Difference between revisions of "האנציקלופדיה של אבו אלצלת"

Revision as of 15:17, 9 September 2017

	ספר ניקומאכוש בסגלות המספריות
	העתיקו בסרגוסא דארגו' השר דון בנבשת בן לביא נ"ע מלשון הגרי ללשון הקדש שנת קצ"ה ליצירה
	ובכל מקום הכתוב בגיליון א"ב ר"ל אמר בן בנשתי‫'
Contents 1 Book One 1.1 Introduction - Basic Definitions 1.2 Properties of the Absolute Number 1.3 Arithmetic Progression 1.3.1 Sums 1.4 Types of Numbers 1.4.1 Odd Number 1.4.2 Even Number 1.4.3 Types of Even and Odd Numbers 1.4.3.1 Types of Even Numbers 1.4.3.1.1 Even-Times Even 1.4.3.1.2 Even-Times Odd 1.4.3.1.3 Even-Times-Even-Times Odd 1.4.3.1.4 Two - even-times-even number or even-times-odd number? 1.4.3.2 Types of Odd Numbers 1.4.3.2.1 Composite Numbers 1.4.3.2.2 Relatively Prime Numbers 1.4.4 Superabundant / Deficient / Perfect Numbers 1.4.4.1 Perfect Number 2 Book Two 2.1 Ratios 2.1.1 Simple Ratios 2.1.1.1 Multiple Ratio 2.1.1.2 Superparticular Ratio 2.1.1.3 Table of Multiple and Superparticular Ratios 2.1.1.4 Superpartient Ratio 2.1.2 Compounded Ratios 2.1.2.1 Multiple Superparticular Ratio 2.1.2.2 Multiple Superpartient Ratio 2.2 Numbers as Geometric Shapes 2.2.1 Linear Numbers 2.2.2 Plane Numbers 2.2.2.1 Triangular Numbers 2.2.2.2 Square Numbers 2.2.2.3 Pentagonal Numbers 2.2.3 Solid Numbers 2.2.3.1 Pyramids with Sharp Apex 2.2.3.1.1 Pyramid with a Triangular Base 2.2.3.1.2 Pyramid with a Square Base 2.2.3.2 Cube Numbers 2.3 Proportions Book One
Introduction - Basic Definitions
Arithmetic - definition	חכמת המספר חכמה עיונית נושאה המספר המשולח אליו ומיניו והכונה בה העמידה על משיגיו ועל המתחייב אליו וסגלותיו ובכלל מקריו העצמיים
Number - definition	ומהות המספר הנה תאמר המספר קבוץ אחדים וגדרו שהוא כמות מתחלק מתקיים מאחדים
Unit - definition	ויש לוקחין האחדותיות תמורת האחדים לפי שהוא יותר מורה על טבע המספר, לפי שקבוץ האחדים אינו המספר עצמו המכוון הנה תאמו וגדרו ובכלל הודעת מהותו אבל הנספרים אשר הם נושאי המספר בקבוץ מהאנשים או מהסוסי' או זולת זה
Sum of Units - definition	וקבוץ האחדותיות הוא המספר עצמו המקובץ מהכפלת האחדות אשר בה יאמ' לכל דבר מהנספרים אחד
Absolute Number - First categorization: even number and odd number	והמספר המשולח יתחלק ראשנה לשני מינים זוג ונפרד
Even Number - definition	והזוג הוא כל מספר שיתחלק לשני חלקים שוים כשנים וארבע
Odd Number - definition	והנפרד הוא כל מספר שא"א שיחלק לשני חלקים שוים
The Book of Elements as the fundamental source for the science of arithmetic	כונתינו שנחבר אל מה שהקדמנו מהחכמות הלמודיות האופן הידוע בארתימטיקי ומה שפשט המנהג להביאו בו כפי האופן אשר פשט על ספר היסודות כבר נתן שרשים רבים בחכמת המספר והנחת זה האופן אצל ההגעה באותם השרשים
	וכבר אפשר שתתחברנה הרבה מהתמונות התשברתיות אשר להם התלות בהכאה והחלוק ובענייני היחס אל המספר ושתישבו ממנו משפטי המספר זה הספר והנה זה אליך
	אמנם מהות המספר הנה כבר ידעת בספר קאטיגוריאש ממנו דבר מה ונרמז לך בספר היסודות אליו רמז עוד יבא אליך בחכמה העליונה ממנו אמתות וכמו כן הענין בשני חלקיו אשר הם הזוג והנפרד וכבר ידעת מספר היסודות הראשון והמורכב מוחלטים והמורכב בצרוף וידעת הזוג והנפרד וזוג וזוג הנפרד וזוג הזוג וזוג הזוג והנפרד וידעת המספר החסר והשלם והנוסף ואיננו מחוייב אלינו הפשת זכרון אלה העניינים לך אבל שנשתדל להביא הסגלות אליך
Properties of the Absolute Number	ונזכור סגלות המספר המשולח
Every number is half the sum of its two sides: $\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]$	והנה ראשנה שבהם והיותר מפורסמת: שכל מספר הנה הוא חצי שתי פאותיו והם שני המספרים הנלוים אליו מצד המעוט והרבוי במרחק שוה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(6+4\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(7+3\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(8+2\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(9+1\right)}}$	המשל בזה החמשה הנה הוא חצי ששה וארבעה וחצי שבעה ושלשה וחצי שמנה ושנים וחצי תשעה ואחד
$\scriptstyle2n=\left(n-m\right)+\left(n+m\right)$	והנה יהיה כפלו שוה לשתי פאותיו
$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot n=\frac{1}{4}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]$	וחציו לרביעית שתי פאותיו
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n+1\right)\right]+1$	וכל מספר יהיה מרובעו שוה להכאת שתי פאותיו הקרובות אחת מהם באחרת עם תוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=\left(1\sdot3\right)+1}}$	כמו מרובע שנים אשר הוא מהכאת שלשה באחד ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=\left(2\sdot4\right)+1}}$	וכמו מרובע שלשה אשר הוא מהכאת ארבעה בשנים ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4^2=\left(3\sdot5\right)+1}}$	וכמו מרובע ארבעה אשר הוא מהכאת ג' בחמשה ותוספת אחד
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n-m\right)\sdot\left(n+m\right)\right]+m^2$	וגם נאמר שכל מספר הנה מרובעו יוסיף על מושטח שתי פאותיו הרחוקות מרחק שוה תהיינה מה שתהיינה אחת מהם באחרת כמרובע מספר המדרגות אשר ביניהם
?	והנה אם תהיינה השתי פאות הקרובות והנה המדרגה היא הראשונה יוסיף כמרובע שלשה
$\scriptstyle2n-\left(n-1\right)=n+1$	וכל מספר הנה מרחקו במדרגות מכפלו אם כשתקח אותו ראשון למדרגות הנה הוא כמו מספרו ותוספת אחד
$\scriptstyle2n-n=n$	ואם כשתקח ראשית המדרגות המספר הנלוה אחריו הנה הוא כמספר מה שבו מן האחדים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=4;\ a_2=5;\ a_3=6;\ a_4=7;\ a_5=8\longrightarrow n=a_1+1=5}}$	המשל בזה שבין ארבעה ושמנה לפעמים ד"הו"זח' והנה זה חמשה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{a_0=4;\ a_1=5;\ a_2=6;\ a_3=7;\ a_4=8\longrightarrow n=a_0=4}}$	ולפעמים ה"וז"ח וזה כמו מספר מה שבו מן האחדים
$\scriptstyle3n-\left(n-1\right)=2n+1$	וכל מספר מרחקו משלשה כפליו הנה הוא בכמו שיעור אחדיו מוכים בשנים אם בתוספת אחד
$\scriptstyle3n-n=2n$	אם בזולת תוספת אחד כפי מה שידעת אותו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=2;\ a_2=3;\ a_3=4;\ a_4=5;\ a_5=6\longrightarrow n=2a_1+1=5}}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{a_0=2;\ a_1=3;\ a_2=4;\ a_3=5;\ a_4=6\longrightarrow n=2a_0=4}}$	כמו השנים אשר מרחקם מו' שהוא ג' דמיוניו הוא כמספר הכאתו בשנים בתוספת ובזולת תוספת
$\scriptstyle4n-\left(n-1\right)=3n+1$	וכל מספר מרחקו מד' כפליו הוא מהכאתו בג' מהמספר בתוספת
$\scriptstyle4n-n=3n$	ובזולת תוספת
$\scriptstyle\left(m\sdot n\right)-\left(n-1\right)=\left[\left(m-1\right)\sdot n\right]+1$ $\scriptstyle\left(m\sdot n\right)-n=\left(m-1\right)\sdot n$	ובכלל הנה המרחק בכל מקום הוא שנגרע מקריאת הכפלים אחד ונכה המספר במה שנשאר ואח"כ נוסיף או לא נוסיף
$\scriptstyle n^2-\left(n-1\right)=\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]+1$ $\scriptstyle n^2-n=n\sdot\left(n-1\right)$	וכל מספר הנה מרחקו במרובעו בשעור הכאתו במספר אשר לפניו בתוספת אחד או בזולת תוספת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2-2=2\sdot1}}$	כמו הכאת השנים באחד אשר הוא מרחקו ממרובעו כשלא נוסיף
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2-3=3\sdot2}}$	והכאת השלשה בשנים אשר הוא מרחק השלשה ממרובעו בשלא נוסיף
$\scriptstyle n^2=\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n-1\right)\right]+1$	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו שוה להכאתו בתוספת אחד במספר אשר לפניו ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=\left(3\sdot1\right)+1}}$	כמו מרובע השנים אשר הוא שוה להכאת השלשה באחד ותוספת אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=\left(4\sdot2\right)+1}}$	ומרובע השלשה אשר הוא שוה להכאת הארבעה בשנים ותוספת אחד
$\scriptstyle\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]-\left(n-1\right)=\left(n-1\right)^2$	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר לפניו הוא כמו מרבע המספר אשר לפניו כשלא יתוסף
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot2\right)-2=2^2}}$	המשל בזה שמרחק השלשה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע השנים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot3\right)-3=3^2}}$	ומרחק הארבעה מהכאתו בשלשה הוא כמו מספר מרבע שלשה רצוני בזה כשלא יתוסף
$\scriptstyle\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]-n=n^2$	וכל מספר הנה מרחקו מהכאתו במספר אשר אחריו כמו מספר מרובעו
$\scriptstyle n^3-n$ ?	וכל מספר הנה מרחקו ממעוקבו הוא כמו הנשאר ממעקבו אחר שיהיה בגרע ממנו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^3-2=6}}$	כי בין השנים ומעקבו ששה וכמו בין מאלו והלאה עד אין תכלית
$\scriptstyle n^3-n=\left[n\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot\left(n-1\right)$	וכל מספר הנה בינו ובין מעקבו מהמדרגות כמו הכאתו באשר ימשך אליו אחר כן הכאת זה כלו באשר לפניו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^3-2=\left(2\sdot3\right)\sdot1}}$	כמו שנים בג' אחר כן באחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3^3-3=\left(3\sdot4\right)\sdot2}}$	ושלשה בארבעה אחר כן בשנים
$\scriptstyle n^4-n=\left[n^2+\left(n+1\right)\right]\sdot\left[n\sdot\left(n-1\right)\right]$	וכל מספר הנה בינו ובין העולה מהכאתו הנקרא בערבי מאל מאלה כמו הכאת מרבעו מחובר אל המספר הנמשך לזה המספר במה שעלה מהכאתו עם המספר אשר לפניו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2^4-2=14=7\sdot2=\left(2^2+3\right)\sdot\left(2\sdot1\right)}}$	כמו שבין מאל מאלה של שנים ושנים הוא י"ד ויתחדש מהכאת מרבע שנים מחובר עם שלשה שהוא ז' בהכאת שנים באחד
	וכמו כן מה שימשך והנה מה שנתקבץ בזה ונשוב אל בחינת סגלות המספרים הנמשכים
$\scriptstyle2n^2+2=\left(n-1\right)^2+\left(n+1\right)^2$	וכל מספר מרבעו כאשר נכפל ונוסף עליו שנים הנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי פאותיו הקרובות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+2=202=81+121=9^2+11^2}}$	המשל בזה פי' הכאת עשרה בעצמו בתוספת שנים והוא מאתים ושנים הנה הוא שוה להכאת תשעה בעצמו והוא שמנים ואחד ולהכאת אחד עשר בעצמו והוא מאה ועשרים ואחד
$\scriptstyle2n^2+8=\left(n-2\right)^2+\left(n+2\right)^2$	וכל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו שמנה הוא שוה למקובץ שני מרובעי שתי פאותיו השניות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+8=208=8^2+12^2}}$	המשל בזה עשרה אשר מרובעו כשיעשה בו זה יהיה מאתים ושמנה והוא שוה להכאת שמנה בעצמו
$\scriptstyle2n^2+18=\left(n-3\right)^2+\left(n+3\right)^2$	וכל מספר אשר יכפל מרובעו ויתוסף עליו שמנה עשר הנה יהיה שוה לשני מרבעי פאותיו השלישיות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+18=218=7^2+13^2}}$	המשל בזה מאתים ושמנה עשר אשר הוא שוה להכאת שבעה בעצמו ושלשה עשר בעצמו
$\scriptstyle2n^2+32=\left(n-4\right)^2+\left(n+4\right)^2$	ואמנם בשתי פאות הרביעיות הנה התוספת שנים ושלשי‫'
$\scriptstyle2n^2+50=\left(n-5\right)^2+\left(n+5\right)^2$	ובשתי פאות החמישיות חמשים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1=2}}$	והסדר בזה שהתוספת הראשון הוא הכאת הזוג הראשון והוא שנים בנפרד הראשון והוא האחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot1\right)+\left(2\sdot3\right)=2+6=8}}$	והתוספת השני על זה התוספת הוא הכאת הזוג הראשון בנפרד אשר ימשך אל האחד והוא שלשה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot1\right)+\left(2\sdot3\right)+\left(2\sdot5\right)=2+6+10=18}}$	והתוספת השלישית על אלו התוספות המקובצות הוא הכאת שנים בנפרד השלישי אחר האחד
$\scriptstyle2n^2+4=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-1\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+2\right)\right]$	וכמו כן כל מספר הנה מרובעו כאשר יכפל ויתוסף עליו ד' שוה לשני שטחי פאותיו היורדות ושתי פאותיו העולות כאשר יקובצו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+4=204=\left(9\sdot8\right)+\left(11\sdot12\right)}}$	המשל בזה מאתים וארבעה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשמנה ואחד עשר בשנים עשר
$\scriptstyle2n^2+12=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-3\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+3\right)\right]$	ואמנם המושטחים הנמשכים לשני אלו מהכאת הפאה היורדת השנית ביורדת השלישית והעולה שנית בעולה שלישית הנה יוסיפו על כפל זה בשנים עשר
$\scriptstyle2n^2+24=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	ואשר ימשכו להם בעשרים וארבעה
$\scriptstyle2n^2+40=\left[\left(n-4\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+4\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	ואשר ימשכו להם בארבעים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)=4+8=12}}$	והסדר בזה שנכה התוספת הראשון בזוג הראשון ויהיה שמנה ותוסיפם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot4\right)=4+8+12=24}}$	אח"כ [ת]כה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא שלשה ויהיה שנים עשר ותוסיף אותם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2\sdot4\right)+\left(3\sdot4\right)+\left(4\sdot4\right)=4+8+12+16=40}}$	אח"כ נכה אותו במספר אשר ימשך אליו והוא ארבעה והנה יהיה ששה עשר ותוסיף אותם
$\scriptstyle2n^2+6=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n-3\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+3\right)\right]$	וכל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה הוא שוה למושטח פאתו היורדת הקרובה בפאתו היורדת השלישית ולמושטח פאתו העולה הקרובה בפאתו העולה השלישית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+6=206=\left(9\sdot7\right)+\left(11\sdot13\right)}}$	המשל בזה מאתים וששה אשר הוא שוה להכאת תשעה בשבעה ואחד עשר בשלשה עשר
$\scriptstyle2n^2+8=\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+1\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	וכאשר תכה הקרובה אשר בשני צדדיו ברביעית יהיה התוספת שמנה ולא יסורו התוספות להשתנות בשנים שנים
$\scriptstyle2n^2+16=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-4\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+4\right)\right]$	וכל מספר הנה כפל מרבעו כאשר יתוסף עליו ששה עשר יהיה שוה למושטח הפיאה השנית היורדת ברביעית היורדת והשנית העולה ברביעית העולה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10^2+16=216=\left(8\sdot6\right)+\left(12\sdot14\right)}}$	המשל בזה מקובץ מושטחי שמנה בששה ושנים עשר בארבעה עשריו הנה זה מאתים וששה עשר
$\scriptstyle2n^2+20=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	וכאשר תכה השניות בחמישיות יהיה התוספת עשרים
$\scriptstyle2n^2+24=\left[\left(n-2\right)\sdot\left(n-6\right)\right]+\left[\left(n+2\right)\sdot\left(n+6\right)\right]$	ואם תכה אותם בששיות יהיה התוספת עשרים וארבעה וכזה ילכו בהדרגה בהעדפת ארבעה ארבעה
$\scriptstyle2n^2+30=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-5\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+5\right)\right]$	ואם תהיינה השתי פאות השלישיות הכאה ראשונה בחמישיות יהיה התוספת שלשים שלשים
$\scriptstyle2n^2+36=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-6\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+6\right)\right]$	וכאשר תכה אותם בששיות יהיה התוספות שלשים וששה
$\scriptstyle2n^2+42=\left[\left(n-3\right)\sdot\left(n-7\right)\right]+\left[\left(n+3\right)\sdot\left(n+7\right)\right]$	ואם תכה אותם בשביעיות יהיה התוספות שנים וארבעים ולא יסורו התוספות מלכת בהדרגה ששה ששה ועל זה הסדר במה שאחר זה מהפאות

