Difference between revisions of "Anonymous"

Revision as of 09:38, 12 October 2021

תהלה לאל הנעלה הנפלא
אשר אין לו תחלה ותכלה
ויצר עולמו חוזר חלילה
יומם ולילה
ושם בלב האדם חכמה ודעה
לחשב מספר מאחד ועד תשעה

1 Introduction
2 table of contents
3 interpolated excerpt
4 Chapter One: Addition
- 4.1 The First Category: [Addition of] Integers
  - 4.1.1 Sums
- 4.2 The Second Category: Addition of Fractions
  - 4.2.1 sexagesimal fractions
  - 4.2.2 simple fractions
5 Chapter Two: Subtraction
- 5.1 The First Category: [Subtraction] of Integers
- 5.2 The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions
  - 5.2.1 sexagesimal fractions
  - 5.2.2 simple fractions
6 Chapter Three: Multiplication
7 Chapter Four: Division
8 Chapter Five: Ratios
- 8.1 sexagesimal fractions
- 8.2 simple fractions
9 Chapter Six: Deducing One from Another
- 9.1 in Astrology
- 9.2 in Mathematics
  - 9.2.1 Word Problems
10 Chapter Seven: Conversion of One to the Other
- 10.1 simple fractions to simple fractions
- 10.2 simple fractions to sexagesimal fractions
11 Chapter Eight: Roots
12 Notes
13 Appendix I: Glossary of Terms
14 Appendix II: Bibliography

Introduction
presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle
When you write it on a circle you find it recurrent.	גם הוא כאשר תכתבנו בעגולה תמצאנו חוזר חלילה

9×9; 9×8; 9×7; 9×6:
For, when you multiply nine by nine the number obtained will be on its both sides: the units to the left and the tens to the right.	כי כאשר תערוך תשעה על תשעה יהיה מספר העולה בין שני צדיו האחדים מצד שמאל והעשרות מצד ימין
Likewise by 8, by 7 and by 6.	וכן על ח' ועל ז' ועל ו‫'
9×5; 9×4; 9×3; 9×2:
But, when you reach five the tens will turn to the left and the units to the right	אך כאשר תגיע לחמשה יתהפכו העשרות לשמאל והאחדים לימין
In the same way by 4, by 3 and by 2.	ועל זה הדרך על ד' ועל ג' ועל ב‫'
If you multiply it by 1, you will get 9 itself, as every number that is multiplied by 1 has no increment.	ואם תערכנו על א' יצא לך ט' בעצמו כי כל חשבון הנערך על א' אין לו תוספת
If you write nine on the beginning of the circle, you extract them according to this way, only that it will be vice versa to the right and to the left.	ואם תכתוב תשעה בתחלת העגול תוציאם על זה הדרך רק שיתהפך הדבר לימין ולשמאל
One is not a number
if the number is like a circle - the one is like a point	ואם המספר כעגלה האחד כנקדה
one is not a number - it is the foundation and the cause of all numbers	כי הוא יסוד וסבת כל מספר ואיננו מספר והוא עצם דבר
same as the cause of a language (the words) is not a language	והדומה לזה תבות הלשון שהם סוד כל מדבר ומוצא כל דבר ואינם משמיעים דבר מעניני הדבר
one is not a number - every number is either even or odd, but one is neither	וממחלקות המספר יתבאר כי האחד איננו מספר כי כל מספר יתחלק לזוג ולנפרד ולא כן האחד
One is a number	ומפאה אחרת גם הוא מספר
general properties of numbers that apply to one
Every number, even or odd, is summed from it.	ובו נתחבר כל זוג וכל נפרד
If we sum the odd numbers, when they are in a sequence one by one, the squares are generated and one is included with them. $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=n^2$	ואם חברנו הנפרדים כאשר הם במערכת זה אחר זה יולדו המרובעים והנה האחד עמהם
Every number is half the sum of its two sides. $\scriptstyle n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]$	וכל מספר מחצית שתי פאותיו
One applies on one side what every number applies on two [sides] and in this respect its conduct is the same as every number. $\scriptstyle1=\frac{1}{2}\sdot2$	והאחד יעשה בפאה אחת מעשה כל מספר בשתים והנו בדרך כל המספר
three fundamental types for all number:	יסוד כל מספר על שלש דרכים
1) its addition to itself is greater than its product by itself $\scriptstyle1\sdot1<1+1$	האחת באחד להיות הנחבר יותר מהנערך
2) its addition to itself is equal to its product by itself $\scriptstyle2\sdot2=2+2$	והשנית בשנים להיותם שוים
3) its product by itself is greater than its addition to itself $\scriptstyle3\sdot3>3+3$	והשלישית בשלשה להיות הנערך רב מהמחובר
every number greater than three belongs to the third type $\scriptstyle\forall n>3: n\sdot n>n+n$	ומשפט כל מספר אחר השלשה בדרך השלשה והנה האחד עם כל מספר
properties of the numbers 2-10 that pertain to one
the number two
Two is the beginning of the numbers.	ושנים תחלת המספר
It is the root of four: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	והוא שורש ארבעה
As the first root of a square number, it represents the properties of the roots:
The ratio that is generated from the product of one of the roots by the other to the first square is as the ratio of the second square to the mentioned product. Likewise for the one, which is a root and a square. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a\sdot b}{a^2}=\frac{b^2}{a\sdot b}}}$	וערך הנחבר מעריכת אחד השרשים על האחר אל המרובע הראשון כערך המרובע השני אל הנחבר הנזכר וככה האחד והנו שרש ומרובע
For every number, if we sum the root with its square, [the sum] is as the product of the root by the succeeding number. Likewise for the one, which is a root and a square. $\scriptstyle{\color{red}{a+a^2=a\sdot\left(a+1\right)}}$	וכל חשבון אם חברנו השרש עם מרובעו יהיה כעריכת השורש על המספר שהוא שני וככה האחד והנו שרש ומרובע
For every root that you double its square and add its quarter to it, [the sum] is a square and its root is as the original root summed with its half. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{red}{2a^2+\frac{1}{4}a^2=\left(a+\frac{1}{2}a\right)^2}}$	כל שרש שתכפול מרובעו ותוסיף עליו רביעיתו יהיה מרובע ושרשו כמו השרש הראשון מחובר עם חציו וככה האחד
the number three
It represents the Rule of Three:
Three numbers, the ratio of the mean to the first is as the ratio of the last to the mean, if we multiply the first by the last it is the same as the square of the mean. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}$	שלשה מספרים ערך התיכון אל הראשון כערך האחרון אל התיכון אם ערכנו הראשון על האחרון יהיה כמרובע התיכון
	‫[ו]‫אם הראשון כן יהיה האחרון וככה האחד
the number four
Four is a square number	וארבעה מרובע
As the first square number, it represents the properties of the square numbers:
Between every square to double-double the square there is a number that is not a square. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{red}{\forall n\in N, \exists b\neq n^2:a^2<b<\left(2\sdot2\sdot a^2\right)}}$	ובין כל מרובע לכפל כפל המרובע אחד שאיננו מרובע וככה האחד
If we subtract a square from its successive square, the remainder is as the sum of both their roots together. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1\right)+n}}$	אם חסרנו מרובע ממרובע הקרוב אליו יהיה הנשאר כשנים השרשים הנחברים וככה האחד
For every number, if we multiply the number preceding it by the number succeeding it and add one, [the result] is as the square of that number. $\scriptstyle{\color{red}{\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n+1\right)\right]+1=n^2}}$	כל חשבון אם ערכנו החשבון שהוא לפניו על החשבון שהוא לאחריו ונוסיף אחד יהיה כמרובע החשבון
For every square, when you take its root and the number preceding it and subtract them from it, a square remains. $\scriptstyle{\color{red}{n^2-n-\left(n-1\right)=a^2}}$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפניו ותחסרם ממנו ישאר מרובע
And if you add to it its root and the number succeeding [the sum] is a square. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{red}{n^2+n+\left(n+1\right)=b^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאחריו יהיה מרובע וככה האחד
the number five
Five is a circular number, for its first square is found in every power of [five].^[1]	החמשה חשבון עגול כי ימצא בכל חשבונו המרובע הראשון
the number six
The same for six, only that six itself is found in each of its powers instead of its first square.^[2]	גם כן ששה רק ששה ימצא בכל חשבונו ולא מרובעו הראשון
Likewise the one.	והנה האחד ככה

the number seven
Holds the following property:
If we sum seven with all the numbers preceding it, the sum is the same as the square of its double and it includes the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3+4+5+6+7\right)\sdot7=\left(2\sdot7\right)^2}}$	אם ערכנו שבעה על עצמו ועל כל מספר שלפניו יהיה הנחבר כמרובע כפלו והנה האחד עמהם
the number eight
Eight is a cube number [guf šaveh]	השמונה גוף שוה
As the first cube number it represents the following properties of the cube numbers:
If we sum up all the cube numbers successively, including the one, the sum is a square number. $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^n i^3=a^2}}$	ואם חברנו כל חשבון שהוא גוף שוה כאשר הם בתולדת זה אחר זה יהיה מרובע והנה אחד עמהם
Between two square numbers there is always a cube number. $\scriptstyle{\color{red}{\forall a<b; \exists n: a^2<n^3<b^2}}$	ולעולם ימצא גוף שוה בין שנים מרובעים
When we subtract one half from half the cube root and multiply the remainder by the cube root, we find the root of the smaller square. $\scriptstyle{\color{red}{a=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n}}$	כשנחסר מחצי קו הגוף חצי אחד ונערוך הנשאר על הקו נמצא שרש המרובע הקטן
When we add one half to half the cube root and multiply [the sum] by the cube root, we find the root of the greater square. $\scriptstyle{\color{red}{b=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n}}$	וכאשר נוסיף חצי אחד על חצי הקו ונעריכנו על הקו נמצא שרש המרובע הגדול
If you subtract the smaller square from the greater square, you will find the cube number. The same for one, which is a cube. $\scriptstyle{\color{red}{b^2-a^2=n^3}}$	ואם תחסר מרובע הקטן ממרובע הגדול נמצא הגוף השוה וככה האחד שהוא גוף שוה
If you want to extract the difference between two successive cube numbers, take the square of the cube root of the first [cube] and the square of the cube root of the second [cube], multiply the cube root of the first by [the cube root of] the second, then sum all and you will find the difference between the two cube numbers. The same for one. $\scriptstyle{\color{red}{\left(n+1\right)^3-n^3=\left(n+1\right)^2+n^2+\left[\left(n+1\right)\sdot n\right]}}$	ואם תרצה להוציא המרחק שיש בין שני הגופות שהם זה אחר זה קח מרובע קו הגוף הראשון גם מרובע הקו השני וערוך הקו הראשון על השני וחבר הכל אז תמצא המרחק שיש בין שני הגופות וככה האחד
the number nine
Nine is a square number.	התשעה חשבון מרובע
As the second square it represents the following properties of square numbers:
The difference between one square and another square is always an odd number. $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b^2=2n-1}}$	והיתרון שיש בין מרובע אחד ובין מרבע אחר לעולם נפרד
If you multiply the difference between two squares by each of their two roots: $\scriptstyle{\color{red}{\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]}}$	ואם תערוך היתרון שיש בין שני המרובעים על שני השרשים כל אחד בפני עצמו
If the greater is second to the first in succession, [the sum of both products] is the same as the square of the difference. $\scriptstyle{\color{red}{a=b+1\longrightarrow\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$	אם הגדול שני לראשון יהיה כמרובע היתרון
If it is third to it, multiply [the sum] of both products of the difference by both roots by two. $\scriptstyle{\color{red}{a=b+2\longrightarrow2\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$	אם היה שלישי לו תערוך היוצא מעריכת היתרון על שני השרשים על שנים
If it is fourth to it, multiply [the sum] by three. $\scriptstyle{\color{red}{a=b+3\longrightarrow3\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$	ואם רביעי לו על שלשה וככה האחד
If we divide the square of the smaller by the [square of the] greater or the [square of the] greater by the [square of the] smaller, the result is always a square. $\scriptstyle{\color{red}{a<b\longrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\left(\frac{b}{a}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{red}{a<b\longrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$	אם חלקנו מרובע הקטן על הגדול או הגדול על הקטן לעולם יהיה כמרובע
When you divide nine by the square of seven, the result of division is a seventh and two-sevenths of a seventh and its root is 3 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{7^2}}=\sqrt{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}=\frac{3}{7}}}$	וכאשר תחלק תשעה על מרובע שבעה יצא בחלוק שביעית ושתי שביעיות שביעית ושרשו ג' שביעיות
The Check: consider the parts of one as seventy, so the seventh and two-sevenths of a seventh are 12 minutes and 60 seconds. Convert the minutes to seconds and add the seconds to them; the result is nine hundred seconds. Divide them by seventy, the result of division is thirty minutes, which are 3 sevenths. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{12}{70}+\frac{60}{70^2}=\frac{900}{70^2}=\left(\frac{30}{70}\right)^2=\left(\frac{3}{7}\right)^2}}$	והבחינה שתחשב חלקי האחד שבעים יהיה השביעית ושתי שביעיות י"ב ראשונים ס' שניים תשיב הראשונים לשניים ותחבר השניים עמהם יעלה תשע מאות שניים תחלקם על שבעים יצא בחלוק שלשים ראשונים והם ג' שביעיות וככה האחד
If we divide the square of seven by nine, the result of division is five and four-ninths and their root is two and one-third; for the nine, by which we divided, is generated from its root, which is three. Likewise the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{9}}=\sqrt{5+\frac{4}{9}}=2+\frac{1}{3}}}$	אם חלקנו מרובע שבעה על תשעה יצא בחלק חמשה וארבע תשיעיות ושרשם שנים ושלישית כי תשעה שחלקנו עליו קם משרש שלשה וככה האחד
If you want to know the square whose root is known using a known square whose root is also known, multiply the difference between the two roots by each of the roots, then add the result to the known square, if it is less than that sought; $\scriptstyle a>b\longrightarrow a^2=\left[\left(a-b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a-b\right)\sdot b\right]+b^2$	אם תרצה לדעת מרובע שרשו ידוע ממרובע ידוע גם שרשו ידוע ערוך המרחק שהוא בין שני השרשים על כל אחד מהשרשים ואשר יהיה תחברם למרובע הידוע אם היה פחות מהמבוקש
or subtract the result [from the known square] if it exceeds over it. $\scriptstyle a<b\longrightarrow a^2=b^2-\left[\left(b-a\right)\sdot a\right]-\left[\left(b-a\right)\sdot b\right]$	או תחסרם אם היה יתר עליו וככה האחד
Approximation method for finding a root of a square number
If you want to know the root of a square, integer or fraction, from the preceding square:	אם תרצה לדעת שרש ממרובע שלם או נשבר מהמרובע שלפניו
Such as the root of 9 from the square of 2. $\scriptstyle\sqrt{9}$	כמו שרש תשעה* ממרובע שנים
Divide the [difference between the two squares] by twice the [known] root. The result of division is 1° 15′. We add them to the [known] root and the approximate root is 3° 15′.[This is when] we use sexagesimal fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\approx\sqrt{2^2}+\frac{9-2^2}{2\sdot\sqrt{2^2}}=2+\left(1+15^\prime\right)=3+15^\prime}}$	חלק המרובע על כפל השרש יצא בחלוק א' ט"ו חברנום עם השרש ויהיה השורש המיוחד ג' ט"ו וחלקנו כחלקי חכמי המזלות
We want to correct it: we multiply 1 by itself and [twice] by 15, it is 1° 30′; 15 by 15, [the result is 3° 45′]. We double the result, because we always double the fractions, and divide the product by 60 it is 7′ 30′′. We add them to 1° 30′, the result is 1° 37′ 30′′. We convert them to minutes, the result is 97′ 30′′. We double them for the half, it is 195′. We divide them by 13, which is twice the approximate root. The result of division is 15. We subtract it from the approximate root and the remainder is 3, which is the [sought] root. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{9}&\scriptstyle=\left(3+15^\prime\right)-\frac{2\sdot\left[1^2+\left(2\sdot15^\prime\right)+\left[2\sdot\left(15^\prime\right)^2\right]\right]}{2\sdot\left[2\sdot\left(3+15^\prime\right)\right]}\\&\scriptstyle=\left(3+15^\prime\right)-\frac{2\sdot\left[1+30^\prime+\left(7^\prime+30^{\prime\prime}\right)\right]}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+15^\prime\right)-\frac{2\sdot\left(1+37^\prime+30^{\prime\prime}\right)}{13}=\left(3+15^\prime\right)-\frac{2\sdot\left(97^\prime+30^{\prime\prime}\right)}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+15^\prime\right)-\frac{195^\prime}{13}\\&\scriptstyle=\left(3+15^\prime\right)-15^\prime=3\\\end{align}}}$	רצינו לתקנו ערכנו א' על עצמו ועם ט"ו והנה א"ל וט"ו על ט"ו וכפלנו העולה כי לעולם נכפול השברים וחלקנו הנחבר על ששים והנה ז"ל חברנום עם א"ל עלה א'ל"זל‫' החזרנום לראשונים עלה צ"ז ל‫' וכפלנום בעבור החצי והנה קצ"ה חלקנום על י"ג שהוא כפל השרש המיושר בחלקיו יצא בחלק ט"ו חסרנום מהשרש המיושר והנה ג' הוא השרש
First approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	וככה תעשה לכל מרובע שתחלוק היתרון שבין שני המרובעים על כפל השרש הראשון ותשמור היוצא הוסיפנו על השרש ויהיה מיושר
Second approximation: $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx \left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{1^2+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$	ואחר כן קח היוצא בחלוק וערוך אותו על עצמו ותכפול מרובע השבר ותחלק הכל על כפל השרש המיושר והיוצא תגרע מהשורש המיושר ישאר השרש מהמרובע הגדול
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\approx\sqrt{1}+\frac{4-1}{2\sdot\sqrt{1}}=1+\frac{3}{2}=1+\left(1+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}}}$	וכן משפט האחד כי המרחק בינו ובין ארבעה שלשה חלקנום על כפל השרש יצא אחד וחצי הוספנום על השרש ויהיה השרש המיושר שנים וחצי
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{4}&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1^2+\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)+\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{2+\frac{1}{2}}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=2\\\end{align}}}$	לקחנו מרובע היוצא בחלוק עלה שנים ורביע כפלנו הרביע שהם השברים והנה שנים וחצי חלקנום על כפל השרש המיושר יצא חצי תגרענו מהמיושר ישארו שנים והם שרש ארבעה
$\scriptstyle a^2-\left[a+\left(a-1\right)\right]=b^2$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפני השרש ותחסרם ממנו ישאר מרובע
$\scriptstyle a^2+\left[a+\left(a+1\right)\right]=c^2$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאח' אחריו יהיה מרובע וככה האחד
the number ten
Ten is similar to one [= as a unit in the rank of tens]	ומספר עשרה דומה לאחד
As such it represents the following properties:
When you wish to know the square of nine, multiply it by one, which is the difference [from ten], and subtract it from ninety, which is similar to nine, so it is eighty-one. $\scriptstyle a^2=10a-\left[\left(10-a\right)\sdot a\right]$ $\scriptstyle{\color{blue}{9^2=\left(9\sdot10\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot9\right]=90-\left(1\sdot9\right)=81}}$	וכאשר תרצה לדעת מרובע תשעה תערכנו על אחד שהוא המרחק ותחסרנו מתשעים הדומה לתשעה והנה שמונים ואחד
	וכן כל המספר לפי המרחק וככה האחד
$\scriptstyle a^2=\left(\frac{a}{10}\sdot a\right)\sdot10$ $\scriptstyle a^2=\left(\frac{a}{100}\sdot a\right)\sdot100$	ובעבור היות עשרה דומה לאחד נוכל להוציא המרובעים התמימים והנשברים מהערך שיש לו אל עשרה או אל מאה או אל אלף
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle75^2&\scriptstyle=\left(\frac{75}{100}\sdot75\right)\sdot100\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{4}\sdot75\right)\sdot100\\&\scriptstyle=\left[75-\left(18+\frac{3}{4}\right)\right]\sdot100\\&\scriptstyle=\left(56+\frac{1}{4}\right)\sdot100=5625\\\end{align}}}$	כמו ע"ה כמה מרובעו: קח ערכו אל מאה והוא ג' רביעיותיו וכמו כן קח ג' רביעיות ע"ה והם י"ח ושלש רביעיות חסרם מע"ה נשארו חמשים וששה ורביעית והם חמשת אלפים ות"ר מאות וחמשה ועשרים וככה משפט הנשברים עם האחד
$\scriptstyle\forall{b^2>10},\exists{a^2<10}: \frac{b^2}{10}=\frac{10}{a^2}$	וכל מרובע שהוא אחר העשרה יש מערכת המרובע אליו כערך מרובע אחר טרם העשרה אליו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{10}=1+\frac{3}{5}=\frac{\left(6+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]}{6+\frac{1}{4}}=\frac{10}{6+\frac{1}{4}}}}$	כמו ששה עשר עם ששה ורביע שערך י"ו אל עשרה כמוהו וג' חמישיותיו וכאשר תוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו שהם ג' מה' יעלה עשרה
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10}{\sqrt{16}}\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}}}$	והשרשים יוכיחו כי זה יתחלק על זה כי כשתחלק עשרה על שרש י"ו יעלה שנים וחצי תערכם על עצמם יעלה ו' ורביע וערך עשרה אליו כערך י"ו אל עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{16}=\frac{a}{10}}}$	וכן אם תקח מהערך עשרה אל י"ו והוא חמש שמניותיו רצינו להוציא חשבון טרם העשרה שיהיה ה' שמיניות עשרה וככה תמצאנו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{16}\sdot10=\frac{5}{8}\sdot10=\frac{10\sdot5}{8}=\frac{50}{8}=6+\frac{2}{8}=6+\frac{1}{4}}}$	ערוך י' על ה' יעלה חמשים חלק על שמונה יצא בחלוק ששה נשארו שנים שהם רביע אחד והם חמש שמיניות עשרה
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{10}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=\left(1+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(16+\frac{1}{4}\right)=\left(16+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=10}}$	וכאשר נקח ערך י"ו אל י' והוא כמוהו ושלש חמישיותיו ונוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו יעלה עשרה וכן תמצא לכל חשבון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7^2}{10}=\frac{10}{\left(1+\frac{3}{7}\right)^2}}}$	וכן שרש שבעה על שבעה עם אחד ושלש שביעיות
This property is also applicable to one: $\scriptstyle\forall{b^2>1},\exists{a^2<1}: \frac{b^2}{1}=\frac{1}{a^2}$	וככה כלם גם כן משרש האחד עם המרובעים לפניו ואחריו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2^2}{1}=4=\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}}}$	וזה יתברר כרביע אחד ששרשו חצי והנה הם כארבעה ושנים וכן משפט שברי השברים עד אין קץ
the uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions
The proper fractions before one are the inverses to the improper fractions after one	ובעבור היות השרשים בנשברים שהם טרם האחד הפך הנמצאים אחרי האחד
Therefore one has the following properties: It is a root, a square number, and a cubic number: $\scriptstyle1=\sqrt{1}=1^2=1^3$	על כן האחד שורש ומרובע וגוף שוה
His hand will be upon all, and the hand of everyone upon him [Genesis 16, 12]; it is the beginning and the end of all.	ידו בכל ויד כל בו^[3] והוא ראשית הכל ואחרית הכל
It has no addition [ $\scriptstyle1\times1=1$ ; $\scriptstyle1\times a=a$ ] and no subtraction [ $\scriptstyle1\div1=1$ ; $\scriptstyle a\div1=a$ ]	ולא יקבל תוספת ומגרעת
No number resembles to one	ואין לו דמות במספר
The Twelve Names that Form Every Number
The names of all numbers are formed by twelve words:	יסוד כל מספר נכלל בשנים עשר שמות
the names of the nine units one-nine	תשעה מהם חוזרים חלילה והם האחדים מאחד ועד תשעה
the names of the three ranks - tens, hundreds, and thousands	והשלשה שמות בונים מעלותיו והם העשרות והמאות והאלפים
all higher ranks reiterate these three names	כי כל חשבון אשר על האלפים חוזרים חלילה על אלו השמות כמו עשרת אלפים ומאת אלף ואלף אלפי אלפים
table of contents
the chapters representing the eight arithmetical operations applied to all numbers - integers and fractions:	וכל מספר השלם והנשבר נחלק לשמנה שערים והם
addition; subtraction; multiplication; division; ratio; deducing; conversion; root	מחברת זה עם זה מגרעת זה מזה מערכת זה על זה מחלוקת זה על זה ערך זה אל זה הוצאת זה מזה השבת זה לזה שורש זה וזה

interpolated excerpt

שהיה י"ו ישאר ד‫'

ואלו היה מאזני הנשאר שיש לנו לחסר מהחשבון הגדול יותר ממאזני החשבון הגדול היינו מוסיפים על מאזני החשבון הגדול ט' ואחר כן היינו מחסרים

Another example with odd numbers:

דמיון אחר בנפרדים

We say that the number is eighty thousand, seven thousand, six hundred and fifty four, which is of the odds.

\scriptstyle\sqrt{87654}

נאמר החשבון שמנים אלף ושבעת אלפים ושש מאות וחמשים וארבעה והוא מן הנפרדים

87654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8}}-{\color{blue}{2^2}}=8-4={\color{blue}{4}}}$	47654	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	47654
		2	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	4

והדומה לשמנים אלף הוא שמונה באחדים והמרובע הקרוב שעבר הוא ארבעה ושרשו שנים ובעבור היותו במערכת חמישית הנה השרש מאתים ונסיר המרובע שהוא ד' משמונה שהם שמונים אלף אז ישארו לנו [מ"ז] אלף גם תרנ"ד ונכפול השרש ויהיו ת‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{47}}000-\left(400\sdot{\color{blue}{9}}0\right)=47000-36000={\color{blue}{11}}000}$	11654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{116}}00-90^2=11600-8100={\color{blue}{35}}00}$	3554	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot290={\color{blue}{58}}0}$	3554
	49		49		58

ונחלק מ"ז עליו ולא נוכל לתת לו עשרה ובעבור שיהיו מאה ויש לנו להסיר מרובעו שהוא עשרת אלפים והנה נתן לו ט' שהם צ' ועלה המספר ל"ו אלפים ונשארו לנו י"א אלף גם תרנ"ד והשרש ר"צ ויש לנו להסיר מרובע צ' שהוא ח' אלפים ומאה ונשארו ג' אלפים גם תרנ"ד נכפול השרש והנו חמש מאות ושמנים

missing stages of calculation:

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{35}}00-\left(500\sdot{\color{blue}{6}}\right)=3500-3000={\color{blue}{5}}00}$	554	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{55}}0-\left(80\sdot{\color{blue}{6}}\right)=550-480={\color{blue}{7}}0}$	74
	586		586

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{74}}-6^2=74-36={\color{blue}{38}}}$	38
	586

נחלק החשבון הנשאר עליו ויצא ו' הסר מרובע ששה מהנשאר שהיה ע"ד ונשאר ל"ח

→ root=296; remainder=38

\scriptstyle{\color{blue}{296^2=87616}}

והנה השרש רצ"ו ומרובעו פ"ז אלפים תרי"ו

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296^2=87616\equiv_91\right)+\left(38\equiv_92\right)=3}}

ומשקל השרש א' חברנו אותו עם משקל ל"ח שהוא הנשאר יותר מהמרובע שהוא שנים עליו שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{87654\equiv_93}}

והנה הסתכל משקל החשבון הראשון שהוא הגדול היה שלשה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(87654\equiv_93\right)-\left(38\equiv_92\right)=1}}

ועוד בקשנו כמה ל"ח שהוא לחסר והנו שנים חסרנוהו ממשקל החשבון הגדול שהיה ג' ונשאר א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296\equiv_91\right)=\left(296^2=87616\equiv_91\right)}}

וככה ראוי להיות משקל המרובע גם משקל שרשו ערוך על עצמו וככה הוא

The three algebraic species: root, square, and number

All numbers are divided into three categories, which are: root, square, and a number that is neither root nor square.

וכל המספרים הם נפרדים לשלשה ענינים והם שרש ומרובע ומספר שלא יעשה לא שרש ולא מרובע

You can extract them from each other:

ואתה יכול להוציאם זה מזה

As saying: a square is equal to its five roots.

\scriptstyle x^2=5x

כאמרך מרובע שוה לחמשת שרשיו

Know that its root is 5 and its square is 25

\scriptstyle{\color{blue}{x=5;\ x^2=25}}

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

Also, a third of a square is equal to its five roots.

\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=5x

וכן שלישית מרובע שוה לחמשת שרשיו

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

Also, a third of a square is equal to its 4 roots.

\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=4x

וכן שלישית מרובע שוה לד' שרשיו

Know that there are 12 roots in the square.

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12x}}

דע כי המרובע יהיה בו י"ב שרשים והמרובע ד‫'

The six canonical equations

Three simple types of equations

$\scriptstyle ax^2=bx$

והנה ענין אחד הוא מרובע שוה לשרשים

$\scriptstyle ax^2=c$

והענין השני מרובע שוה למספר

\scriptstyle5x^2=80

כאמרך ה' מרובעים שוים לפ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot80=16}}

דע לך כי המרובע האחד הוא חמישית פ' שהוא י"ו

\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=18

וכן חצי מרובע שוה לי"ח

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}

דע כי המרובע הוא ל"ו

$\scriptstyle bx=c$

והענין השלישי שרשים שוים למספר

\scriptstyle9x=81

כאמרך ט' שרשים שוים פ"א

\scriptstyle{\color{blue}{x=9;\ x^2=81}}

דע המספר הוא המרובע ושרשו ט‫'

\scriptstyle\frac{1}{2}x=10

וכן חצי שרש שוה לי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=20;\ x^2=200}}

השני עשרים והמרובע מאתים

Three composite types of equations

וגם תוכל להוציא מזה שלשה ענינים אחרים מורכבים והם‫:

$\scriptstyle ax^2+bx=c$

מרובע ושרש שניהם שוים למספר

$\scriptstyle ax^2+c=bx$

או מרובע ומספר שוים לשרשים

$\scriptstyle bx+c=ax^2$

או שרשים ומספר שוים למרובע

1)

\scriptstyle ax^2+bx=c

\scriptstyle x^2+10x=39

הענין הראשון כאמרך מרובע עם עשרת שרשיו מחוברים עלו ל"ט, כמה המרובע וכמה השרש

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה כ"ה, הוסיפם על ל"ט יעלה ס"ד, הוצא השרש והוא ח' וחסר מהם חצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא השרש המבוקש ומרובע ט‫'

Normalization:

וכן אם יאמר ב' מרובעים או ג' או יותר עם שרשיו כך וכך שוין למספר כך וכך, ככה תעשה‫:

$\scriptstyle ax^2+bx=c$

\scriptstyle ax^2+bx=c\longrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}

קח מרובע אחד וכערכו מן המרובעים קח מן השרשים ומן המספר ועשה כמשפט לחצות ולערוך ולהוסיף ולהוציא השרש ולחסר והנשאר יהיה שרש המרובע האחד

$\scriptstyle\frac{1}{a}x^2+bx=c$

וכן אם יאמר חצי מרובע או שלישיתו עם גדריו כך שוים למספר כך ככה תעשה‫:

\scriptstyle\frac{1}{a}x^2+bx=c\longrightarrow x^2+a\sdot bx=a\sdot c

השלם המרובע וכערך שהוספת עליו הוסף על השרשים ועל המספר ועשה כמשפט יצא לך שרש המרובע השלם

2)

\scriptstyle ax^2+c=bx

\scriptstyle x^2+21=10x

הענין השני מרובע עם כ"א שוים לעשרת שרשי המרובע

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x=&\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3\\&\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יהיה כ"ה, הוצא מהם המספר שהוא כ"א ישאר ד' ושרשם ב' אם תגרעהו מחצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא שרש המרובע

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}

ואם תוסיפהו על חצי השרשים יעלה ח' והוא כמו כן שרש המרובע

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{3^2+21=10\sdot3}}

\scriptstyle{\color{blue}{7^2+21=10\sdot7}}

כשתחברהו עם כ"א ההם יחד יהיו שוים לי' שרשי המרובע

ופעמים שאינו יוצא לשני הפנים האלה

$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing$

ודע שאם יהיה היוצא מערך חצי השרשים פחות מן המספר שהשאלה משובשת

$\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b$

ואם יהיה היוצא שוה למספר דע כי שרש המרובע הוא חצי השרשים הנזכרים בשאלה

3)

\scriptstyle bx+c=ax^2

\scriptstyle3x+4=x^2

הענין השלישי כאמרך ג' שרשים וארבעה שוים למרובע

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{6+\frac{1}{4}}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה ב' ורביע הוסיפם על המספר שהוא ד' יהיה ו' ורביע ושרשי ב' וחצי, הוסף על חצי השרשים שהם אחד וחצי יעלה ד' והוא שרש המרובע

ודע כי לעולם כפל כפל המרובע

Chapter One: Addition	השער הראשון במחברת
It is divided into two categories:	והוא נחלק לשני ענינים
Addition of integers with integers	חבור שלמים עם שלמים
Addition of fractions of fractions with fractions	וחבור שברי שברים עם שברים
The First Category: [Addition of] Integers	הענין הראשון בשלמים
Sums
sum of arithmetic progression of consecutive numbers
When you want to sum numbers increasing by progression as much as you wish.	שתרצה לחבר חשבון הולך וגדל על דרך המספר עד כמה שתרצה
If the number of terms is odd	אם החשבון מן הנפרדים
Multiply the [last] number by its half plus one half and the result is the sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left(2n-1\right)\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot \left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]$	ערוך החשבון שהגיע עדיו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר
Example: question: we summed the units by progression up to 11, how much are they? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	והמשל שאלה חברנו האחדים על דרך המספר עד י"א כמה הם
The answer: take half the last number, add to it one half, it is 6. Multiply it by the [last] number, the result is 66 and so is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)+\frac{1}{2}\right]=11\sdot6=66}}$	התשובה קח חצי המספר האחרון והוסף עליו חצי אחד והנה ו‫' ערכם על המספר עלה ס"ו וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]}}$
Know it by adding one to 11, then multiply the result by a half of 11 and so is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)}}$	ותדענו שתוסיף על י"א אחד ותערוך העולה על חצי י"א וככה המבוקש
If the number of terms is even	ואם החשבון מן הזוגות
Multiply the last [number] by its half and add to it half the [last] number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} i=\left[2n\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)$	ערוך האחרון על חציו והוסף עליו חצי החשבון
Example: we summed from 1 to 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i$	והמשל חברנו מא' עד י‫'
We take its half, which is 5, multiply it by 10, then add five, which is a half of 10, the result is 55 and so it the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(10\sdot5\right)+5=55}}$	לקחנו חציו והוא ה‫' ערכנו אותו על י' והוספנו חמשה שהוא חצי י' ועלה נ"ה וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(2n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
Know it by adding one to 10, then multiply the result by half the 10. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}}$	ותדענו שתוסיף אחד על י' והעולה תערוך במחצית הי‫'
sum of arithmetic progression of consecutive even integers
If you add the numbers [two by two]	ואם תוסיף החשבון בב‫'
Start from two to 10. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i$	ותתחיל בשנים עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left(2n+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
It is known that the last [number] is 20, add to it 2, then multiply the result by half the 10 and the result is the sought, which is 110. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left(20+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=110}}$	ידוע הוא כי האחרון הוא כ' הוסף עליהם ב' והעולה תערוך על חצי הי' והעולה הוא המבוקש והוא ק"י
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=1}^{n} 2k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
Or, take half the last number, which is 10, add a half of 2, it is 11, multiply it by 10 and the result is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\\&\scriptstyle=\left[10+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot10=11\sdot10\\\end{align}}}$	או קח חצי המספר האחרון והוא י' הוסף חצי ב' והוא י"א ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot2n}}$
Or, take half the last [number], which is 5, add to it one half and multiply by the last [number]. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot20=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot20}}$	או קח חצי האחרון והוא ה' הוסיף עליהם חצי אחד והערך על האחרון
sum of arithmetic progression of consecutive triples
If you add three by three	ואם תוסיף ג"ג
Start from 3 to 10. $\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} 3k$	ותתחיל בג' עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left(3n+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
It is known that the last number is 30, add to it 3, then multiply the result by half the 10, the result is 165 and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=\left(30+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=165}}$	ידוע הוא כי החשבון האחרון הוא ל' הוסף עליהם ג' והעולה תערוך על חצי הי' יעלה קס"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot n}}$
Or, take half the last number, which is 15, add to it a half of 3, it is 16 and one half, multiply it by 10 and the result is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 3i&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)\\&\scriptstyle=\left[15+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot10\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	או קח חצי מספר האחרון והוא ט"ו הוסף עליהם חצי ג' והוא י"ו וחצי ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
sum of arithmetic progression of consecutive quadruples
If [you] add four by four	ואם מוסיף ד"ד
Take a half of its quarter. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 4i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 4n$	קח חצי רביעיתו
sum of arithmetic progression of consecutive quintuples
If five by five	ואם ה"ה
Take a half of its fifth. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 5i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot 5n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 5n$	קח חצי חמישיתו
Always add one half and multiply by the last [term] - the way is one [and the same] for all excesses. $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} ai=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{a}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot an}}$	ולעולם תוסיף חצי אחד והערך על האחרון ודרך אחד לכל התוספות
This sum of progression is true when adding one by one, starting from 1, or for all excesses, [when the first number is the excess itself] $\scriptstyle a_1=d$	וזה חבור המוספים הוא הנכון כשתוסיף א"א תתחיל בא' וכן לכל התוספות תתחיל בחשבונם
sum of arithmetic progression of consecutive integers when the first number is not equal to the excess $\scriptstyle{\color{red}{a_1\ne d}}$
If you start from 10 and add one by one, or two by two, or three by three, as much as you want, do like this: Extract the [total] sum up to the last, as instructed above for the odds and for the evens, and save it. $\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} ak=\left(\sum_{i=1}^{n} ai\right)-\left(\sum_{i=1}^{m-1} ai\right)$	אך אם תתחיל מי' ותוסיף א"א או ב"ב או ג"ג עד שתרצה ככה תעשה שתוציא לעולם חשבונך מהאחרון כמו שהורתיך למעלה משפט הנפרדים המשפט הזוגות ושמרהו
sum of consecutive natural numbers
Then is you added one by one until reaching 19, which is of the odds $\scriptstyle\sum_{i=10}^{19} i$	ואחר כן אם א"א הוספת עד שהגעת לי"ט והוא מן הנפרדים
You apply on it the rule of the odds, then subtract 1 from 10, take half the remainder, multiply it by the 10, subtract the result from the reserved, which is 190 and the remainder is your sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=10}^{19} i&\scriptstyle=\left(\sum_{i=1}^{19} i\right)-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]\\&\scriptstyle=190-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]\\\end{align}}}$	וכבר עשית בו משפט הנפרדים אחר כן תפחות א' מן י' וקח מחצית הנשאר וערכם על הי' והעולה תחסר מן השמור שהיה ק"צ והנשאר הוא חשבונך
sum of consecutive even numbers
If you added two by two and the last number is 20 $\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} 2i$	ואם ב"ב הוספת והיה החשבון האחרון כ‫'
I have already demonstrated how much is [the total sum], which is 110 and it is the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=110}}$	וכבר הורתיך כמה יעלה והוא ק"י והוא השמור
Now, subtract 2 from 10, take half the remainder, multiply it by a half of 10, subtract the result from the reserved and the remainder is the sum from 10 to 20. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} 2i=110-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]}}$	עכשו חסר ב' מן י' וקח מחצית הנשאר ערכם על מחצית י' והעולה חסר מהשמור והנשאר הוא המחובר מי' עד כ‫'
sum of consecutive triples
If you added three by three, started your sum from 12 and the last [term] is 30, as it is impossible to start from 10. $\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} 3i$	ואם ג"ג הוספת והתחלת בחשבונך מי"ב והיה האחרון ל' אך לא יתכן להתחיל בי‫'
Extract your sum from 3 to the last [number], which is 465 and save it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=465}}$	הוצא חשבונך מן ג' עד האחרון והוא תס"ה ושמרהו
Subtract 3 from 12, then take half the remainder and multiply it by a third of 12, subtract the result from the reserved and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{10} 3i=465-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12-3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]}}$	ושוב חסר ג' מי"ב וקח מחצית הנשאר וערכם על שלישית י"ב וחסר העולה מן השמור והנשאר הוא המבוקש
Apply this for all the excesses.	וככה תעשה לכל התוספות שתשמר השמות
Finding the number of terms in a given sum of multiples
If you want to sum a known number multiplied by the units successively, their [number] is unknown and their sum is so and so, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} ai=m$	ואם תרצה לחבר מספר ידוע הספור במספר האחדים על הסדר ואינם ידועים ועלו ככה על כמה מספרים ספר אותו
Divide the result [= the given sum] by the said number, then observe from how many units the quotient is summed and as the number of the units so is the number of terms $\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=\frac{m}{a}$	חלק המספר העולה על המספר שאמר ומה שיצא בחלוק ראה מכמה אחדים יעלה וכמספר האחדים כך מספרים תפש
Example: 15 multiplied by the numbers successively and the sum is 315, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 15i=315$	והמשל ט"ו ערוכים על החשבון על הסדר ועלה המחבר שט"ו על כמה מספרים ספר אותו
Divide 315 by 15, the result is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{315}{15}=21}}$	חלק שט"ו על ט"ו יצא כ"א
We know that the units that are summed from 1 to 6 are 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	וידענו מהאחדים הספורים מא' ועד ו' הם כ"א
Hence, it was multiplied by six numbers $\scriptstyle{\color{blue}{n=6}}$ and the sum is 315.	והנה על ששה מספרים ספר אותו והיה המחובר שט"ו
If you want to know the sum of 15 multiplied successively by 1 to 6. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 15i$	ואם תרצה לדעת כמה המחובר מט"ו ספורים על סדר חשבון מא' ועד ו‫'
We know that up to six the result is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	ידענו כי עד ששה יעלה כ"א
Multiply 15 by 21, the result is 315. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} 15i=15\sdot21=315}}$	וערוך ט"ו על כ"א יעלה שט"ו
sum of geometrical progressions of even-times-even numbers
If you want to sum the even-times-even numbers from one to however you wish successively. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}$	ואם תרצה לחבר חשבון כפל הכפל מאחד ועד כמה שתרצה על סדר החשבון
odd number of even-times-even terms
Take the square of the mean even-times-even term, which is the last even-times-even term if the number of the even-times-even terms is odd, double the number, subtract from it one, which is the first term, and the remainder is the sum $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n+1} 2^{i-1}=\left[2\sdot\left(2^{\frac{\left(2n+1\right)-1}{2}}\right)^2\right]-1=\left[2\sdot2^{2n}\right]-1$	קח מרובע הכפל האמצעי והוא הכפל האחרון אם הכפולים נפרדים וכפול החשבון וחסר ממנו אחד שהוא החלק הראשון והנשאר הוא המחובר
Example: 1, 2, 4	והמשל א' ב' ד‫'
The square of the 2 is 4 and it is the last even-times-even term $\scriptstyle{\color{blue}{a_n=2^2=4}}$	מרובע הב' הוא ד' והוא הכפל האחרון לעולם
even number of even-times-even terms	ואם הכפולים זוגות
Take the square of the greater mean, subtract one from it and the remainder is the sum. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} 2^{i-1}=\left(2^{n}\right)^2-1$	קח מרובע הכפל האמצעי הגדול וחסר ממנו אחד והנשאר הוא המחובר
And if the way be too long for you [Deuteronomy 14, 24], as if you want to know [the sum of] the even-times-evens from [the first term] to the sixty-fourth [term] by sequence of the numbers, it will be difficult for you to extract the mean even-times-even term and its square. $\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=1}^{n+1} 2^{k-1}=2^{n+1}-1}}$ ${\color{blue}{\scriptstyle1+2+2^2+\ldots+2^{64}=2^{64+1}-1}}$	וכי ירבה ממך דרך^[4] החשבון שתרצה לדעת מאחד ועד ס"ד כפל הכפל על סדר החשבון ויתקשה עליך להוציא הכפל האמצעי ומרובעו
repetitive process of squaring:
You can find it this way: Start with two and multiply it by itself. The result, which is 4, is the number that is the second term and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{2}=4\longrightarrow1+2=2^2-1}}$	ככה תדענו שתתחיל מן השנים וערכם על עצמם והעולה שהוא ד' הוא חשבון שבמדרגה השניה לה וכל החשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 4 by itself, the result is 16, which is the number that is the fourth term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{4}=4^2=16\longrightarrow1+2+2^2+2^3=2^4-1}}$	ושוב וערוך הד' על עצמם יעלה י"ו והוא חשבון שבמדרגה הרביעית לשנית וכל חשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 16 by itself; the result is 256, which is the number that is the eighth term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{8}=16^2=256\longrightarrow1+2+\ldots+2^7=2^8-1}}$	ושוב וערוך הי"ו על עצמם יעלה רנ"ו והוא חשבון שבמדרגה השמינית לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 256 by itself; the result will be 65536, which is the 16th term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{16}=256^2=65536\longrightarrow1+2+\ldots+2^{15}=2^{16}-1}}$	ושוב וערוך רנ"ו על עצמם יעלה ס"ה אלפים וחמש מאות ושלשים וששה והוא מדרגת י"ו לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply the result in the 16th term by itself, the result will be the number that is the 32nd term; and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{32}=\left(2^{16}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{31}=2^{32}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת י"ו על עצמם ומה שעלה הוא חשבון שבמדרגת ל"ב לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply the result in the 32nd term [by itself], the result will be the number that is the 64th term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{64}=\left(2^{32}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{63}=2^{64}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת ל"ב ומה שיעלה הוא חשבון שבמדרגת ס"ד והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
sum of squares
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=1}^{n} k^2=\left[\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}$
If you want to add up the square of one, the square of two [and so on] by the sequence of the numbers up to the square of 10. $\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^2$	ואם תרצה לחבר מרובע אחד ומרובע שנים על דרך החשבון עד מרובע עשרה
Do as follows: add one to ten, then multiply the sum by half the ten; the result will be 55 — keep it. Then take two-thirds of the ten and add one third to it; the result is seven. Multiply this by the 55 you kept and the result will be the sough. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left[\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7}}$	ככה תעשה הוסף אחד על עשרה והמחובר תערוך בחצי העשרה יהיו נ"ה ושמרם ואחר כן קח שני שלישי העשרה ותוסיף עליהם שליש אחד יהיה שבעה ערכם על נ"ה ששמרת והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\left[\left[\left[\left(m-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot m\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\right]}}$
If you wish to sum from four up to ten. $\scriptstyle\sum_{k=4}^{10} k^2$	ואם רצית לחבר מארבעה ואילך עד עשרה
Extract the sum from one to ten. Then subtract one from four, take half the remainder and multiply it by four and multiply the result by two thirds of three plus one third. Subtract the result from the number that you have in your hand and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(4-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot4\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot3\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$	הוצא כל החשבון מאחד ועד עשרה אחר כך חסר האחד מן הארבעה וקח חצי הנשאר וערכהו בארבעה והעולה תערוך בשני שלישי שלשה בתוספת שליש אחד והעולה חסר מהחשבון שעלה בידך והנשאר הוא שאלתך
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{m-1} k^2}}$
Know it by extracting the sum from 1 to 10, then extract the sum from 1 to 3, according to the way you have seen. Subtract the result from the total sum and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\sum_{k=1}^{3} k^2}}$	ותדענו שתוציא כל החשבון מא' עד י' ואחר כך הוצא החשבון מא' ועד ג' כל על הדרך שראית והעולה חסר מכל החשבון והנשאר הוא שאלתך
If you wish to sum from five up to ten. $\scriptstyle\sum_{k=5}^{10} k^2$	ואם מחמשה ועד עשרה רצית לחבר
Always extract the total sum. Then subtract one from the five, take half the remainder and multiply it by the five and multiply the result by two thirds of 4 plus one third. Subtract the result from the [total sum] and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(5-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot5\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$	הוצא לעולם כל החשבון ואחר כך חסר האחד מן החמשה ומהנשאר קח מחציתם וערכם על החמשה ותערוך העולה בשני שלישי ד' בתוספת שליש אחד לעולם והעולה חסר מן החשבון והנשאר הוא שאלתך
According to this way for all, keeping the names and the terms.	ועל זה הדרך לכלם שתשמר השמות והמדרגות

