Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Revision as of 06:17, 2 February 2022

ספר האלזיברא
לרבי שמעון מטוט

Contents 1 Introduction 1.1 Definitions of algebraic terms 2 First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra 3 Second Section: Algebra 3.1 Introduction 3.2 The six canonical equations 3.3 Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree 4 Epilogue 4.1 Notes 5 Additional excerpt 6 Appendix I: Glossary of Terms 6.1 Arithmetic Operations 6.2 Arithmetic Terms 6.3 Calculation Terms 6.4 Algebraic Terms 6.5 Geometric Terms 6.6 Logical Terms 6.7 Philosophical Terms 6.8 Economic Terms 6.9 Literary Terms 6.10 Linguistic terms 6.11 General Terminology 6.12 Titles - Acronyms 6.13 Demonstratives 6.14 Pronouns 6.15 Adjectives 6.16 Adverbs 6.17 Conjunction 6.18 Preposition 7 Appendix II: Bibliography Introduction
After the praise to God, the name of his praise is Glory	אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
Illuminating beginning of any discussion and action	ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
Blessed and exalted be his name a great exaltation	יתב' ויתע' שמו עלוי רב
Definitions of algebraic terms
I Start by saying that you should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown number, and made it one whole thing in their calculations, which they called cosa.	אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרי' בחשבון האלזיברא יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו קוֹסָא
They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know.	רצונם להורות בזאת התיבה שני עניני' דבר אחד שלם ודבר נעלם לא ידענוהו
Hence, I am doing the same in its translation, and calls it davar [= a "thing"].	וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתו זאת ובשם אקראנו דבר
They called the product of the thing by itself çenso.	וכפל הדבר בעצמו יקראוהו צֵינְסו
I asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told me that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.	ושאלתי לחכמי דקדוק לשונם על הוראת זאת התיבה ואמ' לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
Since we did not find in our language one word that has this meaning, and I did not want to extend my speech by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, I called it by the Hebrew word merubaʼ [= a square] as it is.	ובעבור כי לא מצאנו בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת הָהוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם מרובע כאשר הוא
They called the square that is multiplied by it self çenso di çenso, and I named it merubaʼ ha-merubaʼ [= a square of the square].	ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו צֵינְסו דֵיצֵינְסו ואני אקראנו מרובע המרובע
They called the cube number cubo.	ולמספר המעוקב יקראוהו קוּבוּ
They called the cube cube cubo di cubo.	ולמעוקב המעוקב יקראוהו קוּבוּ דֵיקוּבוּ
The units of the number are called numeri, as their usage in all other places.	ולאחדי המספר נוּמְרִי כמנהגם בכל שאר המקומות

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra
After the introduction, the teaching of its principles will be discussed that should be known and precede the study of algebra	ואחרי הקדמתי זאת אדבר בלמוד שרשיה צריכי' לדעתם ולהקדימם ללימודי חשבון האלזיברא
They will be explained as much as possible, starting by that:	ואבארם כפי אשר תשיג ידי וזה החלי
1) If you wish to multiply a root of a known number by a root of a number $\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}$	א כאשר רצית לכפול שרש מספר ידוע בשרש מספר
$\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a\sdot b}$	כפול המספר האחד על חברו ושרש העולה הוא מה שרצית
to bring it closer to perception an example is given:	ולקרבו אל ציורך אמשול משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}}$	כאשר רצית לכפול שרש מספר ה' בשרש מספר י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}$	כפול ה' בי"ב יעלה ס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\sqrt{12}=\sqrt{60}}}$	ושרש ס' הוא מה שרצית לדעת
2) If you wish to multiply a root of a known number by a known number $\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}$	ב ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\sdot b}$	עשה מן המספר מרבע בכפול אותו בעצמו אחר תכפול המרבע האחר בחברו ושרש העולה הוא מה שרצית לדעת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3}}$	המשל רצית לכפול שרש מספר ז' במספר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה מג' מרבע והוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}$	ועתה תכפול ז' בט' יעלה ס"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{63}}}$	ושרש ס"ג הוא המבוקש
This is because the ratio of a square to a square is the same as the ratio of its side to its side duplicate. $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	וזה מפני כי יחס מרבע אל מרבע כיחס צלעו אל צלעו שנוי ר"ל כפול
Therefore, $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{7\sdot3^2}}}$	ע"כ ראוי לכפול מרבע ז' בכפל ג' בעצמו
according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11	מתמונת י"א מן המאמ' השמיני לאיקלידיש
3) $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}$	ג ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מעוקב ידוע
$\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\sdot b}$	כפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' בשרש מעוקב ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	כפול ה' בו' יעלה ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{30}}}$	ושרש מעוקב ל' הוא המבוקש
4) $\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}$	ד ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3\sdot b}$	עשה מן המספר מעוקב וכפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' במספר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	עשה מן ג' מעוקב והוא כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{27\sdot5=135}}$	וכפול ה' בכ"ז יעלה קל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{135}}}$	ושרש מעוקב קל"ה הוא המבוקש
This is because the ratio of a cube to a cube is the same as the ratio of its side to its side triplicate $\scriptstyle a^3:b^3=\left(a:b\right)^3$	וזה מפני כי יחס מעוקב אל מעוקב כיחס צלעו אל צלעו משלש
according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 12	מתמונת י"ב מהמאמ' הח' לאיקלידס
5) $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}$	ה ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מרובע ידוע
cube the square	עשה מן המרבע מעקב
square the cube	ומן המעקב מרבע
by this procedure the degrees of roots are equalized to a square root of a cube root	ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
$\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt[3]{a^2\sdot b^3}}$	אח"כ תכפול אחד מהם בחברו ושרש מרבע מן שרש מעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=2\sdot3}}$	ולמען תשכיל אמשול לך משל במספרי' בעלי שרש ואומ' רצית לכפול שרש מרבע ט' שהוא ג' בשרש מעקב ח' שהוא ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	וידוע כי מכפל ג' בב' יעלה ו' והוא המבוקש
according to the mentioned way	ולפי הדרך אשר זכרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}$	ראוי לעשות מן ט' מעוקב והוא תשכ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}$	ומן ח' מרבע והוא ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{64\sdot729=46656}}$	כפול ס"ד בתשכ"ט יעלה מ"ו אלפי' תרנ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}}}$	והנה שרש מרבע מן שרש מעוקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא המבוקש
To add a further explanation, the result is reduced to a number, which is possible since the numbers chosen in the example have roots:	ולהוסיף באור נשיב המבוקש אל מספר ונוכל עשוהו מפני כי המספרי' אשר לקחנו במשלנו הם בעלי שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}=\sqrt{36}=6}}$	ונאמר שרש מעקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא ל"ו ושרש מרבע ל"ו הוא ו' והנה מספר ו' הוא המבוקש כאשר אמרנו בתחלה
The proof for this is clear to the one who understands from the proofs of the previous teachings.	מופת זה מובן למבין ממופתי הלמודי' הקודמי‫'
6) $\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ו ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
$\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\sdot b}}$	כפול המרבע האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ד' בשרש שרש מרבע ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	כפול ד' בז' יעלה כ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{28}}}}$	ושרש שרש מרבע כ"ח הוא המבוקש
7) $\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ז ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\left(a^2\right)^2\sdot b}}$	עשה מן המספר מרבע ומן מרובעו מרבע וכפול האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ה' במספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2\right)^2=4^2=16}}$	עשה מן ב' מרבע והוא ד' ומן ד' מרבע והוא י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}$	כפול ה' בי"ו יעלה פ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{80}}}}$	ושרש שרש מרבע פ' הוא מה שרצית
8) $\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ח ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
square the cube, then square the square	עשה מן המעקב מרבע וממרובעו מרבע
cube the square	ומן המרבע עשה מעקב
by this procedure the degrees of roots are equalized to a root of a square root of a cube root	ובזה המעשה השוית השרשי' ועשית כל אחד מהם שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
$\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left(a^2\right)^2\sdot b^3}}}$	אחר תכפול האחד מהם בחברו ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב והעולה הוא מה שרצית לדעת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ג' העולה בשרש שרש מעקב ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2\right)^2=9^2=81}}$	עשה מן המעקב שהוא ג' מרבע והוא ט' ומן ט' מרבע והוא פ"א מרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$	אח"כ תעשה מן ד' מעקב יהיה ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{81\sdot64=5184}}$	כפול פ"א בס"ד יעלה ה' אלפים וקפ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{5184}}}}}$	ושרש שרש מרבע מן שרש מעוקב ה' אלפי' וקפ"ד הוא מה שרצית
9) $\scriptstyle\left(5+\sqrt{6}\right)^2$	ט ואם רצית לכפול מספר ה' ושרש מספר ו' בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}$	עשה על הדרך הזאת כפול ה' בעצמו יעלה כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}^2=6}}$	עוד נכפול שרש ו' בעצמו יעלה ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{25+6=31}}$	הרי ל"א שמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)}}$	עוד תכפול מספר ה' בשרש ו' פעמי' על הדרך הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\sqrt{6}=\sqrt{5^2\sdot6}=\sqrt{25\sdot6}=\sqrt{150}}}$	ראשונה תכפול מספר ה' בשרש ו' ועשה מן ה' מרבע והוא כ"ה כפלהו בו' יעלה ק"נ והנה שרש ק"נ הוא העולה מכפל מספר ה' בשרש מספר ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)=2\sdot\sqrt{150}=\sqrt{2^2\sdot150}=\sqrt{4\sdot150}=\sqrt{600}}}$	עוד תכפול שרש ק"נ במספר ב' מפני כי אתה רוצה אותו פעמי' ותעשה מן ב' מרבע והוא ד' כפול ד' בק"נ יעלה ת"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\sqrt{6}\right)^2=31+\sqrt{600}}}$	הנה תאמר כי מספר ל"א אשר אמרת ושרש מספר ת"ר מחוברים הוא מה שרצית לדעת
In order to learn it, a multiplication diagram is described	ולמען תשכיל אתאר לך תמונת הכפל
from each of the numbers in the figure, lines are drawn to the numbers by which they should be multiplied	ואוציא מכל אחד מהמספרים אשר בתמונה קוים נמשכים בה אל המספרי' אשר ראוי לכפלו בהם

