Difference between revisions of "ספר המלכים"
From mispar
(→A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs) |
(→A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs) |
||
Line 1,565: | Line 1,565: | ||
!colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁):(a₂·b₂)=c²:d²</span> | !colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁):(a₂·b₂)=c²:d²</span> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The ratio of proportional plane numbers to each other is as the ratio of a square number to a square number. |
|style="text-align:right;"|המספרים השטוחים המתדמים יחס אחד אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע | |style="text-align:right;"|המספרים השטוחים המתדמים יחס אחד אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע | ||
|- | |- | ||
!colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂, if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁):(a₂·b₂·c₂)=d³:g³</span> | !colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂, if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁):(a₂·b₂·c₂)=d³:g³</span> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The ratio of proportional solid numbers to each other is as the ratio of a cube number to a cube number. |
|style="text-align:right;"|והמוגשמים המתדמים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב | |style="text-align:right;"|והמוגשמים המתדמים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב | ||
|- | |- | ||
!colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁)·(a₂·b₂)=(a₁·b₂)²=(a₂·b₁)²</span> | !colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁)·(a₂·b₂)=(a₁·b₂)²=(a₂·b₁)²</span> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When proportional plane numbers are multiplied by each other, the product is a square number, whose root is a product of the smaller factor of one of them by the greater [factor] of the other. |
|style="text-align:right;"|המספרים השטוחים המתדמים כשיכו זה ‫<ref>58r</ref>בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מאחד מהם בגדול האחר | |style="text-align:right;"|המספרים השטוחים המתדמים כשיכו זה ‫<ref>58r</ref>בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מאחד מהם בגדול האחר | ||
|- | |- | ||
!colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂ if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁)·(a₂·b₂·c₂) is a cubic number and its root is a product of the root of (a₁·b₁·c₁) by the root of (a₂·b₂·c₂)</span> | !colspan=2 style="text-align: center;" |<span style=color:Green>For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂ if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁)·(a₂·b₂·c₂) is a cubic number and its root is a product of the root of (a₁·b₁·c₁) by the root of (a₂·b₂·c₂)</span> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When proportional solid numbers are multiplied by each other, the product is a cube number, whose root is the product of the root of one of the solid [numbers] by the root of the other [solid number]. I say "the root", since [the product] is always a number that has a root. |
|style="text-align:right;"|המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש אחד משני המוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השורש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם | |style="text-align:right;"|המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש אחד משני המוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השורש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם | ||
|- | |- |
Revision as of 21:25, 21 February 2023
שער המספר וסגולתו
(לא ידוע מחברו)
(לא ידוע מחברו)
ContentsIntroduction |
|
The issue discussed in this chapter as the purpose of this wisdom [= mathematics/arithmetic] | דע שזה השער הוא הנכבד שבזאת החכמה וכאלו הוא התכלית בה |
Due to the importance this issue the Ancients wrongly assumed that the numbers are transcendent and are the beginning of the perceptible existence | ולרוב מעלת זאת החקירה טעו בה הקדמונים והניחו מספרים נבדלים ושמום התחלות המציאות המוחש |
|
וזה שמפני שהם מצאו הכמה נאמר בכל הדברים גשמיים או רוחניים |
|
וזה שבאלוה יאמר גודל ההשגה והיכולת או אין תכליות ביכולת ודומה לזה |
|
ואין תכלית הוא כמה בלתי מוגבל בין בשיעור בין במספר |
|
וכן מצאו בשכלים מהנפרדים רבוי וספירה לפחות מצד עלה ועלול או מציאות ומהות |
|
וג"כ מצאו רוב הנמצאות המוחשות שומרות יחסים מוגבלים |
|
כענין בגודל גרמי הכוכבים ועובי גלגליהם ויציאת מרכזיהם |
|
וכן בעגולים המוגבלים בכדור הח' |
|
וכן בעובי גרמי היסודות |
|
וכן באברי הב"ח כמו פרקי איבריהם |
|
וקצוות המין בגודל אישיו כמו שנעיר על קצת מאלו בזה השער |
Therefore this matter caused them to praise the number until they referred to it as a beginning, and they did so also in relation to quantity | הביאם הענין להגדיל המספר עד שייחסו אליו היותו התחלה וכן עשו בשעור |
But, according to the author of the text, this assumption is a mistake | כמו שאמרנו אמנם שזה הסברה טעות |
The number is incident of the counted and therefore cannot be a beginning | ושהמספר מקרה בספורים מה שבמקרה אי אפשר לשומו התחלה אין כאן מקומו |
"The Philosopher" [= Aristotle] has already discussed this at length in a few instances in his Physics, and many instances in the Metaphysics; and the commentators of his books as well as some later Greek, Arab and Christian writers have elaborated on this. | וכבר האריך בזה הפילוסוף בקצת מקומות מהשמע ובהרבה ממה שאחר הטבע והרחיבו בו מפרשי ספריו וכמה מחברים אחרונים יווניים וערביים ונצרים |
Nevertheless, there are indeed wondrous qualities and exceptional natures in number | ועל האמת יש במספר סגולות נפלאות וטבעים משונים |
The reasons of some of them are visible, the reasons of others are hidden, though they themselves are known to exist, but most are hidden themselves as well as their reasons | מהם גלויי הסבות ומהם נעלמי הסבות אבל הם ידועי המציאות ורובם שנעלמו מאתנו אלו ואלו |
The purpose of the soul to apprehend the natural matters | ואין ספק שכל ענין וענין מענייני הטבע הכוללים כשתשיגהו הנפש ותדעהו תשמח ותתענג בזה מאד לפי שזה תכליתה ולזה הכינה הכח האלהי לקבול פיתוחי הנמצאות וציוריהן |
Therefore, "The Philosopher" [= Aristotle] has said in the third book of On the Soul [III, 4, 429b30-430a2] that it is as an empty board receiving any drawing and writing. | ומפני זה אמר הפילוסוף בשלישי מן הנפש שהיא כמו הלוח החלק המקבל כל ציור וכתיבה |
Also Al-Ghazālī, at the beginning of his book Maqāṣid al-Falāsifa [The Aims of the Philosophers, the logical part], has said that it is as a polished mirror receiving the image of all existences as long as there is no curtain between it and them fully or partially. | ואלגזאלי אמר בתחלת ספרו בכונות שהיא כמו מראה זכה מלוטשת מקבלת דמות המציאות כלו כל עת שלא יחול מסך בינה ובינם בכל או בקצת |
As the soul benefits from the knowledge of the properties of natural things, even though it does not know their reasons, so it would benefit from knowing the qualities of the discontinuous and continuous quantity even though it will not know the reasons of some of them | וכמו שתהוה הנפש מידיעת סגולות העצים והאבנים ואברי הב"ח המתדמים והכליים אע"פ שתסכל ברובם הסבות תתענג הרבה בהשיגה המציאות ותצטער בסכלה הרבה ותצטער יותר כשתסכל אלו ואלו כן כשתדע הנפש סגולות [1]הכמה המתחלק והמתדבק אע"פ שתסכל בקצתם הסבות תתענג הנפש |
|
ולזה אמר אחד מחכמי ישמעאל מי יתן ונדע [טבעי][2] כל הנמצאות ונסכל סבותיהם |
The one who knows the characteristics and properties of number: | ונשוב למה שהיינו בו ונאמר שמי שידע טבעי המספר וסגולותיו |
|
ידע הרבה מטבעי |
|
ועל הכונה השנית יקח מהם כמה הערות יקרות בעולם באלוה ית' ובמלאכים ובגלגלים ובנפש ובנמצאות השפלות ואנחנו בלא ספק נדע מהם מעט ונסכל הרבה ואף גם זאת במעט אשר נודע לחכמים |
The same goes to geometry - there are wondrous qualities in geometry that testify to valuable secrets | ודע |
God has set these two [= arithmetic and geometry] as an analogy and example to the whole existence | וכאלו שני אלו הטבעים שמם האלוה ית' על הכונה השנית דמיון ודוגמה למציאות כלו |
The author states that his discussion is based on what he has found in the words of the previous scholars | ואחר שהקדמנו זה נתחיל לדבר בזה כפי מה שמצאנו לחכמים לפנינו |
He declares that he does not elaborates and does not refer to implausible remarks of the predecessors, but summarizes as much as possible without leaving out what is necessary | ומעט שהושקף לנו מבלתי שנעיין ונטה אל קצת הערות |
Section One - Discussion on the Numbers One - Ten |
|
One |
|
We say that from the numerical one we can get to know some issues related to the Creator: | ונאמר שמהאחד המספרי נוכל להכיר כמה ענינים בבורא |
|
מהם שכמו שהאחד המספרי מצד שהוא אחד לא מתרבה ולא מ |
|
וכמו שהאחד המספרי הוא בעצמו בפעל ובמספר בכח |
|