The Second Category: Addition of Fractions	הענין השני בחבור השברים
sexagesimal fractions
If you have fractions as the fractions of the astrologers	אם היו בידך שברים כשברי חכמי המזלות
Who divide the sign [of the zodiac] into thirty degrees $\scriptstyle{\color{blue}{1=30^\circ}}$	שמחלקים המזל אל שלשים מעלות
The degree into sixty minutes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\circ=60'}}$	והמעלה לששים ראשונים
The minute into sixty seconds $\scriptstyle{\color{blue}{1'=60''}}$	והראשון לששים שניים
Let there be 8 signs, 24 degrees, 24 minutes and 44 seconds, and you wish to sum them with 7 signs, 18 degrees, 48 minutes and 28 seconds. $\scriptstyle\left(8+24^\circ+24^\prime+44^{\prime\prime}\right)+\left(7+18^\circ+48^\prime+28^{\prime\prime}\right)$	ויהיו ח' מזלות כ"ד מעלה כ"ד ראשונים מ"ד שניים ותרצה לחברם עם ז' מזלות י"ח מעלה מ"ח ראשונים כ"ח שניים
Seconds: first, sum the seconds, which are 72, add one to the minutes, 12 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{44^{\prime\prime}+28^{\prime\prime}=72^{\prime\prime}=1^\prime+12^{\prime\prime}}}$	חבר בתחלה השניים והם ע"ב הוסף אחד על הראשונים ישארו י"ב
Minutes: then, sum the minutes, which are 73, add one to the degrees, 13 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{24^\prime+48^\prime+1^\prime=73^\prime+1^\prime=1^\circ+13^\prime}}$	ושוב חבר הראשונים והם ע"ג הוסף אחד על המעלות ישארו י"ג
Degrees: sum the degrees, which are 43, add one to the signs, 13 degrees remain. $\scriptstyle{\color{blue}{24^\circ+18^\circ+1^\circ=43^\circ=1+13^\circ}}$	ושוב וחבר המעלות והם מ"ג הוסף על אחד על המזלות ישארו י"ג מעלה
Signs: sum the signs, which are 16, extract from them 12 signs that are recurrent. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7+1\right)-12=16-12=4}}$	ושוב וחבר המזלות והם י"ו הוצא מהם י"ב מזלות שהם חוזרים חלילה
4 signs, 13 degrees, 13 minutes and 12 seconds remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+24^\circ+24^\prime+44^{\prime\prime}\right)+\left(7+18^\circ+48^\prime+28^{\prime\prime}\right)=4+13^\circ+13^\prime+12^{\prime\prime}}}$	ישארו ד' מזלות י"ג מעלות י"ג ראשונים י"ב שניים

simple fractions
But, the geometricians divide one into a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, a seventh, an eighth, a ninth, and a tenth.	אך חכמי המדות הם מחלקים אחד לחצי ולשליש ולרביע ולחומש ולששית ולשביעית ולשמינית ולתשיעית ולעשירית
If you add four sixths to three ninths. $\scriptstyle\frac{4}{6}+\frac{3}{9}$	ואם תחבר ד' שתותין אל שלשה תשיעיות
common denominator: Seek a number that has a sixth and a ninth, this is by multiplying six by nine, the result is 54 and this is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot9=54}}$	בקש חשבון שיהיה לו שתות ותשיעית והוא שתערוך ששה על תשעה יעלה נ"ד והוא המורה
Take 4 sixths of the denominator, which is 36, add it to its three ninths, which are 18, the result is 54, and it is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{\left(\frac{4}{6}\sdot54\right)+\left(\frac{3}{9}\sdot54\right)}{54}=\frac{36+18}{54}=\frac{54}{54}=1}}$	קח ד' שתותין מן המורה והוא ל"ו וחברם אל שלשת תשיעיותיו שהם י"ח יעלה נ"ד והוא אחד שלם
Another way:
common denominator: you will know it by knowing from which number the sixth is derived, which is from six.	ותדענו שתדע מאי זה חשבון יצא השתות והוא מששה
Take its 4 sixths, which is 4: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot6=4}}$	קח ד' ששיותיו והוא ד‫'
Take its 3 ninths, which is 2: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}\sdot6=2}}$	וקח ג' תשיעיותיו והוא ב‫'
Sum them and divide by 6, the result is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1}}$	חברם וחלקם עליו על ו' יצא אחד
Another way:
common denominator: you will know it by knowing from which number the ninth is derived, which is from nine.	ותדענו שתדע מאיזה חשבון התשיעית והוא מתשעה
Take its 3 ninths, which is 3: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}\sdot9=3}}$	קח ג' תשיעיותיו והוא ג‫'
Take its 4 sixths, which is 6: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot9=6}}$	וקח ד' ששיותיו והוא ו‫'
Sum them and divide by 9, the result is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{3+6}{9}=\frac{9}{9}=1}}$	חברם וחלקם על ט' יצא אחד
If you add 3 eighths to 7 tenths. $\scriptstyle\frac{3}{8}+\frac{7}{10}$	ואם תחבר ג' שמיניות אל ז' עשיריות
common denominator: Take the denominator, which is eighty.	קח המורה והוא שמנים
Its 3 eighths are thirty, add them to 56, which are its 7 tenths, the result is eighty six, which is one and six eighths of a tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{7}{10}=\frac{\left(\frac{3}{8}\sdot80\right)+\left(\frac{7}{10}\sdot80\right)}{80}=\frac{30+56}{80}=\frac{86}{80}=1+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	וג' שמיניותיו הם שלשים חברם אל נ"ו שהם ז' עשיריותיו יעלה ששה ושמונים והוא אחד וששה שמיניות העשירית
If you add 4 eighths and a seventh to 3 sixths and a fifth. $\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)$	ואם תחבר ד' שמיניות ושביעית אל ג' ששיות וחמישית
common denominator: Seek for a number that is divisible by the four fractions, this is by multiplying them one by the other, the result is 1680 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot7\sdot6\sdot5=1680}}$	בקש חשבון שיחלק על ארבעת השברים והוא שתערכם זה על זה ויעלה אלף ושש מאות ושמונים והוא המורה
Its eighth is 210: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot1680=210}}$	ושמיניתו והוא ר"י
Its seventh is 240: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot1680=240}}$	ושביעיתו והוא ר"מ
Its sixth 280: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot1680=280}}$	וששיתו ר"פ
Its fifth 336: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot1680=336}}$	וחמישיתו של"ו
Add its four eighths and a seventh, which are 1080, to its three sixths and a fifth, which are 1176, the result is 2256, which is one and 2 sevenths, a quarter of a seventh, half the quarter of a seventh, and a tenth of a quarter of a seventh. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\frac{4}{8}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1680\right)\right]+\left[\left(\frac{3}{6}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot1680\right)\right]}{1680}\\&\scriptstyle=\frac{1080+1176}{1680}\\&\scriptstyle=\frac{2256}{1680}\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חבר ארבעת שמיניותיו ושביעית שהם אלף ושמנים אל שלשת ששיותיו וחמישית שהם אלף וקע"ו יעלו אלפים רנ"ו והוא אחד וב' שביעיות ורביעית שביעית וחצי רביעית השביעית ועשירית רביעית השביעית
If you sum the fractions from one half up to a tenth. $\scriptstyle\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}$	ואם תחבר השברים מחצי עד עשירית
common denominator: Seek for a number that has all these fractions, it is 2520	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים והוא אלפים וחמש מאות ועשרים
When you sum all the fractions the result is 4861, which is one and 7 eighths, half a tenth, ?, and a fifth of a seventh of an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot\prod_{i=2}^{10} i\right)}{\prod_{i=2}^{10} i}=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot2520\right)}{2520}\\&\scriptstyle=\frac{4861}{2520}=1+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+?+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\\end{align}}}$	וכשתחבר כל השברים יעלה ד' אלפים תתס"א שהם אחד וז' שמיניות וחצי עשירית ושמינית שלישית וחמישית שביעית שמינית
If you wish to know how much is the number whose sixth and quarter are 5. $\scriptstyle\frac{1}{6}a+\frac{1}{4}a=5$	ואם תרצה לדעת חשבון שתיתו ורביעיתו היו ה' כמה סך החשבון
common denominator: the denominator is 24.	הנה המורה הוא כ"ד
Take its sixth and its quarter, they are 10, divide the denominator by it, the result is two and 4 tenths, multiply the outcome by five, the result is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{a=5\sdot\frac{24}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=5\sdot\frac{24}{10}=5\sdot\left(2+\frac{4}{10}\right)=12}}$	קח שתותו ורביעיתו והיו י' חלק עליו המורה יצא שנים וד' עשיריות ערוך היוצא על חמשה יעלה שנים עשר
Or, multiply the denominator by five, then divide by ten, the result is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{24\sdot5}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=\frac{24\sdot5}{10}=12}}$	או ערוך המורה על חמשה והעולה חלק על עשרה עלה שנים עשר
Another way:
common denominator: You can also extract it from one, by taking its sixth and its quarter, which is 2 sixths and a half of a sixth, and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)=\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	גם תוכל להוציא מאחד שתקח שתיתו ורביעיתו והוא ב' ששיות וחצי ששית והוא המורה
We divide one by it, the result is two and a sixth remains, i.e. we convert [the one] into sixths, then divide them without a fraction by each sixth, the result is two sixths for each sixth and a sixth remains that is not divided. Multiply by 5, the result is ten and 5 sixths. Divide 5 sixths by the denominator, the quotient is two, add them to the ten and they are twelve. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=5\sdot\frac{1}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=5\sdot\frac{\frac{6}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=5\sdot\left(2+\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}\right)\\&\scriptstyle=10+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=10+2=12\\\end{align}}}$	נחלק עליו אחד יצא שנים ונשאר ששית כלו' נעשה ממנו ששיות ונחלקם בלא שבר על כל ששית וששית יצא שני ששיות לכל ששית וששית ונשאר ממנו ששית שלא נתחלק ערוך על ה' יעלה עשרה וה' ששיות חלק ה' ששיות על המורה יצא בחלוק שנים חברם עם העשרה והנה שנים עשר
If you add its fifth to its seventh they are two, how much is the whole number? $\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{7}a=2$	ואם תחבר חמישיתו עם שביעיתו ויהיו שנים כמה כל החשבון
Multiply the denominator by two, then divide by twelve, which are a fifth and a seventh of the denominator, the result is five integers and five sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot2}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=\frac{2\sdot35}{12}=5+\frac{5}{6}}}$	ערוך המורה על השנים וחלק על השנים עשר שהם חמשית ושביעית המורה יצא חמשה שלמים וחמש ששיות אחד
Or, divide by the denominator, i.e. 35 by twelve, then multiply the result, which is 3 minus half a sixth, by two, the result is five and five sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{a=2\sdot\frac{35}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=2\sdot\frac{35}{12}=2\sdot\left[3-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=5+\frac{5}{6}}}$	או חלק המורה כלו' ל"ה על שנים עשר והיוצא שהוא ג' פחות חצי שתות תערוך על שנים יעלה חמשה וחמש ששיות אחד
Another way:
common denominator: Also extract it from one, by taking its fifth and its seventh, which is 2 sevenths and 2 fifths of a seventh, and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1\right)=\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	גם תוציאנו מאחד והוא שתקח חמישיתו ושביעיתו ויהיו ב' שביעיות וב' חמישיות השביעית והוא המורה
We divide one by it, the quotient is two, and two sevenths and a fifth of a seventh remain. We multiply them by two and they are four integers, 4 sevenths and 2 fifths of a seventh. Divide the four sevenths and 2 fifths of a seventh by the denominator, the result is one. Add it to the four and ten fifths of a seventh remain, which are 2 sevenths, and one seventh is five [fifths of a seventh]. Thus, ten parts remain, which are 10 parts of twelve. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=2\sdot\frac{1}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}=2\sdot\left[2+\frac{\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=4+\frac{\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\\&\scriptstyle=4+\left[1+\frac{\frac{10}{5}\sdot\frac{1}{7}}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=5+\frac{10}{12}\\\end{align}}}$	נחלק עליו אחד יצא בחלוק שנים וישאר שתי שביעיות וחומש שביעית נערכם על שנים והם ארבעה שלמים וד' שביעיות וב' חמישיות השביעית חלק הארבעה שביעיות והב' חמישיות שביעית על המורה יצא אחד וחברהו עם הארבעה ונשארו עשרה חמישיות שביעית שהם ב' שביעיות והשביעית הוא חמשה והנה נשארו עשרה חלקים שהם י' חלקים משנים עשר
If you add a third of a quarter of its fifth to a seventh of an eighth of its ninth they are two, and you wish to know how much is the whole number. $\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot a\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot a\right]=2$	ואם תחבר שלישית רביעית חמישיתו עם שביעית שמינית תשיעיתו ויהיו שנים ותרצה לדעת כמה כל החשבון
common denominator: Seek for a number that has all these fractions, the number that has all these fractions is 2520 and this is the denominator.	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים האלה והוא החשבון שיש לו כל החלקים אלפים וחמש מאות ועשרים והוא המורה
Then, take a third of a quarter of its fifth, which is 42, add it to a seventh of an eighth of its ninth, which is 5, the sum is 47. Divide the denominator by it, the result is fifty three and 29 remains. Multiply them by two, the result is 106 [integers], 58 [fractions]. Divide 58 by 47, the result is one, add it to 106, the sum is 107 integers and eleven parts of 47 remain, and this is the whole number. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=2\sdot\frac{2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}=2\sdot\frac{2520}{42+5}=2\sdot\frac{2520}{47}\\&\scriptstyle=2\sdot\left(53+\frac{29}{47}\right)=106+\frac{58}{47}=106+1+\frac{11}{47}=107+\frac{11}{47}\\\end{align}}}$	ואחר כן קח שלישית רביעית חמישיתו והוא מ"ב וחברהו עם שביעית שמינית תשיעיתו שהוא ה' יהיה הכל מ"ז וחלק עליו המורה יצא חמשים ושלשה וישאר כ"ט ערוך אותם בשנים יעלה ק"ו נ"ח חלק הנ"ח על מ"ז יהיה אחד חברהו עם הק"ו יעלה ק"ז שלמים וישאר אחד עשר חלקים ממ"ז באחד וכן היה כל החשבון
Or, double the denominator, then divide by 47, the result is 107 and 11 remain, as in the other method. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{2\sdot2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}=\frac{2\sdot2520}{47}=107+\frac{11}{47}}}$	או כפול המורה וחלק על מ"ז יצא ק"ז וישאר י"א כמו הענין האחר
Its check: Multiply 107 by 47 and add 11 to the product, the result is 5040. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(107\sdot47\right)+11=5040}}$	ובחינתו שתערוך ק"ז על מ"ז ותחבר עם העולה הי"א יהיה הכל חמשת אלפים וארבעים
When you take a third of a quarter of its fifth the result is 84, which is one integer and 37 parts of 47. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot5040}{47}=\frac{84}{47}=\left(1+\frac{37}{47}\right)}}$	וכשתקח שלישית רביעית חמישיתו יהיה פ"ד והוא אחד שלם ול"ז חלקים ממ"ז באחד
When you take a seventh of an eighth of its ninth the result is ten parts of 47. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot5040}{47}=\frac{10}{47}}}$	וכשתקח שביעית שמינית תשיעיתו יהיה עשרה חלקים ממ"ז באחד
Sum them with 37 and it is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{37}{47}+\frac{10}{47}=1}}$	חברם עם הל"ז והנה אחד שלם

Chapter Two: Subtraction	השער השני במגרעת
It is divided into two categories:	והוא נחלק לשני ענינים
Subtraction of integers from integers	מגרעת שלמים משלמים
Subtraction of fractions from fractions	ומגרעת שברים משברים
The First Category: [Subtraction] of Integers	הענין הראשון בשלמים
When you wish to know a number that is subtracted repeatedly by the succession of the [natural] numbers, one by one, or two by two, or three by three, from ten to one, the way to extract it is the same as explained for addition, so there is no need to elaborate on that.	שתרצה לדעת חשבון הולך הלוך וחסור על דרך המספר אחד אחד או שנים שנים או שלשה שלשה מעשרה ועד אחד הדרך להוציאו שוה כמו שפרשתי בחבור ואין צורך להאריך בו
The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions	הענין השני מגרעת שברים משברים
sexagesimal fractions
If you have fractions of the astrologers.	ואם שברי חכמי המזלות יהיו בידך
Such as 2 signs, 20 degrees, 40 minutes, and 40 seconds, and you wish to subtract from them one number and know the reminder, such as 1 sign, 10 degrees, 45 minutes and 30 seconds. $\scriptstyle\left(2+20^\circ+40'+40''\right)-\left(1+10^\circ+45'+30''\right)$	כמו ב' מזלות כ' מעלות מ' ראשונים ומ' שניים ותרצה לגרוע מהם חשבון אחד ולדעת הנשאר כמו א' מזלות י' מעלה מ"ה ראשונים ל' שניים
Seconds: you start from the seconds, 10 seconds remain. $\scriptstyle{\color{blue}{40''-30''=10''}}$	אתה מתחיל בשניים וישארו י' שניים
Minutes: then, minutes from minutes, but you cannot subtract the greater from the smaller, so take one degree from the degrees, it will be 60 minutes. Add them to the minutes and subtract from them 45 minutes. 55 minutes remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1^\circ+40'\right)-45'=\left(60'+40'\right)-45'=55'}}$	ושוב הראשונים מהראשונים ולא תוכל לגרוע הרב מהמעט [..] ומפני זה קח מהמעלות מעלה אחת תהיה ס' ראשונים ותחברם עם הראשונים וגרע מהם מ"ה ראשונים ישארו נ"ה ראשונים
Degrees: subtract also degrees from degrees. 9 degrees remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20^\circ-1^\circ\right)-10^\circ=9^\circ}}$	ושוב וגרע המעלות מהמעלות וישארו ט' מעלות
Signs: then subtract one sign from the 2 signs. $\scriptstyle{\color{blue}{2-1}}$	ושוב וגרע מזל אחד מהב' מזלות
1 [sign], 9 [degrees], 55 [minutes] and 10 [seconds] remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+20^\circ+40'+40''\right)-\left(1+10^\circ+45'+30''\right)=1+9^\circ+55'+10''}}$	ישאר א' ט' נ"ה י‫'
If the signs of the subtrahend excceed the minuend signs, you add to them 12 signs, which are the cyclic zodiac signs, then you subtract from the sum and keep the remainder: signs, degrees, minutes and seconds.	ואם מזלות חשבון הנגרעים עודפים על המזלות שאתה גורע ממנו ולא לגרוע אתה מוסיף עליהם י"ב מזלות שהם מזלות הגלגל שהם חוזרים חלילה ומן הנאסף תגרע ותשמור הנשאר בידך מזלות מעלות ראשונים ושניים
simple fractions
If you have fractions of the geometricians.	ואם שברי חכמי המדות יהיו בידך
Such as when you wish to subtract from ten its sixth and its quarter and know the remainder. $\scriptstyle10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]$	כמו שתרצה לגרוע מעשרה ששיתו ורביעיתו ולדעת הנשאר
common denominator: Seek a number that has a sixth and a quarter, it is 12 and it is the denominator.	בקש חשבון שיהיה לו ששית ורביעית והוא י"ב והוא המורה
Subtract from it its sixth and its quarter, 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=7}}$	גרע ממנו ששיתו ורביעיתו ישאר ז‫'
Know their ratio, and as their ratio, take from the ten, it is five [and five] sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{7}{12}\sdot10=5+\frac{5}{6}}}$	ודע ערכם והוא חציו וכזה הערך קח מן העשרה והוא חמשה שתותין
Or, take the ratio of ten to 12, which is 5 sixths, and as this ratio, take from the seven, it is 5 and 5 sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{10}{12}\sdot7=\frac{5}{6}\sdot7=5+\frac{5}{6}}}$	או קח מהערך עשרה אל י"ב והוא ה' ששיותיו וקח כזה הערך מן השבעה והוא ה' וה' שתותין
If you wish to subtract 3 quarters from 4 fifths and know how much is the remainder. $\scriptstyle\frac{4}{5}-\frac{3}{4}$	ואם תרצה לגרוע ג' רביעיות אחד מן ד' חומשין ולדעת כמה הנשאר
common denominator: Know from which number the fifth is [derived]. It is from five.	דע מאיזה חשבון החומש והוא מחמשה
Take [its] 4 fifths, which is 4, then 3 quarters of the five, which is 3 and 3 quarters. Subtract them from the 4, the remainder is a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot5\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)=4-\left(3+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}}}$	קח ד' חומשין והוא ד' ואחר כך ג' רביעיות החמשה והוא ג' וג' רביעיות תחסרם מן הד' ישאר רביע
Know the ratio of the quarter from the 5, it is half a tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}:5=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	ודע מה ערך הרובע מן הה' והוא חצי עשירית
Or, take from the denominator, which is twenty, its 3 quarters, which are 15, subtract them from its 4 fifths, which are 16, one remains, which is half a tenth and this is the remainder. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot20\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot20\right)=16-15=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{20}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	או נקח מן המורה שהוא עשרים ג' רביעיותיו והם ט"ו וגרעם מד' חומשיו שהם י"ו ישאר אחד שהוא חצי עשירית וככה השאר
If you wish to subtract four fifths from 5 sixths and 3 quarters and know the remainder. $\scriptstyle\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}$	ואם תרצה לגרוע ארבע חומשיו מן ה' שתותין וג' רביעיות ולדעת הנשאר
common denominator: Seek a number that has a fifth and a sixth, it is thirty.	בקש חשבון שיהיה לו חומש ושתות והוא שלשים
Take [its] four fifths, which are 24, subtract them from its five sixths and its three quarters, which are 47 and a half, the remainder is 23 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{5}{6}\sdot30\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot30\right)\right]-\left(\frac{4}{5}\sdot30\right)=\left(47+\frac{1}{2}\right)-24=23+\frac{1}{2}}}$	קח ארבע חמישיות והם כ"ד ותגרעם מחמשה שתותיו ומשלש רביעיותיו שהם מ"ז וחצי יהיה הנשאר כ"ג וחצי
Know their ratio to thirty, it is 7 tenths and half a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}=\left(23+\frac{1}{2}\right):30=\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ודע ערכם משלשים והוא ז' עשיריות וחצי השתות
If you subtract its third and its quarter, eight remains and you wish to know how much is the whole number. $\scriptstyle a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a=8$	ואם תגרע שלישיתו וריביעיתו ונשאר שמונה ותרצה לדעת כמה היה כל החשבון
common denominator: Take the denominator, which is 12.	קח המורה והוא י"ב
Subtract from it its third and its quarter. Five remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}$	וגרע ממנו שלישיתו ורביעיתו ישאר חמשה
Divide the denominator by it, the result is 2 and 2 fifths. Multiply them by eight, the result is 19 and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{12}{5}\sdot8=\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot8=19+\frac{1}{5}}}$	חלק עליו המורה יצא ב' וב' חומשין ערכם בשמונה יעלה י"ט וחומש
$\scriptstyle{\color{red}{a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)-\left(\frac{1}{m}\sdot a\right)=b}}$
According to this way for every remaining number, whether two, or three, or whichever number that remains: extract the denominator, subtract from it the subtracted parts - whether sixths, or fifths, or quarters, or whichever is subtracted - then divide the denominator by the remainder and multiply by the stated remainder. $\scriptstyle a=\frac{n\sdot m}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot b$	ועל זה הדרך לכל חשבון שישאר שנים או שלשה או איזה חשבון שישאר שתוציא המורה ותגרע ממנו הערכים שגרע הן שתותין או חמישיות או רביעיות או כל מה שגרע ועל הנשאר תחלק המורה והיוצא תערוך בנשאר שאמר
Or, divide the stated remainder by what remains from the denominator, after subtracting the subtracted from it, then multiply the result by the denominator. It is the same thing. $\scriptstyle a=\frac{b}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot\left(n\sdot m\right)$	או חלק הנשאר שאמר על מה שישאר מן המורה כשתוציא ממנו מה שגרע והיוצא תערוך על המורה והדבר שוה
If you subtract its fifth, then a seventh of the remainder, 24 remains. How much is the whole? $\scriptstyle\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=24$	ואם תגרע חמישיתו ומהנותר שביעיתו ונשאר כ"ד כמה היה הכל
common denominator: Know the denominator, which is 35.	דע המורה והוא ל"ה
Multiply it by the remainder, i.e. according to the rule mentioned above, the result is 35 and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot24}{24}=35}}$	וערכהו על הנשאר כלומ' כמשפט אשר הזכיר למעלה יצא ל"ה והוא המבוקש
This way is correct when the [unknown] number is equal to the denominator like this. $\scriptstyle{\color{red}{\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]-\left[\frac{1}{m}\sdot\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]\right]=b}}$ $\scriptstyle{\color{red}{a=n\sdot m \longrightarrow a=\frac{\left(n\sdot m\right)\sdot b}{b}}}$	וזה הדרך הוא נכון כשיהיו סך החשבון והמורה שוים כמו זה
Also if one takes 30, subtract its fifth and a sixth of what remains, so the remainder is twenty. Thus, the [unknown] number and the denominator are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30\longrightarrow\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]-\left[\frac{1}{6}\sdot\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]\right]=20}}$	וכמו אם יקח ל' ויחסר חמישיתו ומן הנותר ששית וישאר עשרים שהחשבון והמורה שוים
For every number like this, the denominator leads you to the truth.	ובכל חשבון כאלו יוציאך המורה אל האמת
$\scriptstyle{\color{red}{\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=17+\frac{1}{7}}}$
But, if one takes 25, then subtracts its fifth and a seventh of the remainder, 17 and one-seventh remain, so the denominator and the [unknown] number are unequal. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\ne25\longrightarrow\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]-\left[\frac{1}{7}\sdot\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]\right]=17+\frac{1}{7}}}$	אך אם יקח כ"ה ויגרע חמישיתו ומן הנשאר שביעיתו וישאר י"ז ושביעית שהמורה והחשבון אינם שוים
For every number such as this if "your eyes shall see thy Teacher and your ears shall hear a word from behind thee... This is the way; walk in it" [Isaiah 30, 20-21].	ובכל חשבון כיוצא בו אם יהיו עיניך רואות את מוריך אזניך תשמענה דבר מאחריך זה הדרך תלכו בה‫^[5]
The way for every number is that you seek a number that is divisible by seven after you subtract its fifth from it:	והדרך לכל חשבון שתבקש חשבון שיהיה לו שביעיות אחרי שתגרע ממנו חמישית
Such as 35, whose fifth is 7. 28 remain, whose seventh is 4. We sum them and the result is 11. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left[\frac{1}{7}\sdot\left[35-\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)\right]\right]&\scriptstyle=7+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(35-7\right)\right]\\&\scriptstyle=7+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)=7+4=11\\\end{align}}}$	כגון ל"ה שחומשו ז‫' וישאר כ"ח ששביעיתו ד‫' ונחברם יעלה י"א
24 remain: $\scriptstyle{\color{blue}{35-11=24}}$	וישאר כ"ד
Know the ratio of 11 to [24] - it is a quarter and 5 sixths of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{11:24=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ודע מה ערך י"א אל והוא רביעית וה' ששיות רביעית
Take this ratio from 17 and one-seventh, which is the [given] remainder, and the result is 7 plus 6 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=7+\frac{6}{7}}}$	וכזה הערך קח מי"ז ושביעית שהוא הנשאר והיוצא שהוא ז' ועוד ו' שביעיות
Add [it] to 17 and one-seventh, the result is 25 and this is what you asked for. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left(7+\frac{6}{7}\right)=25}}$	הוסף על י"ז ושביעית יעלה כ"ה והוא מה ששאלת
Know it by maintaining the degrees of the fractions and adding one degree to each fraction. $\scriptstyle{\color{red}{a=b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)+\left[\frac{1}{m-1}\sdot\left[b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)\right]\right]}}$	ותדענו שתשמור מדרגות השברים ותוסיף על כל שבר ושבר מדרגה אחת
Do so: take the remainder, add to it its sixth, which exceeds by one degree over the seventh that was stated. Add to the sum a quarter of the sum, which exceeds by one degree over the fifth that was stated at first, and the sum is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[17+\left(\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]\right]}}$	וכן תעשה קח הנשאר והוסף ששיתו שהוא נוסף מדרגה אחת מן השביעית שאמר באחרונה ועל המחובר תוסיף רביעית המחובר שהוא עודף מדרגה אחת על החמישית שאמ' בתחלה והמחובר הוא המבוקש
If you take two numbers, such that are not equal to one another. You subtract a fifth of the one from a third of the other and six remain. You wish to know how much is each of the numbers? $\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6$	ואם תקח שני חשבונות שאין האחד שוה לחברו ותגרע חמישית האחד משלישית האחר וישארו ששה ותרצה לדעת כמה היה כל אחד ואחד מהחשבונות
common denominator: Seek a number that has a fifth and a third, it is 15 and it is the denominator.	בקש חשבון שיהיה לו חמישית ושלישית והוא ט"ו והוא המורה
Take its fifth, which is three, add it to the six, it is 9. Multiply it by the three, the result is 27, which is the number from which you subtract. Since you know it, you can extract the number that is subtracted, which is 15, for its fifth is three. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=\left[\left(15\sdot\frac{1}{5}\right)+6\right]\sdot3=\left(3+6\right)\sdot3=9\sdot3=27\\\scriptstyle \frac{1}{5}b=3\longrightarrow b=15\end{cases}}}$	וקח חמישיתו והוא שלשה והוסף על הששה ויהיה ט' ותערכם על השלשה ויעלה כ"ז וזה הוא החשבון שגרעת ממנו ואחר שידעת זה תוכל להוציא החשבון הנגרע שהוא ט"ו אחרי שחמישיתו שלשה
This way is not a general way for every number "and your Teacher shall no longer hide Himself" [Isaiah 30, 20], except when one number is equal to the denominator, such as this and the like, but if none is equal to the denominator it does not apply.	וזה הדרך אינו דרך כלל לכל חשבון ולא יכנף עוד מוריך^[6] זולתי כשיהיה החשבון האחד שוה למורה כגון זה וכיוצא בו אך אם לא ישוו המורה אל יורה
Such as when one is 10 and the other is 24 and when you subtract a fifth of the ten from a third of 24, six remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6}}$	כגון שהיה האחד י' והשני כ"ד וכשתגרע חמישית עשרה משלישית כ"ד ישאר ששה
Whereas if you look at the denominator it leads you to 27 and 15 and this number is known if the first number is known. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot27\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=6}}$	ואם תביט אל המורה יוציאך אל כ"ז ואל ט"ו וזה החשבון יודיע אם החשבון האחד ידוע
As when it is said that the one is ten, we subtract its fifth from a third of an unknown number and six remains. How much is the unknown number? $\scriptstyle\frac{1}{3}a-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6$	כמו שיאמר האחד עשרה גרעונו חמישיתו משלישית חשבון שאינו ידוע ונשאר ששה כמה החשבון שאינו ידוע
The way for this and for every number is that you add a fifth of the known to the remainder and multiply the sum by three, since the third is denominated from three and the result is the unknown number. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left[6+\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)\right]\sdot3}}$	הדרך בו ולכל חשבון שתוסיף חמישית הידוע על הנשאר והמחובר תערך על שלשה בעבור כי שלישית יוצאת משלשה והעולה הוא החשבון שאינו ידוע
You can also extract the two numbers.	וגם תוכל להוציא שני החשבונות
If it is said: when we subtract one-fifth of the one from one-third of the other, 6 remains. We sum them and the result is ten. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6\\\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{1}{5}b=10\end{cases}$	אם יאמר כאשר גרענו חמישית האחד משלישית האחר נשאר ו‫' חברנום יעלו עשרה
The way of this is that you subtract the remainder from the sum, then take half of what remains and so is the number of the fifth that was subtracted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}b=\frac{1}{2}\sdot\left(10-6\right)}}$	הדרך בזה שתחסר הנשאר מהמחובר ומן הנותר קח המחצית וככה מספר החמישית שגרע
Since you know its fifth, you know its whole and you can extract the second from the first.	ואחר שידעת חמישיתו ידעת כלו ומן האחד תוציא השני
According to this way for every number.	ועל זה הדרך לכל חשבון
If it is said: if we subtract one-quarter of the one from one-fifth of the other, 1 remains and if we sum them together, the result is 11. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{5}a-\frac{1}{4}b=1\\\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{4}b=11\end{cases}$	שאם יאמר אם גרענו רביעית האחד מחמישית האחר נשאר אחד ואם חברנום יעלו י"א
Do as follows: subtract one from 11, 10 remain. Take its half; it is 5, which is the number of the quarter that was subtracted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}b=\frac{1}{2}\sdot\left(11-1\right)=\frac{1}{2}\sdot10}}$	ככה תעשה גרע אחד מי"א ונשאר עשרה קח מחציתם והוא מספר הרביעית שגרע
It is discovered that one number is twenty, and from it you can deduce the other, which is thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b=20\\\scriptstyle a=30\end{cases}}}$	מתברר שהחשבון האחד הוא עשרים וממנו תוכל להוציא השני והוא שלשים
This way will lead you to the truth and to the correct.	וזה הדרך ידריכך אל האמת ואל הנכון

Chapter Three: Multiplication

השער השלישי במערכת

It is divided into three categories:

ונחלק לשלשה ענינים

Multiplication of integers by integers

מערכת שלמים על שלמים

Multiplication of integers by fractions

ומערכת שלמים על שברים

Multiplication of fractions by fractions

ומערכת שברים על שברים

The First Category: [Multiplication of] Integers by Integers

הענין הראשון בשלמים על שלמים

You should know that every number is built and established on ten ranks:

יש לך לדעת כי כל חשבון יבנה ויכונן בעשרה מדרגות

The first rank are the units

והמדרגה הראשונה הם האחדים

The second - the tens

והשניה העשרות

The third - the hundreds

והשלישית המאות

The fourth - the thousands

והרביעית האלפים

The fifth - the tens of thousands

והחמישית העשרות אלפים

The sixth - the hundreds of thousands

והששית במאות אלף

The seventh - the thousands of thousands

והשביעית באלף אלפים

The eighth - the tens thousands of thousands

והשמינית עשרת אלפי אלפים

The ninth - the hundreds thousands of thousands

והתשיעית במאת אלף אלפים

The tenth - the thousands thousands of thousands

והעשירית באלף אלפי אלפים

And so on endlessly.

וכן עד אין קץ

Definition of the multiplication operation: the multiplication of a number by a number is that you count the first number by the multitude of the second number.

ומערכת מספר על מספר הוא שתהיה מונה המספר האחד במנין המספר השני

multiplication of units by units

Every number that you multiply by one persists and does not increase.

וכל מספר שאתה עורך אותו באחד הוא עומד ואינו נוסף

Indeed, if you multiply one by one it is one, two by one are two, and so every number that you multiply by one does not increase.

ואכן אם תערוך אחד על אחד הוא אחד ושנים על אחד הם שנים וכן כל מספר שתערכנו על אחד אינו נוסף

If you multiply two by two, you double it.

ואם תערוך שנים על שנים אתה כופל אותו

If you multiply by three, you will find it three [times] the number.

ואם בשלשה תערכנו תמצאנו שלשה מן המספר

So on up to ten that if you multiply if by itself it is one-hundred.

וכן עד עשרה שאם תערכנו על עצמו יהיו מאה

If you multiply a number by a number that are greater than ten, you should master the multiplication of units, for every number is calculated this way.

ואם תרצה לערוך מספר על מספר למעלה מעשרה אתה צריך שיהיה חשבון האחדים סדורים על פיך כי כל חשבון מתחשב על זה הדרך

Full multiplication table:

To make it easier for the reader, I have drawn a table for you from 1 to 10, by which you may find out every number.

ולהקל על הקורא ציירתי לך זה המכבר מא' ועד י' שתברור לך בו כל חשבון

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מט	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

Instructions for using the multiplication table:

When you wish to multiply a number by a number from 1 to 10

וכאשר תרצה לערוך חשבון על חשבון מא' ועד י‫'

Such as when you wish to multiply 8 by 7

\scriptstyle8\times7

כמו שתרצה לערוך ח' על ז‫'

You place your fingers orderly on the first two lines [lengthwise and breadthwise], in which 1 to 10 are written: one finger on 8 and your other finger on 7. Lead them and where the fingers meet there you will find the result, which is 56.

אתה נותן אצבעותיך בשני הטורים הראשונים אשר כתוב בהם מא' ועד י' על הסדר

האצבע האחד על ח' ואצבעך השני על ז‫'
הולך אותם ובמקום אשר יפגשו האצבעות שם תמצא העולה והוא נ"ו

Likewise for every number.

וכן לכל החשבון

If you wish to multiply the other ranks one by the other, consider them as if they are units.

\scriptstyle{\color{red}{\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)}}

ואם תרצה לחשוב משאר המדרגות אחת על אחת יחשוב אותם כאלו הם אחדים

As if you want to [multiply] six hundred by four thousand.

\scriptstyle600\times4000

כמו שתרצה שש מאות על ארבעת אלפים

What is the number of the hundreds? six. And the thousands? four. Multiply six by four as if they were units; the result is 24, save it.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}

מאיזה חשבון הם המאות מששה והאלפים מארבעה

ערוך ששה על ארבעה כאלו הם אחדים והם כ"ד ושמרם

Determining the place of 6·4 in the product 600×4000

Then take the rank of hundreds, which is three, and count up three ranks from the thousands, it is the sixth rank.

(rank of hundreds)+[(rank of thousands)-1]=3+(4-1)=6

ואחר כך קח מדרגת המאות והוא שלשה ומנה מהאלפים ולמעלה ג' מדרגות והוא מדרגה הששית

Likewise, if you take the rank of thousands, which is four, and count up from the hundreds, you reach the sixth rank.

(rank of thousands)+[(rank of hundreds)-1]=4+(3-1)=6

וכן אם תקח מדרגת האלפים והוא ארבעה ותמנה אתו מן המאות ולמעלה אתה מגיע אל המדרגה הששית

Put there the number of units that you kept, and the tens in the succeeding rank, which is the seventh.

ושים שם חשבון האחדים ששמרת והעשרות במדרגה אשר אחריה והיא השביעית

Hence, you say that the 24 that you kept are 2 thousand of thousand and four hundred of thousand.

\scriptstyle{\color{blue}{600\times4000=2400000}}

ומפני זה אתה אומר כי הכ"ד ששמרת הם ב' אלפי אלפים וארבע מאות אלף

Another way is that you count the ranks of the two numbers and subtract one from [the sum]; the remainder will be the rank of the number [sought].

[(rank of hundreds)+(rank of thousands)]-1=(3+4)-1=7-1=6

דרך אחרת שתהיה חושב מדרגות בב' חשבונות ותפחות אחד מהם והנשאר יהיה מדרגת המספר

Such as, when you take the rank of hundreds, which is three, and the rank of thousands, which is four, and add them, they are seven. Always subtract one from them; you are left with six. This is equal to the first number.

כמו שתקח מדרגת המאות והוא שלשה ומדרגת האלפים ארבעה תחברם יהיו שבעה

תחסר מהם אחד לעולם וישארו בידך ששה
זה דבר שוה לחשבון הראשון

The reason you subtract [one] from the sum of the two ranks is that the rank of the units appears here and here [= the rank of the units is counted twice]

והטעם שאתה מחסר משתי המדרגות בהתקבצם מפני שמדרגת האחד עולה לכאן ולכאן

If you multiply units and tens by units and tens.

ואם תערוך אחדים ועשרות על אחדים ועשרות

Such as 25 by 28.

\scriptstyle25\times28

כמו כ"ה על כ"ח

Know the ratio of 25 to 100, it is a quarter. Take a quarter of 28, which are 7. The units will be hundreds

\scriptstyle{\color{blue}{25\times28=\left(\frac{25}{100}\sdot28\right)\sdot100=\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)\sdot100=7\sdot100}}

דע מה ערך כ"ה ממאה והוא רובע

קח רובע כ"ח והוא ז‫'
יהיו האחדים מאות

If you multiply 54 by 64.

\scriptstyle54\times66

ואם תערוך נ"ד בס"ו

Know the ratio of fifty to one-hundred, it is a half. Take a half of sixty-six, it is 33. The tens are thousands and the units are hundreds. Then multiply the remaining four by sixty-six, the result is 264. Add it to the 33, the result is 3 thousand, 5 hundred and sixty-four.

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle54\times66&\scriptstyle=\left[\left(\frac{50}{100}\sdot66\right)\sdot100\right]+\left(4\sdot66\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot66\right)\sdot100\right]+264\\&\scriptstyle=\left(33\sdot100\right)+264\\&\scriptstyle=3300+264=3564\\\end{align}}}

דע מה ערך החמשים ממאה והוא חצי

קח חצי מספר ששה וששים יהיו ל"ג
העשרות הם האלפים והאחדים הם מאות
ואחר כך תערוך הארבעה הנותרים על בששה וששים יעלה רס"ד
חברם על הל"ג יעלה ג' אלפים וה' מאות וארבע וששים

units, tens, and hundreds by units, tens, and hundreds

If you multiply 125 by itself.

\scriptstyle125\times125

ואם תערוך קכ"ה על עצמו

Know its ratio to one-thousand, it is an eighth. Take an eighth of 125, it is 15 and five eighths. Multiply it by one-thousand, the result is 15 thousand and 625.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle125\times125&\scriptstyle=\left(\frac{125}{1000}\sdot125\right)\sdot1000\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{8}\sdot125\right)\sdot1000\\&\scriptstyle=\left(15+\frac{5}{8}\right)\sdot1000=15625\\\end{align}}}

דע מה ערכו מאלף והיא שמינית

קח שמינית קכ"ה והוא ט"ו וחמשה שמיניות
ערוך אותם באלף יעלה ט"ו אלפים ותרכ"ה

If you multiply units by tens

ואם תערוך אחדים על עשרות

If you multiply five by seventy.

