|
|
| Line 1: |
Line 1: |
| | + | {{#annotpage: author="Elijah Mizraḥi", city="Constantinople" time="1450-1526"}} |
| | ספר המספר | | ספר המספר |
| | להחכם האלהי מוהר"ר | | להחכם האלהי מוהר"ר |
| Line 7,668: |
Line 7,669: |
| | |- | | |- |
| | |In the multiplication and addition operations the position is not significant | | |In the multiplication and addition operations the position is not significant |
| − | |style="text-align:right;"|ולא כן במיני ההכאה והקבוץ כי במין ההכאה והקבוץ אין הבדל בין הכאת השבר עם השברים ובין הכאת השברים עם השבר וכן בקבוץ כי היוצא מהם אחד | + | |style="text-align:right;"|ולא כן במיני ההכאה והקבוץ כי במין ההכאה והקבוץ אין הבדל בין הכאת השבר עם השברים ובין הכאת השברים עם השבר וכן בקבוץ כי היוצא מהם |
| − | |-
| |
| − | |There are 132 types of composite subtraction of fractions
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם במין החסור יש הבדל בין שנחסר השברים מהשברים ובין שנחסר השבר מהשבר ולכן יחויב שיהיו מיני המורכבים קל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |Converting the 132 types to four simple types of subtraction: fraction from fraction, fractions from fractions, fraction from fractions, fractions from fraction
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם שבר משבר ושברים משברים ושבר משברים ושברים משבר וכבר הזכרנו זה אין צורך להשנות בביאורו
| |
| − | |-
| |
| − | !1) The general algorithm for the 4 simple types of subtractions<br>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואמנם הנשאר עלינו הנה הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך בידיעת הד' מינים האלו אשר הם במדרגת השרשים והיסודות לכל המינים הנשארי' אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחסר זה מזה זה בצד זה<br>
| |
| − | ונכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו<br>
| |
| − | אח"ז נכה איכות השבר הא' עם כמות הב' והעולה נשמרהו והוא השמור הב'<br>
| |
| − | גם נכה איכות הב' עם כמות הא'<br>
| |
| − | והעולה נחסרהו מהשמור השני אם היה השמור השני גדול ממנו<br>
| |
| − | או נחסר השמור הב' מזה אם היה קטן ממנו<br>
| |
| − | והנשאר ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא הנשאר מחסרון השבר האחד מהשבר האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונצייר לזה ד' משלים לאלה המינים הד' והם אלו
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{7}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{3}{14}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{5}{12}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{7}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{13}{28}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{1}{6}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot3\right)-\left(1\sdot2\right)}{2\sdot3}=\frac{3-2}{6}\\&\scriptstyle=\frac{1}{6}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל המין הראשון הכינו הג' עם הב' ועלו ו' ושמרנום<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הא' עם הב' ועלו ב'
| |
| − | גם הכינו הא' עם הג' ועלו ג'<br>
| |
| − | חסרנו הב' מהג' ונשאר א' יחסנוהו אל הו' השמורים והם ששית אחד וככה הוא הנשאר מחסור השליש מ מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot7\right)-\left(2\sdot4\right)}{4\sdot7}=\frac{21-8}{28}\\&\scriptstyle=\frac{13}{28}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין השני הכינו הז' עם הד' ועלו כ"ח ושמרנום<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הב' עם הד' ועלו ח'<br>
| |
| − | גם הכינו הג' עם הז' ועלו כ"א<br>
| |
| − | חסרנו הח' מהכ"א ונשארו י"ג יחסנום אל הכ"ח השמורים והם י"ג חלקים מכ"ח וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\frac{\left(3\sdot3\right)-\left(1\sdot4\right)}{4\sdot3}=\frac{9-4}{12}\\&\scriptstyle=\frac{5}{12}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין הג' הכינו הג' עם הד' ועלו י"ב ושמרנום<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הא' עם הד' והם ד'<br>
| |
| − | גם הכינו הג' עם הג' ועלו ט'<br>
| |
| − | חסרנו מהם ד' ונשארו ה' יחסנום אל הי"ב השמורי' והם ה' חלקים מי"ב וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\frac{\left(1\sdot7\right)-\left(2\sdot2\right)}{2\sdot7}=\frac{7-4}{14}\\&\scriptstyle=\frac{3}{14}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין הרביעי הכינו הז' עם הב' ועלו י"ד ושמרנום<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הב' עם הב' ועלו ד'<br>
| |
| − | גם הכינו הז' עם הא' ועלו ז'<br>
| |
| − | חסרנו מהם ז' ונשארו ג' יחסנום אל הי"ד השמורים והם ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | !2) Another algorithm - by addition
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי דרך אחרת בידיעת זה המין והוא על דרך הקבוץ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שתקבץ החסר מהשבר הגדול עד תשלום הא' עם השבר האחר והחסר מהמקובץ עד האחד הוא הנשאר מחסרון השבר מהשבר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{c}{d}\right)\right]-1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או קבץ החסר מהשבר הקטן עד תשלום האחד עם השבר הגדול והעולה השלך ממנו אחד והנשאר הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{7}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{3}{14}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{5}{12}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{7}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{13}{28}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|<math>\scriptstyle\frac{1}{6}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=1-\left[\frac{1}{3}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\right]=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{5}{6}=\frac{1}{6}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה במין הראשון מהד' מינים הנזכרים נקבץ החצי עם השליש והוא ה' ששיות ונקח מזה החסר משלמותו עד הא' והוא ששית וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{6}\right)-1=\frac{1}{6}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולפי הדרך השני נקבץ הב' שלישיות עם החצי והעולה מקבוצם הוא שלם א' וששית השלך מהם האחד השלם והנשאר הוא ששית א' וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=1-\left[\frac{2}{7}+\left(1-\frac{3}{4}\right)\right]=1-\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{15}{28}=\frac{13}{28}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המין השני הנה לפי הדרך הראשון נקבץ הרביע עם הב' שביעיות ויעלו ט"ו חלקים מכ"ח והחסר משלמות הא' הוא י"ג חלקים מכ"ח וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{3}{4}+\left(1-\frac{2}{7}\right)\right]-1=\left(\frac{3}{4}+\frac{5}{7}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{28}\right)-1=\frac{13}{28}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וי"ג חלקים מכ"ח השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=1-\left[\frac{1}{3}+\left(1-\frac{3}{4}\right)\right]=1-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{7}{12}=\frac{5}{12}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המין השלישי הנה לפני הדרך הראשון נקבץ הרביע עם השליש והעולה מקבוצם הוא ז' חלקים מי"ב והחסר משלמות הא' הוא ה' חלקי' מי"ב וזהו הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{3}&\scriptstyle=\left[\frac{3}{4}+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{3}{4}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{5}{12}\right)-1=\frac{5}{12}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולפי הדרך השני הנה נקבץ הב' שלישיות עם הג' רביעיות והעולה מקבוצם הוא אחד שלם וה' חלקים מי"ב השלך מהם הא' השלם והנשאר הוא ה' חלקים מי"ב וככה הוא הנשאר מחסור השליש מהג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=1-\left[\frac{2}{7}+\left(1-\frac{1}{2}\right)\right]=1-\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{11}{14}=\frac{3}{14}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המין הרביעי הנה לפי הדרך הראשון נקבץ החצי עם הב' שביעיות והעולה מקבוצם הוא י"א חלקים מי"ד והחסר משלמות הא' הוא ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}-\frac{2}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(1-\frac{2}{7}\right)\right]-1=\left(\frac{1}{2}+\frac{5}{7}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{3}{14}\right)-1=\frac{3}{14}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולפי הדרך השני נקבץ הה' שביעיות עם החצי והעולה מקבוצם הוא שלם א' וג' חלקים מי"ד נשליך מהם השלם האחד וישארו ג' חלקים מי"ד וככה הוא הנשאר מחסור הב' שביעיות מהחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם הדרכים אשר תוכל להשתמש בהם בידיעת זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | !Composite types of subtraction of fractions
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | !Algorithm for subtraction of a sum of simple fractions from a sum of simple fractions
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחסרם
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | *<math>\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_2}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{d_2}+\frac{c_2}{d_2}+\cdots+\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^m \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^m d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^m d_i}\\\end{align}</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה תוכל להשתמש בזה בשתכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות ותשמרהו ויקרא השמור הראשון<br>
| |
| − | אחר זה הכה כמות השבר הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות על הדרך חוץ מאיכותו<br>
| |
| − | גם נכה כמות השבר האחד הנחסר עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות חוץ מאיכותו<br>
| |
| − | וכן כסדר הזה לכל השברים הנחסרים והעולה שמרהו ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה התנהג עם הדרך הזאת בעצמה עם כל השברים האחרים אשר יחוסרו השברים מהם והעולה שמרהו<br>
| |
| − | וחסר מזה השמור השני והנשאר תיחסהו אל השמור הראשון והוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחסר חצי ושליש וג' רביעיות מד' חמישיות וה' ששיות ושביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יסודרו על זה הסדר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{7}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{6}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7=5045}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה הב' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ה' אלפים ומ' ונשמרם ויקרא שמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot4\sdot5\sdot{\color{red}{6}}\sdot7=2520}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הא' עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הז' והם אלפים תק"ך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7=1680}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם אלף תר"ף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7=3780}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הג' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הה' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ג' אלף ותש"ף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2520+1680+3780=7980}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|קבצם והם ז' תתק"ף נשמרם והם השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot6\sdot7=4032}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הד' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הו' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=4200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הה' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה עם הה' והעולה עם הז' והם ד' אלפים ומאתים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6=720}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הא' עם הב' והעולה עם הג' והעולה עם הד' והעולה הה' והעולה עם הו' והם תש"ך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{4032+4200+720=8952}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|קבצם והם ח' אלפים תתקנ"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{8952-7980=972}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וחסר מהם הז' אלפים תתק"ף ישארו תתקע"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=972:5040}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ניחסם אל השמור הראשון שהם ה' אלפים מ' והיוצא הוא הנשאר מחסרון החצי והשליש וג' רביעיות מהד' חמישיות וה' ששיות ושביעית
| |
| − | |-
| |
| − | !Algorithm for a sum of remainders from subtractions of simple fractions
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{red}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{c_n}{d_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^n \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^n d_i}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונות שברים רבים משברים רבי' מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו שתרצה לחסר החצי מב' שלישיות והג' רביעיות מד' חמישיות הנה יסודרו כזה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות ויעלו ק"כ ונשמרם וזהו השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot4\sdot5=60}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה כמות השבר הנחסר מהחסו' הראשון שהוא החצי מהשליש עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot5=90}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה כמות השבר הנחסר מהחסור השני עם האיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{60+90=150}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|קבצם עם ס' והק"נ וזהו השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2\sdot4\sdot5=80}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן מהמין הראשון עם האיכות והעולה עם האיכו' חוץ מאיכותו והם פ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot3\sdot4=96}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה כמות השבר הגדול אשר יחוסר הקטן ממנו מהמין השני באיכות והעולה עם האיכות חוץ מאיכותו והם צ"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{80+96=176}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחברם והם קע"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{176-150=26}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחסר מהם הק"נ וישארו הכ"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=26:120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וניחסם אל הק"כ השמור הראשון וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | !Algorithm for the subtraction of a multiple of simple fractions from a multiple of simple fractions
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{c_1}\times\frac{c_2}{c_2}\times\cdots\times\frac{c_m}{d_m}\right)=\frac{\left[\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\sdot\left(\prod_{j=1}^m d_j\right)\right]-\left[\left(\prod_{j=1}^m c_j\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{i=1}^n b_i\sdot\prod_{j=1}^m d_j}}}</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת שברי' אחדים מבלתי שתצטרך לדעת העולה מהכאת השברי' ההם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו על דרך משל אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם הד' חמישיו' מבלתי שתצטר' להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חמישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יסודרו בזה הדרך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם ק"כ ונשמרם ויקרא שמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5=40}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם כל האיכויות השברים הגדולים אשר יחוסרו הקטנים מהם והם מ' ונשמרם והם השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3=72}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה השברים הגדולים אשר יחוסרו מהם הקטנים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכויות השברים הקטנים הנחסרים והם ע"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{72-40=32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחסר מאלו המ' שהם השמור השני וישארו ל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)=32:120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ניחסם אל השמור הראשון שהם ק"כ וככה הוא הנשאר מחסור העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם הד' חמישיות
| |
| − | |-
| |
| − | !Algorithm for a multiple of remainders from subtractions of simple fractions
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | :<math>{\color{red}{\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]}{b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2}}}</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור שברים מה משברים מה עם הנשאר מחסור שברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים מהחסורים ההם כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מהד' חמישיות מבלתי שתצטרך לחסר החצי מהב' שלישיות והג' רביעיות מהד' חמישיות הנה יסודרו על זה הדרך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4\; 2}{5\; 4}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו הכל והם ק"כ ונשמרם ויקרא השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נחסר העולה מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\sdot\left[\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)\right]}{120}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הנשאר עם הנשאר וההווה ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיות עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמישיות
| |
| − | |-
| |
| − | !Combination of three types of operations with fractions
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | !Algorithm for the remainder of the subtraction of a sum of multiples of simple fractions from a sum of multiples of simple fractions
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | :<math>{\color{red}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}\times\frac{c_n}{d_n}\right)\right]-\left[\left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\times\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}}\times\frac{c_{n+2}}{d_{n+2}}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n+m}}{b_{n+m}}\times\frac{c_{n+m}}{d_{n+m}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\sum_{k=1}^n \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]-\left[\sum_{k={n+1}}^{n+m} \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]}{\prod_{i=1}^{n+m} b_i\sdot\prod_{i=1}^{n+m} d_i}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולי' מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברי' מה מבלתי שתצטרך להכות ואחר זה לקבץ ואחר זה לחסר אבל יצאו לו שלשתם בדרך אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *As, for example, if you want to multiply a half by 2 thirds, and 3 quarters by 4 fifths, and 3 sevenths by 4 fifths, and 2 thirds by 3 quarters, then to sum the product of the half by 2 thirds with the product of the 3 quarters by 4 fifths, and the product of the 3 sevenths by the 4 fifths with the product of the 2 thirds by the [3 quarters], then to subtract the sum from the sum and know the remainder.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית להכות חצי עם ב' שלישיות וג' רביעיות עם ד' חמישיות וג' שביעיות עם ד' חמישיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואחר זה לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם הד' חמישיות והעולה מהכאת הג' שביעיות עם הד' חמישיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע ואחר זה לחסר ההווה מהקבוץ מההווה מהקבוץ לדעת הנשאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יסודרו על זה הסדר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1\; 2}{4\; 3}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 7}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4\; 3}{5\; 4}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2\; 1}{3\; 2}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=50400}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם נ' אלף ת' נשמרהו ויקרא השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=16800}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה כמות השני שברי' הראשוני' זה עם זה והעולה עם כל האיכויות על הסדר הזה חוץ מאיכויותיהם והם י"ו אלף ת"ת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7=30240}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה כמות השני שברים השניים והעולה עם כל האיכויות על הסדר חוץ מאיכויותיהם והם ל' אלף ור"מ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{16800+30240=47040}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונקבצם עם הי"ו אלף ת"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם ויקרא השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=17280}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה השני שברים השלישיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם י"ז אלף ר"פ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1\sdot5\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=8400}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה כמות השני שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכויות חוץ מאיכויותיהם והם ח' אלפים ת'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{17280+8400=25680}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונקבצם עם הי"ז אלף ר"פ והם כ"ה אלף תר"ף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{47040-25680=21360}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחסרם מהשמור השני וישארו כ"א אלף ש"ס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=21360:50400}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ניחסם אל השמור הראשון וההווה הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר כתבתי לך הרכבת כל שני מינים ממיני המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |The combination of three operations cannot be concluded from the principles [of the simple types]
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מהרכבת הג' מינים לא הוצרכתי לכתוב רק זאת ההרכבה הכלל כל ההרכבות בעלות הג' מינים למה שהיה זה המין מן ההרכבה בלתי נמשך בשאלות הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |Yet, from the illustration of one such combination all the other combinations can be concluded
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הוצרכתי להראות הדרך לבד לאחת מהן וממנה תלקח הדרך לשאר המיני' ולא נטריח המעיין בזכירתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Methods of checking =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :1) Addition <math>\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)+\frac{2}{3}=\frac{5}{24}+\frac{2}{3}=\frac{63}{72}=\frac{7}{8}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה המאזנים לזה הוא שנקבץ הה' חלקים מכ"ד עם הב' שלישיות ויעלו ס"ג חלקים מע"ב והוא ז' שמיניות שהוא השבר הגדול כי קטן יחס הס"ג חלקים מע"ב הוא ז' שמיניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :2) Addition <math>\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{a}{b}\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי מאזנים אחרים והוא שתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו השבר הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)+\frac{7}{8}\right]-\frac{2}{3}&\scriptstyle=\left(\frac{5}{24}+\frac{7}{8}\right)-\frac{2}{3}\\&\scriptstyle=\frac{208}{192}-\frac{2}{3}\\&\scriptstyle=\frac{240}{576}=\frac{10}{24}=2\sdot\frac{5}{24}=2\sdot\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה חסרנו הב' שלישיות מהז' שמיניות ונשארו ה' חלקים מכ"ד<br>
| |
| − | קבצנום עם הז' שמיניות ועלה ר"ח חלקים מקצ"ב<br>
| |
| − | חסרנו מהם הב' שלישיות ונשארו ר"מ חלקים מתקע"ו והוא י' חלקים מכ"ד<br>
| |
| − | והנה הוא כפל המותר מהחסור כי המותר מהחסור הוא ה' חלקים מכ"ד וזה הוא י' חלקים מכ"ד כי קטן יחס הר"מ חלקי' מתקע"ו הוא י' חלקים מכ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :3) Subtraction <math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי מאזנים אחרים עם החסור והוא שתחסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם הוא שבר הקטן דע שצדקת ואם לאו דע שכזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}-\left(\frac{7}{8}-\frac{2}{3}\right)=\frac{7}{8}-\frac{5}{24}=\frac{128}{192}=\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה שהנשאר מחסור הב' שלישיות מהז' שמיניות הוא ה' חלקים מכ"ד נחסרם מהז' שמיניות נשארו קכ"ח חלקים מקצ"ב וקטון זה היחס הוא ב' שלישיות שהוא השבר הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Reasons and Explanations =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for the general subtraction procedure<br>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|בשנכה האיכות עם האיכות והעולה נשמרהו<br>
| |
| − | ואחר זה נכה איכות האחד עם כמות האחר ונחסרהו מהעולה מהכאת כמות האחד עם איכות האחר והנשאר ניחסהו אל השמור<br>
| |
| − | הנה כבר התבארה ממה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a\sdot c}{b\sdot c}=\frac{a}{b}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם שכאשר יוכה כמות השבר ואיכותו עם מספר מה איזה מספר היה וניחס העולה מהכאת הכמות עם המספר ההוא אל העולה מהכאת האיכות עם המספר ההוא הנה ההווה הוא השבר הראשון בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה יחוייב מזה בהכרח שישובו השברים המתחלפים האיכות שוי האיכות אחר שהיה המספר אשר יתייחסו אליו העולים מהכאת כמותם עם המספר המונח אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם הכינו הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות וכמות הג' רביעיות עם איכות הב' שלישיות על דרך אלכסון<br>
| |
| − | והכינו גם האיכות עם האיכות כזה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||χ||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{3\sdot3}{4\sdot3}-\frac{2\sdot4}{3\sdot4}=\frac{9}{12}-\frac{8}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאז יחייב בהכרח שישובו הב' שלישיות לח' יביי"ם והג' רביעיות לט' יביי"ם והנה שבו להיות בעלי איכות<br>
| |
| − | אחר שהוכו הב' והג' שבתחתיו עם הד' שהוא מספר מה<br>
| |
| − | והוכו גם הג' והד' שבתחתיו עם הג' שהוא מספר מה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right):\left(3\sdot4\right)=2:3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|מפני שהעולה מהכאת הב' עם הד' כאשר ייוחס אל העולה מהכאת הג' עם הד' הנה אין ספק לפי מה שקדם שיהיה יחסו אליו יחס הב' אל הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right):\left(4\sdot3\right)=3:4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן העולה מהכאת הג' עם הג' כאשר ייוחסו אל העולה מהכאת הד' עם הג' יהיה יחסו אליו יחס הג' אל הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=4\sdot3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והנה העולה מהכאת הג' עם הד' הוא העולה מהכאת הד' עם הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יחויב מזה בהכרח שיהיה מתיחס העולה מהכאת הב' עם הד' והעולה מהכאת הג' עם הג' אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הד' עם הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right):\left(4\sdot3\right)=2:3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה יחס העולה מהכאת הב' עם הד' יחס הב' אל הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right):\left(4\sdot3\right)=3:4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחס העולה מהכאת הג' עם הג' אליו יחס הג' אל הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אשר הם השברים המונחים בעצמם רק שיחסם אל מספר אחד בעינו והוא העולה מהכאת הג' עם הד'<br>
| |
| − | ולכן ישובו השברים המתחלפים לשברים בעלי איכות אחת והם השברים הראשונים בעינם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{b}=\frac{a-c}{b}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות כאשר תרצה לחסר האחד מהאחר אמנם יחוסר כשנסחר הכמות מהמותר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית לחסר הב' חמישיות מהד' חמישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{2}{5}=\frac{4-2}{5}-\frac{2}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחסר הב' מהד' והנשאר שהוא הב' ניחסהו אל איכות שהוא הה' וההווה ב' חמישיות וככה הוא הנשאר מחסור הב' חמישיות מהד' חמישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נכה שני האלכסונים שהם כמות הראשון עם איכות השני וכמות השני עם איכות הראשון ויתיחסו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות<br>
| |
| − | שאז ישובו להיות ב' שברים שוי האיכות והם השברי' הראשונים בעינם<br>
| |
| − | וכשיוחסר הכמות מהכמות שהוא ההווה מהכאת האלכסון האחד מההווה מהכאת האלכסון האחר וניחסהו אל איכותו שהוא ההווה מהכאת האיכות עם האיכות הנה יהיה ההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for the second algorithm - based on addition
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם סבת הדרך השנית שהוא על דרך הקבוץ
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|רצוני לומר בשיתקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות המקובץ עד האחד הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר<br>
| |
| − | הנה היא ג"כ מבוארת וזה שהוא מהמבואר בעצמו שהנשאר מחסור שבר מה מהשלם הא' הוא החסר משלמות השבר עד הא'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם רצית לחסר חצי מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות החצי עד האחד שהוא חצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לחסר ג' רביעיות מהאחד הנה הנשאר הוא החסר משלמות הג' רביעיות עד האחד שהוא רביע וכן בכל מיני השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה יחוייב לזה בהכרח שכאשר נרצה לחסר שבר משבר שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן ונקח מהמקובץ מהם החסר משלמותו עד האחד וההווה הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם שהנשאר מחסור השבר מהשלם הוא החסר משלמות השבר עד האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן אלו היה השבר הגדול שלם היה הנשאר מחסור השבר הקטן ממנו הוא החסר משלמו' השבר הקטן עד האחד רק בעבור שהשבר הגדול איננו שלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[1-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{c}{d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה א"כ יחויב מזה בהכרח שהנחסר מהשלם האחד הנה איננו השבר הקטן בלבד רק השבר הקטן והחסר משלמו' השבר הגדול עד האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היו הנחסרים מהשלם האחד ב' שברים הנה יחויב שנקבץ שני השברים יחד שישוב לשבר אחד ואז יהיה משפטם בחסור כמשפט השבר האחד מהשלם האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו שהיה הנשאר מחסור השבר הא' מהשלם האחד הוא החסר משלמות השבר עד האחד כן הנשאר מחסור המקובץ מב' השברים יחד מהשלם האחד הוא החסר משלמות המקובץ מב' השברים עד האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[1-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)+\frac{c}{d}\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה יחויב בהכרח שנקבץ החסר משלמות השבר הגדול עד האחד עם השבר הקטן והחסר משלמות המקובץ מהם עד האחד הוא הנשאר מחסור השבר מהשבר וזמש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reasons for the algorithms for the composite types of subtraction of fractions
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבות דרכי מציאות המינים המורכבים משני מינים ב' מינים ממיני המספר או משלשה שלשה מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |Clarified in the explanations for combining multiplication and addition of fractions
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבארו ממה שקדם במין ההכאה בסבת מציאות דרך הרכבת מין ההכאה והקבוץ ובכלל בשמירת כל ההכאות הראויות לכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |There is no difference between simple multiplication and composite multiplication
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כבר קדם שאין הבדל ב[הכאות] בין שיהיו נבדלות או מורכבות אין צורך לכפלם
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for the first checking method - by addition
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מאזני זה המין שעל דרך הקבוץ
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |Clarified in the explanation of the checking method of subtraction of integers
| |
| − | |style="text-align:right;"|כבר קדמה במאזני חסור השלמים מהשלמים אין צורך לכפלם
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for the second checking method - by addition
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת המאזנים השניים שעל דרך הקבוץ
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{a}{b}\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל בשתקבץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול ויחוסר מהם הקטן והנשאר יהיה כפל הנשאר מחסור השבר מהשבר הנה היא מבוארת ג"כ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}+\left[2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר יקובץ הנשאר מחסור השבר מהשבר עם השבר הגדול הנה יהיה המקובץ כמו השבר הקטן וכפל הנשאר מחסור השבר מהשבר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\left[\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר יחוסר מהמקובץ השבר הקטן יחויב שיהיה הנשאר כמו כפל הנשאר מחסור השבר מהשבר בהכרח וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for the third checking method - by subtraction
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת המאזנים השלישיים שעל דרך החסור
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל כשתחסר הנשאר מחסור השבר מהשבר מהשבר הגדול והנשאר יהיה כמו שבר הקטן גם הוא מבואר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהשבר הגדול הוא כמו השבר הקטן והנשאר מחסור השבר מהשבר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר יחוסר מהשבר הגדול הנשאר מחסור השבר מהשבר יחויב מזה בהכרח שיהיה הנשאר כמו השבר הקטן וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהנה נתחיל בביאור דרך החלוק בע"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Four - Division ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הרביעי במין החלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Introduction =====
| |
| − | | |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |Definition: division of fractions
| |
| − | |style="text-align:right;"|החלוק הוא הודעת מספר חלקי שבר מה השוים לשבר מה קטן ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\div\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אמרך חלק השליש על הרביע עד"מ הוא כאמרך לכמה חלקים שוים לרביע יחלק השליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ועם זה המין נוכל לדעת יחס השבר האחד אל השבר האחר אשר הוא יחס היחס האחד אל היחס האחר כי כל שבר הוא יחס מה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובידיעת יחס השבר הנה כבר יודע יחס היחס אל היחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נדע עם זה המין להתיך השברים איזה שברים שיהיו להשיבם אל איזה שברים שיהיה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אחר שזה המין הוא המודיע כמות הפעמים אשר ימצא השבר האחד תוך השבר האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|א"כ כאשר נחלק שברים מה איזה שברים שיהיו על שברים אחרים איזה שברים שיהיו הנה כבר תוכל לדעת כמות הפעמים אשר יכנסו השברים ההם תוך השברים האחרים ובזה ישובו השברים המונחים לשברים אחדים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{1}{8}=6\longrightarrow\frac{3}{4}=\frac{6}{8}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות בשמינית אחד הנה יצאו ו' והם מורים בשחלקי הג' רביעיות השוים לשמינית הם ו'<br>
| |
| − | ובזה נודע שהג' רביעיות הם ו' שמיניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שבזה המין יתחלף ענין השני שברים בשיהיה הא' המחלק והאחר המחולק או ההפך כמו שקרה כזה במין החסור ר"ל שהיוצא מהחלוקה ענין אחר זולת היוצא מחלוקת ההפך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|לכן יהיה מהמחויב מזה בהכרח שיהיו המינים המורכבים מהמינים הפשוטים בזה המין ג"כ קל"ב כמו שקרה במין החסור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך אל ידיעתם אמנם הוא עם ידיעת ההתכה ר"ל עם הידיעה בהתכת המינים הקל"ב אל הד' מינים מהם שהם השבר על השבר והשברים על השברים והשבר על השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר הזכרנו זה פעמים רבות אין צורך להשנות בביאורו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הנשאר עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך באלה הד' מינים הנזכרים אשר הם במדרגת היסודות לשאר כל המינים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Division of Fractions =====
| |
| − | | |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | !1) The general algorithm for the 4 simple types of division
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך הכולל בהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}=\frac{a\sdot d}{c\sdot b}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אמנם הוא בשנסדר השברים אשר תרצה לחלקם זה על זה זה בצד זה ונכה כמות המחלק עם איכות המחולק וההווה נחלק עליו ההווה מהכאת כמות המחולק באיכות המחלק והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונצייר לזה ארבעה משלים לאלה הד' מינים הנזכרי' והם אלו
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{9}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |2||<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |2||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{8}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |1||<math>\scriptstyle\frac{7}{9}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |1||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{1\sdot4}{1\sdot3}=\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי במין הראשון נכה הא' בד' והם ד' ונחלקם על העולה מהכאת הא' בג' שהם ג' והיוצא א' ושלישית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{1}{3}=\frac{1}{4}\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהוא מורה על שהשליש הוא רביע א' ושליש הרביע שהוא א' מי"ב<br>
| |
| − | או כשהשליש נחלק לחלקים שוים לרביע חלק א' ושליש והכל עולה בקנה א'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{3}{8}=\frac{2\sdot8}{3\sdot3}=\frac{16}{9}=1+\frac{7}{9}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין השני נכה הב' עם הח' ועלו י"ו ונחלקם על העולה מהכאת הג' בג' שהם ט' והיוצא א' וז' תשיעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{2}{3}=\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{7}{9}\right)=\frac{3}{8}+\left(\frac{7}{9}\sdot\frac{3}{8}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל פעם א' ג' שמיניות וז' תשיעיות הג' שמיניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\frac{1}{4}=\frac{2\sdot4}{1\sdot3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין הג' נכה הב' בד' והם ח' ונחלקם על העולה מהכאת הא' בג' שהם ג' והיוצא הוא ב' וב' שלישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{2}{3}=\frac{1}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)=\frac{2}{4}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל ב' רביעיות וב' שלישיות הרביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\div\frac{2}{9}=\frac{1\sdot9}{2\sdot2}=\frac{9}{4}=2+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמין הרביעי נכה הא' בט' והם ט' ונחלקם על העולה מהכאת הב' בב' שהם ד' והיוצא הוא ב' ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\frac{1}{2}=\frac{2}{9}\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=\frac{4}{9}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{2}{9}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל ב' פעמים ב' תשיעיות שהם ד' תשיעיות ורביע הב' תשיעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר תוכל להשתמש בדרך אחרת יותר קצרה מזאת והוא שתכה כמות המחלק עם איכות המחולק והעולה הוא המחלק וכמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הוא המחולק עוד הכה האיכות עם האיכות והעולה שמרהו ועליו תחלק המותר מהחלוקה ומה שיעלה חלקהו על השבר הא' משברי המחלק והיוצא חברהו עם היוצא מהחלוק הראשון וההוה הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל אם רצית לחלק ג' רביעיות על ב' חמשיות הכה הב' עם הד' ויעלו ח' וזהו המחלק הכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו וזהו המחולק<br>
| |
| − | עוד הכה הד' עם הה' ויעלו כ' ושמרם<br>
| |
| − | אח"כ תחלק הט"ו על הח' ויצא א' שלם והם פעם א' ב' חמישיות והנותר לא תיחסנו אל הח' עד שתאמר שהם ז' שמיניות הב' חמישיות כי תצטרך תחלה להכאה עד שתשיבם לשבר אחד<br>
| |
| − | ואחר זה תצטרך לחלוק עד שתדע כמה חמישיות הוא אבל ניחסהו אל הב' השמורים ויהיו ז' חלקים מכ'<br>
| |
| − | אחר זה נחלקם על החומש הא' ויצא חומש א' וג' רביעיות החומש נחברם עם הב' חמישיות שיצאו לך בחלוק הראשון ויהיו הכל ג' חמישיות וג' רביעיות החומש הא' וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלא שבזה הדרך לא תדע כמות הפעמים אשר יכנס השבר הא' אל האחר אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי דרך אחרת קצרה מאד והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה הכהו עוד עם איכות המחלק והעולה חלקהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות ויצא לך מיד התכת השבר הא' אל השבר האחר מבלתי שתצטרך לחלוק הראשון ושני והכאה והדומה לאלה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{5}</math>||<math>\angle</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו עוד יוכו הט"ו עם הה' יעלו ע"ה וזהו המחולק<br>
| |
| − | אחר זה נכה הד' עם הה' ויעלו כ' וזהו המחלק נחלק עליהם הע"ה ויצאו שלשה ושלשה רביעיות<br>
| |
| − | ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחלק הג' חמישיות על הב' חמישיות עד"מ אשר הם בעלי איכות אחת אין צורך לחלוק השברים כלל רק נחלק כמות השבר האחד על כמות השבר השני כמו חלוק השלמים והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו במשלנו זה נחלק הג' על הב' והם א' וחצי וככה הוא יחס הג' חמישיות אל הב' חמישיות כי יכנסו הב' חמישיות אל הג' חמשיות פעם אחת וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה כבר תוכל לדעת עם זה הדרך הקצר ידיעת כמות הפעמים אשר יכנס השבר הא' תוך השבר האחר עם ידיעת השבת המין הא' אל האחר וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי דרך אחרת יותר קצרה מכל הדרכים הראשונים והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכות המחולק והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה כאשר רצינו לחלק הג' רביעיות על הב' חמישיות הנה נכה הג' עם הה' ויעלו ט"ו ונחלקם על הד' ויצאו ג' וג' רביעיות<br>
| |
| − | ולהיות שהמחלק הוא חמישיות ידענו שהג' ושלשה רביעיות שיצאו לנו בחלוק הם ג' חמישיות וג' רביעיות החומש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם הדרכים אשר בהם תוכל להשתמש בידיעת זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית להשתמש בהרכבת השני מינים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם רצית לחלק עד"מ הב' שלישיות והג' רביעיות יחד על הב' שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחלק אבל הכל יצא לך מתוקן בדרך א'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יסודרו לך על זה הדרך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{6}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{7}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם פ"ד<br>
| |
| − | גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם קמ"ד<br>
| |
| − | נחברם עם הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם כמות הראשון והם של"ו<br>
| |
| − | גם נכה איכות הרביעי עם איכות השלישי והעולה עם כמות השני והעולה עם איכות הרביעי והם שע"ח<br>
| |
| − | נחברם עם השל"ו והם תשי"ד נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיות וג' רביעיות על הב' שביעיות וששית וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה כמות השבר הראשון עם איכות השבר השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם צ"ו גם נכה כמות השבר הרביעי עם איכות השבר השלישי והעולה עם כמות הרביעי והעולה עם איכות הראשון והם ס"ג<br>
| |
| − | נחברם עם הצ"ו והם קנ"ט נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' ומ"ז חלקים מנ"ו וככה הוא ההווה מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיות ותחלוק הב' שביעיות על הששית וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על העולה מהכאת הב' שביעיות עם הששית מבלתי שתצטרך להכות תחלה ואח"כ לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה כמות השבר הראשון עם כמות השבר השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם רנ"ב ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה כמות השבר הרביעי עם כמות השבר השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם כ"ד נחלק עליהם הרנ"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיות עם הג' רביעיות על העולה מהכאת הב' שביעיות עם הששית וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם<br>
| |
| − | אחר כן נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם כמות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ק"ח<br>
| |
| − | נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם מ"ב ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה כמות הרביעי עם איכות השלישי והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות השלישי עם איכות הרביעי והנשאר נכהו עם איכות השני והעולה עם איכות הראשון והם ס'<br>
| |
| − | נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיות מהג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם אבל יצא לך הכל מתוקן בדרך א'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה כמות הראשון עם איכות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם כמות הרביעי והם נ"ו ונשמרם ונקח השמור הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נכה איכות הראשון עם כמות השני והעולה עם איכות השלישי והעולה עם איכות הרביעי והם ס"ג ונשמרם ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נכה איכות הרביעי עם כמות השלישי והעולה עם איכות השני והעולה עם כמות הראשון והם צ"ו<br>
| |
| − | נחסר מהם הס"ג שהוא השמור השני והנשאר שהוא הל"ג ניחסם אל השמור הראשון שהם הנ"ו וההווה הוא ההווה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מהחלוק הב' שביעיות על הששית וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להשתמש בהרכבת הג' מינים הנה כבר כתבתי לך הוראת הדרך הזאת בא' מההרכבות בעלות הג' מינים ויספיק לך מזה להיות המין הזאת מההרכבה בלתי נמשכת בשאלות הדרושות בזאת החכמה וכ"ש בהרכבת הד' מינים ולזה נמנענו מלזכרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Methods of checking =====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא שתכה החלק עם המחלק והעולה אם הוא שוה למחולק דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמישיות ויצא לנו בחלוק א' וז' שמיניות פעם ב' חמישיות הכינו הא' והז' שמיניות עם הב' חמישיות והיוצא הוא ג' רביעיות שהוא המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואופן הכאת השלמים ושברים יחד עם השברים או עם השלמים או עם שברים נשלמים יחד יתבאר בשער הבא בע"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי מאזנים אחרים קלים וקצרים מאלו והוא שתמצא המספר המתיחס כמות המחולק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמות החלק אל איכותו דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם חלקנו הב' שלישיות על הב' חמישיות הנה היוצא בחלוק הוא א' וב' שלישיות שהוא ה' שלישיות<br>
| |
| − | בקשנו המספר שיהיה יחס כמות המחלק אל איכותו והם ה'<br>
| |
| − | בקשנו יחס הה' אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות החלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם תרצה נבקש המספר שיהיה יחס כמות החלק אל איכותו והוא א' וחומש<br>
| |
| − | בקשנו יחס הא' וחומש אל הג' שהוא איכות המחולק ומצאנו שהוא כיחס כמות המחלק אל איכותו ובזה ידענו שצדקנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר התבאר לך במה שקדם אופן מציאות המספר אשר יתיחס אליו מספר מה איזה שיהיה אין צורך לכפול המאמרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Reasons and Explanations =====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|בשנכה הכמות עם האיכות והאיכות עם הכמות ונחלק העולה מההכאה האחת על העולה מההכאה השנית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת ג"כ ממה שקדם וזה שכבר קדם שעם הכאת האלכסונים ר"ל האיכות עם הכמות והכמות עם האיכות ישובו השברים המונחים המתחלפי האיכות שוי האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא מהמבואר בעצמו שהשברים השוי האיכות הנה דרך החלוק בהם אמנם הוא בשנחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם רצית לחלק הו' שביעיות על הב' שביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחלק הו' על הב' ויצאו ג' וככה הוא היוצא מחלוקם זה על זה כי הב' שביעיות יכנסו תוך הו' שביעיות ג' פעמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנשתמש בדרך חלוק השברים המתחלפי האיכות בשנשיבם שוי האיכות זה עם הכאת האלכסונים<br>
| |
| − | אחר זה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואין לטעון על זה בשנחסר שאמנם ישובו השברים המתחלפי האיכות שוי האיכות כאשר יוכו האיכויות זה עם זה לפי מה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל לא בזה המין שיוכו האלכסונים לבד כי אין ספק שגם בזה המין יוכו האיכויות זה עם זה ואף כי לא נזכר וזה למה שלא נצטרך להשתמש בחלוף עם העולה מהכאת האיכות עם האיכות כמו בשאר המינים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי עד"מ אם רצית לחלק הג' רביעיות על הב' שלישיות הנה יוכו האלכסונים ויעלו ט' וח' והט' יורו על ט' יביי"ם והח' יורו על ח' יביי"ם אשר שם היבייו"ת יצא מהכאת האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר שבו הג' רביעיות והב' שלישיות לט' יביי"ם ולח' יביי"ם אשר הם שוי האיכות הנה אין ספק כאשר יחלק הכמות על הכמות שיהיה היוצא מהחלוקה הוא היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השנית אשר ניחס המותר מהחלוק אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות ויצא לך המבוקש מבלתי התכה היא מבוארת ג"כ וזה שהמותר המתיחס אל המחלק הנה הוא שבר השבר לא כמו המותר המתיחס אל המחלק אשר בשלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי במשלנו זה עד"מ אשר חלקנו הג' רביעיות על הב' שלישיות ויצא מהחלוק א' ושמינית אינו ר"ל שמינית השלם רק פי' שמינית הב' שלישיות אשר הוא המחלק במשלנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה הוא שבר השבר וכבר קדם במין הכאת השברים שהתכת שבר השבר אל השבר אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שנכה כמות השמינית עם כמות הב' שלישיות והאיכות עם האיכות ויהיה השבר היוצא מהם ב' חלקים מכ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה המותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות במשלנו יהיה השבר היוצא מהם הוא השבר הראשון בעינו ר"ל שהשבר הזה שהוא חלק א' מי"ב הוא השבר הראשון בעינו שהוא ב' חלקים מכ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואמנם יחויב זה לסבה כבר קדמה והוא שכבר קדם שהשבר כאשר יכה כמותו איכותו עם מספר מה הנה ההווה מהכאת כמותו עם המספר ההוא יהיה ההווה מהם הוא השבר הראשון בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וא"כ יחויב לזה בהכרח שהשבר ההווה מהמותר כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות שהוא חלק אחד מי"ב שישוה לשבר ההווה מהעולה מהכאת המותר עם כמות הב' שלישיות כאשר ייוחס אל העולה מהכאת העולה מהכאת איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות עם כמות הב' שלישיות שהוא ב' חלקים מכ"ד אחר שהוא השבר ההווה מהכאת כמות הראשון ואיכותו עם כמות הב' שלישיות שהוא הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאין הבדל בין שנכה איכות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות והעולה עם כמות הב' שלישיות ובין שנכה כמות הב' שלישיות עם איכות הג' רביעיות והעולה עם איכות הב' שלישיות וזהו מה שכווננו ביאורו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השלישית בשתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה ניחסהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות והיוצא הוא המבוקש מבלתי שתצטרך אל התכה ולא אל חלוק שני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת גם כן אחרי נתינת סבת הדרך הרביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודע שסבת הדרך הרביעית והוא שתכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה חלקהו על איכו' המחלק ויצא לך המבוקש מבלתי שתצטרך להתכה ולא אל חלוק שני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת והוא שהקדמונים למה שראו שאחרי חלק השברים על השברים יצטרכו לדעת מספר שברי המחלק שבתוך המחולק בשיכו החלק עם המחלק והעולה יחלקוהו על שבר אחד משברי המחלק והיוצא הוא המודיע מספרי שברי המחלק שבמחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק הח' תשיעיות על הב' שביעיות והנה עם החלוק הקודם בדרך הראשון יכו הח' עם הז' ויעלו נ"ו<br>
| |
| − | והב' עם הט' ויעלו י"ח ויחלקו הנ"ו על הי"ח ויצאו ג' וב' חלקים מי"ח הנה לא נדע עם זה רק שהב' שביעיות יכנסו תוך הח' תשיעיות ג' פעמים וב' חלקים מי"ח חלקי הפעם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל לא ידעו מספר השביעית אשר בתוך הח' תשיעיות רק כשיכו הג' וב' חלקים מי"ח עם הב' שביעיות ויצאו קי"ב חלקים מקכ"ו<br>
| |