Arithmetic Progression	ונתחיל אליך בסגלות המספרים הנמשכים המשכם הטבעי
number of terms: odd/even	ונאמר שמדרגותיהם הם לא ימלט אם שתהיינה נפרד ואם שתהיינה זוג
Odd number of terms →one mean	ואם תהיינה נפרד ימצא להם אמצעי בלי ספק
mean = half the extremes = $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)$	וזה האמצעי יהיה תמיד חצי שתי הפיאות מקובצות
Sides of a Number [= extreme terms] - definition	ורצוני בשתי פאות שני מספרים או מספר אחד מרחקם בסדר מהאמצעי מרחק שוה אחד מהם מצד החסרון והאחר מצד התוספת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{1}{2}\sdot\left(1+9\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(2+8\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(3+7\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(4+6\right)}}$	כמו התשעה והאחד אשר הם שתי פאות החמשה וחמשה חצי מקובצם והוא ג"כ חצי השמנה והשנים אשר הם ג"כ שתי פאותיו וחצי השבעה והשלשה והששה והארבעה והיותר הרחוקות התשעה והאחד
	וכל מספר הוא אמצעי הנה הוא חצאי חצים
Even number of terms →two means	ואם תהיינה המדרגות זוג עד שיהיו תמורת האמצעי האחד שני אמצעיים יחד
sum of the two means = sum of the two extremes = $\scriptstyle a_1+a_n=a_{1+m}+a_{n-m}$	הנה יהיו שני האמצעיים מקובצים כמו השתי פאות מקובצות תהיינה מה שתהיינה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{4+5=1+8=2+7=3+6}}$	המשל בזה הארבעה והחמשה בין האחד והשמנה הנה הם מקובצים שוים לאחד ושמנה ולשנים ושבעה ולשלשה וששה
	ויתחיב מכלל זה שתהיינה כל שתי פאות למספר מה [….]האחדות אשר בגילם
Sums
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=\left(n+1\right)\sdot\frac{1}{2}n$	ומהמסגלות הנתלות בקבוץ [….] המדרגות שאנחנו כאשר נוסיף על הגעת המספר האחרון המתחיל מן האחד אחד ונכה אותו בחצי מספר האחרון המדרגות יהיה העולה שוה לכלל כלם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^4 k=\left(4+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=5\sdot2=10}}$	המשל בזה שיהיה ארבעה הוא האחרונה [..]מדרגות והנה אתה כשתוסיף אחד על הארבעה ויהיו חמשה ותכה בחצי מספר המדרגות שהם ארבעה וחציו שנים יהיה העולה עשרה מקובץ מה שבין האחד עד הארבעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^5 k=\left(5+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)=6\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=15}}$	ואם תרצה מן האחד עד [חמ]שה תוסיף על החמשה אחד ויהיו ששה בחצי מספר המדרגו' [הו]א שנים וחצי ויהיה העולה חמשה עשר
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n k=\left(n+m\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-m+1\right)\right]=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+m\right)\right]\sdot\left(n-m+1\right)$	וגם כן הנה מקובץ כל [..]קצוות הדרגה וסדר הן שתהיינה מן האחד או מן זולתו כאשר הוכה [בחצי] המדרגות או הוכה חציו בכל המדרגות הנה יהיה מה שיתקבץ כמו [...] מקובץ אותם המדרגות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=2}^6 k=\left(2+6\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)=8\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=20}}$	והנה תהיינה הראשונה שבמדרגות שנים [והאח]רונה ששה ונקבץ אותם ויהיו שמנה ונכה אותם בחצי מספר המדרגו' [...]שנים וחצי והנה הוא עשרים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=2}^6 k=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+6\right)\right]\sdot5=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot5=4\sdot5=20}}$	או נכה חצים במספר המדרגות על [...]מות [.]היה ארבעה בחמשה וזה עשרים והוא שוה למקובץ שנים ושלשה [....]עה חמשה ששה
$\scriptstyle a_n=\left[\left(n-1\right)\sdot d\right]+a_1$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שכל מספרים נמשכים ולא ימשך התוספת באחדים אבל על דרך השניות או השלישיות או זולת זה כל עוד שיהיו הולכים על הדרגה ומנהג אחד ותהיה תחילתם איך שתהיה הנה הכאת מספר המדרגות מחוסר ממנו אחד [במס]פר אשר יפול בו ההעדף כמו השניות או השלישיות או זולת זה ממה [שיע]דיפו בו המדרגות מוסף עליו אשר ממנו ההתחלה הוא שוה למספר [.....]
$\scriptstyle2\sdot\sum_{i=1}^n \left(d\sdot i\right)=\left(a_n+d\right)\sdot n$	ואם יתוסף פעם אחרת והוכה במספר המדרגות כמות שהוא [....] יהיה כמו כפל כלל המקובץ
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=4\\\scriptstyle d=4\\\scriptstyle n=5\end{cases}\longrightarrow a_5=\left[\left(5-1\right)\sdot4\right]+4=\left(4\sdot4\right)+4=16+4=20}}$	המשל בזה אלו אמר לך אומר חמשה [מספ]רים נמשכים מתחילים מן הארבעה ובין כל שני מספרים שלשה [...] [...]ה ההעדף בארבעה ארבעה מה הוא האחרון שבהם וכמה מקובצם כשתגרע אחד מן החמשה עד שיגיע לך ארבעה ותכה אותו במספר [הה]עדף והוא ארבעה יהיה ששה עשר וכאשר תוסיף עליו הראשון שבהם [...] עשרים והנה כבר יצא לך המספר האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow a_1=4;\ a_2=8;\ a_3=12;\ a_4=16;\ a_5=20}}$	לפי שמדרגות המספרי[ם] [...]נה ארבעה אח"כ שמנה אח"כ שנים עשר אח"כ ששה עשר אח"כ עשרים [...]
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^5 4i=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(20+4\right)\sdot5\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(24\sdot5\right)=\frac{1}{2}\sdot120}}$	כאשר תוסיף על עשרים ארבעה ג"כ יהיה ארבעה ועשרים ואם [הנ]ה תכה אותו בחמשה ויהיה מאה ועשרים והנה תקח חציו יהיה מקובץ [המד]רגות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^5 4i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(20+4\right)\right]\sdot5=\left(20+4\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)}}$	ואם תרצה תכה חציו במדרגות או כלו בחצי המדרגות שיעשה הנה הוא תשובת השאלה
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i+\sum_{i=n-1}^1 i=n^2$	ומהסגלות הנתלות [בקבו]ץ שכל מספרים נמשכים מתחילים מן האחד כאשר מתחילים מן האחד עד האחרון שבהם ואחרי כן דרך חזרה מן האחרון שבהם אל האחד כמו אחד שנים שלשה ארבעה שלשה שנים אחד הנה מקובצם שוה למרובע המספר האחרון
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+3+2+1=\sum_{k=1}^4 k+\sum_{k=3}^1 k=16=4^2}}$	כי מקובץ מה שהמשלנו בו ששה עשר
$\scriptstyle\left(2\sdot\sum_{i=1}^{n-1} i\right)+n=n^2$	והנה יגיע זה לפי שמקובץ כפל המספרים אשר תחת הנמשכים האחרונים עם אשר במדרגה האחרונה שוה למרובע המספר האחרון
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left(\frac{n}{2}+\frac{1}{2}\right)\sdot n$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ מספרים נמשכים מן האחד הנה המקובץ הראשון דמיון וחצי המספר האחרון והמקובץ השני כפל המספר האחרון והמקובץ השלישי כפל וחצי המספר האחרון והמקובץ הרביעי שלשה כפלי המספר האחרון והמקובץ החמישי שלשה כפלים וחצי המספר האחרון וכן לבלתי תכלית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=\sum_{k=1}^2 i=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2}}$	המשל בזה אחד ושנים הנה הוא דמיון וחצי השנים
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=\sum_{k=1}^3 i=2\sdot3}}$	ואחד ושנים ושלשה הנה הוא כפל השלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=\sum_{k=1}^4 i=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4}}$	ואחד ושנים ושלשה וארבעה הנה הוא כפל וחצי הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+5+6=\sum_{k=1}^6 i=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot6}}$	ואחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה וששה הנה הוא שלשה כפלים וחצי ששה
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{n}{2}\sdot\left(n+1\right)$	וגם כן הנה כל המספרים הנמשכים יקובצו זה הקבוץ הנה המקובץ הראשון יהיה כמו המספר הנמשך אליו והמקובץ השני דמיון וחצי מהמספר הנמשך אליו והמקובץ השלישי כפל המספר הנמשך אליו וכמו כן אל בלתי תכלית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=\sum_{k=1}^2 i=2+1=3}}$	והמשל בזה בהאחד והשנים כמו השלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3=\sum_{k=1}^3 i=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot4}}$	והאחד והשנים והשלשה כמו דמיון וחצי מן הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4=\sum_{k=1}^4 i=2\sdot5}}$	וכאשר תוסיף הארבעה יהיה כפל חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+5=\sum_{k=1}^5 i=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot6}}$	וכאשר תוסיף חמשה יהיה כפל וחצי ששה וכן אל בלתי תכלית
$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=\left(1+\frac{1}{n}\right)\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i+1\right)\right]$	ומהסגלות הנתלות בקבוץ שאתה כאשר תקבץ נפרדים נמשכים מתחילים מן האחד ותקבץ אחריהם זוגות נמשכים מן השנים כמספרם הנה המקובץ הראשון מהזוגות יהיה דמיון וחצי המקובץ הראשון מהנפרדים והמקובץ השני דמיון ושלישיתו והמקובץ השלישי דמיון ורביעיתו ויהיה כל מקובץ יוסיף בחלק נקרא על שם מספר מדרגתו ויהיה מספרו מספר מדרגתו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2+4=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(1+3\right)}}$	המשל בזה השנים והארבעה הנה יוסיף על האחד והשלשה החצי
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+3+5\right)}}$	וכאשר תוסיף בזה ששה ובזה חמשה יהיה זה דמיון ושליש זה

Types of Numbers

ונשוב עתה אל הכאת סגלות החלוקה הראשונה מהמספר מצד איכות החלקו אל שוים ובלתי שוים והוא הזוג והנפרד

ועוד נביא מה שדובר בו בספר היסודות

וכבר יפול ביניהם שגוף נקנה מסוגם במה שימשך מהנפרדים והזוגו' [.....] טבעי המשכות מיני המספר

וזה כלו שתהיינה המדרגות עודפות בהעדף אחד

אם העדף ההמשכות הטבעי למיני המספר הנה באחד אחד

ואם העדף הנפרדים והזוגות הנמשכים בטבע הנה בשנים שנים

$\scriptstyle\left(2n-1\right)+1=2n$
$\scriptstyle\left[\left(2n-1\right)+1\right]+1=2n+1=\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1$
$\scriptstyle\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]+1\right]+1=2\sdot\left(n+1\right)$

לפי שכל נפרד כאשר יתוסף עליו אחד יהיה זוג אחר כן כשיתוסף עליו אחד אחד יהיה נפרד אח"כ כשיתוסף עליו אחד יהיה זוג

$\scriptstyle\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]-\left(2n-1\right)=2$

ויהיה בין הנפרד והנפרד אשר ילוה אליו שנים

$\scriptstyle\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-2n=2$

ובין הזוג והזוג אשר ילוה אליו שנים

the mean of the odds is half the sum of the extremes

$\scriptstyle n=\frac{1}{2}\sdot\left[\left(n-m\right)+\left(n+m\right)\right]$

ויחויב שיהיה כל אמצעי במדרגות הנפרדים אשר על ההמשך הטבעי ומדרגות הזוגות אשר על זה ההמשך כמו חצי מקובץ איזה שתי פאות שתהיינה

לפי שהן פאות זה האמצעי בעצמו בסדור האמצעי הטבעי למספר

the sum of the two means equals the sum of the two extremes

$\scriptstyle n+\left(n+1\right)=\left(n-m\right)+\left[\left(n+1\right)+m\right]$

וכל שני אמצעיים מקובצים כמו כל שתי פאות מקובצות

לפי שבאלה השני אמצעיים תהיינה שתי פאות למספר הנופל בסדר הנפרדים המספרים הטבעיים ביניהם והנה יחויב שיהיה שוה מקובצם למקובץ אלה שתי הפאות האחרות כפי מה שקדם באורו

ואין זה הענין נוהג בין הנפרדים הנמשכים והזוגות הנמשכי' לבד אבל בין כל המספרים העודפים על השווי

ולזה תמצא זאת הסגלה ג"כ בסדר מדרגות מני הנפרד

והנה זה ההשתתפות ראוי שנאמר אותו קודם הסגלות

ונתבודד עתה בזכרון הסגלות

Odd Number

ונתחיל בסגלות הנפרד

ונאמר אמנם הסגלות הידועות והנזכרות מאשר הוא לא יתרכב מזוגות כלל ולא מנפרדים במספר זוג

ושלא ימצא בו מסוגו מספר ישאיר מה שאחריו מסוגו

ושלא ימצא בו מסוג מקבילו מספר ישאיר מה שאחריו מסוג מקבילו

ומה שירוץ מרוצת אלו הסגלות הנה נסתפק במה שנאמר בספר היסודות

ונדבר מסגלותיו סגלות נתלות בסדור היותם נתלים נמשכים על דרך ההמשך

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=m^2$

ומסגלותיו שמקובציו על דרך ההמשך מן האחד יהיה מרובע לעולם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3}}

כמו האחד והשלשה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5}}

ואח"כ האחד והשלשה והחמשה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7}}

ואח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2$

ומסגלותיו שכל מרבע מאלו הנה צלעו מספר המדרגות

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=\sum_{i=1}^2 \left(2i-1\right)=4=2^2}}

כמו הארבעה והוא מקובץ שתי המדרגות והנה גדרו שנים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=\sum_{i=1}^3 \left(2i-1\right)=9=3^2}}

והתשעה והוא מקובץ שלשה מדרגות והנה גדרו שלשה

$\scriptstyle a_n=2n-1$

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}

ומסגלותיו שאתה כשתרצה לדעת הגעת מספר יפול במדרגה ידועה מן האחד כמו העשירית והאחת עשרה דרך משל וזולת זה הנה תכה מספר המדרגה ותהיה העשירית ומספרה שני עשרה בשנים ויהיו עשרים והנה תגרע מהם אחד ויהיו תשעה עשר והנה הוא מספר המדרגה העשירית

ואמנם ענין האמצעי והשני אמצעיים עם השתי פאות הנה הוא ממה שידעת אותו

$\scriptstyle a_{1+5n}=10m+1$

ומסגלותיו שכל אחד מן האחדים ישוב בששי ממנו אליו

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+5}=a_6=1}}{\color{red}{\mathbf{1}}}

המשל בזה שהאחד ישוב בששי והוא האחד עשר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+5+5}=a_{11}=2}}{\color{red}{\mathbf{1}}}

ועוד בששי אחר הששי והוא האחד ועשרים

$\scriptstyle a_{2+5n}=10m+3$

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=}}{\color{red}{\mathbf{3}}}

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{2+5}=a_7=1}}{\color{red}{\mathbf{3}}}

והשלשה ישוב לששי והוא השלשה עשר וכן על הדרך הזה

$\scriptstyle a_n=p\longrightarrow a_{n+p}=$ composite number

ומסגלותיו שכל נפרד ראשון כאשר תוציא קוו על מספרו יכלה אל מורכב ימשכו אליו ראשונים הם חסרי‫'

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3\longrightarrow a_{2+3}=9}}

כמו השלשה כי הנה השלישי ממנו והוא תשעה מורכב

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=5\longrightarrow a_{3+5}=15}}

והחמשה כי הנה החמישי ממנו והוא חמשה עשר מורכב

וסגלה אחרת שהראשון שבמספרים הבלתי מורכבים והוא שלשה יביא כשתוציא קוו הראשון אל נגדר אחר כן לא יביא

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3\longrightarrow a_{2+3}=9\longrightarrow a_{2+3+3}=15}}

[א"ב אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר בהקוות השני או שלא יביא אל נגדר באי זה הקוות שיהיה הוא נכון ואולם אם רצה בזה שלא יביא אל נגדר לעולם אין זה צודק כי השלשה אחר י"ג הקוויות יביא אל נגדר אצל פ"א וגם זה יצדק בחמשה ושאר המספרים כאשר תוציא קום]

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=5\longrightarrow a_{3+5}=15\longrightarrow a_{3+5+5}=25}}

והשני והוא החמשה יביא בהקוות השני אל נגדר אצל עשרים וחמשה אח"כ לא יבוא ועל הדרך הזה

$\scriptstyle a_{1+4n}=m^2$

וסגלה אחרת שהרביעי אחר הנגדר הראשון והוא אחד נגדר והוא תשעה והשמיני אחר הנגדר הראשון והשנים עשר ועל הדרך הזה אחר הנגדר השני והששה עשר אחר הנגדר השלישי וכן בתוספת ארבעה ארבעה

Example:

{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle a_1=1\\&\scriptstyle a_{1+4}=a_5=9\\&\scriptstyle a_{5+8}=a_{13}=25\\&\scriptstyle a_{13+12}=a_{25}=49\\&\scriptstyle a_{25+16}=81\\\end{align}}}

[א"ב למעלה קרא נגדר ראשון האחד ובכאן קרא נגדר ראשון התשעה והוא הנכון כי האחד אינו מספר ודבר למעלה דרך העברה והסדר הוא שהראשון שבנגדרים הנפרדים תשעה והשני כ"ה והשלישי מ"ט ועל הדרך הזה]

$\scriptstyle a_{1+4n}=m^2=\left(2\sdot4n\right)+1$

וכל בית ומדרגה שתפול בו נגדר הנה תהיה הכאת זה הנגדר שוה לכפל מספר המדרגה מוסף עליו אחד

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+4}=a_5=9=\left(2\sdot4\right)+1}}

כי המספר המרובע הראשון הוא תשעה והוא במדרגה הרביעי' מן המספרים הנפרדים וכפל הארבעה שמנה והנה תוסיף עליו אחד

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_{1+12}=a_{13}=25=\left(2\sdot12\right)+1}}

והבית השנים עשר מהשלשה יפול בו חמשה ועשרים והוא שוה לכפל שנים עשר כשתוסיף עליו אחד

וכאשר נניח מהנפרדים הנמשכים בטבע לוח מרובע יראו בו סגלות מצד התמונה וכן כאשר נניח לוח משלש

ונתחיל במרובע ונשים אותו חמשה על חמשה

9	7	5	3	1
19	17	15	13	11
29	27	25	23	21
39	37	35	33	31
49	47	45	43	41

ט	ז	ה	ג	א
יט	יז	טו	יג	יא
כט	כז	כה	כג	כא
לט	לז	לה	לג	לא
מט	מז	מה	מג	מא

the sums of the numbers on the principal diagonals are equal

ונאמר שכל שתי וערב ממנו יהיה קטר התמונה או לא יהיה [....] מקובץ שני קטריו הם שוים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+13+25+37+49=125=9+17+25+33+41}}

אם אשר על הקטר הנה מקובץ כל אחד מהשני קטרים אשר בזאת התמונה קכ"ה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{3+15+27=45=7+15+23}}

?

ואם אשר אינם על הקטר הנה כמו השתי וערב אשר בשתי שורות שאחת מהן ג' ט"ו כ"ז והשנית ז' ט"ו כ"ג כי כל אחד משני אלו הקטרים ארבעים וחמשה

right extreme of R_n + left extreme of R_n+1 = left extreme of R_n + right extreme of R_n+1

ונמצא מקובץ שתי קצוות שורה כל שתי וערב שוה למקובץ שתי קצוות השורה האחרת

the sum of all the cells in the table equals the 4th power of the number of cells on the side of the square

ונמצא מקובץ [....] כל מרובע בנוי מאלה המספרים על המשכם שוה למרבע מרבע מספר בתי הצלע

כי אתה כשתבנה מרבע צלעו שני בתים ויהיו מספריו כזה

3	1
7	5

ג	א
ז	ה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=16=2^4}}

יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא מרבע מרבע שנים

וכאשר תהיינה צלעותיו משלשה בתים כזה

5	3	1
11	9	7
17	15	13

ה	ג	א
יא	ט	ז
יז	טו	יג

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9+11+13+15+17=81=3^4}}

עד שיהיו מספריו א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו י"ז הנה יגיע מקובץ זה לשמנים ואחד והוא מרבע מרבע השלשה

the sum of the numbers on the principal diagonal is equal to the cube of the number of cells on the side of the square

ונמצא הקטר בכל אלו שוה למעקב זה המספר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+13+25+37+49=9+17+25+33+41=125=5^3}}

המשל בזה בלוח הגדול אשר בתיו חמשה הנה קטרו קכ"ה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+7=3+5=8=2^3}}

ובשני קטרו שמנה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1+9+17=5+9+13=27=3^3}}

ובשלישי קטרו כ"ז ועל הדרך הזה

והנה כאשר תבנה מהם תמונה משלשת על זאת הצורה

                  1
               5     3
            11    9      7
         19    17    15    13
      29    27    25    23    21
   41    39    37    35    33    31
55    53    51    49    47    45    43

                  א
               ג      ה
            ז      ט    יא
         יג    טו    יז    יט
      כא    כג    כה    כז    כט
   לא    לג    לה    לז    לט    מא
מג    מה    מז    מט    נא    נה    נט

the numbers on the altitude of the triangle from top to bottom are the square numbers

תמצא כל המספרים היורדים מן האחד אל נפילת העמוד מרבעים על הסדר

the sum of the numbers in each row is a cubic number

ותמצא מקובץ מה שבטור אחד ברחב מעקב

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{3+5=8=2^3}}

כמו מקובץ ג' וה‫'

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{7+9+11=27=3^3}}

ומקובץ ז' ט' וי"א

Even Number

ואמנם מספר הזוג

כבר ידעת בספר היסודות ממנו מה שידעת

ונרמוז לך אל סגלות יתחיבו למדרגותיו מהן

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n^2+n$

ואתה תמצא מקובץ מדרגותיו שוה למרבע מספר המדרגות מצורף אליו צלעו

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2+4=\sum_{i=1}^2 2i=6=2^2+2}}

כמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה יהיו ששה והוא כמו מרבע מספר המדרגות שהם שנים וכמו צלעו

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+6=\sum_{i=1}^3 2i=12=3^2+3}}

וכמו שאתה כאשר תתחיל מהשנים ותצרף אליהם הארבעה והששה יהיו שנים עשר והוא כמו מרבע השלשה וכמו צלעו

$\scriptstyle2m=p+1=\left(\frac{1}{p}\sdot p^2\right)+\left(\frac{1}{p^2}\sdot p^2\right)$

ומסגלותיו שכל זוג יוסיף על הראשון מהנפרדים באחד הנה זה הזוג שוה למקובץ חלקי מרבע זה הראשון

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{4=3+1=\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot9\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot3^2\right)+\left(\frac{1}{3^2}\sdot3^2\right)}}

כמו הארבעה אשר הוא מוסיף על השלשה שהוא ראשון באחד ומרבע השלשה תשעה ולהם מהחלקים שני חלקים תשיעית ושלישית ומקובצם שוה אל הארבעה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{6=5+1=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)+\left(\frac{1}{25}\sdot25\right)=\left(\frac{1}{5}\sdot5^2\right)+\left(\frac{1}{5^2}\sdot5^2\right)}}

וג"כ הששה יוסיף באחד על החמשה שהוא נפרד ראשון ומרבע זה הראשון עשרים וחמשה ולו מן החלקים חומש וחומש החומש לא זולתם והגעתם ששה

$\scriptstyle2m=p+3=\left(\frac{1}{2}\sdot2p\right)+\left(\frac{1}{p}\sdot2p\right)+\left(\frac{1}{2p}\sdot2p\right)$

ואמנם אם יהיה הזוג באופן שכאשר נגרע ממנו שלשה ישאר נפרד ראשון הנה זה הזוג מורכב מחלקי כפל זה הנפרד

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{8=5+3=5+2+1=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2\sdot5\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(2\sdot5\right)\right]+\left[\frac{1}{2\sdot5}\sdot\left(2\sdot\right)\right]}}

כמו השמנה שהם כאשר נגרע מהם שלשה נשארו חמשה וכפלם עשרה ולהם חצי וחומש ועשירית ומקובץ זה שמנה רצוני מקובץ החמשה והשנים והאחד

Types of Even and Odd Numbers

ונדבר עתה בסגלות מיני הזוג ומיני הנפרד

ונתחיל בסגלות הזוג הזוג לפי שחלוקתם אל מינים יותר קרובה מחלוקת הנפרדים

Types of Even Numbers

Even-Times Even

ונתחיל בסגלות הזוג הזוג לפי שהוא יותר פשוט

וכבר ידעת איכות התילדותו על דרך ההכפלה וסגלות אחרות מהסגלות אשר לו בספר היסודות [בל"ד מט']

והנה מסגלות זוג הזוג מה שהם סעיפים מסגלות נזכרו ביסודות

not divisible by an odd number

שהוא אין חלק לו נקרא בשם מספר נפרד

divisible only by an even-times-even number

ולא זוג בלתי זוג הזוג

divisible by any smaller even-times-even number

ואין זוג הזוג שהוא פחות ממנו שלא ימנה אותו [לפי זה יחויב [..]נמנים במד[.]]

its square is even-times-even number

וכל זוג זוג הנה מרבעו זוג הזוג

$\scriptstyle2^n-2=2\sdot\left(2^{n-1}-1\right)$ → even-times-odd number

וכאשר חוסר ממנו הזוג הראשון והוא שנים יצא זוג הנפרד

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{8-2=2^3-2=2\sdot3=6}}

כמו השמנה שנחסר מהם שנים ויצא זוג הנפרד והוא ששה

$\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2^{i-1}=2^n-1$

וכל זוג הזוג הנה הוא חסר וחסרונו באחד

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^3 2^{i-1}=1+2+4=\left(\frac{1}{8}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=7=2^3-1}}

‫[פי' כמו שמנה שהיא זוג הזוג וחלקיו שהם חצי ורביע ושמינית והם ד'ב'א' והגעתם שבעה‫]

Geometric progression: $\scriptstyle2^n:2^{n-1}=2^{n+1}:2n$

ומסגלות זוג הזוג שמדרגותיו נמשכות על יחס מתדמה תשברתיי

Marginal note: three kinds of progressions

Geometric progression:

\scriptstyle a_2:a_1=a_3:a_2

Arithmetic progression:

\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2

Harmonic progression:

\scriptstyle a_1:a_3=\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)

Example: 3; 4; 6

‫[ירצה לפי שיש ג' מיני יחסי‫':

יחס מדותיי והוא שהשעורי' מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי‫'
ויחס מספרי והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' שוים
יחס מוסיף והוא שהשעורי' בלתי מתיחסי' והמותרי' בלתי שוי' אבל יחס השעור הא' אל הג' כיחס מותר מה שבין השעור הא' אל הב' למותר מה שבין השעור הב' אל השעו' השלישי כמו מספרי' ג'ד'ו' א"ב ר"ל]

$\scriptstyle2^n:2^{n-1}=2$

לפי שהם נמשכות על דרך ההכפל

$\scriptstyle2^n-2^{n-1}\ne2^{n+1}-2^n$

והנה לא תהיינה העדפותיהם שוות

$\scriptstyle2^n-2^{n-1}=2^{n-1}$

אבל יהיה כל העדף שוה למועדף עליו

$\scriptstyle\left(2^{n+1}-2^n\right)-\left(2^n-2^{n-1}\right)=2^n-2^{n-1}$

ותהיינה ההעדפות עודפות בזה שביניהם זה ההעדף בעצמו

ויתחיב מהיות מדרגותיו על היחס האחד שתהיינה מתיחסות כשנחתוך אותם ומתיחסות כשנוסיף עליהם על השווי

the square of the mean is equal to the product of the extremes: $\scriptstyle\left(2^n\right)^2=2^{n-m}\sdot2^{n+m}$

ויתחיב שיהיה הכאת אי זה אמצעי שנקח בעצמו כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת

$\scriptstyle2^{n-m}:2^n=2^n:2^{n+m}$

לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי כיחס האמצעי אל הפאה הגדולה

the product of the two means is equal to the product of the extremes: $\scriptstyle2^n\sdot2^{n+1}=2^{n-m}\sdot2^{n+1+m}$

ויתחיב שתהיה הכאת אחד מהשני אמצעיים באחר כהכאת אחת מהשתי פאות באחרת

$\scriptstyle2^{n-m}:2^n=2^{n+1}:2^{n+1+m}$

לפי שיחס הפאה הקטנה אל האמצעי הקטן כיחס האמצעי הגדול אל הפאה הגדולה

Example: 4; 8; 16; 32; 64

\scriptstyle{\color{blue}{4^2=2\sdot8}}

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=2\sdot16}}

\scriptstyle{\color{blue}{8^2=2\sdot32=4\sdot16}}

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot16=4\sdot32=2\sdot64}}

והנה תהיינה המדרגות ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד

ונמצא ד' בעצמו כמו ב' בח‫'
וח' בעצמו כמו ב' בל"ב וד' בי"ו
ונמצא ד' בח' כמו ב' בי"ו
וח' בי"ו כמו ד' בל"ב וב' בס"ד

$\scriptstyle a_n=2^{2m}\longrightarrow a_{n+2}=2^{2\sdot\left(m+1\right)}$
$\scriptstyle a_n=2^{3m}\longrightarrow a_{n+3}=2^{3\sdot\left(m+1\right)}$

ולפי שהיו מספרי זוג הזוג מסודרים על יחס מתדבק יחויב שיהיה למרבעים ולמעקבים מהם סדר באשר המרבע יהיה השלישי אליו מרבע והמעקב הרביעי אליו מעקב וילך על הדרך הזה

Perfect Numbers - generated from the even-times-even numbers

ומסגלותיו שהמספרים השלמים יתילדו ממנו [מל"ה מט']

Amicable Numbers

אמנם המספרים הנאהבים הנה הם המספרים אשר יתרכבו כל אחד מחלקי חברו כמו שיתרכב חברו מחלקיו

Example: 220; 284

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot284\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot284\right)\left(\frac{1}{71}\sdot284\right)+\left(\frac{1}{142}\sdot284\right)+\left(\frac{1}{284}\sdot284\right)\\&\scriptstyle=142+71+4+2+1\\&\scriptstyle=220\\\end{align}}}

כמו מאתים ועשרים ממאתים ושמנים וארבעה

כי למאתים ושמנים וארבעה חצי והוא קמ"ב
להם רביעית והוא ע"א
ולהם חלק מאחד ושבעים והוא ד‫'
ולהם חלק ממאה וארבעים ושנים והוא ב‫'
ולהם חלק ממאתים ושמנים וארבעה והוא א‫'
ואומר נקבץ אלה החלקים יהיו ר"כ

142

71

4

2

1

220

ב ד א

א ז

ד

ב

א

‫0 ב ב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{11}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{20}\sdot220\right)\\&\scriptstyle+\left(\frac{1}{22}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{44}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{55}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{110}\sdot220\right)+\left(\frac{1}{220}\sdot220\right)\\&\scriptstyle=110+55+44+22+20+11+10+5+4+2+1\\&\scriptstyle=284\\\end{align}}}

ואמנם חלקי ר"כ הנה להם החצי והוא ק"י

ורביעית והוא נ"ה
וחמישית והוא מ"ד
ועשירית והוא כ"ב
וחלק מאחד עשר והוא עשרים
וחלק מעשרים והוא י"א
וחלק מכ"ב והוא עשרה
וחלק ממ"ד והוא ה‫'
וחלק מנ"ה והוא ד‫'
וחלק מק"י והוא ב‫'
וחלק מר"כ והוא א‫'
וכאשר תקבץ אלה החלקים יהיו רפ"ד ואין לאחד מהם מן החלקים זולת מה שזכרנו

for: $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}$ and $\scriptstyle\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}$ prime numbers

→ $\scriptstyle a=\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\sdot2^{n-1}$

ואופן התילדותם הוא כאשר תקבץ זוג הזוג והאחד עמהם ויקובץ מספר ראשון בתנאי שיהיה כאשר יתוסף עליו האחרון שבהם או יחוסר ממנו אשר לפניו יהיה המגיע אחר התוספת והמגיע אחר החסרון מספר ראשון הנה הכאת המגיע הנוסף עליו במגיע המחוסר אחר כן הכאת העולה באחרון שבמקובצים הוא מספר אשר לו אוהב

→ $\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]\sdot\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\sdot2^{n-1}\right]\\&\scriptstyle+\left[\left[\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)+2^{n-1}\right]+\left[\left(\sum_{i=1}^n 2^{i-1}\right)-2^{n-1}\right]\right]\sdot2^{n-1}\right]\\\end{align}$

ואוהבו הוא המספר אשר יהיה מתוספת הכאת מקובץ הנוסף והמחוסר הנזכרים באחרון שבמקובצים על המספר הנמצא ראשונה אשר הוא אוהב והם נאהבים

Even-Times Odd

ואמנם סגלות זוג הנפרד

הנה כבר נודע בספר היסודות ממנו מה שנודע

$\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)=2a\sdot\left(2b-1\right)$

ונתבאר מכללם שהוא לא ימנהו זוג אלא במספר נפרד

ולא נפרד אלא במספר זוג

$\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\frac{1}{2b-1}=2a$

וחלקו הזוג נקרא בשם הנפרד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot6=2}}

כמו השנים שהם שלישית הששה

$\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\frac{1}{2a}=2b-1$

וחלקו הנפרד נקרא בשם הזוג

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6=3}}

כמו השלשה שהוא חצי הששה

$\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]+2=2\sdot2n$

ושתוספת הזוג הראשון והוא השנים עליו יוציא זוג הזוג [והנפרד]

[שיחלק מפעם [...] לא הזוג [..] על [ת]מיד [..]]

generated from the products of the odd numbers by 2

ודע שהתילדותו מכפל הנפרדים הנמשכים בשנים

$\scriptstyle\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]=2\sdot\left[\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]-\left(2n-1\right)\right]$

והנה תדע מזה שהנופל בין מדרגה ובין המדרגה הנמשכת אליה כפל הנופל אשר היה בנפרדים הטבעיים

$\scriptstyle\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]=4$

ויהיה העדף מדרגותיו בארבעה ארבעה

not a square or a cube

ושהוא אין נגדר בו ולא מעקב

every square and cube is a product of an odd number by an odd number or an even number by an even number

כי כל נגדר וכל מעקב אם נפרד ימנה בנפרד במספר נפרד ואם זוג ימנה בזוג במספר זוג

וכבר ידעת זה לפי שהיה ההעדף בארבעה ארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=2+4=6}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6+4=10}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=10+4=14}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=14+4=18}}

\scriptstyle{\color{blue}{a_6=18+4=22}}

וההתחלה אם מהשנים ואם מהששה כפי מה שיתבאר הענין בו

והשנים כאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ששה
וכאשר נוסיף על הששה ארבעה יהיו עשרה
וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו ארבעה עשר
וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שמנה עשר
וכאשר נוסיף עליהם ארבעה יהיו שנים ועשרים והנה שבנו אל השנים חוזרים בסבוב

the units repeat cyclically (2, 6, 0, 4, 8)

יחויב שיהיה סבוב אחר האחרים זולת אלו ויחויב שיהיה כל דומה אל הראשון באחדים או גלגל הנקרא ציפרי

$\scriptstyle6+\left(3\sdot4n\right)$ → even-times-odd numbers divisible by 3

Example: 6; 18; 30

וכאשר תשים התחלת המדרגות מהששה והששה להם שליש והם הנקראים על שם שם שלשה הנה כאשר תתחיל אחר הששה תמצא לשלישי אחריו והוא שמנה עשר שליש אמתי ולשלישי כאשר תתחיל אחר השמנה עשר והוא השלשים שליש אמתי ועל הדרך הזה אל בלתי תכלית

$\scriptstyle10+\left(5\sdot4n\right)$ → even-times-odd numbers divisible by 5

ואחר הששה העשרה והחלק שלהם נקרא בשם הנפרד אשר אחר השלשה והוא החמשה כי לעשרה חומש אמתי והנה כאשר תתחיל אחר העשרה תמצא הנגזר לו השם מזה המספר והוא החמישי לו חומש אמתי ועל הדרך הזה עד מה שתרצה

$\scriptstyle14+\left(7\sdot4n\right)$ → even-times-odd numbers divisible by 7

והמספר אשר אחר העשרה הוא הארבעה עשר וחלקו נקרא בשם הנפרד הנמשך אל החמשה כי הנה לו שביעית והנה נמצא השביעי כאשר תתחיל אחריו על הדרך הזה

$\scriptstyle a_1+a_{n^2}=2+a_{n^2}=m^2$

ומסגלת אלו המדרגו' שמקובץ השנים והוא הראשון שבזוג הנפרד עם כל מדרגה תהיה נקראת על שם מספר מרובע יוציא מספר מרבע

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{2^2}=2+a_4=2+14=4^2}}

כמו קבוצם עם הרביע[י] מהם והוא ארבעה עשר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{3^2}=2+a_9=2+34=6^2}}

ועם התשיעי מהם והוא ארבעה ושלשים

$\scriptstyle a_2+a_{n^2}=6+a_{n^2-1}=m^2$

והנמשך אל שנים והוא הששה והוא זוג הנפרד השני כאשר יקובץ אל מספר כל מדרגה מתחלת מן האחד שתהיה נקראת על שם מספר מרבע הנה יהיה המקובץ מרבע

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_{2^2-1}=6+a_{4-1}=6+10=4^2}}

כמו הששה עם הרביעי והוא עשרה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_{3^2-1}=6+a_{9-1}=6+30=6^2}}

ועם התשיעי והוא שלשים

$\scriptstyle a_n=4n-2$

ומזה שהכאת הנקרא בשם כל מדרגה בארבעה יהיה כאשר תגרע ממנו המספר הראשון יהיה מספר אותה המדרגה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(4\sdot4\right)-2=16-2=14}}

המשל בזה שהבית הרביעי נקרא בשם ארבעה וכאשר נכפל בארבעה יהיה ששה עשר תפיל מהם המספר הראשון והוא שנים הנה יהיה ארבעה עשר

$\scriptstyle n=\frac{\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]+2}{4}$

וכבר אפשר לך שתהפך זה ותאמר שכל מספר מהם כאשר תוסיף עליו שנים ותחלק על ארבעה הנה מה שיצא הוא מספר מדרגתו מן הראשון

$\scriptstyle2n^2=\sum_{i=1}^n \left[2\sdot\left(2i-1\right)\right]$

ומזה שכפל הכאת מספר המדרגות בעצמם שוה למקובץ מספרם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4^2=32=2+6+10+14}}

והנה תהיינה המדרגות ארבעה וכפל הכאתם בעצמם שנים ושלשים והנה זה מקובץ שנים ששה עשרה ארבעה עשר

?

ומזה שמקובץ הראשון והשני מעקב ח' ואתה תדענו ותדע מדרגתו ממה שכבר ידעת ועוד מעקב מעקבו ועל הדרך הזה

Marginal note:

\scriptstyle{\color{blue}{2+6=2\sdot2^2}}

\scriptstyle{\color{blue}{2+6+10=2\sdot3^2}}

\scriptstyle{\color{blue}{2+6+10+14=2\sdot4^2}}

[לא הבנתי זאת הסגולה אולי רצה שקבוץ כל מספרי זוג' נפרד על הסדר שוה לכפלי המרובעי' הטבעיים על הסדר

כי קבוץ מספרי' ב' ו' [שוה] לכפל מרבע ב'
וקבוץ ב' ו' י' שוה לכפל מרובע ג'
וקבוץ ב' ו' י' י"ד שוה לכפל מרובע ד' וכן תמיד על זה הסדר א"ב ד"ל]

והנה נבנה מזוג הנפרד הנמשכים מרבע ששה בששה

22	18	14	10	6	2
46	42	38	34	30	26
70	66	62	58	54	50
94	90	86	82	78	74
118	114	110	106	102	98
142	138	134	130	126	122

כב	יח	יד	י	ו	ב
מו	מב	לח	לד	ל	כו
ע	סו	סב	נח	נד	נ
צד	צ	פו	פב	עח	עד
קיח	קיד	קי	קו	קב	צח
קמב	קלח	קלד	קל	קכו	קכב

the units of the extremes of each row are equal

ומסגלות זה הלוח המרבע שאחדי ראשית התחלת כל שורה ברוחב כמו אחדי הסוף

ואם יהיה באחד מהם גלגל הנקרא ספרא הנה באחר גלגל גם כן

the sums of the extremes on the principal diagonals are equal

ומהם שמקובץ שני קצוות הקטר האחר שוה למקובץ שני קצות הקטר האחר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2+142=22+122}}

כמו ב' עם קמ"ב שהם שני קצות הקטר וכ"ב עם קכ"ב והם קצות הקטר האחר

the sum of the extremes on the principal diagonal is a square numbers

ומהם שמקובץ קצות הקטר נגדר לעולם

the sum of two numbers at the same distance from the extremes on the principal diagonal is equal to the sum of the extremes which is a square number

ומהם שכל שני מספרים מרחקם משני קצות הקטר מרחק אחד הנה מקובצם שוה למקובץ שתי קצות הקטר והוא לזה נגדר גם כן

the difference between the last numbers of two consecutive lines is fixed

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{46-22=70-46}}

ומזה שתוספת כל שורה על התחלת זאת השורה אחר כי תוספת כ"ב על מ"ו כתוספת מ"ו על ע‫'

Even-Times-Even-Times Odd

ואמנם עניני זוג הזוג והנפרד הנה נדבר בהם

not divisible by 2 repeatedly until receiving 1

ונאמר שהוא דומה לזוג הנפרד באשר הוא איננו מקבל ההחצות ההולך בהדרגה בהתמדה עד האחד מזולת שבר

divisible by 2 more than once

וידמה לזוג הזוג באשר הוא לא יחצה החצותו הראשון אל שני נפרדים ולא יעמד החצותו אצל חלוקה אחרת

a product of an even-times-even number by an odd number: $\scriptstyle2^m\sdot\left(2n-1\right)$

ואמנם התילדותו הנה הוא מהכאת זוג הזוג המתחילים מן הארבע בנפרדים הנמשכים

וכל מה שהיה זה הזוג יותר רב יהיה קבלתו להחצות יותר

among the even-times-even-times-odd numbers there are superabundant, deficient, and perfect numbers:

וכבר יהיו בו הנוסף והחסר והשלם

deficient number: 68

כי השמנה וששים מספר חסר והוא מכללו

perfect number: 28

ואמנם השלם הנה כמו השמנה ועשרים

superabundant number: 12

והנוסף בו הרבה כמו השנים עשר

among the even-times-even-times-odd numbers there are squares

וכבר יפלו בו המרבעים ג"כ

$\scriptstyle\left[2\sdot\left(2n-1\right)\right]^2$

והתילדות אלו המרבעים אשר יפלו במספריהם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)^2=6^2}}

הוא שנכה הזוג הראשון בנפרד הראשון עד שיהיה ששה והנה הוא גדר המרבע הראשון

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot5\right)^2=10^2}}

אח"כ נכה אותו בנפרד השני עד שיהיה עשרה והנה הוא גדר המרבע השני ועל הדרך הזה

$\scriptstyle\left[2^m\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[2^m\sdot\left(2n-1\right)\right]=2^{m+1}$

וכאשר תגרע הבית מאשר ימשך אליו יצא לך זוג הזוג

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{20-12=2^3}}

כמו השנים עשר מהעשרים

$\scriptstyle\left[4\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[4\sdot\left(2n-1\right)\right]=2^3$

וזה במה שהתילדותו מהכאת הארבעה בנפרדים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{40-24=2^4}}

וכמו הארבעה ועשרים מן הארבעים

$\scriptstyle\left[8\sdot\left[\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]-1\right]\right]-\left[8\sdot\left(2n-1\right)\right]=2^4$

וזה במה שהתילדותו מהכאת השמנה בנפרדים

והנה זה מה שנאמר אותו בסגלות מיני זוג הזוג

ונעתק אל מיני סגלות הנפרד

Two - even-times-even number or even-times-odd number?

וכבר נשאר עלינו הדבור בראשון שבמספרים והוא השנים האם הוא זוג הזוג או זוג הנפרד

even-times-odd number

וכבר יחשב מצד שהוא לא יכלה בו ההחצות אל זוג שהוא זוג הנפרד

even-times-even and even-times-odd number

והעבירו קצתם שיהיה זוג הזוג וזוג הנפרד יחד ושיהיה התחלה לשניהם

והנראה אלי שזוג באמת הוא המספר המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות

even-times-odd number - its half is an odd number

וזוג הנפרד באמת הוא המתחלק אל הנפרד אצל ההחצות

even-times-even number - its half is an even number

והנה הזוג הזוג הוא אשר חציו זוג וכל חצי יחצה אותו זוג זולת האחד

ולא ימלט מהחצות זוג וזוג הנפרד הוא אשר חציו נפרד ולא יחצה

והנפרד יהיה מספר או יהיה אחד מצד שלא יחלק בשני חלקים

והזוג לא יהיה ולא מספר

אחר זה הנה ראוי שלא נקפיד בקריאת השמות

ואם ירצה אחד שנשים השנים ראויים לשני השמות יחד הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא אשר לא יחצה אל מספר נפרד וכן הם השנים אמנם החלוקה לא תהיה על דרך היושר

ואם רצה שנוציא השנים משני השמות יחד הנה ראוי שנשים גדר זוג הזוג שהוא הנחצה אל מספר זוג

וגדר זוג הנפרד שהוא אשר יחצה אל מספר נפרד ולא יהיו השנים ראויים אל אחד משני השמות עם יושר החלוקה

Types of Odd Numbers

ונדבר עתה בעניני מיני הנפרד

Prime and Composite

והנפרד ממנו ראשון וממנו מורכב

Relatively Prime

והמורכב כבר יהיה ראשון בהקש אל זולתו

וכבר ידעת כל זה

Composite Numbers

generated from the odd numbers

וכאשר תרצה שתוציא מדרגות המורכבים בעצמם הנה תשוב אל לוחות המספרים הנפרדים הנמשכים

$\scriptstyle n>1\longrightarrow3\sdot\left(2n-1\right)$

והנה תמצא כל שלשה אחר השלשה מורכב

$\scriptstyle n>1\longrightarrow5\sdot\left(2n-1\right)$

וכל חמשה אחר החמשה מורכב וכן אל בלתי תכלית

Example: 9; 15; 21

דמיון הראשון הט' והט"ו והכ"א

Example: 15; 25; 35

דמיון השני הט"ו והכ"ה והל["ה]

וכמו כן כאשר תתחיל מן השבעה התשעה על הדרך הזה

\scriptstyle{\color{blue}{9=3\sdot3}}

ותמצא שם דבר והוא שהשלשה מהם ימנה המורכב הראשון אשר במדרגותיהם במספר ראשון הנפרדים והוא בעצמו כמו התשעה

\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}

והשני בנפרד אשר ימשך אליו כמו החמשה

\scriptstyle{\color{blue}{21=3\sdot7}}

והשלישי בנפרד השלישי כמו השבעה

‫[ר"ל ג' ימנה ט' בג' וימנה ט"ו בה' ימנה כ"א בז‫'‫]

\scriptstyle{\color{blue}{15=5\sdot3}}

והחמשה ג"כ ימנה אשר ימשך אליו בראשון בנפרדים והוא השלשה כמו החמשה עשר

\scriptstyle{\color{blue}{25=5\sdot5}}

והשני בעצמו כמו החמשה ועשרים

\scriptstyle{\color{blue}{35=5\sdot7}}

והשלישי כמה שאחריו כמו החמשה ושלשים כי הוא ימנה אותם בשבעה

‫[[ר"ל]ה' ימנה ט"ו בג' וכ"ה בה' ול"ה בז‫'‫]

Relatively Prime Numbers

ואמנם המורכב בעצמו וראשון אצל זולתו

if p and q are prime numbers then $\scriptstyle p^2$ and $\scriptstyle q^2$ are relatively prime

הנה הוא כל מרבע ראשון בהקש אל מרבע ראשון אחר מאלו הנפרדים הנמשכים

‫[א"ב ר"ל כל מרבע מספר ראשון בהקש אל מרבע מספר ראשון‫]