\scriptstyle5\times70

כמו חמשה על שבעים

Multiply five by seven, the result is 35. The tens are hundreds and the units are tens. So, it is 3 hundred and fifty.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot7\right)\sdot10=35\sdot10=350}}

ערוך חמשה על שבעה יעלה ל"ה

יהיו העשרות מאות והאחדים עשרות
והוא ג' מאות וחמשים

Know it also by calculating how much is five from ten, it is its half. Take a half of seventy, it is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(\frac{5}{10}\sdot70\right)\sdot10=\left(\frac{1}{2}\sdot70\right)\sdot10=35\sdot10}}

גם תדענו שתחשוב מהו חמשה מעשרה והוא חציו

קח מחצית השבעים והוא ל"ה

Or, know it by calculating how much is seventy from one-hundred, it is seven tenths. Take seven tenths of a five, it is 3 and a half. Multiply it by one-hundred, it is 3 hundred and fifty.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot\frac{70}{100}\right)\sdot100=\left(5\sdot\frac{7}{10}\right)\sdot100=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot100=350}}

או תדענו שתחשוב מהו השבעים ממאה והוא שבע עשיריות

קח שבע עשיריות מחמשה והוא ג' וחצי
תערכם על מאה יהיו ג' מאות וחמשים

If you multiply units by hundreds

ואם תערוך אחדים על מאות

Such as five by three hundred.

\scriptstyle5\times300

כמו חמשה על שלש מאות

Multiply five by 3, the result is 15. The tens are thousands and the units are hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot3\right)\sdot100=15\sdot100}}

ערוך חמשה על ג' יעלה ט"ו

יהיו העשרות אלפים והאחדים מאות

Know it by calculating how much is five of one-hundred, it is half the tenth. Take half the tenth of 3 hundred, it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(\frac{5}{100}\sdot300\right)\sdot100=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot300\right]\sdot100=15\sdot100}}

ותדענו שתחשב מהו חמשה ממאה והוא חצי עשיריות

קח חצי עשירית של ג' מאות והוא ט"ו

Know it by dividing the 3 hundred by one-hundred, then multiplying the result by five, the result is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot\frac{300}{100}\right)\sdot100=15\sdot100}}

ותדענו שתחלק הג' מאות על מאה ותערוך היוצא על חמשה יעלה ט"ו

If you multiply tens by tens

ואם תערוך עשרות על עשרות

Such as 20 by 30.

\scriptstyle20\times30

כמו כ' על ל‫'

Multiply two by three, they are six. The units are hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(2\sdot3\right)\sdot100=6\sdot100}}

ערוך שנים על שלשה יהיו ששה

האחדים יהיו מאות

Know it by calculating how much is 20 of one-hundred, take its ratio from 30 and multiply the result by one-hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(\frac{20}{100}\sdot30\right)\sdot100}}

ותדענו שתחשוב מהו כ' ממאה וקח ערכו מל' ומה שיהיה תערכנו במאה

Or, know how much is the 30 of one-hundred and take its ratio from twenty. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(20\sdot\frac{30}{100}\right)\sdot100}}

או תדע מה שהם הל' ממאה וקח ערכו מן עשרים והדבר שוה

If you multiply tens by hundreds

ואם תערוך עשרות על מאות

Such as 40 by six hundred.

\scriptstyle40\times600

כמו מ' בשש מאות

Multiply 4 by six, the result is 24. The units are thousands and the tens are tens of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(4\sdot6\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

ערוך ד' על ששה יעלה כ"ד יהיו האחדים אלפים והעשרות עשרות אלפים

Know it by calculating how much is 6 hundred of one-thousand, which is 6 tenths, take this ratio from 40, the result is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(40\sdot\frac{600}{1000}\right)\sdot1000=\left(40\sdot\frac{6}{10}\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

ותדענו שתחשב מהן ו' מאות מאלף והוא ו' עשיריות

קח זה הערך ממ' יעלה כ"ד

Or, know how much is the forty of one-thousand, [it is] one part of 25 and take its ratio from six hundred. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(\frac{40}{1000}\sdot600\right)\sdot1000=\left(\frac{1}{25}\sdot600\right)\sdot1000}}

או תדע מהן הארבעים מאלף חלק אחד מן כ"ה וכערכו קח משש מאות והדבר שוה

If you multiply tens by thousands

ואם תערוך עשרות על אלפים

Such as 50 by 7 thousand.

\scriptstyle50\times7000

כמו נ' בז' אלפים

Multiply 5 by seven, the result is 35. The units are tens of thousands and the tens are hundreds of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(5\sdot7\right)\sdot10000=35\sdot10000}}

וערוך ה' על זה שבעה יעלה ל"ה

יהיו האחדים עשרות אלפים והעשרות מאות אלפים

Know it by calculating how much is 7 thousand of 10 thousand, take this ratio from fifty, it is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(50\sdot\frac{7000}{10000}\right)\sdot10000}}

ותדענו שתחשב מהן ז' אלפים מי' אלפים וקח אותו הערוך מחמשים והוא ל"ה

Or, know how much is the 50 of 10 thousand and take its ratio from the 7 thousand. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(\frac{50}{10000}\sdot7000\right)\sdot10000}}

או תדע מהם הנ' מי' אלפים וכערכו קח מן הז' אלפים והדבר שוה

By these ways you can know every number endlessly, keeping the names and the ranks.

ועל אלו הדרכים תוכל לדעת כל חשבון עד אין קץ שתשמר השמות והמדרגות

The Second Category: Multiplication of Integers by Fractions	הענין השני מערכת שלמים על שברים
sexagesimal fractions
If you have fractions of the astrologers: degrees, minutes and seconds	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות מעלות ראשונים ושניים
If you mulnitply degrees by degrees, the product are degrees $\scriptstyle a^\circ\times b^\circ=\left(a\sdot b\right)^\circ$	אם אתה עורך מעלות על מעל[ו]ת יהיה הנקבץ מעלות
If you multiply degrees by fractions, the product are fractions: $\scriptstyle a\times\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot b}{60^n}$	ואם אתה עורך מעלות על שברים יהיה הנקבץ שברים
If you multiply by minutes, they are minutes. $\scriptstyle a^\circ\times b^\prime=\left(a\sdot b\right)^\prime$	אם ערכת על ראשונים הם ראשונים
If by seconds, they are seconds. $\scriptstyle a^\circ\times b^{\prime\prime}=\left(a\sdot b\right)^{\prime\prime}$	ואם על שניים הם שניים
If by thirds, they are thirds. $\scriptstyle a^\circ\times b^{\prime\prime\prime}=\left(a\sdot b\right)^{\prime\prime\prime}$	ואם על שלישיים הם שלישיים
And so on for all the fractions that are multiplied by degrees.	וכן למעלה מהם לכל השברים הנערכים על מעלות
Such as when you wish to multiply 20 degrees by 50 minutes. $\scriptstyle20^\circ\times50^\prime$	כמו שתרצה לערוך כ' מעלות על נ' ראשונים
The result is one-thousand, which are minutes. Divide them by sixty, the result of the division is 16 and 40 minutes remain, which are 5 sixths. Take this ratio from the 20, they are 16 degrees and 40 minutes. $\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ\times50^\prime=1000^\prime=20^\circ\sdot\frac{5}{6}^\circ=16^\circ+40^\prime}}$	יעלו אלף והם ראשונים תחלקם על ששים יצא בחלוק י"ו וישאר מ' ראשונים והוא ה' ששיותיו וכאותו הערך קח מן הב' יהיו י"ו מעלות מ' ראשונים
According to this calculate the seconds, thirds and all the fractions endlessly.	ועל זה תחשב לשניים ולשלישיים ולכל השברים עד אין קץ
Since the calculation of the integers that are multiplied by fractions is decreasing.	כי כל חשבון השלמים הנערכים בשברים הוא פחות פוחת והולך
The saying: "multiply ten by a third or a quarter" is the same as the saying: "how much is a third or a quarter of the ten" and so on to all fractions.	והאומר חשוב עשרה בשליש או ברביע דומה כמי שאומר כמה חלק שליש או רביע מהעשרה וכן לכל השברים

integers by integers and fractions
simple fractions
If you have fractions of the geometricians and you wish to multiply integers by integers and fractions.	ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה לערוך שלמים על שלמים ושברים
Such as two by three and a quarter. $\scriptstyle2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)$	כגון שנים על שלשה ורביע
common denominator: We seek a number that has a third and a quarter, which is twelve and it is the denominator.	נבקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית והוא שנים עשר והוא המורה
Take 12 for each integer:	ותקח לכל אחד שלם י"ב
They are 24 in the first number $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$	והם כ"ד בחשבון האחד
In the second number the result is 36, add to them 3 for the quarter, the result is 39 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+3=36+3=39}}$ .	והחשבון השני השלשה יעלו ל"ו הוסף עליהם ג' בעבור הרביע יעלו ל"ט
We multiply 24 by 39, the result is 936 $\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot39=936}}$	ונערוך כ"ד על ל"ט יעלו תתקל"ו חלקים
Divide them by 144, which is the square of the denominator, the result is six and 72 remain, which are half of 144, thus six and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{936}{12^2}=\frac{936}{144}=6+\frac{72}{144}=6+\frac{1}{2}}}$	חלקם על קמ"ד שהוא מרובע המורה יצא ששה ונשארו ע"ב שהוא חצי קמ"ד והנה ששה וחצי
Know it by leaving [aside] the two as they are two and take four for each of the three for the fraction of the quarter, the result is 12. We add one for the quarter, they are 13. We multiply them by two that we have, the result is 26. We divide by four, the result is six and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{2\sdot\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]}{4}=\frac{2\sdot\left(12+1\right)}{4}=\frac{2\sdot13}{4}=\frac{26}{4}=6+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתעזב השניים כמו שהם שנים ובעבור שבר הרביעית וקח לכל אחד מן השלשה ארבעה יעלו י"ב נוסיף אחד בעבור הרביעית הנה י"ג ערכנום על שנים שהיה לנו עלה כ"ו נחלק על ארבעה יצא ששה וחצי
common denominator: Know it by taking [the number] by which the quarter is denominated, which is four and it is the denominator.	ותדענו שתקח מה שיצא ממנו הרביע והוא ארבעה והוא המורה
We multiply two by 4, the result is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	נערוך שנים על ד' יעלו שמונה
The three by 4, the result is 12 and with the quarter, 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)+1=12+1=13}}$ .	ושלשה על ד' יעלו י"ב ועם הרביעית י"ג
Multiply them one by the other, the result is 104. Divide by the square of the denominator, which is 16, the result is six and eight remain, which are one-half. $\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{8\sdot13}{4^2}=\frac{104}{16}=6+\frac{8}{16}=6+\frac{1}{2}}}$	ערכם זה על זה יצא ק"ד וחלק על מרובע המורה שהוא י"ו יצא ששה וישאר שמונה שהוא חצי אחד
Know it by multiplying two by three, the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ותדענו שתערך שנים על שלשה עלה ששה וישוב ו‫'
Multiply two by a quarter, the result is two quarters, which is one-half, and it will be the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{1}{2}}}$	וערוך על שנים על רביעית עלה שנים רביעיות שהוא חצי וזה יהיה שמור בידך
For the one when it is multiplied by a fraction is the same [as the fraction]. $\scriptstyle1\sdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}$	כי האחד הנערך על שבר הרי הוא כמוהו
It is like saying one in length by one-half in width, which is really nothing but one-half. The same by one-third and by all fractions.	ודומה כמי שאומר אחד באורך על חצי ברוחב וזה באמת אינו כי אם חציו וכן על שליש ועל כל השברים

integers by fractions fractions
If you multiply integers by fractions	ואם תערוך שלמים על שברים
simple fractions
Such as three quarters by nine. $\scriptstyle\frac{3}{4}\times9$	כגון שלשה רביעיות בתשעה
Know by which number the quarters are denominated, it is four.	דע מאיזה מספר הרביעיות והוא מארבעה
Divide the nine by it; the result is two and one-quarter for each. Multiply the result by three; it is six and three-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=3\sdot\frac{9}{4}=3\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{3}{4}}}$	חלק התשעה עליהם יצא לכל אחד שנים ורובע ערוך היוצא על שלשה יהיה ששה וג' רביעיות
Know it [by knowing] by which number the quarters are denominated, it is four and it is the denominator.	ותדענו מאיזה מספר הרביעית והוא מארבעה והוא המורה
We multiply the nine by four; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}$	נערוך התשעה על ארבעה יעלה ל"ו
We multiply them by three for the quarters, which are three; the result is 108. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot36=108}}$	ונערכם על שלשה בעבור הרביעיות שהם שלשה יעלה ק"ח
Divide them by 16, which is the square of the denominator, the result is six integers and 12 remain, which are 3 quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=\frac{108}{4^2}=\frac{108}{16}=6+\frac{12}{16}=6+\frac{3}{4}}}$	חלקם על י"ו שהוא מרובע המורה יצא ששה שלמים וישארו י"ב שהם ג' רביעיות אחד

integers and fractions by integers and fractions
If you multiply integers and fractions by integers and fractions	ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברים
simple fractions
Such as three and a seventh by five and an eighth. $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)$	כגון שלשה ושביעית על חמשה ושמינית
common denominator: Seek for a number that has the two fractions, i.e. a seventh and an eighth, it is 56 and it is the denominator.	בקש חשבון שיש לו שני השברים כלומ' שביעית ושמינית והוא נ"ו והוא המורה
We multiply the first number, which is three, by the denominator; the result is 168. We add to it 8, for the seventh; the result is 176. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot56\right)+8=168+8=176}}$	ונערוך החשבון האחד שהוא שלשה על המורה ויעלה קס"ח ונוסיף עליו ח' בעבור השביעית ועלה קע"ו
We further multiply the first number, which is five, by the denominator; the result is 280. For the eighth we add seven; it is 287. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot56\right)+7=280+7=287}}$	ועוד נערוך החשבון האחד שהוא חמשה על המורה יעלה ר"פ ובעבור השמינית נוסיף שבעה והנה רפ"ז
We multiply 176 by 287; the result is fifty thousand five hundred and twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{176\times287=50512}}$	נערוך קע"ו על רפ"ז עלה חמשים אלף וחמש מאות ושנים עשר
We divide it by three thousand one hundred and thirty-six, which is the square of the denominator; the result of the division is sixteen and 336 remain, which are three-quarters of one-seventh $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{50512}{56^2}=\frac{50512}{3136}\\&\scriptstyle=16+\frac{336}{3136}=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חלקנום על שלשת אלפים ומאה ושלשים ושש שהוא מרובע המורה יצא בחלוק ששה עשר ונשארו של"ו והם שלש רביעיות שביעית אחד
	שהאחד הוא מרובע המורה שהם ושביעיתו הם באותיות הודו ובאותיותנו הם ת'מ'ח‫'
Know it by taking forty for the [five] that have one-eighth with them and add one; the result is 41. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot8\right)+1=40+1=41}}$	ותדענו שתקח לשלשה שיש עמהם שמינית ארבעים והוסף אחד הנה מ"א
$\scriptstyle{\color{red}{\left(3\sdot7\right)+1=21+1=22}}$
We multiply them by each other; the result is nine hundred and two. $\scriptstyle{\color{blue}{22\times41=902}}$	ערכנום זה על זה עלו תשע מאות ושנים
We divide them by 56, which is the product of seven by eight; the result is 16 and 6 remain, which are three-quarters of one-seventh, because one-seventh of 56 is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{902}{7\sdot8}=\frac{902}{56}\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	חלקנום על נ"ו שהוא ערך שבעה על שמונה ויצא י"ו ונשארו ו' שהם שלש רביעיות שביעית אחד כי שביעית נ"ו הם ח‫'
Know it by multiplying three by five; the result is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$	ותדענו שתערוך שלשה על חמשה עלה ט"ו
Multiply three again by one-eighth; the result is 3 eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}}$	ועוד תערוך ג' על שמינית עלה ג' שמיניות
Five by one-seventh is five-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{1}{7}=\frac{5}{7}}}$	וחמשה על שביעית הנה חמש שביעית
We count them as eighths and add them to the three; the result is one unit and five-eighths of one-seventh remain from the excess of the seventh over the eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{5}{7}=1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ונחשוב שהם שמיניות ונחברם עם השלש עלה אחד שלם ונשאר מיתרון השביעית על השמינית חמש שמיניות שביעית
Still you have to multiply one-seventh by one-eighth; the result is one-seventh of one-eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}}}$	ועוד יש לך לערוך שביעית על שמינית והוא שביעית שמינית
Add this to the five that you have and the result is six-eighths of one-seventh. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=15+1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	תחברם עם החמש שיש לך והנה שש שמיניות שביעית
All of these ways yield the same.	וכל הדרכים יצאו שוה

sexagesimal fractions
For the way of the astrologers, as sixty is indivisible by seven nor by eight, do as follows:	ולדרך חכמי המזלות שלא יחלקו ששים על שבעה ולא על שמונה ככה תעשה
Divide one degree into 56 minutes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\circ=56^\prime}}$	שתעשה מן מעלה אחת נ"ו ראשונים
And one minute into 56 seconds $\scriptstyle{\color{blue}{1^\prime=56^{\prime\prime}}}$	ומראשון נ"ו שניים
Since 56 has a seventh and an eighth [= divisible by 7 and 8].	בעבור שנ"ו יש להם שביעית ושמינית
Thus, you should multiply three degrees and 8 minutes, which are one-seventh of 56, by five degrees and 7 minutes, which are one-eighth of 56. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=\left(3+\frac{\frac{1}{7}\sdot56}{56}\right)\sdot\left(5+\frac{\frac{1}{8}\sdot56}{56}\right)\\&\scriptstyle=\left(3^\circ+8^\prime\right)\times\left(5^\circ+7^\prime\right)\\\end{align}}}$	והנה יש לך לערוך שלשה מעלות וח' ראשונים שהם שביעית נ"ו על חמשה מעלות ז' ראשונים שהם שמינית נ"ו
Multiply 3 by 5, which are degrees; the result is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{3^\circ\times5^\circ=15^\circ}}$	תערוך ג' על ה' שהם מעלות עלה ט"ו
Multiply the three integers by seven minutes; the result is 21 minutes. $\scriptstyle{\color{blue}{3^\circ\times7^\prime=21^\prime}}$	ותערוך השלשה שלמים על שבעה ראשונים ועלה כ"א ראשונים
Then, multiply 8 by 5 integers; the result is 40 minutes. $\scriptstyle{\color{blue}{8^\prime\times5^\circ=40^\prime}}$	ואחר כן תערוך ח' על ה' שלמים יעלה מ' ראשונים
We multiply 8 minutes by 7 minutes; the result is 56 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{8^\prime\times7^\prime=56^{\prime\prime}}}$	ונערוך ח' ראשונים על ז' ראשונים יעלה נ"ו שניים
We divide the seconds by 56; the result is one minute, which we add to the minutes, so [they are] 62. $\scriptstyle{\color{blue}{21^\prime+40^\prime+56^{\prime\prime}=21^\prime+40^\prime+1^\prime=62^\prime}}$	נחלק השניים על נ"ו עלה ראשון אשר חברנו עם הראשונים והנה ס"ב
We convert 56 to one degree; the result is sixteen degrees and 6 minutes remain, which are 3 quarters of one-seventh of 56. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)&\scriptstyle=15^\circ+62^\prime=15^\circ+1^\circ+6^\prime\\&\scriptstyle=16^\circ+6^\prime=\left[16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]^\circ\\\end{align}}}$	נעשה מהם מעלה אחת מנ"ו עלה שש עשרה מעלות ונשארו ו' ראשונים שהם ג' רביעיות משביעית נ"ו במעלה אחת

integers and fractions by integers and fractions of fractionsn
If you multiply integers and fractions by integers and fractions of fractions	ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברי שברים
simple fractions
Such as three and a quarter by five and one-sixth of one-seventh. $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]$	כמו שלשה ורביעית על חמשה וששית שביעית
common denominator: Take a number that has a sixth and a seventh, which is 42, multiply it by four, for the quarter, the result is 168 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7\sdot4=42\sdot4=168}}$	קח חשבון שיש לו ששית ושביעית והוא מ"ב גם נערכנו על הארבעה בעבור הרביעית יעלו קס"ח והוא המורה
Convert all the integers to the denominator, sum the fractions [= numerators] with each of the numbers, multiply the sums one by the other, then divide by the square of the denominator - the result of division are the integers and the remainder are the parts of the denominator.	והשב כל השלמים על המורה ותחבר השברים עם כל אחד מהחשבונות והעולה תערוך זה על זה ותחלק על מרובע המורה והיוצא בחלוק הם שלמים והנשאר הם חלקים מהמורה
Know it by multiplying 3 by 5; it is 15 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}$	ותדענו שתערך ג' על ה' והוא ט"ו שלמים
Multiply three by one-sixth of one-seventh; it is 3 sixths of one-seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{3\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}}}$	ותערוך שלשה על ששית שביעית והוא ג' ששיות שביעית
common denominator: Since you find all the fractions that are needed for this calculation, take 84, that has a sixth, a seventh and a quarter, and it is the denominator.	ובעבור שתמצא כל השברים שצריכים לזה החשבון קח פ"ד שיש לו ששית ושביעית ורביעית והוא המורה
Its quarter is 21: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot84=21}}$	ורביעיתו כ"א
Its seventh is 12: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot84=12}}$	ושביעיתו י"ב
Its sixth is 14: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot84=14}}$	וששיתו י"ד
Hence, the 3 sixths of one-seventh resulting by the ratio are six. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{6}{84}}}$	והנה ג' ששיות שביעית שיצאו בערך הם ששה
Multiply a quarter by 5, which are quarters, they are 105 $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times5=\frac{105}{84}}}$	ושוב וערוך רביעית על ה' והם רביעיות שהם ק"ה
Multiply a quarter by one-sixth of one-seventh; it is one half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{84}}}$	ושוב וערוך רביעית על ששית שביעית והוא חצי אחד
When you sum them, the result is 111 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{84}+\frac{105}{84}+\frac{\frac{1}{2}}{56}=\frac{111+\frac{1}{2}}{84}}}$	וכאשר תחברם יעלה קי"א וחצי
Take one integer from them, which is 84, and add it to the 15 integers; the result is 16 integers and 27 and a half still remain. Twenty-one is one-quarter; 6 and a half remain: the six are 2 sevenths of one-quarter and the remaining half is one-sixth of one-seventh of one-quarter. It becomes clear that the result is 16 integers, one-quarter, 2 sevenths of one-quarter and one-sixth of one-seventh of one-quarter. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=15+\frac{111+\frac{1}{2}}{84}=15+\frac{84+27+\frac{1}{2}}{84}=15+1+\frac{27+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{21+6+\frac{1}{2}}{84}=16+\frac{1}{4}+\frac{6+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}$	קח מהם אחד שלם שהוא פ"ד וחברהו עם הט"ו שלמים יעלו י"ו שלמים ונשארו עדין כ"ז וחצי ועשרים ואחד הוא רביעית נשאר ו' וחצי והששה הם ב' שביעיות רביעית והחצי שנשאר הוא ששית שביעית רביעית ונתברר שעלה י"ו שלמים ורביעית וב' שביעיות רביעית וששית שביעית הרביעית
You can extract it in all ways.	ובכל הדרכים תוכל להוציאו

The Third Category: Multiplication of Fractions by Fractions	הענין השלישי מערכת שברים על שברים
sexagesimal fractions
If you have fractions of the astrologers, such as minutes and seconds and you wish to multiply them by minutes and seconds.	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות כגון ראשונים ושניים ותרצה להעריכם על ראשונים ושניים
When you multiply minutes by minutes the result are seconds. $\scriptstyle a'\times b'=\left(a\sdot b\right)''$	כשאתה עורך ראשונים על ראשונים יעלה מן הערך שניים
If minutes by seconds the result are thirds. $\scriptstyle a'\times b''=\left(a\sdot b\right)'''$	ואם ראשונים בשניים יעלה שלישיים
If minutes by thirds the result are fourths $\scriptstyle a'\times b'''=\left(a\sdot b\right)^{iv}$	ואם ראשונים בשלישים יעלה רביעים
If you multiply thirds by thirds the result are sixths $\scriptstyle a'''\times b'''=\left(a\sdot b\right)^{vi}$	ואם שלישים בשלישים אתה עורך יעלה ששיים
If by fourths the result are sevenths $\scriptstyle a'''\times b^{iv}=\left(a\sdot b\right)^{vii}$	ואם ברביעים יעלה שביעים
Since, every number that you multiply by fractions is decreasing from its value by the rank of the fraction by which we multiply. $\scriptstyle\frac{1}{60^n}\sdot\frac{1}{60^m}=\frac{1}{60^{n+m}}$	כי כל מספר שאתה עורך אותו בשברים שברים בשברים הוא פוחת ומתרחק מחשבונו כמרחק השבר אשר נערוך בו
multiplication table of sexagesimal fractions
To make it easier for the reader, I have drawn a table in order to understand the product of fractions by fractions.	ולהקל על הקורא ציירתי לוח להבין העולה משברים על שברים

חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	מעלות
ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	ראשונים
שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	שניים
שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שלישיים
תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמישיים	רביעיים	רביעיים
עשיריים	תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	חמשיים

fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	degrees
sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	minutes
sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	seconds
eighths	sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	thirds
ninths	eighths	sevenths	sixths	fourths	fourths	fourths
tenths	ninths	eighths	sevenths	sixths	fifths	fifths

Instructions for using the multiplication table: when you wish to know the product of one of the types of the fractions that are written in the lines breadthwise [and lengthwise], look at where the two lines meet and this is where the product of both is.	וכאשר תרצה לדעת העולה מאחד ממיני השברים שהם כתובים בטור הרוחב הסתכל במקום אשר ייפגשו שני הטורים זה בזה ושם העולה משניהם
When you multiply fractions by fractions:	וכאשר תערוך שברים על שברים
If the result is less than sixty, you keep it and count it as belonging to the species that resulting from that product. $\scriptstyle ab<60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{a\sdot b}{60^{n+m}}$	אם יהיה העולה פחות מששים אתה מחזיק בו ומונה אותו מאותו המין היוצא מהערך ההוא
But, if it exceeds sixty, you divide it by sixty and the result of the division belongs to the species, which is higher than the species you divided. $\scriptstyle ab>60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{\frac{a\sdot b}{60}}{60^{n+m-1}}$	ואם יהיה מוסיף על ששים אתה מחלק אותו על ששים והיוצא בחלוק הוא מן המין אשר למעלה מאותו המין אשר חלקת אותו
As if you multiply 50 seconds by 50 seconds. $\scriptstyle50^{\prime\prime}\times50^{\prime\prime}$	כאלו היית עורך נ' שניים בנ' שניים
The result is two thousand and 500 fourths. Divide them by sixty. The result of division is 41, which are thirds, and 40 fourths remain, which can not be divided. $\scriptstyle{\color{blue}{50^{\prime\prime}\times50^{\prime\prime}=2500^{iv}=\frac{2500^{\prime\prime\prime}}{60}=41^{\prime\prime\prime}+40^{iv}}}$	יהיה העולה אלפים ות'ק' מאות רביעיים חלקם על ששים יצא בחלוק מ"א והם שלישים ונשארו מ' רביעיים שלא נתחלקו
According to this way for all fractions.	ועל זה הדרך לכל השברים
simple fractions
If you divide the fractions of the geometricians one by another.	ואם שברי חכמי המדות תערוך זה על זה
fraction by fraction Such as two thirds by two fifths. $\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}$	כגון שני שלישיים על שני חמישיים
This is the sign that you keep the names of the fractions:	זה לך האות שתשמור שמות השברים
Know that the thirds are derived from three and the fifths from five.	ודע כי השלישים הם חצובים משלשה והחמישיים מהחמשה
common denominator: Multiply 3 by five, they are 15 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	וערוך ג' על חמשה והם ט"ו והוא המורה
Then multiply two by two, they are four $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ואחר כן תערוך שנים על שנים והם ארבעה
As the ratio of four to 15 so is the ratio of this number to one, which is a fifth and a third of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	וכערך ארבעה מט"ו כן ערך חשבון זה מאחד והוא חמישית ושליש חמישית
The reason is that saying a third by a fifth is as saying a third of a fifth, which is one part of 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}}}$	והטעם כי האומר שלישי על חמישי דומה כמי שאומר שלישית מחמישית שהוא חלק אחד מט"ו
Or it is as saying a third lengthwise by a fifth breadthwise and it is clear that it is one part of 15.	או דומה כמי שאומר שלישי באורך על חמישי ברוחב וידוע וברור שהוא חלק אחד מט"ו

fraction by fraction of fraction If you multiply 2 parts of five by a tenth by 2 thirds. $\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{3}$	ואם תערוך ב' חלקים מחמשה בעשירית האחד בב' שלישי אחד
Know that the name of one part is fifty, as the number of five by ten. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot10=50}}$	דע כי שם החלק האחד הוא חמשים כמספר חמשה בעשרה
Multiply the 50 by 3, which is the name of the other part; the result is 150 and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot3=150}}$	ותערוך הנ' בג' שהוא שם החלק השני ויעלה ק"נ והוא המורה
As the ratio of 4, which is the [common numerator of] both numbers, to 150 so is its ratio to one and it is two-thirds of one-fifth of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\right)\times\frac{2}{3}=\left(2\sdot2\right):150=4:150=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	וכערך ד' שהם שני החשבונות מן ק"נ כן ערך ערכו מן האחד והוא שני שלישי חמישית החמישית

fraction of integer and fraction by fraction of integer If you multiply three-quarters of three and one-third by six-sevenths of five. $\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)$	ואם תערוך שלשה רביעיות [ש]ל שלשה ושליש על ששה שביעיות חמשה
Know from which number the quarter is derived - it is from four.	דע מאיזה מספר יצא הרביע והוא מארבעה
Take its three-quarters, they are three. Multiply them by three and one-third; the result is ten, keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=3\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}$	קח שלשת רביעיותיו יהיו שלשה ערכם בשלשה ושליש יעלה עשרה ושמרם
Then, take six-sevenths of five, it is four and 2-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot5=4+\frac{2}{7}}}$	ואחר כך תקח ששה שביעיות חמשה והוא ארבעה וב' שביעיות
Multiply them by the reserved; the result is 42 and six-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)=42+\frac{6}{7}}}$	ערכם על השמור יעלה מ"ב וששה שביעיות
Divide them by four; the result of the division is ten integers and 5-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\frac{42+\frac{6}{7}}{4}=10+\frac{5}{7}}}$	תחלקם על ארבעה יצא בחלוק עשרה שלמים וה' שביעיות
Know it by knowing from which number the seventh is derived - it is from seven.	ותדענו דע מאיזה מספר הוא השביעית והוא משבעה
Take its six-sevenths and multiply them by five; the result is thirty, keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{6}{7}\sdot7\right)\sdot5=30}}$	קח ששה שביעיותיו ותערכם בחמשה יעלה שלשים ושמרם
Then, take three-quarters of three and one-third, it is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=2+\frac{1}{2}}}$	ואחר כך תקח שלשה רביעיות משלשה ושליש והוא שנים וחצי
Multiply them by the reserved, which are 30; the result is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot30=75}}$	ערכם על השמור שהם ל' יעלה ע"ה
Divide them by 7; the result of the division is ten and five-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)= \frac{75}{7}=10+\frac{5}{7}}}$	חלקם על ז' יצא בחלוק עשרה וחמשה שביעיות
Know it by multiplying two and a half, which is the first number, by four and 2-sevenths, which is the [second] number; the result is ten and 5-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)=10+\frac{5}{7}}}$	ותדענו שתערוך שנים וחצי שהוא החשבון האחד על ארבעה וב' שביעיות שהוא החשבון יעלה עשרה וה' שביעיות

fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction If you multiply seven eighths of 5 and a third by 3 fifths of 6 and a quarter. $\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]$	ואם תערוך שבעה שמיניות של ה' ושליש בג' חמישיות של ו' ורובע
Know by which number the eighth is [denominated], it is eight. Take 7 eighths from eight, it is 7. Multiply it by 5 and one-third; the result is 37 and one-third. Keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=7\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=37+\frac{1}{3}}}$	דע מאיזה מספר השמינית והוא משמנה קח ז' שמיניות והוא ז‫' ערכם בה' ושליש יעלה ל"ז ושליש ושמרם
Know by which number the fifth is [denominated], it is five. Take its 3 fifths, they are 3. Multiply them by six and one-quarter; the result is [18] and 3 quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=3\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=18+\frac{3}{4}}}$	ואחר כך דע מאיזה מספר החומש והוא מחמשה קח ג' חמישיותיו והם ג‫' ערכם בששה ורביע יעלה [י"ח] וג' רביעיות
Multiply them by the reserved, the result is 139 and 4 quarters. Divide them by eight and the result of the division is seventeen and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\frac{139+\frac{4}{4}}{8}=17+\frac{1}{2}}}$	תערכם על השמור יעלה קל"ט וד' רביעיות תחלקם על שמונה יצא בחלוק שבעה עשר וחצי
Or, if you wish, divide the resereved, which is 37 and one-third, by eight. Multiply the result, which is 4 and 2 thirds, by 18 and three-quarters. Divide the result, which is 87 and a half, by five and the result is 17 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\frac{\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(18+\frac{3}{4}\right)}{5}\\&\scriptstyle=\frac{87+\frac{1}{2}}{5}=17+\frac{1}{2}\\\end{align}}}$	או אם תרצה תחלק השמור שהוא ל"ז ושליש על שמונה והעולה שהוא ד' וב' שלישים תערוך על י"ח ושלשה רביעיות והעולה שהוא פ"ז וחצי תחלק על חמשה יצא י"ז וחצי
Know it by converting the five and one-third to thirds; they are 16 thirds. Take their 7 eighths; the result is 14. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{8}\sdot\frac{16}{3}=\frac{14}{3}}}$	ותדענו שתשיב החמשה ושליש כלם שלישים יהיו י"ו שלישים קח ז' שמיניותיו והעולה שהוא י"ד ושמרם
Return to the six and one-quarter and convert them to quarters; they are 25. Take their three fifths. Divide the result, which is 15, by four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{5}\sdot\frac{25}{4}=\frac{15}{4}}}$	ושוב אל הששה ורביע תשיבם כלם רביעיות ויהיו כ"ה קח שלשת חמישיותיו והעולה שהוא ט"ו תחלק על ארבעה
Multiply the result of the division, which is three and three-quarters, by the reserved, then divide the result by three; the result is 17 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{14\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)}{3}=17+\frac{1}{2}}}$	והיוצא בחלוק שהוא שלשה ושלשה רביעיות תערכם על השמור והעולה תחלק על שלשה יצא י"ז וחצי
Or, if you wish, divide the resereved, which is 14, by three. Multiply the result, which is 4 and two-thirds, by 15. Divide the result, which is 70, by 4 and the result is 17 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot15}{4}=\frac{70}{4}=17+\frac{1}{2}}}$	או אם תרצה תחלק השמור שהם י"ד על שלשה והיוצא שהוא ארבעה ושני שלישיים תערוך בט"ו והעולה שהוא ע' תחלק על ד' יצא י"ז וחצי

fraction of fraction by fraction of fraction
If you multiply 3 quarters of 3 fifths by 5 sixths of 3 sevenths. $\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)$	ואם תערוך ג' רביעיות של ג' חומשין בה' שתותין של ג' רביעיות
Know from which number the quarter and the fifth are derived, it is twenty. Its 3 fifths are 12. Take its three-quarters, which is 9, they are 2 fifths and one-quarter of one-fifth. Keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}=\frac{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\sdot20}{20}=\frac{\frac{3}{4}\sdot12}{20}=\frac{9}{20}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	דע מאיזה מספר הרובע והחומש והוא מעשרים וג' חומשיו הוא י"ב קח שלשה רביעיותיו והוא ט' שהם ב' חמישיות ורביעית חמישית ושמרם
Then, take the second number and know from which number the sixth and the seventh are derived, it is 42. When you take its five-sixths of three-sevenths the result is 15, which are two-sevenths and one-half of one-seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}=\frac{\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\sdot42}{42}=\frac{15}{42}=\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ואחר תקח החשבון השני ודע מאיזה מספר השתות והשביעית והוא מ"ב וכאשר תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות יעלה ט"ו שהם שתי שביעיות וחצי שביעית
When you multiply the reserved 2 fifths and one-quarter of one-fifth by two-sevenths and one-half of one-seventh, look for a number that has a quarter, a fifth and a seventh; it is 140 and this is the denominator. You get from the multiplication of the one by the other 22 and a half, which are parts of the denominator, and they are one-seventh and one-eighth of one-seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)&\scriptstyle=\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{140\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{140}\\&\scriptstyle=\frac{22+\frac{1}{2}}{140}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	וכאשר תערוך הב' חמישיות ורביעית חמישית השמורים על שתי שביעיות וחצי שביעית בקש לך חשבון שיהיה לו רביעית וחמישית ושביעית והוא ק"מ והוא המורה ועלה בידך ממערכת זה על זה כ"ב וחצי והם חלקים מהמורה והם שביעית ושמינית שביעית
Know it by knowing the three-quarters of three fifths, which are 9, as said. Then take five-sixths of three-sevenths, which are two-sevenths and one-half of one-seventh. Take the ratio of two-sevenths and one-half of one-seventh from the nine; the result is three and one-seventh and one-half of one-seventh. Take the ratio of the result from the twenty, from which the quarter and the fifth are derived, and so is the ratio of the number to the one, which is one-seventh and one-eighth of one-seventh. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)&\scriptstyle=\frac{9}{20}\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{9\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{20}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}{20}\\&\scriptstyle=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$	ותדענו שתדע השלשה רביעיות של שלשה חומשין שהוא ט' כאשר אמרנו ואחר כך תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות שהם שני שביעיות וחצי שביעית ותקח מן התשעה כערכם שתי שביעיות וחצי שביעית יעלה שלשה ושביעית וחצי שביעית וכערך העולה קח מן העשרים אשר יצאו הרביע והחומש ממנו וכן החשבון מן האחד והוא שביעית ושמינית שביעית
If you multiply two parts of a five by one-tenth by two parts of an eight by one-third. $\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)$	ואם תערוך שני חלקים מחמשה בעשירית האחד בשני חלקים משמונה בשלישית האחד
know the names of the parts of the second number, which are eight and three. Multiply them by each other, the result is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot3=24}}$	דע שמות החלקים חלקי החשבון השני והם שמונה ושלשה ערכם זה בזה יעלה כ"ד
Multiply 50 by 24, the result is one thousand and two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot24=1200}}$	ותערוך נ' בכ"ד ויעלה אלף ומאתים
As the ratio of the numerators of both numbers, which are two by two, to one thousand and two hundred, so is their ratio to one, which is one part of three hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot2\right):1200=\frac{1}{300}}}$	וכערך שמות שני החשבונות שהם שנים שנים מן אלף ומאתים כן ערכם מן האחד והוא חלק אחד משלש מאות
Know it by taking from the 50 two parts a five of one-tenth, which are two, and it is one-fifth of one-fifth by one-quarter of one-third. It is the same as to say one-fifth of one-fifth from one-quarter of one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5\sdot10}\sdot\frac{2}{8\sdot3}=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)}}$	ותדענו שתקח מן הנ' שני חלקים מחמשה בעשירית והם שנים והוא חומש החומש על רביעית השליש הוא כמי שיאמר חומש החומש מרביעית השליש
Now, look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and one-fifth of one-fifth. It is 300.	ועתה בקש חשבון שליש ורביע וחומש וחומש החומש והוא שלש מאות
Take its third, which is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot300=100}}$	קח שלישיתו והוא ק‫'
From the 100 [take] its quarter, it is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot100=25}}$	ומן הק' רביעיתו והוא כ"ה
From 25 [take] its fifth, it is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot25=5}}$	ומן כ"ה חמישיתו והוא ה‫'
From 5 [take] its fifth, it is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot5=1}}$	ומן ה' חמישיתו והוא אחד
It has been found that [the answer] is one part of three hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{300}}}$	ונתברר שהוא חלק אחד משלש מאות
From these examples and ways you can understand the fractions of fractions and all of them are present for the one who understands.	ומן הדמיונות והדרכים האלה תוכל להבין בשברי השברים וכולם נכוחים למבין

Chapter Four: Division	השער הרביעי במחלוקת
It is divided into three categories:	והוא נחלק לשלשה ענינים
[The First Category]: Division of Integers by Integers	חלוקת שלמים על שלמים
sexagesimal fractions
If you wish to divide degrees by degrees according to the calculation of the astrologers:	אם תרצה לחלק מעלות על מעלות לחשבון חכמי המזלות
greater by smaller: If you divide a greater number by a smaller [number], the result of division are degrees.	אם תחלק חשבון רב על מעט יהיה היוצא בחלוק מעלות
If there is a remainder that cannot be divided, multiply the remainder by sixty - they are minutes; then it is divided by the [original divisor] and the result of division are minutes. $\scriptstyle a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}$	ואם ישאר שלא יתחלק ערוך הנשאר על ששים יהיו ראשונים ויתחלק על מה שחלקת בראשונה והיוצא בחלוק הם ראשונים
If there is still a remainder that cannot be divided, multiply it by sixty, then divide by the [original divisor] and the result are seconds. $\scriptstyle a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}+\frac{r_2\sdot60}{60^2}$	ואם ישאר שלא יתחלק תערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא הם שנים
And so on, as much as you wish.	וכן עד כמה שתרצה
smaller by greater: If you wish to divide a smaller number by a greater [number], multiply the smaller [number] by sixty - they are minutes; then, divide [by the greater number] and the result of division are minutes. $\scriptstyle a<b\longrightarrow a\div b=\frac{\frac{a\sdot60}{b}}{60}$	ואם רצית לחלק חשבון מועט על רב תערוך המועט על ששים יהיו ראשונים ואחר כך תחלוק והיוצא בחלוק הם ראשונים
If there is a remainder that cannot be divided, multiply it by sixty, then divide by the [original divisor] and the result are seconds.	ואם ישאר שלא יחלק ערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת יהיה היוצא שניים
And so on for thirds, fourths and to infinity.	וכן לשלישיים ולרביעיים עד אין קץ
simple fractions
If according to the calculation of the geometricians.	ואם לחשבון חכמי המדות
greater by smaller: If you wish to divide a greater number by a smaller [number].	תרצה לחלק חשבון רב על מועט
Such as when you wish to divide one-hundred by 15. $\scriptstyle100\div15$	כגון שתרצה לחלק מאה על ט"ו
Look for a number that counts both, it is five. Take a fifth of one-hundred, it is 20. Divide by a fifth of 15, which is 3; the result of the division is six and two-thirds and so is [the quotient of] 100 by 15. $\scriptstyle{\color{blue}{100\div15=\frac{\frac{1}{5}\sdot100}{\frac{1}{5}\sdot15}=\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}$	בקש חשבון שהיה מונה לשניהם והוא חמשה קח חמישית מאה והוא כ' וחלק על חמישית ט"ו והוא ג' יצא בחלוק ששה ושני שלישיות וככה מק' על ט"ו
If you divide one-thousand by seventy-two. $\scriptstyle1000\div72$	ואם תחלק אלף על שנים ושבעים
The number that counts both is eight. One-eighth of 72 is nine and one-eighth of one-thousand is 125. Divide the greater by the smaller; the result of the division is 14 minus one-ninth and so is [the quotient of] one-thousand by 72. $\scriptstyle{\color{blue}{1000\div72=\frac{\frac{1}{8}\sdot1000}{\frac{1}{8}\sdot72}=\frac{125}{9}=14-\frac{1}{9}}}$	החשבון שמונה לשניהם הוא שמונה ושמינית ע"ב תשעה ושמינית אלף קכ"ה חלק המרובה על המועט יצא בחלוק י"ד פחות תשיעית וככה מאלף על ע"ב
If you cannot find a number that counts the two numbers:	ואם יהיו שני החשבונות שלא תמצא להם חשבון שמונה לשניהם
Such as when you wish to divide 40 by 7. $\scriptstyle40\div7$	כגון שתרצה לחלק מ' על ז‫'
The result of the division is 5 and you are left with 5. Make sevenths from them, so the result of the division is 5 integers and 5-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{40\div7=5+\frac{5}{7}}}$	יצא בחלוק ה' וישארו לך ה‫' עשה מהם שביעיות יצא בחלוק ה' שלמים וה' שביעיות
smaller by greater: If you divide a smaller [number] by a greater [number].	ואם מספר מועט תחלק על רב
Such as 15 by 100. $\scriptstyle15\div100$	כמו ט"ו על ק‫'
This category is derived from the ratios:	זה הענין יצא מהערכים
You already know that the five counts both: 3 times for 15 and [20] times for 100. Hence, as the ratio of 3 to 20, which is one-tenth and one-half of one-tenth, so is the ratio of 15 to one-hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{15\div100=\frac{\frac{1}{5}\sdot15}{\frac{1}{5}\sdot100}=\frac{3}{20}=\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	וכבר ידעת כי החמשה מונה לשניהם למספר ט"ו ג' פעם ולמספר ק' פעם וכערך ג' אל כ' שהוא עשור וחצי עשור כך ערך ט"ו אל מאה
If you cannot find a number that counts both:	ואם לא תמצא מספר שיהיה מונה לשניהם
Such as 7 by 40. $\scriptstyle7\div40$	כגון ז' על מ‫'
Take one part of the greater number, then take its ratio from the smaller [number].	קח חלק אחד מהמספר הרב ותערוך המועט אליו
In this example, take one-tenth of the 40, which is 4; or its fifth, which is 8; or its eighth, which is 5.	ובדמיון זה תקח עשור המ' והוא ד' או חמישיתו והוא ח' או שמיניתו והוא ה‫'
If you took its tenth, when you take its ratio from the 7, you find in it two-tenths minus one-quarter of one-tenth. Hence, each part of the 40 is two-tenths minus one-quarter of one-tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{10}\sdot40}\sdot\frac{1}{10}=\frac{7}{4}\sdot\frac{1}{10}=\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	אם עשיריתו לקחת כאשר תערוך הז' אליו תמצא בו שנים עשיריות פחות רביע העשור וכן יגיע לכל אחד מן המ' שני עשיריות אחד פחות רביע העשור
Or one-fifth minus one-eighth of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{5}\sdot40}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	או חומש פחות שמינית החומש
Or one-eighth plus two-fifths of one-eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{8}\sdot40}\sdot\frac{1}{8}=\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	או שמינית וב' חמישיות שמינית
This is the result of the division for each.	וככה יצא בחלוק לכל אחד
Check: Its check is when you multiply two-tenths minus one-quarter of one-tenth by 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\sdot40=7}}$	ובחינתו שכשתערוך שנים עשיריות אחד פחות רביע העשור על מ‫'
Or, one-fifth minus one-eighth of one-fifth by 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot40=7}}$	או חומש אחד פחות שמינית החומש על מ‫'
Or, one-eighth and 2-fifths of one-eighth by 40. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot40=7}}$	או שמינית וב' חמישיות שמינית על מ‫'
The result is 7 integers no more and no less.	יעלה ז' שלמים בלי חסר ויתר
Word Problems - Divide a Quantity Problems
Dividing a known quantity among a known number of people in given ratios
double ratio - each one receives double the previous If you wish to divide a known number among a known [number of] people and give each double of [the share of] his friend. You wish to know how much should you give the first, so that the whole number is divided no more and no less. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_n=m\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}$	ואם תרצה לחלק מספר ידוע על אנשים ידועים ולתת לכל אחד ואחד כפל חברו ותרצה לדעת כמה תתן לראשון שיתחלק כל המספר בלא תוספת ובלא מגרעת
Such as when you divide 100 among 4, so that each has double of [the share of] his friend. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}$	כמו שתחלק מספר ק' על ד' כל אחד ואחד כפל חבירו
Know how much is the sum of the even-times-evens from one up to four people, then divide the number by the sum and the result is the share of the first. $\scriptstyle a_1=\frac{m}{\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}}$	זה תדע מאחד כמה יתחבר בתוספת הכפל לארבעה אנשים ועל המחובר תחלק המספר והיוצא הוא חלק הראשון
It is known that the sum of the even-times-evens for four people is 15. Divide the 100 by it; the result of the division is six and 2-thirds and so is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}}=\frac{100}{15}=6+\frac{2}{3}}}$	וכפל הכפל לארבעה אנשים ידוע הוא שהם ט"ו חלק עליהם הק' יצא בחלוק ששה וב' שלישיים וככה חלק הראשון
likewise if it is said to add to the second a half of what the first has, to the third a third of what the the second has, and to the fourth a quarter of what the third has $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{3}a_2\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{4}a_3\end{cases}$	וכן אם יאמר להוסיף לשני חצי הראשון ולשלישי שלישית השני ולרביעית רביעית השלישי
Know how much is summed from one up to four, it is known that it is summed to 7 integers.	תדע זה מאחד כמה יתחבר עד ארבעה וידוע הוא שיתחבר ז' שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=7}}