ומזה הצד אמרו החכמים שהבורא בכל ולזה אחד מן החכמים כששאלו תלמידו אנה הוא האלוה השיבו ואנה אינו ר"ל שהכח האלהי מצוי בכל נמצא כפי מה שבטבעו שיקבל ממנו וזה הוא מה שאמר אחד מחכמי הנצרים שהאלוה מתנדב עצמו לכל מצוי וכו' |
|
וכמו שהאחד המספרי עלת המספר והתחלתו ואינו מספר ולא יצדק בו גדר המספר ובו קיום המספר עד שיסולק המספר בסלוקו והוא לא יסולק בהסתלק המספר [6]כן האלוה האחד הוא עלת הנמצאות כלן והתחלת היותן וקיומן ואינו משאר הנמצאות ולא חלק מהם אבל הוא נבדל מעלוליו עם היותו עלה ובהסתלקו יסתלקו שאר הנמצאות ולא יסולק הוא בהסתלקן |
|
וכמו שהאחד המספרי אין לו רק פיאה אחת אחד לפי שהוא גדול הספירה וממנו ימשך הרבוי עד לאין תכלית בכח וכל הבא אחריו מתילד מכחו כן האלוה ית' הוא גדול הנמצאות אין אחריו כלום לא בפעל ולא במחשבה |
וזה שאפי' המחשבה אינה הולכת לאין תכלית אבל מכח אלהותו [ירבו ויתמעטו][7] הנמצאות ויאצלו עד תכליתן בהדרגה במין ולאין תכלית | |
|
ומה שאמרו קצת אנשים שהאחד שרש ומרובע ומעוקב ומשולש הוא טעות |
|
וזה שהאחד המספרי לקוח בשכל מופשט מכל נושא חוץ לנפש ומצד שהוא כן [אין רבוי בו בשום][8] |
|
ואם ישאל שואל למה לא יתואר הבורא ית' באחדות המספרי אחר שטבעיו [דומים][9] לטבע אלהות |
|
נשוב לו שאלו הדמויים אינם כלם ולא רבים על טבע אחד |
|
ועוד שהאחדות המספרי ישיגהו שלפעמים ילבש מלבוש [..] [נכרי][10] וישתתף לרבוי ר"ל למספר בקצת טבעיו כמו שהתבאר בקצת מקומות משני שע |
The fact that one shares the characteristics of numbers at times, but in other occasions not - is among of the things related to number whose reason is very mysterious | וזה אחד מהדברים הנמצאים במספר שסבתו נעלמת מאד ר"ל היות האחד פעם טבעו טבע המספר][11] ופעם לא |
Hence, the unity of God is different than the numerical unity | יתבאר א"כ מזה שהאחדות האלוה מתחלף מהאחדות המספרי |
The unity of God does not cease in any aspect and relation, it is a simple unity permanent forever almost inaccessible for the intellect due to its depth and subtlety | וזה שהאחדות האלוה לא יתואר בשום בחינה וציור אבל הוא |
Monad in the existences |
|
The worthy existences are united in receiving the quality of unity - their species exists as one individual | וכמו שהאחדות המספרי יכלול |
The universe as a whole is also one from this aspect - as explained by "the Philosopher" [= Aristotle] in the first book of On the Heavens [I.8, 277b8-13] | גם העולם בכללו מצד זה אחד לבד כמו שביאר הפלוסוף בראשון מהשמים והעולם |
Two |
השנים |
|
תחלת הרבוי המספרי |
|
וכן תחלת הרבוי האישיי |
|
וזה שאחד אחדות האלוה הוא השכל הנבדל ואין בו רק השניות והוא העלול הראשון שיש בו הרכבת מעלה [ועלול][14] |
|
וממציאות ומהות |
|
לפי שהוא עלול וזה שכל הנמצא עלול המציאות מקרה בו והמקרה ובעל המקרה [שוים][15] אבל האלוה לפי שהוא עלול המציאות והמהות בו אחד לגמרי |
Properties of the number two |
|
|
ומטבע השנים שמחברתו כמערכתו ר"ל שרבוי העלול הראשון אינו רבוי גמור רק בהצטרף לו רבוי מהות ולזה הוא דומה לטבע השניות המספרי שמערכתו לא יותיר על מחברתו וזה בחלוף כל המספרים שאחריו וזה שכלם יעדיף מערכתם על מחברתם |
|
וכאלו הוא ממוצע בין טבע האחדות והרבוי ולזה בטבעו הוא מונח בין האחד והשלשה |
|
וזה שהאחד מחברתו יותר ממערכתו |
|
ובשלשה בהפך |
|
ולפי שהשנים מתמצע ביניהם יש לו טבע ממוצע כן ענין העלול הראשון שאינו אחד לגמרי ולא רב לגמרי |
|
|
Dyad in the existences |
|
Some general things in the existence: | וכמה דברים כוללים |
|
באלוה בחינת [שניות האחד בבחינת][17] [עצמו][18] השני [בבחינת זולתו][19] |
|
במה שהוא עלה או [פועל][20] מזה שהתחלות הדברים המוחשים זוג השניות |
|
אם בגשמים היסודיים החומר והצורה |
|
ואם ברקיעים הנושא והצורה |
|
וכל מיני המקבילות זוג השנים |
|
והגבלת האמתות בחיוב ובשוללות ולזה היא היותר קודמת |
|
והאמת והשקר שנים |
|
חלקי הזמן שנים עבר [ועתיד וזה שההווה בלתי מוגבל ולא קיים |
|
החיים והמות שנים][22] |
|
הכח והפעל שנים |
|
השנוי בשנים הפועל וההתפעלות ר"ל הקבול |
|
הגופות שנים היסודי והרקיעיי |
|
|
|
הרקיעיי שנים [23]הגלגל והכוכב וזה שהם מתחלפים במהות לפי שהגלגל ספירי והכוכב לא |
|
תנועות הגלגלים באורך שנים ימה וקדמה וברוחב שנים צפונה ונגבה |
|
הגלגלים ישתתפו בטבעיהם שנים כמו שאמרו האצטגנינים |
|
וזה שמהם שני |
|
ושנים מצליחים צדק ונגה |
|
ושנים מזיקים והם שבתאי ומאדים |
|
[וכוכב][24] אין לו טבע מוגבל אבל הוא לפי דבריהם מתהפך |
|
טבע [הסוגיות][25] בשנים זכר ונקבה ואין ביניהם שלישי ממוצע רק בשגיאת הטבע כמו הטומטום והאנדרוגינוס וזה אשר אמרנו הוא בנולד |
|
|
|
סוגי ההקשה שנים השתוף וההבדל |
|
מיני החיים שנים פעלניים ומחשביים |
|
מיני הנמוסים שנים טבעי והנחי כמו שביאר הפלוסוף בשני מספר ההלצה |
|
המשכות הנמצאות בשנים בזמן או [בנצחות][26] |
|
בחינת הנמצאות אלו עם אלו בשנים והם |
|
סוגי האשור שנים מחשביי |
Three |
השלושה |
Properties of the number three |
|
|
הוא ראשון למספרים [הנפרדים][27] |
|
ובו נשלם כל טבע המספר וזה שבו האחד והשני מיני הרבוי [שהם][28] הזוג והנפרד |
Triad in the existences |
|
As three comes after two in the arrangement of numbers, so in the development of natural existence the triad comes after the dyad. | וכמו שהשלשה בסדור המספר אחר שנים כן בהשתלשלות המציאות טבע השלוש מגיע אחר השניות |
|
וזה שאחר שנניח האלוה ושהוא ממשיך המציאות מאתו יתואר בשהוא צורת העולם ופועלו ותכליתו |
|
ושלשה אלו הם אחד לא יתנו רבוי בעצמו ית' כמו שביאר [בן רשד][29] בסוף השני מקצורו למה שאחר |
|
וגם בדברים הטבעיים הוא כן כי הצורה והפועל והתכלית אחד בנושא שלשה בבחינה כמו שביאר ארסטו בשני מהשמע |
|
וכן יתואר הבורא ית' |
|
ולא יביאו אל רבוי כמו [30]שביארו גדולי החכמים |
|
ולזה יאמר ארסטו בתחלת הראשון מספר השמים כשביאר שהשלשה כל ושלם אחר שיש לו שני הקצוות ואמצעי שראוי מפני זה שנגדיל האלוה ית' בזה המספר כדי שנמשך לפועל הטבע ויהיה זה כאלו הוא תורה לנו |
|
ובן רשד המפרש פירש בו מספר התפלות והקרבנות ואולי זאת היתה כונת מיסדי תפלותינו שהם שלשה אנחנו [הישראלים][31] |
|
|
|
והעלה השניה ממשיכה אחריה שלשה והם הגלגל הראשון ונפשו ומניע הגלגל השני |
|
ובגרמים השמיים טבע השלוש וזה ששבעת הכדורים בכל אחד גלגלים רבים להניע כוכב אחד ובשמיני גלגל אחד יניע כוכבים אלף כ"ב ובתשיעי אין בו כוכב |
|
ומצד אחר כוכבי הרקיע השמיני תנועתם פשוטה מתדמה סביב מרכז העולם ובמאורות בלתי מתדמה ולא סביב מרכז העולם אבל ישיגם נזורות ובחמשת כוכבי הנבוכה ישיגם הנזורות הנה נבדלו הגופים הרקיעים בשלשה טבעים בתנועתם [ב][32]אורך |
|
ומצד אחר בתנועת [הרחב][33] וזה שהשמש אין לו תנועה ברוחב מאזור המזלות והירח יתנועע ברוחב אבל גלגל[ו][34] הנוטה ברחב קיים הנטייה ובחמשת הכוכבים גלגלם הנוטה בלתי קיים |
|
ומצד אחר השמש לפשיטותו יספיק בו יציאת המרכז או גלגל הקפה והששה הנשארים צריכים לשניהם וכוכבי שבת אין בהם לא זה ולא זה |
|
ומצד [אחר][35] השמש תקרהו הסתרה והירח לקות והוא אבוד האור לגמרי והנשארים לא זה ולא זה |
|
ויש בהם שלוש מפנים אחרים אבל אלו שאפרש די |
|
טבעי המזלות שלשה קיים מתהפך בעל שני גופות |
|
וכן ביסודות שלש |
|
מהם קל במוחלט מהם כבד במוחלט מהם כבד וקל |
|
[ומצד אחר][36] מהם עב במוחלט ומהם דק במוחלט ומהם עבים ודקים בהצטרף |
|
ומצד אחר מהם קצוות |
|
העבודה והמרי בג' במחשבה בדבור ובמעשה[38] |
|
מיני תנועות הגשמים שלשה מן האמצע אל האמצע וסביב [39]האמצעי |
|
מיני התנועות מצד אחר שלשה ישרה וסבובית ומורכבת משתיהן הנקראת חלזונית |
|
הנה התבאר שהעולמות ג' ובכל אחד מהם מצוי טבע השלוש בדרך שביארנו גם באלוה בתאריו כמו שזכרנו לא זולת זה |
The property of three is found in the beings also: | גם [בנמצאות][40] מצוי טבע השלוש |
|
כי הנפשות ג' במין הצומחת והחיונית והמדברת |
|
מיני הצומח שלשה האילן והעשב והירק |
|
והעשב נשאר זמן כמו האילן והירק מזריע ומתיבש בתוך שנה |
|
מיני החי ג' המהלך והמעופף [והשח][41] |
? | והמדבר לא יחלק לפי שלא יתרבה במין |
|
הכחות ג' טבעית חיוני |
|
המרחקים ג' האורך והרוחב והעמק |
|
ולוקחים התחלותיהם משלשה הקו והשטח והגשם |
מדת הילוד על הרב ג' מה שעתיד להיות כמו שבארו רב ההנכרים | |
|
[התמונות][42] הישרות הקוים השטוחות הראשונה משלשה גבולים לא פחות והוא המשלש וכל שאר התמונות ישרות הצלעות הרבות אליו יותכו ולזה חשבוהו הראשונים יסוד כמו שביאר הפלוסוף בג' מ[ה][43]שמים והעולם |
|
החכמות ג' הלמודיות והטבעיות והאלהיות |
|
תמורות ההקש המולידות ג' כמו שהתבאר בראשון מספר ההקש |
|
מיני ההקשה הראשונים ג' אם שווי אם תוספת אם חסרון |
|
מיני היחס הכוללים ג' המספרי המדותיי והנגוניי |
|
מיני הדבור אצל הפלוסופי' ג' שם פעל מלה כמו שהתבאר בתחלת ספר המליצה |
|
מיני הטבעים בהתמדה ולא בהתמדה שלשה לא הווה ולא נפסד באלוה אם מתמיד במין נפסד באיש כיסודות והמורכב מהם מתמיד באיש כמו הגלגלים והמלאכים והכוכבים |
|
|
|
|
|
מיני האהבה ג' אהבת מעלה אהבת הנאה אהבת תועלת כמו שביאר ארסטו בתחלת השמיני מספר המדות |
|
בנפש ג' חלקים אחד [לפועל][44] והוא התאוה ושנים לשפוט והם החוש והשכל ומה שהוא בשכל חיוב ושוללות הוא בתאוה דרישה ובריחה כמו שהתבאר בששי מספר המדות |
|
[45]החמרים בגזרות ג' מחויב ונמנע ואיפשר שהמשולח מטבע האפשר והוא מין ממיניו לפי דעת האחרונים |
|
השלמויות הם החתוכים הנופלים |
|
מיני מנהגי המדינות |
Four |
הארבעה |
Properties of the number four |
|
|
תחלת מספר מורכב |
|
ותחלת זוג הזוג |
|
ותחלת מרובע שיהיה בפעל |
|
וחבורו משלים עשרה שהם בפנים ע' מספרי המעלה הראשונה |
|
[ושרשו][46] חציו |
|
והוא חצי מעוקבו |
Tetrad in the existences |
|
The tetrad is found in the existences after the triad: | אמנם בנמצאות איך ימצא |
|
כבר ביארו אפלטון בספר טימאוס הרוחניי כשיאמר שהנמצאות כלם בלתי האלוה אחר הבדלם |
|
ובגלגלים ארבעה דברים הגלגל והכוכב הנפש והמניע הנבדל |
