקדה לנגד מרכזיהם יחדשו באותם הקוים היוצאים מהזויות ותכליות תושבתם משולשים ויהיה הגרם מזדנב ר"ל מחודד
	וכאשר תרצה לבחון זה עיין בדמיונים המצויירים קודם זה בשער הדבור על שהמשולש פנה לכל בעלי הזויות והקוים הישרים מהשטחים המדותיים
	ונשוב עתה ונאמר שכל מספר מוגבל כמו הקו הנה תולדתו וצמיחתו מהאחד וזה כמו א"ב ג"ד ה"ו אל מה שיתוסף מזה תמיד
	ומאלו המספרים הקויים מה שיתרכבו בעלי הזויות מהשטחים והגרמים אלא שלא יתילד ויתרכב איך שיזדמן מההרכבה במחשבה אבל על גבול וסדר כמו שכבר גלינו במה שקדם בהגבילנו צמיחת השטחים
The production of the solid numbers and their growth:	ואמנם התילד המוגשמים וצמיחתם
The triangular pyramid, i.e. the trianlular solid, is produced by placing one on top, then placing beneath it the triangular numbers that were already mentioned, each beneath its preceeding in rank by order successively. This is done always when wishing to form the triangular pyramid.	הנה המשלש המזדנב ר"ל הגרם המשלש התילדו בהנחת האחד בגובה עוד תניח תחתיו המשולשים המספריים אשר כבר זכרנום כל אחד תחת אשר לפניו במדרגה וסדר כפי המשכם ונפעל זה תמיד מה שנרצה להוליד המזדנבים כי יתחדש גוף מחודד משולש
The square pyramids are generated by arranging the aforementioned numerical square surfaces, placing one as their first, then placing beneath it the squares by order successively, and from this a square pyramid is generated.	ואמנם המרובעים המזדנבים ר"ל המחודדים הנה הם יתחדשו כאשר תסדר אותם השטחים המרובעים המספריים אשר זכרנום לפנים והנחת האחד ראשון להם עוד תשים המרובעים תחתיו ימשכו קצתם לקצת יתחדש מזה מרובע מזדנב
Likewise for the pentagonal pyramid, the hexagonal pyramid, the heptagonal pyramid, and what is similar to this.	וכן המחומש והמשושה והמשובע ומה שידמה זה
The triangular pyramids - the ranks of their formation are as the sequence of these numbers: 1, 4, 10, 20, 35, 56.	הנה הגרמיים המזדנבי' המשולשים ר"ל המחודדים יהיו מדרגות חדושם כפי משך אלו המספרים א' ד' י' כ ל"ה נ"ו
Each of these numbers is produced from the arrangement of the numbers one beneath the other.	הנה כל אחד מאלו המספרי' אמנם יתילד מסדר המספרים קצתם תחת קצת מאחד האחד עוד האחד עד אשר תרצה
One is the potential triangular pyramid	ואמנם האחד הנה הוא גרם המחודד המשולש בכח
Four is the second, which is a combination of two triangles - one and three $\scriptstyle{\color{blue}{4=1+3}}$	ואמנם הארבעה הנה הוא השיני והוא הרכבת שני משולשים האחד והשלשה
ten is a combination of three triangles - one, three and six $\scriptstyle{\color{blue}{10=1+3+6}}$	ואמנם העשרה הוא מהרכבת שלשה משולשים אחד ושלשה וששה
And so the rest in this order are found by this description.	וכן הנשארים כפי זה הסדר נמצא בזה התאר
The ranks of the formation of the square pyramids in their succession are as the sequence of these numbers: 1, 5, 14, 30, 55.	ואמנם מדרגות התחדש הגרמים המרובעים המחודדים כפי המשכם הנה על משך אלו המספרים א' ה' י"ד ל' נ"ה
Each of these numbers is produced from the combination of the simple squares introduced above with one another, as said about the the triangular pyramid.	כי כל אחד מאלו המספרים אמנם התילד מהרכבת המרובעים הפשוטים אשר אמרנו עליהם לפנים קצתם על קצת כמו שאמרנו במשולש המחודד
As this described instance, so are the pentagonal pyramid, the hexagonal pyramid and others.	וכפי זה המשל אשר תארנו יהיה המחומש המחודד והמשושה וזולתם
	ומבואר מכל מה שזכרנו שכל צלע מצלעות מנין המחוברים יחד שוה מה שבם מהאחדים למנין השטחים המחודדים בם היו מה שהיו מהאחד עד שיגיע אל שטח התושבת
	ולא יעלם ממה שזכרנו שהמשולש הפשוט הוא הפנה והשרש לכל השטחים
	והמשולש המוגשם המחודד הוא הפנה לכל המחודדים
	ואחר שזכרנו שכבר הבאנו בזכירת המזונב מהמוגשמים נדבר על אשר נקראהו מחוסר פרמידה קטומה והוא כל גשם בעל זויות היה בסדורו והרכבתו על סדר הרכבת המחודדים אלא שלא יכלה בגבהו אל האחד אשר הוא עליון שבמחודד והיו זויות שטח עליונו שוות במספר לזויות שטח תושבתו הנה זה המין יקרא המחוסר
If the pyramid is deficient by one alone, which is apex of the pyramid, it is called truncated.	וזה אם היה חסר מהמחודד באחד לבד אשר הוא עליון המחודד יקרא מחוסר אחד
If it is deficient by one surface [= one + the first actual polygon], it is called bi-truncated.	ואם היה חסר מהאחד שטח אחד יקרא מחוסר שנים
If it is deficient by a third surface [= one + the first actual polygon + the second actual polygon], it is called tri-truncated.	ואם היה חסר שטח שלישי יקרא מחוסר שלשה
If it is deficient by four surfaces [= one + the first actual polygon + the second actual polygon + the third actual polygon], it is called quadri-truncated.	וכן המחוסר ארבעה אם היה חסר ארבעה שטחים
So it is always found.	וכן תמצאהו תמיד
	ואחר שכבר התבאר איך צמיחת זה הגשם המחוסר אחר שאין הפרש בינו ובין מה שבארנו לפנים מהרכבת המוגשם המחודד אלא שאנו נחסרהו מעליון המחודד אשר הוא האחד שטח או שטחים הנה זה כלל המאמר על זה ואמנ' המאמ' על שאר הגרמים אשר זכרנום לפנים והם המעוקבים והלבנים והאריחיים והקשתיים והכדוריים והמתחלפי הצלעות והזולתיים באורך הנה זה עת להתחיל בו ונשתדל לפרשו בג"ה

Cube Numbers	הדבור במספר המעוקב
	ונאמ' עתה שהמספרים המרובעים השוים המשוטחים אשר דברנו עליהם לפנים והם כמו א"ד ט' י"ו כ"ה ל"ו כאשר הרכב כל אחד מאלו השטחי' לדומה לו מהשטחים בכמות עד שיהיה מספר השטחים המורכב קצתם על קצת כמו אחדי אורך ורחב שטח התושבת יקרא מעוקב וכלל המאמר כי המעוקב הוא אשר ארכו ורחבו ועמקו שוה קצתו לקצתו כי הארבעה אשר הם מספר שוה כל צלע ממנו שנים כאשר הורכב עליהם ארבעה אחדים היה כלל שמנה ושמנה שנים בשנים עוד בשנים וזה שוה המרחקים בשלשה ר"ל האורך והרחב והעמק וכן גם כן התשעה אשר כל צלע מצלעיותיו שלשה כאשר הרכבו עליהם שני שטחים אחרים שוים להם היה הכלל כ"ז הוא הגעת מוכה ג' בג' עוד בג' וכן שאר המספרים המעוקבים כפי זה התאר והכלל הכולל בהם שכל מספר נכלל נכפל בשעור אחדיו עוד נכפל הכל בשעור אחדי המספר הראשון שנית הנה הכלל יהיה מספר מעוקב הנה כבר קרה מזה שנדע שכל מרובע פשוט הוא שטח ולו ארבע זויות וארבע צלעות וכל מעוקב לו ששה שטחים שוים ושמנה זויות שוות ושתים עשרה צלעות שוות ואמת מה שנאמר בו כי צלעות המעוקב וזויותיו ושטחיו וצלעותיו ר"ל קוויו ביחס חבוריי וזה שיחס השטחים והם ששה אל הזויות והם שמנה ביחס המוסיף שלש ויחס הזויות והם שמנה אל הצלעות והם י"ב ביחס המוסיף חצי הנה יחס השטחים והם ששה אל הצלעות והם שתים עשרה ביחס הכפל השניי ושני אלו היחסים ר"ל המוסיף חלק והכפל הם מיני היחסים הפשוטים החבורים כמו שכבר התבאר זה לפנים הנה אם כן המספר הגרמי השוה המרחקים ר"ל האורך והרחב והעומק הו המעוקב בהכרח
Scalene Numbers	הדבור במספרים הגרמיים המתחלפי המרחקים השלשה
Now we should discusses the body that is opposed to the cube, that is, the unequal in all dimensions, i.e. whose length differs from its breadth, and both together differ from its height.	וממה שראוי שנדבר עתה הוא בגרם אשר יקביל המעוקב והוא המתחלף המרחקים יחד ר"ל אשר ארכו מתחלף לרחבו והם יחד מתחלפים לגבהו
	משל זה שיהיה הרחב ב' והאורך ג' והגובה ד' או יהיה האורך ג' והרחב ד' והעומק ה'
	או זולת זה מאופני החלוף בתוספת קצת הצלעות על קצת
	וכלל המאמר שלא יהיה דבר ממרחקיו שוה למרחק אחר ממנו
	וזה המספר יקרא בשמות רבים
	מהם שאנשים יקראוהו הסולמיי מפני שיעלה בהוספה מרחבו לארכו ומארכו לגבהו
	ויקראהו אחרים הארחיי להתדמות לאריח שהוא גוף מתחלף השטחי' בשלשת מרחקיו
	וזה לך דמיון תמונתם וסדורם כפי המשכם בסדר הטבע
	תניח לוח הולך ברחב ר"ל רחב הלוח נרשם מחולק במדרגותיו מדרגות המספרים כפי סדרם בטבע
	ונניח תחתיו לוח שני יותר חסר ממנו במדרגה מצד התחלת המדרגות עוד נעמיד בכל מדרגה ממנו מה שיתקבץ מהכאת אשר למעלה ממנו מהלוח הראשון עם אשר לפניו
	ותניח גם כן תחתיהם לוח שלישי כמו הלוח השני וכפי מנין מדרגותיו ונעמיד בה תחת כל מדרגה מהלוח מה שיתקבץ ממדרגה אשר עליה ומהכאתה במדרגה השלישית אשר עליה מהלוח הראשון עד שישלם בזה הטור השלישי ויהיו מדרגותיו כלם הם מספרי הגרמים הסולמיים כפי המשכם בטבע מבלתי שיחטא בם באחד מהם בפנוי ממדרגותיהם
	ותבחן זה בזאת הצורה אשר רשמנו בכאן א ב ג ד ה ו ז ח ט י

