Difference between revisions of "ספר המלכים"

Revision as of 14:19, 30 September 2017

שער המספר וסגולתו
(לא ידוע מחברו)

Contents 1 Introduction 2 Section One - Discussion on the Numbers One - Ten 2.1 One 2.1.1 Monad in the existences 2.2 Two 2.2.1 Properties of the number two 2.2.2 Dyad in the existences 2.3 Three 2.3.1 Properties of the number three 2.3.2 Triad in the existences 2.4 Four 2.4.1 Properties of the number four 2.4.2 Tetrad in the existences 2.5 Five 2.5.1 Properties of the number five 2.5.2 Pentad in the existences 2.6 Six 2.6.1 Properties of the number six 2.6.2 Hexad in the existences 2.7 Seven 2.7.1 Properties of the number seven 2.7.2 Heptad in the existences 2.8 Eight 2.8.1 Properties of the number eight 2.8.2 Octad in the existences 2.9 Nine 2.9.1 Properties of the number nine 2.9.2 Ennead in the existences 2.10 Ten 2.10.1 Properties of the number ten 2.10.2 Decade 3 General Properties of Numbers 3.1 Introduction 3.2 A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs 4 Epilogue of the surviving section Introduction
The issue discussed in this chapter as the purpose of this wisdom [= mathematics/arithmetic]	דע שזה השער הוא הנכבד שבזאת החכמה וכאלו הוא התכלית בה
Due to the importance this issue the Ancients wrongly assumed that the numbers are transcendent and are the beginning of the perceptible existence	ולרוב מעלת זאת החקירה טעו בה הקדמונים והניחו מספרים נבדלים ושמום התחלות המציאות המוחש
For they have found that quantity is said with regard to all material and spiritual things	וזה שמפני שהם מצאו הכמה נאמר בכל הדברים גשמיים או רוחניים
In relation to God, it is said: the extent of perception and power, or endless power etc.	וזה שבאלוה יאמר גודל ההשגה והיכולת או אין תכליות ביכולת ודומה לזה
Endless is an unlimited quantity whether in measure or in number	ואין תכלית הוא כמה בלתי מוגבל בין בשיעור בין במספר
In the separate intellects: there is a plurality and counting with regard to cause and effect, or existence and essence	וכן מצאו בשכלים מהנפרדים רבוי וספירה לפחות מצד עלה ועלול או מציאות ומהות
Most of the perceptible existences preserve limited relations	וג"כ מצאו רוב הנמצאות המוחשות שומרות יחסים מוגבלים
The measure of the bodies of the stars, the thickness of their spheres, and their eccentricity	כענין בגודל גרמי הכוכבים ועובי גלגליהם ויציאת מרכזיהם
The eight limited wheels in the universe	וכן בעגולים המוגבלים בכדור הח'
The thickness of the elements	וכן בעובי גרמי היסודות
The organs of the animals such as the joints of their organs	וכן באברי הב"ח כמו פרקי איבריהם
The extremes of the species and the quantity of its individuals	וקצוות המין בגודל אישיו כמו שנעיר על קצת מאלו בזה השער
Therefore this matter caused them to praise the number until they referred to it as a beginning, and they did so also in relation to quantity	הביאם הענין להגדיל המספר עד שייחסו אליו היותו התחלה וכן עשו בשעור
But, according to the author of the text, this assumption is a mistake	כמו שאמרנו אמנם שזה הסברה טעות
The number is incident of the counted and therefore cannot be a beginning	ושהמספר מקרה בספורים מה שבמקרה אי אפשר לשומו התחלה אין כאן מקומו
Relying on the words of Aristotle = "The Philosopher" in a few instances in his Physics, and many instances in the Metaphysics	וכבר האריך בזה הפילוסוף בקצת מקומות מהשמע ובהרבה ממה שאחר הטבע
As well as his commentators and some later Greek, Arab and Christian writers	והרחיבו בו מפרשי ספריו וכמה מחברים אחרונים יווניים וערביים ונצרים
Nevertheless, there are indeed wondrous qualities and exceptional natures in number	ועל האמת יש במספר סגולות נפלאות וטבעים משונים
The reasons of some of them are visible, the reasons of others are hidden, though they themselves are known to exist, but most are hidden themselves as well as their reasons	מהם גלויי הסבות ומהם נעלמי הסבות אבל הם ידועי המציאות ורובם שנעלמו מאתנו אלו ואלו
The purpose of the soul to apprehend the natural matters	ואין ספק שכל ענין וענין מענייני הטבע הכוללים כשתשיגהו הנפש ותדעהו תשמח ותתענג בזה מאד לפי שזה תכליתה ולזה הכינה הכח האלהי לקבול פיתוחי הנמצאות וציוריהן
Reference to Aristotle's On the Soul, III, (4, 429b30-430a2) - the image of the soul as a writing-table	ומפני זה אמר הפילוסוף בשלישי מן הנפש שהיא כמו הלוח החלק המקבל כל ציור וכתיבה
Reference to Al-Ghazālī's Maqāṣid al-Falāsifa (The Aims of the Philosophers, the logical part) - the image of the soul as a polished mirror	ואלגזאלי אמר בתחלת ספרו בכונות שהיא כמו מראה זכה מלוטשת מקבלת דמות המציאות כלו כל עת שלא יחול מסך בינה ובינם בכל או בקצת
As the soul benefits from the knowledge of the properties of natural things, even though it does not know their reasons, so it would benefit from knowing the qualities of the discontinuous and continuous quantity even though it will not know the reasons of some of them	וכמו שתהוה הנפש מידיעת סגולות העצים והאבנים ואברי הב"ח המתדמים והכליים אע"פ שתסכל ברובם הסבות תתענג הרבה בהשיגה המציאות ותצטער בסכלה הרבה ותצטער יותר כשתסכל אלו ואלו כן כשתדע הנפש סגולות הכמה המתחלק והמתדבק אע"פ שתסכל בקצתם הסבות תתענג הנפש תענוג גדול במה שהשיגה
Reference to the saying of an Arab sage who praise the knowledge of the natures of the existences without knowing their reasons	ולזה אמר אחד מחכמי ישמעאל מי יתן ונדע טבעי כל הנמצאות ונסכל סבותיהם
The one who knows the characteristics and properties of number:	ונשוב למה שהיינו בו ונאמר שמי שידע טבעי המספר וסגולותיו
1) Knows many of the characteristics of the existance, which should always be known	ידע הרבה מטבעי המציאות אין ראוי שיוסכלו לשלם
2) Deduces some precious guidelines concerning the world, God, the angels, the spheres, the soul, and the lower existences - of which not much is known	ועל הכונה הב' יקח מהם כמה הערות יקרות בעולם באלוה ובמלאכי' ובגלגלים ובנפש ובנמצאות השפלות ואנחנו בלא ספק נדע מעט מהם ונסכל הרבה ואף גם זאת במעט אשר נודע לחכמים ואמרו בו כמה רמזים יקרים משמחי לב ומאירי נפש
The same goes to geometry - there are wondrous qualities in geometry that testify to valuable secrets	ודע שזה הענין כן הוא בהנדסה ר"ל שיש בה סגולות נפלאות יעי[דנו] על סודות נכבדים
God has set these two [= arithmetic and geometry] as an analogy and example to the whole existence	וכאלו ב' אלה הטבעים שמם האלוה ית' על הכונה השנית דמיון ודוגמא למציאות כולו
The author states that his discussion is based on what he has found in the words of the previous scholars	ואחר שהקדמנו זה נתחיל לדבר בזה כפי מה שמצאנו לחכמים לפנינו
He declares that he does not elaborates and does not refer to implausible remarks of the predecessors, but summarizes as much as possible without leaving out what is necessary	מעט שהושקף לנו מבלתי שנעמיק ונטה אל קצת הערות דחוקות זכרום קצת אנשים מצורף למה שהסכמנו לקצר כפי כחנו מבלתי שנשמיט ההכרחי

Section One - Discussion on the Numbers One - Ten
One
The numerical one testifies to issues related to God –	ומעתה נתחיל ונאמר שמהאחד המספריי נוכל להכיר כמה עניינים בבורא
It cannot be multiplied [1×1=1; a×1=a], divided [1÷1=1; a÷1=a] or changed, and therefore cannot be increased when multiplied by itself	מהם שכמו שהאחד המספרי מצד שהוא א' לא מתרבה ולא מקבל חלוק ושנוי ולזה לא יתרבה בהכפלו בעצמו כן הבורא ית' שהוא אחדות אחת יותר פשוט לא יתואר בצד מן הצדדים ברבוי בעצמו רק ביחס השלמיות אליו או בצירוף פעולתו בנמצאות
It is in itself in actu and in number in potentia	וכמו שהא' המספרי הוא בעצמו בפעל ובמספר בכח כן האלוה ית' הוא בעצמו בפעל גמור אחר שהוא עלת הכל ונבדל והוא בכח בכל אחד מן הנמצאות
The author mentions a saying of a christian sage according to whom God offers himself to every being	ומזה הצד אמרו החכמים שהבורא בכל ולזה אחד מהחכמים כששאלו תלמידו אנה הוא האלוה השיבו אנה אינו ר"ל שהכח האלהי מצוי בכל נמצא כפי מה שבטבעו שיקבל ממנו וזה הוא מה שאמר א' מחכמי הנוצרים שהאלוה מתנדב עצמו לכל מצוי
It is the cause and beginning of number but not a number itself; the number exists by it and it is a part of the number, but the number is not a part of it	וכמו שהא' המספרי עלת המספר והתחלתו ואינו מספר ולא יצדק בו גדר המספר ובו קיום המספר ולא עד שיחולק המספר בחלוקו והוא לא יחולק בהסתלק המספר כן האלוה האחד הוא עלת כל הנמצאות כלן והתחלת היותן וקיומן ואינו משאר הנמצאות ולא חלק מהן אבל הוא נבדל מעלוליו עם היותו עלה ובהסתלקו יסתלקו שאר הנמצאות ולא יסולק הוא בהסתלקן
It has only one side – it is the beginning of counting and the multitude continues from it to infinity in potentia	וכמו שהאחד המספריי אין לו רק פאה א' לפי שהוא גבול הספירה וממנו ימשך הרבוי עד לאין תכלית בכח וכלה הוא בכל גבול הנמצאות אין אחריו כלום לא בפעל ולא במחשבה
	וזה שאפי' המחשבה אינה הולכת לאין תכלית אבל מכח אלהותו ירבו ויתמעטו הנמצאות ויאצלו עד תכליתן בהדרגה במין ולאין תכלית באישים באים זה אחר זה בכח
The author rejects the common saying that one is a root, a square, a cube, or a triangular	ומה שאמרו קצת אנשים שהאחד שרש ומרובע ומעוקב ומשולש הוא טעות
since the numerical one is devoid of all subjects outside the essence and thus has no multitude or division	וזה שהאחד המספריי לקוח בשכל מופשט מכל נושא חוץ לנפש ומצד שהוא כן אין רבוי בו בשום פנים ואיך א"כ יתואר במה שיסבול ההחלק והרבוי כמו מרובע ומעוקב שהם דברים מתחלקים בכח לאין תכלית ואם נאמר שהאחדות המונח חוץ לנפש כמו אמה וזרת שומרים אותו האחדות ברבוע ועקוב אנו אומרים שזה הבל שכבר נתרבו אלו באלכסוניהם
Despite all the above, even though the characteristics of the numerical unity are similar to the nature of divinity, the possibility that God will be described by a numerical unity is denied –	ואם ישאל שואל למה לא יתואר הבורא ית' באחדות המספריי אחר שטבעיו דומים לטבע האלהות
These similarities are not founded on one nature	נשיב לו שאלו הדמויים אינם כלם ולא רובם על טבע אחד
Some of the properties of numbers are shared also by one, in most cases it shares the characteristics of odd numbers [Note: here a hint is given for two chapters which appeared in the original text before the present chapter but are missing in the survived version]	ועוד שהאחדות המספריי ישיגהו שלפעמים ילבש מלבוש נכרי וישתתף לריבוי ר"ל למספר בקצת טבעיו כמ"ש בקצת מקומות מב' שערים שעברו ויתבאר יותר בזה השער כשנדבר בסגולות הפרטיות וזה שיש טבעים שישיגו המספרים והאחד עמהם וברוב המקומות טבעו טבע הנפרד
The fact that one shares the characteristics of numbers at times, but in other occasions not - is among of the things related to number whose reason is very mysterious	וזה א' מהדברים הנמצאים במספר שסבתו נעלמת מאד ר"ל היות האחד פעם טבעו טבע מספר ופעם לא
Hence, the unity of God is different than the numerical unity	יתבאר א"כ מזה שאחדות האלוה מתחלף מהאחדות המספריי
The unity of God does not cease in any aspect and relation, it is a simple unity permanent forever almost inaccessible for the intellect due to its depth and subtlety	וזה שאחדות האלוה לא יפסד בשום בחינה וצירוף אבל הוא אחדות פשוט שמור לעולם כמעט שיבצר מן השכל לעומקו ודקותו
Monad in the existences
The worthy existences are united in receiving the quality of unity - their species exists as one individual	וכמו שהאחדות המספריי יכלול כל המעלות הנזכרות ויותר הרבה נתיחדו הנמצאות הנכבדות לקבל טבע האחדות כפי כחן והיה מינם מתקיים באיש א' כמו האלוה ית' והשכלים הנפרדים לפי שהם יתחלפו ב[מ]יניהם במין והשמש והירח יתחלפו כלם כן וזה שאחר שיש להם פעולות מתחלפות במהות המקבל א' בעצמו הנה הם בלא ספק יתחלפו במהות ובמין אם כן כל א' מהם יחידי במינו
The universe as a whole is one from this aspect - as explained by Aristotle, On the Heavens, I.8, 277b8-13	גם העולם בכללו מצד זה א' לבד כמו שביאר הפילוסוף בראשון מהשמים והעולם