|
בגלגלים המצויירים ד' טבעים המכוכב כוכבי הנבוכה שני המאורות כמו שביאר הר"ם ז"ל פרק י"א משני והגלגל |
|
הכוחות השופעות מן הגלגל ד' הדומם הצומח החי והמדבר |
|
המלאכות אשר תעשינה ההיקש ד' והן [המופת והנצוח וההטעמה וההלצה][48] |
|
התקופות ד' קור וחום קיץ וחורף |
|
המקבילות ד' ההפכים המצטרפים ההעדר והקנין החיוב והשוללות |
|
מיני המבטים אשר כפיהם יתמזג ניצוצות הכוכבי' ד' נכח שליש רביע שתות |
|
האיכיות ד' החום והקור הלחות והיובש |
|
וההתמזגות המתילדות [מהם][49] ד' כמו שביארו החכמים |
|
מיני האיך ד' קנין ענין כח טבעי ולא כח טבעי הפעל וההפעלות |
|
הליחות ד' אדומה שחורה לבנה דם |
|
הסבות ד' החמר והצורה והפועל והתכלית |
|
הרוחות ד' ימה וקדמה וצפונה ונגבה והן |
|
מיני השלמויות ד' |
|
הכחות העובדות הכח הזן ד' מושך מחזק מעכל ודוחה |
|
יתדות הרקיע ד' הצומח וקו התהום והשוקע וחצי השמי' |
|
[51]כחות הנפש הראשיים ד' והם השכל [וההמזגה][52] [והחוזק][53] והצדק |
|
טבעי האילנות ד' בעלי מימות בעלי שרפים בעלי שמנים בעלי חלבים כמו שהתבאר בספר עבודת האדמה |
|
האיברים הראשיים ד' מוח לב כבד אשכים |
|
מיני הכחות המיוחסות [לרפואות כפי פעולתם][54] בנו ד' כפי דעת האחרונים ובפרט בן רשד בספר הכליות |
|
חבורי התמונה ד' ואין בכל חבורי שאר |
|
מיני הדרישות ד' אם פשוט ואם מורכב ומה ולמה כמו שביאר הפלוסוף בתחלת השני מספר המופת ואחרים אמרו שהם אם ומה איך ולמה |
|
חיות המרכבה ד' |
|
ומרכבות זכריא ד' והם מופת על ענינים נכבדים זכרו מהם החכמים שלפנינו הרבה |
ועדין נשאר הרבה אבל אין בזה הספר מקום לדבר בם וכל שכן שסובלים דברים ארוכים ועמוקים ואם יניח השם לנו ניחד בהם מאמר בפני עצמו | |
Five |
החמשה |
Properties of the number five |
|
|
מספר [עגול][55] סובב על עצמו וזה שהוא שומר עצמו במרובעו ובמעוקבו |
|
כי מרובע ה' כ"ה |
|
ומעוקבו קכ"ה |
|
וכן תמיד אם יכפיל יותר ימצא בו פרט ה' |
|
וזאת שהחמשה כנקדה אמצעית בין המספרים התשעה |
|
והוא [חבור][56] המרובע הראשון בכח עם המרובע הראשון בפועל |
|
ויש בו סגלה נפלאה מעידה שהמספרים תשעה לבד והיא שהחמשה מרובעו ומרובע כפלו כמו מעוקבו וזה שמרובעו כ"ה ומרובע כפלו מאה [הרי][57] קכ"ה והוא [מעוקב][58] חמשה |
|
וכל מספר שלפני חמשה ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר אל חמשה |
וכל מספר שאחר חמשה הדבר בהפך והנה נאריך [בזה][59] במקומו הראוי לו | |
Pentad in the existences |
|
There are general things in the existences that are run by five. | ויש בנמצאות דברים כוללים ירוצו מרוצת החמשה |
|
מהם כמו שאמ' אפלטון בספר טימאוס שחמשה הם שרשי המציאות והם השכל והצורה והחומר והמקום והזמן |
|
נושאי ההנדסה חמשה הנקדה הקו השטח [הגשם][60] הזוית |
|
[61]נשואי הגזרות ה' [והם][62] סוג מין הבדל סגלה מקרה |
|
ההרגשות הגשמיות ה' |
|
סימני החיים |
|
עוד ידיעת הכח הגלגלי בעולם השפל תלוי במצבי חמשה עגולים והם עגול המזלות ועגולי שני ההפוכים והעגול |
|
התמונות הגשמיות שוות התושבות וימוששו מכל צד הם ה' לבד וכבר התבאר ענינם בי"ג מאיקלידיס |
|
מיני ההקשה האחרונים בין הדברים שיפול ביניהם הם חמשה וכבר התבאר ענינם בשער השני |
|
הכוכבי' שהשתתפו בנזורות ורוחב בלתי קיים חמשה והם שצ"ם נ"ך |
|
מיני [האשור][63] חמשה שלשה במחשבי |
|
התנועות שיבוטאו בהם התארים הגזרים חמש והם פתח צרי חרק שורוק חולם והשאר אינם טבעיות ויקראו בעלי הנקוד בתנועות כמו שיאמ' משה קמחי בקצורו לנקוד [ואבן עזרא][64] בספר [ואלה שמות][65] |
|
חלקי הדבור הפשוטים והמורכבים ה' והם הקול הגזר האות התיבה הגזרה |
|
התולדה בב"ח תמצא על ה' פנים הא' שיוליד בגופו חי |
|
סבות הזכרות והנקבות [בב"ח][66] ה' והם המזג השנים הרחות טבע המקום טבע המים והאויר כמו שביאר ארסטו בי"ח מב"ח |
Six |
הששה |
Properties of the number six |
|
|
תחלת זוג הנפרד |
|
והוא כמו כן מספר [כדוריי][67] מתגלגל על עצמו כמו החמשה |
|
וזה שהששה שומר גם כן עצמו במרובעו ובמעוקבו כמו הה' וזה כי ו' על ו' ל"ו |
|
וואו על ל"ו רי"ו |
|
ואם יכפל עוד ישמר בכפל ההוא וכן לעולם |
|
והששה מספר שלם ר"ל שחלקיו שוים לכלו לא פחות ולא יתר |
|
וזה שחציו ג' ושלישיתו ב' וששיתו א' הרי ששה |
ואין בלעדיו מספר [68]שלם במדרגה הראשונה | |
|
ובשנית ימצא אחד והוא כ"ח |
|
ובשלישית תצ"ו |
|
וברביעית שמות אלפים ר"פ ומן הוא והלאה לא ימצא מספר שלם רק בדלוג מדרגות |
|
וכל המספרים אם נוספים ואם חסרים וחכמי העיון הוציאו מזה רמז כי השלמים ימצאו מעטים ובפליאה ובדלוג מדינות ודורות |
|
ואמנם קראו זה המספר שלם לפי שגדר השלם כמ"ש הפילוסוף הוא אשר אין להוסיף עליו ולא לגרוע ממנו ולזה נק' העגול שלם בתמונות השטוחות והכדור במוגשמות |
והאנשים שעניינם כך מעטים | |
ואמנם רוב האנשים אם חסרים מהראוי להיות בם ואם שיהיו בם דבר לא יתכן שיהיו | |
ואמנם הדרך בהוצאתם נבארהו כשנגיע אל הסגולות הפרטיות | |
Hexad in the existences |
וכמה דברים כוללים בנמצאות ירוצו מרוצת הששה |
---|---|
|
כמ"ש אלפראבי בתחלת ספרו הנק' התחלות הנמצאות שאמר שהתחלות המציאות ששה והם האלוה השכל הנפש הגלגל הצורה ההיולי |
|
הפאות ששה מעלה ומטה ימין ושמאל פנים ואחור |
|
המזלות הצפוניים ו' והם טש"ת סא"ב |
|
והדרומיים ו' מע"ק גד"ד |
|
חבור היחסים הל[קוחי]ם בנושאים מפורדים אמנם הוא בו' |
|
קולות הנגון ו' ובד' מהם מתחיל הטבע האחד מהנעימה והולך עד ששה וכן משם ולמעלה עד לאין תכלית כי מה שאין תכלית לו אי אפשר שיצא אל הפעל לעולם |
|
הקוים האלמים מדובקים או נבדלים המתילדים בכל סוג מסוגי הנבדלים הם לעולם ששה ששה |
|
מוצאי המותר בגוף האדם ו' והם העין האזן האף הפה מוצא המותר הדק ומוצא המותר העב ואין ראוי למנות הכפולים רק אחדים כי כמ"ש הפילוסוף לא נכפלו רק מפני היותר טוב |
|
כחות הנפש האנושית הכוללים ששה והם צמיחה הזנה הרגש חוש משותף דמיון שכל |
|
פרקי הזרוע והיד וכל אצבע ששה וזה שמהכתף עד תחלת היד שנים ומתחלת היד עד ראש כל אצבע א' ובכל אצבע ג' הרי ו' וכלם מתיחסים בהדרגה ביחס מוגבל בטבע אם לא שישנה הטבע על הזרות |
|
וכן מתחלת הרגל עד קצות כל אצבעות הרגל |
|
האיברים הבולטים בפנים ו' והם שתי עינים שתי אזנים שתי נחירים ואין ראוי למנות השפתים לפי שהאדם יכול לקפוץ פיו ושפתיו ולא יוכר בם שנוי משאר שטח הפנים |
|
גדלי כוכבי הרקיע כלם יחלקו לו' כמ"ש החכמים |
|
הסבות המשותפות לבריאות והחולי ששה האויר המקיף מאכל ומשתה תנועה ומנוחה שינה ויקיצה הרקה והסגר חדושים נפשיים |
Seven |
השבעה |
---|---|
Properties of the number seven |
|
|
הוא מספר ראשון שבמדרגה ראשונה וזה שהמספרים הראשונים שבמדרגה היא בגה"ז |
|
ומספר הז' מורכב מתחלת הזוגות עם שני לנפרדים |
|
ומתחלת הנפרדים עם שני לזוגות ולזה קראוהו קדמוני החכמים מספר כולל |
|
והוא אמצעי בין ארבעת המספרים המורכבים שנים לפניו ושנים לאחריו לפניו ד"ו ואחריו ח"ט |
|
ואם תכפול שבעה יהיו י"ד וזה עולה במחובר מרובעי אב"ג שהם כל טבע המספר כמ"ש למעלה |
|
וחבור ז' מספר שלם ואין במדרגת העשרות זולתו |
Heptad in the existences |
ויש בנמצאות דברים רבים ירוצו מרוצת השבעה |
|
מהם שהכוכבים ז' והם מנהיגי העולם הראשונים ולזה קראום מקדם חכמי ישראל המשרתים |
|
ימי כל רבוע מרבועי הירח ז' ובהם יעתקו האוירים והטבעים בבריאות ובחולי |
|
אקלימי הארץ שבעה ואינה חלוקה הנחית אבל נמשכת לכח עליוני כמ"ש חכמי הכוכבים |
|
מיני המתכות ז' הזהב הכסף הנחשת הבדיל העופרת הברזל הכסף חי ואע"פ שהברזל לא יותך כפי מה שיחשב הנה איפשר להתיכו בתחבולה נעלמת עד שיותך מהרה כמו העופרת |
|
סוגי טבעי הב"ח הבלתי מדברים שבעה חיות טורפות בלתי טורפות עופות דורסים בלתי דורסים שרץ העוף זוחלי עפר
ר"ל שקצים ורמשים חיות המים ותחת כל א' מאלו ישתרגו מינים רבים |
|
החכמות שיחלקו כפי דעת הפילוסוף ז' והם הטבע והאלהות והמספר וההנדסה וחכמת התכונה הגלגליית וחכמת המוסיקה והחכמה המדינית ויש בחלוקה הזאת חלוף דעות לאחרונים ולא מנו ההגיון לפי שאינו חכמה אבל כלי לבד והאמת כמ"ש הר"ם ז"ל בפ' מ"ג מג' שלשבעה מבוא גדול בעניינים הטבעים והתוריים וכן יאמר בעל ספר התמר סוף ספרו וזה מכלל הדברים הכרתם מחויבת |
|
שנויי שנות האדם שבעה כמ"ש בן סינא בראש ספרו בקאנון ואבוקראט בספריו בשביעיות |
|
מיני הכמה שבעה הקו השטח הגשם המקום הזמן המספר הדבור |
|
חדשי עמידת העובר לפחות שיוכל לחיות בו הילוד שבעה וטעם זה ארוך והתבאר היטב בספרי חכמי הכוכבים כי אין בחכמת הטבע די להשלים סבת זה |
Eight |
השמנה |
---|---|
Properties of the number eight |
|
|
תחלת מעוקב בפעל ר"ל מספר שארכו ורחבו וגבהו שוה |
|
והוא זוג הזוג כמו הד' ולזה הוא מספר חסר ר"ל שחלקיו פחות מכלו כי כן דרך מספרי זוג הזוג ר"ל שהם חוסרים לעולם [.]' מכללם |
|
וחבור ח' במרובע הזוג הזוג שלפניו |
|
וחבור חבורו עולה ק"כ שחלקיו כפלו והוא סך מרובעי הזוגות שבמדרגה הראשונה |
|
וכל מעוקב מחובר מששה שטחים וי"ב צלעות וכ"ד זויות שטוחות וכל אלו מתיחסים ביחס כפל וכשתחבר שטחי ח' צלעותיו וזויותיו יעלה מ"ב וזה ככפל מחובר הזוג שלפני שמנה |
Octad in the existences |
ויש בנמצאות דברים ירוצו במספרם על שמנה |
|
מהם שהרקיעים המכוכבים שמנה |
|
וחלקי הדבור אצל מדקדק קצת הלשונות שמנה |
|
קצוות התנועות שמנה לפי שהשנוי בארבעת המאמרות שהם העצם והכמה והאיך והאנה ובכל א' מה ממנו ומה אליו |
|
היו גבולי התנועה הטבעית שמנה |
|
טבעי האילנות שמנה והם אילן סרק אילן שפריו נאכל כלו שנאכל מה שבחוץ שנאכל מה שבפנים שאין שומר לפריו שיש לו שומר אחד שיש לו שני שומרים שיש לו שלשה |
Nine |
התשעה |
---|---|
Properties of the number nine |
|
|
תחלת מרובע מספר נפרד |
|
וחלקיו הם כמספר מרובע תחלת זוג לפי שחלקיו שלשה וא' והם ד' שהוא מרובע ב' |
|
ומחוברו כמו הכאתו במספר האמצעי והוא ה' |
|
וחבור חבורו עולה רס"ה והוא סך מרובעי הנפרדים שבמעלה הא' כמ"ש בן עזרא בס' השם |
|
ותשעה סוף המדרגה הראשונה מהמספר וזה שהמספרים ט' והאחד עמהם |
|