10) $\scriptstyle\left(\sqrt{32}-3\right)^2$	י ואם רצית לכפול שרש ל"ב פחות מספר ג' בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה ראשונה מן ג' מרבע והוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}^2=32}}$	ועתה תכפול שרש ל"ב בעצמו יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-\sqrt{9}\right)^2=9}}$	עוד תכפול שרש ט' פחות בעצמו יעלה ט' יותר
subtractive × subtractive = additive [ $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$ ]	שראוי לך שתדע שמכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אבאר
$\scriptstyle{\color{blue}{9+32=41}}$	על כן תחבר ט' בל"ב יעלה מ"א שמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\sqrt{32}\sdot\left(-\sqrt{9}\right)\right]=-\sqrt{1152}}}$	עוד תכפול שרש ל"ב בשרש ט' פחות פעמי' על דרך האמור למעלה יעלה שרש אלף קנ"ב פחות
a number or a measure multiplied by a subtractive = subtractive [ $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$ ]	לעולם מכפל איזה מספר או איזה שעור שיהיה בחסרון יעלה חסרון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}-3\right)^2=41-\sqrt{1152}}}$	הנה תאמר כי מספר מ"א אשר שמרת פחות שרש אלף קנ"ב הוא המבוקש
11) $\scriptstyle\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\times\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)$	יא ואם רצית לכפול שרש מ"ח ושרש י' בשרש מ"ח פחות שרש י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}^2=48}}$	כפול ראשנה שרש מ"ח בעצמו יעלה מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{10}\right)\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-10}}$	עוד תכפול שרש י' יותר בשרש י' פחות יעלה י' פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{48-10=38}}$	חסרם ממ"ח ישאר ל"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(+\sqrt{10}\right)=+\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' יותר יעלה שרש ת"פ יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{38+\sqrt{480}}}$	הרי בידך ל"ח ושרש ת"פ יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' פחות יעלה שרש ת"פ פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\sdot\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)=38+\sqrt{480}-\sqrt{480}=38}}$	על כן תחסרנו מל"ח ושרש ת"פ יותר ישאר בידך מספר ל"ח והנה הוא המבוקש
Rules of multiplication for expressions of the type (a+b) and (a-b)	ועתה אתן לך כלל
number × additive = additive: $\scriptstyle a\times\left(+\right)=\left(+\right)$	מכפל איזה מספר ביתרון יעלה יתרון
number × subtractive = subtractive: $\scriptstyle a\times\left(-\right)=\left(-\right)$	ומכפל איזה מספר בחסרון יעלה חסרון
additive × additive = additive: $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)$	ומכפל יתרון ביתרון יעלה יתרון
additive × subtractive = subtractive: $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$	ומכפל יתרון בחסרון יעלה חסרון
subtractive × subtractive = additive: $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$	ומכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אמרנו למעלה
The explanation is accompanied by a geometric illustration for the example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)}}$	ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר רצינו לכפול מספר י"ב פחות מספר ד' במספר ח' פחות מספר ב‫'
Geometric illustration	ונתאר תמונה כפי המשל הנז‫'

ABGD□:	ויהיה שטח אבג"ד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	צלע א"ב ממנו י"ב מדות
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וצלע א"ג ממנו ח' מדות
AB - AH = $\scriptstyle{\color{blue}{12-4}}$	ונחסר מצלע א"ב חלק א"ה ממנו ד' מדות
AG - AW = $\scriptstyle{\color{blue}{8-2}}$	ומצלע א"ג נחסר צלע א"ו ממנו ב' מדות
drawing line HZ from point H, parallel to AG, BD	ונעביר מנקודה ה' קו ה"ז נכוחי לקוי א"ג ב"ד
drawing line WC from point W, parallel to AB, GD	ומנקודת ו' קו ו"ח נכוחי לקו א"ב ג"ד
These two lines are intersect in ABGD□ at point T	ויחתכו שני אלה הקוים בתוך השטח על נקודת ט‫'
They divide ABGD□ into four areas:	ויחלקוהו לארבעה שטחים
the gnomon of ABGD□ = TG□ + TA□ + TB□	לשטח ט"ג ושטח ט"א ושטח ט"ב שלשתם יחד נקראם רושם התמונה
TD□ = the sought-after, because its area is equal to the requested number, that is the product of the mentioned numbers, as one can see	ושטח ט"ד הרביעי ונקראהו המבוקש כי מספרי שבריו שוה למספר המבוקש העולה מכפל המספרי' הנז' כאשר אתה רואה
No need to further elaborate this proof.	אין צורך להאריך במופת זה אליך
Now the above mentioned numbers are multiplied by each other, according to the aforementioned method:	ועתה נכפול המספרי' הנז' אחד מהם בחברו כפי הדרך הנז‫'
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{12\times8=96}}$	ונתחיל לכפול י"ב בח' יעלה צ"ו כמספר שברי שטח א"ד כלו
– (TA□ + TB□) = $\scriptstyle{\color{blue}{12\times\left(-2\right)=-24}}$	עוד נכפול י"ב במספר ב' פחות יעלה כ"ד פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ב
– (TA□ + TG□) = $\scriptstyle{\color{blue}{8\times\left(-4\right)=-32}}$	עוד נכפול מספר ח' במספר ד' פחות יעלה ל"ב פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ג
(TA□ + TB□) + (TA□ + TG□) = $\scriptstyle{\color{blue}{24+32=56}}$	ואם נחבר כ"ד ול"ב יעלה נ"ו כמספר שברי הרושם ושברי שטח ט"א מחוברי‫'
TD□ – TA□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] = $\scriptstyle{\color{blue}{96-56}}$	ואם נחסרם משברי שטח א"ד כלו שהם צ"ו ישאר שטח ט"ד המבוקש פחות שטח ט"א שמרהו
TA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-2\right)\times\left(-4\right)=8}}$	ותשלים לכפול המספרים הנז' ותכפול ב' פחות בד' פחות יעלה ח' כמספר שברי שטח א"ט
TD□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] + TA□ [TD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)=\left(12\times8\right)-\left[\left(12\times2\right)+\left(8\times4\right)\right]+\left(2\times4\right)}}$ ]	וצריך אתה להוסיפו על השמור להשלים שטח ט"ד המבקש
The conclusion: subtractive × subtractive = additive: $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$	על כן יאמ' כי מכפל חסרון בחסרון יעלה תוספת
In order to bring it closer to perception a multiplication diagram will be described as drawn in the previous multiplication figure:	ולקרבו אל ציורך אתאר גם לך תמונת הכפל באופן אשר צירתי תמונת הכפל הקודמת

12) $\scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}$	יב ואם רצית לחבר שרש י"ב בשרש מ"ח דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot48=576}}$	כפול י"ב במ"ח יעלה תקע"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{576}=24}}$	והנה שרש תקע"ו כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot24=48}}$	קח שני דמיוניו יעלה מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}=\sqrt{12+48+48}=\sqrt{108}}}$	חבר אליו שני המרבעים שהם י"ב ומ"ח יעלה ק"ח והנה שרש ק"ח הוא המבקש
Geometric proof (no figure is given): summing the sides of the squares $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}}}$ as two segments of one line	מופת זה נחבר צלע מרבע י"ב וצלע מרבע מ"ח על יושר ויהיו שני חלקי קו אחד ישר
It was already clarified in Euclid, Elements, Book II, proposition 4:	וכבר נתבאר בתמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידס
When a straight line is cut randomly into two segments, the square on the whole line equals the sum of the two squares that are generated from the two segments plus twice the rectangle encompassed by the two segments. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab$	כי כאשר נחלק קו ישר לב' חלקים איך שקרה הנה מרבע הקו כלו שוה לשני המרבעים ההוים משני החלקים ולכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
the quadrilateral surface that is generated from both segments = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12\sdot48}=\sqrt{576}}}$	ועתה הנה כאשר כפלנו שני המרובעים זה בזה הנה שרש העולה שהוא תקע"ו הוא שוה לשטח הנצב הזויות ההוה משני החלקים
double the quadrilateral surface that is generated from both segments + the two squares = the square of the whole line, whose root is the sought.	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידנו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים וכאשר חברנו אל זה שני המרובעים עלה בידנו מרבע הקו כלו ושרשו הוא המבקש
13) $\scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}$	יג ואם רצית לחבר שרש ח' בשרש י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot19=152}}$ which has no root	כפול ח' בי"ט יעלה קנ"ב והנה אין לו שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{152}=\sqrt{4\sdot152}=\sqrt{608}}}$	קח שני דמיוני שרש קנ"ב על הדרך הזאת כפול שרש קנ"ב במספר ד' יעלה שרש תר"ח שמרהו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}\right)^2+\left(\sqrt{19}\right)^2=8+19=27}}$	חבר שני המרבעים שהם ח' וי"ט יעלה כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}+\sqrt{19}=\sqrt{27+\sqrt{608}}}}$	הנה תאמר כי שרש העולה מחבור כ"ז עם שרש תר"ח הוא המבקש
The proof of this teaching is clear from the preceding one	מופת זה הלמוד מובן מאשר לפניו
14) $\scriptstyle\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}$	יד ואם רצית לחבר שרש מעקב צ"ו עם שרש מעקב שכ"ד
greatest common divisor $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	קח המספר היותר גדול שימנה שני אלה המספרי' והוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{12}=8}}$	חלק אליו צ"ו יגיע בחלוק ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{324}{12}=27}}$	עוד תחלק אליו שכ"ד יגיע כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{96=324\sdot\frac{8}{27}}}$	הנה צ"ו הוא ח' חלקים מכ"ז ממספר שכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}}}$	קח שרש מעקב ח' חלקים מכ"ז יהיה ב' שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה כי שרש מעקב צ"ו הוא ב' חלקי' מג' משרש שכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	חבר ב' וג' יעלה ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה חברנו שני שרשי שני המעקבים ועלה ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt[3]{125}}}$	אח"כ תעשה מן ה' מעוקב משרש מעקב והוא קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{\sqrt[3]{125}}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	והנה עלה בידינו מעקב חלקי שני שרשי שני המעקבים כאשר חוברו שמרהו
finding the measure of each of the $\scriptstyle{\color{blue}{125}}$ :	ועתה לדעת שעור כל אחד מאלו הקכ"ה במדה שבה המעקב האחד צ"ו והמעקב השני שכ"ד נעשה על הדרך הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt[3]{96}}}$	קח החלק האחד מהחמשה חלקי' הנז' והנה הוא חצי שרש מעקב צ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}}$	עשה מן חצי מעקב ויעלה בידך שמינית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sdot96}=\sqrt[3]{12}}}$	הנה מעקב החלק האחד הוא שמינית מספר צ"ו שהוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{125\sdot12=1500}}$	כפול י"ב בקכ"ה אשר שמרת יעלה אלף ות"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{125\sdot12}=\sqrt[3]{1500}}}$	והנה שרש מעקב אלף ות"ק הוא המבקש
According to the method of leading in paths of uprightness to calculate this calculation in a wise way, the proof was demonstrated.	הנה לפי דרכי בהדריכי אותך במעגלי יושר^[1] לחשוב זה החשבון בדרך חכמה הורתיך המופת
15) $\scriptstyle\sqrt{30}\div\sqrt{6}$	טו ואם רצית לחלק שרש ל על שרש ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}}}$	חלק ל' לו' יעלה ה' ושרשו הוא המבוקש
Relying on Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11: $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי
16) $\scriptstyle20\div\sqrt{10}$	יו ואם רצית לחלק מספר כ' על שרש י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{20^2}{10}}=\sqrt{\frac{400}{10}}=\sqrt{40}}}$	עשה מן כ' מרבע והוא ת' חלק ת' לי' יגיע מ' הוא המבקש
The argument of the following case is an explanation also for the two subsequent cases:	הנה אקדים למוד אחד אם תתבונן תבין ממנו מופתי שני הלמודי' הנמשכי' אחריו
17) $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	יז אם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשרש ח' ושרש ד' יותר דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8-4=4}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' ומספר ד' הנשאר הוא המבוקש
In order to know that it is so, a multiplication diagram is described, in which the numbers are multiplied according to the known method:	ולמען תדע כי כן הוא נתאר תמונת הכפל ונכפול המספרי' על הדרך הנודע