Divide the 100 by them; the result of division is 14 and two-sevenths and so is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{7}=14+\frac{2}{7}}}$	תחלק עליהם הק' יצא בחלוק י"ד ושתי שביעיות וככה חלק הראשון
According to this way for every number whether great or small.	ועל זה הדרך לכל מספר בין רב למעט
If you divide 10 by 2, then you divide the result of the first division by 3, then by 4 and then by 5. You wish to know how much the share of the fifth is. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=100\\\scriptstyle a_2=\frac{a_1}{2}\\\scriptstyle a_3=\frac{a_2}{3}\\\scriptstyle a_4=\frac{a_3}{4}\\\scriptstyle a_5=\frac{a_4}{5}\end{cases}$	ואם תחלק ק' על ב' והיוצא בחלוק האחד תחלק על ג' והיוצא על ד' והיוצא על ה' ותרצה לדעת כמה חלק החמישי
Multiply the two by three, then by 4, then by 5; the result is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}$	ערוך השנים בשלשה והעולה בד' והעולה בה' יעלה ק"כ
When you divide the 100 by the result, which is 120, the result is one minus one-sixth and so is the share of the fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{100}{120}=1-\frac{1}{6}}}$	וכאשר תחלק הק' על העולה שהוא ק"כ יצא אחד פחות שתות וככה חלק החמישי
arithmetic progression: If you divide 90 between 9 people, so that each one exceeds over his friend by one. How much will be given to the first? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_9=90\\\scriptstyle d=1\end{cases}$	ואם תחלק צ' על ט' אנשים ושיוסיף כל אחד על חברו אחד כמה יתן לראשון ויצא שוה
This is the rule that you have: subtract one from the number of the people; the remainder is eight. Know how much is the sum from one up to eight, by adding one to eight, then multiplying the sum by half the eight; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{9-1} i=\sum_{i=1}^{8} i=\left[\left(8+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]=36}}$	זה הכלל יהיה בידך שתגרע אחד מחשבון האנשים והנשאר שהם שמונה דע כמה יתחבר מאחד ועד שמונה והוא שתוסיף אחד על שמונה והמחובר תערוך על חצי השמונה יעלה ל"ו
Subtract it from ninety and divide the remainder, which is fifty-four, by the nine. The result, which is six, is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{90-36}{9}=\frac{54}{9}=6}}$	גרע אותם מהתשעים והנשאר שהוא ארבעה וחמשים חלקם על התשעה והיוצא שהוא שוה ששה הוא חלק הראשון
[this is the general rule for arithmetic progression:] This is the rule that will guide you in all the questions that are similar to this one, when all the excesses are equal, so that the excess of the third over the second is the same as the excess of the fourth over the third and of the fifth over the fourth and so on. [ $\scriptstyle{\color{red}{a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\ldots}}$ ] [ $\scriptstyle{\color{red}{a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d}}$ ] [ $\scriptstyle{\color{red}{a_1=\frac{S_n-\sum_{i=1}^{n-1} i}{n}=\frac{S_n-\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]}{n}}}$ ]	וזה הכלל ידריכך בכל השאלות הדומות לזו שיהיו כל התוספות שוות שיהיה תוספת השלישי על השני כתוספת רביעי על השלישי והחמישי על הרביעי וכן כלם
If you divide eighty between five people, so that the second exceeds over the first by 3, the third [exceeds] over the second by one, the fourth [exceeds] over the third by two, and the fifth [exceeds] over the fourth by six. You wish to know how much will be given to the first. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_5=80\\\scriptstyle a_2=a_1+3\\\scriptstyle a_3=a_2+1\\\scriptstyle a_4=a_3+2\\\scriptstyle a_5=a_4+6\end{cases}$	ואם תחלק שמונים על חמשה אנשים ושיוסיף השני על הראשון ג' והשלישי על השני אחד והרביעי על השלישי שנים והחמישי על הרביעי ששה ותרצה לדעת כמה יתן לראשון
Sum up all the excesses over the first, they are 25. Subtract them from the eighty and divide the remainder by the number of the people. The result of division is 11 and it is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{80-\left[3+\left(3+1\right)+\left(3+1+2\right)+\left(3+1+2+6\right)\right]}{5}=\frac{80-25}{5}=\frac{55}{5}=11}}$	חבר כל התוספות שיש על הראשון יעלו כ"ה וגרעם מהשמונים והנשאר שהוא נ"ה חלק על האנשים יצא בחלוק י"א וככה חלק הראשון
If you divide a known number between three people. You wish to know how much will be given to each. $\scriptstyle S_3=a_1+a_2+a_3$	ואם תחלק מספר ידוע לשלשה אישים ותרצה לדעת כמה נתן לכל אחד
$\scriptstyle a_1=\frac{S_3^2-\left[2a_1+\left[a_2\sdot\left(S_3-1\right)\right]+\left(a_3\sdot S_3\right)\right]}{S_3-2}$	ככה תעשה שתצוה לו לכפול חלק הראשון וחלק השני כלו יערוך על המספר פחות אחד וחלק השלישי על המספר כלו ויחבר הכל ואחר כן תשאל ממנו כמה יש להשלמת מרובע החשבון אשר חילק ומה שיהיה חלק על המספר ההוא אשר חילק פחות שנים והיוצא בחלוק הוא חלק הראשון ומה שישאר ולא יוכל לחלקו עד שיעשנו ש[...]ים הוא חלק השני ו[.]ה תדע השלישי
	וזה החשבון פעמים שישתבש שיצא הכל בחלוק וכאשר יקרך זה תדע שלא נתן לראשון כי אם אחד בלבד והנשאר כלו תן לשני ומהם תדע השלישי
The Second Category: Division of Fractions by Integers or Integers by Fractions	הענין השני חלוקת שברים על שלמים או שלמים על שברים
sexagesimal fractions
If you have fractions of the astrologers	אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות
sexagesimal fractions ÷ degrees = sexagesimal fractions	ותרצה לחלקם על מעלות יהיה היוצא בחלוק ממין השבר
minutes ÷ degrees = minutes	אם ראשונים ראשונים
seconds ÷ degrees = seconds	ואם [שניים] שניים
	וכן לכל השברים, מפני שכל שבר אשר אתה עורך אותו במעלה יהיה העולה ממין השבר ההוא
$\scriptstyle\frac{b}{60^n}\div a=\frac{\frac{b}{a}}{60^n}=\frac{k}{60^n}+\frac{\frac{m\sdot60}{a}}{60^{n+1}}$	ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה אחת מן המין הראשון
degrees ÷ sexagesimal fractions = degrees $\scriptstyle a\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{b}$	ואם תחלק מעלות על שברים אתה משיב המעלות אל המין אשר אתה רוצה לחלוק עליו ותחלק מין על מינו ויהיה היוצא בחלוק מעלות
	ואתה צריך לעולם להשיב המעלות אל המין אשר תרצה לחלק עליו
	וגם אם יהיו המעלות רבות
As if you wish to divide ten degrees by five minutes $\scriptstyle10^\circ\div5^\prime$	כגון שתרצה לחלק עשרה מעלות על חמשה ראשונים
It is impossible to say: divide ten by five, so that the result of division will be 2 degrees. $\scriptstyle{\color{blue}{10^\circ\div5^\prime\ne10\div5=2^\circ}}$	אי איפשר לומ' שתחלק עשרה על חמשה ויצא בחלוק ב' מעלות
Since when you multiply degrees by minutes they are minutes, as we have said in the Chapter on [Multiplication]. degrees × minutes = minutes	כי כאשר תערוך מעלות על ראשונים יהיו ראשונים כאשר אמרנו בשער המגרעת
In addition, for every number, when you multiply the result of division by the divisor, the result will be the divided number. $\scriptstyle\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a$	וכל חשבון כאשר תערוך מה שיצא בחלוק על הנחלק עליו יעלה החשבון המחולק
Therefore, you multiply the ten by sixty, the result is 600. Then, divide [them] by five, the result of division is 120, which are degrees. $\scriptstyle{\color{blue}{10^\circ\div5^\prime=10\div\frac{5}{60}=\frac{10\sdot60}{5}=\frac{600}{5}=120^\circ}}$	ומפני זה אתה עורך העשרה על ששים יעלו ת"ר ותחלק על חמשה יצא בחלוק ק"כ והם מעלות
	כי המחלק עשרה מעלות על ה' ראשונים כך הוא רוצה לעשות שיחלק הי' מעלות שלא יהיה בצד האחד שהוא הרחב כי אם ה' ראשונים ותמצא שיהיה באורך ק"כ מעלות
	ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה מן המין הראשון
simple fractions
	ואם שברי חכמי המדות תחלק
integer by integer and fraction
$\scriptstyle100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)$	כגון מי שמחלק ק' על שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)=100\sdot\frac{1}{2+\frac{1}{4}}=100\sdot\frac{4}{9}=44+\frac{4}{9}}}$	דע מה ערך האחד מן השנים ורביע והוא ארבע תשיעיות וקח ארבעת תשיעיות הק' שהם מ"ד שלמים וד' תשיעיות וכן יגיע לכל אחד מהשנים ורביע
integer by fraction of integer and fraction
If you divide twenty by two-thirds of seven and one-fifth. $\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]$	ואם תחלק עשרים על שני שלישי שבעה וחומש
know how much two-thirds of seven and one-fifth are. They are 4 and four-fifths, which are 24 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)=4+\frac{4}{5}=\frac{24}{5}}}$	דע כמה שני שלישי ז' וחומש והוא ארבעה וארבע חומשין שהם כ"ד חומשין
Know what the ratio of one to them is. It is one-sixth and one-quarter of one-sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{1:\frac{24}{5}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ודע מה ערך האחד מהם והוא שתות ורובע השתות
Take from twenty its one-sixth and one-quarter of one-sixth. They are four and one-sixth and so is the part of each. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]=20\sdot\left[\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=4+\frac{1}{6}}}$	וקח מהעשרים שתותם ורובע שתותם והם ארבעה ושתות וככה חלק כל אחד
integer and fraction by fraction
$\scriptstyle\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}$	ואם תחלק ב' על ג' שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}=\left(2+\frac{6}{7}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{7}}=\frac{20}{7}\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=7-\frac{1}{3}}}$	דע בכמה ישלמו הג' שביעיות עד שי' שיהיו אחד והוא שנים פעמים ושליש פעם ערכם בעשרים שביעיות, יעלה ז' פחות שליש וככה חלק כל אחד
integer and fraction by fraction and fraction of fraction
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]$	ואם תחלק עשרים על ז' שמיניות וחצי שמיניות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=3-\frac{1}{3}\\\end{align}}}$	דע בכמה ישלמו הז' שמיניות וחצי שמיניות עד שיהיו אחד והוא אחד ושליש חומש תערכם על עשרים שמיניות יעלה כ"א שמיניות ושליש שהם שנים וה' שמיניות ושלש שמינית שהם ג' פחות שליש
Completion of Fractions
The way to know the multiplicative inverses of fractions so that they become one:	ודרך לדעת תשלומי השברים עד אשר יהיו אחד ככה תדענו
Such as when you wish to know how 3-eighths are completed until they become one one. $\scriptstyle a\sdot\frac{3}{8}=1$	כגון שתרצה לדעת איך ג' שמיני האחד ישלמו עד שיהיו אחד שלם
Know that the name of the eighths is derived from eight and the number of the times that the three are counting the eight, is 3 times minus one-third. By this number you multiply the three-eighths and the result is one. $\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\frac{3}{8}=1\longrightarrow a=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}$	דע כי שם השמיניות הוא משמונה ומספר הפעמים אשר השלשה מונים את השמונה הם ג' פעמים פחות שליש וכמספר הזה אתה חושב את שלשת השמיניות ויהיו אחד
For The number of times that one number [i.e., the numerator] counts the denominator is the same as [the number of times that] the part counts the one. $\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}$	כי כמנין הפעמים אשר מספר אחד מונה את המספר המוכיח כמוהם החלק מונה את האחד
Such as if you wish to complete 2-fifths and one-tenth of the fifth until they become one. $\scriptstyle a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1$	כגון שתרצה להשלים ב' חמישיות ועשירית החומש עד שיהיו אחד
Look for a number that has a fifth and a tenth, which is 50, and it is the denominator which in this book is called "moreh".	בקש חשבון שיהיה לו חמישית ועשירית והוא נ' והוא המוכיח אשר נקרא בספר הזה המורה
2-fifths of this number and one-tenth of its fifth is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot50=21}}$	וב' חמישי המספר הזה ועשירית חמישיתו הוא כ"א
This number counts the fifty 2 times and one-third and one-seventh of one-third of one time. According to this will be the complementary fraction of 2-fifths and one-tenth of one-fifth so it becomes one. $\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1\longrightarrow a=\frac{50}{21}=2+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)}}$	והמספר הזה מונה את החמשים ב' פעמים ושליש פעם ושביעית השליש וכענין הזה יהיו תשלומי ב' חמישיות ועשירית החומש ויהיה אחד
For an integer you can also say the same way.	וגם במספר השלם אתה יכול לומר על זה הדרך
Such as if you wish to complete the seven until they become 16. $\scriptstyle a\sdot7=16$	כגון שתרצה להשלים את השבעה עד שיהיו י"ו
You know that the seven counts 16 two times and two-sevenths of a time and this is its complementary number to 16. $\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot7=16\longrightarrow a=\frac{16}{7}=2+\frac{2}{7}}}$	אתה יודע כי השבעה מונה את י"ו שני פעמים ושני שביעי פעם ובהם ישלמו י"ו
	ועל זה הדרך תוכל למצא לכל חשבון
$\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24$	ואם תחלק שלשה רביעיות של שלשה חומשי תשעה על כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{27}{5}\right)\div24=\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}}}$	וידוע כי שלשה חומשי תשעה הם כ"ז חומשין ושלשה רביעיותיהם הם ד' שלמים וחצי עשירית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{8\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ולפיכך אמ' המחבר תקח וכו', תקח חלק אחד מכ"ד שמיניתו והוא ג', או שלישיתו והוא ח', או רביעיתו והוא ו‫' אם שמיניתו לקחת כאשר תערוך הד' וחצי עשירית אחד אליו תמצא בו פעם אחת שמינית ושליש שמינית וחצי עשירית שליש שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{3\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{3}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם שלישיתו לקחת תמצא בו חצי שלישיתו וחצי עשירית שמינית שלישית
	ואם רביעיתו לקחת תמצא בו שני שלישי שלישית וחצי עשירית ששית רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{4\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{4}=\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	וככה יצא בחלוק לכל אחד מכ"ד
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{result\times24=4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	והבחינה כשתערוך איזה שתרצה מהחלקים שהזכרנו על כ"ד יעלה ד' וחצי עשירית אחד
The Third Category: Division of Fractions by Fractions	הענין השלישי חלוקת שברים על שברים
sexagesimal fractions
If you divide fractions of the astrologers by each other	אם שברי חכמי המזלות תחלק זה על זה
minutes ÷ minutes = degrees	אם ראשונים על ראשונים תחלק יהיה היוצא בחלוק מעלות
seconds ÷ seconds = degrees	וכן אם שניים על שניים תחלק, היוצא מעלות
sexagesimal fraction by sexagesimal fraction of the same rank = degrees $\scriptstyle\frac{a}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a}{b}$	וכן שאר השברים, אם אתה מחלק אותם על מיניהם, יהיה היוצא מעלות וזה כלל אחד בחלוק השברים
larger rank by smaller rank	וכלל שני דע שאם אתה מחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא תחתיו
minutes ÷ seconds = degrees	כגון שתרצה לחלק ראשונים על שניים או על שלישיים‫:
$\scriptstyle\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{60^2}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{b}$	אתה עורך הראשונים על ששים ויהיו שניים ותחלק שניים על שניים
minutes ÷ thirds = degrees $\scriptstyle\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{60^3}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{b}$	ואם על שלישיים תחלק ערכם על ששים פעם אחרת ויהיו שלישיים ותחלק שלישיים על שלישיים ויהיה היוצא מעלות וכן כל הדומה לזה
smaller rank by larger rank	וכלל שלישי אם תחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא גדול ממנו יהיה היוצא בחלוק מן המין אשר תחתיו של המין אשר אתה מחלק עליו
thirds ÷ minutes = seconds $\scriptstyle a^{\prime\prime\prime}\div b^\prime=\left(\frac{a}{b}\right)^{\prime\prime}$	כאלו חלקת שלישיים על ראשונים יהיה היוצא בחלוק שניים
seconds ÷ minutes = minutes $\scriptstyle a^{\prime\prime}\div b^\prime=\left(\frac{a}{b}\right)^\prime$	או שניים על ראשונים יהיו ראשונים
Check: $\scriptstyle\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a$	מפני שכשתערוך מה שיצא בחלוק על מה שחלקת עליו צריך שיצא הראשון הנחלק
	ואם ישאר שלא יתחלק, אתה עורך הנשארים בששים ותחלק על מה שחלקת ויהיה היוצא ממין שירד מדרגה אחת ממין המספר שיצא בחלוק בראשונה
$\scriptstyle50^\prime\div7^\prime$	כאלו תחלק חמשים ראשונים על שבעה ראשונים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle50^\prime\div7^\prime&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{7}\right)^\circ\\&\scriptstyle=7+\frac{\frac{1\sdot60}{7}}{60}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4}{7}}{60}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{240}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}+\frac{\frac{2}{7}}{60^2}\\\end{align}}}$	יצא בחלוק שבע מעלות וישאר שלא יתחלק אחד, ערכהו על ששים יהיו שניים, חלקם על שבעה אשר חלקת בראשונה יצא בחלוק שמונה ראשונים וישאר שלא יתחלק ד' שניים ערכם על ששים יעלו ר"מ שלישיים חלקם על ז' יעלה ל"ד שניים וישאר שני שלישיים ערכם בששים וחלקם על מה שחלקת ויעלו שלישיים
	וכן אתה יכול לחקרן לרביעיים ולחמישיים עד כמה שתרצה
division table of sexagesimal fractions
To make it easier for the reader, I have drawn for you a table of minutes to sixths.	ולהקל על הקורא ציירתי לך לוח מראשונים עד ששיים

ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים
רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים
שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים
שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים
ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים
מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים	ששים

sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	minutes
fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	minutes	seconds
thirds	seconds	minutes	degrees	minutes	seconds	thirds
seconds	minutes	degrees	minutes	seconds	thirds	fourths
minutes	degrees	minutes	seconds	thirds	fourths	fifths
degrees	minutes	seconds	thirds	fourths	fifths	sixths

	ואם תרצה לחלק מעלות ושברים על מעלות ושברים השב שני החשבונים למדרגה אחת ואחר תחלק
Such as if you wish to divide eight degrees and twenty minutes by 3 degrees and 15 minutes. $\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)$	כגון שתרצה לחלק שמנה מעלות ועשרים ראשונים על ג' מעלות וט"ו ראשונים
We convert all of them to minutes: the first number is 500, which is the dividend, and the other is 195. We divide the greater by the smaller. The result of division is two, which are degrees, and 110 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)=500^\prime\div195^\prime=\left(2+\frac{110}{195}\right)^\circ}}$	נשיבם כלם ראשונים והנה החשבון האחד ת"ק והוא המחולק והשני קצ"ה חלקנו הגדול על הקטן יצא בחלוק שנים והם מעלות ונשארו ק"י
Multiply them by sixty and divide by 195. The result of division is 33, which are minutes, and 165 remain. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)&\scriptstyle=2^\circ+\left(\frac{110\sdot60}{195}\right)^\prime\\&\scriptstyle=2^\circ+\left(33+\frac{165}{195}\right)^\prime\\\end{align}}}$	ערוך אותם על ששים וחלק על קצ"ה יצא בחלוק ל"ג והם ראשונים וישאר קס"ה
Multiply them by 60 and divide by 195. The result of division is 50 and they are seconds. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)&\scriptstyle=2^\circ+33^\prime+\left(\frac{165\sdot60}{195}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=2^\circ+33^\prime+\left(50+\frac{150}{195}\right)^{\prime\prime}\\\end{align}}}$	ערכם על ס' וחלק על קצ"ה ראשונים יצא בחלוק נ' והם שניים
If you want to make it more accurate with thirds and fourths, do it in this way	ואם תרצה לדקדק כן לשלישיים ולרביעיים תעשה על זה הדרך
Or, know the ratio of the remaining 110 to the divided 390. Their quarter is 97 and a half and 12 and a half remain. The 6 and a half are one-third of one-fifth of one-quarter [of 390] and 6 remain, which are 6 parts of 13 of two-thirds of one-fifth of one-quarter [of 390]. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{110}{195}&\scriptstyle=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)}{195}=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\left(6+\frac{1}{2}\right)+6}{195}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{6}{195}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)+\left(\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)\\\end{align}}}$	או תדע מה ערך ק"י הנשארים אל ש"צ הנחלקים והנה רביעיתם צ"ז וחצי נשארו י"ב וחצי והו' וחצי הם שלישית חמישית הרביעית ונשארו ו' שהם ו' חלקים מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית
For the quarter add one-quarter of 2 degrees, so that the result of division are 30 minutes. For the 6, which are 6 parts of 13 of two-thirds of one-fifth of one-quarter add one minute and [50] seconds. The result of division is 33 minutes and 50 seconds, as in the first calculation ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)+\left(\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)\\&\scriptstyle\approx2+30^\prime+2^\prime+\left(1^\prime+50^{\prime\prime}\right)\\&\scriptstyle=2+33^\prime+50^{\prime\prime}\\\end{align}}}$	ובעבור הרביעית הוסף רביעית ב' מעלות שיצאו בחלוק והם ל' ראשונים ובעבור ו' חלקם מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית הוסף ראשון אחד לשניים והנה יצא בחלוק ל"ג ראשונים נ' שניים כמו החשבון הראשון
simple fractions
integer and fraction by integer and fraction
$\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)$	ואם שברי חכמי המדות תחלק כגון שלשה ושלשה רביעיות על אחד וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{5}{6}=3+\frac{1}{8}}}$	דע מה ערך האחד מן אחד וחומש והוא חמשה שתותיו קח ה' שתותין מג' וג' רביעיות אחד שהם שש שמיניות יעלה שלשה ושמינית וככה חלק האחד
integer and fraction by fraction
$\scriptstyle\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}$	ואם תחלק ז' וחומש על שלש רביעיות אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{4}}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{3}{5}}}$	דע בכמה ישלמו הג' רביעיות לאחד, כלו' שתוסיף על ז' וחומש שלישיתם והוא אחד ושליש תערכם על ז' וחומש יעלה תשעה וג' חומשין ורביעיתם הוא חלק כל רביע ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\frac{36}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{4}}=\frac{2+\frac{2}{5}}{\frac{1}{4}}=9+\frac{3}{5}}}$	או תשיב הז' וחומש לחומשין יהיו בידך ל"ו חומשין חלקם על הג' רביעיות יצא בחלוק י"ב חומשין שהם שנים וב' חומשין לכל רביע ורביע שהוא לאחד שלם ט' וג' חומשין
fraction by fraction
$\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}$	ואם תחלק ששה שביעיות על שמונה עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{\frac{8}{10}}=\frac{6}{7}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{7}+\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	דע בכמה ישלים אחד והוא אחד ורביע תערכם על ששה שביעיות יעלה א' שביעיות וחצי חלקם יצא אחד וחצי שביעית וככה חלק האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{\frac{6}{8}}{7}\div\frac{1}{10}=\frac{1-\frac{1}{4}}{7}\div\frac{1}{10}=\left[\frac{1}{7}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\div\frac{1}{10}=\frac{7}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	או אם תרצה חלק ששה על שמונה יצא אחד פחות רובע לפיכך יצא עכשו שביעית אחד פחות רובע שביעית לחלק העשירית והם י' לאחד ז' שביעיות וחצי שביעית
fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction
If you divide six-sevenths of five and a quarter by three-eighths of one and one-fifth. $\scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]$	ואם תחלק ששה שביעיות חמשה ורובע על שלשה שמיניות מאחד וחומש
Convert the five and a quarter to quarters. They are 21. Their six-sevenths are 18, which are 4 integers and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{21}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}$	השב החמשה ורובע כלם לרביעיות יעלו כ"א וששה שביעיותיו י"ח שהם ד' שלמים וחצי
Convert also the one and one-fifth to fifths. They are six-fifths. Their three-eighths are 2-fifths and one-quarter of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{8}\sdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ועוד השב האחד וחומש לחמישיות והם ששה חמישיות ושלשה שמיניותיו ב' חומשין ורביע חומש
Know how much of them are 1, it is two and two-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left(2+\frac{2}{9}\right)=1}}$	ותדע בכמה יהיו אחד והוא בשנים ושני תשיעיותיו
For, one-quarter of one-fifth is one-ninth of two-fifths and one-quarter of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{9}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}}$	כי רביעית חומש הוא תשיעית ב' חומשין ורביע חומש
Multiply them by four and a half, i.e. take twice of 4 and a half and two-ninths of them. The result is 10 of 5 fifths. We find that each fifth gets two integers and from them you know the part. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{2}{9}\right)=10}}$	תערכם בארבעה וחצי כלו' תקח שני פעמים ד' וחצי ותקח שני תשיעיותיהם יעלה עשרה והם ה' חומשין נמצא מגיע שנים שלמים לכל חומש וחומש ומהם תדע חלק אחד שלם

Chapter Five: Ratios	השער החמישי בערך
sexagesimal fractions
The way of the astrologers is to calculate all their calculations by sixty, since it has most of the fractions.	דרך חכמי המזלות לחשוב כל חשבונם על ששים מפני שיש לו רוב החלקים
$\scriptstyle\frac{30\sdot20}{60}$	רצינו לערוך שלשים על עשרים ולחלק על ששים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{30}{60}\sdot20=\frac{1}{2}\sdot20=10}}$	דע מה ערך החשבון האחד שהוא שלשים על עשרים אל ששים אשר עליו נחלק והוא חציו וקח חצי חשבון האחר והנה עשרה וככה יצא בחלוק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{20}{60}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	או דע מה ערך עשרים אל ששים והוא שלישיתו תקח שלישית החשבון האחר והנה עשרה
If one number is 50 and the other is 40 and we divide the product by 60. $\scriptstyle\frac{50\sdot40}{60}$	ואם החשבון האחד נ' והשני מ' ונחלק העולה על ששים
Take the ratio of 50 to sixty, which is five-sixths, and as this ratio [take] from forty: from thirty-six take its five-sixths; the result is thirty and four remain. Multiply it by five; the result is twenty. Divide this by six; the result is three integers and one-third, which are twenty fractions and the number is 33 and one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{50}{60}\sdot40=\frac{5}{6}\sdot40=\left(\frac{5}{6}\sdot36\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot4\right)=30+\frac{20}{6}=30+\left(3+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}$	קח ערך נ' אל ששים והוא חמש ששיות וכזה הערך מארבעים והנה מששה ושלשים קח חמש ששיותיו והם שלשים ונשארו ארבעה ערכם על חמשה עלו עשרים תחלקם על ששה יצא שלשה שלמים ושליש שהם עשרים שברים והנה המספר ל"ג ושליש
Or, take the ratio of 40 to 60; it is its two-thirds. Take two-thirds of 50: of 48 it is thirty-two and two remain. Multiply them by 2, which are the two-thirds, the result is 4. We divide them by three; the result is one and one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{40}{60}\sdot50=\frac{2}{3}\sdot50=\left(\frac{2}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)=32+\frac{4}{6}=32+\left(1+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}$	או קח ערך מ' אל ס' והוא שני שלישיותיו קח שני שלישיות נ' והנה מן מ"ח שנים ושלשה ונשארו שנים נערכים על שנים שהם שתי שלישיות ועלו ארבעה נחלקם על שלשה יצא אחד ושליש
$\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}$	ואם שני חשבונים שאין לאחד מהם ערך אל ששים כמו י"ד ול"ט
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{14+1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(39+1\right)}{60}-\left(\frac{15}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{39}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{15}{60^2}-\frac{39}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{15+39}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\left(\frac{1}{60}-\frac{54}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\frac{6}{60^2}\\\end{align}}}$	ככה נעשה נוסיף על חשבון י"ד חלק אחד והנה ערכו רביעית וככה נוסיף על ל"ט אחד ויהיה רביעיתו עשרה ויש לנו לחסר שני חסרונים כי שנים הוספנו והנה בעבור האחד שהוספנו על ל"ט יש לנו לחסר חמשה עשר שניים ונערוך האחד שהוספנו על ל"ט ויעלו ל"ט שניים, נחברם עם ט"ו שהיו לנו, עלו נ"ד נחסרם מראשון אחד ועלה החשבון ט' ראשונים גם ו' שניים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{39+1}{60}\right)-\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{14}{60}\sdot\frac{2}{3}\right)-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{15\sdot\frac{2}{3}}{60}-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{2}{3}\right)-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{40}{60^2}-\frac{14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{10}{60}-\frac{40+14}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}+\frac{6}{60^2}\\\end{align}}}$	או נוסיף על ל"ט אחד ודע מה ערכו אל ששים והנו שתי שלישיות והנה נקח שתי שלישיות ארבעה עשר והנו ט"כ כי מט"ו יהיו שתי שלישיות עשרה ויש לנו לחסר שתי שלישיות ראשון אחד שהם מ' שניים והנה המספר ט"כ ובעבור שהוספנו על ל"ט אחד נערכנו על י"ד ויעלו י"ד שניים, נחסרם מעשרים נשארו לך ו' שניים
$\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}$	ואם רצינו לערוך ל"ה על שלשה עשר ונחלק על ששים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}=\frac{35}{60}\sdot\left(\frac{12}{60}+\frac{1}{60}\right)=\frac{35}{60}\sdot\left(\frac{1}{5}+\frac{1}{60}\right)=\frac{\frac{1}{5}\sdot35}{60}+\frac{1\sdot35}{60^2}=\frac{7}{60}+\frac{35}{60^2}}}$	בקשנו מה ערך שנים עשר שהוא הקרוב אל י"ג אל ששים והוא חמישיתו לקחנו חמישית ל"ה והנה שבעה ונשאר אחד ערכנוהו על ל"ה והנם שניים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{35+1}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{13}{60}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{13+2}{60}\right)-\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{2}{60}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(\frac{\frac{3}{5}\sdot15}{60}\right)-\left(\frac{1}{60}+\sdot\frac{12}{60^2}\right)-\frac{13}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{9}{60}-\left(\frac{1}{60}+\sdot\frac{12}{60^2}\right)-\frac{13}{60^2}\\\end{align}}}$	והבחינה ידענו כי ל"ה שלש חמישיות בתוספת אחד לקחנו ג' חמישיות חמשה עשר שהוא המספר הקרוב אל י"ג והיו ט' והוספנו שנים כי י"ג היו לנו, ערכנום על ל"ה והוא חלק אחד ועשרה שניים והוספנו בתחלה אחד כי לקחנו ששה ושלשים והיו ט"ו, חסרנו הכל מתשעה ונשאר החשבון
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{30}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)+\left(\frac{5}{60}\sdot\frac{13}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot13}{60}+\frac{5\sdot13}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{6+\frac{1}{2}}{60}+\left(\frac{1}{60}+\frac{5}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{6}{60}+\frac{30}{60^2}\right)+\left(\frac{1}{60}+\frac{5}{60^2}\right)\\\end{align}}}$	או לקחנו חצי י"ג בעבור השלשים והנם ששה וחצי שהוא שלשים שניים וערכנו חמשה על י"ג עלה חלק אחד וחמשה שניים חברנום ועלה המספר
$\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}$	ואם שני חשבונים האחד מ"ו והשני כ"ה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)+\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot25}{60}+\frac{1\sdot25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{3}{4}\sdot24}{60}+\frac{\frac{3}{4}\sdot1}{60}+\frac{25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\frac{45}{60^2}+\frac{25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\left(\frac{1}{60}+\frac{10}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}$	והנה לא מצאנו ערך למ"ו עם ששים נחסר אחד מהחשבון ישאר מ"ה וערכו שלש רביעיות ונקח מכ"ה כ"ד ושלש רביעיותיו י"ח נשארו ג' רביעיות אחד שהם מ"ה שניים וערכנו האחד שיש תוספת על מ"ה על כ"ה ועלה כ"ה, הוספנום על מ"ה שניים שהיו לנו ועלה ראשון אחד ונשארו עשרה שניים והנה החשבון י"ט י‫'
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\frac{46}{60}\sdot\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{46\sdot\frac{1}{3}}{60}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{15}{60}+\frac{20}{60^2}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{15}{60}+\frac{20}{60^2}\right)+\left(\frac{3}{60}+\frac{50}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}$	או נקח מה ערך כ"ה אל ס' והיו שלישיתו ורביע שלישיתו, נקח ממ"ו שלישיתו שהוא ט"ו ועשרים שניים ורביעית ט"ו ועשרים שניים הם שלשה וגם נ' שברים, חברנום עם אשר למעלה עלה י"ט י‫'
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{46}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{46}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{45}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{24}{60}\right)+\left(\frac{1}{60}\sdot\frac{1}{60}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\frac{2}{5}\sdot45}{60}+\frac{45\sdot1}{60^2}+\frac{1\sdot24}{60^2}+\frac{1\sdot1}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{18}{60}+\frac{45+24+1}{60^2}=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}$	או נחסר אחד מכ"ה ונדע מה ערך כ"ד אל ששים והנו שתי חמישיות ושתי חמישיות מ"ה הם י"ח והאחד שנשאר להשלמת כ"ה נערכנו על מ"ה יהיו שניים גם נערוך האחד שהוא תוספת על כ"ה ונחבר כל השניים ועלה המספר
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(\frac{46+2}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{2}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{48}{60}\sdot\frac{25}{60}\right)-\frac{2\sdot25}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{4}{5}\sdot25}{60}-\frac{50}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{20}{60}-\frac{50}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{19}{60}+\frac{10}{60^2}\\\end{align}}}$	או נוסיף על מ"ו שנים ועלה מ"ח וערכו אל ששים ארבע חמישיות נקח ארבע חמישיות כ"ה והנם עשרים ואנחנו הוספנו שנים נערכם על כ"ה עלו נ' שניים נחסרם מעשרים ישאר י"ט
$\scriptstyle\frac{60a+n}{60}=a+\frac{n}{60}$ $\scriptstyle\frac{60b-m}{60}=b-\frac{m}{60}$	וככה תעשה לעולם שהסתכל איזה חשבון יש לו ערך אל ששים או ערך קרוב אליו בין להוסיף עליו בין לגרוע ומאותו החשבון תקח הערך ואם הוספת בראשונה גרע באחרונה ואם גרעת בראשונה תוסיף באחרונה
$\scriptstyle\frac{a\sdot b}{60}=\frac{a}{60}\sdot b=\frac{b}{60}\sdot a$	ואם היה אחד החשבונים גדול מהמחולק עליו או שניהם גדולים ממנו הסתכל מה ערך חשבון שיחלק עליו אל אחד החשבונים וכערכו קח מן החשבון האחד
$\scriptstyle\frac{80\sdot90}{60}$	כגון שמונים על תשעים מחולקים על ששים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80\sdot90}{60}=\frac{80}{60}\sdot90=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot90=90+30=120}}$	נסתכל מה ערך ששים אל שמונים והוא כמהו ושלישיתו ונוסיף על תשעים שלישיתו יעלו מאה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot90}{60}=\frac{90}{60}\sdot80=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot80=80+40=120}}$	או הסתכל מה ערך ס' אל צ' והוא כמוהו וחציו והנה נוסיף על פ' חציו יעלו ק"כ
$\scriptstyle\frac{80\sdot88}{60}$	ואם החשבון האחד פ' והשני פ"ח
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{80\sdot88}{60}=\frac{90\sdot80}{60}-\frac{2\sdot80}{60}=120-\frac{160}{60}=120-\left(2+\frac{40}{60}\right)=117+\frac{20}{60}\\\end{align}}}$	נחשוב שהוא צ' מפני שיש לו ערך אל ס' ויצא החשבון ק"כ ובעבור שהוספנו שנים נערכם על שמונים שהוא החשבון האחד יעלו מאה וששים ראשונים והם שתי מעלות מ' ראשונים חסרם מק"כ ישאר קי"ז כ' וככה החשבון

simple fractions

The geometricians said that there are five kinds of ratios and they are derived from the units and they are:

וחכמי המדות אמרו שחמשה ערכים הם ונלקחים מן האחדים והם

1) Multiple Ratio

\scriptstyle{\color{red}{a:\left(n\sdot a\right)}}

האחד ערך הכפל

Such as two of three to one

\scriptstyle{\color{blue}{1:2;\ 1:3}}

כמו שנים או שלשה עם אחד

2) Superparticular Ratio

\scriptstyle{\color{red}{a:\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]}}

והשני כמוהו וחלק ממנו

Such as two to three and this ratio is not found in smaller numbers

\scriptstyle{\color{blue}{2:3}}

כמו שנים עם שלשה וזה הערך לא ימצא קודם זה

3) Multiple Superparticular Ratio

\scriptstyle{\color{red}{a:\left[\left(n+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]}}

והשלישי כפלו וחלק ממנו

Such as five to two

\scriptstyle{\color{blue}{2:5}}

כמו חמשה עם שנים גם הוא

4) Superpartient Ratio

\scriptstyle{\color{red}{a:\left[\left(1+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]}}

הערך הרביעי שהוא כמוהו וחלקים ממנו

Such as five to three

\scriptstyle{\color{blue}{3:5}}

והיו כמו חמשה עם שלשה

5) Multiple Superpartient Ratio

\scriptstyle{\color{red}{a:\left[\left(n+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]}}

והחמישי שהוא הכפל וחלקים ממנו

Which is not found in numbers smaller than eight to three

\scriptstyle{\color{blue}{3:8}}

לא ימצא עד שמונה עם שלשה

There are no ratios other than these.

ואין ערכים אלא אלו

all kinds of ratios are divided into three categories of progressions:

וחכמת הערכין על שלש דרכים

1) arithmetic progression

\scriptstyle a_2-a_1=a_3-a_2

\scriptstyle a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d

\scriptstyle{\color{blue}{4,6,8}}

האחת כמו ארבעה וששה ושמונה שהתוספת היא שוה והוא דרך החשבון

2) geometric progression

\scriptstyle a_2:a_1=a_3:a_2

\scriptstyle a_n=a_1\sdot q^{n-1}

\scriptstyle{\color{blue}{9:6:4\longrightarrow q=1+\frac{1}{2}\longrightarrow6:4=\left[4\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:4=\left[6\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:6=9:6}}

והשנית כמו ד' ו' ט' שערך ו' אל ד' כמהו וחציו וככה ערך ט' אל ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{4:6:9\longrightarrow q=\frac{2}{3}\longrightarrow4:6=\left(6\sdot\frac{2}{3}\right):6=\left(9\sdot\frac{2}{3}\right):9=6:9}}

או תוכל לומ' כי ערך ד' אל ו' שתי שלישיותיו וככה ו' עם ט‫'

Rule of Three: $\scriptstyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2$

ולעולם אם ערכנו קטן על גדול יהיה כמרובע התיכון

Rule of Four: $\scriptstyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}$

וככה אם לקחנו ארבעה ומספרים שיהיה ערך הרביעי אל השלישי כערך השני אל הראשון

\scriptstyle\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3

אם ערכנו הראשון על הרביעי יהיה המחובר כמחובר העולה מערך השני על השלישי

3) harmonic progression

\scriptstyle\frac{a_2-a_1}{a_3-a_2}=\frac{a_1}{a_3}

\scriptstyle{\color{blue}{3:4:6\longrightarrow\frac{4-3}{6-4}=\frac{1}{2}=\frac{3}{2\sdot3}=\frac{3}{6}}}

והשלישית כמו ג' ד"ו, שהתוספת שיש בין ג' וד' הוא אחד ובין ד' וו' שנים שערך התוספת היא כפל בערך הקטן אל הגדול

$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{3-\left(4-3\right)}=\frac{12}{2}=6}}

ואם ידענו השנים מהם נוכל להוציא השלישי: נערך ג' על ד' עלו שנים עשר ונחסר מן הקטן התוספת שיש בינו ובין השני ועל הנשאר נחלק י"ב יצא ששה

$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot6}{6+\left(6-4\right)}=\frac{24}{8}=3}}

וכן אם ידענו שהשני והשלישי ד'ו' ורצינו להוציא הקטן נערך ד' על ו' עלו כ"ד ונוסיף על הגדול התוספת שיש לו על השני ועלו שמונה ועליו נחלק כ"ד יעלה שלשה

$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_3}{a_1+a_3}\sdot2$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{3+6}\sdot2=\frac{18}{9}\sdot2=2\sdot2=4}}

ואם ידענו שהקטן והגדול ג'ו' ונרצה לדעת האמצעי נערוך ג' על ו' יעלו י"ח ונחבר הקטן עם הגדול יהיו תשעה ונחלק עליו שמונה עשר יצא שנים ונכפול העולה לעולם וככה האמצעי

או נוסיף על הקטן רביעית הגדול ונחלק עליו והיוצא לאחד מהשלמים הוא האמצעי

instructions for creating a table of arithmetic progressions based on the set of the natural numbers

the first line consists of the natural numbers

\scriptstyle1,2,3,\ldots,n

ואם תרצה להוציא חשבון הכפול מן האחדים תכתוב החשבון מא' ועד כמה שתרצה על סדר החשבון

the second line consists of the even numbers

\scriptstyle2,4,6,\ldots,2n

ואחר כך תכתוב תחתיו ותתחיל בב' ואחריו ד' שתוסיף לעולם בב' וזו השטה תהיה כפל מן הראשונה על הסדר כגון שני שטין שבמכבר הראשונה והשניה

the third line consists of the products of three

\scriptstyle3,6,9,\ldots,3n

this line can be derived from the second row through a ratio of the same and a part:

\scriptstyle3n=2n+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2n

ואם תרצה להוציא חשבון הכפל מן האחדים תכתוב החשבון כמוהו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא משנים עם שלשה תכתוב הזוגות על הסדר ותתחיל משנים שהם ראש הזוגות ואחר כן תערך האחדים על הסדר על שלשה שתוסיף לעולם שלשה כמו הטור השלישי שבמכבר והוא יהיה כמוהו וחציו אל הטור השני

the fifth line consists of the products of five

\scriptstyle5,10,15,\ldots,5n

this line can be derived from the second row through a ratio of double and a part:

\scriptstyle5n=\left(2\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot2n

ואם תרצה להוציא כפלו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא מחמשה אל שנים תכתוב ב' בתחלה והוסף בב' אחריה כמו הטור השני שבמכבר ואחר כן תערוך האחדים על ה' כמו הטור החמישי שבמכבר והוא יהיה כפלו וחלק ממנו אל הטור השני

it can be derived also from the third row through a ratio of the same and parts:

\scriptstyle5n=3n+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(1+\frac{2}{3}\right)\sdot3n

ואם תרצה להוציא כמוהו וחלקים ממנו שהם שתי שלישיות היוצא מחמשה אל שלשה הוא כמו הטור החמישי שבמכבר אל הטור השלישי

the eighth line consists of the products of eight

\scriptstyle8,16,24,\ldots,8n

this line can be derived from the third row through a ratio of double and parts:

\scriptstyle8n=\left(2\sdot3n\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(2+\frac{2}{3}\right)\sdot3n

ואם תרצה להוציא כפלו וחלקים ממנו שהוא שתי שלישיות היוצא משמונה אל שלשה כמו הטור השמיני אל הטור השלישי שבמכבר הוא

divisible number and its divisor

וכל מספר שיש לו חלק החלק מונה אותו כמנינו או כמנין חלק אחד

Definition of a square number: the number whose part counts it by its number is called a square number [ $\scriptstyle n^2$ ], since its one side is equal to its other side, and when you count its side by its multitude the product is the square number.