Two	השנים
The beginning of the numerical multitude	תחלת הרבוי המספריי
The beginning of the existent multitude	וכן תחלת הרבוי הישיי
The separate intellect, which follows the unity of God, has duality – it is composed of	וזה שאחר אחדות האלוה הוא השכל הנפרד ואין בו רק השניות והוא העלול הא' שיש בו הרכבה ויש בו הרכבה
Cause and effect	מעלה ועלול
Existence and essence	וממציאות ומהות
Since it is an effect, for every existence is an effect, the existence is an accident in it, so the accident and the holder of the accident are the same, whereas in God, though it is an effect, the existence and the essence are absolutely one	לפי שהוא עלול וזה שכל נמצא עלול המציאות מקרה בו והמקרה ובעל המקרה שוים אבל האלוה לפי שאינו עלול המציאות והמהות בו אחד לגמרי
Properties of the number two
Analogy between two and the first effect: $\scriptstyle2+2=2\times2$	ומטבע השנים שמחברתו כמערכתו ר"ל שרבוי העלול הראשון אינו רבוי גמור רק בהצטרף לא רבוי מהויות ולזה הוא דומה לטבע השניות המספרי שמערכתו לא יותיר על מחברתו
for every $\scriptstyle n>2$ : $\scriptstyle n+n<n\times n$	וזה בחלוף כל המספרים שאחריו וזה שכולם יעדיף מערכתם על מחברתם
Mean between the nature of unity and the multitude - mean between one and three	וכאלו הוא ממוצע בין טבע האחדות והרבוי ולזה בטבעו הוא מונח בין האחד והשלשה
$\scriptstyle1+1>1\times1$	וזה שהאחד מחברתו יותר ממערכתו
$\scriptstyle3+3<3\times3$	והג' בהפך
Therefore two has a moderate nature and similarly is the first effect that is not entirely one and not completely multiple	ולפי שהשנים ממוצע ביניהם יש לו טבע ממוצע בין עניין העלול הראשון שאינו א' לגמרי ולא רב לגמרי
The first even number	והנה השנים הזוג הראשון
Dyad in the existences	וכמה דברים כוללים במציאות והנה השנים הזוג הראשון שירוץ מספרם בשנים בין בשכלים בין בגלגלים בין ביסודות והמורכב מהם
by itself, by other	באלוה בחינת שניות האחד בבחינת עצמו השני בבחינת זולתו
cause, act	כמו שהוא עלה או פועל מזה שהתחלות הדברים המוחשים זוג השניות
matter, form	אם בגשמים היסודים החומר והצורה
substance, shape	ואם ברקיעים הנושא והצורה
types of limitations/parallels [?]	וכל מי המגבילות זוג השנים
affirmation, negation (Aristotle, De interpretatione I.4, 16b)	והגבלת האמתיות ובשוללות ולזה היא היותר קודמת שבמושכלות כמו שביאר הפילוסוף בשני ממה שאחר
truth, false	והאמת והשקר שנים
parts of the time: past, future	חלקי הזמן שנים עבר ועתיד וזה שההוה בלתי מוגבל ולא קיים
life, death	החיים והמות שנים
potentiality, actual	הכח והפועל שנים
changes: causing, accepting	השנוי בשנים הפעל וההתפעלות ר"ל הקבול
bodies: earthly, heavenly	הגופות שנים היסודי והרקיעי
earthly bodies: simple, compound	היסודיי שנים פשוט ומורכב
heavenly bodies: planet, star	הרקיעיי שנים הגלגל והכוכב וזה שהם מתחלפים במהות לפי שהגלגל ספירי והכוכב לא והגלגל מתנועע בעצם והכוכב במקרה
movement of the planets:	תנועות הגלגלים הגלגלים
longitude – west and east	בארך שנים ימה וקדמה
latitude – north and south	וברוחב שנים צפונה ונגבה
planets:	הגלגלים יתחלפו ישתתפו בטבעיהם שנים שנים כמו שיאמרו האצטגנינים
two luminaries	וזה שמהם שנים מאורות
two benefic	ושנים מצליחים צדק ונגה
two malefic	ושנים מזיקים שבתי ומאדים
	וכותב אין לו טבע מוגבל אבל הוא לפי דבריהם מתהפך
genus: male, female	טבע הסוגיות בשנים זכר ונקבה ואין ביניהם שלישי ממוצע רק בשגיאת הטבע כמו הטומטום והאנדרוגינוס וזה אשר אמרנו בנולד מכמוהו במין אבל במגילד מהעיפוש אע"פ שהוא ממה שבטבע הנה אינו טבעי
composed organs: homogeneous, organic	מיני האברים המורכבים שנים מתדמה וכליי
analogies: equality, difference	סוגי ההקשה שנים השתוף וההבדל
living species: actor, intelligent	מיני החיים שנים פעליים ומחשביים
laws: natural, punitive (Aristotle, ?)	מיני הנימוסים שנים טבעי וקנסי כמו שביאר הפילוסוף בשני מס' ההליכה
durations of existence: in time, in eternity	המשכות הנמצאות בשנים בזמן או בנצחות
relations between the beings: agreement, difference (Ikhwān al-Ṣafā, Jābir ibn Hayyān)	בחינת הנמצאות אלו עם אלו בשנים והם ההאותות והחלוף וזה סוג כולל יכנסו תחתיו כל מיני טבעי הנמצאות כמו שביארו מחברי אחואן אלצפא וגאבר בן חיאן מלמד הכימיא בספרו בסגולות הדברים
kinds of excellences: intellectual and moral (Aristotle, Nicomachean Ethics, II.1, 1103a14-25)	סוגי האשור שנים מחשביי ומדותיי כמו שביאר הפילוסוף בראש המאמר [א]ב' מהמדות

Three	השלושה
Properties of the number three
The first odd number	הוא ראשון למספרים הנפרדים
Concludes the three kinds of numbers – one, even and odd	ובו נשלם כל טבע המספר וזה שבו האחד ושני מיני הריבוי שהם הזוג והנפרד
Triad in the existences
	וכמו שהשלשה בסדור המספר אחר שנים כן בהשתלשלות המציאות טבע השלוש מגיע אחר השניות
God is described as: the form, the act, and the purpose of the world	וזה שאחר שנניח האלוה ושהוא ממשיך המציאות מאתו יתואר בשהוא צורת העולם ופועלו ותכליתו
According to Ibn Rushd, in the second book of his epitome on the Metaphysics, these three are one, and do not indicate plurality in God	ושלשה אלו הם א' לא יתנו רבוי בעצמו ית' כמו שביאר בן רשד בסוף השני מקצורו למה שאחר
According to Aristotle in natural things these three are also one in subject and three in observation	וגם בדברים הטבעיים הוא כן כי הצורה והפועל והתכלית א' בנושא שלשה בבחינה כמ"ש ארסטו בשני מהשמע
God is descibed also as: intellect, the endowed with intelligence, intelligence	וכן יתואר הבורא בשלוש שהוא שכל ומשכיל ומושכל
According to the great sages these three do not indicate plurality in God	ולא יביאו אל הרבוי כמו שביארו גדולי החכמים
Thus, Aristotle said (On the Heavens, I, 268a1-268b10) that because three has two ends and a middle it is whole and complete and therefore God should be magnified by this number, in accordance with the act of nature as a law	ולזה אמר ארסטו בתחלת הראשון מספר השמים כשביאר שהג' כל ושלם אחר שיש לו ב' הקצוות ואמצעי שראוי מפני זה שנגדיל האלוה בזה המספר כדי שנמשך לפעל הטבע ויהיה זה כאלו הוא תורה לנו
three prayers (based on Ibn Rushd saying)	ובן רשד המפרש פי' בו מספר התפלות והקרבנות ואולי זאת היתה כוונת מיסדי תפלותינו שהם שלש אנחנו הישראלים
attributes of God: Wisdom, Power, Will	תארי הבורא בשלמות שלשה חכמה ויכולת ורצון
what follows the second cause: the first orb, its essence, and the mover of the second orb	והעלה השניה ממשיכה אחריה ג' והם הגלגל הראשון ונפשו ומניע הגלגל השני
properties of the heavenly bodies: in each of the seven spheres many orbs are moving one star; in the eighth sphere one orb moves many stars; in the ninth sphere there is no star	ובגרמים השמימים טבע השלוש וזה ששבעת הכדורים בכל א' גלגלים רבים להניע כוכב א' ובשמיני גלגל א' יניע אלפ וכ"ב כוכבים ובט' אין בו כוכב
longitudinal motions of the stars	ומצד אחר כוכבי הרקיע השמיני תנועתם פשוטה מתדמה סביב מרכז העולם ובמאורות בלתי מתדמה ולא סביב מרכז העולם אבל ישיגם נזורות ובה' כוכבי הנבוכה ישיגם הנזורות הנה נבדלו הגופים הרקיעים בג' טבעים בתנועתם באורך
horizontal motions of the stars	ומצד אחר בתנועת הרחב וזה שהשמש אין לו תנועה ברוחב מאזור המזלות והירח יתנועע ברוחב בכל גלגלו הנוטה ברוחב קיים הנטיה ובחמשת הכוכבים גלגלם הנוטה בלתי קיים
eccentric sphere or epicycle; eccentric sphere and epicycle; neither	ומצד אחר השמש לפשיטותו יספיק בו יציאת המרכז או גלגל הקפה והששה הנשארים צריכים לשניהם וכוכבי שבת אין בהם לא זה ולא זה
solar eclipse; lunar eclipse; neither	ומצד אחר השמש תקרהו הסתרה והירח לקות והוא אבוד האור לגמרי והנשארים לא זה ולא זה
worship: in thought, in speech, in act???	ויש בהם שלוש מפנים אחרים אבל אלו שזכרנו די
qualities of the astrological signs: constant, tropical, bicorporal	טבעי המזלות שלשה קיים מתהפך בעל ב' גופות
qualities of the elements:	וכן ביסודות שלש
completely light, completely heavy, both light and heavy	מהם קל במוחלט מהם כבד במוחלט מהם כבד וקל בהצטרף
completely thick, completely thin, both thick and thin	ומצד אחר מהם עב במוחלט ומהם דק במוחלט ומהם עבים ודקים בהצטרף
extremes (hot and dry – cold and moist) and the mediate	ומצד אחר מהם קצוות באיך כמו החם והיבש והקר והלח והנשארים מתמצעים בין ב' אלו להשתתפם עם הנשארים בא' מאיכיותיהם
movements of the bodies:	מיני תנועות הגשמים ג'
form the center, to the center, around the center	מן האמצע אל האמצע סביב האמצע
straight, rotative, spiral	מיני התנועות מצד אחר שלשה ישרה וסבובית ומורכבת משתיהן הנקראת סלזונית
worlds	הנה התבאר שהעולמות ג' ושבכל א' מהם מצוי טבע השלוש בדרך שביארנו גם באלוה בתאריו כמו שזכרנו לא זולת זה
souls: vegetative, animal, rational	גם בנמצאות מצוי טבע השלוש כי הנפשות ג' במין הצומחת והחיונית והמדברת
plants: tree, grass, vegetable	מיני הצומח ג' האילן והעשב והירק והעשב נשאר זמן כמו האילן והירק מזריע ומתיבש בתוך שנה
animals: walking, flying, reptile	מיני החי ג' המהלך והמעופף והשח והמדבר לא יחלק לפי שלא יתרבה במין
faculties: natural, animal, rational	מיני הכחות ג' טבעי חיוני ונפשיי
dimentions: length, width, depth	המרחקים ג' האורך ורחב והעומק
foundations of the three dimentions: line, surface, body	ולוקחים התחלותיהם מג' הקו והשטח והגשם
triangular shape – the first of the plaine shapes, built of three lines, the foundation of all polygons, therefore the ancients thought it is an element (Aristotle, On the Heavens, III, 306b3-29)	התמונות הישרות הקוים השטוחות הראשונה מג' גבולים והוא המשולש וכל שאר התמונות ישרות הצלעות הרבות אליו יותרו ולזה חשבוהו הראשונים יסוד כמ"ש הפילוסוף בב' מהשמים והעולם
sciences: mathematics, physics, metaphysics	החכמות ג' הלמודיות והטבעיות והאלהיות
figures of universal syllogisms (Aristotle, Prior Analytics)	תמונות ההקש המולידות ג' כמ"ש בראשון מספר ההקש
analogies: equality, excess, defect	מיני ההקשה הראשונים ג' אם שווי אם תוספת אם חסרון
proportions: arithmetical, geometric, harmonic	מיני היחס הכוללים ג' המספריי המדותיי הנגוניי
faculty of speech: noun, verb, statement (Aristotle, De Interpretatione, I, 16a1-3)	הדבור אצל הפילוסופים שלשה שם ופעל ומלה כמו שהתבאר בתחלת ספר המ
perseverance of the elements: not existing and not perishable, permanent and perishable, permanent	מיני הטבעים בהתמדה ולא התמדה שלשה לא הוה ולא נפסד באלוה מתמיד במין נפסד באיש כיסודות והמורכב מהם מתמיד באים כמו המלאכים והגלגלים והכוכבים
main leading faculties: generative, growing, nutritive	הכחות המנהיגות הראשית ג' מוליד ומגדל וזן
things that are found in the souls: states, faculties, passions (Aristotle, Nicomachean Ethics, II.5, 1105b19-28)	הדברים הנמצאים בנפש ג' מקרים כחות ותכונות כמ"ש הפילוסוף בשני מספר המדות
kindes of love: love of goodwill, love of pleasure, love of utility (Aristotle, Nicomachean Ethics, VIII, 2-3, 1155b17-1156a21)	מיני האהבה ג': אהבת מעלה אהבת הנאה אהבת תועלת כמ"ש ארסטו בתחלת הח' מס' המדות
parts of the soul: desire (action), sensation, thought (truth) - "what affirmation and negation are in thinking, pursuit and avoidance are in desire" (Aristotle, Nicomachean Ethics, VI.2, 1139a17-31)	בנפש ג' חלקים אחד לפועל והוא התאוה ושנים לשפוט והם החוש והשכל ומה שהוא בשכל חיוב ושוללות הוא בתאוה דרישה ובריחה כמ"ש בו' מס' המדות
matters: necessary, impossible, possible	החמרים בגזרות ג' מחויב ונמנע ואפשר שהמשולח מטבע האפשר והא מין ממיניו לפי דעת האחרונים
cones: sufficient, supplementary, deficient (Apollonius, The Conical Sections, book I)	החתוכים הנופלים במחודד בעגול ג' המספיק הנוסף והחסר כמ"ש במאמר הראשון מספר אבולוניוס בחרוטים
social conducts [types of life]: enjoyment, political, contemplative (Aristotle, Nicomachean Ethics, I.5, 1095b13-1096a5)	מיני מנהגי המדינות כפי מה שיראה ארסטו בא' מס' המדות ג' והם התענוג הכבוד העיון

