Difference between revisions of "ספר החשבון לאל חצאר"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Chapter Sixty Seven – Multiplication of Integer and Fraction of Fraction and Fraction by the Same)
(→‎Chapter Sixty Six – Multiplication of Integer and Fraction of Fraction by the Same)
Line 6,220: Line 6,220:
 
!style="text-align:right;"|<big>שער ששה וששים בהכאת השלם והשברים בחסרון הוו&#x202B;'</big>
 
!style="text-align:right;"|<big>שער ששה וששים בהכאת השלם והשברים בחסרון הוו&#x202B;'</big>
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]</math>
+
|
 +
*<math>\scriptstyle\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]</math>
 
|style="text-align:right;"|כשיאמר לך הכה שלשה ושלשה חומשי חמשה שתותים בארבעה ושתי שביעיות שלש שמיניות
 
|style="text-align:right;"|כשיאמר לך הכה שלשה ושלשה חומשי חמשה שתותים בארבעה ושתי שביעיות שלש שמיניות
 
|-
 
|-
Line 6,227: Line 6,228:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
{|
+
:{|
−
|style="text-align:center;"|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\ 3}{6\ 5}3}}</math>
+
|style="text-align:center;"|<math>\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 3}{6\ 5}3}}</math>
 
|-
 
|-
−
|style="text-align:center;"|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 2}{8\ 7}4}}</math>
+
|style="text-align:center;"|<math>\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 2}{8\ 7}4}}</math>
 
|}
 
|}
  
Line 6,236: Line 6,237:
 
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 
|-style="text-align:center;"
 
|-style="text-align:center;"
−
|<u>ה</u>||<u>ג</u>|| rowspan="2" |ג
+
|<u>ג&nbsp;ה</u>|| rowspan="2" |ג
 
|-style="text-align:center;"
 
|-style="text-align:center;"
−
|ו||ה
+
|ה&nbsp;ו
 
|-
 
|-
−
|<u>ג</u>||<u>ב</u>|| rowspan="2" |ד
+
|<u>ב&nbsp;ג</u>|| rowspan="2" |ד
 
|-
 
|-
−
|ח||ז
+
|ז&nbsp;ח
 
|}
 
|}
  
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)+\left(3\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot7\sdot8\right)+\left(2\sdot3\right)\right]}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=\frac{105\sdot230}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=14+\frac{3}{8}</math>
+
|
 +
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)+\left(3\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot7\sdot8\right)+\left(2\sdot3\right)\right]}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=\frac{105\sdot230}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=14+\frac{3}{8}}}</math>
 
|style="text-align:right;"|אחר כן תקח השלשה השלמים אשר בתחלת השאלה ותכם בכל השטה בחמשה תחלה ומה שהתקבץ בששה ותניחהו לצד אחר כן הכה מה שעל הקו קצתן בקצת ותחברהו אל אותו המספר המוצנע יתקבץ בו חמשה ומאה ויתקבץ מן השטה השנית על זה המעשה שלישים '''ושתי שלישיות''' והכה אחד משניהם בשני וחלק על הסכום יצא ארבעה עשר ושלש' שמניות וזה צורתם&#x202B;:
 
|style="text-align:right;"|אחר כן תקח השלשה השלמים אשר בתחלת השאלה ותכם בכל השטה בחמשה תחלה ומה שהתקבץ בששה ותניחהו לצד אחר כן הכה מה שעל הקו קצתן בקצת ותחברהו אל אותו המספר המוצנע יתקבץ בו חמשה ומאה ויתקבץ מן השטה השנית על זה המעשה שלישים '''ושתי שלישיות''' והכה אחד משניהם בשני וחלק על הסכום יצא ארבעה עשר ושלש' שמניות וזה צורתם&#x202B;:
 
|-
 
|-
−
|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{0\ 0\ 0\ 3}{3\ 5\ 7\ 8}14}}</math>
+
|
 +
:<math>\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 0\ 3}{3\ 5\ 7\ 8}14}}</math>
 
|
 
|
 
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 
|-style="text-align:center;"
 
|-style="text-align:center;"
−
|<u>0</u>||<u>0</u>||<u>0</u>||<u>ג</u>|| rowspan="2" |דא
+
|<u>ג&nbsp;&#x202B;0&nbsp;&#x202B;0&nbsp;&#x202B;0</u>|| rowspan="2" |דא
 
|-style="text-align:center;"
 
|-style="text-align:center;"
−
|ג||ה||ז||ח
+
|ח&nbsp;ז&nbsp;ה&nbsp;ג
 
|}
 
|}
  

Revision as of 20:30, 26 October 2017

ספר החשבון לאלחצאר

Contents

Prologue
אמר המלמד אבו בכר מחמד בן עבד אללה בן עבאס בן חצאר‫:
תהלה לאל אשר אין אלוה בלעדיו בורא כל ויודע כל ומקיף על כל דבר ידיעה ומונה הכל במספר
ואחר ההודאה לשם המדריך אל היושר ואל הסדר
הנה אני מפני שראיתי החוכמו' והמוסרים
וראיתי כי היותר נכבדת מהם חכמת המספר והחשבון אחר ידיעת הדת והתורה
והנה האל שם במספר רמז למגיע בו אל ידיעת אחדותו וסדר בריאותיו
ולדעת בו כל דבר סתום ונסתר
להיות הישרה למתחילים וזכרון לשלמים
חברתי הספר הזה
וכל מה שחיברתי בו וספרתיו
וביארתיו ופרשתיו
הנה ממאמרי החכמים לקחתיו
וספרי הקודמים קבצתיו ואספתיו
ובהקשיהם האמתיים הוצאתיו והולדתיו
ומאלהים אשאל לשמור אותי מן הטעות והשגיאה
ולהדריכני אל היושר והצדק במאמר ובמעשה
כי אין אלוה זולתו
ואין נעבד בלתו

Table of Contents

 וסדרתי החבור הזה לשערים‫:
השער הראשון מהם אזכור בו כל מעשה המספר השלם
השער השני אזכור בו כל מעשה השברים
ואולם השער הראשון והוא אשר אזכור בו כל מעשי המספר השלם הנה הוא יחלק אל עשרה שערים
השער הראשון מהם במדרגות המספר ושמותיהם
השער השני בצורות האבק ושמושו על מדרגות המספר
השער השלישי בקבוץ המספרים קצתם עם קצת
השער הרביעי בהשליך המספרים קצתם מקצת
השער החמישי בהכאה
השער השישי ביחס בלקיחת השם והוא אלתסמיה בער‫'
השער השביעי בחילוק
השער השמיני באלפלג הוא אלתמסיאה נ' בחצות
השער התשיעי בכפילה
השער העשירי בהגדרה נ' בלקיחת השורש

Section One – Integers

Chapter One – Numeration

 השער הראשון במדרגות המספר ושמותיו
The twelve names of numbers דע כי שמות המספר הם שתים עשרה שמות‫:
Units
  • One
 הראשון האחד אשר הוא שורש המספר ותכליתו וצמיחתו
  • Two
 אחר כן תוסיף על האחד אחד אחר והיה זה שנים והוא ראשית המספר כי האחד אינו מספר ואילו השנים הם ההרכבה הראשונה
  • Three
 אחר כן הוסף על השנים אחד ונקרא זה שלשה
  • Four
 אחר כן הוסף על השלשה אחד ונקרא זה ארבעה
  • Five
 אחר כן הוסף על הארבעה אחד ונקרא זה חמשה
  • Six
 אחר כן הוסף אל החמשה אחד ונקרא זה ששה
  • Seven
 אחר כן הוסף על הששה אחד ונקרא זה שבעה
  • Eight
 אחר כן הוסף על שבעה אחד ונקרא זה שמנה
  • Nine
 אחר כן הוסף על שמנה אחד ונקרא זה תשעה
ואלו המספרים התשעה הם האחדים והם המדרגה הראשונה
Tens
  • Ten
 אחר כן הוסף אחד על התשעה ונקרא זה עשרה ואלו העשרה הוא ראשית העשרות והם במדרגת העשרות כמדרגת האחד באחדים
  • Twenty
 אחר כן הוסף על העשרה עשרה שנית ונקרא זה עשרים
  • Thirty
 אחר כן הוסף על העשרים עשרה ונקרא זה שלשים
  • Forty
 אחר כן הוסף על השלשים עשרה ונקרא זה ארבעים
  • Fifty
 אחר כן הוסף על הארבעים עשרה ונקרא זה חמשים
  • Sixty
 אחר כן הוסף על החמשים עשרה ונקרא זה ששים
  • Seventy
 אחר כן הוסף על הששים עשרה ונקרא זה שבעים
  • Eighty
 אחר כן הוסף על השבעים עשרה ונקרא זה שמונים
  • Ninety
 אחר כן הוסף על השמונים עשרה ונקרא זה תשעים
ואלו התשע עשרות הם שמות לקוחים מן הדומים להם מן האחדים:
כי העשרה הוא כמו האחד באחדים
והעשרים כמו השנים באחדים
והשלשים כמו השלשה באחדים
והארבעים כמו הארבעה באחדים
והחמשים כמו החמשה באחדים
והששים כמו הששה באחדים
והשבעים כמו השבעה באחדים
והשמנים כמו השמונה באחדים
והתשעים כמו התשעה באחדים
ואלו המדרגות עד תשעה הם מדרגת העשרות והוא המדרגה השנית
אחר כן הוסף על התשעים עשרה ונקרא זה מאה והוא ראשון למדרגת המאות כמו האחד באחדים וכמו העשרה בעשרות
אחר כן הוסף על המאה מאה שני ונקרא זה מאתים ואלו המאתים כמו שנים באחדים וכמו עשרים בעשרות
וכן ההרכבה הזאת יהיו השלש מאות והארבע מאות והחמש מאות והשש מאות והשבע מאות והשמונה מאות והתשע מאות
ואלו השמות כולם אמנם הם לקוחים מדומיהם באחדים כלומ' המאה כמו אחד באחדים והמאתים כמו שנים באחדים וכן עד תשע מאות כמו תשעה
ואלו המדרגות התשע הן גם כן מדרגות המאות והיא המדרגה השלישית
אחר כן הוסף על התשע מאות מאה אחת והיה זה אלף והאלף הזה כמו אחד באחדים וכמו עשרה בעשרות וכמו מאה במאות
אחר כן הוסף על האלף אלף אחד ונקרא זה אלפים ואלו האלפים כמו שנים באחדים וכמו עשרים בעשרות וכמו מאתים במאות
וכן שלשת אלפים וארבעת אלפים וחמשת אלפים וששת אלפים ושבעת אלפים ושמונת אלפים ותשעת אלפים כמו תשעה
ואלו התשעה הם מדרגת האלפים והיא המדרגה הרביעית
הנה כבר הושם המספר על שתים עשרה שמות והם התשעה שמות אשר לאחדים והעשירי לעשרות והאחד עשר המאות והשתים עשרה האלפים
ומה שלמעלה מזה אמנם הוא מורכב מאלה השמות
וזה כי האלפים הושמו כמו האחדים
ועשרות האלפים הושמו כמו העשרות
ומאות האלפים הושמו כמו המאות
עוד אחר זה נאמר בו אלף אלפים כפולים
עוד אחר זה ישוב אל העשרות מהם ויאמר בזה עשרות אלף אלפים
עוד אחר זה ישוב אל המאות ויאמר בזה מאות אלף אלפים
עוד יכפל כפל אחר ויאמר בו אלף אלפי אלפים כפולים אלף פעם ומה שהתקבץ אלף פעם והתקצר זה להראות הענין ונאמר בו אלף אלפי אלפים
וכן אל מה שאין תכלית לו מן המספר
הנה כבר התבאר מזכרנו אלו המדרגות כי אחר שלש מדרגות יפלו האלפים ואחר שלש מדרגות יגיע אל אלף אלפים ואחר שלש מדרגות יגיע אל אלף אלפי אלפים
וכן יכפל אל מה שאין לו תכלית מאחר שלש מדרגות
First Rank: Units ומפני שהיו האחדים במדרגה הראשונה נאמר בה אחדים כלומ' היא המדרגה הראשונה שמה אחד
Second Rank: Tens והעשרות שמה שנים כלומר היא המדרגה השנית
Third Rank: Hundreds והמאות שמם שלשה כלומ' הם במדרגה השלישית
Fourth Rank: Thousands וכן האלפים שמם ארבעה כלומר הם במדרגה הרביעית
Fifth Rank: Tens of Thousands וכן עשרות האלפים הם חמשה כלו' הם במדרגה החמשית
Sixth Rank: Hundreds of Thousands וכן מאות האלפים שמם ששה כלומ' הם במדרגה השישית
Seventh Rank: Thousands of Thousands וכן אלפי האלפים שמם שבעה כלומ' הם במדרגה השביעית
Eighth Rank: Tens Thousands of Thousands ועשרות האלף האלפים שמם שמנה כלומ' הם במדרגה השמינית
Ninth Rank: Hundreds Thousands of Thousands ומאות האלף אלפים שמם תשעה כלומ' הם במדרגה התשיעית
Tenth Rank: Thousands Thousands of Thousands ואלף אלפי אלפים שמם עשרה כלומ' הם במדרגה העשירית
וכן אל מה שאין תכלית לו
ובעלי החשבון יקראו השער הזה שער היסוד והוא שער המדרגות ג"כ והבין זה

Chapter Two – Positional Decimal System

 השער השני בצורות האבק ושמושו על דמיון המספר
Units דע כי אותיות האבק אשר ישתמשו אצלנו בחשבון הם תשע אותיות ולהם צורות מתחלפות על הצורה הזאת‫:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 א ב ג ד ה ו ז ח ט
הנה הם תשע צורות ולהם תשע מדרגות כמו האחדים אשר הם מאחד ועד תשעה וכמו העשרות אשר הם מעשרה ועד תשעים
Tens וכאשר תרצה לצייר העשרה הנה כבר ידענו כי העשרה הם במדרגה השנית מן המספר ויצטרך שיקדם במדרגת האחדים דבר יחזיק המדרגה כדי שיודע בו כי מדרגת האחדים אין בה דבר
  • Zero
 והסכימו בעלי החשבון שישימו בה צפר והיא תמונת עגולה קטנה אחר כן ישימו אל מה שילוה לצפר מצד השמאל ויהיה זה צפר
10 העשריה צפר ואחד על זאת הצורה: 0א
20 ואם הושם במקום האחד שנים נאמר בו עשרים מפני שהם שנים במדרגה השנית ושנים במדרגה השנית הם עשרים לפי מה שקדם וזה צורתו: 0ב
30 ואם הושם במקום השנים שלשה נאמר בו שלשים מפני שהוא שלשה במדרגה השנית ושלשה במדרגה השנית הם שלשים תמונת השלשים צפר ושלשה על זאת הצורה: 0ג
40 וכן ארבעים הם צפר וארבעה
50 וחמשים הם צפר וחמשה
60 וששים צפר וששה
70 ושבעים הם צפר ושבעה
ושמונים הם צפר ושמונה
90 ותשעים צפר ותשעה
ודע כי אתה אמנם תקרא המספר בשם המדרגה אשר תמצאהו בה אם היה באחדים תקראהו בשמו
ואם היה במדרגת העשרות תקראהו בשמם וצורתו
Units and Tens ואם היו עמך אחדים ועשרות תפיל הצפר אשר היית מניחו במדרגת האחדים ושמת במקומו מספר האחדים אשר לך, אחר כך תשים העשרות גם כן במדרגתם
12 דמיון זה אם תרצה שתניח שתים עשרה הניח תחלה השנים במדרגת האחדים ותניח האחד במדרגה השנית ותהיה צורת השנים עשר שנים ואחד על זאת הצורה: בא
25 וכן אם היו חמשה ועשרים תשימם חמשה ושנים על זאת הצורה: הב וזה כי חמשה במדרגת האחדים ושנים במדרגת העשרות
76 וכן ששה ושבעים אמנם הם ששה במדרגה הראשונה ושבעה במדרגה השנית על זאת הצורה: וז
99 וכן גם כן תשעה ותשעים אמנם הם תשעה במדרגת האחדים ותשעה במדרגת העשרות על דמיון זאת הצורה: טט
Hundreds ואולם המאות הנה כבר קדם בשער המדרגות שאמנם הם במדרגה השלישית ותניח במדרגה הראשונה צפר ובמדרגה השנית צפר גם כן אחר כן תניח במדרגה השלישית מספר מה שעמך מן המאות
100 רצוני לו' אם היו מאה תניח אחד ויהיה תמונת המאה שני צפרי ואחד על זאת הצורה: 00א
200 ואם היו עמך מאתים תניח במקום האחד שנים ותהיה צורת המאתים שני צפר' ושנים על זאת הצורה 00ב
300 וכן השלש מאות שני צפרי ושלשה
900 והתשע מאות שני צפרי ותשעה על זאת הצורה: 00ט
Units and Hundreds ואם היו עמך אחדים ומאות תניח האחדים במקום הצפר הראשון אשר הוא במדרגת האחדים ותניח אחר זה צפר יהיה במדרגת העשרות ותניח אחר זה המאות אשר עמך
205 דמיון זה אילו היה עמך חמשה ומאתים הנה תניח חמשה וצפר ושנים על זאת הצורה: ה0ב
Tens and Hundreds ואם היו עמך עשרות ומאות הנה תניח במקום האחדים צפר ואחר כן תניח מה שעמך מן העשרות במדרגה השנית ואחר זה מספר מה שעמך מן המאות
620 דמיון זה אילו היו עמך עשרים ושש מאות הנה תניח תחלה צפר ואחריו שנים ואחריו ששה על זאת הצורה: 0בו
Units, Tens and Hundreds ואם היו עמך אחדים ועשרות ומאות הנה תניח האחדים תחלה במדרגה הראשונה ותניח העשרות במדרגה השנית ותניח המאות במדרגה השלישית
864 דמיון זה אילו רצית ארבעה וששים ושמונה מאות תניח ראשונה הארבעה ותניח אחריהם ששה ותניח אחריהם שמונה על זאת הצורה: דוח
Thousands ואולם האלפים הנה כבר ידעת שהם במדרגה הרביעית
1000 דמיון זה אילו היה עמך אלף תניח במדרגה הראשונה צפר וכן בשנית וכן בשלישית ואחד ברביעית ויהיו שלשה צפרי ואחד על זאת הצורה: 000א
2000 ואם תרצה אלפים תניח שלשה צפרי ושנים על זאת הצורה: 000ב
9000 ואם תרצה תשעת אלפים תניח שלשה צפרי ותשעה על זאת הצורה: 000ט
Units and Thousands ואם היו עמך אחדים ואלפים
5006 כמו ששה וחמשת אלפים תניח תחלה ששה ותניח אחריה שני צפרי וחמשה על זאת הצורה: ו00ה
Tens and Thousands
4020 וכן אילו היה עמך עשרים וארבעת אלפים תניח צפרי ואחריו שנים ואחר צפר ואחריו ארבעה על זאת הצורה: 0ב0ד
Hundreds and Thousands
8300 וכן אילו היו עמך שלש מאות ושמונת אלפים תניח תחלה שני צפרי ואחריהם שלשה ואחריהם שמונה על זאת הצורה: 00גח
Units, Tens and Thousands וכן אילו היו עמך אחדים ועשרות ואלפים
9075 כמו חמשה ושבעים ותשעה אלפים תניח חמשה ושבעה ואחריהם צפר ואחריו תשעה על זאת הצורה: הז0ט
Units, Hundreds and Thousands וכן אילו היו עמך אחדים ומאות ואלפים
5701 כמו אחד ושבע מאות וחמשת אלפים תניח אחד ואחריו צפר ואחריו שבעה ואחריו חמשה על זאת הצורה: א0זה
Tens, Hundreds and Thousands וכן אילו היו עמך עשרות ומאות ואלפים
1960 כמו ששים ותשע מאות ואלף תניח תחלה צפר וששה ותשעה ואחד על זאת הצורה: 0וטא
Units, Tens, Hundreds and Thousands
6372 וכן אילו היו שנים ושבעים ושלש מאות וששת אלפים תניחם על זאת הצורה: בזגו
ודע כי אתה כאשר תניח המספר במדרגה אחר מדרגה תניח מספר האחדים במדרגה הראשונה ואחריו העשרות והמאות והאלפים
ודע כי המספר יתרבה ויתוסף אל מה שאין תכלית לו כמו מדרגות המספר אשר יתרבה ויתוסף אל מה שאין תכלית לו
ואם היה עמך מספר גדול ומדרגות רבות ותרצה למנותם
דמיון זה אילו היה עמך עשרים מדרגות מן המספר ורצית לדעת אותם בכפל התחיל במדרגה הראשונה ומנה ממנה שלשה והניח על המדרגה הרביעית אחד יהיה אות ראשית הכפל, עוד מנה ממקום האות שלש מדרגות והנח על המדרגה הרביעית אות ויהיה ראיה על אלף אלפים כפולים שני פעמים, עוד מנה ממקום האות שלש מדרגות ותניח על המדרגה הרביעית אות שלישית ויהיה ראיה על האלפים כפולים שלש פעמים וכן תמנה תמיד ממקום האות האחרון ותניח על המדרגה הרביעית ותוסיף אותיות באחד אחד מה שאין תכלית לו כמו שהמספר יוסיף באחד תמיד כמו שקדם והמדרגות באחד אחד וכן אותיות הכפל יוסיפו אחד אחד ואם ישאר אחרי האותיות אחד הנה הם עשרת אלפים כפולים במספר האותיות אשר לפניהם ואם ישארו שנים הנה הם מאות אלפים כפולים במספר האותיות אשר לפניהם ואם לא ישאר כלום הנה הם אלף כפולים במספר האותיות אשר לפניהם וזה צורתם: 0000000000000000000ב

Chapter Three – Addition

 השער השלישי בקבוץ המספרים קצתם אל קצת
דע כי קבוץ המספר אל המספר אמנם הוא שתקובץ כל מדרגה אל סוגה כלומר האחדים אל האחדים והעשרות אל העשרות והמאות אל המאות והאלפים אל האלפים
The procedure starts from the rank of units תתחיל תמיד לקבץ מן המדרגה הראשונה
ואם יעלה ממנו עשרה הגביהנו אל העשרות
והעמיד האחדים במקומם אם יהיו עמך אחדים
ואם לא שים במקום האחדים צפר אחד
אחר כן קבץ העשרות עם העשרות אשר עלו מן האחדים
ואם התקבץ מהם מאה הגביהם אל מדרגת המאות וקיים מה שעמך מן העשרות במדרגתם
ואם לא יהיה בהם עשרות נניח ג"כ במדרגת העשרות צפר
אחר כן קבץ המאות והמאות אשר עלו מן העשרות
ואם התקבץ מהם אלף הגביהם על מדרגת האלפים לפי מה שקדם מן המאמר
Example:\scriptstyle875+798 והדמיון קבוץ חמשה ושבעים ושמונה מאות אל שמנה ותשעים ושבע מאות
הניח החמשה ושבעים ושמנה מאות בשטה אחר כן תניח השמנה ותשעים ושבע מאות תחת המספר המקובץ אליו בשטה אחרת ויהיו האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות והמאות תחת המאות על זאת הצורה‫:
ג ח ו א
 ה ז ח
 ח ט ז
א א  
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5+8}}={\color{blue}{13}}}   3 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+9+1}}={\color{blue}{17}}}  73 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8+7+1}}={\color{blue}{16}}} 1673
875 875 875  875
798 798 798  798
 1 1
ואחר כן תמשוך על המספר קו ותחת המספר קו אחר ואחר כן קבץ החמשה אל השמנה יהיו שלשה עשר והעמיד השלשה על האחדים על הקו העליון והגביה העשרה אל מדרגת העשרות והעמידהו תחת הקו התחתון אחר כן קבץ העשרות וזה שבעה ותשעה ואחד ויהיה המקובץ שבעה עשר עם האחד שהיה לנו מן האחדים והעמיד השבעה על מדרגת העשרות על הקו העליון והעתיק אותם העשרה המורמת מהם אל מדרגת המאות והעמידם תחת הקו התחתון, אחר כן קבץ המאות וזה שמנה ושבעה ואחד יהיה זה ששה עשר והעמיד הששה על המאות על הקו העליון והרם העשרה באחד אל מדרגת האלפים לבדו ויהיה היוצא שלשה ושבעים ושש מאות ואלף וזה צורתם: ג ז ו א
ואם היו כאשר התקבצו האחדים אל האחדים שהתקבץ מזה פחות מעשרה העמידם במקומם ולא תרים אל העשרות דבר וכן תעשה אל העשרות כאשר התקבץ מן העשרות פחות ממאה העמידם במקומם
Example:\scriptstyle432+354 דמיון זה קבץ שנים ושלשים וארבע מאות אל ארבעה וחמשים ושלש מאות
שים השנים ושלשים וארבע מאות בשטה אחת והארבעה וחמשים ושלש מאות בשטה אחרת כמו שקדם ויהיו האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות והמאות תחת המאות ומשוך עליהם קו ותחתיהם קו אחר על זאת הצורה‫:
ו ח ז
ב ג ד
ד ה ג
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+2}}={\color{blue}{6}}}   6 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5+3}}={\color{blue}{8}}}  86 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+4}}={\color{blue}{7}}} 786
432 432 432 432
354 354 354 354
ואחר כן קבץ האחדים וזה ארבעה אל שנים יהיו ששה והעמידם על הקו על האחדים אחר כן קבץ העשרות וזה חמשה ושלשה יהיו שמנה והעמידם על העשרות על הקו אחר כן קבץ המאות אל המאות וזה שלשה וארבעה יהיו שבעה והעמידם על ראש הקו על מדרגת המאתים ויהיה היוצא מהמקובץ ששה ושמנים ושבע מאות וזה צורתם: ו ח ז
A sum of three numbers ואם תרצה לקבץ שלש שטות מן המספרים
Example:\scriptstyle432+245+321 דמיון זה קבץ שנים ושלשים וארבע מאות אל חמשה וארבעים ומאתים אל אחד ועשרים ושלש מאות
תשים אלו השלשה מספרים בשלש שטות ושים כל סוג תחת סוגו על הצורה הזאת‫:
ח ט ט
ב ג ד
ה ד ב
א ב ג
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+5+2}}={\color{blue}{8}}}   8 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+4+3}}={\color{blue}{9}}}  98 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3+2+4}}={\color{blue}{9}}} 998
432 432 432 432
245 245 245 245
321 321 321 321
אחר כן התחיל לקבצם מן האחדים כמו שקדם וקבץ תחלה אחד וחמשה ושנים יהיה המקובץ שמנה והעמידם על הקו על ראש האחדים אחר כן קבץ העשרות וקבץ שנים וארבעה ושלשה יהיה זה תשעה והעמידם על ראש העשרות על הקו אחר כן קבץ המאות וזה שלשה ושנים וארבעה ויהיה זה תשעה והעמידם על המאות על הקו ויהיה היוצא מן הכל שמנה ותשעים ותשע מאות וזה צורתם: ח ט ט
ואם קבצת מספר יהיה בו צפר אל מספר אחר עם צפר ג"כ
Example:\scriptstyle6503+7020 כמו שתקבץ שלשה וחמש מאות וששת אלפים
שים שלשה במקום האחדים וצפר במקום העשרות אחר כן חמשה אחר כן ששה אחר כן שים תחתיו המספר המקובץ אליו והוא עשרים ושבעת אלפים שים צפר תחת מדרגת האחדים ושנים וצפר ושבעה ותהיה עמידתם על זאת הצורה‫:
ג ב ה ג א
 ג 0 ה ו
 ‫0 ב 0 ז
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3}}}    3 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{2}}}   23 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{5}}}  532 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+6}}={\color{blue}{13}}} 13532
6503 6503 6503 6503  6503
7020 7020 7020 7020  7020
אחר כן שים השלשה אשר הם האחדים על הקו העליון במדרגתם אחר כן שים השנים אשר הם שתי העשרות על העשרות על הקו ואחר כן שים החמשה אשר הם המאות על מדרגתם על הקו אחר כן קבץ האלפים וזה שבעה וששה יהיה זה שלשה עשר ושים השלשה על ראש האלפים והקדים העשרות אחד אל מדרגה נוספת קודמת ויהיה המקובץ שלשה ושנים וחמשה ושלשה ואחד וזה צורתם: גבהגא וזה שלשה ועשרים וחמש מאות ושלשה עשר אלפים
Example:\scriptstyle699+7156+867 ואם יאמר לך קבץ תשעה ותשעים ושש מאות אל ששה וחמשים ומאה ושבעת אלפים אל שבעה ושישים ושמנה מאות
שים אותם שטות כמו שקדם על הצורה הזאת‫:
ב ב ז ח
 ט ט ו
ו ה א ז
 ז ו ח
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9+6+7}}={\color{blue}{22}}}    2 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9+5+6+2}}={\color{blue}{22}}}   22 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6+1+8+2}}={\color{blue}{17}}}  722 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7+1}}={\color{blue}{8}}} 8722
 699  699  699  699  699
7156 7156 7156 7156 7156
 867  867  867  867  867
  2  22 122
אחר כן קבץ האחדים והם תשעה וששה ושבעה יהיו שנים ועשרים ושים השנים על האחדים על הקו ושים השתי עשרות תחת העשרות אחר כן קבץ העשרות והם תשעה וחמשה וששה ושנים יהיה שנים ועשרים ושים השנים על העשרות על הקו ושים השתי עשרות תחת המאות אחר כן קבץ המאות והם ששה ואחד ושמנה ושנים יהיו שבעה עשר והעמיד השבעה על המאות על הקו והעמיד העשרה תחת האלפים אחר כן קבץ האלפים והם שבעה ואחד ושים אותם על הקו יהיה שמנה בבית האלפים יהיה היוצא שנים ועשרים ושבע מאות ושמנת אלפים וזה צורתם: ב ב ז ח
Example:\scriptstyle1+999 ואם יאמר לך: קבץ אחד אל תשעה ותשעים ותשע מאות
הניחם בשתי שטות כמו שקדם על הצורה הזאת‫:
‫0 0 0 א
א
 ט ט ט
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9+1}}={\color{blue}{10}}}   0 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9}}={\color{blue}{10}}}  00 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+9}}={\color{blue}{10}}} 1000
001 001 001  001
999 999 999  999
 1 11
אחר כן קבץ האחדים וזה תשעה ואחד יהיו עשרה ולא תשים על האחדים דבר כי אם הצפר מפני כי לא נפלו לך אחדים ושים העשרה תחת העשרות וקבץ העשרות וזה אחד ותשעה יהיו עשרה ושים אותם תחת המאות ושים על העשרות צפר אחר כן קבץ המאות וזה אחד ותשעה יהיו עשרה ושים על המאות צפר אחד ושים העשרה במדרגת האלפים אחד ויהיה היוצא שלשה צפרי ואחד על זאת הצורה: 0 0 0 א

Chapter Four – Subtraction

 השער הרביעי בהוצאת המספרים קצתם מקצת
דע כי הוצאת המספרים קצתם מקצת אמנם הוא שיוצא כל סוג מסוגו
Example: \scriptstyle6475-2343 דמיון זה: הוצא שלשה וארבעים ושלש מאות ואלפים מחמשה ושבעים וארבע מאות וששת אלפים
שים המספר המוצא בשטה והמוצא ממנו בשטה גם כן, כל סוג נכחי אל סוגו על הצורה הזאת‫:
ב ג א ד
ה ז ד ו
ג ד ג ב
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6-2}}={\color{blue}{4}}} 4    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-3}}={\color{blue}{1}}} 41   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7-4}}={\color{blue}{3}}} 413  \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5-3}}={\color{blue}{2}}} 4132
6475 6475 6475 6475 6475
2343 2343 2343 2343 2343
אחר כן התחיל המוצא מאחת מן המדרגות כלומר מן האלפים והוצא אלפים מששת אלפים הנשאר ארבעת אלפים ושים אותם על מדרגת האלפים אחר כן תוציא המאות מן המאות וזה שלש מאות מארבע מאות והנשאר מאה ושים אותם על הקו אחר כן הוצא העשרות מן העשרות וזה ארבעים משבעים הנשאר שלשים ושים אותם על ראשם שלשה אחר כן הוצא האחדים מן האחדים וזה שלשה מחמשה הנשאר שנים ושים אותם על ראשם ויהיה הנשאר אחר ההוצאה שנים ושלשה ואחד וארבעה וזה צורתם: ב ג א ד
Example: \scriptstyle9385-5496 ואם יאמר: השלך ששה ותשעים וארבע מאות וחמשת אלפים מחמשה ושמנים ושלש מאות ותשעה אלפים
הניח שני המספרים בשתי שטות כמו שקדם ויהיה המספר המושלך תחת המושלך ממנו על זאת הצורה‫:
ה ח ג ט
ו ט ד ה
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9-5}}={\color{blue}{4}}} 4    \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle4-1={\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{13-4}}={\color{blue}{9}}\\\end{align}} 39   \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle9-1={\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{18-9}}={\color{blue}{9}}\\\end{align}} 389  \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle9-1={\color{green}{8}}\\&\scriptstyle{\color{red}{15-6}}={\color{blue}{9}}\\\end{align}} 3889
9385 9385 9385 9385 9385
5496 5496 5496 5496 5496
אחר כן התחיל מן האלפים בהשלכה והשלך חמשה מתשעה ויהיה הנשאר ארבעה ושימם על מדרגת האלפים אחר כן השלך המאות השלך ארבעה מהשלשה לא יושלך וקח מן האלפים אלף ויהיה הנשאר שלשת אלפים ושים אותם על ראש האלפים אחר כן חבר האלף בעשרה אל מדרגת המאות וחברם אל השלשה אשר מצאת בהם יהיו שלשה עשר והשלך מהם ארבעה הנשאר תשעה והעמידם על המאות אחר כן השלך העשרות תשליך תשעה משמונה ולא יושלך ותסיר מן המאות מאה נשארו שמונה ושים אותם על המאות אחר כן חבר המאה ההוא בעשרה אל העשרות ובהם שמנה ויהיה זה שמנה עשר והשלך מהם תשעה הנשאר תשעה ושים אותם על ראש העשרות אחר כן השלך האחדים מן האחדים והשלך ששה מחמשה לא יושלך והתיר מן העשרות עשרה ישארו שמונה והעמידם בעשרות אחר כן חבר העשרה ההוא אל החמשה ויהיו חמשה עשר והפיל מהם ששה הנשאר תשעה והעמידם על האחדים ויהיה הנשאר מן ההשלכה תשעה ושמנה ושלשה וזה צורתם: ט ח ח ג
Example: \scriptstyle100000-1 ואם יאמר לך: השלך אחד ממאה אלף
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{100000-10000}}={\color{blue}{90000}}}  9     \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10000-1000}}={\color{blue}{9000}}}
100000 100000
     1      1

 99    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1000-100}}={\color{blue}{900}}}  999   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{100-10}}={\color{blue}{90}}}  9999  \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10-1}}={\color{blue}{9}}}  99999
100000 100000 100000 100000
     1      1      1      1


שים במאה אלף חמשה ציפרא ואחר כן התיר מן המאה אלף עשרת אלפים הנשאר תשעים אלף שימם על מדרגת העשרות האלפים בתשעה אחר כן התיר מאותם עשרת אלפים אלף אחד הנשאר תשעת אלפים ושימם על מדרגת האלפים בתשעה אחר כן התיר מן האלף מאה והנשאר תשע מאות והעמידם על ראש המאות בתשעה אחר כן הפיל מן המאה אחד הנשאר תשעה ותשעים והעמידם תשעה על מדרגת העשרות ותשעה על מדרגת האחדים ויהיה הנשאר תשעה ותשעים ותשע מאות ותשעת אלפים ותשעים אלף וזאת צורתם: ט ט ט ט ט

Chapter Five – Multiplication

 השער החמישי בהכאת המספרים קצתם בקצתם
דע כי ענין ההכאה הוא שתכפול אחד משני המספרים כשעור מה שבמספר האחד המוכה בו מן האחדים
Example: \scriptstyle3\times4 ודמיון זה כאשר תרצה להכות שלשה בארבעה הנה ענינו שתכפול הארבעה שלשה פעמים והשלשה ארבעה פעמים וכן הוא כל הכאת המספרים על הדמיון הזה
Multiplication by 1 ודע כי כל מספר תכהו באחד או תכה אחד בו הנה המספר ההוא לא יכפל ולא יגיע ולא יעתק מגדרו וכן גם כן הכאת האחד בנפשו לא יכפל אמנם הוא אחד
וכאשר תרצה להכות המספר במספר באותיות האבק הוא צריך עכ"פ לדעת הכאת האחדים קצתם בקצתם והעמידה עליו ואחר ישתמש בהם בתמונות האבק
Multiplication of Units שער בהכאת האחדים קצתם בקצתם
Units by 1 כבר קדם לנו כי כל מספר תכהו באחד או תכה האחד בו הנה המספר ההוא לא יכפל ולא יעתק מענינו
דמיון זה אחד באחד אחד - אחד בשנים שנים - אחד בשלשה שלשה - אחד בארבעה ארבעה אחד בחמשה חמשה - אחד בששה ששה - אחד בשבעה שבעה - אחד בשמנה שמנה - אחד בתשעה תשעה אחד - בעשרה עשרה
Units by 2 שער השנים
שנים בשנים ארבעה - שנים בשלשה ששה - שנים בארבעה שמנה - שנים בחמשה עשרה - שנים בששה שנים עשר - שנים בשבעה ארבעה עשר - שנים בשמונה ששה עשר - שנים בתשעה שמונה עשר - שנים בעשרה עשרים
Units by 3 שער שלשה
בשלשה בשלשה תשעה - שלשה בארבעה שנים עשר - שלשה בחמשה חמשה עשר - שלשה בששה שמונה עשר - שלשה בשבעה אחד ועשרים - שלשה בשמונה ארבעה ועשרים - שלשה בתשעה שבעה ועשרים - שלשה בעשרה שלשים
Units by 4 שער ארבעה
ארבעה בארבעה ששה עשר - ארבעה בחמשה עשרים - ארבעה בששה ארבעה ועשרים - ארבעה בשבעה שמנה ועשרים - ארבעה בשמונה שנים ושלשים - ארבעה בתשעה ששה ושלשים - ארבעה בעשרה ארבעים
Units by 5 שער חמשה
חמשה בחמשה חמשה ועשרים - חמשה בששה שלשים - חמשה בשבעה חמשה ושלשים - חמשה בשמונה ארבעים - חמשה בתשעה חמשה וארבעים - חמשה בעשרה חמישים
Units by 6 שער ששה
ששה בששה ששה ושלשים - ששה בשבעה שנים וארבעים - ששה בשמונה שמנה וארבעים - ששה בתשעה ארבעה וחמישים - ששה בעשרה שישים
Units by 7 שער שבעה
שבעה בשבעה תשע וארבעים - שבעה בשמונה ששה וחמשים - שבעה בתשעה שלשה ושישים - שבעה בעשרה שבעים
Units by 8 שער שמונה
שמונה בשמונה ארבעה ושישים - שמונה בתשעה שנים ושבעים - שמונה בעשרה שמונים
Units by 9 שער תשעה
תשעה בתשעה אחד ושמונים - תשעה בעשרה תשעים
Units by 10 שער עשרה
עשרה בעשרה מאה
וכאשר ידע התלמיד השער הזה ועמד עליו אז ישמשהו בכל מה שיצטרך אליו ממה שיבוא מן המעשה
Example: \scriptstyle43\times76 וכאשר יאמר לך: הכה שלשה וארבעים בששה ושבעים
הניח השלשה וארבעים בשטה כמו שקדם אחר כן שים תחתיו ששה ושבעים בשטה אחרת ותהיה המדרגה הראשנה מן השטה התחתונה תחת המדרגה האחרונה מן השטה העליונה והמדרגה הנשארת מן השטה התחתונה קודמת אל מה שילוה לשמאל על הצורה הזאת‫:
ג ד
ו ז  
 43 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times7}}={\color{blue}{28}}} 2843 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times6}}=2{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle{\color{green}{8+2}}=1{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{green}{2+1}}={\color{blue}{3}}\\\end{align}} 3043
76  76  76
אחר כן הכה המדרגה האחרונה מן השטה העליונה במדרגה האחרונה מן השטה התחתונה והוא ארבעה בשבעה והוא שמונה ועשרים ושים השמונה על ראש השבעה ויהיה השמונה בשטה עם השטה העליונה והקדים העשרים בשנים אל מה שילוה אל השמאל אחר כן הכה הארבעה בעצמם בשטה אשר תחתיו יהיו ארבעה ועשרים והנה לך ארבעה במקומם אחר כן הקדים העשרים בשנים אל השמונה אשר על ראש השבעה יהיה זה עשרה והעשרה אמנם הם ציפרא ואחד לפי מה שקדם ותמחה השמונה ושים במקומם הציפרא אחר כן הקדים האחד בשנים אשר הקדמת תחלה יהיה זה שלשה ותמחה השנים ושים במקומם השלשה אחר כן תעתיק המספר מן השטה התחתונה מדרגה אל מה שילוה לימין וזה כשתשיב הששה תחת השלשה והשבעה תחת הארבעה על הצורה הזאת‫:
ג ד 0 ג
ו ז
3043 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3\times7}}=21\\&\scriptstyle{\color{green}{21+4}}={\color{blue}{25}}\\\end{align}} 3253 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3\times6}}=1{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle{\color{green}{5+1}}={\color{blue}{6}}\\\end{align}} 3268
  76   76   76
אחר כן תקח השלשה אשר הם על מדרגה ראשנה מן השטה העליונה והכה אותם בשבעה אשר הם המדרגה האחרונה מן השטה התחתונה יהיה זה אחד ועשרים וקבץ אליהם הארבעה אשר על ראש השבעה יהיה כל זה חמשה ועשרים ומחה הארבעה ושים במקומם החמשה אחר כן הקדים העשרים בשנים אל מקום הציפרא ותמחה הציפרא ושים במקומו השנים אחר כן הכה השלשה אשר הכית תחלה בששה אשר תחתיו יהיה זה שמונה עשר ומחה השלשה ושים במקומו השמונה והקדים העשרה באחד אל חמשה וקבצם יהיו ששה ומחה החמשה ושים השישה במקומם ויהיה היוצא מן ההכאה שמונה וששה ושנים ושלשה וזה צורתם: ח ו ב ג
וזה שמונה ושישים ומאתים ושלשת אלפים והוא היוצא מהכאת שלשה וארבעים בששה ושבעים
ודע כי אתה אמנם תקח המדרגה האחרונה מן הקו העליון ותכהו בכל אחת ממדרגות הקו התחתון
תתחיל ראשונה באחרון ממה שילוה השמאל ותשים מה שיצא מן ההכאה על ראשה
אחר כן תכה אותה גם כן במספר אשר ילוה המדרגה ההיא אל הימין ותשים מה שיצא מן ההכאה על ראשו
כן תכה בכל מדרגה ממדרגות השטה התחתונה עד שתגיע אל המדרגה הראשונה אשר תחת המדרגה אשר הוכתה במספר התחתון ותכה בה גם כן ותשים מה שיצא במקום אותה המדרגה בעינה
אחר כן תעתיק השטה התחתונה בכללה מדרגה אחת ממדרגות השטה העליונה אל מה שילוה אל הימין
אחר כן תכה המדרגה ההיא אשר נעתק המספר ממנה בכל מדרגות השטה התחתונה ותתחיל באחרונה כמו שקדם ומה שהתקבץ לך מן ההכאה תחברהו אל מה שעל המדרגה ההיא
וכן תעשה בשנית והשלישית עד שתשלם ההכאה בכל מדרגות השטה התחתונה
אחר כן תעתיק השטה התחתונה על דמיונו אל מדרגה האחרונ' ממה שילוה אל הימין ממדרגות השטה העליונה ותעשה בו כמו מה שעשית במה שקדם
וכן לא תסור להעתיק המספר התחתון תחת כל מדרגה ממדרגות השטה העליונה ותעשה בו כמו מה שזכרנו עד שתכלינה מדרגות המספר העליון וכאשר עשית זה הנה כבר השלמת להכות השאלה
ונמשיל מזה משל בהכאת שלשה מדרגות כדי שתלקח ראיה בזה על מה שאמרנו
Example: \scriptstyle543\times876 הנה שלשה וארבעים וחמש מאות בששה ושבעים ושמונה מאות
וכאשר רצית זה שים אותם בשתי שטות תהיה אחת מהן נגד השנית ותהיה המדרגה הראשונה מן המספר התחתון תחת המדרגה האחרונה מן המספר העליון על הצורה הזאת‫:
ג ד ה
ו ז ח    
  543 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times8}}={\color{blue}{40}}} 40 543 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\times7}}={\color{blue}{35}}} 435543 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{5\times6}}=3{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{green}{5+3}}={\color{blue}{8}}\\\end{align}} 438043
876  876  876  876
אחר כן הכה החמשה אשר הם המדרגה האחרונה מן המספר העליון בשמונה אשר הוא המדרגה האחרונה מן המספר התחתון יהיה זה ארבעים ושים ציפרא על השמונה וקדם הארבע אל מה שילוה השמאל אחר כן הכה החמשה פעם שנית בשבעה אשר ילוה השמונה ממה שילוה אל הימין יהיה זה חמשה ושלשים ושים החמשה על ראש השבעה והקדים השלשים אל מקום הצפרא ותמחוק הציפרא והעמיד השלשה במקומו אחר כן הכה החמשה פעם שלישית בששה אשר תחתיו יהיה זה שלשים ותמחה אלו החמשה ושים במקומם ציפרא וקדם השלשים בשלשה אל החמשה וקבצם יהיו שמונה ושים אותם במקום החמשה
438043 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times8}}=32\\&\scriptstyle{\color{green}{8+32}}=4{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{green}{3+4}}={\color{blue}{7}}\\\end{align}} 470043 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\times7}}={\color{blue}{28}}} 472843 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4\times6}}=2{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle{\color{green}{8+2}}=1{\color{blue}{0}}\\&\scriptstyle{\color{green}{2+1}}={\color{blue}{3}}\\\end{align}} 473043
  876   876   876   876
אחר כן תעתיק המספר התחתון בכללו תחת מדרגה אחרת ממה שילוה הימין ממדרגות המספר העליון וזה שתעתיק הששה תחת הארבעה והשבעה תחת הציפרא והשמונה תחת השמונה אחר כן הכה אלו הארבעה אשר העתקת המספר תחתיו בשמונה מן המספר התחתון יהיה זה שנים ושלשים ועל השמונה שמונה קבצם אל השנים ושלשים יהיה זה ארבעים ומחה השמונה העליון ושים במקומו ציפרא והקדים הארבעה אל השלשה ממה שילוה השמאל וקבצם יהיה זה שבעה ותמחה השלשה ושים השבעה במקומם אחר כן תכה הארבעה פעם שנית בשבעה יהיו שמונה ועשרים ואין על ראש השבעה כי אם הציפרא ומחה הציפרא ושים השמונה במקומו והקדים העשרים בשנים אל המדרגה אשר ילוה השמאל ובו הציפרא ומחה אותו ושים במקומו השנים אחר כן תכה אלו הארבעה פעם שלישית בששה אשר תחתיהם יהיה זה ארבעה ועשרים והניח הארבעה במקומם וקדם העשרים בשנים אל המדרגה השנית ממה שילוה השמאל תמצא בה שמונה חבר אליהם השנים יהיו עשרה ומחה השמונה ושים במקומם ציפרא אחר כן קדם אחד אל מה שילוה השמאל מן המדרגות תמצא בה שנים וחבר עמהם האחד יהיו שלשה ושים אותם במקום השנים
473043 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3\times8}}=2{\color{blue}{4}}\\&\scriptstyle{\color{green}{3+2}}={\color{blue}{5}}\\\end{align}} 475443 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3\times7}}=21\\&\scriptstyle{\color{green}{21+4}}=2{\color{blue}{5}}\\&\scriptstyle{\color{green}{4+2}}={\color{blue}{6}}\\\end{align}} 475653 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3\times6}}=1{\color{blue}{8}}\\&\scriptstyle{\color{green}{5+1}}={\color{blue}{6}}\\\end{align}} 475668
   876    876    876    876
אחר כן תעתיק המספר התחתון בכללו תחת השלשה אשר הם המדרגה הראשונה ממדרגות המספר העליון ותעתיק הששה תחת השלשה והשבעה תחת הארבעה והשמונה תחת הצפרא אחר כן הכה השלשה בשמונה יהיו ארבעה ועשרים ועל ראש השמונה ציפרא ומחה אותו ושים במקומו ארבעה וקדם העשרים בשנים אל השלשה אשר ילוה השמאל יהיו חמשה ושים אותם במקום השלשה. אחר כן תכה השלשה פעם שנית בשבעה יהיה זה אחד ועשרים ועל השבעה ארבעה יהיה כל זה חמשה ועשרים ומחה הארבעה אשר על השבעה ושים במקומם חמשה וקדם העשרים בשנים אל מה שילוה אל השמאל תמצא שם ארבעה קבץ עמהם השנים יהיו ששה ושים אותם במקום הארבעה. אחר כן הכה השלשה פעם שלישית בששה אשר תחתיהם יהיו שמונה עשר ומחה השלשה ושים במקומם השמונה וקדם העשרה באחד אל החמשה יהיה זה ששה ושים אותם במקום החמשה וכבר השלמת השאלה בהכאה ויהיה היוצא מן ההכאה שמונה וששה וששה וחמשה ושבעה וארבעה וזאת צורתם: ח ו ו ה ז ד
והם שמונה ושישים ושש מאות וחמשת אלפים ושבעים אלף וארבע מאות אלפים
ועל הדמיון הזה תהיה הכאת המדרגות באבק

Chapter Six – Dividing a Small Number by a Larger Number

 השער השישי בשומה וידעת השם והוא חלוק המספר הקטון על הגדול
ודע כי לשער הזה הקדמה ראוי למבקש לדעת אותה והאמות בה והוא שער גדול התועלת בכל מעשה החשבון ובו יוצא מאיזו הכאה יעמדו המספרים
ובו יודע אם המספר ההוא מורכב או בלתי מורכב
והמספר המורכב הוא המקובץ מהכאת המספר במספר
והבלתי מורכב הוא אשר לא ימנהו מספר כי אם האחד

Casting Out

 הקדמה בהשלכה
דע כי כל מספר אין בתחלתו אחדים הנה יש לו עשור
ודע כי המספר כלו יחלק לשני חלקים אם זוג ואם נפרד
\scriptstyle2n\equiv_90\longrightarrow2n=9m והמספר הזוג השליכהו תשעה תשע' ואם יושלך הנה התשיעית לו
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2n\equiv_93\\\scriptstyle2n\equiv_96\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow2n=6a=3b ואם לא יושלך ונשאר ממנו שלשה או ששה הנה השתות [וה]שלישית לו
\scriptstyle2n\equiv_80\longrightarrow2n=8m ואם נשאר זולת זה השליכהו שמנה שמנה ואם יושלך הנה השמינית לו
\scriptstyle2n\equiv_84\longrightarrow2n=4m ואם לא יושלך ונשאר ממנו ארבעה הנה הרביעית לו
\scriptstyle2n\equiv_70\longrightarrow2n=7m ואם נשאר זולת זה השליכהו שבעה שבעה ואם יושלך הנה השביעית לו
ואם לא יושלך הנה אין לו שם כי אם החצי
\scriptstyle2n-1\equiv_90\longrightarrow2n-1=9m והמספר הנפרד השליכהו תשעה תשעה ואם הושלך הנה התשיעית לו
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2n-1\equiv_93\\\scriptstyle2n-1\equiv_96\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow2n-1=3m ואם לא יושלך ונשאר ממנו שלשה או ששה הנה השלישית לו
\scriptstyle2n-1\equiv_70\longrightarrow2n-1=7m ואם נשאר זולת זה השליכהו שבעה שבעה ואם יושלך הנה השביעית לו
ואם לא יושלך אין לו שם ובקשהו בחלקים
ודע כי כל מספר בתחלתו חמשה הנה החומש לו

Casting Out by 9

 שער השלכת תשעה
\scriptstyle10\equiv_91 דע כי השלכת תשעה ישאר מכל עשרה אחד
\scriptstyle100\equiv_91 ומכל מאה אחד
\scriptstyle1000\equiv_91 ומכל אלף אחד
וכן תקח כל המספר בשמו כמו שתעשה בו עם ההכאה

Casting Out by 8

 שער השלכת שמונה
\scriptstyle10\equiv_82 דע כי השלכת שמונה ישאר מכל עשר שנים
\scriptstyle100\equiv_84 ומכל מאה ארבעה
\scriptstyle2\sdot100\equiv_80 וזוגות המאות נשלכים
וכן האלפים ומה שיכלה המספר

Casting Out by 7

 שער השלכת שבעה
\scriptstyle10\equiv_73 דע כי השלכת שבעה ישאר מכל עשרה שלשה
\scriptstyle100\equiv_72 ומכל מאה שנים
\scriptstyle1000\equiv_76 ומכל אלף ששה
\scriptstyle10000\equiv_74 ומכל עשרת אלפים ארבעה
\scriptstyle100000\equiv_75 ומכל מאת אלף חמשה
\scriptstyle1000000\equiv_71 ומכל אלף אלפים אחד
\scriptstyle10000000\equiv_73 ומכל עשרת אלפי אלפים שלשה
\scriptstyle100000000\equiv_72 ומכל מאה אלפי אלפים שנים
וכן יכפל השלכת שבעה אצל כל שני כפלים וישוב כמו אחדים ועשרות ומאות
\scriptstyle\left(2n-1\right)\sdot1000\equiv_76 ודע כי כל אלף יהיה כפלם נפרד הנה הנשאר מהם ששה
\scriptstyle2n\sdot1000\equiv_71 ואם יהיה כפלם זוג הנה הנשאר מהם אחד
\scriptstyle\left(2n-1\right)\sdot10000\equiv_74 וכן עשרת אלפים יהיה כפלם נפרד הנה הנשאר מהם ארבעה
\scriptstyle2n\sdot10000\equiv_73 ואם היה כפלם זוג הנה הנשאר מהם שלשה
\scriptstyle\left(2n-1\right)\sdot100000\equiv_75 וכל מאת אלף יהיה כפלם נפרד הנה הנשאר מהם חמשה
\scriptstyle2n\sdot100000\equiv_72 ואם היה כפלם זוג הנה הנשאר מהם שנים
והמספר הזוג הוא אשר תחלתו שנים או ארבעה או ששה או שמנה
והמספר הנפרד הוא אשר התחלתו אחד או שלשה או חמשה או שבעה או תשעה

Divisors

 ודע כי כל מספר אין חצי לו אין רביעית לו ואין שמינית לו ואין שתות לו
וכל מספר אין שליש לו ואין שתות לו ולא תשיעית לו
וכל מספר אין שתות לו אין שלישית לו ולא חצי לו
וכל מספר אין חומש לו אין עשירית לו

Dividing a Small Number by a Larger Number

 ואחר שכבר [הקדמנו] על הקדמה הנה נשוב אל שער ידיעת השם ונאמר כי יחס המספר הקטן מן המספר הגדול הוא חלק אחד ממנו או חלקים
\scriptstyle1\div15 דמיון זה כאשר נאמר לך שם אחד מחמשה עשר
\scriptstyle15=3\sdot5\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle\frac{3}{15}=\frac{1}{5}\\\scriptstyle\frac{1}{15}=\frac{1}{3}\sdot\frac{3}{15}\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{15}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5} הנה כבר ידעת כי החמשה עשר מספר מורכב מהכאת השלשה בחמשה אם כן השלשה מהם חומש והאחד מן השלשה שלישיתו אם כן האחד מן החמשה עשר שליש החומש ויצטרך גם כן אל שנקדים בזה הקדמה
\scriptstyle1\div2=\frac{1}{2} ונאמר כי יחס האחד מן השנים חצי
\scriptstyle1\div3=\frac{1}{3} ומן השלשה שליש
\scriptstyle2\div3=\frac{2}{3} ושנים מהם שני שלישים
\scriptstyle1\div4=\frac{1}{4} ואחד מן הארבעה רביע
\scriptstyle2\div4=1\div2\frac{1}{2} ושנים חצי רביע כי יחס שנים מן ארבעה כיחס אחד מן שנים
\scriptstyle3\div4=\frac{3}{4} והשלשה מהם שלשה רביעים
\scriptstyle1\div5=\frac{1}{5} ואחד מחמשה חומש
\scriptstyle2\div5=\frac{2}{5} ושנים שני חומשים
\scriptstyle3\div5=\frac{3}{5} ושלשה שלשה חומשים
\scriptstyle4\div5=\frac{4}{5} וארבעה ארבעה חומשים
\scriptstyle1\div6=\frac{1}{6} ואחד מששה שתות
\scriptstyle2\div6=\frac{2}{6}=\frac{1}{3} ושנים שני שתותים ואם תרצה תאמר שליש
\scriptstyle3\div6=\frac{3}{6}=\frac{1}{2} ושלשה שלשה שתותים ואם תרצה תאמר חצי
\scriptstyle4\div6=\frac{4}{6}=\frac{2}{3} וארבעה ארבעה שתותים ואם תרצה תאמר שני שלישיות
\scriptstyle5\div6=\frac{5}{6} וחמשה מהם חמשה שתותים
\scriptstyle1\div7=\frac{1}{7} ואחד משבעה שביעית
\scriptstyle2\div7=\frac{2}{7} ושנים שני שביעיות
\scriptstyle3\div7=\frac{3}{7} ושלשה שלשה שביעיות
\scriptstyle4\div7=\frac{4}{7} וארבעה ארבעה שביעיות
\scriptstyle5\div7=\frac{5}{7} וחמשה חמשה שביעיות
\scriptstyle6\div7=\frac{6}{7} וששה שש שביעיות
\scriptstyle1\div8=\frac{1}{8} ואחד משמנה שמינית
\scriptstyle2\div8=\frac{2}{8}=\frac{1}{4} ושנים שתי שמיניות ואם תרצה תאמר רביע
\scriptstyle3\div8=\frac{3}{8} ושלשה שלשה שמיניות
\scriptstyle4\div8=\frac{4}{8}=\frac{1}{2} וארבעה ארבעה שמיניות ואם תרצה תאמר חצי
\scriptstyle5\div8=\frac{5}{8} וחמשה חמשה שמיניות
\scriptstyle6\div8=\frac{6}{8}=\frac{3}{4} וששה שש שמיניות ואם תרצה תאמר שלשה רביעיות
\scriptstyle7\div8=\frac{7}{8} ושבעה מהם שבע שמיניות
\scriptstyle1\div9=\frac{1}{9} ואחד מתשעה תשיעית
\scriptstyle2\div9=\frac{2}{9} ושנים שתי תשיעיות
\scriptstyle3\div9=\frac{3}{9}=\frac{1}{3} ושלשה שלשה תשיעיות ואם תרצה תאמר שליש
\scriptstyle4\div9=\frac{4}{9} וארבעה ארבע תשיעיות
\scriptstyle5\div9=\frac{5}{9} וחמשה חמש תשיעיות
\scriptstyle6\div9=\frac{6}{9}=\frac{2}{3} וששה שש תשיעיות ואם תרצה תאמר שני שלישים
\scriptstyle7\div9=\frac{7}{9} ושבעה שבע תשיעיות
\scriptstyle8\div9=\frac{8}{9} ושמונה מהם שמנה תשיעיות
\scriptstyle1\div10=\frac{1}{10} ואחד מעשרה עשור
\scriptstyle2\div10=\frac{2}{10}=\frac{1}{5} ושנים שתי עשיריות ואם תרצה נאמ' חומש
\scriptstyle3\div10=\frac{3}{10} ושלשה שלש עשיריות
\scriptstyle4\div10=\frac{4}{10}=\frac{2}{5} וארבעה ארבעה עשיריות ואם תרצה נאמ' שני חומשים
\scriptstyle5\div10=\frac{5}{10}=\frac{1}{2} וחמשה חמש עשיריות ואם תרצה תאמר חצי
\scriptstyle6\div10=\frac{6}{10}=\frac{3}{5} וששה מהם שש עשיריות ואם תרצה תאמ' שלשה חומשים
\scriptstyle7\div10=\frac{7}{10} ושבעה מהם שבע עשיריות
\scriptstyle8\div10=\frac{8}{10}=\frac{4}{5} ושמונה מהם שמונה עשיריות ואם תרצה תאמ' ארבעה חומשים
\scriptstyle9\div10=\frac{9}{10} ותשעה מהם תשע עשיריות
\scriptstyle\frac{1}{15}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5} ואחר שכבר הקדמנו מה שראוי להקדימו הנה נשוב אל מה שהיינו בו כי אחד מחמשה עשר מנינ' שליש החומש וכאשר תרצה שתקראהו באבק הנה כבר ידעת כי החמשה עשר מורכב מחמשה ושלשה ושים בקצה הלוח החמשה והשלשה ויהיו השלשה על החמשה ואשר תרצה שנקראהו מחמשה עשר שים אותו על השלשה אחר כן בקש מספר מה תכהו בשלשה ותפיל מן המספר הנקרא ויכלה או ישאר מהם מה שהוא פחות מן השלש
א
ג ה
\scriptstyle7\div15 דמיון זה אלו רצית שתקרא מהם השבעה
7 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7}}-\left({\color{blue}{2}}{\color{red}{\sdot3}}\right)=7-6={\color{blue}{1}}} 1 2
3 5 3 5