| − | ואחרי כן יחלקום על השביעית האחד ויצאו ו' שביעיות וכ"ח חלקים מקכ"ו חלקי השביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולמה שראו הטורח הגדול הזה ושלא יספיק רק בשיחלקום אחר זה על השביעית האחד לא רצו לחלק הח' תשיעיות עד"מ על הב' שביעיות תחלה אבל חלקוהו על השביעית הא' מתחלה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן הכו הכמות המחולק שהוא הח' עם איכות המחלק שהם הז'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין הבדל בזה הפועל בין שיחלקוהו על הב' שביעיות או על השביעית וחלקו העולה מהם שהם הנ"ו במשלנו על הט' שהוא איכות המחולק ולא הכו הט' עם כמות הב' תשיעיות שיעלה י"ח מפני שהחלוק הוא על השביעית האחד במשלנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל שאר השברים תמיד מחלקים אותו על השבר האחד ואחרי שכמות השבר המחלק הוא אחד לא נצטרך להכות איכות המחולק עם כמות המחלק כי הכאת האיכות עם הא' הוא האיכות בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר יחלקו העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על איכות המחולק שהם הנ"ו ויצאו ששה שביעיות ושנים תשיעיות השביעית האחת זאת היא סבת הדרך הרביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כבר התבארה סבת הדרך השלישית גם כן והוא שאין הבדל בין הדרך השנית לשלישית כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר שהמחולק במשלנו בדרך הרביעית שהם הנ"ו והמחלק שהם הט' הוא המחולק והמחלק בדרך השלישית גם כן רק שהם מוכים עם איכות המחלק רוצה לומר עם הז' וזה שבדרך יוכו הנ"ו עם הז' ויעלו שצ"ב והט' גם כן יוכו עם הז' ויעלו ששים ושלשה ויחס השצ"ב אל הס"ג הוא כיחס הנ"ו אל הט' אחר ששניהם הוכו עם מספר אחד והוא הז'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כבר קדם שהשבר האחד כאשר יוכה כמותו ואיכותו עם מספר מה הנה השבר ההווה מההכאה הוא השבר הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה אין הבדל בין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה יחלקוהו על איכות המחולק ובין שיכו כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה יחלקהו על העולה מהכאת איכו' המחולק עם איכות המחלק וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבות דרכי ההרכבות בעלות הב' מינים או הג' מינים אין צורך לכפלם כי כבר קדמה ידיעתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מאזני זה המין בשתכה החלק עם המחלק ויצא המחולק הנה כבר התבארה במאזני חלוק השלמים עם השלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת המאזנים השניים הנה כבר קדמה במין הכאת השברים עם השברים וזה שכבר קדם במאזנים הקודמים שכאשר יוכה החלק עם המחלק יצא המחולק בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר התבאר בספר היסודות שכל יחס מספר אל מספר הוא מחובר משני יחסים ר"ל הווה מהכאת שני יחסים מיחס המספר הא' מהמספרים המונחים אל מספר מה איזה מספר היה ומיחס המספר ההוא אל המספר הב' מהמספרים המונחים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ מספר ג"ד הנה יחס הג' אל הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שיהיה יחס כמות המחולק אל איכותו שהוא השבר המחולק הווה מהכאת יחס כמותו אל מספר מה עם יחס המספר ההוא אל איכותו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נניח שיהיה היחס הא' מב' יחסים המוכים אשר יתהוה מהם יחס המחולק הוא יחס החלק אחר שכבר קדם שיחס המחולק הוא הוה מהכאת המחלק בחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה הוצרכנו לבקש המספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אל איכותו מחובר מיחס כמותו אל המספר ההוא ומיחס המספר ההוא אל איכותו שיהיה מספר אשר יהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס המחלק עד שיחויב להיות יחס המספר ההוא אל איכותו הוא יחס החלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר הארכתי בביאור זה בהכאת השברים עיין שם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך הדרך בידיעת זה המין עם מאזניו ואותותיו מחובר בראיותיהם ומופתיהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר השלמנו הדבור בשברים לבד אשר הוא החלק הב' מג' חלקי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה נתחיל בהודעת הדרכים המועילים בידיעת המינים הארבעה בשלמים עם השברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר שהוא המין השלישי משלשה מיני המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר במה שעתיד לבא
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | === Section Three - Integers and Fractions ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|השער השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שכבר דברנו בשאר מיני המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והודענו הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים בכל אחד ואחד מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והיה מהמחויב עלינו להודיע הדרכים המועילים בידיעת הד' מינים אשר יהיו בשלמים ושברים יחד אחר שהוא המין הג' משלשה מינים הנה א"כ מהמחויב עלינו לדבר בהודעת זה המין גם כן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהשברים כבר זכרנו במה שקדם שהם נחלקים לי"ב חלקים פשוטים ושהמורכבים מהם הם ע"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא מהמבואר שכל אחד מהמינים המורכבים בחבורם עם השלמים יחלקו לשנים חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם אם שיהיו ב' חלקיו יחד שלמים ושברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שיהיה החלק הא' מהם שלמים ושברים והאחר שברים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שיהיה החלק הא' שלמים ושברים ואחר שלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושכל אחד מהפשוטים ג"כ יחלקו לשנים חלקים והם אם שיהיה החלק הא' שברים והאחר שלמים לבד ויתחייב מזה שיהיה מספר המינים ההווים מהם ק"פ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכל אלו המינים אמנם יעלו אל י' מינים ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם שכל הע"ח מינים המורכבים יותכו אל ג' מינים ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר התבאר שבזה המין יחלק כל אחד מאלו המינים לד' חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן המחויב הזה בהכרח שישובו הג' מינים הראשונים אשר יעלו עליהם שאר כל המינים לי"ב מינים ויפלו מהם ב' מינים להיותם משותפים עם האחרים וישארו י' מינים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה א"כ מהמחויב עלינו להודיע הדרך בידיעת אלו הי' מינים הראשונים לבד ובזה נגיע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה נתחיל בהודעת הדרך בידיעת מין הקבוץ בעזרת האל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Chapter One - Addition ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הראשון במין הקבוץ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל החלקים הפשוטים אל הב' מינים מהם שהם שבר האחד ושבריו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הנשאר עלינו הנה אמנם הוא הודעת הדרך בידיעת זה המין בכל הי' מינים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך אל ידיעת הנה יתכן על ב' פנים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם אם שתקבץ השלמים עם השלמים והשברים עם השברים והעולה מקבוץ השלמים עם השלמים נחברהו עם העולה מקבוץ השברים עם השברים והוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שתתיך אותם אל שברים לבד ואחר זה נקבץ השברי' עם השברי' והעולה הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר נתבאר בידיעת הדרך בקבוץ השלמים עם השלמים ובקבוץ השברים עם השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן האופן השני גם כן אין צורך לנו בביאורו אחר שכבר קדם ידיעת הדרך בקבוץ השברים עם השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הנשאר עלינו הנה היא הודעת הדרך בידיעת התכת השלמים ושברים אל השלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך אל זה הוא בשתכה השלמים עם איכות השברים המחוברים עמם והעולה נקבצהו עם כמות השברים ההם ונניח תחתיהם איכות השברים ההם והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונצייר לזה י' מינים מהי' מינים הראשונים והם אלו
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |ד||ג||ב||א
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||1<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{4}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{5}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |ח||ז||ו||ה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||1<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |4||<math>\scriptstyle\frac{5}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{1}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||י||ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||1<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{7}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה במין הראשון הכינו האחד השלם בג' והעולה חברנו עמו הא' שעליו ועלו ד' יחסנום אל הג' בעצמם שהם איכות השברים המונחים והם ד' שלישיות וכתבנום תחתיו וכן לחברו העומד בצדו ועלו ה' רביעיות וכתבנום תחתיו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל המינים הנשארים דרך אחד לכל אחר זה נשתמש בקבוצם לפי מה שקדם בקבוץ השברים עם השברים אחר ששבו לשברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם רצית להשתמש עם האופן הא' הנה כבר ידעת מאזני השלמים עם השלמי' זה מאזני השברי' עם השברי'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להשתמש עם האופן השני הנה כבר ידעת מאזני השברים עם השברים ולכן כבר יספיק לך מה שקדם לך מידיעתם
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Two - Multiplication ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השני במין ההכאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מה שנשאר עלינו הנה לדבר הוא הודעת הדרך אל ידיעת אלו המינים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך אל ידיעתם הנה כבר יתכן גם זה על ב' הפנים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא אם שתכה השלמים עם השלמים ועם השברים והשברים עם השלמים והשברים והעולה מהכאתם הוא המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שתתיך אותם אל השברים לבד ואחר זה יוכו השברים עם השברים והעולה הוא המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודע שהאופן השני הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם ידיעת ההתכה גם ידיעת הכאת השברים עם השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם האופן הראשון הנה עניינו הוא בעצמו ענין ההתכה בלי שום שנוי כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאין הבדל בין אמרך נכה השליש עם השלם הא' או עם השלמים הרבים ובין אמרך שליש השלם הא' או שליש השלמים הרבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כבר קדם שההכאה היא ההתכה ולכך יוכה כמות השברים עם כמות השלמים והעולה ייוחס אל איכות השברים ויגיע המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה המאזנים אשר יאוזן בו הכאת השברים לבד עם השברים לבד יאוזן גם זה
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Three - Subtraction ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השלישי במין החסור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל הב' מינים מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מה שנשאר עלינו הוא הודעת דרך ידיעת זה המין באלה המינים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך אל ידיעתם כבר יתכן ג"כ עם שני אופנים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|האופן הראשון הוא בשנתיך זה המין המורכב משלמי' ושברים אל שברים לבד ואחר זה נשתמש עם ידיעת חסור השברים מהשברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והאופן השני הוא בשנחסר השלמים מהשלמים והשברים מהשברים והנשאר הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם האופן הראשון הנה אין לנו צורך בביאורו כי כבר קדם לנו עניינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אופן השני הנה נצטרך בזה לביאור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כבר קדם לנו חסור השלמים מהשלמים וחסור השברים מהשברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי חסור השלמים מהשלמים לבד או השברים מהשברים לבד כבר יתכן בקלות וזה בשנחסר המעט מהרב ונשמור השאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם השלמים ושברים מהשלמים ושברים כבר יתכן שיהיו שלמי הנחסר ממנו יותר משלמי הנחסר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשברים הפך זה ולכן יצטרך לביאור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שאם רצית לחסר עם הדרך הזה הב' וחצי מהג' ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחסר החצי מהשליש<br>
| |
| − | ולהיות שלא יתכן זה כי החצי הוא גדול מהשליש על כן נחסר מהג' אחד ונתיכהו אל השלישיות והם ג' שלישיות ונחברהו עם השליש שבידנו ויהיו ד' שלישיות<br>
| |
| − | ומעתה נחסר החצי מהד' שלישיות עם דרך חסור השברים מהשברים וישארו ה' ששיות<br>
| |
| − | אחר זה נוסיף אחד על השני שלמים ויהיו ג' ונחסרם מהג' ולא ישאר דבר<br>
| |
| − | ולכן הנשאר מהם הוא הה' ששיות לבד וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה עם רצית להשתמש עם האופן הראשון הנה הם מאזני חסור השברים מהשברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית להשתמש עם האופן השני הנה הם מאזני חסור השלמים מהשלמים ומאזני השברים יאוזן גם זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כבר יספיק לך מידיעתם
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Four - Division ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הרביעי במין החלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר ידעת גדרו ואופן התכת כל המינים הפשוטים אל השני מינים מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודע כי בזה המין לא יתכן להשתמש רק עם אופן ההתכה ר"ל שתתיך השלמים ושברים אל שברים לבד ותשתמש בחלוקם בדרך חלוק השברים על השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם עם האופן האחד והוא כשתחלק השלמים על השלמים והשברים על השברים לא יתכן כלל כי החלוק הוא המודיע יחס המספר האחד בכללו אל המספר האחד בכללו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה האופן אמנם יודיע חלק המספר הקטן אל חלק המספר הגדול לא כלל המספר הקטן עם כלל המספר הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן לא נשתמש בזה המין עם שני האופנים רק עם האופן הראשון בלבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא מאזני חלוק השברים על השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה כבר יספיק לך ממה שקדם בביאורו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר בידיעת זה המין בכל ד' מיני המספר שהם הקבוץ וההכאה והחסור והחלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה כבר השלמנו כל מה שיעדנו לדבר בידיעת ג' מיני המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד וחבור השלמי' והשברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהנה נתחיל בביאור הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסא והתכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל הדרושים אשר אינם למספר במה שהוא מספר ואם כבר יכנסו במספר באופן מה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהשם אשר עזרני עד כה אשאל העזר להחל ולכלות
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | == Book Two ==
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|המאמר השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכוונה בזה המאמר הוא להודיע הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסה והתכונה אף כי אינם למספר במה הוא מספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה המאמר עוד יחלק לשלשה שערים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השער הראשון יודיע הדרך בידיעת ד' מיני המספר שהם הקבוץ והחסור וההכאה והחלוק בשברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השער השני יודיע הדרך בידיעת מציאות שרשי המספרים ויסודות המעוקבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השער השלישי יודיע הדרך בידיעת היחסים המספריים והיחסים ההנדסיים והיחסים המוסיקיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם השער הראשון עוד יחלק לארבעה פרקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הראשון יודיע קבוץ שברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק השני יודיע הכאתם הפרק השלישי יודיע חסורם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הרביעי יודיע חלוקם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם השער השני יחלק עוד לשני חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|החלק הראשון יודיע שרשי המספרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני יודיע יסודות המעוקבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם החלק הראשון יחלק עוד לשני פרקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הראשון יודיע שרשי שלמי המספרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק השני יודיע שרשי השברים ושרשי השלמים ושברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם החלק השני יחלק עוד לשני פרקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הראשון יודיע יסודות שלמי המספרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והפרק השני יודיע יסודות השברים לבד ויסודות השלמים והשברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם השער השלישי יחלק עוד לשלשה פרקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הראשון יודיע היחסים המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק השני יודיע היחסים ההנדסיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק השלישי יודיע היחסים המוסיקיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | === Section One - Sexagesimal Fractions ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|השער הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע כי חכמי התכונה חלקו הגלגל החלק המקיף גלגל המזלות לי"ב חלקי' שוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקראו לכל חלק בשם התמונה שתחת החלק ההוא מתמונות חבור הכוכבים הקיימים הרשומים בגלגל המזלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה החלק הראשון קראוהו מזל טלה בעבור היות תחתיו כדמות תמונת טלה מחוברת מחבור הכוכבים הרשומים בגלגל המזלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני קראוהו מזל שור בעבור היות בתוכו כדמות תמונת שור מחוברת מקבוץ הככבים הקיימים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השלישי קראוהו מזל תאומים לזאת הסבה בעינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן החלק הרביעי קראוהו מזל סרטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק החמישי קראוהו מזל אריה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הששי קראוהו מזל בתולה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השביעי קראוהו מזל מאזנים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השמיני קראוהו מזל עקרב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק התשיעי קראוהו מזל קשת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק העשירי קראוהו מזל גדי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הי"א קראוהו מזל דלי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הי"ב קראוהו מזל דגים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הסבה אשר בעבורה חלקו הגלגל ההוא במספר י"ב משאר המספרי' הנה כבר כתבו הראשונים בזה ואמרו בעבור היות מספר הי"ב בעל חלקים רבים לא ימצא במספר קטן ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזאת הסבה בלתי מספקת כי מדוע לא חלקוהו לכ"ד חלקים שהוא יותר רב חלקים ממספר י"ב ואינו מספר גדול מאד עד שימנעו לחלקו בזה המספר כי הנה היום חלקוהו לכ"ד שעות ואין גודלו מונע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ועוד מדוע היתה הסכמת כל התוכנים בקריאת מזל טלה ראשון ומזל שור שני ולא ההפך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם ישיבו בזה מפני שהוא ראשון להויות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי בהכנס השמש בראש מזל טלה יתחילו הצמחים לצמוח ותדשא הארץ דשא עשב והדם ירבה בבעלי חיים אשר הוא סבת קיומם ולא כן בשאר המזלות עד שרוב דעות החכמים ז"ל הסכימו בהוית העולם ובריאתו שהיה בניסן בעבור זאת הסבה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|א"כ זאת הסבה בעצמה תחזק ידינו בחלוק הגלגל לי"ב חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי בעבור שמצאו הקדמונים אלה החלקים מורים בעולם השפל שהוא עולם ההויה וההפסד פעלות מתחלפות אין הוראת החלק האחד מהם כהוראת החלק האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|על כן חלקו הגלגל לי"ב חלקים כמספר ההוראות המורות בעולם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקראו החלק שבו תמונת טלה ראשון בעבור היות פעלתו מורה להויה אשר הוא ראשית לנמצאות הטבעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חלקו כל מזל ומזל לל' מעלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שמספר הש"ס הוא המספר היותר רב חלקים מכל שאר המספרים הגדולים ממנו והקטנים ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וחמישית וששית ושמינית ותשיעית ועשירית ואינו חסר ממנו רק השביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולא ימצא מספר שיש לו גם השביעית רק המספר שיוצא מהכאת הז' בש"ס והוא מספר שני אלפים תק"כ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וא"כ להיות שמספר הש"ס רק חלקים על כן חלקו כל הגלגל לש"ס חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויתחייב לזה שיהיה לכל מזל שלשים חלקים וקראום מעלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חלקו לכל מעלה לס' חלקים וקראום ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכל ראשון לס' חלקים וקראום שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכל שני לס' חלקים וקראום שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכל שלישי לס' חלקים וקראום רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בזה הדרך תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה בעלי הלוחות ישתמשו בכל חשבונם בלוחות באלה החלקים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל שכאשר ירצו לכתוב מספר מה שהוא שלמים ושברים יחד יכתבו המעלות בשם שלמים והראשונים בשם שברים והשניים בשם שברי שברים וכן בזה הדרך לעולם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה השמש במזל טלה בט"ו מעלות וחצי וחלק א' מס' של חצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יכתבו שהשמש במזל טלה בט"ו מעלות ל' ראשונים ל' שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם חכמי המספר יכתבו בזה שהשמש במזל טלה בט"ו מעלות וס"א חלקים מק"כ חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכל הולך אל מקום אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהדרך הזה משתנה מדרך חכמי המספר והיו הדרכים הראשונים אשר הזכרנו מידיעת הד' מינים הנזכרים שהם הקבוץ והחסור וההכאה והחלוק משתנים מהדרכים המודיעים אותם בשברים אשר השתמשו בהם חכמי התכונה<br>
| |
| − | הנה א"כ מהמחויב עלינו להודיע הדרכים המודיעים הד' מינים הנזכרים בזה המין מהשברים גם כן ובזה יהיה המאמר הזה שלם בזאת החכמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Chapter One - Addition ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הראשון בידיעת קבוץ שברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שכאשר רצית לקבץ ב' טורים או ג' טורים או כמה שהיו מהטורים האלה אשר הם מחוברים ממזלות מעלות ראשונים שניים שלישיים והדומים להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הדרך בידיעת זה הוא בשתסדר כל מין ומין מהם תחת מינו ר"ל המעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים וכן כלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה תקבץ כל מין עם מינו ויושלך העולה לס' ס' אם היו ראשונים או שניים או זולתם מהמדרגות שאחר זה והנשאר שלא הגיע לכלל ס' יכתב תחת המין ההוא<br>
| |
| − | אחר שתמשיך קו מבדיל בין הנקבצים למקובץ<br>
| |
| − | וכל ס' וס' מהנשלכים יחשבו לאחדי המדרגה הקודמת לה וכן תמיד<br>
| |
| − | עד שנגיע אל מדרגת המעלות ונשליכם ל' ל' והנשאר שלא הגיעו לכלל ל' נכתבנו תחת מדרגה ההיא וכמספר הפעמים הנשלכים מהל' ל' ככה נכתוב מהאחדים במדרגה הקודמת לה<br>
| |
| − | אחר זה נקבץ כל המזלות והאחדים המונחים שם ונשליכם לי"ב י"ב ולא נכתוב אחדים כמספר הנשלכים מהי"ב י"ב כי אין מדרגה קודמת מהמזלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן כזה הדרך בעצמו נעשה בקבוץ הימים והשעות והדקים והשניי' והשלישיים רק במקום שהשלכנו ל' ל' ממדרגת המעלות נשליך כ"ד בשעות ובמקום שהשלכנו י"ב י"ב ממדרגת המזלות נשליך ז' ז' בימים ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכדי שנוסיף לזה ביאור נמשיל בזה משל אחד ובזה נגיע אל מכווננו גם יוודע ממנו אופן ההנחה והסדור
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |style="border-right:none"|ראשונים
| |
| − | |style="border-right:none; border-left: none;"|מעלות
| |
| − | |style="border-left: none;"|מזלות
| |
| − | |style="border-right:none"|ראשונים
| |
| − | |style="border-right:none; border-left: none;"|שעות
| |
| − | |style="border-left: none;"|ימים
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |style="border:none; text-align: center;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |45
| |
| − | |-
| |
| − | |50
| |
| − | |-
| |
| − | |55
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border:none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |25
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |19
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border-left: none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |8
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border-right: none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |-
| |
| − | |50
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border:none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |2
| |
| − | |-
| |
| − | |15
| |
| − | |-
| |
| − | |18
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border-left: none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |1
| |
| − | |-
| |
| − | |7
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |style="border-right: none;"|
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: auto;"
| |
| − | |רע"ה מחזורים
| |
| − | |-
| |
| − | |י"ו שנים
| |
| − | |-
| |
| − | |חדש תשרי
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |style="border-right:none"|30
| |
| − | |style="border-right:none; border-left: none;"|6
| |
| − | |style="border-left: none;"|0
| |
| − | |style="border-right:none"|0
| |
| − | |style="border-right:none; border-left: none;"|13
| |
| − | |style="border-left: none;"|0
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שנשליך כל הנקבצים ממדרגה הזאת ט' ט' ונחשוב כל הנקדות אשר באותה המדרגה אחדים והנשאר שלא הגיעו לכלל ט' נשמרם<br>
| |
| − | גם נקבץ המקובץ שהוא תחתיו עם הנקדות הרשומות במדרגה הקודמת ונחשוב לכל נקודה ז' אם היו נקבצי המדרגה ההיא שעות או ראשונים או שניים או שלישיים וכן לבלתי תכלית<br>
| |
| − | ואם היו נקבצי המדרגה ההיא מעלות נחשוב לכל נקודה ג'<br>
| |
| − | ואם היו הנקבצים ימים נקבץ הז' ז' הנשלכים עם המקובץ<br>
| |
| − | ואם העולה מקבוצם לא יהיה שוהעם העולה מהנקבצים אחר שיושלכו מהם ט' ט' דע שתעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הזאת גם סבת מאזניו הלא הם כתובי' במין קבוץ השלמים אין צורך לכפול המאמרים
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Two - Multiplication ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השני בידיעת מין ההכאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע שההכאה שבשברי התכונה היא כמו ההכאה שבשברי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כמו שהכאת שברי המספר יחלק לשנים חלקים החלק האחד מצד הכמות והחלק השני מצד האיכות<br>
| |
| − | ויקרה להם בהכאתם מצד הכמות מה שיקרה למספר השלמים ר"ל שיתרבו בהכאתם<br>
| |
| − | ויקרה להם בהכאתם מצד האיכות הפך זה ר"ל שימעטו וישובו אל איכות פחות מאיכותם<br>
| |
| − | כן יקרה ג"כ להכאת שברי התכונה שיתחלק לשנים חלקים החלק הא' מצד הכמות והחלק הב' מצד האיכות ויתרבו מצד הכמות וימעטו מצד האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רק שאין המעוט אשר יקרה לשברי התכונה מצד האיכות כמו המעוט אשר יקרה לשברי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי העולה מהכאת השלישיו' עם השלישיות בשברי המספר ישוב לתשיעיות<br>
| |
| − | והעולה מהכאת השלישיים עם השלישיי' בשברי התכונה ישוב ששיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן העולה מהכאת הרביעיו' עם הרביעיות שבשברי המספר ישוב לשש עשיריות<br>
| |
| − | והעולה מהכאת הרביעיים עם הרביעיים בשברי התכונה ישוב לשמניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסימן לשברי המספר הוא העולה מהכאת האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולשברי התכונה הוא העולה מקבוץ האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה מהמחויב עלינו א"כ לסמן כל שבר ושבר משברי התכונה בשני סימנים סימן יורה בו על הכמות וסימן יורה בו על האיכות כאשר עשינו בשברי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי עד"מ אם רצינו לכתוב ג' חמישיים נכתוב הג' ותחתיו הה' ויהיו הג' מורים על הכמות והה' על האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצינו לכתוב מ' שלישיים נכתוב מ' ותחתיו ג' ויהיו המ' מורים על הכמות והג' על האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקצת מחכמי התכונה רצו לנהוג בהם מנהג השלמים בעצמו ר"ל שהסימנים ההודיים והדומים להם יורו בהם על הכמות והמדרגות יורו בהם על האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל שבמדרגה הראשונה יכתבו המזלות ובמדרגה השנית המעלות ובשלישית הראשונים וברביעית השניים וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם יש קצת מחכמי התכונה שיכתבו על כל אחד מהמינים סימנים ידועים יורו בהם לענינם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל במזלות אם היה המזל טלה יכתבו עליו צורת טלה ובשור צורת שור וכן לכל אחד סימן צורתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר ירצו להורות על מזלות בכלל לא שיורו על מזל פלוני בפרט הנה יסמנו עליהם סימן חצי עגולה כמו תמונת ירחית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשעות ישימו עליהם ב' נקודות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמעלות יכתבו עליהם צורת גלגל עגול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובראשונים קו אחד ובשניים שני קוים וכן תמיד יכתבו הקוים בהתרבות המדרגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ברצותנו להכות מין אחד מהשברים עם מין האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הכמות עם הכמות והעולה נשמרהו והוא כמותם<br>
| |
| − | אחר כן נקבץ מדרגות השני שברים המוכים והעולה הוא איכותם<br>
| |
| − | והנה אם היו השמורים פחות מששים נשמרם בידינו והוא כמותם<br>
| |
| − | ואם היו ששים נחשבם לאחד גם נעתיק האיכות העולה מקבוץ מדרגותם אל המדרגה הקודמת ממנה<br>
| |
| − | ואם היו יותר מששים נחלקם על הששים והיוצא נעתיקנו אל המדרגה הקודמת גם נעתיק האיכות אל המדרגה הקודמת<br>
| |
| − | והנשאר מהחלוק יהיה במדרגת היוצא מקבוץ איכויות המדרגות המוכות<br>
| |
| − | וכן היוצא מהחלוק גם כן אם היו ס' נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונחשבנו לאחד<br>
| |
| − | ואם היו יותר מס' נחלקם עוד על הששים והיוצא נעתיקנו עוד אל המדרגה הקודמת והנשאר יהיה במדרגתו<br>
| |
| − | וכן תמיד עד שיגיע אל פחות מששים ואז יונח על מדרגתו ולא נעתיקנו אל המדרגה הקודמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית להכות ע' שלישיים על ע' רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה ע' על ע' ויעלו ד' אלפים תת"ק ונשמרם<br>
| |
| − | ואחר נקבץ מדרגות המוכים שהם השלישיים והרביעיים ויעלו שבעה ובזה ידענו שהד' אלפים תת"ק הם שבעיים<br>
| |
| − | ולהיות שהם יותר מס' נחלקם על הס' ויהיה היוצא פ"א והנשאר מ' וידענו שהם פ"א ששיים ומ' שביעיים<br>
| |
| − | עוד נחלק הפ"א על הס' ויהיה היוצא א' והנשאר כ"א וידענו שהם א' חמשיים כ"א ששים<br>
| |
| − | ונחבר עמהם המ' שביעיים שהיה לנו ויהיה הכל א' חמשיים כ"א ששיים ומ' שביעיים וזהו העולה מהכאת הע' שלישיים עם הע' רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית להכות הרבה מיני שברים עם הרבה מיני שברים הנה נסדרם על זה הדרך ונכה כל אחד מהמדרגות העליונות עם כל אחת מהמדרגות השפלות ונתחיל להכות מהמדרגות האחרונות כמו במשלנו זהו
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |'''''<br>'''''||'''''<br>''''||''''<br>''''||''''<br>'''||'''<br>'''||'''''||''''||'''||''||'||°||ᵓ
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || ||20<br>30||50<br>20||40<br>10||35<br>40||30<br>20||25<br>15||
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |25
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |-
| |
| − | |16
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |3
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |1
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |17
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |8
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |2
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |15
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |-
| |
| − | |11
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |-
| |
| − | |50
| |
| − | |-
| |
| − | |33
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |3
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |12
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |26
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |16
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |8
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |23
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |12
| |
| − | |-
| |
| − | |2
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |11
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |45
| |
| − | |-
| |
| − | |1
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |16
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |8
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |8
| |
| − | |-
| |
| − | |7
| |
| − | |-
| |
| − | |15
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |12
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | | ||50||31||10||13||54||47||53||11||26||1||1
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^v\times30^v=600^x=\left(\frac{600}{60}\right)^{ix}=10^{ix}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הכ' חמשיים עם הל' חמשיים ויעלו ת"ר עשיריים כאשר ביארנו ונחלקם על הששים ויעלו י' והם תשעיים כאשר ביארנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה כתבנו י' במקום התשעים תחת הקו הנמשך תחת הב' טורים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{50^{iv}\times30^v=1500^{ix}=\left(\frac{1500}{60}\right)^{viii}=25^{viii}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הנ' רביעיים עם הל' חמישיים ויעלו אלף ת"ק תשיעיים נחלקם על הס' ויעלו כ"ה שמיניי' ונכתבם במקום השמיניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{40'''\times30^v=1200^{viii}=\left(\frac{1200}{60}\right)^{vii}=20^{vii}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה המ' שלישיים עם הל' חמישיים ויעלו אלף ר' שמיניים נחלקם על הס' ויעלו כ' שביעיים ונכתבם במקום השביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{35''\times30^v=1050^{vii}=\left(\frac{1050}{60}\right)^{vi}=17^{vi}+30^{vii}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הל"ה שניים עם הל' חמשיים ויעלו אלף נ' שביעיים ונחלקם על ס' ויעלו י"ז ששיים ול' שביעיי' ונכתוב הי"ז במקום הששיים והל' במקום השביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{30'\times30^v=900^{vi}=\left(\frac{900}{60}\right)^v=15^v}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הל' ראשונים עם הל' חמישיים ויעלו תת"ק ששיים נחלקם על הס' ויעלו ט"ו חמשיים ונכתבם במקום החמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{25\times30^v=750^v=\left(\frac{750}{60}\right)^{iv}=12^{iv}+30^v}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ"ה מעלות עם הל' חמשיים ויעלו תש"נ חמשיים ונחלקם על הס' ויעלו י"ב רביעיים ול' חמשיים ונכתוב הי"ב הרביעיים במקום הרביעיים והל' במקום החמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שהכינו הל' חמשיים עם כל המדרגות וכתבנו כל אחד במקום הראוי לו נשוב להכות הכ' רביעיים עם כל המדרגות והעולה נכתבנו במקום הראוי לו כפי מדרגתו כאשר עשינו עם הל' חמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times20^v=400^{ix}=\left(\frac{400}{60}\right)^{viii}=6^{viii}+40^{ix}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הכ' רביעיים עם הכ' חמשיים ויעלו ת' תשיעיים נחלקם על הס' ויעלו ו' שמניים ומ' תשעיים ונכתוב הו' במקום השמניים והמ' במקום התשעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times50^{iv}=1000^{viii}=\left(\frac{1000}{60}\right)^{vii}=16^{vii}+40^{viii}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ' רביעיים עם הנ' רביעיים ויעלו אלף שמניים נחלקם על הס' ויעלו י"ו שביעיים ומ' שמניים נכתוב הי"ו שביעיים במקום השבעיים והמ' שמניים במקום השמניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times40'''=800^{vii}=\left(\frac{800}{60}\right)^{vi}=13^{vi}+20^{vii}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ' רביעיים עם המ' שלישיים ויעלו ת"ת שביעיים נחלקם על הס' ויעלו י"ג ששיים וכ' שביעיים ונכתוב כל אחד במקומו הראוי לו ר"ל הששיים במקום הששיים והשביעיים במקום השביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times35''=700^{vi}=\left(\frac{700}{60}\right)^v=11^v+40^{vi}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ' רביעיים עם הל"ה שניים ויעלו ת"ש ששיים ונחלקם על הס' ויעלו י"א חמשיים ומ' ששיים ונכתוב כל אחד במקומו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times30'=600^v=\left(\frac{600}{60}\right)^{iv}=10^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ' רביעיים עם הל' ראשונים ויעלו ת"ר חמשיים ונחלקם על הס' ויעלו י' רביעיים ונכתבם במקום הרביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^{iv}\times25=500^{iv}=\left(\frac{500}{60}\right)'''=8'''+20^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכה הכ' רביעיים עם הכ"ה מעלות ויעלו ת"ק רביעיים נחלקם על הס' ויעלו ח' שלישיים וכ' רביעיים ונכתבם כל אחד במקומו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נשוב להכות הי' שלישיים עם הכל והעולה נכתבנו במקומו הראוי לו<br>
| |
| − | וכן בכל אחד מהשברים המונחים שהם המ' והכ' והט"ו<br>
| |
| − | ואחר כל אלה נקבץ כל מדרגה ומדרגה בפני עצמה כפי מה שידעת בפרק הקודם בקבוץ שברי התכונה והעולה הוא המקובץ מהכאת הט"ו מעלות כ' ראשונים מ' שניים י' שלישיים כ' רביעיים ל' חמישיים עם הכ"ה מעלות ל' ראשונים ל"ה שניים מ' שלישיים נ' רביעיים כ' חמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקצת מהראשונים נשתמשו בזה הדרך בדרך קצר מזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שהם לא יחלקו העולה מהכאת המדרגה האחת עם האחרת ויכתבו כל א' במקומו הראוי לו כאשר ביארנו עד שיצטרכו בזה לחלוק שני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל יכתבו כל העולה מבלתי שיחלקוהו על מקומו הראוי לו ואח"כ יחלקוהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה במשלנו כאשר הכינו הל' חמשיים עם הכ' חמשיים ועלו ת"ר יכתבו הת"ר במקום העשריים וכן בזה הדרך לכלם<br>
| |
| − | אחר כן יקבצו כל מדרגה עם מינה ויחלקו העולה מכל מדרגה על ס'<br>
| |
| − | והיוצא יכתבוהו במדרגה הקודמת<br>
| |
| − | והנשאר שלא הספיק לס' יכתבוהו תחת מדרגתו הנקבצת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכדי להוסיף לזה ביאור נצייר הנה הצורה הקודמת ונכתוב בה העולה מהמונים לפי זה דרך
| |
| − | |}
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |'''''<br>'''''||''''<br>'''''||''''<br>''''||'''<br>''''||'''<br>'''||'''''||''''||'''||''||'||°||ᵓ
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || ||20<br>30||50<br>20||40<br>10||35<br>40||30<br>20||25<br>15||
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |600
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1500
| |
| − | |-
| |
| − | |400
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1200
| |
| − | |-
| |
| − | |1000
| |
| − | |-
| |
| − | |200
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |31
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |1050
| |
| − | |-
| |
| − | |800
| |
| − | |-
| |
| − | |500
| |
| − | |-
| |
| − | |800
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |900
| |
| − | |-
| |
| − | |700
| |
| − | |-
| |
| − | |400
| |
| − | |-
| |
| − | |2000
| |
| − | |-
| |
| − | |400
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |53
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |750
| |
| − | |-
| |
| − | |600
| |
| − | |-
| |
| − | |350
| |
| − | |-
| |
| − | |1600
| |
| − | |-
| |
| − | |1000
| |
| − | |-
| |
| − | |300
| |
| − | |-
| |
| − | |74
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |500
| |
| − | |-
| |
| − | |300
| |
| − | |-
| |
| − | |1400
| |
| − | |-
| |
| − | |800
| |
| − | |-
| |
| − | |750
| |
| − | |-
| |
| − | |77
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |250
| |
| − | |-
| |
| − | |1200
| |
| − | |-
| |
| − | |700
| |
| − | |-
| |
| − | |600
| |
| − | |-
| |
| − | |63
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |1000
| |
| − | |-
| |
| − | |600
| |
| − | |-
| |
| − | |525
| |
| − | |-
| |
| − | |46
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |500
| |
| − | |-
| |
| − | |450
| |
| − | |-
| |
| − | |36
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |375
| |
| − | |-
| |
| − | |16
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | | ||50||31||10||13||54||47||53||11||26||1||1
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם יש דרך אחרת והיא דרך ארוכה והוא שתתיך כל מדרגות הטור העליון אל המדרגה האחרונה מהם<br>
| |
| − | ואחר זה הכה העולה מהטור העליון עם העולה מהטור השפל והעולה שמרם<br>
| |
| − | עוד קבץ איכות המדרגה האחרונה מהטור העליון ואיכות המדרגה האחרונה מהטור השפל והעולה מחבורם הוא איכות השמור שבידך<br>
| |
| − | אחר זה נחלק השמור על הס' והמותר ניחסהו אל איכות המחולק והיוצא ניחסהו אל המדרגה הקודמת<br>
| |
| − | עוד חלק היוצא על ס' והמותר ניחסהו אל איכות המחולק השני והיוצא ניחסהו אל המדרגה הקודמת<br>
| |
| − | אחר זה נחלק היוצא על ס' וכן תמיד עד שיכלה אל מדרגת המעלות<br>
| |
| − | והחלק היוצא מהחלוקה עוד יושלך י"ב י"ב והמותר שלא הגיע לי"ב הוא מזלות<br>
| |
| − | והעולה מכל המדרגות הוא העולה מהכאת הטור העליון עם הטור השפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה במשלנו הקודם הכינו הכ"ה מעלות בס' ועלו אלף ת"ק ראשונים חברנו עליהם הל' ראשונים שהיה לנו ועלו אלף תק"ל ראשונים<br>
| |
| − | עוד הכינו האלף תק"ל עם הס' ועלו צ"א אלפים ת"ת שניים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הל"ה שהיו לנו ועלו הכל צ"א אלפים ת"ת ל"ה שניים<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה בס' ועלו 5510100 שלישיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם המ' שלישיים ועלו הכל 5510140 שלישיים<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה בס' ועלו 330608400 רביעיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הנ' רביעיים ועלו 33060850 רביעיים<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה בס' ועלו 19836507000 חמישיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הכ' חמישיים ועלו 19836507020 חמישיים ונשמרם<br>
| |
| − | עוד נשוב אל הטור השפל ונכה הט"ו מעלות עם הס' ויעלו תת"ק ראשונים<br>
| |
| − | נחבר עליהם הכ' ראשונים ועלו תתק"כ ראשונים<br>
| |
| − | הכינו אלה בס' ועלו נ"ה אלפים ר' שניים<br>
| |
| − | חברנו עליהם המ' שניים ועלו נ"ה אלפים ר"מ שניים<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה בס' ועלו 3314400 שלישיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הי' שלישיים ועלו 3314410 שלישיים<br>
| |
| − | הכינו אלה בס' ועלו 198864600 רביעיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הכ' רביעיים ועלו 198864620 רביעיים<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה בס' ועלו 11931877200 חמישיים<br>
| |
| − | חברנו עליהם הל' חמישיים ועלו 11931877230 חמישיים ונשמרם בידינו<br>
| |
| − | ונכה השמור עם השמור ויעלו 236686766434673154600 ולהיות שההכאה היתה חמשיים עם חמשיים יהיו העולים מהכאתם עשיריים<br>
| |
| − | ואחר זה נחלקם אל הס' ויצאו בחלוק 3944779440577885910 והנה ישובו להיות תשיעיים מדרגה אחת קודמת<br>
| |
| − | ולהיות שלא נשאר מותר בלתי מחולק על כן לא נכתוב עוד עשריים<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק אלה על הס' ויצאו בחלוק 65745324009631431 והנה ישובו להיות שמיניים שהם מדרגה אחת קודמת<br>
| |
| − | ולהיות שנשאר מותר בלתי מחולק נ' נכתוב נ' במדרגת התשיעיים ויהיו נ' תשיעיים כפי מדרגתם הקודמת<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 1095772066827190 והנה ישובו להיות שביעיים והמותר שהם הל"א הם שמיניים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת השמיניים<br>
| |
| − | עוד נחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 18262867780458 והנה ישובו להיות ששיים והמותר שהם הי' יהיו שביעיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת השביעיים<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק 304381129674 וישובו להיות חמשיים והמותר שהם י"ג יהיו ששיים כאשר היו ולכן נכתוב הי"ג במדרגת הששיים<br>
| |
| − | ונשוב לחלק עוד המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק 5043018827 וישובו להיות רביעיים והנ"ד הנשארים מהחלוקה יהיו חמשיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת החמשיים<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק 84550313 וישובו להיות שלישיים והמ"ז הנשארים יהיו רביעיים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת הרביעיים<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק אלף אלפים וארבע מאות ותשעה אלפים ומאה ושבעים ואחד וישובו להיות שניים והנשארים שהם כ"ג יהיו שלישיים כאשר היו<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על הס' ויצאו בחלוק כ"ג אלפים תפ"ו וישובו להיות ראשונים והנשארים מהחלוק שהם הי"א יהיו שניים כאשר היו<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק זה המספר שיצא בחלוק על ס' ויצאו בחלוק שצ"א וישובו להיות מעלות והנשארים מהחלוק שהם הכ"ו יהיו ראשונים כאשר היו ולכן נכתבם במדרגת הראשונים<br>
| |
| − | עוד נשוב לחלק המספר שיצא בחלוק על ל' בעבור שהם מעלות ויצאו בחלוק י"ג וישובו מזלות והנשאר שהוא האחד יהיו מעלות כאשר היו ולכן נכתבהו במדרגת המעלות<br>
| |
| − | עוד נשליך מהי"ג מזלות שבידינו הי"ב בעבור שהם מזלות ויהיה הנשאר אחד וידענו שהם א' מזל ולכן נכתוב א' במדרגת המזלות ובזה כבר הגענו אל המכוון וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הנה אם רצית מאזני הדרך השלישי קח העולה מהכאת הטור העליון עם הטור השפל אחר שתתיכם אל מהדרגתם האחרונה כאשר הזכרנו ונחלקם על הטור האחד כפי דרך חלוק השלמים על השלמים ואם יצא הטור האחר בחלוק דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה תשתמש עם מאזני החלוק בשלמים למצוא אמתת החלוקים אשר נהיו בו ותדע האמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מאזני הב' דרכים הראשונים הנה תחלק היוצא מהכאת הטור העליון עם הטור השפל על א' מב' הטורים הראשונים כפי חלוק שברי התכונה ואם יצא לך בחלוק הטור האחר דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אופן חלוק שברי התכונה בזולת ההתכה הנה יתבאר לך במקומו בעזרת האל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות הנה היא מבוארת ממה שקדם בהכאת שברי המספר אחר שנודיע שאין הבדל בין זה הפועל ובין פועל שברי המספר ואם הם מתחלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה כבר יותר הספק הגדול אשר ספקו על זה המעיינים באמרם מדוע השתנה העולה מהכאת שברי התכונה מהעולה מהכאת שברי המספר שבשברי המספר ניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות ובשברי התכונה ניחס העולה מהכאת הכמות עם הכמות אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אנחנו כבר נתיר זה הספק בשנאמ' שאין הבדל בין העולה משברי התכונה לעולה משברי המספר כלל<br>
| |
| − | וזה שכמו שהעולה משברי המספר אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות אם היה הכאת שבר עם שבר<br>
| |
| − | או בשנכה הכמו' עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות אם היה הכאת שבר השבר עם שבר השבר או שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר<br>
| |
| − | כן העולה משברי התכונה אמנם הוא בשנכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות אם היה הכאת שבר עם שבר<br>
| |
| − | או בשנכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם כל האיכויות עד שיכלו כל האיכויות אם היה הכאת שבר השבר עם שבר השבר או שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן בהכאת השליש עם השליש שבשברי המספר שפי' שליש השלם עם שליש השלם שהוא הכאת שבר עם שבר נכה הכמות עם הכמות והעולה ניחסהו אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובהכאת השלישיי עם השלישיי שבשברי התכונה שפירושו שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר<br>
| |
| − | כי הרצון שבשלישיים הוא בשנשבר המעלה שהיא במדרגת השלם לששיים ויקראו ראשונים בעבור שהיא שבירה ראשונה לשלם<br>
| |
| − | אחר זה נשבר כל אחד מהששים הראשונים לששים שניים ויקראו שניים בעבור שהיא שבירה שנייה כי היא שבירת השבר לא שבירת השלם<br>
| |
| − | אחר זה נשבר כל אחד מהששים שניים לששים שלישיים ויקראו שלישיים להיות השבירה שלישית כי היא שבירת שבר השבר<br>
| |
| − | וכן בכל המדרגות הנמשכות דרך אחד לכל ר"ל שכלם יקראו בשם מספר השבירות ושהשמות המורות על איכויותיהם אינם איכויות מורות על מספר שברי השלם אמנם הם מורים על מספר השבירות לא על מספר השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה א"כ יחוייב לזה בהכרח שהכאת השלישיי עם השלישיי שבשברי התכונה אחר שהוא הכאת שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר שנכה הכמות עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והעולה ניחסהו על העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכל איכויות שברי התכונה המורות על מספר שברי השלם אשר הם האיכויות המוכות זה עם זה כמשפט איכויות המספר אמנם הם כמספר איכויות הס'<br>
| |
| − | אחר שכל חלוקי חכמי התכונה הם על ס' כמו שקדם והיו השמות המורות עליהם כשם השניים והשלישיים ודומיהם אמנם הם מורים על מספר השבירות כמו שקדם<br>
| |
| − | הנה מן המחויב מזה בהכרח שהעולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר שברי השלם האחד שוה לעולה מקבוץ מספר שבירות המכים עם מספר שבירו' המוכים אשר הם המורים עליהם כשמות השניים והשלישיים ודומיהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית להכות שלישיי עם שלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אחר שהוא הכאת שבר שבר השבר עם שבר שבר השבר לפי מה שקדם והיה איכות כל אחד ואחד מהם מהאיכויות המורות על מספר השברי' אמנם הוא מספר הס' לפי מה שקדם הנה אם כן ראוי שיסודרו על זה הדרך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>||<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אמרנו נכה השלישיי עם השלישיי הוא אמרנו נכה ששמי"י של ששמי"י של ששמי"י עם ששמי"י של ששמי"י של ששמי"י<br>
| |
| − | וארצה בששמי"י אחד מששים חלקי השלם<br>
| |
| − | אחר זה נכה הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות והם א' במשלנו זה ונשמרהו<br>
| |
| − | אחר זה נכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות והם אלו 46656000000<br>
| |
| − | ניחס השמור אליהם וההווה הוא העולה מהכאת השלישיי עם השלישיי<br>
| |
| − | שהוא הכאת הששמי"י של ששמי"י של ששמי"י עם הששמי"י של ששמי"י של ששמי"י<br>
| |
| − | וזה ההווה הוא שוה להווה מהכאת הס' בס' והעולה בס' והעולה בס' והעולה בס' והעולה בס' שהם ששיים לפי מה שקדם<br>
| |
| − | וזהו ההוה מקבוץ הג' עם הג' אשר השלישיו' נגזר מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר הודעתי לך בזה שאין הבדל כלל בין ההווה מהכאת שברי המספר להווה מהכאת שברי התכונה<br>
| |
| − | ושהדרך בשניהם אחד<br>
| |
| − | ושזה הספק אשר ספקו בזה המעיינים הוא הטעאיי לקוח ממקום התמורה<br>
| |
| − | ר"ל שלקחו השמות המורות על מספר השבירות תמורת השמות המורות על מספר השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלא שנשאר למעיין לבקש הסבה אשר בעבורה חויב להיות העולה מהכאת האיכות עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות מהאיכויות המורות על מספר השברים שוה לעולה מקבוץ האיכות עם האיכות מהאיכויות המורות על מספר השבירות אלא שכבר נודעה מכלל דברינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שאחר שהעולה מהכאת האיכות עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות הוא העולה מהכאת הששים עם הששים עד שיכלול כל הששים המונחים לפי מה שקדם מההנחה הקודמת ומספרי הששים יחויב שיהיו כמספר העולה מקבוץ איכות השבר המכה עם איכות השבר המוכה מהאיכויות המורות על מספר השבירות אשר הם מספר הששים כי מספר השבירות הם הם בעצמם מספרי הששים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה א"כ יחויב לזה בהכרח שיהיה העולה מהכאת מספרי הששים אשר הוא העולה מהכאת האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר השברים כמשפט שברי המספר שוה לעולה מקבוץ האיכות עם האיכות מהאיכויות המורות על מספר השבירות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה יהיה העולה מהכאת השלישיי עם השלישיי דרך משל כאשר יוכה האיכות עם האיכות והעולה עם האיכות עד שיכלו כל האיכויות המורות על מספר השברים שהוא מספר 46676000000 כאשר ניחס אליו האחד שהוא ההווה מהכאת הכמות עם הכמות והעולה עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות הוא שוה לששיי אחד ששם הששיי הוא מספר ההוה מהכאת מהכאת הס' עם הס' והעולה עם הס' עד שיכלו ששה פעמים ס' אשר הוא קבוץ השלשה עם השלשה אשר הם מספרים הנגזרים מהם שם השלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלא שחכמי התכונה קצרו הדרך ולא רצו להכות הא' עם הס' והעולה עם הס' והעולה מהם ייחסו אליו ההווה מהכאת הכמות עם הכמות עד שיכלו כל הכמויות אחר שידענו שההווה מהכאת הס' עם הס' והעולה עם הס' עד שיכלו הכל בהכרח שיהיה הסך ההוא הוא השבר הנקרא בשם קבוץ המספרים הנגזרים מהם שמות השברים המורים על מספר השבירות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר הארכנו בביאורו למה שספקו הראשונים וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות העולה מהכאת שברים רבים עם שברים רבים בשנכה כמות כל אחד מהם עם כל הכמויות וההוה מכל הכאה והכאה נכתבנה במקומה הראוי לה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבארה במה שקדם בזה המין מידיעת העולים מכל הכאה והכאה מהם ומקום הנחתו מצורף עם ידיעת הכאת השלמים עם השלמים ר"ל ממה שהתבאר שם שראוי להכות כל מדרגה ומדרגה ממדרגות המכים וכן סבת הדרך השנית גם כן כי אין הבדל ביניהם כלל רק באורך ובקצור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת דרך ההתכה הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם וזה שאחר שעם ההתכה ישובו מיני השברים המונחים למין אחד הנה שבנו אל הכאת מין אחד עם מין אחד וכבר קדמה הסבה אין צורך לכופלה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מאזני זה המין הנה כבר קדמה במאזני חלוק השלמים על השלמי' ומאזני חלוק השברים על השברים אין צורך לכופלה