Four	הארבעה
Properties of the number four
the first composite number	תחלת מספר מורכב
the first even-times-even number	ותחלת זוג הזוג
the first square in actu	ותחלת מרובע שיהיה בפועל
1+2+3+4=10 → the end of the first rank	וחבורו משלים י' שהם בפנים מספרי המעלה הראשונה
$\scriptstyle\sqrt{4}=\frac{1}{2}\sdot4$	ושרשו חציו
$\scriptstyle4=\frac{1}{2}\sdot\left(\sqrt{4}\right)^3$	והוא חצי מעוקבו
Tetrad in the existences	אמנם בנמצאות איך ימצא רבוע אחר השלוש
things shared by the existents apart from God: imperfect; caused; have multitude; the faculty of each does not spread to the rest (Plato, Timaeus)	כבר ביארו אפלטון בס' טימאוס הרוחניי כשאמר שהנמצאות כלם בלתי האלוה אחר הבדלם בישיותהם ישתתפו בארבעה דברים בהיותם בלתי שלמים בהיותם עלולים בהיותם בעלי רבוי בהיות כח כל א' מהם בלתי מתפשט בכל הנשארים
things in the orbs: orb; star; essence; separate mover	ובגלגלים ד' דברים הגלגל והכוכב הנפש והמניע הנבדל
natures in the orbs: stars, planets; the two luminaries (Maimonides, Guide II.9)	בגלגלים המצויים ד' טבעים המכוכב כוכבי הנבוכה שני המאורות כמו שבי' הר"מ ז"ל פי י"א משני
faculties emanate from the orbs: inanimate; vegetative; animal; rational	הכוחות השופעות מן הגלגל ד' הדומם הצומח החי המדבר
skills of analogy: proof; argumentation; refutation; rhetorics	המלאכות אשר תעשנה ההקש ד' והן המופת והנצוח וההטעמה וההלצה
seasons: cold; hot; summer; winter	התקופות ארבעה קור וחום קיץ וחורף
astrological aspects: opposition; triplicity; quartile; sextile	מיני המבטים אשר כפיהם יתמזגו ניצוצות הכוכבים ארבעה נכח שליש רביע שתות
opposites: contradiction; correlation; privation and possession; affirmation and negation	המקבילות ארבעה ההפכים המצטרפים ההעדר והקנין החיוב והשוללות
qualities: hot; cold; moist; dry	האיכיות ארבעה החום והקור הלחות והיובש
created mixtures	וההמזגות המתילדות מהם ד' כמ"ש החכמים
types of “how”: possetion; meaning; natural faculty and nonnatural faculty; causing and effecting	מיני האיך קנין ענין כח טבעי ולא כח טבעי הפעל וההפעלות
phlegms: red; black; white; blood	הליחות ד' אדומה שחורה לבנה ודם
causes: matter; form; act; purpose	הסבות ד' החומר והצורה והפעל והתכלית
directions: west; east; north; south (Aristotle, ?)	הרוחות ד' ימה וקדמה צפונה ונגבה והם מוגבלות כמ"ש הפילוסוף בתחלת השני מס' השמים והעולם כשביאר שלגלגל פאות מוגבלות בטבע
perfections	מיני השלמויות ד'
acting powers: attraction; retentive; digestion; repulsion	הכוחות העובדות הכח ד' מושך מחזיק מעכל ודוחה
heavenly cardines: ascendant; line of the lower midheaven; setting point; midheaven	יתדות הרקיע ד' הצומח וקו התהום והשוקע וחצי השמים
primary mental faculties: intellect; mixing; strength; righteousness	כחות הנפש הראשונים ד' והם השכל וההמזגה והחוזק והצדק
trees: those that have waters; those that have resins; those that have oils; those that have milky saps	טבעי האילנות ד' בעלי מימות בעלי שרפים בעלי שמנים בעלי חלבים כמ"ש בס' עבודת האדמה
primary organs: brain; heart; liver; testicles	האיברים הראשונים ד' מוח לב כבד אשכים
medicine faculties (Ibn Rushd)	מיני הכחות המיוחסות לרפואות כפי פעולתם בנו ד' כפי דעת האחרונים ובפרט בן רשד בס' הכליות
constructions of the figure (Aristotle)	חבורי התמונה ד' ואין בכל חבורי שאר התמונות טבעי, אלא כי זאת התמונה יש שאמר ארסטו בהקש ממה שת[..]ול מחשבת בני אדם בטבע והיא תנליו בלא מלאכה ותוליד כל מיני הסותרים ושאר התמונות בהפך כל אלו כמו שהתבאר בספר ההקש
questions: simple "if"; complex "if"; what; why (Aristotle, Posterior Analytics, II, 1, 89b23-24)	מיני הדרישות ד' אם פשוט אם מורכב ומה ולמה כמ"ש הפילוסופ בתחלת השני מס' המופת
other have said these are: if; what; how; why	ואחרים אמרו שהם אם ומה איך ולמה
animals of the chariot	חיות המרכבה ד'
Zacariah’s chariots	ומרכבות זכריה ד' והם מורות על עניינים נכבדים זכרו מהם החכמים שלפנינו הרבה
	ועדין נשאר הרבה אבל אין בזה הספר מקום לדבר בם וכ"ש שסובלות דברים ארוכים ועמוקים ואם יניח השם לנו ניחד בהם מאמר בפני עצמו

Five	החמשה
Properties of the number five
round number – the units of the powers of five are always five	מספר עגול סובב על עצמו וזה שהוא שומר עצמו במרובעו ובמעוקבו
$\scriptstyle5^2=25$	כי מרובע ה' כ"ה
$\scriptstyle5^3=125$	ומעוקבו קכ"ה
$\scriptstyle5^n=10a+5$	ואם יכפל יותר ימצא בו פרט ה'
middle among the units	וזה שהחמשה כנקודה אמצעית בין המספרים הט'
a sum of the first square in potentia and the first square in actu	והוא חבור המרובע הראשון בכח עם המרובע הראשון בפעל
$\scriptstyle5^2+\left(2\sdot5\right)^2=25+100=125=5^3$	ויש בו סגולה נפלאה מעידה שהמספרים ט' לבד והיא שהחמשה מרובעו ומרובע מרובעו ומרובע כפלו כמו מעוקבו וזה שמרובעו כ"ה ומרובע כפלו ק' הרי קכ"ה והוא מעוקב ה'
$\scriptstyle\left[n^2+\left(2\sdot n\right)^2\right]:n^3=5:n$	וכל מספר שלפני ה' ערך מרובע ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר אל ה'
	וכל מספר שאחר ה' הדבר בהפך והנה נאריך בזה במקומו הראוי לו
Pentad in the existences	ויש בנמצאות דברים כוללים ירוצו מרוצת הה'
foundations of existence: intellect, form, matter, place, time (Plato, Timaeus)	מהם כמ"ש אפלטון בס' תימאוס שהחמשה הם שרשי המציאות והם השכל והצורה והחומר והמקום והזמן
subjects of Geometry: point, line, surface, solid, angle	נושאי ההנדסה ה' הנקודה הקו והשטח הגשם והזוית
predicates of the sentence: genus, species, difference, property, accident	נשואי הגזרות ה' והם הסוג המין ההבדל הסגולה המקרה
corporeal senses: sight, hearing, smelling, taste, touch	ההרגשות הגשמיות ה' הראות והשמע והריח והטעם והמשוש
signs of life in the nativities: the two luminaries, the ascendant, midheaven, lot of beauty	סימני החיים במולדות אצל ההוברים ה' והם מקומות שני המאורות והצומח וחצי השמים וגורל היופי
orbs	ירידת הכח הגלגליי בעולם השפל תלוי במצבי ה' עגולים והם עגול המזלות ועגול ב' ההפוכים ועגול המבדיל בין הנראה תמיד מהגלגל והעגול המבדיל בין הנסתר תמיד
vowels (Nahmanides / Moses Qimhi, Ibn Ezra)	התנועות שיבוטאו בהם התארים הגזרים ה' והם פתח צרי חירק שורק חולם והשאר אינם טבעיות ויקראו בעלי הנקוד בתנועות כמו שיאמר רמב"ן בקצורו לנקוד ואבן עזרא בס' ואלה שמות
geometrical perfect solids (Euclid)	התמונות הגשמיות שוות התושבות וימוששו מכל צד הם ה' לבד וכבר התבאר עניינם בי"ג מאיקלידס
final types of analogies between things	מיני ההקשה האחרונים בין הדברים שיפול ביניהם הם ה' וכבר התבאר עניינם בשער השני
retrograde planets	הכוכבים שהשתתפו בנזורות ורחב בלתי קיים הם ה' שצמנ"כ
simple and compound parts of speech: sound, letter, word, section, sentence	חלקי הדבור הפשוטים והמורכבים ה' והם הקול האות הגזר התיבה הגזרה
kinds of excellences: three intellectual [and two moral] (Aristotle, Nicomachean Ethics, I.13, 1103a4-13)	מיני האשור ה' ג' במחשבי וכו' כמ"ש בסוף הא' מס' המדות
generative faculties of animals: gives birth to its like in its body; lays eggs in its body and [gives birth to] an animal outside its body; lays complete eggs in its body and outside its body; lays incomplete eggs in its body which are completed outside [its body]; generating worms outside its body (Aristotle, Generation of Animals, II.1, 732a25-b7)	התולדה בב"ח תמצא על ה' פנים הא' שיוליד בגופו חי כמותו בצורה והב' שיוליד בגופו בצים וחוץ מגופו בע"ח הג' שיוליד בגופו וחוץ מגופו בצים שלמים הד' שיוליד בגופו בצים בלתי שלמים וישלמו בחוץ והה' שיוליד בחוץ תולעים כמ"ש הפילוסוף בי"ו מס' ב"ח
causes of maleness and femalenees: mixture of two, directions, nature of the place, nature of the water and the air (Aristotle, Generation of Animals, IV)	סבות הזכרות והנקבות בב"ח ה' והם המזג השנים הרוחות טבע המקום טבע המים והאויר כמ"ש ארסט"ו בי"ח מב"ח

Six	הששה
Properties of the number six
The first even-times-odd number	תחלת זוג הנפרד
round number – the units of the powers of six are always six	והוא כמו כן מספר כדוריי מתגלגל על עצמו כמו החמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}$	וזה שהששה שומר ג"כ עצמו במרובעו ובמעוקבו כמו החמשה וזה כי ו' על ו' ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}$	וו' על ל"ו רי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{6^n=10a+6}}$	ואם יכפל עוד ישמר בכפל ההוא וכן לעולם
the only perfect number among the units	והששה מספר שלם ר"ל שחלקיו שוים לכולו לא פחות ולא יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=3+2+1=6}}$	וזה שחציו ג' ושלישיתו ב' וששיתו א' הרי ששה
	ואין בלעדיו מספר שלם במדרגה הראשונה
the only perfect number among the tens is 28	ובשנית ימצא אחד והוא כ"ח
among the hundreds – 496	ובשלישית תצ"ו
among the thousands – 81[2]8	ובד' שמות אלפים ר"פ ומן הוא והלאה לא ימצא מספר שלם רק בדלוג מדרגות
the perfect numbers are very few; most numbers are either deficient or abundant – analogy to people is added	וכל המספרים אם נוספים ואם חסרים וחכמי העיון הוציאו מזה רמז כי השלמים ימצאו מעטים ובפליאה ובדלוג מדינות ודורות
(Aristotle,)	ואמנם קראו זה המספר שלם לפי שגדר השלם כמ"ש הפילוסוף הוא אשר אין להוסיף עליו ולא לגרוע ממנו ולזה נק' העגול שלם בתמונות השטוחות והכדור במוגשמות
	והאנשים שעניינם כך מעטים
	ואמנם רוב האנשים אם חסרים מהראוי להיות בם ואם שיהיו בם דבר לא יתכן שיהיו
	ואמנם הדרך בהוצאתם נבארהו כשנגיע אל הסגולות הפרטיות
Hexad in the existences	וכמה דברים כוללים בנמצאות ירוצו מרוצת הששה
cause of existence: God, intellect, soul, wheel, form, primeval matter (Al-Fārābī)	כמ"ש אלפראבי בתחלת ספרו הנק' התחלות הנמצאות שאמר שהתחלות המציאות ששה והם האלוה השכל הנפש הגלגל הצורה ההיולי
directions: upward, down, right, left, forward, backwards	הפאות ששה מעלה ומטה ימין ושמאל פנים ואחור
northern signs	המזלות הצפוניים ו' והם טש"ת סא"ב
southern signs	והדרומיים ו' מע"ק גד"ד
composition of relations in diverse aspects	חבור היחסים הל[קוחי]ם בנושאים מפורדים אמנם הוא בו'
musical sounds	קולות הנגון ו' ובד' מהם מתחיל הטבע האחד מהנעימה והולך עד ששה וכן משם ולמעלה עד לאין תכלית כי מה שאין תכלית לו אי אפשר שיצא אל הפעל לעולם
rational continuous or discontinuous lines	הקוים האלמים מדובקים או נבדלים המתילדים בכל סוג מסוגי הנבדלים הם לעולם ששה ששה
orifices of the human body: eye, ear, nose, mouth, small intestine, lagre intestine (Aristotle, ?)	מוצאי המותר בגוף האדם ו' והם העין האזן האף הפה מוצא המותר הדק ומוצא המותר העב ואין ראוי למנות הכפולים רק אחדים כי כמ"ש הפילוסוף לא נכפלו רק מפני היותר טוב
general faculties of the human soul: growth, nourishment, sensation, common sense, imagination, reason	כחות הנפש האנושית הכוללים ששה והם צמיחה הזנה הרגש חוש משותף דמיון שכל
joints of the arm, the hand and the finger	פרקי הזרוע והיד וכל אצבע ששה וזה שמהכתף עד תחלת היד שנים ומתחלת היד עד ראש כל אצבע א' ובכל אצבע ג' הרי ו' וכלם מתיחסים בהדרגה ביחס מוגבל בטבע אם לא שישנה הטבע על הזרות
joints of the legs to the tip of each toe	וכן מתחלת הרגל עד קצות כל אצבעות הרגל
protrusive organs of the face: two eyes, two ears, two nostrils	האיברים הבולטים בפנים ו' והם שתי עינים שתי אזנים שתי נחירים ואין ראוי למנות השפתים לפי שהאדם יכול לקפוץ פיו ושפתיו ולא יוכר בם שנוי משאר שטח הפנים
greatest stars in the skys	גדלי כוכבי הרקיע כלם יחלקו לו' כמ"ש החכמים
common causes of health and sickness: surrounding air, food and drink, motion and rest, sleeping and waking, emptying and constipation, psychological accidents	הסבות המשותפות לבריאות והחולי ששה האויר המקיף מאכל ומשתה תנועה ומנוחה שינה ויקיצה הרקה והסגר חדושים נפשיים