\scriptstyle\frac{7}{15}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right) 		שים אלו השבעה על השלשה אחר כן בקש מספר תכהו בשלשה ותפיל המקובץ מן השבעה ויכלה או ישאר מה שהוא פחות מן השלשה תמצא שנים ושים אלו השנים על החמשה אחר כן תכה אותם בשלשה יהיו ששה ותפילם מן השבעה הנשאר אחד ועזבהו על השלשה הנה כבר יצאו שנים על החמשה ואחד על השלשה אחר כן שוב ומשוך קו ורשום תחת השלשה והחמשה ויהיו החמשה אל מה שילוה אל הימין והשלשה אל מה שילוה השמאל אחר כן תרשום על החמשה השנים אשר הכית בשלשה ותרשום גם כן על השלשה האחד אשר נשאר אחר כן קראהו וזה שני חמישיות ושליש חומש תיחס תמיד מה שעל רוב הסכום אל מה שתחתיו אחר כן תייחס מה שעל השני אל מה שתחתיו ואל מה שילוה אליו מן הסכום ויהיה היוצה מן השאלה הזאת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 2}{3\ 5}}}
א ב
ג ה
\scriptstyle11\div15 ואם תרצה שתקרא מן החמשה עשר אחד עשר
11 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11}}-\left({\color{blue}{3}}{\color{red}{\sdot3}}\right)=11-9={\color{blue}{2}}} 2 3
3 5 3 5
שים אלו האחד עשר על השלשה אשר הם בקצה הלוח אחר כן בקש מספר תשימהו על החמשה ותכהו בשלשה ותפיל המקובץ מן האחד עשר ויכלה או ישאר מה שהוא פחות מן השלשה תמצא שלשה שים אותם על החמשה אחר כן תכם בשלשה אשר הם הסכום יהיה זה תשעה הפילם מן האחד עשר הנשאר שניים וקיים אותם והשאירם על השלשה הנה יהיה היוצא שלשה על החמשה ועל השלשה שנים ומשוך קו כמו שקדם וכתוב תחתיו הסכום ותשים על כל אחד מהסכום מה שיצא וזה שלשה על החמשה ושנים על השלשה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 3}{3\ 5}}}
ב ג
ג ה
\scriptstyle\frac{11}{15}=\frac{3}{5}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right) והם שלשה חומשים ושני שלישי חומש
\scriptstyle1\div96 ואם יאמר לך קרא אחד מששה ותשעים
\scriptstyle96\equiv_96\longrightarrow96=2n=6m הוצא ששה ותשעים תשעה תשעה הנשאר מהם ששה הנה להם שתות לפי מה שקדם בשער ההשלכה מפני שהוא מספר זוג
\scriptstyle96=6\sdot16=6\sdot\left(2\sdot8\right)=2\sdot8\sdot6=2\sdot6\sdot8 ובקש מספר תכהו בששה ויהיה ששה ותשעים תמצא זה ששה עשר והששה עשר מורכב משנים ושמונה הנה כל הששה ותשעים מורכב מהכאת שנים בשמנה ומה שהתקבץ בששה ואם תרצה תכה שנים בששה ומה שהתקבץ בשמונה ושים בקצה הלוח השנים ותחתיהם הששה ותחת הששה השמונה עוד תרשום זה הסכום גם כן בראש הלוח תחת קו תכתוב השמונה תחלה ואחריו הששה ואחריו השנים ותרשום על השנים אחד על ראש הקו בצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0\ 0}{2\ 6\ 8}}}
א 0 0
ב ו ח
\scriptstyle\frac{1}{96}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8} אחר כן תיחס האחד אל השנים אחר כן תסמכהו אל הששה ותסמוך הכל אל השמונה יהיה זה חצי שתות השמינית והוא יחס האחד אל הששה ותשעי‫'
\scriptstyle45\div96 ואם תרצה שתקרא מהם חמשה וארבעים
45 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{45}}-\left({\color{blue}{22}}{\color{red}{\sdot2}}\right)=45-44={\color{blue}{1}}} 1 22 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{22}}-\left({\color{blue}{3}}{\color{red}{\sdot6}}\right)=22-18={\color{blue}{4}}} 1 4 3
2 6 8 2 6 8 2 6 8
שים החמשה וארבעים בקצה הלוח על השנים המקוימים בו אחר כן בקש מספר תכהו בשנים ותפילהו מן החמשה וארבעים ויכלה או ישאר מה שהוא פחות מן השנים תמצאהו שנים ועשרים וישאר מן החמשה וארבעים אחד ותוריד אלו השנים ועשרים אל הששה אחר כן תקים האחד הנשאר על השנים עוד שוב ובקש מספר תכהו בששה ותפיל המקובץ מן השנים ועשרים ויכלה או ישאר פחות מששה תמצא שלשה הורידם על השמונה ותכה שלשה בששה יהיו שמונה עשר והפילם מן השנים ועשרים הנשאר ארבעה וקיים אותם על הששה הנה כבר יצא על השמונה שלשה ועל הששה ארבעה ועל השנים אחד אחר כן תמשוך קו וכתוב תחתיו זה הסכום לפי מה שקדם מן הסדר וקיים על כל סכום מה שיצא וזה על השמונה שלשה ועל הששה ארבעה ועל השנים אחד וזה שלש שמיניות וארבעה שתותים משמינית וחצי שתות שמינית וזאת צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 4\ 3}{2\ 6\ 8}}}
א ד ג
ב ו ח
Check: \scriptstyle45\equiv_73 ובחינת זאת השאלה הוא שתשליך המספר הנקרא שבעה שבעה והוא חמשה וארבעים הנשאר שלשה ושמרם בידך
\scriptstyle3\sdot6=18\equiv_74\longrightarrow4+4=8\equiv_71\longrightarrow\left(1\sdot2\right)+1=3 אחר כן הכה השלשה אשר על השמונה בששה אשר הוא הסכום וזה שמונה עשר הפילהו שבעה שבעה הנשאר מהם ארבעה והשיא עליהם הארבעה אשר על הששה יהיה זה שמונה הפיל מהם שבעה הנשאר אחד אחר כן הכהו בשנים והשיא מה שעליהם יהיה זה שלשה והוא שוה לשלשה אשר שמרת בידך והוא הנשאר מן המספר הנקרא כבר נתאמתה השאלה

Chapter Seven – Division

 השער השביעי בחלוקת המספרים קצתם על קצתם
Two kinds of division דע כי השער הזה יחלק לשני חלקים‫:
1) Division by the same type
 אחד מהם חלוקת הדבר על סוגו
2) Division by another type
 והשני חלוקת הדבר על זולת סוגו
  • Division by the same type: division of integer by integer
 ואולם חלוק הדבר על סוגו הנה הוא חלוקת מספר שלם על מספר שלם כמוהו
  • Division by another type: division of integer by fraction
 והחלוק השני הוא חלוק הדבר על זולת סוגו הנה הוא חלוק השלם על השבר
והמבוקש בשני הפנים אמנם הוא מה שראוי לאחד תמיד
ודע כי אתה כאשר תרצה שתחלק מספר על מספר הנה השער הזה יסבול כמעשה במאמר‫:
  • \scriptstyle a\div b=a\sdot\frac{1}{b}
 פעם אחד מהם שתקרא אחד מן הנחלק עליו ותקח היחס ההוא מן הנחלק ומה שיהיה הנה הוא מה שראוי לאחד
Example: \scriptstyle20\div4
 דמיון זה כשיאמר לך אדם: חלק עשרים על ארבעה
\scriptstyle20\div4=\frac{1}{4}\sdot20=5
 קרא אחד מן ארבעה תמצא זה רביע וקח רביע העשרים וזה חמשה והוא מה שיצא והוא הראוי לכל אחד מן הארבעה
  • \scriptstyle\left(a\sdot c\right)\div\left(b\sdot c\right)=\left(a\sdot c\right)\sdot\frac{1}{c}\div\left(b\sdot c\right)\sdot\frac{1}{c}
 והענין השני שתשיב הנחלק והנחלק עליו אל חלק שישתוו בו
\scriptstyle4a\div4b=4a\sdot\frac{1}{4}\div4b\sdot\frac{1}{4}
 כלומ' אם היה לכל אחד משניהם רביע השב אותם אל רביעית שניהם אחר כן חלק רביע הנחלק על רביע הנחלק עליו ומה שיצא הנה הוא המבוקש
Example: \scriptstyle35\div15
 דמיון זה :חלק חמשה ושלשים על חמשה עשר
\scriptstyle35\div15=\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)\div\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=7\div3=2+\frac{1}{3}
 הנה לכל אחד מהם חלק ישתתפו בו והוא החומש וקח חומש החמשה עשר והוא שלשה וקח חומש החמשה ושלשים והוא שבעה וחלקם על השלשה יצא זה שנים ושליש והוא מה שיצא מחלוקת החמשה ושלשים על החמשה עשר
והמין השלישי מן החלוק יחלק לשני חלקים: והוא אם שהיה המספר הנחלק עליו ראשון או מורכב
  • \scriptstyle\left[a+\left(b\sdot p\right)\right]\div p=b+\frac{a}{p}
 ואם היה ראשון תבקש מספר תכהו בנחלק עליו ויסכלהו פי' הנחלק יסכול העולה מהכאתו ותפילהו מן הנחלק ויכלה או ישאר מה שהוא פחות מן הנחלק עליו ומה שהתקבץ הנה הוא היוצא מן החלוקה
Example: \scriptstyle50\div11
 ודמיון זה: חלק חמישים על אחד עשר
\scriptstyle50-\left({\color{blue}{4}}\sdot11\right)=50-44={\color{blue}{6}}
 הנה כבר ידעת כי האחד עשר מספר בלתי מורכב לא ימנהו כי אם האחד ובקש מספר תכהו באחד עשר ותפיל העולה ממנו מן החמישים ויכלו בהם כל החמישים או ישאר מהם מה שהוא פחות מן האחד עשר תמצא ארבעה והכם באחד עשר יהיו ארבעה וארבעים והפילם מן החמישים הנשאר ששה
\scriptstyle50\div11=4+\frac{6}{11}
 וקרא אותם מן האחד עשר וזה ששה חלקים מאחד עשר הנה אם כן היוצא ארבעה וששה חלקים מאחד עשר וזאת צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{11}4}}
ו ד
אא
  • \scriptstyle\left[\left[a+\left(b\sdot c\right)\right]\sdot d\right]\div\left(c\sdot d\right)=\left[a+\left(b\sdot c\right)\right]\div c=b+\frac{a}{c}
 ואם יהיה המספר הנחלק עליו מורכב התיכהו אל מספריו אשר הורכב מהם אחר כן חלק המספר הנחלק על כל אחד מאלו המספרים הנזכרים נחלק ראשונה על הקטן מהם ומה שיצא בחלוקה תחלקהו על היותר גדול עד שישלמו אלו המספרים הידועים הנזכרים ומה שיצא על האחרון מהם הנה הוא המבוקש
Example: \scriptstyle60\div18
 ודמיון זה: חלק שישים על שמונה עשר
\scriptstyle60\div18=\left(60\div2\right)\div\left(18\div2\right)=30\div9=3+\frac{3}{9}
 הנה כבר ידעת כי השמנה עשר מספר מורכב מן השנים בתשעה וחלק השישים על השנים יצא שלשים וחלק אלו השלשים על התשעה יצא לך שלשה וישאר על התשעה שלשה והם שלש תשיעיות הנה יהיה היוצא מן החלוקה שלשה ושלש תשיעיות

written division

 ואם ירבה המספר הנחלק וירבו מדרגותיו חלקם באותיות האבק
Example: \scriptstyle854\div3
 דמיון זה: חלק ארבעה וחמישים ושמונה מאות על שלשה
הורד הארבעה וחמישים ושמונה מאות בשטה על זה הצורה‫:
8 5 4
 ד ה ח
854 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8}}-\left({\color{blue}{2}}{\color{red}{\sdot3}}\right)=8-6={\color{blue}{2}}} 254 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{25}}-\left({\color{blue}{8}}{\color{red}{\sdot3}}\right)=25-24={\color{blue}{1}}}  14 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14}}-\left({\color{blue}{4}}{\color{red}{\sdot3}}\right)=14-12={\color{blue}{2}}}   2
3    3    3   3
2   28  284
אחר כן הורד המספר הנחלק עליו תחת השמונה אשר הם אחרית המספר מן הנחלק והוריד השלשה תחתיהם אחר כן בקש מספר הורידהו תחת השמנה ותכהו בשלשה ותפילהו מן השמונה ויכלה בהם כל השמונה או ישאר מהם מה שהוא פחות מן השלשה תמצא שנים הכם בשלשה יהיו ששה והפילם מן השמונה ישאר שנים והורידם במקום השמונה תחת השלשה אחר כן תעתיק השלשה תחת החמשה והעתק השנים שנשארו מן השמונה על החמשה ויהיו חמשה ועשרים ובקש מספר תכהו בשלשה ויהיה המקובץ שוה לו או ישאר פחות מהשלשה וזה שמנה כי ההכאה תהיה ארבעה ועשרים והוריד אלו השמונה תחת השלשה ויהיו עם השנים הראשונים בשטה אחת אחר כן תפיל הארבעה ועשרים מן החמשה ועשרים הנשאר אחד ומחה החמשה ועשרים וקיים אחד במקום החמשה אחר כן תעתיק השלשה תחת מדרגה אחת אל מה שילוה הימין וזה תחת הארבעה ותעתיק האחד הנשאר קודם לו ותחברם עם הארבעה הנה אם כן היוצא ארבעה עשר ובקש מספר תכהו בשלשה יכלה בו הארבעה עשר תמצא ארבעה הורידם תחת השלשה יהיו עם השמונה בשטה אחת אחר כן תכה אלו הארבעה בשלשה יהיו שנים עשר הפילם מן הארבעה עשר הנשאר שנים ויחס אותם אל השלשה אשר חלקת אותו עליהם וזה שני שלישיים יהיה היוצא מן החלוקה ארבעה ושמונה ושנים ושנים על השלשה והוא ארבעה ושמנים ומאתיים ושני שלישיים וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}284}}
ב דחב
ג
  • Check: \scriptstyle854\equiv_70
 ואם תרצה בחינת השאלה הזאת השלך המספר הנחלק שבעה שבעה תמצאהו מושלך
\scriptstyle284\equiv_74\longrightarrow4\sdot3=12\equiv_75\longrightarrow5+2=7\equiv_70
 אחר כן שוב אל המספר היוצא מן החלוקה והשליכהו שבעה שבעה הנשאר ממנו ארבעה ותכהו בשלשה אשר נחלק עליו יהיו שנים עשר השלך מהם שבעה הנשאר חמשה ותשיא עליהם השנים אשר על השלשה יהיו שבעה מושלכים גם כן
Example: \scriptstyle98746\div36
 ואם יאמר: חלק ששה וארבעים ושבע מאות ושמנת אלפים ותשעים אלף על ששה ושלשים
הוריד המספר הנחלק בשטה על זאת הצורה‫:
9 8 7 4 6
 ו ד ז ח ט
\begin{align}\scriptstyle98746\div36&\scriptstyle=\left(98746\div4\right)\div\left(36\div4\right)\\&\scriptstyle=\left(24686+\frac{2}{4}\right)\div9\\&\scriptstyle=2742+\frac{8}{9}+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}
 ודע כי הששה ושלשים מספר מורכב מן ארבעה ותשעה וחלק מספר הנזכ' על ארבעה אשר הם פחות תחלה לפי מה שקדם בשאלה קודם זה יצא לך בחלוק ששה ושמנים ושש מאות וארבע' ועשרים אלף וישאר על הארבעה שבע אחר כן חלק הששה ושמנים ושש מאות וארבעה ועשרים על תשעה גם כן לפי מה שקדם יצא לך בחלוק שנים וארבע[ים] ושבע מאות ושני אלפים וישאר על הארבעה שנים ועל התשעה שמנה אחר כן משוך קו וכתוב תחתיו התשעה והארבעה ויהיו התשעה ממה שילוה הימין והארבעה ממה שילוה השמאל וכתוב על התשעה השמנה אשר נשארו עליהם ועל הארבעה השנים אשר נשארו עליהם וכתוב מספר היוצא עם זה הסכום בשטה יהיה המספר ממה שילוה הימין והסכום ממה שילוה השמאל על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 8}{4\ 9}2742}}
ב ח בדזב
ד ט
ויהיה היוצא מן החלוקה שנים וארבעים ושבע מאות ואלפים ושמנה תשיעיות ושני רביעי תשיעיות והוא חצי תשיעית
ואמנם אמרנו שתי רביעיות להקל עלינו בבחינה
  • Check: \scriptstyle98746\equiv_74
 ובחינת זאת השאלה הוא שתשליך המספר הנחלק שבעה שבעה ישאר ממנו ארבעה ושמרם
\begin{align}\scriptstyle2742\equiv_75&\scriptstyle\longrightarrow5\sdot\left(9\equiv_72\right)=10\equiv_73\\&\scriptstyle\longrightarrow\left[3+\left(8\equiv_71\right)\right]\sdot4=4\sdot4=16\equiv_72\\&\scriptstyle\longrightarrow2+2=4\\\end{align}
 אחר כן שוב אל המספר היוצא והשליך השלם ממנו ישאר מזה חמשה ותכם בנשאר מן התשעה וזה שנים יהיו עשרה ישאר מהם שלשה ותשא עליהם הנשאר מן השמנה אשר על התשעה וזה אחד יהיה זה ארבעה ותכם בארבעה אשר הם הסכום יהיה ששה עשר הנשאר מהם שנים ועל הארבעה שנים יהיו ארבעה והוא שוה לארבעה אשר נשארו מן המספר הנחלק וכבר התאמתה השאלה
ואולם החילוק על החלקים כמו אחד עשר ושלשה עשר ושבעה עשר הנה המעשה בהם לפי מה שאזכרהו
Example: \scriptstyle276\div11
 ודמיון זה: חלק ששה ושבעים ומאתים על אחד עשר
הוריד זה המספר הנזכר בשטה כמו שקדם אחר כן הוריד האחד עשר תחת שבעה ועשרים וזה צורתם‫:
ו ז ב
א א 
276 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{2}}-\left({\color{blue}{2}}{\color{red}{\sdot1}}\right)=2-2=0\\\scriptstyle{\color{red}{7}}-\left({\color{blue}{2}}{\color{red}{\sdot1}}\right)=7-2={\color{blue}{5}}\end{cases}} 56 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{5}}-\left({\color{blue}{5}}{\color{red}{\sdot1}}\right)=5-5=0\\\scriptstyle{\color{red}{6}}-\left({\color{blue}{5}}{\color{red}{\sdot1}}\right)=6-5={\color{blue}{1}}\end{cases}}  1
11  11 11
2  25
אחר כן בקש מספר הורידהו תחת האחת אשר הוא אחד והוא גם כן תחת השבעה ותכהו באחד אשר הוא עשרה עוד באחד אשר הוא אחד ויכלה בזה כל מה אשר על ראשו תמצא שנים תפילם מן השנים אשר על ראשם יכלה אחר כן תכה אלו השנים באחד אשר הוא תחתיו יהיו שנים תפילם מן השבעה אשר על ראשם ישארו חמשה וקיים אותם במקום השבעה אחר כן תעתיק האחד עשר תחת הששה ובקש מספר תכהו באחד האחר [הראשון] ותפילהו ממה שעל ראשו ותכהו ג"כ באחד אשר על ראשו תפילהו ממה שעליו הנה לא ישאר כלום וקח חמשה ותכהו באחד האחרון יהיו חמשה תפילם מן החמשה אשר על ראשם יכלו אחר כן תכה החמשה באחד הראשון יהיו חמשה תפילם מן החמשה אשר על ראשם ישאר אחד ויחס אותו אל האחד עשר וזה חלק מאחד עשר הנה כבר יצא בחלוקת חמשה ועשרים וחלק מאחד עשר וזאת צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}25}}
א הב
אא
  • Check: \scriptstyle276\equiv_73
 ובחינת זאת השאלה שתשליך הששה ושבעים ומאתים הנחלקים שבעה שבעה וישאר מהם שלשה ושמרה
\scriptstyle25\equiv_74\longrightarrow4\sdot\left(11\equiv_74\right)=16\equiv_72\longrightarrow2+1=3
 אחר כן תשליך החמש' ועשרים אשר יצאו מן החלוקה שבעה שבעה ישארו מהם ארבעה ותכם בנשאר מן האחד עשר והוא ארבעה יהיו ששה עשר ישאר מהם שנים והשיא עליהם החלק אשר על האחד עשר שהוא אחד יהיו שלשה והוא שוה לשלשה אשר נשאר מן הנחלק
ועל הדמיון הזה הוא החלוק על השלשה עשר ועל שבעה עשר ותבין ותמצא בעז' האל יתעלה

Chapter Eight – Halving

 השער השמיני בחצית איזה מספר שתרצה
  • One of the types of division: dividing by 2
 דע כי השער הזה מן מיני החילוק וכאשר תרצה לקחת חצי מספר חלקהו על השנים ומה שיצא מן החילוק הוא חצי המספר הנחלק
Example: \scriptstyle\frac{1}{2}\sdot8764
 ודמיון זה: כאשר תרצה לקחת חצי ארבעה וששים ושבע מאות ושמונת אלפים
הוריד המספר הזה בשטה כמו שקדם והוריד תחילה הארבעה אחר כן הששה אחר כן השבעה אחר כן השמונה וזאת צורתם‫:
8 7 6 4
 ד ו ז ח
8764 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8}}-\left({\color{blue}{4}}{\color{red}{\sdot2}}\right)=0}  764 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7}}-\left({\color{blue}{3}}{\color{red}{\sdot2}}\right)={\color{blue}{1}}}  164 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{16}}-\left({\color{blue}{8}}{\color{red}{\sdot2}}\right)=0}    4 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4}}-\left({\color{blue}{2}}{\color{red}{\sdot2}}\right)=4-4=0}
2     2     2     2
4   43   438  4382
אחר כן הוריד השנים תחת השמונה אשר הם המדרגה האחרונה אחר כן בקש מספר תורידהו תחת השנים ותכהו בשנים ויכלו בו השמונה תמצא ארבעה והורידהו תחת השנים אחר כן הכה אותם בשנים יהיו שמונה והפילם מן השמנה אשר על ראשם יכלו אחר כן תעתיק השנים תחת השבעה ובקש מספר תכהו בשנים יכלו בו השבעה או ישאר מהם מה שהוא פחות משנים תמצא זה שלשה וישאר אחד השאר אותו על השבעה או במקומם אחר כן תעתיק השנים תחת הששה ועמהם אחד קודם הנה הם אם כן ששה עשר ובקש מספר הורידהו תחת השנים תכהו בהם יכלו בו הששה עשר תמצא זה שמונה והכם בשנים יכלו בהם הששה עשר אחר כן תעתיק השנים תחת הארבעה ובקש מספר תכהו בשנים יכלו בו הארבעה תמצא שנים בשנים הם ארבעה הנה כבר יצא בחלוקה שנים ושמנ[ים] ושלש מאות וארבעת אלפים והוא חצי המספר הנז' וזה צורתו‫:
4 3 8 2
 ב ח ג ד
  • if the number of units is odd - the half of the whole number is not an integer but a fraction [= it is not divisible by 2]
 ודע כי כל מספר שתחלתו נפרד הנה הוא אין לו חצי שלם כי אם בשבר
  • finding the third of a number = dividing the number by 3
 ודע כי אתה כאשר תרצה שתקח שליש מספר הנה תחלקהו על שלשה
  • finding the quarter of a number = dividing the number by 4
 או ארבעה תחלקהו על ארבעה
ועל הדמיון הזה עד עשרה

Chapter Nine – Doubling

 השער התשיעי בהכפול איזה מספר שתרצה
  • One of the types of addition: adding a number to the same number
 דע כי השער הזה מין ממיני הקבוץ והוא קבוץ מספר אחד אל מספר אחר כמוהו
Example: \scriptstyle2\times421
 דמיון זה: כפול אחד ועשרים וארבע מאות
וקיים אותם בשטה על זאת הצורה‫:
421
421
א ב ד
א ב ד
אחר כן קיים תחת השטה שטה אחרת כמוה תוריד כל סוג תחת סוגו הוריד האחד תחת האחד והעשרים תחת העשרים והארבע מאות תחת הארבע מאות על הצורה הזאת‫:
ב ד ח
א ב ד
א ב ד
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1+1}}={\color{blue}{2}}}   2 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+2}}={\color{blue}{4}}}  42 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4+4}}={\color{blue}{8}}} 842
421 421 421 421
421 421 421 421
אחר כן תתחיל לקבץ מן האחדים וקבץ האחד עם האחד יהיו שנים וקיים אותם על הקו כמספר האחדים אחר כן קבץ הארבעה אל הארבעה יהיו שמונה וקיים אותם גם כן על הקו על המאות ויתקבץ לך על הקו שנים וארבעים ושמונה מאות והוא כפל האחד ועשרים וארבע מאות

Chapter Ten – Extracting Roots

 השער העשירי בלקיחת גדר המספרים
Square number - number that has a root דע כי המספרים הנגדרים הם המספרים המרובעים ושרשיהם הם הגדרים
ודע כי מדרגות המספר מדרגה מהן נגדרת ושנית לה בלתי נגדרת
  • the rank of units - begins with one that has a root: \scriptstyle\sqrt{1}=1
 וזה כי מדרגת האחדים היא תחילת המדרגה הראשונה ממדרגות המספרים ותחלתה האחד ולו גדר והוא האחד
  • the rank of tens - begins with ten that has no [rational] root
 והמדרגה השנית העשרות ותחלתה העשרה ואין לו גדר
  • the rank of hundreds - begins with one hundred that has a root: \scriptstyle\sqrt{100}=10
 והמדרגה השלישית המאות ותחלתה המאה ולו גדר והוא העשרה
  • the rank of thousands - begins with one thousand that has no [rational] root
 והמדרגה הרביעית האלפים ותחלתה האלף ואין לו גדר
  • the rank of tens of thousands - begins with ten thousand that has a root: \scriptstyle\sqrt{10000}=100
 והמדרגה החמישית עשרת אלפים ולו גדר וגדרו מאה
  • and so on - the first number of one rank has a root and the first number of the next rank has no [rational] root
 ועל הסדר הזה מדרגה נגדרת ושנית לה בלתי נגדרת

written extraction of roots
description of the procedure וכאשר תרצה לדעת איך תקח גדר מספר נגדר הוריד המספר ההוא על מדרגותיו כמו שקדם

אחר כן תתחיל מן המדרגה הראשונה ויש לה גדר והשנית אין לה גדר
ואם היתה המדרגה האחרונה מדרגה שיש לה גדר התחיל ממנה
ואם לא יהיה לה גדר חזור לאחור ממה שילוה הימין
ובקש מספר תכהו בדמיונו ויכלה בו כל המספר ההוא אשר על ראשו אחר כן כפול המספר ההוא אשר הכית בכמוהו וקעקע אותו מדרגה אל הימין
אחר כן בקש מספר הורידהו במדרגה אשר תלוה למדרגה אשר חזרת בה המספר ההוא המוכה ותכהו במספר הכפול ותכהו גם כן בכמוהו ויכלה בו כל מה שנשאר מן המספר אחר כן תכפול אותו המספר הכפול ותשאירהו במדרגתו ומה שהיה הנה הוא הגדר

Example: \scriptstyle\sqrt{625}
 ודמיון זה: כאשר תרצה לקחת גדר חמשה ועשרים ושש מאות
הורידם על הצורה הזאת‫:
6 2 5
 ה ב ו
625 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{6}}-{\color{blue}{2^2}}=6-4={\color{blue}{2}}} 225 \scriptstyle\xrightarrow{2\sdot2={\color{blue}{4}}} 225
  2    4 

\scriptstyle\xrightarrow{22-\left(4\sdot{\color{blue}{5}}\right)=22-20={\color{blue}{2}}} 25 \scriptstyle\xrightarrow{25-5^2=25-25=0}   \scriptstyle\xrightarrow{\frac{{\color{red}{4}}}{2}={\color{blue}{2}}}  
45 45 25
אח"כ התחיל בתחילת מדרגה שיש לה גדר והשנית אין לה גדר והשלישית יש לה גדר

ובקש מספר תורידהו תחת הששה ותכהו בנפשו יכלה בו הששה תמצא שנים והכם בדומה להם יהיו ארבעה והפילם מן הששה אשר על ראשם הנשאר שנים וקיים אותם במקום הששה אחר כן כפול השנים אשר הכית בדומה להם יהיו ארבעה והשיב אותם מדרגה אל מה שילוה הימין והורידהו תחת השנים
אחר כן בקש מספר תורידהו תחת החמשה ותכהו בארבעה ותכהו גם כן בדומה לו ויכלה בו כל המספר ההוא תמצא חמשה הכם בארבעה יהיו עשרים הפילם מן השנים ועשרים הנשאר שנים אחר כן תכה החמשה בדומה להם יהיו חמשה ועשרים והפילם מן החמשה ועשרים אשר על ראשם ויכלו אחר כן תכפול הארבעה אשר כפלת יהיו שנים הנה היוצא אם כן חמשה ועשרים והוא גדר המספר המבוקש

Example: \scriptstyle\sqrt{583696}
 ואם רצית לקחת גדר ששה ותשעים ושש מאות ושלשת אלפים ושמונים אלף וחמש מאות אלפים
הורידם בשטה על זאת הצורה‫:
5 8 3 6 9 6
 ו ט ו ג ח ה
אחר כן מנה המדרגות ותמצאם זוג והניח המדרגה האחרונה מפני שהיא בלתי נגדרת וחזור אל אשר תלוה אליה אל הימין
ואם יהיו מספר המדרגות נפרד הנה המדרגה האחרונה נגדרת
583696 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{58}}-{\color{blue}{7^2}}=58-49={\color{blue}{9}}} 93696 \scriptstyle\xrightarrow{2\sdot7={\color{blue}{14}}} 93696
  7     14   
הנה כבר מצאת מספר אלו זוג ועזוב המדרגה האחרונה מהם ובקש מספר תורידהו תחת השמונה וחמישים תמצא שבעה והכם בדומה להם יהיו תשעה וארבעים הפילם מן השמונה וחמישים הנשאר תשעה אחר כן מחה השמונה וחמישים וקיים התשעה מקום השמונה אחר כן כפול השבעה יהיו ארבעה עשר ותעתיקם מדרגה אל מה שילוה הימין וזה שתוריד הארבעה תחת השלשה והאחד תחת התשעה
\scriptstyle\xrightarrow{9-\left(1\sdot{\color{blue}{6}}\right)=9-6={\color{blue}{3}}} 33696 \scriptstyle\xrightarrow{33-\left(4\sdot6\right)=33-24={\color{blue}{9}}}  9696
146   146  

\scriptstyle\xrightarrow{96-6^2=96-36={\color{blue}{60}}}  6096 \scriptstyle\xrightarrow{\begin{cases}\scriptstyle2\sdot6=1{\color{blue}{2}}\\\scriptstyle4+1={\color{blue}{5}}\end{cases}} 6096
146   152 
אחר כן בקש מספר תורידהו תחת הששה ותכהו באחד האחרון ובארבעה ובנפשו ותפיל כל זה ממה שעל ראשו תמצא ששה ותכם באחד יהיו ששה והפילם מן התשעה הנשאר שלשה וקיים אותם במקום התשעה אחר כן תכה הששה בארבעה יהיו ארבעה ועשרים והפילם מן השלשה ושלשים הנשאר תשעה על ראש הארבעה אחר כן תכה הששה בדומה להם וזה ששה ושלשים הפילם מן הששה ותשעים אשר על ראשם הנשאר שישים והוריד זה על הששה והששה על הארבעה אחר כן כפול אלו הששה יהיו שנים עשר והוריד השנים במקום הששה והקדים זה האחד אשר הוא עשרה מן השנים עשר אל הארבעה הקודמים יהיו חמשה אחר כן קעקע כל זה מדרגה אל מה שילוה הימין וזה שתוריד השנים תחת התשעה והחמשה תחת הציפרא והאחד תחת הששה
\scriptstyle\xrightarrow{6-\left(1\sdot{\color{blue}{4}}\right)=6-4={\color{blue}{2}}} 2096 \scriptstyle\xrightarrow{20-\left(5\sdot4\right)=20-20=0}   96 \scriptstyle\xrightarrow{9-\left(2\sdot4\right)=9-8={\color{blue}{1}}}
1524 1524

  16 \scriptstyle\xrightarrow{16-4^2=16-16=0}   \scriptstyle\xrightarrow{\frac{{\color{red}{152}}}{2}={\color{blue}{76}}}  
1524 1524 764
ואחר כן בקש מספר תורידהו תחת הששה אשר הם מדרגה ראשונה מן המספר הנגדר ותכהו באחד האחרון ובחמשה ובשנים ובנפשו ויכלה בו כל מה שנשאר מן המספר תמצא ארבעה ותכה אותם באחד יהיו ארבעה תפילם מן הששה אשר על ראשם ישארו שנים אחר כן תכה הארבעה בשנים יהיו שמנה ותפילם מן התשעה אשר על ראשם ישאר אחד והעתיקהו במקום הששה אחר כן תכה הארבעה בנפשם יהיו ששה עשר ותפילם מן הששה עשר אשר על ראשם יכלה אחר כן תחצה ר"ל תשיב לחצי כל מה שכפלת מהם וזה שנים וחמישים ומאה יהיה חציים ששה ושבעים וארבעה מהם מאוחדים אל הימין הנה אם כן ארבעה ושישים ושבע מאות והוא גדר המספר המונח
  • if there are zeros in the number - its root has half the number of the zeros
 ואם תרצה לקחת גדר מספר יהיה בם ציפרי עשה בציפרא כמו שקדם בלקיחת הגדרים וקיים הציפרי וקח חצי מספרם וחצי מה שכפלת וחברהו אל הציפרי יהיה הגדר
Example: \scriptstyle\sqrt{10000}
 המשל בזה: כאשר תרצה לקחת גדר עשרת אלפים
הוריד העשרת אלפים ארבעה צפרי' ואחד כמו שקדם באותיות האבק על זאת הצורה‫:
1 0 0 0 0
 ‫0 ‫0 ‫0 ‫0 א
אחר כן מנה המדרגות תמצאם נפרד והתחיל במדרגה האחרונה ותאמר איזה מספר אכהו בדומה לו ונפיל המקובץ מן האחד ויכלה תמצא אחד ועמך מן הציפרים ארבעה קח חציים וזה שנים ויהיה הגדר שני ציפרים ואחד כמו זאת הצורה‫:
והם מאה וקבץ תמצא

Section Two – Fractions

Multiplication of Fractions

 ואחר שכבר הגענו אל מה שאמרנו מאלו העשרה שערים הנה נתחיל עתה בהכאת השברים באבק
והנה עשינו שערים גם כן בהכאת השברים באבק שנים ושבעים שערים

Chapter One – Forms of Fractions

 השער הראשון בצורת השברים באבק
simple fractions דע כי ראשון השברים החצי ואחריו השליש והרביע והחומש והשתות והשביעית והשמינית והתשיעית והעשור הנה אלו פשוטים
וכאשר תרצה לצייר החצי תצייר שנים ועליהם קו ועל הקו אחד על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}
א
ב
והשליש שלשה עליהם אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
א
ג
וכאשר תרצה שני שלישים תשים במקום האחד שנים ויהיו שני שלישים כזה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}
ב
ג
והרביע אחד על ארבעה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}
א
ד
וכן העשירית אחד על העשרה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}}}
א
‫0א
ויהיה ביניהם קו תמיד
וכן תשע עשיריות יהיו תשעה על עשרה וביניהם קו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}
ט
‫0א
ומאלו הפשוטים גם כן החלקים ומהם חלק מאחד עשר תוריד אחד עשר ועליהם קו ועל הקו אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}}}
א
אא
ואם יהיו שני חלקים תשים במקום האחד שנים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{11}}}
ב
אא
ותשעה חלקים תשים במקום אחד תשעה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{11}}}
ט
אא
או עשרה חלקים תשים במקום האחד עשרה ויהיו עשרה חלקים מאחד עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}
‫0א
אא
וכן תעשה החלקים כולם כמו שלשה עשר ותשעה עשר תוריד מקום החלק אחר כן תמשוך קו ועל הקו מספר מה שעמך מן החלקים עוד תשנה ג"כ אלו החלקים
fractions of fractions ויהיה מהם שם מחובר משנים
\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6} כמו חצי שתות הנה השם הזה מחובר מן החצי והשתות ורשום מקום השתות ומקום החצי תחת קו ויהיו ששה ראשונה והשנים אחרונים ותוריד על השנים אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0}{2\ 6}}}
א 0
ב ו
הנה זאת צורת חצי שתות
\scriptstyle\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7} וכן רביע שביעית תשים ארבעה ושבעה תחת קו ועל הארבעה אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0}{4\ 7}}}
א 0
ד ז
ואלו הצורות הם שברי השברים
ואם יהיה שבר נשבר רשום שני המקומות תחת קו ורשום על כל אחד מהם גדרו הנזכר
\scriptstyle\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right) דמיון זה אלו יאמר לך שלשה חומשים ושליש החומש
הוריד החמשה והשלשה תחת קו אחד כמו שסדרנו ורשום על החמשה שלשה ועל השלשה אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{3\ 5}}}
א ג
ג ה
\scriptstyle\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right) וכן חמשה שתותים ורביע שתות
הוריד הארבעה והששה תחת קו ועל הששה חמשה ועל הארבעה אחד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{4\ 6}}}
א ה
ד ו
\scriptstyle\frac{4}{13}+\left(\frac{3}{11}\sdot\frac{1}{13}\right) וכן שתוף החלקים כמו ארבעה חלקים משלשה עשר ושלשה חלקים מאחד עשר בחלק משלשה עשר
הוריד השלשה עשר והאחד עשר תחת קו ועל השלשה עשר ארבעה ועל האחד עשר שלשה ויהיו ארבעה חלקים משלשה עשר ושלשה חלקים מאחד עשר בחלק משלשה עשר וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ \ 4}{11\ 13}}}
ג ד
אא גא
\scriptstyle\frac{9}{11}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right) וכן ישתתף בשלשה שמות וארבעה שמות כמו תשעה חלקים מאחד עשר ושבע תשיעיות החלק מאחד עשר וחמשה שתותים תשיעית החלק מאחד עשר וחצי שתות תשיעית החלק מאחד עשר משוך קו וכתוב תחלה מקום החלק ואחריו מקום התשיעית אל מה שילוה אל השמאל ואחריו מקום השתות ואחריו מקום החצי אחר כן תכתוב על כל אחד מהם מספר חלקיו וזה על האחד עשר תשעה ועל התשעה שבעה ועל הששה חמשה ועל השנים אחד וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5\ 7\ \ 9}{2\ 6\ 9\ 11}}}
א ה ז ט
ב ו ט אא
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{10}{11} ומאלו השברים מה שהוא מתחלף לא ייוחס אחד מהם אל השני כמו שלשה רביעים וארבעה חמישיים וחמשה שתותים ועשרה חלקים מאחד עשר כל אחד מיוחס אל האחד הנה אתה תפריד הקו ביניהם ולא יהיה דבק על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}\frac{5}{6}\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
‫0א ה ד ג
אא ו ה ד
ומאלו השברים מה שהוא מיוחס במלה בחסרון הוו' והוא לקיחת השבר מן השבר
\scriptstyle\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6} דמיון זה שלשה רביעים ארבעה חומשים חמשה שתותים הנה צורת אלו כמו צורת המתיחסי' באחד ומשוך קו ורשום תחתיו תחלה הארבעה אחר כן החמשה אחר כן הששה ורשום על כל אחד מהם מספר החלקים הנזכ' וזה על הארבעה שלשה ועל החמשה ארבעה ועל הששה חמשה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\ 4\ 3}{6\ 5\ 4}}}
ה ד ג
ו ה ד
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right) ופעמים יבואו מאלו השברים מה שהוא מתחלף ומתייחס כמו שלשה רביעים וארבעה חומשים וחמשה שתותים וחצי שתות תחת קו אחד כמו שקדם וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5\ 4\ 3}{2\ 6\ 5\ 4}}}
א ה ד ג
ב ו ה ד
ומהם מה שהוא שבר מיוחס אל זולת אחד מן השברים המתחלפים
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\right) דמיון זה שלשה רביעים וחמשה שתותים ורביע שמינית
הוריד השלשה רביעים והחמשה שתותים תחת שני קוים ורביע השמינית תחת קו בעצמו וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0}{4\ 8}\frac{5}{6}\frac{3}{4}}}
א 0 ה ג
ד ח ו ד
וכמו המעשה הזה תקיש כל מה שיבא עליך בע"ה

Chapter Two – Multiplication of Fraction by Intege

 השער השני בהכאת השבר במספר השלם
  • \scriptstyle\frac{5}{6}\times10
 כאשר יאמר לך הכה חמשה שתותים בעשרה
הוריד החמשה שתותים בשטה והוריד תחתיו בשטה אחרת העשרה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{10}}
ה
ו
‫0א
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\times10=\frac{5\sdot10}{6}=\frac{50}{6}=8+\frac{2}{6}}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה וקח החמשה אשר על הששה והכה אותם בעשרה יהיו חמישים וחלקם על הששה אשר הם במעמד והם גם כן תחת הקו יצא לך שמונה ושני שתותים וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{6}8}}
ב ח
ו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{10\equiv_73\longrightarrow3\sdot5=15\equiv_71}}
 ואם תרצה לבחון אותו השלך העשרה בהשלכת שבעה ישארו מהם שלשה והכם בחמשה אשר הכית בהם העשרה יהיו חמשה עשר והשליכם שבעה הנשאר אחד והוא התשובה ושמרהו
\scriptstyle{\color{blue}{8\equiv_71\longrightarrow\left(1\sdot6\right)+2=8\equiv_71}}
 אחר כן חזור אל היוצא והוא שמונה והשליך מהם שבעה הנשאר אחד והכהו בששה אשר הם המורה והשיא מה שעל ראשם וזה שנים יהיו שמונה והשליך מהם שבעה הנשאר אחד והוא שוה אל האחד השמור

Chapter Three – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Integer

 השער השלישי בהכאת השבר ושבר השבר במספר השלם
  • \scriptstyle\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times12
 כאשר יאמר לך הכה חומש וחצי חומש בשנים עשר
הוריד החומש וחצי חומש בשטה והשנים עשר בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1}{2\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{12}}
א א
ה ב
בא
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times12=\frac{\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]\sdot12}{2\sdot5}=\frac{3\sdot12}{2\sdot5}=\frac{36}{2\sdot5}=3+\frac{3}{5}}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה והכה האחד אשר על החמשה בשנים והשיא על המקובץ האחד אשר על השנים יהיו שלשה והכם בשנים עשר יהיו ששה ושלשים וחלקם על המורה אשר הם שנים וחמשה יצא לך המבוקש שלשה ושלשה חומשים וזאת צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}3}}
ג ג
ה
Check: \scriptstyle{\color{blue}{12\equiv_75\longrightarrow5\sdot\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]=5\sdot3=15\equiv_71}}
 ובחינת זאת השאלה כמו שקדם במעשה וזה שתכה האחד בשנים ותשיא מה שעל ראשם כמו שקדם במעשה יהיה זה שלשה אחר כן תשליך מן השנים עשר שבעה הנשאר חמשה והכם בשלשה אשר על הקו העליון יהיו חמשה עשר השליכם שבעה שבעה הנשאר מהם אחד
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15\equiv_71\longrightarrow\left(1+3\right)\sdot2=4\sdot2=8\equiv_71}}
 אחר כן חזור אל היוצא בתשובה והוא שלשה והכם בחמשה אשר הם המורה יהיו חמשה עשר וישאר מהם אחר ההשלכה אחד וקבצהו עם השלשה אשר על החמשה יהיו ארבעה הכם בשנים אשר הם הסכום השני יהיו שמונה ישאר מהם אחד והוא נאות לתשובה

Chapter Four – Multiplication of Fraction of Fraction by Integer

 השער הרביעי בהכאת שבר השבר במספר השלם
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\times25
 כאשר יאמר לך הכה שליש השביעית בחמשה ועשרים
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{3\ 7}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{25}}
‫0 א
ז ג
 הב
הוריד שליש השביעית בשטה וחמשה ועשרים בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\times25=\frac{1\sdot25}{3\sdot7}=\frac{25}{3\sdot7}=1+\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}
 אחר כן הכה האחד אשר על הקו העליון בחמשה ועשרים יהיו חמשה ועשרים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד ושביעית ושליש ושביע וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1}{3\ 7}1}}
א א א
ז ג
Check: \scriptstyle{\color{blue}{25\equiv_74\longrightarrow4\sdot1=4}}
 ובחינת זאת השאלה כמו שקדם במעשה והוא שתשליך החמשה ועשרים שבעה שבעה הנשאר מהם ארבעה והכם באחד אשר על הסכום יהיו ארבעה והוא התשובה ושמרהו
\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot7\equiv_70\longrightarrow\left[\left(0+1\right)\sdot3\right]+1=4}}
 אחר כן חזור אל היוצא והוא אחד והכהו בשבעה יהיה ההשלכה ועל ראשו אחד והכהו בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיו ארבעה וזה נאות לתשובה

Chapter Five – Multiplication of Two Different Fractions by Integer

 השער החמישי בהכאת שני השברים המתחלפים במספר השלם
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times15
 כשיאמר לך הכה שלשה רביעים וארבעה חומשים בחמשה עשר
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{15}}
ד ג
ה ד
הא
הוריד השלשה רביעים והארבעה חומשים בשטה והוריד תחתיו החמשה עשר על זאת הצורה‫:
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times15&\scriptstyle=\frac{\frac{\left[\left(4\sdot4\right)+\left(3\sdot5\right)\right]\sdot15}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{31\sdot15}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{465}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{116+\frac{1}{4}}{5}\\&\scriptstyle=23+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה מה שעל החמשה בסכום אשר תחת השלשה והוא ארבעה עוד הכה מה שעל הארבעה בחמשה וקבץ שתי ההכאות יהיה זה אחד ושלשים והכם בחמשה עשר יהיה זה חמשה ושישים וארבע מאות וחלקם על הארבעה יצא לך בחלוקה ששה עשר ומאה וישאר על הארבעה אחד אחר כן חלק הששה עשר ומאה על החמשה אשר הם הסכום השני יצא לך בחלוקה שלשה ועשרים וחומש אחד ורביע חומש על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1}{4\ 5}23}}
א א גב
ה ד
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle3\sdot5=15\equiv_71\\\scriptstyle4\sdot4=16\equiv_72\\\scriptstyle15\equiv_71\end{cases}\longrightarrow\left(1+2\right)\sdot1=3\sdot1=3}}
 ובחינת השאלה הזאת כמו שקדם בהכאתה וזה שתכה השלשה אשר על הארבעה בחמשה אשר תחת הקו יהיו חמשה עשר ישאר מהם אחד אחר כן הכה הארבעה אשר על החמשה בארבעה אשר הם הסכום יהיו ששה עשר ישאר מהם שנים וקבצם אל האחד השמור יהיה זה שלשה והכם בנשאר מן החמשה עשר והוא אחד יהיה זה שלשה ושמרהו והוא התשובה
\scriptstyle{\color{blue}{23\equiv_72\longrightarrow2\sdot5=10\equiv_73\longrightarrow\left(3+1\right)\sdot4=4\sdot4=16\equiv_72\longrightarrow2+1=3}}
 אחר כן חזור אל היוצא והוא שלשה ועשרים ישאר מהם שנים והכם בחמשה אשר הם הסכום יהיו עשרה ישאר מהם שלשה השיא עליהם האחד אשר על החמשה יהיו ארבעה והכם בארבעה אשר הם הסכום השני יהיו ששה עשר הנשאר מהם שנים ועל ראשם אחד יהיו שלשה והוא שוה לתשובה השמורה

Chapter Six – Multiplication of Fraction by Integer and Fraction

 השער השישי בהכאת השבר בשלם והשבר
  • \scriptstyle\frac{3}{5}\times\left(9+\frac{1}{3}\right)
 כאשר יאמר לך הכה שלשה חומשים בתשעה ושליש
הוריד השלשה חומשים בשטה אחת והתשעה ושליש בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{3}9}}
ג
ה
א ט
ג
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\times\left(9+\frac{1}{3}\right)=\frac{\left[\left(9\sdot3\right)+1\right]\sdot3}{3\sdot5}=\frac{28\sdot3}{3\sdot5}=\frac{84}{3\sdot5}=5+\frac{3}{5}}}
 אחר כן [הכה] [התשעה] בג' אשר תחת הקו מן השטה התחתונה והשיא מה שעל ראשם יהיו שמונה ועשרים והכם בשלשה אשר על החמשה יהיו ארבעה ושמונים וחלקם על הסכום אשר תחת הקוים יצא לך המבוקש וזה חמשה ושלשה חומשים על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 3}{3\ 5}5}}
0 ג ה
ה ג
Check: \scriptstyle{\color{blue}{9\equiv_72\longrightarrow\left[\left(2\sdot3\right)+1\right]=7\sdot3\equiv_70}}
 ואם תרצה הבחינה השלך התשעה ישאר מהם שנים והכם בשלשה אשר הם הסכום והשיא מה שעל ראשם יהיו שבעה והכם בשלשה אשר על החמשה יהיו גם כן שלשה ותשובתם השלכה
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25\equiv_74\longrightarrow4+3=7\equiv_70\longrightarrow0\sdot3\equiv_70}}
 אחר כן חזור אל היוצא מן ההכאה והוא חמשה והכם בחמשה אשר הם הסכום יהיו חמשה ועשרים הנשאר ארבעה ועל ראשם שלשה יהיו שבע' והם נשלכים והכם במקום השליש יהיה גם כן השלכה ותשובת זאת השאלה השלכה הנה כבר נתאמתה השאלה
ודע כי המלאכה המעשה הראשון בכל שאלה כמו מלאכת ההכאה

Chapter Seven – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction

 השער השביעי בהכאת השבר ושבר השבר בשלם והשבר
  • \scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left(6+\frac{3}{5}\right)
 כשיאמר לך: הכה חמשה שתותים וחצי שתות בששה ושלשה חומשים
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והששה ושלשה חומשים בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}6}}
ה א
ו ב
ג ו
ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left(6+\frac{3}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left(6\sdot5\right)+3\right]}{6\sdot2\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot33}{6\sdot2\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{363}{6\sdot2\sdot5}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תתחיל בקו העליון והכה החמשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו אחד עשר ושמרם אחר כן תכה הששה אשר בקו התחתון בחמשה אשר תחת הג' והשיא מה שראשם ויעלה שלשה ושלשים והכם באחד עשר השמורים יהיו שלשה ושישים ושלש מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה ששה וחומש שתות וחצי חומש שתות על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1\ 0}{2\ 5\ 6}6}}
‫0 א א ו
ו ה ב
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle11\equiv_74\\\scriptstyle33\equiv_75\end{cases}\longrightarrow4\sdot5=20\equiv_76}}
 והבחינה בשאלה הזאת כמו שקדם בהכאתה ישאר מן הקו העליון ארבעה ומן הקו התחתון חמשה אחר כן הכה הארבעה אשר נשארו מן השטה העליונה בחמשה אשר נשארו מן השטה התחתונה יהיו עשרים הנשאר מהם ששה והוא התשובה
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot6=36\equiv_71\longrightarrow\left[\left[\left(1\sdot5\right)+1\right]\sdot2\right]+1=\left(6\sdot2\right)+1=13\equiv_76}}
 אחר כן חזור אל היוצא והוא ששה והכהו במקום השתות יהיו ששה ושלשים הנשאר מהם אחד והכהו בחמשה מקום החומש והשיא מה שעל ראשם יהיו ששה והכם בשנים ותשיא מה שעל ראשם יהיו שלשה עשר הנשאר מהם ששה כמו התשובה

Chapter Eight – Multiplication of Fraction of Fraction by Integer and Fraction

 השער השמיני בהכאת שבר השבר בשלם והשבר
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\times\left(10+\frac{3}{5}\right)
 כאשר יאמר לך: הכה חצי שביעית בעשרה ושלשה חומשים
הוריד חצי השביעית בשטה והעשרה ושלשה חומשים בשטה תחתיה בצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{2\ 7}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}10}}
‫0 א
ז ב
ג ‫0א
ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\times\left(10+\frac{3}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(10\sdot5\right)+3\right]\sdot1}{2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{53\sdot1}{2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{53}{2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן הכה העשרה אשר בקו התחתון בחמשה והשיא מה שעל ראשם יהיו שלשה וחמישים והכם באחד אשר על הקו העליון יהיו שלשה וחמשים בעצמם וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש חמשה שביעיות וחומש שביע וחצי חומש שביע על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1\ 5}{2\ 5\ 7}}}
 ה א א
ז ה ב
ובחינתה כמו שקדם והתשובה בה היא ארבע בהשלכת שבעה

Chapter Nine – Multiplication of Two Different Fractions by Integer and Fraction

 השער התשיעי בהכאת שני השברים המתחלפים בשלם והשבר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left(5+\frac{5}{6}\right)
 כשיאמר לך: הכה שלשה רביעים וארבעה חומשים בחמשה וחמשה שתותים
הוריד השלשה רביעים והארבעה חומשים בשטה כמו שקדם בשער הראשון בצורות השברים המתחלפים אחר כן הוריד בשטה תחתיו החמשה והחמשה שתותים על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{6}5}}
ד ג
ה ד
ה ה
ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left(5+\frac{5}{6}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(5\sdot6\right)+5\right]}{4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{31\sdot35}{120}\\&\scriptstyle=\frac{1085}{120}\\&\scriptstyle=9+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה והכה מה שעל הארבעה בחמשה ומה שעל החמשה בארבעה וקבץ שתי ההכאות יהיה זה אחד ושלשים ושמרם אחר כן חזור אל הקו התחתון והכה החמשה בששה והשיא מה שעל ראשם יהיו חמשה ושלשים והכם באחד ושלשים יהיו חמשה ושמונים ואלף וחלקם במאה ועשרים יצא לך המבוקש וזה תשעה וחומש שתות ורביע חומש שתות וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1\ 0}{4\ 5\ 6}9}}
‫0 א א ט
ו ה ד
ובחינתה על תואר הכאתה והתשובה בזה השלכה
וכל בחינה אמנם יצטרך בה אל השלכת שבעה
\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)+\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d} ודע כי שני השברים המתחלפים כאשר תכה אמנם תקח מה שעל הקו הראשון והכה מה שבקו השני וקבץ שתי ההכאות והשברים המתיחסים תקח מה שעל גבול הסכום ותכהו בסכום אשר ייוחס אליו ותשיא מה שעל ראשם והבן תמצא בע"ה

Chapter Ten – Multiplication of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 השער העשירי בהכאת השבר בשלם והשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\frac{3}{4}\times\left[5+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]
 כאשר יאמר לך: הכה שלשה רביעיות בחמשה ושבעה שמיניות ושתות שמינית
הוריד השלשה רביעיות בשטה והחמשה ושבעה שמניות ושתות שמין בשטה תחתיה על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 7}{6\ 8}5}}
ג
ד
ז א ה
ח ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}\times\left[5+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(5\sdot8\right)+7\right]\sdot6\right]+1\right]\sdot3}{4\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(47\sdot6\right)+1\right]\sdot3}{4\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{283\sdot3}{4\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{849}{4\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=4+\frac{3}{8}+\left(\frac{\color{red}{2}}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\color{red}{\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)}\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה החמשה בשמונה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ [פי' שהוא מ"ז] תכהו בששה ותשיא מה שעל ראשם יהיו ג' ושמונים ומאתים ותכם בשלשה אשר על הארבעה יהיה זה תשעה וארבעים ושמונה מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה ארבעה ושלש שמיניות ושתות שמינית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 3}{4\ 6\ 8}4}}
ג ב א ד
ח ו ד
ואולם הבחינה הנה היא על צורת המעשה והתשובה בה שנים
\scriptstyle n+\frac{a_1}{b_1}+\left(\frac{a_2}{b_2}\sdot\frac{1}{b_1}\right)=\frac{\left[\left[\left(n\sdot b_1\right)+a_1\right]\sdot b_2\right]+a_2}{b_1\sdot b_2} והבין ודע כי כאשר יביאך השלם והשבר ושבר השבר הנה אמנם המעשה בו שתכה השלם בשבר ותשיא מה שעל ראשו ומה שהתקבץ הכהו במקום השבר השני והשיא מה שעל ראשו והבין תמצא זה בע"ה

Chapter Eleven – Multiplication of Fraction by Integer and Fraction of Fraction

 השער האחד עשר בהכאת השבר בשלם ושבר השבר
  • \scriptstyle\frac{5}{6}\times\left[8+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]
 כשיאמר לך: הכה חמשה שתותים בשמונה וחמש שביעיות התשיעית
הוריד החמשה שתותים בשטה והשמונה וחמש שביעיות התשיעית בשטה תחתיו על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 0}{7\ 9}8}}
ה
ו
‫0 ה ח
ט ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5}{6}\times\left[8+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(8\sdot9\sdot7\right)+5\right]\sdot5}{6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{509\sdot5}{6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{2545}{6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=6+\frac{6}{9}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אח"כ תתחיל מן הקו התחתון והכה השמונה בתשעה ומה שהתקבץ בשבעה והשיא מה שעל ראשם יהיה זה תשעה וחמש מאות והכם בחמשה אשר על הששה יעלה חמשה וארבעים וחמש מאות ושני אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא ששה ושש תשיעיות וארבעה שביעי התשיעית ושתות שביע התשיעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4\ 6}{6\ 7\ 9}6}}
ו  ד א ו
ט ז ו
והבחינה בה על תואר המעשה והתשובה בה ארבעה
\scriptstyle n+\left(\frac{1}{a}\sdot\frac{c}{b}\right)=\frac{\left(n\sdot a\sdot b\right)+c}{a\sdot b} ודע כי כאשר יביאך שלם ושבר שבר תכה השלם תחלה בשבר הראשון ומה שהתקבץ בשבר השני ותשיא מה שעל ראשו

Chapter Twelve – Multiplication of Fraction by Integer and Two Different Fractions

 השער השנים עשר בהכאת השבר בשלם והשברים המתחלפים
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(9+\frac{3}{7}+\frac{4}{5}\right)
 כאשר יאמר לך: הכה שני שלישים בתשעה ושלשה שביעיות וארבעה חומשים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{7}9}}
ב
ג
ד ג ט
ה ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(9+\frac{3}{7}+\frac{4}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(9\sdot7\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot7\right)\right]\right]\sdot2}{3\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(315+43\right)\sdot2}{3\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{358\sdot2}{3\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{716}{3\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=6+\frac{5}{7}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תתחיל בשטה התחתונה והכה התשעה בשבעה ומה שהתקבץ בחמשה יהיה זה חמשה עשר ושלש מאות אחר כן הכה מה שעל השבעה בחמשה ומה שעל החמשה בשבעה ויקבץ שתי ההכאות יהיה זה שלשה וארבעים וקבצם אל החמשה עשר ושלש מאות יהיה זה שמונה וחמישים ושלש מאות והכם בשנים אשר על השלשה יהיה המקובץ ששה עשר ושבע מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא ששה וחמש שביעיות ושלשה חומשי השביעית ושני שלישי חומש השביעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 3\ 5}{3\ 5\ 7}6}}
ה ג ב ו
ז ה ג
והתשובה בה בהשלכה שנים
\scriptstyle n+\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}=\frac{\left(n\sdot b_1\sdot b_2\right)+\left(a_1\sdot b_2\right)+\left(a_2\sdot b_1\right)}{b_1\sdot b_2} ודע כי כאשר יביאך שלם ושברים מתחלפים הכה השלם במקום האחד ומה שהתקבץ הכהו בשני מן המקומות ותשמור המקובץ אחר כן שוב אל השברים המתחלפים ותעשה בהם כמו שקדם בשני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ קבצהו אל המספר השמור

Chapter Thirteen – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 השער השלשה עשר בהכאת השבר ושבר השבר בשלם והשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[8+\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]
 דמיון זה כאשר יאמר לך: הכה חמשה שתותים וחצי שתות בשמונה וחמש שביעיות וחומש שביעית
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה אחר כן הוריד תחתיו השמונה וחמש שביעיות וחומש שביע בשטה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{5\ 7}8}}
ה א
ו ב
ה א ח
ז ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[8+\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left[\left[\left(8\sdot7\right)+5\right]\sdot5\right]+1\right]}{6\sdot2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot306}{6\sdot2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{3366}{6\sdot2\sdot7\sdot5}\\&\scriptstyle=8+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיה זה אחד עשר ושמרם אחר כן חזור אל הקו התחתון והכה השמונה בשבעה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכם עם החמשה שתחת האחד והשיא מה שעל ראשם יהיה זה ששה ושלש מאות והכם באחד עשר הנזכרים אשר שמרת יהיה המקובץ ששה ושישים ושלש מאות ושלשת אלפים וחלקם על הסכום ויצא לך המבוקש וזה שמונה ושלשה חומשי שתות שביעית והשנים אין על ראשם כלום על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 3\ 0\ 0}{2\ 5\ 6\ 7}8}}
‫0 0 ג ‫0 ח
ז ו ה ב
ותשובת השאלה הזאת בבחינת הששה
ודע כי אתה כאשר הגעת בבחינה כיוצא מן השאלה שתכה בחמשה ותשיא מה שעל ראשם והמקובץ הכהו בשנים אשר אין על ראשם דבר והושלך כל מה שעמך הנה אם השתוו הנה כבר מצאת ואם התחלפו הנה טעית ודעהו

Chapter Fourteen – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction of Fraction

 השער הארבעה עשר בהכאת השבר ושבר השבר בשלם ושבר השבר
  • \scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[9+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]
 דמיון זה הכה חמשה שתותים וחצי שתות בתשעה ושתות שביעית
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והתשעה ושתות שביעית בשטה תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{6\ 7}9}}
ה א
ו  ב
‫0 א ט
ז  ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[9+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left(9\sdot6\sdot7\right)+1\right]}{6\sdot2\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot379}{6\sdot2\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{4169}{6\sdot2\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{7}+\color{red}{\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)}\\\end{align}}}
 אחר כן עשה בחמשה שתותים וחצי שתות כמו שקדם יהיה המקובץ אחד עשר ושמרם ועשה בתשעה ושתות שביעית כמו שקדם גם כן ויהיה המקובץ תשעה ושבעים ושלש מאות והכם באחד עשר ויתקבץ לך מזה תשעה ושישים ומאה וארבעת אלפים וחלקם על הסכום ויצא לך המבוקש והוא שמונה ושביעית ושני חומשי שתות השביעית ושני שתות השביע וחצי שתות השביע על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 5\ 1}{2\ 6\ 6\ 7}8}}
א ה ב א ח
ז  ו  ו ב
והתשובה בה בבחינה ארבעה והקש תמצא בע"ה

Chapter Fifteen – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Two Different Fractions

 השער החמשה עשר בהכאת השבר ושבר השבר בשלם ושני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left(8+\frac{9}{10}+\frac{10}{11}\right)
 דמיון זה כשיאמר לך: הכה חמשה שתותים וחצי שתות בשמונה ותשע עשיריות ועשרה חלקים מאחד עשר
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והשמונה ותשע עשיריות ועשרה חלקים מאחד עשר בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10}{11}\frac{9}{10}8}}
ה א
ו  ב
ט  ‫0א ח
‫0א אא
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left(8+\frac{9}{10}+\frac{10}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left(8\sdot10\sdot11\right)+\left[\left(9\sdot11\right)+\left(10\sdot10\right)\right]\right]}{6\sdot2\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(880+199\right)}{6\sdot2\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot1079}{6\sdot2\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{11869}{6\sdot2\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=8+\frac{10}{11}+\left(\frac{9}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה כמו שקדם יצא לך אחד עשר אחר כן שוב אל השטה התחתונה והכה השמונה בעשרה ומה שהתקבץ באחד עשר יתקבץ לך מזה שמונים ושמונה מאות ושמרם אחר כן הכה התשעה באחד עשר ועשרה בעשרה יהיה כל זה תשעה ותשעים ומאה וקבצם אל השמונים ושמונה מאות יהיה כל זה תשעה ושבעים ואלף והכם באחד עשר אשר יצאו מן השטה העליונה יהיה כל זה תשעה ושישים ושמונה מאות ואחד עשר אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שמונה ועשרה חלקים מאחד עשר ותשעה עשיריות החלק מאחד עשר וחצי שתות עשירית החלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0\ \ 9\ 10}{2\ 6\ 10\ 11}8}}
‫0א  ט ‫0 א ח
אא ‫0א ו ב
והתשובה בזה ארבעה