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Three - Subtraction ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השלישי במין החסור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך בידיעת זה המין בשנסדר הטור העליון מדרגת המעלות לבד ומדרגת הראשונים לבד ומדרגת השניים לבד כל אחד ואחד לפי מדרגתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נסדר הטור השפל בשנניח כל מין ומין תחת מינו ר"ל המעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים וכן ללא תכלית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר זה תמשיך קו א' ותתחיל מהמדרגה האחרונה שבטור השפל וחסר אותה מהמדרגה שכנגדה מהטור העליון והנשאר כתבהו תחת הקו המבדיל כנגד אותה המדרגה וכן תמיד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם המדרגה השפלה גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה אף כי הטור העליון בכללו יותר גדול מהטור השפל בכללו הנה תחסר המדרגה השפלה מס' והנשאר חברהו עם המדרגה העליונה שכנגדה והעולה כתבהו תחת הקו כנגד המדרגה ההיא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לחסר המדרגה הקודמת ממנה מן המדרגה העליונה שכנגדה חסר מהעליונה אחד ואחר זה תחסר ממנה המדרגה השפלה אם היתה המדרגה העליונה גדולה ממנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היתה קטנה ממנה תנהיג הדרך הקודם ר"ל בשתחסר המדרגה השפלה מס' והנשאר חברהו עם המדרגה העליונה אחר שתחסר ממנה הא' והעולה כתבהו תחת הקו כנגד המדרגה ההיא וכן תמיד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכדי להרחיב בזה באור אחוק הנה צורה אחת תכלול כל מיני החלופים ובזה תגיע אל המכוון
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |''''||'''||''||'||°
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |50
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |50
| |
| − | |-
| |
| − | |57
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |20
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |3
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |30||50||52||9||2
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה להיות שאין שום מספר כתוב במדרגה השפלה שכנגד המדרגה העליונה כתבנו המדרגה העליונה בעצמה תחת הקו המבדיל כנגד המדרגה האחרונה בלי שום תוספת וחסרון<br>
| |
| − | אחר זה נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ולהיות שהיא גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה חסרנוה מס' ונשארו בידינו י' חברנום עם המ' שבמדרגה העליונה ועלו נ' וכתבנום תחת המדרגה ההיא<br>
| |
| − | עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וגם היא גדולה מהמדרגה העליונה שכנגדה ולכן חסרנוה מהששים ונשארו בידינו שלשה חברנום עם החמשי' שבמדרגה העליונה שכנגדה והיו נ"ג חסרנו מהם א' ונשארו נ"ב וכתבנום תחת הקו כנגד המדרגה ההיא<br>
| |
| − | עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וחסרנוה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונשארו עשרה חסרנו מהם אחד ונשארו תשעה וכתבנום תחת המדרגה ההיא<br>
| |
| − | עוד נעתיקנו אל המדרגה הקודמת וחסרנוה מהמדרגה העליונה שכנגדה ונשארו ב' וכתבנום תחת המדרגה ההיא<br>
| |
| − | ובזה כבר ידענו שכאשר חסרנו ג' מעלות עשרה ראשונים נ"ז שניים נ' שלישיים מהה' מעלות ב' ראשונים נ' שניים מ' שלישיים ל' רביעיים יהיו
| |
| − | הנשארים ב' מעלות ט' ראשונים נ"ב שניים נ' שלישיים ל' רביעיים וז"מ ש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא הקבוץ ר"ל שכאשר תקבץ הטור השלישי עם הטור השני אם יצא לך הטור הראשון דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין וסבת מאזניו הלא הם כתובים בחסור השלמים מהשלמים אין צורך לכפול המאמרים
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Four - Division ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הרביעי במין החלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך בידיעת זה המין הוא בשנחלק הכמות עם הכמות כמשפט כמו השלמים על השלמים והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה<br>
| |
| − | אחר זה חסר המספר הנגזר ממנו איכות המחלק מהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק והנשאר הנה האיכות הנגזר ממנו הוא איכות השבר היוצא מהחלוקה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה המספר הנגזר ממנו איכות המחלק שוה למספר הנגזר ממנו איכות המחולק דע כי איכות השבר היוצא מהחלוקה הוא מעלות בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה המספר הנגזר ממנו איכות המחלק גדול מהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק הנה לא יתכן שיחולק המחולק ההוא על המחלק ההוא כלל רק בשנתיך המחולק אל האיכות השוה לאיכות המחלק בשנכהו עם הס' והעולה ירד מדרגה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם איכותו שוה לאיכות המחלק הנה כבר יחלק הכמות ההווה מהמחולק על כמות המחלק והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה ואיכותו הוא מעלות כמו שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם האיכות ההווה מהכאת המחולק עם הס' הוא בלתי שוה לאיכות המחלק עוד נכה המחולק עם הס' והעולה ירד מדרגה אחרת בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד עד שישוה איכות המחולק לאיכות המחלק ואז יחלק כמות המחולק על כמות המחלק והיוצא הוא כמות השבר היוצא מהחלוקה ואיכותו הוא מעלות בהכרח כמו שקדם אחר שהמספר הנגזר ממנו איכות המחולק שוה למספר הנגזר ממנו איכות המחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואמשיל הנה שלשה משלים מתחלפים לג' מינים מתחלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הראשון הוא אם רצית לחלק כ' שניים על ט"ו ראשונים הנה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא א' וה' חלקים מט"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה חסרנו המספר הנגזר ממנו איכות הראשונים שהוא א' מן המספר הנגזר ממנו איכות השניים שהם כ' והנשאר הוא א' אשר שם הראשונים נגזר ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ידענו שהאחד היוצא מהחלוקה הוא ראשון אחר זה להיות שהנשארים מהחלוקה הם ה' ולא יוכלו להחלק על הט"ו נכם עם הס' והם ש'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהה' הנשארים הם שניים אחר שהם שארית הכ' שניים יהיו הש' בהכרח שלישיים מפני שהוכו עם הס' וירדו מדרגה אחת נחלקם על הט"ו ראשונים ויצאו כ' ונחסר המספר הנגזר ממנו איכות הראשונים שהוא א' מהמספר הנגזר ממנו איכות השלישיים שהוא ג' וישארו ב' ולכן ידענו שהכ' היוצאים בחלוקה השנית הם שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר היה בידינו ראשון א' הנה א"כ היוצא מחלוק הכ' שניים על הט"ו ראשונים הם ראשון א' וכ' שניים והם מורים על שהכ' שניים הם חלק א' מששים חלקים של ט"ו ראשונים וחלק אחד מהק"ף חלקים של ט"ו ראשונים או בשיגיע לכל שני ושני משניי הט"ו ראשונים חלק א' מששים חלקי השני וחלק א' מק"פ חלקי השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל השני הוא אם רצית לחלק כ' ראשונים על ט"ו ראשונים הנה נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא אחד וה' חלקים מט"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שאיכות המחלק אם מחולק שוים הנה היוצא בהכרח מעלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ידענו שהא' היוצא מהחלוקה הוא מעלה אחת<br>
| |
| − | אחר זה נכה הה' הנשארים מהחלוקה בס' ואחר שהם שהכית הם ראשונים יהיו הה' בהכרח ראשונים והש' ההוים מהכאת הה' בס' היו בהכרח שניים נחלקם על הט"ו ראשונים ויצאו כ' נחסר איכות הראשוני' מאיכות השניים וישארו ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה ידענו שהכ' היוצאי' מהחלוק השני הם ראשונים וכבר היה בידינו מעלה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה ידענו שהיוצא מחלוק הכ' ראשונים על הט"ו ראשונים הם מעלה אחת וכ' ראשונים והם מורים על שהכ' ראשונים הם כמו הט"ו פעם אחת שלמה ושליש הפעם או כשיגיע לכל ראשון וראשון מהט"ו ראשונים ראשון אחד ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המין הג' הוא אם רצית לחלק כ' מעלות על ט"ו ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה להיות שאיכות המחולק גדול מאיכות המחלק לא יוכל להחלק רק בשנתיך הכ' מעלות אל הראשונים עד שישוה איכות המחולק לאיכות המחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנכם עם הס' ויעלו אלף ומאתים ראשונים נחלק כמות המחולק על כמות המחלק ויצאו פ' ולהיות איכות המחלק והמחולק שוים הנה יחויב לזה בהכרח שיהיו הפ' היוצאים מהחלוקה מעלות והם מורים על שהכ' מעלות הם כמו הט"ו ראשונים שמונים פעם או בשנגיע לכל ראשון וראשון מהט"ו ראשונים שמונים ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לחלק הרבה מיני שברים על הרבה מיני שברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נסדר המחולק בטור העליון ותהיה הנחת מדרגותיו בהפך הנחת המדרגות בשאר המינים הג' כי בכל המינים האחרי' יונחו ראשונה המזלות ואחריו המעלות ואחריו הדקים ואחריו השניים ואחריו השלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה המין יונחו הפך זה כי יונחו השלישיים ראשונה ואחריו השניים ואחריו הראשונים ואחריו המעלות ואחריו המזלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר זה תסדר תחתיו תחת הטור כל מין כנגד מינו ר"ל המזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות וכן כלם כל א' כנגד מינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר זה תמשיך קו וכתוב תחתיו הטור השלישי היוצא בחלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ותנהיג החלוק לפי מה שידעת מידיעת חלוק השלמים על השלמים עם מה שידעת מהכאת שברי התכונה עם שברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמדרגה הראשונה מהטור הג' שהוא המזלות אם היו שם מזלות או המעלות אם היו שם מעלות וכן כל מדרגה היוצאה בחלוק ראשונה תונח תחת המדרגה הדומה לה מהטור הראשון שהוא המחולק ובזה תגיע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונמשיל לזה משל א' ויהיה המשל הראשון אשר המשלנו במין ההכאה בשנשים הטור השלישי ממנו אשר הוא העולה מההכאה ראשון ותחתיו הטור האחר מהשני טורים המוכים ויהיה היוצא בחלק הטור האחר כזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהמזלות הם במדרגת השלמים הוצרכנו להתיך הי"ג מזלות שבטור הג' מההכאות אל המעלות עלו ש"כ<br>
| |
| − | חברנום עם המעלה הא' שבמדרגת המעלות ועלו שצ"א<br>
| |
| − | וכתבנום במדרגת המעלות בטור הראשון שבזה המין<br>
| |
| − | ואולם שאר מדרגות הטור השלישי מההכאה הם הם בעצמם מדרגות הטור הראשון בזה המין בבלתי שנוי כלל<br>
| |
| − | וכן מדרגות הטור השני מההכאה הם הם בעצמם מדרגות הטור השני בזה המין<br>
| |
| − | אחר בקשנו המספר היותר קרוב אשר יוכו בו כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהם שיחוסר ממדרגות הטור הראשון והוא מספר כ"ה וכתבנום בטור השלישי כנגד מדרגת המעלות שבסדר הראשון<br>
| |
| − | הכינו הכ"ה שבטור השלישי עם הט"ו שבטור השני ועלו שע"ה מעלות<br>
| |
| − | כי העולה מהכאת המעלות עם המעלות הם מעלות<br>
| |
| − | גרענום מהמעלות שבטור הראשון ונשארו י"ו וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | הכינו עוד הכ"ה עם הכ' שבטור השני ועלו ת"ק ראשונים<br>
| |
| − | כי העולה מהכאת הראשונים עם המעלות הם ראשונים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו ח' מעלות וכ' ראשונים<br>
| |
| − | גרענום הח' מעלות מהי"ו מעלות הנשארים והכ' ראשונים מהנ"ו ראשונים שבטור העליון וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד הכינו הכ"ה מעלות שבטור הג' עם המ' שבטור השני ועלו אלף שניים<br>
| |
| − | כי העולה מהכאת המעלות עם השניים הם שניים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו י"ו ראשונים מ' שניים<br>
| |
| − | ולהיות שהראשונים שבידינו הם ו' לבד נעזרנו מהמעלות שבידינו בשלקחנו א' מהח' הנשארים והתכנוהו ועלו ס' ראשוני'<br>
| |
| − | חברנוהו עם הו' ראשונים שבידינו ועלו ס"ו ראשונים<br>
| |
| − | גרענו מהם הי"ו ראשונים ונשארו נ' ראשונים<br>
| |
| − | ובעבור שאנחנו צריכים לגרוע מ' שניים מהשניים שבידינו שבטור העליון שהם י"א והנה א' מהנ' ראשונים וכתבנוהו אל השניים והם ס' שניים<br>
| |
| − | חברנום עם הי"א שניים ועלו ע"א<br>
| |
| − | גרענו מהם המ' שניים ונשארו ל"א שניים וכתבנום במדרגת השניים למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הנ"ה עם הי' שבטור השני ועלו ר"נ<br>
| |
| − | ובעבור שהם מעלות עם שלישיים יהיו היוצאים שלישיים בהכרח<br>
| |
| − | וכאשר חלקנום על הס' יצאו בחלוק ד' שניים י' שלישיים<br>
| |
| − | גרענו מהנ"ג שלישיים שבטור העליון י' שלישיים ונשארו מ"ג וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גם גרענו מהל"א שניים הנשארים ד' שניים ונשארו כ"ז שניים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הכ"ה מעלות עם הכ' רביעיים שבטור השני ועלו ת"ק<br>
| |
| − | ובעבור שהם מעלות עם רביעיים יהיו רביעיים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו ח' שלישיים כ' רביעיים<br>
| |
| − | חסרנו הכ' רביעיים מהמ"ז רביעיים שבטור העליון ונשארו כ"ז וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גם גרענו הח' שלישיים מהמ"ג שלישיים הנשארי' ונשארו ל"ה וכתבנו' למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הכ"ה מעלות עם הל' חמישיים ועלו תש"נ<br>
| |
| − | ובעבור שהם מעלות עם חמישיים יהיו חמישיים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו י"ב רביעיים ל' חמישיים<br>
| |
| − | חסרנו הל' חמישיים מהנ"ד חמישיים שבטור העליון ונשארו כ"ד וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גם חסרנו הי"ב רביעיים מהכ"ז רביעיים הנשארים ונשארו ט"ו רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד בקשנו המספר היותר קרוב שיוכו בו מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהם שיחוסר מחסור הראשון או מהנשארים הכתובים שם והוא מספר ל'<br>
| |
| − | ולהיות שמספר כ"ה המבוקש הקודם היו מעלות הנה יהיו אלה הל' ראשונים ונכתבם תחת הראשונים שבטור העליון<br>
| |
| − | אחר זה שבנו לבקש המספר היותר קרוב שיוכו בו כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה שיחוסר מהטור הראשון או מהנשארים שם והוא מספר ל"ה<br>
| |
| − | ולהיות שמספר המבוקש הקודם היה ראשונים יתחייב שיהיה זה המספר שניים ונכתבנו תחת השניים שבטור העליון<br>
| |
| − | עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור הראשון או מהנשארים שם והוא מספר מ'<br>
| |
| − | ולהיות שהמבוקש הקודם היה שניים יתחייב שיהיה זה המספר שלישיים ונכתבנו תחת השלישיים שבטור העליון<br>
| |
| − | עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק שיחוסר העולה מהכאתם מהטור העליון או מהנשארים והוא מספר נ'<br>
| |
| − | ובעבור שהמספר הקודם המבוקש היה שלישיים ידענו שזה המספר רביעיים וכתבנום תחת הרביעיים שבטור העליון<br>
| |
| − | עוד שבנו לבקש המספר שיוכה עם כל מדרגות הטור השני ויספיק שיחוסר העולה מהכאתם מהטור השני או מהנשארים והוא מספר כ'<br>
| |
| − | ובעבור שהמספר הקודם המבוקש היה רביעיים ידענו שזה המספר הוא חמישיים וכתבנוהו תחת החמישיים שבטור העליון<br>
| |
| − | ולהיות שלא נשאר בטור העליון דבר בלתי מחולק ידענו שכבר נשלם החלוק<br>
| |
| − | הנה כבר חלקנו הטור השלישי מטור ההכאה על הטור הא' מהשני טורים המוכים ויצא לנו הטור האחר בלתי תוספת ומגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יהיה מין החלוק מאזני ההכאה ומין ההכאה מאזני החלוק אם לא ישאר דבר מהטור העליון בלתי מחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם ישאר דבר בלתי מחולק הנה נכה הטור המחלק עם הטור שיצא בחלוק והעולה נוסיף עליו החלקים הבלתי כל א' עם מינו ואם לא יהיה העולה שוה עם הטור העליון שהוא המחולק דע שכזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|זהו המין האחד מהחלוק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להשתמש בדרך חלוק השלמים על השלמים הנה כבר תוכל לעשות זה בשתתיך הטור המחולק אל המין היותר קרוב פחות שבשברים וכן המחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה הטור הג' הנמשל במין ההכאה כאשר התכנוהו עלו 236686766434673154600 עשיריים ונשמרם<br>
| |
| − | וכן הטור הב' אשר הוא אחד מב' הטורים המוכים אשר עליו חלקנו זה הטור שהוא הט"ו מעלות כ' ראשונים מ' שניים וי' שלישיים כ' רביעיים ל' חמישיים כאשר התכנוהו עלו 11931877230 חמישיים ונשמרם<br>
| |
| − | חלקנו השמור הראשון על השמור השני והיוצא מהחלוק הוא זה 19836507020<br>
| |
| − | גרענו איכות החמישיים מאיכות העשיריים ונשארו חמישיים ובזה ידענו שהיוצא בחלוק הוא חמישיים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו מהחלוק כ' חמישיים 3336608450 רביעיים<br>
| |
| − | עוד חלקנו הרביעיים על הס' והיוצא מהחלוק נ' רביעיים ומספר 5510140 שלישיים<br>
| |
| − | עוד חלקנו השלישיים על הס' ויצא מהחלוק מ' שלישיים ומספר צ"א אלפים ת"ת ל"ה שניים<br>
| |
| − | עוד חלקנו השניים על הס' ויצא מהחלוק נ"ה שניים ומספר אלף תק"ל ראשונים<br>
| |
| − | חלקנו אותם על הס' ויצא לנו מהחלוק ל' ל' ראשונים וכ"ה מעלות וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומאזני הדרך הראשון מזה המין הוא הדרך הראשון מן ההכאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומאזני הדרך השני מזה המין הוא הדרך השני מן ההכאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך דרך ידיעת זה המין בב' אופנים וזה במספרים הנחלקים בכללם ר"ל שלא ישאר בהם דבר בלתי מחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המספרי' הבלתי נחלקים בכללם אבל ישאר בהם דבר בלתי מחולק אם רצית לדעת החלק היותר קרוב להם הנה נצטרך לזה ידיעה נוספת על הידיעה הקודמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואבאר זה עם ב' האופנים הקדומים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשאביא משל אחד בלתי כלה חלוקתו ואודיע החלק היותר קרוב לזה בב' אופנים ובזה תוכל להקיש לזולתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שאם רצית לחלק עד"מ מספר ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים ל' רביעיים על מספר ה' מעלות. ב' ראשונים ו' שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם רצית לחלקו עם האופן הקודם והוא שלא תצטרך להתכה כלל הנה הדרך בידיעת זה הוא בשתסדר המדרגות לפי מה שקדם כזה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |15
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |40
| |
| − | |-
| |
| − | |46
| |
| − | |-
| |
| − | |2
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |5
| |
| − | |-
| |
| − | |25
| |
| − | |-
| |
| − | |91
| |
| − | |-
| |
| − | |59
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |-
| |
| − | |56
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |2
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |2
| |
| − | |-
| |
| − | |4
| |
| − | |-
| |
| − | |10
| |
| − | |-
| |
| − | |6
| |
| − | |-
| |
| − | |30
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |-
| |
| − | |1
| |
| − | |-
| |
| − | |13
| |
| − | |-
| |
| − | |306
| |
| − | |-
| |
| − | |12
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |9
| |
| − | |-
| |
| − | |12
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |3||8||4||58||48||30|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |°||'||''||'''||''''||'''''||''''''||'''''''
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נבקש מספר שיוכה עם כל מדרגו' הטור השני שהוא המחלק שיספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון והוא מספר ג' וכתבנוהו תחת הקו כנגד המעלו'<br>
| |
| − | הכינוהו עם החמשה מעלות שבטור הב' ועלו ט"ו חסרנום מהט"ו מעלות שבטור העליון ומחקנום להורות שלא נשאר כלום<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הג' עם הב' ראשונים שבטור הב' ועלו ו' חסרנום מהמ"ו ראשונים שבטור העליון ונשארו מ' וכתבנום עליהם להורות על הנשאר<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הג' עם הו' שניים ועלו י"ח גרענום מהנ"ט שניים שבטור העליון ונשארו מ"א וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר ח' וכתבנוהו תחת הקו כנגד הראשוני'<br>
| |
| − | הכינוהו עם הה' מעלות ועלו מ' ראשונים גרענום ממ' ראשוני הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט<br>
| |
| − | גם הכינו הח' עם הב' ראשונים ועלו י"ו שניים גרענום ממ"א שניי הטור העליון ונשארו כ"ה וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גם הכינו הח' עם הו' שניים ועלו מ"ח שלישיים גרענום מהנ"ב שלישיי הטור העליון ונשארו ד' וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסרו מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר ד' וכתבנום תחת קו השניים<br>
| |
| − | הכינו עם הה' מעלות ועלו כ' שניים גרענום מכ"ה שניי הטור העליון ונשארו ה' וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הד' עם הב' ראשונים ועלו ח' שלישיים גרענום מג' הטור העליון ולהיות שהם ד' לבד ולא יספיק לגרוע מהם ח' גרענו מהה' שניים א' וכתבנו למעלה ד' להורות על הנשאר<br>
| |
| − | והתכנו הא' הלקוח לס' שלשיים וחסרנו מהם הה' שלישיים שבידינו והנשאר נ"ב חסרנום עם הד' שלישיים הנתוכים שם ועלו נ"ו וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הד' עם הו' ועלו כ"ד רביעיים וגרענום מהל' רביעיי הטור העליון ונשארו ו' וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד בקשנו שיוכה עם כל מדרגות המחלק שיספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר נ"ח וכתבנום תחת הקו כנגד השלישיים . הכינום עם הה' מעלות ועלו ר"ץ שלישיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ועלו ד' שניים נ' שלישיים גרענו הד' שניים מד' שניי הטור העליון ולא נשארו כלום ומחקנום כמשפט<br>
| |
| − | גם גרענו הנ' שלישיי מנ"ו שלישיי הטור העליון ונשארו ו' שלישיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הנ"ח עם הב' ראשונים ועלו ק"א רביעיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצאו שלישיי א' ונ"ו רביעיים<br>
| |
| − | ולהיות שהרביעיי הטור העליון הם ו' לבד ולא יספיק לגרוע מהם נ"ו רביעיים על כן גרענו כ' שלישיים משלישיי הטור העליון ונשארו ד' וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גרענו מהב' שלישיים שגרענו מהם א' שלישיי בעבור הא' שלישיי שבידינו<br>
| |
| − | גם התכנו השלישיי הא' אל ס' רביעיים וגרענו מהם הנ"ו רביעיים שבידינו ונשארו ד' רביעיים<br>
| |
| − | חברנום עם הו' רביעיים שברביעיי הטור העליון ועלו ו' רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הנ"ח עם הו' שניים ועלו שמ"ח חמישיים חלקנום על ס' ויצאו ה' רביעיים ומ"ח חמישיים<br>
| |
| − | ולהיות שאין לנו חמישיים כלל נגרע ו' רביעיים מרביעיי הטור העליון ונשארו ד' רביעיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | וגרענו מהם הה' רביעיים שבידינו גם התכנו הא' אל ס' חמישיים וגרענו מהם המ"ח חמישיים שבידינו ונשארו י"ב חמשיים וכתבנום במקום החמישיים<br>
| |
| − | עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם שיחוסר מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו מספר מ"ח וכתבנום תחת הקו כנגד הרביעיים<br>
| |
| − | הכינום עם הה' מעלות ועלו ר"מ רביעיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצאו ד' שלישיים גרענום משלישיי הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו המ"ח עם הב' ראשונים ועלו צ"ו חמישיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצאו רביעיי אחד ול"ו חמישיים<br>
| |
| − | ולהיות שלא יספיקו החמישיים שבידינו לגרוע מהם ל"ו הנה גרענו כ' רביעיים מרביעיי הטור העליון ונשארו כ' וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | גרענו מהם רביעיי א' שבידינו גם התכנו הא' אל ס' חמישיים וגרענו מהם הל"ו חמישיים שבידינו ונשארו כ"ד חמישיים<br>
| |
| − | חברנום עם הי"ב חמישיים שבטור העליון ועלו ל"ו וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו המ"ח על הו' שניים ועלו רפ"ח ששיים חלקנום על ס' ויצאו ד' חמישיים ומ"ח ששיים<br>
| |
| − | ולהיות שאין לנו ששיים לקחנו מהחמישיים שבטור העליון ה' ונשארו ל"א חמישיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | וגרענו מהם הד' חמישיים שבידינו גם התכנו הא' על הס' וגרענו מהם המ"ח חמישיים ונשארו י"ב ששיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד בקשנו מספר שיוכה עם כל מדרגות המחלק ויספיק העולה מהכאתם לגרוע מהטור העליון או מהנשארים ומצאנו שהוא מספר ל' וכתבנום תחת הקו כנגד החמישיים<br>
| |
| − | הכינום עם הה' מעלות ועלו ק"נ חמישיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ועלו ב' רביעיים ל' חמישיים גרענו הב' רביעיים מרביעיי הטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט<br>
| |
| − | גם גרענו הל' חמישיים מחמישיות הטור העליון ונשאר א' וכתבנוהו למעלה כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הל' עם הב' ראשונים ועלו ס' ששיים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצא חמישיי א' גרענוהו מהחמישיים שבטור העליון ולא נשאר כלום ומחקנום כמשפט<br>
| |
| − | עוד הכינו הל' עם הו' שניים ועלו ק"פ שביעיים חלקנום על ס' ויצאו ג' שלישיים<br>
| |
| − | גרענום מששיי הטור העליון ונשארו ט' ששיים וכתבנום למעלה כמשפט<br>
| |
| − | וכן בזה הדרך תוכל לכתוב תמיד ולא תסור לעשות זה עד שתכלה החלוקה ולא ישאר דבר בטור העליון אם היה אפשר זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם הוא בלתי אפשר הנה כל עוד שתרבה האותיות המבוקשו' תתקרב אל האמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה זה האופן הראשון מהשני אופנים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להשתמש בזה עם האופן השני תתיך המחולק אל האיכות היותר פחות מהם ויעלו 204551550 רביעיים והוא המחולק<br>
| |
| − | גם תתיך המחלק אל האיכות הפחות שבו שניים י"ח אלפים קכ"ו וזה המחלק<br>
| |
| − | חלקנו המחולק על המחלק כדרך השלמים על השלמים ויצא בחלוק י"א אלפים רפ"ד גם נשארו בלתי מחולקים י"ז אלפים תשס"ו<br>
| |
| − | ולהיות שהמחולק הוא רביעיים והמחלק שניים חסרנו איכות המחלק מאיכות המחולק והנשאר שניים<br>
| |
| − | ולכן ידענו שהיוצא בחלוק הוא שניים חלקנום על ס' ויצאו קפ"ח ראשונים ונשארו ד' שניים<br>
| |
| − | ושמרנו הד' שניים גם חלקנו הקפ"ח ראשונים על ח' ויצאו ג' מעלות ונשארו ח' ראשונים<br>
| |
| − | וכבר היו לנו ד' שניים הרי כבר יש בידינו ג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים<br>
| |
| − | ושבנו לחקור הבלתי מחולק שבידינו שהוא מספר י"א אלפים תשס"ו<br>
| |
| − | והכינום עם הס' ועלו אלף אלפים ס"ה אלפים תתק"ס והם חמישיים לפי שהיו רביעיים והוכו עם הס' והותכו אל מדרגה אחת פחותה ממנה<br>
| |
| − | חלקנום על המחלק שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצאו לנו מהחלוק נ"ח והם שלישיים מפני שהמחולק חמישיים והמחלק שניים<br>
| |
| − | וכאשר גרענו איכות השניים מאיכות החמישיים יהיה הנשאר שלישיים ושמרנום<br>
| |
| − | עוד בקשנו לדעת הנשאר מזה החלוק השני שהוא י"ד אלפים תרנ"ב והם חמישיים אחר שהם שארית המחולק שהוא חמשיים<br>
| |
| − | הכינום עם הס' ועלו ת"תע"ט אלפים ק"כ והם ששיים<br>
| |
| − | חלקנום על המחלק הידוע לנו שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצא לנו מהחלוק מ"ח והם רביעיים מפני שהמחולק ששיים והמחלק שניים<br>
| |
| − | וכאשר גרענו איכות השניים מהששיים יהיה הנשאר רביעיים ושמרנום<br>
| |
| − | עוד בקשנו לדעת הנשאר מזה החלוק השלישי שהוא תשעה אלפים ע"ב והם ששיים אחר שהם שארית המחולק שהוא ששיים<br>
| |
| − | הכינום עם הס' ועלו תקמ"ד אלפים ש"כ והם שביעיים<br>
| |
| − | חלקנום על המחלק הנודע שהוא י"ח אלפים קכ"ו ויצא לנו מהחלוק ל' והם חמישיים<br>
| |
| − | מפני שהמחולק הוא שביעיים והמחלק הוא שניים וכאשר גרענו איכות השניים מהשביעיים יהיו הנשארים חמישיים ושמרנום<br>
| |
| − | הרי שהשמורים שבידינו הם ג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים נ"ח שלישיים מ"ח רביעיים ל' חמישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזהו בעצמו היוצא לפי האופן הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה הדרך תוכל לעשות תמיד עד שתכלה החלוקה אם היה זה אפשר או להתקרב אל היותר קרוב שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כפי רבוי החלוקים נתקרב אל האמת ואם לא נגיע אל תכליתה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה שבנו לראות המותר מהחלוק אם הוא שוה למותר מהחלוק עם האופן הראשון הנה הנשאר הוא ת"ק<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצאו לנו מהחלוק ט' והם ששיים<br>
| |
| − | אחר שהנשאר הוא שביעיים מפני שהוא שארית המחולק שהוא שביעיים וכאשר חלקנום על הס' עלו מדרגה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וככה הוא הנשאר גם כן לפי האופן הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר בארתי לך הב' אופנים שבזה המין והראיתיך שהיוצא משניהם אחד בין במספרים הבעלי תכלית החלוק ובין במספרים הבלתי בעלי תכלית החלוקה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מאזני זה המין במספרים הבלתי בעלי תכלית החלוקה הנה כבר הזכרתי לך הדרך אל ידיעתם ר"ל בשנכה החלק עם המחלק ונחבר עם היוצא מהכאתם הנשאר מהחלוק והעולה אם לא ישוה למחולק דע שטעית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזהו בשני האופנים יחד כי במשלנו זה לפי האופן נכה המחלק שהוא הה' מעלות וב' ראשונים וו' שניים עם החלק שהוא הג' מעלות ח' ראשונים ד' שניים נ"ח שלישיים מ"ח רביעיים ל' חמישיים והעולה הוא ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים כ"ט רביעיים נ"ה חמישיים נ"א ששיים חברנו עמהם הט' ששיים שנשארו בלתי מחולקים והנה העולה ט"ו מעלות מ"ו ראשונים נ"ט שניים נ"ב שלישיים ל' רביעיים וזהו המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם לפי האופן השני הנה נכה המחלק שהוא י"ח אלפים קכ"ו עם המחלק שהוא י"א אלפים רפ"ד והנה העולה 204533784
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|חברנו עמהם י"ז אלפים תשס"ו ועלו 204551550 וזהו המחולק בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין בשנחלק הכמות על הכמות והיוצא ניחסהו אל האיכות הנשאר מחסור איכות המחלק מאיכות המחולק אם היה איכות המחלק קטן מאיכות המחולק<br>
| |
| − | או יהיה היוצא מעלות אם היה איכות המחלק שוה לאיכות המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת אחר שנקדים הקדמה אחת והיא שהוא מן המבואר בעצמו לפי מה שקדם שהחלק היוצא מהחלוקה בין בשלמים בין בשברי המספר בין בשבר התכונה הוא מורה על מספר הפעמים אשר יכנס המחלק במחולק<br>
| |
| − | וששם הפעמים השלמים יכונה בשם שלמים<br>
| |
| − | ושם הפעמים הבלתי שלמות יכונה בשם שברים<br>
| |
| − | וזה בחלוק השלמים על השלמים ובחלוק השברים על השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם בחלוק שברי התכונה על שברי התכונה הנה יכונה שם הפעמים השלמות בשם מעלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|יען שהמעלות לתוכנים הם במקום השלמים למספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושם הפעמים הבלתי שלמות יכונה בשם שברי התכונה כמו הראשונים והשניים והדומים להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן בחלוק השלמים על השלמים אם היה המחולק גדול מהמחלק הנה החלק היוצא מהחלוקה הוא שלמים והוא מורה על הפעמים השלמות אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה המחולק קטן מהמחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובחלוק השברים על השברים הנה אם היו שברי המחולק ממין שברי המחלק והיה כמות שברי המחולק יותר מכמות שברי המחלק הנה החלק היוצא מהחלוקה הוא שלמים והוא מורה על הפעמים השלמות אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית לחלק ק"ה חצאים על י' חצאים או ק"ה שלישיים על י' שלישיים וכן בכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היוצא מהחלוקה שהוא הי' וחצי הם שלמים והם מורים על שי' וחצי פעמים שלמות יכנסו תוך הק"ה שלישיים והי' חצאים תוך הק"ה חצאים וכן בכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה כמות שברי המחולק פחות מכמות שברי המחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר הפעם אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו אם רצית לחלק ה' חצאים על י' חצאים או ה' שלישיים על י' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה השבר ההווה מיחס המחולק למחלק הוא מורה על שחצי פעם יכנסו הי' חצאים תוך הה' חצאים או הי' שלישיים תוך הה' שלישיים וכן בכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו שברי המחולק מין אחד ממין שברי המחלק והיה כמות שברי המחולק יותר מכמות שברי המחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה מין שברי המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם עצמו או עם מין אחר הנה החלק היוצא מהחלוקה יהיה המין המוכה עם מין המחלק בהכרח<br>
| |
| − | אחר שהכאת המחלק עם החלק יצא המחולק והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק הוא מורה על שבר מין הפעם אשר יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם רצית לחלק ק"ה ששיים על י' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הי' וחצי היוצאים בחלוקה מורים על שי' וחצי חצאי הפעמים יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהוא מן המבואר שהששיים יולדו מהכאת החצאים עם שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שהיה המחלק שלישיים הנה בהכרח שיהיה החלק חצאים והשבר ההווה מיחס המותר אל המחלק שהוא החצי מורה על שהמחלק יכנס במחולק עוד חצי חצי הפעם ר"ל רביע הפעם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה כמות שבר המחולק פחות מכמות שברי המחלק הנה השבר ההווה מיחס המחולק אל המחלק הוא מורה על שבר המין המוכה עם מין המחלק הנולד מהכאתם מין המחולק אשר יכנס המחלק תוך המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו עד"מ אם רצית לחלק ה' ששיים על שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה השבר ההווה מיחס הה' אל הי' שהוא חצי הוא מורה על שחצי חצי הפעם ר"ל רביע הפעם יכנס המחלק במחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולא היה מין שברי המחולק נולד מהכאת שום מין עם עצמו או עם זולתו ר"ל כשהיה מין שברי המחולק איכות נגזר ממספר ראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם היה מין המחלק מין אחד משני המינים המוכים אשר יולד מהכאתם מין המחולק הנה לא שיחלק המחולק ההוא על המחלק רק אחרי התכת המחלק והמחולק אל מינים שוים או מתחלפים כשיהיה מין המחלק אחד מהשני מינים המוכים אשר יולד מהכאתם מין המחולק ההוא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כבר התבארה סבת חלוק שברי התכונה תכלית ביאור וזה שכבר קדם במין הכאת שברי התכונה שאין הבדל כלל בין הכאת שברי התכונה לשברי המספר<br>
| |
| − | ושההווה מהכאת שברי המספר הוא ההווה מהכאת הכמות עם הכמות בשניחס העולה מהם אל העולה מהכאת האיכות עם האיכות<br>
| |
| − | ושההווה מהכאת שברי התכונה הוא ההווה מהעולה מהכאת הכמות עם הכמות שבשני יחסהו אל העולה מקבוץ האיכות עם האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כמו שיחויב בחלוק שברי המספר שיהיה החלק היוצא מהחלוק מורה על מין הפעמי' אשר יוכה מין המחלק ויולד מין המחולק כמו שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מין המחולק בלתי נולד מהכאת מין המחלק עם מינו ולא עם זולתו הנה לא יתכן שיחלק המחולק ההוא על המחלק כלל רק בשיותכו אל מינים אחרים אשר יתכן שיולד המין ההווה מהמחולק מהכאת המין ההווה מהמחלק עם מינו או עם זולתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כן יחויב בחלוק שברי התכונה לזה הצד בעינו שיהיה החלק היוצא מהחלוקה מורה על המין אשר יקובץ עם מין המחלק ויולד מקבוצם מין המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מין המחולק בלתי נולד מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם זולתו הנה לא יתכן שיחלק המחולק ההוא על המחלק ההוא בהכרח אלא אחרי ההתכה ר"ל בשנתיך מין המחולק או מין המחלק או שניהם עד יתכן זה בם ר"ל שיולד מין המחולק מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם זולתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה כבר יחויב בהכרח שאם היה מין המחולק שוה למין המחלק רצוני לומ' אם רצית לחלק ראשונים על ראשונים או שניים על שניים או שלישיים על שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל המינים שיהיה המין היוצא מהחלוקה מעלות בהכרח מפני שההוה מקבוץ מין המעלות עם קבוץ מין המחלק הוא מין המחולק בעצמו ר"ל שההווה מקבוץ המעלות עם מין הראשונים הם ראשונים ועם מין השניים הם שניים וכן כלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מין המחולק מתחלף ממין המחלק והיה מין המחולק קטון ממין המחלק שאז יהיה מין המחולק נולד מקבוץ מין המחלק עם מינו או עם מין אחר כמו אם רצית לחלק שניים על מעלות או על ראשונים או שלישיים על מעלות או על ראשונים או על שניים וכן בכל החלופים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה בהכרח שיהיה המין הפעמי' היוצא מהחלוקה הוא המין אשר בקבוצו עם מין המחלק יולד מין המחולק בהכרח ר"ל שבחלוקת השניים על המעלות יולדו שניים וכן בכל מיני החלופים כלם דרך אחד להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יחויב לזה בהכרח שנחסר מין המחלק ממין המחולק והמותר הוא מין החלק בהכרח אחר שההווה מקבוץ המותר עם קטן השני מספרים הנחסרים זה מזה הוא המספר הגדול בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מין המחולק מתחלף ממין המחלק והיה המין המחולק גדול ממין המחלק שאז לא יתכן למין המחולק להולד מקבוץ מין המחלק לא עם מינו ולא עם זולת מינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו אם רצית לחלק ראשונים על שניים או על שלישיים או על זולת זה מהמינים הנמשכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם רצית לחלק שניים על שלישיים או על רביעיים וכן כלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה לא יתכן להחלק המחולק על המחלק כלל רק בשנתיך מין המחולק אל מין המחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או בשנשיב מין המחלק אל מין המחולק אם אפשר ואז יהיה היוצא מהחלוקה מעלות כמו שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושהמותר מכל מין ומין מהחלוקים כאשר יתיחס אל המחלק הנה השבר ההווה מהם הוא מורה על שבר מין הפעם האחת כמו שקדם זה בשברי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה אם רצית לחלק ק"ה שניים על י' ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היוצא מהחלוקה הוא י' וחצי והנה הי' מורים על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי ראשוני הפעם ר"ל י' וחצי חלקים מששים חלקי הפעם כי שם הראשונים לתוכנים מורים על הששימיי"ם שקטן זה היחס הוא ששית אחד וחלק אחד מק"כ נמצא שהי' ראשונים נכנסים תוך הק"ה שניים ששית הפעם וחלק א' מק"כ וכן הוא האמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי הי' ראשונים כאשר נתיכם אל השניים השוים למין המחולק הנה יעלו ת"ר שניים וששיתם הם ק' שניים והחלק הא' מק"כ הם ה' הרי ק"ה שניים שהוא המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק הק"ה שלישיים על הי' ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הי' וחצי היוצאים מהחלוקה מורים אז על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי שניי הפעם ר"ל י' וחצי חלקים מג' אלפים ת"ר שקטן זה היחס הוא חלק אחד מש"ס וחלק אחד מז' אלפים ר' וכן הוא כי הי' ראשונים יותכו אל הת"ר שניים והת"ר שניים יותכו אל הל"ו אלף שלישיים והחלק אחד מש"ס הם ק' שלישיים והחלק הא' מז' אלפים ר' הם ה' שלישיים הרי ק"ה שלישיים שהוא המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק הק"ה ראשונים על הי' ראשונים הנה הי' וחצי היוצאים מהחלוקה מורים אז על שהמחלק נכנס במחולק י' וחצי מעלות הפעם ר"ל י' וחצי פעמים שלמות כי שם המעלות לתוכנים מורים על השלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית להשתמש על השבר ההווה מיחס המותר אל המחלק עשם מספר שלם הנה כבר קדם שתכה המותר כמו הה' במשלנו בס' ויעלו ש' ואלה הש' ירדו מדרגה אחת<br>
| |
| − | ר"ל שאם היה המחולק ראשונים יהיו אלה שניים<br>
| |
| − | ואם היה המחולק שניים יהיו אלה שלישיים וכן תמיד אחר שהוכו עם ס'<br>
| |
| − | אחר זה נחלקם על המחלק ויחוייב מזה שיהיו היוצאים מהחלוקה הזאת מדרגה אחת פחותה ממדרגת היוצא מהחלוקה הראשונה<br>
| |
| − | וזה מבואר מאד אין צורך להאריך בו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם יאמר אומר שזאת הסבה הנזכרת אמנם היא סבת ידיעת השבר היוצא מהחלוקה בשיהיה פעם ראשונים ופעם שניים ופעם
| |
| − | שלישיים וכן תמיד לא סבת ידיעת כמות השבר היוצא מהחלוקה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שלאומר שיאמר כי כמו שהכמות היוצא מחלוקת שבר המספר אמנם הוא בשנחלק העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק לא מחלוק כמות המחולק על כמות המחלק כן בחלוק שברי התכונה אין ראוי שנחלק כמות המחולק על כמות המחלק ויצא כמות החלק אבל ראוי שנחלק העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה התשובה בזה מבוארת והוא שכבר קדם שהשברים המספריים ג"כ כאשר יהיו המחולק והמחלק שוי האיכות אין צורך בהכאת האלכסונים כלל ר"ל הכמות עם האיכות רק נחלק הכמות על הכמות והיוצא הוא כמות החלק כמו שקדם בחלוק הק"ה חצאים על הי' חצאים או הק"ה שלישיות על הי' שלישיות וכן כלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולא בשוי האיכות בלבד אבל גם במתחלפי האיכות כאשר יהיה איכו' המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם מינו או עם מין זולתו כמו שקדם בחלוק הק"ה רביעיות על הי' חצאים או הק"ה ששיות על הי' שלישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם כאשר יהיו מתחלפי האיכות ולא יהיה איכות המחולק נולד מהכאת מין המחלק עם מין אחר הנה לא יתכן שיחלקו כלל רק בשנתיך האחד מהם או שניהם להשיבם שוי האיכות ושהכאת האלכסונים ישיבם שוי האיכות כמו שקדם בחלוק שברים המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה א"כ אין הבדל בזה כלל בין השברים המספריים ובין השברים התוכניים ר"ל שכאשר יהיו השברים התוכניים ג"כ שוי האיכות ר"ל איכות המחלק והמחולק הנה אין צורך להכאת האלכסונים רק נחלק הכמות כמו שנעשה זה בשברים המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היו השברים התוכנים גם כן מתחלפי האיכות אבל יהיה איכות המחולק נולד מקבוץ איכות המחלק עם איכות החלק היוצא מהחלוקה הנה אין צורך גם כן להכאת האלכסונים רק נחלק הכמות על הכמות כמו שנעשה זה בשברים המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היו השברים מתחלפים והיה איכות המחולק בלתי נולד מקבוץ איכות המחלק עם איכותו ולא עם איכות זולתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כמו שבשברים המספריים לא יתכן שיחלק המחולק על המחלק רק אחרי ההתכה המשיבה אותם שוי האיכות כן בשברים התוכניים גם כן לא יתכן שיחלק המחולק על המחלק רק אחרי ההתכה המשיבה אותם שוי האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו שהדרך המביאה אל שוי האיכות בשברים המספריים הוא בהכאת האלכסונים כן בשברים התוכניים גם כן הדרך המביאה אל שוי האיכות הוא בהכאת האלכסונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שאיכות השברים התכוניים המורים על מספר חלקי השלם לא על מספר השבירות אמנם הם מספר הששים תמיד כמו שקדם בסבת הכאת השברים התוכניים הנה יכו כמות המחולק עם הס' שהוא איכות המחלק המורה על מספר חלקי השלם כמו בשברים המספריים והעולה נחלקהו על כמות המחלק כמו בשברים המספריים רק שבשברים המספריים נחלק העולה על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם בשברים התוכניים לא נצטרך בזה הטורח אחר שאין הבדל בזה בין שנכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה עם הס' והעולה נחלקהו על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק ובין שנכה כמות המחולק עם איכות המחלק והעולה לא נכהו עם הס' רק נחלקהו על כמות המחולק בלתי מוכה עם איכות המחולק שהוא הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי יחס המחלק הבלתי מוכה עם הס' אל המחולק הבלתי מוכה עם הס' הוא כיחס העולה מהכאת המחלק עם הס' אל העולה מהכאת המחולק אל הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי יחס השיעורים קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת כאשר יהיו שוי הכפלים כמו שהתבאר בספר היסודות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והיה מהמחויב עלינו להכות כמות המחולק עם איכות המחלק שהם הס' והעולה עם הס' אחר שהמחלק הוא מדרגה אחת שפלה לפחות ממדרגת המחולק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן הוא שבר השבר וכבר קדם ששבר השבר אמנם יותך אל השבר כשנכה האיכות עם האיכות והכמות עם הכמות וההווה נחלקהו על העולה מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק שהוא הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן המחויב לזה בהכרח שנכה כמות המחולק עם הס' והעולה נחלקהו על כמות המחלק ובזה נגיע אל המכוון כאלו הכינו כמות המחלק עם איכות המחולק וכמות המחולק עם איכות המחלק כמו שעשינו בשברים המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לחלק ל' ראשונים על י' שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יסודרו לפי הנחת השברים המספריים על זה הסדר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{60}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{10}{60}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{30}{60}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הל' ראשונים אחר שהיא שבירה ראשונה והוא מורה על שבר נכתוב תחתיו ס' להורות על מספר חלקי השלם כמשפט השברי' המספריים<br>
| |
| − | והי' שניים אחר שהיא שבירה שנייה והוא מורה על שבר השבר הנה נכתוב תחתיו ס' להורות על מספר חלקי השלם כמשפט<br>
| |
| − | גם נכתוב בצדו השבירה הראשונה שהוא אחד מששים כמשפט הנחת שברי השבר<br>
| |
| − | אחר זה נכה האיכות עם האיכות שהוא ס' בס' ויעלו ג' אלפים ת"ר<br>
| |
| − | גם נכה הכמות עם הכמות שהוא הי' עם הא' ויעלו י' ניחס הי' אל הג' אלפים ת"ר והוא ההווה מהתכת
| |
| − | שבר השבר אל השבר כמשפט<br>
| |
| − | אחר זה נכה האלכסונים ר"ל כמות הל' עם איכות הג' אלפים ת"ר וכמות הי' עם איכות הס'<br>
| |
| − | ונחלק העולה מהכאת הי' עם הס' על העולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר זהו מנהג השברים המספריים לפי מה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מנהג התוכנים בזה המין להכות כמות הל' עם איכות הס' והעולה יחלקוהו על כמות הר' ולא יצטרכו להכות הל' עם הג' אלפים ת"ר ולא הי' עם הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין הבדל בין שני המנהגים כלל וזה שכבר קדם שיחס השיעורים קצתם אל קצת כאשר היו כפליהם שוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והיה ההבדל אשר בין מנהג התוכנים למנהג המספרים אמנם הוא בשמחלק התוכנים הם הי' במשלנו ומחלק המספריים הוא העולה מהכאת הי' עם הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה ההבדל אשר בין המחלק למחלק הוא ס' כפלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומחולק התוכנים הוא העולה מהכאת הל' עם הס' ומחולק המספריים הוא העולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שאין הבדל בהכאות בין שנכה הל' עם הס' והעולה עם הס' ובין שנכה הל' עם העולה מהכאת הס' עם הס' שהם הג' אלפים ת"ר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן יחויב לזה בהכרח שישוה העולה מהכאת הל' עם הס' והעולה עם הס' לעולה מהכאת הל' עם הג' אלפים ת"ר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה יחוייב שיהיה מחולק התוכנים העולה מהכאת הל' עם הס' ומחולק המספריים הוא העולה מהכאת הל' עם הס' והעולה עם הס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה ההבדל אשר בין המחולק למחולק הוא ס' כפלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שההבדל שבין המחלק למחלק הוא ס' כפלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יחוייב לזה בהכרח שיהיה יחס מחלק התוכנים אל מחולק התוכנים כיחס מחלק המספריי' אל מחולק המספריים לפי מה שקדם מההקדמה ההנדסיית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן לא רצו התוכני' לטרוח בהכאת שני האלכסונים כמנהג המספריים אחר שההווה משניהם אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המספריים למה שלא יתכן זה בשברים המספריים הוצרכו לטרוח בהכאת שני האלכסונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הסבה באשר יתכן זה הקצור בשברים התוכניים ולא כן בשברים המספריים הנה היא מבוארת ג"כ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהשברים התוכניים למה שהיו בעלי איכות אחת ר"ל ששימיים הנה כאשר נקצר מהכאת כמות המחלק עם איכות המחולק הוא שוה למה שקצרנו מהכאת העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק עם הס' אחר שכל ההכאות הם עם ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם בשברים המספריים שלא יחויב שיהיה האיכות אשר יוכה בו כמות המחלק שוה לאיכות אשר יוכה בו העולה מהכאת כמות המחולק עם איכות המחלק כאשר היה שבר השבר הנה לא השתמשו בקצור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם רצית לחלק הל' רביעיים על הי' חצאי השליש הא' יונחו כזה הסדר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{30}{4}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{10}{20}</math>
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{30}</math>
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה הל' עם הב' והעולה עם הג' והם ק"פ ונחלקם על העולה מהכאת הי' עם הד' שהם מ' והנה לא יתכן לקצר מהכאת הי' עם הד'<br>
| |
| − | כי לא ישוה הקצור ההווה מהכאת הג' עם העולה מהכאת הל' עם הב'<br>
| |
| − | כי הס' שהם העולה מהכאת הל' עם הב' צריך שיוכה עם ג' והי' שהוא כמות המחלק צריך שיוכה עם ד' ולא כן בשברים התוכניים<br>
| |
| − | וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת דרך חלוק השברים הרבים אל השברים הרבים הנה היא מבוארת ממה שקדם בהכאת השברים התוכניים עם השברים התוכניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השנית שעל דרך ההתכה גם כן הנה התבארה ממה שקדם מסבת חלוק המין האחד מין השברים על מין אחד מן השברים אחר ששבו מיני השברים הרבים שבמחלק למין א' מן השברים וכן במחלק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות החלק היותר קרוב בשברים הבלתי כלים בחלוקתם עם האופן הראשון הנה היא מבוארת גם כן מאופן ההתכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין ספק שעם הדרך הזאת יותכו השאריות כלם אל המדרגה הנמשכת ר"ל השניים ישובו אל השלישיים והשלישיים אל הרביעיים והרביעיים אל החמישיים וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עד שעם הדרך הזאת יחשב כאלו מתחלת הטור העליון שהוא המחולק היה בעל מדרגות רבות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין הבדל בין שנניח מדרגות הטור העליון תחלה מעלות ראשונים שניים לבד<br>
| |
| − | ועם הדרך הזאת תתיך המותר מהמעלות הבלתי נחלקות אל הראשונים והמותר מהראשונים הבלתי נחלקים אל השניים ומותר מהשניים הבלתי נחלקים אל השלישיים והמותר מהשלישיים הבלתי נחלקים אל הרביעיים וכן תמיד<br>
| |
| − | ובין שיונחו מדרגות הטור העליון מתחלה מעלות ראשונים שניים שלישיים רביעיים וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה כמו שאם היו מונחים במדרגות הטור העליון מתחלה מעלות ראשונים שניים שלישיים רביעיים עד"מ תצטרך להרבות מדרגות המחלק עד שיכלו כל מדרגות הטור העליון ר"ל עד שתגיע אל המדרגה הראשונה ממדרגות הטור העליון ואם לא יכלה כל מספר המדרגה ההיא כן יחויב לפי הדרך הזאת בעצמה רק שקצתו בכתיבה לבד בתחלת הנחת המדרגות אחר שעם ההתכה ירבו אחר כן המדרגות ואם לא הונחו מתחלה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאותו עם האופן השני ר"ל שעל דרך ההתכה בשתכה המותר על ס' והעולה נחלקהו על המחלק והיוצא ירד מדרגה אחת מהיוצא מהחלוקה הראשונה וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבארה ממה שקדם אין צורך לכפול המאמרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר שלמו המינים הד' בשברי התכונה עם סבותיהם בתכלית מה שהיה אפשר לבארם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה נתחיל בהודעת שרשי המספרים
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | === Section Two - Roots ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|השער השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ידוע שהמספרים כלם נחלקים לשנים האחד מהם נגדר והאחד בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנגדר הוא המספר ההווה מהכאת מספר אחד בעצמו והם הנקראים המספרים ההוהויים לפי שארכם שוה לרחבם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספר הט' עד"מ שהוא הווה מהכאת השלשה בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו מספר הי"ו ההווה מהכאת הד' בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המספרים המוכים בעצמם כמו הג' והד' במשלנו אשר מהם יצמחו המספרים ההוהויים נקראים שרשים כי הם כדמות השרשים לצמחים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והבלתי נגדר הוא המספר אשר לא יתהוה מהכאת שום מספר בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספר הי' עד"מ שלא ימצא מספר כלל שיהיה העולה מהכאתו בעצמו י'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם הנקראים המספרים הזולתיים לפי שארכם מתחלף לרחבם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי הי' במשלנו הוא ההווה מהכאת הב' עם הה' שהם שני מספרים מתחלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והיה מהחוייב עלינו בידיעת מתרי הזויות הנצבות ובידיעת האמצעיים בעלי הג' גבולים המתיחסים לדעת שרש המספר ההוה מהכאת שתי הקצוות ושרש המספר המחובר ממרובעי הצלעות המקיפות בזוית הנצבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך בידיעת מציאות השרשים האמתיים למספרים הנגדרים והשרשים הקרובים למספרים הבלתי נגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המתננו זאת החקירה בזה המאמר בעבור שהיתה זאת החקירה אמנם תשיג למספרים מצד מה שישיג המספר למתדבק ר"ל מצד מה שבכח המתדבק להחלק לא מצד המספר בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהוא מן המבואר בעצמו שמתרי הזויות אמנם הם מהקו המתדבק לבד לא מהמתפרד וכן האמצעיים אשר בין הגבולים המתיחסים אמנם הם מהקו המתדבק כי האמצעיים ואם כבר יפלו גם כן במספרים אמנם אין זה למספרים מצד היותם מספרים רק מצד מה שבכח הקו האמצעי המתיחס בין שתי הקצוות להחלק לחלקים בעלי מספר מה שהאמצעי ימצא בין כל שני קוים ולא ימצא בין כל שני מספרים וכאשר היה זה כן והיה המאמר הזה אמנם כוונתנו בו בהודעת הדרושים המספריים מצד נפלם בהנדסא והתכונה הנה אם כן מהמחויב עלינו להמתין החקירה הזאת בזה המאמר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Part One - Square Roots ====
| |
| − | | |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Chapter One =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הפרק הראשון</big>
| |
| − | |-
| |
| − | |Know that the ancients have already written two methods to know this species:
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע שהראשונים כבר כתבו בידיעת זה המין שני דרכים
| |
| − | |-
| |
| − | !The first method
| |
| − | |style="text-align:right;"|הדרך האחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<span style=color:red>[description of the procedure:]</span>
| |
| − | *We arrange the number whose root is required in one row
| |
| − | |style="text-align:right;"|היא שנסדר המספר אשר אתה דורש לדעת שרשו בטור א‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נבקש שרש המדרגה האחרונה או היותר קרוב כשתחשוב אותה לאחדי' אם היה מספר המדרגות נפרד או שרש המדרגה האחרונה מחוברת עם הקודמת לה או היותר קרוב כשתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים אם היה מספר המדרגות זוג<br>
| |
| − | אחר זה כפול השרש לשנים<br>
| |
| − | ואם היה העולה מכפלו אחדים לבד כתבהו תחת המדרגה הקודמת לה<br>
| |
| − | ואם היה העולה מכפלו עשרות לבד כתבהו תחת השרש הנכפל ותחת המדרגה הקודמת כתוב סיפרא<br>
| |
| − | ואם היו עשרות ואחדים כתוב האחדים תחת המדרגה הקודמת והעשרות תחת השרש הנכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, look for a number, such that its product by double the root and its product by itself will be enough to be subtracted from the digits of the upper line, from the ranks corresponding to the numbers of double [the root] and to the required number that is multiplied by itself, each from its corresponding rank of the upper line.