Parallelepipedon Numbers	הדבור במספרים הגרמים הזולתיים
	ואחר שהיו שני אלו המינים ר"ל המעוקב והמתחלף הצלעות יוקבלו בהקבלת שני הקצוות אחר שהמעוקב שוה הצלעות השלשה והאחר מתחלף הצלעות השלשה הנה האמצעי בין שני אלו הם המספרים הגרמיים אשר יקראו הזולתיים האורך ר"ל אשר פשוטיהם זולתיי האורך הנה המספר הזולתי האורך כבר יאמר שהוא המספר אשר ירשם שעורו בפשוט רושם מרובע נצב הזויות ורחבו פחות מארכו אחד כמו ב' וי"ב כ' ל' מ"ב והדומה להם
	הנה כאשר שמנו לכל אחד מאלו הפשוטים הזולתיי האורך גובה באחד מצלעותיו יתילדו מזה במספרים הגרמיים הזולתיים
	וזה לך דמיון הנחתם שני טורים מהם הראשון והשני הם משלשת הטורים הקודמים בשער הוצאת המספרים הגרמיים הסולמיים א ב ג ד ה ו ז ח ט ב ו יב כ ל מב נו עב ב ד יב יח לו מח פ ק קנ קפ רנב רצד שצב תמח תקעו תרמח ונכה כל מדרגה ממדרגות הטור השני מהם בכל אחת מאשר עליה בטור הראשון ר"ל אשר עמדה מהכאת אחת מהן באחרת ונעמיד שני הכללים בשתי מדרגות נבדלות הקטנה מהן קודמת לגדולה ושתיהן תחת המדרגה הנעשית בהכאה מהטור השני וכאשר תשלים הלוח בזאת המלאכה הנה כבר שמת מדרגות הטור השלישי כפל מדרגות הטור השני וכבר העמדנו בו כל המספרים הגרמים הזולתיים כפי המשכם בסדר הטבע לא יבצר מהם אחד ואמנם אם יוסיפו קצת הצלעות על קצת ביותר מאחד ר"ל שנים או שלשה או ארבעה כמו שנים בארבעה וארבעה בששה או חמשה בשבעה או מה שלמעלה מזה לא יקרא מה שהוא כן זולתיי האורך אבל יקרא המוסיף האורך ודע שהמספרים הגרמיים הזולתיים יהיו לעולם שני שטחים משטחיהם מרובעים מקבילים ושאר שטחיהם ר"ל הארבעה שטחים הנשארי' בכל מספר גרמיי מהם הנה כל אחד מהם יהיה זולתיי האורך ויהיו ארבעת צלעותיו א ב ג ד ה ו ז ח ט י שוים על שעור ב ו יב כ ל מב נו עב צ אחד ושמנה מצלעותיו שוים על שעור אחד מתחלף לשעור הארבעה באחד אם מוסיף ואם חסר

The Discussion on the Natural Root of the Numerical “Sameness” and Numerical “Otherness”	הדבור בשורש הטבעיי להוא הוא והזולתיות המספריים
The "same" is the number, whose breadth is in the value of its length	אמנם ההוא הוא הנה הוא המספר אשר רחבו הוא ארכו בהגעה
The root of the "sameness", according to the ancients of the pythagoreans, is 1, since when it is multiplied by 1, the length is the breadth, and the product is each of them not extrinsic at all.	ואמנם היה שרש ההוא הוא אצל הקדמונים מכת פתאגורוש האחד לפי שהוא כאשר יוכה באחד היה האורך הוא הרחב והמתקבץ הוא כל אחד מהם לא יצא מעצמו כלל
The square numbers are called "same", as they partake this conception, since their length is their breadth.	עוד נקראו המספרים המרובעים הוא הויים ללקחם הדמוי מזה לפי שארכם הוא רחבם
The more appropriate among the numbers to be the root of the otherness, is the one which does not differ from the above mentioned true fundamental "same", except by one.	והיה היותר ראוי מהמספרים להיות שרש לזולתיי הוא אשר לא ישתנה מההוא הוא האמתי השרשיי הנזכר לפנים אלא באחד
Therefore, the root of the "other" numbers is necessary the second number	הנה בראוי אם כן יהיה שרש המספרים הזולתיים הוא המספר השניי

י

ט

ח

ז

ו

ה

ד

ג

ב

א

צ

עב

נו

מב

ל

כ

יב

ו

ב

תתק

תתי

תרנב

תקעו

תמח

שצב

רצד

רנב

קף

קנ

ק

פ

מח

לו

יח

יב

ד

ב

According to this the "same" and the "other" are drawn.	הנה כפי זה היו מקישים ההוא הוא והזולת
It is already clear from what was precede and explained: that the one is particular for the odd numbers, since one is always mean between its two parts.	וכבר היה שתבאר ממה שהקדמנו ובארנו שכל נפרד הנה האחד מיוחד לו אחר שבין שני חלקיו האחד לעולם
One of its two parts necessarily exceeds by one.	בהכרח הם יעדיף אחד משני חלקיו לאחד
And that the duality is particular for every even numbers, since it is divided into two similar parts.	ושכל זוג הנה השניות מיוחד לו אחר שיחלק בשני חלקים דומים נמשלים
It is necessary to say that the odd number, as it is the root of the "same", is particular for the nature of the "same".	ובראוי נאמר כי הנפרד מיוחד אחר שזאת שהוא שורש ההוא הוא מיוחד לו לטבע ההוא הוא
And the even number is particular for the "other".	והזוג מיוחד לטבע הזולת
Since, from the successive addition of the odd numbers, beginning with the one, the "same" numbers are generated, i.e. the squares, that are equal by the measure of the length and the breadth, as explained a few times.	כי בתוספת הנפרדים קצתם על קצת ובהקדים האחד בהנחה ראשונה להם יצמחו מספרי ההוא הוא ר"ל המרובעים השוים במרחק האורך והרחב כמו שבארנו זה פעמים
And from the successive addition of the natural even numbers, beginning with the two, the "other" numbers are produced.	ובתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת ובהקדים השנים ראשונה להם בהנחה יתילדו הזולתיים
The numbers that are equal by length and breadth are called "the same" numbers, as they partake the conception of the "sameness" of the one.	ואמנם קראנו אלו המספרים השוים באורך וברחב מספרי הוא הוא ללקחם דמוי הוא הוא האחד
The numbers that differ in length and breadth by one are called heteromecic, as they partake the conception of the "duality" that is actualized by the nature of the true "sameness" in the one.	וקראנו המתחלפים באורך וברחב באחד זולתיים ללקחם דמוי השניות היוצא מטבע ההוא הוא האמיתי באחד
When comparing the ranks of the "same" numbers and the ranks of the heteromecic numbers in two lines, each rank compared to its corresponding, one finds that the excess of the heteromecic rank over the corresponding "same" rank is the number from which the name the the rank is derived.	וכאשר תקביל בשני טורים בין מדרגות המספרים ההוא הויים ומדרגות המספרים הזולתיים כל מדרגה במקביליה תמצא מותר המדרגה הזולתיית על הנכחיית לה ההוא הויית הוא המניין אשר ממנו נגזר שם המדרגה
	כה יו ט ד א כ יב ו ב

