Difference between revisions of "ספר המספר / אליהו מזרחי"

Revision as of 17:56, 10 January 2023

ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי ז"ל : בקוסטנטינא קרית אדוננו המלך הגדול והאדיר שולטאן שולימאן ירום הודו ויתנשא : בשנת שתים עשרה למלכו:

1 Prologue
2 Introduction
3 Book One
4 Book Two
5 Book Three: Word Problems
- 5.1 Section One: Numerical Problems
  - 5.1.1 Chapter One
  - 5.1.2 Chapter Two
- 5.2 Section Two: Geometrical Problems
  - 5.2.1 Chapter One
  - 5.2.2 Chapter Two of Section Two: on Geometric Problems that are Solved without Proportions
6 Notes
7 Appendix I: Glossary of Terms
8 Appendix II: Bibliography

	בבית צעיר המחוקקים קטון התלמידים
	גרשם בן הח"ר אשה בן החכם המופלג הר"ר ישראל נתן שונצין בן שמואל בן ה"ר משה ז"ל
	והוא נלחם בעיר פירט נגד הרשע פרא יואן די קאפישטראנו וגרש אותו עם כל חילו משם
	והוא היה דור חמישי למה"ר משה משפירה הנזכר בתוספות מטוך
	שנת כי גר הייתי בארץ נכריה
	רצונך סבריך לחסר תסדר זה כנגד זה למולם
	ותגביהי לשבת בימני בשפל השמאלי הך במקלם
	ותוסיף עוד להכות כן שניים שפל ימין כגובה מ-שמאלם
	והמספר מעט מרב תחסר והנותר כתוב זכר לעולם
	בהכותך שתי אלה פעמים הלא תראה באלכסון שבילם
	ומכתך בפעם זאת שלישית ישרה היא והם תוכו לדגלם
	והעולה כתוב אותו למטה לנותרך וזה חסור משולש
	והמופת קחה חסור ונגדו לימין או שמאל דרוש בגילם
	והשמר לבל תשים מרובה מעט מהשניים שים טפלם
	והך אלכסונית פעמים והעולה תקבץ כל נטילם
	והך דרך ישרה עם שפלם ותחת המקובץ הם זבולם
	כנגדם רב דרושך שים שתים פעמים הך באלכסון במילם
	ואם צעדו פעמיהם בשוה שבריך בחזקתם ותלם
	וחשבונך בלי ספק אמתי בעסקיך יהיה שלום בחילם
	שמע וראה בחון שירי ידידי אשר עמם רצונך תם ונשלם
	ואשא עוד משלי ואומר
	אני יוסף בנו יואל ליחס בני ביבאם ספרדים וגרים
	לבקשת ידי תלמיד חמודות אליהו למשפחת גברים
	בכל מעלות ומדות ה חשובות מעוטרת מפוארת לדורים
	לזכרון אשורר ו אזמר זמירותי בחסור ה שברים

ב"ק יברך ב 2

Prologue
Elijah b. the honorable R. Abraham ha-Mizraḥi said:	אמר אליה בן ב"ר אברהם המזרחי יעמ"ש
The theoretical knowledge is divided to three parts:	להיות שהידיעה העיונית נחלקת לשלשה חלקים
One is called “divine science” and “first philosophy” [= metaphysics];	האחד מהם נקרא החכמה האלהית והפילוסופיא הראשונה
The second is called “mathematical science” [= mathematics];	והשני יקרא החכמה ההרגלית והלמודית
And the third is called “lower natural science” [= physics (natural science)];	והשלישי יקרא החכמה הטבעית הפחותה
The reason for this division is the differentiation of intelligible things [themselves].	והיה עלת החלוק הזה אמנם הוא מפני חלוק הענינים המושכלים
For the intelligible things are necessarily either free from matter and from a dependence on it, or attached to and depent on it.	וזה שהענינים המושכלים לא ימנעו מהיותם נקיים מהחומר וההתלות בו או דבקים ונתלים בו
Furthermore, if they depend on matter, then necessarily they are either attached to an intelligible matter, so that they cannot be thought of as free from that intelligible matter, like the human being and the plant etc.; or they can be thought of without an intelligible matter, even if they exist only in an intelligible matter, as the triangle and the square etc., which are thought of without an intelligible matter, be they from flesh, or bone, or whatever matter.	עוד אם היו נתלים בחומר לא ימנע מהיותם דבקים בחומר מעויין עד אי אפשר שיגיעו במחשבה נקיים מן החומר שמעויין כאדם והצמח וזולתו ואם שאפשר הגעתם במחשבה בזולת חומר מעויין ואם לא יעמדו במציאותם אלא בחומר מעויין כמשולש והמרובע וזולתו כי כבר יגיעו במחשבה בזולת חומר מעויין היו מבשר או עצם או איזה חומר שיהיה
The science whose investigation bears on that which is free of matter is called “divine” [= metaphysics];	והיתה החכמה אשר ימשך העיון בה במה שהוא נקי מהחומר תקרא האלהית
And the one whose investigation bears on what is attached to intelligible matter is called “natural science” [= physics];	ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר מעויין תקרא החכמה הטבעית
And the [science] whose investigation concerns what is attached to matter but not to intelligible matter, namely in thought but not in [material] existence, is called “mathematical science” [= mathematics]	ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר אך לא בחומר מעויין וזה במחשבה זולת המציאות תקרא החכמה הלמודית
The subject of the mathematical science is [thus] as a mean between the divine science and the natural one.	והיה נושא החכמה הלמודית כדמות ממוצע בין נושא החכמה האלהית והטבעית
Now, the mean is that which has a share of both extremes, as is explained in the natural science.	והממוצע הוא אשר בו חלק משני הקצוות כאשר התבאר בחכמה הטבעית
It is thus incumbent upon us to enhance our investigation and studiousness in this science, since it is common to all sciences.	הנה מן המחוייב עלינו אם כן להרבות עיוננו ושקידתנו תמיד בזאת החכמה אחר שהיא משותפת לכל החכמות
In addition, it is obvious that this science is like a bridge, through which our thought passes from the material perceptible things to the existing intelligible things.	מצורף לזה כי הוא מהמבואר בעצמו שזאת החכמה היא במדרגת הגשר אשר בו תעבור מחשבתנו מאלה הדברי' הגשמיים המוחשי' אל הדברים הנמצאים המושכלים
Our intellect moves from those material things with which we grew up from youth and to which we became accustomed, to the things that are unfamiliar to us, with which our senses are not familiar, and which are similar to our souls in their subtlety.	ויעבור שכלנו מאלה הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם מנערותנו והרגלנום אל הדברים הזרים אצלנו אשר לא הרגילום חושינו אשר הם בדקותם דומים לנפשותינו
The types of the real beings are known only through the mathematical sciences – arithmetic, geometry, astronomy and music	ושאין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נמצאים באמת אלא באלו האומניות הארבעה שהם הארמתיקא וההנדסא והתכונה והמוסיקא אשר הם מיני זאת החכמה או חלקיה
These four arts are needed for philosophy, as every art requires skill	וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך לעושיה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתיישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפלוסופיא
Arithmetic and geometry are closer to philosophy and more important than astronomy and music, since they are more inclusive and comprehensive fields – therefore it is necessary to teach them	ובאשר היה זה כן והיו שני חלקי החכמה הזאת שהם המספר וההנדסא אמנם הם יותר נכבדים ויותר קרובים אל הפלוסופיא הראשונה משני חלקיה האחרים שהם התכונה והמוסיקא למה שהיה נושא חכמת המספר אמנם הוא המספר המשותף לכל חומר איזה חומר שיהיה ולא נושא המוסיקה כי הוא ואם היה משותף לכל מיני הקולות אמנם הוא מספר קוליי לבד לא זולתו וכן נושא ההנדסה אמנם הוא המשותף לכל השיעורים איזה שיעור שיהיה ומאיזה חומר שיהיה ולא כן חכמת התכונה כי נושאה אמנם הוא החומר הגלגליי לבד ועל צורת כדור לא זולת זה הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שנבאר מאלה הארבעה חלקים השנים חלקים לבד לחשיבות נושאם והדמותם בנושא החכמה האלהית
Arithmetic precedes geometry by nature – geometry exists only when arithmetic exists, but arithmetic can exist without geometry, and so arithmetic should be taught firstly	אמנם להיות שחכמת המספר ואם היא משותפת ומתדמה לחכמת ההנדסה לסבות שזכרנום אולם היא יותר קודמת בטבע מחכמת ההנדסה וזה שכאשר נעלה המספר נעלה ההנדסה ולא יעלה הוא בהעלות ההנדסה וכאשר ימצא ההנדסה ימצא המספר ולא ימצא הוא בהמצא המספר וזה שכאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון עמה כי כשיהיה במדות משולש או מרובע או בעל שמונה תושבות ודומיהם הנה כבר השתמשת בזה במלאכת החשבון ולא תמצא מלאכת המדות דקה מן החשבון המצטרך לשמות הנגזרים מהם ואמנם הפך זה כבר יתכן כי כבר ימצאו השלשה והארבעה ודומיהם מושגים במחשבה ואם לא היו הגדלים נגזרי השמות מהם ידועים וכאשר היה זה כן והיה זה גדר הקודם בטבע הנה אם כן המחוייב מזה שיהיה המאמר בזאת החכמה ומשפטי הדבור בה יותר ראשון בקדימה מכל שאר החכמות
The reasons that urge me to speak, even if the ancient scholars have already preceded me in this, are two reasons:	ואולם הסבות המניעות אותי בדבור ואם כבר קדמוני בזה החכמים הקדמונים הנה הם שתי סבות
The first reason is that all the ancients, whose works concerning this science have come down to us, have endeavored in informing the methods and the ways by which one reaches every principle of this science.	הסבה האחת שכל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אצלינו בזאת החכמה אמנם השתדלו בהודעת הדרכים והאופנים אשר בם יגיעו בכל דרוש מדרושי זאת החכמה
Yet, their chief intention was only to summarize the methods that guide to their knowledge alone not other than that.	ולא היתה עיקר כוונתם רק לקצר הדרכים המישרים אל ידיעתם לבד לא זולת זה
Therefore, those methods are in the eyes of the students as a dream with no interpretation, inasmuch as they do not know the way the issue is realized through that method and how was it the reason of its existence and they grope for the wall like the blind [Isaiah 59, 10].	והדרכים ההם הם בעיני התלמידים כחלום בלי פתרון כי לא ידעו אופן הגעת הדרוש מהדרך ההיא ואיך היתה הסבה במציאותו וממששים קיר כעורים^[1]
The second reason is that when the reasons for the methods that guide to their knowledge are hidden from the students, they know only the methods of the author whose methods they are studying.	והסבה השנית היא כי כאשר יעלמו מהתלמידים סבות הדרכים המיישרים אל ידיעתם הנה לא ידעו רק דרכי המחבר אשר התעסקו בדרכיו
However, they do not know the source and origin of the methods of all other authors, indeed those methods are sealed and concealed, none comes out, and none comes in [Joshua 6, 1].	ואולם דרכי שאר המחברים לא ידעו מוצאם ומובאם אבל יהיו הדרכים ההם סגורים ומסוגרים אין יוצא ואין בא^[2]
	וכל שכן שלא יוכל לחדש מעצמו דרך ותחבולה בשום דרוש מדרשי החכמה הזאת וכל שכן בשאלות הנופלות בזאת החכמה שלא יוכל להשיב מהם רק מהשאלות אשר התעסק בהם לבד לא זולתם וכבר ידעת שעקר החכמה הזאת אמנם הם השאלות הנופלות בזאת החכמה כי בהם נגיע אל החקירות העמוקות שבזאת החכמה
As it was so, another reason is already added to those reasons – it is the love of the beloved students, who asked me to write for them a book teaching all the methods used by all ancients […] as far as it will be the reason that their eyes will be opened in the techniques of this science, its methods, sources and origins.	ובאשר היה זה כן וכבר נוספה על אלה הסבות סבה אחרת גם כן והיא אהבת התלמידים היקרים ז"ל אשר בקשו ממני לחבר להם ספר מודיע כל הדרכים אשר השתמשו בהם כל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אלינו מחוברים בסבותיהם ומופתיהם ממה שהיה בו מהאפשרות עד שיהיה זה סבה שיפקחו עיניהם בתחבולות זאת החכמה ודרכיה ומוצאיה ומובאיה
I could not turn them down for they had already imagined me as being able to benefit them in this a great deal.	ולא יכולתי להשיב פניהם ריקם למה שכבר דמוני בזה שבידי להועילם תועלת גדול
It would be as if I am preventing their benefit, if I would not carry out their desire.	וכאלו אהיה אני המונע תועלתם אם לא אפיק רצונם
Therefore, I wanted to write this book for them and for all those who are similar to them.	שלזה ראיתי לחבר זה הספר להם ולכל הדומים להם
Perhaps some of the wise men would be happy with me also, even if it is indeed easy for them, for they will be saved from the bother and the investigation necessary for that.	ואולי שישמחו בי גם כן קצת מהחכמים ואם כבר יקל זה בעיניהם למה שינצלו מהטורח והחקירה הצריכה לזה
Know that you will find indeed in this treatise new methods, that I have revived them there, and notable sharp words, even if they require great bother.	ודע כי כבר תמצא בתוך החבור הזה דרכים חדשים חדשתים שם וחורפות נכבדות ואם הם צריכות לטורח גדול
For my intention is to note the techniques of this science, since the multitude of methods and their argumentation will help finding the reasons of these methods.	כי כוונתי להודיע תחבולות זאת החכמה כי רבוי הדרכים ופלפולם יעזור אל מציאות הסבות בדרכים ההם
But, do not hope and expect me to inform you all the possible methods for finding the numeral principles.	ולא תקוה ממני ולא תוחיל שאודיע לך כל הדרכים האפשריים למציאות הדרושים המספריים
However, with the reasons and the proofs I have wrote for you, you will be able to know the techniques of all the writers and their principles, which by their knowledge you will indeed be able, if God has bestowed you an intellect, to renew like these and like those.	אבל עם הסבות והמופתים אשר כתבתי לך תוכל לדעת תחבולות המחברים כלם ועקריהם אשר בידיעתם כבר תובל אם חנן השם לך שכל לחדש כאלה וכאלה
	ומעתה אתחיל במה שיעדתי לדבר ומהשם יתברך אשר הוא העוזר אשאלה עזר להחל ולכלות
	וזה החלי

Introduction
Necessary preliminary definitions:
Definition of arithmetic: arithmetic is a wisdom by which the ways of the techniques and the methods that are guiding to the knowledge of the numerical principles are known easily without exhaustion and effort	המספר היא חכמה יודעו ממנה אופני התחבולו' והדרכים המיישרים אל ידיעת הדרושים המספריים בקלות מבלי יגע ועמל
Preliminary numerical principles:	ולהיות שאי אפשר לכל דורש החכמה הזאת להגיע אל זה אלא אחר הקדמת ידיעת מספר הדרושים המספריים כי הדרושים אמנם יהיו תחלה דרושים עוד אחר זה יהיו תולדות הנה אם כן מהמחויב עלינו לחלק הדרושים המספריים תחלה אחר זה נביא המאמר המודיע אופן כל אחד ואחד מהם איש על דגלו ואיש על מחנהו באותות ר"ל עם המאזנים אשר בם יאוזן דרך כל אחד ואחד אשר בהם יודע הצדק מהכזב והריוח מהאבדה
number	וטרם החלי בחלוק הדרושים המספריים אודיע גדר המספר כי זהו הקודם מכל מה שנכוין לדבר בו כי לולא זה לא נוכל לדעת חלוקי המספר כי הדורש בידיעת חלקי דבר מה איזה דבר היה הנה אמנם מהמחויב לו לדעת תחלה מהות הדבר ההוא אחר כן יחלק אותו לחלקים אם אל מינים ואל אישים אם היה אפשר זה או אל אישים לבד וכאשר היה זה כן הנה אם כן מהמחויב עלינו לחקור תחלה בידיעת גדר המספר
The ancients: number = sum of units, or total quantity that consists of units	ואומר שהמספר הנה גדרוהו הראשונים בספר הארתמטיקא בהעברה מן המאמר שהוא קבוץ האחדים או האחדיות עוד גדרוהו כשהוא כלל הכמות המורכב מהאחדים
These definitions do not refer to the genus of number	ואמרו שהוא בדרך העברה הוא מפני שלא הזכירו בו סוג המספר ולא הבדלו כמו שהוא מהמחויב לכל הגדרים ואמנם גדרוהו בהעברה כי אין כוונתם הנה אלא הרושם לבד לא זולת זה והרושם כבר יהיה בזולת זכירת סוג והבדל כמו שהוא מהמבואר לכל מי שעסק מעט במלאכת ההגיון
Mizraḥi's definition of a number: The definition of the number that announces its essence is discontinuous quantity, whose total is measured by the unit.	אולם גדר המספר המודיע מהותו הוא כמה מתפרדת אשר החלק אשר בו ישוער כללותו הוא האחד
The "quantity" is its incomprehensible genus, by which it differs from the quality and all other [Aristotelian] categories.	והכמה הוא סוגו הרחוק ובו יובדל מהאיך ושאר המאמרות
The "discontinuous" is its comprehensible genus, by which it differs from the continuous quantity that are the line, surface, solid, place, and time.	ומתפרדת הוא סוגו הקרוב כי בו יובדל מהכמה המתדבק והם הקו והשטח והגשם והמקום והזמן
"Whose total is measured by the unit" is the distinction, by which it differs from the expression.	ואשר בו ישוער כללותו הוא האחד הוא ההבדל אשר בו יובדל מהדבור
Number cannot be defined by a single word	ואומנם הוצרכנו להזכיר בזה הגדר סוגו הרחוק ואם אין מתנאי הגדר למה שאין לנו שם נפרד מורה על הכמה המתפרד כמו שעשו זה בגדר החי בהזכירם הגשם ואם הוא סוג רחוק והשתמשו עם שתי מלות גשם נזון במקום מלה אחת
Alternative definition: number = sum whose total is measured by the unit	ואולם אם נרצה בשם הכלל או הקבוץ שיורה על הכמה המתפרד הנה יהיה הגדר בשהוא הכלל או הקבוץ אשר החלק אשר ישוער בו כללותו הוא האחד ואולי שכוונו לזה הקדמונים ובאמרם המורכב מהאחדים רצו בו על שהמשער הכלל הוא האחד כי כמו שהמורכב אמנם הוא מורכב מהפשוטים כך הכלל אמנם הוא מורכב מהחלקים הקטנים אשר ישערו הם הכלל ולא ישער אותם זולתם ולכן יהיה זה הגדר גדר אמתי לא רושם
By the categories of the number, our intention is only to the categories that are required in this book, not the categories that deviate from our intention, such as the categorizetion of the number to the even number and odd number; the even number to even-times-even number, even-times-odd number, and even-times-even-times-odd number; and the odd number to prime number, composite number, relatively prime number, and relatively composite number; and their similar, because it is not imposed on us here in our path.	אולם חלקי המספר הנה אין כוונתנו בזה אלא החלקים אשר נצטרך בם בזה המאמר לא החלקים היוצאים מכלל כוונתנו זה כמו חלוק המספר אל הזוג והנפרד ושהזוג ממנו זוג הזוג וממנו זוג הנפרד וממנו זוג הזוג והנפרד ושהנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב וממנו ראשון בערך ומורכב בערך והדומים לאלה כי אין זה מוטל עלינו הנה במה שאנחנו בדרכו
	אולם החלקים הצריכים לענייננו זה הם כמו החלקים בשהמספר ממנו מובן בעצמו לא יצטרך בציורו אל הזולת וממנו אשר לא יובן בעצמו אלא בזולתו
Integers	אולם החלק הראשון מזה הנה הם המספרים השלמים ורצוני בשלמים כמו שנים שלשה וארבעה והדומים להם כאשר לא נקישם אל זולתם
Fractions	ואולם החלק השני הם השברים ורצוני בשברים בשנקיש מספר מה עם מספר אחר ויהיה האחד חלק או חלקים לאחר
Fractions as ratios:
the less
subsuperparticular	משל הראשון והוא החלק בהקישך השנים עם הארבעה או עם הששה והדומים להם
$\scriptstyle{\color{blue}{2:4=\frac{1}{2}}}$	כי הב' ימנה הד' ב' פעמים והוא חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2:6=\frac{1}{3}}}$	וימנה הו' ג' פעמים והוא שליש
	והחצי הוא חלק אחד משני חלקי הכל והשליש אחד מג' חלקיו
	ויקרא הגדול בשם נגזר ממנו הקטן כי אם היה הקטן שליש נקרא הגדול משולש בכפל ואם היה רביע נקרא הגדול מרובע בכפל
subsuperpartient	ומשל החלק השני והוא החלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{2:3=\frac{2}{3}}}$	בהקישך השנים עם השלשה אשר הם שתי שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2:5=\frac{2}{5}}}$	או בהקישך השנים עם החמישי אשר הם שתי חמישיות
	ובכלל כאשר לא ימנה האחד את האחר
	והגדול אחר שהוא בלתי מנוי מהקטן והוא מהמחויב שיהיה אם כמוהו ויותר או כפל ויותר או כפלים ויותר
the greater	ושהיותר אם שיהיה חלק או חלקים לקטן הנה נקראהו בשתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל הנשאר הנוסף שהוא בלתי נמנה
superparticular
$\scriptstyle{\color{blue}{3:2=1+\frac{1}{2}}}$	המשל אם הקשת הג' אל הב' הנה אחר שהג' הוא כמו הב' פעם אחת ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הג' בהקש אל הב' כמוהו וחציו
	והנה שם כמוהו מורה על שהוא נמנה מהקטן פעם אחת
	ושם חציו מורה על שהנשאר מהגדול ימנה הקטן והוא חלק לו
multiple superparticular
$\scriptstyle{\color{blue}{5:2=2+\frac{1}{2}}}$	ואם הקשת הה' אל הב' הנה אחר שהה' הוא כמו הב' ב' פעמים ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הה' כפל וחצי
	והנה שם הכפל מורה על שהוא נמנה מהקטן פעמים
	ושם חצי מורה על שהנשאר מהגדול הוא מונה לקטן והוא חלק לו
superpartient
$\scriptstyle{\color{blue}{7:5=1+\frac{2}{5}}}$	וכן אם הקשת הז' על הה' הנה אחר שהוא כמו הה' ויותר והיותר הוא ב' חלקים מה' חלקי הה' הנה אם כן נקרא לו שתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל מה שהנשאר הוא חלקים לקטן
Mizraḥi blames his contemporaries for understanding the fractions as parts of the absolute one instead of the relative one	והוצרכתי להאריך בזה למה שראיתי אנשי זמננו חושבים כי השלמים הם מאחד ומעלה כמו א' או ב' או ג' או איזה מספר שיהיה והשברים הם מא' ולמטה כמו חצי הא' או שלישיתו או רביעיתו ובכלל שברי הא' ודבריהם צודקים בצד זולת צד ר"ל בקשור והם תעו ולקחו המשולח תמורת המקושר
Fractions are parts of the one as a divisible whole, not as an indivisible absolute unit	ר"ל כי דבריהם אמנם צדקו בשהשברים אמנם הם שברי השלם האחד אבל זה האחד ראוי שתדע שהוא מספר מה יכונה בשם שלם
	כי כל כלל במה הוא כלל אמנם יכונה בשם שלם בהקש אל חלקיו
	ר"ל כמו הב' אל הח' עד"מ שהם רביעית הח' והנה יקרא הב' רביעית הח' בשיכונה הח' בשם שלם והב' בשם חלק
	ויהיה הח' מרובע בכפל והוא ד' כפלי הב'
	זהו האחד אשר נחשב ממנו שבריו לא האחד האמתי הבלתי מתחלק
	כי גדר הכולל ראוי שינשא על המיוחד
	ואם יהיו שני מיני המספר שלמים ושברים ויהיו השברים שברי האחד הבלתי מתחלק הנה לא יצדק שם המספר וגדרו אשר הוא קבוץ האחדים
	כי האחד האמתי איננו מספר וכ"ש שברי האחד
	והחכם בן עזרא נתעורר בזה ואמר ידוע כי האחד כמו הנקודה בתוך העגולה
	ע"כ לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם האחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב
	ובעבור זה יעשה האדם במחשבה מן האחד שברים ושברי שברים
Three categories of numbers: integers, fractions, integers and fractions	הנה א"כ כבר התבאר לך ענין השלמים והשברים אשר המספר נחלק עליהם ר"ל חלקיו הפשוטים וכבר יתחייב מזה חלק שלישי מחובר מהשלמים והשברים יחד הנה אם כן יחוייב מזה שיהיו חלקי המספר מזה הצד שלשה והם שלמים לבד ושברים לבד ושלמים עם שברים יחד וכבר בארנו ענינם אין צורך להאריך יותר בבאורם
The practical need for arithmetical knowledge – the necessity of the operations of adding, subtracting and dividing for bargaining, geometry, astronomy etc.	ואחר שכבר בארנו שחלקי המספר הם שלשה חלקים והם שלמים לבד ושברים לבד וחבור השלמים והשברים יחד
The obligation upon us is the obligation of the knowledge of number applicable in bargaining, which is a political affair, as well as the knowledge of measures, plane and solid figures, and numerous geometric matters, which are necessary for the knowledge of division of houses and yards.	והיה הדרישה המוטלת עלינו אמנם היא הדרישה מידיעת המספר הנופל תחת המשא והמתן והיא העסק המדיניי וידיעת המדות והתמונות השטוחות והמוגשמות ודברים רבים מענייני ההנדסא אשר הם הכרחיים בידיעת חלוקי הבתים והחצרות
For this is what we need to know in order to be saved from [committing] injustice and iniquity of which our Holy Law has warned us.	כי זה הוא אשר נצטרך בידיעתו להנצל מהעושק והחמס אשר הזהירה עליהם תורתנו הקדושה
Generally, to give everyone his right.	ובכלל לתת לכל אחד חקו
In addition, the obligation to inquire the movements and motions of the stars, whose knowledge is impossible without the knowledge of it [i.e. arithmetic].	והדרישה בחקירת מהלכי הכוכבים ותנועותיהם אשר לא יתכן ידיעתם בזולת ידיעתו
Since this is what we need in order to know the months, the feasts, and all that depends upon them.	כי זהו אשר נצטרך בידיעתו למציאות החדשים והמועדים וכל התלוים בם
The obligation concerning these [kinds of] knowledge is tripled by three types:	והיה הדרישה באלה הידיעות אמנם תישלש בשלשה מינים
Either addition of a number to a number;	והם אם תוספת מספר על מספר
Or subtraction of a number from a number;	או חסרון מספר ממספר
Or division of a number by a number	או חלוק מספר על מספר
Four ways for relating a number to another: adding a number to the other; subtracting a number from the other; ratio of a number to the other; addition and subtraction together	וזה שהדרישה מידיעת המספר איננו מצד הבטתנו המספר האחד בעינו כי המספר האחד בעינו איננו מצטרך לחקירה כלל כי הוא ענין נודע בעצמו אולם חקירתנו בידיעת המספר אמנם הוא מצד הקשתו אל הזולת וההקשה אל הזולת כבר יחויב שיהיה אחד מארבעה פנים אם שיהיה מצד שנוסיף אותו אל הזולת ואם מצד שנחסר אותו ממנו ואם לא זה ולא זה והוא הדרישה בידיעת ערך מספר ממספר ויחסו ממנו מבלתי שיהיה שם תוספת או מגרעת ואם זה וזה והוא התוספת והמגרעת יחד
Adding and subtracting are opposites – cannot be applied at the same time on the same subject	ואחר שהאופן הארבעה נמנע כי התוספת והמגרעת הם שני הפכים ולא יתכן שימצאו יחד בנושא אחד בזמן אחד מצד אחד
Three operations should be known – addition, subtraction, ratio – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions	והנה ישארו השלשה פנים והוא ידיעת התוספת וידיעת המגרעת וידיעת יחס זה אל זה הנה מן המבואר בעצמו שכל אחד משלשה חלקי המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד וחבור שניהם יחד שהוא יחלק עוד לשלשה חלקים אלו שהם התוספת והמגרעת ויחס זה אל זה
Addition is either by summing or by multiplying	ולהיות שהתוספת יהיה אם בקבוץ זה על זה ואם בהכאה כי ההכאה אינו רק קבוץ מספרים רבים כאשר יתבאר ענינו במה שיבא
	והמגרעת יהיה בחסור זה מזה
Ratio is known by division	ויחס זה אל זה אמנם יודע בחלוק כי עם החלוק נדע כמות הפעמים אשר ימנה הקטן את הגדול והנה אם לא ישאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הקטן הוא חלק לגדול והגדול כפל או כפלים לו ואם ישאר דבר בלתי מחולק הנה אין ספק שיהיה הנשאר חלק או חלקים והנה ידענו שהגדול כמוהו וחלק או חלקים מהקטן או כפל וחלק או חלקים או כפלים וחלק או חלקים והקטן חלקים לגדול
Four operations should be known – summing, multiplication, subtraction, division – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions	הנה מן המבואר מזה שמיני הדרושים המספריים המצטרפים לענינינו זה הם ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק וזה בכל אחד מג' מיני המספר שהם השלמים והשברים והשלמים עם השברים כי כל אחד מהם יחלק לאלו הד' מינים וכאשר היה זה כן הנה א"כ יהיו כלל מיני המספר י"ב וזהו מה שכווננו באורו
The ancients count two additional operations: doubling and halving	ואולם קצת מהראשונים כבר הוסיפו עוד ב' מינים זולת אלו הד' והם כפול וחלוק באמצע
Doubling is multiplying by two	והוא טעו' בידם כי הכפול הוא ההכאה בעצמו רק שההכא' כולל הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספ' אחר איזה מספר היה אולם הכפול הוא הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספר שנים לבד לכן כל כפול הכאה ואין כל הכא' כפול
Halving is multiplying by half	ואולם החלוק באמצע הוא הכאת השברים עם השלמים רק שהכאת השלמים עם השברים יהיה עם איזה מין שברים שיהיו ואולם החלוק באמצע הוא הכאת החצי עם השלמים לא שאר מיני השברים ולכן כל חלוק באמצע הכאת שברים עם השלמים ואין כל הכאת שברים עם השלמים כחלוק באמצע
Every duplication is multiplication, but not every multiplication is duplication Every multiplication is summing, but not every summing is multiplication	ואין לטעון על זה שכאשר אין ראוי למנות הכפול וההכאה שני מינים מפני שכל כפול הכאה ואם אין כל הכאה כפול כן אין ראוי למנות הקבוץ וההכאה שני מינים מפני שכל הכאה קבוץ ואם אין כל קבוץ הכאה
the sum $\scriptstyle{\color{blue}{16+16+16}}$ can be described as multiplication – $\scriptstyle{\color{blue}{3\times16}}$	וזה כי הכאת שלשה עם ששה עשר הם מ"ח וכן אם תסדר ששה עשר בשלשה טורים ויקובצו יעלו מ"ח רק שההכאה יקצר בכתיבה לבד כי לא יצטרך לכתוב שם שלשה טורים וזה במספרים השוים לבד
sum $\scriptstyle{\color{blue}{16+17+18}}$ cannot be described as multiplication	אולם במספרים המתחלפים כמו מספרי י"ו י"ז י"ח עד"מ הנה אין דרך להשיבם אל מספר אחד אלא עם הקבוץ לבד
	ולכן כל מה שיצדק בו דרך ההכאה שהם המספרים השוים יצדק בו דרך הקבוץ
	ולא כל מה שיצדק בו דרך הקבוץ יצדק בו דרך ההכאה כי המספרים המתחלפים לא יצדק קבוצם אלא עם הקבוץ בלבד
Summing identical numbers and multiplication – defferent operations, same result Duplication and multiplication by 2 – identical operations, identical result	כי התשובה בזה מבוארת בעצמה וזה שהקבוץ וההכאה יתחלפו בפעלותם ואם תכליתם הוא אחד בעצמו וזה בכתיבה ובסדור ובאורך ובקצור ואולם הכפול וההכאה הוא מין אחד בעצמו בפעולתם ובתכילתם
Multiplication is an easier way to write a sum of identical numbers, but a sum of different numbers cannot be described as multiplication – hence the use of summing is needed as well as multiplication	ולו היה אפשר להשתמש עם ההכאה בכל המספרים הנוספים זה על זה לא היינו מצטרכים אל הקבוץ כלל אחר שהוא בלתי מצטרך להנחת טורים רבים ולא לפעלות רבות אבל בעבור שהמספרים המתחלפים שאינם ממין אחד לא יתכן ידיעתם אלא עם הקבוץ לבד אחר שהם מתחלפים לכן הוכרחנו להשתמש עם הקבוץ
	ואחר שהיה זה כן הנה א"כ מהמחויב מזה שיהיו מיני המספר ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק
	וזה אם בשלמים לבד ואם בשברים לבד ואם בשלמים עם השברים יחד
	ואלו הם הדרושים המספריים הצריכים לעניננו זה
	אולם סדורם ואופן הנחתם הנה יתבאר בחלוק מאמרנו זה אל חלקי' ראשונים עוד כל אחד מהם אל חלקים שניים כפי מספר החלקים הראויים לכל חלק וחלק
	ואומר דע שמאמרנו זה יחלק תחלה לשלשה מאמרים
	המאמר הראשון כוונתנו בו להודיע כל הדרושים המספריים במה הם מספריים
	המאמר השני כוונתנו בו להודיע הדרושים המספרים המשיגים להנדסא והתכונה אף כי אינם למספר במה הוא מספר כאשר יתבאר בע"ה
	המאמר השלישי כוונתנו בו להודיע השאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר ובהנדסא והתכונה מצד מה שישיגם המספר ואופן התשובה בכל אחד ואחד מהם

Book One

והמאמר הראשון יחלק לשלשה שערים

השער הראשון יודיע הדרושים המספריים שבשלמים

השער השני יודיע הדרושים המספריים שבשברים

השער השלישי יודיע הדרושים המספריים שבשלמים עם השברים יחד

אולם השער הראשון יחלק לד' פרקים

הפרק הראשון יודיע דרך הקבוץ

הפרק השני יודיע דרך ההכאה

הפרק השלישי יודיע דרך החסור

הפרק הרביעי יודיע דרך החלוק

וכן השער הב' והשער הג' יחלק כל אחד מהם לאלו הד' פרקים כי כל שער ושער יתבארו בם אלו הד' מינים הנזכרים

Section One - Integers

השער הראשון במספרים השלמים

Chapter One - Addition

הפרק הראשון במין הקבוץ

Introduction

Necessary preliminary clarification:

Precedence of addition over the other operations – addition is the simplest operation and all other operations consist on it

ואמנם הקדמנו זה המין מזולתו משאר מיני המספר למה שהיה מדרגתו משאר המינים מדרגת הפשוט מהמורכב

וזה שכמו שהפשוט אמנם יורכבו ממנו כל המורכבים ולא יורכב הוא מזולתו

כן מין הקבוץ אמנם יתרכבו ממנו שאר המינים ולא יתרכב הוא מהם

וכאשר היה כן הנה כמו שיחוייב למרכיב אם בידיעה ואם במציאות שיקדים הפשוטים על המורכבים אחר שהפשוטים קודמים על המורכבים כן יחויב עלינו להקדים זה המין משאר מיני המספר

Definition of the addition operation: I say that the addition is restoring many numbers, whatever given numbers they may be, whether equal or different, into one number.

ואומר שהקבוץ הוא השבת מספרים רבים איזה מספרים מונחים שיהיו שוים או מתחלפים למספר אחד

The Positional Decimal System:

The written numerals

והנה המתחיל במלאכה הזאת יצטרך לדעת ראשונה הסימנים ההודיים או העבריים או איזה סימנים שיהיו המורים ובהסכמה כל המספרים עוד אחר זה יכנס במלאכה

The Hindu numerals: Since the Hindu signs have spread in the whole West and most of the eastern lands, we choose of all other symbols to write the Hindu signs in our book.

ולהיות שהסימנים ההודיים פשטו בכל ארץ מערב וברוב ארצות מזרח לכן בחרנו לכתוב הסימנים ההודיים בספרנו זה מכל שאר הסימנים וזה סימנם

1 2 3 4 5 6 7 8 9 0

The Hebrew numerals

ואם רצית להשתמש עם האותיות הקדושות אשר לנו הנה כזה

א ב ג ד ה ו ז ח ט 0

numerical value (kamut) and positional place (eykut)

The method of their [the Hebrew/Hindu numerals] indication of the numbers is from two aspects – the aspect of numerical value [= kamut, lit. quantity] and the aspect of positional value [= eykut, lit. quality].

ואולם אופן הוראתם על המספרים הנה הוא מב' צדדין מצד הכמות ומצד האיכות

By the numerical value they signify themselves.

אולם הכמות הנה יורו בו בעצמם

By the positional value they signify their position.

ואולם האיכות הנה יורו בו מצד מקומם

numerical value

ונרצה בכמות באשר לא נביט בהם רק מספר החלקים הנכללים בם לבד לא אם יהיו החלקים ההם אחדים או עשרות או מאות או זולת זה

כמו סימן השלשה עד"מ כשלא נביט בהם רק השלוש לבד ר"ל שהם מחוברים משלשה חלקים

ולא נביט החלקים ההם אם הם אחדים והם שלשה

או אם הם עשרות והם שלשים

או אם הם מאות והם שלש מאות והדומים להם

positional value

ונרצה באיכות כאשר נביט בחלקים הנכללים בם מאיזה מין הם אם הם מהאחדים או מהעשרות או מהמאות או מזולת זה מהמדרגות

כי האות הראשון המורה על א לפי כמותו אם היה במקום הראשון לפי הנחת הסימנים יורה על מדרגת האחדים והנה יהיה אחד

ואם היה במקום השני יורה על מדרגת העשרות והנה יהיה י'

ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז ק'

וכן בזה הדרך לעולם לפי רבוי המקומות יתרבו המדרגות המורות על האיכות

The numerical value of a numeral is unchangeable, but its positional value is changeable

Indeed its numeral value is always one, but the one is changed – once it is one of the units, once one of the tens, and once one of the hundreds.

אמנם כמותו לעולם אחד רק שיתחלף האחד שיהיה פעם א' מהאחדים ופעם א' מהעשרות ופעם א' מהמאות

The second letter, as well, which indicates 2 from the aspect of its numeral value, if it is in the first position it points to the rank of units, so they are two units.

וכן האות השני המורה ב' מצד כמותו אם היה במקום הראשון יורה על מדרגת האחדים ויהיו שני אחדים

If it is in the second position it points to the tens, so they are two tens that are twenty.

ואם היה במקום השני יורה על עשרות ויהיו אז שני עשרות שהם עשרים

If it is in the third position it points to the rank of hundreds, so they are two hundreds, i.e. mataym.

ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז שני מאות ר"ל מאתים

This is so for all, as the ranks are added with the multiplicity of the positions and the numeral value is one by itself.

וכן כלם יתרבו המדרגות בהתרבות המקומות והכמות אחד בעצמו

The positional value of a given rank is unchangeable, but its numerical value is changing according to the replacement of the numeral placed in it

But if the position is one and the letters are changing, the numeral value grows, while the rank is one by itself.

ואולם אם המקום אחד ויתחלפו האותיות יתרבה הכמות והמדרגה תהיה אחת בעצמה

I.e. if you place in the second position the sign 2 it indicates two tens.

ר"ל אם שמת במקום השני ד"מ סימן הב' יורה על שתי עשרות

If you place in it the sign 3 it indicates three tens.

ואם שמת בו סימן הג' יורה על ג' עשרות

If you place in it the sign 9 it indicates nine tens.

ואם שמת בו סימן הט' יורה על ט' עשרות

הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור אופן הוראת האותיות האלו על המספרים בכמות ובאיכות

Zero – placeholder digit, which have no decimal value

The tenth sign which has the shape of a wheel does not indicate a value at all.

ואולם הסימן העשירי שהוא כדמות גלגל הנה הוא בלתי מורה כמות כלל

It is called in foreign language nulla, the type of which is derived from the meaning of naught in their language.

ונקרא בלשון לעז נולא והוא נגזר מינו אשר יורה בלשונם על האין

In Arabic language ṣifra which also indicates the absence in their language.

ובלשון ישמעאל סיפרא אשר יורה ג"כ בלשונם על ההעדר

In Greek language ouden which signifies naught as well.

ובלשון יון אודן אשר יורה גם כן על האין

Indeed it does not point to a value at all, yet it effects the position.

אמנם אף כי איננה מורה על כמות כלל אבל היא סבה על האיכות

I.e. the position of the succeeding letter is then indicates a different rank other than the rank that mark the position of the zero.

ר"ל שהאות הנמשך אחריה יורה כמותו אז על מדרגה אחרת מהמדרגה המורה מקום הנחת הסיפרא

10

כי עד"מ אם רצינו לכתוב י' הנה נכתוב סיפרא תחלה ואחריו האות הראשון מהאותיות אשר הוא מורה על אחד מצד כמותו

והנה יורה אז על עשרה אחר שמקום הנחתו הוא אחר מקום הסיפרא אשר הסיפרא ואם איננה מורה על כמות אבל היא מורה על מדרגה
ולכן האות הראשון הנמשך אחריה יורה על מדרגה נמשכת למדרגה הקודמת לה

101

וכן אם רצית לכתוב מאה ואחד עד"מ אשר הנחת הסיפרא אז הוא באמצע

הנה אין ספק האות הראשון אז יורה על א' מהאחדים בעבור שכמותו יורה א' ומקומו מקום האחדים
והסיפרא הנמשכת לה תורה על מדרגת העשרות ולא תורה על מספר כלל כי איננה מורה על כמות כאשר בארנו
והאות הראשון הנמשך לסיפרא הנה הוא יורה על א' מהמאות כי כמותו יורה א' לפי שהוא האות הראשון ומקומו יורה על מאות אחר שהוא מקום ג'

הנה שתועלת הסיפרא הוא להרבות מקום המדרגות לא זולת זה

וכן לפי הדרך הזאת כבר תוכל לכתוב איזה מספר שרצית עם אלה הסימנים הכתובים הנה אשר הט' מהם יורו על כמות והעשירי בלתי מורה על כמות כלל

The reason for using only nine numerals

ואחר שכבר התבאר לך הוראת הסימנים האלו למקומותם למושבותם וידיעת הנחת המספרים עם הסימנים האלו איזה מספרים שיהיו

הנה כבר מה שנשאר עלינו להודיע הוא הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין
וטרם החלי בהודעת דרך ידיעת זה המין אודיע לך הסבה אשר בעבורה היו הסימנים ט' לבד והיא שלמה

Every number is either units, or a non-units rank, or a combination of both

שהיה כל מספר אם שיהיה פרטים לבד או כללים לבד או מחובר מהפרטי' והכללים יחד

The units alone are the numbers from 1 to 9.

והפרטים לבד הם המספרים אשר מא' ועד ט'

The non-units ranks are the numbers that are analogous to the units, which are the tens, hundreds, thousands, tens of thousands, and their similar.

והכללים לבד הם המספרים הנמשלים לאחדים והם העשרות והמאות והאלפים והרבבות ודומיהם

The non-units ranks and the units together are the numbers that are combined of units and tens, such as 25, or from units and hundreds, such as 203, and their similar.

והכללים עם הפרטים יחד הם המספרים המחוברי' מאחדים ומעשרות כמו כ"ה עד"מ או מהאחדים ומאות כמו ר"ג עד"מ ודומיהם

והיו הכללים נכללים תחת האחדים אחר שהם נמשלים להם

כי העשרה כמו א' בחשבון וכן הק' והאלף והרבבה

והכ' הם כמו ב' בחשבון וכן הר' והאלפים והרבותים

והשלשים הם כמו הג' בחשבון וכן הש' והשלשה אלפים והג' רבבות

וכן התשעים הם כמו הט' בחשבון וכן התשע מאות והתשעה אלפים והתשעה רבבות

וכן בזה הדרך לעולם

והכללים עם הפרטים יחד הנה הם גם כן יכללו באחדים

כי הכ"ה על דרך משל הנה הכ' מהם הם כמו ב' כאשר בארנו והה' הם אחדים בעצמם

וכן הר"ג הנה הר' מהם הם כמו הב' והג' הם אחדים בעצמם

והנה יתחייב מזה שיהיה כמות כל מספר נכלל בתוך הט' האחדים

לכך היו סימני המספר ט' לבד

ואולם הסבה אשר בעבורה הסכימו כל הקדמונים להיות האחדים ט' לא פחות ולא יתר

הנה כבר כתבו הראשוני' בזה ובפרט החכם ראב"ע ואמרו שהסבה בזה הוא מפני שבהם ישלם העגול

שאם יונחו הט' מספרי' בעגול כמו זה ויוכה הט' על עצמו יעלה פ"א והנה הא' מצד ימין והח' שהוא כמו פ' הוא מצד שמאל

והכאת הח' עם הט' עולה ע"ב והנה הב' מצד ימין והז' שהוא כמו הע' מצד שמאל

וכן תמיד על זה הדרך עד שיוכה הה' עם הט' ואז יתהפך שיהיו העשרות ימניים והאחדים שמאליים

וכאשר היה זה כן הנה יהיו המספרי' ט' בהכרח

ואין ספק שזאת הסבה היא אמתית אבל היא סבה הנדסיית לא מספריית

אולם הסבה המספריית לזה היא זאת לפי דעתי

והוא שלהיות הא' ואם הוא סבת כל מספר איננו מספר

והיה המחובר ממנו אשר הוא המספר נחלק לשני מינים מתחלפים והם הזוג והנפרד

It is necessary that the units are divided into three primary species, which are one, two and three:

הנה מן המחויב שיחלקו האחדים לשלשה חלקים ראשונים והם האחד והב' והג'

For one is not a number.

כי האחד איננו מספר

two – which is the first combination [1+1], is [the first] even number.

והשנים אשר הוא ההרכבה הראשונה הם זוג

three – which is the second combination [1+(1+1)], is [the first] odd number.

והג' אשר הם ההרכבה השנית הם הנפרד

These two species, which are 2 and 3, are the simple numbers.

ואלה השני חלקים שהם הב' והג' הם המספרים הפשוטים

ולהיות שהמורכבים הראשונים יחלקו לשני חלקים ראשונים

והם אם שיהיו שני חלקיו יחד פשוטים

ואם שיהיה החלק האחד פשוט והאחר מורכב

והיה החלק הראשון נחלק לשלשה חלקים שניים

והם אם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשוט הראשון

ואם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשו' השני

ואם שיהיה אחד משני חלקיו מהפשוט הראשון והאחר מהפשוט השני

והיה החלק השני נחלק גם כן לששה חלקים שניים

והם אם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק השני מהמורכב מהפשוט הראשון שהוא המין הראשון משלשה מיני המורכבים

ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון בעצמו אבל החלק האחר יהיה מהמורכב מהפשוט השני שהוא המין השני משלשה מיני המורכבים

ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק האחר מהמורכב מהפשוט הראשון והפשוט השני שהוא המין השלישי משלש מיני המורכבים

ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב הראשון

ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב השני

ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט ה[ש]ני והחלק האחר מהמורכב השלישי

והיו השלשה חלקים מהו' נופלי' כי הם נכנסים אל החלקים הראשונים

והנה ישארו גם אלה שלשה חלקי'

הנה מן המחויב לנו א"כ שיהיו מיני המורכבים ו'

וכבר קדם שהמינים הראשונים שלשה הפשוטים השנים והאחד אשר איננו מספר הנה יהיו החלקים תשעה בהכרח

וזה מה שרצינו לבאר

Written Addition

ומעתה נתחיל בהודעת דרך הקבוץ

Description of the algorithm

ואומר שכאשר תרצה להוסיף מספרים יותר מאחד קצתם על קצת להשיבם אל מספר אחד

הנה ראוי שתסדר כל טורי המספרים זה תחת זה ושתהיה כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן תמיד

אחר זה תחבר כמות כל הסימני' המתחלפי' או השוים אשר הם בעלי איכות אחד ר"ל במדרגה אחת

והמספר העולה מהם לא ימלט מאחד מג' פנים לפי מה שקדם

1) Adding units to units

אם שיהיו פרטי' לבד

2) Adding products of ten to products of ten

ואם כללים לבד

3) Adding units and products of ten to units and products of ten

ואם חבור שניהם יחד

The sum is units

ואם היו פרטים לבד הנה תכתבנו למטה באותה המדרג' עצמה אחר שתמשיך קו תחת כל הנקבצים ר"ל אם היו הנקבצים במדרגת האחדים תכתוב גם הסך במדרגת האחדי' תחת הקו המבדיל

ואם הנקבצים במדרגת העשרות כתוב גם הסך במדרגת העשרות תחת הקו המבדיל וכן בכל מדרגה ומדרגה

The sum is a product of tens

ואם היה הסך כלל לבד ראוי שנביט הכלל ההוא מאיזה מדרגה הוא וכפי מדרגתו יונח כל אחד ואחד

ר"ל אם היו הנקבצים אחדים והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים במדרגה השנית או שתי נקודות ותחת מדרגת האחדים יכתוב סיפרא

וכן אם היו הנקבצים עשרות והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים או נקודות במדרגה השנית לה ותחת מדרגת העשרות יכתוב סיפרא

The sum is two kinds of products of tens

ואם היה הסך העולה ב' מיני כללים כמו ק"כ על דרך משל הנה ראוי שיכתוב ב' סימני' או נקודות במדרגה השנית לה בעד כלל הכ' שבידינו וא' במדרגה השלישית לה בעד כלל הק' שבידינו או ירשום י"ב נקודות או סימנים מורים על י"ב על המדרגה השנית לה ותחת המדרגה הנקבצת נכתוב סיפרא

The sum consists of units and tens

ואם היה הסך כלל ופרט יחד הנה יכתו' הכלל במקומו לפי מדרגתו כאשר בארנו והפרט תחת המדרגה הנקבצת

ובזה הדרך תוכל לחבר איזה מספרים שיהיו אל מספר אחד ירבו מה שירבו המדרגות אין חשש בזה

Example: we wish to sum 1101, 3931, 9755, 57052 and 28067.

\scriptstyle1101+3931+9755+57052+28067

המשל בזה רצינו לקבץ אלף ומאה ואחד וג' אלפים תשע מאות ל"א וט' אלפים תשנ"ה ונ"ז אלפים ונ"ב וכ"ח אלפי' וס"ז

2 1 2 1
	1	1	0	1
	3	9	3	1
	9	7	5	5
5	7	0	5	2
2 8 0 6 7
9	9	9	0	6

הנה נסדר הטורים ונתחיל מהאחדים מפני שאם יהיה הסך העולה כלל הנה מקום הנחתו הוא במדרגה הנמשכת לה ולכן נקבץ האחדי' כלם והנה הם י"ו וזהו הסך העולה מהאחדים

ונמשוך קו אחד תחת הנקבצים ונכתוב תחתיו הסך ר"ל הו' תחת מדרגת האחדים והי' אשר כמותו א' להיות שהם העשרות ראוי שיכתב במדרגה הנמשכת לה

אחר זה נקבץ מדרגת העשרות והם עשרים ולהיות שהם כלל עשרות ואין שם אחדים כלל לכן כתבנו סיפרא תחת המדרגה הנקבצת וב' במדרגה הנמשכת לה לפי מה שקדם

אחר זה נקבץ מדרגת המאות והם י"ט ולהיות שהם כלל מחובר עם האחדים נכתוב האחדי' שהם הט' תחת המאות שהוא מדרגתו וא' שהוא כלל נכתבהו במדרג' הנמשכת לה

אחר זה נקבץ מדרגת האלפים והם כ"ט ונכתוב הט' תחת מדרגתו שהוא מדרגת האלפי' והב' שהם כלל נכתבם במדרגה הנמשכת לה

אחר זה קבצנו מדרגת הרבבות ועלה ט' ולהיות שהם אחדים לבד כתבנום תחת מדרגתם כאשר הקדמנו

וזה סך כל המספרי' הנזכרים וא"כ ידענו שסך האלף ק"א והג' אלפים תשע מאות ל"א והט' אלפים תשנ"א והנ"ז אלפים נ"ב והכ"ח והכ"א אלפים ס"ז הם תשעים ותשעה אלפים תתק"ו

Methods of checking

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין

Unreliable tests - reliable only for the false findings

הנה כבר כתבו הראשונים על זה שני מינים

האחד על דרך התשיעיות והאחר על דרך השביעיות

I. Casting out by 9

אולם המין הראשון מהם הוא שתשליך כמות כל הנקבצים ט' ט' ר"ל שלא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם

עוד תשליך כמות הסך ט' ט' ולא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם
ואם שני השמורים בלתי שוים דע שכזבת

ואם הם שוים אפשר שצדקת לא שהוא מחויב כי יתכן שיהיה הטעות ט' אם בתוספ' אם בחסרון

ולכן ראוי שיקראו אלה המאזנים מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד הא' לבד

II. Casting out by 7

ואולם המין השני מהם הוא ע"ד השביעיות

והוא שתתחיל מהמדרגה האחרונה ותחשבה לאחדים ותשליך כמות כל נקבצים לז"ז

והנשאר תחשבהו לעשרו' וחברהו עם המדרגה הקודמת לה כשתחשוב אותה לאחדי' ותשליך העולה מכמו' כל נקבצים לז"ז
והנשאר תחשבהו לעשרו' חברהו עם המדרגה הקודמת לה כמשפט הראשון עד שיכלו כל המדרגו'
הנשאר שלא הגיעו לכלל שבעה שמרהו
עוד לך לך אל הסך ותתחיל מהמדרגה האחרונה שהיא היותר רבת האיכות וחבר עמה המדרגה הקודמת ממנה וחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים והשלך כמותם ז"ז
והנשאר שלא הגיע לכלל ז' תחשבהו לעשרות וחברם עם המדרגה הקודמת לה ותחשבהו לאחדים והשלך כמותם ז"ז
והנשאר שמרהו וכן עד המדרגה הראשונה

ואם יהיה השמור השני היוצא לך מהסך שוה לשמור הראשון אפשר שצדקת ואם לאו כזבת

וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד האחד לבד

Reliable tests:

ואולם המאזני צדק אשר בזה המין אשר בו יאוזן הצדק והכזב יחד

1) Casting out by 9 - considering the signs of the digits for recollection

עם מאזני התשיעיות

הוא מה שאומר שנקבץ כמות כל נקבצי המדרגה הא' ותשליך אותן ט' ט' כאשר בארנו

ודע כמה תשיעיות יש בידך וכמה אחדים שלא הגיעו לט' ושמרם בידך
וקח גם הסך הכתוב למטה ממדרגתו ומהסימנים שכתבנו במדרגה שאחריה תמורת הכלל שבסך אם היה שם כלל קח מכל אחד מהם תשיעית א' וא' מהאחדים וחברם עם האחדים שבסך
והעולים מהתשיעיות והאחדים אם הם שוים לתשיעיות והאחדים שבידך הנה צדקת ואם לאו כזבת

\scriptstyle1101+3931+9755+57052+28067=99906

המשל במשלנו זה הכתוב

הנה קבצנו התשיעיו' והאחדי' מכל הנקבצים ממדרגת האחדים ועלו תשיעית א וג' אחדים
אחר כן ראינו המקובץ והוא ב' והכלל שאחריו שכתבנוהו במדרגה הנמשכת הוא א' והנה הוא תשיעית א' וא' אחד שהוא עשרה חברנוהו עם ב' אחדי' הסך והנה הם תשיעית א' וב' אחדים וככה הוא מה שבידנו מהנקבצים
עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת העשרות והנה הם ב' תשיעיות וב אחדים וככה הוא גם הסך שתחת העשרות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך ב' והם ב' תשיעיו' וב' אחדי' ותחת העשרו' הוא ספרא וא"כ הם ב' תשיעיות וב' אחדים
עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת המאות והנה הם ב' תשיעיות וא' מהאחדים וככה הוא גם הסך שתחת המאות עם הכלל הנמשך אחריו כי הכלל הנמשך א' והוא תשיעית א' וא' מהאחדים ותחת המאות ט' הנה ב' תשיעיות וא' מהאחדים
עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת האלפים והם ג' תשיעיות וב' אחדים וככה הוא הסך כי תחתיו ט' והנה תשיעית א' ועם הכלל הנמשך אחריו שהם ב' תשיעיות וב' אחדי' והם שוים למה שבידנו מהנקבצים
עוד אחר זה קבצנו התשיעיות והאחדים שבנקבצי מדרגת הרבבות והם תשיעית אחד וככה הוא המקובץ
וזה מה שרצינו לבאר

2) Two addends - subtracting one of them from the sum

\scriptstyle\left(a+b\right)-1=b

ואם היו הנקבצים ב' מספרים לבד שוים או מתחלפים יהיו שם עוד מאזני צדק אחרים זולת אלו

והוא חסור המספר הא' מהמקובץ והנשאר אם יהיה שוה למספר האחד הקבוץ אמת ואם לאו שקר

3) two identical addends - halving

\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(a+a\right)=a

ואם היו הנקבצים שנים מספרים שוים יהיו לו עוד מאזני צדק שלישיים

והוא החלוק באמצ' אשר הוא הכאת החצי עם המקובץ והיוצא אם הוא שוה למספר הא' הוא אמת ואם לאו דע שטעית

ולהיות שיש דרך קצר זולת זה בקבוץ קצת מינים מהמספרים אף כי אין הקצר הזה באיזה מין מספרים שיהיו רק במינים מעויינים

הנה ראוי לנו להודיע גם זה אמנם למה שלא יודע הדרך ההוא אלא בידיעת מין ההכאה לכן ראוי לנו שנמתין הענין עד באנו אל המין ההוא אם ירצה השם

Reasons and Explanations

The reason for the adding procedure

והסבה למציאות זה המין מבואר בעצמו

All ranks are similar to the units

וזה שאחר שהעשרו' והק' והאלפים והרבבות כלם נמשלים ר"ל שהי' במדרגה הראשונה הם א' במדרגה הנמשכת לה והי' שבמדרגה השנית הם א' במדרגה הנמשכת לה וכן תמיד

הנה אם כן אין הבדל בזה שנקח כל העולם מהנקבצים מהמדרגה האחת או שנקח האחדים שתחת אותה המדרגה עם האחדי' ששמנו במדרגה הנמשכת לה תמורת הכלל המחובר עם האחדים

Example: we wish to sum 723, 865 and 957.

\scriptstyle723+865+957

המשל בזה אם רצינו לקבץ תשכ"ג ותתס"ה ותתקנ"ז

אשר הסך העולה מהם הוא ב' אלפים תקמ"ה

הנה אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת האחדים שהם ט"ו אחדים

או שנקח הה' שבמדרגת האחדים והא' שבמדרגה הנמשכת לה
אחר שהי' באחדים הם אחד בעשרות
וכן אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת העשרות שהם י"ג עשרות
או שנקח הג' שבמדרגת העשרות והא' שבמדרגת המאות
אחר שהי' בעשרות הם א' במאות וכן תמיד
ולכן אין הבדל שנאמר שהסך העולה מהמספרים האלה הם ט"ו אחדים וי"ג עשרות וכ"ד מאות
או שנקרא הכ' מהכ"ד ב' אלפים והד' מאות נחבר עמהם הי' עשרות שהם א' במאות ונאמר ב' אלפים וחמש מאות ונחבר עם הג' עשרות הי' אחדים שהם א' בעשרות ויהיו ד' עשרות שהם מ' והנה יהיה הכל ב' אלפים תק"מה
וזה מה שכוננו ביאורו

\scriptstyle r_a+r_b\equiv r_{a+b}\left(mod k\right)

ואולם הסבה אשר בעבורה היו מאזני התשיעיות והשביעיות מורים על שהקבוץ איננו אמתי כאשר לא יהיו מותרי הסך והנקבצים שוים הוא מבואר

Euclid, Elements, Introduction:

This is because it was already clarified in the introduction of Euclid's book that when equal is subtracted from equals, then the remainders are equal

\scriptstyle a=b\longrightarrow a-c=b-c

וזה שכבר התבאר בפתיחת ספר אקלידס כאשר חוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה

וזה דבר מוסכם לכל ואם כן יתחייב מזה בהכרח שאם מספר הסך הוא שוה למספר כל הנקבצים שיהיו מותרי שניהם שוים כאשר מוסר מהם מספרים שוים שהם מספרי התשיעיות והשביעיות וזה הקש תנאי מתדבק

וכבר התבאר בספר ההקש כי סותר הנמשך יוליד סותר הקודם

\scriptstyle a-c\ne b-c\longrightarrow a\ne b

אם כן יחוייב מזה שכאשר ימצא מקביל הנמשך והוא היות המותרים בלתי שוים שיחויב מזה מקביל הקודם והוא שהסך בלתי שוה לנקבצים

וכבר היה מתנאי הסך האמתי שיהיה שוה לנקבצים לפי מה שקדם

אם כן זה הסך הוא בלתי אמתי בהכרח

ואין לטוען לטעון על מאזני התשיעיות על היותנו חושבים כל המדרגות כמו אחדים בין בסך בין בנקבצים ולומר שאמנם היה זה צודק ר"ל כאשר יהיו המותרים בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים התשיעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח

ואולם אנחנו אחר שחשבנו על המדרגות לאחדים הפך האמת הנה לא חוסר משני המספרים השוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח

כי התשובה בזה מבוארת בעצמה והוא שאחר שהעשרות או המאות כאשר תשליך מהם התשיעיות לא ישארו מהם רק אחדי'

וזה שהנשאר מהעשרה אחד וכן מהמאה ומהאלף ומהרבבה וזולת זה מכל שאר המדרגו'

אם כן אין הבדל בין שנחשוב כל המדרגות לאחדים או לעשרות או למאות או לאלפים או זולת זה מהמדרגות

כי עד"מ מספרי ת"ש אם חשבנום לז' אחדים הנה הם ז'

ואם חשבנום לשבע עשרות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה
ואם חשבנום לז' מאות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה

וכאשר היה כן הנה אין הבדל בזה אם נחשוב כל המספרים שבכל המדרגות כמו אחדים או כמו עשרות או כמו מאות כי המותר שוה לעולם

ולהיות שזה הקצור הנפלא והוא שיחשבו כל המספרי' שבכל המדרגות לאחדים הוא ענין בלתי צודק למספר אחר זולת הט' והג' על כן השתמשו בתשיעיות משאר כל המספרים

והניחו השלשה לרוב קטנותו כי המספר היותר גדול בו יותך המספר בקלות מאשר יותך אל המספר הקטן ממנו

גם אין לטוען לטעון על מאזני השביעיות על היותנו חושבים כל מדרגות הסך חוץ ממדרגת האחדים לעשרות ונחבר עם כל מדרגה המדרגה הקודמת לה ונחשבה לאחדים ואם הם מאות או אלפים או זולת זה מהמדרגות

ולומר שאמנם היה צודק שכאשר יהיו המותרי' בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים השביעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח

אולם אנחנו אחרי שחשבנו המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים ואם הם אלפים או מאות הפך האמתי הנה לא חוסר משני המספרים שוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח

כי התשובה בזה מבוארת גם כן והוא שמצד הנשלכים אין הבדל שיהיו עשרות או מאות או אלפים או זולת זה המדרגות

כי התשעה על דרך משל כאשר תחסר מהם שבעה אין הבדל בין שיהיו התשעה תשע האחדים ויחסרו מהם שבעה

ובין שיהיו תשע עשרות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם עשרות
ובין שיהיו ט' מאות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם ת"ש
וכן תמיד כי כלם יכלו בשביעיות ר"ל הז' אחדים והז' עשרות והז' מאות והז' אלפים וזולת זה

ולכן אין הזק אם נחשוב המאות או האלפים או זולתם עשרות ונשליך מהם השביעיות ואם מצד המותרים אין הזק גם כן וזה שהמותרים ואם הם בלתי שוים

כי מספר התשעה עד"מ אם היה אחדים הנה כאשר נשליך מהם השביעיות ישארו שני אחדים

ואם היו עשרות הנה ישארו ו' אחדים
ואם היו מאות ישארו מהם ד' אחדים

אולם עם ההתכה יתוקן זה הענין בהכרח וזה שאחרי שאנחנו מתיכים כל אחד מהנשארים לעשרה במדרגה הקודמת לה ומשליכים מהם השביעיות וכן הנשארים מהם עוד אנחנו מתיכים כל אחד מהם לעשרה עד שנגיע למדרגת האחדים הנה אין הזק בזה

וזה שהתשעה עד"מ הנה אם היו אחדים יהיו הנשארים ב' אחדי'

וכן אם היו עשרות יהיו הנשארים מהם ב' עשרות

והנה אחרי שיש להם מדרגה אחת קודמת אחר שהם עשרות ויתחייב שנחשוב כל אחד מהם לעשרה פעם אחת במדרגת האחדים הקודמת לה הנה ישובו הב' לעשרים ונשליך מהם השביעיות וישארו ו'
והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לתשעים וחסרנו מהם השביעיות אשר יהיו הנשארים מהם ו'

וכן אם היו מאות יהיה הנשאר מהם ר'

והנה אחרי שיש להם שתי מדרגות קודמות להם אחרי שהם מאות ויתחייב עם זאת התחבולה שיותכו ב' פעמי' פעם ראשונ' במדרגת העשרות ופעם שנית במדרגת האחדים הנה אם כן ישובו הב' עשרים במדרגת העשרות ונשליך מהם השביעיות וישארו ששה עוד ישובו הששה לששים במדרגת האחדים ונשליך מהם השביעיות וישארו ארבעה
והנה הדבר שוה כאלו חשבנום מתחלה לתת"ק וחסרנו מהם השביעיות אשר הנשארים הם ארבעה

ואולם הסבה אשר נחבר המדרגה הקודמת לאחרונה עם האחרונה ונחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים ולא חשבנו כל מדרגה לאחדים ונשליך מהם השביעיות אחר שבנשלכים אין חשש ועם ההתכה יתוקן המותר כאשר בארנו היא זאת שאנחנו אם נקח המדרגה האחרונה לבדה ונחשבנה לאחדים הנה המותר מהם יתחייב שיותך לעשרה ויחוייב שנחבר אותה עם המדרגה הקודמת ונחשוב הקודמת לאחדי' והמותר לעשרות לפי מה שקדם ולכן חברנוה מתחלה

ואולם הסבה אשר לא חשבנו כל אחד לפי מדרגתו היא מפני שהעשרות יותכו אליהם השביעיות יותר בקלות מאשר יותכו אל המדרגות היותר גדולות

כי מהעשרה יחוסרו פעם אחת שבעה

ומהמאה ארבעה עשר פעמים

ומהאלף קמ"ב פעמים

וכאשר היה זה כן הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור שעם הדרך הזאת נוכל למצוא המותר מהשביעיות כמו שנמצאהו אם נתיך הכל לאחדים

ולכן אין ראוי לטרוח בהתכת הכל לאחדים ולא בהשלכת השביעיות מכל מדרגה לפי מדרגתה אחר שזאת הדרך היא הקצור הנפלא שבדרכים ולולא שהנקבצים הם מספרים רבים בכל מדרגה אבל היינו משתמשים בם גם כן עם הדרך הזה לרוב קצורו ולכן בשאר מיני המספר אשר הטורי' המונחים אינם יותר מא' השתמשו שם גם כן עם זה הדרך כמו בסך

וכאשר היה זה כן הנה אם כן הדבר שוה כאלו התכנו הנקבצים והסך כל אחד מהם לאחדים והשלכנו מהם השביעיות

וכאשר בארנו שאחדי הנקבצים והסך שוים הנה אם כן יהיו המותרים שוים בהכרח

וזהו הנרצה בזה המין מהמאזנים

אלא שתמהתי מאד על הקודמים מדוע השתמשו בזה המין בשביעיות לבד אחר שעם זה המין נוכל להשתמש בכל מספר שנרצה לפי הסבה הנתונה בזה ר"ל אם רצית להשליכם שלשה שלשה או ד' ד' או ה' ה' או ו' ו' או ח' ח' או ט' ט' או י"א י"א או ט"ו ט"ו וכן תמיד וזה מספיק בידיעת זה המין

ואולם סבת המאזני צדק הנה היא ידועה בעצמה

וזה שאחר שמאזני התשיעיות אמנם הם מאזני מרמה מאשר לא יוליד עין הנמשך והוא שווי המותרים עין הקודם והוא שווי שני המספרי' שהם הנקבצים והסך

וזה מפני שכבר יתכן שיהיה המספר האחד מתחלף מחברו אם בתוספת תשיעיות או במגרעת ועוד יהיו המותרים שוים

הנה אם כן כאשר נשמור בידינו התשיעיות והאחדים שבכל מדרגה ומדרגה והתשיעיות והמותרים שבסך שתחת כל מדרגה ומדרגה עם הסימנים הנרשמים במדרגה הנמשכת לה תמורת הכללים שבסך הנה לא יקרה מזה טעות בהכרח לא בתוספת תשיעיות ולא בגרעונם וזה מבואר מאד

ואולם סבת המאזני צדק השניים שהם ע"ד החסור גם היא מבוארת בעצמה

וזה שאחר שהקבוץ הוא תוספת מספר על מספר כאשר התבאר

ואם כן הסך הוא מורכב מב' מספרים

והחסור הוא הפך התוספת כמו שההתכה הפך ההרכבה

\scriptstyle\left(a+b\right)-a=b

לכן יתחייב מזה שכאשר נחסר מהסך המספר הא' שהוא אחד משני חלקי הסך אשר הורכב מהם שישאר החלק האחר שהוא המספר האחד ואם לאו דע שכזבת

ואולם סבת המאזנים השלישיים שהם על דרך החלוק באמצע הנה גם היא מבוארת מהסבה הקודמת

\scriptstyle\frac{a+a}{2}=\left(a+a\right)-a=a

והוא שאחר שהסך מורכב משני מספרים שוים והחלוק באמצע הוא חסור החלק האחד משני חלקי הכל השוים הנה יהיה הנשאר הוא החלק האחד בהכרח שהוא המספר האחד משני המספרים השוים

Special Properties

וסגלת זה המין

Euclid, Elements, Book IX, Proposition 21: When even numbers are summed, as many as they may be, their sum is an even number.

הוא כאשר נקבצו מספרי זוגות כמה שיהיו הנה קבוצם מספר זוג

Euclid, Elements, Book IX, Proposition 22: When odd numbers are summed, as many as they may be, and their multitude is even, their sum is an even number.

וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג

Euclid, Elements, Book IX, Proposition 23: When odd numbers are summed, as many as they may be, and their multitude is odd, their sum is an odd number.

וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם מפרד הנה קבוצם נפרד

If odd numbers and even numbers as many as they may be are summed together, and the multitude of the odd numbers is even, then their sum is even

וכאשר נקבצו מספרי' נפרדים וזוגות יחד כמה שיהיו והיה מספר הנפרדים זוג הנה קבוצם זוג

If the multitude of the odd numbers is odd, then their sum is odd

ואם היה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד

וסבות הסגלה הזאת הנם כתובים בספר היסודות לאקלידס במאמר התשיעי ממנו ואין צורך להכפיל המאמר הנה

הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד עם הסגלה המיוחדת בו וזה מחובר בסבותיהם יחד וזהו מה שכוננו ביאורו

ומעתה אתחיל לבאר מין ההכאה להיות שזה המין דומה למין הקבוץ כאשר התבאר וכאשר יתבאר עוד

Chapter Two - Multiplication	הפרק השני במין ההכאה
Introduction
Definition of the multiplication operation: multiplication is summing identical numbers, as many as they may be, so that not all of them are given but one alone.	ההכאה הוא קבוץ מספרים שוים כמה שיהיו בלתי מונחים מכללם רק האחד לבד
Six kinds of multiplications	ולהיות שמיני ההכאות יחלקו לששה חלקים והם
Multiplication of units by units	הכאת פרטים עם פרטים
Multiplication of units by non-units ranks	והכאת פרטים עם כללים
Multiplication of units by units and non-units ranks	והכאת פרטים עם פרטים וכללים יחד
Multiplication of products of non-units ranks by non-units ranks	והכאת כללים עם כללים
Multiplication of products of non-units tanks by units and non-units ranks	והכאת כללים עם כללים ופרטים יחד
Multiplication of units and non-units ranks by units and non-units ranks	והכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד
	וזה שכבר קדם שהמספרים נחלקים לג' חלקים כללים לבד ופרטים לבד וחבור שניהם יחד
	וכאשר יוכו כל אחד מהם עם חברו יעלו ט' ויפלו מהם הג' מיני' המשותפים והנה נשארו ו' מיני הכאות
	והיה דרך הכאות כל המינים האלו אמנם הוא עם ידיע' הכאת המין הראשון והוא הכאת הפרטים עם הפרטים
	וזה שכל המדרגות אמנם יחשבו כמו אחדי' בענין ההכאה כאשר יתבאר הנה
	אם כן מן המחויב לכל דורש ידיעת מין ההכאה לדעת תחלה הכאת הפרטים עם הפרטים אחר זה ידרוש בידיעת ההכאה במינים הנשארים

Multiplication of Units by Units

ולהיות שידיעת הכאת הפרטים עם הפרטים אמנם יגיע בהרגל לבד כי אין שם תחבולה ודרך אל ידיעתו לכן היה מן המחוייב לנו לתקן לוח כולל כל מיני הכאות הפרטים עם הפרטים אי זה פרטים שיהיו עד ירגיל בו האדם עצמו

והנה הלוח הכולל הוא זה

9	8	7	6	5	4	3	2	1
18	16	14	12	10	8	6	4	2
27	24	21	18	15	12	9		3
36	32	28	24	20	16			4
45	40	35	30	25				5
54	48	42	36					6
63	56	49						7
72	64							8
81								9

ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
חא	וא	דא	בא	‫0א	ח	ו	ד	ב
זב	דב	אב	חא	הא	בא	ט		ג
וג	בג	חב	דב	‫0ב	וא			ד
הד	‫0ד	הג	‫0ג	הב				ה
דה	חד	בד	וג					ו
גו	וה	טד						ז
בז	דו							ח
אח								ט

Written multiplication

ואחר שכבר ידעת זה על פה הנה כבר תוכל להכנס בדרך ידיעת זה המין

ונאמר שכבר בארנו שההכאה הוא קבוץ מספרים שוים רבים בלתי מונחים מכללם רק האחד

כי לולא זה לא נדע איזה מין מספרים הם הנקבצים ולכן יחוייב עלינו שנכתוב בטור אחד המספר המוכה

עוד נניח תחתיו טור שני מודיע כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא שהוא הנקבץ עם השוים לו

For example: if you wish to sum three numbers, each of which is sixteen.

\scriptstyle16+16+16

כמו על דרך משל אם רצית לקבץ שלשה מספרים כל אחד מהם ששה עשר

הנה מן ההכרח הוא לכתוב ששה עשר בטור אחד להודיע שהמין הנקבץ עם השוים לו הוא ששה עשר

ואין צורך לכתוב עוד ששה עשר בשני טורים אחרים כמו שהוא מהמחויב בקבוץ המספרים זה עם זה

אחר זה נכתוב תחתיו מספר שלשה המודיע לנו כמות הפעמים אשר יכפל מספר הי"ו

והנה הדבר שוה כאלו כתבנו עוד בשני טורים אחרים מספר ששה עשר

כי אין הבדל שנקבץ הי"ו הכתובים בשלשה טורים או שנכפול הששה עשר האחד שלשה פעמים

כי הכפל הוא קבוץ המספר האחד עם עצמו והמשלש בכפל הוא קבוץ המספר האחד עם שני פעמים כמו עצמו

אחר זה נמשיך קו תחת השני טורים הראשונים ונכתוב תחתיו המספר היוצא מההכאה

וזאת היא ההנחה הכוללה לכל מיני ההכאות

אלא שאם היו כללים לבד או כללים ופרטים יחד מוכים עם פרטי' לבד יהיה המספר הכתוב תחת הקו אשר הוא היוצא מההכאה טור אחד לבד

ואם היו מוכים עם כללים או עם כללים ופרטים יחד הנה ירבו הטורים המונחים תחת הקו בהכרח

וגם נצטרך בו להנחות מתחלפות הצריכים אל ביאור

ואומר שהכאת כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם פרטים לבד דרך אחד להם

והוא שנסדר תמיד המספר הרב המדרגות בטור הראשון

והפרטים המודיעים כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא תחתיו

אחר נכה הפרט עם כל מדרגה ממדרגות הטור העליון ונכתוב כל העולה מכל מדרגה ומדרגה

אם היה פרטים לבד במדרגתה ר"ל העולה מהאחדים במדרגת האחדים

והעולה מהעשרות במדרגת העשרות

וכן בכל מדרגה ומדרגה בטור שלישי

אחר שנמשיך קו מבדיל בין הטור השני לטור השלישי

ואם היו כללים לבד נכתוב סיפרא והכלל נשמרהו במדרגה הנמשכת

ואם היו כללים ופרטים יחד נכתוב הפרטים במקומם והכללים נשמרם במדרגה הנמשכת ואחר שתשלים הכאות כל המדרגות הנה ידעת שהסך העולה מהכאת המספר ההוא עם הפרט שבטור השני הוא המספר שבטור השלישי

ואולם הכאת הכללים לבד או הכללים והפרטים יחד עם הכללים לבד או עם כללים ופרטים יחד דרך אחד להם

והוא שנכה אחדי הטור השני עם כל המדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור השלישי לפי מה שקדם

אחר זה נכה עשרות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב גם כן העולה בטור רביעי תחת הטור השלישי כפי הסדר שזכרנו

רק שנתחיל ראש הטור הרביעי ממקום העשרות מפני שהתחלנו מהעשרות

אחר כך נכה מאות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור החמישי כפי הסדר שזכרנו רק שנתחיל הטור החמישי ממקום המאות

וכן בזה הדרך לעולם

אחר כך נקבץ כל הטורים שתחת הקו המבדיל והעולה הוא הסך העולה מהכאת המספר שבטור העליון עם המספר שבטור השני לו

The example of the first method is:

\scriptstyle5\times320

משל הדרך הראשון הנה הוא כזה

3

2

0

			5
1	6	0	0

‫ג

ב

0

			ה
א	ו	0	0

[Illustration of the procedure:]

320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times0\right)}}={\color{blue}{0}}}$	320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times2\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	320	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(5\times3\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{15+1}}={\color{blue}{16}}}$	320
5		5		5		5
		0		00		1600

הכינו הה' עם הסיפרא שבטור העליון ועלה סיפרא

וכתבנו הסיפרא תחת הקו במדרגת האחדים

עוד הכינו הה' עם הב' שבטור העליון ועלה י' ולהיות שהוא כלל שמרנוהו בידינו לחברו עם העולה מהכאת הה' עם הג' שבטור העליון

וכתבנו תחת הקו סיפרא במדרגה הנמשכת

אחר זה הכינו הה' עם הג' שבטור העליון ועלו ט"ו חברנו עמם הא' שבידינו ועלו י"ו

וכתבנו הו' תחת הקו במדרגה הנמשכת והי' שהוא א' במדרגה הנמשכת לה

והנה העולה מהכאת החמשה עם השלשה מאות ועשרים הם אלף ושש מאות

The example of the second method, which is multiplication of tens, or tens and units together, by tens, or tens and units together, is as follows:

\scriptstyle236\times135

ומשל הדרך השני והוא הכאת הכללים או הכללים והפרטים יחד עם הכללים או עם הכללים ופרטים יחד הנה הוא כזה

		1	2	5
		2	3	6

		‫7	5	0
	3	7	5
2	5	0

2

9

5

0

		א	ב	ה
		ב	ג	ו

		‫ז	ה	0
	ג	ז	ה
‫ב	ה	0

ב

ט

ה

0

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times5\right)}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{3}}={\color{red}{12+3}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{6+1}}={\color{blue}{7}}}$	125
236		236		236		236
		0		50		750

Multiplying 6 in the second line by 5 in the upper line - the result is 30 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times5=30}}$ .	הכינו הו' שבטור השני עם הה' שבטור העליון ועלה שלשים
Writing 0 in the third line, in the rank of units.	וכתבנו ספרא בטור השלישי במדרגת האחדים
Reserving the 30.	והשלשים שמרנום בידינו
Multiplying 6 by 2 in the upper line - the result is 12 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12}}$ .	עוד הכינו הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב
Adding it to the 3 reserved - the result is 15.	חברנו' עם הג' שבידנו ועלו ט"ו
Writing the 5 in the third line, in the successive rank.	כתבנו הה' הפרטים בטור השלישי במדרגה הנמשכת
Reserving the 10.	והעשרה שמרנום
Multiplying 6 by 1 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1=6}}$ .	עוד הכינו הו' בא' שבטור העליון ועלה ששה
Adding it to the 1 reserved - the result is 7.	חברנום עם הא' שבידינו ועלו ז‫'
Writing it in the third line, in the successive rank.	כתבנום בטור השלישי במדרגה הנמשכת

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{6+1}}={\color{blue}{7}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times1}}={\color{blue}{3}}}$	125
236		236		236		236
750		750		750		750
		5		75		375

	אחר כן שבנו להכות הג' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון
Multiplying 3 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$ .	והכינו הג' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו
Writing 5 in the fourth line, in the rank of tens.	וכתבנו הה' בטור הרביעי במדרגת העשרות
Reserving the 10.	והי' שמרנום
Multiplying 3 by 2 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}$ .	עוד הכינו הג' עם הב' שבטור העליון ועלה ששה
Adding it to the 1 reserved - the result is 7.	חברנום עם הא' שבידינו ועלו שבעה
Writing it in the fourth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת
Multiplying 3 by 1 in the upper line - the result is 3 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times1=3}}$ .	עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלה שלשה
Writing it in the fourth line, in the successive rank.	וכתבנום בטור הרביעי במדרגה הנמשכת

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{0}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1}}={\color{blue}{2}}}$	125
236		236		236		236
750		750		750		750
375		375		375		375
		0		50		250

אחר כן שבנו להכות הב' שבטור השפל עם כל מדרגות הטור העליון כמשפט

Multiplying 2 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 10 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$ .

והכינו הב' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו י‫'

ולהיות שהוא כלל לבדו על כן שמרנוהו

Writing the 5 in the fifth line, in the rank of hundreds.

וכתבנו בטור הה' סיפרא במדרגת המאות

Multiplying 2 in the bottom line by 2 in the upper line - the result is 4 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$ .

עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור העליון ועלו ד‫'

Adding it to the 1 reserved - the result is 5.

חברנו עמו הא' שבידנו ועלו ה‫'

Writing it in the fifth line, in the successive rank.

וכתבנום בטור הה' במדרגה הנמשכת

Multiplying 2 by 1 in the upper line - the result is 2 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times1=2}}$ .

עוד הכינו הב' עם הא' שבטור העליון ועלו ב‫'

Writing it in the fifth line, in the successive rank.

וכתבנום בטור החמישי במדרגה הנמשכת

אחר זה קבצנו השלשה טורים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ות"ק וזהו סך הכאת הרל"ו עם הקכ"ה

הנה כבר התבארו לך הב' דרכים הכוללים כל המינים הה' הנזכרי' תכלית באור

עוד מצאתי דרך אחרת שלא תצטרך לשמירה כלל והוא כי אם היה העולה מההכאה כלל ופרט הנה תכתוב הפרט במקום האחדים והכלל במקום העשרות לא שתשמרהו

אחר כך הכה האות השפל עם האות הנמשך שבטור העליון

ואם היה העולה מהכאתם כלל ופרט יחד תכתוב הפרט במדרגת העשרות והכלל במדרגת המאות וכן תמיד

המשל בזה בהכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד והוא המשל הנזכר למעלה בעצמו כדי שתבדיל בין דרך לדרך והוא זה

		1	2	5
		2	3	6

2	3	1	3	0
	1	6	2
	4	1	5
		6
		0

		א	ב	ה
		ב	ג	ו

ב	ג	א	ג	0
	א	ו	ב
	ד	א	ה
		ו
		0

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times5\right)}}={\color{blue}{30}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}={\color{blue}{12}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times1\right)}}={\color{blue}{6}}}$	125
236		236		236		236
		30		130		130
				2		62

Multiplying 6 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 30 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times5=30}}$ .	הכינו הו' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ל‫'
Writing 0 in the rank of units and 3 in the successive [rank].	כתבנו סיפרא במדרגת האחדים והג' בטור הנמשך
Multiplying 6 by 2 in the upper line - the result is 12 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times2=12}}$ .	עוד הכינו הו' עם הב' שבטור העליון ועלו י"ב
Writing 2 in the rank of tens and 10 in the rank of hundreds.	כתבנו הב' במדרגת העשרות והי' במדרגת המאות
Multiplying 6 by 1 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{6\times1=6}}$ .	עוד הכינו הו' עם הא' שבטור העליון ועלו ו‫'
Writing it in the rank of hundreds.	וכתבנום במדרגת המאות

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times5}}={\color{blue}{15}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times2}}={\color{blue}{6}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{3\times1}}={\color{blue}{3}}}$	125
236		236		236		236
130		130		130		3130
62		62		62		62
		15		15		15
				6		6

Multiplying 3 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 15 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$ .	שבנו להכות הג' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון ועלו ט"ו
Writing 5 in the rank of tens and 10 in the rank of hundreds.	כתבנו הה' במדרגת העשרות והי' במדרגת המאות
Multiplying 3 by 2 in the upper line - the result is 6 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}$ .	עוד הכינו הג' בב' שבטור העליון ועלו ו‫'
Writing 6 in the rank of hundreds.	וכתבנום ו' במדרגת המאות
Multiplying 3 by 1 in the upper line - the result is 3 $\scriptstyle{\color{blue}{3\times1=3}}$ .	עוד הכינו הג' עם הא' שבטור העליון ועלו ג‫'
Writing it in the rank of thousands.	וכתבנום במדרגת האלפים

[Illustration of the procedure:]

125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times2}}={\color{blue}{4}}}$	125	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times1}}={\color{blue}{2}}}$	125
236		236		236		236
3130		3130		3130		23130
62		162		162		162
15		15		415		415
6		6		6		6
		0		0		0

Multiplying 2 in the bottom line by 5 in the upper line - the result is 10 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times5=10}}$ .

שבנו להכות הב' שבטור השפל עם הה' שבטור העליון והנה העולה י'

Writing 0 in the rank of hundreds and 10 in the successive rank, which is the rank of thousands.

וכתבנו סיפרא במדרגת המאות והי' במדרגה הנמשכת שהיא מדרגת האלפים

Multiplying 2 in the bottom line by 2 in the upper line - the result is 4 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}$ .

עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הב' שבטור העליון ועלו ד‫'

Writing it in the rank of thousands.

וכתבנום במדרגת האלפים

Multiplying 2 in the bottom line by 1 in the upper line - the result is 2 $\scriptstyle{\color{blue}{2\times1=2}}$ .

עוד הכינו הב' שבטור השפל עם הא' שבטור העליון ועלה ב‫'

וכתבנום במדרגת הרבבות

והנה בזה הדרך אין צורך להביט טורים כלל אלא המקום הראוי לבד

קבצנו כל המספרים שתחת הקו והיה העולה כ"ט אלף ת"ק כאשר עלה עם הדרך הראשון

ואין ספק שהדרך הזאת היא נכבדת מאד מפני שלא נצטרך בה לזכירה כלל רק שהוא ארוך בכתיבה

Gelosia

ולפי שהדרך הראשון יצטרך לשני ענינים והוא שמירת הכללים והנחת הטורי' ולפעמים יטעה מצד שכחת השמור ופעם מצד בלבול הנחת הטורים והיה הדרך הב' ואם הוא יותר מעט השגיאה להיותו בלתי מצטרך לשמירה אמנם כבר יתכן שיקרהו הטעות מצד בלבול ההנחה

לכן ראינו לחדש דרך שלישי בלתי מצטרך לשמירה ולא להנחה ובזה נהיה בטוחים מהשגיאה והוא הדרך היותר נכון ואם הוא צריך אורך

והוא שנכתוב הטור המוכה באורך והמכה ברוחב ונמשוך קוים באורך וברוחב עד שיתחדשו שם מרובעים רבים ונחלק כל אחד מהם לחצאים עם אלכסון השטה ההוא ונכתוב העולה מההכאה בחציו האחד הפרטים ובחציו האחר הכללים אחר כן נקבץ כל המספרים הכתובים שם על דרך האלכסון כזה

הכינו איזה שרצינו ממספרי האורך עם איזה שרצינו ממספרי הרוחב כי אין צורך בזה סדור כלל

ונאמר על דרך משל כי הכינו הב' עם הב' ועלו ארבעה

וכתבנום בחצי המרובע המשותף לשני המספרים וזה בחציו הימני שהוא בית הפרטים להיות שהד' שבידינו הם פרטים

עוד הכינו עד"מ הו' עם הה' ועלו ל‫'

וכתבנום במרובע המשותף לשניהם בחציו השמאלי להיותו בית הכללים

אחר זה הכינו הג' עם הא' ועלו שלשה

וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם

עוד הכינו הב' עם הא' ועלו ב‫'

וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם

עוד הכינו הג' עם הה' ועלו ט"ו

וכתבנום במרובע המשותף להם האחדים בחצי הימני והכללים בחצי השמאלי

עוד הכינו הג' עם הב' ועלו ו‫'

וכתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם

עוד הכינו הב' עם הה ועלו י‫'

וכתבנו א' בחצי הימני של המרובע המשותף להם

עוד הכינו הו' עם הב' ועלו י"ב

וכתבנו הב' בחצי הימני של המרובע המשותף להם והא' בחציו השמאלי

עוד הכינו הו' עם הא' ועלו ו‫'

כתבנום בחצי הימני של המרובע המשותף להם

ולהיות שנשלמו המרובעים כי אין שום מרובע פנוי בלתי כתוב בו ידענו שנשלם הענין ולא נצטרך בזה לא סדור ולא הנחה ולא שמירה

ולכן ערכתי במשלי זה הכאת המספרים קצתם עם קצת בקדימה ואיחור למען יודע למעיין שאין צורך לסדור הנחיי כלל

אחר כן קבצנום על דרך האלכסון ויצא כזה

Cross multiplication

אולם אם רצית לקצר מאד בכתיבה עד שלא תצטרך רק לטור אחד ואם ירבו מדרגות הטור השפל

הנה הדרך אל ידיעת זה הוא שנסדר השני טורים ונמשיך קו מבדיל ביניהם ובין הטור השלישי כמנהג

אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אחדי הטור העליון והעולה נכתבהו במדרגת האחדים והכלל נשמרהו

עוד נכה אחדי הטור השני עם עשרות הטור העליון

גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם עשרות הטור השפל והעולה נחברהו עם השמור ונכתוב העולה במדרגת העשרות והכלל נשמרהו

עוד נכה אחדי הטור השני עם מאות הטור העליון

גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי הטור העליון עם מאות הטור השפל

גם נכה מה שביניהם והם העשרות עם העשרות והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת המאות והכלל נשמרהו

אחר זה נכה אחדי הטור השני עם אלפי הטור העליון גם נכה האלכסון השוה לו הנחתך עמו והוא אחדי העליון עם אלפי השפל

גם נכה שני האלכסונים הנחתכים ביניהם והם עשרות העליון עם מאות השפל ועשרות השפל עם מאות העליון והעולה נחברהו עם השמור ונכתבהו במדרגת האלפים והכלל נשמרהו

וכאשר יגיע אלכסון ההכאות להיותו עם קצוות המכים והמוכים אז נבדיל בין אחדי המכים והמוכים בקו מבדיל ביניהם ונכה עשרות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים על דרך האלכסון וכן מה שביניהם כמשפט הראשון

עוד נבדיל בקו מבדיל בין עשרות המכים והמוכים ונכה מאות המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים כמשפט הראשון עד שיוכו אחדי המדרגה האחרונה של המכים עם המדרגה האחרונה של המוכים והעולה הוא הסך כזה

1

2

3

5

6

2

9

5

0

א

ב

ג

ה

ו

ב

ט

ה

0

הכינו הו' עם הה' ועלו ל‫'

וכתבנו תחת הקו במדרגת האחדים סיפרא

ושמרנו בידינו ג‫'

אחר זה הכינו שני אלכסוני ו"ב ג"ה הב' עם הו' והה' עם הג' ועלו כ"ז חברנום עם הג' שבידינו ועלו ל‫'

וכתבנו סיפרא תחת הקו במדרגת העשרות

והשלשה שמרנום

אחר זה הכינו שני אלכסוני א"ו ב"ה ומה שביניהם עם הנכח רוצה לומר הו' עם הא' והה' עם הב' והג' עם הב' ועלו כ"ב חברנום עם הג' שבידינו ועלו כ"ה

כתבנו הה' תחת הקו במדרגת המאות

והב' שמרנום

אחר זה המשכנו קו יורד מבדיל אחדי הטור העליון והשפל משאר המדרגות להורות שכבר שלמה פעלתם

והכינו אלכסוני ג"א בב' ועלו ז' חברנום עם הב' שבידינו ועלו תשע

וכתבנום למטה תחת הקו במדרגת האלפים

אחר זה המשכנו קו מבדיל עשרות הטור העליון והשפל להורות כי שלמה פעלתם

והכינו ב"א בנכח ר"ל הב' עם הא' שכנגדו והם ב‫'

וכתבנום תחת הקו במדרגת הרבבות

והנה נשלם הטור השלישי והם כ"ט אלף ת"ק והוא העולה מהכאת רל"ו עם קכ"ה

וכן אם רצית להכות הרבה מיני הכאות בטור אחד

Such as, for example: the multiplication of 355 by 296 and the multiplication of 447 by 178 and the multiplication of 396 by 539.

\scriptstyle\left(355\times296\right)+\left(447\times178\right)+\left(396\times539\right)

כמו על דרך משל הכאת מספר שנ"ה עם מספר רצ"ו והכאת מספר תמ"ז עם מספר קע"ח והכאת מספר שצ"ו עם מספר תקל"ט

וכן אם ירבו מאד הנה כבר תוכל להגיע אל זה כשתסדר כל המספרים זה על גב זה כל מין עם מינו כזה

3	9	6
4	4	7
3	5	5

2	9	6
1	7	8
5	3	9

3

9

8

0

9

0

ג	ט	ו
ד	ד	ז
ג	ה	ה

ב	ט	ו
א	ז	ח
ה	ג	ט

ג

ט

ח

0

ט

0

והכה אחדי שני טורי ההכאה הראשונה זה עם זה

וכן אחדי שני טורי ההכאה השנית זה עם זה

וכן אחדי שני טורי ההכאה השלישית זה עם זה

והעולה כתבהו במדרגת האחדים אם היו שם אחדים והכלל שמרהו

אח"כ הכה אחדי ההכאה האחת עם עשרותיה ועשרותיה עם אחדיה לפי הדרך השלישית ר"ל בדרך האלכסונים וכן במיני ההכאה השנית וכן בג‫'

והעולה חברהו עם השמור בידך והעולה כתבהו במדרגת העשרות

וכן בסדר הזה עד שתכלה ההכאה והעולה הוא סך ג' מיני ההכאות יחד

המשל בזה הכינו הו' עם הה' והח' עם הז' והט' עם הו' והעולה כתבנוהו במדרגת האחדים והכלל שמרנוהו כמשפט

אחר כך הכינו הה' עם הו' והה' עם הט' והח' עם הד' והז' עם הז' והט' עם הט' והו' עם הג' והעולה כתבנוהו כמנהג

אחר כך הכינו הג' עם הו' והה' עם הב' והה' עם הט' והד' עם הה' והז עם הח' והד' עם הז' והג' עם הט' והו' עם הה' והט' עם הג' והעולה כתבנוהו כמשפט

אחר כך הכינו הג' עם הט' והב' עם הה' והז' עם הד' והא' עם הד' והג' עם הג' והט' עם הה' והעולה כתבנוהו כמשפט

אחר כך הכינו הג' עם הב' והא' עם הד' והג' עם הה' והעולה כתבנוהו כמשפט

והעולה הוא סך שלשה מיני ההכאות האלו וזה מה שכווננו בביאורו

ואולם אם רצית להשתמש במין ההכאה עם מין הקבוץ עד שלא תצטרך אל הכאה כלל

הנה תסדר המספר הרב בטור אחד והוא המוכה

והמספר המעט בטור אחר בצדו רחוק ממנו והוא המוכה

ותכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה כפי אחדי כמות המדרגה האחרונה של טור המכה

אחר זה תכתוב בראש כל טור וטור מהטורים האלה סיפרש כמספר מדרגות טור המכה פחות א‫'

אחר זה תכתוב הטור המוכה בטורים רבים זה תחת זה מספרים כמספר כמות המדרגה הקודמת לאחרונה שבטור המכה ויהיה הנחת הטורים האלו מדרגתם האחרונה היא תחת המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבטורים הראשונים

אחר זה תכתוב בכל טור וטור מהטורים האלו סיפרש עד שיגיעו עד ראשי הטורים הראשונים

וכן תמיד על זה הדרך רק שאם היו הטורים אשר תצטרך לסדר יתר מה' או ה' חלק הטור המוכה לשנים וכתוב חציו בטור א' מדרגתו האחרונה היא ממדרגה אחת נמשכת ממקום הנחתו אלו היה פחות מה' וזה יעלה לך במקום חמשה טורים וכמספר הטורים הנוספים על הה' כתוב המוכה בעצמו במדרגה הראויה לפי מה שקדם

Example: if you wish to multiply 755 by 653.

\scriptstyle755\times653

המשל בזה אם רצית להכות מספר תשנ"ה עם מספר תרנ"ג

כתוב תשנ"ה שהוא המוכה בטור אחד ובצדו רחוק ממנו תרנ"ג שהוא המכה בטור אחר כזה

6 5 3	7	5	5	0	0
3	7	7	5	0	0
	3	7	7	5	0
			7	5	5
			7	5	5
			7	5	5

4

0

3

0

1

5

ג ה ו	ז	ה	ה	0	0
ג	ז	ז	ה	0	0
	ג	ז	ז	ה	0
			ז	ה	ה
			ז	ה	ה
			ז	ה	ה

ד

0

ג

0

א

ה

הנה מפני שכמות המדרגה האחרונה של המכה הם ששה והם יותר מה' חלקנו המוכה באמצע וכתבנו חציו בטור א' התחלתו מהמדרגה הנמשכת לאחרונה

ולהיות שהתוספת שעל החמשה הוא אחד ואנחנו צריכים לכתוב המוכה בעצמו בטור אחד כפי הנחתו על כן הנחנו הטור המוכה הכתוב למעלה במקומו והנה ששה טורים

כי חצי המוכה שהוא מתחיל מהמדרגה הנמשכת לאחרונה הוא במקום חמשה טורים

ולהיות שמספר מדרגות המכה הם שלשה וכשהשלכנו אחד נשארו שנים על כן כתבנו שנים סיפרש בסוף הטורים

עוד אחר זה כתבנו חצי המוכה בטור אחד תחתיהם מתחיל ממדרגה האחרונה של המוכה כי אלו היה פחות מה' היינו כותבים המוכה בעצמו בטור מתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה שבמוכה ונשלים הטורים בסיפרש עד שנגיע אל ראשי הטורים הראשונים

אחר כתבנו המוכה בשלשה טורים זה תחת זה כמספר כמות המדרגה הראשונה שבמכה התחלתם מהמדרגה הקודמת לקודמת שבמדרגה ההאחרונה של הטור הראשון וקבצנו הכל ועלו תצ"ג אלפים וט"ו וזהו העולה מהכאת תרנ"ג עם תשנ"ה

Methods of Checking	והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין
	הוא זה שנשליך כמות מדרגות הטור המוכה ט' ט' והנשאר נשמרהו
	עוד נשליך כמות מדרגות המכה ט' ט' והנשאר נשמרהו
	אחר זה נכה השמור עם השמור והעולה נשליך ממנו התשיעיות והנשאר נשמרהו
	עוד נשליך כמות מדרגות הסך לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידינו דע שטעית
	ואם לא אפשר שהוא אמת לא שהוא מחויב ואלה מאזני מרמה והוא שלא יחייב רק הצד האחד לבד
	עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות והוא שנשליך כל טור וטור מהשני טורים העליונים שהם המכה והמוכה לשביעיות לפי מה שקדם לך
	ר"ל אם כשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ותשליך ממנה השביעיו‫'
	או כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת ממנה לאחדים לפי מה שקדם
	והכל עולה בקנה אחד
	אחר זה הכה המותר מהטור המכה עם המותר מהטור המוכה והעולה השלך ממנה השביעיות והמותר שמרהו
	אחר זה השלך השביעיות גם מהסך לפי מה שקדם ואם המותר מהסך שוה לשמור אפשר שצדקת ואם לא כזבת
	וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב השני צדדים יחד
	ואולם המאזני צדק שבזה המין הוא במין החלוק כאשר יתבאר במקומו ב"עה"י
	כי אם חלקת הסך על אחד משני הטורים המוכים והיוצא בחלוקה יהיה הטור האחר הנה צדקת ואם לאו כזבת
	ואם היה הטור העליון מוכה עם שנים אחרים לבד הנה יהיו לו מאזני צדק אחרים זולת אלו
	והוא שאם תחסר הטור המוכה מהסך ויהיה הנשאר שוה לו הנה צדקת ואם לא כזבת
	אולם בזה הדרך אשר הוא על דרך הקבוץ יהיו לו עוד הג' מאזני הקבוץ
	הנה אלה הם הדרכים אשר בהם נגיע בידיעת זה המין וזה עם הכתיבה

Shortcuts
	אולם אם רצית לדעת זה על פה הנה לא תוכל מפני הזכירה הצריכה לזה וזה במספרים הרבים
	אולם בהכאת מספר אחד עם מספר אחר ר"ל כלל עם כלל או עם פרט אי זה שיהיה הנה כבר נתנו הקדמונים דרכים רבים
	ואנחנו מפני בחרנו הקצור אין ראוי להתעסק בהכאתם
	אולם הדרך הנכבד מהם והקצר הוא זה שנכה כמות המספר האחד עם כמות המספר האחר מבלתי שנביט בהם האיכות והעולה נשמרהו
	אחר כן נקבץ מדרגות ממספר האחד עם מדרגות המספר האחר ונשליך מהם מדרגה אחת והנשאר הוא מדרגת השמור
Example of the multiplication of tens by tens: multiplication of twenty by two hundred. $\scriptstyle20\times200$	והמשל בהכאת כלל עם כלל הוא הכאת עשרים במאתים עד"מ
	כי העשרים הם שנים מצד הכמות וכן המאתים
	ולכן נכה הב' עם הב' והם ד' ונשמרם
	אחר זה נחבר מדרגת העשרים עם מדרגת המאתים והם ה' כי מדרגת העשרות הם ב' ומדרגת המאות הם ג' ונשליך מהם א' וישארו ד' מדרגות והוא מדרגת האלפים וידענו שהשמור שבידינו שהם הד' הם ד' אלפים
Example of the multiplication of units by tens: multiplication of 9 by two hundred. $\scriptstyle9\times200$	ומשל הכאת הפרט עם הכלל הוא כמו הכאת הט' במאתים עד"מ
	כי המאתי' הם ב' מצד הכמות והט' הם ט' בעצמם
	נכה הט' בעצמה עם הב' הם י"ח ונשמרם בידינו
	אחר זה נחבר מדרגות האחדים שהם א' עם מדרגות המאות שהם ג' והנה הם ד' נשליך מהם א' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות וידענו שהשמור שבידינו הם י"ח מאות וא"כ הם אלף ושמנה מאות
	וכן אם רצית להכות מספר אחד עם מספרים שנים ויהיה הא' כלל או פרט והמספרים השנים הם כללים לבד או כללים ופרטים יחד הנה כבר תוכל לעשות גם זה על פה עם הדרך הזה
Example: multiplication 5 by 220. $\scriptstyle5\times220$	משל זה הכאת הה' בר"כ
	נכה הה' בר' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו
	גם נכה הה' בכ' שהוא ב' מצד הכמות והעולה י' ונשמרהו גם כן
	אחר כן נביט מדרגות המכה והמוכה ונחברם יחד והנה מדרגות הב' שהם אחדים עם מדרגות הב' שהם עשרות הם ג' נשליך מהם א' ישארו ב' מדרגות והם עשרות וידענו שהי' האחרונים השמורים בידינו הם עשרות שהם ק' וכן הי' הראשונים השמורים בידינו הם מאות שהם אלף ואם כן ידענו שהכאת הה' בר"כ הוא אלף ומאה
Example for units by tens and units together: multiplication 5 by 27. $\scriptstyle5\times27$	ומשל הפרטים לבד עם הכללים והפרטים יחד הוא כמו הכאת הה' בכ"ז
	כי נכה הה' עם הכ' שהם ב' מצד הכמות ויהיה העולה י' ונשמרהו
	גם נכה הה' בז' והם ל"ה אחדי‫'
	אחר זה נחבר מדרגות המוכה והמכה שהם הה' והכ' והם שלשה נשליך מהם אחד וישארו שנים והם עשרות וא"כ הי' השמורים בידינו הם מאה נחבר עמהם הל"ה אחדים שבידינו והם קל"ה וככה הוא העולה מהכאת ה' עם כ"ז
Example for tens by tens: multiplication 20 by 230. $\scriptstyle20\times230$	ומשל הכלל עם הכלל הוא הכאת הכ' עם הר"ל
	כי הכ' שהוא ב' מצד הכמות כאשר יוכה עם הר' שהוא ב' יעלו ד' ונשמרהו
	עוד נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' ויעלו ו' ונשמרהו
	נחבר מדרגות הכ' שהם ב' עם מדרגות הל' שהם ב' ועלו ד‫'
	השלכנו הא' ונשארו ג' והוא מדרגת המאות וידענו שהו' שבידינו שהם ת"ר
	ולהיות שהד' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מפני שהם מאות הנה יהיו הד' שבידינו ד' אלפים
	והנה ידענו שהכאת הכ' בר"ל הם ד' אלפים ת"ר
Example for tens by tens and units: multiplication 20 by 35. $\scriptstyle20\times35$	ומשל הכלל עם הכלל והפרט הוא כמו הכאת הכ' עם הל"ה
We multiply 20, which is 2, by 30, which is 3; it is 6. We keep it.	כי נכה הכ' שהוא ב' עם הל' שהוא ג' והוא ו' ונשמרהו
We multiply it also by 5; the result is 10.	גם נכהו עם הה' ויעלו י‫'
We sum up the [number of] the ranks of 20, which is 2, with [the number of] the ranks of 5 that are units; the result is 3. We subtract one from it; 2 ranks remain and it is the rank of tens.	נחבר מדרגות הכ' שהוא ב' עם מדרגות הה' שהוא אחדים והעולה ג' נשליך מהם אחד וישארו ב' מדרגות והוא מדרגת העשרות
	וידענו שהי' שבידינו הם עשרות ואם כן הם מאה
	ולהיות שהו' שבידינו הם נוספים מדרגה אחת מהי' שבידינו אם כן ידענו שהם מאות
	ואם כן העולה מהכאת הכ' בל"ה הוא ת"ש
	הנה כבר הודעתיך הדרך בידיעת הכאת מספר א' עם מספר א' או עם מספרים שנים איזה מספרים שיהיו על פה
	אולם הכאת ב' מספרים עם שנים מספרים לא יתקיימו בזכירה מפני שיצטרכו לד' הכאות וכל אחת מהם יצטרך לשמירה וזהו קשה מאד
Yet, I could reduce the four products to three in these three types, which are two [identical] decades and units together, as 25 times 25; or two [identical] decades alone, as 25 times 26; or two [identical] units alone, as 25 times 35.	ואולם יכולתי להשיב הד' הכאות לג' וזה בג' מינים אלו שהם שני הכללים והפרטים יחד כמו כ"ה פעמים כ"ה או שני הכללים לבד כמו כ"ה פעמים כ"ו או שני הפרטים לבד כמו כ"ה פעמים ל"ה
	שנחבר ב' הכללים ונקח חציים
	גם נחבר האחדים ונכם עם חצי ב' הכללים והעולה נשמרהו
	עוד נכה הכללים עם הכללים והפרטים עם הפרטים והעולה נחברהו עם השמור
	והעולה הוא הכאת הכללים והפרטים יחד עם הכללים והפרטים יחד בשלשה מינים הנזכרים וזה מה שרצינו לבאר
If the distance of each of the two multiplied numbers from a decade is the same, one smaller than it and the other exceeding it, know the square of the decade and subtract from it the square of the excess or deficiency; the remainder is the required.	ואולם אם היו השני מספרים המוכים עם שני מספרים מרחק כל אחד מהם שוה מחשבון כלל האחד במגרעת והאחר בתוספת דע העולה ממרובע הכלל וגרע ממנו מרובע מספר התוספת או המגרעת והנשאר הוא המבוקש
Example: we wish to multiply 29 by 31. $\scriptstyle29\times31$	המשל בזה רצינו להכות כ"ט עם ל"א
The decade that is mean between them is 30 and its product by itself is 900 according to the previous way.	הנה הכלל הממוצע ביניהם הוא ל' והעולה מהכאתו בעצמו הם תת"ק לפי הדרך הקודם
We subtract one from it, which is the product of 1 by itself, which is the excess of 31 over 30, or the deficiency of 29 from 30; 899 remains and this is the result of the multiplication of 29 by 31. $\scriptstyle{\color{blue}{29\times31=30^2-1^2=900-1=899}}$	נגרע מהם אחד שהוא העולה מהכאת הא' בעצמו שהוא תוספת הל"א על הל' או מגרעת הכ"ט מהל' וישארו ת"תצט וזהו העולה מהכאת הכ"ט עם הל"א
Also if we wish to multiply 250 by 350. $\scriptstyle250\times350$	וכן אם רצינו להכות ר"נ עם ש"נ
We multiply the decade between them by itself according to what preceded; the result is 90 thousand.	הכינו הכלל שביניהם שהם ש' עם עצמו לפי מה שקדם ועלו צ' אלף
We subtract from it the product of 50 by itself, which is the excess of 350 over 300, or the deficiency of 250 from 300, which is 2 thousand and 500; 87 thousand and 500 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{250\times350=300^2-50^2=90000-2500=87500}}$	גרענו מהם העולה מהכאת הנ' בעצמו שהוא תוספת הש"נ על הש' או מגרעת הר"נ מהש' שהם ב' אלפים ת"ק ונשארו פ"ז אלף ת"ק
The same way for all that are similar.	וכן בכל הדומים לזה דרך אחד להם
However, if the two numbers are multiplied by themselves, you can use another method.	ואולם אם היו השני מספרים מוכים עם עצמם הנה תוכל להשתמש עם דרך אחרת
It is that if it has a third, take its third, multiply it by itself, raise it one rank higher than its rank, then subtract the square of its third from it and the remainder is the product of this number by itself. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2}}$	והיא שאם היה לו שליש קח שלישיתו והכהו עם עצמו והעולה העלהו מדרגה אחת גבוהה ממדרגתו וגרע מרובע השלישית ממנו והנשאר הוא העולה מהכאת המספרים ההם בעצמם
Example: we wish to multiply 24 by itself. $\scriptstyle24^2$	המשל בזה רצינו להכות כ"ד עם עצמו
We take its third, which is 8, multiply it by itself; it is 64. We raise it one rank higher; it is 640. We subtract 64 from it; 576 remains and this is the square of 24.	נקח שלישיתו שהוא ח' ונכהו עם עצמו והוא ס"ד ונעלהו מדרגה אחת והם תר"מ נגרע ממנו ס"ד וישארו תקע"ו וככה הוא מרובע כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{24^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2=\left(10\sdot8^2\right)-8^2=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576}}$
If there is a number that does not have a third, take the closest number to it that has a third, whether it is greater or smaller, take its third and proceed according to the rule.	ואם היה מספר שאין לו שליש קח המספר היותר קרוב לו שיש לו שליש אם בתוספת אם במגרעת וקח שלישיתו ועשה כמשפט
Then, add the number that has a third and the required number to the result and the sum is the wanted, if the number that has a third is less than the required [number]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a}}$	אחר זה נחבר עם העולה המספר שיש לו שליש והמספר הדרוש והעולה הוא המבוקש אם היה המספר שיש לו שליש פחות מהדרוש
Or, subtract them from [the result], if [the number that has a third] is greater than the required [number]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a}}$	או נגרעם ממנו אם היה יותר מהדרוש
Example of a number [that exceeds the number that has a third]: 25. $\scriptstyle25^2$	המשל במספר הפחות הוא כ"ה
The closest [number] that has a third is 24. We take its third and proceed according to the rule; the result is 576. We add to it the required number and the number that has a third that are 49; it is 625 and this is the square of 25.	כי הקרוב לזה שיהיה לו שליש הם הכ"ד לקחנו שלישיתו ועשינו כמשפט ועלה תקע"ו חברנו עם זה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ט והם תרכ"ה וככה הוא מרובע כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{25^2=\left(24+1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2+25+24=576+25+24=576+49=625}}$
Example of a number [that is less than the number that has a third]: 23. $\scriptstyle23^2$	ומשל המספר היתר הוא כ"ג
We take the closest number that has a third; it is 24. We proceed with it according to the rule; the result is 576. We subtract from it the required number and the number that has a third that are 47; 529 remains and this is the square of 23.	לקחנו המספר היותר קרוב לו שיש שליש לו והוא כ"ד ועשינו עמו כמשפט ועלה תקע"ו גרענו מזה המספר הדרוש והמספר שיש לו שליש שהם מ"ז נשארו תקכ"ט וככה הוא מרובע כ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{23^2=\left(24-1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2-23-24=576-23-24=576-47=529}}$
Likewise for all similar numbers, it is the same way for all.	וכן בכל המספרים הדומים לו דרך אחד לכל
It is possible also by the method of fifths.	גם יתכן בדרך החמישיות
It is that you take its fifth, multiply it by itself, then you raise the result to a higher rank, multiply it by 2 and a half and the result is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]}}$	והוא שתקח חמישיתו והכהו על עצמו והעולה העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והכהו עם ב' וחצי והעולה הוא המבוקש
Example: 25. $\scriptstyle25^2$	המשל בזה מספר כ"ה
Take its fifth; it is 5. Multiply it by itself; the result is 25. Raise it to a higher rank; it is 250. Multiply it by 2 and a half; it is 625.	קח חמישיתו והוא ה' והכהו עם עצמו והעולה כ"ה העלהו במדרגה הגבוהה ממנה והם ר"נ והכם עם ב' וחצי והם תרכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{25^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot5^2\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot25\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot250=625}}$
If the required number does not hae a fifth, we look for the closest [number] that has a fifth, whether it is greater or smaller, but not by more than two. Take its fifth, multiply it by itself, then keep the result. Sum up the required number with the number that has a fifth and add [the sum] to the reserved, if the required [number] exceeds by one over the number that has a fifth. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left(a+1\right)+a}}$	ואם אין למספר הדרוש חמישית בקשנו הקרוב לו שיש לו חמישית אם לפניו או לאחריו ולא יעבור השנים וקח חמישיתו והכהו עם עצמו והעולה שמרהו וחבר המספר הדרוש עם המספר שיש לו חמישית והוסיפהו על השמור אם היה הדרוש נוסף על המספר שיש לו חמישית אחד
Or, multiply the sum of the required number with the number that has a fifth by two, then add it to the reserved and the result is the square of the required number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]}}$	או כפול העולה מהמספר הדרוש והמספר שיש לו חומש שנים ואחר כן חברהו על השמור והעולה אחר זה הוא מרובע המספר הדרוש
If the required [number] is less than the number that has a fifth by one, sum up the required [number] with the number that has a fifth and subtract [the sum] from the reserved. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[\left(a+1\right)+a\right]}}$	ואם היה הדרוש פחות מהמספר שיש לו חומש אחד חבר הדרוש והמספר שיש לו חומש ותגרעהו מהשמור
If it is smaller by two, sum up the required [number] with the number that has a fifth, double [the sum], then subtract it from the reserved; the remainder is the wanted square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]}}$	ואם היה פחות ב' חבר הדרוש עם המספר שיש לו חומש וכפלהו אחר זה תגרעהו מהשמור והנשאר הוא מרובע הדרוש
Example when the required number exceeds the number that has a fifth by one: 26. $\scriptstyle26^2$	המשל כשהדרוש נוסף מהמספר שיש לו חומש אחד הוא מספר כ"ו
We take a fifth of 25 and proceed according to the rule; its square is 625. We sum up 25 and 26; the result is 51. We add it to 625; the result is 676 and this is the square of 27.	לקחנו חומש כ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה חברנו הכ"ה עם הכ"ו ועלו נ"א חברנום עם תרכ"ה ועלו תרע"ו וככה הוא מרובע כ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{26^2=\left(25+1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+26+25=625+\left(26+25\right)=625+51=676}}$
Example [when the required number] exceeds [the number that has a fifth] by 2: 27. $\scriptstyle27^2$	ומשל הנוסף ב' הוא מספר כ"ז
We take a fifth of 25 and proceed according to the rule; its square is 625. Then, we sum up 25 and 27; the result is 52. We double it; the result is 104. We add it to 625; the result is 729 and this is the square of 27.	לקחנו חומש מספר הכ"ה ועשינו כמשפט ועלה מרובעו תרכ"ה אחר זה חברנו הכ"ה עם הכ"ז ועלו נ"ב כפלנום ועלו ק"ד חברנום עם תרכ"ה ועלו תשכ"ט וככה הוא מרובע כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{27^2=\left(25+2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]=625+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]=625+\left(2\sdot52\right)=625+104=729}}$
Example [when the required number] is smaller [than the number that has a fifth] by one: 24. $\scriptstyle24^2$	ומשל הפחות אחד הוא מספר כ"ד
We take a fifth of 25 and proceed with it according to the rule; the result is 625. Then, we sum up 25 and 24; the result is 49. We subtract it from 625; 576 remains and this is the square of 24.	לקחנו ממספר כ"ה חמישיתו ועשינו עמו כמשפט ועלו תרכ"ה אחר זה חברנו הכ"ה כ"ד ועלו מ"ט גרענום מתרכ"ה ונשארו תקע"ו וככה הוא מרובע כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{24^2=\left(25-1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-24-25=625-\left(24+25\right)=625-49=576}}$
Example [when the required number] is smaller [than the number that has a fifth] by 2: 23. $\scriptstyle23^2$	ומשל הפחות מספר ב' הכ"ג
We take a fifth of 25 and proceed according to the rule; the result is 625. We sum up 25 and 23; it is 48. We double it; the result is 96. We subtract it from 625; 529 remains and this is the square of 23.	לקחנו חמישית הכ"ה ועשינו כמשפט ועלו תרכ"ה חברנו הכ"ה והכ"ג והם מ"ח כפלנום ועלו צ"ו גרענום מתרכ"ה ונשארו תקכ"ט וככה הוא מרובע מספר כ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{23^2=\left(25-2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]=625-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]=625-\left(2\sdot48\right)=625-96=529}}$
This way for all the similar numbers.	וכן על זה הדרך בכל המספרים הדומים
I have already explained to you the methods of multiplication in writing and by heart as the good hand of God upon me.	הנה כבר בארתי לך אופני ההכאה בכתיבה ובעל פה כיד אלהי הטובה עלי

Euclidean Propositions
Since I have seen beautiful very useful matters in this species that the wise Euclid has mentioned in his book, I thought it proper to present them here, so that they would be of great benefit for the students.	ולהיות שראיתי דברים יפים מועילים מאד בזה המין הזכירם החכם אקלידס בספרו ראיתי להביאם הנה למה שתגיע תועלת גדולה לתלמידים
Euclid, Elements, Book II, propositions 2: Any number that you divide into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2}}$	והוא שכל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אחד מהחלקים עם כל המספר שוה למרובע כל המספר
Example: the number 12, we divide it to three, four and five.	דמיון זה המספר י"ב וחלקנוהו על שלשה וארבעה וחמשה
We multiply three by 12; the result is 36.	הכינו שלשה עם הי"ב ועלו ל"ו
We multiply also four by 12; it is 48.	עוד הכינו הארבעה על הי"ב והיו מ"ח
We multiply five by 12; it is sixty.	עוד כפלנו החמשה על הי"ב והיו ששים
The total is 144 and it is equal to the square of 12 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+\left(4\sdot12\right)+\left(5\sdot12\right)=36+48+60=144=12^2}}$	והכל קמ"ד והם שוים למרובע י"ב
Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number that you divide into two parts randomly, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you have multiplied the whole number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+b^2}}$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד משני חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם השני ולמרובע החלק אשר הכית עם כל המספר
Example: the number ten, we divide into two parts - three and seven.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו לשני חלקים על שלשה ושבעה
We multiply three by it; it is 30, and it is equal to the product of three by seven, which is 21, plus the square of three, which is 9, and this is the part by which we multiply. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot3=10\sdot3=30=21+9=\left(7\sdot3\right)+3^2}}$	הכינו השלשה עמו והיו ל' וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השלש שהם ט' שהוא החלק אשר הכינו
Likewise if we multiply seven, which is the other part, by ten; it is seventy and it is equal to the product of three by seven, which is 21, plus the square of seven, which is 49, and this is the part by which we multiply; together they are seventy. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+3\right)\sdot7=10\sdot7=70=21+49=\left(3\sdot7\right)+7^2}}$	גם ככה אם היינו מכים השבעה שהוא החלק האחר עם העשרה היו שבעים וזה שוה להכאת השלשה עם השבעה שהם כ"א ולמרובע השבעה שהם ארבעים ותשעה שהוא החלק אשר הכינו ושניהם שבעים
Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number that you divide into two parts randomly, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}}$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לשני המרובעי' ההווים משני החלקים ולהכאת החלק האחד עם חברו פעמים
Example: the number ten, we divide it to three and seven.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו על שלשה ושבעה
The square of three is 9; the square of seven is 49; the product of three by seven is 21; we multiply it twice; it is 42. The total is one hundred, and it is equal to the square of ten.	ומרובע השלושה ט' ומרובע השבעה מ"ט והכאת השלשה עם השבעה כ"א וחשבנוהו פעמים והם מ"ב והכל מאה וזה שוה למרובע העשרה

\scriptstyle{\color{blue}{ 3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]=9+49+\left(2\sdot21\right)=9+49+42=100=10^2=\left(3+7\right)^2}}

Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number, when you divide it into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2}}$	עוד כל מספר כאשר תחלקהו לשני חלקים שוים ולשני חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלק האחד עם חברו מהחלקים הבלתי שוים ומרובע מה שבין שני החלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
Example: the number ten, we divide it to five and five, which are equal parts, then we divide it also to seven and three, which are unequal parts.	דמיון המספר עשרה חלקנוהו לחמשה וחמשה שהם חלקים שוים גם חלקנוהו לשבעה ושלשה שהם חלקים בלתי שוים
We multiply three by seven; it is 21.	הכינו השלשה עם השבעה והיו כ"א
We take the square of two, which is [the difference] between 5 that is the equal part and three or seven that are the unequal parts; it is four.	עוד לקחנו מרובע השנים שהם בין הה' שהם החלק השוה לשלשה או לשבעה שהם החלק הבלתי שוה והיו ארבעה
The total is 25 and it is equal to the square of 5, which is the square of half the number.	הכל כ"ה והם שוים למרובע ה' שהוא מרובע חצי המספר

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2=\left(3\sdot7\right)+2^2=21+4=25=5^2=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}}

Euclid, Elements, Book II, proposition 6: For any number, when you divide it into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}$	עוד כל מספר כאשר חלקת אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר הנה הכאת המספר כלו מקובץ עם התוספת בתוספת והמרובע ההווה מחצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
Example: the number ten, we divide it into two halves, which are five each, then we add two to the ten, they are 12.	דמיון המספר עשרה וחלקנוהו לשני חצאים שהם כל חצי חמשה הוספנו על העשרה שנים והיו י"ב
We multiply the whole 12, which is the number and the addition together, by two, which is the addition; it is 24.	הכינו כל הי"ב שהוא המספר עם התוספת ביחד עם השנים שהם התוספת והיו כ"ד
We add 25 to it, which is the square of 5 that is half the number; it is 49 and this is equal to the square of 7, which is half the number and the addition together.	חברנו עמהם כ"ה שהוא מרובע ה' שהוא חצי המספר והיו מ"ט וזה שוה למרובע ז' שהוא חצי המספר עם התוספת ביחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2=\left(2\sdot12\right)+5^2=24+25=49=7^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2}}

Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number, when you divide it into two parts randomly, [the sum of] the square of the whole number and the square of one of the two parts is equal to twice the product of the whole number by the mentioned part plus the square of the second part. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2}}$	עוד כל מספר כאשר תחלקהו בשני חלקים איך שיקרה המרובע ההווה מן המספר כלו והמרובה ההווה מאחד משנים החלקים כאשר התקבצו שוים להכאת המספר כלו עם החלק הנזכר פעמים והמרובע ההווה מן החלק השני
Example: the number ten, we divide it randomly to 7 and 3.	דמיון המספר עשרה וחלקנוהו איך שקרה על ז' ועל ג‫'
The square that consists of ten is 100 and the one that consist is of seven is 49; their sum is 149 and it is equal to twice the product of ten by seven, which is one hundred and forty, plus the square of 3, which is 9 that is the second part, and the total is 149. $\scriptstyle{\color{blue}{10^2+7^2=100+49=149=140+9=\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2}}$	והמרובע ההווה מעשרה הם ק' וההווה משבעה הם מ"ט ומקבוצם קמ"ט והם שוים להכאת העשרה עם שבעה פעמים שהם מאה וארבעים ומרובע ג' שהם ט' שהוא החלק השני והכל קמ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number, when you divide it into two parts randomly and you multiply the whole number by one of the two parts four times, then sum [the product] with the square of the other part [it] is equal to the [square] of the whole number plus the mentioned part when you sum them together. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2}}$	עוד כל מספר כאשר חלקת אותו בשני חלקים איך שיקרה והכית המספר כלו עם אחד משני חלקיו ארבעה פעמים וחברת אותו עם מרובע החלק הנשאר שוה למרובע ההווה מן המספר כלו והחלק הנזכר כאשר תחברם ביחד
Example: we have the number ten, we divide it randomly to 3 and 7.	דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו איך שהזדמן על ג' ועל ז‫'
When we multiply 7 by 10 four times, it is 280, and when we add to it the square of 3, which is 9 and it is the second part, it becomes 289 and this is equal to the square of 17, which is the whole number plus the part, by which we multiply the whole number. This as well as this is 289. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289=17^2=\left(10+7\right)^2}}$	הנה כאשר הכינו הז' עם הי' ארבעה פעמים היו ר"פ וכאשר חברנו עמהם מרובע הג' שהוא ט' והוא החלק השני נהיו רפ"ט והם שוים למרובע י"ז שהוא המספר כלו יחד עם החלק אשר הכינו אותו עם המספר כלו והם גם אלה רפ"ט
Euclid, Elements, Book II, proposition 9: For any number that you divide into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the two squares of the unequal parts is equal to twice [the sum of] the square of half the [whole] number and [the square] of the excess of the large part over the half [of the whole number]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]}}$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים שוים ושני חלקים בלתי שוים הנה שני המרובעים אשר יהיו מהחלקים הבלתי שוים הם כפל שני המרובעים אשר יהיו מחצי המספר ומהתוספת אשר לחלק הגדול על הה' שהוא המחצית
Example: the number 10, we divide it into two equal parts, which are 5, and into two unequal parts, which are 7 and 3.	דמיון המספר י' וחלקנוהו לשני חלקים שוים והם ה' ולשני חלקים בלתי שוים והם ז' ג‫'
The two squares of 7 and 3, which are 58, are double the square of 5, which is 25, plus the square of the excess of 7 over 5, which is 2.	הנה שני מרובעי ז' ג' שהם נ"ח הם כפל מרובע ה' שהם כ"ה ומרובע תוספת הז' על הה' שהם ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{7^2+3^2=58=2\sdot\left(5^2+2^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]}}

Euclid, Elements, Book II, proposition 10: Any number that you divide into half and add to it another number, [the sum of] the square of the [whole] number plus the additional [number] and the square of the additional [number] is equal to twice [the sum of] the square of half the number and the square of half the number plus the additional [number] when they are summed together. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]}}$	עוד כל מספר שחלקת אותו לשני חצאים והוספת עליו מספר אחר הנה מרובע המספר עם התוספת יחד ומרובע התוספת בעצמו הם כפל שני המרובעים שהם מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר עם התוספת יחד כאשר יחוברו
Example: we have the number ten, we divide it into two halves and add to it the number 2, so it bacomes 12.	דמיון יש לנו מספר עשרה וחלקנוהו לשני חציים והוספנו עליו מספר ב' ונהיה י"ב
The square of 12, which is the number together with the addition, is 144.	הנה מרובע י"ב שהוא המספר עם התוספת יחד קמ"ד
The square of 2, which is the addition, is 4.	ומרובע ב' שהוא התוספת ד‫'
Their sum is 148 and it is double the square of 5, which is 25, plus the square of 7, which is 49; their sum is 74, which is the square of half the number plus the square of half the number and the addition together.	ושניהם קמ"ח והוא כפל מרובע ה' שהוא כ"ה ומרובע ז' שהוא מ"ט ושניהם ע"ד אשר הוא מרובע חצי המספר ומרובע חצי המספר והתוספת ביחד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+2\right)^2+2^2&\scriptstyle=12^2+2^2=144+4=148=2\sdot74=2\sdot\left(25+49\right)=2\sdot\left(5^2+7^2\right)=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]\\ \end{align}}}

Sums
Since we have already intended to present a short way of adding some species of the numbers without having to add the summed numbers and we have waited with this until now, because this method is not possible except by knowing this species, we are obliged to complete what we have intended.	ולהיות שכבר יעדנו להודיע דרך קצר בקבוץ קצת מינים מהמספרים מבלתי שיצטרך לקבוץ המספרים הנקבצים והמתננו זה עד הנה למה שלא יתכן הדרך ההוא אלא בידיעת זה המין הנה אם כן מן המחויב עלינו להשלים מה שיעדנו
Arithmetic Progression
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=1;\;d=1}}$
I say: if the summed numbers exceed each other, i.e. each by one over its preceding, such as 1; 2; 3; 4; 5; and so on endlessly.	ואומר שאם היו המספרים הנקבצים נוספים קצתם על קצת ר"ל כל אחד מן הקודם לו א' כמו מספר א' ב' ג' ד' ה' וכן לבלתי תכלית
You wish to know the sum of all the numbers from 1 to 15 for example $\scriptstyle\sum_{i=1}^{15} i$	ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו עד"מ
The ancients already wrote that if the last number is odd $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)}}$	הנה כבר כתבו הראשונים על זה שאם היה המספר האחרון נפרד
Such as 15 for example: $\scriptstyle\sum_{i=1}^{15} i$	כמו מספר ט"ו עד"מ
We take a half of 15 plus a half, which is 8. We multiply it by 15; the result is 120 and this is the sum of all the numbers from 1 to 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}$	הנה נקח חצי הט"ו בתוספת חצי והוא ח' ונכהו עם הט"ו והעולה יהיה ק"כ וזהו קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו
If the last number is even $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(2n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$	ואם היה המספר האחרון זוג
Such as 14: $\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i$	כמו מספר י"ד
We add one to 14; the result is 15. We multiply it by a half of 14; the result is the sum of all the numbers from 1 to 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=\left(14+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)}}$	הנה נוסיף על י"ד אחד ויעלו ט"ו ונכהו עם חצי הי"ד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד י"ד
This is the short way written by the ancients for the sum of given numbers that exceed each other by one alone.	זה הדרך הקצר אשר כתבו הראשוני' בקבוץ מספרים מונחים נוספי' קצתם על קצת בתוספת אחד לבד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=1;\;d=2}}$
But, if the given numbers exceed each other by two, such as 1; 3; 5; 7; and you wish to know the sum of all the numbers without summing all the addends.	אולם אם היו המספרים המונחים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב' כמו מספרי א' ג' ה' ז' ורצית לדעת קבוץ כל המספרים מבלתי שתצטרך לקבץ כל הנקבצים
Odds: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2}}$
The ancients already wrote about it: we take half the last number plus a half, such as the 15 in our example, whose half plus a half is 8, we multiply it by itself and the result is the sum of all the numbers from 1 to 15. So on always by this way. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2}}$	הנה כבר כתבו הראשונים בזה והוא שנקח חצי המספר האחרון בתוספת חצי כמו הט"ו במשלנו אשר חציו בתוספת חצי הוא ח' ונכהו בעצמו והיוצא הוא קבוץ כל המספרים שמא' עד ט"ו וכן בזה הדרך לעולם
Evens: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]}}$
But, if the beginning of the numbers is from 2 and the numbers exceed each other by 2	אולם אם היתה התחלת המספרים מהב' ויהיו המספרים נוספים קצתם על קצת בתוספת ב‫'
Such as 2, 4, 6, 8, and you wish to know the sum of all the numbers from 2 to 16 for example. $\scriptstyle\sum_{k=1}^{8} 2k$	כמו ב' ד' ו' ח' ורצית לדעת קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו עד"מ
We take a half of 16, which is 8. We multiply it by its other half plus 1, which is 9; the result is 72 and this is the sum of all the numbers from 2 to 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]=8\sdot9=72}}$	נקח חצי מספר הי"ו והוא ח' ונכהו עם חציו האחר בתוספת א' והוא ט' והעולה הוא ע"ב וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו
These are the short ways written by the ancients	אלו הם הדרכים הקצרים אשר כתבו הראשונים
The first number is not 1 or 2
Yet, to find the sum of given numbers exceeding by 1 or 2, the ancients informed us the knowledge of the sum of the numbers that exceed each other by 1, whose beginning is only from 1 and the knowledge of the sum of the numbers that exceed each other by 2, whose beginning is only from 1 or 2, such as 1, 3, 5, 7, or 2, 4, 6, 8, these ways are not enough for the knowledge of the sum of these type of numbers.	אולם למציאות קבוץ מספרים מונחים בתוספת א' או בתוספת ב' להיות שהקדמונים לא הודיעו לנו מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת א' רק במספרים שהתחלתם מהא' ולא מידיעת קבוץ המספרים הנוספים בתוספת ב' רק המספרי' שהתחלתם מא' או מב' כמו מספרי א'ג'ה'ז' או ב'ד'ו'ח' והיו הדרכים האלו בלתי מספיקים בידיעת קבוץ מיני המספרים האלו
For example: if their beginning is from 10 [ $\scriptstyle a_1=10$ ]	אם היתה התחלתם מהי' עד"מ
Such as 10, 11, 12, 13 in the first type $\scriptstyle\sum_{k=10}^{13} k$	כמו י' י"א י"ב י"ג במין הראשון
Or 10, 12, 14, 16, in the second type. $\scriptstyle\sum_{k=5}^{8} 2k$	או י' י"ב י"ד י"ו במין השני
Therefore, I saw to fill this absence with the meaning of the statement of ancients itself.	על כן ראיתי למלאת זה החסרון והוא בכח מאמר הקדמונים בעצמו
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} a\sdot i=\left(\sum_{i=1}^{n} a\sdot i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a\sdot i\right)}}$
This is because in the first type, if the [last] number is 13 for instance, and the first number is 10	וזה כי במין הראשון אם היה מספר י"ג עד"מ והתחלתו מי‫'
For knowing it we use the same method of the ancients, which is that we take a half of 13 plus one half, which is 7. We multiply it by 13; the result is 91 and this is the sum of all the numbers from 1 to 13.	הנה נשתמש בידיעת זה בדרך הראשונים בעצמו והוא שנקח חצי מספר הי"ג בתוספת חצי והוא ז' ונכהו עם הי"ג והעולה צ"א וזהו העולה מכל המספרים שמא' עד י"ג
Know the sum of all the numbers from 1 to 9 by the same previous method; the sum is 45.	אחר זה דע העולה מכל המספרים שמא' עד ט' עם הדרך הקודם בעצמו והעולה מ"ה
Then, subtract 45 from 91; the remainder is 46 and this is the sum of all the numbers from 10 to 13.	אחר זה תחסר המ"ה מהצ"א והנשאר הוא מ"ו והוא קבוץ כל המספרים שמהי' עד הי"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=10}^{13} k=\left(\sum_{k=1}^{13} k\right)-\left(\sum_{k=1}^{9} k\right)=10+11+12+13=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13\right]-45=\left(7\sdot13\right)-45=91-45=46}}

But, in the second type, if the [last] number is 16 for instance, and the first number is 10	ואולם במין השני אם היה מספר י"ו עד"מ והתחלתו מי‫'
We use the same first method, which is that you take half the last number, which is 16 in our example, multiply it by its other half plus 1; the result is 72 and we know that the sum of all the numbers from 2 to 16 is 72.	הנה נשתמש עם הדרך הראשון בעצמו והוא שתקח חצי המספר האחרון שהוא הי"ו במשלנו ותכהו עם חציו האחר בתוספת א' והעולה הוא ע"ב וידענו שהעולה מכל המספרים שמהב' עד י"ו הוא ע"ב
Then, we sum up all the numbers from 2 to 8 by the same way; it is 20.	אחר כן קבצנו כל המספרים שמהב' עד הח' עם הדרך ההוא בעצמו והוא כ‫'
We subtract it from 72; the remainder is 52 and this is the sum of the numbers 10, 12, 14, 16.	חסרנום מהע"ב והנשאר הוא נ"ב וזהו קבוץ מספרי י' י"ב י"ד י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{8} 2k=\left(\sum_{k=1}^{8} 2k\right)-\left(\sum_{k=1}^{4} 2k\right)=10+12+14+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]\right]-20=72-20=52}}

This is what I saw fit to write as a summary of the words of the ancients.	זהו מה שראיתי לכתוב בהשלמת קצור דברי הקדמונים
But, [the words of] the ancients have imperfection from two aspects:	אולם להיות שהקדמונים קרה להם החסרון משני פנים
One: they did not give us the way for all the species, that is to say as the given numbers that exceed each other by 3, or 4, or 5 and so on endlessly.	האחד כי לא נתנו לנו דרך לכל המינים רוצה לומר כמו המספרים המונחים הנוספים בתוספת ג' או בתוספת ד' או בתוספת ה' וכן לבלתי תכלית
Two: the way that they gave us for the two mentioned species differs for each of the two mentioned species.	והשני כי הדרך אשר נתנו בשני המינים הנזכרים הוא משתנה לכל אחד מהשני מינים הנזכרים
Therefore, I saw fit to illustrate one general way for all the species together, i.e. for whichever increment you wish.	על כן ראיתי להראות דרך אחד כולל לכל המינים יחד ר"ל איזה תוספת שתרצה
General formula for the sum of any arithmetic progression
The first number equals to the difference between the consecutive numbers $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}$
It is that we know the number of the terms from the first number that is equal to the increment of the successive numbers until the last number. We take its half plus one half and multiply it by the last number and the result is the sum of all the numbers from the first number to the last number for all the species together. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n}}$	והוא שנדע כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר הוא שוה לתוספת הנוספים בו קצתם על קצת עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון והעולה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בכל המינים יחד
Example: the numbers that are exceeding each other by the increment of 1, whose first number is 1 and they are 15 in number. $\scriptstyle a_1=d=1;\; n=15$	המשל בזה במספרים הנוספים בתוספת א' אשר התחלתם מהא' במספר ט"ו מהם
The number of terms from 1 to 15 is 15.	הנה כמות המדרגות שמהא' עד הט"ו הוא ט"ו
Its half plus one half is 8.	וחצים בתוספת חצי הוא ח‫'
We multiply it by 15; the result is 120 and this is [the sum of] all the numbers from 1 to 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{15} k=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}$	נכם עם הט"ו והעולה הוא ק"כ וזהו כל המספרים שמהא' עד הט"ו
Likewise for the numbers whose increment is 2, the first number of which is 2 and they are 16 in number. $\scriptstyle a_1=d=2;\; n=16$	וכן במספרים הנוספים בתוספת ב' שהתחלתם מהב' במספר י"ו מהם
The number of terms from 2 to 16 is 8.	הנה כמות המדרגות שמהב' עד הי"ו הם ח
Its half plus one half is 4 and a half.	וחצים בתוספת חצי הם ד' וחצי
We multiply it by 16; it is 72 and this is the sum of all the numbers from 2 to 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{8} 2k=2+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot16=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16=72}}$	ונכם עם הי"ו והם ע"ב וזהו קבוץ כל המספרים שמב' עד י"ו
The same for every type of the other various types. There is one method for all.	וכן בכל מין ומין מכל שאר המינים המתחלפים דרך אחד לכל
If the first number is smaller than the increment of the successive numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d}}$	ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרים הנוספים יותר קטן מתוספת הנוספים בו קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]}}$
As the numbers 1, 3, 5, 7, for instance, whose increment is 2 and their first number is 1 that is smaller than the increment by one. $\scriptstyle a_1=1<d=2;\; n=8$	כמו מספרי אגה"ז עד"מ אשר תוספת הנוספי' בו קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהם הוא הא' אשר הוא קטן מהתוספת אחד
We proceed by the previous way, i.e. that we take the number of terms from the first number, which is 1 in our example, to 15, which is the last number; it is 8.	הנה נעשה הדרך הקודם בעצמו ר"ל שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הא' במשלנו זה עד הט"ו שהוא המספר האחרון והם ח‫'
We take its half plus one half; it is 4 and a half.	נקח חצים בתוספת חצי והם ד' וחצי
We multiply it by the last number according to the rule, only that as the first number is smaller than the increment by 1, we add 1 to the last number; it is 16. We multiply is by 4 and a half; the result is 72.	ונכם עם המספר האחרון כמשפט רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו קטן מהתוספת א' הנה נוסיף הא' על המספר האחרון ויהיה י"ו ונכם עם הד' וחצי והעולה ע"ב
Since the first number is smaller than the increment by 1 as we have mentioned, we subtract 8 from 72, because the number of terms from 1 to 15 is 8; the remainder is 64 and this is the sum of the numbers from 1 to 15, whose increment is 2.	ולהיות שהתחלת אלו המספרים קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו הנה נגרע גם כן מהע"ב ח' לפי שכמות כל המדרגות שמא' עד ט"ו הם ח' וישארו ס"ד וזהו קבוץ המספרים שמא' עד ט"ו בתוספת ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[15+\left(2-1\right)\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot8\right]=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(15+1\right)\right]-\left(1\sdot8\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16\right]-8=72-8=64\\\end{align}}}

Likewise for the numbers succeeding by 3, for instance.	וכן במספרים הנוספים ג' עד"מ
If the first number is 3, as the numbers 3, 6, 9, 12, 15. $\scriptstyle a_1=d=3;\; n=5$	הנה אם היה המספר הראשון הג' בעצמו כמו מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו
We take the number of terms from 3 to 15; it is 5.	הנה נקח כמות המדרגות שמהג' עד הט"ו והם ה‫'
We take its half plus one half; it is 3.	נקח חצים בתוספת חצי והם ג‫'
We multiply it by the last number, which is 15 in our example; it is 45 and this is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{S_n=\sum_{k=1}^{5} 3k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=3\sdot15=45}}$	ונכם עם המספר האחרון שהם הט"ו במשלנו והם מ"ה וזהו קבוצם
If the first number is 2, for instance, which is smaller than the increment that is 3, as the numbers 2, 5, 8, 11, 14. $\scriptstyle a_1=2<d=3;\; n=5$	אולם אם היה המספר הראשון להם ב' עד"מ אשר הוא קטן מהתוספת שהוא ג' כמו מספרי ב' ה' ח' י"א י"ד
We take half the number of terms from 2 to 14 plus one half; it is 3.	הנה נקח חצי המדרגות שמהב' עד הי"ד בתוספת חצי והם ג‫'
We multiply it by the last number plus 1, since their first number is smaller than the increment by 1, as we have mentioned; the result is 45.	נכם עם המספר האחרון בתוספת א' בעבור שהתחלתם קטן מהתוספת א' כאשר הזכרנו ויהיה העולה מ"ה
Since the first number is less than the increment by 1, we subtract 5 from it, because the number of all terms from 2 to 14 is 5; the remainder is 40 and this is the sum of all the numbers from 2 to 14.	ולהיות שהתחלתם חסר א' מהתוספת נגרע מהם ה' לפי שכמות כל המספרים שמהב' עד הי"ד הם ה' וישארו מ' וזהו קבוץ כל המספרים שמהב' עד הי"ד

\scriptstyle{\color{blue}{S_n=\sum_{k=1}^{5} \left[2+3\sdot\left(k-1\right)\right]=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[14+\left(3-2\right)\right]\right]-\left[\left(3-2\right)\sdot5\right]=\left[3\sdot\left(14+1\right)\right]-\left(1\sdot5\right)=45-5=40}}

The first number is 1: $\scriptstyle a_1=1<d=3;\; n=5$

וכן בזה המין בעצמו אם היה התחלת המספרים מהא' כמו מספרי א' ד' ז' י' י"ג

הנה להיות שכמות המדרגות שמא' עד הי"ג הם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' נכם עם המספר האחרון בתוספת ב' בעבור שהתחלת המספרים חסר ב' מהתוספת ויעלה מ"ה ולהיות שכמות המדרגות הם ה' וההתחלה הראשונה חסרה ב' מהתוספת נקח ב' לכל אחד מהם והם י' נגרעם מהמ"ה והנשאר ל"ה וזהו קבוץ כל המספרים שמהא' עד הי"ג