| |
| − | ::We write the required number beneath the third rank that precedes the position of the first root and it is called the second root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם מספרי הכפל ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממספרי הטור העליון מהמדרגות שכנגד מספרי הכפל ושכנגד המספר המבוקש שהוא המוכה בעצמו כל א' ממה שכנגדו ממדרגות הטור העליון<br>
| |
| − | והמספ' המבוקש נכתבנו תחת המדרגה השלישית הקודמת ממקום השרש הראשון ויקרא השרש השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה כפול השרש השני כמשפט השרש הראשון<br>
| |
| − | וכתוב העולה מכפלו תחת המדרגה הקודמת לשרש השני אם היה אחדים לבד<br>
| |
| − | או תחת השרש השני אם היה עשרות לבד ותחת המדרגה הקודמת סיפרא<br>
| |
| − | או האחדים תחת המדרגה הקודמת מהשרש הב' והעשרות תחת השרש השני אם היה עשרות ואחדים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Shift the double of the first root to the preceding rank
| |
| − | |style="text-align:right;"|ותעתיק כפל השרש הראשון אל המדרגה הקודמת לה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::If [a part of] the double of the second root is happen to be beneath the rank that precedes the double of the second root, add it to [double the first root].
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם יקרה שיהיה מכפל השורש השני תחת המדרגה הקודמת מכפלי השרש השני חברהו עמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, look for a number, such that its product by all the digits of double the first and second roots and its product by itself will be enough to be subtracted from the digits of the upper line, from the ranks corresponding to the numbers of double [the root] and to the required number, each from its corresponding rank of the upper line.
| |
| − | ::We write the required number beneath the third rank that precedes the position of the second root and it is called the third root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל מספרי כפלי השרש הראשון והשני ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממספרי הטור העליון מהמדרגות שכנגד מספרי הכפל ושכנגד המספר המבוקש כל אחד ממה שכנגדו ממדרגות הטור העליון<br>
| |
| − | והמספר המבוקש נכתבנו תחת המדרגה הקודמת השלישית ממקום השרש השני ויקרא השרש השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בזה הדרך תמיד עד שנשלים מדרגות הטור העליון שהוא הטור הדרוש שרשו<br>
| |
| − | אחר זה קח השרשים וסדרם בטור אחד כפי הנחת המדרגות והעולה הוא שרש המספר הדרוש אם לא נשאר מספר בטור העליון<br>
| |
| − | אך אם נשאר מספר בטור העליון יהיה הוא השרש הקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם תרצה לדקדקו יותר מזה הנה הדרך בידיעת זה הוא שתוסיף סיפרש על הטור העליון כמה שתרצה וכל מה שתוסיף ברבוי הסיפרש תוסיף בדקדוק השרש ובלבד שיהיו זוגות<br>
| |
| − | וזה כשתנהג עם הדרך הקודם תמיד עד שיגיע השרש האחרון אל הסיפרא האחרונה<br>
| |
| − | אחר זה קח כל השרשים וסדרם בטור אחד בהנחת מדרגותיו זה אחר זה כמנהג<br>
| |
| − | אחר זה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפר"ש והנשארות מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארות מהמדרגות האחרונות שמרם והם מעלות<br>
| |
| − | אחר זה הכה המדרגות הנשלכות עם הס' והעולה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארו' מהמדרגות האחרונות שמרם והם ראשונים<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכה המדרגות הנשלכות עם הס' והעולה השלך מהמדרגות הראשונות כמספר מדרגות חצי הסיפרש והנשארות מהמדרגות האחרונות שמרם והם שניים<br>
| |
| − | וכן תמיד עד שיכלו כל המדרגות הנשלכות אל סיפרש<br>
| |
| − | אחר זה קח כל השמורים שבידך שהם המעלות והראשונים והשניים והשלישיי' והרביעיים וזהו השרש המדוקדק מהמספר הבלתי נגדר<br>
| |
| − | ואם רצית לדקדקו יותר תרבה זוגות
| |
| − | הסיפרש וכפי רבויים ככה יהיה דקדוקו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:√6169002849|439|xzov}} Example of a number that has a root, whose root is required
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{6169002849}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל המספר הנגדר אשר יבוקש שרשו הוא זה{{#annotend:xzov}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||2|| || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||3||6||1||2|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||4||8||7||4||7|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | |1||2||4||5||7||5||1||2|| ||
| |
| − | |-style="border-bottom:1px solid black;"
| |
| − | |6||1||6||9||0||0||2||8||4||9
| |
| − | |-
| |
| − | | ||7|| ||8|| ||5|| ||4|| ||3
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||4|| ||6|| ||0|| ||8||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||5||5||7||7||0|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||1||1||5|| || | ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | ::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span>
| |
| − | :{|
| |
| − | |-
| |
| − | | ||rowspan="7"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{61-{\color{blue}{7}}^2=61-49=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}</math>|| ||rowspan="7"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(1\times{\color{blue}{8}}\right)=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{46-\left(4\times{\color{blue}{8}}\right)=46-32=}}{\color{green}{14}}\\&\scriptstyle{\color{red}{149-{\color{blue}{8}}^2=149-64=}}{\color{green}{85}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times8=}}{\color{blue}{16}}\\&\scriptstyle{\color{red}{4+1}}{\color{blue}{5}}\\\end{align}}</math>|| <span style="color:LimeGreen>1</span>        
| |
| − | |-
| |
| − | | || || <span style="color:LimeGreen>48</span>       
| |
| − | |-
| |
| − | | ||<span style="color:LimeGreen>12</span>        ||12<span style="color:LimeGreen>45</span>      
| |
| − | |-
| |
| − | |<span style="color:red">61</span>69002849||6169002849||6169002849
| |
| − | |-
| |
| − | | || <span style="color:#0000FF>7</span>        || 7 <span style="color:#0000FF>8</span>      
| |
| − | |-
| |
| − | | || <span style="color:#0000FF>14</span>       || 14 <span style="color:#0000FF>6</span>     
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||  <span style="color:#0000FF>15</span>      
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | :::{|
| |
| − | |-
| |
| − | |rowspan="10"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{8-\left(1\times{\color{blue}{5}}\right)=8-5=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{35-\left(5\times{\color{blue}{5}}\right)=35-25=}}{\color{green}{10}}\\&\scriptstyle{\color{red}{100-\left(6\times{\color{blue}{5}}\right)=100-30=}}{\color{green}{70}}\\&\scriptstyle{\color{red}{700-{\color{blue}{5}}^2=700-25=}}{\color{green}{675}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times5=}}{\color{blue}{10}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6+1=}}{\color{blue}{7}}\\\end{align}}</math>|| ||rowspan="10"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(1\times{\color{blue}{4}}\right)=6-4=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-\left(5\times{\color{blue}{4}}\right)=27-20=}}{\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{75-\left(7\times{\color{blue}{4}}\right)=75-28=}}{\color{green}{47}}\\&\scriptstyle{\color{red}{28-{\color{blue}{4}}^2=28-16=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times4=}}{\color{blue}{8}}\\\end{align}}</math>||   <span style="color:LimeGreen>2</span>      
| |
| − | |-
| |
| − | |  <span style="color:LimeGreen>16</span>      ||  16      
| |
| − | |-
| |
| − | | 1<span style="color:LimeGreen>37</span>      || 137      
| |
| − | |-
| |
| − | | 48<span style="color:red>0</span>     || 480<span style="color:LimeGreen>47</span>    
| |
| − | |-
| |
| − | |1245<span style="color:LimeGreen>75</span>    ||124575<span style="color:LimeGreen>12</span>  
| |
| − | |-
| |
| − | |6169002849||6169002849
| |
| − | |-
| |
| − | | 7 8 <span style="color:#0000FF>5</span>    || 7 8 5 <span style="color:#0000FF>4</span>  
| |
| − | |-
| |
| − | | 14 6 <span style="color:#0000FF>0</span>   || 14 6 0 <span style="color:#0000FF>8</span> 
| |
| − | |-
| |
| − | |  15<span style="color:#0000FF>57</span>    ||  1557<span style="color:#0000FF>7</span>   
| |
| − | |-
| |
| − | |   <span style="color:#0000FF>1</span>      ||   1<span style="color:#0000FF>15</span>    
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | :::{|
| |
| − | |-
| |
| − | |rowspan="10"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{4-\left(1\times{\color{blue}{3}}\right)=4-3=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{\left[17-\left(5\times{\color{blue}{3}}\right)=17-15=\right]}}{\color{green}{\left[2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{21-\left(7\times{\color{blue}{3}}\right)=21-21=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{24-\left(8\times{\color{blue}{3}}\right)=24-24=}}{\color{green}{0}}\\&\scriptstyle{\color{red}{9-{\color{blue}{3}}^2=9-9=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}</math>||   2      
| |
| − | |-
| |
| − | |  16      
| |
| − | |-
| |
| − | | 137<span style="color:LimeGreen>1[2]</span>    
| |
| − | |-
| |
| − | | 48047    
| |
| − | |-
| |
| − | |12457512  
| |
| − | |-
| |
| − | |6169002849
| |
| − | |-
| |
| − | | 7 8 5 4 <span style="color:#0000FF>3</span>
| |
| − | |-
| |
| − | | 14 6 0 8 
| |
| − | |-
| |
| − | |  15577   
| |
| − | |-
| |
| − | |   115    
| |
| − | |} <math>\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt{6169002849}=78543}}</math>
| |
| − | | |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובעבור שמדרגו' זה הטור זוגות הנה יחוייב לבקש שרש שתי המדרגות האחרונות שהם ששים וא' ושרשם ז' ונכתבהו תחת הא‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by itself, the result is 49.
| |
| − | :::We subtract it from the 61 and 12 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{61-7^2=61-49=12}}</math>
| |
| − | :::We write it above to indicate the remainder.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם עצמו ועלו מ"ט<br>
| |
| − | חסרנו מהס' ואחד ונשארו י"ב<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה להורות על הנשארים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We double the 7, the result is 14. <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot7=14}}</math>
| |
| − | :::We write the 10 beneath the 7 and the 4 in the rank that precedes the root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כפלנו הז' ועלו י"ד<br>
| |
| − | כתבנו הי' תחת הז' והד' במדרגה הקודמת לשרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, we look for a number, such that its product by double the root and its product by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line corresponding to the products, each from its corresponding rank. It is 8.
| |
| − | ::We write it in the third rank that precedes the root and we call it a second root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כפלי השרש ומהכאתו בעצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים המוכים כל אחד מהמדרגה שכנגדה והוא ח‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת לשרש וקראנוהו שרש שני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by one that beneath the first root, the result is 8.
| |
| − | :::We subtract it from the 12 that we have and 4 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(1\sdot8\right)=12-8=4}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם האחד שתחת השרש הראשון ועלו ח‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהי"ב שבידינו ונשארו ד‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by the 4, the result is 32.
| |
| − | :::We subtract it from the 46 that is in the upper line and 14 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{46-\left(4\sdot8\right)=46-32=14}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם הד' ועלו ל"ב<br>
| |
| − | חסרנום מהמ"ו שבטור העליון ונשארו י"ד<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by itself, the result is 64.
| |
| − | :::We subtract it from the numbers of the upper line and 85 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{149-8^2=149-64=85}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו עם עצמו ועלו ס"ד<br>
| |
| − | חסרנום ממספרי הטור העליון ונשארו פ"ה<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו הח' בעצמו ועלו י"ו כתבנו הו' במדרגה הקודמת השני והא' שהוא תמורת הי' תחת הח‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שמתנאי אותיות הכפל הוא שיעתקו כל א' מהם אל המדרגה הקודמת לה כאשר נחדש כפלי' אחדים הנה מן המחוייב עלינו אם כן שנעתיק הד' שקודם השרש הראשון תחת השרש השני והנה נפגש שם עם הא' המונח תחתיו שהוא ההווה מכפל הח' וחברנום ועלו ה' גם העתקנו הא' שתחת הז' אל המדרגה הקודמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the upper line, from the ranks corresponding to the doubles, each from its corresponding rank. It is 5.
| |
| − | ::We write it in the third rank that precedes the second root and we call it a third root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים המוכים כל אחד מהמדרגה שכנגדה והוא מספר ה‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת מהשרש השני וקראנוהו שרש שלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by one that beneath the 4 of the bottom line, the result is 5.
| |
| − | :::We subtract it from the corresponding rank of the upper line and 3 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(1\sdot5\right)=8-5=3}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינו עם הא' שתחת הד' מהטור השפל ועלו ה‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהמדרגה שכנגדו מהטור העליון ונשארו ג‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by the 5 that beneath the 8, the result is 25.
| |
| − | :::We subtract it from the 5 corresponding in the upper line with the succeeding rank and 10 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{35-\left(5\sdot5\right)=35-25=10}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם הה' שתחת הח' ועלו כ"ה<br>
| |
| − | חסרנום מהה' שכנגדו מהטור העליון עם עזר המדרגה הנמשכת ונשארו י‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by the 6 that beneath the 0, the result is 30.
| |
| − | :::We subtract it from the reserved 10 that now are 100 in this rank. <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-\left(6\sdot5\right)=100-30={\color{red}{70}}}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו עם הו' שתחת ה0' מהטור העליון ועלו ל‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהי' השמורים שהם עתה בערך המדרגה הזאת ק‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by itself, the result is 25.
| |
| − | :::We subtract it from the reserved 70 that now are 700 in this rank. <math>\scriptstyle{\color{blue}{700-5^2=700-25={\color{red}{675}}}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם עצמו ועלו כ"ה<br>
| |
| − | חסרנום מהע' השמורים שהם בערך אל המדרגה הזאת ת"ש<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט כל א' לפי מקומו הראוי לו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה כפלנו הה' שהוא השרש השלישי ועלו י' כתבנום תחתיו גם כתבנו סיפרא במדרגה הקודמת מהשרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה העתקנו הכפלים הראשונים כל א' אל המדרגה הקודמת ממנה ולהיות שנפגש כפל הו' עם כפל הא' שתחת השרש השלישי שהוא ההווה מכפלו חברנום ועלו ז' ומחקנו הכפלים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line, corresponding to the doubles, and the fourth root according to the rule. We find the number 4.
| |
| − | ::We write it in the third rank that precedes the third root and we call it the fourth root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים והשרש הרביעי כמשפט ומצאנו מספר ד‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגה השלישית שקודם השרש השלישי וקראנוהו השרש הרביעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by one that beneath the 8, the result is 4.
| |
| − | :::We subtract it from the 6 corresponding it in the upper line and 2 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(1\sdot4\right)=6-4=2}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם הא' שתחת הח' ועלו ד‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהו' שכנגדו בטור העליון ונשארו ב‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 5, the result is 20.
| |
| − | :::We subtract it from the 27 in the upper line and 7 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(5\sdot4\right)=27-20=7}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם ה' הכפל ועלו כ‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהכ"ז שבטור העליון ונשארו ז‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 7, the result is 28.
| |
| − | :::We subtract it from the 75 in the upper line and 47 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{75-\left(7\sdot4\right)=75-28=47}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם ז' הכפל ועלו כ"ח<br>
| |
| − | חסרנום מהע"ה שבטור העליון ונשארו מ"ז<br>
| |
| − | וכתבנו' למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We skip the 0 and multiply it by itself, the result is 16.
| |
| − | :::We subtract it from the 28 in the upper line and 12 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{28-4^2=28-16=12}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד דלגנו ה0' והכינוהו עם עצמו ועלו י"ו<br>
| |
| − | חסרנום מהכ"ח שבטור העליון ונשארו י"ב<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה כפלנו הד' שהוא השרש הרביעי ועלו ח' וכתבנום במדרגה הקודמת מהשרש הד‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|העתקנו הכפלים הראשונים כל אחד אל המדרגה הקודמת ממנה ומחקנו הכפלים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, we look for a number, such that its products by all the doubles and by itself will be enough to be subtracted from the ranks of the upper line, corresponding to the doubles, and the fifth root. It is 3.
| |
| − | ::We write it in the third rank that precedes the fourth root and we call it the fifth root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר ממדרגות הטור העליון שכנגד הכפלים והשרש החמישי והוא מספר שלוש<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגת הג' שקודם השרש הרביעי וקראנוהו השרש החמישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by the 1 that beneath the 6, the result is 3.
| |
| − | :::We subtract it from the 4 in the upper line and one remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(1\sdot3\right)=4-3=1}}</math>
| |
| − | :::We write it above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם האחד שתחת הו' ועלו ג‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהרביעי שבטור העליון ונשאר אחד<br>
| |
| − | וכתבנוהו למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 7, the result is 21.
| |
| − | :::We subtract it from the 21 in the upper line and nothing remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{21-\left(7\sdot3\right)=21-21=0}}</math>
| |
| − | :::Therefore, we write zero above them to indicate that nothing remains.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם ז' הכפל ועלו כ"א<br>
| |
| − | חסרנום מהכ"א שבטור העליון ולא נשאר כלום<br>
| |
| − | ולכן נכתוב עליהם סיפרא להורות שלא נשאר כלום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We skip the zero and multiply it by 8, the result is 24.
| |
| − | :::We subtract it from the 24 in the upper line corresponding the 8 and nothing remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(8\sdot3\right)=24-24=0}}</math>
| |
| − | :::We write zero above to indicate that nothing remains.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד דלגנו סיפרא הכפל והכינוהו עם ח' הכפל ועלו כ"ד<br>
| |
| − | חסרנום מהכ"ד שבטור העליון שכנגד ח' הכפל ולא נשאר כלום<br>
| |
| − | וכתבנו למעלה סיפראש להורות שלא נשאר כלום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by itself, the result is 9.
| |
| − | :::We subtract it from the 9 in the upper line corresponding the root 3 and nothing remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{9-3^2=9-9=0}}</math>
| |
| − | :::Therefore, we write zero above it according to the rule to indicate that nothing remains.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם עצמו ועלו ט‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהט' שבטור העליון שכנגד שרש הג' ולא נשאר כלום<br>
| |
| − | ולכן כתבנו עליה סיפרא כמשפט להורות שלא נשאר עליו כלום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכבר הגענו אל המדרגה הראשונה ידענו שהשלמנו פעלתנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שלא נשאר שום מותר בטור העליון ידענו שהוא מספר מרובע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה לקחנו כל מספרי השרש וסדרנום בטור כל א' לפי מדרגתו וההווה הוא שרשו והוא שבעים ושמונה אלף וחמש מאות וארבעים ושלשה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:√6169004404|439|NWNH}} Example of a number that does not have a root, whose approximate root is required.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{6169004404}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המספר הבלתי נגדר המבוקש שרשו היותר קרוב הוא זה{{#annotend:NWNH}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|מצאנו השרש השלם היותר קרוב לזה עם הדרך הקודם והוא ע"ח אלף תקמ"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שנשארו בטור העליון מותר אלף תקנ"ה ידענו שזה המספר בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שנשארו שלא יתכן למצוא לו שרש שלם יותר קרוב מהע"ח אלף ותקמ"ג כי אם נוסיף על זה השרש עוד אחר יתחייבו ממנו מספר קנ"ז אלף ופ"ג והמספרים הנותרים אינם כי אם אלף תקנ"ה לכן ידענו כי התוספת הראוי להוסיף על השרש לא יהיה כי אם שבר בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך אל מציאות השבר הקרוב הוא זה שנוסיף בטור העליון סיפראש איזה זוג שתרצה כי כפי התרבות הסיפראש ככה יהיה דקדוקו ונסדרם כאשר אתה מראה בזאת הצורה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || || || ||1|| || || || || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || || ||1||2|| ||1|| || || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || ||1||2||6|| ||2||9|| || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||2|| || || ||2||6||5||1||5||7||3|| ||2||1||8|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||3||6||1||2|| 6||4||1||5||6||1||9|| ||3||2||9|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||4||8||7||4||7||1||5||5||2||6||2||5||1||6||1||9||5||7||
| |
| − | |-
| |
| − | |1||2||4||5||7||5||2||8||6||5||2||8||7||9||1||9||6||6||6||9
| |
| − | |-
| |
| − | |6||1||6||9||0||0||4||4||0||4||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||7|| ||8|| ||5|| ||4|| ||3|| ||0|| ||0|| ||9|| ||8|| ||9
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||4|| ||6|| ||0|| ||8|| ||6|| ||0|| ||0|| ||8|| ||6||
| |
| − | |-
| |
| − | |1||1||5||5||7||7||0||0||8||8||6||6||0||0||1||1||9||1|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||1||5||5||7||7||0||0||8||8||6||6||0|| || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||1||1||5||5||7||7||0||0||8|| || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || ||1||1||5||5||7|| || || || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || || ||1|| || || || || || || || || || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונוסיף י' סיפראש קודם המדרגה הראשונה ממדרגות הטור העליון וננהיג הדרך הראשון בעינו והוא שנכפול הדרך החמשי שהוא הג' ויעלו ו' ונכתבם במדרגה הקודמת לשרש החמישי גם נעתיק הכפלים הראשונים אל המדרגות הקודמו' להם כמנהג ונמחוק הכפלים הראשונים כמנהג ונבקש מספר שיוכה עם כל הכפלים ועם עצמו שיספיק שיחוסר מהמדרגות שכנגדם בטור העליון כמנהג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהמדרגה שעל הטור העליון שכנגד הכפל האחרון הוא סיפרא וכן כל המדרגות הקודמות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולא יתכן שיחוסר מהם שום מספר לכן כתבנו סיפרא במדרגה השלישית הקודמת לשרש החמישי וקראנוה השרש הששי להורות שלא מצאנו שום מספר שיוכה עם הכפלים ועם עצמו שיספיק שיחוסר מהמדרגות שכנגדם מהטור העליון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו הסיפרא שהוא השרש הששי ועלה סיפרא וכתבנוה במדרגה הקודמת כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם העתקנו הכפלים כלם ממקומם הראשון אל המדרגות הקודמות להם כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו ולא מצאנו שום מספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כתבנו סיפרא במקום שרש שביעי וזה במדרגה השלישית הקודמת לשרש הששי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו הסיפרא שהוא השרש השביעי ועלה סיפרא וכתבנוה במדרגה הקודמת לשרש השביעי גם העתקנו הכפלים ממקומם הראשון וכתבנום אל המדרגה הקודמת להם כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו ומצאנו מספר ט' וכתבנוהו במדרגה השלישית הקודמת לשרש השביעי כמשפט וקראנוהו שרש שמיני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו וכתבנו הנשארי' כל אחד במקומו כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו הט' ועלו י"ח וכתבנו הח' במדרגה הקודמת כמשפט. והי' שהוא א' בערך אל המדרגה הנמשכת כתבנוהו תחת הט' בעצמו כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם העתקנו כל הכפלים וכתבנום במקומם כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם כל הכפלים ועם עצמו ויספיק העולה שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים כמשפט ומצאנו מספר ח' וכתבנוהו במדרגה הג' הקודמת לשרש השמיני וקראנוהו שרש תשיעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון והנשארים כתבנום כל אחד במקומו כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו הח' ועלו י"ו וכתבנו הו' במדרגה הקודמת והי' שהוא במקום א' בערך אל המדרגה הנמשכת כתבנוהו תחת הח' גם העתקנו כל הכפלים ממקומם וכתבנום במקומם כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונפגש הא' שהוא כפל הט' עם הא' שהוא תחת הח' וחברנום והיו ט' כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם כל הכפלים ועם עצמו שיחוסר מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ומצאנו מספר ט‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכינוהו עם כל הכפלים ועם עצמו וחסרנו העולה מהטור העליון מהמדרגות שכנגד הכפלים ועצמו והנשארים כתבנום במקומם להורות על הנשארים כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה נשלמנו כל המדרגות המונחות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה לקחנו כל מספר השרש וסדרנום בטור אחד כל אחד לפי מדרגתו כמו שתראה בתמונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |7||8||5||0||4||3
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="6"|'
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |0||0||9||8||9
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || ||0
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="6"|''
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |5||9||3||4||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||3||5
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="6"|''
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |6||0||4||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||3||6
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="6"|''''
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |2||4||0||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||1||4
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="6"|''''
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||0||0||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||2||4
| |
| − | | |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |0||0||0||0||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולקחנו מהם המדרגות שהם תחת המספר המונח אשר דרשנו שרשו וכתבנום לבדם והם במקום מעלות<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הנשארים ממדרגות זה השרש עם ס' ועלו נ"ט אלפים ש"מ השלכנו מאלה המדרגות כמספר חצי הסיפראש שהם ה' מדרגות מפני שהסיפראש הם י' ונשארה סיפרא אחת וכתבנוה לבדה והיא במקום ראשונים והנשארים מהמדרגות<br>
| |
| − | הכינום עוד עם ס' ועלו שלשה אלף אלפים תק"פ אלפים ת' השלכנו מאלה המדרגות כמספר חצי הסיפראש שהם ה' מדרגות ונשארו ל"ה וכתבנום לבדם והם במקום שניים<br>
| |
| − | עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם ס' ועלו ג' אלף אלפים תרצ"ד אלפים השלכנו מהם כמספר חצי הסיפראש ונשארו ל"ו וכתבנום לבדם והם במקום שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle24000\times60=1440000</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם הס' ועלו אלף אלפים ת"מ אלפים השלכנו מהם כמספר חצי הסיפרש ונשארו י"ד וכתבנום לבדם והם במקום רביעיים<br>
| |
| − | עוד הכינו הנשארים מהמדרגות עם ס' ועלו השלכנו מהם כמספר חצי הסיפרש ונשארו כ"ד וכתבנום לבדם והם במקום חמשיים<br>
| |
| − | ולהיות שהנשארים מאלה המדרגות הם סיפרש ולא נוכל להכותם עוד עם ס' כמשפט<br>
| |
| − | הנה לקחנו כל השברים היוצאים מההכאות וסדרנום עם השלמי' שהם במקום מעלות כל אחד לפי מדרגתו והם ע"ח אלף ותקמ"ג מעלות 0 ראשונים ל"ו שלישיים י"ד רביעיים כ"ד חמישיים וזהו השרש הקרוב לזה המספר המונח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם רצית לדקדקו יותר מזה השעור הנה כבר תוכל לדקדקו עם רבוי זוגות הסיפרש בשתנהג עם הדרך הזאת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם שתגיע אל אמתת השרש הנה לא יתכן זה<br>
| |
| − | אחר שהעולה מהשברים המוכי' בעצמם הוא שברים או שלמים ושברים בהכרח כמו שקדם בהכאת השברים עם השברים והמספר המונח הוא שלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|זהו דרך ידיעת מציאות שרשי המספרים הנגדרים ומציאות השרשים הקרובים למספרים הבלתי נגדרים לפי הדרך הראשון אשר לקדמונים
| |
| − | |-
| |
| − | !The second method of the ancients
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הדרך השנית אשר לקדמונים על זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :<span style=color:red>[description of the procedure:]</span>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא שתמצא שרש המרובע הדרוש מהשרש המרובע הידוע בשתכפול שרש המרובע הידוע ותחלק עליו המספר שבין שני המרובעים באופן שיספיק המחולק לגרוע ממנו גם מרובע החלק<br>
| |
| − | אחר כן חבר החלק עם שרש המרובע הידוע והוא שרש המרובע הדרוש אם היה המספר הדרוש נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה בלתי נגדר ורצית לדעת שרשו הקרוב הנה תוכל לדעת זה בשתעשה הדרך הקודם<br>
| |
| − | והנשארי' שאי אפשר שיחלקו על כפל השרש למעוטם נכם בס' וישובו ראשונים<br>
| |
| − | אחר זה נחלקם על כפל השרש בעצמו באופן שיספיק המחולק לגרוע ממנו גם מרובע החלק כמשפט הראשון<br>
| |
| − | אחר זה חבר החלק עם שרש המרובע הידוע והוא השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר ויקרא השרש השני<br>
| |
| − | והשיבם למין א' ר"ל שאם היה השרש השני שלמים וראשונים תכפלם והכה השלמים עם הס' והעולה חברהו עם הראשונים והעולה הוא כפל השרש השני<br>
| |
| − | אחר זה חלק הנשארים מהחלוק השני על זה הכפל אם היו יותר מכפל השרש השני<br>
| |
| − | ואם היו יותר מעטים הכם עם ס' וישובו מדרגה אחת יותר קטנה מהראשונה<br>
| |
| − | אחר זה חלקם על כפל השרש השני באופן שיספיק שיחוסר מהם העולה מהכאת החלק בעצמו כמשפט<br>
| |
| − | והיוצא חברהו עם השרש השני והוא השרש היותר מדוקדק ויקרא השרש השלישי<br>
| |
| − | וכן תוכל לעשו' תמיד עד שתוכל לדקדקו דקדוק נפלא מאד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שזה הדרך יצטרך לידיעת מציאות מרובעים ידועים עד שילקח מהם שרש המספר הדרוש אם נגדר ואם בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן ההכרח לנו א"כ להודיע דרך מציאותם בקלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שתדע על פה מרובעי האחדים כלם והם א ד ט יו כה לו מט סד פא ועמהם תוכל לדעת בקלות הנמשלים להם בכל מדרגה ומדרגה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי כל מדרגה ומדרגה משאר המדרגות שאחר שתי אלה המדרגות שהם האחדי' והעשרות אמנם ישובו אל מערכתם הראשונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וסימנם זוג זוג נפרד נפרד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל המדרגה השלישית שהיא מדרגת המאות להיותה שלישית והיא נפרדת הנה תשוב אל מרובעי א'ד'ט' שהם במדרגת האחדי' והיא מדרג' נפרדת כי י' פעמים י' הם ק' והם נמשלים לו על דרך א'י'ק‫'<br>
| |
| − | וב' פעמים כ' הם ת' והם נמשלים לארבעה<br>
| |
| − | ושלשים פעמים שלשים הם תשעה מאות והם נמשלים לתשעה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מדרגת האלפים שהיא מדרגת הזוג הנה מרובעיה ג"כ הם נמשלי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א שהם במדרגת העשרות שהיא זוג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*40 times 40 are 1600 and they are analogous to 16.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40^2=1600}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי מ' פעמים מ' הם אלף ת"ר והם נמשלים לי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*50 times 50 are 2500 and they are analogous to 25.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50^2=2500}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונ' פעמים נ' הם ב' אלפים ת"ק והם נמשלים לכ"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*60 times 60 are 3600 and they are analogous to 36.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60^2=3600}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וס' פעמים ס' הם ג' אלפים ת"ר והם נמשלים לל"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*70 times 70 are 4900 and they are analogous to 49.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70^2=4900}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וע' פעמים ע' ד' אלפים תת"ק והם נמשלים למ"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*80 times 80 are 6400 and they are analogous to 64.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80^2=6400}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ופ' פעמים פ' הם ו' אלפים ת' והם נמשלים לס"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*90 times 90 are 8100 and they are analogous to 81.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{90^2=8100}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וצ' פעמים צ' הם ח' אלפים ק' והם נמשלים לפ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן עוד תשוב החלילה הזאת בעצמה לבלתי תכלית ר"ל שמרובעי מדרגת הי' אלפים הם נמשלי אד"ט<br>
| |
| − | ומרובעי מדרגת הק' אלפים הם נמשלי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ועם זה כבר תוכל לדעת בקלות מרובע ידוע בכל מדרגה ומדרגה ר"ל שבאחדים הם אד"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the tens they are: 16; 25; 36; 49; 64; 81.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובעשרות הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the hundreds they are: 400; 900.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמאות הם מאה ד' מאות תשע מאות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the thousands they are: 1600; 2500; 3600; 4900; 6400; 8100.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובאלפים הם אלף ת"ר ב' אלפים ת"ק ג' אלפים ת"ר ד' אלפים תת"ק ו' אלפים ת' ח' אלפים ק‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the tens of thousands they are: 10000; 40000; 90000.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובי' אלפים הם י' אלף מ' אלף צ' אלף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the hundreds of thousands they are: 160000; 250000; 360000; 490000; 640000; 810000.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובק' אלפים הם ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן לבלתי תכלית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם ידיעת מדרגת שרשם הנה יודע לך גם כן בשתקח כל הנפרדים לבד אם היה הדרוש מדרגה נפרדת<br>
| |
| − | או כל הזוגות לבד אם היה הדרוש מדרגת הזוג<br>
| |
| − | ר"ל שמדרגת הי' אלפים להיותה מדרגה נפרדת הנה נקח כל המדרגות הנפרדות והם אחדים מאות י' אלפים<br>
| |
| − | והנה הי' אלפים להיותה מדרגה שלישית מהמדרגות הנפרדות תהיה מדרגת שרש מרובע זאת המדרגה מאות שהיא המדרגה השלישית למספר המדרגות על הסדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :We know that:
| |
| − | :*The root of 10000 is 100 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10000}=100}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה ידענו ששרש הי' אלפים הם ק‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 40000 is 200 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40000}=200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש המ' אלפים הם ר‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 90000 is 300 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{90000}=300}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש הצ' אלפים הם ש‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמדרגת הק' אלפים להיותם זוגות נקח כל מדרגות הזוג והם עשרות ואלפים וק' אלפים<br>
| |
| − | והנה הק' אלפים היא מדרגה שלישית למדרגות הזוג<br>
| |
| − | ולכן תהיה מדרגת שרש מרובע זאת המדרגה מאות שהיא מדרגה שלישית למספר המדרגות על הסדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Therefore:
| |
| − | :*The root of 160000 is 400 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{160000}=400}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וא"כ שרש הק"ס אלף הם ת‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 250000 is 500 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{250000}=500}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש הר"נ אלף הם ת"ק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 360000 is 600 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{360000}=600}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש הש"ס אלף הם ת"ר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 490000 is 700 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{490000}=700}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש הת"צ אלף הם ת"ש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 640000 is 800 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{640000}=800}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש התר"מ אלף הם ת"ת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The root of 810000 is 900 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{810000}=900}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרש התת"י אלף הם תת"ק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן לבלתי תכלי‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר בארתי לך הדר' במציאו' המרובעי' הידועי' שבכל מדרגה שתרצה עם מציאו' שרשם בבלתי יגע ועמל וממנו כבר תוכל לדעת שרש המספר הדרוש מאי זה מדרגה שתרצה כאשר הראיתיך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל המספרים הנגדרי' הנה אם היה המספר הדרוש שרשו מספר ב' אלפים כ"ה<br>
| |
| − | הנה להיות שזה המספר הוא במדרגת האלפים שהוא זוג הנה יהיו מרובעיו הידועים נמשלי' למדרגה הב' מדרגת העשרות<br>
| |
| − | ולכן המרובע הידוע הראשון שבזאת המדרגה הוא אלף ת"ר שהוא נמשל לי"ו שהוא ראשון למדרגה השנית ושרשו עשרות לפי מה שקדם והנה א"כ שרשו מ‫'<br>
| |
| − | ונכפול המ' ויהיו פ‫'<br>
| |
| − | ונחלק עליו ההפרש שבין האלף ת"ר לב' אלפים כ"ה שהוא תכ"ה באופן שיספיק מרובע החלק שיחוסר מהמחולק כאשר בארנו והם ה' כי ה' פעמים פ' הם ת' וה' פעמים ה' הם כ"ה והנה הכל תכ"ה<br>
| |
| − | ולהיות שלא נשאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הדרוש הוא מרובע בהכרח<br>
| |
| − | ונחבר הה' עם המ' שהוא שרש המרובע הידוע והוא מ"ה וידענו ששרש הב' אלפים כ"ה הוא מ"ה והקש על זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המספרים הבלתי נגדרים הוא זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *<math>\scriptstyle\sqrt{2000}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאם היה המספר הדרוש שרשו הקרוב מספר ב' אלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*According to what preceded, the known square that is closest to the required number is 1600 and its root is 40. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1600}=40}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה לפי מה שקדם המרובע הידוע הקרוב לזה המספר הדרוש הוא מספר אלף ת"ר ושרשו מ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We double the 40 and they are 80.
| |
| − | ::We divide the difference between the required number and the known square, which is 400, by the 80 in a way that the square of the quotient will be enough to be subtracted from the dividend, they are 4.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000-1600}{2\sdot\sqrt{1600}}=\frac{400}{2\sdot40}=\frac{400}{80}\approx4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כפלנו המ' והיו פ‫'<br>
| |
| − | חלקנו ההבדל שבין המספר הדרוש עד המרובע הידוע שהוא ת' על הפ' באופן שיספיק שיחוסר מרובע החלק מהמחולק והם ד‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We add the 4 to the 40, they are 44 and this is the approximate root of 2000 which is called the first root.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx40+4=44}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חברנו הד' עם המ' והיו מ"ד והיה זה השרש הקרוב למספר ב' אלפים ויקרא השרש הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We double the first root and the result are 88 integers.
| |
| − | ::We wish to divide by it the indivisible number that remains from the 400, which is 64.
| |
| − | ::Since it is less than the 88, we multiply it by 60, they are 3840 and they are minutes, as they were multiplied by 60.
| |
| − | ::We divide them by the 88 that we have in a way that the square of the quotient will be enough to be subtracted from the dividend, the result of division are 43 that are minutes, since the result of the division of minutes by degrees are minutes according to what preceded, and 56 minutes remain undivided.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000-44^2}{2\sdot44}=\frac{64}{88}=\left(\frac{60\sdot64}{88}\right)^\prime=\left(\frac{3840}{88}\right)^\prime=\left(43+\frac{56}{88}\right)^\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כפלנו השרש הראשון ועלה פ"ח שלמים<br>
| |
| − | רצינו לחלק עליו המספר הבלתי מחולק הנשאר מהת' שהם הס"ד<br>
| |
| − | ולהיות שהם מעטים מהפ"ח נכם עם ס' ויהיו ג' אלפים תת"מ והם ראשונים אחר שהוכו עם ס‫'<br>
| |
| − | חלקנום על הפ"ח שבידינו באופן שיספיק שיחוסר מהמחולק מרובע החלק ויצאו מהחלוק מ"ג והם ראשונים אחר שהיוצא מחלוק הראשונים על המעלות יהיו ראשונים לפי מה שקדם ונשארו נ"ו ראשונים בלתי מחולקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We multiply the 43 minutes by themselves, in order to subtract them from the dividend as explained and the result is 1849 seconds.
| |
| − | ::We divide them by 60 and the result of division is 30 minutes and 49 seconds.