Seven	השבעה
Properties of the number seven
The last prime number among the units	הוא מספר ראשון שבמדרגה ראשונה וזה שהמספרים הראשונים שבמדרגה היא בגה"ז
a sum of the first even number and the second odd number (7=2+5)	ומספר הז' מורכב מתחלת הזוגות עם שני לנפרדים
a sum of the first odd number and the second even number (7=3+4)	ומתחלת הנפרדים עם שני לזוגות ולזה קראוהו קדמוני החכמים מספר כולל
middle between the four composite numbers among the units (4; 6 / 7 / 8; 9)	והוא אמצעי בין ארבעת המספרים המורכבים שנים לפניו ושנים לאחריו לפניו ד"ו ואחריו ח"ט
$\scriptstyle2\sdot7=1^2+2^2+3^2$	ואם תכפול שבעה יהיו י"ד וזה עולה במחובר מרובעי אב"ג שהם כל טבע המספר כמ"ש למעלה
1+2+3+4+5+6+7=28 → the only perfect number among the tens	וחבור ז' מספר שלם ואין במדרגת העשרות זולתו
Heptad in the existences	ויש בנמצאות דברים רבים ירוצו מרוצת השבעה
planets	מהם שהכוכבים ז' והם מנהיגי העולם הראשונים ולזה קראום מקדם חכמי ישראל המשרתים
days of the moon’s quadrant	ימי כל רבוע מרבועי הירח ז' ובהם יעתקו האוירים והטבעים בבריאות ובחולי
climates of the earth	אקלימי הארץ שבעה ואינה חלוקה הנחית אבל נמשכת לכח עליוני כמ"ש חכמי הכוכבים
types of metals: gold, silver, copper, tin, lead, iron, mercury	מיני המתכות ז' הזהב הכסף הנחשת הבדיל העופרת הברזל הכסף חי ואע"פ שהברזל לא יותך כפי מה שיחשב הנה איפשר להתיכו בתחבולה נעלמת עד שיותך מהרה כמו העופרת
un talking animals: carnivores, vegetarians, birds of prey, song birds, insects, reptiles, aquatic animals	סוגי טבעי הב"ח הבלתי מדברים שבעה חיות טורפות בלתי טורפות עופות דורסים בלתי דורסים שרץ העוף זוחלי עפר ר"ל שקצים ורמשים חיות המים ותחת כל א' מאלו ישתרגו מינים רבים
sciences: physics, metaphysics, arithmetic, geometry, astronomy, music, politics (Maimonides, and the author of The Book of the Palm [Sefer ha-Tamar])	החכמות שיחלקו כפי דעת הפילוסוף ז' והם הטבע והאלהות והמספר וההנדסה וחכמת התכונה הגלגליית וחכמת המוסיקה והחכמה המדינית ויש בחלוקה הזאת חלוף דעות לאחרונים ולא מנו ההגיון לפי שאינו חכמה אבל כלי לבד והאמת כמ"ש הר"ם ז"ל בפ' מ"ג מג' שלשבעה מבוא גדול בעניינים הטבעים והתוריים וכן יאמר בעל ספר התמר סוף ספרו וזה מכלל הדברים הכרתם מחויבת
changes in a human life (The Qanon of Ibn Sinā, Hippocrates)	שנויי שנות האדם שבעה כמ"ש בן סינא בראש ספרו בקאנון ואבוקראט בספריו בשביעיות
quatities: line, surface, solid, place, time, number, speech	מיני הכמה שבעה הקו השטח הגשם המקום הזמן המספר הדבור
minimal months of existence in which the embryo can survive	חדשי עמידת העובר לפחות שיוכל לחיות בו הילוד שבעה וטעם זה ארוך והתבאר היטב בספרי חכמי הכוכבים כי אין בחכמת הטבע די להשלים סבת זה

Eight	השמנה
Properties of the number eight
The first cubic number in actu	תחלת מעוקב בפעל ר"ל מספר שארכו ורחבו וגבהו שוה
even-times-even number and therefore a deficient number – all even-times-even numbers are deficient	והוא זוג הזוג כמו הד' ולזה הוא מספר חסר ר"ל שחלקיו פחות מכלו כי כן דרך מספרי זוג הזוג ר"ל שהם חוסרים לעולם [.]' מכללם
$\scriptstyle\sum_{i=1}^8 i=6^2$	וחבור ח' במרובע הזוג הזוג שלפניו
$\scriptstyle\sum_{j=1}^8\sum_{i=1}^j i=120$ the sum of the divisors of 120 equal to its double $\scriptstyle120=2^2+4^2+6^2+8^2$	וחבור חבורו עולה ק"כ שחלקיו כפלו והוא סך מרובעי הזוגות שבמדרגה הראשונה
Every cube have 6 surfaces; 12 sides; 24 plane angles – these numbers are in a double proportion and $\scriptstyle6+12+24=42=2\sdot\sum_{i=1}^6 i$	וכל מעוקב מחובר מששה שטחים וי"ב צלעות וכ"ד זויות שטוחות וכל אלו מתיחסים ביחס כפל וכשתחבר שטחי ח' צלעותיו וזויותיו יעלה מ"ב וזה ככפל מחובר הזוג שלפני שמנה
Octad in the existences	ויש בנמצאות דברים ירוצו במספרם על שמנה
starred heavens	מהם שהרקיעים המכוכבים שמנה
parts of speech	וחלקי הדבור אצל מדקדק קצת הלשונות שמנה
extremes of motions	קצוות התנועות שמנה לפי שהשנוי בארבעת המאמרות שהם העצם והכמה והאיך והאנה ובכל א' מה ממנו ומה אליו
dimentions of natural motion	היו גבולי התנועה הטבעית שמנה
trees: non-fruit bearing tree; its whole fruit is eaten; the exterior of its fruit is eaten; the inside of its fruit is eaten; its fruit has no peel; its fruit has one peel; its fruit has two peels; its fruit has three peels	טבעי האילנות שמנה והם אילן סרק אילן שפריו נאכל כלו שנאכל מה שבחוץ שנאכל מה שבפנים שאין שומר לפריו שיש לו שומר אחד שיש לו שני שומרים שיש לו שלשה

Nine	התשעה
Properties of the number nine
the first square of an odd number	תחלת מרובע מספר נפרד
the sum of its parts equals to the square of the first even number $\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}$	וחלקיו הם כמספר מרובע תחלת זוג לפי שחלקיו שלשה וא' והם ד' שהוא מרובע ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^9 i=5\sdot9}}$	ומחוברו כמו הכאתו במספר האמצעי והוא ה'
according to Ibn Ezra, Sefer ha-Shem: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{j=1}^9 {\sum_{i=1}^j i=1^2+3^2+5^2+7^2+9^2=265}}}$	וחבור חבורו עולה רס"ה והוא סך מרובעי הנפרדים שבמעלה הא' כמ"ש בן עזרא בס' השם
the last number of the rank of the units	ותשעה סוף המדרגה הראשונה מהמספר וזה שהמספרים ט' והאחד עמהם
representation of the products of nine on a circle [Ibn Ezra, Sefer ha-Mispar]	והאות ע"ז שאם תעשה עגול ותניח סביבו תשעת המספרים ותתחיל ותכפול ט' על עצמו תמצא המרובע פ"א ותמצא ח' שהוא כנגד פ' אל הימין והא' אל השמאל ואם תכפול ט' על ח' יעלו ע"ב ותמצא ז' שהוא כנגד ע' מימין והב' אל השמאל וכן כל ארבעת מספרים אשר לפני ה' עגול הכלל מימין והפרט משמאל לארבעתם וחמשה לפי שהוא חשבון עגול אמצעי הוא מתגלגל על עצמו והוא בזה הענין כנקודה אמצעית עגול ולזה כאשר תכפול ט' על ד' יעלה ל"ו ותמצא ג' שהוא כנגד ל' עגול אל השמאל וו' שהוא הפרט אל הימין וכן כל הד' שאחר ה' כמו שתראה הנה יתבאר א"כ מזה כי בתשעה טבע הסבוב ולפי שה' באמצע יתחיל ממנו לנטות אל צד אחר מהעגול כי כן משפט מתנועע בסבוב שמנוקדה מהעגול עד חצי העגול ירוץ במצב א' ומשם והלאה מחליף המצב
Special properties of the rank of the units:	וכמו שהיות המספרים ט' עם הא' התבאר מצד המספרים עצמם יתבאר מצד מרובעיהם ומצד מעוקביהם
The squares of the units:	אמנם מצד מרובעיהם שאם תסדר בטור במספרים הטבעים עד ט' ותניח עליהם או תחתיהם מרובעיהם על הסדר
the units of the squares of the first four numbers are 1; 4; 9	תמצא שהפרטים ההוים במרובעים עד מרובע ה' חוזרים אחורנית במרובעים שאחריו וזה שהפרטים שאחר שלפני מרובע ה' הם אד"ט
the units of the square of five are five	וה' שבאמצע שומר עצמו ואחר חוזרים לאחוריהם כאלו הם הולכים חצי עגול אחר
the units of the next four squares are 6; 9; 4; 1	וזה שהפרטים שאחר מרובע ה' הם ו' ט' ד' א'
The cubes of the units:	ואמנם במעוקבים יתבאר הדבר כן אם תסדר מעוקבי המספרים הטבעיים על הסדר עד ט'
the sum of the units of 1³ and the units of 9³ equals to ten;	תמצא פרט המעוקב הראשון עם פרט האחרון הוא כלל והוא ראש המדרגה השנית
the sum of the units of 2³ and the units of 8³ equals to ten; and so on	והשני לא' עם השני לאחרון לפניו עושים כלל וכן תמיד
these sums of the of the units of the first nine cubes represent all the possible ways to divide the number ten into two integers	עד האמצעי שהוא ה' שהוא הנקודה לאמצע זה הענין כאלו הוא בחצי קשת העיגול ותמצא בכאן דבר מופלא שכל החלקים השלמין שאפשר שיחלק בם מספר העשרה נמצאים באלו הפרטים פרט לפני ה' עם פרט לאחריו וזה כמו א' וט', ח' וב', ז' וג', ובאמצע שהוא א' מחלקיו בהתחלקו לחצי
$\scriptstyle\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]:n^3=5:n$	ומדרך אחרת מצד המעוקב נבאר שהמספרים ט' שכמו שאמרנו במספר ה' שמרובעו ומרובע כפלו שוה אל מעוקבו וכל מספר שלפניו ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר פשוט אל חמשה ואחר החמשה יתהפך הענין וזה שאז יהיה ערך מרובע המספר ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך חמשה אל אותו המספר וזה לאות שהט' שלמות המספר והוא כדמות עגול שלם סובב על עצמו
the units of the first sum $\scriptstyle{\color{blue}{1^2+\left(2\sdot1\right)^2}}$ are 5; the second sum $\scriptstyle{\color{blue}{2^2+\left(2\sdot2\right)^2}}$ is a product of ten and so on for 1; 2; 3; …; 9	וממה שיחזק מה שאמרנו עתה והוא שאם תסדר תשעה המספרים בטור ותשים על כל א' מהם מרובעו ומרובע כפלו תמצא בראשון פרט ה' ובשני כלל וכן עד ט'
$\scriptstyle\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]:\left[m^2+\left(2m\right)^2\right]=n^2:m^2$	וערך כל מרובע מספר מה עם מרובע כפלו אל מרובע אי זה מספר עם מרובע כפלו כערך המספר הפשוט אל המספר הפשוט שנוי בכפל
$\scriptstyle\left[n^2+\left(2n\right)^2\right]\sdot\left[m^2+\left(2m\right)^2\right]$ is a square – an algorithm is given for finding this square	ואם תסדר מרובעי המספרים הטבעיים עם מרובעי כפליהם בטור הנה הכאת איזו מדרגה שתהיה מהם עם איזו מדרגה אחרת לעולם מרובע אמנם ידיעת שרשי אלו המרובעים היא ע"ז הדרך תכה הראשון שהוא ה' בשני לו ואחר בג' ואחר בד' וכן ע"ז הסדר תמצא המרובע הראשון שרשו כפל ה' והוא י' ושרש השני יוסיף ה' ושרש ה' יוסיף ה' וכן כלם וזה יקרא הסבוב הראשון ובכל זה הסבוב תמצא המרובעים האחד פרטו והשני כללו וכן לעולם ובסבוב השני והוא שתכה השני מהטור הנז' בכל הבאים אחריו תמצא המרובעים היוצאים ד' דמיוני המרובעים הראשונים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ולזה הם כלם כללים ובסבוב הג' והוא שתכה הג' בכל הבאים אחריו יהיו המרובעים היוצאים ארבעה דמיוני השניים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ותמצא האחד כלל והשני פרטו ה' וכן תמיד כדרך הסבוב הראשון וכן החמישי והשביעי והט' סוף דבר הסבובים הזוגות בדרך אחת והנפרדים בדרך אחרת
the units of the first four numbers of the type $\scriptstyle\left[n+n^2+\left(2n\right)^2\right]$ are 6; 2; 8; 4. The fifth number of that type is a product of ten. The units of the next four numbers of this type are again 6; 2; 8; 4	וייראה באלו המספרים ר"ל מרובעי המספרים הטבעיים על מרובעי כפליהם שאם תחבר כל א' מהם אל מספרו פשוט תמצא הפרט הראשון ו' עוד ב' עוד ח' עוד ד' והאמצעי שהוא קכ"ה עם מספרו יהיה כלל והמספרים הארבעה שאחריו ה' הענין בם כמו במספרים שלפני ה' וזה אות מופלא שהמספרים ט' לבד
Algorithms for checking if a number is a square or a cube and what are the digits of is its root, considering its units:	הנה כבר ביארנו שהמספרים ט' לבד ולזה נקח מהקדמות הנזכרות ראשונה מאזנים למרובעים ולמעוקבים
if its units are 2, 3, or 7 – it cannot be a square	וזה שאי אפשר בשום מרובע שיהיה בו פרט ב' או ג' או ז' ואם הוא כן אינו מרובע
for a square number:
if one of its digits is 1– there is 1 or 9 among the digits of its root	ואם יש בו א' או ט' היה בשורש
if one of its digits is 4 – there is 2 or 8 among the digits of its root	ואם יש בו ד' ב' או ח' היה בשורש
if one of its digits is 6 – there is 4 or 6 among the digits of its root	ואם היה בו ו' ד' או ז' היה בשורש
if 5 is its units – there is 5 among the digits of its root	ואם בפרט ה' בשורש ה' ג"כ וכן תמיד
for a cubic number:	ואמנם במעוקבים
if 1 is its unit – there is 1 among the digits of its root	אם יש במספר פרט א' הנה במספר בשורש א'
if one of its digits is 2 – there is 2 among the digits of its root	ואם יש בו ב' בשורש היה ב'
if one of its digits is 3 – there is 7 among the digits of its root	ואם יש בו ג' בשורש היה ז'
if one of its digits is 4 – there is 4 among the digits of its root	ואם יש בו ד' בשורש ד'
if one of its digits is 5 – there is 5 among the digits of its root	ואם יש בו ה' בשורש ה'
if one of its digits is 6 – there is 6 among the digits of its root	ואם ו' בשורש ו'
if one of its digits is 9 – there is 9 among the digits of its root	ואם יש בו ט' בשורש ט'
"These are enough proofs that the numbers are nine alone"	ודי בזה ראיות שהמספרים ט' לבד
Ennead in the existences	ודע שיש בנמצאות דברים הרבה ירוצו במספרי הט'
	מהם כי הרקיעים לא יותר גם בתשיעי ספק לא מעט
separate intellects	השכלים הנפרדים אחר האלוה ית' לפחות ט' וזה כפי דעת הפילוסופי אבל כפי דעת התורה רבו מלמנות
temperaments: one balanced, four simple, four compound	המזגים ט' אחד פשוט שוה וארבעה פשוטים וארבעה מורכבים
simple essences: God, intellect, soul, orb, planet, four elements	המהויות הפשוטים ט' אלוה השכל הנפש הגלגל הכוכב היסודות הארבעה
agreement and difference between a thing and another: a thing loves a thing; a thing hates a thing; a thing pursues a thing; a thing escapes from a thing; a thing dominates a thing; a thing surrenders to a thing; a thing maintains a thing; a thing damages a thing; a thing alien to a thing	מיני האותות והחילוף שיש בין דבר וזולתו ט' והם טבע יאהב טבע וטבע ישנא טבע, טבע רודף טבע, טבע בורח מטבע, טבע יתגדר על טבע טבע יכנע לטבע, טבע מקיים טבע, טבע מפסיד טבע, והתשעי הוא טבע נכרי לטבע ר"ל שאין ביניהם האותות והתנגדות ואלו הם ט' סוגים יכנסו תחתיהם כל מיני הפעל וההפעלות בעניינים הטבעיים ובס' אכואן אלספא הובאו משלים מפרטי הטבע בכל א' מהם והראשונים היו מונים אלו הסוגים י"ג והאחרונים השיבום אל ט' והנה התבארו דברים אלו בס' השתנות הטבעים
human duplicate organs designed for special actions: eye; ear; nose, lip; teeth; hand; foot; breasts; testicles	האיברים שייחדם הטבע במין האנושי חוץ מהגוף לפעולות מיוחדות וכפל אותם הם ט' והם העין האזן האף השפה השניים היד הרגל השדים האשכים
accidents (based on Aristotle, Categories, )	סוגי המקרים ט' והם שביארם הפילוסוף בס' המאמרות בהגיון
qualities of the homogeneous bodies that signify differences of form - relying on Aristotle, Meteorology, IV, 8, 383a1-20 - the author explains that Aristotle enumerates 18, but these are actually 9 as Aristotle includes positive properties and their negations, which are not existing things	טבעי המתדמי החלקים אשר ספרם הפילוסוף ברביעי מאותות השמים שהם כדמות הבדלים צוריים הם ט' וזה שהוא מנאם י"ח שישובו לט' וזה שהוא מנה הקניינים והעדריהם וההעדרים אינם דברים ישיים ובמקומו יתבאר בבירור
months of human pregnancy (natural scientists, astrologers, Ikhwān al-Ṣafā)	חדשי עמידת העובר האנושי בבטן ט' וזה דבר הסכימו בו חכמי הטבע ולא נתנו לזה טעם מספיק אבל האיצטגנינים האריכו בזה בדברים נכונים כמ"ש בספרים הרבה והיותר מספיק בה מה שזכרו מחברי אכואן אלצפא
tastes: sweet; bitter; salty; spicy; sour; acidic; creamy; tasteless – only eight, since astringent should not be included (Ibn Rushd)	מיני הטעמים שמנה מתוק מר מליח חריף חמוץ קובץ דשן תפל ואין למנות העפוץ טעם בפני עצמו לפי שהוא אינו אלא תכלית ה[ק]ביצות כמ"ש בן רשד בס' הכליאת