Brick Numbers	הדבור על המספרים הלבניים והמגודרים
The numbers that are similar to bricks are of a species of the heteromecic solid numbers, which the measure of their four equal sides is one less than the measure of their eight equal sides.	ואמנם המספרי' הדומים ללבנים הוא המין מהמספרים הגרמיים הזולתיים אשר יהיה שעור צלעותיו הארבעה השוים פחות אחד משעור צלעותיו השמנה השוים
Those are the ranks whose explanation is written in the column of the heteromecic solid numbers.	והם המדרגות הנרשם עליהם באורם בטור המספרים הגרמיים והזולתיים
These are those whose length and breadth are equal and the height is one less than each of them.	והם אשר ארכם ורחבם שוה ויחסר הגובה מכל אחד מהם אחד
If its height exceeds the length and breadth that are equal by the excess of the heteromecic, i.e. by one, or by the excess of the oblong number, i.e. by more than one, such numbers, whose one of the three dimensions exceeds the others, are called beam solids.	ואמנם אם יוסיף בגובה על האורך והרחב השוים תוספת הזולתיי ר"ל אחד או תוספת המוסיף באורך ר"ל יותר מאחד היו מה שהיה המספר הנוסף באחד מהמרחקים השלשה הנה כל אלו יקראו מוגשמים אריחיים
Such as: $\scriptstyle{\color{blue}{3\times3\times4}}$	כמו ג' בג' בד'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5\times6}}$	או ה' בה' בו'
Or as much as one wishes, as long as the height is longer than both the length and the breadth.	או כמה שתרצה אחר שיהיה הגובה יותר ארוך מכל אחד מהאורך והרחב

The Discussion on the Circular and Spherical Numbers	הדבור במספרים הסבוביים והכדוריים
After describing the quality of the solids whose surfaces are of straight lines:	ואחר שכבר הבאנו תאר הגרמים בעלי השטחים הישרי הקוים
We say, as we said that the cube number is of equal dimensions, i.e. the length, the breadth, and the depth, it is divided into two parts:	הנה נאמר כמו שאמרנו שהמספר המעוקב הוא השוה המרחקים ר"ל האורך והרחב והעומק וזה יחלק לשני חלקים
The number that is the root of each of its surfaces, mentioned in the total surface, then mentioned in the total body recurrently, then mentioned also in the total body when multiplied by it once, or twice, or more.	אם שיהיה המספר אשר הוא שרש כל אחד משטחיו נזכר בכלל השטח עוד נזכר בכלל הגרם חוזר על עצמו עוד נזכר גם כן בכלל הגרם כאשר הוכה בו פעם או שני פעמים או יותר מזה
That which is not so.	ואם שלא יהיה כן
Those, whose roots are mentioned in their total in the pronunciation, their realization in these cube numbers, that are called spherical numbers.	הנה אשר שרשיהם נזכרים בכללם במבטא הגעתם מאלו המספרים המעוקבים הם אשר יקראו המספרים הכדוריים
Since they revolve, reversible as a sphere, to the number from which their beginning is.	אחר שיסבבו מתהפכים כמו הכדור אל המספר אשר ממנו התחלתם
Such as the cube number, whose side is 5 or 6, for as much as one multiplies one of them by the same, and the product by its root, it will be found as described.	כמו המספר המעוקב אשר הצלע מצלעותיו חמשה או ששה כי כל מה שתכה אחד משני אלו בכמהו עוד מה שיתקבץ בשרשו יהיה נמצא כמו שתארנו
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5=25}}$ the five returns, expressed in the total.	וזה שאנו אם נכה חמשה בחמשה היה המתקבץ כ"ה וישוב החמשה מבוטא בו בכלל וישוב אליו
$\scriptstyle{\color{blue}{25\times5=125}}$ the five is again expressed in the total.	עוד נכה החמשה גם כן בכ"ה ותמצא החמשה גם כן מבוטא בו בכללם והוא קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{125\times5}}$	וכן אם תכה הקכ"ה בחמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(125\times5\right)\times5}}$	ומה שהתקבץ גם כן בחמשה
It will be found always with this quality.	תמצאהו בזה התאר לעולם
So also the six in this matter, its rule is the rule of the five.	וכן גם כן הששה בזה הענין משפטם משפט החמשה
It is also found in the one, since one by the same is the same $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1}}$	וכן תמצא זה באחד כי האחד בכמהו
then by the same, and again by the same, always not extrinsic, but cyclic.	עוד בכמוהו עוד בכמהו עוד כן תמיד בלתי יוצא מעצמו אבל סובב על עצמו
Since what was described is already clear, it is said that the circular number is by multiplying the number once by itself:	ואחר שכבר התבאר מה שתארנו נאמר שהמספר הסבוביי מזה שתכה המספר פעם אחת בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{1\times1}}$	כמו א' בא'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\times5}}$	וה' בה'
$\scriptstyle{\color{blue}{6\times6}}$	וו' בו'
If it is multiplied more than once, it is a spherical number.	ואם הוכה יותר מפעם הנה הוא מספר כדורי
Since the circles are surfaces, and the spheres are bodies.	אחר שהעגולים פשוטים והכדורים גרמיים
This is the end of the discussion concerning the solid numbers.	וזה סוף המאמר על המספרים הגרמיים

Indications of the Ancients that the Beginning of Numbers is similar to the Beginning of the Universe	הדבור ברמזי הראשונים על ההתחלות המספריות הדומות להתחלות העולם
	וכבר ימשך למה שאמרנו לפנים על המספרים הזולתיים ההפרש בם מהמספרים המוסיפים באורך שאנו כבר בארנו כי הזולתיים הוא אשר אחד ממרחקיו השנים יותר מהאחד באחד
	ואמנם המוסיף הוא מה שהיתה צמיחתו כפי זה הצד אלא שתוספת אחד ממרחקיו על האחר יותר מאחד
	כמו ח' המתקבץ מהכאת ב' בד'
	וכמו י"ח אשר יתקבץ מהכאת ג' בו'
	והדומה לזה ממה שהחלוף בו בין שני המספרים אשר יוכה אחד מהם באחר ביותר מאחד
	אמר ולחלוף אלו המספרים ר"ל ההוא הויים ר"ל השרשיים והזולתיים ר"ל אשר יוסיף ארכם על רחבם יותר מאחד חודשה ההפרדה וההחלק והסתעפות מה שבמספר מהמינים
It is said that it is appropriate that the ancients began the principles of number by starting the discussion about the nature of the world.	אמר ובראוי מה שהתחילו הקדמונים הראשיות במספר בהתחילם המאמר על טבע העולם
Plato mentioned that the nature of the world is of three ends:	אם אפלאטון הנה זכר שטבע העולם משלשה גבולים
1) the same	אחד מהם ההוא הוא
2) the other	והשני הזולת
3) the substance that is indivisible	והשלישי מהעצם אשר אינו מתחלק
	וזה המאמר יישירך השם רחוק העול מאד דק הענין
	ואפלאטון ירמז בו אל ראשיות העולם
	וזה דבר חוץ ממלאכת המספר
	ולולא שאני הסכמתי שלא אערב דבר בחכמת זה הספר עבדתי זה השער
	ולולא שאני בטוח שלא ידומה עלי לאדיבות לבלתי תועלת וגם בטחוני במדרגתך היום מהעיון לא זכרתי לך שתחת זה המאמר רמז ולא שהוא רחוק העול ודק הענין
Philolaus says that all the things that exist are necessarily either limited, or limitless, or limited and limitless together.	אמר מניח הספר אמנם פילולאוש יאמר שכל הדברים אשר הם נמצאים הנה הם בהכרח אם מוגבלים נכללים ואם בלתי מוגבלים ואם מוגבלים ובלתי מוגבלים יחד
It is said: and this third saying is about the manner of the number and its image.	אמר וזה המאמר השלישי אמנם הוא מאופן המספר ודמיונו
For the number is composed of the units, and its species are even and odd, which indicate the equality and inequality, the sameness and otherness, the bound and boundless, the defined and undefined	כי המספר מורכב מהאחדים ומיניו זוג נפרד והם מורים על השווי והחלוף וההוא הויים והזולתיים וההקפה ובלתי הקפה וההגדרה ובלתי הגדרה
	ויהיה מה שנאמר מבואר יאמר שהדברים אשר הם נמצאים התילדו ועמדו מהמתנגדים המתחלפים הדומים ובראוי מה שהראו החבור וההסכמה כי החבור אמנם יהיה בלי ספק כמו שבארנו בפתיחת המאמ' הראשון מזה הספר מהדברים המתחלפים הדומים הנמצאים כי החבור אמנם הוא ערוב דברים מתחלפי הגדרים דומי הסוגים
Abū Yusūf said:	אמר אבו יוסף אמנם אמר זה המאמר והוא ימשיל המוגבל מהדברים במספרים הנגדרים שהם מוגבלים אחר שידובר בגדרם ר"ל שרשם שאחד שימנה בעצמו יחודש ויראו
	וימשיל הבלתי מוגבלים מהדברים הזולתיים שהם אלמים לא ידובר בשרש דבר מהם
	ורצה במוגבל ובלתי מוגבל יחד המוסיף האורך כי ממנו שרשי וממנו בלתי שרשיי הנה השרשיי מוגבל ובלתי שרשיי בלתי מוגבל