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\sqrt{8}=8}}$	ונתחיל לכפול שרש ח' בשרש ח' יעלה מספר ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(+\sqrt{4}\right)=+\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' יותר יעלה שרש ל"ב יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{8+\sqrt{32}}}$	הנה בידינו מספר ח' ושרש ל"ב שמרהו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{4}\right)\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-4}}$	ונשלים חשבוננו ונכפול שרש ד' יותר בשרש ד' פחות יעלה מספר ד' פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' פחות יעלה שרש ל"ב פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8+\sqrt{32}-4-\sqrt{32}=4=\sqrt{16}}}$	ועתה נפחות ממספר ח' ושרש ל"ב השמור מספר ד' ושרש ל"ב שראוי לפחות נשאר מספר ד' כאשר אמרנו והוא המבקש או נאמר כי שרש י"ו הוא המבקש
18) $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\sqrt{64}$	יח ואם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשני שרשים אחרים יהיה העולה שרש ס"ד לא שרש י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע בחלוק ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול בח' יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו והנה יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	והנה בשרש ל"ב ושרש י"ו ראוי לכפלם ויהיה העולה שרש ס"ד וזה מובן בעצמו
19) $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)$	יט ואם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' פחות שרש ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' אשר אמרת לפחות שרשו משרש ח' יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב ושרש י"ו מחוברים הוא המבוקש
Relying on the rule according to which the dividend is equal to the product of the result of division by the divisor $\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot b=a$	זה הלמוד הולך בדרך הקודם כי לעולם המספר המתחלק הוא שוה למספר העולה מכפל המספר העולה בחלוק במספר אשר אליו יתחלק המתחלק
20) $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	כ וכן אם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' ושרש ד' יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יעלה ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}-\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב פחות שרש י"ו הוא המגיע בחלוק
This teaching follows the technique of the previous teaching exactly.	הנך רואה כי זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לא פחות ולא יותר
Except that in the previous teaching the sought was $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$ , while in the present teaching it was $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}-\sqrt{16}}}$	רק תחת אמרך בלמוד הקודם שהמבקש הוא שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים בזה הלמוד אמרת שהוא שרש ל"ב פחות שרש י"ו
21) $\scriptstyle8\div\left(\sqrt{8}+2\right)\quad8\div\left(\sqrt{8}-2\right)$	כא ואם רצית לחלק מספר ח' על שרש ח' ומספר ב' יותר או על שרש פחות מספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}$	עשה ממספר ח' מרבע יהיה ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{2^2=4}}$	וממספר ב' מרובע יהיה ד‫'
The manipulations lead to the two previous cases	והנה אתה עתה שבת אל שני הלמודים הקודמים לזה והקש על זה
22) $\scriptstyle\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}$	כב ואם רצית לחלק שרש מרבע ו' בשרש מעקב י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}$	עשה מן ו' מעקב יעלה רי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	ומן י' מרבע יהיה ק‫'
by this procedure the degrees of roots are equalized to a square root of a cube root	ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{100}=2+\frac{4}{25}}}$	ועתה חלק רי"ו על ק' ויגיע ב' וד' חלקי' מכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}=\sqrt{\sqrt[3]{2+\frac{4}{25}}}}}$	ושרש מרבע מן שרש מעקב ב' וד' חלקי' מכ"ה הוא המבקש
23) $\scriptstyle\sqrt[3]{18}\div\sqrt{\sqrt{8}}$	כג ואם רצית לחלק שרש מעקב ה' בשרש שרש מרבע ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5^2\right)^2=625}}$	עשה מן ה' מרבע מרבע ויהיה תרכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{8^3=51{\color{red}{2}}}}$	גם תעשה מן ח' מעקב יהיה תקי"ג
by this the degrees of roots are equalized	והנה השוית השרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{625}{51{\color{red}{2}}}=1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}$	חלק תרכ"ה בתקי"ג ויגיע אחד וקי"ג חלקים מתקי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\div\sqrt{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}}}}$	והנה שרש שרש מרבע מן שרש מעקב א' וקי"ג חלקים מתקי"ג הוא המבקש
24) $\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	כד ואם רצית לגרוע שרש ח' משרש י"ח דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}$	כפול ח' בי"ח יעלה קמ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{144}=12}}$	הוצא שרשו והוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$	קח שני דמיוניו ויהיו כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}$	חבר ח' וי"ח יהיו כ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	חסר כ"ד מכ"ו ישאר ב' ושרש ב' הוא מה שרצית
To show the proof for this it should be taught that:	ולהראותך מופת על זה צריך אני להשכילך
When a straight line is cut randomly into two segments, the sum of the squares on both segments equals twice the rectangle encompassed by both segments plus the square that is generated from the excess of the larger segment over the smaller segment. $\scriptstyle a^2+b^2=2ab+\left(a-b\right)^2$ Euclid, Elements, Book II, proposition 7	כי כאשר נחלק קו ישר לשני חלקי' איך שקרה הנה מרבעי שני החלקי' שוים לכפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו שני החלקי' ולמרבע ההוה ממותר החלק הגדול על הקטן
Geometric illustration
line AB is cut randomly at point G	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שקרה על נקודה ג‫'
AZ is cut from line AG, so that it equals the smaller segment GB: AZ = GB	עוד נחלק מן קו א"ג חלק א"ז ממנו שוה לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
ZG = AG - AZ = the excess of the larger segment over the smaller segment	וישאר קו ז"ג הוא מותר החלק הגדול על הקטן
Supposition: [2·(AG × GB)] + ZG² = AG² + GB²	הנה אומר כי כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב עם המרבע ההוה מן ז"ג מחברים יהיו שוים לשני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב כאשר יחברו
Proof: constructing: AGDH□ = AG²	ונעשה מן קו א"ג מרבע אגד"ה
GBKW□ = GB²	ומן קו ג"ב מרבע גבח"ו
drawing line ZI from point Z, parallel to AD and GH.	ומנקודת ז' נמשיך קו ז"י נכחי לשני קוי א"ד ג"ה
extending line WK straight until it meets line ZI at point C.	ונמשיך קו ו"ח על יושר עד אשר יפגיש קו ז"י על נקודת כ‫'
GB = AZ	ועתה מפני כי ג"ב שוה לקו א"ז
ZB = [GZ + GB = GZ + AZ] = AG the larger segment	יהיה קו ז"ב שוה לקו א"ג שהוא החלק הגדול
BW = GB the smaller segment	וקו ב"ו לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
BC□ = [ZB × BW] = [AG × GB]	א"כ שטח ב"כ שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אשר הם שני חלקי הקו כלו
AD = AG	וגם כן מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ג
AZ = GB	וקו א"ז שוה לקו ג"ב
ZD□ = [AD × AZ] = AG × GB	יהיה שטח ז"ד גם כן שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
CB□ + ZD□ = 2·(AG × GB)	אם כן שני שטחי כ"ב וז"ד שוים לשטח לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
KH□ = [2·(AG × GB)] - [AG² + GB²] = ZG²	ושטח כ"ה הנשאר מן שני מרבעי שני החלקים הוא מרבע שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן
CK = ZG	מפני כי קו כ"ח שוה לקו ז"ג
HK = ZG	וקו ה"ח שהוא צלעו השני שוה לקו ז"ג
HK = GH - GK = the excess of the larger segment over the smaller segment	גם כן מפני כי הוא מותר קו ג"ה שהוא שוה לחלק הגדול על קו ג"ח שהוא שוה לחלק הקטן
AG² + GB² = BK□ + ZD□ + KH□ = (AG × GB) + (AG × GB) + ZG²	הנה שני המרובעים ההוים מן א"ג וג"ב מחברים שוים לשני שטחי ב"כ וז"ד אשר כל אחד מהם שוה לשטח אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב שהם שני חלקי הקו ולמרבע כ"ה שהוא שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן כאשר יחברו
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר
Numerical example:	ונעשה דמיון במספר
A[B] = the side of a square whose area is $\scriptstyle{\color{blue}{18}}$	ויהיה קו א"ג צלע מרבע שבריו י"ח
AG = the side of a square whose area is $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וחלק א"ג ממנו צלע מרבע שבריו ח‫'
AH□ = AG²	והוא מרובע א"ה
the area of the rectangle encompassed by the two segments = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8\times18}}}$	והנה כאשר כפלנו ח' בי"ח הנה שרש העולה שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקי‫'
double the area of the rectangle encompassed by the two segments = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{8\times18}}}$	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידינו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
(A[B]² + AG²) - [2·(A[B] × AG)] = $\scriptstyle{\color{blue}{26-2\sqrt{8\times18}}}$ = (A[B] - AG)²	וכאשר חסרנו מכ"ו שהוא שברי שני המרובעי' נשאר בידנו מרבע מותר החלק הגדול על הקטן
Its root is the sought.	ושרשו הוא המבקש