Chapter Sixteen – Multiplication of Fraction of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 השער הששה עשר בהכאת שבר השבר בשלם והשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\times\left[6+\frac{9}{10}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]
 דמיון זה: הכה שני שלישי שביעית בששה ותשעה עשיריות וארבעה חומשי העשור
הוריד שני שלישי השביעית בשטה והוריד תחתיו בשטה אחרת הששה ותשע עשיריות וארבעה חומשי העשור על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 0}{3\ 7}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ \,9}{5\ 10}6}}
‫0 ב
ז ג
ט ד ו
‫0א ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\times\left[6+\frac{9}{10}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(6\sdot10\right)+9\right]\sdot5\right]+4\right]\sdot2}{3\sdot7\sdot10\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(69\sdot5\right)+4\right]\sdot2}{3\sdot7\sdot10\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{349\sdot2}{3\sdot7\sdot10\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{698}{3\sdot7\sdot10\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{6}{10}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בקו התחתון והכה התשעה בעשרה והשיא מה שעל ראשם יהיה זה תשעה ושישים והכם בחמשה והשיא מה שעל ראשו יהיה זה תשעה וארבעים ושלש מאות והכם בשנים אשר על הקו העליון יהיה זה שמונה ותשעים ושש מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שש עשיריות וארבע שביעיות העשירית ושני חומשי שביעית העשירית ושני שלישי חמישית שביעית העשור וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 2\ 4\ \ 6}{3\ 5\ 7\ 10}}}
ו ד ב ב
‫0א ז ה ג
והבחינה כמו שקדם והתשובה חמשה

Chapter Seventeen – Multiplication of Fraction of Fraction by Integer and Fraction of Fraction

 [ה]שער השבעה עשר בהכאת שבר השבר בשלם ושבר השבר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\times\left[8+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]
 דמיון זה כשיאמר לך הכה שלשה רביעי התשיעית בשמונה וחמשה שתותי השביעית
הוריד השלשה רביעי התשיעית בשטה והוריד תחתיו השמונה וחמשה שתותי השביעית בשטה גם כן על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 0}{4\ 9}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 0}{6\ 7}8}}
‫0 ג
ט ד
‫0 ה ח
ז ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\times\left[8+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(8\sdot7\sdot6\right)+5\right]\sdot3}{4\sdot9\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{341\sdot3}{4\sdot9\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{1023}{4\sdot9\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{6}{9}+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השמונה בשבעה ומה שהתקבץ בששה והשיא מה שעל ראשו יהיה זה אחד וארבעים ושלש מאות והכם בשלשה אשר על הקו העליון יהיה זה שלשה ועשרים ואלף וחלקם על הסכום ויצא לך המבוקש והוא ששה תשיעיות שתותי שביע התשיעית ושלשה רביעי שתות שביע התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 3\ 0\ 6}{4\ 6\ 7\ 9}}}
ו ‫0 ג ג
ט ז ו ד
ותשובת השאלה הזאת אחת

Chapter Eighteen – Multiplication of Fraction of Fraction by Integer and Two Different Fractions

 השער השמונה עשר בהכאת שבר השבר בשלם ושני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\times\left(6+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)
 כשיאמר לך הכה חמשה שתותי השמינית בששה ושלשה רביעים וארבעה חומשים
הוריד החמשה שתותי השמינית בשטה והוריד המספר השני תחתיו בשטה אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 0}{6\ 8}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}6}}
‫0 ה
ח ו
ד ג ו
ה ד
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\times\left(6+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(6\sdot4\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\right]\sdot5}{6\sdot8\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(120+31\right)\sdot5}{6\sdot8\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{151\sdot5}{6\sdot8\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{755}{6\sdot8\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בקו התחתון והכה הששה בארבעה ומה שהתקבץ בחמשה יהיה זה מאה ועשרים ושמרם אחר כן הכה מה שעל הארבעה בחמשה ומה שעל החמשה בארבעה וקבץ שתי ההכאות יהיה זה אחד ושלשים וקבצם אל המאה ועשרים יהיה זה אחד וחמישים ומאה והכם בחמשה אשר על הקו העליון יהיה זה חמשה וחמישים ושבע מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה ששה שמיניות ושתות שמין ושלשה חומשי שתות השמינית ושלשה רביעי חמשית שתות השמינית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 3\ 1\ 6}{4\ 5\ 6\ 8}}}
ו א ג ג
ח ו ה ד

Chapter Nineteen – Multiplication of Two Different Fractions by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 השער התשעה עשר בהכאת שני שברים מתחלפים בשלם והשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[6+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]
 כאשר יאמר לך הכה שלשה רביעים וארבעה חומשים בששה ושבע שמיניות ושתות השמינית
הוריד השלשה רביעים והארבעה חומשים בשטה והששה ושבע שמיניות ושתות השמינית בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 7}{6\ 8}6}}
ד ג
ה ד
ז א ו
ח ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[6+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left[\left[\left(6\sdot8\right)+7\right]\sdot6\right]+1\right]}{4\sdot5\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{31\sdot331}{4\sdot5\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{10261}{4\sdot5\sdot8\sdot6}\\&\scriptstyle=10+\frac{5}{8}+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה אותה כמו שקדם בשני השברים המתחלפים ויתקבץ לך ממנו אחד ושלשים ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה ועשה בה כמו שקדם בשלם והשברים המתיחסים ויתקבץ לך מזה אחד ושלשים ושלש מאות והכם באחד ושלשים השמורים בקו העליון יתקבץ לך מזה אחד ושישים ומאתים ועשרת אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה עשרה וחמשה שמיניות ושלשה שתותי השמינית ורביע חומש שתות השמינית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0\ 3\ 5}{4\ 5\ 6\ 8}10}}
ה ג ‫0 א ‫0א
ח ו ה ד
והתשובה שניה

Chapter Twenty – Multiplication of Two Different Fractions by Integer and Fraction of Fraction

 השער העשרים בהכאת שני השברים המתחלפים בשלם ושבר השבר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[6+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]
 כאשר יאמר לך הכה שלשה רביעים וארבעה חומשים בששה ושביעית השמינית
הוריד השלשה רביעים וארבעה חומשים בשטה והוריד תחתיה הששה ושביעית שמינית בשטה אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{7\ 8}6}}
ד ג
ה ד
‫0 א ו
ח ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[6+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(6\sdot7\sdot8\right)+1\right]}{4\sdot5\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{31\sdot337}{4\sdot5\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{10447}{4\sdot5\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=9+\frac{2}{8}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ועשה בו כמו שעשית בשני השברים המתחלפים ויתקבץ לך אחד ושלשים ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה ועשה בו מה שעשית בשלם ושבר השבר יתקבץ לך ממנו שבעה ושלשים ושלש מאות והכם באחד ושלשים השמורים יתקבץ לך שבעה וארבעים וארבע מאות ועשרת אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא תשעה ושתי שמיניות וארבע שביעיות השמינית וחומש שביעית השמינית ושלשה רביעי חומש שביע השמינית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 1\ 4\ 2}{4\ 5\ 7\ 8}9}}
ב ד א ג ט
ח ז ה ד
והתשובה בשאלה הזאת שלשה

Chapter Twenty One – Multiplication of Two Different Fractions by Integer and Two Different Fractions

 שער אחד ועשרים בהכאת שני השברים המתחלפים בשלם ושני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)\times\left(5+\frac{6}{7}+\frac{8}{9}\right)
 המשל בו: הכה חצי ושני שלישים בחמשה ושש שביעיות ושמונה תשיעיות
הוריד החצי והשני שלישים בשטה והוריד החמשה והשש שביעיות והשמנה תשיעיות בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{8}{9}\frac{6}{7}5}}
ב א
ג ב
ח ו ה
ט ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)\times\left(5+\frac{6}{7}+\frac{8}{9}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(1\sdot3\right)+\left(2\sdot2\right)\right]\sdot\left[\left(5\sdot7\sdot9\right)+\left[\left(6\sdot9\right)+\left(8\sdot7\right)\right]\right]}{2\sdot3\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{7\sdot425}{6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{2975}{6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=7+\frac{7}{9}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה ועשה בו מה שעשית בב' השברים המתחלפים יתקבץ לך בו שבעה ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה ועשה בו מה שעשית בשלם ושני השברים המתחלפים ויתקבץ לך מזה חמשה ועשרים וארבע מאות והכם בשבעה השמורים ויתקבץ לך מזה חמשה ושבעים ותשע מאות ושני אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שתכה מקום החצי במקום השליש יהיה ששה ויהיה הסכום ששה ושבעה ותשעה וחלק עליהם המספר הנזכר ויצא לך המבוקש וזה שבעה ושבע תשיעיות וחמש שביעיות התשיעית וחמשה שתותי שביעית התשיעית על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 5\ 7}{6\ 7\ 9}7}}
ז ה ה ז
ט ז ו
וזאת השאלה נשלכת אצל הבחינה

Chapter Twenty Two – Multiplication of Integer and Fraction by Integer and Fraction

 שער שנים ועשרים בהכאת השלם והשבר בשלם והשבר
  • \scriptstyle\left(3+\frac{1}{5}\right)\times\left(7+\frac{3}{8}\right)
 כאשר יאמר לך הכה שלשה וחומש בשבעה ושלש שמיניות
הוריד השלשה וחומש בשטה והשבעה ושלש שמיניות בשטה תחתיו על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{5}3}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{8}7}}
א ג
ה
ג ז
ח
\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{5}\right)\times\left(7+\frac{3}{8}\right)=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+1\right]\sdot\left[\left(7\sdot8\right)+3\right]}{5\sdot8}=\frac{16\sdot59}{5\sdot8}=\frac{944}{5\sdot8}=23+\frac{4}{8}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השלשה בחמשה והשיא מה שעל ראשם יהיה המקובץ ששה עשר ושמרם אחר כן שוב אל השטה התחתונה והכה השבעה בשמונה והשיא מה שעל ראשם יהיה תשעה וחמישים והכם בששה עשר השמורים יתקבץ לך מזה ארבעה וארבעים ותשע מאות וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שלשה ועשרים וארבע שמיניות וארבעה חומשי השמינית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 4}{5\ 8}23}}
ד ד גב
ח ה
ותשובת הבחינה בה ששה ומלאכתו כמלאכת המעשה

Chapter Twenty Three– Multiplication of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 שער שלשה ועשרים בהכאת השלם והשבר ושבר השבר בשלם והשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left[2+\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times\left[4+\frac{7}{9}+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]
 המשל כשיאמר לך: הכה שנים ושלשה חומשים וחצי חומש בארבעה ושבעה תשיעיות ושש שמיניות התשיעית
הוריד השנים ושלשה חומשים וחצי חומש בשטה והארבעה ושבע תשיעיות ושש שמניות התשיעית בשטה תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 3}{2\ 5}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{6\ 7}{8\ 9}4}}
ג א ב
ה ב
ז ו ד
ט ח
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2+\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times\left[4+\frac{7}{9}+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(2\sdot5\right)+3\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot\left[\left[\left[\left(4\sdot9\right)+7\right]\sdot8\right]+6\right]}{5\sdot2\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{27\sdot350}{5\sdot2\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{9450}{5\sdot2\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=13+\frac{1}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השנים בחמשה והשיא מה שעל ראש החמשה ומה שהתקבץ הכהו בשנים אשר תחת הקו והשיא מה שעל ראשם ויתקבץ לך מזה שבעה ועשרים ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה הארבעה בתשעה והשיא מה שעל ראשם והכה מה שהתקבץ בשמנה והשיא מה שעל ראשם יתקבץ לך חמישים ושלש מאות והכם בתשעה ועשרים השמורים יתקבץ מזה חמישים וארבע מאות ותשעה אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא שלשה עשר ותשיעית ושמינית התשיעית ושאר הסכום פנוי וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 1\ 1}{2\ 5\ 8\ 9}13}}
א א ‫0 ‫0 גא
ט ח ה ב
וזאת השאלה אצל הבחינה נשלכת

Chapter Twenty Four – Multiplication of Integer and Two Different Fractions by Integer and Two Different Fractions

 שער ארבעה ועשרים בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים בשלם ושני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left(6+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\times\left(9+\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)
 כאשר יאמר לך: הכה ששה ושתי שלישיות ושלשה חומשים בתשעה וחמשה שתותים ושבע שמיניות
הוריד המספר הראשון בשטה והוריד השני בשטה אחרת תחתיו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}\frac{2}{3}6}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7}{8}\frac{5}{6}9}}
ג ב ו
ה ג
ז ה ט
ח ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(6+\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\times\left(9+\frac{5}{6}+\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(6\sdot3\sdot5\right)+\left[\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\right]\sdot\left[\left(9\sdot6\sdot8\right)+\left[\left(5\sdot8\right)+\left(7\sdot6\right)\right]\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{\left(90+19\right)\sdot514}{3\sdot5\sdot6\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{109\sdot514}{3\sdot5\sdot6\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{56026}{3\sdot5\sdot6\sdot8}\\&\scriptstyle=77+\frac{6}{8}+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה הששה בשלשה ומה שהתקבץ בחמשה יהיה זה תשעים אחר כן הכה מה שעל השלשה בחמשה ומה שעל החמשה בשלשה ותקבץ שתי ההכאות ותחבר עמהן התשעים יהיה זה תשעה ומאה ושמרם אחר כן שוב אל השטה התחתונה והכה התשעה בששה ומה שהתקבץ בשמונה והכה גם כן מה שעל הששה בשמונה ומה שעל השמונה בששה וקבץ ההכאות השלש יהיה זה ארבעה עשר וחמש מאות והכם בתשעה ומאה השמורים יתקבץ לך מזה ששה ועשרים וששה ועשרים אלף וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שבעה ושבעים ושש שמיניות ושלשה שתותי השמינית ושליש חומש שתות השמינית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0\ 3\ 6}{3\ 5\ 6\ 8}77}}
ו ג ‫0 א זז
ח ו ה ג
והתשובה בה חמשה

Chapter Twenty Five – Multiplication of Integer and Two Different Fractions and Fraction of Fraction by Integer and Two Different Fractions and Fraction of Fraction

 שער חמשה ועשרים בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ושבר השבר בשלם ושני השברים המתחלפים ושבר השבר
דע כי השער הזה יחלק לשני חלקים‫:
אם שיהיה שבר השבר מיוחס אל אחד משני השברים אשר הונחו בשאלה
ואם שיהיה מיוחס אל שבר אחד
ואולם אם היה מיוחס אל אחד משברי השאלה
  • \scriptstyle\left[2+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times\left[6+\frac{6}{7}+\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]
 הנה דמיון זה שתכה שנים ושלשה רביעים וארבעה חומשים וחצי חומש בששה ושש שביעיות ותשע עשריות ושלש שמיניות העשור
המעשה בזה שתוריד השנים והשלשה רביעים וארבעה חומשים וחצי חומש בשטה אחר כן הורד הששה ושש שביעיות ותשע עשיריות ושלש שמיניות העשירית בשטה אחרת תחתיה על זו הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4}{2\ 5}\frac{3}{4}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 9}{8\ 10}\frac{6}{7}6}}
ד א ג ב
ה ב ד
ט ג ו ו
‫0א ח ז
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\times\left[6+\frac{6}{7}+\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot4\sdot5\sdot2\right)+\left(3\sdot5\sdot2\right)+\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot4\right]\right]\sdot\left[\left(6\sdot7\sdot10\sdot8\right)+\left(6\sdot10\sdot8\right)+\left[\left[\left(9\sdot8\right)+3\right]\sdot7\right]\right]}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{\left(80+30+36\right)\sdot\left(3360+480+525\right)}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{146\sdot4365}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{637290}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=28+\frac{4}{10}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל מן השטה העליונה והכה השנים בארבעה אשר הם הסכום ומה שהתקבץ בה' ומה שהתקבץ בשני אשר עם החמשה אשר תחת הקו יתקבץ לך מזה שמונים ושמרם אחר כן הכה מה שעל הארבעה בחמשה ומה שיתקבץ בשנים אשר עם החמשה תחת הקו ויהיה זה שלשים אחר כן תכה הארבעה אשר על החמשה בשנים אשר תחת הקו והשיא מה שעל ראשו והכה המקובץ בארבעה אשר תחת הקו הראשון יתקבץ מזה ששה ושלשים וחברם אל השלשים והשמונים השמורים יהיה זה ששה וארבעים ומאה ושמרם אחר כן חזור אל הקו התחתון והכה הששה אשר הם השלמים בכל הסכום אשר תחת הקוים בשיטתם לפי מה שקדם בשטה העליונה יתקבץ מזה שישים ושלש מאות ושלשת אלפים אחר כן הכה מה שעל השבעה בעשרה ובשמונה יהיה זה שמונים וארבע מאות אחר כן הכה מה שעל העשרה בשמונה והשיא מה שעל ראשם והכהו בשבעה יתקבץ מזה חמשה ועשרים וחמש מאות וקבצם אל השמונים וארבע מאות והשישים ושלש מאות ושלשת אלפים יהיה זה המקובץ חמשה ושישים ושלש מאות וארבעת אלפים והכם באשר יצא בשטה העליונה יתקבץ לך תשעים ומאתים ושבע' ושלשים אלפים ושש מאות אלפים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שמונה ועשרים וארבע עשיריות וארבע שמיניות העשירית וחומש שביעית שמינית העשור ורביע חומש שביעית השמינית העשור וזה צורתה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 1\ 1\ 0\ 4\ \ 4}{2\ 4\ 5\ 7\ 8\ 10}28}}
ד  ד ‫0 א א ‫0 חב
‫0א ח ז ה ד ב
והתשובה בה שלשה
ואם תרצה בזאת השאלה כאשר הכית השלם במקומות השברים אחר כן הכה מה שעל ראשון הסכום במה שתחת זולתו מן הקוים ותקח ג"כ מה שעל הסכום השני ותכהו בסכום הראשון ומה שהתקבץ תכהו במקום השבר אחר כן תקח מה שעל מקום שבר השבר ותניח המקום המיוחס הוא אליו ותכהו בזולתו ירבו המקומו' או ימעטו
ודע כי השברים המתחלפים אמנם הורידם תחת קוים נפרדים בשטה אחת אחר כן תקח מה שעל הקו הראשון ותעזוב המקום אשר תחתיו ותכהו בשאר המקומות הקודמים ממנו אחר כן תקח מה שעל הקו השני ועזוב המקום אשר תחתיו ותכהו במקום הראשון ובשאר המקומות הקודמים לו כלומ' בהכאה אלא המקום אשר תחת הקו שלו
ואם היה עמך שבר השבר תקח מה שעל מקום שבר השבר ועזיבת מה שתחת הקו אשר הוא עליו ותכה אותו בשאר הסכום
והפנים השניים מן השאלה הקודמת והוא שיהיה שבר השבר בלתי מיוחס אל אחד מן השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left[2+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\times\left[3+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]
 דמיון זה הכה שנים ושליש וחומש ושביעית שמינית בשלשה ותשיעית ועשירית ושתות חלק מאחד עשר
הוריד השנים והשליש והחומש ושביעית השמינית בשטה אחר כן הוריד תחתיה בשטה אחרת השלשה והתשיעית והעשירית ושתות חלק מאחד עשר על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{7\ 8}\frac{1}{5}\frac{1}{3}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{6\ 11}\frac{1}{10}\frac{1}{9}3}}
‫0 א א א ב
ח ז ה ג
‫0 א א א ג
אא ו ‫0א ט
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\scriptstyle\times\left[3+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot3\sdot5\sdot7\sdot8\right)+\left(1\sdot5\sdot7\sdot8\right)+\left(1\sdot3\sdot7\sdot8\right)+\left(1\sdot3\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(3\sdot9\sdot10\sdot6\sdot11\right)+\left(1\sdot10\sdot6\sdot11\right)+\left(1\sdot9\sdot6\sdot11\right)+\left(1\sdot9\sdot10\right)\right]}{3\sdot5\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot6\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{2143\sdot19164}{3\sdot5\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot6\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{41068452}{3\sdot5\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot6\sdot11}\\&\scriptstyle=8+\frac{2}{11}+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+{\color{red}{\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)}}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השנים אשר הם השלמים בכל מקומות השברים אשר בשטה ושמרם אחר כן תקח מה שעל השלשה ותעזוב ההכאה בשלשה ותכה מה שעליהם ובשאר המקומות ותשמרהו אחר כן תקח מה שעל החמשה ותעזוב החמשה ותכה מה שעליהם בשאר המקומות אשר תחת זולתו מן הקוים אחר כן תקח מה שעל השבעה ותעזוב מה שתחת הקו אשר הוא עליו ואילו היו שלשה הסכומים או יותר מזה לא תכהו באחד מהם אחר כן תכהו בשאר המקומות אשר תחת קו זולתו וקבץ זה כלו יתקבץ לך מזה שלשה וארבעים ומאה ושני אלפים ושמור זה הנה הוא אשר יצא מן השטה העליונה אחר כן חזור אל השטה התחתונה ותכה השלשה השלמים בכל מקומות השברים אחד אחד ושמרהו אחר כן הכה מה שעל התשעה במה שתחת הקוים זולת הקו אשר הוא עליו וכן תעשה בעשרה ותקח האחד אשר עליהם ותעזוב העשרה ותכהו בזולת זה מן המקומות וכן תעשה באחד אשר על הששה תעזוב כל מה שהוא תחת הקו אשר הוא עליו ותכה במה שתחת הקוים הנשארים מן הסכום ותקבץ זה כלו יהיה ארבעה ושישים ומאה ותשעה עשר אלפים ותכהו באשר יצא מן השטה העליונה יתקבץ מזה שנים וחמישים וארבע מאות ושמונה ושישים אלף וציפרא ואחד וארבעים אלף וחלקהו על הסכום יצא לך שמונה ושני חלקים מאחד עשר וחמש עשיריות החלק מאחד עשר וארבע שמיניות תשיעית עשירית החלק וארבעה חומשי שתות שביעית שמינית תשיעית עשירית חלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 4\ 0\ 0\ 4\ 3\ \ 5\ \ 2}{3\ 5\ 6 \ 7\ 8\ 9\ 10\ 11}8}}
ב   ה   ג ד ‫0 ‫0 ד ‫0 ח
אא ‫0א ט ח ז ו ה ג
ותשובתו חמשה
ומעשה הבחינה בה כמו מה שעשית בהכאתה

Chapter Twenty Six – Multiplication of Integer and Three Different Fractions by Integer and Three Different Fractions

 שער ששה ועשרים בהכאת שלם ושלשה שברים מתחלפים בשלם ושלשה שברים מתחלפים
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)\times\left(4+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)
 דמיון זה: הכה שנים ושליש וחומש ושתות בארבעה ושביעית ושמינית ותשיעית
הוריד שני אלו המספרים בשתי שטות אחת תחת אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{6}\frac{1}{5}\frac{1}{3}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{9}\frac{1}{8}\frac{1}{7}4}}
א א א ב
ו ה ג
א א א ד
ט ח ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)&\scriptstyle\times\left(4+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot3\sdot5\sdot6\right)+\left(1\sdot5\sdot6\right)+\left(1\sdot6\sdot3\right)+\left(1\sdot5\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot7\sdot8\sdot9\right)+\left(1\sdot8\sdot9\right)+\left(1\sdot9\sdot7\right)+\left(1\sdot8\sdot7\right)\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{243\sdot2207}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{536301}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=11+\frac{7}{9}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השנים בכל מקומות השברים אשר תחת הקוים בשלשה ומה שיתקבץ בחמשה ומה שיתקבץ בששה ושמרהו אחר כן קח מה שעל השלשה והכהו בחמשה ובששה ותשמרהו אחר כן תקח מה שעל החמשה ותכהו בששה והשלשה אחר כן תקח מה שעל הששה ותכהו בחמשה והשלשה אחר כן תקבץ אלו ההכאות הארבע יתקבץ מזה שלשה וארבעים ומאתים והוא היוצא מן השטה העליונה ושימהו אל צד אחר כן חזור אל השטה התחתונה ותעשה בו כמו שעשית בשטה העליונה ותקבץ ההכאות כלם יהיו שבעה ומאתים ושני אלפים ותכהו באשר יצא מן השטה העליונה מהקוים אל צד יתקבץ לך מזה אחד ושלש מאות וששה ושלשים אלפים וחמש מאות אלפים וחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד עשר ושבע תשיעיות ושלש שמיניות התשיעית ושבעה שמיניות התשיעית וחמשה שתותי שביעית שמינית התשיעית ושני חומשי שתות שביעית שמינית התשיעית על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 2\ 5\ 1\ 3\ 7}{2\ 5\ 6 \ 7\ 8\ 9}11}}
ז ג א ה ב ‫0 אא
ט ח ז ו ה ב
ותשובת השאלה והמלאכה כבחינה והמעשה אחד

Chapter Twenty Seven – Multiplication of Integer and Three Different Fractions and Fraction of Fraction

 שער שבעה ועשרים בהכאת השלם ושלשה שברים מתחלפים ושבר השבר בכמוהו
דע כי הקש השער הזה כמו הקש הכאת השלם ושני השברים ושבר השבר
ומעשהו כמו שקדם בשער חמשה ועשרים ומי שהבין אותו והנהיגו לא יעלם ממנו מה שיבוא אחריו מן השברים המתחלפים והבן תמצא בע"ה

Chapter Twenty Eight – Multiplication of Fraction by Fraction

 שער שמונה ועשרים בהכאת השבר בשבר
  • \scriptstyle\frac{7}{8}\times\frac{9}{10}
 כאשר יאמר לך הכה שבעה שמיניות בתשעה עשיריות
הוריד השבעה שמיניות בשטה והתשעה עשיריות בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7}{8}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{9}{10}}}
ז
ח
ט
‫0א
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\times\frac{9}{10}=\frac{7\sdot9}{8\sdot10}=\frac{63}{8\sdot10}=\frac{7}{10}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}
 אחר כן הכה השבעה אשר על השמונה בתשעה אשר על העשרה יהיו שלשה ושישים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שבע עשיריות ושבע שמיניות העשירית וזאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7\ \,7}{8\ 10}}}
ז  ז
‫0א ח
Check: \scriptstyle{\color{blue}{7\equiv_70\longrightarrow7\sdot9\equiv_70}}
 ובחינתו כמעשהו וזה שתקח מה שעל השמונה והוא שבעה והשלך וכאשר תכהו בתשעה יהיה כל זה נשלך הנה תשובת השאלה נשלך
\scriptstyle{\color{blue}{7\equiv_70\longrightarrow\left[\left(7\sdot8\right)+7\right]\equiv_70}}
 אחר כן חזור אל היוצא מן ההכאה והוא שבעה עשיריות הנה השבעה השלכה מוכים בשמונה יושלך ועל ראשו שבעה והוא השלכה הנה כל היוצא השלכה והוא נאות לתשובה
  • \scriptstyle\frac{10}{11}\times\frac{12}{13}
 ואם יאמר הכה עשרה חלקים מאחד עשר בשנים עשר חלקים משלשה עשר
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10}{11}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{12}{13}}}
‫0א
אא
בא
גא
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}\times\frac{12}{13}=\frac{10\sdot12}{11\sdot13}=\frac{120}{11\sdot13}=\frac{10}{13}+\left(\frac{10}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)}}
 אחר כן הכה העשר' אשר על האחד עשר בשנים עשר אשר על השלשה עשר יהיו עשרים ומאה וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה עשרה חלקים משלשה עשר ועשרה חלקים מאחד עשר בחלק משלשה עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10\ 10}{11\ 13}}}
‫0א ‫0א
גא אא
ותשובתו אחד והבן תמצא

Chapter Twenty Nine – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction

 שער תשעה ועשרים בהכאת השבר ושבר השבר בשבר
  • \scriptstyle\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\times\frac{8}{9}
 כשיאמר לך הכה שש שביעיות ושליש שביעית בשמונה תשיעיות
הוריד השש שביעיות ושליש שביעית בשטה והשמונה תשיעיות בשטה תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 6}{3\ 7}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{8}{9}}}
ו א
ז ג
ח
ט
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\times\frac{8}{9}=\frac{\left[\left(6\sdot3\right)+1\right]\sdot8}{7\sdot3\sdot9}=\frac{19\sdot8}{7\sdot3\sdot9}=\frac{152}{7\sdot3\sdot9}=\frac{7}{9}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה והכה הששה אשר על השבעה בשלשה אשר תחת הקו ותשיא מה שעל ראשם יהיה זה תשעה עשר והכם בשמונה אשר על התשעה בשטה התחתונה יתקבץ לך מזה שנים וחמישים ומאה וחלקם על הסך יצא לך המבוקש וזה שבע תשיעיות ושביעית התשיעית ושני שלישי שביעיות התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 1\ 7}{3\ 7\ 9}}}
ז א ב
ט ז ג
  • \scriptstyle\left[\frac{1}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\times\frac{12}{13}
 ואם יאמר לך: הכה חלק מאחד עשר וחצי חלק מאחד עשר בשנים עשר חלק משלשה עשר
הוריד החלק וחצי חלק בשטה והשנים עשר חלק משלשה עשר תחתיו על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1}{2\ 11}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{12}{13}}}
א  א
אא ב
בא
גא
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\times\frac{12}{13}=\frac{\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]\sdot12}{2\sdot11\sdot13}=\frac{3\sdot12}{2\sdot11\sdot13}=\frac{36}{2\sdot11\sdot13}=\frac{1}{13}+\left(\frac{7}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה כמו שקדם והכה האחד אשר על האחד עשר בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו שלשה והכם בשנים עשר יהיו ששה ושלשים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא חלק משלשה עשר ושבעה חלקים מאחד עשר בחלק משלשה עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ \ 7\ \ 1}{2\ 11\ 13}}}
א  ז  ‫0
גא אא ב
ותשובתו אחד והבין תמצא

Chapter Thirty – Multiplication of Two Different Fractions by Fraction

 שער שלשים בהכאת שני שברים המתחלפי' בשבר
  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\right)\times\frac{10}{11}
 כשיאמר לך הכה שני שלישים וארבע שביעיות בעשרה חלקים מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{7}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10}{11}}}
ד ב
ז ג
‫0א
אא
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{4}{7}\right)\times\frac{10}{11}&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot7\right)+\left(4\sdot3\right)\right]\sdot10}{3\sdot7\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{26\sdot10}{3\sdot7\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{260}{3\sdot7\sdot11}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{11}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בשני השברים המתחלפים וזה שתכה מה שעל השלשה בשבעה ומה שעל השבעה בשלשה ותקבץ שתי ההכאות יהיה זה ששה ועשרים והכם בעשרה אשר על האחד עשר יהיה שישים ומאתים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד וחלק מאחד עשר ושתי שביעיות חלק מאחד עשר ושתי שלישיות שביעית החלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 2\ \ 1}{3\ 7\ 11}1}}
א  ב ב א
אא ז ג
והתשוב' בה אחד

Chapter Thirty One – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער אחד ושלשים בהכאת השבר ושבר השבר בשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\frac{9}{10}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה חמשה שתותים וחצי שתות בתשע עשיריות ושבע שמיניות העשירית
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והוריד בשטה אחרת תחתיה התשעה עשיריות ושבע שמיניות העשירית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7\ 9}{8\ 10}}}
ה א
ו  ב
ט  ז
‫0א ח
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\frac{9}{10}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\times\left[\left(9\sdot8\right)+7\right]}{6\sdot2\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot79}{6\sdot2\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{869}{6\sdot2\sdot10\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{9}{10}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיה אחד עשר ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה התשעה בשמונה והשיא מה שעל ראשם יהיה תשעה ושבעים והכם באחד עשר יהיה זה תשע ושישים ושמונה מאות וחלקם על הסכום יצא לך תשע עשיריות ושני שתותי שמינית העשירית וחצי שתות שמינית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 0\ \ 9}{2\ 6\ 8\ 10}}}
ט ‫0 ב א
‫0א ח ו ב
והתשובה בה אחד

Chapter Thirty Two – Multiplication of Two Different Fractions by Fraction and Fraction of Fraction

 שער שנים ושלשים בהכאת שני השברים המתחלפים בשבר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שלש רביעיות וארבעה חומשים בעשרה חלקים מאחד עשר ושמונה תשיעיות החלק מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{8\ 10}{9\ 11}}}
ד ג
ה ד
‫0א ח
אא ט
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(10\sdot9\right)+8\right]}{4\sdot5\sdot11\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{31\sdot98}{4\sdot5\sdot11\sdot9}\\&\scriptstyle=1+\frac{5}{11}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{5}{11}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בשני השברים המתחלפים יתקבץ לך מזה אחד ושלשים ועשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשבר ושבר השבר יתקבץ לך שמונה ותשעים והכם באחד ושלשים השמורים וחלק המקובץ על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד וחמשה חלקים מאחד עשר ושבע תשיעיות החלק וארבעה חומשי תשיעית החלק ושני רביעי חומשי תשיעית החלק מאחד עשר והוא חצי וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 4\ 7\ \ 5}{4\ 5\ 9\ 11}1}}
ה  ז ד ב א
אא ט ה ד
והם נשלכים

Chapter Thirty Three – Multiplication of Two Different Fractions by Two Different Fractions

 שער שלשה ושלשים בהכאת שני השברים המתחלפים בשני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{9}\right)
 כשיאמר לך הכה שני שלישי' ושלשה חומשים בשביעית ושתי תשיעיות
הוריד השאלה בשתי שטות כמו שקדם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{9}\frac{1}{7}}}
ג ב
ה ג
ב א
ט ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{1}{7}+\frac{2}{9}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(1\sdot9\right)+\left(2\sdot7\right)\right]}{3\sdot5\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot23}{3\sdot5\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{3}{9}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בשני השברים המתחלפים יתקבץ בו ארבעה עשר וכן תעשה בשטה השנית יתקבץ בו שלשה ועשרים והכם בארבעה עשר וחלק המקובץ על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש וזה שלשה תשיעיות ושני חומשי שביעית התשיעית ושליש חומש שביעית התשיעית וזאת צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 0\ 3}{3\ 5\ 7\ 9}}}
ג ‫0 ב א
ט ז ה ג
ותשובתו נשלכת והבן

Chapter Thirty Four – Multiplication of Fraction by Fraction of Fraction

 שער ארבעה ושלשים בהכאת השבר בשבר השבר
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)
 כאשר יאמר לך: הכה שני שלישים בארבעה חומשי התשיעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 0}{5\ 9}}}
ב
ג
‫0 ד
ט ה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)=\frac{2\sdot4}{3\sdot5\sdot9}=\frac{8}{3\sdot5\sdot9}=\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)}}
 אחר כן הכה השנים אשר על השלשה מן השטה העליונה בארבעה אשר על החמשה בשטה התחתונה יהיה זה שמונה וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה שני חומשי תשיעית ושני שלישי חמישית התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 2\ 0}{3\ 5\ 9}}}
‫0 ב ב
ט ה ג
והנה תשובתו אחד

Chapter Thirty Five – Multiplication of Two Different Fractions and Fraction of Fraction by the Same

 שער חמשה ושלשים בהכאת שני השברים המתחלפים ושבר השבר בכמוהו
זאת השאלה אם שיהיה שבר השבר מיוחס אל אחד השברים המתחלפים או יחסו אל זולתם
ואולם אם היה מיוחס אל אחד מהם
  • \scriptstyle\left[\frac{2}{3}+\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\times\left[\frac{4}{5}+\frac{9}{10}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]
 הנה דמיון זה: הכה שני שלישים וחמש שביעיות ושתות שביעית בארבעה חומשים ותשע עש[י]ר[י]ות ושמינית תשיעית העשירי'
והוריד שני השלישים וחמש שביעיות ושתות שביעית בשטה והוריד השני בשטה תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{6\ 7}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{8\ 9}{9\ 10}\frac{4}{5}}}
ה א ב
ז ו ג
ט ח ד
‫0א ט ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{2}{3}+\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle\times\left[\frac{4}{5}+\frac{9}{10}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot7\sdot6\right)+\left[\left[\left(5\sdot6\right)+1\right]\sdot3\right]\right]\sdot\left[\left(4\sdot10\sdot9\right)+\left[\left[\left(9\sdot9\right)+8\right]\sdot5\right]\right]}{3\sdot7\sdot6\sdot5\sdot10\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(84+93\right)\sdot\left(360+445\right)}{3\sdot7\sdot6\sdot5\sdot10\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{177\sdot805}{3\sdot7\sdot6\sdot5\sdot10\sdot9}\\&\scriptstyle=2+\frac{5}{10}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשיטה העליונה והכה השנים בשבעה ומה שהתקבץ בששה יהיה זה ארבע' ושמונים אחר כן הכה החמשה אשר על ראש השבעה בששה והשיא מה שעל ראשם והכהו בשלשה יהיה זה שלשה ותשעים וקבצם עם הארבעה ושמנים יהיה זה שבעה ושבעים ומאה ושמרם אחר כן חזור אל הקו התחתון והכה הארבעה אשר על החמשה בעשרה ומה שיתקבץ בתשעה יהיה זה ששים ושלוש מאות אחר כן הכה התשעה אשר על העשרה בתשעה אשר תחת הקו והשיא מה שעל ראשם ומה שיתקבץ הכהו בחמשה יהיה זה חמשה וארבעים וארבע מאות וקבצם אל השישים ושלש מאות יהיה זה חמשה ושמונה מאות והכם באשר יצא מן הקו העליון ותחלק המקובץ על הסכום יצא לך המבוקש והוא שנים וחמש עשיריות ותשיעית עשירית ושביעית תשיעית העשירית ושתות שביעית תשיעית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1\ 1\ \ 5}{6\ 7\ 9\ 10}2}}
ה א א א ב
‫0א ט ז ו
והיא נשלכת בבחינה
ואולם המין השני הנה הוא אשר יהיה שבר השבר בלתי מיוחס אל אחד מן השברים המתחלפים אשר בשאלה
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\times\left[\frac{7}{8}+\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]
 דמיון זה: כשיאמר לך הכה שלשה רביעים וארבעה חומשים וחצי שביעית בשבע שמיניות ושמונה תשיעיות ושלש עשיריות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{2\ 7}\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{3\ 10}\frac{8}{9}\frac{7}{8}}}
‫0 א ד ג
ז ב ה ד
‫0 א ח ז
‫0א ג ט ח
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle\times\left[\frac{7}{8}+\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot7\sdot2\right)+\left(4\sdot4\sdot7\sdot2\right)+\left(1\sdot5\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(7\sdot9\sdot10\sdot3\right)+\left(8\sdot8\sdot10\sdot3\right)+\left(1\sdot9\sdot8\right)\right]}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot8\sdot9\sdot3\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{\left(210+224+20\right)\sdot3882}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot8\sdot9\sdot3\sdot10}=\frac{454\sdot3882}{4\sdot5\sdot2\sdot7\sdot8\sdot9\sdot3\sdot10}\\&\scriptstyle=2+\frac{9}{10}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 הנה זאת השאלה תקח מה שעל הקו הראשון מן השטה העליונ' וזה שלשה ותכם בחמשה ומה שהתקבץ בשבעה ומה שהתקבץ בשנים יהיה זה עשרה ומאתים ושמרם אחר כן הכה מה שעל החמשה והוא ארבעה בארבעה אשר הם המעמד ומה שהתקבץ בשבעה והשנים יהיה זה ארבעה ועשרי' ומאתים ושמרם גם כן אחר כן הכה האחד אשר על השנים בחמשה והארבעה יהיה זה עשרים וקבץ שלש הכאות אלה יהיה זה ארבעה וחמישים וארבע מאות ושמרם והוא היוצא מן השטה העליונה אחר כן חזור אל הקו התחתון ועשה בו כמו שעשית בשני יתקבץ לך בו שנים ושמונים ושמונה מאות ושלשת אלפים והכם באשר יצא מן הקו העליון ומה שהיה הנה הוא המקובץ חלקהו על הסכום יצא לך בחלוקה שנים ותשע עשיריות ותשיעית העשירית ושתי שמיניות תשיעית העשירי' ושביעית שמינית תשיעית העשירית וחמישית שביעית שמינית תשיעית העשירית וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 1\ 0\ 1\ 2\ 1\ \ 9}{3\ 5\ 7\ 7\ 8\ 9\ 10}2}}
ט א ב א ‫0 א ‫0 ב
‫0א ט ח ז ז ה ג
והתשובה בה שלשה ובחינתה כמו המעשה בה אין הפרש בין שניהם

Chapter Thirty Six – Multiplication of Three Different Fractions by Three Different Fractions

 שער ששה ושלשים בהכאת שלשה שברים מתחלפים בשלשה שברים מתחלפים
  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{6}\right)\times\left(\frac{5}{7}+\frac{7}{8}+\frac{9}{11}\right)
 כשיאמר לך: הכה שני שלישים ושלשה חומשים וארבעה שתותים בחמש שביעיות ושבע שמיניות ותשעה חלקים מאחד עשר
הוריד שני מספרים אלו בשתי שטות על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{6}\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{9}{11}\frac{7}{8}\frac{5}{7}}}
ד ג ב
ו ה ג
ט ז ה
אא ח ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}+\frac{4}{6}\right)\times\left(\frac{5}{7}+\frac{7}{8}+\frac{9}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot5\sdot6\right)+\left(3\sdot3\sdot6\right)+\left(4\sdot3\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(5\sdot8\sdot11\right)+\left(7\sdot7\sdot11\right)+\left(9\sdot7\sdot8\right)\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{174\sdot1483}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=4+\frac{7}{11}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ותקח מה שעל הראשון ממנו ותעזוב המעמד אשר תחתיו ותכהו במעמד השני ומה שהתקבץ בשלישי אחר כן תקח מה שעל הקו השני ותעזוב גם כן מה שתחתיו ותכהו בשאר המעמדים הקודמים והמתאחרים אחר כן תקח מה שעל הקו השלישי ותעזוב מה שתחתיו ותכהו במה שתחת זולתו מן הקוים ותקבץ אלו ההכאות השלש יהיה זה ארבעה ועשרים ומאה ושמרם אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו מה שעשית בה הנה מה שהתקבץ לך בו שלשה ושמונים וארבע מאות ואלף והכהו באשר יצא מן הקו העליון ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא ארבעה ושבעה מאחד עשר ושמינית החלק וארבע שביעיות שמינית החלק וארבעה חומשים משתות שביעית שמינית החלק מאחד עשר וזו היא צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 4\ 0\ 4\ 1\ \ 7}{3\ 5\ 6\ 7\ 8\ 11}4}}
ז א ד ‫0 ד ‫0 ד
אא ח ז ו ה ג
והתשובה בה שלשה

Chapter Thirty Seven – Multiplication of Three Different Fractions and Fraction of Fraction by the Same

 שער שבעה ושלשים בהכאת שלשה שברים מתחלפים ושבר שבר בכמוהו
הנה הענין והמעשה בשער הזה כמו שקדם בהכאת שני השברים ושבר השבר

Chapter Thirty Eight – Multiplication of Fraction of Integer by Fraction of Integer

 שער שמונה ושלשים בהכאת שבר המספר השלם בשבר המספר
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot7\right)
 כאשר יאמר לך: הכה שלשה רביעי חמשה בחמשה שתותי שבעה
הוריד השלשה רביעים תחלה והחמשה אחריהם בשטה אחר כן הוריד החמשה שתותים והשבעה אחריהם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{7\frac{5}{6}}}
ה ג
ד
ז ה
ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot7\right)=\frac{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(5\sdot7\right)}{4\sdot6}=21+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה הכה השלשה אשר על הארבעה בחמשה אשר הם השלמים ושמור זה אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה החמשה אשר על הששה בשבעה והכה המקובץ במקובץ וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד ועשרים וחמשה שתותים ורביע שתות וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{4\ 6}21}}
ה א אב
ו ד
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle\left(3\sdot5\right)=15\equiv_71\\\scriptstyle\left(5\sdot7\right)\equiv_70\end{cases}\longrightarrow1\sdot0=0}}
 ובחינת השאלה הזאת כמו המעשה אין הפרש בין שניהם וזה שתתחיל בשאלה מן הקו העליון והכה השלשה אשר על ראש הארבעה בחמשה אשר הם השלם יהיו חמשה עשר ישאר מהם אחד אחר כן חזור אל הקו השני והכה החמשה אשר על הששה בשבעה יהיו חמשה ושלשים והם נשלכים והכם באחד אשר נשאר מן הקו העליון יהיה כל זה השלכה הנה השאלה אם כן בכללה נשלכת
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle21\equiv_70\longrightarrow0\sdot6=0\\\scriptstyle\left[\left(5\sdot4\right)+1\right]=20+1=21\equiv_70\end{cases}}}
 אחר כן חזור אל היוצא מן השאלה והוא אחד ועשרים והוא השלכה אחר כן הכהו בששה יהיה כל זה השלכה אחר כן קח החמשה אשר על הששה והכם בארבעה אשר הם הסכום המעמד יהיה זה עשרים ועל הארבעה אחד והשיא מה שעל ראשם יהיה אחד ועשרים והם נשלכים והם נאותים לראשון בהשלכה

Chapter Thirty Nine – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction of Integer by Fraction and Fraction of Fraction of Integer

 שער תשעה ושלשים בהכאת שבר ושבר השבר מן המספר השלם בשבר ושבר שבר המספר השלם
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot8\right]\times\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot12\right]
 כאשר יאמר לך: הכה חמשה שתותים וחצי שתות שמונה בשמונה תשיעיות וחומש תשיעית שנים עשר
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות והשמונה בשטה והשמונה תשיעיות וחומש תשיעית שנים עשר בשטה תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{8\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{12\frac{1\ 8}{5\ 9}}}
ח ה א
ו ב
בא ח א
ט ה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot8\right]&\scriptstyle\times\left[\left[\frac{8}{9}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\sdot12\right]=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot8\right]\sdot\left[\left[\left(8\sdot5\right)+1\right]\sdot12\right]}{6\sdot2\sdot9\sdot5}=\frac{\left(11\sdot8\right)\sdot\left(41\sdot12\right)}{6\sdot2\sdot9\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{88\sdot492}{6\sdot2\sdot9\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{43296}{6\sdot2\sdot9\sdot5}\\&\scriptstyle=80+\frac{1}{9}+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה אשר על הששה בשנים מעמד החצי והשיא עליהם האחד יהיה זה אחד עשר והכם בשמונה השלמים יהיה זה שמונה ושמונים ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה השמונה בחמשה והשיא עליהם האחד יהיה זה אחד וארבעים והכם בשנים עשר יתקבץ לך מזה שנים ותשעים וארבע מאות והכם בשמונה ושמונים יתקבץ לך מזה ששה ותשעים ומאתים ושלשה וארבעים וחלקם על הסכום יצא לך בחלוקה שמונה ותשיעית ושלשה שתותי התשיעית ושלשה חומשי שתות התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 3\ 3\ 1}{2\ 5\ 6\ 9}80}}
א ג ג ‫0 ‫0ח
ט ו ה ב
ותשובתה בהשלכה אחד ומלאכת הבחינה כמעשה אין הפרש בין שניהם

Chapter Forty – Multiplication of Different Fractions of Integer by Different Fractions of Integer

 שער הארבעים בהכאת שברי המספר בשברי המספר
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot8\right]\times\left[\left(\frac{6}{7}+\frac{5}{9}\right)\sdot4\right]
 כאשר יאמר לך הכה שני שלישים ושלשה חומשי שמונה בששה שביעיות וחמש תשיעיות ארבעה
הוריד השני שלישים והשלשה חומשים והשמנה בשטה והוריד תחתיו הששה שביעיות והחמש תשיעיות והארבעה בשטה אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{8\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{4\frac{5}{9}\frac{6}{7}}}
ח ג ב
ה ג
ד ה ו
ט ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot8\right]&\scriptstyle\times\left[\left(\frac{6}{7}+\frac{5}{9}\right)\sdot4\right]=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot8\right]\sdot\left[\left[\left(6\sdot9\right)+\left(5\sdot7\right)\right]\sdot4\right]}{3\sdot5\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=57+\frac{2}{9}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\color{red}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)}\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ועשה בשני השברים כמו שקדם בהכאת שני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בשמנה ושמרהו אחר כן עשה כן בשטה התחתונה ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא שבעה וחמישים ושתי תשיעיות ושתי שביעיות התשיעית ושני חומשי שביעית התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 2\ 2}{3\ 5\ 7\ 9}57}}
ב ב ב א זה
ט ז ה ג
והבחינה בה כמו שעשית והתשובה בשנים

Chapter Forty One – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer by Fraction of Fraction of Integer

 שער אחד וארבעים בהכאת שבר שבר המספר בשבר שבר המספר
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot8\right]\times\left[\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot15\right]
 כאשר יאמר לך הכה שלשה רביעי חמישית השמונה בחמשה שתותי שביעית חמשה עשר
הוריד השלשה רביעי חמישית והשמונה בשטה והוריד החמשה שתותי שביעית והחמשה עשר בשטה תחת הראשונה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{8\frac{3\ 0}{4\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{15\frac{5\ 0}{6\ 7}}}
ח ‫0 ג
ה ד
הא ‫0 ה
ז  ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot8\right]\times\left[\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot15\right]=\frac{\left(3\sdot8\right)\sdot\left(5\sdot15\right)}{4\sdot5\sdot6\sdot7}=2+\frac{1}{7}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השלשה בשמונה ושמרהו אחר כן חזור אל השט' התחתונה והכה החמשים בחמשה עשר מה שהתקבץ הכהו בשמור ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש וזה שנים ושביעית ושאר הסכום פנוי וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 1}{5\ 6\ 7}2}}
א ‫0 ‫0 ב
ז ו ה
והתשובה אחד
וענין אלו השאלות שתקח שם השבר מכל מספר ומה שהיה הכה אחד משניהם בשני כמו שקדם כל אחד משניהם בשערו

Chapter Forty Two – Multiplication of Fraction of Integer and Fraction by Fraction of Integer and Fraction

 שער שנים וארבעים בהכאת שבר המספר השלם והשבר בכמוהו
  • \scriptstyle\left[\frac{2}{3}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[\frac{5}{7}\sdot\left(8+\frac{4}{9}\right)\right]
 כאשר יאמר לך הכה שני שלישי חמשה וחמשה שתותים בחמש שביעיות שמונה וארבע תשיעיות
הוריד השני שלישים והחמשה שתותים בשטה והוריד תחתיו השש שביעיות והשמונה והארבע תשיעיות בשטה תחת הראשון על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{6}5\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{9}8\frac{5}{7}}}
ה ה ב
ו ג
ד ח ה
ט ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{2}{3}\sdot\left(5+\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[\frac{5}{7}\sdot\left(8+\frac{4}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot6\right)+5\right]\sdot2\right]\sdot\left[\left[\left(8\sdot9\right)+4\right]\sdot6\right]}{3\sdot6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(35\sdot2\right)\sdot\left(76\sdot6\right)}{3\sdot6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{70\sdot456}{3\sdot6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=28+\frac{1}{9}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה אשר הם השלמים בששה והשיא מה שעל ראשם יתקבץ לך מזה חמשה ושלשים והכם בשנים אשר על ראש השלשה אשר הם ראשית השטה יהיה זה שבעים ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה השמונה בתשעה והשיא מה שעל ראשם יהיה זה ששה ושבעים והכם בששה אשר על ראש השבעה יהיה זה ששה וחמישים וארבע מאות והכם בשבעים השמורים ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום אשר תחת הקוים יצא לך המבוקש וזה שמונה ועשרים ותשיעית ושתי שביעיות התשיעית ושני שתותי שביעית התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 2\ 2\ 1}{3\ 6 \ 7\ 9}28}}
א ב ב ‫0 חב
ט ז ו ג
והתשובה בה בהשלכה והמלאכה בבחינה אחד כמעשה
וענין השאלה הזאת שהוא רוצה שיקח מן החמשה וחמשה שתותים שני שלישיהם ומן השמונה וארבעה תשיעיות שש שביעיותיו והכה המקובץ במקובץ כמו שקדם והבן

Chapter Forty Three – Multiplication of Fraction of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by the Same

 שער שלשה וארבעים בהכאת שבר המספר השלם והשבר ושבר השבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left[5+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\right]\times\left[\frac{7}{8}\sdot\left[3+\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]
 דמיון זה הכה שלשה רביעי חמשה וששה שביעיות ושתות שביעית בשבע שמיניות שלשה ושלש עשיריות ותשיעית העשירית
תוריד השלשה רביעיות והחמשה והשש שביעיות ושתות השביעית בשטה אחר כן הוריד בשטה אחרת תחתיה השבע שמיניות והשלשה ושלשה עשיריות ותשיעית העשירית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 6}{6\ 7}5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 3}{9\ 10}3\frac{7}{8}}}
ו א ה ג
ז ו ד
ג  א ג ז
‫0א ט ח
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left[5+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\right]\times\left[\frac{7}{8}\sdot\left[3+\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]=\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left[\left(5\sdot7\right)+6\right]\sdot6\right]+1\right]\sdot3\right]\sdot\left[\left[\left[\left[\left(3\sdot10\right)+3\right]\sdot9\right]+1\right]\sdot7\right]}{4\sdot7\sdot6\sdot8\sdot10\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{741\sdot2086}{4\sdot7\sdot6\sdot8\sdot10\sdot9}\\&\scriptstyle=12+\frac{7}{10}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{4}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה אשר הם השלמים בשבעה אשר הם תחת הקו והשיאן על מה שהתקבץ הששה אשר על השבעה ומה שהתקבץ הכהו בששה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בשלשה אשר על הארבעה בתחלת השטה ושמור מה שהתקבץ וזה אחד וארבעים ושבע מאות והוא היוצא מן השטה העליונה אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה השלשה השלמים אשר בין שני הקוים בעשרה והשיא מה שעל ראשם והכה מה שהתקבץ בשבעה אשר על ראש השמונה ויתקבץ לך מזה ששה ושמונים ושני אלפים והכהו באשר יצא מן השטה העליונה ומה שיצא חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש וזה שנים עשר ושבע עשיריות ושבע' שמיניות העשירית וחמש שביעיות שמינית תשיעית העשירית ושתות שביעית שמינית תשיעית העשירית ושני רביעי שתות שביעית שמינית תשיעית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 1\ 5\ 0\ 7\ \ 7}{4\ 6 \ 7\ 8\ 9\ 10}12}}
ז  ז ‫0 ה א ב בא
‫0א ט ח ז  ו ד
והתשובה בה בהשלכה והמלאכה אחת
וענין זאת השאלה שהוא רוצה שיקח מן חמשה ושש שביעיות ושתות שביעית שלשה רביעיהם ויקח ג"כ משלשה ושלש עשיריות ותשיעית עשירית שבע שמיניותיו והכה היוצא ביוצא

Chapter Forty Four – Multiplication of Fraction of Integer and Two Different Fractions by the Same

 שער ארבעה וארבעים בהכאת שבר המספר והשבר המתחלף בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\frac{1}{7}\sdot\left(3+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)\right]
 כשיאמר לך: הכה חצי שנים וחומש ושתות בשביעית שלשה ושמינית ותשיעית
הוריד החצי והשנים והחומש והשתות בשטה אחת ואחר כן הוריד השביעי' והשלשה והשמינית והתשיעית בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{6}\frac{1}{5}2\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{9}\frac{1}{8}3\frac{1}{7}}}
א א ב א
ו ה ב
א א ג א
ט ח ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\frac{1}{7}\sdot\left(3+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot5\sdot6\right)+\left(1\sdot6\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot1\right]\sdot\left[\left[\left(3\sdot8\sdot9\right)+\left(1\sdot9\right)+\left(1\sdot8\right)\right]\sdot1\right]}{2\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{71\sdot233}{2\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{4}{9}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\color{red}{\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ותקח השנים והחומש והשתות ותעשה בו כמו שעשית בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו באחד אשר על השנים בתחלת הקו ויתקבץ לך מזה אחד ושמרם אחר כן עשה בשטה השנית כן יתקבץ לך שלשה ושלשים ומאתים והכם בשמור וחלק מה שיצא על הסכום יצא לך המבוקש וזה ארבע תשיעיות ושבע שמיניות תשיעית ושתי שביעיות שמינית תשיעית וארבעה שתותי שביעית שמינית התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1\ 4\ 2\ 7\ 4}{2\ 5\ 6 \ 7\ 8\ 9}}}
ד ז ב ד א א
ט ח ז ו ה ב
והתשובה בה שנים
והענין עצמו בו כמו שיקדם מן השברים כי הכונה אחת

Chapter Forty Five – Multiplication of Fraction of Integer and Fraction of Fraction by Fraction of Integer and Fraction of Fraction

 שער חמשה וארבעים בהכאת שבר המספר ושבר השבר בשבר המספר ושבר השבר
  • \scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\frac{7}{8}\sdot\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שש שביעיות חמשה וחצי שתות בשבעה שמיניות ושלשה חומשי התשיעית
הורד השש שביעיות והחמשה וחצי שתות בשטה והוריד תחתיו בשטה אחרת השבע שמיניות והשלשה ושלשה חומשי התשיעית בשטה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{2\ 6}5\frac{6}{7}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 0}{5\ 9}3\frac{7}{8}}}
‫0 א ה ו
ו ב ז
‫0 ג ג ז
ט ה ח
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]&\scriptstyle\times\left[\frac{7}{8}\sdot\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot6\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot\left[\left[\left(3\sdot9\sdot5\right)+3\right]\sdot7\right]}{2\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{366\sdot966}{2\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=11+\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה החמשה בששה ומה שהתקבץ בשנים והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בששה אשר על השבעה יהיה כל זה ששה ושישים ושלש מאות ושמרם אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו מה שעשית בשטה העליונה יתקבץ לך ששה ושישים ותשע מאות והכהו בשמור הראשון ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא אחד עשר ושש תשיעיות ושמינית תשיעית וחמש שביעיות שמינית התשיעית ושלשה שתותים ושלשה חומשי שתות שביעית שמינית התשיעית וזו צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 3\ 3\ 5\ 1\ 6}{2\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9}11}}
ו א ה ג ג ‫0 אא
ט ח ז ו ה ב
והתשובה בהשלכה
והוא העניין בשאלה הזאת שהוא רוצה שתקח מן החמשה וחצי שתות שש שביעיות ותקח גם כן מהשלשה ושלשה חומשי התשיעית שבע שמיניותיו והכה המקובץ במקובץ כמו שקדם

Chapter Forty Six – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Fraction by Fraction of Fraction of Integer and Fraction

 שער ששה וארבעים בהכאת שבר שבר המספר והשבר בשבר שבר המספר והשבר
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(8+\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(6+\frac{1}{9}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שני שלישי חומש שמונה ושתות בחמש שביעיות שמינית ששה ותשיעית
הוריד שני שלישי ושמונה ושתות בשטה והוריד תחתיו בשטה חמש שביעיות שמינית וששה ותשיעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{6}8\frac{2\ 0}{3\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{9}6\frac{5\ 0}{7\ 8}}}
א ח ‫0 ב
ו ה ג
א ו ‫0 ה
ט ח ז
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(8+\frac{1}{6}\right)\right]\times\left[\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left(6+\frac{1}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(8\sdot6\right)+1\right]\sdot2\right]\sdot\left[\left[\left(6\sdot9\right)+1\right]\sdot5\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{98\sdot275}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{5}{9}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השמונה בששה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בשנים אשר על השלשה בתחלת הקו יתקבץ לך מזה שמונה ותשעים ושמרהו אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו זה יתקבץ לך בו חמשה ושבעים ומאתים והכהו בשמונה ותשעים וחלק מה שיתקבץ לך על הסכום יצא לך מזה חמש תשיעיות ושני שמיני תשיעית וחמש שביעיות שמינית תשיעית ושתות שביעית שמינית התשיעית ושלשה חומשים ושליש חומש שתות שביעית שמינית התשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 3\ 2\ 5\ 2\ 5}{3\ 5\ 6\ 7\ 8\ 9}}}
ה ב ה ב ג א
ט ח ז ו ה ג
והתשובה בה בהשלכה

Chapter Forty Seven– Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by the Same

 שער שבעה וארבעים בהכאת שבר שבר המספר והשבר ושבר השבר בכמוהו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left[6+\frac{3}{11}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left[12+\frac{6}{13}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{13}\right)\right]\right]
 כשיאמר לך: הכה שלשה רביעי חומש בששה ושלשה חלקים מאחד עשר וחמש שתותי החלק מאחד עשר בחמש שביעיות תשיעית שנים עשר וששה חלקים משלשה עשר ושלש שמיניות החלק משלשה עשר
הוריד השאלה הזאת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 3}{6\ 11}6\frac{3\ 0}{4\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 6}{8\ 13}12\frac{5\ 0}{7\ 9}}}
ג  ה ו ‫0 ג
אא ו ה ד
ו  ג בא ‫0 ה
גא ח ט ז
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left[6+\frac{3}{11}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left[12+\frac{6}{13}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{13}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left[\left(6\sdot11\right)+3\right]\sdot6\right]+5\right]\sdot3\right]\sdot\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot13\right)+6\right]\sdot8\right]+3\right]\sdot5\right]}{4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot11\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{1257\sdot6495}{4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot11\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{12}{13}+\left(\frac{2}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תקח הששה אשר בין שני הקוים והכם באחד עשר והשיא מה שעל ראשם והכה מה שהתקבץ בששה אשר תחת הקו והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בשלשה אשר על הקו הראשון והם על הארבעה יתקבץ לך מזה שבעה וחמישים ומאתים ואלף ועשה המלאכה הזאת בשטה התחתונה יתקבץ לך בו חמשה ותשעים וארבע מאות וששת אלפים והכם בשמור הראשון ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש בחלוקה שנים עשר חלקים משלשה עשר ושני חלקים מאחד עשר בחלק משלשה עשר ושמונה תשיעיות החלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר ושבע שמיניות ושני שביעי שמיניות תשיעית החלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר ושלשה חומשי ושלשה רביעי חמישית שתותי שביעית שמינית תשעית החלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 3\ 0\ 2\ 7\ 8\ \ 2\ 12}{4\ 5\ 6 \ 7\ 8\ 9\ 11\ 13}}}
בא ב  ח ז ב ‫0 ג ג
גא אא ט ח ז ו ה ד
והתשובה בה שלשה

Chapter Forty Eight – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Two Different Fractions by Fraction of Fraction of Integer and Two Different Fractions