Properties of the Types of Numbers and their Mutual Harmony	הדבור בקצת סגולות מיני המספרים ומה שיראה בהתילדם והקבלת קצתם לקצת
	וכבר הבאנו בהקדמת מה שרצינו להקדימו
	ונראה איך יתילדו הרבה ממה שתארנו מתאר המספרים ההוא הויים והזולתיים
	וזה בשנסדר המספרים המרובעים אשר נולדו בהוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת ר"ל הנגדרים בטור
	עוד נסדר הזולתיי האורך ר"ל אשר התילדו מתוספת הזוגות המתילדים קצתם על קצת בטור שני
	כי זה האופן מן הפועל באמת כבר נראהו גלוי בטבע הכל
	ויהיה הטור כפי זה המשל
	קמד קכה ק פא סד מט לו כה יו ט ד א קנו קלב קי צ עב נו מב ל כ יב ו ב
	והוא מבואר מפליאת בעל הטבע שהראשון מהזולתיים ביחס הכפל השניי אצל הראשון מן ההוא הויים וכשני אל השני ביחס המוסיף חצי והשלישי אל השלישי ביחס המוסיף שלישי וכן הרביעי אל הרביעי ביחס המוסיף רביע וכן תמצאם תמיד יחד בכמו זה התאר
	והתבאר גם כן בשני אלו הטורים מה שכבר אמרנו במה שקדם שאנו אם לקחנו תוספת כל מדרגה מהזולתיים על נכחה מהמדרגות ההוא הויים והנחנוהו בטור שלישי כפי המשכיה מצאנו מדרגות זה הם המספרים על סדר הטבע
	וכן תמצאהו כאשר תתחיל במדרגות ההוא הויים ותשים ראש מדרגותיהם ארבעה
	עוד תוסיף תוספת כל מדרגה מהם על נכחה ממדרגות הזולתיי
	עוד תסדרם בטור שלישי כפי המשכיהם תמצא זה בסדר המספרים הטבעיים
	כי תוספת ד' על ב' ב'
	ותוספת ט' על ו' ג'
	וכן תמצאהו תמיד בזה התאר
	ואמנם אם תקיש ביניהם והם כפי זאת ההנחה ותרצה ליחסם תמצאם באותם היחסים אשר נראו בראשונה בעצמם
	וזה שד' אצל ב' בייחסם הכפל השניי
	וט' אצל ו' ביחס המוסיף חצי
	וי"ו אצל י"ב ביחס המוסיף שליש
	וכמו זה תמצאהו תמיד על צד הענין הראשון
	ואמנם תוספת מדרגות ההוא הויים קצתם על קצת הוא מבואר שהם הנפרדים הטבעים והנפרדים הטבעיים והזוגות הטבעיים ויחס הכפל ויחס המוסיף חלק
	ואמנם אם תניח הראשון מהזולתיים אמצעי בין שני הראשונים מן המרובעים ר"ל שנים בין אחד וארבעה
	ותניח השני מן הזולתיים אמצעי בין אשר אחריהם מן המרובעים ר"ל ו' בין ד' וט'
	וכן השלישי הזולתיי בין שני המרובעים אחדים אחר אשר הנחת
	וכן תעשה כל מדרגה ממדרגות הזולתיי כפי המשכם תמצא זה ביחס מדרגות זוג הזוג שעור הראשון אצל השני כשעור השני אצל השלישי
	וכן תמצא כל שלשה מספרים מהם ר"ל מאלו אשר הממצע בין כל שתי מדרגות מההוא הויים מהם מדרגה מהזולתיים כפי סדרם אשר בארנו בזה היחס
	ר"ל ששעור הראשון מן השני כשעור השני מן השלישי
	ובהפך גם כן השלישי אצל השני כשני אצל הראשון
	ומבואר שאלו המדרגות כאשר היו כפי זה הסדר לא יהיה תוספת ממדרגותיהם קצתם על קצת שוים וזה צורתו
	פא עב סד נו מט מב לו ל כה כ יו יב ט ו ד ב א
	ואמנם זוג הנפרד הנה סגולת מדרגותיו בסדורם כפי המשכם בטור מיוחד סדור המספרים הטבעיים וזה שזוג הנפרד הגעות תוספת מדרגותיו קצתם על קצת שוים
	כי תוספת י' על ו' כמו תוספת י"ד על י'
	וכן תוספת ב' על א' כמו תוספת ג' על ב'
	וישיג שני אלו יחד שיהיה האמצעי נכפל כמו שני הקצוות מקובצים וכבר בארנו זה ודומה לו במאמר הראשון
	ונאמר שהמספרים המשולשים אמנם יתחדשו מהרכבת ההוא הויים והזולתיים כל מדרגה עם נכחה על משך מדרגותיהם
	כי המדרגה הראשונה מההוא הויים והוא האחד כאשר הורכבה עם המדרגה הראשונה מהזולתיים והוא ב' יחודש המשולש הראשון בפעל והוא ג'
	וכאשר תרכיב המדרגה הראשונה מהזולתיים והיא ב' עם המדרגה השנית מהוא הויים והוא ד' יחודש המשולש השני בפעל והוא ו'
	וכן תמצא הרכבת אלו המדרגות בזה התאר תמיד
	ויראה ממה שתארנו ובארנו קודם שהמרובע כאשר יתחלף באחד משני מרחקיו לאחד באחד אם בתוספת עליו ואם בחסרון ממנו יצא אל הזולתיי
	הנה אם כן מדרגת המרובע השוה לזולתיי כמדרגת השוה להקשות החמש אשר הקדמנו זכרם אחר שאחד משני המספרים נוסף על האחר והאחד חוסר ממנו והשווי פינה להם
	וכבר אמרנו גם כן שההוא הוא האמתי הוא האחד והזולתיי האמתי הוא השניות
	עוד אחר זה כבר ידמה הנפרד להוא הוא והזוג לזולת ולזה בעצמו כבר ידמה המרובע השוה ההוא הוא אחר שהוא מורכב מהנפרדים וידמה המתחלף שני המרחקים באחד הזולתיי אחר שהוא מורכב מהזוגות
	אמנם עתה נשוב אל מה שזכרנוהו ממה שיראה משני אלו המינים ר"ל ההוא והזולת כאשר יסודר כפי הסדר אשר זכרנוהו לפנים והוא סדר שני המינים יחד בטור אחד בסדר שיהיו מדרגותיהם כן כל מדרגה מאחד משני המינים בין שתי מדרגות מהמין האחד על המשך כמו א'ב'ד' ו'ט' וכן תמיד
	הנה זה הטור כאשר יסודר זה הסדר תמצא כל שלשה מדרגות מהם כאשר השתוו ביחס יתחלפו בהגעות תוספותיהם קצתם על קצת
	וכאשר ישתוו בהגעות תוספות קצתם על קצת יתחלפו ביחס
	כי א'ב'ד' ביחס הכפל השניי אבל תוספת ד' על ב' ב' ותוספת ב' על א' א' הנה היחס אחד והתוספות מתחלפות
	אמנם שלשה המדרגות אשר הן ב'ד'ו' תוספת ו' על ד' כמו תוספת ד' על ב' אלא שהיחס יתחלף לפי שיחס ו' אל ד' בלתי יחס ד' אל ב'
	וכן גם כן שלשת המדרגות אשר הן ד'ו'ט' שהן ביחס אחד ואין התוספות שוות
	וכן גם כן שלשת מדרגות וט' י"ב בהגעות התוספות מתחלפות ביחס
	וכן תמצא כל שלשה מדרגות מזה הטור המורכב מן ההוא הויים והזולתיים כפי ההרכבה אשר תארנו לפנים בזה התאר
	ויתבאר ממה שזכרנו שכאשר היה הזולתיי וההוא הוא אלו ששני מרחקי הזולתיי יתחלפו בתוספת אחד באורך על הרחב שיהיו כל שלשה מדרגות מזה הטור שיסכימו ביחס ויתחלפו בהגעת התוספת שיהיה חלוף התוספת גם כן באחד כי ב' אשר הוא המותר בין ד' וב' יוסיף על האחד אשר הוא המותר אשר הוא בין א' וב' אחד וכן תמיד
	ונאמ' עוד שממה שיחזק עם מה שזכרנוהו קודם כי הנפרדים יותר חזקי ההאמתה בטבע ההוא ר"ל הנגדרים מה שאנחנו זוכרים אותו
	וזה שאנו נסדר המספרים אשר התחלתם מהאחד והמשכם ביחס הכפל השניי בטור כמו א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד
	ונסדר גם כן המספרים אשר התחלתם מהאחד והמשכם על יחס הכפל השלישיי כמו א'ג'ט' כ"ח פ"א רמ"ג ונמצא מדרגות הנפרדים מכל אחד משני הטורים מספרים הוא הויים ר"ל שרשיים בהכרח ר"ל שהמדרגות אשר תהיינה במקום נפרד ממנין המדרגות הגעותיהם נגדרות ואשר הם במקום זוג ממנין המדרגות הגעותיהם בלתי נגדרות
	ונאמר עוד שהמספרים הגרמיים המעוקבים אחר שהם גם כן דומים להוא הויים לפי שמרחקיהם שוים הנה הם יתילדו מהנפרדים גם כן וימצא זה בזאת התחבולה הנפלאה בטבע הנקלה במעשה
	וזה שאנו נסדר הנפרדים הטבעיים בטור
	וימצא המעוקב הראשון בכח אשר הוא האחד הוא הנפרד הראשון בכח אשר הוא א'
	והמעוקב השני בכח הוא ח' מהרכבת שתי מדרגות ימשכו לאחד מהנפרדים והם ג' וה'
	והמעוקב השלישי אשר הוא כ"ז מהרכבת שלשה מדרגות ממדרגות הנפרדים ילוו לשתי המדרגות אשר הורכב מהם המעוקב השני והם ז'ט' י"א כי כל זה כ"ז
	וכן תמצא זה תמיד כל מה שתדלג אל מעוקב תמצא כי הרכבתו ממדרגות נפרדים מנינם כמו מקומו ממנין מדרגות המעוקבים ר"ל כי המעוקב השני מהרכבת שני נפרדי' והשלישי מהרכבת שלשה נפרדים וכן מה שאחר זה אלא שכל מעוקב הנה ראש הנפרדים אשר מהם יורכב אחר סוף מדרגה מהמדרגות אשר הרכב מהם המעוקב אשר לפניו עו' המדרגות לקוחות על משך סדר הנפרדים הטבעיים הנה זה כולל המאמר על זה וצורתו כמו שתראה
	מא לט לז לה לג לא כט כז כה כג כא יט יז טו יג יא ט ז ה ג א המעוקב הששי המעוקב החמישי המעוקב הרביעי המעוקב השלישי המעוקב השני המעוקב הראשון ריו קכה סד כז ח א