Ten

העשרה

Properties of the number ten

The beginning of the second rank (the tens)

תחלת המדרגה השנית והוא כאחד והשני בה עשרים והשלישי שלשים וכן עד צ' ולזה נגזרו לאלו שמות משמות אחד המדרגה הראשונה והפרטים שבין אלו הם מורכבים משתי המדרגות כמו י"ב כ"ג ל"ד מ"ה וכמו שהוא תחלת מדרגה שנית כן המאה תחלת מדרגה שלישית והאלף רביעית וכן תמיד

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i=\sum_{i=1}^{\frac{1}{2}\sdot10} i^2$

ואם תחבר המרובעים שיש עד חציו ר"ל תמצאם כמחובר עשרה פשוט

ונהגו ההמון והספרים לגמור בעשרה מפני שהוא כלל וכאלו הביאם הרצון האלהי לזה להורות שהוא סוף הספורים

Decade

the counted – God; intellect; sphere; star; soul; element; mineral; plant; animal; human

וזה שהספורים עשרה האלוה והשכל והגלגל והכוכב והנפש והיסוד והדומם והצומח והחי והמדבר

categories [Aristotle, Categories, 4, 1b]

והמאמרות עשרה

commandments (The Book of Creation [Sefer Yetzira])

ודברות התורה הקדושה שנמסרו לנו בסיני הם עשרה והם סוד אלהי נכבד בהנהגם בזה המספר וזה הוא שנרמז בס' יצירה עשר ספירות בלי מה

branches of the human tree: ten fingers; ten toes

ופארות אילן האדם עשרה למעלה ועשרה למטה והם עשר אצבעות הידים ועשר אצבעות הרגלים

One of the wonders of nature: the counted are following the number - as the units are not larger than 9 or 10, so there is nothing among the universal principles of the existences that is more than 9 or 10, except by a hypothetical division, such as the 12 zodiac signs, or the 28 stations of the moon, that is not a real determined division

ומן הפלא הגמור בהמשך הספורים למספר שכמו שהמספר לא יעבור ט' או עשרה כן לא תמצא בכוללי הנמצאות דבר שיעבור זה המספר כי אם בדרך חלוקה הנחית כמו י"ב מזלות וכ"ח מחנות הלבנה וכיוצא באלו שאינה חלוקה מוגבלת יישיית וזה א' מנפלאות הטבע בלא ספק

The author states that he does not elaborate on this since this subject will be discussed in another section of the book dedicated to the nature of existence

ולולא יראתיהו מהאריכות ושלא נצא ממה שאנחנו בו הייתי מאריך בביאור עניינים נפלאים גדולים ויקרים על זה הדרוש אבל ייעדנו לו מקום אחר בס' הסכמנו לדבר בו בטבע המציאות

Because of this wonderment and various other those who assumed that the number is a beginning were mistaken

ומפני הפליאה הזאת עם אחרות רבות טעו המניחים המספר התחלה

The universal principles mentioned for each number are but a few of many, for the human intellect cannot apprehend them all the more so the distant ones, thus a clear remark on those mentioned is enough

ודע שאותם הכוללים שזכרנו בכל מספר ומספר הם מעט מהרבה כי קצרה יד השכל האנושי להשיגם כ"ש לרחוקים מהשלמות ודי הערה גלויה באותם שזכרנו

General Properties of Numbers

Introduction

Henceforth some specific qualities of the nature of number will be presented by way of a tale and description

ואחר שהגענו לזה המקום נביא קצת סגולות פרטיות מטבע המספר בדרך הגדה וספור

Not as the way used by Euclid in the Elements, books 7-9, because the number does not require this, since the practical counting verifies any hypothetical proposition, even there the reader will not rest until checking it through the counting test, hence you find Euclid at the end of every proposition brings a numerical example, and not just for the numerical propositions, but also for the geometric propositions. Every matter that could be examined with numbers is translated to numbers, as in most of the propositions of the second book of Euclid's Elements

לא כדרך שעשה אקלידס בז' ושמיני ותשיעי מספרו כי המספר אינו צריך לזה אחר שהספירה המעשית תאמת כל הקדמה מונחת גם שם לא ינוח לב הקורא עד יבחננו במבחן הספירה וכן תמצא מפרש אוקלידס בסוף פי' כל הקדמה מהם מביא משל מספריי ולא בהקדמות המספריות לבד אבל גם בהנדסיות כל מה שאפשר לבחון הענין במספר יושב אל מספר כמו רוב הקדמות המאמר השני מאקלידס

Some people argue that Euclid needed this as a proposition for a few of the cases of the tenth book of the Elements, but the author claims that he has checked it and did not find it so and he concludes that Euclid's method in books 7-9 is nothing but a rational comprehension that should be rejected

וקצת אנשים אמרו שהוצרך אקלידס לזה להיות לו בהקדמה לקצת מקומות מהמאמר העשירי מספרו ואנחנו חפשנו ולא מצאנו הענין כן א"כ דרך אקלידס בשלשת המאמרים הנז' היא נגיעת השכל לא זולת וזה ממה שראוי שירוחק בכל מקום

The author declares that by this he wishes to satisfy "Our lord, the great king, may God grant him success" [which could be a reference to king Robert of Anjou]

וכ"ש באשר אנחנו בו להפיס בו דעת אדונינו המלך הגדול יצליחהו ה'

Therefore, narrative propositions are presented below, which could be proven by counting, collected from the predecessors or formulated by the author himself, according to his testimony

ולזה נביא ההקדמות ספוריות ותעיד בהם ונלקט מה שמצאנו מזה לאשר קדמונו ומה שחדשנוהו אנחנו

He who adds to this will be granted long life and peace

והמוסיף אחרינו שנות חיים ושלום יוסיפו לו

A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs

The Rule of Three: $\scriptstyle a:b=b:c\longrightarrow a\sdot c=b^2$

כל שלשה מספרים מתיחסים הנה הכאת הא' בג' כהכאת האמצעי בעצמו

The Rule of Four: $\scriptstyle a:b=c:d\longrightarrow a\sdot d=b\sdot c$

ואם היו ארבעה תהיה הכאת הקצוות כהכאת האמצעיים

The smallest numbers in a given proportion divide the other proportional numbers – the smaller ones to small numbers and the larger ones to large numbers

קטני המספרים על יחס מה הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם הקטן לקטן והרב לרב

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional [and if $\scriptstyle a_1$ and $\scriptstyle a_2$ are the two smallest numbers possible in this proportion] then $\scriptstyle a_1$ and $\scriptstyle a_2$ are prime to each other and vice versa

קטני המספרים על יחס מה הנה כל א' מהם ראשון אצל האחר וזאת ההקדמה מתהפכת

If a and b are prime to each other then a² and b² are prime to each other

כאשר היו ב' מספרים כל א' מהם ראשון אצל האחר והוכה כל א' מהם בעצמו הנה כל א' משתי ההכאות ראשון אצל האחר

If a and b are prime to c and d then a·b is prime to c·d

וכן אם היו שנים ראשונים אצל שנים אחרים והוכו זה בזה והשנים האחרים זה בזה הנה שתי ההכאות ראשונות זו לזו

If a and b are prime to each other then a·b is prime to a and b

כאשר היו ב' מספרים כל א' מהם ראשון אצל האחר והוכו זה בזה הנה אותה ההכאה מספר ראשון אצל כל א' משני המספרים

If a and b are prime to each other then a+b is prime to a and b

כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר, הנה מקובץ שניהם ראשון אצל כל אחד משני המספרים

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional and $\scriptstyle a_1$ and $\scriptstyle a_n$ are prime to each other then $\scriptstyle a_1$ and $\scriptstyle a_2$ are prime to each other

כאשר היו מספרים כמה שיהיו וימשכו על יחס והיו הקצוות ראשונים זה לזה, הנה קטני המספרים על אותו היחס וזאת ההקדמה מתהפכת

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional and $\scriptstyle a_1$ is not a divisor of $\scriptstyle a_2$ then none of the numbers $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ is a divisor of any of the other.