והנה זה מה שנאמר אותו בעניני הזוג והנפרד

Superabundant / Deficient / Perfect Numbers

והמספר חלוקה אחרת ממנו נוסף וממנו חסר וממנו שלם

Perfect Number

generated from the even-times-even numbers

וכבר ידעת כל זה וידעת איכות התילד המספר השלם מזוגי הזוגות [מסוף ט' לאקלידס]

a perfect number is an even number - it is a product of an odd number by an even number

ודע שהמספר השלם לא יהיה אלא זוג לפי שהוא אמנם נתילד מהכאת נפרד בזוג

in each rank there is one perfect number

in the units: 6

in the tens: 28

in the hundreds: 496

in the thousands: 8128

ונזדמן שהנופל ממנו באחדים אחד והוא ששה

ובעשרות אחד והוא שמנה ועשרים
ובמאות אחד והוא תצ"ו
ובאלפים אחד והוא שמנה אלפים וקכ"ח
וכמו כן בכל מין אחד

the units of a perfect number are 6 or 8

לא ימלט מאחדים הם ששה ושמנה ואם לא יתחיב אצל הנסיון בהם שיהיו חוזרים חלילה

the sum of a product of a perfect number by 8 plus 1 is a square number $\scriptstyle a=perfect\ number\longrightarrow8a+1=n^2$

ומסגלות המספר השלם שכאשר הוכה בשמנה ונוסף עליו אחד יהיה נגדר

$\begin{align}\scriptstyle a=perfect\ number&\scriptstyle\longrightarrow\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}=2^m\\&\scriptstyle\longrightarrow a=\left(\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left(\frac{\sqrt{8a+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]-1\right]\\\end{align}$

וכאשר יחלק גדרו על ארבעה ויתוסף על מה שיתקבץ רביע יהיה זוג הזוג אשר הוכה בכפלו זולת אחד עד שיצא זה המספר השלם

Example:

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6&\scriptstyle=\left(\frac{\sqrt{\left(8\sdot6\right)+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left(\frac{\sqrt{\left(8\sdot6\right)+1}}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]-1\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{\sqrt{49}}{4}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left(\frac{\sqrt{49}}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]-1\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[\left[2\sdot\left(\frac{7}{4}+\frac{1}{4}\right)\right]-1\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(1+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\right]\sdot\left[\left[2\sdot\left[\left(1+\frac{3}{4}\right)+\frac{1}{4}\right]\right]-1\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]\\\end{align}}}

המשל בזה ששה בשמנה נוסף עליו אחד הוא מ"ט וגדרו שבעה ורביעיתו אחד ושלשה רביעיו' וכאשר יתוסף עליו רביע יהיה שנים והוא זוג הזוג אשר נפלה ההכאה בכפלו זולת אחד כאשר יצא ששה

marginal note:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(2+1\right)=2\sdot3=6}}

‫[א"ב ר"ל כי פאת ששה היתה כאשר לקחנו שנים זוג הזוג והאחד ונתקבץ שלושה מספר ראשון והכינו אותו בשנים ויצא ששה מסוף ט' לאקליד‫'‫]

אמנם המספר הנוסף והחסר הנה יהיו כמו שכבר נתבאר בכל שער

והנה בהוצאת השלם והחסר והנוסף בחינה נפלה לקצת האנשים

$\scriptstyle2^n-\left(\frac{1}{2}p\right)=\frac{1}{2}\longrightarrow\left(2^n\sdot p\right)$ perfect number

והיא שכל זוג הזוג כאשר הוכה במספר ראשון איך שיהיה אחר שיהיה זוג הזוג יותר מחצי זה הראשון בחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם מספר שלם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}

כמו השנים בשלשה

והארבעה בשבעה

$\scriptstyle2^n-\left(\frac{1}{2}p\right)>\frac{1}{2}\longrightarrow\left(2^n\sdot p\right)$ superabundant number

ואם יהיה יותר מחציו ביותר מחצי אחד הנה המתקבץ ממנו לעולם מספר נוסף

$\scriptstyle2^n-\left(\frac{1}{2}p\right)<\frac{1}{2}\longrightarrow\left(2^n\sdot p\right)$ deficient number

ואם יהיה פחות מחציו איך שיהיה הפחת הנה המספר חסר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}

superabundant

משל הראשון הנה ארבעה בחמשה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot11=44}}

deficient

ומשל השני הארבעה באחד עשר

וכל מספר מהמספרים השלמים הוכה במספר ראשון ולא ימנה זה המספר הראשון זה המספר השלם

Example:

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6\sdot7=42\longrightarrow&\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{14}\sdot42\right)\left(\frac{1}{21}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{42}\sdot42\right)\right]-42\\&\scriptstyle=\left(21+14+7+6+3+2+1\right)-42\\&\scriptstyle=54-42\\&\scriptstyle=12=2\sdot6\\\end{align}}}

כמו הששה כאשר הוכה בשבעה ונתחדש מ"ב ולו מן החלקים החצי והוא כ"א ושליש והוא י"ד והששית והוא ז' והשביעית והוא ו' וחלק מי"ד והוא ג' וחלק מכ"א והוא ב' וחלק ממ"ב והוא א' וכלל זה נ"ד הנה מוסיף על מ"ב בי"ב והוא כפל ששה

every number divisible by 2 is deficient

וכל מספר ימנהו שנים הנה הוא חסר לעולם

all the prime numbers are deficient

וכל המספרים הראשוני' חסרי' בלי ספק

all the even-times-even numbers are deficient by 1

וכל זוגי הזוג חסרים באחד

every number divisible by 2 and 3 is superabundant except for the number 6

וכל מספר זולת הששה ימנוהו השנים והשלשה הנה הוא נוסף לעולם

every number divisible by two and two other numbers whose sum is divisible by three is superabundant

וכל מספר ימנה אותו השנים ושני מספרים יהיה קריאת מקובצם עומדת מקום השליש רצוני שיהיה אחריתם כמו השליש רצוני שיהיה החבור משני יחסי חלקיהם בנכח המוסיף שליש כמו מקובץ שני יחסי המוסיף חומש והמוסיף שביעית אשר הוא לנכח המוסיף שלישית הנה הוא נוסף לעולם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5\sdot7=70}}

is superabundant

כמו השבעים כי הוא לפי שהוא נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף לעולם

every even-times-odd number divisible by 2, 5, and 7 is superabundant

וכל זוג נפרד נמנה עם השנים והחמשה והשבעה יהיה נוסף

every even-times-odd number that consists of a composite odd number $\scriptstyle2\sdot\left(2n-1\right)\sdot\left(2m-1\right)$ is superabundant

Example: 18 and 30 are superabundant

וכל זוג נפרד מורכב מנפרד מורכב כמו השמנה עשר והשלשים הנה הוא נוסף תמיד

an even-times-odd number that consists of a prime number is deficient

ואם יהיה מורכב מנפרד ראשון הנה הוא חסר

among the even-times-even-times-odd numbers there are deficient, superabundant and perfect numbers

וכבר ימצאו בזוג הזוג והנפרד חסר ונוסף ושלם

superabundant number: 36

דמיון הנוסף ששה ושלשים

deficient number: 44

ודמיון החסר ארבעים וארבעה

perfect number: 28

ודמיון השלם שמנה ועשרים

there is no perfect number among the odd numbers

most of the odd numbers are deficient

המספר הנפרד לא יהיה שלם כמו שידעת אבל יהיה חסר

an odd number is superabundant only if it is a product of four consecutive odd numbers

ולא יהיה נוסף אלא שיהיה מורכב מארבעה נפרדים נמשכים על הסדר הטבעי

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot7\sdot9=945}}

is superabundant

כמו מה שראשיתו שלשה אח"כ חמשה אח"כ שבעה אח"כ תשעה ומורכבם הוא תשע מאות וארבעים וחמשה והוא המספר הראשון שבנפרדים נוסף בשלישית ואם יניח זה ההמשך לא יתחיב שיהיה נוסף

ונחתום הנה הדבור בזה האופן מחכמת המספר ונעתק אל האופן אשר יבחן ממנו בצרוף מספר אל מספר

Book Two

המאמר הב‫'

Ratios

כבר יעויין במספר עיון מצד ההשגחה בעצמו ובעניינים המתחייבי' לו במה שהוא מספר ומה שהוא מין מספר

וכבר יעויין בו מצדדים אחדים מהם מצד היותו מצטרף אל מספר אחר

וזה המספר האחר, אם יהיה אחר ממנו במספר לא במין או חלק המין, יהיה הצרוף צרוף השנוי

the ratio consists of two terms: greater and less

וכל שני משתנים הנה אחד מהם מוסיף והאחר חסר

וכאשר תדע עניני המוסיף אצל החסר תדע עניני החסר אצל המוסיף כפי מה שיחיבהו היושר בהצטרפות

והמוסיף אם פשוט ואם בלתי פשוט

Simple Ratio: multiple ratio; superparticular ratio; superpartient ratio

והפשוט אם כפל ואם כפלים ואם מוסיף בחלק או חלקים

Compounded Ratio: multiple superparticular ratio; multiple superpartient ratio

והמורכב הוא המוסיף בכפל והחלק או המוסיף בכפל והחלקים או המוסיף בכפלים והחלק או המוסיף בכפלים והחלקים

והחלקים כונתנו בהם מה שהוא יותר מכפל אחד או חלק אחד ואם היה שני כפלים או שני חלקים

והחסר הנה כבר פשט המנהג שיורו עליו באשר הוא אשר תחת ככה כאמרם אשר תחת המוסיף חלק ולפעמים יהיה נגזר לו שם משם מספר הכפלים כמו השליש והרביע והחלק משנים עשר ולפעמים יקרא בשני יחסים כאמרם חצי הששית חומש עשירית

Simple Ratios

Multiple Ratio

Doubles

והנה הנכפל הראשון הוא הנכפל השניי והוא אשר התוספת בו בדמיון האחד

2:1

והתחלתו במספרים מן האחד והשנים

subdoubles (less) - natural numbers

ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים

greater - even numbers

והמוסיף והוא הכפל על סדר הזוגות הנמשכים בהעדף שנים שנים

Triples

אח"כ הנכפל השלישיי והוא אשר התוספת בו בשני דמיונים

3:1

והתחלתו מהשלשה והאחד

subtriples (less) - natural numbers

ויתוסף החסר על סדר המספרים הנמשכים

greater- products of three

\scriptstyle{\color{blue}{3;\ 6;\ 9;\ 12}}

והנוסף בשלשה שלשה כמו שלשה וששה ותשעה ושנים עשר

submultiples (less) - natural numbers

ועל הדרך הזה יתוסף החסר בכל היחסים בעלי הכפל באחד אחד

greater - multiples

והנוסף במספר הכפלים

less - starts from 1

ותהיה התחלת החסר מן האחד

greater - starts from the multiplier

והתחלת הנוסף מהמספר אשר על שמו יקרא מספר הכפלים

Superparticular Ratio

Sesquialter

והראשון אשר במוסיף חלק הוא המוסיף על האחד בכמו חציו

3:2

והתחלתו מהשלשה והשנים

subsesquialter numbers (less) - even numbers

ויתוסף החסר על סדר הזוגות הנמשכים לפי שיש להם חצי

greater - products of three

והמוסיף בשלשה שלשה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{3:2;\quad6:4;\quad9:6}}

כמו השנים עם השלשה אח"כ הארבעה עם הששה אח"כ הששה עם התשעה

Sesquitertian

ואחר המוסיף חצי הוא המוסיף שליש

4:3

והתחלתו מן הארבעה והשלשה

subsesquitertian numbers (less) - products of three

\scriptstyle{\color{blue}{3;\ 6;\ 9}}

ויתוסף החסר בשלשה שלשה כמו השלשה והששה והתשעה

greater- products of four

והמוסיף בארבעה ארבעה

ועל הדרך הזה ילך הענין תמיד על זה הסדר

Table of Multiple and Superparticular Ratios

והנה כאשר נרשום לוח בעל טורים מרובע יתחיל מן האחד ויתוספו ראשי שורותיו בארך וברחב על סדר המספרים הטבעיים ועל הדרך הזה תניח כי אלה היחסים ומשפטים אחרים יוצאים מהם

והנה יהיה זה הלוח הבעל טורים עשרה על עשרה

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מז	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

\scriptstyle R_2:R_1

- Doubles

והנה נמצא השורה השנית על יחס הכפל לשורה הראשונה

\scriptstyle R_3:R_1

- Triples

והשלישית על יחס השלשה כפלים

ועל הדרך הזה נמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך

\scriptstyle R_3:R_2

- Sesquialter

ונמצא השורה השלישית אל השנית על יחס המוסיף חצי

\scriptstyle R_4:R_3

- Sesquitertian

והרביעית אל השלישית על יחס המוסיף שליש

\scriptstyle R_5:R_4

- Sesquiquartan

והחמישית אל הרביעית על יחס המוסי' רביע

ועל הדרך הזה הולך הענין תמיד ונמצא ההעדף כפי מה שנאמר לך

\scriptstyle R_2-R_1

ונמצא תוספת השורה השנית על השורה הראשונה יתחלף במספר ואם לא יתחלף ביחס

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

ונמצא תוספת הבית הראשון ממנו על הבית הראשון מהשורה הראשונה באחד

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

ותוספת הבית השני ממנו על הבית השני מהראשון בשנים

the differences are the natural numbers

ועל הדרך הזה על סדר המספרים הנמשכים

\scriptstyle R_{n+1}-R_n

ועל הדרך הזה ענין כל בית אצל הקודם אליו

\scriptstyle R_3-R_2

\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}

\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}

‫[א"ב ר"ל שהבית הראשון מהשורה השלישי[.....] הראשון מהשנית מוסיף [........] על השני [.....] על סדר ה[מ]ספרי' הנמשכים‫]

\scriptstyle R_{n+2}-R_n

the differences are the even numbers

ונמצא זה כאשר יוקש בין השלישי והראשון בכל סדור על סדר הזוגות

\scriptstyle{\color{blue}{C_1R_{n+2}-C_1R_n=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_{n+2}-C_2R_n=4}}

\scriptstyle{\color{blue}{C_3R_{n+2}-C_3R_n=6}}

כי הנה נמצא הראשון מכל שלישי יוסיף על ראשון מכל ראשון בשנים והשני בארבעה והשלישי בששה ועל הדרך הזה

\scriptstyle{\color{blue}{C_1R_{n+2}-C_1R_n=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}

\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_{n+2}-C_2R_n=4}}

\scriptstyle{\color{blue}{C_3R_{n+2}-C_3R_n=6}}

‫[ר"ל בשורה הראשונה תמצא שכל שלישי לאי זה ראשון שיהיה יוסיף בשנים [...] ג' לא' וד' לב' וה' לג' ובשורה השנית יוסיף בארבעה ובשלישי' בששה‫]

\scriptstyle R_{n+3}-R_n

\scriptstyle{\color{blue}{C_1R_{n+3}-C_1R_n=3}}

ואמנם תוספת הבית הראשו' מ[הר]ביעי על הבית הראשון מכל ראשון הנה הוא בשלשה שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{C_2R_{n+3}-C_2R_n=6}}

ותוספת השני מן הרביעי על השני מן הראשון בששה ששה

the differences are the products of 3

ועל הדרך הזה תוספת כל בית יוסיף על תוספת הבית בשני צדדין בשלשה שלשה

\scriptstyle R_4-R_2=2\sdot\left(R_2-R_1\right)

?

תוספת רביעי על השני וביניהם שורה אחת כתוספת השני על הראשון ביחס

\scriptstyle R_6-R_3=3\sdot\left(R_2-R_1\right)

?

ותוספת הששי על השלישי וביניהם שתי שורות כתוספת השלישי על השני ביחס ועל הדרך הזה

‫[א"ב דע בזה שורה אחת כי יש טעות בלשון ובסברא אפשר לכוין הלשון על צדדים רבים ולכן לא תקננו כי לא יודע אל איזה כיון המחבר‫]

the numbers on the principal diagonal are square

והנה תמצא כל מספר ממספרי הקטר מרבע

\scriptstyle{\color{blue}{4;\ 9;\ 16}}

כמו הד' והט' והי"ו

the sum of two consecutive square numbers plus the numbers on their inverse diagonal is a square number

ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים ומקבץ השני שטחים אשר יפלו ביניהם על האלכסוניות מרבע

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+9\right)+\left(6+6\right)=25=5^2}}

כמו מקבץ הד' והט' עם הו' וו' שעולה כ"ה

the difference of the sum of two consecutive square numbers and the sum of the numbers on their inverse diagonal is 1

ונמצא מקבץ כל שני מרבעים נמשכים על מקבץ השני שטחים מוסיף באחד

\scriptstyle\left[2\sdot\left[n^2+\left(n+1\right)^2\right]\right]-1=m^2

והנה יחויב שיהיה כפל מקובץ כל שני מרבעים נמשכים מחוסר ממנו אחד מרבע [לפי שמקובץ כפל השטחים מרבע בתוספת אחד]

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(4+9\right)-1=26-1=25=5^2}}

[כמו כפל ד"ט שהוא כ"ו וכ"ה מרבע]

\scriptstyle R_nC_m\times R_aC_b=R_aC_m\times R_nC_b

ונמצא הכאת כל מספר משורה במספר משורה אחרת שוה להכאת בן גילו בבן גילו

\scriptstyle{\color{blue}{R_1C_2\times R_2C_{10}=R_2C_2\times R_1C_{10}}}

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot20=4\sdot10}}

כמו הב' והוא השני מן הראשונה בכ' והוא האחרון מן השנית אשר הוא כמו הד' אשר הוא השני מן השנית בי' אשר הוא האחרון מן הראשונה

the product of a number on the principal diagonal by its inverse number on the principal diagonal is equal to the product of the corresponding numbers on the inverse diagonal

ונמצא הכאת כל מספר ממספרי הקטר בבן גילו מהצד האחד מזה הקטר כמו בני גילם אחד מהם באחר רצוני מן הקטר האחר

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot100=10\sdot10}}

כמו הכאת הא' בק' אשר הוא כמו הכאת הי' בי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot81=18\sdot18}}

וג"כ הכאת ד' בפ"א אשר הוא כמו הכאת י"ח בי"ח ועל הדרך הזה

ואמנם היחסים האחרים הנה אנחנו קודם שנבחין אותם מזה הלוח הבעל טורים נרמוז אל איכות ההנהגה בדרישת מספריהם הראשונים

ונרמוז אל ענינים מסגלים להם אח"כ נרמוז אל בחינתם מזה הלוח

Superpartient Ratio

ונאמר אם יחס המוסיף בשני חלקים או המוסיף בחלקים הנה לפעמים יהיה גמור ולפעמים לא יהיה גמור

והגמור רצוני מה שאיננו חוזר אל יחס דמיון וחלק

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{6}\right)=1:\left(1+\frac{1}{3}\right)}}

כמו חזרת המוסיף בשני ששיות אל המוסיף שליש

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{4}\right)=1:\left(1+\frac{1}{2}\right)}}

והמוסיף בשני רביעיות אל המוסיף חצי

$\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{2n}\right)=1:\left(1+\frac{1}{n}\right)$

כל מוסיף בשני חלקים נקראים בשם זוג

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{6}\right)=1:\left(1+\frac{1}{2}\right)}}

וחזרת המוסיף בשלשה ששיות אל החצי אחר כן

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{5}\right)}}

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{4}\right)}}

ואבל כמו המוסיף בשני חמישיות והמוסיף בשלש רביעיות הוא הבלתי גמור

ולא ימצא לגמור סדור משותף בו אבל יצטרך כל שוער להבחין הסדור

\scriptstyle1:\left(1+\frac{m}{n}\right)=n:\left(n+m\right)

ואמנם כאשר ילקח בשלוח [ר"ל מבלי בחינה בין הגמור והבלתי גמור] הנה הסדר בהגעת מספרו הראשון הוא שיגיע הראשון אשר בשמו יקרא זה החלק מן המספרי' כדי שנוסיף עליו אם הוא שני חלקים הנה שנים ואם היה שלשה חלקים הנה השלשה

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{2}{3}\right)=3:\left(3+2\right)=3:5}}

המשל בזה אם היה התוספת בשני שלישיות נניח שלשה ונוסיף עליהם שנים ויהיו חמשה ותהיה התחלתם משלשה וחמשה

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{3}{4}\right)=4:\left(4+3\right)=4:7}}

ואם יהיה התוספת בשלשה רביעיות נניח ארבעה ונוסיף עליהם שלשה ויהיו ארבעה ושבעה והיא מתחלתם

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{n}\right)

והנה תמצא המספרים החסרים ביחס הדמיון ושני חלקים

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{3}\right)

אם ביחס הדמיון ושני שלישיות

less - products of three

הנה החסרים מוסיפים בשלשה

greater - products of five

והנוספים בחמשה

\scriptstyle{\color{blue}{3:5;\quad 6:10;\quad 9:15}}

עד שיהיו שלשה וחמשה אח"כ ששה ועשרה אח"כ תשעה וחמשה עשר

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{4}\right)

ואמנם ביחס הדמיון ושתי רביעיות והוא בלתי גמור

less - products of four

הנה תמצא החסרים יוסיפו בארבעה ארבעה

greater - products of six

והנוספים בששה ששה

\scriptstyle{\color{blue}{4:6;\quad 8:12}}

באלו מספרם על הקש ארבעה וששה ושמנה ושנים עשר

ועל הדרך הזה החסר כמו עצמו והנוסף כמו עצמו

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{5}\right)

וכפי זה הוא הסדר במוסיף שתי חמישיות

\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{n}\right)\right]:\left[1:\left(1+\frac{2}{n+1}\right)\right]

ואמנם הקש קצתם אל קצת

\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{3}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{2}{4}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{2}{5}\right)\right]

רצוני הקש המוסיף שתי שלישיות אל המוסיף שתי רביעיות אח"כ המוסיף שתי חמישיות

less - natural numbers

הנה החסרים יוסיפו באחד אחד

greater - natural numbers

והנוספים ג"כ יוסיפו באחד אחד

\scriptstyle{\color{blue}{3:5;\quad 4:6;\quad 5:7}}

‫[א"ב לפי שמדרגתם ג"ה ד"ו ה"ז וג"ה יתוסף [....] בג"ה וד"ו בד"ו וה"ז בה"ז הנה תוספת החסרים והנוספי' אינן רק באחד אחד‫]

\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{2}{2n-1}\right)\right]:\left[1:\left(1+\frac{2}{2n+1}\right)\right]

- odd numbers

וכאשר תבחין הגמורים בזה היחס יהיו על סדר הנפרדים הנמשכים

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:5}}

כמו החמשה אל השלשה והוא המוסיף בשתי שלישיות

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:7}}

והשבעה אל החמשה והוא המוסיף בשתי חמישיות

\scriptstyle1:\left(1+\frac{2}{7}\right)\longrightarrow{\color{blue}{7:9}}

והתשעה אל השבעה והוא המוסיף בשתי שביעיות

\scriptstyle1:\left(1+\frac{m}{n}\right)

ואמנם ההקש בין רבי החלקים

\scriptstyle1:\left(1+\frac{3}{4}\right)

כמו המוסיף בדמיונו ושלשה רביעיות הנה יוסיפו החסרים מהם והמוסיפים מהם על ההקש הנזכר

\scriptstyle{\color{blue}{4:7;\quad 8:14}}

עד שיהיו ארבעה ושבעה אח"כ שמנה וארבעה עשר

\scriptstyle1:\left(1+\frac{3}{5}\right)

ועל הדרך הזה תוספת שלש חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{5:8;\quad 10:16}}

יהיה חמשה ושמנה ועשרה וששה עשר

\scriptstyle\left[1:\left(1+\frac{3}{4}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{3}{5}\right)\right];\quad\left[1:\left(1+\frac{3}{6}\right)\right]

ויהיה התיחסות מה שביניהם כפי מה שנאמר בראשונים

\scriptstyle{\color{blue}{4:7;\quad 5:8;\quad 6:9}}

כמו ארבעה ושבעה אח"כ חמשה ושמנה אח"כ ששה ותשעה

וימצאו לגמורי' סגלות בלתי מסודרות אלא בשער שער יש להוציא אותם עם הבחינה

Compounded Ratios

Multiple Superparticular Ratio

וכאשר נרצה שנמצא ראשון המספרים ליחס הדמיון והחלק

[א"ב דע כי כפי המשך המשלים נראה שהנכון שיאמר הדמיונים והחלק או הכפל והחלק]

\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{n}\right)=n:\left(2n+1\right)

הנה נקח אשר על שמו יקראו החלקים כמו השנים לחצי והשלשה לשליש ונכפול זה המספר בשנים ונוסיף עליו אחד

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{2}\right)=2:\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]=2:5}}

כמו הכפל וחצי כי התילדותו מכפל השנים בשנים והתוספת אחד עליו ויהיו שנים וחמשה

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{3}\right)=3:\left[\left(2\sdot3\right)+1\right]=3:7}}

והכפל ושליש שהתילדותו מכפילת השלשה בשנים והתוספת אחד עליו ויהיו שלשה ושבעה

\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(2+\frac{1}{4}\right)=4:\left[\left(2\sdot4\right)+1\right]=4:9}}

והכפל ורביע שיהיו ארבעה ותשעה

[ר"ל כי אם הכפל[..]]