 שער שמונה וארבעים בהכאת שבר שבר המספר ושני השברים המתחלפים בשבר שבר המספר ושני השברים המתחלפים
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(8+\frac{3}{6}+\frac{4}{7}\right)\right]\times\left[\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot\left(18+\frac{6}{11}+\frac{5}{8}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שני שלישי חומש שמונה ושלשה שתותים וארבעה שביעיות בארבע תשיעיות עשירית שמונה עשר וששה חלקים מאחד עשר וחמש שמיניות
הוריד זאת השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{7}\frac{3}{6}8\frac{2\ 0}{3\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{8}\frac{6}{11}18\frac{4\ 0}{9\ 10}}}
ד ג ח ‫0 ב
ז ו ה ג
ה ו חא ‫0  ד
ח אא ‫0א ט
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(8+\frac{3}{6}+\frac{4}{7}\right)\right]\times\left[\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot\left(18+\frac{6}{11}+\frac{5}{8}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(8\sdot6\sdot7\right)+\left[\left(3\sdot7\right)+\left(4\sdot6\right)\right]\right]\sdot2\right]\sdot\left[\left[\left(18\sdot11\sdot8\right)+\left[\left(6\sdot8\right)+\left(5\sdot11\right)\right]\right]\sdot4\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{762\sdot6748}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=1+\left(\frac{3}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{3}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן בא אל השמונה והשלשה שתותים והארבע שביעיות ותעשה בהם כמו שעשית בשלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ מזה הכהו בשנים אשר על השלשה יתקבץ לך מזה שנים וששים ושבע מאות וכן תעשה בשתה השנית יתקבץ בו שמונה וארבעים ושבע מאות וששת אלפים והכם במספר הראשון וחלק מה שיתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש וזה אחד ושלש עשיריות החלק מאחד עשר ושלש תשיעיות עשירית החלק מאחד עשר ושמינית תשיעית עשירית החלק מאחד עשר ושלש שביעיות שמינית תשיעית עשירית החלק מאחד עשר ושני חומשי שתות שביעית שמינית תשיעית עשירית החלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 2\ 0\ 6\ 1\ 3\ \ 3\ \ 0}{3\ 5\ 6 \ 7\ 8\ 9\ 10\ 11}1}}
‫0   ג   ג א ו ‫0 ב ‫0 א
אא ‫0א ט ח ז ו ה ג
ותפיל הששה בתחילת החלוקה והתשובה בה בהשלכה

Chapter Forty Nine – Multiplication of Two Different Fractions of Integer and Fraction by Two Different Fractions of Integer and Fraction

 שער תשעה וארבעים בהכאת שני שברי המספר והשבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(9+\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[\left(\frac{3}{7}+\frac{7}{8}\right)\sdot\left(12+\frac{7}{9}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שני שלישים ושלשה חומשי תשעה וחמשה שתותים בשלשה שביעיות ושבע שמיניות שנים עשר ושבע תשיעיות
הורידם בשטה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5}{6}9\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7}{9}12\frac{7}{8}\frac{3}{7}}}
ה ט ג ב
ו ה ג
ז בא ז ג
ט ח ז
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(9+\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[\left(\frac{3}{7}+\frac{7}{8}\right)\sdot\left(12+\frac{7}{9}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(9\sdot6\right)+5\right]\right]\sdot\left[\left[\left(3\sdot8\right)+\left(7\sdot7\right)\right]\sdot\left[\left(12\sdot9\right)+7\right]\right]}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(19\sdot59\right)\sdot8395}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}=\frac{1121\sdot8395}{3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=207+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 כאשר תשלים בשטה העליונה שני שברים מתחלפים ושלם כמו שקדם יתקבץ בו תשעה עשר ועמך שלם ושבר ועשה בו כמו שקדם בשלם והשבר יתקבץ ממנו תשעה וחמישים והכם בתשעה עשר יתקבץ מזה אחד ועשרים ומאה ואלף וזה הוא היוצא מן השטה העליונה ושמרהו אחר כן עשה בשטה השנית כן יתקבץ בה חמשה ותשעים ושלש מאות ושמונה אלפים והכם בשמור הראשון וחלק מה שהתקבץ בסכום יצא לך המבוקש וזה שבעה ומאתים וארבע תשיעיות ושמינית תשיעי' וחמש שביעיות שמינית מתשיעית ושני שתותים ושליש שתות שביעית שמינית תשיעית ותפיל החמשה בתחילת החלוקה וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 1\ 2\ 5\ 1\ 4}{5\ 3\ 6\ 7\ 8\ 9}207}}
ד א ה ב א ‫0 ז0ב
ט ח ז ו ג ה
והתשובה בה שנים והבחינה בה כמו המעשה

Chapter Fifty – Multiplication of Two Different Fractions of Integer and Two Different Fractions by the Same

 שער חמישים בהכאת שני שברי המספר ושני שברים בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(7+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}\right)\right]\times\left[\left(\frac{5}{6}+\frac{5}{8}\right)\sdot\left(4+\frac{5}{6}+\frac{9}{10}\right)\right]
 כשיאמר לך: הכה שני שלישים ושלשה חומשי שבעה ושלשה רביעים ושלשה חומשים בחמשה שתותים וחמש שמיניות ארבעה וחמש שתותים ותשע עשיריות
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{5}\frac{3}{4}7\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{9}{10}\frac{5}{6}4\frac{5}{8}\frac{5}{6}}}
ג ג ז ג ב
ה ד ה ג
ט ה ד ה ה
‫0א ו ח ו
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(7+\frac{3}{4}+\frac{3}{5}\right)\right]\times\left[\left(\frac{5}{6}+\frac{5}{8}\right)\sdot\left(4+\frac{5}{6}+\frac{9}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(7\sdot4\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot5\right)+\left(3\sdot4\right)\right]\right]\sdot\left[\left(5\sdot8\right)+\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot6\sdot10\right)+\left[\left(5\sdot10\right)+\left(9\sdot6\right)\right]\right]}{3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6\sdot8\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{\left(19\sdot167\right)\sdot24080}{2\sdot6\sdot8\sdot9\sdot10\sdot10\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{\frac{3173\sdot24080}{10}}{8}}{2\sdot6\sdot9\sdot10\sdot10}\\&\scriptstyle=88+\frac{4}{10}+\left(\frac{3}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה תמצא בה שני שברים מתחלפי' ושלם ושני שברים מתחלפים ותחלק השטה בשני חלקים ותעשה החלק האחד שני השברים המתחלפים הראשונים והחלק השני השלם ושני השברים המתחלפים אחר כן עשה בחלק הראשון כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים בשער החמישי מן השברי' יתקבץ בו תשעה עשר ושמרם והגביהם על ראשם אחר כן עשה בחלק השני כמו שעשית בשלם ושני השברים המתחלפים בשער הארבעה ועשרים יתקבץ ממנו שבעה ושישים ומאה והכם בתשעה עשר יהיה המקובץ שלשה ושבעים ומאה ושלשת אלפים והוא היוצא מן השטה העליונה כלה אחר כן תעשה בשטה התחתונה כמו מה שעשית בשטה העליונה יתקבץ לך בה שמונים וארבע מאות ועשרים אלף והכהו בשמור הראשון וחלק מה שיצא על הסכום אחר שתשימם על זולתם תשוב אחר השמוש עשרה שלוש פעמים ותשעה ושמונה וששה ושנים והמספר הנחלק לו שמינית ועשירית וחלק תחילה על עשרה ושמונה ולא יצא לך על הסכום הזה שארית אחר כן חלק שארית המספר על שארית הסכום יצא לך היוצא שמונה ושמונים וארבע עשיריות ושלוש עשיריות העשירית ושתי תשיעיות עשירית העשירית ושני שתותים וחצי שתות תשיעית עשירית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ \,0\ 1\ 2\ 2\ 3\ \ 4}{10\ 8 \ 2\ 6\ 9\ 10\ 10}88}}
ד   ג  ב ב א ‫0 ‫0 חח
‫0א ‫0א ט ו ב ח ‫0א
והתשובה בה השלכה

Chapter Fifty One – Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by the Same

 שער אחד וחמישים בהכאת שבר ושבר שבר מספר ושבר שבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[4+\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[3+\frac{5}{11}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\right]
 כאשר יאמר לך: הכה שלשה חומשים וחצי חומש ארבעה ושתות וחצי שתות בששה שביעיות ושני חומשי שביעית שלשה וחמשה חלקים מאחד עשר וחמש שמיניות החלק מאחד עשר
הנה כאשר תרצה זה הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 1}{2\ 6}4\frac{1\ 3}{2\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 5}{8\ 11}3\frac{2\ 6}{5\ 7}}}
א א ד ג א
ו ב ה ב
ה  ה ג ו ב
אא ח ז ה
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[4+\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left[\frac{6}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[3+\frac{5}{11}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left(4\sdot2\sdot6\right)+\left(1\sdot2\right)+1\right]\right]\sdot\left[\left[\left(6\sdot5\right)+2\right]\sdot\left[\left(3\sdot8\sdot11\right)+\left(5\sdot8\right)+5\right]\right]}{2\sdot2\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot51\right)\sdot9888}{2\sdot2\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{357\sdot9888}{2\sdot2\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=9+\frac{6}{11}+\left(\frac{6}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה תמצא בה שבר ושבר בקו אחד ותמצא ארבעה משלם ושבר ושבר שבר אחר זה ותחלק השטה בשני חלקים תשים החלק האחד השלשה חומשים וחצי חומש ועשה בו כמו שעשית בשער השלישי יתקבץ בה שבעה ושמרם אחר כן חזור אל החלק השני מן השטה העליונה והוא ארבעה שתותים וחצי שתות ועשה בו כמו שעשית בשער שלשה ועשרים יהיה מה שיתקבץ אחד וחמישים הכם בשבעה השמור יהיה המתקבץ שבעה וחמישים ושלש מאות והוא היוצא מן השטה העליונה אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו זה יתקבץ בה שמונה ושמונים ושמונה מאות ותשעת אלפים והכם בשמור הראשון וחלק מה שהתקבץ על הסכום אחר שתצרפם יהיה היוצא תשעה וששה חלקים מאחד עשר ושש עשיריות עשירית החלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 0\ \ 6\ \ 0\ \ 6}{6\ 7\ 8\ 10\ 10\ 11}9}}
ו   ‫0    ו    ‫0 ‫0 ‫0 ט
אא ‫0א ‫0א ח ז ו
והתשובה בה בהשלכה

Chapter Fifty Two – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Fraction of Fraction by the Same

 שער שנים וחמישים בהכאת שבר שבר מספר ושבר שבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left[8+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\right)\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שני שלישי חמישית שמנה הרביע שתות בשלש שביעיות שמינית שנים עשר וחצי חלק משלשה עשר
הנה כאשר תרצה זה הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{4\ 6}8\frac{2\ 0}{3\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 0}{2\ 13}12\frac{3\ 0}{7\ 8}}}
‫0 א ח ‫0 ב
ו ד ה ג
‫0  א בא ‫0 ג
גא ב ח ז
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left[8+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot\left[12+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{13}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(8\sdot4\sdot6\right)+1\right]\sdot2\right]\sdot\left[\left[\left(12\sdot2\sdot13\right)+1\right]\sdot3\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{386\sdot939}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{8}{13}+\left(\frac{9}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן תתחיל בשטה העליונה תמצא בה שבר שבר ראשונים ושלם ושבר שבר אחר זה ועשה בשלם ושבר השבר כמו שקדם והכם בשנים אשר על הקו הראשון יהיה זה ששה ושמוני' ושלש מאות והוא היוצא מן השטה העליונה ותעשה בשטה השנית כן יתקבץ בו תשעה ושלשים ותשע מאות והכם בראשון וחלק על הסכום אחר שמושם יצא לך המבוקש והוא שמונה חלקים משלשה עשר ותשע עשיריות החלק משלשה עשר ושמונה תשיעיות עשירית החלק משלשה עשר ושלשה שמיניות שמינית תשיעית עשירית חלק משלשה עשר ושביעית שמינית שמינית תשיעית עשירית חלק משלשה עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 3\ 0\ \,8\ \ 9\ \ 8}{7\ 8\ 8\ 9\ 10\ 13}}}
ח   ט   ח ‫0 ג א
גא ‫0א ט ח ח ז
והתשובה בה אחד

Chapter Fifty Three – Multiplication of Fraction of Integer and Fraction of Integer by the Same

 שער שלשה וחמישים בהכאת שבר המספר ושבר השבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot7\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה חומשי חמשה וחמשה שתותי שבעה בשני שלישי ארבעה וחצי חמשה
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{7\frac{5}{6}5\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{5\frac{1}{2}4\frac{2}{3}}}
ז ה ה ג
ו ה
ה א ד ב
ב ג
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot7\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(3\sdot5\right)\sdot6\right]+\left[\left(5\sdot7\right)\sdot5\right]\right]\sdot\left[\left[\left(2\sdot4\right)\sdot2\right]+\left[\left(1\sdot5\right)\sdot3\right]\right]}{2\sdot3\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(90+175\right)\sdot31}{2\sdot3\sdot5\sdot6}=\frac{265\sdot31}{2\sdot3\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=45+\frac{6}{10}+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 הנה זאת השאלה כל קו ממנה מורכב משתי שאלות משאלות השער השמונה ושלשים וכאשר חלקת אותו תעשה השבר הראשון עם השלם כחלק ותשים גם כן השבר השני עם השלם בחלק ותעשה בחלק הראשון כמו שעשית בשער שמונה ושלשים ומה שהתקבץ הכהו בסכום אשר תחת הקו הקודם מן השטה העליונה יתקבץ ממנו תשעים אחר כן תעשה בחלק השני כמו שעשית בחלק הראשון ומה שהתקבץ הכהו בסכום אשר תחת הקו הראשון מן השטה העליונה יתקבץ לך מזה חמשה ושבעים ומאה וקבצם אל התשעים יתקבץ מזה חמשה ושישים ומאתים והוא היוצא מן השטה העליונה ותעשה כן בשטה התחתונה יתקבץ לך בו אחד ושלשים ותכהו במספר הראשון וחלק אותו על כל הסכום יהיה היוצא חמשה ושש עשיריות ושני שתותי העשירית ושליש שתות העשירית וזו צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ \,6}{3\ 6\ 10}5}}
ו   ב א ה
‫0א ו ג
והתשובה בה ארבעה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot7\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)\right]&\scriptstyle=\left[3+\left(5+\frac{5}{6}\right)\right]\sdot\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(8+\frac{5}{6}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 ואם תרצה בזאת השאלה פנים אחרים מן המעשה יותר נראה מזה והוא שתבוא אל השטה העליונה ותקח מן השבעה חמשת שתותים ותקח מן החמשה שלושת חומשיהם והוא שלשה ושמרם אחר כן חזור אל השטה התחתונה ותקח מן החמשה חציים והוא שנים וחצי ותקח מן הארבעה שני שלישיהם והוא שנים ושני שלישים ותקבצם אל השנים וחצי כמו שנתבאר בשער הקבוץ יהיה זה חמשה ושתות והכם בשמונה וחמשה שתותים כמו שקדם בשער שנים ועשרים יצא לך המבוקש

Chapter Fifty Four – Multiplication of Fraction of Integer and Fraction of Integer and Fraction by the Same

 שער ארבעה וחמישים בהכאת שבר השלם ושבר השלם והשבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot3\right)+\left[\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot2\right)+\left[\frac{5}{7}\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה חומשי שלשה ושלשה רביעי שנים ושני שלישים בארבעה חומשי שנים וחמשת שביעיות שלשה וחצי האחד
והורד השאלה בדמותה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}2\frac{3}{4}3\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{2}3\frac{5}{7}2\frac{4}{5}}}
ב ב ג ג ג
ג ד ה
א ג ה ב ד
ב ז ה
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot3\right)+\left[\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot2\right)+\left[\frac{5}{7}\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(3\sdot3\right)\sdot4\sdot3\right]+\left[\left[3\sdot\left[\left(2\sdot3\right)+2\right]\right]\sdot5\right]\right]\sdot\left[\left[\left(4\sdot2\right)\sdot7\sdot2\right]+\left[\left[5\sdot\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\right]\sdot5\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{\left(108+120\right)\sdot287}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{228\sdot287}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot7}\\&\scriptstyle=15+\frac{5}{10}+\left(\frac{8}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 הנה בזאת השאלה כל קו ממנה יחלק לשני חלקים הראשון ממנו השלשה חומשים והשלשה והוא שבר שלם והחלק השני השלוש רביעים והשנים והוא שבר שלם ותעשה בחלק הראשון כמו שקדם ומה שהתקבץ לך הכהו בסכום החלק השני והוא ארבעה ושלשה יהיה המקובץ ממנו שמונה ומאה ושמרם אחר כן עשה בחלק השני כמו שקדם בהכאת שבר השלם והשבר בשער שנים וארבעים ומה שהתקבץ תכהו בסכום החלק הראשון והוא חמשה יתקבץ מזה עשרים ומאה וקבצם אל השמונה ומאה יהיה המקובץ שמונה ועשרים ומאתים והוא היוצא מן השטה העליונה והמשיך המלאכה הזאת בשטה התחתונה יתקבץ בה שנים וחמישים ומאתים והכהו בראשון וחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא שלשה עשר ושש עשיריות ושמונה עשיריות העשירית וזו צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 8\ \ 6}{6\ 7\ 10\ 10}13}}
ו   ח   ‫0 ‫0 גא
‫0א ‫0א ז ו
והתשובה בה בהשלכה
ואם תרצה תמשיך המעשה הראשון בשאלה והבן

Chapter Fifty Five – Multiplication of Integer and Fraction and Integer and Fraction by the Same

 שער חמשה וחמישים בהכאת שלם ושבר ושלם ושבר בכמוהו
  • \scriptstyle\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\left(4+\frac{3}{4}\right)+\left(6+\frac{4}{5}\right)\right]
 כאשר יאמר לך: שלשה וחצי וחמשה ושני שלישים בארבעה ושלשה רביעים וששה וארבעה חומשים
הנה כאשר תרצה זה הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}5\frac{1}{2}3}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{5}6\frac{3}{4}4}}
ב ה א ג
ג ב
ד ו ג ד
ה ד
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\left(4+\frac{3}{4}\right)+\left(6+\frac{4}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\sdot3\right]+\left[\left[\left(5\sdot3\right)+1\right]\sdot2\right]\right]\sdot\left[\left[\left[\left(4\sdot4\right)+3\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(6\sdot5\right)+4\right]\sdot4\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(21+32\right)\sdot231}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{53\sdot231}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=102+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן הביט אל השטה העליונה תמצא בה שלם ושבר ושלם ושבר וחלק השטה בשני חלקים ויהיה החלק הראשון שלשה וחצי והחלק השני חמשה ושליש ועשה בחלק הראשון כמו שקדם מהכאת השלם והשבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק השני יהיה זה אחד ועשרי' אחר עשה בחלק השני כמו שקדם בשערו ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק הראשון יתקבץ שנים ושלשים וקבצם אל האחד ועשרים יהיה זה שלשה וחמישים והוא היוצא מן השטה הראשונה ותעשה בשטה השנית כמו מה שעשית בראשונה יתקבץ בה אחד ושלשים ומאתים והכהו במספר הראשון וחלק מה שיתקבץ על הסכום יהיה היוצא שנים ומאה ושלשה רביעיות חמישית שתות וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 0\ 0}{4\ 5\ 6}102}}
‫0 ‫0 ג ב0א
ו ה ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\left(4+\frac{3}{4}\right)+\left(6+\frac{4}{5}\right)\right]=\left(8+\frac{5}{6}\right)\sdot\left[11+\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}}
 ואם תרצה קבץ השלשה וחצי והחמשה ושליש כמו שהתבאר בשער קבוץ השברים יתקבץ בו שמונה וחמשה שתותים ושמרם אחר כן קבץ הארבעה ושלשה רביעי חמישית והכם בשמונה וחמשה שתותים כמו שקדם
ועניין זאת השאלה כי כשירצה שיקבץ שני השלמים ושני השברים משני הקוים ותכה המקובץ במקובץ
  • \scriptstyle\left[3+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\right]\times\left[4+\left[\frac{3}{4}\sdot\left(6+\frac{4}{5}\right)\right]\right]
 ולה עניין שני והוא כי כאשר ירצה שיקח מן השטה העליונה מן החמשה ושליש חציה ונחברהו אל השלשה ומן השטה התחתונה תקח מן הששה וארבעה חומשי שלשה רביעיתם ותחברם אל הארבעה ותכהו בראשון
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[3+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\right]\times\left[4+\left[\frac{3}{4}\sdot\left(6+\frac{4}{5}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot2\sdot3\right)+\left[\left[\left(5\sdot3\right)+1\right]\sdot1\right]\right]\sdot\left[\left(4\sdot4\sdot5\right)+\left[\left[\left(6\sdot5\right)+4\right]\sdot3\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{\left(18+16\right)\sdot182}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{34\sdot182}{2\sdot3\sdot4\sdot5}\\&\scriptstyle=51+\frac{3}{6}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 והמעשה בזאת השאלה שתתחיל בשטה העליונה ותכה השלשה הראשונים בסכום הראשון ומה שהתקבץ בשני יהיה זה שמונה עשר אחר כן הכה החמשה בשלשה אשר ילוו אליהם ותשיא עליהם מה שעל השלשה ומה שהתקבץ הכהו באחד אשר על השנים יהיה זה ששה עשר נקבצם אל השמונה עשר יהיה זה ארבעה ושלושים והוא היוצא מן הקו העליון ושמרהו אחר כן עשה בשטה הב' כמו זה יתקבץ בו שנים ושמונים ומאה והכם במספר השמור וחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא אחד וחמישים ושלשה שתותים ושני חומשי שתות

Chapter Fifty Six – Multiplication of Integer and Two Different Fractions and Integer and Two Different Fractions and Integer by the Same

 שער ששה וחמישים בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים והשלם ושני השברים המתחלפים בדומה לו
  • \scriptstyle\left[2+\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\sdot3\right]+\left[\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)\sdot4\right]\right]\times\left[1+\left[\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)\sdot2\right]+\left[\left(\frac{3}{11}+\frac{9}{10}\right)\sdot3\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שנים ושני שלישים ושלשה רביעי שלשה וארבעה חומשים וחמשה שתותי ארבעה באחד ושלשה חלקים מאחד עשר ושבע עשיריות שלשה
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{4\frac{5}{6}\frac{4}{5}3\frac{3}{4}\frac{2}{3}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{3\frac{9}{10}\frac{3}{11}2\frac{1}{2}\frac{3}{5}1}}
ד ה ד ג ג ב ב
ו ה ד ג
ג ט ג ב א ג א
‫0א אא ב ה
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\sdot3\right]+\left[\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)\sdot4\right]\right]\times\left[1+\left[\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)\sdot2\right]+\left[\left(\frac{3}{11}+\frac{9}{10}\right)\sdot3\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)+\left[\left[\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot3\sdot5\sdot6\right]+\left[\left[\left(4\sdot6\right)+\left(5\sdot5\right)\right]\sdot4\sdot3\sdot4\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\sdot\\&\scriptstyle\sdot\frac{\left[\left(1\sdot5\sdot2\sdot11\sdot10\right)+\left[\left[\left(3\sdot2\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot2\sdot11\sdot10\right]+\left[\left[\left(3\sdot10\right)+\left(9\sdot11\right)\right]\sdot3\sdot5\sdot2\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{\left(720+1530+2352\right)\sdot7390}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{4602\sdot7390}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=85+\frac{9}{11}+\left(\frac{6}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{8}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן הבט אל השטה העליונה תמצא בה מספר שלם בשלשה מקומות בתחלת השאלה ואמצעה וסופה וחלק השטה העליונה על שלשה חלקים יהיו השנים תחלה חלק ושני השברים עם השלשה חלק אחר ושני השברים השניים עם הארבעה חלק שלישי הנה כל אחד מן החלק השני והשלישי אמנם המבוקש הוא שתקח אותם השני שברים מן השלם אשר ילוה אליהם ותקבץ אותם המספרים אל השנים אשר בתחלת השאלה והמעשה לפי מה שזכרנו שתעשה בחלק האמצעי כמו שזכרנו במה שקדם בשער הארבעים ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק השלישי יתקבץ מזה שלשים וחמש מאות ואלף אחר כן תעשה בחלק השלישי כמו שקדם בשער הנזכר ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק השני יתקבץ מזה שנים וחמישים ושלש מאות ואלפים אחר כן תקח השנים אשר בתחלת השאלה והכם בכל סכום השטה כלה יתקבץ מזה עשרים ושבע מאות וקבץ אלו ההכאות השלש יהיה זה שנים ושבע מאות וארבעת אלפים והוא היוצא מן השטה העליונה אחר כן תעשה כן בשטה התחתונה יתקבץ בה תשעים ושלש מאות ושבעת אלפים והכם במספר הראשון וחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש והוא חמשה ושמונים ותשעה חלקים מאחד עשר ושש עשיריות החלק מאחד עשר ושמונה עשיריות עשירית החלק וחמשה שתותי עשירית עשירית החלק וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ \,8\ \ 6\ \ 9}{6\ 10\ 10\ 11}85}}
ט   ו   ח   ה הח
אא ‫0א ‫0א ו
  • \scriptstyle\left[\left(2+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)+\left(3+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)+4\right]\times\left[\left(1+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{3}{11}+\frac{9}{10}\right)+3\right]
 ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שתבקש בשאלה שתחבר השנים הראשונים מן השטה העליונה אל שני השברים אשר ילוו אליהם ותחבר ג"כ השלשה אל שני השברים אשר ילוו אליהם ויהיו הארבעה נוספים אל הכל הנה כבר נחלקה השטה ג"כ בשלשה חלקים החלק הראשון שלם ושני שברים וכן השני והשלישי שלם נפרד
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(2+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)+\left(3+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)+4\right]\times\left[\left(1+\frac{3}{5}+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{3}{11}+\frac{9}{10}\right)+3\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)+\left[\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\right]\sdot5\sdot6\right]+\left[\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)+\left[\left(4\sdot6\right)+\left(5\sdot5\right)\right]\right]\sdot3\sdot4\right]+\left(4\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\sdot\\&\scriptstyle\sdot\frac{\left[\left[\left[\left(1\sdot5\sdot2\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\right]\sdot11\sdot10\right]+\left[\left[\left(2\sdot11\sdot10\right)+\left[\left(3\sdot10\right)+\left(9\sdot11\right)\right]\right]\sdot5\sdot2\right]+\left(3\sdot5\sdot2\sdot11\sdot10\right)\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{4338\sdot9100}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=99+\frac{7}{11}+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 ותעשה בחלק הראשון כמו שקדם בשער הארבעה ועשרים ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק השני וכן תעשה בחלק השני כמו שקדם בשער ארבעה ועשרים ומה שהתקבץ הכהו בסכום החלק הראשון אחר כן תקח הארבעה אשר באחרית השטה והכם בכל סכום השטה כלה ותקבץ כל אלו ההכאות השלש יהיה זה שמונה ושלשים ושלש מאות וארבעת אלפים אחר כן עשה כן בשטה השנית יתקבץ בה מאה ותשעת אלפים והכם במספר הראשון וחלק מה שיתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש והוא תשעה ותשעים ושבעה חלקים מאחד עשר וחמש עשיריות החלק מאחד עשר וחצי עשירית החלק מאחד עשר וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 2\ \ 5\ \ 7}{9\ 4\ 10\ 11}99}}
ז   ה   ב ‫0 טט
אא ‫0א ד ט
והנה התשובה בה בהשלכה והפנים הראשונים באחד והנה תחלק זאת השאלה בחלקים אחרים ומי שהבין שני חלקים אלו יבין הצורה בכל מה שיקרה מזה וכזה ואלהים העוזר

Chapter Fifty Seven – Multiplication of Integer and Fraction of Fraction and Integer and Fraction of Fraction and Integer by the Same

 שער שבעה וחמישים בהכאת השלם ושבר השבר והשלם ושבר השבר והשלם בדומה לו
  • \scriptstyle\left[2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot3\right]+\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\sdot5\right]\right]\times\left[3+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot4\right]+\left[\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot2\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שנים וחצי חמישית שלשה ושני שלישי שתות חמשה בשלשה רביעי שביעית ארבעה וחמשה שתותים משמינית שנים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{5\frac{2\ 0}{3\ 6}3\frac{1\ 0}{2\ 5}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{2\frac{5\ 0}{6\ 8}4\frac{1\ 0}{4\ 7}3}}
ה ‫0 ב ג ‫0 א ב
ו ג ה ב
ב ‫0 ה ד ‫0 א ג
ח ו ז ד
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot3\right]+\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\sdot5\right]\right]\times\left[3+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot4\right]+\left[\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\sdot2\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot2\sdot5\sdot3\sdot6\right)+\left(1\sdot3\sdot3\sdot6\right)+\left(2\sdot5\sdot2\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(3\sdot4\sdot7\sdot6\sdot8\right)+\left(1\sdot4\sdot6\sdot8\right)+\left(5\sdot2\sdot4\sdot7\right)\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{514\sdot4504}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=9+\frac{5}{10}+\left(\frac{6}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן חלק השטה העליונה בשלשה חלקים ויהיו שנים תחלה חלק וחצי חמישית השלשה חלק אחר ושני שלישי שתות חמשה חלק שלישי ותעשה בכל אחד מן החלק השני והשלישי כמו שקדם בשער אחד וארבעים ומה שהתקבץ מן השני הכהו בסכום החלק השלישי ומה שהתקבץ ג"כ מהשלישי הכהו בסכום החלק השני ושמור זה אחר כן תקח השנים אשר בתחלת השאלה והכה אותם בסכום על הששה ותקבץ אלו ההכאות השלש יהיה זה ארבעה עשר וחמש מאות ויצא לך מן השטה השנית כמו שספרנו בתחלה ארבעה וחמש מאות וארבעת אלפים ותכה אחד משני המספרים בשני ותחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא תשעה וחמש עשיריות ושש תשיעיות העשירית ושתי שמיניות תשיעית העשירית ושתי שביעיות שמינית שמינית תשיעית העשירית וארבעה שתותי שביעית שמינית תשיעית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 2\ 0\ 2\ 6\ 5\ }{6\ 7\ 8\ 8\ 9\ 10}9}}
ה   ו   ב ‫0 ב ד ט
‫0א ט ח ח ז   ו
והתשובה שנים
  • \scriptstyle\left[\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+5\right]\times\left[\left[3+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+2\right]
 ולה עניין אחר והוא שתחלק השטה העליונה בשלשה חלקים על זולת מה שחלקתי תשים החלק הראשון שנים וחצי חומש והשני שלשה ושני שלישי שתות והחלק השלישי החמשה ותחלק השטה התחתונה כמו שחלקתי בו השני
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+5\right]\times\left[\left[3+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+2\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(2\sdot2\sdot5\right)+1\right]\sdot3\sdot6\right]+\left[\left[\left(3\sdot3\sdot6\right)+2\right]\sdot2\sdot5\right]+\left(5\sdot2\sdot5\sdot3\sdot6\right)\right]\sdot\left[\left[\left[\left(3\sdot4\sdot7\right)+1\right]\sdot6\sdot8\right]+\left[\left[\left(4\sdot6\sdot8\right)+5\right]\sdot4\sdot7\right]+\left(2\sdot4\sdot7\sdot6\sdot8\right)\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{1838\sdot12284}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot8}\\&\scriptstyle=93+\frac{3}{10}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\color{red}{\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)}\\\end{align}}}
 ויהיה בשטה העליונה על החלק הראשון שלם ושבר השבר וכן השני תעשה כל אחד מהם כמו שקדם בהכאת השלם ושבר השבר ומה שהתקבץ מן החלק הראשון הכהו בסכום החלק השני וכן מה שהתקבץ מן החלק השני תכהו בסכום החלק הראשון אחר כן תקח השלם אשר בסוף השאלה ותכהו בכל סכום השטה ותקבץ זה כלו יהיה זה שמונה ושלשים ושמונה מאות ואלף ומן השטה השנית ארבעה ושמונים ומאתים ושנים עשר אלף והכה אחד משני המספרים בשני וחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא שלשה ותשעים ושלש עשיריות ושתי תשיעיות שמינית תשיעית העשירית ושתי שביעיות שמינית תשיעית העשירית וחמשה שתותי שביעית שמינית תשיעית העשירית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 2\ 4\ 2\ 3\ }{6\ 7\ 8\ 9\ 10}93}}
ג   ב ד ב ה גט
‫0א ט ח ז ו
והתשובה בשלש‫'

Chapter Fifty Eight – Multiplication of Fraction and Integer and Two Different Fractions and Integer and Fraction by the Same

 שער שמנה וחמישים בהכאת השבר והשלם ושני השברים המתחלפים והשלם והשבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}\sdot\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\right]\times\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{3}{8}\sdot\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]\right]
 כאשר יאמר לך: הכה שלשה רביעי חמשה וחצי וחמשה שתותי שלשה ושני חומשים בשני שלישי ארבעה ושביעית ושלש שמיניות שנים ושלשה חלקים מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{5}3\frac{5}{6}\frac{1}{2}5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3}{11}2\frac{3}{8}\frac{1}{7}4\frac{2}{3}}}
ב ג ה א ה ג
ה ו ב ד
ג ב ג א ד ב
אא ח ז ג
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}\sdot\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\right]\times\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{3}{8}\sdot\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot3\right]\sdot6\sdot5\right]+\left[\left[\left[\left(3\sdot5\right)+2\right]\sdot5\right]\sdot4\sdot2\right]\right]\sdot\left[\left[\left[\left[\left(4\sdot7\right)+1\right]\sdot2\right]\sdot8\sdot11\right]+\left[\left[\left[\left(2\sdot11\right)+3\right]\sdot3\right]\sdot3\sdot7\right]\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{1670\sdot6679}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot11}\\&\scriptstyle=25+\frac{1}{11}+\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן חלק השטה העליונה בשני חלקים יהיה בחלק האחד שלש רביעיות חמשה וחצי ובחלק השני חמשה שתותי שלשה ושני חומשים וכל אחד משני חלקים אלו הוא משער שנים וארבעים ותעשה בכל חלק מהם כמו שקדם בשערו ותכה מה שיצא בחלק הראשון בסכום החלק השני ומה שיצא מן החלק השני בסכום החלק הראשון ותקבץ שתי הכאות אלו יהיה זה שבעים ושש מאות ואלף ומן השטה התחתונה תשעה ושבעים ושש מאות וששת אלפים והכה אחד משני המספרים בשני ותחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא חמשה ועשרים וחלק מאחד עשר וחמש תשיעיות החלק מאחד עשר וחמש שמיניות שמינית תשיעית החלק מאחד עשר וחמש שמיניות שמינית תשיעית החלק מאחד עשר ושש שביעיות שמינית שמינית תשיעית החלק מאחד עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 6\ 5\ 5\ 5\ 1}{10\ 7\ 8\ 8\ 9\ 11}25}}
א ה ה ה ו ‫0 הב
אא ט ח ח ז ‫0א
והתשובה בארבעה
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)\right]+\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\times\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{7}+\frac{3}{8}\right)\right]+\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]
 ולזאת השאלה פנים אחרים והוא שתקח החמשה שתותים מן החלק השני ותחברם אל החלק הראשון ויהיה בחלק הראשון שבר מספר ושני שברים מתחלפים והוא משער ארבעה וארבעים
ותעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו והיוצא מן החלק הראשון הכהו בסכום החלק השני וכן היוצא מן החלק השני הכהו בסכום החלק הראשון ותקבץ שתי ההכאות ותעשה כן בשטה התחתונה ותכה המקובץ במקובץ ותחלק מה שיצא לך על הסכום יצא לך המבוקש
ודע כי העקר באלו השאלות כאשר חלקת אותם בשני חלקים או שלשה או בארבעה או בחמשה או מה שיסבול מן הענינים
אחר כן תעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו וזה שתקח המקובץ מן החלק הראשון ותכה בשארית סכום השטה הקודמת כלה ותקח המקובץ מן החלק השני ותכהו בסכום החלק הנשאר הקודם והמתאחר וכן תעשה בשלישי והרביעי
ואם היה אחד מן החלקים שלם הנה כבר הכית אותו בסכום השטה כולה ולא תקפיד זה החלק באיזה מקום יהיה אם בתחלת השאלה או באמצעה או בסופה ועל זה העקר תבנה כל מה שקדם מן השברים ומה שנשאר מהם עד סופם בע"ה
פרק
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}\sdot\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\right]\times\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{3}{8}\sdot\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]\right]
 והנה תחלק זאת השאלה בשני חלקים אחרים כלומ' שאלת שמנה וחמישים והוא כי אתה כבר חלקת השאלה תחלה בשני חלקים והיה בחלק הראשון שלשה רביעי חמשה וחצי והחלק השני חמשה שתותי שלשה ושני חומשים
וקח החצי כלומ' השבר מן החלק הראשון ותחברהו אל החלק השני
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)+\frac{2}{5}\right]\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot2\right)+\frac{3}{11}\right]\right]
 והנה כבר נחלקה השטה בשני חלקים אחרים ובחלק הראשון שלשה רביעי חמשה והיא שאלה משער שבעה ושלשים ובחלק השני חצי וחמשה שתותי שלשה ושני חומשים והיא שאלה משער תשעה וארבעים
ותעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו ולפי מה שהתנינו בשער הזה מן השרשים ובשטה השנית כמו מה שעשית בראשנה והכה המקובץ במקובץ ותחלק על הסכום
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}+\left(5+\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\times\left[\frac{2}{3}+\left(4+\frac{1}{7}+\frac{3}{8}\right)+\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]
 ואם חלקת זאת השאלה בשלשה חלקים תשים בחלק הראשון שלשה רביעים לבד ובחלק השני חמשה וחצי וחמשה שתותים ובחלק השני שלשה ושני חומשים והם משער ארבעה ועשרים
ותעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו ועל התנאים אשר התנינו בשער הזה אבל כי החלק הראשון לא יתבאר בו והוא שבר לבד ותקח מה שעל ראשו ותכהו בשארית הסכום
וכן כאשר יבוא לך באחד מן החלקים שבר לבד היה בתחלת השאלה או אמצעה או אחריתה אמנם תקח מה שעל הקו ותכהו בשארית סכום השטה כלה הקודם ממנה והמתאחר ותבנה כמו שקדם
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{5}{6}\sdot3\right)\right]+\frac{2}{5}\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{3}{8}\sdot2\right)\right]+\frac{3}{11}\right]
 והנה יחלק גם כן השער הזה בשלשה חלקים תשים בחלק הראשון שלשה רביעים והוא משער שבעה ושלשים ובחלק השני חצי וחמשה שתותי שלשה והוא משער ארבעה ושלשים ובחלק השלישי שלשה חומשים
ותעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו בשבר הנפרד כמו שזכרנו ותשלים השאלה על התנאים אשר הקדמנו בשער הזה
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{5}\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{7}+\frac{3}{8}\right)+\left(2+\frac{3}{11}\right)\right]
 והנה תחלק זאת השאלה בשלשה חלקים אחרים והוא שתשים החלק הראשון שלשה רביעי חמשה וכבר זכרנו שערו ובחלק השני חצי וחמשה שתותים והוא משער שלשה ושלשים ובחלק השלישי שלשה ושני חומשים
ותעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו וכפי מה שהתנינו בשער הזה מן השרשים

Chapter Fifty Nine – Multiplication of Fraction and Fraction of fraction and Integer and Two Different Fractions and Integer and Fraction and Integer and Fraction and Fraction of Fraction by the Same

 שער תשעה וחמישים בהכאת השבר ושבר השבר והשלם ושני השברים המתחלפים והשלם והשבר והשלם והשבר ושבר השבר בדומה לו
  • \scriptstyle\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot3\right]+\left[\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\sdot2\right]+\left[\frac{3}{8}\sdot\left(4+\frac{3}{9}\right)\right]+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)
 כאשר יאמר לך: הכה חמשה שתותים וחצי שתות שלשה ושלשה רביעים וארבעה חומשי שנים ושלש שמיניות ארבעה ושלש תשיעיות ושני שלישי תשיעית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 3}{3\ 9}4\frac{3}{8}2\frac{4}{5}\frac{3}{4}3\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
ג ב ד ג ב ד ג ג ה א
ט ג ח ה ד ו ב
  • \scriptstyle\left[\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot3\right]+\left[\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\sdot2\right]\right]+\left[\frac{3}{8}\sdot\left[4+\frac{3}{9}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\right]
 אחר כן חלק זאת השטה תחלה בשני חלקים יהיו השנים ממנו בחלק הראשון ושאר השאלה בחלק השני ונקיש על החלק משער ששה וחמישים ועל החלק השני משער שלשה וארבעים ותשלים השאלה על התנאים הקודמים
ואם תרצה תשיב השנים מן החלק השני ותקיש על החלק הראשון משער חמישים ועל החלק השני משער חמשה וחמישים ותשלים השאלה על הקש שלהם
ואם תרצה חלק השאלה על שני זולת אלו השני חלקים והוא שתשים הארבעה חומשים מן החלק השני ותקיש על השאלה בחלק הראשון משער שבעה וארבעים ובחלק השני משער ארבעה וחמישים ותעשה כמו שקדם
פרק
והנה תחלק השאלה הזאת בשלשה חלקים וחלוקתה בשלשה חלקים עניין קטן והנה תחלק זאת השאלה על זולת זה והבין תמצא בע"ה

Chapter Sixty – Multiplication of Fractions

 שער שישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והוא שבר לקוח משבר
והנה יחלק השער הזה לשני חלקים נדבק ונבדל
והנבדל ממנו הוא שיהיו מעמדות השברים בו ההוספה באחד וכן מה שעל כל מעמד יתוסף באחד ויהיה אשר על כל מעמד פחות ממנו באחד ויהיה אשר על כל מעמד הוא הנבדל
  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)
 והמשל בו כשיאמר לך הכה שני שלישי שלשה רביעי ארבעה חומשי חמשה שתותי שש שביעיות שבעה שמיניות שמונה תשיעיות תשע עשיריות עשרה חלקים מאחד עשר בדומה לו
הנה משפט זאת השאלה שיהיו המעמדות כולם תחת קו אחד בשטה העליונה והתחתונה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10\ \,9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2}{11\ 10\ 9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{10\ \,9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3\ 2}{11\ 10\ 9\ 8\ 7\ 6\ 5\ 4\ 3}}}
ב ג ד ה ו ז ח ט  ‫0א
 ג ד ה ו ז ח ט ‫0א אא
ב ג ד ה ו ז ח ט  ‫0א
 ג ד ה ו ז ח ט ‫0א אא
הנה לזאת השאלה מן המעשה שני פנים יביאך אל דבר אחד מן היוצא
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)&\scriptstyle\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\right)\sdot\left(2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\right)}{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{3628800\sdot3628800}{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{11}\\\end{align}}}
 והמעשה האחד מהם שתקח מה שעל הסכום הראשון והוא שנים ותכהו במה שעל הסכום השני והוא שלשה ומה שהתקבץ הכהו במה שעל הסכום השלישי ומה שהתקבץ הכהו במה שעל הסכום הרביעי וכן במה שעל החמישי והשישי עד אחריתם יתקבץ לך בו שמונה מאות ושמונה ועשרים אלף ושש מאות אלפים ושלשת אלפי אלפים וכן יצא מן השטה השנית ותכה המקובץ במקובץ וחלק על הסכום ויצא לך המבוקש וזה ארבעה חלקים מאחד עשר בחלק מאחד עשר והמעשה הזה יתחבר עמך בכל זה המין מדובק או נבדל
והמעשה השני הוא שתקח מה שעל הראשון הסכום מן השטה העליונ' והוא שנים ותקח גם כן מה שעל ראשון הסכום מן השטה התחתונה והוא ג"כ שנים ותכם בשנים הראשונים יהיו ארבעה ותחלקם על האחרון הסכום מן השטה העליונה ועל אחרון הסכום מן השטה התחתונה יהיה היוצא מה שזכרנו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\sdot\frac{9}{10}\sdot\frac{10}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{2}{11}\sdot\frac{2}{11}\\&\scriptstyle=\frac{2\sdot2}{11\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{11}\\\end{align}}}
 ועניין זאת השאלה שתקח אחד ותחלקהו באחד עשר חלקים אשר הוא אחרית הסכום ותקח מהם עשרת חלקיהם בעשרה חלקים ותקח מהם תשע עשיריותיהם בתשעה חלקים ותקח מהם שמונה תשיעיותיהם בשמונה חלקים ותקח מהם שבעה חלקיהם בשבעה חלקים ותקח מהם שש שביעיותיהם בששה חלקים ותקח מהם חמשת שתותיהם בחמשה חלקים ותקח מהם ארבעת חומשיהם בארבעה חלקים ותקח מהם שלשת רביעיותיהם בשלשה חלקים ותקח מהם שני שלישיהם שני חלקים והוא המבוקש שמן השטה העליונה שני חלקים מאחד עשר וכן מן השני מפני שהוא כמוהו ותכה שני חלקים מאחד עשר כמו שקדם מהכאת השבר בשבר בשער שמונה ועשרים
פרק
ואולם החלק השני מן השער הזה והוא הנבדל והוא שיהיו המעמדים לא יתוספו בשעור אחד ולא מה שעל ראשיהם יתוספו ג"כ בשעור אחד הנה אמנם יתחבר עמך בו המעשה הראשון מזאת השאלה והוא שתקח מה שעל הסכום הראשון ותכהו במה שעל השני ומה שהתקבץ במה שעל השלישי ומה שהתקבץ במה שעל הרביעי עד אחריתם וכן בשטה השנית ותכה המקובץ במקובץ ותחלק על כל סכום השאלה
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{3}{7}\sdot\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{7}{9}\right)
 ודמיון זה כשיאמר לך: הכה שלשה חומשי שלש שביעיות שתי תשיעיות עשרה בשני שלישי שש שביעיות ארבעה חומשי שבע תשיעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 2\ 3\ 3}{10\ 9\ 7\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7\ 4\ 6\ 2}{9\ 5\ 7\ 3}}}
ג ג ב  א
 ה ז ט ‫0א
ב ו ד ז
 ג ז ה ט
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{3}{7}\sdot\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{4}{5}\sdot\frac{7}{9}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot3\sdot2\sdot1\right)\sdot\left(2\sdot6\sdot4\sdot7\right)}{5\sdot7\sdot9\sdot10\sdot3\sdot7\sdot5\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{18\sdot336}{5\sdot7\sdot9\sdot10\sdot3\sdot7\sdot5\sdot9}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה מה שעל הקו קצתו בקצת יתקבץ בו שמונה עשר ותכה גם כן מה שעל השטה התחתונה קצתו בקצת יתקבץ בו ששה ושלשים ושלש מאות ותכם בשמונה עשר וחלק על הסכום יצא לך שביעית תשיעית עשירית וחומש שביעית תשיעית עשירית ושני חומשי חמישית שביעית תשיעית העשירית וזו צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2\ 1\ 1\ 0\ 0\ }{5\ 5\ 7\ 9\ 10}}}
‫0   ‫0 א א ב
‫0א ט ז ה ה
והתשוב' בהשלכה

Chapter Sixty One – Multiplication of Fractions

 שער אחד ושישים בהכאת השברים המתחלפים בחסרון הוו‫'
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה רביעי ארבעה חומשים וחמשה שתותי שש שביעיות ושבע שמיניות שמונה תשיעיות בשני שלישי שלשה רביעי ארבעה חומשי חמשה שתותים ושש שביעיות שבע שמיניות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{8\ 7}{9\ 8}\frac{6\ 5}{7\ 6}\frac{4\ 3}{5\ 4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{7\ 6}{8\ 7}\frac{5\ 4}{6\ 5}\frac{3\ 2}{4\ 3}}}
ז ח ה ו ג ד
ח ט ו ז ד ה
ו ז ד ה ב ג
ז ח ה ו ג ד
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot4\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\right)+\left(5\sdot6\sdot4\sdot5\sdot8\sdot9\right)+\left(7\sdot8\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)\right]\sdot\left[\left(2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\right)+\left(4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot7\sdot8\right)+\left(6\sdot7\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\right)\right]}{3\sdot4\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot7\sdot8\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{126528\sdot38640}{3\sdot4\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot6\sdot7\sdot7\sdot8\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=4+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ותמצא בה שלשה קוים תחת כל קו שני סכומים אחר כן תקח מה שעל הקו הראשון ותכה המספרים אשר עליו קצתם בקצת ומה שהתקבץ תכהו בשאר סכום השטה וכן תעשה בקו השני והשלישי ותקבץ ההכאות השלש יהיה זה שמונה ועשרים וחמש מאות ושש ועשרים אלף ומאה אלף ויצא מן הקו התחתון ארבעים ושש מאות ושמונה ושלשים אלפים ותכם במספר הראשון ותחלק על הסכום יצא ארבעה ושש שביעיות תשיעית העשירית ושתות שביעית תשיעית העשירית
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 6\ 0\ 0\ }{6\ 7\ 9\ 10}4}}
‫0   ‫0 ו א ד
‫0א ט ז ו
והתשובה בה בהשלכה
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\right)\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\right)\right]=\left(\frac{3}{5}+\frac{5}{7}+\frac{7}{9}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)}}
 ואם תרצה בזאת השאלה שתעשה ביותר קרוב מזה והוא שתקח מן הארבעה חומשים אשר בתחלת הקו מן השטה הראשנה תקח מהם שלשה רביעיהם וזה שלשה חומשים ותקח מן הששה שביעיות חמשה שתותים וזה חמש שביעיות ותקח מן השמונה תשיעיות שבע שמיניות והוא שבע תשיעיות והם שלשה שברים מתחלפים אחר כן תחזור אל השטה התחתונה ותקח מן השלשה רביעים שני שלישי' וזה חצי ותקח מן החמשה שתותים ארבע חומשיהם והוא שני שלישים ותקח מן השבעה שמיניות שש שביעיותיהם והוא שלשה רביעים ויהיה בשטה השנית שלשה שברים מתחלפים והם חצי ושני שלישים ושלשה רביעים ותעשה בשאלה הזאת כמו שקדם בשער ששה ושלשים והיוצא מהם כמו מה שיצא במעשה הראשון

Chapter Sixty Two – Multiplication of Fraction of fraction of Integer by the Same

 שער שנים ושישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והשלם בכמוהו
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot6\right]\times\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{7}\right)\sdot8\right]
 כשיאמר לך: הכה שני שלישים שלשה רביעי ששה בשלשה רביעי ארבעה שביעיות שמונה
הוריד השאלה על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{6\frac{3\ 2}{4\ 3}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{8\frac{4\ 3}{7\ 4}}}
ו ב ג
ג ד
ח ג ד
ד ז
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot6\right]\times\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{7}\right)\sdot8\right]=\frac{\left(2\sdot3\sdot6\right)\sdot\left(3\sdot4\sdot8\right)}{3\sdot4\sdot4\sdot7}=\frac{36\sdot96}{3\sdot4\sdot4\sdot7}=10+\frac{2}{7}}}
 אחר כן התחיל בשטה הראשונה ותבנה בשבר הזה אשר בו כמו שקדם בשער השישים והוא שתכה השנים אשר על השלשה בשלשה אשר על הארבעה ומה שהתקבץ תכהו בששה אשר הם השלם מפני כי זאת השאלה דומה בשאלה אשר בשער שבעה ושלשים מפני כי זאת השאלה אמנם היא שבר מספר בשבר מספר אחר כן תקבץ ההכאה יתקבץ בה ששה ושלשים ובשטה השנית ששה ותשעים ותכה האחד בשני ותחלק על הסכום יצא לך עשרה ושתי שביעיות
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 0\ 2}{3\ 4\ 4\ 7}10}}
ב ‫0 ‫0 ‫0 ‫0א
ז ד ד ג
והתשובה בחמשה והבן תמצא זה בע"ה

Chapter Sixty Three – Multiplication of Fraction of Fraction and Fraction of Integer by the Same

 שער שלשה ושישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והשבר הנפרד והשלם
  • \scriptstyle\left[\left[\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot3\right]\times\left[\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{7}\right)+\frac{3}{5}\right]\sdot10\right]
 כשיאמר לך: הכה שני חומשי חמשה שתותים וחצי שלשה בשני שלישי שש שביעיות ושלשה חומשי עשרה
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{3\frac{1}{2}\frac{5\ 2}{6\ 5}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{10\frac{3}{5}\frac{6\ 2}{7\ 3}}}
ג א ב ה
ב ה ו
‫0א ג ב ו
ה ג ז
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot3\right]\times\left[\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{7}\right)+\frac{3}{5}\right]\sdot10\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot5\sdot2\right)+\left(1\sdot5\sdot6\right)\right]\sdot3\right]\sdot\left[\left[\left(2\sdot6\sdot5\right)+\left(3\sdot3\sdot7\right)\right]\sdot10\right]}{2\sdot3\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{150\sdot1230}{2\sdot3\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=29+\frac{2}{7}\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה ותקח מה שעל הקו הראשון והוא שנים וחמשה ותכה השנים בחמש' מפני שהם בחסרון הוו' ומה שהתקבץ הכהו במה שתחת הקו השני והוא שנים ותשמרהו ותקח מה שעל הקו השני ותכהו בסכום הקו הראשון ותקבץ שתי ההכאות ותכה המקובץ בשלשה אשר הם השלם יהיה כל זה חמישים ומאה ויצא מן השטה השנית שלשים ומאתים ואלף ותכם בחמישים ומאה ותחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא תשעה ועשרים ושתי שביעיות וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 0\ 2}{5\ 5\ 6\ 7}29}}
ב ‫0 ‫0 ‫0 טב
ז ו ה ה
והתשובה באחד

Chapter Sixty Four – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Fraction by the Same

 שער ארבעה ושישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והשלם והשבר
\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{9}\right)\sdot\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\times\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{8}{9}\right)\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)\right] כשיאמר לך: הכה שני שלישי ששה תשיעיות של ששה ושלשה רביעים בשלשה רביעי שמונה תשיעיות שנים ושני חומשים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}6\frac{6\ 2}{9\ 3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}2\frac{8\ 3}{9\ 4}}}
ג ו ו ב
ד ט ג
ב ב ח ג
ה ט ד
\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{6}{9}\right)\sdot\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\times\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{8}{9}\right)\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot6\right)\sdot\left[\left(6\sdot4\right)+3\right]\right]\sdot\left[\left(3\sdot8\right)\sdot\left[\left(2\sdot5\right)+2\right]\right]}{3\sdot4\sdot4\sdot5\sdot9\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(12\sdot27\right)\sdot288}{3\sdot4\sdot4\sdot5\sdot9\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{324\sdot288}{3\sdot4\sdot4\sdot5\sdot9\sdot9}\\&\scriptstyle=4+\frac{4}{5}\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה הראשונה והכה השנים אשר על הקו הראשון בששה אשר עמהם על קו אחד יהיו שנים עשר ושמרם אחר כן הכה הששה אשר הם השלם בארבעה והשיא מה שעל ראשם יהיו שבעה ועשרים והכם בשנים עשר יהיו ארבעה ועשרים ושלש מאות והוא היוצא מן השטה העליונה ותמשיך זאת המלאכה בשטה השנית יתקבץ בה שמונה ושמונים ומאתים ותכם במספר הראשון וחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא ארבעה וארבעה חומשים והתשובה בה שנים וזאת צורתם‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{0\ 0\ 0\ 0\ 4}{6\ 8\ 9\ 9\ 5}4}}
0 0 0 0 ד ד
ו ח ט ט ה
ודע כי זאת השאלה דומה בשאלה אשר בשער שנים וארבעים

Chapter Sixty Five – Multiplication of Fraction of Fraction of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by the Same

 שער חמשה ושישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והשלם והשבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{4}{7}\right)\sdot\left[3+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{5}{6}\right)\sdot\left[6+\frac{7}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right] כשיאמר לך הכה שלשה חומשי ארבעה שביעי שלשה וחמשה שתותי וחצי שתות בשני שלישי חמשה שתותי ששה ושבע שמיניות ושני שלישי שמינית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{2\ 6}3\frac{4\ 3}{7\ 5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 7}{3\ 8}6\frac{5\ 2}{6\ 3}}}
א ה ג ד ג
ב ו ז ה
ב ז ו ה ב
ג ח ו ג
\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{4}{7}\right)\sdot\left[3+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]&\scriptstyle\times\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{5}{6}\right)\sdot\left[6+\frac{7}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left[\left(3\sdot6\sdot2\right)+\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\right]\right]\sdot\left[\left(2\sdot5\right)\sdot\left[\left(6\sdot8\sdot3\right)+\left[\left(7\sdot3\right)+2\right]\right]\right]}{5\sdot7\sdot6\sdot2\sdot3\sdot6\sdot8\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{\left(12\sdot47\right)\sdot1670}{5\sdot7\sdot6\sdot2\sdot3\sdot6\sdot8\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{564\sdot1670}{5\sdot7\sdot6\sdot2\sdot3\sdot6\sdot8\sdot3}\\&\scriptstyle=5+\frac{1}{9}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align} אחר כן חלק השטה העליונה בשני חלקים יהיה בחלק האחד השבר בחסרון הוו' אשר בתחלת השאלה ותעשה בו כמו שקדם בשער שישים יתקבץ בו שנים עשר והחלק השני שלשה וחמשה שתותים וחצי שתות ותעשה בו כמו שקדם בשער שלשה ועשרים יתקבץ בו שבעה וארבעים ותכם בשנים עשר השמורים יהיה כל זה ארבעה ושישים וחמש מאות והוא היוצא מן השטה העליונה אחר כן תמשיך זה המעשה בשטה השנית יתקבץ לך בה שבעים ושש מאות ואלף והכם במספר הראשון וחלק על הסכום יצא לך חמשה ותשיעית וחמשה שמיניות תשיעית וחמש שביעיות שמינית תשיעית ושליש שביעית שמינית תשיעית וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 5\ 5\ 1}{6\ 7\ 8\ 9}5}}
ב ה ה א ה
ו ז ח ט
והתשובה בה בשנים
פרק
ואם היה עמך במקום שבר השבר שני שברים מתחלפים
הנה תעשה בשבר הראשון אשר הוא בחסרון הוו' כמו שקדם ותעשה בשלם ושני השברים כמו שקדם בשער ארבעה ועשרים והכה המקובץ במקובץ ומה שהתקבץ הנה הוא היוצא מן השטה העליונה וכן תעש' בשנית והשלים השאלה בע"ה

Chapter Sixty Six – Multiplication of Integer and Fraction of Fraction by the Same

 שער ששה וששים בהכאת השלם והשברים בחסרון הוו‫'
  • \scriptstyle\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה ושלשה חומשי חמשה שתותים בארבעה ושתי שביעיות שלש שמיניות
תוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 3}{6\ 5}3}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{3\ 2}{8\ 7}4}}
ג ה ג
ה ו
ב ג ד
ז ח
\scriptstyle{\color{blue}{\left[3+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[4+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{3}{8}\right)\right]=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)+\left(3\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot7\sdot8\right)+\left(2\sdot3\right)\right]}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=\frac{105\sdot230}{5\sdot6\sdot7\sdot8}=14+\frac{3}{8}}}
 אחר כן תקח השלשה השלמים אשר בתחלת השאלה ותכם בכל השטה בחמשה תחלה ומה שהתקבץ בששה ותניחהו לצד אחר כן הכה מה שעל הקו קצתן בקצת ותחברהו אל אותו המספר המוצנע יתקבץ בו חמשה ומאה ויתקבץ מן השטה השנית על זה המעשה שלישים ושתי שלישיות והכה אחד משניהם בשני וחלק על הסכום יצא ארבעה עשר ושלש' שמניות וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 0\ 3}{3\ 5\ 7\ 8}14}}
ג ‫0 ‫0 ‫0 דא
ח ז ה ג
והתשובה בהשלכה והבין

Chapter Sixty Seven – Multiplication of Integer and Fraction of Fraction and Fraction by the Same

 שער שבעה ושישים בהכאת השלם ושני השברים בחסרון הוו' והשבר הנפרד
  • \scriptstyle\left[2+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{3}{5}\right)+\frac{2}{3}\right]\times\left[3+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{6}\right)+\frac{1}{2}\right]
 כשיאמר לך הכה שנים ושלש שביעיות שלשה חומשים ושני שלישים בשלשה ושלש רביעיות חמשה שתותים וחצי
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{2}{3}\frac{3\ 3}{5\ 7}2}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{2}\frac{5\ 3}{6\ 4}3}}
ב ג ג ב
ג ז ה
א ג ה ג
ב ד ו
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{3}{5}\right)+\frac{2}{3}\right]\times\left[3+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{6}\right)+\frac{1}{2}\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot7\sdot5\sdot3\right)+\left(3\sdot3\sdot3\right)+\left(2\sdot7\sdot5\right)\right]\sdot\left[\left(3\sdot4\sdot6\sdot2\right)+\left(3\sdot5\sdot2\right)+\left(1\sdot4\sdot6\right)\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{307\sdot198}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{60786}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=12+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השנים אשר בתחלת השאלה בכל השטה אחר כן הכה מה שעל הקו קצתו בקצת ומה שהתקבץ בסכום אשר תחת הקו השני אחר כן תקח מה שעל השבר הנפרד ותכהו בסכום אשר תחת הקו הראשון ותקבץ אחר זה אלו ההכאות השלש יהיה שבעה ושלש מאות ומן הקו השני שמונה ותשעים ומאה והכה אחד משניהם בשני יצא לך ששה ושמנים ושבע מאות ושישים אלף וחלק על הסכום יצא לך שנים עשר ושלש שביעיות השמינית ושני חומשי שביעית השמינית וזה צורתם‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{0\ 0\ 2\ 3\ 0}{2\ 6\ 5\ 7\ 8}12}}
‫0 ג ב ‫0 ‫0 בא
ח ז ה ו ב
והתשובה בחמשה

Chapter Sixty Eight – Multiplication of Fraction of Fraction and Integer and Fraction of Fraction by the Same

 שער שמנה ושישים בהכאת השבר בחסרון הוו' והשלם והשבר בחסרון הוו‫'
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\sdot\left[2+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot\left[3+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{9}\right)\right]\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה רביעי שלשה חומשי שנים ושלש תשיעיות חמשה שתותים בחצי שלשה רביעי שלשה ושני חומשי ארבע תשיעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{5\ 3}{6\ 7}2\frac{3\ 3}{5\ 4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 2}{9\ 5}3\frac{3\ 1}{4\ 2}}}
ג ה ב ג ג
ז ו ד ה
ב ד ג א ג
ה ט ב ד
וחלק זאת השאלה בשני חלקים כלומ' הקו הראשון והוא שתים והשנים אשר הוא השלם והוא באמצע השאלה אם שתשימם בחלק הראשון או מן החלק השני
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)+\left[2+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{3}{4}\right)+\left[3+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{9}\right)\right]\right]
 ואם תשימהו מן החלק השני יהיה החלק השני משער ששה וששים והראשון משער שישים ותשים בכל אחד משני אלו החלקים כמו שקדם בשערו ומה שהתקבץ מן החלק הראשון תכהו בסכום החלק השני ומה שהתקבץ מן החלק השני תכהו בסכום החלק הראשון וקבצת שתי ההכאות ועשה כן בשטה השנית והכה המקובץ במקובץ וחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש
  • \scriptstyle\left[\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\sdot2\right]+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\times\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot3\right]+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{9}\right)\right]
 ואם תשיב השנים אל החלק הראשון הנה יהיה החלק הראשון משער שנים וששים ותעשה כמו שקדם
ואם לא תחלק השאלה ונשארה על ענינה ורצית שתקח מן השנים ושלש שביעיות חמשה שתותים שלשה רביעי שלשת חומשיהם
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\sdot\left[2+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{5}{6}\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{3}{4}\right)\sdot\left[3+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{9}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot3\right)\sdot\left[\left(2\sdot7\sdot6\right)+\left(3\sdot5\right)\right]\right]\sdot\left[\left(1\sdot3\right)\sdot\left[\left(3\sdot5\sdot9\right)+\left(2\sdot4\right)\right]\right]}{2\sdot4\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{891\sdot429}{2\sdot4\sdot4\sdot5\sdot5\sdot6\sdot7\sdot9}\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{10}+\left(\frac{6}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 הנה תוריד השאלה על דמותה אחר כן תכה מה שעל הקו הראשון קצתו בקצת ותשמרהו אחר הכה השנים בשבעה ומה שהתקבץ בששה ותכה מה שעל הקו האחר קצתו בקצתו ותחברהו אל הכאת השנים בסכום ומה שהתקבץ תכהו במספר השמור ויתקבץ מזה כלו אחד ותשעים ושמנה מאות ומן השטה השנית תשעה ועשרים וארבע מאות ותכה אחד משניהם בשני ותחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא אחד ועשרים ושש עשיריות העשירית ושלש שמיניות עשירית העשירית ושביעית וחצי שביעית שמינית עשירית העשירית
והתשובה בארבעה