כאשר היו מספרים כמה שיהיו וימשכו על יחס מה והראשון מהם לא ימנה השני אין מהם מספר ימנה האחר

If

\scriptstyle a_1

is a divisor of

\scriptstyle a_n

then

\scriptstyle a_1

is a divisor of

\scriptstyle a_2

ואם היה הראשון מונה האחרון הנה הוא מונה השני

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional and for a given $\scriptstyle a_i$ and $\scriptstyle a_{i+1}$ there are numbers $\scriptstyle b_1,b_2,\ldots,b_n$ so that $\scriptstyle a_i,b_1,b_2,\ldots,b_n,a_{i+1}$ are proportional then for every i =1, 2, …, n there are n numbers $\scriptstyle b_{i_1},b_{i_2},\ldots,b_{i_n}$ so that $\scriptstyle a_i,b_{i_1},b_{i_2},\ldots,b_{i_n},a_{i+1}$ are proportional of the same proportion

כאשר נפלו מספרים בין מספרים וימשכו קצתם לקצתם ביחס מה הנה כסך מה שיפול מן המספרים בין ב' אותם המספרים כן יפול בין כל שני מספרים מאותו היחס וימשכו כלם ביחס א'

If a and b are prime to each other and a, $\scriptstyle c_1,c_2,\ldots,c_n,b$ are proportional

then [there are n numbers

\scriptstyle d_1,d_2,\ldots,d_n

so that

\scriptstyle 1,d_1,d_2,\ldots,d_n,a

are proportional and there are n numbers

\scriptstyle g_1,g_2,\ldots,g_n

so that

\scriptstyle 1,g_1,g_2,\ldots,g_n,b

are proportional] and vice versa

כאשר היו ב' מספרים כל א' מהם ראשון אצל האחר ונפלו ביניהם מספרים ונמשכו ביחס מה הנה כסך המספרים שיפלו בין שניהם כן יפלו בין הא' וכל א' מהם וזאת ההקדמה מתהפכת

a²:b²=(a:b)²

המספרים המרובעים יחס קצתם אל קצת כיחס שרשיהם קצתם אל קצת שנוי

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional then $\scriptstyle a_1^2,a_2^2,\ldots,a_n^2$ are proportional and $\scriptstyle\left(p\sdot a_1^2\right),\left(p\sdot a_2^2\right),\ldots,\left(p\sdot a_n^2\right)$ are proportional for a prime number p

המספרים המתיחסים כשהוכה כל א' בעצמו הנה כל ההכאות ג"כ מתיחסות ואם תכה ההכאות במספרים הראשונים יהיו כמו כן ההכאות השניות שהם מעוקבים מתיחסים וכן אם יוכו עוד לעולם יתיחסו

If a² is a divisor of b² then a is a divisor of b and vice versa

כאשר ימנה המרובע מרובע אחר הנה צלעו ימנה צלעו ובהפך

The same is for a³ and b³

וכן במעוקב

If a and b are prime to each other then there is no number c so that a:b=b:c

כל שני מספרים שהאחד מהם ראשון אצל האחר אין יחס הראשון אל השני כיחס השני אל מספר אחר

For $\scriptstyle a_1<b_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\right):\left(a_1\sdot b_2\right)=\left(a_1\sdot b_2\right):\left(a_2\sdot b_2\right)

and vice versa

כאשר היו ב' מספרים שטחים מתדמים ל ר"ל ששני צלעות המספר האחד השטוח על יחס שני צלעות המספר השטוח האחר הנה יפול ביניהם מספר יתמצע ביחס ואותו האמצעי נולד מקטן צלע א' מהשטחים עם גדול צלע האחר וזאת ההקדמה מתהפכת

For $\scriptstyle a_1<b_1<c_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2<c_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2=c_1:c_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right):\left(a_1\sdot b_2\sdot c_1\right)=\left(a_1\sdot b_2\sdot c_1\right):\left(a_1\sdot b_2\sdot c_2\right)=\left(a_1\sdot b_2\sdot c_2\right):\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)

and vice versa

כאשר היו ב' מספר מוגשמים מתדמים הנה יפלו ביניהם ב' מספרים וימשכו ארבעתם ביחס והוצאת אלו השנים בשתכה תחלה קטן שתי צלעות א' מהמוגשמים בשני מהמוגשם האחר והיוצא תכהו בצלע הגדול מכל א' מהמוגשמים והשניים שיצאו הם האמצעיים וזאת ההקדמה ג"כ מתהפכת

If $\scriptstyle a^2:b=c^2:d^2$ then b is a square number

כאשר היו ב' מספרים והיה יחס א' מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והיה א' מרובע הנה האחר מרובע

If $\scriptstyle a^3:b=c^3:d^3$ then b is a cubic number

ואם היו ביחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב והיה הא' מעוקב הנה האחר מעוקב

For $\scriptstyle a_1<b_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\right):\left(a_1\sdot b_2\right)=c^2:d^2

המספרים השטוחים המתדמים יחס א' אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע

For $\scriptstyle a_1<b_1<c_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2<c_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2=c_1:c_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right):\left(a_1\sdot b_2\sdot c_2\right)=d^3:g^3

והמוגשמים המתדמים יחס א' מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב

For $\scriptstyle a_1<b_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\right)\sdot\left(a_2\sdot b_2\right)=\left(a_1\sdot b_2\right)^2=\left(a_2\sdot b_1\right)^2

המספרים השטוחים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מא' מהם בגדול האחר

For $\scriptstyle a_1<b_1<c_1$ and $\scriptstyle a_2<b_2<c_2$ if $\scriptstyle a_1:a_2=b_1:b_2=c_1:c_2$

then

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right)\sdot\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)

is a cubic number

and its root is a product of the root of

\scriptstyle\left(a_1\sdot b_1\sdot c_1\right)

by the root of

\scriptstyle\left(a_2\sdot b_2\sdot c_2\right)

המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש א' מהמוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השרש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional, and $\scriptstyle a_1=1$

then for every i=1, 2, …, n:

\scriptstyle a_{2i-1}

is a square and

\scriptstyle a_{2i}

is a cube

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה הג' מרובע והד' מעוקב והחמישי מרובע והששי מעוקב והז' מרובע וכן ימשך לעולם

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional, $\scriptstyle a_1=1$ and $\scriptstyle a_2$ is a square

then all the numbers

\scriptstyle a_3,a_4,\ldots,a_n

are squares

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהא' והיה השני מרובע הנה הנשארים כלם מרובעים

If

\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n

are proportional,

\scriptstyle a_1=1

and

\scriptstyle a_2

is a cube

then all the numbers

\scriptstyle a_3,a_4,\ldots,a_n

are cubes

ואם היה מעוקב יהיו כולם מעוקבים

If

\scriptstyle a_2

is not a square

then none of the numbers

\scriptstyle a_3,a_4,\ldots,a_n

is a square [contradictes the above]

ואם לא היה השני מרובע אין בהם שום מרובע

If

\scriptstyle a_2

is not a cube

then none of the numbers

\scriptstyle a_3,a_4,\ldots,a_n

is a cube [contradictes the above]

ואם לא היה השני מעוקב אין בהם שום מעוקב

If $\scriptstyle1,a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional and b is a divisor of $\scriptstyle a_n$ then b is a divisor of $\scriptstyle a_1$

כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה כל מספר א' ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה אשר ילוה לאחד

If

\scriptstyle a_1

is prime then the divisors of

\scriptstyle a_n

are among the proportional numbers

\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n

only

ואם היה אשר ילוה לאחד א' הנה לא ימנה הרב מהם כי אם מספר מהם

The smallest number divided by some given primes is not divided by any number other than those given primes

כשהיה קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו מספר אחר זולתם

If a, b, c are proportional and are the smallest possible numbers in that proportion then a+b is prime to c

כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים והיו קטני המספרים על אותו היחס הנה כל שנים מהם מחוברים ראשונים אצל הנשאר

If a and b are prime to each other then there is no other number c so that a:b=b:c

כל שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס השני אל מספר אחר

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional; $\scriptstyle a_1$ and $\scriptstyle a_n$ are primes to each other then $\scriptstyle a_1:a_2$ is not equal to $\scriptstyle1:a_1$ ??

כאשר היו מספרים ימשכו קצתם לקצת ביחס מה והיו הקצוות ראשונים זה לזה הנה אין שעור הראשון אצל השני כשעור האחד אל המספר האחר

If $\scriptstyle a_1,a_2,\ldots,a_n$ are proportional then $\scriptstyle\left(a_2-a_1\right):a_1=\left(a_n-a_1\right):\left(a_1+a_2+\ldots+a_{n-1}\right)$

כאשר היו מספרים נמשכים אל יחס מה וחוסר מכל א' מהשני והאחרון כמו הראשון הנה שעור מה שישאר מהשני אצל הראשון כשעור מה שישאר מהאחרון אצל כל המספרים אשר לפניו כאשר יקובצו

If 2a-1 is prime to b then 2a-1 is prime to 2b

כל מספר נפרד ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו

If a is prime to b then the divisor of a is prime to b

כשהיו שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אשר ימנה א' מהם הוא ראשון לאחר

If p is a prime number and the divisor of a·b then is p a divisor of a or b

כל ב' מספרים יוכה א' מהם באחר וימנה אותה ההכאה מספר ראשון הנה אותו המספר הראשון ימנה א' משני המספרים אשר הוכו זה בזה

Proportional numbers are proportional by ??

המספרים המתיחסים הנה הם בחילוף ובתמורה ובהבדל ובהרכבה יתיחסו

(a·c):(b·c)=a:b

כשהוכה מספר בשני מספרים הנה יחס שתי ההכאות א' מהן לאחרת כיחס המספר למספר

If a=p·(b·c) is a product of a prime number p and a composite number b·c then p and b·c are divisors of a and so are the divisors of b·c and every number that is a product of p by any divisor of b·c. No number other than those is a divisor of a

כל מספר שטוח יהיה א' מצלעותיו מספר ראשון והמספר השני מורכב הנה הוא ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה צלעו המורכב וכל מספר יתקבץ מהכאת צלעו הראשון בכל מספר ימנה צלעו המורכב ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו

If a=(b·c)·(d·g) is a product of two composite numbers b·c and d·g then b·c and d·g are divisors of a and so are the divisors of b·c and d·g and every number that is a product of b·c by any divisor of d·g or a product of d·g by any divisor of b·c. No number other than those is a divisor of a

כל מספר שטוח צלעותיו מספרים מורכבים הנה ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה כל א' מצלעותיו וכל מספר יתקבץ מהכאת כל א' מצלעותיו בכל מספר ימנה צלע האחר מהם ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו

If $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)$ is a prime number then $\scriptstyle\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot2^{n-1}\right]$ is a perfect number

כשקובצו מספרים נמשכים על יחס הכפל מן הא' עם האחד והתקבץ מהם כלל והוכה הרב מספר מאותם המספרים במספר א' בלתי השנים הנה אם היה המספר הראשון שוה לכלל אשר קובץ הנה המספר המתקבץ מזה מספר שלם

For a prime number p:

if

\scriptstyle p<\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)

then

\scriptstyle\left(p\sdot2^{i-1}\right)

is a superabundant number

ואם היה אותו המספר הראשון פחות מהכלל אשר קובץ הנה הוא מספר נוסף

if

\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)<p

then

\scriptstyle\left(p\sdot2^{i-1}\right)

is a deficient number

ואם היה המספר הראשון יותר מהכלל אשר קובץ מספר חסר

The abundance / deficiency of

\scriptstyle\left(p\sdot2^{i-1}\right)

equals to

\scriptstyle\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-p\right]

or

\scriptstyle\left[p-\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\right]

והגעת תוספתו אם היה נוסף וחסרונו אם היה חוסר כמו יתרון מה שבין אותו הכלל אשר קובץ ואותו המספר הראשון

Procedure for finding the perfect numbers:

The product of an even-times-even number by its corresponding odd number in the table will produce a perfect number, if this odd number is prime.

ויש בהוצאת המספר השלם תחבולה א' יותר קצרה והוא שתסדר מספרי זוג הזוג בטור ותניח תחתיו טור הנפרדים הטבעיים מתחיל כנגד ב' מהזוגות הנה כל מספר זוג מהטור העליון שתמצא תחתיו נפרד ראשון ותכהו בו יצא לך מספר שלם ובזה הדרך יצאו המספרים השלימים על סדרם

𝐸𝑣𝑒𝑛−𝑡𝑖𝑚𝑒𝑠−𝑒𝑣𝑒𝑛	512	256	128	64	32	16	8	4	2
𝑂𝑑𝑑 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠	1093	511	255	127	63	31	15	7	3
𝑃𝑒𝑟𝑓𝑒𝑐𝑡 𝑛𝑢𝑚𝑏𝑒𝑟𝑠		130816		8128		496		28	6

תקיב	רנו	קכח	סד	לב	יו	ח	ד	ב	מספר זוג הזוג
תתרכג	תקיא	רצה	קכז	סג	לא	טו	ז	ג	נפרדים טבעיים
	ואח0גא		חבאח		תצו		כח	ו

The unites of the perfect numbers are 6, then 8, then again 6, then 8, and so on

ומסגולתם שאם יסודרו אלו השלמים כפי מה שנולדו בטבע תמצא האחד פרטו ה' ואשר אחריו פרטו ח' ואחר ו' ואחר ח' וכן לעולם

For two prime numbers p and q:

כאשר קובצו מספרים נמשכים על יחס הכפל מהאחד עמהם והתקבץ מהם כלל והוכה גדול מספר מאותם המספרים במספר שטוח צלעותיו שני מספרים ראשונים בלתי השנים הנה אשר יתקבץ מזה מספר נוסף או מספר חסר

if

\scriptstyle\left(p\sdot q\right)<\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]

then

\scriptstyle\left[\left(p\sdot q\right)\sdot2^{n-1}\right]

is a superabundant number

אמנם אם היה אותו המספר השטוח פחות מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתם בצלעי אותו המספר השטוח מקובצים הנה המתקבץ מספר נוסף

and its abundance is

\scriptstyle\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]-\left(p\sdot q\right)\right]

והגעת תוספתו בהגעת תוספתם על המספר השטוח

if

\scriptstyle\left(p\sdot q\right)>\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]

then

\scriptstyle\left[\left(p\sdot q\right)\sdot2^{n-1}\right]

is a deficient number

אמנם אם היה אותו המספר השטוח יותר מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתו בב' צלעי אותו המספר השטוח מקובצים הנה המספר המתקבץ חסר

and its deficiency is

\scriptstyle\left[\left(p\sdot q\right)-\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)\sdot\left(p+q\right)\right]\right]\right]