והמספר אשר חלקו מונה אותו כמספרו נקרא מספר מרובע מפני שצלעו האחד שוה לצלעו השני וכשאתה מונה את צלעו כמנינה תקבץ המספר הרבוע

Such as:

\scriptstyle{\color{blue}{4;\ 9;\ 16}}

and their like.

כמספר ד' וט' וי"ו וכדומה להם

Definition of a plane number: that whose part counts it as the multitude of one of its parts is called a plane number and it has two sides [ $\scriptstyle a=n\sdot m$ ].

ואשר חלקו מונה אותו כמנין אחד מחלקיו נקרא מספר שטוח ויש לו שתי צלעות

Such as

\scriptstyle{\color{blue}{15}}

whose one side is 3 and the other is 5.

כמספר ט"ו אשר צלעו האחת ג' והשנית ה'

When you count its side by the multitude of the other side, the product is the plane number, which is 15

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

וכשאתה מונה צלעו כמנין הצלע השנית תקבץ מספרו השטוח שהוא ט"ו

Definition of a prime number: every number that you count by one alone is called a prime number [lit. lengthy number $\scriptstyle p=1\sdot p$ ], since it has no other side but one, which is not a number.

וכל מספר שאתה מונה אותו באחד לבדו נקרא מספר ארוך מפני שאין לו צלע שני כי אם האחד שאינו מספר

the square numbers are created in sequence by the series of the odd numbers

\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}

וכל המספרים המרובעים נמצאים על סדרם מקבוץ האחד אשר הוא המרובע הראשון עם המספרים הנפרדים על סדרם

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=1^2+3=4=2^2}}

וענין זה אם אתה מקבץ האחד שהוא המרובע הראשון אל השלש שהוא תחלת הנפרדים, אתה מוצא הרבוע השני והוא ד' אשר צלעו ב'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=2^2+5=9=3^2}}

ואם אתה מוסיף על מרובע השני המספר הנפרד השני והוא ה' יהיה הכל ט' והוא המרובע השלישי אשר צלעו ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=3^2+7=16=4^2}}

וכן אם אתה מוסיף על המרובע השלישי הנפרד השלישי והוא ז' יצא המרובע הרביעי והוא י"ו

\scriptstyle1+3+5+7+\ldots+\left(2n+1\right)=n^2+\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2

וכן על הסדר הזה אתה מוסיף על המרובע המספר הנפרד אשר במעלתו יצא המרובע התלוי אליו עד אין סוף

the five kinds of ratios depend on the equivalence ratio, created from it, and return to it, as the square numbers are created from the odd numbers

וכן אתה מוצא חמשה ערכי המספר אשר הם נחלפים תלויים בערך הישר וחוזרים אליו כשאתה מתיר את קשרם כאשר המספרים הנפרדים קושרים את המרובע במספר

sample table of ratios

והנה אני מצייר לך צורה תראה בה שש הערכים אשר הם הנחלפים עם הישר סדורים בשלשה מספרים בכל ערך וערך

1	1	1	Equivalence Ratio	1
4	2	1	Multiple Ratio	2
9	6	4	Superparticular Ratio	3
21	10	4	Multiple Superparticular Ratio	4
25	15	9	Superpartient Ratio	5
64	24	9	Multiple Superpartient Ratio	6

א	א	א	ערך ישר	א
ד	ב	א	ערך כפל	ב
ט	ו	ד	ערך חלק	ג
כא	י	ד	כפל וחלק	ד
כה	טו	ט	חלקים	ה
סד	כד	ט	כפל וחלקים	ו

ואם אתה רוצה להתיר הערך הנחלף אל ישר אתה פוחת ראש מספרו מן השני וישאר בידך שלשה שהם שוים או מוערכים על שרש אחד שהוא קרוב אל השוה

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4,6,9\right)\longrightarrow\left(1,2,4\right)}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1,2,4\right)\longrightarrow\left(1,1,1\right)}}$
$\scriptstyle x_1=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=9-\left[6+\left(6-4\right)\right]=1}}$	$\scriptstyle x_1=a_1{\color{blue}{=1}}$
$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=6-4=2}}$	$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=2-1=1}}$
$\scriptstyle x_3=a_1{\color{blue}{=4}}$	$\scriptstyle x_3=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=4-\left[2+\left(2-1\right)\right]=1}}$

	כגון ערך החלק אשר היא המעלה השלישית בצורה הזאת ומספרנו ד' ו' ט‫' אם אתה פוחת ד' מן ו' ישארו בידך ב‫' ואם אתה פוחת מן ב' א‫' ואחר כך תפחות מד' שהוא המספר הגדול א' וב' ישאר לך אחד ג' פעמים והוא הערך הישר
	והנה כל הערכים כאשר אתה מתיר את קשרם ואת חלופם חוזרים אל ערך הישר
analogy between the returning of the five ratios to the equivalence ration and the gradual stage of refraining from desire: overcoming one make the next stage easier, until the level of righteousness is reached	ואמרו מכאן החכמים רמז על האדם אם ישמור נפשו במעלות הפרושים ויכבוש את עצמו מתאות העולם פעם אחת יקל עליו באחרת עד שיגיע לגדר היושר היוצא מדמות האחד אשר דמות העליון כנגדו והוא שוכן לבדו והוא הכל ומאתו הכל ראשית הכל ואחרית הכל ויודע הכל בפרט וכל ואליו תשוב רוח הכל על כן סוד התהלות וטעם התפלות יהי שם יי' מבורך לעולם ועד

Chapter Six: Deducing One from Another	השער הששי הוצאת זה מזה
in Astrology
	ידוע בחכמת המזלות לשבעת המשרתים שהם כוכבי לכת
	ומהלך השוה בכל יום בדרך קרובה לשבתי ב' ראשונים ולצדק ה' ראשונים ולמאדים ל"ב ראשונים ולחמה ונוגה כ"ט ראשונים ולכוכב חמה ג' מעלות י"א ראשונים וללבנה י"ג מעלות י"א ראשונים
Calculating the time in which a quicker planet will catch up with a slower planet, according to the specific dates when each of them enters the sign of Aries	ואם ידעת יום ידוע שנכנס אחד מן המשרתים שמהלכם במתון בראש טלה ולאחר ט"ו יום נכנס אחד מן הקלים שמהלכם במרוצה בראש ו' טלה ותרצה להוציא מתוך חשבון מהלכם בכמה ימים וכמה שעות ישיגנו ויתחבר עמו
	הערך המעלות או החלקים כפי מה שיהיו בימים שהלך וחלק על היתרון שיש בין שתי ההליכות ומה שיצא הם ימים ומה שישאר הם חלקים מהיתרון חלק חלקי היתרון על י"ב ומה שיצא חלק חלקי היתרון עליו והם שעות וחלקי שעה
	ובחינתו להעריך מהלך הראשון על הימים שעברו מחוברים עם הימים שירדף אחריו השני והערך חלקי היתרון על חשבון המעלות או החלקים שילך וחלק על היתרון והם מעלות או חלקים וישארו חלקים מחלקי היתרון
	וכן תעשה במהלך השני שתערוך חלקי היתרון על מהלכו וחלקם על היתרון תמצאם שנים
Calculating the time of conjunction of two planets moving towards each other	ואם ילך האחד והשני יבא כנגדו כגון שיהיה נזור ותרצה להוציא מתי יתחברו
	חבר מהלך שניהם והוא היום וחלק הדרך עליו
	ועל זה הדרך תוכל לחשב לרצים ולשלוחים אשר תדע מהלכם בלא תוספת ובלא מגרעת
Calculating the number of planetary conjunctions	וגם ידוע הוא שיש למשרתים מחברות פעמים שיתחברו כלם במזל אחד ופעמים ששה מהם, או ה', או ד', או ג', או ב' מהם במזל אחד ותרצה להוציא כמה הם כל המחברות שלא ידמה זה לזה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]$	וככה תוכל לדעתם דע כי כל חשבון שיחובר מאחד עד איזה מספר שתרצה תוכל להוציאו מערכו אל חצי ואל חצי אחד
We begin to count how many are the double conjunctions, meaning the conjunctions of only two planets:	ונחל לספור כמה יהיו המחברות השניות והטעם שיתחברו שני כוכבים לבדם
Saturn has six conjunctions with the planets. We multiply six by its half plus one-half; the result is 21 and so is the number of the double conjunctions. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\frac{1}{2}\right]=21}}$	והנה יש לשבתי עם המשרתים מחברות ששה ונערוך ששה על חציו וחצי אחד יעלה כ"א וככה מספר המחברות השניות
We wish to extract the triple conjunctions [= conjunctions of three planets]:	רצינו להוציא השלישיות
We take Jupiter and Saturn and one of the other five with them; their resulting number is five. We multiply it by three, which is half the number plus one-half; the result is 15 and those are the conjunctions of Saturn. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]=5\sdot3=15}}$	ושמנו צדק עם שבתי ועמהם אחד מהאחרים החמשה ויעלה מספרם חמשה ערכנום על שלשה שהוא חצי המספר וחצי אחד יעלה ט"ו וזאת מחברת שבתי
The conjunctions of Jupiter should be four. We multiply them by two and one-half; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10}}$	וראוי להיות מחברות צדק ארבעה ערכנוהו על שנים וחצי עלה עשרה
The conjunctions of Mars are three. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	ומחברות מאדים שלשה ערכנוהו על שנים עלה ששה
The conjunctions of Mercury are two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ומחברות חמה שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
The conjunction Venus is one.	ומחברות נגה אחת
So the total number of the triple conjunctions is thirty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{15+10+6+3+1=35}}$	והנה מספר מחברות השלישיות חמשה ושלשים
We wish to extract the quadruple conjunctions [= conjunctions of four planets]	רצינו להוציא הרביעיות
We begin with Saturn, Jupiter and Mars and the [one] that those three should conjoin with to start the quadruple conjunctions. We multiply by two and one-half; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10}}$	ונחל משבתי וצדק ומאדים עמו ובעבור שצריך לשלשה שיתחברו עמו תחלת המחברת ארבעה ערכנו על שנים וחצי עלו עשרה
Then the conjoin of Saturn and Jupiter with the others and they are three at first. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	ואחר כן יהיה מחברת שבתי וצדק עם האחרים ויהיו בתחלה שלשה ערכנום על שנים עלה ששה
Then occur [the conjunctions of] Saturn with Mars, which are two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ואחר כן יחל שבתי עם מאדים ויהיו שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחרי כן מחברת אחת
The total number of conjunctions of Saturn is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{10+6+3+1=20}}$	ועלה מספר מחברות שבתי עשרים
Jupiter starts with three. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	והנה יחל צדק משלשה ערכנום על שנים עלה ששה
Then two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ואחר כן שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחר כן מחברת אחת
[The total number of] conjunctions of Jupiter is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{6+3+1=10}}$	והנה מחברת צדק עשר
Mars starts with two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ויחל מאדים משנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחר כן מחברת אחת
The total number of conjunctions of Mars is four. $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$	הנה ארבע מחברות למאדים
The Sun has one [conjunction] with the planets beneath it.	ומחברת חמה עם השפלים אחת
The total number of conjunctions of quadruple conjunctions is thirty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{20+10+4+1=35}}$	והנה מספר הרביעיות חמשה ושלשים
quintuple conjunctions = conjunctions of five planets $\scriptstyle{\color{blue}{15+5+1=21}}$	רצינו להוציא החמישיות ומצאנו לשבתי ט"ו ולצדק ה' ולמאדים אחת והנה מספר החמישיות כ"א
sextuple conjunctions = conjunctions of six planets $\scriptstyle{\color{blue}{6+1=7}}$	והמחברות הששיות יש לשבתי שש ואחת לצדק והנם שבע
There is one septuple conjunctions.	ומחברות השבעה אחת
So, the total number of planetary conjunctions is one hundred and twenty conjunctions. $\scriptstyle21+35+35+21+7+1=120$	ועלה מספר כלם מאה ועשרים מחברות
	ובעינינים רבים יצטרכו חכמי המזלות להוציא הנסתר מהידוע
Calculating arcs, chords, and sagittae	כמו בחשבון הקשתות והיתרים והחצים להוציא זה מזה ועם גזור האל אפרשנו במקומו בזה הספר
Calculating the tangent, cotangent, and height	וכאשר בחשבון צללי השמש להוציא הישר מן ההפוך וההפוך מן הישר ומן כל אחד ואחד הגובה ומן הגובה כל אחד ואחד מהם, אך אין זה מקומו להאריך בו
reference to Abraham Ibn Ezra's Sefer Keli ha-Neḥošet and Sefer ha-Luḥot le-Šivʿah ha-Mešaretim	והנה מפורש בספר כלי הנחשת ובספר הלוחות לשבעה המשרתים

in Mathematics
the mathematicians deduce the unknown from the known using the arithmetic operations - addition, subtraction, multiplication, division, ratio, and roots	ולענין חכמי המדות אתה מוציא הנסתר מן הגלוי כאשר ראית בשערים שעברו במחברת ובמגרעת ובמערכת ובמחלוקת ובערך זה אל זה וגם בענין השרשים נמצאנו ועם גוזר האל במקומו אפרשנו
	וגם בחשבוני מקח וממכר ובעסקי בני אדם אתה מוצא להוציא הנסתר מהידוע
all human affairs associated with commerce, employment of workers, and exchange are based on the "Rule of Four"	כי כל עסקי בני אדם בחשבוני מקחם וממכרם ושכירות כל מעשיהם ושעור חלופיהם הם עומדים בין ארבעה מספרים בשני סדרי הערך
The Rule of Four is built on four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio
For every four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio:	כי כל ארבעה מספרים בשני סדרי ערך שוה
The part that the first is of the second is as the portion that the third is of the fourth. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	והוא שיהיה חלק האחד מן השני כחלק השלישי מן הרביעי
If you multiply the first by the fourth the product will be the same as the product of the second [multiplied] by the third. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3}}$	אם אתה עורך הראשון ברביעי יהיה מספרו כמספר השני בשלישי
For example, the two numbers 4 and 15 with the two numbers 12 and 45. $\scriptstyle{\color{blue}{4:15=12:45}}$	והמשל כגון שני מספר ד' ט"ו עם שני מספרי י"ב מ"ה
The first, which is 4, is a part of the number 15, which is the second, as 12, which is the third number, is [a part] of the number 45, which is the fourth, meaning one-fifth of it plus one-third of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)=12:45}}$	והראשון שהוא ד' הוא חלק מן מספר ט"ו אשר הוא השני כמו י"ב שהוא המספר השלישי מן מספר מ"ה והוא הרביעי והוא חמישיתו ושליש חמישיתו
If you multiply 4, which is the first, by the number 45, which is the fourth, the product will be equal to [the product of the] number 15, which is the second, [multiplied] by number 12, which is the third. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot45=15\sdot12}}$	ואם אתה עורך ד' והוא הראשון במספר מ"ה והוא הרביעי יהיה מספרו כמספר ט"ו השני במספר י"ב השלישי
Also, if you take the ratio of 4 to 12, which is the third, it will be equal to the ratio of 15 to 45, which is the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{4:12=15:45}}$	ועוד אם תקח ערך ד' אל י"ב השלישי יהיה כערך ט"ו אל מ"ה הרביעי
You find number 4, which is the first, proportional to the two numbers - the second and the third - and not proportional to the fourth.	ואתה מוצא מספר ד' והוא הראשון נערך אל שני המספרים אל השני ואל השלישי ואינו נערך אל הרביעי
Likewise, the second is proportional to the first and the fourth, but not proportional to the third. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1:a_4\neq a_2:a_3}}$	וכן השני נערך אל הראשון ואל הרביעי ואינו נערך אל השלישי
The numbers which are proportional to each other are called “companions”.	והמספרים הנערכים זה אל זה נקראים חברים
Those which are not proportional are called “strangers”.	ושאינם נערכים נקראים נכריים
Hence, you learn that every four numbers that are equal in ratio, if you multiply one of the ratio’s orders by its stranger from the second order, it will be equal to the product of its companion in the ratio [multiplied] by its own stranger from the other ratio. $\scriptstyle{\color{red}{a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3}}$	ומכאן אתה למד שכל ד' מספרים שהם שוים בערך אם אתה עורך האחד מסדרי הערך עם הנכרי לו מסדר השני יהיה שוה לחשבון חברו בהקשה באשר הוא נכרי לו מן הערך השני
Word Problems
Trade
Trade is based on the "Rule of Four"
all human affairs are based on the two orders of the equivalence ratio:	וכל עסקי בני אדם עומדים בשני סדרי הערך הזה
the first order [the amount of goods offered in] business and trade = a₁ the corresponding price = a₂	כי העסק והמסחר הוא האחד ושני לו השער המסור לו
the second order: the taken or sold [amount of goods] = a₃ the money [paid for the amount of goods which was actually sold] = a₄	והסדר השני הוא הנלקח או הנמכר ושני לו הדמים
The [amount of goods offered in] business is proportional to the price as the sold [amount of goods] is proportional to the money [paid]	והעסק נערך אל השער כאשר הנמכר נערך אל הדמים
The ratio of the [amount of goods offered in] business to the sold merchandise is equal to the ratio of the price to the money [paid] $\scriptstyle\frac{\left[amount\ of\ goods\ offered\ in\right]\ business}{price}=\frac{sold\ \left[amount\ of\ goods\right]}{money\ \left[paid\right]}$ $\scriptstyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_3}{a_4}$	ועוד ערך העסק אל המכר כערך השער אל הדמים ואלו הם החברים
the [amount of goods offered in] business stranger to the money [paid] the sold merchandise stranger to the price	ותמצא לעולם העסק נכרי לדמים והמכר נכרי לשער
in all human affairs three of these values are known and the fourth is unknown but can be deduced from the three that are known:	ובכל עסקי בני אדם שלשה מאלה הארבעה ידועים והרביעי נסתר ונוציאנו מכח השלשה הידועים
multiplying one of the three by its stranger and dividing the result by the companion $\scriptstyle a_1=\frac{a_3\sdot a_2}{a_4}\quad a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\quad a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}$	שאם אתה עורך אחד מהשלשה הידועים בנכרי לו מהם ותדע המספר הנכלל בחשבון ותחלק אותו על השלישי הידוע אתה מוצא הרביעי הנסתר
Examples
10 kors of wheat for 6 dinar. How many kors could I take for 4 dinar? $\scriptstyle 10\div6=x\div4$	כגון האומר עשרה כורי החטה בו' דינ' כמה כורים אוכל לקחת בארבעה דינ‫'
the [amount of goods offered in the] business = 10 kors	והמסחר הוא הי' כורים והוא הנקרא עסק
the corresponding price = 6 dinar	והשער המסור לו הוא ו' דינ‫'
	ואלה שניהם עומדים בערך אחד
the money [paid] = 4 dinar	והערך השני הוא הד' דינ' והוא הדמים
the sold merchandise = unknown	ואתה רוצה להוציא המכר הנסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{6}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}$	ובזה הענין שני הנכרים אשר בשלשה הידועים הם הדמים והעסק והם י' וד' ולפיכך תערוך י' בד' ויהיו מ' חלקם על השער הידוע שהוא ו' ויהיה ששה ושני שלישי אחד והוא מספר המכר שהיה נסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}$	או דע מה ערך ד' שהם הדמים מן ו' שהם השער והם החברים ויהיה ב' שלישיותיו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}\sdot10=6+\frac{2}{3}}}$	קח שני שלישיותיו העשרה שהוא העסק וככה הוא המכר שהיה נסתר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}\sdot4=6+\frac{2}{3}}}$	או חלק העשרה על הו' והיוצא תערוך על ד' והעולה הוא המכר אשר היה נסתר
in the above example a₃ = the sold merchandise = unknown	ובכאן היה המספר השלישי נסתר והוא המכר
in the following example a₄ = the money [paid] = unknown:	ואם היה המספר הרביעי נסתר
10 kors for 6 dinar. What is the price of 4 kors? $\scriptstyle10\div6=4\div x$	כגון האומר י' כורים בו' דינ' כמה הוא דמי ד' כורים
the money [paid] = unknown	ובכאן הם הדמים נסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot4}{10}=\frac{24}{10}=2+\frac{2}{5}}}$	ותדענו שתערוך השער שהוא ו' במכר שהוא ד' יעלה כ"ד חלקם על המסחר והוא הנקרא עסק והם הי' כורים יצא ב' דינ' וב' חומשי דינ' והוא הדמים שהיו נסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{10}\sdot6=\frac{2}{5}\sdot6=2+\frac{2}{5}}}$	גם תדענו שתדרוש מה ערך הד' שהם המכר מן הי' שהם העסק והם החברים והוא שני חמישיותיו קח שני חמישיות ו' והוא הדמים הנסתרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{10}\sdot4=\frac{3}{5}\sdot4=2+\frac{2}{5}}}$	או חלק הו' דינ' על הי' והיוצא שהם שלשה חומשין ערכם על הד' והעולה הם הדמים הנסתרים
if a₂ = the price = unknown:	ואם היה השער נסתר
I bought 3 kors for 4 dinar. For how much would I buy 10 kors? $\scriptstyle10\div x=3\div4$	כגון האומר קניתי ג' כורים בד' דינ' בכמה הייתי קונה עשרה כורים
the sold merchandise = 3 kors the money [paid] = 4 dinar	ובכאן המכר ודמיו ידועים והם ג' כורים וד' דינ‫'
the [amount of goods offered in the] business = 10 kors the corresponding price = unknown	וכן המסחר שנקרא העסק ידוע והם הי' כורים ונסתר ממך שער הי' כורים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתערוך המסחר שהם י' כורים בד' שהם דמי המכר ועלה מ' חלקם על ג' והם המכר ושא השער הנסתר והוא י"ג דינ' ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{3}\sdot4=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot4=13+\frac{1}{3}}}$	גם תדענו ראה מה ערך הי' מן הג' והוא כפלו ג' פעם ושליש ערכם על הד' כלו' כפול ד' ג' פעמים ושליש יעלה י"ג ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{3}\sdot10=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot10=13+\frac{1}{3}}}$	או חלק הד' על הג' יצא אחד ושליש ערכם על הי' יעלה י"ג ושליש
if a₁ = the [amount of goods offered in the] business = unknown:	ואם היה המסחר שהוא הנקרא עסק נסתר
I bought 6 kors for 4 dinar. How many kors would I buy for 7 dinar? $\scriptstyle x\div7=6\div4$	כגון האומר קניתי ו' כורים בד' דינ' כמה כורים אקנה בז' דינ‫'
the sold merchandise = 6 kors the money [paid] = 4 dinar	נמצא שאתה יודע המכר ודמיו והם ו' כורים וד' דינ' והם כערך אחד
the corresponding price = 7 dinar the [amount of goods offered in the] business = unknown	וגם אתה יודע מן הערך הראשון השער שהוא ז' דינ' ונסתר ממך העסק והוא המסחר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot6}{4}=\frac{42}{4}=10+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתערוך השער שהם ז' בו' שהוא המכר והם הנכריים ועלו מ"ב חלקם על ד' שהם הדמים יצא המסחר שהוא העסק והוא י' כורים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7}{4}\sdot6=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot6=10+\frac{1}{2}}}$	ותדענו שתדע מה ערך ז' אל ד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו ערכם אל הו' והוא י' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{4}\sdot7=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot7=10+\frac{1}{2}}}$	או חלק הו' על הד' יצא אחד וחצי ערכם אל על הז' יעלה י' וחצי
	ועתה בארתי לך הוצאת המספר הנסתר מתוך הידועים
if both the [amount of goods offered in the] business and the corresponding price are unknown	ואם רצית להוציא הכורים והדמים
3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the sum of the kors and their price is 60. How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle x+\frac{5}{3}x=60$	כגון שישאל השואל ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים וכאשר תחבר הדמים עם הכורים יעלו ששים כמה היו הכורים והדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{3+5}\sdot60=\frac{3}{8}\sdot60=22+\frac{1}{2}}}$	חבר הג' והה' יעלה ח' ודע מה ערך הג' מן הח' והוא ג' שמיניות קח ג' שמיניות הששים והוא כ"ב וחצי והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{5}{8}\sdot60=37+\frac{1}{2}}}$	ולהוציא הדמים דע מה ערך הה' מן הח' והוא ה' שמיניות קח ה' שמיניות הששים והם ל"ז וחצי והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{60}{8}\sdot3=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	או חלק הששים על שמונה יהיה היוצא ז' וחצי אם תערכם על הג' יעלה חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{60}{8}\sdot5=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot5}}$	ואם תערכם על ה' יעלה חשבון הדמים
3 kors for 7 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that when you subtract their price from them 20 remain. How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle\frac{7}{3}x-x=20$	ואם תרצה להוציא ג' כורים בז' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתגרע מהם הדמים ישאר כ' כמה היו הכורים והדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{7-3}\sdot20=\frac{3}{4}\sdot20=15}}$	גרע הג' מן הז' ישאר ד' ודע מה ערך הג' מן הד' והוא ג' רביעיות קח ג' רביעיות הכ' והוא ט"ו והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{7}{4}\sdot20=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot20=35}}$	ולהוציא הדמים דע מה ערך הז' מן הד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו קח כערכם מן הכ' והוא ל"ה והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{4}\sdot3=5\sdot3}}$	או אם תחלק הכ' על ד' יצא ה' אם תערכם על ג' יעלה חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{20}{4}\sdot7=5\sdot7}}$	ואם תערכם בז' יעלה חשבון הדמים
3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the product of the kors by their price is 60. $\scriptstyle x\sdot\left(\frac{5}{3}x\right)=60$	ואם תוציא ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתערוך הכורים על הדמים יעלה ששים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{60}{3\sdot5}}\sdot3=\sqrt{\frac{60}{15}}\sdot3=2\sdot3=6}}$	ערוך הג' בה' יעלה ט"ו וחלק עליהם הששים ומהעולה קח השורש והוא ב' וערכם על ג' יהיה ששה והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=2\sdot5=10}}$	ואם תערוך הב' על הה' יעלה י' והם הדמים
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{3\sdot60}{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6}}$	או אם תערוך הג' בששים יצא ק"פ, אם תחלקם על הה' יצא ל"ו ומהיוצא תקח השרש והעולה הוא חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\sqrt{\frac{180}{5}}\sdot3}}$	ואם תחלקם על הג' ומהיוצא תקח שרש והעולה הוא חשבון הדמים
4 kors for 9 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, the sum of the root of the kors and the root of their price is 7½. $\scriptstyle\sqrt{x}+\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=7+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' וקנה כורים נעלמים, אם תחבר שורש הכורים עם שורש הדמים יעלה ז' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{9}}\sdot\sqrt{4}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+3}\sdot2=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot2=3}}$ kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	קח שורש הד' והוא ב' וקח שורש הט' והוא ג', חבר ב' עם ג' יהיה ה', חלק עליהם הז' וחצי והיוצא תערוך בשנים יעלה ג' והם שורש הכורים ומספרם ט'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$ price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2=20+\frac{1}{4}}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק בג' יהיה ד' וחצי והם שורש הדמים, תערכם על עצמם יעלה כ' דינ' ורובע דינ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=3}}$ kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=3^2=9}}$	או אם תחלק הט' על הד' יצא ב' ורובע קח השורש והוא אחד וחצי הוסף עליו אחד לעולם יהיה שנים וחצי חלק עליהם הז' וחצי והיוצא שהם ג' תערוך על עצמם והעולה הוא חשבון הכורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{4}{9}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{1+\frac{2}{3}}=4+\frac{1}{2}}}$ price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}}$	ולדעת הדמים תחלק הד' על הט' יצא ד' תשיעיות, קח השרש והוא ב' שלישיות שהם שורש ד' תשיעיות, הוסף עליהם אחד יהיה אחד וב' שלישיות, חלק עליהם הז' וחצי יצא לאחד שלם ד' וחצי, ערכם על עצמם והוא חשבון הדמים
If you give 4 kors for 9 dinar and when you subtract the square [of the kors] from the square of their price, 1½ would remain. $\scriptstyle\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}-\sqrt{x}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתפחות שרשו משורש הדמים ישאר אחד וחצי
√kors = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{9}-\sqrt{4}}\sdot\sqrt{4}=\frac{1+\frac{1}{2}}{3-2}\sdot2=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}\sdot2=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2}}$	קח שורש הד' והוא ב' וחסרם משרש הט' ישאר א' חלק עליו אחד וחצי יצא הכל, אם תערכנו עם שנים יעלה שורש הכורים
√price = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{9}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	ואם תערכנו על שלשה יצא שרש הדמים ותוכל להוציאו בדרך האחד
If you give 4 kors for 9 dinar and when you multiply the square of the kors by the square of their price, the result is 24. $\scriptstyle\sqrt{x}\sdot\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=24$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתערוך שורש הכורים על שורש הדמים יהיה כ"ד
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24}{\sqrt{4}\sdot\sqrt{9}}\sdot4=\frac{24}{2\sdot3}\sdot4=\frac{24}{6}\sdot4=16}}$	קח שרש הד' והוא ב' ערכם בגדר הט' יעלה ששה, חלק עליהם הכ"ד והיוצא תח תערוך בד' יהיה י"ו והוא חשבון הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\frac{24}{6}\sdot9=36}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק על ט' יעלה ל"ו והוא חשבון הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and the sum of the price of one kor with the kors is 16 $\scriptstyle x+\frac{60}{x}=16$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים ודמי הכור כשיתחברו עם חשבון הכורים יהיה י"ו
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2-60}+8=\sqrt{8^2-60}+8=\sqrt{4}+8=2+8=10}}$	קח חצי הי"ו והוא ח' ערכם על עצמם ומהעולה חסר הששים ישאר ארבעה, קח השורש והוא ב' והוסף על הח' יהיו י' והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	וחסר הב' מן הח' ישאר ו' והם הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and you subtract the price of one kor from all the kors, 4 would remain $\scriptstyle x-\frac{60}{x}=4$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים אם תחסר דמי הכור מחשבון הכורים ישאר ארבעה
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+60}+2=\sqrt{4+60}+2=8+2=10}}$	קח חצי הד' ותערכנו על עצמו יהיה ד' חברם עם הששים וקח השרשים והוא ח' הוסף עליהם השנים והוא י' והם הכורים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	או אם תחסר הב' מן הח' ישאר ששה והם דמי הכור
If you give a kor for 3 and a kor for 7 and you want to buy a kor for 6 from each of them, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle3x+\left[7\sdot\left(1-x\right)\right]=6$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' ורוצה לקנות משניהם כור בו' כמה יקח מכל אחד ואחד
kor for 3 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7-6}{7-3}=\frac{1}{4}}}$	דע מה בין הג' והז' והוא ד' ואחר כך תגרע הו' מן הז' ישאר אחד ודע מה ערכו מן הד' והוא רביע וככה יקח מן הכור שהוא בג' רביע
kor for 7 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}}$	ומותר הכור שהם ג' רביעיות יקח מן הכור שהוא בז‫'
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and you want to take for 2 dinar from each one equally, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle\left(3+4+5\right)x=2$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ורוצה ליקח בב' דינ' מכל כור וכור בשוה, כמה יקח מכל אחד
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3+4+5}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}}$	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב ודע מה ערך הכור וחצי מן הג' כורים שם הב' דינ' מן הי"ב והוא שתות וככה יקח מכל מין ומין
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and 1½ kors were taken from the three of them, from each one equally, what would be the price? $\scriptstyle\frac{3x}{3+4+5}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ולקח משלשתם כור וחצי מכל אחד בשוה כמה הם הדמים
price = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot\left(3+4+5\right)=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot12=6}}$	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב ודע מה ערך הכור וחצי מן הג' כורים וכערכם קח מן הי"ב והוא ו' והם הדמים
If you give a kor for 3, a kor for 7 and a kor for 12 and he wants to take a kor for 10 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(3+7\right)\sdot x\right]+\left[12\sdot\left(1-2x\right)\right]=10$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' וכור בי"ב וירצה לקח כור בי' דינ' כמה יקח מכל מין ומין
kor for 3 = kor for 7 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-10}{\left(12\sdot2\right)-\left(3+7\right)}=\frac{2}{24-10}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}}}$	חבר הג' והז' והוא עשרה ושמרם ואחר כך כפול הי"ב יהיו כ"ד וחסר מהם הי' ששמרת, ישאר י"ד ואחר חסר הי' אשר לקח מהם הכור מן הי"ב ישאר שנים ודע מה ערכם מן הי"ד והוא שביעית וככה קח מן הכור שהוא בג' וכמו כן מן הכור שהוא בז‫'
kor for 12 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-2x=1-\left(2\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{5}{7}}}$	והנשאר שהוא ה' שביעיות נקח מן הכור שהוא בי"ב
If you give a kor for 2 dinar, a kor for 3, a kor for 5, and a kor for 14 and he wants to take a kor for 12 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(2+3+5\right)\sdot x\right]+\left[14\sdot\left(1-3x\right)\right]=12$	ואם תוציא כור בב' דינ' וכור בג' וכור בה' וכור בי"ד ורוצה לקח כור בי"ב דינ' כמה יקח מכל מין ומין
kor for 2 = kor for 3 = kor for 5 = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{14-12}{\left(14\sdot3\right)-\left(2+3+5\right)}=\frac{2}{42-10}=\frac{2}{32}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	חבר הב' והג' וה' יעלו עשרה ואחר כך כ"כ כפול הי"ד שלשה פעמים לפי שעלו הדמים בדמי ג' המינין, אך למעלה לא כפלנוהו אלא פעם אחת לפי שלא עלו הדמים לדמי ג' המינין וכשכפלנו הי"ד ג' פעם עלה מ"ב חסר מהם הי' ישאר ל"ב ואחר חסר הי"ב מן הי"ד ישאר שנים ודע מה ערכם מן הל"ב והוא חצי שמינית וככה יקח מן הכור שהוא בב' דינ' וכן מן הג' וכן מן הה‫'
kor for 14 = $\scriptstyle{\color{blue}{1-3x=1-\left[3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והנשאר שהוא ו' שמיניות וחצי שמינית יקח מן הכור שהוא בי"ד
If you give 10 kors for 20, 12 for 20 and 15 kors for 20 and he wants to take for 20 an equal part from each kind, how much will be given to him? $\scriptstyle\left(\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}\right)\sdot x=20$	ואם תוציא עשרה כורים בעשרים ושנים עשר בעשרים וחמשה עשר כורים בעשרים וירצה לקח בעשרים חלק שוה מכל מין ומין כמה יתן לו
kors = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}}=\frac{20}{2+\left(1+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)}=\frac{20}{5}=4}}$	חלק העשרים על עשרה יצא שנים ועל י"ב יצא אחד ושני שלישיות ועל ט"ו, יצא אחד ושליש, חבר הכל, יהיו חמשה, חלק עליהם העשרים יצא ארבעה וכן יקח מכל מין ומין
If you give 4 kors for 8 zuz minus an unknown thing and 2 kors were taken for the unknown thing and a zuz. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{4}{8-x}=\frac{2}{x+1}$	ואם תוציא ד' כורים בח' זוז פחות דבר שאינו ידוע ולקח שני כורים בשאינו ידוע וזוז, כמה היה מה שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left[\left[\left(8-x\right)+\left(x+1\right)\right]\sdot\frac{2}{2+4}\right]-1=\left(9\sdot\frac{2}{6}\right)-1=\left(9\sdot\frac{1}{3}\right)-1=2}}$	הוסף הב' כורים על הד' יהיו ו' ואחר כך חבר שאינו ידוע וזוז עם הח' פחות דבר שאינו ידוע יהיו תשעה ודע מה ערך שני הכורים מן הששה והוא שליש קח שליש התשעה וחסר ממנו הזוז והנשאר שהוא שני זוזים הוא הדבר שאינו ידוע
If you give 5 kors for 10 dinar minus a thing and 3 kors were taken for the unknown thing minus a dinar. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{5}{10-x}=\frac{3}{x-1}$	ואם תוציא חמשה כורים בעשרה דינ' פחות משהו ולקח ג' כורים במשהו שאינו ידוע פחות דינ' עם כמה זה המשהו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(x-1\right)+\left(10-x\right)\right]\sdot\frac{3}{3+5}\right]+1\\&\scriptstyle=\left(9\sdot\frac{3}{8}\right)+1\\&\scriptstyle=\left[9\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{3}{8}\right)+1\\&\scriptstyle=4+\frac{3}{8}\\\end{align}}}$	חבר הג' עם הה' יהיו ח' ואחר כך חבר המשהו פחות דינ' עם הי' פחות משהו יהיה ט' דינ' ודע מה ערך הג' כורים מן השמונה והוא רביעית וחצי רביעית וכערכם קח מן הט' והוא ג' ושלשה שמיניות הוסף עליהם הדינר הפחות והם ד' וג' שמיניות והוא המשהו

Employment of workers	וכן אתה מוצא בענין השכירות
I hired a worker for 30 days for 10 dinar and he had worked 8 days. How much was his payment? $\scriptstyle30\div10=8\div x$	כגון האומר שכרתי פועל לשלשים יום בי' דינ' ועשה על ח' ימים כמה שכרו
days of employment = a₁ = [the amount of goods offered in] trade = 30	ובכאן אתה חושב ל' ימי השכירות למסחר
corresponding dinar = a₂ = the corresponding price = 10	והי' דינ' לשער
days of work = a₃ = the sold [amount of goods] = 8	וח' ימים שעשה מלאכתו למכר
payment = a₄ = the money paid = unknown	ויהיה המספר הנסתר דמי המכר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot10}{30}=\frac{80}{30}=3-\frac{1}{3}}}$	ותוציאנו שתערך הח' בי' יהיו פ' חלקם על הל' יצא ג' פחות שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{30}\sdot10=\left(\frac{4}{5}\sdot{1}{3}\right)\sdot10=3-\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתדע מה ערך ח' אל ל' והוא ד' חמשיות שלישית וכערכם קח מן הי' יצא ג' פחות שליש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{30}\sdot8=\frac{1}{3}\sdot8=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתחלק הי' על הל' יצא שליש, ערכהו על ח' יצא והוא ח' שלישיות והדבר שוה
the same methods of solution should be used for cases of unknown sold merchandise, or price, or [amount of goods offered in the] business	ועל אלו הדרכים תוציא כשיהיו המכר או השער או המסחר נסתרים ואין צריך להאריך בזה
You hired a salaried for an unknown [number of] days for an unknown [quantity of] dinar. When you add up the days and dinar they summed up by 40. He had worked unknown days so that when multiplied by their salary the total is 12 and if you multiply the remaining days by the remaining salary the total is 192, how much are the unknown days and how much are the dinar? $\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1+a_2=40\\\scriptstyle a_3\times a_4=12\\\scriptstyle\left(a_1-a_3\right)\sdot\left(a_2-a_4\right)=192\end{cases}$ $\scriptstyle x^2+12=\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\sdot x$	ואם תוציא שכיר בימים נעלמים בדינר נעלמים וכשתחבר הימים והדינ' יהיו מ' ועשה ימים נעלמים כשתערכם בשכרם יעלה י"ב ואם תערך הנשאר מן הימים בנשאר מן השכר יעלה קצ"ב, כמה הם הימים הנעלמים וכמה הדינ' וכמה עשה מן הימים
days of work = ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-12}\\&\scriptstyle=4+\sqrt{4^2-12}\\&\scriptstyle=4+\sqrt{4}=4+2=6\\\end{align}}}$	חלק הקצ"ב על י"ב יצא י"ו קח שרשם והוא ד' והוסף עליהם אחד יהיה ה' וחלק עליהם המ' יצא ח' קח חצים והוא ד' וערכם על עצמם ומהעולה חסר הי"ב ישאר ד' קח שרשם והוא ב' הוסיפם על הד' שהם חצי הח' והעולה שהוא ו' הם הימים הנעלמים אשר עשה
$\scriptstyle y^2+192=\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\sdot y$ unemployment days = ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{16^2-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{256-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{64}=6+16+8=6+24=30\\\end{align}}}$	או דע מה ערך הי"ב מן הק'צ'ב' והוא חצי שמינית קח השרש והוא רובע הוסף עליו אחד לעולם יהיה אחד ורובע חלק עליהם המ' יצא ל"ב, קח חצים והוא י"ו וערכם על עצמם יעלה רנ"ו חסר מהם הק'צ'ב' יהיה הנשאר ס"ד, קח שרשם והוא ח', הוסיפם על הי"ו יהיו כ"ד חברם עם הו' ראשונים והמחובר שהוא ל' הם הימים הנעלמים מן השכירות
money paid = $\scriptstyle{\color{blue}{40-30=10}}$	וחסרם מן המ' והנשאר שהוא י' הם הדינ' הנעלמים
You hired a salaried for a month [=30 days] for 10 dinar, and if he cancels he has to pay one-half of his salary. He had worked and canceled and his salary turned out equal to his loss $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}=\left(30-x\right)\sdot\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם חצי שכרו ועשה ובטל ויצא שכרו בהפסדו
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{\frac{1}{2}\sdot10+10}\sdot30=\frac{5}{5+10}\sdot30=\frac{5}{15}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	חבר הה' שהוא חצי השכר עם הי' יהיה ט"ו ודע מה ערך הה' מהם והוא שליש וכערכם קח ממי החדש והיוצא שהוא י' הוא הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-10=20}}$	ובטל שאר הימים והם כ‫'
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{\frac{10}{\frac{1}{2}\sdot10}+1}=\frac{30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{30}{2+1}=\frac{30}{3}=10}}$	או תחלק הי' דינ' על הה' דינ' יצא ב' הוסף עליהם אחד לעולם יהיה ג' וחלק עליהם ימי החדש והיוצא שהוא י' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked and canceled and his salary was unknown zuzim $\scriptstyle\left(x\sdot\frac{10}{30}\right)-\left[\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}\right]=1$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל והיה שכרו זוזים נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5+1}{5+10}\sdot30=\frac{6}{15}\sdot30=12}}$	חבר הה' עם הי' יהיו ט"ו הוסף הזוזים על הה' יהיו ו' גרע ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא י"ב והם הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-12=18}}$	ובטל הנשאר והם י"ח ולקח בשכרו שכר ב' ימים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{36}{2+1}=\frac{36}{3}=12}}$	או חלק הי' על ה' והיוצא שהוא ב' הוסף עליהם אחד לעולם ויהיה ג' ודע מה ערך הזוזים מן הה' והוא חומש הוסיפם על ימי החדש חמישיתם יהיה ל"ו חלקם על הג' והיוצא הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked and canceled and had to pay unknown zuzim $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}+1=\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל ונתחייב לשלם זוזים נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5-1}{5+10}\sdot30=\frac{4}{15}\sdot30=8}}$	חבר הה' עם הי' יהיה ט"ו ואחר כן חסר דינ' מן הה' ישאר ד' ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא ח' והם הימים שעשה
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-8=22}}$	ובטל כ"ב יום ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)}{\frac{10}{5}+1}=\frac{24}{2+1}=\frac{24}{3}=8}}$	או חלק הי' על הה' יצא ב', הוסף עליהם אחד יהיה ג' ושמרם ואחר דע מה ערך דינ' מן הה' דינ' והוא חמשים וקח מימי החדש חמישיתם ישאר כ"ד חלקם על הג' ששמרת והיוצא שהוא ח' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for unknown [number of] dinar, and if he cancels he has to pay 5 dinar. He had worked unknown [number of] days so that when you multiply the unknown [number of] days by the unknown [number of] dinar [the result] is 80 and when he canceled he had to pay unknown dinar $\begin{cases}\scriptstyle\left(y\sdot\frac{x}{30}\right)+1=\left(30-y\right)\sdot\frac{5}{30}\\\scriptstyle x\sdot y=80\end{cases}$	ואם תוציא שכיר בחדש בדינ' נעלמים ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ימים נעלמים וכשתערוך הימים הנעלמים על הדינ' הנעלמים היה פ' וכשיצא ממלאכתו נתחייב דינ' נעלמים
days of work = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{\left[\left(5-1\right)\sdot30\right]-80}{5}=\frac{\left(4\sdot30\right)-80}{5}=\frac{40}{5}=8}}$ unknown dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{80}{8}=10}}$	חסר הדינר מן הה' ישארו ד' ערכם על הל' ומהמחובר חסר פ' ישאר מ' חלקם על ה' והיוצא שהוא הם הימים שעשה חלק עליהם הפ' והיוצא שהוא י' הם הדינ' הנעלמים ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
unemployment days = $\scriptstyle{\color{blue}{30-x=\frac{\left(1\sdot30\right)+80}{5}=\frac{110}{5}=22}}$	ואם תערוך הדינ' בל' ותחבר העולה עם הפ' יהיה ק"י חלקם על הה' והיוצא שהוא כ"ב הם ימי הבטלה
You hired three workers — one for 3 dinar for one month, the second for 6 dinar and the third for 10 dinar. They had worked together a total of one month and each one took equally. How many [days] each one of them had worked? $\begin{cases}\scriptstyle\frac{30}{3}a=\frac{30}{6}b=\frac{30}{10}c\\\scriptstyle a=\frac{a}{a+b+c}\sdot30\end{cases}$	ואם תוציא שכר ג' פועלים אחד ג' דינ' בחדש והשני ו' דינ' והשלישי י' דינ' ועשו בין שלשתם חדש אחד ולקחו כל אחד בשוה כמה עשה כל אחד מהם
days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{6}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{1}{2}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\frac{4}{5}}\sdot30=\frac{5}{9}\sdot30=16+\frac{2}{3}}}$	דע מה ערך הג' מן הי' והוא ג' עשיריות ודע מה ערך הג' מן הו' והוא חצי, חברהו אל הג' עשיריות יהיה ד' חומשין, הוסף עליהם אחד לעולם, יהיה אחד וד' חומשין ודע מה האחד מהם והוא חמשה תשעיות, קח חמש תשעיות ימי החדש שהם י"ו ושני שלישי יום והם הימים שעשה הראשון
days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\sdot\left(16+\frac{2}{3}\right)=8+\frac{1}{3}}}$	וקח חצי מלאכת הראשון והוא ח' ושליש והם הימים שעשה השני
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{18}=1+\frac{2}{3}}}$ days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{30}{3}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$ days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{30}{6}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$	או חלק הל' על הג' ודע מה ערך הל' מי"ח והוא כמוהו ושני שלישיותיו וכערך הזה קח מכל מה שיצא בחלוק לכל אחד ואחד והם הימים שעשה כל אחד ואחד
You hired three workers — one for 30 days for an unknown thing, the second for one-half of the unknown thing and the third for one-third of the unknown thing. They had worked together 30 days. The first took 2 dinar, the second took 3 dinar and the third took 4 dinar. How much was the unknown thing and how many days each one of them had worked? $\scriptstyle\left(2\sdot\frac{30}{x}\right)+\left(3\sdot\frac{30}{\frac{1}{2}x}\right)+\left(4\sdot\frac{30}{\frac{1}{3}x}\right)=30$	ואם תוציא שכר ג' פועלים האחד ל' יום בדבר שאינו ידוע והשני בחצי הדבר שאינו ידוע והשלישי בשלישית הדבר שאינו ידוע ועשו ל' יום בין שלשתם ולקח הראשון ב' דינ' והשני ג' די' והשלישי ד' די', כמה היה הדבר שאינו ידוע וכמה עשה כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(2\sdot30\right)+\left[\left(3\sdot30\right)\sdot2\right]+\left[\left(4\sdot30\right)\sdot3\right]}{30}=\frac{60+180+360}{30}=\frac{600}{30}=20}}$	ערוך חלק הראשון בימי החדש יעלה ס' וערוך חלק השני בימי החדש והעולה תכפול ג' פעם יעלה ש"ס חבר הכל יהיה ת"ר חלקם על ימי החדש והיוצא שהוא כ' הוא הדבר שאינו ידוע
days of work of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{600}\sdot30=\frac{1}{10}\sdot30=3}}$	ולדעת הימים שעשה הראשון, דע מה ערך ס' מת"ר והוא עשירית וכערכו קח מימי החדש והם ג' והם הימים שעשה הראשון ודע מה ערך הק"פ מת"ר וכערכם קח מימי החדש והם ג' והם הימים שעשה הראשון
days of work of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{180}{600}\sdot30=9}}$	ודע מה ערך הק"פ מת"ר וכערכם קח מימי החדש והם ט' ימים שעשה השני
days of work of the third = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{360}{600}\sdot30=\frac{3}{5}\sdot30=18}}$	ודע מה ערך הש"ס מת"ר והוא ג' חמישיותיו וכערכם קח מימי החדש והם י"ח ימים שעשה השלישי
You hired a salaried for 6 dinar and an unknown thing for one month. He had worked 10 days and took the unknown thing. How much is it? $\scriptstyle\frac{30}{6+x}=\frac{30-10}{6}$	ואם תוציא שם שכיר בו' דינ' ובדבר שאינו ידוע חדש אחד ועשה עשרה ימים ולקח הדבר שאינו ידוע כמה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30\sdot6}{30-10}-6=\frac{180}{20}-6=9-6=3}}$	ערוך ימי החדש בו' דינ' עלה ק"פ ושמרם ואחר כן חסר י' ימים שעשה מימי החדש והנשאר שהם כ' הוא המורה וחלק ק"פ ששמרת על המורה יצא ט' והוא הכל הידוע ושאינו ידוע חסר הידוע ישאר מה שאינו ידוע והוא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot6}{30-10}=\frac{60}{20}=3}}$	דרך אחרת: חסר הימים שעשה מימי החדש והנשאר שהוא כ' הוא המורה ואחר כן ערוך הימים שעשה על הו' דינ' יעלה ס' חלקם על המורה יצא ג' והוא הדבר שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{30-10}\sdot6=\frac{10}{20}\sdot6=\frac{1}{2}\sdot6=3}}$	דרך אחרת: דע מה ערך הימים שעשה אל המורה והוא חצי וכערך זה קח מן הו' דינ' הידוע והוא ג' והם הדבר שאינו ידוע
	ואם היה חשבון שלא היה לו ערך
	ערוך הימים שעשה על הו' דינ' והעולה חלק על המורה אז תמצא הדבר שאינו ידוע
if he took the unknown thing and one dinar	ואם אמר ולקח בשכרו הדבר שאינו ידוע ונתן לו עוד דינר
add one to the unknown thing (?)	הוסף על הדבר הידוע אחד ועשה כמשפט