והאות ע"ז שאם תעשה עגול ותניח סביבו תשעת המספרים ותתחיל ותכפול ט' על עצמו תמצא המרובע פ"א ותמצא ח' שהוא כנגד פ' אל הימין והא' אל השמאל ואם תכפול ט' על ח' יעלו ע"ב ותמצא ז' שהוא כנגד ע' מימין והב' אל השמאל וכן כל ארבעת מספרים אשר לפני ה' עגול הכלל מימין והפרט משמאל לארבעתם וחמשה לפי שהוא חשבון עגול אמצעי הוא מתגלגל על עצמו והוא בזה הענין כנקודה אמצעית עגול ולזה כאשר תכפול ט' על ד' יעלה ל"ו ותמצא ג' שהוא כנגד ל' עגול אל השמאל וו' שהוא הפרט אל הימין וכן כל הד' שאחר ה' כמו שתראה הנה יתבאר א"כ מזה כי בתשעה טבע הסבוב ולפי שה' באמצע יתחיל ממנו לנטות אל צד אחר מהעגול כי כן משפט מתנועע בסבוב שמנוקדה מהעגול עד חצי העגול ירוץ במצב א' ומשם והלאה מחליף המצב |
Special properties of the rank of the units: | וכמו שהיות המספרים ט' עם הא' התבאר מצד המספרים עצמם יתבאר מצד מרובעיהם ומצד מעוקביהם |
|
אמנם מצד מרובעיהם שאם תסדר בטור במספרים הטבעים עד ט' ותניח עליהם או תחתיהם מרובעיהם על הסדר |
|
תמצא שהפרטים ההוים במרובעים עד מרובע ה' חוזרים אחורנית במרובעים שאחריו וזה שהפרטים שאחר שלפני מרובע ה' הם אד"ט |
|
וה' שבאמצע שומר עצמו ואחר חוזרים לאחוריהם כאלו הם הולכים חצי עגול אחר |
|
וזה שהפרטים שאחר מרובע ה' הם ו' ט' ד' א' |
|
ואמנם במעוקבים יתבאר הדבר כן אם תסדר מעוקבי המספרים הטבעיים על הסדר עד ט' |
|
תמצא פרט המעוקב הראשון עם פרט האחרון הוא כלל והוא ראש המדרגה השנית |
|
והשני לא' עם השני לאחרון לפניו עושים כלל וכן תמיד |
|
עד האמצעי שהוא ה' שהוא הנקודה לאמצע זה הענין כאלו הוא בחצי קשת העיגול ותמצא בכאן דבר מופלא שכל החלקים השלמין שאפשר שיחלק בם מספר העשרה נמצאים באלו הפרטים פרט לפני ה' עם פרט לאחריו וזה כמו א' וט', ח' וב', ז' וג', ובאמצע שהוא א' מחלקיו בהתחלקו לחצי |
|
ומדרך אחרת מצד המעוקב נבאר שהמספרים ט' שכמו שאמרנו במספר ה' שמרובעו ומרובע כפלו שוה אל מעוקבו וכל מספר שלפניו ערך מרובעו ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך אותו המספר פשוט אל חמשה ואחר החמשה יתהפך הענין וזה שאז יהיה ערך מרובע המספר ומרובע כפלו אל מעוקבו כערך חמשה אל אותו המספר וזה לאות שהט' שלמות המספר והוא כדמות עגול שלם סובב על עצמו |
|
וממה שיחזק מה שאמרנו עתה והוא שאם תסדר תשעה המספרים בטור ותשים על כל א' מהם מרובעו ומרובע כפלו תמצא בראשון פרט ה' ובשני כלל וכן עד ט' |
|
וערך כל מרובע מספר מה עם מרובע כפלו אל מרובע אי זה מספר עם מרובע כפלו כערך המספר הפשוט אל המספר הפשוט שנוי בכפל |
|
ואם תסדר מרובעי המספרים הטבעיים עם מרובעי כפליהם בטור הנה הכאת איזו מדרגה שתהיה מהם עם איזו מדרגה אחרת לעולם מרובע אמנם ידיעת שרשי אלו המרובעים היא ע"ז הדרך תכה הראשון שהוא ה' בשני לו ואחר בג' ואחר בד' וכן ע"ז הסדר תמצא המרובע הראשון שרשו כפל ה' והוא י' ושרש השני יוסיף ה' ושרש ה' יוסיף ה' וכן כלם וזה יקרא הסבוב הראשון ובכל זה הסבוב תמצא המרובעים האחד פרטו והשני כללו וכן לעולם ובסבוב השני והוא שתכה השני מהטור הנז' בכל הבאים אחריו תמצא המרובעים היוצאים ד' דמיוני המרובעים הראשונים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ולזה הם כלם כללים ובסבוב הג' והוא שתכה הג' בכל הבאים אחריו יהיו המרובעים היוצאים ארבעה דמיוני השניים ולזה שרשיהם כפלי שרשיהם ותמצא האחד כלל והשני פרטו ה' וכן תמיד כדרך הסבוב הראשון וכן החמישי והשביעי והט' סוף דבר הסבובים הזוגות בדרך אחת והנפרדים בדרך אחרת |
|
וייראה באלו המספרים ר"ל מרובעי המספרים הטבעיים על מרובעי כפליהם שאם תחבר כל א' מהם אל מספרו פשוט תמצא הפרט הראשון ו' עוד ב' עוד ח' עוד ד' והאמצעי שהוא קכ"ה עם מספרו יהיה כלל והמספרים הארבעה שאחריו ה' הענין בם כמו במספרים שלפני ה' וזה אות מופלא שהמספרים ט' לבד |
Algorithms for checking if a number is a square or a cube and what are the digits of is its root, considering its units: | הנה כבר ביארנו שהמספרים ט' לבד ולזה נקח מהקדמות הנזכרות ראשונה מאזנים למרובעים ולמעוקבים |
|
וזה שאי אפשר בשום מרובע שיהיה בו פרט ב' או ג' או ז' ואם הוא כן אינו מרובע |
|
|
|
ואם יש בו א' או ט' היה בשורש |
|
ואם יש בו ד' ב' או ח' היה בשורש |
|
ואם היה בו ו' ד' או ז' היה בשורש |
|
ואם בפרט ה' בשורש ה' ג"כ וכן תמיד |
ואמנם במעוקבים | |
|
אם יש במספר פרט א' הנה במספר בשורש א' |
|
ואם יש בו ב' בשורש היה ב' |
|
ואם יש בו ג' בשורש היה ז' |
|
ואם יש בו ד' בשורש ד' |
|
ואם יש בו ה' בשורש ה' |
|
ואם ו' בשורש ו' |
|
ואם יש בו ט' בשורש ט' |
"These are enough proofs that the digits are nine alone" | ודי בזה ראיות שהמספרים ט' לבד |
Ennead in the existences |
|
Know that there are many things in the existences that are run by the number nine: | ודע שיש בנמצאות דברים הרבה ירוצו במספרי הט' |
מהם כי הרקיעים לא יותר גם בתשיעי ספק לא מעט | |
|
השכלים הנפרדים אחר האלוה ית' לפחות ט' וזה כפי דעת הפילוסופי אבל כפי דעת התורה רבו מלמנות |
|
המזגים ט' אחד פשוט שוה וארבעה פשוטים וארבעה מורכבים |
|
המהויות הפשוטים ט' אלוה השכל הנפש הגלגל הכוכב היסודות הארבעה |
|
מיני האותות והחילוף שיש בין דבר וזולתו ט' והם טבע יאהב טבע וטבע ישנא טבע טבע רודף טבע טבע בורח מטבע טבע יתגדר על טבע טבע יכנע לטבע טבע מקיים טבע טבע מפסיד טבע והתשעי הוא טבע נכרי לטבע ר"ל שאין ביניהם האותות והתנגדות ואלו הם ט' סוגים יכנסו תחתיהם כל מיני הפעל וההפעלות בעניינים הטבעיים ובס' אכואן אלספא הובאו משלים מפרטי הטבע בכל א' מהם והראשונים היו מונים אלו הסוגים י"ג והאחרונים השיבום אל ט' והנה התבארו דברים אלו בס' השתנות הטבעים |
|
האיברים שייחדם הטבע במין האנושי חוץ מהגוף לפעולות מיוחדות וכפל אותם הם ט' והם העין האזן האף השפה השניים היד הרגל השדים האשכים |
|
סוגי המקרים ט' והם שביארם הפילוסוף בס' המאמרות בהגיון |
|
טבעי המתדמי החלקים אשר ספרם הפילוסוף ברביעי מאותות השמים שהם כדמות הבדלים צוריים הם ט' וזה שהוא מנאם י"ח שישובו לט' וזה שהוא מנה הקניינים והעדריהם וההעדרים אינם דברים ישיים ובמקומו יתבאר בבירור |
|
חדשי עמידת העובר האנושי בבטן ט' וזה דבר הסכימו בו חכמי הטבע ולא נתנו לזה טעם מספיק אבל האיצטגנינים האריכו בזה בדברים נכונים כמ"ש בספרים הרבה והיותר מספיק בה מה שזכרו מחברי אכואן אלצפא |
|
מיני הטעמים שמנה מתוק מר מליח חריף חמוץ קובץ דשן תפל ואין למנות העפוץ טעם בפני עצמו לפי שהוא אינו אלא תכלית ה[ק]ביצות כמ"ש בן רשד בס' הכליאת |
Ten |
העשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Properties of the number ten |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחלת המדרגה השנית והוא כאחד והשני בה עשרים והשלישי שלשים וכן עד צ' ולזה נגזרו לאלו שמות משמות אחד המדרגה הראשונה והפרטים שבין אלו הם מורכבים משתי המדרגות כמו י"ב כ"ג ל"ד מ"ה וכמו שהוא תחלת מדרגה שנית כן המאה תחלת מדרגה שלישית והאלף רביעית וכן תמיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תחבר המרובעים שיש עד חציו ר"ל תמצאם כמחובר עשרה פשוט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונהגו ההמון והספרים לגמור בעשרה מפני שהוא כלל וכאלו הביאם הרצון האלהי לזה להורות שהוא סוף הספורים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Decade |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה שהספורים עשרה האלוה והשכל והגלגל והכוכב והנפש והיסוד והדומם והצומח והחי והמדבר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמאמרות עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודברות התורה הקדושה שנמסרו לנו בסיני הם עשרה והם סוד אלהי נכבד בהנהגם בזה המספר וזה הוא שנרמז בס' יצירה עשר ספירות בלי מה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ופארות אילן האדם עשרה למעלה ועשרה למטה והם עשר אצבעות הידים ועשר אצבעות הרגלים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One of the wonders of nature: the counted are following the number - as the units are not larger than 9 or 10, so there is nothing among the universal principles of the existences that is more than 9 or 10, except by a hypothetical division, such as the 12 zodiac signs, or the 28 stations of the moon, that is not a real determined division | ומן הפלא הגמור בהמשך הספורים למספר שכמו שהמספר לא יעבור ט' או עשרה כן לא תמצא בכוללי הנמצאות דבר שיעבור זה המספר כי אם בדרך חלוקה הנחית כמו י"ב מזלות וכ"ח מחנות הלבנה וכיוצא באלו שאינה חלוקה מוגבלת יישיית וזה א' מנפלאות הטבע בלא ספק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The author states that he does not elaborate on this since this subject will be discussed in another section of the book dedicated to the nature of existence | ולולא יראתיהו מהאריכות ושלא נצא ממה שאנחנו בו הייתי מאריך בביאור עניינים נפלאים גדולים ויקרים על זה הדרוש אבל ייעדנו לו מקום אחר בס' הסכמנו לדבר בו בטבע המציאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because of this wonderment and various other those who assumed that the number is a beginning were mistaken | ומפני הפליאה [69]הזאת עם אחרות רבות טעו המניחים המספר התחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The universal principles mentioned for each number are but a few of many, for the human intellect cannot apprehend them all the more so the distant ones, thus a clear remark on those mentioned is enough | ודע שאותם הכוללים שזכרנו[70] בכל מספר ומספר הם מעט מהרבה כי קצרה יד השכל האנושי להשיגה כל שכן לרחוקים מהשלמות ודי הערה גלויה באותם שזכרנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