Chapter Sixty Nine – Multiplication of Two Different Fractions and Integer and Fraction of Fraction and Integer and Fraction and Fraction of Fraction and Integer and Fraction of Fraction and Integer and Fraction

 שער תשעה ושישים בהכאת שני השברים המתחלפים והשלם והשבר בחסרון הוו' והשלם והשבר ושבר השבר והשלם והשבר בחסרון הוו' והשלם והשבר
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right)\sdot4\right]+\left[\left(\frac{3}{5}+\frac{6}{7}\right)\sdot3\right]+\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\right]\sdot4\right]+\left[\left(\frac{7}{8}+\frac{8}{9}\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]
 כשיאמר לך הכה שלשה רביעי וחמשה שתותי ארבעה ושלש' חומשי שלשה וחמשה שתותים וחצי שתות ארבעה ושבע שמיניות שמנת תשיעיות שלשה וחצי במספר אחד ושבר כמו זה או פחות ממנו
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{2}3\frac{8}{9}\frac{7}{8}4\frac{1\ 5}{2\ 6}3\frac{5}{6}\frac{3}{5}4\frac{5}{6}\frac{3}{4}}}
א ג ח ז ד ה א ג ה ג ד ה ג
ב ט ח ו ב ו ה ו ד
דע כי זאת השאלה לא תעשה על עניינה אלא שתשוב אל עניין ותקצר כל מה שזכרנו מן השברים ולזאת השאלה עניינים רבים
אחד מענייניהם: שהוא רצה מן השלשה וחצי אשר בסוף השאלה שבע שמיניות שמינית תשיעיותיהם
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{6}\right)\sdot4\right]+\left[\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{6}{7}\right)\sdot3\right]+\left[\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\right]\sdot4\right]+\left[\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{8}{9}\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]
 וזאת השאלה משער ארבעה ושישים ויבקש ג"כ מן הארבעה אשר ילוו לאלה הנזכרים חמשת שתותיהם וחצי שתותיהם וזאת השאלה משער תשעה ושלשים ותבקש ג"כ מן השלשה אשר ילוו אלו השברים שלשת חמשיות ששת שביעיותיהם וזאת השאל' משער שנים ושישים ויבקש ג"כ מן הארבעה אשר ילוו אלו השברים חמשת שתותיהם ושלשת רביעיותיהם וזאת השאלה משער ארבעים וירצה שיקבץ זה כלו ויכהו בכמוהו אם ירצה או בזולת כמוהו
והמעשה בזאת השאלה שתעשה בכל חלק חלוקה בה השאלה וזכרנו שערה כמו שזכרנוהו בשערו ומה שהתקבץ תכהו בסכום החלקים הנשארים בו ותקבץ אחר כן ההכאות השלש ותעשה כמו שקדם
וכן אם תרצה שתחלק זאת השאלה בזולת אלו החלקים הנה תעשה בכל חלק כמו שקדם בשערו
ודע כי זאת השאלה לה יותר מעשרים פנים מן המעשה ולכל פנים ענין ישוב אליו ומי שהבין מה שזכרנו באלו הפנים ינהיגם כולם והבין תמצא בע"ה

Chapter Seventy – Multiplication of Integer and Fraction by Integer and Fraction by Integer and Fraction and so on

 השער השבעים בהכאת המספר והשבר במספר והשב' ומה שהתקבץ במספר ושבר ומה שהתקבץ במספ' ושבר אל מה שאין תכלית לו
  • \scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)
 המשל בו: הכה אחד וחצי באחד ושליש באחד ורביע באחד וחומש באחד ושתות באחד ושביעית באחד ושמינית באחד ותשיעית באחד ועשירית
הנה אלו תשע שאלות משלם ושבר והורידם כולם בשטה אחת על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{10}1\frac{1}{9}1\frac{1}{8}1\frac{1}{7}1\frac{1}{6}1\frac{1}{5}1\frac{1}{4}1\frac{1}{3}1\frac{1}{2}1}}
א א א א א א א א א א א א א א א א א א
‫0א ט ח ז ו ה ד ג ב
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot3\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot4\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot5\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot6\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot7\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot8\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot9\right)+1\right]\sdot\left[\left(1\sdot10\right)+1\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10\sdot11}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\sdot10}\\&\scriptstyle=5+\frac{1}{2}\\\end{align}}}
 אחר כן תקח האחד אשר בתחלת השאלה ותכהו בשנים אשר הם מעמד השבר ותשיא מה שעליהם כמו שקדם בשער הכאת המספר והשבר במספר והשבר יהיה זה שלשה וקיימם תחתיהם ותעשה בשאלה השנית כן יתקבץ בה ארבעה וקיימם ג"כ תחתיהם ויתקבץ לך בשאלה השלישית חמשה וברביעית ששה ובחמישית שבעה ובשישית שמונה ובשביעית תשעה ובשמינית עשרה ובתשיעית אחד עשר והכה אלו המספרים קצתם בקצת ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא חמשה וחצי
{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{4}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{5}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{6}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\times\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{7}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{7}\right)\times\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{8}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{8}\right)\times\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{10}{2}\sdot\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{11}{2}\\&\scriptstyle=5+\frac{1}{2}\\\end{align}}}
 ואם תרצה תקח ראשית השאלה והוא אחד וחצי ותשימם כולם חציים יהיו שלשה חציים ותכם באחד ושליש יהיו ארבעה חציים ותכם באחד ורביע יהיו חמשה חציים ותכם באחד וחומש יהיו ששה חציים ותכם באחד ושתות יהיו שבעה חציים ותכם באחד ושביעית יהיו שמונה חציים והכם באחד ושמינית יהיו תשעה חציים והכם באחד ותשיעית יהיו עשרה חציים והכם באחד ועשירית יהיו אחד עשר חציים והשיבם אחדים יהיו חמשה וחצי

Chapter Seventy One– Multiplication of Reduced Fractions

 שער אחד ושבעים בהכאת השבר בתנאי
כשיאמר לך: הכה שלשה רביעים חסר שתות בארבעה חומשים אלא שליש
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{6}minus\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{3}minus\frac{4}{5}}}
א אלא ג
ו ד
א אלא ד
ג ה
הנה זאת השאלה תסבול שני עניינים‫:
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{1}{3}\right)
 אחד משניהם שהוא רצה שיקח שלשה רביעי אחד אלא שתות אחד וישמור הנשאר אחר כן יקח ג"כ ארבעה חומשי אחד ויפיל מהם שליש אחד ותכה הנשאר בנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}-\frac{1}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{1}{3}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot6\right)-\left(1\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot3\right)-\left(1\sdot5\right)\right]}{3\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(18-4\right)\sdot\left(12-5\right)}{3\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{14\sdot7}{3\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{2}{9}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 הנה אופן המעשה בפנים האלו שתכה מה שעל ראש הארבעה בששה יהיו שמונה עשר אחר כן תקח מה שעל ראש הששה ותכהו בארבעה יהיו ארבעה תפילם מן השמונה עשר הנשאר ארבעה עשר והוא המבוקש מן השטה העליונה אחר כן תכה ג"כ בשטה התחתונה מה שעל החמשה בשלשה יהיו שנים עשר ותכה מה שעל השלשה בחמשה ותפיל מן השנים עשר הנשאר שבעה והכם בארבעה עשר השמורים וחלק על הסכום יצא לך שתי תשיעיות ושלשה שמיניות התשיעית ושלשה חומשי שמינית התשיעית
  • \scriptstyle\left[\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{3}{4}\right)\right]\times\left[\frac{4}{5}-\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}\right)\right]
 ואולם הפנים השניים הוא שתקח שלשה רביעי אחד ותפיל מהם שתותיהם וכן בשט' השנית תקח ארבעה חומשי אחד ותפיל מהם שלישיהם ותכה הנשאר בנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}-\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{3}{4}\right)\right]\times\left[\frac{4}{5}-\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot6\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot3\right)-\left(1\sdot4\right)\right]}{3\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(18-3\right)\sdot8}{3\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{15\sdot8}{3\sdot4\sdot5\sdot6}=\color{red}{\frac{1}{3}}\\\end{align}}}
 והנה אופן המעשה בשער הזה שתכה השלשה בששה יהיו שמנה עשר ותקח מה שעל הששה ותכם בארבעה והם שלש' ותפילם מן השמנה עשר הנשאר חמשה עשר והנשאר על זה המעשה מן השטה השנית שמנה והכם בחמשה עשר וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש

Chapter Seventy Two – Multiplication of Reduced Fractions of Integers

 שער שנים ושבעים בהכאת שבר המספר בתנאי
כשיאמ' לך הכה שלשה רביעי חמשה אלא שתות בארבעה חומש שלשה אלא רביעית
הוריד על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{6}minus5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{4}minus3\frac{4}{5}}}
א ה ג
ו אלא ד
א ג ד
ד אלא ה
השאלה הנה זאת השאלה סובלת שלשה עניינים‫:
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot3\right)\right]
 אחד מהם שהוא רוצה שתקח מן החמשה שלשה רביעי' ותפיל מן המקובץ שתות החמשה ורצה מן השטה השנית כמו זה שתקח ארבעה חומשי השלשה ותפיל מהם רביע השלשה ותכה הנשאר בנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot3\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)-\left(1\sdot5\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot3\sdot4\right)-\left(1\sdot3\sdot5\right)\right]}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(90-20\right)\sdot33}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{70\sdot33}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\color{red}{4+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}\\\end{align}}}
 הנה המעשה בפנים האלה שתכה השלשה אשר על הארבעה בחמשה ומה שהתקבץ בששה אשר הוא הסכום השני יהיה זה תשעים אחר כן תקח האחד אשר על הששה ותכהו בחמשה ומה שהתקבץ בארבעה אשר הם הסכום הראשון יהיה זה עשרים ותפילם מן התשעים הנשאר שבעים והנשאר מן השטה השנית במעשה הזה שלשה ושלשים והכם בשבעים וחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש והוא‫:
ו א ד
ח ב
והבין
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)\right]\right]
 השני שהוא רצה שיקח שלשה רביעי החמש ויפיל מהם שתותם ויקח ג"כ ארבעה חומש השלשה ויפיל מהם רביעם ויכה הנשאר בנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\right]\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)\right]\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)-\left(1\sdot5\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot3\sdot4\right)-\left(1\sdot4\sdot3\right)\right]}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(90-15\right)\sdot36}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{75\sdot36}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\\end{align}}}
 ואופן המעשה שתכה השלשה בחמשה ומה שהתקבץ בששה יהיו תשעים כמו שקדם אחר כן תקח האחד אשר על הששה ותכהו בחמשה ומה שהתקבץ בששה יהיו תשעים כמו שקדם אחר כן בשלשה אשר על הארבעה יהיה חמשה עשר ותפילם מן התשעי' הנשאר חמשה ושבעים והנשאר מן השטה השנית במעש' הזה ששה ושלשים והכה אחד משני המספרים בשני ותחלק מה שהתקבץ על הסכום
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\frac{1}{6}\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\frac{1}{4}\right]
 ואולם האופן השלישי הנה הוא שתקח שלשה רביעי החמשה ותפיל שתות אחד ותקח ג"כ ארבעה חומשי השלשה ותפיל מהם רביע אחד והכה הנשאר בנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)-\frac{1}{6}\right]\times\left[\left(\frac{4}{5}\sdot3\right)-\frac{1}{4}\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(3\sdot5\sdot6\right)-\left(1\sdot4\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot3\sdot4\right)-\left(1\sdot5\right)\right]}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{\left(90-4\right)\sdot43}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{86\sdot43}{4\sdot4\sdot5\sdot6}\\\end{align}}}
 ואופן המעשה שתכה השלשה בחמשה ומה שהתקבץ בששה כמו שקדם באופן הראשון יהיו תשעים אחר כן הכה האחד אשר על הששה בארבעה אשר הם הסכום הראשון ותפיל מן התשעים הנשאר ששה ושמונים והנשאר מן השטה השנית בזה המעשה שלשה וארבעים והכה המספר האחד בשני וחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש
וכבר הבנו מהכאת השברים מה שבו די למי שיתנהג בהם וידע הנרצה מהם וקצרנו מהם מה שלא יוכל אחד לסובלו ועזבנו האריכות ומה שזכרנו מהם יוקש עליו כל מה שיבוא אחריו למי שהבין השורש וחקר עליו וידע שעור מה שבהם מן התועלת בכל ידיעת החשבון והאל המדריך אל היושר

Converting Fractions to Lower Fractions

 שער פריטת השברים קצתם אל קצת
דע כי השער הזה אמנם עניינו שתשיב השבר משם אל שם אחר אם יותר דק ממנו בחלק ואם יותר גדול
והטוב מהם שתפרוט השברים כולם תמיד אל חלק יותר דק והוא שתשיב השלישים אל רביעים או חומשים או עשריים ושתשיב השתותים אל שביעיים הנה הוא יותר טוב אם לא שיבוא אליו ההכרח אצל קבוץ השברים או השלכתם והנה נבארהו במקומו

Simple fraction to simple fraction

 השער הראשון מן הפריטה והוא פריטת השבר אל השבר
\scriptstyle\frac{5}{6}=\frac{a}{7} כשיאמר לך חמשה שתותים כמה שביעיים יהיו בהם
הוריד החמשה שתותים בשטה והוריד מעמד השביעית והוא שבעה בשטה תחתיה ומשוך עליו קו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{5}{6}}{7}}}
ה
ו
ז
\scriptstyle\frac{5}{6}=\frac{\frac{5\sdot7}{6}}{7}=\frac{\frac{35}{6}}{7}=\frac{5}{7}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right) אחר כן תכה החמשה אשר על הששה בשבעה אשר תחת הקו התחתון יהיה זה חמשה ושלשים וחלקם על הששה אשר הם מעמד הסכום בקו העליון ומה שיצא תחלקהו על השבעה אשר הם מעמד השביעית יצא לך בחלוקה חמש שביעיות וחמשה שתותי השביעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\ 5}{6\ 7}}}
ה ה
ו ז
\scriptstyle\frac{3}{8}=\frac{a}{9} ואם אמר: שלשה שמיניות כמה תשיעיות יהיו בהם
\scriptstyle\frac{3}{8}=\frac{\frac{3\sdot9}{8}}{9}=\frac{\frac{27}{8}}{9}=\frac{3}{9}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{9}\right) הכה מספר השמניות בתשעה אשר נרצה שנפרוט אליהם השמיניות יהיו שבעה ועשרים חלקם על השמונה אשר הם מעמד השמינית הנה הם שלשה וישארו שלשה הנה השלשה היוצאים הם תשיעיות והשלשה הנשארים הם שמיניות תשיעיות הנה הם אם כן שלש תשיעיות ושלש שמיני התשיעית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 3}{8\ 9}}}
ג ג
ח ט
ודע כי כל מעשה השער הזה אמנם הם שתקח מספר השבר המפורט ותכהו תמיד במעמד המפורט אליו וזה המעשה כולל בכל שער הפריטה
\scriptstyle\frac{9}{10}=\frac{a}{11} ואם אמר תשע עשיריות כמה חלקים יהיו בהם מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{9}{10}}{11}}}
ט
‫0א
אא
\scriptstyle\frac{9}{10}=\frac{\frac{9\sdot11}{10}}{11}=\frac{9}{11}+\left(\frac{9}{10}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן הכה התשעה באחד עשר וחלק מה שיצא על העשרה תחלה ומה שיצא על האחד עשר ג"כ יצא לך תשעה חלקים מאחד עשר ותשע עשיריות החלק מאחד עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\ \,9}{10\ 11}}}
ט ט
‫0א אא

Fraction and fraction of fraction to fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{a}{10} כשיאמר לך חמשה שתותים וחצי כמה עשיריות יהיו בהם
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והעשירית בשטה תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1\ 5}{2\ 6}}{10}}}
ה א
ו ב
‫0א
\scriptstyle\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{11}{2}\sdot\frac{1}{6}=\frac{\frac{11\sdot10}{6\sdot2}}{10}=\frac{9}{10}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן עשה בחמשה שתותים וחצי שתות כמו שקדם בשער השברים יתקבץ בו אחד עשר והכם בעשרה יחלק מה שהתקבץ על הסכום השטה העליונה תחלה אחר כן מה שיצא על העשרה יצא לך המבוקש והוא תשע עשרות ושתות העשירית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{0\ 1\ \,9}{2\ 6\ 10}}}
0 א ט
ב ו ‫0א
\scriptstyle\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{a}{13} ואם יאמ' חמש שמיניות ושליש שמינית כמה חלקים יהיו משלשה עשר
הוריד החמש שמיניות ושליש שמינית בשטה והוריד תחתיה בשטה אחרת מעמד החלק משלשה עשר תחת קו על זאת הצור'‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1\ 5}{3\ 8}}{13}}}
ה א
ח ג
גא
\scriptstyle\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{16}{3}\sdot\frac{1}{8}=\frac{\frac{16\sdot13}{8\sdot3}}{13}=\frac{\frac{208}{8\sdot3}}{13}=\frac{8}{13}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{13}\right) אחר כן עשה בחמש שמניות ושליש שמינית כמו שקדם ומה שהתקבץ הכהו בשלשה עשר יתקבץ לך מזה שמנה ומאתים וחלקם על הסכום הקו העליון ומה שיצא על השלשה עשר יצא לך בחלוקה שמנה חלקי' משלשה עשר וחמש שמינייות החלק משלשה עשר ושליש שמינית החלק משלשה עשר

Fraction and fraction to fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{a}{10} שני שלישים וחמשה שתותים כמה עשיריות יהיו בהם
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}>1 הנה זאת השאלה יתקבצו בה מן העשירות יותר מעשר מפני כי השני שלישים כאשר תפרטם לשתותים יהיו ארבעה שתותים ופה [ועמך] בשבר השני חמשה שתותים הנה כולם תשעה שתותים
וכאשר תרצה שתפרוט זאת השאלה עשיריים הוריד השני שלישים והחמשה שתותים בשטה והוריד תחת מעמד העשירית בשטה אחרת תחת קו על זאת הצור'‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{5}{6}\frac{2}{3}}{10}}}
ב ה
ג ו
‫0א
\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{5}{6}=\frac{4}{6}+\frac{5}{6}=\frac{9}{6}=\frac{\frac{9\sdot10}{6}}{10}=\frac{15}{10}=1+\frac{1}{2} אחר כן עשה בשני שלישים וחמשה שתותים כמו שקדם מהכאת שני השברי' המתחלפים ומה שהתקבץ תכהו בעשר' ותחלק מה שהתקבץ על סכום השטה העליונה ומה שיצא על העשר יצא לך חמשה עשר עשירייות והוא אחד וחצי

Fraction of fraction to fraction of fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\frac{a}{4}\sdot\frac{1}{5} כשיאמר לך שליש חומש כמה רביעי חומש יהיה בהם
תפילם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1\ 0}{3\ 5}}{4\ 5}}}
‫0 א
ה ג
 ה ד
\scriptstyle\frac{1}{3}=\frac{a}{4} הנה זאת השאלה ישתתף החומש בשני הפנים במפורט ובמפורש אליו ותפיל חלק החומש משני הפנים כאשר יקרו תמיד אחר כן תאמר שליש כמה רביע
\scriptstyle\frac{1}{3}=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right) ויחס אותו יהיה בהם ותעש' כמו שקדם בשער הראשון מן הפריטת יצא לך רביע ושליש רביע
\scriptstyle\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) ויחס אותו לאל חמישית אחד מאותם החומשים אשר הפלנו זכרם ויהיה רביע חומש ושליש רביע חומש וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1\ 0}{3\ 4\ 5}}}
א א 0
ג ד ה
\scriptstyle\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}=\frac{a}{5}\sdot\frac{1}{7} וכן אם יאמר רביע שביעית כמה חמישית שביעית יהיה בהם
\scriptstyle\frac{1}{4}=\frac{a}{5} הנה תפיל השביעית בשביעית ותאמ' רביע כמה חומש יהיה בהם
\scriptstyle\frac{1}{4}=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) ותפיל השביעית האחד ותעשה כמו שקדם יצא לך חומש ורביע חומש
\scriptstyle\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right) והוא חומש שביעית ורביע חומש שביעית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1\ 0}{4\ 5\ 7}}}
א א 0
ד ה ז
\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}=\frac{a}{7}\sdot\frac{1}{9} ואם אמר חמישית שמינית כמה שביעית תשיעית יהיו
הוריד החמשית שמינית בשטה והוריד תחתיו השביעית תשיעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1\ 0}{5\ 8}}{7\ 9}}}
‫0 א
ח ה
 ט ז
\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}=\frac{\frac{1\sdot7\sdot9}{5\sdot8}}{7\sdot9}=\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן תקח האחד אשר הוא החמשית מן הקו העליון ותכהו בסכום הקו התחתון ומה שהתקבץ תחלקהו על הסכום הקו העליון ומה שיצא על הסכום הקו התחתון יצא לך שביעית התשיעית וארבע שמנייות שביעית התשיעית ושלשה חומשי שמינית שביעית התשיעית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 4\ 1\ 0}{5\ 8\ 7\ 9}}}
ג ד א 0
ה ח ז ט

Fractions of fractions to fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)=\frac{a}{10} כשיאמר לך שלשה רביעיות חמשית וחמשה שתותי שביעית ושבע שמניות תשיעית
בשטה אחת אחר כן הוריד מעמד העשירית בשטה אחרת תחתיו ותמשוך עליו קו על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{7\ 0}{8\ 9}\frac{5\ 0}{6\ 7}\frac{3\ 0}{4\ 5}}{10}}}
‫0 ג 0 ה 0 ז
ה ד ז ו ט ח
‫0א
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)=\frac{\frac{\left[\left(3\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9\right)+\left(5\sdot4\sdot5\sdot8\sdot9\right)+\left(7\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)\right]\sdot10}{4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8\sdot9}}{10} ותעשה בזאת השאלה כלומר בשטה העליונה מה שקדם בהכאת השברים השלשה בשלשה השברים המתחלפים בכמותם והוא שתקח השלשה אשר על הקו הראשון מן השטה העליונה ותכם בסכום אשר תחת הקו השני ומה שהתקבץ בסכום הקו השלישי, אחר כן תקח מה שעל הקו השלישי ותכהו בסכום השני ומה שהתקבץ בסכום הקו הראשון ותקבץ כל ההכאות השלשה ותכם בעשר' אחר כן תחלק על סכום השטה העליונה תחלה ומה שיצא ה' על העשרה

Addition of Fractions

ואחר שכבר הכאת ממיני השברים מה שבו ספוק למי שירגילם הנה תתחיל עתה בקבוץ השברים ואחר זה בהשלכתם ונמשיך בו רק הקצור ועזיבת האריכות עם מה שיחובר אליהם מדמיונם במה שיצטרך אליו בקבוץ בעזרת האל

Chapter One – Adding One Fraction to Another

 השער הראשון מקבוץ השברים קצתם אל קצת
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5} כשיאמר לך קבץ שלשה רביעים אל ארבעה חומשים
הוריד השלשה רביעים בשטה והארבע' חומשים בשטה אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}
ג
ד
ד
ה
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\frac{\frac{\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)}{4}}{5}=\frac{\frac{31}{4}}{5}=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) אחר כן הכהו מה שעל הקו העליון נ' הראשון במה שתחת הקו התחתון נ' השני ומה שעל התחתון במה שתחת הקו העליון כמו שקדם מהכאת שני השברי' המתחלפים ותקבץ שתי ההכאות יהיה זה כלו אחד ושלשים וחלקם על הסכום על הארבעה ומה שיצא על החמשה יצא לך המבוקש והוא אחד ושני חומשים ושלשה רביעי החומש
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 2}{4\ 5}1}}
ג ב א
ד ה
ובחינתו כמו שקדם בהכאת השברים בשוה והמעשה בהם אחד
\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\frac{4}{5}=\frac{7}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) ולהם פנים אחרים והוא שתפרוט השלשה רביעי חומשים יהיו שלשה חומשים ושלשה רביעי החומש ותקבצם אל הארבעה חומשים יהיו שבעה חומשים תפיל מהם חמשה באחד ישארו שני חומשים ושלשה רביעי החומש הנה המקובץ אם כן מהם אחד ושני חומשים ושלשה רביעי החומש

Chapter Two – Adding Two Fractions to Two Fractions

 שער קבוץ שני השברים אל שני השברים
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}+\frac{6}{7}\right) כשיאמ' לך קבץ שלשה רביעים וארבעה חומשים אל חמשה שתותים והשש שביעיות
על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\frac{5}{6}}}
ד ג
ה ד
ו ה
ז ו
\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{5}{6}+\frac{6}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(3\sdot5\right)+\left(4\sdot4\right)\right]\sdot6\sdot7\right]+\left[\left[\left(5\sdot7\right)+\left(6\sdot6\right)\right]\sdot4\sdot5\right]}{4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{1302+1420}{4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{2722}{4\sdot5\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=3+\frac{1}{7}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align} אחר כן תעשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת שני השברים המתחלפים בשערם יתקבץ מזה אחד ושלשים ושלש מאות ואלף ושמרם אחר כן חזור אל השטה העליונה התחתונה ועשה כמו שקדם בשטה העליונה ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יתקבץ מזה עשרים וארבע מאות ואלף וקבצם אל המספר השמור הראשון יהיה זה שנים ועשרים ושבע מאות ושני אלפים וחלקם על הסכום יצא לך בחלוקה שלשה ושביעית וארבע שתותי השביעית וחצי חומש שתות השביעית
פרק
דע כי כל המעשה בכל השברים או השלמים והשברים קצתם אל קצת אמנם השורש בהם שתעשה בכל מספר כמו שעשית בו בשערו בהכאה ומה שהתקבץ לך תכהו בסכום השטה התחתונה ומה שהתקבץ מן השטה התחתונה תכהו בסכום השטה העליונה ואחר כן תקבץ שני מספרים אלו ותחלקם על הסכום
ואם תהיה בהשלכה תשליך אחד משני המספרים אלו מן האחר ותחלק הנשאר על הסכום
ואם היתה בחלוקה חלקת אחד משני אלו המספרים על השני יצא לך המבוקש והנה נבאר מן הנחלק מהם על חבירו בשער החלוקה
ודע כי המעשה הזה יתחבר עמך בקבוץ וההשלכה והעליה [אל גבר] בקצת השאלות וכן הירידה [אלחט] והחלוק

Chapter Three – Adding Fraction and Fraction of Fraction to Two Different Fractions

 שער קבוץ השבר ושבר השבר אל שני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+\left(\frac{7}{8}+\frac{8}{9}\right) כשיאמר לך קבץ חמש' שתותים וחצי שתות אל שבע שמיניות שמנה תשיעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}\frac{7}{8}}}
א ה
ב ו
ח ז
ט ח
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+\left(\frac{7}{8}+\frac{8}{9}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot8\sdot9\right]+\left[\left[\left(7\sdot9\right)+\left(8\sdot8\right)\right]\sdot2\sdot6\right]}{2\sdot6\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{792+1524}{2\sdot6\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{2316}{2\sdot6\sdot8\sdot9}\\&\scriptstyle=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align} אחר כן עשה החמשה שתותי' וחצי שתות כמו שקדם בהכאת השבר ושבר השבר ומה שהתקבץ תכהו בסכום השטה התחתונה יתקבץ מזה שנים ותשעים ושבע מאות ושמרם אחר כן עשה בשני השברים כמו שקדם בשערם ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון יתקבץ מזה ארבעה ועשרים וחמש מאות ואלף וקבצהו אל השמור הראשון יתקבץ מזה ששה עשר ושלש מאות ושני אלפים וחלקם על הסכום כלו העליונה ותחתונה כלומר מה שתחת שני קויהם כמו שביארנו בשער ההכאה יצא לך המבוקש והוא שנים ושש תשיעיות ושמינית תשיעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 6}{8\ 9}2}}
א ו ב
ח ט

Chapter Four – Adding Fraction and Fraction of Fraction to Fraction and Fraction of Fraction

 שער קבוץ השבר ושבר השבר אל השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[\frac{5}{11}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[\frac{10}{13}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{13}\right)\right] כשיאמר לך קבץ חמשה חלקים מאחד עשר ושלשה רביעי החלק מאחד עשר על עשרה חלקים משלשה עשר ושמונה תשיעיות החלק משלשה עשר
והורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 5}{4\ 11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\ 10}{9\ 13}}}
ג ה
ד אא
ח ‫0א
ט גא
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{5}{11}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[\frac{10}{13}+\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{13}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot4\right)+3\right]\sdot13\sdot9\right]+\left[\left[\left(10\sdot9\right)+8\right]\sdot11\sdot4\right]}{4\sdot9\sdot11\sdot13}\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{13}+\left(\frac{7}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)\\\end{align} אחר כן עשה כל שטה מהם כמו שקדם בשערו ומה שהתקבץ מן השטה העליונה הכהו בסכום השטה התחתונה ותקבץ שתי ההכאות ותחלקם על הסכום יצא לך אחד וארבעה חלקים משלשה עשר ושבעה חלקים מאחד עשר וארבע תשיעיות החלק ושלשה רביעי תשיעית החלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 4\ \,7\ \,4}{4\ 9\ 11\ 13}1}}
ג ד ז ד א
ד ט אא גא

Chapter Five – Adding Integer and Fraction to Integer and Fraction

 שער קבוץ השלם והשבר אל השלם והשבר
\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{2}{5}\right) כשיאמ' לך: קבץ שנים וחצי אל שלשה ושני חומשים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}3}}
א ב
ב
ב ג
ה
\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{2}{5}\right)=\frac{\left[\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(3\sdot5\right)+2\right]\sdot2\right]}{2\sdot5}=\frac{59}{2\sdot5}=5+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right) אחר כן עשה בכל שטה מהם כמו שקדם בשער שנים ועשרים מהכאת השלם והשבר בשלם והשבר ומה שהתקבץ לך מן הקו העליון תכהו בחמשה אשר הם סכום הקו התחתון ומה שהתקבץ גם כן מן הקו התחתון תכהו בשנים אשר הם סכום הקו העליון וקבץ שתי ההכאות יהיו תשעה וחמישים וחלקם על הסכום יצאו חמשה וארבעה חומשים וחצי חומש וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 4}{2\ 5}5}}
א ד ה
ב ה
\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{2}{5}\right)=\left(2+3\right)+\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{5}\right)=5+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right) ואם תרצה קבץ השנים אל השלשה יהיו חמשה אחר כן קבץ חצי אל שני חומשים כמו שקדם יהיו ארבעה חומשים וחצי חומש וחברם אל החמשה יהיו חמשה וארבעה חומשים וחצי חומש

Chapter Six – Adding Integer and Fraction and Fraction of Fraction to Integer and Two Different Fractions

 שער קבוץ השלם והשבר ושבר השבר אל השלם ושני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left[8+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+\left(6+\frac{5}{7}+\frac{10}{11}\right) כשיאמר לך קבץ שמונה וחמשה שתותים וחצי שתות אל ששה וחמשה שביעיות ועשרה חלקים מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{2\ 6}8}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\ 5}{11\ 7}6}}
א ה ח
ב ו
‫0א ה ו
אא ז
\begin{align}\scriptstyle\left[8+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]+\left(6+\frac{5}{7}+\frac{10}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left[\left(8\sdot6\right)+5\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot7\sdot11\right]+\left[\left[\left(6\sdot7\sdot11\right)+\left(5\sdot11\right)+\left(10\sdot7\right)\right]\sdot6\sdot2\right]}{2\sdot6\sdot7\sdot11}\\&\scriptstyle=16+\frac{5}{11}+\left(\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה העליונה והכה השמונה בחמשה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה ותשמרהו אחר כן חזור אל השטה התחתונה והכה הששה בשבעה ומה שהתקבץ באחד עשר אחר כן הכה החמשה באחד עשר והעשרה בשבעה ותקבץ אלו ההכאות השלש והכה זה בסכום השטה העליונה ומה שהתקבץ מהם תקבצהו עם השמור הראשון ותחלק הכל על הסכום יצא לך ששה עשר וחמשה חלקים מאחד עשר וששה שביעיות החלק מאחד עשר ושלשה שתותי שביעית החלק מאחד עשר וחצי שתות שביעית החלק מאחד עשר וזו צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3\ 6\ \,5}{2\ 6\ 7\ 11}16}}
א ג ו ה וא
ב ו ז אא

Chapter Seven – Adding Fraction of Integer to Integer

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+6 כשיאמר לך קבץ שלשה רביעי חמשה אל דומה לו
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{6}}
ה ג
ד
ו
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+6=\frac{\left(3\sdot5\right)+\left(6\sdot4\right)}{4}=9+\frac{3}{4} אחר כן הכה השלשה אשר על הקו בחמשה והכה השלש' בארבעה וקבץ שתי ההכאות וחלק על ארבעה יצא לך תשעה ושלשה רביעים
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)+6=\left(3+\frac{3}{4}\right)+6 ואם תרצה קח שלשה רביעי החמשה והוא שלשה ושלשה רביעים וקבצם אל הששה


Chapter Eight – Adding Fraction of Integer to Fraction of Integer

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot9\right) כשיאמר לך קבץ שני שלישי שבעה אל שבע שמיניות תשעה
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{7\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{9\frac{7}{8}}}
ז ב
ג
ט ז
ח
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot9\right)=\frac{\left(2\sdot7\sdot8\right)+\left(7\sdot9\sdot3\right)}{3\sdot8}=12+\frac{4}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right) אחר כן עשה בזאת השאלה כמו שקדם בשער הכאת שבר המספר והוא שתכה השנים בשבעה ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון והוא שמונה לפי מה שהתניתו בראשית המין הזה אחר כן הכה גם כן השבעה אשר על השמונה בתשעה ומה שהתקבץ בשלשה והוא סכום הקו העליון ותקבץ שתי ההכאות וחלק על הסכום יצא לך המבוקש והוא שנים עשר וארבע שמיניות ושליש שמיניות
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{7}{8}\sdot9\right)=\left(4+\frac{2}{3}\right)+\left(7+\frac{7}{8}\right) ואם תרצה הכה שני שליש בשבעה יצא לך ארבעה ושני שלישים אחר כן הכה שבע שמיניות בתשעה יצא שבעה ושבע שמיניות וקבצם אל הארבעה ושני שלישים כמו שקדם

Chapter Nine – Adding Fraction of Integer and Fraction to Fraction of Integer and Fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6+\frac{1}{3}\right)\right] כשיאמר לך קבץ שלשה רביעי חמשה וחצי אל חמשה שתותי ששה ושליש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}6\frac{5}{6}}}
א ה ג
ב ד
א ו ה
ג ו
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{5}{6}\sdot\left(6+\frac{1}{3}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot3\right]\sdot6\sdot3\right]+\left[\left[\left[\left(6\sdot3\right)+1\right]\sdot5\right]\sdot4\sdot2\right]}{2\sdot3\sdot4\sdot6}\\&\scriptstyle=9+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align} אחר כן עשה בכל שטה מזאת השאלה כמו שקדם בשער שנים וארבעים מהכאת השברים ומה שהתקבץ מכל שטה מהם הכה היוצא מן השטה העליונה בסכום השט' התחתונה והיוצא מן השטה התחתונה הכהו בסכום השטה העליונה וקבץ שתי ההכאות וחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש והוא תשעה ושלשה שמיניות ושתות שמינית ושליש שתות שמינית על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1\ 3}{3\ 6\ 8}9}}
א א ג ט
ג ו ח
והבן

Addition of Unknown Amounts

 שער קבוץ הממונות
  • \scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x
 כשיאמר לך: קבץ מהממון שלישיתו ורביעיתו ודע כמה הנשאר
  • \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}
 הנה זאת השאלה כאלו אמר: קבץ שליש אל רביע
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 ועשה כמו שקדם יצא לך שלשה שתותים וחצי שתות
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)
 ואם אמר לך: קבץ מעשרה דרהם שלישיתם ורביעיתם ודע כמה המקובץ
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)}}
 כאלו אמר: הכה שליש ורביע בעשרה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)=5+\frac{5}{6}}}
 ותעשה כמו שקדם יצא חמשה וחמש שתותים
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\sdot10}}
 ואם תרצה קבץ שליש אל רביע והכה מה שיצא בעשרה
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]\right]
 ואם אמר קבץ מעשרה דרהם שלישיתם ורביעיתם וחומש מה שנשאר
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)&\scriptstyle+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(3\sdot4\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]\right]\right]\right]\sdot10}{\left(3\sdot4\right)}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\right]\right]\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left[7+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12-7\right)\right]\right]\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left[7+\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)\right]\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7+1\right)\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=\frac{8\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}
 הנה המעשה בזאת השאלה שתעמיד השליש משלשה והרביע מארבעה אחר כן הכה השלשה בארבעה יהיו שנים עשר וקחם סכום אחר כן תקח מן השנים עשר שלישיתם ורביעיתם והם שבעה הנשאר חמשה ותקח מהם חמישיתם לאומרו חומש הנשאר והוא אחד ותחברהו אל השבעה יהיו שמונה והכם בעשרה דרהם וחלק מה שהתקבץ על השנים עשר אשר הם הסכום יצא לך ששה ושני שלישים
ואם תרצה קרא שם העשרה מן השנים עשר ותקח היחס ההוא מן השמנה
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]\right]&\scriptstyle=\frac{8\sdot10}{12}\\&\scriptstyle=\frac{10}{12}\sdot8\\&\scriptstyle=\frac{8}{12}\sdot10\\\end{align}}}
 ואם תרצה תקרא השמנה מן השנים עשר ותקח היחס ההוא מן העשרה
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)+1
 ואם אמר קבץ מעשרה דרהם שלישיתם ורביעיתם ודרהם
הכה שלישית ורביע בעשרה ומה שיצא תוסיף עליו דרהם
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)+1&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\sdot10\right]+\left(1\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+\left(1\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{70+12}{12}\\&\scriptstyle=\frac{82}{12}\\&\scriptstyle=6+\frac{5}{6}\\\end{align}}}
 ואם תרצה העמד השליש והרביע משנים עשר ותקח שלישיתם ורביעיתם והוא שבעה ותכם בעשרה יהיו שבעים אחר כן הכה הדרהם בשנים עשר והשיאהו על השבעים יהיה זה שנים ושמונים וחלקם על השנים עשר אשר הם הסכום יצא לך ששה וחמשה שתותי‫'
  • \scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-1
 ואלו אמר שלישיתם ורביעתם אלא דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-1=\frac{70-12}{12}=4+\frac{5}{6}}}
 תהיה מפיל השנים עשר מן השבעים ומה שנשאר תחלקהו על הסכום יצא לך ארבעה וחמשה שתותים

Word Problems: How Much or How Many

 שער אחר מקבוץ הממונות
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter and they are 21 dirham
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=21
 אם יאמר לך אדם: ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו והיה אחד ועשרים דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}\sdot x=\frac{7}{12}x=21\longrightarrow7:12=21:x}}
 הנה המעשה בזאת השאלה שתעמיד השליש והרביע משנים עשר אחר כן תקח מן השנים עשר שלישיתם ורביעיתם והוא שבעה הנה יחס אלו השבעה מן השנים עשר אשר הם הסכום כיחס האחד ועשרים מן הממון המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12\sdot21}{7}=36}}
 והכה השנים עשר באחד ועשרים ותחלק מה שיצא על השבעה יצא לך ששה ושלשים והוא הממון
  • Restoration
 ואם תרצה עשה אותו בעליה [באלגבר]
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=\frac{3}{6}x+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)x=\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot x=21}}
 והוא שתשים הממון דבר ותקח ממנו שלישיתו ורביעיתו והוא שלשה שתותי דבר וחצי שתות דבר הנה הוא שוה האחד ועשרים
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot a=1\longrightarrow a=1+\frac{5}{7}}}
 ותאמר בכמה תעלה השלשה שתותים וחצי שתות עד שיהיה דבר שלם תמצא זה בהכותו באחד וחמש שביעיות
\scriptstyle{\color{blue}{x=21\sdot\left(1+\frac{5}{7}\right)=36}}
 והנה ביארנוהו בשער עליית [חיתום] השברים ותכה אחד וחמשה שביעיות באחד ועשרים יצא לך ששה ושלשים והוא הממון
  • Double False Position
 ואם תרצה תעשהו בחפנים
1) \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot3\right)=1+\frac{3}{4}\longrightarrow21-\left(1+\frac{3}{4}\right)=19+\frac{1}{4}}}
 והוא שתקח איזה מספר שתרצה לסכום כי הנה אפשר זה ותשים הסכום החופן האחד שלשה ותקח שלישיתם ורביעיתם והוא אחד ושלש רביעיות ותקבל בהם האחד ועשרים תמצא אותם פחות מהם הנה טעית בחופן שלש תשעה עשר ורביע חסר ושמור זה הטעות
2) \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=2+\frac{1}{3}\longrightarrow21-\left(2+\frac{1}{3}\right)=18+\frac{2}{3}}}
 אחר כן תקח חופן שני והוא ארבעה ותקח שלישיתם ורביעיתם והוא שנים ושליש ותקביל בהם האחד ועשרים הנה טעית בחופן ארבעה בשמונה עשר ושני שלישים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left[\left(19+\frac{1}{4}\right)\sdot4\right]-\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)\sdot3\right]}{\left(19+\frac{1}{4}\right)-\left(18+\frac{2}{3}\right)}=\frac{77-56}{\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=\frac{21}{\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=36}}
 וחסר ותכה טעות חופן הראשון אשר הוא תשעה עשר ורביע בחופן השני אשר הוא ארבעה יהיה זה שבעה ושבעים ושמרם אחר כן הכה טעות החופן השני אשר הוא שמונה עשר ושני שלישים בחופן הראשון אשר הוא שלשה יתקבץ מזה ששה וחמישים והשליכם מן השבעה ושבעים הנשאר אחד ועשרים אחר כן השליך הפחות משתי הטעיות מן היותר גדול מהם הנשאר שלשה שתותים וחצי שתות וחלק עליהם האחד ועשרים יצא לך ששה ושלושים והוא הממון והנה נבאר היחס הזה בשערו
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter and a half of what remains [after subtracting its third and its quarter from it] and they are 10 dirham. How much is the money?
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x\right)\right]\right]=10
 ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו וחצי מה שנשאר והיו עשרה דרהם כמה הממון
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{24\sdot10}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[24-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{24\sdot10}{14+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(24-14\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{24\sdot10}{14+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}\\&\scriptstyle=\frac{24\sdot10}{14+5}\\&\scriptstyle=\frac{24\sdot10}{19}\\&\scriptstyle=12+\frac{12}{19}\\\end{align}}}
 הנה המעשה בזה שתעמיד השליש והרביע והחצי מארבעה ועשרים ותקח שלישיתם ורביעיתם והוא ארבעה עשר ותפילם מן הארבעה ועשרים ישארו עשרה ותקח חציים וחצי מה שנשאר ישאר חמשה אחר כן חברם אל הארבעה עשר יהיו תשעה עשר וקחם סכום האחד אחר כן הכה העשרה בארבעה ועשרים ותחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך שנים עשר ושנים עשר חלקים מתשעה עשר חלק והוא הממון
  • Check
 ובחינת זאת השאלה שתקבץ משנים עשר ושנים עשר חלק מתשעה עשר שלישיתם ורביעיתם וחצי מה שנשאר ותעשה כמו שקדם
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{12}{19}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+\frac{12}{19}\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(12+\frac{12}{19}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{12}{19}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+\frac{12}{19}\right)\right]\right]\right]\right]=10}}
ואם יהיה היוצא עשרה הנה כבר התאמת המעשה הראשון
  • Restoration
 ואם תרצה תעשה אותו בחתום
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x\right)\right]\right]=\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x=10}}
 והוא שתשים הממון דבר ותקח שלישיתו ורביעיתו וחצי מה שנשאר והיו ארבעה שתותי דבר וחצי שתות הנה הוא ישוה עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot a=1\longrightarrow a=1+\frac{5}{19}}}
 ותאמר בכמה תחתים ארבעה שתותים ושלשה רביעי שתות עד שיהיה אחד תמצא זה בהכותם באחד וחמשה חלקים מתשעה עשר
\scriptstyle{\color{blue}{x=10\sdot\left(1+\frac{5}{19}\right)}}
 ותכה אחד וחמשה חלקים מ[תשעה] עשר בעשרה ומה שהתקבץ הנה הוא הממון
  • Double False Position
 ואם תרצה תעשה אותו בחופנים
1) \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[6-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\right]\right]=4+\frac{3}{4}\longrightarrow10-\left(4+\frac{3}{4}\right)=5+\frac{1}{4}}}
 והוא שתקח חופן מששה ותקח מהם שלישיתם ורביעיתם וחצי מה שנשאר יהיה זה ארבעה ושלשה רביעים ותקביל העשרה הנה כבר טעית בחופן ששה בחמשה ורביע חסר ושמרם
2) \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[8-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)\right]\right]\right]=6+\frac{1}{3}\longrightarrow10-\left(6+\frac{1}{3}\right)=3+\frac{2}{3}}}
 אחר כן תקח חופן אחד משמונה וקח שלישיתם ורביעיתם וחצי מה שנשאר יהיה זה ששה ושני שלישים ותקביל בהם העשרה הנה כבר טעית בחופן שמנה בשלשה ושני שלישים חסרים
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)\sdot8\right]-\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot6\right]}{\left(5+\frac{1}{4}\right)-\left(3+\frac{2}{3}\right)}=\frac{42-22}{1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=\frac{20}{1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=12+\frac{12}{19}}}
 והכה טעות החופן הראשון אשר הוא חמשה ורביע בחופן השני אשר הוא שמונה יהיו שנים וארבעים אחר כן תכה טעות החופן השני אשר הם שלשה ושני שלישים בחופן הראשון אשר הוא ששה יהיו עשרים ותפילם מן השנים וארבעים הנשאר עשרים הפיל הפחות מן הטעיות מן היותר גדול והנה נבארהו בשער ההשלכה ישאר אחד ושלשה שתותים וחצי שתות וחלק עליהם העשרים יצא שנים עשר ושנים עשר חלק מתשעה עשר והוא הממון
  • Rule of Four
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[1-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)\right]\right]\right]=\frac{4}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\longrightarrow\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]:1=10:x}}
 ואם תרצה תקח מאחד שלישיתו ורביעיתו וחצי מה שנשאר יהיה זה ארבעה שתותים ושלשה רביעי שתות הנה יחס אלו הארבעה שתותים ושלשה רביעיות שתות אל אחד כיחס עשרה מן המבוקש הנה אלו הארבעה מספרים מתיחסים הראשון מהם ארבעה שתותים ושלשה רביעי שתות והשני אחד והשלישי עשרה והרביעי הנעלם
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1\sdot10}{\frac{4}{6}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)}}}
 ותכה השני והוא אחד בשלישי והוא עשרה ותחלק המקובץ על הראשון והוא ארבעה שתותים ושלשה רביעי שתות והנה נבאר היחס הזה בשער חלוקת השברים
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third, its quarter and one dirham and they are 15 dirham. How much is the money?
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+1=15
 כשיאמר לך ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו ודרהם והיו חמשה עשר דרהם כמה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=15-1}}
 הפיל הדרהם מן החמשה עשר הנשאר ארבעה עשר
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter and they are 14 dirham
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=14
 והוא כאלו אמר ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו והיו ארבעה עשר דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{x=24}}
 הנה תעשה כמו שקדם יצא הממון ארבעה ועשרים
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter minus 2 dirham and they are 12 dirham
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x-2=12
 ואם אמר ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו אלא שני דרהם והיו שנים עשר דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=12+2}}
 הנה תוסיף השני דרהם על השנים עשר יהיו ארבעה עשר
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter and they are 14 dirham
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=14
 והוא כאלו אמר ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו והיו ארבעה עשר דרהם
ותעשה כמו שקדם
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third plus 4 dirham and its fifth minus 2 dirham and they are 10 dirham
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}x+4\right)+\left(\frac{1}{5}x-2\right)=10
 ואם אמר: ממון קבצת שלישיתו וארבעה דרהם וחמישיתו אלא שני דרהם והיה עשרה דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x=10-\left(4-2\right)=10-2=8}}
 הנה עמך ארבעה דרהם נוספים ושני דרהם חסרים והפיל השני דרהם החסרים מהד' נוספים והנשאר שני דרהם נוספים והפילם מן העשר' הנשאר שמונה
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its fifth and they are 8 [dirham]
\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x=8
 והוא כאלו אמר: ממון קבצת שלישיתו וחמשיתו והיו שמנה
\scriptstyle{\color{blue}{x=15}}
 ותעשה כמו שקדם יצא הממון חמשה עשר
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its fifth plus 6 dirham and its sixth minus 8 dirham and they are 8 dirham
\scriptstyle\left(\frac{1}{5}x+6\right)+\left(\frac{1}{6}x-8\right)=8
 ואם אמר ממון קבצת חמישיתו וששה דרהם ושתותו אלא שמונה דרהם והיה שמונה דרהם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}x=8+\left(8-6\right)}}
 הנה תפיל מן השמונה דרהם הששה דרהם הנשאר שני דרהם והם חסרים
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its fifth and its sixth and they are 10 dirham
\scriptstyle\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}x=10
 והוא כאלו אמר: ממון קבצת חמישיתו ושתותו והיו עשרה דרהם
ותעשה כמו שקדם
ודע כי כאשר היו הדראהם המונחים עם השליש והשתות והחלק המונח נוסף ותפילם מן המספר אשר זכר שהוא התקבץ לו מן החלקים ואם היו חסרים הוסיפם אחר כן עשה כזה כמו שקדם
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter then you multiplied [the sum] by itself and [the result] is equal to the original amount
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x\right)^2=x
 ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו והכיתו בדומה ושב הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12^2}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]^2}=\frac{12^2}{7^2}=\frac{12^2}{49}=2+\frac{6}{7}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}}
 העמיד השליש והרביע משנים עשר אחר כן תקח שלישיתם ורביעיתם והוא שבעה והכם בדומה להם יהיו תשעה וארבעים והוא הסכום אחר כן תכה השנים עשר בדומה להם וחלקם על הסכום יצא לך בחלוק שנים ושש שביעיות וארבעה שביעיות השביעית
  • Restoration
 ואם תרצה עשה אותו בחתום
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x\right)^2=\left[\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x\right]^2=\left[\frac{3}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]x^2=x}}
 והוא שתשים הממון דבר ותקח שלישיתו ורביעיתו והוא שלשה שתותי דבר וחצי שתות דבר והכם בדומה להם יהיו שלשה תשיעי ממון וחצי שמינית תשיעית ממון הנה זה ישוה דבר
ותחתים דבר ותקביל יצא לך הממון אשר זכרנו
  • Find a Quantity Problem - How Much or How Many Problem – Money
An amount of money - you summed its third and its quarter then you multiplied [the sum] by itself and [the result] is equal to the original amount and its two thirds
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x\right)^2=x+\frac{2}{3}x
 ואלו אמר ממון קבצת שלישיתו ורביעיתו ותכהו בדומה לו וחזר הממון וכמו שלישיתו
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12^2+\left(\frac{2}{3}\sdot12^2\right)}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]^2}=\frac{240}{7^2}=\frac{240}{49}=4+\frac{6}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}}
 העמיד השליש והרביע משנים עשר אחר כן תקח שלישיתו ורביעיתו בשבעה והכם בדומה להם יהיו תשעה וארבעים הנה הוא הסכום אחר כן הכה השנים עשר בדומה להם והשיא על מה שהתקבץ שלישיתו יהיה זה ארבעים ומאתים וחלקהו על הסכום יצא לך הממון ארבעה ושש שביעיות ושני שביעי השביעית
\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x\right)\right]\right]=11 ואם אמר ממון קבצת שלישיתו וחמישיתו ולקחת רביע מה שקבצת וחצי מה שנשאר והיה אחד עשר
\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle =\frac{11\sdot60}{\left[\frac{1}{4}\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[60-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle =\frac{11\sdot60}{\left(\frac{1}{4}\sdot32\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(60-32\right)\right]}\\&\scriptstyle =\frac{11\sdot60}{8+\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)}\\&\scriptstyle =\frac{11\sdot60}{8+14}\\&\scriptstyle =\frac{11\sdot60}{22}=30\\\end{align} העמיד השליש והרביע והחומש משישים ולא נהיה צריכים להעמיד החצי כי הוא ימצא ברביע וקח מן השישים שלישיתם וחמישיתם והוא שנים ושלשים הנשאר מן השישים שמונה ועשרים ותקח חציים והוא ארבעה עשר ותקח רביע השנים ושלשים אשר נקבצו תחלה והם שמנה ותחברם אל הארבעה עשר יהיו שנים ועשרים והוא הסכום אחר כן הכה האחד עשר בששים וחלקם על הסכום יצא שלשים והוא הממון
\scriptstyle x=\frac{11\sdot60}{22}=\frac{11}{22}\sdot60=\frac{1}{2}\sdot60 ואם תרצה תחלק תחלה האחד עשר על השנים ועשרים יצא חצי ותכהו בששים
\scriptstyle x=\frac{11\sdot60}{22}=\frac{60}{22}\sdot11= תרצה תחלקהו בששים על השנים ועשרים ומה שיצא תכהו באחד עשר
\scriptstyle\frac{1}{2}x+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(x-\frac{1}{2}x\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[x-\left[\frac{1}{2}x+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(x-\frac{1}{2}x\right)\right]\right]\right]\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[x-\left[\frac{1}{2}x+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(x-\frac{1}{2}x\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[x-\left[\frac{1}{2}x+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(x-\frac{1}{2}x\right)\right]\right]\right]\right]\right]\right]\right]=20 ואם אמר ממון קבצת חציו ושלישית מה שנשאר ורביע מה שנשאר וחומש מה שנשאר והיו עשרים דרהם כמו הממון
\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(60-30\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[60-\left[30+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(60-30\right)\right]\right]\right]\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[60-\left[30+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(60-30\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[60-\left[30+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(60-30\right)\right]\right]\right]\right]\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+10+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[60-\left(30+10\right)\right]\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[60-\left[30+10+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[60-\left(30+10\right)\right]\right]\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+10+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[60-\left[30+10+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+10+5+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[60-\left(30+10+5\right)\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+10+5+\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{30+10+5+3}\\&\scriptstyle=\frac{20\sdot60}{48}=25\\\end{align} העמיד השליש והרביע והחומש מששים ותקח חציים שהוא שלשי' ותקח שליש מה שנשאר שהוא עשרה הנשאר עשרים ותקח רביע מה שנשאר שהוא חמשה הנשאר חמשה עשר ותקח חמשיתם והוא שלשה אחר כן קבץ השלשים עם העשרה והחמשה והשלשה ותקבץ זה כלו יהיו שמנה וארבעים הנה הוא הסכום אחר כן הכה העשרי' בששים ותחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך המבוקש חמשה ועשרים
\scriptstyle x=\frac{20\sdot60}{48}=\frac{60}{48}\sdot20 ואם תרצה תחלק הששים על השמנה וארבעי' ומה שיצא תכהו בשישי'
\scriptstyle x=\frac{20\sdot60}{48}=\frac{60}{\frac{48}{20}}=\frac{60}{2+\frac{2}{5}} ואם תרצה תחלק השמנה וארבעים על העשרים יצא שנים ושני חומשים ותחלק הששים עליהם יצא לך הממון

Two Unknowns

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{1}{4}b=6 שני מספרים מתחלפים קבצת שליש אחד משניהם אל רביע השני והיה ששה
זאת השאלה יש לה הישרות רבות
\scriptstyle6-\frac{1}{3}a=\frac{1}{4}b ואחת מההיישרות שתקח מן הששה כמה שתרצה ותשימהו שליש אחד משני המספרים יהיה הנשאר מן הששה רביע המספר השני
ואם תשים הלקוח מן הששה הראשון רביע אחד משני המספרים יהיה הנשאר שליש השני
\scriptstyle\frac{1}{3}a=2\longrightarrow a=6\longrightarrow\frac{1}{4}b=6-2=4\longrightarrow b=16\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle a=6\\\scriptstyle b=16\end{cases} כאלו אתה תקח מן הששה שנים ותשימם שליש אחד משני המספרים ויהיה המספר אשר יהיו השנים שלישיתו ששה אחר כן תפיל השנים מן הששה הנשאר ארבעה והם רביע המספר השני הנה המספר השני אם כן ששה עשר אם כן אחד משני המספרים ששה והשני ששה עשר
\begin{cases} \scriptstyle a=12\\\scriptstyle b=8\end{cases} ואם תרצה שיהיה אחד משני המספרים שמנה והשני שנים עשר
\begin{cases} \scriptstyle a=15\\\scriptstyle b=4\end{cases} או יהיה אחד מהמספרים ארבעה והשני חמשה עשר
\begin{cases} \scriptstyle a=9\\\scriptstyle b=12\end{cases} או יהיה אחד משני המספרים תשעה והשני שנים עשר


Sums

 שער מן הקבוץ ג"כ והוא קבוץ המספרים
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k כשיאמר לך קבץ מאחד עד עשרה על המשך המספר
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=11\sdot5=55 השיא אחד על עשרה יהיו אחד עשר והכם בחצי העשרה והוא חמשה יהיו חמשה וחמישים והוא המבוקש
שער
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right) ודע כי כאשר נאמר לך קבץ מאחד עד מספר על המשך המספר השיא תמיד חצי אחד על המספר ותכה המקובץ בחצי המספר הראשון ומה שהתקבץ הוא המבוקש
שער
\scriptstyle\sum_{k=5}^{10} k ואם אמר לך: קבץ מחמשה עד עשרה
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=5}^{10} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)-\left(\sum_{k=1}^{5-1} k\right)\\&\scriptstyle=55-\left(\sum_{k=1}^4 k\right)=55-10=45\\\end{align} קבץ תחלה מאחד עד עשרה כמו שקדם יהיו חמשה וחמשים אחר כן תפיל אחד תמיד מן זה הששה הנשאר ארבעה וקבץ מאחד עד ארבעה יהיו עשרה ותפילם מן החמשה וחמשים הנשאר חמשה וארבעי' והוא אשר יתקבץ מחמשה עד עשרה
שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=55 קבץ מאחד עד מספר בלתי ידוע על המשך המספר והגיע חמשה וחמישים כמה המספר הבלתי ידוע
\begin{align}\scriptstyle n&\scriptstyle=\sqrt{\left(2\sdot55\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)^2}-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{2}^2}-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=10\\\end{align} הנה הקשו שתכה החמשה וחמשים בשנים תמיד יהיו עשרה ומאה ושמרם אחר כן קח חצי האחד אשר התחלת הקבוץ ממנו הוא חצי והכהו בדומה לו יהיה רביע והשיאהו על העשרה ומאה ורביע ותקח גדרו והנה נבאר זה בשער הגדר יהיה עשרה וחצי ותפיל מהם החצי אשר הכית בדומ' הנשאר עשרה והוא המספר הבלתי ידוע
ואם תרצה בחיתום
\scriptstyle n=x\longrightarrow\left(x+1\right)\sdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=55 שים המספר דבר והשיא עליו אחד יהיה אחד ודבר והכהו בחצי הדבר אשר הוא המספר הראשון יהיה חצי ממון וחצי דבר ישוה חמשה וחמשים
\scriptstyle\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=55/\sdot2\longrightarrow x^2+x=110 ותחתים הממון ותכהו בשנים ותכה כל המשוה בשנים יהיה עמך ממון ודבר ישוה מאה ועשרה הנה כבר יצאת אל האופן הראשון מאופני החיתום ותעשה כמו שנזכ' במקומו בע"ה

Odds

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} \left(2k-1\right) קבץ מאחד עד תשעה עשר על המשך הנפרדים
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} \left(2k-1\right)&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19+1\right)\right]^2\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)^2=10^2=100\\\end{align} הקשו שתשיא אחד ממנו תמיד על התשעה עשר יהיו עשרים ותקח חציים והוא עשרה ותכם על עצמם יהיו מאה והוא המספר אשר יתקבץ מאחד עד תשעה עשר על המשך הנפרדים
פרק
ואלו אמר בזאת השאלה קבץ מאחד עד עשר' או עד שנים עשר על המשך הנפרדים לא יחתום מפני כי העשרה מן המספר הזוג ואינו מן המספר הנפרד
\scriptstyle\sum_{k=4}^{7} \left(2k-1\right) ואם אמר קבץ משבעה עד שלשה עשר על המשך הנפרדים
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=4}^{7} \left(2k-1\right)&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{7} \left(2k-1\right)\right]-\left[\sum_{k=1}^{3} \left(2k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=49-9=40\\\end{align} קבץ מאחד עד שלשה עשר יתקבץ בו תשעה וארבעים אחר כן תפיל מהשבעה שנים הנשאר חמשה וקבץ מאחד עד חמשה על המשך הנפרדים יהיו תשעה ותפילם מן התשעה וארבעים הנשאר ארבעים
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=36 ואם אמר קבץ מאחד עד מספר בלתי ידוע על המשך והתקבץ ששה ושלשים כמה המספר הנפרד
\scriptstyle2n-1=\left(2\sdot\sqrt{36}\right)-1=\left(2\sdot6\right)-1=12-1=11 הקישו שיקח גדר שש' ושלשים והוא ששה וכפלם יהיו שנים עשר ותפיל מהם אחד הנשאר אחד עשר והוא המספר הנפרד אשר התקבץ אליו
\scriptstyle2n-1=x\longrightarrow\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}\right)^2=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}=36 ואם תרצה שים המספר דבר והשיא עליו אחד יהיה אחד ודבר ותקח חציו והוא חצי אחד וחצי דבר והכהו בכמוהו רביע ממון וחצי דבר ורביע אחד הנה זה ישוה ששה ושלשי'
\scriptstyle\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x=36-\frac{1}{4}=35+\frac{3}{4} ותפיל הרביע אחד הנשאר חמשה ושלשים ושלשה רביעים הנה עמך רביע ממון וחצי דבר ישוה חמשה ושלשים ושלש' רביעים
\scriptstyle\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x=35+\frac{3}{4}/\sdot4\longrightarrow x^2+2x=143 ותחתים רביע הממון והוא שתכהו בארבעה ותכה כל ההשואת בארבעה יהיו ממון וששים ישוה מאה ושלש וארבעים הנה כבר יצא אל המין הרביעי מן החיתום ותעשה כמו שקדם יצא הדבר אחד עשר והוא המספר הבלתי ידוע
\scriptstyle x=\sqrt{4\sdot36}-1 ואם תרצה תכה הששה ושלשים בארבעה תמיד ותקח גדר מה שיצא ותפיל ממנו אחד
ודע כי אתה אם תעשה זאת השאלה באופן החיתום ויצא השאלה בלתי מדברת הנה המעשה טעות