\scriptstyle{\color{blue}{S_n=\sum_{k=1}^{5} \left[1+3\sdot\left(k-1\right)\right]=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[13+\left(3-1\right)\right]\right]-\left[\left(3-1\right)\sdot5\right]=\left[3\sdot\left(13+2\right)\right]-\left(2\sdot5\right)=45-10=35}}

$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n$	ובכלל כאשר יהיה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו נוספים קצתם על קצת הנה נכה המספר האחרון עם חצי כמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי והעולה הוא קבוצם
$\scriptstyle a_1<d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]$	אך אם היה התחלת המספרים חסר מהתוספת הנה החסרון תוסיפנו על המספר האחרון ואז הכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה גרע ממנו העולה מהכאת החסרון עם המדרגות והנשאר הוא קבוצם
	זהו הדרך הכולל לכל החלופים
If the first number is greater than the increment of the successive numbers. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d}}$	ואולם אם היה המספר הראשון אשר ממנו יתחילו המספרי' הנוספים גדול מתוספת הנוספים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(a_1-d\right)\right]\right]-\left(a_1-d\right)}}$
Such as the numbers 3, 5, 7, 9, 11, for instance, whose increment is 2, and the first number is 3, which is greater than the increment by one. $\scriptstyle a_1=3>d=2;\; n=5$	כמו מספרי ג' ה' ז' ט' י"א על דרך משל אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון הוא ג' אשר הוא גדול מהתוספת אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[3+2\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[11+\left(3-2\right)\right]\right]-\left(3-2\right)\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(11+1\right)\right]-1\\&\scriptstyle=\left(3\sdot12\right)-1=36-1=35\\\end{align}}}$	הנה נעשה הדרך הראשון בעינה שנקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון שהוא הג' במשלנו עד הי"א שהוא המספר האחרון והם ה' נקח חצים בתוספת חצי והם ג' ונכם עם המספר האחרון כמשפט רק בעבור שהיתה התחלת המספרים האלו גדול מהתוספת אחד נוסיף האחד על המספר האחרון ויהיו י"ב ונכה הג' עם הי"ב ויעלו ל"ו ולהיות שראשון המספרים האלו גדול מן התוספת אחד גרענוהו מן הל"ו ונשאר ל"ה וככה הוא קבוץ המספרים שמהג' עד הי"א
	וזה דרך כוללת לכל מיני חלופי תוספת המספר הראשון מתוספת קצתם על קצת
	דרך אחרת לזה שאם היה המספר הראשון מהמספרים שנרצה לדעת קבוצם יותר גדול מהתוספת קצתם על קצת
Such as, for instance, the numbers 8, 10, 12, 14, whose increment is 2, and the first of the summed numbers is 8, which is greater than the increment. $\scriptstyle a_m=8>d=2$ $\scriptstyle{\color{blue}{8+10+12+14}}$	כמו על דרך משל מספרי ח' י' י"ב י"ד אשר תוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהנקבצים הוא ח' אשר הוא גדול מהתוספת
Or, such as the numbers 7, 9, 11, 13, whose increment is 2, and the first of the summed numbers is 7, which is greater than the increment. $\scriptstyle a_m=7>d=2$ $\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11+13}}$	או כמו מספרי ז' ט' י"א י"ג שתוספת קצתם על קצת הוא ב' והמספר הראשון מהמספרים הנקבצים הוא ז' אשר הוא גדול מהתוספת
Or, such as the numbers 47, 52, 57, 62, whose increment is 5, and the first of the summed numbers is 47. $\scriptstyle a_m=47>d=5$ $\scriptstyle{\color{blue}{47+52+57+62}}$	או כמו מספרי מ"ז נ"ב נ"ז ס"ב אשר תוספת קצתם על קצת הוא ה' והמספר הראשון מהנקבצים הוא מ"ז
And so on.	וכן כל כיוצא בזה
$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow$	הנה נעשה הדרך הקודם בעינו ר"ל שנדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם שוה לתוספתם והעולה נשמרהו אחר זה נדע כמות כל המדרגות שהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם מהמספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת והעולה נחסרהו מהשמור והנשאר הוא סך כל המספרי' הנוספים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n\right]-\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot a_{m-1}\right]\\\end{align}}}

$\scriptstyle a_1<d\longrightarrow$

ואם היה המספר הראשון שממנו צמיחתם קטן מתוספתם

נדע כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון שממנו צמיחתם עד המספר האחרון

ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון אחר שנוסיף עליו מגרעת המספר הראשון אשר ממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון אשר ממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנשאר נשמרהו
אח"ז נדע המדרגו' כמות שמהמספר הראשון שממנו צמיחת' עד המספר הקודם למספר הראשון לנקבצים מדרגה אחת ונקח חצים בתוספת חצי ונכם עם המספר הקודם לנקבצי' מדרגה אחת אחר שנוסיף עליו מגרעת הראשון שממנו צמיחתם מתוספתם והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון שממנו למספר הקודם לנקבצים מדרגה צמיחתם עד המספר הקודם לנקבצים והנשאר נגרעהו מהשמור
והנשאר אחר זה הוא סך כל המספרים שמהמספר הראשון לנקבצים עד המספר האחרון

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]\right]-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}}}

Finding the number of items and the first number in a sequence	ואולם הדרך שבו נדע כמות המדרגות והמספר הראשון שממנו צמיחתם אם הוא שוה לתוספתם או קטן ממנו
	וכמות קטנותו הנה הוא כשתחלק המספר האחרון על מספר תוספתם
$\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=m\sdot d\quad\;\;\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle n=\frac{a_n}{d}=m\\\scriptstyle a_1=d\end{cases}$	ואם לא ישאר דבר הנה היוצא הוא מספר כמות המדרגות והראשון לצמיחתם הוא שוה לתוספתם
$\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=\left(m\sdot d\right)+r\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle n-1=m\\\scriptstyle a_1=r<d\end{cases}$	ואם ישאר דבר הנה היוצא לך הוא כמות פחות מדרגה אחת והנשאר הוא הראשון לצמיחתם
Another shorter method that includes all types of arithmetic progression	דרך אחרת יותר קצרה כוללת כל מיני התוספת
If The first number of the sequence is smaller than or equals to the excess $\scriptstyle a_1\le d$	והיא זאת שאם היה המספר הראשון לנקבצים שוה לתוספתם או פחות מהם
Divide the last number by excess - if there is no remainder, keep the quotient; otherwise add 1 to the quotient and keep the result - then, add the first number to the last, take half [the sum] and multiply it by the reserved and the result is the required. $\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=m\sdot d\quad\;\;\longrightarrow S_n=m\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$ $\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=\left(m\sdot d\right)+r\longrightarrow S_n=\left(m+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$	תחלק המספר האחרון על מספר תוספת' ואם לא ישאר דבר הנה היוצא שמרהו ואם לאו הוסף על היוצא א' והעולה שמרהו אחר זה חבר המספר הראשון עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש
The first number is greater than the excess $\scriptstyle a_1>d$	ואם היה המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם
$\scriptstyle S_n=\left(\frac{a_n-a_1}{d}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$	חסר המספר הראשון לנקבצים מהמספר האחרון והנשאר תחלקהו על מספר תוספתם והיוצא הוסף עליו אחד והעולה הוא השמור אחר זה חבר המספר הראשון לנקבצים עם האחרון וקח חציו והכהו עם השמור והיוצא הוא המבוקש
$\scriptstyle a_1\le d$	משל המין הראשון והוא שהמספר הראשון לנקבצים שוה או פחות מתוספת
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]=2+6+10$	הנה הם מספרי ב' ו' י'
$\scriptstyle\frac{a_n}{d}=\frac{10}{4}=2+r$	חלקנו הי' על תוספתם שהם ד' ויצא ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=2+6+10\\&\scriptstyle=\left(2+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=3\sdot6=18\\\end{align}}}$	ולהיות שנשאר מהחלוק הוספנו על הב' היוצא מהחלוק א' ועלו ג' ושמרנום אח"ז חברנו הב' שהוא המספר הראשון לנקבצים עם הי' שהוא המספר האחרון ועלו י"ב ולקחנו חצים והם ו' והכינום עם השמור ועלו י"ח
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]=4+8+12$	ובמספרי ד' ח' י"ב
$\scriptstyle\frac{a_n}{d}=\frac{12}{4}=3$	חלקנו הי"ב על הד' ויצאו ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=4+8+12\\&\scriptstyle=3\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4+12\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=3\sdot8=24\\\end{align}}}$	ולהיות שלא נשאר מהחלוק כלום שמרנום אחר זה חברנו הד' עם הי"ב ועלו י"ו לקחנו חצים והם ח' הכינום עם השמור ועלו כ"ד
$\scriptstyle a_1>d$	ומשל המין השני והוא אשר המספר הראשון לנקבצים יתר מתוספתם
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]=8+12$	הם מספרי ח' י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=8+12\\&\scriptstyle=\left(\frac{12-8}{4}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{4}+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\\&\scriptstyle=\left(1+1\right)\sdot10=2\sdot10=20\\\end{align}}}$	חסרנו הח' מהי"ב שהוא המספר האחרון ונשארו ד' וחלקנום על הד' שהיא תוספתם ויצא אחד הוספנו עליו א' ועלה ב' והוא השמור אחר זה חברנו המספר הראשון לנקבצים שהוא הח' עם הי"ב שהוא המספר האחרון ועלו כ' ולקחנו חצים והם י' והכנום עם השמור ועלו כ'
	והנה כבר נתבאר לך הדרך הכולל לכל מיני התוספת איזה תוספת שיהיה
	גם חלופי המין הא' בעצמו ר"ל אם היה התחלת המספרים שוה לתוספת אשר בו יהיו המספרים נוספים קצתם על קצת
	או קטן ממנו אי זה קטנות שיהיה אם א' אם ב' אם ג' והדומים להם
Geometric Progression
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$	אולם אם היו המספרי' המונחים קצתם על קצת מתייחסי' ביחס הכפל והם המספרים אשר תוספת קצתם על קצתם מתחלף אבל הוא שומר היחס
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 2^{k-1}=1+2+4+8}}$	כמו מספרי א' ב' ד' ח'
	ורצית לדעת קבוץ כל המספרים המונחים מזה המין מבלתי שתצטרך לקבץ הכל
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}=2a_n-1=\left[\left(2\sdot2^{n-1}\right)-1\right]$	הנה כבר כתבו הראשונים גם בזה דרך והוא שתכפול המספר האחרון ותגרע אחד מהמחובר והנשאר הוא קבוץ כל המספרים המונחים
	אלא שקצרו בביאורו כי לא יצדק זה רק אם היה התחלתם מהא' אולם אם היה התחלתם מהי' עד"מ הנה לא נתנו בזה דרך אל ידיעתו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot2^{k-1}=2a_n-a_1=\left[\left[2\sdot\left(a\sdot2^{n-1}\right)\right]-a\right]$	אולם הדרך הכולל בידיעת קבוץ זה המין מאיזה מספר שתהיה התחלתו הוא שתכפול המספר האחרון ותגרע מהמחובר המספר הראשון אשר ממנו החלו המספרי' והנשאר הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 10\sdot2^{k-1}=10+20+40+80$	המשל כמו מספרי' כ' מ' פ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 10\sdot2^{k-1}&\scriptstyle=10+20+40+80\\&\scriptstyle=\left(2\sdot80\right)-10=160-10=150\\\end{align}}}$	נכפול הפ' ועלו ק"ס נגרע מהם הי' שהוא המספר הראשון להם והנשאר הוא ק"נ וככה הוא קבוצם
	זהו מה שראינו לכתוב בהשלמת זה הקצור
	אולם להיות שכבר קרה להם החסרון גם בזה המין ר"ל אשר תוספתם מתיחס לא שוה כאשר קרה להם החסרון כאשר תוספתם שוה לא מתיחס
	וזה כי כמו שקרה להם שם החסרון כשהדרך אשר השתדלו בהישרת ידיעת זה המין איננו מספיק לכל מיני התוספת כן קרה להם החסרון הנה כשהדרך אשר נתנו איננו מספיק לכל מיני היחס ר"ל למינים שהם על זולת יחס הכפל
General formula for the sum of any geometric progression	לכן ראיתי לכתוב גם הנה דרך כולל לכל מיני היחס
	והוא זה שכבר בארנו בתחלת חבורנו זה שהחצי הוא שם נגזר מהשנים והשליש הוא נגזר מהשלשה והרביע הוא נגזר מהארבעה וכן לב"ת
$\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{n} a_1\sdot q^{k-1}=a_n+\frac{1}{q-1}\sdot\left(a_n-a_1\right)$	ולזה ברצותך לדעת קבוץ המספרים המונחים המתיחסים קח המספר אשר יגזר ממנו שם היחס אשר יתיחסו בו המספרים המונחים וגרע ממנו א' והנשאר שמרהו וקח המין מהשברים הנגזר ממנו מהמספר האחרון אחר שתגרע ממנו המספר הראשון לכל המספרים המונחים והוסיפהו על המספר האחרון והמחובר הוא קבוץ לכל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}=1+2+4+8+16+32$	המשל אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב אשר הם ביחס החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-1\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot31\right)=32+31=63\\\end{align}}}$	להיו' שיחס החצי נגזר מהב' גרע מהם א' וישאר אחד שהוא מורה על השלם ולכן לקחנו כל המספר האחרון שהוא הל"ב וגרענו ממנו א' נשארו ל"א והוספנו' על הל"ב והם ס"ג וככה הוא קבוץ מספרי א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 8\sdot2^{k-1}=8+16+32$	ואם התחלת בזה המין בעצמו מהח' עד"מ שהם ח' י"ו ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 8\sdot2^{k-1}&\scriptstyle=8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-8\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot24\right)=32+24=56\\\end{align}}}$	קח הל"ב פעם אחת ותגרע ממנו הח' שהוא המספר הראשון במשלנו זה וישארו כ"ד והוסיפם על הל"ב והם נ"ו וככה הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 3^{k-1}$	ואם היו המספרים המונחים מתיחסים יחס השליש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3^{k-1}=1+3+9+27$	כמו מספרי א' ג' ט' כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3^{k-1}&\scriptstyle=1+3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-1\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27-1\right)\right]=27+13=40\\\end{align}}}$	הנה להיות שהשליש הוא נגזר מהשלש' גרע א' וישארו ב' והשבר הנגזר מהם הוא חצי על כן קח חצי המספר האחרון שהם הכ"ז אחר שתגרע מהם המספר הראשון שהוא י"ג והוסיפהו על הכ"ז ויעלו מ' וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הכ"ז
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot3^{k-1}=3+9+27$	וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהג' עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot3^{k-1}&\scriptstyle=3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-3\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=27+12=39\\\end{align}}}$	גרע מהמספר האחרון הכ"ז במשלנו הג' וישארו כ"ד וחציו י"ב הוסיפהו על הכ"ז והוא ל"ט וככה הוא קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 4^{k-1}$	ואם היו המספרים המונחים מתיחסים ביחס הרביע
$\scriptstyle\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 4^{k-1}=1+4+16+64$	כמו מספרי א' ד' י"ו ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 4^{k-1}&\scriptstyle=1+4+16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-1\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(64-1\right)\right]=64+21=85\\\end{align}}}$	הנה להיות שהרביע הוא נגזר מארבעה כשנחסר ממנו א' ישארו ג' והשבר הנגזר מהם הוא שליש על כן קח שליש המספר האחרון שהוא הס"ד אחר שתגרע ממנו המספר הראשון והם כ"א והוסיפהו על הס"ד ויעלו פ"ה וככה הוא קבוץ כל המספרים המונחים שמהא' עד הס"ד
$\scriptstyle a_1\ne1$
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{2} 16\sdot4^{k-1}=16+64$	וכן אם התחלת בזה המין בעצמו מהי"ו עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{2} 16\sdot4^{k-1}&\scriptstyle=16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-16\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)=64+16=80\\\end{align}}}$	גרע מהס"ד י"ו וישארו מ"ח ושלישו י"ו הוסיפהו על הס"ד והעולה פ' וככה הוא קבוצם
	הנה כבר הוריתיך הדרך הכולל לכל מיני היחסים איזה יחס היה עם חלופי ההתחלות אין להאריך יותר בביאורו
Other Progressions
	ולהיות שהמספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת יחלקו לג' פנים
	אם שיהיו המותרים שוים והמספרים בלתי מתיחסים
	ואם שיהיו המותרים מתחלפים והמספרים מתיחסים
	ואם שיהיו המותרים מתחלפים וגם המספרים בלתי מתיחסים
	כי החלק הד' והוא שיהיו המותרים שוים וגם המספרי' מתיחסי' הוא נמנע
	וכבר ביארנו הדרכים המודיעי' קבוץ כל המספרים המונחים מבלתי שיצטרכו בקבוץ הכל בב' המינים הראשונים
	הנה מה שנשאר עלינו לבאר הוא המין הג' בלבד והוא אשר מותריו מתחלפים ומספריו בלתי מתיחסים
	ואומר שהראשונים כבר חקרו בכל המינים הנכללים תחת זה המין ולא יכלו למצוא דרך רק בשני מינים מכלל מיניו לבד
the sequence of square numbers: 1; 4; 9; 16;...	והם מרובעי המספרים הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ד' ט' י"ו
the sequence of cubic numbers: 1; 8; 27; 64;...	ומעוקבי המספרי' הטבעיים על הסדר כמו מספרי א' ח' כ"ז ס"ד
	שמותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים
Definition of a square number: a square is the number resulting from the multiplication of the number by itself, whatever number it may be.	והמרובע הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' בעצמו איזה מספר היה
Definition of a cubic number: a cubic [number] is the number resulting from the multiplication of the number by its square.	והמעוקב הוא המספר היוצא מהכאת המספר הא' עם מרובעו
Sum of square numbers	אולם הדרך בידיעת קבוץ מרובעי המספרים הטבעיים המונחים
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^2&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\\end{align}$	הנה הוא שתדע שרש המרובע האחרון וממנו תדע קבוץ כל שרשי המרובעים וזה עם הדרך הקודם ר"ל שתקח חצי המדרגות בתוספת חצי ותכהו עם השרש האחרון והעולה שמרהו אחר זה קח שתי שלישיות השרש האחרון והוסף עליו שליש האחד והעולה הכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המרובעים המונחים מהא'
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} k^2=\left(\sum_{k=1}^{n} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} k^2\right)$	ואם היה התחלתם ממספר אחר זולת הא' חסר קבוץ המרובעים שמהא' עד המספר ההוא מקבוץ כל המרובעים שמהא' עד המרובע האחרון והנשאר הוא קבוץ המרובעים שהתחלתם ממספר אחר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16$	המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספר א' ד' ט' י"ו שהם מרובעי מספרי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30\\\end{align}}}$	הנה נקח שרש הי"ו והוא ד' נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה י' וזהו קבוץ שרשי המרובעים האלו ונשמרם אחר כן נקח ב' שלישיות הד' שהוא שרש הי"ו והם ב' וב' שלישיות נוסיף עליהם שליש והם ג' נכהו עם השמור שבידינו והעולה ל' וזהו קבוץ מספרי א' ד' ט' י"ו
$\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^2=3^2+4^2=9+16$	ואם התחלת בזה המין מהט'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^2&\scriptstyle=3^2+4^2=9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^2\right)=\left(1+4+9+16\right)-\left(1+4\right)\\&\scriptstyle=30-\left[\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)\right]=30-5=25\\\end{align}}}$	הנה נמצא שרש הד' שהוא אחרון למרובעים החסרים מא' ד' ט' י"ו ושרשם ב' נכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והעולה ג' ונשמרהו אחר נקח ב' שלישיות הב' שהם שרש הד' והם א' ושליש נוסיף עליו שליש והם א' וב' שלישיות נכהו עם השמור שהם הג' והעולה ה' נחסרהו מהל' שהם קבוץ א' ד' ט' י"ו והנשאר כ"ה וזהו קבוץ מרובעי ט' י"ו הדרושים
Sum of cubic numbers	ואולם המין האחר והם מעוקבי המספרים הטבעיים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$	הנה כבר כתבו הראשונים דרך בידיעת זה המין גם כן והוא שתקח יסוד המעוקב האחרון ודע בו עם הדרך הקודם קבוץ כל המספרים הטבעיים אשר הם יסודות המעוקבים ההם ושמרהו אחר כן הכה השמור בעצמו והעולה הוא קבוץ כל המעוקבים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^3=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64$	המשל בזה אם רצית לדעת קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד אשר הם מעוקבי מספרי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^3&\scriptstyle=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)^2\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2=10^2=100\\\end{align}}}$	הנה נקח יסוד הס"ד והוא ד' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והם י' ונכה הי' עם עצמם והם ק' וזהו קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד
$\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^3=3^3+4^3=27+64$	ואם התחלת בזה המין מהכ"ז על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^3&\scriptstyle=3^3+4^3=27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^3\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^3\right)=\left(1+8+27+64\right)-\left(1+8\right)\\&\scriptstyle=100-\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2\\&\scriptstyle=100-3^2=100-9=91\\\end{align}}}$	הנה נקח יסוד הח' והוא ב' ונכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי והוא ג' נכה הג' בעצמו והוא ט' נחסרם מהק' שהם קבוץ מספרי א' ח' כ"ז ס"ד והנשאר הוא צ"א זהו קבוץ כ"ז ס"ד הדרושים
	אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת קבוץ המספרים אשר מותריהם בלתי שוים ומספריהם בלתי מתיחסים וזה בשני מינים לבד במרובעים והמעוקבים
	אולם המינים האחרים היוצאים מאלה השני מינים לא מצאתי דרך אל ידיעתם כלל
	זהו מה שיכולתי להביא מידיעת מין הקבוץ מבלתי שיצטרך אל קבוץ כל המספרים המונחים
	וזאת החקירה אמנם היא מידיעת המין הראשון שהוא הקבוץ אלא שהזכרתיו הנה למה שלא יתכן זה אלא בידיעת זה המין כאשר הזכרתי

Reasons and Explanations
	ואולם סבת מציאות זה המין עם אלה הדרכים ואם הם רבים הנה היא אחת בעינה
	וזה שכבר קדם לך שמין ההכאה הוא מין הקבוץ בעינו כקבוץ המספרים השנים ושאין ביניהם הבדל כלל רק בהנחה ר"ל שבמין הקבוץ נצטרך לכתוב כל הטורים הנקבצים ובמין ההכאה לא נצטרך בהנחת כל הנקבצים
	וכאשר היה זה כן הנה א"כ כמו שיחויב למקבץ שיניח אחדי הסך תחת מדרגת הנקבצים והכלל במדרגה הנמשכת לסבה שזכרנוה
	כן יחויב למכה שיניח אחדי הסך תחת מדרגת המוכה והכלל במדרגה הנמשכת וזה בג' מיני ההכאה שהם הכאת הפרטים או הכללים או שניהם יחד עם הפרטים לבד
	ואולם בשאר מיני ההכאה ואם נצטרך בהם אל טורים רבים ואל הנחות מתחלפות הנה סבתם גם כן אחת
	וזה שהוא מן המבואר בעצמו במין הקבוץ שכאשר יהיו מספר הטורים השוים המונחים עשרות יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים עשרות וממדרגת העשרות מאות וממדרגת המאות אלפים וכן תמיד מדרגה אחת נמשכת ממדרגת הנקבצים
	ואם היו מספר הטורים המונחים מאות יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים ממדרגת האחדים מאות וממדרגת העשרות אלפים וממדרגת המאות רבבות וכן תמיד שני מדרגות נמשכות ממדרגת הנקבצים
	ואם היו מספר הטורים המונחים אלפים יחויב שיהיו אחדי סך הנקבצים מכל מדרגה ומדרגה ג' מדרגות נמשכות ממנה
	וכן תמיד על זה הסדר
	וזה שאחדי הנקבצים כאשר יהיו נוספים קצת על קצת י' פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים עשרה והנה ישובו כל אחד מהאחדים עשרה פעמים ממה שהיה ואם כן ישובו האחדים עשרות והעשרות מאות וכן תמיד
	וכן אם יהיו אחדי הנקבצים נוספים קצתם על קצת מאה פעמים עד"מ הנה מן המחויב שישוב כל אחד ואחד מאחדי הנקבצים מאה והנה ישובו כל אחד מהאחדים מאה פעמים ממה שהיה ואם כן ישובו האחדים מאות והעשרות אלפים וכן תמיד בתוספת שני מדרגו'
	וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחויב לנו מזה שכאשר נרצה לקבץ מספרים שוים מונחים בטורים רבים מספר הטורים כללים ופרטים יחד שנכתוב העולה מכל מדרגה ומדרגה מהנקבצים מהטורים שמספרם אחדים תחת המדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם עשרות תחת המדרגה הנמשכת למדרגה הנקבצת ומהטורי' שמספרם מאות במדרגה השלישית לה אחר זה נקבץ הכל
	כן כשנרצה להכות כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד
	נכה פרטי הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב הסך תחת המדרגה המוכה אחר זה נכה עשרות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגה המוכה ואחר נכה מאות הטור המכה עם כל מדרגות הטור המוכה ונכתוב העולה תחת המדרגה השלישית מהנמשכת למדרגה המוכה וכן תמיד על זה הדרך אחר זה נקבץ כל הטורים ההם שתחת המוכה והעולה יהיה הסך בהכרח
	הנה כבר התבאר לך סבת זה המין וסבת רבוי הטורי' המצטרכי' לקצת ההכאות וסבת חלוף הנחותיהם
	אלא שמה שנשאר עלינו מהחקירה הוא כי יתחייב לפי הדרך הזה כשרצינו על דרך משל להכות ש"ט עם רמ"ה שנקבץ הו' ר' פעמים ויעלו אלף ומאתים והאלף ומאתים הם י"ב מאות ונכתבם תחת הש' וכן העולה מקבוץ הו' מ' פעמים הם ר"מ והר"מ הם כ"ד עשרות ויכתבו תחת הנ' לא שנחשוב הר' פעמים לב' ונקבץ הו' ב' פעמים ולא שנחשוב המ' פעמים לד' ונקבץ הו' ד' פעמים
	אמנם עם הסבה הנתונה במין הקבוץ כבר התבאר לך שאין הזק בזה ר"ל אם נחשוב הר' לב' והמ' לד'
	וזה שכמו שאין הזק שנחשוב העשרות והמאות לאחדים במין הקבוץ ונכתוב העולה תחת המדרגה הנקבצת
	כן אין הזק לחשוב הפעמים שהם עשרות או מאות לאחדים ונכתוב העולה מהעשרות במדרגה השנית למדרגה הנקבצת והעולה מהמאות במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת
	וזה שכבר התבאר לך במין הקבוץ שהמדרגות כלם ואם הם מתחלפות באיכות אולם מצד הכמות הם שוות
	וזה שהשנים והעשרים והמאתים ואם הם מתחלפים מצד האיכות אבל הם שוים מצד הכמות כי כלם שנים
	ולזה אין הבדל שיונחו העשרה תחת האחדים או שיכתוב אחד תחת העשרות
	ואם כן גם בזה המין אחר שהוא מין הקבוץ בעינו לפי מה שקדם אין הזק בזה אם נחשוב המ' פעמים לד' והר' פעמים לב' אחר שהכמות העולה מהכאת מספר א' עם הר' הוא שוה להכאת המספר ההוא עם הכ' או עם הב' ר"ל מצד הכמות לבד לא מצד האיכות
	וזה שהח' על דרך משל אם יוכו עם הב' יעלו י"ו אחדים ואם יוכו עם הכ' יעלו י"ו עשרות ואם יוכו עם הר' יעלו י"ו מאות
	ואחר שאין ההבדל מצד הכמות רק מצד האיכות הנה אם כן אין הזק בזה אם נחשוב כל מדרגות הפעמים לאחדים ונכם עם כל מדרגות המספרים והעולה נכתבהו כל אחד במדרגתו הראויה לו לפי מה שקדם
	כי עם ההנחה הראויה לו יתוקן האיכות המתחלף לכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים
	הנה כבר התבארו לך עם זה סבות כל הדרכים המתחלפים אשר בזה המין
	וזה שהדרך הראשון והשני והשלישי הם מבוארים בעצמם עם כתיבת אלה הסבות אין צורך בהם לחקירה כלל
	אולם הדרך הרביעי הנה נצטרך בו לתוספת ביאור והוא שלמה שכבר התבאר לך הנחת כל סך וסך מהסכים לפי מדרגותו והיתה המדרגה הראשונה היא הנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם אחדי הפעמים לבד והמדרגה השנית היא הנחת הסך העולה מקבוץ העשרות עם אחדי הפעמים והסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים והמדרגה השלישית היא הנחת הסך העולה מקבוץ המאות עם אחדי הפעמים והסך העולה מקבוץ האחדים עם מאות הפעמים והסך העולה מקבוץ העשרות עם עשרות הפעמים וכן כל מדרגה ומדרגה
	לכן חברנו כל ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה וכתבנום בטור אחד
	וזה מספיק לך מידיעת זה הדרך לא תצטרך בזה לתוספת ביאור
	אולם רבוי מיני ההכאות בבת אחת גם זה מבואר מידיעת זה המין
	וזה שכמו שלא יצטרכו בזה המין ממיני הדרכים לטורים רבים למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות וחברו הכל וכתבום בטור אחד
	כן לא הצטרכו בזה המין מרבוי מיני ההכאו' בבת אחת טורים רבים והכאות מתחלפו' למה שראו ההנחות הראויות לכל מדרגה ומדרגה מהמדרגו' מכל מיני ההכאות וחברו הכל וכתבום בטור אחר וזה מבואר מאד
	אולם הדרך החמישי והוא ההכאה שעל הדרך הקבוץ גם הוא מבואר ממה שקדם
	שהנחת הסך העולה מקבוץ אחדי המספרים עם מאות הפעמי' הוא במדרגה השלישית לאחדים והנחת הסך העולה מקבוץ האחדים עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית לאחדים
	ולכך הניחו סיפראש בראש הטורים כמספר מדרגות הפעמים פחות אחד עד שיהיו כל מדרגות המספר במדרגה הראויה לה כל אחת לפי הנחתה
	המשל בזה אם היו הפעמים מאות לפי שהוא מהמחויב שיונח הסך העולה מקבוץ כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספרים במאות הפעמי' במדרגה השלישית למדרגה הנקבצת ממנו ב' סיפרש בראש הטורים והנה שבו כל המדרגות במדרגה השלישית לה
	ואולם כתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים מספרם כמספר אחדי כמות המדרגה האחרונה ממדרגות הפעמים ואם הם מאות לפי מה שקדם שאין הזק אם נחשב כל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים לאחדים אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה למה שקדם שהנחת הסך העולה מכל מדרגו' המספר עם עשרות הפעמים הוא במדרגה השנית למדרגה הנקבצת וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה כמספר אחדים שבעשרות הפעמים
	אחר זה כתבנו המספר ההוא בעינו כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה למה שקדם לך שהנחת הסך העולה מקבוץ כל מדרגות המספר עם אחדי הפעמים הוא במדרגה הנקבצת בעצמה וכתבנו המספר ההוא בעינו בטורים רבים זה תחת זה מספרם כמספר אחדי הפעמים אחר זה קבצנו כל הטורים וכתבנו העולה תחת כל מדרגה אחר שכבר הם מונחי' בהנחה הראויה להם והנה יצא לך הסך העולה מקבוץ המספר ההוא לפי הפעמים ההם וזה ענין מבואר מאד
	אלא שראוי לבאר לך בזה ענין אחד לבד והוא מה שכתבתי לך בזה המין מההכאה שאם יהיו אחדי הפעמים שבכל מדרגה ומדרגה ממדרגות הפעמים ה' או יותר שנחלק המספר באמצע ונקח חציו ונכתוב כל מדרגה ומדרגה ממנו במדרגה הנמשכת למדרגה אשר היה מקום הנחתה אלו לא הספיקו אחדיו לה'
	והסבה בזה גם כן מבוארת וזה שהוא מהידוע בעצמו שאין הבדל בין שנכתוב המספר המוכה ה' פעמים ובין שנקח חצי המספר המוכה ונכתבהו במדרגה הנמשכת
$\scriptstyle5a=10\sdot\frac{1}{2}a$	וזה שהעולה מקבוץ המספר המוכה ה' פעמי' הוא ה' כפלי המספר המוכה והעולה מהמספר המוכה בעינו במדרגה הנמשכת הוא י' פעמים כמוהו וחציו הוא ה' כפליו
	והנה אין הבדל בזה אם נכתבהו במדרגה הנמשכת ונקח חציו או אם נקח חציו ואחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת
	וכאשר היה זה כן הנה השתמשנו עם הקצור
$\scriptstyle n\sdot a=10\sdot\left(\frac{n}{10}\sdot a\right)$	וכן נוכל להשתמש עם זאת התחבולה עצמה בכל אחדי הפעמים
$\scriptstyle7a=10\sdot\left(\frac{7}{10}\sdot a\right)$	ר"ל שאם היו אחדי הפעמים שבעה עד"מ נקח ז' עשיריות המספר אחר זה נכתבהו במדרגה הנמשכת וישוה הטור ההוא לשבעה טורים מהמספר ההוא בעינו במדרגת הקודמת
$\scriptstyle6a=10\sdot\left(\frac{6}{10}\sdot a\right)$	וכן אם היו ששה נקח ששה עשרות וכן תמיד
	אלא שחלוק המספר אל שאר חלקיו זולת חציו הוא קשה מאד במלאכתו ולכן לא השתמשנו בו וזהו מה שכווננו בביאורו
$\scriptstyle4a=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]-a$	וכן אם רצית לכתוב ד' טורים עד"מ וחלקת המספר באמצע וכתבת אותו במדרגה הנמשכת והנה יחשב לה' טורים אחר זה חסרת מהעולה המספר ההוא בעינו מהמדרגה הקודמת בה הנה יחשב כמו ד' טורים
$\scriptstyle294\times40$	המשל בזה אם רצית להכות רצ"ד עם מ'
$\scriptstyle{\color{blue}{294\times40=\left[10\sdot\left(10\sdot\frac{294}{2}\right)\right]-\left(10\sdot294\right)=14700-2940=11760}}$	הנה נחלק רצ"ד באמצע ונעלהו מדרגה אחת ויהיה העולה י"ד אלפים ת"ש חסר מהם שני אלפים תתק"מ ישארו י"א אלפים תש"ס וככה הוא ארבעים פעמים רצ"ד וכן תמיד על הסדר הזה כי הכונה אחת
	ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות אשר בזה המין הנה כבר כתבנוה במין הקבוץ
	וזה שאחר שעם הדרך הזאת הנה הדבר שוה כאלו התכנו כל המספר המוכה לאחדים והשלכנו מהם התשיעיות והשביעיות ונשאר בידינו המותר
the product of a number multiplied by 9 or 7 has no remainder when casting out by 9 or 7	והוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת התשיעיו' והשביעיו' עם איזה מספ' היה יכלה בשביעיו' והתשיעיות
	הנה אם כן אשר נשאר עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיות לדעת המותר
	אמנם הוא המותר השמור מהמספר המוכה לבד לא זולתו
	וכן עם הדרך הזאת בעצמה יודע לך שאין ראוי להכות המותר השמור עם כל מספר הפעמים רק עם המותר מהם מהשביעיות והתשיעיות אחר שנשליך מהם השביעיות והתשיעיות
	וזה שהעולה מהכאת המותר איזה מותר היה עם השביעיות והתשיעיות יכלה בשביעיות והתשיעיות בהכרח
$\scriptstyle r_a\times r_b\equiv r_{a\times b}\left(mod\; k\right)$	וכאשר היה זה כן הנה מן המבואר בעצמו שמה שנשאר עלינו לחקור ממנו התשיעיות והשביעיו' לדעת המותר אמנם הוא העולה מהכאת המותר השמור מהמוכה עם המותר השמור מהפעמים ונשליך ממנו התשיעיו' והשביעיות והמותר ממנו הוא מותר העולה מקבוץ המספר המוכה עם מספר הפעמים אחר שנשליך ממנו השביעיות והתשיעיות ולכן יתחייב שיהיה הוא מותר הסך בהכרח וזהו מה שרצינו לבאר
	וכבר כתבנו מה שבאלה המאזנים מהחסרון ושדרך מאזני השביעיות צודק בכל מספר לא בשביעיות בלבד כאשר חשבו הקדמונים
	ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין והוא החלוק הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם
	והוא שכבר קדם שעם החלוק יודע יחס המספר אל המספר ר"ל שהיוצא מהחלוקה הוא המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק את המחולק וכאשר היה זה כן והיו שני טורי המכה והמוכה כל אחד מהם מורה על כמות הפעמים אשר ימנה המספר האחד הסך העולה מהכאתם
	הנה אם כן מהמחוייב מזה שכאשר נחלק הסך העולה מהכאתם על אחד משני המספרים המוכים שיצא מהחלוקה המספר האחר בהכרח וזה מספיק לך מידיעת סבת זה המין
	ואולם המאזנים האחרים כבר קדם ביאורם אין צורך להכפיל המאמרים
	ואולם סבת כל הדרכים אשר בהם השתמשו על פה הנה נסדר אותם זה אחר זה כל אחד על ענינו
	והוא שהדרך האחד מהם והוא שאנחנו מכים הכמות עם הכמות ונשמרהו אחר זה נחבר מדרגות המכה והמוכה ונשליך מהם אחד והנשאר הוא מדרגת השמור סבתו ידועה ממה שקדם
	וזה שלמה שהתבאר לך שכל מספר מוכה עם מספר הנה אין הבדל שיוכה לפי איכותו או לפי כמותו
	הנה אם כן אין הזק אם נכה הכמות ונשמרהו מבלתי שנביט האיכות
	וכן למה שהתבאר לך שהעולה מהכאת המספר עם אחדי הפעמים יונחו תחת המדרגה המוכה והעולה מהכאת המספר עם עשרות הפעמים יונחו תחת המדרגה הנמשכת וכן תמיד על הסדר הזה
	וזה חבור השתי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת
	הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה מדרגת השמור חבור מספרי מדרגות המכה והמוכה בהשלכת מדרגה אחת בהכרח
$\scriptstyle\left(10a+b\right)\times\left(10c+d\right)=\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)+\left(10a\times10c\right)+\left(b\times d\right)$	ואולם הדרך האחר והוא שישובו הארבעה הכאות לשלשה הכאו' לבד וזה במספרים שכלליהם או פרטיהם או שניהם יחד שוים הנה סבתו גם כן ידועה
Euclid, Elements, Book II, Proposition 1: It was already clarified in Euclid's Book of Elements, in the [second] section, in the first proposition that for any two straight lines, one of which is cut into segments as many as they may be, the sum of the surfaces generated from the whole straight line and each of the segments of the other straight line equals the surface generated from the whole straight line and the whole divided line. $\scriptstyle ab_1+ab_2+\ldots+ab_n=a\sdot\left(b_1+b_2+\ldots+b_n\right)$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השלישי ממנו בתמונה הראשונה שכל שני קוים שנחלק אחד מהם לחלקים כמה שיהיו הנה השטח ההוא מהקו האחד כלו עם כל אחד מחלקי הקו האחר יחד הוא שוה לשטח ההווה מהקו האחד עם כל הקו הנחלק
	וכן במספרים כי המופת צודק בהם וכאשר היה זה כן הנה אם כן העולה מהכאת עשרות המספר האחד עם אחדי המספר האחר והכאת אחדי המספר האחד עם עשרות המספר האחר הוא שוה לעולה מהכאת חבור האחדים עם חצי שני הכללים יחד
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a=c\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times d\right)+\left(b\times10a\right)\\&\scriptstyle=10a\times\left(d+b\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10a+10a\right)\right]\times\left(b+d\right)\\\end{align}$	וזה שאם היו הכללים והפרטים או הכללים לבד שוים הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל הוא שוה להכאת הכלל האחד שהוא חצי הכללים אחר שהם שוים עם כל אחד מהפרטים שהוא שוה להכאת חצי הכללים עם כלל חבור שני הפרטים יחד לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle b=d\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times b\right)+\left(b\times10c\right)\\&\scriptstyle=b\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+b\right)\right]\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10b+10b\right)\right]\times\left(a+c\right)\\\end{align}$	ואם היו הפרטים לבד שוים הנה הכאת הכלל עם הפרט והפרט עם הכלל הוא שוה להכאת הפרט האחד שהוא חצי הפרטים אחר שהם שוים עם כל אחד מהכללים שהוא שוה להכאת חצי הפרטים עם כלל חבור שני הכללים יחד לפי ההקדמה שהתבארה לנו מספר היסודות אשר הוא שוה להכאת חצי הכללי' עם כלל חבור שני הפרטים יחד
relying on Euclid $\scriptstyle a\times b=2a\times\frac{1}{2}b$	וזה שכל שני מספרים שיוכה אחד מהם עם האחר העולה מהם שוה למספר העולה מהכאת כפל האחד מהם עם חצי המספר האחר כאשר התבאר בספר היסודות לאקלידס וזה מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2$	ואולם הדרך האחר והוא שאם היו שני מספרים מוכים עם שני מספרים שרחקם שוה מכלל אחד האחד למגרעת והאחר לתוספת שיוכה הכלל עם עצמו והעולה נגרע ממנו מרובע המגרעת או התוספת הנה סבתו גם כן ידועה עם ההקדמה הנזכרת
	והוא כי הכלל אשר יתרחקו ממנו שני המספרים המוכים הוא נמצא במספר הנוסף בהכרח
$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2=\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]$	והוא מהמבואר שהכאת הכלל עם הכלל הוא שוה בהכרח להכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע ועם המגרעת לפי ההקדמה הנזכרת
$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times b=b\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]$	ויתחייב עוד מזאת ההקדמה בעצמה שהכאת הכלל עם המגרעת הוא שוה להכאת המגרעת עם המספר הנגרע ועם המגרעת
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2&\scriptstyle=\left[\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left[b\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left(b\times b\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+b^2\\\end{align}$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכלל עם הכלל שוה לשלש הכאות הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המספר הנגרע והכאת המגרעת עם המגרעת אולם ההכאה הראשונה מהשלש הכאות הנה הוא הכאת הכלל שבמספר הנוסף עם כל המספר הנגרע ואולם ההכאה השנית הנה הוא הכאת אחדי המספר הנוסף שהם שוים למגרעת עם כל המספר הנגרע ואולם הכאת המגרעת עם המגרעת הנה הוא יתר
	וזה שעם ב' ההכאות הראשונות כבר נכללו ד' הכאות השני מספרים עם שני מספרים
	ולכן יתחייב תמיד שיהיה הכאת השני מספרים עם שני מספרים שרחקם מכל אחד בעצמו רוחק שוה האחד לתוספת והאחר למגרעת
	חסר מהכאת הכלל עם הכלל כמו הכאת המגרעת עם המגרעת שהוא מרובע המגרעת או מרובע התוספת אחר שהם שוים וזה מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	ואולם הדרך האחר והוא שנקח מרובע שלשית המספר המוכה עם עצמו ונעלהו מדרגה אחת ונגרע ממנו מרובע שלישיתו
Euclid, Elements, Book VIII, Proposition 11: Its reason is also known from what was clarified in Euclid's Book of Elements, in the eighth section that for every two squares numbers the ratio of one of them to the other is as the duplicate ratio of that which the side has to the side. $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	הנה סבתו ג"כ ידועה ממה שהתבאר בספר היסודו' לאקלידס במאמר הח' ממנו שכל שני מספרים מרובעים הנה יחס הא' מהם אל חברו הוא כיחס צלעו אל צלעו שנוי בכפל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2:a^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right):a\right]^2=\frac{1}{3}^2=\frac{1}{9}$	וזה שיתחייב מזה שיהיה יחס מרובע שלישית המספר אל מרובע כל המספר כיחס שליש המספר אל כל המספר שנוי בכפל ויחס שליש המספר אל כל המספר הוא יחס השליש והשליש מוכה עם עצמו הוא תשיעית אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס מרובע שליש המספר אל מרובע כל המספר יחס התשיעית
$\scriptstyle a^2=9\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	ולכן יהיה מרובע כל המספר תשעה כפלי מרובע שלישיתו וכאשר נעלה מרובע השלישית אל מדרגה אחת גבוהה ממנה יתחייב שישוב עשרה כפלי מרובע השליש וכאשר יחוסר ממנו מרובע השליש וישארו תשעה כפלי מרובע השליש הוא שוה בהכרח למרובע כל המספר האחר שהוא תשעה כפלי מרובע השליש
Euclid, Elements, Book V, Proposition 9: For, any two magnitudes, which have the same ratio to the same magnitude, necessarily equal one another, according to what is clarified in Euclid's Book of Elements. $\scriptstyle a:c=b:c\longrightarrow a=b$	כי כל שני שעורים שיחסם אל שעור אחר בעצמו יחס אחד הנה הם שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס
	ולהיות שלא יצדק זה הטבע בזולת השליש רוצה לומר שלא ימצא שום חלק מחלקי המספר אשר יהיה מרובעו בתוספת מדרגה אחת בחסרון ממנו שוה למרובע הכל
	לכן בחרו זה החלק מכל שאר החלקים כי כל שאר החלקים זולתו ואף כי נוכל להשתמש עמם בזאת התחבולה
$\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2=\frac{1}{16}\sdot a^2$	וזה כי רביעית המספר על דרך משל יתחייב לפי מה שקדם שיהיה מרובעו חלק אחד מי"ו חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2\right]\right]\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2$	ולכן כאשר נקח מרובע רביעיתו ונוסיף עליו חציו ונעלהו מדרגה אחת אחר זה נוסיף עליו מרובע רביעיתו יתחייב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=\frac{1}{49}\sdot a^2$	וכן שביעית המספר עד"מ להיות שהוא מחוייב שיהיה מרובע חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל לפי מה שקדם
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2$	אם כן כאשר נקח מרובע שביעיתו ונכהו בה' והעולה נעלהו מדרגה אחת ויחוסר ממנו מרובע שביעיתו יחויב בהכרח שיהיה שוה למרובע הכל וכן בכל שאר החלקים
	אולם הניחום למה שיצטרך בזה הכאות
	ולכן קצת מהקדמונים שחשבו שכבר מצאו דרך חדש להשתמש עם חמישית המספר
$\scriptstyle a^2=10\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2$	וזה כשלקחו מרובע חמישיתו והכוהו בב' וחצי והעלוהו מדרגה אחת הנה כברו השתמשו עם דרך משותפת לכל שאר החלקים
	ואתמה מהם מדוע בחרו דרך החמישית מכל שאר החלקים אם לא שנחשוב שלא שערו בסבת זה הפועל
	כי אלו שערו בו הנה לא היו בוחרים זה החלק מכל שאר החלקים אחר שדרך זה החלק הוא דרך מושתפת לכל שאר החלקים
$\scriptstyle\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=\frac{1}{49}\sdot a^2$	וזה שכמו שמרובע השביעית עד"מ למה שהוא חלק אחד ממ"ט חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2&\scriptstyle=\left[50\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\\&\scriptstyle=49\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=a^2\\\end{align}$	ויתחייב שיוכה מרובע השביעית בה' ונעלהו מדרגה אחת ויהיה נ' כפלי מרובע השביעית וכשיחוסר ממנו מרובע השביעית יחוייב שיהיה מ"ט כפלי מרובע השביעית שהוא שוה למרובע הכל
$\scriptstyle\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=\frac{1}{25}\sdot a^2$	כן למרובע החמישית למה שהוא חלק אחד מכ"ה חלקי מרובע הכל
$\scriptstyle10\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=25\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2=a^2$	יתחייב שיוכה מרובעו בב' וחצי ונעלהו מדרגה אחת ויהיה כ"ה כפלי מרובע החמישית שהוא שוה למרובע הכל
	אלא אם יאמר אומר שאין עזיבת שאר המינים מפני רבוי ההכאות אך מפני רבוי המינים הצריכים להם שהם הכאות והעתקות וחסורים
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+a+\left(a+1\right)$ $\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-a-\left(a-1\right)$	ואולם כאשר לא יהיה למספר הדרוש שליש הנה השתמשנו עם המספר שיש לו שליש והוא הנוסף או הנגרע מהמספר הדרוש אחד כמשפט ושמרנוהו אחר זה חברנו המספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש והוספנוהו על השמור אם היה המספר הדרוש נוסף על המספר שיש לו שליש או גרענוהו אם היה המספר הדרוש נגרע מהמספר שיש לו שליש
$\scriptstyle a^2-\left(a-b\right)^2=\left[a+\left(a-b\right)\right]\times b$	וסבת זה גם כן מבוארת וזה שהוא מהמבואר שתוספת מרובע מספר מה על מרובע מספר אחר נגרע ממנו הנה הוא שוה לחבור שני המספרים יחד מוכה עם המגרעת
$\scriptstyle a\times\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left(a-b\right)\right]$	וזה שהכאת המספר הנוסף עם המספר הנגרע הוא שוה להכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנגרע יחד לפי מה שקדם לך מההקדמה המקובלת ממאמר שני מאקלידס
$\scriptstyle a\times a=\left[a\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)$	והכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף הוא שוה להכאת המספר הנוסף עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף לזאת הסבה בעצמה
$\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]$	וכאשר היה זה כן הנה יחוייב בהכרח שיהיה הכאת המספר הנוסף עם המספר הנוסף שוה לג' הכאות הכאת המספר הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם הנוסף והכאת הנגרע עם הנגרע
$\scriptstyle\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]=b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]$	ואלה השני הכאות האחרונות שוות להכאת המגרעת עם חבור הנגרע והנוסף יחד לפי ההקדמה הנזכרת
$\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]\right]$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה הכאת הנוסף עם הנוסף שוה להכאת הנגרע עם הנגרע והכאת המגרעת עם חבור הנוסף והנגרע
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=a^2+\left[\left(a+1\right)+\left[\left(a+1\right)-1\right]\right]$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב בהכרח שאם יהיה מספר הדרוש נוסף א' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע ונוסיפהו על מורבע המספר שיש לו שליש והמחובר הוא מרובע הדרוש
$\scriptstyle\left(a+2\right)^2=a^2+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+\left[\left(a+2\right)-2\right]\right]\right]$	ואם מספר הדרוש נוסף ב' מהמספר שיש לו שליש שיחובר המספר הנוסף עם הנגרע והעולה נכהו עם ב' והמחובר נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש והעולה הוא מרובע מספר הדרוש
$\scriptstyle\left(a+3\right)^2=a^2+\left[3\sdot\left[\left(a+3\right)+\left[\left(a+3\right)-3\right]\right]\right]$	ואם הדרוש נוסף ג' נכה העולה מחבור מספר הדרוש עם המספר שיש לו שליש עם ג' והעולה נוסיפהו על מרובע המספר שיש לו שליש והעולה הוא מרובע הדרוש
	וכן על זה הדרך תמיד
	ואולם בחלק השליש לא נצטרך להשתמש אלא אם במגרעת אחד מהדרוש אם בתוספת אחד מהדרוש
	כי כאשר יהיה התוספת ב' כבר הוא נגרע אחד מהמספר הנוסף ממנו שיש לו שליש
	ולזה בחרו הקדמונים להשתמש עם חלק השלישי למה שאין ההבדל בין המספר הדרוש ובין המספר שיש לו שליש לעולם רק אחד אם בתוספת ואם במגרעת
	ולא יצטרכו להכאת המגרעת עם חבור מספר הדרוש והמספר שיש לו שליש לפי מה שקדם
	ואולם המשתמשים עם חלק החמישית הנה יקרה להם שיצטרכו להכאת המגרעת עם חבור שני המספרים שהם המספר הדרוש והמספר שיש לו חמישית ובזה ישתתפו כל שאר החלקים
	ולכן תמהתי עליהם מדוע בחרו חלק החמישית משאר החלקים אחר שהדרך הזאת משותפת לכל החלקים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם החלוקים הנזכרים בספר אקלידס לא אצטרך בזה להזכיר הסבות והמופתים הנופלי' עליהם כי כבר הזכירם אקלידס בספרו אין צורך להכפיל המאמרי'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$	ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת בתוספת אחד על סדר המספרים הטבעיים כשיכו המספר האחרון עם חציו בתוספת חצי הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right):n&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right):\left(n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\underbrace{\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ldots+\frac{1}{2} }_{\left(n-1\right)\; times}=\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\\\end{align}$	וזה שהמספרים הטבעיים לפי הנחתם הנה כל מספר ומספר מהם כאשר תערוך כל המספרים הקודמים ממנו אליו הנה יהיה תוספת ערך הקודמים מהמספר המאוחר על ערך הקודמי' מהקודם לו בתוספת חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{1:2=\frac{1}{2}}}$	וזה שערך הא' אל הב' הוא ערך החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2\right):3=1}}$	וערך הא'ב' אל הג' הוא ערך השלם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3\right):4=1+\frac{1}{2}}}$	וערך הא'ב'ג' אל הד' הוא ערך האחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3+4\right):5=2}}$	וערך הא'ב'ג'ד' אל הה' הוא ערך הב'
	וכן תמיד בתוספת חצי
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר רצו לדעת קבוץ כל המספרי' הטבעיים שהתחלתם מהאחד עד מספר מה איזה מספר היה הנה אחר שכל המספרים הקודמים לו יהיה ערכם אל המספר האחרון כמו קבוץ החצאים הנוספים בכל מדרגה ומדרגה ממדרגות המספר לפי מה שקדם
	הנה אם כן בהכרח ראוי לדעת כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא ויחשוב הקודמים לב' חצי והקודמים לג' אחד והקודמים לד' אחד וחצי וכן תמיד עד שיגיעו אל המספר האחרון וכפי מה שיצא החשבון ככה יהיה ערך הקודמים אליו ונחבר עמם המספר האחרון
: $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n$	ובזה יודע קבוץ כל המספרים אחר שכל המספרים אינם רק המספרים הקודמים מהמספר האחרון עם המספר האחרון
	ואולם הראשונים קצרו הדרך ולקחו מספר המדרגות וחלקום לחצאים ולקחו חצים להיות שכל שתי מדרגו' הם שלם אחד כי השני חצאים הנוספים בשתי המדרגות הם אחד והיה ראוי שיקחו פחות מחצי המדרגות חצי בעבור שחצאי המדרגות מתחילים ממספר ב' כי הא' אין לו קודמים
$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n\\&\scriptstyle=\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]+n\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}+1\right]\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\\\end{align}$	ואולם בעבור שחברו עם ערך הקודמים גם המספר האחרון עצמו והמספר האחרון הוא במדרגת השלם כי כל הקודמים אמנם יחשבו חלקים בערך אליו ואם כן יתחייב מזה בהכרח שבמקום שהיה ראוי שיקחו חצי כמות כל המדרגות שמהאחד עד המספר האחרון פחות חצי שיוסיפו עליהם חצי כי כאשר תוסיף אחד על חצי הכמות פחות חצי יהיה חצי הכמות וחצי ולכן יתחייב מזה שנקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכם עם המספר האחרון ויצא לנו קבוץ כל המספרי'
	והוסיפו עוד הקדמוני' לקצר על זה עד שלא הוצרכו למנות המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי תמורת חצי כמות המדרגות בתוספת חצי בעבור שכמות המספר האחרון איזה מספר היה הוא בעצמו כמות המדרגות שמהא' עד המספר ההוא במספרים הטבעיים
$\scriptstyle n=2m\longrightarrow$	ואולם כאשר יהיה המספר האחרון זוג
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot\left(n+1\right)$	הנה יקחו חציו לבד ויוסיפו על המספר האחרון א' ויכוהו עמו להיות שהכאת חצי המספר בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא שוה להכאת חצי המספר לבד עם המספר האחרון בתוספת אחד
	ולכן השתמשו בזה והניחו הדרך הקודם שלא יצטרכו במלאכתם לשברים כלל
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)+\frac{1}{2}\right]^2$	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב' על סדר הנפרדים הטבעיים כמו מספרי א' ג' ה' ז' כשיכו חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם עצמו הנה סבתו גם כן ידועה
Definition of a "same number": It has already been clarified in the second section of the Book on Arithmetic by Nicomachus of Gerasa that the same numbers, which are the square numbers, are generated by the increment of the natural odd numbers. $\scriptstyle n^2=\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)$	והוא שכבר התבאר בספר הארתימטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני שהמספרים ההויים והם המספרים המרובעים הנה צמיחתם תהיה בתוספת הנפרדים הטבעיים קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{blue}{1=1}}$	שהתחלתם האחד אשר הוא הנפרד בכח
$\scriptstyle{\color{blue}{4=1+3}}$	כי השלשה אשר הם נפרד ראשון בפועל כאשר נוספו על האחד היה הגעת זה ארבעה והוא המרובע הראשון בפועל
	וכן תמיד וכל צלע מצלעות כל מרובע מהם שהוא שרש אותו המרובע הנה הוא מספר המדרגו' בעצמם
	כאשר התבאר זה במאמר הראשון מספר הארתמטיקא רוצה לומר שאם נניח הנפרדים הטבעיים זה אחר זה נמשכים מבלתי שנדלג מהם כלל כמו מספרי א' ג' ה' ז' ט' י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3=4=2^2}}$	הנה קבוץ הג' א' הם ד' שהם מרובע וצלע זה המרובע שהוא שרשו הנה הוא כמו המדרגות שמהא' עד הג' שהם ב' כי שני פעמים ב' הם ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=9=3^2}}$	וכן קבוץ א' ג' ה' הם ט' והוא מרובע ושרשו הוא כמות המדרגות שמהא' עד הה' שהם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' וכן תמיד
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=n^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהא' עד המספר האחרון ונכם עם עצמם שיולד קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהא' עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון עם תוספת חצי הנה לא הוצרכו למנו' המדרגות רק לקחו חצי המספר האחרון בתוספת חצי והכוהו עם עצמו והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהא' עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל המספרים הנוספים בתוספת ב' קצתם על קצתם על סדר מספרי הזוגות הטבעיים כמו מספרי ב' ד' ו' ח' י' כשיכו חצי המספר האחרון עם חציו האחר בתוספת אחד הנה סבתו גם כן ידועה
Definition of a heteromecic number: It has already been clarified in the second section of the Book on Arithmetic by Nicomachus of Gerasa that the heteromecic numbers, which are those whose one side exceeds over the other by one, such as 1 and 2; 2 and 3; 3 and 4; 4 and 5; and so on; are generated by the increment of the natural even numbers. $\scriptstyle n\sdot\left(n-1\right)=\sum_{k=1}^{n} \left(2k\right)$	והוא שכבר התבאר בספר הארתמטיקא לניקומכוש הגהרשיני במאמר השני שהמספרים הזולתיים שהם אשר יהיו צלעותיו נוסף אחד מהם על האחר בתוספת האחד כמו א"ב וב"ג וג"ד וד"ה וכן תמיד הנה צמיחתם תהיה בתוספת הזוגות הטבעיים קצתם על קצת
$\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=2\sdot3}}$	כי השנים אשר הוא הזוג הראשון כאשר נוסף על הד' שהוא הזוג השני היה הגעת זה ששה והוא הזולתיי הראשון בפועל
$\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=12=3\sdot4}}$	וכאשר נוספו על הו' שהוא הזוג השלישי שתי הזוגות הראשונות שהם הב' ד' יעלו י"ב שהוא הזולתיי השני בפועל וכן תמיד
	וצלעו' כל זולתיי וזולתיי מהם הצלע האחד מהם שהוא הקטן שבשניהם הוא כמות המדרגות בעצמם שמהשנים עד המספר האחרון והגדול הוא כמות המדרגות בעצמם בתוספת אחד אחר שהתחלפות הצלע הגדול מהם אל הקטן איננו כי אם במספרים הזולתיים לפי מה שקדם
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נקח כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון ונכהו עם הכמות הזה בעצמו בתוספת אחד שיולד המספר הזולתיי היוצא מקבוץ כל הזוגו' הטבעיים הקודמים למספר האחרון עם המספר האחרון בהכרח שהוא קבוץ כל מספרי הזוגות הטבעיים המונחים
	ואולם הקדמונים למה שראו שכמות המדרגו' שמהמספר הראשון עד המספר האחרון איזה מספר היה הנה הוא שוה לחצי המספר האחרון הנה לא הוצרכו למנות המדרגות לדעת כמותם רק לקחו חצי המספר האחרון והכוהו עם חציו בתוספת אחד והעולה הוא קבוץ כל המספרים שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
$\scriptstyle S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n$	ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו הכוללת לכל מיני התוספת אשר בו יתוספו המספרי' המונחים קצתם על קצת איזה תוספת היה כשנכה חצי כמות המדרגות שמהמספר הראשון השוה לתוספת עד המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון והעולה הוא שוה לכל המספרים המונחים סבתו גם כן ידועה ממה שקדם מנתינת הסבה במספרים הטבעיים
Euclid, Elements, Book V, Proposition 15: For, it was already clarified in Euclid's Book of Elements, in the fifth section, that any numbers, whose multiples are equal, have the same ratio as the ratio of their equimultiples. $\scriptstyle\left(n\sdot a\right):\left(n\sdot b\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר החמישי ממנו שהמספרים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(a\sdot k\right)=a\sdot\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)$	וכאשר היה זה כן והיו כל שאר מיני המספרים הנוספים קצתם אל קצת בתוספת שוה הם כפלי המספרים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 2k=2+4+6+8=2\sdot\left(1+2+3+4\right)=2\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	וזה שמספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל הנוספים בתוספת ב' הם שני כפלי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 3k=3+6+9+12=3\sdot\left(1+2+3+4\right)=3\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	ומספרי ג' ו' ט' י"ב הנוספים בתוספת ג' הם שלשה כפלי א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{4} 4k=4+8+12+16=4\sdot\left(1+2+3+4\right)=4\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)}}$	ומספרי ד' ח' י"ב י"ו הנוספים בתוספת ד' הם ארבע כפלי א' ב' ג' ד' הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיו על יחס א' ב' ג' ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4=3:6=4:8}}$	רוצה לומר שיחס האחד אל השנים הוא כיחס השנים אל הארבעה והג' אל הו' והד' אל הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{2:3=4:6=6:9=8:12}}$	וכן יחס הב' אל הג' הוא כיחס הד' אל הו' והו' אל הט' והח' אל הי"ב וכן תמיד
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כל מספר ומספר מכל המספרים המתחלפים שתוספתם שוה כאשר תעריך כל המספרים הקודמים ממנו אליו יהיה תוספת ערך הקודמים ממנו אליו מערך הקודמים מהמספר הקודם לו אל הקודם לו בתוספת חצי
	כמו שהיה זה במספרים הטבעיים וזה שהמספרי' הנוספים קצתם על קצת בתוספת ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{2:4=\frac{1}{2}}}$	הנה יהיה ערך הב' אל הד' חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+4\right):6=\frac{2}{2}}}$	וערך הב' ד' אל הו' שני חצאים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+4+6\right):8=\frac{3}{2}}}$	וערך הב' ד' ו' אל הח' שלשה חצאים
	וכן תמיד בתוספת חצי
	וכן במספרים הנוספים קצתם על קצת בתוספת ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{3:6=\frac{1}{2}}}$	כי ערך השלשה אל הששה חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+6\right):9=\frac{2}{2}}}$	וערך הג' ו' אל הט' שני חצאים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+6+9\right):12=\frac{3}{2}}}$	וערך ג' ו' ט' אל הי"ב שלשה חצאים וכן תמיד בתוספת חצי
	וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחוייב במספרים הטבעיים שנקח חצי כמות כל המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון והעולה הוא סך כל המספרים המונחים לסבה שזכרנוה
	כן יחוייב שנקח חצי כמות כל המספרים המונחים הנוספים קצתם על קצת באיזה תוספת היה בתוספת חצי ונכהו עם המספר האחרון ויצא לך סך כל המספרים המונחים אחר שהם מתדמי היחס למספרים הטבעיים לפי מה שקדם
	ואולם אשר נעלם מהקדמונים הוא כי הם לא שערו שהסבה בהכאת חצי המספר האחרון בתוספת חצי עם המספר האחרון הוא מפני שהוא שוה להכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם המספר האחרון
	וזה מפני שחצי המדרגות הוא חצי המספר האחרון במספרים הטבעיים
	אבל חשבו שהוא מצד שהוא חצי המספר האחרון לבד
	וכאשר היה זה בלתי צודק רק למספרים הטבעיים הנוספים קצתם על קצת בתוספת א' חשבו שאין הדרך הזאת צודקת רק במספרים הטבעיים
	אולם אנחנו למה שכבר ביארנו שאין זה מצד חצי המספר האחרון רק מצד מה שקרה שחצי המדרגות הם חצי המספר האחרון אבל הסבה אשר בעצם ועל הכוונה הראשונה אמנם הוא מצד חצי המדרגות בתוספת חצי
	הנה אם כן יחוייב בהכרח שכמו שבהכאת חצי כמות מדרגות המספרים הטבעיים בתוספת חצי עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים הטבעיים
	כן יחוייב מזה שבהכאת כמות חצי מדרגות המספרים המונחים הנוספים בתוספת שוה איזה תוספת היה עם המספר האחרון יצא לך סך כל המספרים המונחים בהכרח
	ואולם כאשר היה המספר הראשון מכל המספרים המונחים פחות מהתוספת אשר בו יתוספו קצתם על קצת איזה פחיתות היה הנה נוסיפהו על המספר האחרון ונכהו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי והעולה נגרע ממנו העולה מהכאת המגרעת עם כמות המדרגות והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים
	וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכאשר נוסיף המגרעת על המספר האחרון הוא שוה כאלו התחלנו המדרגו' מהמספר אשר הוא שוה לתוספת המספרי' המונחים קצתם על קצת
	ואם כן מהכאתו עם חצי כמות המדרגות בתוספת חצי יחוייב שיצא סך כל המספרים הנוספים קצתם על קצת כאשר יהיה התחלתם מהמספר השוה לתוספת לפי מה שקדם מהמאמר
	וכאשר נגרע מכל אחד מהמספרים המונחים מגרעת המספר הראשון מהמספר השוה לתוספת אשר בו יתחלפו אלה המספרים המונחים מהמספרים אשר התחלתם מהמספר השוה לתוספת
	הנה יחוייב מזה בהכרח שישאר לנו הסך העולה מכל אלה המספרים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו במספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל כשיכפלו המספר האחרון ויגרעו ממנו המספר הראשון מהמספרים המונחים והנשאר הוא סך כל המספרים המונחים הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שכפל המספר האחרון הוא כמו חבור המספר האחרון עם כפל הקודם וכפל הקודם הוא שוה לחבור הקודם עם כלל קודם הקודם
	אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם כפל קודם הקודם
	וכן יתחייב בזה הדרך בעצמו שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם הקודם ועם קודם הקודם ועם כפל קודם קודם הקודם וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון למספרים המונחים המתיחסים ביחס הכפל
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כפל המספר האחרון שוה לחבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים חוץ מהמספר הראשון וכפל המספר הראשון שהוא שני פעמים כמו המספר הראשון
	ואם כן כפל המספר האחרון הוא נוסף על חבור המספר האחרון עם כל המספרים הקודמים כמו המספר הראשון
	ולכן כאשר נגרע מכפל המספר האחרון המספר הראשון יהיה הנשאר שוה בהכרח לחבור המספר האחרון עם כל הקודמים המונחים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר חדשנו אנחנו בזה המין והוא שנגרע אחד מהמספר אשר יגזר ממנו היחס איזה יחס היה וכפי השבר הנגזר מהמספר הנשאר כן נקח מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו המספר הראשון ונוסיפהו על המספר האחרון והוא סך כל המספרים המונחים המוחסים איזה התיחסות שיהיה הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהמספרים המונחים המתיחסים באיזה יחס שיהיה הנה הקודם מהמספר האחרון כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המונחים יהיה שוה למספר האחרון בהכרח
	משל זה ביחס הכפל הנה מספר ח' כאשר יכפל שני פעמים יהיה שוה למספר י"ו שהוא אחריו
	וכן ביחס המשלש בכפל הנה מספר ט' כאשר יכפל שלשה פעמים יהיה שוה בהכרח למספר הכ"ז שהוא אחריו
	וכן בכל יחס ויחס איזה יחס היה
	וכאשר היה זה כן והוא מן המבואר בעצמו שהעולה מכפלי המספר הקודם איזה כפלים שיהיו הנה הוא שוה לחבור העולה מכפלי הקודם פחות אחד מכפליו עם העולה מכפלי קודם הקודם כאשר יהיו כפליו שוים לכפלי הקודם טרם שנגרע ממנו הכפל האחד
	משל זה במשלנו הקודם הנה העולה משני כפלי הח' הוא שוה לחבור הח' עם העולה משני כפלי הד' הקודם ממנו וכן העולה מג' כפלי הט' הוא שוה לחבור העולה משני כפלי הט' עם העולה מג' כפלי הג' הקודם ממנו
	והסבה בזה הוא שאחר שהקודם לקודם כאשר יכפל במספר כפלי המספרי' המתיחסים קצתם אל קצת הנה הוא שוה למספר המאוחר ממנו אם כן אין הבדל בזה בין שנקח ג' כפלי המספר האמוחר עד"מ ובין שנקח ב' כפלי המאוחר וג' כפלי הקודם אשר הם שוים למספר המאוחר
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר יהיו מספרים מונחים מתיחסים ביחס מה ונכפול המספר הקודם מהמספר האחרון במספר כפלי המספרים המונחים שיהיה העולה ממנו שוה למספר האחרון לפי ההקדמה הראשונה והוא שוה גם כן לחבור העולה ממנו כאשר יכפל במספרי כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד עם העולה מכפלי הקודם ממנו שהוא קודם לקודם כאשר יהיו כפליו ככפלי היחס לפי ההקדמה השנית
	אם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל בכפלי המספרים המתיחסים ישוה למספר האחרון
	וכן בזה הדרך בעצמו יחויב שיהיה העולה מהמספר הקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחובר עם העולה מהמספר הקודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות א' ועם העולה מהמספר הקודם קודם לקודם הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שוה למספר האחרון וכן תמיד עד שיכלה אל המספר הראשון
	ואם כן יחוייב מזה בהכרח שהעולה מכל המספרי' הקודמים למספר האחרון חוץ מהראשון הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כאשר יחובר עם העולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים שיהיה שוה למספר האחרון והעולה מהמספר הראשון הנכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים הוא נוסף על העולה ממנו כאשר יכפל במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות כפל אחד כמו המספר הראשון
	אם כן יהיה המספר האחרון שוה לעולה מכל המספרים הקודמים הנכפלים בכפלי המספרים המתיחסים פחות אחד מחוברים עם המספר הראשון
	וכאשר יחוסר מהמספר האחרון המספר הראשון יתחייב שיהיה הנשאר מהמספר האחרון שוה לעולה מכל המספרי' הקודמים ממנו כאשר יכפלו במספר כפלי המספרי' המתיחסים פחות אחד
	ויתחייב מזה בהכרח שכאשר נקח מהעולה מכל המספרים הקודמי' הנכפלים במספר כפלי המספרים המתיחסים פחות אחד העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים ונקח גם מהנשאר מהמספר האחרון אחר שיחוסר ממנו המספר הראשון כמו יחס העולה מהמספרים הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מהמספרים הקודמים הנכפלים
	הנה יחוייב בהכרח שיהיה העולה מכל המספרים הקודמים שוה לחלק הלקוח מהמספר האחרון אחר מגרעת המספר הראשון ממנו
Euclid, Elements, Introduction: For, when equal is subtracted from equals, then the remainders are necessarily equal, according to what is clarified in the introduction of the first section of Euclid's [book]. $\scriptstyle a=b\longrightarrow a-c=b-c$	כי כאשר יחוסר מהשוים שוה יהיו הנשארים שוים בהכרח לפי מה שהתבאר בפתיחת המאמר הראשון מאקלידס
	והוא מהמושכלים הראשונים
	ואם כן כאשר יחובר הלקוח מהמספר האחרון עם המספר האחרון יחוייב שיהיה שוה בהכרח לכל העולה מכל המספרים המונחים המתיחסים
	וכאשר היה זה כן והיה זה מופת כולל צודק בכל מיני המתיחסים הנה אם כן כאשר נגרע המספר הראשון מהמספר האחרון ונשמרהו אחר כן נגרע אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס המספרים המתיחסי' וישאר המספר אשר יגזר ממנו יחס המספרי' הנכפלים במספר כפלי המתיחסים פחות אחד אחר זה נקח השבר הנגזר מהמספר אשר יגזר ממנו יחס המספרים פחות אחד שהוא יחס העולה מכל הקודמים הבלתי נכפלים אל העולה מכל הקודמים הנכפלים ונקח כמוהו מהשמור יתחייב שיהיה שוה לכל העולה מכל המספרים הקודמים הבלתי נכפלים
	וכאשר נוסיפהו על המספר האחרון יחוייב שיהיה העולה מהם שוה למה שיעלה מכל המספרים המונחי' עם המספר האחרון וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים בקבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו שתי שלישיות שרש המרובע האחרון בתוספת שליש עם סך שרשי כל המרובעים המונחי' הנה סבתו גם כן ידועה
	וזה שמרובעי המספרים הטבעיים הנה כאשר תערוך סך כל המרובעים שמהאחד עד המרובע האחרון עם המרובע האחרון יחד אל סך כל שרשי המרובעים המונחים הנה יהיה תוספת זה הערך על ערך סך כל המרובעים הקודמים למרובע האחרון אל סך שרשי כל מרובעיהם בתוספת שתי שלישיות וכן הקודמים מהקודמים לקודמים וכן תמיד
$\scriptstyle{\color{blue}{1^2:1=1:1=1=\frac{3}{3}}}$	וזה שערך מרובע אחד אל שרשו שהוא גם כן אחד הוא שלם א' שהוא ג' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^2+2^2\right):\left(1+2\right)&\scriptstyle=\left(1+4\right):\left(1+2\right)\\&\scriptstyle=5:3=1+\frac{2}{3}=\frac{5}{3}\\&\scriptstyle=\frac{3}{3}+\frac{2}{3}=\left(1^2:1\right)+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$	וערך מרובע הא"ד יחד שהם ה' אל שרשיהם שהם ג' הוא א' ושתי שלישיות שהם ה' שלישיות והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא שתי שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^2+2^2+3^2\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+4+9\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=14:6=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\\&\scriptstyle=\frac{5}{3}+\frac{2}{3}=\left[\left(1^2+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$	וכן ערך מרובעי אד"ט יחד שהם י"ד אל שרשיהם שהם ו' הוא ב' ושליש שהם ז' שלישיות והנה תוספת זה הערך על הערך הקודם הוא ב' שלישיות
	וכן תמיד על זה הדרך ר"ל שתוספת הערכים קצתם על קצת בתוספת ב' שלישיות
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר נרצה לדעת קבוץ כל מרובעי המספרים הטבעיים שהתחלתם מהא' עד מרובע מה איזה מרובע היה
	הנה מן המחוייב עלינו שנדע כמות המדרגות שמהא' עד המרובע האחרון וכפי כפל כמות המדרגות ככה נקח מהשלישיות ונוסיף עליהם שלישית אחת למה שהיה ערך מרובע האחד אל שרשו הוא שלם אחד נוסף על הב' שלישיות שבכל מדרגה ומדרגה אחר זה נכהו עם סך שרשיהם והעולה הוא סך כל המרובעים בהכרח
	ואולם הקדמונים למה שראו שמספר כמות המדרגות שמהאחד עד המרובע האחרון הוא שוה לשרש המרובע האחרון על כן לא רצו למנות המדרגות רק מצאו שרש המרובע האחרון ולקחו שתי שלישיותיו בתוספת שליש והוא שוה כאלו לקחו מכל מדרגה ומדרגה מהמדרגות שלישיות והוסיפו באחרונה שליש אחד
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16$	המשל בזה רצינו לדעת קבוץ כל המרובעים המונחים שמהאחד עד מרובע י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{16}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot10=3\sdot10=30\\\end{align}}}$	הנה לקחנו שרשו והוא ד' לקחנו שני שלישיותיו והם ב' ושתי שלישיות הוספנו עליו שליש א' והנה הם ג' שלמים הכינום עם א' ב' ג' ד' שהם שרשי כל המרובעים ההם שהם י' ועלה שלשים וככה הוא סך מרובעי א' ד' ט' י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{3}\sdot\left(1+2+3+4\right)=3\sdot\left(1+2+3+4\right)=30\\\end{align}}}$	והנה הדבר שוה כאלו לקחנו מכל מדרגה מד' מדרגות א' ד' ט' י"ו שתי שלישיות ועלו ח' שלישיות והוספנו עליהם שליש אחד ועלו ט' שלישיות שהם ג' שלמים וזה שד' פעמים שתי שלישיות הוא שוה לשתי שלישיות ד' ועם תוספת שליש יהיו ט' שלישיות שהם ג' וזהו מה שרצינו לבאר
	וכבר יתחייב לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מרובעי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי האחד ונרצה לדעת סך כל המספרים ההם
	הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא שתי שלישיותיו בתוספת שליש ונשמרהו אחר זה נקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3\sdot k^2=3+12+27+48$	המשל בזה אם רצית לדעת סך כל מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3\sdot k^2&\scriptstyle=\left(3\sdot1^2\right)+\left(3\sdot2^2\right)+\left(3\sdot3^2\right)+\left(3\sdot4^2\right)\\&\scriptstyle=3+12+27+48\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(3\sdot10\right)=3\sdot30=90\\\end{align}}}$	הנה להיות שכמות מדרגותיהם הם ד' נקח שתי שלישיותיו בתוספת שליש והם שלשה שלמי' ונשמרם אחר נקח חצי הכמות בתוספת חצי שהם ב' וחצי ונכם עם הכמות ויעלו עשרה נכם עם שלשה שהם מספר כפלי המספרים המונחים על מרובעי המספרים הטבעיים ויעלו שלשים נכם עם השמור שהם שלשה ויעלו תשעים וככה הוא סך מספרי ג' י"ב כ"ז מ"ח וסבת זה גם כן ידועה
Based on Euclid $\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לפי מה שקדם מהמאמר שהמספרים שהם כפלי מספרים אחרים מונחים כמה שיהיו הנה יחס הכפלים קצתם אל קצת כיחס המספרים המונחים הבלתי נכפלים קצתם אל קצת
	ולכן יהיו הערכים נוספים קצתם על קצת בתוספת שתי שלישיות כמו מרובעי המספרים הטבעיים
	ולכן כאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המרובעים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה
	ואולם מה שחדשנו הנה אמנם הוא הכאת מספר כפלי המספרים המונחי' עם העולה מהכאת כמות חצי המדרגו' בתוספת חצי עם כמות המדרגות שמהמספר הראשון עד המספר האחרון וסבת זה גם כן ידועה
	והוא שהערכים אמנם הם שוים עם ערכי המרובעים הטבעיים כאשר נכפול שרשי המרובעים במספר כפלי המספרים המונחים מהמרובעים
	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שנכה העולה מהכאת חצי המדרגות בתוספת חצי עם כמות המדרגות שהוא סך שרשי המרובעים אשר המספרים המונחים כפלים להם עם מספר כפלי המספרים המונחים על המרובעים הטבעיים וזהו מה שכווננו ביאורו
	ואולם הדרך אשר בו השתמשו בקבוץ כל מעוקבי המספרים הטבעיים המונחים כשיכו סך יסודות המעוקבים המונחים בעצמו הנה סבתו גם כן ידועה
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)\right]+n$	וזה שכפלי סך כל המעוקבים המונחים כמה שיהיו על סך כל יסודותיהם הם נוספים על כפלי סך כל המעוקבים המונחים הקודמים מהמעוקב האחרון על סך יסודותיהם כמו יסוד המעוקב האחרון
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right)\right]+\left(n-1\right)$	וכן הקודמים נוספים על הקודמים לקודמים כמו יסוד הקודמים
$\scriptstyle{\color{blue}{1^3:1=1}}$	וכן תמיד עד שיגיע למעוקב הראשון רוצה לומר שהערכים נוספים קצתם על קצת כמו המספרים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3\right):\left(1+2\right)&\scriptstyle=\left(1+8\right):\left(1+2\right)\\&\scriptstyle=9:3=3=1+2=\left(1^3:1\right)+2\\\end{align}}}$	משל זה שערך מעוקבי א' ח' שהם תשעה על סך יסודם שהם שלשה הוא נוסף על ערך מעוקב אחד על יסודו שהוא אחד כמו יסוד שמונה שהוא שנים כי הערך הראשון היה השוה שהוא מורה על פעם אחד כמו היסוד וזה הערך הוא שלשה כפלי היסוד שהוא שני פעמים נוספים על הפעם האחת שבערך הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=36:6=6=3+3\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+3\\\end{align}}}$	וכן ערך מעוקבי א' ח' כ"ז שהם ל"ו על סך יסודם שהם ששה הוא ששה כפלים והוא נוסף על הערך הראשון ממנו כמו יסוד הכ"ז שהם שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right):\left(1+2+3+4\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27+64\right):\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=100:10=10=6+4\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2+3^3\right):\left(1+2+3\right)\right]+3\\\end{align}}}$	וכן ערך מעוקבי א' ח' כ"ז ס"ד שהם מאה על סך יסודם שהם י' הוא עשרה כפלים והוא נוסף על ערך הו' כפלים הקודם ממנו כמו יסוד הס"ד שהם ד'
	וכן תמיד על זה הדרך רוצה לומר שתוספת הערך על הערך הוא כמו היסודות המעוקבים האחרונים
	ויסודות המעוקבים האחרונים הם המספרים הטבעיים בעינם
$\scriptstyle{\color{blue}{1^3:1=1}}$	הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ערך מעוקב אחד אל יסודו הוא אחד רוצה לומר שוה לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1^3+2^3\right):\left(1+2\right)=\left(1+8\right):\left(1+2\right)=1+2=3}}$	וערך מעוקבי א' ח' אל סך יסודם הוא שלשה רוצה לומר שלשה פעמים כמוהו שהוא חבור השנים עם האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=\left(1+2\right)+3=6\\\end{align}}}$	וערך מעוקבי א' ח' כ"ז אל סך יסודם הוא ו' רוצה לומר ו' פעמים כמוהו שהוא חבור הג' עם הא"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right):\left(1+2+3+4\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27+64\right):\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\left(1+2+3\right)+4=10\\\end{align}}}$	וערך מעוקבי א' ח' כ"ז ס"ד אל סך יסודם הוא י' רוצה לומר י' פעמים כמוהו שהוא חבור הד' עם א' ב' ג' וכן תמיד
the sum of the cubes = the product of the sum of their roots by the sum of the indexes of the cubes from the first to the last $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]$	וכאשר היה זה כן הנה אם כן ברצותנו לדעת קבוץ כל המעוקבים המונחים כמה שהיו הנה נמצא יסוד המעוקב האחרון ונכהו עם חציו בתוספת חצי והעולה הוא קבוץ יסודות כל המעוקבים המונחים אחר זה נבקש לדעת כמות המדרגות שמהמעוקב הראשון עם המעוקב האחרון ונקח למדרגה הראשונה א' ולשנית ב' ולשלישית ג' ולרביעית ד' וכן תמיד עד שנגיע אל המרובע האחרון אחר זה נחבר כלם יחד והם כפלי סך כל המעוקבים על סך יסודותיהם ולכן נכה סך יסודותיהם עם העולה מחבור כל המספרים הטבעיים שהוא חבור כל המדרגות והעולה הוא חבור כל המעוקבים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)^2$	אולם הקדמונים למה שראו שהעולה מחבור כל המדרגות שהם המספרים הטבעיים הוא בעצמו סך כל יסודותיהם הנה הכו סך כל יסודותיהם עם עצמו והעולה הוא סך כל המעוקבים המונחים וזה מה שכווננו ביאורו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot k^3=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot a\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]$	וכבר יתחייב מזה לפי הדרך הזאת שכאשר יהיו מספרים מונחים כמה שיהיו והיו כפלי מעוקבי המספרים הטבעיים איזה כפלים שיהיו התחלתם מכפלי המעוקב הראשון שהוא א' א' ונרצה לדעת סך כל המספרים המונחים הנה נדע כמות מדרגות המספרים המונחים ונקח מהכמות ההוא חציו בתוספת חצי ונכהו עם הכמות והעולה נשמרהו ואחר זה נכהו עם מספר כפלי המספרים המונחים על המעוקבים הטבעיים והעולה נכהו עם השמור והעולה הוא קבוץ כל המספרים המונחים
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot k^3=3+24+81$	המשל בזה במספרי ג' כ"ד פ"א שכל אחד מהם הוא ג' כפלי המעוקבים הטבעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot k^3&\scriptstyle=\left(3\sdot1^3\right)+\left(3\sdot2^3\right)+\left(3\sdot3^3\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot1\right)+\left(3\sdot8\right)+\left(3\sdot27\right)=3+24+81\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot3\sdot\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\\&\scriptstyle=6\sdot3\sdot6=18\sdot6=108\\\end{align}}}$	כי הג' הוא ג' כפלי הא' שהוא המעוקב הראשון והכ"ד הוא ג' כפלי הח' שהוא המעוקב השני והפ"א הוא ג' כפלי הכ"ז שהוא המעוקב השלישי וכמות מדרגותיהם הוא ג' נכהו עם חציו בתוספת חצי ויעלו ו' ונשמרהו אחר זה נכה הו' עם הג' שהם מספר כפלי המספרים האלו על המעוקבים לפי מה שקדם ויעלו י"ח אחר זה נכה הי"ח עם הו' השמורים ויעלו ק"ח וזהו קבוץ מספר ג' כ"ד פ"א
	וסבת זה גם כן ידועה ממה שקדם
Euclid, Elements, Book V, Proposition 15: For, it was already clarified in Euclid's Book of Elements, according to what was preceded in this section, that the given numbers have the same ratio as the ratio of their equimultiples. $\scriptstyle\left(n\sdot a\right):\left(n\sdot b\right)=a:b$	וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס לפי מה שקדם מן המאמר שמהמספרים המונחים הם יחס קצתם אל קצת הוא כיחס כפליהם קצתם אל קצת
$\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n} a\sdot k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} a\sdot k\right)=\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)$	ולכן יהיו ערכי המספרים האלו גם כן על סך מדרגותיהם מוכים במספר כפלי המספרים המונחים כיחס ערכי המעוקבים על סך יסודם
	וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה הדרך אל מציאותם הוא הדרך אל מציאות המעוקבים בעינו אחר שסבתם היא אחת בעינה וזה מה שכווננו ביאורו
Special Properties	וסגולת זה המין
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 28: When an even number is multiplied by an odd number, or by an even number, then the product is even. $\scriptstyle odd\times even=even$ ; $\scriptstyle even\times even=even$	הוא שכאשר הוכה מספר זוג במספר נפרד או במספר זוג הנה המקובץ זוג
Euclid, Elements, Book IX, Proposition 29: When an odd number is multiplied by an odd number, then the product is odd. $\scriptstyle odd\times odd=odd$	וכאשר הוכה מספר נפרד במספר נפרד הנה המקובץ נפרד
	הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם הדרכים אשר חדשתי אני ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד מחובר בסבותיהם יחד
	ומעתה אתחיל במין החסור

Chapter Three - Subtraction

הפרק השלישי במין החסור

Definition of the subtraction operation: subtraction is the subtraction of a number from another number that is greater than it.

החסור הוא מגרעת מספר מה ממספר אחר גדול ממנו

ואמרי ממספר אחר גדול ממנו כוונתי על כל הטור

אולם מצד המדרגות כבר יתכן זה ר"ל שיתכן שיהיו אחדי הטור השפל יותר מאחדי הטור העליון וכן העשרות מהעשרות וכן המאות מהמאות

ואולם אחדי מדרגת האלפים מהטור העליון הוא יותר מאחדי מדרגת האלפים מהטור השפל וכן לעולם

ר"ל שתביט שיהיה הכלל האחרון מהטור העליון גדול מהכלל האחרון שבטור השפל לא שתביט המדרגה עם המדרגה כי כבר יתכן בזולת זה

והדרך אל ידיעת זה המין ואופן הנחתו הוא זה שתסדר השני מספרים בשני טורים המספר היותר גדול בטור העליון והמספר הקטן בטור השפל

וזה כשתניח כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל מדרגת האחדים כנגד האחדים והעשרות כנגד העשרות

ואחר תחסר כל מדרגה מהשפל ממה שכנגדה מהעליון והנשאר כתבהו בטור שלישי תחת הטור השני כנגד המדרגה ההיא בעצמה אחר שתמשוך קו מבדיל בין הטור השני והטור השלישי

וזה אם היתה המדרגה השפלה פחותה מהעליונה

ואם היתה שוה לה תכתוב סיפרא למטה כנגד המדרגה ההיא

ואם היתה מדרגת הטור השפל גדולה ממנה הנה נכתוב בטור השלישי כנגד המדרגה ההיא בעצמה העולה מקבוץ המדרגה העליונ' עם מגרעת התחתונ' מהעשרה ונגרע מהמדרגה הנמשכת לה מהטור העליון א' או נוסיף א' במדרגה הנמשכת מהטור השפל ואחר נעשה כמשפט ר"ל כפי מה שהורונו בידיעת המדרגה הקודמת לה

המשל בזה אם רצינו לגרוע מספר אלף של"ט ממספר גדול ממנו והוא מספר ב' אלפים שמ"ה

2	3	4	5
1	3	3	9

1

0

6

הנה נגרע הט' שהם אחדי הטור השפל מהה' שהם אחדי הטור העליון

ולהיות שהט' יותר מהה' הנה נחבר הה' שבטור העליון עם הא' שהוא הנשאר ממגרעת הט' שבטור השפל מהי' והעולה ו' ונכתבהו תחת הקו כנגד מדרגת האחדים בעצמה
אחר זה נוסיף אחד על מספר ג' הנמשך למדרגת האחדים מהשפל או נגרע א' מהד' הנמשך למדרגת הה' שבטור העליון כי הכל ענין אחד
ונחסר השפל מהעליון והם שוים ונכתוב סיפרא בטור השלישי במדרגת העשרות אחר זה נגרע הג' שבמדרגת המאות מהשפל מהג' שבמדרגת המאות מהעליון והם שוים ולזה נכתוב סיפרא בטור הג' במדרגת המאות
אחר זה נגרע הא' שבמדרגת האלפים מהעליון והנשאר א' ונכתבהו בטור השלישי במדרגת האלפים והעולה בטור השלישי הוא הנשאר מחסור הטור השפל מהטור העליון

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין

הוא שתשליך הטור העליון ט' ט' והנשאר מהתשיעיות שמרהו

עוד תשליך הטור השפל גם כן תשיעיות והנשאר שמרהו
אחר זה חסר השמור השפל מהשמור העליון אם השמור העליון גדול מהשמור השפל או הוסף על השמור העליון ט' אם השמור העליון קטן ממנו
אחר זה חסר השמור השפל מהעליון והנשאר שמרהו
אחר זה השלך גם אותיות הטור השלישי לתשיעיות והנשאר אם הוא בלתי שוה לשמור שבידך דע שטעית

אלא שגם אלה מאזני מרמה

עוד מאזנים אחרים על דרך השביעיות

והוא שנשליך מכל טור וטור מהשני טורים העליונים השביעיות לפי מה שקדם אם כשתחשב כל מדרגה לפי איכותה

ואם כשתחבר המדרגה האחרונה עם הקודמת לה ותחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים והכל עולה בקנה אחד
אחר זה חסר מהמותר מהטור הגדול המותר מהטור הקטן והנשאר שמרהו
אחר זה השלך השביעיות גם מהטור השלישי ואם המותר בלתי שוה למותר כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה

אולם המאזני צדק אשר בזה המין

הוא זה שתקבץ הטור השפל עם הטור השלישי והעולה אם הוא שוה לטור העליון דע שצדקת ואם לאו כזבת

ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הזאת הנה היא מבוארת בעצמה

וזה שהוא מן המבואר שכאשר תהיה המדרגה השפלה יותר גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונקח אחד מהמדרגה הנמשכת לעליונה שהוא עשרה בערך אל המדרגה הקודמת ונחסר ממנו המדרגה השפלה שתחת המדרגה הקודמת לה שיהיה הנשאר ממנו מחובר עם המדרגה העליונה הקודמת שוה למותר אשר ישאר ממגרעת המדרגה השפלה מהעליונה מחוברת עם הא' הלקוח מהמדרגה הנמשכת לה הנחשב לעשרה

ושהמדרגה הנמשכת למדרגה השפלה הנה כאשר נוסיף לה אחד ונגרעה מהעליונה שכנגדה מבלתי שנגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה הנה הנשאר ממנה שוה למה שישאר ממגרעת המדרגה השפלה הנמשכת מבלתי שנוסיף לה דבר מהמדרגה העליונה שכנגדה כאשר נגרע ממנה האחד שגרענו ממנה בתחלה וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל

וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר תהיה המדרגה השפלה יותר פחותה מהעליונה שכנגדה נגרע השפלה מהעליונה והנשאר נכתבהו תחתיה

ואם היתה שוה לה נכתוב תחתיו סיפרא

ואם היתה יותר גדולה נגרעה מהעשרה והנשאר נחברהו עם המדרגה העליונה שכנגדו והעולה נכתבהו תחת מדרגתה

אחר זה נוסיף אחד על המדרגה השפלה הנמשכת ונגרעה מהעליונה שכנגדה והנשאר נכתבהו תחת מדרגתה וזהו מה שכווננו ביאורו

ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה היא מבוארת ממה שקדם אין צורך להכפיל המאמרים

ואולם סבת המאזני צדק אשר בזה המין הנה היא מבוארת גם כן

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהמספר הנגרע עם המותר הוא שוה למספר הנגרע ממנו

ולכן כאשר נקבץ המותר והנגרע ראוי שישוה למספר הגדול וזהו מה שכווננו ביאורו

וסגולת זה המין שכאשר חוסר מספר זוג ממספר זוג הנה הנשאר זוג

ואם חוסר מספר זוג ממספר נפרד הנה הנשאר נפרד

וכאשר חוסר מספר נפרד ממספר נפרד הנה הנשאר זוג

ואם חוסר מספר נפרד ממספר זוג הנה הנשאר נפרד

ומעתה אתחיל בביאור המין הרביעי והוא החלוק

Chapter Four - Division

הפרק הרביעי במין החלוק

Definition of the division operation: division is the announcing of the number of parts of a given number that are equal to a given number that is smaller than it.

החלוק הוא המודיע מספר חלקי מספר מה מונח השוים למספר מה מונח קטן ממנו

ולהיות שמציאות זה הדבר אמנם הוא עם חלוקת המספר הגדול לחלקים שוים למספר המונח הקטן ממנו כי אם לא יחלק תחלה לחלקים שוים לקטן לא יתכן שימצא מספרם כי המספר אמנם הוא אחר מציאות הדבר לכן קראנו שם זה המין חלוק

ובו יודע יחס מספר מה אל מספר אחר קטן ממנו

וזה שכפי מספר חלקי המספר הגדול ככה הם כפליו מהמספר הקטן ממנו אשר חלקיו שוים לו וכפי המותר הבלתי מתחלק אל המספר הקטן הנחלק עליו ככה הם החלקים הנוספים לו על כפליו

כי עד"מ הכ"ה אל הי' להיות שמספר חלקי הכ"ה השוים לי' הם ב' ידענו שכפלי הכ"ה הם שני כפלי הי'

ולהיות שהמותר הבלתי מתחלק ממנו הם ה' והמספר הנחלק עליו הם י' ידענו שהחלקים הנוספים לו על כפליו הם ה' חלקים מהי'
ובזה ידענו שיחס הכ"ה אל הי' הם ב' כפלים וה' עשיריות

ואולם יחס המספר הקטן אל המספר הגדול ממנו הנה אם היה הקטן חלק מהגדול יקרא בשם נגזר ממספר כפלי הגדול

כי כבר הקדמנו בפתיחת זה המאמר כי השברים נגזרים מכפלי המספר הגדול כמו החצי מהכפל והשליש ממשלש בכפל

ואולם אם היה הקטן חלקים לגדול הנה יש לו דרך ייחדהו במה שיבא אם ירצה האל יתברך

ולהיות שהמספר הקטן יהיה חלק או חלקים לגדול והחלק הוא אשר ימנה המספר הגדול והגדול יהיה כפל או כפלים לקטן ויקרא הגדול בשם אחד בלבד והוא השם הנגזר משם שבר הקטן לפי מה שקדם

והחלקים הוא אשר לא ימנה לגדול בין שימצא מספר אחד ימנם יחד והם המשותפים ובין שלא ימצא מספר אחד ימנם יחד והם הנבדלים והגדול יהיה אז כמו הקטן וחלק או חלקים לקטן או כפלים וחלק או חלקים לקטן

ויקרא הגדול בשני שמות שם במה שהוא נמנה ושם במה שהוא בלתי נמנה לפי מה שקדם

וידיעת הפשוט קודם מידיעת המורכב כמו שמציאותו קודם ממציאותו

הנה אם כן מן המחוייב להקדים דרך מציאות חלוק המספר אשר הוא נמנה מהקטן אחר זה המספר הבלתי נמנה מהקטן

ואומר שהדרך הכולל בידיעת זה המין הוא שתסדר המספר המחולק בטור ראשון ותחתיו המספר המחלק בטור שני ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבטור העליון

אחר זה תמשיך קו ותכתוב תחתיו היוצא מהחלוקה ויקרא בשם חלק ותהיה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה הראשונה שבטור השני שהוא המחלק
זהו סדר הנחת המחלק והמחולק והחלק בכל חלקי זה המין

ואולם דרך השמוש בו הוא זה שתחשוב כל מדרגות המחולק כמו אחדים ושתתחיל מהמדרגה האחרונה של המחולק

ואם המחלק פרט לבד תחקור מספר הפעמי' אשר ימנה אותו המחלק והמספר ההווה כתבהו תחת הקו כנגד אותה המדרגה

וכן בכל המדרגות דרך אחד לכל ר"ל שמספר הפעמים אשר ימצא המחלק כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המחולק יכתוב תחת הקו כנגד המדרגות הנמנות מהמחלק

ואם המחלק גדול מהמדרגה האחרונה שבמחולק לא נכתוב תחת הקו כנגד המדרגה ההיא מאומה אבל נחשב אותה לעשרות והקודמת לה לאחדים ונחברם יחד ונחקור מספר הפעמים אשר ימנם המחלק והמספר ההוה יכתוב תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת למדרגה האחרונה

אולם אם היה המחלק פרט וכלל יחד נחקור מספר הפעמים אשר ימנה המדרגה האחרונה מהמחלק את המדרגה האחרונה מהמחולק באופן שיספיק העולה מהכאת מספר הפעמים עם המדרגה האחרונה מן המחלק שיחוסר מהמדרגה האחרונה מהמחולק

וכן העולה מהכאת מספר הפעמי' עם המדרג' הקודמת שבמחלק שיחוסר מהמדרג' הקודמת שבמחולק עם עזר הנשאר מהמדרגה האחרונה שבמחולק כשיחשבו לעשרו' בערך המדרגה הקודמת
ומספר הפעמים ההם יכתבו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבמחלק

וכן תמיד דרך אחד להם ירבו מה שירבו מדרגות המחולק או המחלק או שניהם יחד

משל המין הראשון והוא שהמחלק פרט לבד הוא זה

	3
2	7	2	8
	8

3

4

1

בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה המחלק שהוא מספר ח' המדרגה האחרונה שבטור העליון שהוא הב' ולא מצאנו מספר כלל לפי שהוא יותר קטן ממנו ולזה לא כתבנו מאומה תחת הקו כנגד הח' כמשפט

אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת שבטור העליון והוא הז' וחברנו עמה המדרגה הנמשכת לה והם כ"ז בקשנו מספר הפעמים שימנם הח' שהוא המחלק והם ג' ולכן כתבנו ג' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת והנשארים ממספר הכ"ז הבלתי נמנים שהם ג' כתבנום על הז' להורות על הנשאר ומחקנו הב' להורות שלא נשאר כלום מהם
אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הב' וחברנו עמם שארית המדרגה הנמשכת לה שהם ל"ב בקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם ד' וכתבנו הד' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הל"ב להורות שלא נשאר כלום מהם
אחר זה נעתקנו אל המדרגה הקודמת מזאת המדרגה והיא הח' שבטור העליון ובקשנו מספר הפעמים שימנם המחלק והם א' וכתבנו הא' תחת הקו כנגד המדרגה הקודמת ולהיות שלא נשאר כלום מחקנו הא' להורות שלא נשאר כלום ולהיות שכבר הגיע מדרגת הטור הג' כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון על כן ידענו שכבר נשלם הטור הג'
והנה אם כן מספר הטור הג' הוא שמ"א וככה הוא מנין הפעמים אשר ימנו הח' למספר ב' אלפים ותשכ"ח ולכן יהיה המספר שמ"א כפלי הח' והוא חלק אחד משמ"א

ומשל המין השני והוא שהמחלק כלל ופרט יחד הוא זה

	2	4
	8	8
1	9
2	3	6	8
1	4	8

1

6

בקשנו מספר הפעמים שימנה האחד שבמדרגה האחרונה שבמחלק למספר ב' שהוא המדרגה האחרונה מהמחולק והם ב'

אולם למה שכבר קדם שראוי שתחסר העולה מהכאת מספר הפעמים עם כל מדרגות המחלק כל אחד ממדרגתו הנכחית לו וזה לא יספיק כי שני פעמים אחד הם שנים ויחוסרו מהב' שבמדרגה האחרונה מהטור העליון וב' פעמים ד' הם ח' ולא יספיקו שיחוסרו מהג' שבטור העליון
על כן כתבנו תחת הקו כנגד המדרגה הראשונה מטור השני אחד למה שיספיק זה המספר שיחוסר העולה מהכאתו עם כל מדרגות המחולק כל אחד מהנכחית לו
וזה שאחד פעמים א' הם אחד ויחוסרו מהב' שכנגדו מהטור העליון וישאר א' ונכתבהו למעלה להורות על הנשאר
גם נכה האחד עם הד' שבמחלק ויעלו ד' ויחוסרו מהי"ג שבטור העליון שהם חבור הג' שבמדרג' הנכחית לו מהטור העליון עם הא' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו ט' ונכתבם על הג' להורות על הנשאר ונמחוק האחד הנשאר
גם נכה הא' עם הח' שבמחלק ויעלו ח' ונחסרם מהצ"ו שבטור העליון שהם חבור הו' שבמדרגה הנכחית לו מהטור העליון עם הט' הנשאר שבמדרגה הנמשכת לה וישארו פ"ח ונכתוב ח' על הט' וח' על הו' להורות על הנשאר
אחר זה למה שכבר השלמנו לחסר מהטור העליון העולה מהכאת מספר האחד עם כל מדרגות המחלק שבנו לבקש מספר הפעמים אשר ימנה הא' שבמחלק הח' הנשארים שבמדרגה הקודמת מהמדרגה האחרונה שמהטור העליון והנה הם ח' פעמים
אולם למה שלא יספיקו המספרים שבטור העליון לגרוע מהם העולה מהכאת הח' עם כל מדרגות המחלק ולא מהעולה מהכאת הז' עם כל מדרגות המחלק
לכן כתבנו ו' במדרגה הקודמת לא' שתחת הקו והכינו הו' עם הא' שבמחלק ועלו ו' גרענום מהח' הנשארים בטור העליון ונשארו ב' וכתבנו ב' על הח' להורות על הנשאר
אחר זה הכינו הו' עם הד' שבמחלק ועלו כ"ד גרענום מהכ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה השנית מהטור העליון עם הב' הנשארים שבמדרגה השלישית מהטור העליון ונשארו ד' כתבנו הד' על הח' להורות על הנשאר ומחקנו הב' שבמדרגה השלישית להורות שלא נשאר כלום
אחר זה הכינו הו' עם הח' שבמחלק ועלו מ"ח גרענום מהמ"ח שבטור העליון שהם חבור הח' שבמדרגה הראשונה עם הארבעה הנשארי' שבמדרגה השנית מהטור העליון
ולהיות שלא נשאר כלום מחקנום להורות שלא נשאר כלום שכבר הגיע מדרגת הטור השלישי שתחת הקו כנגד המדרגה הראשונה שבטור העליון ידענו שכבר נשלם פועל החלוק
והנה אם כן מספר הפעמים שימנו הקמ"ח למספר ב' אלפים שס"ח הם י"ו פעמים ולכן יהיה המספר הגדול י"ו כפלי הקטן והקטן חלק אחד מי"ו חלקי הגדול

ואחר שכבר ביארנו המין הפשוט ממנו והיה חלוף המין הפשוט מהמורכב אמנם הוא מפני המותר הבלתי מתחלק בלבד כי דרך החלוק בשניהם אח'

והיה דרך חכמי המספר להשתמש עם קטון היחס

והיה המותר פעמים יהיה יחסו אל המחלק קטון היחס ופעמים לא

לכן ראוי להודיע הדרך אשר בו נוכל לדעת קטון היחס שבכל אחד ואחד מהמתיחסים איזה יחס שיהיה

כי כאשר יודע זה הנה אין צורך לחקירה אחרת זולת מה שהתבאר במין הפשוט מזה

ואומר שהשני מספרים המתיחסים איזה מספרים שיהיו הנה בהכרח לא ימלטו מאחד משני פנים אם שיהיו משותפים ואם שיהיו נבדלים

והמשותפים יחלקו לשני חלקים והם אם שימנה האחד את האחר או שלא ימנה האחד את האחר רק מספר ימנם יחד

והנבדלים גם כן יחלקו לארבעה חלקים והם אם שיהיו שניהם ראשונים או שניהם מורכבים או האחד מורכב והאחר ראשון

וזה על שני פנים אם שיהיה הקטן מורכב והגדול ראשון או ההפך

והראשון הוא אשר לא ימנהו רק האחד

והמורכב הוא אשר ימנהו מספר זולת האחד

אולם המין הראשון מהמשותף ר"ל שימנה האחד את האחר הנה כאשר נחלק הגדול על הקטן יהיה החלק היוצא מהחלוקה מורה על קטון היחס בהכרח

כי עד"מ אם היו שני המספרים המתיחסים י' וק' הנה נחלק הק' על הי' ויצאו י'

ואלה הי' מורים שהק' י' כפלי הי' ושהי' א' מעשרה חלקי הק'
ואם כן קטון זה היחס הוא אחד ועשרה כמו שהתבאר זה במין הפשוט

ואולם הד' מיני הנבדלים הנה הם קטני היחס בעצמם

וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס כי כל שני מספרים נבדלים הנה יחס האחד מהם אל האחר הוא קטן היחס בהכרח

ולכן יחס הקטן אל הגדול הוא המספר הקטן בעינו אל הגדול

ואולם יחס הגדול אל הקטן הנה ימצא עם החלוק כי בו יודע כמות כפלי הגדול מהקטן

והמותר יודיע יחס הנשאר מכפלי הגדול מהקטן

ויחס המותר אל הקטן הוא בעצמו המותר אל הקטן אחר שהם נבדלים ויחויב שיהיו קטני היחס לפי מה שקדם מן המאמר

המשל בזה אם היו שני המספרים הנבדלים מספרי ז' ל"א הנה יחס הז' אל הל"א הוא הז' אל הל"א בעצמם אחר שהם נבדלים

אולם יחס הל"א אל הז' יודע כשנחלק הל"א על הז' ויצאו בחלוקה ארבעה וישארו מותר ג'

ואם כן יתחייב מזה שיהיה יחס הל"א אל הז' ד' כפלי הז' וג' שביעיות

ואולם הראיה שהמותר מחלוק הנבדל הגדול על הקטן היא נבדל לנבדל הקטן הוא זה שאם לא יהיה נבדל ממנו הנה יהיה משותף זה לו וזה אם כשימנהו ואם שימצא מספר ימנם יחד

ואם ימנהו הנה אחר שהקטן ימנה החלק הנחלק מהגדול יהיה גם המותר המונה לקטן ימנה החלק הנחלק בהכרח

כי המונה למונה גם הוא מונה למה שימנה המונה לפי מה שהתבאר בספר היסודות לאקלידס

ואחר שהמותר מונה החלק הנחלק מהגדול ומונה גם עצמו הנה אם כן מונה כל הגדול והוא מקובץ המותר והחלק הנחלק וכבר ימנה גם הקטן הנה אם כן יהיו הקטן והגדול אשר הנחנום נבדלי' משותפים אחר שמספר המותר ימנם יחד וזה חלוף לא יתכן

וכן אם הנחנו מספר אחד מונה המותר והקטן הנה יחויב מזה שימנה גם החלק הנחלק מהגדול אחר שהוא מנוי מהקטן וכבר ימנה גם המותר

אם כן ימנה מקובץ הב' חלקי הגדול שהם המותר והחלק הנחלק וכבר מנה הקטן אם כן יהיו הנבדלים משותפים זה שקר

אם כן כבר התבאר מזה שכאשר יהיו שני מספרים נבדלים ונחלק הגדול על הקטן הנה המותר אשר ישאר מהגדול הנה גם הוא נבדל בהכרח

יהיו הנבדלי' ראשונים או מורכבים או האחד מורכב ואחר ראשון איזה מהם היה הנה המתחייב מהם א' תמיד בהכרח אי אפשר זולת זה וזה מה שרצינו לבאר

ואולם הדרך אשר בו ידעו המספרים הנבדלי' אם הם נבדלים אם לא הנה הוא שתחלק המספר הגדול על הקטן

אחר זה תחלק הקטן על המותר
עוד לא תסור מחלק האחד על האחר
ואם יכלה אל הא' דע שהם נבדלים ואם לאו הם משותפים

ואולם המין החמישי והוא המין השני מהמשותפים ר"ל שיהיו השני משותפים ימנה שניהם מספר אחד והם לא ימנו זה את זה

הנה הדרך אל מציאות קטון היחס שבאלה המספרים הוא זה שתמצא גדול המספר אשר ימנה שני המספרים המשותפים יחד

וזה כשתחלק המספר הגדול על הקטן אחר כן המספר הקטן על המותר
אחר כן המותר הראשון על המותר השני
ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה אל מספר אי אפשר שישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנה שניהם יחד
אחר זה בקש מספר הפעמים אשר ימנה המספר הקטן וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו
גם בקש מספר הפעמים אשר ימנה הגדול והעולה שמרהו והשני שמורים הם קטני היחס ההוא

המשל בזה המותר י"ב והמספר הקטן כ"ז חלקנו הכ"ז על הי"ב ונשארו ג'

חלקנו הי"ב על הג' ולא נשאר מזה מותר ולכן ידענו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג'
בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב וזה כשחלקנו הי"ב על הג' והיה העולה ד' ושמרנום
גם חלקנו הכ"ז על הג' והיה העולה ט' ושמרנום וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא
ולכן ידענו שיחס הי"ב אל הכ"ז הוא ד' תשיעיות

הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת החלוק בין שישאר בו מותר ובין שלא ישאר כלום ובארנו הדרך בידיעת יחס המספר האחד אל האחר איזה מספרים שיהיו והארכנו בו מאד להיותו קשה הציור

אולם קצת מהראשונים השתמשו בידיעת קטני היחס בדרך ההתכה

ר"ל שאם היה המותר מספר כ"א עד"מ והמספר הקטן הם קמ"ז מחלקים הכ"א לג' חלקים והקמ"ז לג' חלקים שנמצא המותר ז' והמספר הקטן שהוא המחולק מ"ט

עוד מחלקים המותר שהוא הז' לז' חלקים והמ"ט גם כן לז' חלקים ונשאר המותר אחד והמחלק שהוא מספר הקטן ז' וידענו שיחס המותר למחלק הוא שביעית

וזאת הדרך רחוקה מני כי מי יתן ואדע במה יודע להם החלוק המשותף לב' המספרי' אם הם ג' או ה' או ז' או הדומים לאלה או אם הם נבדלים ואינם נחלקים בשום חלוק משותף

ואם ישיבו על זה בדרך החפוש הנה להם לעורון כי ימששו כעורי' קיר וילאו למצוא הפתח

אולם קצת מהראשונים השתמשו בדרך החלוק באופן אחר והוא הנקרא בלשונם גַליאָה

והוא זה שמעתיקים המחלק ממדרגה למדרגה בכל מבוקש ממבוקשי הטור השלישי

וכותבים החלק בצד המספר המחולק אחר שימשיכו קו יותר בעבור שלא יתבלבל המעיין מצד העתק המחלק ממדרגה למדרגה כזה

		1	7
	3	6	3
1	4	9	4	1
7	3	2	5	8




3	1	7

ואין הבדל בין זה הדרך ובין הדרך הקודם רק מצד העתק המחלק ממדרגה למדרג' למען לא יתבלבל התלמיד אבל פעלתו היא פעלת הדרך הקודם בעינו

אולם אני כבר חדשתי דרך יותר רחוקה מהבלבול ויותר נכונה מהשתי דרכים הראשונים והיא עם דרך הקבוץ

והוא שנסדר המחולק בטור העליון והמחלק תחתיו בטור שני ונמשיך קו מבדיל בין המחלק למחולק

וכבר התבאר במה שקדם כי המדרג' האחרונה מהמחלק היא כנגד המדרגה האחרונה מהמחולק
ואם מדרגת האחדים מהמחלק תחת מדרגת האחדים מהמחולק הנה נכתוב המחלק בעינו בטורי' רבים זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק המורה על כמות הפעמים אשר ימנה המחלק למחולק
ולהיות שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק לכן ידענו שהחלק היוצא הוא במדרגת האחדים

ואולם אם היו אחדי המחלק תחת מדרגת העשרות שבמחולק או תחת מדרגת המאות או זולת זה מהמדרגות הנה אם היה המספר הכתוב במדרגה האחרונה קטן או שוה למדרגה האחרונה של המחולק נשלים הטור בסיפראש עד שנגיע אל מדרגת אחדי המחולק ונכתוב טורים רבים כמו זה הטור בעינו זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכלל כל הטורים למחולק

וכפי מספר הטורים ככה מספר החלק
וכפי מספר הסיפראש הנוספות על הטורים לתשלום הטורים בתוספת אחת ככה מספר מדרגות החלק

ואולם אם היה גדול ממנו נעתיק כל מדרגות המחולק אל המדרגה הקודמת לה ואז נשלים הטור עם סיפראש ונכתוב אותו בטורים רבים זה תחת זה עד שישוה או יקרב העולה מכללם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפרש בתוספת אחת ככה מספר מדרגו' החלק

אחר כן אם לא ישוה המספר העולה מכל הטורים כמו המחולק נעתיק כל מדרגה ומדרגה מהמחלק אל מדרגה אחת קודמת לה ונשלי' הטור ההוא ג"כ עם הסיפרש כראשונה ונרבה הטורים האלה גם כן עד שישוה או יקרב העולה מהם למחולק וכפי מספר הטורים ההם ככה יהיה מספר החלק וכמספר הסיפראש בתוספת אחת ככה יהיה מספר מדרגות החלק

אולם אם לא יכולנו לכתוב אפילו טור אחד מפני שהעולה ממנו יותר מהמחולק הנה נכתוב סיפרא בשם חלק

אחר כן תעתיק כל מדרגות המחולק אל מדרגות הקודמות להן ותשלים הטור עם הסיפרש כמשפט הראשון וכן תמיד עד שיגיעו אחדי המחלק עם אחדי המחולק ותרבה הטורי' זה תחת זה עד שישוה או יקריב העולה מקבוץ כל הטורים למחולק וכמספר הטורים ככה מספר החלק

וכבר קדם שהוא אחדים אחר שאחדי המחלק תחת אחדי המחולק

אולם אם היו הטורי' ה' או יותר חלק המחלק לשני' והעולה כתבהו בטור א' במדרגה הנמשכת למדרגה הראויה לו אם היה בלתי מתחלק לחצאים והוא עולה במקום חמשה טורים

ואם היו יותר מחמשה טורים נכתוב אחר זה המחלק במדרגה הקודמת בטורים רבים מספרם כמספר הטורים הנוספים על החמשה טורים

משל זה הנה המחולק הוא שבעים אלף ותתקס"ב והמחלק רל"א סדרנו הרל"א זה תחת זה כסדר הזה אשר אתה מראה בצורה הזאת

7

0

9

6

2

החלק

2	3	1	0	0
2	3	1	0	0
2	3	1	0	0
	1	1	5	5
		2	3	1
		2	3	1

307

7

0

9

1

7

המותר

4

5

ולהיות שהעולה מהשלשה טורים הוא ס"ט אלף וש' ולא יתכן לכתוב עוד טור רביעי כי יעלה מספר יותר מהע' אלף תתקס"ב שהוא המחולק על כן לא כתבנו רק שלשה טורים

ולהיות שהם ג' ידענו שגם מספר כמות החלק הוא ג'
ולהיות שהוספנו לתשלום הטורים ב' סיפרש ובתוספת אחת יהיו ג' לכן ידענו שמדרגות החלק שהם הג' הם ג' לכן יהיו ש'
אחר זה בקשנו לכתוב המחלק כל המותר מדרגה ממנו במדרגה הקודמת לה ולא יכולנו כי יעלה המספר יותר מהמחולק
ולכן כתבנו סיפרא בחלק במדרגה הקודמת לש'
אחר זה רצינו לכתוב המחלק במדרגה הקודמת לקודמת כמשפט
ולהיות שראינו שמספר הטורים יהיו יותר מה' חלקנו המחלק לשנים וכתבנו החצי במדרגה הקודמת שהיא הנמשכת לקודמת הקודמת
ולהיות שלא ישוה העולה למחולק כתבנו עוד שני טורים והיה העולה מכללם שבעי' אלף תתקי"ז חסרנום מהשבעים אלף ותתקס"ב ונשארו מ"ה וידענו שהמותר הבלתי מתחלק הוא מ"ה
ולהיות שמספר הטורים האחרונים הם ז' הטור האחד שבמדרגה הקודמת העולה במקום ה' טורים והב' טורים אשר תחתיו שבמדרגה הקודמת לקודמת הרי ז' לכן ידענו שהחלק ז' וכתבנום במדרגה הקודמת לסיפרא שבמחלק והיו הכל ש"ז וזהו החלק

זאת היא הדרך היותר רחוקת המבוכה והבלבול ואל יטעך רבוי הכתיבה כי רבוי הכתיבה עם מעוט בלבול המחשבה הוא הדרך הנכונה גם היא נכונה מצד אחר כי היא רחוקת הטעות כי הכל כתוב שם ולא כן עם ההכאה וזה מה שרצינו לבאר

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שתמנה המחלק כלו כמו אחדים ר"ל שתקח הכמות לבד והשליכהו לתשיעיות והנשאר שמרהו וכן תעשה לחלק והנשאר שמרהו והכה השמור עם השמור והעולה השלך מהם התשיעיות והנשאר שמרהו והוסף עליו המותר הנשאר מהחלוק אחר השלכת התשיעיות ממנו והעולה תשליך ממנו התשיעיות והמותר שמרהו בידך

אחר זה מנה גם המחולק לתשיעיות וזה כשתקח כמותם לבד והנשאר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו דע שטעית
אך אם לא נשאר מותר מהחלוק כלל הנה אין צורך לכל זה רק קח המותר מהתשיעיות מהמחלק והחלק והכה המותרים זה עם זה והעולה השלך ממנו התשיעיות ואם המותר מהם שוה למותר מתשיעיות המחולק אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שאלה מאזני מרמה אחר שלא יצדק בשני הצדדים יחד ר"ל באמת ובשרק

עוד מאזניים אחרים על דרך השביעיות והוא שתשליך המחלק והחלק כל אחד מהם לשביעיות לפי מה שקדם אם בשתחשוב כל מדרגה לפי איכותה ואם בשתחבר המדרגה האחרונה והקודמת לה יחד ותהיה המדרגה האחרונה בשם עשרות והקודמת לה בשם אחדים והכל עולה בקנה אחד

אחר זה הכה המותר מהמחלק עם המותר מהחלק והעולה השלך ממנו השביעיות והמותר שמרהו וכן תעשה למותר מהחלוק אם היה והנשאר הוסיפהו על השמור והשלך מהם השביעיות והמותר שמרהו בידך
אחר זה השלך השביעיות גם כן מהמחולק בזה הדרך בעצמו והמותר אם הוא שוה לשמור שבידך אפשר שהוא אמת ואם לאו כזבת אלא שגם אלה מאזני מרמה לזה הצד בעצמו

ואולם המאזני צדק אשר בזה המין הוא שתכה המחלק עם החלק והעולה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית וזה כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל

אולם אם נשאר מותר מהחלוק הוסף על העולה מהכאת המחלק והחלק המותר מהחלוק והעולה אחר זה אם הוא שוה למחולק דע שהוא צודק ואם לאו דע שטעית

ודע שאלה המאזנים גם כן אמנם הם מאזני צדק כאשר לא ישאר מותר מהחלוק כלל

אולם כאשר ישאר מותר דע שהם מאזני מרמה כי יתכן שהחלק כוזב וגם המותר כוזב ואז יתכן שישוה מאזני הכאת המחלק עם החלק עם תוספת המותר עליו למאזני המחולק ויתכן שלא ישוה לו כאשר חשבו הקדמוני' שאלה מאזני צדק בכלל

גם יתכן לעשות עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם על דרך החלוק בעצמו והם מאזני צדק והוא שתחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה אם לא נשאר מותר כלל

אולם אם נשאר מותר כלל נגרעהו מהמחולק והנשאר נחלקהו על החלק ואם יצא לך המחלק צדקת ואם לאו כזבת או נחלק המחולק על החלק ואם יצא לך המחלק והמותר הראשון דע שצדקת ואם לאו כזבת

אולם בדרך החלוק אשר חדשתי אני כבר יהיו לו עוד מאזנים אחרים זולת אלו והם הג' מאזני הקבוץ

ואולם סבת מציאות זה המין הנה היא מבוארת בעצמה ממה שקדם במין ההכאה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שמין החלוק הוא מין ההכאה בעינו וזה ששלשה טורי ההכאה שהם המכה והמוכה והעולה מהכאתם הם הם בעצמם שלשה טורי החלוק שהם המחולק והחלק והמחלק

אלא שהטורים הידועים בהכאה אינם הטורים הידועים בחלוק

וזה שהטורים הידועים בהכאה הם המכה והמוכה והמוסכל הוא העולה מהכאתם והטורים הידועים בחלוק הם העולה מההכאה והמכה והמוסכל הוא המוכה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת החלק במחלק הוא המחולק

וכאשר היה זה כן הנה מן המחויב מזה בהכרח שיהיו סבות מין ההכאה הם הם סבות זה המין בעינם ולזה כמו שיקשה על הדרוש העולה מהכאת המוכה והמכה להכות כל מדרגות המכה עם כל מדרגות המוכה והשתמשו עם התחבולה ההיא ר"ל בשיכו אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה המוכה

עוד יכו עשרות המכה עם כל מדרגות המוכה ויכתבו העולה תחת המדרגה הנמשכת למדרגת המוכה וכן תמיד על זה הסדר ושיחשבו כמו אחדים כל מדרגות המכה והמוכה ולא יקרה מזה בטל בין מצד הכמות בין מצד האיכות כאשר התבאר שם

כן יקשה עליהם בזה המין גם כן לבקש המספר אשר יוכה בו המחלק ויעלה המחולק

רק בשישתמשו עם תחבולת ההכאה בעצמה ר"ל שיבקשו מספר מה אשר בו יכו כל מדרגות המחלק ויהיה העולה מכל מדרגה ומדרגה מהמחלק שוה או קרוב למדרגה שכנגדה מהמחולק אחר שיסודרו מדרגות המחלק תחת מדרגות המחולק ותהיה המדרגה האחרונה מהמחלק תחת המדרגה האחרונה מהמחולק או תחת הקודמת לה אם היה המחלק יותר גדול מהמחולק שכנגדו כאשר ביארנו

וכמו שאין הזק בהכאה אם נחשוב כל המדרגות לאחדים מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה הנזכרת אין הזק בזה המין גם כן אם נחשוב כל מדרגות המחלק והמחולק שכנגדם לאחדים מצד הכמות כי המספר היוצא והוא החלק הוא אחד בעינו מצד הכמות ושהאיכות יתוקן מצד ההנחה

וזה שכמו שבמין ההכאה יהיה הנחת העולה מהכאת האחדי' בכל מדרגות המוכה תחת המדרגה המוכה

והנחת העולה מהכאת העשרות בכל מדרגות המוכה הוא תחת המדרגה הקודמת למדרגה המוכה וכן תמיד

כן בזה המין גם כן ראוי שנעיין בעולה מההכאה ואם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרג' הנחסרת מהמחולק אחדים ידענו שהמספר המבוקש הוא אחדים בהכרח כי כבר קדם שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם כל מדרגות המוכה הם תחת המוכה

ויחויב מזה שהנחת העולה מהכאת אחדי המכה עם אחדי המוכה הוא תחלת אחדי המוכה ואם כן העולה מהם הוא אחדים

ואם כן יתחייב הפך זה גם כן והוא שאם יהיה העולה מהכאת מספר מה בלתי ידוע איכותו ומדרגתו עם אחדי המוכה אחדי' יתחייב מזה בהכרח שיהיה המספר הבלתי נודע מדרגתו המוכה באחדי המוכה אחדים בהכרח

וכן מזה הצד בעינו יתחייב שנשפוט אם היה העולה מהכאת המספר המבוקש עם אחדי המחלק שהיא המדרגה הנחסרת מהמחולק עשרות שיהיה המספר המבוקש עשרות

ואם היה מאות יתחייב שיהיה המספר המבוקש מאות וכן לבלתי תכלית

ולזה יתחייב מזה בהכרח שיהיה מקום הנחת המספר המבוקש תחת המדרגה הנכחית למדרגת אחדי המחלק

אחר זה יבקשו המספר אשר יוכו בו כל מדרגות המחלק וישוה או יקרב העולה מהם למדרגות שבמחולק הקודמו' למדרגות הנכחיות למחלק ויכתבו המבוקש במדרגה הקודמת למבוקש הראשון לזאת הסבה בעצמה הנזכרת למבוקש הראשון

כי כאשר נחשוב מדרגות המחלק נעתקות אל המדרגות הקודמות להן יהיו הנכחיות להן מהמחולק קודמות למדרגות הנכחיות הראשונות ויתחייב לזה שיכתב המבוקש היוצא תחת המדרגה הנכחית לאחדי המחלק שהיא המדרגה הקודמת למבוקש הראשון וכן תמיד

ולכן השתמשו בעלי הגליִאָה הנזכרת עם העתקות מדרגות המחלק

אולם הראשונים לא חששו לזה כי יספיק להם המחשבה בלבד ר"ל שיחשבו כל מדרגו' המחלק כדמות נעתקות זהו מה שכווננו ביאורו

ואולם סבת המין אשר חדשתי אני שהוא על דרך הקבוץ

הנה התבארה לך ממה שקדם במין ההכאה בדרך הרביעי ממנו שהוא על דרך הקבוץ אין צורך להכפיל המאמרי'

רק כדי שנוסיף לזה ביאור נניח משל אחד ויהיה המשל המונח לזה בעינו ונערוך אליו הסבות המחייבות והוא זה

7

0

9

6

2


2	3	1	0	0
2	3	1	0	0
2	3	1	0	0
	1	1	5	5
		2	3	1
		2	3	1

החלק

307

7

0

9

1

7

4

5

המותר

הנה להיות שהמחלק כאשר הונחה מדרגתו האחרונה תחת המדרגה האחרונה שבמחולק נוספו עליו ב' סיפרש למלאת טור המחולק ושבו אחדי המחלק במדרגה השלישית המורה על המאות

וכבר ידעת במה שקדם שכאשר יוכה מספר מה עם האחד יהיה העולה מההכאה הוא החלק המספר המוכה בעינו

וכאשר יוכה בעשרה יהיה העולה הוא המספר המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה ממנו אל המדרגה הנמשכת ר"ל שישובו האחדים ממנו עשרות והעשרות מאות והמאות אלפים

וכאשר יוכה במאה יהיה העולה מההכא' הוא המספר המוכה בעינו בחלוף כל מדרגה ממנו אל המדרגה השלישית הנמשכת לה ר"ל שישובו האחדים מאות והעשרות אלפים והמאות רבבות

הנה מן המחויב מזה בהכרח שיהיה זה המחלק המונח אשר שבה כל מדרגה ממנו אל המדרגה השלישית הנמשכת מוכה במאה בהכרח

ולהיות שהטורים המונחים השוים למחלק המונח הם ג' וכל אחד מהם מורה על היותו מוכה במאה

הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה המספר המוכה במחלק ש' בהכרח ולכן כתבנו ש' בצדו להורות על המספר המוכה בו שהוא החלק אחר זה קבצנום ועלו ס"ט אלף ושלש מאות והם קרובים למחולק ולא יתכן לכתוב טור אחר באותה המדרגה כי כל טור וטור מהם מורה על כ"ג אלף ק' ואנחנו צריכים עד תשלום המחולק אלף ותרס"ב לבד

וכן לא כתבנו גם כן טור אחר במדרגות הקודמות למדרגות ג' טורי המחלק כי כל טור מהם יורה על שני אלפים ש"י והוא יותר מהשארית אשר אנחנו צריכים להשלים המחולק
ולהיות שאין שם טור כלל ידענו שלא הוכה המחלק אפילו בי' וכל שכן מעשרה ומעלה ולכן כתבנו סיפרא במדרגה הקודמת לש' שהוא החלק להורות שלא הוכה בעשרות המחלק כלל
אחר זה בקשנו לכתוב המחלק בטור שיהיו מדרגותיו קודמות למדרגות ג' טורי המחלק ב' מדרגות
ולהיות שכל טור וטור מהם מורה על רל"א ונצטרך בזה טורים רבים יותר מחמשה להשלים השארית אשר אנחנו צריכים להגיע אל המחולק
לכן חלקנו המחלק לשנים וכתבנו חציו בטור אחד במדרגות הנמשכות למדרגות הטורים האלו המורים על הכאת המחלק בעשרה
ולהיות שהוא חצי המחלק הנה יהיה מורה הטור הזה על הכאת המחלק בה' והנה הוא שוה לה' טורים במדרגות הקודמות המורות על הכאת המחלק באחד והוא אלף וקנ"ה
ולהיות שאנו צריכים עד תשלום האלף תרס"ב תק"ז וכל טור וטור מהטורים המונחים במדרגות הקודמות לג' טורי המחלק ב' מדרגות מורה על הכאת המחלק בא' והוא רל"א שהוא המחלק בעינו כאשר התבאר
אם כן יחויב מזה בהכרח שנכתוב ב' טורים שיעלה מספרם תס"ב והנה יחסר עד תשלום המחולק מ"ה והוא פחות מטור אחד
ולכן לא נכתוב במדרגה האחרונה רק שני טורים המורים על הכאת המחלק בשני אחדים וכבר כתבנו טור אחד במדרגה הנמשכת והוא חצי המחלק המורה על הכאת המחלק בה' אחדים אם כן יהיה המחלק מוכה בז' אחדים בהכרח ולכן כתבנו במדרגה הקודמת לסיפרא שבחלק ז' והנה הכל ש"ז וזהו החלק והמותר הם המ"ה וזהו מה שכווננו ביאורו

ואולם סבת מאזני התשיעיות והשביעיות הנה כבר כתבנוה במין ההכאה כי כבר קדם ששלשה טורי ההכאה הם הם ג' טורי החלוק

ולכן יהיה מאזני צדק זה המין כאשר יוכו ב' טורי החלק והמחלק ויהיה העולה שוה למחולק

וכאשר היה זה כן הנה יהיו מאזני זה המין גם כן שהם על דרך התשיעיות והשביעיות כמו שיהיו במין ההכאה וסבתם אחת בעצמה

ואולם הסבה שכאשר ישאר מותר בלתי מחולק יחויב שנקח מאזניו ונוסיפם על מאזני החלק והמחלק השמור הנה היא מבוארת בעצמה

וזה שמאזני החלק והמחלק השמור הוא מאזני המספר העולה מהכאתם לפי מה שקדם במין ההכאה

וכאשר נוסיף עליהם מאזני המותר מהחלוק אשר הוא מותר העולה מהכאתם יחויב שישוו אלה המאזנים למאזני המחולק בכללו אשר הוא חבור המותר והמספר העולה מהכאתם

או אם תרצה תגרע מאזני המותר ממאזני המחולק ויחויב שיהיו המאזנים הנשארים אחדי הגרעון שוים למאזני החלק והמחולק השמור

וזה שמאזני המותר אשר הם הנוספים על העולה מהכאת החלק במחלק כאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק

וכאשר תגרעם מהמחולק בכללו יתחייב שישארו מאזני העולה מהכאת החלק במחלק

ולכן יחויב מזה שישוו המאזנים הנשארים אחר הגרעון אשר הם מאזני העולה מהכאתם למאזני החלק והמחלק לפי מה שביארנו במין ההכאה

וסגולת זה המין הוא שאם היה המחלק חלק למחולק והיה נפרד והמחולק זוג הנה החלק היוצא מהחלוק גם כן יהיה זוג

ואם היה המחלק והמחולק נפרדי' הנה ג"כ החלק היוצא מהחלוקה יהיה נפרד

וכן אם היה המחלק והמחולק זוגות הנה גם כן החלק יהיה זוג

אולם שיהיה המחלק זוג והמחולק נפרד לא יתכן שיהיה בזה המין אשר המחלק חלק למחולק כי הכאת החלק זוג היה או נפרד עם המחלק שהוא זוג הנה העולה מההכאה אשר הוא המחולק יהיה זוג בהכרח וכבר הנחנוהו נפרד זה חלוף לא יתכן

הנה כבר התבארו דרכי ידיעת המינים הד' בשלמי' לבד עם סבותיהם וסגלותיהם עם מאזניהם

ומעתה נתחיל בביאור המינים הד' אשר הם שברים לבד

ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא

Section Two - Fractions

השער השני

Introduction

ואחר שכבר דברנו בדרכים המישירים אל ידיעת הד' מיני השלמים

והיו חלקי המספר שלשה והם השלמים והשברים והשלמים עם השברים יחד

והיה החלק השני מאלה החלקים קודם מהחלק השלישי למה שהיה הפשוט קודם מהמורכב אם במציאות ואם בידיעה

Precedence of the issue of fractions over integers and fractions: the simple precedes the compound

הנה מן המחויב עלינו אם כן להקדים המאמר בשברי' על המאמ' בשברי' עם השלמי' יחד

וטרם החלי לדבר אודיע חלקיהם ואופן הנחתם

The Types of Fractions

First division: two types of fractions

ואומר שהשברים בכלל יחלקו חלוקה ראשונה לשני חלקים

1. One part of

האחד מהם חלק

2. Parts of

והשני חלקים

וכבר קדם ענין החלק והחלקים

Second division: two types of fractions

עוד כל אחד מהם יחלק לשני מינים אחרים

1. Fraction of one

והם אם שיהיה שבר השלם האחד

2. Fraction of integers

או שיהיה שבר השלמים הרבים

Subdivision of both types

וכל אחד מהם גם כן יחלק לשני מינים אחרים

1. fraction alone

והם אם שיהיה שבר לבד

2. fraction of fraction

ואם שיהיה שבר השבר

3. fraction of fraction of fraction

או שבר שבר השבר וזה לבלתי תכלית

types of fractions of fractions

עוד כל אחד משני חלקי שבר השבר יחלק לשני חלקים

1. one is a part and the other is parts

אם שיהיה המין האחד חלק והאחר חלקים

2. both are of the same type

או שניהם ממין אחד

Linguistic division

אולם חלוק השברים אל מה שאיכותו מאחד ועד עשרה ואל מה שאיכותו מי' ומעלה אין זה לשברים במה שהם שברים אבל אמנם קרה להם מצד הלשון לבד

1. The denominator of which is between 1 and 10 - in Hebrew and Arabic each of these fractions have one name alone

ר"ל כי מאחד עד י' נקראים בלשון הערבי והעברי בשם אחד כמו חצי שליש רביע חומש ששית שביעית שמינית תשיעית עשירית

2. The denominator is greater than 10 - these fractions are called "one part of … of the parts of the whole"

ומעשרה ומעלה נאמר חלק אחד מי"א חלקי הכל וחלק אחד מי"ב חלקי הכל ולא נאמר אחד עשר שנים עשר

ולזה נשתמשה תורתנו התמימה בימי חנוכת המזבח שני שלישי עד עשירי ומעשרה ומעלה אמרה אחד עשר יום שנים עשר יום והדומים לזה

ואולם חכמי הישמעלים כבר חלקו השברים אל זה המין

Ibn Ezra - following the linguistic division converted the fractions whose denominators are larger than 10 to fractions whose denominators are smaller than 10

ונמשך החכם ר' אברהם ן' עזרא בדעותיהם וחלקם גם הוא אל זה החלוק עד שנצטרך להשיב הנשברים אשר מעשרה ומעלה אל נשברים למטה מהעשרה ואמר שאפשר שהא' מט"ו הוא שליש החמישית והדומים לזה

In Greek - all fractions have one name

ואין צורך לכל זה כי הנה בלשון היוני יקרא האחד מי"ב דודיקטו כמו האחד מג' טריטו

The twelve simple types of fractions:

ויתחייב אם כן לפי זאת החלוקה שיהיו מיני השברים שנים עשר והם

1) Fraction of one

שבר השלם האחד

2) Fraction of integers

ושבר השלמים הרבים

3) Fraction of fraction of one

ושבר שבר השלם האחד

4) Fraction of fraction of integers

ושבר שבר השלמים הרבים

5) fraction of fractions of one

ושבר שברי השלם האחד

6) fraction of fractions of integers

ושבר שברי השלמים הרבים

7) fractions of one

ושברי השלם האחד

8) fractions of integers

ושברי השלמים הרבים

9) fractions of fractions of one

ושברי שברי השלם האחד

10) fractions of fractions of integers

ושברי שברי השלמים הרבים

11) fractions of fraction of one

ושברי שברי השלם האחד

12) fractions of fraction of integers

ושברי שברי השלמים הרבים

Examples of these types:

1)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}

משל המין הראשון כמו שליש האחד או רביעיתו

2)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot2}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot3}}

ומשל המין השני כמו שליש הב' או הג' והדומים להם

3)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}}}

ומשל המין השלישי כמו שליש רביעית האחד או רביעית שביעית האחד

4)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot2}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\sdot3}}

ומשל המין הרביעי כמו שליש רביע השנים או רביע שלישית הג'

5)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{2}{3}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}}}

ומשל המין החמישי כמו שליש ב' שלישיות האחד או שליש ד' חמישיות האחד

6)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{4}{5}\sdot2}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3}}

ומשל המין הששי כמו שליש ד' חמישיות השנים או שביעיות ב' חמישיות הג'

7)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}

ומשל המין השביעי כמו ב' שלישי האחד או ג' רביעיותיו

8)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot2}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot2}}

ומשל המין השמיני כמו שני שלישי השנים או ג' רביעיותיו

9)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{5}}}

ומשל המין התשיעי כמו שני שלישי ג' רביעיות האחד או שני שלישיות ג' חמישיות האחד

10)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{5}{7}\sdot3}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot3}}

ומשל המין העשירי הוא שני שלישיות ה' שביעיות הג' או ג' רביעיות שני חמישיות הג'

11)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}}}

ומשל המין הי"א הוא שני שלישי רביעית האחד או ג' חמישיות שביעית האחד

12)

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot3}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot6}}

ומשל המין הי"ב הוא שני שלישי רביעית הג' או ג' חמישיות שביעית הו'

Reduction of Fractions

The arithmeticians are using reduced fractions

ודע כי חכמי המספר השתמשו בשברים בקטני היחס

ולכן לא יתכן לומר שני רביעיות או ד' ששיות והדומים להם

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}}$

כי קטן היחס הד' ששיות הוא ב' שלישיות

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}$

וקטון יחס הב' רביעיות הוא חצי

Improper Fractions

When the numerator is equal to the denominator - it should not be counted as fraction - for two reasons:

וכן אין ראוי לומר ג' שלישיות או ד' רביעיות לשתי סבות

1) it should be reduced

הסבה הראשונה היא הסבה הקודמת בעצמה

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=1:1}}$

כי קטן יחס הג' שלישיות והד' רביעיות הוא יחס הא' אל הא'

2) it falls into the category of integers

והשנית היא מפני שהג' שלישיות והד' רביעיות ובכלל כל השברים אשר כמותם שוה לאיכותם נכנסים בגדר השלמים

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{3}=\frac{4}{4}=1}}$

וזה כי הג' שלישיות הם שלם וכן הד' רביעיות

ולזה אין ראוי שנשתמש בזה המין עם השברים

Integer and fraction should not be counted as a fraction

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{3};\; \frac{5}{4}}}$

וכן אין ראוי לומר ד' שלישיות או ה' רביעיות כי אז יהיה שלם ושבר

Integers should not be fractionalized

ואין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים השברים לשלמים אם היה אפשר זהו חלוק השברים על תכלית מה שאפשר לחלקם

Writing Fractions

אולם אופן הנחתם הוא הנחת שתי אותיות זה על גב זה בכל שבר ושבר וקו מבדיל ביניהם כזה

7

6

5

4

3

2

1

8

7

6

5

4

3

2

The reason is that the fraction consists of two names: a name that indicates the quantity and a name that indicates the quality.

והסבה בזה הוא להיות שהשבר מחובר משני שמות שם מורה על הכמות ושם מורה על האיכות

Definition of the denominator [lit. quality]: Its name that is derived from the quality is the name of the number that indicates the total parts of the whole -

אולם השם אשר לו מהאיכות הוא שם המספר המורה על חלקי השלם

Definition of the numerator [lit. quantity]: Its name that is derived from the quantity is the name of the number that indicates the parts that are taken from the whole.

ואולם השם אשר לו מהכמות הוא שם המספר המורה על החלקים הלקוחים מהשלם

As your saying: two thirds, or 4 fifths, and their similar:

כאמרך שני שלישיות או ד' חמישיות ודומיהם

2 and 4 indicate the quantity of this species.

אשר הב' והד' מורים על כמות המין ההוא

3 and 5 indicate the quality of this species.

והג' והה' מורי' על איכות המין ההוא

2 and 4 indicate the discontinuous magnitude, i.e. the number of the parts that are taken from the [total] parts of the whole.

ובכלל הב' והד' מורים על כמה מתפרדת ר"ל על מספר החלקים הלקוחים מחלקי השלם

3 and 5 indicate the continuous magnitude, i.e. the number of the parts into which the number that is considered as a whole is fractionalized.

והג' והה' מורים על כמה מתדבק ר"ל על מספר החלקים אשר בהם ישבר המספר המכונה בשם שלם אשר השלם מורה על מתדבק

The fractions are varied from one another from the aspects of the numerator and the denominator:

והנה יתחלפו השברים קצתם מקצת פעם מצד הכמות ופעם מצד האיכות ופעם מצד שניהם יחד

1. diversity from the aspect of the numerator

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5};\; \frac{3}{5};\; \frac{4}{5}}}

משל החלוף אשר ישיגם מצד הכמות הוא כאמרך ב' חמישיות ג' חמישיות ד' חמישיות ודומיהם

2. diversity from the aspect of the denominator

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5};\; \frac{2}{7};\; \frac{2}{9}}}

ומשל החלוף אשר ישיגם מצד האיכות כאמרך ב' חמישיות ב' שביעיות שני ב' תשיעיות והדומים להם

3. diversity from both aspects

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3};\; \frac{3}{4};\; \frac{4}{5}}}

ומשל החלוף אשר ישיגם משני הצדדים יחד כאמרך שתי שלישיות וג' רביעיות וד' חמישיות ודומיהם

The written fraction consists of two signs: one signifies the numerator and the other signifies the denominator

וכאשר היה זה כן הנה אם כן מן המחויב עלינו לכתוב בכל שבר שני סימנים שם מורה על הכמות ושם מורה על האיכות

The Spanish sages - wrote the sign of the numerator above and the sign of the denominator underneath

they draw a line between them as a symbol that the fraction is continuous

וכבר נהגו חכמי ספרד לכתוב הסימן המורה על הכמות מלמעלה והסימן המורה על האיכות למטה ממנה

ואולם מה שנהגו להמשיך קו ביניהם לפי דעתי שהסבה בזה הוא למה שהקו מורה על המתדבק והשבר גם כן מהמתדבק כי לא יתכן שידומה שליש או רביע או חומש והדומים להם אם לא בשידומה המספר אשר הם חלקים לו בשם שלם המורה על המתדבק

הנה כבר התבאר לך חלוק השברים ואופן הנחתם בתכלית מה שאפשר

ומהנה נתחיל בדרכים המיישירים אל ידיעתם

Chapter One - Multiplication

הפרק הראשון מהשער השני הוא במין ההכאה

Introduction

Precedence of multiplication of fractions over addition of fractions - since its knowledge is needed for all other operations

ואולם הקדמנו זה המין בשברי' ואם היה הקבוץ יותר פשוט ממנו מפני שכל מיני השברים הנזכרים יצטרכו להתכה אל שני מינים מהם לבד שהם שבר האחד ושבריו ולא יתכן זה אלא במין ההכאה כאשר יתבאר במקומו בעזרת האל

Definition: multiplication of fractions = conversion of a fraction of fraction to a single fraction, or an integer, an integer and fraction

וההכאה היא התכת שבר השבר אל שבר אחד ולפעמים ישוב אל שלם או שלם ושבר

וזה שלא כמנהג הטבעי כי כבר קדם שאין ראוי לשבר השלמים אלא להשלים השברים

Multiplication of fractions differs from multiplication of integers from two aspects:

והכאת השברים מתחלף מהכאת השלמי' משני פנים

1) the product of integers is larger than the multiplicands - the product of fractions is smaller that the multiplicands

האחד שההכאה בשלמים תשים המעט לרב ובשברים הפך זה

2) multiplication of integers is a sum of identical numbers - in multiplication of fractions one enlarges and the other lessens

והאחר שההכאה בשלמים הוא קבוץ מספרים שוים ובשברים הוא בהפך ר"ל שהאחד לתוספת והאחר למגרעת

These differences of the fractions are caused from the aspect of their denominator

ואלו החלופים אמנם יקרו בשברים מצד איכותם לא מצד כמותם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{4}\times\frac{10}{4}=\frac{100}{16}}}

וזה כי הי' רביעיות על דרך משל כאשר הוכו עם הי' רביעיות יעלו ק' שש עשיריות

the numerator grows

\scriptstyle{\color{blue}{10<100}}

the denominator decreases

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}>\frac{1}{16}}}

והנה התרבו מצד הכמות כמשפט השלמים ונתמעטו מצד האיכות ושבו הרביעיות שש עשיריות אשר זה האיכות הוא פחות מאיכות הרביעות

Multiplication of Fractions

Now I begin to declare the way we come to know this species.