| |
| − | ::We subtract them from the 56 minutes that we have, and 25 minutes and 11 second remain undivided.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{56^\prime-\left(43^\prime\right)^2=56^\prime-1849^{\prime\prime}=56^\prime-\left(30^\prime+49^{\prime\prime}\right)=25^\prime+11^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינו המ"ג ראשונים על עצמם בעבור שנחסרם מהמחולק כאשר ביארנו ועלו אלף תתמ"ט שניים<br>
| |
| − | חלקנום על ס' ויצאו מהחלוק ל' ראשונים מ"ט שניים<br>
| |
| − | גרענום מהנ"ו ראשונים שבידינו ונשארו כ"ה ראשונים י"א שניים בלתי מחולקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We add the 43 minutes to the 44 integers that we have, which is the first root, the result is 44 integers and 43 minutes, this is a root that is more accurate than the first and it is called the second root.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44+43^\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חברנו המ"ג ראשונים עם המ"ד שלמים שבידינו שהוא השרש הראשון ועלו מ"ד שלמים ומ"ג ראשונים וזהו שרש יותר מדוקדק מהראשון ויקרא השרש השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We double the second root and the result are 89 integers and 26 minutes.
| |
| − | ::Since they are two ranks, they should be converted to one rank, which is the lower rank. We multiply the 89 integers by 60, the result is 5340 minutes.
| |
| − | ::We add them to the 26 minutes, the result is 5366 minutes.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(44+43^\prime\right)=89+26^\prime=\left[\left(60\sdot89\right)+26\right]^\prime=\left(5340+26\right)^\prime=5366^\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו השרש השני והיו פ"ט שלמים כ"ו ראשונים<br>
| |
| − | ולהיות שהם שתי מדרגות וראוי להשיבם למדרגה אחת והיא המדרגה היותר פחותה<br>
| |
| − | הכינו הפ"ט שלמים עם ס' ועלו ה' אלפים ש"מ ראשונים<br>
| |
| − | חברנום עם הכ"ו ראשונים ועלו ה' אלפים שס"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We wish to divide by them the indivisible number that remains from the 3840, which are 25 minutes and 11 seconds.
| |
| − | ::Since they are two ranks and we want to convert them to one rank, we multiply the 25 by 60, the result is 1500 seconds.
| |
| − | ::We add them to the 11 seconds that we have, the result is 1511 seconds.
| |
| − | ::Since they are less than the divisor, we multiply them again by 60, the result is 90660 thirds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^\prime+11^{\prime\prime}&\scriptstyle=\left[\left(60\sdot25\right)+11\right]^{\prime\prime}=\left(1500+11\right)^{\prime\prime}=1511^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(60\sdot1511\right)^{\prime\prime\prime}=90660^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|רצינו לחלק עליהם המספר הבלתי מחולק הנשאר מהג' אלפים תת"מ שהם הכ"ה ראשונים י"א שניים<br>
| |
| − | ולהיות שהם שתי מדרגות ורצינו להשיבם אל מדרגה אחת הכינו הכ"ה עם הס' ועלו אלף ת"ק שניים<br>
| |
| − | חברנום עם הי"א שניים שבידינו ועלו אלף תקי"א שניים<br>
| |
| − | ולהיות שהם יותר מעטים מהמחלק הכינום עוד עם הס' ועלו צ' אלף ותר"ס שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We divide them by the 5366 minutes, which are double the second root, the result is 16, which are seconds, since the result of division of thirds by minutes are seconds, as preceded, and 4804 thirds remain undivided.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90660^{\prime\prime\prime}}{5366^\prime}=16^{\prime\prime}+\frac{4804^{\prime\prime\prime}}{5366^\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חלקנום על הה' אלפים שס"ו ראשונים שהם כפל השרש השני ויצאו לנו י"ו והם שניים אחר שהיוצא מחלוק השלישיים על הראשונים הם שניים כמו שקדם<br>
| |
| − | ונשארו ד' אלפים תת"ד שלישיים בלתי מחולקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We multiply the 16 seconds by themselves, in order to subtract them from the dividend as explained and the result is 256 fourths, for the result of the multiplication of seconds by seconds are fourths.
| |
| − | ::We divide them by 60 and the result of division is 4 thirds and 16 fourths.
| |
| − | ::We subtract them from the 4804 thirds and 4799 thirds and 44 fourths remain undivided.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4804^{\prime\prime\prime}-\left(16^{\prime\prime}\right)^2&\scriptstyle=4804^{\prime\prime\prime}-256^{iv}=4804^{\prime\prime\prime}-\left(4^{\prime\prime\prime}+16^{iv}\right)\\&\scriptstyle=4799^{\prime\prime\prime}+44^{iv}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינו הי"ו שניים על עצמם בעבור שנחסרם מהמחולק כאשר בארנו ועלו רנ"ו רביעיים כי העולה מהכאת השניים על השניים הם רביעיים<br>
| |
| − | חלקנום על הס' ויצאו לנו מהחלוק ד' שלישיים י"ו רביעיים<br>
| |
| − | גרענום מהד' אלפים תת"ד שלישיים ונשארו ד' אלפים תשצ"ט שלישיים ומ"ד רביעיים בלתי מחולקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We add the 16 seconds to the 44 integers and 43 minutes that we have, which is the second root, the result is 44 integers, 43 minutes and 16 seconds, this is a root that is more accurate than the second and it is called the third root.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44+43^\prime+16^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חברנו הי"ו שניים עם המ"ד שלמים מ"ג ראשונים שבידינו שהוא השרש השני ועלו מ"ד שלמים מ"ג ראשונים י"ו שניים וזהו שרש יותר מדוקדק מהשני ויקרא השרש הג‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תוכל לדקדק זה תמיד עם הדרך הזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם הדרכים אשר כתבו הראשונים בידיעת מציאות שרשי מספרי הנגדרים והבלתי נגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אני כבר חדשתי עוד דרך אחרת יותר קצרה מאלה הדרכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והיא שנסדר המספר הדרוש בטור אחד כמנהג הנחת מדרגות המספרים ר"ל האחדים במדרגתם והעשרות במדרגתם וכן כל אחד ואחד לפי מקומו<br>
| |
| − | ואם היה מספר המדרגות נפרד תתחיל מהמדרגה האחרונה<br>
| |
| − | ואם היה זוג תתחיל מהמדרגה הקודמ' למדרגה האחרונה מחוברת עם המדרגה האחרונה בשתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים כמו שקדם<br>
| |
| − | ונבקש שרשו הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הראשון<br>
| |
| − | אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' פעמי' ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש השני<br>
| |
| − | וכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון<br>
| |
| − | עוד אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני פעמיים ועם עצמו פעם אחת לבד שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש השני ומהשתים הקודמות לה ויקרא השרש השלישי<br>
| |
| − | כתבהו במדרגה הקודמת לשרש השני<br>
| |
| − | עוד אחר זה תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני והשלישי פעמים ועם עצמו פעם אחת לבד שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש השלישי ומהשלשה הקודמות לה ויקרא השרש הד‫'<br>
| |
| − | וכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הג‫'<br>
| |
| − | וכן תמיד עד אשר תגיע שתהיה המדרגה הנחסרת המדרגה הראשונה ואז יהיו המספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:√5499025|439|R017}}Example: if you wish to know the root of 5499025.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{5499025}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת שרש ה' פעמים אלף אלפים ותצ"ט אלף וכ"ה{{#annotend:R017}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||2||3|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | |1||2||4||5||4|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |5||4||9||9||0||2||5
| |
| − | |-
| |
| − | |2||3||4||5|| || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Since the number of the ranks of this number is odd, we start from the last rank:
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה להיות שמספר מדרגות זה המספר הוא נפרד התחלנו מהמדרגה האחרונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take its approximate root, which is 2, multiply it by itself, the result is 4.
| |
| − | ::We subtract it from the last rank, which is 5, and 1 remains.
| |
| − | ::We write it above according to the rule and we write the 2, which is the first [approximate] root, beneath the last rank.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-2^2=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובקשנו שרשה הקרוב והם ב‫'<br>
| |
| − | הכינום עם עצמם ועלו ד‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהמדרגה האחרונה שהם ה' ונשארו א‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו למעלה כמשפט והב' שהוא השרש הראשון כתבנוהו תחת המדרגה האחרונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We look for a number, such that twice its product by 2, which is the first root, and once [its product] by itself, will be enough to be subtracted from the rank that precedes the rank of the first root, which is 4, and its preceding, which is 9. [This number] is 3.
| |
| − | ::We write it beneath the rank that precedes the first root and it is called the second root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם ב' השרש הראשון פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון שהם הד' ומהקודמת לה שהם הט' והוא ג‫'<br>
| |
| − | כתבנוהו תחת הד' שהיא המדרגה הקודמת לשרש הראשון ויקרא השרש השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by 2, the result is 12.
| |
| − | :::We subtract it from the 14 that we have, 2 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{14-\left[2\sdot\left(3\sdot2\right)\right]=14-12=2}}</math>
| |
| − | :::We write it above the 4.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם הב' פעמים ועלו י"ב<br>
| |
| − | חסרנוהו מהי"ד שבידינו ונשארו ב‫'<br>
| |
| − | וכתבנום על הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply the 3 by itself, the result is 9.
| |
| − | :::We subtract it from the 9, which is the rank that precedes the rank of the second root, nothing remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{9-3^2=9-9=0}}</math>
| |
| − | :::We write zero above it.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו הג' עם עצמו ועלו ט‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהט' שהיא המדרגה הקודמת למדרגת השרש השני ולא נשאר כלום<br>
| |
| − | וכתבנו עליו סיפרא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then we look for a number, such that twice its products by the first and the second roots and once [its product] by itself will be enough to be subtracted from the rank that precedes the second root and its two preceding [ranks]. This number is 4.
| |
| − | ::We write it in the rank that precedes the second root and it is called the third root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון והשני פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש השני ומהשתים הקודמות לה והוא מספר ד‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשורש השני ויקרא השרש הג‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by 2, which is the first root, the result is 16.
| |
| − | :::Since there are two left in the rank that above the second root, which are 20 in the preceding rank, we subtract it from them, 4 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[2\sdot\left(4\sdot2\right)\right]=20-16=4}}</math>
| |
| − | :::We write it above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם הב' שהוא השרש הראשון פעמים ועלו י"ו<br>
| |
| − | ולהיות שנשארו מהמדרגה שעל השרש השני שנים שהם בערך אל המדרגה הקודמת כ' נחסרם מהם וישארו ד‫'<br>
| |
| − | וכתבנום עליו כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by the second root, the result is 24.
| |
| − | :::We subtract it from the 9 that is the second rank that precedes the rank of the third root and from the 4 that corresponds the third root, which are 49, 25 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{49-\left[2\sdot\left(4\sdot3\right)\right]=49-24=25}}</math>
| |
| − | :::We write each in its rank to indicate the remainder.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו הד' עם השרש השני פעמי' ועלו כ"ד<br>
| |
| − | חסרנום מהט' שהיא המדרגה השנית הקודמת למדרגת השרש הג' ומהד' שכנגד השרש הג' שהם מ"ט ונשארו כ"ה<br>
| |
| − | וכתבנו כל אחד במדרגתו להורות על הנשאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply the 4 once by itself, the result is 16.
| |
| − | :::We subtract it from the 5 that is above the 9, which in the preceding rank are 50, and 34 remain. <math>\scriptstyle{\color{blue}{50-4^2=50-16=34}}</math>
| |
| − | :::We write them above according to the rule to indicate the remainder.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד אחר זה הכינו הד' עם עצמו פעם אחת ועלו י"ו<br>
| |
| − | חסרנום מהה' שעל הט' שהם בערך אל המדרגה הקודמת לה נ' ונשארו ל"ד<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט להורות על הנשאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then we look for a number, such that twice its products by the first, the second and the third roots and once [its product] by itself will be enough to be subtracted from the rank that precedes the third root and its three preceding ranks. This number is 5.
| |
| − | ::We write it in the rank that precedes the third root and it is called the fourth root.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הראשון השני והשלישי פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש השלישי ומהשלש מדרגו' הקודמות לה והוא מספר ה‫'<br>
| |
| − | וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשורש השלישי ויקרא השרש הד‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by the first root, the result is 20.
| |
| − | :::We subtract it from the 3 that above the fourth root with the 2 in the succeeding rank, which are 23, and 3 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{23-\left[2\sdot\left(5\sdot2\right)\right]=23-20=3}}</math>
| |
| − | :::We write it above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינוהו עם השרש הראשון פעמים ועלו כ‫'<br>
| |
| − | חסרנום מהג' שעל השרש הד' עם עזר הב' שבמדרגה הנמשכת לה שהם כ"ג ונשארו ג‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by the second root, the result is 30.
| |
| − | :::We subtract it from the 4 that is in the rank that precedes the rank of the fourth root and from the 3 that in the succeeding rank, which are 34, 4 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{34-\left[2\sdot\left(5\sdot3\right)\right]=34-30=4}}</math>
| |
| − | :::We write it above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם השרש השני פעמים ועלו ל‫'<br>
| |
| − | וגרענום מהד' שבמדרגה הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הג' שבמדרגה הנמשכת לה שהם ל"ד ונשארו הד‫'<br>
| |
| − | וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it twice by the third root, the result is 40.
| |
| − | :::We subtract it from the 2 that is in the third rank that precedes the rank of the fourth root and from the 4 that is in the succeeding rank, which are 42, 2 remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{42-\left[2\sdot\left(5\sdot4\right)\right]=42-40=2}}</math>
| |
| − | :::We write it above according to the rule.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינוהו עם השרש הג' פעמים ועלו מ‫'<br>
| |
| − | גרענום מהב' שהיא המדרגה הג' הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הד' שבמדרגה הנמשכת לה שהם מ"ב ונשארו הב' וכתבנום למעלה כמשפט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply the 5 once by itself, the result is 25.
| |
| − | :::We subtract it from the 5 that is the fourth rank that precedes the rank of the fourth root and from the 2 that is the succeeding rank, which are 25, and nothing remains. <math>\scriptstyle{\color{blue}{25-5^2=25-25=0}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד הכינו הה' עם עצמה פעם אחת לבד ועלו כ"ה<br>
| |
| − | חסרנום מהה' שהיא המדרגה הד' הקודמת למדרגת השרש הד' עם עזר הב' שהיא המדרגה הנמשכת לה שהם כ"ה ולא נשאר כלום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכבר הגענו לחסר מהמדרגה הראשונה על כן ידענו שכבר נשלם השורש<br>
| |
| − | ולהיות שלא נשאר מספר כלל על המספר הדרוש ידענו שהוא מספר מרובע ושרשו הוא המספר הכתוב למטה שהם ב' אלפים שמ"ה והקש על זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש מספר בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך בידיעת שרשו הקרוב הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג סיפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעינו עד שתגיע לחסר מהמדרגה הראשונה אחר זה תקה היוצא בס' והעולה בס' עד שיהיו סיפרש בראש הטור העולה מההכאות ככמות חצי הסיפרש הנוספו' והעולה יהיה איכותו כמספר הפעמים שהוכה עם הס‫'<br>
| |
| − | ר"ל אם הוכה פעם אחת לבד הם ראשונים ואם שנים שניים ואם ג' הם שלישיים ואם ד' הם רביעיי‫'<br>
| |
| − | אח"ז השלך מהמספר העולה הסיפרש והנשארים חלקם על ס' והיוצא יעלה מדרגה אחת ממדרגת הנחלקים<br>
| |
| − | ר"ל אם היו הנחלקים רביעיים יהיו היוצאים בחלוק שלישיים והנשארים הבלתי נחלקים יהיו רביעיים ושמרם<br>
| |
| − | עוד חלק היוצאים מהחלוק שהם השלישיים על ס' והיוצאים מהחלוק יהיו שניים והבלתי מחולקים יהיו שלישיים ושמרם<br>
| |
| − | עוד חלק היוצאים מהחלוק שהם השניים על ס' והיוצאים בחלוק יהיו ראשונים והבלתי מחולקים יהיו שניים ושמרם<br>
| |
| − | עוד חלק היוצאים על ס' והיוצאי' בחלוק יהיו שלמים ושמרם והנשארים הבלתי מחולקים יהיו ראשונים ושמרם<br>
| |
| − | אחר כן קבץ כל השמורים והוא השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:√2000|439|MfPg}}Example: if you wish to know the root of 2000.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{2000}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת שרש הב' אלפים{{#annotend:MfPg}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נניח הב' אלפים לפי הנחת המספרים ונוסיף עליו שמנה סיפרש כזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || ||5|| || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || ||3||8||3|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||1||1||4||2||7||2|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||2||3||2||3||1||3||6|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||2||6||8||9||5||8||2||5||7||3||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||4||8||4||4||1||2||6||6||9||4||1
| |
| − | |-
| |
| − | | ||2||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||4||4||7||2||1||3|| || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||'|| || ||6||0|| || || || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||2||9||8||3||2||7||8||0|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||''|| || || || || ||6||0|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||6||0||9||9||6||6||8||0||0|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |'''|| || || || || || || || ||6||0|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |9||6||5||9||8||0||0||8||0||0||0|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |''''|| || || || || || || || ||6||0|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |5||7||9||5||8||8||0||4||8||0||0||0||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We apply the previous procedure and the result is the number 447213.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנהגנו הדרך הקודם ויצא זה המספר 447213
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 60 and the result is the number 26832780, which are minutes.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot447213}{60}=26832780^\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינום עם הס' ועלה זה המספר 26832780 והם ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 60 and the result is the number 1609966800, which are seconds.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot26832780^\prime}{60}=1609966800^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינום עם ס' ועלה זה המספר 1609966800 והם שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 60 and the result is the number 96598008000, which are thirds.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot1609966800^{\prime\prime}}{60}=96598008000^{\prime\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינום עם ס' ועלה זה המספר 96598008000 והם שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*We multiply it by 60 and the result is the number 5795880480000, which are fourths, since it was multiplied 4 times by 60.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot96598008000^{\prime\prime\prime}}{60}=5795880480000^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינום עם ס' ועלה זה המספר 5795880480000 והם רביעיים למה שהוכו ד' פעמי' עם ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Since this number has 4 zeros is the beginning of the line, we divide it by 60 and the result of division is the number 9659800, which are thirds, as they rise one rank.
| |
| − | ::48 fourths remain. We keep them.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{579588048^{\prime\prime\prime}}{60}=9659800^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שזה המספר יש בו ד' סיפרש בראש הטור שהם חצי הסיפרש חלקנום על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 9659800 והם שלישיים כי עלו מדרגה אחת ונשארו מ"ח רביעיים ושמרנום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We further divide the result of division by 60 and the result of division is the number 160996, which are seconds, as they rise one rank.
| |
| − | ::The remainder are 40 thirds. We keep them.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9659800^{\prime\prime}}{60}=160996^{\prime\prime}+40^{\prime\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 160996 והם שניים כי עלו מדרגה אחת והמותר הם מ' שלישיים ושמרנום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We further divide the result of division by 60 and the result of division is the number 2683, which are minutes, as they rise one rank.
| |
| − | ::The remainder are 16 seconds. We keep them.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{160996^{\prime}}{60}=2683^{\prime}+16^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצא מהחלוק זה המספר 2683 והם ראשונים כי עלו מדרגה אחת והמותר הם י"ו שניים ושמרנום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We further divide the result of division by 60 and the result of division is 44, which are degrees, as they rise one rank. We keep them.
| |
| − | ::The remainder are 43 minutes. We keep them.
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2683^{\circ}}{60}=44^{\circ}+43^{\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חלקנו היוצאים מהחלוק על ס' ויצאו מהחלוק מ"ד והם מעלות כי עלו מדרגה אחת ושמרנום והמותר הם מ"ג ראשונים ושמרנום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :We take all the reserved and they are 44 degrees, 43 minutes, 16 seconds, 40 thirds, 48 fourths and this is the approximate root of 2000.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2000}\approx44^{\circ}+43^{\prime}+16^{\prime\prime}+40^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|לקחנו כל השמורים שבידינו והם מ"ד מעלות מ"ג ראשונים י"ו שניים מ' שלישיים מ"ח רביעיים וזהו השרש הקרוב לב' אלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והקש על זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>והמאזנים</big> אשר בו יאוזן זה המין הוא בשנכה השרש בעצמו ואם העולה ישוה למספר הטור העליון דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה במספרים הנגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם במספרים הבלתי נגדרים נחבר העולה מהכאת השרש בעצמו עם המותר והעולה אם ישוה למספר הטור העליון צדקת ואם לאו כזבת וכבר קדם מה שבזה המאזנים מהחסרון
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for finding this species by the first method
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> סבת מציאות זה המין עם הדרך הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|היא קשה מאד והדרך אל ידיעתה הוא בשנודיע תחלה מספר הדרושים הנופלים בזה המין אחר זה נביא המאמר המודיע סבת כל דרוש ודרוש מהם והוא מן המבואר שדרושי זה המין הם רבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :1) Why the digits of the roots are written by skipping the ranks, i.e. between every rank and rank of the root there is one rank without a root?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הראשון</big> מהם מדוע יכתבו אותיות השרש בדלוג המדרגות ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות השרש מדרגה אחת בלא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :2) Why the roots are written beneath the odd ranks of the given line and not beneath the even ranks?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>השני</big> מדוע יהיו השרשים נכתבים תחת המדרגות הנפרדות ממדרגות הטור המונח ולא תחת מדרגות הזוג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :3) Why the roots are found by finding the number whose product by double the [preceding] roots and by itself is equal or approximate to the number that is between the preceding square and the current square, i.e. the number that remains from the roots that precede the rank beneath which we write the current root?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>השלישי</big> מדוע יהיה מציאות השרשים במציאות המספר אשר ישוה העולה מהכאתו עם כפלי השרשים ועם עצמו למספר אשר בין המרובע הקודם למרובע ההווה או הקרוב ר"ל המספר הנותר מהשרשים הקודמים עד המדרגה אשר נכתוב תחתיה השרש ההוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :4) Why the doubles are shifted rank by rank, as the number of times they are multiplied by the generated roots?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הרביעי</big> מדוע יעתקו הכפלי' מדרגה אחר מדרגה כמספר הפעמים אשר יוכו עם השרשים ההווים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :5) Why the doubles of the roots are written in the ranks the precede the roots?
| |
| − | |style="text-align:right;"|החמישי מדוע יכתבו כפלי השרשים אל המדרגות הקודמות לשרשים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :6) Why the tens that are generated from the doubles of the roots are written beneath the rank of the root that is multiplied and not beneath the preceding rank, as the rule of the units of double the roots?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הששי</big> מדוע יכתבו העשרות ההוות מכפלי השרש תחת מדרגת השרש המוכה ולא תחת המדרגה הקודמת כמנהג אחדי כפלי השרשים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :7) Why no mistake happend when we compare the ranks with their diversity of their positional values, so that the tens, the hundreds and the thousands are considered as units, but what is generated from the diversity of the ranks according to the different positional values is as what is generated from the ranks according to their positional values.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>השביעי</big> מדוע לא יקרה הטעות כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכיותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים אבל יהיה ההווה מחלוף המדרגות אל האיכויות המתחלפות כמו ההווה מהמדרגות לפי איכויותיהן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וטרם החלי בביאור נתינת סבות הדרושים האלו אצטרך להודיע קצת הקדמות מונחות לנתינת הסבות הדרושות במציאות זה המין והן חמש הקדמות
| |
| − | |-
| |
| − | !The first [proposition]
| |
| − | :[<span style=color:red>'''Euclid, Elements, Book II, proposition 4'''</span>:] {{#annot:(a+b)²=a²+b²+2(a·b)|252|EQSa}}For any number divided into two parts randomly, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>האחת</big> שכל מספר נחלק לשנים חלקים איך מה שקרה הנה המרובע ההווה מן המספר כלו הוא שוה לשני המרובעים ההווים משני חלקיו עם כפל המספר ההווה מהכאת החלק האחד עם האחר{{#annotend:EQSa}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*{{#annot:10,3+7|252|8tqL}}Example: if we divide the 10 into two parts randomly, one part of them is 3 and the other 7.
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם נחלק הי' לשנים חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם ג' והאחר ז'{{#annotend:8tqL}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה המרובע ההווה מהי' כלו שהוא ק' הוא שוה לשני מרובעי ג"ז שהם נ"ח ולכפל המספר ההווה מהכאת הג' עם הז' שהוא מ"ב כמו שהתבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השני ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | !The second [proposition]
| |
| − | :[<span style=color:red>'''Euclid, Elements, Book II, proposition 1'''</span>:] {{#annot:a·∑bᵢ=∑(a·bᵢ)|249|lshn}}For every number divided into many parts randomly, the number that is generated from the product of a number by the whole given divided number is equal to the number generated from the sum of the products of that number by each part of the divided number.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)=\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>השנית</big> שכל מספר נחלק לחלקים רבים איך מה שקרה הנה המספר ההווה מהכאת מספר מה עם המספר המונח הנחלק בכללו הוא שוה למספר ההווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו{{#annotend:lshn}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*{{#annot:4,2+3+5|249|3hB5}}Example: if we divide the 10 into three parts randomly, one part of them is 2, the second is 3 and the third is 5.
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם נחלק הי' לג' חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם מספר ב' והשני מספר ג' והשלישי מספר ה'{{#annotend:3hB5}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה המספר ההווה מהכאת מספר ד' עד"מ עם מספר הי' שהוא מ' הוא שוה למספר ההווה מהכאת מספר הד' עם מספר ב' ומהכאת מספר ד' עם מספר ג' ומהכאת מספר ד' עם מספר ה' כאשר יקובצו שהם מ' כמו שהתבאר ג"כ במאמר השני מספר היסודות
| |
| − | |-
| |
| − | !The third [proposition]: the square that is generated from the greatest number of the nine numbers [= units] applied in all the types of numbers does not consist of more than 2 ranks.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>השלישית</big> שהמרובע ההווה מהמספר היותר גדול שבתשעה המספרים המשתמשים בכל מיני המספרים לא יכלול יותר מב' מדרגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל כמו מספר הט' עד"מ שהוא היותר גדול מהמספרים הט' אם היה אחדים הנה מרובעו פ"א והוא כולל אחדים ועשרות שהם שתי מדרגות ולא יגיע במדרגת המאות כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מספר הט' עשרות הנה מרובעו ח' אלפים ק' שהם שתי מדרגות אחרות נמשכות למדרגות הראשונות שהם מאות ואלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מספר הט' מאות הנה מרובעו תת"י אלפים והם שתי מדרגות נמשכות למדרגות הראשונות שהם רבבות ועשרות הרבבות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד מבלתי שיהיה דלוג במדרגות כלל ומבלתי שיגיע מרובע שום מספר מהמספרים הט' ביותר מב' מדרגות כלל
| |
| − | |-
| |
| − | !The fourth [proposition]: the squares that are analogous to squares, their roots are also analogous.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הרביעית</big> שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה שרשיהם ג"כ נמשלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל בנמשלים כאשר יהיו המספרים המורים עליהם שוי הכמות מתחלפי האיכות כמו מספרי אי"ק המורים על הא' ועל הי' ועל הק'<br>
| |
| − | כלם הם מספר א' רק שבמספר הא' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת האחדי'<br>
| |
| − | ובמספר הי' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת העשרות<br>
| |
| − | ובמספר הק' נכתוב הא' המורה עליו במדרגת המאות<br>
| |
| − | ולהיות שמספר הא' המורה על אי"ק כמותו א'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם הוא מורה על איכויות מתחלפות בחלופי המדרגות קראנו מספרי אי"ק נמשלים קצתם בקצתם והנה כאשר יהיו המרובעי' נמשלים קצתם לקצת אי זה מרובעים שיהיו הנה שרשיהם ג"כ יהיו נמשלי' קצתם לקצת בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שמרובע אד"ט שרשיהם אב"ג ומרובעי ק"ת תת"ת הנמשלים למרובעי אד"ט שרשיהם הם יכ"ל הנמשלים לשרשי אב"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מרובעי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים למרובעי אד"ט ולמרובעי ק"ת תת"ק שרשיהם הם ק'ר'ש' שהם נמשלים ג"כ לשרשי אב"ג ולשרשי יכ"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל שאר המרובעים אי זה מרובעים שיהיו כאשר יהיו נמשלים קצתם אל קצת הנה שרשיהם ג"כ יהיו נמשלים בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | !The fifth [proposition]
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>החמישית</big> שהמרובעים הנמשלים קצתם אל קצת הנה הם במדרגות הנפרדות למדרגה אשר בה המרובעים הא' מהמרובעים הנמשלים על סדר הנפרדים הטבעיים ושרשי המרובעים הנמשלים הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על סדר המספרים הטבעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שמרובעי אד"ט ק"ת תת"ק י' אלף מ' אלף צ' אלף וכן תמיד הם על הסדר הנפרדים הטבעיים וזה שמרובעי אד"ט הם במדרגת האחדים<br>
| |
| − | ומרובעי ק"ת תת"ק הנמשלים הם במדרגת המאות<br>
| |
| − | ומרובעי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים להם הם במדרגת הרבבות<br>
| |
| − | והנה האחדים היא המדרגה הראשונה אשר בה המרובעים הנמשלים ממין המרובעים הנזכרים<br>
| |
| − | והמאות היא המדרגה השלישית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | והרבבות היא המדרגה החמשית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | וכן כל מדרגות המרובעים הנמשלים לאלה המרובעים הנזכרים אמנם הם במדרגות הנפרדות למדרגת האחדים על סדר הנפרדים הטבעיים שהם אג"ה ז"ט<br>
| |
| − | וכן מרובעי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א הם במדרגת העשרות<br>
| |
| − | ומרובעי אלף ת"ר ב' אלפים ת"ק ג' ת"ר ד' תת"ק ו' ת"ר ח"ק הנמשלים להם הם במדרגת האלפים<br>
| |
| − | ומרובעי ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף הנמשלים להם הם במדרגת הק' אלף<br>
| |
| − | והנה מדרגת העשרות היא המדרגה הראשונה אשר בה המרובעים הנמשלים ממין המרובעים הנזכרים הנה<br>
| |
| − | ומדרגת האלפים היא המדרגה השלישית לה<br>
| |
| − | ומדרגת הק' אלף היא המדרגה החמישית לה<br>
| |
| − | וכן על זה הסדר תהיינה מדרגות כל המרובעים הנמשלי' להם ר"ל על סדר הנפרדים הטבעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מדרגות השרשים הנמשלים אשר הם שרשי המרובעים הנמשלים הנה הם על סדר המספרים הטבעיים<br>
| |
| − | וזה ששרשי אד"ט הם אב"ג שהיא מדרגת האחדים<br>
| |
| − | ושרשי ק"ת תת"ק הנמשלים להם הם יכ"ל שהיא מדרגת העשרות שהיא שנית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | ושרשי י' אלף מ' אלף צ' אלף הנמשלים להם הם קר"ש שהיא מדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | וכן תמיד על זה הסדר<br>
| |
| − | וכן שרשי י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א הם ד'ה'ו' ז'ח'ט' שהיא מדרגת האחדים<br>
| |
| − | ושרשי אלף ת"ר ב' ת"ק ג' ת"ר ד' תת"ק ו' ת' ח' ק' הנמשלים להם הם מ'נ'ס' ע'פ'צ' שהיא מדרגת העשרות והיא שנית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | ושרשי ק"ס אלף ר"נ אלף ש"ס אלף ת"צ אלף תר"מ אלף תת"י אלף הנמשלים להם הם ת' ת"ק ת"ר ת"ש ת"ת תת"ק שהיא מדרגת המאות והיא שלישית למדרגת האחדים<br>
| |
| − | וכן תמיד דרך אחד לכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר הצעת אלה ההקדמות הנה כבר יותרו כל השאלות הדרושות בדרך הראשון מזה המין
| |
| − | |-
| |
| − | !The first lemma: regarding the placing of the digits of the roots by skipping the ranks, i.e. between every two ranks having a root there is one empty rank beneath which no root is written.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>אולם</big> הדרוש הראשון שהוא על הנחת השרשים בדלוג המדרגות ר"ל שבין כל שתי מדרגות בעלות השרש מדרגה אחת פנויה בלתי כתוב תחתיה שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מההקדמה השלישית<br>
| |
| − | וזה שאחר שהאות האחד מאותיות השרש הוא שרש לשתי המדרגות להיות מרובעו כולל ב' מדרגות<br>
| |
| − | הנה א"כ כאשר תכתוב תחת כל שתי מדרגות אחד מאותיות השרש הנה יחוייב שיהיו אותיות השרש בדלוג המדרגות
| |
| − | |-
| |
| − | !The second lemma: the question concerning the placing of the digits of the root beneath the odd ranks of the given ranks and not beneath the even ranks
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש השני שהיא השאלה על הנחת אותיות השרש תחת המדרגות הנפרדות מהמדרגות המונחות ולא תחת מדרגות הזוג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה גם זה התבאר מההקדמה השלישית בעצמה<br>
| |
| − | וזה שכבר קדם שהמרובע ההווה מאות השרש איננו מספר כולל כל שתי מדרגות אי זה מדרגות שיהיו ר"ל או אחדים ועשרות או עשרות ומאות או איזה זוג מהמדרגות אמנם הוא כולל שתי מדרגות האחדים והעשרות ושתי מדרגות המאות והאלפים וכן כל זוגי המדרגות הנמשכות על הסדר הזה<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן הנה מן המחוייב לזה בהכרח שיונח אות השרש תחת מדרגת האחדים ויכלול השתי מדרגות ר"ל האחדים והעשרות ויונח אות שני תחת מדרגות המאות ויכלול השתי מדרגות הנמשכות ר"ל המאות והאלפים וכן תמיד על זה הסדר<br>
| |
| − | וא"כ יחוייב לפי ההנחה הזאת שיכתבו אותיות השרש תחת המדרגות הנפרדות
| |
| − | |-
| |
| − | !The third lemma: the question regarding the finding of the root, which is why the root is found by finding the number whose product by double the [preceding] roots and by itself are enough to be subtracted from what remains from the first root and its third rank which is the rank of the second root and the same from the second [root] regarding the third [root]?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש השלישי שהיא השאלה על מציאות השרש והוא מדוע ימצא השרש בבקשת המספר אשר יספיק העולה מהכאתו עם כפל השרש ועם עצמו שיחוסר מהמספר הנשאר מהשרש הראשון עם המדרגה השלישית לה שהיא מדרגת השרש השני וכן מהשני לשלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מההקדמה הראשונה<br>
| |
| − | וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהאות המונח ראשונה שהוא השרש הראשון כאשר יחובר עם האות השני שהוא השרש השני שיהיה חבור שניהם יחד שרש כל המדרגות שהמדרגה האחרונה עד מדרגת השרש השני והמרובע ההווה מחבורם הוא הראוי שיחוסר מאותן המדרגות ובזה נגיע אל המכוון<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן וכבר התבאר מההקדמה הראשונה שהמרובע ההווה מחבור שני השרשים יחד הוא שוה לשני מרובעי השרש הראשון והשני שהם חלקי המספר המחובר משניהם יחד ולכפל המספר ההווה מהכאת השרש השני עם השרש הראשון<br>
| |
| − | אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר יהיו שני אותיות השרש שיספיק העולה משני מרובעים עם העולה מכפל המספר ההווה מהכאת השרש האחד עם השרש האחר שיחוסר מהמדרגות הטור העליון שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שכנגד השרש השני שיהיה חבור שניהם יחד הוא שרש המספר הנכלל תוך המדרגות הנזכרות<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן וכבר הוכה השרש הראשון עם עצמו וחסרנו ההווה מהמדרגות העליונות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שכנגד השרש הראשון<br>
| |
| − | הנה א"כ הנשאר עלינו מכלל ההכאות הוא הכאת השרש השני עם עצמו וכפל המספר ההווה מהכאת השרש הראשון עם השרש השני<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיה המספר ההווה מהכאות השרש השני עם השרש הראשון פעמים הוא שוה למספר ההווה מהכאת השרש השני עם כפל השרש השני<br>
| |
| − | אם כן הנשאר עלינו מכלל ההכאות הוא הכאת השרש השני עם עצמו והכאתו עם כפל השרש השני<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן הנה אם כן כאשר בקשנו שרש מספר מה הנה אם היה שרשו אחדים הנה תבקש האות שיספיק העולה מהכאתו שיחוסר מהמספר ההוא והאות ההוא הוא שרש המספר ההוא בהכרח<br>
| |
| − | ואם היה שרש המספר ההוא בעל שתי אותיות ר"ל אחדים ועשרות הנה נבקש אות העשרות אשר יספיק העולה מהכאתו שיחוסר מהמדרגה הראשונה שבמספר ההוא אם היו מדרגות המספר ההוא נפרדות או מהמדרגה הראשונה עם הקודמת לה אם היו מדרגותיו זוגות<br>
| |
| − | אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל אות העשרות שיחוסר מהמדרגה שכנגד אות האחדים עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה ובזה נגיע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה המספר הנדרש שרשו בעל שלש אותיות ר"ל אחדים ועשרות ומאות הנה נמצא השתי אותיות מהם ר"ל המאות והעשרות עם הדרך הקודם<br>
| |
| − | אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל השרש הראשון ומהכאתו עם כפל השרש השני שיחוסר מהמדרגה שכנגד האות השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה<br>
| |
| − | וזה מבואר מההקדמה השנית כי כבר התבאר שם שאין הבדל בין ההוה מהכאת מספר אחד עם מספר אחר להווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר האחר<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיה חבור השלשה אותיות יחד אשר האחד ממדרגת המאות והאחר ממדרגת העשרות והאחר ממדרגת האחדים כאשר יחוברו יחד הוא שרש המספר המונח ההוא אשר יהיה שרשו על ג' אותיות<br>
| |
| − | הנה אם כן יהיה המספר הזה נחלק לשלשה חלקים בהכרח<br>
| |
| − | ולכן יחוייב לפי זאת ההקדמה שיהיה מרובע המספר כלו ר"ל בעל הג' אותיות שוה למספר ההווה ממרובע האחדים שהוא החלק האחד וממרובע העשרות שהוא החלק השני וממרובע המאות שהוא החלק הג' ומהמספר ההווה מהכאת העשרות עם המאות פעמיים או עם כפלו כי הדבר שוה ומהמספר ההווה מהכאת האחדים עם המאות פעמים או עם כפלו ומהמספר ההווה מהכאת האחדים עם העשרות פעמיים או עם כפלו<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן וכבר הוכו המאות עם עצמם והעשרות עם עצמם והעשרות עם המאות פעמים קודם בקשת אות האחדים<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב עלינו א"כ שיהיו מספר ההכאות הנשארות עד תשלום כל ההכאות השוות למרובע כל המספר בעל השלשה אותיות הם ג' הכאות הכאת האחדים עם עצמו והכאת האחדים עם כפל המאות והכאת האחדים עם כפל העשרות<br>
| |
| − | ולכן כאשר מצאנו אות האחדים שיספיק העולה מהכאתו עם עצמו ומהכאתו עם כפל המאות ומהכאתו עם כפל העשרות שיחוסר מהמדרגה העליונה שבטור העליון שכנגד אות האחדים עם עזר המדרגו' הנמשכות עד המדרגה האחרונה הנה הוא אות אחדי שרש המספר המונח בהכרח אחר שעם הדרך הזאת יחויב שיהיה העולה ממרובע כל המספר המחובר בכללו שוה למספר המונח או הקרוב לו
| |
| − | |-
| |
| − | !The fourth lemma: the question concerning the shifting of the doubles rank by rank, as the number of times they are multiplied by the generated roots?
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש הרביעי והיא השאלה על העתקת הכפלים מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי הפעמים אשר יוכו עם השרשים ההווים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת ממה שקדם מהנחת השרשים ר"ל אותיות השרש בדלוג המדרגות מחובר עם מה שקדם מהכאת אות השרש האחרון עם כל כפלי אותיות השרש<br>
| |
| − | וזה שאחר שאנחנו חושבים כל מדרגה ומדרגה מהמדרגות אשר יונח בהם השרש האחרון בפעם ההיא למדרגת האחדים<br>
| |
| − | ויחויב מזה שתחשב המדרגה השנית הנמשכת לה לעשרות והמדרגה השלישית הנמשכת למאות וכן תמיד אחרי שאנחנו חושבים כל שרש אחרון בפעם ההיא לאחדים<br>
| |
| − | ויחוייב לזה שיחשב השרש השני הנמשך לעשרות והשרש השלישי הנמשך לו למאות וכן תמיד<br>
| |
| − | והיה מהמבואר בעצמו שהעולה מהכאת האחדים עם העשרו' הוא עשרות והעולה מהכאת האחדים עם המאות הוא מאות וכן תמיד<br>
| |
| − | הנה מן המחויב מזה בהכרח שיחוסר העולה מהכאת השרש האחרון עם כפל השרש השני הנמשך לו שהוא עשרות מהמדרגה השני' הנמשכת למדרגת
| |
| − | השרש האחרון שהוא גם כן עשרו'<br>
| |
| − | ויחוסר העולה מהכאת השרש האחרון עם כפל השרש השלישי הנמשך לו שהם מאות מהמדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון שהוא גם כן מאות וכן תמיד<br>
| |
| − | ובזה יחוסר כל מין ממינו<br>
| |
| − | וכאשר היתה זה כן וראו הקדמונים שיתבלבל זה הסדר על המתעסק בו ולא ידע לחסר כל מין ממינו הוצרכו לכתוב הכפלים המוכים עם השרש האחרון תחת המדרגות אשר יחוסר מהם העולה מהכאתם עם השרש האחרון כדי שיחסר העולה מהכאת כל אחד מהכפלים עם השרש האחרון מהמדרג' שעל הכפל ההוא ובזה ינצל המתעסק מהמבוכה<br>
| |
| − | ויתחייב לפי זאת ההנחה שיונחו כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השני' הנמשכת למדרגת השרש האחרון וכפלי השרש השלישי הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת השרש האחרון וכן תמיד על הסדר הזה<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיו השרשים האחרונים אשר מהם יחשבו סדור המדרגות ר"ל בשתחשבנה המדרגות שנית ושלישית ורביעית והדומים להם אמנם יעתקו שתי מדרגות אחר ב' מדרגות לפי מה שקדם<br>
| |
| − | ויחויב מזה שתשוב המדרגה שהיתה שנית למדרגת השרש הנמשך לשרש האחרון למדרגה רביעית לשרש האחרון והשלישית חמשית והרביעית ששית<br>
| |
| − | והיה משפט הנחת כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השנית הנמשכת למדרגת השרש האחרון<br>
| |
| − | ומשפט הנחת כפלי השרש השלישי הנמשך לשרש האחרון תחת המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת השרש האחרון<br>
| |
| − | והיה מן המחויב מאלה המאמרים שתתחלף הנחת כפלי השרש האחד בעינו מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי השרשים האחרונים ר"ל שבהתרבות השרשים האחרונים יתרבה מנין הנחת כפלי השרש האחד בעינו<br>
| |
| − | כי כמו שיתחלף השרש האחד בעינו להיותו פעם שני ופעם שלישי לאחרון כן תתחלף הנחת כפליו<br>
| |
| − | כי בהיותו שני לאחרון תהיה הנחת כפליו במדרגה השנית למדרגת האחרון<br>
| |
| − | ובהיותו שלישי לאחרון תהיה הנחת כפליו במדרגה השלישית לאחרון<br>
| |
| − | ואם כן אחרי שבהעתקת השרשים האחרונים אשר מהם יחשב מנין המדרגות הנמשכות למדרגת השרשים תשוב המדרגה השנית רביעית והשלישית חמשית וכן תמיד<br>
| |
| − | ותשוב הנחת כפלי השרשים מה שהיה ראוי שיונח תחת השנית שיונח תחת השלישית ומה שהיה ראוי שיונח תחת השלישית שיונח תחת הרביעית ומה שהיה ראוי שיונח תחת הרביעית שיונח תחת החמישית<br>
| |
| − | אם כן מן המחויב מזה בהכרח שכאשר יעתקו הכפלים כל אחד מהם למדרגה הקודמת תהיה הנחת כל אחד במקומו הראוי לו<br>
| |
| − | כי אחר שהמונח תחת השנית ראוי שיונח תחת השלישית וכבר שבה השנית לרביעית אם כן הקודמת לה היא השלישית בהכרח<br>
| |
| − | וכן אחר שהמונח תחת השלישית יחויב שיונח תחת הרביעית וכבר שבה השלישית לחמישית אם כן הקודמת לה היא הרביעית<br>
| |
| − | וכן אחר שהמונח תחת הרביעית יחויב שיונח תחת החמישית וכבר שבה הרביעית לששית אם כן הקודמת לה היא החמישית וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | !The fifth and sixth lemma: the question regarding the placing of the units of doubles the roots beneath their preceding ranks and the placing of the tens of [doubles] the roots beneath the ranks of the roots themselves.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש החמישי והששי והיא השאלה על הנחת אחדי כפלי השרשים תחת המדרגות הקודמות להן והנחת עשרות השרשים תחת מדרגות השרשים בעצמם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת ממה שקדם<br>
| |
| − | וזה שכבר קדם שהנחת כפלי השרש השני הנמשך לשרש האחרון היא תחת המדרגה השנית הנמשכת למדרגת השרש האחרון ומדרגת השרש השני הנמשך לשרש האחרון היא תחת המדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון<br>
| |
| − | הנה א"כ מן המחויב מזה בהכרח שיהיה הנחת כפל השרש תחת המדרגה הקודמת למדרגה השלישי' הנמשכת למדרגת השרש האחרון<br>
| |
| − | וכל זה לאחדי כפלי השרש אשר הם ממין השרש ר"ל שאם השרש עשרות גם כפלו עשרות ואם מאות גם כפלו מאות ואם אלפים גם כפלו אלפים<br>
| |
| − | אולם עשרות כפלו הם מדרגה אחת יותר ממדרגת השרש ר"ל שאם היה השרש עשרות הנה עשרות כפלו הם מאות<br>
| |
| − | ואם היה מאות הנה עשרו' כפלו הם אלפים וכן כלם<br>
| |
| − | ולכן יחויב שתהיה הנחתו במקום הנחת המדרגה הגדולה ממנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה השרש הנכפל ב' עשרות הנה אחדי כפלו הם ד' עשרות<br>
| |
| − | וכבר קדם שהנחת העשרות ראוי שתהיה תחת מדרגת העשרות ר"ל הנחשבות לעשרות בערך אל מדרגת השרש האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה השרש הנכפל ט' עשרות הנה כפלו י"ח עשרו' שהם ק' וח' עשרות<br>
| |
| − | הנה הח' עשרות יונחו תחת מדרגת העשרו' שבערך מדרגת השרש האחרון והק' יונח תחת מדרגת המאות שבערך מדרגת השרש האחרון כמו שהיתה הנחת אחדי כפלי שרש המאות תחת מדרגת המאות שבערך מדרגת השרש האחרון וזה מבואר
| |
| − | |-
| |
| − | !The seventh lemma: which is why no mistake happend when we compare the ranks with their diversity of their positional values, so that the tens, the hundreds and the thousands are considered as units, and the root that is generated from them is applied as if we considered them according to their positional values.