Evens

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^5 2k כשיאמר לך קבץ משנים עד עשרה על המשך הזוגות
\scriptstyle\sum_{k=1}^5 2k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=30 השיא השנים על העשרה תמיד יהיו שנים עשר ותקח חציים ותכהו בחצי העשרה יהיה זה שלשים והוא המספר אשר תרצה
\scriptstyle\sum_{k=1}^5 2k=\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot10=\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\sdot12 ואם תרצה קח רביע השנים עשר ותכהו בעשרה או תקח רביע העשרה ותכהו בשנים עשר
\scriptstyle\sum_{k=3}^6 2k ואם אמר קבץ מששה עד שנים עשר על המשך הזוגות
\scriptstyle\sum_{k=3}^6 2k=\left(\sum_{k=1}^6 2k\right)-\left(\sum_{k=1}^2 2k\right)=42-6=36 הקשו שתקבץ משנים עד שנים עשר יהיו שנים וארבעים אחר כן תפיל מן השש שנים הנשאר ארבעה וקבץ מן השנים עד ארבעה יהיו ששה ותפילם מן השנים וארבעים הנשאר ששה ושלשים והוא המספר המבוקש
\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=30 ואם אמר קבץ משנים אל מספר זוג על המשך הזוגות והתקבץ שלשים כמה המספר הבלתי ידוע אשר התקבץ אליו
\begin{align}\scriptstyle2n&\scriptstyle=\sqrt{\left(4\sdot30\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2}-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{120+1^2}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{120+1}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{121}-1=11-1=10\\\end{align} הקשו שתכה השלשים בארבעה תמיד יהיו מאה ועשרים אחר כן תקח חצי השנים תמיד ותכהו בדומה לו יהיה אחד והשיאהו על המאה ועשרים יהיה אחד ועשרים ומאה וקח גדרו והוא אחד עשר ותפיל מהם האחד אשר הכית אותו בדומה לו ישארו עשרה והוא המספר המושכל
\scriptstyle2n=x\longrightarrow\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x+2\right)\right]\sdot\frac{1}{2}x=\left(\frac{1}{2}x+1\right)\sdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{4}x^2+\frac{1}{2}x=30 ואם תרצה שים המספר דבר והשיא עליו שנים יהיו שנים ודבר ותקח מהם חציים והוא חצי דבר ואחד ותכהו בחצי הדבר יהיה רביע הממון ישוה שלשים
\scriptstyle x=10 ותחתים ותקביל יצא הדבר עשרה והוא מה שרצית

Squares

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^2 קבץ ממרובע אחד עד מרובע עשרה על המשך המספר
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^2=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7=385 הקשו שתקבץ מאחד עד עשרה כמו שקדם יהיו חמשה וחמישים אחר כן תקח שני שלישי העשרה בתוספת שליש אחד תמיד יהיו שבעה והכם בחמשה וחמישים יהיו חמשה ושמונים ושלש מאות והוא מה שרצית
\scriptstyle\sum_{k=5}^{12} k^2 ואם אמר קבץ ממרובע חמשה עד מרובע שנים עשר
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=5}^{12} k^2&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{12} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{5-1} k^2\right)\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{12} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^4 k^2\right)\\\end{align} קבץ תחלה ממרובע אחד עד מרובע שנים עשר ומה שהתקבץ שמרהו אחר כן תפיל אחד תמיד מן החמשה הנשאר ארבעה ותקבץ ממרובע אחד עד מרובע ארבעה ומה שהתקבץ הפילהו מן השמור הראשון ומה שנשאר הנה הוא המבוקש
Squares of Evens
 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)^2 קבץ ממרובע שנים עד מרובע עשרה על המשך הזוגות
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)^2&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{5} 2k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{2}{3}\right]\\&\scriptstyle=30\sdot\left(7+\frac{1}{3}\right)=220\\\end{align} הקשו שתקבץ משנים עד עשרה יהיו שלשים אחר כן תקח שני שלישי העשרה בתוספת שני שלישי אחד והוא שבעה ושליש ותכהו בשלשים יהיו עשרים ומאתים והוא מה שרצית
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)^2&\scriptstyle=\left[\frac{2}{3}\sdot\left(\sum_{k=1}^{5} 2k\right)\right]\sdot\left(10+1\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{2}{3}\sdot30\right)\sdot11=20\sdot11=220\\\end{align} ואם תרצה הנה תקח מן השלשים שני שלישיתם יהיו עשרים אחר כן תקח העשרה ותשיא אחד יהיו אחד עשר והכם בעשרים
\scriptstyle\sum_{k=3}^{8} \left(2k\right)^2 ואם אמר קבץ ממרובע ששה עד מרובע ששה עשר
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{8} \left(2k\right)^2&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{8} \left(2k\right)^2\right]-\left[\sum_{k=1}^{3-1} \left(2k\right)^2\right]\\&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{8} \left(2k\right)^2\right]-\left[\sum_{k=1}^2 \left(2k\right)^2\right]\\\end{align} קבץ ממרובע שנים עד מרובע ששה עשר ומה שהתקבץ שמרהו אחר כן הפיל מן הששה השנים הנשאר ארבעה וקבץ ממרובע שנים עד מרובע ארבעה ותפיל מן השמור ומה שנשאר הנה הוא המבוקש
ואם אמר קבץ ממרובע אחד עד מרובע ארבעה
והפיל מן השמור ומה שנשאר הוא המבוקש
Squares of Odds
\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^2 ואם אמר קבץ ממרובע אחד עד מרובע תשעה על המשך הנפרד
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^2&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+2\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)\right]\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot9\right)=165\\\end{align} הקשו שתשיא על התשעה שנים יהיו אחד עשר אחר כן השיא על התשעה אחד יהיו עשרה וקח חציים ותכהו בחצי האחד עשר ומה שהתקבץ הכהו בשני שלישי התשעה יהיה זה חמשה ושישים ומאה והוא מה שרצית
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^2&\scriptstyle=\left[\left[\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)\right]+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left[25-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot25\right)+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot10=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align} ואם תרצה קבץ מאחד עד תשעה יהיו חמשה ועשרים ותפיל מהם שלישיתם בתוספת שתות אחד הנשאר ששה עשר וחצי אחר כן השיא אחד על התשעה יהיו עשרה והכם בששה עשר וחצי
\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^2=\left(9+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right] ואם תרצה השיא על התשעה אחד והכה מה שהתקבץ בחצי התשעה ומה שהתקבץ הכהו בשליש התשעה בתוספת שני שלישי אחד ומה שהתקבץ הנה הוא מה שרצית
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot10\\\end{align} ואם תרצה הנה תקח חצי התשעה ותשמרהו ותקח שליש התשעה בתוספת שני שלישי אחד ותשמרהו ג"כ אחר כן תשיא על התשע' אחד יהיו עשרה אחר כן תכה הארבעה וחצי בשלשה ושני שלישים ומה שהתקבץ בעשרה

Cubics

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^3 קבץ מן מעוקב אחד עד מעוקב עשרה על המשך המספר
\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^3=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)^2=55^2 המעשה בזה שתקבץ מאחד עד עשרה על המשך המספר יהיו חמשה וחמישים והכם בכמוהם והוא מה שרצית
\scriptstyle\sum_{k=4}^{10} k^3 ואם אמר קבץ ממעוקב ארבעה עד מעוקב עשרה
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=4}^{10} k^3&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{10} k^3\right)-\left(\sum_{k=1}^{4-1} k^3\right)\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{10} k^3\right)-\left(\sum_{k=1}^3 k^3\right)\\\end{align} תפיל מן הארבעה אחד הנשאר שלשה אחר כן קבץ מן מעוקב אחד עד מעוקב עשרה וקבץ ג"כ ממעוקב אחד עד מעוקב שלשה והפיל הפחות מן היותר ומה שנשאר הנה הוא המבוקש
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=3025 ואם אמר קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב מספר מושכל והגיע חמשה ועשרים ושלשת אלפים כמה המספר המוסכל
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\sqrt{3025}=55 הקשו שתקח גדר החמשה ועשרים ושלשת אלפים יהיו חמשה וחמשי'
וכאלו אמר לך קבץ מאחד עד מספר מושכל והגיע חמשה וחמשי' כמה המספר המושכל
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=55\longrightarrow n=10 ותעשה כמו שקדם יצא המספר עשרה
פרק
ודע כי כאשר היה בשער הזה המספר המונח אין לו גדר הנה השאלה טעות
ואם תרצה תעשה אותה בחיתום כמו שקדם בשורש המעשה תחלה
Cubics of Odds
 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^3 קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב תשעה על המשך הנפרד
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)^3&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)\right]\sdot\left[\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^{5} \left(2k-1\right)\right]\right]-1\right]\\&\scriptstyle=25\sdot\left[\left(2\sdot25\right)-1\right]=1225\\\end{align} הקשו שתקבץ מאחד עד תשעה יהיו חמשה ועשרים והכם בכפלם אלא אחד ומה שהתקבץ הנה הוא מה שרצית והוא חמשה ועשרים ומאתים ואלף
\scriptstyle\sum_{k=4}^{6} \left(2k-1\right)^3 ואם אמר קבץ ממעוקב שבעה עד מעוקב אחד עשר
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=4}^{6} \left(2k-1\right)^3&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{6} \left(2k-1\right)^3\right]-\left[\sum_{k=1}^{4-1} \left(2k-1\right)^3\right]\\&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{6} \left(2k-1\right)^3\right]-\left[\sum_{k=1}^{3} \left(2k-1\right)^3\right]=2403\\\end{align} הפיל מן השבעה שנים הנשאר חמשה וקבץ ממעוקב אחד עד מעוקב אחד עשר וקבץ ג"כ מן מעוקב אחד עד מעוקב חמשה והפילהו מן הראשון ותפיל הפחות מן היותר ומה שנשאר הוא המבוקש והוא שני אלפים וארבע מאות ושלשה
שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)^3=1225 קבץ ממעוקב אחד עד מעוקב מושכל על המשך הנפרדים והתקבץ חמשה ועשרים ומאתים ואלף כמה המספר המושכל
\begin{align}\scriptstyle2n-1&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot1225\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)^2}+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)\right]}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(612+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{4}\right)^2}+\frac{1}{4}\right]}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(612+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}+\frac{1}{4}\right]}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot\left[\left(24+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\right]}-1\\&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot25}-1=9\\\end{align} הקשו שתקח חצי המספר תמיד יהיו שנים עשר ושש מאות וחצי אחר כן תקח מן האחד רביעיתו ותכהו בכמוהו יהיה חצי שמינית והשיאהו על השנים עשר ושש מאות וחצי וקח גדר מה שיצא יהיו ארבעה ועשרים ושלש רביעיות והשיא עליו הרביע אשר לקחת מן האחד יהיו חמשה ועשרים והכם בארבעה ותקח גדר מה שיצא ותפיל ממנו אחד הנשאר תשעה והוא המספר
ואם תרצה בחיתום
\scriptstyle2n-1=x\longrightarrow\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x+1\right)\right]^2\sdot\left[\left[2\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x+1\right)\right]^2\right]-1\right]=1225 וזה שתשים המספר דבר ותשיא עליו אחד ותקח חצי המקובץ ותכהו בעצמו ומה שהתקבץ בכפלו אלא אחד ותקביל במקובץ המספר
\scriptstyle x=9 יצא הדבר תשעה והוא המספר
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=x\longrightarrow x\sdot\left(2x-1\right)=1225 ואם תרצה תשים המספר המוכה בכפלו אלא אחד והוא שני דברים אלא אחד ותקביל במקובץ המספר הנזכר
\scriptstyle x=25\longrightarrow\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=25 יצא הדבר חמשה ועשרי' אחר כן תאמר קבץ מאחד עד מספר נפרד על המשך הנפרד והגיע חמשה ועשרים כמה המספר הנפרד
\scriptstyle2n-1=9 הנה תעשה כמו שקדם יצא תשעה והוא המספר
Cubics of Evens
 שער אחר ממנו
\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)^3 קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב עשר' על המשך הזוגות
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)^3&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)\right]\sdot\left[2\sdot\sum_{k=1}^{5} \left(2k\right)\right]\\&\scriptstyle=30\sdot\left(2\sdot30\right)=1800\\\end{align} קבץ תחלה משנים עד עשרה כמו שקדם יצאו שלשים והכם בכפלם יהיו אלף ושמנה מאות והוא מה שרצית
\scriptstyle\sum_{k=4}^{8} \left(2k\right)^3 ואם אמר קבץ ממעוקב שמנה עד מעוקב ששה עשר
\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=4}^{8} \left(2k\right)^3&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{8} \left(2k\right)^3\right]-\left[\sum_{k=1}^{4-1} \left(2k\right)^3\right]\\&\scriptstyle=\left[\sum_{k=1}^{8} \left(2k\right)^3\right]-\left[\sum_{k=1}^{3} \left(2k\right)^3\right]\\\end{align} הפיל מן השמנה שנים תמיד אחר כן קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב ששה עשר אחר כן קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב ששה והפילהו מן הראשון הנה מה שנשאר הוא המבוקש
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k\right)^3=1800 ואם אמר קבץ ממעוקב שנים עד מעוקב מספר מוסכל על המשך הזוגות והגיע שני אלפים ושמנה מאות כמה המספר המוסכל
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k\right)=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot1800}=30 המעשה בזה שתקח חצי המספר המונח ותקח גדרו יהיו שלשים
והוא כאלו יאמר לך קבץ משנים עד מספר זוג על המשך הזוגות והגיע שלשים כמה המספר הזוג
\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k\right)=30\longrightarrow2n=10 הנה תעשה כמו שקדם ויצא המספר עשרה

Geometrical Progression of Doubles – Squares of Chessboard

 המאמר בכפול בתי הנרדשיר הוא האשקקור
וקבץ מה שבהם עד שיהיה בבית הראשון אחד ובשני שנים ובשלשי ארבעה וברביעי שמנה ובחמשי ששה עשר
וכן תכפול המספר לכל בית עד שישתוו בכל הארבעה וששים בית
\scriptstyle2^2=4=1+\sum_{k=1}^2 2^{k-1} וכאשר תרצה זה תשים מה שבבית הראשון שנים והכם בכמותם יהיו ארבעה והוא מה שבבית הראשון והשני בתוספת אחד
\scriptstyle4^2=16=1+\sum_{k=1}^4 2^{k-1} אחר כן הכה הארבעה בכמותם יהיו ששה עשר והוא מה שבבית הרביעי וכן כל מה שלפניו בתוספת אחד
\scriptstyle16^2=256=1+\sum_{k=1}^8 2^{k-1} אחר כן הכה הששה עשר בכמותם יהיו ששה וחמישים ומאתים והוא מה שבבית השמיני וכל מה שלפניו בתוספת אחד
2 5 6 ו ה ב
והכה הששה וחמישים ומאתים בכמותם יהיו ששה ושלשים וחמש מאות וחמשה וששים אלף וזה צורתם‫:
6 5 5 3 6 ו ג ה ה ו
\scriptstyle256^2=65536=1+\sum_{k=1}^{16} 2^{k-1} והוא מה שבבית השש עשרה וכל מה שלפניו בתוספת אחד
\scriptstyle65536^2=4294967296=1+\sum_{k=1}^{32} 2^{k-1} אחר כן הכה השש עשרה בכמותו יהיה היוצא ששה ותשעים ומאתים ושבעה ושישים אלף ותשע מאות אלפים וארבעה ותשעים אלף אלפים ומאתים אלף אלפים וארבעת אלפי אלף אלפים והוא מה שבבית השנים ושלשים וכל מה שלפניו וזה צורתם‫:
4 2 9 4 9 6 7 2 9 6 ו ט ב ז ו ט ד ט ב ד
אחר כן הכה הבית השנים ושלשים בכמוהו יהיה היוצא ששה עשר ושש מאות ואחד וחמישים אלף וחמש מאות אלפים ותשעת אלפי אלפים ושבע מאות אלפי אלפים ושלשה ושבעים אלף כפולים שלשה וארבעה וארבעים אלף כפולים ארבעה ושבע מאות אלף כפולים ארבעה וששה וארבעים אלף כפולים חמשה וארבע מאות אלף כפולים חמשה ושמונה עשר אלף כפולים ששה וזה צורתם‫:
1 °8 4 4 °6 7 4 °4 0 7 °3 7 0 °9 5 5 °1 6 1 6 ו א ו א° ה ה ט° 0 ז ג° ז 0 ד° ד ז ו° ד ד ח° א
\scriptstyle4294967296^2=18446744073709551616=1+\sum_{k=1}^{64} 2^{k-1} והוא כל מה שבבתי הנדרשיר הארבעה וששים ונוסף עליהם אחד
הפיל מהם האחד יהיה ראשון השאלה חמשה עשר

Subtraction of Fractions

 שער ההשלכה
דע כי כל מה ששמשת מן המעשים בשער הקבוץ תשתמש בשער ההשלכה
דמיון זה כי כאשר תרצה שתשליך מספר ושבר
הנה אתה תעשה במספר והשבר כמו שקדם בשער ההכאה ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון אחר כן תשמרהו אל צד אחד כן תעשה ג"כ בשטה התחתונה כמו שקדם בשער ההכאה ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה ומה שהתקבץ תשליך ממנו המספר הראשון השמור ומה שישאר תחלקהו על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש
\scriptstyle\frac{5}{6}-\frac{1}{4} כשיאמר לך השלך רביע חמשה שתותים
הוריד הרביע בשטה והוריד החמשה שתותים בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}
א
ד
ה
ו
\begin{align}\scriptstyle\frac{5}{6}-\frac{1}{4}=\frac{\left(5\sdot4\right)-\left(1\sdot6\right)}{4\sdot6}&\scriptstyle=\frac{20-6}{4\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{14}{4\sdot6}\\&\scriptstyle=\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align} אחר כן הכה האחד אשר על הקו העליון בששה אשר הם סכום הקו התחתון יהיו ששה ושמרם אחר כן הכה החמשה אשר על הקו התחתון בארבעה אשר הם סכום הקו העליון יהיו עשרים והפיל מהם הששה הנשאר ארבעה עשר וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא שלשה שתותים וחצי שתות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{2\ 6}}}
א ג
ב ו
\scriptstyle\frac{10}{11}-\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right] ואם אמר: השלך ארבעה חומשים וחצי חומש מעשרה חלקים מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 4}{2\ 5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}
א ד
ב ה
‫0א
אא
\begin{align}\scriptstyle\frac{10}{11}-\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left(10\sdot5\sdot2\right)-\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot11\right]}{2\sdot5\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{100-99}{2\sdot5\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2\sdot5\sdot11}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{11}\\\end{align} אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון יהיו תשעה ותשעים ושמרם אחר כן הכה העשרה אשר על הקו התחתון בסכום הקו העליון יהיו מאה והשליך מהם התשעה ותשעים הנשאר אחד וחלקהו על הסכום יצא לך חצי חומש חלק מאחד עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0\ \,0}{2\ 5\ 11}}}
א 0 0
ב ה אא
\scriptstyle\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)-\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right] ואם יאמר לך: השלך שבעה שמיניות ושליש שמינית מתשע עשיריות ושלוש רביעיות העשירית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 7}{3\ 8}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 9}{4\ 10}}}
א ז
ג ח
ג ט
ד ‫0א
\begin{align}\scriptstyle\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)-\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(9\sdot4\right)+3\right]\sdot8\sdot3\right]-\left[\left[\left(7\sdot3\right)+1\right]\sdot10\sdot4\right]}{3\sdot4\sdot8\sdot10}\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align} אחר כן עשה בשטה העליונה והשטה התחתונה כמו שקדם בהכאת השבר ושבר השבר ומה שהתקבץ מן הקו העליון הכהו בסכום הקו התחתון ומה שהתקב' מן הקו התחתון הכהו בסכום הקו העליון ותפיל הפחות מן היותר ומה שנשאר תחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש הנשאר ארבע שמיניות העשירית וארבעה שתותי שמינית העשירית
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\ 4\ \,0}{6\ 8\ 10}}}
ד ד 0
ו ח ‫0א
\scriptstyle\frac{9}{10}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right) ואם אמר לך אדם: השלך שני שלישיות ושתי רביעיו' מתשע עשיריות
הנה הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}
א א
ד ג
ט
‫0א
\begin{align}\scriptstyle\frac{9}{10}-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\frac{\left(9\sdot3\sdot4\right)-\left[\left[\left(1\sdot4\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot10\right]}{3\sdot4\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{108-70}{3\sdot4\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{38}{3\sdot4\sdot10}\\&\scriptstyle=\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align} אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם מהכאת שני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ מן הקו העליון הכהו בסכום הקו התחתון יהיה זה שבעים ושמרם אחר כן הכה התשעה אשר על העשרה בסכום הקו העליון יהיה זה שמונה ומאה השלך מהם השבעים הנשאר שמונה ושלשים וחלקם על הסכום יצא לך המבוקש והוא שלשה עשיריות ושתות העשירית והוא הנשאר המבוקש
\scriptstyle\frac{6}{7}+\frac{1}{8}-\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\right) ואם אמר השלך שלשה חומשים ושליש משש שביעיות ושמינית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\frac{6}{7}}}
א ג
ג ה
א ו
ח ז
\scriptstyle\frac{6}{7}+\frac{1}{8}-\left(\frac{3}{5}+\frac{1}{3}\right)=\frac{\left[\left[\left(6\sdot8\right)+\left(1\sdot7\right)\right]\sdot5\sdot3\right]-\left[\left[\left(3\sdot3\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot7\sdot8\right]}{3\sdot5\sdot7\sdot8} אחר כן עשה בשטה העליונה והתחתונה כמו שקדם מהכאת שני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ מן הקו העליון הכהו בסכום הקו התחתון ומה שהתקבץ מן הקו התחתון הכהו בסכום הקו העליון אחר כן השליך היוצא מן הקו העליון מן היוצא מן השטה התחתונה ומה שנשאר תחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש

Subtraction of Integer and Fraction from Integer and Fraction/s

 שער אחר ממנו
\scriptstyle7+\frac{3}{4}-\left(5+\frac{1}{3}\right) כשיאמר לך: השליך חמשה ושליש משבעה ושלשה רביעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}7}}
א ה
ג
ג ז
ד
\scriptstyle7+\frac{3}{4}-\left(5+\frac{1}{3}\right)=\frac{\left[\left[\left(7\sdot4\right)+3\right]\sdot3\right]-\left[\left[\left(5\sdot3\right)+1\right]\sdot4\right]}{4\sdot3}=\frac{29}{4\sdot3}=2+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right) אחר כן עשה בכל אחד מן הקו העליון והתחתון כמו שעשית בהכאת השלם והשבר והכה היוצא מן הקו העליון בסכום הקו התחתון וכן מה שיצא מן הקו התחתון הכהו בסכום הקו העליון אחר כן הפיל הפחות מן היותר הנשאר תשעה ועשרים וחלקם על הסכום יצא שנים ושני שתותים וחצי שתות והוא הנשאר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 2}{2\ 6}2}}
א ב ב
ב ו
\scriptstyle8+\frac{9}{11}+\frac{3}{4}-\left(5+\frac{7}{8}\right) ואם אמר: השלך חמשה ושבע שמיניות משמונה ותשעה חלקים מאחד עשר ושלשה רביעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\frac{9}{11}8}}
ז ה
ח
ג ט ח
ד אא
\scriptstyle8+\frac{9}{11}+\frac{3}{4}-\left(5+\frac{7}{8}\right)=\frac{\left[\left[\left(8\sdot11\sdot4\right)+\left(9\sdot4\right)+\left(3\sdot11\right)\right]\sdot8\right]-\left[\left[\left(5\sdot8\right)+7\right]\sdot11\sdot4\right]}{4\sdot8\sdot11} אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם מהכאת השלם והשבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון ושמרהו אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם מהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון ומה שהתקבץ השליך ממנו המספר הראשון ומה שנשאר תחלקהו על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש הנשאר

Subtraction of Three Different Fractions from Integer and Fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle8+\frac{9}{10}-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{11}+\frac{5}{6}\right) השליך חצי ושני חלקים מאחד עשר וחמשה שתותים משמנה ותשע עשיריות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\frac{2}{11}\frac{1}{2}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}8}}
ה ב א
ו אא ב
ט ח
‫0א
\scriptstyle8+\frac{9}{10}-\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{11}+\frac{5}{6}\right)=\frac{\left[\left[\left(8\sdot10\right)+9\right]\sdot2\sdot11\sdot6\right]-\left[\left[\left(1\sdot11\sdot6\right)+\left(2\sdot2\sdot6\right)+\left(5\sdot2\sdot11\right)\right]\sdot10\right]}{2\sdot6\sdot10\sdot11} אחר כן בשטה העליונה כמו שקדם בשברי' השלשה המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשלם והשבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון ומה שהתקבץ תשליך ממנו הראשון ומה שנשאר חלקהו על הסכום יצא לך המבוקש

Subtraction of Fraction of Integer from Fraction of Integer

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left(\frac{7}{8}\sdot9\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot5\right) כשיאמר לך: השלך שלשה רביעי חמשה משבע שמיניות תשעה
הוריד השאלה על זאת הצור'‫:
\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{9\frac{7}{8}}}
ה ג
ד
ט ז
ח
\scriptstyle\left(\frac{7}{8}\sdot9\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)=\frac{\left(7\sdot9\sdot4\right)-\left(3\sdot5\sdot8\right)}{4\sdot8} אחר כן הכה השלשה אשר על הארבעה בחמשה ומה שהתקבץ הכהו בשמונה אשר הם סכום הקו התחתון ושמרהו אחר כן הכה השבעה בתשעה ומה שהתקבץ בארבעה אשר הם סכום הקו העליון ומה שהתקבץ תשליך ממנו הראשון השמור ומה שנשאר תחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש

Subtraction of Fraction of Integer and Fraction from Fraction of Integer and Fraction

 שער אחר ממנו
\scriptstyle\left[\frac{5}{6}\sdot\left(7+\frac{1}{8}\right)\right]-\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right] השלך שלשה רביעי חמשה וחצי מחמשה שתותי שבעה ושמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}7\frac{5}{6}}}
א ה ג
ב ד
א ז ה
ח ו
\scriptstyle\left[\frac{5}{6}\sdot\left(7+\frac{1}{8}\right)\right]-\left[\frac{3}{4}\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=\frac{\left[\left[\left(7\sdot8\right)+1\right]\sdot5\sdot4\sdot2\right]-\left[\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot3\sdot6\sdot8\right]}{2\sdot4\sdot6\sdot8} אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השבר בשער אחד וארבעים ומה שהתקבץ מן השטה העליונה הכהו בסכום השטה התחתונה ושמרהו והיוצא ג"כ מן השטה התחתונה הכהו בסכום השטה העליונה ומה שהתקבץ תשליך ממנו המספר הראשון ומה שנשאר תחלקהו על הסכום יצא לך המבוקש

Subtraction of Unknown Amounts

 שער אחר ממנו מן ההשלכה ג"כ
\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right) השלך מעשרה דרהם שלישיתם ורביעיתם ודע כמה הנשאר
\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)=\frac{\left[12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\sdot10}{12}=\frac{\left(12-7\right)\sdot10}{12}=\frac{5\sdot10}{12}=4+\frac{1}{6} הנה המעשה בזה שתעמיד השליש והרביע משנים עשר והשלך מהם שלישיתם ורביעיתם והם ז' הנשאר חמשה הנה יחס אלו החמשה מן השנים עשר אשר הם המעמד כיחס המבוקש מן העשרה ותאמר אם ה' שוים ז' עשרה כמה ישוו והכה החמשה בעשרה וחלק המקובץ על השנים עשר יצא לך ארבע' ושתות והוא הנשאר מן העשרה
ואם תרצא תכה שליש ורביע בעשרה ומה שיצא תשליך ממנו העשרה ומה שנשאר הנה הוא המבוקש
\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)=\frac{\left[1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right]\sdot10}{1}=\frac{\left[1-\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]\sdot10}{1}=\frac{\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot10}{1} ואם תרצה קבץ שליש אל רביע יהיה זה שלשה שתותים וחצי שתות ותפילם מאחד יצא שני שתותים וחצי שתות והכם בעשרה וחלק המקובץ על אחד יצא המבוקש
\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)=\frac{5\sdot10}{12}=\frac{5}{12}\sdot10 ואם תרצה במעשה הראשון תחלק החמשה על השנים עשר ותכה מה שיצא בעשרה ויצא לך המבוקש
\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-3 ואם אמר השלך מעשרה דרהם שלישי' ורביעיתם ושלשה דרהם ודע כמה הנשאר
\begin{align}\scriptstyle10-\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-3&\scriptstyle=\frac{\left[\left[12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\sdot10\right]-\left(3\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(12-7\right)\sdot10\right]-\left(3\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(5\sdot10\right)-\left(3\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{50-\left(3\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{14}{12}=1+\frac{1}{6}\\\end{align} תעמיד השליש והרביע משנים עשר והוא הסכום אחר כן תקח שלישיתם ורביעיתם ותפיל מן השנים עשר השבעה הנשאר חמשה והכם בעשרה יהיו חמשים ושמרם אחר כן תקח השלשה דרהם הנזכרים והכם בשנים עשר והשליך מה שהתקבץ מן החמשים הנשאר ארבעה עשר וחלקם על השנים עשר יצא אחד ושתות והוא הנשאר ואם תחלק החמשים על הסכום

Chapter

 שער אחר ממנו
\scriptstyle10-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-2\right] ואם אמר השליך מעשרה דרהם שלישית' ורביעיתם אלא שני דרהם
\begin{align}\scriptstyle10-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)-2\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]\sdot10\right]+\left(2\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(12-7\right)\sdot10\right]+\left(2\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(5\sdot10\right)+\left(2\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{50+\left(2\sdot12\right)}{12}\\&\scriptstyle=\frac{74}{12}=6+\frac{1}{6}\\\end{align} העמיד השליש והרביע משנים עשר אחר כן השליך שלישיתם ורביעיתם הנשאר חמשה והכם בעשרה יהיו חמשים ושמרם אחר כן הכה שני דרהם בשנים עשר והשיאם על החמשים יהיו ארבעה ושבעים וחלקם על הסכום אשר הוא שנים עשר יצא ששה ושתות והוא הנשאר
ואם תרצה הכה שליש ורביע בעשרה ומה שיצא תשליך ממנו השני דרהם ומה שנשאר תפילהו מן העשרה והנשאר הוא המבוקש

Chapter

 שער אחר ממנו
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x השליך מממון שלישיתו ורביעיתו ודע כמה הנשאר
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=\left[1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right]x=\left[1-\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\right]x=\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x קבץ שליש אל רביע יהיו שלשה שתותים וחצי שתות ותפילם מאחד תמיד ומה שנשאר הנה הוא המבוקש והוא שני שתותים וחצי שתות
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x+5 ואם אמר השלך מממון שלישיתו ורביעיתו והשיא על מה שנשאר חמשה ודע כמה הוא
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x+5=\frac{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+5}{60}x=\frac{25+5}{60}x=\frac{30}{60}x=\frac{1}{2}x העמיד השליש והרביע והחומש מששים ותפיל מהם שלישיתם ורביעיתם הנשאר חמשה ועשרים והשיא עליהם חמשה יהיו שלשים וחלקם על הסכום יצא חצי והוא הנשאר

Word Problems: First from Last

 שער אחר ממנו והוא השלכת הממונות
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third and its quarter are subtracted from it and 10 remain. How much is the money?
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=10
 ממון השלכת שלישיתו ורביעיתו ונשאר עשר כמה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot12}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}=\frac{10\sdot12}{5}=24}}
 העמיד השליש והרביע משנים עשר אחר כן תפיל מהם שלישיתם ורביעיתם הנשאר חמשה והוא הסכום אחר כן הכה העשרה דרהם בשנים עשר וחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא ארבעה ועשרים והוא הממון
  • Restoration
 ואם תרצה בחיתום
\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x=10}}
 שים הממון דבר והשליך שלישיתו ורביעיתו הנשאר שני שתותי דבר וחצי שתות דבר הנה זה ישוה העשרה
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot a=1\longrightarrow a=2+\frac{2}{5}}}
 ותאמר בכמה אחתים שני שתות דבר וחצי שתותי דבר עד שיהיה אחד תמצא זה כשתכהו בשנים ושני חומשים
\scriptstyle{\color{blue}{x=10\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)}}
 ותכה העשרה בשנים ושני חומשים יהיו ארבעה ועשרים והוא הממון
  • Double False Position
 ואם תרצה בחפנים
1) \scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5\longrightarrow10-5=5}}
 והוא שתקח אי זה מספר שתרצה סכום כאלו אתה תקח שנים עשר ותפיל שלישיתם ורביעיתם הנשאר חמשה ותקביל בהם העשרה הנה כבר טעית בחופן נ' כאומר שנים עשר בחמש' חסרים
2) \scriptstyle{\color{blue}{18-\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot18\right)=7+\frac{1}{2}\longrightarrow10-\left(7+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}}}
 אחר כן תקח חופן אחר משמנה עשר ותפיל שלישיתם ורביעיתם הנשאר מהם שבעה וחצי ותקביל בהם העשר' הנה כבר טעית בחופן שמנה עשר בשנים וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(5\sdot18\right)-\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot12\right]}{5-\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\frac{90-30}{2+\frac{1}{2}}=\frac{60}{2+\frac{1}{2}}=24}}
 הסרם והנה טעות החופן הראשון אשר הוא חמשה בחופן השני אשר הוא שמנה עשר יהיה זה תשעים אחר כן הכה טעות החופן השני אשר הוא שנים וחצי בחופן הראשון אשר הוא שנים עשר יהיו שלשים הפילם מן התשעים הנשאר ששים והפיל הפחות משני הטעייות מן היותר גדול הנשאר שנים וחצי וחלק עליהם הששים ויצא ארבעה ועשרים והוא הממון
פרק
  • If the two errors are negative: \scriptstyle error_1<error_2\longrightarrow X=\frac{\left(error_2\sdot possition_1\right)-\left(error_1\sdot possition_2\right)}{error_2-error_1}
 ודע כי כאשר היו שני הטעיות חסרים תפיל הפחות משתי הרבאות מן היותר גדולה מהם ותפיל גם כן הפחות משתי הטעיות מן היותר גדול מהם ומה שנשאר חלק עליו הנשאר משתי ההכאות
  • If the two errors are positive: the same
 וכן תעשה כאשר יהיו שתי הטעוייות נוספים
  • If one of the errors is positive and the other one is negative: \scriptstyle X=\frac{\left(error_2\sdot possition_1\right)+\left(error_1\sdot possition_2\right)}{error_2+error_1}
 ואם היה אחד משתי הטעויות נוסף והאחר חסר קבץ שתי ההכאות וקבץ ג"כ שתי הטעיות וחלק על השתי ההכאות על כל שתי הטעויות ומה שיצא הנה הוא המבוקש
פרק
  • If the two errors are negative - the original amount is greater than the two false positions
 דע כי כאשר היו שתי הטעיות חסר והנה הממון יותר משני החופנים
  • If one of the errors is positive and the other one is negative - the original amount is between the two false positions
 ואם היה אחד משתי הטעיות נוסף והאחר חסר הנה הממון במה שבין שני החופנים
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third and its quarter plus 3 dirham and its fifth plus 3 dirham are subtracted from it and 10 dirham remain. How much is the money?
\scriptstyle x-\left(\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+3\right)-\left(\frac{1}{5}x+3\right)=10
 השלכת שלישיתו ורביעיתו ושלשה דרהם וחמשיתו ושלשה דרהם ונשאר עשרה דרהם כמה הממון
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\left[10+\left(3+3\right)\right]\sdot60}{60-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{\left(10+6\right)\sdot60}{13}\\&\scriptstyle=\frac{16\sdot60}{13}\\&\scriptstyle=73+\frac{11}{13}\\\end{align}}}
 העמיד השליש והרביע והחומש מששים והוא המעמד אחר כן השליך שלישיתם ורביעיתם וחמישיתם הנשאר שמנה עשר והוא הסכום אחר כן קבץ הדרהם והם ששה והשיאם על העשר יהיו ששה עשר והכם בששים וחלק המקובץ על הסכום יצא המבוקש שלשה ושבעים ואחד עשר חלק משלשה עשר
פרק
  • If the dirham are added - they are added to the remaining dirham
 ודע כי הדרהם כאשר היו נוספים הוסיפם על הדרהם הנשארים
  • If the dirham are subtracted - they are subtracted from the remaining dirham
 ואם היו חסרים חסרם מן המספר הנשארי'
אחר כן תעשה כמו שקדם בשער הזה
  • for cases presented in the chapter on addition \scriptstyle \frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+a=n - vice versa:
If the dirham are added - they are subtracted from the given number
If the dirham are subtracted - they are added to the given number
 ואולם שער הקבוץ הנ[.] כאשר היו הדראהם המונחים עם השליש והרביע והחלק הנזכר נוספים חסרם מן המספר ואם היו הדראהם חסירים הוסיפם ועשה כמו שקדם
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third minus one dirham and its quarter minus 2 dirham are subtracted from it and 10 remain
\scriptstyle x-\left(\frac{1}{3}x-1\right)-\left(\frac{1}{4}x-2\right)=10
 כשיאמר לך: מממון השלכת שלישיתו אלא דרהם ורביעיתו אלא שני דרהם ונשארו עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=10-\left(1+2\right)=7}}
 הדרך שתקבץ אלו הדראהם והם שלשה חסרים ותפילם מן העשרה דרהם הנשאר שבעה
\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{4}{5}}}
 ותעשה כמו שקדם בשאלה הראשונה מהשלכת הממונות יצא הממון ששה עשר וארבעה חומשים
שער אחר ממנו
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third is subtracted from it and the square of what remains is equal to the original amount
\scriptstyle\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=x
 ממון חוסר שלישיתו והכית מה שנשאר בכמוהו ושב הממון כמו שהיה
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3^2}{\left[3-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]^2}=\frac{9}{2^2}=\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}}}
 הנה המעשה בזה שתעמיד השליש משלשה ותסיר שלישיתו הנשאר שנים והכם בכמותם יהיו ארבעה והוא הסכום אחר כן הכה השלשה בכמותם יהיו תשעה וחלקם על הסכום יצא שנים ורביע והוא הממון
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third is subtracted from it then a half of what remains is also subtracted and the product of what is left by the subtracted is equal to the original amount
\scriptstyle\left[\left(x-\frac{1}{3}x\right)-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{3}x+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(x-\frac{1}{3}x\right)\right]\right]=x
 ואם אמר: ממון חוסר שלישיתו וחצי מה שנשאר והכית מה שנשאר במה שהלך וחזר הממון
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{3^2}{\left[\left[3-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[3-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]\right]\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[3-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]\right]\right]}\\&\scriptstyle=\frac{3^2}{\left[2-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{3^2}{1\sdot2}\\&\scriptstyle=\frac{3^2}{2}=4+\frac{1}{2}\\\end{align}}}
 העמד השליש משלשה אחר כן הפיל שלישיתם הנשאר שנים וחצי מה שנשאר אחד וכבר הוסרו שנים והכה האחד הנשאר בשנים המוסרים יהיו שנים והוא הסכום אחר כן הכה השלשה בכמותם וחלקם על הסכום יצאו ארבעה וחצי והוא הממון
  • Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third is subtracted from it and the square of what remains is equal to six times the original amount and its two thirds
\scriptstyle\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=6x+\frac{2}{3}x
 ואם אמר: ממון הלך שלישיתו והוכה מה שנשאר בכמוהו וחזר ששה דמיוני הממון ושני שלישי כמותו
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3^2\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)}{\left[3-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]^2}=\frac{60}{2^2}=\frac{60}{4}=15}}
 העמד השליש משלשה וחסר שלישיתו הנשאר שנים והכם בכמותם יהיו ארבעה והוא הסכום אחר כן הכה השלשה בכמותם ומה שהתקבץ בששה ושני שלישים יהיו שישים חלקם על הסכום יצא חמשה עשר והוא הממון

Word Problems: Whole from Parts

 שער מן הקנה
  • Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Cane
A Cane - its third is in the mud; its quarter is in the water; and 10 cubits [of it] are above the water. How much is the length of the cane?
\scriptstyle x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+10
 קנה בטיט שלישיתו ובמים רביעיתו ועל המים עשרה זרתות כמה מדת הקנה
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third and its quarter are subtracted from it and 10 remain
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=10
 הנה זאת השאלה כאומרך ממון הלך שלישיתו ורביעיתו ונשאר עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{x=24}}
 הנה תעשה כמו שקדם יצא ארבעה ועשרים והוא אורך הקנה
  • Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Cane
A Cane - its third and 2 cubits are in the mud; its quarter and 3 cubits are in the water; and 10 cubits [of it] are above the water
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{3}x+2\right)+\left(\frac{1}{4}x+3\right)+10
 ואם אמר: קנה כיון שלישיתו ושתי אמות ובמים רביעיתו ושלש אמות ועל המים עשר אמות
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third and 2 dirham and its quarter and 3 dirham are subtracted from it and 10 remain. How much is the money?
\scriptstyle x-\left(\frac{1}{3}x+2\right)-\left(\frac{1}{4}x+3\right)=10
 הנה זאת השאלה כאמרך ממון הלך שלישיתו ושני דרהם ורביעיתו ושלשה דרהם ונשאר עשרה כמה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{x=36}}
 ותעשה כמו שקדם יצא אורך הקנה ששה ושלשים
  • Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Fish
A fish - its head [weighs] one third [of the whole fish], its tail [weighs] a quarter [of the whole fish], and its body [weighs] 10 liter. How much does the whole fish weigh?
\scriptstyle x=\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x+10
 ואם דג בראשו שלישיתו בזנבו רביעיתו ובאמצעו עשרה ליטרי' כמה משקל הדג
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
An amount of money - its third and its quarter are subtracted from it and 10 remain
\scriptstyle x-\frac{1}{3}x-\frac{1}{4}x=10
 הנה זה כאלו אמר ממון השלכת שלישיתו ורביעיתו ונשאר עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{x=24}}
 ותעשה כמו שקדם יצא ארבעה ועשרים והוא משקל הדג
  • its third and 2 liter, its quarter and 2 liter
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{3}x+2\right)+\left(\frac{1}{4}x+2\right)+10
 וכן אלו אמרת שלישיתו וליטרי' ורביעיתו ולטרין
הנה אלו השאלות כולם אמנם יצא מן השער הזה

Division of Fractions

 שער החלוקה
דע כי השער הזה ילך על דרך הקבוץ וההשלכה וענינו שתשוב הנחלק והנחלק עליו מסוג אחד והוא שתשיבם יחד אל היותר דק שבשיבר השאלה עוד תחלק אחר זה אחד משניהם על השני ומה שהתקבץ הוא מה שיגיע לאחד
וזאת החלוקה תחלק לשני חלקים‫:
חלק מעט על רב ויקרא השומא נ' קריאת השם
והחלק השני חלוק הרב על המעט

Division of the smaller by the larger

 ויתחיל בה בחלוקת המעט על הרב תחלה כמו שסדרנו במספר השלם
\scriptstyle\frac{1}{3}\div4 המשל בו חלק שליש דרהם על ארבעה אנשים
והוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{4}}
א
ג
ד
\scriptstyle\frac{1}{3}\div4=\frac{1}{4\sdot3}=\frac{1}{12}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6} אחר כן קח הארבעה אשר הם השלם והכם במעמד השליש מן השטה העליונה יהיו שנים עשר והוא הסכום אחר כן קרא שם ממנין האחד אשר על השלשה יהיה חצי שתות הדרהם
פרק
\scriptstyle\frac{5}{6}\div8 ודע כי הכאת כל מה שבשטה התחתונה מן המספר כאשר הוכה במקומות השברים מן השטה העליונה מן המקובץ מזה הוא הסכום אשר יחלק עליו אחר כן אם היית מחלק רב על מספר תקח מה שעל השברים ותחלקהו על הסכום כמו שעשינו בזאת השאלה ומה שיבוא אחריה כשיאמר לך חלק חמשה שתותים על שמנה הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}
\scriptstyle{\color{blue}{8}}
ה
ו
ח
\scriptstyle\frac{5}{6}\div8=\frac{5}{6\sdot8}=\frac{5}{48}=\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{8} אחר כן הכה השמנה בששה יהיו שמנה וארבעים וקרא שם מהם החמשה יהיו חמשה שתותים שמינית והוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle\frac{5}{11}\div7 ואם יאמר לך חלק חמשה חלקים מאחד עשר על שבעה
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{7}}
ה
אא
ז


\scriptstyle\frac{5}{11}\div7=\frac{5}{7\sdot11}=\frac{5}{77}=\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{11}=\frac{5}{11}\sdot\frac{1}{7} אחר כן הכה השבעה באחד עשר יהיו שבעה ושבעי' והוא הסכום אחר כן קרא שם מהם החמשה יהיו חמשה שביעייות החלק מאחד עשר ואם תרצה חמשה חלקים מאחד עשר בשביעית
פרק
היותר קרוב ממה שיעשה בשער הזה שתחזיר השלם תמיד מקום שבר תחת הקו ותיחס אליהם כל השברים הנחלקים
\scriptstyle\frac{7}{9}\div17 המשל בו חלק שבע תשיעייות על שבעה עשר‫:
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}}}
\scriptstyle{\color{blue}{17}}
ז
ט
זא
\scriptstyle\frac{7}{9}\div17=\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{17} אחר כן תקח השבעה עשר ותשיבם מקום שבר תחת הקו העליון אל מה שילוה הימין ויבוא צורך כל זה שבע תשיעיות החלק משבעה עשר על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\ \,0}{9\ 17}}}
ז 0
ט זא
וזהו היוצא מן החלוקה

Division of Fraction and Fraction of fraction by Integer

 שער חלוקת השבר ושבר השבר על השלם והוא קריאת שם
\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\div5 המשל בו חלק חמשה שתותים וחצי שתות על חמשה
הוריד החמשה שתותים וחצי שתות בשטה והוריד תחתיה בשטה אחרת החמשה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{2\ 6}}}
\scriptstyle{\color{blue}{5}}
ה א
ו ב
ה
\scriptstyle\left[\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\div5=\frac{\left(5\sdot2\right)+1}{5\sdot6\sdot2}=\frac{11}{60}=\frac{1}{10}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה החמשה אשר בה בראשית השטה העליונה בששה ומה שהתקבץ בשנים יהיו ששים והוא הסכום, אחר כן תחזור אל השטה העליונה ותכה החמשה אשר על הששה בשנים ותשיא מה שעל ראשם יהיו אחד עשר וקרא שמם מן הסכום אשר הוא ששים יצא עשרה וחמשה שתותי העשור וזהו היוצא מן החלוקה
\scriptstyle\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\div63 ואם אמר חלק עשרה חלקים מאחד עשר ושלש' חומשי החלק מאחד עשר על שלשה ושישים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 10}{5\ 11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{63}}
‫0א ג
אא ה
גו
\scriptstyle\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\div63=\frac{\left(10\sdot5\right)+3}{63\sdot11\sdot5}=\frac{53}{3465}=\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן הכה השלשה וששים באחד עשר ומה שהתקבץ בחמשה אחר כן שוב והכה יהיה כל זה חמשה וששים וארבע מאות ושלשת אלפים והוא הסכום אחר כן שוב והכה העשרה אשר על האחד עשר בחמשה ותשיא מה שעל ראשם יהיו שלשה וחמשים וקרא אותם מן הסכום יצא תשיעית החלק מאחד עשר ושלשה שביעייות תשיעית החלק מאחד עשר ושלשה חומשי שביעית תשיעית החלק מאחד עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 3\ 1\ \,0}{5\ 7\ 9\ 11}}}
ג ג א 0
ה ז ט אא

Division of Two Different Fractions by Integer

 שער חלוקת שני השברים המתחלפים על השלם
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{8}\right)\div6 כשיאמר לך חלק שלשה חומשים ושבע שמינייות על ששה
הוריד השלשה חומשים והשבע שמינייות בשטה והוריד הששה בשטה אחרת על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{6}}
ז ג
ח ה
ו
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{8}\right)\div6=\frac{\left(3\sdot8\right)+\left(7\sdot5\right)}{6\sdot5\sdot8}=\frac{24+35}{240}=\frac{59}{240}=\frac{2}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה הששה אשר בשטה התחתונה בסכום השטה העליונה הכה תחלה בחמשה ומה שהתקבץ בשמנה יהיה זה ארבעים ומאתים והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים והוא שתכה מה שעל החמשה והוא שלשה בשמנה יהיו ארבעה ועשרים ותכה ג"כ מה שעל השמנה בחמשה והוא שבעה בחמשה יהיו חמשה ושלשים וקבצם אל הארבעה ועשרים יהיו תשעה וחמשים וחלקם על הסכום יצא לך בחלוקה שתי עשירייות ושלש שמינייות העשירית ושתי שלישייות שמינית העשירית וזאת החלוקה אמנם היא קריאת שם
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{8}\right)\div6=\frac{1+\frac{3}{8}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}{6}=\left[1+\frac{3}{8}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\frac{1}{6} ואם תרצה קבץ השלשה חומשים אל השבע שמנייות יהיה כל זה אחד ושלש שמניות וארבעה חמשי השמינית אחר כן קרא שם אחד מן הששה הנחלק עליהם תמצאהו שתות והכה שתות באחד ושלשת שמינייות וארבעה חומשי השמינית ומה שיצא הנה הוא המבוקש
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{8}\right)\div6=\left[\left(\frac{3}{5}+\frac{7}{8}\right)\right]\sdot\frac{1}{6} ואם תרצה הכה שתות בשלשה חומשים ושבע שמנייות ומה שיצא הנה הוא המבוקש וזה נכלל בכל החלוקה מה שקדם ממנה ומה שהתאחר

Division of Fraction by Integer and Fraction

 שער חלוקת השבר על השלם והשבר
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\left(5+\frac{1}{2}\right) חלק ששה שביעייות על חמשה וחצי
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}5}}
ו
ז
א ה
ב
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\left(5+\frac{1}{2}\right)=\frac{6\sdot2}{\left[\left(5\sdot2\right)+1\right]\sdot7}=\frac{12}{11\sdot7}=\frac{12}{77}=\frac{1}{11}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה החמשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיה אחד עשר והכם בשבעה אשר הם מעמד השבר בשטה העליונה יהיו שבעה ושבעים והוא הסכום אחר כן הכה הששה אשר על השבעה בשטה העליונה בשנים מעמד השבר בשטה התחתונה יהיו שנים עשר וחלקם על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש והוא חלק מאחד עשר וחמשה שביעייות החלק מאחד עשר והוא המבוקש
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\left(5+\frac{1}{2}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{5+\frac{1}{2}}=\frac{6}{7}\sdot\frac{2}{11} ואם תרצה [..] חלק אחד מחמשה וחצי תמצאהו שני חלקים מאחד עשר והכה שני חלקים מאחד עשר בששה שביעייות ומה שיצא הנה הוא מה שרצית
פרק
ודע כי אתה כשתרצה שתחלק אחד על מספר קרא שם האחד מן המספר ומה שתהיה קריאת השם כזה הוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle1\div3 דמיון זה חלק אחד על שלשה
קרא שם אחד משלשה תמצאהו שני שלישים ואם כן שליש הוא היוצא מן החלוקה
ואם חלקתה אחד על מספר ושבר
הכה האחד במעמד השבר ושמרהו הנה הוא הנקרא אחר כן הכה המספר במעמד שברו והשיא השבר הנזכר ומה שהתקבץ תקראהו ממנו המספר השמור ומה שיצא הנה הוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle1\div\left(3+\frac{1}{3}\right) דמיון זה חלק אחד על שלשה ושליש
\scriptstyle1\div\left(3+\frac{1}{3}\right)=\frac{1\sdot3}{\left(3\sdot3\right)+1}=\frac{3}{10} הכה האחד במעמד השליש יהיה תשעה והשיא עליהם השליש הנזכר יהיו עשרה וקרא מהם שם השלשה יצא שלש עשיריות והוא מה שיצא מחלוקת אחד על שלשה ושליש
וענינן שתשיב הנחלק והנחלק עליו אל סוג אחד מן השבר היותר דק שבשאלה אחר כן חלק האחד על השני
\scriptstyle1\div\left(6+\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{25}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5} ודמיון זה חלק אחד על ששה ורביע השיב האחד רביעיים יהיו ארבעה אחר כן השיב הששה ורביע רביעיים יהיו חמשה ועשרים וקרא מהם שם הארבעה יהיו ארבעה חומשי החומש והוא מה שיצא מחלוקת אחת על ששה ורביע
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\left(5+\frac{1}{2}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{2}{11} אחר כן חזור אל השאלה ותאמר חלק אחד על חמשה וחצי השיב האחד חציים יהיו שנים אחר כן השיב החמשה וחצי חציים יהיו אחד עשר חציים וקרא שם שנים מאחד עשר והוא שני חלקים מאחד עשר ותכם בשש שביעיות ומה שיצא הנה הוא היוצא מחלוקת ששה שביעיות על חמשה וחצי
שער אחר ממנו
\scriptstyle\frac{10}{11}\div\left(6+\frac{2}{3}\right) חלק עשרה חלקים מאחד עשר על ששה ושני שלישים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}6}}
‫0א
אא
ב ו
ג
\scriptstyle\frac{10}{11}\div\left(6+\frac{2}{3}\right)=\frac{10\sdot3}{\left[\left(6\sdot3\right)+2\right]\sdot11}=\frac{30}{20\sdot11}=\frac{30}{220}=\frac{1}{11}+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה הששה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיו עשרים והכם באחד עשר אשר הם הסכום בשטה העליונה יהיו עשרים ומאתים והוא הסכום אחר כן הכה העשרה אשר על האחד עשר בשלשה אשר הם הסכום בקו התחתון יהיו שלשים וחלקם על הסכום יצא חלק מאחד עשר וחמשה עשיריות החלק מאחד עשר והוא קריאת שם
\scriptstyle\frac{10}{11}\div\left(6+\frac{2}{3}\right)=\frac{10}{11}\sdot\left[\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]=\frac{1}{11}+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{11}\right) ואם תרצה קרא שם אחד מששה ושלשים תמצא עשירית וחצי עשירית והכה עשירית וחצי עשירית בעשרה חלקים מאחד עשר ומה שיצא הנה הוא המבוקש

Division of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר על השלם והשבר ושבר השבר
\scriptstyle\frac{4}{5}\div\left[3+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right] כשיאמר לך חלק ארבעה חומשים על שלשה ושש שביעיות וחצי שביעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 6}{2\ 7}3}}
ד
ה
א ו ג
ב ז
\begin{align}\scriptstyle\frac{4}{5}\div\left[3+\frac{6}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{4\sdot2\sdot7}{\left[\left[\left[\left(3\sdot7\right)+6\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{56}{55\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{56}{275}\\&\scriptstyle=\frac{2}{11}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה בשבעה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בשנים והשיא מה שעל ראשם יתקבץ לך מזה חמישה וחמישים והכם בחמשה אשר הם הסכום בשטה העליונה יהיו חמשה ושבעים ומאתים והוא הסכום אחר כן הכה הארבעה אשר על החמשה בשטה העליונה יהיו במעמדות השברים בשטה התחתונה הכם תחלה בשנים ומה שהתקבץ הכהו בשבעה יהיו ששה וחמישים וקרא להם שם מן הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש והוא שני חלקים מאחד עשר וחומש החלק מאחד עשר וחמישית חמישית החלק מאחד עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1\ \ 2}{5\ 5\ 11}}}
א א ב
ה ה אא

Division of Fraction by Integer and Two Different Fractions

 שער חלוקת השבר על השלם ושני השברים המתחלפים
\scriptstyle\frac{6}{13}\div\left(4+\frac{1}{3}+\frac{6}{11}\right) כשיאמר לך חלק ששה חלקים משלשה עשר על ארבעה ושליש וששה חלקים מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{13}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{11}\frac{1}{3}4}}
ו
גא
ו א ד
אא ג
\begin{align}\scriptstyle\frac{6}{13}\div\left(4+\frac{1}{3}+\frac{6}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{6\sdot3\sdot11}{\left[\left(4\sdot3\sdot11\right)+\left(1\sdot11\right)+\left(6\sdot3\right)\right]\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{198}{161\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{198}{2093}\\&\scriptstyle=\frac{2}{23}+\left(\frac{2}{13}\sdot\frac{1}{23}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{23}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בה כמו שעשית בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים והוא שתכה הארבעה בשלשה ומה שהתקבץ באחד עשר אחר כן הכה מה שעל השלשה באחד עשר ומה שעל האחד עשר בשלשה וקבץ ההכאות השלשה יהיו אחד ושישים ומאה והכם בשלשה עשר אשר הם מעמד השבר בשטה העליונה יהיה זה שלשה ותשעים ושני אלפים והוא הסכום אחר כן תקח הששה אשר על השלשה עשר בשטה העליונה ותכם במעמד השבר בשטה התחתונה כלה יתקבץ לך מזה שמונה ותשעים ומאה וקרא להם שם מן הסכום והוא שני חלקים מאחד עשר ושתי עשיריות ושני חלקים משלשה עשר בחלק משלשה ועשרים ושתי שביעיות החלק משלשה עשר בחלק משלשה ועשרי' ושתי שביעיות החלק משלשה עשר בחלק משלשה ועשרים והוא היוצא מן החלוקה

Division of Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction

 שער חלוקת השבר ושבר השבר על השלם והשבר
\scriptstyle\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\left(3+\frac{1}{2}\right) כשיאמר לך חלק שבע שמיניות ושליש שמינית על שלשה וחצי
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 7}{3\ 8}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}3}}
א ז
ג ח
א ג
ב
\scriptstyle\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\left(3+\frac{1}{2}\right)=\frac{\left[\left(7\sdot3\right)+1\right]\sdot2}{\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\sdot8\sdot3}=\frac{22\sdot2}{7\sdot8\sdot3}=\frac{44}{168}=\frac{2}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה אשר הם השלם בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו שבעה הכם בסכום הקו העליון יהיה זה שמונה ושישים ומאה והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה השבעה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיו שנים ועשרים והכם בסכום הקו התחתון אשר הוא שנים יהיו ארבעה וארבעים וקרא להם שם מן הסכום יצא בחלוקה שתי שמניות ושני שלישי שביעית השמינית והוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\left(3+\frac{1}{2}\right)=\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot\frac{2}{7}=\frac{2}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right) ואם תרצה קרא שם אחר משלשה וחצי תמצא שבעים והכה שבעים בשבע שמיניות ושליש יצא לך שתי שמיניות ושני שלישי שביעית השמינית

Division of Integer by Integer and Fraction

 שער חלוקת השלם על השלם והשבר והוא משער קריאת השם
\scriptstyle2\div\left(5+\frac{1}{2}\right) כשיאמר לך חלק שנים על חמשה וחצי
הוריד השנים בשטה והוריד החמשה וחצי בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}5}}
ב
א ה
ב
\scriptstyle2\div\left(5+\frac{1}{2}\right)=\frac{2\sdot2}{\left(5\sdot2\right)+1}=\frac{4}{11} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה החמשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו אחד עשר והוא הסכום אחר כן הכה השנים אשר בשטה העליונה בשנים אשר הם מעמד השבר בשטה התחתונה ומה שהתקבץ תקרא לו שם מן הסכום יצא ארבעה חלקים מאחד עשר והוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle2\div\left(5+\frac{1}{2}\right)=2\sdot\frac{2}{11}=\frac{4}{11} ואם תרצה תקרא שם אחר מחמשה וחצי תמצאהו שני חלקים מאחד עשר והכה חלק מאחד עשר בשנים ומה שיצא הנה הוא המבוקש


Division of Integer and Fraction by Integer and Fraction

 שער בחלוקת השלם והשבר על השלם והשבר והוא משער קריאת השם
\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\div\left(8+\frac{1}{3}\right) כשיאמר לך חלק ששה ורביעית על שמונה ושליש
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}6}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}8}}
א ו
ד
א ח
ג


\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\div\left(8+\frac{1}{3}\right)=\frac{\left[\left(6\sdot4\right)+1\right]\sdot3}{\left[\left(8\sdot3\right)+1\right]\sdot4}=\frac{25\sdot3}{25\sdot4}=\frac{75}{100}=\frac{3}{4} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השמונה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיו חמשה ועשרים והכם בסכום השטה העליונה והוא ארבעה יהיו מאה והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה הששה בארבעה והשיא מה שעל ראשם יהיו חמשה ועשרים והכם בסכום הקו התחתון אשר הוא שלשה יהיו חמשה ושבעים וקרא להם שם מן הסכום אשר הוא מאה יצא שלשה רביעיות
ואלו השעורים הקודמים מן החלוקה אמנם הם כלם קריאת שם וישוה עליו כשיאמר חלק או קרא שם מכך ומכך כשיהיה הנחלק פחות מן הנחלק עליו

Division of Fraction by Fraction

 שער חלוקת השבר על שבר משער קריאת השם
\scriptstyle\frac{1}{3}\div\frac{3}{4} כשיאמר לך: חלק שליש על שלשה רביעים
הוריד שליש בשטה והוריד השלשה רביעים בשטה אחרת תחתיה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}
א
ג
ג
ד
\scriptstyle\frac{1}{3}\div\frac{3}{4}=\frac{1\sdot4}{3\sdot3}=\frac{4}{9} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה אשר על הארבע' בסכום הקו העליון והוא שלשה יהיו תשעה ושמרם והוא הסכום אחר כן תקח האחד אשר הוא מעמד השבר בשטה העליונה והכהו בארבעה אשר הם מעמד השבר בשטה התחתונה יהיה זה ארבעה וקרא להם שם מן הסכום יצא ארבע תשיעיות והוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle\frac{2}{3}\div\frac{3}{4} וכן אילו אמר: שני שליש משלשה רביעים
\scriptstyle\frac{2}{3}\div\frac{3}{4}=\frac{2\sdot4}{3\sdot3}=\frac{8}{9} הנה יהיה המעשה כמו שספרנו ויהיה היוצא מקריאת השם ארבעה תשיעיות
\scriptstyle\frac{3}{5}\div\frac{7}{9} ואם אמר חלק שלשה חומשים על שבע תשיעיות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}}}
ג
ה
ז
ט
\scriptstyle\frac{3}{5}\div\frac{7}{9}=\frac{3\sdot9}{7\sdot5}=\frac{27}{35}=\frac{5}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השבעה בחמשה אשר הם סכום הקו העליון יהיו חמשה ושלשים והוא הסכום אחר כן הכה השלשה אשר על החמשה בקריאת השם אשר הם סכום השטה התחתונה יהיו שבעה ועשרים וקרא להם שם מן הסכום יצא חמש שביעיות ושתי חמישיות שביעית
\scriptstyle\frac{2}{13}\div\frac{9}{10} ואלו אמר לך: חלק שני חלקים משלשה עשר על תשע עשיריות
הורידם על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{13}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}
ב
גא
ט
‫0א
\scriptstyle\frac{2}{13}\div\frac{9}{10}=\frac{2\sdot10}{9\sdot13}=\frac{2}{13}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{13}\right) אחר כן הכה התשעה בשלשה עשר יהיה הסכום אחר כן הכה השנים בעשרה וחלקהו על הסכום יצא לך שני חלקים משלשה עשר ושתי תשיעיות חלק משלשה עשר
\scriptstyle\frac{5}{11}\div\frac{9}{17} ואם אמר חלק חמשה חלקים מאחד עשר על תשעה חלקים משבעה עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{17}}}
ה
אא
ט
זא
\scriptstyle\frac{5}{11}\div\frac{9}{17}=\frac{5\sdot17}{9\sdot11}=\frac{9}{11}+\left(\frac{4}{9}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה התשעה באחד עשר יהיה זה הסכום אחר כן הכה החמשה בשבעה עשר חלק על הסכום ומה שיצא הנה הוא מה שרצית והוא תשעה חלקים מאחד עשר וארבעה תשיעיות החלק מאחד עשר