General Properties of Numbers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Introduction |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Henceforth some specific qualities of the nature of number will be presented by way of a tale and description | ואחר שהגענו לזה המקום נביא קצת סגולות פרטיות מטבע המספר בדרך הגדה וספור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Not as the way used by Euclid in the Elements, books 7-9, because the number does not require this, since the practical counting verifies any hypothetical proposition, even there the reader will not rest until checking it through the counting test, hence you find Euclid at the end of every proposition brings a numerical example, and not just for the numerical propositions, but also for the geometric propositions. Every matter that could be examined with numbers is translated to numbers, as in most of the propositions of the second book of Euclid's Elements | לא בדרך שעשה איקלידיס בז' וח' וט' מספרו כי המספר אינו צריך דרך אחר [לזה][71] וכן תמצא מפרש איקלידיס בסוף פירוש כל הקדמה מהן מביא משל מספריי[72] ולא [בהקדמות][73] המספריות לבד אבל גם בהנדסיות כל מה שאפשר לבחון הענין במספר יושב אל מספר כמו רב הקדמות המאמר השני מאקלידס שהספירה המעשית נאמת כל הקדמה מונחת גם שם לא ינוח לב הקורא עד יבחננו במבחן הספירה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Some people argue that Euclid needed this as a proposition for a few of the cases of the tenth book of the Elements, but the author claims that he has checked it and did not find it so and he concludes that Euclid's method in books 7-9 is nothing but a rational comprehension that should be rejected | וקצת אנשים אמרו שהוצרך אקלידס מזה להיות לו כהקדמה לקצת מקומות מהמאמר הי' מספרו ואנחנו חפשנו ולא מצאנו הענין כן אם כן דרך איקלידס בשלשת המאמרים הנזכר' הוא יגיעת השכל לא זולת וזה ממה שראוי שירוחק בכל מקום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The author declares that by this he wishes to satisfy "Our lord, the great king, may God grant him success" [which could be a reference to king Robert of Anjou] | וכל שכן באשר אנחנו בו להפיס בו דעת אדוננו המלך הגדול יצליחהו השכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore, narrative propositions are presented below, which could be proven by counting, collected from the predecessors or formulated by the author himself, according to his testimony | ולזה נביא ההקדמות ספוריות ותעיד בם הספירה ונלקוט מה שמצאנו מזה לאשר קדמונו ומה שחדשנוהו אנחנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
He who adds to this will be granted long life and peace | והמוסיף אחרינו שנות חיים ושלום נוסיפו לו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A list of arithmetical statements concerning general properties of the numbers – without demonstrations or proofs |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שלשה מספרים מתיחסים [הנה הכאת][74] הראשון בשלישי כהכאת האמצעי בעצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו ארבעה תהיה הכאת הקצוות כהכאת האמצעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[קטני המספרים על יחס מה הנה הם ימנו המספרים אשר על יחסם הקטן לקטן והרב לרב][75] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional [and if a₁ and a₂ are the two smallest numbers possible in this proportion] then a₁ and a₂ are prime to each other and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
קטני המספרים על יחס מה הנה כל אחד מהם ראשון אצל האחר וזאת ההקדמה מתהפכת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to each other then a² and b² are prime to each other | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר והוכה כל אחד מהם בעצמו הנה כל אחת משתי ההכאות ראשון אצל האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to c and d then a·b is prime to c·d | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן אם היו שנים ראשונים אצל שנים אחרים והוכו השנים זה בזה [והשנים האחרים זה בזה][76] הנה שתי ההכאות ראשונות זו לזו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to each other then a·b is prime to a and b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר והוכו זה בזה הנה אותה ההכאה מספר ראשון אצל [כל א' משני המספרים][77] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to each other then a+b is prime to a and b | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון לאחר הנה מקובץ שניהם ראשון אצל כל אחד משני המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional and a₁ and aₙ are prime to each other then a₁ and a₂ are prime to each other and vice versa. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו מספרים כמה שיהיו וימשכו על יחס והיו הקצוות ראשונים זה לזה הנה קטני המספרים על אותו היחס וזאת ההקדמה מתהפכת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional and a₁ is not a divisor of a₂ then none of the numbers a₁, a₂,..., aₙ is a divisor of any of the other. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו מספרים [כמה שיהיו ו][78]ימשכו קצתם לקצת על יחס מה והראשון מהם לא ימנה השני אין מהם מספר ימנה האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁ is a divisor of aₙ then a₁ is a divisor of a₂ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה הראשון מונה האחרון היה הוא מונה השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional and for a given aᵢ and aᵢ₊₁ there are numbers b₁, b₂,..., bₙ so that aᵢ, b₁, b₂,..., bₙ, aᵢ₊₁ are proportional then for every i =1, 2, …, n there are n numbers so that are proportional of the same proportion | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר נפלו מספרים בין מספרים וימשכו קצתם לקצתם [79]ביחס מה הנה כסך מה שיפול מן[80] המספרים בין שני אותם המספרים כן נפל בין [כל שני][81] מספרים מאותו היחס וימשכו כלם ביחס אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to each other and a, c₁, c₂,..., cₙ, b are proportional, then [there are n numbers d₁, d₂,..., dₙ so that 1, d₁, d₂,..., dₙ, a are proportional and there are n numbers g₁, g₂,..., gₙ so that 1, g₁, g₂,..., gₙ, b are proportional] and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו שני מספרים כל אחד מהם ראשון אצל האחר ונפלו ביניהם מספרים ונמשכו ביחס מה הנה כסך המספרים שנפלו בין שניהם כן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
a²:b²::(a:b)² | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המספרים המרובעים יחס קצתם אל קצת כיחס שרשיהם קצתם אל קצת שנוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional then (a₁)², (a₂)²,..., (aₙ)² are proportional and (a₁)³, (a₂)³,..., (aₙ)³ are proportional. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המספרים המתיחסים כשהוכה כל אחד בעצמו הנה כל ההכאות גם כן מתיחסות ואם תכה ההכאות במספרים הראשונים יהיו כמו כן ההכאות השניות שהם מעוקבות מתיחסות וכן אם יוכו עוד לעולם יתיחסו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a² is a divisor of b² then a is a divisor of b and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר ימנה המרובע מרובע אחר הנה צלעו ימנה צלעו ובהפך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a³ is a divisor of b³ then a is a divisor of b and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן במעוקב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a and b are prime to each other then there is no number c so that a:b=b:c | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כל שני מספרים שהאחד מהם ראשון אצל האחר אין יחס הראשון אל [השני][83] כיחס | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁ and a₂<b₂ if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁):(a₁·b₂)=(a₁·b₂):(a₂·b₂) and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו שני מספרים שטוחים מתדמים ר"ל ששני צלעות המספר האחד |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂, if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁):(a₁·b₂·c₁)=(a₁·b₂·c₁):(a₁·b₂·c₂)=(a₁·b₂·c₂):(a₂·b₂·c₂) and vice versa | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו שני מספרים מוגשמים מתדמים הנה יפלו ביניהם שני מספרים וימשכו ארבעתם ביחס והוצאת אלו השנים בשתכה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a²:b=c²:d², then b is a square number | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו שני מספרים והיה יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע והיה האחד מרובע הנה האחר מרובע | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a³:b=c³:d³ then b is a cubic number | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היו ביחס מספר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁):(a₂·b₂)=c²:d² | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The ratio of proportional plane numbers to each other is as the ratio of a square number to a square number. | המספרים השטוחים המתדמים יחס אחד אל האחר כיחס מספר מרובע אל מספר מרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂, if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁):(a₂·b₂·c₂)=d³:g³ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The ratio of proportional solid numbers to each other is as the ratio of a cube number to a cube number. | והמוגשמים המתדמים יחס