Second Section: Algebra
By his awful name among the nations	ועתה בשם שמו בגוים נורא
The study of the algebraic calculation	אחל לדבר בלמודי חשבון האלזיברא
Explained briefly	ואבארם ביד שכלי הקצרה
Opens with a clarified introduction:	וטרם החילי אציע הצעה מבוארה
Introduction
the ratio of a square of a square to the cube is the same as the ratio of the cube to the square $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^3:x^2$	ואומר ראוי שתשכיל ותדע כי יחס מרבע המרבע אל המעקבי' כיחס המעקב אל המרבע
and as the ratio of the square to the thing $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^2:x$	וכיחס המרבע אל הדבר
and as the ratio of the thing to the unit $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1$	וכיחס הדבר אל האחד
Explanation:
The number of units in the thing is equal to the number of things in the square	וזה מפני כי מספר האחדים אשר בשרש בדבר כמספר הדברי' אשר במרבע
And to the number of squares in the cube	וכמספר המרבעי' אשר במעקב
And to the number of cubes in the square of the square	וכמספר המעקבי' אשר במרבע המרבע
This rules should be kept in mind, as they are needed for the proofs of the teachings below	וזאת ההצעה שמרה כי תצטרך אליה במופתי הלמודי' הבאי' אחריה
starting by that:	וזה החלי
The six canonical equations
1) Things that are equal to numbers $\scriptstyle bx=c$	א כאשר הדברים שוים לאחדים
$\scriptstyle x=\frac{c}{b}$	חלק האחדים לדברי' והמגיע בחלוק הוא הדבר זה מובן בעצמו
Question: I want to divide the number ten into two parts, so that when the one part is divided by the other part the result is five $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=5\end{cases}$	שאלה רציתי לחלק מספר עשרה לשני חלקים כאשר חולק החלק האחד בחברו הגיע בחלוק ה‫'
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the divisor = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור החלק אשר אליו יתחלק הוא דבר שרש אחד
the dividend = five things, as the result of division = $\scriptstyle{\color{blue}{5x}}$	והחלק המתחלק הוא בהכרח חמשה דברים שרשים כמספר אשר הגיע בחלוק
the sum of the two parts = $\scriptstyle{\color{blue}{6x=10}}$	הנה שני החלקי' מחברים הם ששה דברים והם שוים למספר עשרה
According to the method mentioned in this teaching:	וכפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}$	ראוי לחלק מספר עשרה לו' ויגיע בחלוק א' וב' שלישי' וככה הדבר
2) Squares that are equal to numbers $\scriptstyle ax^2=c$	ב כאשר המרבעים ^צינסי שוים לאחדים מספרי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{c}{a}}$	חלק האחדים למרבעים ושרש המגיע בחלוק הוא הדבר שרש
Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the square of the remainder is 20 $\scriptstyle\left(a-\frac{1}{3}a\right)^2=20$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישיתו מרבע הנשאר הוא מספר כ‫'
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the number whose two thirds are the root of twenty = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור זה המספר אשר שני שלישיו הם שרש כ' הוא דבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=\left(\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{4}{9}x^2=20}}$	כפול ב' שלישיו בעצמם יהיו ד' תשיעיות מרבע המספר כלו אשר רציתי למצא
According to the method mentioned in this teaching:	ולפי הדרך הנז' בזה הלמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{20}{\frac{4}{9}}=45}}$	ראוי לחלק מספר כ' לד' תשיעיות והמגיע בחלוק הוא מ"ה וככה מרבע כל המספר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{45}}}$	ושרשו הוא מה שרצית
3) Squares that are equal to things $\scriptstyle ax^2=bx$	ג כאשר המרבעים שוים לדברים
$\scriptstyle x=\frac{b}{a}$	חלק הדברים למרבעים והמגיע בחלוק הוא הדבר
Based on the preliminary rule: $\scriptstyle x^2:x=x:1$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס המרבע אל הדבר כיחס הדבר אל האחד כאשר אמרנו בהצעה
Example: $\scriptstyle x^2=3x$	וע"כ אם מרבע אחד ישוה לג' דברים דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	דבר אחד ישוה לג' אחדים בהכרח
Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the remainder is the root of the original number $\scriptstyle a-\frac{1}{3}a=\sqrt{a}$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישית הנשאר הוא שרש המספר כלו
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the two thirds of the number = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור ב' שלישי זה המספר הוא דבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	אם כן המספר אחד כלו הוא דבר אחד וחצי הנה דבר אחד וחצי הוא שוה למרבע אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}=1+\frac{1}{2}}}$	וכפי הדרך הנזכ' ראוי לחלק א' וחצי לאחד יגיע א' וחצי וככה הדבר שהוא שני שלישי המספר אשר רצית למצא
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}}}$	אם כן המספר כלו הוא ב' ורביע
4) Things and numbers that are equal to squares $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ד כאשר הדברים והאחדים שוים למרבעים
Normalization: $\scriptstyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2$	חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}$	והדברי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפול המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על האחדי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך זה לעין השכל נתאר תמונה ונביא דמיון במספר

$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ויהיה קו א"ב עשר מדות
AB is cut randomly on point Z	וחלק איך שקרה על נקודת ז‫'
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
constructing: ABGD□ = AB²	ונעשה מן א"ב מרבע אבג"ד
drawing line ZC from point Z, parallel to AG and BD	ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד
AC□ = $\scriptstyle{\color{blue}{8x}}$	הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמנה דברים במספר מדות קו א"ז
each measure of AZ occupies one thing $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ in AC□	כי כל מדה ממדות א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
ZD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות
AD□ = AC□ + ZD□ [AB²= $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8x+20}}$ = AC□ + ZD□]	שניהם יחד שוים למרבע א"ד
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	ועתה הנה לפנינו קו א"ז ארכו ח' מדות כמספר הדברים
AZ is halved on point T	ונחלקהו לחצאין על נקודת ט‫'
adding line ZB to it	והוסף עליו קו ז"ב
Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6	וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
$\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$ ZD□ + TZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(x-8\right)\sdot x\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=20+16=36=\left[x-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]^2}}$ = TB²	כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח ז"ד אשר תשבורתו מספר ב' במשלנו שניהם יחד שהם ל"ו שוים למרובע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו ט"ב בתמונתנו
TB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}$	על כן אם תקח שרש ל"ו שהוא ו' יעלה בידך מדת הקו המורכב מחצי הקו והתוספת שהוא קו ט"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = TB + AT = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6+4=10}}$	הוסף עליו מחצית הדברי' שהוא מספר ד' כמספר מדות קו א"ט יעלה י' במדת כל קו א"ב צלע המרבע והוא הדבר
Question: we want to find a number such that when we add to it 28 the sum is twice its square $\scriptstyle a+28=2a^2$	שאלה רצינו למצא מספר כאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה שוה לשני דמיוני מרבעו
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the number = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור זה המספר הוא דבר אחד
$\scriptstyle x+28=2x^2$	וכאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה דבר אחד וכ"ח אחדים והם שוים לשני מרבעים
According to the method mentioned in this teaching:	והנה כפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{28}{2}=\frac{1}{2}x+14=x^2}}$	ראוי לחלק דבר אחד וכ"ח אחדים לשנים מספר המרבעי' ויגיע בחלוק חצי דבר וי"ד אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(3+\frac{3}{4}\right)=4\\\end{align}}}$	קח מחצית חצי דבר שהגיע בחלוק יהיה רביע דבר כפלהו בעצמו יהיה חלק אחד מי"ו הוסיפהו על י"ד מספר האחדי' המגיעי' בחלוק יעלה י"ד וחלק אחד מי"ו קח שרשו והוא ג' וג' רביעים הוסיפהו על מחצית הדברים המגיעים בחלוק שהוא רביע דבר יעלה ד' וככה הדבר
5) Squares and numbers that are equal to things $\scriptstyle ax^2+c=bx$	ה כאשר המרבעים והאחדים שוים לדברים
Normalization: $\scriptstyle x^2+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}x$	חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה ותכפול המחצית בעצמו והעולה תגרע ממנו המספר היוצא בחלוק האחדי' והנשאר זה שרשו והוסיפהו על מחצית היוצא בחלוק הדברי' והעולה הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר

AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	ויהיה קו א"ג הישר ח' מדות
AG is cut into two equal segments at point Z	ונחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת ז‫'
GZ = ½AG = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$	ויהיה א"כ קו ג"ז ד' מדות
AG is cut into two unequal segments at point B	עוד נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת ב‫'
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	ויהיה ג"ב ב' מדות
constructing: ABHW□ = AB²	ונעשה מן קו א"ב מרבע אבה"ו‫'
extending line HW to C	ונמשיך קו ה"ו עד ח‫'
CH = CG	ויהיה קו ח"ה שוה לקו ח"ג
drawing line GH	גם נעביר קו ג"ה
GW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	ולפי זה יהיה שברי שטח ג"ו י"ב מדות
AH□ = ABHW□ + GW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+12=8x}}$	ועתה הנה לפנינו מרבע אבה"ו ושטח ג"ו שבריו י"ב מדות שניהם יחד שוים לשטח א"ה שבריו שמנה דברים כי כל מדה ממדות קו א"ג מחזקת בשטח א"ה דבר אחד
Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 5:	והנה כפי מה שנתבאר בתמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש
$\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-b\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left( a+b\right)\right]^2$ AZ² = BH□ + ZB² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=4^2=16}}$	יהיה המרבע ההוה מן א"ז שהוא ארבע מדות כמספר מחצית הדברים ומרובעו אם כן ידוע שהוא י"ו שוה לשטח ב"ה שהוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים הבלתי שוים ושבריו ידועים שהם י"ב ולמרבע ההוה מן ז"ב אשר הוא מה שבין שני החלקי‫'
ZB² = AZ² – BH□ = $\scriptstyle{\color{blue}{16-12=4}}$	והנה נחסר שטח ב"ה שהוא י"ב מהמרבע ההוה מן א"ז שהוא י"ו ישאר המרבע ההוה מן ז"ב ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = ZB + AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}}$	קח שרשו והוסיפהו על קו א"ז שהוא מחצית הדברי' יהיה קו א"ב ידוע שהוא צלע המרבע
Q.E.D.	וזה מה שרצינו
Question: a trader went trading with a certain amount in his hand and he earned six. Then he returned with the amount and earned again in the same ratio as he earned the first time, and it turned out that he had 27. You want to know how much the original amount was	שאלה סוחר אחד הלך לסחור ובידו קצבת מה והרויח ו' עוד חזר עם הקצבה והרויח כפי הערך שהרויח בפעם הראשונה ונמצא בידו כ"ז רציתי לדעת מספר הקצבה הראשונה
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the first amount = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור הקצבה הו' הראשונה היא דבר אחד
$\scriptstyle\frac{x+6}{x}\sdot\left(x+6\right)=27$	ומזה הדבר הצליח ועשה דבר אחד וו' וכפי זה הערך מדבר אחד וו' עשה כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(x+6\right)=\left(x+6\right):27}}$	הנה יחס דבר אחד עם דבר אחד וו' כיחס דבר אחד וו' עם כ"ז אחדים הנה לפנינו ג' שעורים מתיחסים
Euclid, Elements, Book VI, proposition 17:	וכבר נתבאר מתמונת י"ז מן המאמר הששי לאיקלידש
$\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2$	כי הכאת הראשון באחרון כמו הכאת האמצעי בדומה לו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36}}$	ועתה כפול דבר אחד שהוא הראשון בכ"ז אחדים שהוא האחרון יעלה כ"ז דברים עוד תכפול דבר אחד וו' שהוא האמצעי בעצמו יעלה מרבע אחד וי"ב דברים ול"ו אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36 /-12x\longrightarrow15x=x^2+36}}$	ועתה חסר הי"ב דברים משני אלה השעורים השוים ישארו ט"ו שוים למרבע אחד ול"ו אחדים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{15x=\frac{15}{1}x=x^2+\frac{36}{1}=x^2+36}}$	וכפי הדרך אשר אמרנו בזה הלמוד ראוי לחלק ט"ו מספר הדברי' ול"ו מספר האחדי' לאחד שהוא מספר המרבע ויגיע ט"ו דברי' ול"ו אחדי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(7+\frac{1}{2}\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(56+\frac{1}{4}\right)-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{20+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}$	אחר תחצה הדברי' יהיו ז' וחצי כפלם בעצמם. עלה נ"ו ורביע תגרע מהם ל"ו אחדי' ישאר כ' ורביע קח שרשו והוא ד' וחצי הוסיפהו על מחצית הדברים שהוא ז' וחצי יעלה י"ב וככה הדבר שהוא הקצבה הראשונה
6) Squares and things that are equal to numbers $\scriptstyle ax^2+bx=c$	ו כאשר המרבעים והדברי' שוים לאחדים
Normalization: $\scriptstyle x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}$	תחלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)$	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על היוצא בחלוק האחדי' ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך מופת זה

describing: AGHD□ = AG²	נתאר מרבע אגה"ד‫'
adding to it: BGHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
AGHD□ + BGHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{48}}$	שניהם יחד ר"ל המרבע והשטח שוים למספר מ"ח
GB = the side of GBHW□ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וצלע ג"ב משטח גבה"ו שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי‫'
finding the side of the square AGHD□ = AG = [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ]	ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
BG is halved at point Z [= Z midpoint of GB]	נחלק קו ב"ג לחצאין על נקודת ז' והנה לפנינו קו ג"ב נחלק לחצאין על נקדת ז‫'
	ונוסף עליו קו ג"א
Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6:	וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
$\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$ AZ² = AW□ + GZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]^2=48+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2=48+1=49}}$	כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח א"וֹ אשר שבריו ידועים שהם מ"ח ומרבע חצי הקו אשר תשבורתו ידוע שהוא א' שניהם יחד שהם מ"ט שוים למרבע הקו המרכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו א"ז
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}=7}}$	על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AG = AZ ‒ ½GB = AZ – GZ = $\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}$	חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר
Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree
7) Cubes that are equal to numbers $\scriptstyle ax^3=c$	ז כאשר המעקבים שוים לאחדי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3=\frac{c}{a}$	תחלק האחדים למעקבים וככה מספר אחדי המעקב
$\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$	ושרשו המעקבי' הוא הדבר
This is self-evident	זה מובן בעצמו
8) Cubes that are equal to things $\scriptstyle ax^3=bx$	ח כאשר המעקבי' שוים לדברים
Normalization: $\scriptstyle x^3=\frac{b}{a}x$	תחלק הדברים למעקבי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}$	והיוצא קח שרשו המרבעי' וככה הדבר
Based on proposition 2 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני
the ratio of the cube to the thing is the same as the ratio of the square to the unit $\scriptstyle x^3:x=x^2:1$	מפני כי יחס המעקב אל הדבר הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation	וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{x^3=9x}}$	ועל כן אם היה מעקב אחד שוה לט' דברים דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	יהיה בהכרח מרבע אחד שוה לט' אחדים גם כן
9) Squares of squares that are equal to numbers $\scriptstyle ax^4=c$	ט כאשר מרבעי המרבעים שוים לאחדים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{c}{a}$	תחלק האחדים למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt{\sqrt{\frac{c}{a}}}$	והיוצא קח שרש שרשו וככה הדבר
This is also self-evident	גם זה מובן מעצמו
10) Squares of squares that are equal to things $\scriptstyle ax^4=bx$	י כאשר מרבעי המרבעים שוים לדברים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x$	תחלק הדברים למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$	והיוצא קח שרשו המעקבים וככה הדבר
Based on proposition 7 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הז‫'
the ratio of the square of the square to the thing is the same as the ratio of the cube to the unit $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x=x^3:1$	מפני כי יחס מרבע המרבע אל הדבר כיחס המעקב אל האחד
This is clear from the explanation	וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=27x}}$	ועל כן אם מרובע מרובע אחד ישוה לכ"ז דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^3=27}}$	מעוקב אחד ישוה לכ"ז אחדי' בהכרח
11) Squares of squares that are equal to squares $\scriptstyle ax^4=bx^2$	יא כאשר מרבעי המרבעים שוים למרבעים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^2$	תחלק המרבעי' למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}$	ושרש היוצא הוא הדבר
Based on proposition 2 above:	זה הלמוד הולך בדרך השני
the ratio of the square of the square to the square is the same as the ratio of the square to the unit $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^2=x^2:1$	מפני כי יחס מרבע המרבע אל המרבע הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation	וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=9x^2}}$	ועל כן אם מרובע מרובע ישוה לט' מרובעי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	מרובע א' ישוה לט' אחדי‫'
12) Squares of squares that are equal to cubes $\scriptstyle ax^4=bx^3$	יב כאשר מרבעי המרבעים שוים למעקבים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^3$	תחלק המעקבים למרבעי המרבעי‫'
$\scriptstyle x=\frac{b}{a}$	והיוצא הוא הדבר
Based on proposition 1 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון
the ratio of the square of the square to the cube is the same as the ratio of the thing to the unit $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1$	מפני כי יחס מרבע המרבע אל המעקב הוא כיחס הדבר אל האחד
As introduced in the explanation.	כאשר הקדמנו בהצעה
13) Cubes and squares that are equal to things $\scriptstyle ax^3+bx^2=cx$	יג כאשר המעקבים והמרבעי' שוים לדברי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3+\frac{b}{a}x^2=\frac{c}{a}x$	תחלק המרבעי' והדברי' למעקבי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)$	והמעקבי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפלת המחצית בעצמו והוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Based on proposition 6 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הששי
the ratio of the cube and the square each of them to the thing is the same as the ratio of the square and the thing each of them to the unit $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x=x^2:1\\\scriptstyle x^2:x=x:1\end{cases}$	מפני כי יחס המעקב והמרבע כל אחד מהם אל הדבר כיחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל האחד
As clarified in the explanation.	כמבואר בהצעה
14) Cubes and things that are equal to squares $\scriptstyle ax^3+cx=bx^2$	יד כאשר המעקבי' והדברי' שוים למרבעי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3+\frac{c}{a}x=\frac{b}{a}x^2$	תחלק הדברי' והמרבעי' למעקבים
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה תחסר ממנו הדברי' המגיעי' בחלוק והנשאר קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
Based on proposition 5 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הה‫'
the ratio of the cube and the thing each of them to the square is the same as the ratio of the square and the unit each of them to the thing $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x^2=x^2:x\\\scriptstyle x:x^2=1:x\end{cases}$	מפני כי יחס המעקב והדבר כל אחד מהם אל המרבע כיחס המרבע והאחד כל אחד מהם אל הדבר
This is clear from the explanation	זה יובן מההצעה
15) Squares and things that are equal to cubes $\scriptstyle bx^2+cx=ax^3$	טו כאשר המרבעי' והדברי' שוים למעקבי‫'
Normalization: $\scriptstyle\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x=x^3$	תחלק המרבעי' והדברי' למעקבים
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
Based on proposition 4 above:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הרביעי
the ratio of the square and the thing each of them to the cube is the same as the ratio of the thing and the unit each of them to the square $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2:x^3=x:x^2\\\scriptstyle x:x^3=1:x^2\end{cases}$	מפני כי יחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל המעקב כיחס הדבר והאחד כל אחד מהם אל המרבע

Epilogue
The end.	תם
This is the lesson of the algebraic calculations that was sought and found in the Christian books a little here, a little there.	זה הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' זעיר שם זעיר שם‫^[2]
Much of these teachings were made up by Moṭoṭ himself	ורבים מן הלמודים האלה בדיתים מלבי
Accusing Mordecai Finzi of writing a book without presenting any proofs	וראוי שתדע אחי הדבק היקר כמ"ר מרדכי יזייא וחפץ ה' ביי"א‫^[3] בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה כי מחבר הספר כל הלמודים האלה בלי ראיות בספרו הביאם ואין אחד מני אלף^[4] מן המעינים בו יודע דרך החכם ומאין הוציאם
Dedicating the book to Moṭoṭ's brother and his close friend R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor	ואני אחיך בראותי אותך ואת היקר מיודעי ורעי ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה נכספים לדעתו והיודע בקראנו אליו יודע צריך שיהיה יודע הדבר בדרכי ההיקש המופתי למלאת רצוניכם הוצרכתי להתבונן במופתים ולכתבם אליכם
The reasons for the briefness of the work:	אמנם קצרתי בהם לשתי סבות
Relying on the wisdom of his readers	האחת להשעני ברוחכם הטובה רוח אלקים מרחפת על פני^[5] כל חכמה
The author is busy in other matters	הסבה השנית לרב טרדת לבי ובשרי בהרפתקי דעדו עלי ובחשבונות רבים בעסקי העולם
	מכל מקום אם דבר מה יעלם לאחד מכם לקצורי וליאות רוחי בהאריך במופתים אמרתי הנני מוכן להוסיף בו באור
	ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא כל משאלותיך^[6] יפוצו מעיינותיך^[7] מעייני הישועה^[8] אמן
	כרצונך וכרצון אחיך הדבק הסר אל משמעתך‫^[9]
	שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
	תם ונשלם