\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{2}\right)

less - even numbers

ונמצאו המספרים בראשון יתוסף החסר בשנים שנים על סדר הזוגות הנמשכים

greater - products of five

ויתוסף המוסיף בחמשה חמשה

\scriptstyle{\color{blue}{2:5;\quad 4:10;\quad 6:15}}

עד שיהיה במוסיף כפל וחצי שנים וחמשה אח"כ ארבעה ועשרה אח"כ ששה וחמשה עשר

\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{3}\right)

less - products of three

ונמצא המספרים בשני והוא יחס הכפל והשליש יתוספו החסרים בהם בשלשה שלשה

greater - products of seven

והמוסיפים בשבעה שבעה

\scriptstyle{\color{blue}{3:7;\quad 6:14;\quad 9:21}}

כמו שלשה ושבעה אח"כ ששה וארבעה עשר ותשעה ואחד ועשרים

\scriptstyle1:\left(2+\frac{1}{4}\right)

less - products of four

ונמצאו המספרים בשלישי והוא יחס הכפל ורביע יתוסף החסר בהם בארבעה ארבעה

greater - products of nine

והמוסיף בתשעה תשעה

\scriptstyle{\color{blue}{4:9;\quad 8:18;\quad 12:27}}

עד שיהיו על משך ארבעה ותשעה אח"כ שמנה ושמנה עשר אח"כ שנים עשר ושבעה ועשרים

ובכלל הנה תוספת החסר והנוסף יהיה על מספרם הראשון

\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{n}\right)\right]:\left[1:\left(2+\frac{1}{n+1}\right)\right]

\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{2}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{3}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]

ואמנם ההתיחסות במה שבין מדרגותיהם רצוני התיחסות מה שבין הכפל והחצי ובין הכפל והשליש

less - natural numbers

הנה החסרים יתוספו באחד אחד

greater - n+2

והמוסיפים בשנים שנים כפי ההכפלה

\scriptstyle{\color{blue}{2:5;\quad 3:7;\quad 4:9}}

עד שיהיו שנים וחמשה שלשה ושבעה ארבעה ותשעה ועל הדרך הזה

odd numbers

וילך מנהג התוספת על הנפרדים הנמשכים

Multiple Superpartient Ratio

ואמנם יחסי הכפל והשני שלישיות הנה ראוי שנעשה בתולדתם מה שכבר עשינו אותו אלא שאנחנו נוסיף תמורת האחד שנים

\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:8}}

ונתחיל אם ביחס הכפל והשתי שלישיות מן השלשה והשמנה

\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:10}}

וביחס הכפל והשתי רביעיות והוא בלתי גמור בארבעה והעשרה

\scriptstyle1:\left(2+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:12}}

וביחס הכפל והשתי חמישיות מן החמשה והשנים עשר

והנה נמצא המוסיפים ג"כ יוסיפו בשנים שנים והחסרים באחד אחד

ונמצא הסדר והמנהג בשער אחד כמו סדר המספרים המונחים לשני דמיונים ושתי שלישיות

ונמצא החסרים והמוסיפים יוסיפו על מספרם אלא שאנחנו נמצא מספר החסרים כמו שהיה בדמיון ושליש וכפל ושתי רביעיות וכפל ושתי חמישיות ושאר אלו

[א"ב נראה שהרצון הוא כפל מה שהיה בדמיון ושליש כי לא יצדק זה בכפל ושליש במוסיפי' כי אם בחסרים]

וכאשר נרצה הכפל והשלשה חלקים והראשון שבהם שלשה רביעיות הנה ההולדה על זה הדרך בעצמו אלא שאנחנו נוסיף למוסיף שלשה חלקים שלשה ולמוסיף ארבעה חלקים ארבעה

\scriptstyle1:\left(2+\frac{3}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:11}}

והנה הראשון שבכפל ושלשה חלקים הכפל ושלשה רביעיות והתחלתו מן הארבעה והאחד עשר

\scriptstyle1:\left(2+\frac{3}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:13}}

אח"כ הכפל ושלשה חמישיות והתחלתו מן החמשה ושלשה עשר ועל הדרך הזה

והנה נמצא תוספת מדרגות המספרים כמו שהיה

וכאשר נתנהג במה שבשער אחר נמצא החסרים והמוסיפים ג"כ יתוספו כמו עצמם

ואמנם מספר החסרים יהיה כמו שהיה ומספר המוסיפים מספר אחד

וכאשר נרצה יחס שלשה כפלים וחלק או שני חלקים אחרים נעשה בהולדת אלו מה שכבר עשינו אלא שאנחנו לא נכפול פעם אחת לבד אבל במספר אותם הכפלים אח"כ נעשה בחלק והחלקים מה שכבר עשינו

\scriptstyle1:\left(3+\frac{1}{3}\right)\longrightarrow{\color{blue}{3:10}}

ונמצא ראשית השלשה כפלים ושליש משלשה ועשרה

\scriptstyle1:\left(3+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:13}}

וראשית שלשה כפלים ורובע מארבעה ושלשה עשר

ונמצא החסרים יוסיפו באחד אחד והמוסיפים בשלשה שלשה

וכאשר נקח ברחב נמצא ראשית שלשה כפלים וחצי משנים ושבעה ושנית מארבעה וארבעה עשר ונמצא ג"כ כלם יתוספו במספרם

והחסר ירוץ על תוספת הזוגות הנמשכים

ונמצא ראשית שלשה כפלים ושליש מהשלשה והעשרה ושנית מהששה ועשרים ונמצא השרש שמור

וכאשר יבחנו השלשה כפלים והשני חלקים יהיה ראשיתם שלשה כפלים ושני שלישיות והראשון משלשה ואחד עשר

\scriptstyle1:\left(3+\frac{2}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:14}}

וראשית שלשה כפלים ושני רביעיות מארבעה וארבעה עשר

\scriptstyle1:\left(3+\frac{2}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:17}}

וראשית שלשה כפלים ושתי חמישיות מחמשה ושבעה עשר

ונמצא ההעדף בחסרים על משך המספרים הטבעיים והמוסיפים בשלשה שלשה

וכאשר נקח ברוחב נמצא ראשית שלשה כפלים ושתי שלישיות משלשה ואחד עשר ושנית מששה ושנים ועשרים והנה שמרו הסדר

וכאשר נבחין השלשה כפלים ושלשה חלקים

\scriptstyle1:\left(3+\frac{3}{4}\right)\longrightarrow{\color{blue}{4:15}}

היה ראשית זה שלשה כפלים ושלשה רביעיות וראשיתם מארבעה וחמשה עשר

\scriptstyle1:\left(3+\frac{3}{5}\right)\longrightarrow{\color{blue}{5:18}}

אח"כ שלשה כפלים ושלשה חמישיות וראשיתם מחמשה ושמנה עשר ונמצא הענין על הדרך הזה

וכאשר נבחין ברוחב נמצא ראשית שלשה ושלשה רביעיות מארבעה וחמשה עשר ושנית משמנה ושלשים ונמצא זה הסדור שמור

ולנו שנוסיף בזה ונישב ג"כ התיחסות הכלל בכלל ונוציא אותו אבל אנחנו נסתפק על זה ונזכור רמזים על צד הלוחות ישתתפו בהם אלו

והנה מזה שאנחנו כאשר נעשה לוח משתי שורות אחת מהן ימשכו בה הנפרדים הנמשכים מתחילים מן החמשה ויעמדו אצל אחד ועשרים והשנית ימשכו בה מספרים מתחילים משלשה ויעמדו אצל אחד עשר ויתבאר לנו שבמה שבין אלו יחסים

3	5
4	7
5	9
6	11
7	13
8	15
9	17
10	19
11	21

ג	ה
ד	ז
ה	ט
ו	יא
ז	יג
ח	טו
ט	יז
י	יט
יא	כא

וכאשר נבחין מה שבכל בית מהלוח הראשון מצורף לבן גילו מהלוח האחר הנה יהיה על יחס הדמיון ושתי שלישיות

אח"כ הדמיון ושלשה רביעיות

אח"כ הדמיון וארבעה חמישיות ועל הדרך הזה

וכאשר נבחין סדור מה שבלוח הראשון יהיו על יחס הדמיון ושני חלקים הגמור [א"ב ר"ל שיחס כ"א אל י"ט וי"ט לי"ז וי"ז לט"ו הם יחסי הדמיון ושני חלקים והם גמורים [....]]

וכאשר נבחין סדור מה שבלוח השני יהיו על יחס המוסיף חלק

[א"ב ר"ל שיחס י"א אל י' וי' אל ט' וט' אל ח' הם יחסי הדמיון המוסיף חלק וכן השאר]

וכאשר נניח תמורת הבית השני המתחיל מן הג' בית אחר מתחיל מן הב' וילך על משך המספרים אשר בטבע יהיה יחס הבית הראשון מהשורה הראשונה לבן גילו מן השנית על יחס שני דמיונים והחלק

ולנו שנוציא מזה הלוחות נשאר היחסים הנשארים עם היות שהלוח הראשון [א"ב ר"ל הלוח הגדול הנרשם ל[....] בבתי עשר על עשר [...]] ישתתף לכל היחסי'

2	5
3	7
4	9
5	11
6	13
7	15
8	17
9	19
10	21

ב	ה
ג	ז
ד	ט
ה	יא
ו	יג
ז	טו
ח	יז
ט	יט
י	כא

ויצא אלינו יחס הדמיון והחלק ממה שכבר ידעת מהטור השלישי והשני

ויחס הדמיון ושני חלקים מהטור החמישי והשלישי והוא הדמיון ושתי שלישיות

ומן הטור הששי והרביעי והוא אל הדמיון ושני רביעיות

ומהטור השביעי והחמישי והוא אל הדמיון ושתי חמישיות

ועל הדרך הזה ויצא אלינו מן הלוח הטור השביעי והרביעי בהנחת שני טורים יחס הדמיון ושלשה רביעיות

ומן הטור השמיני והחמישי בהנחת שני טורים יחס הדמיון ושלשה חמישיות

ועל הדרך הזה ויצא אלינו מן הלוח התשיעי והחמישי בהנחת שלשה טורים יחס הדמיון וארבעה חמישיות

ומן הטור העשירי והששי יחס הדמיון וארבעה ששיות

ועל הדרך הזה יצא לנו יחס השני דמיונים וחלק מזה הלוח ג"כ

אם הראשון שבהם והנה הוא יחס השני דמיונין והחצי בהנחת שני טורים מהטור החמישי והטור השני

ואם השני והוא יחס שני דמיונים ושליש הנה מהטור השביעי והשלישי כאשר תניח שלשה

ואם השלישי והוא יחס השני דמיונים ורביע מהטור התשיעי והרביעי כאשר תניח ארבעה

ויצא לנו יחס השני דמיוני' והשני חלקים

אם השני שלישיות הנה מהשמיני והשלישי

והשני רביעיו' מהעשירי והרביעי

ויצא לנו יחס הדמיון ושלשה חלקים ושאר היחסים כאשר נתנהג בדרך אשר כוננו אליה

וכבר רמזו הקדמוני' אל דרך התילד משווי היחסים והביא אל היחסים המתחלפים מהיחסי' הרמוז אליהם

והיא כי איזה מספרים שוים יסודרו מהם שלשה אפשר שיתילדו היחסים כלם מהם בדרך נעשה בהם

והנה יהיה לוח בו שלשה מספרים אח"כ שלשה מספרים אחרים ויהיו שלשה שלשה

4	2	1	1	1	1
8	4	2	2	2	2
9	6	3	3	3	3
16	8	4	4	4	4

ד	ב	א	א	א	א
ח	ד	ב	ב	ב	ב
ט	ו	ג	ג	ג	ג
יו	ח	ד	ד	ד	ד

ויתרבו לבחינה וההרחבה בנסיון

וימשך אליו ברוחב לוח אחר נחלק בחלקיו

ונאמר שאנחנו כאשר נקח הראשון ונניחהו בבית מכל טור ברחב על שהוא ראשון

אח"כ נחבר הראשון והשני ונסדר אותו בבית שני מהלוח השני יהיה מטור האחדים שנים

אח"כ נחבר הראשון והשלישי וכפל השני ונסדר אותו בבית השלישי ממנו ויהיה מטור האחדים ארבעה

אח"כ נשים הבית השני שרש ונחבר ממנו זה החבור ונעתיק אותו אל הבית השלישי זה ההעתק

וילך בהתמדה התוספת הזה באלה הבתים והנה יהיו ארבעה בארך

קרה מזה ראשונה שיהיה יחס כל שלשה מספרים בשורה אחת יחס מתדבק

ויתילדו מהם מהיחסים הדרושים

ראשונה יחסי הכפולים

ונמצא מה שבבית השני על יחסי השני דמיונים

ומה שבבית השלישי על יחסי השלשה כפלים

ומה שבבית הרביעי על יחסי הארבעה כפלים

וילך זה בהתמדה עד אין תכלית

וקרה שהיה מספר מה [שבבית השלישי על יחס המוסיף חצי למה] שבבית השני

ומה שבבית הרביעי על יחס המוסיף שליש למה שבבית השלישי ועל הדרך הזה

ומה שבבית השני מהשורה השנית על יחס ארבעה כפלים למה שבבית הראשון [ר"ל [...] הא' המדרגות החצי]

ומה שבבית השלישי על יחס שני דמיונים ורביע למה שבבית השני

ומה שבבית הרביעי על יחס דמיון ושבעה תשיעיות למה שבבית השלישי לא יהיה זה סדור

וכאשר נרצה להוסיף לציור היחסים האחרים תמורת ציורנו ליחסי הכפלים נהפוך השורה השנית [ר"ל האמצעית] באורך עד שיפול הראשון השלישי בראשון והראשון בשלישי וישאר האמצעי על ענינו

וכאשר נקח לחבר החבור הנזכר מזה המקום בשנקח הראשון אח"כ נעתיקנו ראשונה בשורה השלישית ויהיה ארבעה

אח"כ נחבר הראשון והשני ונעתיק אותו אל השורה השלישית ויהיה ששה

אח"כ נחבר הראשון והשני נעתיק אותו והוא ארבעה והשלישי והוא אחד וכפל השני והוא ארבעה ונעתיק אותו אל הבית השלישי והנה יהיה תשעה

וימשכו מספרי השורה על יחס המוסיף חצי וכבר התילדו מיחס הכפל והם הנקראים יחד על שם השנים

וכאשר נעשה זה המעשה בשורה אשר ברחב אשר ליחס השלשה כפלים יצאו לך שלשה מספרים על יחס המוסיף שליש כי שניהם נקראים בשם השלשה

וכן הענין בטור הרביעי כי הוא יוציא יחסי המוסיף רביעית

וכאשר תהפך הנחת מספרי המוסיף חצי יולד לך יחס הכפל וחצי

ומהמוסיף שליש יחס הכפל ושליש

וכאשר תהפך מספרי המוסיף חלק ותנהג המנהג הידוע יצאו לך שאר היחסים ולא יסורו מלצאת לך קצתם מקצת אל בלתי תכלית עד שיתגלה בתילדות כל אלו מיחס השווי

ובידך שתהפך ותמצא שאר היחסים כלם ישובו אל יחס השווי

המשל בזה שאתה כאשר תניח מספרים ג' על יחס נמשך ותשמור הקטן בעניינו

אח"כ נגרע אותו מן האמצעי ותשים מה שנשאר גבול אמצעי

אח"כ תשליך אותו מהגדול כמו הקטן ודמיון כפל השני האמצעי ותשים מה שנשאר גבול שלישי

תמצא יחס מתדבק

אחר כן תעשה באלה המספרים והגבולים זה הפעל ויצא לך יחס אחר

ועל הדרך הזה עד שיביא אותך אל יחס השווי

דמיון זה שיהיו המספרים ראשונה על יחס שני דמיונים ושתי ואם היה יחס א"ג א"ב יחס המוסיף שליש ויחס א"ד א"ג יחס המוסיף שמינית הנה יחס א"ד א"ב יחס המוסיף חצי

והנה נחלק א"ב לשלישיותיו על ז' וה' ויהיו חלקי א"ז ז"ה ה"ב ב"ג שוים והם ד' חלקים וחצי כל אחד מהם הוא שמינית א"ג והוא שוה לג"ד

והנה יהיה ב"ד שלשה דמיוני ג"ד וא"ב ששה דמיוני ג"ד והוא יחס דמיון וחצי

ויחס ב"ד ד"ג הוא יחס א"ב ב"ג ובתמורה יחס ב"ד א"ב יחס ד"ג ב"ג

וד"ג חצי ב"ג הנה ב"ד חצי א"ב הנה א"ד א"ב יחס דמיון וחצי

וכאשר היה יחס א"ג א"ב יחס דמיון ורביע ויחס א"ד א"ג דמיון וחומש הנה יחס א"ד א"ב יחד דמיון וחצי

לפי שא"ב כאשר יתחלק ברביעיות היה כל חלק כמו ב"ג והיו החלקים חמשה שוים ויהיה ב"ד כמו חצי א"ב

וכאשר היה יחס א"ג א"ב יחס דמיון וחומש ויחס א"ד א"ג יחס דמיון וששית הנה יחס א"ד א"ב יחס דמיון ושתי חמשיות

ויתבאר לך זה כשנחלק א"ב לה' חלקים ונעשה מה שעשינו

ויתבאר לך מזה שיחס המחובר מדמיון וששית ודמיון ושביעית הוא יחס דמיון ושליש

והמחובר מדמיון ושביעית ודמיון והשמינית הוא יחס דמיון ושתי שביעיות

והמחובר מדמיון ושמינית ודמיון ותשיעית הוא יחס דמיון ורביעית

והמחובר מיחס דמיון ותשיעית ודמיון ועשירית הוא יחס דמיון ושתי תשיעיות

והמחובר מדמיון ועשירית ודמיון וחלק מי"א הוא יחס דמיון וחומש

והמחובר מדמיון וחלק מי"א ודמיון וחלק מי"ב הוא יחס שני חלקים מי"א

והמחובר מדמיון וחלק מי"ב ודמיון וחלק מיחס הוא יחס הששית

והמחובר מדמיון וחלק מי"ג ודמיון וחלק מי"ד הוא יחס משני חלקים מי"ג

והמחובר מיחס הדמיון וחלק מי"ד ודמיון וחלק מט"ו הוא יחס דמיון ושביעית

ועל הדרך הזה כל ההמשך

וכאשר היו א"ג א"ב על יחס דמיון וחלק מט"ו וא"ד א"ג על יחס המוסיף רביעית הנה יחס א"ד א"ב דמיון ושליש

וזה לפי שאתה כאשר תחלק א"ב בט"ו חלקים יהיה כל א"ג י"ו חלקים וג"ד רביעיות זה הנה הוא ד' חלקים הנה כל ב"ד ה' חלקים וא"ב [ט]"ו חלקים וכל א"ד ב' חלקים הנה ב"ד שליש א"ב

וכמו זאת ההנהגה הנה הוא כאשר היה א"ג א"ב על יחס המוסיף חצי

ואפשר לך כאשר תלך בזה הדרך שתביא מופת על שאר מה שבמוסיקי מהחבור לפי שהביאור הקודם יספיק לך השתדלות בזה כלו