אחד מהם אל האחר כיחס מספר מעוקב אל מספר מעוקב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁ and a₂<b₂, if a₁:a₂=b₁:b₂, then (a₁·b₁)·(a₂·b₂)=(a₁·b₂)²=(a₂·b₁)² | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When proportional plane numbers are multiplied by each other, the product is a square number, whose root is a product of the smaller factor of one of them by the greater [factor] of the other. | המספרים השטוחים המתדמים כשיכו זה [84]בזה יתקבץ מההכאה מספר מרובע ושרשו הכאת קטן צלע מאחד מהם בגדול האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For a₁<b₁<c₁ and a₂<b₂<c₂ if a₁:a₂=b₁:b₂=c₁:c₂, then (a₁·b₁·c₁)·(a₂·b₂·c₂) is a cubic number and its root is a product of the root of (a₁·b₁·c₁) by the root of (a₂·b₂·c₂) | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When proportional solid numbers are multiplied by each other, the product is a cube number, whose root is the product of the root of one of the solid [numbers] by the root of the other [solid number]. I say "the root", since [the product] is always a number that has a root. | המספרים המוגשמים המתדמים כשיוכו זה בזה יתקבץ מספר מעוקב ושרשו שתכה שורש אחד משני המוגשמים בשורש האחר והיוצא הוא השורש המבוקש ואמנם אמרתי השרש לפי שהוא מספר נגדר לעולם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional, and a₁=1, then for every i=1, 2, …, n: is a square and is a cube sic. | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה השלישי מרובע והרביעי מעוקב והחמשי מרובע והששי מעוקב והשביעי מרובע מעוקב וכן ימשך לעולם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional, a₁=1 and a₂ is a square, then all the numbers a₃, a₄,..., aₙ are squares | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד והיה השני מרובע הנה הנשארים כלם מרובעים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional, a₁=1 and a₂ is a cube, then all the numbers a₃, a₄,..., aₙ are cubes | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה מעוקב יהיו כלם מעוקבים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₂ is not a square, then none of the numbers a₃, a₄,..., aₙ is a square [contradictes the above] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם לא היה השני מרובע אין בהם שם מרובע | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₂ is not a cube, then none of the numbers a₃, a₄,..., aₙ is a cube [contradictes the above] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם לא היה השני מעוקב אין בהם שום מעוקב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁, a₂,..., aₙ are proportional and b is a divisor of aₙ then b is a divisor of a₁ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כאשר היו מספרים מתיחסים מתחילים מהאחד הנה כל מספר ראשון ימנה האחרון מהם הנה הוא ימנה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a₁ is prime then the divisors of aₙ are among the proportional numbers a₁, a₂,..., aₙ only | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה אשר ילוה לאחד ראשון הנה לא ימנה הרב מהם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשהיה קטן מספר ימנוהו מספרים ראשונים ידועים הנה לא ימנהו מספר אחר זולתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו שלשה מספרים מתיחסים והיו קטני המספרי' על אותו היחס הנה כל שנים מהם מחוברים ראשונים אצל הנשאר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אין יחס הראשון אל השני כיחס השני אל מספר אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו מספרים ימשכו קצתם לקצת ביחס מה והיו הקצוות הראשונים זה לזה הנה אין שעור הראשון אצל השני כשיעור האחד אל המספר האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר היו מספרים נמשכים על יחס מה וחוסר על כל אחד מהשני והאחרון כמו הראשון הנה שעור מה שישאר מהשני אצל הראשון כשעור מה שישאר מהאחרון אצל כל המספרים אשר לפניו כאשר יקובצו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר נפרד ראשון אצל מספר אחר הנה הוא ראשון אצל כפלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשהיו שני מספרים ראשונים זה אל זה הנה אשר ימנה אחד מהם הוא ראשון לאחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שני מספרים יוכה אחד מהם באחר וימנה אותה ההכאה מספר הראשון [הנה אותו המספר הראשון][85] ימנה אחד משני המספרים אשר [הוכו][86] זה בזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[87]המספרים המתיחסים הנה הם בחלוף ובתמורה ובהבדל ובהרכבה יתיחסו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשהוכה מספר בשני מספרים הנה יחס שתי ההכאות אחת מהם לאחרת כיחס המספר למספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The divisors of a plane number | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר שטוח יהיה אחד מצלעותיו מספר ראשון והמספר השני מורכב הנה הוא ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה צלעות המורכב ככל מספר יתקבץ מהכאת צלעו הראשון בכל מספר ימנה צלעו המורכב ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר שטוח צלעותיו מספרים מורכבים הנה ימנוהו צלעותיו וכל מספר ימנה כל אחד מצלעותיו וכל מספר יתקבץ מהכאת כל אחת מצלעותיו בכל מספר ימנה הצלע האחר מהם ולא ימנהו מספר אחר בלתי אלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The production of the perfect numbers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sorting perfect / superabundant / deficient numbers by the sums of successive powers of two | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשקובצו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אם היה המספר הראשון שוה לכלל אשר קובץ הנה המספר המוקבץ מזה מספר שלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה אותו המספר הראשון פחות מהכלל אשר קובץ הנה הוא מספר נוסף | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה המספר הראשון יותר מהכלל אשר קובץ מספר חסר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגעת תוספתו אם היה נוסף וחסרונו אם היה חסר כמו יתרון מה שבין אותו הכלל אשר קובץ ואותו המספר הראשון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויש בהוצאת המספר השלם תחבולה אחרת יותר קצרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והיא שתסדר מספר זוג הזוג בטור ותניח תחתיו טור הנפרדים הטבעיים מתחיל כנגד ב' מהזוגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה כל מספר זוג מהטור העליון שתמצא תחתיו מספר ראשון ותכהו בו יצא לך מספר שלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה הדרך יצאו המספרים השלמים על סדרם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומסגלתם שאם יסודרו [אלו][88] השלמים כפי מה שנולדו בטבע תמצא האחד פרטו ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאשר קובצו מספרים נמשכים על יחס הכפל מהאחד והאחד עמהם והתקבץ מהם כלל והוכה גדול מספר מאותם המספרים במספר שטוח צלעותיו שני מספרים ראשונים בלתי השנים הנה אשר יתקבץ מזה מספר נוסף או מספר חסר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אמנם אם היה אותו המספר השטוח פחות מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתם בצלעי אותו המספר השטוח מקובצים הנה המוקבץ מספר נוסף | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגעת תוספתו בהגעת תוספתם על המספר השטוח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואמנם אם היה אותו המספר השטוח יותר מהכלל אשר קובץ עם אשר יתקבץ מהכאתו בשני צלעי [89]אותו המספר השטוח מקובצים הנה המספר המוקבץ חסר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגעת חסרונו בהגעת חסרוניהם מהמספר השטוח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל ארבעה מספרים נמשכים על יחס הכפל הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשלישי מקובצים בשלישי והרביעי מקובצים הוא כמו המשוטח ההווה מהכאת המספר הרביעי בראשון והרביעי מקובצים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה המספר המשוטח ההווה מהכאת השני והשני מקובצים ברביעי והשלישי מקובצים כמו המשוטח ההווה מהכאת הרביעי בראשון והרביעי מקובצים הנה המספר המוגשם אשר אחד מצלעותיו המספר השלישי מהם וצלעו השני והשלישי והרביעי מקובצים וצלעו השלישי המספר השני והשלישי מקובצים כמו המספר המוגשם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל ארבעה מספרים מתיחסים ביחס הכפל יהיה הראשון מהם היותר קטן הנה המספר המשוטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד כמו המתקבץ מהכאת המספר השלישי מהם במותר מה שבין השטח ההווה מהכאת האחרון בראשון והאחרון מקובצים מלבד אחד ובין השטח ההווה מהכאת המספר השלישי והרביעי מהם בלתי אחד מקובצים בשלישי והשני בלתי אחד מקובצים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר יחלק בחלקים כמו שיהיו הנה הכאת המספר כלו בעצמו כמו הכאת כל אחד משני החלקים בעצמו וכפל הכאת אחד משני החלקים באחר כאשר יקובצו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שני מספרים יחלק אחד מהם בחלקים כמו שיהיו הנה המספר שלא חולק במספר שחולק כמו הכאתו בכל חלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר זוג יחלק לחצאים ולחלקים מתחלפים הנה אשר יהיה מהכאת [חצי][90] המספר בעצמו כמו ההווה מהכאת החלק הגדול בקטן עם הכאת מותר חצי המספר על החלק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר זוג יחלק לשני חצאים ויתוסף בו מספר אחר הנה הכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר עם התוספת