ומעתה אתחיל בהודעת הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין

I say that the multiplication of fractions by fractions is divided into two categories:

ואומר שלהיות שהכאת השברים עם השברים יחלקו לשני חלקים והם

Either the two fractions are of the same type, or of two different types.

אם שיהיו שני השברים יחד ממין אחד ואם שיהיו משני מינים

One hundred and forty-four types [of multiplication of fractions] are follow:

ויתחייבו מזה מאה וארבעים וארבעה מינים

[12 simple types of fractions, both multiplicands are of the same type or of different types of fractions (12×12=144)]

When the similar types are removed, seventy-eight different types [of composite fractions] remain.

וכאשר יושלכו מהם המינים המשותפים ישארו מהם שבעים ושמנה מינים מתחלפים

All these types [of composite fractions] are converted into three [basic] types [of multiplication of fractions] that are:

והיו כל המינים האלו אמנם יותכו אל שלשה מינים מהם אשר הם

A fraction of one by a fraction of one.

שבר האחד בשבר האחד

Fractions of one by a fraction of one.

ושברי האחד בשבר האחד

Fractions of one by fractions of one.

ושברי האחד בשברי האחד

Algorithms for multiplying one of the simple types of fractions by one of the simple types of fractions

It follows that we must first announce the way to know these three species, then we shall announce the way to dissolve all the other species to them and by this we shall reach easily the knowledge of the way of all the mentioned species.

הנה אם כן מן המחויב עלינו להודיע תחלה הדרך אל ידיעת השלשה מינים האלה

אחר זה נודיע דרך התכת כל המינים האחרים אליהם ובזה נגיע אל ידיעת דרך כל המינים הנזכרים בקלות

1) General algorithm for all three types of multiplication

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}$

I say that the general method for all these three types that are in the rank of roots and foundations for all the rest of the types is that you multiply the numerator by the numerator and keep [the product].

ואומר שהדרך הכולל לכל השלשה מינים האלו שהם במדרגת השרשים והיסודות לכל המינים הנשארים הנה הוא שתכה הכמות עם הכמות ושמרהו

Then, you multiply the denominator by the denominator and keep [the product].

אחר זה הכה האיכות עם האיכות ושמרהו

The ratio of the first reserved to the second reserved is the fraction or fractions resulting from the multiplication, which are fraction or fractions of the one.

ויחס השמור הראשון אל השמור השני הוא השבר או השברים היוצאים מן ההכאה אשר הם שבר או שברים לאחד

We present three examples for these three types and they are:

ונצייר לזה שלשה משלים לאלה המינים השלשה והם אלו

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle\frac{0}{12}$

$\scriptstyle\frac{2}{3}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{2}{9}$

$\scriptstyle\frac{1}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{1}{12}$

1)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}}}

In the first type we multiply the numerator by the numerator; the result is one. We write it beneath them and draw a line under it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{1\sdot1}{3\sdot4}=\frac{1}{12}}}

הנה במין הראשון הכינו הכמות עם הכמות ועלה אחד וכתבנוהו למטה מהם והמשכנו קו תחתיו

Then, we multiply the denominator by the denominator; the result is 12. We write it beneath the line. It is one part of 12 and this is the result of the multiplication of a third by a quarter.

אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום למטה מהקו והם אחד מי"ב וככה הוא העולה מהכאת השליש עם הרובע

2)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}}}

In the second type we multiply the numerator by the numerator; the result is two. We write it beneath and draw a line under it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{1\sdot2}{3\sdot3}=\frac{2}{9}}}

ובמין השני הכינו הכמות עם הכמות ועלו שנים וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו

Then, we multiply the denominator by the denominator; the result is 9. We write it beneath the line. It is two-ninths and this is the result of the multiplication of a third by two-thirds.

אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו ט' וכתבנום תחת הקו והם שני תשיעות וזהו העולה מהכאת השליש עם השני שלישיות

3)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}}}

In the third type we multiply the numerator by the numerator; the result is 6. We write it beneath and draw a line under it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}}}

ובמין השלישי הכינו הכמות עם הכמות ועלו ו' וכתבנום למטה והמשכנו קו תחתיו

Then, we multiply the denominator by the denominator; the result is 12. We write it beneath the line. It is six parts of 12, the reduced ratio of which is a half. We write it next to it and this is the result of the multiplication of 2-thirds by 3-quarters.

אחר זה הכינו האיכות עם האיכות ועלו י"ב וכתבנום תחת הקו והם ששה חלקים מי"ב וקטון יחסם הוא חצי וכתבנוהו בצדו וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות

This is the shortest way of all the other ways the ancients wrote.

זהו הדרך הקצר מכל שאר הדרכי' אשר כתבו הראשונים

2) Another algorithm

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}}}$

Yet, the ancients have already written another method, which is to multiply the denominator by the denominator, as we have explained, then to multiply the product by itself and keep the result.

אולם הראשונים כבר כתבו עוד דרך אחר זולת זה והוא שמכים האיכות עם האיכות כאשר ביארנו

אחר זה מכים העולה מהכאתם עם עצמו והעולה ישמרוהו

Afterwards, one multiplies the numerator of the first fraction by the denominator of the other fraction and keeps the result.

אחר זה מכים כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר והעולה ישמרוהו

Then, one multiplies the numerator of the other fraction by the denominator of the first [fraction] and keeps the result.

עוד יכו כמות השבר האחר עם איכות האחד והעולה ישמרוהו

One multiplies the reserved by the reserved and relates the result to the first reserved and this is the sought.

אחר זה מכים השמור עם השמור והעולה ייחסוהו עם השמור הראשון והוא המבוקש

Example of the first type of these three given types: they multiply 3 by 4, then the product by itself; the result is 144. They keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)^2=144}}

משל המין הראשון מאלה המינים השלשה המונחים יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמו ויעלו קמ"ד וישמרוהו

Afterwards they multiply 1 by 4; the result is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot4=4}}

אחר זה יכו הא' עם הד' ויעלו ד‫'

They also multiply 1 by 3; the result is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}

גם יכו הא' עם הג' ויעלו ג‫'

Then they multiply 4 by 3; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}

ויכו הד' עם הג' ויעלו י"ב

The ratio of 12 to 144, of which the reduced ratio is one part of 12, is the result of multiplication of the first given type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{4}=\frac{12}{144}=\frac{1}{12}}}

ויחס הי"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חלק אחד מי"ב הוא העולה מהכאת המין הראשון המונח

In the second type: they multiply 3 by 3, then the product by itself; the result is 81. They keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)^2=81}}

ובמין השני יכו הג' עם הג' והעולה עם עצמו ויעלו פ"א וישמרוהו

Afterwards they multiply 1 by 3; the result is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}

אחר זה יכו האחד עם הג' ויעלו ג‫'

They also multiply 2 by 3; the result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}

גם יכו הב' עם הג' ויעלו ו‫'

Then they multiply 3 by 6; the result is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot6=18}}

ויכו הג' עם הו' ויעלו י"ח

The ratio of 18 to 81, of which the reduced ratio is two-ninths, is the result of multiplication of the second given type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{18}{81}=\frac{2}{9}}}

ויחס הי"ח אל הפ"א אשר קטון יחסם הוא שני תשיעיות הוא העולה מהכאת המין השני המונח

In the third type: they multiply 3 by 4, then the product by itself; the result is 144. They keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)^2=144}}

ובמין השלישי יכו הג' עם הד' והעולה עם עצמם ויעלו קמ"ד וישמרוהו

Afterwards they multiply 2 by 4; the result is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}

אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו ח‫'

They also multiply 3 by 3; the result is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}

גם יכו הג' עם הג' ויעלו ט‫'

Then they multiply 8 by 9; the result is 72.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot9=72}}

ויכו הח' עם הט' ויעלו ע"ב

The ratio of 72 to 144, of which the reduced ratio is a half, is the result of multiplication of the third given type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{72}{144}=\frac{1}{2}}}

ויחס הע"ב אל הקמ"ד אשר קטון יחסם הוא חצי הוא העולה מהכאת המין השלישי המונח

This is the long method that some of the ancients used and we mentioned it to introduce the method options.

זהו הדרך הארוך אשר בו השתמשו קצת מהראשונים ואנחנו הזכרנוהו להודיע בחירת הדרך מהדרך

Converting the 78 different types of composite fractions to the three basic types

Since we have already explained to you the two types of methods that you can use for this operation, it remains for us then to present the method of dissolving the rest of the types among all the mentioned 78 types [of fractions] into these three types and by this we will reach the purpose.

ואחר שכבר ביארנו לך שני מיני הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בזה המין הנה הנשאר עלינו אם כן הוא שנודיע הדרך בידיעת התכת המינים הנשארים מכלל הע"ח מינים הנזכרים אל אלו המינים השלשה ובזה נגיע אל המכוון

Converting the twelve simple types of fractions to the two simplest types of fractions: fraction or fractions of one

Know that the presentation of the dissolving of the twelve simple types of fractions into the two types, which are a fraction or fractions of one, is enough to know the dissolving of the compound types into the three compound types, which are a fraction by a fraction, a fraction by fractions and fractions by fractions, since the compound types consist of no others but the simple types.

ודע כי ההודעה בהתכת הי"ב מינים הפשוטים אל השני מינים מהם שהם שבר האחד ושבריו יספיק מידיעת התכת המינים המורכבים מהם אל המינים השלשה המורכבים שהם שבר בשבר ושבר בשברים ושברים בשברים אחר שאין במורכבים זולת פשוטיהם

Converting ten of the twelve simple types of fractions to a fraction or fractions is enough, since the composed types consist of the simple types

I say that the way to dissolve the two types of them, which are a fraction or fractions of integer, is that we relate the product of the numerator of the fraction or fractions by the integer to their denominator, and the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\sdot c=\frac{a\sdot c}{b}}}

ואומר שהשני מינים מהם והוא שבר השלמים הרבים ושבריהם הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה מהכאת כמות השבר או השברים עם השלמים אל איכותם והעולה הוא המבוקש

The way to dissolve the four types of them, which are a fraction of a fraction, or fractions of fractions, or a fraction of fractions, or fractions of a fraction, is that we relate the product of the numerator by the numerator to the product of the denominator by the denominator, and the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}

ואולם הד' מינים מהם שהם שבר שבר האחד ושברי שבריו ושבר שברי האחד ושברי שברו הנה הדרך בהתכתם הוא שניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש

The way to dissolve the four remaining types, which are a fraction of a fraction of integers, or fractions of fractions of integers, or a fraction of fractions of integers, or fractions of a fraction of integers, is that we relate the product of the numerator by the numerator multiplied by the integers to the product of the denominator by the denominator, and the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\sdot n=\frac{a\sdot c\sdot n}{b\sdot d}}}

ואולם הד' מינים הנשארים שהם שבר השבר הרבים ושברי שבריהם ושבר שברי הרבים ושברי שברם הנה הדרך בהתכתם הוא שנייחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות והעולה עם מספר השלמים אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה הוא המבוקש

We have already explained to you the way to know the dissolving of ten of the twelve mentioned types [of fractions] into the two of them, which are a fraction of fractions of one.

הנה כבר ביארנו לך הדרך בידיעת התכת העשרה מינים מהי"ב מינים הנזכרים אל השנים מהם שהם שבר האחד ושבריו

From now on you can dissolve all 78 compound types consisting of these twelve simple types into the three types that we have mentioned.

ומהנה כבר תוכל להשיב כל הע"ח מינים המורכבים מאלה הי"ב מינים הפשוטים אל המינים הג' מהם אשר הזכרנו

Multiplication of fractions without converting

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}}}$

But, if you want to use all the types without having to dissolve them into the three types that we have mentioned, multiply the numerator of the first fraction by the numerator of the second fraction, then the product by the numerator of the third, then the product by the numerator of the fourth, and so on, and keep the result.

ואולם אם רצית להשתמש בידיעת כל המינים מבלתי שתצטרך להתיכם אל המינים השלשה אשר זכרנו הכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם כמות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו

Then, multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the denominator of the fourth, and so on, and keep the result.

אחר כן הכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי וכן לבלתי תכלית והעולה שמרהו

We relate the first reserved to it and this is the required.

ונייחס אליו השמור הראשון והוא המבוקש

Example: if you wish to multiply 2-thirds of 3-quarters of 2-fifths of 4 by 3-quarters of 2-sevenths of [2]-fifths of 3.

המשל בזה אם רצית להכות ב' שלישי הג' רביעיות של ב' חמישיות הד' עם ג' רביעיות הב' שביעיות של חמישיות הג‫'

Arrange them this way:

תסדר השברים בזה הדרך

3

\scriptstyle\frac{2}{5}

\scriptstyle\frac{2}{7}

\scriptstyle\frac{3}{4}

4

\scriptstyle\frac{2}{5}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

Multiply 2 by 3; the result is 6. 6 by 2; the result is 12. 12 by 4; the result is 48. 48 by 3; the result is 144. This by 2; the result is 288. This by 2; the result is 576. This by 3; the result is 1728. Keep it.

ותכה הב' עם הג' ויעלו ו' והו' עם הב' ויעלו י"ב והי"ב עם הד' ויעלו מ"ח והמ"ח עם הג' ויעלו קמ"ד ואלה עם הב' ויעלו רפ"ח ואלה עם הב' ויעלו תקע"ו ואלה עם הג' ויעלו אלף תשכ"ח ונשמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle2\sdot3\sdot2\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3=6\sdot2\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3=12\sdot4\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3=48\sdot3\sdot2\sdot2\sdot3=144\sdot2\sdot2\sdot3=288\sdot2\sdot3=576\sdot3=1728}}

Then, we multiply 3 by 4; the result is 12. This by 5; the result is 60. This by 4; the result is 240. This by 7; the result is 1680. This by 5; the result is 8040.

אחר זה נכה הג' עם הד' ויעלו י"ב ואלה עם הה' ויעלו ס' ואלה עם הד' ויעלו ר"מ ואלה עם הז' ויעלו אלף תר"ף ואלה עם הה' ויעלו שמנה אלפים ות‫'

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot4\sdot7\sdot5=12\sdot5\sdot4\sdot7\sdot5=60\sdot4\sdot7\sdot5=240\sdot7\sdot5=1680\sdot5=8400}}

It is placed beneath what is kept in our hand, which is 1728 and this is the result itself by dissolving.	ויונחו תחת השמור שבידינו שהם אלף תשכ"ח וזהו בעצמו היוצא עם הדרך ההתכה
For, the first type is 48 parts of sixty, of which the reduced fraction is 4-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot4=\frac{48}{60}=\frac{4}{5}}}$	כי המין הראשון הוא מ"ח חלקים מששים אשר קטון זה היחס הוא ד' חמישיות
The second type is 36 parts of 140, of which the reduced fraction is nine parts of 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3=\frac{36}{140}=\frac{9}{35}}}$	והמין השני הוא ל"ו חלקים מק"מ אשר קטן זה היחס הוא תשעה חלקים מל"ה
When they are multiplied by the previous way of the three compound types of fractions, the result is 36 parts of 175 and this is the ratio of 1728 to 8040 without dissolving. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{5}\sdot4\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{7}\sdot\frac{2}{5}\sdot3\right)=\frac{4}{5}\sdot\frac{9}{35}=\frac{36}{175}=\frac{1728}{8400}}}$	וכאשר יוכו עם הדרך הקודם בג' מיני השברים המורכבים הנה יעלו ל"ו חלקים מקע"ה וזהו יחס האלף תשכ"ח אל השמנה אלפים ות' היוצא בזולת ההתכה
These are the methods by which you can know the result of multiplication of one simple type by another simple type of the twelve simple types of fractions.	אלה הם הדרכים אשר בם תוכל לדעת העולה מהכאת מין אחד פשוט עם מין אחר פשוט מי"ב מיני השברים הפשוטים
Composite types of multiplication of fractions
Algorithm for a sum pf multiples without multiplying each one separately and then summing them together

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}}}$

But, if you want to multiply numerous simple types by numerous simple types at one time and know the result of multiplication without having to multiply each by itself, then sum them.

אולם אם רצית להכות פשוטים רבים עם פשוטים רבים בפעם אחת לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך להכות כל אחד מהם לבדו ואחר זה לקבצם

Such as for example: [the sum] of the product of two-thirds by 3-quarters, the product of 4-fifths by 5-sixths, and the product of six-sevenths by seven-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)}}

כמו על דרך משל הכאת השני שלישיות עם הג' רביעיות והכאת הד' חמישיות עם הה' ששיות והכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות

The fractions are arranged in this order:

יסודרו השברים בזה הסדר

\scriptstyle\frac{7}{8}

\scriptstyle\frac{6}{7}

χ

\scriptstyle\frac{5}{6}

\scriptstyle\frac{4}{5}

χ

\scriptstyle\frac{3}{3}

\scriptstyle\frac{2}{4}

We multiply the numerator of the first fraction by the numerator of the second fraction, this product by the third numerator, this product by the fourth numerator, this product by the fifth numerator, this product by the sixth numerator and so on until all the fractions are complete. The result of our example is 20160.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8=20160}}

ואחר נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והעולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי וכן תמיד עד שיכלו כל השברים והנה העולה במשלנו זה הוא עשרים אלף וק"ס

Afterwards we multiply the numerator of the first by the numerator of the second, then the product by the denominator of the third, this product by the denominator of the fourth, this product by the denominator of the fifth, and this product by the denominator of the sixth; we keep the result, which is 1080 in our example.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\sdot8=10080}}

אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי ועולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרהו והוא י' אלף פ' במשלנו

Thereafter we multiply the numerator of the third by the numerator of the fourth, then the product by the denominator of the first, this product by the denominator of the second, this product by the denominator of the fifth, and this product by the denominator of the sixth; we keep the result, which is 13440.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot7\sdot8=13440}}

אחר זה נכה כמות השבר השלישי עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות החמישי והעולה עם איכות הששי והעולה נשמרהו והוא י"ג אלף ת"מ

Thereafter we multiply the numerator of the fifth by the numerator of the sixth, then the product by the denominator of the first, this product by the denominator of the second, this product by the denominator of the third, and this product by the denominator of the fourth; we keep the result, which is 15120.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6=15120}}

אחר זה נכה כמות השבר החמישי עם כמות הששי והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והעולה נשמרהו והוא ט"ו אלף ק"כ

We sum up the reserved; it is 38640.

\scriptstyle{\color{blue}{10080+13440+15120=38640}}

נקבץ השמורים והם ל"ח אלף תר"מ

We divide it by the 20160 in our hand; the result is one integer and 18480 parts of 20160 and this is the sum of the product of 2-thirds by 3-quarters, the product of 4-fifths by five-sixths, and the product of six-sevenths by seven-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)=\frac{38640}{20160}=1+\frac{18480}{20160}}}

נחלקם על העשרים אלף ק"ס שבידינו והעולה הוא שלם א' וי"ח אלף ת"פ מכ' אלף ק"ס וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם החמשה ששיות ומהכאת הששה שביעיות עם השבעה שמיניות

Another example: if you wish to know the sum of the product of two-thirds by three-quarters and the product of four-fifths by two-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\right)}}

דמיון אחר אם רצית לדעת העולה מהכאת השני שלישיות עם השלשה רביעיות ומהכאת הארבעה חמישיות עם השני שביעיות

We arrange them as follows:

הנה נסדרם ככה

\scriptstyle\frac{2}{7}

\scriptstyle\frac{4}{5}

χ

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

We multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second, then the product by the denominator of the third and the product by the denominator of the fourth; the result is 420.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot7=420}}

ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכו' הרביעי והעולה ת"כ

Afterwards we multiply the numerator of the first by the numerator of the second, then the product by the denominator of the third and the product by the denominator of the fourth; we keep [the result], which is 210.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot5\sdot7=210}}

אחר זה נכה כמות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והנשמרהו והם ר"י

Afterwards we multiply the numerator of the third by the numerator of the fourth, then the product by the denominator of the first and the product by the denominator of the second; we keep the result, which is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot3\sdot4=96}}

אחר זה נכה כמות הג' עם כמות הד' והעולה עם איכות הראשון והעולה עם איכות השני והעולה נשמרהו והם צ"ו

We sum up the reserved; it is 306.

\scriptstyle{\color{blue}{210+96=306}}

נקבץ השמורים והם ש"ו

We divide it by the 420 in our hand; it is 306 parts of 420 and this is the sum of the product of 2-thirds by 3-quarters and the product of 4-fifths by 2-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{2}{7}\right)=\frac{306}{420}}}

נחלקם על הת"כ שבידינו והם ש"ו חלקים מת"כ וזהו העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות ומהכאת הד' חמישיות עם הב' שביעיות

Algorithm for a multiple of sums without summing each one separately and then multiplying them by each other

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}}}$

But, if you wish to multiply the sum of 2-thirds and 3-quarters by the sum of 4-fifths and 2-sevenths, and to know the product, without having to sum the two-thirds with the 3-quarters and the 4-fifths with the two-sevenths, then to multiply the two sums, but all is obtained correctly at once.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{7}\right)}}

ואולם אם רצית להכות הב' שלישיות והג' רביעיות יחד עם הד' חמישיות וב' שביעיות יחד לדעת העולה מהכאתם מבלתי שתצטרך לקבץ השני שלישיות עם הג' רביעיות והד' חמישיות עם השני שביעיות ואחר זה להכות שני המקובצים אבל יצא הכל מתוקן בפעם אחת

$\scriptstyle\frac{2}{7}$	χ	$\scriptstyle\frac{4}{5}$	χ	$\scriptstyle\frac{3}{4}$	χ	$\scriptstyle\frac{2}{3}$

We multiply the denominator of the first by the denominator of the second, then the product by the denominator of the third and the product by the denominator of the fourth; it is in our example 420. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot7=420}}

הנה נכה איכות הראשון עם איכו' הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם איכות הד' והם במשלנו ת"כ ונשמרם

Afterwards we multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then the product by the denominator of the third and the product by the numerator of the fourth; the result is 80.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5\sdot2=80}}

אחר זה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכו' השלישי והעולה עם כמות הד' ויעלו פ‫'

We also multiply the numerator of the second by the denominator of the first, then the product by the denominator of the third and the product by the numerator of the fourth; it is 252.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot4\sdot7=252}}

גם נכה כמות השני עם איכות הראשון והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רנ"ב

We also multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then the product by the numerator of the third and the product by the denominator of the fourth; it is 224.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot4\sdot7=224}}

גם נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רכ"ד

We also multiply the numerator of the second by the denominator of the first, then the product by the denominator of the third and the product by the numerator of the fourth; it is 90.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot5\sdot2=90}}

גם נכה כמות השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם צ‫'

We sum up all except for the reserved; it is 646.

\scriptstyle{\color{blue}{80+252+224+90=646}}

נקבץ הכל חוץ מהשמור והם תרמ"ו

Divide it by the reserved 420; the result is one integer and 226 parts of 420 and this is the product of the sum of 2-thirds and 3-quarters by the sum of 4-fifths and 2-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{2}{7}\right)=\frac{646}{420}=1+\frac{226}{420}}}

חלקם על הת"כ השמורים ויצאו אחד שלם ורכ"ו חלקים מת"כ וככה הוא העולה מהכאת קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיות עם קבוץ הד' חמישיות וב' שביעיות

Methods of checking

1) Division

The scales by which this type is checked is that we divide the product of a fraction by a fraction by whichever you wish of the multiplied fractions, and if the result of division is equal to the other fraction you are right, if not you are wrong.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)\div\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}}

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא שנחלק העולה מהכאת השבר עם השבר על השבר הא' מהמוכים איזה מהם שרצית ואם היוצא בחלוקה ישוה לשבר האחר צדקת ואם לאו כזבת

Example: if you multiply a third by a quarter; the result is one part of 12.

המשל בזה אם הכית השליש עם הרביע יעלה אחד מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\div\frac{1}{3}=\frac{1}{12}\div\frac{1}{3}=\frac{3}{12}=\frac{1}{4}}}

והמאזנים לזה הוא שנחלק אחד מי"ב על השליש שהוא השבר הא' מהמוכים והיוצא הוא שלשה חלקים מי"ב וקטון היחס הזה הוא רביע וזהו השבר השני מהמוכים

ואופן החלוק הנה יתבאר במקומו אם ירצה השם אלו הם מאזני הראשונים

2) Another test:

אולם אני אודיעך מאזנים אחרים זולת אלה

$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}$

והוא שנכה ההבדל שבין השבר הקטן עד תשלום הא' השלם עם השבר הגדול והעולה נקבצנו עם העולה מההכאה הראשונה והעולה אם ישוה לשבר הגדול דע שצדקת ואם לאו כזבת

המשל בזה אם רצית להכות השליש עם הרביע הנה העולה הוא אחד מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)\sdot\frac{1}{3}\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}}

והמאזנים לזה הוא שנקח מהרביע הג' רביעיות שהם עד תשלום השלם האחד ונכם עם השליש והעולה הוא שלשה חלקים מי"ב ונקבצם עם האחד מי"ב היוצא מההכאה הראשונה ויעלו ד' חלקים מי"ב וקטון היחס הזה הוא שליש וזהו השבר האחר ודרך הקבוץ יתבאר במקומו בע"ה

If each of the two fractions are larger than 1

$\scriptstyle\frac{a}{b};\; \frac{c}{d}>1\longrightarrow\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}$

ואולם אם היה כל אחד מהשני שברים המוכים יותר משלם אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{3};\; \frac{6}{4}>1\longrightarrow\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left[\left(\frac{4}{3}-1\right)\sdot\frac{6}{4}\right]=\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)=\frac{6}{4}}}

כמו על דרך משל הכאת ד' שלישיות עם ששה רביעיות הנה נקח מהארבעה שלישיות העודף על השלם האחד והוא השליש האחד ונכהו עם הששה רביעיות והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת הד' שלישיות עם הו' רביעיות

ואם הנשאר ישוה לששה רביעיות אשר הוא השבר האחר דע שצדקת ואם לאו טעית ודרך החסור יתבאר במקומו בעזרת הש"י

Converting the result of the checking method to a reduced fraction

ולהיות שהיוצא מהמאזנים יהיה לפעמים שבר קשה ההתכה אל קטון יחסו ויראה שהוא מתחלף מהשבר האחר ואם הוא שוה לא ראינו להודיע הדרך אל זה ביותר קלות ממה שאפשר

והוא שנסדר השבר האחד בצד אחד והיוצא מהמאזנים בצדו כזה

\scriptstyle\frac{4}{12}

χ

\scriptstyle\frac{1}{3}

	12
	12

$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow a\sdot d=c\sdot b$

ונכה כמות השבר האחד עם כמות השבר האחר באלכסון והעולה נכתבהו תחתיו

גם נכה כמות השבר האחד עם איכות האחר באלכסון ונכתבהו תחתיו
ואם ישוו העולים מהשתי הכאות דע שהשני שברים שוים ואם לאו הם בלתי שוים בהכרח

This method is very simple, but not enough for finding the reduced fraction, only for equalization of the fractions

וזה הדרך קל מאד אלא שלא יספיק למציאות קטון היחס רק למציאות שווי השברים לבד

3) Another test - easier than the last one

עוד חדשתי מאזנים אחרים יותר קלים ויותר קצרים מהראשונים

$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$

והוא שנקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם רצית ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר דע שצדקת ואם לאו כזבת

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}

משל זה אם הכית השליש עם הרביע שהעולה מהכאתם הוא אחד מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot1\right):x=1:x=\frac{1}{3}\longrightarrow x=3\longrightarrow3:\left(3\sdot4\right)=3:12=\frac{1}{4}}}

נקח האחד מהשבר היוצא ונבקש מספר שיהיה יחס האחד עליו יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים והם ג' ויהיה יחס הג' אל הי"ב שהוא איכות השבר היוצא שוה ליחס הרביע שהוא השבר האחד מהמוכים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot1\right):x=1:x=\frac{1}{4}\longrightarrow x=4\longrightarrow4:\left(3\sdot4\right)=4:12=\frac{1}{3}}}

או אם תרצה תבקש מספר שיהיה יחס האחד אליו יחס הרביע והם ד' ויתחייב מזה שיהיה יחס הד' אל הי"ב הוא יחס השליש שהוא השבר האחד מהמוכים

finding the number to which the numerator of the result is proportional

ואולם הדרך בידיעת מציאות המספר המתיחס אליו כמות השבר היוצא בבלתי חפוש

$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$

הוא שתסדר השבר המוכה אשר תרצה להיות יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש כיחסו בצד א' ובצדו האחר תכתוב כמות השבר היוצא מההכאה

והכה זה הכמות עם איכות השבר שהונח בצדו בדרך אלכסון והעולה מההכאה חלקם על כמות השבר המונח בצדו והיוצא הוא המספר הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{18:x=\frac{6}{4}\longrightarrow x=\frac{4\sdot18}{6}=\frac{72}{6}=12\longrightarrow18:12=\frac{6}{4}}}

משל זה אם רצינו לדעת המספר אשר יהיה יחס השמנה עשר אליו הוא יחס השש רביעיות הנה יונח שבר השש רביעיות בצד אחד והי"ח בצד אחר כזה

\scriptstyle\frac{18}{12}

χ

\scriptstyle\frac{6}{4}

ויוכה הד' עם הי"ח והעולה ע"ב נחלקהו על הו' והיוצא הוא מספר י"ב וזהו המספר המבוקש אשר יחס הי"ח אליו הוא יחס הו' אל הד' רביעיות

Reasons and Explanations

The reason for the general multiplication procedure

The reason of this type that we multiply the numerator by the numerator and the denominator by the denominator is self-explanatory after introducing five propositions:

ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות הנה היא מבוארת בעצמה אחר הצעת חמש הקדמות

The first of them is that for every fraction, if its numerator and its denominator are multiplied by any multiplier the same number of times, when the products of its numerator and its denominator are related to each other, it is the same original fraction, which is the ratio of the numerator to the denominator that are not multiplied.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}}}

האחת מהן היא שכל שבר מהשברי' כאשר יכפל כמותו ואיכותו איזה כפלים שיהיו שוי הפעמים הנה העולה מכפלי כמותו ואיכותו כאשר ייוחסו זה אצל זה הנה יהיה הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מייחס הכמות אל האיכות הבלתי נכפלים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{a}{b}}}

וכן בחלוק ר"ל כאשר תחלק כמותו ואיכותו לחלקי' שוים איזה חלקים שיהיו ותקח מכל א' מחלקי הכמו' והאיכות חלקים שוים ותייחס החלקים הלקוחים מהכמו' אל החלקים הלקוחי' מהאיכות יהיה השבר המתחדש מהם הוא השבר הראשון בעינו אשר הוא מיחס הכמות והאיכו' הבלתי נחלקים

This is already known in Euclid's Elements, Book V, [proposition 15], when he says: the ratio of [the products of] the parts, whose multiples are equal, to each other is as the ratio of the parts to each other.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b}}

וסבתו ידועה בספר היסודות לאקלידס במאמר הה' ממנו

באמרו החלקים אשר כפליהם שוים הנה יחס קצתם אל קצת כיחס חלקי קצתם אל קצת כי המופת בשניהם אחד

The second proposition: our saying "we multiply the fraction by the fraction" is equal to our saying "we take a fraction of the fraction".

ההקדמה השנית היא שבאמרנו נכה השבר עם השבר שוה לאמרנו נקח שבר השבר

וזה מבואר מאד

The third proposition:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)=a}}

ההקדמה השלישית היא שכל מספר נכפל בכפלי' מה כמה שיהיו הנה המספר הנכפל יהיה למספר העולה מכפליו שבר נגזר משם מספר מספר הכפלים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(2\sdot3\right)=\frac{1}{3}\sdot6=2}}

משל זה שמספר ב' כאשר יכפל בג' וישובו ו' הנה מספר הב' יהיה שליש הו' אשר שם השליש הוא נגזר מהג' אשר הם כפלי הב‫'

Based on Nicomachus

וזה מבואר גם כן מספר ניקומכוש

The fourth proposition:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\frac{\frac{a}{b}\sdot c}{d}}}

ההקדמה הרביעית היא שכאשר תרצה לקחת משברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפי החלק הדרוש וניחסהו אל איכות השברים המונחים והיוצא הוא החלק הלקוח מהם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{9}{10}=\frac{\frac{1}{3}\sdot9}{10}=\frac{3}{10}}}

משל זה אם רצית לקחת שליש הט' עשיריות הנה נקח שליש הט' והם ג' ונייחסם אל עשיריות והם ג' עשיריות וכן תמיד וגם זה מבואר בעצמו

The fifth proposition:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{c\sdot\frac{a}{b}=\frac{c\sdot a}{b}}}

ההקדמה החמישית היא שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים בכפלים מה איזה כפלים שיהיו הנה נכפול הכמות ונייחסהו אל האיכות והיוצא הוא העולה מכפלי השברים המונחים

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot2}{9}=\frac{6}{9}}}

משל זה אם רצית להכות שני תשיעיות בג' הנה נכה הב' בג' ויעלו ו' וניחסם אל התשיעיות ויעלו ו' תשיעיות וזהו העולה מכפילת השני תשיעיות בג' וגם זה מבואר בעצמו

Since these propositions are clarified - the multiplication procedure is clarified

ואחר שכבר התבארו לך אלה ההקדמות הנה כבר התבאר לך עלת זה המין בתכלית מה שהיה אפשר לבארו

according to (2):

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}of\frac{2}{9}}}

וזה שאמרנו נכה הג' רביעיות בב' תשיעיות עד"מ הנה הוא שוה לאמרנו נקח ג' רביעיות הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה השנית

according to (4) and (5):

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=3\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{2}{9}\right)=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot2}{9}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)\sdot3}{9}}}

ואלו היה כמות הב' תשיעיות נחלק לד' חלקים עד נקח מהם רביעיתם היינו לוקחים אותו והיינו מיחסים אותו אל איכותם והיוצא היה מורה על רביעית השני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית

ואחר זה היינו כופלים כמות הרביעית הא' בג' והיה עולה ג' רביעיות השני תשיעיות לפי מה שקדם שהקדמה החמישית

אך מפני שכמות הב' תשיעיות בלתי נחלק לד' חלקים היה מן ההכרח שנכהו בד' שהוא איכות הג' רביעיות עד שיהיה העולה מהכאת הב' בד' נחלק לארבעה חלקים

according to (1); (4) and (5):

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)}{9\sdot4}=\frac{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)\right]\sdot3}{9\sdot4}}}

וכאשר היה זה כן היה מחויב עלינו גם כן להכות גם התשעה שהם איכות השני תשיעיות עם איכות הד' עד יהיה העולה מכפלי הב' והט' עם הד' כאשר יתיחסו זה אל זה שוים לשני תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הראשונה

ונקח מהעולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות השבר ההוה רביעיתם וניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא איכות השבר ההוה וההוה הוא רביעית הב' תשיעיות לפי מה שקדם בהקדמה הרביעית
אחר זה נכפול כמותו בג' והוא מורה על ג' רביעיות השני תשיעיות לפי ההקדמה החמישית

according to (1); (4); (3) and (5):

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot8}{9\sdot4}=3\sdot\frac{2}{9\sdot4}=\frac{3\sdot2}{4\sdot9}}}

אלא שהקדמונים ראו לקצר הדרך והכו האיכות עם האיכות לבד והניחו הכאת הכמות עם האיכות ולקיחת רביעיתו כי כבר קדם בהקדמה השלישית שכל מספר נכפל בכפלי' מה הנה המספר הנכפל יהיה למספר העולה מהכפלים שבר נגזר מכפליו

ולכן יחויב מזה בהכרח שיהיו הב' שהוא כמות הב' תשיעיות בעינם רביעית המספר העולה מהכאת הב' בד'
ואם כן אין הבדל בין שנקח כמות השני תשיעיות בעינו או שנכה הב' עם הד' ויעלו ח' ונקח מהם רביעיתם שהם ב'
וכאשר היה זה כן הנה אם כן אין צורך רק להכאת האיכות על האיכות ולקיחת הכמות בעינו וניחס הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא יורה על רביעית השני תשיעיות
אמנם בעבור שדרושנו הוא ג' רביעיות הב' תשיעיות והיוצא לא יורה כי אם על רביעית אחד לכן הוצרכנו להכות כמות היוצא המורה על רביעית אחד שהוא כמות הב' תשיעיות בעינו לפי מה שקדם עם הג' שהוא כמות הג' רביעיות וייוחס העולה אל האיכות היוצא והעולה יורה על שלשה רביעיות הב' תשיעיות בהכרח לפי מה שקדם בהקדמה החמישית וזהו מה שכווננו ביאורו

The reason for the second algorithm

ואולם הדרך אשר בו השתמשו הקדמונים

$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}$

והוא שמכים האיכות עם האיכות והעולה עם עצמו

גם מכים הכמות עם האיכות באלכסון גם כמות האחר עם איכות חברו באלכסון
אחר זה יכו העולים מהאלכסונים זה עם זה והעולה ייחסוהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם עצמו הנה היא הסבה הנזכרת בעצמה בדרך הקדום

\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{b\sdot d}\sdot\frac{c\sdot b}{d\sdot b}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}

וזה שכאשר יכו האיכות עם האיכות הנה העולה מהם יהיו בו שני האיכויות בהכרח ולזה הצטרכו בו בעבור שיהיו במספר ההוה מהם שני האיכויות יחד עד ילקח מהם השבר האחד והאחר ויהיו מתחלפים בכמות ושוים באיכות וזה כשילקח כמותם על דרך אלכסון כאשר יתבאר במין הקבוץ אי"ה

משל זה במשלנו הקדום אם רצית להכות ג' רביעיות עם שני תשיעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot9}{4\sdot9}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=\frac{27}{36}\sdot\frac{8}{36}=\frac{27\sdot8}{36^2}=\frac{216}{1296}=\frac{6}{36}}}

הנה יכו הט' עם הד' ויעלו ל"ו וזהו במקום שלם

אחר זה יכו הג' עם הט' ויעלו כ"ז ונייחסם אל הל"ו והם כ"ז חלקים מל"ו שהם שוים לג' רביעיות כמו שיבא
אחר זה יכו הב' עם הד' ויעלו שמנה ונייחס אל הל"ו ויהיו שמנה חלקים מל"ו שהם שוים לב' תשיעיות
הנה לפי הדרך הזאת כבר נהיה תמורת הכאת הג' רביעיות עם הב' תשיעיות הכאת הכ"ז חלקים מל"ו עם השמנה חלקים מל"ו אחר שהם שוים להם
וכאשר יוכה האיכות עם האיכות כאשר קדם ויעלו אלף רצ"ו
גם יוכה הכמות עם הכמות כאשר קדם ויעלו רי"ו
ונייחסם אל האלף רצ"ו הנה הם שוים לששה חלקים מל"ו ההוים לפי הדרך הקודם
וסיבתם היא אחת אחר ששב זה הדרך אל הדרך הקודם בעינו וזהו מה שכווננו ביאורו

The explanation of the conversion of 10 of the 12 simple types of multiplication of fractions to the two simplest types of them

וכבר יתבאר לך גם כן ענין התכת כל העשרה מינים מכלל הי"ב הפשוטים אל השני מינים

based on the second proposition - the method of converting these types is the same as multiplying

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{3}of\frac{1}{4}}}

וזה כי כבר קדם בהקדמה השנית כי באמרנו נכה השליש עם הרביע הוא שוה לאמרנו נקח שליש הרביע

ואחר שהמינים העשרה מכלל הי"ב מינים הפשוטים הם שבר השבר או שבר השברים או שבר שבר השבר והדומה לזה אשר זהו ענין הכאת השברים הנה אם כן בהכרח שיהיה דרך התכת השברים העשרה אל השני מינים הפשוטים הוא דרך ההכאה בעינה

Explanation of the algorithm of multiplication of fractions without converting

ואולם סבת מציאות זה המין בזולת ההתכה

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}}}$

וזה בשנכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המכים והמוכי' והעולה נשמרהו

עוד אחר זה נכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו השברים המכים והמוכים
ונייחס אל העולה מהם השמור הראשון הנה סבתו גם כן ידועה

Fractions of fractions by fraction

It is that if you wish to multiply fractions of fractions by fractions:

וזה שאם רצית להכות שברי שברים עם שברים

Such as two-thirds of 4-fifths by 4-fifths, for example.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{5}\right)\times\frac{4}{5}}}

כמו שני שלישיות הג' רביעיות עם הד' חמישיות על דרך משל

\scriptstyle\frac{4}{5}

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{6}{12}$

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\times\frac{4}{5}=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}\sdot\frac{4}{5}=\frac{6}{12}\sdot\frac{4}{5}=\frac{6\sdot4}{12\sdot5}=\frac{24}{60}}}

הנה אין הבדל בין שנתיכם בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד‫'

שהם ו' חלקים מי"ב ואחר נכם עם הד' חמישיות בשנכה הו' עם הד' ויעלו כ"ד וניחסם אל העולה מהכאת הי"ב עם הה' שהם כ"ד חלקים מששים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\right)\times\frac{4}{5}=\frac{2\sdot3\sdot4}{3\sdot4\sdot5}=\frac{24}{60}}}

ובין שנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' וניחסם אל העולה מהכאת הג' בד' והעולה בה' שהם כ"ד חלקים בס‫'

The simultaneous multiplications are the same as a repeated multiplication according to the first method

כי ההכאות ההוות בזה הדרך ר"ל בבת אחת הם ההכאות בעצמם ההוות בשני פעמים כמו הדרך הראשון וזה מבואר מאד אין צורך לביאור

Fractions of fractions by fraction fractions

But, if you wish to multiply fractions of fractions by fractions of fractions:

ואולם אם רצית להכות שברי שברים עם שברי שברים

Such as two-thirds of 4-fifths by 3-quarters of 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{5}\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{5}{6}\right)}}

כמו שני שלישיות הד' חמשיות עם ג' רביעיות הה' ששיות

$\scriptstyle\frac{5}{6}$	$\scriptstyle\frac{3}{4}$
$\scriptstyle\frac{15}{24}$

$\scriptstyle\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{8}{15}$

Here we need to explain and say that it is clear from what was explained in Euclid's [Elements], Book VII, proposition 17, that for every number multiplied by two numbers, the ratio of one of the product to the other is as the ratio of one of the two numbers to the other.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b}}

הנה בזה נצטרך אל ביאור ואומר שהוא מן המבואר ממה שהתבאר בספר אקלידס במאמ' השביעי בתמונת י"ז שכל מספר יוכו בו ב' מספרים הנה יחס אחד משני השטחים אצל האחר כיחס אחד משני המספרים אצל האחר

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot\left(3\sdot5\right)=8\sdot15=\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5}}

ולכן יחויב מזה בהכרח במשלנו זה שיהיה העולה מהכאת הב' בד' שהוא ח' כאשר יוכה עם העולה מהכאת הג' בה' שהם ט"ו שוה לעולה מהכאת הב' בד' והעולה בג' והעולה בה‫'

וכן באיכיות דרך אחד להם ר"ל שכמו שהיה בכמויות העולה מהכאת הח' בט"ו שהם העולים מהכאת הב' בד' והכאת הג' בה' שוה לעולה מהכאת הב' בד' עם הג' והעולה מהם עם הה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(4\sdot6\right)=15\sdot24=\left[\left(3\sdot5\right)\sdot4\right]\sdot6}}

כן באיכויות העולה מהכאת הט"ו בכ"ד שהם העולים מהכאת הג' בה' והכאת הד' בו' הם שוים לעולה מהכאת הג' בה' עם בד' והעולה מהם עם הו‫'

והסבה בזה מבואר ממה שקדם מההקדמה הנזכרת בספר אקלידס

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(2\sdot4\right)=\left(3\sdot5\right)\sdot8=\left(8\sdot3\right)\sdot5}}

וזה שיתחייב מההקדמה ההיא בהכרח שהעולה מהכאת הג' בה' כאשר יוכה עם הח' העולה מהכאת הב' בד' הוא שוה לעולה מהכאת הח' בג' עם הה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{8:5=\left(8\sdot3\right):\left(5\sdot3\right)=24:15}}

וזה כי אחר שהג' הוכה עם הח' ועלו כ"ד גם הוכה עם הה' ועלו ט"ו הנה יהיה יחס הח' אל הה' כיחס הכ"ד אל הט"ו

It has already been explained in proposition 19 of this same book [Euclid, Elements, Book VII, proposition 19] that for every four proportional numbers, the product of the first by the last is equal to the product of the second by the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:b=c:d\longrightarrow\left(a\sdot d\right)=\left(b\sdot c\right)}}

וכבר התבאר בתמונת י"ט מן המאמר ההוא בעצמו שכל ארבעה מספרים מתיחסים הנה השטח העולה מהכאת הראשון באחרון שוה לשטח העולה מהכאת השני בשלישי

\scriptstyle{\color{blue}{8:5=24:15\longrightarrow8\sdot15=5\sdot24}}

אם כן יחויב מזה בהכרח שהעולה מהכאת הח' עם הט"ו הוא שוה לעולה מהכאת הה' עם הכ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot3=24\longrightarrow\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5=8\sdot15}}

ואחר שהיה זה כן וכבר קדם שהכ"ד הם ההוים מהכאת הב' עם הד' והעולה עם הג‫'

אם כן כאשר יוכה הב' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הה' יהיה שוה בהכרח לעולה מהכאת הח' עם הט"ו

וכן תוכל לדעת זה בכל מיני השברים ואם ירבו מאד כי המופת צודק לכל

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{3}{4}\sdot\frac{4}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{6}{7}\sdot\frac{7}{8}\right)}}

משל זה אם רצית להכות אלו

\scriptstyle\frac{7}{8}

\scriptstyle\frac{6}{7}

\scriptstyle\frac{5}{6}

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot4=2\sdot\left(3\sdot4\right)}}

הנה העולה מהכאת הב' בג' והעולה עם הד' הוא שוה לעולה מהכאת הב' עם העולה מהכאת הג' עם ד' כמו שקדם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)}}

וכן העולה משלשתם כאשר יוכה עם הה' והעולה עם הו' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתם עם העולה מהכאת הה' בו‫'

לזאת הסבה בעינה כי המספר הראשון הוא העולה משלשתן והשני מספרים האחרים הם הה' והו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot7=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)}}

וכן העולה משלשתן כאשר יוכה עם העולה מב' מספרי ה"ו והעולה עם הז' הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משלשה המספרים האחרים שהם מספרי ה'ו'ז‫'

לזאת הסבה בעצמה כי המספר הראשון הוא ההוה משלשתן והמספר השני הוא ההוה משני מספרי ה"ו והמספר השלישי הוא מספר ז‫'
ולכן יהיה העולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו והעולה עם ז' שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה מג' מספרי ה'ו'ז‫'
וכבר קדם שהעולה מהכאת העולה משלשתן עם העולה משני מספרי ה"ו הוא שוה לעולה מהכאת העולה משלשתן עם הה' והעולה עם ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7=}}

אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה העולה מהכאת ההוה משלשתן עם ההווה מהשלשה הנשארים שוה לעולה מהכאת הב' בג' והעולה עם ד' והעולה עם ה' והעולה עם ו' והעולה עם ז' וזהו מה שכווננו ביאורו

Explanation of the algorithm for a sum of multiples without multiplying each one separately and then summing them together

ואולם סבת מציאו' הכאו' רבות בפעם אחת מבלתי שתצטרך לקבץ העולי' מההכאות הרבות

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}}}$

בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המונחים בכל ההכאות ונשמרהו

אחר זה ניחס אליו העולה מהכאת כמויות כל הכאה והכאה זה עם זה על הסדר והעולה נכהו עם כל אכויות ההכאות האחרות ואם רבו על הסדר

Clarified by the algorithm for addition of fractions

הנה אמנם התבאר לך ביאור מספיק אחר שיתבאר לך מין קבוץ השברים וסבתם

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}}}$

וזה שבמין הקבוץ נבאר שהדרך אל מציאותו אמנם הוא בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל השברים המונחים והעולה נשמרהו

אחר זה נכה כמות כל שבר ושבר עם כל איכויות השברים נקבצים עמו והעולים מהכאת כמות כל השברים עם כל איכויות הנקבצים מהם נקבצם וניחסם אל השמור הראשון והוא סך כל השברים הנקבצים

Together with the property of the associativity of multiplication

\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)

וכאשר היה זה כן וכבר קדם שהעולה מהכאת המספר האחד עם המספר הב' והעולה עם המספר הג' והעולה עם המספר הרביעי

הוא שוה לעולה מהכאת העולה מהמספר הא' והב' עם העולה מהכאת המספר הג' והד‫'

אם כן מן המחויב מזה בהכרח שיהיה מציאות סך כל ההכאות מבלתי קבוץ עם הדרך הנזכרת

For instance: if you wish to know the sum of the product of two-thirds by 3-quarters with the product of 4-fifths by 5-sixths and the product of 6-sevenths by seven-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)}}

משל זה אם רצית לדעת סך כל העולה מהכאת שני שלישיות עם ג' רביעיות והכאת ד' חמישיות עם ה' ששיות והכאת ו' שביעיות עם שבעה שמיניות

Like this:

כזה

$\scriptstyle\frac{7}{8}$	$\scriptstyle\frac{6}{7}$
$\scriptstyle\frac{42}{56}$

$\scriptstyle\frac{5}{6}$	$\scriptstyle\frac{4}{5}$
$\scriptstyle\frac{20}{30}$

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{6}{12}$

הנה למה שקדם שהכאת כל מין ומין מהם אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות וזה בכל מין ומין לעצמו

ונכתוב העולה מכל מין תחתיו ויחויב שיהיו העולים ששה חלקים מי"ב ועשרים חלקים משלשים ומ"ב חלקים מנ"ו

ועוד יתבאר במה שיבא שקבוץ השברים אמנם הוא בשנכה כל האיכויות זה עם זה ונשמרהו

גם נכה כמות כל שבר עם איכות כל השברים הנקבצים עמו ונקבצם

והעולה נייחסהו אל השמור שבידינו והוא סך הכל

Hence, it follows that we multiply 12 by thirty and the result by 56. We keep the product and this is the first reserved.

ואם כן יחויב שנכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו והעולה נשמרהו וזהו השמור הראשון

Then, we multiply 6 by thirty and the result by 56.

אחר זה נכה הו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו

We also multiply 20 by 12 and the result by 56.

גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו

We also multiply 42 by thirty and the result by 12.

גם נכה המ"ב עם השלשים והעולה עם הי"ב

We sum up all the products and relate it to the first reversed and this is the total sum of the fractions.

ונקבץ כל העולים והעולה נייחסהו אל השמור הראשון והוא סך כל השברים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)=\frac{2\sdot3}{3\sdot4}+\frac{4\sdot5}{5\sdot6}+\frac{6\sdot7}{7\sdot8}=\frac{6}{12}+\frac{20}{30}+\frac{42}{56}=\frac{\left(6\sdot30\sdot56\right)+\left(20\sdot12\sdot56\right)+\left(42\sdot30\sdot12\right)}{12\sdot30\sdot56}}}

It has already been stated that there is no difference whether we multiply the first number by the second number, then the product by the third, and this product by the fourth, or whether we multiply the product of the first and the second by the product of the third and the fourth. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)}}$	וכבר קדם שאין הבדל בין שנכה המספר האחד עם המספר השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' ובין שנכה העולה מהא' והב' עם העולה מהג' והד‫'
Thus, there is no difference whether we multiply first two-thirds by 3-quarters; the result is six-parts of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{6}{12}}}$	הנה אם כן אין הבדל בין שנכה תחלה השני שלישיות עם הג' רביעיות ויעלו ששה חלקים מי"ב
4-fifths by 5-sixths; the result is 20 parts of thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}=\frac{20}{30}}}$	והד' חמישיות עם הה' ששיות ויעלו כ' חלקים משלשים
6-sevenths by 7-eighths; the result is 42 parts of 56. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}=\frac{42}{56}}}$	והו' שביעיות עם הז' שמיניות ויעלו מ"ב חלקים מנ"ו
Then, we multiply 12 by thirty and the result by 56.	ואחר זה נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו
We also multiply 20 by 12 and the result by 56.	גם נכה הכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו
We also multiply 42 by 12 and the result by thirty.	גם נכה המ"ב עם הי"ב והעולה עם השלשים
We sum up all and relate it to the first reversed.	ונקבץ הכל וניחסם אל השמור הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)=\frac{\left(6\sdot30\sdot56\right)+\left(20\sdot12\sdot56\right)+\left(42\sdot30\sdot12\right)}{12\sdot30\sdot56}}}

This way is the easy way, i.e. that we multiply each type by itself, then we sum up all the products by the addition method.	אשר הדרך הזאת היא הדרך הפשוטה ר"ל שנכה כל מין ומין לעצמו ואחר נקבץ כל העולים עם דרך הקבוץ
Or whether we multiply first 2 by 3; the result is 6. Then, 6 by thirty and the result by 56. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot30\right]\sdot56=\left(6\sdot30\right)\sdot56}}$	ובין שנכה מתחלה הב' עם הג' ויעלה ו' והו' עם השלשים והעולה עם הנ"ו
We also multiply 4 by 5; the result is 20. Then, 20 by 12 and the result by 56. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot5\right)\sdot12\right]\sdot56=\left(20\sdot12\right)\sdot56}}$	גם נכה הד' עם הה' ויעלו כ' והכ' עם הי"ב והעולה עם הנ"ו
We also multiply 7 by 6; the result is 42. Then, 42 by thirty and [the result] by 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(7\sdot6\right)\sdot30\right]\sdot12=\left(42\sdot30\right)\sdot12}}$	גם נכה הז' עם הו' ויעלו מ"ב והמ"ב עם השלשים והשלשים עם הי"ב
We sum up all the products and relate them to the product of 3 by 4, multiplied by 5, then by 6, then by 7, then by 8.	והעולים מהכל נקבצם וניחסם מהעולה מהכאת הג' עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)=\frac{\left[\left(6\sdot30\right)\sdot56\right]+\left[\left(20\sdot12\right)\sdot56\right]+\left[\left(42\sdot30\right)\sdot12\right]}{\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}}

	וזה שהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מאיכות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו‫'
Therefore, there is no need to multiply the first denominator by the second, so that the result is 12.	ואם כן אין צורך להכות האיכות הראשון עם השני ויעלה י"ב
Then we multiply the third denominator by the fourth; the result is thirty.	ואחר נכה האיכות השלישי והרביעי ויעלו שלשים
Then we multiply the fifth denominator by the sixth; the result is 56.	ואחר נכה האיכות החמישי והששי ויעלו נ"ו
Then we multiply 12 by thirty and the product by 56.	ואחר נכה הי"ב עם השלשים והעולה עם הנ"ו
Instead, we multiply the first denominator by the second, this product by third, this product by fourth, this product by fifth, and this product by sixth; so both operations are applied together, i.e. the multiplication and addition operations.	רק נכה האיכות הראשון עם השני והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' ויהיו שני הפעלות יחד ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(12\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}$
	וכן אחר שהכאת הכמות הא' עם הכמות הב' והעולה עם איכות הה' והעולה עם איכות הו' הוא שוה לפי מה שקדם להכאת העולה מכמות הא' והב' עם העולה מאיכות הג' והד' והעולה עם העולה מאיכות הה' והו‫'
Therefore, there is no reason to multiply the first numerator by the second, so that the result is 6.	לכן אין צורך להכות הכמות הראשון עם השני ויעלו ו‫'
We multiply 5 by 6; the result is thirty.	ונכה הה' עם הו' ויעלו שלשים
We multiply 8 by 7; the result is 56.	ונכה הח' עם הז' ויעלו נ"ו
Then we multiply 6 by 30 and the product by 56.	ואחר נכה הו' עם הל' והעולה עם הנ"ו
Instead, we multiply 2 by 3, this product by 5, this product by 6, this product by 7, and this product by 8; so both operations are applied together, i.e. the multiplication and addition operations. Q.E.D.	רק נכה הב' עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והעולה עם הח' ויהיו הפעלות יחד ר"ל פעלת ההכאה והקבוץ וזה מה שרצינו לבאר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(6\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}$
Explanation of the algorithm for a multiple of sums without summing each one separately and then multiplying them by each other
	ואולם סבת מציאות הכאת שברים רבים עם שברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ השברים המכים לחוד והשברים המוכים לחוד ואחרי כן להכותם אבל יצא לך הכל מזומן ומתוקן בפעם אחת

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}}}$

	בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו
Then, we multiply the numerator of the first fraction of the multipliers by the denominator of the second fraction of the multipliers, and this product by the denominator of the first fraction of the multiplicands, and this product by the numerator of the second fraction of the multiplicands.	אחר זה נכה כמות השבר הראשון מהמכים עם איכות השבר השני מהמכים והעולה עם איכות השבר הראשון מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמוכים
We also multiply the numerator of the first fraction of the multipliers by the denominator of the second fraction of the [multipliers], and this product by the numerator of the first fraction of the multiplicands, and this product by the denominator of the second fraction of the multiplicands.	גם נכה כמות השבר האחד מהמכים עם איכות השבר השני מהמוכים והעולה עם כמות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר השני מהמוכים
We also multiply the numerator of the second fraction of the multipliers by the denominator of the [second] fraction of the [multipliers], and this product by the denominator of the first fraction of the multiplicands, and this product by the numerator of the second fraction of the [multiplicands].	גם נכה כמות השבר השני מהמכים עם איכות השבר האחד מהמוכים והעולה עם איכות השבר הא' מהמוכים והעולה עם כמות השבר השני מהמכים
We also multiply the numerator of the second fraction of the multipliers by the denominator of the first fraction of the multipliers, and this product by the numerator of the first fraction of the multiplicands, and this product by the denominator of the second fraction of the [multiplicands].	גם נכה כמות השבר השני מהמכי' עם איכות השבר הא' מהמכים והעולה עם כמות השבר הא' מהמוכים והעולה עם איכו' השבר הב' מהמכים
	ונקבץ כל העולי' ונייחסהו אל השמור הראשון העולה מהכאת כל האיכויות על הסדר
Explained by the proof of the previous algorithm	הנה כבר התבארה מהסבה הקודמת אין צורך לכפול המאמרים
Based on Euclid, Elements, proposition 1, Book II	אלא שראוי שתדע בביאור הסבה הזאת הקדמה אחת כבר התבארה בתמונה הראשונה מהמאמר השני מספר אקלידס החכם
$\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)$	והוא מה שקדם גם כן בהכאת השלמים שכל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שנחלק
The reason for the checking by division	ואולם סבת מאזני הקדמונים שהוא עם החלוק
Is clarified above for integers	כבר קדמה במאזני הכאת השלמים אין צורך לכפול המאמרים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}}}$
The reason for the test that I have invented, which is multiplying the complement of the multiplier fraction for one unit by the multiplied fraction, then summing the result [with the original product], so that if [the sum] is equal to the multiplied fraction [the multiplication] is true and if not it is false.	ואולם סבת המאזנים אשר חדשתי אני אשר הוא בהכאת הנשאר מהשבר המכה עד תשלום הא' השלם עם השבר המוכה והעולה נקבצנו אם ישוה לשבר המוכה צדק ואם לאו כזב
Its reason is self-evident, because it is obvious in itself that for every fraction that is multiplied by one unit, the product is the multiplied fraction itself.	הנה סבתו מבוארת בעצמה וזה שהוא מהמבואר בעצמו שכל שבר יוכה באחד שלם הנה העולה מההכאה הוא השבר המוכה בעינו
Therefore, when the multiplied fraction is multiplied by the complement of the multiplier fraction for one unit, and then the result is summed with the original product, it follows necessarily that the sum is the multiplied fraction itself.	ולזה כאשר הוכה השבר המוכה עם הנשאר מהשבר המכה עד תשלום האחד ויקובץ העולה עם היוצא מההכאה הראשונה הנה יחויב העולה מקבוצם הוא השבר המוכה בעינו
Since the multiplied fraction is multiplied by the multiplier fraction and by its complement for one unit, whose sum is one.	אחר שהוכה השבר המוכה עם השבר המכה ועם החסרון אשר יחסר ממנו עד תשלום האחד אשר חבור שניהם הם אחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{c}{d}=1\sdot\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]}}$
Therefore, when the multiplier is greater than one, and the multiplied is multiplied by the excess of the multiplier over one unit, then we subtract this product from the product of the multiplied by the whole multiplier, it follows necessarily, for the same reason, that the remainder is undoubtedly equal to the multiplied.	ולכן כאשר יהיה המכה יותר משלם אחד הנה כאשר יוכה המוכה עם העודף שבמכה על האחד השלם ונחסר העולה מזאת ההכאה מהעולה מהכאת המוכה עם המכה בכללו הנה לזאת הסבה בעינה יחויב שיהיה הנשאר ממנה שוה למוכה בלי ספק
Since the the product of the whole multiplier by the multiplied is equal to the product of one unit by the multiplied and [the product] of the excess by the multiplied.	וזה שהעולה מהכאת כל המכה עם המוכה הוא שוה לעולה מהכאת האחד השלם עם המוכה והעודף עם המוכה
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}>1}}$ : $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\left[1+\left(\frac{a}{b}-1\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(1\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]}}$
It follows necessarily that when we subtract the product of the excess by the multiplied from the product of the whole multiplier by the multiplied, the remainder is surely the product of one by the multiplied, which is the multiplied itself.	ולזה יחויב מזה בהכרח שכאשר נחסר מהכאת כל המכה עם המוכה הכאת העודף עם המוכה שישאר ממנה בהכרח העולה מהכאת האחד עם המוכה אשר הוא המוכה בעינו וזה מה שכווננו ביאורו
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}}}$
The reason why when the cross products of two fractions are equal the two fractions are equal $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow a\sdot d=c\sdot b$	ואולם הסבה אשר חויב ממנה שכאשר יהיו שני שברים מונחים ויוכה כמות השבר הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון וישוו העולים משני הכאות האלכסונים שיהיו שני שברים שוים בהכרח היא מבוארת ממה שקדם
[Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: the rule of four] $\scriptstyle a:b=c:d\longrightarrow a\sdot d=b\sdot c$	וזה שכבר קדם שכל ד' מספרים מתיחסים הנה השטח ההוה מהכאת הראשון באחרון הוא שוה לשטח ההוה מהכאת השני בשלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longrightarrow a\sdot d=c\sdot b$	והוא מהמבואר בעצמו שכל שני שברים שוים הנה יחס כמות האחד אל איכותו כיחס כמות האחר אל איכותו
	אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה השטח ההוה מהכאת הכמות הראשון באיכות השני שוה לשטח ההווה מהכאת איכו' הראשון בכמות השני וזה מה שרצינו לבארו
Explanation of the third test	ואולם המאזנים האחרים אשר חדשתי
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$	והוא שנקח כמות השבר היוצא מההכאה ונבקש מספר שיהיה יחסו אליו יחס השבר האחד מהשברים המוכים איזה מהם רצית
	ואם היה יחס המספר המבוקש אל איכות היוצא מההכאה שוה ליחס השבר הנשאר מהשני שברים המוכים צדקנו ואם לאו כזבנו
Apparently based on Euclid, but the reference is inaccurate	הנה סבתו גם כן ידועה ממה שהתבאר מכח תמונת כ"ג מהמאמר הששי
$\scriptstyle a:b=\left(a:c\right)\sdot\left(c:b\right)$	כי שם התבאר שכל שני מספרים מונחים איזה מספרים שיהיו הנה יחס האחד מהם אחד האחר מחובר מיחס המספר האחד משני המספרים אל מספר מה ומיחס המספר ההוא אל מספר השני מהשני מספרים המונחים
$\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}=\frac{3}{5}\sdot\frac{5}{4}=\left(3:5\right)\sdot\left(5:4\right)}}$	משל זה שני מספרי ג"ד הנה יחס הג' אל הד' מחובר מיחס הג' אל הה' ומיחס הה' אל הד‫' ר"ל הג' אל הד' שהוא ג' רביעיות הוא הווה מהכאת יחס הג' חמישיות עם יחס הה' רביעיות
	ואם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס כמות השבר היוצא אל איכותו הווה מהכאת כמותו אל מספר מה עם יחס המספר ההוא אל איכותו
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=\frac{c}{d}$	ולכן כאשר בקשנו מספר שיתיחס אליו כמות השבר היוצא יחס השבר האחד מהשני שברים המוכים יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא יחס השבר השני מהשני שברים המוכים
$\scriptstyle\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}=\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}$	וזה שכבר התבאר מזאת ההקדמה שהיחס ההווה מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכותו הוא יחס השבר היוצא והוא בעצמו ההווה מהכאת שני יחסי השברים המוכים
$\scriptstyle\left(a:b\right)\sdot\left(c:d\right)=\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot d\right)=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]$	אם כן יתחייב מזה בהכרח שיהיה היוצא מהכאת שני יחסי השברים המוכים שוה ליוצא מהכאת יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש עם יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא ויחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש הוא אחד מב' יחסי השברים המוכים הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא הנשאר משני יחסי השברים המוכים
According to Euclid, Elements, Book V, proposition 15	וזה ממה שהתבאר מכח תמונת י"ז ממאמר החמישי
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b$	שכל שני מספרים יוכו במספר אחר הנה יחס אחד משני השטחים ההווים מהם אצל האחר כיחס השני המספרים המוכים האחד אצל האחר
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right)=\left(b\sdot c\right)\longleftrightarrow a=b$	ויחויב מזה בהכרח שכאשר יהיו השני שטחים שוים שיהיו גם השני מספרים המוכים במספר האחד שוים
$\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=a:b\longrightarrow\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left(c:d\right)\longrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=c:d$	ולכן יתחייב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא שוה ליחס השבר הנשאר מהב' שברים המוכים אחר שאלה השני יחסים יוכו עם יחס כמות השבר היוצא אל המספר המבוקש שהוא יחס השבר האחד מהם ויתהווה משניהם יחס אחד והוא יחס השבר היוצא והשני יחסים השוים הם יחס אחד בעצמו הנה אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה יחס המספר המבוקש אל איכות השבר היוצא הוא בעצמו יחס השבר הנשאר מהשני שברים המוכים וזה מה שרצינו לבאר
The reason for the existence of the proportional number x so that $\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=\frac{a}{b}\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$	ואולם סבת מציאות המספר המבוקש בשנחלק העולה מהכאת כמות השבר היוצא עם איכות השבר האחד על כמותו הנה היא מבוארת ממה שהתבאר במיני היחסים
	וזה שיחס כמות השבר המונח אל איכותו הוא כיחס כמות היוצא אל המספר המבוקש
The rule of four - three are known and the fourth is unknown	והנה אם כן מהארבעה המספרים המתייחסים השלשה מהם ידועים והאחד מהם מוסכל
$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{a\sdot c}{x}=\longrightarrow x=\frac{b\sdot\left(a\sdot c\right)}{a}$	ולכן כאשר יוכה השני בשלישי שהוא כמות היוצא עם איכות המונח ויחולק על הראשון שהוא כמות השבר המונח יצא המספר הרביעי בהכרח שהוא המספר המבוקש כאשר יתבאר במה שיבא וזהו מה שכווננו ביאורו
	הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותיותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
	ומהנה נתחיל בביאור דרך הקבוץ בע"ה

Chapter Two - Addition

פרק שני במין הקבוץ

Introduction

Definition of the addition operation - the same as the definition of addition for integers

גדר הקבוץ ידוע מגדר קבוץ השלמים

The types of simple and composite fractions - repetition

ולהיות שמיני השברים הפשוטים והמורכבים אשר בזה המין הם הם בעינם מיני הפשוטים והמורכבים אשר במין ההכאה

וכבר קדם שמיני הפשוטים הם י"ב ומיני המורכבים מהם הם ע"ח

ושהפשוטים יותכו אל שני מינים מהם והם שבר האחד ושבריו

והמורכבים יותכו אל ג' מינים מהם והם שבר עם שבר ושברים עם שברים ושבר עם שברים וכבר התבאר לך אופן ההתכה

הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך במציאות הקבוץ באלה המינים השלשה המורכבי' מכלל הע"ח מינים ובזה נגיע אל המכוון

ודע שהע"ח מינים המורכבים אשר זכרנו במין ההכאה אמנם יהיו הם בעינם במין הקבוץ כאשר יורכב הקבוץ משני מיני שברים לבד

אולם כאשר ירבו מיני הנקבצים אין ספק שירבו המורכבים אבל אנחנו לא נצטרך בזכירתם למה שיהיה הדרך אשר בו נגיע אל מציאותם הוא עצמו הדרך אשר בו נגיע אל מציאות הע"ח מינים ולזה אין לנו עסק בהכאתם

Addition of Fractions

General method for all types of compound fractions

והדרך הכולל לכל מיני המורכבים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}}}$

We multiply the denominator by the denominator, then the product by the denominator, and keep the result.

הוא שנכה האיכות אם האיכות והעולה עם האיכות והעולה נשמרהו

Afterwards, we multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third and so on until all the denominators are complete, except for the denominator of the first fraction.

אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכו' השבר הראשון

We also multiply the numerator of the second fraction by the denominator of the first, then the product by the denominator of the third and so on until all the denominators are complete, except for the denominator of the second fraction.

גם נכה כמות השבר השני עם איכות הראשון והעולה עם איכות השלישי וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השני

We also multiply the numerator of the third fraction by the denominator of the first, then the product by the denominator of the second and so on until all the denominators are complete, except for the denominator of the third fraction.

גם נכה כמות השבר השלישי עם איכות האחד והעולה עם איכות השני וכן תמיד עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכות השבר השלישי

We also multiply the numerator of the fourth fraction by all the denominators except for its denominator according to this way.

גם נכה כמות השבר הרביעי עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על זה הדרך

And so on until all the fractions are complete.

וכן תמיד עד שיכלו כל השברים

Then, we sum up all the results of these multiplications and relate the sum to the reserved if it is smaller than it, or divide by it, if it is greater, and the result is the sum of all the added fractions.

אחר זה נקבץ כל העולים מכל ההכאות והעולה ניחסהו אל השמור אם הוא יותר קטן ממנו או נחלקנו עליו אם הוא יותר גדול והיוצא הוא סך כל השברים הנקבצים

We present examples for the three types of compound fractions and they are:

ונצייר לזה משלים לג' מיני המורכבים והם אלו

\scriptstyle\frac{1}{5}

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle\frac{2}{7}

\scriptstyle\frac{3}{5}

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

1)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}}}

In the first type we multiply the denominator 3 by the denominator 4; the result is 12. Then 12 by 5; the result is sixty and we keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}

הנה במין הראשון הכינו איכות הג' עם איכות הד' ועלה י"ב והי"ב עם הה' ועלה ששים ושמרנום

Afterwards, we multiply 2 by 4; the result is 8. Then 8 by 5; the result is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5=8\sdot5=40}}

אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלה ח' והח' עם הה' ועלה מ‫'

We also multiply 3 by 3; the result is 9. Then 9 by 5; the result is 45.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot5=9\sdot5=45}}

גם הכינו הג' עם הג' ועלה ט' והט' עם הה' ועלה מ"ה

We also multiply 4 by 3; the result is 12. Then 12 by 4; the result is 48.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3\sdot4=12\sdot4=48}}

גם הכינו הד' עם הג' ועלה י"ב והי"ב עם הד' ועלה מ"ח

We sum them up; the result is 133.

\scriptstyle{\color{blue}{40+45+48=133}}

קבצנום ועלו קל"ג

We divide it by the reserved 60; the result is 2 integers and 13 parts of sixty and this is the first type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}=\frac{133}{60}=2+\frac{13}{60}}}

חלקנום על הס' השמורים ויצאו ב' שלמים וי"ג חלקים מששים וזהו המין הראשון

2)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{2}{7}}}

In the second type we multiply 4 by 5, then the product by 7; the result is 140 and we keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot7=140}}

ובמין השני הכינו הד' עם הה' והעולה עם הז' ועלו ק"מ ושמרנום

Afterwards, we multiply 1 by 5, then the product by 7; the result is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot5\sdot7=35}}

אחר זה הכינו הא' עם הה' והעולה עם הז' ועלה ל"ה

We also multiply 3 by 4, then the product by 7; the result is 84.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot7=84}}

גם הכינו הג' עם הד' והעולה עם הז' ועלו פ"ד

We also multiply 2 by 4, then the product by 5; the result is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5=40}}

גם הכינו הב' עם הד' והעולה עם הה' ועלו מ‫'

We sum them up; the result is 159.

\scriptstyle{\color{blue}{35+84+40=159}}

קבצנום ועלו קנ"ט

We divide it by the reserved 140; the result is one integer and 19 parts of 140 and this is the sum of the second type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}+\frac{3}{5}+\frac{2}{7}=\frac{159}{140}=1+\frac{19}{140}}}

חלקנום על הק"מ השמורים ויצאו שלם אחד וי"ט חלקים מק"מ וזהו סך המין השני

3)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}}

In the third type we multiply 3 by 4, then the product by 5; the result is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=60}}

ובמין השלישי הכינו הג' עם הד' והעולה עם הה' ועלו ס‫'

We also multiply 1 by 4, then by 5; the result is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot4\sdot5=20}}

גם הכינו הא' עם הד' ועם הה' ועלו כ‫'

We also multiply 1 by 3, then the product by 5; the result is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot5=15}}

גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הה' ועלו ט"ו

We also multiply 1 by 3, then the product by 4; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot4=12}}

גם הכינו הא' עם הג' והעולה עם הד' ועלו י"ב

We sum them up; the result is 47.

\scriptstyle{\color{blue}{20+15+12=47}}

קבצנום ועלו מ"ז

We relate it to the reserved 60; the result is 47 parts of 60 and this is the sum of the third type.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{47}{60}}}

יחסנום אל הס' השמורים ויצאו מ"ז חלקים מס' וזהו סך המין השלישי

These are the methods that the ancients used to know this type.

אלה הם הדרכים אשר בהם השתמשו הראשונים בידיעת זה המין

Addition of numerous fractions

If you want to sum up numerous fractions and you are afraid of being confused along the way:

ואם תרצה לקבץ שברים רבים ואתה ירא מלהתבלבל לך הדרך

You can use it to sum two fractions alone, then we sum the result with another and the result with another [= repetitive addition] and you will get the sum of all the given fractions.

הנה כבר תוכל להשתמש בזה עם קבוץ שני שברים בלבד והעולה קבצנו עם האחר והעולה עם האחר ויצא לך קבוץ כל השברים המונחים

Example of this: if you want to sum up nine fractions as these:

המשל בזה אם רצית לקבץ ט' שברים כזה

\scriptstyle\frac{1}{10}

\scriptstyle\frac{1}{9}

\scriptstyle\frac{1}{8}

\scriptstyle\frac{1}{7}

\scriptstyle\frac{1}{6}

\scriptstyle\frac{1}{5}

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle\frac{1}{2}

Sum up the half and the third; it is 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=\frac{5}{6}}}

הנה תקבץ החצי והשליש והם ה' ששיות

Then, the 5-sixths with the quarter; it is 26 parts of 24, which is one integer and one part of 12. Keep the integer.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}+\frac{1}{4}=\frac{26}{24}=1+\frac{1}{12}}}

והה' ששיות עם הרביע והם כ"ו חלקים מכ"ד שהוא שלם אחד וחלק אחד מי"ב שמור בידך השלם

Sum up only the 1 part of 12 with the fifth; the result is 17 parts of 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}+\frac{1}{5}=\frac{17}{60}}}

וקבץ לבד הא' מי"ב עם החומש ויעלו י"ז חלקים מס‫'

Sum up also the 17 parts of 60 with the sixth; the result is 162 parts of 360.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{17}{60}+\frac{1}{6}=\frac{162}{360}}}

עוד קבץ הי"ז חלקים מס' עם הששית והעולה הוא קס"ב חלקים מש"ס

Sum up also the 162 parts of 360 with the seventh; the result is 1494 parts of 2520.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{162}{360}+\frac{1}{7}=\frac{1494}{2520}}}

עוד קבץ הקס"ב מש"ס עם השביעית ויעלו אלף תצ"ד חלקים מב' אלפים תק"כ

Sum up also this fraction with the eighth; the result is 14472 parts of 20160.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1494}{2520}+\frac{1}{8}=\frac{14472}{20160}}}

עוד קבץ זה השבר עם השמינית ויעלה י"ד אלף תע"ב חלקים מכ' אלף ק"ס

Sum up also this fraction with the ninth; the result is 150408 parts of 181440.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14472}{20160}+\frac{1}{9}=\frac{150408}{181440}}}

עוד קבץ זה השבר עם התשיעית ויעלה ק"נ אלף ת"ח חלקים מקפ"א ת"מ

Sum up also this fraction with the tenth; the result is 1685520 parts of 1814400.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{150408}{181440}+\frac{1}{10}=\frac{1685520}{1814400}}}

עוד קבץ זה השבר עם העשירית ויעלו אלף תרפ"ה אלפים תק"כ חלקים מאלף תתי"ד ות‫'

Add to it the one integer that is kept in your hand; it is 1 and 1685520 parts of 1814400 and this is the sum of all nine fractions that are written here.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=1+\frac{1685520}{1814400}}}

הוסף עליהם האחד השלם השמור שבידך והם א' ואלף תרפ"ה אלפים ותק"כ חלקים מאלף תתי"ד אלפים ות' וזהו קבוץ כל התשעה שברים הנכתבים פה

Another algorithm - using sutraction

I have found another method by subtraction.

עוד מצאתי דרך אחרת על דרך החסור

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}}}

It is that you take the complement of the first fraction for the whole unit.

והוא שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר האחד עד תשלום האחד השלם

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}}}$

We subtract from it the other fraction that is summed with it, if the complement is greater than it. Then, take the complement for the whole unit and this is the sum of the two fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]}}

ונחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד שלמות האחד השלם והוא סך השני שברים הנקבצים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}}}$

Or, subtract it from the fraction that is summed with it, if [the complement for a whole unit] is smaller than it. Than add a whole unit to the result and this is the sum of the two fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1}}

או תחסרהו מהשבר הנקבץ עמו אם היה קטן ממנו והיוצא תחבר עמו שלם אחד והוא סך השני שברים הנקבצים

If you wish to add another fraction to the two former [fractions]

\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}

ואם רצית לקבץ עוד שבר אחד עם השנים הראשוני‫'

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]>\frac{e}{f}}}$

You can use the same previous method, i.e. we take the complement of the sum of the two fractions for the whole unit, then subtract it from the third fraction that is summed with the two former, if [the complement] is greater than it.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]}}

הנה תוכל להשתמש עם הדרך הקודם בעינו ר"ל בשנקח החסרון אשר יחסר מסך השני שברי' עד תשלום האחד השלם ונחסרהו מהשבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים אם היה גדול ממנו

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]<\frac{e}{f}}}$

Or, subtract the fraction from it, if it is smaller, and apply the previous method.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]\right]+1}}

או נחסר השבר ממנו אם היה קטן ממנו וננהיג הדרך הקודם בעינו

Or, if you wish you can use another way according to this method:

או אם תרצה להשתמש בדרך אחרת תוכל להשתמש בזה הסדר

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}}}$

It is that you take the result, before you subtract or add it, and if the complement of the result for a whole unit is smaller than the third fraction that you wish to sum with the two former [fractions], subtract it from that fraction and the remainder is the addition to the one integer. When you add one integer to it, the result is the sum of the three given fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1}}

והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או שתוסיפהו ואם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם קטן מהשבר השלישי אשר תרצה לקבצו עם השני' הקודמים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם האחד

וכאשר תוסיף עליו שלם אחד יהיה ההווה סך הג' שברים המונחים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}}}$

If the result is greater than the fraction that you wish to add, subtract the fraction from the result, and the remainder is the complement for a whole unit.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]}}

ואם היה היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו הנה תחסר השבר מהיוצא והיוצא לך הוא החסרון אשר יחסר משלמות השלם האחד

If the result is an excess over one integer, we keep the one that is added to the result and look for the complement of the result for one unit.

ואולם אם היה היוצא מאשר נוסיף על השלם האחד הנה נשמור האחד הנוסף על היוצא ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום השלם האחד

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}}}$

If this complement is smaller than the summed fraction, we subtract it from it and the result is the addition to the whole unit, therefore we add one to it and we add to it also the one that is kept in our hand; the result is the sum of the three fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1}}

ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הנקבץ הנה נחסרהו ממנו והיוצא הוא תוספת על השלם האחד ולכן נוסיף עליו אחד ועוד נוסיף עליהם האחד השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}}}$

If the complement is greater than the summed fraction, we subtract the fraction from it, and take the complement of the remainder for a whole unit. We add to it the reserved in our hand and the result is the sum of the three fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1}}

ואם היה החסרון גדול מהשבר הנקבץ הנה נחסר השבר ממנו והיוצא נקח ממנו החסרון שעד תשלום האחד ונוסיף עליו השמור שבידינו והעולה הוא סך הג' שברים

וכן בזה הדרך תעשה תמיד עד שיכלו כל השברים הנקבצים

For instance in our example that is the sum of the nine fractions: we look for the complement of one half from one integer, which is a half.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}}

המשל בזה במשלנו זה שהוא קבוץ התשעה שברים הנה נבקש החסרון אשר יחסר מהחצי עד תשלום האחד והוא חצי

Since the third that is summed with the half is smaller than it, we subtract the third from the half; the remainder is one-sixth and this is the complement from one integer.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}<\frac{1}{2}\longrightarrow\frac{1}{2}-\frac{1}{3}=\frac{1}{6}=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)}}

ולהיות שהשליש הנקבץ עם החצי הוא קטן ממנו על כן נחסר השליש מהחצי וישאר ששית אחד וזהו החסרון מהשלם האחד

We take the complement from the unit, which is 5-sixths and it is the sum of the third and the half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}}}

נקח החסרון שעד תשלום האחד והם ה' ששיות והוא העולה מקבוץ השליש וחצי

Since our intention is not to sum up only these two fractions, we take only the remainder, which is one-sixth.

ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה לקבץ השני שברים האלה לבד לכן לא נקח רק היוצא שהוא הששית האחד

Since the quarter that is summed with them is greater than it, we subtract the sixth from the quarter; the result is one-twelfth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}<\frac{1}{4}\longrightarrow\frac{1}{4}-\frac{1}{6}=\frac{1}{12}}}

ולהיות שהרביעית הנקבץ עמהם גדול ממנו על כן נחסר הששית מהרביעית והיוצא הוא א' מי"ב

It follows from what preceded that it is the excess over one, because we subtract the result from the fraction.

ויתחייב לפי מה שקדם שיהיה הוא התוספת על האחד אחר שחסרנו היוצא מהשבר

Therefore, we add one to it and the result is one integer and one part of 12, and this is the sum of the three fractions that are a half, a third, and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{12}}}

ואם כן נוסיף עליו אחד והעולה הוא שלם אחד וחלק אחד מי"ב וזהו סך הג' שברים שהם החצי והשלישית והרביעית

However, since our intention now is not to add only three fractions, we keep the one aside and use the resulting one part of 12 alone.

ואולם אנחנו למה שאין כוונתנו עתה בקבוץ הג' שברים לבד לכן נשמור האחד בידינו בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו שהוא היוצא ולהיות שהאחד מי"ב היוצא הוא תוספת על השלם האחד לכן נשמור האחד הנוסף עליו בידינו ונשתמש עם האחד מי"ב לבדו

This by taking the complement from 1, which is 11 parts of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{12}=\frac{11}{12}}}

וזה בשנקח החסרון עד תשלום הא' השלם שהוא י"א חלקים מי"ב

We subtract from it the fifth that is summed with them, as it is smaller than it; the result is 43 parts of sixty.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}<\frac{11}{12}\longrightarrow\frac{11}{12}-\frac{1}{5}=\frac{43}{60}}}

ונחסר ממנו החמישית הנקבץ עמהם אחר שהוא קטן ממנו והיוצא הוא מ"ג חלקים מששים

Since we subtract the summed fraction from it, we take the complement from one integer; it is 17 parts of sixty.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{43}{60}=\frac{17}{60}}}

ולהיות שחסרנו השבר הנקבץ ממנו על כן נקח החסרון שעד תשלום האחד השלם והוא י"ז חלקים מששים

We add to it the one integer that is kept in our hand; it is 17 parts of sixty and this is the sum of the four fractions that are a half, a third, a quarter and a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=1+\frac{17}{60}}}

נוסיף עליו האחד השמור שבידינו והוא אחד וי"ז חלקים מששים וזהו סך קבוץ הד' שברים שהם החצי והשליש והרביעית והחמישית

וכן תמיד על זה הדרך

4) Another algorithm - based on the smallest common denominator (the lowest common multiple)

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}}}

עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל אלה הדרכים והוא שתדע שהמחולק היותר קטן אשר יכלול כל מיני השברים

For one half to a tenth, without the seventh - it is 360

שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית הוא הש"ס ועם השביעית הוא שני אלפים תק"כ

ולכן ברצותך לקבץ שברים רבים נכללים במינים שמהחצי עד העשירית חוץ מהשביעית דע שהם ש"ס
ואין צורך לטרוח בהוצאת המחולק עם ההכאות וברבוי המגיע מהם שהם יותר מת"ק אלף

For one half to a tenth, including the seventh - it is 2520

וכן אם רצית לקבץ כל השברים שעד העשירית עם השביעית יחד דע שהם שני אלפים תק"כ

ולא תצטרך לטרוח בהכאותיהם וברבוי המגיע מהם שהם יותר מל"ו פעמים ק' אלפים

אחר זה תחלק המחולק על כל אחד מאיכות השברים המונחים והיוצא מכל אחד מהם שמרהו

אחר זה קבץ כל השמורים והעולה חלקהו על המחלק ר"ל על הש"ס או על השני אלפים תק"כ והיוצא הוא סך כל השברים המונחים

For a denominator larger than ten - multiply it by the given common denominator

ואם היה שם שבר מעשירית ומעלה הכה איכות השבר ההוא אשר הוא מעשירית ומעלה עם המחלק המונח ר"ל עם הש"ס או עם השני אלפים תק"כ והעולה הוא המחלק

The example of the fractions from half to tenth

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}}}

המשל בשברים שמהחצי עד העשירית

The common denominator is 2520.

הנה המחלק הוא שני אלפים תק"כ

Divide this number by 2, which is the half; the result is 1260. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{2}=1260}}

חלק זה המספר על הב' שהוא החצי ויעלו אלף ר"ס ושמרם

Divide it also by 3; the result is 840.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{3}=840}}

עוד חלקם על הג' ויעלו תת"מ

Divide it also by 4, which is the quarter; the result is 630. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{4}=630}}

עוד חלקם על הד' שהוא הרביע ויעלו תר"ל ושמרם

Divide it also by 5, which is the fifth; the result is 504.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{5}=504}}

עוד חלקם על הה' שהוא החמישית ויעלו תק"ד

Divide it also by 6, which is the sixth; the result is 420.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{6}=420}}

עוד חלקם על הו' שהוא הששית ויעלו ת"כ

Divide it also by 7, which is the seventh; the result is 360.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{7}=360}}

עוד חלקם על הז' שהוא השביעית ויעלו ש"ס

Divide it also by 8, which is the eighth; the result is 315.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{8}=315}}

עוד חלקם על הח' שהוא השמינית ויעלו שט"ו

Divide it also by 9, which is the ninth; the result is 280.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{9}=280}}

עוד חלקם על הט' שהוא התשיעית ויעלו ר"פ

Divide it also by 10, which is the tenth; the result is 252.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2520}{10}=252}}

עוד חלקם על הי' שהוא העשירית ויעלו רנ"ב

Sum up the remainders; the result is 4861.

\scriptstyle{\color{blue}{1260+840+630+504+420+360+315+280+252=4861}}

קבץ הנשארים ויעלו ד' אלפים תתס"א

Divide it by 2520; the result is 2341 parts of 2520.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}+\frac{1}{8}+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=\frac{4861}{2520}=1+\frac{2341}{2520}}}

חלקם על שני אלפים תק"כ ויצא אחד שלם ושני אלפים שמ"א חלקים משני אלפים תק"כ

וזהו בעצמו מה שיצא לך מהדרכים הקודמים רק שהם גדולי היחס וזה קטן היחס וכבר קדמו לך דרכי הבחינה

Finding the lowest common multiple

ואולם אם רצית לדעת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברי' המונחים איזה שברים שיהיו הנה הדרך בידיעת זה הוא

When there are two fractions alone:

שאם היו שני שברים לבד

If their denominators are relatively prime, they are multiplied by each other and the result is the lowest number, in which these fractions are found [= LCM].

הנה אם היו איכויותיהם מספרים נבדלים יוכו זה עם זה והעולה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השברים ההם

If they are relatively composite, either one counts the other, or does not count the other.

ואם יהיו משותפים הנה אם שיהיה האחד מונה האחר ואם שלא ימנהו

If [one] counts [the other], the greater number of them is itself the lowest number, in which the two given fractions are found [= LCM]

ואם ימנהו הנה המספר הגדול מהם הוא בעצמו קטון המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים

If [one] does not count [the other], their ratio in the lowest term is found in the previous way.

ואם לא ימנהו הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם

We either multiply the greater number among the two given denominators by the smaller number of their ratio in the lowest term.

ונכה המספר הגדול משני האיכויות המונחים עם המספר הקטן משני איכויות קטון יחסם

Or, We multiply the smaller number among the two given denominators by the greater number of their ratio in the lowest term.

או נכה המספר הקטן משני האיכויות המונחים עם המספר הגדול משני איכויות קטון יחסם

The result is the lowest number, in which the two given fractions are found [= LCM].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)}}

והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו שני השברים המונחים

Example: if you wish to know the smallest number, in which the sixth and the eighth are found.

המשל בזה אם רצית לדעת קטן המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית

If the six were counting the eight, the number eight were the smallest number, in which the sixth and the eighth are found.

הנה אם היו הששה מונים השמנה הנה מספר השמנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השמינית והששית

Similarly, if the six and the eight were relatively prime, we would have multiply the six by the eight; it were 48 and this were the smallest number, in which the sixth and the eighth are found.

וכן אם היו הששה והשמנה נבדלים הנה היינו מכים הששה עם השמנה והיו מ"ח והיה זה המספר קטון המספר אשר ימצאו בו הששית והשמינית

But, since they are not relatively prime, nor does the one count the other, we find their ratio in the lowest term in the previous way; these are the two numbers 3 and 4.

אבל בעבור שאינם נבדלי' גם אין האחד מונה האחר הנה נמצא קטון יחסם עם הדרך הקודם והם שני מספרי ג"ד

We multiply 3, which is the smallest among the numbers 3 and 4, by 8, which is the greatest among the numbers 6 and 8; the result is 24.

ונכה הג' שהוא קטון מספרי ג"ד עם הח' שהוא גדול מספרי ו"ח ויעלו כ"ד

Or, we multiply 4, which is the greatest among the numbers 3 and 4, by the smallest among the numbers 6 and 8, which is 6; the result is also 24 and this is the smallest number, in which the sixth and the eighth are found.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(8,6\right)=LCM\left[\left(4\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=8\sdot3=4\sdot6=24}}

או נכה הד' שהוא גדול מספרי ג"ד עם קטון מספרי ו"ח שהוא הו' ויעלו גם כן כ"ד והוא קטון המספר שימצאו הששית והשמינית

If there are numerous fractions

ואם היו שברים רבים

Repetitive procedure of finding the LCM of two number

הנה הדרך למציאות זה הוא שתמצא קטון המספר שימצאו בו השני שברים מהם לפי מה שקדם

אחר כך לא ימלט המספר ההוא מאחד מהג' פנים הנזכרים והם אם שיהיה השבר הג' מונהו או לא ימנהו ואם לא ימנהו אם שיהיו נבדלים או משותפים

ונעשה הדרך הראשון בעצמו והוא שאם יהיה השבר הג' מונה קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הקודמים הנה הוא קטון המספר אשר ימצאו בו השלשה שברים יחד

ואם לא יהיה השבר הג' מונה אותו והם נבדלים נכהו עמו והיוצא הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד

ואם יהיה השבר השלישי משותף עמו הנה נמצא קטון יחסם ונקח הקטן שמשני מספרי קטון היחס ונכהו עם הגדול שבשני המספרי' המונחים שהם קטון המספר אשר ימצאו בו השני שברים הראשונים והשבר הג' והעולה משניהם הוא קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים יחד

עוד אחר זה אם היה שבר רביעי נקח קטון המספר אשר ימצאו בו הג' שברים והשבר הד' ונחקור בהם הג' פנים אשר הזכרנו ונעשה בהם כמשפט

וכן תמיד עד שיכלו השברים ירבו מה שירבו דרך אחד לכלם

Example: if you wish to know the smallest number in which the half, the third, the quarter, the fifth, the sixth, the seventh, the eighth, the ninth, and the tenth are found.

המשל בזה אם רצית לדעת קטון המספר אשר ימצאו בו החצי והשלישית והרביעית והחמישית והששית והשביעית והשמינית והתשיעית והעשירית

We arrange them this way:

הנה נסדרם בזה הדרך

\scriptstyle\frac{1}{10}

\scriptstyle\frac{1}{9}

\scriptstyle\frac{1}{8}

\scriptstyle\frac{1}{7}

\scriptstyle\frac{1}{6}

\scriptstyle\frac{1}{5}

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle\frac{1}{2}

Since 2 and 3 are relatively prime numbers, we multiply 2 by 3; the result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2,3\right)=2\sdot3=6}}

ולהיות שהב' והג' הם מספרים נבדלים ע"כ נכה הב' עם הג' ויעלו ו‫'

Since 6 and 4 are relatively composite, but none of them counts the other, we seek for their ratio in the lowest term; they are the numbers 3 and 2.

ולהיות שהו' עם הד' הם משותפי' ואין האחד מונה את חברו ע"כ בקשנו קטן יחסם והם שני מספרי ג"ב

We multiply 2, which is the smallest among the numbers 3 and 2, by 6, which is the greatest among the two numbers 6 and 4; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(6,4\right)=LCM\left[\left(3\sdot2\right),\left(2\sdot2\right)\right]=6\sdot2=12}}

והכינו הב' שהוא קטון ב' מספרי ג"ב עם הו' גדול ב' מספרי ו"ד ועלה י"ב

Since 12 and 5 are two relatively prime numbers, we multiply 5 by 12; the result is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(12,5\right)=12\sdot5=60}}

ולהיות שהי"ב עם הה' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינו הה' בי"ב ועלה ס‫'

Since 60 and 6, one of them counts the other, we do not multiply them, but take 60 as it is.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(60,6\right)=60}}

ולהיות שהס' עם הו' האחד ימנה האחר על כן לא הכינום רק לקחנו הס' כאשר בתחלה

Since 60 and 7 are two relatively prime numbers, we multiply them by each other; the result is 420.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(60,7\right)=60\sdot7=420}}

ולהיות שהס' עם הז' הם שני מספרים נבדלים על כן הכינום זה בזה ועלה ת"כ

Since 420 and 8 are relatively composite, but none of them counts the other, we seek for their ratio in the lowest term; they are the two numbers 2 and 105.

ולהיות שהת"כ עם הח' הם משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ב' ק"ה

We take 2, which is the smallest among these number, and multiply is by 420, which is the greatest among the two numbers 420 and 8; the result is 840.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(420,8\right)=LCM\left[\left(105\sdot4\right),\left(2\sdot4\right)\right]=420\sdot2=840}}

ולקחנו הב' שהוא הקטן משני אלה המספרים והכינום עם מספר ת"כ שהם גדול שני מספרי ת"כ ח' ועלה תת"מ

Since this number and 9 are two relatively composite numbers, but none of them counts the other, we seek for their ratio in the lowest term; they are the two numbers 3 and 280.

ולהיות שזה המספר עם הט' הם שני מספרים משותפים ואין האחד מונה את חברו על כן בקשנו קטון יחסם והם שני מספרי ג' ר"פ

We multiply 3, which is the smallest among these two numbers, by 840, which is the greatest among the numbers 840 and 9; the result is 2520.

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(840,9\right)=LCM\left[\left(280\sdot3\right),\left(3\sdot3\right)\right]=840\sdot3=2520}}

והכינו הג' שהוא קטון שני אלה המספרים עם תת"מ שהוא גדול מספרי תת"מ ט' ועלו שני אלפים תק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2520,10\right)=2520}}

ולהיות שזה המספר עם הי' האחד מונה את חברו על כן תפשנו בידינו זה המספר

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10\right)=2520}}

וידענו שמספר ב' אלפים תק"כ הוא הקטן מספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים

the smallest common denominator of

\scriptstyle\frac{1}{2};\;\frac{1}{3};\;\frac{1}{4};\;\frac{1}{5};\;\frac{1}{6};\;\frac{1}{8};\;\frac{1}{9};\;\frac{1}{10}

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10\right)=360}}

ועם זה הדרך בעצמו תוכל לדעת שקטון המספר אשר ימצאו בו כל אלה השברים חוץ מהשביעית הוא מספר ש"ס

וכן אם רצית לקטן מספר אשר ימצאו בו כל השברים המונחים ירבו מה שירבו דרך אחד לכל

Methods of checking

והמאזנים אשר יאוזן זה המין

1) Subtraction

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}

הנה כבר מצאתי דרך והוא שנחסר השבר האחד איזה מהם שתרצה מהמקובץ והנשאר אם היו השברים הנקבצים שנים יהיה הוא השבר הנשאר

ואם היו השברים הנקבצים יותר משנים יהיה הוא העולה מקבוץ השברים הנשארים ואם לאו כזבת

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{3}=\frac{7}{12}-\frac{1}{3}=\frac{1}{4}}}

המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקים מי"ב כאשר חסרנו השליש מהמקובץ ישאר הרביע

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{4}=\frac{7}{12}-\frac{1}{4}=\frac{1}{3}}}

וכשנחסר הרביע ישאר השליש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{3}=\frac{47}{60}-\frac{1}{3}=\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}}}

ובקבוץ השליש והרביע והחומש שהעולה מהם מ"ז חלקים מששים כשנחסר מהם השליש ישארו ט' חלקים מכ' וככה הוא סך הרביע והחומש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)-\frac{1}{5}=\frac{47}{60}-\frac{1}{5}=\frac{7}{12}=\frac{1}{3}+\frac{1}{4}}}

ואם תחסר מהם החומש ישארו שבעה חלקים מי"ב וככה הוא סך השליש והרביע

2) Addition

\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}

עוד מצאתי מאזנים אחרים על דרך הקבוץ בעצמו הוא שתקבץ עם המקובץ החסר משלמות איזה שבר שתרצה מהנקבצי' עד האחד השלם והעולה תשליך ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצים הנשארים דע שצדקת ואם לאו כזבת

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{3}{4}\right)-1=\left(1+\frac{1}{3}\right)-1=\frac{1}{3}}}

המשל בזה בקבוץ השליש והרביע שהעולה מקבוצם הוא שבעה חלקי' מי"ב כאשר תקבץ עמהם החסר משלמות הרביע עד האחד שהוא ג' רביעיות

הנה העולה מהם הוא אחד שלם ושליש תשליך האחד והנשאר שליש והוא השבר הנשאר מהנקבצים

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{2}{3}\right)-1=\left(1+\frac{1}{4}\right)-1=\frac{1}{4}}}

ואם רצית לקבץ עמהם החסר משלמות השליש שהוא הב' שלישיו' העולה הוא אחד שלם ורביע תשליך האחד והנשאר רביע והוא השבר הנשאר מהנקבצים

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{3}{4}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{8}{15}\right)-1=\frac{8}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}

ובקבוץ השליש והרביע והחמישית שהעולה מקבוצם הוא מ"ז חלקים מששים תקבץ עמהם החסר משלמו' הרביע עד האחד השלם שהוא ג' רביעיות והעולה הוא אחד שלם ושמנה חלקים מט"ו תשליך האחד והנשאר שמנה חלקים מט"ו והוא קבוץ השליש והחומש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{9}{20}\right)-1=\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}

או קבץ עמהם החסר משלמות השליש עד השלם האחד שהם ב' שלישיות ויעלה אחד ותשעה חלקים מכ' תשליך האחד וישארו ט' חלקים מעשרים שהוא העולה מקבוץ הנשאר מהנקבצים וזה מה שרצינו לבאר

Reasons and Explanations

The reason for the general adding procedure

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}}}

The reason of this species:

ואולם סבת מציאות זה המין

Which is that we multiply the denominator by the denominator, then the product by the denominator, and so on until all the denominators are complete and we keep the result.

בשנכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והעולה נשמרהו

Thereafter we multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the other fraction, then the product by another denominator, and so on except for the denominator of that fraction.

אחר זה נכה כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר והעולה עם איכות האחר וכן תמיד חוץ מאיכות השבר ההוא

והעולה נחברהו עם העולה מהכאת כמות השבר האחד עם כל האיכויות חוץ מאיכותו על הדרך הנזכר

והעולה נחברהו עם הכאת השבר האחר עם כל האיכיות חוץ מאיכותו על הצד הנזכר והעולה נחלקהו על השמור

הנה היא מבוארת

According to the multiplication rules:

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot c\right)=a:b}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}}}$

וזה שכבר קדם במין ההכאה שהעולה מהכאת כמות השבר האחד עם איכות השבר האחר כאשר ניחסהו אל העולה מהכאת איכותו עם איכות השבר האחד הנה יהיה יחסו אליו יחס כמות השבר אל איכותו ואם כן הוא השבר הראשון בעינו

וכאשר היה זה כן והיה העולה מהכאת האיכות עם האיכות אשר אליו יתיחסו העולים מהכאת כל הכמויות עם כל האיכויות על הצד הנזכר משותף לכל השברים המונחי'

This procedure converts fractions with various denominators to fractions with a common denominator

הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שעם הדרך הזאת ישובו השברים המונחים המתחלפים באיכות בעלי איכות אחת

המשל בזה באשר נניח שני שברים מתחלפי האיכות כמו השליש והרביע כמו זה

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{1\sdot4}{3\sdot4}+\frac{1\sdot3}{4\sdot3}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}}}

והכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנוהו

אחר זה הכינו האחד עם הד' וניחס הד' עם הי"ב השמורים ויעלו ד' יביי"ם והוא שבר הרביע
והנה השברים הראשוני' שהם השליש והרביע אף כי נשתנו לצורה אחרת ושבו ג' יביי"ם וד' יביי"ם אבל הם שליש ורביע כאשר בתחלה
רק במקום שהיו בעלי שני איכויות שהם השלישיות ורביעיות שבו עתה להיות בעלי איכות אחד כי כלם יביי"ם

Addition of fractions with identical denominator is done by summing their numerators

והוא מהמבואר בעצמו שכל שברים מונחים בעלי איכות אחת כאשר רצית לקבצם תקבץ הכמויות לבד והעולה ניחסהו אל איכותם והוא העולה מקבוצם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}+\frac{4}{7}=\frac{2+4}{7}=\frac{6}{7}}}

המשל בזה הב' שביעיים והד' שביעיים הנה נקבץ הב' עם הד' ויעלו ו' וניחסם אל השבעה והם ו' שביעיים וככה הוא העולה מקבוצם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{4}{12}+\frac{3}{12}=\frac{4+3}{12}=\frac{7}{12}}}

הנה מן המבואר מזה בהכרח שנקבץ במשלנו זה הג' והד' שהם כמות הד' יביי"ם והג' יביי"ם הנולדים והעולה מהם ניחסהו אל הי"ב שהוא איכותם והם שבעה יביי"ם וככה הוא העולה מקבוצם

וכאשר היה זה כן הנה אם כן נקבץ העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הג' עם העולה מהכאת הכמות עם האיכות שהוא הד' והעולה נחלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא הי"ב ויצא לך קבוצם וזהו מה שרצינו לבאר

For addition of numerous fractions

ואין לאומר שיאמר שזה אמנם יצדק כאשר היו השברים הנקבצים שנים לבד לא כאשר היו הנקבצים יותר משנים

$\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)=\left(a\sdot b\sdot c\right)\sdot d$

כי כבר קדם במין ההכאה שאין הבדל בהכאה בין שנכה המספר הראשון עם השני והעולה עם השלישי והעולה עם הרביעי

ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם העולה מהכאת השלישי עם הרביעי
ובין שנכה העולה מהכאת הראשון עם השני עם השלישי והעולה עם הרביעי
כי הכל אחד וכבר קדמה הסבה

וכאשר היה זה כך הנה אם כן כאשר הונחו השברי' הנקבצים ארבעה על דרך משל

כמו החצי והשליש והרביע והחומש כזה

\scriptstyle\frac{1}{5}

\scriptstyle\frac{1}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle\frac{1}{2}

There is no difference whether we multiply 2 by 3, then the product by 4, and the product by 5, which are 120.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}

הנה אין הבדל בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם ק"כ

Afterwards, we relate to it the 154, which is the sum of the product of 1 by 3, then this product by 4 and this product by 5, which is 60; and the product of 1 by 2, then this product by 4 and this product by 5, which is 40; and the product of 1 by 3, then this product by 2 and this product by 5, which is 30; and the product of 1 by 4, then this product by 3 and this product by 2, which is 24.

וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מקבוץ העולה מהכאת הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם ס‫'

עם העולה מהכאת הא' בב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' שהם מ‫'
ועם העולה מהכאת הא' בג' והעולה עם הב' והעולה הה' שהם שלשי‫'
ועם העולה מהכאת הא' בד' והעולה עם הג' והעולה עם הב' שהם כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{\left(1\sdot3\sdot4\sdot5\right)+\left(1\sdot2\sdot4\sdot5\right)+\left(1\sdot3\sdot2\sdot5\right)+\left(1\sdot4\sdot3\sdot2\right)}{2\sdot3\sdot4\sdot5}=\frac{60+40+30+24}{120}=\frac{154}{120}}}

Or whether we multiply 2 by 3; the result is 6. We relate to it the 5, which is the [sum of] the products of 1 by 3 and 1 by 2; they are sixths and we keep them.	או בשנכה הב' עם הג' ויעלו ו' וניחס אליהם הה' שהם העולה מהכאת הא' בג' והא' בב' והנה הם ששיים ונשמרם
Then, we multiply 4 by 5; the result is 20. We relate to it the 9, which is the [sum of] the products of 1 by 5 and 1 by 4; it is 9 and they are nine-twentieths and we keep them.	ואחר נכה הד' עם הה' ויעלו כ' וניחס אליהם הט' שהם העולה מהכאת הא' בה' והא' בד' והנה הם ט' עשרימיים ונשמרם
Afterwards, we sum the 5-sixths with the nine-twentieths by multiplying 6 by 20; the result is 120. Then we relate to it the 154, which is [the sum of] the products of 5 by 20 and 9 by 6.	ואחר נקבץ הה' ששיים עם הט' עשרימיים בשנכה הו' עם הכ' ויעלו ק"כ וניחס אליהם הקנ"ד שהם העולה מהכאת הה' בכ' והט' בו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\left(\frac{1\sdot3}{2\sdot3}+\frac{1\sdot2}{3\sdot2}\right)+\left(\frac{1\sdot5}{4\sdot5}+\frac{1\sdot4}{5\sdot4}\right)=\frac{5}{6}+\frac{9}{20}=\frac{\left(5\sdot20\right)+\left(9\sdot6\right)}{6\sdot20}=\frac{154}{120}}}

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5=120}}$	אחר מבמין הראשון נמצא האיכות בשנכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot\left(4\sdot5\right)=6\sdot20=120}}$	ובמין השני נמצא האיכות בשנכה הו' עם הכ' שהם העולה מהכאת הב' הג' והעולה מהכאת הד' בה' וכבר קדם שאין הבדל בין שני המינים האלה כלל
The numerator is find in the first type by that we multiply 1 by 3, then the product by 4, and the product by 5 and keep it.	וכן הכמות נמצא עם המין הראשון בשנכה הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו
We also multiply 1 by 2, then the product by 4, and the product by 5 and keep it.	גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' ונשמרהו
We also multiply 1 by 3, then the product by 2, and the product by 5 and keep it.	גם נכה הא' עם הג' והעולה עם הב' והעולה עם הה' ונשמרהו
We also multiply 1 by 4, then the product by 3, and the product by 2 and keep it.	גם נכה הא' עם הד' והעולה עם הג' והעולה עם הב' ונשמרהו
Afterwards, we sum up all the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot2\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot2\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot2\right]}}$	ואחר נקבץ כל השמורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot20\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot6\right]\\&\scriptstyle=\left(5\sdot20\right)+\left(9\sdot6\right)=154\\\end{align}}}$	ובמין השני נמצא הכמות בשנכה הה' עם הכ' והעולה נשמרהו גם נכה הט' עם הו' והעולה נשמרהו ונקבץ שני השמורים אשר הה' והט' הם העולה מהכאת הא' בב' והא' בג' והעולה מהכאת בד' והא' בה'
	וכבר קדם שאין הבדל בין שני המיני' כלל אחר שההכאות ההוות במין האחד הם הם בעצמם ההכאות שבמין האחר
	ושאין הבדל ביניהם כלל רק שבמין האחד יעשה כל ההכאות ביחד ובמין השני יעשה חצי ההכאות ראשונה ונקח העולה מהם ונכם שנית
$\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot5}}$	וזה שבמין השני הוכו הכ' עם הה' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות החצי והשליש עם כמויותיהם על דרך אלכסון
In the first type 5 is multiplied by 4 and the result is 20, then 20 by 3, which is the result of multiplication of the denominator of the third by the numerator of the half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot3\right)=20\sdot3}}$	ובמין הראשון הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הג' שהוא העולה מהכאת איכות השליש עם כמות החצי
Also 5 is multiplied by 4 and the result is 20, then 20 by 2, which is the result of multiplication of the denominator of the half by the numerator of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot2\right)=20\sdot2}}$	גם הוכו הה' עם הד' ועלו כ' והכ' עם הב' שהוא העולה מהכאת איכות החצי עם כמות השליש
	אם כן כבר ראית בעיניך שהכאת הה' עם הכ' שבמין השני הם בעצמם הכ' עם הג' ועם הב' שבמין הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot9}}$	וכן במין השני הוכו הו' עם הט' שהם קבוץ העולים מהכאת שני איכויות הרביע והחומש עם כמויותיהם על דרך אלכסון
In the first type 2 is multiplied by 3 and the result is 6, then 6 by 4, which is the result of multiplication of the denominator of the quarter by the numerator of the fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot4\right)=6\sdot4}}$	ובמין הראשון הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הד' שהוא העולה מהכאת איכות הרביע עם כמות החומש
Also 2 is multiplied by 3 and the result is 6, then 6 by 5, which is the result of multiplication of the denominator of the fifth by the numerator of the quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot5\right)=6\sdot5}}$	גם הוכו הב' עם הג' ועלו ו' והו' עם הה' שהוא העולה מהכאת איכות החומש עם כמות הרביע
	וכבר הארכתי בביאורו במין ההכאה אין צורך לכפול המאמרים
The reason for the repetitive addition of numerous fractions	ואולם סבת הדרך השני והוא קבוץ שני שברים בלבד והעולה עם השלישי והעולה עם הד' וכן תמיד
Clarified by the above explanation of the previous algorithm	הנה אין צורך לזכרה כי כבר התבארה עם הדרך הקודם
The reason for the third algorithm - using subtraction	ואולם סבת הדרך השלישי והוא דרך החסור בלקיחת חסרון השבר האחד עם תשלום השלם האחד ושיחסר ממנו השבר האחר הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו כ"ו הנה סבתו גם כן מבוארת בעצמה
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהעולה מקבוץ השבר הראשון עם מה שיחסר ממנו עד תשלום השלם האח' הוא שלם אחד בהכרח
$\scriptstyle\frac{c}{d}=1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	ושקבוצו עם השבר השני אם היה השבר השני שוה למה שיחסר משלמות הראשון עד אחד הנה הוא גם כן שלם אחד
$\scriptstyle\frac{c}{d}<1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]$	ואם היה פחות ממנו הנה יהיה קבוצו עמו פחות מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד
$\scriptstyle\frac{c}{d}>1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1$	ואם היה יתר ממנו הנה יהיה קבוצו עמו יותר מהשלם האחד כמו העודף אשר בין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד
	ולכן יחויב מזה בהכרח לחקור העודף שבין השבר השני ובין מה שיחסר מהשבר הראשון עד תשלום האחד ואם היה השבר השני פחות ממנו נגרע העודף מהשלם ואם היה יתר ממנו נוסיפהו על השלם והעולה אחרי התוספת או הגרעון הוא ההווה מקבוץ השבר הראשון והשני בהכרח
This algorithm can be used repeatedly for more than two fractions - by using the difference of a sum of fractions from 1 $\scriptstyle1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\gtreqqless\frac{e}{f}$	וכן תעשה תמיד אם תרצה לקבץ יותר משני שברים ר"ל כשתעשה הדרך הזאת בעינה בקבוץ העולה משני השברים עם השבר השלישי
or by another way: $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]=1$	ואולם אם רצית להשתמש בקבוץ השבר השלישי עם השנים הקודמים בדרך השני ר"ל בשתקח היוצא ותחסרהו מהשלישי אם היה קטן ממנו כ"ו
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}$	הנה גם זה נכון וסבתו ידועה וזה שאם היה היוצא מאשר יחסר מהשלם והיה השבר השלישי הנקבץ עם השנים הקודמים יותר גדול מהיוצא
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1+\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]$	הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה העודף אשר בין השלישי והיוצא כאשר נוסיפהו על השלם האחד שיהיה הוא סך הג' שברים הנקבצים וזה כי אחר שהיוצא הוא מאשר יחסר מהשלם והנשאר הוא סך השני שברים הקודמים הנה אם כן היוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי גדול מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים גדול מאחד שלם ויהיה יתרונו על השלם כמו העודף אשר בין השבר השלישי והיוצא ולכן כאשר יחוסר היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף אשר ביניהם ויחובר העודף עם האחד השלם יהיה הוא הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם קבוץ שני השברים הקודמים
$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}$	ואולם אם היה היוצא הנזכר גדול מהשבר השלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]$	הנה אחר שהיוצא עם קבוץ שני השברים הוא אחד שלם והשבר השלישי קטן מהיוצא הנה יהיה השבר השלישי עם קבוץ שני השברים קטן מאחד שלם ויהיה פחיתותו מהשלם כמו העודף אשר בין היוצא והשבר השלישי ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהיוצא ויצא העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהשלם יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ השבר השלישי עם השנים הקודמים
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1+\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$	ואולם כאשר היה היוצא מאשר נוסיפהו על השלם האחד הנה אחר שקבוץ ב' שברים הוא שלם אחד והיוצא
$\scriptstyle2-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$	ואם כן מה שיחסר מקבוץ השני שברים עד תשלום הב' שלמים הוא מה שיחסר מהיוצא עד תשלום האחד
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]=2$	אם כן יחויב מזה בהכרח שיהיה הקבוץ החסר מהיוצא עד תשלום האחד עם קבוץ השני שברים הם שנים שלמים
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}$	ולכן אם היה השבר השלישי גדול מהחסר מהיוצא עד תשלום האחד
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2+\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]$	יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים גדול מב' שלמים ויהיה יתרונו על השנים השלמי' כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד תשלום האחד ולכן כאשר יחוסר החסר משלמות היוצא מהשבר השלישי ויצא לנו העודף עם השנים השלמים יצא לך הסך העולה מקבוץ השלשה שברים
$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}$	ואולם אם היה החסר משלמות היוצא עד האחד גדול מהשבר השלישי
$\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]$	יהיה קבוץ השבר השלישי עם קבוץ השני שברים פחות משנים שלמים ויהיה פחיתותו מהב' שלמים כמו העודף אשר בין השבר השלישי והחסר משלמות היוצא עד האחד ולכן כאשר יחוסר השבר השלישי מהחסר משלמו' היוצא עד האחד ויצא לנו העודף אשר ביניהם ונחסרהו מהב' שלמים יהיה הנשאר הסך העולה מקבוץ הג' שברים וזהו מה שכווננו ביאורו
The reason for the fourth algorithm - based on the smallest common denominator (the lowest common multiple) $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}$	ואולם סבת הדרך הרביעית והוא התיחסות כל השברים שמהחצי עד העשירי חוץ מהשביעי אל מספר הש"ס ועם השביעי אל מספר השני אלפים תק"כ וזה בשנחלק הש"ס או השני אלפים תק"כ אל כל אחד מאיכויות השברים המונחים כ"ו הנה סבתו גם כן ידועה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left(\frac{a_k}{b_k}\sdot m\right)}{m}$	והוא שהוא מהידוע בעצמו שכאשר נקח ממספר מה איזה מספר היה חלקים מה איזה חלקים שיהיו ונקבצם כמנהג השלמים שהעולה מהם כאשר ניחסהו אל המספר ההוה הנה ההווה מהיחס ההוא הוא העולה מקבוץ כל אותם החלקים הלקוחים
Example: when we take from the number 24 its half, third, quarter, sixth, eighth, and one part of 12.	המשל בזה כאשר לקחנו ממספר כ"ד חציו ושלישיתו ורביעיתו וששיתו ושמיניתו וחלק אחד מי"ב
This is by dividing 24 by 2, which is the denominator of the half; the result is 12, so we know that its half is 12. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot24=\frac{24}{2}=12}}$	וזה בשנחלק הכ"ד אל הב' שהוא איכות החצי ויצאו י"ב וידענו שחציו י"ב ונשמרם
We divide it also by 3, which is the denominator of the third; the result is 8, which is its third. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot24=\frac{24}{3}=8}}$	גם נחלקהו אל הג' שהוא איכות השליש ויצאו ח' והם שלישיתו ונשמרם
We divide it also by 4, which is the denominator of the quarter; the result is 6, which is its quarter. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot24=\frac{24}{4}=6}}$	גם נחלקהו אל הד' שהוא איכות הרביע ויצאו ו' והם רביעיתו ונשמרם
We divide it also by 6, which is the denominator of the sixth; the result is 4, which is its sixth. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot24=\frac{24}{6}=4}}$	גם נחלקם אל הו' שהם איכות הששית ויצאו ד' והם ששיתו ונשמרם
We divide it also by 8, which is the denominator of the eighth; the result is 3, which is its eighth. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot24=\frac{24}{8}=3}}$	גם נחלקם אל הח' שהם איכות השמינית ויצאו ג' והם שמיניתו ונשמרם
We divide it also by 12, which is the denominator of the part of 12; the result is 2, which is its one part of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}\sdot24=\frac{24}{12}=2}}$	גם נחלקם אל הי"ב שהוא איכות החלק מי"ב ויצאו ב' והם חלק אחד מי"ב
Then, we sum up all; it is 35. We relate it to 24; it is one integer and 11 parts of 24, and so is the sum of the half, third, quarter, sixth, eighth, and one part of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}=\frac{12+8+6+4+3+2}{24}=\frac{35}{24}=1+\frac{11}{24}}}$	אחר זה נקבץ הכל והם ל"ה וניחסם אל הכ"ד והם שלם אחד וי"א חלקים מכ"ד וככה קבוץ החצי עם השליש והרביע והששית והשמינית והחלק מי"ב
	וכאשר היה זה כן הוא מהמבואר בעצמו גם כן שאין הבדל בזה בשנקח השברים מהכ"ד או מהמ"ח או מאיזה מספר שיהיה לבד שיהיו החלקים ההם נמצאים בו
${\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+\frac{1}{12}\\&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{8}\sdot48\right)+\left(\frac{1}{12}\sdot48\right)}{48}\\&\scriptstyle=\frac{70}{48}\\&\scriptstyle=1+\frac{22}{48}=1+\frac{11}{24}\\\end{align}}}$	כי על דרך משל אם רצית לקחת אלה החלקים מהמ"ח הנה כאשר יקובצו יעלו שבעים וכשייוחסו אל המ"ח הם שלם אחד וכ"ב חלקים ממ"ח אשר קטון יחסם הוא אחד שלם וי"א חלקים מכ"ד והנה זהו היוצא בעצמו מחלקי הכ"ד
	וכאשר היה זה כן הנה בקשנו המספר היותר קטן שימצאו בו החלקים שמהחצי עד העשירי חוץ מהשביעי והם ש"ס ולקחנו החלקים הנזכרים ממנו ולא נצטרך לקחת אותם מהמספר הגדול היוצא מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות אשר ימצאו בו גם כן אלה החלקים וזהו מה שכווננו ביאור
Explanation for the procedure of finding the lowest common multiple	ואולם סבת הדרך בידיעת קטון המספר אשר ימצאו בו השברים המונחים
Found in Euclid, Elements, Book VII, proposition 34	הלא היא מבוארת בספר היסודות לאקלידס במאמר הח' ממנו אין צורך לכתבה שנית
The reason for the first checking method - by subtraction $\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$	ואולם סבת מאזני זה המין בחסרון השבר האחד מהשברים המונחים והנשאר אם היו השברים שנים יהיה הוא השבר הנשאר ואם היו יותר משנים יהיה הוא העולה מקבוץ השברים הנשארי'
Is clear by itself	הנה היא מבוארת בעצמה אין צורך לביאור כלל
The reason for the second checking method - by addition $\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$	ואולם סבת המאזנים השנים שהם על דרך הקבוץ
Clarified from the third adding algorithm $\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1$	הנה היא מבוארת ממה שקדם בדרך השלישי אשר בזה המין והוא שהוא מן המבואר בעצמו שקבוץ החסר משלמות איזה שבר שנרצה מהנקבצים עד תשלום האחד עם אותו השבר בעצמו הוא אחד
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1+\frac{c}{d}$	ולכן יחויב שיהיה העולה מהקבוץ החסר משלמו' השבר עד האחד עם שני השברי' הנקבצים יחד שהוא המקובץ משניהם שוה לאחד עם השבר האחר הנקבץ עם השבר אשר לקחנו החסר משלמותו עם האחר
$\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$	ולכן כאשר נשליך מהם אחד ישאר בהכרח השבר האחר
For more than two fractions	וכן אם היו השברים הנקבצים יותר משנים
$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)=1+\left(\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)$	יחויב מזה הצד בעינו שיהיה העולה מקבוץ החסר משלמות השבר האחד עם המקובץ שוה לאחר עם קבוץ השברים הנשארים
$\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}+\frac{e}{f}$	וכאשר נשליך מהם האחד יחויב בהכרח שיהיה הנשאר שוה לקבוץ השברים הנשארים וזהו מה שכווננו ביאורו
	הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
	ומהנה נתחיל בביאור דרך החסור בעזרת האל

Chapter Three - Subtraction

הפרק השלישי במין החסור

Introduction

Definition: subtraction = announcing the type of fraction that remains from subtracting a fraction of integer from a greater fraction of integer

החסור הוא הודעת מין השבר הנשאר אחר חסרון שבר השלם משבר השלם גדול ממנו

The difference between subtraction and multiplication of fraction:

ואמרי שבר השלם משבר השלם הוא ההבדל אשר בו יובדל זה המין ממין ההכאה

Multiplication of fractions is also a subtraction of something from something - taking a fraction of a fraction

וזה שמין הכאת השברים גם כן הוא חסרון דבר מדבר כי כבר התבאר שם שאמרנו נכה שבר בשבר ירצה נקח שבר השבר

In multiplication a fraction of fraction is subtracted from a fraction, while in subtraction a fraction of integer is subtracted from a fraction

אלא שבמין ההכאה יהיה חסרון שבר השבר משבר האחד לא שבר האחד משבר האחד

וזה כי אמרך רביע פעמים שליש הוא כמו אמרך רביע השליש

והנה הרביע הוא רביע השליש שהוא שבר לא רביע השלם האחד והשליש הוא שליש האחד השלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}

ואולם בזה המין אמרך חסר רביע מהשליש הוא אמרך חסר רביע השלם משליש השלם והנה הוא חסרון שבר משבר השלם

ולכן בחסור כשיחוסר הרביע מהשליש ישאר אחד מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}-\frac{1}{12}=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}=\frac{3}{12}}}

ובהכאה כשילוקח הרביע מהשליש ישארו ג' חלקים מי"ב

כי השליש שהוא שבר האחד כאשר תחסר ממנו רביעיתו שהוא א' מי"ב ישארו ג' רביעיותיו שהם ג' חלקים מי"ב

וזהו ההבדל אשר בזה המין למין ההכאה

ולכן היה גדר ההכאה התכת שבר השבר לשבר

והיה גדר החסור הודעת השבר הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם

In subtraction the sought is the remainder from subtracting a fraction from fraction, while in multiplication the sought is what is taken and not what remains

גם כי יובדל זה המין ממין ההכאה כאשר זה המין יבוקש בו הנשאר מחסרון השבר מהשבר ובמין ההכאה יבוקש בו הנלקח ממנו והוא החסרון לא הנשאר

The ancients doubted the need for the subtraction of fractions, since it is already known from multiplication of fractions - but the differences between these two operations resolve their doubt

ומהנה כבר הותר הספק אשר ספקו בו קצת מהקדמונים ואמרו אחר שעם ההכאה נדע לקחת איזה שבר שיהיה מאיזה שבר שיהיה הנה כבר תוכל לדעת הנשאר ומה צורך למין החסור

ואמנם אנחנו כבר התרנו זה בשאמרנו שמין החסור יודיע לנו הנשאר מחסרון שבר השלם משבר השלם ומין ההכאה יודע לנו הנשאר מחסרון שבר השבר משבר השלם

Subtraction of Fractions

ומעתה אתחיל בביאור הודעת זה המין ואומר שזה המין גם כן אין ספק שיהיו בו הי"ב מיני השברים הפשוטים והע"ח מינים המתחדשים מהרכבתם

In the operation of subtraction of fractions the composite types are multiplied - because of the significance of the position, every simple type is doubled

אלא שירבו המינים המורכבי' בזה המין למה שהיו כל מין מהם כאשר היה מהמתחלפי' הפשוטים נחלק לשנים

In the multiplication and addition operations the position is not significant

ולא כן במיני ההכאה והקבוץ כי במין ההכאה והקבוץ אין הבדל בין הכאת השבר עם השברים ובין הכאת השברים עם השבר וכן בקבוץ כי היוצא מהם אחד

There are 132 types of composite subtraction of fractions

ואולם במין החסור יש הבדל בין שנחסר השברים מהשברים ובין שנחסר השבר מהשבר ולכן יחויב שיהיו מיני המורכבים קל"ב

Converting the 132 types to four simple types of subtraction: fraction from fraction, fractions from fractions, fraction from fractions, fractions from fraction

והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם שבר משבר ושברים משברים ושבר משברים ושברים משבר וכבר הזכרנו זה אין צורך להשנות בביאורו

1) The general algorithm for the 4 simple types of subtractions

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}}}

ואמנם הנשאר עלינו הנה הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים

ואומר שהדרך בידיעת הד' מינים האלו אשר הם במדרגת השרשים והיסודות לכל המינים הנשארי' אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחסר זה מזה זה בצד זה

ונכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו
אח"ז נכה איכות השבר הא' עם כמות הב' והעולה נשמרהו והוא השמור הב'
גם נכה איכות הב' עם כמות הא'
והעולה נחסרהו מהשמור השני אם היה השמור השני גדול ממנו
או נחסר השמור הב' מזה אם היה קטן ממנו
והנשאר ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא הנשאר מחסרון השבר האחד מהשבר האחר

ונצייר לזה ד' משלים לאלה המינים הד' והם אלו

$\scriptstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle\frac{2}{7}$
$\scriptstyle\frac{3}{14}$

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{5}{12}$

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{7}$
$\scriptstyle\frac{13}{28}$

$\scriptstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{1}{6}$

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot3\right)-\left(1\sdot2\right)}{2\sdot3}=\frac{3-2}{6}\\&\scriptstyle=\frac{1}{6}\\\end{align}}}

משל המין הראשון הכינו הג' עם הב' ועלו ו' ושמרנום

אחר זה הכינו הא' עם הב' ועלו ב' גם הכינו הא' עם הג' ועלו ג'
חסרנו הב' מהג' ונשאר א' יחסנוהו אל הו' השמורים והם ששית אחד וככה הוא הנשאר מחסור השליש מ מהחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot7\right)-\left(2\sdot4\right)}{4\sdot7}=\frac{21-8}{28}\\&\scriptstyle=\frac{13}{28}\\\end{align}}}

ובמין השני הכינו הז' עם הד' ועלו כ"ח ושמרנום

אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלו ח'
גם הכינו הג' עם הז' ועלו כ"א
חסרנו הח' מהכ"א ונשארו י"ג יחסנום אל הכ"ח השמורים והם י"ג חלקים מכ"ח וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot3\right)-\left(1\sdot4\right)}{4\sdot3}=\frac{9-4}{12}\\&\scriptstyle=\frac{5}{12}\\\end{align}}}

ובמין הג' הכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנום

אחר זה הכינו הא' עם הד' והם ד'
גם הכינו הג' עם הג' ועלו ט'
חסרנו מהם ד' ונשארו ה' יחסנום אל הי"ב השמורי' והם ה' חלקים מי"ב וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot7\right)-\left(2\sdot2\right)}{2\sdot7}=\frac{7-4}{14}\\&\scriptstyle=\frac{3}{14}\\\end{align}}}

ובמין הרביעי הכינו הז' עם הב' ועלו י"ד ושמרנום

אחר זה הכינו הב' עם הב' ועלו ד'
גם הכינו הז' עם הא' ועלו ז'
חסרנו מהם ז' ונשארו ג' יחסנום אל הי"ד השמורים והם ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי

2) Another algorithm - by addition

עוד מצאתי דרך אחרת בידיעת זה המין והוא על דרך הקבוץ

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$

והוא שתקבץ החסר מהשבר הגדול עד תשלום הא' עם השבר האחר והחסר מהמקובץ עד האחד הוא הנשאר מחסרון השבר מהשבר

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{c}{d}\right)\right]-1$

או קבץ החסר מהשבר הקטן עד תשלום האחד עם השבר הגדול והעולה השלך ממנו אחד והנשאר הוא המבוקש

$\scriptstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle\frac{2}{7}$
$\scriptstyle\frac{3}{14}$

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{5}{12}$

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{7}$
$\scriptstyle\frac{13}{28}$

$\scriptstyle\frac{1}{2}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{1}{6}$

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=1-\left[\frac{1}{3}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\right]=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\\\end{align}}}

המשל בזה הנה במין הראשון מהד' מינים הנזכרים נקבץ החצי עם השליש והוא ה' ששיות ונקח מזה החסר משלמותו עד הא' והוא ששית וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{6}\right)-1=\frac{1}{6}\\\end{align}}}

ולפי הדרך השני נקבץ הב' שלישיות עם החצי והעולה מקבוצם הוא שלם א' וששית השלך מהם האחד השלם והנשאר הוא ששית א' וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=1-\left[\frac{2}{7}+\left(1-\frac{3}{4}\right)\right]=1-\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}\\\end{align}}}

ומשל המין השני הנה לפי הדרך הראשון נקבץ הרביע עם הב' שביעיות ויעלו ט"ו חלקים מכ"ח והחסר משלמות הא' הוא י"ג חלקים מכ"ח וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{3}{4}+\left(1-\frac{2}{7}\right)\right]-1=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{7}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{28}\right)-1=\frac{13}{28}\\\end{align}}}

ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וי"ג חלקים מכ"ח השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=1-\left[\frac{1}{3}+\left(1-\frac{3}{4}\right)\right]=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\\\end{align}}}

ומשל המין השלישי הנה לפני הדרך הראשון נקבץ הרביע עם השליש והעולה מקבוצם הוא ז' חלקים מי"ב והחסר משלמות הא' הוא ה' חלקי' מי"ב וזהו הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\left[\frac{3}{4}+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{5}{12}\right)-1=\frac{5}{12}\\\end{align}}}

ולפי הדרך השני הנה נקבץ הב' שלישיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וה' חלקים מי"ב השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא ה' חלקים מי"ב וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=1-\left[\frac{2}{7}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\right]=1-\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{11}{14}=\frac{3}{14}\\\end{align}}}

ומשל המין הרביעי הנה לפי הדרך הראשון נקבץ החצי עם הב' שביעיות והעולה מקבוצם הוא י"א חלקים מי"ד והחסר משלמות הא' הוא ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(1-\frac{2}{7}\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{7}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{3}{14}\right)-1=\frac{3}{14}\\\end{align}}}

ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם החצי והעולה מקבוצם הוא שלם א' וג' חלקים מי"ד נשליך מהם השלם האחד וישארו ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי

אלה הם הדרכים אשר תוכל להשתמש בהם בידיעת זה המין

Composite types of subtraction of fractions

Algorithm for subtraction of a sum of simple fractions from a sum of simple fractions

ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחסרם

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_2}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{d_2}+\frac{c_2}{d_2}+\cdots+\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^m \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^m d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^m d_i}\\\end{align}}}$

הנה תוכל להשתמש בזה בשתכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות ותשמרהו ויקרא השמור הראשון

אחר זה הכה כמות השבר הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות על הדרך חוץ מאיכותו
גם נכה כמות השבר האחד הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכותו
וכן כסדר הזה לכל השברים הנחסרים והעולה שמרהו ויקרא השמור השני
אחר זה התנהג עם הדרך הזאת בעצמה עם כל השברים האחרים אשר יחוסרו השברים מהם והעולה שמרהו
וחסר מזה השמור השני והנשאר תיחסהו אל השמור הראשון והוא המבוקש

$\scriptstyle\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)$

המשל בזה אם רצית לחסר חצי ושליש וג' רביעיות מד' חמישיות וה' ששיות ושביעית

הנה יסודרו על זה הסדר

\scriptstyle\frac{1}{7}

\scriptstyle\frac{5}{6}

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{1}{3}

\scriptstyle\frac{1}{2}

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7=5045}}$

ונכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ה' אלפים ומ' ונשמרם ויקרא שמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot4\sdot5\sdot{\color{red}{6}}\sdot7=2520}}$

אחר זה נכה הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הז' והם אלפים תק"ך

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7=1680}}$

גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם אלף תר"ף

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7=3780}}$

גם נכה הג' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ג' אלף ותש"ף

$\scriptstyle{\color{blue}{2520+1680+3780=7980}}$

קבצם והם ז' תתק"ף נשמרם והם השמור השני

$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot6\sdot7=4032}}$

אחר זה נכה הד' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ל"ב

$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=4200}}$

גם נכה הה' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ומאתים

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6=720}}$

גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה הה' והעולה עם הו' והם תש"ך

$\scriptstyle{\color{blue}{4032+4200+720=8952}}$

קבצם והם ח' אלפים תתקנ"ב

$\scriptstyle{\color{blue}{8952-7980=972}}$

וחסר מהם הז' אלפים תתק"ף ישארו תתקע"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=972:5040}}

ניחסם אל השמור הראשון שהם ה' אלפים מ' והיוצא הוא הנשאר מחסרון החצי והשליש וג' רביעיות מהד' חמישיות וה' ששיות ושביעית

Algorithm for a sum of remainders from subtractions of simple fractions

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{c_n}{d_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^n \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^n d_i}\\\end{align}}}$

ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונות שברים רבים משברים רבי' מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם

כמו שתרצה לחסר החצי מב' שלישיות והג' רביעיות מד' חמישיות הנה יסודרו כזה

$\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}$	$\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}$

ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות ויעלו ק"כ ונשמרם וזהו השמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot4\sdot5=60}}$

אחר זה נכה כמות השבר הנחסר מהחסו' הראשון שהוא החצי מהשליש עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם ס'

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot5=90}}$

גם נכה כמות השבר הנחסר מהחסור השני עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ'

$\scriptstyle{\color{blue}{60+90=150}}$

קבצם עם ס' והק"נ וזהו השמור השני

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2\sdot4\sdot5=80}}$

אחר זה נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן מהמין הראשון עם האיכות והעולה עם האיכו' חוץ מאיכותו והם פ'

$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot3\sdot4=96}}$

גם נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן ממנו מהמין השני באיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{80+96=176}}$

נחברם והם קע"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{176-150=26}}$

נחסר מהם הק"נ וישארו הכ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=26:120}}

וניחסם אל הק"כ השמור הראשון וזהו המבוקש

Algorithm for the subtraction of a multiple of simple fractions from a multiple of simple fractions

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{c_1}\times\frac{c_2}{c_2}\times\cdots\times\frac{c_m}{d_m}\right)=\frac{\left[\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\sdot\left(\prod_{j=1}^m d_j\right)\right]-\left[\left(\prod_{j=1}^m c_j\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{i=1}^n b_i\sdot\prod_{j=1}^m d_j}}}

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת שברי' אחדים מבלתי שתצטרך לדעת העולה מהכאת השברי' ההם

$\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)$

כמו על דרך משל אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם הד' חמישיו' מבלתי שתצטר' להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חמישיות

הנה יסודרו בזה הדרך

$\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}$	$\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}$

ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם ק"כ ונשמרם ויקרא שמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5=40}}$

אחר זה נכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם כל האיכויות השברים הגדולים אשר יחוסרו הקטנים מהם והם מ' ונשמרם והם השמור השני

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3=72}}$

אחר זה נכה השברים הגדולים אשר יחוסרו מהם הקטנים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכויות השברים הקטנים הנחסרים והם ע"ב

\scriptstyle{\color{blue}{72-40=32}}

נחסר מאלו המ' שהם השמור השני וישארו ל"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)=32:120}}

ניחסם אל השמור הראשון שהם ק"כ וככה הוא הנשאר מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם הד' חמישיות

Algorithm for a multiple of remainders from subtractions of simple fractions

{\color{OliveGreen}{\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]}{b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2}}}

ואולם אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור שברים מה משברים מה עם הנשאר מחסור שברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים מהחסורים ההם כלל

$\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)$

כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מהד' חמישיות מבלתי שתצטרך לחסר החצי מהב' שלישיות והג' רביעיות מהד' חמישיות הנה יסודרו על זה הדרך

$\scriptstyle\frac{4\; 2}{5\; 4}$	$\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}$

ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו הכל והם ק"כ ונשמרם ויקרא השמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)}}$

אחר זה נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)}}$

גם נחסר העולה מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)\right]}{120}}}

אחר זה נכה הנשאר עם הנשאר וההווה ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמישיות

Combination of three types of operations with fractions

Algorithm for the remainder of the subtraction of a sum of multiples of simple fractions from a sum of multiples of simple fractions

{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}\times\frac{c_n}{d_n}\right)\right]-\left[\left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\times\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}}\times\frac{c_{n+2}}{d_{n+2}}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n+m}}{b_{n+m}}\times\frac{c_{n+m}}{d_{n+m}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\sum_{k=1}^n \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]-\left[\sum_{k={n+1}}^{n+m} \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]}{\prod_{i=1}^{n+m} b_i\sdot\prod_{i=1}^{n+m} d_i}\\\end{align}}}

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולי' מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברי' מה מבלתי שתצטרך להכות ואחר זה לקבץ ואחר זה לחסר אבל יצאו לו שלשתם בדרך אחת

As, for example, if you want to multiply a half by 2 thirds, and 3 quarters by 4 fifths, and 3 sevenths by 4 fifths, and 2 thirds by 3 quarters, then to sum the product of the half by 2 thirds with the product of the 3 quarters by 4 fifths, and the product of the 3 sevenths by the 4 fifths with the product of the 2 thirds by the [3 quarters], then to subtract the sum from the sum and know the remainder.