Partnership
	וכן לענין שתוף אתה מוצא שני סדרי הערך
all the parts of the capital given to the partnership = a₁ = [the amount of goods offered in] business/trade	כי כל ראשי הממון שמכניסים בשתוף הם כעין העסק שהוא המסחר
total profit = a₂ = the corresponding price	וכל הריוח הוא כעין השער המסור לו
share of each [of the partners] in the capital = a₃ = the sold [amount of goods]	וחלק כל אחד מהממון כעין המכר
part owed to each [of the partners] from the profit = a₄ = the money paid	והחלק המגיע לכל אחד מן הריוח כעין הדמים
if the money paid = [the part owed to each of the partners from the profit] = unknown	ואם הדמים הנסתרים
Three shared—one [gave] 10, the second [gave] 20, the third [gave] 30—and they earned together 30	כגון שנשתתפו האחד בי' והשני בכ' והשלישי בל' והרויחו ל‫'
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot10}{10+20+30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot20}{10+20+30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot30}{10+20+30}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על העסק יצא חלק
if the sold [amount of goods] = [share of each of the partners in the capital] = unknown	ואם המכר נסתר
[Three] shared in a total of 60 and earned 30. One took 5, the second [took] 10 and the third [took] 15	כגון שנשתתפו בין כלם בששים ורוחו ל' ולקח האחד ה' והשני י' והשלישי ט"ו
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot5}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot10}{30}}}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{60\sdot15}{30}}}$	ערוך המסחר בדמי האחד וחלק על השער יצא חלקו
if the price = [total profit] = unknown	ואם השער נסתר
[Three shared] — One [gave] 10, the second [gave] 20, the third [gave] 30 and the profit of the one [who gave] 10 was 5	כגון האחד י' והשני כ' והשלישי ל' ורוח בעל הי' חמשה
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{\left(10+20+30\right)\sdot5}{10}}}$	ערוך העסק בדמי המכר וחלק על המכר
if the business = [all the parts of the capital given to the partnership] = unknown	ואם העסק נסתר
[Three shared] — One [gave] 10 and all earned 30 together. The one [who gave] 10 took 5 from the profit	כגון שידוע שחלק האחד היה י' ורוחו בין כלם ל' ולקח בעל הי' חמשה מן הריוח
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{30\sdot10}{5}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על הדמים
	וגם בשאר כל הדרכים תוכל להוציאם כאשר הם בשכיר ובמקח וממכר
Four shared, each [gave] an amount different from what the other gave [one gave 5, the second gave 10, the third gave 15 and the fourth gave 20] and they earned	וכן אם היו ד' שותפים לכל אחד ראש ממון שאינו שוה לחברו [כלו' ה' וי' וט"ו וכ'] ויצא להם ריוח
the relative share owed to one of them from the profit = $\scriptstyle\frac{his\ own\ capital}{sum\ of\ the\ parts\ of\ the\ capital\ of\ all}=\frac{his\ own\ capital}{50}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{a_4}{a_2}=\frac{a_3}{a_1}}}$	הערך ראש ממון כל אחד בפני עצמו כריוח וחלק על המחובר מראש ממון כלם שהוא נ' והיוצא הוא בחלק חלקו המגיעו מן הריוח
convert the dinar to smaller coins = pešiṭim and then divide by the sum of all parts of the capital	ואם ישאר שלא יתחלק השב הדי' לפשיטים וחלק על מה שחלקת
$\scriptstyle\frac{total\ profit}{\frac{total\ capital}{his\ share\ in\ the\ capital}}$ $\scriptstyle{\color{red}{a_4=\frac{a_2}{\frac{a_1}{a_3}}}}$	או חלק המחובר שהוא נ' על החלק ועל היוצא שהוא י' תחלק הריוח
In another way, you can know how much is the share of each in the profit:	ובדרך אחרת תוכל לדעת כמה חלק כל אחד מן הריוח
$\scriptstyle\frac{total\ profit}{total\ capital}\sdot his\ share\ in\ the\ capital$ $\scriptstyle{\color{red}{a_4=\frac{a_2}{a_1} \sdot a_3}}$	שתחבר ראש ממונם ודע מה ערך הריוח מראש ממונם וכערכו קח מראש כל אחד והוא חלקו
(?)	ותדענו שתחלק ראש ממון הגדול על הקטן ושמור היוצא ועוד חלק ראש ממון האמצעי על הקטן והיוצא הוא חלק הראשון וראה מה ערך ראש ממון הקטן אל האמצעי וכערכו תוסיף על חלקו מן הריוח והוא חלק האמצעי וכן תוסיף לשלישי כערכו אל הקטן
Three shared — one [gave] 20, the second [gave] 30 and the third [gave] 40. The profit of the one who gave 20 was 3. What was the profit of the others? $\scriptstyle20x=3$	ואם תרצה להוציא ג' נשתתפו האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' והריוח בעל הכ' ג' כמה הגיע לחלק האחרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{20}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{20}\sdot3=6}}$	חלק הל' על הכ' והיוצא תערכנו בג' שרוח והעולה הוא חלק בעל הל' והוא ד' וחצי וכן תחלק המ' על הכ' והיוצא תערוך בג' והעולה שהוא ו' הוא חלקו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot30=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot40=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot40}}$	ותדענו שתדע מה ערך הג' אל הכ' והוא ג' רביעיות חמישית וכערכו קח מראש ממון השני והשלישי
One [gave] 20, the second [gave] 30 and the third [gave] 40. If you add the profit of the one who gave 20 to the profit of the one who gave 30, the sum is 10 $\scriptstyle20x+30x=10$	ואם תוציא האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' וריוח בעל הכ' כשתחברנו אל ריוח בעל הל' יעלה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{20+30}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}}}$	חבר הכ' והל' יהיו חמשים חלק עליהם הי' יצא חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot30=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	קח חומש ראש ממון כל אחד יקח בעל הכ' ד' ובעל הל' ו' ובעל המ' ח‫'
[Three shared] — one [gave] 10, the second [gave] 30 and the third [gave] 50. When you add the profit of the first to the profit of the second and subtract the result from the profit of the third what remains is 3 $\scriptstyle50x-\left(10x+30x\right)=3$	ואם תוציא האחד י' והשני ל' והשלישי נ' וכשתחבר ריוח הראשון והשני ותחסרם מריוח השלישי ישאר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{50-\left(10+30\right)}=\frac{3}{50-40}=\frac{3}{10}}}$	חבר הי' והל' יהיו מ' ותגרעם מן הנ' ישאר י' ודע מה ערך ג' מי' והוא ג' עשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot10=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot30=9}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot50=15}}$	קח ג' עשיריות ראש ממון כל אחד וככה חלקו הראשון ג' והשני ט' והשלישי ט"ו
[Three shared] — one [gave] 10, the second [gave] 20 and the third [gave] 40. When you multiply the profit of the first and the second by the profit of the third, the result is 48. What was the profit of each one? $\scriptstyle\left(10x+20x\right)\sdot40x=48$	ואם תוציא האחד י' והשני כ' והשלישי מ' וכשתערוך ריוח הראשון והשני בריוח השלישי עלה מ"ח כמה היה ריוח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{48}{\left(10+20\right)\sdot40}}=\sqrt{\frac{48}{1200}}=\sqrt{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}}}$	חבר הי' עם הכ' והעולה תערוך על המ' יעלה אלף ומאתים, דע מה ערך המ"ח מהם והוא חמישית החומש, חשוב אותם כאלו הם שברים וקח השרש והוא חומש
	וקח חומש ראש ממון כל אחד מהם
The first: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot10=2}}$	יקח הראשון ב‫'
The second: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$	והשני ד‫'
The third: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	והשלישי ח‫'
Two shared — one [gave] 8 and the other [gave] 18 and they earned [a profit]. When you multiply the root of the profit of the one by the root of the profit of the other the result is 6. $\scriptstyle\sqrt{8x}\sdot\sqrt{18x}=6$	ואם תוציא שני שותפין האחד ח' והשני י"ח ורוחו וכשתערוך שורש ריוח האחד בשורש ריוח השני יהיה ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6^2}{8\sdot18}}=\sqrt{\frac{36}{144}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	ערוך הו' על עצמם יעלה ל"ו ואחר כן ערוך הח' על הי"ח יעלה קמ"ד חלק עליהם הל"ו והיוצא שהוא רוביע קח שרשו והוא חצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot8=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot18=9}}$	אם תערכהו על השמונה יעלה ד' והוא הריוח של בעל הח' ואם תערכהו על י"ח יעלה ט' והוא הריוח של בעל הי"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{\sqrt{\frac{18}{8}}}=\frac{6}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{6}{1+\frac{1}{2}}=4}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\frac{18}{8}=4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=9}}$	ותדענו שתחלק הי"ח על הח' יצא ב' ורביע קח שרשם והוא אחד וחצי חלק עליו הו' והיוצא שהוא ד' הוא ריוח הראשון ואם תערוך הד' בשנים ורובע יעלה ט' והוא ריוח השני
Two men shared — one [gave] 5 kikkar, and the other one [gave] 3 kikkar. The third [man] who did not bring anything shared with them. The three gave together the 8 kikkar. The third paid the others 8 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תוציא שני אנשים נשתתפו זה בה' ככר וזה בג' ככר ונשתתף עמהם השלישי שלא הביא כלום והוציאו שלשתם אותם הח' ככר ושלם להם השלישי ח' ליטרין כסף כמה יקח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)}{\frac{1}{3}\sdot8}=\frac{5-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{2+\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot8=7}}$	קח שליש הח' ככר והוא ב' וב' שלישיים, חסרם מן הה' ישארו ב' ושליש ודע מה ערכם מן הב' וב' שלישיים והוא ז' שמיניות קח ז' שמיניות הח' שהוא והוא יהיה חלק בעל הה' ככר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{1}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot8=1}}$	ואם תחסר הב' וב' שלישים מן הג' ישאר שליש ותדע ערכו אל ב' ושליש והוא שמינית וקח שמינית הח' והוא אחד והוא חלק בעל הג' ככרים
Three men shared — one [gave] 9 kikkar, the second [gave] 8 kikkar and the third [gave] 7 kikkar. The fourth [man] who did not bring anything shared with them. The three gave together. The fourth paid the others 18 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תרצה תוציא ג' אנשים נשתתפו האחד בט' ככר והשני בח' והשלישי בז' ונשתתף עמהם הרביעי שלא הביא כלום והוציאו בין שלשתם הכל ושלם הרביעי להם י"ח ליט' כסף כמה יקח כל אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9+8+7}{4}=6}}$	חלק כל הככרים על הד' אנשים יצאו ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}$	חסרם מן הט' ישאר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}$	ומן הח' ישאר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7-6=1}}$	ומן הז' ישאר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{3+2+1}=3}}$	חבר כל השיורין וחלק עליהם הי"ח יצא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(9-6\right)=3\sdot3=9}}$	אם תערכם בג' יעלה ט' והוא חלק בעל הט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=3\sdot2=6}}$	ואם תערכנו בב' יעלה ו' והוא חלק בעל הח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(7-6\right)=3\sdot1=3}}$	ואם תערכהו באחד יהיה ג' והוא חלק בעל הז‫'
Three shared — each [gave] the same amount as what the other gave. One gave ⁴/₅ of his money, the second gave ⁵/₇ of his money, and the third [gave] ⁶/₉ of his money. How much did each one has? $\scriptstyle\frac{4}{5}a=\frac{5}{7}b=\frac{6}{9}c$	ואם תוציא שלשה נשתתפו בראש ממון שוה כל אחד לחבירו ומה שהביא האחד היה ארבע חומשי ממונו והשני הביא חמש שביעיות ממונו והשלישי שש תשיעיות ממונו כמה היה לכל אחד ואחד
	הערך השנים הראשונים זה על זה באלכסון והטעם שתערוך שברי האחד על חשבון חברו ותחשבם כאלו הם שלמים
The first: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	והנה הראשון כ"ה
The second: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25}}$	והשני כ"ח
	ועשה כן לשני גם לשלישי
The second: $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6=42}}$	והנה השני מ"ב
The third: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	והשלישי מ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28-25}{28}=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}}}$	ודע כמה הוסיף השני על הראשון והוא שלש רביעיות שביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=42-\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot42\right]=37+\frac{1}{2}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}a=\frac{4}{5}\sdot\left(37+\frac{1}{2}\right)=30}}$	חסר כן ממ"ב ישארו ל"ז וחצי והוא ראש ממון הראשון וד' חמשיותיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{b=42}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot42=30}}$	וראש ממון השני מ"ב וה' שביעיותיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{c=45}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}\sdot45=30}}$	וראש ממון השלישי מ"ה ושש תשיעיותיו ל‫'

Coinage
In the issue of coinage you also find two orders of ratio:	וגם בענין קשור המטבע אתה מוצא שני סדרי ההקשה
For the liṭra is a kind of [goods offered in the] business. liṭra = a₁	כי הליטרא כעין המסחר
The silver [in it] is a kind of price = a₂	והכסף הראוי לה כעין השער
The ՚oqya are a kind of a sold merchandise = a₃	והאוקיאות כעין המכר
The silver received for the ՚oqya is a kind of money [paid] = a₄	והכסף המגיע לאוקיא כעין הדמים
if the money paid = [silver belong to the ’oqya] = unknown	ואם היו הדמים נסתרים
One liṭra of coins is 12 ՚oqya. 4 of them are ՚oqya of silver. How many [՚oqya of] silver there are in 3 ՚oqya?	כגון האומר ליט' מטבעות שהיא י"ב אוקיאות ויש בהם ד' אוקיאות כסף כמה כסף יש בג' אוקיאות
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{3\sdot4}{12}}}$	ערוך השער במכר וחלק על המסחר
if the sold = ՚oqya = unknown	ואם היה המכר נסתר
In one liṭra there are 4 ՚oqya of silver. In how many [՚oqya] there is one ՚oqya of silver?	כגון האומר ליט' בד' אוקיאות כסף בכמה יש אוקיא מכסף
$\scriptstyle a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{12\sdot1}{4}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על השער
if the price = silver [in the liṭra] = unknown	ואם היה השער נסתר
I bought 3 ՚oqya; [one of them is] ՚oqya of silver. How many would I buy in one liṭra?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות באוקיא כסף בכמה אקנה הליטרא
$\scriptstyle a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{12\sdot1}{3}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על המכר
if the trade = liṭra = unknown	ואם היה המסחר נסתר
I bought 3 ՚oqya of coins; [one of them is] ՚oqya of silver. How much would I take of the coins for 4 ՚oqya of silver?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות מטבעות באוקיא כסף כמה אקח מן המטבעות בד' אוקיא כסף
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}$ $\scriptstyle{\color{red}{\frac{4\sdot3}{1}}}$	ערוך השער במכר וחלק על הדמים
If you want to produce a coin with 1 ՚oqya of silver in a liṭra, the second [coin] with 2 ՚oqya of silver in a liṭra, and the third [coin] with 6 ՚oqya [of silver] in a liṭra. You have to know how much you should take of each coin so that the sum will be 4 ՚oqya [of silver] in a liṭra $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left(1+2\right)\right]=6-4$	ואם תרצה לקשור מטבע מא' אוקיאות כסף בליט' והשני מב' אוקיאות כסף בליט' והשלישי מו' אוקי' בליטרא, ואתה צריך לדעת כמה תקח מכל מטבע ומטבע ויהיה המחובר לד' אוק' אוקיאות בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left(1+2\right)}=\frac{2}{12-3}=\frac{2}{9}}}$	ככה תדענו: שתחבר הכסף שיש בשני המטבעות הפחותות ויעלה שלשה ואחר תכפול המטבע השלישי ויהיה הכפול י"ב וגרע מהם העולה מהמחובר משני המטבעות ישאר ט' ושמרהו ואחר תגרע הד' שהוא רוצה לקשור מן הששה שהוא סך המטבע השלישי ישאר ב' ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ב' תשיעיות וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(2\sdot12\right)=5+\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(1+2\right)=\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(5+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{3}=3+\frac{1}{3}}}$	ויעלה בין שניהם ה' אוקיאות ושליש ויש בהן כסף ב' שלישי אוקיא ומן המטבע השלישי יקח ו' אוקי' וב' שלישי אוקי‫' שיש בהן כסף ג' אוקי' ושליש אוקי‫' ותעלה בידך ליט' שיש בה ארבע אוקיאו' כסף
If you have a liṭra with 1 ՚oqya of silver, a liṭra with 5 ՚oqya [of silver], and a liṭra with 7 ՚oqya [of silver]. You want to produce [a coin] with 4 ՚oqya of silver $\scriptstyle\left[x\sdot\left(5+7\right)\right]-\left(2x\sdot1\right)=4-1$	ואם יש בידך מן המטבעות ליט' באוקי' כסף וליט' בה' אוקי' וליט' בז' אוקי' ותרצה לקשור ליט' בד' אוקי' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-1}{\left(5+7\right)-\left(2\sdot1\right)}=\frac{3}{12-2}=\frac{3}{10}}}$	כן תעשה: חבר שני המטבעות הגדולות מן המטבעות שהוא רוצה לקשור ויעלה י"ב וכפול השלישי ויעלה ב' וגרע אותו מהעולה מהמחובר ישאר י' ושמרהו ואחר גרע האחד שהוא המטבע היחידי מן הד' שהוא רוצה לקשור ישאר ג' ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ג' עשיריותיו וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(2\sdot12\right)=7+\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(5+7\right)=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(7+\frac{1}{5}\right)=4+\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$	ויעלה בין שניהם שבעה אוקי' וחומש אוקי‫' יש בהם כסף ג' אוקיאות וחצי וחצי חומש ומן המטבע השלישי ד' אוקיאות וד' חומשין יש בהם כסף ב' חומשין והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¾ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 6 ՚oqya [of silver]. You want to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=6-4$	ואם יש בידך ליט' בג' רביעיות אוקי' וליטר' באוקיא ורביע וליט' בו' אוקיאו' ותרצה לקשור בד' אוקי' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{12-2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}}}$	ככה תדענו: חבר שני המטבע הפחותות יהיה ב' וכפול השלישי ויעלה י"ב וגרע ממנו המחובר ישאר י' ושמרהו ואחר גרע הד' מן הו' ישאר ב' ודע ערכם מהנשאר השמור והוא חומש וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות שחברת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(2\sdot12\right)=4+\frac{4}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(4+\frac{4}{5}\right)=7+\frac{1}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{5}=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ויעלה בין שניהם ארבעה וד' חמישיות ויש בהם כסף ב' חומשין ומהמטבע השלישי ז' וחומש יש בהם כסף ג' וחצי וחצי חומש והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with 2 ՚oqya [of silver], a liṭra with 5¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 6¾ ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]-\left(2x\sdot2\right)=4-2$	ואם יש בידך ליט' בשני אוקי' וליט' בה' ורביע וליט' בו' וג' רביעיות וקושר בד' בליטר‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-2}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]-\left(2\sdot2\right)}=\frac{2}{12-4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}}$	ככה תדענו: חבר השנים הגדולים יעלה י"ב וכפול השלישי יעלה ד' וגרע הכפול מהמחובר ישאר ח' ושמרם ואחר כן גרע הב' מן הד' ישאר ב' וערכם אל הנשאר השמור והם רביע וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot12\right)=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-6=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}$	ויעלה בין שניהם ו' אוקי‫' ויש בהם כסף ג' אוקי‫' ומן השלישי יקח ו' אוקי‫' יש בהם כסף אוקי' והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¼ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with ½ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 5 ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] $\scriptstyle\left(3x\sdot5\right)-\left[x\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=5-4$	ואם יש בידך ליט' ברביע אוקי' וליט' בחצי אוקי' וליט' באוקי' ורביע וליט' בה' אוקי' וקושר בד' אוקי' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-4}{\left(3\sdot5\right)-\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{1}{15-2}=\frac{1}{13}}}$	ככה תעשה חבר הג' מטבע הפחותות ויעלה ב' וכפול השלישי ג' פעמים בעבור שחברת ג' מטבעו' ויעלה ט"ו וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ג ושמרם ואחר כך גרע הד' מן ה' ישאר אחד וערכו מהנשאר השמור חלק אחד מי"ג וככה יקח מכל אחד מהשלשה המטבעו' המחוברות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left(3\sdot12\right)=2+\frac{10}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+\frac{10}{13}\right)=9+\frac{3}{13}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{13}=3+\frac{11}{13}}}$	ויעלה בין שלשתם ב' אוקי' ועשרה חלקים מי"ג באחד ויש בהם כסף ב' חלקים מי"ג באחד ומן השלישי יקח ט' אוקי' וג' חלקים מי"ג יש בהם כסף ג' אוקי' ואחד עשר חלקים מי"ג באחד ונתברר מה שרצינו
If you have a liṭra with 3 ՚oqya [of silver], a liṭra with 5¼ ՚oqya [of silver], a liṭra with 6½ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 7¼ ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]-\left(3x\sdot3\right)=4-3$	ואם יש בידך ליט' בג' אוקי' וליט' בחמשה ורביע וליט' בששה וחצי ליט' בז' ורביע וקושר בד' בליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-3}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]-\left(3\sdot3\right)}=\frac{1}{19-9}=\frac{1}{10}}}$	ככה תעשה: חבר הג' מטבעו' הגדולות ויעלו י"ט וכפול השלישי ג' פעם ויעלה ט' וגרע הכפול מהמחובר ישאר י' ושמרם ואחר גרע הג' מן הד' ישאר אחד וערכו אל הנשאר השמור עשירית וככה יקח מכל אחד ואחד מהשלשה המחוברות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(3\sdot12\right)=3+\frac{3}{5}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ויעלה בין שלשתם ג' אוקי' וג' חומשין ויש בהם כסף ב' אוקי' וחצי חומש והנה מה שרצינו
	ואם יש בידך ליט' בב' אוקי‫'
If you have a liṭra with ½ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with ¾ [of an ՚oqya of silver], a liṭra with 2½ [՚oqya of silver], a liṭra with 3¼ [՚oqya of silver], and a liṭra with 5¾ [՚oqya of silver]. [You want] to produce [a coin] with 3¾ [՚oqya of silver] $\scriptstyle\left[4x\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[x\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)$	ואם יש בידך ליט' בחצי אוקי' וליט' בג' רביעיות וליט' בב' וחצי וליט' בג' ורביע וליט' בה' וג' רביעיות וקושר בג' וג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)}{\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{23-7}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}}}$	ככה תדענו: חבר הד' מטבעו' הפחותות ויעלה ז' וכפול החמישי ד' פעם ויעלה כ"ג וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ו ושמרם ואחר חסר הג' וג' רביעיות מן הה' וג' רביעיות ישאר ב' וערכם אל הנשאר השמור והם שמינית וכן יקח מכל אחד מהד' מטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left(4\sdot12\right)=6}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{7}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{7}{8}}}$	ויעלה מארבעתם ו' אוקי‫' ויש בהם כסף ז' שמיניות אחד ומן החמישי יקח ו' אוקי' ויש בהם כסף ב' אוקי' וז' שמיניות וזה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] less than 4 [՚oqya of silver], for instance if he has a liṭra with ¾ of an ՚oqya of silver, a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], a liṭra with 1½ ՚oqya [of silver] and a liṭra with 2½ ՚oqya [of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper with them $\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=12-4$	ואם הוא רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש מטבעות שכלם פחותות מד' כגון שיש בידו ליט' מג' רביעיות אוקי' כסף בליט' וליט' באוקי' ורביע וליט' באוקי' וחצי וליט' בב' אוקי' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב בהם כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-4}{\left(4\sdot12\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]}=\frac{8}{48-6}=\frac{8}{42}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ככה תדענו: חבר הד' מטבעו' ויעלה ששה וכפול ליט' של כסף ד' פעם יעלה מ"ח אוקי', חסר המחובר מהכפול ישאר מ"ב ושמרם ואחר כך חסר הד' מן הליט' כסף ישאר ח' אוקי' וערכם מהנשאר השמור שביעית ושליש שביעית וככה יקח מכל אחד מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left(4\sdot12\right)=9+\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=1+\frac{1}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(9+\frac{1}{7}\right)=2+\frac{6}{7}}}$	ויעלה מארבעים ט' אוקי' ושביעית ויש בהם כסף אוקי' ושביעית ומן הכסף ישים ב' אוקי' וו' שביעיות והנה מה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] more than 4 [՚oqya of silver], for instance if he has a liṭra with 5¼ ՚oqya of silver, a liṭra with 6½ [՚oqya of silver], a liṭra with 7¾ [՚oqya of silver] and a liṭra with 8½ [՚oqya of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper [with them]	ואם רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש לו מטבעות שכלם גדולות מד' כגון שיש לו ליט' מה' אוקי' ורביע כסף וליט' מו' וחצי וליט' מז' וג' רביעיות וליט' מח' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב נחשת

\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left[12-\left(8+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(7+\frac{3}{4}\right)\right]+\left[12-\left(6+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\right]\right]=12-\left(12-4\right)

a liṭra with 3½ [՚oqya of] copper, a liṭra with 4¼ [՚oqya of] copper, a liṭra with 5½ [՚oqya of] copper, a liṭra with 6¾ [՚oqya of] copper, and a liṭra of 12 ՚oqya of copper. He wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya of silver and 8 ՚oqya of copper $\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]=12-8$	ככה תדענו שתהפוך הענין ותקח חשבון הנחשת אשר במטבעו וחשבון נחשת המטבע אשר הוא רוצה לקשור וכך הוא החשבון ליט' בג' וחצי נחושת וליט' בד' ורביע נחשת וליט' בה' וחצי נחשת וליט' בו' וג' רביעיות נחשת וליט' מנחושת שהיא י"ב אוקי' ורוצה לקשור מכל זה ד' אוקי' כסף בח' מנחשת
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-8}{\left(4\sdot12\right)-\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]}=\frac{4}{48-20}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}}}$	כן תעשה: חבר נחשת הד' מטבעו יעלה כ' אוקי' וכפול ליט' הנחשת ד' פעם יעלה מ"ח חסר המחובר מהכפול ישאר כ"ח ושמרם ואחר כן חסר הד' מן הי' ישאר ד' וערכם מהנשאר השמור שביעיות וככה יקח מכל אחד ואחד מהמטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(4\sdot12\right)=6+\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{6}{7}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(6+\frac{6}{7}\right)=5+\frac{1}{7}}}$	ויעלה לו מארבעתם ו' אוקי' וו' שביעיות יש בהם מנחשת ב' אוקי' וו' שביעיות ומן הנחשת ישים ה' אוקי' ושביעית ויצא מה שרצינו
to produce [a coin] with 4 ՚oqya when some of the coins are with less than 4 ՚oqya and some are more, one should sum the less and multiply one of the more or sum the more and multiply one of the less	ואם הוא קושר בד' ויש בידו פחותות ויתרות יחבר הפחותות ויכפול אחת מהיתרות או יחבר היתרות ויכפול אחת מהיתרות ויעשה כמשפט
if the more are summed - the product [of the less] should be subtracted from the sum and the 4 ՚oqya should be subtracted from the total ՚oqya of the coin	וכלל זה יהא בידך שתכפול הכפול לפי חשבון המטבעות שחברת ובחברך היתרות תגרע הכפול מהמחובר ותגרע היחידי שהוא פוחת מן הנקשר
if the less are summed - the sum should be subtracted from the product [of the more] and the remainder from the total ՚oqya of the coin minus the 4 ՚oqya should be subtracted from the total ՚oqya of the coin	והפך הדבר בחברך הפחותות שתחסר המחובר מהכפול ותחסר הנקשר מן היחידי היתר
	ומאלו הדמיונות תוכל להוציא לכל המטבעות ולכל עסקי בני אדם בין רב למע' למעט ותן לחכם ויחכם עוד

Chapter Seven: Conversion of One to the Other	השער השביעי השבת זה לזה
The example: Hipparchus said that the arc of the Sun's inclination is ¹¹/₈₃ of the circle.	והדמיון שאמ' אברכז כי מעלות נטיית הגלגל אשר לשמש אחד עשר חלק משמונים ושלשה בכל הגלגל
Ptolemy said that the arc of the Sun's inclination is 47 degrees of the 360 degrees of the circle plus 42 minutes [47°42'].	ותלמי אמ' כי מעלות הנטייה ארבעים ושבע מעלות ממעלות הגלגל שהם ש"ס ועוד שנים וארבעים חלק ראשונים
We wish to know if [their estimates] are equal or different, so do like this:	ונרצה לדעת אם הם שוים או שונים ככה תעשה
Multiply 11, which is Hipparchus' smaller number, by the degrees of the circle, which are Ptolemy's greater number, then divide the product, which is 3960, by 83, which is Hipparchus' greater number; the result of the division is 47, as Ptolemy said, and 59 remain that cannot be divided. We multiply them by sixty, then divide the product, which is 3540, by 83; the result of the division is 42 [minutes] as Ptolemy said. Hence, it became clear that the two calculations are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot360}{83}=\frac{3960}{83}=47+\frac{59}{83}=47+\frac{\frac{59\sdot60}{83}}{60}=47+\frac{\frac{3540}{83}}{60}\approx47+\frac{42}{60}}}$	ערוך י"א שהוא חשבון אברכז הקטן על מעלות הגלגל שהוא חשבון תלמי הגדול והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות וששים חלק על פ"ג שהוא חשבון הגדול של אברכז יצא בחלוק מ"ז כדברי תלמי ונשארו נ"ט שלא יתחלקו ערכנום על ששים והעולה שהוא ג' אלפים וחמש מאות וארבעים חלק על פ"ג יצא בחלוק שנים וארבעים חלק כדברי תלמי ונתברר ששני החשבונים שוים
Vice versa: we multiply 47, which are Ptolemy's degrees, by 83; the result is 3901. We multiply 42 by 83; the product is 3486. We divide [the sum] by 360, which is Ptolemy's greater number; the result of the division is 11, which is Hipparchus' smaller number. So, the two calculations are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{83\sdot\left(47+\frac{42}{60}\right)}{360}=\frac{3901+\frac{3486}{60}}{360}\approx11}}$	והפך הדבר ערכנו מ"ז שהם מעלות תלמי על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות ואחד וערכנו מ"ב על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים וד' מאות ושמונים וששה חלקנום על ש"ס שהוא החשבון הגדול של תלמי ויצא בחלוק י"א שהוא החשבון הקטן של אברכז והנה שני החשבונים שוים

simple fractions to simple fractions
If you have fractions of the geometricians and you wish to convert them to other fractions	ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברים אחרים
Such as three-quarters, how many sixths are they? $\scriptstyle\frac{3}{4}=\frac{a}{6}$	כגון שלשה רובעים כמה שתותים הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3}{4}\sdot6}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	דע מאיזה מספר הוא השתות והוא מששה קח שלשה רביעיותיו והם ארבעה וחצי וככה שתותים הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3\sdot6}{4}}{6}}}$	ותדענו שתערוך שלשה על ששה והעולה תחלק על ארבעה והיוצא הם שתותים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot\left(4\sdot6\right)}{\frac{1}{6}\sdot\left(4\sdot6\right)}}{6}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot24}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{\frac{18}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	ותדענו שתערוך ארבעה על ששה יעלה כ"ד והוא המורה קח ג' רביעיותיו והם י"ח חלקם על ששית המורה יצא בחלוק ד' וחצי וככה שתותים הם
$\scriptstyle\frac{6}{7}=\frac{a}{9}$	ואם תרצה לידע ששה שביעיות כמה תשיעיות הם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6}{7}\sdot9}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	דע מאיזה מספר הוא התשיעית והוא מט' קח ששה שביעיותיו והם שבעה וה' שביעיות תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}}}$	או ערוך הששה על תשעה והעולה חלק על שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot\left(7\sdot9\right)}{\frac{1}{9}\sdot\left(7\sdot9\right)}}{9}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot63}{\frac{1}{9}\sdot63}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	או ערוך השבעה על תשעה והעולה שהם ס"ג הוא המורה קח ששה שביעיותיו שהם נ"ד וחלקם על תשיעית המורה שהם ז' יצא שבעה וה' שביעיות אם כן מצאנו ששה שביעיות הם שבעה תשיעיות וה' שביעיות תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\left(\frac{6}{7}\sdot7\right)9}{7}}{9}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}}}$	או דע מאיזה מספר הוא השביעית משבעה קח ששת שביעיותיו והם ששה ערכם על תשעה והעולה שהם נ"ד חלק על שבעה יצא לחשבון אחד
$\scriptstyle\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{a}{10}$	ואם תרצה להשיב שבעה שמיניות וחצי שמינית לעשיריות
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot10}{10}=\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	דע מאיזה מספר הוא העשירית מעשרה קח שבעה שמיניותיו וחצי שמיניתו יעלה תשעה עשרות ושלשה שמיניות עשירית
	ובכל הדרכים האחרים תוכל להוציאו
fractions can be converted to smaller fractions or to larger fractions	ועל אלו הדרכים כמו כן תוכל להוציא אם תרצה להשיב ששיות לרביעיות או תשיעיות לרביעיות בין שתשיב השברים לפחותים מהם בין שתשיבם לגדולים מהם הדבר שוה
simple fractions to sexagesimal fractions
If you have fractions of the geometricians and you wish to convert them to fractions of the astrologers that are sexagesimal.	ואם יהיו בידיך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברי חכמי המזלות שהם ששים
If the denominator of the fraction is a divisor of 60 – conversion to sexagesimal fraction is easy	ואם השברים שבידך הם חצי או שליש או רביע או חומש או ששית ועשירית דבר קל להשיב אל ששים מפני שיתחלקו עליו
If the denominator of the fraction is not a divisor of 60:	אך אם יש בידך שביעית ושמינית ותשיעית לא יתחלקו עליהם ששים ואתה צריך לדעת איך תוכל להשיבם אל ששים
$\scriptstyle\frac{2}{7}=\frac{a}{60}$	כגון שהיו בידך ב' שביעיות ותרצה להשיבם לחשבון ששים
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\frac{2\sdot60}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{120}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{17+\frac{1}{7}}{60}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{\frac{1\sdot60}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8+\frac{4}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^3}\\&\scriptstyle=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{34+\frac{2}{7}}{60^3}\\\end{align}}}$	ככה תעשה: ערוך מספר השביעיות על ששים והעולה שהוא ק"כ חלק על שבעה יצא י"ז וישאר אחד וערוך הנשאר על ששים וחלק על ז' יצא ח' והם שניים ישאר ד' וערכם על ששים וחלק על ז' יצא ל"ד והם שלשים
	ועל זה הדרך תוכל לדקדק אותו לרביעים או לחמישיים עד אין קץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=\frac{2\sdot\left(8+\frac{34}{60}+\frac{17}{60^2}\right)}{60}=\frac{17}{60}+\frac{8}{60^2}+\frac{34}{60^3}}}$	או אם תרצה ערוך מספר השביעיים על ח' ל"ד י"ז שהם שביעית ששים יעלה י"ז ח' ל"ד כדרך הראשון
	ובאלו הדרכים תוציא כמו כן לשמיניות ולתשיעיות
$\scriptstyle\frac{a}{70}=\frac{\frac{a\sdot60}{70}}{60}$	ואם יהיו בידך חלקים משבעים ותרצה להשיבם לחשבון ששים ערוך החלקים על ששים וחלק העולה על שבעים
If there is a remainder from division by 70 – it should be converted to seconds by multiplying again by 60, and then dividing by 70	ואם ישאר שלא יתחלק ערוך על ס' וחלק על ע' יהיו שניים מחשבון ששים
$\scriptstyle\frac{a}{7}=\frac{a\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=\frac{a\sdot\left(8+\frac{34}{60}+\frac{17}{60^2}\right)}{60}$	או ערוך החלקים שיש בידך על ח' ראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים שהם שביעית ששים וחלק העולה על ששים והיוצא הוא המבוקש
(?)	או חסר שביעית החשבון והנשאר הם חלקים מששים