בתוספת והכאת חצי המספר הראשון בעצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר יחלק לשני חלקים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר יחלק בשני חלקים ונוסף עליו כמו אחד משני החלקים הנה הכאת המספר עם התוספת בכמהו כהכאת המספר בתוספת ד' פעמים והכאת החלק האחר בכמהו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר זוג יחלק בשני חצאים ובשני חלקים מתחלפים הנה כל אחד משני החלקים המתחלפים בכמהו כהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת מותר חצי המספר על החלק הקטן בכמהו שני פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר זוג יחלק לחציים ונוסף בו מספר אחר הנה ההווה מהכאת חצי המספר בכמהו שני פעמים והכאת חצי המספר עם התוספת בכמהו שני פעמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר יחלק בשני חלקים מתחלפים ובשני חלקים אחרים מתחלפים הנה הכאת כל אחד קטן קטנים בגדול הגדולים ותוספת הכאת מותר מה שבין הקטנים במותר מה שבין הקטנים והמספר כלו כמו הכאת רב הקטנים בקטן הגדולים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשהיו שני מספרים משותפים מתחלפים [והובדלו][93] מהגדול דמיוני הקטן עד שישאר פחות ממנו או הוא עצמו וכן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם רצינו למצוא קטן מספר ימנוהו שני מספרים ידועים אם היו המספרים ראשונים נכה האחד באחר ויגיע דרושנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו משותפים נקח גדול מספר משותף ביניהם ונקח מספר האחדים שהוא מונה הקטן ושהוא[.] מונה הגדול ונכה הקטן מאלו בגדול המספרים המשותפים או הגדול בקטן המספרים המשותפים כי הכל אחד ואותו המספר הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשנרצה למצוא קטן מספר בו חלקים ידועים הנה יתבאר מפני ההקדמה שלפני זאת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשנרצה למצוא [קטני][95] מספרים על יחס מוגבל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם היו ראשונים הנה הם קטני המספרים על אותו היחס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[ואם][96] היו משותפים הנה נקח גדול מספר ימנם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואלו המספרים הם ח' י"ב י"ח וגדול מספר ימנם ב' ונקח מספר אחדים שימנה ב' ח' ומספר שימנה ב' י"ב וכשעור שימנה י"ח ותמצא דו"ט והם קטני המספרים על אותו היחס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[97]כשנרצה למצוא קטני המספרים על | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נרצה לידע כשהיו שני מספרים אם ימצא להם מתיחס הנה אם היו ראשונים לא ימצא שלישי על יחסם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו משותפים נכה השני בעצמו ואם ימנהו הראשון הנה ימנה להם שלישי מתיחס אחריהם ואם לא לא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו שלשה ונרצה לידע אם יש להם רביעי הנה אם היו הראשון והשלישי ראשונים זה לזה אין להם רביעי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו משותפים נכה השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Algorithm for finding pairs of amicable numbers | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When we wish to find amicable numbers as many as we wish: | כשנרצה למצוא מספרים נאהבים כמה שנרצה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We assume consecutive numbers in the double ratio from one, including one. The numbers are summed [until] the number that precedes the last, including one, then the number that precedes the last in added to the sum and the number that comes before the number that precedes the last is subtracted from the sum. The numbers that are generated from the addition and the subtraction are prime numbers | הנה נניח מספרים[98] נלוים על יחס הכפל מן האחד והאחד עמהם ויקובצו המספרים אשר קודם האחרון והאחד עמהם ונוסף על המקובץ המספר אשר קודם האחרון וחוסר מהנוסף עליו המספר אשר ילוה מה שקודם האחרון הנה יהיו המספרים המתחדשים אחר התוספת והחסרון מספרים ראשונים ואין אחד מהם שנים ואם לא יהיו ראשונים תעבור הלאה עד שיצאו המספרים הראשונים והוכה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכאת זוג במספר זוג הוא זוג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכאת זוג בנפרד נפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכאת נפרד בנפרד נפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כשיוכה[101] מרובע במרובע היוצא יהיה מרובע ושרשו כפל השרש על השורש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וערך מרובע אל מרובע מרובע ושורש היוצא בחלוק השורש הגדול על השורש הקטן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מרובע רביעיתו מרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וארבעה דמיוניו מרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מרובע שתחסר ממנו השרש והמספר [..] שלפניו הוא מרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תוסיף בו השורש והמספר שלאחריו יהיה מרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
מרחק מרובע [102]ממרובע סמוך לו כמחובר שני השרשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שני מרובעים סמוכים או רחוקים יוכה שורש אחד מהם באחר יגיע מספר מתיחס בין שני המרובעים ההם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תסדר החבור הטבעי בטור ותצרף כל מדרגה עם אשר אחריה יתילדו המרובעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[אם תקבץ המספרים עד גבול ותחזור לאחור ותקבץ הכל יעלה כמרובע המספר אשר עמדת בו][103] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תקבץ המספרים הנפרדים כסדרם והאחד עמהם ותחברם אחד אחד יתילדו המרובעים הטבעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו שתניח בטור א' ג' ה' ז' ט' י"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה א' מרובעו א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחבר אליו [ג'][104] יהיו ד' והוא מרובע ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחבר אליהם ה' יהיו [ט'][105] והוא מרובע ג' וכן תמיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תניח הזוגות הטבעיים בטור ותחברם כמו שעשינו בנפרדי' יתילדו המרובעים הטבעיים ושרשיהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו ב' ד' ו' ח' י' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה ב' א' וצלעו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחבר אליו ד' יהיו ו' שהם מרובע ב' וצלעו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחבר אליהם [ו'][106] יהיו י"ב והוא כמרובע ג' וצלעו וכן לעולם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תסדר הנפרדי' הטבעיים בטור נסדרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה הנ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וחבור שני נפרדים אחריו שהם ג' ה' יהיה מעוקב ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושלשה נפרדים אחר ה' שהם ז' ט' י"א יולידו מעוקב ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וארבעה אחר י"א יולידו המעוקב הרביעי וכן תמיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תחבר בזה הדרך הזוגות יתילדו המעוקבים[107] כסדרם וצלעותיהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תסדר המספר הטבעי ותצרף כל מדרגה [אל][108] אשר אחריה יתילדו הנפרדים הטבעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תחבר המעוקבים כסדרם כמו שתרצה והאחד עמהם היה המקובץ מרובע ושרשו מרובע ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חבור המרובעים הנלוים יודע כשתקח מחובר המספר שהוא שורש לאותו המרובע שעמדת בו שמרהו וקח שני שלישי שורש אותו המרובע עם תוספת שלישית אחד ונכפלהו בשמור והעולה הוא מחובר המרובעים עד סוף אותו המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חבור המספר פשוט הוא שתכפל איזה מספר שתרצה חבורו בחצי המספר הבא אחריו או בחציו וחצי אחד והעולה הוא המחובר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חבור הנפרדים לבד הוא שתכה המספר המספר האמצעי בעצמו שני פעמים ותוסיף עליו השורש והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חבור הזוגות לבד תקח חצי סוף החשבון ותכהו בעצמו ותוסיף עליו שרשו והוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
החבור הטבעי הוא חצי [מרובע][109] המספר שעמדנו בו וצלעו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תסדר המספר הטבעי בטור ותשים על כל אחד חבורו ותקיש כל אחד אל חבורו תמצא כל חבור יוסיף על המספר חצי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון המשל בו שתמצא בכאן [110]א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וג' כמו ב' [וחציו][111] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וו' שני דמיוני ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וי' שני דמיוני ד' וחציו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וט"ו שלשה דמיוני ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן תמיד יוסיף בחצי דמיון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מספר שתחלקהו בשני חלקים איך שיהיה ותחלק כלו על כל אחד מחלקיו ותכה היוצא מכל אחד משתי החלוקות זו בזו ותשמרהו ואחר תכה אחד משני החלקים באחר ותכהו בשמור יעלה כמרובע המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