\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]

כמו עד"מ אם רצית להכות חצי עם ב' שלישיות וג' רביעיות עם ד' חמישיות וג' שביעיות עם ד' חמישיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואחר זה לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם הד' חמישיות והעולה מהכאת הג' שביעיות עם הד' חמישיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע ואחר זה לחסר ההווה מהקבוץ מההווה מהקבוץ לדעת הנשאר

הנה יסודרו על זה הסדר

$\scriptstyle\frac{1\; 2}{4\; 3}$	$\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 7}$	$\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}$	$\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=50400}}$

ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם נ' אלף ת' נשמרהו ויקרא השמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=16800}}$

אחר זה נכה כמות השני שברי' הראשוני' זה עם זה והעולה עם כל האיכויות על הסדר הזה חוץ מאיכויותיהם והם י"ו אלף ת"ת

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=30240}}$

גם נכה כמות השני שברים השניים והעולה עם כל האיכויות על הסדר חוץ מאיכויותיהם והם ל' אלף ור"מ

$\scriptstyle{\color{blue}{16800+30240=47040}}$

ונקבצם עם הי"ו אלף ת"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם ויקרא השמור השני

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=17280}}$

אחר זה נכה השני שברים השלישיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם י"ז אלף ר"פ

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1\sdot5\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=8400}}$

גם נכה כמות השני שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם ח' אלפים ת'

$\scriptstyle{\color{blue}{17280+8400=25680}}$

ונקבצם עם הי"ז אלף ר"פ והם כ"ה אלף תר"ף

$\scriptstyle{\color{blue}{47040-25680=21360}}$

נחסרם מהשמור השני וישארו כ"א אלף ש"ס

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=21360:50400}}

ניחסם אל השמור הראשון וההווה הוא המבוקש

הנה כבר כתבתי לך הרכבת כל שני מינים ממיני המספר

The combination of three operations cannot be concluded from the principles [of the simple types]

ואולם מהרכבת הג' מינים לא הוצרכתי לכתוב רק זאת ההרכבה הכלל כל ההרכבות בעלות הג' מינים למה שהיה זה המין מן ההרכבה בלתי נמשך בשאלות הדרושים

Yet, from the illustration of one such combination all the other combinations can be concluded

ואולם הוצרכתי להראות הדרך לבד לאחת מהן וממנה תלקח הדרך לשאר המיני' ולא נטריח המעיין בזכירתם

Methods of checking

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין

1) Addition

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}

הוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול דע שצדקת ואם לאו כזבת

המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}=\frac{5}{24}+\frac{2}{3}=\frac{63}{72}=\frac{7}{8}}}

הנה המאזנים לזה הוא שנקבץ הה' חלקים מכ"ד עם הב' שלישיות ויעלו ס"ג חלקים מע"ב והוא ז' שמיניות שהוא השבר הגדול כי קטן יחס הס"ג חלקים מע"ב הוא ז' שמיניות

2) Addition

\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{a}{b}\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)

עוד מצאתי מאזנים אחרים והוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו השבר הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת ואם לאו כזבת

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)+\frac{7}{8}\right]-\frac{2}{3}&\scriptstyle=\left(\frac{5}{24}+\frac{7}{8}\right)-\frac{2}{3}\\&\scriptstyle=\frac{208}{192}-\frac{2}{3}\\&\scriptstyle=\frac{240}{576}=\frac{10}{24}=2\sdot\frac{5}{24}=2\sdot\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)\\\end{align}}}

המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד

קבצנום עם הז' שמיניות ועלה ר"ח חלקים מקצ"ב
חסרנו מהם הב' שלישיות ונשארו ר"מ חלקים מתקע"ו והוא י' חלקים מכ"ד
והנה הוא כפל המותר מהחסור כי המותר מהחסור הוא ה' חלקים מכ"ד וזה הוא י' חלקים מכ"ד כי קטן יחס הר"מ חלקי' מתקע"ו הוא י' חלקים מכ"ד

3) Subtraction

\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}

עוד מצאתי מאזנים אחרים עם החסור והוא שתחסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם הוא שבר הקטן דע שצדקת ואם לאו דע שכזבת

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}-\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{8}-\frac{5}{24}=\frac{128}{192}=\frac{2}{3}}}

המשל בזה שהנשאר מחסור הב' שלישיות מהז' שמיניות הוא ה' חלקים מכ"ד נחסרם מהז' שמיניות נשארו קכ"ח חלקים מקצ"ב וקטון זה היחס הוא ב' שלישיות שהוא השבר הקטן

Reasons and Explanations

ואולם סבת מציאות זה המין

The reason for the general subtraction procedure

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}$

בשנכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו

ואחר זה נכה איכות האחד עם כמות האחר ונחסרהו מהעולה מהכאת כמות האחד עם איכות האחר והנשאר ניחסהו אל השמור
הנה כבר התבארה ממה שקדם

\scriptstyle\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}

וזה שכבר קדם שכאשר יוכה כמות השבר ואיכותו עם מספר מה איזה מספר היה וניחס העולה מהכאת הכמות עם המספר ההוא אל העולה מהכאת האיכות עם המספר ההוא הנה ההווה הוא השבר הראשון בעינו

וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שישובו השברים המתחלפים האיכות שוי האיכות אחר שהיה המספר אשר יתייחסו אליו העולים מהכאת כמותם עם המספר המונח אחד

כמו עד"מ אם הכינו הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות וכמות הג' רביעיות עם איכות הב' שלישיות על דרך אלכסון

והכינו גם האיכות עם האיכות כזה

\scriptstyle\frac{3}{4}

χ

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3\sdot3}{4\sdot3}-\frac{2\sdot4}{3\sdot4}=\frac{9}{12}-\frac{8}{12}}}

שאז יחייב בהכרח שישובו הב' שלישיות לח' יביי"ם והג' רביעיות לט' יביי"ם והנה שבו להיות בעלי איכות

אחר שהוכו הב' והג' שבתחתיו עם הד' שהוא מספר מה
והוכו גם הג' והד' שבתחתיו עם הג' שהוא מספר מה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right):\left(3\sdot4\right)=2:3}}

מפני שהעולה מהכאת הב' עם הד' כאשר ייוחס אל העולה מהכאת הג' עם הד' הנה אין ספק לפי מה שקדם שיהיה יחסו אליו יחס הב' אל הג'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right):\left(4\sdot3\right)=3:4}}

וכן העולה מהכאת הג' עם הג' כאשר ייוחסו אל העולה מהכאת הד' עם הג' יהיה יחסו אליו יחס הג' אל הד'

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=4\sdot3}}

וכאשר היה זה כן והנה העולה מהכאת הג' עם הד' הוא העולה מהכאת הד' עם הג'

הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה מתיחס העולה מהכאת הב' עם הד' והעולה מהכאת הג' עם הג' אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הד' עם הג'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right):\left(4\sdot3\right)=2:3}}

ויהיה יחס העולה מהכאת הב' עם הד' יחס הב' אל הג'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right):\left(4\sdot3\right)=3:4}}

ויחס העולה מהכאת הג' עם הג' אליו יחס הג' אל הד'

אשר הם השברים המונחים בעצמם רק שיחסם אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הג' עם הד'

ולכן ישובו השברים המתחלפים לשברים בעלי איכות אחת והם השברים הראשונים בעינם

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}

והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות כאשר תרצה לחסר האחד מהאחר אמנם יחוסר כשנסחר הכמות מהמותר

כמו עד"מ אם רצית לחסר הב' חמישיות מהד' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4-2}{5}-\frac{2}{5}}}

הנה נחסר הב' מהד' והנשאר שהוא הב' ניחסהו אל איכות שהוא הה' וההווה ב' חמישיות וככה הוא הנשאר מחסור הב' חמישיות מהד' חמישיות

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}

הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נכה שני האלכסונים שהם כמות הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון ויתיחסו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות

שאז ישובו להיות ב' שברים שוי האיכות והם השברי' הראשונים בעינם
וכשיוחסר הכמות מהכמות שהוא ההווה מהכאת האלכסון האחד מההווה מהכאת האלכסון האחר וניחסהו אל איכותו שהוא ההווה מהכאת האיכות עם האיכות הנה יהיה ההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר וז"מ ש"ל

The reason for the second algorithm - based on addition

אולם סבת הדרך השנית שהוא על דרך הקבוץ

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]

רצוני לומר בשיתקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות המקובץ עד האחד הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר

הנה היא ג"כ מבוארת וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהנשאר מחסור שבר מה מהשלם הא' הוא החסר משלמות השבר עד הא'

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}}

משל זה אם רצית לחסר חצי מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות החצי עד האחד שהוא חצי

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}}

ואם רצית לחסר ג' רביעיות מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות הג' רביעיות עד האחד שהוא רביע וכן בכל מיני השברים

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]

וכאשר היה זה כן הנה יחוייב לזה בהכרח שכאשר נרצה לחסר שבר משבר שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן ונקח מהמקובץ מהם החסר משלמותו עד האחד וההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר

וזה שכבר קדם שהנשאר מחסור השבר מהשלם הוא החסר משלמות השבר עד האחד

ואם כן אלו היה השבר הגדול שלם היה הנשאר מחסור השבר הקטן ממנו הוא החסר משלמו' השבר הקטן עד האחד רק בעבור שהשבר הגדול איננו שלם

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[1-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{c}{d}

הנה א"כ יחויב מזה בהכרח שהנחסר מהשלם האחד הנה איננו השבר הקטן בלבד רק השבר הקטן והחסר משלמו' השבר הגדול עד האחד

וכאשר היו הנחסרים מהשלם האחד ב' שברים הנה יחויב שנקבץ שני השברים יחד שישוב לשבר אחד ואז יהיה משפטם בחסור כמשפט השבר האחד מהשלם האחד

וכמו שהיה הנשאר מחסור השבר הא' מהשלם האחד הוא החסר משלמות השבר עד האחד כן הנשאר מחסור המקובץ מב' השברים יחד מהשלם האחד הוא החסר משלמות המקובץ מב' השברים עד האחד

\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[1-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)+\frac{c}{d}\right]

ולזה יחויב בהכרח שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות המקובץ מהם עד האחד הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר וזמש"ל

The reasons for the algorithms for the composite types of subtraction of fractions

ואולם סבות דרכי מציאות המינים המורכבים משני מינים ב' מינים ממיני המספר או משלשה שלשה מהם

Clarified in the explanations for combining multiplication and addition of fractions

הנה כבר התבארו ממה שקדם במין ההכאה בסבת מציאות דרך הרכבת מין ההכאה והקבוץ ובכלל בשמירת כל ההכאות הראויות לכל מין ומין

There is no difference between simple multiplication and composite multiplication

כי כבר קדם שאין הבדל ב[הכאות] בין שיהיו נבדלות או מורכבות אין צורך לכפלם

The reason for the first checking method - by addition

ואולם סבת מאזני זה המין שעל דרך הקבוץ

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}

ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הקטן

Clarified in the explanation of the checking method of subtraction of integers

כבר קדמה במאזני חסור השלמים מהשלמים אין צורך לכפלם

The reason for the second checking method - by addition

ואולם סבת המאזנים השניים שעל דרך הקבוץ

\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{a}{b}\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)

ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול ויחוסר מהם הקטן והנשאר יהיה כפל הנשאר מחסור השבר מהשבר הנה היא מבוארת ג"כ

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר יחד

\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}+\left[2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]

ולכן כאשר יקובץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול הנה יהיה המקובץ כמו השבר הקטן וכפל הנשאר מחסור השבר מהשבר

\scriptstyle\left[\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)

ולכן כאשר יחוסר מהמקובץ השבר הקטן יחויב שיהיה הנשאר כמו כפל הנשאר מחסור השבר מהשבר בהכרח וזה מה שרצינו לבאר

The reason for the third checking method - by subtraction

ואולם סבת המאזנים השלישיים שעל דרך החסור

\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}

ר"ל כשתחסר הנשאר מחסור השבר מהשבר מהשבר הגדול והנשאר יהיה כמו שבר הקטן גם הוא מבואר

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר

\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}

ולכן כאשר יחוסר מהשבר הגדול הנשאר מחסור השבר מהשבר יחויב מזה בהכרח שיהיה הנשאר כמו השבר הקטן וז"מ ש"ל

הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם

ומהנה נתחיל בביאור דרך החלוק בע"ה

Chapter Four - Division

הפרק הרביעי במין החלוק

Introduction

Definition: division of fractions

החלוק הוא הודעת מספר חלקי שבר מה השוים לשבר מה קטן ממנו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\div\frac{1}{4}}}

כי אמרך חלק השליש על הרביע עד"מ הוא כאמרך לכמה חלקים שוים לרביע יחלק השליש

ועם זה המין נוכל לדעת יחס השבר האחד אל השבר האחר אשר הוא יחס היחס האחד אל היחס האחר כי כל שבר הוא יחס מה

ובידיעת יחס השבר הנה כבר יודע יחס היחס אל היחס

גם נדע עם זה המין להתיך השברים איזה שברים שיהיו להשיבם אל איזה שברים שיהיה

כי אחר שזה המין הוא המודיע כמות הפעמים אשר ימצא השבר האחד תוך השבר האחר

א"כ כאשר נחלק שברים מה איזה שברים שיהיו על שברים אחרים איזה שברים שיהיו הנה כבר תוכל לדעת כמות הפעמים אשר יכנסו השברים ההם תוך השברים האחרים ובזה ישובו השברים המונחים לשברים אחדים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}=6\longrightarrow\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}}

כמו עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות בשמינית אחד הנה יצאו ו' והם מורים בשחלקי הג' רביעיות השוים לשמינית הם ו'

ובזה נודע שהג' רביעיות הם ו' שמיניות

ולהיות שבזה המין יתחלף ענין השני שברים בשיהיה הא' המחלק והאחר המחולק או ההפך כמו שקרה כזה במין החסור ר"ל שהיוצא מהחלוקה ענין אחר זולת היוצא מחלוקת ההפך

לכן יהיה מהמחויב מזה בהכרח שיהיו המינים המורכבים מהמינים הפשוטים בזה המין ג"כ קל"ב כמו שקרה במין החסור

והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם השבר על השבר והשברים על השברים והשבר על השברים

וכבר הזכרנו זה פעמים רבות אין צורך להשנות בביאורו

ואולם הנשאר עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים אשר הם במדרגת היסודות לשאר כל המינים

Division of Fractions

1) The general algorithm for the 4 simple types of division

ואומר שהדרך הכולל בהם

$\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{c\sdot b}$

אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחלקם זה על זה זה בצד זה ונכה כמות המחלק עם איכות המחולק וההווה נחלק עליו ההווה מהכאת כמות המחולק באיכות המחלק והיוצא הוא המבוקש

ונצייר לזה ארבעה משלים לאלה הד' מינים הנזכרי' והם אלו

$\scriptstyle\frac{2}{9}$	$\scriptstyle\frac{1}{2}$
2	$\scriptstyle\frac{1}{4}$

$\scriptstyle\frac{1}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
2	$\scriptstyle\frac{2}{3}$

$\scriptstyle\frac{3}{8}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
1	$\scriptstyle\frac{7}{9}$

$\scriptstyle\frac{1}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
1	$\scriptstyle\frac{1}{3}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{1\sdot4}{1\sdot3}=\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}}}

כי במין הראשון נכה הא' בד' והם ד' ונחלקם על העולה מהכאת הא' בג' שהם ג' והיוצא א' ושלישית

\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}}

שהוא מורה על שהשליש הוא רביע א' ושליש הרביע שהוא א' מי"ב

או כשהשליש נחלק לחלקים שוים לרביע חלק א' ושליש והכל עולה בקנה א'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{3}{8}=\frac{2\sdot8}{3\sdot3}=\frac{16}{9}=1+\frac{7}{9}}}

ובמין השני נכה הב' עם הח' ועלו י"ו ונחלקם על העולה מהכאת הג' בג' שהם ט' והיוצא א' וז' תשיעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{2}{3}=\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{7}{9}\right)=\frac{3}{8}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{3}{8}\right)}}

ר"ל פעם א' ג' שמיניות וז' תשיעיות הג' שמיניות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{2\sdot4}{1\sdot3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}

ובמין הג' נכה הב' בד' והם ח' ונחלקם על העולה מהכאת הא' בג' שהם ג' והיוצא הוא ב' וב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)}}

ר"ל ב' רביעיות וב' שלישיות הרביע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\div\frac{2}{9}=\frac{1\sdot9}{2\sdot2}=\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}}}

ובמין הרביעי נכה הא' בט' והם ט' ונחלקם על העולה מהכאת הב' בב' שהם ד' והיוצא הוא ב' ורביע

\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{1}{2}=\frac{2}{9}\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{2}{9}\right)}}

ר"ל ב' פעמים ב' תשיעיות שהם ד' תשיעיות ורביע הב' תשיעיות

וכבר תוכל להשתמש בדרך אחרת יותר קצרה מזאת והוא שתכה כמות המחלק עם איכות המחולק והעולה הוא המחלק וכמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הוא המחולק עוד הכה האיכות עם האיכות והעולה שמרהו ועליו תחלק המותר מהחלוקה ומה שיעלה חלקהו על השבר הא' משברי המחלק והיוצא חברהו עם היוצא מהחלוק הראשון וההוה הוא המבוקש

Example: if you wish to divide 3-quarters by 2-fifths.

המשל אם רצית לחלק ג' רביעיות על ב' חמשיות

הכה הב' עם הד' ויעלו ח' וזהו המחלק הכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו וזהו המחולק

עוד הכה הד' עם הה' ויעלו כ' ושמרם

אח"כ תחלק הט"ו על הח' ויצא א' שלם והם פעם א' ב' חמישיות והנותר לא תיחסנו אל הח' עד שתאמר שהם ז' שמיניות הב' חמישיות כי תצטרך תחלה להכאה עד שתשיבם לשבר אחד

ואחר זה תצטרך לחלוק עד שתדע כמה חמישיות הוא אבל ניחסהו אל הב' השמורים ויהיו ז' חלקים מכ‫'

אחר זה נחלקם על החומש הא' ויצא חומש א' וג' רביעיות החומש נחברם עם הב' חמישיות שיצאו לך בחלוק הראשון ויהיו הכל ג' חמישיות וג' רביעיות החומש הא' וזהו המבוקש

אלא שבזה הדרך לא תדע כמות הפעמים אשר יכנס השבר הא' אל האחר אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת זה המין

עוד מצאתי דרך אחרת קצרה מאד והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הכהו עוד עם איכות המחלק והעולה חלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות ויצא לך מיד התכת השבר הא' אל השבר האחר מבלתי שתצטרך לחלוק הראשון ושני והכאה והדומה לאלה

Example: if you wish to divide 3-quarters by 2-fifths.

המשל בזה אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות

\scriptstyle\frac{2}{5}

\angle

\scriptstyle\frac{3}{4}

נכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו עוד יוכו הט"ו עם הה' יעלו ע"ה וזהו המחולק

אחר זה נכה הד' עם הה' ויעלו כ' וזהו המחלק נחלק עליהם הע"ה ויצאו שלשה ושלשה רביעיות
ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש

ואולם אם רצית לחלק הג' חמישיות על הב' חמישיות עד"מ אשר הם בעלי איכות אחת אין צורך לחלוק השברים כלל רק נחלק כמות השבר האחד על כמות השבר השני כמו חלוק השלמים והיוצא הוא המבוקש

כמו במשלנו זה נחלק הג' על הב' והם א' וחצי וככה הוא יחס הג' חמישיות אל הב' חמישיות כי יכנסו הב' חמישיות אל הג' חמשיות פעם אחת וחצי

ובזה כבר תוכל לדעת עם זה הדרך הקצר ידיעת כמות הפעמים אשר יכנס השבר הא' תוך השבר האחר עם ידיעת השבת המין הא' אל האחר וז"מ ש"ל

עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל הדרכים הראשונים והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכות המחולק והיוצא הוא המבוקש

המשל בזה כאשר רצינו לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות הנה נכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו ונחלקם על הד' ויצאו ג' וג' רביעיות

ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש

אלה הם הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בידיעת זה המין

Combined Division

אולם אם רצית להשתמש בהרכבת השני מינים יחד

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}+\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2\right)}{\left(b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}}}$

If you wish to divide, for instance, [the sum of] 2-thirds and 3-quarters by [the sum of] 2-sevenths and one-sixth, without having to sum up first, then to divide, but you get the right result all at once.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)}}

הנה אם רצית לחלק עד"מ הב' שלישיות והג' רביעיות יחד על הב' שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחלק אבל הכל יצא לך מתוקן בדרך א‫'

They are arranged this way:

הנה יסודרו לך על זה הדרך

\scriptstyle\frac{1}{6}

\scriptstyle\frac{2}{7}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

We multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 84.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot7\sdot1=84}}

ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם פ"ד

We also multiply the denominator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the numerator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 144.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot6=144}}

גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם קמ"ד

We add it to 84; it is 228. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{84+144=228}}

נחברם עם הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם

We multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the denominator of the second, then the product by the numerator of the first; it is 336.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot7\sdot6=336}}

אחר זה נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם כמות הראשון והם של"ו

We also multiply the denominator of the fourth by the denominator of the third, then the product by the numerator of the second, then the product by the denominator of the [first]; it is 378.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot6=378}}

גם נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם כמות השני והעולה עם איכות הרביעי והם שע"ח

Add it to 336; it is 714.

\scriptstyle{\color{blue}{336+378=714}}

נחברם עם השל"ו והם תשי"ד

We divide it by the reserved 228; the quotient is the result of division of [the sum of] 2-thirds and 3-quarters by [the sum of] 2-sevenths and one-sixth

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)=\frac{714}{228}}}

נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיות וג' רביעיות על הב' שביעיות וששית

וז"מ ש"ל

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}$

If you wish to sum up the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by one-sixth, without having to divide first, then sum up, but you get the right result all at once.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת

We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}

הנה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם

We multiply the numerator of the first fraction by the denominator of the second fraction, then the product by the numerator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}

אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם צ"ו

We also multiply the numerator of the fourth fraction by the denominator of the third fraction, then the product by the numerator of the [second], then the product by the denominator of the first; it is 63.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}

גם נכה כמות השבר הרביעי עם איכות השבר השלישי והעולה עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והם ס"ג

We add it to 96; it is 159.

\scriptstyle{\color{blue}{63+96=159}}

נחברם עם הצ"ו והם קנ"ט

We divide it by the reserved 56; the result is 2 integers and 47 parts of 56 and this is the sum of the result of division of 3-quarters by 2-thirds with the result of division of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{159}{56}=2+\frac{47}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' ומ"ז חלקים מנ"ו וככה הוא ההווה מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיות ותחלוק הב' שביעיות על הששית

וז"מ ש"ל

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2}{b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot c_2}}}$

If you wish to divide the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by one-sixth, without having to multiply first, then divide, but you get the right result all at once.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)}}

ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על העולה מהכאת הב' שביעיות עם הששית מבלתי שתצטרך להכות תחלה ואח"כ לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת

We multiply the numerator of the first fraction by the numerator of the second fraction, then the product by the denominator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 252. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7\sdot6=252}}

הנה נכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רנ"ב ונשמרם

We multiply the numerator of the fourth fraction by the numerator of the third fraction, then the product by the denominator of the second, then the product by the denominator of the first; it is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot1=24}}

אחר זה נכה כמות השבר הרביעי עם כמות השבר השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם כ"ד

Divide 252 by it; the quotient is the result of division of the product of 2-thirds by 3-quarters by the product of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)=\frac{252}{24}}}

נחלק עליהם הרנ"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על העולה מהכאת הב' שביעיות עם הששית

וזה מה שרצינו לבאר

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}$

If you wish to multiply the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by one-sixth, without having to divide first, then multiply, but you get the right result all at once.

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}$

ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}

הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם

We multiply the denominator of the first by the numerator of the second, then the product by the numerator of the third, then the product by the denominator of the fourth; it is 108.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot2\sdot6=108}}

אחר כן נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ק"ח

We divide it by the reserved 56; the result is the product of the result of division of 3-quarters by 2-thirds by the result of division of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{108}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית

וז"מ ש"ל

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left(b_2\sdot d_2\right)}{\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]\times\left(b_1\sdot d_1\right)}}}$

If you wish to divide the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of one-sixth from 2-sevenths, without having to subtract first then divide, but you get the right result all at once.

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)}}$

ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then we subtract the product from the product of the numerator of the second by the denominator of the first, and multiply the remainder by the denominator of the third, then by the denominator of the fourth; it is 42. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot3\right)-\left(4\sdot2\right)\right]\times\left(7\sdot6\right)=42}}

הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם מ"ב ונשמרם

We multiply the numerator of the fourth by the denominator of the third, then we subtract the product from the product of the numerator of the third by the denominator of the fourth, and multiply the remainder by the denominator of the second, then by the denominator of the first; it is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot6\right)-\left(7\sdot1\right)\right]\times\left(4\sdot3\right)=60}}

אחר זה נכה כמות הרביעי עם איכות השלישי והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות השלישי עם איכות הרביעי והנשאר נכהו עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם ס‫'

We divide it by the reserved 42; the quotient is the result of division of the remainder from subtraction of 2-thirds from 3-quarters by the remainder from subtraction of one-sixth from 2-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)=\frac{42}{60}}}

נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות

וזה מה שרצינו לבאר

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)-\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)-\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}$

If you wish to subtract the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by one-sixth, without having to divide first, then subtract, but you get the right result all at once.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)}}

ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך א‫'

We multiply the numerator of the first by the denominator of the second, then the product by the denominator of the third, then the product by the numerator of the fourth; it is 56. We keep it and this is called the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1\sdot4\sdot2=56}}

הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם ונקרא השמור הראשון

We multiply the denominator of the first by the numerator of the second, then the product by the denominator of the third, then the product by the [numerator] of the fourth; it is 63. We keep it and this is called the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}

אחר זה נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ס"ג ונשמרם ויקרא השמור השני

We multiply the denominator of the fourth by the numerator of the third, then the product by the denominator of the second, then the product by the numerator of the first; it is 96.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}

אחר זה נכה איכות הרביעי עם כמות השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם כמות הראשון והם צ"ו

We subtract from it 63, which is the second reserved; the remainder is 33.

\scriptstyle{\color{blue}{96-63=33}}

נחסר מהם הס"ג שהוא השמור השני והנשאר שהוא הל"ג

We relate it to the first reserved, which is 56; the result is the remainder from the subtraction of the result of division of 3-quarters by 2-thirds from the result of division of 2-sevenths by one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)=\frac{33}{56}}}

ניחסם אל השמור הראשון שהם הנ"ו וההווה הוא ההווה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מהחלוק הב' שביעיות על הששית

וזה מה שרצינו לבאר

ואולם אם רצית להשתמש בהרכבת הג' מינים הנה כבר כתבתי לך הוראת הדרך הזאת בא' מההרכבות בעלות הג' מינים ויספיק לך מזה להיות המין הזאת מההרכבה בלתי נמשכת בשאלות הדרושות בזאת החכמה וכ"ש בהרכבת הד' מינים ולזה נמנענו מלזכרם

Methods of checking

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין

הוא שתכה החלק עם המחלק והעולה אם הוא שוה למחולק דע שצדקת ואם לאו כזבת

המשל בזה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמישיות ויצא לנו בחלוק א' וז' שמיניות פעם ב' חמישיות הכינו הא' והז' שמיניות עם הב' חמישיות והיוצא הוא ג' רביעיות שהוא המחולק

ואופן הכאת השלמים ושברים יחד עם השברים או עם השלמים או עם שברים נשלמים יחד יתבאר בשער הבא בע"ה

עוד מצאתי מאזנים אחרים קלים וקצרים מאלו והוא שתמצא המספר המתיחס כמות המחולק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמות החלק אל איכותו דע שצדקת ואם לאו כזבת

המשל בזה אם חלקנו הב' שלישיות על הב' חמישיות הנה היוצא בחלוק הוא א' וב' שלישיות שהוא ה' שלישיות

בקשנו המספר שיהיה יחס כמות המחלק אל איכותו והם ה'
בקשנו יחס הה' אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות החלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו

או אם תרצה נבקש המספר שיהיה יחס כמות החלק אל איכותו והוא א' וחומש

בקשנו יחס הא' וחומש אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות המחלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו

וכבר התבאר לך במה שקדם אופן מציאות המספר אשר יתיחס אליו מספר מה איזה שיהיה אין צורך לכפול המאמרים

Reasons and Explanations

ואולם סבת מציאות זה המין

בשנכה הכמות עם האיכות והאיכות עם הכמות ונחלק העולה מההכאה האחת על העולה מההכאה השנית

הנה היא מבוארת ג"כ ממה שקדם וזה שכבר קדם שעם הכאת האלכסונים ר"ל האיכות עם הכמות והכמות עם האיכות ישובו השברים המונחים המתחלפי האיכות שוי האיכות

והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות הנה דרך החלוק בהם אמנם הוא בשנחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש

משל זה אם רצית לחלק הו' שביעיות על הב' שביעיות

נחלק הו' על הב' ויצאו ג' וככה הוא היוצא מחלוקם זה על זה כי הב' שביעיות יכנסו תוך הו' שביעיות ג' פעמים

וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנשתמש בדרך חלוק השברים המתחלפי האיכות בשנשיבם שוי האיכות זה עם הכאת האלכסונים

אחר זה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש

ואין לטעון על זה בשנחסר שאמנם ישובו השברים המתחלפי האיכות שוי האיכות כאשר יוכו האיכויות זה עם זה לפי מה שקדם

אבל לא בזה המין שיוכו האלכסונים לבד כי אין ספק שגם בזה המין יוכו האיכויות זה עם זה ואף כי לא נזכר וזה למה שלא נצטרך להשתמש בחלוף עם העולה מהכאת האיכות עם האיכות כמו בשאר המינים

כי עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' שלישיות הנה יוכו האלכסונים ויעלו ט' וח' והט' יורו על ט' יביי"ם והח' יורו על ח' יביי"ם אשר שם היבייו"ת יצא מהכאת האיכות עם האיכות

וכאשר שבו הג' רביעיות והב' שלישיות לט' יביי"ם ולח' יביי"ם אשר הם שוי האיכות הנה אין ספק כאשר יחלק הכמות על הכמות שיהיה היוצא מהחלוקה הוא היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות וז"מ ש"ל

ואולם סבת הדרך השנית אשר ניחס המותר מהחלוק אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות ויצא לך המבוקש מבלתי התכה היא מבוארת ג"כ וזה שהמותר המתיחס אל המחלק הנה הוא שבר השבר לא כמו המותר המתיחס אל המחלק אשר בשלמים

כי במשלנו זה עד"מ אשר חלקנו הג' רביעיות על הב' שלישיות ויצא מהחלוק א' ושמינית אינו ר"ל שמינית השלם רק פי' שמינית הב' שלישיות אשר הוא המחלק במשלנו

והנה הוא שבר השבר וכבר קדם במין הכאת השברים שהתכת שבר השבר אל השבר אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות

הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנכה כמות השמינית עם כמות הב' שלישיות והאיכות עם האיכות ויהיה השבר היוצא מהם ב' חלקים מכ"ד

וכאשר היה זה כן הנה המותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות במשלנו יהיה השבר היוצא מהם הוא השבר הראשון בעינו ר"ל שהשבר הזה שהוא חלק א' מי"ב הוא השבר הראשון בעינו שהוא ב' חלקים מכ"ד

ואמנם יחויב זה לסבה כבר קדמה והוא שכבר קדם שהשבר כאשר יכה כמותו איכותו עם מספר מה הנה ההווה מהכאת כמותו עם המספר ההוא יהיה ההווה מהם הוא השבר הראשון בעינו

וא"כ יחויב לזה בהכרח שהשבר ההווה מהמותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות שהוא חלק אחד מי"ב שישוה לשבר ההווה מהעולה מהכאת המותר עם כמות הב' שלישיות כאשר ייוחס אל העולה מהכאת העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות עם כמות הב' שלישיות שהוא ב' חלקים מכ"ד אחר שהוא השבר ההווה מהכאת כמות הראשון ואיכותו עם כמות הב' שלישיות שהוא הב'

וזה שאין הבדל בין שנכה איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות והעולה עם כמות הב' שלישיות ובין שנכה כמות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות והעולה עם איכות הב' שלישיות וזהו מה שכווננו ביאורו

ואולם סבת הדרך השלישית בשתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה ניחסהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא הוא המבוקש מבלתי שתצטרך אל התכה ולא אל חלוק שני

הנה היא מבוארת גם כן אחרי נתינת סבת הדרך הרביעית

ודע שסבת הדרך הרביעית והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכו' המחלק ויצא לך המבוקש מבלתי שתצטרך להתכה ולא אל חלוק שני

הנה היא מבוארת והוא שהקדמונים למה שראו שאחרי חלק השברים על השברים יצטרכו לדעת מספר שברי המחלק שבתוך המחולק בשיכו החלק עם המחלק והעולה יחלקוהו על שבר אחד משברי המחלק והיוצא הוא המודיע מספרי שברי המחלק שבמחולק

המשל בזה אם רצית לחלק הח' תשיעיות על הב' שביעיות והנה עם החלוק הקודם בדרך הראשון יכו הח' עם הז' ויעלו נ"ו

והב' עם הט' ויעלו י"ח ויחלקו הנ"ו על הי"ח ויצאו ג' וב' חלקים מי"ח הנה לא נדע עם זה רק שהב' שביעיות יכנסו תוך הח' תשיעיות ג' פעמים וב' חלקים מי"ח חלקי הפעם

אבל לא ידעו מספר השביעית אשר בתוך הח' תשיעיות רק כשיכו הג' וב' חלקים מי"ח עם הב' שביעיות ויצאו קי"ב חלקים מקכ"ו

ואחרי כן יחלקום על השביעית האחד ויצאו ו' שביעיות וכ"ח חלקים מקכ"ו חלקי השביעית

ולמה שראו הטורח הגדול הזה ושלא יספיק רק בשיחלקום אחר זה על השביעית האחד לא רצו לחלק הח' תשיעיות עד"מ על הב' שביעיות תחלה אבל חלקוהו על השביעית הא' מתחלה

ולכן הכו הכמות המחולק שהוא הח' עם איכות המחלק שהם הז'

כי אין הבדל בזה הפועל בין שיחלקוהו על הב' שביעיות או על השביעית וחלקו העולה מהם שהם הנ"ו במשלנו על הט' שהוא איכות המחולק ולא הכו הט' עם כמות הב' תשיעיות שיעלה י"ח מפני שהחלוק הוא על השביעית האחד במשלנו

וכן בכל שאר השברים תמיד מחלקים אותו על השבר האחד ואחרי שכמות השבר המחלק הוא אחד לא נצטרך להכות איכות המחולק עם כמות המחלק כי הכאת האיכות עם הא' הוא האיכות בעצמו

ולכן כאשר יחלקו העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על איכות המחולק שהם הנ"ו ויצאו ששה שביעיות ושנים תשיעיות השביעית האחת זאת היא סבת הדרך הרביעית

וכאשר היה זה כן הנה כבר התבארה סבת הדרך השלישית גם כן והוא שאין הבדל בין הדרך השנית לשלישית כלל

אחר שהמחולק במשלנו בדרך הרביעית שהם הנ"ו והמחלק שהם הט' הוא המחולק והמחלק בדרך השלישית גם כן רק שהם מוכים עם איכות המחלק רוצה לומר עם הז' וזה שבדרך יוכו הנ"ו עם הז' ויעלו שצ"ב והט' גם כן יוכו עם הז' ויעלו ששים ושלשה ויחס השצ"ב אל הס"ג הוא כיחס הנ"ו אל הט' אחר ששניהם הוכו עם מספר אחד והוא הז'

כי כבר קדם שהשבר האחד כאשר יוכה כמותו ואיכותו עם מספר מה הנה השבר ההווה מההכאה הוא השבר הראשון

וכאשר היה זה כן הנה אין הבדל בין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה יחלקוהו על איכות המחולק ובין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה יחלקהו על העולה מהכאת איכו' המחולק עם איכות המחלק וז"מ ש"ל

ואולם סבות דרכי ההרכבות בעלות הב' מינים או הג' מינים אין צורך לכפלם כי כבר קדמה ידיעתם

ואולם סבת מאזני זה המין בשתכה החלק עם המחלק ויצא המחולק הנה כבר התבארה במאזני חלוק השלמים עם השלמים

ואולם סבת המאזנים השניים הנה כבר קדמה במין הכאת השברים עם השברים וזה שכבר קדם במאזנים הקודמים שכאשר יוכה החלק עם המחלק יצא המחולק בהכרח

וכבר התבאר בספר היסודות שכל יחס מספר אל מספר הוא מחובר משני יחסים ר"ל הווה מהכאת שני יחסים מיחס המספר הא' מהמספרים המונחים אל מספר מה איזה מספר היה ומיחס המספר ההוא אל המספר הב' מהמספרים המונחים

כמו עד"מ מספר ג"ד הנה יחס הג' אל הד'

וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שיהיה יחס כמות המחולק אל איכותו שהוא השבר המחולק הווה מהכאת יחס כמותו אל מספר מה עם יחס המספר ההוא אל איכותו

וכאשר נניח שיהיה היחס הא' מב' יחסים המוכים אשר יתהוה מהם יחס המחולק הוא יחס החלק אחר שכבר קדם שיחס המחולק הוא הוה מהכאת המחלק בחלק

ולזה הוצרכנו לבקש המספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אל איכותו מחובר מיחס כמותו אל המספר ההוא ומיחס המספר ההוא אל איכותו שיהיה מספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס המחלק עד שיחויב להיות יחס המספר ההוא אל איכותו הוא יחס החלק

וכבר הארכתי בביאור זה בהכאת השברים עיין שם

הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם

וכבר השלמנו הדבור בשברים לבד אשר הוא החלק הב' מג' חלקי המספר

ומעתה נתחיל בהודעת הדרכים המועילים בידיעת המינים הארבעה בשלמים עם השברים יחד

אחר שהוא המין השלישי משלשה מיני המספר

ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא

Section Three - Integers and Fractions

השער השלישי

ואחר שכבר דברנו בשאר מיני המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד

והודענו הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים בכל אחד ואחד מהם

והיה מהמחויב עלינו להודיע הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים אשר יהיו בשלמים ושברים יחד אחר שהוא המין הג' משלשה מינים הנה א"כ מהמחויב עלינו לדבר בהודעת זה המין גם כן

ואומר שהשברים כבר זכרנו במה שקדם שהם נחלקים לי"ב חלקים פשוטים ושהמורכבים מהם הם ע"ז

והוא מהמבואר שכל אחד מהמינים המורכבים בחבורם עם השלמים יחלקו לשנים חלקים

והם אם שיהיו ב' חלקיו יחד שלמים ושברים

ואם שיהיה החלק הא' מהם שלמים ושברים והאחר שברים לבד

ואם שיהיה החלק הא' שלמים ושברים ואחר שלמים לבד

ושכל אחד מהפשוטים ג"כ יחלקו לשנים חלקים והם אם שיהיה החלק הא' שברים והאחר שלמים לבד ויתחייב מזה שיהיה מספר המינים ההווים מהם ק"פ

ולהיות שכל אלו המינים אמנם יעלו אל י' מינים ראשונים

וזה שכבר קדם שכל הע"ח מינים המורכבים יותכו אל ג' מינים ראשונים

וכבר התבאר שבזה המין יחלק כל אחד מאלו המינים לד' חלקים

הנה מן המחויב הזה בהכרח שישובו הג' מינים הראשונים אשר יעלו עליהם שאר כל המינים לי"ב מינים ויפלו מהם ב' מינים להיותם משותפים עם האחרים וישארו י' מינים

הנה א"כ מהמחויב עלינו להודיע הדרך בידיעת אלו הי' מינים הראשונים לבד ובזה נגיע אל המכוון

ומעתה נתחיל בהודעת הדרך בידיעת מין הקבוץ בעזרת האל

Chapter One - Addition

הפרק הראשון במין הקבוץ

וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל החלקים הפשוטים אל הב' מינים מהם שהם שבר האחד ושבריו

ואולם הנשאר עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך בידיעת זה המין בכל הי' מינים הראשונים

ואומר שהדרך אל ידיעת הנה יתכן על ב' פנים

והם אם שתקבץ השלמים עם השלמים והשברים עם השברים והעולה מקבוץ השלמים עם השלמים נחברהו עם העולה מקבוץ השברים עם השברים והוא המבוקש

ואם שתתיך אותם אל שברים לבד ואחר זה נקבץ השברי' עם השברי' והעולה הוא המבוקש

אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר נתבאר בידיעת הדרך בקבוץ השלמים עם השלמים ובקבוץ השברים עם השברים

וכן האופן השני גם כן אין צורך לנו בביאורו אחר שכבר קדם ידיעת הדרך בקבוץ השברים עם השברים

ואולם הנשאר עלינו הנה היא הודעת הדרך בידיעת התכת השלמים ושברים אל השלמים לבד

ואומר שהדרך אל זה הוא בשתכה השלמים עם איכות השברים המחוברים עמם והעולה נקבצהו עם כמות השברים ההם ונניח תחתיהם איכות השברים ההם והיוצא הוא המבוקש

ונצייר לזה י' מינים מהי' מינים הראשונים והם אלו

ד

ג

ב

א

4	$\scriptstyle\frac{1}{3}$
4	$\scriptstyle\frac{1}{3}$

4	1 $\scriptstyle\frac{1}{3}$
4	$\scriptstyle\frac{4}{3}$

$\scriptstyle\frac{1}{4}$	1 $\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{1}{4}$	$\scriptstyle\frac{4}{3}$

1 $\scriptstyle\frac{1}{4}$	1 $\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{5}{4}$	$\scriptstyle\frac{4}{3}$

ח

ז

ו

ה

4	$\scriptstyle\frac{2}{3}$
4	$\scriptstyle\frac{2}{3}$

4	1 $\scriptstyle\frac{2}{3}$
4	$\scriptstyle\frac{5}{3}$

$\scriptstyle\frac{2}{3}$	1 $\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{2}{3}$	$\scriptstyle\frac{4}{3}$

1 $\scriptstyle\frac{2}{3}$	1 $\scriptstyle\frac{1}{3}$
$\scriptstyle\frac{2}{3}$	$\scriptstyle\frac{4}{3}$

י

ט

$\scriptstyle\frac{3}{4}$	1 $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{5}{3}$

1 $\scriptstyle\frac{3}{4}$	1 $\scriptstyle\frac{2}{3}$
$\scriptstyle\frac{7}{4}$	$\scriptstyle\frac{5}{3}$

הנה במין הראשון הכינו האחד השלם בג' והעולה חברנו עמו הא' שעליו ועלו ד' יחסנום אל הג' בעצמם שהם איכות השברים המונחים והם ד' שלישיות וכתבנום תחתיו וכן לחברו העומד בצדו ועלו ה' רביעיות וכתבנום תחתיו

וכן בכל המינים הנשארים דרך אחד לכל אחר זה נשתמש בקבוצם לפי מה שקדם בקבוץ השברים עם השברים אחר ששבו לשברים

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין

הנה אם רצית להשתמש עם האופן הא' הנה כבר ידעת מאזני השלמים עם השלמי' זה מאזני השברי' עם השברי'

ואולם אם רצית להשתמש עם האופן השני הנה כבר ידעת מאזני השברים עם השברים ולכן כבר יספיק לך מה שקדם לך מידיעתם

Chapter Two - Multiplication	הפרק השני במין ההכאה
	וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם
	ואולם מה שנשאר עלינו הנה לדבר הוא הודעת הדרך אל ידיעת אלו המינים הראשונים
	ואומר שהדרך אל ידיעתם הנה כבר יתכן גם זה על ב' הפנים הראשונים
	והוא אם שתכה השלמים עם השלמים ועם השברים והשברים עם השלמים והשברים והעולה מהכאתם הוא המכוון
	ואם שתתיך אותם אל השברים לבד ואחר זה יוכו השברים עם השברים והעולה הוא המכוון
	ודע שהאופן השני הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם ידיעת ההתכה גם ידיעת הכאת השברים עם השברים
	ואולם האופן הראשון הנה עניינו הוא בעצמו ענין ההתכה בלי שום שנוי כלל
	וזה שאין הבדל בין אמרך נכה השליש עם השלם הא' או עם השלמים הרבים ובין אמרך שליש השלם הא' או שליש השלמים הרבים
	כי כבר קדם שההכאה היא ההתכה ולכך יוכה כמות השברים עם כמות השלמים והעולה ייוחס אל איכות השברים ויגיע המבוקש
	ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
	הנה המאזנים אשר יאוזן בו הכאת השברים לבד עם השברים לבד יאוזן גם זה

Chapter Three - Subtraction	הפרק השלישי במין החסור
	וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם
	ואולם מה שנשאר עלינו הוא הודעת דרך ידיעת זה המין באלה המינים הראשונים
	ואומר שהדרך אל ידיעתם כבר יתכן ג"כ עם שני אופנים
	האופן הראשון הוא בשנתיך זה המין המורכב משלמי' ושברים אל שברים לבד ואחר זה נשתמש עם ידיעת חסור השברים מהשברים
	והאופן השני הוא בשנחסר השלמים מהשלמים והשברים מהשברים והנשאר הוא המבוקש
	אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם לנו עניינו
	ואולם אופן השני הנה נצטרך בזה לביאור
	ואם כבר קדם לנו חסור השלמים מהשלמים וחסור השברים מהשברים
	וזה כי חסור השלמים מהשלמים לבד או השברים מהשברים לבד כבר יתכן בקלות וזה בשנחסר המעט מהרב ונשמור השאר
	ואולם השלמים ושברים מהשלמים ושברים כבר יתכן שיהיו שלמי הנחסר ממנו יותר משלמי הנחסר
	ובשברים הפך זה ולכן יצטרך לביאור
	ואומר שאם רצית לחסר עם הדרך הזה הב' וחצי מהג' ושליש
	הנה נחסר החצי מהשליש ולהיות שלא יתכן זה כי החצי הוא גדול מהשליש על כן נחסר מהג' אחד ונתיכהו אל השלישיות והם ג' שלישיות ונחברהו עם השליש שבידנו ויהיו ד' שלישיות ומעתה נחסר החצי מהד' שלישיות עם דרך חסור השברים מהשברים וישארו ה' ששיות אחר זה נוסיף אחד על השני שלמים ויהיו ג' ונחסרם מהג' ולא ישאר דבר ולכן הנשאר מהם הוא הה' ששיות לבד וזהו המבוקש
	ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
	הנה עם רצית להשתמש עם האופן הראשון הנה הם מאזני חסור השברים מהשברים
	ואם רצית להשתמש עם האופן השני הנה הם מאזני חסור השלמים מהשלמים ומאזני השברים יאוזן גם זה
	ולכן כבר יספיק לך מידיעתם

Chapter Four - Division	הפרק הרביעי במין החלוק
	וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל השני מינים מהם
	ודע כי בזה המין לא יתכן להשתמש רק עם אופן ההתכה ר"ל שתתיך השלמים ושברים אל שברים לבד ותשתמש בחלוקם בדרך חלוק השברים על השברים
	ואולם עם האופן האחד והוא כשתחלק השלמים על השלמים והשברים על השברים לא יתכן כלל כי החלוק הוא המודיע יחס המספר האחד בכללו אל המספר האחד בכללו
	וזה האופן אמנם יודיע חלק המספר הקטן אל חלק המספר הגדול לא כלל המספר הקטן עם כלל המספר הגדול
	ולכן לא נשתמש בזה המין עם שני האופנים רק עם האופן הראשון בלבד
	והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא מאזני חלוק השברים על השברים
	ולזה כבר יספיק לך ממה שקדם בביאורו
	הנה כבר התבאר בידיעת זה המין בכל ד' מיני המספר שהם הקבוץ וההכאה והחסור והחלוק
	ובזה כבר השלמנו כל מה שיעדנו לדבר בידיעת ג' מיני המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד וחבור השלמי' והשברים יחד
	ומהנה נתחיל בביאור הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסא והתכונה
	ר"ל הדרושים אשר אינם למספר במה שהוא מספר ואם כבר יכנסו במספר באופן מה
	ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר להחל ולכלות

Book Two

המאמר השני

הכוונה בזה המאמר הוא להודיע הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסה והתכונה אף כי אינם למספר במה הוא מספר

וזה המאמר עוד יחלק לשלשה שערים

השער הראשון יודיע הדרך בידיעת ד' מיני המספר שהם הקבוץ והחסור וההכאה והחלוק בשברי התכונה

השער השני יודיע הדרך בידיעת מציאות שרשי המספרים ויסודות המעוקבים

השער השלישי יודיע הדרך בידיעת היחסים המספריים והיחסים ההנדסיים והיחסים המוסיקיים

אולם השער הראשון עוד יחלק לארבעה פרקים

הפרק הראשון יודיע קבוץ שברי התכונה

הפרק השני יודיע הכאתם הפרק השלישי יודיע חסורם

הפרק הרביעי יודיע חלוקם

ואולם השער השני יחלק עוד לשני חלקים

החלק הראשון יודיע שרשי המספרים

והחלק השני יודיע יסודות המעוקבים

אולם החלק הראשון יחלק עוד לשני פרקים

הפרק הראשון יודיע שרשי שלמי המספרים

הפרק השני יודיע שרשי השברים ושרשי השלמים ושברים יחד

ואולם החלק השני יחלק עוד לשני פרקים

הפרק הראשון יודיע יסודות שלמי המספרים

והפרק השני יודיע יסודות השברים לבד ויסודות השלמים והשברים יחד

ואולם השער השלישי יחלק עוד לשלשה פרקים

הפרק הראשון יודיע היחסים המספריים

הפרק השני יודיע היחסים ההנדסיים

הפרק השלישי יודיע היחסים המוסיקיים

Section One - Sexagesimal Fractions

השער הראשון

דע כי חכמי התכונה חלקו הגלגל החלק המקיף גלגל המזלות לי"ב חלקי' שוים

וקראו לכל חלק בשם התמונה שתחת החלק ההוא מתמונות חבור הכוכבים הקיימים הרשומים בגלגל המזלות

והנה החלק הראשון קראוהו מזל טלה בעבור היות תחתיו כדמות תמונת טלה מחוברת מחבור הכוכבים הרשומים בגלגל המזלות

והחלק השני קראוהו מזל שור בעבור היות בתוכו כדמות תמונת שור מחוברת מקבוץ הככבים הקיימים

והחלק השלישי קראוהו מזל תאומים לזאת הסבה בעינה

וכן החלק הרביעי קראוהו מזל סרטן

והחלק החמישי קראוהו מזל אריה

והחלק הששי קראוהו מזל בתולה

והחלק השביעי קראוהו מזל מאזנים

והחלק השמיני קראוהו מזל עקרב

והחלק התשיעי קראוהו מזל קשת

והחלק העשירי קראוהו מזל גדי

והחלק הי"א קראוהו מזל דלי

והחלק הי"ב קראוהו מזל דגים

ואולם הסבה אשר בעבורה חלקו הגלגל ההוא במספר י"ב משאר המספרי' הנה כבר כתבו הראשונים בזה ואמרו בעבור היות מספר הי"ב בעל חלקים רבים לא ימצא במספר קטן ממנו

וזאת הסבה בלתי מספקת כי מדוע לא חלקוהו לכ"ד חלקים שהוא יותר רב חלקים ממספר י"ב ואינו מספר גדול מאד עד שימנעו לחלקו בזה המספר כי הנה היום חלקוהו לכ"ד שעות ואין גודלו מונע

ועוד מדוע היתה הסכמת כל התוכנים בקריאת מזל טלה ראשון ומזל שור שני ולא ההפך

והם ישיבו בזה מפני שהוא ראשון להויות

כי בהכנס השמש בראש מזל טלה יתחילו הצמחים לצמוח ותדשא הארץ דשא עשב והדם ירבה בבעלי חיים אשר הוא סבת קיומם ולא כן בשאר המזלות עד שרוב דעות החכמים ז"ל הסכימו בהוית העולם ובריאתו שהיה בניסן בעבור זאת הסבה

א"כ זאת הסבה בעצמה תחזק ידינו בחלוק הגלגל לי"ב חלקים

כי בעבור שמצאו הקדמונים אלה החלקים מורים בעולם השפל שהוא עולם ההויה וההפסד פעלות מתחלפות אין הוראת החלק האחד מהם כהוראת החלק האחר

על כן חלקו הגלגל לי"ב חלקים כמספר ההוראות המורות בעולם

וקראו החלק שבו תמונת טלה ראשון בעבור היות פעלתו מורה להויה אשר הוא ראשית לנמצאות הטבעיות

עוד חלקו כל מזל ומזל לל' מעלות

וזה שמספר הש"ס הוא המספר היותר רב חלקים מכל שאר המספרים הגדולים ממנו והקטנים ממנו

כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וחמישית וששית ושמינית ותשיעית ועשירית ואינו חסר ממנו רק השביעית

ולא ימצא מספר שיש לו גם השביעית רק המספר שיוצא מהכאת הז' בש"ס והוא מספר שני אלפים תק"כ

וא"כ להיות שמספר הש"ס רק חלקים על כן חלקו כל הגלגל לש"ס חלקים

Therefore it follows that each sign has thirty parts, which they called degrees.

ויתחייב לזה שיהיה לכל מזל שלשים חלקים וקראום מעלות

They further divided each degree into 60 parts and called them minutes.

עוד חלקו לכל מעלה לס' חלקים וקראום ראשונים

Likewise, [they divided] each minute into 60 parts and called them seconds.

וכל ראשון לס' חלקים וקראום שניים

And each second into 60 parts and called them thirds.

וכל שני לס' חלקים וקראום שלישיים

And each third into 60 parts and called them fourths.

וכל שלישי לס' חלקים וקראום רביעיים

וכן בזה הדרך תמיד

והנה בעלי הלוחות ישתמשו בכל חשבונם בלוחות באלה החלקים הנזכרים

ר"ל שכאשר ירצו לכתוב מספר מה שהוא שלמים ושברים יחד יכתבו המעלות בשם שלמים והראשונים בשם שברים והשניים בשם שברי שברים וכן בזה הדרך לעולם

המשל בזה אם היה השמש במזל טלה בט"ו מעלות וחצי וחלק א' מס' של חצי

הנה יכתבו שהשמש במזל טלה בט"ו מעלות ל' ראשונים ל' שניים

ואולם חכמי המספר יכתבו בזה שהשמש במזל טלה בט"ו מעלות וס"א חלקים מק"כ חלקי הכל

והכל הולך אל מקום אחד

ולהיות שהדרך הזה משתנה מדרך חכמי המספר והיו הדרכים הראשונים אשר הזכרנו מידיעת הד' מינים הנזכרים שהם הקבוץ והחסור וההכאה והחלוק משתנים מהדרכים המודיעים אותם בשברים אשר השתמשו בהם חכמי התכונה

הנה א"כ מהמחויב עלינו להודיע הדרכים המודיעים הד' מינים הנזכרים בזה המין מהשברים גם כן ובזה יהיה המאמר הזה שלם בזאת החכמה

Chapter One - Addition

הפרק הראשון בידיעת קבוץ שברי התכונה

ואומר שכאשר רצית לקבץ ב' טורים או ג' טורים או כמה שהיו מהטורים האלה אשר הם מחוברים ממזלות מעלות ראשונים שניים שלישיים והדומים להם

הנה הדרך בידיעת זה הוא בשתסדר כל מין ומין מהם תחת מינו ר"ל המעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים וכן כלם

אחר זה תקבץ כל מין עם מינו ויושלך העולה לס' ס' אם היו ראשונים או שניים או זולתם מהמדרגות שאחר זה והנשאר שלא הגיע לכלל ס' יכתב תחת המין ההוא

אחר שתמשיך קו מבדיל בין הנקבצים למקובץ
וכל ס' וס' מהנשלכים יחשבו לאחדי המדרגה הקודמת לה וכן תמיד
עד שנגיע אל מדרגת המעלות ונשליכם ל' ל' והנשאר שלא הגיעו לכלל ל' נכתבנו תחת מדרגה ההיא וכמספר הפעמים הנשלכים מהל' ל' ככה נכתוב מהאחדים במדרגה הקודמת לה
אחר זה נקבץ כל המזלות והאחדים המונחים שם ונשליכם לי"ב י"ב ולא נכתוב אחדים כמספר הנשלכים מהי"ב י"ב כי אין מדרגה קודמת מהמזלות

וכן כזה הדרך בעצמו נעשה בקבוץ הימים והשעות והדקים והשניי' והשלישיים רק במקום שהשלכנו ל' ל' ממדרגת המעלות נשליך כ"ד בשעות ובמקום שהשלכנו י"ב י"ב ממדרגת המזלות נשליך ז' ז' בימים ובזה נגיע אל המבוקש

וכדי שנוסיף לזה ביאור נמשיל בזה משל אחד ובזה נגיע אל מכווננו גם יוודע ממנו אופן ההנחה והסדור

ראשונים

מעלות

מזלות

ראשונים

שעות

ימים

45

50

55

25

20

19

10

8

4

40

30

50

2

15

18

5

1

7

רע"ה מחזורים

י"ו שנים

חדש תשרי

30

6

0

13

0

והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שנשליך כל הנקבצים ממדרגה הזאת ט' ט' ונחשוב כל הנקדות אשר באותה המדרגה אחדים והנשאר שלא הגיעו לכלל ט' נשמרם

גם נקבץ המקובץ שהוא תחתיו עם הנקדות הרשומות במדרגה הקודמת ונחשוב לכל נקודה ז' אם היו נקבצי המדרגה ההיא שעות או ראשונים או שניים או שלישיים וכן לבלתי תכלית
ואם היו נקבצי המדרגה ההיא מעלות נחשוב לכל נקודה ג'
ואם היו הנקבצים ימים נקבץ הז' ז' הנשלכים עם המקובץ
ואם העולה מקבוצם לא יהיה שוהעם העולה מהנקבצים אחר שיושלכו מהם ט' ט' דע שתעית

ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הזאת גם סבת מאזניו הלא הם כתובי' במין קבוץ השלמים אין צורך לכפול המאמרים

Chapter Two - Multiplication	הפרק השני בידיעת מין ההכאה
	דע שההכאה שבשברי התכונה היא כמו ההכאה שבשברי המספר
	כי כמו שהכאת שברי המספר יחלק לשנים חלקים החלק האחד מצד הכמות והחלק השני מצד האיכות ויקרה להם בהכאתם מצד הכמות מה שיקרה למספר השלמים ר"ל שיתרבו בהכאתם ויקרה להם בהכאתם מצד האיכות הפך זה ר"ל שימעטו וישובו אל איכות פחות מאיכותם כן יקרה ג"כ להכאת שברי התכונה שיתחלק לשנים חלקים החלק הא' מצד הכמות והחלק הב' מצד האיכות ויתרבו מצד הכמות וימעטו מצד האיכות
	רק שאין המעוט אשר יקרה לשברי התכונה מצד האיכות כמו המעוט אשר יקרה לשברי המספר
	כי העולה מהכאת השלישיו' עם השלישיות בשברי המספר ישוב לתשיעיות והעולה מהכאת השלישיים עם השלישיי' בשברי התכונה ישוב ששיים
	וכן העולה מהכאת הרביעיו' עם הרביעיות שבשברי המספר ישוב לשש עשיריות והעולה מהכאת הרביעיים עם הרביעיים בשברי התכונה ישוב לשמניים
	והסימן לשברי המספר הוא העולה מהכאת האיכות עם האיכות
	ולשברי התכונה הוא העולה מקבוץ האיכות עם האיכות
	וכאשר היה זה כן הנה מהמחויב עלינו א"כ לסמן כל שבר ושבר משברי התכונה בשני סימנים סימן יורה בו על הכמות וסימן יורה בו על האיכות כאשר עשינו בשברי המספר
	כי עד"מ אם רצינו לכתוב ג' חמישיים נכתוב הג' ותחתיו הה' ויהיו הג' מורים על הכמות והה' על האיכות
	וכן אם רצינו לכתוב מ' שלישיים נכתוב מ' ותחתיו ג' ויהיו המ' מורים על הכמות והג' על האיכות
	וקצת מחכמי התכונה רצו לנהוג בהם מנהג השלמים בעצמו ר"ל שהסימנים ההודיים והדומים להם יורו בהם על הכמות והמדרגות יורו בהם על האיכות
	ר"ל שבמדרגה הראשונה יכתבו המזלות ובמדרגה השנית המעלות ובשלישית הראשונים וברביעית השניים וכן תמיד
	גם יש קצת מחכמי התכונה שיכתבו על כל אחד מהמינים סימנים ידועים יורו בהם לענינם
	ר"ל במזלות אם היה המזל טלה יכתבו עליו צורת טלה ובשור צורת שור וכן לכל אחד סימן צורתו
	וכאשר ירצו להורות על מזלות בכלל לא שיורו על מזל פלוני בפרט הנה יסמנו עליהם סימן חצי עגולה כמו תמונת ירחית
	ובשעות ישימו עליהם ב' נקודות
	ובמעלות יכתבו עליהם צורת גלגל עגול
	ובראשונים קו אחד ובשניים שני קוים וכן תמיד יכתבו הקוים בהתרבות המדרגות
	ולכן ברצותנו להכות מין אחד מהשברים עם מין האחר
	נכה הכמות עם הכמות והעולה נשמרהו והוא כמותם אחר כן נקבץ מדרגות השני שברים המוכים והעולה הוא איכותם והנה אם היו השמורים פחות מששים נשמרם בידינו והוא כמותם ואם היו ששים נחשבם לאחד גם נעתיק האיכות העולה מקבוץ מדרגותם אל המדרגה הקודמת ממנה ואם היו יותר מששים נחלקם על הששים והיוצא נעתיקנו אל המדרגה הקודמת גם נעתיק האיכות אל המדרגה הקודמת והנשאר מהחלוק יהיה במדרגת היוצא מקבוץ איכויות המדרגות המוכות וכן היוצא מהחלוק גם כן אם היו ס' נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונחשבנו לאחד ואם היו יותר מס' נחלקם עוד על הששים והיוצא נעתיקנו עוד אל המדרגה הקודמת והנשאר יהיה במדרגתו וכן תמיד עד שיגיע אל פחות מששים ואז יונח על מדרגתו ולא נעתיקנו אל המדרגה הקודמת
	המשל בזה אם רצית להכות ע' שלישיים על ע' רביעיים
	הנה נכה ע' על ע' ויעלו ד' אלפים תת"ק ונשמרם ואחר נקבץ מדרגות המוכים שהם השלישיים והרביעיים ויעלו שבעה ובזה ידענו שהד' אלפים תת"ק הם שבעיים ולהיות שהם יותר מס' נחלקם על הס' ויהיה היוצא פ"א והנשאר מ' וידענו שהם פ"א ששיים ומ' שביעיים עוד נחלק הפ"א על הס' ויהיה היוצא א' והנשאר כ"א וידענו שהם א' חמשיים כ"א ששים ונחבר עמהם המ' שביעיים שהיה לנו ויהיה הכל א' חמשיים כ"א ששיים ומ' שביעיים וזהו העולה מהכאת הע' שלישיים עם הע' רביעיים
	אולם אם רצית להכות הרבה מיני שברים עם הרבה מיני שברים הנה נסדרם על זה הדרך ונכה כל אחד מהמדרגות העליונות עם כל אחת מהמדרגות השפלות ונתחיל להכות מהמדרגות האחרונות כמו במשלנו זהו

'''''
'''''

'''''
''''

''''
''''

''''
'''

'''
'''

'''''

''''

'''

''

'

°

ᵓ

20
30

50
20

40
10

35
40

30
20

25
15

10

40

25
6
40
20

20
30
16
20
3
20
20
1

17
13
40
8
40
13
20
40
2

15
30
11
6
50
33
40
6
40
3

12
10
20
5
26
20
16
20
5
30

8
5
10
23
13
40
13
12
2

4
20
40
11
10
45
1

16
10
20
8
30

8

7

15

12

13

50

31

10

13

54

47

53

11

26

1

$\scriptstyle{\color{blue}{20^v\times30^v=600^x=\left(\frac{600}{60}\right)^{ix}=10^{ix}}}$	נכה הכ' חמשיים עם הל' חמשיים ויעלו ת"ר עשיריים כאשר ביארנו ונחלקם על הששים ויעלו י' והם תשעיים כאשר ביארנו
	ולזה כתבנו י' במקום התשעים תחת הקו הנמשך תחת הב' טורים
$\scriptstyle{\color{blue}{50^{iv}\times30^v=1500^{ix}=\left(\frac{1500}{60}\right)^{viii}=25^{viii}}}$	עוד נכה הנ' רביעיים עם הל' חמישיים ויעלו אלף ת"ק תשיעיים נחלקם על הס' ויעלו כ"ה שמיניי' ונכתבם במקום השמיניים
$\scriptstyle{\color{blue}{40'''\times30^v=1200^{viii}=\left(\frac{1200}{60}\right)^{vii}=20^{vii}}}$	עוד נכה המ' שלישיים עם הל' חמישיים ויעלו אלף ר' שמיניים נחלקם על הס' ויעלו כ' שביעיים ונכתבם במקום השביעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{35''\times30^v=1050^{vii}=\left(\frac{1050}{60}\right)^{vi}=17^{vi}+30^{vii}}}$	עוד נכה הל"ה שניים עם הל' חמשיים ויעלו אלף נ' שביעיים ונחלקם על ס' ויעלו י"ז ששיים ול' שביעיי' ונכתוב הי"ז במקום הששיים והל' במקום השביעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{30'\times30^v=900^{vi}=\left(\frac{900}{60}\right)^v=15^v}}$	עוד נכה הל' ראשונים עם הל' חמישיים ויעלו תת"ק ששיים נחלקם על הס' ויעלו ט"ו חמשיים ונכתבם במקום החמשיים
$\scriptstyle{\color{blue}{25\times30^v=750^v=\left(\frac{750}{60}\right)^{iv}=12^{iv}+30^v}}$	עוד נכה הכ"ה מעלות עם הל' חמשיים ויעלו תש"נ חמשיים ונחלקם על הס' ויעלו י"ב רביעיים ול' חמשיים ונכתוב הי"ב הרביעיים במקום הרביעיים והל' במקום החמשיים
	ואחר שהכינו הל' חמשיים עם כל המדרגות וכתבנו כל אחד במקום הראוי לו נשוב להכות הכ' רביעיים עם כל המדרגות והעולה נכתבנו במקום הראוי לו כפי מדרגתו כאשר עשינו עם הל' חמשיים
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times20^v=400^{ix}=\left(\frac{400}{60}\right)^{viii}=6^{viii}+40^{ix}}}$	נכה הכ' רביעיים עם הכ' חמשיים ויעלו ת' תשיעיים נחלקם על הס' ויעלו ו' שמניים ומ' תשעיים ונכתוב הו' במקום השמניים והמ' במקום התשעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times50^{iv}=1000^{viii}=\left(\frac{1000}{60}\right)^{vii}=16^{vii}+40^{viii}}}$	עוד נכה הכ' רביעיים עם הנ' רביעיים ויעלו אלף שמניים נחלקם על הס' ויעלו י"ו שביעיים ומ' שמניים נכתוב הי"ו שביעיים במקום השבעיים והמ' שמניים במקום השמניים
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times40'''=800^{vii}=\left(\frac{800}{60}\right)^{vi}=13^{vi}+20^{vii}}}$	עוד נכה הכ' רביעיים עם המ' שלישיים ויעלו ת"ת שביעיים נחלקם על הס' ויעלו י"ג ששיים וכ' שביעיים ונכתוב כל אחד במקומו הראוי לו ר"ל הששיים במקום הששיים והשביעיים במקום השביעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times35''=700^{vi}=\left(\frac{700}{60}\right)^v=11^v+40^{vi}}}$	עוד נכה הכ' רביעיים עם הל"ה שניים ויעלו ת"ש ששיים ונחלקם על הס' ויעלו י"א חמשיים ומ' ששיים ונכתוב כל אחד במקומו
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times30'=600^v=\left(\frac{600}{60}\right)^{iv}=10^{iv}}}$	עוד נכה הכ' רביעיים עם הל' ראשונים ויעלו ת"ר חמשיים ונחלקם על הס' ויעלו י' רביעיים ונכתבם במקום הרביעיים
$\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times25=500^{iv}=\left(\frac{500}{60}\right)'''=8'''+20^{iv}}}$	עוד נכה הכ' רביעיים עם הכ"ה מעלות ויעלו ת"ק רביעיים נחלקם על הס' ויעלו ח' שלישיים וכ' רביעיים ונכתבם כל אחד במקומו
	אחר זה נשוב להכות הי' שלישיים עם הכל והעולה נכתבנו במקומו הראוי לו וכן בכל אחד מהשברים המונחים שהם המ' והכ' והט"ו ואחר כל אלה נקבץ כל מדרגה ומדרגה בפני עצמה כפי מה שידעת בפרק הקודם בקבוץ שברי התכונה והעולה הוא המקובץ מהכאת הט"ו מעלות כ' ראשונים מ' שניים י' שלישיים כ' רביעיים ל' חמישיים עם הכ"ה מעלות ל' ראשונים ל"ה שניים מ' שלישיים נ' רביעיים כ' חמשיים
	וקצת מהראשונים נשתמשו בזה הדרך בדרך קצר מזה
	והוא שהם לא יחלקו העולה מהכאת המדרגה האחת עם האחרת ויכתבו כל א' במקומו הראוי לו כאשר ביארנו עד שיצטרכו בזה לחלוק שני
	אבל יכתבו כל העולה מבלתי שיחלקוהו על מקומו הראוי לו ואח"כ יחלקוהו
	המשל בזה במשלנו כאשר הכינו הל' חמשיים עם הכ' חמשיים ועלו ת"ר יכתבו הת"ר במקום העשריים וכן בזה הדרך לכלם אחר כן יקבצו כל מדרגה עם מינה ויחלקו העולה מכל מדרגה על ס' והיוצא יכתבוהו במדרגה הקודמת והנשאר שלא הספיק לס' יכתבוהו תחת מדרגתו הנקבצת
	וכדי להוסיף לזה ביאור נצייר הנה הצורה הקודמת ונכתוב בה העולה מהמונים לפי זה דרך

'''''
'''''

''''
'''''

''''
''''

'''
''''

'''
'''

'''''

''''

'''

''

'

°

ᵓ

20
30

50
20

40
10

35
40

30
20

25
15

600

1500

400

10

1200

1000

200

31

1050

800

500

800

40

900

700

400

2000

400

53

750

600

350

1600

1000

300

74

500

300

1400

800

750

77

250

1200

700

600

63

1000

600

525

46

500

450

36

375

16

13

50

31

10

13

54

47

53

11

26

1

גם יש דרך אחרת והיא דרך ארוכה והוא שתתיך כל מדרגות הטור העליון אל המדרגה האחרונה מהם

ואחר זה הכה העולה מהטור העליון עם העולה מהטור השפל והעולה שמרם
עוד קבץ איכות המדרגה האחרונה מהטור העליון ואיכות המדרגה האחרונה מהטור השפל והעולה מחבורם הוא איכות השמור שבידך
אחר זה נחלק השמור על הס' והמותר ניחסהו אל איכות המחולק והיוצא ניחסהו אל המדרגה הקודמת
עוד חלק היוצא על ס' והמותר ניחסהו אל איכות המחולק השני והיוצא ניחסהו אל המדרגה הקודמת
אחר זה נחלק היוצא על ס' וכן תמיד עד שיכלה אל מדרגת המעלות
והחלק היוצא מהחלוקה עוד יושלך י"ב י"ב והמותר שלא הגיע לי"ב הוא מזלות
והעולה מכל המדרגות הוא העולה מהכאת הטור העליון עם הטור השפל

המשל בזה במשלנו הקודם הכינו הכ"ה מעלות בס' ועלו אלף ת"ק ראשונים חברנו עליהם הל' ראשונים שהיה לנו ועלו אלף תק"ל ראשונים

עוד הכינו האלף תק"ל עם הס' ועלו צ"א אלפים ת"ת שניים
חברנו עליהם הל"ה שהיו לנו ועלו הכל צ"א אלפים ת"ת ל"ה שניים
עוד הכינו אלה בס' ועלו 5510100 שלישיים
חברנו עליהם המ' שלישיים ועלו הכל 5510140 שלישיים
עוד הכינו אלה בס' ועלו 330608400 רביעיים
חברנו עליהם הנ' רביעיים ועלו 33060850 רביעיים
עוד הכינו אלה בס' ועלו 19836507000 חמישיים
חברנו עליהם הכ' חמישיים ועלו 19836507020 חמישיים ונשמרם
עוד נשוב אל הטור השפל ונכה הט"ו מעלות עם הס' ויעלו תת"ק ראשונים
נחבר עליהם הכ' ראשונים ועלו תתק"כ ראשונים
הכינו אלה בס' ועלו נ"ה אלפים ר' שניים
חברנו עליהם המ' שניים ועלו נ"ה אלפים ר"מ שניים
עוד הכינו אלה בס' ועלו 3314400 שלישיים
חברנו עליהם הי' שלישיים ועלו 3314410 שלישיים
הכינו אלה בס' ועלו 198864600 רביעיים
חברנו עליהם הכ' רביעיים ועלו 198864620 רביעיים
עוד הכינו אלה בס' ועלו 11931877200 חמישיים
חברנו עליהם הל' חמישיים ועלו 11931877230 חמישיים ונשמרם בידינו
ונכה השמור עם השמור ויעלו 236686766434673154600 ולהיות שההכאה היתה חמשיים עם חמשיים יהיו העולים מהכאתם עשיריים
ואחר זה נחלקם אל הס' ויצאו בחלוק 3944779440577885910 והנה ישובו להיות תשיעיים מדרגה אחת קודמת
ולהיות שלא נשאר מותר בלתי מחולק על כן לא נכתוב עוד עשריים
עוד נשוב לחלק אלה על הס' ויצאו בחלוק 65745324009631431 והנה ישובו להיות שמיניים שהם מדרגה אחת קודמת
ולהיות שנשאר מותר בלתי מחולק נ' נכתוב נ' במדרגת התשיעיים ויהיו נ' תשיעיים כפי מדרגתם הקודמת
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 1095772066827190 והנה ישובו להיות שביעיים והמותר שהם הל"א הם שמיניים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת השמיניים
עוד נחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 18262867780458 והנה ישובו להיות ששיים והמותר שהם הי' יהיו שביעיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת השביעיים
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק 304381129674 וישובו להיות חמשיים והמותר שהם י"ג יהיו ששיים כאשר היו ולכן נכתוב הי"ג במדרגת הששיים
ונשוב לחלק עוד המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 5043018827 וישובו להיות רביעיים והנ"ד הנשארים מהחלוקה יהיו חמשיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת החמשיים
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק 84550313 וישובו להיות שלישיים והמ"ז הנשארים יהיו רביעיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת הרביעיים
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק אלף אלפים וארבע מאות ותשעה אלפים ומאה ושבעים ואחד וישובו להיות שניים והנשארים שהם כ"ג יהיו שלישיים כאשר היו
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק כ"ג אלפים תפ"ו וישובו להיות ראשונים והנשארים מהחלוק שהם הי"א יהיו שניים כאשר היו
עוד נשוב לחלק זה המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק שצ"א וישובו להיות מעלות והנשארים מהחלוק שהם הכ"ו יהיו ראשונים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת הראשונים
עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ל' בעבור שהם מעלות ויצאו בחלוק י"ג וישובו מזלות והנשאר שהוא האחד יהיו מעלות כאשר היו ולכן נכתבהו במדרגת המעלות
עוד נשליך מהי"ג מזלות שבידינו הי"ב בעבור שהם מזלות ויהיה הנשאר אחד וידענו שהם א' מזל ולכן נכתוב א' במדרגת המזלות ובזה כבר הגענו אל המכוון וזה מה שרצינו לבאר

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הנה אם רצית מאזני הדרך השלישי קח העולה מהכאת הטור העליון עם הטור השפל אחר שתתיכם אל מהדרגתם האחרונה כאשר הזכרנו ונחלקם על הטור האחד כפי דרך חלוק השלמים על השלמים ואם יצא הטור האחר בחלוק דע שצדקת ואם לאו כזבת

אחר זה תשתמש עם מאזני החלוק בשלמים למצוא אמתת החלוקים אשר נהיו בו ותדע האמת

ואולם מאזני הב' דרכים הראשונים הנה תחלק היוצא מהכאת הטור העליון עם הטור השפל על א' מב' הטורים הראשונים כפי חלוק שברי התכונה ואם יצא לך בחלוק הטור האחר דע שצדקת ואם לאו כזבת

ואולם אופן חלוק שברי התכונה בזולת ההתכה הנה יתבאר לך במקומו בעזרת האל

ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות הנה היא מבוארת ממה שקדם בהכאת שברי המספר אחר שנודיע שאין הבדל בין זה הפועל ובין פועל שברי המספר ואם הם מתחלפים

ובזה כבר יותר הספק הגדול אשר ספקו על זה המעיינים באמרם מדוע השתנה העולה מהכאת שברי התכונה מהעולה מהכאת שברי המספר שבשברי המספר ניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות ובשברי התכונה ניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות

אולם אנחנו כבר נתיר זה הספק בשנאמ' שאין הבדל בין העולה משברי התכונה לעולה משברי המספר כלל

וזה שכמו שהעולה משברי המספר אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות אם היה הכאת שבר עם שבר
או בשנכה הכמו' עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות אם היה הכאת שבר השבר עם שבר השבר או שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר
כן העולה משברי התכונה אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות אם היה הכאת שבר עם שבר
או בשנכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם כל האיכויות עד שיכלו כל האיכויות אם היה הכאת שבר השבר עם שבר השבר או שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר

ולכן בהכאת השליש עם השליש שבשברי המספר שפי' שליש השלם עם שליש השלם שהוא הכאת שבר עם שבר נכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות

ובהכאת השלישיי עם השלישיי שבשברי התכונה שפירושו שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר

כי הרצון שבשלישיים הוא בשנשבר המעלה שהיא במדרגת השלם לששיים ויקראו ראשונים בעבור שהיא שבירה ראשונה לשלם
אחר זה נשבר כל אחד מהששים הראשונים לששים שניים ויקראו שניים בעבור שהיא שבירה שנייה כי היא שבירת השבר לא שבירת השלם
אחר זה נשבר כל אחד מהששים שניים לששים שלישיים ויקראו שלישיים להיות השבירה שלישית כי היא שבירת שבר השבר
וכן בכל המדרגות הנמשכות דרך אחד לכל ר"ל שכלם יקראו בשם מספר השבירות ושהשמות המורות על איכויותיהם אינם איכויות מורות על מספר שברי השלם אמנם הם מורים על מספר השבירות לא על מספר השברים

הנה א"כ יחוייב לזה בהכרח שהכאת השלישיי עם השלישיי שבשברי התכונה אחר שהוא הכאת שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר שנכה הכמות עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות ובזה נגיע אל המבוקש

ולהיות שכל איכויות שברי התכונה המורות על מספר שברי השלם אשר הם האיכויות המוכות זה עם זה כמשפט איכויות המספר אמנם הם כמספר איכויות הס'

אחר שכל חלוקי חכמי התכונה הם על ס' כמו שקדם והיו השמות המורות עליהם כשם השניים והשלישיים ודומיהם אמנם הם מורים על מספר השבירות כמו שקדם
הנה מן המחויב מזה בהכרח שהעולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר שברי השלם האחד שוה לעולה מקבוץ מספר שבירות המכים עם מספר שבירו' המוכים אשר הם המורים עליהם כשמות השניים והשלישיים ודומיהם

המשל בזה אם רצית להכות שלישיי עם שלישיי

הנה אחר שהוא הכאת שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר לפי מה שקדם והיה איכות כל אחד ואחד מהם מהאיכויות המורות על מספר השברי' אמנם הוא מספר הס' לפי מה שקדם הנה אם כן ראוי שיסודרו על זה הדרך

\scriptstyle\frac{1}{60}

\scriptstyle\frac{1}{60}

\scriptstyle\frac{1}{60}

\scriptstyle\frac{1}{60}

\scriptstyle\frac{1}{60}

\scriptstyle\frac{1}{60}

כי אמרנו נכה השלישיי עם השלישיי הוא אמרנו נכה ששמי"י של ששמי"י של ששמי"י עם ששמי"י של ששמי"י של ששמי"י

וארצה בששמי"י אחד מששים חלקי השלם
אחר זה נכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והם א' במשלנו זה ונשמרהו
אחר זה נכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם אלו 46656000000
ניחס השמור אליהם וההווה הוא העולה מהכאת השלישיי עם השלישיי
שהוא הכאת הששמי"י של ששמי"י של ששמי"י עם הששמי"י של ששמי"י של ששמי"י
וזה ההווה הוא שוה להווה מהכאת הס' בס' והעולה בס' והעולה בס' והעולה בס' והעולה בס' שהם ששיים לפי מה שקדם
וזהו ההוה מקבוץ הג' עם הג' אשר השלישיו' נגזר מהם

הנה כבר הודעתי לך בזה שאין הבדל כלל בין ההווה מהכאת שברי המספר להווה מהכאת שברי התכונה

ושהדרך בשניהם אחד
ושזה הספק אשר ספקו בזה המעיינים הוא הטעאיי לקוח ממקום התמורה
ר"ל שלקחו השמות המורות על מספר השבירות תמורת השמות המורות על מספר השברים

אלא שנשאר למעיין לבקש הסבה אשר בעבורה חויב להיות העולה מהכאת האיכות עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות מהאיכויות המורות על מספר השברים שוה לעולה מקבוץ האיכות עם האיכות מהאיכויות המורות על מספר השבירות אלא שכבר נודעה מכלל דברינו

והוא שאחר שהעולה מהכאת האיכות עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות הוא העולה מהכאת הששים עם הששים עד שיכלול כל הששים המונחים לפי מה שקדם מההנחה הקודמת ומספרי הששים יחויב שיהיו כמספר העולה מקבוץ איכות השבר המכה עם איכות השבר המוכה מהאיכויות המורות על מספר השבירות אשר הם מספר הששים כי מספר השבירות הם הם בעצמם מספרי הששים

הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שיהיה העולה מהכאת מספרי הששים אשר הוא העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר השברים כמשפט שברי המספר שוה לעולה מקבוץ האיכות עם האיכות מהאיכויות המורות על מספר השבירות

ולזה יהיה העולה מהכאת השלישיי עם השלישיי דרך משל כאשר יוכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר השברים שהוא מספר 46676000000 כאשר ניחס אליו האחד שהוא ההווה מהכאת הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות הוא שוה לששיי אחד ששם הששיי הוא מספר ההוה מהכאת מהכאת הס' עם הס' והעולה עם הס' עד שיכלו ששה פעמים ס' אשר הוא קבוץ השלשה עם השלשה אשר הם מספרים הנגזרים מהם שם השלישיים

אלא שחכמי התכונה קצרו הדרך ולא רצו להכות הא' עם הס' והעולה עם הס' והעולה מהם ייחסו אליו ההווה מהכאת הכמות עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות אחר שידענו שההווה מהכאת הס' עם הס' והעולה עם הס' עד שיכלו הכל בהכרח שיהיה הסך ההוא הוא השבר הנקרא בשם קבוץ המספרים הנגזרים מהם שמות השברים המורים על מספר השבירות

וכבר הארכנו בביאורו למה שספקו הראשונים וזה מה שרצינו לבאר

ואולם סבת מציאות העולה מהכאת שברים רבים עם שברים רבים בשנכה כמות כל אחד מהם עם כל הכמויות וההוה מכל הכאה והכאה נכתבנה במקומה הראוי לה

הנה כבר התבארה במה שקדם בזה המין מידיעת העולים מכל הכאה והכאה מהם ומקום הנחתו מצורף עם ידיעת הכאת השלמים עם השלמים ר"ל ממה שהתבאר שם שראוי להכות כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המכים וכן סבת הדרך השנית גם כן כי אין הבדל ביניהם כלל רק באורך ובקצור

ואולם סבת דרך ההתכה הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם וזה שאחר שעם ההתכה ישובו מיני השברים המונחים למין אחד הנה שבנו אל הכאת מין אחד עם מין אחד וכבר קדמה הסבה אין צורך לכופלה

ואולם סבת מאזני זה המין הנה כבר קדמה במאזני חלוק השלמים על השלמי' ומאזני חלוק השברים על השברים אין צורך לכופלה

Chapter Three - Subtraction

הפרק השלישי במין החסור

והדרך בידיעת זה המין בשנסדר הטור העליון מדרגת המעלות לבד ומדרגת הראשונים לבד ומדרגת השניים לבד כל אחד ואחד לפי מדרגתו

אחר זה נסדר הטור השפל בשנניח כל מין ומין תחת מינו ר"ל המעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים וכן ללא תכלית

ואחר זה תמשיך קו א' ותתחיל מהמדרגה האחרונה שבטור השפל וחסר אותה מהמדרגה שכנגדה מהטור העליון והנשאר כתבהו תחת הקו המבדיל כנגד אותה המדרגה וכן תמיד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה

ואם המדרגה השפלה גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה אף כי הטור העליון בכללו יותר גדול מהטור השפל בכללו הנה תחסר המדרגה השפלה מס' והנשאר חברהו עם המדרגה העליונה שכנגדה והעולה כתבהו תחת הקו כנגד המדרגה ההיא

וכאשר תרצה לחסר המדרגה הקודמת ממנה מן המדרגה העליונה שכנגדה חסר מהעליונה אחד ואחר זה תחסר ממנה המדרגה השפלה אם היתה המדרגה העליונה גדולה ממנה

ואם היתה קטנה ממנה תנהיג הדרך הקודם ר"ל בשתחסר המדרגה השפלה מס' והנשאר חברהו עם המדרגה העליונה אחר שתחסר ממנה הא' והעולה כתבהו תחת הקו כנגד המדרגה ההיא וכן תמיד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה

וכדי להרחיב בזה באור אחוק הנה צורה אחת תכלול כל מיני החלופים ובזה תגיע אל המכוון

''''

'''

''

'

°

30

40

50

57

20

10

5

3

30

50

52

9

2

הנה להיות שאין שום מספר כתוב במדרגה השפלה שכנגד המדרגה העליונה כתבנו המדרגה העליונה בעצמה תחת הקו המבדיל כנגד המדרגה האחרונה בלי שום תוספת וחסרון

אחר זה נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ולהיות שהיא גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה חסרנוה מס' ונשארו בידינו י' חברנום עם המ' שבמדרגה העליונה ועלו נ' וכתבנום תחת המדרגה ההיא
עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וגם היא גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה ולכן חסרנוה מהששים ונשארו בידינו שלשה חברנום עם החמשי' שבמדרגה העליונה שכנגדה והיו נ"ג חסרנו מהם א' ונשארו נ"ב וכתבנום תחת הקו כנגד המדרגה ההיא
עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וחסרנוה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונשארו עשרה חסרנו מהם אחד ונשארו תשעה וכתבנום תחת המדרגה ההיא
עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וחסרנוה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונשארו ב' וכתבנום תחת המדרגה ההיא
ובזה כבר ידענו שכאשר חסרנו ג' מעלות עשרה ראשונים נ"ז שניים נ' שלישיים מהה' מעלות ב' ראשונים נ' שניים מ' שלישיים ל' רביעיים יהיו הנשארים ב' מעלות ט' ראשונים נ"ב שניים נ' שלישיים ל' רביעיים וז"מ ש"ל

ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא הקבוץ ר"ל שכאשר תקבץ הטור השלישי עם הטור השני אם יצא לך הטור הראשון דע שצדקת ואם לאו כזבת

ואולם סבת מציאות זה המין וסבת מאזניו הלא הם כתובים בחסור השלמים מהשלמים אין צורך לכפול המאמרים

Chapter Four - Division

הפרק הרביעי במין החלוק

והדרך בידיעת זה המין הוא בשנחלק הכמות עם הכמות כמשפט כמו השלמים על השלמים והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה

אחר זה חסר המספר הנגזר ממנו איכות המחלק מהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק והנשאר הנה האיכות הנגזר ממנו הוא איכות השבר היוצא מהחלוקה

ואם היה המספר הנגזר ממנו איכות המחלק שוה למספר הנגזר ממנו איכות המחולק דע כי איכות השבר היוצא מהחלוקה הוא מעלות בהכרח

ואולם אם היה המספר הנגזר ממנו איכות המחלק גדול מהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק הנה לא יתכן שיחולק המחולק ההוא על המחלק ההוא כלל רק בשנתיך המחולק אל האיכות השוה לאיכות המחלק בשנכהו עם הס' והעולה ירד מדרגה אחת

ואם איכותו שוה לאיכות המחלק הנה כבר יחלק הכמות ההווה מהמחולק על כמות המחלק והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה ואיכותו הוא מעלות כמו שקדם

ואם האיכות ההווה מהכאת המחולק עם הס' הוא בלתי שוה לאיכות המחלק עוד נכה המחולק עם הס' והעולה ירד מדרגה אחרת בהכרח

וכן תמיד עד שישוה איכות המחולק לאיכות המחלק ואז יחלק כמות המחולק על כמות המחלק והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה ואיכותו הוא מעלות בהכרח כמו שקדם אחר שהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק שוה למספר הנגזר ממנו איכות המחלק

ואמשיל הנה שלשה משלים מתחלפים לג' מינים מתחלפים

משל הראשון הוא אם רצית לחלק כ' שניים על ט"ו ראשונים הנה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא א' וה' חלקים מט"ו

והנה חסרנו המספר הנגזר ממנו איכות הראשונים שהוא א' מן המספר הנגזר ממנו איכות השניים שהם כ' והנשאר הוא א' אשר שם הראשונים נגזר ממנו

ולכן ידענו שהאחד היוצא מהחלוקה הוא ראשון אחר זה להיות שהנשארים מהחלוקה הם ה' ולא יוכלו להחלק על הט"ו נכם עם הס' והם ש'

ולהיות שהה' הנשארים הם שניים אחר שהם שארית הכ' שניים יהיו הש' בהכרח שלישיים מפני שהוכו עם הס' וירדו מדרגה אחת נחלקם על הט"ו ראשונים ויצאו כ' ונחסר המספר הנגזר ממנו איכות הראשונים שהוא א' מהמספר הנגזר ממנו איכות השלישיים שהוא ג' וישארו ב' ולכן ידענו שהכ' היוצאים בחלוקה השנית הם שניים

וכבר היה בידינו ראשון א' הנה א"כ היוצא מחלוק הכ' שניים על הט"ו ראשונים הם ראשון א' וכ' שניים והם מורים על שהכ' שניים הם חלק א' מששים חלקים של ט"ו ראשונים וחלק אחד מהק"ף חלקים של ט"ו ראשונים או בשיגיע לכל שני ושני משניי הט"ו ראשונים חלק א' מששים חלקי השני וחלק א' מק"פ חלקי השני

ומשל השני הוא אם רצית לחלק כ' ראשונים על ט"ו ראשונים הנה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא אחד וה' חלקים מט"ו

ולהיות שאיכות המחלק אם מחולק שוים הנה היוצא בהכרח מעלות

ולכן ידענו שהא' היוצא מהחלוקה הוא מעלה אחת

אחר זה נכה הה' הנשארים מהחלוקה בס' ואחר שהם שהכית הם ראשונים יהיו הה' בהכרח ראשונים והש' ההוים מהכאת הה' בס' היו בהכרח שניים נחלקם על הט"ו ראשונים ויצאו כ' נחסר איכות הראשוני' מאיכות השניים וישארו ראשונים

ולזה ידענו שהכ' היוצאי' מהחלוק השני הם ראשונים וכבר היה בידינו מעלה אחת

הנה ידענו שהיוצא מחלוק הכ' ראשונים על הט"ו ראשונים הם מעלה אחת וכ' ראשונים והם מורים על שהכ' ראשונים הם כמו הט"ו פעם אחת שלמה ושליש הפעם או כשיגיע לכל ראשון וראשון מהט"ו ראשונים ראשון אחד ושליש

ומשל המין הג' הוא אם רצית לחלק כ' מעלות על ט"ו ראשונים

הנה להיות שאיכות המחולק גדול מאיכות המחלק לא יוכל להחלק רק בשנתיך הכ' מעלות אל הראשונים עד שישוה איכות המחולק לאיכות המחלק

וזה בשנכם עם הס' ויעלו אלף ומאתים ראשונים נחלק כמות המחולק על כמות המחלק ויצאו פ' ולהיות איכות המחלק והמחולק שוים הנה יחויב לזה בהכרח שיהיו הפ' היוצאים מהחלוקה מעלות והם מורים על שהכ' מעלות הם כמו הט"ו ראשונים שמונים פעם או בשנגיע לכל ראשון וראשון מהט"ו ראשונים שמונים ראשונים

ואולם אם רצית לחלק הרבה מיני שברים על הרבה מיני שברים

הנה נסדר המחולק בטור העליון ותהיה הנחת מדרגותיו בהפך הנחת המדרגות בשאר המינים הג' כי בכל המינים האחרי' יונחו ראשונה המזלות ואחריו המעלות ואחריו הדקים ואחריו השניים ואחריו השלישיים

ובזה המין יונחו הפך זה כי יונחו השלישיים ראשונה ואחריו השניים ואחריו הראשונים ואחריו המעלות ואחריו המזלות

ואחר זה תסדר תחתיו תחת הטור כל מין כנגד מינו ר"ל המזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות וכן כלם כל א' כנגד מינו

ואחר זה תמשיך קו וכתוב תחתיו הטור השלישי היוצא בחלוק

ותנהיג החלוק לפי מה שידעת מידיעת חלוק השלמים על השלמים עם מה שידעת מהכאת שברי התכונה עם שברי התכונה

והמדרגה הראשונה מהטור הג' שהוא המזלות אם היו שם מזלות או המעלות אם היו שם מעלות וכן כל מדרגה היוצאה בחלוק ראשונה תונח תחת המדרגה הדומה לה מהטור הראשון שהוא המחולק ובזה תגיע אל המכוון

ונמשיל לזה משל א' ויהיה המשל הראשון אשר המשלנו במין ההכאה בשנשים הטור השלישי ממנו אשר הוא העולה מההכאה ראשון ותחתיו הטור האחר מהשני טורים המוכים ויהיה היוצא בחלק הטור האחר כזה

ולהיות שהמזלות הם במדרגת השלמים הוצרכנו להתיך הי"ג מזלות שבטור הג' מההכאות אל המעלות עלו ש"כ

חברנום עם המעלה הא' שבמדרגת המעלות ועלו שצ"א
וכתבנום במדרגת המעלות בטור הראשון שבזה המין
ואולם שאר מדרגות הטור השלישי מההכאה הם הם בעצמם מדרגות הטור הראשון בזה המין בבלתי שנוי כלל
וכן מדרגות הטור השני מההכאה הם הם בעצמם מדרגות הטור השני בזה המין
אחר בקשנו המספר היותר קרוב אשר יוכו בו כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהם שיחוסר ממדרגות הטור הראשון והוא מספר כ"ה וכתבנום בטור השלישי כנגד מדרגת המעלות שבסדר הראשון
הכינו הכ"ה שבטור השלישי עם הט"ו שבטור השני ועלו שע"ה מעלות
כי העולה מהכאת המעלות עם המעלות הם מעלות
גרענום מהמעלות שבטור הראשון ונשארו י"ו וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשארים
הכינו עוד הכ"ה עם הכ' שבטור השני ועלו ת"ק ראשונים
כי העולה מהכאת הראשונים עם המעלות הם ראשונים
חלקנום על הס' ויצאו ח' מעלות וכ' ראשונים
גרענום הח' מעלות מהי"ו מעלות הנשארים והכ' ראשונים מהנ"ו ראשונים שבטור העליון וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשארים
עוד הכינו הכ"ה מעלות שבטור הג' עם המ' שבטור השני ועלו אלף שניים
כי העולה מהכאת המעלות עם השניים הם שניים
חלקנום על הס' ויצאו י"ו ראשונים מ' שניים
ולהיות שהראשונים שבידינו הם ו' לבד נעזרנו מהמעלות שבידינו בשלקחנו א' מהח' הנשארים והתכנוהו ועלו ס' ראשוני'
חברנוהו עם הו' ראשונים שבידינו ועלו ס"ו ראשונים
גרענו מהם הי"ו ראשונים ונשארו נ' ראשונים
ובעבור שאנחנו צריכים לגרוע מ' שניים מהשניים שבידינו שבטור העליון שהם י"א והנה א' מהנ' ראשונים וכתבנוהו אל השניים והם ס' שניים
חברנום עם הי"א שניים ועלו ע"א
גרענו מהם המ' שניים ונשארו ל"א שניים וכתבנום במדרגת השניים למעלה כמשפט
עוד הכינו הנ"ה עם הי' שבטור השני ועלו ר"נ
ובעבור שהם מעלות עם שלישיים יהיו היוצאים שלישיים בהכרח
וכאשר חלקנום על הס' יצאו בחלוק ד' שניים י' שלישיים
גרענו מהנ"ג שלישיים שבטור העליון י' שלישיים ונשארו מ"ג וכתבנום למעלה כמשפט
גם גרענו מהל"א שניים הנשארים ד' שניים ונשארו כ"ז שניים וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו הכ"ה מעלות עם הכ' רביעיים שבטור השני ועלו ת"ק
ובעבור שהם מעלות עם רביעיים יהיו רביעיים
חלקנום על הס' ויצאו ח' שלישיים כ' רביעיים
חסרנו הכ' רביעיים מהמ"ז רביעיים שבטור העליון ונשארו כ"ז וכתבנום למעלה כמשפט
גם גרענו הח' שלישיים מהמ"ג שלישיים הנשארי' ונשארו ל"ה וכתבנו' למעלה כמשפט
עוד הכינו הכ"ה מעלות עם הל' חמישיים ועלו תש"נ
ובעבור שהם מעלות עם חמישיים יהיו חמישיים
חלקנום על הס' ויצאו י"ב רביעיים ל' חמישיים
חסרנו הל' חמישיים מהנ"ד חמישיים שבטור העליון ונשארו כ"ד וכתבנום למעלה כמשפט
גם חסרנו הי"ב רביעיים מהכ"ז רביעיים הנשארים ונשארו ט"ו רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט
עוד בקשנו המספר היותר קרוב שיוכו בו מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהם שיחוסר מחסור הראשון או מהנשארים הכתובים שם והוא מספר ל'
ולהיות שמספר כ"ה המבוקש הקודם היו מעלות הנה יהיו אלה הל' ראשונים ונכתבם תחת הראשונים שבטור העליון
אחר זה שבנו לבקש המספר היותר קרוב שיוכו בו כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה שיחוסר מהטור הראשון או מהנשארים שם והוא מספר ל"ה
ולהיות שמספר המבוקש הקודם היה ראשונים יתחייב שיהיה זה המספר שניים ונכתבנו תחת השניים שבטור העליון
עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור הראשון או מהנשארים שם והוא מספר מ'
ולהיות שהמבוקש הקודם היה שניים יתחייב שיהיה זה המספר שלישיים ונכתבנו תחת השלישיים שבטור העליון
עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק שיחוסר העולה מהכאתם מהטור העליון או מהנשארים והוא מספר נ'
ובעבור שהמספר הקודם המבוקש היה שלישיים ידענו שזה המספר רביעיים וכתבנום תחת הרביעיים שבטור העליון
עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק שיחוסר העולה מהכאתם מהטור השני או מהנשארים והוא מספר כ'
ובעבור שהמספר הקודם המבוקש היה רביעיים ידענו שזה המספר הוא חמישיים וכתבנוהו תחת החמישיים שבטור העליון
ולהיות שלא נשאר בטור העליון דבר בלתי מחולק ידענו שכבר נשלם החלוק
הנה כבר חלקנו הטור השלישי מטור ההכאה על הטור הא' מהשני טורים המוכים ויצא לנו הטור האחר בלתי תוספת ומגרעת

ולכן יהיה מין החלוק מאזני ההכאה ומין ההכאה מאזני החלוק אם לא ישאר דבר מהטור העליון בלתי מחולק

ואולם אם ישאר דבר בלתי מחולק הנה נכה הטור המחלק עם הטור שיצא בחלוק והעולה נוסיף עליו החלקים הבלתי כל א' עם מינו ואם לא יהיה העולה שוה עם הטור העליון שהוא המחולק דע שכזבת

זהו המין האחד מהחלוק

ואולם אם רצית להשתמש בדרך חלוק השלמים על השלמים הנה כבר תוכל לעשות זה בשתתיך הטור המחולק אל המין היותר קרוב פחות שבשברים וכן המחלק

המשל בזה הנה הטור הג' הנמשל במין ההכאה כאשר התכנוהו עלו 236686766434673154600 עשיריים ונשמרם

וכן הטור הב' אשר הוא אחד מב' הטורים המוכים אשר עליו חלקנו זה הטור שהוא הט"ו מעלות כ' ראשונים מ' שניים וי' שלישיים כ' רביעיים ל' חמישיים כאשר התכנוהו עלו 11931877230 חמישיים ונשמרם
חלקנו השמור הראשון על השמור השני והיוצא מהחלוק הוא זה 19836507020
גרענו איכות החמישיים מאיכות העשיריים ונשארו חמישיים ובזה ידענו שהיוצא בחלוק הוא חמישיים
חלקנום על הס' ויצאו מהחלוק כ' חמישיים 3336608450 רביעיים
עוד חלקנו הרביעיים על הס' והיוצא מהחלוק נ' רביעיים ומספר 5510140 שלישיים
עוד חלקנו השלישיים על הס' ויצא מהחלוק מ' שלישיים ומספר צ"א אלפים ת"ת ל"ה שניים
עוד חלקנו השניים על הס' ויצא מהחלוק נ"ה שניים ומספר אלף תק"ל ראשונים
חלקנו אותם על הס' ויצא לנו מהחלוק ל' ל' ראשונים וכ"ה מעלות וזהו המבוקש

ומאזני הדרך הראשון מזה המין הוא הדרך הראשון מן ההכאה

ומאזני הדרך השני מזה המין הוא הדרך השני מן ההכאה

הנה כבר התבאר לך דרך ידיעת זה המין בב' אופנים וזה במספרים הנחלקים בכללם ר"ל שלא ישאר בהם דבר בלתי מחולק

ואולם המספרי' הבלתי נחלקים בכללם אבל ישאר בהם דבר בלתי מחולק אם רצית לדעת החלק היותר קרוב להם הנה נצטרך לזה ידיעה נוספת על הידיעה הקודמת

ואבאר זה עם ב' האופנים הקדומים

וזה בשאביא משל אחד בלתי כלה חלוקתו ואודיע החלק היותר קרוב לזה בב' אופנים ובזה תוכל להקיש לזולתו

ואומר שאם רצית לחלק עד"מ מספר ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים ל' רביעיים על מספר ה' מעלות. ב' ראשונים ו' שניים

הנה אם רצית לחלקו עם האופן הקודם והוא שלא תצטרך להתכה כלל הנה הדרך בידיעת זה הוא בשתסדר המדרגות לפי מה שקדם כזה

0

15

5

0

40

46

2

0

4

5

25

91

59

6

0

4

6

56

4

2

0

2

4

10

6

30

0

1

13

306

12

9

12

0

3

8

4

58

48

30

°

'

''

'''

''''

'''''

''''''

'''''''

אחר זה נבקש מספר שיוכה עם כל מדרגו' הטור השני שהוא המחלק שיספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון והוא מספר ג' וכתבנוהו תחת הקו כנגד המעלו'

הכינוהו עם החמשה מעלות שבטור הב' ועלו ט"ו חסרנום מהט"ו מעלות שבטור העליון ומחקנום להורות שלא נשאר כלום
אחר זה הכינו הג' עם הב' ראשונים שבטור הב' ועלו ו' חסרנום מהמ"ו ראשונים שבטור העליון ונשארו מ' וכתבנום עליהם להורות על הנשאר
אחר זה הכינו הג' עם הו' שניים ועלו י"ח גרענום מהנ"ט שניים שבטור העליון ונשארו מ"א וכתבנום למעלה כמשפט
עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר ח' וכתבנוהו תחת הקו כנגד הראשוני'
הכינוהו עם הה' מעלות ועלו מ' ראשונים גרענום ממ' ראשוני הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט
גם הכינו הח' עם הב' ראשונים ועלו י"ו שניים גרענום ממ"א שניי הטור העליון ונשארו כ"ה וכתבנום למעלה כמשפט
גם הכינו הח' עם הו' שניים ועלו מ"ח שלישיים גרענום מהנ"ב שלישיי הטור העליון ונשארו ד' וכתבנום למעלה כמשפט
עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסרו מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר ד' וכתבנום תחת קו השניים
הכינו עם הה' מעלות ועלו כ' שניים גרענום מכ"ה שניי הטור העליון ונשארו ה' וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו הד' עם הב' ראשונים ועלו ח' שלישיים גרענום מג' הטור העליון ולהיות שהם ד' לבד ולא יספיק לגרוע מהם ח' גרענו מהה' שניים א' וכתבנו למעלה ד' להורות על הנשאר
והתכנו הא' הלקוח לס' שלשיים וחסרנו מהם הה' שלישיים שבידינו והנשאר נ"ב חסרנום עם הד' שלישיים הנתוכים שם ועלו נ"ו וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו הד' עם הו' ועלו כ"ד רביעיים וגרענום מהל' רביעיי הטור העליון ונשארו ו' וכתבנום למעלה כמשפט
עוד בקשנו שיוכה עם כל מדרגות המחלק שיספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר נ"ח וכתבנום תחת הקו כנגד השלישיים . הכינום עם הה' מעלות ועלו ר"ץ שלישיים
חלקנום על ס' ועלו ד' שניים נ' שלישיים גרענו הד' שניים מד' שניי הטור העליון ולא נשארו כלום ומחקנום כמשפט
גם גרענו הנ' שלישיי מנ"ו שלישיי הטור העליון ונשארו ו' שלישיים וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו הנ"ח עם הב' ראשונים ועלו ק"א רביעיים
חלקנום על ס' ויצאו שלישיי א' ונ"ו רביעיים
ולהיות שהרביעיי הטור העליון הם ו' לבד ולא יספיק לגרוע מהם נ"ו רביעיים על כן גרענו כ' שלישיים משלישיי הטור העליון ונשארו ד' וכתבנום למעלה כמשפט
גרענו מהב' שלישיים שגרענו מהם א' שלישיי בעבור הא' שלישיי שבידינו
גם התכנו השלישיי הא' אל ס' רביעיים וגרענו מהם הנ"ו רביעיים שבידינו ונשארו ד' רביעיים
חברנום עם הו' רביעיים שברביעיי הטור העליון ועלו ו' רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו הנ"ח עם הו' שניים ועלו שמ"ח חמישיים חלקנום על ס' ויצאו ה' רביעיים ומ"ח חמישיים
ולהיות שאין לנו חמישיים כלל נגרע ו' רביעיים מרביעיי הטור העליון ונשארו ד' רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט
וגרענו מהם הה' רביעיים שבידינו גם התכנו הא' אל ס' חמישיים וגרענו מהם המ"ח חמישיים שבידינו ונשארו י"ב חמשיים וכתבנום במקום החמישיים
עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר מ"ח וכתבנום תחת הקו כנגד הרביעיים
הכינום עם הה' מעלות ועלו ר"מ רביעיים
חלקנום על ס' ויצאו ד' שלישיים גרענום משלישיי הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט
עוד הכינו המ"ח עם הב' ראשונים ועלו צ"ו חמישיים
חלקנום על ס' ויצאו רביעיי אחד ול"ו חמישיים
ולהיות שלא יספיקו החמישיים שבידינו לגרוע מהם ל"ו הנה גרענו כ' רביעיים מרביעיי הטור העליון ונשארו כ' וכתבנום למעלה כמשפט
גרענו מהם רביעיי א' שבידינו גם התכנו הא' אל ס' חמישיים וגרענו מהם הל"ו חמישיים שבידינו ונשארו כ"ד חמישיים
חברנום עם הי"ב חמישיים שבטור העליון ועלו ל"ו וכתבנום למעלה כמשפט
עוד הכינו המ"ח על הו' שניים ועלו רפ"ח ששיים חלקנום על ס' ויצאו ד' חמישיים ומ"ח ששיים
ולהיות שאין לנו ששיים לקחנו מהחמישיים שבטור העליון ה' ונשארו ל"א חמישיים וכתבנום למעלה כמשפט
וגרענו מהם הד' חמישיים שבידינו גם התכנו הא' על הס' וגרענו מהם המ"ח חמישיים ונשארו י"ב ששיים וכתבנום למעלה כמשפט
עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם לגרוע מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו שהוא מספר ל' וכתבנום תחת הקו כנגד החמישיים
הכינום עם הה' מעלות ועלו ק"נ חמישיים
חלקנום על ס' ועלו ב' רביעיים ל' חמישיים גרענו הב' רביעיים מרביעיי הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט
גם גרענו הל' חמישיים מחמישיות הטור העליון ונשאר א' וכתבנוהו למעלה כמשפט
עוד הכינו הל' עם הב' ראשונים ועלו ס' ששיים
חלקנום על ס' ויצא חמישיי א' גרענוהו מהחמישיים שבטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט
עוד הכינו הל' עם הו' שניים ועלו ק"פ שביעיים חלקנום על ס' ויצאו ג' שלישיים
גרענום מששיי הטור העליון ונשארו ט' ששיים וכתבנום למעלה כמשפט
וכן בזה הדרך תוכל לכתוב תמיד ולא תסור לעשות זה עד שתכלה החלוקה ולא ישאר דבר בטור העליון אם היה אפשר זה

ואולם אם הוא בלתי אפשר הנה כל עוד שתרבה האותיות המבוקשו' תתקרב אל האמת

הנה זה האופן הראשון מהשני אופנים

ואולם אם רצית להשתמש בזה עם האופן השני תתיך המחולק אל האיכות היותר פחות מהם ויעלו 204551550 רביעיים והוא המחולק

גם תתיך המחלק אל האיכות הפחות שבו שניים י"ח אלפים קכ"ו וזה המחלק
חלקנו המחולק על המחלק כדרך השלמים על השלמים ויצא בחלוק י"א אלפים רפ"ד גם נשארו בלתי מחולקים י"ז אלפים תשס"ו
ולהיות שהמחולק הוא רביעיים והמחלק שניים חסרנו איכות המחלק מאיכות המחולק והנשאר שניים
ולכן ידענו שהיוצא בחלוק הוא שניים חלקנום על ס' ויצאו קפ"ח ראשונים ונשארו ד' שניים
ושמרנו הד' שניים גם חלקנו הקפ"ח ראשונים על ח' ויצאו ג' מעלות ונשארו ח' ראשונים
וכבר היו לנו ד' שניים הרי כבר יש בידינו ג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים
ושבנו לחקור הבלתי מחולק שבידינו שהוא מספר י"א אלפים תשס"ו
והכינום עם הס' ועלו אלף אלפים ס"ה אלפים תתק"ס והם חמישיים לפי שהיו רביעיים והוכו עם הס' והותכו אל מדרגה אחת פחותה ממנה
חלקנום על המחלק שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצאו לנו מהחלוק נ"ח והם שלישיים מפני שהמחולק חמישיים והמחלק שניים
וכאשר גרענו איכות השניים מאיכות החמישיים יהיה הנשאר שלישיים ושמרנום
עוד בקשנו לדעת הנשאר מזה החלוק השני שהוא י"ד אלפים תרנ"ב והם חמישיים אחר שהם שארית המחולק שהוא חמשיים
הכינום עם הס' ועלו ת"תע"ט אלפים ק"כ והם ששיים
חלקנום על המחלק הידוע לנו שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצא לנו מהחלוק מ"ח והם רביעיים מפני שהמחולק ששיים והמחלק שניים
וכאשר גרענו איכות השניים מהששיים יהיה הנשאר רביעיים ושמרנום
עוד בקשנו לדעת הנשאר מזה החלוק השלישי שהוא תשעה אלפים ע"ב והם ששיים אחר שהם שארית המחולק שהוא ששיים
הכינום עם הס' ועלו תקמ"ד אלפים ש"כ והם שביעיים
חלקנום על המחלק הנודע שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצא לנו מהחלוק ל' והם חמישיים
מפני שהמחולק הוא שביעיים והמחלק הוא שניים וכאשר גרענו איכות השניים מהשביעיים יהיו הנשארים חמישיים ושמרנום
הרי שהשמורים שבידינו הם ג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים נ"ח שלישיים מ"ח רביעיים ל' חמישיים

וזהו בעצמו היוצא לפי האופן הראשון

ובזה הדרך תוכל לעשות תמיד עד שתכלה החלוקה אם היה זה אפשר או להתקרב אל היותר קרוב שתרצה

כי כפי רבוי החלוקים נתקרב אל האמת ואם לא נגיע אל תכליתה

אחר זה שבנו לראות המותר מהחלוק אם הוא שוה למותר מהחלוק עם האופן הראשון הנה הנשאר הוא ת"ק

חלקנום על ס' ויצאו לנו מהחלוק ט' והם ששיים
אחר שהנשאר הוא שביעיים מפני שהוא שארית המחולק שהוא שביעיים וכאשר חלקנום על הס' עלו מדרגה אחת

וככה הוא הנשאר גם כן לפי האופן הראשון

הנה כבר בארתי לך הב' אופנים שבזה המין והראיתיך שהיוצא משניהם אחד בין במספרים הבעלי תכלית החלוק ובין במספרים הבלתי בעלי תכלית החלוקה

ואולם מאזני זה המין במספרים הבלתי בעלי תכלית החלוקה הנה כבר הזכרתי לך הדרך אל ידיעתם ר"ל בשנכה החלק עם המחלק ונחבר עם היוצא מהכאתם הנשאר מהחלוק והעולה אם לא ישוה למחולק דע שטעית

וזהו בשני האופנים יחד כי במשלנו זה לפי האופן נכה המחלק שהוא הה' מעלות וב' ראשונים וו' שניים עם החלק שהוא הג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים נ"ח שלישיים מ"ח רביעיים ל' חמישיים והעולה הוא ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים כ"ט רביעיים נ"ה חמישיים נ"א ששיים חברנו עמהם הט' ששיים שנשארו בלתי מחולקים והנה העולה ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים ל' רביעיים וזהו המחולק

ואולם לפי האופן השני הנה נכה המחלק שהוא י"ח אלפים קכ"ו עם המחלק שהוא י"א אלפים רפ"ד והנה העולה 204533784

חברנו עמהם י"ז אלפים תשס"ו ועלו 204551550 וזהו המחולק בעצמו

ואולם סבת מציאות זה המין בשנחלק הכמות על הכמות והיוצא ניחסהו אל האיכות הנשאר מחסור איכות המחלק מאיכות המחולק אם היה איכות המחלק קטן מאיכות המחולק

או יהיה היוצא מעלות אם היה איכות המחלק שוה לאיכות המחולק

הנה היא מבוארת אחר שנקדים הקדמה אחת והיא שהוא מן המבואר בעצמו לפי מה שקדם שהחלק היוצא מהחלוקה בין בשלמים בין בשברי המספר בין בשבר התכונה הוא מורה על מספר הפעמים אשר יכנס המחלק במחולק

וששם הפעמים השלמים יכונה בשם שלמים
ושם הפעמים הבלתי שלמות יכונה בשם שברים
וזה בחלוק השלמים על השלמים ובחלוק השברים על השברים

אולם בחלוק שברי התכונה על שברי התכונה הנה יכונה שם הפעמים השלמות בשם מעלות

יען שהמעלות לתוכנים הם במקום השלמים למספריים

ושם הפעמים הבלתי שלמות יכונה בשם שברי התכונה כמו הראשונים והשניים והדומים להם

ולכן בחלוק השלמים על השלמים אם היה המחולק גדול מהמחלק הנה החלק היוצא מהחלוקה הוא שלמים והוא מורה על הפעמים השלמות אשר יכנס המחלק במחולק

והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק

ואם היה המחולק קטן מהמחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק

ובחלוק השברים על השברים הנה אם היו שברי המחולק ממין שברי המחלק והיה כמות שברי המחולק יותר מכמות שברי המחלק הנה החלק היוצא מהחלוקה הוא שלמים והוא מורה על הפעמים השלמות אשר יכנס המחלק במחולק

כמו עד"מ אם רצית לחלק ק"ה חצאים על י' חצאים או ק"ה שלישיים על י' שלישיים וכן בכל מין ומין

הנה היוצא מהחלוקה שהוא הי' וחצי הם שלמים והם מורים על שי' וחצי פעמים שלמות יכנסו תוך הק"ה שלישיים והי' חצאים תוך הק"ה חצאים וכן בכל מין ומין

ואם היה כמות שברי המחולק פחות מכמות שברי המחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק

כמו אם רצית לחלק ה' חצאים על י' חצאים או ה' שלישיים על י' שלישיים

הנה השבר ההווה מיחס המחולק למחלק הוא מורה על שחצי פעם יכנסו הי' חצאים תוך הה' חצאים או הי' שלישיים תוך הה' שלישיים וכן בכל מין ומין

ואם היו שברי המחולק מין אחד ממין שברי המחלק והיה כמות שברי המחולק יותר מכמות שברי המחלק

הנה אם היה מין שברי המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם עצמו או עם מין אחר הנה החלק היוצא מהחלוקה יהיה המין המוכה עם מין המחלק בהכרח

אחר שהכאת המחלק עם החלק יצא המחולק והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק הוא מורה על שבר מין הפעם אשר יכנס המחלק במחולק

משל זה אם רצית לחלק ק"ה ששיים על י' שלישיים

הנה הי' וחצי היוצאים בחלוקה מורים על שי' וחצי חצאי הפעמים יכנס המחלק במחולק

וזה שהוא מן המבואר שהששיים יולדו מהכאת החצאים עם שלישיים

ואחר שהיה המחלק שלישיים הנה בהכרח שיהיה החלק חצאים והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק שהוא החצי מורה על שהמחלק יכנס במחולק עוד חצי חצי הפעם ר"ל רביע הפעם

ואם היה כמות שבר המחולק פחות מכמות שברי המחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר המין המוכה עם מין המחלק הנולד מהכאתם מין המחולק אשר יכנס המחלק תוך המחולק

כמו עד"מ אם רצית לחלק ה' ששיים על שלישיים

הנה השבר ההווה מיחס הה' אל הי' שהוא חצי הוא מורה על שחצי חצי הפעם ר"ל רביע הפעם יכנס המחלק במחולק

ולא היה מין שברי המחולק נולד מהכאת שום מין עם עצמו או עם זולתו ר"ל כשהיה מין שברי המחולק איכות נגזר ממספר ראשון

או אם היה מין המחלק מין אחד משני המינים המוכים אשר יולד מהכאתם מין המחולק הנה לא שיחלק המחולק ההוא על המחלק רק אחרי התכת המחלק והמחולק אל מינים שוים או מתחלפים כשיהיה מין המחלק אחד מהשני מינים המוכים אשר יולד מהכאתם מין המחולק ההוא

וכאשר היה זה כן הנה כבר התבארה סבת חלוק שברי התכונה תכלית ביאור וזה שכבר קדם במין הכאת שברי התכונה שאין הבדל כלל בין הכאת שברי התכונה לשברי המספר

ושההווה מהכאת שברי המספר הוא ההווה מהכאת הכמות עם הכמות בשניחס העולה מהם אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות
ושההווה מהכאת שברי התכונה הוא ההווה מהעולה מהכאת הכמות עם הכמות שבשני יחסהו אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות

וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחויב בחלוק שברי המספר שיהיה החלק היוצא מהחלוק מורה על מין הפעמי' אשר יוכה מין המחלק ויולד מין המחולק כמו שקדם

ואם היה מין המחולק בלתי נולד מהכאת מין המחלק עם מינו ולא עם זולתו הנה לא יתכן שיחלק המחולק ההוא על המחלק כלל רק בשיותכו אל מינים אחרים אשר יתכן שיולד המין ההווה מהמחולק מהכאת המין ההווה מהמחלק עם מינו או עם זולתו

כן יחויב בחלוק שברי התכונה לזה הצד בעינו שיהיה החלק היוצא מהחלוקה מורה על המין אשר יקובץ עם מין המחלק ויולד מקבוצם מין המחולק

ואם היה מין המחולק בלתי נולד מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם זולתו הנה לא יתכן שיחלק המחולק ההוא על המחלק ההוא בהכרח אלא אחרי ההתכה ר"ל בשנתיך מין המחולק או מין המחלק או שניהם עד יתכן זה בם ר"ל שיולד מין המחולק מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם זולתו

ולזה כבר יחויב בהכרח שאם היה מין המחולק שוה למין המחלק רצוני לומ' אם רצית לחלק ראשונים על ראשונים או שניים על שניים או שלישיים על שלישיים

וכן בכל המינים שיהיה המין היוצא מהחלוקה מעלות בהכרח מפני שההוה מקבוץ מין המעלות עם קבוץ מין המחלק הוא מין המחולק בעצמו ר"ל שההווה מקבוץ המעלות עם מין הראשונים הם ראשונים ועם מין השניים הם שניים וכן כלם

ואם היה מין המחולק מתחלף ממין המחלק והיה מין המחולק קטון ממין המחלק שאז יהיה מין המחולק נולד מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם מין אחר כמו אם רצית לחלק שניים על מעלות או על ראשונים או שלישיים על מעלות או על ראשונים או על שניים וכן בכל החלופים

הנה בהכרח שיהיה המין הפעמי' היוצא מהחלוקה הוא המין אשר בקבוצו עם מין המחלק יולד מין המחולק בהכרח ר"ל שבחלוקת השניים על המעלות יולדו שניים וכן בכל מיני החלופים כלם דרך אחד להם

ולכן יחויב לזה בהכרח שנחסר מין המחלק ממין המחולק והמותר הוא מין החלק בהכרח אחר שההווה מקבוץ המותר עם קטן השני מספרים הנחסרים זה מזה הוא המספר הגדול בעינו

ואם היה מין המחולק מתחלף ממין המחלק והיה המין המחולק גדול ממין המחלק שאז לא יתכן למין המחולק להולד מקבוץ מין המחלק לא עם מינו ולא עם זולת מינו

כמו אם רצית לחלק ראשונים על שניים או על שלישיים או על זולת זה מהמינים הנמשכים

או אם רצית לחלק שניים על שלישיים או על רביעיים וכן כלם

הנה לא יתכן להחלק המחולק על המחלק כלל רק בשנתיך מין המחולק אל מין המחלק

או בשנשיב מין המחלק אל מין המחולק אם אפשר ואז יהיה היוצא מהחלוקה מעלות כמו שקדם

ושהמותר מכל מין ומין מהחלוקים כאשר יתיחס אל המחלק הנה השבר ההווה מהם הוא מורה על שבר מין הפעם האחת כמו שקדם זה בשברי המספר

המשל בזה הנה אם רצית לחלק ק"ה שניים על י' ראשונים

הנה היוצא מהחלוקה הוא י' וחצי והנה הי' מורים על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי ראשוני הפעם ר"ל י' וחצי חלקים מששים חלקי הפעם כי שם הראשונים לתוכנים מורים על הששימיי"ם שקטן זה היחס הוא ששית אחד וחלק אחד מק"כ נמצא שהי' ראשונים נכנסים תוך הק"ה שניים ששית הפעם וחלק א' מק"כ וכן הוא האמת

כי הי' ראשונים כאשר נתיכם אל השניים השוים למין המחולק הנה יעלו ת"ר שניים וששיתם הם ק' שניים והחלק הא' מק"כ הם ה' הרי ק"ה שניים שהוא המחולק

וכן אם רצית לחלק הק"ה שלישיים על הי' ראשונים

הנה הי' וחצי היוצאים מהחלוקה מורים אז על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי שניי הפעם ר"ל י' וחצי חלקים מג' אלפים ת"ר שקטן זה היחס הוא חלק אחד מש"ס וחלק אחד מז' אלפים ר' וכן הוא כי הי' ראשונים יותכו אל הת"ר שניים והת"ר שניים יותכו אל הל"ו אלף שלישיים והחלק אחד מש"ס הם ק' שלישיים והחלק הא' מז' אלפים ר' הם ה' שלישיים הרי ק"ה שלישיים שהוא המחולק

וכן אם רצית לחלק הק"ה ראשונים על הי' ראשונים הנה הי' וחצי היוצאים מהחלוקה מורים אז על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי מעלות הפעם ר"ל י' וחצי פעמים שלמות כי שם המעלות לתוכנים מורים על השלמים

ואולם אם רצית להשתמש על השבר ההווה מיחס המותר אל המחלק עשם מספר שלם הנה כבר קדם שתכה המותר כמו הה' במשלנו בס' ויעלו ש' ואלה הש' ירדו מדרגה אחת

ר"ל שאם היה המחולק ראשונים יהיו אלה שניים
ואם היה המחולק שניים יהיו אלה שלישיים וכן תמיד אחר שהוכו עם ס'
אחר זה נחלקם על המחלק ויחוייב מזה שיהיו היוצאים מהחלוקה הזאת מדרגה אחת פחותה ממדרגת היוצא מהחלוקה הראשונה
וזה מבואר מאד אין צורך להאריך בו

ואם יאמר אומר שזאת הסבה הנזכרת אמנם היא סבת ידיעת השבר היוצא מהחלוקה בשיהיה פעם ראשונים ופעם שניים ופעם

שלישיים וכן תמיד לא סבת ידיעת כמות השבר היוצא מהחלוקה

וזה שלאומר שיאמר כי כמו שהכמות היוצא מחלוקת שבר המספר אמנם הוא בשנחלק העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק לא מחלוק כמות המחולק על כמות המחלק כן בחלוק שברי התכונה אין ראוי שנחלק כמות המחולק על כמות המחלק ויצא כמות החלק אבל ראוי שנחלק העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק

הנה התשובה בזה מבוארת והוא שכבר קדם שהשברים המספריים ג"כ כאשר יהיו המחולק והמחלק שוי האיכות אין צורך בהכאת האלכסונים כלל ר"ל הכמות עם האיכות רק נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא כמות החלק כמו שקדם בחלוק הק"ה חצאים על הי' חצאים או הק"ה שלישיות על הי' שלישיות וכן כלם

ולא בשוי האיכות בלבד אבל גם במתחלפי האיכות כאשר יהיה איכו' המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם מינו או עם מין זולתו כמו שקדם בחלוק הק"ה רביעיות על הי' חצאים או הק"ה ששיות על הי' שלישיות

ואולם כאשר יהיו מתחלפי האיכות ולא יהיה איכות המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם מין אחר הנה לא יתכן שיחלקו כלל רק בשנתיך האחד מהם או שניהם להשיבם שוי האיכות ושהכאת האלכסונים ישיבם שוי האיכות כמו שקדם בחלוק שברים המספריים

וכאשר היה זה כן הנה א"כ אין הבדל בזה כלל בין השברים המספריים ובין השברים התוכניים ר"ל שכאשר יהיו השברים התוכניים ג"כ שוי האיכות ר"ל איכות המחלק והמחולק הנה אין צורך להכאת האלכסונים רק נחלק הכמות כמו שנעשה זה בשברים המספריים

וכאשר היו השברים התוכנים גם כן מתחלפי האיכות אבל יהיה איכות המחולק נולד מקבוץ איכות המחלק עם איכות החלק היוצא מהחלוקה הנה אין צורך גם כן להכאת האלכסונים רק נחלק הכמות על הכמות כמו שנעשה זה בשברים המספריים

וכאשר היו השברים מתחלפים והיה איכות המחולק בלתי נולד מקבוץ איכות המחלק עם איכותו ולא עם איכות זולתו

הנה כמו שבשברים המספריים לא יתכן שיחלק המחולק על המחלק רק אחרי ההתכה המשיבה אותם שוי האיכות כן בשברים התוכניים גם כן לא יתכן שיחלק המחולק על המחלק רק אחרי ההתכה המשיבה אותם שוי האיכות

וכמו שהדרך המביאה אל שוי האיכות בשברים המספריים הוא בהכאת האלכסונים כן בשברים התוכניים גם כן הדרך המביאה אל שוי האיכות הוא בהכאת האלכסונים

ולהיות שאיכות השברים התכוניים המורים על מספר חלקי השלם לא על מספר השבירות אמנם הם מספר הששים תמיד כמו שקדם בסבת הכאת השברים התוכניים הנה יכו כמות המחולק עם הס' שהוא איכות המחלק המורה על מספר חלקי השלם כמו בשברים המספריים והעולה נחלקהו על כמות המחלק כמו בשברים המספריים רק שבשברים המספריים נחלק העולה על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק

ואולם בשברים התוכניים לא נצטרך בזה הטורח אחר שאין הבדל בזה בין שנכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה עם הס' והעולה נחלקהו על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק ובין שנכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה לא נכהו עם הס' רק נחלקהו על כמות המחולק בלתי מוכה עם איכות המחולק שהוא הס'

כי יחס המחלק הבלתי מוכה עם הס' אל המחולק הבלתי מוכה עם הס' הוא כיחס העולה מהכאת המחלק עם הס' אל העולה מהכאת המחולק אל הס'

כי יחס השיעורים קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת כאשר יהיו שוי הכפלים כמו שהתבאר בספר היסודות

וכאשר היה זה כן והיה מהמחויב עלינו להכות כמות המחולק עם איכות המחלק שהם הס' והעולה עם הס' אחר שהמחלק הוא מדרגה אחת שפלה לפחות ממדרגת המחולק

ואם כן הוא שבר השבר וכבר קדם ששבר השבר אמנם יותך אל השבר כשנכה האיכות עם האיכות והכמות עם הכמות וההווה נחלקהו על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק שהוא הס'

הנה מן המחויב לזה בהכרח שנכה כמות המחולק עם הס' והעולה נחלקהו על כמות המחלק ובזה נגיע אל המכוון כאלו הכינו כמות המחלק עם איכות המחולק וכמות המחולק עם איכות המחלק כמו שעשינו בשברים המספריים

המשל בזה אם רצינו לחלק ל' ראשונים על י' שניים

הנה יסודרו לפי הנחת השברים המספריים על זה הסדר

$\scriptstyle\frac{1}{60}$	$\scriptstyle\frac{10}{60}$	$\scriptstyle\frac{30}{60}$

הנה הל' ראשונים אחר שהיא שבירה ראשונה והוא מורה על שבר נכתוב תחתיו ס' להורות על מספר חלקי השלם כמשפט השברי' המספריים

והי' שניים אחר שהיא שבירה שנייה והוא מורה על שבר השבר הנה נכתוב תחתיו ס' להורות על מספר חלקי השלם כמשפט
גם נכתוב בצדו השבירה הראשונה שהוא אחד מששים כמשפט הנחת שברי השבר
אחר זה נכה האיכות עם האיכות שהוא ס' בס' ויעלו ג' אלפים ת"ר
גם נכה הכמות עם הכמות שהוא הי' עם הא' ויעלו י' ניחס הי' אל הג' אלפים ת"ר והוא ההווה מהתכת שבר השבר אל השבר כמשפט
אחר זה נכה האלכסונים ר"ל כמות הל' עם איכות הג' אלפים ת"ר וכמות הי' עם איכות הס'
ונחלק העולה מהכאת הי' עם הס' על העולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר זהו מנהג השברים המספריים לפי מה שקדם

ואולם מנהג התוכנים בזה המין להכות כמות הל' עם איכות הס' והעולה יחלקוהו על כמות הר' ולא יצטרכו להכות הל' עם הג' אלפים ת"ר ולא הי' עם הס'

כי אין הבדל בין שני המנהגים כלל וזה שכבר קדם שיחס השיעורים קצתם אל קצת כאשר היו כפליהם שוים

וכאשר היה זה כן והיה ההבדל אשר בין מנהג התוכנים למנהג המספרים אמנם הוא בשמחלק התוכנים הם הי' במשלנו ומחלק המספריים הוא העולה מהכאת הי' עם הס'

והנה ההבדל אשר בין המחלק למחלק הוא ס' כפלים

ומחולק התוכנים הוא העולה מהכאת הל' עם הס' ומחולק המספריים הוא העולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר'

וכבר קדם שאין הבדל בהכאות בין שנכה הל' עם הס' והעולה עם הס' ובין שנכה הל' עם העולה מהכאת הס' עם הס' שהם הג' אלפים ת"ר

הנה אם כן יחויב לזה בהכרח שישוה העולה מהכאת הל' עם הס' והעולה עם הס' לעולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר

וכאשר היה זה כן הנה יחוייב שיהיה מחולק התוכנים העולה מהכאת הל' עם הס' ומחולק המספריים הוא העולה מהכאת הל' עם הס' והעולה עם הס'

והנה ההבדל אשר בין המחולק למחולק הוא ס' כפלים

וכבר קדם שההבדל שבין המחלק למחלק הוא ס' כפלים

הנה יחוייב לזה בהכרח שיהיה יחס מחלק התוכנים אל מחולק התוכנים כיחס מחלק המספריי' אל מחולק המספריים לפי מה שקדם מההקדמה ההנדסיית

ולכן לא רצו התוכני' לטרוח בהכאת שני האלכסונים כמנהג המספריים אחר שההווה משניהם אחד

ואולם המספריים למה שלא יתכן זה בשברים המספריים הוצרכו לטרוח בהכאת שני האלכסונים

ואולם הסבה באשר יתכן זה הקצור בשברים התוכניים ולא כן בשברים המספריים הנה היא מבוארת ג"כ

וזה שהשברים התוכניים למה שהיו בעלי איכות אחת ר"ל ששימיים הנה כאשר נקצר מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק הוא שוה למה שקצרנו מהכאת העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק עם הס' אחר שכל ההכאות הם עם ס'

ואולם בשברים המספריים שלא יחויב שיהיה האיכות אשר יוכה בו כמות המחלק שוה לאיכות אשר יוכה בו העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק כאשר היה שבר השבר הנה לא השתמשו בקצור

משל זה אם רצית לחלק הל' רביעיים על הי' חצאי השליש הא' יונחו כזה הסדר

$\scriptstyle\frac{30}{4}$	$\scriptstyle\frac{10}{20}$	$\scriptstyle\frac{1}{30}$

ונכה הל' עם הב' והעולה עם הג' והם ק"פ ונחלקם על העולה מהכאת הי' עם הד' שהם מ' והנה לא יתכן לקצר מהכאת הי' עם הד'

כי לא ישוה הקצור ההווה מהכאת הג' עם העולה מהכאת הל' עם הב'
כי הס' שהם העולה מהכאת הל' עם הב' צריך שיוכה עם ג' והי' שהוא כמות המחלק צריך שיוכה עם ד' ולא כן בשברים התוכניים
וזה מה שרצינו לבאר

ואולם סבת דרך חלוק השברים הרבים אל השברים הרבים הנה היא מבוארת ממה שקדם בהכאת השברים התוכניים עם השברים התוכניים

ואולם סבת הדרך השנית שעל דרך ההתכה גם כן הנה התבארה ממה שקדם מסבת חלוק המין האחד מין השברים על מין אחד מן השברים אחר ששבו מיני השברים הרבים שבמחלק למין א' מן השברים וכן במחלק

ואולם סבת מציאות החלק היותר קרוב בשברים הבלתי כלים בחלוקתם עם האופן הראשון הנה היא מבוארת גם כן מאופן ההתכה

כי אין ספק שעם הדרך הזאת יותכו השאריות כלם אל המדרגה הנמשכת ר"ל השניים ישובו אל השלישיים והשלישיים אל הרביעיים והרביעיים אל החמישיים וכן תמיד

עד שעם הדרך הזאת יחשב כאלו מתחלת הטור העליון שהוא המחולק היה בעל מדרגות רבות

כי אין הבדל בין שנניח מדרגות הטור העליון תחלה מעלות ראשונים שניים לבד

ועם הדרך הזאת תתיך המותר מהמעלות הבלתי נחלקות אל הראשונים והמותר מהראשונים הבלתי נחלקים אל השניים ומותר מהשניים הבלתי נחלקים אל השלישיים והמותר מהשלישיים הבלתי נחלקים אל הרביעיים וכן תמיד
ובין שיונחו מדרגות הטור העליון מתחלה מעלות ראשונים שניים שלישיים רביעיים וכן תמיד

והנה כמו שאם היו מונחים במדרגות הטור העליון מתחלה מעלות ראשונים שניים שלישיים רביעיים עד"מ תצטרך להרבות מדרגות המחלק עד שיכלו כל מדרגות הטור העליון ר"ל עד שתגיע אל המדרגה הראשונה ממדרגות הטור העליון ואם לא יכלה כל מספר המדרגה ההיא כן יחויב לפי הדרך הזאת בעצמה רק שקצתו בכתיבה לבד בתחלת הנחת המדרגות אחר שעם ההתכה ירבו אחר כן המדרגות ואם לא הונחו מתחלה

ואולם סבת מציאותו עם האופן השני ר"ל שעל דרך ההתכה בשתכה המותר על ס' והעולה נחלקהו על המחלק והיוצא ירד מדרגה אחת מהיוצא מהחלוקה הראשונה וכן תמיד

הנה כבר התבארה ממה שקדם אין צורך לכפול המאמרים

הנה כבר שלמו המינים הד' בשברי התכונה עם סבותיהם בתכלית מה שהיה אפשר לבארם

ומעתה נתחיל בהודעת שרשי המספרים

Section Two - Roots

השער השני

ידוע שהמספרים כלם נחלקים לשנים האחד מהם נגדר והאחד בלתי נגדר

Definition of a number that has a root: The number that has a root is the number that is formed from a product of a number by itself, these are called "same" numbers, because their length equals their width.

והנגדר הוא המספר ההווה מהכאת מספר אחד בעצמו והם הנקראים המספרים ההוהויים לפי שארכם שוה לרחבם

כמו מספר הט' עד"מ שהוא הווה מהכאת השלשה בעצמו

וכמו מספר הי"ו ההווה מהכאת הד' בעצמו

Definition of a square root: The numbers that are multiplied by themselves, such as 3 and 4, from which the "same" numbers are created, are called roots, because they are similar to the roots of the plants.

ואולם המספרים המוכים בעצמם כמו הג' והד' במשלנו אשר מהם יצמחו המספרים ההוהויים נקראים שרשים כי הם כדמות השרשים לצמחים

והבלתי נגדר הוא המספר אשר לא יתהוה מהכאת שום מספר בעצמו

כמו מספר הי' עד"מ שלא ימצא מספר כלל שיהיה העולה מהכאתו בעצמו י'

והם הנקראים המספרים הזולתיים לפי שארכם מתחלף לרחבם

כי הי' במשלנו הוא ההווה מהכאת הב' עם הה' שהם שני מספרים מתחלפים

וכאשר היה זה כן והיה מהחוייב עלינו בידיעת מתרי הזויות הנצבות ובידיעת האמצעיים בעלי הג' גבולים המתיחסים לדעת שרש המספר ההוה מהכאת שתי הקצוות ושרש המספר המחובר ממרובעי הצלעות המקיפות בזוית הנצבת

הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך בידיעת מציאות השרשים האמתיים למספרים הנגדרים והשרשים הקרובים למספרים הבלתי נגדרים

ואולם המתננו זאת החקירה בזה המאמר בעבור שהיתה זאת החקירה אמנם תשיג למספרים מצד מה שישיג המספר למתדבק ר"ל מצד מה שבכח המתדבק להחלק לא מצד המספר בעצמו

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שמתרי הזויות אמנם הם מהקו המתדבק לבד לא מהמתפרד וכן האמצעיים אשר בין הגבולים המתיחסים אמנם הם מהקו המתדבק כי האמצעיים ואם כבר יפלו גם כן במספרים אמנם אין זה למספרים מצד היותם מספרים רק מצד מה שבכח הקו האמצעי המתיחס בין שתי הקצוות להחלק לחלקים בעלי מספר מה שהאמצעי ימצא בין כל שני קוים ולא ימצא בין כל שני מספרים וכאשר היה זה כן והיה המאמר הזה אמנם כוונתנו בו בהודעת הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסא והתכונה הנה אם כן מהמחויב עלינו להמתין החקירה הזאת בזה המאמר

Part One - Square Roots

Chapter One

הפרק הראשון

Know that the ancients have already written two methods to know this species:

דע שהראשונים כבר כתבו בידיעת זה המין שני דרכים

The first method

הדרך האחת

[description of the procedure:]

We arrange the number whose root is required in one row

היא שנסדר המספר אשר אתה דורש לדעת שרשו בטור א‫'

אחר זה נבקש שרש המדרגה האחרונה או היותר קרוב כשתחשוב אותה לאחדי' אם היה מספר המדרגות נפרד או שרש המדרגה האחרונה מחוברת עם הקודמת לה או היותר קרוב כשתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים אם היה מספר המדרגות זוג

אחר זה כפול השרש לשנים
ואם היה העולה מכפלו אחדים לבד כתבהו תחת המדרגה הקודמת לה
ואם היה העולה מכפלו עשרות לבד כתבהו תחת השרש הנכפל ותחת המדרגה הקודמת כתוב סיפרא
ואם היו עשרות ואחדים כתוב האחדים תחת המדרגה הקודמת והעשרות תחת השרש הנכפל

Then, look for a number, such that its product by double the root and its product by itself will be enough to be subtracted from the digits of the upper line, from the ranks corresponding to the numbers of double [the root] and to the required number that is multiplied by itself, each from its corresponding rank of the upper line.

We write the required number beneath the third rank that precedes the position of the first root and it is called the second root.

אחר זה בקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם מספרי הכפל ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממספרי הטור העליון מהמדרגות שכנגד מספרי הכפל ושכנגד המספר המבוקש שהוא המוכה בעצמו כל א' ממה שכנגדו ממדרגות הטור העליון

והמספ' המבוקש נכתבנו תחת המדרגה השלישית הקודמת ממקום השרש הראשון ויקרא השרש השני

אחר זה כפול השרש השני כמשפט השרש הראשון

וכתוב העולה מכפלו תחת המדרגה הקודמת לשרש השני אם היה אחדים לבד
או תחת השרש השני אם היה עשרות לבד ותחת המדרגה הקודמת סיפרא
או האחדים תחת המדרגה הקודמת מהשרש הב' והעשרות תחת השרש השני אם היה עשרות ואחדים

Shift the double of the first root to the preceding rank

ותעתיק כפל השרש הראשון אל המדרגה הקודמת לה

If [a part of] the double of the second root is happen to be beneath the rank that precedes the double of the second root, add it to [double the first root].

ואם יקרה שיהיה מכפל השורש השני תחת המדרגה הקודמת מכפלי השרש השני חברהו עמו

Then, look for a number, such that its product by all the digits of double the first and second roots and its product by itself will be enough to be subtracted from the digits of the upper line, from the ranks corresponding to the numbers of double [the root] and to the required number, each from its corresponding rank of the upper line.

We write the required number beneath the third rank that precedes the position of the second root and it is called the third root.

אחר זה בקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל מספרי כפלי השרש הראשון והשני ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממספרי הטור העליון מהמדרגות שכנגד מספרי הכפל ושכנגד המספר המבוקש כל אחד ממה שכנגדו ממדרגות הטור העליון

והמספר המבוקש נכתבנו תחת המדרגה הקודמת השלישית ממקום השרש השני ויקרא השרש השלישי

וכן בזה הדרך תמיד עד שנשלים מדרגות הטור העליון שהוא הטור הדרוש שרשו

אחר זה קח השרשים וסדרם בטור אחד כפי הנחת המדרגות והעולה הוא שרש המספר הדרוש אם לא נשאר מספר בטור העליון
אך אם נשאר מספר בטור העליון יהיה הוא השרש הקרוב

ואולם אם תרצה לדקדקו יותר מזה הנה הדרך בידיעת זה הוא שתוסיף סיפרש על הטור העליון כמה שתרצה וכל מה שתוסיף ברבוי הסיפרש תוסיף בדקדוק השרש ובלבד שיהיו זוגות

וזה כשתנהג עם הדרך הקודם תמיד עד שיגיע השרש האחרון אל הסיפרא האחרונה
אחר זה קח כל השרשים וסדרם בטור אחד בהנחת מדרגותיו זה אחר זה כמנהג
אחר זה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפר"ש והנשארות מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארות מהמדרגות האחרונות שמרם והם מעלות
אחר זה הכה המדרגות הנשלכות עם הס' והעולה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארו' מהמדרגות האחרונות שמרם והם ראשונים
עוד אחר זה הכה המדרגות הנשלכות עם הס' והעולה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארות מהמדרגות האחרונות שמרם והם שניים
וכן תמיד עד שיכלו כל המדרגות הנשלכות אל סיפרש
אחר זה קח כל השמורים שבידך שהם המעלות והראשונים והשניים והשלישיי' והרביעיים וזהו השרש המדוקדק מהמספר הבלתי נגדר
ואם רצית לדקדקו יותר תרבה זוגות הסיפרש וכפי רבויים ככה יהיה דקדוקו

Example of a number that has a root, whose root is required

\scriptstyle\sqrt{6169002849}

משל המספר הנגדר אשר יבוקש שרשו הוא זה

		1	2
	1	3	6	1	2
	4	8	7	4	7
1	2	4	5	7	5	1	2
6	1	6	9	0	0	2	8	4	9
	7		8		5		4		3
	1	4		6		0		8
		1	5	5	7	7	0
			1	1	5

[Illustration of the procedure:]

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{61-{\color{blue}{7}}^2=61-49=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(1\times{\color{blue}{8}}\right)=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{46-\left(4\times{\color{blue}{8}}\right)=46-32=}}{\color{green}{14}}\\&\scriptstyle{\color{red}{149-{\color{blue}{8}}^2=149-64=}}{\color{green}{85}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times8=}}{\color{blue}{16}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4+1}}{\color{blue}{5}}\\\end{align}}$	1
				48
		12		1245
6169002849		6169002849		6169002849
		7		7 8
		14		14 6
				15

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left(1\times{\color{blue}{5}}\right)=8-5=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{35-\left(5\times{\color{blue}{5}}\right)=35-25=}}{\color{green}{10}}\\&\scriptstyle{\color{red}{100-\left(6\times{\color{blue}{5}}\right)=100-30=}}{\color{green}{70}}\\&\scriptstyle{\color{red}{700-{\color{blue}{5}}^2=700-25=}}{\color{green}{675}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times5=}}{\color{blue}{10}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6+1=}}{\color{blue}{7}}\\\end{align}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(1\times{\color{blue}{4}}\right)=6-4=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-\left(5\times{\color{blue}{4}}\right)=27-20=}}{\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{75-\left(7\times{\color{blue}{4}}\right)=75-28=}}{\color{green}{47}}\\&\scriptstyle{\color{red}{28-{\color{blue}{4}}^2=28-16=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times4=}}{\color{blue}{8}}\\\end{align}}$	2
	16		16
	137		137
	480		48047
	124575		12457512
	6169002849		6169002849
	7 8 5		7 8 5 4
	14 6 0		14 6 0 8
	1557		15577
	1		115

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4-\left(1\times{\color{blue}{3}}\right)=4-3=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{\left[17-\left(5\times{\color{blue}{3}}\right)=17-15=\right]}}{\color{green}{\left[2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{21-\left(7\times{\color{blue}{3}}\right)=21-21=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{24-\left(8\times{\color{blue}{3}}\right)=24-24=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=9-9=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	2
	16
	1371[2]
	48047
	12457512
	6169002849
	7 8 5 4 3
	14 6 0 8
	15577
	115

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt{6169002849}=78543}}

ובעבור שמדרגו' זה הטור זוגות הנה יחוייב לבקש שרש שתי המדרגות האחרונות שהם ששים וא' ושרשם ז' ונכתבהו תחת הא‫'

We multiply it by itself, the result is 49.

We subtract it from the 61 and 12 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{61-7^2=61-49=12}}

We write it above to indicate the remainder.

הכינוהו עם עצמו ועלו מ"ט

חסרנו מהס' ואחד ונשארו י"ב
וכתבנום למעלה להורות על הנשארים

We double the 7, the result is 14. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot7=14}}$

We write the 10 beneath the 7 and the 4 in the rank that precedes the root.

כפלנו הז' ועלו י"ד

כתבנו הי' תחת הז' והד' במדרגה הקודמת לשרש

Then, we look for a number, such that its product by double the root and its product by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line corresponding to the products, each from its corresponding rank. It is 8.

We write it in the third rank that precedes the root and we call it a second root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כפלי השרש ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים המוכים כל אחד מהמדרגה שכנגדה והוא ח‫'

וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת לשרש וקראנוהו שרש שני

We multiply it by one that beneath the first root, the result is 8.

We subtract it from the 12 that we have and 4 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(1\sdot8\right)=12-8=4}}

We write them above according to the rule.

הכינוהו עם האחד שתחת השרש הראשון ועלו ח‫'

חסרנום מהי"ב שבידינו ונשארו ד‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by the 4, the result is 32.

We subtract it from the 46 that is in the upper line and 14 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{46-\left(4\sdot8\right)=46-32=14}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינוהו עם הד' ועלו ל"ב

חסרנום מהמ"ו שבטור העליון ונשארו י"ד
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by itself, the result is 64.