נשלם המאמר השלישי'

Numbers as Geometric Shapes

כבר רמזנו לך אל ענייני המספר מצד כמותו בעצמו ורמזנו לך אל עניינים מענייני המספר מצד שיש לו איכות חבור מהאחדיות ידמה בו לתמונות השעוריות

כבר ידמו תמונות המספר בחבורים לשעורים

Linear Numbers

ויאמר מספרים קוויים

Plane Numbers

ומספרים שטחיים ומושטחים

Solid Numbers

ומספרים גשמיים ומוגשמים

Linear Numbers

הנה המספרים הקוויים מתחילים הם מהאחד וילכו כפי מנהגם

והמספר הקוי הראשון הוא השנים אח"כ הג' ועל הדרך הזה

Plane Numbers

ואולם המושטחי' הנה הם אשר אפשר שיחובר קצתם אל קצת חבור ידמה קצת השטים הבעל תמונה והמוגשמים

Triangular Numbers

והמושטחים ראשונים הם המספרים המשלשים

והם המספרים אשר כשיסודרו אחדיהם סדור מה ידמו תמונה יקיפו בה שלש צלעות

והראשון שבהם שלשה וצורתם כזה

אח"כ הששה

וצורתם תתחדש מצרוף קו מספריי מוסיף באחד על הקו המספריי אשר הוא כמו שראית שנים נצטרף אל האחד ונתילד המשלש הראשון והנה יהיה שלשה ותהיה הצורה בזה

ועל הדרך הזה כל מה שתצטרף אל זה קו מספריי על סדר המספרים הנמשכים יתחדש משלש יותר גדול

המשל בזה כשתצרף אל זה קו מספריי מארבעה אחדויות יהיה תמונה משלא אחר כזה

והנה הראשון שבמשלשים ג' וצלעו ב'

והמשלש השני ששה וצלעו ג'

והמשלש השלישי י' וצלעו ד'

והמשלש הרביעי ט"ו וצלעו ה'

והנה כל משלש יוסיף על אשר ימשך תחתיו כמו צלע עצמו

ויתחלפו צלעותיהם על סדר המספרים הנמשכים מן האחד עם הא' ואי זה מספר שיתקבץ מזה הנה הוא משלש

וכל משלש הנה צלעו יוסיף על מדרגתו בא'

וכאשר יאמר לך מה הוא צלע המשלש העשירי מראשית המספרים המשלשים יהיה מספר הצלע ומספר המדרגה אחד

ואם יאמר אליך שתאמר שהוא מרבע או מעקב בכח הנה אינו משלש ולא מחומש והלא דבר מאלו לא בכח ולא בפועל אלא בשתוף השם ולא תשגיח למה שיאמרו

וכל משלש הנה הוא חצי הכאת מדרגתו במוסיף ממנו באחד

עד שאם יאמר לך מהו מספר המשלש החמשי בכח הנה תקח חמשה ותכה אותם במוסיף ממנו באחד ויהיו שלשים ותקח חציים והוא חמשה עשר והוא המשלש החמישי

[א"ב ר"ל בכח כי מספר החמשה עשר שהוא מספר המשלש החמישי אינו משלש בפעל עד שיסודרו סדור ידמה לתמונה המשלשת וישים התושבת ה' ועליהם ד' ועל הד' ג' ועל הג' ב' ועל הב' א']

וכל צלע משלש הנה הוא היותר קטן שבשני מספרים נמשכים יוכה אחד מהם באחר ויהיה ממנו כפל משלשו

עד שאם יאמר לך מה הוא צלע חמשה עשר מהמשלשים הנה אנחנו נכפול אותו ויהיה שלשים ונבקש שני מספרים נמשכים אשר מושטחם שלשים ונמצא שהם חמשה וששה ונאמר שצלעו חמשה

Square Numbers

ואחר המספרים המשלשים המספרים המרבעים

והם אשר כבר ידעת אותם והנה הם יתחדשו מקוים מספריים שוים מספרם מספר מה שבאחד מהם מן האחדים

וצלעותיהם על סדר המספרים מתחילים מן האחד

כמו האחד שהוא מרבע האחד

והארבעה שהוא מרבע השנים

והתשעה שהוא מרבע השלשה

והששה עשר שהוא מרבע הארבעה כפי הצורות האלו

והתילדותם מקבוץ הנפרדים הנמשכים עם האחד

כמו השלשה והאחד שהוא ארבעה והוא ראשון המספרים המרבעים

אח"כ האחד והשלשה והחמשה והוא תשעה והוא המספר המרבע השני

אח"כ האחד והשלשה והחמשה והשבעה והוא ששה עשר והוא המספר המרבע השלישי

ומסגלות המרבעים שאתה כאשר תקבץ אותם ממרבע האחד יהיה מקובצם יותר ממרבע האחרון כמו מה שלפניו מן המרבעים

המשל בזה שמקבץ מרבע האחד והשנים יוסיף על מרבע השנים כמו מרבע האחד

ומקובץ מרבעי האחד והשנים והשלשה יוסיף על מרבע השלשה כמו מקבץ שני מרבעי האחד והשנים

וכבר הוציאו להולדת המרבעים דרך יקראוהו רצוא ושוב

והוא שאתה כאשר תתחיל מן האחד ותקבץ מה שתרצה מהמדרגות אח"כ תהיה נוטה יורד ומקבץ הנה מה שיהיה מקובץ זה ההוא מרבע

המשל בזה שיעלה מן האחד אל השנים ויהיו שלשה אח"כ נשוב אל האחד ויהיו ארבעה והוא מרבע ראשון

אחר כן כאשר תקבץ האחד והשנים והשלשה ותצרף אליו השנים והאחד יהיו תשעה והוא מרבע שני

[א"ב ר"ל לפי שהאחד אינו מספר עם היותו מרבע כאשר נזכר למעלה אבל לפי שהאחד הוא הנפרד הראשון יצדק כמו כן אמרנו שמרבע האחד יתילד מדבקותו אל עצמו ואם לא יפול בזה מלת קבוץ]

וכאשר תעלה מן האחד והשנים והשלשה והארבעה מקובץ אח"כ תרד ותקבץ השלשה והשנים והאחד יהיה מקובץ זה ששה עשר והוא המרבע השלישי מן המרבעים המספריים

ושלמות זה הדרך שמקובץ כל המספרים הנמשכים עם מקובץ מה שהוא חסר מהם כמו המדרגה האחרונה הנה הוא מרבע

וגם כן כפל מקובץ כל מספרים נמשכים זולת המספר האחרון הנה הוא מרבע

וכל שני משלשים נמשכים יתקבצו מן האחד והשלשה והששה הנה הוא מרבע וזה גם כן התילדות המרבעים

ויהיה כל מרבע ממשלש במדרגתו ומשלש חסר ממדרגתו באחד

וכל שני מרבעים יוכה צלע אחד מהם באחר ויכפל ויקובץ אל השני מרבעים הנה הכל מרבע

[א"ב מופת זה המשפט מד' ממאמר שני לאקלידס]

כמו הכאת שנים בשלשה כאשר יקובץ כפלו עם ארבעה ותשעה אשר הוא חמשה ועשרים

וכל מרבע יתוסף עליו גדרו פעמים ואחד או יצורף אל דמיונו ודמיון רביעיתו או שלשה דמיוניו או יחוסר ממנו שלשה רביעיותיו הנה מה שיגיע מרבע

[א"ב כמו כפל ב' וא' עם ד' ויגיע ט' או כמו י"ו יצורף לדמיונו י"ו ודמיון רביעיתו ד' ויגיע ל"ו או יצורף אל ד' שלשה דמיוניו והוא י"ב ויגיע י"ו או יחוסר מי"ו שלשה רביעיו שההוא י"ב ויגיע ד']

ואין מרבע שיהיה חציו או כפלו מרבע

ולא יתקבצו מהמרבעים הנמשכים המתחילים מן האחד מרבע כלל

ואין מרבע שיהיה לו שליש מן השלמים

ודע שאחדי המספר הנגדר לא ימלטו אם שיהיו אחד או ארבעה או או חמשה או ששה או תשעה

ואם היה אחד הנה אחדי צלעו אם אחד ואם תשעה

ואם היה ארבעה הנה הם שנים או שמנה

ואם היה חמשה הנה הם חמשה

ואם היה ששה הנה הם ארבעה או ששה

ואם היה תשעה הנה הם שלשה או שבעה

ובחינת המרבעים בדרך אנשי הודו הנה לא ימלט אם שיהיה אחד או ארבעה או שבעה או תשעה והנה לאחד אחד או שמנה ולארבעה שנים או שבעה

[א"ב [...] בבחינה זו פי' במאזניהם]

ולשבעה ארבעה או חמשה

ולתשעה שלשה או ששה או תשעה

Pentagonal Numbers

וימשכו למספרים המרבעים המספרים המחמשים

והראשון שבהם החמשה ויתחברו בזה והוא המחמש הראשון וצלעו שנים

והמחמש השני הוא אשר צלעו המספר השני והוא שלשה ויהיה המחמש המתקבץ ממנו שנים עשר כזה

והמספר השלישי והוא ארבעה הנה המחומש המתקבץ ממנו הוא שנים ועשרים כזה

[א"ב סבת זה כי לא יצאו אחדים באחרות כי אם מהכאת אחדי' באחדים כי מהכאת עשרות או מאות ושאר המדרגות לא יצאו אחדים וקרה שמהכאת האחדים עד ט' בעצמם היו האחדים הנשארים א'ד"ב ו"ט והנה תמצא שמהכאת האמצעי אשר במדרגת האחדי' שהוא ה' בעצמו נשאר ה' אח"כ הנשאר מהפאות הרחוקות מהאמצעי מרחק שוה הנה ישוו אחדי גדריהם כי אחדי פ"א שהוא מרבע ט' ישוה לאחד שהוא אחד גדר א' וט' וא' רחוקים בשוה מן החמשה וכן אחדי ס"ד וד' למספרי ח' וב' ואחדי מ"ט וט' למספרי ז' וג' ואחדי ל"ו וי"ו למספרי ו' וד' א]

והרביעי והחמשי והששי והשביעי סדור צלעותיהם על סדור המספרים הנמשכים

והתילדותם מקבוץ המספרים העודפים בשלשה שלשה מתחילים מן האחד

כמו מספרי א'ד'ז'י' י"ג י"ו י"ט כ"ב עם האחד

כי האחד עם הארבעה חמשה והוא המחמש הראשון

והאחד עם הארבעה והשבעה שנים עשר והוא המחמש השני

והאחד עם הארבעה והשבעה והעשרה שנים ועשרים והנה זה המחמש השלישי

וכבר יולדו מקבוץ המרבעים עם המשלשים רצוני קבוץ המרבע אשר במדרגתו עם המשלש אשר הוא למטה ממדרגתו

כמו שתמצא כי מקבוץ המרבע השני שהוא תשעה עם המשלש הראשון שהוא שלשה יולד שנים עשר המחמש השני

והנה לכל התמונות השעוריות תמצא סגלה כזאת

כי הנה המשושה יתחדש מקבוץ המחמש אשר במדרגתו עם המשלש אשר הוא למטה ממנו במדרגה

כמו המששה השני שהוא חמשה עשר אשר נולד משנים עשר המחמש השני עם שלשה המשלש הראשון

וכן המשבע השני שהוא שמנה עשר יתחדש מהמששה השני שהוא חמשה עשר ומשלשה המשלש הראשון ועל הדרך הזה

וכבר יולדו המחמשים בלקיחת המרבעים אשר במדרגתם וכפי מספר המדרגות כל כך פעמים נוסיף על המרבע ההוא מספר חצי צלעו

דמיון זה לקחנו ארבעה המרבע הראשון והוספנו עליו חצי צלעו ועלה חמשה המחמש הראשון

ולקחנו תשעה המרבע השני וקבצנו עמו שני פעמים חצי צלעו ועלה שנים עשר המחמש השני

ולקחנו ששה עשר המרבע השלישי והוספנו עליו שלשה פעמים חצי צלעו ועלה שנים ועשרים המחמש השלישי

וכן הסגלה הזאת דבקה לכל התמונות השעוריות

אמנם למשושה תמורת חצי צלע נקח צלע

ולמשבע תמורת זה צלע וחצי

ולמשמן שתי צלעות

וכן תמיד בתוספת חצי צלע חצי צלע אח"כ בהכפלת המגיע במספר המדרגות

משל זה לקחנו ארבעה המרבע הראשון וקבצנו עמו צלעו פעם ועלה ששה המששה הראשון

לקחנו תשעה המרבע השני וקבצנו עמו צלעו שתי פעמים ועלה חמשה עשר המששה השני

עוד לקחנו ארבע המרבע הראשון וקבצנו עמו צלעו וחצי צלעו פעם ועלה שבעה המטבע הראשון

לקחנו תשעה המרבע השני ועמו קבצנו שני פעמים צלעו וחצי צלעו ועלה שנים עשר המשבע השני ועל הדרך הזה כלם

וכבר התחברו אלה כלם מהמשלשי'

וכמו שהמרבע יתרכב משני משלשים

כמו כן המחמש יתרכב משלשה

והמששה מארבעה

והמשבע מחמשה על דרך דומה לדרך חבור המרבעים

ויהיה דרך משל המחמש השני שהוא י"ב מרכב מהמשלש הראשון שתי פעמים והמשלש השני פעם

והמחמש השלישי מהמשלש השני שתי פעמים והמשלש השלישי פעם

וכן המששה השני שהוא ט"ו מורכב מהמחמש השני המורכב משלשה משלשי' ומהמשלש הראשון אשר למטה ממנו

ואפשר לומר לפי זה שיהיה האחד ג"כ כן במדרגת משלש

וזה כי המחמש הראשון הוא מורכב מארבעה ואחד

וכל מרבע שעוריי יתחלק לשני משלשים ולזה מן הנכון שיהיה האחד כמו כן במקום משלש אחד

וכל מששה משלש ולא יתהפך

כי הנה הששה מששה ראשון הוא המשלש השני

וט"ו המששה השני הוא המשלש הרביעי

וכ"ח המששה השלישי הוא המשלש הששי

ואין כל משלש מששה כמו ג' י' וכ"א שהם משלשים ואינם מששים

וכל משלש מספרו זוג הנה אין שתוף בינו ובין המששה

וכאשר תרצה שתמצא מדרגת המשלש מהמששה הנה תגרע האחר מכפל מספר מדרגת המששה והפוכו שתוסיף אחד על מספר מדרגת המשלש ותקח חציו

[א"ב ר"ל מספר מדרגתו זוג בהתחיל מן האחד כמו ג' וי' שאינם מששים]

וכל מספר מחמש הנה הוא חצי מה שיתקבץ מהכאת מספר חסר ממדרגתו באחד בתוספת אשר בין המספרים אשר יתילדו מהם והוא שלשה נוסף עליו מה שבין שני מספרים מזה והוא שנים מוכה במספר מדרגתו מהמחמשים המספריים

[א"ב [...] שתמצא ט"ו שהוא המששה השלישי הנה הוא המשלש החמישי וזה בהתחיל מן האחד]

המשל בזה כאשר תרצה שתדע המחמש הרביעי תכה שלשה בשלשה ויהיו תשעה ותוסיף עליהם שנים ויהיו אחד עשר תכה אותם בארבעה ויהיו ארבעים וארבעה תקח חצים ויהיו שנים ועשרים והוא המחמש הרביעי

[א"ב הם מספרי א'ד'ז'י' הנזכרי' למעלה שהתוספת ג' ג' [...] שני מספרי א'ד' או ה'ז' או ז'י' הוא שנים על משך המספרי' הטבעיי']

וגם כן כי כל מחמש הנה הוא כמו הכאת מספר מדרגתו נמנית מן האחד בעצמו נוסף עליו חצי צלעו בתוספת מדרגתו במחמשים המספריים

[א"ב ר"ל נוסף על[...] חצי צלעו במדרגתו מן המחמשים]

המשל בזה בשאלה הנזכרת שנכה ארבעה בארבעה לפי שהוא במדרגה הרביעית מן האחד ויהיו ששה עשר ותוסיף עליו חצי צלעו והוא שנים ושלשה מדרגות ויהיו שנים ועשרים ואחר

[א"ב [...] בשלשה מדרגות ר"ל [...] חצי הצלע והוא שנים בשלשה [...] עם ששה עשר שנים ועשרים]

ואחר המחמשים המששים

ויתחברו מקבוץ המספרים העודפים בארבעה ארבעה כמו א'ה'ט' י"ג י"ז כ"א על הקש מה שנאמר במחמשים

אח"כ המשבעים

ויתחברו מקבוץ המספרים העודפים בחמשה חמשה וכן תקיש בכלם

ונאמר שכל שטח אחר המשלש כאשר יחובר עם המשלש יתחדש השטח אשר ימשך לזה השטח במספר הצלעות

מו המשלש הראשון והוא שלשה כשיתחבר עם המרבע השני יהיה מחמש

וכאשר יתחבר עם המחמש השני והוא שנים עשר יהיה מששה והוא החמשה עשר ועל זה הדרך

ומותר כל שטח על אשר לפניו וכבר נזדמן זה ולא יתהפך

וכל מספר שלם הנה הוא לפניו מששה או משלש

ועוד יהיה מזה דרך נגיע בו אל הוצאת מדרגות המספרים השלמים גם כן

כי כאשר יאמר לך המספר השלם הראשון מאיזה מהמשלשים או מהמששים הוא

הנה תעיין אל הסדור אשר ידעת אותו בזה האחד בפרט ותמצא הראשון שבזוגי הזוגות יבחן בו הסדור הידוע ארבעה וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר שלשה מספר ראשון ונכון הוא לפעלתך

ותקח חציו והוא ב שנים ותאמר שהוא המששה השני והמשלש השלישי וימשך אל הארבעה שמנה ותמצא השבעה כמו זה מספר ראשון ויתכן למבוקשך

ותחלק לחציים השמנה ויהיה ארבעה ותאמר שהוא המששה הרביעי והמשלש השביעי וימשך לשמנה ששה עשר וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר מורכב והנה איננו נכון לפעלתך

וימשך אל הששה עשר שנים ושלשים וכאשר תגרע ממנו אחד ישאר ראשון והוא נכון לפעלתך

ותקח חציו והוא ששה עשר והנה תאמר המששה הששה עשר והמשלש האחד ושלשים ועל זה ההקש

ראה צורה נפלאה יתבאר ממנה שכל התמונות מתילדי' מהמשלש ונתכים אליו

d e c a g o n	n o n a g o n	o c t a g o n	h e p t a g o n	h e x a g o n	p e n t a g o n	s q u a r e	t r I a n g l e
10	9	8	7	6	5	4	3
27	24	21	18	15	12	9	6
52	46	40	34	28	22	16	10
85	75	65	54	45	35	25	15
126	111	96	81	66	51	36	21
175	154	133	112	91	70	49	28
232	204	176	148	120	92	64	36
297	261	225	189	153	117	81	45
370	325	280	235	190	145	100	55

מעשרים	מתשעים	משמנים	משבעים	מששים	מחמשים	מרבעים	משלשים
י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג
כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו
נב	מו	מ	לד	כח	כב	יו	י
פה	עה	סה	נה	מה	לה	כה	טו
קכו	קיא	צו	פא	סו	נא	לו	כא
קעה	קנד	קלג	קיב	צא	ע	מט	כח
רלב	רד	קעו	קמח	קכ	צב	סד	לו
רצז	רסא	רכה	קפט	קנג	קיז	פא	מה
שע	שכה	רפ	רלה	קצ	קמה	ק	נה

וזה שאתה כשהתחלת מן האחד ראשון המשלשים בכח וצרפת אותו אל השלשה ראשון המשלשים בפעל נתילד מהם ארבעה ראשון המרבעים בפעל

וכאשר צרפת ג' עם ו' הנמשך לו נתילד מהם ט' המרבע השני וכן תמיד

אח"כ כשתשב אל האחד ראשון המשלשי' בכח וצרפתהו עם ד' ישוב ה' מחמש ראשון בפעל

ובצרוף ג' לט' יתילד י"ב מחמש שני

ומו' וי"ו מחמש שלישי

וכשתשוב לאחד ותצרפהו עם ה' יוליד מששה ראשון בפעל

וג' עם י"ב יוליד מששה שני וכן תמיד

Solid Numbers

ונדבר עתה במספרים המוגשמים

Pyramids with Sharp Apex

והראשונים שבהם המחדדים

והמחדדים והם הנודעים במתלהבים הם אשר יתחילו מתושבת מרוחת אח"כ לא יסורו מלצמוח עד שיגיעו אל קצה הגבול מן החדות אל האחד

Pyramid with a Triangular Base

והראשון שבהם אשר תושבתו משלשת

והראשון מאלו הם הארבעה והנה הם המספר הראשון אשר הוא קויי ושטחיי ומגשם ויתילד מחבור המשלשים על המשכם

הדרכה לחסרים מהם על המוסיף עד שיכלו אל האחד אח"כ אשר תושבתם ארבעה ויתילדו ומחבור המרבעים על זה התאר ועל הדרך הזה אשר תושבתם מחמשת ואשר תושבתם משששת

וכל מספר מושטח יתרכבו ממנו יקרא ואשר יחסר מצדו יקרא

והתילדותם

אם אשר תושבתו משלש

הנה כאשר יצורף אל האחד המשלש הראשון ויהיו ארבעה והנה הוא המחדד הראשון

וכאשר יצורף עם אלו עוד המשלש השני ויהיו עשרה יעלה המחדד השני מזה המין

Pyramid with a Square Base

ואמנם אשר תושבתם מרבע

הנה הראשון שבהם מן האחד והמרבע הראשון

והשני אליו מן האחד והמרבע הראשון והמרבע השני

ואשר תושבתם מחמש ומששה וזולת זה הנה הם על זה ההקש

ואמנם ענין ההוויות והצלעות ומספרם הנה הוא על הקש התמונות בעלות הגודל

והמתגורר גם כן מהתמונות המספריות המוגשמות

והוא מהכפלת המשלשים ודבקות קצתם בקצת

והששה המגורר הראשון שיתילד מן המשלש הראשון לו שלשה צלעות כל צלע בעל ארבעה ושתי צלעות כל צלע משלש אמנם הצלעות במספרם