Chapter Eight: Roots	השער השמיני שרש זה וזה
extracting roots - integers or fractions - is difficult	השרשים הם קשים בין בשלמים בין בשברים
most of the numbers do not have a known root in the units, the tens, or the consequent ranks - therefore their roots should be approximated	ורבם אין להם שורש ידוע באחדים ובעשרות ובכל המערכות הבאות אחריהן ונלקחום בדרך קרובה אל האמת
Integers
shortcuts for finding the root of a perfect square
We start to explain the [extraction of roots of] integers that have a known root and give introductions and checks, as eyes for their seekers.	ונחל לפרש השלמים שיש להם שורש ידוע ונתן מפתחות ומאזנים להיות למבקשיהם עינים
The roots [of perfect squares] are found in two ways:	והשרשים ימצאו על שני דרכים
1) According to the units.	האחד על דרך מספר האחדים
The integers that are squares in the rank [of units] are three, which are: 1; 4; 9 and their roots: 1; 2; 3.	והמרובעים הנמצאים בשלמים במערכתם הם שלשה והם א'ד'ט' ושרשם א'ב'ג‫'
2) According to the tens.	והדרך השני על דרך מספר העשרות
The squares that are in the rank [of tens] are six, which are: 16; 25; 36; 49; 64; 81 and their roots: 4; 5; 6; 7; 8; 9.	והמרובעים הנמצאים במערכתם ששה והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד'ה'ו' ז'ח'ט‫'
These are the foundations of all the roots.	ואלה הם מוסדי כל השרשים
From here on: every rank that is not even [i.e. every odd rank] takes after the units. every even [rank] takes after the tens.	ומכאן ואילך כל מעלה שאינה זוג היא כאחדים ומה שהיה זוג היא כעשרות
The hundreds are similar to the units, for they are the third rank, hence an odd rank.	כי המאות כמו האחדים כי הם כמערכת השלישית כמספר נפרד
The thousands are similar to the tens.	והאלפים כמו העשרות
The tens of thousands are similar to the units.	ועשרות אלפים כאחדים
The hundreds of thousands are similar to the tens.	ומאות אלפים כעשרות
The thousands of thousands are similar to the units.	ואלפי אלפים כאחדים
The tens of thousands of thousands are similar to the tens.	ועשרות אלפי אלפים כעשרות
The hundreds of thousands of thousands are similar to the units.	ומאות אלפי אלפים כאחדים
The thousands of thousands of thousands are similar to the tens.	ואלף אלפים כעשרות
So on endlessly.	ככה עד אין קץ
1 is a root in the first rank → 10 is a root in the third rank → 100 is a root in the fifth rank → 1000 is a root in the seventh rank	ובין כזוג ובין כמה שאינה זוג האחד שהוא במערכת הראשונה ישוב עשרה במעלה השלישית שהיא דומה לה ובמעלה חמישית ממנה מאות ובשביעית ממנה אלפים
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	ששרש אחד הוא אחד ישוב המעלה השלישית עשרה והוא שורש מאה ששניהם דומים לאחד
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}$	ושרש ארבעה שוים על כן שרש ד' מאות עשרים
in the first rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3}}$ → in the third rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{900}=30}}$	ועל זה הדרך שרש תשע מאות ל‫'
	והמעלה הרביעית שהיא זוג דומה לשנית
in the second rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4}}$ → in the fourth rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1600}=40}}$	והנה אלף ושש מאות דומה לי"ו על כן שרשו ארבעים
	כי שב האחד עשרה כמערכת השלישית מן השנית
in the fifth rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10000}=100}}$	והנה עשרת אלפים יהיה שרשו מאה כי הוא במעלה החמישית מן הראשונה
in the seventh rank: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1000000}=1000}}$	ויהיה אלף אלפים שהיא המעלה השביעית שרשו אלף
40000 is similar to 4	והנה ארבעים אלף כדמות ארבעה
160000 is similar to 16	ומאה וששים אלף כדמות ששה עשר ועל זה הדרך לכל המרובעים
find out if a number is a perfect square 1) casting out by 9	וכאשר יהיה בידך חשבון ותרצה לדעת אם יש לו שרש שלם שקלו במאזני תשעה והוא שתחשב האחדים והעשרות והמאות וכל החשבונות כאלו הם אחדים והוציאם ט'ט‫'
if the remainder is 1; or 4; or 9; or 7 - the number may be a perfect square	ואם נשאר א' או ד' או ט' או ז' יתכן להיותו מרובע
if the remainder is 2; or 3; or 5; or 8 - the number is not a perfect square	ואם נשאר ב' או ג' או ה' או ח' דע שאיננו מרובע והנה דרך אחד
2) examing the units of the number:	ודרך שנית שתסתכל בחשבון אם יש שם ממספרי האחדים שהם במערכת הראשונה
if the units are: 1; or 4; or 5; or 6; or 9 - the number may be a perfect square	ואם מצאת שם א' או ד' או ה' או ו' או טיתין ט' יתכן להיות מרובע
3) examing the digits of the number: If one of the digits of the number is 1 — one of the digits of the root of this number is 1 or 9	ודרך שלישית שתדע כי אם יהיה בחשבון א' ראוי להיות בשרש א' או ט‫'
You can know which [digit] will be [the first digit of] the root of the number through the closest to the similar to the square of the units [= the square of a product of a power of ten by a unit, which is the closest to the given number]: $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$	ותוכל לדעת איזה יהיה בשרש החשבון לאיזה חשבון הוא קרוב אל הדומה למרובע האחדים
If the similar square is precedes the number and there is a double of the root of the [similar] square between them, add one to the similar root. $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a+1$	ואם יהיה המרובע הדומה קודם החשבון ויש ביניהם כפל שרש המרובע הוסף על השרש הדומה אחד
If it [= the given number] is less [than the similar square], subtract one from the similar root. $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a-1$	ואם היה פחות גרע משרש הדומה אחד
If the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ If there is [1] in the root	ואם יהיה בשרש ט‫'
for example the square 441 $\scriptstyle441=b^2$	כמו מרבע ת'מ'א‫'
We weigh it in scales of 9 and it all casted out by 9’9’. Therefore it is a sign that it could be a square. $\scriptstyle{\color{blue}{441mod9\equiv0}}$	שקלנוהו במאזני ט' ויצא כלו ט'ט' והנה לאות שיתכן להיותו מרבע
The closest similar is 400 and its root is 20. Because the [given] number is greater by double the root, we add 1 to the [similar] root and the root is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{441=400+40+1=20^2+\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{441}=20+1=21}}$	והדומה הקרוב הוא ד' מאות ושרשו כ' ובעבור שהחשבון גדול ממנו כפל השרש נוסיף בשרש אחד והנה השרש כ"א
Check: Its test is that you subtract the square of the addition from the number, the remainder is 440. We multiply the similar root, it is 40, and this is the distance of the number from the similar. $\scriptstyle{\color{blue}{441-\left(21-20\right)^2-20^2=440-400=40=2\sdot20}}$	ובחינתו שתסיר מרבע התוספת מן החשבון ישאר ת"מ ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
If the number is less than the similar square, $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 9 in the root	ולו היה החשבון פחות ממרובע הדומה
Such as 361. $\scriptstyle361=b^2$	כגון שס"א
Because it is less, subtract 1 from the root of the closest similar square, which is 20; 9 remain in the root, which is 19. $\scriptstyle{\color{blue}{361=400-40+1=20^2-\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{361}=20-1=19}}$	ובעבור שהוא פחות תחסר אחד משורש מרובע הדומה הקרוב שהוא כ' וישאר בשרש ט' והוא י"ט
Check: The test is to subtract the square of the difference from the number, the remainder is 360. We multiply the similar root, which is 40, and this is the distance of the number from the similar. $\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[361-\left(20-19\right)^2\right]=400-360=40=2\sdot20}}$	והבחינה להסיר מהחשבון מרובע החסרון וישאר ש"ס ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
If one of the digits of the number is 4 — one of the digits of the root of this number is 2 or 8 (10–2=8) $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a+2$ $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a-2$	ואם במרובע ד' יהיה בשרש ב' שהוא שני לאחד או ח' שהוא שני ליט‫'
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 2 in the root $\scriptstyle484=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{484>400\longrightarrow\sqrt{484}=20+2=22}}$	ואם חשבון הדומה לפניו כמו מרובע ת'פ'ד' יהיה בשרש ב' והשרש כ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{484-\left(22-20\right)^2-20^2=480-400=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{484=400+80+4=20^2+\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$	וכשתחסר מרובע התוספת מהחשבון ישאר ת"פ והנה המרחק מן הדומה פ' וככה ראוי להיות כפל הכפל מהשרש הדומה
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 8 in the root $\scriptstyle324=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{324<400\longrightarrow\sqrt{324}=20-2=18}}$	ואם חשבון הדומה אחריו כמו מרובע ש'כ'ד' שהדומה הקרוב כ' ובעבור שהחשבון פחות חסר ממנו ב' יהיה בשרש ח' והשרש י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[324-\left(20-18\right)^2\right]=400-320=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{324=400-80+4=20^2-\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$	וכשתסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ש"כ ונכפול פעמים שרש הדומה וככה המרחק
If one of the digits of the number is 9—one of the digits of the root of this number is 3 or 7 (10–3=7) $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a+3$ $\scriptstyle x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a-3$	ואם יש במרובע ט' יהיה בשרש ג' או ז' שהוא רחוק מעשרה ג' לאחורי‫'
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 3 in the root $\scriptstyle529=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{529>400\longrightarrow\sqrt{529}=20+3=23}}$	ואם הדומה הקרוב הוא לפניו כגון מרובע ת'ק'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ד' מאות יהיה בשרש ג' והשרש כ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{529-\left(23-20\right)^2-20^2=520-400=120=3\sdot40=3\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{529=400+120+9=20^2+\left(3\sdot2\sdot20\right)+3^2}}$	וכשתסיר מרובע התוספת מן החשבון ישאר ת'ק' והנה המרחק ק"כ ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וכן הוא
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ → there is 7 in the root $\scriptstyle729=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{729<900\longrightarrow\sqrt{729}=30-3=27}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון מרובע ת'ש'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ל' ובעבור שהוא פחות חסר ממנו ג' יהיה בשרש ז' והשרש כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[729-\left(30-27\right)^2\right]=900-720=180=3\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{729=900-180+9=30^2-\left(3\sdot2\sdot30\right)+3^2}}$	ואם תסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ת'ש'כ' והנה המרחק ק'פ' ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וככה הוא
If one of the digits of the number is 5—one of the digits of the root of this number is 5 $\scriptstyle\left(10a+5\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(a+1\right)\right]-5\right]^2$	ואם במרובע ה' יהיה בשרש ה' בין לפניו בין לאחריו
if the given number is larger than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ $\scriptstyle1225=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{900<1225\longrightarrow\sqrt{1225}=30+5=35}}$	ואם הוא לפניו כגון אלף ור'כ'ה' שהדומה הוא ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{1225-\left(35-30\right)^2-30^2=1200-900=300=5\sdot60=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1225=900+300+25=30^2+\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$	וכשתסיר מרובע ה' ישאר אלף ור' ותוספת המרחק הוא ש' ונכפול השורש הדומה והוא ס' וראוי להיות המרחק ה' פעם ס' וככה הוא
if the given number is less than the closest $\scriptstyle{\color{red}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$ $\scriptstyle626=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{625<900\longrightarrow\sqrt{625}=30-5=25}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון ת'ר'כ'ה' שהדומה הוא ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[625-\left(30-25\right)^2\right]=900-600=300=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625=900-300+25=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$	וכשתסיר מרובע ה' ישאר ת'ר' וחסרון המרחק
If the units of a certain square number are 5, then the root of this square number is exactly between two numbers of the type (10a)	וכן ראוי להיות כי כל מרובע ה' בין שני מרובעים הדומים
$\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=900-300=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=400+200=20^2+\left(5\sdot2\sdot20\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot10\right)+5\right]^2=\left(20+5\right)^2=625=\left(30-5\right)^2=\left[\left(3\sdot10\right)-5\right]^2}}$	כי מספר ת'ר'כ'ה' כאשר נסיר מרובעו שהוא כ"ה נשאר ת"ר והוא בין ד' מאות שהוא הדומה ובין ט' מאות שהוא הדומה האחד לפנים והאחד לאחור מן השרש
approximations
[It seems that the beginning of the discussion concerning this issue is missing though there is no indication for that in the manuscript]
$\scriptstyle\sqrt{2}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	שאינו מתוקן ישאר אחד וב' ששיות וחצי ששית והוא השרש המתוקן
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left[1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]}}}$	ואם תרצה לתקן אותו תקנהו פעם אחרת וערוך חצי הששית שיצא בחלוק על עצמו והעולה חלק על כפל השרש המתוקן והיוצא בחלוק חסר מן השורש המתוקן והנשאר הוא השרש המדוקדק
the "corrected root" can be corrected again and again, but yields only an approximation. It allows one to get as close to the answer as one wishes but never to reach the exact answer itself	ואם תרצה תוכל לדקדק אותו כרצונך אך לא תוכל להגיע אל האמת כי לעולם יהיה בדרך קרובה
If the number, whose root you want to extract, is closer to the succeeding square than to the preceding square: $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו יותר קרוב מהמרובע אשר לאחריו מן המרבע אשר לפניו
as 3 is closer to the square 4 that succeeds it, than to the square 1, that precedes it. $\scriptstyle\sqrt{3}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3-1^2=3-1>4-3=2^2-3}}$	כמו שלשה שהוא קרוב אל המרובע ארבעה אשר לאחריו יותר ממרובע אחד אשר לפניו
Always take from the closer and do as follows:	לעולם תקח מן הקרוב וככה תעשה
"[un]corrected root": $\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}}}$ Take the root of four, which is two. Then take the difference between your number and the square, whose root you took, and divide it by double the root. Subtract the result of division from the root you took and the remainder is the [un]corrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx\sqrt{4}-\frac{4-3}{2\sdot\sqrt{4}}=2-\frac{1}{4}}}$	קח השרש אשר לארבעה והוא שנים ואחר כן קח המרחק אשר בין חשבונך ובין המרובע שלקחת שרשו וחלקהו על כפל השרש והיוצא בחלוק תחסר מהשרש שלקחת והנשאר הוא השרש המתוקן
"corrected root": $\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}}}$ Correct it another time by taking the square of the remainder of division and divide it by double the [uncorrected] root and subtract the result from the [un]corrected root.	ותקנהו פעם אחרת שתקח מרובע מה שיצא בחלוק וחלקהו על כפל השרש והיוצא תחסר מהשרש המתוקן
You can correct it and make it more accurate as you wish.	ותוכל לתקנו ולדקדק אותו כרצונך
[if the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$ ] $\scriptstyle\sqrt{10}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{1000}&\scriptstyle\approx\sqrt{961}+\frac{1000-961}{2\sdot\sqrt{961}}\\&\scriptstyle=31+\frac{39}{2\sdot31}\\&\scriptstyle=31+\frac{39}{62}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{8}{62}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{8\sdot7}{62}}{7}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{56}{62}}{7}\approx31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו הוא מן הזוגות והדומה לו במעלה הרביעית אלף והמרובע הקרוב אליו ת'ת'ק'ס'א' ושרשו ל"א ונשאר ל"ט, חלקנום על כפל השרש שהוא ס"ב ויצא חצי אחד ונשארו ח', עשינו מהם שביעיות והנם נ"ו חלקנום על כפל השרש ונתן לו בדרך קרובה אחד והנה שרש אלף ל"א וחצי ושביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{1000}\approx\frac{1}{10}\sdot\left(31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\right)\approx3+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ועשיריתם בדרך קרובה אל האמת שלשה ושביעית שביעית
"uncorrected root": $\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}}}$ Know it by taking the root of the square that is the closest to it, which is 9, and its root is 3. Divide the remainder [= the difference between 10 and the closest square], which is 1, by double the root. The result is one-sixth. Add it to the 3, and it is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx\sqrt{9}+\frac{10-9}{2\sdot\sqrt{9}}=3+\frac{1}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}}}$	ותדענו שתקח שורש המרובע הקרוב אליו והוא ט' ושרשו ג‫' חלק הנשאר שהוא אחד על כפל השרש יצא ששית וחברהו עם הג' והוא השרש שאיננו מתוקן
"corrected root": $\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}}}$ Correct it by multiplying the remainder from the division by itself. The result is one-sixth of one-sixth. [Divide it by double the uncorrected root and] subtract it from the uncorrected root. 3 will remain, which are sixths of a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{1}{6}-\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{1}{6}\right)}}}$	ותקן אותו שתערוך מה שיצא בחלוק על עצמו יעלה ששית הששית חסרהו מן השרש שאינו מתוקן ישאר ג' והם ששיות הששית
	תקנהו פעם אחרת שתערוך ששית הששית על עצמו ותחסרהו מן השרש המתוקן והנשאר הוא מדוקדק
	ואם המרובע הבא לאחריו הוא יותר קרוב מהמרובע שעבר שהוא לפניו תעשה כאשר הראיתיך והדבר שוה בין בנפרדים בין בזוגות
Fractions
simple fractions
If you want to extract the root of 6 eighths and one-eighth of an eighth. $\scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}$	ואם תרצה להוציא שרש ו' שמיניות ושמינית שמינית
Know from what number one-eighth of one-eighth is derived, it is 64 and its root is 8. Take six-eighths and one-eighth of one-eighth from 64, it is 49. Take its root, it is 7. Divide it by 8, the result is 7 eighths, and so is the root. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}&\scriptstyle=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{8^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{64\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{49}=\frac{7}{8}\\\end{align}}}$	דע מאיזה חשבון יצא שמיניתו שמינית השמינית והוא ס"ד ושרשו ח‫' וקח מן ס"ד ו' שמיניות ושמינית שמיניתו והוא מ"ט קח שרשם והוא ז‫' חלק על ח' יצא ז' שמיניות וככה השרש
Know it by taking its double of a double; it is 3 and one-half of an eighth. Its root is 1 and 3 quarters. Take its half, which is 7 eighths, and so is the root. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{3+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}\\\end{align}}}$	ותדענו שתקח כפל כפלו והוא ג' וחצי שמינית ושרשו א' וג' רביעיות קח חציו והוא ז' שמיניות וככה השרש
$\scriptstyle\sqrt{2+\frac{1}{2}}$	ואם תרצה להוציא שרש שנים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{2\sdot5}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx\frac{3+\frac{1}{6}}{2}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	דע כי החצי יצא משנים ואין לשנים שרש ידוע ונעשה מהכל חציים ויעלו ה' נערכם על שנים ויעלו י' ושרשם ג' וששית בדרך קרובה ונחלק זה השרש על שנים יצא אחד וחצי וחצי ששית והוא דרך קרובה
$\scriptstyle\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$	ואם תרצה להוציא שרש אחד וג' חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}\approx\frac{6+\frac{1}{3}}{5}=1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	דע כי החומש יצא מה' נעשה מכלם חמישיות יהיו ח' נערכם על ה' יעלו מ' ושרשם בדרך קרובה ו' שליש, חלקם על ה' יצא אחד וחומש ושליש חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}=\frac{\sqrt{40\sdot100}}{5\sdot\sqrt{100}}}}$	ותדענו שתערוך המ' בק' וקח שרש העולה וחלקהו על העולה מערך ה' על שרש ק' והיוצא הוא השרש
	ועל אלו הדרכים נהגו חכמי המדות להוציא השרשים בשלמים ובנשברים ובשברי השברים עד אין קץ
sexagesimal fractions
The astrologers extract it by degrees, minutes, seconds, thirds	וחכמי המזלות מוציאים אותו למעלות לראשונים ולשניים ולשלישיים ומדקדקים עד עשיריים ועד כמה שירצו
	וסוף הכל לא יגיעו אל האמת רק בדרך קרובה
extracting roots of degrees is the same as extracting roots of integers	וכאשר אתה מוציא שרש מספר מעלות, אתה מוציאו בדרך הוצאת שרשי המספר השלם ויהיה השרש מעלות כמוהו
two kinds of sexagesimal fractions:	וכאשר תוציא שרש מספר שברים יש לך לדעת כי השברים נחלקים לשני מינין‫:
1) Sexagesimal fractions with a known root:	יש מהם שיש להם שרש ידוע ומפורסם
As the seconds and the fourths: The root of the seconds are minutes $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1^{\prime\prime}}=1^\prime}}$ and the root of fourths are seconds $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1^{iv}}=1^{\prime\prime}}}$ .	כגון השניים והרביעים ששורש השניים הם ראשונים ושרש רביעיים הם שניים
For when you multiply minutes by minutes the result will be seconds. minutes × minutes = secondes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\prime\times1^\prime=1^{\prime\prime}}}$	מפני כי כאשר תערוך ראשונים על ראשונים יעלו שניים
When you multiply seconds by seconds the result will be fourths seconds × seconds = fourths $\scriptstyle{\color{blue}{1^{\prime\prime}\times1^{\prime\prime}=1^{iv}}}$	וכאשר תערוך שניים על שניים יעלו רביעים
2) Sexagesimal fractions with an unknown root	ויש מהם שאין להם שרש ידוע ומפורסם
As minutes and thirds and fifths and all that are similar to them.	כגון הראשונים והשלישיים והחמישיים וכל הדומה להם
For you cannot find fractions whose multiplication by themselves will produce these fractions.	כי אין אתה מוצא שברים שתהיה עריכתם על עצמם מוציאה אל השברים האלה
extracting the root of sexagesimal fractions of the first kind (with a known root) is the same as extracting the root of integers	ומיכן היה הדרך בהוצאת שרשי השברים אם יהיו השברים שתרצה להוציא שרשם מן המין ששרשם ידוע ומפורסם אתה מוצא שרשם בדרך הוצאת שרשי מספרי השלמים
	אך שאתה קורא שם השרש ממין השברים אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל שם השברים שאתה רוצה להוציא שרשם
For instance, if you want to extract 9 seconds. $\scriptstyle\sqrt{9^{\prime\prime}}$	כגון שהיית רוצה להוציא ט' שניים
You know that the root of 9 as integer is 3 integers, here you say that the root is [3] minutes, because the multiplication of minutes by minutes will bring you to seconds, which are of the type whose root you extract. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{9^{\prime\prime}}=3^\prime}}$	ואתה יודע כי שרש ט' במספר השלם הוא ג' שלמים ובכאן אתה אומר כי השרש ו' ראשונים מפני שעריכת ראשונים על ראשונים מוציאך אל שניים אשר הם המין שאתה מוציא שרשו
	ועל זה הדרך לכל השברים אשר שרשם ידוע ומפורסם
extracting the root of sexagesimal fractions of the second kind (with an unknown root):	ואם היו השברים שאתה מוציא שרשיהם מן השברים הסתומים והנעלמים שאין שרשיהם מפורסמים
converting the fraction to the closest smaller fraction with a known root	אתה משיב השברים ההם אל השברים הקרובים אשר פחותים מהם ששרשיהם ידועים ויהיה שרש המספר ההוא מן המין אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל המין אשר החזרת חשבונך אליו
As if you want to extract the root of 15 thirds, which are of the reduced fractions. $\scriptstyle\sqrt{15^{\prime\prime\prime}}$	כאלו רצית להוציא שרש ט"ו שלישיים והם מן השברים הסתומים
You return them to fourths, which are the closest to them and are of the knowns. When we multiply 15 by sixty the result will be 900 fourths and their root is thirty, which are seconds, for seconds by seconds bring you to fourths. Therefore, you say that 15 thirds their root is thirty seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15^{\prime\prime\prime}}=\sqrt{900^{iv}}=30^{\prime\prime}}}$	ואתה מחזיר אותם אל רביעיים אשר הוא הקרובים אליהם והם מהידועים וכשנערוך ט"ו על ששים יעלו תת"ק רביעיים ושרשם הוא שלשים והם שניים כי שניים על שניים מוציאך אל רביעים ונמצא אתה אומ' כי ט"ו שלישיים שרשם שלשים שניים
	ועל זה הדרך לכל השברים שאין שרשם מפורסם
if there are seconds in the square - there are minutes in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^2}}=\frac{a}{60}}}$	ולעולם אם יהיה במרובע שניים יהיה בשרש ראשונים
if there are fourths in the square - there are seconds in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^4}}=\frac{a}{60^2}}}$	ואם רביעיים יהיה בשרש שניים
The rule is that in the root will be half the number of the fractions [= the rank of the fractions of the root is half the rank of the fractions of the square]: $\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{60^n}}=\frac{a}{60^{\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$	והכלל כי בשרש יהיה מספר חצי השברים
sexagesimal approximations of integers
Two sexagesimal approximation methods	והנה לך שני דרכים על דרך חכמי המזלות להוציא השרשים בדרך קרובה מדוקדקים היטב
first approximation method
The one way is that you extract the root of the previous square closest to it and multiply the remainder, which is the distance between your number and the square, by sixty, called minutes. Divide the result by double the root, but be careful not to give all to the division, so you will be able to subtract from it the square of the remainder from division. Know that the remainder from division is minutes and when you multiply them by themselves the resultis seconds. Convert them to minutes, then subtract them from the remainder. You will have degrees and minutes in the root. Multiply what is left in your hand, after you took the square of the minutes from it, by sixty, it will be seconds. Convert them also to thirds, so they will be divided by double the root, after you will convert it to minutes, and the result of the division is seconds. $\scriptstyle\sqrt{a^2+\frac{\left(2\sdot a\sdot n\right)+m}{60}}=\sqrt{\left(a+\frac{n}{60}\right)^2+\left[\frac{m}{60}-\left(\frac{n}{60}\right)^2\right]}\approx a+\frac{n}{60}$	הדרך האחד שתוציא שרש המרובע שעבר הקרוב אליו והנשאר שהוא המרחק שיש בין חשבונך ובין המרובע תערך אל ששים יקראו ראשונים והעולה תחלק על כפל השרש רק השמר שלא תתן לו הכל בחלוק בעבור שתוכל לחסר ממנו מרובע מה שיצא בחלוק ודע שהיוצא בחלוק הם ראשונים וכאשר תערכם על עצמם יהיה העולה שניים תשיבם ראשונים ואז תחסרם מהנשאר ויהיה בידך בשרש מעלות וראשונים ומה שנשאר בידך אחרי שהוצאת ממנו מרובע הראשונים תערוך על ששים יהיו שניים ותשיבם גם לשלישיים בעבור שיתחלקו על כפל השרש אחר שתשיבם ראשונים והיוצא בחלוק הם שניים
	והשמר שישאר שתוכל לחסר מרובע מה שיצא בחלוק
	וככה עד שתגיע אל השלישים והוא מדוקדק
Example: we want to extract the root of two. $\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שנים
The closest preceding square is one, its root is one, and the remainder is one. We convert it to minutes, it is sixty. We divide them by double the root, but we can not give 25 in the division, for nothing will remain. We have a square of 25 minutes of them, which are 10 minutes, 25 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{1+\frac{60}{60}}=\sqrt{1+\frac{2\sdot25}{60}+\frac{10}{60}}}}$	והמרובע הקרוב שעבר הוא אחד ושרשו אחד ונשאר אחד ונשאר א‫' נשיבהו ראשונים והוא ששים חלקנום על כפל השרש ולא יכולנו לתת בחלוק כ"ה כי לא ישארו זולתי ויש לנו מהם מרובע כ"ה ראשונים שהם י' ראשונים כ"ה שניים
Hence, they exceed by 25 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(25^\prime\right)^2-10^\prime=\left(10^\prime+25^{\prime\prime}\right)-10^\prime=25^{\prime\prime}}}$	והנה יוסיפו כ"ה שניים
Therefore we do not give it but 24 and 12 are left. The square of 24 is 9 minutes and 36 seconds. We subtract them from the remainder 12: 2 minutes and 24 seconds will be left and the root is 1° 24′. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{1+1}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+60^\prime}\\&\scriptstyle=\sqrt{1+\frac{2\sdot24}{60}+12^\prime}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[12^\prime-\left(24^\prime\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[12^\prime-\left(9^\prime+36^{\prime\prime}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(2^\prime+24^{\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+24^\prime\\\end{align}}}$	ובעבור זה לא נתננו לו כי אם כ"ד ונשארו י"ב ומרובע כ"ד הוא ט' ראשונים ל"ו שניים חסרנום מן י"ב הנשארים וישארו ב' ראשונים כ"ד שניים והשרש א' כ"ד
We convert 2 minutes and 24 seconds to thirds, so we will be able to divide by double the root, which are 168 minutes. The result of division is 51 seconds and the remainder is 72 thirds. When you subtract from them the square of 51 seconds, which is 43 thirds and 21 fourths, the remainder is 28 thirds and 39 fourths and the root is 1° 24′ 51′′. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(2^\prime+24^{\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(\frac{168\sdot51}{60^3}+72^{\prime\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[\left[2\sdot\left(1+24^\prime\right)\sdot51^{\prime\prime}\right]+72^{\prime\prime\prime}\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left[72^{\prime\prime\prime}-\left(51^{\prime\prime}\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left[72^{\prime\prime\prime}-\left(43^{\prime\prime}+21^{\prime\prime\prime\prime}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left(28^{\prime\prime\prime}+39^{\prime\prime\prime\prime}\right)}\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}\\\end{align}}}$	השיבונו ב' ראשונים כ"ד שניים לשלישיים בעבור שנוכל לחלק על כפל השרש שהם ק'ס'ח' ראשונים יצא בחלוק נ"א שניים ונשארו לנו ע"ב שלישיים וכאשר תסיר מהם מרובע נ"א שניים שהוא מ"ג שלישיים כ"א רביעיים ישארו כ"ח שלישיים ל"ט רביעיים והשרש א'כ'ד' נ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}+\frac{8}{60^4}}}$	ועל זה הדרך תדקדקהו תמצא השרש א'כ'ד' נ"א י'ח' רביעיים והוא מדוקדק
	ואם תערוך על זה המספר שרש חשבון שתרצה שיהיה העולה שרש כפל החשבון
$\scriptstyle\sqrt{7200}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3600}\\&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=60\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx60\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=60\sdot\left(\frac{60+24}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=60\sdot\left(\frac{84}{60}+\frac{51}{60^2}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=84+\frac{51}{60}+\ldots\\\end{align}}}$	ואם תשיב האחד לס' ראשונים ותחבר עמהם הכ"ד ראשונים יהיו פ"ד ותחשבם שהם שלמים ותחשב כמו כן השניים ראשונים והשלישיים שניים והרביעיים שלישיים אז תמצא שרש שבעת אלפים ומאתים כי שלשת אלפים ושש מאות הוא מרובע ששים והנו חשוב כאחד והמספר הנזכר והוא כפלו
$\scriptstyle\sqrt{b^2a}=b\sqrt{a}$	ולעולם אם ידענו שרש מספר ונרצה לדעת שרש מספר שהוא כפל כפלו נכפול השרש וככה הוא
$\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}a}=\frac{1}{2}\sqrt{a}$	והפך הדבר אם ידענו שרש מספר ידוע ונרצה לדעת כמה שרש מספר שהוא רביעיתו נקח חצי השרש וככה הוא
second approximation method
The other way:	והדרך האחרת
If the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$
Divide the distance from the closest square by double the root and give it all. Add the result to the closest root that precedes it. This is the uncorrected root. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}$	חלק המרחק מהמרובע הקרוב על כפל השרש ותן לו הכל והיוצא תחבר עם השרש הקרוב אשר לפניו וככה השרש שאיננו מתוקן
But if the next square, which follows it, is closer $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	אך אם היה המרובע הבא אשר לאחריו יותר קרוב
Divide the difference by [double] the root of the next square and subtract the result from the root of the next square. The remainder is the uncorrected root. $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}$	תחלק המרחק על שרש המרובע הבא והיוצא תחסר מהשורש מן המרובע הבא והנשאר הוא השרש שאיננו מתוקן
Then, take the result of division, in whatever way it would be, and multiply it by itself. Divide the result by double the uncorrected root. Subtract the result of division, whether you took the root of the preceding square or the root the next square, from the uncorrected root. The result after the subtraction will be the root which is corrected once. $\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}$ $\scriptstyle\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}$	ואחר כן קח מה שעלה בחלוק על איזה דרך שיהיה וערוך אותו על עצמו והעולה תחלק על כפל השרש שאיננו מתוקן והיוצא בחלוק בין שלקחת שרש המרובע אשר עבר בין שלקחת שרש המרובע הבא תגרע מהשרש שאיננו מתוקן וההוה אחר הגרעון יהיה השרש מתוקן פעם אחת
	ועל זה הדרך תקנהו עד שתגיע לשלישיים והוא מדוקדק קרוב אל האמת
checking whether the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$ or less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	ובהוציאך השרש תוכל לדעת ולהכיר אם לקחת חשבון קרוב אל המרובע שעבר או אל הבא
$\scriptstyle\frac{b}{2a}>30^\prime\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]<\left(a^2+b\right)-a^2$ → the given number is less than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2-b}}$	כי כאשר תחלק המרחק ממרובע הראשון על כפל השרש אם עלה יותר משלשים, אז תדע כי הוא קרוב אל המרובע הבא
$\scriptstyle\frac{b}{2a}<30^\prime\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]>\left(a^2+b\right)-a^2$ → the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{red}{a^2+b}}$	ואם עלה שלשים או פחות, דע כי הוא קרוב אל המרובע שעבר
Example: we want to extract the root of two. $\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שניים
$\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}}}$ The difference will be one, which is 60 minutes. We divide them by double the root, which is two. The result is 30 minutes. We add them to the root, which is one, and this is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1}{2\sdot1}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60}{60}}{2}=1+30^\prime}}$	יהיה המרחק אחד והוא ס' ראשונים חלקנום על כפל השרש שהוא שנים יצא ל' חלקים ראשונים חברנום עם השרש שהוא אחד והוא השרש שאיננו מתוקן
$\scriptstyle{\color{red}{\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)-\frac{\left(\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)}}}$ We want to correct it. We multiply 30 by itself and divide it by 60, the result is 15. We divide it by double the uncorrected root, which is 3, the result is 5. We subtract it from the uncorrected root and the remainder is 1° 25′ and it is corrected once. ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+30^\prime\right)-\frac{\left(30^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{15}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}}{60}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{15}{3}}{60}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-5^\prime=1+25^\prime\\\end{align}}}$	רצינו לתקנו ערכנו ל' על עצמו וחלקנום על ס' יצא ט"ו וחלקנום על כפל השרש שאינו מתוקן שהוא ג' יצא ה‫' חסרנום מהשרש שאינו מתוקן ונשאר א'כ"ה והוא מתוקן פעם אחת
$\scriptstyle\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}-\frac{\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2}{2\sdot\left[a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]}$ ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\frac{\left(5^\prime\right)^2\sdot\frac{60}{60}}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{\frac{25}{60^2}\sdot\frac{60}{60}}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{1500}{60^3}}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{1500}{60^3}}{170^\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{140}{170}}{\frac{60^3}{60}}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{140\sdot60}{170}}{\frac{60^4}{60}}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{8400}{170}}{\frac{60^4}{60}}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=1+24^\prime+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\\\end{align}}}$	נתקן אותו פעם שנית ונערוך ה' ראשונים שיצאו בחלוק על עצמם עלו כ"ה והם שניים השיבונו אותם שלישיים עלו אלף וחמש מאות וחלקנום על כפל השרש המתוקן והוא ק"ע ראשונים יצא בחלוק ח' והם שניים ונשארו ק"מ השיבונום לרביעים, עלו ח' אלפים וארבע מאות חלקנום על ק"ע ויצא מ"ט ונשארו עוד לחלק, אך אין צריך להטריח יותר והנה יש לנו לחסר מהשרש המתוקן ח' שניים מ"ט שלישיים וישאר א'כ"ד כ"א י"א והוא מדוקדק
combination of a shortcut and approximation: $\scriptstyle\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a\sdot10^{2n}}}{10^n}$
	ואם תרצה להוציא שרשו שתקח דמיונו במעלה השלישית והוא במאות והנכון במעלה החמישית ואם תקחנו במעלה השביעית יהיה יותר נכון
When you extract the root of two from the fifth rank: Extract the root of twenty thousand, which is similar [to two] as the rule, you find it 141 integers, 25 minutes, 16 seconds and 58 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}\approx141+\frac{25}{60}+\frac{16}{60^2}+\frac{58}{60^3}}}$	וכאשר תוציא שרש שנים מן המעלה החמישית תוציא שרש עשרים אלף שהוא הדומה כמשפט תמצאנו ק'מ'א' שלמים כ"ה ראשונים י"ו שניים נ"ח שלישיים
To know the root of two: Divide all by one hundred and the result is the root of two, which is one integer, 24 minutes, 51 seconds, 10 thirds, 7 fourths and 48 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{20000}}{100}\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{10}{60^3}+\frac{7}{60^4}+\frac{48}{60^5}}}$	ולדעת שרש שנים חלק הכל על מאה והיוצא הוא שרש שנים והוא אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י' שלישיים ז' רביעיים מ"ח חמישיים
If you know the root of two: Multiply it by one hundred and the result is the root of twenty thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
If you extract the root of two from the third rank, which is the hundreds: Extract the root of two hundred, which is similar [to two]. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{200}}{10}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן המעלה השלישית שהיא המאות הוציא שרש מאתים שהוא הדומה
Divide the result by ten and we will find the root of two.	והיוצא חלק על עשרה ונמצא שרש שנים
If you know the root of two: Multiply it by one hundred and the result is the root of twenty thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
If you extract the root of two from ten, the result is the root of two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}=10\sdot\sqrt{2}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן עשרה והעולה הוא שורש מאתים
	ואם תרצה להוציא שרש עשרה תוציאנו בכל הדרכים כמשפטם תמצאנו ג' שלמים כ"ו ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
Shortcuts
$\scriptstyle\sqrt{10a^2}=a\sqrt{10}$	וכל מספר שנדע שרשו אם נערכנו על עשרה ונרצה לדעת כמה שרש המחובר מהמערכות תערוך השרש של המספר על שרש עשרה והעולה הוא המבוקש
there are tables of roots from 1 to 2½ and a range up to 6¼: $\scriptstyle1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)\longrightarrow1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=1,\ldots,\left(6+\frac{1}{4}\right)$	והנה יש לוחות עשויות מאחד שלם עד שנים וחצי ויעלה המרובע עד ששה שלמים ורביע ומהם תוכל לתקן כל השרשים
guidelines for finding roots using these tables:
If you have parts less than one: Multiply them by four and take the root of the result in the table and what it will be take its half. $\scriptstyle a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{4\sdot a}$	ואם היו לך חלקים פחותים מאחד ערכם על ארבעה וקח בלוח שרש העולה ומה שיהיה קח חציו
If we double it and the result is no more than one: Multiply it by eight and take one-quarter of the root. $\scriptstyle2a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{4}\sdot\sqrt{8\sdot2a}$	ואם כפלנוהו כל ככה ולא עלה עד אחד ערכהו על שמונה וקח רביעית השרש
for numbers beteen 1 and 6¼:	ואם היה חשבונך מאחד ועד ששה ורביע ותרצה להוציא השרש, בקש מספר חשבונך
if the number does not appear in the table: $\scriptstyle1\le\left(a^2+b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{60b}{2a}$ $\scriptstyle1\le\left(a^2-b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{60b}{2a}$	ואם לא תמצאנו קח השרש בלוח שהוא כנגד החשבון הקרוב הנמצא לפניו או לאחריו וקח הקרוב אל חשבונך בין לפניו בין לאחריו וערוך המרחק הנמצא בין החשבון ובין חשבונך על ששים וחלק העולה על המרחק הנמצא בין שני המרובעים וההוה תוסיפנו על השרש הנמצא אם היה החשבון בלוחות שלקחת פחות מחשבונך ואם יותר תגרענו אז תמצא המבוקש
for numbers greater than 6¼ and smaller than 25: $\scriptstyle\left(6+\frac{1}{4}\right)<a\le25\longrightarrow\sqrt{a}=2\sdot\sqrt{\frac{1}{4}a}$	ואם היה המספר יותר מששה ורביעית עד חמשה ועשרים שלמים קח שרש רביעיתו וההוה בשרש כפלהו תמצא השרש
for numbers greater than 25 and smaller than 100: $\scriptstyle25<a\le100\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\left(10\sdot\sqrt{\frac{4a}{100}}\right)$	ואם היה יותר מכ"ה עד מאה כפלהו ארבעה פעמים וקח שרש הדומה וההוה קח חציו וככה שרש המבוקש
	והנה המאות דומות לאחדים
for numbers greater than 100 [and smaller than 1000]: $\scriptstyle100\le a<1000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{10a}{100}}$	ואם היה לך מספר יותר ממאה ערכהו על ששה וחלק העולה על עשרה וההוה קח שרשו וקח לכל מאה אחד במרובע וכאשר תדע השרש תערכנו על עשרה אז תמצא השרש המבוקש
for numbers greater than 1000 [and smaller than 10000]: $\scriptstyle1,000\le a<10,000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{a}{100}}$	ואם היה חשבונך באלפים חשוב כי הוא בעשרות והוצא דמיונו והיוצא ערכנו על עשרה אז תמצא רצונך
for numbers greater than 10000 [and smaller than 100000]: $\scriptstyle10,000\le a<100,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}$	ואם החשבון בעשרות אלפים הוציא הדומה וההוה תערכנו על מאה
for numbers greater than 100000 [and smaller than 1000000]: $\scriptstyle100,000\le a<1,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}$	ואם במאות אלפים הוצא הדומה בעשרות וההוה תערכנו על מאה
	ועל זה הדרך תוכל להוציא שרש כל חשבון שתרצה
for numbers greater than 1000000 [and smaller than 10000000]: $\scriptstyle1,000,000\le a<10,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=1000\sdot\sqrt{\frac{a}{1000000}}$	ואלף אלפים דומה לאחדים וההוה בשרש ערכנו על אלף
	ומשם והלאה תעשה על זה הדרך

הספר הנשלם
תהלה לאל עולם

Notes

↑ $\scriptstyle{\color{blue}{n>1;a\in N: 5^n=a25}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle5^2=\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^3=1\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^4=6\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^5=31\color{Red}{25}\\\scriptstyle\ldots\end{cases}}}$
↑ $\scriptstyle{\color{blue}{a\in N: 6^n=a6}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle6^2=3\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^3=21\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^4=129\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^5=777\color{Red}{6}\\\ldots\end{cases}}}$
↑ בראשית טז, יב
↑ דברים יד, כד
↑ ישעיה ל, כ-כא
↑ ישעיה ל, כ