Notes
	↑ משלי ד, יא ↑ ישעיהו כח, י ↑ ישעיהו נג, י ↑ איוב לג, כג ↑ בראשית א, ב ↑ תהילים כ, ו ↑ משלי ה, טז ↑ ישעיה יב, ג ↑ שמואל א כב, יד

Additional excerpt
Additional word problem (appears in a few of the manuscripts containing the work): Question: a man exchanged 23 peraḥim – some for liṭra of Rome and some for liṭra of Marciana. One peraḥ is worth of liṭra of Marciana twice as much as of liṭra of Rome minus a quarter of a liṭra. It turned out that he had 30 liṭra of Rome and 30 liṭra of Marciana. How many peraḥim did he exchange for liṭra of Rome; how many peraḥim did he exchange for liṭra of Marciana; how many liṭra of Rome and how many liṭra of Marciana is one peraḥ worth?	שאלה אדם אחד החליף כ"ג פרחי' קצתם בליטרי' רומנייולי וקצתם בליט' מרקיאני והפרח שוה מהליט' מרקיאני הכפל ממה ששוה מהליט' רומניולי פחות רביע ליט' ונמצא בידו ל' ליט' רומניולי ול' ליט' מרקיאני רציתי לדעת כמה פרחי' החליף בליט' רומניולי וכמה פרחי' החליף בליט' מרקיאני וכמה שוה הפרח מהליט' רומניולי וכמה מהליט' מרקיאני
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
defining: the amount of peraḥim exchanged for liṭra of Rome = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור סכום הפרחי' אשר נחלפו בליט' רומניולי הוא דבר אחד
each is exchanged for an unknown number of liṭra	כל אחד מהם נחלף במספר ליט' נעלם
$\scriptstyle x\sdot y=30$	והיו ל' ליט‫'
the remaining amount that was exchanged for liṭra of Marciana: $\scriptstyle{\color{blue}{23-x}}$	נשאר הסכום אשר נחלף בליט' מרקיאני הוא כ"ג פחות דבר אחד
each is exchanged for twice the unknown number of liṭra minus one quarter of a liṭra	נחלפו בשני דמיוני מספר הליט' הנעלם הנזכ' פחות רביע ליט' אחד
$\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)=30$	והיו גם כן ל' ליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(23\sdot2y\right)+\left(x\sdot\frac{1}{4}\right)-\left(x\sdot2y\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(2\sdot30\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(65+\frac{3}{4}\right)=30\\\end{align}}}$	וכן תעשה תכפול כ"ג פחות דבר אחד בב' דמיוני המספר הנעלם פחות רביע אחד וכבר ידעת כי מכפל דבר אחד במספר נעלם אחד יעלה ל' אחדים ואם כפלת מספר כ"ג יעלה מ"ו דמיוני המספר הנעלם ורביע דבר פחות ס"ה אחדים וג' רביעי אחד וכפי השאלה זה העולה הוא שוה לל' אחדים
Restoration and Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{46y+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4}}}$	ועתה תשלים כל אחד מאלה החלקים ותשוה אותם ותאמ' מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר שלימי' בלי חסרון שוים לצ"ה אחדי' וג' רביעי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(46\sdot\frac{30}{x}\right)+\frac{1}{4}x\right]\sdot x=1380+\frac{1}{4}x^2}}$	ועתה תכפול מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר בדבר יעלה אלף וש"פ אחדים ורביע מרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(95+\frac{3}{4}\right)x=95x+\frac{3}{4}x}}$	וגם כן תכפל צ"ה אחדי' וג' רביעי אחד בדבר יעלה צ"ה דברי' וג' רביעי דבר
$\scriptstyle c+ax^2=bx$	וכבר ידעת כאשר היו האחדים והמרובעים שוים לדברי' איך תדע מספר הדבר ומידיעת הדבר תדע הכל

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations

addition, additional segment	תוספת
to add	לחבר (ב), תחבר, נחבר, נחבר אליו, חבר אליו, חבר, חברנו אל, חברנו
to add	להוסיפו על, הוסיפהו על (ה), הוסף עליו, הוספנו עליו
to be added to	נוסף עליו
sum, result of addition	העולה מחבור
to be summed	חוברו, יחברו
summed	מחוברים, מחברים
additive	יתרון, יותר
additive	תוספת
division
to divide	לחלק, חלק (ה), חלק אליו, תחלק (אליו / ה‫)
to be divided	חולק
dividend	המתחלק, המספר המתחלק
divisor	מספר אשר אליו יתחלק, החלק אשר אליו יתחלק
quotient, result of division	המספר העולה בחלוק, מספר אשר הגיע בחלוק
quotient, result of division	יגיע, יגיע בחלוק, המגיע בחלוק, הגיע בחלוק, המגיעים בחלוק, שהגיע בחלוק, היוצא בחלוק (ה), המספר היוצא בחלוק, היוצא
greatest common divisor	המספר היותר גדול שימנה
doubling
to double	כפלת
to double, to take twice	קח שני דמיוני, קח שני דמיוניו, לקחנו שני דמיוניו
twice	שני דמיוני, ב' דמיוני ה
twice	פעמי‫'
twice as much as	הכפל מ
to extract a root	קח שרשו, תקח שרש, הוצא שרשו
to extract a square root	קח שרשו המרבעי‫'
to extract a cube root	קח שרש מעקב, קח שרשו המעקבים
to extract a root of a root, to extract a root of fourth degree	קח שרש שרשו
root	שרש (ה), שרש מספר, שרש המספר
square root	שרש מרבע, שרש מרובע
cube root	שרש מעוקב, שרש המעוקב, שרש מעקב, שרשו המעקבי‫'
	שרש שרש מרבע
	שרש שרש מעקב
√√³√x	שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
√³√x	שרש מרבע מן שרש מעוקב, שרש מרבע מן שרש מעקב
having a root	מספרי' בעלי שרש, בעלי שרש
not having a root	אין לו שרש
halving
to halve	תחצה (ה), קח מחצית
half of	מחצית ה, חצי ה
multiplication	הכאת (ה), כפל, כפל... בעצמו
to multiply	לכפלו ב, לכפלם, לכפול, לכפול המספרים, כפלנו, כפול, תכפול, תכפל, כפול ב, נכפול, כפלהו, תכפלהו
duplicate	שנוי
multiplied	כפול
product, result of multiplication	מספר העולה מכפל, העולה מכפל
product, result of multiplication	העולה, יעלה
	בכפול אותו בעצמו, כפול... בעצמם/בעצמו, כפלהו בעצמו, כפלם בעצמם, כפלת את ה... בעצמו, כפלת ה... בעצמו
times	דמיוני (ה‫)
subtraction
to subtract	לגרוע, תגרע (ממנו ה / מהם‫)
to subtract	חסר ממנו, חסרה מ, חסרם מ, תחסרנו מ, נחסר, נחסר מ, נחסרם מ, חסרנו מ, תחסר מ
to subtract	נפחות מ, לפחות
to be subtracted	חסר ממנו
subtractive	חסרון
subtractive	פחות
minus	פחות
plus	יותר
to square	עשה מן המספר מרבע
a²	מרבע המספר, מרבע
a⁴	מרבע מרבע
to cube	עשה מן המספר מעוקב, עשה מעקב
triplicate	משלש

Arithmetic Terms

part	חלק, חלקים
parts of, fractions	חלקים מ, חלקי, חלק אחד מ
number	מספר
number of	מספר, מספר ה
value	מספר ה, מספרו
one	האחד
units	אחדים
units of the number	אחדי המספר
number of units in	מספר האחדים אשר ב, מספר אחדי ה
ratio	יחס, יחס ה... אל
proportional measures	שעורים מתיחסים

Calculation Terms

calculation	חשבונם, חשבוננו, החשבון, חשבונות
to calculate	לחשוב
measure, quantity, value	שעור, שעורים, שעורו
the sought	הוא מה שרצית, אשר רציתי למצא, המספר אשר רצית למצא
the sought	הוא המבוקש, המבוקש, מספר המבוקש, המבקש, הוא המבקש
excess	מותר
to result	יהיה, יהיו, ויהיו
to result	יעלה, עלה בידנו, יעלה בידך, עלה, יהיה העולה
result	העולה
procedure	המעשה
to use, to make	יעשוהו
to do, to operate, to proceed	עשוהו, תעשה, אעשה
to transform	לעשות מן, תעשה מן, עשית, עשה (מ / מן‫)
to remain	ישאר, ישארו, נשאר
remainder	הנשאר, הנשאר מן
to be left with	ישאר בידך, נשאר בידנו
to have in one's hand	בידך, הנה בידינו
to equalize	השוית ה, תשוה אותם
equal to	שוה ל, שוים ל, השוים, ישוה ל, יהיה שוה ל
to keep	שמרם, שמרת, שמרהו, שמרה
reserved	השמור
to give a numerical example	נביא דמיון במספר, נעשה דמיון במספר

Algebraic Terms

algebra	חשבון האלזיברא
algebraic calculations	חשבונות ספר האלזיברא
number, constant	נוּמְרִי, מספר
thing, root	דבר, דברים, קוֹסָא
square	צֵינְסו, מרובע, מרבע
square square x⁴	צֵינְסו דיצֵינְסו, מרובע המרובע, מרבע המרבע, מרובע מרובע, מרבעי המרבעים
cube x³	מספר המעוקב, מעוקב, המעקבים, קוּבוּ
cube cube, x⁶	מעוקב המעוקב, קוּבוּ דֵיקוּבוּ
unknown number	המספר הנעלם, מספר נעלם, מספר ... נעלם, מספרי' נעלמי‫'
unknown	דבר נעלם
fixed number	מספר קצוב
terms of the equation	החלקים
part of an equation, algebraic expression	חלק אחד מן השאלה
to restore	תשלים