We subtract it from the numbers of the upper line and 85 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{149-8^2=149-64=85}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינו עם עצמו ועלו ס"ד

חסרנום ממספרי הטור העליון ונשארו פ"ה
וכתבנום למעלה כמשפט

עוד כפלנו הח' בעצמו ועלו י"ו כתבנו הו' במדרגה הקודמת השני והא' שהוא תמורת הי' תחת הח‫'

ולהיות שמתנאי אותיות הכפל הוא שיעתקו כל א' מהם אל המדרגה הקודמת לה כאשר נחדש כפלי' אחדים הנה מן המחוייב עלינו אם כן שנעתיק הד' שקודם השרש הראשון תחת השרש השני והנה נפגש שם עם הא' המונח תחתיו שהוא ההווה מכפל הח' וחברנום ועלו ה' גם העתקנו הא' שתחת הז' אל המדרגה הקודמת

Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the upper line, from the ranks corresponding to the doubles, each from its corresponding rank. It is 5.

We write it in the third rank that precedes the second root and we call it a third root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים המוכים כל אחד מהמדרגה שכנגדה והוא מספר ה‫'

וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת מהשרש השני וקראנוהו שרש שלישי

We multiply it by one that beneath the 4 of the bottom line, the result is 5.

We subtract it from the corresponding rank of the upper line and 3 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(1\sdot5\right)=8-5=3}}

We write them above according to the rule.

הכינו עם הא' שתחת הד' מהטור השפל ועלו ה‫'

חסרנום מהמדרגה שכנגדו מהטור העליון ונשארו ג‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by the 5 that beneath the 8, the result is 25.

We subtract it from the 5 corresponding in the upper line with the succeeding rank and 10 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{35-\left(5\sdot5\right)=35-25=10}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינוהו עם הה' שתחת הח' ועלו כ"ה

חסרנום מהה' שכנגדו מהטור העליון עם עזר המדרגה הנמשכת ונשארו י‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by the 6 that beneath the 0, the result is 30.

We subtract it from the reserved 10 that now are 100 in this rank.

\scriptstyle{\color{blue}{100-\left(6\sdot5\right)=100-30={\color{red}{70}}}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינו עם הו' שתחת ה0' מהטור העליון ועלו ל‫'

חסרנום מהי' השמורים שהם עתה בערך המדרגה הזאת ק‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by itself, the result is 25.

We subtract it from the reserved 70 that now are 700 in this rank.

\scriptstyle{\color{blue}{700-5^2=700-25={\color{red}{675}}}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינוהו עם עצמו ועלו כ"ה

חסרנום מהע' השמורים שהם בערך אל המדרגה הזאת ת"ש
וכתבנום למעלה כמשפט כל א' לפי מקומו הראוי לו

אחר זה כפלנו הה' שהוא השרש השלישי ועלו י' כתבנום תחתיו גם כתבנו סיפרא במדרגה הקודמת מהשרש

אחר זה העתקנו הכפלים הראשונים כל א' אל המדרגה הקודמת ממנה ולהיות שנפגש כפל הו' עם כפל הא' שתחת השרש השלישי שהוא ההווה מכפלו חברנום ועלו ז' ומחקנו הכפלים הראשונים

Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line, corresponding to the doubles, and the fourth root according to the rule. We find the number 4.

We write it in the third rank that precedes the third root and we call it the fourth root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים והשרש הרביעי כמשפט ומצאנו מספר ד‫'

וכתבנוהו במדרגה השלישית שקודם השרש השלישי וקראנוהו השרש הרביעי

We multiply it by one that beneath the 8, the result is 4.

We subtract it from the 6 corresponding it in the upper line and 2 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(1\sdot4\right)=6-4=2}}

We write them above according to the rule.

הכינוהו עם הא' שתחת הח' ועלו ד‫'

חסרנום מהו' שכנגדו בטור העליון ונשארו ב‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by 5, the result is 20.

We subtract it from the 27 in the upper line and 7 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(5\sdot4\right)=27-20=7}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינוהו עם ה' הכפל ועלו כ‫'

חסרנום מהכ"ז שבטור העליון ונשארו ז‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it by 7, the result is 28.

We subtract it from the 75 in the upper line and 47 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{75-\left(7\sdot4\right)=75-28=47}}

We write them above according to the rule.

עוד הכינוהו עם ז' הכפל ועלו כ"ח

חסרנום מהע"ה שבטור העליון ונשארו מ"ז
וכתבנו' למעלה כמשפט

We skip the 0 and multiply it by itself, the result is 16.

We subtract it from the 28 in the upper line and 12 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{28-4^2=28-16=12}}

We write them above according to the rule.

עוד דלגנו ה0' והכינוהו עם עצמו ועלו י"ו

חסרנום מהכ"ח שבטור העליון ונשארו י"ב
וכתבנום למעלה כמשפט

אחר זה כפלנו הד' שהוא השרש הרביעי ועלו ח' וכתבנום במדרגה הקודמת מהשרש הד‫'

העתקנו הכפלים הראשונים כל אחד אל המדרגה הקודמת ממנה ומחקנו הכפלים הראשונים

Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line, corresponding to the doubles, and the fifth root. It is 3.

We write it in the third rank that precedes the fourth root and we call it the fifth root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים והשרש החמישי והוא מספר שלוש

וכתבנוהו במדרגת הג' שקודם השרש הרביעי וקראנוהו השרש החמישי

We multiply it by the 1 that beneath the 6, the result is 3.

We subtract it from the 4 in the upper line and one remains.

\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(1\sdot3\right)=4-3=1}}

We write it above according to the rule.

הכינוהו עם האחד שתחת הו' ועלו ג‫'

חסרנום מהרביעי שבטור העליון ונשאר אחד
וכתבנוהו למעלה כמשפט

We multiply it by 7, the result is 21.

We subtract it from the 21 in the upper line and nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{21-\left(7\sdot3\right)=21-21=0}}

Therefore, we write zero above them to indicate that nothing remains.

עוד הכינוהו עם ז' הכפל ועלו כ"א

חסרנום מהכ"א שבטור העליון ולא נשאר כלום
ולכן נכתוב עליהם סיפרא להורות שלא נשאר כלום

We skip the zero and multiply it by 8, the result is 24.

We subtract it from the 24 in the upper line corresponding the 8 and nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(8\sdot3\right)=24-24=0}}

We write zero above to indicate that nothing remains.

עוד דלגנו סיפרא הכפל והכינוהו עם ח' הכפל ועלו כ"ד

חסרנום מהכ"ד שבטור העליון שכנגד ח' הכפל ולא נשאר כלום
וכתבנו למעלה סיפראש להורות שלא נשאר כלום

We multiply it by itself, the result is 9.

We subtract it from the 9 in the upper line corresponding the root 3 and nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{9-3^2=9-9=0}}

Therefore, we write zero above it according to the rule to indicate that nothing remains.

עוד הכינוהו עם עצמו ועלו ט‫'

חסרנום מהט' שבטור העליון שכנגד שרש הג' ולא נשאר כלום
ולכן כתבנו עליה סיפרא כמשפט להורות שלא נשאר עליו כלום

ולהיות שכבר הגענו אל המדרגה הראשונה ידענו שהשלמנו פעלתנו

ולהיות שלא נשאר שום מותר בטור העליון ידענו שהוא מספר מרובע

אחר זה לקחנו כל מספרי השרש וסדרנום בטור כל א' לפי מדרגתו וההווה הוא שרשו והוא שבעים ושמונה אלף וחמש מאות וארבעים ושלשה

Example of a number that does not have a root, whose approximate root is required.

\scriptstyle\sqrt{6169004404}

ומשל המספר הבלתי נגדר המבוקש שרשו היותר קרוב הוא זה

מצאנו השרש השלם היותר קרוב לזה עם הדרך הקודם והוא ע"ח אלף תקמ"ג

ולהיות שנשארו בטור העליון מותר אלף תקנ"ה ידענו שזה המספר בלתי נגדר

ולהיות שנשארו שלא יתכן למצוא לו שרש שלם יותר קרוב מהע"ח אלף ותקמ"ג כי אם נוסיף על זה השרש עוד אחר יתחייבו ממנו מספר קנ"ז אלף ופ"ג והמספרים הנותרים אינם כי אם אלף תקנ"ה לכן ידענו כי התוספת הראוי להוסיף על השרש לא יהיה כי אם שבר בהכרח

והדרך אל מציאות השבר הקרוב הוא זה שנוסיף בטור העליון סיפראש איזה זוג שתרצה כי כפי התרבות הסיפראש ככה יהיה דקדוקו ונסדרם כאשר אתה מראה בזאת הצורה

									1
								1	2		1
							1	2	6		2	9
		1	2				2	6	5	1	5	7	3		2	1	8
	1	3	6	1	2	6	4	1	5	6	1	9		3	2	9
	4	8	7	4	7	1	5	5	2	6	2	5	1	6	1	9	5	7
1	2	4	5	7	5	2	8	6	5	2	8	7	9	1	9	6	6	6	9
6	1	6	9	0	0	4	4	0	4	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

	7		8		5		4		3		0		0		9		8		9
		4		6		0		8		6		0		0		8		6
1	1	5	5	7	7	0	0	8	8	6	6	0	0	1	1	9	1
		1	1	5	5	7	7	0	0	8	8	6	6	0
				1	1	5	5	7	7	0	0	8
						1	1	5	5	7
								1

ונוסיף י' סיפראש קודם המדרגה הראשונה ממדרגות הטור העליון וננהיג הדרך הראשון בעינו והוא שנכפול הדרך החמשי שהוא הג' ויעלו ו' ונכתבם במדרגה הקודמת לשרש החמישי גם נעתיק הכפלים הראשונים אל המדרגות הקודמו' להם כמנהג ונמחוק הכפלים הראשונים כמנהג ונבקש מספר שיוכה עם כל הכפלים ועם עצמו שיספיק שיחוסר מהמדרגות שכנגדם בטור העליון כמנהג

ולהיות שהמדרגה שעל הטור העליון שכנגד הכפל האחרון הוא סיפרא וכן כל המדרגות הקודמות

ולא יתכן שיחוסר מהם שום מספר לכן כתבנו סיפרא במדרגה השלישית הקודמת לשרש החמישי וקראנוה השרש הששי להורות שלא מצאנו שום מספר שיוכה עם הכפלים ועם עצמו שיספיק שיחוסר מהמדרגות שכנגדם מהטור העליון

עוד כפלנו הסיפרא שהוא השרש הששי ועלה סיפרא וכתבנוה במדרגה הקודמת כמשפט

גם העתקנו הכפלים כלם ממקומם הראשון אל המדרגות הקודמות להם כמשפט

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו ולא מצאנו שום מספר

ולכן כתבנו סיפרא במקום שרש שביעי וזה במדרגה השלישית הקודמת לשרש הששי

עוד כפלנו הסיפרא שהוא השרש השביעי ועלה סיפרא וכתבנוה במדרגה הקודמת לשרש השביעי גם העתקנו הכפלים ממקומם הראשון וכתבנום אל המדרגה הקודמת להם כמשפט

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו ומצאנו מספר ט' וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת לשרש השביעי כמשפט וקראנוהו שרש שמיני

והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו וכתבנו הנשארי' כל אחד במקומו כמשפט

עוד כפלנו הט' ועלו י"ח וכתבנו הח' במדרגה הקודמת כמשפט. והי' שהוא א' בערך אל המדרגה הנמשכת כתבנוהו תחת הט' בעצמו כמשפט

גם העתקנו כל הכפלים וכתבנום במקומם כמשפט

אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם כל הכפלים ועם עצמו ויספיק העולה שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים כמשפט ומצאנו מספר ח' וכתבנוהו במדרגה הג' הקודמת לשרש השמיני וקראנוהו שרש תשיעי

והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון והנשארים כתבנום כל אחד במקומו כמשפט

עוד כפלנו הח' ועלו י"ו וכתבנו הו' במדרגה הקודמת והי' שהוא במקום א' בערך אל המדרגה הנמשכת כתבנוהו תחת הח' גם העתקנו כל הכפלים ממקומם וכתבנום במקומם כמשפט

ונפגש הא' שהוא כפל הט' עם הא' שהוא תחת הח' וחברנום והיו ט' כמשפט

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ומצאנו מספר ט‫'

והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו והנשארים כתבנום במקומם להורות על הנשארים כמשפט

והנה נשלמנו כל המדרגות המונחות

אחר זה לקחנו כל מספר השרש וסדרנום בטור אחד כל אחד לפי מדרגתו כמו שתראה בתמונה

7	8	5	0	4	3
'

0	0	9	8	9
			6	0

					0
''

5	9	3	4	0
			6	0

				3	5
''

6	0	4	0	0
			6	0

				3	6
''''

2	4	0	0	0
			6	0

				1	4
''''

4	0	0	0	0
			6	0

2

4

0

ולקחנו מהם המדרגות שהם תחת המספר המונח אשר דרשנו שרשו וכתבנום לבדם והם במקום מעלות

אחר זה הכינו הנשארים ממדרגות זה השרש עם ס' ועלו נ"ט אלפים ש"מ השלכנו מאלה המדרגות כמספר חצי הסיפראש שהם ה' מדרגות מפני שהסיפראש הם י' ונשארה סיפרא אחת וכתבנוה לבדה והיא במקום ראשונים והנשארים מהמדרגות
הכינום עוד עם ס' ועלו שלשה אלף אלפים תק"פ אלפים ת' השלכנו מאלה המדרגות כמספר חצי הסיפראש שהם ה' מדרגות ונשארו ל"ה וכתבנום לבדם והם במקום שניים
עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם ס' ועלו ג' אלף אלפים תרצ"ד אלפים השלכנו מהם כמספר חצי הסיפראש ונשארו ל"ו וכתבנום לבדם והם במקום שלישיים

\scriptstyle24000\times60=1440000

עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם הס' ועלו אלף אלפים ת"מ אלפים השלכנו מהם כמספר חצי הסיפרש ונשארו י"ד וכתבנום לבדם והם במקום רביעיים

עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם ס' ועלו השלכנו מהם כמספר חצי הסיפרש ונשארו כ"ד וכתבנום לבדם והם במקום חמשיים
ולהיות שהנשארים מאלה המדרגות הם סיפרש ולא נוכל להכותם עוד עם ס' כמשפט
הנה לקחנו כל השברים היוצאים מההכאות וסדרנום עם השלמי' שהם במקום מעלות כל אחד לפי מדרגתו והם ע"ח אלף ותקמ"ג מעלות 0 ראשונים ל"ו שלישיים י"ד רביעיים כ"ד חמישיים וזהו השרש הקרוב לזה המספר המונח

ואולם אם רצית לדקדקו יותר מזה השעור הנה כבר תוכל לדקדקו עם רבוי זוגות הסיפרש בשתנהג עם הדרך הזאת

ואולם שתגיע אל אמתת השרש הנה לא יתכן זה

אחר שהעולה מהשברים המוכי' בעצמם הוא שברים או שלמים ושברים בהכרח כמו שקדם בהכאת השברים עם השברים והמספר המונח הוא שלמים לבד

זהו דרך ידיעת מציאות שרשי המספרים הנגדרים ומציאות השרשים הקרובים למספרים הבלתי נגדרים לפי הדרך הראשון אשר לקדמונים

The second method of the ancients

ואולם הדרך השנית אשר לקדמונים על זה

[description of the procedure:]

הוא שתמצא שרש המרובע הדרוש מהשרש המרובע הידוע בשתכפול שרש המרובע הידוע ותחלק עליו המספר שבין שני המרובעים באופן שיספיק המחולק לגרוע ממנו גם מרובע החלק

אחר כן חבר החלק עם שרש המרובע הידוע והוא שרש המרובע הדרוש אם היה המספר הדרוש נגדר

ואולם אם היה בלתי נגדר ורצית לדעת שרשו הקרוב הנה תוכל לדעת זה בשתעשה הדרך הקודם

והנשארי' שאי אפשר שיחלקו על כפל השרש למעוטם נכם בס' וישובו ראשונים
אחר זה נחלקם על כפל השרש בעצמו באופן שיספיק המחולק לגרוע ממנו גם מרובע החלק כמשפט הראשון
אחר זה חבר החלק עם שרש המרובע הידוע והוא השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר ויקרא השרש השני
והשיבם למין א' ר"ל שאם היה השרש השני שלמים וראשונים תכפלם והכה השלמים עם הס' והעולה חברהו עם הראשונים והעולה הוא כפל השרש השני
אחר זה חלק הנשארים מהחלוק השני על זה הכפל אם היו יותר מכפל השרש השני
ואם היו יותר מעטים הכם עם ס' וישובו מדרגה אחת יותר קטנה מהראשונה
אחר זה חלקם על כפל השרש השני באופן שיספיק שיחוסר מהם העולה מהכאת החלק בעצמו כמשפט
והיוצא חברהו עם השרש השני והוא השרש היותר מדוקדק ויקרא השרש השלישי
וכן תוכל לעשו' תמיד עד שתוכל לדקדקו דקדוק נפלא מאד

ולהיות שזה הדרך יצטרך לידיעת מציאות מרובעים ידועים עד שילקח מהם שרש המספר הדרוש אם נגדר ואם בלתי נגדר

הנה מן ההכרח לנו א"כ להודיע דרך מציאותם בקלות

והוא שתדע על פה מרובעי האחדים כלם והם א ד ט יו כה לו מט סד פא ועמהם תוכל לדעת בקלות הנמשלים להם בכל מדרגה ומדרגה

וזה כי כל מדרגה ומדרגה משאר המדרגות שאחר שתי אלה המדרגות שהם האחדי' והעשרות אמנם ישובו אל מערכתם הראשונה

וסימנם זוג זוג נפרד נפרד

ר"ל המדרגה השלישית שהיא מדרגת המאות להיותה שלישית והיא נפרדת הנה תשוב אל מרובעי א'ד'ט' שהם במדרגת האחדי' והיא מדרג' נפרדת כי י' פעמים י' הם ק' והם נמשלים לו על דרך א'י'ק‫'

וב' פעמים כ' הם ת' והם נמשלים לארבעה
ושלשים פעמים שלשים הם תשעה מאות והם נמשלים לתשעה

ואולם מדרגת האלפים שהיא מדרגת הזוג הנה מרובעיה ג"כ הם נמשלי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א שהם במדרגת העשרות שהיא זוג

40 times 40 are 1600 and they are analogous to 16.

\scriptstyle{\color{blue}{40^2=1600}}

כי מ' פעמים מ' הם אלף ת"ר והם נמשלים לי"ו

50 times 50 are 2500 and they are analogous to 25.

\scriptstyle{\color{blue}{50^2=2500}}

ונ' פעמים נ' הם ב' אלפים ת"ק והם נמשלים לכ"ה

60 times 60 are 3600 and they are analogous to 36.

\scriptstyle{\color{blue}{60^2=3600}}

וס' פעמים ס' הם ג' אלפים ת"ר והם נמשלים לל"ו

70 times 70 are 4900 and they are analogous to 49.

\scriptstyle{\color{blue}{70^2=4900}}

וע' פעמים ע' ד' אלפים תת"ק והם נמשלים למ"ט

80 times 80 are 6400 and they are analogous to 64.

\scriptstyle{\color{blue}{80^2=6400}}

ופ' פעמים פ' הם ו' אלפים ת' והם נמשלים לס"ד

90 times 90 are 8100 and they are analogous to 81.

\scriptstyle{\color{blue}{90^2=8100}}

וצ' פעמים צ' הם ח' אלפים ק' והם נמשלים לפ"א

וכן עוד תשוב החלילה הזאת בעצמה לבלתי תכלית ר"ל שמרובעי מדרגת הי' אלפים הם נמשלי אד"ט

ומרובעי מדרגת הק' אלפים הם נמשלי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א וכן תמיד

ועם זה כבר תוכל לדעת בקלות מרובע ידוע בכל מדרגה ומדרגה ר"ל שבאחדים הם אד"ט

In the tens they are: 16; 25; 36; 49; 64; 81.

ובעשרות הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א

In the hundreds they are: 400; 900.

ובמאות הם מאה ד' מאות תשע מאות

In the thousands they are: 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100.

ובאלפים הם אלף ת"ר ב' אלפים ת"ק ג' אלפים ת"ר ד' אלפים תת"ק ו' אלפים ת' ח' אלפים ק‫'

In the tens of thousands they are: 10000; 40000; 90000.

ובי' אלפים הם י' אלף מ' אלף צ' אלף

In the hundreds of thousands they are: 160000; 250000; 360000; 490000; 640000; 810000.

ובק' אלפים הם ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף

וכן לבלתי תכלית

ואולם ידיעת מדרגת שרשם הנה יודע לך גם כן בשתקח כל הנפרדים לבד אם היה הדרוש מדרגה נפרדת

או כל הזוגות לבד אם היה הדרוש מדרגת הזוג
ר"ל שמדרגת הי' אלפים להיותה מדרגה נפרדת הנה נקח כל המדרגות הנפרדות והם אחדים מאות י' אלפים
והנה הי' אלפים להיותה מדרגה שלישית מהמדרגות הנפרדות תהיה מדרגת שרש מרובע זאת המדרגה מאות שהיא המדרגה השלישית למספר המדרגות על הסדר

We know that:

The root of 10000 is 100 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10000}=100}}$

ובזה ידענו ששרש הי' אלפים הם ק‫'

The root of 40000 is 200 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40000}=200}}$

ושרש המ' אלפים הם ר‫'

The root of 90000 is 300 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{90000}=300}}$

ושרש הצ' אלפים הם ש‫'

ובמדרגת הק' אלפים להיותם זוגות נקח כל מדרגות הזוג והם עשרות ואלפים וק' אלפים

והנה הק' אלפים היא מדרגה שלישית למדרגות הזוג
ולכן תהיה מדרגת שרש מרובע זאת המדרגה מאות שהיא מדרגה שלישית למספר המדרגות על הסדר

Therefore:

The root of 160000 is 400 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{160000}=400}}$

וא"כ שרש הק"ס אלף הם ת‫'

The root of 250000 is 500 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{250000}=500}}$

ושרש הר"נ אלף הם ת"ק

The root of 360000 is 600 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{360000}=600}}$

ושרש הש"ס אלף הם ת"ר

The root of 490000 is 700 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{490000}=700}}$

ושרש הת"צ אלף הם ת"ש

The root of 640000 is 800 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{640000}=800}}$

ושרש התר"מ אלף הם ת"ת

The root of 810000 is 900 $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{810000}=900}}$

ושרש התת"י אלף הם תת"ק

וכן לבלתי תכלי‫'

הנה כבר בארתי לך הדר' במציאו' המרובעי' הידועי' שבכל מדרגה שתרצה עם מציאו' שרשם בבלתי יגע ועמל וממנו כבר תוכל לדעת שרש המספר הדרוש מאי זה מדרגה שתרצה כאשר הראיתיך

משל המספרים הנגדרי' הנה אם היה המספר הדרוש שרשו מספר ב' אלפים כ"ה

הנה להיות שזה המספר הוא במדרגת האלפים שהוא זוג הנה יהיו מרובעיו הידועים נמשלי' למדרגה הב' מדרגת העשרות
ולכן המרובע הידוע הראשון שבזאת המדרגה הוא אלף ת"ר שהוא נמשל לי"ו שהוא ראשון למדרגה השנית ושרשו עשרות לפי מה שקדם והנה א"כ שרשו מ‫'
ונכפול המ' ויהיו פ‫'
ונחלק עליו ההפרש שבין האלף ת"ר לב' אלפים כ"ה שהוא תכ"ה באופן שיספיק מרובע החלק שיחוסר מהמחולק כאשר בארנו והם ה' כי ה' פעמים פ' הם ת' וה' פעמים ה' הם כ"ה והנה הכל תכ"ה
ולהיות שלא נשאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הדרוש הוא מרובע בהכרח
ונחבר הה' עם המ' שהוא שרש המרובע הידוע והוא מ"ה וידענו ששרש הב' אלפים כ"ה הוא מ"ה והקש על זה

ומשל המספרים הבלתי נגדרים הוא זה

$\scriptstyle\sqrt{2000}$

שאם היה המספר הדרוש שרשו הקרוב מספר ב' אלפים

According to what preceded, the known square that is closest to the required number is 1600 and its root is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1600}=40}}$

הנה לפי מה שקדם המרובע הידוע הקרוב לזה המספר הדרוש הוא מספר אלף ת"ר ושרשו מ'

We double the 40 and they are 80.

We divide the difference between the required number and the known square, which is 400, by the 80 in a way that the square of the quotient will be enough to be subtracted from the dividend, they are 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000-1600}{2\sdot\sqrt{1600}}=\frac{400}{2\sdot40}=\frac{400}{80}\approx4}}

כפלנו המ' והיו פ‫'

חלקנו ההבדל שבין המספר הדרוש עד המרובע הידוע שהוא ת' על הפ' באופן שיספיק שיחוסר מרובע החלק מהמחולק והם ד‫'

We add the 4 to the 40, they are 44 and this is the approximate root of 2000 which is called the first root.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx40+4=44}}

חברנו הד' עם המ' והיו מ"ד והיה זה השרש הקרוב למספר ב' אלפים ויקרא השרש הראשון

We double the first root and the result are 88 integers.

We wish to divide by it the indivisible number that remains from the 400, which is 64.

Since it is less than the 88, we multiply it by 60, they are 3840 and they are minutes, as they were multiplied by 60.

We divide them by the 88 that we have in a way that the square of the quotient will be enough to be subtracted from the dividend, the result of division are 43 that are minutes, since the result of the division of minutes by degrees are minutes according to what preceded, and 56 minutes remain undivided.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000-44^2}{2\sdot44}=\frac{64}{88}=\left(\frac{60\sdot64}{88}\right)^\prime=\left(\frac{3840}{88}\right)^\prime=\left(43+\frac{56}{88}\right)^\prime}}

כפלנו השרש הראשון ועלה פ"ח שלמים

רצינו לחלק עליו המספר הבלתי מחולק הנשאר מהת' שהם הס"ד
ולהיות שהם מעטים מהפ"ח נכם עם ס' ויהיו ג' אלפים תת"מ והם ראשונים אחר שהוכו עם ס‫'
חלקנום על הפ"ח שבידינו באופן שיספיק שיחוסר מהמחולק מרובע החלק ויצאו מהחלוק מ"ג והם ראשונים אחר שהיוצא מחלוק הראשונים על המעלות יהיו ראשונים לפי מה שקדם ונשארו נ"ו ראשונים בלתי מחולקים

We multiply the 43 minutes by themselves, in order to subtract them from the dividend as explained and the result is 1849 seconds.

We divide them by 60 and the result of division is 30 minutes and 49 seconds.

We subtract them from the 56 minutes that we have, and 25 minutes and 11 second remain undivided.

\scriptstyle{\color{blue}{56^\prime-\left(43^\prime\right)^2=56^\prime-1849^{\prime\prime}=56^\prime-\left(30^\prime+49^{\prime\prime}\right)=25^\prime+11^{\prime\prime}}}

הכינו המ"ג ראשונים על עצמם בעבור שנחסרם מהמחולק כאשר ביארנו ועלו אלף תתמ"ט שניים

חלקנום על ס' ויצאו מהחלוק ל' ראשונים מ"ט שניים
גרענום מהנ"ו ראשונים שבידינו ונשארו כ"ה ראשונים י"א שניים בלתי מחולקים

We add the 43 minutes to the 44 integers that we have, which is the first root, the result is 44 integers and 43 minutes, this is a root that is more accurate than the first and it is called the second root.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44+43^\prime}}

חברנו המ"ג ראשונים עם המ"ד שלמים שבידינו שהוא השרש הראשון ועלו מ"ד שלמים ומ"ג ראשונים וזהו שרש יותר מדוקדק מהראשון ויקרא השרש השני

We double the second root and the result are 89 integers and 26 minutes.

Since they are two ranks, they should be converted to one rank, which is the lower rank. We multiply the 89 integers by 60, the result is 5340 minutes.

We add them to the 26 minutes, the result is 5366 minutes.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(44+43^\prime\right)=89+26^\prime=\left[\left(60\sdot89\right)+26\right]^\prime=\left(5340+26\right)^\prime=5366^\prime}}

עוד כפלנו השרש השני והיו פ"ט שלמים כ"ו ראשונים

ולהיות שהם שתי מדרגות וראוי להשיבם למדרגה אחת והיא המדרגה היותר פחותה
הכינו הפ"ט שלמים עם ס' ועלו ה' אלפים ש"מ ראשונים
חברנום עם הכ"ו ראשונים ועלו ה' אלפים שס"ו

We wish to divide by them the indivisible number that remains from the 3840, which are 25 minutes and 11 seconds.

Since they are two ranks and we want to convert them to one rank, we multiply the 25 by 60, the result is 1500 seconds.

We add them to the 11 seconds that we have, the result is 1511 seconds.

Since they are less than the divisor, we multiply them again by 60, the result is 90660 thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^\prime+11^{\prime\prime}&\scriptstyle=\left[\left(60\sdot25\right)+11\right]^{\prime\prime}=\left(1500+11\right)^{\prime\prime}=1511^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(60\sdot1511\right)^{\prime\prime\prime}=90660^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}

רצינו לחלק עליהם המספר הבלתי מחולק הנשאר מהג' אלפים תת"מ שהם הכ"ה ראשונים י"א שניים

ולהיות שהם שתי מדרגות ורצינו להשיבם אל מדרגה אחת הכינו הכ"ה עם הס' ועלו אלף ת"ק שניים
חברנום עם הי"א שניים שבידינו ועלו אלף תקי"א שניים
ולהיות שהם יותר מעטים מהמחלק הכינום עוד עם הס' ועלו צ' אלף ותר"ס שלישיים

We divide them by the 5366 minutes, which are double the second root, the result is 16, which are seconds, since the result of division of thirds by minutes are seconds, as preceded, and 4804 thirds remain undivided.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90660^{\prime\prime\prime}}{5366^\prime}=16^{\prime\prime}+\frac{4804^{\prime\prime\prime}}{5366^\prime}}}

חלקנום על הה' אלפים שס"ו ראשונים שהם כפל השרש השני ויצאו לנו י"ו והם שניים אחר שהיוצא מחלוק השלישיים על הראשונים הם שניים כמו שקדם

ונשארו ד' אלפים תת"ד שלישיים בלתי מחולקים

We multiply the 16 seconds by themselves, in order to subtract them from the dividend as explained and the result is 256 fourths, for the result of the multiplication of seconds by seconds are fourths.

We divide them by 60 and the result of division is 4 thirds and 16 fourths.

We subtract them from the 4804 thirds and 4799 thirds and 44 fourths remain undivided.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4804^{\prime\prime\prime}-\left(16^{\prime\prime}\right)^2&\scriptstyle=4804^{\prime\prime\prime}-256^{iv}=4804^{\prime\prime\prime}-\left(4^{\prime\prime\prime}+16^{iv}\right)\\&\scriptstyle=4799^{\prime\prime\prime}+44^{iv}\\\end{align}}}

הכינו הי"ו שניים על עצמם בעבור שנחסרם מהמחולק כאשר בארנו ועלו רנ"ו רביעיים כי העולה מהכאת השניים על השניים הם רביעיים

חלקנום על הס' ויצאו לנו מהחלוק ד' שלישיים י"ו רביעיים
גרענום מהד' אלפים תת"ד שלישיים ונשארו ד' אלפים תשצ"ט שלישיים ומ"ד רביעיים בלתי מחולקים

We add the 16 seconds to the 44 integers and 43 minutes that we have, which is the second root, the result is 44 integers, 43 minutes and 16 seconds, this is a root that is more accurate than the second and it is called the third root.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44+43^\prime+16^{\prime\prime}}}

חברנו הי"ו שניים עם המ"ד שלמים מ"ג ראשונים שבידינו שהוא השרש השני ועלו מ"ד שלמים מ"ג ראשונים י"ו שניים וזהו שרש יותר מדוקדק מהשני ויקרא השרש הג‫'

וכן תוכל לדקדק זה תמיד עם הדרך הזה

אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת מציאות שרשי מספרי הנגדרים והבלתי נגדרים

ואולם אני כבר חדשתי עוד דרך אחרת יותר קצרה מאלה הדרכים

והיא שנסדר המספר הדרוש בטור אחד כמנהג הנחת מדרגות המספרים ר"ל האחדים במדרגתם והעשרות במדרגתם וכן כל אחד ואחד לפי מקומו

ואם היה מספר המדרגות נפרד תתחיל מהמדרגה האחרונה
ואם היה זוג תתחיל מהמדרגה הקודמ' למדרגה האחרונה מחוברת עם המדרגה האחרונה בשתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים כמו שקדם
ונבקש שרשו הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הראשון
אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' פעמי' ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש השני
וכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון
עוד אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני פעמיים ועם עצמו פעם אחת לבד שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש השני ומהשתים הקודמות לה ויקרא השרש השלישי
כתבהו במדרגה הקודמת לשרש השני
עוד אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני והשלישי פעמים ועם עצמו פעם אחת לבד שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש השלישי ומהשלשה הקודמות לה ויקרא השרש הד‫'
וכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הג‫'
וכן תמיד עד אשר תגיע שתהיה המדרגה הנחסרת המדרגה הראשונה ואז יהיו המספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמו

Example: if you wish to know the root of 5499025.

\scriptstyle\sqrt{5499025}

המשל בזה אם רצית לדעת שרש ה' פעמים אלף אלפים ותצ"ט אלף וכ"ה

		2	3
1	2	4	5	4
5	4	9	9	0	2	5
2	3	4	5

Since the number of the ranks of this number is odd, we start from the last rank:

הנה להיות שמספר מדרגות זה המספר הוא נפרד התחלנו מהמדרגה האחרונה

We take its approximate root, which is 2, multiply it by itself, the result is 4.

We subtract it from the last rank, which is 5, and 1 remains.

We write it above according to the rule and we write the 2, which is the first [approximate] root, beneath the last rank.

\scriptstyle{\color{blue}{5-2^2=1}}

ובקשנו שרשה הקרוב והם ב‫'

הכינום עם עצמם ועלו ד‫'
חסרנום מהמדרגה האחרונה שהם ה' ונשארו א‫'
וכתבנוהו למעלה כמשפט והב' שהוא השרש הראשון כתבנוהו תחת המדרגה האחרונה

We look for a number, such that twice its product by 2, which is the first root, and once [its product] by itself, will be enough to be subtracted from the rank that precedes the rank of the first root, which is 4, and its preceding, which is 9. [This number] is 3.

We write it beneath the rank that precedes the first root and it is called the second root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם ב' השרש הראשון פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון שהם הד' ומהקודמת לה שהם הט' והוא ג‫'

כתבנוהו תחת הד' שהיא המדרגה הקודמת לשרש הראשון ויקרא השרש השני

We multiply it twice by 2, the result is 12.

We subtract it from the 14 that we have, 2 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{14-\left[2\sdot\left(3\sdot2\right)\right]=14-12=2}}

We write it above the 4.

הכינוהו עם הב' פעמים ועלו י"ב

חסרנוהו מהי"ד שבידינו ונשארו ב‫'
וכתבנום על הד'

We multiply the 3 by itself, the result is 9.

We subtract it from the 9, which is the rank that precedes the rank of the second root, nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{9-3^2=9-9=0}}

We write zero above it.

עוד הכינו הג' עם עצמו ועלו ט‫'

חסרנום מהט' שהיא המדרגה הקודמת למדרגת השרש השני ולא נשאר כלום
וכתבנו עליו סיפרא

Then we look for a number, such that twice its products by the first and the second roots and once [its product] by itself will be enough to be subtracted from the rank that precedes the second root and its two preceding [ranks]. This number is 4.

We write it in the rank that precedes the second root and it is called the third root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש השני ומהשתים הקודמות לה והוא מספר ד‫'

וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשורש השני ויקרא השרש הג‫'

We multiply it twice by 2, which is the first root, the result is 16.

Since there are two left in the rank that above the second root, which are 20 in the preceding rank, we subtract it from them, 4 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[2\sdot\left(4\sdot2\right)\right]=20-16=4}}

We write it above according to the rule.

הכינוהו עם הב' שהוא השרש הראשון פעמים ועלו י"ו

ולהיות שנשארו מהמדרגה שעל השרש השני שנים שהם בערך אל המדרגה הקודמת כ' נחסרם מהם וישארו ד‫'
וכתבנום עליו כמשפט

We multiply it twice by the second root, the result is 24.

We subtract it from the 9 that is the second rank that precedes the rank of the third root and from the 4 that corresponds the third root, which are 49, 25 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{49-\left[2\sdot\left(4\sdot3\right)\right]=49-24=25}}

We write each in its rank to indicate the remainder.

עוד הכינו הד' עם השרש השני פעמי' ועלו כ"ד

חסרנום מהט' שהיא המדרגה השנית הקודמת למדרגת השרש הג' ומהד' שכנגד השרש הג' שהם מ"ט ונשארו כ"ה
וכתבנו כל אחד במדרגתו להורות על הנשאר

We multiply the 4 once by itself, the result is 16.

We subtract it from the 5 that is above the 9, which in the preceding rank are 50, and 34 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{50-4^2=50-16=34}}

We write them above according to the rule to indicate the remainder.

עוד אחר זה הכינו הד' עם עצמו פעם אחת ועלו י"ו

חסרנום מהה' שעל הט' שהם בערך אל המדרגה הקודמת לה נ' ונשארו ל"ד
וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשאר

Then we look for a number, such that twice its products by the first, the second and the third roots and once [its product] by itself will be enough to be subtracted from the rank that precedes the third root and its three preceding ranks. This number is 5.

We write it in the rank that precedes the third root and it is called the fourth root.

אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון השני והשלישי פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש השלישי ומהשלש מדרגו' הקודמות לה והוא מספר ה‫'

וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשורש השלישי ויקרא השרש הד‫'

We multiply it twice by the first root, the result is 20.

We subtract it from the 3 that above the fourth root with the 2 in the succeeding rank, which are 23, and 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{23-\left[2\sdot\left(5\sdot2\right)\right]=23-20=3}}

We write it above according to the rule.

הכינוהו עם השרש הראשון פעמים ועלו כ‫'

חסרנום מהג' שעל השרש הד' עם עזר הב' שבמדרגה הנמשכת לה שהם כ"ג ונשארו ג‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it twice by the second root, the result is 30.

We subtract it from the 4 that is in the rank that precedes the rank of the fourth root and from the 3 that in the succeeding rank, which are 34, 4 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{34-\left[2\sdot\left(5\sdot3\right)\right]=34-30=4}}

We write it above according to the rule.

עוד הכינוהו עם השרש השני פעמים ועלו ל‫'

וגרענום מהד' שבמדרגה הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הג' שבמדרגה הנמשכת לה שהם ל"ד ונשארו הד‫'
וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply it twice by the third root, the result is 40.

We subtract it from the 2 that is in the third rank that precedes the rank of the fourth root and from the 4 that is in the succeeding rank, which are 42, 2 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{42-\left[2\sdot\left(5\sdot4\right)\right]=42-40=2}}

We write it above according to the rule.

עוד הכינוהו עם השרש הג' פעמים ועלו מ‫'

גרענום מהב' שהיא המדרגה הג' הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הד' שבמדרגה הנמשכת לה שהם מ"ב ונשארו הב' וכתבנום למעלה כמשפט

We multiply the 5 once by itself, the result is 25.

We subtract it from the 5 that is the fourth rank that precedes the rank of the fourth root and from the 2 that is the succeeding rank, which are 25, and nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{25-5^2=25-25=0}}

עוד הכינו הה' עם עצמה פעם אחת לבד ועלו כ"ה

חסרנום מהה' שהיא המדרגה הד' הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הב' שהיא המדרגה הנמשכת לה שהם כ"ה ולא נשאר כלום

ולהיות שכבר הגענו לחסר מהמדרגה הראשונה על כן ידענו שכבר נשלם השורש

ולהיות שלא נשאר מספר כלל על המספר הדרוש ידענו שהוא מספר מרובע ושרשו הוא המספר הכתוב למטה שהם ב' אלפים שמ"ה והקש על זה

ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש מספר בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר

והדרך בידיעת שרשו הקרוב הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג סיפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעינו עד שתגיע לחסר מהמדרגה הראשונה אחר זה תקה היוצא בס' והעולה בס' עד שיהיו סיפרש בראש הטור העולה מההכאות ככמות חצי הסיפרש הנוספו' והעולה יהיה איכותו כמספר הפעמים שהוכה עם הס‫'

ר"ל אם הוכה פעם אחת לבד הם ראשונים ואם שנים שניים ואם ג' הם שלישיים ואם ד' הם רביעיי‫'
אח"ז השלך מהמספר העולה הסיפרש והנשארים חלקם על ס' והיוצא יעלה מדרגה אחת ממדרגת הנחלקים
ר"ל אם היו הנחלקים רביעיים יהיו היוצאים בחלוק שלישיים והנשארים הבלתי נחלקים יהיו רביעיים ושמרם
עוד חלק היוצאים מהחלוק שהם השלישיים על ס' והיוצאים מהחלוק יהיו שניים והבלתי מחולקים יהיו שלישיים ושמרם
עוד חלק היוצאים מהחלוק שהם השניים על ס' והיוצאים בחלוק יהיו ראשונים והבלתי מחולקים יהיו שניים ושמרם
עוד חלק היוצאים על ס' והיוצאי' בחלוק יהיו שלמים ושמרם והנשארים הבלתי מחולקים יהיו ראשונים ושמרם
אחר כן קבץ כל השמורים והוא השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר

Example: if you wish to know the root of 2000.

\scriptstyle\sqrt{2000}

המשל בזה אם רצית לדעת שרש הב' אלפים

הנה נניח הב' אלפים לפי הנחת המספרים ונוסיף עליו שמנה סיפרש כזה

						5
					3	8	3
			1	1	4	2	7	2
			2	3	2	3	1	3	6
	2	6	8	9	5	8	2	5	7	3
	4	8	4	4	1	2	6	6	9	4	1
2	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
	4	4	7	2	1	3
		'			6	0

			2	9	8	3	2	7	8	0
			''						6	0

	1	6	0	9	9	6	6	8	0	0
'''									6	0

9	6	5	9	8	0	0	8	0	0	0
''''									6	0

5

7

9

5

8

0

4

8

0

We apply the previous procedure and the result is the number 447213.

הנהגנו הדרך הקודם ויצא זה המספר 447213

We multiply it by 60 and the result is the number 26832780, which are minutes.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot447213}{60}=26832780^\prime}}

הכינום עם הס' ועלה זה המספר 26832780 והם ראשונים

We multiply it by 60 and the result is the number 1609966800, which are seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot26832780^\prime}{60}=1609966800^{\prime\prime}}}

הכינום עם ס' ועלה זה המספר 1609966800 והם שניים

We multiply it by 60 and the result is the number 96598008000, which are thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot1609966800^{\prime\prime}}{60}=96598008000^{\prime\prime\prime}}}

הכינום עם ס' ועלה זה המספר 96598008000 והם שלישיים

We multiply it by 60 and the result is the number 5795880480000, which are fourths, since it was multiplied 4 times by 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot96598008000^{\prime\prime\prime}}{60}=5795880480000^{iv}}}

הכינום עם ס' ועלה זה המספר 5795880480000 והם רביעיים למה שהוכו ד' פעמי' עם ס'

Since this number has 4 zeros is the beginning of the line, we divide it by 60 and the result of division is the number 9659800, which are thirds, as they rise one rank.

48 fourths remain. We keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{579588048^{\prime\prime\prime}}{60}=9659800^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}

ולהיות שזה המספר יש בו ד' סיפרש בראש הטור שהם חצי הסיפרש חלקנום על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 9659800 והם שלישיים כי עלו מדרגה אחת ונשארו מ"ח רביעיים ושמרנום

We further divide the result of division by 60 and the result of division is the number 160996, which are seconds, as they rise one rank.

The remainder are 40 thirds. We keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9659800^{\prime\prime}}{60}=160996^{\prime\prime}+40^{\prime\prime\prime}}}

עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 160996 והם שניים כי עלו מדרגה אחת והמותר הם מ' שלישיים ושמרנום

We further divide the result of division by 60 and the result of division is the number 2683, which are minutes, as they rise one rank.

The remainder are 16 seconds. We keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{160996^{\prime}}{60}=2683^{\prime}+16^{\prime\prime}}}

עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 2683 והם ראשונים כי עלו מדרגה אחת והמותר הם י"ו שניים ושמרנום

We further divide the result of division by 60 and the result of division is 44, which are degrees, as they rise one rank. We keep them.

The remainder are 43 minutes. We keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2683^{\circ}}{60}=44^{\circ}+43^{\prime}}}

עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצאו מהחלוק מ"ד והם מעלות כי עלו מדרגה אחת ושמרנום והמותר הם מ"ג ראשונים ושמרנום

We take all the reserved and they are 44 degrees, 43 minutes, 16 seconds, 40 thirds, 48 fourths and this is the approximate root of 2000.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44^{\circ}+43^{\prime}+16^{\prime\prime}+40^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}

לקחנו כל השמורים שבידינו והם מ"ד מעלות מ"ג ראשונים י"ו שניים מ' שלישיים מ"ח רביעיים וזהו השרש הקרוב לב' אלפים

והקש על זה

והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין הוא בשנכה השרש בעצמו ואם העולה ישוה למספר הטור העליון דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה במספרים הנגדרים

ואולם במספרים הבלתי נגדרים נחבר העולה מהכאת השרש בעצמו עם המותר והעולה אם ישוה למספר הטור העליון צדקת ואם לאו כזבת וכבר קדם מה שבזה המאזנים מהחסרון

The reason for finding this species by the first method

ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הראשון

היא קשה מאד והדרך אל ידיעתה הוא בשנודיע תחלה מספר הדרושים הנופלים בזה המין אחר זה נביא המאמר המודיע סבת כל דרוש ודרוש מהם והוא מן המבואר שדרושי זה המין הם רבים

1) Why the digits of the roots are written by skipping the ranks, i.e. between every rank and rank of the root there is one rank without a root?

הראשון מהם מדוע יכתבו אותיות השרש בדלוג המדרגות ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות השרש מדרגה אחת בלא שרש

2) Why the roots are written beneath the odd ranks of the given line and not beneath the even ranks?

השני מדוע יהיו השרשים נכתבים תחת המדרגות הנפרדות ממדרגות הטור המונח ולא תחת מדרגות הזוג

3) Why the roots are found by finding the number whose product by double the [preceding] roots and by itself is equal or approximate to the number that is between the preceding square and the current square, i.e. the number that remains from the roots that precede the rank beneath which we write the current root?

השלישי מדוע יהיה מציאות השרשים במציאות המספר אשר ישוה העולה מהכאתו עם כפלי השרשים ועם עצמו למספר אשר בין המרובע הקודם למרובע ההווה או הקרוב ר"ל המספר הנותר מהשרשים הקודמים עד המדרגה אשר נכתוב תחתיה השרש ההוה

4) Why the doubles are shifted rank by rank, as the number of times they are multiplied by the generated roots?

הרביעי מדוע יעתקו הכפלי' מדרגה אחר מדרגה כמספר הפעמים אשר יוכו עם השרשים ההווים

5) Why the doubles of the roots are written in the ranks the precede the roots?

החמישי מדוע יכתבו כפלי השרשים אל המדרגות הקודמות לשרשים

6) Why the tens that are generated from the doubles of the roots are written beneath the rank of the root that is multiplied and not beneath the preceding rank, as the rule of the units of double the roots?

הששי מדוע יכתבו העשרות ההוות מכפלי השרש תחת מדרגת השרש המוכה ולא תחת המדרגה הקודמת כמנהג אחדי כפלי השרשים

7) Why no mistake happend when we compare the ranks with their diversity of their positional values, so that the tens, the hundreds and the thousands are considered as units, but what is generated from the diversity of the ranks according to the different positional values is as what is generated from the ranks according to their positional values.

השביעי מדוע לא יקרה הטעות כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכיותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים אבל יהיה ההווה מחלוף המדרגות אל האיכויות המתחלפות כמו ההווה מהמדרגות לפי איכויותיהן

וטרם החלי בביאור נתינת סבות הדרושים האלו אצטרך להודיע קצת הקדמות מונחות לנתינת הסבות הדרושות במציאות זה המין והן חמש הקדמות

The first [proposition]

[Euclid, Elements, Book II, proposition 4:] For any number divided into two parts randomly, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.

\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]

האחת שכל מספר נחלק לשנים חלקים איך מה שקרה הנה המרובע ההווה מן המספר כלו הוא שוה לשני המרובעים ההווים משני חלקיו עם כפל המספר ההווה מהכאת החלק האחד עם האחר

Example: if we divide the 10 into two parts randomly, one part of them is 3 and the other 7.

משל זה אם נחלק הי' לשנים חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם ג' והאחר ז'

הנה המרובע ההווה מהי' כלו שהוא ק' הוא שוה לשני מרובעי ג"ז שהם נ"ח ולכפל המספר ההווה מהכאת הג' עם הז' שהוא מ"ב כמו שהתבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השני ממנו

The second [proposition]

[Euclid, Elements, Book II, proposition 1:] For every number divided into many parts randomly, the number that is generated from the product of a number by the whole given divided number is equal to the number generated from the sum of the products of that number by each part of the divided number.

\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)

השנית שכל מספר נחלק לחלקים רבים איך מה שקרה הנה המספר ההווה מהכאת מספר מה עם המספר המונח הנחלק בכללו הוא שוה למספר ההווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו

Example: if we divide the 10 into three parts randomly, one part of them is 2, the second is 3 and the third is 5.

משל זה אם נחלק הי' לג' חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם מספר ב' והשני מספר ג' והשלישי מספר ה'

הנה המספר ההווה מהכאת מספר ד' עד"מ עם מספר הי' שהוא מ' הוא שוה למספר ההווה מהכאת מספר הד' עם מספר ב' ומהכאת מספר ד' עם מספר ג' ומהכאת מספר ד' עם מספר ה' כאשר יקובצו שהם מ' כמו שהתבאר ג"כ במאמר השני מספר היסודות

The third [proposition]: the square that is generated from the greatest number of the nine numbers [= units] applied in all the types of numbers does not consist of more than 2 ranks.

השלישית שהמרובע ההווה מהמספר היותר גדול שבתשעה המספרים המשתמשים בכל מיני המספרים לא יכלול יותר מב' מדרגות

ר"ל כמו מספר הט' עד"מ שהוא היותר גדול מהמספרים הט' אם היה אחדים הנה מרובעו פ"א והוא כולל אחדים ועשרות שהם שתי מדרגות ולא יגיע במדרגת המאות כלל

ואם היה מספר הט' עשרות הנה מרובעו ח' אלפים ק' שהם שתי מדרגות אחרות נמשכות למדרגות הראשונות שהם מאות ואלפים

ואם היה מספר הט' מאות הנה מרובעו תת"י אלפים והם שתי מדרגות נמשכות למדרגות הראשונות שהם רבבות ועשרות הרבבות

וכן תמיד מבלתי שיהיה דלוג במדרגות כלל ומבלתי שיגיע מרובע שום מספר מהמספרים הט' ביותר מב' מדרגות כלל

The fourth [proposition]: the squares that are analogous to squares, their roots are also analogous.

הרביעית שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה שרשיהם ג"כ נמשלים

ר"ל בנמשלים כאשר יהיו המספרים המורים עליהם שוי הכמות מתחלפי האיכות כמו מספרי אי"ק המורים על הא' ועל הי' ועל הק'

כלם הם מספר א' רק שבמספר הא' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת האחדי'
ובמספר הי' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת העשרות
ובמספר הק' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת המאות
ולהיות שמספר הא' המורה על אי"ק כמותו א'

ואם הוא מורה על איכויות מתחלפות בחלופי המדרגות קראנו מספרי אי"ק נמשלים קצתם בקצתם והנה כאשר יהיו המרובעי' נמשלים קצתם לקצת אי זה מרובעים שיהיו הנה שרשיהם ג"כ יהיו נמשלי' קצתם לקצת בהכרח

משל זה שמרובע אד"ט שרשיהם אב"ג ומרובעי ק"ת תת"ת הנמשלים למרובעי אד"ט שרשיהם הם יכ"ל הנמשלים לשרשי אב"ג

וכן מרובעי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים למרובעי אד"ט ולמרובעי ק"ת תת"ק שרשיהם הם ק'ר'ש' שהם נמשלים ג"כ לשרשי אב"ג ולשרשי יכ"ל

וכן בכל שאר המרובעים אי זה מרובעים שיהיו כאשר יהיו נמשלים קצתם אל קצת הנה שרשיהם ג"כ יהיו נמשלים בהכרח

The fifth [proposition]

החמישית שהמרובעים הנמשלים קצתם אל קצת הנה הם במדרגות הנפרדות למדרגה אשר בה המרובעים הא' מהמרובעים הנמשלים על סדר הנפרדים הטבעיים ושרשי המרובעים הנמשלים הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על סדר המספרים הטבעיים

משל זה שמרובעי אד"ט ק"ת תת"ק י' אלף מ' אלף צ' אלף וכן תמיד הם על הסדר הנפרדים הטבעיים וזה שמרובעי אד"ט הם במדרגת האחדים

ומרובעי ק"ת תת"ק הנמשלים הם במדרגת המאות
ומרובעי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים להם הם במדרגת הרבבות
והנה האחדים היא המדרגה הראשונה אשר בה המרובעים הנמשלים ממין המרובעים הנזכרים
והמאות היא המדרגה השלישית למדרגת האחדים
והרבבות היא המדרגה החמשית למדרגת האחדים
וכן כל מדרגות המרובעים הנמשלים לאלה המרובעים הנזכרים אמנם הם במדרגות הנפרדות למדרגת האחדים על סדר הנפרדים הטבעיים שהם אג"ה ז"ט
וכן מרובעי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א הם במדרגת העשרות
ומרובעי אלף ת"ר ב' אלפים ת"ק ג' ת"ר ד' תת"ק ו' ת"ר ח"ק הנמשלים להם הם במדרגת האלפים
ומרובעי ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף הנמשלים להם הם במדרגת הק' אלף
והנה מדרגת העשרות היא המדרגה הראשונה אשר בה המרובעים הנמשלים ממין המרובעים הנזכרים הנה
ומדרגת האלפים היא המדרגה השלישית לה
ומדרגת הק' אלף היא המדרגה החמישית לה
וכן על זה הסדר תהיינה מדרגות כל המרובעים הנמשלי' להם ר"ל על סדר הנפרדים הטבעיים

ואולם מדרגות השרשים הנמשלים אשר הם שרשי המרובעים הנמשלים הנה הם על סדר המספרים הטבעיים

וזה ששרשי אד"ט הם אב"ג שהיא מדרגת האחדים
ושרשי ק"ת תת"ק הנמשלים להם הם יכ"ל שהיא מדרגת העשרות שהיא שנית למדרגת האחדים
ושרשי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים להם הם קר"ש שהיא מדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת האחדים
וכן תמיד על זה הסדר
וכן שרשי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א הם ד'ה'ו' ז'ח'ט' שהיא מדרגת האחדים
ושרשי אלף ת"ר ב' ת"ק ג' ת"ר ד' תת"ק ו' ת' ח' ק' הנמשלים להם הם מ'נ'ס' ע'פ'צ' שהיא מדרגת העשרות והיא שנית למדרגת האחדים
ושרשי ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף הנמשלים להם הם ת' ת"ק ת"ר ת"ש ת"ת תת"ק שהיא מדרגת המאות והיא שלישית למדרגת האחדים
וכן תמיד דרך אחד לכל

ואחר הצעת אלה ההקדמות הנה כבר יותרו כל השאלות הדרושות בדרך הראשון מזה המין

The first lemma: regarding the placing of the digits of the roots by skipping the ranks, i.e. between every two ranks having a root there is one empty rank beneath which no root is written.

אולם הדרוש הראשון שהוא על הנחת השרשים בדלוג המדרגות ר"ל שבין כל שתי מדרגות בעלות השרש מדרגה אחת פנויה בלתי כתוב תחתיה שרש

הנה כבר התבאר מההקדמה השלישית

וזה שאחר שהאות האחד מאותיות השרש הוא שרש לשתי המדרגות להיות מרובעו כולל ב' מדרגות
הנה א"כ כאשר תכתוב תחת כל שתי מדרגות אחד מאותיות השרש הנה יחוייב שיהיו אותיות השרש בדלוג המדרגות

The second lemma: the question concerning the placing of the digits of the root beneath the odd ranks of the given ranks and not beneath the even ranks

ואולם הדרוש השני שהיא השאלה על הנחת אותיות השרש תחת המדרגות הנפרדות מהמדרגות המונחות ולא תחת מדרגות הזוג

הנה גם זה התבאר מההקדמה השלישית בעצמה

וזה שכבר קדם שהמרובע ההווה מאות השרש איננו מספר כולל כל שתי מדרגות אי זה מדרגות שיהיו ר"ל או אחדים ועשרות או עשרות ומאות או איזה זוג מהמדרגות אמנם הוא כולל שתי מדרגות האחדים והעשרות ושתי מדרגות המאות והאלפים וכן כל זוגי המדרגות הנמשכות על הסדר הזה
וכאשר היה זה כן הנה מן המחוייב לזה בהכרח שיונח אות השרש תחת מדרגת האחדים ויכלול השתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות ויונח אות שני תחת מדרגות המאות ויכלול השתי מדרגות הנמשכות ר"ל המאות והאלפים וכן תמיד על זה הסדר
וא"כ יחוייב לפי ההנחה הזאת שיכתבו אותיות השרש תחת המדרגות הנפרדות

The third lemma: the question regarding the finding of the root, which is why the root is found by finding the number whose product by double the [preceding] roots and by itself are enough to be subtracted from what remains from the first root and its third rank which is the rank of the second root and the same from the second [root] regarding the third [root]?

ואולם הדרוש השלישי שהיא השאלה על מציאות השרש והוא מדוע ימצא השרש בבקשת המספר אשר יספיק העולה מהכאתו עם כפל השרש ועם עצמו שיחוסר מהמספר הנשאר מהשרש הראשון עם המדרגה השלישית לה שהיא מדרגת השרש השני וכן מהשני לשלישי

הנה כבר התבאר מההקדמה הראשונה

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהאות המונח ראשונה שהוא השרש הראשון כאשר יחובר עם האות השני שהוא השרש השני שיהיה חבור שניהם יחד שרש כל המדרגות שהמדרגה האחרונה עד מדרגת השרש השני והמרובע ההווה מחבורם הוא הראוי שיחוסר מאותן המדרגות ובזה נגיע אל המכוון
וכאשר היה זה כן וכבר התבאר מההקדמה הראשונה שהמרובע ההווה מחבור שני השרשים יחד הוא שוה לשני מרובעי השרש הראשון והשני שהם חלקי המספר המחובר משניהם יחד ולכפל המספר ההווה מהכאת השרש השני עם השרש הראשון
אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר יהיו שני אותיות השרש שיספיק העולה משני מרובעים עם העולה מכפל המספר ההווה מהכאת השרש האחד עם השרש האחר שיחוסר מהמדרגות הטור העליון שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שכנגד השרש השני שיהיה חבור שניהם יחד הוא שרש המספר הנכלל תוך המדרגות הנזכרות
וכאשר היה זה כן וכבר הוכה השרש הראשון עם עצמו וחסרנו ההווה מהמדרגות העליונות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שכנגד השרש הראשון
הנה א"כ הנשאר עלינו מכלל ההכאות הוא הכאת השרש השני עם עצמו וכפל המספר ההווה מהכאת השרש הראשון עם השרש השני
וכאשר היה זה כן והיה המספר ההווה מהכאות השרש השני עם השרש הראשון פעמים הוא שוה למספר ההווה מהכאת השרש השני עם כפל השרש השני
אם כן הנשאר עלינו מכלל ההכאות הוא הכאת השרש השני עם עצמו והכאתו עם כפל השרש השני
וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר בקשנו שרש מספר מה הנה אם היה שרשו אחדים הנה תבקש האות שיספיק העולה מהכאתו שיחוסר מהמספר ההוא והאות ההוא הוא שרש המספר ההוא בהכרח
ואם היה שרש המספר ההוא בעל שתי אותיות ר"ל אחדים ועשרות הנה נבקש אות העשרות אשר יספיק העולה מהכאתו שיחוסר מהמדרגה הראשונה שבמספר ההוא אם היו מדרגות המספר ההוא נפרדות או מהמדרגה הראשונה עם הקודמת לה אם היו מדרגותיו זוגות
אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל אות העשרות שיחוסר מהמדרגה שכנגד אות האחדים עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה ובזה נגיע אל המכוון

ואולם אם היה המספר הנדרש שרשו בעל שלש אותיות ר"ל אחדים ועשרות ומאות הנה נמצא השתי אותיות מהם ר"ל המאות והעשרות עם הדרך הקודם

אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל השרש הראשון ומהכאתו עם כפל השרש השני שיחוסר מהמדרגה שכנגד האות השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה
וזה מבואר מההקדמה השנית כי כבר התבאר שם שאין הבדל בין ההוה מהכאת מספר אחד עם מספר אחר להווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר האחר
וכאשר היה זה כן והיה חבור השלשה אותיות יחד אשר האחד ממדרגת המאות והאחר ממדרגת העשרות והאחר ממדרגת האחדים כאשר יחוברו יחד הוא שרש המספר המונח ההוא אשר יהיה שרשו על ג' אותיות
הנה אם כן יהיה המספר הזה נחלק לשלשה חלקים בהכרח
ולכן יחוייב לפי זאת ההקדמה שיהיה מרובע המספר כלו ר"ל בעל הג' אותיות שוה למספר ההווה ממרובע האחדים שהוא החלק האחד וממרובע העשרות שהוא החלק השני וממרובע המאות שהוא החלק הג' ומהמספר ההווה מהכאת העשרות עם המאות פעמיים או עם כפלו כי הדבר שוה ומהמספר ההווה מהכאת האחדים עם המאות פעמים או עם כפלו ומהמספר ההווה מהכאת האחדים עם העשרות פעמיים או עם כפלו
וכאשר היה זה כן וכבר הוכו המאות עם עצמם והעשרות עם עצמם והעשרות עם המאות פעמים קודם בקשת אות האחדים
הנה מן המחוייב עלינו א"כ שיהיו מספר ההכאות הנשארות עד תשלום כל ההכאות השוות למרובע כל המספר בעל השלשה אותיות הם ג' הכאות הכאת האחדים עם עצמו והכאת האחדים עם כפל המאות והכאת האחדים עם כפל העשרות
ולכן כאשר מצאנו אות האחדים שיספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל המאות ומהכאתו עם כפל העשרות שיחוסר מהמדרגה העליונה שבטור העליון שכנגד אות האחדים עם עזר המדרגו' הנמשכות עד המדרגה האחרונה הנה הוא אות אחדי שרש המספר המונח בהכרח אחר שעם הדרך הזאת יחויב שיהיה העולה ממרובע כל המספר המחובר בכללו שוה למספר המונח או הקרוב לו

The fourth lemma: the question concerning the shifting of the doubles rank by rank, as the number of times they are multiplied by the generated roots?

ואולם הדרוש הרביעי והיא השאלה על העתקת הכפלים מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי הפעמים אשר יוכו עם השרשים ההווים

הנה היא מבוארת ממה שקדם מהנחת השרשים ר"ל אותיות השרש בדלוג המדרגות מחובר עם מה שקדם מהכאת אות השרש האחרון עם כל כפלי אותיות השרש

וזה שאחר שאנחנו חושבים כל מדרגה ומדרגה מהמדרגות אשר יונח בהם השרש האחרון בפעם ההיא למדרגת האחדים
ויחויב מזה שתחשב המדרגה השנית הנמשכת לה לעשרות והמדרגה השלישית הנמשכת למאות וכן תמיד אחרי שאנחנו חושבים כל שרש אחרון בפעם ההיא לאחדים
ויחוייב לזה שיחשב השרש השני הנמשך לעשרות והשרש השלישי הנמשך לו למאות וכן תמיד
והיה מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת האחדים עם העשרו' הוא עשרות והעולה מהכאת האחדים עם המאות הוא מאות וכן תמיד
הנה מן המחויב מזה בהכרח שיחוסר העולה מהכאת השרש האחרון עם כפל השרש השני הנמשך לו שהוא עשרות מהמדרגה השני' הנמשכת למדרגת השרש האחרון שהוא גם כן עשרו'
ויחוסר העולה מהכאת השרש האחרון עם כפל השרש השלישי הנמשך לו שהם מאות מהמדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון שהוא גם כן מאות וכן תמיד
ובזה יחוסר כל מין ממינו
וכאשר היתה זה כן וראו הקדמונים שיתבלבל זה הסדר על המתעסק בו ולא ידע לחסר כל מין ממינו הוצרכו לכתוב הכפלים המוכים עם השרש האחרון תחת המדרגות אשר יחוסר מהם העולה מהכאתם עם השרש האחרון כדי שיחסר העולה מהכאת כל אחד מהכפלים עם השרש האחרון מהמדרג' שעל הכפל ההוא ובזה ינצל המתעסק מהמבוכה
ויתחייב לפי זאת ההנחה שיונחו כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השני' הנמשכת למדרגת השרש האחרון וכפלי השרש השלישי הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת השרש האחרון וכן תמיד על הסדר הזה
וכאשר היה זה כן והיו השרשים האחרונים אשר מהם יחשבו סדור המדרגות ר"ל בשתחשבנה המדרגות שנית ושלישית ורביעית והדומים להם אמנם יעתקו שתי מדרגות אחר ב' מדרגות לפי מה שקדם
ויחויב מזה שתשוב המדרגה שהיתה שנית למדרגת השרש הנמשך לשרש האחרון למדרגה רביעית לשרש האחרון והשלישית חמשית והרביעית ששית
והיה משפט הנחת כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השנית הנמשכת למדרגת השרש האחרון
ומשפט הנחת כפלי השרש השלישי הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת השרש האחרון
והיה מן המחויב מאלה המאמרים שתתחלף הנחת כפלי השרש האחד בעינו מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי השרשים האחרונים ר"ל שבהתרבות השרשים האחרונים יתרבה מנין הנחת כפלי השרש האחד בעינו
כי כמו שיתחלף השרש האחד בעינו להיותו פעם שני ופעם שלישי לאחרון כן תתחלף הנחת כפליו
כי בהיותו שני לאחרון תהיה הנחת כפליו במדרגה השנית למדרגת האחרון
ובהיותו שלישי לאחרון תהיה הנחת כפליו במדרגה השלישית לאחרון
ואם כן אחרי שבהעתקת השרשים האחרונים אשר מהם יחשב מנין המדרגות הנמשכות למדרגת השרשים תשוב המדרגה השנית רביעית והשלישית חמשית וכן תמיד
ותשוב הנחת כפלי השרשים מה שהיה ראוי שיונח תחת השנית שיונח תחת השלישית ומה שהיה ראוי שיונח תחת השלישית שיונח תחת הרביעית ומה שהיה ראוי שיונח תחת הרביעית שיונח תחת החמישית
אם כן מן המחויב מזה בהכרח שכאשר יעתקו הכפלים כל אחד מהם למדרגה הקודמת תהיה הנחת כל אחד במקומו הראוי לו
כי אחר שהמונח תחת השנית ראוי שיונח תחת השלישית וכבר שבה השנית לרביעית אם כן הקודמת לה היא השלישית בהכרח
וכן אחר שהמונח תחת השלישית יחויב שיונח תחת הרביעית וכבר שבה השלישית לחמישית אם כן הקודמת לה היא הרביעית
וכן אחר שהמונח תחת הרביעית יחויב שיונח תחת החמישית וכבר שבה הרביעית לששית אם כן הקודמת לה היא החמישית וכן תמיד

The fifth and sixth lemma: the question regarding the placing of the units of doubles the roots beneath their preceding ranks and the placing of the tens of [doubles] the roots beneath the ranks of the roots themselves.

ואולם הדרוש החמישי והששי והיא השאלה על הנחת אחדי כפלי השרשים תחת המדרגות הקודמות להן והנחת עשרות השרשים תחת מדרגות השרשים בעצמם

הנה היא מבוארת ממה שקדם

וזה שכבר קדם שהנחת כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון היא תחת המדרגה השנית הנמשכת למדרגת השרש האחרון ומדרגת השרש השני הנמשך לשרש האחרון היא תחת המדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון
הנה א"כ מן המחויב מזה בהכרח שיהיה הנחת כפל השרש תחת המדרגה הקודמת למדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון
וכל זה לאחדי כפלי השרש אשר הם ממין השרש ר"ל שאם השרש עשרות גם כפלו עשרות ואם מאות גם כפלו מאות ואם אלפים גם כפלו אלפים
אולם עשרות כפלו הם מדרגה אחת יותר ממדרגת השרש ר"ל שאם היה השרש עשרות הנה עשרות כפלו הם מאות
ואם היה מאות הנה עשרו' כפלו הם אלפים וכן כלם
ולכן יחויב שתהיה הנחתו במקום הנחת המדרגה הגדולה ממנה

המשל בזה אם היה השרש הנכפל ב' עשרות הנה אחדי כפלו הם ד' עשרות

וכבר קדם שהנחת העשרות ראוי שתהיה תחת מדרגת העשרות ר"ל הנחשבות לעשרות בערך אל מדרגת השרש האחרון

ואם היה השרש הנכפל ט' עשרות הנה כפלו י"ח עשרו' שהם ק' וח' עשרות

הנה הח' עשרות יונחו תחת מדרגת העשרו' שבערך מדרגת השרש האחרון והק' יונח תחת מדרגת המאות שבערך מדרגת השרש האחרון כמו שהיתה הנחת אחדי כפלי שרש המאות תחת מדרגת המאות שבערך מדרגת השרש האחרון וזה מבואר

The seventh lemma: which is why no mistake happend when we compare the ranks with their diversity of their positional values, so that the tens, the hundreds and the thousands are considered as units, and the root that is generated from them is applied as if we considered them according to their positional values.

ואולם הדרוש השביעי והוא מדוע לא יקרה הטעות בשנחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים ויהיה השרש ההוה מהם צורך כאלו חשבנום לפי איכויותיהם

הנה כבר התבאר מההקדמה הרביעית והחמשית

וזה שמההקדמה הרביעית יוודע שלא יקרה הטעו' מצד הכמות
ומההקדמה החמישית יתבאר שלא יקרה הטעו' מצד האיכות
ר"ל שהשרש ההוה תחת המדרגה הנחשבת לאחדים ואם היא עשרות או מאות או אלפים או איזו מדרגה שתהיה הנה לא יקרה בו שבוש כלל לא מצד הכמות ולא מצד האיכות

אולם מצד הכמות כי כבר התבאר מההקדמה הרביעית שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה שרשיהם ג"כ נמשלים ר"ל שהם בעלי כמות אחד מתחלפי האיכות כי זהו גדר הנמשלים כמו שקדם

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש המ' אלפים הנה להיות שכמות המ' אלפים הוא ד' ושרש הד' הוא ב' ידענו שכמות שרש המ' אלף הוא ב' כי מספר המ' אלף הוא נמשל למספר הד' ולכן יחויב שיהיה שרשיהם גם כן נמשלים

ואולם מצד האיכות כי כבר התבאר מההקדמה החמישית שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה הם במדרגות הנפרדות למדרגות המרובעים הראשונים מהמרובעים הנמשלים להם ר"ל היותר קטני המין ההוא

ושרשיהם הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על הסדר ר"ל שרשי הנמשלים היותר קטני' הם במדרגת האחדים ושרשי הנמשלים השניים ר"ל היותר גדולים מהנמשלים הקטנים הם ממדרגות העשרות וכן תמיד
וכאשר היה זה כן והיה הנחת השרשים הנמשלים הם במדרגות הנפרדות ושרשיהם המונחים תחתיהם נחשבם נמשכי'
ר"ל שהשרש האחרון יחשב לאחדים
והשרש השני לו יחשב לעשרות
והשלישי לו יחשב למאות וכן תמיד
שהם המדרגות הנמשכות זו אחר זו על הסדר
הנה אם כן לפי ההנחה הזאת יחויב שיסודרו תחת המרובע הנמשל למרובע היותר קטן השרש הנמשל ומקומו לפי מדרגתו גם כן המורה על האיכות

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש המ' אלף אשר הוא המדרגה החמישית הנה שרשו מצד הכמות הוא ב' כמו שקדם ומצד האיכות הוא מדרגה שלישי' שהוא מאות אחר שהוא הנפרד השלישי ויחויב שיהיה שלישי לשרש האחרון וזהו שלישי על סדר המדרגות ואם כן הב' המונח תחת שרש המ' אלף הם מאתים וככה הוא שרש המ' אלף וזהו מש"ל

The reason for finding this species by the second method

ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך השנית

הנה היא מבוארת גם כן מההקדמה הראשונה

וזה שכמו שההוה ממרובע השרש הקטן חלק ממרובע הגדול כן שרש המרובע הקטן הוא חלק משרש המרובע הגדול
וכמו שהמרובע הגדול הוא מחובר מהמרובע הקטן ומהתוספת אשר בין המרובע הגדול ובין המרובע הקטן כן שרש המרובע הגדול הוא מחובר משרש המרובע הקטן ומהתוספת אשר בין השרש המרובע הקטן ובין שרש המרובע הגדול
וכבר קדם מההקדמה הראשונה שהמרובע ההווה מהמספ' המחובר משני החלקי' יחד הוא שוה למה שיתהוה משני מרובעי שני חלקי המספר ההוא עם מה שיתהוה מהכאת החלק האחד מהם עם כפל החלק השני לפי מה שקדם
א"כ כאשר יחוסר המרובע הקטן המתהווה מהכאת שרש המרוב' הקטן בעצמו אשר הוא נכלל תוך המרובע הגדול הנה יחוייב שיהיה הנשאר מהמרובע הגדול אשר הוא התוספת אשר בין המרובע הקטן לבין המרובע הגדול שוה למה שיתהווה מהכאת החלק האחד משני חלקי השרש בעצמו ועם מה שיתהוה מהכאת החלק ההוא עם כפל החלק האחר שהוא שוה לשרש המרובע הידוע
ולכן כאשר נכפול שרש המרובע הידוע ונחלק עליו תוספת המרובע הגדול על הקטן באופן שיספיק העולה מהכאת החלק היוצא עם עצמו שיחוסר מהמחולק יחוייב שיהיה החלק היוצא הוא החלק האחר משני חלקי השרש הגדול שהוא תוספת השרש הגדול עם השרש הקטן
וזה שכבר קדם שהעולה מהכאת החלק עם המחלק הוא שוה למחולק וכבר השארנו מהמחולק מספר שיספיק שיחוסר ממנו העולה מהכאת החלק בעצמו
א"כ יחוייב לזה בהכרח שיהיה היוצא בחלוקה הזאת כאשר יוכה עם המחלק ועם עצמו שיהיו שני העולים משתי ההכאות יחד שוים למחולק אשר הוא תוספת המרובע על המרובע
ואם כן יהיה החלק היוצא הוא החלק השני משני חלקי השרש ולכן כאשר נוסיפהו על החלק הידוע שהוא שרש המרובע הקטן שיהיה ההווה מהם שרש המרובע הגדול וזמש"ל

ואולם הדרך השלישית היא הדרך הראשונה בעצמה רק שקצרתי הדרך

כי במקום שכפלו השרש וכתבו אות הכפל והכוהו עם השרש האחרון הכינו אנחנו השרש האחרון עם השרש פעמיים והנה הדבר שוה
גם במקום שכותבין השרשים תחת המדרגות הנפרדות ונצטרך אחר זה לסדרם נמשכים לדעת מדרגת כל אחד ואחד אנחנו כתבנום נמשכי המדרגות עד שלא נצטרך אחר זה לסדור כלל
ובמקום שהניחו כפלי השרשים תחת המדרגות שיחוסר העולה מהכאתם מהם כדי שלא יתבלבל המעיין הנחנו אנחנו השרשים להורות על התחלת המדרגה אשר ממנו נחל לחסר על הסדר ובכלל נתננו סימן אחר תמורת הנחת הכפלים עד שיספיק משמירת הבלבול והמבוכה והכל עולה בקנה אחד וזה מש"ל

The reason for finding the approximate root by setting the zeros

ואולם סבת מציאות השרש הקרוב עם הנחת הסיפרש

Why the number [of the zeros] is even.

ולמה יהיו זוגות

Why we cast away half the number of the zeros from the roots and take the remaining so they are degrees?

ולמה נשליך מהשרשים בכמות חצי הסיפרש ונקח הנשארים ויהיו מעלות

Why the subtracted are multiplied by 60, then we cast away half the number of the zeros from the result so the remaining minutes?

ולמה יוכו הנשלכים עם ס' ונשליך מהעולה בכמות חצי הסיפרש והנשארים יהיו ראשונים

ולמה יהיו תמיד יורדים מדרגה אחר מדרגה כי אחר זה יהיו שניים ואחר זה שלישיים וכן תמיד עד שיכלו

כל זה מבואר ממה שקדם עם תוספת הקדמה אחת

והיא שהמספרים הבלתי נגדרים הנמשלים הנה אין השרשים הקרובים היוצאים עם הדרך הקודם נמשלים קצתם לקצת אבל שרש הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת משרש הנמשל הקטן ממנו

משל זה השרש הקרוב היוצא למספר ב' הוא א‫'

והשרש הקרוב היוצא למספר הר' הוא י"ד
והשרש הקרוב היוצא במספר הכ' אלף הוא קמ"א
והנה העולה מהכאת הא' בעצמו הוא א' והנשאר עד תשלום הב' הוא א' שהוא חלק אחד משני חלקי הב‫'
והעולה מהכאת הי"ד עם עצמו הוא קצ"ו והנשאר עד תשלום הר' הוא ד' שהוא חלק אחד מנ' חלקי הר‫'
והעולה מהכאת הקמ"א עם עצמו הוא י"ט אלף תתפ"א והנשאר עד תשלום הכ' אלף הם קי"ט שהם חלק אחד מקס"ח חלקי הכ' אלף בקרוב

וכאשר היה זה כן הנה כבר יחויב מזה בהכרח שלא יבוקש השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר מהמספר ההוא בעצמו כמשפט מציאות שרש המספר הנגדר

אחר שכבר התבאר מההקדמה הזאת ששרש הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת משרש הנמשל הקטן
ולכן ראוי שיבוקש שרשו הקרוב משרש המספר הגדול ממנו הנמשל לו
ולהיות שכבר התבאר מההקדמה הרביעית מהחמש הקדמות הנזכרות למעלה שהמספרים הנמשלים שרשיהם גם כן נמשלים ר"ל שכמותם אחד בעינו ושלא יתחלפו רק באיכות ר"ל בחלוף המדרגות ר"ל בשהאחד ממנו אחדים והאחר עשרות או מאות ודומיהם לא זולת זה
הנה אם כן יחויב מזה בהכרח שכאשר מצאנו שרש המספר היותר רב המדרגות מהמספר הדרוש הנמשל לו הנה נקח אותו ונשמרהו
ולהיות שכבר התבאר מההקדמה החמישית מהחמש הקדמות ששרשי המרובעים הנמשלים הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים
ר"ל שהמרובע הראשון ההווה שהוא היותר מעט המדרגות הנה שרשו ממדרגת האחדים בהכרח
ושהמרובע השני שהוא במדרגה השלישית למדרגת המרובע הראשון הנה שרשו ממדרגת העשרות שהיא שנית למדרגת שרש המרובע הראשון
ושהמרובע השלישי שהוא במדרגה החמישית למדרגת המרובע הראשון הנה שרשו ממדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת שרש המרובע הראשון
וכן כלם על זה הסדר ר"ל שמדרגות המרובעים הנמשלים הנמשכים על הסדר הם בדלוג המדרגות ר"ל ב' מדרגות אחר ב' מדרגות
ומדרגות שרשי המרובעים הנמשלים הנמשכים על הסדר הם מדרגה אחר מדרגה על הסדר בבלתי דלוג כלל
והוא מהמבואר בעצמו שהמספר הנמשל הגדול ממנו הוא המספר הקטן ממנו בעצמו אחר שהמספרים הנמשלים כמותם אחד בעינו ושלא יתחלף האחד מחברו רק בשנוסיף עליו סיפרש עד שיתרבו מדרגות המספר ההוא בעינו ויחשב יותר גדול מזה הצד
הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שנקח מהשרש השמור הלקוח מהמספר הגדול מספר חצי הסיפראש וככה יהיה מספר מדרגותיו נוספות ממדרגות שרש המספר הקטן הנמשל לו בהכרח אחר שהמדרגות המרובעים הנמשלים יעלו ב' ב' ומדרגות שרשיהם יעלו א' א' כמו שקדם
ולכן יחוייב שנוריד מדרגות השרש השמור כמספר מדרגות חצי הסיפראש
אחר שמדרגות שרש המספר הגדול נוספות על מדרגות שרש המספר הקטן כמספר חצי הסיפראש
וזה בשנשליך ממדרגות השרש השמור כמספר חצי הסיפראש
ויחויב שיהיה הנשאר ממנו פחות ממדרגות המספר הגדול כמספר חצי הסיפראש
ואחר שהיו שלמים יחויב שיהיה הנשאר שלמים
אחר זה נקח מדרגות השרש הנשלכות אשר לא יספיקו לרדת כמספר מדרגות חצי הסיפרש ונכם עם ס' ויהיו בהכרח ראשונים לפי מה שקדם בשברי התכונה ויעלה למדרגות יותר ממדרגות חצי הסיפרש וההווה מהכאתם נשליך ממדרגותיהם כמספר חדי הסיפרש כדי שירדו מדרגותיו כמספר חצי הסיפרש כמשפט הראשון
ואחר שיהיו ראשונים יחוייב שיהיה הנשאר ראשונים
וכן תמיד עד שיכלו כל מספרי שרש המספר הגדול ובזה נגיע אל המבוקש

In order to expand the explanation on this, one example is given by which the existing doubts become clear.

וכדי שנרחיב לזה ביאור נמשיל לזה משל אחד ובו יתבארו הספקות הנופלות

I say that if we wish to find, for example, the root of 2 that has no root

\scriptstyle\sqrt{2}

ואומר שעם רצינו עד"מ למצוא שרש הב' אשר הוא בלתי נגדר

We will not take the approximate root of 2 itself.

הנה לא נקח השרש הקרוב ממספר הב' בעצמו

For it was already preceded from the previous proposition that the approximate root of 200, which is its analogous number, is closer than it.

כי כבר קדם מההקדמה הקודמת שקרוב שרש הר' שהוא המספר הנמשל לו יותר קרוב ממנו

The approximate [root] of 20000, which is its third analogous, is closer than the approximate root of 200 and so on.

וקרוב הכ' אלף שהוא הנמשל השלישי לו הוא יותר קרוב משורש הר' וכן תמיד

Therefore, we take the root of 2, for example, from [the approximate root of] 20000, which is 141 as preceded that are integers and we keep tham.

ולכן נקח שרש הב' עד"מ מהכ' אלף שהוא קמ"א כמו שקדם והם שלמים ונשמרהו

As the 20000 is the numerical value of the 2 itself, only that this 2 is called 20000 with the addition of the zeros that add the ranks and the same for all the analogous numbers:

ולהיות שהכ' אלף הוא כמות הב' בעינו רק שנקרא זה הב' כ' אלף עם תוספת הסיפרש אשר יוסיפו המדרגות וכן בכל המספרים הנמשלים

It is necessary that we add the zeros in every number whose root we wish to know, so we convert it to an analogous number that is greater than it. Since the addition of the analogous number is only addition of zeros.

אם כן יחוייב שנוסיף סיפרש בכל מספר שנרצה לדעת שרשו עד שנשיבהו אל נמשל יותר גדול ממנו

אחר שאינו תוספת הנמשל על הנמשל רק עם הסיפרש

It is necessary that [the number of the zeros] is even, since the interval between the analogous number and the analogous number is 2 ranks by 2 ranks, as preceded in the fifth proposition.

ושיחוייבו שיהיו זוגות להיות שרוחק הנמשל מהנמשל הוא ב' מדרגות אחר ב' מדרגות כמו שקדם מההקדמה החמישית

It is necessary that the root of the 20000 in our example is itself the root of 2 from the aspect of its numerical value, as preceded in the fourth proposition that the roots of the analogous squares are also analogous.

ושיחוייב שיהיה שרש הב' אלף אשר הוא במשלנו הוא בעצמו שרש הב' מצד כמותו כמו שקדם מההקדמה הרביעית שהמרובעים הנמשלים הנה שרשיהם גם כן נמשלים

It is necessary that the ranks of the root of 2 are less than the ranks of [the root of] 20000 by 2 ranks, as the number of half the zeros, for it was already preceded in the fifth proposition that analogous squares rise 2 ranks by 2 ranks, whereas the analogous roots rise one rank by one rank, which are their half.

ושחוייב שיהיה מדרגות שרש הב' פחות ממדרגת הכ' אלף ב' מדרגות כמספר חצי הסיפרש כי כבר קדם מההקדמה החמישית שהמרובעי' הנמשלים יעלו ב' ב' מדרגות והשרשים הנמשלים יעלו א' א' מדרגות שהם חצים

Therefore, since the ranks of the number 20000 exceed over the ranks of 2 by 4 ranks, it follows necessarily that the ranks of the root of 2 are less than the ranks of the root of 20000 by 2 ranks, as the number of half the zeros.

ולכן להיות שמדרגות מספר הכ' אלף הם נוספות על מדרגות הב' ד' מדרגות יחוייב לזה בהכרח שיהיו מדרגות שרש הב' פחותות ממדרגות שרש הכ' אלף ב' מדרגות כמספר חצי הסיפרש

Hence, when we lower the extracted root of 20000, which is 141, by 2 ranks, it is necessarily the root of 2.

ולכן כאשר נפחית שרש הכ' אלף הלקוח שהוא קמ"א ב' מדרגות יהיה שרש הב' בהכרח

ולהיות שהמ"א מהקמ"א לא יתכן שנפחית ב' מדרגות כי הא' הוא אחדים ולא יתכן שנפחיתהו כלל והמ' הוא עשרות ולא יתכן שנפחיתהו רק מדרגה אחת לא שתים לכן נמנע מלקחת אותם לשרש הב' וזאת היא הסבה אשר אנחנו משליכי' מהלקוח בכמות חצי הסיפרש

אולם מספר הק' מהקמ"א אשר נוכל להורידו ב' מדרגות וישאר א' הנה נקחהו ואין צורך להורידו אל האחדים כי אחר שנשליך מהקמ"א המ"א שהם בכמות חצי הסיפר"ש ישאר הק' לבדו ויחשב א' בהכרח כי הוא אמנם יקרא ק' בערך אל המדרגה השלישית אשר הוא עומד אחר המ"א אך כאשר יחוסרו הם ישאר הוא להיותו במדרגה הראשונה ויחשב א' בהכרח
אחר זה לקחנו המ"א והכינום עם הס' והיו העולים מהכאת המ"א עם הס' ראשונים בהכרח כי כל שלם המוכה עם הס' הנה העולה מהם הם ראשונים בהכרח
והנה יעלו ב' אלפים ת"ס ראשונים והם ד' מדרגות והשתי מדרגות הראשונות לא נוכל להורידם הב' מדרגות הראויות לסבה שזכרנוה
הנה נקח מהם הב' אלפים ת' הנשארים ונורידם ב' מדרגות והם כ"ד
וזה בשנשליך מהם הס' שהם ב' מדרגות וישארו הם ב' מדרגות ויחשבו כ"ד
אחר זה נכה הס' הנשלכים אשר לא הספיקו לרדת הב' מדרגות עוד עם הס'
ולהיות שהס' היו ראשונים הנה העולה מהכאתם עם הס' יחוייב שיהיו שניים בהכרח
והנה יעלו ג' אלפים ת"ר שניים והם ד' מדרגות נפחית מהם הב' מדרגות הראויות ולא יתכן זה בשתי המדרגות הראשונות כמו שקדם
גם כי הם סיפרש ואין שם מספר עד שנפחיתהו אל מדרגה אחרת
ונקח הג' אלפים ת"ר והם ב' מדרגות לבד
ויחשבו ל"ו שניים ונקחם ונחברם עם השמורי' הראשונים והם א' מעלה ר"ל שלם א' כ"ד ראשונים רוצה לומר כ"ד ששמיים ול"ו שניים רוצה לומר ל"ו חלקים מג' אלפים ת"ר חלקי השלם הא' וזה מש"ל

The reason for finding the approximate root by the second method

ואולם סבת מציאות השרש הקרוב עם הדרך השנית

הנה אין צריך לדרישה כלל כי הוא סבת השרש האמתי בעצמו עם אותו הדרך אין ביניהם חלוף כלל

The reason for finding the approximate root by the third method

ואולם סבת מציאות השרש הקרוב עם הדרך הג‫'

הנה היא סבת הדרך הראשון בעינו כי אין בין שני הדרכים חלוף כלל רק שעשינו בזה הדרך כל ההכאו' הראויות בבת אחת עד שעלו כמו הסיפרש בראש הטור האחרון ההווה מכלל כל ההכאות בכמות חצי הסיפראש עד שכאשר נשליך ממדרגות המספר ההווה ככמות חצי הסיפראש עד שנקח הנשאר יהיו הנשלכות מהן הסיפרש והנשאר יהיה כל המספר בכללו והוא המבוקש

אחר זה נשיבהו אל המדרגות היותר גדולות אם תרצה
או אם תרצה יונח זה המספר כאשר הוא ותחשבהו לפי מדרגתו אם ראשונים ואם שניים ואם שלישיים או איזה מין שיהיו והוא המבוקש וזה מה שרצינו לבאר

Chapter Two: [Extracting Square Roots of Fractions or Integers and Fractions]

הפרק השני

ואחר שבארנו לך הדרך במציאות שרשי המספרים השלמים אם במספרים הנגדרים ואם במספרים הבלתי נגדרים והיה מהמחויב עלינו להודיע הדרך בשני החלקים הנשארים מג' חלקי המספר

הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך במציאות שרשי השברים ומציאות שרשי השברים עם השלמים יחד

ואומר שמציאות שרשי השברים הוא דרך השלמים בעצמו ר"ל מצד כמותם ואולם מצד איכותם נצטרך למלאכה אחרת והוא שנמצא שרש המספר אשר שם השברים נגזר ממנו והיוצא לך הנה השם הנגזר ממנו הוא איכותם

Example: if you wish to know the root of 100 fourths

\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}

המשל בזה אם רצית לדעת שרש הק' רביעיים

נמצא עם הדרכים הקודמים בעצמם שרש הק' והם י'

אחר זה נבקש שרש הד' אשר שם הרביעיים נגזר ממנו ומצאנו ששרשם שנים לקחנו השם הנגזר מהשנים שהוא החצי וידענו שהי' השמורים שהם חצאים ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם י' חצאים
אחר זה אם רצית להשיבם אל השלמים חלק הי' על מספר השנים אשר איכותם נגזר ממנו והעולה ה' ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם ה' שלמים

Another example: we wish to know the root of 100 sixteenths.

\scriptstyle\sqrt{100^{xvi}}

דמיון אחר רצינו לדעת שרש הק' ששה עשריים

הנה מצאנו עם הדרכים הקודמים ששרש הק' הם י' ושמרנום

אחר זה לקחנו מספר הי"ו אשר שם הששה עשריים נגזר ממנו ונבקש שרשו והוא ארבע'
ובזה ידענו שהי' השמורים הם רביעיים אחר ששמם נגזר מהד' ובזה ידענו ששרש הק' ששה עשריים הם י' רביעיים
ואם רצינו להשיבם אל השלמים נחלקם על הארבעה אשר שמם נגזר מהם
והעולה ב' וחצי ובזה ידענו ששרש הק' ששה עשריים הוא שנים וחצי

וכן תוכל לדעת זה גם כן באופן אחר והוא שאם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים נחלק הק' אל הארבעה אשר שמם נגזר ממנו והיוצא לך הם כ"ה תמצא שרש הכ"ה והם ה' ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם ה'

וכן אם רצינו לדעת שרש הק' ששה עשריים

חלק הק' על י"ו אשר שמם נגזר ממנו והיוצא לך הוא ו' ורביע תמצא שרש הו' ורביע והם ב' וחצי

ואולם הדרך בידיעת מציאות שרש הו' ורביע אשר הם שלמים ושברים יחד הנה נודיעהו אחר זה

אלה הם השני אופנים המודיעים לנו מציאות שרשי השברים

וזה בשברים אשר כמותם ואיכותם נגזרים משמות מספרים נגדרים

כמו הק' רביעיים אשר כמותם שהוא הק' הוא מספר נגדר ואיכותם גם כן שהוא מספר הארבעה הוא מספר נגדר

ואולם השברים אשר כמותם ואיכותם יחד הם מספרים בלתי נגדרים או אשר כמותם לבד בלתי נגדר או אשר איכותם לבד בלתי נגדר

הנה נצטרך בהם למלאכה והוא שנכה האיכות הבלתי נגדר עם עצמו והעולה הוא איכותם

גם נכה כמותם עם האיכות והעולה ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא כמותם
אחר זה נבקש שרש כמותם האמתי אם היה נגדר או השרש הקרוב אם היה מספר בלתי נגדר והיוצא שמרהו
אחר זה בקשנו שרש איכותם וההווה הוא איכות השמור

משל המין הראשון אשר הוא הר' חמשיים אשר כמותם ואיכותם יחד בלתי נגדרי'

הנה הדרך בידיעת שרשם הוא זה שנכה מספר החמשה עם עצמו אשר שם החמשיים נגזר ממנו בעצמם ויעלו כ"ה

עוד נכה מספר הר' אשר הוא כמות השברים בחמשה אשר הוא איכותם והם אלף כה"יים
בקשנו השרש הקרוב לאלף והוא ל"א שלמים ל"ז ראשונים י"ב שניים ושמרנום
לקחנו שרש הכ"ה שהוא חמשה וידענו שהשמורי' שבידינו הם חמשיים
וא"כ הם ל"א חמשיים ול"ז דקי החומש האחד וי"ב שניי החומש האחד
חלקנום על ה' ויצאו ו' שלמים וחומש אחד ול"ז חלקים מש' חלקי השלם וחלק אחד מאלף ת"ק חלקי השלם
או חלק הר' על הה' ויצאו לך מ'
בקש שרשם והם ו' שלמים וי"ט ראשונים וי"ב שניים
ואין בין השרש הזה ובין השרש הראשון רק חלק אחד ממאתים וחמשים חלהקי השלם

ומשל המין השני אשר הוא הר' רביעיים אשר כמותם לבד בלתי נגדר

הנה לא נצטרך בזה המין להכאת האיכות בעצמו להיותו נגדר

גם לא נצטרך להכאת הכמות בשום מספר
רק נבקש השרש הקרוב למספר הר' והוא י"ד שלמים ק' ראשונים כ"ד שניים
לקחנו שרש הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והם ב' וידענו ששרש הר' היוצא שהם חצאים אחר ששמם נגזר מהב'
ואם כן הם י"ד חצאים וח' ראשונים החצי האחד וכ"ד שניי החצי האחר
חלקנום על ב' ויצאו ז' שלמים וחלק אחד מט"ו חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם
או חלק הר' על הד' ויצאו לך נ'
בקש שרשם והם ז' שלמים ד' ראשונים י"ב שניים
ואין בין זה השרש ובין השרש הראשון מאומה

ומשל המין השלישי שהוא הק' חמשיים אשר איכותם לבד בלתי נגדר

הנה אחר שאיכותם בלתי נגדר נצטרך להכאת האיכות בעצמם וישובו כה"יים

עוד נכה הכמות בה' ויעלו ת"ק ויהיו ת"ק כה"יים
בקשנו השרש הקרוב לת"ק והוא כ"ב שלמים כ"א ראשונים ל"ו שניים
בקשנו שרש הכ"ה והם ה' וידענו ששרש הק' חמשיים היוצא שהוא כ"ב חמשיים וכ"א דקי החומש הא' ול"ו שניי החומש האחד
חלקנום על ה' ויצאו ד' שלמים וכ' חמשיים וז' חלקים מק' חלקי השלם וחלק אחד מת"ק חלקי השלם
או חלק הק' חמשיים על ה' ויעלו כ'
בקש שרשם והם ד' שלמים וכ"ח ראשונים וי"ב שניים
ואין בין השרש הזה ובין השרש הראשון רק אחד מת"ק

הנה כבר ביארנו לך דרך מציאות שרשי השברים אשר כמותם ואיכותם נגדר או אשר איכותם לבד נגדר או אשר כמותם לבד נגדר או אשר כמותם ואיכותם יחד בלתי נגדרים וזה בשני דרכים

ואולם כאשר היה כמות השברים בלתי מתחלק בכללו על המספר אשר איכות שבריו נגזר ממנו

כמו הק"ג חמשיים עד"מ או הק' שביעיים והדומים להם

כי כמות הק"ג לא יתחלק בכללו על הה' אשר הוא איכות החמשיים כי ישארו ג' בלתי מתחלקים

וכמות הק' שביעיים לא יתחלק בכללו על השבעה אשר הוא איכות השבעיים כי ישארו ב' בלתי מתחלקים

הנה הדרך במציאות שרשו אמנם הוא הדרך הראשון מהשני דרכים לבד

כי הדרך השנית לא תתכן רק במספרים השלמים לבד לא בכמו אלה השברים אשר לא יתחלק כמותם בכללו על איכות השברים כי הם יהיו שלמים ושברים
וכאשר היה זה כן הנה אין דרך אל מציאות שרשי אלה השברים והדומים להם רק עם הדרך הראשון לבד לא זולתו

ואולם הדרך במציאות שרשי השלמים והשברים יחד הנה הוא הדרך הראשון אשר במציאות שרשי השברים בעינו אחרי התכתם אל השברים לבד

וזה בשנכה איכות השברים עם השלמים והעולה נחברהו עם כמות השברים והמקובץ הוא כמות השברים והשלמים יחד
ואיכותם הוא איכות השברים הדרושים בעצמם
אחר זה נשתמש במציאות שרשם עם הדרך הקודם בעצמו

Example: if you wish to know the root of 14 and two sevenths.

\scriptstyle\sqrt{14+\frac{2}{7}}

המשל בזה אם רצית לדעת שרש הי"ד ושני שביעיות

הנה נכה הי"ד עם הז' ויעלו צ"ח נחברם עם הב' ויעלו ק' וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד

ואיכותם הם איכות השברים המתחברים עם השלמים
ולכן יהיו הי"ד שלמים וב' שביעיו' ק' שביעיים
ולהיות שמספר השבעה אשר שם השבעיים נגזר ממנו הוא בלתי נגדר הכינום בעצמם ועלו מ"ט
גם הכינו הק' עם הז' ועלו ת"ש והנה יהיו ת"ש מט"יים
בקשנו שרש הת"ש והוא כ"ו שלמים כ"ז ראשונים
לקחנו שרש המ"ט והוא ז' ולכן ידענו שהם כ"ו שביעיים כ"ז דקי השביעית הא'
שהם ג' שלמים וה' שביעיים וט' חלקים מק"מ חלקי הכל

Also: if we wish to know the root of 6 integers and one quarter.

\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{4}}

וכן אם רצינו לדעת שרש הו' שלמים ורביעית אחד

הנה נכה הו' עם הד' ויעלו כ"ד נחברם עם האחד ויעלו כ"ה וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד

ואיכותם הם איכות השברים המתחברים עם השלמים בעצמם
ולכן יהיו הו' שלמים ורביע כ"ה רביעיים
ולהיות שמספר הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו הוא מספר נגדר לכן אין צורך להכאה כלל רק נבקש שרש הכ"ה והם ה'
לקחנו שרש הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והוא ב' ולכן ידענו ששרש הכ"ה הם ה' חצאים
חלקנום על ב' אשר שם החצאים נגזר ממנו ועלו ב' שלמים וחצי וזהו שרש הו' ורביע

הנה כבר התבאר לך דרך מציאות שרשי השברים לבד ושרשי השלמים עם השברים יחד

ואולם המאזנים הכוללים יחד כל המינים ר"ל בשלמים לבד ובשברים לבד ובשלמים עם השברים יחד הוא שנכה השרש בעצמו ואם ישוה העולה מהכאתו למספר המבוקש שרשו דע שצדקת ואם לאו כזבת

וזה במספרים הנגדרים

אולם במספרים הבלתי נגדרים הנה אם היה שרשם הקרוב שלמים לבד

הנה תחבר העולה מהכאת השרש בעצמו עם המותר והעולה מקבוצם אם ישוה למספר המבוקש דע שצדקת ואם לאו כזבת

ואולם אם היה שרשם הקרוב שלמים עם שברים

נקח השרש המונח תחת המספר המבוקש כמו שלמים ר"ל שלא תכה אותו עם מספר הס' להשיבם ראשונים ושניים רק נקח כלו כמו שלם
ונכהו בעצמו והעולה מהכאתו נחברהו עם המותר
והעולה אם ישוה למספר הדרוש שרשו דע שצדקת ואם לאו כזבת

והסבה לכל אלה הדרכים הנה היא מבוארת בעצמה

וזה שכבר התבאר במה שקדם ששרש המספר הוא המספר אשר מהכאתו בעצמו יולד הוא
וכבר קדם שהעולה מהכאת השברים בעצמם הוא העולה מהכאת כמותם עם עצמם כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכותם עם עצמם
א"כ מן המחויב מזה בהכרח שנבקש שרש כמות השבר הדרוש ושרש איכותם וניחס היוצא משרש הכמות אל העולה משרש האיכות וההווה הוא שרש השברים הדרושים
אחר שהוא מן המחויב שיהיה השבר ההווה מהכאתו שוה לשברים הדרושים

Example: if we wish to know the root of 100 fourths.

\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים

הנה נקח שרש הק' והם י'

גם נקח שרש הארבעה המורים על איכות הרביעיים ויהיו ב' המורים על איכות חצי
ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הוא י' חצאים
וזה כי כאשר נכה הכמות עם עצמו והאיכות עם עצמו יעלו ק' רביעיים שהם השברים הדרושים

וכן כאשר היו השברים כמותם ואיכותם בלתי נגדר

כמו הר' חמשיים עד"מ
הנה אחר ששרשם הוא אשר בהכאתם בעצמם יולדו הר' חמשיים
והשברים המוכים בעצמם הם אשר כמותם מוכי' בעצמם ואיכותם ג"כ מוכים בעצמם
והיו החמשיים לא יולדו מהכאת שום איכות בעצמו
אחר שמספר הה' אשר שם החמשיים נגזר ממנו הוא מספר בלתי נגדר
לכן יתחייב מזה שנכה החמשיים בעצמם ויעלו כה"יים ויהיו הכ"ה אשר שם הכה"יים נגזר ממנו מספר נגדר ושרשם חמשה אשר שם החמשיים נגזר ממנו
וכאשר השיבונו החמשיים כה"יים ר"ל מוכים עם ה' והיו גם הר' שהוא כמותם מוכים עם הה' הנה יהיה יחס הר' אל הה' כיחס העולה מהכאת הר' עם הה' אל העולה מהכאת הה' עם הה' שהוא יחס מספר האלף אל מספר הכ"ה
וכאשר היה זה כן הנה אם כן הר' חמשיים הם הם האלף כה"יים בעצמם רק ששבו בעלי איכות נגדר אחר ששרש הכ"ה הוא ה'
וכאשר בקשנו השרש הקרוב למספר האלף הנה השרש היוצא יהיה מורה על הכמות ואיכותם יהיו חמשיים בהכרח

וזה מבואר מאד אין צורך להאריך יותר בבאורו

ומהנה יודע לך סבת מציאות שרשי השלמים ושברים יחד גם כן אחר ששבו עם ההתכה שברים לבד

וכבר נתבאר לך סבת מציאות שרש השברים לבד

ואולם הדרך במציאות שרשי שברי התכונה הנה הוא בשתקח שרש כמותם וחצי איכותם והיוצא הוא שרשם

Example: if we wish to know the root of 100 fourths of the sexagesimal fractions.

\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים משברי התכונה

הנה נקח שרש הק' והם י'

גם נקח חצי הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והם ב' המורים על שניים
ובזה ידענו שרש הק' רביעיים הוא י' שניים

ואולם אם היה כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד אשר לא יוכל להחלק לחצאין

או כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר זוג הנחלק לחצאין
או כמותם נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד
הנה הדרך אל ידיעתו הוא שאם היה איכותו נגזר ממספר זוג וכמותו בלתי נגדר הנה נקח השרש הקרוב לכמותו וחצי איכותו והיוצא הוא שרשם

Example: 200 eighths.

\scriptstyle\sqrt{200^{viii}}

המשל בזה הר' שמניים

הנה נקח שרש הר' הקרוב והוא י"ד א' כ"ד

עוד נקח חצי השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו והוא ד' המורה על רביעיים
ובזה ידענו ששרש הר' שמיניים הוא י"ד רביעיים וח' חמשיים וכ"ד ששיי'
כי כשתכה הי"ד רביעיים ח' חמשיים כ"ד ששיים בעצמם יולדו קצ"ט שמיניים ונ"ו תשיעיים וי"ב עשריים ול"ג יאיי"ם ול"ו יביי"ם והם ר' שמניים בקרוב

ואולם הב' מינים הנשארים

כמו הר' חמישיים אשר כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד
וכמו הק' חמישיים אשר איכותם נגזר ממספר נפרד וכמותם נגדר
הנה הדרך אל ידיעת שרשם הוא בשנכה כמותם בששים וירדו בהכרח מעלה אחת והיא נגזרת ממספר זוג בהכרח אחר שהקודמת לה היא נגזרת ממדרגה נפרדת אחר נעשה הדרך הראשון בעינו ונמצא המבוקש

Example: if we wish to know the root of 200 fifths.

\scriptstyle\sqrt{200^{v}}

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הר' חמשיים

הנה נכה הר' בס' ויעלו י"ב אלפים ששיים

אחר נבקש שרש הי"ב אלף הקרוב והוא ק"ט ל"ב כ"ד
עוד נקח חצי הששה אשר שם הששיים נגזר ממנו והוא ג' המורה על שלשיים
ובזה ידענו ששרש הר' חמשיים הוא ק"ט שלישיים ל"ב רביעיים כ"ד חמשיים
כי כשתכה הק"ט שלישיים ול"ב רביעיים כ"ד חמשיים בעצמם יולדו י"א אלפים ותתקצ"ט ששיים ומ"א שמיניים ומ"ה תשיעיים ול"ו עשריים והם י"ב אלף ששיים בקרוב

Also: if we wish to know the root of 100 fifths.

\scriptstyle\sqrt{100^{v}}

וכן אם רצינו לדעת שרש הק' חמשיים

הנה נכה הק' בששיים ויעלו ו' אלפים ששיים

נקח שרש הו' אלפים והקרוב והוא ע"ז כ"ז
עוד נקח חצי הששה אשר שם הששיים נגזר ממנו והוא ג' המורה על שלישיים
ובזה ידענו ששרש הק' חמשיים הקרוב הוא ע"ז שלישיים כ"ז רביעיים
כי כשתכה הע"ז שלישיים כ"ז רביעיים בעצמם יולדו ה' אלפים תתקצ"ח ששיים ל' שביעיים וט' שמיניים והם ו' אלפים בקרוב

ומהנה יודע לך הדרך במציאות שרשי שברים רבים משברי התכונה או שברים ושלמים יחד

וזה בשנתיך הכל אל המין היותר פחות מהם ואז נשתמש עם הדרך הקודם

Example: if we wish to know the root of 20 degrees, 24 minutes, 20 seconds and 30 thirds.

\scriptstyle\sqrt{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}

המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הכ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים

We multiply the 20 degrees by 60 and the result is 1200 minutes

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot20^\circ}{60}=1200^{\prime}}}

הנה נכה הכ' מעלות בס' ויעלו אלף ר' ראשונים

We sum them with the 24 minutes and the result is 1224.

\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}=1200^{\prime}+24^{\prime}=1224^{\prime}}}

נחברם עם הכ"ד ראשונים ויעלו אלף רכ"ד

We multiply them again by 60 and the result is 73440 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot1224^\prime}{60}=73440^{\prime\prime}}}

עוד נכם עם ס' ויעלו ע"ג אלף ות"מ שניים

Sum them with the 20 seconds and the result is 73700 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}=73440^{\prime\prime}+20^{\prime\prime}=73460^{\prime\prime}}}

חברם עם הכ' שניים ויעלו ע"ג אלף ות"ס שניים

We multiply them by 60 and the result is 4407600 thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot73460^{\prime\prime}}{60}=4407600^{\prime\prime\prime}}}

נכם עם הס' ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות אלף ושבעה אלפים ושש מאות שלישיים

We sum them with the 30 thirds and the result is 4407630 thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}=4407600^{\prime\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}=4407630^{\prime\prime\prime}}}

נחברם עם הל' שלישיים ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות אלף ושבעה אלפים ושש מאות ושלשים שלישיים

Since the thirds are an odd rank, we multiply them again by 60, so that they rise one more rank, which is even, and they are 264457800 fourths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot4407630^{\prime\prime\prime}}{60}=264457800^{iv}}}

ואחר שהשלישיים היא מדרגה נפרדת נכם עוד עם הס' ויעלו עוד מדרגה אחת והיא זוג והם רס"ד פעמים אלף אלפים ותנ"ז אלף ות"ת רביעיים

We take their root and they are 16262.

We take also half the four, from which the name of the fourths is derived, it is 2 that indicates the seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}=\sqrt{264457800^{iv}}\approx16262^{\prime\prime}}}

בקשנו שרשם והם י"ו אלפים ורס"ב

עוד לקחנו חצי הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והוא ב' המורה על שניים

ובזה ידענו ששרש הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים הקרוב הוא י"ו אלפים רס"ב שניים וט' שלישיים שהם ד' מעלות ל"ט ראשונים כ' שניים ט' שלישיים

כי כשתכה זה השרש עם עצמו יעלו כ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים כ"ה שלישיים נ"ב רביעיים ל"ז חמשיים כ"א ששיים

והוא קרוב מאד אל המספר המבוקש שרשו שהוא הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים

והסבה הכוללת לכל אלה הדרכי' היא הסבה בעצמה אשר זכרנו בשברים המספריים רק שבמקום שאמרנו שהכאת השברי' עם עצמם הוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם ואיכותם עם עצמם נאמר הנה שהוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם וכפל איכותם

ולכן יתחייב גם הנה שנבקש המספר אשר יוכה בעצמו ויולד כמות המספר העולה מהכאתו שהוא המספר הדרוש שרשו והוא שרש כמות השברים הדרושים
ואולם באיכות לא נבקש שרשם אחר שאין איכות השברים הדרושים נולד מהכאת האיכות עם עצמו רק נקח חציו אחר שבכפלו יולד המספר הדרוש שרשו ובזה נגיע אל המבוקש
ולכן כאשר יהיה כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגדר ר"ל נגזר ממספר זוג או כמותם ואיכותם יחד נגדרים הנה נקח שרש הכמות האמתי אם היה הכמות נגדר או הקרוב אם היה בלתי נגדר
אחר זה נחלק האיכות לחצאין והוא שרשו

ואולם כאשר היה איכותם בלתי נגדר בין שיהיה כמותם נגדר ובין שיהיה בלתי נגדר

הנה נצטרך בהכרח להכות הכמות עם ס' עד יעלה מדרגה אחת ואז יהיה נגדר בהכרח אחר שישוב במדרגת הזוג ויתכן בו החלוק לחצאין ובזה נגיע אל המכוון

ואולם כאשר היו השברים ממינים רבים ונשיבם אל מין אחד הנה סבתו סבת הדרך הקדום בעצמו אין חלוף ביניהם כלל

Part Two - Cubic Roots

החלק השני

As the numbers differ from the surfaces, since the numbers are divided into two categories - those who have roots and those who do not have roots - which are called the "same" and the "others".

וכמו שיתחלפו המספרים מהשטחים באשר המספרים יחלקו לשני חלקים נגדרים ובלתי נגדרים והם הנקראים ההויים וזולתיים

Whereas the surfaces, even if they are divided into these categories, they are converted into one of these species, which is the "same".

ולא כן השטחים כי השטחים ואם יחלקו גם הם לאלה החלקים אמנם כבר ישובו אל מין אחד מהם והם ההוהויים

By the square of the line that is mean between the two lines that encompass the heteromecic surface, whose existence between any two lines has already been proven.

והוא מרובע הקו הממוצע בין שני הקוים המקיפים בשטח הזולתיי אשר זה כבר התבאר מציאותו בין כל שני קוים איזה קוים שיהיו

But, this is not the case for numbers, since between every two numbers there is no proportional mean number, such that the square of this number is equal to the product of the two extreme numbers one by the other.

ולא כן במספרים כי אין בין כל שני מספרים מספר ממוצע מתייחס ביניהם עד יהיה מרובע המספר ההוא שוה לעולה מהכאת שני המספרים הקצותיים האחד עם האחר

Likewise, the numbers also differ from the solids, since the numbers are divided into two categories - the cubic and the non-cubic.

כן יתחלפו ג"כ המספרים מהגשמים באשר המספרים יחלקו לשני חלקים מעוקבים ובלתי מעוקבים

Whereas the solids, even if they are divided into these categories, they are converted into one of these species, which is the cubes.

ולא כן הגשמים כי הגשמים ואם יחלקו גם הם לאלה החלקים אמנם כבר ישובו אל מין אחד מהם והם המעוקבי'

והוא המעוקב ההווה על הקו השני מהארבעה קוים המתיחסים אשר יהיה יחס הראשון אל הרביעי כיחס מעוקב מה אל המוגשם המונח

וזה שכאשר היה מוגשם מה מונח ולקחנו מעוקב מה איזה מעוקב היה הנה אין ספק שיהיו מתיחסים ביחס מה בין שיהיו מדוברים או אלמים ובין שיהיו משותפים או נבדלים

וכאשר נמצא קו שיהיה מתיחס אליו הקו אשר נבנה עליו המעוקב הלקוח כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח ויקרא הקו הנמצא
אחר זה נמצא שני קוים אמצעיים בין שני הקוים האלו נמשכים ביחס עד שיהיה יחס הקו הראשון אשר נבנה עליו המעוקב המונח אל הקו הראשון מהשני קוים האמצעיים כיחס הקו הראשון מהאמצעיים אל הקו השני מהאמצעיים וכיחס השני מהאמצעיים אל הקו הנמצא הנה בהכרח שיהיה יחס הראשון אל הרביעי הוא כיחס הראשון אל השני משולש בכפל
אבל יחס הראשון אל הרביעי הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח
ויחס הראשון אל השני משולש בכפל הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המעוקב שנבנה על הקו השני
אם כן יחס המעוקב הלקוח אל המעוקב אשר נבנה על הקו השני הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח והדברים שיחסם אחד אל שיעור אחד הנה הם שוים
אם כן המוגשם המונח הוא שוה למעוקב הנבנה על הקו השני בהכרח
הנה אם כן יתחייב שימצא תמיד מעוקב שוה למוגשם מונח איזה מוגשם היה
ויתחייב שישובו כל המוגשמים מעוקבים
ולא כן במספרים כי אין בין כל שני מספרים מתייחסים נמשכים ביחס עד שיהיה יחס הראשון אל השני כיחס השני אל השלישי וכיחס השלישי אל הרביעי

וכאשר היה זה כן הנה כמו שחוייבנו לחקור השרשים האמתיים למספרים המרובעים והקרובים למספרי' הבלתי נגדרים למה שלא תספיק לנו ידיע' אחת בשניהם יחד

כן הוא המחויב עלינו גם כן לחקור הדרך אשר בה נוכל למצוא יסוד המעוקבים
והדרך אשר בה נוכל למצוא היסוד היותר קרוב למספרים המוגשמים

Definition of a cubic number: By cubic numbers I mean the numbers whose length, width, and depth are equal.

וארצה במעוקבים המספרים אשר ארכם ורחבם ועמקם שוים

Definition of a solid number: Solid numbers are the numbers whose length, width, and depth are unequal, either all of them or some of them.

ובמוגשמים המספרים שארכם ורחבם ועמקם בלתי שוים אם כלם ואם קצתם

דמיון המעוקבים כמו מספר ח' אשר הוא מתילד מהכאת מספר ב' עם עצמו והעולה עם הב'

כי ב' פעמים ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח'
והנה ג' צלעותיו שהם האורך והרוחב והעומק הם מספר ב'
ויקרא הב' יסוד הח' אחר שממנו צמח

וכן מספר כ"ז יקרא גם כן מעוקב להיות שג' צלעותיו שהם האורך והרוחב והעומק הם ג'

כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז
ומספר ג' אשר ממנו התילד מספר הכ"ז יקרא יסוד הכ"ז

ודמיון המוגשמים מספר י"ב עד"מ אשר לא יתכן שימצא מספר שיוכה בעצמו והעולה עם עצמו ויולד ממנו י"ב

Chapter One: [Extracting the Cubic Roots of Integers]

הפרק הראשון

דע שהראשונים כבר כתבו דרך אחד במציאות יסודות המספרים המעוקבים

והוא שתסדר המספר אשר אתה דורש יסודו בטור אחד כמנהג הנחת המדרגות זה אחר זה
עוד אחר זה תשים נקודה תחת מדרגת האחדים
עוד תדלג שתי מדרגות ותחת המדרגה הרביעית תשים עוד נקודה
וכן מה שאחר זה בדלוג ב' מדרגות מהמדרגה אשר תחתיה נקודה ותחת המדרגה הרביעית לה שים נקודה
וזה תמיד עד שיכלו כל המדרגות ובזה תדע מקום הנחת היסודות
כי כל נקודה ונקודה הוא מקום הנחת היסוד
ואחר שידעת מקומות הנחת היסודות הנה ראוי שתתחיל מהנקודה האחרונה שתבקש המספר אשר יספיק העולה מהכאתו בעצמו באופן מעוקב שיחוסר מהמספר אשר עליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ותחשוב המדרגה הזאת כמו מדרגת האחדים והנמשכת לה לעשרות והנמשכת לה למאות
ר"ל אם היתה מדרגה אחת נמשכת לה לבד תחשב למדרגת העשרות
ואם היו שתי מדרגות נמשכות לה תחשב האחרונה למדרגת המאות והקודמת לה למדרגת עשרות
ואחר שתמצא המספר אשר העולה מהכאתו בעצמו באופן מעוקב יספיק שיחוסר מהמספר אשר עליו אם היה לבדו או מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה כאשר בארנו הנה נכתבהו על הנקודה האחרונה שבנקודות
ואחר זה נכה המספר המונח בשלשה והעולה נכתבהו תחת המדרגה השלישית לה מהמדרגות הקדומות וזה אם היה העולה אחדים לבד
ואם היו עשרות ואחדים הנה נכתוב העשרות תחת המספר המונח והאחדים תחת המדרגה השלישית לה מהמדרגות הקודמות ונקרא המספר הראשון יסוד ראשון
ומספר האחדים אשר יתחדש מהכאתו בג' יקרא משולש ראשון
ומספר העשרות אשר יתחדש מהכאתו בג' יקרא המשולש שתחת היסוד הראשון
אחר זה נעתיק היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה
ולא נעתיק המשולש אשר תחת היסוד הראשון אם היה שם משולש בעבור שלא העתקנו עדיין המשולש הראשון
אחר זה נבקש מספר אשר יוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויהיה המספר היותר קרוב ממספר אשר למעלה מהמשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם זה המספר עצמו והעולה נשמרהו
גם נכה המספר המבוקש עם המשולש הראשון והעולה נכהו עם היסוד הראשון והעולה נחברהו עם המספר השמור והמקובץ נחסרהו מהמדרגה שעל היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו והעולה אחר זה שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ועוד שיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת השלישית למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
וכאשר מצאנו המספר היותר קרוב אשר יספיק העולה מכל אלה ההכאות שיחוסר מהמדרגו' שעליהם על הסדר שתארנו הנה נכתבהו על הנקודה הקודמת השלישית לנקודה האחרונה ויקרא היסוד השני
עוד אחר זה נכה היסוד השני בג' והעולה אם היה אחדים לבד נכתבהו תחת המדרגה השלישית במקומם הנזכר והעשרות תחת היסוד השני
אחר זה נעתיק כל האותיות הנמשכות למשולש השני אל המדרגה הקודמת לה ר"ל היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה והמשולש שתחת היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת והמשולש הראשון אל המדרגה הקודמת ונחברנה עם המשולש שתחת היסוד השני אם היה בעבור ששניהם במקום אחד אחרי ההעתקה
גם נעתיק היסוד השני אל המדרגה הקודמת והנה נעתקו כל האותיות חוץ מהמשולש השני
ואז נבקש המספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויחוסר מהמדרגה שעל המשולש שתחת היסוד הראשון
ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני
ובעבור שיש בין המשולש שתחת היסוד הראשון ובין היסוד השני שני מספרים שהם היסוד הראשון והמשולש הראשון על כן נשמור העולה מהכאת המשולש שתחת יסוד הראשון עם היסוד השני
ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרהו ממדרגת היסוד הראשון
עוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש
ובעבור שיש בין המשולש שתחת היסוד ובין המבוקש ארבעה מספרי' שהם המספר הנלוה הנמשך למבוקש והמספר הנלוה הקודם למשולש שתחת היסוד והמספר הנלוה הנמשך לנמשך והמספר הנלוה הקודם לקודם ע"כ נשמור בידינו העולה מהכאת המשולש שתחת היסוד הראשון עם המבוקש
ונכה המבוקש עם המשולש השני שהוא הנמשך והעולה עם היסוד הראשון שהוא הקודם והעולה נשמרהו
גם נכה המבוקש עם המשולש הראשון שהוא הקודם לקודם והעולה עם היסוד השני שהוא הנמשך לנמשך
ואז נקבץ הכל אחר שלא נשארו ביניהם מספרים אחרים והמקובץ נחסרהו ממדרגות המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
עוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש
ונשמרהו בעבור שיש בין המשולש הראשון והמבוקש שני מספרים שהם הנמשך למבוקש והקודם למשולש הראשון
ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני שהוא הנמשך לו והעולה נכהו עם היסוד השני שהוא הקודם למשולש הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרהו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה
עוד שיוכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש
ובעבור שאין ביניהם מספר כלל לכן לא נשמרהו רק נחסרנו מיד ממדרגת המשולש השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה
עוד שיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרהו ממדרגת היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה
וכאשר מצאנו המספר ההוא אשר העולה מהכאתו עם אלה האותיות אשר הזכרנו לפי הסדר אשר תארנו ויהיה המספר היותר קרוב שיחוסר מהמספרים אשר זכרנו הנה יהיה הוא המספר המבוקש ונכתבנו על הנקודה השלישית לנקודה האחרונה ויקרא היסוד השלישי
וכן בזה הדרך לעולם עד שיכלו המספרים המונחים אל מדרגת האחדים ששם הנקודה הראשונה מכל הנקודות

להיות שזה האופן ישתנה לשני מינים

המין האחד הוא שיתחייב מהכאת היסוד הראשון בג' אחדים ועשרות

ונצטרך בזה לשני משולשים אל משולש ראשון ואל משולש שתחת היסוד הראשון

והמין השני הוא שיתחייבו מהכאת היסוד הראשון בג' אחדים לבד

ולא נצטרך בזה רק אל משולש ראשון

כי המין הג' והוא שיתחייב מהכאת היסוד הראשון בג' עשרות לבד שאז לא נצטרך רק אל משולש שתחת היסוד לבד לא יחדש חלוף נוסף כלל על הדרך אשר בידיעת המין הראשון

ולכן לא נצטרך להביא משל אלא על ב' המינים בלבד לא זולת זה

משל המין הראשון הוא זה

					1
				2	2
			3	3	8	0
			4	2	4	2
	7	9	2	6	5	7	0
0	3	0	8	3	8	3	2
4	5	3	2	5	6	7	3

4	2	4	4	2	4	4
			3	4	1	1

נסמן נקודה הראשונה תחת האחדים ואחריה נקודה שנית תחת המדרגה הרביעית לה ואחריה נקודה שלישית תחת המדרגה הרביעית לה וכן כסדר הזה עד שיכלו המדרגות ומקומות היסודות הם הנקודות

אחר זה נתחיל היסוד הראשון במקום הנקודה האחרונה מכל הנקודות ונבקש מספר אשר יוכה בעצמו באופן מעוקב ויהיה העולה מהכאתו המספר היותר קרוב למספר שעל הנקודה האחרונה עם עזר המספרים הנמשכים לה
והנה מצאו ד' כי ד' פעמים ד' הם י"ו וד' פעמים י"ו הם ס"ד והוא המספר היותר קרוב למספר פ"ז שהם המספר שעל הנקוד' האחרונ' עם המספר הנמשך אליו
וכתבנוהו על הנקודה האחרונה וחסרנו העולה מהכאתו באופן מעוקב שהוא ס"ד מפ"ז ונשארו כ"ג וכתבנום עליהם
אחר זה הכינו הד' שהוא היסוד הראשון בג' ועלו י"ב
כתבנו הב' תחת המדרג' השלישי' הקודמת למדרגת היסוד הראשון והי' שהוא א' כתבנוהו תחת היסוד הראשון והקפנו הב' שהוא המשלש הראשון והא' שהוא המשולש שתחת היסוד הראשון בגלגל להיות המשולשים נכרים ונבדלים מהיסודות
אחר זה העתקנו הד' שהוא היסוד אל המדרגה הקודמת לו ומחקנו הד' ממקומו הראשון ולא העתקנו המשולש שתחת היסוד הראשון בעבור שהמשולש הראשון והמשולש שתחת היסוד הם תולדה אחת
ואחר שלא העתקנו המשולש הראשון שהוא אחיו בעבור שהוא האות הראשון ולא יעתק האות הראשון לעולם לפי הדרך הזאת על כן לא העתקנו גם המשולש שתחת היסוד שהוא אחיו
אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ונחסרהו מהמספר שעל המשולש שתחת היסוד הראשון שהוא הא' עם עזר המספרים הקודמים
ועוד שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם עצמו שהוא המבוקש ושיוכה גם כן המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה מקבוץ שניהם שיחוסר מהמספר שעל הד' שהוא היסוד הראשון עם עזר המספרים הקודמים לו
ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ויחוסר מהמספר שעל הב' שהוא המשולש הראשון עם עזר המספרי' הקודמים לו
ועוד שיוכה המבוקש עם עצמו והעולה עם עצמו ויחוסר מהמספר שעל הנקודה השנית לנקודה האחרונה
והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה ושיהיה הוא המספר היותר קרוב אשר אפשר ביותר מזה המספר הנה הוא המבוקש
ומצאנו שהמספר הזה הוא ד' ולכן נכתבהו על הנקודה השנית לנקודה האחרונה הכינוהו עם הא' שהוא תחת היסוד הראשון והעולה עם הד' שהוא היסוד הראשון והם י"ו חסרנום ממדרגת המשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם הכ"ג ונשארו ז' וכתבנו על הב' סיפרא להורות שלא נשאר כלום ועל הג' ז' להורות על הנשארים
אחר זה הכינו הד' שהוא המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ועלו י"ו ובעבור שביניהם עוד שני מספרים שמרנו העולה
והכינו גם אותם זה עם זה בשהכינו תחלה המבוקש עם המשולש הראשון אחר זה הכינו העולה עם הד' שהוא היסוד הראשון ועלו ל"ב וקבצנום עם השמור ועלו מ"ח חסרנום ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ח כתבנו הב' על הג' והח' על הו' להורות על הנשארים
אחר זה הכינו הד' שהוא המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו ל"ב חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רנ"ג כתבנו הג' על הח' והנ' על הפ' והנחנו הד' במקומו בעבור שלא חסרנו ממנו כלום להורות על הנשארים
אחר זה הכינו המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה ס"ד חסרנום ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השני עם עזר הנמשכים לו ונשארו אלפים ותס"ח וכתבנום על מקומותם כמנהג להורות על הנשארים
אחר זה הכינו היסוד השני בג' ועלו י"ב וכתבנו הב' תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד השני וקראנוהו המשולש השני
ותמורת הי' כתבנו א' תחת היסוד השני וקראנוהו המשולש שתחת היסוד הב'
אחר זה העתקנו כל האותיות הנמשכות למשולש השני אל המדרגות הקודמות להם ומחקנו האותיות במקומותם הראשונים
והמשולש שתחת היסוד השני אינו נעתק ממקומו בעבור שהמשולש השני שהוא אחיו בלתי נעתק ממקומו כמנהג
על כן חברנו המשולש הראשון עם המשולש שתחת היסוד השני ועלו ג' והקפנו גלגלים על המשולשים למקומם
אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ובעבור שביניהם ב' מספרים נשמור העולה בידינו
ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ונקבצנו עם השמור ונחסר המקובץ ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבור שיש ביניהם ד' מספרים
ונכה המבוקש עוד עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון ונשמרהו בעבור שיש ביניהם שני מספרים
ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמורים הראשונים והמקובץ נחסרהו ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבור שיש ביניהם שני מספרים
ונכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני ונקבץ העולה עם השמור ונחסרנו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש ונחסרנו ממדרגת המשולש הב' עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה עוד המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השלישי שעל הנקודה השלישית לנקודה האחרונה עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ומצאנו שהמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר אשר תארנו הוא מספר הד' וכתבנוהו בנקודה השלישית לנקודה אחרונה
הכינוהו עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו י"ו חסרנום ממדרגת המשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו ח' כתבנו הח' על הד' ועל הב' סיפרא להורות על הנשארים
עוד הכינו המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו י"ו ושמרנום בעבור שיש ביניהם שני מספרים
ולכן הכינו עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה מ"ח נקבצנו עם השמור והעולה ס"ד ונחסרנו ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ב כתבנו הב' על הו' והכ' על הפ' להורות על הנשארים
עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש והעולה י"ו ושמרנום בעבור שיש ביניהם ד' מספרים
הכינו עוד המבוקש עם המשולש הב' והעולה עם היסוד הראשון ועלו ל"ב ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים
הכינו עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו מ"ח וקבצנום עם השמורי' ועלו צ"ו חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה שהם רכ"ח ונשארו קל"ב וכתבנום במקומם להורות על הנשארים
עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ועלו מ"ח ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים
הכינו עוד המבוקש עם המשולש הב' והעולה עם היסוד הב' ועלו ל"ב קבצנום עם השמור ועלו פ' חסרנום ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם אלף שכ"ג ונשארו אלף רמ"ג וכתבנום במקומם כמנהג להורות על הנשארים
עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש ועלו ל"ב חסרנום ממדרגת המשולש הב' עם עזר המדרגו' הנמשכות לה שהם י"ב אלף תל"ה ונשארו י"ב אלף ת"ג וכתבנום במקומם להורות על הנשארים
עוד אחר זה הכינו המבוקש עם עצמו באופן מעוקב ועלו ס"ד חסרנום ממדרגת המספר המבוקש שהוא היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו קכ"ג אלף ותתק"ע וכתבנום במקומם להורות על הנשארים
ולהיות שהגענו אל מדרגת האחדים ידענו כי נשלם הפועל
ולהיות שנשארו למעלה מספרים ידענו שאין זה יסוד אמתי רק הוא היסוד הקרוב למספר המונח ר"ל מצד מה שהוא מחובר משלמים לבד

אולם אם רצית היסוד המחובר משלמים ושברים יחד הנה הדרך אל מציאותו יתבאר לפנים בעה"י

ואחר שכבר נשלם הפועל הנה נקח היסודות והם אשר אינם מוקפים בגלגל ונשליך מהם המשולשים והם המוקפים בעגולות כאשר הזכרנו
ונסדר היסודות בטור אחד לפי הנחת המדרגות והם תמ"ד וזהו יסוד המספר המונח

ואולם המין השני משלו הוא זה

			5
			6
	0	2	8
	1	4	6	9	5
	2	8	1	1	6
0	7	1	2	9	1	2	9
3	4	5	8	7	6	5	4

	3	3	9	2	2	6	5
			3	9

תחלה נסמן הנקודות המורות על מקומו' היסודו' כאשר הזכרתי

ואח"כ נתחיל מהנקודה האחרונה ונבקש המספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויספיק העולה שיחוסר ממדרגת המבוקש עם עזר המדרגות הנמשכות לה והוא מספר ג'
הכינוהו עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנו' ממדרג' המבוקש שהוא היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו ז' וכתבנו הז' על הד' וסיפרא על הל' להורות על הנשארים
אחר זה הכינו הג' בג' ועלו ט' וכתבנום תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הראשון
אחר זה העתקנו הג' שהוא היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה ומחקנו הג' ממקומו הראשון
אחר זה בקשנו מספר עשרות שיוכה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון שיחוסר ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה אחר זה עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו שיחוסר ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה אחר זה עם עצמו באופן מעוקב שיחוסר ממדרגת המבוקש עם עזר המדרגות הנמשכות לה
והמספר שיצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה הוא המספר המבוקש
ומצאנו שהמספר הזה הוא מספר ב' וכתבנוהו תחת הנקודה הקודמת למשולש הראשון והוא היסוד השני
הכינוהו עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו נ"ד חסרנום ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ה כתבנו הא' על הה' והב' על הע'
אחר זה הכינו היסוד הב' עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו ל"ו חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגו' הנמשכו' לה שהם רי"ח ונשארו קפ"ב וכתבנום במקומם
אחר זה הכינו היסוד הב' עם עצמו והעולה עם עצמו ועלו ח' חסרנום ממדרגת היסוד הב' עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם אלף תתכ"ז ונשארו אלף תתי"ט וכתבנום במקומם
אחר זה הכינו היסוד הב' בג' ועלה ו' וכתבנום תחת המדרגה הג' והקודמת למדרגת היסוד השני
אחר זה העתקנו כל האותיות אל המדרגה הקודמת לה ובקשנו המספר שיוכה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר ממדרג' היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה
ושיוכה אחר זה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני והעולה נשמרהו בעבור שהם בין שני מספרים שהם המשולש השני והיסוד הראשון
ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה
עוד אחר זה נכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבו' שיש ביניהם שני מספרים שהם המשולש השני והיסוד השני
ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה
אחר זה נכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה
והמספר שיצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה כשיהיה הוא המספר היותר קרוב אשר אי אפשר ביותר מזה המספר הוא המבוקש
ומצאנו שהמספר המבוקש הוא ה' וכתבנוהו בנקודה השלישית לאחרונה והוא היסוד השלישי
הכינו היסוד הג' עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו קל"ה חסרנו' ממדרגת היסוד הא' עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו מ"ו
עוד אחר זה הכינו היסוד השלישי עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו צ' ושמרנום בעבור שהם בין שני מספרים
והכינו היסוד הג' עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה צ' קבצנוהו עם השמור והמקובץ ק"פ חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רפ"ט
אחר זה הכינו היסוד הג' עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו רכ"ה ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים
והכינו היסוד הג' עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני ועלו ס' קבצנום עם השמור ועלו רפ"ה חסרונם ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגו' הנמשכות לה ונשארו ב' אלפים תרי"א
אחר זה הכינו היסוד השלישי עם המשולש השני והעולה עם היסוד השלישי ועלו ק"נ חסרנום ממדרגת המשולש השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ה אלף תתקס"ה
אחר זה הכינו היסוד השלישי עם עצמו באופן מעוקב ועלו קכ"ה חסרנום מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רנ"ט אלף ותקכ"ט
ולהיות שכבר הגענו אל האחרית הנה א"כ נשלם הפועל
ולכן נקח היסודות לבד ונסדרם בטור על סדר המדרגות
ויתחייב לפי ההנחה הזאת שיהיה היסוד היותר קרוב למשלנו זה שכ"ה והם שלמים
ואחר שנשארו למעלה מספרים שלא כלו ידענו שזה השרש הוא שרש קרוב לא אמתי

אלו הם המשלים אשר הונחו לב' המינים המתחלפים ובהם יוקף מה שכווננוהו

וזה ביסוד המחובר משלמים לבד

אולם הדרך המודיע מציאו' היסוד היותר קרוב בשיהיה היסוד ההוא מחובר משלמים ונשברים הנה יתבאר לפנים אחר שנביא המאזנים לאלו המינים הנזכרים

ואומר שהמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא בשנכה היסוד עם עצמו והעולה עוד עם עצמו

ואם העולה אחר זה שוה למספר המונח הנה צדקת ואם לאו כזבת
וזה ביסוד האמתי שלא נשארו למעלה מספרים כלל

אבל ביסוד הקרוב הנה נכה היסוד עם עצמו והעולה עם עצמו והעולה אחר זה תחברנו עם המספרים הנשארים למעלה מהמספר המונח

ואם לא ישוה למספר המונח כזבת

ודע שהראשונים לא כתבו בזה המין אופני התחבולה אשר בהם נוכל לדעת מציאות יסוד המעוקב היותר קרוב כשיהיה היסוד ההוא מחובר משלמים ושברים

אולם אנחנו נתן דרך בזה בעזרת חונן לאדם דעת

ואומר שהדרך אל מציאותם הוא בשנניח המספר הדרוש יסודו בטור אחד ימשכו מדרגותיו קצתם לקצת כמנהג

ונעשה כזה הדרך הקודם בעינו
וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש הנה נוסיף על המדרגות המונחות מצד האחדים שלשה סיפראש או ששה או תשעה או איזה סיפרש שתרצה לבד שיתוספו ג' ג'
ואחר זה נעשה מה שקדם מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה מהסיפראש
אחר זה נקח כל היסודות ונסדרם בטור אחד על סדר המדרגות ונשליך מהם כמספר שליש הסיפראש ונקח היסודות האחרות והם מעלות
אחר זה נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר שליש הסיפראש ונקח הנשארים והם ראשונים
וכן תעשה תמיד עד שיכלו הסיפראש ואז נחבר הכל
ויהיה הוא היסוד היותר קרוב למספר הדרוש

המשל בזה אם רצית מספר הח' מאות נוסיף עליו ט' סיפרש

				4
			2	8	5	9
		1	8	2	6
		6	5	8	9	2	3
	2	1	9	5	1	6	4	1
	3	5	3	1	5	2	2	2
	7	1	6	2	2	7	4	9	8	1
							6	8	2	4	3
8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0

9	9	7	2	2	6	3	3	4	3
2	2	9	7	7	2	3
		2	9

ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו במציאות היסודות ונמצא שיהיו מדרגות היסודות ד'

ונשליך מהם מדרגו' ככמו' שליש הסיפרש שהם ג' ויהיה הנשאר מדרגה אחת והם ט' והם מעלות אשר הם במקום שלמים
אחר זה נכה היסודות הנשלכות בס' והעולה נשליך מהם מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו י"ו הם ראשוני'
עוד נכה המדרגות הנשלכות בס' והעולה נשליך ממנו מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו נ"ח והם שניים
עוד אחר זה נכה המדרגות הנשלכות בס' והעולה נשליך מהם מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו מ"ח והם שלישיים
ולהיות שהמדרגות הנשלכות בפעם הזאת הם כלם סיפראש לכן לא נכם עוד כי הכאתם עם הס' לא יעלה מהם מספר כלל
הנה אם כן יסוד מספר השמנה מאות הוא ט' שלמים י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים
כי כשנכם בעצמם על הדרך אשר הוריאתך בהכאת שברי התכונה יעלו פ"ו שלמים י' ראשונים כ"ו שניים מ"ג שלישיי' י"ג רביעיים כ"ו חמשיים כ"ד ששיים
עוד נכה אלה עם הט' שלמים י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים ויעלו תשצ"ט שלמים נ"ז ראשונים י"ד שניים ל"ח שלישיים מ"ג רביעיים ח' חמשיים מ"ה ששיים נ"ט שביעיים י"ט שמיניים י"ב תשיעיים
והם קרובי' לח' מאות

ואם רצית לדקדקו יותר מזה תרבה הסיפראש ובלבד שיהיה התוספת על הקודמות ג'ג'

ר"ל שבמקום שהוספת ט' סיפראש תוסיף י"ב או ט"ו וכן לעולם

		°
		9
'


2	8	3
	6	0

	1	6
''

9	8	0
	6	0

	5	8
'''

8	0	0
	6	0

4

8

0

עוד חדשתי דרך אחרת יותר קצר' מזאת ויותר רחוק' מהבלבול

והוא כי לא תצטרך הנה למשולשי' כלל לא למשולשי' שתחת היסודות ולא למשולשים ראשונים ושניים ושלישיים ולא לחבורי המשולשים האחד עם האחר ולא להעתקת היסודות והמשולשים אבל הכל יצא לך מתוקן עם קצורו כאשר יצא לך עם האורך הגדול והמבוכה הרבה

והוא שתסדר המספר הדרוש יסודו בטור יסודרו מדרגותיו לפי הנחת המדרגות ר"ל מדרגת האחדים ראשונה ואחריה מדרגת העשרות ואחריה המאות וכן כסדר עד שיכלו מדרגות הטור

וכאשר הנחת אותו על סדורו הנה נסמן הנקודות על מקומם כמנהג הקדום בעצמו
אחר זה נתחיל מהנקודה האחרונה כמנהג ונבקש מספר אשר יוכה בעצמו באופן מעוקב ויספיק שיחוסר העולה ממדרגת הנקודה האחרונה עם עזר המדרגות הנמשכות לה והמספר ההוא נכתבנו במקום הסימן האחרון ונקראו היסוד הראשון
אחר זה נבקש מספר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ועוד שיוכה המבוקש עם שלשה כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש והעולה שיחוסר מהמדרגה הג' מהקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה שיחוסר מהמדרגה הרבעית הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה
והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על התאר הזה כאשר יהיה היותר קרוב אשר אי אפשר ביותר גדול ממנו הנה נכתבנו תחת יסוד המדרגה הקודמת ליסוד הראשון ונקראנו היסוד השני
אחר זה נבקש יסוד ג' וזה בשנבקש מספר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת ליסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה
עוד שיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה שיוכה עם היסוד השני והעולה נשמרהו בעבור שהוכה עם היסוד השני והנה גם הוא מוכה בשלשה כפליו עם המבוקש ודומה בזה הפועל עם היסוד הראשון
ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה השלישית ליסוד השני מהקודמות עם עזר המספרי' הנמשכי' לו
ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרנו בעבור שיש ביניהם היסוד השני אשר הוא דומה ליסוד השלישי בזה הפועל ר"ל שגם הוא מוכה עם המבוקש בג' כפליו כמוהו
ולכן נכה המבוקש בג' כפלי היסוד השני והעולה נכהו עם עצמו ר"ל עם היסוד השני עצמו בעבור שבפעם הראשונ' הוכה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הרביעית למדרגה שעל היסוד השני מהקודמות
ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם המבוקש והעולה נחסרנו מהמדרגה החמשית למדרגה שעל היסוד השני
ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמדרגה הששית למדרגה שעל היסוד השני
וכאשר מצאנו מספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה שתארנו ושיהיה הוא המספר היותר גדול שאפשר שיצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר הזה ושיספיק שיחוסר העולה מהמדרגות הנזכרות על הסדר הנה נכתבנו תחת המדרגה הקודמת ליסוד השני ויקרא היסוד השלישי
עוד אם לא הגענו לחסר ממדרגת האחדים הנה נבקש עוד מספר אחר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת ליסוד השלישי עם עזר הנמשכי' לה
ושיוכה עוד עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ולהיות שהיסוד השני דומה לו כאשר ביארנו ע"כ נשמור העולה בידינו
ונכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הראשון ונקבץ העולה עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה השלישית ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכים לה
ושיוכה עוד המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד השלישי ונשמור העולה בעבור שיש ביניהם היסוד השני שהוא דומה ליסוד הראשון כאשר ביארנו
ולכן נכה המבוקש בג' כפלי היסוד השני והעולה עם עצמו ר"ל עם היסוד השני כי כבר הוכה עם היסוד הראשון והעולה נשמור אותו גם כן בעבור שהיסוד הג' הוא דומה ליסוד השני והראשון כי גם הוא מוכה עם המבוקש בג' כפליו כמותם
ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הראשון המוכה עמו והעולה נקבצנו עם השמורים שבידינו והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הד' ליסוד השלישי
ושיוכה עוד המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרנו בעבור שיש ביניהם שתי יסודות דומות ליסוד הראשון כי שניהם מוכים בג' כפליהם עם המבוקש
ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הג' ונשמרנו
גם נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמורים שבידינו ונחסר המקובץ מהמדרגה הה' ליסוד הג'
ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם המבוקש ולהיות שביניהם היסוד הג' נשמרנו
ונכה המבוקש עוד עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם עצמו ר"ל עם היסוד הג' והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הששית ליסוד הג'
ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם המבוקש ונחסר העולה מהמדרגה השביעית ליסוד השלישי
ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמדרגה הח' ליסוד הג'
והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר נכתבנו תחת המדרגה הקודמת ליסוד השלישי
ואם הגענו לחסר מהמדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים
הנה נשלם מה שרצינו ויהיו היסודות הכתובות לפי מצבם מורים על יסוד המספר הדרוש אם הוא אמתי
וזה אם לא נשאר על המספר הדרוש שום מספר ואם קרו' וזה אם נשאר על המספר הדרוש מספר וזה היסוד הוא היסוד המחובר משלמים לבד