ואמנם התמונות המגשמות אשר יקיפו בהם ששה שטחים

הנה לא ימלטו אם שיהיו ארכם ורחבם ועמקם שוים ויהיו כמו עשר בעשר אח"כ בעשר ויקרא מעקב

ואם שיהיו שני קטרים מהם שוים וקטר מתחלף

Bricks

וכאשר יהיה הקטר המתחלף יותר קטן יקרא לבניי

Beams

וכאשר יהיה יותר גדול יקרא עמודיי

Circular Number

אם יהיה מושטחו הקטן עגלה יקרא מעגל

כמו חמשה בחמשה אח"כ ביותר מחמשה

באשר היה שיהיו השלשה מתחלפים הנה יקרא כפי זאת הצורה

ודמיון הלבניי ארבעה בארבעה אח"כ בשלשה

ודמיון העמודיי הארבעה בארבעה אח"כ בחמשה

ודמיון שלשה בארבעה בחמשה או בשמנה

ומנהגם שיקראו המספר אשר ישוב כשהוכה בעצמו בעצמו אח"כ מה שנתקבץ כעצמו ועל הדרך הזה מספר עגול כמו בס' החמשה והששה

כי החמשה בעצמו חמשה ועשרים אח"כ בחמשה מאה ועשרים וחמשה

והששה בעצמו ששה ושלשים אח"כ בששה מאתים וששה עשר

יש מן האנשים מי שיקראו משטחו עגלה ומעוגל ומעקבו כדור וכדוריי

Cube Numbers

ואשר ראוי שנחקור מעניני המעקב וכבר נודע ממנו כלל בספר היסודות

ומסגלות המעקב שעקב כל מספר כאשר הוכה באשר ימשך אליו אח"כ באשר לפניו אח"כ יתוסף אשר לפניו על מה שיתקבץ יהיה שוה לו

[וא"ב המשל בזה שנרצה לדעת מעקב ג' הנה נכה ג' בד' ויהיה י"ב ונכה י"ב בשנים ויהיו כ"ד נוסיף עליו ג' ויהיה כ"ז יהיה שוה למעקבו יירצה [....] אח"כ יתוסף אשר לפניו אשר ל[..] אשר ימשך אליו]

אמנם התילדותם הנה כאשר יסודרו הנפרדים הנמשכים מתחילים מן האחד ואח"כ יקובצו כפי המדרגה הנה יתילדו המעקבים על המשכם

המשל בזה שיסודרו אחד שלשה חמשה שבעה תשעה אחד עשר שנים שלשה עשר

הנה האחד מעקב

ואחריו השלשה והוא במדרגה השנית הנה יחויב שתקבץ שתי מדרגות ותקבץ השלשה והחמשה והנה זה שמנה והוא מעקב

ואחריהם השבעה והוא במדרגה השלישית והנה יחויב שתקבץ שלשה מדרגות והנה יהיו שבעה תשעה אחד עשר וכלל זה שבעה ועשרים והוא המעקב השלישי ועל זה המנהג

וכאשר תרצה לדעת הנפרד הראשון שנתרכב ממנו המעקב הידוע הנה תקח מספר מדרגת המעקב מהמספר הראשון שבמעקבים והנה יהיה זה חסר מן הראשון באחד

ויהיה דמיון שני אלו במעקב השלישי אם הראשון הנה הוא שלשה ואם השני הנה הוא שנים ותגרע השני ממרבע הראשון כמו שתגרע הנה השנים מתשעה והנה הוא הנפרד הראשון אשר ממנו חבור המעקב השלישי וזה הוא שבעה

אח"כ תוסיף אותו עליו והנה יהיה אחד עשר והוא הנפרד האחרון אשר ממנו הרכבתו ונתרכב מהם וממה שביניהם

[א"ב משל זה נרצה לדעת המספר הנפרד הראשון שנתרכב ממנו המעקב השלישי שהוא כ"ז הנה תקח מספר מדרגת המעקב הזה מהמספר הראשון שבמעקבים ויהיה בו מהחסר ממספר מהמדרגות הראשון שהיה ג' באחד כי כשנתחיל למנות מן האחד יהיו שלשה וכשנתחיל מראשון המספרים המעקבים יהיו שנים וכן תמיד ונגרע ג' שהוא מספר המדרגות השני ממרבע ג' שהוא מספר המדרגות השלישי והוא ט' בס' וישארו ז' והוא הנפרד הראשון אשר ממנו חבור מעקב כ"ז אח"כ נוסיף ב' על המרבע הנזכר ויהיו י"א והוא המספר האחרון משני אלו ממה שביניהם נתרכב כ"ז]

והארבעה והחמשה והששה והתשעה חוזרים במעקביהם תמיד אחדים והנה יהיה זה הוראה על אחדי העקב כמו ארבעה בארבעה אח"כ בארבעה ויהיו ארבעה וששים והתשעה בתשעה אח"כ בתשעה והוא שבע מאות ותשעה ועשרים אמנם עקב השנים הנה הוא בשמנה תמיד

ועקב השמנה הנה הוא בשנים תמיד

ועקב השבעה בשלשה

ועקב השלשה בשבעה תמיד

והכאת המעקב במעקב וחלוקתו עליו מעקב

והכאת מרבע שני מספרים במרבע מספר אחד יחסים יחס שני מעקבים

החלוק בין שני מעקבים הנמשכים הנה הוא הכאת היותר קטן שבשני המעקבים במספר אשר ימשך אליו ויוסיף עליו באחד כן בשלשה אחר כן תוסיף עליו אחד

[א"ב ר"ל המספר אשר ימשך אליו והוא הוא המוסיף עליו באחד]

וכל מעקב יוסר ממנו עקבו הנה יהיה לנשאר שתות שלם

וכל מעקב זולת אחד הנה ימנה אותו עקבו זולת אחד

וכל מעקב הנה חציו וכפלו בלתי מעקב

וכל מעקב יחובר אליו האחד והכאת המשלש אשר במדרגתו בששה תמיד הנה הוא המעקב אשר ימשך אליו והנה אפשר שיתילדו מאלו המעקבים

ומסגלות המעקבים שבחינתם אשר כפי מעשה המספר אשר לאנשי הודו יהיה אם אחד ואם שמנה ואם תשעה

ואם היה אחד הנה אחדי הצלעות אחד או ארבעה או שבעה

ואם היה שמנה הנה הוא שמנה או שנים או חמשה

ואם היה תשעה הנה הוא שלשה או ששה או תשעה שבעה

וכבר יתחלקו בעלי הצלעות מהמספר

ויאמר שמהם מה שהוא הוא הוא הארך [ר"ל הוא הארך שמספר הצלעות שוה והם המרבעים]

Heteromecic Number

ומהם מה שהוא זולתיי הארך

ומהם מה שהוא נבדל הארך והנה הוא אשר ההתחלפות בין ארכו ורחבו במה שהוא למעלה מאחד יהיה איך שיהיה

ומנהג המדברים במלאכת המספר שיביאו בזה המקום ובמה שירוץ מרוצתו דבור יוצא ממנהג אנשי במופת ודומה הרבה למאמר ההלציים והשיריים ונברח מזה ונוכיח עליו בקריאתם הזולתיי הארך בזולתיי הארך וידמה שיהיה הזולתיות הראשון שיפול בין המספר והמספר הוא באחד ויהיה הוא שרש ההתחלפות והתחלתו כמו שהוא שרש המספר עצמו

ויהיו המספרי' הזולתיים הארך הם המשתנים באחד

והשטחים הזולתיים הם אשר יקיפו בהם שתי צלעות זולתיות

וכאשר נרשום לוח יסודרו בו הנפרדים על המשכם מתחילים מן האחד בשורה אחת

והזוגות על המשכם מתחילים מן השנים בשורה אחרת

הנה יולדו מקבוץ הנפרדים כפי מה שידעתו אותו המספרים המרבעים

ויולדו מקבוץ הזוגות המספרים הזולתיים הארך

ויתילדו מן הנפרדים המרבעים ההויים

ומן הזוגות הזולתיים כפי החיוב

ויתחילו הפיתגוריים מזה המקום בדרך אין שלמות לו

וכאשר תקבץ המרבעים פעם שנית בשורה יראה משכונת שתי השורות ענינים וסגלות

ומהם שאתה תמצא ראשון הזולתיים על יחס הכפל מראשון המרבעים והוא המוסיף דמיון

והשני אצל השני על יחס המוסיף חצי

והשלישי אצל השלישי על יחס המוסיף שליש

ועל הדרך הזה כלם על דרך המספרים והמדרגות

המשל בזה שהוא לרביעי רובע

ולחמישי חומש

ותמצא ההעדף על יחס המספרים הטבעיים כי הנה העדף המדרגה הראשונה אחד והעדף המדרגה השנית שנים ועל הדרך הזה

וכאשר ישמט האחד ויהיה הנכחיות בין מה שהוא מספר יבא היחס כמו זה

ואמנם התוספת מצד מה שהיה ממנו החסרון

יהיה הארבעה לשנים על יחס הכפל

והתשעה לששה על יחס המוסיף חצי

והששה עשר לשנים עשר על יחס המוסיף שליש

ועל הדרך הזה ויהיה החלוף על יחס המספרים הטבעיים מתחילים מן השנים

אח"כ כאשר תסדר ראשון הזולתיים אחר המרבע הראשון מתחיל מן האחד והשני להם אחר המרבע השני הנה יבא זה היחס בעצמו מחבר

ויהיה יחס השנים אל האחד כיחס הארבעה אל השנים

ויהיה יחס הששה אל הארבעה כיחס התשעה אל הששה והוא יחס המוסיף חצי

וכבר יסודרו תמיד ותהיינה יונחו השתי קצוות מבלי יחס מספרי כשיקובץ עם כפל האמצעי מרבע

אח"כ כשתקבץ השתי שורות על סדורם

ותתחיל הנפרדים מן האחד יתילדו מהם המספרים המשלשים על סדורם

ותמצא כל בעל צלע כאשר יחוסר ממנו צלעו יתילד הזולתי אשר הוא בשכונתו מצד החסרון

וכאשר תוסיף עליו צלעו יתילד הזולתיי אשר הוא בשכונתו מצד התוספת

וכאשר תגיע צלע המעקב ממנו [.] כמו שורה אחת ישאר צלעותיו ממנו

וכאשר תקח מושטח בין שני מרבעים תמצא המרבע הראשון יקח ממנו יחס והמרבע השני יחס אחר אמנם ישובו אל היחסים הנמשכים מתחילים מן הכפל אח"כ הדמיון והחצי

ועל הדרך הזה אמרו הנה הנפרדים יתנו סבת ההוא הוא ולקח ה[...] ולכן יתילדו מהם המרבעים והמעקבים וימצאו במדרגות הנפרדי' מרבע ולא ימצאו במדרגות הזוגות כלל

נשלם המאמר השלישי מן אלארתמיטיקי שבח לאל

Proportions

וכבר פשט המנהג לזכור בזה המקום היחסים ומיניהם וסגלותיהם

ומן האנשים מי שיחדש להתיחסויות פנים רבים ויגיעו בהם אל עשרים פנים

ומהם שנסתפקו על עשרה והוא המועתק מהקדמון

ומכונתי שאסתפק בזכר אלו העשרה ועם ההסתפקות בהם לא תטה נפשי אל הבאת כל מה שהביאוהו וזכרון כל מה שאמרו אותו כי זה ממה שאין שלמות לו

ואתה ראוי שתדע שאלו ההתיחסויות הנבחני' ורוב הגעתם במה שיש ביניהם ההתחלפות והענינים המתחלפים אשר ירוץ התחלפותם על סדר אחד

אם מתדבק כמו יחס א' אל ב' כמו ב' אל ג'

או מתחלק כמו יחס א' אל ב' כמו ג' אל ד'

אם שיהיה התדמותם והתיחדות סדורם בכמות נפשם

או כמותם אצל זולתם

וזה הוא השרש והנבחן

והתדמות חלוף המספרים בכמות נפשם

הוא כמו שיהיה תוספת זה על זה שוה לתוספת הרביעי השלישי על הרביעי כמו תוספת הששה על הארבעה והעשרה על השמנה או הארבעה על השנים

ואלו הם ההתיחסויות המספריים

והדמות חלופי המספרים בכמותם אצל זולתם

הרי הוא כמו שיהיה כמות תוספת זה על זה כמו כמות זה השלישי על הרביעי או יהיה כמות זה המתחלף אצל המתחלף אליו אחר כמו ענין הארבעה אצל השנים בהתחלפות הוא כמו ענין העשרה אצל הששה

וזה הוא ההתיחסות התשברתיי

ושני אלו באמתות שני שרשים אמנם כאשר יבחן אי ענין חלוף הכמות הצרופיי בחלוף הכמות המספריי בהתיחסות המספריי וענין חלוף הכמות הצרופיי נמצאו מתחלפות והנה לא ימצא הנה הסכמה כלל

המשל בזה שנניח יחס תשברתיי כמו ארבעה ששה תשעה והנה הכמות המצטרף בהם מתדמה והכמות אשר למספר בעצמו בלתי מתדמה כי החלוף באחד מהם שנים ובאחר שלשה

והנה נניח יחס מספריי כמו ארבעה וששה ושמנה ותמצא חלוף הכמו' בעצמו שוה וחלוף הכמות בהקש בלתי מתדמה אבל יהיה ששה לארבעה מוסיף חצי ושמנה לששה אינו מוסיף כי אם בשליש

וימצאו שני היחסים תמיד נמשכים אבל היחס הגדול מהם בין שני המספרים היותר קטנים והקטן מהם בין שני המספרים היותר גדולים

ויחסם מזה הענין אחד והוא שתבקש מספרים חבורם חבור ישים השני יחסים אשר ביניהם נמשכים וישים הגדול בין הגדולים והקטן בין הקטנים

והנה ימצא יחס אחד על זה התאר כמו יחס מה שבין הששה והארבעה והשלשה ויקרא חבוריי

לפי שהתועלת בהשגחת אמצעי זה ההתיחסות אמנם יפול במלאכת החבור והוא המוסיקי כפי מה שתדעהו במקומו

וכבר יעבר שיהיה נקרא חבוריי לפי שיחס הקצוות מחובר מיחס המותרות כפי מה שתדע

ויתחיב לו סגלה שיחס מותר הגדול על האמצעי אל מותר האמצעי על הקטן הוא יחס הקצה הגדול אל הקטן

כמו יחס השנים והוא מותר הששה על הארבעה אל אחד אשר הוא מותר השלשה על השנים

אח"כ הם התבוננו מזאת הסגולה אשר נתחיבה לזה היחס לבחינת התיחסויות מותר הגבולים המתיחסים והלכו בהדרגה מהם אל התיחסויות ואמצעים אחרים אמנם יועילו מצד השלמות חלוקת היחס או רבויו

ונתחיל בהתיחסות התיחסות ואמצעי אמצעי ונאמר בהם דבור קצר על דרך העברה

אם האמצעי התשברתיי הנה אמנם יהיה גדר שרש הכאת הקצוות והנה יהיה גדר מה שיתקבץ משתי הקצוות אחד מהם באחר

וכבר ידעת זה ממקום אחר וידעת כי כשהיה תמורת האמצעי שני אמצעיים הנה הכאת אחד מהם באחר כהכאת אחת משתי הקצוות באחרת

וזה יורה אליך אל דרישת האמצעי

וידעת כי בזאת החקירה שאלו ההתיחסויות התשברתיות יתחברו שלשה שלשה בהדרגת הזולתיים הנמשכים עם המרבעים הנמשכי'

וכבר ידעת גם כן ממקומות אחרים שכל שני מרבעים אפשר שיפלו הודעת אלו הענינים

אמנם ההתיחסות והאמצעי המספרי באחד או בעשרה והנה שם תמצא אותם מתדבקים באמצעי זה ממה שכבר קדם לך

וידעת ענין המשך היחס וכפילת היחס שלהם והוא שילקח חצי מקבץ השתי קצוות כפי מה שידעת ממרבע האמצעי בכמו מרבע המותר

כמו שהכאת השנים בששה הוא השנים בעצמו

אמנם ההתיחסות והאמצעי החבוריי כבר ידעת התנגדותם למספרי במה שימצא ההתנגדות בהם

והוצאת האמצעי בשנכה החלוף אשר בין הגדול והקטן בקטן ונחלק על מקובצם ונוסיף אותו על הקטן ויצא האמצעי

כמו שיהיה תשעה ותחלק על מקובץ השלשה והתשעה והששה והנה יצא אחד ותוסיף אותו על השלשה ויהיו ארבעה

וכאשר יהיה אצלך האמצעי והגדול ותרצה שתמצא הקטן תעיין אל מותר מה שביניהם כמה הוא מן האמצעי כשנחלק עליו האמצעי פעם אחרת והנה מה שיצא נגרע אותו מן האמצעי

וכאשר יהיו הקטן והאמצעי ידועים אצלך ותרצה הגדול תחלק האמצעי על המותר ותגרע ממנו אח"כ תחלק עליו ומה שיצא תוסיף אותו על האמצעי

ומסגלות זה ההתיחסות שהכאת מקובץ השני קצוות באמצעי כמו כפל אחת הפאות באחרת

וג"כ הנה הכאת האמצעי בגדול כמו כפל האמצעי בקטן בשעור הכפלת אחת משתי הקצוות אל האחרת

וכבר חשבו אנשים שזה היחס אמנם נקרא חבוריי לפי שמותרותיו שחלוקותיו אינם בגבולים לבדם ולא במותרות לבדם אבל קצת בזה וקצת בזה וכאלו נפל בזה חבור וזה טורח

וכבר אמרו מה שהוא יותר חזק הטרח מזה

אמנם ההתיחסויות אשר אחר אלו הנה מהם שלשה נודעו ראשונה ומהם ארבעה נודעו שנית ומהם התיחסויות אין מכונתנו שנשגיח אליהם

ואלו הארבעה יודעו בשלישי והרביעי והחמישי והששי

ויקרא הרביעי המתנגד לפי שהוא מנגד לחבוריי באשר הוא הושם בצד

והנה יחס מותר האמצעי על הקטן ומותר הגדול על האמצעי כיחס הגדול אל הקטן

כמו חמשה עשר ושמנה וששה

והוצאתם בהכאת המותר שבין שתי הקצוות הקטנו' בקטן והחלוקה על מקובצם והכפלת מה שיצא מן הגדול הנה הוא האמצעי סגלותיו שהכאת הגדול באמצעי כפל הכאת באמצעי התיחסות

והאמצעי החמישי שיהיה האמצעי אצל הקטן כמו מותר השני קטנים אצל מותר השני גדולים

ומספרם כאלו נגזר בזה התשברתיי

ודרישת זה האמצעי שתוסיף הקטן על הגדול ותחלק מה שיתקבץ חלוקה תהיה הכאת אחד מהם באחר כהכאת הנשאר מהגדול אחר השלכת הקטן ממנו בקטן וזה נקל למי שידע היחס

ואם אפשר זה זה ואם לא הנה השאלה בטלה

ומה שיצא יחוסר הקטן מהגדול ממנו ומה שנשאר הנה הוא האמצעי

ומסגלותיו שהכאת הגדול באמצעי כפל הכאת הגדול בקטן

ומזה שהאמצעי מהם בהתיחסות הכפליי נגדר לעולם וגדרו הקטן

והקצה הגדול קטן ממקבץ הנשארים באחד

הששי שיהיה הגדול אצל האמצעי כמו מותר השני קטנים

ודמיון זה והוצאת האמצעי כשנחסר הקטן מן הגדול כמה שיצטרך שיתוסף על הגדול והתוספת עד שיהיה הכאת זה בכל המקובץ מן השרש והשני תוספת כמו המושטח אשר שמר והנה מקובץ השני תוספות הוא האמצעי

ואם נשבר הנה השאלה בטלה

וג"כ הנה אתה כאשר תגרע ותכפול גדרו ותגרע ממנו המוכה ראשונה בעצמו ומה שנשאר תוסיף אותו על הקטן

וכבר יחויב לו מן הסגלות שההתיחסות כשהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה האמצעי נגדר

וכאשר יצטרף אליו גדרו יהיה מקבצו הקצה הגדול והקצה הקטן קטן ממנו

אמנם הארבעה אשר ידעת באחרונה הנה הראשון שבהם הוא השביעית שיהיה יחס המותר בין השתי קצוות אל המותר בין שני הקטנים כיחס הגדול אצל הקטן

המשל בזה הששה והשמנה והתשעה

והוצאת האמצעי שלו בהכאת הקטן במותר אשר בינו ובין הגדול וחלוקת המתקבץ על הגדול ותוספת היוצא על הקטן ומה שהגיע הנה הוא האמצעי

והשמיני שיהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר שתי הקצוות אל מותר השני גדולים

המשל בזה ששה שבעה תשעה והוא הפך השביעית

והוצאת האמצעי שלו הפך הוצאת זה האמצעי וזה בהכאת הקטן במותר אשר בין שתי הקצוות וחלוקת היוצא על הגדול ומה שיצא נגרע אותו מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי

התשיעי שיהיה יחס מותר הקצוות אל מותר השני קטנים יחס האמצעי אל הקטן

כמו הוצאת האמצעי שלו כשנגרע הקטן מהגדול ונחלק השני חלוקה תהיה אחד החלקים אל האחר כיחס האחר אל הקטן אם אפשר ונפיל החלק הראשון מהגדול ומה שישאר הנה הוא האמצעי

ובידך שתקבץ הכאת המותר בקטן אל מרבע חצי הקטן ותקח גדרו ותוסיפהו על חצי הקטן וזה ההתיחסות כאשר יהיה על יחס הדמיון והחלק יהיה הקצה הקטן מרבע תמיד

והתיחסות והאמצעי העשירי שיהיה יחס מותר השתי קצוות אל מותר השני גדולים

כמו יחס האמצעי שלו שתקח מותר מה שבין הקצוות מוכה בקטן מחוסר ממרבע חצי הגדול ותקח גדר זה תוסיפהו על חצי הגדול אלו צריכים בשתי קצוות עם התשברתיי תמיד ולא עם השביעי והשמיני ולא עם החבוריית אל שיהיה הגדול הפך הקטן כמו הרביעי אלא שיהיה הגדול גם כן הפך הקטן והתשבריית לא השמיני ימצאו עם החבוריים ולא עם הרביעי ולא עם השביעי ולא עם השמיני ולא עם התשיעי