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש השביעי והוא מדוע לא יקרה הטעות בשנחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים ויהיה השרש ההוה מהם צורך כאלו חשבנום לפי איכויותיהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מההקדמה הרביעית והחמשית<br>
| |
| − | וזה שמההקדמה הרביעית יוודע שלא יקרה הטעו' מצד הכמות<br>
| |
| − | ומההקדמה החמישית יתבאר שלא יקרה הטעו' מצד האיכות<br>
| |
| − | ר"ל שהשרש ההוה תחת המדרגה הנחשבת לאחדים ואם היא עשרות או מאות או אלפים או איזו מדרגה שתהיה הנה לא יקרה בו שבוש כלל לא מצד הכמות ולא מצד האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם מצד הכמות כי כבר התבאר מההקדמה הרביעית שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה שרשיהם ג"כ נמשלים ר"ל שהם בעלי כמות אחד מתחלפי האיכות כי זהו גדר הנמשלים כמו שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת שרש המ' אלפים הנה להיות שכמות המ' אלפים הוא ד' ושרש הד' הוא ב' ידענו שכמות שרש המ' אלף הוא ב' כי מספר המ' אלף הוא נמשל למספר הד' ולכן יחויב שיהיה שרשיהם גם כן נמשלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מצד האיכות כי כבר התבאר מההקדמה החמישית שהמרובעים הנמשלים למרובעים מה הנה הם במדרגות הנפרדות למדרגות המרובעים הראשונים מהמרובעים הנמשלים להם ר"ל היותר קטני המין ההוא<br>
| |
| − | ושרשיהם הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על הסדר ר"ל שרשי הנמשלים היותר קטני' הם במדרגת האחדים ושרשי הנמשלים השניים ר"ל היותר גדולים מהנמשלים הקטנים הם ממדרגות העשרות וכן תמיד<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיה הנחת השרשים הנמשלים הם במדרגות הנפרדות ושרשיהם המונחים תחתיהם נחשבם נמשכי'<br>
| |
| − | ר"ל שהשרש האחרון יחשב לאחדים<br>
| |
| − | והשרש השני לו יחשב לעשרות<br>
| |
| − | והשלישי לו יחשב למאות וכן תמיד<br>
| |
| − | שהם המדרגות הנמשכות זו אחר זו על הסדר<br>
| |
| − | הנה אם כן לפי ההנחה הזאת יחויב שיסודרו תחת המרובע הנמשל למרובע היותר קטן השרש הנמשל ומקומו לפי מדרגתו גם כן המורה על האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת שרש המ' אלף אשר הוא המדרגה החמישית הנה שרשו מצד הכמות הוא ב' כמו שקדם ומצד האיכות הוא מדרגה שלישי' שהוא מאות אחר שהוא הנפרד השלישי ויחויב שיהיה שלישי לשרש האחרון וזהו שלישי על סדר המדרגות ואם כן הב' המונח תחת שרש המ' אלף הם מאתים וככה הוא שרש המ' אלף וזהו מש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for finding this species by the second method
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> סבת מציאות זה המין עם הדרך השנית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת גם כן מההקדמה הראשונה<br>
| |
| − | וזה שכמו שההוה ממרובע השרש הקטן חלק ממרובע הגדול כן שרש המרובע הקטן הוא חלק משרש המרובע הגדול<br>
| |
| − | וכמו שהמרובע הגדול הוא מחובר מהמרובע הקטן ומהתוספת אשר בין המרובע הגדול ובין המרובע הקטן כן שרש המרובע הגדול הוא מחובר משרש המרובע הקטן ומהתוספת אשר בין השרש המרובע הקטן ובין שרש המרובע הגדול<br>
| |
| − | וכבר קדם מההקדמה הראשונה שהמרובע ההווה מהמספ' המחובר משני החלקי' יחד הוא שוה למה שיתהוה משני מרובעי שני חלקי המספר ההוא עם מה שיתהוה מהכאת החלק האחד מהם עם כפל החלק השני לפי מה שקדם<br>
| |
| − | א"כ כאשר יחוסר המרובע הקטן המתהווה מהכאת שרש המרוב' הקטן בעצמו אשר הוא נכלל תוך המרובע הגדול הנה יחוייב שיהיה הנשאר מהמרובע הגדול אשר הוא התוספת אשר בין המרובע הקטן לבין המרובע הגדול שוה למה שיתהווה מהכאת החלק האחד משני חלקי השרש בעצמו ועם מה שיתהוה מהכאת החלק ההוא עם כפל החלק האחר שהוא שוה לשרש המרובע הידוע<br>
| |
| − | ולכן כאשר נכפול שרש המרובע הידוע ונחלק עליו תוספת המרובע הגדול על הקטן באופן שיספיק העולה מהכאת החלק היוצא עם עצמו שיחוסר מהמחולק יחוייב שיהיה החלק היוצא הוא החלק האחר משני חלקי השרש הגדול שהוא תוספת השרש הגדול עם השרש הקטן<br>
| |
| − | וזה שכבר קדם שהעולה מהכאת החלק עם המחלק הוא שוה למחולק וכבר השארנו מהמחולק מספר שיספיק שיחוסר ממנו העולה מהכאת החלק בעצמו<br>
| |
| − | א"כ יחוייב לזה בהכרח שיהיה היוצא בחלוקה הזאת כאשר יוכה עם המחלק ועם עצמו שיהיו שני העולים משתי ההכאות יחד שוים למחולק אשר הוא תוספת המרובע על המרובע<br>
| |
| − | ואם כן יהיה החלק היוצא הוא החלק השני משני חלקי השרש ולכן כאשר נוסיפהו על החלק הידוע שהוא שרש המרובע הקטן שיהיה ההווה מהם שרש המרובע הגדול וזמש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרך השלישית היא הדרך הראשונה בעצמה רק שקצרתי הדרך<br>
| |
| − | כי במקום שכפלו השרש וכתבו אות הכפל והכוהו עם השרש האחרון הכינו אנחנו השרש האחרון עם השרש פעמיים והנה הדבר שוה<br>
| |
| − | גם במקום שכותבין השרשים תחת המדרגות הנפרדות ונצטרך אחר זה לסדרם נמשכים לדעת מדרגת כל אחד ואחד אנחנו כתבנום נמשכי המדרגות עד שלא נצטרך אחר זה לסדור כלל<br>
| |
| − | ובמקום שהניחו כפלי השרשים תחת המדרגות שיחוסר העולה מהכאתם מהם כדי שלא יתבלבל המעיין הנחנו אנחנו השרשים להורות על התחלת המדרגה אשר ממנו נחל לחסר על הסדר ובכלל נתננו סימן אחר תמורת הנחת הכפלים עד שיספיק משמירת הבלבול והמבוכה והכל עולה בקנה אחד וזה מש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for finding the approximate root by setting the zeros
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> סבת מציאות השרש הקרוב עם הנחת הסיפרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Why the number [of the zeros] is even.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולמה יהיו זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Why we cast away half the number of the zeros from the roots and take the remaining so they are degrees?
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולמה נשליך מהשרשים בכמות חצי הסיפרש ונקח הנשארים ויהיו מעלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Why the subtracted are multiplied by 60, then we cast away half the number of the zeros from the result so the remaining minutes?
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולמה יוכו הנשלכים עם ס' ונשליך מהעולה בכמות חצי הסיפרש והנשארים יהיו ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולמה יהיו תמיד יורדים מדרגה אחר מדרגה כי אחר זה יהיו שניים ואחר זה שלישיים וכן תמיד עד שיכלו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כל זה מבואר ממה שקדם עם תוספת הקדמה אחת<br>
| |
| − | והיא שהמספרים הבלתי נגדרים הנמשלים הנה אין השרשים הקרובים היוצאים עם הדרך הקודם נמשלים קצתם לקצת אבל שרש הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת משרש הנמשל הקטן ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה השרש הקרוב היוצא למספר ב' הוא א‫'<br>
| |
| − | והשרש הקרוב היוצא למספר הר' הוא י"ד<br>
| |
| − | והשרש הקרוב היוצא במספר הכ' אלף הוא קמ"א<br>
| |
| − | והנה העולה מהכאת הא' בעצמו הוא א' והנשאר עד תשלום הב' הוא א' שהוא חלק אחד משני חלקי הב‫'<br>
| |
| − | והעולה מהכאת הי"ד עם עצמו הוא קצ"ו והנשאר עד תשלום הר' הוא ד' שהוא חלק אחד מנ' חלקי הר‫'<br>
| |
| − | והעולה מהכאת הקמ"א עם עצמו הוא י"ט אלף תתפ"א והנשאר עד תשלום הכ' אלף הם קי"ט שהם חלק אחד מקס"ח חלקי הכ' אלף בקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כבר יחויב מזה בהכרח שלא יבוקש השרש הקרוב למספר הבלתי נגדר מהמספר ההוא בעצמו כמשפט מציאות שרש המספר הנגדר<br>
| |
| − | אחר שכבר התבאר מההקדמה הזאת ששרש הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת משרש הנמשל הקטן<br>
| |
| − | ולכן ראוי שיבוקש שרשו הקרוב משרש המספר הגדול ממנו הנמשל לו<br>
| |
| − | ולהיות שכבר התבאר מההקדמה הרביעית מהחמש הקדמות הנזכרות למעלה שהמספרים הנמשלים שרשיהם גם כן נמשלים ר"ל שכמותם אחד בעינו ושלא יתחלפו רק באיכות ר"ל בחלוף המדרגות ר"ל בשהאחד ממנו אחדים והאחר עשרות או מאות ודומיהם לא זולת זה<br>
| |
| − | הנה אם כן יחויב מזה בהכרח שכאשר מצאנו שרש המספר היותר רב המדרגות מהמספר הדרוש הנמשל לו הנה נקח אותו ונשמרהו<br>
| |
| − | ולהיות שכבר התבאר מההקדמה החמישית מהחמש הקדמות ששרשי המרובעים הנמשלים הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים<br>
| |
| − | ר"ל שהמרובע הראשון ההווה שהוא היותר מעט המדרגות הנה שרשו ממדרגת האחדים בהכרח<br>
| |
| − | ושהמרובע השני שהוא במדרגה השלישית למדרגת המרובע הראשון הנה שרשו ממדרגת העשרות שהיא שנית למדרגת שרש המרובע הראשון<br>
| |
| − | ושהמרובע השלישי שהוא במדרגה החמישית למדרגת המרובע הראשון הנה שרשו ממדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת שרש המרובע הראשון<br>
| |
| − | וכן כלם על זה הסדר ר"ל שמדרגות המרובעים הנמשלים הנמשכים על הסדר הם בדלוג המדרגות ר"ל ב' מדרגות אחר ב' מדרגות<br>
| |
| − | ומדרגות שרשי המרובעים הנמשלים הנמשכים על הסדר הם מדרגה אחר מדרגה על הסדר בבלתי דלוג כלל<br>
| |
| − | והוא מהמבואר בעצמו שהמספר הנמשל הגדול ממנו הוא המספר הקטן ממנו בעצמו אחר שהמספרים הנמשלים כמותם אחד בעינו ושלא יתחלף האחד מחברו רק בשנוסיף עליו סיפרש עד שיתרבו מדרגות המספר ההוא בעינו ויחשב יותר גדול מזה הצד<br>
| |
| − | הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שנקח מהשרש השמור הלקוח מהמספר הגדול מספר חצי הסיפראש וככה יהיה מספר מדרגותיו נוספות ממדרגות שרש המספר הקטן הנמשל לו בהכרח אחר שהמדרגות המרובעים הנמשלים יעלו ב' ב' ומדרגות שרשיהם יעלו א' א' כמו שקדם<br>
| |
| − | ולכן יחוייב שנוריד מדרגות השרש השמור כמספר מדרגות חצי הסיפראש<br>
| |
| − | אחר שמדרגות שרש המספר הגדול נוספות על מדרגות שרש המספר הקטן כמספר חצי הסיפראש<br>
| |
| − | וזה בשנשליך ממדרגות השרש השמור כמספר חצי הסיפראש<br>
| |
| − | ויחויב שיהיה הנשאר ממנו פחות ממדרגות המספר הגדול כמספר חצי הסיפראש<br>
| |
| − | ואחר שהיו שלמים יחויב שיהיה הנשאר שלמים<br>
| |
| − | אחר זה נקח מדרגות השרש הנשלכות אשר לא יספיקו לרדת כמספר מדרגות חצי הסיפרש ונכם עם ס' ויהיו בהכרח ראשונים לפי מה שקדם בשברי התכונה ויעלה למדרגות יותר ממדרגות חצי הסיפרש וההווה מהכאתם נשליך ממדרגותיהם כמספר חדי הסיפרש כדי שירדו מדרגותיו כמספר חצי הסיפרש כמשפט הראשון<br>
| |
| − | ואחר שיהיו ראשונים יחוייב שיהיה הנשאר ראשונים<br>
| |
| − | וכן תמיד עד שיכלו כל מספרי שרש המספר הגדול ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |In order to expand the explanation on this, one example is given by which the existing doubts become clear.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכדי שנרחיב לזה ביאור נמשיל לזה משל אחד ובו יתבארו הספקות הנופלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*I say that if we wish to find, for example, the root of 2 that has no root
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\sqrt{2}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שעם רצינו עד"מ למצוא שרש הב' אשר הוא בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We will not take the approximate root of 2 itself.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה לא נקח השרש הקרוב ממספר הב' בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For it was already preceded from the previous proposition that the approximate root of 200, which is its analogous number, is closer than it.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כבר קדם מההקדמה הקודמת שקרוב שרש הר' שהוא המספר הנמשל לו יותר קרוב ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::The approximate [root] of 20000, which is its third analogous, is closer than the approximate root of 200 and so on.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקרוב הכ' אלף שהוא הנמשל השלישי לו הוא יותר קרוב משורש הר' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Therefore, we take the root of 2, for example, from [the approximate root of] 20000, which is 141 as preceded that are integers and we keep tham.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נקח שרש הב' עד"מ מהכ' אלף שהוא קמ"א כמו שקדם והם שלמים ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::As the 20000 is the numerical value of the 2 itself, only that this 2 is called 20000 with the addition of the zeros that add the ranks and the same for all the analogous numbers:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהכ' אלף הוא כמות הב' בעינו רק שנקרא זה הב' כ' אלף עם תוספת הסיפרש אשר יוסיפו המדרגות וכן בכל המספרים הנמשלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*It is necessary that we add the zeros in every number whose root we wish to know, so we convert it to an analogous number that is greater than it. Since the addition of the analogous number is only addition of zeros.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן יחוייב שנוסיף סיפרש בכל מספר שנרצה לדעת שרשו עד שנשיבהו אל נמשל יותר גדול ממנו<br>
| |
| − | אחר שאינו תוספת הנמשל על הנמשל רק עם הסיפרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*It is necessary that [the number of the zeros] is even, since the interval between the analogous number and the analogous number is 2 ranks by 2 ranks, as preceded in the fifth proposition.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיחוייבו שיהיו זוגות להיות שרוחק הנמשל מהנמשל הוא ב' מדרגות אחר ב' מדרגות כמו שקדם מההקדמה החמישית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*It is necessary that the root of the 20000 in our example is itself the root of 2 from the aspect of its numerical value, as preceded in the fourth proposition that the roots of the analogous squares are also analogous.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיחוייב שיהיה שרש הב' אלף אשר הוא במשלנו הוא בעצמו שרש הב' מצד כמותו כמו שקדם מההקדמה הרביעית שהמרובעים הנמשלים הנה שרשיהם גם כן נמשלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*It is necessary that the ranks of the root of 2 are less than the ranks of [the root of] 20000 by 2 ranks, as the number of half the zeros, for it was already preceded in the fifth proposition that analogous squares rise 2 ranks by 2 ranks, whereas the analogous roots rise one rank by one rank, which are their half.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושחוייב שיהיה מדרגות שרש הב' פחות ממדרגת הכ' אלף ב' מדרגות כמספר חצי הסיפרש כי כבר קדם מההקדמה החמישית שהמרובעי' הנמשלים יעלו ב' ב' מדרגות והשרשים הנמשלים יעלו א' א' מדרגות שהם חצים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Therefore, since the ranks of the number 20000 exceed over the ranks of 2 by 4 ranks, it follows necessarily that the ranks of the root of 2 are less than the ranks of the root of 20000 by 2 ranks, as the number of half the zeros.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן להיות שמדרגות מספר הכ' אלף הם נוספות על מדרגות הב' ד' מדרגות יחוייב לזה בהכרח שיהיו מדרגות שרש הב' פחותות ממדרגות שרש הכ' אלף ב' מדרגות כמספר חצי הסיפרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Hence, when we lower the extracted root of 20000, which is 141, by 2 ranks, it is necessarily the root of 2.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר נפחית שרש הכ' אלף הלקוח שהוא קמ"א ב' מדרגות יהיה שרש הב' בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהמ"א מהקמ"א לא יתכן שנפחית ב' מדרגות כי הא' הוא אחדים ולא יתכן שנפחיתהו כלל והמ' הוא עשרות ולא יתכן שנפחיתהו רק מדרגה אחת לא שתים לכן נמנע מלקחת אותם לשרש הב' וזאת היא הסבה אשר אנחנו משליכי' מהלקוח בכמות חצי הסיפרש<br>
| |
| − | אולם מספר הק' מהקמ"א אשר נוכל להורידו ב' מדרגות וישאר א' הנה נקחהו ואין צורך להורידו אל האחדים כי אחר שנשליך מהקמ"א המ"א שהם בכמות חצי הסיפר"ש ישאר הק' לבדו ויחשב א' בהכרח כי הוא אמנם יקרא ק' בערך אל המדרגה השלישית אשר הוא עומד אחר המ"א אך כאשר
| |
| − | יחוסרו הם ישאר הוא להיותו במדרגה הראשונה ויחשב א' בהכרח<br>
| |
| − | אחר זה לקחנו המ"א והכינום עם הס' והיו העולים מהכאת המ"א עם הס' ראשונים בהכרח כי כל שלם המוכה עם הס' הנה העולה מהם הם ראשונים בהכרח<br>
| |
| − | והנה יעלו ב' אלפים ת"ס ראשונים והם ד' מדרגות והשתי מדרגות הראשונות לא נוכל להורידם הב' מדרגות הראויות לסבה שזכרנוה<br>
| |
| − | הנה נקח מהם הב' אלפים ת' הנשארים ונורידם ב' מדרגות והם כ"ד<br>
| |
| − | וזה בשנשליך מהם הס' שהם ב' מדרגות וישארו הם ב' מדרגות ויחשבו כ"ד<br>
| |
| − | אחר זה נכה הס' הנשלכים אשר לא הספיקו לרדת הב' מדרגות עוד עם הס'<br>
| |
| − | ולהיות שהס' היו ראשונים הנה העולה מהכאתם עם הס' יחוייב שיהיו שניים בהכרח<br>
| |
| − | והנה יעלו ג' אלפים ת"ר שניים והם ד' מדרגות נפחית מהם הב' מדרגות הראויות ולא יתכן זה בשתי המדרגות הראשונות כמו שקדם<br>
| |
| − | גם כי הם סיפרש ואין שם מספר עד שנפחיתהו אל מדרגה אחרת<br>
| |
| − | ונקח הג' אלפים ת"ר והם ב' מדרגות לבד<br>
| |
| − | ויחשבו ל"ו שניים ונקחם ונחברם עם השמורי' הראשונים והם א' מעלה ר"ל שלם א' כ"ד ראשונים רוצה לומר כ"ד ששמיים ול"ו שניים רוצה לומר ל"ו חלקים מג' אלפים ת"ר חלקי השלם הא' וזה מש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for finding the approximate root by the second method
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> סבת מציאות השרש הקרוב עם הדרך השנית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אין צריך לדרישה כלל כי הוא סבת השרש האמתי בעצמו עם אותו הדרך אין ביניהם חלוף כלל
| |
| − | |-
| |
| − | !The reason for finding the approximate root by the third method
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> סבת מציאות השרש הקרוב עם הדרך הג‫'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא סבת הדרך הראשון בעינו כי אין בין שני הדרכים חלוף כלל רק שעשינו בזה הדרך כל ההכאו' הראויות בבת אחת עד שעלו כמו הסיפרש בראש הטור האחרון ההווה מכלל כל ההכאות בכמות חצי הסיפראש עד שכאשר נשליך ממדרגות המספר ההווה ככמות חצי הסיפראש עד שנקח הנשאר יהיו הנשלכות מהן הסיפרש והנשאר יהיה כל המספר בכללו והוא המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה נשיבהו אל המדרגות היותר גדולות אם תרצה<br>
| |
| − | או אם תרצה יונח זה המספר כאשר הוא ותחשבהו לפי מדרגתו אם ראשונים ואם שניים ואם שלישיים או איזה מין שיהיו והוא המבוקש וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Chapter Two: [Extracting Square Roots of Fractions or Integers and Fractions] =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הפרק השני</big>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שבארנו לך הדרך במציאות שרשי המספרים השלמים אם במספרים הנגדרים ואם במספרים הבלתי נגדרים והיה מהמחויב עלינו להודיע הדרך בשני החלקים הנשארים מג' חלקי המספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן מהמחויב עלינו להודיע הדרך במציאות שרשי השברים ומציאות שרשי השברים עם השלמים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואומר</big> שמציאות שרשי השברים הוא דרך השלמים בעצמו ר"ל מצד כמותם ואולם מצד איכותם נצטרך למלאכה אחרת והוא שנמצא שרש המספר אשר שם השברים נגזר ממנו והיוצא לך הנה השם הנגזר ממנו הוא איכותם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the root of 100 fourths
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת שרש הק' רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נמצא עם הדרכים הקודמים בעצמם שרש הק' והם י'<br>
| |
| − | אחר זה נבקש שרש הד' אשר שם הרביעיים נגזר ממנו ומצאנו ששרשם שנים לקחנו השם הנגזר מהשנים שהוא החצי וידענו שהי' השמורים שהם חצאים ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם י' חצאים<br>
| |
| − | אחר זה אם רצית להשיבם אל השלמים חלק הי' על מספר השנים אשר איכותם נגזר ממנו והעולה ה' ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם ה' שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Another example: we wish to know the root of 100 sixteenths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{100^{xvi}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|דמיון אחר רצינו לדעת שרש הק' ששה עשריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מצאנו עם הדרכים הקודמים ששרש הק' הם י' ושמרנום<br>
| |
| − | אחר זה לקחנו מספר הי"ו אשר שם הששה עשריים נגזר ממנו ונבקש שרשו והוא ארבע'<br>
| |
| − | ובזה ידענו שהי' השמורים הם רביעיים אחר ששמם נגזר מהד' ובזה ידענו ששרש הק' ששה עשריים הם י' רביעיים<br>
| |
| − | ואם רצינו להשיבם אל השלמים נחלקם על הארבעה אשר שמם נגזר מהם<br>
| |
| − | והעולה ב' וחצי ובזה ידענו ששרש הק' ששה עשריים הוא שנים וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת זה גם כן באופן אחר והוא שאם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים נחלק הק' אל הארבעה אשר שמם נגזר ממנו והיוצא לך הם כ"ה תמצא שרש הכ"ה והם ה' ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הם ה'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצינו לדעת שרש הק' ששה עשריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|חלק הק' על י"ו אשר שמם נגזר ממנו והיוצא לך הוא ו' ורביע תמצא שרש הו' ורביע והם ב' וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרך בידיעת מציאות שרש הו' ורביע אשר הם שלמים ושברים יחד הנה נודיעהו אחר זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם השני אופנים המודיעים לנו מציאות שרשי השברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשברים אשר כמותם ואיכותם נגזרים משמות מספרים נגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו הק' רביעיים אשר כמותם שהוא הק' הוא מספר נגדר ואיכותם גם כן שהוא מספר הארבעה הוא מספר נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> השברים אשר כמותם ואיכותם יחד הם מספרים בלתי נגדרים או אשר כמותם לבד בלתי נגדר או אשר איכותם לבד בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נצטרך בהם למלאכה והוא שנכה האיכות הבלתי נגדר עם עצמו והעולה הוא איכותם<br>
| |
| − | גם נכה כמותם עם האיכות והעולה ניחסהו אל השמור הראשון וההווה הוא כמותם<br>
| |
| − | אחר זה נבקש שרש כמותם האמתי אם היה נגדר או השרש הקרוב אם היה מספר בלתי נגדר והיוצא שמרהו<br>
| |
| − | אחר זה בקשנו שרש איכותם וההווה הוא איכות השמור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>משל</big> המין הראשון אשר הוא הר' חמשיים אשר כמותם ואיכותם יחד בלתי נגדרי'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הדרך בידיעת שרשם הוא זה שנכה מספר החמשה עם עצמו אשר שם החמשיים נגזר ממנו בעצמם ויעלו כ"ה<br>
| |
| − | עוד נכה מספר הר' אשר הוא כמות השברים בחמשה אשר הוא איכותם והם אלף כה"יים<br>
| |
| − | בקשנו השרש הקרוב לאלף והוא ל"א שלמים ל"ז ראשונים י"ב שניים ושמרנום<br>
| |
| − | לקחנו שרש הכ"ה שהוא חמשה וידענו שהשמורי' שבידינו הם חמשיים<br>
| |
| − | וא"כ הם ל"א חמשיים ול"ז דקי החומש האחד וי"ב שניי החומש האחד<br>
| |
| − | חלקנום על ה' ויצאו ו' שלמים וחומש אחד ול"ז חלקים מש' חלקי השלם וחלק אחד מאלף ת"ק חלקי השלם<br>
| |
| − | או חלק הר' על הה' ויצאו לך מ'<br>
| |
| − | בקש שרשם והם ו' שלמים וי"ט ראשונים וי"ב שניים<br>
| |
| − | ואין בין השרש הזה ובין השרש הראשון רק חלק אחד ממאתים וחמשים חלהקי השלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ומשל</big> המין השני אשר הוא הר' רביעיים אשר כמותם לבד בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה לא נצטרך בזה המין להכאת האיכות בעצמו להיותו נגדר<br>
| |
| − | גם לא נצטרך להכאת הכמות בשום מספר<br>
| |
| − | רק נבקש השרש הקרוב למספר הר' והוא י"ד שלמים ק' ראשונים כ"ד שניים<br>
| |
| − | לקחנו שרש הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והם ב' וידענו ששרש הר' היוצא שהם חצאים אחר ששמם נגזר מהב'<br>
| |
| − | ואם כן הם י"ד חצאים וח' ראשונים החצי האחד וכ"ד שניי החצי האחר<br>
| |
| − | חלקנום על ב' ויצאו ז' שלמים וחלק אחד מט"ו חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם<br>
| |
| − | או חלק הר' על הד' ויצאו לך נ'<br>
| |
| − | בקש שרשם והם ז' שלמים ד' ראשונים י"ב שניים<br>
| |
| − | ואין בין זה השרש ובין השרש הראשון מאומה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ומשל</big> המין השלישי שהוא הק' חמשיים אשר איכותם לבד בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אחר שאיכותם בלתי נגדר נצטרך להכאת האיכות בעצמם וישובו כה"יים<br>
| |
| − | עוד נכה הכמות בה' ויעלו ת"ק ויהיו ת"ק כה"יים<br>
| |
| − | בקשנו השרש הקרוב לת"ק והוא כ"ב שלמים כ"א ראשונים ל"ו שניים<br>
| |
| − | בקשנו שרש הכ"ה והם ה' וידענו ששרש הק' חמשיים היוצא שהוא כ"ב חמשיים וכ"א דקי החומש הא' ול"ו שניי החומש האחד<br>
| |
| − | חלקנום על ה' ויצאו ד' שלמים וכ' חמשיים וז' חלקים מק' חלקי השלם וחלק אחד מת"ק חלקי השלם<br>
| |
| − | או חלק הק' חמשיים על ה' ויעלו כ'<br>
| |
| − | בקש שרשם והם ד' שלמים וכ"ח ראשונים וי"ב שניים<br>
| |
| − | ואין בין השרש הזה ובין השרש הראשון רק אחד מת"ק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר ביארנו לך דרך מציאות שרשי השברים אשר כמותם ואיכותם נגדר או אשר איכותם לבד נגדר או אשר כמותם לבד נגדר או אשר כמותם ואיכותם יחד בלתי נגדרים וזה בשני דרכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> כאשר היה כמות השברים בלתי מתחלק בכללו על המספר אשר איכות שבריו נגזר ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו הק"ג חמשיים עד"מ או הק' שביעיים והדומים להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כמות הק"ג לא יתחלק בכללו על הה' אשר הוא איכות החמשיים כי ישארו ג' בלתי מתחלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמות הק' שביעיים לא יתחלק בכללו על השבעה אשר הוא איכות השבעיים כי ישארו ב' בלתי מתחלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הדרך במציאות שרשו אמנם הוא הדרך הראשון מהשני דרכים לבד<br>
| |
| − | כי הדרך השנית לא תתכן רק במספרים השלמים לבד לא בכמו אלה השברים אשר לא יתחלק כמותם בכללו על איכות השברים כי הם יהיו שלמים ושברים<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן הנה אין דרך אל מציאות שרשי אלה השברים והדומים להם רק עם הדרך הראשון לבד לא זולתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרך במציאות שרשי השלמים והשברים יחד הנה הוא הדרך הראשון אשר במציאות שרשי השברים בעינו אחרי התכתם אל השברים לבד<br>
| |
| − | וזה בשנכה איכות השברים עם השלמים והעולה נחברהו עם כמות השברים והמקובץ הוא כמות השברים והשלמים יחד<br>
| |
| − | ואיכותם הוא איכות השברים הדרושים בעצמם<br>
| |
| − | אחר זה נשתמש במציאות שרשם עם הדרך הקודם בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the root of 14 and two sevenths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{14+\frac{2}{7}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בזה אם רצית לדעת שרש הי"ד ושני שביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הי"ד עם הז' ויעלו צ"ח נחברם עם הב' ויעלו ק' וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד<br>
| |
| − | ואיכותם הם איכות השברים המתחברים עם השלמים<br>
| |
| − | ולכן יהיו הי"ד שלמים וב' שביעיו' ק' שביעיים<br>
| |
| − | ולהיות שמספר השבעה אשר שם השבעיים נגזר ממנו הוא בלתי נגדר הכינום בעצמם ועלו מ"ט<br>
| |
| − | גם הכינו הק' עם הז' ועלו ת"ש והנה יהיו ת"ש מט"יים<br>
| |
| − | בקשנו שרש הת"ש והוא כ"ו שלמים כ"ז ראשונים<br>
| |
| − | לקחנו שרש המ"ט והוא ז' ולכן ידענו שהם כ"ו שביעיים כ"ז דקי השביעית הא'<br>
| |
| − | שהם ג' שלמים וה' שביעיים וט' חלקים מק"מ חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Also: if we wish to know the root of 6 integers and one quarter.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצינו לדעת שרש הו' שלמים ורביעית אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הו' עם הד' ויעלו כ"ד נחברם עם האחד ויעלו כ"ה וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד<br>
| |
| − | ואיכותם הם איכות השברים המתחברים עם השלמים בעצמם<br>
| |
| − | ולכן יהיו הו' שלמים ורביע כ"ה רביעיים<br>
| |
| − | ולהיות שמספר הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו הוא מספר נגדר לכן אין צורך להכאה כלל רק נבקש שרש הכ"ה והם ה'<br>
| |
| − | לקחנו שרש הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והוא ב' ולכן ידענו ששרש הכ"ה הם ה' חצאים<br>
| |
| − | חלקנום על ב' אשר שם החצאים נגזר ממנו ועלו ב' שלמים וחצי וזהו שרש הו' ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך דרך מציאות שרשי השברים לבד ושרשי השלמים עם השברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> המאזנים הכוללים יחד כל המינים ר"ל בשלמים לבד ובשברים לבד ובשלמים עם השברים יחד הוא שנכה השרש בעצמו ואם ישוה העולה מהכאתו למספר המבוקש שרשו דע שצדקת ואם לאו כזבת<br>
| |
| − | וזה במספרים הנגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם במספרים הבלתי נגדרים הנה אם היה שרשם הקרוב שלמים לבד<br>
| |
| − | הנה תחבר העולה מהכאת השרש בעצמו עם המותר והעולה מקבוצם אם ישוה למספר המבוקש דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה שרשם הקרוב שלמים עם שברים<br>
| |
| − | נקח השרש המונח תחת המספר המבוקש כמו שלמים ר"ל שלא תכה אותו עם מספר הס' להשיבם ראשונים ושניים רק נקח כלו כמו שלם<br>
| |
| − | ונכהו בעצמו והעולה מהכאתו נחברהו עם המותר<br>
| |
| − | והעולה אם ישוה למספר הדרוש שרשו דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>והסבה</big> לכל אלה הדרכים הנה היא מבוארת בעצמה<br>
| |
| − | וזה שכבר התבאר במה שקדם ששרש המספר הוא המספר אשר מהכאתו בעצמו יולד הוא<br>
| |
| − | וכבר קדם שהעולה מהכאת השברים בעצמם הוא העולה מהכאת כמותם עם עצמם כאשר ייוחס אל העולה מהכאת איכותם עם עצמם<br>
| |
| − | א"כ מן המחויב מזה בהכרח שנבקש שרש כמות השבר הדרוש ושרש איכותם וניחס היוצא משרש הכמות אל העולה משרש האיכות וההווה הוא שרש השברים הדרושים<br>
| |
| − | אחר שהוא מן המחויב שיהיה השבר ההווה מהכאתו שוה לשברים הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the root of 100 fourths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח שרש הק' והם י'<br>
| |
| − | גם נקח שרש הארבעה המורים על איכות הרביעיים ויהיו ב' המורים על איכות חצי<br>
| |
| − | ובזה ידענו ששרש הק' רביעיים הוא י' חצאים<br>
| |
| − | וזה כי כאשר נכה הכמות עם עצמו והאיכות עם עצמו יעלו ק' רביעיים שהם השברים הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן כאשר היו השברים כמותם ואיכותם בלתי נגדר<br>
| |
| − | כמו הר' חמשיים עד"מ<br>
| |
| − | הנה אחר ששרשם הוא אשר בהכאתם בעצמם יולדו הר' חמשיים<br>
| |
| − | והשברים המוכים בעצמם הם אשר כמותם מוכי' בעצמם ואיכותם ג"כ מוכים בעצמם<br>
| |
| − | והיו החמשיים לא יולדו מהכאת שום איכות בעצמו<br>
| |
| − | אחר שמספר הה' אשר שם החמשיים נגזר ממנו הוא מספר בלתי נגדר<br>
| |
| − | לכן יתחייב מזה שנכה החמשיים בעצמם ויעלו כה"יים ויהיו הכ"ה אשר שם הכה"יים נגזר ממנו מספר נגדר ושרשם חמשה אשר שם החמשיים נגזר ממנו<br>
| |
| − | וכאשר השיבונו החמשיים כה"יים ר"ל מוכים עם ה' והיו גם הר' שהוא כמותם מוכים עם הה' הנה יהיה יחס הר' אל הה' כיחס העולה מהכאת הר' עם הה' אל העולה מהכאת הה' עם הה' שהוא יחס מספר האלף אל מספר הכ"ה<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן הנה אם כן הר' חמשיים הם הם האלף כה"יים בעצמם רק ששבו בעלי איכות נגדר אחר ששרש הכ"ה הוא ה'<br>
| |
| − | וכאשר בקשנו השרש הקרוב למספר האלף הנה השרש היוצא יהיה מורה על הכמות ואיכותם יהיו חמשיים בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה מבואר מאד אין צורך להאריך יותר בבאורו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהנה יודע לך סבת מציאות שרשי השלמים ושברים יחד גם כן אחר ששבו עם ההתכה שברים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר נתבאר לך סבת מציאות שרש השברים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרך במציאות שרשי שברי התכונה הנה הוא בשתקח שרש כמותם וחצי איכותם והיוצא הוא שרשם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the root of 100 fourths of the sexagesimal fractions.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{100^{iv}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת שרש הק' רביעיים משברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח שרש הק' והם י'<br>
| |
| − | גם נקח חצי הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והם ב' המורים על שניים<br>
| |
| − | ובזה ידענו שרש הק' רביעיים הוא י' שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם היה כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד אשר לא יוכל להחלק לחצאין<br>
| |
| − | או כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר זוג הנחלק לחצאין<br>
| |
| − | או כמותם נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד<br>
| |
| − | הנה הדרך אל ידיעתו הוא שאם היה איכותו נגזר ממספר זוג וכמותו בלתי נגדר הנה נקח השרש הקרוב לכמותו וחצי איכותו והיוצא הוא שרשם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: 200 eighths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{200^{viii}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הר' שמניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח שרש הר' הקרוב והוא י"ד א' כ"ד
| |
| − | עוד נקח חצי השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו והוא ד' המורה על רביעיים<br>
| |
| − | ובזה ידענו ששרש הר' שמיניים הוא י"ד רביעיים וח' חמשיים וכ"ד ששיי'<br>
| |
| − | כי כשתכה הי"ד רביעיים ח' חמשיים כ"ד ששיים בעצמם יולדו קצ"ט שמיניים ונ"ו תשיעיים וי"ב עשריים ול"ג יאיי"ם ול"ו יביי"ם והם ר' שמניים בקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הב' מינים הנשארים<br>
| |
| − | כמו הר' חמישיים אשר כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגזר ממספר נפרד<br>
| |
| − | וכמו הק' חמישיים אשר איכותם נגזר ממספר נפרד וכמותם נגדר<br>
| |
| − | הנה הדרך אל ידיעת שרשם הוא בשנכה כמותם בששים וירדו בהכרח מעלה אחת והיא נגזרת ממספר זוג בהכרח אחר שהקודמת לה היא נגזרת ממדרגה נפרדת אחר נעשה הדרך הראשון בעינו ונמצא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the root of 200 fifths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{200^{v}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בזה אם רצינו לדעת שרש הר' חמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הר' בס' ויעלו י"ב אלפים ששיים<br>
| |
| − | אחר נבקש שרש הי"ב אלף הקרוב והוא ק"ט ל"ב כ"ד<br>
| |
| − | עוד נקח חצי הששה אשר שם הששיים נגזר ממנו והוא ג' המורה על שלשיים<br>
| |
| − | ובזה ידענו ששרש הר' חמשיים הוא ק"ט שלישיים ל"ב רביעיים כ"ד חמשיים<br>
| |
| − | כי כשתכה הק"ט שלישיים ול"ב רביעיים כ"ד חמשיים בעצמם יולדו י"א אלפים ותתקצ"ט ששיים ומ"א שמיניים ומ"ה תשיעיים ול"ו עשריים והם י"ב אלף ששיים בקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Also: if we wish to know the root of 100 fifths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{100^{v}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצינו לדעת שרש הק' חמשיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הק' בששיים ויעלו ו' אלפים ששיים<br>
| |
| − | נקח שרש הו' אלפים והקרוב והוא ע"ז כ"ז<br>
| |
| − | עוד נקח חצי הששה אשר שם הששיים נגזר ממנו והוא ג' המורה על שלישיים<br>
| |
| − | ובזה ידענו ששרש הק' חמשיים הקרוב הוא ע"ז שלישיים כ"ז רביעיים<br>
| |
| − | כי כשתכה הע"ז שלישיים כ"ז רביעיים בעצמם יולדו ה' אלפים תתקצ"ח ששיים ל' שביעיים וט' שמיניים והם ו' אלפים בקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהנה יודע לך הדרך במציאות שרשי שברים רבים משברי התכונה או שברים ושלמים יחד<br>
| |
| − | וזה בשנתיך הכל אל המין היותר פחות מהם ואז נשתמש עם הדרך הקודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the root of 20 degrees, 24 minutes, 20 seconds and 30 thirds.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>המשל</big> בזה אם רצינו לדעת שרש הכ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We multiply the 20 degrees by 60 and the result is 1200 minutes
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot20^\circ}{60}=1200^{\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הכ' מעלות בס' ויעלו אלף ר' ראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We sum them with the 24 minutes and the result is 1224.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}=1200^{\prime}+24^{\prime}=1224^{\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחברם עם הכ"ד ראשונים ויעלו אלף רכ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We multiply them again by 60 and the result is 73440 seconds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot1224^\prime}{60}=73440^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד נכם עם ס' ויעלו ע"ג אלף ות"מ שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Sum them with the 20 seconds and the result is 73700 seconds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}=73440^{\prime\prime}+20^{\prime\prime}=73460^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חברם עם הכ' שניים ויעלו ע"ג אלף ות"ס שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We multiply them by 60 and the result is 4407600 thirds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot73460^{\prime\prime}}{60}=4407600^{\prime\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכם עם הס' ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות אלף ושבעה אלפים ושש מאות שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::We sum them with the 30 thirds and the result is 4407630 thirds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}=4407600^{\prime\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}=4407630^{\prime\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחברם עם הל' שלישיים ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות אלף ושבעה אלפים ושש מאות ושלשים שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Since the thirds are an odd rank, we multiply them again by 60, so that they rise one more rank, which is even, and they are 264457800 fourths.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot4407630^{\prime\prime\prime}}{60}=264457800^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שהשלישיים היא מדרגה נפרדת נכם עוד עם הס' ויעלו עוד מדרגה אחת והיא זוג והם רס"ד פעמים אלף אלפים ותנ"ז אלף ות"ת רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take their root and they are 16262.