ואולם היסוד המחובר משלמים ושברים יחד הנה הדרך אל מציאותו הוא בשנוסיף על המספר הדרוש סיפראש איזה כמות שנרצה כשיהיו בתוספת ג' ג' כאשר ביארנו

ונשתמש עם הדרך הזאת אשר חדשתי עד שנגיע אל הסיפרא הראשונה

אחר זה נקח כל היסודות המסודרות תחת המספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינה הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאה ככמות שליש הסיפראש
אחר זה נשליך הסיפראש ונקח הנשאר ונחלקהו על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים
ר"ל אם הוכו היסודות בס' פעם אחת יהיו ראשונים ואם שני פעמים יהיו שניים ואם ג' פעמים יהיו שלישיים וכן תמיד
והיוצא יהיה ממין הקודם ממין המחולקים ר"ל אם היו ראשונים יהיה היוצא בחלוקה מעלות ואם היו המחולקים שניים יהיה היוצא בחלוקה ראשונים וכן תמיד

המשל בזה מספר ח' מאות הנה יסודר על מדרגותיו בתוספת ט' סיפראש עד"מ כזה

					5
				4	6
				5	9	9
				9	2	5	3
			8	2	1	8	9	1
		1	8	7	5	2	2	4
	2	2	3	1	8	7	4	7		1
	7	1	4	2	2	6	6	8	8	4	3
8	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0	0
		9	2	8	3

ונסמן הנקודות כמנהג כדי שנמצא הנקודה האחרונה כי הנקודה האחרונה היא מקום היסוד הראשון

ובקשנו מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר הנמשכי' לו והוא מספר ט'
הכינוהו באופן מעוקב ועלה תשכ"ה
חסרנום מהת"ת ונשארו ע"א וכתבנום עליהם להורות על הנשארי' כמשפט
כתבנו הט' והוא היסוד הראשון במקום הנקוד' האחרונה
אח"ז מצאנו מספר ב' והוא היסוד הב' וכתבנוהו קודם הט' מדרגה אחת
והכינוהו עם כ"ז שהם ג' כפלי ט' ועלו נ"ד
עוד הכינו הנ"ד עם הט' שהוא היסוד הראשון ועלו תפ"ו חסרנום מהמספר שעל הב' שהוא היסוד השני עם עזר המספרי' הנמשכים לו והנשארים כתבנום עליהם כמשפט להורות על הנשארים
עוד הכינו הנ"ד עם הב' שהוא היסוד השני ועלו ק"ח חסרנום מהמדרגה שקודם מדרגת היסוד השני עם המספרים הנמשכים לו והנשארים כתבנום עליהם כמשפט להורות על הנשארים
אחר זה הכינו הב' עם עצמו באופן מעוקב ועלו ח' חסרנום מהמספר הג' ליסוד הב' מהמדרגות הקודמות עם עזר המספרים הנמשכים לו
עוד אחר זה מצאנו מספר ח' והוא היסוד הג' וכתבנוהו קודם היסוד הב'
והכינוהו עם כ"ז שהוא ג' כפלי ט' ועלו רי"ו הכינום עם הט' שהוא היסוד הראשון ועלו אלף תתקמ"ד וחסרנום מהמספר שעל היסוד הג' שהוא הח' עם עזר הנמשכים לו
ועוד הכינו הרי"ו עם הב' שהוא היסוד הב' ועלו תל"ב ושמרנום בעבור שגם היסוד השני מוכה בג' כפליו עם הח' ומזה הצד הוא דומה ליסוד הראשון
ולכן ראוי להכות ג' כפלי הב' שהוא ו' עם הח' שהם מ"ח והמ"ח עם הט' שהם תל"ב ונקבצם עם התל"ב השמורים בידינו ויעלו תתס"ד ונחסרם מהמספר שקודם היסוד הג' עם עזר הנמשכים לו והנשארים נכתבם למעלה כמשפט להורות על הנשארים
אחר זה נכה הרי"ו עם הח' שהוא היסוד הג' ויעלו אלף תשכ"ח ונשמרם בעבור שביניהם היסוד הב'
ולכן נכה ג' כפלי הב' עם הח' שהם מ"ח והעולה עם הב' שהוא היסוד השני ויעלו צ"ו ונקבצם עם השמור ויעלו אלף תתכ"ד נחסרם מהמספר הג' ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכי' לו והנשארים נכתבם למעלה כמשפט להורות על הנשארים
אחר זה נכה המ"ח עם היסוד השלישי כי כבר הוכו עם היסוד הראשון והשני ויעלו שפ"ד ונחסרם מהמספר הד' ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכים לו
אחר זה נכה היסוד הג' עם עצמו באופן מעוקב ויעלו תקי"ב ונחסרם מהספר החמישי ליסוד הג' עם עזר הנמשכים לו
אחר זה מצאנו מספר ג' והוא היסוד הד' וכתבנוהו קודם היסוד הג'
והכינוהו עם ג' כפלי ט' שהם כ"ז ועלה פ"א הכינו הפ"א עם היסוד הראשון ועלו תשכ"ט חסרנום מהמספר שעל היסוד הד'
אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד השני ועלו קס"ב ושמרנום
והכינו גם ג' כפלי היסוד הב' עם היסוד הרביעי ועלו י"ח הכינו הי"ח עם היסוד הראשון ועלו קס"ב קבצנום עם השמור ועלו שכ"ד חסרנום מהמספר הקודם ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו
אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד השלישי ועלו תרמ"ח ושמרנום
גם הכינו ג' כפלי היסוד השלישי עם היסוד הרביעי ועלו ע"ב הכינו הע"ב עם היסוד הראשון ועלו תרמ"ח ושמרנום
גם הכינו הי"ח עם היסוד השני ועלו ל"ו קבצנום ועלו אלף של"ב חסרנום מהמספר השלישי ליסוד הרביעי עם עזר הנמשכים לו
אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד הרביעי ועלו רמ"ג ושמרנום
גם הכינו הע"ב הם היסוד השני ועלו קמ"ד ושמרנום
גם הכינו הי"ח עם היסוד השלישי ועלו קמ"ד חברנו הכל ועלו תקל"א חסרנום מהמספר הד' ליסוד הרביעי עם המספרים הנמשכים לו
אחר זה הכינו הי"ח עם היסוד הרביעי ועלו נ"ד ושמרנום
גם הכינו הע"ב עם היסוד הג' ועלו תקע"ו קבצנום ועלו תר"ל חסרנום מהמספר הה' ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו
אחר זה הכינו הע"ב עם היסוד הד' ועלו רי"ו חסרנום מהמספר הו' ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו
אחר זה הכינו היסוד הרביעי עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנום מהמספר הז' ליסוד הרביעי עם עזר המספרים הנמשכים לו
ולהיות שחסרנו ממדרגת האחדים ידענו שכבר נשלם הפועל
אחר זה לקחנו היסודות והכינום בס' ועלו 556980
והם ראשונים בעבור שהוכו פעם אחת עם ס'
עוד הכינו אלה עם ס' ועלו 33418800
והם שניים בעבור שהוכו ב' פעמים עם ס'
עוד הכינו אלה עם ס' ועלו 2005128000
והם שלישיים בעבור שהוכו ג' פעמים עם ס'
ולהיות שהג' מדרגות הראשונות מזה הטור הם ג' סיפראש שהם שליש הסיפראש שהוספנו על הת"ת לכן לא נכם יותר רק נשליך הסיפראש ונחלקם על ס' ויצאו בחלוק 33418
והם שניים כי נתמעט איכותם מדרגה אחת והנשארים מהחלוקה הם מ"ח והם שלישיים בעבור שהנחלקים שלישיים ושמרנום
עוד חלקנו השניים שיצאו מהחלוקה על ס' ויצאו בחלוקה תקנ"ו והם ראשונים והנשארים נ"ח והם שניים ושמרנום
עוד חלקנו הראשונים על ס' ויצאו מהחלוקה ט' והם מעלות והנשארי' י"ו והם ראשוני'
חברנו הכל והם ט' מעלות י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים וזהו היסוד היותר קרוב

ואם רצית לדקדקו יותר תוסיף סיפראש יותר ממה שהוספנו ועשה מה שהראיתיך וכן תמיד

עוד חדשתי דרך אחרת יותר קצרה מהדרך הראשונה כי לו יצטרך הנה להכאות רבות אבל הכל יצא לך מתוקן עם הכאה אחת

והוא שתסדר המספר הדרוש יסודו לפי סדר הנחת המספרים

אחר זה תסמן הנקודות כמנהג ונתחיל מהנקודה האחרונה
ונכתוב שם מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר המספרים הנמשכים לו ויקרא היסוד הראשון
אחר זה נכתוב במקו' הנקודה הקודמת יסוד שני שיוכה עם העולה מהכאת היסוד הראשון עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והשני יחד והעולה שיחוסר מהמספר השני לו עם עזר הנמשכים לו
גם נכה היסוד הב' באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו
אחר זה נכתוב במקום הנקודה הקודמת יסוד ג' שיוכה עם העולה מהכאת היסוד הראשון והב' יחד עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' יחוסר מהמספר הב' עם עזר המספרים הנמשכי' לו
גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר המספרים הנמשכים לו
אחר זה נכתוב יסוד ד' במקום הנקודה הקודמת שיוכה עם העולה מהכאת היסוד הראשון והב' והג' יחד עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' והד' שיחוסר מהמספר השני לו עם עזר המספרים הנמשכים לו
גם נכה היסוד הרביעי באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו וכן תמיד כסדר הזה

המשל בזה הוא זה המספר

			8
			2	2
	4	7	5	8	3	7	9	1
1	2	3	9	5	2	1	3	6	2	5
	2			3			4			5

הכינו הב' שהוא היסוד הראשון עם עצמו באופן מעוקב והעולה ח' חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכי' לו

אח"ז הכינו הב' שהוא היסוד הראשון עם ג' ועלו ו'
הכינום עם היסוד הראשון והב' יחד שהם הג' ועלו קל"ח
הכינום עם ג' שהוא היסוד הב' ועלו תי"ד חסרנום מהמספר הב' לו עם עזר הנמשכים לו
עוד הכינו הג' עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו
אחר זה הכינו הכ"ג שהוא היסוד הראשון והב' עם הג' ועלו ס"ט הכינום עם רל"ד שהם הג' יסודות יחד ועלו 16146
הכינום עם הד' שהוא היסוד הג' ועלו 64584
חסרנום מהמספר הב' למדרגה שעל היסוד הג' עם עזר הנמשכים לו
גם הכינו הד' עם עצמו באופן מעוקב ועלו ס"ד חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו
אחר זה הכינו הרל"ד שהוא היסוד הראשון והב' והג' יחד עם ג' ועלו תש"כ
הכינום עם הד' יסודות יחד שהם ב' אלפים שמ"ה ועלו 1646190
הכינום עם ה' שהוא היסוד הד' ועלו 8230950
חסרנום מהמספר הב' למדרגה שעל היסוד הד' עם עזר הנמשכים לו
גם הכינו הה' שהוא היסוד הרביעי עם עצמו באופן מעוקב ועלו קכ"ה
חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו והנה כבר נשלם הפועל בעבור שכבר הגענו אל הנקודה הראשונה
ולהיות שלא נשאר למעלה כלום ידענו שהוא מספר נגדר
ויסודו הוא היסודות הכתובות על הנקודות שהם ב' אלפים שמ"ה וזה מה שרצינו לבאר

והמאזנים לכל אלה המינים הוא שתקח השרש אשר תחת המספר הדרוש כמו שלמים

ר"ל שלא תכה אותו על מספר הס' להשיבם ראשונים ושניים כאשר ידעת
רק נקחנו כלו שלם ונכהו בעצמו והעולה מהכאתו נחברנו עם המספר הבלתי לקוח שרשו והוא הנשאר בלתי מחולק
והעולה אם לא ישוה למספר הדרוש שרשו דע שכזבת

ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הראשון הנה היא קשה מאוד

והדרך אל ידיעתה אמנם הוא בשנודיע תחלה מספר הדרושים הנופלים בזה המין

אחר זה נביא המאמר המודיע סבת כל דרוש ודרוש מהם

והוא מן המבואר שדרושי זה המין הם רבים

הראשון מהם מדוע יכתבו אותיות היסוד בדלוג שתי מדרגות ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד ב' מדרגות בלא יסוד

השני מדוע יהיו אותיות היסוד נכתבים על זה הסדר

ר"ל בשהאות הראשון תחת המדרגה הראשונה והאות השני תחת המדרגה הד' והאות הג' תחת המדרגה השביעית וכן תמיד על הסדר הזה
והנה האות הראשון תחת המדרגה הנפרדת והאות הב' תחת מדרגת הזוג והאות הג' תחת הנפרדת והד' תחת הזוג וכן תמיד
ולא ההפך ר"ל בשהאות הראשון תחת מדרגת הזוג והאות הב' תחת הנפרדת והאות השלישי תחת מדרגת הזוג והאות הרביעי' תחת הנפרדת וכן תמיד

השלישי מדוע יהיה מציאות היסודות במציאות המספר שהעולה מהכאתו עם ג' כפלי היסודות כאשר יוכה עם היסודות ועם המספר המבוקש יחד והעולה יקובץ עם העולה מהכאת המספר בעצמו באופן מעוקב ישוה למספר אשר בין המעוקב הראשון למעוקב השני או הקרוב לו ר"ל המספר הנותר מהיסודות הראשוני' עד המדרגה אשר נכתוב תחתיה היסוד המבוקש

הרבעי מדוע יעתקו המשולשים והיסודות מדרגה אחר מדרגה מן המדרגות הקודמות כמספר הפעמים אשר יוכו עם היסודות ההוים

החמישי מדוע יכתבו כל משולש ומשולש אל המדרגה השלישית למדרגת היסוד ההווה מכפלו

הששי מדוע יכתבו העשרות ההוות מג' כפלי היסוד תחת מדרגת היסוד ולא תחת המדרגה השלישית למדרגת היסוד ההווה מכפלו כמנהג אחדי כפלי היסוד

השביעי מדוע לא יקרה הסכום כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים ודומיהם לאחדים אבל יהיה ההווה מחלוף המדרגות אל האיכויות המתחלפות כמו ההווה מהמדרגות לפי איכויותיהם

השמיני מדוע נקבץ העולים מההכאות קצתם בקצתם

ולמה לא יתחברו איזה מין מהעולה מההכאות עם איזה מין מהם אבל יהיה חבור העולה מהכאות מה עם חבור העולה מהכאות מה לא זולתם
ולמה ישתנו קבוצי ההכאות ההן ברבוי ובמעוט
עד כי לפעמים נקבץ ב' הכאות ונחסר העולים מהן ממדרגה מה
ולפעמים נקבץ ג' הכאות ונחסר העולים מהן ממדרגה מה
ולפעמים ד' ולפעמים ה' וכן תמיד

וטרם החלי בנתינת סבות הדרושי' האלו אצטרך להציע ההקדמות המונחות לידיעת הסבות הנתונות באלה הדרושים והם ז'

The first [proposition]

האחת שכל מספר נחלק לשני חלקים איך מה שקרה הנה המעוקב ההווה מן המספר כלו הוא שוה לב' המעוקבים ההוים מב' חלקיו עם העולה מהכאת החלק האחד עם ג' כפלי החלק האחר והעולה עם שני החלקים יחד

משל זה אם נחלק הי"ב לשנים חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם ב' והאחר י' הנה המעוקב ההווה מהי"ב כולו שהוא אלף תשכ"ח הוא שוה לב' מעוקבי הי' והב' שהם אלף וח' ולמספר העולה מהכאת הב' שהוא החלק האחד עם הל' שהם ג' כפלי הי' שהוא החלק האחר שהם ס' ואחר זה נכה הס' עם הי"ב בכללו שהם תש"ך וזה שכאשר נקבץ התש"ך עם האלף ח'

ההוים מב' המעוקבים יהיה המקובץ אלף תשכ"ח והוא שוה למעוקב י"ב

וכן בכל המספרי' איזה מספר שיהיה ואיך מה שיחלק דרך אחד לכל וזה מבואר מהחפוש וההקש

אולם החפוש ידוע

ואולם ההקש הנה מפני שהוא מן המבואר ממה שקדם במין ההכאה ממספר ההכאות ההוות בכל טור וטור לפי מדרגותיו שההכאו' ההוות בכל מעוקב ומעוקב בעל שני חלקים הם ט' הכאות משתנות כל אחת מהן מהאחרת בהכרח

אולם הג' מהם הן ההכאות ההוות בכל מרובע ומרובע בעל ב' חלקים וכבר זכרנו והן מרובע החלק האחד שהוא הכאתו עם עצמו ומרובע החלק האחר שהוא הכאתו עם עצמו והכאת החלק האחד עם כפל חלק האחר
ואולם הנשארות הן הכאת החלק האחד מהם עם כל אחד מהג' מספרים ההוים מהכאות השלש שהם מרובע החלק האחד ומרובע החלק האחר וההווה מהכאת החלק האחד עם כפל החלק האחר והכאת החלק האחד ג"כ עם כל אחד מהג' מספרים הנזכרים

וכאשר היה זה כן והיו שני המעוקבי' ההוים מב' החלקים הם מתהוים מהד' הכאות הנכללות תוך הט' הכאות הנזכרות והם הכאות החלק האחד עם עצמו והחלק האחר עם עצמו שהם מרובעיהם והכאת החלק האחד עם מרובעו והחלק האחר עם מרובעו שהם מעוקביה'

הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה המעוקב ההווה מהמספר הבעל שני חלקי' בכללו שוה לב' מעוקבי שני חלקיו ולמספר ההווה מהה' הכאו' הנשארות מכלל הט' הכאו' שהן הכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני והכאתו עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני והכאתו עם מרובע החלק הב' והכאת החלק הב' עם מרובע החלק הראשון והכאתו עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני

וההווה מהג' הכאות מאלה שהן הכאת הראשון עם כפל הב' והכאתו עם ההווה מהכאת הראשון עם כפל השני והכאת השני עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק הב' והעולה עם החלק הראשון והשני יחד

וההווה מב' הכאות הנשארו' שהם הכאת החלק הראשון עם מרובע השני והכאת החלק הב' עם מרובע הראשון הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם החלק השני פעם אחת והעולה עם החלק הראשון והב' יחד

וזה כי אמרנו הכאת החלק הראשון עם מרובע הב' הוא שוה לאמרנו הכאת החלק הראשון עם החלק הב' והעולה עם הב' כי מרובעו הוא הכאתו עם עצמו

וכן לזאת הסבה בעצמה יהיה אמרנו הכאת החלק הב' עם מרובע הראשון שוה לאמרנו הכאת החלק הב' עם החלק הראשו' והעולה עם הראשון

וכאשר היה זה כן ר"ל שההוה מב' אלה ההכאות הוא שוה להווה מהכאת הראשון עם הב' פעם אחת והעולה עם הראשון והב' יחד וכבר חוייבו מהג' הכאות האחרות שיהיה ההווה מהן שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם הב' פעמים והעולה עם הראשון והב' יחד

אם כן ההווה מהה' הכאות הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם ג' כפלי הב' והעולה עם הראשון והב' יחד

וכבר קדם שמעוקבי ב' חלקים הם שוים להווה מהד' הכאות הקודמות מכלל הט' הכאות

אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההווה מהט' הכאות יחד אשר מהם התהווה המעוקב ההווה מכלל המספר הבעל שני חלקים שוה לב' מעוקבי הב' חלקים עם המספר ההווה מהכאת הראשון עם ג' כפלי השני והעולה עם שני החלקים יחד

ואם כן מעוקב המספר הבעל שני חלקים בכללו הוא שוה בהכרח לב' מעוקבי ב' החלקים ולמספר ההווה מהכאת החלק הראשון עם ג' כפלי הב' והעולה עם הב' חלקים יחד וזה מש"ל

The second proposition

ההקדמה השנית שכל מספר נחלק לחלקים רבים איך מה שקרה הנה המספר ההווה מהכאת מספר מה עם כל אחד מחלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו הוא שוה להווה מהכאת המספר ההוא עם המספר הנחלק בכללו כמו שהתבאר בספר היסודות במאמר הב' ממנו

The third proposition

ההקדמה השלישית היא שהמעוקב ההווה מהאות היותר גדול שבט' אותיות המספר לא יכלול יותר מג' מדרגות

כי מספר הט' שהוא היותר גדול הנה מעוקבו תשכ"ט והוא כולל אחדים ועשרות ומאות שהם ג' מדרגות ולא יתכן שיגיע במדרגת האלפי' כלל

ואם מספר הט' ממדרגות העשרות שהם צ' הנה מעוקבו תשכ"ט אלף והוא אלפים עשרות אלפים ומאות אלפים שהן ג' מדרגות אחרות נמשכות לג' מדרגות הראשונות

וכן תמיד על זה הסדר ר"ל ג' מדרגות אחר ג' מדרגות נמשכות קצתם לקצת מבלתי דלוג כלל ומבלתי שיגיע מעוקב שום מספר ביותר מג' מדרגות כלל

The fourth proposition

ההקדמה הרביעית שהמעוקבים הנמשלים קצתם לקצת הנה יסודותיהם גם כן נמשלים קצתם לקצת

משל זה שמעוקבי א"ח יסודותיהם א"ב

ומעוקבי אלף ח' אלף הנמשלים למעוקבי א"ח יסודותיהם הם י"כ הנמשלים ליסודות א"ב
וכן מעוקבי אלף אלפים ח' פעמים אלף אלפים הנמשלים להם יסודותיהם הם ק"ר הנמשלים ליסודות א"ב י"כ
וכן כל המעוקבים הנמשלים דרך אחד לכל

The fifth proposition

ההקדמה החמישית שהמעוקבים הנמשלים קצתם לקצת הנה הם במדרגות הנוספות קצתם לקצת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ויסודותיהם הנה הם במדרגות הנמשכות קצתם לקצת על הסדר

משל זה שמעוקבי א"ח הם במדרגת האחדים ויסודותם א"ב והם גם כן במדרגת האחדים

ומעוקבי אלף ח' אלף הנמשלים להם הם במדרגת האלפים שהם שלשה מדרגות נוספות על מדרגת האחדים ויסודותיהם הם י"כ שהם במדרגת העשרות הנמשכות למדרגת האחדים
ומעוקבי אלף אלפים ח' פעמים אלף אלפים הנמשלים להם הם במדרגות האלף אלפים שהם ג' מדרגות נוספות על מדרגת האלפים ויסודותיהם הם ק"ר במדרגת המאות הנמשכות למדרגת העשרות
וכן תמיד ר"ל שיסודות המעוקבים הנמשלים הם על סדר המדרגות והמעוקבים הנמשלים הם על המדרגות הנוספות קצתם לקצת ג' ג'

The sixth proposition

ההקדמה הששית היא שהמספרים הטבעיים הנוספים קצתם על קצת בתוספת א' על סדר א'ב'ג'ד'

הנה אם היה מנין המספרים המונחים זוג אשר הוא בעל שני אמצעיים הנה ההווה מקבוץ ב' האמצעיים הוא שוה למה שיתהווה מקבוץ ב' הקצוות וכמו שני הנלוים לקצוות וכמו הנלוים לנלוים עד שיכלו אל האמצעיים

ואם היה מנין המספרים המונחים נפרד אשר הוא בעל אמצעי אחד הנה ההווה מכפל האמצעי שהוא קבוצו עם עצמו שוה למה שיתהווה מקבוץ ב' הקצוות וכמו ב' הנלוים להם וכמו הנלוים לנלוים עד שיכלו אל האמצעי

כמו שהתבאר בספר האריתמטיקא לניקומכוש הגהרישני

כי אין הבדל בין המספרים הטבעיים למספרי זוג הנפרד אחר שתוספת קצתם על קצת הוא שוה בשניהם יחד

משל המספרים שמנינם נפרד הם אבגד"ה כי ההווה מקבוץ הג' שהוא האמצעי עם עצמו שהוא כפלו הם ו' וככה הוא ההווה מקבוץ הא' עם הה' אשר הם ב' קצוות המספרים המונחים וההווה מקבוץ הב"ד הנלוים להם

ומשל המספרים שמספרם זוג הם אבגדה"ו כי ההווה מקבוץ הג' עם הד' אשר הם האמצעיים הם ז' וככה הוא ההווה מקבוץ הא' עם הו' אשר הם קצוות המספרים המונחים וההווה מקבוץ הב' עם הה' הנלוים

The seventh proposition:

ההקדמה השביעית היא שההווה מהכאת השלמים עם השלמים הוא כמות המספר ההווה מהכאתם וההווה מקבוץ מדרגות המכים עם מדרגות המוכים כאשר יושלך מהם אחד הנה הוא מספר מדרגות העולה מהכאתם

וזה כבר קדם בהכאת השלמים עם השלמי' אין צורך לכפול המאמרים

משל זה אם רצית להכות ר' עם נ' הנה להיות שכמות הר' עם ב' וכמות הנ' הם ה' נכה הב' עם הה' והם י' והוא כמות המספר העולה מהכאת הר' עם הנ'

ולהיות שמדרגת המאות שהם הר' היא שלישית למדרגת האחדים ומדרגת העשרות שהם הנ' היא שנית למדרגת האחדים על כן נקבץ הג' עם הב' והם ה' נשליך מהם א' והם ד' שהוא מדרגת האלפים והיא מדרגת המספר העולה מהכאת הר' עם הנ'
ולכן שפטנו על הי' השמורים שהם כמות המספר העולה מההכאה שהם י' אלפים
ואם כן העולה מהכאת הר' עם נ' הם י' אלף והקש על זה

ואחר הצעת אלה ההקדמות הנה כבר יותר כל השאלות הדרושות בזה המין לפי הדרך הראשון אשר לקדמונים

The first lemma:

אולם הדרוש הראשון שהוא השאלה על הנחת היסודות בדלוג ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד ב' מדרגות בזולת יסוד

הנה כבר התבאר מההקדמה השלישית וזה שאחר שהאות האחד מאותיות היסוד הוא יסוד אל ג' מדרגות להיות מעוקבו כולל ג' מדרגות הנה אם כן כאשר תכתוב תחת כל ג' מדרגות אות אחת מאותיות היוסד הנה יחוייב שיהיו מדרגות היסודות בדלוג ר"ל בין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד שתי מדרגות בזולת יסוד

The second lemma:

ואולם הדרוש הב' והוא השאלה על הנחת היסוד הראשון תחת המדרגה הנפרדת והשני תחת הזוג והג' תחת הנפרדת והד' תחת הזוג וכן תמיד נפרד ואחר כך זוג

ולא ההפך ר"ל בשהיסוד הראשון תחת מדרגת הזוג והב' תחת הנפרדת והג' תחת הזוג והד' תחת הנפרדת וכן תמיד זוג ואחר כך נפרד

הנה גם זה התבאר מההקדמה הג' בעצמה

וזה שכבר קדם שהמעוקב ההווה מאות היסוד איננו מספר כולל כל ג' מדרגות איזה מדרגות שיהיו ר"ל אחדים ועשרות ומאות או עשרות ומאות ואלפים או מאות ואלפים ורבבות או איזה ג' מדרגות שיהיו
אמנם הוא כולל ג' מדרגות האחדים והעשרות והמאות וג' מדרגות האלפים והרבבות והמאות אלף וכן תמיד על הסדר הזה לא זולתם

וכאשר היה זה כן הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיונח אות היסוד תחת מדרגת האחדים ויכלול ג' המדרגות ר"ל האחדים והעשרות והמאות

ויונח אות שני תחת מדרגת האלפים ויכלול הג' מדרגות הנמשכות לג' מדרגות הראשונות והן האלפים והי' אלפים והק' אלפים
וכן תמיד על הסדר הזה
ואם כן יחוייב מזה שיכתבו אותיו' היסודו' לפי ההנחה הזאת בדלוג ג' מדרגות אחר ג' מדרגות
שתהיה המדרגה הראשונה לאות הראשון נפרדת והשנית לאות השני זוג והג' לאות הג' נפרדת והד' זוג וכן תמיד אי אפשר בזולת זה

The third lemma:

ואולם הדרוש הג' שהוא מציאות אות היסוד בשנבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם ג' כפלי היסודות והעולה עם כל היסודות והמבוקש יחד מחובר עם העולה מהכאת המבוקש בעצמו באופן מעוקב שיחוסר מהמדרגה שעל המבוקש עם עזר כל המדרגות הנמשכות הנה כבר התבאר מההקדמה הראשונה

וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהאות המונח ראשונה שהוא היסוד הראשון כאשר יחובר עם האות הב' שהוא היסוד השני שיהיה חבור שניהם יחד יסוד כל המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל היסוד הב'

והמעוקב ההווה מחבורם יחד הוא המספר הראוי שיחוסר מכל אותן המדרגות ובזה נגע אל המכוון

וכאשר היה זה כן וכבר התבאר מההקדמה הראשונה שהמעוקב ההווה מחבור שני היסודות יחד הוא שוה לשני מעוקבי היסוד הראשון והשני שהם שני חלקי המספר המחובר משניהם יחד ולמספר ההווה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון כאשר יוכה העולה מהם עם שני היסודות יחד שהם היסוד הראשון והשני

אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר רצינו למצוא היסוד השני שנבקש המספר אשר יספיק העולה מהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון כאשר יוכה העולה מהם עם שני היסודות יחד ר"ל הראשון והמספר המבוקש מחובר עם מעוקב המספר המבוקש שיחוסר מכל המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד מדרגת המבוקש והמספר ההוא יהיה היסוד השני בהכרח

וזה כי כבר הוכה היסוד הראשון באופן מעוקב והעולה חסרנוהו מהמדרגה שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה והנשאר מכלל ההכאות עד תשלום המעוקב ההווה מכלל הב' יסודות הוא מעוקב היסוד השני והעולה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה יוכה עם הב' יסודות
ולכן כאשר מצאנו מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב והעולה נשמרנו
גם נכהו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והמספר המבוקש ונחבר העולה עם השמור ויהיה הוא היותר קרוב למספר על מדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה
הנה יחוייב שיהיה הוא היסוד השני אשר בחבורו עם היסוד הראשון יהיה מעוקבו שוה או קרו' למספר שעל כל המדרגו' שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל היסוד השני בהכרח

ואולם אם היה המספר הדרוש יסודו בעל ג' אותיות ר"ל אחדים ועשרות ומאות הנה נמצא השתי אותיות ר"ל העשרות והמאות עם הדרך הקודם

אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו באופן מעוקב ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה שיוכה עם היסוד הראשון והשני והמבוקש ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה שיוכה עם היסוד הראשון והשני והמבוקש שיחוסר מכל המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל המבוקש
והמספר ההוא הוא היסוד הג' בהכרח
וזה כי כבר התבאר מההקדמה השנית שאין הבדל בין ההווה מהכאת מספר אחד עם מספר אחר להווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר האחר
וכאשר היה זה כן יהיה חבור הג' יסודות יחד אשר האחד ממדרגת האחדי' והאחר ממדרגת העשרות והאחר ממדרגת המאות הוא יסוד כל המספרים שמהמדרגה האחרונה עד מדרגת היסוד הג' הנה אם כן יהיה המספר הזה נחלק לג' חלקים
ולכן יחוייב לפי זאת ההקדמה שיהיה מעוקב המספר כלו המחובר מהג' יסודות שהם ג' חלקיו שוה למספר ההווה ממעוקב היסוד הג' שהוא החלק האחד ממעוקב היסוד השני שהוא החלק השני וממעוקב היסוד הראשון שהוא החלק הראשון מההווה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה מהם שיוכה עם הב' יסודות ומההווה מהכאת היסוד השלישי עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה מהם שיוכה עם הג' יסודות ומההווה מהכאת היסוד השלישי עם ג' כפלי היסוד השני והעולה מהם שיוכה עם הג' יסודות
וכאשר היה זה כן וכבר הוכה היסוד הראשון והיסוד השני כל אחד מהם באופן מעוקב
גם הוכה היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והשני
הנה מן המחוייב לנו אם כן שיהיו מספר ההכאות הנשארות עד תשלום כל ההכאות השוות למעוקב המספר כלו בעל הג' חלקים ג' הכאות והן הכאת היסוד הג' עם עצמו באופן מעוקב והכאתו עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם הג' יסודות והכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם הג' יסודות
ולכן כאשר מצאנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם עצמו באופן מעוקב ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם הב' יסודות ועמו ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם הב' יסודות ועמו שיחוסר מהמדרגה שעליו ר"ל על מקום היסוד הג' עם עזר המדרגות הנמשכות לה עד המדרגה האחרונה הנה ידענו שהוא היסוד הג' בהכרח שהם אחדי היסוד הבעל ג' אותיות וכן תמיד

The fourth lemma:

ואולם הדרוש הד' והיא השאלה על העתקת המשלשים והיסודות מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי היסודות

הנה היא מבוארת ממה שקדם מהנחת היסודות בדלוג המדרגות ב' מדרגות אחר ב' מדרגות מחובר עם מה שקדם בהקדמה השביעית

וזה שאחר שאנחנו חושבים כל מדרגה ומדרגה ממדרגו' אשר יונח בהם היסוד האחרון בפעם ההיא לאחדים יחוייב מזה שתחשב המדרגה השנית הנמשכת לה לעשרות והמדרגה השלישית הנמשכת לה למאות וכן תמיד
וכמו כן אחר שאנחנו חושבים יסוד אחרון בפעם ההיא לאחדים יחוייב לזה שיחשב היסוד השני הנמשך לו לעשרות והשלישי לה למאות וכן תמיד
וכבר קדם בהקדמה השביעית שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני הוא מאות והעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השלישי הוא רבבות וכן תמיד ר"ל בשנקבץ המדרגות ונשליך מהם מדרגה אחת והנשאר נשמרהו והוא מדרגת העולה מההכאה
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני מהמדרגה השלישית למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת המאות
ושיחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד האחרון מהמדרגה השנית למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת העשרות
ויחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד הג' מהמדרגה הה' למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת העשרות אלפים
ויחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השני מהמדרגה הרביעית למדרגת היסוד שהיא נחשבת למדרגת האלפים וכן תמיד על הסדר הזה
כי הנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' הוא מאות בהכרח אחר שהיסוד האחרון הוא אחדים והג' מאות והם ארבע מדרגות
וכשתשליך מהן אחת יהיו הנשארות ג' מדרגות שהן מאות
וכאשר יוכה העולה מההכאה הזאת שהוא מאות עם היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה רבבות בהכרח
אחר שחבור המאות עם המאות הם ו' מדרגו'
וכשיושלך מהן מדרגה אחת יחוייב שישארו ה' מדרגות שהן רבבות
וכן תמיד דרך אחד לכל וכזה יחוסר כל מין ומין ממינו

וכאשר היה זה כן וראו הקדמונים שיתבלבל זה הסדר על המתעסק בו ולא ידע לחסר כל מין ומין

הוצרכנו להעתיק היסודות והמשלשים כל אחד מהם אל המדרגה הקודמת לה ובזה ידענו סדר המדרגות הראויות שיחוסר העולה כל מין ממינו
ר"ל שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הג' יחוסר מהמדרגה שעל היסוד הג' המונח בפעם ההיא אחרי ההעתקה
והעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני יחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד השלישי והעולה מההכאות האחרות מהמדרגה הקודמת לקודמת וכן תמיד
ובזה יחוסר כל מין ממינו מבלתי שתצטרך לחפש שיחוסר ממנה העולה מכל מין ומין מהכאתו
זאת היא סבת ההעתקות

אולם אם רצית לדעת הסבה הגורמת להיות המדרגה הנחסרת האחרונה תמיד על היסוד האחרון אחרי ההעתקה מדרגה אחר מדרגה ושאר המדרגות הנחסרות תהיינה הקודמות ממנה על הסדר וזה בכל פעם ופעם מפעמי ההכאות מבלתי שיקרה בזה חלוף כלל הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם

וזה שאחרי שכבר קדם מהמאמר שהיסוד האחרון אשר ממנו יחשב סדור המדרגות ר"ל כשתחשבנה המדרגות שנית ושלישית ורביעית והדומי' להם אמנם יכתב המדרגה הרביעית הקודמת למדרגת היסוד האחרון הקודם
ויחוייב מזה שהמדרגה שהיתה ראשונה בערך אל היסוד האחרון הקודם שתשוב מדרגה רביעית
והמדרגה שהיתה שנית תשוב חמישית והשלישית ששית
והרביעית שביעית
וכן תמיד ר"ל בתוספת ג' מדרגות
והיה תוספת המדרגה האחרונה הנחסרת על המדרגה האחרונה הנחסרת בתוספת ב' מדרגות
ר"ל שהמדרגה האחרונה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני היא מדרגת המאות
כמו שקדם שהיא המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת היסוד האחרון
והמדרגה האחרונה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי היא מדרגת הרבבות
כמו שקדם שהיא המדרגה החמישית הנמשכת למדרגת היסוד האחרון השני
והנה היא נוספת מהמדרגה האחרונה הראשונה ב' מדרגות כי היא היתה שלישית וזאת חמישית
והמדרגה האחרונה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד הרביעי היא מדרגת אלף אלפים
שהיא המדרגה הז' הנמשכת למדרגת היסוד האחרון השלישי
והנה היא נוספת מהמדרגה האחרונה הקודמת ב' מדרגות כי היא היתה חמישית וזו שביעית וכן תמיד
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד האחרון אל המדרגה הקודמת לה שיהיה היסוד האחרון תחת המדרגה הנחסרת בהכרח

המשל בזה הנה היסוד האחרון כאשר יוכה עם ג' כפלי היסוד השני שהוא עשרות יהיה העולה עשרות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר שיהיה מאות

וכאשר יוכה העולה שהוא עשרות עם היסוד השני שהוא עשרות יהיה העולה מאות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר שיהיה אלפים
הנה כבר יחוייב שהמדרגה האחרונ' הנחסרת בפעם הזאת היא מדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת היסוד האחרון והנחת היסוד השני היא תחת המדרגה הרביעית למדרגת היסוד האחרון לפי מה שקדם מההנחות
הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד השני אל המדרגה הקודמת שהיא השלישית למדרגת היסוד האחרון שיהיה תחת המדרגה הנחסרת בהכרח
וכן היסוד האחרון כאשר יוכה עם ג' כפלי היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה מאות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר להיות אלפים
וכאשר יוכה העולה שהוא מאות עם היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה רבבות בהכרח ואם כבר אפשר להיותו יותר מזה
הנה שהמדרגה האחרונה הנחסרת בפעם הזאת היא מדרגת הרבבות שהיא חמישית למדרגת היסוד האחרון והנחת היסוד הראשון היא תחת המדרגה השביעית למדרגת היסוד האחרון כמו שקדם מההנחות
הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד השלישי ממקומו הראשון ב' מדרגות קודמות שיהיה תחת המדרגה הנחסרת בהכרח
וכבר העתקנוהו בפעם הראשונה אל המדרגה הקודמת הנה מה שנשאר עלינו בהכרח שנעתיקנו עתה אל המדרגה הקודמת ויפול תחת המדרג' הנחסרת בהכרח
גם כי היסוד הראשון שהיה מונח בפעם הקודמת לזאת הפעם תחת המדרגה השלישית ליסוד האחרון הקודם ששבה עתה לפי מה שקדם מדרגה ששית למדרגת היסוד האחרון הזה שהיא נוספת ג' מדרגות ראוי שיעתק אל המדרגה הקודמת ואז יפול תחת המדרגה הנחסרת בהכרח אחר שקדם שהנחסרת האחרונה בפעם הזאת היא נוספת על הנחסרת האחרונה שבפעם הקודם ב' מדרגות
והנה במקום שהיתה המדרגה האחרונה הקודמת שלישית למדרגת היסוד האחרון תהיה עתה בתוספת ב' מדרגות שהיא המדרגה החמישית למדרגת היסוד האחרון
והיסוד הראשון כבר היה בפעם הקודמת תחת המדרגה האחרונה השלישית למדרגת היסוד האחרון בפעם ההיא ששבה עתה ששית למדרגת היסוד האחרון הזה הנה בהכרח שיעתק אל המדרגה הקודמת עד שיהיה תחת המדרג' החמישית למדרגת היסוד האחרון הזה שהיא המדרגה הנחסרת וכן תמיד
ואולם המדרגות הנחסרות האחרות הנה בהכרח שיהיו במדרגות הקודמו' על הסדר
וזה מבואר מהעולה מההכאות כי כן סדר העולים מההכאות אחר שההווה מהכאת העולה מהיסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי עם היסוד השלישי יהיה מדרגה אחת נוספת מההווה מהכאת העולה ההוא עם היסוד השני שהיא מדרגה אחת פחותה ממנו וכן תמיד

ואין צורך להאריך יותר בביאורו כי כבר אחשוב שיספיק זה השיעור לכלל המעיינים

The fifth lemma:

ואולם הדרוש החמישי והיא השאלה על הנחת אחדי שלשה כפלי היסודות תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל הנה היא מבוארת ממה שקדם מהמאמר הזה

וזה שכבר קדם שהנחת היסוד הנכפל היא תחת המדרגה הג' למדרגת היסוד האחרון שהיא המדרגה השנית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל

ולזה יחוייב שיונח המשולש שהוא שלשה כפלי היסוד הנכפל תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל
כדי שיהיו האותיות נמשכו' על סדר המדרגות ר"ל המשולשים והיסודות כפי מנהג המדרגות הנחסרות כמו שקדם
גם כי אחדי כפלי היסוד הנכפל יחוייב שיהיו עשרות אחר שהיסוד השני הנמשך ליסוד האחרון שהוא הנכפל הוא נחשב לעשרות כמו שקדם
ולכן יחוייב שיונחו אחדי כפלו תחת המדרגה הג' הקודמת למדרגת היסוד הנכפל אשר היא שנית למדרגת היסוד האחרון הנחשבת לעשרות כמו שקדם

The sixth lemma:

ואולם הדרוש הששי והוא השאלה על הנחת עשרות כפלי היסוד תחת היסוד הנכפל ולא תחת המדרגה השלישית הקודמת לו כמנהג אחדי כפלו הנה היא מבוארת גם כן

וזה שכבר קדם מהמאמר שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני הוא מאות

ושהעולה מהכאתו עם שלשה כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הג' הוא רבבות
וכן תמיד על הסדר הזה כאשר יהיו ההוים מג' כפלי היסוד אחדי' כי אז יהיו אחדי כפלו ממדרגת היסוד הנכפל אם עשרות עשרות ואם מאות מאות
ואולם עשרות כפלו הנה בהכרח יעלו מדרגה אחת נוספת על מדרגת היסוד הנכפל
ר"ל שאם היסוד הנכפל הוא עשרות הנה עשרות כפלו הם מאות
ואם היסוד הנכפל הוא מאות הנה עשרות כפלו הם אלפים בהכרח
ולזה יחוייב שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני אלפים בהכרח שהיא מדרגה אחת נוספת על העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני שהוא מאות כמו שקדם
וכן יחוייב שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי ק' אלף בהכרח שהיא מדרגה אחת נוספת על העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי שהוא רבבות כמו שקדם
וכאשר היה זה כן והיתה המדרגה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הנכפל והעולה עם עצמו היא המדרגה הקודמת למדרגת היסוד הנכפל כמו שקדם ולכן יעתק היסוד הנכפל ויונח תחת המדרגה הקודמת להורות על המדרגה הנחסרת
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיונחו עשרות כפל היסוד הנכפל תחת המדרגה היסוד הנכפל בעצמו שהיא מדרגה אחת נוספת על המדרגה הקודמת ממנה להורו' על המדרגה הנחסרת
אחר שהמדרגה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפל היסוד הנכפל והעולה עם עצמו היא מדרגה אחת נוספת מהמדרג' הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הנכפל ההוא והעולה עם עצמו

The seventh lemma:

ואולם הדרוש השביעי והוא מדוע לא יקרה השבוש כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים אבל יהיה היסוד ההווה עם מחשבת חלוף האיכויו' כמו היסוד ההווה מהם לפי איכויותיהם הנה כבר התבאר מההקדמה הרביעית והחמישית

וזה שמההקדמה הרביעית יודע שלא יקרה הטעות ביסוד מצד הכמות

ומההקדמה החמשית יתבאר שלא יקרה הטעות מצד האיכות
ר"ל שהיסוד ההווה תחת המדרגה הנחשבת לאחדים ואם היא עשרות או מאות או אלפים או אי זו מדרגה מהמדרגות הנה לא יקרה בו שבוש כלל לא מצד הכמות ולא מצד האיכות
אולם מצד הכמות כי כבר התבאר מההקדמה הרביעית שהמעוקבי' הנמשלים למעוקבי' מה הנה יסודותיהם גם כן נמשלי'
ר"ל שהם בעלי כמות אחת ואם הם מתחלפי האיכות

המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד הקכ"ה אלף

הנה להיות שהנמשל היותר קטון הכמות לקכ"ה אלף הוא הקכ"ה ויסודו הוא ה' ידענו שכמות יסוד הקכ"ה אלף ג"כ הנמשל לו הוא ה' רק שהם מתחלפי האיכות

ואולם מצד האיכות גם כן לא יקרה השבוש כי כבר התבאר מההקדמה החמשית שהמעוקבים הנמשלים למעוקבי' מה הנה הם במדרגות הנוספות קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ושיסודותיהם הנה הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על סדר המספרים הטבעיים

ר"ל יסודות המעוקבים היותר קטני הכמות הם במדרגת האחדים ויסודות המעוקבים הנמשלים השניים הם במדרגות העשרות ויסודות המעוקבים הנמשלים השלישיים הם במדרגות המאות וכן תמיד
וכאשר היה זה כן והיה הנחת היסודות הנמשלים במדרגות הנוספות קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ונחשבם נמשכים
ר"ל שהיסוד האחרון יחשב לאחדים והשני לו לעשרות והג' לו למאות וכן תמיד
הנה אם כן לפי ההנחה הזאת יחוייב שיסודר כל יסוד ויסוד תחת המעוקב הנמשל מהמעוקבים הנמשלים ומקומו לפי מדרגתו גם כן המורה על האיכות

המשל בזה הנה אם רצינו לדעת יסוד הקכ"ה אלף שהמדרגה היותר פחותה מאלה היא מדרגות האלפים שהיא המדרגה הרביעית

הנה יסודו מצד הכמות הוא ה' כמו שקדם אחר שיסוד הקכ"ה הנמשל הוא ה'
ומצד האיכות היא מדרגה שנית שהיא עשרות אחר שהוא המעוקב הנמשל השני למעוקב קכ"ה להיותו במדרגה הד' כמו שקדם
ואם כן הה' המונח תחת הקכ"ה אלף הם נ' בהכרח וככה הוא יסוד הקכ"ה אלף

הנה עם ההנחה הזאת כאשר נחשוב היסודות נמשכי המדרגות ואם הם תחת המדרגות הנוספים קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר יחוייב בהכרח שיהיה היסוד היוצא צורך מצד הכמות ומצד האיכות ואם נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם

וזה מה שרצינו לבאר

The eighth lemma:

ואולם הדרוש השמיני והיא השאלה על קבוץ העולי' מההכאות קצתם עם קצת

ולמה לא יקובצו איזה מין מההכאות עם איזה מין מהם
ולמה ישתנו קבוצי הכאות ברבוי ובמיעוט
עד כי לפעמים יקובצו ג' מיני הכאות ויחוסר העולה מקבוץ העולים מההכאות ההן ממדרגה אחת
ולפעמים יקובצו ב' מיני הכאות ויחוסר העולה מקבוץ העולים מההכאות ההן ממדרגה אחרת וכיוצא בזה

הנה כבר התבאר מההקדמה הששית והשביעית

וזה שאחר שכבר התבאר לך ממה שקדם מהמאמר שהמדרגה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי יסוד מה והעולה עם יסוד מה אמנם היא המדרגה אשר היא ממדרגת העולה מההכאה ההיא,br> ר"ל שאם היה העולה מההכאה ההיא מאות הנה תהיה המדרגה הנחסרת מאות
ואם היה אלפים תהיה המדרגה הנחסרת אלפים וכן תמיד
והיה העולה מההכאה אמנם הוא כמספר המדרגות ההוות מקבוץ מדרגות המכה ומדרגות המוכה אחרי השלכת מדרגה אחת כמו שהתבאר מההקדמה השביעית
והיה ההווה מקבוץ שני המספרים הטבעיים המונחים שוי הרחקים מהמספר האמצעי אם היו נפרדים שוה לקבוץ האמצעי עם עצמו או לקבוץ שני האמצעיים אם המספרים המונחים זוגות
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיקובצו כל העולים מהכאות המשולשי' עם היסודות שוי הרחקים מהמספר האמצעי עם העולה מקבוץ ב' האמצעים אחר שכל העולים מהם שוים ויחוסר מהמדרגה אשר היא שוה למדרגת העולים מהם
ולזה יקובצו הכאות מה לא איזה הכאות שיהיו גם ירבו ההכאות וימעטו לפי המספרים המונחים בין שני הקצוות

המשל בזה אם היו היסודות המונחים ארבע על דרך משל הנה להיות שהיסודות הארבעה המונחים מספר מדרגותיהם הם על סדר המספרי' הטבעיים

ר"ל שהיסוד הראשון הוא במקום אחד שהוא ממדרגת האחדים
והיסוד השני הוא במקום שנים שהוא ממדרגת העשרות שהם שתי מדרגות
והיסוד השלישי הוא במקום ג' שהוא ממדרגת המאות שהם ג' מדרגות
והרביעי במקום ד' שהוא ממדרגת האלפים שהן ד' מדרגות
אם כן מדרגות היסודות הארבעה הן על סדר אבג"ד
וכן המשולשים שהן ג' כפליהם כי ג' כפלי העשרות הן עשרות וג' כפלי המאות הן מאות וכן תמיד
וכאשר היה זה כן והיתה המדרגה הנחסרת אמנם היא המדרגה השוה למדרגת העולה מההכאה
והיתה מדרגת העולה מההכאות אמנם היא המדרגה הנגזרת מהמספר ההווה מקבוץ מדרגות המכה והמוכה אחר השלכת האחד
הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד האחרון שיחוסר ממדרגת האלפים בהכרח אחר שההוה מקבוץ הא' עם הד' הם ה' וכשיושלך מהם אחד ישארו ד' ואלה הד' כשיוכו עם היסוד האחרון שהוא בחשבון אחדים יחוייב שיהיה הווה מהם ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' והוא מדרגת האלפים
ולהיות שכבר קדם שהעולה מקבוץ שני המספרים הטבעיים שוי הרחקי' הוא שוה לעולה מקבוץ שני הנלוים בהכרח הנה יחוייב לזה שיהיה העולה מקבוץ מדרגו' היסוד הד' עם מדרגו' היסוד האחרון שוה לעולה מקבוץ מדרגות היסוד השני עם מדרגות היסוד הג'
ולכן כמו שיחוייב לפי מה שקדם שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד האחרון ממדרגת האלפים כן יחוייב לזה הצד בעינו שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השלישי ממדרגת האלפים
אחר שהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד לא ירבה ממדרגות כי העולה מהכאת האחדים עם העשרות עשרו' ועם המאות מאות ועם האלפים אלפים
ואם כן לא נחשב מההכאות רק ההכאה ההווה מהעולה מהכאת היסוד האחרון בג' כפלי היסוד עם היסוד
ולכן כמו שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי שהוא אלפים כאשר יוכה עם היסוד האחרון יחוייב שיהיה ההווה מהם אלפים למה שהיה קבוץ הד' עם הא' ה' וכשיושלך מהם א' נשארו ד' שהם אלפים כן יחוייב כשיוכה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני שהוא עשרות עם היסוד השלישי שהוא מאות שיהיה ההווה מהם אלפים
למה שיהיה קבוץ השנים עם השלשה ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' שהם אלפים
וכן כאשר יוכו שני האמצעיים הנלוים לאלה המוכים שהם העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני יהיה העולה מהכאתם אלפים
למה שיהיה קבוץ הג' עם הב' ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' שהם אלפים
ולהיות שאין לנו מספרים אחרים נלוי' להם לא באמצע ולא בקצוות עד שיהיה העולה מקבוצם שוה לעולה מקבוץ המספרי' הנלוים להם לכן לא נצטרך לקבץ רק העולים מאלה ההכאות להיותם בעלי מדרגה אחת שהיא מדרגת האלפים
ולהיות שכבר קדם שהמדרגה הנחסרת היא שוה למדרגת העולה מההכאות הנחסר ממנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיחוסרו כל אלה העולים ממדרגת האלפי' אחר שכל אלה העולי' הם ממדרגת האלפים

הנה כבר הותרו כל הדרושים הנזכרי' עם נתינת סבותיהם העצמיים וזה מה שרצינו לבאר

ואולם סבת הדרך השנית היא סבת הדרך הראשונה בעצמה רק שקצרתי הדרך

כי במקום שכפלו היסוד ג' פעמי' וכתבו העולה מהם שהוא המשולש והכוהו עם היסוד האחרון הכינו אנחנו היסוד האחרון עם היסוד הנכפל ג' פעמים והנה הדבר שוה
גם במקום שכתבו הם היסודות תחת המדרגות הנוספות בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגו' על הסדר ויצטרכו אחר זה לחשוב אותם נמשכי המדרגו' כתבנום אנחנו במדרגות הנמשכות על הסדר עד שלא נצטרך אחר זה לסדור כלל
ובמקום שהניחו היסוד הראשון תחת מדרגתו ואחר זה מעתיקים אותו מדרגה אחר מדרגה על הסדר לדעת המדרגה האחרונה הנחסרת כדי שלא יתבלבל המעיין הנחנו אנחנו היסודות על הסדר להורות על המדרגה האחרונה הנחסרת
ר"ל כי היסוד הראשון הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם הראשונה
והיסוד השני הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם השנית
והיסוד השלישי הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם השלישית וכן תמיד
כי אין הבדל בין שנתחיל בפעם הראשונה ממדרגת היסוד הראשון ובפעם השנית מהיסוד השני הקודם לו ובפעם השלישית מהיסוד השלישי הקודם לו ובין שנתחיל בפעם הראשונה מהיסוד הראשון ובפעם השנית נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונתחיל ממנה ובפעם השלישית נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונתחיל ממנה
ובכלל נתננו סימן אחד תמורת העתקת היסוד הראשון עם כל היסודות והמשולשים עד שיספיק זה משמירת הבלבול והמבוכה והכל עולה בקנה אחד וזה מה שרצינו לבאר

ואולם סבת הדרך השלישית היא סבת הדרכים הקודמים רק שבדרכי' הקודמים הכינו היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הנכפל

אחר זה הכינו העולה עם היסוד הנכפל וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו
אחר זה הכינו זה עם היסוד האחר וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו
אחר זה הכינו זה עם היסוד האחר וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו וכן תמיד

ואולם הנה לא נצטרך להכות פעמים רבות פעם עם היסוד האחד ופעם עם היסוד האחר ושיחוסר פעם ממדרגה אחת ופעם ממדרגה אחרת כל אחת לפי הראוי לה

גם לא נצטרך לקבץ כל העולים מכל ההכאות השוי המדרגה לחסרם מהמדרגה השוה להם
רק הכל יצא מתוקן בשנכה העולה מהכאת היסוד האחרון בשלשה כפלי שאר היסודו' עם כל היסודו' בפעם אחת ונחבר עמהם העולה מהכאת היסוד האחרון באופן מעוקב ויחוסר העולה מהם מכל המדרגות שמהמדרגה שעל היסוד האחרון עד המדרגה האחרונה
כי אין הבדל בין העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' עד"מ והעולה עם היסוד השלישי עוד עם היסוד השני עוד עם היסוד האחרון ובין העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם חבור היסוד השלישי והשני והאחרון יחד כמו שקדם מההקדמה השנית
וכן אין צורך לקבץ מיני ההכאות השוות הנה כמו שהוצרכנו בזה בדרכים הקודמים
כי אין הנחסר הנה מן המדרגה האחת הדומה לנחסר כמו שקדם עד שנקבץ כל ההכאות שוי הרחקים כמו שקדם
כי הנחסר הנה אמנם הוא מן כלל המדרגות שמהמדרגה שעל היסוד האחרון עד המדרגה האחרונה ובזה יכללו כל המינים יחד השוים והבלתי שוים וזה מה שרצינו לבאר

ואולם סבת מציאות היסוד הקרוב עם הנחת הסיפרש ולמה יהיה בתוספת ג' ג'

ולמה נשליך מהיסודות ככמות שליש הסיפרש ויהיו הנשארי' מעלות
ולמה יוכו הנשלכים עם ס' ונשליך מהעולה ככמות שליש הסיפרש ויהיו הנשארים ראשוני' ואחר זה יהיו שניים ואחר זה שלישיים וכן תמיד עד שיכלו

כל זה מבואר ממה שקדם עם תוספת הקדמה אחת והיא שהמספרים הבלתי נגדרים ר"ל הבלתי בעלי יסוד הנמשלים קצתם לקצת כמשפט המספרים הנמשלים כאשר יהיו נגדרים אבל יסוד הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת מיסוד הנמשל הקטן ממנו

משל זה שהיסוד הקרוב היוצא למספר ב' הוא אחד

והיסוד הקרוב היוצא למספר הב' אלפים הנמשלים לו הוא י"ב
והיסוד הקרוב לב' פעמים אלף אלפים הנמשלי' להם הוא קכ"ה
והנה העולה מהכאת הא' עם עצמו באופן מעוקב הוא אחד והנשאר עד תשלום הב' הוא א' שהוא חצי
והעולה מהכאת הי"ב עם עצמו באופן מעוקב הם אלף תשכ"ח והנשאר עד תשלום הב' אלפי' הם קרוב לשביעית
והעולה מהכאת הקכ"ה עם עצמו באופן מעוקב הם אלף ותתקנ"ג אלפים וקכ"ה והנשאר עד תשלום הב' פעמים אלף אלפים הם קרוב לחלק אחד ממ"ג

וכאשר היה זה כן הנה כבר יחוייב מזה בהכרח שלא יבוקש היסוד הקרוב למספר הבלתי נגדר מהמספר הדרוש בעצמו כמשפט מציאות יסוד המספר הנגדר

אחר שכבר התבאר מההקדמה הזאת שיסוד הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת מיסוד הנמשל הקטן
אך יבוקש יסוד המספר הדרוש מהנמשל הגדול ממנו

ולהיות שכבר התבאר מההקדמות הקודמות שהמספרי' הנמשלי' יסודותיהם גם כן נמשלים ר"ל שכמותם אחד בעינו ושלא יתחלפו רק באיכות ר"ל בשהאחד ממנו אחדים והאחר עשרות או מאות ודומיהם לא זולת זה

הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נמצא יסוד הנמשל הגדול מהמספר הדרוש שנקח אותו ונשמרהו והוא כמות יסוד המספר הדרוש שנקח בעינו

ולהיות שכבר התבאר מההקדמות הקודמות שיסודות המעוקבים הנמשלים הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים

ר"ל שהמעוקב הראשון מהמעוקבים הנמשלים מאותו המין הנה יסודו ממדרגת האחדים
והמעוקב השני מהנמשלי' שהוא במדרגה הרביעי' למדרגת המעוקב הראשון הנה יסודו ממדרגת העשרו' שהיא שנית למדרגת יסוד המעוקב הראשון
ושהמעוקב השלישי מהנמשלים שהוא במדרגה השביעית למדרגת המעוקב הראשון הנה יסודו ממדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת יסוד המעוקב הראשון
וכן כלם ר"ל שמדרגות המעוקבים הנמשלים הם בדלוג המדרגות ר"ל בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ויסודותיהם הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים

הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שנקח היסוד השמור והמספר שליש הסיפרש הנוספות על המספר הגדול הנמשל למספר הדרוש ככה יהיו מדרגותיו נוספות על יסוד המספר הדרוש

וזה כי אין המספר הנמשל מתחלף מהמספר הנמשל הקטן ממנו רק ברבוי המדרגות לבד לא זולת זה

ולכן יחוייב שנשליך ממדרגות היסוד הנמשל הגדול כמספר שליש הסיפרש המורות על רבוי מדרגות הנמשל הגדול
והנשאר הוא יסוד הנמשל הקטן בהכרח אחר שמדרגו' יסוד הנמשל הקטן הם שליש מדרגות המספר ההוא ר"ל אחר שיחוסר אחד מזה ומזה
למה שיהיה תוספת הנמשל על הנמשל כתוספת ג' מדרגות ותוספת היסוד על היסוד הם בהמשך המדרגות שהם שלישיתם
כי במקום שעלה המספר שליש מדרגות יעלה יסודו מעלה אחת
אחר זה נקח המדרגות הנשלכות ונכם עם ס' ויהיו ראשונים בהכרח לפי מה שקדם בשברי התכונה
והעולה מהכאתם נשליך ממדרגותיהם כמספר שליש הסיפרש כמשפט הראשון
ואחר שיהיו ראשונים הנה יהיו הנשארים ראשונים בהכרח
וכן תמיד עד שיכלו כל המספרים ובזה נגיע אל המבוקש

וכדי שנרחיב לזה ביאור נמשיל לזה משל אחד ובו יתבארו כל הספקות הנופלות

ואומר שאם רצינו על ד"מ למצוא יסוד השני אשר הוא בלתי נגדר הנה לא נקח יסודו הקרוב ממספר הב' בעצמו

כי כבר קדם שהקרוב הנמצא ליסוד הנמשל הגדול הוא יותר קרוב אל האמת מהקרוב הנמצא ליסוד הנמשל הקטן
ולכן נקח יסוד הב' מהב' פעמים אלף אלפים עד"מ שהוא הנמשל השלישי ונקח יסודו שהוא הכ"ה כמו שקדם ונשמרהו
ולהיות שהב' פעמים אלף אלפים הוא כמות הב' בעינו רק שנקראהו ב' פעמים אלף אלפים עם תוספת הסיפרש אשר יוסיפו המדרגו' וכן בכל המספרים הנמשלים
על כן יחוייב שנוסיף סיפרש על הב' שהוא המספר הדרוש עד שנעלהו אל המספר הנמשל היותר גדול שנרצה
אחר שאין תוספת הנמשל על הנמשל רק עם הסיפרש המורות על המדרגו'
ושיחויב שיהיו בתוספת ג' ג' למה שהיה רוחק הנמשל מהנמשל ג' מדרגות כמו שקדם מההקדמה הה'
ושיחוייב שיהיה יסוד הב' פעמים אלף אלפים אשר הוא משלנו הוא בעצמו יסוד הב' מצד כמותו כמו שקדם מההקדמה הרביעית שהמעוקבי' הנמשלים הנה יסודותיהם ג"כ נמשלי'
ושיחוייב שיהיו מדרגות יסודו פחות ממדרגות יסוד הב' כמספר שליש הסיפרש כי כבר קדם מההקדמה החמישית שהמעוקבים הנמשלים יעלו ג' ג' מדרגות ויסודות הנמשלים יעלו א' א' שהם שלישיתם
ולכן להיות שמדרגות מספר הב' הם פחותות ממדרגות מספר הב' פעמים אלף אלפים ו' מדרגות כמספר כל הסיפרש הנוספות על הב' יחוייב לזה בהכרח שיהיו מדרגות יסוד הב' פחותות ממדרגות יסוד הב' פעמים אלף אלפים שתי מדרגות כמספר שליש הסיפרש
ולכן כאשר נוריד יסוד הב' פעמים אלף אלפים שהם קכ"ה שתי מדרגות יהיה הנשאר יסוד הב' בהכרח
ולהיות שהכ"ה מהקכ"ה לא יתכן שנפחיתם ב' מדרגות כי הה' הם אחדים ולא יתכן שירדו מדרגה למטה ממנה והכ' הם עשרות ולא יתכן שירדו רק מדרגה אחת לא ב' מדרגות
לכן נמנע מלקחת אותם ליסוד הב'
וזאת היא הסבה אשר אנחנו גורעים מהיסוד השמור ככמות שליש הסיפרש לעולם
אולם מספר הק' מהקכ"ה להיות שכבר יתכן שנורידהו ב' מדרגות וישאר א' הנה נקחהו ואין צורך להורידו אל האחדי' כי אחר שנשליך הכ"ה מהקכ"ה ישאר הק' לבדו ויחשב א' בהכרח
כי הוא אמנם יקרא ק' בערך אל המדרגה השלישית אשר עומד אחר הכ"ה אך כאשר יחוסרו הם הנה ישאר הוא להיותו במדרגה הראשונה ויחשב לאחד בהכרח
אחר זה לקחנו הכ"ה הנשלכים והכינום עם הס' ויהיו העולים מהכאת הכ"ה עם הס' ראשוני' בהכרח
כי כל שלם המוכה עם הס' הנה ההווה מהם הם ראשונים בהכרח והנה יעלו אלף ת"ק ראשוני' והם ד' מדרגו'
והשתי מדרגות הראשונות לא נוכל להורידם ב' מדרגות הראויות לסבה שזכרנוה
הנה נקח מהם האלף ת"ק הנשארים ונורידם ב' מדרגות והם ט"ו
וזה בשנשליך מהם הב' סיפראש שבמספר אלף ת"ק כזה 1500
וישארו הם ב' מדרגות ויחשבו ט"ו בהכרח נחברם עם המעלו' שבידינו שהם השלמים והם א' שלם וט"ו ראשונים רוצה לומר ט"ו ששימיים של שלם שהם רביע השלם
וזה מה שרצינו לבאר

Chapter Two: [Extracting Cubic Roots of Fractions or Integers and Fractions]	פרק שני
	ואחר שבארנו לך הדרך במציאות יסוד המספרים הנגדרים והבלתי נגדרים אם בנגדרי היסוד האמתי ואם בבלתי נגדר הקרוב וזה בשלמים הנה מן המחוייב גם כן להודיע הדרך במציאות יסוד השברים או השברים והשלמים יחד
	ואומר שהדרך במציאות יסוד השברים הוא בשנקח יסוד כמותם ונייחסהו אל יסוד איכותם וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
Example: if we wish to know the cubic root of one-thousand eighths. $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}$	המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד האלף שמניים
We take the cubic root of one-thousand, it is ten, by the same previous ways. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000}=10}}$	הנה נקח יסוד האלף והם עשרה עם הדרכים הקודמים בעצמם
Then, we relate them to the cubic root of eighth, from which the name of the eighths is derived, which is 2 that indicates a half, so they are 10 halves. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{10}{\sqrt[3]{8}}=\frac{10}{2}}}$	אחר זה נייחסם אל היסוד השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו שהוא הב' שמורי' על חצי והם י' חצאים
Divide 10 by 2 and the result is 5 integers. Thus, we know that the cubic root of one-thousand eighths is 5 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{10}{2}=5}}$	חלק הי' על ב' ויצאו ה' שלמים ואם כן ידענו שיסוד האלף שמניים הוא ה' שלמים
Another example: we wish to know the cubic root of 729 [parts of] 27. $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{729}{27}}$	דמיון אחר בקשנו לדעת יסוד התשכ"ט כזי"ים
We take the cubic root of 729, it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{729}=9}}$	הנה נקח יסוד התשכ"ט והם ט'
We take also the cubic root of 27, from which the name of the 27 is derived, which is 3 and the fraction that is derived from 3 is one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{27}=3}}$	גם נקח יסוד הכ"ז אשר שם הכ"ז נגזר ממנו והם ג' והשבר הנגזר מהג' הוא שליש
Thus, we know that the cubic root of 729 [parts of] 27 is 9 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{729}{27}}=\frac{9}{3}}}$	אם כן ידענו שיסוד התשכ"ט כזי"ים הוא ט' שלישיים
We divide 9 by 3 and the result is 3. Hence, we know that the cubic root of 729 [parts of] 27 is 3 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{729}{27}}=\frac{9}{3}=3}}$	חלקינו הט' על הג' ויצאו ג' וידענו מזה שיסוד התשכ"ט כזי"ים הוא שלשה שלמי
	וכן תוכל לדעת זה גם כן באופן אחר והוא שנחלק התשכ"ט על הכ"ז ויצאו כ"ז שלמים נקח יסוד הכ"ז והוא ג' שלמים
	אלה הם השני אופנים המודיעים לנו יסוד השברים ואיכותם נגזרים משמות מספרים נגדרים ר"ל בעלי יסוד
	ואולם השברים אשר כמותם ואיכותם יחד או אשר כמותם לבד או איכותם לבד בלתי נגדרים הנה יצטרך למלאכה והוא שנכה האיכות הבלתי נגדר עם עצמו והעולה עם האיכות והעולה נשמרהו ויקרא השמור הראשון עוד נכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו והעולה נשמרהו ויקרא השמור השני אחר זה נייחס יסוד השמור השני אל יסוד השמור הראשון וההווה הוא יסוד השבר הדרוש
	המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הק' עשריים אשר כמותם ואיכותם בלתי נגדרים
	הנה נכה הי' שהוא האיכות בעצמם ויעלו ק' והק' בי' ויעלו אלף ונשמרם גם נכה הק' שהוא הכמות בק' שהוא העולה מהכאת האיכות בעצמו ויעלו י' אלף ונשמרם אחר זה נבקש יסוד הי' אלף והוא כ"א ל"ב כ"ד ונשמרהו גם נבקש יסוד האלף והוא י' נקח השבר הנגזר מהי' שהם העשיריים ונייחס אליו הכ"א ל"ב כ"ד השמורים והם כ"א עשריים ול"ב ראשונים העשירית וכ"ד שניי העשיריים חלקנום על י' והם ב' שלמים ועשירית א' ול"ב חלקים מת"ר חלקי השלם וחלקי אחד מאלף ת"ק חלקי השלם או חלק הק' על הי' ויצאו י' בקש יסודם הקרוב והוא שני שלמים תשעה ראשונים י"ד שניים כ"ד שלישיים והוא השרש הראשון בעינו אין הבדל ביניהם כלל
	וזה הדרך עצמו נעשה כאשר נדרוש יסוד השברים שכמותם נגדר ואיכותם בלתי נגדר
	אך אם תדרוש יסוד השברים שכמותם בלתי נגדר ואיכותם נגדר הנה אין צורך כל אלה רק נבקש יסוד הכמות כמנהג רוצה לומר הקרוב והיוצא נייחסהו אל האיכות הנגזר מיסוד איכות שברים הדרושים וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
Example: if you wish to know the cubic root of 100 eighths. $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{100}{8}}$	המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הק' שמניים
We take the approximate cubic root of 100, it is 4, 38, 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100}=4+38^\prime+24^{\prime\prime}}}$	הנה נקח יסוד הק' הקרוב שהוא ד' ל"ח כ"ד
We take the cubic root of eight, from which the name of the eighths is derived, which is 2 that indicates a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}=2}}$	ונקח יסוד השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו והם ב' המורה על חצי
	ונייחס אליו הד' ל"ח כ"ד השמורים והם ד' חצאים ול"ח דקיי החצי וכ"ד שניי החצי
	חלקנום על ב' ויצאו ב' שלמים חלקים מס' חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם
	הנה כבר ביארנו לך דרך מציאות יסוד השברים בכח בין שיהיה כמותם ואיכותם נגדר או כמותם ואיכותם בלתי נגדר או איכותם לבד נגדר או כמותם לבד נגדר
	ואולם הדרך במציאות יסוד השלמים והשברים יחד הנה הוא דרך מציאות יסוד השברים בעינו וזה אחרי ההתכה לפי מה שקדם
Example: if you wish to know the cubic root of 12 and a half. $\scriptstyle\sqrt[3]{12+\frac{1}{2}}$	המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הי"ב וחצי
	הנה נכה הי"ב עם הב' ויעלה כ"ד נחבר עמהם הא' המורה על חצי א' והם כ"ה וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד
	ואיכותם הם חצאים שהוא איכות השברים ההם בעצמם
	ולכן ישובו הי"ב וחצי לכ"ה חצאים
	ומעתה נשתמש במציאות יסודם עם הדרך הראשון בעינו רוצה לומר בשנכה הב' המורה על חצי עם עצמו ויעלו ד' עוד נכה הב' עם הד' ויעלו ח' ונשמרם אחר זה נכה עם הכ"ה עם הד' ויעלו ק' אחר זה נבקש יסוד הק' הקרוב והוא ד' ל"ח כ"ד ונקח יסוד השמנה השמורי' והם ד' חצאים ול"ח דקי החצי וכ"ד שניי החצי נחלקם על הב' שהם החצאים ויצאו ב' שלמים וי"ט חלקים מס' חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם וזהו יסוד הי"ב שלמי' וחצי
	הנה כבר התבאר לך דרך מציאות יסוד השברים לבד ויסוד השלמים והשברים יחד
	ואולם המאזנים הכוללים כל המינים יחד רוצה לומר בשלמי' לבד ובשברים לבד ובשלמים עם השברים יחד
	הוא שנכה היסוד עם עצמו באופן מעוקב ואם ישוה העולה מהכאתו למספר הדרוש יסודו דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה במספרים הנגדרים
	אולם במספרים הבלתי נגדרים נחבר המותר עם העולה מהכאת היסוד הקרוב באופן מעוקב והעולה מקבוצם אם ישוה למספר המבוקש דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה מאזני מרמה וכבר קדם לך הביאור עליו
	והסבה לכל אלה הדרכים הנה היא מבוארת ממה שקדם
	והוא שכבר התבאר שיסוד המעוקב הוא המספר אשר מהכאתו בעצמו והעולה עם עצמו יולד המספר הדרוש
	גם התבאר שהכאת השבר עם עצמו והעולה עם עצמו הוא הכאת הכמות עם עצמו באופן מעוקב והכאת האיכות עם עצמו באופן מעוקב והעולה משני ההכאות כאשר ייוחס הא' מהם אל האחר ר"ל העולה מהכאת הכמו' עם עצמו באופן מעוקב יורה על איכו' השבר היוצא מההכאה
	וכאשר היה זה כן הנה א"כ כאשר נרצה לדעת יסוד שבר מה איזה שבר היה נבקש כמותו ויסוד איכותו ונייחס יסוד כמותו אל יסוד איכותו וההווה הוא יסוד השבר הדרוש בהכרח אחר שכמות השבר היוצא כאשר יוכה עם עצמו באופן מעוקב יצא כמות השבר הדרוש ואיכו' זה השבר היוצא כאשר יוכה באופן מעוקב יצא איכות השבר הדרוש וזהו גדר היסוד בעצמו כאשר קדם
	וכאשר לא יהיה כמו' השבר הדרוש נגדר והיה איכותו נגדר
	הנה נמצא אז יסוד כמותו הקרוב בהכרח גם יסוד איכותו האמתי ונייחס יסוד כמותו הקרוב אל יסוד איכותו וההווה הוא יסוד השבר הדרוש בהכרח
	ואולם כאשר יהיה איכות השבר הדרוש בלתי נגדר הנה לא יספיק לנו שנקח יסודו הקרוב ויהיה הוא איכות השבר היוצא
	כי האיכות לא יתכן שיהיה נגזר רק ממספר אחד כמו שליש מג' ורביע מד' וחומש מה' וכן תמיד
	ולכן יחוייב לנו שנשיב האיכו' ההוא לאיכו' אחר נגדר ואז נקח יסודם כאש' קדם
	ולהיו' שהדרך המשותף לכל האיכויות להשיבם אל איכויות נגדרים הוא בשנכה האיכות עם עצמו באופן מעוקב לכן ביארנו הדרך הזאת
	עם היות שיתכן לפעמים באופן אחר יותר קל
	והוא שאם היה השבר הדרוש תשעיי' עד"מ נכה הט' בג' והם כ"ז והנה הכזי"י אשר הם נגזרי' מהכ"ז הם נגדרי' לא שנכם עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו תשכ"ט
	וכן הרביעיים על דרך משל הנה נכם עם ב' ויעלו ח' והשמיניים אשר שם השמנה נגזר ממנו הם נגזרים לא שנכה הד' עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו ס"ד
	אלא שבחרנו זה למה שלא יצדק זה בכל האיכויות גם כי הם משתנים ונצטרך בהם חלופי הדרכי'
	כי על דרך משל התשיעיים נצטרך להכותם עם הג' והרביעיים עם הב' וכן תמיד
	ולכן בחרנו הדרך המשותף לכל שהוא הכאת האיכות עם עצמו באופן מעוקב
	אחר זה נצטרך להכות גם הכמות עם העולה מהכאת האיכות עם עצמו
	והסבה בזה הוא מפני שהוכה האיכות עם העולה מהכאתו בעצמו ולזה יחוייב שנכה גם הכמות עם המספר ההוא בעצמו ר"ל עם העולה מהכאת האיכות בעצמו כדי שישובו השברים הראשוני' שוים לשברים השניים כמו שקדם מהמאמר
	ולולא זה יהיו השברים הראשונים זולת השברים השניים
	כי עד"מ אם רצינו להשיב הי' רביעיים אל שברים בעלי איכות נגדר והכינו הד' עם עצמו ועלו י"ו עוד הכינו הד' עם הי"ו ועלו ס"ד אם לא נכה גם הכמו' עם הי"ו הנה יהיו השברי' השניים י' סדיי"ם והם פחותים מהי' רביעיים ולכן יתחייב שנכה גם הכמו' בי"ו ויעלו ק"ס סדיי"ם והם שוי' לי' רביעיי' בהכרח אחר שהוכה כמותם ואיכות' עם מספר א' שהוא מספר הי"ו
	כי יחס השעורי' קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת כאשר יהיו שוי הכפלים וזה מבואר במאמר שחמישי לאקלידאס אין צורך להאריך בביאורו
	ואולם הדרך במציאות יסוד שברי התכונה הנה הוא בשנקח יסוד כמותם ונייחסהו אל שליש איכותם והיוצא הוא יסודם
Example: if you wish to know the cubic root of one-thousand sixths of the sexagesimal fractions. $\scriptstyle\sqrt[3]{1000^{vi}}$	המשל בזה אם רצית לדעת יסוד האלף ששיים משברי התכונה
We take the cubic root of one-thousand, which is 10. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000}=10}}$	הנה נקח יסוד האלף שהם עשרה
We relate them to one-third of the 6, which is 2 that indicates the seconds. The result is 10 seconds, which is the cubic root of one-thousand sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000^{vi}}=10^{\prime\prime}}}$	ונייחסם אל שליש הו' שהם ב' המורים על שניים וההוה הם י' שניים והם יסוד האלף ששיים
Example: if you wish to know the cubic root of 125 ninths. $\scriptstyle\sqrt[3]{125^{ix}}$	וכן אם רצית לדעת יסוד הקכ"ה תשיעיים
We take the cubic root of 125, which is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{125}=5}}$	הנה נקח יסוד הקכ"ה והם ה'
Also, one-third of the nine, which is 3 that indicates the thirds. Thus, we know that the cubic root of 125 ninths is 5 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{125^{ix}}=5^{\prime\prime\prime}}}$	גם שליש התשעה והם ג' המורה שלישיים ובזה ידענו שיסוד הקכ"ה תשיעיים עם ה' שלישיים
	ואולם אם היה כמותם ואיכותם יחד או אחד משניהם בלתי נגדרים
	הנה הדרך אל ידיעתו היא שאם היה איכותו לבד בלתי נגדר הנה נקח שליש איכותו כמו שקדם ונייחס אליו היסוד הקרוב לכמותו וההווה הוא יסודם
Example: 4 ninths. $\scriptstyle\sqrt[3]{4^{ix}}$	המשל בזה בד' תשיעיים
We take the cubic root of 4, which is 5, 50, 24. We relate it to one-third of the nine, which is 3 that indicates the thirds. Thus, we know that the cubic root of 4 ninths is 5 thirds, 50 fourths and 24 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{4^{ix}}\approx5^{\prime\prime\prime}+50^{iv}+24^{v}}}$	הנה נקח יסוד הד' והוא ה' נ' כ"ד ונייחסם אל שליש התשעה שהם ג' המורים על שלישיים ובזה ידענו שיסוד הד' תשיעיים הוא ה' שלישיים ונ' רביעיים וכ"ד חמישיים
	ואולם אם היה איכותם בלתי נגדר הנה נשיבם אל הנגדרים אחר זה נבקש יסוד זה הכמות ונייחסהו אל שליש זה האיכות וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
Example: if you wish to know the cubic root of 100 fifths. $\scriptstyle\sqrt[3]{100^{v}}$	המשל בזה אם רצית לדעת יסוד ק' חמישיים
We multiply 100 by 60 and the result is 6000, which are sixths, since it decreased by one rank. $\scriptstyle{\color{blue}{100^{v}=\frac{60\sdot100^{v}}{60}=6000^{vi}}}$	הנה נכה הק' בס' ויעלו ו' אלף והם ששיים לפי שכבר ירד מדרגה אחת
Then we take the cubic root of 6000, which is 18, 10, 12. We relate it to one-third of the 6, from which the sixths are derived, which is 2 that indicates the seconds. The result is 18 seconds, 10 thirds and 12 fourths and it is the cubic root of 100 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100^{v}}=\sqrt[3]{6000^{vi}}\approx18^{\prime\prime}+10^{\prime\prime\prime}+12^{iv}}}$	אחר זה נבקש יסוד הו' אלף והוא י"ח י' י"ב נייחסהו אל שליש הו' שהששיים נגזר ממנו שהם ב' המורים על שניים וההווה הוא י"ח שניים י' שלישיים י"ב רביעיים וזהו יסוד הק' חמישיים
Example: if you wish to know the cubic root of 100 fourths. $\scriptstyle\sqrt[3]{100^{iv}}$	ואם רצית לדעת יסוד הק' רביעיי'
We multiply 100 by 60 and the result is 6000. Then we multiply 600 again by 60 and the result is 360000, which are sixths, since it decreased by two ranks, as it was multiplied twice. $\scriptstyle{\color{blue}{100^{iv}=\frac{60\sdot60\sdot100^{iv}}{60^2}=\frac{60\sdot6000^{iv}}{60^2}=360000^{vi}}}$	הנה נכה הק' בס' ויעלו ו' אלפים עוד נכה הו' אלפי' בס' ויעלו ש"ס אלף והם ששיים לפי שכבר ירד ב' מדרגות אחר שהוכה פעמים
Then we take the cubic root of 360000, which is 71, 7, 48. We relate it to one-third of the 6, from which the sixths are derived, which is 2 that indicates the seconds. Thus, we know that the cubic root of 100 fourths is 71 seconds, 7 thirds and 48 fourths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100^{iv}}=\sqrt[3]{360000^{vi}}\approx71^{\prime\prime}+7^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}$	נבקש יסוד הש"ס אלף והוא ע"א ז' מ"ח ונייחסם אל שליש הו' הששיים נגזר ממנו שהם ב' המורה על שניים ובזה ידענו שיסוד הק' רביעיים הם ע"א שניים ז' שלישים מ"ח רביעיים
	ומהנה יודע לך הדרך במציאות יסוד מיני שברים רבים משברי התכונה או שברים ושלמים יחד וזה בשנתיך הכל אל מין א' היותר פחות מהם ואז נשתמש עם הדרך הקודם
Example: if we wish to know the cubic root of 20 degrees, 24 minutes, 20 seconds and 30 thirds. $\scriptstyle\sqrt[3]{20^\circ+24^\prime+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}$	המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד הכ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים
	הנה נכה הכ' מעלות בס' ויעלו אלף כ' ראשונים נחברם עם הכ"ד ראשונים ויעלו אלף רכ"ד ראשונים עוד נכם עם ס' ויעלו ע"ג אלף ות"מ שניים חברם עם הכ' שניים ויעלו ע"ג אלף ות"ס שניים נכם עם הס' ויעלו ד' פעמים אלף אלפים ות' וז' אלפים ושש מאות שלישיים נחברם עם הל' שלישיים ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות וז' אלפים ושש מאות ושלשים שלישיים ולהיות שהשלישיים הוא מדרגה נגדרת על כן בקשנו יסוד הכמות הזה והוא קס"ג נ"ד עוד לקחנו שליש הג' אשר שם השלישיים נגזר ממנו והוא המורה על הראשונים ובזה ידענו שיסוד הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים הוא קס"ג ראשונים ונ"ד שניים שהם ב' מעלות מ"ג ראשונים כ"ד שניים
	והסבה הכוללת לכל אלה הדרכים היא הסבה בעצמה אשר זכרנו בשברי המספרים רק שבמקום שאמרנו שם שהכאת השברים עם עצמם באופן מעוקב והכאת איכותם עם עצמם באופן מעוקב נאמר הנה שהוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם באופן מעוקב ואופן איכותם עם ג' ולכן יתחייב גם הנה שנבקש הכמו' שיוכה בעצמו באופן מעוקב ויולד כמות השבר הדרוש
	ואולם באיכות לא נבקש יסודם אחר שמהכאת האיכות בעצמו באופן מעוקב לא יולד איכות השבר הדרוש רק נקח שלישיתו אחר שמג' כפלי האיכות יולד איכות השבר ובזה נגיע אל המבוקש
	ולכן כאשר יהיה איכותם נגדר הנה נקח יסוד הכמות האמתי או הקרוב אחר זה נייחסהו אל שליש האיכות וההווה הוא יסודו
	ואולם כאשר היה האיכות בלתי נגדר בין שיהיה כמותם נגדר או בלתי נגדר הנה נצטרך בהכרח להשיבם אל שברים בעלי איכות נגדר וזה בשנכה הכמות בס' פעם אחת או שתים עד שנגיע אל האיכות הנגדר
	ואולם כאשר יהיו השברים מינים רבים הנה נצטרך להשיבם אל מין אחד אחר זה ננהיג בהם הדרך הקודם בעצמו ובזה נגיע אל המבוקש
	והמאזני' אשר בהם יאוזן זה המין מהשברי' הוא כפי המאזנים אשר בהם יאוזן מין השברים המספריים בעצמן כי הדרך בהן היא אחת בעצמה אין צורך להאריך בזה

Section Three: Ratios	השער השלישי
Know that the ratio is a relative quantity.	דע כי היחס הוא הכמות הצרופיי
The quantity is a species that includes two types of quantities: relative and absolute.	והכמות הוא סוג כולל לשני מיני הכמה שהם הצרופיי וזולתי
The relative is its distinction.	והצרופיי הוא הבדלו
Definition of a relative quantity: The relative quantity is a quantity created from two measures, which is the number of times that the one counts the other.	והכמות הצרופיי הוא הכמות המתחדשת מהשני שעורים שהוא שעור הפעמים אשר ימנה אחד את האחר
Such as the two measures 3 and 6, whose absolute quantity is the quantity 3 and 6, and their relative [quantity] is 2, which is the 2 times that the one counts the other.	כמו שני שעורים הג' והו' על דרך משל שכמותם הבלתי צרופיי הוא כמות הג' והו' והצרופיי הוא הב' שהם הב' פעמים שמנה האחד מהם את האחר
	ולכן יהיה הגדר הזה מחובר מסוג והבדל סוגו הוא הכמות
	והבדלו הוא הצרופיי המורה על הכמות המתחדש בין שני השעורים הנערכים
	ואולם היחס אשר יפול בין שני האיכויות המתחלפות הנה אמנם יפול עליהם במקרה רוצה לומר מצד מה שקרה לאיכות שישוער בכמה
	כי יאמר האיך הוא כפל האיך האחד אם מצד נושאו כי זה הלבן נשוא על ב' אמות והאחר נשוא על אמה אחת בלבד ואם מצד שזה הלובן כאשר ידומה רחוקו מהשחרות ב' אמות יהיה הלובן האחר רחוקו מהשחרות אמה אחת כאלו תאמר כאשר יהיה הלובן האחד לבן כשלג והאחר כקרום ביצה הנה יחשב השלג יותר מדרגה רחוקה מהשחרות מרוחק הקרום ביצה מהשחרות עד אשר יהיה תוספת הרוחק על הרוחק כתוספת הב' אמות על האמה וזה דמוי לבד ומפני שידומה בם הכמות יפול עליהם שם היחס במקרה
	אבל שם היחס לא יפול רק על הכמות הצרופיי המתחדש בין שני שעורים מונחים מספרים יהיו או קוים או שטחים או גשמים או זמנים ובכלל בעלי כמות זאת היא הסכמת כל הקודמים
	ולפי דעתי שלא יפול שם היחס בעצם רק על הכמה המספריי בלבד
	כי הקו כאשר יערך אל קו אחר הנה אמנם יאמר שהם מתייחסים ושביניהם יחס מה מצד מה שקרה שידומה שזה הקו מתפרד
	וזה כי אמנם יאמר שזה הקו כפל קו אחר כאשר ידומה שיחלק הקו הגדול לשנים ויהיה כל חלק וחלק מהם שוה לקו הקטן
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן שם היחס שנאמר בעצם אמנם יאמר על השעורים המספריים בלבד
	ולכן ראוי שנגדור שם היחס בגדר פרטיי והוא שנאמר שהיחס הוא המספר הצרופיי
	ואולם שם התיחס הוא נאמר על הדמות שני יחסים או יותר ולכן יחוייב שיהיו שם יותר משני שעורים מונחים בהכרח וזה כי כל יחס הוא מחובר משני שעורים כאשר קדם ולכן יחוייב שיהיה שם שיעור שלישי בהכרח עד שיתחייבו מהם שני יחסים יחס השעור הראשון אל השעור השני ויחס השיעור השני אל השיעור הג'
	ואמרי בגדר ההתיחס שהוא הדמות שני יחסים הוא ההבדל אשר בו יבדל מהיחס כי היחס מתחדש משני שעורי' והתיחס משני יחסים
	ואולם התנות ההדמות אמנם הוא מפני שאין כל ג' שעורים מונחי' מתיחסים ואף כי יחוברו מהם שני יחסים
	כי ג' שעורי א' ג' ד' לא יפול ביניהם התייחסות כלל לא מספריי ולא מדותיי ולא מוסקיי כמו שיבא אי"ה
	ולהיות שההתייחס מתחדש מהיחסים והיחס מהשיעורים הבלתי מוקשים אל הזולת שהם השלמים כמו שקדם בפתיחת זה הספר לכן היה מהמחוייב עלינו להמשיך הדבור ביחסי' אחר הדבור בשלמים המורים על הכמה הנפרד והם השברים המספריים והשברים התכוניים והשרשים והיסודות כי כל אלה הם מוקשים אל הזולת ולהיות שכבר השלמנו הדבור בהם הנה מהמחוייב עלינו אחר זה שנמשיך הדבור בהתיחס אשר הוא מחובר מהיחסים
The proportion is divided into three categories:	ונאמר שההתיחס יחלק לשלשה חלקים
Definition of a geometric proportion: The measures are relative to themselves, not their differences, so that the ratio of the first measure to the second measure is as the ratio of the second measure to the third measure. These are called geometric.	והם אם שיהיו השעורים מתיחסים בעצמם עד שיהיה יחס השעור הראשון אל השעור השני כיחס השעור השני אל השעור השלישי לא המותרים והם הנקראים מדותיים
Definition of an arithmetic proportion: The differences are relative by equality ratio, not the measures, so that the ratio of the excess of the first measure over the second to the excess of the second over the third is as the ratio of the excess of the second over the third to the excess of the third over the fourth. These are called arithmetic.	ואם שיהיו המותרים מתיחסים ביחס השווי עד שיהיה יחס מותר השעור הראשון על השני אל מותר השני על השלישי כיחס מותר השני על השלישי אל מותר השלישי על הרביעי לא השעורים והם הנקראים מספריים
Definition of a harmonic proportion: The differences and the measures are relative, meaning that the one of the two given ratios is of the differences and the other is of the measures, so that the ratio of the first measure to the last measure is as the ratio of the excess of the first over the mean to the excess of the mean over the last. These are called harmonic.	ואם שיהיו המותרים והשעורים יחד מתייחסים רוצה לומר שהיחס האחד משני היחסים המונחים הוא מהמותרים והאחר הוא מהשעורים עד שיהיה יחס השעור הראשון אל השעור האחרון כיחס מותר הראשון על האמצעי אל מותר האמצעי על האחרון והם הנקראים מוסקיים
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן מהמחוייב עלינו להודיע דרך כל אחד ואחד מאלו איש על דגלו ואיש על מחנהו

Part One: Arithmetic Sequences	החלק הראשון
	וראוי להקדים הדרך בידיעת המתיחסים המספריים על המתיחסים המדותיים מפני שהם יכנסו במספר מצד היותם מספר והמדותיים ואם יצדקו על המספר אמנם לא יכנסו במספר מצד מה שהם מספר אבל מצד מה שקרה לקווי שישוב עם החלוק מספריי כמו שקדם עד שיקראו אצל הקדמונים מדותיים למה שהיה שם המדה נופל על הקו והשטח ובכלל על השעור המתדבק כי וימד שש שעורים כמו שש איפות או סאים שעורים גם כי הם כפי סדר הטבע או דומה לסדר הטבע
	כי אב"ג שהם המתיחסים המספריים הם על סדר טבע המספרים עצמם ולא כן המדותיים
	וכאשר זה היה כן הנה אם כן מן הראוי להקדים תחלה הדרך בידיעת המתיחים המספריים אחר זה המתייחסים המדותיים אחר שהם השני פשוטים אשר מהם יתרכב המין השלישי והם המתיחסים המוסקיים אחר זה בשהיחסים המוסקיים וכבר קדם מכלל דברינו גדר המתיחסי' המספריים
Their special property: the sum of their two extremes is equal to double the mean, if the number of the terms is odd; or to the sum of the two means, if the number of terms is even. $\scriptstyle a_1+a_{2n-1}=2\sdot a_n$ $\scriptstyle a_1+a_{2n}=a_n+a_{n+1}$	ואולם סגלתם המיוחדת היא שחבור שני קצותיו שוי' לכפל האמצעי אם היו הגבולים נפרדים או לחבור שני האמצעיים אם היו זוגות
Example for an odd number [of terms]: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$	משל הנפרדים מספרי ב' ד' ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3=2+6=2\sdot4=2a_2}}$	אשר חבור שני קצותיו שהם ב' ו' שוים לכפל האמצעי שהוא ד'
Example for an even number [of terms]: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}$	ומשל הזוגות מספרי ב' ד' ו' ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_4=2+8=4+6=a_2+a_3}}$	אשר חבור השני קצוות שהם ב' ח' שוי לחבור השני אמצעיים שהם ד' ו'
Also the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10}}$	וכן מספר ב' ד' ו' ח' י'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_5=2+10=a_2+a_4=4+8=2a_3=2\sdot6}}$	הנה חבור שני הקצוות והם י' ב' שוים לחבור הנלוים להם שהם ד' ח' ולכפל האמצעי שהוא ו'
Also the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12}}$	וכן מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_6=a_2+a_5=4+10=a_3+a_4=6+8}}$ and so on.	הנה חבור שני הקצוות שוים לחבור הנלוים להם והם ד' י' ולנלוים לנלוים והם ו' ח' וכן תמיד
A second property: the product of the two extremes one by the other, when it is [subtracted] from the product of the mean by itself, if the number of the terms is odd, the result of subtraction is equal to the product of the excess of the mean over the smaller extreme by the excess of the greater extreme over the mean. $\scriptstyle a_n^2-\left(a_1\sdot a_{2n-1}\right)=\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{2n-1}-a_n\right)$	עוד סגולה שנית והיא שהעולה מהכאת שתי הקצוות האחד מהם עם האחר כאשר נערכהו אל העולה מהכאת האמצעי בעצמו אם היו הגבולים המונחים נפרדים יהיה המגרעת שוה לעולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם מותר הקצה הגדול על האמצעי
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$ for example.	כמו מספרי ב' ד' ו' עד"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2-\left(a_1\sdot a_3\right)=4^2-\left(2\sdot6\right)=16-12=4}}$	שהעולה מהכאת ב' בו' הם י"ב והעולה מהכאת ד' בעצמו הם י"ו והי"ב הם נגרעי' מהי"ו ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_3-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(6-4\right)=2\sdot2=4}}$	שהם כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' על מותר הו' על הד' שהם ב'
Also the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10}}$	וכן מספרי ב' ד' ו' ח' י'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3^2-\left(a_1\sdot a_5\right)=6^2-\left(2\sdot10\right)=36-20=16}}$	הנה העולה מהכאת הב' בי' הם כ' והעולה מהכאת הו' שהוא האמצעי בעצמו הם ל"ו והכ' נגרעם מהל"ו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_5-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(10-6\right)=4\sdot4=16}}$	שהם כמו העולה מהכאת מותר הו' על הב' שהם ד' עם מותר הי' על הו' שהם ד'
If the number of the terms is even: the product of the two extremes one by the other, when it is [subtracted] from the product of the two means one [by the other], the result of subtraction is equal to the product of the excess of one of the means over the smaller extreme by the excess of the greater extreme over that same mean. $\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left(a_1\sdot a_{2n}\right)&\scriptstyle=\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{2n}-a_n\right)\\&\scriptstyle=\left(a_{n+1}-a_1\right)\sdot\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)\\\end{align}$	ואולם אם היו הגבולים המונחים זוגות הנה העולה מהכאת שתי הקצוות האחד מהם עם האחר כאשר נערכהו על העולה מהכאת הב' אמצעיים אחד מהם כאשר יהיה המגרעת כמו העולה מהכאת מותר הגבול האמצעי האחד על הגבול הקטן עם מותר הגבול הגדול על האמצעי ההוא בעצמו
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}$ for instance.	כמו מספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2\sdot a_3\right)-\left(a_1\sdot a_4\right)=\left(4\sdot6\right)\sdot\left(2\sdot8\right)=24-16=8}}$	שהעולה מהכאת ב' בח' הם י"ו והעולה מהכאת הד' בו' הם כ"ד והמגרעת הם ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_4-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(8-4\right)=2\sdot4=8}}$	והוא כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' עם מותר הח' על הד' שהם ד' שהעולה מהם ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_4-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(8-6\right)=4\sdot2=8}}$	או הכאת מותר הו' על הב' שהם ד' עם מותר הח' על הו' שהם ב'
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12;\;14;\;16}}$ for example.	וכמו מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4\sdot a_5\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(8\sdot10\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=80-32=48}}$	שהעולה מהכאת הב' עם הי"ו הם ל"ב והעולה מהכאת הב' האמצעיים שהם הח' והי' הם פ' והמגרעת הם מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_4\right)=\left(8-2\right)\sdot\left(16-8\right)=6\sdot8=48}}$	והוא שוה לעולה מהכאת מותר הח' על הב' שהם ו' עם מותר הי"ו על הח' שהם ח' שהעולה מהכאת הו' בח' הם מ"ח
If the two terms that are next to the means on both sides are multiplied:	ואם רצית להכות שני הגבולים הנלוים לאמצעיים משני צדדין
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3\sdot a_6\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(6\sdot12\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=72-32{\color{red}{=40}}}}$	כמו הו' עם הי"ב שהם ע"ב הנה המגרעת אשר בין הל"ב שהוא העולה מהכאת הקצוות ובין הע"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(16-6\right)=4\sdot10=40}}$	הוא כמו הכאת המותר אשר בין הו' לב' שהם ד' עם מותר הי"ו על הו' שהם י' שהעולה מהם מ'
If the two terms that are next to the terms that are next [to the means on both sides] are multiplied:	ואם רצית להכות שני הגבולים הנלוים הקודמים מהנלוים הראשונים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2\sdot a_7\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(4\sdot14\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=56-32=24}}$	שהם הד' והי"ד שהם נ"ו הנה המגרעת אשר בין הל"ב לנ"ו שהם כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(16-4\right)=2\sdot12=24}}$	הוא שוה לעולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' עם מותר הי"ו על הד' שהם י"ב שהכאת הב' עם הי"ב הם כ"ד
A third property: the ratio between two smaller terms is greater than the ratio between the greater terms.	עוד סגולה שלישית והיא שהיחס אשר בין השני גבולים הקטנים מהם יותר גדול מהיחס אשר בין הגבולים הגדולים
For example: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$	כי ב' ד' ו' על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{4:2}}$ double ratio	הנה יחס הד' אל הב' הוא יחס הכפל
$\scriptstyle{\color{blue}{6:4}}$ sesquialter ratio - the double ratio is greater than it.	ויחס הו' אל הד' הוא כמהו וחציו ויחס הכפל הוא גדול ממנו
These are the special properties of this species of ratios that are not shared by other ratios.	אלה הן הסגולות המיוחדות בזה המין מהמתייחסים אשר לא ישתתפו בם זולתם מהמתייחסים
	וכאשר יהיו אלה הסגולות ידועים הנה כבר תוכל לדעת הגבול המוסכל מהם בידוע
Meaning, if the number of terms is odd, and you wish to know the last or the first term of them, you will know it by this method:	רוצה לומר שאם היו הגבולים המונחים נפרדים ותרצה לדעת הגבול האחרון או הראשון מהם הנה תדעהו בזה הדרך
If the last term is unknown	והוא שאם היה הגבול האחרון מוסכל
Such as: 6 of $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$	כמו הו' מב' ד' ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n-1}=\left(a_n-a_1\right)+a_n=2+4=6}}$	הנה נקח מותר האמצעי על הקטן והוא ב' במשלנו ונוסיפנו על האמצעי והעולה הוא ו' והוא הגבול הגדול
If the smaller term is unknown	ואם היה המוסכל הגבול הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=a_n-\left(a_{2n-1}-a_n\right)=4-2=2}}$	הנה נקח מותר הגדול על האמצעי שהוא ב' ונגרענו מהאמצעי והנשאר הוא ב' והוא הגבול הקטן
Or, if you wish, double the mean, then subtract the smaller from the result, and the remainder is the greater $\scriptstyle a_{2n-1}=2a_n-a_1$	או אם תרצה תכפול האמצעי והעולה השלך ממנו הקטן וישאר הגדול
Or [subtract] the greater, and the remainder is the smaller $\scriptstyle a_1=2a_n-a_{2n-1}$	או הגדול וישאר הקטן
If the number of the terms is even, and you wish to know the last or the first term:	ואם היו הגבולים המונחים זוגות ותרצה לדעת הגבול האחרון או הראשון
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}$ for instance.	כמו ב' ד' ו' ח' על דרך משל
Take the excess of the smaller mean over the smaller term, add it to the greater mean, and you will find the last term. $\scriptstyle a_{2n}=a_{n+1}+\left(a_n-a_1\right)$	קח מותר האמצעי הקטן על הגבול הקטן והוסיפנו על האמצעי הגדול ותמצא הגבול האחרון
Or take the excess of the last term over the greater mean, subtract it from the smaller mean, and you will find the smaller term. $\scriptstyle a_1=a_n-\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)$	או קח מותר הגבול האחרון על האמצעי הגדול ותגרענו מהאמצעי הקטן ותמצא הגבול הקטן
Or sum the two means, which are 10 in our example, subtract the smaller term from them and the remainder is the greater term. $\scriptstyle a_{2n}=\left(a_n+a_{n+1}\right)-a_1$	או קבץ שני האמצעיים והם י' במשלנו וגרע מהם הגבול הקטן והנשאר יהיה הגבול הגדול
Or subtract the greater term from them and the remainder is the smaller term. $\scriptstyle a_1=\left(a_n+a_{n+1}\right)-a_{2n}$	או גרע מהם הגבול הגדול והנשאר יהיה הגבול הקטן
This is the method of finding the first and the last terms.	זהו דרך מציאות הגבול הראשון והאחרון
Finding the mean term	אולם מציאות הגבול האמצעי
If the number of the terms is odd:	הנה אם היו הגבולים המונחים נפרדים
Taking half the sum of the extremes, and it is the mean $\scriptstyle a_n=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_{2n-1}\right)$ .	נקח חצי העולה מחבור הקצוות והוא האמצעי
If the number of the terms is even:	ואם היו הגבולים המונחים זוגות
Taking the sum of the extremes, then subtracting from it one mean, and the result is the other mean $\scriptstyle a_n=\left(a_1+a_{2n}\right)-a_{n+1}$ $\scriptstyle a_{n+1}=\left(a_1+a_{2n}\right)-a_n$ .	נקח חבור הקצוות ונגרע מהם האמצעי האחד והנשאר יהיה האמצעי האחר
	וכן כאשר תגרע מהעולה מחבור הקצוות הנלוה לאמצעי האחד ישאר הנלוה לאמצעי האחר
	וכאשר תגרע ממנו הנלוה לנלוה על האמצעי האחד ישאר הנלוה לנלוה מהאמצעי האחר
	וכן תמיד עד שיכלו כל האמצעיים
For example: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12;\;14;\;16}}$ .	המשל בזה מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_4=\left(2+16\right)-8=18-8=10=a_5}}$	כי חבור ב' י"ו הם י"ח תגרע מהם הח' וישארו הי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_5=18-10=8=a_4}}$	או הי' וישארו הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_3=18-6=12=a_6}}$	או הו' וישארו הי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_6=18-12=6=a_3}}$	או הי"ב וישארו הו'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_2=18-4=14=a_7}}$	או הד' וישארו הי"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_7=18-14=4=a_2}}$	או הי"ד וישארו הד'
Another way: If the number of the given terms is odd, and you wish to know one of the extremes.	עוד דרך אחרת והוא שאם היו נפרדים הגבולים המונחים ורצית לדעת אחד מהקצוות
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$ for instance.	כמו מספרי ב' ד' ו' על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n-1}=\frac{a_n^2-\left(a_n-a_1\right)^2}{a_1}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a_{1}=\frac{a_n^2-\left(a_{2n-1}-a_n\right)^2}{a_{2n-1}}=\frac{12}{6}=2}}$	הכה האמצעי עם עצמו ויעלה י"ו גרע מהם העולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם עצמו או מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי איזה מהם שיהיה שם שהם ד' וישארו י"ב חלקם על הב' ויצאו הו' או על הו' ויצאו הב'
If the number of the terms is an even number.	ואם היו הגבולים זוגות
Such as the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}$ for example.	כמו מספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n}=\frac{\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left[\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_1}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left[\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_{2n}}=\frac{16}{8}=2}}$	הכה השני אמצעיים האחד עם האחר ויעלו כ"ד גרע מהם ח' שהוא העולה מהכאת מותר האמצעי הקטן על הקצה הקטן עם מותר האמצעי הגדול על הקצה הקטן או מהכאת מותר שיהיה שם שהם ח' וישארו י"ו חלקם על הב' וישארו ח' או הח' ויצאו הב'
If you wish to know the mean	ואם רצית לדעת האמצעי
If the number of the terms is an odd number:	הנה אם היו הגבולים נפרדים
Such as $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}$ .	כמו מספרי ב' ד' ו'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_n=\sqrt{\left(a_1\sdot a_{2n-1}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_{2n-1}-a_1\right)\right]^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4}}$	הכה ב' הקצוות זה עם זה ויעלו י"ב הוסף עליהם ד' שהוא העולה מהכאת חצי המותר הקצה הגדול על הקצה הקטן עם עצמו ויעלו י"ו קח שרשם והוא ד' וזהו הגבול האמצעי
If the number of the terms is an even number.	ואם היו הגבולים זוגות
Such as $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}$ .	כמו מספרי ב' ד' ו' ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{n+1}=\frac{\left(a_1\sdot a_{2n}\right)+\left[\left(a_{2n}-a_n\right)\sdot\left(a_n-a_1\right)\right]}{a_n}=\frac{16+8}{4}=\frac{24}{4}=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{a_n=\frac{\left(a_1\sdot a_{2n}\right)+\left[\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_{n+1}}=\frac{24}{6}=4}}$	הכה ב' הקצוות זה עם זה ויעלו י"ו הוסף עליהם ח' שהוא העולה מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי הקטן עם מותר האמצעי הקטן על הקצה הקטן או מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי הגדול עם מותר האמצעי הגדול על הקצה הקטן איזה מהם שיהיה שם ויעלו כ"ד חלקם על הד' ויצאו הו' או על הו' ויצאו הד'
	והסבה במציאות אלה הדרכים הם ידועים מסוגלתם וסבת הסגולות לא נוכל להאריך בה כי נצא מכלל כוונתנו בזה הספר ולזה הנחנוה

Part Two: Geometric Sequences	החלק השני
	כבר הקדמנו הסבה אשר חייבתנו להמשיך הדבור במתייחסים המדותיים אחר הדבור במתייחסים המספריים ובארנו גדר המתייחסים המדותיים ומעתה נתחיל בסגולות המיוחדות
Chapter One	הפרק הראשון
	דע שזה המין מהמתייחסי' כבר יתחלפו על חמשה סוגים והם הכפל והמוסיף חלק והמוסיף חלקים והכפל המוסיף חלק והכפל המוסיף חלקים
	עוד יחלק כל חלק אחד מהם אל מינים לא נצטרך לטרוד בהכאתו כי ישתנה בזה צורת הספר המכוון בתחלת המחשבה ולא יהיה תחלת המחשבה הוא סוף המעשה
	ולזה לא נשתדל גם כן בהודעת אופן צמיחת מיני הייחסים האלו ואופני הנחתם
	רק שנשתדל בהודעת סגולתם לבד כי בהם נגיע אל ידיעת המוסכל בידוע והוא המכוון בעצם וראשונה בזה המאמר
	ואומר שהסגולה המיוחדת לזה המין מהמתייחסים היא שיחס מותרי הגבולים המונחים קצת על קצת
For example: the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16}}$	וזה שמספרי ב' ד' ח' י"ו על דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-2\right):\left(8-4\right)=\left(8-4\right):\left(16-8\right)}}$ sesquialter ratio	הנה יחס מותר הד' על הב' אל מותר הח' על הד' ומותר הח' על הד' אל מותר הי"ו על הח' הוא יחס החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{2:4=4:8=8:16}}$ sesquialter ratio	וכן גם כן יחס הב' אל הד' והד' אל הח' והח' אל הי"ו הוא יחס החצי
the numbers $\scriptstyle{\color{blue}{3;\;9;\;27}}$ are related by the sesquitertian ratio and their excesses are also related by the sesquitertian ratio.	וכן מספרי ג' ט' כ"ז שהם מתייחסים ביחס השליש הנה מותריהם גם כן מתייחסים ביחס השליש
So on for all the types of ratios.	וכן בכל מיני הייחסים
The sign for the numbers of the excesses is the product of the terms by the number, from which the name of the ratio is derived, minus one.	והסימן למספרי המותרים הוא העולה מהכאת השעורים עם המספר הפחות אחד מהמספר אשר יגזר ממנו שם היחס
For example: in the double ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}$	המשל בזה ביחס הכפל שהם מספרי ב' ד' ח'
the double ratio is derived from two	להיות יחס הכפל הוא נגזר מהשנים
hence $\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}$ → $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}$ are multiplied by 1	נשליך מהשנים אחד וישאר אחד ונכה הב' ד' ח' עם האחד
the excesses are: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}$	ויצאו לנו המותרים ב' ד' ח'
in the triple ratio:	וביחס השלשה כפלים
$\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}$ → the terms $\scriptstyle{\color{blue}{3;\;9;\;27}}$ are multiplied by 2	נשליך מהשלשה אחד וישארו שנים נכה השנים עם הגבולים שהם ג' ט' כ"ז
the excesses are: $\scriptstyle{\color{blue}{6;\;18;\;54}}$	ויצאו לנו המותרים ו' י"ח נ"ד
in the quadruple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32}}$	וביחס הארבעה כפלים כמו מספרי ב' ח' ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}$ → the terms are multiplied by 3	נשליך מהארבעה אחד ונשארו שלשה ונכם עם הגבולים
the excesses are: $\scriptstyle{\color{blue}{6;\;24;\;96}}$	ויצאו לנו המותרים מספרי ו' כ"ד צ"ו
And so on.	וכן תמיד על זה הדרך
A second property: the product of the mean by itself, if the number of the terms is odd, or the product of the two means one by the other, if the number of the terms is even, is equal to the product of the two extremes one by the other. $\scriptstyle a_n^2=a_1\sdot a_{2n-1}$ $\scriptstyle a_n\sdot a_{n+1}=a_1\sdot a_{2n}$	עוד סגולה שנית והיא שהעולה מהכאת האמצעי האחד בעצמו אם היו הגבולים נפרדים או העולה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחר אם היו הגבולי' זוגות שוה לעולה מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר
Example for an odd number [of terms]: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32}}$	משל הנפרדים כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_n^2=8^2=64=2\sdot32=a_1\sdot a_{2n-1}}}$	הנה העולה מהכאת הח' בעצמו הם ס"ד והעולה מהכאת הב' בל"ב הוא ס"ד
also for the the product of the successive	וכן העולה מהכאת הנלוים לאמצעי ג"כ הם ס"ד
Example for an even number [of terms]: $\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32;\;64}}$	ומשל הזוגות כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_n\sdot a_{n+1}=8\sdot16=128=2\sdot64=a_1\sdot a_{2n}}}$	הנה העולה מהכאת הח' בי"ו הם קכ"ח והעולה מהכאת הב' בס"ד הם קכ"ח
also for the the product of the successive: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot32=128}}$	וכן הכאת הנלוים לח' י"ו האמצעיים שהם ד' ל"ב הם גם כן קכ"ח
A third property: If the number of the terms is odd:	עוד סגולה שלישית והיא שאם היו הגבולים המונחים נפרדים
The excess of the sum of the two extremes over double the mean is as the product of the excess of the mean over the smaller extreme by the number, from which the ratio of the mean to the smaller is derived, minus one.	יהיה תוספת העולה מחבור שני הקצוות על העולה מכפל האמצעי כמו העולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם המספר אשר יגזר ממנו יחס האמצעי על הקטן פחות אחד
If the number of the terms is even:	ואם היו גבולי' המונחים זוגות
The excess of the sum of the two extremes over the sum of the two means is as the product of the excess of the greater mean over the smaller extreme by the number, from which the ratio of the smaller mean to the smaller extreme is derived, minus one.	יהיה תוספת העולה מחבור שני הקצוות על העולה מחבור שני האמצעיים כמו העולה מהכאת המותר אשר לאמצעי הגדול על הגבול הקטן עם המספר אשר יגזר ממנו היחס אשר לאמצעי הקטן על הקצה הקטן פחות אחד
For example:	המשל בזה
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32;\;64}}$ double ratio	כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד בכפל השניי
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;6;\;18;\;54;\;162;\;486}}$ triple ratio	ומספרי ב' ו' י"ח נ"ד קס"ב תפ"ו בכפל השלישיי
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32;\;128;\;512;\;2048}}$ quadruple ratio	ומספרי ב' ח' ל"ב קכ"ח תקי"ב במ"ח בכפל הרביעיי
In the double ratio: If the number of the terms is odd: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+8\right)+\left(2\sdot4\right)=10-8=2}}$	הנה בשניי אם היו הגבולים נפרדים הנה חבור שני הקצוות ב' ח' הם י' וכפל ד' הוא ח' והי' עודפים על הח' ב'
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(4-2\right)\sdot\left[\left(4:2\right)-1\right]}}$	שהוא כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' עם א' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הד' אל הב'
In the triple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+18\right)+\left(2\sdot6\right)=20-12=8}}$	ובשלישיי חבור ב' י"ח הם כ' וכפל ו' הוא י"ב והכ' עודפים על הי"ב ח'
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(6-2\right)\sdot\left[\left(6:2\right)-1\right]}}$	שהוא כמו העולה מהכאת מותר הו' על הב' עם השנים שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הו' אל הב'
In the quadruple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+32\right)+\left(2\sdot8\right)=34-16=18}}$	וברביעיי חבור ב' ל"ב הם ל"ד וכפל ח' הוא י"ו והל"ד עודפים על הי"ו י"ח
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}$	שהם כמו העולה מהכאת מותר הח' על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
If the number of the terms is odd, and more than three:	וכן אם היו הנפרדים יותר משלשה שעורים
In the double ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+32\right)+\left(2\sdot8\right)=34-16=18}}$	הנה בשניי חבור ב' ל"ב הם ל"ד וכפל האמצעי שהוא הח' הם י"ו והל"ד עודפים על הי"ו י"ח
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}$	והם כמו הכאת מותר הח' על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
In the triple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+162\right)+\left(2\sdot18\right)=164-36=128}}$	ובשלישיי חבור ב' קס"ב הם קס"ד וכפל י"ח הם ל"ו והקס"ד עודפים על הל"ו קכ"ח
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(18-2\right)\sdot\left[\left(18:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הי"ח על הב' עם הח' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הי"ח על הב'
In the quadruple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+512\right)+\left(2\sdot32\right)=514-64=450}}$	וברביעיי חבור ב' תקי"ב הם תקי"ד וכפל ל"ב הם ארבעה וששים והתקי"ד עודפים על הארבעה וששים ת"נ
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(32-2\right)\sdot\left[\left(32:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הל"ב על הב' עם הט"ו שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הל"ב על הב'
If the number of the terms is even:	ואם היו השעורים המונחים זוגות
In the double ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+16\right)+\left(4+8\right)=18-12=6}}$	הנה בשניי חבור הב' י"ו הם י"ח וחבור הד' ח' הם י"ב והי"ח עודפים על הי"ב ו'
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(4:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הח' על הב' עם אחד שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו הם יחס הד' על הב'
In the triple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+54\right)+\left(6+18\right)=56-24=32}}$	ובשלישיי חבור ב' נ"ד הם נ"ו וחבור ו' י"ח הם כ"ד והנ"ו עודפים על הכ"ד ל"ב
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(18-2\right)\sdot\left[\left(6:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הי"ח על הב' עם הב' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הו' על הב'
In the quadruple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+128\right)+\left(8+32\right)=130-40=90}}$	וברביעיי חבור ב' קכ"ח הם ק"ל וחבור ח' ל"ב הם מ' והק"ל עודפים על המ' צ'
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(32-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הל"ב על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
If the number of the terms is even, and more than four:	וכן אם היו מזוגות יותר מארבעה שעורים
In the double ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_6\right)-\left(a_3+a_4\right)=\left(2+64\right)+\left(8+16\right)=66-24=42}}$	הנה בשניי חבור ב' ס"ד הם ס"ו וחבור ח' י"ו הם כ"ד והס"ו עודפים על הכ"ד מ"ב
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(16-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}$	שהם כמו העולה מהכאת מותר הי"ו על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
In the triple ratio: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_6\right)-\left(a_3+a_4\right)=\left(2+486\right)+\left(18+54\right)=488-72=416}}$	ובשלישיי חבור ב' תפ"ו הם תפ"ח וחבור י"ח נ"ד הם ע"ב והתפ"ח עודפי' על הע"ב תי"ו
which is the same as: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(54-2\right)\sdot\left[\left(18:2\right)-1\right]}}$	והם כמו העולה מהכאת מותר הנ"ד על הב' עם הח' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הי"ח על הב'
	אלה הן הסגולו' המיוחדו' אשר בזה המין אשר לא ישתתפו בם זולתם מהמתייחסים
	ובידיעת אלה הסגולות הנה כבר תוכל לדעת איזה מוסכל היה מאלה הגבולים המתייחסי' מהגבולים הידועים וזהו אשר הביאנו בזכירת אלה הסגולו' מצורף עם התועלת המגיע מידיעתם
	ומעתה אתחיל בהודעת הדרכים אשר בהם יודע הגבול המוסכל מהידוע אם האמצעי ואם הקצוות
	הדרך האחד הוא שנכה האמצעי על עצמו אם היו הגבולים נפרדים או שני האמצעיים זה עם זה אם היו הגבולים זוגות והעולה נחלקהו על הקצה הידוע ויצא הקצה האחר איזה היה המוסכל
For example:	המשל בזה
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32}}$ double ratio	כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב בכפל השניי
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;6;\;18;\;54;\;162}}$ triple ratio	או מספרי ב' ו' י"ח נ"ד קס"ב בכפל השלישיי
$\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32;\;128;\;512}}$ quadruple ratio	או מספרי ב' ח' ל"ב קכ"ח תקי"ב בכפל הרביעיי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8}}$	הנה העולה מהכאת הד' עם עצמו הם י"ו נחלקם על הב' ויצא הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{16}{8}=2}}$	או על הח' ויצא הב'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18}}$	וכן העולה מהכאת הו' עם עצמו הם ל"ו נחלקם על הב' ויצאו הי"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{36}{18}=2}}$	ועל הי"ח ויצאו הב'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32}}$	וכן העולה מהכאת הח' בעצמו הם ס"ד נחלקם על הב' ויצאו הל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{64}{32}=2}}$	או על על הל"ב ויצאו הב'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_3^2}{a_5}=\frac{8^2}{32}=\frac{64}{32}=2}}$	וכן הכאת הח' בעצמו הם ס"ד נחלקם על הל"ב ויצאו הב'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{a_3^2}{a_1}=\frac{64}{2}=32}}$	או על הב' ויצאו הל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{a_3^2}{a_1}=\frac{18^2}{2}=\frac{324}{2}=162}}$	וכן הכאת הי"ח עם עצמו הם שכ"ד נחלקם על הב' ויצאו הקס"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_3^2}{a_5}=\frac{324}{162}=2}}$	או על הקס"ב ויצאו הב'
	וכן בכל מיני היחסים דרך אחת להם
	או נכה הד' בח' והם ל"ו נחלקם על הב' ויצאו הו' או על הו' ויצאו הב' וכן כלם
	ואולם האמצעי נכה שני הקצוות זה עם זה והעולה נקח שרשו והוא האמצעי
If the number of the terms is even:	ואם היו הגבולים המונחים זוגות
	נחלק העולה מהכאת שני הקצוות על האמצעי האחד ויצא האמצעי האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{2\sdot8}=\sqrt{16}=4}}$	משל זה נכה הב' בח' והם י"ו נקח שרשם והוא ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{2\sdot32}=\sqrt{64}=8}}$	וכן נכה הב' בל"ב והם ס"ד נקח שרשם והם ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{2\sdot162}=\sqrt{324}=18}}$	וכן נכה הב' בקס"ב ויעלו שכ"ד נקח שרשם והם י"ח
	וכן בכל היחסים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{2\sdot16}{8}=\frac{32}{8}=4}}$	או נכה הב' בי"ו ויעלו ל"ב נחלקם על ח' ויצא ד'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{32}{4}=8}}$	או על הד' ויצאו ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{2\sdot54}{6}=\frac{108}{6}=18}}$	וכן נכה הב' בנ"ד ויעלו ק"ח נחלקם על ו' ויעלו י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{108}{18}=6}}$	או על י"ח ויעלו ו'
	וכן בכל היחסים דרך אחד לכל
	עוד מצאתי דרך אחרת והוא מציאות הקצוות הנה אם היו הגבולים נפרדים נכה היחס אשר לאמצעי על הראשון עם האמצעי ויצא השלישי או נכה היחס אשר לאמצעי על האחרון עם האמצעי ויצא הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(4:2\right)\sdot4=2\sdot4=8}}$	משל זה נכה הב' שהוא יחס הד' על הב' עם הד' ויצא ח' שהוא הגבול השלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(4:8\right)\sdot4=\frac{1}{2}\sdot4=2}}$	או נכה החצי שהוא יחס הד' על הח' עם הד' ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(8:2\right)\sdot8=4\sdot8=32}}$	או נכה הד' שהוא יחס הח' אל הב' עם הח' ויצא ל"ב שהוא הגבול האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(8:32\right)\sdot8=\frac{1}{4}\sdot8=2}}$	או נכה הרביעית שהוא הח' אל הל"ב עם הח' ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(18:2\right)\sdot18=9\sdot18=162}}$	או נכה הט' שהוא יחס הי"ח אל הב' עם הי"ח ויצא קס"ב שהוא הגבול האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(18:162\right)\sdot18=\frac{1}{9}\sdot18=2}}$	או נכה התשיעית שהוא יחס הי"ח אל הקס"ב עם הי"ח ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(32:2\right)\sdot32=16\sdot32=512}}$	או נכה הי"ו שהוא יחס הל"ב על הב' עם הל"ב ויעלו תקי"ב שהוא הגבול האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(32:512\right)\sdot512=\frac{1}{16}\sdot32=2}}$	או נכה החלק מי"ו שהוא יחס הל"ב על התקי"ב עם הל"ב ויעלו ב'
	וכן בכל היחסים
If the number of the terms is even:	ואם היו הגבולים זוגות
	נקח היחס אשר לאמצעי הקטן אל הראשון ונכפלהו במספר כפלי היחס והעולה נכהו עם אותו האמצעי בעצמו ויצא הקצה האחרון או נקח היחס אשר לאמצעי הקטן אל האחרו' ונכפלהו עם מספר כפלי היחס והעולה נכהו עם אותו האמצעי בעצמו ויצא הקצה הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(a_2:a_1\right)\sdot2\sdot a_2=\left(4:2\right)\sdot2\sdot4=2\sdot2\sdot4=4\sdot4=16}}$	משל זה נקח יחס הד' אל הב' שהוא כפל ונכהו עם מספר כפלי היחס הזה שהוא יחס הכפל ויעלו ד' כפלים נכה הד' כפלים עם הד' ויעלו י"ו שהוא הקצה האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_4\right)\sdot2\sdot a_2=\left(4:16\right)\sdot2\sdot4=\frac{1}{4}\sdot2\sdot4=\frac{1}{2}\sdot4=2}}$	או נקח יחס הד' אל הי"ו שהוא רביעית ונכהו עם מספר כפלי היחס הזה ויעלה חצי ונכהו עם הד' ויעלה ב' שהוא הקצה הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(a_2:a_1\right)\sdot3\sdot a_2=\left(6:2\right)\sdot3\sdot6=3\sdot3\sdot6=9\sdot6=54}}$	וכן נקח יחס הו' אל הב' שהוא ג' כפליו ונכהו עם ג' כמספר כפלי זה היחס ויעלו ט' כפלים נכם עם הו' ויעלו נ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_4\right)\sdot2\sdot a_2=\left(6:54\right)\sdot3\sdot6=\frac{1}{9}\sdot3\sdot6=\frac{3}{9}\sdot6=\frac{1}{3}\sdot6=2}}$	או נקח יחס הו' אל הנ"ד שהוא תשיעית ונכהו עם ג' כמספר כפלי זה היחס ויעלו ג' תשיעיות שהוא שליש נכהו עם הו' ויעלו ב' שהוא הקצה הראשון
	ואם למציאות האמצעי
If the number of the terms is even:	הנה אם היו הגבולי' זוגות
	נשתמש עם הדרך הקודם עצמו רוצה לומר שאם היה המוסכל האמצעי ראשון נקח היחס אשר לאמצעי על האחרון ונכהו על האמצעי ויצא האחר ואם היה האמצעי מוסכל הוא הגדול נקח היחס אשר לאמצעי על הקטן ונכהו עם האמצעי ויצא האמצעי הגדול
	משל מציאות האמצעי הגדול נקח יחס הד' אל הב' שהוא ב' ונכהו עם ד' ויעלה ח' שהוא האמצעי הגדול
	ומשל מציאות האמצעי הקטן נקח יחס הח' אל הי"ו שהוא חצי ונכהו עם ח' ויצא ד' שהוא האמצעי הקטן וכן בכל היחסים
If the number of the terms is odd:	ואם היו הגבולים נפרדים והיה האמצעי מוסכל הנה אם היו הגבולים יותר מג' הנה תדענו עם הדרך הקודם והוא שנקח יחס הגבולים המונחים ונכהו עם השני ויצא השלישי וכן נכהו עם השלישי ויצא הרביעי וכן תמיד על זה הסדר ואם היו שלשה הנה נוכל למצוא האמצעי בשני דרכים אם בשנכה יחס הגבול האמצעי אל הא' עם הקצה הראשון ויצא האמצעי ואם בשנוסיף על היחס אחד ונחלק עליו מותר הקצה הגדול על הקטן והיוצא בחלוק נוסיפהו על הקצה הקטן ויצא האמצעי
	משל הדרך הראשון הוא שנקח יחס גבולי ב' ד' ח' על דרך משל שהוא יחס הכפל שהוא שני ונכהו עם הקצה הקטן ויצא ד' שהוא האמצעי
	או כמו גבולי ו' י"ח נ"ד על דרך משל שהוא יחס השלשה כפלים נכה הג' עם הקצה הקטן ויצא י"ח שהוא האמצעי
	ומשל הדרך השני הוא שגבולי ב' ד' ח' על דרך משל שהוא יחס הכפל המורה על ב' נוסיף עליו אחד ויהיו שלשה נחלק על השלשה מותר השמנה על הב' שהוא ו' ויצא בחלוק ב' נוסיפהו על הב' ויצא ד' שהוא האמצעי
	ובגבול ו' י"ח נ"ד שהוא יחס משולש בכפל נקח שלשה ונוסיף עליו אחד ויהיו ארבעה ונחלק עליו מותר הארבעה וחמשים על הששה שהם שמנה וארבעים ויצא שנים עשר נוסיפם על הששה ויעלו שמנה עשר והוא האמצעי
	ומציאות יחס האמצעי אל הראשון ואם אין שם אמצעי כי הוא המוסכל הנה ימצא כשנקח המספר אשר יגזר ממנו שם יחס הקצה הקטן אל הקצה הגדול ונקח שרשו והיוצא הוא המספר אשר יגזר ממנו יחס האמצעי אל הראשון
	המשל בזה במספרי ב' ו' י"ח נקח המספר אשר יגזר ממנו שם יחס הב' אל הי"ח והוא הט' ונקח שרשו והוא שלשה והיחס הנגזר מהשלשה הוא יחס השליש ובזה ידענו שיחס השני אל האמצעי הוא יחס השליש ויחס האמצעי אל השני הוא יחס המשולש בכפל
	והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שתשים הגבול היוצא לך עם הדרכים האלה לידוע ותחבר עמו אחד מהגבולים המונחים ותשתמש עם הדרכים הקודמים ואם יצא לך הגבול האחד מהגבולים המונחים דע שצדקת ואם לאו כזבת
	המשל בזה אם היה גבול י"ח מגבולי ו' י"ח נ"ד המונחים מוסכל והכית הו' עם הנ"ד ועלה שכ"ד ולקחת שרשו ומצאת הי"ח הנה תשים הי"ח והנ"ד מונחים ותדרוש הקצה הקטן שהוא הו' ותשתמש עם הדרך הקודם רוצה לומר שתכה הי"ח עם עצמו ויעלו שכ"ד ותחלקם על הנ"ד ואם יצאו ו' דע שצדקת במציאו' גבול האמצעי שהוא י"ח ואם לאו כזבת
	והסבה לכל אלה הדרכים אמנם הם הסגולות הנזכרות רוצה לומר סבת הדרך הראשון היא הסגולה השנית וזה כי אחר שהתבאר שסגולת זה המין הוא שהעולה מהכאת האמצעי בעצמו הוא שוה לעולה מהכאת הקצוות אם כן מן המבואר מזה בהכרח שכאשר נדרוש את האמצעי שנכה הקצוות והעולה מהכאתם נקח שרשו והוא האמצעי אחר שהתבאר במה שקדם שמהכאת השרש בעצמו יולד המספר אשר הוא שרשו
	וכן יתבאר לך מזה הדרך בעצמו שאם היה הקצה דרוש שנכה האמצעי עם עצמו ונקח העולה ונחלקהו על הקצה הא' והיוצא לך בחלוק הוא הקצה השני אחר שהתבאר לך במה שקדם שמהכאת החלק עם החלק יצא המחולק ואם כן יתחייב מזה שהכאת המחלק שהוא הקצה הראשון עם היוצא לך בחלוק שהוא החלק ישוה למחולק שהוא הכאת האמצעי עם עצמו
	וכן יתבאר לך שאם היו האמצעיים שנים שנכה הקצוות ונקח העולה ונחלקהו על האמצעי הא' ויצא האמצעי האחר כי אחר שכבר התבאר שהעולה מהכאת הקצוות זה עם זה שוה לעולה מהכאת האמצעיי' זה עם זה הנה א"כ העולה מהכאת הקצוות זה עם זה כאשר נחלקהו על האמצעי האחד יצא האמצעי האחר כי כבר קדם שהעולה מהכאת החלק עם המחלק הוא המחולק הנה כבר התבאר לך סבת הדרך הקודם
	ואולם סבת הדרך השנית הנה היא מבוארת מגדר המתייחסים המדותיים וזה כי אחר שגדרם הוא התדמות הייחסים ר"ל שיחס הגבול האמצעי אל הראשון כיחס הגבול האחרון אל האמצעי הנה אם כן יתחייב מזה שאם נדרוש הקצה הגדול שנקח יחס האמצעי על הראשון ונכהו עם האמצעי ויולד הגבול הגדול בהכרח וזה שהתדמות הייחסים הוא התדמות הכפלים ואם כן מספר כפלי האמצעי על הראשון הוא כמספר כפלי האחרון על האמצעי ולכן כשנקח יחס האמצעי על הראשון שהוא מורה על מספר דמיוני הראשון באמצעי ונכהו עם האמצעי הנה יהיה בהכרח מספר דמיוני האמצעי כאותו העולה ולכן יהיה הוא הגבול האחרון בהכרח וכן להיות שמספר מה שבדמיוני האמצעי באחרון כמספר מה שבדמיוני הראשון באמצעי יחוייב שכאשר נקח חלק האמצעי מהאחרו' ונכהו עם האמצעי שיהיה ההווה שוה למספר האחרון בהכרח ולכן יתחייב מזה הצד בעינו שכאשר נדרוש האמצעי שנדע יחס הגבולים המונחים עד שנדע מספר הכפלים אשר לאמצעי מדמיוני הראשון ואז נכם עם הראשון וימצא האמצעי בהכרח לפי מה שקדם וזה לפי הדרך האחת
	אולם לפי הדרך האחרת אשר קדם בשנחלק המותר לג' אם היה היחס שניי או לד' אם היה שלישיי וכן תמיד בתוספת אחד והיוצא נוסיפהו על הגבול הראשון ויצא האמצעי זה מבואר גם כן והוא שהמספרי' המונחים כאשר נסיר מהם המותר שבהם על המספר הראשון הנה ישארו הכל שוים בהכרח למספר הראשון
	וכאשר נרצה שיהיו המספרים מתייחסי' ביחס הכפל הנה אם כן יתחייב מזה שנוסיף על האמצעי כמו הגבול הראשון וכן במספר האחרון כי כמו שהאמצעי הוא כפל הראשון כן האחרון הוא כפל האמצעי ולהיות שהאמצעי הנחנוהו שוה לראשון הנה כמו שנתחייב להוסיף על האמצעי כמו המספר הראשון עד יהיה כפלו כן נתחייב להוסיף על האחרו' כמו האמצעי המופשט מהתוספת אשר הוא כמו הראשון עד יהיה האחרון כפל האמצעי קודם ההוספה
	הנה אם כן לפי זה יתחייב שיהיה המותר הנוסף על האחרון כמו המותר הנוסף על האמצעי אלא שבאמצעי לא נצטרך להוסיף עליו יותר מהתוספת הזה אחר שכבר שב עם זה התוספת כפל המספר הראשון אולם האחרון יתחייב שנוסיף עליו עוד תוספת נוסף על התוספת אשר בו אשר הוא שוה לתוספת האמצעי והוא כפל המותר אשר על האמצעי אחר שהאחרון כפל האמצעי בכללו רוצה לומר כפל האמצעי מופשט מהתוספת וכפל תוספתו
	וכאשר היה זה כן הנה יתחייב מזה שהתוספת אשר על האחרון ראוי שיהיה שלשה כפלי התוספת אשר על האמצעי והם ב' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא כפלו והמותר בעצמו אשר על האמצעי אחר שהוא כפל האמצעי בכללו ר"ל כפל עצמו וכפל מותרו כי מצד שהוא כפל מותרו ראוי שנוסיף עליו כמו כפל המותר אשר על האמצעי ומצד שהוא כפל עצמו ראוי שנוסיף עליו כמו עצם האמצעי מופשט מהתוספת אשר הוא שוה לראשון והוא המותר אשר על האמצעי בעצמו
	ויתחייב מזה שיהיה התוספת אשר על האחרון אם בייחס הכפל בכפל המותר אשר על האמצעי וכמו המותר אשר על האמצעי והם ג' כפליו
	ואם בייחס השלישיי יתחייב שיהיה התוספת אשר על האחרון ג' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא ג' כפלי האמצעי בכללו וכמו המותר אשר על האמצעי והם ד' כפליו
	ואם היה רביעיי יהיה התוספת אשר על המספר האחרון ד' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא ד' כפלי האמצעי בכללו וכמו המותר אשר על האמצעי
	ויתחייב מזה שיהיה המותר אשר על האמצעי חלק אחד מג' חלקי המותר אשר על האחרון שהוא המותר בכללו וזה בכפל השניי
	או חלק אחד מד' כפלי המותר אשר על האחרון שהוא המותר בכללו וזה בכפל השלישיי
	וכן תמיד בתוספת אחד על המספר אשר יגזר ממנו היחס ההוא איזה יחס היה
	וזאת היתה הסבה אשר הביאתנו לחלק המותר אל חלקים שוים למספר היחס בתוספת אחד ונוסיף החלק הא' מהם על המספר הראשון שהוא שוה לאמצעי קודם התוספת ונמצא האמצעי
	וכן בא המופת על זה בפתיחת מאמר חמישי לאקלידס והוא כי כבר התבאר שם שכל שלשה שעורים מתייחסים הנה יחס הראשון לשלישי הוא כיחס הראשון אל השני שנוי בכפל
	ואם כן יתחייב מזה שאם היה כפל שנייי שיהיה יחס האחרון אל הראשון ד' כפלים כי חצי החצי הוא רביע והשני אל הראשון שני כפלים אחר זה נשליך מהשני ומהשלישי כמו הראשון כי כבר הנחנום שוים וראוי שנשליך מהם השווי עד שישארו המותרים ואם כן ישאר מותר האמצעי כמו המספר הראשון ומותר האחרון כמו שלשה דמיוני הראשון
	ואם היה כפל שלישיי יהיה יחס האחרון אל הראשון ט' כפלי הראשון כי שליש השליש הוא תשיעית והשני אל הראשון הוא ג' כפליו נשליך מהאמצעי ומהאחרון כמו הראשון וישארו המותרים ויהיה מותר האמצעי כפל הראשון ומותר האחרון שמנה כפליו ויהיה מותר האמצעי רביע המותר אשר על האחרון וכן תמיד
	אולם סבת מציאות הסגולות אשר זכרנו הנה קצתם מבוארות ממה שקדם ובקצתם נצטרך לחקירה
	אולם הסגולה הראשונ' להיו' שיחס האמצעי על הראשון כיחס האחרון על האמצעי
	ויתחייב מזה שיהיו כמספר דמיוני הראשון באמצעי כן מספר דמיוני האמצעי באחרון וזה בכל מיני היחסים
	ר"ל שאם יהיו מספר דמיוני הראשון באמצעי ג' יהיו גם מספר דמיוני האמצעי באחרון ג'
	ואם היו ד' יהיו גם דמיוני האמצעי באחרון ד' וכן תמיד
	וכאשר יחוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה
	אם כן כאשר יחוסר ממספר דמיוני הראשון באמצעי כמו הראשון פעם אחת כדי שישאר המותר ויחוסר ג"כ ממספר דמיוני האמצעי באחרון כמו האמצעי פעם אחת כדי שישאר המותר
	הנה יתחייב בהכרח שיהיו מספרי הדמיונים הנשארים שוים
	וזה שאם היו על דרך משל מספר דמיוני הראשון באמצעי ג' וכן מספר דמיוני האמצעי באחרון ג' הנה כאשר יחוסר אחד מהג' דמיוני הראשון ומהג' דמיוני האמצעי השוים יהיו הנשארים שוים ר"ל ישארו מספר דמיוני הראשון באמצעי ב' ומספר דמיוני האמצעי באחרון גם כן ב' והם המותרי' כאשר ביארנו
	וכן תמיד על הסדר הזה רוצה לומר שיהיה מותר האמצעי על הראשון ומותר האחרון על האמצעי מחוברים מכפלים שוים לראשון ולאמצעי
	ואם כן יתחייב שיהיה יחס המותר אל המותר כיחס כפלי הראשון אל כפלי האמצעי השוי הכפל
	וכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס שכפלי השעורים השוים שוים
	רוצה לומר שאם היו ב' מספרים או שני קוים שוים ונכפלו נכפלים שוים יחוייב שיהיו העולים מהכפלים שומרים הקודם
	רוצה לומר שאם היו הקודמים שוים יהיו העולי' מכפליהם גם כן שוים ואם היו מתחלפים ומתייחסים ביחס מה הנה העולים מכפליהם גם כן יהיו מתחלפי' ושומרים היחס הקודם
	רוצה לומר אם היו הקודמים כיחס הכפל יהיו העולים מכפליהם גם כן כיחס הכפל ואם היו כיחס הכפל השלישיי או כיחס הכפל וחצי או איזה מהיחסים החמשה הנזכרים במה שקדם יחוייב שיהיו גם העולים מכפליהם כאשר היו הכפלים שוים כאותו היחס עצמו
	הנה כאשר היה זה כן והיה יחס המותר אל המותר כמו כפלי הראשון אל כפלי האמצעי השוי הפעמים אם כן יתחייב שיהיה יחס המותר אל המותר אשר הם העולים מכפלי הגבול הראשון והאמצעי השוי הפעמים כיחס הראשון אל האמצעי
	רוצה לומר שאם היו כיחס הכפל גם המותר אל המותר יהיה יחס הכפל ואם היו כיחס הכפל וחצי יהיה גם המותר אל המותר כיחס הכפל וחצי וכן תמיד
	הנה אם כן יתחייב מזה שיהיו למותרי הגבולים קצתם על קצת היחס כמו מה שבגבולים עצמם מהיחס וזה מה שרצינו לבאר
	ואולם סבת הסגולה השנית היא מבוארת במאמר הז' לאקלידס באר היטב
	ואולם סבת הסגולה השלישית הנה היא מבוארת ממה שקדם והוא שכבר ביארנו שהתוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון הוא ג' כפלי התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון ככפל השניי וכן התוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת הוא ד' כפלי התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת בכפל השלישיי,br> ובכלל התוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת הוא כפלי' לתוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת בכמות המספר אשר יגזר ממנו היחס בתוספת אחד
	וכאשר נכפול האמצעי הוא כאלו כפלנו הגבול הראשון והתוספת אשר על האמצעי המופשט וחברנום אחר שהאמצעי מחובר מהגבול הראשון והתוספת
	וכאשר חברנו הגבול הראשון והאחרון הוא כאלו כפלנו הגבול הראשון וחברנו עמהם התוספת אשר על האחרון המופשט מהתוספת אחר שהגבול האחרון מחובר מהגבול הראשון והתוספת
	וכאשר נשליך מכפל האמצעי ומחבור שני הקצוות הדבר המשותף בשניהם והוא כפל הגבול הראשון יהיה הנשאר מכפל האמצעי הוא כפל התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת והנשאר מחבור הקצוות הוא התוספת אשר על האחרון המופשט מהתוספת
	והוא ג' כפלי התוספת אשר על האמצעי בכפל השניי
	או ד' כפליו בשלישיי
	או ה' כפליו ברביעיי
	בתוספת אחד תמיד על המספר אשר נגזר ממנו היחס
	ואולם באמצעי יהיה הנשאר תמיד כפל התוספת לא ישתנה ולא ימיר
	ולכן כאשר נוציא כפל התוספת מג' כפלי התוספת אשר על האחרון אם היה כפל שניי ישאר כמו התוספת אשר על האמצעי המופשט והוא מותר האמצעי על הראשון
	או כאשר נוציא כפל התוספת מד' כפלי התוספת בכפל השלישיי ישאר כמו התוספת שני פעמים
	וכן תמיד במגרעת אחד מן המספר אשר ממנו יגזר היחס בעבור שהכפל אשר אנחנו משליכי' הוא עומד תמיד על אופן אחד בלתי משתנה
	והכפלים אשר בתוספת שעל הגבול האחרון יעלו אחד אחד בכל יחס ויחס
	וכאשר היה זה כן הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה חבור הקצוות עודף על כפל האמצעי כמו העולה מהכאת מותר האמצעי על הגבול הראשון עם המספר אשר יגזר ממנו היחס פחות אחד וזה תמיד
If the number of the terms is even:	ואולם אם היו הגבולי' זוגות
	הנה יתחייב גם כן לזאת הסבה בעצמה שיהיה העולה מחבור שני הקצוות עודף על העולה מחבור שני האמצעיים כמו העולה מהכאת מותר הגבול השלישי שהוא האמצעי הגדול על הגבול הראשון עם המספר אשר יגזר ממנו יחס הב' על הא' פחות אחד
	וזה כי התוספת הנוסף על הגבול הד' מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון הוא כמו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי מופשט מהתוספת בכפל השנוי וכמו התוספת שעל הגבול השני
	או כמו ג' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי מופשט מהתוספת וכמו התוספת שעל הב' בכפל השלישיי
	או כמו ד' כפלי התוספת שעל הגבול השלישי מופשט מהתוספת וכמו התוספת שעל הב' בכפל הרביעיי
	וזה מבואר ממה שקדם
	והוא שבכפל השניי כבר התבאר שהתוספת שעל הגבול השלישי הוא כמו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השני וכמו התוספת שעל השני
	וכן יתחייב מזה הצד שיהיה התוספת אשר על הגבול הרביעי כמו שני כפלי התוספת שבגבול השלישי וכמו התוספת שעל השני
	מפני שהגבול הרביעי הוא כפל הגבול השלישי כמו שהגבול השלישי כפל הגבול השני והשני כפל הגבול הא'
	וכמו שהגבול השלישי הנחנוהו שוה לגבול הראשון ונתחייב להוסיף עליו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השני עד יהיה כפלו וכמו מותר השני על הראשון כאשר בארנו
	כן נניח גם הגבול הד' שוה לגבול הראשון ויתחייב שנוסיף עליו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו המותר שני על הראשון לסבה הנזכרת
	ובכפל השלישיי שיהיה התוספת שעל הד' שלשה כפלי התוספת שעל הג' וכמו התוספת שעל השני
	ובכפל הרביעיי יהיה התוספת שעל הד' ד' כפלי התוספת שעל הג' וכמו התוספת שעל השני
	וכן תמיד על הסדר הזה
	ואם כן יתחייב לפי זה השרש ש[י]היה התוספת אשר על הגבול הרביעי ב' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו מותר השני על הראשון וזה בכפל השניי
	ובכפל השלישיי שלשה כפלי התוספת אשר על הגבול השלישיי וכמו מותר השני על הראשון
	ובכפל הרביעיי ד' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו מותר השני על הראשון
	וכן יתבאר מפתיחת החמישי לאקלידס כי כבר התבאר שם כי כל ארבעה גבולים מתייחסים הנה יחס הא' אל הד' הוא כמו יחס האחד אל הב' משלש בכפל
	ואם כן בשניי יתחייב שיהיה יחס הראשון אל הד' הוא יחס השמינית ויחס הא' אל הב' הוא יחס החצי וכאשר נשליך משני היחסים א' שהוא הגבול הראשון הנמצא בכל אחד ואחד מהגבולים הנה ישארו המותרים הנוספים על הגבולים המופשטים מהתוספת ויהיה מותר הב' על הח' פעם אחד כמו הא' ומותר הד' על הא' שבעה פעמים כמו הא' והג' מותרו על הא' שלשה פעמים כמו הא' אם כן יתחייב מזה שיהיה מותר הד' הנוסף על מותר הג' כמו שני פעמים וכמו מותר הגבול הב' על הא'
	וכן בשלישיי יהיה יחס הב' על הא' שלשה כפלים וכשנשליך ממנו הגבול האחד ישאר המותר שני פעמים כמו הא' ויהיה יחס הד' על הא' כ"ז כפלים וכשנשליך ממנו הגבול הא' ישאר המותר שעל הגבול הד' י"ג פעמים כמו מותר הב' על הא' והמותר שעל הגבול השלישי כבר התבאר שהוא ארבעה פעמים כמו מותר הב' על הא' אם כן יתחייב מזה שיהיה מותר הד' נוסף על מותר הג' שלשה פעמים וכמו מותר הגבול הב' על הראשון וכן תמיד
	וכאשר היה זה כן והיה חבור השני אמצעיי' חבור השני מותרי' שעל שני האמצעיים וכפל הגבול הראשון אחר שהאמצעיים הם מחוברים מהגבול הא' והמותר וחבור השני קצוות הוא כפל הגבול הא' והמותר שעל הגבול הד'
	וכאשר נשליך מחבור השני אמצעיים ומחבור השני קצוות הדבר המשותף שבשניהם שהוא כפל הגבול הראשון ישאר מחבור שני אמצעיים חבור שני המותרים שעליהם וישאר מחבור השני קצוות המותר שעל הגבול הד'
	וכאשר נשליך גם מאלה הנשארי' משני החבורים הדבר המשותף בשניהם והוא המותר שעל הגבול השני כי הוא בעצמו נמצא בתוך המותר שעל הגבול הד' כאשר בארנו הנה ישאר מחבור השני אמצעיים המותר שעל הגבול השלישי וישאר מחבור השני קצוות המותר שעל הגבול הרביעי פחות מותר השני על הראשון
	וזה בכל הייחסים
	אם כן יתחייב מזה שיהיה תוספת חבור הקצוות על חבור האמצעיים כמו תוספת המותר שעל הגבול הרביעי פחות מותר השני על הראשון על המותר שעל הגבול השלישי
	וזה תמיד בכל מיני הייחסים
	והמותר שעל הגבול השלישי הוא שני כפלי המותר שעל הגבול השלישי בכפל השניי וג' כפליו בשלישיי וד' כפליו ברביעיי ובכלל מנין הכפלים כמו המספר אשר ממנו יגזר שם היחס
	וכאשר נוציא המותר שעל הגבול השלישי מהמותר שעל הגבול הד' עד שנמצא העודף שביניהם ישאר העודף שבמותר שעל הגבול הד' על המותר שעל הגבול הג' על הראשון כמו המספר הנגזר ממנו שם היחס פחות אחד
	ולכן יתחייב מזה שיהיה העודף שבחבור הקצוות על חבור השני אמצעיים כמו העולה מהכאת מותר הג' על הא' עם המספר הנגזר ממנו מיחס שהוא יחס השני על הראשון פחו' אחד וזה מש"ל