וכאשר הונחו לנו השמנים והעשרים שני גבולים

יהיו החמשים ביניהם אמצעי מספריי

וארבעים אמצעי תשברתיי

ושנים ושלשים אמצעי חבוריי

ושמנה וששים אמצעי רביעי

וחמשה ושלשים אמצעי שביעי

וחמשה וששים אמצעי שמיני

וכבר הוצאו החמישי והששי והתשיעי והעשירי והנה נניח ראשון גבולי ההתיחסות החמישי והם

וכאשר חוסר מהקטן אחד ונוסף על הגדול היו והוא ההתיחסות הששי

וכאשר נוסף על כל גבול שנים עד שיהיו יצא ההתיחסות התשיעי

וכאשר מן האמצעי אחר זה מה שאמרנוהו בחכמת הארתמיטיקי

וכבר הנחנו ענינים היה המנהג לחברם בזה המקום יוצאים מסדר המלאכה

וכבר אצל המעשה כמו החבור וההקבלה והקבוץ והחלוק ההוריי ומה שירוץ מרוצתם

והראוי בכמו אלו שיזכרו בענפים והנה נסתפק הנה על ההגעה הנזכרת ונקח בחכמת המוסיקי בע"ה

הנעשה במספר על זה ההצטרפות וההקש כשהוקש אחד משני מספרים אל האחר הנה לא ימלט מאשר יהיו שוים או מתחלפים

ואם היו שוים היה היחס ביניהם יחס השווי והיושר

וידמה שזה היחס הוא התחלה טבעית לשאר היחסים ושהוא אשר אליו יותך כל יחס

ואיך יהיה זה בסדור הניחו בכלם נזכרהו עוד אחר זה

ואם היו מתחלפים לא ימלט אם שיהיה יחס היותר רב שבהם אל היותר מעט יחס הדמיונים

כעשרים והשלשים אצל העשרה

או יחס הדמיון המוסיף חלק כעשרה אצל השמנה

או יחס הדמיון המוסיף חלקים כעשרה אצל הששה

או יחס הדמיונים המוסיף חלק כעשרה אצל השלשה

או יחס הדמיוני המוסיף חלקים כחמשה עשר אצל הארבעה

ואלו הם חלוקות היחסים היחסים המספרים כאשר הוקש בהם היותר רב אל היותר מעט

וכאשר ידעת זה ידעת ענין המעט אצל הרב ויקרא היותר מעט המקביל ויקרא היותר מעט

כיחס הדמיון המוסיף חצי דרך משל המקביל לדמיון המוסיף חצי

וכיחס הדמיון המוסיף שליש המקביל לדמיון המוסיף שליש

וכן בשאר

וכבר יולץ ג"כ מן היותר מעט כאשר תחת פלוני ויאמר לו אשר תחת הדמיון המוסיף ככה או הדמיונים המוסיפים ככה

והסדור בהמצאת אלו היחסים כלם כפי מה שנזכרהו

אם הדמיונים הנה הענין בהם מבואר והראשון שבהם השניי אחר ימשך אליו השלישיי אחריו הרביעיי אחריו החמישיי וכן תמיד וזה היחס מתחיל מהשנים והולך על המשך המספר עד אין תכלית

אולם היחס אשר זולתו זה הנה אתה תמצאהו בשתקח המספר אשר בשמו יקרא החלק המוסיף או החלקים

ואם תרצה הדמיון המוסיף חלק תוסיף זה החלק על זה המספר אשר יקרא בשמו ויתקבץ לך מה שתרצה

דמיון זה כשתרצה הדמיון ושמינית הנה תקח המספר אשר בשמו יקרא זה החלק והוא שמנה ותוסיף עליו שמיניתו וזה אחד ויתקבץ מהם תשעה ויהיה יחס תשעה אל שמנה יחס הדמיון המוסיף שמינית

וכן ג"כ אם תרצה יחס הדמיון המוסיף חלקים כמו המוסיף שתי חמישיות הנה תקח חמשה כי בשמו נקראים ותוסיף שני חמישיותיו והוא שנים ויתקבץ שבעה ויחס שבעה לחמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות

ואולם הדמיונים המוסיפים חלק או חלקים הנה תמצאהו כשתכפול המספר אשר בשמו יקראו החלק או החלקים כמספר הדמיונים המונחים ותוסיף על מה שיתקבץ החלק המבוקש מזה המספר או החלקים ויהיה הכלל כמבוקשך

דמיון זה אם תרצה השלשה דמיונים המוסיף חומש הנה תקח חמשה ותכפלהו במספר הדמיונים שהם שלשה ויעלה חמשה עשר ותוסיף על זה חומש החמשה שהוא אחד ויעלה ששה עשר והוא היותר רב ויחסו אל החמשה שהוא היותר מעט יחס השלשה דמיונים המוסיף חומש

וכן תעשה ביחס הדמיונים המוסיף חלקים שתוסיף כאן שנים על החמשה עשר ויהיו שבעה עשר ויחסם אל חמשה השלשה דמיונים המוסיף שתי חמישיות

וכאשר ישובו החלקים אל חלק אחד כמו שישובו השתי ששיות אל השליש והארבעה שמיניות אל החצי ומה שדומה לזה הנה משפטם בסדור משפט מה שישובו אליו

וג"כ אם יהיו המוסיף על הדמיון או הדמיונים חלק חלק כמו שתות השתות וחומש החומש או כשליש העשור וחומש השביע ומה שהוא יותר דק מזה או אם היה חומש ושתות או שליש ורביע ומה שדומה לזה הנה אלה כלם ישובו אל החלק האחד או החלקים

וזה כי חלק החלק הוא ג"כ חלק כמו שתות השתות שהוא חלק מששה ושלשים וחומש החומש שהוא חלק מחמשה ועשרים וכן שליש העשור שהוא חלק משלשים וחומש השביע שהוא חלק מחמשה ושלשים וכן השליש מהם והרביע שבעה חלקים משנים עשר והחומש והשתות אחד עשר חלקים משלשים

ואולם הסדור אשר דברנו זכרנו בהשבת אלו היחסים אל יחס השווי

הוא שנניח זה היחס בשלשה גבולים יהיה יחס הגדול מהם אל האמצעי הוא בעינו יחס האמצעי אל הקטן ונחסר לעולם מן הגדול כפל האמצעי מחוסר ממנו הקטן ונחסר מהאמצעי כמו הקטן ונניח הקטן כמו שהוא ואם יהיו שוים הגבולים השלשה הנה המבוקש ואם לא תשוב ותעשה כמו מה שעשינו ראשונה עד שיהיו שוים

ודמיון זה ביחס הארבעה דמיוני שיהיה הגדול ס"ד והאמצעי י"ו והקטן ד' הנה כשכפלנו האמצעי ונחסר ממנו הקטן נשארו כ"ח וכאשר נחסר זה מן הגדול נשארו ל"ו וכשנחסר הקטן מן האמצעי נשארו י"ב ונשאיר הקטן בענינו ויהיו אלו המספרים השלשה אשר הם ל"ו י"ב ד' על יחס השלשה דמיונים

וכשנשוב ונחסר ג"כ מן הל"ו כפל הי"ב מחוסר ממנו הד' וזה עשרים נשארו י"ו אחר כן נחסר מן הי"ב הד' נשארו ח' ונשאיר הד' כמו שהם ויהיו המספרים השלשה אחר זה י"ו ח' ד' על יחס הכפל

וכשנשוב שלישית ונחסר כפל הח' מחוסר ממנו הד' וזה י"ב מן הי"ו אח"כ נחסר הד' מן הח' יהיו שוים הגבולים הנשארים ויהיה כל אחד מהם ארבעה

ואתה רואה איך שב המרבע אל המשלש אשר הוא יותר פשוט ממנו

אח"כ המשלש אל השניי אשר הוא יותר פשוט ממנו

ואחר הותך אל יחס השווי

עוד נמשיל ביחס הדמיון וחלק ויהיה החצי ונשים השלשה מספרים אשר הם על זה היחס י"ח י"ב ח'

כפלנו הי"ב וחסרנו ממנו ח' נשארו י"ו וחסרנו זה מי"ח ונשארו ב' וכשנחסר ח' מן י"ב נשארו ד' ונניח ח' כמו שהוא ויהיה השלשה גבולים ב'ד'ח' על יחס הכפל

ונשוב ונחסר מהח' שהוא הגדול כפל האמצעי שהוא ד' מחוסר ממנו הקטן שהוא ב' וזה ו' נשארו מהגדול ב' וכשנחסר מהאמצעי ב' נשאר גם כן ב' ונשאיר הקטן ב' כמו שהוא וזה יחס השווי

ואתה רואה ג"כ איך שב יחס הדמיון והחלק אל יחס השווי ואיך יותך ראשונה אל יחס הכפל השניי ואחר יותך זה יחס אל יחס השווי

ומיני המתיחסים אם שיהיו על צד הדבקות והם אשר יהיה האמצעי משותף בין שתי הקצוות ילקח בהתיחסות פעם נמשך ופעם קודם וגבוליו תמיד שלשה לא פחות ולא יתר כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד'

ואם שיהיה על צד ההבדל ולא יהיה בזה אמצעי אחר משותף אבל אמצעיים כאמרנו יחס א' אל ב' כיחס ד' אל ח' והגבולים בזה היחס תמיד יותר משלשה

ומיני המתיחסים רבים זכר מהם ניקומכוש בספרו עשרה מינים לבד

ויחתרו כת מן הקדמונים בדרישת מה שנוסף עליהם ומצאו עשרה אחרים והיו בהם מיני היחס עשרים מינים

והמועילים בהם בחכמות על הרוב שלשה לבד והם המתיחסים המספריי' והתשברתיים והחבוריים

ונתעסק בזכרון אלו ראשונה אח"כ ימשך להם זכרון הנשארים מן העשרה מינים הראשונים

והעשרה הנוספים אשר טרחו בהם הקדמונים אין לנו עסק בזכרונם הנה למעוט מציאותם

ואולם המתיחסים המספריים הם המתיחסים הנופלים בין גבולים אם שלשה או יותר מזה נמשכים על שווי מה שביניהם מהתוספת והיתרון בשנים והשלשה והארבעה המוסיפים אחד אחד ובחמשה והשבעה והתשעה המוסיפים שנים שנים

ואין היחס בין אלו המספרים אחד בכמות רצוני היתרון כי יחס הארבעה אל השלשה יחס הדמיון המוסיף שליש

ויחס השלשה אל השנים יחס הדמיון המוסיף חצי

ויחס התשעה אל השבעה חסר דמיון המוסיף שתי שביעיות

ויחס השבעה אל החמשה יחס הדמיון המוסיף שתי חמישיות

וכן יהיה ג"כ בנבדלים כמו השנים והחמשה והארבעה והשבעה והשמנה והאחד עשר כי היחס אשר בין אלו המספרים הששה יחס מספריי על צד ההבדל והגבולים בו מוסיפים בכמות אחת והוא השלשה

ואולם ההתיחסות אינו אחד לפי שיחס האחד עשר אל השמנה יחס הדמיון המוסיף רביעית ושמינית

ויחס השבעה אל הארבעה יחס הדמיון המוסיף חצי ורביעית

ויחס החמשה אל השנים יחס הכפל המוסיף חצי

ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שמקובץ הקצוות במתדבקים מהם כפל האמצעי ובנבדלים שוה למקובץ האמצעיים

ומסגלותם גם כן שהיחס שבין שני הגבולים הקטנים במדובקים מהם והנבדלים יותר גדול תמיד מהיחס אשר בין שני גבולים הגדולים

ומהם שהכאת אחת הקצוות באחרת יותר מעט תמיד ממרובע האמצעי במדובקים כמו מרבע התוספת

ומאלו הסגלות וממה שקדם להם מהידיעה בסגלות המספרים יודע האמצעי באלו המתיחסים מצד שתי הקצוות

וזה במתדבקים כאשר ילקח חצי מקבצם ומה שהיה הוא האמצעי לפי שכל מספר שוה לחצי מקובץ שתי פאותיו כמו שידעת

ואמנם בנבדלים הנה לו יוגבלו שני האמצעיים מהידיעה בשתי הקצוות לבד אבל כבר אפשר שימצאו ביניהם אמצעיים רבים

ואם יהיו האמצעיי' נעלמים יחד והיה מקובצם ידוע או מותר מה שביניהם ידוע ויחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד מהם על מנינו

ואם לא יהיה דבר מאלו הדברים ידוע יהיה דרך הוצאתם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרך לזכרו הנה

ואולם המתיחסי' התשברתיים הם אשר יהיה היחס אשר בין גבוליהם אחד והמותרות מתחלפות בחלוף המספריים כמו האחד והשנים והארבעה במתדבקי' והאחד והשנים והשלשה והששה בנבדלים וזה שיחס ד"ב כיחס ב"א והמותר בין ד"ב יותר ממותר שבין ב"א וכן בז"ג וב"א שיחסם אחד ומותרם מתחלפים

ומסגלות אלו המתיחסים וזה האמצעיות שהכאת אחת הקצוות תמיד באחרת שוה למרבע האמצעי במתדבקי' ולהכאת אחד האמצעיים באחר בנבדלים ולזה היה מציאות האמצעי

והוצאתו אם במתדבקים הוא כאשר ילקח שרש הכאת אחת הקצוות באחרת ומה שהיה הוא האמצעי

ואם בנבדלים הנה יצטרך עם הידיעה בכל אחת המקצוות שיהיה אחד משני האמצעיים ידוע כדי שנדע מזה הצד האמצעי האחר וזה בחלוק הכאת אחת הקצוות באחרת עליו

ואם היו מוסכלים יחד יהיה מקובצים ידוע או מותר מה שביניהם ידוע או יחס אחד מהם אל האחר ידוע הנה אפשר מציאות כל אחד משניהם על מנינו

ואם לא יהיה אחד מאלו הדברים [....] יהיה דרך הוצאותם ומציאות כל אחד מהם ממה שאין דרכים [....] הנה

ואולם ההתיחסות החבוריי הוא אשר יהיה בו יחס גדול שבגבוליו אל הקטן כיחס מותר מה שבין הגדול והאמצעי אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו השלשה והארבעה והששה כי יחס הששה הששה אל השלשה כיחס מותר מה שבין הששה והארבעה והוא שנים אל מותר מה שבין הארבעה והשלשה והוא אחד

והצורך אל זה המין ממיני המתיחסים נוגע בחכמת חבור הלחנים הנקרא המוסיקי לפי שיחס המרחקים המסכימים בו אמנם ימצאו בזה המין לבד כפי מה שתאמר עליו אחרי זה ולכן נקרא חבוריי

והוצאת הגבול האמצעי מגבולי ההתיחסות הזה הוא כשנכה לעולם מותר מה שבין הקצוות בקטן שבגבולים ונחלק מה שהתקבץ על מקובץ שתי הקצוות ונוסיף מה שיצא על גבול הקטן ומה שהתקבץ הנה הוא הגבול האמצעי

דמיון זה אם נדע השלשה והששה הנה המותר שלשה נכה שלשה בשלשה יהיה תשעה ומקובץ הקצוות ג"כ תשעה וכשנחלק תשעה על תשעה יעלה אחד לבד נוסיף האחד על השלשה שהוא גבול הקטן ויהיה ארבעה והוא האמצעי

הנה אלו השלשה ממיני המתיחסים הם הנעשי' בחכמות והמקובל תועלת בהם

ואולם המין הרביעי הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הגבולים הקטנים אל מותר מה שבין שני הגבולים הגדולים כמו השלשה והחמשה והששה וזה המין מקביל למין החבוריי ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל מוכה האמצעי בקטן כמו שיהיה בכאן מוכה ששה בחמשה והוא שלשים כפל מוכה שלשה בחמשה והוא חמשה עשר

ואולם המין החמישי הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו השנים והארבעה והחמשה ויסגלהו שמוכה הגדול באמצעי כפל הכאתו בקטן כמו שהכאת החמשה בארבעה והוא עשרים כפל הכאת חמשה בשנים אשר הוא עשרה

ואולם המין הששי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל האמצעי כיחס מותר מה שבין האמצעי והקטן אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו האחד והארבעה והששה

ואולם המין השביעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין שניהם אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו הששה והשמנה והתשעה

ואולם המין השמיני הנה הוא אשר יהיה יחס הגדול אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין הגדול והאמצעי כמו הששה והשבעה והתשעה

ואולם המין התשיעי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והקטן כמו הארבעה והששה והשבעה

ואולם המין העשירי הנה הוא אשר יהיה בו יחס האמצעי אל הקטן כיחס מותר מה שבין שני הקצוות אל מותר מה שבין האמצעי והגדול כמו השלשה והחמשה והשמנה הנה אלו הם המינים העשרה ממיני המתיחסים שיספיק לנו זכרונם כי אין לאחד מהם מבא בחכמה זולתי מה שזכרנום לפנים ואולם הביאונום על צד שלמות החלוקה והמשכתה וספירת מה שיגיעו אליו צדי ההתיחסות נשלם זה והתהלה לאל ית' שמו

האופן הרביעי מן החלק השני בחכמת המוסיקי

אמר אמיה בן עבד היקר אבו אלצלת הנה נסתם מה שקדם מאופני הלמודים באומר בחכמת המוסיקי וזה ספר כבר ספרנוהו לו כמו שעשינו בשאר אופנים וחלקנוהו חלקים שמנוהו הראשון מהם בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות וההצעות והמשכנוהו במאמר בספירת הנעימות והמרחקים והסוגים והקבוצים מרובם והמזגתם ואיכות סדר הסוגים בקבוצים עוד בהמצאתם מוחשים בכלים המלאכותיים ובחלקי הכלים ובמיניהם עוד באומר בהעתקות וחלקי הנפילות ומיניהם והלכנו במה שהבאנוהו מזה צד הדרך אשר הלכנו בזה הספר מהבאת מה שאין די זולתו וחסר מה שאין צריך לו ובאל נעזר

המאמר הראשון מזה האופן שני פרקי פרק ראשון בהתחלות זה האופן ומה שירוץ מרוצת ההתחלות ויכנס בה מן ההכנות למלאכת המוסיקא מלאכה נושאה הנעימות וכונתה העיון בם מצד מה שיתקרבו ויתרחקו ובאיכות חבורם כדי שיהיה מהם לחן ותתחלק אל עיונית ומעשית והעיונית היא אשר מדרכה שתחקר מהנעימות ומה המסכים מהם ובלתי מסכים ותעיין בחבור המסכים מהם עד יתכן שיהיה המחובר מהם לחן ותחקר מאי זה מהם יהיה יותר טוב ויותר שלם ומן הדברים אשר יהיו בם יותר טובות ויותר שלמות ותתן עלות זה כלו וסבותיו יתנו סבת ההוא הוא ולכן יתילדו מהם המרבעים והמעקבים וימצאו במדרגות הנפרדים מרבע ולא ימצאו במדרגות הזוגות כלל נשלם המאמר השלישי מן הארתמיטיקי ושבח לאל יתעלה שמו וכבר פשט המנהג לזכור בזה המקום היחסים ומיניהם וסגולותיהם ומן האנשים מי שיחדש להתיחסות פנים רבים ויגיעו בהם אל ב' פנים ומהם שנסתפקו על עשרה והוא המעתק מהקדמון ומכונתי שאסתפק בזכר אלו הי' ועם ההסתפקות בהם ונשלם הספר הזה ספר הארתימיטיקא לאמיה בן עבדו אבו אלצלת היקר תדרוש בסגולות המספרים קצר והוסיף על ספר ניקומאכוש הגרישיני הפיתגוריי לידי הצעיר באלפי הדל אליאו גבה בבר אליעזר יצ"ו בשנת

@@ Line 2,238: / Line 2,238: @@
 |style="text-align:right;"|ובכלל הנה תוספת החסר והנוסף יהיה על מספרם הראשון
 |-
-|
+|<math>\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{n}\right)\right]:\left[1:\left(2+\frac{1}{n+1}\right)\right]</math><br>
-:<math>\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{2}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{3}\right)\right]</math>
+:<math>\scriptstyle\left[1:\left(2+\frac{1}{2}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{3}\right)\right];\quad\left[1:\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]</math>
 |style="text-align:right;"|ואמנם ההתיחסות במה שבין מדרגותיהם רצוני התיחסות מה שבין הכפל והחצי ובין הכפל והשליש
 |-
@@ Line 2,252: / Line 2,252: @@
 |style="text-align:right;"|עד שיהיו שנים וחמשה שלשה ושבעה ארבעה ותשעה ועל הדרך הזה
 |-
-|
+|odd numbers
 |style="text-align:right;"|וילך מנהג התוספת על הנפרדים הנמשכים
 |-

Difference between revisions of "האנציקלופדיה של אבו אלצלת"

Revision as of 15:17, 9 September 2017

Contents

Book One

Introduction - Basic Definitions

Properties of the Absolute Number

Arithmetic Progression

Sums

Types of Numbers

Odd Number

Even Number

Types of Even and Odd Numbers

Types of Even Numbers

Even-Times Even

Even-Times Odd

Even-Times-Even-Times Odd

Two - even-times-even number or even-times-odd number?

Types of Odd Numbers

Composite Numbers

Relatively Prime Numbers

Superabundant / Deficient / Perfect Numbers

Perfect Number

Book Two

Ratios

Simple Ratios

Multiple Ratio

Superparticular Ratio

Table of Multiple and Superparticular Ratios

Superpartient Ratio

Compounded Ratios

Multiple Superparticular Ratio

Multiple Superpartient Ratio

Numbers as Geometric Shapes

Linear Numbers

Plane Numbers

Triangular Numbers

Square Numbers

Pentagonal Numbers

Solid Numbers

Pyramids with Sharp Apex

Pyramid with a Triangular Base

Pyramid with a Square Base

Cube Numbers

Proportions

Navigation menu

Search