Relative Quantity
The Ten Proportions	הדבור על האמצעיים העשרה
	וזה אשר יקרא אותו בעל זה הספר בערבי אלעיאד
Its meaning: a limitation of two ratios or more between two given terms.	ומשמעותו הגבלת שני יחסים או יותר מזה בין גבולים מונחים
	אם מעצמם ר"ל שתהיה ההגבלה מוצאת מעצמי הגבולים עצמם והוא יחס הבעל
	ויקרא הנדסייא להדבקותו הנדסייא קצתם אצל קצת
	ואם מיתרון והוא יחס המוסיף חלק קצתם חשבון על קצת
	ואם משני העניינים חבור יחד
	והיחס הוא ישות שעור שני גבולים מהגבולי' מונחים אחד מהם אצל האחר ובפחות מה שיהיה ההתיחסות אבל היחס ב'ב' כי היחס בלתי ההתיחסות בשלשה גבולים כמו ד' וב' וא' כי שעור ד' אצל ב' כשעור ב' אצל א' וכמו כן בהפך הנה ההגבלה הנקראת אלאיעד אשר בין א' וב' וד' הוא יחסם אחד וזה אלאיעד הוא בעצם המספר המונח עצמו וזה היחס כבר אפשר שיתוספו מספריו תמיד באחדות באשר קדם פירושינו לו יותר מפעם בספרנו זה כמו שיהיו המספרים כאשר היו ארבעה או חמשה או ששה או יותר מזה כפי מה שתרצה כמו שתניח א'ב'ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד כי אלו כלם ביחס הנזכר בין שלשת הגבולים תחלה
	ואמנם ההתיחס אשר יפול ביתרון כמו א'ב'ג' כי אין שעור האחד מב' כשעור ב' מג' אבל שעור תוספת ג' על ב' הוא השעור אשר בו יוסיף ב' על האחד וכן הוא גם כן בהפך וזה אלאיעד גם כן אם ירבו המספרים המונחים הנה כפי זה המשל ימצאו שעורי התוספת בחלוף כפי זה המשל גם כן כמו ב' וג' וד' וה' כי תוספת ה' על ג' כמו תוספת ד' על ב' וכן ימצא גם כן בהפך
all the ancients - Pythagoras, Plato and others - acknowledged three proportions:	ונאמ' שהאמצעיים אשר יודו בם כל הקדמונים ר"ל פיתאגורש ואפלאטון וזולתם הם שלשה
1) for arithmetic	האחד מהם לחשבון
2) for geometry	והשני למדות
3) for music	והשלישי לחבור הנגונים
the geometric and the harmonic proportions have three subcontrary proportions	ולאמצעי המדות והחבור מקבילים אחרים שלשה
the harmonic proportion has one contrary	לחבור הקבלה אחת
the geometric proportion has two contraries	ולמדות שתי הקבלות
these [three contrary proportions] do not have names, they are called by their numbers: fourth, fifth, sixth	אלא שהם אינם בעלות שמות כמו אלו ונקראו מהמספר ונקראו רביעי' וחמישית וששית
four other proportions were added to these six proportions constituting the ten proportions, as the perfect ten of Pytagoras	וכבר אמרו אחר זה המאמר הקדום שהאמצעיים עשרה והוסיפו על אלו הששה ארבעה אחרים להשלים האמצעיים העשרה להיות לעשרה שלמות אצל פיתאגורש
	ונדבר בתאר אלו האמצעיים
1) Arithmetic Proportion	וניחד המאמר תחלה במצוע המספריי
	ונאמ' הנה כבר נשלם מאמרנו בהיות המספר ראוי בקדימה באומניות הארבעה
	ועם זה הנה המספרים המונחים לאמצעי החשבון הם כפי סדר הטבע או מה שהיה דומה לסדר הטבע
	הנה אם כן יחוייב בהכרח שנקדים זה האמצעי על שאר האמצעיים שאחר שהיה קודם על שאר האמצעיים הקודמים הנה יותר ראוי מזה שיקדם על המקבילים להם
	הנה האמצעי המספריי יהיה כאשר תניח שלשה מספרים או יותר מזה והונחו כפי חבור הטבע ימשכו קצתם לקצת
Example: 1; 2; 3; 4; 5	כמו א"ב ג'ד'ה'
difference between each number and its preceding number = 1	כי אלו המספרים בהכרח תוספת כל אחד מהם על מה שלפניו אחד
equality of the difference	ואם תרצה לסדרם בזה היחס אשר הוא שווי היתרון
the number of the ranks between the first term and the mean term is the same as the difference between the mean term and the third term, as well as between the third term and the fourth term, and so on $\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2=a_4-a_3$	אתה תסדר המספרים הטבעיים בטור עוד תתחיל במספר אשר תרצה לשומו בגבול הראשון ותעיין כמה בינו ובין המספר אשר תרצה לשומו אמצעי מהמדרגות אשר על סדר הטבע וימשכו כמו אותו המנין מהמדרגות בין האמצעי והגבול השלישי וכן בין השלישי והרביעי או במה שתניח מהמדרגות בזה היחס
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=2;\quad a_2=4}}$	כמו שתניח הגבול הראשון ב' והגבול השני ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow d=4-2=6-4=2\longrightarrow a_3=4+2=6}}$	ואין ספק שתניח הגבול השלישי על דמיון מרחק ד' מב' והוא מרחק ו' מד' ר"ל על מרחק שתי מדרגות
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow d=8-6=2\longrightarrow a_4=6+2=8}}$	וכן אם תניח גבול רביעי היה הוא אשר ירחק מו' בשתי מדרגות והוא ח'
the succession is always with the same difference	וכפי זה הדרך תניח הגבולי' כאשר תרצה להרבותם הנה תהיה הוספתם לעולם בתוספת אחד
for one mean term - double the mean equals the sum of the two extremes: $\scriptstyle2\sdot a_2=a_1+a_3$	ובפרט זה האמצעי ר"ל אמצעי החשבון המתחייב לאלו בלתי זולתם שהגבול האמצעי מהם כשיכפל על ב' אם היו המדרגות המונחות להם אמצעי אחד ישוה שני הקצוות כאשר יקובצו
for two mean terms - the sum of the two means equals the sum of the two extremes: $\scriptstyle a_2+a_3=a_1+a_4$	אם היו המדרגות בעלות שני אמצעיים הנה קבוץ שני האמצעים כמו קבוץ שני הקצוות
second property: the ratio of each term to itself is equal to the ratio of the differences to the differences	ולהם סגולה שנית גם כן והיא שיחס כל אחד אל עצמו כמו יחס מותרי הגבולים אלו על אלו קצתם על קצת
third property - difficult and hidden from the understanding of many	עוד סגולה שלישית והיא היותר קשה ונעלמת מדעת רבים
the product of the two extremes one by the other compared to the product of the mean [by itself] is smaller by the product of the differences by each other $\scriptstyle\left(a_2\right)^2-\left(a_1\sdot a_3\right)=\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_3-a_2\right)$	והיא כי כפילת שתי הקצוות האחד על האחר כאשר נערכהו אל כפילת האמצעי הוא יותר פחות בערך כפילת מותרי הגבולים אלו על אלו בין שיהיו הגבולים נפרדים במספרם ובין שיהיו אי זה מספר שיהיה כאשר יקובצו היו יותר משני הקצוות יחד
fourth property - mentioned by the ancients	ולהם סגולה רביעית והיא ממה שזכרנוהו הראשונים מתאריהם
the ratio between the smaller terms is larger than the ratio between the greater terms	והיא שיחס אשר בין הגבולים הקטנים מהם יותר גדול מיחס אשר בין הגבולים הגדולים
Example: 2; 3; 4	כי שנים ושלשה וארבעה אשר הם בסדר זה האמצעי
$\scriptstyle a_3:a_2{\color{blue}{=4:3=1+\frac{1}{3}}}<{\color{blue}{1+\frac{1}{2}=3:2=}}a_2:a_1$	שעור ארבעה מהם והוא הגבול הגדול אצל השלשה כיחס המוסיף חלק השלישי ושעור שלשה אצל השנים והוא הגבול הקטן כיחס המוסיף חלק החציי וזה היחס גדול מהראשון כשעור תוספת החצי על השליש
it will be shown on the contrary in the harmonic proportion, in which the ratio between the greater terms is larger than the ratio between the smaller [terms]	וזה יראה ביחס הניגוניי בהפך כי היחס אשר בין הגבולים הגדולים יותר גדול מהיחס אשר הקטנים
because of that the arithmetic proportion is subcontrary to the harmonic proportion	מפני זה אמצעי המספר הם הפכים לאמצעי הנגון
the geometric proportion is mean between these contraries for [in this proportion] the ratio between the greater terms is equal to the ratio between the smaller [terms]	ואמצעי המדות הם אמצעיי בין אלו ההפכים כי יחס אשר בין הגבולים הגדולים הוא שוה ליחס אשר בין הקטנים
	זה הוא סוף המאמר על האמצעי המספרי
2) Geometic Proportion	ואמנם האמצעי המדותיי
the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third and vice versa $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longleftrightarrow a_2:a_1=a_3-a_2$	הוא כאשר יהיו שלשה מספרים או יותר מזה והיה שעור הראשון מהם אצל השני כשעור השני אצל השלישי וכן בהפך
Example: 4; 8; 16	כמו ד' ח' י"ו שהם בזה התאר בהתיחסות המדותיי
	וכבר יתחלפו אלו המספריים המונחים לאמצעי ההנדסה למספרים המונחים באמצעי המספר לפי שאלו המדרגות עצמן מתיחסות ומותרי קצתם על קצת בלתי שוה ואותן היו מותרי הם שוים ומדרגותיהם בלתי מתיחסות
	וסגלת זה האמצעי ההנדסיי כי למותרי הגבולים קצתם על קצת מהיחס כמו מה של גדולים עצמם מהיחס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(16-8\right):\left(8-4\right)=8:4=16:8=8:4}}$	כי יחס מותרי י"ו על ח' והוא ח' אל מותרי ח' על ד' והוא ד' כמו יחס י"ו אל ח' וח' אל ד'
Example: 3; 9; 27	וכן אם היו גם כן הגדולים ביחס הכפל השלישיי כמו ג' ט' כ"ז
	וכן הוא תמיד כל מה שתניח מן המדרגות באי זה מן היחסים החמש שתרצה אחר שיהיו הגבולים נמשכים ביחס והבן זה