Chapter Two

הפרק השני

ואחר שביארנו הדרכים אשר בהם יודע המוסכל מהידוע בייחסים המדותיים וזה בשלמים לבד

הנה אשר נשאר עלינו לדבר הוא הודעת הדרכי' אשר בהם יודע המוסכל מהידוע בשברים לבד או בשלמי' והשברים יחד

ואומר שהדרך הכולל בכל מיני השברים יחד הוא שאם היו הגבולים המונחים נפרדים והיה האמצעי והקצה האחד ידוע ורצית לדעת הקצה האחר המוסכל

הכה האמצעי עם עצמו והעולה חלקהו על הקצה הא' והיוצא בחלוק הוא הקצה המוסכל

ואם היו הקצוות ידועות והאמצעי הוא המוסכל

הכה הקצוות זה עם זה והעולה קח שרשו לפי מה שקדם לך מידיעת שרש השברי' לבד או השברי' והשלמי' יחד והוא האמצעי

ואם היו הגבולים המונחים זוגות והיו שני האמצעיים והקצה האחד ידוע ורצית לדעת הקצה האחד המוסכל

הכה שני האמצעיים זה עם זה והעולה חלקהו על הקצה הידוע ויצא לך הקצה המוסכל

ואם היו הקצוות והאמצעי האחד ידוע ורצית לדעת האמצעי האחר המוסכל

הכה הקצוות זה עם זה והעולה חלקהו על האמצעי האחד ויצא האחר

משל הגבולים הנפרדים אם בשברים הם מספרי

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{5}{9}

הנה אם היה האמצעי מוסכל

נכה הה' תשיעיות עם הד' חמישיות שהם הקצוות ויעלו כ' חלקים ממ"ה
ונקח קטון יחסם והם ארבע תשיעיות
ובעבור שהתשיעיות הם ממין השברים הנגזרים כאשר ידעת לכן בקשנו שרש הד' והם ב' ושרש התשעה שהתשיעיות נגזר ממנו והם ג' המורה על שלישיות הנגזר ממנו והם שתי שלישיות והוא שרשם והוא האמצעי

וכן אם היו הנפרים יותר מג' גבולים הדרך הוא אחד בכלם רוצה לומר שנכה הקצוות והעולה נקח שרשו והוא האמצעי

ואולם אם היה הקצה האחד מוסכל

הנה נכה הב' שלישיות עם עצמו והם ארבע תשיעיות
נחלקם על הד' חמישיות ויצאו שני חלקים מל"ו
נקח קטון יחסם והם ה' תשיעיות והוא הקצה הקטן
או נחלק הארבע תשיעיות על הה' תשיעיות ויצאו ל"ו חלקים ממ"ה
נקח קטון ייחס והן ד' חמשיות שהוא הקצה הגדול

ואם בשברים ושלמים יחד הם מספרי

2

\scriptstyle\frac{1}{2}

3

\scriptstyle\frac{3}{4}

5

\scriptstyle\frac{5}{8}

ואם נכה האמצעי על עצמו יעלו י"ד שלמים וחלק אחד מי"ו

נחלקם על הב' וחצי שהוא הקצה האחד ויצאו ה' וחמשים חלקים משמנים
וקטן יחסם הוא ה' שמיניות והם ה' וה' שמיניות שהוא הקצה הקטן

ואם חלקת הי"ד שלמים וחלק אחד מי"ו הנזכרים על ה' וה' שמיניות שהוא הקצה הקטן יצאו ב' שלמים וש"ס חלקים מתש"כ

וקטון יחסם הוא ב' שלמים וחצי שהוא הקצה הגדול

ואם רצינו למצוא האמצעי נכה השני קצוות ויעלו י"ד וחלק אחד מי"ו בשבר הי"ד אל הי"ו חלקים ויעלו רכ"ד חלקים מי"ו

נחבר עמם החלק האחד מי"ו ויעלו רכ"ה חלקים מי"ו
ובעבור שזה המין מהשברי' הם נגזרי' לכן נבקש שרשם והם ד' גם נבקש שרש רכ"ה והם ט"ו
וא"כ שרש הי"ו שלמי' וחלק א' מי"ו הם ט"ו רביעיים
נחלק הט"ו על הד' ויעלו ג' שלמי' וג' רביעיי' והוא האמצעי

ומשל הזוגות אם בשברים הם מספרי

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

הנה אם היה המוסכל א' מהאמצעיי' נכה הקצוות זה עם זה ויעלו חצי

נחלקהו על הג' רביעיות ויצא ב' שלישיות

או נחלקהו על הב' שלישיות ויצאו ג' רביעיות

ואם היה אחד מהקצוות מוסכל נכה שני האמצעיי' זה עם זה ויעלו חצי

נחלקהו על ה' שמיניות ויצאו ד' חמשיו'

או נחלקהו על הד' חמשיו' ויצאו ה' שמיניות

ומשל השלמים והשברי' הם מספרי

5	11	7	231
1 $\scriptstyle\frac{2}{3}$	2 $\scriptstyle\frac{3}{4}$	3 $\scriptstyle\frac{1}{2}$	5 $\scriptstyle\frac{3{\color{red}{1}}}{40}$

נתיכם אל השברים כמנהג ויהיו ה' שלישיות וי"א רביעיות וז' חצאים ורל"א ארבעימיות

ומעתה נשתמש עם הדרך הקודם בעצמו אשר נשתמשנו בו בשברים לבד

גם יש דרך אחרת יותר קצרה מזאת והיא שאם היה האמצעי הראשון מוסכל הנה נכה כמות הקצוו' זה עם זה והעולה נכהו עם איכות האמצעי הידוע והעולה הוא המחולק ונשמרהו

עוד נכה איכות הקצוות זה עם זה והעולה נכהו עם כמות האמצעי הידוע והעולה הוא המחלק
ונחלק עליו השמור והיוצא הוא האמצעי המוסכל

ואם היה א' הקצוו' מוסכל נכה האמצעיי' זה עם זה והעולה נכהו עם איכות הקצה הידוע והעולה נשמרהו והוא המחולק

עוד נכה איכות האמצעיים זה עם זה והעולה נכהו עם כמו' הקצה הידוע והעולה הוא המחלק
נחלק עליו השמור והיוצא הוא הקצה המוסכל

המשל בזה בשברים הם השברים הנזכרי' בעצמם

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

הנה אם היה הג' רביעיות מוסכל נכה הה' שעל הח' עם הד' שעל הה' והם כ' אח"כ נכם עם הג' שתחת הב' ויעלו ס' והוא המחולק

עוד נכה הח' שתחת הה' עם הה' שתחת הד' ויעלו מ' נכם עם הב' שעל הג' ויעלו פ' והוא המחלק
נחלק עליהם הס' ויצאו ס' חלקי' מפ' וקטון יחסם ג' רביעיו' שהוא האמצעי המוסכל

ואם היו הה' שמיניות נעלמים נכה הג' שעל הד' עם הב' שעל הג' והם ו' נכם עם הה' שתחת הד' ויעלו ל' והם המחולק

עוד נכה הד' שתחת הג' עם הג' שתחת הב' ויעלו י"ב נכם עם הד' שעל הה' ויעלו מ"ח והוא המחלק
נחלק עליהם ל' והם שלשים חלקים ממ"ח שהם ה' שמניות

וכן בשאר המינים דרך אחד לכלם

וכן תתנהג בשלמים ושברים יחד עם הדרך הזאת וזה אחרי ההתכה כאשר בארנו

עוד דרך אחרת והוא שתכה יחס האמצעי אל האחרון עם האמצעי ותמצא הראשון

או הכה יחס האמצעי אל הראשון עם האמצעי ותמצא האחרון וזה אם היו גבולים נפרדים

ואם היו הגבולים זוגות והיה האמצעי השני ידוע הכה יחס האמצעי אל האחרון עם האמצעי ותמצא האמצעי הראשון המוסכל אם היו הד' גבולי' נמשכים ביחס

או נכה יחס האחרון אל האמצעי השני עם הגבול הראשון וימצא האמצעי הראשון וזה כולל הנמשכים והבלתי נמשכים

ואם היה האמצעי הראשון ידוע הכה יחס האמצעי אל הראשון עם האמצעי ותמצא האמצעי השני אם היו הד' גבולים נמשכים ביחס

או נכה יחס הראשון אל האמצעי הראשון עם האחרון וימצא האמצעי השני וזה כולל הנמשכים והבלתי נמשכים

ואם היה אחד הקצוות מוסכל הכה יחס האמצעי הראשון אל הראשון עם האמצעי השני ותמצא הגבול האחרון

או הכה יחס האמצעי השני אל האחרון עם האמצעי השני ותמצא הגבול הראשון

המשל בזה המספרים הנזכרים והם מספרי

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

הנה אם היה הקצה הראשון מוסכל נקח יחס השני שלישיות אל הד' חמישיות בזה הדרך בשנכה האלכסונים רוצה לומר כמות השני שלישיות עם איכות הד' חמשיות והם י'

גם נכה כמות הד' חמשיות עם איכות השני שלישיות והם י"ב
ואחר זה נעריך הי' אל הי"ב והם חמשה ששיות וזהו יחס השני שלישיות על הד' חמשיות
אחר זה נכה זה היחס שהוא חמשה ששיות עם הג' רביעיות וימצא ה' שמיניות אם היה הוא המוסכל
או נכה הה' ששיות עם הב' שלישיות ויצאו ג' רביעיות אם היה הוא המוסכל והיו הגבולים נמשכים
או נכה הא' וחומש שהוא יחס הד' חמשיות אל הב' שלישיות עם החמשה שמיניות וימצא הג' רביעיות וכן בשאר המינים

אלה הם הדרכים אשר בם נוכל לדעת איזה מוסכל מהגבולים המונחים עם האמצעי או הקצה איזה קצה היה אם הראשון אם האחרון

ואולם בעלי החכמה הזאת השתמשו לסדר המוסכל תמיד בקצה האחרון בין שיהיה המוסכל הגבול האמצעי או הקצה הראשון או הקצה האחרון

וזה בשיסדרו אותם בחלוף הנחתם

רוצה לומר במספרים הנזכרים על דרך משל

אם היה האמצעי והוא השני שלישיות מוסכל יסדרוהו כך

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

ואם היה האמצעי האחר והוא השלשה רביעיות מוסכל יסדרהו כך

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{5}{8}

\scriptstyle\frac{3}{4}

ואם היה הקצה האחרון והוא הד' חמשיות מוסכל יסדרוהו כך

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

ואם היה הקצה הראשון הוא המוסכל והוא הה' שמניות יסדרוהו כך

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

וכאשר יסדרו כל דרוש ודרוש בקצה האחרון כפי ההנחה אשר הראנו לך אז יכו כמות שני האמצעיים זה עם זה והעולה יכוהו עם איכות הקצה הראשון והעולה ישמרוהו והוא המחולק

עוד יכו איכות שני האמצעיים זה עם זה והעולה יכהו עם כמות הקצה הראשון והעולה הוא המחלק ונחלק עליו השמור והיוצא הוא הקצה האחרון שהוא המוסכל תמיד לפי ההנחות הנזכרות

והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא חלוף האמצעי לבד ואז נשתמש עם הדרך הראשון עצמו ואם יצא הגבול האחרון צדקת ואם לאו כזבת

המשל בזה אם היה המוסכל הה' שמיניות ומצאנוהו עם הדרכים הקודמים הנה נסדר הה' שמיניות ראשונה ונחליף המצב כזה

\scriptstyle\frac{5}{8}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{4}{5}

ונשתמש עם א' הדרכים הקודמים ואם יצאו הד' חמישיות הנה צדקת במציאו' הה' שמיניות ואם לאו כזבת

אלה הם הדרכים אשר בם נוכל לדעת מציאות איזה מוסכל מהגבולים הד' או הג' כפי מה שהנחת מהגבולים עם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין

ואולם סבת הדרכים האלה הנה התבאר לך במה שקדם מהגבולים השלמים כי אין הבדל ביניהם כלל

ואולם סבת מציאות היחס בהכאת האלכסונים הנה התבאר לך ממה שקדם מחלוק השברים זה על זה

כי כבר בארנו שם שעם החלוק יודע יחס המספר אל המספר אם שלמים ואם שברים

ואולם הנחת הגבולים באלה המצבים אשר השתמשו בם בעלי החכמה הזאת והוא סדור הגבולים במצב מתחייב ממנו תמיד שיהיה המוסכל הוא הקצה האחרון זה מבואר בעצמו

וזה כי הד' גבולי' המתייחסים הנה כמו שהם מתייחסים על הסדר המונח ככה הם מתייחסים גם כן בהפוך ובהמרה
כפי מה שהתבאר בפתיחת החמישי לאקלידס

רוצה לומר שאם היו הגבולים המונחי' מסודרים על זה הסדר

\scriptstyle\frac{4}{5}

\scriptstyle\frac{2}{3}

\scriptstyle\frac{3}{4}

\scriptstyle\frac{5}{8}

רוצה לומר שנניח הד' חמישיות ראשונה והב' שלישיות שנית והג' רביעיות שלישית והה' שמיניות רביעית

הנה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי
וכן יחס הד' אל הג' כיחס השני אל הראשון
וכן יחס הראשון אל הג' כיחס הב' אל הד'
וכן יחס הד' אל הב' כיחס הג' אל הא'
וכן יתחייב מאלה שאמרנו שיחס הב' אל הא' כיחס הד' אל הג'

וכאשר היה זה כן הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה הגבול המוסכל תמיד בקצה האחרון לפי מה שהשתמשו בו בעלי המלאכה

ואולם סבת מציאות השבר האחרון המוסכל בשיכו כמות האמצעיים זה עם [זה] והעולה עם איכות השבר הראשון והעולה יחלקוהו על העולה מהכאת איכות האמצעיים זה עם זה והעולה עם כמות השבר הראשון

הנה היא מבוארת גם כן אחר הסתכלות מעט
וזה שכבר התבאר במין החלוק סבת הכאת האלכסונים רוצה לומר הכמות עם האיכות והאיכות עם הכמות
וכאשר היה זה כן אם כן כאשר נרצה להכות שני הגבולים זה עם זה יתחייב לנו שנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות
וכאשר נרצה לחלק העולה על השבר הראשון הנה יתחייב לנו שנכה העולה מהכאת הכמות עם הכמות שהוא כמות השבר היוצא מהכאת השבר עם השבר עם איכות השבר אשר נרצה לחלקו עליו וכן נכה העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא איכות השבר היוצא מהכאת השבר עם השבר עם כמות השבר אשר נרצה לחלקו עליו והיוצא הוא הגבול האחרון המוסכל

וכאשר היה זה כן באו חכמי המלאכה וקצרו הדרך בשתכו הכמות עם הכמות והעולה עם האיכות ונשמרהו

עוד הכו האיכות עם האיכות והעולה עם הכמות וחלקו עליו השמור ויצא הגבול האחרון

כי אין הבדל בין מלאכתם ובין המלאכה האחרת כלל בהכאות רק ששם ישתמשו בפעם אחת מה שישתמשו עם המלאכה האחרת בשני פעמים כאשר הזכרנו

ואחר שכבר דברנו ביחסים המספריים והמדותיים הנה מה שנשאר עלינו לדבר הם הייחסים החבוריים

וכבר קדם הדבור בהם בשהם מורכבים משני מיני המתייחסים המספריים והמדותיים

רוצה לומר שהוא מורכב מיחס המותרי' ומיחס השעורים
כי יחס השעור הראשון אל השעור האחרון הוא כיחס מותר הראשון על האמצעי אל מותר האמצעי על האחרון

כמו מספר ג' ד' ו'

ואולם סגולות זה המין

הנה הראשונה מהן היא שהיא הפכית בסגולת שאר המינים שהם המדותיים והמספריים לפי שבגבולי זה המין יהיה יחס הקטן אל האמצעי הגדול מיחס האמצעי אל הגדול

ואולם בגבולים המספריים הוא הפך זה כי יהיה יחס הקטן אל האמצעי פחות מיחס האמצעי אל הגדול

ובגבולים המדותיים יהיו כל הגבולים ביחס אחד כי לעולם יהיה יחס הקטן אל האמצעי כיחס האמצעי אל הגדול

עוד סגולה שנית והוא שהכאת כל אחד משני הקצוות מגבוליו באמצעי מקובצים בכפל העולה מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר

והדרך בידיעת המוסכל מהידוע בזה המין הנה אם היה המוסכל הגבול האמצעי ממנו הנה יודע בשנקח מותר הגבול הגדול אל הקטן ונחלקהו בשני חלקים בלתי שוים ויהיה החלק הגדול אל הקטן כמו הגבול הגדול אל הקטן

אחר זה נקח החלק הקטן מהמותר ונוסיפהו על הגבול הקטן והעולה הוא האמצעי
או נחסר החלק הגדול מהמותר מהגבול הגדול והנשאר הוא האמצעי

עוד דרך אחרת למציאות הגבול האמצעי והוא שנכה הגבול הקטן עם הגבול הגדול והעולה נכפלהו והעולה נחלקהו על העולה מקבוץ הגבול הקטן עם הגדול והיוצא לך בחלוקה זו הוא הגבול האמצעי

ואולם אם היה הגבול המוסכל אחד משני הקצוות אין לנו מבוא למציאותו כלל

וזה שיצטרך בהוצאת כל אחד מהם אל שתי ידיעות מוסכלות אחת מהן בגבול המוסכל עצמו והשני מותר הגבול המוסכל על הגבול האמצעי
אם היה הגבול המוסכל הוא הגבול הגדול
או מותר הגבול האמצעי על הגבול הקטן אם היה המוסכל הוא הקטן

הנה כבר התבאר לך היחס החבוריי עם סגולותיו ודרכיו הכוללים

ואולם פרטי היחס הזה ועל כמה פנים יחלק וסבות סגולותיו ודרכיו והדומים לאלה הנה לא נצטרך אל הדבור בהם אחר שאין זה כוונת הספר

ואולם מפני שרצינו לדעת היחסים המספריים והמדותיים אשר היה הצורך בהם בחקירה הזאת והביא אותנו צורך חלוק היחסים והמתיחסים אל הדבור ביחסים החבוריים הנה נמשך הדבור בו ולכן קצרנו בביאורו כי כבר מספיק מה שזכרנו בו הנה לפי הכוונה הזאת

ומי שירצה לדקדק ולהעמיק בביאור זה המין עד התכלית הנה יעיין במלאכה המיוחדת לו והיא חכמת המוסיקא ושם ימצא מבוקשו

Book Three: Word Problems

המאמר השלישי

הכוונה בזה המאמר להודיע בו קצת מהשאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר

ובהנדסא השאלות הנופלות בה מצד שישיגהו המספר ואופני התשובות בכל אחת מהן והוא נחלק לשנים חלקים החלק הראשון בשאלות המספריות והחלק השני בשאלות ההנדסיות

Section One: Numerical Problems

החלק הראשון

דע כי כמו שראוי לחלק השאלות לשנים חלקים לשבת חלוק העצם והמקרה כן ראוי לחלק כל חלק מהם לשנים פרקים הפרק הראשון בשאלות המתבארות ממין היחסים והפרק השני בשאלות המתבארות מזולתם מפני שרוב השאלות המספריות אמנם תתבארנה ממיני היחסים ויחס האחד אל האחר כיחס העצם אל המקרה

Chapter One

הפרק הראשון מהחלק הראשון בשאלות המספריות המתבארות ממין היחסים

Exchange Problem

If 4 of Constantinople are equal to 6 of Bursa and 9 of Bursa are equal to 3 of Adrianople, how many of Constantinople are 7 of Adrianople?

שאלה אם הד' מקוסדינא שוים ו' מפרושא וט' מפרושא שוים ג' מאנדרינופולי הז' מאנדרינופולי כמה מקוסדינא

The answer is that this question consists of two proportions, therefore we decompose it into them, whether into two proportions, or to a proportion with five values which will be explained.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים ולכן נתיכה אליהם אם בשני יחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות ואז יתבאר ענינה

The first method:

Rule of Three: When we say: If 3 of Adrianople are equal to 9 of Bursa, how many of Bursa are 7 of Adrianople?

\scriptstyle{\color{blue}{3:9=7:x_1}}

אולם האופן הראשון הוא כשנאמר אם הג' מאנדרינופולי שוים ט' מפרושא הז' מאנדרינופולי כמה ישוה מפרושא

You receive 21. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=21}}

ויצא לך כ"א ונשמרם

Rule of Three: Then, we say: If 6 of Bursa are equal to 4 of Constantinople, how many of Constantinople are 21 of Bursa?

\scriptstyle{\color{blue}{6:4=21:x_2}}

אח"ז נאמר אם הו' מפרושא שוים ד' מקוסדינא הכ"א מפרושא כמה ישוו מקוסדינא

The result is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=14}}

ויצאו י"ד

The second method:

When we say: If 3 of Adrianople and 6 of Bursa are equal to 9 of Bursa and 4 of Constantinople, how many are 7 of Adrianople?

ואולם האופן השני הוא כשנאמר אם הג' מאנדרינופולי וו' מפרושא שוים ט' מפרושא וד' מקוסדינא הז' מאנדרינופולי כמה

The diagram is arranged as follows:

ותסודר זאת התמונה כזה


7

36
4	9

18
6	3

We multiply 6 by 3; the result is 18. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot3=18}}

ונכה הו' בג' ויעלו י"ח ונכתבם עליהם

We multiply also 9 by 4; the result is 36. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}

גם נכה הט' בד' ויעלו ל"ו ונכתבם עליהם

Then, we multiply 7 by 36; the result is 252.

אחר זה נכה הז' בל"ו ויעלו רנ"ב

We divide it by 18; the result is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot36}{18}=\frac{252}{18}=14}}

נחלקם על הי"ח ויצאו י"ד

Payment Problems

Question: one hires a worker to carry for him 13 centner walking 17 miles for 19 pesutim and he carried 7 centner walking 11 miles.

How much is his payment?

שאלה השוכר את הפועל להוליך לו י"ג קנטרין מהלך י"ז מיל בי"ט פשוטי' והוא הוליך ז' קנטרין מהלך י"א מיל כמה שכרו

The answer is that this question consists of two proportions, therefore it should be decomposed into them, whether into two proportions, or to a proportion with five values.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני יחסים ולכן ראוי להתיכה אליהם אם בשני היחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות

The first example:

Rule of Three: We say: if 13 is 19, how much is 7?

\scriptstyle{\color{blue}{13:19=7:x_1}}

משל הראשון שנאמר אם הי"ג י"ט הז' כמה

The result is 10 integers and 3 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=10+\frac{3}{13}}}

ויצאו י' שלמים וג' חלקים מי"ג

Rule of Three: Then, we relate and say: if 17 is 10 integers and 3 parts of 13, how much is 11?

\scriptstyle{\color{blue}{17:\left(10+\frac{3}{13}\right)=11:x_2}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הי"ז י' שלמים וג' חלקים מי"ג הי"א כמה

The result is 6 integers and 137 parts of 221.

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=6+\frac{137}{221}}}

ויצאו ו' שלמים וקל"ז חלקים מרכ"א חלקי הכל

The second example:

If 13 and 17 are equal to 19, how much are 7 and 11?

ומשל השני אם הי"ג וי"ז שוים י"ט הז' והי"א כמה

We multiply 13 by 17; the result is 221. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}

נכה הי"ג עם הי"ז ויעלו רכ"א ונכתבם עליהם

We also multiply 7 by 11; the result is 77. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot11=77}}

גם נכה הז' עם הי"א ויעלו ע"ז ונכתבם עליהם

Then, we multiply 77 by 19; the result is 1463.

אחר זה נכה הע"ז עם הי"ט ויעלו אלף תס"ג

We divide it by 221; the result is 6 integers and 137 parts of 221.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{77\sdot19}{221}=\frac{1463}{221}=6+\frac{137}{221}}}

נחלקם על הרכ"א ויצאו ו' שלמים וקל"ז חלקים מרכ"א חלקי הכל

Question: someone hired six worker to work for him 4 days for 12 pesutim. Three of them worked for him two days. How much is their payment?

שאלה מי ששכר ששה פועלים לעבדו ד' ימים בי"ב פשוטין ועבדוהו השלשה מהם שני ימים כמה שכרם

The answer is that this question also consists of two proportions, therefore it should be decomposed it into them, whether into two proportions, or to a proportion with five values.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני יחסים ולכן ראוי להתיכה אליהם אם בשני יחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות

The first example:

Rule of Three: We say: if 6 is 12, how much is 3?

\scriptstyle{\color{blue}{6:12=3:x_1}}

משל הראשון שנאמר אם הו' י"ב הג' כמה

The result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=6}}

ויצאו ו‫'

Rule of Three: Then, we relate and say: if 4 is 6, how much is 2?

\scriptstyle{\color{blue}{4:6=2:x_2}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הד' ו' הב' כמה

The result is 3 and this is their payment.

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=3}}

ויצאו ג' וככה שכרם

The second example:

We say: if 6 and 4 are equal to 12, how much are 3 and 2?

ומשל השני שנאמר אם ו' ד' שוים י"ב הג' וב' כמה

We multiply 6 by 4; it is 24. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}

נכה הו' בד' והם כ"ד ונכתבם עליהם

We multiply also 3 by 2; the result is 6. We write it above.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}

גם נכה הג' בב' ויעלו ו' ונכתבם עליהם

Then, we multiply 6 by 12; the result is 72.

אחר זה נכה הו' בי"ב ויעלו ע"ב

We divide it by 24; the result is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot12}{24}=\frac{72}{24}=3}}

נחלקם על הכ"ד ויצאו ג‫'

How Much Problems - Money

Question: we added to an amount of money its ninth and its tenth and the result was 50, how much was the amount of money?

\scriptstyle x+\frac{1}{9}x+\frac{1}{10}x=50

שאלה אם חברנו אל ממון תשיעיתו ועשיריתו ועלה נ' כמה היה הממון

The answer: this question consists of two categories of arithmetical [operations], which are addition and proportion, therefore its issue will be clarified by decomposing it into them.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים ממיני המספר שהם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה בשנתיכה אליהם

Addition - False Position: First, we sum up the ninth, the tenth, and the 1; the result is 1 integer and 19 parts of 90.

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=1+\frac{19}{90}}}

וזה בשנקבץ תחלה התשיעית והעשירית והא' ויעלו א' שלם וי"ט חלקים מצ‫'

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 1 and 19 parts of 90 are equal to 50, how much is 1?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{19}{90}\right):50=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הא' וי"ט חלקים מצ' שוים נ' הא' כמה

The result is 41 integers and 31 parts of 109.

\scriptstyle{\color{blue}{x=41+\frac{31}{109}}}

ויצאו מ"א שלמים ול"א חלקים מק"ט

Question: we took a fifth, a seventh, and a ninth of an amount of money and the whole amount of money was 50. How much is what is taken from the amount of money?

\scriptstyle\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=50

שאלה אם לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית הממון והממון כלו היה חמשי' כמה הוא הלקוח מהממון

The answer: this question also consists of two categories [of arithmetical operations], which are addition and proportion, therefore its issue will be clarified by decomposing it into them.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה כשנתיכה אליהם

Addition - False Position: We sum up the fifth, the seventh, and the ninth; the result is 143 parts of 315.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{143}{315}}}

וזה בשנקבץ החמישית והשביעית והתשיעית ויעלו קמ"ג חלקים משט"ו

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 315 is 143, how much is 50?

\scriptstyle{\color{blue}{315:143=50:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם השט"ו קמ"ג הנ' כמה

The result is 22 integers and 220 parts of 315.

\scriptstyle{\color{blue}{x=22+\frac{220}{315}}}

ויצאו כ"ב שלמים ור"כ חלקים משט"ו

Question: we added to an amount of money its half, its third, its fifth, and its sixth and the total sum is 40. How much is the amount of money?

\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}x=40

שאלה אם חברנו אל ממון מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל מ' כמה היה הממון

The answer: this question also consists of two categories [of arithmetical operations], which are addition and proportion, therefore we decompose it into them.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם

Addition - False Position: Sum up the half, the third, the fifth, the sixth and the one; the result is 2 and a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=2+\frac{1}{5}}}

וזה בשתקבץ החצי והשליש והחומש והששית והאחד ויעלו ב' וחומש

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 2 and a fifth are equal to 40, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{5}\right):40=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הב' וחומש שוים מ' האחד כמה

The result is 18 integers and two parts of 11.

\scriptstyle{\color{blue}{x=18+\frac{2}{11}}}

ויצאו י"ח שלמים ושני חלקים מי"א

Question: we add to an amount of money its half, a third of its half, a fifth of a third of its half, and a sixth of a fifth of a third of its half and the total sum is 40. How much is the amount of money?

\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x=40

שאלה אם חברנו אל ממון מחציתו ושליש מחציתו וחומש שליש החצי וששית חומש שליש החצי ועלו ארבעים

כמה היה הממון

The answer: this question also consists of two categories [of arithmetical operations], which are addition and proportion, therefore we decompose it into them and then its issue will be clarified.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה

Addition - False Position: We sum up the mentioned fractions with one; the result is one integer and 127 parts of 180.

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)=1+\frac{127}{180}}}

וזה בשנק(ב)ץ השברים הנזכרים עם הא' ויעלו אחד שלם וקכ"ז חלקים מק"פ

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if one and 127 parts of 180 are equal to forty, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{127}{180}\right):40=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם האחד וקכ"ז חלקים מק"פ שוים ארבעים האחד כמה

The result is 23 integers and 139 parts of 307.

\scriptstyle{\color{blue}{x=23+\frac{139}{307}}}

ויצאו כ"ג שלמים וקל"ט חלקים מש"ז

Question: we took a ninth and a seventh of an amount of money and they are 7. How much is the amount of money?

\scriptstyle\frac{1}{9}x+\frac{1}{7}x=7

שאלה אם לקחנו הממון תשיעיתו ושביעיתו והיו ז' כמה היה כל הממון

The answer: this question also consists of two categories of arithmetical [operations], which are addition and proportion.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס

Addition - False Position: So, we first sum up the ninth and the seventh; they are sixteen parts of 63.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}+\frac{1}{7}=\frac{16}{63}}}

ולכן נקבץ תחלה התשיעית והשביעית והם ששה עשר חלקים מס"ג

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if sixteen parts of 63 are equal to seven, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{63}:7=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הששה עשר חלקים מס"ג שוים שבעה האחד כמה

The result is twenty-seven integers and nine parts of sixteen.

\scriptstyle{\color{blue}{x=27+\frac{9}{16}}}

ויצאו שבעה ועשרים שלמים ותשעה חלקים מששה עשר

First from Last Problem - Money

Question: we took from an amount of money its ninth and its seventh and 7 remain. How much is the amount of money?

\scriptstyle x-\left(\frac{1}{9}x+\frac{1}{7}x\right)=7

שאלה אם לקחנו מממון תשיעיתו ושביעיתו ונשארו ז' כמה היה הממון

The answer: this question consists of three categories of arithmetical [operations], which are addition, subtraction, and proportion, therefore it should be decomposed into them and then its issue will be clarified.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משלשה מינים מהמספר והם הקבוץ והחסור והיחס ולזה ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה

Addition: We first sum up the ninth and the seventh; the result is 16 parts of 63.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}+\frac{1}{7}=\frac{16}{63}}}

וזה בשנקבץ תחלה התשיעית והשביעית ויעלו י"ו חלקים מס"ג

Subtraction - False Position: Then, we subtract 16 from 63; 47 remain and they are 47 parts of 63.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{16}{63}=\frac{63-16}{63}=\frac{47}{63}}}

אחר זה נחסר הי"ו מהס"ג וישארו מ"ז והם מ"ז חלקים מס"ג

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 47 parts of 63 are [equal to] seven, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{63}:7=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם המ"ז חלקים מס"ג שם שבעה האחד כמה

The result is nine integers and 18 parts of 47.

\scriptstyle{\color{blue}{x=9+\frac{18}{47}}}

ויצאו תשעה שלמים וי"ח חלקים ממ"ז

How Many Problem - Group of People

Question: a man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us and with you will make 100. How many are the people?

\scriptstyle x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+1=100

שאלה הרי שעבר אדם אחד בין קבוץ אנשים ואמר להם שלום לכם מאה איש וענו לו אין אנחנו מאה אך אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך הם מאה

כמה היו האנשים

The answer: this question also consists of two categories of arithmetical [operations], which are addition and proportion.

והתשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס

Addition - False Position: So, we first sum up the half and the quarter with the 2, since they said: "all of us, and other like us"; the result is 2 integers and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}}}

ולכן נקבץ תחלה החצי והרביע עם הב' בעבור שאמרו אנחנו ואחרים כמונו ויעלו ב' שלמים וג' רביעיות

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 2 and 3-quarters are equal to 99, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right):99=1:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הב' וג' רביעיות שוים צ"ט האחד כמה

The result is 36 integers.

\scriptstyle{\color{blue}{x=36}}

ויצאו ל"ו שלמים

Find the Amount Problem - Flour

Question: if when a se'ah of flour is worth 12 pešuṭim, one pašuṭ is worth 8 liṭra; when its value is 11 pešuṭim, how many liṭra does one pašuṭ worth?

שאלה אם כאשר ישוה סאת הקמח י"ב פשוטים ישוה הפשוט האחד ח' ליטרין כאשר יהיה שוויו י"א פשוטים כמה ליטרין ישוה הפשוט האחד

The answer: this question is misleading because it uses substitution, meaning instead of the thing itself it uses the thing which is its means, that is to say that the related numbers are lacking and it uses instead the number from which they are derived - the related numbers are the twelfth and the eleventh [

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11};\;\frac{1}{12}}}

] rather than 12 and 11.

התשובה שזאת השאלה היא שאלה הטאעיית לקוחה ממקום התמורה וזה שהוא לקח תמורת הדבר עצמו הדבר אשר הוא דרך לו רוצה לומר שהשמיט המספרים המתייחסים ולקח תמורת המספר אשר מהם יתחייבו המספרי' וזה שהמספרים המתייחסים הם הי"ביי והי"איי לא הי"ב והי"א

But, since it follows from the multiplication of its value by 12 pešuṭim that each of the pešuṭim is a twelfth fraction, and from the multiplication of its value by 11 [pešuṭim] that each of the pešuṭim is an eleventh fraction, it uses 12 and 11 instead.

אך מפני שיחוייב מהכאת שוויו בי"ב פשוטים שיהיה כל אחד מהפשוטים חלק י"ביי ומהכאת שוויו י"א יהיה כל אחד מהפשוטים חלק י"איי לקח הי"ב והי"א תמורתם

Therefore, we should take the twelfth and the eleventh [

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11};\;\frac{1}{12}}}

] instead of 12 and 11 and then its issue will be clarified.

ולכן ראוי שנקח תמורת הי"ב והי"א הי"ביי והי"איי ואז יתבאר ענינה

Rule of Three: We relate and say: if 12 is eight liṭra, how much is 11?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}:8=\frac{1}{11}:x}}

וזה בשניחס ונאמר אם הי"ביי שמנה ליטרין הי"איי כמה

The result is 8 liṭra and eight-elevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{8}{11}}}

ויצאו ח' ליטרין ושמנה יא"יים

Shared Work Problems

Draining a Vessel - Barrel

Question: a barrel had three taps, all the three together at the bottom of the barrel, so that the barrel could be drained through each of them. The taps differed from one another as the barrel was drained completely through one of them in half a day, through another in two thirds of a day, and through another in three quarters of a day. We opened all three together. How long will it take the barrel to be drained completely?

\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{2}{3}}x+\frac{1}{\frac{3}{4}}x=1

שאלה אם היו לחבית אחד שלשה נקבים ושלשתן יחד בתחתית החבית עד שיורק כל החבית עם כל אחד משלשתן והיו הנקבים מתחלפים כל אחד מהאחר עד שיורק כל החבית עם האחד מהם בחצי היום ועם האחר בשני שלישיות היום ועם האחר בג' רביעיות היום ופתחנו שלשתן יחד

בכמה זמן מהיום יורק כל החבית

The answer: this question consists of two proportions and addition, therefore we should decompose it into them and then its issue will be clarified.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים ומקבוץ ולכן ראוי שנתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה

Proportion - Rule of Three: The example: we relate each of the taps and say for the first tap: if one barrel is drained in half a day, how many are drained in a whole day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:1=1:x}}

משל זה שניחס כל אחד מנקבים ונאמר בנקב הראשון אם בחצי היום יורק חבית אחד בכל היום כמה

The result is two barrels. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}

ויצאו שתי חביות ונשמרם

Proportion - Rule of Three: We also say for the second tap: if one barrel is drained in two-thirds of a day, how many [are drained] in a whole day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:1=1:x}}

גם נאמר בנקב השני אם בשני שלישיו' היום יורק חבית אחת בכל היום כמה

The result is one barrel and a half. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{2}}}

ויצאו חבית א' וחצי ונשמרם

Proportion - Rule of Three: We also say for the third tap: if one barrel is drained in 3-quarters of a day, how many [are drained] in a whole day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}:1=1:x}}

גם נאמר בנקב השלישי אם בג' רביעיות היום יורק חבית אחת בכל היום כמה

The result is one barrel and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}

ויצאו חבית אחד ושליש

Addition - False Position: Then, we relate and say: we sum up the reserved; the result is four whole barrels and five-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{5}{6}}}

אחר זה נייחס ונאמר נקבץ השמורים ויעלו ארבע חביות שלמות וחמשה ששיות

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if four whole barrels and five-sixths are drained in one day, in how long [does] one barrel [drained]?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right):1=1:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הארבע חביות שלמות וחמש ששיות יורקו ביום אחד החבית אחת בכמה

The result is six parts of 29 parts of the day.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{29}}}

ויצאו ששה חלקים מכ"ט חלקי היום

Filling and draining a pool

Question: one pool was full of water and above it a pipe flowing that is filling it in one and a half days and on its edge a hole draining the pool in one day. We opened the two holes together, the hole that is filling it and the pool hole that is draining it. How long will it take the pool to be drained completely?

\scriptstyle x-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}x=1

שאלה אם היתה בריכה אחת מלאה מים ולמעלה ממנה צנור מקלח בתוכה שימלאנה ביום אחד וחצי ובשוליה נקב המריק הבריכה ביום אחד

ופתחנו השני נקבים יחד נקב הצנור המקלח בתוכה ונקב הבריכה המריק אותה
בכמה זמן תורק כל הבריכה

The answer: we examine the difference between what is filled in it in one day and what is drained from it in one day, which is a third of the pool.

התשובה שנעיין ההבדל שבין הנכנס בתוכה ביום אחד ובין המורק ממנה ביום אחד והוא שליש הבריכה

Rule of Three: We relate and say: if the flowing pipe fills the whole pool in one day and a half, how much [it fills] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):1=1:x}}

בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי ימלא הצנור המקלח בתוכה את כל הבריכה ביום אחד כמה

The result is two-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}}}

ויצאו שני שלישיות

The hole drains it in one day, so the difference between the filled and the drained in one day is a third of the pool.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}}}

והמריק אותה יריקנה כלה ביום אחד אם כן ההבדל שבין הנכנס לנשפך ביום אחד הוא שליש הבריכה

Rule of Three: We relate and say: if the third is received in one day, how long does it take for the entire unit to be received?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}:1=1:x}}

ואחר נייחס ונאמר אם השליש יצא ביום אחד הא' השלם בכמה

The result is 3 days and this is the time it takes the whole pool to be drained when the two holes - the one that is filling and the one that is draining - are opened together.

\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}

days

ויצאו ג' ימים וזהו הזמן שתורק בו כל הבריכה המלאה כשב' הנקבי' פתוחי' יחד שהם הממלא והמוריק

Question: a pool was full of water and above it three pipes flowing - the first pipe is filling it in one day and a half, the second pipe is filling it in one day and a quarter and the other pipe is filling it in one day and 2-fifths. On its edges there are also four draining holes: the first hole is draining it in a half of a day, the second hole is draining it in two-thirds of a day, the third hole is draining it in three-quarters of a day, and the fourth hole is draining it in four-fifths of a day. We opened the the three filling holes together and the four draining holes together. The pool was full. How long will it take the pool to be drained completely?

\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{2}{3}}x+\frac{1}{\frac{3}{4}}x+\frac{1}{\frac{4}{5}}x-\left(\frac{1}{1+\frac{1}{2}}x+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}x+\frac{1}{1+\frac{2}{5}}x\right)=1

שאלה אם היתה בריכה מלאה מים ולמעלה ממנה שלשה צנורות מקלחים בתוכה הצנור האחד ימלאנה ביום וחצי והצנור השני ימלאנה ביום ורביע והצנור האחר ימלאנה ביום אחד ושני חמשיות היום

גם יש בשוליה ארבעה נקבים המריקים הנקב הא' יריקנה בחצי היום והנקב השני יריקנה בשני שלישי היום והנקב השלישי יריקנה בג' רביעיות היום והנקב הרביעי יריקנה בד' חמשיות היום
ופתחנו השלשה נקבים המקלחים בתוכה יחד גם הארבעה נקבים המריקים אותה יחד והבריכה מלאה
בכמה זמן תורק כל הבריכה

The answer: we sum up all the water that enters it from the three pipes in one day:

התשובה שנקבץ כל המים הנכנסים בתוכה מכלל הג' נקבים ביום אחד

Rule of Three: We relate and say: if the first pipe fills the whole pool in one day and a half, how much [it fills] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):1=1:x}}

בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי ימלא הבריכה כלה הצנור האחד ביום אחד כמה

The result is two-thirds of the pool. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}}}

ויצא שני שלישיות הבריכה ונשמרהו

Rule of Three: We also relate and say: if the second pipe fills the whole pool in one day and a quarter, how much [it fills] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right):1=1:x}}

גם נייחס ונאמר אם ביום ורביע ימלא הצנור הב' כל הבריכה ביום אחד כמה

The result is 4-fifths of the pool. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{5}}}

ויצא ד' חמשיות הבריכה ונשמרהו

Rule of Three: We also relate and say: if the third pipe fills the whole pool in one day and two-fifths, how much [it fills] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{2}{5}\right):1=1:x}}

גם נייחס ונאמר אם ביום א' ושתי חמשיות ימלא הצנור השלישי כל הבריכה ביום אחד כמה

The result is 5-sevenths [of the pool]. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{7}}}

ויצא ה' שביעיות ונשמרהו

We sum up all the reserved; the result is two whole pools and 19 parts of 105 parts of one pool. We keep it and it is called the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{7}=2+\frac{19}{105}}}

נקבץ כל השמורי' ויעלו שתי בריכות שלמות וי"ט חלקים מק"ה חלקי הבריכה האחת ונשמרהו ויקרא השמור הראשון

Then, we sum up all the water that drains from it through the four holes in one day:

אחר זה נקבץ כל המים היוצאים ממנה ביום אחד מכלל הד' נקבים

Rule of Three: We relate and say: if the first hole drains one pool in half a day, how much [it drains] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:1=1:x}}

בשנייחס ונאמר אם בחצי היום יריק הנקב האחד בריכה אחת ביום אחד כמה

The result is 2 [pools]. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}

ויצא ב' ונשמרהו

Rule of Three: We also relate and say: if the second hole drains one pool in 2-thirds of a day, how much [it drains] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:1=1:x}}

גם ניחס ונאמר אם בב' שלישי היום יריק הנקב השני בריכה אחת ביום האחד כמה

The result is one [pool] and a half. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{2}}}

ויצא אחד וחצי ונשמרהו

Rule of Three: We also relate and say: if the third hole drains one pool in 3-quarters of a day, how much [it drains] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}:1=1:x}}

גם נייחס ונאמר אם בג' רביעיות היום יריק הנקב השלישי בריכה אחת ביום האחד כמה

The result is one [pool] and a third. We keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}

ויצא אחד ושליש ונשמרהו

Rule of Three: We also relate and say: if the fourth hole drains one pool in four-fifths of a day, how much [it drains] in one day?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}:1=1:x}}

גם נייחס ונאמר אם בארבע חמשיות היום יריק הנקב הרביעי בריכה אחת ביום האחד כמה

The result is one [pool] and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{4}}}

ויצא אחד ורביע

We sum up all the reserved; the result is six whole pools and one part of 12 parts of one pool. We keep it and it is called the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{1}{12}}}

נקבץ כל השמורים ויעלו שש בריכות שלמות וחלק אחד מי"ב חלקי הבריכה האחת ונשמרהו ויקרא השמור השני

False Position: Then, we subtract the first reserved from the second reserved; three whole pools and 1137 parts of 1260 parts of one pool remain and this is the difference between the filled in it and the drained from it in one day.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{12}\right)-\left(2+\frac{19}{105}\right)=3+\frac{1137}{1260}}}

אחר זה נחסר השמור הראשון מהשמור השני וישארו שלש בריכות שלמות ואלף קל"ז חלקים מאלף ר"ס חלקי הבריכה האחת וזהו ההבדל שבין הנשפך בתוכה למורק ממנה ביום אחד

Rule of Three: We relate and say: if the three pools and 1137 parts of 1260 parts of one pool are drained in 12 hours, which is one day, how long does it take for one pool to be drained?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1137}{1260}\right):12=1:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם השלש בריכות ואלף קל"ז חלקים מהאלף ר"ס חלקי הבריכה האחת יורק בי"ב שעות שהוא יום אחד הבריכה אחת בכמה שעות יורק

The result is three whole hours and 123 parts of 639 parts of one hour and this is the time it takes for the full pool to be drained, when the seven holes are opened together - the three that fill the pool and the four that drain it.

\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{123}{1639}}}

ויצאו שלש שעות שלמות וקכ"ג חלקים מאלף תרל"ט חלקי השעה האחת וזהו הזמן שתורק הבריכה המלאה כשהשבעה נקבים פתוחים יחד שהם הג' המקלחים בתיבה והד' המריקים ממנה

Joint Purchase Problems – If You Give Me

Question: a man said to his friend: if you give me one my amount of money will be equal to your amount of money.

The other answered and said: if you give me one my amount of money will be double your amount of money.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+1=b-1\\\scriptstyle b+1=2\sdot\left(a-1\right)\end{cases}

שאלה אם אמר אדם לחברו אם תתן לי א' יהיה ממוני שוה לממונך

וענה האחר ואמר לו אם תתן לי אתה אחד יהיה ממוני כפל ממונך

Or if the first will give the second one the amount of money of the second will be double the amount of money of the other, and if the second will give the first one the amount of money of the first will be a hundred times the amount of money of the second.

How the amount of each will be known?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b+1=2\sdot\left(a-1\right)\\\scriptstyle a+1=100b\end{cases}

או אם יתן הא' לב' אחד יהיה ממון השני כפל ממון האחר ואם יתן השני לאחד אחד יהיה ממון הראשון מאה כפלי ממון השני

היאך יודע כמות כל אחד

התשובה שזאת השאלה גם כן הטעאיית כי לקחה המחייב תמורת המתחייב וזה שהמתייחסים הצריכים לעניניהם יחס הב' הלקוחי' אחד מזה ואחד מזה אל כלל ממון שניהם יחד לא יחס השנים הלקוחים מחוברים עם ממון האחד מהם אל ממון האחר אחר שיחוסר מממונו אחד

אולם מפני שיחוייב ידיעת יחס השנים אל כלל הממון מידיעת זה היחס לקח זה תמורת זה והוא שהוא מן המבואר בעצמו שכאשר נחשב ממון שניהם יחד לממון אחד ונבדיל מכלל הממון ב' שהם אחד מזה ואחד מזה והם אשר יאמר כל אחד מהם לתת אחד לחבירו

The total amount of money summed from both is divided into three parts: the two that are taken from each; the money left for the first after one is subtracted from it; and the money left for the second after one is subtracted from it

הנה יחלק כלל הממון המחובר משניהם לשלשה חלקים והם השנים הלקוחים מזה ומזה והממון הנשאר לראשון אחר שיחוסר ממנו האחד והממון הנשאר לשני אחר שיחוסר ממנו האחד

\scriptstyle{\color{blue}{a+b=\left(1+1\right)+\left(a-1\right)+\left(b-1\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=a-1\\\scriptstyle b_1=b-1\end{cases}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a+b=2+a_1+b_1}}

The required follow from this, because when the first says to the second: "if you give me one, my money will be equal to your money", it is the same as if he says: "if I add to my money the two taken, which are the one you want to give me and the one I want to give you, their sum will be the same as your money, after you subtract one from it".

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=b_1\longrightarrow a+b=2+a_1+b_1=2b_1}}

ויחוייב מזה מבוקשנו וזה שאחר שאמר הא' לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני שוה לממונך אשר הוא כאלו אמר אם אחבר על ממוני השני' הלקוחים שהם אחד שאתה רוצה לתת לי והאחד שהיית רוצה לתת לך יהיה העולה מחבורם כמו הנשאר מממונך אחר שתסיר ממנו האחד

It follows necessarily that the amount of money of the first summed with the 2 taken that are two of the three parts of the total amount are half the amount summed from the three parts, since the sum of the two parts equals the third part.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=b_1=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)}}

אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון האחד מחובר עם הב' הלקוחים שהם הב' חלקים מג' חלקי הממון חצי הממון המחובר מהג' חלקים אחר שהב' חלקים מחוברים יחד שוים לחלק הג‫'

When the second says to the first: "if you give me one, my money will be double your money", it is the same as if he says: "if I add to my money the 2 taken, their sum will be double what is left of your money".

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+2=2a_1\longrightarrow a+b=2+a_1+b_1=3a_1}}

ואחר שאמר השני לא' אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך אשר הוא כאלו אמר אם אחבר על ממוני הב' הלקוחים יהיה העולה מחבורם כפל הנשאר מממונך

It follows necessarily that the amount of money of the second summed with the two taken are two-thirds of the total amount summed from the three parts, since the sum of the two parts is double the third part.

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+2=2a_1=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)}}

אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון השני מחובר עם השנים הלקוחים שני שלישי כל הממון המחובר מהג' חלקים אחר שהב' חלקים מחוברי' הם כפל החלק הג‫'

So, the amount of money of the first is a third of the total amount summed from the three parts.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{1}{3}\sdot\left(a+b\right)}}

ויהיה ממון הא' שליש כלל הממון המחובר מהג' חלקים

But, it is already its half plus the two taken.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\sdot\left(a+b\right)+2}}

וכבר היה חציו בחבורו עם השנים הלקוחים

Hence, it follows necessarily that the difference between the half and the third is equal to 2 and that is what is required in this question - to know the ratio of the two taken to the total amount of money.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\sdot\left(a+b\right)=2}}

אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההפרש שבין החצי לשליש שהוא שישתוה ב' וזהו המבוקש מזאת השאלה לדעת יחס השנים הלקוחים אל כלל הממון

Rule of Three: We relate and say: if the sixth equals two, how much is the total?

ולכן נייחס ונאמר אם הששית שוה שנים הכל כמה

The result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{a+b=\frac{2\sdot1}{\frac{1}{6}}=12}}

ויצאו י"ב

It has already been said that the parts of the total amount of money are three: the two taken; the money of the first; and the money of the second; and that the the sum of the 2 with the money of the first is half the total amount.

וכבר קדם שחלקי כלל הממון ג' והם השני חמשיות השנים הלקוחים וממון הא' וממון הב' ושחבור הב' עם ממון הא' הוא חצי כלל הממון

So, it follows necessarily that the money of the first with the two taken is six, which is a half of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{2}\sdot12=6}}

אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון הא' עם השנים הלקוחים ששה שהם חצי הי"ב

When we subtract from it the 2 summed with the money of the first, the money if the first remains 4 necessarily and the money of the second six.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=6-2=4\\\scriptstyle b_1=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=6\end{cases}}}

וכאשר נפריד מהם הב' המחוברים עם ממון הא' ישאר ממון הא' ד' בהכרח וממון הב' ששה

When we give each of them the one we took from him, the first has five and the second has seven and this is the amount of money of each.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=a_1+1=5\\\scriptstyle b=b_1+1=7\end{cases}}}

וכאשר נתן לכל אחד מהם האחד שלקחנו ממנו יהיו לא' חמשה ולב' שבעה וככה הוא ממון כל אחד

Likewise for the second type in which the first says to the second: if you give me one, my money will be double your money; and the second says to the first: if you give me one, my money will be a hundred times your money.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+1=2\sdot\left(b-1\right)\\\scriptstyle b+1=100a\end{cases}

וכן במין השני שאמר הראשון לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך ואמר השני לראשון אם תתן לי אחד יהיה ממוני מאה כפלי ממונך

This is also explained from what preceded:

גם זה מבואר ממה שקדם

We subtract one from this and one from that and we call these two "the two taken" and put them aside.

\scriptstyle{\color{blue}{a+b=\left(1+1\right)+\left(a-1\right)+\left(b-1\right)}}

וזה שאנחנו נבדיל אחד מזה ואחד מזה ואלה השנים נקראם השנים הלקוחים ונניחם לחוד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=a-1\\\scriptstyle b_1=b-1\end{cases}}}

אחר זה נחשב כלל הממון המחובר משניהם לממון אחד ויהיו חלקיו שלשה והם השנים הלקוחים והממון הנשאר לראשון אחר שנחסר מממונו האחד והממון הנשאר לשני אחר שנחסר מממונו האחד

\scriptstyle a+b=2+a_1+b_1

$\scriptstyle a_1+2=2b_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=3b_1}}$

ונאמר הנה כשאמר הראשון לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך כאלו אמר אם אוסיף על ממוני הנשאר השנים לקוחים יהיה ממוני כפל מממונך

\scriptstyle a_1+2=2b_1=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)

ואם כן יחוייב מזה שיהיוה שנים מחוברים עם הממון הנשאר לראשון שני שלישי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקים הנזכרים

\scriptstyle b_1+2=100a_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=101a_1}}

וכשאמר השני לראשון אם תתן לי אחד יהיה ממוני מאה כפלי ממונך כאלו אמר אם אחבר השנים הלקוחים על ממוני הנשאר יהיה ממוני מאה כפלי ממונך

\scriptstyle b_1+2=100a_1=\frac{100}{101}\sdot\left(a+b\right)\longrightarrow a_1=\frac{1}{101}\sdot\left(a+b\right)

ואם כן יחוייב מזה שיהיו השנים מחוברים עם הממון הנשאר לשני ק' חלקים מק"א חלקי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקים הנזכרים

\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{101}\sdot\left(a+b\right)+2

ויהיה ממון הראשון זולת השנים הלקוחים חלק אחד מק"א חלקי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקי' וכבר היה חבור ממונו עם השנים הלקוחי' שתי שלישיות כל הממון

\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{101}\right)\sdot\left(a+b\right)=2

$\scriptstyle\frac{199}{303}\sdot\left(a+b\right)=2$

אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההפרש שבין השתי שלישיות לחלק אחד מק"א חלקי הכל שהוא קצ"ט חלקים מש"ג חלקי הכל שוה שנים

\scriptstyle a+b=\frac{2\sdot1}{\frac{199}{303}}=3+\frac{9}{199}

ולכן נייחס ונאמר אם הקצ"ט חלקים מש"ג שוים שנים הכל כמה ויצאו שלשה שלמים ותשעה חלקי' מקצ"ט

\scriptstyle a_1+2=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)=\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{9}{199}\right)=2+\frac{6}{199}

וכבר קדם שחלקי כלל הממון שלשה והם השנים הלקוחים וממון הראשון וממון השני ושחבור הב' עם ממון הראשון הוא שתי שלישיות כל הממון

אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון הראשון עם השנים הלקוחים יחד שתי שלישיות הג' ותשעה חלקים מקצ"ט שהם שנים שלמים וששה חלקים מקצ"ט חלקי הכל

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\left(2+\frac{6}{199}\right)-2=\frac{6}{199}\\\scriptstyle b_1=\frac{a_1+2}{2}=1+\frac{3}{199}\end{cases}

וכאשר נפריד מהם השנים המחוברים עם ממונו ישאר ממון הראשון ששה חלקים מקצ"ט וממון השני אחד שלם ושלשה חלקים מקצ"ט

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a=a_1+1=1+\frac{6}{199}\\\scriptstyle b=b_1+1=2+\frac{3}{199}\end{cases}

וכאשר נתן לכל אחד מהם האחד שלקחנו ממנו יהיה ממון הראשון אחד שלם וששה חלקים מקצ"ט וממון הב' שנים שלמים ושלשה חלקים מקצ"ט וככה הוא ממון כל אחד

Buy and Sell Problem

Question: someone bought with his money sugar for instance, three fifths of a liṭra for one zahuv, then he sold four sevenths of a liṭra for one zahuv and he earned one zahuv. How much was his amount of money?

\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1

שאלה מי שקנה מממונו סוכר על דרך משל בג' חמשיות ליטרא בזהוב ומכרה בד' שביעיות ליטרא בזהוב והרויח זהוב אחד

כמה היה כמות ממונו

The question consists of two types of arithmetical operations: subtraction and proportion

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים ממיני המספר והם החסור והיחס ולכן ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה

subtraction - False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}-\frac{4}{7}=\frac{1}{35}}}

וזה בשנחסר תחלה הד' שביעיות ליטרא מהשלש חמשיות ליטרא וישארו חלק אחד מל"ה חלקי הכל וזהו הרויח שהרויח בזהוב האחד

proportion - Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{35}:1=\frac{4}{7}:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם כשהרויח חלק אחד מל"ה חלקי הרטל יהיה ממונו זהוב אחד כשהרויח ארבע שביעיות הרטל שהם שווי הזהוב האחד לפי מה שמכר כמה יהיה ממונו

\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}

zehuvim

ויצאו לך שנים זהובים וככה הוא כלל ממונו

Purchase Problem – Moneychanger

Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. The first kind are 5 for one zahuv; the second kind are 7 for one zahuv; and the third kind are 9 for one zahuv. One asked the moneychanger to exchange one zahuv and to give him from the three kinds of coins equally, so that their total will be worth one zahuv. How much should he give him from each kind?

\scriptstyle\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1

שאלה אם היו אצל השולחני שלשה מטבעות המין האחד הם ה' בזהוב והמין השני הם שבעה בזהוב והמין השלישי הם תשעה בזהוב ובקש אחד מהשולחני להחליף זהוב אחד ושיתן לו מהשלשה מיני מטבעות חלקים שוים ויעלו חשבונם זהוב אחד כמה יתן לו מכל מין ומין

The answer: this question consists of two categories of arithmetical operations, which are addition and proportion, therefore we decompose it into them.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם

addition - False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{143}{315}}}

וזה בשנחשוב שנתן מכל מטבע אחד ונקבצם ויהיו ג' אחר זה נחקור שווים מהזהוב וזה בשנקבץ החמישית והשביעית והתשיעית אחר שהאח' הנתון מהמטבע ששוים ה' בזהוב שוה חמישית הזהוב והא' הנתון מהמטבע ששוים ז' בזהוב שוה שביעית הזהוב והא' הנתון מהמטבע ששוי' ט' בזהוב שוה תשיעית הזהוב וכשנקבצם יעלו קמ"ג חלקי' משט"ו חלקי הזהוב הא'

Rule of Three: Then we relate and say: if 143 parts of 315 are one of each, how much is a whole unit?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{143}{315}:1=1:x}}

אח"ז ניחס ונאמ' אם הקמ"ג חלקי' משט"ו לקח א' מכל מין הא' השלם כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{29}{143}}}

ויצאו ב' שלמים וכ"ט חלקי' מקמ"ג וככה לקח מכל מין

Motion Problem – Pursuit

Question: a master sent a messenger walking 29 mil a day. After 10 days he sent another messenger walking 35 mil a day. When will he catch up with him?

\scriptstyle35X=29\sdot\left(X+10\right)

שאלה אם אדון שלח רץ שמהלכו בכל יום כ"ט מיל ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר שמהלכו בכל יום ל"ה מיל

מתי ישיגנו

The question consists of multiplication, subtraction and proportion

התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה וחסור ויחס

multiplication:

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot29=290}}

ולכן נכה תחלה העשרה עם הכ"ט ויעלו ר"ץ ונשמרם

subtraction:

\scriptstyle{\color{blue}{35-29=6}}

אחר זה נחסר הכ"ט מיל מהל"ה מיל וישארו ו' מיל וזהו ההפרש שבין רץ לרץ ונשמרם

Rule of Three: Then we relate and say: if when the difference is 6 mil, the walker needs one day to catch up with him, how much is needed for a difference of 290 mil?

\scriptstyle{\color{blue}{6:1=290:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם בו' מיל הפרש צריך מהלך יום אחד להשיגו בר"ץ מיל הפרש עשרה כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=48+\frac{1}{3}}}

ויצאו מ"ח יום שלמים ושליש יום

Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree

Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long. How many cubits long is the whole tree?

\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x

שאלה אילן ששביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים גבוה ח' אמות כמה אמות הוא כל האילן

The answer: this question consists of addition, subtraction, and proportion, therefore we decompose it into them.

התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחסור ויחס ולכן נתיכה אליהם

addition - False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{16}{63}}}

וזהו בשנקבץ התשיעיות והשביעיות והם י"ו חלקים מס"ג

subtraction:

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{16}{63}=\frac{63-16}{63}=\frac{47}{63}}}

אחר זה נחסרם מהשלם והמותר הם מ"ז חלקים מס"ג

Proportion - Rule of Three: We relate and say: if 47 parts of 63 are eight, how much is one?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{63}:8=1:x}}

וניחס ונאמר אם המ"ז חלקים מס"ג הם שמנה הא' כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{34}{47}}}

ויצאו עשרה שלמים וארבעה ושלשים חלקים ממ"ז

Boiling Problem

Question: someone had 10 measures of must and he wanted to boil them until one third will remain. He partially cooked them until eight [measures] remained. Then six measures overflow and two measures remained. He wants to boil [the remainder] as planned at first. How much should remain from the two measures?

\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{2}{X}

שאלה מי שהיו לו י' מדות תירוש ורצה לבשלם עד שישאר השליש וכשבשלם חצי עד שנשארו שמנה נשפכו השש מדות ונשארו שתי מדות ורוצה לבשלם כמשפט הראשון

כמה צריך שישארו מהשתי מדות

The question consists of subtraction and proportion

התשובה שזאת השאלה מחוברת מחסור ויחס

Subtraction - False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)=3+\frac{1}{3}}}

ולכן נחסר השתי שלישיות מהי' מדות וישארו ג' ושליש

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if three and a third should remain from eight, how much [should remain] from two?

\scriptstyle{\color{blue}{8:\left(3+\frac{1}{3}\right)=2:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם השמנה ראוי שישארו שלשה ושליש השנים כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{6}}}

ויצאו חמש ששיות

Give and Take Problem

Question: someone took an oath that in each day that God will double his money he will donate two pešuṭim to the poor. For four consecutive days God doubled his money and he gave two pešuṭim each day and he ran out of money. How much was his amount of money?

\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2x-2\right)\right]-2\right]\right]-2\right]=2

שאלה מי שנדר שיתן לעניים שני פשוטי' בכל יום שיכפול השם את ממונו וכפל השם את ממונו ארבעה ימים רצופים ונתן השני פשוטים בכל יום וכלה כל ממונו

כמה היה ממונו

התשובה בזאת השאלה שנקח הדבר מלמטה לעמלה למה שהוא הוא הידוע

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{2}=1}}

ונאמר שאחר שכלה ממונו ביום הד' אם כן ידענו שממונו ביום הד' היה שני פשוטים וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}

ואם כן ביום השלישי היו לו שלשה פשוטים וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{3+\frac{1}{2}}{2}=1+\frac{3}{4}}}

ואם כן ביום השני היו לו שלשה פשוטים וחצי וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד ושלש רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+\left(1+\frac{3}{4}\right)}{2}=\frac{3+\frac{3}{4}}{2}=1+\frac{7}{8}}}

ואם כן ביום הראשון היו לו שלשה פשוטים ושלש רביעיות וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היו לו פשוט אחד וז' שמניות

Question: someone went to the land of the sea and appointed a guardian for his grain to give the donation and the tithe and keep the remaining.

When he came he gave him 100 se'ah.

How much was the whole grain?

שאלה מי שהלך למדינת הים והניח אפטרופוס על תבואתו לתת התרומה והמעשר והנשאר שמרהו וכשבא נתן לו ק' סאה כמה היתה כל התבואה

The answer: this question consists of two proportions, therefore we decompose it into them and the result will be the required.

התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים ולכן נתיכה אליהם ויצא המבוקש

וזה שאחר שהמאה סאה עם המעשר הנתון הם במדרגת השלם הנה יהיו המאה סאה תשעה עשיריות השלם בהכרח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot1}{\frac{9}{10}}=111+\frac{1}{9}}}

ולכן נייחס ונאמ' אם התשעה עשיריות שוים מאה האחד כמה ויצאו קי"א סאה ותשיעית הסאה

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}}}

אחר זה נאמר אחרי שהקי"א ותשיעית עם התרומה הנתונה הם במדרגת השלם והמתרומה אחד מחמשים אם כן הקי"א ותשיעית הם תשעה וארבעים חלקים מנ'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(111+\frac{1}{9}\right)\sdot1}{\frac{49}{50}}=113+\frac{1{\color{red}{6}}7}{441}}}

ונייחס ונאמר אם המ"ט חלקים מנ' הם קי"א ותשיעית הא' כמה ויצאו קי"ג שלמים וקמ"ז חלקים מתמ"א חלקי הסאה ואם כן כללות התבואה טרם הנתן התרומה והמעשר הוא קי"ג סאין שלמים וקמ"ז חלקים מתמ"א חלקי הסאה

\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\sdot x\right)\sdot\left(\frac{c}{d}\sdot x\right)=\frac{n}{m}\sdot x

שאלה אם רצית לדעת המספר אשר כשיוכה שלישיתו עם רביעיתו או איזה שבר משבריו אם איזה שבר משבריו ויהיה העולה מהכאתם שוה לאותו המספר בכללו או כמוהו וכמו שבר אחד משבריו או כמו כפלים ממנו וכמו שבר משבריו היאך יתכן מציאותו

\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}

התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה ומיחס ולכן נכה השבר עם השבר מופשטים והעולה נייחסהו ונאמר עם העולה ישוה כך כמוהו או כמוהו שלישיתו לפי השאלה האחד כמה והיוצא הוא המבוקש

\scriptstyle\frac{\frac{n}{m}\sdot1}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}}

שאלה אם רצית לדעת המספר אשר כשיוכה שלישיתו עם רביעיתו או איזה שבר משבריו עם איזה שבר משבריו ויהיה העולה מהכאת' שוה לאותו המספר בכללו ולז' עד"מ או לכפלו ולמספר כך היאך יתכן מציאותו

התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה ומיחס ומקבוץ ולכן נכה השבר עם השבר מופשטים והעולה נייחסהו ונאמר אם העולה ישוה כך כפלים ומספר כך לפי השאלה האחד כמה והיוצא מכמות הכפלים נשמרהו והיוצא מכמות המספר נבקש כל אותם המספרים אשר יולד המספר היוצא מהכאתם ונכתבם זוג זוג רוצה לומר כל שנים מספרים אשר מהם יולד המספר ההוא זה בצד זה כל אחד עם בן זוגו והמספר אשר בחבורו עם מספר הכפלים השמור ישוה לבן זוגו נחברנו עם השמור והוא המבוקש וזה במספרים השלמים אך אם היה שלם ושבר יחד נבקש השנים המספרים אשר יוגבל ביניהם המספר המבוקש ונמצאהו בקלו' אחרי שהוא מוגבל בין שני המספרים

\scriptstyle\left(\frac{1}{2}x\right)\sdot\left(\frac{1}{4}x\right)=x+6

משל השלמים הנה אם שאל השואל איזהו המספר אשר כשיוכה חציו עם רביעיתו יעלה כמוהו וכמו מספר ו'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+6\right)\sdot1}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}}=\frac{\left(1+6\right)\sdot1}{\frac{1}{8}}=8+48}}

הנה נכה החצי עם הרביעית מופשטים ויעלו שמינית אחד אחר זה נייחס ונאמר אם השמינית שוה כמהו וכמו מספר ו' האחד כמה ויצאו ח' ומספר מ"ח נשמור הח'

\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot2=48}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot1=48}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot4=48}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot3=48}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot6=48}}

ונבקש המספרים אשר יולד מספר המ"ח מהכאתם והם זוג זוג כל אחד בצד בן זוגו והם הא' עם המ"ח והב' עם הכ"ד והג' עם הי"ו והד' עם הי"ב והו' עם הח' כי כל שנים מאלו כאשר יוכו יעלו מ"ח

אחר זה בקשנו כל אחד מאלה הזוגות לדעת איזה מספר הוא שכשיחובר עם הח' השמורים יהיה העולה שוה לבן זוגו ומצאנו מספר ד' שכאשר יחובר עם הח' השמורים יעלה י"ב וישוה לבן זוגו כי בן זוגו הד' הוא הי"ב ולכן שפטנו שהמספר המבוקש הוא הי"ב ומהנה כבר תוכל לדעת הדרך בשלמים ושברים יחד

Question: three types of sugar are sold in the market - the most valuable at five whites [levanim] for one ratl, the medial at three whites for one ratl and the least valuable at one white for seven liters.

One went and bought equal portions from each of the three kinds and he spent ten whites.

How much did he buy from each kind?

שאלה אם מוכרים בשוק סוכר ג' מינים החשובה מאד בחמשה לבנים הרטל והבינונית בשלשה לבנים הרטל והפחותה שבעה ליטרין בלבן והלך אחד וקנה מהשלשה מינים חלקים שוים מכל אחד ופזר עשרה לבנים כמה לקח מכל מין ומין

\scriptstyle{\color{blue}{5+3+\frac{1}{7}=8+\frac{1}{7}}}

התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ ויחס ולכן נקח מכל מין רטל א' ונקבץ מה שעלה שווים והם ח' ושביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot10}{8+\frac{1}{7}}=1+\frac{13}{57}}}

אחר כן ניחס ונאמר אם בשמנה ושביעית לקחנו רטל אחד מכל מין בעשרה כמה נקח מכל מין ויצא לך רטל אחד וי"ג חלקים מנ"ז

שאלה אם מוכרים בשוק סוכר חשובה בחמשה לבנים הרטל ובינונית בשלשה לבנים הרטל ופחותה מ[ז'] ליטרין בלבן אחד והלך אחד וקנה ו' ליטרין מהג' מינים ופזר עשרה לבנים כמה לקח מכל מין

התשובה קח מהשלש מינין ו' לטרין הג' ליטרין מהב' מינין בשווי רוצה לומר רטל וחצי מהבינונית ורטל וחצי מהפחותה והג' ליטרין מהחשובה וחשוב העולה משוויים והם ט"ו לבנים הג' ליטרין של סוכר החשובה וד' לבנים וה' שביעיות הג' ליטרין של סוכר הבינונית והפחותה והנה סך הכל י"ט וה' שביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left[3\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(5\sdot3\right)=\left(4+\frac{5}{7}\right)+15=19+\frac{5}{7}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{5}{7}\right)-10=9+\frac{5}{7}}}

תגרע מהם הי' לבנים שקנה הו' ליטרין נשארו ט' לבנים וה' שביעיות ונשמרם

\scriptstyle{\color{blue}{5-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=3+\frac{3}{7}}}

אחר זה נחשב ההבדל שבין שווי הרטל האחד מהחשובה ובין שווי הרטל האחד מהבינונית והפחותה יחד כאשר יהיה בשווי רוצה לומר חצי הרטל מהבינונית וחצי הרטל מהפחותה וההבדל שביניהם הוא ג' שלמים וג' שביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(9+\frac{5}{7}\right)}{3+\frac{3}{7}}=2+\frac{5}{6}}}

ונייחס ונאמר אם הג' שלמים ושלשה שביעיות יפסדו ברטל האחד הט' וה' שביעיות השמורים בכמה ליטרין יפסדו ויצאו ב' לטרין שלמים וה' ששיות הרטל

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6}}}

ולהיות שאלה התשעה וה' שביעיות השמורים הם יותר מהעשרה לבנים שפזר הקונה בו' ליטרין של סוכר על כן נגרעם מהג' ליטרין שלקחנו מהחשובה ונוסיפם על הג' ליטרין שלקחנו מהבינונית והפחותה והנה נשאר לחשובה ששית הרטל לבד

\scriptstyle{\color{blue}{3+\left(2+\frac{5}{6}\right)=5+\frac{5}{6}}}

ועלה מספר הבינונית והפחותה ה' ליטרין וה' ששיות הרטל וזה בשווי ר"ל חציים מהבינונית וחציים מהפחותה

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\frac{1}{6}=\frac{10}{12}}}

נמצא שקנה ששית הרטל מהחשובה בי' חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{5}{6}}{2}=2+\frac{11}{12}}}

והשני ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2+\frac{11}{12}\right)=8+\frac{9}{12}}}

והשני ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הרטל מהבינונית בח' לבנים וט' חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(2+\frac{11}{12}\right)=\frac{5}{12}}}

והב' ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הרטל מהפחותה בחמשה חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(2+\frac{11}{12}\right)+\left(2+\frac{11}{12}\right)=6}}

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{12}+\left(8+\frac{9}{12}\right)+\frac{5}{12}=10}}$

שנמצאו לפי זה הסדר הו' ליטרין בעשרה לבנים

\scriptstyle\left(\frac{3}{5}x\sdot10\right)\sdot\left(\frac{2}{5}x\sdot6\right)=200

שאלה מי שחלק ממונו לשנים חלקים מתחלפים החלק האחד שלשה חמשיות הממון והחלק השני שתי חמשיות הממון והלך וקנה עם שלש חמשיות הממון עשרה ליטרין סוכר בלבן ועם ב' חמשיות הממון קנה ששה ליטרין בלבן והיו כל הליטרין מאתים כמה היה כל ממונו

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)\sdot6\right]+\left[\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)\sdot10\right]=42}}

התשובה בקש מספר שיהיה נחלק לחמשה חלקים והם ה' וקח ב' חמשיותיו והכהו עם ו' כפי השאלה והעולה שמרהו גם תקח ג' חמשיותיו והכהו עם י' כפי השאלה והעולה חברנו עם השמור ויעלו מ"ב

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot200}{42}}}

אחר זה נייחס ונאמר אם המ"ב ה' שהוא מספר הלקוח הנחלק לה' חלקים הר' ליטרין לפי השאלה כמה והיוצא הוא הממון

Partnership Problem - For the Same Time

Question: three people were partners. One of them contributed 12½ to the partnership, the second [contributed] 6⅓, and the third [contributed] 7½. They earned 45½. How much should each of them receive from the profit?

שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים ושם האחד מהם בחברה י"ב וחצי והשני ו' ושליש והשלישי ז' וחצי והרויחו מ"ה וחצי כמה יגיע לכל א' מהם מהריוח

The answer: this question consists of two categories of arithmetical operations, which are addition and proportion, therefore we decompose it into them and its issue will be clarified.

התשובה שזאת השא[ל]ה מחוברת משני מינים ממיני המספר והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם ויתבאר ענינה

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{1}{3}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=26+\frac{1}{3}}}

וזה בשנקבץ תחלה ממון שלשתם ויעלו כ"ו ושליש

Proportion - Rule of Three: Then, we relate and say: if 26 and a third yield 45 and a half, how much do 12 and a half [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(26+\frac{1}{3}\right):\left(45+\frac{1}{2}\right)=\left(12+\frac{1}{2}\right):x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ו ושליש הרויחו מ"ה וחצי הי"ב וחצי כמה

the first:

\scriptstyle{\color{blue}{x=21+\frac{189}{316}}}

ויצאו כ"א שלמים וקפ"ט חלקים משי"ו

the second:

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{298}{316}}}

וכן נעשה עם ממון השני ויצאו עשרה שלמים ורצ"ח חלקים משי"ו

the third:

\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{303}{316}}}

וכן נעשה עם ממון השלישי ויצאו י"ב שלמים וש"ג חלקים משי"ו

Partnership Problem - For Different Times

Question: three people were partners for one year, each contributed the same as the other to the partnership, but one contributed his money to the partnership after three months and the other one contributed his money to the partnership after six months. So the money of the first was in the partnership 12 months, the money of the second 9 months, and the money of the third 6 months.

They earned 45 and a half.

How much should each receive?

שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים שנה אחת ושם כל אחד בחברה כמו האחר רק שהאחד שם ממונו בחברה אחר שלשה חדשים והאחר שם ממונו בחברה אחר ששה חדשים שנמצא שהיה ממון האחד בחברה י"ב חדשים וממון השני ט' חדשים וממון השלישי ששה חדשים

והרויחו מ"ה וחצי
כמה יגיע לכל א'

The answer: this question consists of two categories of arithmetical operations, which are addition and proportion, therefore its issue will be clarified by decomposing it into them.

התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינין ממיני המספר שהם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה בשנתיכה אליהם

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+9+6}{12}=2+\frac{1}{4}}}

וזה בשנקבץ תחלה זמני שלשתן והם ב' שנים ורביע

Rule of Three: Then, we relate and say: if 2 and a quarter yield 45 and a half, how much does one [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right):\left(45+\frac{1}{2}\right)=1:x}}

אחר זה ניחס ונאמר אם הב' ורביע הרויחו מ"ה וחצי האחד כמה

the first:

\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{4}{18}}}

ויצאו כ' שלמים וד' חלקים מי"ח

the second:

\scriptstyle{\color{blue}{x=15+\frac{3}{18}}}

וכן נעשה עם זמן השני ויצאו ט"ו שלמים וג' חלקים מי"ח

the third:

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{2}{18}}}

וכן נעשה מזמן השלישי ויצאו י' שלמים וב' חלקים מי"ח

Question: three people were partners. One of them contributed 12 to the partnership and stayed in the partnership a whole year. The second contributed 6 to the partnership four months after the the beginning of the year. The third contributed 7 to the partnership eight months after the the beginning of the year.

They earned 45.

How much should each receive?

שאלה ג' אנשים שהיו שותפים ושם הא' מהם בחברה י"ב ועמדו בתוך החברה שנה תמימה והשני שם בחברה אחר ד' חדשים מתחלת השנה ששה והשלישי שם בחברה אחר שמנה חדשים מתחלת השנה שבעה

והרויחו בסוף השנה מ"ה
כמה יגיע לכל אחד ואחד מהרויח

(1) The question consists of three proportions and three additions

התשובה שזאת השאלה מחוברת משלשה יחסים ושלשה קבוצים ולכן ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{12+6+7=25}}

וזה בשנקבץ תחלה ממון שלשתם ויעלו כ"ה

Rule of Three: Then, we relate and say: if 25 yield 45, how much do 12 [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{25:45=12:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הי"ב כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=21+\frac{3}{5}}}

ויצאו כ"א וג' חמשיות

Rule of Three: We also say: if 25 yield 45, how much do 6 [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{25:45=6:x}}

גם נאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הו' כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}

ויצאו עשרה וד' חמשיות

Rule of Three: We also say: if 25 yield 45, how much do 7 [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{25:45=7:x}}

גם נאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הז' כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{3}{5}}}

ויצאו י"ב וג' חמשיות

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+4+8}{12}=2}}

ואלה היוצאים נקראם יוצאים ראשונים אחר זה נקבץ זמני שלשתן ויעלו ב' שנים שלמים

Rule of Three: Then, we relate and say: if 2 years yield 21 and three-fifths, how much does one year [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(21+\frac{3}{5}\right)=1:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הב' שנים הרויחו כ"א ושלשה חמשיות השנה האחת כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}

ויצאו עשרה וד' חמשיות

Rule of Three: We also say: if 2 years yield ten and 4-fifths, how much do 2-thirds of one year [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(10+\frac{4}{5}\right)=\frac{2}{3}:x}}

גם נאמר אם הב' שנים הרויחו עשרה וד' חמשיות הב' שלישיות של שנה כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{2}{5}}}

ויצאו ג' וג' חמשיות

Rule of Three: We also say: if 2 years yield 12 and 3-fifths, how much does a third of one year [yield]?

\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(12+\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{3}:x}}

גם נאמר אם הב' שנים הרויחו י"ב וג' חמשיות השליש של שנה כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{10}}}

ויצאו ב' ועשירית

ואלה היוצאים נקראם יוצאים שניים

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{4}{5}\right)+\left(3+\frac{3}{5}\right)+\left(2+\frac{1}{10}\right)=16+\frac{1}{2}}}

אחר זה נקבץ כל היוצאים השניים ויעלו י"ו וחצי

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(10+\frac{4}{5}\right)=45:x}}

ונייחס ונאמר אם מהי"ו וחצי לקח הראשון מהיוצאים הראשונים עשרה וד' חמשיות שהוא הראשון מהיוצאים השניים מהמ"ה שהוא כל הרויח כמה

the profit of the one who contributed 12:

\scriptstyle{\color{blue}{x=29+\frac{5}{11}}}

ויצאו כ"ט שלמים וה' אחד עשריים רוצה לומר ה' חלקים מי"א וככה יקח מי ששם הי"ב בשנה

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(3+\frac{3}{5}\right)=45:x}}

גם נאמר אם מהי"ו וחצי לקח השני מהיוצאים הראשונים שלשה וג' חמשיות שהוא השני מהיוצאים השניים מהמ"ה שהוא כל הרויח כמה

the profit of the one who contributed 6:

\scriptstyle{\color{blue}{x=9+\frac{9}{11}}}

ויצאו תשעה שלמים וט' יאיי"ם וככה יקח המשים הששה בשתי שלישיות של השנה

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(2+\frac{1}{10}\right)=45:x}}

גם נאמר אם מהי"ו וחצי לקח השלישי מהיוצאים הראשונים ב' ועשירית שהוא השלישי מהיוצאים השניים מהמ"ה כמה

the profit of the one who contributed 7:

\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{8}{11}}}

ויצאו חמשה שלמים ושמנה יאיי"ם וככה יקח המשים השבעה בשליש השנה

(2) The question consists of two proportions and three additions with five values

או בשני יחסים ושלשה קבוצים עם התמונה הבעלת חמש צורות

addition: the amounts of money of the three

רוצה לומר שנקבץ ממון שלשתם

addition: the times of the three

ונשמרהו גם זמני שלשתן ונשמרהו

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot2\right):45=\left(12\sdot1\right):x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ה שהוא העולה מממון שלשתן בב' שנים שהוא העולה מזמני שלשתן ירויחו מ"ה הי"ב שהוא ממון האחד בשנה האחת שהוא זמן האחד כמה

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}

ויצאו עשרה וד' חמשיות ונשמרם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot2\right):45=\left(6\sdot\frac{2}{3}\right):x}}

גם נאמר אם הכ"ה בב' שנים מ"ה הו' בב' שלישיות השנה כמה

[missing

\scriptstyle{\color{red}{x=3+\frac{3}{5}}}

]

[missing Rule of Three:

\scriptstyle{\color{red}{\left(25\sdot2\right):45=\left(7\sdot\frac{1}{3}\right):x}}

]

\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{10}}}

ויצאו ב' ועשירית ונשמרם

addition:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{4}{5}\right)+\left(3+\frac{3}{5}\right)+\left(2+\frac{1}{10}\right)=16+\frac{1}{2}}}

אחר זה נקבץ כל השמורים ויעלו י"ו וחצי

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(10+\frac{4}{5}\right)=45:x_1}}

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(3+\frac{3}{5}\right)=45:x_2}}

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(2+\frac{1}{10}\right)=45:x_3}}

ונייחס ונאמר אם מהי"ו וחצי לקח הראשון עשרה וד' חמשיות והשני שלשה וג' חמשיות והשלישי ב' ועשירית מהמ"ה כמה

the profit of the one who contributed 12:

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=29+\frac{5}{11}}}

ויצאו לראשון כ"ט וחמשה יאיי"ם

the profit of the second:

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=9+\frac{9}{11}}}

ולשני תשעה וט' יאיי"ם

the profit of the third:

\scriptstyle{\color{blue}{x_3=5+\frac{8}{11}}}

ולשלישי חמשה וח' יאיי"ם

A shorter method:

דרך אחר יותר קצר

the share of man_i in the profit =

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{profit\sdot\left(money_i\times time_i\right)}{\sum_{j=1}^3 \left(money_j\times time_j\right)}}}

והוא שנכה כמות ממון כל אחד עם כמות זמנו אחר זה נקבץ כל העולים מאלה ההכאות ויהיה הוא המחלק

עוד נכה הרויח עם העולה מהכאת כמות ממון כל אחד עם זמנו והעולה הוא המחולק
והחלק והיוצא הוא החלק המגיע לכל א' מהרויח

Partnership Problem - For the Same Time

Question: three people were partners. They agreed between them that the first will take half of the profit, the second [will take] its third, and the third [will take] its quarter.

They earned 12.

How much should each receive?

\scriptstyle\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=12

שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים והתנו ביניהם שיקח הראשון חצי הרויח והשני שלישיתו והג' רביעיתו

והרויחו י"ב
כמה יגיע לכל אחד ואחד

התשובה שזאת השאלה לקוחה ממקום התמורה כי השמיטה המתייחסי' הצריכים לענינו ולקח תמורתם הדברים אשר יתחייבו מהם המתייחסים וזה שהמתייחסים הצריכים לענינו הם יחסי החלקים קצתם בקצת

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\end{cases}

רוצה לומר שהראשון יקח אחד וחצי כמו השני והשני יקח אחד ושליש כמו השלישי

\scriptstyle a_1=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot a_2\longrightarrow a_2=\frac{2}{3}a_1

$\scriptstyle\frac{2}{3}a_1=a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3$ $\scriptstyle a_1=\frac{\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\right]\sdot1}{\frac{2}{3}}=2\sdot a_3$

ואלו שאל ככה לא היה שם מקום ספק כלל כי היינו מחלקים הרויח לארבעה חלקים ושליש בשנייחס ונאמר אם חלק השני שהוא שתי שלישיות הראשון שוה אחד ושליש כמו השלישי החלק הראשון שהוא אחד שלם בערך אל השני כמה ויצאו שנים שלמים כמו השלישי רוצה לומר כפלו

\scriptstyle a_1+a_2=\left(2\sdot a_3\right)+\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\right]=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3

וכבר קדם שחלק השני הוא אחד ושליש כמו השלישי אם כן הראשון והשני יחד שוים ג' ושליש כמו השלישי

\scriptstyle a_1+a_2+a_3=\left(4+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3

וכאשר נחבר עמהם גם השלישי שהוא אחד יהיה הכל ד' ושליש

\scriptstyle a_3=\frac{a_1+a_2+a_3}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{4+\frac{1}{3}}=2+\frac{10}{13}

וכשנחלק עליהם הי"ב שהרויחו יצא לכל חלק ב' שלמים ועשרה חלקים מי"ג

\scriptstyle a_1=2\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=5+\frac{7}{13}

ומעתה יחוייב שנתן לראשון שיש לו ב' שלמים מהד' ושליש ה' שלמים ושבעה יגיי"ם

\scriptstyle a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=3+\frac{9}{13}

ולשני שיש לו אחד ושליש מהד' ושליש שלשה שלמים וט' יגיי"ם

\scriptstyle a_3=1\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=2+\frac{10}{13}

ולשלישי שיש לו אחד מהד' ושליש שנים שלמים ועשרה יגיי"ם

\scriptstyle a_1+a_2+a_3=\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)+\left(2+\frac{10}{13}\right)=12

והנה בין הכל י"ב שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]:\frac{1}{3}=1+\frac{1}{2}}}

אך מפני שלא הזכיר בשאלתו יחס חלק האחד על חלק השני וחלק השני על חלק השלישי אבל הזכיר תמורתם המספרים המתחייבים מהם שהם יחס חלק כל אחד אל הכל שהוא החצי והשליש והרביע להיות שיחס החצי אל השליש הוא אחד וחצי כי החצי הוא אחד וחצי שליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]:\frac{1}{4}=1+\frac{1}{3}}}

ויחס השליש אל הרביע הוא אחד ושליש כי השליש הוא אחד ושליש רביע

על כן נפל הספק והמבוכה בזאת השאלה כי לא יתכן שיקחו החלקים שהתנו ביניהם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{12}>1}}

מפני שקבוץ החצי והשליש והרביע שהתנו לקחת הם יותר מהכל כי קבוצם עולה אחד שלם וחלק אחד מי"ב וזה לא יתכן

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}}}

דרך אחר קצר נקבץ החצי והשליש והרביע והם י"ג חלקים מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{2}}{13}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{3}}{13}}}

;

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{4}}{13}}}

ונייחס ונאמר אם הי"ג י"ב החצי כמה והשליש כמה והרביע כמה ויצא לך המבוקש

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2=a_3\\\scriptstyle a_1+a_3=100\sdot a_2\end{cases}

שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים ושמו בחברה חלקים מתחלפים וכתבו אשר ביניהם לדעת כמות ממון כל אחד ואחד וכשבאו לחלק [ה]שתוף בקשו השטר שביניהם ולא מצאוהו והם שכחו הממון ששם כל אחד ואחד בחברה אך היו זוכרים שכמות ממון הראשון והשני מחוברים יחד היה ככמות השלישי וכמות הראשון והשלישי כמאה מן השני היאך ידעו כמות כל אחד

התשובה שגם זאת השאלה הטעיית כי לקחה המחייב תמורת המתחייב וזה שהמתייחסים הצריכים לענינו הם יחס ממון כל אחד מהם אל ממון האחר לא יחס ממון הב' יחד על ממון האחד אולם מפני שיחוייב מידיעת יחס חבור ממון שניהם אל ממון האחד ידיעת יחס ממון האחד אל ממון האחר לקח זה תמורת זה והוא שהוא מן המבואר בעצמו שכאשר נחשב ממון שלשתם לממון אחד וממון כל אחד לחלק יחד מחלק הממון הנה יחוייב מזה מבוקשנו

\scriptstyle a_1+a_2=a_3\longrightarrow a_1+a_2=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)

וזה שאחר שממון הראשון והשני מחוברים אחד הוא ככמות ממון הג' אם כן ממון שניהם בהכרח חצי כל הממון

\scriptstyle a_1+a_3=100\sdot a_2\longrightarrow a_1+a_3=\frac{100}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)

ואחר שממון האחד והג' מחוברים יחד הוא כמו מאה מממון השני אם כן ממון שניהם יחד הוא בהכרח מאה חלקים מק"א חלקי כל הממון

\scriptstyle a_2=\frac{1}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)

ויחוייב מזה בהכרח שישאר ממון הב' חלק אחד מק"א חלקי כל הממון

\scriptstyle a_1+a_2=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\longrightarrow

וכבר קדם שממון האחד והב' יחד הם חצי כל הממון

הנה כאשר נחסר מחצי כל הממון אשר הוא ממון שניהם יחד חלק אחד מק"א חלקי כל הממון ישאר בהכרח ממון האחד מ"ט חלקים וחצי מק"א חלקי כל הממון שהם צ"ט חלקים מר"כ חלקי כל הממון

\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_1&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)-\frac{1}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\&\scriptstyle=\frac{49+\frac{1}{2}}{101\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)}\\&\scriptstyle=\frac{99}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\\end{align}

\scriptstyle a_2=\frac{2}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)

וממון השני ב' חלקים מר"כ חלקי כל הממון

וישאר ממון השלישי בהכרח מאה ואחד חלקים מר"כ חלקי הכל

\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_3&\scriptstyle=\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left[\left[\frac{99}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]+\left[\frac{2}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{101}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\\end{align}

Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment

Question: someone said: if Reuven will work for me 20 days I will pay him 5 zehuvim; if Shimon – I will pay him 4 zehuvim; if Levi – I will pay him 3 zehuvim. They all went and worked for him and he was counting them and writing the hours and days each of them is working. The total time the three of them worked together was 20 whole days. Finally, he paid each of them an equal share. How much is the share of each of them and how many days, hours and parts [of hours] did each of them work?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 5a_1=4a_2=3a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=20\end{cases}

שאלה מי שאמר אם יעבדני ראובן כ' יום אתן לו חמשה זהובים ואם שמעון אתן לו ארבעה זהובים ואם לוי אתן לו שלשה זהובים

והם הלכו כלם ועבדוהו והיה סופר עליהם שכותב השעות והימים שעובד כל אחד
והיה כללות הזמן שעבדוהו שלשתן יחד עשרים יום שלמות
ובאחרונה פרע לכל אחד מהם חלק שוה
כמה הוא החלק שלקח כל אחד מהם וכמה הם הימים והשעות והחלקים שעבד כל אחד מהם

The answer is that this question consists of addition, division and proportion, therefore we decompose it into them.

התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחלוק ויחס ולכן נתיכה אליהם

וזה כשנעיין תחלה לדעת כמות הזמן שיעבוד כל אחד מהם בזהוב האחד

Reuven works for one zahuv:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}=4}}

days

וזה בשנחלק העשרים יום על הה' ויצאו ד' יום לראובן

Shimon works for one zahuv:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{4}=5}}

days

ונחלק הכ' יום על הד' ויצאו ה' יום לשמעון

Levi works for one zahuv:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}

days

ונחלק הכ' יום על הג' ויצאו ו' יום וב' שלישיות היום ללוי

\scriptstyle{\color{blue}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)=15+\frac{2}{3}}}

אחר זה נקבץ הכל ויעלו ט"ו יום וב' שלישיות היום

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{2}{3}\right):1=20:x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם בט"ו יום וב' שלישיות היום לכלם יחד יקח כל אחד מהם זהוב אחד בעשרים יום לכלם יחד כמה יקח כל אחד מהם

the payment of each:

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{13}{47}}}

zahuv

ויצא זהוב אחד וי"ג חלקים ממ"ז חלקי הזהוב האחד וככה לקח כל אחד מהם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{1:4=\left(1+\frac{13}{47}\right):x}}

אחר זה נייחס ונאמר אם בזהוב האחד יעבוד ראובן ד' יום שלמות בזהוב האחד וי"ג חלקים ממ"ז כמה

working days of Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{5}{47}}}

ויצאו ה' ימים שלמים וחמשה חלקים ממ"ז חלקי היום לראובן

working days of Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{18}{47}}}

וכן נעשה לשמעון ויצאו ששה ימים שלמים ושמנה עשר חלקים ממ"ז חלקי היום

working days of Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{24}{47}}}

וכן נעשה ללוי ויצאו שמנה ימים שלמים וכ"ד חלקים ממ"ז חלקי היום

Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance

Question: Reuven, Shimon, Levi, and Yehudah - each issued a deed of their father.

In Reuven's deed it is written that his father Jacob has given him all his fields as a pure gift, a gift of dying man.

In Shimon's deed it is written that Jacob has given him a half of his fields.

In Levi's deed it is written that Jacob has given him a third of his fields.

In Yehudah's deed it is written that Jacob has given him a quarter of his fields.

The time of all the deeds is the same

\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x={\color{red}{12}}

שאלה ראובן שמעון לוי ויהודה שהוציא כל אחד מהם שטר של אביהם

וכתוב בשטר ראובן שיעקב אביו נתן לו כל שדותיו במתנה גמורה מתנת שכיב מרע
וכתוב בשטר שמעון שיעקב נתן לו חצי שדותיו
וכתוב בשטר לוי שיעקב נתן לו שליש שדותיו
וכתוב בשטר יהודה שיעקב נתן לו רביע שדותיו
וזמן כל השטרות הוא אחד

The sages of Israel - according to the request of each

ודין ישראל לקחת כל אחד לפי טענתו

The Gentile sages - according to the ratio of each share

ודין הגוים שיקח כל אחד לפי ערך טענתו אל טענת חברו

The division according to the Gentile sages:

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}}}

התשובה שהגויים יקבצו החצי והשליש והרביע והשלם ויעלו כ"ה חלקים מי"ב

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=12:x}}

אחר זה ייחסו ויאמרו אם הכ"ה י"ב הי"ב ששואל ראובן שהוא האחד השלם כמה

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{19}{25}}}

ויצאו חמשה וי"ט כהיי"ם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right):x=6:x}}

גם ייחסו ויאמרו אם הכ"ה י"ב הו' ששואל שמעון שהוא החצי כמה

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{22}{25}}}

ויצאו ב' וכ"ב כהיי"ם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{3}\sdot12\right):x=4:x}}

גם יאמרו אם הכ"ה י"ב הד' ששואל לוי שהוא השליש כמה

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{23}{25}}}

ויצאו א' וכ"ג כהיי"ם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{4}\sdot12\right):x=3:x}}

גם יאמרו אם הכ"ה י"ב הג' ששואל יהודה שהוא הרביע כמה

Yehudah:

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{11}{25}}}

ויצאו אחד וי"א כהיי"ם

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{19}{25}\right)+\left(2+\frac{22}{25}\right)+\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left(1+\frac{11}{25}\right)=12}}

ובין הכל י"ב וככה יקח כל אחד מהם

The division according to the sages of Israel:

Yehudah: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}}}$

וחכמי ישראל יחלקו אותם בזה הדרך שיקח יהודה הקטן חלק מי"ו מפני שיאמרו השלשה האחין הגדולים ממנו שכל מה שאתה טוען אינו כי אם רביע הממון ואנחנו טוענים כמוך באותו הרביע לכן נקח כל אחד רביעיתו שהוא חלק אחד מי"ו חלקי הכל

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{1}{16}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{12}\right)=\frac{13}{144}}}

ולזה יקח לוי שליש הי"ביי האחד שהוא ההפרש שבין השליש והרביע וכבר לקח חלקו מהרביע כמו שלקחו יהודה ולכן יחלקו הג' האחין היב"יי האחד שהוא תוספת השליש על הרביע שהשלשה אחים טוענים בו והנה בין הכל י"ג חלקים מקמ"ד חלקי הכל

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{144}+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\right]=\frac{13}{144}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{25}{144}}}

ולזה יקח שמעון חצי הששית האחד שהוא תוספת החצי על השליש כי כבר לקח חלקו מהשליש ולכן יחלקו הב' אחים הששית האחד ששניהם טוענים בו והנה בין הכל כ"ה חלקים מקמ"ד חלקי הכל

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97}{144}}}

ואם כן בזה הדרך יקח ראובן צ"ז חלקים מקמ"ד חלקי הכל

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{144}}}

ויקח שמעון כ"ה חלקים מקמ"ד חלקי הכל

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{144}}}

ויקח לוי י"ג חלקים מקמ"ד חלקי הכל

Yehudah:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{144}}}

ויקח יהודה תשעה חלקים מקמ"ד חלקי הכל

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97}{144}+\frac{25}{144}+\frac{13}{144}+\frac{9}{144}=1}}

סך הכל אחד שלם שהוא הממון הנתבע

Joint Purchase Problems - If You Give Me - Buying a Fish

Question: Reuven, Shimon and Levi went to the fish market and found a fish.

Reuven said to his two friends: if I will give all that I have and each of you will give a half of what you have we will buy the fish.

Shimon answer and said: if I will give all that I have and each of you [will give] a third of what you have we will buy the fish.

Levi answer and said: if I will give all that I have and each of you [will give] a quarter of what you have we will buy the fish.

What is the ratio of each one to the other i.e. the ratio of their amount of money one to the other?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=fish\\\scriptstyle S+\frac{1}{3}R+\frac{1}{3}L=fish\\\scriptstyle L+\frac{1}{4}R+\frac{1}{4}S=fish\end{cases}

שאלה ראובן שמעון ולוי שהלכו בשוק הדגים ומצאו דג אחד

ואמר ראובן לשני חביריו אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל אחד מכם חצי מה שבידכם נקנה הדג
וענה שמעון ואמר אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל אחד מכם שליש מה שבידכם נקנה הדג
וענה לוי ואמר אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל א' מכם רביעית מה שבידכם נקנה הדג
מה יחס ממון כל אחד אצל האחר רוצה לומר יחס ממונם קצתם אל קצת

התשובה שזאת השאלה הטעיית שהשמיטה הענינים המורים על יחס מה שביד הא' אל מה שביד כל אחד מהנשאר וזכרה הענינים המחייבים אותם תמורתם ולכן כאשר נקח המתחייבים מהענינים הנזכרים בזאת השאלה הנה נגיע אל המכוון

\scriptstyle\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}R+\frac{1}{2}L

ולזה נאמר שמתחייבים ממאמר ראובן וממאמר שמעון שיהיה חצי מה שביד שמעון כמו ב' שלישיות ראובן וששית לוי

\scriptstyle S=\left(1+\frac{1}{3}\right)R+\frac{1}{3}L

ואם כן כל מה שביד שמעון שוה לאחד ושליש ראובן ושליש לוי

\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=S+\frac{1}{3}R+\frac{1}{3}L

וזה שאחר שכל מה שביד ראובן עם חצי כל אחד מהנשארים כדברי ראובן שוה לכל מה שביד שמעון עם שליש כל אחד מהנשארים כדברי שמעון

\scriptstyle\left(1-\frac{1}{2}\right)S=\left(1-\frac{1}{3}\right)R+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)L

$\scriptstyle\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}R+\frac{1}{6}L$

אם כן המתחייב מזה שיהיה התוספת שהוסיף שמעון בדבריו על דברי ראובן שהוא חצי מה שבידו שוה למגרעת מה שגרע מכללות מה שביד ראובן שהוא ב' שלישיותיו ולמגרעת מה שגרע מחצי מה שביד לוי שהוא ששיתו

\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=L+\frac{1}{4}R+\frac{1}{4}S

$\scriptstyle\frac{1}{2}L=\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}S$

וכן יתחייב מדברי ראובן ולוי בזה האופן בעצמו שיהיה חצי מה שביד לוי שוה לג' רביעיות ראובן ורביעית שמעון

\scriptstyle\frac{1}{3}L=\frac{1}{2}R+\frac{1}{6}S

ואם כן יחוייב לפי היחס הזה שיהיה שליש מה שביד לוי שוה לחצי ראובן וששית שמעון

\scriptstyle S=\left(1+\frac{1}{3}\right)R+\frac{1}{3}L

וכבר קדם שכל מה שביד שמעון שוה לאחד ושליש ראובן ושליש לוי

\scriptstyle S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R+\frac{1}{6}S

אם כן כל מה שביד שמעון שוה לאחד וה' ששיות ראובן וששית שמעון בעצמו

\scriptstyle\left(1-\frac{1}{6}\right)S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R

$\scriptstyle\frac{5}{6}S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R$

ונשליך ששית שמעון המשותף וישארו ה' ששיות מה שביד שמעון שוה לאחד וה' ששיות ראובן

ויחוייב לפי היחס הזה שיהיה כל מה שביד שמעון שוה לכפל ראובן וחמישיתו

\scriptstyle11R=5S

ואם כן מן המחוייב מזה שאם יהיה כל מה שביד ראובן ה' שיהיה כל מה שביד שמעון י"א

\scriptstyle\frac{1}{2}L=\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}S

וכבר קדם שחצי מה שביד לוי שוה לג' רביעיות ראובן ורביעית שמעון

\scriptstyle L=\left(1+\frac{1}{2}\right)R+\frac{1}{2}S

ויחוייב לפי זה היחס שיהיה כל מה שביד לוי שוה לא' וחצי ראובן וחצי שמעון

\scriptstyle R=5\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle S=11\\\scriptstyle L=13\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow fish=17

אם כן מן המחוייב מזה שאם יהיה כל מה שביד ראובן חמשה וכל מה שביד שמעון י"א לפי מה שקדם שיהיה כל מה שביד לוי י"ג ויתחייב מזה שיהיה סכום הדג י"ז

Question: Reuven, Shimon and Levi went to the fish market and found a fish.

Reuven said: if you will give all that you have and I will give a half of what I have, we will buy the fish.

Shimon answer and said: if you will give all that you have and I [will give] a third of what I have, we will buy the fish.

Levi answer and said: if you will give all that you have and I [will give] a quarter of what I have, we will buy the fish.

How much is the price of the fish and how much money does each have?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S+L+\frac{1}{2}R=fish\\\scriptstyle R+L+\frac{1}{3}R=fish\\\scriptstyle R+S+\frac{1}{4}L=fish\end{cases}

שאלה ראובן שמעון לוי שהלכו בשוק הדגים ומצאו דג אחד

ואמר ראובן אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני חצי מה שבידי נקנה הדג
ענה שמעון ואמר אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני שליש מה שבידי נקנה הדג
ענה לוי ואמר אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני רביעית מה שבידי נקנה הדג
כמה סכום הדג וסכום מה שביד כל אחד ואחד

The answer:

From Reuven's saying and from Shimon's saying it follows necessarily that 2-thirds of what Shimon has is equal to half of what Reuven has.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}S=\frac{1}{2}R}}

התשובה שזאת השאלה הנה המתחייב ממנה ממאמר ראובן וממאמר שמעון שיהיה ב' שלישיות מה שביד שמעון שוין לחצי ראובן

So, the entire amount of Shimon's money is equal to 3-quarters of Reuven's [money].

\scriptstyle{\color{blue}{S=\frac{3}{4}R}}

ואם כן כל ממון שמעון שוה לג' רביעיות ראובן

This is since all that Shimon and Levi have with a half of what Reuven has, according to Reuven's words, is equal to all that Reuven and Levi have with [a third] of what Shimon has, according to Shimon's words.

\scriptstyle{\color{blue}{S+L+\frac{1}{2}R=R+L+\frac{1}{3}S}}

וזה שאחר שכל מה שביד שמעון ולוי עם חצי מה שביד ראובן כדברי ראובן שוה לכל מה שביד ראובן ולוי עם מה שביד שמעון כדברי שמעון

So, it follows from [the confrontation of] Shimon's words and Reuven's words that 2-thirds of what Shimon has equals half of what Reuven has.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\frac{1}{3}\right)S=\left(1-\frac{1}{2}\right)R}}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}S=\frac{1}{2}R}}

א"כ המתחייב מזה שיהיה המגרעת שגרע שמעון בדבריו מדברי ראובן שהוא ב' שלישיות מה שבידו שוה לתוספת מה שהוסיף על חצי ראובן שהוא חצי מה שביד ראובן

Therefore, the entire amount of Shimon's money, according to this ratio, is equal to 3-quarter of Reuven's [money].

\scriptstyle{\color{blue}{S=\frac{3}{4}R}}

ואם כן כל ממון שמעון לפי זה היחס שוה לג' רביעיות ראובן

In this the manner itself, it follows by the words of Shimon and Levi that the entire amount of Levi's money is equal to 8-ninths of Shimon's [money].

\scriptstyle{\color{blue}{L=\frac{8}{9}S}}

ובזה האופן בעצמו יחוייב מדברי שמעון ולוי שיהיה כל ממון לוי שוה לח' תשיעיות שמעון

\scriptstyle{\color{blue}{R=12\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle S=\frac{3}{4}R=9\\\scriptstyle L=\frac{8}{9}S=8\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow fish=23}}

ואם כן אם נניח שיהיה מה שביד ראובן י"ב יהיה מה שביד שמעון תשעה שהם שלש רביעיות ראובן ויהיה מה שביד לוי שמנה שהם ח' תשיעיות שמעון

ויהיה סכום הדג כ"ג

Multiple Quantities - Inheritance

Question Reuven, Shimon and Levi who were given an inheritance. Reuven was granted half the inheritance, Shimon a third and Levi a sixth of the inheritance.

The three of them came together and took from the inheritance each one randomly.

Then they came to stand at the trial to take each one his legal share and committed themselves by the law that they should put in the middle - Reuven a half of what he took, Shimon a third of what he took, and Levi a sixth of what he took, then they will divide all into three equal parts; and each one would take the third so that each will take his legal share.

How much did each of them took from the inheritance before they stood at the trial?

שאלה ראובן שמעון ולוי שנפלה להם ירושה והמגיע ממנה לראובן חצי הירושה ולשמעון שליש הירושה וללוי ששית הירושה

ובאו שלשתם יחד וטרפו מהירושה כל אחד לפי מה שקרה
ואחר כך באו לעמוד בדין לקחת כל אחד חוקו ונתחייבו בדין שישימו באמצע ראובן חצי מה שטרף ושמעון שליש מה שטרף ולוי ששית מה שטרף ואחר כך יחלקו הכל לשלשה חלקים שוים ויקח כל אחד מהם השליש ובזה יקח כל אחד מהם חוקו
כמה טרף כל אחד מהם מאותה הירושה טרם עמדם בדין

The answer:

It follows necessarily from this that what is left for Reuven from everything that he took, after he has put in the middle half of what he took, is equal to half of everything that is left for the three from the appropriation, after they put what they have put in the middle, plus a sixth of what is in the middle.

התשובה שהמתחייב מזה בהכרח שיהיה הנשאר ביד ראובן [מ]כל מה שטרף אחרי שומו באמצע חצי מה שטרף שוה לחצי כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע ולששית מה שבאמצע

What is left for Shimon from everything that he took, after he put in the middle a third of what he took, is equal to a third of everything that is left for the three from the appropriation, after they put what they have put in the middle.

והנשאר ביד שמעון מכל מה שטרף אחרי שומו באמצע שליש מה שטרף שוה לשליש כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע

What is left for Levi from everything that he took, after he has put in the middle a sixth of what he took, is equal to a sixth of everything that is left for the three from the appropriation, after they put what they have put in the middle, minus a sixth of what is in the middle.

והנשאר ביד לוי מכל שטרף אחרי שומו באמצע ששית מה שטרף שוה לששית כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע פחות ששית מה שבאמצע

This is because it has already explained in the seventh book of The Elements by Euclid, proposition 11 that when two numbers are subtracted from two numbers and the ratio of the subtrahend to the subtrahend is the same as the ratio of the minuend to the minuend, then the [ratio of] the remainder to the remainder is the same as the ratio of the minuend to the minuend.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:b=c:d\longrightarrow\left(c-a\right):\left(d-b\right)=c:d}}

וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השביעי ממנו בתמונת י"א שכאשר חוסרו משני מספרים ב' מספרים והיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל הנה יהיה הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל

It follows necessarily then that since the two numbers - the one is Reuven's share of the inheritance and the other is the whole inheritance - are related in a ratio of half - meaning that Reuven's share is half whole inheritance in our example - what is left for him from the appropriation is subtracted from Reuven's share, and what is left for the three from the appropriation is subtracted from whole inheritance - it follows necessarily that if the ratio of what is left for Reuven to what is left to the three together from the appropriation is a ratio of a half, which is the ratio of Reuven's share in the whole inheritance to the whole inheritance, then the ratio of Reuven's share in what is put in the middle to everything that is put in the middle is also the same as the ratio of Reuven's share in the whole inheritance to the whole inheritance, meaning a ratio of a half.

ואם כן יחוייב מזה בהכרח שאחר שהשני מספרי' שהם האחד החלק המגיע לראובן מן הירושה והאחר כלל הירושה הם מתייחסים ביחס החצי

רוצה לומר שהחלק המגיע לראובן הוא חצי כלל הירושה במשלנו זה
וחוסר מכללו החלק המגיע לראובן חלק מה והוא מה שנשאר בידו מהטריפה גם חוסר מכלל הירושה חלק מה והוא הנשאר ביד שלשתן יחד מהטריפה
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שאם היה יחס הנשאר ביד ראובן אל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי
שהוא יחס כל המגיע לראובן מכלל הירושה אל כלל הירושה
שיהיה גם כן יחס החלק המגיע לראובן מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע כיחס החלק המגיע לראובן מכלל הירושה אל כלל הירושה רוצה לומר יחס החצי

For this reason it necessarily follows that the ratio of Shimon's share in what is put in the middle to everything that is put in the middle is the same as the ratio of his share in the whole inheritance to the whole inheritance, i.e. a ratio of a third.

ולזאת הסבה יחוייב שיהיה יחס החלק המגיע לשמעון מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע

כיחס החלק המגיע לו מכלל הירושה אל כלל הירושה ר"ל יחס השליש

Similarly, the ratio of Levi's share in what is put in the middle to everything that is put in the middle is the same as the ratio of his share in the whole inheritance to the whole inheritance, meaning a ratio of a sixth.

ויהיה יחס החלק המגיע ללוי מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע

כיחס החלק המגיע לו מכלל הירושה אל כלל הירושה רוצה לומר יחס הששית

We deduce from this and say: if the ratio of what is left for Reuven to what is left to the three together is a ratio of a half, which is the same as the ratio of his share in the [whole] inheritance to the whole inheritance, then Reuven's share in everything that is put in the middle is the same as the ratio of his share in the [whole] inheritance to the whole inheritance, i.e. a ratio of a half.

ואם כן נעשה כזה הקש תנאיי מתדבק ונאמר אם היה יחס הנשאר ביד ראובן אל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי

שהוא כיחס כל המגיע לו מהירושה אל כלל הירושה
הנה יהיה החלק המגיע לראובן מכללות המונח באמצע כיחס כל המגיע לו מהירושה אל כלל הירושה ר"ל יחס החצי

But, his share in everything that is put [in the middle] is only a third in our example.

אבל החלק המגיע לו מכלל המונח הוא שליש לבד במשלנו זה

Therefore, the ratio of what is left for him to what is left to the three together is not a ratio of a half, but it exceeds the half by the excess of the ratio of a half over the ratio of his share in what is put in the middle to everything that is put in the middle.

אם כן אין יחס הנשאר בידו אל כל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי אבל הוא יותר מהחצי כמו החסרון אשר יחסר יחס החלק המגיע לו מהמונח באמצע אל הכלל המונח באמצע מיחס החצי

Since the ratio of his share in what is put in the middle to everything that is put in the middle is a ratio of a third in our example; and the excess of the ratio of a half over the ratio of a third is a ratio of a sixth; it follows necessarily that the excess of the ratio of what is left for him to what is left to the three together over the ratio of a half is the same as a sixth of everything that is put in the middle.

ולהיות שיחס החלק המגיע לו מהמונח באמצע אל הכלל המונח באמצע הוא יחס השליש במשלנו זה

והיה יחס השליש חסר מיחס החצי יחס הששית
הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה יתרון יחס הנשאר בידו אל כל הנשאר ביד שלשתן מיחס החצי כמו ששית כל המונח באמצע

Therefore, from this reason itself, it follows that the excess of the ratio of a sixth over the ratio of what is left for Levi to everything that is left to the three together is the same as a sixth of everything that is put in the middle.

ולכן יתחייב לזאת הסבה בעצמה שיהיה חסרון יחס הנשאר ביד לוי אל כל הנשאר ביד שלשתן מיחס הששית כמו ששית כל המונח באמצע

Also, the ratio of what is left for Shimon to everything that is left for the three together is the ratio of a third.

ושיהיה יחס הנשאר ביד שמעון אל כל הנשאר ביד שלשתן הוא יחס השליש

False Position: Therefore, when we wish to know what is left for each, we assume a number that has all these fractions, meaning a half, a third, and a sixth, as what is left for the three.

ולכן ברצותנו לדעת מה שנשאר ביד כל אחד הנה נניח בעד הנשאר ביד שלשתן מספר אחד שיהיו לו כל אלה החלקים רוצה לומר החצי ושליש וששית

For example, let the number be 360.

ויהיה על דרך משל מספר ש"ס

We also assume the number that is put in the middle is 60, for example.

גם נניח שיהיה המספר המונח באמצע מספר ס' על דרך משל

It follows according to the above that Reuven is left with half 360 plus a sixth of 60, which is 190.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=190}}

ויחוייב לפי מה שקדם שיהיה הנשאר ביד ראובן חצי הש"ס וששית הס' שהם ק"צ

Shimon is left with only a third of 360, which is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot360=120}}

והנשאר ביד שמעון שליש הש"ס לבד שהם ק"כ

Levi is left with a sixth of 360 minus a sixth of 60, which is 50.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}

והנשאר ביד לוי ששית הש"ס פחות ששית הס' שהם נ‫'

Since Reuven is left with 190, it follows necessarily that what he has put in the middle is 190.

ולהיות שהנשאר ביד ראובן ק"צ הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה מה ששם באמצע ק"צ

Therefore, from this reason itself, it follows that what Shimon has put in the middle is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot120=60}}

וכן יחוייב לזאת הסבה בעצמה שיהיה מה ששם שמעון באמצע ס‫'

And what Levi has put in the middle is ten.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot50=10}}

ושיהיה מה ששם לוי באמצע עשרה

The total of what is in the middle is 260.

\scriptstyle{\color{blue}{190+60+10=260}}

סך כל מה שבאמצע ר"ס

Since the number that is put in the middle in our example is 60 and the sum of the parts that are put in the middle is 260, we take the difference between them, which is 200; we keep it and call it the first reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{260-60=200}}

ולהיות שהמונח באמצע במשלנו זה היה ס' והמקובץ מהחלקים הנתונים באמצע הוא ר"ס ולקחנו ההבדל שביניהם שהם הר' ושמרנום וקראנום השמור הראשון

Then, we assume another assumption, which is 61, instead of the first assumption, which is sixty.

אחר זה שמנו מונח אחר והוא ס"א תמורת המונח הראשון שיהיה ששים

What is left for the three is the first remainder itself, which is 360.

והנשאר ביד שלשתן הוא הנשאר הראשון בעינו שהוא מספר ש"ס

We want to know the difference between the assumption and the given in this example and the assumption and the given in the first example:

וענינו לדעת ההפרש שבין המונח והנתון בזה המשל ובין המונח והנתון במשל הראשון

It follows according to the [present example] that Reuven is left with half 360 plus a sixth of 61, which is 190 and a sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot61\right)=190+\frac{1}{6}}}

ויחוייב לפי מה שקדם שיהיה הנשאר ביד ראובן חצי הש"ס וששית הס"א שהם ק"צ וששית

Shimon is left with only a third of 360, which is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot360=120}}

והנשאר ביד שמעון שליש הש"ס לבד שהם ק"כ

Levi is left with [a sixth of] 360 minus a sixth of 61, which is 49 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot61\right)=49+\frac{5}{6}}}

והנשאר ביד לוי הש"ס פחות ששית הס"א שהם מ"ט וה' ששיות

It follows that Reuven has put in the middle 190 [and] a sixth.

ושיחוייב שיהיה מה ששם ראובן באמצע ק"צ ששית

Shimon has put in the middle 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot120=60}}

ומה ששם שמעון באמצע ס‫'

Levi has put in the middle 9 and 29 parts of thirty.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(49+\frac{5}{6}\right)=9+\frac{29}{30}}}

ומה ששם לוי באמצע ט' וכ"ט חלקים משלשים

The total of what is in the middle is 260 and 2 parts of 15.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(190+\frac{1}{6}\right)+60+\left(9+\frac{29}{30}\right)=260+\frac{2}{15}}}

סך כל מה שבאמצע ר"ס וב' חלקים מט"ו

We take the difference between the assumption and the given, which is 199 and 2 parts of 15; we keep it and call it the second reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(260+\frac{2}{15}\right)-61=199+\frac{2}{15}}}

ולקחנו ההבדל שבין המונח והנתון והם קצ"ט וב' חלקים מט"ו ושמרנום וקראנום השמור השני

Then, we examine the difference between the first reserved and the second reserved, which is subtractive 13 parts of 15.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(199+\frac{2}{15}\right)-200=-\frac{13}{15}}}

אחר זה עייננו ההבדל שבין השמור הראשון והשמור השני והם י"ג חלקי' מט"ו למגרעת

We examine also the difference between the first assumption and the second assumption, which is an additive 1, because the first assumption is sixty and the second assumption is 61.

\scriptstyle{\color{blue}{61-60=1}}

גם עייננו ההבדל שבין המונח הראשון והמונח השני והוא אחד לתוספת

כי המונח הראשון היה ששים והמונח השני הוא ס"א

We know from this that when we add one to the assumption, 13 parts of 15 are subtracted from the difference between the assumption and the given.

ובזה ידענו שכשנוסיף אחד על המונח יגרעו י"ג חלקים מט"ו מן ההבדל שבין המונח לנתון

It necessarily follows from this that when the difference between the assumption and the given is additive 13 parts of 15, we should add one to the assumption and then they inevitably become equal. Since when we add one to the assumption, 13 parts of 15 are subtracted from the difference, so they inevitably become equal.

ולכן מן המחוייב מזה בהכרח שכשיהיה ההבדל שבין המונח לנתון י"ג חלקי' מט"ו לתוספת שנוסיף על המונח אחד ואז ישוו בהכרח אחר שהמונח כשנוסיף עליו אחד יהיה נגרע מן ההבדל י"ג חלקי' מט"ו וא"כ ישוו בהכרח

\scriptstyle{\color{blue}{260-60=200}}

ולזה נייחס ונאמ' אם כשההבדל שבין המונח לנתון י"ג חלקים מט"ו נוסיף על המונח א' כשההבדל שבין המונח לנתון ר' כמו במשלנו הראשון שיהיה המונח ס' והנתון ר"ס כמה ראוי שנוסיף על המונח ויצאו ר"ל וי' חלקים מי"ג

\scriptstyle{\color{blue}{60+\left(\frac{15}{13}\sdot200\right)=60+\left(230+\frac{10}{13}\right)=290+\frac{10}{13}}}

נוסיפם על הס' המונח הראשון ויעלו ר"צ ועשרה חלקים מי"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=360\\\scriptstyle b=290+\frac{10}{13}\end{cases}}}

וזהו הנתון באמצע כשהנשאר ביד שלשתן הוא ש"ס

ומעתה יחוייב ממה שקדם שיהיה מה שטרף ראובן כמו מספר ש"ס ושליש המונח שהם הר"ץ ועשרה חלקים מי"ג

Reuven's remainder:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]}}

וזה שכבר קדם שהיה הנשאר בידו מהטריפה חצי הש"ס וששית המונח וזה אחר שנתן באמצע חצי מה שהיה בידו

Reuven used:

\scriptstyle{\color{blue}{360+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]=456+\frac{12}{13}}}

ואם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כל מה שטרף כפל מה שנשאר בידו שהם מספר ש"ס ושליש הר"צ ועשרה יגיי"ם שהם בין הכל תנ"ו וי"ב יגיי"ם

What Shimon took is one hundred and eighty for the same reason itself.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot360=180}}

ושיהיה מה שטרף שמעון מאה ושמונים לזאת הסבה בעצמה

All that Levi took is thirteen and eleven-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{6}{5}\sdot\left[\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]\right]=13+\frac{11}{13}}}

ושיהיה כל מה שטרף לוי שלשה עשרה ואחד עשר יגיי"ם

The total appropriation is six hundred and fifty and ten-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{650+\frac{10}{13}}}

סך כל הטריפה שש מאות וחמשים ועשרה יגיי"ם

All of what Reuven put in the middle is a half of what he took, which is 228 and six-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[360+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]=228+\frac{6}{13}}}

ושיהיה כל מה שנתן ראובן באמצע חצי מה שטרף שהם רכ"ח וששה יגיי"ם

What Shimon gave is a third of what he took, which is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)=60}}

ומה שנתן שמעון הוא שליש מה שטרף שהם ס‫'

What Levi gave is a sixth of what he took, which is two and 4-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\left[\frac{6}{5}\sdot\left[\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]\right]=2+\frac{4}{13}}}

ומה שנתן לוי הוא ששית מה [ש]טרף שהם שנים וד' יגיי"ם

We find that all of what the three put in the middle together is 290 and ten-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(228+\frac{6}{13}\right)+60+\left(2+\frac{4}{13}\right)=290+\frac{10}{13}}}

נמצא כל הנתון באמצע משלשתן יחד הם ר"צ ועשרה יגיי"ם

What is left in the hands of the three are 360 integers.

והנשאר ביד שלשתן הם ש"ס שלמים סך הנשאר בידם

What is given in the middle is 650 and ten-thirteenths.

והנתון באמצע תר"נ ועשרה יגיי"ם

Likewise, if Reuven was granted a third of the inheritance, Shimon 2-fifths and Levi 4 parts of 15, for example.

They come together and take from the inheritance each one randomly.

When they come to stand at the trial, they put in the middle a half of what they took, then they divide [all] into three equal parts; and each one takes a third, so that each will take his legal share.

You want to know how much did each of them took?

כן אם היה המגיע מהירושה לראובן שליש ולשמעון ב' חמשיות וללוי ד' חלקים מט"ו על דרך משל ובאו וטרפו כל הירושה כל אחד לפי מה שקרה וכשבאו בדין שמו באמצע כל אחד מהם חצי הטריפה ואחר כך חלקו באמצע לג' חלקים שוים ולקח כל אחד מהם שליש וכזה לקח כל אחד חוקו ורצית לדעת כמה טרף כל א' מהם

הנה תצטרך בהכרח לנהוג זה הדרך בעינו ובזה תדע מה שטרף כל אח' מהם

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot a}}

וזה שהנשאר מהטריפה ביד ראובן בהכרח הוא שליש הנשאר ביד שלשתן אחר שהמגיע לו ממונח באמצע הוא שליש ושהמגיע לו מכלל הירושה הוא גם כן שליש כי כבר קדם שכאשר היה יחס מה שחוסר אל מה שיחוסר כיחס הכל אל הכל הנה יהיה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot a\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot b\right)}}

ושהנשאר ביד שמעון בהכרח הוא ב' חמשיות הנשאר ביד שלשתן וחלק אחד מט"ו חלקי המונח באמצע לזאת הסבה בעצמה

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot a\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot b\right)}}

ושהנשאר ביד לוי הוא ד' חלקים מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות חלק אחד מט"ו חלקי המונח באמצע

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b_1=60\end{cases}}}

וכאשר היה זה כן נניח מספר אחד ימצאו בו כל אלה החלקים ר"ל שליש וחמישית וחלק אחד מט"ו והוא מספר רכ"ה על דרך משל ויהיה הוא הנשאר ביד שלשתן יחד גם נניח המספר המונח שהם ס‫'

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot225=75}}

ולהיות שהנשאר ביד ראובן הוא שליש הנשאר ביד שלשת אם כן הנשאר ביד ראובן הם ע"ה

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot60\right)=94}}

והנשאר ביד שמעון שהם שתי חמישיות הנשאר ביד שלשתם ואחד מט"ו מהמונח הם צ"ד

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot60\right)=56}}

והנשאר ביד לוי שהם ארבעה חלקי' מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות טוי"י אחר מהמונח הם נ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{75+94+56=225}}

ושמה שנתן ראובן באמצע שהם חצי הטריפה הם ע"ה ומה שנתן שמעון צ"ד ומה שנתן לוי נ"ו סך הנתון באמצע רכ"ה וסך הנשאר ביד שלשתן רכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{225-60=165}}

והמונח הם ס' וההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ה ושמרנום וקראנום השמור הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b_2=60+1=61\end{cases}}}

אחר זה הוספנו על המונח אח' והיה ס"א ויחוייב שיהיה הנשאר ביד ראובן ע"ה והנתון ע"ה

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot61\right)=94+\frac{1}{15}}}

והנשאר ביד שמעון צ"ד וטוי"י א' והנתון צ"ד וטוי"י א‫'

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot61\right)=55+\frac{14}{15}}}

והנשאר ביד לוי נ"ה וי"ד טויי"ן

\scriptstyle{\color{blue}{75+\left(94+\frac{1}{15}\right)+\left(55+\frac{14}{15}\right)=225}}

סך הנתון באמצע הם רכ"ה וסך הנשאר ביד שלשתן רכ"ה והמונח ס"א

\scriptstyle{\color{blue}{225-61=164}}

וההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ד ושמרנום וקראנום השמור השני

\scriptstyle{\color{blue}{165-164=1}}

אחר זה עייננו ההבדל שבין ב' השמורים והוא אחד למגרעת

\scriptstyle{\color{blue}{61-60=1}}

גם עייננו ההבדל שבין ב' המונחים והוא אחד לתוספת

ובזה ידענו שכשנוסיף אחד על המונח שיגרע אחד מההבדל שבין המונח לנתון

\scriptstyle{\color{blue}{60+165=225}}

ולכן להיות שכבר קדם שההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ה יחוייב שנוסיף על המונח קס"ה לתוספת עד שיגרעו הקס"ה שבין המונח לנתון וישוה הנתון למונח ולכן נוסיף על הס' שהוא המונח הראשון קס"ה ויעלו רכ"ה ואז יהיה המונח שוה לנתון בלי תוספת ומגרעת

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b=225\end{cases}}}

ואכן מן המ[ח]וייב מזה ש[כא]שר יהיה הנשאר ביד שלשתן יחד מספר רכ"ה שיהיה גם המונח שהוא הנתון באמצע רכ"ה

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot225=150}}

ומעתה יחוייב ממה שקדם שיהיה מה שטרף ראובן הוא כמו שתי שלישיות הנשאר ביד שלשתן שהם ק"נ

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{2}{15}\sdot225\right)=210}}

ויהיה מה שטרף שמעון ארבע חמישיות הנשאר ביד שלשתן ושנים חלקים מט"ו חלקי המונח באמצע שהם ר"י

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{8}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{2}{15}\sdot225\right)=90}}

ויהיה מה שטרף לוי [שמנה] חלקים מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות ב' חלקים מט"ו חלקי המונח באמצע הם צ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{150+210+90=450}}

סך כל הטריפה ת"נ

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot450=225}}

ויהיה מה שנתן ראובן ושמעון ולוי שהוא חצי מה שטרף כל אחד רכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot225=75}}

והנשאר ביד שלשתן רכ"ה וכשלקח כל אחד מהם שליש המונח שהם ע"ה והוסיפם על מה שנשאר בידו הנה לקח כל אחד חוקו

Reuven:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot150\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=75+75=150=\frac{1}{3}\sdot450}}

כי אחר שכל מה שטרף ראובן הם ק"נ ונתן חצי מה שטרף א"כ יהיה הנשאר בידו ע"ה וכשלקח שליש המונח שהם ע"ה והוסיפם על הע"ה שבידו עלו ק"נ והוא שליש כל הירושה שהם ת"נ לפי חקו

Shimon:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=105+75=180=\frac{2}{5}\sdot450}}

וכן יחויב שיהיה הנשאר ביד שמעון ק"ה וכשלקח שליש המונח שהם הע"ה והוסיפם על הק"ה שבידו עלו ק"פ והם ב' חמשיו' כל הירושה שהם ת"נ לפי החוק הראוי לו

Levi:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=45+75=120=\frac{4}{15}\sdot450}}

וכן יחויייב שיהיה הנשאר ביד לוי מ"ה וכשלקח שליש המונח שהם הע"ה והוסיפ' על המ"ה שבידו יעלו ק"כ שהם ד' חלקים מט"ו חלקי כל הירושה שהם ת"נ וזה מה שרצינו לבאר

Question:

שאלה אם לקחנו ממספר מאיזה מספר היה קצת וחלקנוהו לארבעה חלקים מתחלפים

אחר כך לקחנו כל הנשאר מהמספר ההוא וחלקנו ממנו כמו חצי החלק האחד מהד' חלקי' והוספנוהו עליו וכמו שליש החלק הב' מהארבעה חלקים והוספנוהו עליו וכמו שליש החלק הב' מהד' חלקים והוספנוהו עליו וכמו רביעית החלק השלישי והוספנוהו עליו וכמו ששית החלק הד' והוספנוהו עליו וכזה כל המספר כמה היה כל חלק טרם התוספת וכמה הוא האחר התוספת

התשובה שזה החלוק יתכן על פנים רבים ואיננו חלוק מוגבל אך הכוונה בכל מיני החלוק שיסכימו באופן אחד כפי ההנחה הקודמת

The example: if the given number is 20.

We take ten from it and divide it into four different parts: 1, 2, 3, 4.

Then, we take the remaining 10 and divide

המשל בזה אם היה המספר המונח כ' ולקחנו מהם עשרה וחלקנום לד' חלקים מתחלפים והם חלקי

א' ב' ג' ד‫'
אחר כך לקחנו הי' הנשארים וחלקנו מהם חצי הא' והוספנוהו עליו והיה אחד וחצי ושליש הב' והוספנוהו עליו והיו ב' וב' שלישיות ורביעית הג' והוספנוהו עליו והיו ג' וג' רביעיות וששית הד' והוספנוהו עליו והיו ד' וב' שלישיות חברנום ועלו י"ב וז' חלקים מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{3}\sdot2\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{4}\sdot3\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{6}\sdot4\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{3}{4}\right)+\left(4+\frac{2}{3}\right)\\&\scriptstyle=12+\frac{7}{12}\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(12+\frac{7}{12}\right)=7+\frac{5}{12}}}

ונשארו בידינו מהכ' שבעה וה' חלקים מי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=1+\frac{89}{151}}}

ולהיות שלא כלה כל המספר כפי ההנחה הקודמת הנה הוצרכנו לייחס ולומר אם בי"ב וז' יביי"ם היו החלקים המתחלפים א' ב' ג' ד' טרם התוספת בכ' כמה יהיו החלקים ההם ונעשה זה על דרך היחס ויצאו החלק הא' אחד ופ"ט חלקים מקנ"א

The second part is three and [2]7 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=3+\frac{27}{151}}}

והחלק השני שלשה ו[כ]ז' חלקים מקנ"א

The third part is 4 and 116 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=4+\frac{116}{151}}}

והחלק השלישי ד' וקי"ו חלקים מקנ"א

The fourth part is six and 54 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=6+\frac{54}{151}}}

והחלק הרביעי ששה ונ"ד חלקים מקנ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{89}{151}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{89}{151}\right)\right]=2+\frac{58}{151}}}

וזה טרם התוספת אחר זה לקחנו מהנשארים ממספר כ' והוספנו על החלק הראשון כמו חציו ועל החלק השני כמו שלישתו ועל החלק השלישי כמו רביעיתו ועל החלק הרביעי כמו ששיתו והנה עלה החלק הראשון ב' ונ"ח חלקים מקנ"א

The second part is 4 and 36 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{27}{151}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{27}{151}\right)\right]=4+\frac{36}{151}}}

והחלק השני ד' ול"ו חלקי' מקנ"א

The third part is 5 and 145 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{116}{151}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{116}{151}\right)\right]=5+\frac{145}{151}}}

והחלק הג' ה' וקמ"ה חלקים מקנ"א

The fourth part is 7 and 63 parts of 151.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{54}{151}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{54}{151}\right)\right]=7+\frac{63}{151}}}

והחלק הרביעי ז' וס"ג חלקים מקנ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{58}{151}\right)+\left(4+\frac{36}{151}\right)+\left(5+\frac{145}{151}\right)+\left(7+\frac{63}{151}\right)=20}}

סך כ' שלמים בלי תוספת ומגרעת

אך אין זה החלוק מיוחד בו כי כבר יתכן גם בזולת זה האופן והוא בשנחלק הד' חלקים על דרך ב' ג' ד' ו' וזה טרם התוספת אחר כך לקחנו הנשארים וחלקנו מהם כמו חצי הב' והוספנוהו עליו והיו ג' וכמו שליש הג' והוספנוהו עליו והיו ד' וכמו רביע הד' והוספנוהו עליו והיה ה' וכמו ששית הו' והוספנוהו עליו והיו ז' חברנום ועלו י"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)\right]+\left[6+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)\right]=3+4+5+7=19}}

ולהיות שלא כלה כל מספר הכ' כפי ההנחה הקודמת הוצרכנו לייחס ולומר אם בי"ט היו החלקים המתחלפים טרם התוספת ב' ג' ד' ו' בכ' כמה יהיו החלקים ההם

The resulting first part is 2 and two-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot20}{19}=2+\frac{2}{19}}}

ויצא החלק הראשון ב' ושני יטיי"ם

The second part is 3 and 3-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{19}=3+\frac{3}{19}}}

והחלק השני ג' וג' יטיי"ם

The third part is 4 and 4-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{19}=4+\frac{4}{19}}}

והחלק השלישי ד' וד' יטיי"ם

The fourth part is 6 and 6-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot20}{19}=6+\frac{6}{19}}}

והחלק הרביעי ו' וו' יטיי"ם

וזה טרם התוספת אך אחר התוספת

The first part is 3 and 3-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{19}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{19}\right)\right]=3+\frac{3}{19}}}

יהיה החלק הראשון ג' וג' יטיי"ם

The second part is 4 and 4-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{19}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{19}\right)\right]=4+\frac{4}{19}}}

והחלק השני ד' וד' יטיי"ם

The third part is 5 and 5-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{4}{19}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{4}{19}\right)\right]=5+\frac{5}{19}}}

והחלק השלישי ה' וה' יטיי"ם

The fourth part is 7 and 7-nineteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{6}{19}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{6}{19}\right)\right]=7+\frac{7}{19}}}

והחלק הרביעי ז' וז' יטיי"ם

סך כ' שלמים בלי תוספת ומגרעת וכן תוכל לחלקם גם בדרך אחרת וכלם יסכימו על אופן אחד רוצה לומר שכלם לפי ההנחה הראשונה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{19}\right)+\left(4+\frac{4}{19}\right)+\left(5+\frac{5}{19}\right)+\left(7+\frac{7}{19}\right)=20}}

Partnership Problem

Question: Three partners wanted to form a partnership for sixty, each of them for the same amount as his friends.

They had gold and they contribute to the partnership fifty liṭra together.

The gold of one of them is worth 3 zehuvim for one ratl; the gold of the second is worth five zehuvim for one ratl; and the gold of the third is worth eight zehuvim for one ratl.

How many liṭra did each contribute of the 50 liṭra that the three contribute together, so that the total amount of zehuvim each of them contribute is the same as his friends?

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle3a=5b=8c\\\scriptstyle a+b+c=50\end{cases}}}

שאלה שלשה שותפים שרצו להשתתף בחברה בשישים כל אחד מהם סך שוה ל[ח]ביריו והיה להם זהב ושמו בחברה שלשתן יחד חמשים ליטרין וזהב האחד מהם שוה הרטל ג' זהובים וזהב השני שוה הרטל חמשה זהובים וזהב השלישי שוה הרטל שמנה זהובים

כמה ליטרין שם כל אחד מכלל הנ' ליטרין ששמו שלשתן יחד עד שיהיה סך הזהובים ששם כל אחד שוה לחביריו

The answer:

False Position: We look for a number divisible by 3, 5, and 8; it is 120.

We take a third of this number; it is 40. We keep it.

[We take also its fifth; it is 24. We keep it].

We take also its eighth; it is 15. We keep it.

We sum up the reserved; they are 79.

התשובה נבקש מספר שימנוהו מספרי ג' ה' ח' והוא מספר ק"כ ונקח שלישית זה המספר והם מ' ונשמרם גם נקח שמיניתו והם ט"ו ונשמרם

נחבר השמורים והם ע"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)+\left[\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\right]+\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=40+{\color{red}{24}}+15=79}}

Rule of Three: Then, we relate and say: if 79 equals 50, how much is the 40?

אחר זה נייחס ונאמר אם הע"ט ישוו נ' המ' כמה

The result is 25 liṭra and 25 parts of 79 parts of a ratl; and this is the amount of gold that the first contributed to the partnership.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{79}=25+\frac{25}{79}}}

ויצאו כ"ה ליטרין וכ"ה חלקים מע"ט חלקי הרטל וזהו סך הזהב ששם הראשון בחברה

Rule of Three: We also relate and say: if 79 [equals] 50, how much is the 24?

וכן נייחס ונאמר אם הע"ט נ' הכ"ד כמה

The result is 15 liṭra and 15 parts of 79 parts of a ratl; and this is the amount of gold that the second contributed to the partnership.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot24}{79}=15+\frac{15}{79}}}

ויצאו ט"ו ליטרין וט"ו עטיי"ם מהרטל וזהו סך הזהב ששם השני בחברה

Rule of Three: We also relate and say: if 79 [equals] 50, how much is the 15?

וכן נייחס ונאמר אם הע"ט נ' הט"ו כמה

The result is nine liṭra and thirty parts of 79 parts of a ratl; and this is the amount of gold that the third contributed to the partnership.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot15}{79}=9+\frac{39}{79}}}

ויצאו תשעה ליטרין ותשעה ושלשים עטיי"ם מהרטל וזהו סך הזהב ששם השלישי בחברה

The total amount of gold is fifty whole liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(25+\frac{25}{79}\right)+\left(15+\frac{15}{79}\right)+\left(9+\frac{39}{79}\right)=50}}

סך כל הזהב חמשים ליטרין שלמות

The gold of each is worth seventy-five zehuvim and seventy-five parts of 79 parts of one zahuv.

וסך שווי זהב כל אחד ואחד מהם חמשה ושבעים זהובים וחמשה ושבעים חלקים מע"ט חלקי הזהוב הא‫'

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(25+\frac{25}{79}\right)=5\sdot\left(15+\frac{15}{79}\right)=8\sdot\left(9+\frac{39}{79}\right)=75+\frac{75}{79}}}

Proportional Division Problem

Question: An inheritance is given to four people.

The part due to the first is a half; the part due to the second is a third; the part due to the third is a fourth; and the part due to the fourth is one part of the twelve.

The first and the fourth took their part and went.

Nine zehuvim remain from the inheritance for the shares of the second and third, third of the total inheritance is due to one of them and a quarter of the total inheritance is due to the other.