והגעת חסרונו בהגעת חסרוניהם מהמספר השטוח

$\scriptstyle\left(2a+4a\right)\sdot\left(4a+8a\right)=8a\sdot\left(a+8a\right)$

כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס הכפל והראשון מהם היותר קטן הנה המשוטח ההוה מהכאת הב' והג' מקובצים בשלישי והד' מקובצים הוא כמו המשוטח ההוה מהכאת המספר הרביעי בראשון והרביעי מקובצים

$\scriptstyle4a\sdot\left(4a+8a\right)\sdot\left(2a+4a\right)=4a\sdot8a\sdot\left(a+8a\right)$

ואם היה המספר המשוטח ההוה מהכאת הב' והב' מקובצים ברביעי והג' מקובצים כמו המשוטח ההוה מהכאת הרביעי בראשון והרביעי מקובצים הנה המספר המוגשם אשר א' מצלעותיו המספר הג' מהם וצלעו הב' והג' והד' מקובצים וצלעו הב' המספר הב' והג' מקובצים כמו המספר המוגשם אשר א' מצלעותיו המספר הג' מהם והב' המספר הד' מהם והג' המספר הא' והרביעי מקובצים

$\scriptstyle8a\sdot\left[\left(a+8a\right)-1\right]=4a\sdot\left[\left[8a\sdot\left[\left(a+8a\right)-1\right]\right]-\left[\left[\left(4a+8a\right)-1\right]\sdot\left[\left(4a+2a\right)-1\right]\right]\right]$

כל ד' מספרים מתיחסים ביחס הכפל יהיה הא' מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד א' מהם כמו המתקבץ מהכאת המספר הג' מהם במותר מה שבין השטח ההוה מהכאת האחרון בא' והאחרון מקובצים מלבד אחד ובין השטח ההוה מהכאת המספר הג' והרביעי מהם בלתי א' מקובצים בג' והב' בלתי א' מקובצים

[Euclid, Elements, Book II, proposition 4] $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]$

כל מספר יחלק בחלקים כמו שיהיו הנה הכאת המספר כלו בעצמו כמו הכאת כל א' משני החלקים בעצמו וכפל הכאת א' משני החלקים באחר כאשר יקובצו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 1] $\scriptstyle\left(a_1+a_2+\ldots+a_n\right)\sdot b=\left(a_1\sdot b\right)+\left(a_2\sdot b\right)+\ldots+\left(a_n\sdot b\right)$

כל ב' מספרים יחלק א' מהם בחלקים כמו שיהיו הנה המספר שלא חולק במספר שחולק כמו הכאתו בכל חלקי המספר הנחלק כא[ש]ר יקובצו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 5] $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2$

כל מספר זוג יחלק לחציים ולחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת [חצי] המספר בעצמו כמו ההוה מהכאת החלק הגדול בקטן עם הכאת מותר חצי המספר על החלק הקטן בכמהו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 6] $\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2=\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2$

כל מספר זוג יחלק בשני חציים ויתוסף בו מספר אחר הנה הכאת חצי המספר עם התוספת בכמוהו כהכאת המספר עם התוספת בתוספת והכאת חצי המספר הא' בעצמו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 7] $\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=\left[2\sdot\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2$

כל מספר יחלק בב' חלקים הנה הכאת המספר בכמהו וא' משני החלקים בכמהו כמו ההוה מהכאת המספר בחלק המוכה בכמהו ב"פ והחלק הב' בכמהו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 8] $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)+a\right]^2=\left[4\sdot\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2$

כל מספר יחלק בב' חלקים הנה הכאת המספר בכמהו ונוספ עליו כמו א' משני החלקים הנה הכאת המספר עם התוספת בכמהו כמו הכאת בתוספת ארבעה פעמים והכאת החלק האחר בכמוהו

[Euclid, Elements, Book II, proposition 9] $\scriptstyle a^2+b^2=\left[2\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2\right]+\left[2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2\right]$

כל מספר זוג יחלק בב' חלקים חצאים ובב' מתחלפים הנה כל א' משני החלקים המתחלפים בכמהו כהכאת חצי המספר בכמהו ב' פעמים והכאת מותר חצי המספר על החלק הקטן בכמהו ב"פ

[Euclid, Elements, Book II, proposition 10] $\scriptstyle\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2\right]+\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]=\left(a+b\right)^2+b^2$

כל מספר זוג יחלק לחצאים ונוספ בו מספר אחר הנה ההוה מהכאת חצי המספר בכמהו ב"פ והכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו ב"פ כהכאת המספר עם התוספת בכמהו והתוספת בכמהו

For $\scriptstyle a<c<d<b$ if $\scriptstyle a+b=c+d$ then $\scriptstyle \left(a\sdot b\right)+\left[\left(c-a\right)\sdot\left[\left(a+b\right)-\left(c+a\right)\right]\right]=c\sdot d$

כל מספר יחלק בשני חלקים מתחלפים ובב' חלקים אחרים מתחלפים הנה הכאת קטן הקטנים בגדול הגדולים ותספת הכאת מותר מה שבין הקטנים במותר מה שבין שני הקטנים והמספר כולו כמו הכאת רב הקטנים בקטן הגדולים

For two numbers which share a common factor, when subtracting repeatedly the smaller from the larger until the remainder is less than the smaller, the remainder will be the greatest common factor of the two given numbers

כשהיו ב' מספרים משותפים מתחלפים והובדלו מהגדול דמיוני הקטן עד שישאר פחות ממנו או הוא עצמו וכן בסור הקטן מהגדול עד שיכלה אל מספר הנה הוא גדול משותף בין ב' מספרים

If p and q are primes, then the smallest number which is divided by both of them is p·q

אם רצינו למצוא קטן מספר ימנוהו ב' מספרים ידועים אם היו המספרים ראשונים נכה האחד באחר ויגיע דרושינו

For a·c and b·c the smallest number which is divided by both of them is (a·c)·b=(b·c)·a

ואם היו משותפים נקח גדול מספר משותפ ביניהם ונקח מספר האחדים שהוא מונה הקטן ושהוא מונה הגדול ותכה הקטן מאלו בגדול המספרים המשותפים או הגדול בקטן המספרים המשותפים כי הכל א' ואותו המספר הוא המבוקש

Example: finding the smallest number divisible by 2, 3, 4:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}

כשנרצה למצוא מספר קטן ימנוהו מספרים ידועים כאלו נאמר ב'ג'ד' הנה נקח קטן ימנוהו ב"ג והוא ו' ואם היה ו' ימנוהו בג"ד טוב ואם לא נקח קטן מספר ימנוהו ו' וד' והוא כ"ד והוא הדרוש

Finding the smallest number whose parts are given – the same case as above

כשנרצה למצוא קטן מספר בו חלקים ידועים הנה נת' מפני ההקדמה שלפני זאת

finding the smallest numbers in a proportion of some proportional given numbers:

כשנרצה למצוא קטני מספרים על יחס מוגבל

if the given proportional numbers are primes, then they are the smallest numbers of that proportion

אם היו ראשונים הנה הם קטני המספרים על אותו היחס

if the given proportional numbers have a common divisor

ואם היו משותפים הנה נקח גדול מספר ימנם

example: 8, 12, 18

\scriptstyle{\color{blue}{8:12:18=\left(4\sdot2\right):\left(6\sdot2\right):\left(9\sdot2\right)=4:6:9}}

וכאלו אלו המספרים הם ח' י"ב י"ח וגדול מספר ימנם ב' ונקח מספר אחדים שימנה ב' ח' ומספר השעור שימנה ב' י"ב וכשעור שימנה י"ח ותמצא דו"ט והם קטני המספרים על אותו היחס

Finding the smallest numbers in a given ratio [?] - 2:4=½; 4:12=⅓; 6:24=¼

כשנרצה למצוא קטני מספרים על יחסים ידועים בנושאים מפורדים כמו ב' אל ד' חצי ד' אל י"ב שליש ו' אל כ"ד רביע נבקשהו בנושאים נלוים הנה נקח קטן מספר שיש לו חצי

If a and b are primes, then there is no third number proportional to them

נרצה לידע כשהיו ב' מספרים אם ימצא להם מתיחס הנה אם היו ראשונים לא ימצא שלישי על יחסם

If a and b have a common divisor: if a is a divisor of b² then there is a third number proportional to a and b;

but if a is not a divisor of b² then there is no third number proportional to a and b

ואם היו משותפים נכה הב' בעצמו ואם ימנהו הראשון הנה ימנה להם ג' מתיחס אחריהם ואם לא לא'

For three proportional numbers a<b<c: if a and c are prime to each other, then there is no fourth number proportional to a, b, c

ואם היו ג' ונרצה לידע אם יש להם רביעי הנה אם היו הראשון והג' ראשונים זה לזה אין להם רביעי

When a and c have a common divisor: if a is a divisor of b·c then there is a fourth number proportional to a, b, c;

but if a is not a divisor of b·c then there is no fourth number proportional to a, b, c

ואם היו משותפים נכה השני בג' ויצא מספר מה הנה אם ימנהו הראשון ימצא להם מספר מספר רביעי ואם לא לא

Algorithm for finding pairs of amicable numbers:

כשנרצה למצוא מספרים נאהבים כמו שנרצה

For

\scriptstyle\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{i-1}\right]

and

\scriptstyle\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{i-2}\right]

prime numbers

\scriptstyle a=\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{i-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{i-2}\right]\sdot2^{n-1}\right]

\scriptstyle b=\left[\left[\left[\left(2^n+2^{n-3}\right)\sdot2^n\right]-1\right]\sdot2^{n-1}\right]

a and b are amicable numbers

הנה נניח מספרים נלוים על יחס הכפל מן האחד והאחד עמהם ויקובצו המספרים אשר קודם האחרון והאחד עמהם ונוסף על המקובץ המספר אשר קודם האחרון וחסר מהנוסף עליו המספר אשר ילוה מה שקודם האחרון הנה יהיו המספרים המתחדשי' אחר התוספת והחסרון מספרים ראשונים ואין אחד מהם שנים ואם לא יהיו ראשונים תעבור הלאה עד שיצאו אלו המספרים ראשונים והכה משוטח א' מהם באחר במספר אשר קודם האחרון ושמור מה שיצא והוסף על האחרון המספר הרביעי [או] האחד אם היה הא' רביעי ממנו והנה מה שיתקבץ במספר האחרון וחסר מן היוצ[א] מן ההכאה ויהיה הנשאר מספר ראשון תכה זה המספר הראשון אשר קודם האחרון הנה היוצא מן ההכאה עם המספר השמור ישוה כל א' מהם כל חלקי האחר ואלו המספרים המתילדים מזאת התחלה נקראו נאהבים

The product of even by even is even

הכאת זוג במספר זוג הוא זוג

The product of even by odd is [even]

הכאת זוג בנפרד נפרד

The product of odd by odd is odd

הכאת נפרד בנפרד נפרד

$\scriptstyle a^2\sdot b^2=\left(a\sdot b\right)^2$

כשיוכה מרובע במרובע היוצא יהיה מרובע ושרשו כפל השרש על השרש

$\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$

וערך מרובע על מרובע ושרשו היוצא בחלוק השרש הגדול על השרש הקטן

$\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot a^2\right)$ is a square

כל מרובע רביעיתו מרובע

\scriptstyle\left(4\sdot a^2\right)

is a square

וארבעה דמיוניו מרובע

$\scriptstyle\left[n^2-\left[n+\left(n-1\right)\right]\right]$ is a square

כל מרובע שתחסר ממנו השרש והמספר שלפניו הוא מרובע

\scriptstyle\left[n^2+\left[n+\left(n+1\right)\right]\right]

is a square

ואם תוסיף בו השרש והמספר שלאחריו יהיה מרובע

$\scriptstyle\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1\right)+n$

מרחק מרובע ממרובע סמוך לו כמחובר ב' השרשים

$\scriptstyle a^2:\left(b\sdot a\right)=\left(b\sdot a\right):b^2$

כל שני מרובעים סמוכים או רחוקים יוכה שרש א' מהם באחר יגיע מספר מתיחס בין שני המרובעים ההם

$\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^{n-1} i\right)+\left(\sum_{i=1}^n i\right)=n^2$

אם תסדר החבור הטבעי בטור ותצרף כל מדרגה עם אשר אחריה יתילדו המרובעים

$\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n i\right)+\left(\sum_{i=n-1}^1 i\right)=n^2$

אם תקבץ המספרים עד גבול ותחזור לאחור ותקבץ הכל יעלה כמרובע המספר אשר עמדת בו

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2$

אם תסדר המספרים הנפרדים כסדרם והאחד עמהם ותחברם א' א' יתילדו המרובעים הטבעיים

Example: 1; 3; 5; 7; 9; 11

כמו שתניח בטור א' ג' ה' ז' ט' י"א

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}

הנה א' מרובע א'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}

תחבר אליו ג' יהיו ד' והוא מרובע ב'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=9=3^2}}

תחבר אליהם ה' יהיו ט' והוא מרובע ג' וכן תמיד

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n$

אם תניח הזוגות הטבעים בטור ותחברם כמו שעשינו בנפרדים יתילדו המרובעים הטבעיים ושרשיהם

Example: 2; 4; 6; 8; 10

כמו ב' ד' ו' ח' י'

\scriptstyle{\color{blue}{2=1^2+1}}

הנה ב' א' וצלעו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=2^2+2}}

נחבר אליו ד' יהיו ו' שהם מרובע ב' וצלעו

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=12=3^2+3}}

תחבר אליהם ו' יהיו י"ב והוא כמרובע ג' וצלעו וכן לעולם

Forming the cubic numbers using the odds:

אם תסדר הנפרדי' הטבעיים בטור כסדרם

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^3}}

הנה הנפרד הראשון והוא א' מעוקב א'

\scriptstyle{\color{blue}{3+5=2^3}}

וחבור ב' נפרדים אחריו שהם ג' ה' יהיה מעוקב ב'

\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11=3^3}}

ושלשה נפרדים אחר ה' שהם ז' ט' י"א יולידו מעוקב ג'

\scriptstyle{\color{blue}{13+15+17+19=4^3}}

וארבעה אחר י"א יולידו המעוקב הרביעי וכן תמיד

Forming the cubic numbers and their roots using the evens

ואם תחבר בזה הדרך הזוגות יתילדו המעוקבים כסדרן וצלעותיהם

Forming the odds: $\scriptstyle\left(n-1\right)+n=2n-1$

אם תסדר המספר הטבעי ותצרף כל מדרגה אל אשר אחריה יתילדו הנפרדים הטבעיים

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i^3=\left(\sum_{i=1}^n i\right)^2$