Appendix I: Glossary of Terms

author	המחבר
book	ספר
introduction	מפתחות
chapter	שער, שערים, השער ה... ב
Decimal Dystem
rank	מדרגה, מדרגת (ה), מדרגות (ה), במדרגה (ה), במדרגת, במדרגת... ל, במדרגה ה... ל
	מעלה ה, מעלות, מעלותיו
rank	מערכת, מערכות, במערכתם
units	אחדים
tens	עשרות
hundreds	מאות, מדרגת המאות
thousands	אלפים, מדרגת האלפים
tens of thousands	עשרות אלפים
hundreds of thousands	מאות אלף, מאות אלפים
thousands of thousands	אלף אלפים, אלפי אלפים
tens of thousands of thousands	עשרת אלפי אלפים, עשרות אלפי אלפים
hundreds of thousands of thousands	מאת אלף אלפים, מאות אלפי אלפים
thousands of thousands of thousands	אלף אלפי אלפים, אלף אלפים
Arithmetic Operations
Addition
addition	מחברת, מחברת זה עם זה, חבור (ה / ... עם)
to add	בחברך ה, לחבר, לחבר מ... ואילך עד, לחברם עם, חבר (ה / הכל, כל ה), חבר ... (אל / ה / עם), חבר ה... עם ה, חברו, חברהו (אל ה / עם ה), חברם (אל / על ה / עם ה), חברנו (אותו עם / ה / ה... עם / עם ה), חברנו מ... עד, חברנום (עם), חברת, יחבר ה, נחבר ה... עם ה, נחברם עם, תחבר (ה / כל ה / עם / עמהם), תחבר ... (אל / עם / ה... עם / ה... עמהם), תחברהו עם... יחד, תחברם (ל / עם ה), תחברנו אל
	תחבר ה... מ... עד
	חבר בתחלה ה
	להוסיף (ל / עליו), הוסף (ב / ל / על / עליו / עליהם), הוסף ... על, הוסף ה... על, הוסיף עליהם, הוסיף ה... על ה, הוסיפם על, הוסיפנו על, הוספנו (על), הוספנום על, הוספת (עליו), מוסיף (על / על ה... ה / עליהם), נוסיף (ב / על / עליו), נוסיף... על, תוסיף (ל / על / עליהם / עליו), תוסיף ... על, תוסיפהו על, תוסיפנו על
	מוסיפים על
	קבוץ ה... עם
	מקבץ ה... אל, תקבץ ה
to add one by one	תוסיף א"א, א"א הוספת
to add two by two	תוסיף החשבון בב, ב"ב הוספת, תוסיף לעולם בב'
to add three by three	תוסיף ג"ג, ג"ג הוספת, תוסיף לעולם שלשה
to add four by four	מוסיף ד"ד
	נוסף ... מן ה
to sum	חברנו כל חשבון, חבר הכל, יחבר הכל
to be summed	בו נתחבר, יחובר מ... עד, יתחבר (עד), יתחבר מ... ועד, יתחברו עם, מחובר שם, מחוברים (עם), מחוברות, נחברים
sum	מחובר (ל / מ), המחובר מ... עד, המחבר, חבור ה, הנחבר, הנאסף
sum	בהתקבצם
total sum	כל החשבון
Progression
progression	מוספים
progression of multiples	חשבון הכפול
progression of doubles	חשבון הכפל
excess	התוספת, תוספת (ה / על), התוספת שיש בינו ובין ה, התוספת שיש לו על ה, תוספות
excess	תוספת ה... על ה... כתוספת ... על ה
to exceed	יוסיף (... על / ה... על ה), יוסיפו, יתר עליו, עודף ... על ה, עודפים על, מוסיף על
has no addition and no subtraction	לא יקבל תוספת ומגרעת, בלא תוספת ובלא מגרעת
	בלי חסר ויתר
last term	החשבון שהגיע עדיו, המספר האחרון, החשבון האחרון, אחרון
succession of numbers	על דרך המספר, על דרך החשבון
according to	על דרך, על דרך מספר ה
approximately	בדרך קרובה, בדרך קרובה אל האמת
successively	על הסדר, על סדר ה, על סדר החשבון, על סדר חשבון, על סדרם
sequence	בתולדת, במערכת
successive	זה אחר זה
plus	עם
plus	בתוספת
increment	תוספת, התוספת שיש בין
Subtraction
subtraction	מגרעת, מגרעת ... מ, מגרעת זה מזה
subtraction	הגרעון
to subtract	לגרוע (מ / מהם / ... מ / ... מן / ה... מ), גורע ממנו, גרע (אותו מ / אותם מה / ה / מ / מהם / ממנו / ... מ / ... מה / ה... מ / ה... מן), גרעם מ, גרענו ... מ, גרעת, יגרע
	גרעונו ... מ
	תגרע (מ / מהם / ממנו / ה... מ / ה... מן / ... מ), תגרעהו מ, תגרעם (מ / מן), תגרענו מ
	לחסר (מ / ממנו), חסר (ה / כן מ / מ / מה / מן ה / מהם / ממנו / מכל ה), חסר ... (מ / מן), חסר ה... (מ / מן ה / מה), חסרהו מן
	חסרם מן ה, חסרנו ... מ, חסרנוהו מ, חסרנום (מ / מן), חסרם מ, יחסר, מחסר מ, נחסר (מ / מן / ... מ / ... מה), נחסרם מ
	תחסר (מ / מהם / מן ה / ... מ / ... מה / ... מן ה / ה... מ / ה... מן / ה... מן ה), תחסרהו מן ה, תחסרם (מ / מן ה / ממנו), תחסרנו מ
	מחסרים
subtracted repeatedly	הולך הלוך וחסור
to subtract	פוחת (... מן / ... מן ה), תפחות ... (מ / מן / מהם)
	להסיר (מ), הסר ... מ, נסיר ה... מ, תסיר (מהם), תסיר ... (מ / מן)
	הוצא מהם (ה), הוצאת ממנו
subtrahend	חשבון הנגרעים, החשבון הנגרע
	החשבון שגרעת ממנו
minus	פחות
Multiplication
multiplication	חשבון ה
multiplication	מערכת זה על זה, מערכת ... על, מערכת מספר על מספר, עריכת ... על, עריכת ה... על ה, ערכו אל
to multiply	להעריך... על, להעריכם על, לערוך, לערוך מספר על מספר, לערוך חשבון על חשבון, לערוך... על
	הערך (ה / על ה / ... על), הערך ה... זה על זה
	יערוך על
	נערוך... על, נערוך ה... על, נעריכנו על ה, נערכים על, נערך ... על, נערכם על, נערכנו על
	עורך (אותו ב), עורך... ב, עורך... על, עורך ה... ב, עורך ה... על, עורך ה... עם
	ערוך (על), ערוך אותם ב, ערוך אותם על, ערוך... ב, ערוך ... על, ערוך ה... ב, ערוך ה... על, ערוך ה... על ה, ערוך על, ערכהו (ב / על)
	ערכם (ב / על), ערכם זה בזה, ערכם זה על זה
	ערכנו (אותו על / על), ערכנו... על, ערכנו ה... על
	ערכנוהו על, ערכנום על, ערכנום זה על זה
	ערכת על
	תערוך (ב / על), תערוך ה... ב, תערוך ה... על, תערוך... ב, תערוך ... על, תערוך זה על זה
	תערך (ה... ב / ה... על / על / ... על), תערכהו (ב / על), תערכם (ב / על), תערכנו (ב / על / עם)
	תערכם זה על זה
to multiply	לחשוב... על, חושב את, חשוב... ב
to duplicate	יכפול, תכפול הכפול, כפלנוהו
to triple	כפול ה... שלשה פעמים, כפול ה... ג' פעמים, כפול ... ג' פעמים, כפול ה.... ג' פעם, כפלנו ה... ג' פעם, תכפול ג' פעם
to quadruple	כפול ה... ד' פעם, כפלהו ארבעה פעמים
duplication	כפלו
	ערכם על עצמם
	ערוך על עצמו, ערוך אותו על עצמו, ערוך... על עצמו, ערוך ... על עצמם, ערוך ה... על עצמם, ערכנו... על עצמו, נערוך... על עצמם, תערוך... על עצמו, תערוך על עצמם, תערכם על עצמם, תערכנו על עצמו
	עריכתו על עצמו, עריכתם על עצמם
to be multiplied	הנערך (על), הערוך, ערוכים על ה, אשר נערוך בו, הנערכים (ב / על)
product	עריכת ה... על, ערך ... על
product	היוצא מערך, העולה מערך ה... על ה
product	המחובר (מ), הנחבר (מ), הנקבץ
product	הכפול
product	חשבון... ב, המספר הנכלל בחשבון
power	חשבונו
Doubling
to double	כופל אותו, כפול ה, כפלהו, כפלנו ה, כפלנוהו, כפלנום, נכפול ה, תכפול (ה), נכפול פעמים
double	הכפול, כפל (ה / ב / מן ה), כפלו
double of a double	כפל כפל ה, כפל כפלו
Halving
to half	לחצות, קח חצי (ה), נקח חצי ה, לקחנו חציו, קח מחצית (ה), קח המחצית, קח מחציתם, קח חציו, קח חצים
half	חצי (ה), חציו, חציים, מחצית (ה)
Division
division	מחלוקת, מחלוקת זה על זה, חלוקת ... על, בחלוק ה
to divide	לחלוק עליו, לחלק (על / עליו / ... על), לחלקו, לחלקם על, חלק (על / על ה / עליו / עליהם / ה... על / ה... עליהם / ה... עליו / ... על / ... עליו), חלקהו על, חלקם (על / עליו), חלקנו (... על / ה... על / כ), חלקנום על, חלקת ... על, יחלק ה, מחלק (אותו על / אותם על / ... על / עליו), מחלקים (... ל / ה... אל), נחלק (על / עליו), נחלק (... עליו / ה... על / ה... עליו / זה ה... על), נחלקם על
	תחלוק (ה... על), תחלק (אותו על / ה / על / עליהם ה), תחלק... ל, תחלק ... על, תחלק ה... על, תחלק זה על זה, תחלקם על
	ונחלקם בלא שבר על
divided into	נחלק ל, נחלקים ל, יחלק על, יחלקו ... על, זה יתחלק על זה, יתחלק על, יתחלקו (על / עליו / עליהם)
quotient	מה שיצא בחלוק, יצא בחלוק, יצא בחלק, היוצא בחלוק, שיצאו בחלוק, מה שעלה בחלוק
dividend	המחולק, הנחלק, הנחלקים
	מחולקים על, המחולק עליו
	הנחלק עליו
	החשבון המחולק
	אשר חילק, אשר חלקת (אותו), מה שחלקת
	מה שחלקת עליו, שחלקנו עליו, אשר עליו נחלק
	שיחלק עליו
	יצא הכל בחלוק
	תתן לו הכל בחלוק
	לתת בחלוק
	שלא יחלק, שלא יתחלק, שלא יתחלקו, שלא נתחלק, שלא נתחלקו
divisible	יתחלק ל, יתחלק כל המספר
divisible by	יהיו לו כל השברים, שיש לו כל החלקים, יש לו רוב החלקים, שיש לו חלק
divisor	חלק, חלקים
divisible by seven	יהיה לו שביעיות
Extraction of Roots
	גדר ה, שורש (ה), שרש (ה), שרשו, שרשי ה, שרשיו, שרשם, שרשיהם, שרש המרובע, השורש מן המרובע
	הוצאת שרשי (ה)
to extract a root	בהוציאך השרש, להוציא השרש, להוציא השרשים, להוציא שרש, להוציא שרשו, להוציא שרשם (מן), הוצא השרש, הוציא שרש, הוצאת שרש ... מן, מוציא שרש, מוציא שרשו, מוציא שרשיהם, תוציא שרש
to extract a root	מוציאו
	לקחת שרשו, קח שורש, קח השורש, קח שרש, קח שרשו, קח שרשם, קח השרש, קח השרשים, תקח השרש, תקח שורש, תקח שרש, תקח שרשו
	לקחת שרש המרובע
	לדעת שרש מספר, ידענו שרש מספר, ידענו שרש מספר ידוע
root	שרש ה, שרשו, שרשם, שרש ממרובע, שרש מה, שרשים, השרש של ה, שרש מספר
square	מרבע, מרובע (ה), מרובעים, מרובעו, מרובע שרשו, הרבוע
	קח מרובע ה, תקח מרובע, לקחנו מרובע ה
none-square	איננו מרובע
perfect square	המרובעים התמימים
	הסתומים
	אין ל... שרש, אין להם שורש
	יש להם שורש
to correct	לתקן (אותו), לתקנו, תקן אותו ש, תקנהו, נתקן אותו
uncorrected root	השרש שאיננו מתוקן, השרש שאינו מתוקן, שאינו מתוקן
corrected root	השרש המתוקן, השורש המתוקן, השרש המדוקדק
	השורש המיוחד
approximate root	השורש המיושר, השרש המיושר, השרש המיושר בחלקיו, מיושר
	השורש הדומה, השרש הדומה, שרש הדומה
	השרש הקרוב
	לדקדק אותו (ל), לדקדק כן ל, מדקדקים עד, תדקדקהו
	מדוקדק, מדוקדק קרוב אל האמת
	מדוקדקים היטב
corrected	מתוקן
wrong, incorrect	משובשת
Ratio and Proportion
to take ratio, to relate	תערוך ה... אליו, הערך ... כ
relation	הקשה, ערך, ערך זה אל זה
ratio	ערך (אל / ה / ... אל / ... אל ה / ה... אל / ה ... אל ה / ... על / ל... עם), ערכים, ערכו (אל / מ / מן), ערכם (מה / מן ה), ערכי המספר
	ערך ה... מן ה
	הערך שיש לו אל
	ערך זה אל זה
	ערך ה... אל ה... כערך ה... אל ה, ערך ... אליו כערך ... אל
	כערך (ה), כערך ... אל... כך ערך ... אל, כערך ... מ... כן ערך ... מ, כערך ... מן ... כן ערך
	כערכו אל ה
	יש לו ערך אל
ratio	מערכת ה... אליו כערך ... אליו
proportion	ערכים, ערכין
to take the ratio	ערכם אל ה
	נקח ערך ... אל, נקח מה ערך ... אל
	קח ערך ... אל, קח מהערך ... אל, קח ערכו (אל / מ / מן), קח זה הערך מ
	תקח הערך, תקח ערך ... אל ... יהיה כערך ... אל, תקח מן ה... כערכם
	כערכו קח מ, כערכו קח מן ה, כערכו מן ה... קח מן ה
	וכערכם קח מ, וכערכם קח מן ה
	תערך אל
	כזה הערך קח מ, כזה הערך קח מן ה, קח כזה הערך מן ה
	כערך זה קח מן ה, כערך הזה קח מכל
	כאותו הערך קח מן ה
	וכזה הערך מ
	דע מה ערך ...(אל / מ / מן), דע מה ערך ה... (אל / מ / מהם / מן), ודע מה ערך האחד מהם
	נדע מה ערך ... אל, תדע מה ערך ... אל, תדע מה ערך ה... אל ה
	תדע מה שהם ה... מ, תדע מהן ה... מ, תדע מהם ה... מ
resulting by the ratio	יצאו בערך
order	סדרי ה
to be arranged	סדורים ב
proportional	נערך אל ה, מוערכים על
not proportional	אינו נערך אל ה
related to, depend on	התלוי אליו, תלויים ב
proportional	נערך אל ה, נערכים זה אל זה
disproportionate	שאינם נערכים
order of ratio	סדר (ה), סדרי הערך
companion	חברו בהקשה, חברים
stranger	נכריים, נכרים, נכרי ל, נכרי לו
to resolve	להתיר הערך ... אל, מתיר את קשרם
relation	קשרם
to join, to relate	קושרים את ה... ב
	הערך הנחלף
Equivalence Ratio	ישר, ערך ישר, ערך שוה, ערך הישר, הערך הישר, השוה
Multiple Ratio	ערך כפל, ערך הכפל
Superparticular Ratio	ערך חלק, כמוהו וחלק ממנו, ערך החלק
Multiple Superparticular Ratio	כפל וחלק, כפלו וחלק ממנו, כפלו וחלק ממנו אל ה
Superpartient Ratio	חלקים, כמוהו וחלקים ממנו
Multiple Superpartient Ratio	כפל וחלקים, הכפל וחלקים ממנו, כפלו וחלקים ממנו
	כמהו וחציו, כמוהו וחציו (אל)
	כמהו ושלישיתו
	כמוהו ושני שלישיותיו
	כמוהו וג' רביעיותיו
	כמוהו וג' חמישיותיו, כמוהו ושלש חמישיותיו
Completion
multiplicative inverse	תשלומי (ה)
completion	להשלמת
to complete	להשלים (את ה), השלם ה, ישלים
to be completed	ישלמו (ה), ישלמו ה... ל, נשלם
Conversion
to convert	נעשה (מהכל / מהם / מכלם / ממנו), עשה מהם, עשינו מהם, תעשה מן
	החזרנום ל, החזרת חשבונך אליו, מחזיר אותם אל
	השבת זה לזה
	להשיב (אל), להשיב... ל, להשיב ה... אל, להשיבם (אל / ל), להשיבם לחשבון, השב ... על ה, השיבונו אותם, השיבונו ... ל, השיבונום ל, השב (... ל / ה... ל / ה... כלם ל), נשיבהו, נשיבם כלם, תשיב ה... ל, תשיבם (כלם / ל)
	משיב ה... אל
Algebraic Terms
x	שרש, שרשים, שרשיו, שרשם, שרשי ה, גדריו
thing, x	דבר, משהו
x²	מרובע, מרובעים
constant	מספר
Arithmetic Terms
numeral	באותיותנו
Indian numerals	באותיות הודו
number	חשבון (ה), חשבונך, חשבונם, חשבונות, חשבונים
	מספר (ה), מספרי ה, מספרים, מספרם, מספרנו
	מנין ה
multitude	כמנינה
amount	סך ה
integer	שלם, שלמים, המספר השלם, במספר השלם
fraction	נשבר, נשברים, שבר (ה), שברים, שברי (ה)
fraction of fraction	שברי שברים, שברי השברים
sexagesimal fractions	שברי חכמי המזלות, חלקי חכמי המזלות, מחשבון ששים
part	חלקו, חלקי (ה), חלקיו, חלקים
part of	חלק אחד (מן / מ), חלק ... מה, חלקים (מ), חלקים מ... באחד, חלקי ה, חלק ה... מן ה, חלק מן
portion	חלק
denominator	מורה, המוכיח, המספר המוכיח
	יורה
"round" number	חשבון עגול
cube number	גוף שוה, הגופות
cubic root	קו הגוף, הקו
square number	מספר מרובע, המספר הרבוע, חשבון מרובע, המספרים המרובעים
plane number	מספר שטוח, מספרו השטוח
prime number	מספר ארוך
congruent modulo	משקל ה
	מאזני ה
	שקלו במאזני תשעה
	שקלנוהו במאזני ט'
	יצא כלו ט'ט'
	הוציאם ט'ט'
even	זוג, זוגות
odd	נפרד, נפרדים, מספר נפרד, המספר הנפרד, המספרים הנפרדים
sequence of the even-times-evens	בתוספת הכפל
even-times-even term	הכפל, הכפולים
even-times-even number	כפל הכפל
to calculate	לחשב, לחשוב, תחשוב מהו ה... מ, תחשוב מהו... מ, תחשב (ל / מהו), תחשב מהן... מ
to be calculated	מתחשב
calculation	חשבון (ה), החשבונים, חשבונך, חשבונם
to count	חושב
to count	מונה (את ה / אותו / אותו ב / אותו כמנין / אותו כמנינו / אותו כמספרו), מונה את ... פעמים, מונה ... כמנין ה, מונה ה... במנין ה, מונים את ה... פעמים, מנה מה, תמנה אתו מן ה
	לספור, ספר אותו
counted by	הספור ב, ספורים
common factor	מונה לשניהם, חשבון שמונה לשניהם
same, equal	שוה (ל / ... ל), שוים (ל), שוות
to be equal	שוים (ב), שוין ל, יהיו שוים (ל), ישוו ה
unequal	אינם שוים
to recognize	ולהכיר (אם)
to bother	להטריח
reason	הטעם (כי / ש)
extraction, deducing	הוצאת זה מזה, הוצאת ה... מתוך ה
to deduce	להוציא מתוך, להוציא מתי, נוציאנו מכח ה
to extract	להוציא (ה / מ / מזה / ... מן ה / ה... מה / ה... מן ה / לכל ה / זה מזה), להוציאו (ב / מ), להוציאם (זה מזה)
	הוצא (ה / מהם), הוציא (ה), תוציא (ה / ממנו / ... מ / ... ל), תוציאם, תוציאנו (מ)
	מן ה... תוציא ה
	הוצא החשבון מ... ועד, הוצא חשבונך מן ... עד האחרון, תוציא כל החשבון מ... עד
	מוציאים אותו ל
	מוציאך אל, מוציאה אל ה
	מוציא ה... מן הגלוי
[goods offered in the] business	מסחר, עסק
affairs	עסקי
profit	ריוח (ה), הריוח של, רוח
corresponding	המסור לו
corresponding	כנגד ה, כנגדו
corresponding to	הראוי לה
corresponding to	המגיע ל
to contribute	הביא (ה)
to share	נשתתפו (ב), נשתתפו בין כלם ב, נשתתף עמהם (ה)
partnership	שתוף
partner	שותפים, שותפין
to invest	מכניסים ב
to earn	הרויחו ל, רוחו, רוחו בין כלם, יצא להם ריוח, שרוח
to spend	הוציאו
share	חלק (ה), חלק כל אחד מן ה, חלקו, חלקו מן ה
capital	הממון
owed to	המגיע ל, מגיע ... ל, מגיעו מן ה
amount, money	ממונו, ראש ממון (ה), ראש ממונם, ראשי הממון, ראש כל אחד, ראש ממון כל אחד, ראש ממון כלם
people	אנשים, אישים
human	אדם, בני אדם
share	חלק, חלקו
	בעל ה
kikkar	ככר, ככרים
liṭra	ליטרא, ליט', ליטרין
՚oqya	אוקיא (מ), אוקיאות
kor	כור, כורים, כורי ה
silver	כסף, של כסף
copper	נחושת, נחשת, מנחשת
wheat	חטה
coin	מטבע, מטבעות
coinage	קשור המטבע, לקשור מטבע מ, לקשור (מ), קושר ב, קושר ב... בליטר
	הנקשר
	להתיך מכלם בשוה
	לערב, לערב בהם
zuzim	זוז, זוזים
dinar	דינר, דינ'
pešiṭim	פשיטים
to persist	עומד
to exist	עומדים בין, עומדים ב
to buy	לקנות מ, קנה, קניתי, אקנה (ב / ה), קניתי ... ב, קונה
to pay	לשלם, ישלם, שלם להם ה, שלם ה... להם
to be payed	ולקח בשכרו (ה)
price	שער, שער ה
measure	שעור
exchange	חלופיהם
sold merchandise	מכר, הנמכר, הנלקח
money [paid]	דמים, דמי (ה), דמיו, דמיהם
trade	במקח וממכר
trading calculation	בחשבוני מקח וממכר, בחשבוני מקחם וממכרם
payment	שכר, שכרו, שכרם
to hire	תוציא שכיר ב, שכרתי... ל... ב
	תוציא שכר ... פועלים, תוציא שם שכיר ב
worker, salaried	שכיר
worker	פועל
employment	שכירות, בשכיר
to be unemployed	בטל
to cancel	יבטל, בטל
unemployment	בטלה
to work together	ועשו ... יום בין שלשתם, ועשו בין שלשתם
to work	עשה, עשה מלאכתו
days of work	ימים שעשה (ה), עשה מן הימים
work	מלאכתו, מלאכת ה
	נתחייב, נתחייב ל
month	חדש
day	יום, ימים, ימי ה, ימי החדש, בכל יום
hour	שעה, שעות
equally	בשוה
name	שם ה, שמות (ה)
saying	כדברי
to give	לתת (ל / לו), יתן (ל / לו), נתן (ל / לו), נתננו לו, תן (ל / לו הכל), תתן ל... ש
to be able	אוכל ל, יוכל ל, יכול ל, יכולנו ל, נוכל ל, תוכל ל
have to, need to	צריך (ל / ש), יש לך ל, יש לנו ל, יש לו ל, יצטרכו ... ל
to be needed	צריכים ל
no need	ואין צורך ל
to have	היה ל, יש, יש בידך מן ה, היה לו, היה לך, היה לנו, היו לנו, היו לך, יהיה לו, יהיו לו, יש ל, יש להם, יש לו, יש לנו, היו בידך, יהיו בידך, יהיה בידך, שיש לך, יש בידו, שבידך, שיש בידך
have no	אין ל, אין לו, אין להם
to know by heart	סדורים על פיך
remainder	הנותר, הנותרים
remainder	מותר ה
to keep	מחזיק בו
explained	מפורש ב
to understand	להבין (ב), מבין
to ease	להקל על ה
to ease	יקל עליו ב
easy	דבר קל
to be difficult	יתקשה עליך ל
difficult	קשים
to mention	הזכרנו, הזכיר למעלה
to draw	מצייר לך, ציירתי (לך)
diagram	צורה
table	לוח (ל), לוחות, לוח מ... עד, מכבר (מ... ועד)
line	טור, טורים, שטה, שטין
row	בטור הרוחב
width	רוחב, ברוחב
length	אורך, באורך
derived	חצובים מ
sage	החכמים
geometricians	חכמי המדות
astrologers	חכמי המזלות
Astrology	חכמת המזלות
	חשבון חכמי המזלות
	דרך חכמי המזלות (ל / ש)
Hipparchus	אברכז
Ptolemy	תלמי
sign	מזל, מזלות, מזלות הגלגל
degree	מעלה, מעלות
minute	ראשון, ראשונים, חלק אחד, חלקים ראשונים
second	שניים
third	שלישים, שלישיים
fourth	רביעים, רביעיים
fifth	חמישיים
sixth	ששיים
sevenths	שביעיים
eighths	שמיניים
ninths	תשיעיים
tenths	עשיריים
sign of Aries	טלה
Saturn	שבתי
Mars	מאדים
Mercury	כוכב חמה, חמה
Venus	נגה, נוגה
Jupiter	צדק
moon	לבנה
sun	שמש
planets	משרתים, כוכבים, כוכבי לכת
	שבעת המשרתים
planets beneath	השפלים
runner	רצים
messenger	שלוחים
mean motion	מהלך השוה
motion	מהלך ה, מהלכו, מהלך שניהם, מהלכם ב, הליכות
quick motion	מהלכם במרוצה
quick	הקלים
slow motion	מהלכם במתון
to conjoin	יתחבר עמו, יתחברו (עמו / כלם ב)
conjunction	מחברת, מחברות
double conjunctions	המחברות השניות
triple conjunctions = conjunctions of three planets	השלישיות, מחברות השלישיות
quadruple conjunctions = conjunctions of four planets	הרביעיות
quintuple conjunctions = conjunctions of five planets	החמישיות
sextuple conjunctions = conjunctions of six planets	המחברות הששיות
septuple conjunctions	מחברות השבעה
the arc of the Sun's inclination	מעלות הנטייה, מעלות נטיית הגלגל אשר לשמש
degrees of the circle	מעלות הגלגל, מעלות מ
to enter	נכנס
to catch up	ישיגנו
to chase	ירדף אחריו
have passed	עברו
to move	הלך, ילך (ה)
to come	יבא כנגדו
retrograde	נזור
arcs	קשתות
chord	היתרים
sagittae	החצים
shadow	צללי ה
tangent	הפוך
cotangent	הישר
height	הגובה
circle	גלגל
circle	עגלה, עגולה, עגול
point	נקדה
side	פאה, פאותיו, צדיו
aspect	פאה
side, divisor, factor	צלע, צלעו, צלעות
	א.מ.ר.
	האומר
	דומה כמי שאומר, הוא כמי שיאמר
	שאמר
to say	לומר, אמר, יאמר, נאמר, אמרו (ש), אמ' (ה / כי / ... כי), אומר כי, אומ' כי, לומ' כי, לומ' ש
	כאמרך, כאשר אמרנו ב
	ב.א.ר
to explain	לפרש ה, אפרשנו במקומו, במקומו אפרשנו, פרשתי ב, בארתי לך
	יתבאר כי
	ב.ר.ר.
it becomes clear	יתברר כ, מתברר ש, נתברר (ש)
	תברור לך בו
	ח.ש.ב
to think	חשוב כי
to consider	חושב ... ל, חשוב אותם כאלו הם, נחשוב ש, תחשב (ה), תחשבם (שהם), יחשוב אותם כאלו הם
to be considered	חשוב כ
	י.ד.ע.
to know	לדעת (ה / כי / איזה / איך / כמה), לדעתם, לידע
	דע (ה / כי / לך כי / ש / כמה / בכמה / מה), ידענו (כי / ש / מ), ידענו ה... מהם, ידעת (זה / כי), יודע (כי / מן ה... ה), נדע, תדע (ה / כי / ש / בכמה / מ / זה מ), תדענו (ש), מהם תדע (ה)
	יודע ה
to be known	יודיע
known	ידוע הוא (כי / ש), ידוע (כי / ש / מ / ב)
	ככה תדענו (ש)
	לדעת מ... ועד
	דע מאיזה מספר (ה / הוא ה / יצא ה), דע מאיזה חשבון (ה / יצא), תדע מאיזה חשבון (ה / יצא ה)
	וידוע וברור ש
	י.צ.א.
result	מה שיצא
	יצא (ה / הכל / ל / לך / מ), יצאו
	יצא לחשבון אחד
	יצא ... לכל
	היוצא (ל / מ)
to be solved	יוצא ל
to be derived	יצא (מ / מה / ממנו ה), יוצאת מ, יצאו ה
	כ.ת.ב.
to write	תכתבנו ב, תכתוב (ה / תחתיו)
written	כתוב בהם, כתובים ב
	ל.ק.ח.
to take	אקח מן ה, יקח (ה / מ / מן ה), ליקח ב...מ, לקח (ב / ה / מ / מהם ה / ... ב), לקחו, לקחנו, לקחת (ב), נקח (מ / מן ה), קח (אותו ב / ה... מ / ה / כ / מ / מה / מהם / מן / מן ה / ... מ / ... מן ה), תקח (ה / ל / מ / מן ה), תקחנו ב, נלקחום
	קח לכל, תקח לכל אחד שלם, קח לכל אחד מן ה
	שלקחת
to be derived	נלקחים מן ה
	מ.צ.א.
to find	למצא ל, מוצא (ב / ה), מצאנו (ל), מצאת, נמצא (ה / ש), נמצאנו, תמצא (בו / ה / ש / להם), תמצאם, תמצאנו (ב)
to be found	ימצא (ב), ימצא... בין, ימצאו, נמצאים (אחרי ה)
	הנמצא, הנמצאים (ב)
	נ.ג.ע.
to reach	הגעת ל, יגיע ל, תגיע (אל / ל), מגיע אל ה
	להגיע אל האמת, יגיעו אל האמת
to be owed	הגיע ל, יגיע לכל אחד (מה / מן ה)
	ע.ל.ה.
to result	עלה (ה / עד), עלו, עלו ה... (ב / ל), עולה, יעלה (ה / מ / מן ה / לו מ), יעלו, ויעלה בין שניהם, ויעלה בין שלשתם, תעלה בידך
result, obtained	העולה (ב / מ / משניהם), מה שיעלה, מה שעלה, המספר העולה, החשבון שעלה בידך, עלה בידך מ
	ע.ש.ה.
to do, to apply	לעשות, יעשה ב, תעשה ל, תעשה ש, עשית בו
to make	יעשה
	יעשנו
conduct	מעשה
doing, action	מעשיהם
	עשה כן ל, כן תעשה (ל), ככה תעשה (ל / ש), ככה נעשה
to be formed	עשויות
	ק.ר.א.
to be called	נקראים, נקרא, הנקרא, שנקרא ה, יקראו
to denominate	קורא שם ה
to read	קורא
reader	קורא
	ר.א.ה.
to see	ראה (מה), ראית ב, תראה בה
to show	כאשר הראיתיך
	ר.צ.ה.
to want	נרצה ל, רוצה ל, תרצה (ל / ש), רצינו ל, רצית (ל), ירצה ל
	זה שרצינו, מה שרצינו
	רצונך
as much as you wish	כרצונך, עד כמה שתרצה, עד כמה שירצו, עד איזה מספר שתרצה
whichever you wish	איזה שתרצה מה, כל ... שתרצה
	ש.א.ר.
to remain	ישאר (ב / מן ה / לך / בידך), ישארו (בידך / לך / לנו), נשאר (בידך / ל / מ / ממנו), נשארו (לך / לנו / עוד ל)
remainder	הנשאר (מן ה), הנשארים, שיורין, הנשאר בידך, מה שישאר, השאר
	ש.מ.ר.
to keep	שמור ה, שמרהו, שמרם, תשמר ה, תשמור (ה)
reserved	השמור, השמורים, ששמרת, שמור בידך
preserve	ישמור
be careful	השמר ש
to investigate	תדרוש
to learn	למד ש
to instruct	תצוה לו
to instruct	הורתיך
	כמו שהורתיך למעלה
to look at, to observe	הסתכל (איזה / ב / מה), נסתכל (מה), תסתכל ב
to look	תביט אל ה
friend	חברו, חבירו
to be used to	נהגו... ל
to lead	יוציאך אל
to lead	הולך אותם
to lead	ידריכך ב
	יוציאך ה... אל האמת, ידריכך אל האמת ואל הנכון
to return	אליו תשוב, ושוב אל ה
to return	חוזרים אל, חוזרים אליו
to return	ישוב (ה / ... ב), שב ה
to put	ישים
to place	ושם ב, ושים... ב, ושמנו ... עם
to place	נותן... ב
place	במקומו (ב), מקומו
	אין זה מקומו ל
to meet	יפגשו ה, ייפגשו... זה בזה
to leave aside	תעזב ה... כמו שהם
case	ענין
category	ענין, ענינים
issue	ענין (ה / ה... ב), ענינים, עינינים
type	מין, מינו, מיני ה, מינין, מיניהם, ממין (ה / ש), מן המין אשר
example	משל, דמיון (ש), בדמיון זה, דמיונות
example	כגון (ה / ש)
	כגון זה וכיוצא בו
question	שאלה, שאלות
	הוא שאלתך, והוא מה ששאלת
	ישאל השואל
	תשאל ממנו
answer	תשובה
to be confusing, to go wrong	ישתבש
to happen	יקרך זה
to elaborate	להאריך בזה, להאריך בו
to prove	יוכיחו כי
check	בחינתו (ל / ש), הבחינה (ל / ש / כש)
check	מאזנים
sought	מבוקש, הוא המבוקש, וככה המבוקש, והעולה הוא המבוקש
seeker	מבקשיהם
to seek	בקש חשבון (ש), בקש לך חשבון ש, תבקש חשבון ש, בקש מספר חשבונך
	בקשנו כמה, בקשנו מה
way	פנים
way, method	דרך (ה / ל / ל... ש / ב / בזה ש), דרכים (ל), בדרך (ה), כדרך ה, הדרך בו
	דרך אחרת (ש)
	בדרך כל המספר
	על הדרך שראית
	דרך החשבון (ש)
	ודרך אחד לכל ה
general way	דרך כלל ל
rule	כלל (... ב), והכלל כי
	וכלל זה יהא בידך ש
	זה הכלל יהיה בידך ש
rule	משפט ה
	כמשפט, כמשפטם, עשה כמשפט, יעשה כמשפט
difference	מרחק (מ)
	המרחק שהוא בין, המרחק שיש בין, המרחק הנמצא בין, המרחק בינו ובין
	המרחק מן ה, מרחק החשבון מן ה
	המרחק שיש בין חשבונך ובין ה, המרחק אשר בין חשבונך ובין ה
	מתרחק מחשבונו כמרחק ה
difference	יתרון, יתרון ה... על ה, היתרון שיש בין ... ובין , היתרון שיש בין שני ה, היתרון שיש בין שתי ה, היתרון שבין שני ה
difference, deficiency	החסרון, חסרון ה, חסרונים
foundation	יסוד, מוסדי
element, basis	שרש
cause	סבת
letter	תבות ה
language	לשון
essence	עצם דבר
secret	סוד (ה)
origin	מוצא
speaking	מדבר
express	משמיעים
word	דבר
thing	דבר (מ)
sense	עניני ה
category	מחלקות ה
to start	להתחיל ב, התחלת ב... מ, תתחיל (ב / מ / מן ה), נחל ל, יחל... מ, יחל ... עם, נחל מ
	מתחיל ב
first, at first	בתחלה
at first	בראשונה
beginning	בתחלת, תחלת ה
beginning	בראש
the beginning and the end of all	ראשית הכל ואחרית הכל
beginning and end	תחלה ותכלה
to turn	יתהפכו, יתהפך ה, תהפוך ה
vice versa	והפך הדבר (ב)
inverse	הפך ה
to increase	נוסף
to increase	הולך וגדל
to decrease	פחות פוחת והולך, פוחת
to be lowered	יורדים ... מן ה, ירד
time	פעם, פעמים
once	פעם אחת
twice	שני פעמים
three times	שלשה מן ה
exalted	הנעלה
wonderful	הנפלא
virtue	מעלות ה
ascetic	פרושים
to subdue	ויכבוש את עצמו מ
earthly desire	תאות העולם
form, shape	דמות ה
the Most High	העליון
from Him	ומאתו
Knower	יודע הכל
glory	התהלות
reason	טעם ה
prayer	תפלות
definition, category	גדר ה
righteousness	יושר
to create	יצר
to be generated	יולדו ה
to be generated	קם מ
world	עולמו
day and night	יומם ולילה
dwell	שוכן
alone	לבדו, לבדם
allusion	רמז על ה
sign	זה לך האות ש, לאות ש
similarity	דמות ב
included	נכלל ב
to form	בונים
to be built	יבנה
to be established	יכונן ב
soul	נפשו
eye	עינים
heart	לב ה
finger	אצבע, אצבעך, אצבעות, אצבעותיך
wisdom, science	חכמה, חכמת ה
knowledge	דעה
	אני, אנחנו, אתה, הוא, הם
to be	להיות (ה / ל), להיותם
to be	היות ה... ב, היותו ב
to be	היה (ה / ה... ב), שהיה, יהיה (ב / ה), היו (ה), יהיו (ה / כל ה), היית, הייתי, היינו, תהיה
there is / are	יש (ב / מהם ש / שם מ), יהיה בו
	הוא (ה / מ / ש), שהוא (ב / ה / ל), היא (ה), שהיא, הם (ה), שהם (ה)
	ההוא, ההם
	זה (ה / הוא ה), הזה, זו, זאת, הזאת, האלה, אלה (ה / הם), אלו (ה / הם ה), הנו, הנם
	אותו ה, אותם ה, מאותו ה
	אשר
as much as	עד כמה ש, עד ש
kind of	כעין ה
endlessly	עד אין קץ, עד אין סוף
because	כי, בעבור (זה / כי / ש), מפני (כי / ש), לפי ש
hence	ומכאן
therefore	על כן, לפיכך, ומפני זה
how many, how much	כמה (ה / הוא / הם ה / הם כל ה / היה / היה ה / היה הכל / זה ה / יש / ... הם), בכמה, מכמה
what	מה, מה ש
every	כל, בכל
everything	הכל
all, total	כל ה, כל מה ש, הכל, יהיה הכל, בכל ה, לכל ה, כלם, כולם
whole	כל ה, כלו, שלם
the same for all	וככה כלם
	יש, יש ב, יש בהם (מ), יש בהן, שיש ב, שיש בה, שיש בהן
	שיש עמהם
each	כל אחד (מ / מה / מהם / מן ה), כל אחד ואחד (מ / מהם), לכל אחד מ, מכל אחד
each	לכל ... ו..., בכל ... ו
on its own	בפני עצמו
both	שני ה, שניהם
one of	אחד (ה / מה / מהם / מן ה), אחת מ
of the	מן ה, הם מן ה, הם מה, מהם
also	גם (הוא), וגם ב, גם כן, וכן (הוא / ל), וכן היה
only	רק ש
	לא ... רק
likewise	וכן (ה / כלם / לכל ה), וככה (ה), וככה הוא (ה)
	על זה הדרך (ל / לכלם / לכל), ובאלו הדרכים, ועל אלו הדרכים, על... דרכים
so	וכן, כן
so	ככה (ה / הוא), כך (הוא ה)
as… so	וכמספר ה... כך
so and so	כך, כך וכך, ככה
between	בין, ובין כל ... ל, ביניהם, בין שלשתם
	בין ... ובן, בין ה... ובין, בין ה... וה..., בין ל ... בין ל
	בין ... בין ..., בין ש... בין ש, בין ב... בין ב
left	מצד שמאל, לשמאל
right	מצד ימין, לימין
itself	בעצמו, בפני עצמו
still	עדין
known	ידוע, ידועים
known	מפורסם, מפורסמים
unknown	נסתר, נסתרים, נעלמים, נסתר ממך (ה), אינם ידועים, שאינו ידוע
mentioned	הנזכר, הנזכרים ב
compound	מורכבים
as if	כאלו
if	אלו, ולו, וכי, אם, ואם, שאם
	והנה (ה), והנה לך
first	ראשון, ראשונים
second	שני (ל / לו / לו ה), שניה, שנית, השניה לה
half	חצי ה, חציו, מחצית ה
third	שליש, שלישי, שלישית, שלישי לו, שלישי..., שלישיות
fourth	רביעי, רביעית, רביעי לו
quarter	רביע, רובע, רביעית
fifth	חמישית (ממנה), חומש, חומשין
sixth	ששית, שתות, שתותים, שתותין
seventh	שביעית (ממנה), שביעיות
eighth	שמינית
ninth	תשיעית
tenth	עשירית, עשור
different	שונים
differ	נפרדים ל
differ	נחלפים, הנחלפים עם ה
diversity, difference	חלופם
similar to	כמו ה, כדמות
to be similar, to resemble	ידמה זה לזה
	דומה (ל / לה), דומות ל, דומים ל
	דמיונו (ב), הדומה ל, הדומה לזה, והדומה לו ב, הדומים
	וכן כל הדומה לזה, וכל הדומה להם, וכדומה להם
	כיוצא בו
up to, until	עד, עד ש, עד אשר
or	או
always	לעולם, לעולם ועד
true	הנכון, הוא הנכון
when	מתי
when	כאשר, כש
as	כאשר
as	יהיה כ, יהיה ה... כ
but	אך
	כמו (ה / זה / ש), היא כ
such as	כמו ב
	כמו כן
same	כמוה, כמוהו, כמוהם
closest	הקרוב (אל / אל ה / אליו), קרוב (אל ה / אליו), הקרובים (אליהם)
closer	יותר קרוב (מה / מה... מן ה)
	לפנים, לפניו
	לאחור מן ה, אחריו, לאחריו
	רחוק מ... לאחורי
preceding	אשר לפניו, שלפני ה, שלפניה, שלפניו, שהוא לפניו, אשר עבר, שעבר, שעברו, שעבר שהוא לפניו, הנמצא לפניו
succeeding, following, consecutive	אשר אחריה, אשר לאחריו, שלאחריו, שהוא לאחריו, הבא, הבא לאחריו, הבא אשר לאחריו, הבאות אחריהן
	שלאח' אחריו
above	למעלה, אשר למעלה
more than	למעלה מ, למעלה מהם
greater than, more	יותר (מ), רב מ
less than	פחות (מ / מן)
small	פוחת, הפחות, הפחותות, מועט, חשבון מועט, מספר מועט, מעט, הקטן, החשבון הקטן
smaller	פחותות (מ), פחותים (מ / מהם)
first, first term	הראשון, ראש ה, ראש מספרו, האחד
consecutive term	השני
last	האחרון
mean	אמצעי, תיכון
	האמצעי הגדול
great	הגדול, הגדולים, הגדולות, החשבון הגדול
greater	גדול (מ / ממנו), גדולות מ, גדולים (מהם / ממנו), יתרות, היתר, המרובה, רב, חשבון רב, המספר הרב
	בין רב למעט
then	אז, ואז
then, afterwards	אחר, אחר כן, אחרי כן, אחר כך, אחר ש, אחרי ש, לאחר
after	אחר ה, אחרי ש, אחריה, אחריו
already	כבר
now	עכשו, ועתה
impossible	לא יתכן ל, אי איפשר
possible	יתכן להיות, יתכן להיותו
further, still	ועוד
before	טרם ה
before	קודם ה, קודם זה
upon	בכל, בו
where	במקום אשר
there	שם (ה)
here	ובכאן
henceforth	ומכאן ואילך
thenceforth	משם והלאה
according	ועל זה
according, as	כפי מה ש
according	לפי (ה)
again	ושוב, שוב, ושוב ו
recurrent	חוזר חלילה, חוזרים חלילה
indeed	ואכן
indeed	הרי (הוא)
towards	כנגדו
to catch	תפש
to be too long	ירבה ממך
from which	מאיזה ... הם ה
i.e.	כלו', כלו' ש, כלומ'
for	בעבור ה
since	בעבור היות
since	ואחר ש, אחרי ש
with, including	עם (ה), עמו, עמהם
should be	וראוי להיות (ב / ה / כי), וככה ראוי להיות
rest	שאר (ה), משאר ה
most	ורבם, רוב ה
numerous, many	רבות, רבים
here and here	לכאן ולכאן
for all	לכל ה
really	וזה באמת
sometimes	פעמים ש
correct	נכון
like this	כאלו
recently, lastly	באחרונה
except	זולתי
other	חבירו, חברו, אחר, אחרת, אחרים
others	אחרים
another	אחר, אחרת
another	עוד
crosswise	באלכסון
from	וממנו, ומהם, מן ה
in front of	נכוחים ל
who	מי ש
how	איך
etc.	וכו'
beneath, lower	תחתיו, אשר תחתיו של ה
himself	עצמו
particularly and generally	בפרט וכל
	כ"כ
then	אם כן
finally	וסוף הכל
hence	ומיכן
no longer	לא... עוד
no	אין
not	אין (ה), אינה, אינו, איננו, אינם
does not	אינו
	ולא כן ה
	לא ... ולא
	לא ... זולתי
	לא... אלא
	לא ... כי אם
	לא ... כי אם ... בלבד
anything	לא ... כלום
	ואין ... אלא
	אין לו... כי אם ה
	אינו כי אם
which	איזה
whichever	איזה ... ש, איזה ... שיהיה
whether… or	בין ש... בין ש
	או ... או
secluded, separated	היחידי (ה / מן ה)
accurate	נכון, והנכון ב
from … to	מ... ועד, מ... עד
in	הוא ב
	ההוה (ב)
	בצד ה
	הרחב
	לחקרן ל
His hand will be upon all, and the hand of everyone upon him [Genesis 16, 12]	ידו בכל ויד כל בו
and your Teacher shall no longer be concealed from you [Isaiah 30, 20]	ולא יכנף עוד מוריך
your eyes shall see your Teacher and your ears shall hear a word behind you, saying, "This is the way; walk in it" [Isaiah 30, 20-21]	יהיו עיניך רואות את מוריך אזניך תשמענה דבר מאחריך זה הדרך תלכו בה
may the name of the Lord be blessed [Job 1, 21]	יהי שם יי' מבורך
the spirit returns to God [Ecclesiastes 12, 7]	תשוב רוח
instruct a wise man, and he will grow wiser [Proverbs 9, 9]	ותן לחכם ויחכם עוד
his gain disappears in his loss [Mishnah, Avot 5, 10]	ויצא שכרו בהפסדו
Praise be to God	תהלה לאל, תהלה לאל עולם
by the decree of God	ועם גזור האל, ועם גוזר האל
Sefer Keli ha-Neḥošet	ספר כלי הנחשת
Sefer ha-Luḥot le-Šivʿah ha-Mešaretim	ספר הלוחות לשבעה המשרתים

Appendix II: Bibliography

Anonymous Textbook

Manuscripts:

Budapest, Magyar tudomanyos akademia, MS Kaufmann A 507/2 (IMHM: f 15161), ff. 20-43 (15th-16th century)
Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/1 (IMHM: f 2320), ff. 2r-38r (14th-15th century)

Ms. heb. 10

Vatican, Biblioteca Apostolica, MS ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), f. 104r, line 3 – f. 105v, line 19 (Canea, 1493)

Vat.ebr.171

The transcript is based mainly on manuscript Genève 10

Bibliography:

Aradi, Naomi. 2013. An Unknown Medieval Hebrew Anonymous Treatise on Arithmetic, Aleph 13.2, pp. 235-309.
Lévy, Tony. 2002. A Newly Discovered Partial Hebrew Version of al-Khwārizmı̄’s Algebra, Aleph 2, pp. 225–34.

[1] $\scriptstyle{\color{blue}{n>1;a\in N: 5^n=a25}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle5^2=\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^3=1\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^4=6\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^5=31\color{Red}{25}\\\scriptstyle\ldots\end{cases}}}$

[2] $\scriptstyle{\color{blue}{a\in N: 6^n=a6}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle6^2=3\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^3=21\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^4=129\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^5=777\color{Red}{6}\\\ldots\end{cases}}}$

[3] בראשית טז, יב

[4] דברים יד, כד

[5] ישעיה ל, כ-כא

[6] ישעיה ל, כ

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

@@ Line 821: / Line 821: @@
 |-
 |When you want to sum numbers increasing by progression as much as you wish.
-|style="text-align:right;"|שתרצה לחבר חשבון הולך וגדל {{#annot:term|1355,326|KBdx}}על דרך המספר{{#annotend:KBdx}} עד כמה שתרצה
+|style="width: 50%; text-align:right;"|שתרצה לחבר חשבון הולך וגדל {{#annot:term|1355,326|KBdx}}על דרך המספר{{#annotend:KBdx}} עד כמה שתרצה
 |-
 |

Difference between revisions of "Anonymous"

Revision as of 09:38, 12 October 2021

Contents

Introduction

presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle

One is not a number

One is a number

general properties of numbers that apply to one

properties of the numbers 2-10 that pertain to one

the number two

the number three

the number four

the number five

the number six

the number seven

the number eight

the number nine

the number ten

the uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions

The Twelve Names that Form Every Number

table of contents

interpolated excerpt

Chapter One: Addition

The First Category: [Addition of] Integers

Sums

The Second Category: Addition of Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Two: Subtraction

The First Category: [Subtraction] of Integers

The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Three: Multiplication

The First Category: [Multiplication of] Integers by Integers

The Second Category: Multiplication of Integers by Fractions

sexagesimal fractions

integers by integers and fractions

simple fractions

integers by fractions fractions

simple fractions

integers and fractions by integers and fractions

simple fractions

sexagesimal fractions

integers and fractions by integers and fractions of fractionsn

simple fractions

The Third Category: Multiplication of Fractions by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

fraction by fraction

fraction by fraction of fraction

fraction of integer and fraction by fraction of integer

fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

fraction of fraction by fraction of fraction

Chapter Four: Division

[The First Category]: Division of Integers by Integers

sexagesimal fractions

simple fractions

The Second Category: Division of Fractions by Integers or Integers by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

integer by integer and fraction

integer by fraction of integer and fraction

integer and fraction by fraction

integer and fraction by fraction and fraction of fraction

Completion of Fractions

The Third Category: Division of Fractions by Fractions

sexagesimal fractions

simple fractions

integer and fraction by integer and fraction

integer and fraction by fraction

fraction by fraction

fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

Chapter Five: Ratios

sexagesimal fractions

simple fractions

Chapter Six: Deducing One from Another

in Astrology

in Mathematics

Word Problems