How much is due to each of them from the remaining 9 zehuvim?

\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=9

שאלה ירושה שעלתה לד' אנשים החלק המגיע לראשון חצי והחלק המגיע לשני שליש והחלק המגיע לשלישי רביע והחלק המגיע לרביעי הוא חלק אחד מי"ב ולקחו חלקם הראשון והרביעי והלכו להם ונשאר מהירושה תשעה זהובים לחלקם השני והשלישי שמגיע לאחד מהם שליש מכללות הירושה ולאחר רביע מכללות הירושה

כמה מגיע לכל אחד מהם מהט' זהובים הנשארים

The answer:

False Position: We look for a number that has a third and a quarter; it is 12. It third [is 4] and its quarter is 3. We sum both; they are 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}

התשובה שנבקש מספר שיהיו בו שליש ורביע והם י"ב ושלישיתו ורביעיתו ג' נחברם שניהם והם ז‫'

Rule of Three: Then, we relate and say: if the 7 is 9, how much is the 4?

ואחר נייחס ונאמר אם הז' ט' הד' כמה

The result is 5 integers and a seventh and this is what is due to the owner of the third from the 9 [zehuvim].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot4}{7}=5+\frac{1}{7}}}

ויצאו ה' שלמים ושביעית אחד וזהו המגיע לבעל השליש מהט‫'

Rule of Three: We also relate and say: if the 7 is 9, how much is the 3?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot3}{7}=3+\frac{6}{7}}}

גם נייחס ונאמר אם הז' ט' הג' כמה

The result is 3 integers and 6-sevenths and this is what is due to the owner of the quarter from the 9 [zehuvim].

ויצאו ג' שלמים וו' שביעיות וזהו המגיע מהט' לבעל הד‫'

Or, if we want, we use another way:

או אם נרצה נשתמש בדרך אחרת

False Position: We sum the third and the quarter; they are 7-twelfths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}

והוא שנקבץ השליש והרביע והם ז' יביי"ם

Rule of Three: Then, we relate and say: if the [7]-twelfths are 9, how much is the third?

ואחר נייחס ונאמר אם היביי"ם ט' השליש כמה

The result is 5 and a seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}}=5+\frac{1}{7}}}

ויצאו ה' ושביעית

Rule of Three: We also relate and say: if the seven-twelves are nine, how much is the quarter?

גם נייחס ונאמר אם השבעה יביי"ם תשעה הרביע כמה

The result is 3 and 6-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot\frac{1}{4}}{\frac{7}{12}}=3+\frac{6}{7}}}

ויצאו ג' וו' שביעיות

Chapter Two

הפרק השני מהחלק הראשון בשאלות המספריות המתבארות מזולת מין היחסים

Buy and Sell Problem

Question: someone bought a hundred liters of sugar for a hundred zehuvim for example and sold fifty liters at one liter and a quarter for one zahuv and the rest at liter minus a quarter for one zahuv.

Did he earn or lose?

שאלה מי שקנה במאה זהובים מאה ליטרין סוכר על דרך משל ומכר החמשים ליטרין ליטרא ורביע בזהוב והנ' ליטרין הנשארים ליטרא פחות רביע בזהוב הרויח או הפסיד

The answer is that this question consists of four types of arithmetical operations, which are multiplication, addition, division and subtraction, therefore we decompose it into them.

התשובה שזאת השאלה מחוברת מארבעה מיני המספר והם ההכאה והקבוץ והחלוק החסור ולכן נתיכה אליהם

converting the first 50 liter into fourths:

\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot4=200}}

בשנכה הנ' ליטרין בד' ויעלו ר' רביעיים ונשמרם ויקרא השמור הראשון

converting the remaining 50 liter into fourths:

\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot4=200}}

גם נכה הנ' ליטרין הנשארים בד' ויעלו ר' רביעיים ונשמרם ויקרא השמור השני

the profit:

אחר זה נחלק השמור הראשון על הה' ויצאו מ' זהובים ונשמרם

גם נחלק השמור השני על הג' ויצאו ס"ו זהובים ושתי שלישיות הזהוב
נחברם עם המ' השמורים ויצאו ק"ו זהובים ושתי שלישיות הזהוב
נגרע מהם הק' זהובים שנתן ונשארו ו' זהובים וב' שלישיות הזהוב וככה הוא הריוח

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{50\sdot4}{5}+\frac{50\sdot4}{3}\right)-100=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100=\left(106+\frac{2}{3}\right)-100=6+\frac{2}{3}}}

Question: two little towns between them a hundred miles.

two men left them one towards the other at the same moment, one is walking 19 miles a day and the other one is walking 16 miles a day.

When will they meet?

שאלה שתי עיירות שהיו ביניהם מאה מיל

ויצאו מהן שני אנשים זה לקראת זה ברגע אחד ומהלך האחד ביום י"ט מיל ומהלך האחר ביום י"ו מיל
מתי יפגשו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{17+19}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}

התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחלוק ולכן נקבץ הי"ז עם הי"ט ויעלו ל"ו והם מהלך יום א' אחר זה נחלק עליהם הק' מיל שבין ב' העיירות ויצאו ב' ימים וכ"ח חלקים מל"ו חלקי היום שהם ז' תשיעיות היום

Question:

שאלה אם רצית לדעת כל המספרים הנמשכים על הסדר מבלתי דלוג כלל בשיוסיפו חלקיהם על כללם מספר זוג או כשיגרעו חלקיהם מכללם מספר זוג איזה מספר שיהיה או שישוו חלקיהם לכללם והם המספרים השלמים היאך יהיה זה

The answer:

We arrange the even-times-even numbers successively.

התשובה שנסדר מספרי זוג הזוג בטור אחד על הסדר

Superabundant numbers: Then, if you want to know the numbers whose [sum of] divisors exceeds over the total, we write beneath each of the numbers in this line a number that is smaller than double the number above it by the excess you want [the sum of] the divisors to exceed over the total plus one.

\scriptstyle2^n\sdot\left[2^{n+1}-\left(d+1\right)\right]

אחר זה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה פחו' מכפל המספר שעליו כמו התוספת אשר רצית שיתוספו החלקי' על הכלל בתוספת אחד אם רצית לדעת המספרים אשר חלקיהם נוספים על כללם

Deficient numbers: But, if you want to know the numbers whose [sum of] divisors is less than the total, we write beneath each of the numbers in this line a number that is greater than double the even-times-even number above it by the deficit you want [the sum of] the divisors to be less than the total minus one.

\scriptstyle2^n\sdot\left[2^{n+1}+\left(d-1\right)\right]

אולם אם רצית לדעת המספרים אשר חלקיהם גורעים מכללם הנה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה נוסף על כפל מספר זוג הזוג שעליו כמו המגרעת אשר רצית שיגרעו החלקים מן הכלל פחות אחד

Perfect numbers: If you want to know the perfect numbers, whose [sum of] divisors equals the total, we write beneath each of the numbers in this line a number that is smaller than double the even-times-even number above it by one.

\scriptstyle2^n\sdot\left(2^{n+1}-1\right)

ואם רצית לדעת המספרים השלמים והם אשר חלקיהם שוים לכללם הנה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה פחות אחד מכפל מספר זוג הזוג שעליו

אחר זה נכה כל אחד ממספרי זוג הזוג עם המספר שהוא תחתיו אם הוא מספר ראשון והעולה יכתבנו בטור שלישי כל אחד תחת המספר אשר יולד מהכאתו ויהיו כל המספרים אשר בזה הטור מסכימים על אופן אחד רוצה לומר אם בתוספת חלקיהם על כללם ואם במגרעת ואם בשווי כשהתוספת או המגרעת שוה בכלם

המשל בזה אם רצית בתוספת

הנה זאת צורתם א' ב' ד' ח י"ו

ואם רצית המגרעת הנה צורתם א ב ד ח י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{+2:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(2+1\right)=5\longrightarrow4\sdot5=20\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(2+1\right)=13\longrightarrow8\sdot13=104\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(2+1\right)=29\longrightarrow16\sdot29=464\end{cases}}}

שיוסיפו ב ה יג כט

רקד תסד

\scriptstyle{\color{blue}{-2:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(2-1\right)=5\longrightarrow2\sdot5=10\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(2-1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(2-1\right)=17\longrightarrow8\sdot17=134\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(2-1\right)=33\ not\ prime\end{cases}}}

שיגרעו ב ה ט י"ז ל"ג

י 0 קל"ו 0

\scriptstyle{\color{blue}{+4:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(4+1\right)=3\longrightarrow4\sdot3=12\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(4+1\right)=11\longrightarrow8\sdot11=88\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(4+1\right)=27\ not\ prime\end{cases}}}

שיוסיפו ד ג יא כז

י"ב פ"ח 0

\scriptstyle{\color{blue}{-4:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(4-1\right)=7\longrightarrow2\sdot7=14\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(4-1\right)=11\longrightarrow4\sdot11=44\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(4-1\right)=19\longrightarrow8\sdot19=152\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(4-1\right)=35\ not\ prime\end{cases}}}

שיגרעו ד ז י"א י"ט לה

יד מד קנב 0

\scriptstyle{\color{blue}{+6:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(6+1\right)=1\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(6+1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(6+1\right)=25\ not\ prime\end{cases}}}

שיוסיפו ו 0 ט כה

0 0 0

\scriptstyle{\color{blue}{-6:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(6-1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(6-1\right)=13\longrightarrow4\sdot13=52\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(6-1\right)=21\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(6-1\right)=37\longrightarrow16\sdot37=592\end{cases}}}

שיגרעו ו ט י"ג כא לז

‫0 נב 0 תקצב

\scriptstyle{\color{blue}{+8:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(8+1\right)=1\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(8+1\right)=7\longrightarrow8\sdot7=56\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(8+1\right)=23\longrightarrow16\sdot23=368\end{cases}}}

שיוסיפו ח 0 ז כג

‫0 נ"ו שס"ח

\scriptstyle{\color{blue}{-8:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(8-1\right)=11\longrightarrow2\sdot11=22\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(8-1\right)=15\ not\ prime\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(8-1\right)=23\longrightarrow8\sdot23=184\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(8-1\right)=39\ not\ prime\end{cases}}}

שיגרעו ח י"א ט"ו כג לט

כב 0 קפד 0

ואם רצית השווי הנה צורתו א ב ד ח י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}-1=3\longrightarrow2\sdot3=6\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-1=7\longrightarrow4\sdot7=28\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-1=15\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-1=31\longrightarrow16\sdot31=496\end{cases}}}

ג ז טו לא וכח 0 תצו

Question:

\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2x-12\right)\right]-12\right]\right]-12\right]=12

שאלה אם אמר אומר כפלתי ממוני והוצאתי י"ב עוד כפלתי הנשאר והוצאתי י"ב עוד כפלתי הנשאר והוצאתי י"ב וכפלתי הנשאר והיו י"ב כמה היה המספר מתחלה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{2}+12=6+12=18}}

התשובה תחשוב זה החשבון מלמטה למעלה וזה כשתחלק הי"ב לשנים ותקח חציו והם ששה ותוסיף עליהם י"ב והם י"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{2}+12=9+12=21}}

ותקח חציו והם ט' הוסף עליהם י"ב והם כ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21/2}+12=\left(10+\frac{1}{2}\right)+12=22+\frac{1}{2}}}

וקח חציים והם עשרה וחצי והוסף י"ב והם כ"ב וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+\frac{1}{2}}{2}=11+\frac{1}{4}}}

וקח חציים והם י"א ורביע

ומפני שמספר הפעמים אשר לקחתי החצי כמספר הפעמים אשר לקח הוא הי"ב הנה ידענו שהמספר המבוקש הוא אחד עשר ורביע

$\scriptstyle\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]+1\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]+1\right]\right]+1\right]=1$

Question:

שאלה אם אמר אומר הוצאתי ממוני חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ואחד יותר ונשאר אחד כמה היה מממונו

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+1\right)+1=\left(2\sdot2\right)+1=4+1=5}}

התשובה נחשוב מלמטה למעלה ונוסיף על הא' אחד ויעלו ב' ונכפלם ויעלו ד' עוד נוסיף עליהם אחד ויעלו חמשה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}

נכפלם ויעלו עשרה נוסיף עליהם אחד ויעלו אחד עשר

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot11\right)+1=22}}

נכפלם ויעלו שנים ועשרים ומפני שמספר הפעמים אשר הוספנו וכפלנו הם כמספר הפעמים אשר חלק ממונו לחצאים והשליכו עם התוספת על כן שפטנו שממונו היה שנים ועשרים

Question:

\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=465

שאלה אם אמר אומר חברתי כל המספרים הטבעיים עד מספר מה ועלה המחובר תס"ה איזהו המספר האחרון

\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot465=930\longrightarrow n=30}}

התשובה נכפול המחובר ויעלה תתק"ל נקח שרש המרובע הקודם למספר תתק"ל והוא שלשים וזהו המספר האחרון

Question:

\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=225

שאלה אם אמר אומר חברתי כל מעוקבי המספרים הטבעיים עד מספר מה על הסדר ועלה המחובר רכ"ה [אי]זהו המעוקב האחרון

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}

התשובה שנקח שרש המחובר והוא ט"ו ונשמרהו

\scriptstyle{\color{blue}{n^3=5^3=125}}

אחר זה נבקש כל זוגי המספרים אשר יולד מספר הט"ו מהכאתם כשיהיה המספר האחד מהזוג שלם והמספר האחר פעם שלם ופעם שלם וחצי אחר זה נבקש מכל אותם הזוגות הזוג אשר יהיה המספר האחד ממנו כפל המספר האחר פחות אחד והוא מספר ה' שהוא פחו' מכפל בן זוגו שהוא ג' אחד ומעוקבו רכ"ה וזהו המעוקב האחרון

Buy and Sell Problems

Question: If a gold shekel is worth forty whites and one gives a piece of a hundred gold shekels to his friend to sell it, so that the number of gold shekels remaining is the same as the number of whites he takes from the sold.

How much gold does he sell from the piece?

שאלה אם שקל הזהב שוה ארבעים לבנים ונתן אחד לחברו חתיכת זהב של מאה שקלים למכור ממנו כל כך עד שיהיה כמות שקלי הזהב הנשאר ככמות הלבנים אשר לקח מהנמכר ממנו

כמה זהב מכר מהחתיכה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{40+1}}}

התשובה נוסיף על ארבעים אחד ונחלק המאה עליו והיוצא הוא משקל הזהב הנמכר

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{55+1}=\frac{100}{56}}}

ואם היה השקל שוה נ"ה על דרך משל נוסיף עליו אחד ויעלו נ"ו ועליהם נחלק המאה וכן תמיד

Question: If one gives a piece of gold to his friend to sell it, so that the number of gold coins sold is the same as the number of gold shekels remaining.

The number of gold shekels remaining is 97 shekels and 23 parts of 41 parts of a shekel.

For how many whites he sells the shekel and how much is the total amount of the piece?

שאלה אם נתן אחד לחברו חתיכת זהב למכור ממנו כל כך עד שיעלה מספר מעות הזהב הנמכר כמספר שקלי הזהב הנשאר והיה מספר שקלי הזהב הנשאר צ"ז שקלים וכ"ג חלקים ממ"א חלקי השקל

בכמה לבנים מכר השקל וכמה היה כמות החתיכה כלה

התשובה שנגרע אחד מהמ"א וישארו מ' וככה הוא שווי השקל אחר זה נחלק כמות השקלים הנשארים שהם הצ"ז שקלים וכ"ג חלקים ממ"א על המ' ויצאו לך ב' שקלים וי"ח חלקים ממ"א חברם עם הצ"ז שקלי' וכ"ג חלקי' ממ"א ויעלו ק' שקלים שלמים וככה הוא מספר שקלי כל חתיכה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(97+\frac{23}{41}\right)+\frac{97+\frac{23}{41}}{41-1}=\left(97+\frac{23}{41}\right)+\frac{97+\frac{23}{41}}{40}=\left(97+\frac{23}{41}\right)+\left(2+\frac{18}{41}\right)=100}}

Solving Quadratic Equations

Question: if one asks: what is the square whose sum with ten times its root, for instance, yields thirty-nine.

\scriptstyle a^2+10a=39

שאלה אם ישאל שואל איזהו המרובע אשר חבורו עם עשר כפלי שרשו על דרך משל יעלו תשעה ושלשים

The answer:

We multiply the number of the root by itself; the result is 100.

התשובה נכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ק‫'

We multiply 100 by 39; the result is 3900. We keep it.

ונכה הק' עם הל"ט ויעלו ג' אלפים תת"ק ונשמרם

Then, we multiply half 100 by itself; the result is 2500.

אחר זה נכה חצי הק' עם עצמו ויעלו שני אלפים ת"ק

We add it to the reserved; the result is 6[4]00.

נחברם עם השמור ויעלו ו' אלפים ת"ק

We extract its root; it is 80.

נקח שרשם והם פ‫'

We subtract it from the sum of 50, which is half 100, with 39, which is 89; 9 remains and this is the square.

ונגרעם מהעולה מקבוץ הנ' שהם חצי הק' עם הל"ט שהם פ"ט וישארו ט' וזהו המרובע

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}=50+39-\sqrt{2500+3900}=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}

Its root is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{9}=3}}

ושרשו ג‫'

Likewise if you increased the squares you should restore the question to one square.

וכן אם הרבית המרובעים הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד

As, for example, if one asks: what is the square whose product by 3 plus 12 times its root, yields 180.

\scriptstyle3a^2+12a=180

כמו על דרך משל אם שאל שואל איזהו המרובע אשר ג' כפליו עם י"ב כפלי שרשו יעלו ק"פ

We take one square of them, and since one square of them is a third of the number of the squares in the question, we should take also a third of the number of the roots, which is 4, and we take also a third of the [given] sum, which is 60. So, the question becomes as if one asks: what is the square whose sum with 4 times its root is sixty.

הנה נקח המרובע האחד מהם ולהיות שהמרובע האחד מהם הוא שליש מספר המרובעים אשר שם בשאלה הנה ראוי לקחת גם מכפלי השרשים שלישיתם והן ד' וכן נקח שליש המחובר והם ס' והנה שבה השאלה כאלו שאל השואל איזהו המרובע אשר בחבורו עם ד' כפלי שרשו הם ששים

\scriptstyle{\color{blue}{3a^2+12a=180\quad /\sdot\frac{1}{3}\longrightarrow\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot a^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot a=\frac{1}{3}\sdot180\longrightarrow a^2+4a=60}}

We proceed according to the previous way.

ונעשה הדרך הקודם בעינו

Also if you decreased the squares, you should restore the question to one square.

וכן אם חלקת המרובעים הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד

As, for example, if one asks: what is the square whose third plus 12 times its root are thirty.

\scriptstyle\frac{1}{3}a^2+3a=30

כמו על דרך משל אם שאל שואל איזהו המרובע אשר שלישיתו עם ג' כפלי שרשו הם שלשים

We take one square for its third, and since one square is three times its third, we should take also three times the number of the roots in the question, which is nine times its roots, because three times three is nine; we take also three times thirty, which is ninety. So, the question becomes as if one asks: what is the square whose sum with 9 times its root is ninety.

הנה נקח מרובע אחד תמורת שלישיתו ולהיות שהמרובע האחד הוא שלשה כפלי שלישיתו הנה ראוי לקחת גם כן שלשה כפלי השרשים שבשאלה והם תשעה כפלי שרשו כי שלשה פ[ע]מי' ג' הם תשעה גם נקח ג' כפלי השלשים והם תשעים והנה שבה השאלה כאלו שאל השואל איזהו המרובע אשר בחבורו עם ט' כפלי שרשו הם תשעי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a^2+3a=30\quad /\sdot3\longrightarrow\left(3\sdot\frac{1}{3}\right)\sdot a^2+\left(3\sdot3\right)\sdot a=3\sdot30\longrightarrow a^2+9a=90}}

We proceed according to the first way.

ונעשה הדרך הראשון בעינו

Or, if you want another way: we take half the number of the roots and multiply it by itself. We add the result to the number [that equals] the sum of the number of the roots plus the square according to the question. We extract the root of the result. Subtract from it half the number of the roots and the remainder if the root of the square.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\sqrt{\left(\frac{1}{2}b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}b\right)}}

או אם תרצה בדרך אחרת הנה נקח חצי כפלי השרשים ונכם עם עצמם והעולה נחברם עם המספר המחובר מכפלי השרשים והמרובע כפי השאלה והעולה נקח שרשו וגרע ממנו חצי כפלי השרשים והנשאר הוא שרש המרובע

Square it and this is the square.

תרבענו והוא המרובע

The example in the mentioned question: one square plus ten times its root are thirty-nine.

\scriptstyle a^2+10a=39

המשל בזה בשאלה הנזכרת והיא שהמרובע הא' עם עשרה כפלי שרשו הם תשעה ושלשים

We take half the number of the roots; it is five.

הנה נקח חצי כפלי השרשים והם חמשה

We multiply it by itself; the result is 25.

נכם עם עצמם ויעלו כ"ה

We add it to thirty-nine; it is 64.

נחברם עם התשעה ושלשים והם ס"ד

We extract its root; it is eight.

נקח שרשם והם שמנה

We subtract 5 from it, which is half the number of the roots; 3 remains and this is the root of the required square.

נגרע מהם ה' שהם חצי כפלי השרשים ונשארו ג' והוא שרש המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}

Square it; it is 9 and this is the required square.

\scriptstyle{\color{blue}{a^2=3^2=9}}

תרבענו והוא ט' וזהו המרובע הדרוש

Question: if one asks: what is the square whose sum with twenty-one, for instance, yields the same as ten times its root.

\scriptstyle a^2+21=10a

שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר חבורו עם עשרים ואחד על דרך משל יעלה כמו עשרה כפלי שרשו

The answer:

Take half the number of the roots and multiply it by itself; the result is 25.

התשובה שתקח חצי כפלי השרשים ותכם עם עצמם ויעלו כ"ה

We subtract 21 from it; 4 remains.

נגרע מהם הכ"א וישארו ד‫'

We extract its root; it is 2.

נקח שרשם והם ב‫'

We subtract it from half the number of the roots; 3 remains and this is the root of the required square.

נג[רע]ם מחצי כפלי השרשי' וישארו ג' וזהו שרש המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{25-21}=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{4}=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-2=3}}

We multiply it by itself; the result is 9 and this is the required square.

\scriptstyle{\color{blue}{a^2=3^2=9}}

נכם עם עצמם ויעלו ט' וזהו המרובע הדרוש

If half the product of the number of the roots [by itself] is equal to the number added to the square, we cannot subtract the number from half the product of the number of the roots [by itself]; so the required root is half the number of the root itself.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c\longrightarrow a=\frac{1}{2}b}}

ואם ישוה העולה מהכאת חצי כפלי השרש למספרים המחוברים עם המרובע אשר לא נוכל אז לגרוע המספרים מהעולה מהכאת חצי כפלי השרש למספרים המחוברים עם המרובע מהכאת חצי כפלי השרש בעצמם

הנה יהיה אז השרש הדרוש מספר חצי כפלי השרש בעינו

But, if half the product of the number of the roots [by itself] is less than the number added to the required square - it is definitely impossible.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}

אולם שיהיה העולה מהכאת חצי כפלי השרש פחות מהמספרים המחוברים עם המרובע הדרוש הנה זה נמנע בלא ספק

Likewise if you increased the squares in the question:

וכן אם הרבית המרובעים בשאלה

As, if you say: what is the square whose product by 3 plus 21 equals 10 times its root.

\scriptstyle3a^2+21=10a

כמו שתאמר איזהו המרובע אשר ג' כפליו עם כ"א ישוו לי' כפלי שרשו

Or, if you decreased the squares:

או אם חלקת המרובעים

As, if you say: what is the square whose third plus 21 equals 10 times its root.

\scriptstyle\frac{1}{3}a^2+21=10a

כמו שתאמר איזהו המרובע אשר שלישתו עם כ"א ישוו לי' כפלי שרשו

You should restore the question to one square as above.

הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד כמו שקדם

Proceed according to the first method, or by another method:

ותעשה לפי הדרך הראשון בעינו או בדרך אחרת

Multiply the number of the roots by itself; the result is 100.

והוא שתכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ק‫'

Then, multiply 100 by 21; it is 2100. Keep it.

אחר זה הכה הק' עם הכ"א והם שני אלפים ק' ותשמרם

Multiply half the product of the number of the roots by itself, which is 50, by itself; the result is 2500.

אחר זה הכה חצי העולה מהכאת כפלי השרשי' בעצמם שהם נ' עם עצמם ויעלו שני אלפים ת"ק

Subtract the reserved from it; 400 remains and its root is twenty.

ותגרע מהם השמור וישארו ת' ושרשם עשרים

Subtract it from 50, which is half the product of the number of the roots by itself; thirty remains.

ותגרעם מהנ' שהם חצי העולה מהכאת כפלי השרשים בעצמם וישארו שלשים

Subtract from it the twenty-one added to the square; 9 remains and this is the required square.

תגרע מהם האחד ועשרים המחוברים עם המרובע וישארו ט' וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21=50-\sqrt{2500- 2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}

Its root is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{9}=3}}

ושרשו ג‫'

Question: if one asks: what is the square such that 3 times its root plus 4 equals 10.

\scriptstyle3a+4=a^2

שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר ג' כפלי שרשו וד' ישוו לי‫'

The answer:

Take half the number of the roots and multiply it by itself; the result is two and a quarter.

התשובה שתקח חצי כפלי השרש ותכהו עם עצמו ויעלו שנים ורביע

Add it to the number added to the number of the roots, which is 4; the result is 6 and a quarter.

חברהו עם המספרים המחוברים עם כפלי השרשים שהם הד' ויעלו ו' ורביע

Extract its root; it is 2 and a half.

קח שרשם והם ב' וחצי

Add it to half the number of the roots; the result is 4 and this is the root.

חברם עם חצי כפלי השרש ויעלו ד' וזהו השרש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}

Its square is 16 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{a^2=16}}

ומרובעו י"ו וזהו הדרוש

Or in another way:

Multiply the number of the roots by itself; the result is 9.

או בדרך אחרת שתכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ט‫'

Multiply it by the number, which is 4; the result is 36. Keep it.

הכם עם המספרים שהם הד' ויעלו ל"ו ושמרם

Then, take half the product of the number of the roots by itself, which is 4 and a half.

אחר זה קח חצי העולה מהכאת כפלי השרש עם עצמו שהם ד' וחצי

Multiply it by itself; the result is 20 and a quarter.

והכם עם עצמם ויעלו כ' ורביע

Add it to the reserved; the result is 56 and a quarter.

חברם עם השמור ויעלו נ"ו ורביע

Extract its root; it is 7 and a half.

קח שרשם והם ז' וחצי

Add it to half the product of the number of the roots by itself, which is 4 and a half and to the number, which is 4; the result is 16 and this is the required square.

חברם עם חצי העולה מהכאת כפלי השרש עם עצמם שהם ד' וחצי ועם המספרים שהם ד' ויעלו י"ו וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=4+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}=4+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=16\\\end{align}}}

Its root is 4 and this is the required root.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{16}=4}}

ושרשם ד' וזהו השרש הדרוש

Likewise if you increased the squares in the question or decreased them: you should restore the question to one square as above and proceed according to the first method.

וכן אם הרבית המרובעי' בשאלה או אם חלקת אותם הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד כמו שקדם ועשה לפי דרך הראשון

Roots

Question: if one asks: how do we know 2 times the root of a square, or three time, or as many times you want - without having to find its root first, then its multiple, but we find its multiple ?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע ב' כפלי שרש מרובע מה או ג' כפליו או איזה כפלים שרצית מבלתי שנדע שרשו ר"ל שלא נצטרך למצוא שרשו תחלה ואחר כך כפלו או כפליו אבל מתחלה נמצא כפלו או כפליו

The example: if one asks: how much is the result of 4 times the square root of 9?

המשל בזה אם שאל שואל כמה הוא העולה מד' כפלי שרש מרובע הט‫'

The answer:

We multiply the multiple [by itself]; the result is 16.

התשובה הנה נכה מספר הכפלים ויעלו י"ו

Then, we multiply 16 by 9; the result is 144.

אחר זה נכה הי"ו עם הט' שהוא המרובע י' ויעלו קמ"ד

Its root is 12 and this is the result of 4 times the root of 9.

ושרשם י"ב וזהו העולה מד' כפלי שרש הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{9}=\sqrt{4^2\sdot9}=\sqrt{16\sdot9}=\sqrt{144}=12}}

Question: if one asks: how do we know the root of which square is 2 times the root of a square, or three time, or as many times you want - without knowing the root of that square, nor the multiple of its root, but we receive the exact total through one technique?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מב' כפלי שרש מרובע מה או משלשה כפליו או מאיזה כפלי' שרצית לאיזו מרובע יהיה שרש מבלתי שנדע שרש המרובע ההוא ולא העולה מכפלי שרשו אבל שיצא לנו הכל מתוקן בתחבולה אחת

The example: if one asks: the root of which square results from four times the root of nine, without knowing the root of 9?

המשל בזה אם שאל שואל לאיזה מרובע יהיה שרש העולה מארבעה כפלי שרש התשעה מבלתי שנדע שרש הט‫'

The answer:

We multiply the multiple by itself; the result is 16.

התשובה נכה מספר הכפלים בעצמם ויעלו י"ו

Then, we multiply 16 by nine; the result is 144 and this is the required square.

אחר זה נכה הי"ו עם התשעה ויעלו קמ"ד וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{9}=\sqrt{4^2\sdot9}=\sqrt{16\sdot9}=\sqrt{144}=12}}

Question: if you wish to know [how much is] half the root of a square, of its third, or its quarter, without knowing its root first.

שאלה אם רצית לדעת חצי שרש מרובע מה או שלישיתו או רביעיתו מבלתי שתדע שרשו תחלה

The example: if one asks: how much is a third of the root of nine?

המשל בזה אם שאל שואל כמה הוא שלישית שרש התשעה

The answer:

We multiply the third by itself; the result is nine.

התשובה נכה השלישית עם עצמו ויעלה תשיעית

We multiply it by 9; the result is one.

נכהו עם הט' ויעלה אחד

We extract its root; it is one and this is a third of the root of 9.

נקח שרשו והוא אחד וזה שלישית שרש הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{9}\sdot9}=\sqrt{1}=1}}

Similarly, if one asks: how much is its 2-thirds?

וכן אם שאל שואל כמה הוא ב' שלישיותיו

We multiply the 2-thirds by themselves; the result is 4-ninths.

נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות

We multiply it by 9; the result is 4.

ונכם עם הט' ויעלו ד‫'

We extract its root; it is 2 and this is two-thirds of the root of 9.

ונקח שרשם והם ב' וזהו שתי שלישיות שרש הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}

Question: if one asks: what is the square, whose root is 2-thirds of the root of 9, without knowing the root of 9 nor its two-thirds?

שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר העולה מב' שלישיות שרש הט' הוא שרשו מבלתי שנדע שרש הט' ולא שתי שלישיותיו

The answer:

We multiply the two-thirds by themselves; the result is four-ninths.

התשובה נכה השתי שלישיות עם עצמם ויעלו ארבע תשיעיות

We multiply it by 9; the result is four and this is the required square.

נכם עם הט' ויעלו ארבעה וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of multiplication of a root of a square by a root of a square - without knowing their roots first, then their product, then its square?

שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת שרש מרובע מה עם שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולה מהכאתם ואחר כך מרובעו

The example: if you want to know the root of which square is the result of multiplication of the root of 9 by the root of 36, without knowing their roots?

המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת שרש הט' עם שרש הל"ו מבלתי שנדע שרשם לאיזה מרובע הוא שרש

The answer:

We multiply 9 by 36; the result is three hundred and twenty-four and this is the required square.

התשובה נכה הט' עם הל"ו ויעלו שלש מאות וארבעה ועשרים וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\sdot\sqrt{36}=\sqrt{9\sdot36}=\sqrt{324}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of multiplication of a number of roots of a square by a number of roots of a square - without knowing the roots of these squares, then the multiple of each of them, then the result of multiplication of their products by each other, then its product by itself, which is its square - but you receive the exact total through one technique?

שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת כפל או כפלי שרש מרובע מה עם כפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרש המרובעי' ההם ואח"כ העולים מכפלי כל אחד מהם ואח"כ העולה מהכאת העולים מכפליהם זה עם זה ואחר כך העולה מהכאתו בעצמו והוא מרובעו אך יצא לך הכל מתוקן עם תחבולה אחת

The example: if you want to know the root of which square is the result of multiplication of 4 times the root of 9 by 3 times the root of 36?

המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת ד' כפלי שרש הט' עם ג' כפלי שרש הל"ו לאיזה מרובע הוא שרש

The answer:

We multiply the number [of roots] of each square by itself.

התשובה נכה מספר כפלי המרובע הא' כל אחד בעצמו

We say: 4 times 4 is 16.

ונאמר ד' פעמים ד' הם י"ו

Then, we multiply 16 by 9; the result is 144. We keep it.

אחר זה נכה הי"ו עם הט' ויעלו קמ"ד ונשמרם

We also multiply 3 times 3; the result is nine.

גם נכה ג' פעמים ג' ויעלו תשעה

Then, we multiply nine by 36; the result is 324.

אחר זה נכה התשעה עם הל"ו ויעלו שכ"ד

We multiply 324 by the reserved 144; the result is 46656 and this is the required square.

אחר זה נכה השכ"ד עם הקמ"ד השמורים ויעלו ששה וארבעים אלף תרנ"ו וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot\sqrt{9}\right)\sdot\left(3\sdot\sqrt{36}\right)=\sqrt{\left(4^2\sdot9\right)\sdot\left(3^2\sdot36\right)}=\sqrt{\left(16\sdot9\right)\sdot\left(9\sdot36\right)}=\sqrt{144\sdot324}=\sqrt{46656}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of multiplication of a fraction or fractions of a root of a square by a fraction or fractions of a root of a square - without knowing the roots of these squares, then taking their fractions, then multiply them, then knowing their square - but you receive the exact total through one technique?

שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת שבר או שברי שרש מרובע מה עם שבר או עם שברי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרש המרובעים ההם ואחר כך לקחת שבריהם ואחר כך להכותם ואחר כך לדעת מרובעם אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת

The example: if you want to know the root of which square is the result of multiplication of two-thirds of the root of 9 by half the root of thirty-six.

המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת שתי שלישיות שרש הט' עם חצי שרש הששה ושלשים לאיזה מרובע הוא שרש

The answer:

We multiply the number of the fractions by itself:

התשובה נכה מספר השברים בעצמם

We say: 2-thirds times 2-thirds is 4-ninths.

ונאמר ב' שלישיות פעמים ב' שלישיות הם ד' תשיעיות

Then, we multiply 4-ninths by 9; the result is 4. We keep it.

ואחר זה נכה הד' תשיעיות עם הט' ויעלו ד' ונשמרם

We multiply also the half by itself; the result is a quarter.

גם נכה החצי בעצמו ויעלה רביעית אחד

Then, we multiply it by 36; the result is 9.

ואחר זה נכהו עם הל"ו ויעלו ט‫'

We multiply 9 by the reserved 4; the result is 36 and this is the required square.

אחר זה נכה הט' עם הד' השמורים ויעלו ל"ו וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{36}\right)=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot36\right]}=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)}=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}}}

Question: if one asks how do we know the result of division of a root of a square by a root of a square - without knowing their roots, then dividing them by each other - but you receive the exact total through one technique?

\scriptstyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}

שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק שרש מרובע מה על שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם ואחר כך לחלקם זה על זה אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת

The example: if you want to know the result of division of a root of 36 by a root of 9, without knowing their roots.

המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק שרש הל"ו על שרש הט' מבלתי שנדע שרשם

The answer:

We divide 36 by 9; the result is 4

התשובה נחלק הל"ו על הט' ויצאו ד‫'

We extract its root; it is 2 and this is the result of division of a root of 36 by a root of 9.

נקח שרשם והוא ב' וככה הוא היוצא מחלוק שרש הל"ו על שרש הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2}}

Question: if one asks how do we know the result of division of a number of roots of a square [by a number of roots of a square] - without knowing their roots first, then the multiple of each of them, then the result of their division by each other - but you receive the exact total through one technique?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק כפל או כפלי שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולה מכפלי כל א' מהם ואחר כך היוצא מחלוקם זה על זה אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת

The example: if you want to know the result of division of 5 times the root of 9 by 2 times the root of 36.

המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק העולה מה' כפלי שרש הט' על העולה מב' כפלי שרש הל"ו

The answer:

We multiply the number of each root by itself:

התשובה נכה מספר כפלי שרש כל אחד עם עצמו

We say: 5 times 5 is 25.

ונאמר ה' פעמים ה' הם כ"ה

Then, we multiply 25 by 9; the result is 225. We keep it.

ואחר זה נכה הכ"ה עם הט' ויעלו רכ"ה ונשמרם

We also multiply 2 by itself; the result is 4; then 4 with 36; the result is 144.

גם נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הל"ו ויעלו קמ"ד

We divide the reserved 225 by 144; the result is one integer and 81 parts of 144.

נחלק הרכ"ה השמורי' על הקמ"ד ויצא אחד שלם ופ"א חלקים מקמ"ד

Extract its root; it is 15 parts of 12, which is one integer and a quarter and this is the result of division of 5 times the root of 9 by 2 times the root of 36.

קח שרשם והם ט"ו חלקים מי"ב שהם אחד שלם ורביע וככה הוא היוצא מחלוק ה' כפלי שרש הט' על ב' כפלי שרש הל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot\sqrt{9}}{2\sdot\sqrt{36}}=\sqrt{\frac{5^2\sdot9}{2^2\sdot36}}=\sqrt{\frac{25\sdot9}{4\sdot36}}=\sqrt{\frac{225}{144}}=\sqrt{1+\frac{81}{144}}=1+\frac{1}{4}}}

Question: if one asks how do we know the result of division of a fraction or fractions of a root of a square by a fraction or fractions of a root of a square - without knowing their roots, then their fractions, then the result of their division by each other?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק שבר או שברי שרש מרובע מה על שבר או שברי שרש מרובע מה בלתי שנדע שרשם ואחר כך העולה משבריהם ואחר כך היוצא מחלוקם זה על זה זה

The example: if you want to know the result of division of 2-thirds of the root of 36 by 2-thirds of the root of 9, without knowing their root.

המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק ב' שלישיות שרש הל"ו על ב' שלישיות שרש הט' מבלתי שנדע שרשם

The answer:

We multiply 2-thirds by 2-thirds; the result is 4-ninths.

התשובה נכה הב' שלישיות עם הב' שלישיות ויעלו ד' תשיעיות

Then, we multiply 4-ninths by 36; the result is 16. We keep it.

ואחר כך נכה הד' תשיעיות עם הל"ו ויעלו י"ו ונשמרם

We multiply also the 2-thirds by themselves; the result is 4-ninths.

גם נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות

Then, we multiply 4-ninths by 9; the result is 4.

אחר זה נכה הד' תשיעיות עם הט' ויעלו ד‫'

We divide the reserved 16 by 4; the result is 4.

נחלק הי"ו השמורים על הד' ויצאו ד‫'

We extract its root; it is 2 and this is the result of division of two-thirds [of the root] of 36 by two-thirds [of the root] of 9

נקח שרשם והם ב' וככה הוא היוצא מחלוק שתי שלישיות הששה ושלשים על שתי שלישיות הט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{36}}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36}{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{9}\sdot36}{\frac{4}{9}\sdot9}}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of addition of a root of a square to a root of a square - without knowing the roots of these squares?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ שרש מרובע מה עם שרש מרובע מה לאיזה מרובע הם שרש מבלתי שנדע שרשי אותם המרובעים

The answer:

We add the square to the square and keep the result.

התשובה נקבץ המרובע עם המרובע והעולה נשמרהו

We also multiply the square by the square and take double the root of the result.

גם נכה המרובע עם המרובע והעולה נקח ממנו כפל שרשו

We add it to the reserved and the root of the sum is the result of addition of the roots of the two squares.

ונחברהו עם השמור ושרש המחובר הוא העולה מקבוץ שרשי שני המרובעים

The example: if you want to know the root of which square is the result of addition of the root of 16 to the root of 36.

המשל בזה אם רצית לדעת העולה מקבוץ שרש הי"ו עם שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש

We add 36 to 16; the result is 52. We keep it.

נקבץ הל"ו עם הי"ו ויעלו נ"ב ונשמרם

We also multiply 16 by 36; the result is 576.

גם נכה הי"ו עם הל"ו ויעלו תקע"ו

We take double its root; it is 48.

ונקח כפל שרשו והם מ"ח

We add 48 to the reserved 52; the result is one hundred and this is the required square.

נחבר המ"ח עם הנ"ב השמורים ויעלו מאה וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}+\sqrt{36}=\sqrt{16+36+2\sdot\sqrt{16\sdot36}}=\sqrt{52+2\sdot\sqrt{576}}=\sqrt{52+48}=\sqrt{100}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of addition of a multiple of a root of a square to a multiple of a root of a square - without knowing their roots first, then their multiples, then their sum?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ כפל או כפלי שרש מרובע מה עם כפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזו מרובע הם שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך כפליהם ואחר כן העולה מקבוצם

The example: if you want to know the root of which square is the sum of two times the root of 9 with 3 times the root of 16?

המשל בזה אם רצית לדעת העולה משני כפלי שרש הט' עם ג' כפלי שרש הי"ו לאיזו מרובע הוא שרש

The answer:

We multiply 2 by itself; the result is 4; 4 by 9; the result is 36. We keep it.

התשובה נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הט' ויעלו ל"ו ונשמרם

We also multiply 3 by itself; the result is 9; 9 by 16; the result is 144. We keep it.

גם נכה הג' עם עצמם ויעלו ט' והט' עם הי"ו ויעלו קמ"ד ונשמרם

Then, we sum up the reserved; the result is 180. We keep it.

אח"ז נחבר השמורים ויעלו ק"פ ונשמרם

We multiply 36 by 144; the result is 5184 and its root is 72.

אחר זה נכה הל"ו עם הקמ"ד והעולה הוא חמשה אלפים וקפ"ד ושרשם ע"ב

We take its double; it is 144. We add it to the reserved 180; the result is three hundred and twenty-four and this is the required square.

נקח כפלו והוא קמ"ד נחברם עם הק"פ השמורים ויעלו שלש מאות וארבעה ועשרים וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{9}\right)+\left(3\sdot\sqrt{16}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left(2^2\sdot9\right)+\left(3^2\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(2^2\sdot9\right)\sdot\left(3^2\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4\sdot9\right)+\left(9\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(4\sdot9\right)\sdot\left(9\sdot16\right)}}=\sqrt{36+144+2\sdot\sqrt{36\sdot144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{180+2\sdot\sqrt{5184}}=\sqrt{180+\left(2\sdot72\right)}=\sqrt{180+144}=\sqrt{324}\\\end{align}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the result of addition of a fraction or fractions of a root of a square to a fraction or fractions of a root of a square - without knowing their roots first, then their fractions, then the sum of their fractions, then its square?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ שבר או שברי שרש מרובע מה עם שבר או שברי שרש מרובע מה לאיזו מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך שבריהם ואחר כך העולה מקבוץ שבריהם ואחר כך מרובעו

The example: if you want to know the root of which square is the sum of two-thirds the root of 9 with 3-quarters the root of 16?

המשל בזה אם רצית לדעת העולה מקבוץ שני שלישי שרש הט' עם ג' רביעיות שרש הי"ו לאיזו מרובע הם שרש

The answer:

We multiply 2-thirds by themselves; the result is 4-ninths; we multiply them by 9; the result is 4. We keep it.

התשובה נכה השתי שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות ואחר זה נכם עם הט' ויעלו ד' ונשמרם

We also multiply 3-quarters by themselves; the result is nine parts of 16; we multiply them by 16; the result is nine. We keep it.

גם נכה הג' רביעיות עם עצמם ויעלו תשעה חלקים מי"ו ואח"ז נכם עם הי"ו ועלו תשעה ונשמרם

Then, we sum up the two reserved; the result is 13. We keep it.

אחר זה נחבר השני שמורים ויעלו י"ג ונשמרם

We multiply also 9 by 4; the result is 36.

גם נכה הט' עם הד' ויעלו ל"ו

We take double its root, which is 12, and add it to the reserved 13; the result is 25 and this is the required square.

נקח כפל שרשם והם י"ב נחברם עם הי"ג השמורים ויעלו כ"ה וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\sqrt{16}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]+\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2\sdot16\right]+2\sdot\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2\sdot16\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)+\left(\frac{9}{16}\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)\sdot\left(\frac{9}{16}\sdot16\right)}}=\sqrt{4+9+2\sdot\sqrt{4\sdot9}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+2\sdot\sqrt{36}}=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}\\\end{align}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the remainder from subtraction a root of a square [from a root of a square - without knowing their roots?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מחסור שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם לאיזו מרובע הוא שרש

The answer: we add the square to the square and keep the sum. Then we multiply the square by the square and take double the root of the product. We subtract it from the reserved and the remainder is the required.

התשובה נקבץ המרובע עם המרובע והעולה נשמרהו אחר זה נכה המרובע עם המרובע והעולה נקח ממנו שני כפלי שרשו ונגרעהו מהשמור והנשאר הוא המבוקש

The example: if you want to know the root of which square is the remainder from subtraction of the root of 16 from the root of 36?

המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור שרש הי"ו משרש הל"ו לאיזה מרובע הוא שרש

We sum 36 with 16; it is 52. We keep it.

הנה נקבץ הל"ו עם הי"ו והם נ"ב ונשמרם

Then, we multiply 16 by 36; the result is [5]76.

אחר זה נכה הי"ו עם הל"ו ויעלו תתקע"ו

We take double its root, which is 48, and subtract it from the reserved 52; four remains and this is the required square.

ונקח כפל שרשם שהם מ"ח ונגרעם מהנ"ב השמורים וישארו ארבעה וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}-\sqrt{16}=\sqrt{16+36-2\sdot\sqrt{16\sdot36}}=\sqrt{52-2\sdot\sqrt{576}}=\sqrt{52-48}=\sqrt{4}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the remainder from subtraction a multiple of a root of a square from a multiple of a root of a square - without knowing their roots first, then their multiples, then the remainder from subtraction of a multiple from a multiple, then the square of the remainder?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מח[ס]ור כפל או כפלי שרש מרובע מה מכפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולים מכפליהם ואחר כך הנשאר מחסור העולה מהעולה ואחר כך מרובע הנשאר

The answer: we multiply each by itself, then the product by its square. We add a product to a product and keep it. Then, we multiply a product by a product and take 2 times the root of the result. We subtract it from the reserved and the remainder is the required square. Its root is the required remainder.

התשובה נכה מספר כל אחד מהם עם עצמם והעולה עם מרובעו אחר כך נחבר העולה עם העולה ונשמרהו אחר כן נכה העולה עם העולה והעולה נקח ב' כפלי שרשו ונגרעם מהשמור והנשאר הוא המרובע המבוקש ושרשו הוא הנשאר המבוקש

The example: if you want to know the root of which square is the remainder from subtraction of two times the root of 16 from three times the root of 36?

המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור שני כפלי שרש הי"ו משלשה כפלי שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש

We multiply 2 by itself; the result is 4; then, 4 by 16; the result is 64. We keep it.

הנה נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הי"ו ויעלו ס"ד ונשמרם

We also multiply 3 by 3; the result is 9; then, 9 by 36; the result is 324.

גם נכה הג' עם הג' ויעלו ט' והט' עם הל"ו ויעלו שכ"ד

We add 324 to the reserved 64; the result is 384. We keep it.

ונחבר השכ"ד עם הס"ד השמורים ויעלו שפ"ח ונשמרם

Then, we multiply 64 by 324; the result is 20736.

אחר זה נכה הס"ד עם השכ"ד ויעלו כ' אלפים תשל"ו

We take two times its root; it is 288.

ונקח שני כפלי שרשם והם רפ"ח

We subtract it from the reserved 388; one hundred remains and this is the required square.

נגרעם מהשפ"ח השמורים וישאר מאה וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3\sdot\sqrt{36}\right)-\left(2\sdot\sqrt{16}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left(3^2\sdot36\right)+\left(2^2\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(3^2\sdot36\right)\sdot\left(2^2\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(9\sdot36\right)+\left(4\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(9\sdot36\right)\sdot\left(4\sdot16\right)}}=\sqrt{324+64-2\sdot\sqrt{324\sdot64}}\\&\scriptstyle=\sqrt{388-2\sdot\sqrt{20736}}=\sqrt{388-288}=\sqrt{100}\\\end{align}}}

Question: if one asks how do we know the root of which square is the remainder from subtraction a fraction, or fractions of a root of a square from a fraction or fractions of a root of a square - without knowing their roots first, then the remainder from subtraction of one from the other, then the square of the remainder?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מחסור שבר או שברי שרש מרובע מה משבר או שברי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע תחלה שרשיהם ואחר כך הנשאר מחסור האחד מהאחר ואחר כך מרובע הנשאר

The answer: we multiply the fractions of one square by themselves, then the product by its square. We do the same with the [fractions] of the other square and keep it. We Sum up the two reserved. We keep the sum and it is called the second reserved. Then, we multiply the first two reserved by each other and take two times the root of the product. We subtract it from the second reserved and the remainder is the required square.

התשובה נכה שברי המרובע האחד עם עצמו והעולה עם מרובעו וההווה נשמרהו וכן נעשה גם בכפלי המרובע השני ונשמרהו ונחבר שני השמורים והעולה נשמרהו ויקרא השמור השני

אחר כך נכה שני השמורים הראשונים זה עם זה והעולה נקח שני כפלי שרשם ונגרעם מהשמור השני והנשאר הוא המרובע המבוקש

The example: if you want to know the root of which square is the remainder from subtraction of half the root of 16 from two-thirds of the root of 36?

המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור חצי שרש הי"ו משתי שלישיות שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש

We multiply half by itself; the result is a quarter; we multiply it by 16; the result is 4. We keep it.

הנה נכה החצי עם עצמו ויעלה רביעית אחת נכהו עם הי"ו ויעלו ד' ונשמרם

We multiply also 2-thirds by themselves; the result is 4-ninths; we multiply it by 36; the result is 16. We keep it.

גם נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות נכם עם הל"ו ויעלו י"ו ונשמרם

Then, we sum up the two reserved, which are 4 and 16; the result is 20. We keep it and it is called the second reserved.

אחר כך נחבר השני שמורים שהם הד' והי"ו ויעלו כ' ונשמרם ויקרא השמור השני

We also multiply 4 by 16; the result is 64.

גם נכה הד' עם הי"ו ויעלו ס"ד

We take double the root of 64; it is 16.

ונקח כפל שרש הס"ד שהם י"ו

We subtract it from 20, which is the second reserved; 4 remains and this is the required square.

ונגרעם מהכ' שהוא השמור השני וישארו ד' וזהו המרובע הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{36}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{16}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16\right]-2\sdot\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot36\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{16+4-2\sdot\sqrt{16\sdot4}}=\sqrt{20-2\sdot\sqrt{64}}=\sqrt{20-16}=\sqrt{4}\\\end{align}}}

Divide a Number Problems

Question: if one asks how do we know how to divide ten or whichever number into two [or three] different parts in such a way that the product of the greater part by itself is the same as the product of the greater part by the smaller part, or the same and a fraction, or a multiple and a fraction, or a fraction alone?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=n\\\scriptstyle b^2=m\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}

שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה שנים ושלשים חלקים מתחלפים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן או כמוהו ושבר או כפלים ושבר או שבר לבד

The answer: we add the number or multiple and the fraction to [one] and divide the number divided into the two parts by the sum; the result is one of the two parts.

\scriptstyle{\color{Olive Green}{a=\frac{n}{m+1}}}

התשובה שנחבר מספרי הכפלי' או הכפלים והשבר עם המתייחס אליו והעולה נחלק עליהם המספר הנחלק לשני החלקים והיוצא הוא החלק האחד משני חלקים

The example: if you want to divide ten into two different parts, so that the square of the greater part is the same as three and a third times the product of the greater part by the smaller part.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}

המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים מתחלפים כשיהיה מרובע החלק הגדול שלשה ושליש כמו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן

We add the three and a third to one, which is the product of the greater by the smaller; it is 4 and a third.

הנה נחבר השלשה ושליש עם האחד שהוא העולה מהכאת הגדול בקטן והם ד' ושליש

We divide ten by it; the result is 2 and 4-thirteenths and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\left(3+\frac{1}{3}\right)+1}=\frac{10}{4+\frac{1}{3}}=2+\frac{4}{13}}}

ונחלק עליהם העשרה ויצאו ב' וארבעה יגיי"ם וזהו החלק הקטן

The greater part remaining is seven and nine-thirteenths.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(2+\frac{4}{13}\right)=7+\frac{9}{13}}}

וישאר החלק הגדול שבעה ותשעה יגיי"ם

Similarly: if you want to divide ten into two different parts, so that the square of the [smaller] part is a fifth of the product of the greater by the smaller.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\frac{1}{5}\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים מתחלפים כשיהיה מרובע החלק הגדול חמישית העולה מהכאת הגדול בקטן

We add the fifth to one, which is the product of the greater by the smaller; it is one and a fifth.

הנה נחבר החמישית עם הא' שהוא העולה מהכאת הגדול בקטן והוא אחד וחמישית

We divide 10 by it; the result is eight and a third and this is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10}{\frac{1}{5}+1}=\frac{10}{1+\frac{1}{5}}=8+\frac{1}{3}}}

נחלק עליהם הי' ויצאו שמנה ושליש וזהו החלק הגדול

The remainder is one and two-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}}}

והנשאר הוא אחד ושתי שלישיות

Question: if one asks how do we know how to divide ten or whichever number into two different parts in such a way that when we divide the greater part by the smaller, the quotient is six, or seven, or any number we want?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזו מספר שיהיה לשנים חלקים מתחלפים באופן שכאשר נחלק החלק הגדול על החלק הקטן יהיה החלק היוצא ששה או שבעה או איזה מספר שנרצה

The answer: we add the quotient to the dividend, which is always one, then we divide ten, or whichever number it may be, by the sum; the result is one of the two parts.

התשובה שנחבר מספר החלק היוצא עם הנחלק שהוא אח' לעולם והעולה נחלק עליו העשרה או איזה מספר שיהיה והיוצא הוא החלק האחד מהשני חלקים

The example: if you want to divide ten into two different parts, so that when you divide the greater part by the smaller, the quotient is six.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=6\end{cases}

המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים שכשתחלק החלק הגדול על הקטן יצא החלק ששה

We add 6 to one, which is the dividend; the result is seven.

הנה נחבר הו' עם האחד שהוא המחולק ויעלו שבעה

We divide ten by it; the result is one and three-sevenths and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{6+1}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}

ונחלק עליהם העשרה ויצאו אחד ושלש שביעיות וזהו החלק הקטן

The remainder is 8 and four-sevenths and this is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(1+\frac{3}{7}\right)=8+\frac{4}{7}}}

והנשאר הוא ח' וארבע שביעיות והוא החלק הגדול

Similarly, if you want to divide ten [into two different parts], so that when we divide the greater by the smaller, the quotient is 6 and a third.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=6+\frac{1}{3}\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שכשנחלק הגדול על הקטן יצא החלק ו' ושליש

We add 6 and a third to the dividend, which is one; it is seven and a third.

הנה נחבר הו' ושליש עם המחלק שהוא אחד ויהיו שבעה ושליש

We divide 10 by it; the result is one and 8 parts of 22 and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\left(6+\frac{1}{3}\right)+1}=\frac{10}{7+\frac{1}{3}}=1+\frac{8}{22}}}

נחלק עליהם הי' ויצאו אחד וח' כביי"ם וזהו החלק הקטן

The remainder is 8 and 14 parts of 22 and this is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(1+\frac{8}{22}\right)=8+\frac{14}{22}}}

והנשאר הוא ח' וי"ד כביי"ם וזהו החלק הגדול

Also, if you want to divide ten [into two different parts], so that when we divide the smaller by the greater, the quotient is a fifth.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{5}\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שכשנחלק הקטן על הגדול יצא החלק חומש

We add the fifth to the one, which is the dividend; it is one and a fifth.

הנה נחבר החמישית עם האחד שהוא המחלק ויהיה אחד וחמישית

We divide 10 by it; the result is one and a third and this is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10}{\frac{1}{5}+1}=\frac{10}{1+\frac{1}{5}}=8+\frac{1}{3}}}

נחלק עליהם הי' ויצאו אחד ושליש והוא החלק הגדול

The remainder is one and two-thirds and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}}}

והנשאר הוא אחד ושתי שלישיות והוא החלק הקטן

Question: if one asks how do we know how to divide ten, or whichever number, into two [different] parts, in such a way that the square of the whole number is the same as the square of one of its two parts six and a quarter times, or whichever number [of times] you want?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לשנים חלקים באופן שיהיה מרובע המספר כלו כמו מרובע החלק הא' מב' חלקיו או ששה פעם ורביע או איזה שעור שתרצה

The answer: we divide the square of the whole number by the number of times of the square of its part, or the number of times and the fraction of the square of its part. Extract the root of the result and this is one part. The remainder is the other part.

התשובה שנחלק מרובע המספר כלו על מספר כפלי מרובע חלקו או על מספר כפליו ושבר מרובע חלקו והעולה קח שרשו והוא החלק הא' והנשאר הוא החלק האחר

The example: if you want to divide ten into two different parts, so that the square of 10 is 6 and a quarter times as the square of one of the two parts of ten.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot a^2\end{cases}

המשל בזה אם רצית לחלק העשרה על ב' חלקים מתחלפים באופן שיהיה מרובע הי' ו' ורביע פעם כמרובע החלק האחד משני חלקי העשרה

We divide the square of ten, which is 100, by 6 and a quarter; the result is 16 and its root is 4 and this is one part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{\frac{10^2}{6+\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{100}{6+\frac{1}{4}}}=\sqrt{16}=4}}

הנה נחלק מרובע העשרה שהם הק' על ו' ורביע ויצאו י"ו ושרשם ד' וזהו החלק האחד

The remainder, which is 6, is the other part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-4=6}}

והנשאר שהוא ו' הוא החלק האחר

Similarly: if you want to divide ten [into two different parts], so that the square of 10 is four times [the square of] its part.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=4\sdot a^2\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שיהיה מרובע העשרה ד' כפלי חלקו

We divide the hundred by four; the result is twenty-five and its root if five and this is one part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{\frac{10^2}{4}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5}}

הנה נחלק המאה על הארבעה ויצאו חמשה ועשרים ושרשם חמשה וזהו החלק האחד

The remainder if the second part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-5}}

והנשאר הוא החלק השני

Question: if you want to divide ten, or whichever number you want, into two [different] parts, in such a way that the square of the greater part is the same as two and a quarter times the square of the smaller part, or whichever number [of times] you want?

שאלה אם רצית לחלק העשרה או איזה מספר שתרצה לשנים חלקים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול כמו שנים ורביע ממרובע החלק הקטן או איזה שעור שתרצה

The answer: we extract the root of the multiple, or the multiple and the fraction. We add one to it. We divide the ten, or the required number, by the sum; the result is the smaller part and the remainder is the greater part.

התשובה שנקח שרש הכפלים או הכפלים והשבר ונחבר עליו אחד והעולה נחלק עליו העשרה או המספר המבוקש והיוצא הוא יהיה החלק הקטן והנשאר הוא החלק הגדול

The example: if you want to divide ten into two [different] parts, so that the square of the greater part is two and a quarter times the square of the smaller part.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(2+\frac{1}{4}\right)\sdot a^2\end{cases}

המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לשנים חלקים שיהיה מרובע החלק הגדול ב' פעמים ורביע כמו מרובע החלק הקטן

We extract the root of 2 and a quarter; it is one and a half.

נקח שרש הב' ורביע והוא אחד וחצי

We add one to it; it is two and a half.

ונחבר עליו אחד והוא שנים וחצי

We divide ten by it; the result is 4 and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{1+\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{10}{1+\left(1+\frac{1}{2}\right)}=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}

ונחלק עליהם העשרה ויצאו ד' וזהו החלק הקטן

The remainder, which is 6, is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-4=6}}

והנשאר שהוא הו' הוא החלק הגדול

Similarly, if you want to divide ten into two [different] parts, so that the square of the greater part is 3 and 22 parts of 49 times the square of the smaller part.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(3+\frac{22}{49}\right)\sdot a^2\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיהיה מרובע החלק הגדול ג' פעמים וכ"ב מטיי"ם כמרובע החלק הקטן

We extract the root of 3 and 22 parts of 49; it is 13-sevenths, which is one and 6-sevenths.

הנה נקח שרש הג' וכ"ב מטיי"ם והוא י"ג שבועיי"ם שהם אחד וו' שבעיים

We add one to it; it is 2 and six-sevenths.

ונחבר עליהם אחד והם ב' ושש שביעיות

We divide 10 by it; the result is 3 and a half and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{1+\sqrt{3+\frac{22}{49}}}=\frac{10}{1+\left(1+\frac{6}{7}\right)}=\frac{10}{2+\frac{6}{7}}=3+\frac{1}{2}}}

נחלק עליהם הי' ויצאו ג' וחצי וזהו החלק הקטן

The remainder is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(3+\frac{1}{2}\right)}}

והנשאר הוא החלק הגדול

Question: if one asks how do we know how to divide ten or whichever number into two different parts in such a way that the square of the greater part is equal to the product of the smaller part by 9, or by 10, or by whichever number you want?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לשני חלקים מתחלפים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול שוה לעולה מהכאת החלק הקטן בט' או בי' או באיזה מספר שתרצה

התשובה שנקח העולה מהכאת הי' או איזה מספר שיהיה מוכה בו החלק הקטן ונוסיף עליו העולה מהכאת חצי התשעה עם עצמם או איזה מספר שיהיה מוכה בו החלק הקטן והעולה נקח שרשו אחר זה נגרע מהשרש הזה חצי הט' או המספר המוכה עם החלק הקטן והנשאר הוא החלק הגדול נגרעהו מהמספר הנחלק והנשאר הוא החלק הקטן

The example: if you want to know how to divide ten into two parts in such a way that the square of the greater part of it is equal to the product of the smaller part by 9?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=9\sdot b\end{cases}

המשל בזה אם רצית לדעת היאך נחלק העשרה לשני חלקים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול ממנו שוה לעולה מהכאת החלק הקטן ממנו עם ט‫'

הנה נקח העולה מהכאת העשרה עם התשעה והם תשעים ונחברם עם העולה מהכאת חצי הט' בעצמם שהם כ' ורביע ויעלו ק"י ורביע ושרשם י' ורביע נגרע מהם חצי הט' וי[שאר]ו ו' וזהו החלק הגדול נגרעם מהעשרה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\sqrt{\left(10\sdot9\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=\sqrt{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=6\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{b=10-6=4}}

וישארו ד' וזהו החלק הקטן

Similarly: if you want to know how to divide ten into two parts in such a way that the square of the greater part is equal to the product of the smaller part by 48 and a sixth?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(48+\frac{1}{6}\right)\sdot a\end{cases}

וכן אם רצית לדעת היאך נדע לחלק העשרה לשני חלקי' באופן שיהיה מרובע החלק הגדול שוה לעולה מהכאת החלק הקטן עם מ"ח וששית

הנה נקח העולה מהכאת העשרה עם המ"ח וששית והם תפ"א וב' שלישיות ונחברם עם העולה מהכאת חצי המ"ח וששית בעצמם שהם תק"פ וחלק אחד מקמ"ד חלקי השלם ויעלו אלף וס"א שלמים וצ"ז חלקים מקמ"ד חלקי השלם נקח שרשם והם שנים ושלשים שלמים ושבעה יביי"ם נגרע מהם חצי המ"ח וששית שהם כ"ד ויבי"י אחד וישארו שמנה שלמים וחצי וזהו החלק הגדול

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\sqrt{\left[10\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]^2}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]=\sqrt{\left(481+\frac{2}{3}\right)+\left(24+\frac{1}{12}\right)^2}-\left(24+\frac{1}{12}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(481+\frac{2}{3}\right)+\left(580+\frac{1}{144}\right)}-\left(24+\frac{1}{12}\right)=\sqrt{1061+\frac{97}{144}}-\left(24+\frac{1}{12}\right)\\&\scriptstyle=\left(32+\frac{7}{12}\right)-\left(24+\frac{1}{12}\right)=8+\frac{1}{2}\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}}}

נגרעהו מהעשרה וישארו אחד וחצי וזהו החלק הקטן

Question: if one asks how do we know how to divide ten or whichever number into two different parts in such a way that the product of the greater part by the smaller part is twenty-one, or whichever number you want?

שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לב' חלקים מתחלפים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן אחד ועשרים או איזה מספר שתרצה

התשובה שנקח מרובע חצי המספר הנחלק ונגרע ממנו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן והנשאר נקח שרשו ונוסיפהו על חצי המספר הנחלק והעולה הוא החלק הגדול ותגרע החלק הגדול מהמספר הנחלק והנשאר הוא החלק הקטן

The example: if you want to divide ten into two parts, so that the product of the two parts by each other is 21?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}

המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיעלה מהכאת ב' החלקי' זה עם זה כ"א

הנה נקח מרובע חצי העשרה והם כ"ה ונגרע מהם הכ"א וישארו ד' ונקח שרשם והם ב' ונוסיפם על הה' ויעלו שבעה וזהו החלק הגדול

\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+\sqrt{5^2-21}=5+\sqrt{25-21}=5+\sqrt{4}=5+2=7}}

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-7=3}}

נגרעם מהי' וישארו ג' וזהו החלק הקטן

Similarly: if you want to divide ten into two parts, so that their product [by each other] is twenty-four integers and 3-quarters?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=24+\frac{3}{4}\end{cases}

וכן אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיעלה מהכאתם ארבעה ועשרים שלמים וג' רביעיות

הנה נקח מרובע חצי העשרה והם כ"ה ונגרע מהם הכ"ד וג' רביעיות וישאר רביעית אחד ונקח שרשו והוא חצי ונחברהו על החמשה ויעלו ה' וחצי וזהו החלק הגדול נגרעם מהי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\left(24+\frac{3}{4}\right)}=5+\sqrt{5^2-\left(24\frac{3}{4}\right)}=5+\sqrt{25-\left(24\frac{3}{4}\right)}=5+\sqrt{\frac{1}{4}}=5+\frac{1}{2}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(5+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{2}}}

וישארו ד' וחצי וזהו החלק הקטן

Find a Number Problem

Question: if one asks what is the number, so that when we add to it 8, for example, or any number, then we multiply the sum by 4, for example, or by any number, the result will be equal to the square of that number?

\scriptstyle m\sdot\left(a+n\right)=a^2

שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשנוסיף עליו ח' על דרך משל או איזה מספר שיהיה ונכה המקובץ עם ד' על דרך משל או עם איזה מספר שיהיה והעולה יהיה שוה למרובע המספר ההוא

התשובה שנקח מרובע חצי המספר אשר יוכה בו המספר המקובץ ונוסיפהו על העולה מהכאת כל המספר אשר יוכה בו המקובץ עם המספר הנוסף על המספר המבוקש והעולה נקח שרשו ונוסיפהו על חצי המספר אשר יוכה בו המקובץ והעולה הוא המספר המבוקש

The example: if you want to know what is the number whose square equals the product of 4 by the sum of that number with 8.

\scriptstyle a^2=4\sdot\left(a+8\right)

המשל בזה אם רצית לדעת איזהו המספר אשר יהיה מרובעו שוה לעולה מהכאת הד' עם המספר ההוא מחובר עם ח‫'

הנה נקח מרובע חצי הד' והם ד' ונוסיפם על העולה מהכאת הד' בח' שהם שנים ושלשים ויעלו ל"ו ונקח שרשם והם ו' ונוסיפם על חצי הד' ויעלו ח' וזהו המספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+\left(4\sdot8\right)}=2+\sqrt{2^2+32}=2+\sqrt{4+32}=2+\sqrt{36}=2+6=8}}

Likewise, if you want to know the number whose square equals the product of three and 10-thirteenths by the sum of that number with 6.

\scriptstyle a^2=\left(3+\frac{10}{13}\right)\sdot\left(a+6\right)

וכן אם רצית לדעת המספר אשר יהיה מרובעו שוה לעולה מהכאת השלשה וי' יגיי"ם עם המספר ההוא מחובר עם ו‫'

הנה נקח חצי הג' ועשרה יגיי"ם עם המספר ההוא מחובר עם ו' הנה נקח חצי הג' ועשרה יגיי"ם והם אחד וכ"ג כויי"ם ומרובעו ג' שלמים ושע"ג חלקים מתרע"ו ונוסיפם על העולה מהכאת הג' ועשרה יגיי"ם עם הו' שהם כ"ב שלמים וח' יגיי"ם והם כ"ו שלמים וקי"ג חלקים מתרע"ו נקח שרשם והם ה' שלמים וג' כויי"ם נוסיפם על חצי הג' ועשרה יגיי"ם שהם אחד וכ"ג כויי"ם ויעלו ח' שלמים וזהו המספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle= \left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\frac{10}{13}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\frac{10}{13}\right)\right]^2+ \left[\left(3+\frac{10}{13}\right)\sdot6\right]}= \left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{23}{26}\right)^2+\left(22+\frac{8}{13}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{373}{676}\right)+\left(22+\frac{8}{13}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{26+\frac{113}{676}}=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\left(5+\frac{3}{26}\right)={\color{red}{7}}\\\end{align}}}

Pursuit Problem

Question: If the king sends a messenger to a place, who walks ten mil every day and immediately he sends another messenger after him, who walks one mil on the first day, two mil on the second day, three on the third day, four on the fourth day and so on.

when will he catch up with him?

שאלה אם שלח המלך רץ אחד אל מקום אחד שמהלכו בכל יום עשר מילין ותכף שלח רץ אחר אחריו מהלכו ביום ראשון מיל אחד וביום השני שני מילין וביום השלישי שלשה וביום הרביעי ארבעה וכן תמיד

מתי ישיגנו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot2\right)-1=20-1=19}}

התשובה שנכפול מספר המילין שהולך הרץ הראשון בכל יום והם כ' ונשליך אחד וישארו י"ט וזהו מספר הימים שישיגנו

וכן אם היה מהלך הראשון על דרך משל תשעה מילין

\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot2\right)-1=18-1=17}}

נכפול התשעה ויעלו שמנה עשר ונשליך אחד וישארו שבעה עשר וזהו מספר הימים שישיגנו

Multiple Quantities Problem

Question: someone divides his property among his sons.

He instructs that the first will take one zahuv of his money first, then a tenth of the remainder; the second will take two zehuvim of what remains from the first, then he will take a tenth of the remainder; the third will take three zehuvim of what remains from the first, then he will take a tenth of the remainder; so on by this order; the last of his sons will take all that is left from the former ones.

We find that all took the same according to this arrangement.

How much is the money and how many are the sons?

שאלה מי שחלק נכסיו לבניו וצוה שיקח הראשון מממונו זהוב אחד בראשונה ומהנשאר עשיריתו והשני יקח שני זהובים מהנשאר מהראשון ואחר כך יקח עשירית הנשאר והשלישי יקח שלשה זהובים מהנשאר מהשני ואחר כך יקח עשירית הנשאר וכן תמיד על זה הסדר והאחרון מבניו יקח כל הנשאר מהקודמים ונמצא עם הסדר הזה לקחו הכל בשוה

כמה היה הממון וכמה היו הבנים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\longrightarrow10-1=9}}

התשובה שתגרע אחד מהמספר הנגזר ממנו והשבר הלקוח מהמותר והנשאר הוא מספר הבנים

ומרובע זה המספר הוא הממון ומפני שבמשלנו זה היה השבר הלקוח מהמותר עשירית ומספר העשרה הוא המספר הנגזר ממנו העשירית גרענו אחד מהעשרה ונשארו תשעה וככה הוא מספר הבנים

\scriptstyle{\color{blue}{9^2=81}}

ומרובע הט' הם פ"א וככה הוא הממון

וכן אם היה החלוק כשיקח הראשון אחד ומהנשאר שביעיתו במקום עשיריתו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\longrightarrow7-1=6}}

הנה המספר הנגזר ממנו שם השביעית הוא הז' נגרע ממנו אחד וישארו ששה וככה הוא מספר הבנים

\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}

ומרובע הו' הם ל"ו וככה הוא הממון

Find a Number Problems

Question: if one asks: what is the number that when counted by twos - one remains; by threes - 2 remains; by fours - 3 remains; by fives - 4 remains; by sixes - 5 remains; and by sevens - nothing remains.

שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישארו א' ומג' ג' ישארו ב' ומד' ד' ישארו ג' ומה' ה' ישארו ד' ומו' ו' ישארו ה' ומז' ז' לא ישארו כלום

התשובה שנבקש קטון המספר שימנוהו הב' והג' והד' והה' והו' והוא מספר ס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{60-1=59}}

אחר זה נחסר מס' א' ובהכרח שיחסרו ממנין כל מספר ומספר ממספרי ב' ג' ד' ה' ו' אחד

\scriptstyle{\color{blue}{59=2\sdot n_1-1\longrightarrow59mod2=1}}

רוצה לומר שמב' ב' יחסר אחד

\scriptstyle{\color{blue}{59=3\sdot n_2-1\longrightarrow59mod3=2}}

ומג' ג' יחסר אחד ואם כן ישארו ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{59=4\sdot n_3-1\longrightarrow59mod4=3}}

ומד' ד' יחסר אחד ואם כן ישארו ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{59=5\sdot n_4-1\longrightarrow59mod5=4}}

ומה' ה' יחסר אחד ואם כן ישארו ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{59=6\sdot n_5-1\longrightarrow59mod6=5}}

ומו' יחסר אחד ואם כן ישארו ה' וזהו המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{60mod7=4}}

אך מפני שהונח במשלנו זה מז' ז' לא ישאר דבר הנה נצטרך לחלק מספר הס' על מספר הז' ונעיין במותר מהחלוק שהם הד' כמה פעמים יכפל עד שכשיחסר מהעולה אחד ישארו ז' שלמים וראינו שהם ב' כי ב' פעמים ד' הם שמנה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)-1=8-1=7}}

וכשיחוסר ממנו אחד ישארו שבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot60\right)-1=120-1=119}}

ולכן הכינו הס' בב' ועלו ק"כ חסרנו מהם א' ונשארו קי"ט וזהו המבוקש

Likewise: if one asks: what is the number that when counted by twos - one remains; by threes - two remains; by fours - three remains; and by fives - nothing remains.

וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישארו אחד ומג' ג' ישארו שנים ומד' ד' ישארו שלשה ומה' ה' לא ישאר דבר

הנה נבקש קטון המספר שימנוהו הב' והג' והד' והם י"ב אחר זה נחסר מהי"ב אחד ובהכרח שיחסר ממנין כל מספר ומספר ממספרי ב' ג' ד' אחד רוצה לומר שמב' ב' יחסר אחד ואם כן ישאר אחד ומג' ג' יחסר אחד ואם כן ישארו ג' וזהו המבוקש אך מפני שהונח במשלנו זה שמה' ה' לא ישאר דבר הנה נצטרך לחלק הי"ב על הה' ונעיין במותר מהחלוק שהם הב' כמה פעמים יכפל עד שכשיחסר מהעולה אחד ישארו ה' וראינו שהם ג' פעמים כי ג' פעמים ב' הם ו' וכשיחסר מהם אחד ישארו ה' ולכן הכינו הי"ב בה' ועלו ל"ו גרענו מהם אחד ונשארו חמשה ושלשים וזהו המבוקש

Question: if one asks: what is the number that when counted by twos - one remains; by threes - one remains; by fours - one remains; by fives - one remains; by sixes - one remains; and by sevens - nothing remains.

שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד ומד' ד' ישאר אחד ומה' ה' ישאר אחד ומו' ו' ישאר אחד ומז' לא ישאר דבר

\scriptstyle{\color{blue}{60+1=61}}

תשובה שנבקש המספר היותר קטן שימנוהו ב ג ד ה ו והם ששים ונוסיף עליו אחד ויהיו ס"א ובהכרח שישארו מכל מספרי ב ג ד ה ו אחד רוצה לומר שמב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד וכן מכל מספרי ב ג ד ה ו וזהו המבוקש

אך מפני שהונח במשלנו זה שמז' ז' לא ישאר דבר על כן נצטרך לחלק הס' על הז' ונעיין במותר מהחלוק שהם הד' כמה פעמים יכפל עד כשנוסיף על העולה א' יהיה המחובר נמנה ממספר הז' וראינו שהם ה' כי ד' פעמים ה' הם עשרים וכשנוסיף עליו אחד יהיו הכל כ"א ומספר כ"א נמנה ממספר הז' ולכן הכינו הס' בה' ועלה ש' הוספנו עליו אחד והם ש"א וזהו המבוקש

Likewise: if one asks: what is the number that when counted by twos - one remains; by threes - one remains; by fours - one remains; and by fives - nothing remains.

וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד ומד' ד' ישאר אחד ומה' ה' לא ישאר דבר

הנה נבקש המספר הקטן אשר ימנוהו מספרי ב' ג' ד' והוא י"ב נחלק הי"ב על ה' ה' ונקח המותר מהחלוק שהם הב' במשלנו זה ונעיין עליו כמה פעמים יכפל ויהיה העולה כשנוסיף עליו אחד נמנה ממספר ה' ומצאנו שהם ב' כי ב' פעמים ב' הם ד' ועם תוספת הא' הם חמשה והנה מספר ה' מונהו ולכן נכה הי"ב עם הב' ויעלו עשרים וארבע ונוסיף עליו אחד ויעלו כ"ה וזהו המספר המבוקש

Question: if one asks: what is the number that when counted by twos - one remains; by threes - 2 remains; by fours - 3 remains; by fives - one remains; by sixes - five remains; by sevens - one remains; by eights - 7 remains; by nines - eight remains; and by tens - one remains.

שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אח' ומג' ג' ישארו ב' ומד' ד' ישארו ג' ומה' ה' ישאר אחד ומו' ו' ישארו חמשה ומז' ז' ישאר אחד ומח' ח' ישארו ז' ומט' ט' ישארו שמנה ומי' י' ישאר אחד

The answer:

We subtract the remainder of the last number [from the required number], as one in our example, which is the remainder of the tens. So, all the remainders differ from the original remainders by subtraction of one, that is to say:

התשובה שנגרע המותר מהמספר האחרון כמו האחד במשלנו זה שהוא המותר מי' י' ויהיו כל המותרים מתחלפים מהמותרי' הראשונים במגרעת אחד

From twos - nothing remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod2=0}}

רוצה לומר שמב' ב' לא ישאר דבר

From threes - one remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod3=1}}

ומג' ג' ישאר אחד

From fours - two remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod4=2}}

ומד' ד' ישארו שנים

From fives - nothing remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod5=0}}

ומה' ה' לא ישאר דבר

From sixes - four remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod6=4}}

ומו' ו' ישארו ארבעה

From sevens - nothing remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod7=0}}

ומז' ז' לא ישאר דבר

From eights - six remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod8=6}}

ומח' ח' ישארו ששה

From nines - 7 remains;

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod9=7}}

ומט' ט' ישארו ז‫'

And from tens - nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod10=0}}

ומי' י' לא ישאר דבר

Since nothing remains from the last number, which is 10 in our example, when we subtract one, we assume that the number that remains from the required number, after we subtract one from it, is 10.

ולהיות שהמספר האחרון שהוא הי' במשלנו לא ישאר ממנו דבר אחר שגרענו אחד לכן נניח שהמספר הנשאר אחר מגרעת אחד מהמספר המבוקש הוא י‫'

We examine the remainders from it:

ונדרוש המותרים ממנו

We see that by nines - one remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod9=1}}

וראינו שמט' ט' ישאר אחד

By eights - two remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod8=2}}

ומח' ח' ישארו שנים

By sevens - 3 remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod7=3}}

ומז' ז' ישארו ג‫'

By sixes - four remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod6=4}}

ומו' ו' ישארו ארבעה

By five - nothing remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod5=0}}

ומה' ה' לא ישאר דבר

By fours - two remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod4=2}}

ומארבעה ארבעה ישארו שנים

By threes - 1 remains;

\scriptstyle{\color{blue}{10mod3=1}}

ומשלשה שלשה ישאר א‫'

And by twos - nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{10mod2=0}}

משנים שנים לא ישאר דבר

Then, we examine these remainders: by which multiple they should all be multiplied so that the remainders from [their products] will be equal to the remainders from the required number, after subtracting one from it. Then, we will multiply the number assumed by this multiple, add the subtracted one to it and [the result] will be the required number.

אחר זה עייננו במותרים האלו באיזה מין כפלים יכפלו כלם יחד עד שישוו המותרים מהעולים מהם למותרים מהמספר המבוקש אחרי מגרעת האחד ממנו ועם מספר הכפלים ההם נכפול המספר המונח ונוסיף עליו האחד הנגרע והוא המספר המבוקש

So, we examine the remainder from the assumed number, which is 10, [after subtracting] the nines; it is one.

\scriptstyle{\color{blue}{10mod9=1}}

ולכן עייננו במותרים הט' הט' מהמספר המונח שהוא הי' והיה אחד

We also examine the remainder from the required number minus one [after subtracting] the nines; it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a-1\right)mod9=7}}

גם עייננו אל הנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש אחר הא' ממנו והיה ז‫'

וחוייב מזה בהכרח שיהיה מספר הכפלים אשר יכפל בו האחד הנשאר מהמספר המונח אשר יהיה הנשאר מהט' ט' מהעולה ממנו שוה לנשאר מהט' ט' מהמספר המבוקש הוא מספר ז' מפני שהעולה מז' פעמים א' הוא שבעה והנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש הם שבעה

אך ראוי לעיין גם במותרי' האחרים הנשארי' מהי' אם ישוו אחדי הכפלים עם הז' כפלים למותרי' המספר המבוקש ואז נגזור במאמר פוסק שמספר הכפלים אשר יכפול בו מספר הד' הוא ז' כפלים

So, we examine the remainder from 10 [after subtracting] the eights; it is 2.

ולכן עייננו אל המותר הנשאר מח' ח' ממספר הי' והם ב‫'

We multiply it by 7; the result is 14.

הכינום עם ז' ויעלו י"ד

We subtract the eights from it; 6 remains, as it remains from the required number [after subtracting] the eights.

גרענו מהם ח' ח' ונשארו ו' כמו שנשארו מח' ח' מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot7\right]mod8=\left(2\sdot7\right)mod8=14mod8=6=\left(a-1\right)mod8}}

We also multiply the three that remains from 10 [after subtracting] the sevens by 7; the result is [21].

גם כפלנו השלשה הנשארים מז' ז' ממספר הי' עם ז' ועלו ב‫'

We subtract the sevens from it; nothing remains, as nothing remains from the required number [after subtracting] the sevens.

גרענו מהם ז' ז' ולא נשאר דבר כמו שלא נשאר דבר מז' ז' מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod7\right)\sdot7\right]mod7=\left(3\sdot7\right)mod7=21mod7=0=\left(a-1\right)mod7}}

We also multiply the 4 that remains from 10 [after subtracting] the sixes by 7; the result is 28.

גם כפלנו הד' הנשארים מו' ו' ממספר הי' עם ז' ועלו כ"ח

We subtract the sixes from it; 4 remains, as it remains from the required number [after subtracting] the sixes.

גרענו ו' ו' ונשארו ד' כמו שנשארו מו' ו' מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod6\right)\sdot7\right]mod6=\left(4\sdot7\right)mod6=28mod6=4=\left(a-1\right)mod6}}

The remainder from 10 [after subtracting] the fives is 0 and when you multiply it by 7, the result is 0 as the remainder from the required number [after subtracting] the fives.

והנשאר מה' ה' ממספר הי' הוא 0 וכשתכפל עם הז' הנה העולה הוא 0 כמו שהנשאר מה' ה' מהמספר המבוקש הוא 0

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod5\right)\sdot7\right]mod5=\left(0\sdot7\right)mod5=0mod5=0=\left(a-1\right)mod5}}

We also multiply the 2 that remains from 10 [after subtracting] the fours by 7; the result is 14.

גם כפלנו הב' הנשארים מד' ד' ממספר הי' עם הז' ועלו י"ד

We subtract the fours from it; 2 remains, as it remains from the required number.

גרענו מהם ד' ד' ונשארו ב' כמו הנשארים מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod4\right)\sdot7\right]mod4=\left(2\sdot7\right)mod4=14mod4=2=\left(a-1\right)mod4}}

We also multiply the 1 that remains from 10 [after subtracting] the threes by 7; the result is 7.

גם כפלנו הא' הנשאר מג' ג' ממספר הי' ועלו ז‫'

We subtract the threes from it; one remains, as it remains from the required number [after subtracting] the threes.

גרענו מהם ג' ג' ונשאר אחד כמו הנשאר מג' ג' מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod3\right)\sdot7\right]mod3=\left(1\sdot7\right)mod3=7mod3=1=\left(a-1\right)mod3}}

Since we have found that the remainders from the products of the remainders from 10 by 7 are equal to the remainders from the required number, we deduce that the number 7 is the number by which 10 is multiplied.

ולהיות שמצאנו שהמותרים הנשארים מהעולים מהכאת המותרים ממספר הי' עם הז' שוים למותרים הנשארים מהמספר המבוקש שפטנו כשמספר ז' הוא המספר אשר יוכו בו הי‫'

So, we multiply it by 10; the result is seventy.

ולכן הכינום עם הי' ועלו שבעים

We add to it the subtracted one; the result is 71 and this is the required number.

הוספנו עליהם האחד הנגרע ועלו ע"א וזהו המספר המבוקש

But you have to be careful concerning the remainder of the last number, as the 10 in our example, which is 1, lest it itself be the required number.

אך צריך להזהר במותר המספר האחרון כמו הי' במשלנו שהוא הא' פן יהיה הוא בעצמו המספר המבוקש

That is, when we examine the other remainders from 10, if we find a remainder greater than the 1 that remains from 10, as in our example, when the remainder from [subtracting] the nines is eight, then we deduce its absence, that is to say that the required number is not the remainder from 10 in our example.

וזהו כשנבחן המותרים האחרים מהי' ואם נמצא מותר יותר גדול ממותר הא' הנשאר מהי' כמו במשלנו זה שהמותר מט' ט' הוא שמנה אז נשפוט בסלוקו רוצה לומר כשאין המספר המבוקש הוא המותר ממספר הי' במשלנו זה

Likewise: if one asks: what is the number that when counted by twos - nothing remains; by threes - 2 remains; by fours - nothing remains; by fives - nothing remains; by sixes - two remains; by sevens - three remains; by eights - four remains; by nines - five remains; and by tens - nothing remains.

וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' לא ישאר דבר ומג' ג' ישארו שנים ומד' ד' לא ישאר דבר וחמשה חמשה לא ישאר דבר ומששה ששה ישארו שנים ומז' ז' ישארו שלשה ומח' ח' ישארו ארבעה ומט' ט' ישארו חמשה ומי' לא ישאר דבר

הנה להיות שלא נשאר דבר מהמספר האחרון שהוא הי' במשלנו זה לא נגרע מהמספר המבוקש דבר ולכן ישארו המותרים הנזכרים בעינם ונניח שיהיה המספר המבוקש שהוא שוה למספר האחרון במשלנו זה ונדרוש המותרים מהי' והם מט' ט' אחד ומח' ח' שנים ומז' ז' שלשה ומו' ו' ארבעה ומה' ה' 0 ומד' ד' שנים ומג' ג' אחד ומב' ב' 0

אחר זה נעיין במותרים מהי' באיזה כפלים יכפלו כלם יחד עד שישוו המותרי' מעולים מהם למותרי' מהמספר המבוקש כל אחד למינו רוצה לומר הנשארים מח' ח' מהמספר המבוקש לנשאר מח' ח' מהמספר העשרה וכן בכל מין ומין ולכן עייננו תחלה במותר האחרון הנשאר מט' ט' מהי' שהוא האחד וכפלנו אותו עם ה' ועלה ה' והוא שוה לנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש

Then, we multiply the 2 that remains from 10 [after subtracting] the eights by [5]; the result is ten.

אחר זה כפלנו הב' הנשאר מח' ח' מהי' עם הי' ועלו עשרה

We subtract the eights from it; two remains, but this is not equal to the remainder from the required number [after subtracting] the eights, which is 4 in our example.

גרענו מהם ח' ח' ונשארו שנים והנה אינם שוים לנשארים מח' ח' מהמספר המבוקש שהם הד' במשלנו זה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot5\right]mod8=\left(2\sdot5\right)mod8=10mod8=2\ne4=a mod8}}

ולכן שבנו להכות הנשאר מט' ט' ממספר העשרה שהוא האחד עם כפלים אחדים זולת החמשה יען שכפלי הה' אינם צודקים במותרים האחרים

והכינו האחד עם תשעה כפלים נוספים על הה' יען שתשעה פעמים אחד יעלה תשעה ונשליך הט' וישארו הה' פעמים הקודמים שהם הח' הנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש ולכן חברנו התשעה עם החמשה הקודמים ויעלו י"ד וכפלנו האחד שנשאר מתשעה תשעה מהעשרה עם י"ד ועלו י"ד גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש

Then, we multiply the two that remains from 10 [after subtracting] the eights by 14; the result is 28.

אחר זה כפלנו השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר הי' עם הי"ד ועלו כ"ח

We subtract the eights from it; 4 remains, as the four that remains from the required number [after subtracting] the eights.

גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו ד' כמו הארבעה הנשארים משמנה שמנה מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot14\right]mod8=\left(2\sdot14\right)mod8=28mod8=4=a mod8}}

Then, we multiply the three that remains from ten [after subtracting] the sevens by 1[4]; the result is 42.

אחר זה כפלנו השלשה הנשארים משבעה שבעה מהעשרה עם הי"ב ועלו מ"ב

We subtract the [sevens] from it; nothing remains, but this is not equal to the remainder from the required number [after subtracting] the sevens, which is three.

גרענו מהם שלשה שלשה ונשאר 0 והוא בלתי שוה למותר הנשאר מהמספר המבוקש משבעה שבעה שהם שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod7\right)\sdot14\right]mod7=\left(3\sdot14\right)mod7=42mod7=0\ne3=a mod7}}

ולכן שבנו להכות הנשאר האחרון מתשעה תשעה מהעשרה שהוא האחד עם כפלים ט' נוספים על הי"ד שבידינו והם כ"ג הכינום עם האחד הנשאר מתשעה תשעה ממספר העשרה ועלו כ"ג גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו הנשארים מט' ט' מהמספר המבוקש

Then, we multiply the 23 by the two that remains from 10 [after subtracting] the eights; the result is 46.

אחר זה כפלנו הכ"ג עם השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר הי' ועלו מ"ו

We subtract the eights from it; six remains, but this is not equal to the remainder from the required number [after subtracting] the eights, which is four.

גרענו מהם ח' ח' ונשארו ששה והם בלתי שוים לנשאר משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot23\right]mod8=\left(2\sdot23\right)mod8=46mod8=6\ne4=a mod8}}

ולכן שבנו להכות האחד הנשאר מתשע' תשעה ממספר העשרה עם ט' נוספים על הכ"ג שבידינו שהם ל"ב גרענו מהם ט' ט' ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש

Then, we multiply thirty-two by the two that remains from [10 after subtracting] the eights; the result is 64.

אחר זה כפלנו השנים ושלשים עם השנים הנשארים משמנה שמנה ועלו ס"ד

We subtract the eights from it; 0 remains, but this is not equal to the remainder from the required number [after subtracting] the eights, which is four.

גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו 0 והוא בלתי שוה לנשאר משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot32\right]mod8=\left(2\sdot32\right)mod8=64mod8=0\ne4=a mod8}}

ולכן שבנו להכות האחד הנזכר עם תשעה נוספים על השנים ושלשים והם מ"א כמשפט הראשון ועלו מ"א גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש

Then, we multiply the 41 by the two that remains from ten [after subtracting] the eights; the result is 82.

אחר זה כפלנו המ"א עם השנים הנשארים מח' ח' ממספר העשרה ועלו פ"ב

When we subtract the eights from it, two remains, but this is not equal to the remainder from the required number [after subtracting] the eights, which is four.

וכשגרענו מהם שמנה שמנה נשארו שנים והם בלתי שוים לנשארי' משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot32\right]mod8=\left(2\sdot32\right)mod8=64mod8=0\ne4=a mod8}}

ולכן שבנו להכות האחד הנזכר עם ט' נוספים על המ"א שבידינו והם חמשי' ועלו חמשים וגרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש

Then, we multiply the fifty by the two that remains from ten [after subtracting] the eights; the result is one hundred.

אחר זה הכינו החמשים עם השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר העשרה ועלו מאה

We subtract the eights from it; four remains, which is equal to the remainder from the required number [after subtracting] the eights.

גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו ארבעה והם שוים לנשארים משמנה שמנה מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod8\right)\sdot50\right]mod8=\left(2\sdot50\right)mod8=100mod8=4=a mod8}}

We also multiply the fifty by the three that remains from ten [after subtracting] the sevens; the result is 150.

גם כפלנו החמשים עם השלשה הנשארים משבעה שבעה מספר עשרה ועלו ק"נ

We subtract the sevens from it; three remains, which is equal to the remainder from the required number [after subtracting] the sevens.

גרענו מהם שבעה שבעה ונשארו שלשה והם שוים לנשארים משבעה שבעה מהמספר המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(10mod7\right)\sdot50\right]mod7=\left(3\sdot50\right)mod7=150mod7=3=a mod7}}

גם כפלנו החמשים עם כל אחד מהמותרים על זה הסדר והיו הנשארים ממספר העשרה שוים לנשארים מהמספר המבוקש ולכן גזרנו אומר שהכפלים אשר יכפלו בהם המספר המונח שהוא העשרה במשלנו הם החמשים כפלנום עם החמשים ועלו ת"ק וזהו המספר המבוקש

Section Two: Geometrical Problems	החלק השני בשאלות ההנדסיות
Chapter One	הפרק הראשון מהחלק השני בשאלות המתבארות מהיחסים
Payment Problem - Digging a Hole
Question: Reuven hired Shimon to dig for him in his vineyard 10 in length and 5 in width for 15 pešuṭim, but he dug 9 in length and 4 in width. How much is his payment?	שאלה ראובן שכר את שמעון לחפור לו בכרמו עשרה באורך חמשה ברוחב בט"ו פשוטים והוא חפר תשעה באורך ארבעה ברוחב כמה שכרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[15\sdot\left(9\sdot4\right)\right]}{10\sdot5}=\frac{15\sdot36}{50}=10+\frac{4}{5}}}$	התשובה שנכה העשרה בחמשה ויעלו חמשים ונשמרם גם נכה התשעה בד' ויעלו ל"ו ונשמרם אחר זה נייחס ונאמר אם החמשים ישוו חמשה עשר הל"ו כמה ויצאו עשרה שלמים וארבע חמשיות
Question:	שאלה אם רצית לדעת שעור גבוה אחד עומד על שטח הארץ על זויות נצבות איזה גובה שיהיה מבלתי מדידה
	התשובה שנשוה שטח המקום שהוא סביב הגובה עד שנעשהו מישור ונעמיד עמוד אחד נצב על אותו המישור על זויות נצבות ונשים ראשנו על הארץ עד צד שיגיע העין לשטח המישור ונעיין בראש הגובה ובראש העמוד עד שיהיה קו אחד ניצוצי פוגש בשלשה מקומות והם ראש הגובה וראש העמוד ונקודת שטח הארץ הגובה אשר שם בו עינו וזה כשירחק ויקרב מעמד עינו משרש העמוד עד שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלשה המקומות הנזכרי' יחד ובמקום ההוא מנקודת השטח נסמן בו סימן ונקראהו העמוד סימן ראשון ונקרא שרש העמוד סימן שני ונקרא שרש הגובה סימן שלישי אחר זה נקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והסימן השני ונשמרהו ויקרא שמור ראשון גם נקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והסימן השלישי ונשמרהו ויקרא שמור שני גם נקח מספר האמות שמראש העמוד עד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שלישי אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוב כמו השמור השני השמור השלישי כמה ישוה והיוצא לך הוא מספר אמות הגובה ההוא או אם לא תרצה לצער עצמך לשום עינך על שטח הארץ עמוד על רגלך והתרחק והתקרב מהעמוד עד שיסכי' הקו הניצוצי שיפגוש השלשה מקומו' יחד שהם עינך וראש העמוד והגובה ואז תסמן סימן במקום מעמד רגלך ותקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והשני ושמרהו ויקרא שמור ראשון גם תקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והשני ושמרהו ויקרא שמור ראשון גם תקח מספר האמות שבין המספר הראשון והשלישי ושמרהו ויקרא שמור שני גם תקח מספר האמות שמראש העמוד על שרשו ותגרע מהם מספר אמות קומתך והנשאר שמרהו ויקרא שמור שלישי אחר זה תייחס ותאמר אם השמור הראשון ישוה כמו השמור השני השמור השלישי כמה ישוה והיוצא הוסף עליו מספר אמות קומתך והוא מספר אמות הגובה ההוא ובזה הדרך בעצמו תוכל לדעת מספר האמות שמראש הגובה עד נקודה אחת מהנקודות המונחות באותו הגובה או מספר האמות שבין שתי נקודות שתרצה מהנקודות המונחות באותו הגובה אולם ידיעת מספר האמות שמראש הגובה עד נקודה אחת שתרצה מהנקודות המונחות באותו הגובה הנה כשנעמוד תחלה במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש ג' מקומות שהם ראשי הגובה והעמוד והעין ועשה לפי מה שקדם לך ותדע מספר אמות כללות הגובה ותשמרהו אחר זה נעמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש שלשה מקומות שהם העין וראש העמוד והנקודה הנזכרת ועשה לפי מה שקדם ותדע בו מספר האמות שמאותה הנקודה עד שרש הגובה תגרעם ממספר הגובה השמורות והנשאר הוא מספר האמות שמראש הגובה עד אותה הנקודה ואולם ידיעת מספר האמו' שבין שתי הנקודות המונחות באותו הגובה הנה כשתעמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלם מקומות והם העין והנקודה העליונה מהשתי נקודות כנזכר וראש העמוד ויודע לך כי מספר האמות שמאותה הנקודה עד שרשו ותשמרהו אחר זה עמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלש מקומות והם העין וראש העמוד והנקודה השפלה משתי נקודות הנזכרות ויודע לך בו מספר האמות שמנקודה השפלה עד שרשו ותגרעם מהשמור והנשאר הוא מספר האמות שבין שתי הנקודות ההן
Question:	שאלה אם רצית לדעת שעור שטח אחד ישר איזה שטח שיהיה מבלתי מדידה
	התשובה שנעמיד עמוד אחד ישר נצב על ראש השטח המונח על זויות נצבות אחר זה נסמן סימן על נקודה מנקודות אותו העמוד יותר שפלה מראש העמוד איזו נקודה שתרצ' ונוציא ממנה עמוד הפוך נצב על העמוד הישר על זויות נצבות ונאריך זה העמוד ההפוך עד שיהיה הקו הניצוצי היוצא מהעין המונח על ראש העמוד הישר פוגש בשלש מקומו' והם ראש העמוד הישר אשר עין המביט מונח שם וראש העמוד ההפוך וסוף השטח המבוקש שעורו אחר זה נקח מספר האמות שמראש העמוד הישר העמוד עד הנקודה המסומנת אשר היא שרש העמוד ההפוך ונשמרהו ויקרא שמור ראשון אחר זה נקח מספר האמות שמראש העמוד הישר עד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שני אחר העמוד ההפוך זה נקח מספר האמו' שמראש העמוד ההפוך עד שרשו ונשמרהו ויקרא השמור השלישי אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוב כמו השמור השני השמור השלישי כמה והיוצא לך הוא מספר אמור השטח המבוקש וכבר הודעתיך במה שקדם התחבולה אשר סוף השטח ראש השטח בה תוכל לדעת מספר האמות שמנקודה מונחת מנקודת השטח איזו נקודה שתרצה עד סוף השטח או מספר האמות אשר בין שתי נקודות מונחות על שטח ההוא איזו נקודות שתרצה
Question:	שאלה אם רצית לדעת שעור עומק אחד איזה עומק שיהיה מבלתי מדידה
	התשובה שנעמיד עמוד ישר על שפתו על זויות נצבות עוד נוציא משרש העמוד הישר עמוד הפוך עומד על זויות נצבו' על העמוד הישר ונאריך זה העמוד ההפוך עד שיהיה הקו הניצוצי היוצא מהעין המונח על ראש העמוד הישר פוגש בשלש מקומות והם ראש העמוד הישר אשר עין המביט מונח שם וראש העמוד הההפוך וסוף העומק המבוקש שעורו גם נעמיד עמוד על הנקוד' אשר הביט בה המביט בסוף העומק שיהיה נצב על זויות נצבות וראש העמוד ההוא יגיע עד השטח העליון שעל פי העומק אשר עליו העמדנו העמוד הישר על שפתו אחר זה נקח מספר אמות כל העמוד ההפוך רוצה לומר מראשו עד שרש העמוד הישר אשר הוא שרש גם העמוד ההפוך ונשמרהו ויקרא שמור ראשון גם נקח מספר אמות הרוחק אשר מראש העמוד ההפוך עד ראש העמוד על הנקודה אשר היא בסוף העומק ונשמרהו ויקרא שמור שני גם נקח מספר אמו' העמוד הישר מראשו ועד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שלישי אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוה כמו השמור השני השמור השלישי כמה והיוצא לך הוא מספר אמות העומק המבוקש וכבר הודעתיך במה שקדם התחבולה אשר בה תוכל לדעת מספר האמות שמנקודה מונחת מנקודות העומק ההוא איזה נקודה היתה עד סוף העומק או מספר האמות בין שתי נקודות מונחות על העומק ההוא איזה נקודו' שתרצה מהנקודו' שעליו
Payment Problem - Digging a Hole
Question: one hires the worker to dig for him a hole 10 in length 8 in width and 9 in depth for 10 whites, but he dug 9 in length 7 in width and 8 in depth. How much is his payment?	שאלה השוכר את הפועל לחפור לו בור עשרה באורך שמנה ברוחב תשעה בעומק בי' לבני' והוא חפר ט' באורך ז' ברוחב ח' בעומק כמה שכרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot\left(9\sdot7\sdot8\right)}{10\sdot8\sdot9}=\frac{10\sdot504}{720}=7}}$	התשובה נכה העשרה בשמנה והעולה בט' והם תש"כ ונשמרם גם נכה הט' בז' והעולה בח' והם תק"ד ונשמרם אחר זה נייחס ונאמר אם התש"כ י' התק"ד כמה ויצאו שמנה שלמים בלי תוספת ומגרעת
Question: if a ball mixed with silver and gold was brought to you, how the amount of gold and the amount of silver in it would be known without testing it with a touchstone?	שאלה אם הביאו לך כדור מעורב מכסף וזהב היאך יודע כמות הזהב שבתוכו וכמות הכסף שבתוכו מבלתי שתבחן אותו באבן הבוחן
	התשובה שתקח אורך קוטרו וממנו תדע משקלו כמו שיבא אם היה כלו זהב ונשמרהו ויקרא שמור ראשון ומשקלו אם היה כלו כסף ונשמרהו ויקרא שמור שני אחר זה נחבר שני השמורים ונקח חצי המחובר והוא משקל זה הכדור אם היה חציו מכסף וחציו מזהב ונשמרהו ויקרא השמור השלישי אחר זה נשקול זה הכדור והעולה נשמרהו ויקרא השמור הרביעי אחר זה נקח ההפרש שבין השמור השלישי והשמור השני ונשמרהו ויקרא השמור הה' גם נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור הרביעי ונשמרהו ויקרא השמור הששי אחר זה נייחס ונאמר אם השמור החמישי יהיה הזהב חצי הכדור בשמור הששי כמה ויצא לך כמות הזהב שבזה הכדור
	המשל בזה אם היה קוטר הכדור הדרוש שבעה פעמים כמו צלע המעוקב הזהביי השוקל אח' דרהם והיה משקל הכדור ההוא ק"כ דרהם הנה נדע משקלו אלו היה כלו זהב וזה בידיעת קוטחו כמו שקדם והוא קע"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם ונשמרהו ויקרא השמור הראשון גם נדע משקלו אלו היה כלו כסף והוא צ"א דרהם וחלק אחד מחמשים ונשמרהו ויקרא השמור השני אחר זה נחבר שני השמורים ונקח חצי המחובר והוא קל"ה וי"ג חלקים משלשים ונשמרהו ויקרא השמור השלישי וזהו משקלו אלו היה חציו מזהב וחציו מכסף גם נשמור משקל זה הכדור שהם המאה ועשרים דרהמים ויקרא השמור הרביעי אחר זה נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור השלישי והם מ"ד וז' חלקים משלשים ונשמרהו והוא השמור החמישי גם נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור הרביעי והם ס"ח וד' חמשיות ונשמרהו והוא השמור הששי אחר זה נייחס ונאמר אם כשההפרש שבין הכדור הכספיי ובין הכדור שחציו מכסף וחציו מזהב שהם המ"ד דרהם ושבעה חלקים משלשים שהוא השמור החמשי ישוב הכספיי חצי מזהב כשההפרש שבין הכספיי לזה הכדור כ"ח דרהמי' וד' חמשיות שהוא השמור הששי כמה זהב יהיה בו ויצאו לך תל"ב חלקים מאלף ש' כ"ז וככה הוא יחס הזהוב שבו אל כלל כמות הכדור הזה
Question: if there is a stone, 2 in length, 1 in width, and 3 in depth, going down in a fixed motion from above into a filled water pool, 10 in length, 5 in width, and 15 in depth, with a pipe flowing in it that fills it in a day and a half if nothing comes out of it and a hole on its edge that drains it in one day if nothing comes into it. When the lower surface of that stone reaches the upper surface of the pool water, the hole on its edge is opened, and the pipe flowing in it is also opened. The stone is going down in a fixed motion within the water of the pool so that the pool will always be full as in the beginning and nothing will spill from it. How long will it take the whole stone to sink into the pool from the time that its lower surface touches the upper surface of the water until the time its upper surface touches the upper surface of the water when the pool is still filled?	שאלה אם היתה אבן אחת שאורכה ב' ורחבה אחד ועומקה ג' יורדת בתנועה שוה מלמעלה לתוך בריכת מים מליאה שאורכה י' ורוחבה ה' ועמקה ט"ו והצנור המקלח בתוכה ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום והנקב שבשוליה יריקנה ביום אחד אם לא יכנס בה כלום וכאשר הגיע השטח התחתון של אותה האבן בשטח העליון של מימי הבריכה פתח הנקב שבשוליה וגם פתח הצנור המקלח בתוכה וגם יורדת האבן בתנועה שוה בתוך מימי הבריכה באופן שתהיה הבריכה מלאה תמיד כאשר בתחלה ושלא ישפך ממנה כלום בכמה זמן תשקע כל האבן בתוך הבריכה מעת שנגע שטחה התחתון בשטח העליון של המים עד העת שתגיע שטחה העליון בשטח העליון של המים ועוד תהיה הבריכה מלאה
	התשובה שנדע תחלה ההפרש שבין המים היוצאים ממנה מהנקב המריק ובין המים הנכנסים בתוכה מהנקב הממלא והוא שליש הבריכה ביום אחד וזה שכבר קדם שהנקב הממלא ימלאנה ביום אחד וחצי ואם כן יחוייב מזה שיכנס הנקב ההוא בתוכה ביום אחד לבד ב' שלישיותיה וכבר קדם גם כן שבנקב המריק יריקנה כלה ביום אחד אם כן ההפרש שבין המים הנכנסים בתוך הבריכה ובין המים היוצאים ממנה ביום אחד הוא שליש הבריכה אחר זה נדע תשבורת שליש הבריכה כשנדע תשבורת כל הבריכה וזה בשנכה אמות האורך עם אמות הרוחב ויעלו חמשים אחר זה נכה הנ' עם העומק ויעלו תש"נ ושלישיתה ר"נ ונשמרם ויקרא השמור הראשון אחר זה נדע תשבורת האבן בשנכה אמות ארכה עם אמות רחבה ויעלו ב' אחר זה נכה הב' עם עמקה ויעלו ששה ונשמרם ויקרא השמור השני אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון בי"ב שעות השמור השני בכמה ויצאו ל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת וככה הוא זמן שמתחלת שקיעת האבן במים עד סוף שקיעתה רוצה לומר משוש שטחה העליון לשטח העליון בהיות הבריכה מלאה
Question: if there is a stone, 2 in length, 1 in width, and 3 in depth, going down in a fixed motion from above into a filled water pool, 10 in length, 5 in width, and 15 in depth, with a pipe flowing in it that fills it in a day and a half if nothing comes out of it and it has a hole on its edge. When the lower surface of that stone reaches the upper surface of the pool water, the hole on its edge is opened, and the pipe flowing is also opened. The stone is entering the water of the pool in a fixed motion so that the pool will always be full as in the beginning and no water will spill from it. The stone is sinking until upper surface of the stone touches the upper surface of the water. The pool fills up by 36 parts of 125 of one hour. How long will it take the pool to be drained from the hole on its edge if no water enters into it and no body enters it as well?	שאלה אם היתה אבן אחת שארכה ב' ורחבה א' ועומקה ג' יורדת בתנועה שוה מלמעלה לתוך בריכת מים מלאה שארכה י' ורחבה ה' ועומקה ט"ו והצנור המקלח בתוכה ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום ויש לה נקב בשוליה ומשהגיע השטח התחתון של האבן הזאת בשטח העליון של מימי הבריכה המלאה פתח הנקב שבשוליה וגם פתח הצנור המקלח וגם נכנסת האבן בתנועה שוה בתוך מימי הבריכה באופן שהבריכה מלאה תמיד כאשר בתחלה ואינו נשפך ממנה מים כלל ונשקע האבן תוך המי' עד שמשוש השטח העליון של האבן לשטח העליון של מימי הבריכה ועוד הבריכה מליאה בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת בכמה זמן תורק הבריכה מהנקב שבשוליה אם לא יכנס בתוכה מים כלל וגם לא יכנס בתוכה גשם כלל
	התשובה שנדע תשבורת האבן אמות אורך האבן עם אמות רחבה ויעלו ב' ונכה הב' עם אמות עמקה ויעלו ז' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים למים היוצאים בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת אחר זה נייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש שבין הנכנסי' ליוצאים ז' בי"ב שעות כמה ויצאו ר"נ וככה הוא ההפרש שבין הנכנסים ליוצאים ביום אחד ונשמרם ויקרא השמור הראשון אחר זה נדע תשבורת מימי הבריכה בשנכה אמות אורך הבריכה עם אמות רחבה ויעלו נ' עוד נכה הנ' עם אמות העומק ויעלו תש"נ אמות וככה הוא תשבורת מימי הבריכה ונשמרם ויקרא השמור השני אחר זה נדע המים הנכנסים בתוכה ביום א' שהם ת"ק אמות וזה בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי תש"כ ביום אחד כמה ויצאו ת"ק אחר זה נחבר השמור הראשון עם הת"ק ואם המחובר הוא שוה לשמור השני דע שכמות הזמן אשר בו תורק מהבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה לא מים ולא גשם אחר הוא יום אחד ואם המחובר מוסיף או גורע מהשמור השני נייחס ונאמר אם המחובר ביום אחד השמור השני בכמה והיוצא הוא הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה בשלא יכנס שם לא מים ולא גשם אחר כלל
	המשל בזה כשהמחובר שוה לשמור השני הוא המשל הראשון בעינו כי חברנו השמור הראשון שהם הר"נ עם המים הנכנסים ביום אחד שהם הת"ק ועלה המחובר תס"ב ולהיות שזה המחובר שוה לשמור השני שהם התש"נ שפטנו בכמות הזמן אשר בו תורק הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה לא מים ולא גשם אחר הוא יום אחד והמשל כשהמחובר מוסיף על השמור השני הוא שנניח שבו' חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת השקעה האבן הנזכרת עד שמשוש שטחה העליון שטח המים שבבריכה המלאה ושביום א' תתמלא רוב הבריכה מהצנור המקלח בתוכה ונמצא תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בו' חלקי' מקכ"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בי' חלקים מקכ"ה יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו אלף ת"ק וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום א' ונשמרם והוא השמור הראשון אחר זה נמצא תשבורת הבריכה והם תש"נ ונשמרם והוא השמור השני אח"ז נחבר השמור הראשון עם הנכנסים ביום אחד שהם תס"ב ויעלו שני אלפים ר"כ ולהיות שהמחובר מוסיף על תשבורת הבריכה שהוא השמור השני נייחס ונאמר אם השני אלפים ר"נ ביום אחד התש"נ בכמה ויצא שליש היום וזהו הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה מים או גשם אחר כלל
	והמשל כשהמחובר גורע מתשבורת הבריכה שהוא השמור השני הוא שנניח שבע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה האחת נשקעה האבן הנזכרת עד שמשוש שטחה העליון שטח המים שבבריכה המלאה ושבשני ימים וחצי תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח בתוכה ונמצא תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו ע"ה וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד ויקרא שמור ראשון אחר זה נמצא תשבורת הבריכה הנזכרת והם תש"נ ונשמרם והוא השמור השני אחר זה נחבר השמור הראשון עם הנכנסים ביום אחד שהם ש' ויעלו שע"ה ולהיות שהמחובר גורע מתשוברת הבריכה שהוא השמור השני נייחס ונאמ' אם השע"ה ביום אחד התש"נ בכמה ויצאו שני ימים וזהו הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה מים או גשם אחר כלל
Question: if the stone mentioned above is going down in a fixed motion into the pool; the pipe is flowing in it; the hole on its edge drains it in one day; the pipe and the hole on its edge are opened. The stone is going down into the water in a fixed motion. From the time that its lower surface touches the water surface until its upper surface touches the water surface when the pool is still filled 36 parts of 125 of one hour. How long will it take the pipe that flows in it to fill the pool?	שאלה אם האבן הנזכרת יורדת תוך הבריכה בתנועה שוה והצנור מקלח בתוכה והנקב שבשוליה יריקה ביום אחד ופתח הצנור והנקב שבשוליה והאבן יורדת לתוך המים בתנועה שוה ומעת משוש שטחה התחתון לשטח המים עד שתמשש שטחה העליון לשטח המים ועוד תהיה הבריכה מלאה ל"ו חלקי' מקכ"ה חלקי השעה האחת בכמה זמן ימלאנה בצנור המקלח בתוכה
	התשובה שנדע תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בי"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה ונייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש שבין הנכנסים והיוצאים ו' ביום א' כמה ויצאו לך ר"כ ותשמרהו והוא השמור הראשון אחר זה נמצא תשבורת הבריכה והם תש"נ ותשמרם והוא השמור השני אחר זה נדע המים היוצאים ביום א' מתוך הבריכה מהנקב המריק אותם והם תש"נ ונגרע מהם השמור הראשון והנשאר הם ת"ק וזהו הנשאר והוא כמו' המי' הנכנסי' בבריכה ביום א' מהצנור המקלח בתוכה אחר זה נייחס ונאמר אם הת"ק נכנסים ביום א' התש"נ שהוא השמור בכמה ויצא לך יום וחצי והוא כמות הזמן שתתמלא הבריכ' מהצנור המקלח בתוכה וכן אם היה הנשאר מוסיף על השמור השני דרך א' להם ר"ל שנצטרך לייחס ולומר אם הנשאר יום אחד השמור כמה והיוצא לך הוא כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח אך אם הנשאר שוה לשמור השני הנה לא נצטרך לייחס בזה כלל כי אז יהיה כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח אך אם הנשאר שוה לשמור השני הנה לא נצטרך לייחס בזה כלל כי אז יהיה כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור יום אחד
Question:	שאלה אם הבריכ' הנזכרת יריקנה הנקב שבשוליה ביום אחד וימלאנה הצנור המקלח בתוכה ביום וחצי והאבן נשקעת בתוכה בתנועה שוה באופן שלא ישפך מהמים כלום וגם תהיה הבריכה מלאה כאשר בתחלה בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת כמה תשבורת האבן
	התשובה שנמצא ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד והם ר"נ אחר זה נייחס ונאמר אם בי"ב שעות יהיה ההפרש ר"נ בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת כמה יהיה ההפרש ויצאו לך ו' וזהו תשבורת האבן
Question:	שאלה אם האבן הנזכרת נשקעת בתוך בריכה מלאה מים בתנוע' שוה באופן שלא ישפך ממימי הבריכה המלאה כלום וגם תהיה הבריכה המלאה כאשר בתחלה וגם יהיה צנור מקלח בתוכה מים אשר הצנור ההוא ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום וגם הנקב שבשוליה מריק ממנה מים אשר הנקב ההוא יריקנה ביום אח' אם לא יכנס בה לא מים ולא גשם אחר כלל כמה תשבורת הבריכה
	התשובה שנמצא תשבורת האבן והם ששה וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו ר"נ וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד אחר זה נבקש לדעת יחס הר"נ אל תשבורת הבריכה וזה כשנאמר אם ביום וחצי ימלאנה הצנור המקלח ביום אחד כמה ויצאו לך שתי שלישיות וכבר קדם שהנקב שבשוליה יריקנה ביום אחד אם כן ההפרש שבין הנכנסים והיוצאים ביום א' הוא שליש הבריכה אם כן יחס הר"נ אל תשבורת הבריכה הוא יחס השליש אל השלם ולכן נכה הר"נ בג' ויעלו תש"נ וזהו תשבורת הבריכה
Chapter Two of Section Two: on Geometric Problems that are Solved without Proportions	הפרק השני מהחלק השני בשאלות ההנדסיות המתבארות בזולת מין היחסים
Question:	שאלה סולם שגבוה עשר אמות וגובה הכותל גם כן עשר אמות והשפלנו ראש הסולם למטה מראש הכותל ב' אמות כדי שתהיה הסולם מושפעת כמה מספר האמות שבין רגלי הסולם ליסוד הכותל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$	התשובה נקח מרובע השמנה אמות הנשארות מהכותל מהנקודה המונחת על ראש הסולם עד יסוד הכותל והוא ס"ד ונגרעם ממרובע מספר אמות כל הסולם שהוא הק' במשלנו והנשאר הם ל"ו אמות ושרשו שהם ו' אמות הוא מספר רוחק רגלי הסולם מיסוד הכותל
Triangulation Problem - Two towers
Question: two towers - one is 60 cubits tall, the second is 40 cubits tall, and the distance between them is 50 cubits. At the top of each tower a bird, and between the two towers a spring. The birds flew at the same speed and arrived to the spring at the same moment. How far is the spring from the base of each of the towers? $\scriptstyle40^2+\left(50-a\right)^2=60^2+a^2$	שאלה שני מגדלים גובה האחד ששים אמות וגובה השני ארבעים אמות מרחק שביניהם עשרים אמות ובראש כל מגדל צפור ובין שני המגדלים מעיין ועפו הצפורים בהתעפפות שוה והגיעו אל המעיין ברגע אחד כמה רוחק המעיין מיסוד כל אחד משני המגדלים
the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits: $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[50^2-\left(60^2-40^2\right)\right]}{50}}}$	התשובה שנגרע מרובע המ' ממרובע הס' והנשאר נגרעם ממרובע הנ' שהוא הרוחק שבין שני המגדלי' והנשאר קח חציו ונחלקהו על הרוחק שבין שני המגדלים והיוצא הוא רוחק המעיין מהמגדל היותר גבוה
the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:	המשל בזה מרובע הס' הוא ג' אלפים ת"ר ומרובע המ' הוא א'ת"ר גרענו הא' מהאחר ונשארו ב' אלפים גרענום ממרובע כל הרוחק שבין המגדלים שהוא ב' אלפים ת"ק ונשארו ת"ק וחציים הם ר"נ חלקנום על הנ' שהוא הרוחק שבין המגדלים ויצאו ה' וזה הוא רוחק המעיין מהמגדל היותר גבוה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[50^2-\left(60^2-40^2\right)\right]}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[2500-\left(3600-1600\right)\right]}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(2500-2000\right)}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot500}{50}=\frac{250}{50}=5\\\end{align}}}$
the distance between the pool and the lower tower: $\scriptstyle{\color{blue}{50-a=50-5=45}}$	והנשאר מהרוחק שהם מ"ה הוא רוחק המעיין מהמגדל הקצר
If one is 50 [cubits] tall, the other is 40 [cubits] tall, and the distance between them is 60 [cubits] $\scriptstyle40^2+\left(60-a\right)^2=50^2+a^2$	וכן אם היה גובה האחד נ' וגובה האחר מ' והרוחק שביניהם ס'
the distance between the pool and the higher tower:	נגרע האלף ת"ר שהוא מרובע המ' מהב' אלפים ת"ק שהוא מרובע הנ' וישארו תת"ק ונגרעם מהג' אלפים ת"ר שהוא מרובע הרוחק שבין שני המגדלים וישארו ב' אלפים ת"ש ונקח חציים שהם אלף ש"נ ונחלקם על הס' שהוא הרוחק שבין המגדלי' ויצאו כ"ב וחצי וככה הוא רוחק המעיין מהמגדל הגבוה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[60^2-\left(50^2-40^2\right)\right]}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[3600-\left(2500-1600\right)\right]}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(3600-900\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot2700}{60}=\frac{1350}{60}=22+\frac{1}{2}\\\end{align}}}$
the distance between the pool and the lower tower: $\scriptstyle{\color{blue}{60-a=60-\left(22+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}}}$	והנשא' מהרוחק שהם הל"ז וחצי הוא רוחק המעיין מהקצר
Another method: the distance between the pool and the lower tower:	או אם תרצה בדרך אחרת שנחבר כמות הב' מגדלים ונקח מהמחובר חציו ונשמרהו ונקח תוספת כמות המגדל האחד על חצי המחובר השמור ונכהו עם חצי המחובר השמור והעולה נחלקהו על חצי מרחק מה שבין שני המגדלים והיוצא נוסיפהו על חצי המרחק והוא מרחק המעיין מהמגדל הקצר
$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot distance\right)+\frac{\left[higher-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(higher +lower\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(higher+lower\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot distance}$
first example: the distance between the pool and the lower tower:	המשל בזה הנה במשל הא' נחבר כמו' ב' המגדלים והם ק' ונקח חציים והם נ' ונקח תוספת המגדל הגבוה על הנ' והם י' נכם עם הנ' ועולים ת"ק נחלקם על הכ"ה שהם חצי מרחק מה שבין שני המגדלים ויצאו כ' נוסיפם על חצי המרחק והם מ"ה וככה הוא רוחק המעיין מהמגדל הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle50-a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)+\frac{\left[60-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(60+40\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(60+40\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot50}=25+\frac{\left[60-\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{\left(60-50\right)\sdot50}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{10\sdot50}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{500}{25}=25+20=45\\\end{align}}}$
the distance between the pool and the higher tower: $\scriptstyle{\color{blue}{a=50-45=5}}$	והנשאר מהרוחק שהם ה' הוא מרחק המעיין מהמגדל הגבוה
second example: the distance between the pool and the lower tower:	ובמשל השני חברנו השני מגדלים והם צ' נקח חציים שהם מ"ה ונשמרם ונקח תוספת כמות המגדל הגבוה על חצי המחובר השמור שהם ה' ונכם עם השמור והעולה נחלקם על חצי המרחק שהם ל' ויצאו ז' וחצי נוסיפם על חצי המרחק ויעלו ל"ז וחצי וככה הוא מרחק המעיין מהמגדל הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle60-a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\frac{\left[50-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(50+40\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(50+40\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot60}=30+\frac{\left[50-\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)}{30}\\&\scriptstyle=30+\frac{\left(50-45\right)\sdot45}{30}\\&\scriptstyle=30+\frac{5\sdot45}{30}=30+\left(7+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}\\\end{align}}}$
the distance between the pool and the higher tower: $\scriptstyle{\color{blue}{a=60-\left(37+\frac{1}{2}\right)=22+\frac{1}{2}}}$	והנשא' מהמרחק שהם כ"ב וחצי הוא מרחק המעיין מהמגדל הגבוה
Question:	שאלה אם שאל שואל היאך נדע אורך קוטר הכדור מידיעת משקלו
	התשובה שתקח עשר' חלקים מי"א חלקי משקל הכדור ותוסיפם על משקל הכדור והעולה כך יסודו והוא אורך קוטרו
	המשל בזה אם רצית לדעת אורך קוטר הכדור השוקל קע"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם קח י' חלקים מי"א חלקי זה המספר והם קס"ג ושליש הוסיפם על הקע"ט ושתי שלישיות ויעלו שמ"ג קח יסודם והם שבעה
	ואם היה הכדור כספיי דע ששבעה כפלי צלע המעוקב הכספיי השוקל אחד דרהם הוא אורך קוטרו
	ואם היה הכדור נחשתיי דע ששבעה כפלי צלע המעוקב הנחושת והשוקל אחד דרהם הוא אורך קוטרו וכן בכל מין ומין ולכן ראוי שיהיו לך מעוקבים מכל מין שיהיה משקל כל אחד אחד דרהם
	אולם אם רצית לדעת אורך קוטר כדור כל מין ומין ממעוקב אחד של זהב על דרך משל מבלתי שתצטרך לעשות לך מעוקבים מכל מין ומין הנה לך הדרך קח עשרה חלקים מי"א חלקי משקל הכדור ותוסיפם על משקל הכדור והעולה הכהו עם ק' והעולה חלקהו על ארבעים אם היה הכדור הדרוש קוטרו ברזליי או על ל"ז אם היה הכדור הדרוש בדיל הנקרא בלשון יון קשידירו או על נ"ד אם היה הכדור הדרוש כספיי או על נ"ט אם היה הכדור הדרו' עופרתיי או על מ"ה אם היה הכדור הדרוש נחשתיי או מנחשת קלל והיוצא לך בחלוק קח יסודו אם היה מספר מעוקב או הקרוב ליסודו לפי מה שקדם והיסוד היוצא לך הם כפלי צלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהמים וזה מה שרצינו לבאר
Question:	שאלה אם רצית לדעת כמות המשקל מידיעת קוטרו איך יודע מציאותו
	התשובה שתדע מספר הפעמים אשר ימנה צלע המעוקב אשר הוא ממין הכדור הדרוש לקוטר הידוע והעולה ממספר הפעמים הכהו עם עצמו והעולה הכהו עם מספר הפעמים ההם והעולה אחר זה גרע ממנו י' חלקים מכ"א והנשאר הוא משקל הכדור הדרוש
	המשל בזה אם רצית לדעת משקל הכדור הכספיי מידיעת קוטרו
	הנה תצטרך לדעת תחלה כמות הפעמים אשר ימנה צלע מעוקב הכספיי קוטר הכדור הכספיי ונאמר שיהיה מונה אותו על דרך משל ז' פעמים נכה הז' עם עצמו ויעלו מ"ט והמ"ט עם הז' ויעלו שמ"ג ונגרע מהם י' חלקים מכ"א חלקי הכל וישארו קפ"ט ושתי שלישיות וככה הוא משקל הכדור ההוא
	אולם אם רצית לדעת משקל הכדור ההוא מאיזה מין שיהיה מידיעת קוטרו מבלתי שיהיה לך מעוקב אחר רק מעוקב אחד של זהב על דרך משל הנה תוכל לדעת זה כשתגרע תחלה כמות הפעמים אשר ימנה צלע המעוקב הזהביי לקוטר הכדור ההוא מאיזה מין שיהיה והמספר אשר יהיו אחריו כמספר הפעמי' ההם נכהו עם עצמו והעולה עם עצמו והעולה אחר זה נכהו עם ארבעי' אם היה הכדור ברזליי או עם ל"ז אם היה הכדור בדליי והוא הנקרא בלשון יון קשידירו או עם כ"ד אם היה הכדור כספיי או עם נ"ט אם היה הכדור עופרתי או עם מ"ה אם היה הכדור נחשתיי או מנחשת קלל והעולה קח ממנו חלק אחד ממאה וגרע מהלקוח עשרה חלקים מכ"א והנשאר הוא משקל הכדור
	המשל בזה אם היה הכדור כספיי וכפלי קוטרו הוא שמנה שלמים וחמשה ושלשים ראשונים וכ"ד שניים כמו הצלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהם
	הנה נכה הח' שלמים ל"ה ראשונים כ"ד שניים עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו תרל"ה בקרוב נכם עם הנ"ד מפני שהכדור כספיי ויעלו ל"ד אלף ש' בקרוב קח מהם חלק אחד מק' והם שמ"ג גרע מהם י' חלקים מכ"א וישארו קע"ט ושתי שלישיות וככה הוא משקל הכדור הכספיי שקוטרו ח' שלמים ול"ה ראשונים האחד השלם וכ"ד שניים הא' השלם כמו צלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהם וז"משל
Question: if you want to know the weight of the inscribed sphere from the weight of the cube surrounding it, how would you know it?	שאלה אם רצית לדעת משקל הכדור המוקף ממשקל המעוקב המקיף בו היאך יודע מציאותו
	התשובה קח י"א חלקים מכ"א חלקי משקל המעוקב הידוע והוא משקל הכדור המוקף
	ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף ממשקל הכדור המוקף הידוע קח עשרה חלקים מי"א חלקי משקל הכדור הידוע והוסיפם על משקל הכדור הידוע והעולה הוא משקל המעוקב המקיף בו
The example: if you want to know the [weight of the inscribed] sphere surrounded by a cube whose weight is 343 dirham?	המשל בזה אם רצית לדעת הכדור המקיף בו מעוקב שמשקלו שמ"ג דרהם
	קח י"א חלקים מכ"א חלקי הכל והם קפ"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם האחד וככה הוא משקל הכדור המוקף
	ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף על כדור שמשקלו קע"ט דרהם ושתי שלישיות דרהם
	קח עשרה חלקים מי"א חלקי הכל והם קס"ג ושליש הוסיפם על הקע"ט ושתי שלישיות והם שמ"ג שלמים וככה הוא משקל המעוקב המקיף על הכדור הידוע
Question: if you wish to know the weight of the circumscribed sphere from the known weight of the inscribed cube, how is is found?	שאלה אם רצית לדעת משקל הכדור המקיף ממשקל המעוקב המוקף הידוע היאך יודע מציאותו
Answer: take three times the square of the side of the known cube and keep it. It is called the first reserved.	התשובה שתקח העולה משלשה כפלי מרובע צלע המעוקב הידוע ותשמרהו ויקרא השמור הראשון
Take the root of this first reserved and keep it. It is called the second reserved.	אחר זה קח שרש השמור הראשון ושמרהו ויקרא השמור השני
Then, multiply the first reserved by 3 and one-seventh and multiply the product by one-sixth of the second reserved. The result is the weight of the encircling sphere.	אחר זה הכה השמור הראשון עם ג' ושביעית והעולה הכהו עם ששית השמור השני והעולה הוא משקל הכדור המקיף
If you wish to know the weight of the inscribed cube from the known weight of the circumscribed sphere:	ואם רצית לדעת משקל המעוקב המוקף ממשקל הכדור המקיף הידוע
Take one-third of the square of the diameter of the known sphere and keep it.	קח שליש מרובע קוטר הכדור הידוע ושמרהו
Then, take the root of the reserved and multiply it by the reserved. The result is the weight of the inscribed cube.	אחר זה קח שרש השמור והכהו עם השמור והעולה הוא משקל המעוקב המוקף
	המשל בזה אם רצית לדעת משקל הכדור המקיף על מעוקב שמשקלו ח' דרהם
	קח שלשה כפלי מרובע צלע המעוקב הזה והם י"ב כי צלעו ב' ומרובעו ד' וג' כפליו י"ב
	אחר זה קח שרש הי"ב והם שלשה שלמים וכ"ז ראשונים וג' שניים וכ"ד שלישיים בקרוב ושמרם
	אחר זה הכה הי"ב עם ג' ושביעית ויעלו ל"ז וה' שביעיות
	הכם עם ששית השמור ויעלו כ"א שלמים מ"ז ראשונים בקרוב וככה הוא משקל הכדור המקיף על המעוקב שמשקלו ח' דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 }\right]\sdot\left[\left[3\sdot\left(\sqrt[3]{8}\right)^2\right]\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot2^2}\right)\sdot\left[\left(3\sdot2^2\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot4}\right)\sdot\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{12}\right)\sdot\left[12\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle\approx\left[\frac{1}{6}\sdot\left(3+27'+3''+24'''\right)\right]\sdot\left(37+\frac{5}{7}\right)\approx21+47'\\\end{align}}}$
	ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף בו כדור שמשקלו כ"א דרהם ומ"ז ראשוני' הדרהם האחד קח שליש מרובע קוטר הכדור הזה והוא ד' ושמרם כי קוטרו ידוע ממשקלו כמו שקדם ומרובעו גם כן ידוע אחר זה קח שרשו והכהו עם הד' ויעלו ח' וככה הוא משקל המעוקב המוקף הדרוש
	ובכלל אם ידעת משקל המעוקב ורצית לדעת משקל הכדור המקיף בו קח כפל משקל המעוקב הידוע ומ"ג ראשוניו ונ"ד שנייו והעולה הוא משקל הכדור בקרוב
	ואם ידעת הכדור ורצית לדעת המעוקב קח שלישית הכדור וחלק אחד משלשים והעולה הוא משקל הכדור הקירוב
Question: if the weight of a cube is 512 dirham, for example. Someone comes and saws off the sides of the cube with a saw. He transforms it into an eight faces body, whose top and bottom bases are regular octagons and the surrounding surfaces are rectangles. How much was reduced from the weight of the 512 dirahm? Then, another comes and saws off the sides of this figure, so that it becomes a spherical figure. How much was reduced from the weight of the previous figure?	שאלה אם היה משקל המעוקב תקי"ב דרהם על דרך משל ובא אחד וגרר זויות המעוקב עם מגרה ועשאה תמונה בעלת ח' תושבות ראשה ותושבתה תמונה משומנת שוות הצלעות והזויות והשטחים המקיפים בה הם מרובעים ארוכים כמה נגרע ממשקל התקי"ב דרהם עוד אחר זה בא אחר וגרר כל הזויות ועשאה איצטיונא עגולה שוות הקצוו' והעובי ראשה ותושבתה עגולה כמה נגרע ממשקל התמונה הקודמת עוד אחר זה בא אחר וגרר התמונה הזאת מכל צדדיה באופן ששבה תמונה כדורית כמה נגרע ממשקל התמונה הקודמת לה
$\scriptstyle{\color{blue}{8=\sqrt[3]{512}}}$	התשובה שתקח יסוד התקי"ב והם ח' ותשמרם גם תקח מרובע חצי השמור ותכפלהו והעולה מכפלו קח ממנו שרשו והשלך משרש היוצ' חצי השמור והנשאר הכהו עם חצי השמור והעולה הכהו עם מספר צלעות התמונה שהם הח' במשלנו זה והעולה הכהו עם השמור ויעלו תפ"ג וי"ד חלקים מט"ו בקרוב תגרעם מהתקי"ב וישארו כ"ח וחלק אחד מט"ו וזהו מגרעת התמונה המשוכת מהמעוקבת הקודמת לה עוד אחר זה נמצא משקל התמונה שהיא האצטוונא העגולה שוות הקצוות והעובי שראשה ותשובתה עגולה שאחר התמונה הנזכרת וזה בשנקח קוטר העגולה שהיא ראש האצטוונא שקוטרה כמו השמור שם ח' במשלנו ונקח מרובעו והם ס"ד נגרע מהם שביעיתו וחצי שביעיתו וישארו חמשים ושתי שביעיות נכם עם הח' השמורים ויעלו ת"כ וב' שביעיות תגרעם מהתפ"ג וי"ד חלקים מט"ו וישארו כ"א ועשרה חלקים מט"ו בקרוב וזהו מגרעת זאת התמונה מתמונה הקודמת לה עוד אחר זה נמצא משקל התמונה הכדורית שאחר זאת התמונה וזה בשנקח קוטרה שהם הח' השמורים במשלנו ונכם בעצמם והעולה עם ג' ושביעית והעולה עם ששית הקוטר ויעלו רס"ח וד' כאיי"ם תגרעם מהת"כ ושתי שבישיות וישארו קל"ד וב' תוי"ם וזהו מגרעת זאת התמונה מהתמונה הקודמת
Question: a tree that is ten cubits high. A strong wind came and broke it into two parts and its parts were not parted but it was inclined from the breaking point, its treetop reached the earth, and the distance between its treetop and its bottom is 5 cubits. How many cubits are from the top of the tree to the breaking point?	שאלה אילן שגובהו עשר אמות ובא רוח חזק ושברתו לשנים חלקים ולא נפרדו חלקיו אך נטה ממקום השבירה והגיע ראשו לארץ והרוחק שבין ראשו לשרשו ה' אמות כמה אמות מראש האילן עד מקום השבירה
	התשובה שתחלק מרובע הרוחק שבין שרש האילן לראשו שהם הכ"ה אמו' במשלנו על גובה כל האילן שהם הי' במשלנו ויצאו לך ב' וחצי נחברם עם הי' ונקח חציים והם ו' ורביע וזהו כמות האמות שמראש האילן עד מקום השבירה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{5^2}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{25}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left[10+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=6+\frac{1}{4}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{3}{4}}}$	והנשאר עד תשלום הי' שהם הג' וג' רביעיות הם כמות האמות שממקום השבירה עד שרש האילן
Question: a lance that is stuck in water; its top is above the water; its bottom touches the ground of the water. We do not know the depth of the water. How can we know how many cubits is the lance that is stuck in water on the ground of the water?	שאלה רומח שהיה תקוע במים וראשו למעלה מהמים ושרשו נוגעו בקרקע המים ואינו ידוע לנו עומק המים היאך נדע כמות אמות הרומח השקוע במים על קרקע המים
Answer: shake the top of the lance on the right side until its top hits the surface of the water and make a sign there.	התשובה שתנענע ראש הרומח הנראה בצדו הימני עד שיטה ויגיע ראשו אל שטח המים ותסמן שם סימן אחד
Tilt its top to the left side also until its top hits the surface of the water and mark a second sign there.	גם תטה ראשו לצדו השמאלי עד שיגיע ראשו אל שטח המים ותסמן שם סימן שני
Take half the distance between the two signs and keep it.	וקח חצי מה שבין שני הסימנים ושמרהו
Consider the part of the lance that can be seen as one cubit and count the reserved by it, so that you know how many cubits it is of this cubit. Multiply the resulting number of these cubits by itself, add one to the product, take half of the sum, subtract one from it, and what remains is the number of cubits of the lance that is stuck in the water to the bottom. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a^2+1\right)\right]-1}}$	וחשוב כל הנראה מהרומח כמה שהיה לאמה אחת ותמנה בו השמור ודע כמה אמות הוא מזאת האמה והעולה ממספר האמות הכהו בעצמו והעולה תוסיף עליו אחד וקח מהעולה חציו והשלך ממנו אחד והנשאר הוא מספר אמות הרומח השקוע במים עד הקרקע
	תם ונשלם שבח לאל בורא עולם
	ותהי השלמת זה הספר ביום ה' כ"ו לחדש אדר שנת הרצ"ד לפ"ק פה קושטאנטינה רבתי יע"ה אמן
	ומי שחננו ונתן לנו כח להדפיס ספר הזה הוא למען רחמיו יוכנו להשלים המכלול ולעשות ספרים אחרים עד אין קץ

Notes


	↑ ישעיה נט, י ↑ יהושע ו, א

Appendix I: Glossary of Terms

rank

מדרגה

Appendix II: Bibliography

Elijah Mizraḥi
Constantinople, ca. 1450-1526
Sefer ha-Mispar
Manuscripts:

1) Cambridge, University Library Add. 492.2 (IMHM: f 16786), (16th century)

2) Cambridge, University Library Add. 492.3/3 (IMHM: f 16786), ff. 21v-59v, (16th century)

3) Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°957 (IMHM: B 323 (8°957)), (1515)

4) New York, M. Lehmann 282/1 (IMHM: f 24627) (1598)

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1012/2 (IMHM: f 15713), ff. 247v-267v (15th century)

[heb.1012]

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/2 (IMHM: f 15721), ff. 31r-42v, 86r-193v, (15th-16th century)

[heb.1029]

7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1093/1 (IMHM: f 15043), ff. 1r-123r (15th century)

[heb.1093]

8) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 710 (IMHM: f 51024), (16th century)

Critical Edition:

Segev, Stela. 2010. The Book of the Number by Elijah Mizrahi: a Textbook from the 15th century. Ph.D thesis, the Hebrew University of Jerusalem, (Hebrew).

Printed (Traditional) Edition:

Sefer ha-Mispar le-ha-Ḥaḵam ha-Elohi Eliya ha-Mizraḥi: ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי, קוסטנטינא: דפוס שונצין ב'א'ר'ץ' [רצ"ג],

The transcript is based mainly on the traditional edition

Bibliography:

Wertheim, Gustav. 1896. Die Arithmetik des Elia Misrachi. Ein Beitrag zur Geschichte der Mathematik. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn.

[1] ישעיה נט, י

[2] יהושע ו, א

[1]

[2]

@@ Line 19,396: / Line 19,396: @@
 |-
 |
+::The second part is three and [2]7 parts of 151.
 ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=3+\frac{27}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק השני שלשה ו[כ]ז' חלקים מקנ"א
 |-
-|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=4+\frac{116}{151}}}</math>
+|
+::The third part is 4 and 116 parts of 151.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=4+\frac{116}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק השלישי ד' וקי"ו חלקים מקנ"א
 |-
-|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=6+\frac{54}{151}}}</math>
+|
+::The fourth part is six and 54 parts of 151.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=6+\frac{54}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ששה ונ"ד חלקים מקנ"א
 |-
@@ Line 19,408: / Line 19,413: @@
 |style="text-align:right;"|וזה טרם התוספת אחר זה לקחנו מהנשארים ממספר כ' והוספנו על החלק הראשון כמו חציו ועל החלק השני כמו שלישתו ועל החלק השלישי כמו רביעיתו ועל החלק הרביעי כמו ששיתו והנה עלה החלק הראשון ב' ונ"ח חלקים מקנ"א
 |-
-|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{27}{151}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{27}{151}\right)\right]=4+\frac{36}{151}}}</math>
+|
+::The second part is 4 and 36 parts of 151.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{27}{151}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{27}{151}\right)\right]=4+\frac{36}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק השני ד' ול"ו חלקי' מקנ"א
 |-
-|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{116}{151}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{116}{151}\right)\right]=5+\frac{145}{151}}}</math>
+|
+::The third part is 5 and 145 parts of 151.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{116}{151}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{116}{151}\right)\right]=5+\frac{145}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק הג' ה' וקמ"ה חלקים מקנ"א
 |-
-|<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{54}{151}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{54}{151}\right)\right]=7+\frac{63}{151}}}</math>
+|
+::The fourth part is 7 and 63 parts of 151.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{54}{151}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{54}{151}\right)\right]=7+\frac{63}{151}}}</math>
 |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ז' וס"ג חלקים מקנ"א
 |-

Difference between revisions of "ספר המספר / אליהו מזרחי"

Revision as of 17:56, 10 January 2023

Contents

Prologue

Introduction

Book One

Section One - Integers

Chapter One - Addition

Introduction

The Positional Decimal System:

Written Addition

Methods of checking

Reasons and Explanations

Special Properties

Chapter Two - Multiplication

Introduction

Multiplication of Units by Units

Written multiplication

Gelosia

Cross multiplication

Methods of Checking

Shortcuts

Euclidean Propositions

Sums

Arithmetic Progression

Geometric Progression

Other Progressions

Reasons and Explanations

Chapter Three - Subtraction

Chapter Four - Division

Section Two - Fractions

Introduction

Chapter One - Multiplication

Introduction

Multiplication of Fractions

Methods of checking

Reasons and Explanations

Chapter Two - Addition

Introduction

Addition of Fractions

Methods of checking

Reasons and Explanations

Chapter Three - Subtraction

Introduction

Subtraction of Fractions

Methods of checking

Reasons and Explanations

Chapter Four - Division

Introduction

Division of Fractions

Methods of checking

Reasons and Explanations

Section Three - Integers and Fractions

Chapter One - Addition

Chapter Two - Multiplication

Chapter Three - Subtraction

Chapter Four - Division

Book Two

Section One - Sexagesimal Fractions

Chapter One - Addition

Chapter Two - Multiplication

Chapter Three - Subtraction

Chapter Four - Division

Section Two - Roots

Part One - Square Roots

Chapter One

Chapter Two: [Extracting Square Roots of Fractions or Integers and Fractions]

Part Two - Cubic Roots

Chapter One: [Extracting the Cubic Roots of Integers]

Chapter Two: [Extracting Cubic Roots of Fractions or Integers and Fractions]

Section Three: Ratios

Part One: Arithmetic Sequences

Part Two: Geometric Sequences

Chapter One

Chapter Two

Book Three: Word Problems

Section One: Numerical Problems

Chapter One

Chapter Two

Section Two: Geometrical Problems