	ולזה האמצעי סגולה שנית והוא שמונה הגבול האמצעי בעצמו וכמו שני הקצוות מוכה אחד מהם באחר
	וראוי שנשים לב למה שאמרנו לפנים שמספרי ההוא הוא והזולת בין כל מדרגה מאחד מהם ומדרגה מן האחר אמצעי על המשכם בסדר הטבע
	כמו ד'ו'ט'י"ב י"ו
	כי כל שלשה מספרים יוקחו מהם מתיחסים
	ואם יהיה הגבול הראשון מהם זולתיי יהיה שווי היתרון
	וכלל המאמ' שיפל בין כל שני מספרים הוא הויים נלוים מספר אחד זולתיי ימשך עמם על יחס בפחות מההוא הויים המעוקבים
	כי בין כל שני מעוקבים נלוים מהם שני מספרים ימשכו עמם על יחס
	כי המעוקב הראשון בפעל ח' והמעוקב השני כ"ז ובין שני אלו המספרים המעוקבים שני מספרים והם י"ח וי"ב וכבר יתיחסו אלו הארבעה ביחס אחד
	וזה ממה שיחוייב שיאמ' אותו הנה דע שכל מספר מרובע הוכה במספר מרובע הנה המקובץ מרובע
	וכל מספר מרובע יוכה במספר בלתי מרובע יהיה המתקבץ מספר מעוקב
	כמו ח' בכ"ז שהוא רי"ו כי זה מהכאות בו' עו' בו'
	ואם תכה מעוקב בזולתיי לא יתקבץ מעוקב
	כמו ח' בו' שהוא מ"ח ומ"ח אינו מעוקב ולא שטח נגדר
	ואם תכה מספר זולתיי במספר אחר זולתיי לא יחוייב שיתקבץ מרובע פשוט ולא גם כן מעוקב
	ואם תכה זוג בזוג יהיה המתקבץ זוג
	ואם תכה נפרד בנפרד יהיה מה שיתקבץ נפרד
	אמר מניח הספר וכבר באר זה אפלאטון בספרו אשר יכונה בלשון יוני כולוטיא
3) Harmonic Proportion	ואמנם האמצעי החבוריי
	הנה הוא כאשר היו שלשה מספרים מונחים ולא יהיה לקצתם אל קצת יחס אחד כמו הגבולים המדותיים לא יתרוני קצתם על קצת שוים כמו הגבולים המספרים אבל יהיה השעור הגבול הגדול אצל שעור הגבול הקטן כשעור מותר הגבול הגדול על הגבול האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן
Example: 3; 4; 6	כמו ג'ד'ו'
	וכן גם כן שעור הגדול אצל גדול שני המותרים כשעור הגבול הקטן אצל קטן שני המותרים
	וסגולת אלו הגבולים הפכים לגבולי אמצעי החשבון והמדות יחד לפי שאלו הגבולים הפכית לגבולי אמצעי החשבון והמדות יחד לפי שאלו הגבולים יחס הגבול הקטן מהם אל האמצעי גדול מיחס האמצעי אל הגדול וגבולי האמצעי החשבון יחס הקטן אל האמצעי פחות מיחס האמצעי אל הגדול
	ואמנם גבולי אמצעי המדות אם היו שלשה גבולים מהם מונחים כפי תנאם יהיו כלם ביחס אחד
	ולאמצעי חבוריי סגלה אחרת והיא שהכאת כל אחד משני הקצוות מגבוליו באמצעי מקובצים כמו כפל מה שיהיה משני הקצוות מוכה אחד מהם באחר
	ונבאר עתה איך יוצא הגבול השלישי לכל אחד מאלו השלשה אמצעיים כאשר היו שני חלקים מהם מונחים
	וזה שאם היו שני חלקים מאמצעי החשבון נלוים מונחים ונבקש הגבול השלישי
	הנה אנו נשימהו אם היה הדרוש הגבול הגדול מספר ששעור תוספתו על האמצעי כשעור תוספת האמצעי על הקטן
	ונמצא גם דרך אחרת הגבול השלישי כאשר היה הגדול כאשר נכפול האמצעי עוד נשליך ממנו הגבול הקטן ומה שישאר הוא הגבול הגדול
	הנה כבר נאמ' שאמצעי החשבון היא אשר יוסיפו גבוליו קצתם על קצת בשוה ואינם מתיחסים הגבולים
	ואמרנו שכפל האמצעי מגבוליו כמו שני קצוותיו יחד
	וכדמיון זה נוציא הגבול הקטן אם היה הדרוש וזה שאנו נשים הגבול הקטן מספר יהיה חסרונו מהאמצעי כשעור חסרון האמצעי מהגדול או בכפל האמצעי הנה נשליך ממנו הגבול הגדול ומה שישאר הוא הגבול הקטן
	אמנם אם היה הדרוש באמצעי אנו נקח חצי שני הקצוות מקובצים והוא האמצעי
	ואמנם איך יוצא הגבול השלישי אל אמצעי המדות
	הנה אם היה דרושנו הגבול הגדול אנו נשימהו מספר יחס האמצעי אליו כיחס הקטן אל האמצעי
	או נכה האמצעי בעצמו ומה שיצא נחלקהו על הגבול הקטן ומה שיצא בחלוק הוא הגבול הגדול
	וכבר בארנו לפנים שאמצעי המדות הוא אשר גבוליו מתיחסים ואין תוספתם שוה
	ובארנו הכאת שהאמצעי בעצמו כמו שני הקצוות מוכה אחד מהם באחר כי המספר אשר יצא מחלוקת אותו המספר על אחד משני המספרים המוכה אחד מהם באחר שוה לאשר לא יחלק עליו מהם
	ואם היה הדרוש הגבול האמצעי הנה אנו נקח שורש המתקבץ מהכאת אחד משני המספרים באחר ונשימהו האמצעי
	ואמנם איך נוציא הגבול השלישי מאמצעי החבור
	הנה אין אחד משני גבולי הקצוות אפשרי להוציאו וזה שיצטרך בהוצאת כל אחד מהם אל שתי ידיעות מוסכלות מארבעה מתיחסים חלוקים ביחס אחד מהם בגבול המוסכל עצמו והשני מותר הגבול המוסכל על הגבול האמצעי אם היה הגבול המוסכל הוא הגבול הגדול
	או מותר האמצעי על הקטן אם היה המוסכל הוא הקטן
	ואמנם הוצאת האמצעי הנה כבר נודע שהוא כאשר לוקח מותר הגדול על הקטן וחולק בשני חלקים יחס א' מהם אל האחר יחס הגדול אל הקטון כי הקטון משני חלקי המותר כאשר נוסף על הקטן משני הקצוות היה המתקבץ הוא האמצעי וכאשר חוסר החלק הגדול משני חלקי המותר מהגבול הגדול היה גם כן הוא האמצעי
	ואמנם אופן אחר ההכאה בם אנו נכה אחד משני הקצוות באחר ועוד נכפל מה שיתקבץ ונחלק מה שיתקבץ על שני הקצוות מקובצים ומה שיצא מהחלוקה הוא האמצעי וזה מספיק בתאר האמצעים השלשה המפורסמים אצל הקדמונים
	ואמנם הנשארים נקצר המאמר עליהם למעוט השתמש הקדמונים מהם
4) Fourth Proportion	האמצעי הרביעי הוא הראשון מהשבעה האמצעים הנשארים
opposite to the harmonic proportion	והוא אשר יאמר לו מקביל האמצעי החבוריי
$\scriptstyle\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_3:a_1$	והוא שיהיו שלשה גבולים יחס מותר האמצעי על הקטן אל מותר הגדול על האמצעי כיחס הגדול אל הקטן
Example: 3; 5; 6	כמו ג'ה'ו'
Its property: $\scriptstyle 6\sdot5=2\sdot\left(3\sdot5\right)$ [the general property $\scriptstyle a_3\sdot a_2=2\sdot\left(a_1\sdot a_2\right)$ is incorrect]	וסגולת זה האמצעי הוא שהכאת הגדול באמצעי כפל הקטן באמצעי
5) Fifth Proportion	והאמצעי החמשי
one of the two proportions that are opposite to the geometrical proportion	והוא אחד משני המקבילים לאמצעי המדותיי
$\scriptstyle\left(a_3-a_2\right):\left(a_2-a_1\right)=a_1:a_2$	הוא כאשר יהיו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן כיחס הקטן אל האמצעי
Example: 2; 4; 5	כמו ב'ד'ה'
Its property: $\scriptstyle 5\sdot4=2\sdot\left(5\sdot2\right)$ [the general property $\scriptstyle a_3\sdot a_2=2\sdot\left(a_3\sdot a_1\right)$ is incorrect]	וסגלת זה שמה שיתקבץ מהכאת הגדול באמצעי כפל המתקבץ מהכאת הגדול בקטן
[$\scriptstyle\longrightarrow a_2:a_1=2$ is also incorrect]	ויתחייב מזה שיהיה לעולם יחס האמצעי אל הקטן הוא יחס הכפל
6) Sixth Proportion	ואמנם האמצעי הששי
second of the two proportions that are opposite to the geometrical proportion	והוא השני לשני המקבילים לאמצעי המדותי
$\scriptstyle\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_3:a_2$	הנה הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר האמצעי על הקטן אל מותר הגדול אל האמצעי כיחס הגדול אל האמצעי
Example: 1; 4; 6	כמו א'ד'ו'
Its property: $\scriptstyle\left(a_2-a_1\right)\sdot a_2=\left(a_3-a_2\right)\sdot a_3$	וסגלת זה שמה שיתקבץ מהכאת המותר הגדול בגבול האמצעי שוה למה שיתקבץ מהכאת המותר הקטן בגבול הגדול
the first three proportions were used from Pythagoras until Plato	הנה האמצעים הנעשים מאחר פיתאגוריש עד זמן אפלאטון הם השלשה הראשונים
the other three are their opposites	ואלו השלשה האחרים הם מקבילים
the four remaining were mentioned by the contemporaries and found to a small extent in the writing of the ancients	ואמנם הארבעה הנשארים אשר זכרום החדשים ומעט מה שימצאו בספרי הקדמונים
since they were mentioned they must be mentioned here - lest the author will be considered ignorant concerning them	וכאשר נזכרו זכר פשוט כבר יחוייב שנזכירם כדי שלא יחשוב חושב שאנו עזבנום להכלותנו בם והם אלו
7) Seventh Proportion	האמצעי השביעי
$\scriptstyle\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)=a_3:a_1$	הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על הקטן אל מותר האמצעי על הקטן כיחס הגדול אל הקטן
Example: 6; 8; 9	כמו ו'ח'ט'
8) Eighth Proportion	והאמצעי השמיני
$\scriptstyle a_3:a_1=\left(a_3-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)$	הנה הוא כאשר היתה הנחת הגבולים כן יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר הגדול על הקטן אל מותר הגדול על האמצעי
Example: 6; 7; 9	כמו ו'ז'ט'
9) Ninth Proportion	והאמצעי התשיעי
$\scriptstyle\left(a_3-a_1\right):\left(a_2-a_1\right)=a_2:a_1$	הוא כאשר היו שלשה גבולים יחס מותר הגדול על הקטן אל מותר האמצעי על הקטן כיחס האמצעי אל הקטן
Example: 4; 6; 7	כמו ד'ו'ז'
10) tenth Proportion	אמנם האמצעי הי'
$\scriptstyle\left(a_3-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_2:a_1$	כאשר היו ג' גבולי' יחס מותר הגדול על הקטן אצל מותר הגדול על האמצעי כיחס האמצעי אל הקטן
Example: 3; 5; 8	כמו ג'ה'ח'
	והנה השלמנו כלם בזאת הצורה