| |
| − | :We take also half the four, from which the name of the fourths is derived, it is 2 that indicates the seconds.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20^\circ+24^{\prime}+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}=\sqrt{264457800^{iv}}\approx16262^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|בקשנו שרשם והם י"ו אלפים ורס"ב<br>
| |
| − | עוד לקחנו חצי הארבעה אשר שם הרביעיים נגזר ממנו והוא ב' המורה על שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה ידענו ששרש הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים הקרוב הוא י"ו אלפים רס"ב שניים וט' שלישיים שהם ד' מעלות ל"ט ראשונים כ' שניים ט' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי כשתכה זה השרש עם עצמו יעלו כ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים כ"ה שלישיים נ"ב רביעיים ל"ז חמשיים כ"א ששיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא קרוב מאד אל המספר המבוקש שרשו שהוא הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>והסבה</big> הכוללת לכל אלה הדרכי' היא הסבה בעצמה אשר זכרנו בשברים המספריים רק שבמקום שאמרנו שהכאת השברי' עם עצמם הוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם ואיכותם עם עצמם נאמר הנה שהוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם וכפל איכותם<br>
| |
| − | ולכן יתחייב גם הנה שנבקש המספר אשר יוכה בעצמו ויולד כמות המספר העולה מהכאתו שהוא המספר הדרוש שרשו והוא שרש כמות השברים הדרושים<br>
| |
| − | ואולם באיכות לא נבקש שרשם אחר שאין איכות השברים הדרושים נולד מהכאת האיכות עם עצמו רק נקח חציו אחר שבכפלו יולד המספר הדרוש שרשו ובזה נגיע אל המבוקש<br>
| |
| − | ולכן כאשר יהיה כמותם בלתי נגדר ואיכותם נגדר ר"ל נגזר ממספר זוג או כמותם ואיכותם יחד נגדרים הנה נקח שרש הכמות האמתי אם היה הכמות נגדר או הקרוב אם היה בלתי נגדר<br>
| |
| − | אחר זה נחלק האיכות לחצאין והוא שרשו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> כאשר היה איכותם בלתי נגדר בין שיהיה כמותם נגדר ובין שיהיה בלתי נגדר<br>
| |
| − | הנה נצטרך בהכרח להכות הכמות עם ס' עד יעלה מדרגה אחת ואז יהיה נגדר בהכרח אחר שישוב במדרגת הזוג ויתכן בו החלוק לחצאין ובזה נגיע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> כאשר היו השברים ממינים רבים ונשיבם אל מין אחד הנה סבתו סבת הדרך הקדום בעצמו אין חלוף ביניהם כלל
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Part Two - Cubic Roots ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|החלק השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו שיתחלפו המספרים מהשטחים באשר המספרים יחלקו לשני חלקים נגדרים ובלתי נגדרים והם הנקראים ההויים וזולתיים<br>
| |
| − | ולא כן השטחים כי השטחים ואם יחלקו גם הם לאלה החלקים אמנם כבר ישובו אל מין אחד מהם והם ההוהויים<br>
| |
| − | והוא מרובע הקו הממוצע בין שני הקוים המקיפים בשטח הזולתיי אשר זה כבר התבאר מציאותו בין כל שני קוים איזה קוים שיהיו<br>
| |
| − | ולא כן במספרים כי אין בין כל שני מספרים מספר ממוצע מתייחס ביניהם עד יהיה מרובע המספר ההוא שוה לעולה מהכאת שני המספרים הקצותיים האחד עם האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כן יתחלפו ג"כ המספרים מהגשמים באשר המספרים יחלקו לשני חלקים מעוקבים ובלתי מעוקבים<br>
| |
| − | ולא כן הגשמים כי הגשמים ואם יחלקו גם הם לאלה החלקים אמנם כבר ישובו אל מין אחד מהם והם המעוקבי'<br>
| |
| − | והוא המעוקב ההווה על הקו השני מהארבעה קוים המתיחסים אשר יהיה יחס הראשון אל הרביעי כיחס מעוקב מה אל המוגשם המונח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכאשר היה מוגשם מה מונח ולקחנו מעוקב מה איזה מעוקב היה הנה אין ספק שיהיו מתיחסים ביחס מה בין שיהיו מדוברים או אלמים ובין שיהיו משותפים או נבדלים<br>
| |
| − | וכאשר נמצא קו שיהיה מתיחס אליו הקו אשר נבנה עליו המעוקב הלקוח כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח ויקרא הקו הנמצא<br>
| |
| − | אחר זה נמצא שני קוים אמצעיים בין שני הקוים האלו נמשכים ביחס עד שיהיה יחס הקו הראשון אשר נבנה עליו המעוקב המונח אל הקו הראשון מהשני קוים האמצעיים כיחס הקו הראשון מהאמצעיים אל הקו השני מהאמצעיים וכיחס השני מהאמצעיים אל הקו הנמצא הנה בהכרח שיהיה יחס הראשון אל הרביעי הוא כיחס הראשון אל השני משולש בכפל<br>
| |
| − | אבל יחס הראשון אל הרביעי הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח<br>
| |
| − | ויחס הראשון אל השני משולש בכפל הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המעוקב שנבנה על הקו השני<br>
| |
| − | אם כן יחס המעוקב הלקוח אל המעוקב אשר נבנה על הקו השני הוא כיחס המעוקב הלקוח אל המוגשם המונח והדברים שיחסם אחד אל שיעור אחד הנה הם שוים<br>
| |
| − | אם כן המוגשם המונח הוא שוה למעוקב הנבנה על הקו השני בהכרח<br>
| |
| − | הנה אם כן יתחייב שימצא תמיד מעוקב שוה למוגשם מונח איזה מוגשם היה<br>
| |
| − | ויתחייב שישובו כל המוגשמים מעוקבים<br>
| |
| − | ולא כן במספרים כי אין בין כל שני מספרים מתייחסים נמשכים ביחס עד שיהיה יחס הראשון אל השני כיחס השני אל השלישי וכיחס השלישי אל הרביעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כמו שחוייבנו לחקור השרשים האמתיים למספרים המרובעים והקרובים למספרי' הבלתי נגדרים למה שלא תספיק לנו ידיע' אחת בשניהם יחד<br>
| |
| − | כן הוא המחויב עלינו גם כן לחקור הדרך אשר בה נוכל למצוא יסוד המעוקבים<br>
| |
| − | והדרך אשר בה נוכל למצוא היסוד היותר קרוב למספרים המוגשמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וארצה במעוקבים המספרים אשר ארכם ורחבם ועמקם שוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמוגשמים המספרים שארכם ורחבם ועמקם בלתי שוים אם כלם ואם קצתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דמיון המעוקבים כמו מספר ח' אשר הוא מתילד מהכאת מספר ב' עם עצמו והעולה עם הב'<br>
| |
| − | כי ב' פעמים ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח'<br>
| |
| − | והנה ג' צלעותיו שהם האורך והרוחב והעומק הם מספר ב'<br>
| |
| − | ויקרא הב' יסוד הח' אחר שממנו צמח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מספר כ"ז יקרא גם כן מעוקב להיות שג' צלעותיו שהם האורך והרוחב והעומק הם ג'<br>
| |
| − | כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז<br>
| |
| − | ומספר ג' אשר ממנו התילד מספר הכ"ז יקרא יסוד הכ"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודמיון המוגשמים מספר י"ב עד"מ אשר לא יתכן שימצא מספר שיוכה בעצמו והעולה עם עצמו ויולד ממנו י"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Chapter One: [Extracting the Cubic Roots of Integers] =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הפרק הראשון</big>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע שהראשונים כבר כתבו דרך אחד במציאות יסודות המספרים המעוקבים<br>
| |
| − | והוא שתסדר המספר אשר אתה דורש יסודו בטור אחד כמנהג הנחת המדרגות זה אחר זה<br>
| |
| − | עוד אחר זה תשים נקודה תחת מדרגת האחדים<br>
| |
| − | עוד תדלג שתי מדרגות ותחת המדרגה הרביעית תשים עוד נקודה<br>
| |
| − | וכן מה שאחר זה בדלוג ב' מדרגות מהמדרגה אשר תחתיה נקודה ותחת המדרגה הרביעית לה שים נקודה<br>
| |
| − | וזה תמיד עד שיכלו כל המדרגות ובזה תדע מקום הנחת היסודות<br>
| |
| − | כי כל נקודה ונקודה הוא מקום הנחת היסוד<br>
| |
| − | ואחר שידעת מקומות הנחת היסודות הנה ראוי שתתחיל מהנקודה האחרונה שתבקש המספר אשר יספיק העולה מהכאתו בעצמו באופן מעוקב שיחוסר מהמספר אשר עליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ותחשוב המדרגה הזאת כמו מדרגת האחדים והנמשכת לה לעשרות והנמשכת לה למאות<br>
| |
| − | ר"ל אם היתה מדרגה אחת נמשכת לה לבד תחשב למדרגת העשרות<br>
| |
| − | ואם היו שתי מדרגות נמשכות לה תחשב האחרונה למדרגת המאות והקודמת לה למדרגת עשרות<br>
| |
| − | ואחר שתמצא המספר אשר העולה מהכאתו בעצמו באופן מעוקב יספיק שיחוסר מהמספר אשר עליו אם היה לבדו או מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה כאשר בארנו הנה נכתבהו על הנקודה האחרונה שבנקודות<br>
| |
| − | ואחר זה נכה המספר המונח בשלשה והעולה נכתבהו תחת המדרגה השלישית לה מהמדרגות הקדומות וזה אם היה העולה אחדים לבד<br>
| |
| − | ואם היו עשרות ואחדים הנה נכתוב העשרות תחת המספר המונח והאחדים תחת המדרגה השלישית לה מהמדרגות הקודמות ונקרא המספר הראשון יסוד ראשון<br>
| |
| − | ומספר האחדים אשר יתחדש מהכאתו בג' יקרא משולש ראשון<br>
| |
| − | ומספר העשרות אשר יתחדש מהכאתו בג' יקרא המשולש שתחת היסוד הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נעתיק היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה<br>
| |
| − | ולא נעתיק המשולש אשר תחת היסוד הראשון אם היה שם משולש בעבור שלא העתקנו עדיין המשולש הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נבקש מספר אשר יוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויהיה המספר היותר קרוב ממספר אשר למעלה מהמשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם זה המספר עצמו והעולה נשמרהו<br>
| |
| − | גם נכה המספר המבוקש עם המשולש הראשון והעולה נכהו עם היסוד הראשון והעולה נחברהו עם המספר השמור והמקובץ נחסרהו מהמדרגה שעל היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו והעולה אחר זה שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת השלישית למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | וכאשר מצאנו המספר היותר קרוב אשר יספיק העולה מכל אלה ההכאות שיחוסר מהמדרגו' שעליהם על הסדר שתארנו הנה נכתבהו על הנקודה הקודמת השלישית לנקודה האחרונה ויקרא היסוד השני<br>
| |
| − | עוד אחר זה נכה היסוד השני בג' והעולה אם היה אחדים לבד נכתבהו תחת המדרגה השלישית במקומם הנזכר והעשרות תחת היסוד השני<br>
| |
| − | אחר זה נעתיק כל האותיות הנמשכות למשולש השני אל המדרגה הקודמת לה ר"ל היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה והמשולש שתחת היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת והמשולש הראשון אל המדרגה הקודמת ונחברנה עם המשולש שתחת היסוד השני אם היה בעבור ששניהם במקום אחד אחרי ההעתקה<br>
| |
| − | גם נעתיק היסוד השני אל המדרגה הקודמת והנה נעתקו כל האותיות חוץ מהמשולש השני<br>
| |
| − | ואז נבקש המספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויחוסר מהמדרגה שעל המשולש שתחת היסוד הראשון<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני<br>
| |
| − | ובעבור שיש בין המשולש שתחת היסוד הראשון ובין היסוד השני שני מספרים שהם היסוד הראשון והמשולש הראשון על כן נשמור העולה מהכאת המשולש שתחת יסוד הראשון עם היסוד השני<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרהו ממדרגת היסוד הראשון<br>
| |
| − | עוד שיוכה המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש<br>
| |
| − | ובעבור שיש בין המשולש שתחת היסוד ובין המבוקש ארבעה מספרי' שהם המספר הנלוה הנמשך למבוקש והמספר הנלוה הקודם למשולש שתחת היסוד והמספר הנלוה הנמשך לנמשך והמספר הנלוה הקודם לקודם ע"כ נשמור בידינו העולה מהכאת המשולש שתחת היסוד הראשון עם המבוקש<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם המשולש השני שהוא הנמשך והעולה עם היסוד הראשון שהוא הקודם והעולה נשמרהו<br>
| |
| − | גם נכה המבוקש עם המשולש הראשון שהוא הקודם לקודם והעולה עם היסוד השני שהוא הנמשך לנמשך<br>
| |
| − | ואז נקבץ הכל אחר שלא נשארו ביניהם מספרים אחרים והמקובץ נחסרהו ממדרגות המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | עוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש<br>
| |
| − | ונשמרהו בעבור שיש בין המשולש הראשון והמבוקש שני מספרים שהם הנמשך למבוקש והקודם למשולש הראשון<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני שהוא הנמשך לו והעולה נכהו עם היסוד השני שהוא הקודם למשולש הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרהו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | עוד שיוכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש<br>
| |
| − | ובעבור שאין ביניהם מספר כלל לכן לא נשמרהו רק נחסרנו מיד ממדרגת המשולש השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | עוד שיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרהו ממדרגת היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | וכאשר מצאנו המספר ההוא אשר העולה מהכאתו עם אלה האותיות אשר הזכרנו לפי הסדר אשר תארנו ויהיה המספר היותר קרוב שיחוסר מהמספרים אשר זכרנו הנה יהיה הוא המספר המבוקש ונכתבנו על הנקודה השלישית לנקודה האחרונה ויקרא היסוד השלישי<br>
| |
| − | וכן בזה הדרך לעולם עד שיכלו המספרים המונחים אל מדרגת האחדים ששם הנקודה הראשונה מכל הנקודות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|להיות שזה האופן ישתנה לשני מינים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המין האחד הוא שיתחייב מהכאת היסוד הראשון בג' אחדים ועשרות<br>
| |
| − | ונצטרך בזה לשני משולשים אל משולש ראשון ואל משולש שתחת היסוד הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמין השני הוא שיתחייבו מהכאת היסוד הראשון בג' אחדים לבד<br>
| |
| − | ולא נצטרך בזה רק אל משולש ראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי המין הג' והוא שיתחייב מהכאת היסוד הראשון בג' עשרות לבד שאז לא נצטרך רק אל משולש שתחת היסוד לבד לא יחדש חלוף נוסף כלל על הדרך אשר בידיעת המין הראשון<br>
| |
| − | ולכן לא נצטרך להביא משל אלא על ב' המינים בלבד לא זולת זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל המין הראשון הוא זה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || ||1|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||2||2|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||3||3||8||0||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||4||2||4||2||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||7||9||2||6||5||7||0
| |
| − | |-
| |
| − | |0||3||0||8||3||8||3||2
| |
| − | |-
| |
| − | |4||5||3||2||5||6||7||3
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |4||2||4||4||2||4||4||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||3||4||1||1||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נסמן נקודה הראשונה תחת האחדים ואחריה נקודה שנית תחת המדרגה הרביעית לה ואחריה נקודה שלישית תחת המדרגה הרביעית לה וכן כסדר הזה עד שיכלו המדרגות ומקומות היסודות הם הנקודות<br>
| |
| − | אחר זה נתחיל היסוד הראשון במקום הנקודה האחרונה מכל הנקודות ונבקש מספר אשר יוכה בעצמו באופן מעוקב ויהיה העולה מהכאתו המספר היותר קרוב למספר שעל הנקודה האחרונה עם עזר המספרים הנמשכים לה<br>
| |
| − | והנה מצאו ד' כי ד' פעמים ד' הם י"ו וד' פעמים י"ו הם ס"ד והוא המספר היותר קרוב למספר פ"ז שהם המספר שעל הנקוד' האחרונ' עם המספר הנמשך אליו<br>
| |
| − | וכתבנוהו על הנקודה האחרונה וחסרנו העולה מהכאתו באופן מעוקב שהוא ס"ד מפ"ז ונשארו כ"ג וכתבנום עליהם<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הד' שהוא היסוד הראשון בג' ועלו י"ב<br>
| |
| − | כתבנו הב' תחת המדרג' השלישי' הקודמת למדרגת היסוד הראשון והי' שהוא א' כתבנוהו תחת היסוד הראשון והקפנו הב' שהוא המשלש הראשון והא' שהוא המשולש שתחת היסוד הראשון בגלגל להיות המשולשים נכרים ונבדלים מהיסודות<br>
| |
| − | אחר זה העתקנו הד' שהוא היסוד אל המדרגה הקודמת לו ומחקנו הד' ממקומו הראשון ולא העתקנו המשולש שתחת היסוד הראשון בעבור שהמשולש הראשון והמשולש שתחת היסוד הם תולדה אחת<br>
| |
| − | ואחר שלא העתקנו המשולש הראשון שהוא אחיו בעבור שהוא האות הראשון ולא יעתק האות הראשון לעולם לפי הדרך הזאת על כן לא העתקנו גם המשולש שתחת היסוד שהוא אחיו<br>
| |
| − | אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ונחסרהו מהמספר שעל המשולש שתחת היסוד הראשון שהוא הא' עם עזר המספרים הקודמים<br>
| |
| − | ועוד שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם עצמו שהוא המבוקש ושיוכה גם כן המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה מקבוץ שניהם שיחוסר מהמספר שעל הד' שהוא היסוד הראשון עם עזר המספרים הקודמים לו<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ויחוסר מהמספר שעל הב' שהוא המשולש הראשון עם עזר המספרי' הקודמים לו<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם עצמו והעולה עם עצמו ויחוסר מהמספר שעל הנקודה השנית לנקודה האחרונה<br>
| |
| − | והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה ושיהיה הוא המספר היותר קרוב אשר אפשר ביותר מזה המספר הנה הוא המבוקש<br>
| |
| − | ומצאנו שהמספר הזה הוא ד' ולכן נכתבהו על הנקודה השנית לנקודה האחרונה הכינוהו עם הא' שהוא תחת היסוד הראשון והעולה עם הד' שהוא היסוד הראשון והם י"ו חסרנום ממדרגת המשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם הכ"ג ונשארו ז' וכתבנו על הב' סיפרא להורות שלא נשאר כלום ועל הג' ז' להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הד' שהוא המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ועלו י"ו ובעבור שביניהם עוד שני מספרים שמרנו העולה<br>
| |
| − | והכינו גם אותם זה עם זה בשהכינו תחלה המבוקש עם המשולש הראשון אחר זה הכינו העולה עם הד' שהוא היסוד הראשון ועלו ל"ב וקבצנום עם השמור ועלו מ"ח חסרנום ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ח כתבנו הב' על הג' והח' על הו' להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הד' שהוא המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו ל"ב חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רנ"ג כתבנו הג' על הח' והנ' על הפ' והנחנו הד' במקומו בעבור שלא חסרנו ממנו כלום להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה ס"ד חסרנום ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השני עם עזר הנמשכים לו ונשארו אלפים ותס"ח וכתבנום על מקומותם כמנהג להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד השני בג' ועלו י"ב וכתבנו הב' תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד השני וקראנוהו המשולש השני<br>
| |
| − | ותמורת הי' כתבנו א' תחת היסוד השני וקראנוהו המשולש שתחת היסוד הב'<br>
| |
| − | אחר זה העתקנו כל האותיות הנמשכות למשולש השני אל המדרגות הקודמות להם ומחקנו האותיות במקומותם הראשונים<br>
| |
| − | והמשולש שתחת היסוד השני אינו נעתק ממקומו בעבור שהמשולש השני שהוא אחיו בלתי נעתק ממקומו כמנהג<br>
| |
| − | על כן חברנו המשולש הראשון עם המשולש שתחת היסוד השני ועלו ג' והקפנו גלגלים על המשולשים למקומם<br>
| |
| − | אחר זה בקשנו מספר שיוכה עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ובעבור שביניהם ב' מספרים נשמור העולה בידינו<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ונקבצנו עם השמור ונחסר המקובץ ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבור שיש ביניהם ד' מספרים<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עוד עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון ונשמרהו בעבור שיש ביניהם שני מספרים<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמורים הראשונים והמקובץ נחסרהו ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבור שיש ביניהם שני מספרים<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני ונקבץ העולה עם השמור ונחסרנו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש ונחסרנו ממדרגת המשולש הב' עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השלישי שעל הנקודה השלישית לנקודה האחרונה עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ומצאנו שהמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר אשר תארנו הוא מספר הד' וכתבנוהו בנקודה השלישית לנקודה אחרונה<br>
| |
| − | הכינוהו עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו י"ו חסרנום ממדרגת המשולש שתחת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו ח' כתבנו הח' על הד' ועל הב' סיפרא להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד הכינו המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו י"ו ושמרנום בעבור שיש ביניהם שני מספרים<br>
| |
| − | ולכן הכינו עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה מ"ח נקבצנו עם השמור והעולה ס"ד ונחסרנו ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ב כתבנו הב' על הו' והכ' על הפ' להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש שתחת היסוד הראשון והעולה עם המבוקש והעולה י"ו ושמרנום בעבור שיש ביניהם ד' מספרים<br>
| |
| − | הכינו עוד המבוקש עם המשולש הב' והעולה עם היסוד הראשון ועלו ל"ב ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים<br>
| |
| − | הכינו עוד המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו מ"ח וקבצנום עם השמורי' ועלו צ"ו חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה שהם רכ"ח ונשארו קל"ב וכתבנום במקומם להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ועלו מ"ח ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים<br>
| |
| − | הכינו עוד המבוקש עם המשולש הב' והעולה עם היסוד הב' ועלו ל"ב קבצנום עם השמור ועלו פ' חסרנום ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם אלף שכ"ג ונשארו אלף רמ"ג וכתבנום במקומם כמנהג להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכינו המבוקש עם המשולש השני והעולה עם המבוקש ועלו ל"ב חסרנום ממדרגת המשולש הב' עם עזר המדרגו' הנמשכות לה שהם י"ב אלף תל"ה ונשארו י"ב אלף ת"ג וכתבנום במקומם להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכינו המבוקש עם עצמו באופן מעוקב ועלו ס"ד חסרנום ממדרגת המספר המבוקש שהוא היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו קכ"ג אלף ותתק"ע וכתבנום במקומם להורות על הנשארים<br>
| |
| − | ולהיות שהגענו אל מדרגת האחדים ידענו כי נשלם הפועל<br>
| |
| − | ולהיות שנשארו למעלה מספרים ידענו שאין זה יסוד אמתי רק הוא היסוד הקרוב למספר המונח ר"ל מצד מה שהוא מחובר משלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית היסוד המחובר משלמים ושברים יחד הנה הדרך אל מציאותו יתבאר לפנים בעה"י<br>
| |
| − | ואחר שכבר נשלם הפועל הנה נקח היסודות והם אשר אינם מוקפים בגלגל ונשליך מהם המשולשים והם המוקפים בעגולות כאשר הזכרנו<br>
| |
| − | ונסדר היסודות בטור אחד לפי הנחת המדרגות והם תמ"ד וזהו יסוד המספר המונח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המין השני משלו הוא זה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||5|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||6|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||0||2||8|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||4||6||9||5|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||2||8||1||1||6|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |0||7||1||2||9||1||2||9
| |
| − | |-
| |
| − | |3||4||5||8||7||6||5||4
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||3||3||9||2||2||6||5
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||3||9|| || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|תחלה נסמן הנקודות המורות על מקומו' היסודו' כאשר הזכרתי<br>
| |
| − | ואח"כ נתחיל מהנקודה האחרונה ונבקש המספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויספיק העולה שיחוסר ממדרגת המבוקש עם עזר המדרגות הנמשכות לה והוא מספר ג'<br>
| |
| − | הכינוהו עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנו' ממדרג' המבוקש שהוא היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו ז' וכתבנו הז' על הד' וסיפרא על הל' להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הג' בג' ועלו ט' וכתבנום תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הראשון<br>
| |
| − | אחר זה העתקנו הג' שהוא היסוד הראשון אל המדרגה הקודמת לה ומחקנו הג' ממקומו הראשון<br>
| |
| − | אחר זה בקשנו מספר עשרות שיוכה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון שיחוסר ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה אחר זה עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו שיחוסר ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה אחר זה עם עצמו באופן מעוקב שיחוסר ממדרגת המבוקש עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | והמספר שיצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה הוא המספר המבוקש<br>
| |
| − | ומצאנו שהמספר הזה הוא מספר ב' וכתבנוהו תחת הנקודה הקודמת למשולש הראשון והוא היסוד השני<br>
| |
| − | הכינוהו עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו נ"ד חסרנום ממדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ה כתבנו הא' על הה' והב' על הע'<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד הב' עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו ל"ו חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגו' הנמשכו' לה שהם רי"ח ונשארו קפ"ב וכתבנום במקומם<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד הב' עם עצמו והעולה עם עצמו ועלו ח' חסרנום ממדרגת היסוד הב' עם עזר המדרגות הנמשכות לה שהם אלף תתכ"ז ונשארו אלף תתי"ט וכתבנום במקומם<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד הב' בג' ועלה ו' וכתבנום תחת המדרגה הג' והקודמת למדרגת היסוד השני<br>
| |
| − | אחר זה העתקנו כל האותיות אל המדרגה הקודמת לה ובקשנו המספר שיוכה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר ממדרג' היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה<br>
| |
| − | ושיוכה אחר זה עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני והעולה נשמרהו בעבור שהם בין שני מספרים שהם המשולש השני והיסוד הראשון<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכו' לה<br>
| |
| − | עוד אחר זה נכה המבוקש עם המשולש הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרהו בעבו' שיש ביניהם שני מספרים שהם המשולש השני והיסוד השני<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | אחר זה נכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו ממדרגת המבוקש שהוא היסוד השלישי עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | והמספר שיצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה כשיהיה הוא המספר היותר קרוב אשר אי אפשר ביותר מזה המספר הוא המבוקש<br>
| |
| − | ומצאנו שהמספר המבוקש הוא ה' וכתבנוהו בנקודה השלישית לאחרונה והוא היסוד השלישי<br>
| |
| − | הכינו היסוד הג' עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד הראשון ועלו קל"ה חסרנו' ממדרגת היסוד הא' עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו מ"ו<br>
| |
| − | עוד אחר זה הכינו היסוד השלישי עם המשולש הראשון והעולה עם היסוד השני ועלו צ' ושמרנום בעבור שהם בין שני מספרים<br>
| |
| − | והכינו היסוד הג' עם המשולש השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה צ' קבצנוהו עם השמור והמקובץ ק"פ חסרנום ממדרגת המשולש הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רפ"ט<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד הג' עם המשולש הראשון והעולה עם עצמו ועלו רכ"ה ושמרנום בעבור שיש ביניהם ב' מספרים<br>
| |
| − | והכינו היסוד הג' עם המשולש השני והעולה עם היסוד השני ועלו ס' קבצנום עם השמור ועלו רפ"ה חסרונם ממדרגת היסוד השני עם עזר המדרגו' הנמשכות לה ונשארו ב' אלפים תרי"א<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד השלישי עם המשולש השני והעולה עם היסוד השלישי ועלו ק"נ חסרנום ממדרגת המשולש השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו כ"ה אלף תתקס"ה<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד השלישי עם עצמו באופן מעוקב ועלו קכ"ה חסרנום מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות לה ונשארו רנ"ט אלף ותקכ"ט<br>
| |
| − | ולהיות שכבר הגענו אל האחרית הנה א"כ נשלם הפועל<br>
| |
| − | ולכן נקח היסודות לבד ונסדרם בטור על סדר המדרגות<br>
| |
| − | ויתחייב לפי ההנחה הזאת שיהיה היסוד היותר קרוב למשלנו זה שכ"ה והם שלמים<br>
| |
| − | ואחר שנשארו למעלה מספרים שלא כלו ידענו שזה השרש הוא שרש קרוב לא אמתי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלו הם המשלים אשר הונחו לב' המינים המתחלפים ובהם יוקף מה שכווננוהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה ביסוד המחובר משלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם הדרך המודיע מציאו' היסוד היותר קרוב בשיהיה היסוד ההוא מחובר משלמים ונשברים הנה יתבאר לפנים אחר שנביא המאזנים לאלו המינים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא בשנכה היסוד עם עצמו והעולה עוד עם עצמו<br>
| |
| − | ואם העולה אחר זה שוה למספר המונח הנה צדקת ואם לאו כזבת<br>
| |
| − | וזה ביסוד האמתי שלא נשארו למעלה מספרים כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל ביסוד הקרוב הנה נכה היסוד עם עצמו והעולה עם עצמו והעולה אחר זה תחברנו עם המספרים הנשארים למעלה מהמספר המונח<br>
| |
| − | ואם לא ישוה למספר המונח כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודע שהראשונים לא כתבו בזה המין אופני התחבולה אשר בהם נוכל לדעת מציאות יסוד המעוקב היותר קרוב כשיהיה היסוד ההוא מחובר משלמים ושברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אנחנו נתן דרך בזה בעזרת חונן לאדם דעת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך אל מציאותם הוא בשנניח המספר הדרוש יסודו בטור אחד ימשכו מדרגותיו קצתם לקצת כמנהג<br>
| |
| − | ונעשה כזה הדרך הקודם בעינו<br>
| |
| − | וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש הנה נוסיף על המדרגות המונחות מצד האחדים שלשה סיפראש או ששה או תשעה או איזה סיפרש שתרצה לבד שיתוספו ג' ג'<br>
| |
| − | ואחר זה נעשה מה שקדם מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע אל המדרגה הראשונה מהסיפראש<br>
| |
| − | אחר זה נקח כל היסודות ונסדרם בטור אחד על סדר המדרגות ונשליך מהם כמספר שליש הסיפראש ונקח היסודות האחרות והם מעלות<br>
| |
| − | אחר זה נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר שליש הסיפראש ונקח הנשארים והם ראשונים<br>
| |
| − | וכן תעשה תמיד עד שיכלו הסיפראש ואז נחבר הכל<br>
| |
| − | ויהיה הוא היסוד היותר קרוב למספר הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית מספר הח' מאות נוסיף עליו ט' סיפרש
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||4|| || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||2||8||5||9|| || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||8||2||6|| || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||6||5||8||9||2||3|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||2||1||9||5||1||6||4||1|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||3||5||3||1||5||2||2||2|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||7||1||6||2||2||7||4||9||8||1||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || || || ||6||8||2||4||3
| |
| − | |-
| |
| − | |8||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||9||9||7||2||2||6||3||3||4||3
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||2||2||9||7||7||2||3|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||2||9|| || || || || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו במציאות היסודות ונמצא שיהיו מדרגות היסודות ד'<br>
| |
| − | ונשליך מהם מדרגו' ככמו' שליש הסיפרש שהם ג' ויהיה הנשאר מדרגה אחת והם ט' והם מעלות אשר הם במקום שלמים<br>
| |
| − | אחר זה נכה היסודות הנשלכות בס' והעולה נשליך מהם מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו י"ו הם ראשוני'<br>
| |
| − | עוד נכה המדרגות הנשלכות בס' והעולה נשליך ממנו מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו נ"ח והם שניים<br>
| |
| − | עוד אחר זה נכה המדרגות הנשלכות בס' והעולה נשליך מהם מדרגות ככמות שליש הסיפראש וישארו מ"ח והם שלישיים<br>
| |
| − | ולהיות שהמדרגות הנשלכות בפעם הזאת הם כלם סיפראש לכן לא נכם עוד כי הכאתם עם הס' לא יעלה מהם מספר כלל<br>
| |
| − | הנה אם כן יסוד מספר השמנה מאות הוא ט' שלמים י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים<br>
| |
| − | כי כשנכם בעצמם על הדרך אשר הוריאתך בהכאת שברי התכונה יעלו פ"ו שלמים י' ראשונים כ"ו שניים מ"ג שלישיי' י"ג רביעיים כ"ו חמשיים כ"ד ששיים<br>
| |
| − | עוד נכה אלה עם הט' שלמים י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים ויעלו תשצ"ט שלמים נ"ז ראשונים י"ד שניים ל"ח שלישיים מ"ג רביעיים ח' חמשיים מ"ה ששיים נ"ט שביעיים י"ט שמיניים י"ב תשיעיים<br>
| |
| − | והם קרובי' לח' מאות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדקדקו יותר מזה תרבה הסיפראש ובלבד שיהיה התוספת על הקודמות ג'ג'<br>
| |
| − | ר"ל שבמקום שהוספת ט' סיפראש תוסיף י"ב או ט"ו וכן לעולם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||°
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||9
| |
| − | |-
| |
| − | |'|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="3"|
| |
| − | |-
| |
| − | |2||8||3
| |
| − | |-
| |
| − | | ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||1||6
| |
| − | |-
| |
| − | |''|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |9||8||0
| |
| − | |-
| |
| − | | ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||5||8
| |
| − | |-
| |
| − | |'''|| ||
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |8||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | ||6||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | ||4||8
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |0||0||0
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חדשתי דרך אחרת יותר קצר' מזאת ויותר רחוק' מהבלבול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא כי לא תצטרך הנה למשולשי' כלל לא למשולשי' שתחת היסודות ולא למשולשים ראשונים ושניים ושלישיים ולא לחבורי המשולשים האחד עם האחר ולא להעתקת היסודות והמשולשים אבל הכל יצא לך מתוקן עם קצורו כאשר יצא לך עם האורך הגדול והמבוכה הרבה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שתסדר המספר הדרוש יסודו בטור יסודרו מדרגותיו לפי הנחת המדרגות ר"ל מדרגת האחדים ראשונה ואחריה מדרגת העשרות ואחריה המאות וכן כסדר עד שיכלו מדרגות הטור<br>
| |
| − | וכאשר הנחת אותו על סדורו הנה נסמן הנקודות על מקומם כמנהג הקדום בעצמו<br>
| |
| − | אחר זה נתחיל מהנקודה האחרונה כמנהג ונבקש מספר אשר יוכה בעצמו באופן מעוקב ויספיק שיחוסר העולה ממדרגת הנקודה האחרונה עם עזר המדרגות הנמשכות לה והמספר ההוא נכתבנו במקום הסימן האחרון ונקראו היסוד הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נבקש מספר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון ויחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ועוד שיוכה המבוקש עם שלשה כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש והעולה שיחוסר מהמדרגה הג' מהקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה שיחוסר מהמדרגה הרבעית הקודמת למדרגת היסוד הראשון עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על התאר הזה כאשר יהיה היותר קרוב אשר אי אפשר ביותר גדול ממנו הנה נכתבנו תחת יסוד המדרגה הקודמת ליסוד הראשון ונקראנו היסוד השני<br>
| |
| − | אחר זה נבקש יסוד ג' וזה בשנבקש מספר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת ליסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות לה<br>
| |
| − | עוד שיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה שיוכה עם היסוד השני והעולה נשמרהו בעבור שהוכה עם היסוד השני והנה גם הוא מוכה בשלשה כפליו עם המבוקש ודומה בזה הפועל עם היסוד הראשון<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה השלישית ליסוד השני מהקודמות עם עזר המספרי' הנמשכי' לו<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרנו בעבור שיש ביניהם היסוד השני אשר הוא דומה ליסוד השלישי בזה הפועל ר"ל שגם הוא מוכה עם המבוקש בג' כפליו כמוהו<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש בג' כפלי היסוד השני והעולה נכהו עם עצמו ר"ל עם היסוד השני עצמו בעבור שבפעם הראשונ' הוכה עם היסוד הראשון והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הרביעית למדרגה שעל היסוד השני מהקודמות<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם המבוקש והעולה נחסרנו מהמדרגה החמשית למדרגה שעל היסוד השני<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמדרגה הששית למדרגה שעל היסוד השני<br>
| |
| − | וכאשר מצאנו מספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות כלם על הסדר הזה שתארנו ושיהיה הוא המספר היותר גדול שאפשר שיצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר הזה ושיספיק שיחוסר העולה מהמדרגות הנזכרות על הסדר הנה נכתבנו תחת המדרגה הקודמת ליסוד השני ויקרא היסוד השלישי<br>
| |
| − | עוד אם לא הגענו לחסר ממדרגת האחדים הנה נבקש עוד מספר אחר שיוכה עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והעולה שיחוסר מהמדרגה הקודמת ליסוד השלישי עם עזר הנמשכי' לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד השני ולהיות שהיסוד השני דומה לו כאשר ביארנו ע"כ נשמור העולה בידינו<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הראשון ונקבץ העולה עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה השלישית ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכים לה<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד השלישי ונשמור העולה בעבור שיש ביניהם היסוד השני שהוא דומה ליסוד הראשון כאשר ביארנו<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש בג' כפלי היסוד השני והעולה עם עצמו ר"ל עם היסוד השני כי כבר הוכה עם היסוד הראשון והעולה נשמור אותו גם כן בעבור שהיסוד הג' הוא דומה ליסוד השני והראשון כי גם הוא מוכה עם המבוקש בג' כפליו כמותם<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הראשון המוכה עמו והעולה נקבצנו עם השמורים שבידינו והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הד' ליסוד השלישי<br>
| |
| − | ושיוכה עוד המבוקש עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם המבוקש ונשמרנו בעבור שיש ביניהם שתי יסודות דומות ליסוד הראשון כי שניהם מוכים בג' כפליהם עם המבוקש<br>
| |
| − | ולכן נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד הג' ונשמרנו<br>
| |
| − | גם נכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני והעולה נקבצנו עם השמורים שבידינו ונחסר המקובץ מהמדרגה הה' ליסוד הג'<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם המבוקש ולהיות שביניהם היסוד הג' נשמרנו<br>
| |
| − | ונכה המבוקש עוד עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם עצמו ר"ל עם היסוד הג' והעולה נקבצנו עם השמור והמקובץ נחסרנו מהמדרגה הששית ליסוד הג'<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם המבוקש ונחסר העולה מהמדרגה השביעית ליסוד השלישי<br>
| |
| − | ושיוכה המבוקש עם עצמו באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמדרגה הח' ליסוד הג'<br>
| |
| − | והמספר אשר יצדקו עליו אלה ההכאות על הסדר נכתבנו תחת המדרגה הקודמת ליסוד השלישי<br>
| |
| − | ואם הגענו לחסר מהמדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים<br>
| |
| − | הנה נשלם מה שרצינו ויהיו היסודות הכתובות לפי מצבם מורים על יסוד המספר הדרוש אם הוא אמתי<br>
| |
| − | וזה אם לא נשאר על המספר הדרוש שום מספר ואם קרו' וזה אם נשאר על המספר הדרוש מספר וזה היסוד הוא היסוד המחובר משלמים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם היסוד המחובר משלמים ושברים יחד הנה הדרך אל מציאותו הוא בשנוסיף על המספר הדרוש סיפראש איזה כמות שנרצה כשיהיו בתוספת ג' ג' כאשר ביארנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשתמש עם הדרך הזאת אשר חדשתי עד שנגיע אל הסיפרא הראשונה<br>
| |
| − | אחר זה נקח כל היסודות המסודרות תחת המספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינה הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאה ככמות שליש הסיפראש<br>
| |
| − | אחר זה נשליך הסיפראש ונקח הנשאר ונחלקהו על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים<br>
| |
| − | ר"ל אם הוכו היסודות בס' פעם אחת יהיו ראשונים ואם שני פעמים יהיו שניים ואם ג' פעמים יהיו שלישיים וכן תמיד<br>
| |
| − | והיוצא יהיה ממין הקודם ממין המחולקים ר"ל אם היו ראשונים יהיה היוצא בחלוקה מעלות ואם היו המחולקים שניים יהיה היוצא בחלוקה ראשונים וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה מספר ח' מאות הנה יסודר על מדרגותיו בתוספת ט' סיפראש עד"מ כזה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || || ||5|| || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||4||6|| || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||5||9||9|| || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || || ||9||2||5||3|| || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||8||2||1||8||9||1|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||1||8||7||5||2||2||4|| || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||2||2||3||1||8||7||4||7|| ||1||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||7||1||4||2||2||6||6||8||8||4||3
| |
| − | |-
| |
| − | |8||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0||0
| |
| − | |-
| |
| − | | || ||9||2||8||3|| || || || || ||
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונסמן הנקודות כמנהג כדי שנמצא הנקודה האחרונה כי הנקודה האחרונה היא מקום היסוד הראשון<br>
| |
| − | ובקשנו מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר הנמשכי' לו והוא מספר ט'<br>
| |
| − | הכינוהו באופן מעוקב ועלה תשכ"ה<br>
| |
| − | חסרנום מהת"ת ונשארו ע"א וכתבנום עליהם להורות על הנשארי' כמשפט<br>
| |
| − | כתבנו הט' והוא היסוד הראשון במקום הנקוד' האחרונה<br>
| |
| − | אח"ז מצאנו מספר ב' והוא היסוד הב' וכתבנוהו קודם הט' מדרגה אחת<br>
| |
| − | והכינוהו עם כ"ז שהם ג' כפלי ט' ועלו נ"ד<br>
| |
| − | עוד הכינו הנ"ד עם הט' שהוא היסוד הראשון ועלו תפ"ו חסרנום מהמספר שעל הב' שהוא היסוד השני עם עזר המספרי' הנמשכים לו והנשארים כתבנום עליהם כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | עוד הכינו הנ"ד עם הב' שהוא היסוד השני ועלו ק"ח חסרנום מהמדרגה שקודם מדרגת היסוד השני עם המספרים הנמשכים לו והנשארים כתבנום עליהם כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הב' עם עצמו באופן מעוקב ועלו ח' חסרנום מהמספר הג' ליסוד הב' מהמדרגות הקודמות עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | עוד אחר זה מצאנו מספר ח' והוא היסוד הג' וכתבנוהו קודם היסוד הב'<br>
| |
| − | והכינוהו עם כ"ז שהוא ג' כפלי ט' ועלו רי"ו הכינום עם הט' שהוא היסוד הראשון ועלו אלף תתקמ"ד וחסרנום מהמספר שעל היסוד הג' שהוא הח' עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | ועוד הכינו הרי"ו עם הב' שהוא היסוד הב' ועלו תל"ב ושמרנום בעבור שגם היסוד השני מוכה בג' כפליו עם הח' ומזה הצד הוא דומה ליסוד הראשון<br>
| |
| − | ולכן ראוי להכות ג' כפלי הב' שהוא ו' עם הח' שהם מ"ח והמ"ח עם הט' שהם תל"ב ונקבצם עם התל"ב השמורים בידינו ויעלו תתס"ד ונחסרם מהמספר שקודם היסוד הג' עם עזר הנמשכים לו והנשארים נכתבם למעלה כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה נכה הרי"ו עם הח' שהוא היסוד הג' ויעלו אלף תשכ"ח ונשמרם בעבור שביניהם היסוד הב'<br>
| |
| − | ולכן נכה ג' כפלי הב' עם הח' שהם מ"ח והעולה עם הב' שהוא היסוד השני ויעלו צ"ו ונקבצם עם השמור ויעלו אלף תתכ"ד נחסרם מהמספר הג' ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכי' לו והנשארים נכתבם למעלה כמשפט להורות על הנשארים<br>
| |
| − | אחר זה נכה המ"ח עם היסוד השלישי כי כבר הוכו עם היסוד הראשון והשני ויעלו שפ"ד ונחסרם מהמספר הד' ליסוד הג' עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה נכה היסוד הג' עם עצמו באופן מעוקב ויעלו תקי"ב ונחסרם מהספר החמישי ליסוד הג' עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה מצאנו מספר ג' והוא היסוד הד' וכתבנוהו קודם היסוד הג'<br>
| |
| − | והכינוהו עם ג' כפלי ט' שהם כ"ז ועלה פ"א הכינו הפ"א עם היסוד הראשון ועלו תשכ"ט חסרנום מהמספר שעל היסוד הד'<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד השני ועלו קס"ב ושמרנום<br>
| |
| − | והכינו גם ג' כפלי היסוד הב' עם היסוד הרביעי ועלו י"ח הכינו הי"ח עם היסוד הראשון ועלו קס"ב קבצנום עם השמור ועלו שכ"ד חסרנום מהמספר הקודם ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד השלישי ועלו תרמ"ח ושמרנום<br>
| |
| − | גם הכינו ג' כפלי היסוד השלישי עם היסוד הרביעי ועלו ע"ב הכינו הע"ב עם היסוד הראשון ועלו תרמ"ח ושמרנום<br>
| |
| − | גם הכינו הי"ח עם היסוד השני ועלו ל"ו קבצנום ועלו אלף של"ב חסרנום מהמספר השלישי ליסוד הרביעי עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הפ"א עם היסוד הרביעי ועלו רמ"ג ושמרנום<br>
| |
| − | גם הכינו הע"ב הם היסוד השני ועלו קמ"ד ושמרנום<br>
| |
| − | גם הכינו הי"ח עם היסוד השלישי ועלו קמ"ד חברנו הכל ועלו תקל"א חסרנום מהמספר הד' ליסוד הרביעי עם המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הי"ח עם היסוד הרביעי ועלו נ"ד ושמרנום<br>
| |
| − | גם הכינו הע"ב עם היסוד הג' ועלו תקע"ו קבצנום ועלו תר"ל חסרנום מהמספר הה' ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הע"ב עם היסוד הד' ועלו רי"ו חסרנום מהמספר הו' ליסוד הד' עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו היסוד הרביעי עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנום מהמספר הז' ליסוד הרביעי עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | ולהיות שחסרנו ממדרגת האחדים ידענו שכבר נשלם הפועל<br>
| |
| − | אחר זה לקחנו היסודות והכינום בס' ועלו 556980<br>
| |
| − | והם ראשונים בעבור שהוכו פעם אחת עם ס'<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה עם ס' ועלו 33418800<br>
| |
| − | והם שניים בעבור שהוכו ב' פעמים עם ס'<br>
| |
| − | עוד הכינו אלה עם ס' ועלו 2005128000<br>
| |
| − | והם שלישיים בעבור שהוכו ג' פעמים עם ס'<br>
| |
| − | ולהיות שהג' מדרגות הראשונות מזה הטור הם ג' סיפראש שהם שליש הסיפראש שהוספנו על הת"ת לכן לא נכם יותר רק נשליך הסיפראש ונחלקם על ס' ויצאו בחלוק 33418<br>
| |
| − | והם שניים כי נתמעט איכותם מדרגה אחת והנשארים מהחלוקה הם מ"ח והם שלישיים בעבור שהנחלקים שלישיים ושמרנום<br>
| |
| − | עוד חלקנו השניים שיצאו מהחלוקה על ס' ויצאו בחלוקה תקנ"ו והם ראשונים והנשארים נ"ח והם שניים ושמרנום<br>
| |
| − | עוד חלקנו הראשונים על ס' ויצאו מהחלוקה ט' והם מעלות והנשארי' י"ו והם ראשוני'<br>
| |
| − | חברנו הכל והם ט' מעלות י"ו ראשונים נ"ח שניים מ"ח שלישיים וזהו היסוד היותר קרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדקדקו יותר תוסיף סיפראש יותר ממה שהוספנו ועשה מה שהראיתיך וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד חדשתי דרך אחרת יותר קצרה מהדרך הראשונה כי לו יצטרך הנה להכאות רבות אבל הכל יצא לך מתוקן עם הכאה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שתסדר המספר הדרוש יסודו לפי סדר הנחת המספרים<br>
| |
| − | אחר זה תסמן הנקודות כמנהג ונתחיל מהנקודה האחרונה<br>
| |
| − | ונכתוב שם מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר המספרים הנמשכים לו ויקרא היסוד הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נכתוב במקו' הנקודה הקודמת יסוד שני שיוכה עם העולה מהכאת היסוד הראשון עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והשני יחד והעולה שיחוסר מהמספר השני לו עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | גם נכה היסוד הב' באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה נכתוב במקום הנקודה הקודמת יסוד ג' שיוכה עם