אם תחבר המעוקבים כסדרם כמו שתרצה והאחד עמהם הנה המקובץ מרובע ושרשו מרובע החבור עד שרש המעוקב שעמדת

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i^2=\left(\sum_{i=1}^n i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]$

חבור המרובעים הנלוים יודע כשתקח מחובר המספר שהוא שורש לאותו המרובע שעמדת בו שמרהו וקח שני שלישי שורש אותו המרובע עם תוספת שלישית אחד ונכפלהו בשמור והעולה הוא מחובר המרובעים עד סוף אותו המספר

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$

חבור המספר פשוט הוא שתכפול איזה מספר שתרצה חבורו בחצי המספר הבא אחריו או בחציו וחצי אחד והעולה הוא המחובר

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=\left(n-1\right)^2+\left(2n-1\right)$

חבור הנפרדים לבד הוא שתכה המספר האמצעי בעצמו ב' פעמים ותוסיף עליו השרש והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)$

חבור הזוגות לבד בחשבון תקח חצי סוף החשבון ותכהו בעצמו ותוסיף עליו השרש שלו והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)$

החבור הטבעי הוא חצי מרובע המספר שעמדנו בו וצלעו

Illustration of the formula: $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$

אם תסדר המספר הטבעי בטור ותשים על כל א' חבורו ותקיש כל א' אל חבורו תמצא כל חבור יוסיף על המספר חצי

$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i}}$	36	28	21	15	10	6	3	1
n	8	7	6	5	4	3	2	1

ל	כח	כא	טו	י	ו	ג	א
ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א

\scriptstyle{\color{blue}{1=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)+\frac{1}{2}\right]}}

דמיון המשל בו שתמצא בכאן א' כמו א'

\scriptstyle{\color{blue}{3=2+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)}}

וג' כמו ב' וחציו

\scriptstyle{\color{blue}{6=2\sdot3}}

וו' ב' דמיוני ג'

\scriptstyle{\color{blue}{10=\left(2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)}}

וי' שני דמיוני ד' וחציו

\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}

וט"ו שלשה דמיוני ה'

The ratio of the bottom line to the upper line is

\scriptstyle1:n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]

וכן תמיד יוסיף בחצי דמיון

$\scriptstyle\left(\frac{a+b}{a}\sdot\frac{a+b}{b}\right)\sdot\left(a\sdot b\right)=\left(a+b\right)^2$

כל מספר שתחלקהו בשני חלקים איך שיהיה ותחלק כולו על כל אחד מחלקיו ותכה היוצא מכל אחת משתי החלוקות זה בזה ותשמרהו ואחר תכה אחד משני החלקים באחר ותכהו בשמור יעלה כמרובע המספר

$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$

כל חשבון שתקח שלישיתו ותכהו בעצמו ותעלהו מדרגה א' ותחסר ממנו מרובע השלישית יעלה כמרובע המספר

$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+a+\left(a+1\right)$

ואם לא היה לו שלישית אבל הוא מוסיף אחד חסר ממנו האחד ותעשה בנשאר כאשר ביארנו והוסף עליו אח"כ המספר שיש לו שלישית והמספר עצמו ויגיע מרובע המספר

$\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-a-\left(a-1\right)$

ואם יוסיף שנים על שלישית המספר נעשה בהיפך וזה שיוסיף אחד ויהיה מספר שלישי ונעשה כבראשונה ונחסר ממנו בסוף מה שהיינו מוסיפים ויעלה המבוקש

$\scriptstyle a^3\sdot b^3=\left(a\sdot b\right)^3$

הכאת מעוקב על מעוקב מעוקב ושרשו הכאת שרש א' מהם בשני

$\scriptstyle a^3\div b^3=\left(a\div b\right)^3$

חלוק מעוקב על מעוקב מעוקב ואם תחלק שרש הגדול על שרש הקטן תמצא שרשו

$\scriptstyle n^2:\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]=\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]:\left(n+1\right)^2$

אם תסדר המספר הטבעי והא' עמהם ותתחיל ותכה הא' בשני והשני בג' והג' בד' וכן תמיד יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המרובעים הטבעיים

$\scriptstyle a:b=b:c\longrightarrow a\sdot b\sdot c=b^3$

כל ג' מספרים מתיחסים שתכה שלשתם זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו המספר האמצעי

Every cubic number is between two squares:

כל מעוקב יש מצדדיו שני מרובעים

\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2<n^3<\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2

אם תחסר מחצי שרש המעוקב חצי א' ותכה הנשאר בשרש המעוקב תמצא שורש המרובע הקטן ואם תוסיף על חצי שרש המעוקב חצי א' ותכהו בשרש המעוקב תמצא שרש המרובע הגדול

\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2-\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2=n^3

ואם תחסר המרובע הקטן ממרובע הגדול תמצא המעוקב

The number of squares between the two squares $\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2$ and $\scriptstyle\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]^2$ is rising gradually

תראה בזה פליאה נשגבה מאד שאם תסדר המרובעים הטבעיים בטור ותבין בהם ענין זאת ההקדמה תמצא שהמעוקב הראשון ההוה מחסרון מרובע ממנו תמצא שאותם השני מרובעים שזה דרכם ביניהם מרובע א' והמעוקב השני שמצדדיו שני מרובעים הנה ביניהם שני מרובעים והמעוקב הג' בין ב' מרובעים ביניהם ג' מרובעים וכן תמיד יוסיף המרחק בא' כמו זאת הצורה

cubes			125				64		27			8		1
squares	196	169	144	121	100	81	64	49	36	25	16	9	4	1

			קכה				סד		כז			ח		א
רכה	קצו	קסט	קמד	קכא	ק	פא	סד	מט	לו	כה	יו	ט	ד	א

$\scriptstyle\left[1+\left(\sum_{i=1}^n 2i\right)\right]\sdot n=n+n^2+n^3$

Examples:

\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=1+1^2+1^3}}

אם תסדר המספר הטבעי ותשים תחתיו הזוגות הטבעיים על הסדר ותחבר הראשון והוא א' בזוג הראשון והוא ב' יעלה ג' והוא המספר הא' עם מרובעו ומעוקבו

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]\sdot2=\left(3+4\right)\sdot2=7\sdot2=14=2+2^2+2^3}}

תחבר אל הג' הזוג הב' והוא ד' יהיו ז' תכם במספר הב' והוא ב' יעלו י"ד והוא המספר השני עם מרובעו ומעוקבו

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]+\left(2\sdot3\right)\right]\sdot3=\left(7+6\right)\sdot3=13\sdot3=39=3+3^2+3^3}}

תוסיף על הז' הזוג הג' והוא ו' יהיו י"ג תכהו במספר הג' שהוא י"ג יעלו ל"ט והוא המספר הג' עם מרובעו ומעוקבו וכן לעולם

The squares of the units are found in two ranks: the squares of the numbers 1, 2, 3 are units themselves and the squares of the rest of the units are found in the rank of the tens

ונחתום עתה זה החלק בביאור סגלה נפלאה מהמספר והיא שמרובעי המספרים הט' שהם במדרגה הראשונה הם נשלמים בשתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות וזה שבאחדים לא ימצאו רק מג' מספרים והם אב"ג שמרובעיהם אד"ט והנשארים ישלמו בעשרות

The rank of the units is the beginning and the foundation of all the generated numbers, therefore the squares of the units are analogy for the [squares] of the rest of the ranks:

ולפי שהמדרגה הא' התחלה ויסוד לכל המספרים המתחדשים היו מרובעיה דוגמא ומשל לכל המדרגות שאחריה לאין תכלית

The squares in odd ranks – follows the squares in the first rank; the squares in even ranks – follows the squares in the second rank

ולפי שמרובעי אחדי המדרגה הראשונה לוקחים משתי המדרגות שהם אחדים עשרות תחזור השלישית אל הראשונה והרביעית לשנית והחמישית לראשונה והששית לשנית וכן תמיד המדרגות הנפרדות מהראשונה והזוגות מהשנית

\scriptstyle{\color{blue}{1^2=1;\quad2^2=4;\quad3^2=9}}

וזה לך הפי' במדרגה הראשונה אד"ט מרובעים

\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100;\quad20^2=400;\quad30^2=900}}

ובשלישית מאה ד' מאות ט' מאות ג"כ מרובעים ושרשיהם דמיון שרשיהם אלא שיעלו מדרגה א' כי שרשי אד"ט אב"ג ושרשי אלו יהיו יכ"ל

ואין במדרגה הג' מרובעים ראשי כללים רק אלה כאשר אין באחדים רק אד"ט

\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16;\quad5^2=25;\quad6^2=36}}

ושלמות מרובעי שאר המספרים הטבעיים הם י"ו כ"ה ל"ו וכו'

\scriptstyle{\color{blue}{40^2=1600;\quad50^2=2500;\quad60^2=3600}}

וכן במדרגה הרביעית אלף ות"ר אלפים ות"ק ג' אלפים ות"ר ושרשיהם דמיוני שרשי מרובעי האחדים אלא שיעלו מדרגה א' ויהיו ארבעים חמשים ששים וזה שומר הסדר בכל המדרגות עד אין קץ

Since the cubes have three dimensions, the cubes of the units are [found in three ranks] and therefore the cubes of the rest of the ranks are acting as the cubes of the units in these three ranks, in intervals of three ranks

ודע שכמו שיש נמשלים במרובעים כן יש במעוקבים ומרובעי ט' המספרים ישלמו בב' מדרגות ר"ל באחדים והעשרות ולזה ידלגו משתים לב' עד לאין תכלית ואמנם המעוקבים הפליא בם הטבע וזה לפי שהמרובע הוא משני מרחקים ישלמו נמשליו בשתי מדרגות ולפי שהמעוקב הוא בעל ג' רחקים ישלמו נמשליו בג' מדרגות וידלגו אח"כ מג' לג' מדרגות עד לאין תכלית כאשר היה דולג במרובעים משנים לשנים

\scriptstyle{\color{blue}{1^3=1}}

וזה שאחד מעוקב אחד ושרשו א'

\scriptstyle{\color{blue}{10^3=1000}}

כן אלף שהוא רביעי לו מעוקב ושרשו עשרה שהוא אחד שעלה מדרגה

\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8\longrightarrow20^3=8000}}

וכן שמנת אלפים מעוקב שהוא כנגד שמנה ושרשו עשרים שהוא כנגד שנים ומשם והלאה תשמור הסדר שזכרנו לך

This property is, according to the author, a profound proof that the numbers are nine alone

ומכאן ראיה חזקה שהמספרים ט' לבד

Epilogue of the surviving section

As the numerical properties are endless and therefore further emphasizing concerning them is a waste of time, what is brought is enough for us now, for our intention and according to what was ordered upon us by the great king [again could be a reference to king Robert of Anjou], our lord, may he live and last for long in quiet and safe

ולפי שהסגולות המספריות כמעט שאין להם תכלית ולזה ההפלגה בם אבוד הזמן די לנו עתה במה שהבאנו לפי ומה שנצטוינו מהמלך הגדול אדונינו שיחיה ויאריך ימים בהשקט ובטחה

Furthermore, we do not want to attach to this a technical section on actualization of calculations and questions, as much was written about it by all nations due to their need of it in their social affairs, hence it was agreed to conclude here our talk on this first section

ולא רצינו לחבר אל זה חלק מלא לפי שחובר על זה הרבה אצל כל האומות לצרכם אליו בענייניהם המדיניים ולזה הסכמנו שיהיה בכאן סוף דברינו בזה החלק הראשון

בר"ד

נשלמה העתקת ספרי הראב"ע ז"ל באלול הרמ"ג בקצ"ד לשטרי הצעיר יחיא בן סלי'

אלקאפח יצ"ו

@@ Line 2,076: / Line 2,076: @@
 |
 *<math>\scriptstyle\left[1+\left(\sum_{i=1}^n 2i\right)\right]\sdot n=n+n^2+n^3</math><br>
-:Examples: <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=1+1^2+1^3}}</math>
+:Examples:<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=1+1^2+1^3}}</math>
 |style="text-align:right;"|אם תסדר המספר הטבעי ותשים תחתיו הזוגות הטבעיים על הסדר ותחבר הראשון והוא א' בזוג הראשון והוא ב' יעלה ג' והוא המספר הא' עם מרובעו ומעוקבו
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]\sdot2=\left(3+4\right)\sdot2=7\sdot2=14=2+2^2+2^3}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]\sdot2=\left(3+4\right)\sdot2=7\sdot2=14=2+2^2+2^3}}</math>
 |style="text-align:right;"|תחבר אל הג' הזוג הב' והוא ד' יהיו ז' תכם במספר הב' והוא ב' יעלו י"ד והוא המספר השני עם מרובעו ומעוקבו
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]+\left(2\sdot3\right)\right]\sdot3=\left(7+6\right)\sdot3=13\sdot3=39=3+3^2+3^3}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1+2\right)+\left(2\sdot2\right)\right]+\left(2\sdot3\right)\right]\sdot3=\left(7+6\right)\sdot3=13\sdot3=39=3+3^2+3^3}}</math>
 |style="text-align:right;"|תוסיף על הז' הזוג הג' והוא ו' יהיו י"ג תכהו במספר הג' שהוא י"ג יעלו ל"ט והוא המספר הג' עם מרובעו ומעוקבו וכן לעולם
 |-

Difference between revisions of "ספר המלכים"

Revision as of 14:19, 30 September 2017

Contents

Introduction

Section One - Discussion on the Numbers One - Ten

One

Monad in the existences

Two

Properties of the number two

Dyad in the existences

Three

Properties of the number three

Triad in the existences

Four

Properties of the number four

Tetrad in the existences

Five

Properties of the number five

Pentad in the existences

Six

Properties of the number six

Hexad in the existences

Seven

Properties of the number seven

Heptad in the existences

Eight

Properties of the number eight

Octad in the existences

Nine

Properties of the number nine

Ennead in the existences

Ten

Properties of the number ten

Decade

General Properties of Numbers

Introduction

A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs

Epilogue of the surviving section

Navigation menu

Search