The Perfect Proportion that encompasses the body	הדבור באמצעי השלם המקיף במוגשם
The proportion that has three terms, as the boundary of its ends is composed of two intervals, which are:	האמצעי בעל הג' גבולי' מפני שהקפת תכליותיו מורכבת מב' המרחקי' והם
the interval of what is between the greater and the mean.	מרחק מה שבין הגדול והאמצעי
the interval of what is between the mean and the smaller	ומרחק מה שבין אמצעי והקטן
As these in the surface that is composed of length and breadth.	כמו אותם אל הפשוט אשר הוא מורכב מהארך והרחב
The proportions that are imagined in the body are more perfect proportions, and it is impossible that there would be a proportion that deserves to be named perfect more than them, as the perfection of the body ends, since it is impossible by nature that it will receive addition to the three dimentions, which are the length, the breadth, and the depth.	ואמנם האמצעי' המדומים בגשם הנה הם יותר שלימי' האמצעיים וא"א להיות אמצעי יותר ראוי בשם השלימות מהם כמו שהמוגשם כבר יכלה שלמותו אחר שאי אפשר בטבע שיקבל תוספת על המרחקי' הג' אשר הם הארך והרחב והעומק
Therefore, the proportion that has four terms, as the boundary of its ends is composed of three intervals, which are:	הנה א"כ האמצעי בעל הד' גבולים מפני שההקפה אשר לתכליותיו היא מורכבת מג' מרחקים והם
the interval of what is between the first and the second.	מרחק מה שבין הראשון והב'
the interval of what is between the second and the third.	ומרחק מה שבין הב' לשלישי
the interval of what is between the third and the fourth.	ומרחק מה שבין הג' לד'
	היה בדין ובראוי הוא האמצעי השלם הדומה במוגשם ובדין לו זה הדמיון כי היו מרחקי הגשם הג' אמנם עמדו מד' גבולי' והם האחדות והצלע והפשוט והגשם
	כי מרחק מה שבין האחדות והגשם הוא המוגשם עצמו והוא מורכב מהג' רחקי' אשר הם מרחק מה שבין האחדות והצלע ומרחק מה שבין הצלע והפשוט ומרחק מה שבין הפשוט והגשם
	וכן האמצעי השלם בעל הד' גבולי' הוא הקפת תכליותיו ותמצא אותה ההקפה מורכבת מג' המרחקים אשר הם מרחק הגבול הראשון מהב' ומרחק הב' מהג' והמרחק הג' מהד'
	וכבר הניח ניקומכוש לזה האמצעי השלם המוגשם המקיף דמיון משל א' הראנו כי ההקפה בסגולות האמצעיי' הג' ר"ל אמצע החשבון ואמצע המדות אמצע החבור וזה צורתו המשל שהביא ניקומאכוש ו ח ט יב
The property of the arithmetic proportion that exists in this perfect proportion that encompasses the body, is seen in three of the terms, which are the first, the third, and the fourth [= 6; 9; 12], since the excess of the fourth over the third is the excess of the third over the first; also the sum of the first and the fourth is as double the mean, and this is the mentioned property. Since this is so, all the properties mentioned above for the arithmetic proportion are undertaken by it. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_4-a_3=12-9=9-6=a_3-a_1}}$] [$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_4=6+12=2\sdot9=2\sdot a_3}}$]	ואמנם סגולת האמצעי החשבון הנמצאת בזה האמצעי השלם המוגשם המקיף הנה יראה בג' גבולי' מהם והם הראשון והג' והד' וזה לפי שמותר הרביעי על הג' הוא מותר הג' על הראשון ושהראשון והד' מקובצים כמוכפל האמצעי והיא הסגולה שזכרנו וכאשר היה זה כן הנה כבר יתחייבו לו כל הסגולות אשר קדם זכרם לאמצע החשבון
The property of the geometric proportion that exists in this perfect proportion that encompasses the body, is seen in the four terms together [= 6; 8; 9; 12], when the first is related to the third, and the second to the fourth. This is because the ratio will then be one, and the product of the two extremes one by the other is as the product of the two means one by the other. Since this is so, the rest of the properties that exist in the geometric proportion are undertaken by it. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_3=6:9=8:12=a_2:a_4}}$] [$\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_4=6\sdot12=8\sdot9=a_2\sdot a_3}}$]	ואמנם סגולת אמצע המדות הנמצאת בזה האמצעי השלם המוגשם המקיף תראה בגבולי' הד' יחד כאשר יוחס הראשון אל הג' והב' אל הד' וזה לפי שהיחס יהיה אז אחד ויהיה מוכה ב' הקצוות א' מהם באחר כמוכה ב' האמצעיי' א' מהם באחר וכאשר היה זה כן יתחייבו לו שאר הסגולות הנמצאות לאמצעי המדות
The property of the harmonic proportion that is found in this perfect proportion that encompasses the body, is seen in three of these terms, as seen in the arithmetic proportion, and the evidence of this is when the fourth is related to the second, and the second to the first [= 6; 8; 12], for then the ratio of the excess of the fourth over the second to the fourth is as the ratio of the excess of the second over the first [to the first]. Since this is so, the rest of the properties that exist in the harmonic proportion are also undertaken by it. [$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_2\right):a_4=\left(12-8\right):12=\left(8-6\right):6=\left(a_2-a_1\right):a_1}}$]	ואמנם סגולת האמצעי החבור אשר תמצא בזה האמצעי השלם המוגשם המקיף תראה בג' מגבוליו כמו שנראה באמצעי החשבון והראות זה יהיה כאשר ייוחס הד' אל הב' והב' אל הראשון כי יהיה אז יחס מותר הד' על הב' אל הד' כיחס מותר הב' על הראשון וכאשר היה זה כן הנה יתחייבו לו ג"כ שאר הסגולות הנמצאו' אל אמצעי החבור
	ואמנם נראו סגולות אמצעי החשבון בג' גבולים וסגולות אמצעי החבור בג' גבולים וחלוף זה הראות סגולות אמצעי המדות כאשר השתמש בהראותם ד' גבולי' יחד לפי שהמדה באלו היא אמצעית בין ב' המלאכות האחרות ותקח הראוי מהן יחד והנה יתקבץ בם מה שתפריש בם
	וזולת זה אנו נאמר כי כבר יראה בזה האמצעי השלם המוגשם המקיף כל ההסכמות הנמצאות במלאכת החבור
The diatessaron, which is in the sesquitertian ratio, is seen in the ratio of the first to the second, as well as the ratio of the third to the fourth. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_2:a_1=8:6=1+\frac{1}{3}=12:9=a_4:a_3}}$]	אם ההסכמה בד' והיא על יחס דמיון ושליש תראה מהקשת הראשון אל הב' ותרא' ג"כ מהקשת הג' אל הד'
The diapente, which is in the sesquialter ratio, is seen in the ratio of the first to the third, as well as the ratio of the second to the fourth.. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_3:a_1=9:6=1+\frac{1}{2}=12:8=a_4:a_2}}$]	ואמנם ההסכמה בחומש והוא על יחס דמיון וחצי תרא' מהקשת הראשון אל הג' ותראה גם כן מהקשת השני אל הרביעי
The diapason, which is in the double ratio, is seen in the ratio of the first to the fourth. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_4:a_1=12:6=2}}$]	ואמנם ההסכמה בכל והוא על יחס הכפל השניי תראה מהקשת הראשון אל הד'
The interval of a tone, which is in the superoctave ratio, is seen in the ratio of the second and the third. [$\scriptstyle{\color{blue}{a_3:a_2=9:8=1+\frac{1}{8}}}$]	ואמנם הזמן והוא על יחס דמיון ושמינית תראה מהקשת מה שבין הב' והג'
This interval of a tone is a measure common to all melodies, and it is the smallest interval in the melodies.	וזה הזמן הוא שעור משותף לכל הליחנים והוא הפחות שבמרחקים המקבילים בליחנים להחלק
It is the difference between the diapente and the diatessaron, as the superoctave is the difference between the sesquialter and the sesquitertian [$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):\left(1+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{8}}}$]	והוא היתרון אשר בין ההסכמה בחומש וההסכמה בד' כמו שהשמינית הוא המותר בין המוסיף חצי ובין המוסיף שליש
	וכבר השלמתי לך איך יראו אלו ההסכמות מזה האמצעי השלם המקיף המוגשם בצורה זו
	תם ונשלם שבח לכל בורא עולם]