For every number that you take its third, multiply it by itself, rise it by one rank, and subtract from it the square of the third, the result is as the square of that number. | כל חשבון שתקח שלישיתו ותכהו בעצמו ותעלהו מדרגה אחת ותחסר ממנו מרובע השלישית יעלה כמרובע המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If it does not have a third, but it exceeds over [a number that has a third] by one, subtract the one from it and do with the remainder as we explained, then add to it the number that has a third and the [original] number itself; the result is the square of the number. | ואם לא היה לו שלישית אבל הוא מוסיף אחד חסר ממנו האחד ותעשה בנשאר כאשר תארנו והוסף עליו אחר כן המספר שיש לו שלישית והמספר בעצמו ויגיע מרובע המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תוסיף שנים על שלישית [המספר][112] נעשה בהפך וזה שנוסיף אחד ויהי' מ ויהיה מספר שלישי ונעשה כבראשונה ונחסר ממנו בסוף מה שהיינו מוסיפים ויעלה המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכאת מעוקב על מעוקב מעוקב ושרשו הכאת שורש אחד מהם בשני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חלוק מעוקב על מעוקב מעוקב ואם תחלק שורש הגדול על הקטן תמצא שרשו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[אם תסדר המספר הטבעי והא' עמהם ותתחיל ותכה הא' בשני והשני בג' והג' בד' וכן תמיד יתילדו המספרים שהם אמצעיים ביחס בין המרובעים הטבעיים][113] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל שלשה מספרים מתיחסים שתכה שלשתם זה בזה ותקבץ מספר מעוקב ושרשו המספר האמצעי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כל מעוקב יש מצדדיו שני מרובעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תחסר מחצי שרש המעוקב חצי אחד ותכה הנשאר בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הקטן ואם תוסיף על חצי שורש המעוקב חצי אחד ותכהו בשורש המעוקב תמצא שורש המרובע הגדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תחסר המרובע הקטן מהמרובע הגדול תמצא המעוקב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה תראה בזה פליאה נשגבה מאד שאם תסדר המרובעים הטבעיים בטור ותבחן [.] בהם ענין זאת ההקדמה תמצא שהמעוקב הראשון ההווה מחסרון מרובע ממנו תמצא שאותם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אם תסדר המספר הטבעי והאחד עמהם ותתחיל ותכה הראשון בשני והשני בשלישי והשלישי ברביעי וכן תמיד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תסדר המספר [114]הטבעי ותשים תחתיו הזוגות הטבעיים על הסדר ותחבר הראשון הוא א' בזוג הראשון והוא ב' יעלה שלשה והוא המספר הראשון עם מרובעו ומעוקבו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
תחבר אל השלשה הזוג השני והוא ד' יהיו ז' תכהו במספר השני והוא ב' יעלו י"ד והוא המספר [השני][115] עם מרובעו ומעוקבו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
תוסיף על הז' הזוג השלישי והוא ו' יהיו י"ג תכהו במספר השלישי שהוא י"ג יעלו ל"ט והוא המספר השלישי עם מרובעו ומעוקבו וכן לעולם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now we conclude this part by explaining a wonderful property of the numbers, which is that the squares of the nine numbers that are in the first rank are found in two ranks, i.e. the units and the tens: | ונחתום עתה זה החלק בביאור סגלה נפלאה מהמספר והוא שמרובעי המספרים התשעה שהם במדרגה הראשונה הם נשלמים בשתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In the units [the squares of] only three numbers are found, which are 1, 2, 3, whose squares are 1, 4, 9. | וזה שבאחדים[116] לא ימצאו רק משלשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The [squares of the] rest are found in the [rank of] tens. | והנשארים ישלמו בעשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Since the first rank is the beginning and the foundation of all the generated numbers, the squares of [the numbers in it] are analogous for the [squares] of all subsequent ranks endlessly. | ולפי שהמדרגה הראשונה התחלה ויסוד לכל המספרים המתחדשים היו מרובעיה דוגמא ומשל לכל המדרגות שאחריה לאין תכלית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה לך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובשלישית מאה ד' מאות ט' מאות גם כן מרובעים ושרשיהם דמיון שרשיהם אלא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואין במדרגה השלישית מרובעים ראשי כללים רק אלה כאשר אין באחדים רק אד"ט | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושלמות מרובעי שאר המספרים הטבעיים הם י"ו כ"ה ל"ו וכו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן במדרגה הרביעית אלף ות"ר אלפים ות"ק ג' אלפים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודע שכמו שיש נמשלים במרובעים כן יש במעוקבים ומרובעי תשעת המספרים ישלמו בשתי מדרגות ר"ל באחדים והעשרות ולזה ידלגו משתים לשתים עד אין תכלית ואמנם המעוקבים הפליא בם הטבע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה שהאחד מעוקב אחד ושרשו אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כן אלף שהוא רביעי לו [118]מעוקב ושרשו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן שמנת אלפים מעוקב שהוא כנגד שמנה ושרשו עשרים שהוא כנגד שנים ומשם והלאה תשמור הסדר שזכרנו לך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומכאן ראיה חזקה שהמספרים תשעה לבד והתבונן בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Epilogue of the surviving section |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As the numerical properties are endless and therefore further emphasizing concerning them is a waste of time, what is brought is enough for us now, for our intention and according to what was ordered upon us by the great king [again could be a reference to king Robert of Anjou], our lord, may he live and last for long in quiet and safe | ולפי שבסגולות המספריות כמעט שאין להם תכלית ולזה ההפלגה בם אבוד הזמן די לנו עתה במה שהבאנו לפי כונתנו ומה שנצטוינו מאת המלך הגדול אדונינו שיחיה ויאריך ימים בכבוד ובהשקט ובטחה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Furthermore, we do not want to attach to this a technical section on actualization of calculations and questions, as much was written about it by all nations due to their need of it in their social affairs, hence it was agreed to conclude here our talk on this first section | ולזה לא רצינו לחבר[119] אל זה חלק מלאכותי בהוצאת החשבונות והשאלות לפי שחובר על זה הרבה אצל כל האומות לצרכם אליו בעניניהם המדיניים ולזה הסכמנו שיהיה בכאן סוף דברינו בזה החלק הראשון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
colophon of MS Kepah 36 | נשלמה העתקת ספרי הראב"ע ז"ל באלול הרמ"ג בקצ"ד לשטרי הצעיר יחיא בן סלי' אלקאפח יצ"ו |
Apparatus
- ↑ here starts M: 49r
- ↑ M om.
- ↑ M שנשימ
הונו - ↑ M om.
- ↑ marg.
- ↑ 49v
- ↑ M יורדין וישתשלו
- ↑ M איך נדע בו
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ marg.
- ↑ 50r
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M הסוג
- ↑ M om.
- ↑ M עצמי
- ↑ M בבחינה זולת
- ↑ M והצורה
ישובוןישיבון מספריםבבשנים - ↑ M marg.
- ↑ M marg.
- ↑ 50v
- ↑ M
וכוכבוכותב - ↑ M ההפכיות marg.:
ההוריותההוויות - ↑ M בעצמו
- ↑ M הנכבדים
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ 51r
- ↑ M הישאליים
- ↑ M om.
- ↑ M הרוב
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M ומצא אחד
- ↑ M marg.: יש לכתוב הנה מה שכתבתי בכונות שלי המתחיל הכח הגלגלי
הכותבהכולל וכו' גם לשון אחר המתחיל הדברים הזרים וכו' - ↑ M marg.
- ↑ 51v
- ↑ M במציאות
- ↑ M והשור
- ↑ M התישרות
- ↑ M om.
- ↑ M אלפמכ
- ↑ 52r
- ↑ M ופירושו
- ↑ M ושלוש
- ↑ M השיר וההטעאה והנצוח והשיר
- ↑ M om.
- ↑ M משמים
- ↑ 52v
- ↑ M om.
- ↑ M ויחוזק
- ↑ M לרפואת רבוי פעלתם
- ↑ M על
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M מעוקבו
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ 53r
- ↑ M om.
- ↑ M הישור
- ↑ M וא"ע
- ↑ M מאזנים
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ 53v
- ↑ 57r
- ↑ M שזכרו
- ↑ M om.
- ↑ M מספריו
- ↑ M בזה דמות דעות
- ↑ M הם הדעת
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M האחר
- ↑ M on.
- ↑ 57v
- ↑ M בין
- ↑ M שני כל
- ↑ M marg.
- ↑ M om.
- ↑ 58r
- ↑ M om.
- ↑ M הוא
- ↑ 58v
- ↑ M או
- ↑ 59r
- ↑ M om.
- ↑ M וכמוהו
- ↑ 59v
- ↑ om.
- ↑ M י"א
- ↑ M שני
- ↑ M om.
- ↑ 60r
- ↑ M מספר
- ↑ M משטח
- ↑ M חלקו
- ↑ M כשיכה
- ↑ 60v
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M המחוברים
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ 61r
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ M om.
- ↑ 61v
- ↑ M om.
- ↑ marg. נ' שהאחדים
- ↑ M om.
- ↑ 62r
- ↑ M לדבר
Appendix: Bibliography
Qalonymos ben Qalonymos (known as Maestro Calo or Callus)
South of France, b. 1286/7 – d. after 1329
Sefer ha-Melaḵim (The Book of the Kings)
Manuscripts:
- Jerusalem, Kepah 36/21 (IMHM: f 47427), ff. 215v-225r (1883)
- München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 290/3 (IMHM: f 1633), ff. 49r-62r (15th century)
The transcript is based mainly on manuscript München 290
Bibliography:
- Langermann, Y. Tzvi. 2001. Studies in Medieval Hebrew Pythagoreanism: Translations and Notes to Nicomachus; Arithmological Texts, Micrologus IX, pp. 219–236.
- Lévy, Tony. 1996. L’histoire des nombres amiables: le témoignage des textes hébreux médiévaux, Arabic Sciences and Philosophy 6, pp. 63–87.
- Steinschneider, Moritz. 1870. Das Königsbuch des Kalonymos, Jüdische Zeitschrift für Wissenschaft und Leben, 8, pp. 118-22.