Division of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction

 שער חלוקת השבר ושבר השבר על השבר משער קריאת השם
\scriptstyle\left[\frac{2}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\frac{9}{10} כשיאמר לך חלק שתי שמיניות וחצי שמינית על תשע עשרות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 2}{2\ 8}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}
א ב
ב ח
ט
‫0א
\scriptstyle\left[\frac{2}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\frac{9}{10}=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]\sdot10}{9\sdot8\sdot2}=\frac{5\sdot10}{144}=\frac{50}{144}=\frac{3}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה התשעה אשר על העשרה בסכום השטה העליונה יתקבץ מזה ארבעה וארבעים ומאה והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה השנים אשר על השמונה בשנים אשר הם המעמד והשיא מה שעל ראשם יהיו חמשה והכם בעשרה אשר הם סכום השטה התחתונה יהיו חמישים וקרא להם שם מן הסכום יצא שלשה שביעיות ושמינית תשיעית

Division of Two Different Fractions by Fraction

 שער חלוקת שני השברים על שני השברים משער קריאת השם
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right)\div\frac{10}{11} חלק שליש ושביעית על עשרה חלקים מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\frac{1}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}
א א
ז ג
‫0א
אא
\scriptstyle\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{7}\right)\div\frac{10}{11}=\frac{\left[\left(1\sdot7\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot11}{10\sdot3\sdot7}=\frac{10\sdot11}{210}=\frac{5}{10}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{10}\right)=\frac{3}{7}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה העשרה בסכום השטה העליונה יהיו עשרה ומאתים והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שתעשה בהכאת שני השברים יתקבץ לך עשרה והכם באחד עשר וקרא שם למה שיצא מן הסכום יצא חמש עשיריות ושביעית עשירית ושני שלישי שביעית עשירית
ואם תרצה שלשה שביעיות ושליש שביעית

Division of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר על השבר ושבר השבר משער קריאת השם
\scriptstyle\frac{2}{3}\div\left[\frac{9}{10}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right] חלק שני שלישים על תשע עשרות וחמש שמיניות העשירית
הורידם על הצורה הזאת‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\ 9}{8\ 10}}}
ב
ג
ה ט
ח ‫0א
\scriptstyle\frac{2}{3}\div\left[\frac{9}{10}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]=\frac{2\sdot10\sdot8}{\left[\left(9\sdot8\right)+5\right]\sdot3}=\frac{160}{77\sdot3}=\frac{160}{231}=\frac{7}{11}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה ותעשה בה כמו שקדם בשבר ושבר השבר יתקבץ בה שבעה ושבעים והכם בשלשה אשר הם הסכום בשטה העליונה יהיו אחד ושלשים ומאתים והוא הסכום אחר כן הכה השנים אשר בשטה העליונה על השלשה בסכום השטה התחתונה יהיו שישים ומאה וקרא להם שם מן הסכום יצא שבעה חלקים מאחד עשר וארבע שביעיות החלק מאחד עשר ושליש שביעית החלק מאחד עשר

Division of Fraction by Two Different Fractions

 שער חלוקת השבר על שני השברים משער קריאת השם
\scriptstyle\frac{7}{9}\div\left(\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right) חלק שבע תשיעיות על שלשה רביעיות ושבע שמיניות
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\frac{3}{4}}}
ז
ט
ז ג
ח ד
\scriptstyle\frac{7}{9}\div\left(\frac{3}{4}+\frac{7}{8}\right)=\frac{7\sdot4\sdot8}{\left[\left(3\sdot8\right)+\left(7\sdot4\right)\right]\sdot9}=\frac{224}{52\sdot9}=\frac{224}{468}=\frac{6}{13}+\left(\frac{2}{9}\sdot\frac{1}{13}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בו כמו שעשית בשני השברים המתחלפים יתקבץ לך שנים וחמישים והכם בסכום השטה העליונה והוא תשעה יהיה זה שמונה ושישים וארבע מאות והוא הסכום אחר כן הכה השבעה אשר על התשעה בשטה העליונה בסכו' השטה התחתונה והם שמונה יהיו ארבעה ועשרים ומאתים וקרא להם שם מן הסכום יצא ששה חלקים מאחד עשר ושתי תשיעיות חלק משלשה עשר

Division of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר ושבר השבר על השבר ושבר השבר משער קריאת השם
\scriptstyle\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right] חלק ארבע תשיעיות וחצי תשיעית על שבע שמיניות ושליש שמינית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 4}{2\ 9}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 7}{3\ 8}}}
א ד
ב ט
א ז
ג ח
\scriptstyle\left[\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=\frac{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot8\sdot3}{\left[\left(7\sdot3\right)+1\right]\sdot9\sdot2}=\frac{216}{396}=\frac{6}{11} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בה כמו שתעשה בשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה ששה ותשעי' ושלש מאות והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה ששה עשר ומאתים וקרא להם שם מן הסכום יהיה ששה חלקים מאחד עשר

Division of Two Different Fractions by Two Different Fractions

 שער חלוקת שני השברים המתחלפים על שני השברים המתחלפים משער קריאת השם
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\div\left(\frac{9}{10}+\frac{10}{11}\right) חלק שני שלישים ושלשה חומשים על תשע עשיריות ועשרה חלקים מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\frac{2}{3}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}\frac{9}{10}}}
ג ב
ה ג
‫0א ט
אא ‫0א
\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{5}\right)\div\left(\frac{9}{10}+\frac{10}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot5\right)+\left(3\sdot3\right)\right]\sdot10\sdot11}{\left[\left(9\sdot11\right)+\left(10\sdot10\right)\right]\sdot3\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{2090}{199\sdot3\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{2090}{2985}\\&\scriptstyle=\frac{139}{199}+\left(\frac{1}{199}\sdot\frac{1}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{199}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בה כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים בשער ההכאה יהיה זה תשעה ותשעים ומאה והכם בסכום השטה העליונה יהיה זה חמשה ושמונים ותשע מאות ושני אלפים והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה ותמשיך בה מעשה שני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה תשעים ושני אלפים וקרא להם שם מן הסכום יהיה זה תשעה ושלשים ומאה חלק מתשעה ותשעים ומאה וחומש ושני שלישי חומש וזה צורתו‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 1}{3\ 5}\frac{139}{199}}}
ב א טגא
ג ה טטא

Division of Fraction of Fraction by Integer

 שער חלוקת שבר השבר על השלם משער קריאת השם
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\div7 חלק שני שלישי חומש על שבעה
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 0}{3\ 5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{7}}
‫0 ב
ה ג
 ז
\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\div7=\frac{2}{7\sdot3\sdot5}=\frac{2}{105}=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7} אחר כן הכה השבעה בסכום הקו העליון ומה שהתקבץ הנה הוא הסכום והוא חמשה ומאה אחר כן קרא שם השנים אשר על קו השטה העליונה תמצא זה שני שלישי חומש שביעית

Division of Fraction of Fraction by Integer and Fraction

 שער חלוקת שבר השבר על השלם והשבר משער קריאת השם
\scriptstyle\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\div\left(3+\frac{1}{2}\right) כשיאמר לך: חלק שבעה שמיניות תשיעית על שלשה וחצי
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\ 0}{8\ 9}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}3}}
ז 0
ח ט
א ג
ב
\scriptstyle\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\div\left(3+\frac{1}{2}\right)=\frac{7\sdot2}{\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\sdot8\sdot9}=\frac{14}{7\sdot8\sdot9}=\frac{14}{504}=\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{9} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו שבעה והכם בסכום הקו העליון יהיה זה ארבעה וחמש מאות והוא הסכום אחר כן הכה השבעה אשר על הקו העליון בשנים מעמד השבר בקו התחתון יהיה זה ארבעה עשר וקרא להם שם מן הסכום יצא שני שמיניות תשיעית

Division of Fraction of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת שבר השבר על השלם והשבר ושבר השבר
\scriptstyle\left(\frac{9}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)\div\left[6+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right] כשיאמר לך חלק תשע עשיריות חלק משלשה עשר על ששה ושלש שמיניות ושליש שמינית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\ 0}{10\ 13}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{3\ 8}6}}
ט 0
‫0א גא
א ג ו
ג ח
\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{9}{10}\sdot\frac{1}{13}\right)\div\left[6+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{9\sdot8\sdot3}{\left[\left[\left[\left(6\sdot8\right)+3\right]\sdot3\right]+1\right]\sdot10\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{216}{154\sdot10\sdot13}\\&\scriptstyle=\frac{216}{20020}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{5}{10}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{13}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ותמשיך בה מעשה הכאת השלם והשבר ושבר השבר יתקבץ בו ארבעה וחמשים ומאה והכם בסכום הקו העליון יהיה זה עשרים ועשרים אלף והוא הסכום אחר כן הכה התשעה אשר על הקו העליון בסכום הקו התחתון יהיו ששה עשר ומאתים וקרא שמם מן הסכום יצא חלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר וחמש עשיריות ושלש שביעיות עשירית חלק מאחד עשר בחלק משלשה עשר

Division of Fraction of Fraction by Integer and Two Different Fractions

 שער חלוקת שבר השבר על השלם ושני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\div\left(1+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}\right) כשיאמר לך חלק שלשה חומשי השביעית על אחד וחמשה שתותים ושני שלישים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{5\ 7}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\frac{5}{6}1}}
ג 0
ה ז
ב ה א
ג ו
\scriptstyle\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)\div\left(1+\frac{5}{6}+\frac{2}{3}\right)=\frac{3\sdot6\sdot3}{\left[\left(1\sdot6\sdot3\right)+\left(5\sdot3\right)+\left(2\sdot6\right)\right]\sdot5\sdot7}=\frac{54}{1575}=\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שתעשה בשלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה הכל חמשה ושבעים וחמש מאות ואלף והוא הסכום אחר כן הכה השלשה אשר על הקו העליון בסכום השטה התחתונה יהיו ארבעה וחמישים וקרא שמם מן הסכום יצא שתי שביעיות תשיעית וארבעה חומשי חמישית שביעית תשיעית

Division of Fraction of Fraction by Fraction

 שער חלוקת שבר השבר על השבר
\scriptstyle\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\div\frac{3}{5} חלק חמש תשיעיות העשירית על שלשה חומשים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\ 0}{9\ 10}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}
ה 0
ט ‫0א
ג
ה


\scriptstyle\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)\div\frac{3}{5}=\frac{5\sdot5}{3\sdot9\sdot10}=\frac{25}{270}=\left(\frac{8}{9}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן הכה השלשה אשר על הקו התחתון בסכום השטה העליונה יהיה זה שבעים ומאתים והוא הסכום אחר כן הכה החמשה אשר על הקו העליון בסכום הקו התחתון והוא חמשה יהיו חמשה ועשרים וקרא שמם מן הסכום יהיו שמונה תשיעיות העשירית ושליש תשיעית העשירית

Division of Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת שבר השבר על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\div\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right] כשיאמר לך: חלק שלש רביעיות חמישית על שלשה שתותים וחצי שתות
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{4\ 5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{2\ 6}}}
ג 0
ד ה
א ג
ב ו
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\div\left[\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{3\sdot6\sdot2}{\left[\left(3\sdot2\right)+1\right]\sdot4\sdot5}=\frac{36}{140}=\frac{2}{10}+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה מאה וארבעים והוא הסכום אחר כן הכה השלשה אשר על הקו העליון במעמדי השטה התחתונה והם שנים וששה יהיו ששה ושלשים וקרא שמם מן הסכום יצא שתי עשיריות וארבעה שביעיות העשירית

Division of Fraction of Fraction by Two Different Fractions

 שער חלוקת שבר השבר על שני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\div\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{5}\right) חלק חצי שביעית על שלש רביעיות ושלשה חומשים
הורידם בשתי שטות על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0}{2\ 7}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\frac{3}{4}}}
א 0
ב ז
ג ג
ה ד
\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\div\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{5}\right)=\frac{1\sdot4\sdot5}{\left[\left(3\sdot5\right)+\left(3\sdot4\right)\right]\sdot2\sdot7}=\frac{1\sdot4\sdot5}{27\sdot2\sdot7}=\frac{1\sdot4\sdot5}{378}=\left(\frac{3}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים בשער ההכאה יהיו שבעה ועשרים והכם בסכום השטה העליונה יהיה זה שמונה ושבעים ושלש מאות והוא הסכום אחר כן הכה האחד אשר על הקו העליון בסכום השטה התחתונה ותקרא שם מה שהתקבץ מן הסכום יצא שלשה שביעיות התשיעית ושתות שביעית התשיעית

Division of the larger by the smaller
ובמה שהקדמנו מחלוקת המעט על הרב אשר הוא קריאת השם מהשבור יקח ראיה בו על כל מה שיבוא מן הדומה לו ושוה ומזה שיאמר באלו השאלות הקודמות חלק או קרא שם כל זה שבר בהם והשער הזה יקראוהו בעלי החשבון שער קריאת שם השברים
וימשך אחר השער הזה חלוקת הרב על המעט והוא שער חלוקת השברים ג"כ אצל בעלי החשבון ונביא בו השאלות לפי מה שהבאנו בשער הקודם
א' חלוקת השבר על השלם
ב' חלוקת השבר ושבר השבר על השלם
ג' חלוקת שני השברים המתחלפים על השלם
ד' חלוקת השבר על השלם והשבר
ה' חלוקת השבר על השלם ושני השברים המתחלפים
ו' חלוקת השבר ושבר השבר על השלם והשבר
ז' בחלוקת השלם על השלם והשבר
ח' בחלוקת השלם והשבר על השלם והשבר
ט' בחלוקת השבר על שני השברים מתחלפים
י' בחלוקת השבר ושבר השבר על השבר
י"א בחלוקת שני השברים על שני השברים
י"ב בחלוקת השבר על השבר ושבר השבר
י"ג בחלוקת השבר על שני השברים
י"ד בחלוקת השבר ושבר השבר על השבר ושבר השבר
ט"ו בחלוקת שני השברים המתחלפים על שני השברים המתחלפים
י"ו בחלוקת שבר השבר על השלם
י"ז בחלוקת שבר השבר על השלם והשבר
י"ח בחלוקת שבר השבר על השלם והשבר ושבר השבר
י"ט בחלוקת שבר השבר על השלם ושני השברים המתחלפים
כ' בחלוקת שבר השבר על השבר
כ"א בחלוקת שבר השבר על השבר ושבר השבר
כ"ב בחלוקת שבר השבר על שני השברים המתחלפים
שער חלוקת הרב על המעט
דע כי השער הזה כל מעשיו שוים לכל מעשי הקודם והוא שתתחיל ראשונה בשטה התחתונה ותמשיך בה המעשה כמו שקדם בשער הקודם ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה המקובץ הסכום אשר עליו החלוקה עוד תעשה ג"כ בשטה העליונה כמו שקדם בשערו ובשער ההכאה ומה שהתקבץ תכהו בסכום השטה התחתונה ומה שהתקבץ תחלקהו על הסכום ומה שיצא הוא המבוקש וזה המעשה כולל במה שיבוא אחר זה בע"ה


Division of Integer by Fraction

 שער חלוקת השלם על השבר
\scriptstyle10\div\frac{1}{5} כשיאמר לך חלק עשרה על חומש
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}
‫0א
א
ה
\scriptstyle10\div\frac{1}{5}=\frac{10\sdot5}{1}=50 אחר כן הכה העשרה בחמשה וחלקהו על האחד יצא חמשים והוא היוצא מן החלוקה
ועניין זאת השאלה כי כאשר התחייב לחומש אחד עשרה יתחייב לאחד השלם אם כן חמשים והמבוקש בחלוקה תמיד אמנם הוא מה שראוי לאחד
וזה השער ג"כ יחלק לשני חלקים: אם שיהיה חלוקת השלם על חלק וחלקים רבים
ואם היתה חלוקתו על חלק אחד הכה השלם במעמד אותו החלק ומה שיצא הנה הוא היוצא מן החלוקה והוא הראוי לאחד
ואם היתה החלוקה על חלקים הכה השלם במעמדות החלק ההוא וחלק מה שהתקבץ על מספר החלקים ומה שיצא הנה הוא הראוי לאחד
ואם אמר חלק ששה על תשעה הכה ששה בתשעה יהיו ארבעה וחמשים והוא היוצא מן החלוקה
וכן אלו אמר חלק עשרים על עשרה הכה העשרי' בעשרה יהיו מאתים והוא היוצא מן החלוקה
ואולם חלוקת השלם על החלקים
\scriptstyle6\div\frac{2}{3} הנה דמיונו חלק ששה על שני שלישים
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{6}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}
ו
ב
ג
\scriptstyle6\div\frac{2}{3}=\frac{6\sdot3}{2}=9 אחר כן הכה הששה בשלשה וחלקהו על השנים יצא תשעה
\scriptstyle9\div\frac{3}{8} ואלו אמר חלק תשעה על שלש שמיניות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{9}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}
ט
ג
ח
\scriptstyle9\div\frac{3}{8}=\frac{9\sdot8}{3}=24 אחר כן הכה התשעה בשמנה וחלקם על השלשה יצא ארבעה ועשרים
\scriptstyle15\div\frac{10}{11} ואלו אמר חלק חמשה עשר על עשרה חלקים מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{15}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{11}}}
הא
‫0א
אא
\scriptstyle15\div\frac{10}{11}=\frac{15\sdot11}{10}=16+\frac{1}{2} אחר כן הכה החמשה עשר באחד עשר וחלק מה שיצא על העשרה יהיה זה ששה עשר וחצי
הנה הוצאת הסכום אשר יחלק עליו בכל זה המין אמנם הוא שתקח החלקים אשר על הקו התחתון ותקחם סכום ותעשה כמו שקדם והבין ותמצא בע"ה


Division of Integer by Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם על שבר השבר
דע כי כל המעשה בזה השער והשער אשר קדם מעשה אחד והוא יחלק לשני חלקים‫:
אם שיהיה השבר הנחלק עליו חלק אחד
ואם היה חלק אחד הכה המספר הנחלק במעמד השבר והוא היוצא מן החלוקה
ואם היה השבר הנחלק עליו חלקים הנה אתה תכה המספר הנחלק במעמדי השבר ההוא ותחלק מה שהתקבץ על מספר החלקים ומה שיצא הנה הוא המבוקש
\scriptstyle10\div\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right) ודמיון זה בחלוקה על חלק אחד: חלק עשרה על שליש חומש
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 0}{3\ 5}}}
‫0א
א 0
ג ה
\scriptstyle10\div\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{10\sdot3\sdot5}{1}=\frac{150}{1}=150 אחר כן הכה העשרה בסכום השטה התחתונה ומה שיצא הנה הוא היוצא מן החלוקה והבין זה והוא חמשים ומאה ויהיה עקר המעשה שתחלק המאה וחמשים על האחד אשר על השלשה אבל החלוקה על אחד לא יכפול כמו שההכאה באחד לא יכפול הפלנו אנחנו מלת החלוקה על אחד וגם כן הנה המבוקש בחלוקה אמנם הוא מה שראוי לאחד ולרבים ונחלק עליהם המספר וכאשר נחלק מספר על אחד ינתן אותו המספר כלו לאחד ולא נצטרך לחלק ההכאה וההכאה בו
ואולם החלוקה על החלקים מזה השער
\scriptstyle9\div\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\right) הנה דמיונו: חלק תשעה על שני שלישי שמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{9}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 0}{3\ 8}}}
ט
ב 0
ג ח
\scriptstyle9\div\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{9\sdot3\sdot8}{2}=108 אחר כן הכה התשעה בסכום השטה התחתונה ומה שהתקבץ חלקהו על הסכום והוא השנים אשר הם שני השלישים יצא שמנה ומאה
\scriptstyle19\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) ואלו אמר חלק תשעה עשר על שלשה רביעי חומש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{19}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{4\ 5}}}
טא
ג 0
ד ה
\scriptstyle19\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{19\sdot4\sdot5}{3}=126+\frac{2}{3} אחר כן הכה התשעה עשר בסכום השטה התחתונה וחלק מה שהתקבץ על השלשה אשר הם הרביעיות יצא מאה וששה ועשרים ושני שלישים והבין


Division of Integer by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם על השבר ושבר השבר
\scriptstyle4\div\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right] חלק ארבעה על שלשה חומשים ושליש חומש
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{4}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{3\ 5}}}
ד
א ג
ג ה
\scriptstyle4\div\left[\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{4\sdot5\sdot3}{\left(3\sdot3\right)+1}=\frac{60}{10}=6 אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בה כמו שתעשה בשער הכאת השבר ושבר השבר והוא שתכה השלשה אשר על החמשה בשלשה אשר הם מעמד השליש והשיא מה שעל ראשם והוא אחד יהיה כל זה עשרה והוא הסכום אחר כן הכה הארבעה הנחלקים במעמדי השברים יהיו ששים וחלקם על הסכום יצא ששה והוא היוצא מן החלוקה
\scriptstyle5\div\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right] ואם תחלק חמשה על עשרה חלקים מאחד עשר וחצי חלק מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 10}{2\ 11}}}
ה
א ‫0א
ב אא
\scriptstyle5\div\left[\frac{10}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]=\frac{5\sdot11\sdot2}{\left(10\sdot2\right)+1}=\frac{5\sdot11\sdot2}{21}=5+\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה העשרה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו אחד ועשרים והוא הסכום אחר כן הכה החמשה באחד עשר ובשנים ותחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא חמשה ושביעית ושני שלישי שביעית


Division of Integer by Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם על שני השברים המתחלפים
\scriptstyle8\div\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right) חלק שמנה על שליש ושלשה רביעים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{8}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\frac{1}{3}}}
ח
ג א
ד ג
\scriptstyle8\div\left(\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=\frac{8\sdot3\sdot4}{\left(1\sdot4\right)+\left(3\sdot3\right)}=\frac{8\sdot3\sdot4}{13}=7+\frac{5}{13} אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים יתקבץ בו שלשה עשר והוא הסכום אחר כן הכה השמנה בסכום השטה התחתונה ותחלקהו על הסכום יצא שבעה וחמשה חלקים משלשה עשר
\scriptstyle10\div\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{8}\right) ואם אמר חלק עשרה על שלשה חומשים ושלש שמניות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\frac{3}{5}}}
‫0א
ג ג
ח ה
\scriptstyle10\div\left(\frac{3}{5}+\frac{3}{8}\right)=\frac{10\sdot5\sdot8}{\left(3\sdot8\right)+\left(3\sdot5\right)}=\frac{400}{39}=10+\frac{3}{13}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{13}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בו כמו שקדם בשני השברים המתחלפים יהיו תשעה ושלשים והוא הסכום אחר כן הכה העשרה במעמדי שבר הקו התחתון והכהו בחמשה תחלה ומה שהתקבץ הכהו בשמונה יהיה זה ארבע מאות וחלקם על הסכום יצא עשרה ושלשה חלקים משלשה עשר ושליש חלק משלשה עשר


Division of Integer and Fraction by Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר על השבר
כשתרצה לחלק שלם ושבר על שבר הוריד השאלה בשתי שטות הנחלק בשטה העליונה והנחלק עליו בשטה התחתונה אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשערו בהכאת השלם והשבר ומה שהתקבץ לך בה הכהו בסכום הקו התחתון ואמרנו סכום הקו התחתון אמנם המבוקש בו מעמד השבר אשר בשטה ההיא וכן כל מה שיבוא אחריו וכל מה שקדם לנו מן המעשה אחר כן הכה המספר אשר על מעמד השבר מן הקו התחתון והוא מספר החלקים בסכום השטה העליונה ומה שהתקבץ הנה הוא הסכום וחלק עליו המספר הראשון
\scriptstyle\left(10+\frac{1}{2}\right)\div\frac{5}{6} והמשל בו אלו נאמר לך: חלק עשרה וחצי על חמשה שתותים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}}}
א ‫0א
ב
ה
ו
\scriptstyle\left(10+\frac{1}{2}\right)\div\frac{5}{6}=\frac{\left[\left(10\sdot2\right)+1\right]\sdot6}{5\sdot2}=\frac{21\sdot6}{5\sdot2}=\frac{126}{10}=12+\frac{6}{10} אחר כן הכה החמשה אשר על הקו התחתון בסכום הקו העליון ותעשה בו כמו שקדם בהכאת השלם והשבר והוא שתכה העשרה בשנים ותשיא מה שעל ראשם יהיו אחד ועשרים והכם בסכום הקו התחתון יהיו ששה ועשרים ומאה וחלקם על הסכום אשר הוא עשרה יצא שנים עשר ושש עשיריות
\scriptstyle\left(20+\frac{1}{4}\right)\div\frac{3}{5} ואם אמר: חלק עשרים ורביע על שלשה חומשים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}20}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}
א ‫0ב
ד
ג
ה
\scriptstyle\left(20+\frac{1}{4}\right)\div\frac{3}{5}=\frac{\left[\left(20\sdot4\right)+1\right]\sdot5}{3\sdot4}=\frac{405}{12}=33+\frac{4}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right) והכה השלשה אשר על הקו התחתון בסכום הקו העליון יהיו שנים עשר והוא הסכום אשר יחלק עליו אחר כן חזור אל הקו העליון והכה העשרים בארבעה והשיא מה שעל ראשם והכהו על סכום הקו התחתון יהיה זה חמשה וארבע מאות וחלקם על הסכום יצא שלשה ושלשים וארבעה שתותים וחצי שתות


Division of Integer and Fraction by Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר על שבר השבר
\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}\right)\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right) חלק חמשה ושליש על שלשה רביעי חמישית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{4\ 5}}}
א ה
ג
ג 0
ד ה
\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}\right)\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{\left[\left(5\sdot3\right)+1\right]\sdot4\sdot5}{3\sdot3}=\frac{16\sdot4\sdot5}{9}=\frac{320}{9}=35+\frac{5}{9} אחר כן הכה השלשה אשר על הקו התחתון בשלשה אשר הם סכום הקו העליון יהיו תשעה והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה החמשה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיו ששה עשר והכם בסכום הקו התחתון יהיה כל זה עשרים ושלש מאות וחלקם על הסכום יצא חמשה ושלשים וחמש תשיעיות
\scriptstyle\left(8+\frac{3}{13}\right)\div\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right) ואם אמר: חלק שמונה ושלשה חלקים משלשה עשר על שלשה חומשי שביעית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}8}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{5\ 7}}}
ג ח
גא
ג 0
ה ז
\scriptstyle\left(8+\frac{3}{13}\right)\div\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\left[\left(8\sdot13\right)+3\right]\sdot5\sdot7}{3\sdot13}=\frac{3745}{39}=96+\frac{1}{39} אחר כן הכה השלשה אשר על הקו התחתון בשלשה עשר יהיה זה תשעה ושלשים והוא הסכום אחר כן הכה השמונה בשלשה עשר והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון יהיה זה חמשה וארבעים ושבע מאות ושלשת אלפים וחלקם על הסכום יצא ששה ושתי תשיעיות וחלק מתשע ושלשים


Division of Integer and Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left(6+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right] חלק ששה וחצי על ארבעה חומשים וחצי חומש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}6}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 4}{2\ 5}}}
א ו
ב
א ד
ב ה
\scriptstyle\left(6+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{\left[\left(6\sdot2\right)+1\right]\sdot5\sdot2}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot2}=\frac{130}{9\sdot2}=\frac{130}{18}=7+\frac{2}{9} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ותעשה בה כמו שקדם בהכאת השבר ושבר השבר יהיו תשעה והכם במעמד השבר מן השטה העליונה יהיה זה שמנה עשר והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה ותעשה בו כמו שקדם בהכאת השלם והשבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיו שלשים ומאה וחלקם על הסכום יצא שבעה ושתי תשיעיות

Division of Integer and Fraction by Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם והשבר על שני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left(10+\frac{1}{3}\right)\div\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{6}\right) חלק עשרה ושליש על שני חומשים ושתות
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\frac{2}{5}}}
א ‫0א
ג
א ב
ו ה
\scriptstyle\left(10+\frac{1}{3}\right)\div\left(\frac{2}{5}+\frac{1}{6}\right)=\frac{\left[\left(10\sdot3\right)+1\right]\sdot5\sdot6}{\left[\left(2\sdot6\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot3}=\frac{930}{17\sdot3}=\frac{930}{51}=18+\frac{4}{17} אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשני השברי' המתחלפים יהיה המקובץ בו שבעה עשר והכם במעמד השליש מן הקו העליון יהיה אחד וחמשים והוא הסכום אחר כן הכה העשרה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיה זה שלשי' ותשע מאות וחלקם על הסכום יצא שמנה עשר וארבעה חלקי' משבעה עשר

Division of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר ושבר השבר על השבר
\scriptstyle\left[4+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\frac{3}{5} חלק ארבעה ושלש שמיניות וחצי שמינית על שלשה חומשים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{2\ 8}4}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}}}
א ג ד
ב ח
ג
ה
\scriptstyle\left[4+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\frac{3}{5}=\frac{\left[\left[\left[\left(4\sdot8\right)+3\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot5}{3\sdot8\sdot2}=\frac{71\sdot5}{48}=\frac{355}{48}=7+\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{8}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה אשר על החמש' בסכום השטה העליונה יהיו שמונה וארבעים והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה ועשה בה כמו שתעשה בהכאת השלם והשבר ושבר השבר והוא שתכה הארבעה בשמונה והשיא מה שעל ראשם והכה המקובץ בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיה זה אחד ושבעים והכם בחמשה אשר הם מעמד השבר בשטה התחתונה יהיה זה חמשה וחמישים ושלש מאות וחלקם על הסכום יצא לך בחלוקה שבעה ושלש שמיניות ושתות שמינית

Division of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר ושבר השבר על שבר השבר
\scriptstyle\left[2+\frac{6}{7}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\div\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{6}\right) חלק שנים ושש שביעיות ושני שלישי שביעית על ארבעה חומשי השתות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 6}{3\ 7}2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\ 0}{5\ 6}}}
ב ו ב
ג ז
ד 0
ה ו
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle\left[2+\frac{6}{7}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\div\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{\left[\left[\left[\left(2\sdot7\right)+6\right]\sdot3\right]+2\right]\sdot5\sdot6}{4\sdot7\sdot3}=\frac{1860}{84}=22+\frac{1}{7} אחר כן קח הארבעה אשר על הקו התחתון והכם בסכום הקו העליון יהיה זה ארבעה ושמנים והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השלם והשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו התחתון יהיה זה ששים ושמונה מאות ואלף וחלקם על הסכום יצא לך שנים ועשרים ושביעית

Division of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם ושבר ושבר השבר על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[9+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\div\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right] כשיאמ' לך חלק תשעה וחמשה שתותים ורביעית שתות על שביעית וחצי שביעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{4\ 6}9}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1}{2\ 7}}}
א ה ט
ד ו
א א
ב ז
\scriptstyle\left[9+\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\div\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=\frac{\left[\left[\left[\left(9\sdot6\right)+5\right]\sdot4\right]+1\right]\sdot7\sdot2}{\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]\sdot6\sdot4}=\frac{3318}{72}=46+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה באחד אשר על השבעה בשנים והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון יהיה זה שנים ושבעים והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בשערו ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה שמנה עשר ושלש מאות ושלשת אלפים וחלקם על הסכום יצא ששה וארבעי' ושש שמיניות התשיעית

Division of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם והשבר ושבר השבר על שני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left[3+\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{11}\right) חלק שלשה ושלש עשיריות וחצי עשירית על שלש רביעיות ושלשה חלקים מאחד עשר
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 3}{2\ 10}3}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{11}\frac{3}{4}}}
א ג ג
ב ‫0א
ג ג
אא ד
\begin{align}\scriptstyle\left[3+\frac{3}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left(\frac{3}{4}+\frac{3}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(3\sdot10\right)+3\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot4\sdot11}{\left[\left(3\sdot11\right)+\left(3\sdot4\right)\right]\sdot10\sdot2}\\&\scriptstyle=\frac{2948}{45\sdot10\sdot2}\\&\scriptstyle=\frac{2948}{900}\\&\scriptstyle=3+\frac{2}{10}+\left(\frac{7}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{5}{9}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align} אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בהכאת שני השברים המתחלפים ויתקבץ בה חמשה וארבעים והכם בסכום הקו העליון יהיו תשע מאות והוא הסכום אחר כן חזור אל הקו העליון והכה השלשה אשר הם השלמים בעשרה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בשנים והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יצא זה שמנה וארבעים ותשע מאות ושני אלפים וחלקם על הסכום יצא שלשה ועשרים ושבע עשיריות העשירית וחמש תשיעיות עשירית העשירית

Division of Integer and Two Different Fractions by Fraction

 שער חלוקת השלם ושני השברים המתחלפים על השבר
\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\div\frac{2}{5} חלק חמשה ושלישית ורביעית על שני חומשים
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\frac{1}{3}5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}
א א ה
ד ג
ב
ה
\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\div\frac{2}{5}=\frac{\left[\left(5\sdot3\sdot4\right)+\left(1\sdot4\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot5}{2\sdot3\sdot4}=\frac{67\sdot5}{24}=\frac{335}{24}=13+\frac{7}{8}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{8}\right) אחר כן הכה השנים אשר על החמשה בשטה התחתונה בסכום השטה העליונה יהיה זה ארבעה ועשרים והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם מהכאת השלם ושני השברים המתחלפים יהיה זה שבעה ושישים והכם בחמשה אשר הם מעמד החומש בשטה התחתונה יהיה זה חמשה ושלשים ושלש מאות וחלקם על הסכום יצא שלשה עשר ושבע שמיניות ושני שלישי השמינית

Division of Integer and Two Different Fractions by Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם ושני השברים על שבר השבר
\scriptstyle\left(2+\frac{3}{5}+\frac{4}{9}\right)\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right) חלק שנים ושלשה חומשים וארבע תשיעיות על שלשה רביעי השמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\frac{3}{5}2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\ 0}{4\ 8}}}
ד ג ב
ט ה
ג 0
ד ח
\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{3}{5}+\frac{4}{9}\right)\div\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot5\sdot9\right)+\left(3\sdot9\right)+\left(4\sdot5\right)\right]\sdot4\sdot8}{3\sdot5\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{4384}{135}\\&\scriptstyle=32+\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align} אחר כן הכה השלשה אשר על השטה התחתונה בסכום השטה העליונה יהיה זה חמשה ושלשים ומאה והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בשערו כלומר הכאת השלם ושני השברים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה ארבעה ושמנים ושלש מאות וארבעת אלפים וחלקם על הסכום יצא שנים ושלשים וארבעה תשיעיות וחמישית תשיעית ושליש חמישית תשיעית

Division of Integer and Two Different Fractions by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם ושני השברים על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left(8+\frac{3}{11}+\frac{5}{7}\right)\div\left[\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right] חלק שמונה משלשה חלקים מאחד עשר וחמשה שביעיות על חמש שמיניות ושליש שמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\frac{3}{11}8}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 5}{3\ 8}}}
ה ג ח
ז אא
א ה
ג ח
\begin{align}\scriptstyle\left(8+\frac{3}{11}+\frac{5}{7}\right)\div\left[\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(8\sdot11\sdot7\right)+\left(3\sdot7\right)+\left(5\sdot11\right)\right]\sdot8\sdot3}{\left[\left(5\sdot3\right)+1\right]\sdot11\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{16608}{16\sdot11\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{16608}{1232}\\&\scriptstyle=13+\frac{5}{11}+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה החמשה אשר על ראש השמונה בשלשה והשיא מה שעל ראשם יהיה ששה עשר והכם בסכום השטה העליונה יהיה זה שנים ושלשים ומאתים ואלף והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכהו כמו שקדם בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה שמונה ושש מאות וששה עשר אלף וחלקם על הסכום יצא שלשה עשר וחמשה חלקים מאחד עשר ושתי שמיניות חלק מאחד עשר ושתי שביעיות שמינית חלק מאחד עשר

Division of Integer and Two Different Fractions by Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם ושני השברים המתחלפים על שני השברי' המתחלפים
\scriptstyle\left(10+\frac{6}{13}+\frac{7}{8}\right)\div\left(\frac{9}{10}+\frac{7}{11}\right) חלק עשרה וששה חלקי' משלשה עשר ושבע שמנייות על תשע עשרייות ושבעה חלקי' מאחד עשר
והורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\frac{6}{13}10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}\frac{9}{10}}}
ז ו ‫0א
ח גא
ז ט
אא ‫0א
\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{6}{13}+\frac{7}{8}\right)\div\left(\frac{9}{10}+\frac{7}{11}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(10\sdot13\sdot8\right)+\left(6\sdot8\right)+\left(7\sdot13\right)\right]\sdot10\sdot11}{\left[\left(9\sdot11\right)+\left(7\sdot10\right)\right]\sdot13\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{129690}{17576}\\&\scriptstyle=7+\frac{4}{13}+\left(\frac{12}{13}\sdot\frac{1}{13}\right)+\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{13}\sdot\frac{1}{13}\right)\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ועשה בו כמו שתעשה בהכאת שני השברים המתחלפי' ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה ששה ושבעי' וחמש מאות ושבעה עשר אלף והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השלם ושני השברים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה תשעים ושש מאות ותשעה ועשרים אלף ומאה אלף וחלקם על הסכום יצא שבעה וארבעה חלקי' משלשה עשר ושנים עשר חלקי' משלשה עשר ושנים עשר חלקים משלשה עשר בחלק משלשה עשר

Division of Integer and Two Different Fractions by Integer and Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם ושני השברים המתחלפים על השלם ושני השברים המתחלפים
\scriptstyle\left(10+\frac{6}{13}+\frac{7}{8}\right)\div\left(9+\frac{9}{10}+\frac{7}{11}\right) כשיאמ' לך חלק עשרה וששה חלקי' משלשה עשר ושבע שמנייות על תשע' ותשע עשרייות ותשעה חלקי' מאחד עשר
והורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\frac{6}{13}10}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{11}\frac{9}{10}9}}
ז ו ‫0א
ח גא
ט ט ט
אא ‫0א
\scriptstyle\left(10+\frac{6}{13}+\frac{7}{8}\right)\div\left(9+\frac{9}{10}+\frac{7}{11}\right)=\frac{\left[\left(10\sdot13\sdot8\right)+\left(6\sdot8\right)+\left(7\sdot13\right)\right]\sdot10\sdot11}{\left[\left(9\sdot10\sdot11\right)+\left(9\sdot11\right)+\left(7\sdot10\right)\right]\sdot13\sdot8}=\frac{129690}{120536} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ותעשה בו כמו שקדם בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה ששה ושלשים וחמש מאות ועשרים אלף ומאה אלף והוא הסכום אחר כן עשה בשטה העליונה כמו שקדם בהכאת השלם ושני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום השטה התחתונה יהיה זה תשעים ושש מאות ותשעה ועשרים אלף ומאה אלף וחלקם על הסכום יצא שבעה וארבעה חלקי' משלשה עשר ושנים עשר חלק משלשה עשר בחלק משלשה עשר ושתי שמניות חלק משלשה עשר בחלק משלשה עשר

Division of Fraction by Fraction

 שער חלוקת השבר על השבר
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{3}{8} חלק שש שביעיות על שלש שמיניות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}}}
ו
ז
ג
ח
\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{3}{8}=\frac{6\sdot8}{3\sdot7}=\frac{48}{21}=2+\frac{2}{7} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השלשה אשר על השמנה בשבעה אשר הם סכום השטה העליונה יהיה אחד ועשרים והוא הסכום אחר כן הכה הששה אשר על הקו העליון בשמונה אשר הם סכום הקו התחתון יהיה זה שמונה וארבעים וחלקם על הסכום יצא שנים ושתי שבעיות


Division of Fraction by Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר על שבר השבר
\scriptstyle\frac{9}{10}\div\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right) חלק תשע עשרות על שני שלישי שביעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\ 0}{3\ 7}}}
ט
‫0א
ב 0
ג ז
\scriptstyle\frac{9}{10}\div\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{9\sdot3\sdot7}{2\sdot10}=\frac{189}{20}=9+\frac{4}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השנים אשר על הקו התחתון בעשרה אשר הם סכום הקו העליון יהיו עשרים והוא הסכום אחר כן הכה התשעה אשר על הקו העליון בסכום הקו התחתון יהיו תשעה ושמונים ומאה וחלקם על הסכום יצא תשעה וארבע עשיריות וחצי עשירית

Division of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\frac{12}{13}\div\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right] חלק שנים עשר חלקים משלש' עשר על שמינית ושליש שמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{13}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1}{3\ 8}}}
בא
גא
א א
ח ג
\scriptstyle\frac{12}{13}\div\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=\frac{12\sdot8\sdot3}{\left[\left(1\sdot3\right)+1\right]\sdot13}=\frac{288}{52}=5+\frac{7}{13} אחר כן עשה בשטה התחתונה כמו שקדם בשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון יהיו שנים וחמישים והוא הסכום אחר כן תקח השנים עשר אשר על הקו העליון יהיה שנים וחמשים והוא הסכום והכם בסכום הקו התחתון יהיו שמונה ושמונים ומאתים וחלקם על הסכום יצא לך חמשה ושבעה חלקים משלשה עשר

Division of Fraction by Two Different Fractions

 שער חלוקת השבר על שני השברים המתחלפים
\scriptstyle\frac{7}{8}\div\left(\frac{2}{9}+\frac{3}{8}\right) חלק שבע שמיניות על שתי תשיעיות ושלש שמיניות
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\frac{2}{9}}}
ז
ח
ג ב
ח ט
\scriptstyle\frac{7}{8}\div\left(\frac{2}{9}+\frac{3}{8}\right)=\frac{7\sdot9\sdot8}{\left[\left(2\sdot8\right)+\left(3\sdot9\right)\right]\sdot8}=\frac{504}{344}=1+\frac{20}{43} אחר כן התחיל בשטה התחתונה ותעשה בה כמו שתעשה בשני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ הכהו בסכום הקו העליון יהיה זה ארבעה וארבעים ושלש מאות והוא הסכום אחר כן הכה השבעה אשר על הקו העליון בסכום השטה התחתונה יהיה זה ארבעה וחמש מאות וחלקם על הסכום יצא אחד שלם ועשרה חלקים משלשה וארבעים

Division of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השבר ושבר השבר על השבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[\frac{9}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\div\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right] חלק תשעה חלקי' מאחד עשר וחצי חלק מאחד עשר על חומש וחצי חומש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 9}{2\ 11}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1}{2\ 5}}}
א ט
ב אא
א א
ב ה
\scriptstyle\left[\frac{9}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]\div\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{\left[\left(9\sdot2\right)+1\right]\sdot5\sdot2}{\left[\left(1\sdot2\right)+1\right]\sdot11\sdot2}=2+\frac{9}{11}+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{11}\right) אחר כן עשה בכל אחד משתי השטות כמו שקדם בשער הכאת השבר ושבר השבר ומה שהתקבץ מן השטה התחתונה הכהו בסכום השט' העליונה יהיה זה הסכום ומה שהתקבץ מן השט' העליונה תכהו בסכום השטה התחתונה וחלקת אותו על הסכום יצא שנים ותשעה חלקים מאחד עשר וארבע' שתותי החלק מאחד עשר

Division of Two Different Fractions by Two Different Fractions

 שער חלוקת שני השברים על שני השברים
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}\right)\div\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right) חלק שלשה רביעים ושמנה תשיעיות על שליש וחומש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{9}\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\frac{1}{3}}}
ח ג
ט ד
א א
ה ג
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}+\frac{8}{9}\right)\div\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)=\frac{\left[\left(3\sdot9\right)+\left(8\sdot4\right)\right]\sdot3\sdot5}{\left[\left(1\sdot5\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot4\sdot9}=3+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right) אחר כן עשה בכל אחד משתי השטות כמו שקדם מהכאת שני השברים המתחלפים ומה שהתקבץ בשטה התחתונה הכהו בסכום השטה העליונה והוא יהיה הסכום ומה שהתקבץ בשטה העליונ' תכהו בסכום השטה העליונה התחתונה ותחלק מה שהתקבץ על הסכום ומה שיצא הנה הוא מה שרצית והוא שלשה וחמש שמינייות התשיעית ורביעית שמינית התשיעית

Division of Integer and Fraction by Integer and Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר על השלם והשבר
\scriptstyle\left(6+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{1}{3}\right) חלק ששה וחצי על שלשה ושליש
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}6}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}3}}
א ו
ב
א ג
ג


\scriptstyle\left(6+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{1}{3}\right)=\frac{\left[\left(6\sdot2\right)+1\right]\sdot3}{\left[\left(3\sdot3\right)+1\right]\sdot2}=\frac{39}{20}=1+\frac{9}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right) אחר כן עשה בכל אחד משתי השתות כמו שקדם בשער הכאת השלם והשבר אחר כן מה שהתקבץ קבץ מן השטה התחתונה הכהו במעמד השבר מן השטה העליונה יהיה עשרים והוא הסכום אחר כן מה שהתקבץ מן השטה העליונ' תכהו המעמד השבר מן השטה התחתונה יהיה תשעה ושלשי' וחלקם על הסכום יצא אחד ותשע עשיריות וחצי עשירית והוא המבוקש

Division of Integer and Fraction and Fraction of Fraction by Integer and Fraction and Fraction of Fraction

 שער חלוקת השלם והשבר ושבר השבר על השלם והשבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[4+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\left[1+\frac{1}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right] חלק ארבעה ושבע שמיניות ושליש שמינית על אחד וחלק מאחד עשר וחצי חלק מאחד עשר
והורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 7}{3\ 8}4}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\ 1}{2\ 11}1}}
ז א ד
ח ג
א  א א
אא ב
\begin{align}\scriptstyle\left[4+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\div\left[1+\frac{1}{11}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left[\left(4\sdot8\right)+7\right]\sdot3\right]+1\right]\sdot11\sdot2}{\left[\left[\left[\left(1\sdot11\right)+1\right]\sdot2\right]+1\right]\sdot8\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{118\sdot11\sdot2}{25\sdot8\sdot3}\\&\scriptstyle=\frac{2596}{600}\\&\scriptstyle=4+\frac{3}{10}+\left(\frac{2}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{4}{6}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align} אחר כן עשה בכל אחד משתי השטות כמו שקדם בהכאת השלם והשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ מן השטה התחתונה והוא חמשה ועשרים תכהו במעמד השבר בשטה העליונה יהיו שש מאות והוא הסכום ומה שהתקבץ בשטה העליונה והוא שמנה ועשרים ומאה תכהו במעמדי השבר מן השטה התחתונה יהיה זה ששה ותשעים וחמש מאות ואלפי' חלקם על הסכום יצא ארבעה ושלש עשיריות ושתי עשיריות עשירית וארבעה שתותי עשירית עשירית העשירית

Division of Integer and Two Different Fractions by Integer and Two Different Fractions

 שער חלוקת השלם ושני השברים על השלם ושני השברים
  • \scriptstyle\left(6+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}\right)\div\left(2+\frac{3}{8}+\frac{5}{13}\right)
 חלק חמשה וחמשה שתותים ושש שביעיות על שנים ושלש שמינייות וחמשה חלקים משלשה עשר
והורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\frac{5}{6}5}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{13}\frac{3}{8}2}}
ו ה ה
ז ו
ה ג ב
גא ח
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(6+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}\right)\div\left(2+\frac{3}{8}+\frac{5}{13}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(6\sdot6\sdot7\right)+\left(5\sdot7\right)+\left(6\sdot6\right)\right]\sdot8\sdot13}{\left[\left(2\sdot8\sdot13\right)+\left(3\sdot13\right)+\left(5\sdot8\right)\right]\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{323\sdot8\sdot13}{287\sdot6\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{33592}{12054}\\&\scriptstyle=2+\frac{32}{41}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{41}\right)+\color{red}{\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{41}\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{41}\right)}\\\end{align}}}
 אחר כן עשה בכל אחד משני השטות כמו שקדם בהכאת השלם ושני השברים ומה שהתקבץ בשטה התחתונה והוא שבעה ושמנים ומאתים הכהו בסכום השטה העליונה יהיה זה ארבעה וחמשים ושנים עשר אלף והוא הסכום עוד מה שתקבץ בשטה העליונה והוא שלשה ועשרים ושלש מאת תכהו במעמדי השברים בשטה התחתונה יהיה זה שנים ותשעים וחמש מאות ושלשה ושלשים אלף וחלקם על הסכום יצא שנים ושלשים חלק מאחד וארבעים ושביע החלק מאחד וארבעים והוא מה שרצית
וכבר הקדמנו מחלוקת השברים מה שבו די למי שהבינו
ותרגיל בו יקיש על מה שיבוא אחריו בע"ה עוד נמשיך אחר המעשה הזה בקצת חלוקת הזרים ונקצר בו בע"ה
  • \scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\div\left(\frac{2}{5}\sdot3\right)
 כשיאמ' לך חלק שלשה רביעי חמשה על שני חומשי שלשה
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{3}{4}}}
\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}}}
ה ג
ד
ג ב
ה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\div\left(\frac{2}{5}\sdot3\right)=\frac{\left(3\sdot5\right)\sdot5}{\left(2\sdot3\right)\sdot4}=\frac{15\sdot5}{6\sdot4}=\frac{75}{24}=3+\frac{1}{8}}}
 אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה השנים אשר על החמשה בשלשה יהיו ששה והכה בארבעה אשר הם מעמ' השבר בשטה העליונה יהיו ארבעה ועשרים והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה השלשה אשר על הארבעה בחמשה יהיו חמשה עשר והכם בסכום הקו התחתון והם חמשה יהיו חמשה ושבעים וחלקם על הסכום יצא שלשה ושמינית
\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)\div\left(\frac{2}{5}\sdot3\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right) ואם תרצה קח מן החמשה שלשה רביעהם והוא שלשה ושלש רביעייות אחר כן תקח מן השלש שני חומשהם והוא אחד וחומש
\scriptstyle\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right] והוא כאילו אמ' חלק שלשה חומשי ששה ורביע על שני שלישי ארבעה וחצי
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}6\frac{3}{5}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}4\frac{2}{3}}}
א ו ג
ד ה
א ד ב
ב ג
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(6\sdot4\right)+1\right]\sdot3\right]\sdot3\sdot2}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot2\right]\sdot5\sdot4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(25\sdot3\right)\sdot3\sdot2}{\left(9\sdot2\right)\sdot5\sdot4}\\&\scriptstyle=\frac{75\sdot3\sdot2}{18\sdot5\sdot4}\\&\scriptstyle=\frac{450}{360}\\&\scriptstyle=1+\frac{1}{4}\\\end{align} אחר כן התחיל בשטה התחתונה והכה הארבעה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו תשעה והכם בשנים אשר על השלשה יהיו שמנה עשר והכם בסכום השטה העליונה יהיו ששים ושלש מאות והוא הסכום אחר כן חזור אל השטה העליונה והכה הששה בארבעה והשיא מה שעל ראשם יהיו חמשה ועשרים והכם בשלשה אשר על החמשה יהיו חמשה ושבעים והכם בסכום השטה התחתונה התחתונה יהיו חמשים וארבע מאות וחלקם על הסכום יצא אחד ורביע
\scriptstyle\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]=\left(3+\frac{3}{4}\right)\div3=1+\frac{1}{4} ואם תרצה תקח שלשה חומשי ששה ורביע והוא שלשה ושלשה רביעיים אחר כן תקח שני שלישי ארבעה וחצי והוא שלשה תחלק שלשה ושלשה רביעיים על שלשה יצא אחד ורביע והוא מה שרצית
ודע כי המעשה בכל השאלות שתעשה בכל שטה מהם כמו שקדם לו מן המעשה בשערו ותכה היוצא מן השטה התחתונה בסכום השטה העליונה יהיה מה שהתקבץ הסכום אחר כן הכה היוצא מן השטה העליונ' בסכום השטה התחתונה ותחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא מה שרצית
שער אחר ממנו
\scriptstyle10\div\left[\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right] חלק עשרה על שבע שמיניות חמשה ושליש אלא שליש שנים ורביע
הנה אופן המעשה בזה שתקח משנים ורביע שלישיתם ומן החמשה ושליש שבע שמיניותיהם ותפיל הפחות מן היתר ומה שנשאר תחלק עליו העשרה ומה שיצא הנה הוא המבוקש
שער אחר ממנו
\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\sdot9\right]\div\frac{3}{10}\right]\div\left[\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)-\left[\left(2+\frac{1}{8}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\right] חלק שלשה רביעי שלשה חומשי תשעה על שלוש עשירית ומה שיצא תחלקהו על שני שלישי שבעה אלא חלוקת שנים ושמינית על שבע שמיניות וחצי שמינית
\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\sdot9\right]\div\frac{3}{10}\right]\div\left[\left(\frac{2}{3}\sdot7\right)-\left[\left(2+\frac{1}{8}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\right]\right]=\\&\scriptstyle=\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left[\frac{3}{10}\sdot\left[\left(4+\frac{2}{3}\right)-\left[2+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left[\frac{3}{10}\sdot\left(2+\frac{2}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left[\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\\end{align} ומעשה בזה שתחלק השנים ושמינית על שבע שמינייות וחצי שמינית יצא שנים וחמש ושליש חומש אחר כן תקח שני שלישי השבעה והוא ארבעה ושני שלישי' ותפיל מהם השנים וחומש ושליש חומש הנשאר שנים ושני חומשים ותכם בשלש עשיריות יהיה זה שבע עשיריות וחמשית עשירית, אחר כן תקח מן התשעה שלשה רביעי שלשה חמשיהם והוא ארבעה וחצי עשירית
\scriptstyle\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\div\left[\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]=5+\frac{5}{8} והוא כאלו אמר חלק ארבעה וחצי עשירית על שבע עשיריות וחומש עשירית ותעשה כמו שקדם יצא חמשה וחמש שמניות ותבין
שער אחר ממנו
\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left(100\div2\right)\div\frac{1}{2}\right]\div4\right]\div\frac{1}{3}\right]\div\frac{3}{4}\right]\div5 ואם אמר חלק מאה על שנים ומה שיצא על ראשם ומה שיצא על ארבעה ומה שיצא על שליש ומה שיצא על שלשה רביעים ומה שיצא על חמשה ודע כמה ראוי לכל אחד מן החמשה
\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left(100\div2\right)\div\frac{1}{2}\right]\div4\right]\div\frac{1}{3}\right]\div\frac{3}{4}\right]\div5&\scriptstyle=100\div\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]\sdot\frac{1}{3}\right]\sdot\frac{3}{4}\right]\sdot5\right]\\&\scriptstyle=100\div\left[\left[\left[\left(1\sdot4\right)\sdot\frac{1}{3}\right]\sdot\frac{3}{4}\right]\sdot5\right]\\&\scriptstyle=100\div\left[\left[\left(4\sdot\frac{1}{3}\right)\sdot\frac{3}{4}\right]\sdot5\right]\\&\scriptstyle=100\div\left[\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\frac{3}{4}\right]\sdot5\right]\\&\scriptstyle=100\div\left(1\sdot5\right)\\&\scriptstyle=100\div5=20\\\end{align} המעשה בזה שתכה השנים בחצי יהיה אחד והכהו בארבעה יהיו ארבעה והכם בשליש יהיה אחד ושליש והכהו בשלשה רביעים יהיה אחד והכהו בחמשה יהיו חמשה וחלק עליהם המאה יצא עשרים והוא מה שרצית

Restoration of Fractions

 שער חיתום השברים
דע כי השער הזה רב התועלת בכל מעשי החשבון כל שכן מי שרצה מעשה החיתום והנכחות ותשמש בו בכל שאלה ממעשיהם זולת המעט
  • \scriptstyle\frac{1}{3}\sdot a=1
 כשאמר לך בכמה תחתים שליש עד שיהיה האחד
הנה זאת השאלה אמנם המבוקש בה באיזה מספר תכה שליש ויהיה היוצא מן ההכאה אחד
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{\frac{1}{3}}=3}}
 הנה המעשה בזאת השאלה שתחלק אחד על שליש יצא שלשה וזה המספר כאשר תכה בו שליש יהיה היוצא אחד
\scriptstyle{\color{blue}{1=\frac{1}{3}\sdot3}}
 וזה המעשה כולל בכל השער הזה מעט ממנו והרב ממנו וכבר ידעת כי אתה כאשר תכה שליש במספר יהיה היוצא שליש אותו המספר הנה האחד אם כן הוא שליש המספר המבוקש והכהו בשלשה יהיו שלשה והוא המספר המבוקש
\scriptstyle{\color{blue}{1=\frac{3}{3}\longrightarrow\frac{1}{3}=\frac{\frac{3}{3}}{3}=3}}
 ואם תרצה תשים האחד שלישים יהיו שלשה שלישים וחלקם על הסכום שלשה יצא לך שלשה
  • \scriptstyle\frac{3}{4}\sdot a=1
 ואם אמר כמה תחתים שלשה רביעים עד שיהיה אחד
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{\frac{3}{4}}=1+\frac{1}{3}}}
 חלק אחד על שלשה רביעים ומה שיצא הנה הוא מה שרצית והוא אחד ושליש
  • \scriptstyle\frac{3}{11}\sdot a=1
 ואם אמר בכמה תחתים שלשה חלקים מאחד עשר עד שיהיו אחד
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{\frac{3}{11}}=3+\frac{2}{3}}}
 חלק אחד על שלשה חלקים מאחד עשר יצא שלשה ושני שלישים והוא מה שרצית
ואלו אמ' באלו השאלות עד שיהיו שנים או שלשה או חמשה תהיה מחלק אותו המספר כמו שחלקת האחד על השבר הנחתם
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot a=4
 והמשל בו אלו אמר: בכמה תחתים שני שלישים עד שיהיו ארבעה
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{4}{\frac{2}{3}}=6}}
 חלק ארבעה על שני שלישים יצא ששה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot6=4}}
 וכאשר תכה שני שלישים בששה יהיו ארבעה כמו שאמר
ואלו אמ' בכמה תחתים אחד וחצי ושני שלישים וחצי או שלשה ושליש עד שיהיו חמשה או ששה או מה שהוא יותר מן המספר המונח
תחלה תחלק המספר על המספר הראשון המונח ומה שיצא תכהו באותו המספר יחתם המספר הראשון
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot a=6
 והמשל בזה אלו אמ': בכמה תחתים שנים וחצי עד שיהיו ששה
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6}{2+\frac{1}{2}}=2+\frac{2}{5}}}
 חלק תחלה הששה על השנים וחצי יצא שנים ושני חומשים ותכם בשנים ושני חומשים תחתים שנים וחצי עד שיהיו ששה
והסבה בזה כי כל מספר יחלק אחד משניהם על השני הכה אשר יצא מן החלוקה באשר הוכה במספר הנחלק עליו שב המספר הנחלק
וכבר באר זה אבו כאמל בספר החיתום והנכוחות
פרק
ודע כי החיתום לא יהיה כי אם מן המעט אל הרב
כמו שתחתים שליש עד שיהיה אחד ורביע וחמשה שתותים וששה שביעיות או עשרה חלקים מאחד עשר
ואפשר באלו השאלות שתאמר עד שיהיה אחד או חצי או שנים או מה שהוא יותר מן השבר המונח
וכן אפשר שתחתים שבר אל שבר כשיהיה השבר השני יותר מן הראשון
  • \scriptstyle\frac{1}{3}\sdot a=\frac{1}{2}
 כמו שתאמר: בכמה תחתים שליש עד שיהיה חצי
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{3}}=1+\frac{1}{2}}}
 הנה זה אפשר ותחלק חצי על שליש כמו שקדם יצא אחד וחצי ותכהו באחד וחצי יחותם שליש עד שיהיה חצי
  • \scriptstyle\frac{2}{5}\sdot a=\frac{5}{10}
 וכן שני חומשים עד שיהיו חמש עשיריות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=\frac{5}{10}}}
 הכם בשנים ורביע
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot a=\frac{1}{2}
 ואלו אמ': בכמה תחתים שני שלישים עד שיהיה חצי
  • \scriptstyle\frac{2}{5}\sdot a=\frac{5}{10}
 וכן שני חומשים עד שיהיו חמש עשיריות
תכם בשנים ורביע
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\sdot a=\frac{1}{2}
 ואלו אמ': בכמה תחתים שני שלישים עד שיהיו חצי
לא יחתים מפני כי השני שלישים יותר מן החצי ולא יחתם הדבר הרב וישוב אל מעט מפני כי החיתום הוא התוספת בדבר עד שיגיע אל הגדר אשר נרצה שיגיעהו אליו ואי אפשר שנוסיף בשני השלישים עד שנשיבם אל החצי

Degrading

 שער בירידה
דע כי הירידה היא הפך החיתום
  • \scriptstyle1\sdot a=\frac{1}{2}
 והמשל בו כשיאמ' לך: בכמה תוריד אחד עד שיחזור חצי
וענין זאת השאלה אי זה מספר תכהו באחד ויהיה חצי
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\frac{1}{2}}{1}=\frac{1}{2}}}
 וכאשר תרצה שתמצא זה המספר תחלק חצי על אחד ומה שיצא תכהו בו ירד האחד וישוב חציו והוא חצי
  • \scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot a=1
 ואלו אמ': בכמה תוריד שנים וחצי עד שיהיה אחד
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2+\frac{1}{2}}=\frac{2}{5}}}
 הנה כאשר תרצה זה תחלק אחד על שנים וחצי ומה שיצא תכהו כן והוא שני חומשים
  • \scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot a=1
 ואלו אמ': בכמה תוריד ששה ורביע עד שיהיה אחד
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{6+\frac{1}{4}}=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}
 חלק אחד על ששה ורביע יצא ארבעה חומשי החומש ותכהו בארבעה חומשי החומש ירד עד שיהיה אחד
  • \scriptstyle\left(8+\frac{1}{2}\right)\sdot a=2+\frac{1}{2}
 ואלו אמ': בכמה תוריד שמנה וחצי עד שיהיו שנים וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{2+\frac{1}{2}}{8+\frac{1}{2}}=\frac{5}{17}}}
 חלק שנים וחצי על שמנה וחצי יצא חמשה חלקים משבעה עשר ותכם בחמשה חלקים משבעה עשר ירדו עד שיהיו שנים וחצי
פרק
ודע כי הירידה לא תהיה אלא מן הרב אל המעט ואי אפשר שתהיה מן המעט אל הרב וזאת השאלה כבר בארתי בשער החיתום