Appendix: Bibliography

Nicomachus of Gerasa
2nd century C. E
’Αριθμητικής είσαγωγής βιβλία β – Introduction to Arithmetic

Critical Edition:

• Nicomachus of Gerasa. Introduction to Arithmetic. trans. Martin L. D'Ooge. Chicago IL: Encyclopaedia Britannica, 1955.[Great Books of the Western World, vol.11], pp. 811 – 848.
  

– Hebrew translation –
Qalonymos ben Qalonymos (known as Maestro Calo or Callus)
South of France, 1286/7-after 1329
Sefer ha-Aritmitiqa / Aritmaiti
1317

Manuscripts:

1) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 1r-54r (15th century)

2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/14 (IMHM: f 1166), ff. 144r-164r (Istanbul, 1485)

3) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2449/2 (IMHM: f 28702), ff. 107r-153r (15th century)

4) Paris, Bibliothèque Mazarine 4478/1 (IMHM: f 4414), ff. 194-296 (15th century)

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1028/1 (IMHM: f 15720), ff. 1r-54r (1342)

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/1 (IMHM: f 15721), ff. 1r-30v (15th – 16th century)

7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1093/2 (IMHM: f 15043), ff. 127r-155v (15th century)

8) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1095/8 (IMHM: f 15045), ff. 177-226 (15th century)

Bibliography:

• Freudenthal, Gad et Lévy Tony. 2004. De Gérase à Bagdad: Ibn Bahriz, al-Kindi, et leur recension arabe de l’Introduction arithmétique de Nicomaque, d’après la version hébraïque de Qalonymos ben Qalonymos d’Arles, In R. Morelon et A. Hasnawi eds. De Zénon d’Elée à Poincaré. Recueil d’études en hommage à Roshdi Rashed. Louvain-Paris. pp. 479-544.
• Freudenthal, Gad and Mauro Zonta. 2007. Remnants of Habīb ibn Bahrīz’s Arabic translation of Nicomachus of Gerasa’s Introdaction to Arithmetic, in Y. Tzvi Langermann and Josef Stern eds. Adaptations and Innovations: Studies on the interaction between Jewish and Islamic thought and literature from the early Middle Ages to the late twentieth century, dedicated to Professor Joel L. Kraemer. Paris, Louvain and Dudley: Peeters, 2007. pp.67-82.
• ———. 2009. Nicomachus of Gerasa in Spain, Circa 1100: Abraham bar Ḥiyya’s Testimony, Aleph 9.2 (2009), pp. 189-224.
• Langermann, Y. Tzvi. 2001. Studies in Medieval Hebrew Pythagoreanism: Translations and Notes to Nicomachus; Arithmological Texts, Micrologus IX, pp. 219–36.
• Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 200-214.
• Steinschneider, Moritz. 1894. Miscellen 26. Nikomachus, Arithmetik, Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 38, pp. 68–77.
  

– Summary –
Manuscript:

• Oxford, Bodleian Library MS Mich. 29/3 (IMHM: f 20994), ff. 131v-158r (cat. Neub. 2302, 3; 18th century)
  

– Commentaries on the Introduction to Arithmetic by Nicomachus –

Caleb Afendopolo
Constantinople, 1499

Manuscript:

• Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Qu. 760 (IMHM: f 1742) (1499)
  

Bibliography:

• Steinschneider, Moritz. 1896. Miscellen 36. Kaleb Afednopolo's encyklopädische Einteilung der Wissenschaften, Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 40, pp. 90–94.
  

A certain Yosef

Manuscript:

• Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 340/1 (IMHM: f 47750), ff. 2r-18v (16th century)
  

Abraham Yerushalmi

Manuscripts:

• Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 340/2 (IMHM: f 47750), ff. 19r-23r (16th century)