Geometric Terms

figure, geometric illustration	תמונת, תמונה, תמונתנו
multiplication diagram	תמונת הכפל
segment	חלק, החלקים, חלקי', החלק
segment of a line	חלקי קו אחד, חלקי הקו
segment… of it	חלק... ממנו
point	נקודה, נקודת
at point	על נקודת
line	קו, קוים
the whole line	הקו כלו
straight line	קו ישר
straight (line)	ישר
side	צלעו, צלע, צלע מרבע, צלע המרבע
length	ארכו
measure	מדה, מדת ה, מדות
surface	שטח, שטחים
gnomon	רושם התמונה
area	שברי, שבריו, מספרי שבריו, מספר שברי, שברי שטח, מספר שברי שטח, שברי הרושם, מספר שברי הרושם, תשבורתו
square	מרובע, מרבע, מרבעים, מרובע הקו
square on the whole line	מרבע הקו כלו
quadrilateral surface, rectangle	שטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזוית, שטח נצב הזויות
encompassed by the two segments	אשר יקיפו בו שני החלקים
	אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת
encompassed by the (two) lines	אשר יקיפו בו שני קוי, אשר יקיפו בו קוי
the difference between the two segments	מה שבין שני החלקי‫'‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
straight	על יושר
parallel to	נכוחי ל, נכחי ל, נכחי לקו
to draw	נעביר מ
to draw a line	נעביר קו
to draw a line from point	נעביר בו מנקודת ... קו
to intersect	יחתכו
to divide (surface)	יחלקוהו ל
to cut from line	נחלק מן קו
to construct a square from a line	נעשה מן קו... מרבע, נעשה מן ... מרבע
to extend a line	נמשיך קו
to meet a line	עד אשר יפגיש קו
line is cut into	נחלק קו ישר ל
to cut randomly at point	חלק איך שקרה על נקודת
to be cut randomly at point	יחולק איך שקרה על נקודה
to halve it at point	נחלקהו לחצאין על נקודת, נחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת
to be halved at point	נחלק לחצאין על נקדת
to cut into two unequal segments at point	נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת
unequal segments	החלקים הבלתי שוים
to draw	צירתי

Logical Terms

to say, to state	אומר (כי), אומ', אמור, נאמר, אמרנו (ב), נאמר כי, תאמר כי, אמרת ש, ותאמ', יאמ' כי, אמרתי
to say, to tell	ואמ' לי
saying	אמרך
	אשר אמרת ל
to explain, to demonstrate	אבארם, אבאר
to be explained, to be clarified	נתבאר (ב / מ ... כי‫)
as clarified	כמבואר ב
clear, clarified	מבוארה
Q.E.D; this is what we wanted to explain	וזה מה שרצינו לבאר, וזה מה שרצינו
	להוסיף באור, להוסיף בו באור
to know (that)	לדעתם, לדעת, לדעתו, תדע (כי / ש‫)
knowing	מידיעת ה
	לא ידענוהו
	וכבר ידעת כי, וכבר ידעת
	יודע, יהיה יודע ה
the Knower	היודע
it is known that	ידוע (כי / ש‫)
to understand	תבין ממנו
to be clear from	יובן (מ / מן‫)
clear, understandable	מובן ל
	מובן מאשר לפניו
clear by itself, understandable by itself	זה מובן בעצמו, זה מובן מעצמו
one who understands	מבין
to give an example	אמשול
example	משל, המשל, דרך משל, משלנו
to learn, to become wise	תשכיל
to teach	להשכילך כי
to deduce, to conclude	הקש על זה
by analogy	בדרכי ההיקש
way, method, technique	דרך (ה), דרכי
to operate according to this way	עשה על הדרך הזאת, נעשה על הדרך הזאת
according to the known way	על הדרך הנודע‬‬‬‬
	על דרך האמור למעלה, כאשר אמרנו למעלה, כאשר אמרנו, על דרך
according to the abovementioned method	כפי הדרך הנזכר, ולפי הדרך הנז', וכפי הדרך אשר אמרנו
teaching	למוד, הלמודים, זה הלמוד, למודי, בזה הלמוד
studying	ללימודי
proof, argument	מופת, מופת זה, מופתי (ה), במופתים
to demonstrate, to show	להראותך זה, להראותך מופת זה, הורתיך המופת, ולהראותך מופת על זה
demonstrative	המופתי
manner, way	באופן אשר
speech, discussion	דבורי
to discuss, to speak	לדבר ב, אדבר ב
reason	הדבר
reason	סבה, סבות
meaning, sense	עניני‫'
conception, perception	ציורך
evidence, proof	ראיות
principles	שרשיה
question	שאלה
to ask	שאלתי ל
rule	כלל

Philosophical Terms

wisdom	חכמה
path of wisdom	בדרך חכמה
wise	החכם

Economic Terms

trader	סוחר
to trade	לסחור
to have, at his disposal	בידו, נמצא בידו
amount	הסכום, סכום ה
amount	קצבה, קצבת
to earn	הרויח
ratio	הערך (מ‫)
a man	אדם אחד
to exchange	החליף (ב‫)
peraḥim	פרח, פרחי‫'
liṭra	ליטרי', ליט‫'
of Rome	רומנייולי, רומניולי
of Marciana	מרקיאני
to be worth of	שוה מ, שוה ה... מה‫...
to be exchanged	נחלפו ב, נחלף ב

Literary Terms

chapter	מאמר, מאמ‫'
book	ספרי ה, ספרו
author	מחבר הספר
introduction	הקדמתי
translation	בהעתקתו

Linguistic terms

grammarians	חכמי דקדוק
language	לשונם, לשוננו, בלשון
word	תיבה, תיבות

General Terminology

	.א.ר.כ •
to elaborate, treat at length, lengthen	להאריך (ב), בהאריך ב, להאריך
	.ב.ו.א •
to bring, to present	הביאם
	.ב.ק.ש •
to seek	בקשתי
	.ה.י.ה •
let there be	ויהיה, יהיה
generated from	ההוה מ, ההוה מן, ההוים מ, ההוים מן
	.ה.ל.כ •
to go	הלך ל
following, in accordance with	הולך ב
	.ז.כ.ר •
to note, to mention	זכרנו
	לפי הדרך אשר זכרנו, על הדרך הזאת, כפי הדרך הנז‫'‬‬
	.ח.ד.ש •
to invent	לחדש
	.ח.ז.ק •
to occupy, tohold	מחזקת ב
	.ח.ל.ל •
to start, to begin	אחל, החילי, החלי
	.י.כ.ל •
to be able	נוכל
	.י.צ.א •
to draw	אוציא מ
to derive, to draw	הוציאם‬‬‬‬‬‬‬
	.י.צ.ע •
to propose, to offer	אציע
explanation, introduction	הצעה
	.י.ר.ה •
to signify, to mean	להורות
meaning	הוראת, ההוראה
to indicate	מורה, תורה
	.ל.ק.ח •
to take	קח, לקחנו, יקחו
	.מ.צ.א •
to find	למצא, מצאנו ב, מצאתי
	.צ.ר.כ •
to need	צריכי', צריך אתה ל, צריך אני ל, צריך ש
to have to	הוצרכתי ל
to need it	תצטרך אליה ב
no need	אין צורך
	.ק.ד.מ •
to precede	להקדימם, אקדים, הקדמנו (ב‫)
	.ק.ר.א •
to name, to denote	יקראוהו, אקראנו, בשם אקראנו, קראתיהו, נקראם, נקראהו
	.ר.א.ה •
to see	רואה (כי), בראותי אותך
	.ר.צ.ה •
meaning	רצונם
to wish	רציתי (ל), רצית ל, רצינו ל, רוצה
as one wishes	כרצונך, כרצון
	.ש.ו.ב •
to return	שבת אל
to convert, to transform	נשיב
	.ש.ל.מ •
to finish	תשלים, נשלים
to complete	להשלים
complete	שלימי‫'
whole	שלם
	.ת.ח.ל •
to start, to begin	אתחיל, נתחיל

should	ראוי ש, ראוי ל
Christians	הנוצרי‫'
usage, custom	כמנהגם
place	מקומות
as much as one can	כפי אשר תשיג ידי
to bring closer	לקרבו אל
it is, the result is	הרי
to describe	נתאר, אתאר לך, אתאר
drawn	נמשכים
subsequent, following	הנמשכי' אחריו
to give	אתן לך
intellectual vision	לעין השכל
by the measure that	במדה שבה
guidance	בהדריכי
to observe, to look	להתבונן, תתבונן
exactly, no more and no less	לא פחות ולא יותר
to return	חזר
to succeed, to make profit	הצליח
its similar	דומה לו
to be finished, to end	תם
lesson	שעור
a little here, a little there	זעיר שם זעיר שם
to devise	בדיתים
of one's own heart	מלבי
to cleave	הדבק
to longed for	נכספים ל
precious	היקר
reader	מעיינים בו
companion, corresponding	חברו
brother	אחי, אחיך
friend	מיודעי
friend	רעי
to call upon	בקראנו אליו
to write	לכתבם אליכם
to abbreviate	קצרתי בהם
brevity	קצורי
relying on	להשעני ב
in any case	מכל מקום
unknown, hidden	יעלם
prepared, ready	מוכן ל
should not	אין ל

Euclid	איקלידיש, איקלידס
Elements II.4	תמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements II.6	תמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements VI.17	תמונת יז מן המאמר הששי לאיקלידש
Elements II.5	תמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש

Mordecai Yaḥya the son of Abraham Finzi	כמ"ר מרדכי יזייא בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה
R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor	ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה
Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ	שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה

helplessness of the mind	ביד שכלי הקצרה
paths of uprightness	במעגלי יושר
one out of a thousand	אחד מני אלף
to fulfill desires	למלאת רצוניכם
good spirit	רוחכם הטובה
worldly affairs	עסקי העולם
trouble of the heart and body	טרדת לבי ובשרי
the adventures that came upon me	בהרפתקי דעדו עלי
spiritual exhaustion	לאות רוחי
	שם תהלתו תפארת
praising God	התהלה לאל, תהלתו
	ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
	יתב' ויתע' שמו עלוי רב
by his awful name among the nations	בשם שמו בגוים נורא
spirit of God hovered over the face of	רוח אלקים מרחפת על פני
God's purpose shall prosper in his hand	וחפץ ה' בייא‫‬‬‬‬‬‬
entreat the Lord	בהעתיר אל ה‫'
may the Lord fulfill all your requests	ימלא כל משאלותיך
Let thy springs be dispersed	יפוצו מעיינותיך
the fountains of salvation	מעייני הישועה
giveth heed unto thy bidding	הסר אל משמעתך
over and done	תם ונשלם
Amen	אמן

Titles - Acronyms

our honorable teacher Rabbi	כמ"ר
the son of our honorable teacher Rabbi	בכמ"ר, בכמה"ר
may his memory live in the world to come	זלה"ה
rabbi	ר‫'
may God preserve him, and keep him alive	יצ"ו