Extracting Roots of Integer and Fraction

 שער הוצאת השורש במספר והשבר
כבר התבאר בתחילת הספר איך יוצא שורש המספר השלם שיש לו שורש ונרצה לבאר בשער הזה הוצאת שורש השברים שיש להם שורש ואשר אין להם שורש
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}
 כשיאמר לך: כמה שורש רביע
הוריד הרביע על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{4}}}
א
ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{4}}=\frac{1}{2}}}
 אחר כן תקח שורש המעמד והוא שנים וקחם סכום אחר כן תקח שורש האחד אשר על הקו והוא אחד ותחלקהו על הסכום יצא לך חצי והוא שורש רביע
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}
 וכאשר הכית חצי בחצי היה רביע
פרק
ודע כי כאשר היה השבר סכום אחד קח שורש מה שתחת הקו הוא הסכום ושורש מה שעל הקו נחלק על הסכום ונבאר אותו שנית
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{1}{9}}
 כשיאמר לך: כמה שורש תשיעית
הוריד התשיעית על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{9}}}
א
ט
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{1}}{\sqrt{9}}=\frac{1}{3}}}
 אחר כן שורש מה שתחת הקו יהיה הסכום והוא שלשה אחר כן תקח שורש האחד וחלקהו על הסכום יצא שליש והוא שורש תשיעית
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}
 ואם אמר: כמה שורש ארבע תשיעיות
הוריד הארבע תשיעיות על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4}{9}}}
ד
ט
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\frac{\sqrt{4}}{\sqrt{9}}=\frac{2}{3}}}
 אחר כן תקח שורש מה שתחת הקו יהיה הסכום והוא שלשה ושרש מה שעל הקו והוא שנים וחלקם על הסכום יצא שני שלישים והוא שורש ארבע תשיעיות

Extracting Roots of Fraction and Fraction of Fraction

 שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{4}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}
 כמה שורש ארבע שמיניות וחצי שמינית
הוריד הארבע שמיניות וחצי שמינית בשטה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4}{2\ 8}}}
א ד
ב ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{\sqrt{\left(4\sdot2\right)+1}}{\sqrt{2\sdot8}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{16}}=\frac{3}{4}}}
 אחר כן הכה השנים אשר הם הסכום בשמנה אשר הם הסכום יהיו ששה עשר ותקח שרשם והם ארבעה והוא הסכום ושמרהו אחר כן חזור והכה הארבעה אשר על השמנה בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו תשעה ותקח שרשם והוא שלשה ותחלקם על הסכום יצא שלשה רביעים והוא מה שרצית
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}
 ואם אמר כמה שורש שש תשיעיות ורביע תשיעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 6}{4\ 9}}}
א ו
ד ט
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}=\frac{\sqrt{\left(6\sdot4\right)+1}}{\sqrt{9\sdot4}}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{36}}=\frac{5}{6}}}
 אחר כן הכה הסכום בסכום יהיו ששה ושלשים ותקח שרשם והוא יהיה הסכום אשר יחלק עליו אחר כן הכה הששה בארבעה והשיא מה שעל ראשם יהיה חמשה ועשרים ותקח שרשם והם חמשה וחלקם על הסכום יצא חמשה שתותים והוא מה שרצית
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}
 ואם אמר: כמה שורש שש שמיניות ושמינית השמינית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 6}{8\ 8}}}
א ו
ח ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{\sqrt{\left(6\sdot8\right)+1}}{\sqrt{8\sdot8}}=\frac{\sqrt{49}}{8}=\frac{7}{8}}}
 אחר כן הכה השמנה בשמנה ותקח שורש מה שיצא והוא שמנה והוא יהיה הסכום אחר כן הכה הששה בשמנה והשיא מה שעל ראשם יהיו תשעה וארבעים וקח שרשם והוא שבעה וחלקם על הסכום יצא שבע שמיניות והוא מה שרצית
ודע כי המעשה באלו השאלות כמו המעשה בהכאת השבר ושבר השבר

Extracting Roots of Fraction and Fraction of Fraction and Fraction of Fraction of Fraction

 שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{7}{9}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}
 כשיאמר לך: כמה שורש שבע תשיעיות וארבע שמיניות התשיעית וחצי שמינית התשיעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4\ 7}{2\ 8\ 9}}}
א ד ז
ב ח ט
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{7}{9}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left[\left[\left(7\sdot8\right)+4\right]\sdot2\right]+1}}{\sqrt{9\sdot8\sdot2}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left(60\sdot2\right)+1}}{\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{121}}{\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\frac{11}{12}\\&\scriptstyle=\frac{5}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align}}}
 אחר כן הכה הסכום אשר תחת הקו אחד מהם בשני ומה שהתקבץ בשלישי יהיה זה ארבעה וארבעים ומאה וקח שרשם והוא שנים עשר והוא הסכום אחר כן חזור והכה השבעה אשר על התשעה בשמנה והשיא מה שעל ראשם יהיו ששים והכם בשנים והשיא מה שעל ראשם יהיו אחד ועשרים ומאה ותקח שרשם והוא אחד עשר וחלקם על שורש הסכום אשר הוא שנים עשר יצא חמשה שתותים וחצי שתות והוא מה שרצית
פרק
ואם הכית הסכום אשר תחת הקו קצתם בקצת ולא יהיה למקובץ שורש הנה אין לשאלה שורש מדבר
ועקר המעשה באלו השאלות מדרך המעמד שתבקש פחות מספר שיש לו חצי ושמינית ותשיעית וזה בהכאת אלו המעמדות קצתם בקצת ומה שהיה הנה הוא המעמד אחר כן קח מן מעמד השבר הנז' ומה שיהיה תקח שורשו ותחלקהו על שורש המעמד ומה שיצא הנה הוא המבוקש
ואם לא יהיה למעמד שורש הנה אין לשאלה שורש
ואם לא יהיה ג"כ לחלקים הלקוחים ממנו שורש הנה אין לשאלה שורש
שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{9}{11}+\left(\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)}
 כמה שורש תשעה חלקים מאחד עשר וחלק מאחד עשר בחלק מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ \,9}{11\ 11}}}
א ט
אא אא
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{11}+\left(\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)}=\frac{\sqrt{\left(9\sdot11\right)+1}}{11}=\frac{\sqrt{100}}{11}=\frac{10}{11}}}
 אחר כן הכה מה שעל אחד מן האחד עשר בשני והשיא מה שעל ראשם והוא אחד יהיה זה מאה ותקח שרשם שהוא עשרה ותחלקם על הסכום יצא עשרה חלקים מאחד עשר והוא מה שרצית
פרק
ודע כי כאשר היה בשאלה שני סכומים מתדמים תקח אחד משניהם ותשימהו הסכום אשר יחלק עליו אחר כן תעשה בשאר השאלה כמו שקדם
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}
 הדמיון בזה כשיאמר לך: כמה שורש חמש שביעיות ושביעית שביעית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 5}{7\ 7}}}
א ה
ז ז
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{5}{7}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}=\frac{\sqrt{\left(5\sdot7\right)+1}}{7}=\frac{\sqrt{36}}{7}=\frac{6}{7}}}
 הנה בזאת השאלה שני סכומים מתדמים והם שבעה ושבעה ותקח אחד משניהם ותקחהו סכום יחלק עליו אחר כן תכה החמשה אשר על השבעה הראשונים בשבעה השניים ותשיא מה שעל ראשם יהיו ששה ושלשים ותקח שרשם והוא ששה וחלקהו על השבעה יצא ששה שביעיות והוא מה שרצית
ואם היו בשאלה שלשה סכומים שנים מהם דומים והשלישי יש לו שורש הנה תקח שורש הסכום ההוא השלישי המתחלף לשנים ומה שהיה תשימהו עם אחד מן הסכומים הדומים סכום יחלק עליו ותעשה בשאר השאלה כמו שקדם
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}
 המשל בו: כמה שורש תשיעית וארבע שמיניות התשיעית וארבע שמיניות שמינית התשיעית
הורידם על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 4\ 1}{8\ 8\ 9}}}
ד ד א
ח ח ט
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{9}+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}=\frac{\sqrt{\left[\left[\left(1\sdot8\right)+4\right]\sdot8\right]+4}}{\sqrt{9}\sdot8}=\frac{\sqrt{100}}{3\sdot8}=\frac{10}{3\sdot8}=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}
 הנה זאת השאלה יש בה שני סכומים דומים והם שמנה ושמנה וסכום אחד והוא תשעה ותקח שורש תשעה והוא שלשה ותקח אחד משני הסכומים הדומים והוא שמנה ויהיה עמך שני סכומים לחלק עליהם והם שלשה ושמנה אחר כך הכה האחד אשר על התשעה בשמנה אשר ילוו התשעה והשיא מה שעל ראשם ומה שהתקבץ תכהו בשמנה השניים ותשיא מה שעל ראשם יהיו מאה וקח שרשם והוא עשרה וחלקם על הסכום יצא שלש שמיניות ושליש שמינית
ואם היו עמך שני סכומים דומים ושלישי שאין לו שורש הנה אין לשאלה שורש מדבר
ואם היתה לשאלה ארבעה סכומים שנים דומים ושנים דומים תקח אחד משני הסכומים הראשונים והאחד משני הסכומים השניים ותשים שני אלו הלקוחים סכום תחלק עליו ותמשיך זאת השאלה עד סופה
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{10}{11}+\left(\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)}
 דמיון זה: כמה שורש עשרה חלקים מאחד עשר וארבעה חלקים מאחד עשר בחלק מאחד עשר וחמשה שביעיות החלק מאחד עשר בחלק מאחד עשר וארבעה שביעיות משביעית החלק מאחד עשר בחלק מאחד עשר
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{4\ 5\ \,4\ \,10}{7\ 7\ 11\ 11}}}
ד ה ד ‫0א
ז ז אא אא
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{10}{11}+\left(\frac{4}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{11}\sdot\frac{1}{11}\right)}&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left[\left[\left[\left[\left(10\sdot11\right)+4\right]\sdot7\right]+5\right]\sdot7\right]+4}}{11\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{5625}}{11\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{75}{11\sdot7}\\&\scriptstyle=\frac{10}{11}+\left(\frac{5}{7}\sdot\frac{1}{11}\right)\\\end{align}}}
 הנה זאת השאלה ארבעה סכומים שנים מהם מתדמים והם אחד עשר ואחד עשר ושני הסכומים השניים מתדמים והם שבעה ושבעה ותקח אחד מן השבעה והאחד מן האחד עשר יהיה הסכום אחד עשר ושבעה אחר כן תכה העשרה שעל האחד עשר הראשונים באחד עשר השניים ותשיא מה שעל ראשם יהיה זה חמשה ותכה מה שהתקבץ בשבעה ותשיא מה שעל ראשם ותכה המקובץ בשבעה השניים ותשיא מה שעל ראשם יהיה זה חמשה ועשרים ושש מאות וחמשת אלפים ותקח שרשם והוא חמשה ושבעים וחלקם על הסכום יצא לך עשרה חלקים מאחד עשר וחמשה שביעיות החלק מאחד עשר והוא מה שרצית
ואם היו בשאלה ארבעה סכומים השנים מהם מתדמים והשנים השניים מתחלפים הכה אחד מן המתחלפי' בשני
ואם התקבץ מהם מספר יש לו שורש הנה השאלה יש לה שורש ותקח שורש מה שהתקבץ מן ההכאה ותקחהו סכום עם אחד משני הסכומים המתדמים ותעשה בנשאר כמו שקדם
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{5}{9}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)}
 המשל בו כשיאמר לך: כמה שורש חמש תשיעיות ושבע תשיעיות התשיעית וארבע שמיניות תשיעית התשיעית וחצי שמינית תשיעית תשיעית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4\ 7\ 5}{2\ 8\ 9\ 9}}}
א ד ז ה
ב ח ט ט
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{5}{9}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{4}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)}&\scriptstyle=\frac{\sqrt{\left[\left[\left[\left[\left(5\sdot9\right)+7\right]\sdot8\right]+4\right]\sdot2\right]+1}}{\sqrt{2\sdot8}\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt{841}}{\sqrt{16}\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{29}{4\sdot9}\\&\scriptstyle=\frac{7}{9}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\\\end{align}}}
 הנה זאת השאלה בה שני סכומים מתדמים ושני סכומים מתחלפים והכה אחד משני המתחלפים והוא שנים בשמנה יהיה ששה עשר ותקח שרשם והוא ארבעה ותקח אחד משני הסכומים המתדמים והוא תשעה ותקח שני מספרים אלו סכום והם ארבעה ותשעה אחר כן תעשה כמו שקדם מהכאת השבר ושבר השבר יצא אחד וארבעים ושמנה מאות וקח שרשם והוא תשעה ועשרים וחלקם על הסכום יצא שבעה תשיעיות ורביעית תשיעית והוא מה שרצית

Extracting Roots of Integer and Fraction

 שער הוצאת שורש המספר והשבר
  • \scriptstyle\sqrt{2+\frac{1}{4}}
 כשיאמר לך: כמה שורש שנים ורביע
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{4}2}}
א ב
ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}=\frac{\sqrt{\left(2\sdot4\right)+1}}{\sqrt{4}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{4}}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}
 אחר כן קח שורש הארבעה אשר הם הסכום והוא שנים ושמרם והוא הסכום אחר כן הכה השנים בארבעה והשיא מה שעל ראשם יהיו תשעה וקח שרשם והוא שלשה וחלקם על הסכום יצא אחד וחצי והוא מה שרצית
פרק
דע כי כאשר היה מעמד השבר יש לו שורש הנה אין ספק שיש בשאלה שורש מדבר
שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{11+\frac{1}{9}}
 כמה שורש אחד עשר ותשיעית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1}{9}11}}
א אא
ט
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{11+\frac{1}{9}}=\frac{\sqrt{\left(11\sdot9\right)+1}}{\sqrt{9}}=\frac{10}{3}=3+\frac{1}{3}}}
 אחר כן תקח שורש התשעה והוא שלשה אחר כן הכה האחד עשר בתשעה והשיא מה שעל ראשם ותקח שורש מה שיצא יהיה זה עשרה וחלקם על הסכום יצא שלשה ושליש והוא מה שרצית
ודע כי כל המעשה בשער הזה שתקח מעמד השבר ותקחהו סכום תמיד אחר כן הכה השלם במעמד השבר ותשיא מה שעל ראשו ותקח שורש המקובץ ותחלקהו על הסכום וזה מעשהו כמו שקדם בהכאת המספר והשבר
  • \scriptstyle\sqrt{4+\frac{4}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}
 כשיאמר לך כמה שורש ארבעה וארבע שמיניות ושמינית שמינית
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
\scriptstyle{\color{Gray}{\frac{1\ 4}{8\ 8}4}}
א ד ד
ח ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4+\frac{4}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{\sqrt{\left(4\sdot8\sdot8\right)+\left(4\sdot8\right)+1}}{\sqrt{8\sdot8}}=\frac{17}{8}=2+\frac{1}{8}}}
 אחר כן הבט הסכום ותמצאהו השנים מתדמים ותקח אחד מהם ותקחהו סכום כמו שקדם אחר כן תעשה בשאלה כמו שקדם בהכאת השלם והשבר ושבר השבר ומה שהתקבץ תקח שרשו והוא שבעה עשר וחלקהו על הסכום יצא שנים ושמינית והוא מה שרצית
ואלו היה הסכום בלתי מתדמים תכה אחד משניהם בשני ותקח שורש המקובץ ותעשה כמו שקדם
ובמה שזכרנו מן השער הזה יש בו די יוקש עליו מה שיבוא אחריו בע"ה וימשך אחריו בהוצאת שורש המספרים אשר אין להם שורש וזה דבר אי אפשר להגיע אל אמתתו אלא בקירוב והקירוב בו לפי המעשה


Approximations

 שער הוצאת השרשים האלמים על דרך קירוב

Approximations of Integers
  • \scriptstyle\sqrt{5}
 כשיאמר לך כמה שורש חמשה
1) \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\approx\sqrt{4}+\frac{5-4}{2\sdot\sqrt{4}}=\sqrt{4}+\frac{1}{2\sdot\sqrt{4}}=2+\frac{1}{4}}}
 הנה תקח המספר המרובע היותר קרוב אל החמשה תמצא זה ארבעה ותפילם מן החמשה הנשאר אחד וקרא שם לזה האחד מכפל שורש הארבעה יהיה רביע והשיאהו על שורש הארבעה יהיה שנים ורביע והוא שורש חמשה בקרוב והבין זה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)^2=5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}
 וכאשר הכית שנים ורביע בכמותם יהיה זה חמשה וחצי שמינית הנה כבר נפל הקירוב בחצי שמינית נוסף
2) \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\approx2+\frac{1}{4}-\frac{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}{2\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)}=2+\frac{1}{4}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)=2+\frac{2}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)}}
 ואם תרצה שתקריב המעשה יותר מן הקירוב הזה הנה אתה תכפול השנים ורביע עד שיהיו ארבעה וחצי וקרא שם מהם החצי שמינית יהיה זה שמינית תשיעית והפילהו מן הרביע אשר עם השנים ורביע ישארו שנים ושתי תשיעיות ושמינית תשיעית
\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\frac{2}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]^2=5+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}\right)}}
 וכאשר תכהו בדומה לו יהיה זה חמשה ושמינית שמינית תשיעית התשיעית והוא יותר קרוב מחמשה וחצי שמינית
3) \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\approx2+\frac{2}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)-\frac{\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\sdot\frac{1}{9}}{2\sdot\left[2+\frac{2}{9}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]}}}
 ואלו רצית יותר קרוב מזה תהיה כופל השנים ושתי תשיעיות ושמינית תשיעית ותקרא שם מזה שמינית שמינית תשיעית התשיעית ומה שהיה הפיל מן השנים ושתי תשיעיות ושמינית תשיעית ומה שנשאר הנה הוא יותר קרוב מן השורש הראשון
שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{10}
 כמה שורש עשרה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx\sqrt{9}+\frac{10-9}{2\sdot\sqrt{9}}=3+\frac{1}{6}}}
 תביט המספר שיש לו שורש היותר קרוב אל עשרה תמצא תשעה ותפילם מן העשרה הנשאר אחד ותקרא לו שם מכפל שורש התשעה והוא ששה יהיה שתות והשיאהו על השלשה אשר הם שורש התשעה יהיה שלשה ושתות והוא שורש העשרה בקירוב
ואם תרצה הכה העשרה באי זה מספר שיש לו שורש
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle=\frac{\sqrt{10\sdot100}}{\sqrt{100}}=\frac{\sqrt{1000}}{\sqrt{100}}\\&\scriptstyle\approx\frac{31+\frac{6}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{\sqrt{100}}\\&\scriptstyle=3+\frac{1}{10}+\left(\frac{6}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)\\\end{align}}}
 כאלו אתה תכה אותם במאה יהיה המקובץ אלף ותקח שרשם כמו שקדם בקירוב יהיה זה אחד ושלשים וחצי החלק מאחד ושלשים וחלקהו על שורש המאה יהיה זה שלשה וחמשה חלקים מאחד ושלשים וחצי עשירית החלק מאחד ושלשים והוא יותר קרוב משתות
  • \scriptstyle\sqrt{15}
 ואם אמר כמה שורש חמשה עשר
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15}\approx\sqrt{16}-\frac{16-15}{2\sdot\sqrt{16}}=\sqrt{16}-\frac{1}{8}=3+\frac{7}{8}}}
 תקח המספר המרובע היותר קרוב אל חמשה עשר והוא ששה עשר והפיל מהם החמשה עשר הנשאר אחד וקרא לו שם מכפל שורש הששה עשר יהיה שמינית ותפילהו משורש הששה עשר הנשאר שלשה ושבע שמיניות והוא שרש חמשה עשר בקרוב
  • \scriptstyle\sqrt{20}
 ואם אמר כמה שרש עשרים
הנה תקח אם תרצה הששה עשר ואם תרצה החמשה ועשרים מפני כי העשרים ממוצעים בין שני אלו המרובעים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20}\approx\sqrt{16}+\frac{20-16}{2\sdot\sqrt{16}}=\sqrt{16}+\frac{4}{2\sdot\sqrt{16}}=4+\frac{1}{2}}}
 וכאלו אתה תקח הששה עשר ותפילם מן העשרים הנשאר ארבעה וקרא להם שם מכפל שרש הששה עשר יהיה חצי וחברהו אל שרש הששה עשר יהיה זה ארבעה וחצי והוא שורש העשרים בקרוב
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20}\approx\sqrt{25}-\frac{25-20}{2\sdot\sqrt{25}}=\sqrt{25}-\frac{5}{2\sdot\sqrt{25}}=4+\frac{1}{2}}}
 ואם תרצה תקח החמשה ועשרים ותפיל מהם העשרים הנשאר חמשה וקרא להם שם מכפל שורש החמשה ועשרים הנשאר ארבעה וחצי והוא שורש העשרים בקרוב

Approximations of Integers and Fractions

 שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{2+\frac{1}{2}}
 כשיאמר לך כמה שורש שנים וחצי
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{5\sdot2}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx\frac{3+\frac{1}{6}}{2}=1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 הנה מעמד החצי בזאת השאלה אין לו שורש וקחנו סכום אחר כן שים השנים וחצי חציים יהיו חמשה והכם בשנים יהיו עשרה וקח שורש העשרה כמו שקדם יהיה זה שלשה ושתות וחלקהו על השנים יצא אחד ושלשה שתותים וחצי שתות
ואם תרצה הכה השנים וחצי באיזה מספר מרובע שתרצה יהיה לו חצי
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot36}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{90}}{\sqrt{36}}\approx\frac{9+\frac{1}{2}}{\sqrt{36}}=1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 וכאלו אתה כבר הכית אותם בששה ושלשים יהיו תשעים ותקח שרשם יהיה תשעה וחצי וחלקהו על שרש ששה ושלשים יצא אחד ושלשה שתותים וחצי שתות
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{\left(5\sdot2\right)\sdot36}}{2\sdot\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{10\sdot36}}{12}=\frac{\sqrt{360}}{12}\approx\frac{19}{12}=1+\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 ואם תרצה כאשר הכית השנים וחצי חציים והכית אותם בשנים יהיו עשרה והכה אלו העשרה בששה ושלשים יהיו ששים ושלש מאות אחר כן הכה השנים מעמד החצי בשרש הששה ושלשים יהיו שנים עשר והוא הסכום אחר כן תקח שרש הששים ושלש מאות והוא תשעה עשר בקרוב וחלקם על השנים עשר והנה מה שיצא הוא המבוקש

Approximations of Fractions

 שער אחר ממנו
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{1}{3}}
 כשיאמר לך כמה שרש שליש
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}}=\frac{\sqrt{\frac{1}{3}\sdot36}}{\sqrt{36}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{36}}\approx\frac{3+\frac{1}{2}}{\sqrt{36}}=\frac{3}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 תבקש מספר שיש לו שרש ויש לו שליש וכאלו אתה תכהו בששה ושלשים יהיו שנים עשר ותקח שרשם והוא שלשה וחצי בקרוב ותחלקם על שרש הששה ושלשים יצא שלשה שתותים וחצי שתות והוא שורש שליש
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{3}{4}}
 ואם יאמר: כמה שרש שלשה רביעים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{4}}=\frac{\sqrt{\frac{3}{4}\sdot16}}{\sqrt{16}}=\frac{\sqrt{12}}{\sqrt{16}}\approx\frac{3+\frac{1}{2}}{\sqrt{16}}=\frac{7}{8}}}
 הנה תכה שלשה רביעים במספר מרובע שיש לו חצי ויש לו רביע כאלו הוא בששה עשר יהיה היוצא שנים עשר וקח שרשם והוא שלשה וחצי בקרוב וחלקם על שרש הששה עשר יצא שבע שמיניות
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{3}{7}}
 ואם אמר: כמה שורש שלשה שביעיות
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{7}}=\frac{\sqrt{\frac{3}{7}\sdot49}}{\sqrt{49}}=\frac{\sqrt{21}}{\sqrt{49}}\approx\frac{4+\frac{3}{5}}{\sqrt{49}}=\frac{4}{7}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}
 הכה שלשה שביעיות במספר מרובע יש לו שביעית והוא תשעה וארבעים ותכה בו שלשה שביעיות ויהיה אחד ועשרים ותקח שרש אחד ועשרים והוא ארבעה ושלשה חומשים בקירוב וחלקהו על שורש התשעה וארבעים יצא ארבעה שביעיות ושלשה חומשי השביעית והבין
תם ושלם תהלה לאל עולם
אמן

Additional Chapters

Multiplication of Fraction by Integer

 שער הכאת השבר במספר השלם
\scriptstyle\frac{4}{5}\times8 כשיאמר לך כמה ארבעה חומשים בשמנה
\scriptstyle\frac{4}{5}\times8=\frac{4\sdot8}{5}=\frac{32}{5}=6+\frac{2}{5} העמיד החומש וזה מחמשה וקחם סכום אחר כן קח ארבעה חומשיהם והוא ארבעה והכם בשמנה יהיו שנים ושלשים וחלקם על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש וזה ששה וחומש
\scriptstyle\frac{4}{5}\times8=\frac{\left(\frac{4}{5}\sdot n\right)\sdot8}{n} ואם תרצה קח אי זה מספר שתרצה סכום אחר כן קח ארבעה חומשיו והכם בשמנה וחלקם על הסכום ומה שיצא הנה הוא המבוקש
\scriptstyle\frac{4}{5}\times8=\frac{8}{5}\sdot4 ואם תרצה חלק השמנה על החמשה והכה מה שיצא בארבעה ומה שיצא הנה הוא המבוקש

Multiplication of Fraction and Fraction of Fraction by Fraction and Fraction of Fraction

 שער הכאת השבר ושבר השבר בשבר ושבר השבר
\scriptstyle\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\times\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right] כשיאמר לך הכה חצי וחצי עשירית בשליש ושליש עשירית
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\times\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left(2\sdot10\right)\sdot\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]\sdot\left[\left(3\sdot10\right)\sdot\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]}{\left(2\sdot10\right)\sdot\left(3\sdot10\right)}\\&\scriptstyle=\frac{\left[20\sdot\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]\sdot\left[30\sdot\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\right]}{20\sdot30}\\&\scriptstyle=\frac{11\sdot11}{20\sdot30}\\&\scriptstyle=\frac{121}{20\sdot30}\\&\scriptstyle=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{6}\right)\\\end{align} הנה המעשה בזה שתעמיד החצי והעשירית וזה מעשרים והשליש והעשירית וזה משלשים והכה קצתם בקצת יהיה מה שיצא הוא הסכום, אחר כן קח חצי העשרים וחצי עשיריתם יהיו אחד עשר ושליש השלשים ושליש עשיריתם וזה אחד עשר והכה אחד עשר באחד עשר יהיו מאה ועשרים ואחד וקרא להם שם מן הסכום ומה שהיה הנה הוא המבוקש וזה שתות וחומש שתות וחצי עשירית חומש השתות
שער מן החלקים
\scriptstyle\frac{15}{17}\times\frac{10}{11} כשיאמר לך הכה חמשה עשר חלקים משבעה עשר בעשרה חלקים מאחד עשרה
\scriptstyle\frac{15}{17}\times\frac{10}{11}=\frac{\frac{10\sdot15}{11}}{17}=\frac{\frac{150}{11}}{17}=\frac{13+\frac{7}{11}}{17}=\frac{13}{17}+\left(\frac{7}{11}\sdot\frac{1}{17}\right) הכה עשרה בחמשה עשר יהיו מאה וחמשים וחלקם על אחד עשר יצא שלשה עשר ושבעה חלקים מאחד עשר ותאמר שלשה עשר חלקים משבעה עשר ושבעה חלקים מאחד עשר בחלק משבעה עשר והבין
ודע כי אתה כאשר תחלק על אחד מן החלקים הנה יצא השני וזה אמנם יהיה אחר ההכאה

Multiplication of Integer and Two Fractions by Integer and Fraction

 שער הכאת המספר ושני השברים במספר והשבר
\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{6}{7}\right) כשיאמר לך שלשה ושלשה רביעים וארבעה חומשים בשנים ושש שביעיות
\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{6}{7}\right)=\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\sdot\frac{20}{7}=\frac{91}{7}=13 ההקש בזה שתשיב השנים ושש שביעיות שביעיות כולם יהיו עשרים והכם בשלשה ושלשה רביעים וארבעה חומשים יהיו אחד ותשעים וחלקם על מעמד השביעית יצא לך שלשה עשר והוא מה שרצית
\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{6}{7}\right)=\frac{\left[\left(4\sdot5\right)\sdot\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\right]\sdot\left(2+\frac{6}{7}\right)}{4\sdot5}=\frac{\left[20\sdot\left(3+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}\right)\right]\sdot\left(2+\frac{6}{7}\right)}{20} ואם תרצה הביט מאיזה מספר יעמוד הרביעית והחמשית וזה מעשרים וקחם סכום אחר כן הכה בהם השלשה והשלשה רביעים וארבעה חומשים ומה שהתקבץ הכהו בשנים ושש שביעיות וחלק מה שהתקבץ על הסכום יצא לך מה שרצית

Multiplication of Fraction of Integer and Fraction by Fraction of Integer and Fraction

 שער הכאת שבר המספר והשבר בשבר המספר והשבר
\scriptstyle\left[\frac{4}{5}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\times\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right] כשיאמר לך ארבעה חומשי שבעה וחצי בשני שלישי שלשה ושלשה רביעים
\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{4}{5}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\times\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(5\sdot2\right)\sdot\frac{4}{5}\right]\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\frac{2}{3}\right]\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right]}{\left(5\sdot2\right)\sdot\left(3\sdot4\right)}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(10\sdot\frac{4}{5}\right)\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left[\left(12\sdot\frac{2}{3}\right)\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right]}{10\sdot12}\\&\scriptstyle=\frac{\left[8\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left[8\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right]}{120}\\&\scriptstyle=\frac{60\sdot30}{120}\\&\scriptstyle=\frac{1800}{120}=15\\\end{align} הנה המעשה בזה שתעמיד החומש והחצי וזה מעשרה ושמרם והשליש והרביע וזה משנים עשר ושמרם גם כן אחר כן הכה קצתם בקצת יהיו מאה ועשרים וקחם סכום, אחר כן קח ארבעה חומשי העשרה וזה שמנה והכם בשבעה וחצי יהיו ששים ושמרם גם כן אחר כן קח שני שלישי השנים עשר והוא שמנה והכם בשלשה ושלשה רביעים יהיו שלשים והכם בששים אשר שמרת יהיו אלף ושמנה מאות וחלקם על הסכום יצא לך חמשה עשר
\scriptstyle\left[\frac{4}{5}\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\times\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)\right]=6\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right) ואם תרצה קח ארבעה חומשי שבעה וחצי והוא ששה וקח שני שלישי השלשה ושלשה רביעים והוא שנים וחצי והכם בששה יהיה מה שרצית
\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right] שאלה כשיאמר לך: שליש שבעה ורביע ששה בחצי שלשה ושתות חמשה
הנה זאת השאלה שני עניינים‫:
\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right] אחד משניהם שתקח שליש שבעה והשיאהו על רביע ששה והכה אותו בחצי שלשה מחובר אליו שתות חמשה
\scriptstyle\left[\frac{1}{3}\sdot\left[7+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\right]\times\left[\frac{1}{2}\sdot\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right]\right] והעניין השני שתקח שליש השבעה ושליש רביע הששה ותכה אותו בחצי השלשה וחצי שתות חמשה ומה שהתקבץ הנה הוא המבוקש
\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right]=8+\frac{5}{6}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{6}\right) ואשר יצא לך מן העניין הראשון שמנה וחמשה שתותים ושליש שתות
\scriptstyle\left[\frac{1}{3}\sdot\left[7+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)\right]\right]\times\left[\frac{1}{2}\sdot\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot5\right)\right]\right]=5+\frac{2}{6}+\left(\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{6}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{6}\right) ויצא לך מן הענין השני חמשה ושני שתותים ושלשה שתותי שתות וחצי שתות
\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{10}\right) שאלה כשיאמר לך: כמה אחד וחצי באחד וחצי באחד ושליש באחד ורביע באחד וחומש כן עד אחד ועשירית
\begin{align}&\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{2}\right)\times\left(1+\frac{1}{3}\right)\times\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)\times\cdots\times\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{4}\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{12\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{15\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{18\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{21\sdot\left(1+\frac{1}{7}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{24\sdot\left(1+\frac{1}{8}\right)\cdots\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{27\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{30\sdot\left(1+\frac{1}{10}\right)}{4}\\&\scriptstyle=\frac{33}{4}=8+\frac{1}{4}\\\end{align} הנה ההקש בזה שתכה אחד וחצי באחד וחצי יהיו שנים ורביע והחזירם רביעיים כלם יהיו תשעה והכה אלו התשעה באחד ושליש יהיו שנים עשר והכם באחד ורביע יהיו חמשה עשר והכם באחד וחומש יהיו שמנה עשר והכם באחד ושתות יהיו אחד ועשרים והכם באחד ושביעית יהיו ארבעה ועשרים והכם באחד ושמינית יהיו שבעה ועשרים והכם באחד ותשיעי' יהיו שלשים והכם באחד ועשירית יהיו שלשה ושלשים הנה אלו השלשה ושלשים הם רביעיים כולם וחלקם על ארבעה יצא מה שרצית והוא שמנה ורביע

Multiplication of Integers

 שער בהכאה מן השלמים על דרך אחרת שלא מן הספר
והוא שתשים שני המספרים אשר תרצה להכות האחד באחד בשתי שטות האחת תחת האחרת מדרגת האחדים תחת האחדים ועשרות תחת העשרות וכן כל המדרגות שיהיו בהם
ולקצר הלשון אקדים לך כי כל זמן שאומר הכה א' בא' או א' בב' וב' בא' או א' בג' וג' בא' וכן כולם רצוני בו המספר אשר במדרגה פלונית מן השטה העליונה במספר אשר במדריגת פלונית מן השטה התחתונה לעולם אשים בי"ת השימוש על מספר השטה התחתונה וא' רומז על מדרגת האחדים וב' על מדרגת העשרות וג' על מדרגת המאות וד' על מדרגת האלפים וכן בסדר
והכונה בדרך הזאת להכות כל אחד ממספרי השטה האחת בכל אחד ממספרי השטה השנית על הדרך אשר אזכיר
אם תרצה להכות אחדים ועשרות על אחדים ועשרות כן תעשה‫:
הכה תחילה א' בא' והעולה מן ההכאה הזאת תכתוב בשטה שלישית למעלה כנגד מדרגת האחדים
אחר כן תכה א' בב' וב' בא' והמקובץ משתי אלו ההכאות תכתוב בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות כנגד מדרגת העשרות
אחר כן תכה ב' בב' והעולה תכתוב בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות במדרגה שלישית עודפת
ונשלם המעשה ואשר תמצא בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות הוא המבוקש
Example: \scriptstyle22\times22 והמשל בו אם תרצה להכות שנים ועשרים בשנים ועשרים
הוריד השאלה בזאת הצורה‫:
ד ח ד
ב ב
ב ב
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\sdot2}}={\color{blue}{4}}}   4 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\sdot2\right)+\left(2\sdot2\right)}}={\color{blue}{8}}}  84 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\sdot2}}={\color{blue}{4}}} 484
 22  22  22  22
 22  22  22  22
תכה השנים הראשונים מן השטה העליונה בשנים הראשונים מן השטה התחתונה ויעלה ארבעה תכתוב ארבעה על השנים הראשונים מן השטה העליונה
אחר כן תכה השנים הראשונים מן השטה העליונה בשנים השניים מן השטה התחתונה וכן השנים הראשונים מן השטה התחתונה בשנים השניים מן השטה העליונה והעולה משתי הכאות אלו שמנה תכתוב שמנה על השנים השניים מן השטה העליונה
אחר כן תכה השנים השניים מן השטה העליונה בשנים השניים מן השטה התחתונה והעולה הוא ארבעה ותכתוב ארבעה במדרגה שלישית עודפת בשטה המתחדשת מן ההכאות הנה העולה ארבע מאות ושמנים וארבעה
ודע כי מספר המדרגות אשר יהיו בשטה השלישית המתחדשת מן ההכאות יהיו תמיד כמספר מדרגות שתי השטות המוכות זו בזו פחות שניים זולת העולה מן ההכאה האחרונה כי היא פעמים לא תחדש כי אם מדרגה אחת והוא כשיהיה כלל המקובץ מן ההכאה ההיא פחות מעשרה ואז יהיה מספר המדרגות בשטה השלישית כמדרגות שתי השיטות פחות אחד
וכאשר יהיה הכלל המקובץ מן ההכאה האחרונה עשרה או יותר תחדש שתי מדרגות
ואם יעלה כלל המקובץ מן ההכאה האחרונה מאה או יותר תחדש שלש מדרגות
ודע כי בכל מקום שיהיה המקובץ מן ההכאה פחות מעשרה תכתוב המקובץ בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות כנגד המדרגה אשר אתה בה
ואם יהיה המקובץ עשרה או יותר אם ישארו אחדים על העשרה או על העשרות תכתוב האחדים בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות במקום אשר אתה בה
ואם לא ישארו אחדים תעשה עגולה בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות לעשות מדרגה ותחזיק במספר העשרות והיו לאחדים בידך כי תחברם עם ההכאה השנית לה שאחד בה עשרה מאשר לפניה
ודע כי כאשר נתחדשו בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות כמספר המדרגות היותר גדולה שבשתי השטות המוכות אז נשלמה ההכאה מן המדרגה הראשונה ותעביר עליה קולמוס
ותתחיל אחר כן ההכאה מן המדרגה השנית והמקובץ מההכאה ההיא תכתוב בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות במדרגה עודפת ותעביר קולמוס על המדרגה השנית
אחר כן התחיל ההכאה מן המדרגה השלישית והמתקבץ מן ההכאה תכתוב במדרגה שנית לעודפת ותעביר קולמוס על המדרגה השלישית
ותתחיל אחר כן ההכאה מן המדרגה הבאה אחריה וכן תמיד עד שתגיע להכאה האחרונה
ודע כי כאשר יהיה עגול או עגולים בשתי השטות המוכות באיזה מן המדרגות שיהיו ולא יצא חשבון מכלל ההכאה תעשה עגול בשטה העליונה המתחדשת מן ההכאות במדרגה אשר כנגד מדרגת ההכאה
Example: \scriptstyle432\times323 והמשל בהיות מדרגות מספרי השטות המוכות שלש הוא שאם תרצה להכות שנים ושלשים וארבע מאות על שלשה ועשרים ושלש מאות
הוריד השאלה על זאת הצורה‫:
ו ג ה ט ג א
ב ג ד
ג ב ג
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\sdot3}}={\color{blue}{6}}}   6 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\sdot2\right)+\left(3\sdot3\right)}}=1{\color{blue}{3}}}  36
432 432 432
323 323 323
הכה תחלה א' בא' ויעלו ששה ותכתוב ששה בשטה שלישית למעלה כנגד מדרגת האחדים, אחר כן תכה א' בב' וב' בא' ויעלה י"ג תכתוב שלשה כנגד מדרגת העשרות בשטה המתחדשת ותחזיק בידך אחד
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\sdot3\right)+\left(3\sdot4\right)+\left(3\sdot2\right)}}+1=24+1=2{\color{blue}{5}}} 536
432
323
אחר כן תכה א' בג' וג' בא' וב' בב' ויעלו כ"ד ואחד שהיה בידך יהיו כ"ה תכתוב חמשה בשטה המתחדשת כנגד מדרגת המאות ותחזיק בידך שנים בעבור העשרים ותעביר קולמוס במדרגה הראשונה משתי השטות המוכות
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(3\sdot3\right)+\left(4\sdot2\right)}}+2=17+2=1{\color{blue}{9}}} 9536
 432
 323
ותכה ב' בג' וג' בב' ויעלו י"ז חבר עמהם שנים שהיו בידך יהיו י"ט תכתוב תשעה בשטה המתחדשת במדרגה רביעית עודפת ותחזיק אחד בידך אחר כן תעביר הקולמוס במדרגה השנית משתי השטות המוכות
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\sdot3\right)}}+1=12+1={\color{blue}{13}}} 139536
   432
   323
ותכה ד' בג' ויעלו שנים עשר ותחבר עמהם אחד שהיה בידך יהיו שלשה עשר ותכתוב בשטה המתחדשת שלשה במדרגה החמשית ואחד במדרגה הששית ויהיה העולה מאה ושלשים ותשעת אלפים וחמש מאות ושלשים וששה
ואם יהיו המדרגות ארבע תכה ראשונה א' בא' ותכתוב המקובץ למעלה כנגד מדרגת האחדים
אחר כן תכה א' בב' וב' בא' ותכתוב המקובץ כנגד מדרגת העשרות
אחר כן תכה א' בג' וג' בא' וב' בב' ותכתוב המקובץ בשטה המתחדשת במדרגת המאות
אחר כן תכה א' בד' וד' בא' וג' בב' וב' בג' ותכתוב המקובץ במדרגת האלפים ואז נשלמו ההכאות כמספר מדרגות המספרים המוכים ונשלמה הכאת המדרגה הראשונה ותעביר עליה קולמוס
אחר כן תכה ב' בד' וד' בב' וג' בג' ותכתוב המקובץ במדרגה החמשית ונשלמה הכאת המדרגה השנית ותעביר עליה קולמוס
אחר כן תכה ג' בד' וד' בג' ותכתוב המקובץ במדרגה ששית ונשלמה הכאת המדרגה השלישית ותעביר עליה קולמוס
אחר כן תכה ד' בד' ותכתוב המקובץ במדרגה השביעית ונשלם המעשה
וכן אם היו חמש מדרגות או יותר כן תעשה תמיד‫:
הכה תחלה א' בא' אחר כן הכה א' בב' וב' בא' אחר כן א' בג' וג' בא' וב' בב' אחר כן א' בד' וד' בא' וב' בג' וג' בב' אחר כן א' בה' וה' בא' וב' בד' וד' בב' וג' בג' וכן תשלים המעשה על הדרך אשר הזכרתי
ואם היו שש מדרגות‫:
תכה תחלה א' בא' אחר כן א' בב' וב' בא' אחר כן א' בג' וג' בא' וב' בב' אחר כן א' בד' וד' בא' וב' בג' וג' בב' אחר כן א' בה' וה' בא' וב' בד' וד' בב' וג' בג' אחר כן א' בו' וו' בא' וב' בה' וה' בב' וג' בד' וד' בג' ונשלמה הכאת המדרגה הראשונה אחר כן תכה ב' בו' וו' בב' וג' בה' וה' בג' וד' בד' ונשלמה הכאת המדרגה השנית
אחר כן תכה ג' בו' וו' בג' וד' בה' וה' בד' ונשלמה הכאת המדרגה השלישית
אחר כן תכה ד' בו' וו' בד' וה' בה' ונשלמה הכאת המדרגה הרביעית
אחר כן תכה ה' בו' וו' בה' ונשלמה הכאת המדרגה החמשית
אחר כן תכה ו' בו' ושלם המעשה
ועל הדרך הזה יעשה באיזה שעור שיהיה
מאזנים לדעת אם טעית בחשבונך בהכאה
כאשר ערכת מספר על מספר השלך מה שעלה ט' ט' ודע כמה ישאר
אחר כן השליך ט' ט' כל אחד משני המספרים אשר הכית האחד באחר ומה שישאר מן המספר האחד בשטה האחת הכה אותו במה שישאר מן המספר האחר אשר בשטה האחרת
אחר כן השליך ט' ט' העולה מהכאת שארית האחד על שארית האחר ואם הוא כמו מה שנשאר מן המספר היוצא מהכאת שני המספרים הגדולים אפשר בו שהוא אמת ואם לא חזור וחשוב שנית כי טעית בחשבונך בלי ספק

Gelosia (MS Oxford)
\scriptstyle56742\times56742 נרצה להכות חמשים וששת אלפים ושבע מאות וארבעים ושנים
עשה לוח מחמש צדות על חמש על זאת הצורה‫:
    5     6     7     4     2    
  2     3     3     2     1     5
1     5     0     5     0     0
  3     3     4     2     1     6
1     0     6     2     4     2
  3     4     4     2     1     7
2     5     2     9     8     4
  2     2     2     1           4
1     0     4     8     6     8
  1     1     1                 2
2     0     2     4     8     4
  1     1     1                  
    ה     ו     ז     ד     ב    
  ב     ג     ג     ב     א     ה
א     ה     0     ה     0     0
  ג     ג     ד     ב     א     ו
א     0     ו     ב     ד     ב
  ג     ד     ד     ב     א     ז
ב     ה     ב     ט     ח     ד
  ב     ב     ב     א           ד
א     0     ד     ח     ו     ח
  א     א     א                 ב
ב     0     ב     ד     ח     ד
  ב     א     א                  
ונכה תחלה התחתונה מן הנצבת זו על זו לצד ימין על הראשונה מן השכובות למעלה ונכה תחלה ב' בב' והוא ד', עוד ב' בד' והוא ח', עוד ב' בז' והוא י"ד, עוד ב' בו' והוא י"ב, עוד ב' בה' והוא י', עוד ד' בב' והוא ח', עוד ד' בד' והוא י"ו, עוד ד' בז' והוא כ"ח, עוד ד' בו' והוא כ"ד, עוד ד' בה' והוא כ', עוד נכה ז' בב' והוא י"ד, עוד ז' בד' והוא כ"ח, עוד ז' בז' והוא מ"ט, עוד ז' בו' והוא מ"ב, עוד נכה ו' בב' והוא י"ב, עוד ו' בד' והוא כ"ד, עוד ו' בז' והוא מ"ב, עוד ו' בו' והוא ל"ו, עוד ו' בה' והוא ל', עוד נכה ה' בב' והוא י', עוד ה' בד' והוא כ', עוד ה' בז' והוא ל"ה, עוד ה' בו' והוא ל', עוד ה' בה' והוא כ"ה, ויהיה העולה מן ההכאות כלם‫:
ד ו ה ו 0 א ב ב
ותמצא התחיל קח ראשונה מה שיהיה תחת השטה התחתונה והשטות ההולכות באלכסון מ[......] מימין ממטה או מלמעלה ולשמאל ובתחתונה התחיל ראשונה והם אחדים אם יהיו בהם יותר מתשעה שים מספר העשרת וכתבהו בסוף השטות ההולכות באלכסון וחבר עמו מה שהוספת בה מחבור עשרה מן הקודמת לה וכתוב בם והם עשרות אם יהיו יותר מתשעה קח מספר העשרה שהיו תחת סוף השטה השלישית אחר כן מה שתחת השטה השלישית ההולכת באלכסון והם מאות וחבר עמו מה שהוספת תחת סוף השטה ההולכת באלכסון
שלם הענין בעזרת שדי שדי בברכותיו והתהלה לו על כל ברכה ותהלה אמן

Degrading the Ranks of Sexagesimal Fractions (MS Guenzburg)

 בהתכת המדרגות והדקים ושאר השברים אל מה שתחתם מן המדרגות השפלות אל מה שלמעלה מהם מן המדרגות והדקים אשר לפניהם לשר הנכבד אבו אל חלפי
דע כי הרבה מה שיצטרך בחשבון מעשה הלוחות הכאת השבר והוצאת הגדרים אל פשוט המדרגות והדקים ולהתיחדם אל מה שלמטה מהם ממדרגות השברים והשניים והשלישיים והרביעיים וזולת זה והדרך אשר ראיתי לכל בעלי חשבון הלכו בזה הוא שתשיב המדרגות אשר למעלה מהם אל מדרגות אשר למטה מהם בשובו אותם בשישים אח"כ ותחברום אל מה שיתקבץ המספר אשר במדרגה הרביעית וכן יעשו תמיד עד שיבואו אל המדרגה התחתונה אשר ירצו להתיך המדרגות והדקים אליה
וכך כאשר תהיה כונתם להשיב המדרגה מן המדרגות השפלות אל המדרגה שלמעלה ממנה כשהם יחלקו ג"כ מה שהגיע במדרגה אל שישים כאשר היו יותר מס' ויעלו מה שיצא אל המדרגה אשר לפניה מדרגה אחת וכן היו עושים אחר יחלקו אותם ג"כ בשישים ויעלו מה שיעלה אל המעלה אשר לפניה מדרגה אחת וכן היו עושים עד שהיו מגיעים אל המעלה אשר היו רוצים להשיב השברי' ההם אליה ומבואר שהמעשה היה טורח ועמל וכפל דברים ומבוא לטעיה וטעות והדרך היותר קצר לידיעת זה מה שעשינו באגרת הזאת בארנו וקרבנו מעשהו והקלנו אותו וזה כי אנחנו הנחנו לו כל מה שנרצה בהתכת המעלות והדקים ושאר השברים אשר למטה מהם ולהשיבם אל מה שלמעלה מהם ביותר נקל שיהיה והיותר קרוב וזה תאר המעשה ובאלהים אעזר
כשתרצה להפשיט מה שרצית מן המעשה והדקים והשניים וזולתם מן השברים ולהתיכם אל מה שלמטה מהם מן המדרגות הנה אתה תכתוב מה שעמך מזה אח"כ עיין הלוח אשר לקחנו לזה ובקש המדרגה אשר תרצה שתתיך מה שעמך אליך ותניח בה שתמצא וקח מה שכנגדה ממספרי הציפראות הכתובות וקח ג"כ מה שכנגדה ממספרי ההכאות ומה שיהיה הכה אותו במעלות השלמות אשר עמך והוסיף אותו על מה שהתקבץ מהציפראות מספרם ונהיה תוספת הציפרא לעולם אל מה שנמשך לימינך ומה שהתקבץ מזה הנה הוא מספר מה שבמעלות ההם מחלקי המדרגה אשר תכון להתיך מה שעמד עליה וכתוב אותו ואם היו עם המעלות דקים עיין בלוח מה שכנגד הדקים מספרי הציפרא ומה שכנגד המדרגה אשר ההתכה אליה וקח היתרון אשר בין שני המספרים ומה שיהיה בקש דמיונו במספר הציפראש וכתוב מה שתמצא וקח מה שכנגדו והכה אותו במה שעמך מן הדקים והוסיף על מה שהתקבץ ממה שימשך אל הימין ממספר הציפראש אשר עמך ומה שהתקבץ מזה הנה המספר אותם הדקים מחלק המדרגה אשר חברת אותם אליה אלינו וחבר אותם אל מה שכתבת וכאשר עשית הנה התכת המעלות והדקים אשר עמך אל אותה מדרגה אשר רצית
תם ונשלם
תל"ע אמן ואמן סלה
נשלמו המעשים והוא ספר בחשבון לאבו בכר מחמד בן עבד אללה בן עבאס אלחצאר
והעתיקו ר' משה בר' שמואל בר' יהודה בר' שאול ז"ל אשר מרמון ספרד
נשלמה העתקתו בי"ח יום לחדש אייר שנת אחת ושלשים בעיר מונטפשלייר יע' לטובת עמו ישראל [...]
והנה בזה שלמה העתקתו יום שנים עשר מאדר שני שנת רל"ו מהאלף הששי שהוא אלף וארבע מאות ושמנה שנים מחרבן הבית שתבנה במהרה אמן סלה
[נחרבה הבית ס"ח שנים אחר ההשמה]

MS Vatican - Additional Excerpt
אם ישאל אדם להשלים סך אחד לחברו החצי וחבירו לחברו השליש להשלים הסך ההוא בעצמו וכן על הסדר ככה הדרך
אם היו שנים יהיה בו מוצא השנים ומוצא השלשה הכה ב' בג' ויהיו ו' הכה אותו בד' ויהיו כ"ד ובעבו' שהוא נפרד תוסיף אחד ויהיו כ"ה וככה סך הממון וכן על הסדר בסוג תחסר אחד ובנפרד הוסיפהו
ואם תרצה לידע כמה ביד הראשון דע כמה המוצא השני והוא ג' וככה מה שביד הראשון כאשר הם שנים לבד
ואם הם שלשה כבר ידעת כי כשהם שנים יהיה מה שביד הראשון ג' ובעבו' שהוא נפרד תוסף עליה א' ויהיה ד' תכה אותו בד' ויהיה י"ו וככה מה שביד הראשון כאשר הם שלשה
ואם הם ארבעה הנה ידעת כי מה שביד הראשון כשהם שלשה הוא י' י"ו ובעבו' שהוא סוג חסר ממנו אחד ויהיה ט"ו הכה אותו בה' ויהיה ע"ה והוא מה שביד הראשון כאשר הם ד' וכן על הסדר ואחר שתדע סך הממון ותדע מה שביד הראשון תוכל לראות מה שבכל אחד ואחד
הממון
ה         ד ג ב
כה       כא יח יו ג
קיט     קד צג פח עה ד
תשכא   תרמה תקצב תהעג תדל תנו ה
ה אלף לט ד אלף תקפד ד אלף רעה ד אלף קפד ג אלף תתקצג ג אלף תשח ג אלף קפה ו
נשלם זה הספר תהלה לאל חי והוא ספר בחשבון לאבו מחמד בן עבד אלה בן עבס אלחצר
והשלמתיו אני ברוך הכי"א בר' שלמה אבי ישרו' בר' יואב ישראל
ונשלמה העתקתו יום ה' כ"ה יום לחדש שבט שנת רי"א לפרט קטן והשלמתיו פה הר' הקדש הראלצינו
לטובתיך ולטובת כל עמו ישראל אמן

Extracting Cubic Roots of Integer (MS Vatican)

 י' לדעת שרשי המעוקבים ממספר השלם
ראה כמה מעלות המספר ההוא אם הם שלשה או פחות חשוב כבראשונה כאשר הם אחדים
לדעת שרשי המעוקבי' יצטרך לדעת תחלה התשעה מעוקבי' מהתשעה אחדים שהם במעלה הראשונה ועל דמיונם תעשה כל שאר המעוקבים בשאר המעלות
אם כן כשהמספר אשר תרצה לדעת שורש מעוקבו הוא עד המעלה השלישית תדע המעוקב אשר הוא יותר קרוב אליו לפניו והמותר תכתוב ותעשה השברים כאשר תדע למטה
ואם המספר הוא יותר מהמעלה השלישית עד השישית תחשוב המעלה הרביעית כאילו הם אחדים והחמישית כאלו הם עשרות והשישית כאלו הם מאות ותדע שרשם כפי הדמיון אשר במעלה הראשונה
וכן תעשה אם המספר יותר מהמעלה השישית עד התשיעית ר"ל כי השביעית תחשוב לאחדים והשמינית לעשרות והתשיעית למאות
וכן עד אין קץ רק של כל ג' מעלות יעלה השורש מעלה אחת הרצון בזה כי אם המספרי' עד ג' מעלות יהיה השורש במעלה הראשונה ואם יעברו המעלה השלישית עד השישית תכתוב השורש במעלה השנית ואם יעבור השישית עד התשיעית תכתוב השורש במעלה השלישית ועל זה הסדר תעשה לאין קץ
ואחר אשר כתבת השורש הראשון במקומו ונשאר לך מהמספרי' הרבה קח מרובע השורש הראשון ותכפול אותו ג' פעמי' ותחלק המספרי' הנשארי' עליו ותעשה באופן תוכל לגרוע מהנשאר מה שאומר והוא שתקח מרובע מה שיעלה בחלוק וכפול אותו על השורש הקודם מוכפל השורש ההוא בג' השורש שעבר הן שיהיה במעלה אחת או שתי אותייות בשתי רק ואם נשאר עדין מהמספרי' תחזור חלילה בזה האופן שתקח לעולם מרובע כאשר עשית בתחלה [.] מעלות עם מ ותכפלהו בג' ותחלק המספר הנשאר עליו ואחר תשלים לעשות כאשר עשית בתחילה והעולה ^ מחובר עם מעוקב מה שיצא בחילוק
\scriptstyle\sqrt[3]{36926037} דמיון רצינו לדעת האותיות שיהיו שורש עקובי אל אלו ח אותיות שהם ל"ו אלפי אלפי' ותתכ"ו אלפי' ול"ז
27
891 
9801  
989037
27   
81    
81     
9926037
27      
36926037
333
27 
3267
  \scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3^3}}={\color{blue}{27}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{36-27}}={\color{blue}{9}}}  9926037
  27       27      
36926037 36926037 36926037
       3      3
ומפני שהם שלש מעלות יהיו אותיות השורש העקובי שלשה ולכן הראשון יורשם תחת המאות אמנם בהוצאת האות הראשון די בידיעת השורש העקובי למעוקב הקרוב למספר האותיות מהמעלה האחרונה [ולגרוע המעוקב מאותיות המעלה אחרונה] אבל בהוצאת האחרי' צריך חלוק אחד ושתים כפילות ושלש מגרעות לכל אחד וזה כלל גדול וא"כ האותיות אשר במעלה אחרונה שעולים ל"ו יהיו לאחדי' בידך והמעוקב הקרוב אל ל"ו הוא כ"ז ושורשו ג' ונרשום ג' תחת המאות והוא השורש עקובי ראשון ונגרע כ"ז מן ל"ו וישארו האותיות ט' אלפי אלפי' ותתקכ"ו אלפי' ול"ז
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot3^2}}={\color{blue}{27}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3}}\sdot27={\color{blue}{81}}}   \scriptstyle\xrightarrow{3^2\sdot\left(3\sdot3\right)={\color{blue}{81}}}   \scriptstyle\xrightarrow{3^3={\color{blue}{27}}}    27
      81   81
   81  81  81
 9926037  9926037  9926037  9926037
27       27       27       27      
36926037 36926037 36926037 36926037
     3      33      33      33
     27      27      27      27
רצינו לדעת האות העקובי השני כפלנו מרובע השורש עקובי ראשון שהוא ט' ג' פעמי' ועלה כ"ז והוא המחלק שנחלק עליו האותיות אחרונות אשר מן הנשארו' והם צ"ט כשהיו לאחדים בידך ויצא בחלוק ג' והוא יהיה אות עקובי שני בכפלנו זה הג' על כ"ז המ[..] ויעלו פ"א ונכתבם על האותיות אחרונות שנשארו כדי לגרעם מהם וגם בכפלנו מרובע זה האות [השורש] השני שהוא ט' על ג' כפילות מהשורש הראשון שעולים ג"כ ט' ויעלו פ"א ונכתבם על הפ"א הקודמי' בדרך שאחדיו יעמדו לפני אחדי הפ"א הקודמי' כדי לגרעם ג"כ מן האותיות שנשארו בהוצאת השורש הראשון וגם בכתבנו [כ"ז שהוא] מעוקב זה האות השני על הפ"א שניים בדרך שאחריו יהיו לפני אחדי הפ"א הפא השניים כדי לגרעם ג"כ מהאותיות שנשארו בהוצאת השורש הראשון
  \scriptstyle\xrightarrow{9926037-{\color{red}{8937000}}={\color{blue}{989037}}}   989037
  27000    27
 810000   81
8100000  81
8937000  9926037
  27      
  36926037
       33
       27
וכאשר קבצנו אלו הג' מגרעות על הסדר הזה יעלו ח' אלפי' ותתקל"ז וגרענום מהאותיות שנשארו בהוצאת השורש הראשון ידענו כי האות העקובי השני נכון כיון שהיו די למגרעות ועוד נשארו תתקפט אלפי' ול"ז וכתבנוהו לפני הראשון
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\sdot33^2}}={\color{blue}{3267}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{blue}{3}}\sdot3267={\color{blue}{9801}}}   \scriptstyle\xrightarrow{3^2\sdot\left(3\sdot33\right)={\color{blue}{891}}}   \scriptstyle\xrightarrow{3^3={\color{blue}{27}}}       27
        891     891
    9801   9801   9801
  989037   989037   989037   989037
   27    27    27    27
  81   81   81   81
 81  81  81  81
 9926037  9926037  9926037  9926037
27       27       27       27      
36926037 36926037 36926037 36926037
     33      333      333      333
     27      27      27      27
    3267     3267     3267     3267
ורצינו לדעת האות העקובי השלישי כפלנו מרובע הב' אותיות עקוביי' שהם ל"ג ומרובעם אלף ופ"ט ג' פעמי' ועלה ג' אלפי' ורס"ז ועליו חלקנו התתקעט אלפי' ול"ז שנשארו דהיינו האותיות אחרונות שהם תתקע"ט כשהיו לאחדי' ויצא בחלוק ג ויהיה שורש עקובי' שלישי בכפלנו זה הג' על ג' אלפי' אלף ופ"ט שהוא על ג' אלפי' ורס"ז המחלק יעלו ט אלפי' ותת"א ונכתבם למגרעת על מה שנשארו עוד נקח מרובע שורש עקובי שלישי [שהוא ט'] וכפלנוהו על השני שרשי' קודמי' מוכפלי' ג' פעמי' שהם צ"ט כי ג' פעמי' ל"ג עולי' צ"ט וכאשר כפלנו ט' ל על צ"ט עלו תתצ"א נכתבם למגרעת על המגרעת הקודם בהיות אחריו עודפי' לפניו גם נכתוב בזה המעוקב מהשורש שלישי שהוא [..]
    27 \scriptstyle\xrightarrow{989037-{\color{red}{989037}}={\color{blue}{0}}} \scriptstyle\longrightarrow{\color{red}{\sqrt[3]{36926037}}}={\color{blue}{333}}
  8910
980100
989037
ונגרע הג' מגרעות כאשר עשינו באות השני ולא ישאר כלום וא"כ של"ג הוא

Appendix: Bibliography

Kitāb al-Bayān / by Abū Bakr al-Haṣṣār (Morocco, 12th century)
– Hebrew translation –
by Moses Ibn Tibbon (Marseille, flourished 1240-1283)
Sefer ha-Tishboret le-Abū Bakr / Sefer ha-Ḥeshbon le al-Ḥaṣṣār
Translated in Montpellier, 1271

Manuscripts:

  1. Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/4 (IMHM: f 6711), ff. 124r-189r (1502)
  2. Oxford, Bodleian Library MS Christ Church 189 (IMHM: f 15581), (cat. Neub. 2457) (1476)
  3. Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 396 (IMHM: f 474), (Montalcino,1451)

Bibliography:

  • Aballagh, Mohamed and Ahmed Djebbar. 1987. Découverte d’un écrit mathématique d’al-Hassâr (XIIe siècle): le livre I du Kāmil, Historia Mathematica 14, pp.147–158.
  • Kunitzsch, Paul. 2003. A New Manuscript of Abū Bakr al-Hassār's Kitāb al-Bayān, Suhayl (Barcelona), vol. 3, pp. 187-192.
  • Suter, Heinrich. 1901. Das Rechenbuch des Abu Zakarija el-Hassar, Bibliotheca Mathematica, vol. 2, pp. 12-40.
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_החשבון_לאל_חצאר&oldid=7438"