Demonstratives

it	אותו
these	אלו (ה), אלה (ה), האלה
	זה הוא
this	הזאת, זה (ה), זאת (ה‫)
	וזה, זה
by this, from this	מזה (ה), בזה
in this, for this	בזה ה
thereby, in this regard, relating to this	בזה
by each other	זה בזה
	מאלו (ה‫)

Pronouns

a certain, whichever	איזה, איזה... שיהיה
I am	אני, הנני
you	אתה, הנך, אותך
which is	שהוא, אשר הוא
it is, which is (result)	והוא (ה), הוא ה, היא
which are	שהם
something	דבר מה
certain	מה
what	מה ש
by itself	בעצמו

Adjectives

one of	אחד מ, אחד מכם
each of	כל אחד מהם, אחד מהם, כל אחד מ
other	אחר, אחרים
last	אחרון
middle	האמצעי
aforementioned	האמור
following, consequent	הבאי' אחריה
larger	הגדול
known	ידוע, ידועים, נודע
unknown	בלתי ידוע
whole	כלו, כל (ה‫)
all	כל ה
every	כל
everything, all	הכל
mentioned	הנזכר, הנז', הנזכ‫'
previous	הקודמי‫', הקודמת, הקודם‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
prior to	הקודמים לזה
smaller	הקטן
some	קצתם
first, firstly	ראשונה, ראשנה
first	ראשון, ראשונה
much	רב
many	רבים
many of	רבים מן ה
composed of	המורכב מ, המרכב מ
other, rest of	שאר ה
equal	שוים
unequal	בלתי שוים

Adverbs

then, afterwards	אח"כ, אחר
after	אחרי
how	איך
randomly	איך שקרה
there is no	אין
indeed	אמנם
without	בלי
before	טרם
together	יחד, שניהם יחד
above	למעלה, למעלה מ
already	כבר
is so, indeed	כי כן הוא
in all	בכל
how many	כמה, כמה מה‫...
as, the same as	כמו
so is	וככה ה
also	וכן
and so, thus	וכן
according to this, accordingly	לפי זה
therefore	לפי כן
from where	מאין
also	גם, גם כן
always	לעולם
therefore	על כן, ע"כ
now	עתה
also, further, likewise	עוד
hither	והנה, הנה, הנה כי
here	הנה לפנינו, לפנינו
necessarily	בהכרח
on the first time	בפעם הראשונה
namely, i.e.	ר"ל
but	רק
first, at the beginning	בתחלה
instead	תחת

Conjunction

or	או
then, if so	א"כ, אם כן
what, that, which	אשר, ש
because (of), since	מפני כי, כי, ל
because, since	בעבור כי
if	ואם, אם
when	כאשר
that	כי
according to, as, like	כפי, כפי מה ש
as, like, the same as	כ, כפי ה
in order that	למען
until	עד אשר

Preposition

as it is	כאשר הוא
as	כ, כאשר
according	לפי
of it	ממנו
of	מן (ה‫)
by, according	על
on it	עליו
with	עם ה
inside	בתוך ה

Appendix II: Bibliography

Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ
Ḥeshbon ha-Alzibra (Calculation of Algebra)
Italy, 1460s
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/42 (IMHM: f 3576), ff. 223r-226r (15th century)

Ets Haim 47 D 20/42

2) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/14 (IMHM: f 1996), ff. 113r-120r (15th-16th century)

Or. Oct. 244/14

3) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/2 (IMHM: f 17970), ff. 46r-53v (16th century)

Plut.88.46/2

4) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 10/6 (IMHM: f 790), ff. 122v-133r (15th century)

ebr. 10/6

5) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2196/3 (IMHM: f 13362), ff. [117r]-[119v] (15th-16th century)

Parm. 2196/3

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. p.193 (h59).

[1] משלי ד, יא

[2] ישעיהו כח, י

[3] ישעיהו נג, י

[4] איוב לג, כג

[5] בראשית א, ב

[6] תהילים כ, ו

[7] משלי ה, טז

[8] ישעיה יב, ג

[9] שמואל א כב, יד

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

@@ Line 7: / Line 7: @@
 |-
 |
-== Introduction ==
+== <span style=color:Green>Introduction</span> ==
 |
 |-
 |After the praise to God, the name of his praise is Glory
-|style="text-align:right;"|אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
+|style="width:45%; text-align:right;"|אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
 |-
 |Illuminating beginning of any discussion and action
@@ Line 21: / Line 21: @@
 |-
 |
-=== Definitions of algebraic terms ===
+=== <span style=color:Green>Definitions of algebraic terms</span> ===
 |
 |-
-|Starting by saying that one should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown number, and made it one whole thing in their calculations, which they called '''cosa'''
+|I Start by saying that you should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown number, and made it one whole thing in their calculations, which they called '''cosa'''.
 |style="text-align:right;"|אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרי' ב{{#annot:term|132,1825|wsoU}}חשבון האלזיברא{{#annotend:wsoU}} יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו {{#annot:term|133,1314|GJ6c}}קוֹסָא{{#annotend:GJ6c}}
 |-
-|
+|They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know.
-:They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know
 |style="text-align:right;"|רצונם להורות בזאת התיבה שני עניני' דבר אחד שלם ו{{#annot:term|133,1635|kpod}}דבר נעלם{{#annotend:kpod}} לא ידענוהו
 |-
-|Hence, the author also is doing the same in its translation, and calls it '''davar''' [= a "thing"]
+|Hence, I am doing the same in its translation, and calls it '''davar''' [= a "thing"].
-*X  (variable) = thing
+|style="text-align:right;"|וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתו זאת ובשם אקראנו {{#annot:term|133,1309|xvqw}}דבר{{#annotend:xvqw}}
-|style="text-align:right;"|וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתו זאת ובשם אקראנו '''{{#annot:term|133,1309|xvqw}}דבר{{#annotend:xvqw}}'''
 |-
-|They called the product of the thing by itself '''çenso'''
+|They called the product of the thing by itself '''çenso'''.
-|style="text-align:right;"|ו'''כפל הדבר''' בעצמו יקראוהו '''{{#annot:term|687,1313|c1bw}}צֵינְסו{{#annotend:c1bw}}'''
+|style="text-align:right;"|וכפל הדבר בעצמו יקראוהו {{#annot:term|687,1313|c1bw}}צֵינְסו{{#annotend:c1bw}}
 |-
-|
+|I asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told me that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.
-:The author asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told him that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.
 |style="text-align:right;"|ושאלתי ל{{#annot:term|946,1829|7mLj}}חכמי דקדוק{{#annotend:7mLj}} לשונם על הוראת זאת התיבה ואמ' לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
 |-
-|Since the author did not find in his language one word that has this meaning, and he did not want to extend his words by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, he called it by the Hebrew word '''merubaʼ''' [= a square] as it is.
+|Since we did not find in our language one word that has this meaning, and I did not want to extend my speech by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, I called it by the Hebrew word '''merubaʼ''' [= a square] as it is.
-*X<sup>2</sup> = square
+|style="text-align:right;"|ובעבור כי לא מצאנו בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת הָהוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם {{#annot:term|687,1263|vYMJ}}מרובע{{#annotend:vYMJ}} כאשר הוא
-|style="text-align:right;"|ובעבור כי לא מצאנו בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת הָהוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם '''{{#annot:term|687,1263|vYMJ}}מרובע{{#annotend:vYMJ}}''' כאשר הוא
 |-
-|They called the square that is multiplied by it self '''çenso di çenso''', and the author named it '''merubaʼ ha-merubaʼ''' [= a square of the square]
+|They called the square that is multiplied by it self '''çenso di çenso''', and I named it '''merubaʼ ha-merubaʼ''' [= a square of the square].
-*(X<sup>2</sup>)<sup>2</sup> square of a square
+|style="text-align:right;"|ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו {{#annot:term|689|nlXb}}צֵינְסו דֵיצֵינְסו{{#annotend:nlXb}} ואני אקראנו {{#annot:term|689|IRdl}}מרובע המרובע{{#annotend:IRdl}}
-|style="text-align:right;"|ול'''כפל המרובע''' בעצמו יקראוהו '''{{#annot:term|689|nlXb}}צֵינְסו דֵיצֵינְסו{{#annotend:nlXb}}''' ואני אקראנו '''{{#annot:term|689|IRdl}}מרובע המרובע{{#annotend:IRdl}}'''
 |-
 |They called the cube number '''cubo'''.
-*X<sup>3</sup> = cube
+|style="text-align:right;"|ול{{#annot:term|688,1828|V0Fq}}מספר המעוקב{{#annotend:V0Fq}} יקראוהו {{#annot:term|688,1826|wegk}}קוּבוּ{{#annotend:wegk}}
-|style="text-align:right;"|ול'''{{#annot:term|688,1828|V0Fq}}מספר המעוקב{{#annotend:V0Fq}}''' יקראוהו '''{{#annot:term|688,1826|wegk}}קוּבוּ{{#annotend:wegk}}'''
 |-
-|They called the cube cube '''cubo di cubo'''
+|They called the cube cube '''cubo di cubo'''.
-*X<sup>3</sup>X<sup>3</sup> cube cube
+|style="text-align:right;"|ול{{#annot:term|691|RTpD}}מעוקב המעוקב{{#annotend:RTpD}} יקראוהו {{#annot:term|691|IpzF}}קוּבוּ דֵיקוּבוּ{{#annotend:IpzF}}
-|style="text-align:right;"|ול'''{{#annot:term|691|RTpD}}מעוקב המעוקב{{#annotend:RTpD}}''' יקראוהו '''{{#annot:term|691|IpzF}}קוּבוּ דֵיקוּבוּ{{#annotend:IpzF}}'''
 |-
 |The units of the number are called '''numeri''', as their usage in all other places.
-*number (constant)
+|style="text-align:right;"|ול{{#annot:term|242|1xDQ}}אחדי המספר{{#annotend:1xDQ}} {{#annot:term|242,1315|Ig06}}נוּמְרִי{{#annotend:Ig06}} כמנהגם בכל שאר המקומות
-|style="text-align:right;"|ול'''{{#annot:term|242|1xDQ}}אחדי המספר{{#annotend:1xDQ}}''' '''{{#annot:term|242,1315|Ig06}}נוּמְרִי{{#annotend:Ig06}}''' כמנהגם בכל שאר המקומות
 |-
 |

Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Revision as of 06:17, 2 February 2022

Contents

Introduction

Definitions of algebraic terms

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra

Second Section: Algebra