| |
| − | העולה מהכאת היסוד הראשון והב' יחד עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' יחוסר מהמספר הב' עם עזר המספרים הנמשכי' לו<br>
| |
| − | גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה נכתוב יסוד ד' במקום הנקודה הקודמת שיוכה עם העולה מהכאת היסוד הראשון והב' והג' יחד עם ג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' והד' שיחוסר מהמספר השני לו עם עזר המספרים הנמשכים לו<br>
| |
| − | גם נכה היסוד הרביעי באופן מעוקב והעולה נחסרנו מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו וכן תמיד כסדר הזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הוא זה המספר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||8|| || || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | || || ||2||2|| || || || || ||
| |
| − | |-
| |
| − | | ||4||7||5||8||3||7||9||1|| ||
| |
| − | |-
| |
| − | |1||2||3||9||5||2||1||3||6||2||5
| |
| − | |-
| |
| − | | ||2|| || ||3|| || ||4|| || ||5
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכינו הב' שהוא היסוד הראשון עם עצמו באופן מעוקב והעולה ח' חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכי' לו<br>
| |
| − | אח"ז הכינו הב' שהוא היסוד הראשון עם ג' ועלו ו'<br>
| |
| − | הכינום עם היסוד הראשון והב' יחד שהם הג' ועלו קל"ח<br>
| |
| − | הכינום עם ג' שהוא היסוד הב' ועלו תי"ד חסרנום מהמספר הב' לו עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | עוד הכינו הג' עם עצמו באופן מעוקב ועלו כ"ז חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הכ"ג שהוא היסוד הראשון והב' עם הג' ועלו ס"ט הכינום עם רל"ד שהם הג' יסודות יחד ועלו 16146<br>
| |
| − | הכינום עם הד' שהוא היסוד הג' ועלו 64584<br>
| |
| − | חסרנום מהמספר הב' למדרגה שעל היסוד הג' עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | גם הכינו הד' עם עצמו באופן מעוקב ועלו ס"ד חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו הרל"ד שהוא היסוד הראשון והב' והג' יחד עם ג' ועלו תש"כ<br>
| |
| − | הכינום עם הד' יסודות יחד שהם ב' אלפים שמ"ה ועלו 1646190<br>
| |
| − | הכינום עם ה' שהוא היסוד הד' ועלו 8230950<br>
| |
| − | חסרנום מהמספר הב' למדרגה שעל היסוד הד' עם עזר הנמשכים לו<br>
| |
| − | גם הכינו הה' שהוא היסוד הרביעי עם עצמו באופן מעוקב ועלו קכ"ה<br>
| |
| − | חסרנום מהמספר שעליו עם עזר הנמשכים לו והנה כבר נשלם הפועל בעבור שכבר הגענו אל הנקודה הראשונה<br>
| |
| − | ולהיות שלא נשאר למעלה כלום ידענו שהוא מספר נגדר<br>
| |
| − | ויסודו הוא היסודות הכתובות על הנקודות שהם ב' אלפים שמ"ה וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזנים לכל אלה המינים הוא שתקח השרש אשר תחת המספר הדרוש כמו שלמים<br>
| |
| − | ר"ל שלא תכה אותו על מספר הס' להשיבם ראשונים ושניים כאשר ידעת<br>
| |
| − | רק נקחנו כלו שלם ונכהו בעצמו והעולה מהכאתו נחברנו עם המספר הבלתי לקוח שרשו והוא הנשאר בלתי מחולק<br>
| |
| − | והעולה אם לא ישוה למספר הדרוש שרשו דע שכזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות זה המין עם הדרך הראשון הנה היא קשה מאוד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך אל ידיעתה אמנם הוא בשנודיע תחלה מספר הדרושים הנופלים בזה המין<br>
| |
| − | אחר זה נביא המאמר המודיע סבת כל דרוש ודרוש מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא מן המבואר שדרושי זה המין הם רבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הראשון מהם מדוע יכתבו אותיות היסוד בדלוג שתי מדרגות ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד ב' מדרגות בלא יסוד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השני מדוע יהיו אותיות היסוד נכתבים על זה הסדר<br>
| |
| − | ר"ל בשהאות הראשון תחת המדרגה הראשונה והאות השני תחת המדרגה הד' והאות הג' תחת המדרגה השביעית וכן תמיד על הסדר הזה<br>
| |
| − | והנה האות הראשון תחת המדרגה הנפרדת והאות הב' תחת מדרגת הזוג והאות הג' תחת הנפרדת והד' תחת הזוג וכן תמיד<br>
| |
| − | ולא ההפך ר"ל בשהאות הראשון תחת מדרגת הזוג והאות הב' תחת הנפרדת והאות השלישי תחת מדרגת הזוג והאות הרביעי' תחת הנפרדת וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השלישי מדוע יהיה מציאות היסודות במציאות המספר שהעולה מהכאתו עם ג' כפלי היסודות כאשר יוכה עם היסודות ועם המספר המבוקש יחד והעולה יקובץ עם העולה מהכאת המספר בעצמו באופן מעוקב ישוה למספר אשר בין המעוקב הראשון למעוקב השני או הקרוב לו ר"ל המספר הנותר מהיסודות הראשוני' עד המדרגה אשר נכתוב תחתיה היסוד המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הרבעי מדוע יעתקו המשולשים והיסודות מדרגה אחר מדרגה מן המדרגות הקודמות כמספר הפעמים אשר יוכו עם היסודות ההוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|החמישי מדוע יכתבו כל משולש ומשולש אל המדרגה השלישית למדרגת היסוד ההווה מכפלו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הששי מדוע יכתבו העשרות ההוות מג' כפלי היסוד תחת מדרגת היסוד ולא תחת המדרגה השלישית למדרגת היסוד ההווה מכפלו כמנהג אחדי כפלי היסוד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השביעי מדוע לא יקרה הסכום כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים ודומיהם לאחדים אבל יהיה ההווה מחלוף המדרגות אל האיכויות המתחלפות כמו ההווה מהמדרגות לפי איכויותיהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|השמיני מדוע נקבץ העולים מההכאות קצתם בקצתם<br>
| |
| − | ולמה לא יתחברו איזה מין מהעולה מההכאות עם איזה מין מהם אבל יהיה חבור העולה מהכאות מה עם חבור העולה מהכאות מה לא זולתם<br>
| |
| − | ולמה ישתנו קבוצי ההכאות ההן ברבוי ובמעוט<br>
| |
| − | עד כי לפעמים נקבץ ב' הכאות ונחסר העולים מהן ממדרגה מה<br>
| |
| − | ולפעמים נקבץ ג' הכאות ונחסר העולים מהן ממדרגה מה<br>
| |
| − | ולפעמים ד' ולפעמים ה' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וטרם החלי בנתינת סבות הדרושי' האלו אצטרך להציע ההקדמות המונחות לידיעת הסבות הנתונות באלה הדרושים והם ז'
| |
| − | |-
| |
| − | !The first [proposition]
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>האחת</big> שכל מספר נחלק לשני חלקים איך מה שקרה הנה המעוקב ההווה מן המספר כלו הוא שוה לב' המעוקבים ההוים מב' חלקיו עם העולה מהכאת החלק האחד עם ג' כפלי החלק האחר והעולה עם שני החלקים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם נחלק הי"ב לשנים חלקים איך מה שקרה והיה החלק האחד מהם ב' והאחר י' הנה המעוקב ההווה מהי"ב כולו שהוא אלף תשכ"ח הוא שוה לב' מעוקבי הי' והב' שהם אלף וח' ולמספר העולה מהכאת הב' שהוא החלק האחד עם הל' שהם ג' כפלי הי' שהוא החלק האחר שהם ס' ואחר זה נכה הס' עם הי"ב בכללו שהם תש"ך וזה שכאשר נקבץ התש"ך עם האלף ח'
| |
| − | ההוים מב' המעוקבים יהיה המקובץ אלף תשכ"ח והוא שוה למעוקב י"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל המספרי' איזה מספר שיהיה ואיך מה שיחלק דרך אחד לכל וזה מבואר מהחפוש וההקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם החפוש ידוע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם ההקש הנה מפני שהוא מן המבואר ממה שקדם במין ההכאה ממספר ההכאות ההוות בכל טור וטור לפי מדרגותיו שההכאו' ההוות בכל מעוקב ומעוקב בעל שני חלקים הם ט' הכאות משתנות כל אחת מהן מהאחרת בהכרח<br>
| |
| − | אולם הג' מהם הן ההכאות ההוות בכל מרובע ומרובע בעל ב' חלקים וכבר זכרנו והן מרובע החלק האחד שהוא הכאתו עם עצמו ומרובע החלק האחר שהוא הכאתו עם עצמו והכאת החלק האחד עם כפל חלק האחר<br>
| |
| − | ואולם הנשארות הן הכאת החלק האחד מהם עם כל אחד מהג' מספרים ההוים מהכאות השלש שהם מרובע החלק האחד ומרובע החלק האחר וההווה מהכאת החלק האחד עם כפל החלק האחר והכאת החלק האחד ג"כ עם כל אחד מהג' מספרים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והיו שני המעוקבי' ההוים מב' החלקים הם מתהוים מהד' הכאות הנכללות תוך הט' הכאות הנזכרות והם הכאות החלק האחד עם עצמו והחלק האחר עם עצמו שהם מרובעיהם והכאת החלק האחד עם מרובעו והחלק האחר עם מרובעו שהם מעוקביה'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה המעוקב ההווה מהמספר הבעל שני חלקי' בכללו שוה לב' מעוקבי שני חלקיו ולמספר ההווה מהה' הכאו' הנשארות מכלל הט' הכאו' שהן הכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני והכאתו עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני והכאתו עם מרובע החלק הב' והכאת החלק הב' עם מרובע החלק הראשון והכאתו עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וההווה מהג' הכאות מאלה שהן הכאת הראשון עם כפל הב' והכאתו עם ההווה מהכאת הראשון עם כפל השני והכאת השני עם ההווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק השני הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם כפל החלק הב' והעולה עם החלק הראשון והשני יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וההווה מב' הכאות הנשארו' שהם הכאת החלק הראשון עם מרובע השני והכאת החלק הב' עם מרובע הראשון הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם החלק השני פעם אחת והעולה עם החלק הראשון והב' יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי אמרנו הכאת החלק הראשון עם מרובע הב' הוא שוה לאמרנו הכאת החלק הראשון עם החלק הב' והעולה עם הב' כי מרובעו הוא הכאתו עם עצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן לזאת הסבה בעצמה יהיה אמרנו הכאת החלק הב' עם מרובע הראשון שוה לאמרנו הכאת החלק הב' עם החלק הראשו' והעולה עם הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן ר"ל שההוה מב' אלה ההכאות הוא שוה להווה מהכאת הראשון עם הב' פעם אחת והעולה עם הראשון והב' יחד וכבר חוייבו מהג' הכאות האחרות שיהיה ההווה מהן שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם הב' פעמים והעולה עם הראשון והב' יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן ההווה מהה' הכאות הוא שוה להווה מהכאת החלק הראשון עם ג' כפלי הב' והעולה עם הראשון והב' יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שמעוקבי ב' חלקים הם שוים להווה מהד' הכאות הקודמות מכלל הט' הכאות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההווה מהט' הכאות יחד אשר מהם התהווה המעוקב ההווה מכלל המספר הבעל שני חלקים שוה לב' מעוקבי הב' חלקים עם המספר ההווה מהכאת הראשון עם ג' כפלי השני והעולה עם שני החלקים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן מעוקב המספר הבעל שני חלקים בכללו הוא שוה בהכרח לב' מעוקבי ב' החלקים ולמספר ההווה מהכאת החלק הראשון עם ג' כפלי הב' והעולה עם הב' חלקים יחד וזה מש"ל
| |
| − | |-
| |
| − | !The second proposition
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה השנית</big> שכל מספר נחלק לחלקים רבים איך מה שקרה הנה המספר ההווה מהכאת מספר מה עם כל אחד מחלקי המספר הנחלק כאשר יקובצו הוא שוה להווה מהכאת המספר ההוא עם המספר הנחלק בכללו כמו שהתבאר בספר היסודות במאמר הב' ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |The third proposition
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה השלישית</big> היא שהמעוקב ההווה מהאות היותר גדול שבט' אותיות המספר לא יכלול יותר מג' מדרגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי מספר הט' שהוא היותר גדול הנה מעוקבו תשכ"ט והוא כולל אחדים ועשרות ומאות שהם ג' מדרגות ולא יתכן שיגיע במדרגת האלפי' כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם מספר הט' ממדרגות העשרות שהם צ' הנה מעוקבו תשכ"ט אלף והוא אלפים עשרות אלפים ומאות אלפים שהן ג' מדרגות אחרות נמשכות לג' מדרגות הראשונות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד על זה הסדר ר"ל ג' מדרגות אחר ג' מדרגות נמשכות קצתם לקצת מבלתי דלוג כלל ומבלתי שיגיע מעוקב שום מספר ביותר מג' מדרגות כלל
| |
| − | |-
| |
| − | !The fourth proposition
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה הרביעית</big> שהמעוקבים הנמשלים קצתם לקצת הנה יסודותיהם גם כן נמשלים קצתם לקצת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שמעוקבי א"ח יסודותיהם א"ב<br>
| |
| − | ומעוקבי אלף ח' אלף הנמשלים למעוקבי א"ח יסודותיהם הם י"כ הנמשלים ליסודות א"ב<br>
| |
| − | וכן מעוקבי אלף אלפים ח' פעמים אלף אלפים הנמשלים להם יסודותיהם הם ק"ר הנמשלים ליסודות א"ב י"כ<br>
| |
| − | וכן כל המעוקבים הנמשלים דרך אחד לכל
| |
| − | |-
| |
| − | !The fifth proposition
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה החמישית</big> שהמעוקבים הנמשלים קצתם לקצת הנה הם במדרגות הנוספות קצתם לקצת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ויסודותיהם הנה הם במדרגות הנמשכות קצתם לקצת על הסדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שמעוקבי א"ח הם במדרגת האחדים ויסודותם א"ב והם גם כן במדרגת האחדים<br>
| |
| − | ומעוקבי אלף ח' אלף הנמשלים להם הם במדרגת האלפים שהם שלשה מדרגות נוספות על מדרגת האחדים ויסודותיהם הם י"כ שהם במדרגת העשרות הנמשכות למדרגת האחדים<br>
| |
| − | ומעוקבי אלף אלפים ח' פעמים אלף אלפים הנמשלים להם הם במדרגות האלף אלפים שהם ג' מדרגות נוספות על מדרגת האלפים ויסודותיהם הם ק"ר במדרגת המאות הנמשכות למדרגת העשרות<br>
| |
| − | וכן תמיד ר"ל שיסודות המעוקבים הנמשלים הם על סדר המדרגות והמעוקבים הנמשלים הם על המדרגות הנוספות קצתם לקצת ג' ג'
| |
| − | |-
| |
| − | !The sixth proposition
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה הששית</big> היא שהמספרים הטבעיים הנוספים קצתם על קצת בתוספת א' על סדר א'ב'ג'ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה מנין המספרים המונחים זוג אשר הוא בעל שני אמצעיים הנה ההווה מקבוץ ב' האמצעיים הוא שוה למה שיתהווה מקבוץ ב' הקצוות וכמו שני הנלוים לקצוות וכמו הנלוים לנלוים עד שיכלו אל האמצעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה מנין המספרים המונחים נפרד אשר הוא בעל אמצעי אחד הנה ההווה מכפל האמצעי שהוא קבוצו עם עצמו שוה למה שיתהווה מקבוץ ב' הקצוות וכמו ב' הנלוים להם וכמו הנלוים לנלוים עד שיכלו אל האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו שהתבאר בספר האריתמטיקא לניקומכוש הגהרישני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין הבדל בין המספרים הטבעיים למספרי זוג הנפרד אחר שתוספת קצתם על קצת הוא שוה בשניהם יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל המספרים שמנינם נפרד הם אבגד"ה כי ההווה מקבוץ הג' שהוא האמצעי עם עצמו שהוא כפלו הם ו' וככה הוא ההווה מקבוץ הא' עם הה' אשר הם ב' קצוות המספרים המונחים וההווה מקבוץ הב"ד הנלוים להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל המספרים שמספרם זוג הם אבגדה"ו כי ההווה מקבוץ הג' עם הד' אשר הם האמצעיים הם ז' וככה הוא ההווה מקבוץ הא' עם הו' אשר הם קצוות המספרים המונחים וההווה מקבוץ הב' עם הה' הנלוים
| |
| − | |-
| |
| − | !The seventh proposition:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ההקדמה השביעית</big> היא שההווה מהכאת השלמים עם השלמים הוא כמות המספר ההווה מהכאתם וההווה מקבוץ מדרגות המכים עם מדרגות המוכים כאשר יושלך מהם אחד הנה הוא מספר מדרגות העולה מהכאתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כבר קדם בהכאת השלמים עם השלמי' אין צורך לכפול המאמרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה אם רצית להכות ר' עם נ' הנה להיות שכמות הר' עם ב' וכמות הנ' הם ה' נכה הב' עם הה' והם י' והוא כמות המספר העולה מהכאת הר' עם הנ'<br>
| |
| − | ולהיות שמדרגת המאות שהם הר' היא שלישית למדרגת האחדים ומדרגת העשרות שהם הנ' היא שנית למדרגת האחדים על כן נקבץ הג' עם הב' והם ה' נשליך מהם א' והם ד' שהוא מדרגת האלפים והיא מדרגת המספר העולה מהכאת הר' עם הנ'<br>
| |
| − | ולכן שפטנו על הי' השמורים שהם כמות המספר העולה מההכאה שהם י' אלפים<br>
| |
| − | ואם כן העולה מהכאת הר' עם נ' הם י' אלף והקש על זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר הצעת אלה ההקדמות הנה כבר יותר כל השאלות הדרושות בזה המין לפי הדרך הראשון אשר לקדמונים
| |
| − | |-
| |
| − | !The first lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>אולם</big> הדרוש הראשון שהוא השאלה על הנחת היסודות בדלוג ר"ל שבין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד ב' מדרגות בזולת יסוד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מההקדמה השלישית וזה שאחר שהאות האחד מאותיות היסוד הוא יסוד אל ג' מדרגות להיות מעוקבו כולל ג' מדרגות הנה אם כן כאשר תכתוב תחת כל ג' מדרגות אות אחת מאותיות היוסד הנה יחוייב שיהיו מדרגות היסודות בדלוג ר"ל בין כל מדרגה ומדרגה ממדרגות היסוד שתי מדרגות בזולת יסוד
| |
| − | |-
| |
| − | !The second lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש הב' והוא השאלה על הנחת היסוד הראשון תחת המדרגה הנפרדת והשני תחת הזוג והג' תחת הנפרדת והד' תחת הזוג וכן תמיד נפרד ואחר כך זוג<br>
| |
| − | ולא ההפך ר"ל בשהיסוד הראשון תחת מדרגת הזוג והב' תחת הנפרדת והג' תחת הזוג והד' תחת הנפרדת וכן תמיד זוג ואחר כך נפרד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה גם זה התבאר מההקדמה הג' בעצמה<br>
| |
| − | וזה שכבר קדם שהמעוקב ההווה מאות היסוד איננו מספר כולל כל ג' מדרגות איזה מדרגות שיהיו ר"ל אחדים ועשרות ומאות או עשרות ומאות ואלפים או מאות ואלפים ורבבות או איזה ג' מדרגות שיהיו<br>
| |
| − | אמנם הוא כולל ג' מדרגות האחדים והעשרות והמאות וג' מדרגות האלפים והרבבות והמאות אלף וכן תמיד על הסדר הזה לא זולתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיונח אות היסוד תחת מדרגת האחדים ויכלול ג' המדרגות ר"ל האחדים והעשרות והמאות<br>
| |
| − | ויונח אות שני תחת מדרגת האלפים ויכלול הג' מדרגות הנמשכות לג' מדרגות הראשונות והן האלפים והי' אלפים והק' אלפים<br>
| |
| − | וכן תמיד על הסדר הזה<br>
| |
| − | ואם כן יחוייב מזה שיכתבו אותיו' היסודו' לפי ההנחה הזאת בדלוג ג' מדרגות אחר ג' מדרגות<br>
| |
| − | שתהיה המדרגה הראשונה לאות הראשון נפרדת והשנית לאות השני זוג והג' לאות הג' נפרדת והד' זוג וכן תמיד אי אפשר בזולת זה
| |
| − | |-
| |
| − | !The third lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש הג' שהוא מציאות אות היסוד בשנבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם ג' כפלי היסודות והעולה עם כל היסודות והמבוקש יחד מחובר עם העולה מהכאת המבוקש בעצמו באופן מעוקב שיחוסר מהמדרגה שעל המבוקש עם עזר כל המדרגות הנמשכות הנה כבר התבאר מההקדמה הראשונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהוא מן המבואר בעצמו שהאות המונח ראשונה שהוא היסוד הראשון כאשר יחובר עם האות הב' שהוא היסוד השני שיהיה חבור שניהם יחד יסוד כל המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל היסוד הב'<br>
| |
| − | והמעוקב ההווה מחבורם יחד הוא המספר הראוי שיחוסר מכל אותן המדרגות ובזה נגע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן וכבר התבאר מההקדמה הראשונה שהמעוקב ההווה מחבור שני היסודות יחד הוא שוה לשני מעוקבי היסוד הראשון והשני שהם שני חלקי המספר המחובר משניהם יחד ולמספר ההווה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון כאשר יוכה העולה מהם עם שני היסודות יחד שהם היסוד הראשון והשני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר רצינו למצוא היסוד השני שנבקש המספר אשר יספיק העולה מהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון כאשר יוכה העולה מהם עם שני היסודות יחד ר"ל הראשון והמספר המבוקש מחובר עם מעוקב המספר המבוקש שיחוסר מכל המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד מדרגת המבוקש והמספר ההוא יהיה היסוד השני בהכרח<br>
| |
| − | וזה כי כבר הוכה היסוד הראשון באופן מעוקב והעולה חסרנוהו מהמדרגה שעליו עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה והנשאר מכלל ההכאות עד תשלום המעוקב ההווה מכלל הב' יסודות הוא מעוקב היסוד השני והעולה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה יוכה עם הב' יסודות<br>
| |
| − | ולכן כאשר מצאנו מספר שיוכה עם עצמו באופן מעוקב והעולה נשמרנו<br>
| |
| − | גם נכהו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והמספר המבוקש ונחבר העולה עם השמור ויהיה הוא היותר קרוב למספר על מדרגת היסוד השני עם עזר המדרגות הנמשכות עד המדרגה האחרונה<br>
| |
| − | הנה יחוייב שיהיה הוא היסוד השני אשר בחבורו עם היסוד הראשון יהיה מעוקבו שוה או קרו' למספר שעל כל המדרגו' שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל היסוד השני בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה המספר הדרוש יסודו בעל ג' אותיות ר"ל אחדים ועשרות ומאות הנה נמצא השתי אותיות ר"ל העשרות והמאות עם הדרך הקודם<br>
| |
| − | אחר זה נבקש אות האחדים אשר יספיק העולה מהכאתו עם עצמו באופן מעוקב ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה שיוכה עם היסוד הראשון והשני והמבוקש ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה שיוכה עם היסוד הראשון והשני והמבוקש שיחוסר מכל
| |
| − | המדרגות שמהמדרגה האחרונה עד המדרגה שעל המבוקש<br>
| |
| − | והמספר ההוא הוא היסוד הג' בהכרח<br>
| |
| − | וזה כי כבר התבאר מההקדמה השנית שאין הבדל בין ההווה מהכאת מספר אחד עם מספר אחר להווה מהכאת המספר ההוא עם כל אחד מחלקי המספר האחר<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן יהיה חבור הג' יסודות יחד אשר האחד ממדרגת האחדי' והאחר ממדרגת העשרות והאחר ממדרגת המאות הוא יסוד כל המספרים שמהמדרגה האחרונה עד מדרגת היסוד הג' הנה אם כן יהיה המספר הזה נחלק לג' חלקים<br>
| |
| − | ולכן יחוייב לפי זאת ההקדמה שיהיה מעוקב המספר כלו המחובר מהג' יסודות שהם ג' חלקיו שוה למספר ההווה ממעוקב היסוד הג' שהוא החלק האחד ממעוקב היסוד השני שהוא החלק השני וממעוקב היסוד הראשון שהוא החלק הראשון מההווה מהכאת היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה מהם שיוכה עם הב' יסודות ומההווה מהכאת היסוד השלישי עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה מהם שיוכה עם הג' יסודות ומההווה מהכאת היסוד השלישי עם ג' כפלי היסוד השני והעולה מהם שיוכה עם הג' יסודות<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן וכבר הוכה היסוד הראשון והיסוד השני כל אחד מהם באופן מעוקב<br>
| |
| − | גם הוכה היסוד השני עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם היסוד הראשון והשני<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב לנו אם כן שיהיו מספר ההכאות הנשארות עד תשלום כל ההכאות השוות למעוקב המספר כלו בעל הג' חלקים ג' הכאות והן הכאת היסוד הג' עם עצמו באופן מעוקב והכאתו עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם הג' יסודות והכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם הג' יסודות<br>
| |
| − | ולכן כאשר מצאנו מספר שיספיק העולה מהכאתו עם עצמו באופן מעוקב ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד הראשון והעולה עם הב' יסודות ועמו ומהכאתו עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם הב' יסודות ועמו שיחוסר מהמדרגה שעליו ר"ל על מקום היסוד הג' עם עזר המדרגות הנמשכות לה עד המדרגה האחרונה הנה ידענו שהוא היסוד הג' בהכרח שהם אחדי היסוד הבעל ג' אותיות וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |The fourth lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש הד' והיא השאלה על העתקת המשלשים והיסודות מדרגה אחר מדרגה לפי רבוי היסודות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה היא מבוארת ממה שקדם מהנחת היסודות בדלוג המדרגות ב' מדרגות אחר ב' מדרגות מחובר עם מה שקדם בהקדמה השביעית<br>
| |
| − | וזה שאחר שאנחנו חושבים כל מדרגה ומדרגה ממדרגו' אשר יונח בהם היסוד האחרון בפעם ההיא לאחדים יחוייב מזה שתחשב המדרגה השנית הנמשכת לה לעשרות והמדרגה השלישית הנמשכת לה למאות וכן תמיד<br>
| |
| − | וכמו כן אחר שאנחנו חושבים יסוד אחרון בפעם ההיא לאחדים יחוייב לזה שיחשב היסוד השני הנמשך לו לעשרות והשלישי לה למאות וכן תמיד<br>
| |
| − | וכבר קדם בהקדמה השביעית שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני הוא מאות והעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השלישי הוא רבבות וכן תמיד ר"ל בשנקבץ המדרגות ונשליך מהם מדרגה אחת והנשאר נשמרהו והוא מדרגת העולה מההכאה<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני מהמדרגה השלישית למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת המאות<br>
| |
| − | ושיחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד האחרון מהמדרגה השנית למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת העשרות<br>
| |
| − | ויחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד הג' מהמדרגה הה' למדרגת היסוד האחרון שהיא נחשבת למדרגת העשרות אלפים<br>
| |
| − | ויחוסר העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השני מהמדרגה הרביעית למדרגת היסוד שהיא נחשבת למדרגת האלפים וכן תמיד על הסדר הזה<br>
| |
| − | כי הנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' הוא מאות בהכרח אחר שהיסוד האחרון הוא אחדים והג' מאות והם ארבע מדרגות<br>
| |
| − | וכשתשליך מהן אחת יהיו הנשארות ג' מדרגות שהן מאות<br>
| |
| − | וכאשר יוכה העולה מההכאה הזאת שהוא מאות עם היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה רבבות בהכרח<br>
| |
| − | אחר שחבור המאות עם המאות הם ו' מדרגו'<br>
| |
| − | וכשיושלך מהן מדרגה אחת יחוייב שישארו ה' מדרגות שהן רבבות<br>
| |
| − | וכן תמיד דרך אחד לכל וכזה יחוסר כל מין ומין ממינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן וראו הקדמונים שיתבלבל זה הסדר על המתעסק בו ולא ידע לחסר כל מין ומין<br>
| |
| − | הוצרכנו להעתיק היסודות והמשלשים כל אחד מהם אל המדרגה הקודמת לה ובזה ידענו סדר המדרגות הראויות שיחוסר העולה כל מין ממינו<br>
| |
| − | ר"ל שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הג' יחוסר מהמדרגה שעל היסוד הג' המונח בפעם ההיא אחרי ההעתקה<br>
| |
| − | והעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני יחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת היסוד השלישי והעולה
| |
| − | מההכאות האחרות מהמדרגה הקודמת לקודמת וכן תמיד<br>
| |
| − | ובזה יחוסר כל מין ממינו מבלתי שתצטרך לחפש שיחוסר ממנה העולה מכל מין ומין מהכאתו<br>
| |
| − | זאת היא סבת ההעתקות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית לדעת הסבה הגורמת להיות המדרגה הנחסרת האחרונה תמיד על היסוד האחרון אחרי ההעתקה מדרגה אחר מדרגה ושאר המדרגות הנחסרות תהיינה הקודמות ממנה על הסדר וזה בכל פעם ופעם מפעמי ההכאות מבלתי שיקרה בזה חלוף כלל הנה היא מבוארת גם כן ממה שקדם<br>
| |
| − | וזה שאחרי שכבר קדם מהמאמר שהיסוד האחרון אשר ממנו יחשב סדור המדרגות ר"ל כשתחשבנה המדרגות שנית ושלישית ורביעית והדומי' להם אמנם יכתב המדרגה הרביעית הקודמת למדרגת היסוד האחרון הקודם<br>
| |
| − | ויחוייב מזה שהמדרגה שהיתה ראשונה בערך אל היסוד האחרון הקודם שתשוב מדרגה רביעית<br>
| |
| − | והמדרגה שהיתה שנית תשוב חמישית והשלישית ששית<br>
| |
| − | והרביעית שביעית<br>
| |
| − | וכן תמיד ר"ל בתוספת ג' מדרגות<br>
| |
| − | והיה תוספת המדרגה האחרונה הנחסרת על המדרגה האחרונה הנחסרת בתוספת ב' מדרגות<br>
| |
| − | ר"ל שהמדרגה האחרונה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני היא מדרגת המאות<br>
| |
| − | כמו שקדם שהיא המדרגה השלישית הנמשכת למדרגת היסוד האחרון<br>
| |
| − | והמדרגה האחרונה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי היא מדרגת הרבבות<br>
| |
| − | כמו שקדם שהיא המדרגה החמישית הנמשכת למדרגת היסוד האחרון השני<br>
| |
| − | והנה היא נוספת מהמדרגה האחרונה הראשונה ב' מדרגות כי היא היתה שלישית וזאת חמישית<br>
| |
| − | והמדרגה האחרונה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד הרביעי היא מדרגת אלף אלפים<br>
| |
| − | שהיא המדרגה הז' הנמשכת למדרגת היסוד האחרון השלישי<br>
| |
| − | והנה היא נוספת מהמדרגה האחרונה הקודמת ב' מדרגות כי היא היתה חמישית וזו שביעית וכן תמיד<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב מזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד האחרון אל המדרגה הקודמת לה שיהיה היסוד האחרון תחת המדרגה הנחסרת בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה היסוד האחרון כאשר יוכה עם ג' כפלי היסוד השני שהוא עשרות יהיה העולה עשרות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר שיהיה מאות<br>
| |
| − | וכאשר יוכה העולה שהוא עשרות עם היסוד השני שהוא עשרות יהיה העולה מאות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר שיהיה אלפים<br>
| |
| − | הנה כבר יחוייב שהמדרגה האחרונ' הנחסרת בפעם הזאת היא מדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת היסוד האחרון והנחת היסוד השני היא תחת המדרגה הרביעית למדרגת היסוד האחרון לפי מה שקדם מההנחות<br>
| |
| − | הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד השני אל המדרגה הקודמת שהיא השלישית למדרגת היסוד האחרון שיהיה תחת המדרגה הנחסרת בהכרח<br>
| |
| − | וכן היסוד האחרון כאשר יוכה עם ג' כפלי היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה מאות בהכרח ר"ל היותר פחות ואם כבר אפשר להיות אלפים<br>
| |
| − | וכאשר יוכה העולה שהוא מאות עם היסוד השלישי שהוא מאות יהיה העולה רבבות בהכרח ואם כבר אפשר להיותו יותר מזה<br>
| |
| − | הנה שהמדרגה האחרונה הנחסרת בפעם הזאת היא מדרגת הרבבות שהיא חמישית למדרגת היסוד האחרון והנחת היסוד הראשון היא תחת המדרגה השביעית למדרגת היסוד האחרון כמו שקדם מההנחות<br>
| |
| − | הנה אם כן יחוייב לזה בהכרח שכאשר נעתיק היסוד השלישי ממקומו הראשון ב' מדרגות קודמות שיהיה תחת המדרגה הנחסרת בהכרח<br>
| |
| − | וכבר העתקנוהו בפעם הראשונה אל המדרגה הקודמת הנה מה שנשאר עלינו בהכרח שנעתיקנו עתה אל המדרגה הקודמת ויפול תחת המדרג' הנחסרת בהכרח<br>
| |
| − | גם כי היסוד הראשון שהיה מונח בפעם הקודמת לזאת הפעם תחת המדרגה השלישית ליסוד האחרון הקודם ששבה עתה לפי מה שקדם מדרגה ששית למדרגת היסוד האחרון הזה שהיא נוספת ג' מדרגות ראוי שיעתק אל המדרגה הקודמת ואז יפול תחת המדרגה הנחסרת בהכרח אחר שקדם שהנחסרת האחרונה בפעם הזאת היא נוספת על הנחסרת האחרונה שבפעם הקודם ב' מדרגות<br>
| |
| − | והנה במקום שהיתה המדרגה האחרונה הקודמת שלישית למדרגת היסוד האחרון תהיה עתה בתוספת ב' מדרגות שהיא המדרגה החמישית למדרגת היסוד האחרון<br>
| |
| − | והיסוד הראשון כבר היה בפעם הקודמת תחת המדרגה האחרונה השלישית למדרגת היסוד האחרון בפעם ההיא ששבה עתה ששית למדרגת היסוד האחרון הזה הנה בהכרח שיעתק אל המדרגה הקודמת עד שיהיה תחת המדרג' החמישית למדרגת היסוד האחרון הזה שהיא המדרגה הנחסרת וכן תמיד<br>
| |
| − | ואולם המדרגות הנחסרות האחרות הנה בהכרח שיהיו במדרגות הקודמו' על הסדר<br>
| |
| − | וזה מבואר מהעולה מההכאות כי כן סדר העולים מההכאות אחר שההווה מהכאת העולה מהיסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי עם היסוד השלישי יהיה מדרגה אחת נוספת מההווה מהכאת העולה ההוא עם היסוד השני שהיא מדרגה אחת פחותה ממנו וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואין צורך להאריך יותר בביאורו כי כבר אחשוב שיספיק זה השיעור לכלל המעיינים
| |
| − | |-
| |
| − | !The fifth lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש החמישי והיא השאלה על הנחת אחדי שלשה כפלי היסודות תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל הנה היא מבוארת ממה שקדם מהמאמר הזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם שהנחת היסוד הנכפל היא תחת המדרגה הג' למדרגת היסוד האחרון שהיא המדרגה השנית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל<br>
| |
| − | ולזה יחוייב שיונח המשולש שהוא שלשה כפלי היסוד הנכפל תחת המדרגה השלישית הקודמת למדרגת היסוד הנכפל<br>
| |
| − | כדי שיהיו האותיות נמשכו' על סדר המדרגות ר"ל המשולשים והיסודות כפי מנהג המדרגות הנחסרות כמו שקדם<br>
| |
| − | גם כי אחדי כפלי היסוד הנכפל יחוייב שיהיו עשרות אחר שהיסוד השני הנמשך ליסוד האחרון שהוא הנכפל הוא נחשב לעשרות כמו שקדם<br>
| |
| − | ולכן יחוייב שיונחו אחדי כפלו תחת המדרגה הג' הקודמת למדרגת היסוד הנכפל אשר היא שנית למדרגת היסוד האחרון הנחשבת לעשרות כמו שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | !The sixth lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש הששי והוא השאלה על הנחת עשרות כפלי היסוד תחת היסוד הנכפל ולא תחת המדרגה השלישית הקודמת לו כמנהג אחדי כפלו הנה היא מבוארת גם כן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם מהמאמר שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני הוא מאות<br>
| |
| − | ושהעולה מהכאתו עם שלשה כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד הג' הוא רבבות<br>
| |
| − | וכן תמיד על הסדר הזה כאשר יהיו ההוים מג' כפלי היסוד אחדי' כי אז יהיו אחדי כפלו ממדרגת היסוד הנכפל אם עשרות עשרות ואם מאות מאות<br>
| |
| − | ואולם עשרות כפלו הנה בהכרח יעלו מדרגה אחת נוספת על מדרגת היסוד הנכפל<br>
| |
| − | ר"ל שאם היסוד הנכפל הוא עשרות הנה עשרות כפלו הם מאות<br>
| |
| − | ואם היסוד הנכפל הוא מאות הנה עשרות כפלו הם אלפים בהכרח<br>
| |
| − | ולזה יחוייב שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני אלפים בהכרח שהיא מדרגה אחת נוספת על העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השני שהוא מאות כמו שקדם<br>
| |
| − | וכן יחוייב שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי ק' אלף בהכרח שהיא מדרגה אחת נוספת על העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הג' והעולה עם היסוד השלישי שהוא רבבות כמו שקדם<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיתה המדרגה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הנכפל והעולה עם עצמו היא המדרגה הקודמת למדרגת היסוד הנכפל כמו שקדם ולכן יעתק היסוד הנכפל ויונח תחת המדרגה הקודמת להורות על המדרגה הנחסרת<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיונחו עשרות כפל היסוד הנכפל תחת המדרגה היסוד הנכפל בעצמו שהיא מדרגה אחת נוספת על המדרגה הקודמת ממנה להורו' על המדרגה הנחסרת<br>
| |
| − | אחר שהמדרגה הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם עשרות כפל היסוד הנכפל והעולה עם עצמו היא מדרגה אחת נוספת מהמדרג' הנחסרת ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם אחדי כפלי היסוד הנכפל ההוא והעולה עם עצמו
| |
| − | |-
| |
| − | !The seventh lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש השביעי והוא מדוע לא יקרה השבוש כאשר נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם עד שיחשבו העשרות והמאות והאלפים לאחדים אבל יהיה היסוד ההווה עם מחשבת חלוף האיכויו' כמו היסוד ההווה מהם לפי איכויותיהם הנה כבר התבאר מההקדמה הרביעית והחמישית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שמההקדמה הרביעית יודע שלא יקרה הטעות ביסוד מצד הכמות<br>
| |
| − | ומההקדמה החמשית יתבאר שלא יקרה הטעות מצד האיכות<br>
| |
| − | ר"ל שהיסוד ההווה תחת המדרגה הנחשבת לאחדים ואם היא עשרות או מאות או אלפים או אי זו מדרגה מהמדרגות הנה לא יקרה בו שבוש כלל לא מצד הכמות ולא מצד האיכות<br>
| |
| − | אולם מצד הכמות כי כבר התבאר מההקדמה הרביעית שהמעוקבי' הנמשלים למעוקבי' מה הנה יסודותיהם גם כן נמשלי'<br>
| |
| − | ר"ל שהם בעלי כמות אחת ואם הם מתחלפי האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד הקכ"ה אלף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה להיות שהנמשל היותר קטון הכמות לקכ"ה אלף הוא הקכ"ה ויסודו הוא ה' ידענו שכמות יסוד הקכ"ה אלף ג"כ הנמשל לו הוא ה' רק שהם מתחלפי האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מצד האיכות גם כן לא יקרה השבוש כי כבר התבאר מההקדמה החמשית שהמעוקבים הנמשלים למעוקבי' מה הנה הם במדרגות הנוספות קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ושיסודותיהם הנה הם במדרגות הנמשכות זו אחר זו על סדר המספרים הטבעיים<br>
| |
| − | ר"ל יסודות המעוקבים היותר קטני הכמות הם במדרגת האחדים ויסודות המעוקבים הנמשלים השניים הם במדרגות העשרות ויסודות המעוקבים הנמשלים השלישיים הם במדרגות המאות וכן תמיד<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיה הנחת היסודות הנמשלים במדרגות הנוספות קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ונחשבם נמשכים<br>
| |
| − | ר"ל שהיסוד האחרון יחשב לאחדים והשני לו לעשרות והג' לו למאות וכן תמיד<br>
| |
| − | הנה אם כן לפי ההנחה הזאת יחוייב שיסודר כל יסוד ויסוד תחת המעוקב הנמשל מהמעוקבים הנמשלים ומקומו לפי מדרגתו גם כן המורה על האיכות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה אם רצינו לדעת יסוד הקכ"ה אלף שהמדרגה היותר פחותה מאלה היא מדרגות האלפים שהיא המדרגה הרביעית<br>
| |
| − | הנה יסודו מצד הכמות הוא ה' כמו שקדם אחר שיסוד הקכ"ה הנמשל הוא ה'<br>
| |
| − | ומצד האיכות היא מדרגה שנית שהיא עשרות אחר שהוא המעוקב הנמשל השני למעוקב קכ"ה להיותו במדרגה הד' כמו שקדם<br>
| |
| − | ואם כן הה' המונח תחת הקכ"ה אלף הם נ' בהכרח וככה הוא יסוד הקכ"ה אלף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה עם ההנחה הזאת כאשר נחשוב היסודות נמשכי המדרגות ואם הם תחת המדרגות הנוספים קצתם על קצת בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר יחוייב בהכרח שיהיה היסוד היוצא צורך מצד הכמות ומצד האיכות ואם נחשוב המדרגות בחלוף איכויותיהם<br>
| |
| − | וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | !The eighth lemma:
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הדרוש השמיני והיא השאלה על קבוץ העולי' מההכאות קצתם עם קצת<br>
| |
| − | ולמה לא יקובצו איזה מין מההכאות עם איזה מין מהם<br>
| |
| − | ולמה ישתנו קבוצי הכאות ברבוי ובמיעוט<br>
| |
| − | עד כי לפעמים יקובצו ג' מיני הכאות ויחוסר העולה מקבוץ העולים מההכאות ההן ממדרגה אחת<br>
| |
| − | ולפעמים יקובצו ב' מיני הכאות ויחוסר העולה מקבוץ העולים מההכאות ההן ממדרגה אחרת וכיוצא בזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר מההקדמה הששית והשביעית<br>
| |
| − | וזה שאחר שכבר התבאר לך ממה שקדם מהמאמר שהמדרגה הנחסר ממנה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי יסוד מה והעולה עם יסוד מה אמנם היא המדרגה אשר היא ממדרגת העולה מההכאה ההיא,br>
| |
| − | ר"ל שאם היה העולה מההכאה ההיא מאות הנה תהיה המדרגה הנחסרת מאות<br>
| |
| − | ואם היה אלפים תהיה המדרגה הנחסרת אלפים וכן תמיד<br>
| |
| − | והיה העולה מההכאה אמנם הוא כמספר המדרגות ההוות מקבוץ מדרגות המכה ומדרגות המוכה אחרי השלכת מדרגה אחת כמו שהתבאר מההקדמה השביעית,br>
| |
| − | והיה ההווה מקבוץ שני המספרים הטבעיים המונחים שוי הרחקים מהמספר האמצעי אם היו נפרדים שוה לקבוץ האמצעי עם עצמו או לקבוץ שני האמצעיים אם המספרים המונחים זוגות<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיקובצו כל העולים מהכאות המשולשי' עם היסודות שוי הרחקים מהמספר האמצעי עם העולה מקבוץ ב' האמצעים אחר שכל העולים מהם שוים ויחוסר מהמדרגה אשר היא שוה למדרגת העולים מהם<br>
| |
| − | ולזה יקובצו הכאות מה לא איזה הכאות שיהיו גם ירבו ההכאות וימעטו לפי המספרים המונחים בין שני הקצוות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היו היסודות המונחים ארבע על דרך משל הנה להיות שהיסודות הארבעה המונחים מספר מדרגותיהם הם על סדר המספרי' הטבעיים<br>
| |
| − | ר"ל שהיסוד הראשון הוא במקום אחד שהוא ממדרגת האחדים<br>
| |
| − | והיסוד השני הוא במקום שנים שהוא ממדרגת העשרות שהם שתי מדרגות<br>
| |
| − | והיסוד השלישי הוא במקום ג' שהוא ממדרגת המאות שהם ג' מדרגות<br>
| |
| − | והרביעי במקום ד' שהוא ממדרגת האלפים שהן ד' מדרגות<br>
| |
| − | אם כן מדרגות היסודות הארבעה הן על סדר אבג"ד<br>
| |
| − | וכן המשולשים שהן ג' כפליהם כי ג' כפלי העשרות הן עשרות וג' כפלי המאות הן מאות וכן תמיד<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן והיתה המדרגה הנחסרת אמנם היא המדרגה השוה למדרגת העולה מההכאה<br>
| |
| − | והיתה מדרגת העולה מההכאות אמנם היא המדרגה הנגזרת מהמספר ההווה מקבוץ מדרגות המכה והמוכה אחר השלכת האחד<br>
| |
| − | הנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד האחרון שיחוסר ממדרגת האלפים בהכרח אחר שההוה מקבוץ הא' עם הד' הם ה' וכשיושלך מהם אחד ישארו ד' ואלה הד' כשיוכו עם היסוד האחרון שהוא בחשבון אחדים יחוייב שיהיה הווה מהם ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' והוא מדרגת האלפים<br>
| |
| − | ולהיות שכבר קדם שהעולה מקבוץ שני המספרים הטבעיים שוי הרחקי' הוא שוה לעולה מקבוץ שני הנלוים בהכרח הנה יחוייב לזה שיהיה העולה מקבוץ מדרגו' היסוד הד' עם מדרגו' היסוד האחרון שוה לעולה מקבוץ מדרגות היסוד השני עם מדרגות היסוד הג'<br>
| |
| − | ולכן כמו שיחוייב לפי מה שקדם שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי והעולה עם היסוד האחרון ממדרגת האלפים כן יחוייב לזה הצד בעינו שיהיה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני והעולה עם היסוד השלישי ממדרגת האלפים<br>
| |
| − | אחר שהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד לא ירבה ממדרגות כי העולה מהכאת האחדים עם העשרות עשרו' ועם המאות מאות ועם האלפים אלפים<br>
| |
| − | ואם כן לא נחשב מההכאות רק ההכאה ההווה מהעולה מהכאת היסוד האחרון בג' כפלי היסוד עם היסוד<br>
| |
| − | ולכן כמו שהעולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הרביעי שהוא אלפים כאשר יוכה עם היסוד האחרון יחוייב שיהיה ההווה מהם אלפים למה שהיה קבוץ הד' עם הא' ה' וכשיושלך מהם א' נשארו ד' שהם אלפים כן יחוייב כשיוכה העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השני שהוא עשרות עם היסוד השלישי שהוא מאות שיהיה ההווה מהם אלפים<br>
| |
| − | למה שיהיה קבוץ השנים עם השלשה ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' שהם אלפים<br>
| |
| − | וכן כאשר יוכו שני האמצעיים הנלוים לאלה המוכים שהם העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם היסוד השני יהיה העולה מהכאתם אלפים<br>
| |
| − | למה שיהיה קבוץ הג' עם הב' ה' וכשיושלך מהם א' ישארו ד' שהם אלפים<br>
| |
| − | ולהיות שאין לנו מספרים אחרים נלוי' להם לא באמצע ולא בקצוות עד שיהיה העולה מקבוצם שוה לעולה מקבוץ המספרי' הנלוים להם לכן לא נצטרך לקבץ רק העולים מאלה ההכאות להיותם בעלי מדרגה אחת שהיא מדרגת האלפים<br>
| |
| − | ולהיות שכבר קדם שהמדרגה הנחסרת היא שוה למדרגת העולה מההכאות הנחסר ממנה אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיחוסרו כל אלה העולים ממדרגת האלפי' אחר שכל אלה העולי' הם ממדרגת האלפים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר הותרו כל הדרושים הנזכרי' עם נתינת סבותיהם העצמיים וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השנית היא סבת הדרך הראשונה בעצמה רק שקצרתי הדרך<br>
| |
| − | כי במקום שכפלו היסוד ג' פעמי' וכתבו העולה מהם שהוא המשולש והכוהו עם היסוד האחרון הכינו אנחנו היסוד האחרון עם היסוד הנכפל ג' פעמים והנה הדבר שוה<br>
| |
| − | גם במקום שכתבו הם היסודות תחת המדרגות הנוספות בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגו' על הסדר ויצטרכו אחר זה לחשוב אותם נמשכי המדרגו' כתבנום אנחנו במדרגות הנמשכות על הסדר עד שלא נצטרך אחר זה לסדור כלל<br>
| |
| − | ובמקום שהניחו היסוד הראשון תחת מדרגתו ואחר זה מעתיקים אותו מדרגה אחר מדרגה על הסדר לדעת המדרגה האחרונה הנחסרת כדי שלא יתבלבל המעיין הנחנו אנחנו היסודות על הסדר להורות על המדרגה האחרונה הנחסרת<br>
| |
| − | ר"ל כי היסוד הראשון הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם הראשונה<br>
| |
| − | והיסוד השני הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם השנית<br>
| |
| − | והיסוד השלישי הוא תחת המדרגה האחרונה הנחסרת בפעם השלישית וכן תמיד<br>
| |
| − | כי אין הבדל בין שנתחיל בפעם הראשונה ממדרגת היסוד הראשון ובפעם השנית מהיסוד השני הקודם לו ובפעם השלישית מהיסוד השלישי הקודם לו ובין שנתחיל בפעם הראשונה מהיסוד הראשון ובפעם השנית נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונתחיל ממנה ובפעם השלישית נעתיקנו אל המדרגה הקודמת ונתחיל ממנה<br>
| |
| − | ובכלל נתננו סימן אחד תמורת העתקת היסוד הראשון עם כל היסודות והמשולשים עד שיספיק זה משמירת הבלבול והמבוכה והכל עולה בקנה אחד וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השלישית היא סבת הדרכים הקודמים רק שבדרכי' הקודמים הכינו היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הנכפל<br>
| |
| − | אחר זה הכינו העולה עם היסוד הנכפל וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו זה עם היסוד האחר וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו<br>
| |
| − | אחר זה הכינו זה עם היסוד האחר וחסרנוהו מהמדרגה השוה לו וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הנה לא נצטרך להכות פעמים רבות פעם עם היסוד האחד ופעם עם היסוד האחר ושיחוסר פעם ממדרגה אחת ופעם ממדרגה אחרת כל אחת לפי הראוי לה<br>
| |
| − | גם לא נצטרך לקבץ כל העולים מכל ההכאות השוי המדרגה לחסרם מהמדרגה השוה להם<br>
| |
| − | רק הכל יצא מתוקן בשנכה העולה מהכאת היסוד האחרון בשלשה כפלי שאר היסודו' עם כל היסודו' בפעם אחת ונחבר עמהם העולה מהכאת היסוד האחרון באופן מעוקב ויחוסר העולה מהם מכל המדרגות שמהמדרגה שעל היסוד האחרון עד המדרגה האחרונה<br>
| |
| − | כי אין הבדל בין העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד הג' עד"מ והעולה עם היסוד השלישי עוד עם היסוד השני עוד עם היסוד האחרון ובין העולה מהכאת היסוד האחרון עם ג' כפלי היסוד השלישי והעולה עם חבור היסוד השלישי והשני והאחרון יחד כמו שקדם מההקדמה השנית<br>
| |
| − | וכן אין צורך לקבץ מיני ההכאות השוות הנה כמו שהוצרכנו בזה בדרכים הקודמים<br>
| |
| − | כי אין הנחסר הנה מן המדרגה האחת הדומה לנחסר כמו שקדם עד שנקבץ כל ההכאות שוי הרחקים כמו שקדם<br>
| |
| − | כי הנחסר הנה אמנם הוא מן כלל המדרגות שמהמדרגה שעל היסוד האחרון עד המדרגה האחרונה ובזה יכללו כל המינים יחד השוים והבלתי שוים וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות היסוד הקרוב עם הנחת הסיפרש ולמה יהיה בתוספת ג' ג'<br>
| |
| − | ולמה נשליך מהיסודות ככמות שליש הסיפרש ויהיו הנשארי' מעלות<br>
| |
| − | ולמה יוכו הנשלכים עם ס' ונשליך מהעולה ככמות שליש הסיפרש ויהיו הנשארים ראשוני' ואחר זה יהיו שניים ואחר זה שלישיים וכן תמיד עד שיכלו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כל זה מבואר ממה שקדם עם תוספת הקדמה אחת והיא שהמספרים הבלתי נגדרים ר"ל הבלתי בעלי יסוד הנמשלים קצתם לקצת כמשפט המספרים הנמשלים כאשר יהיו נגדרים אבל יסוד הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת מיסוד הנמשל הקטן ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שהיסוד הקרוב היוצא למספר ב' הוא אחד<br>
| |
| − | והיסוד הקרוב היוצא למספר הב' אלפים הנמשלים לו הוא י"ב<br>
| |
| − | והיסוד הקרוב לב' פעמים אלף אלפים הנמשלי' להם הוא קכ"ה<br>
| |
| − | והנה העולה מהכאת הא' עם עצמו באופן מעוקב הוא אחד והנשאר עד תשלום הב' הוא א' שהוא חצי<br>
| |
| − | והעולה מהכאת הי"ב עם עצמו באופן מעוקב הם אלף תשכ"ח והנשאר עד תשלום הב' אלפי' הם קרוב לשביעית<br>
| |
| − | והעולה מהכאת הקכ"ה עם עצמו באופן מעוקב הם אלף ותתקנ"ג אלפים וקכ"ה והנשאר עד תשלום הב' פעמים אלף אלפים הם קרוב לחלק אחד ממ"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה כבר יחוייב מזה בהכרח שלא יבוקש היסוד הקרוב למספר הבלתי נגדר מהמספר הדרוש בעצמו כמשפט מציאות יסוד המספר הנגדר<br>
| |
| − | אחר שכבר התבאר מההקדמה הזאת שיסוד הנמשל הגדול יותר קרוב אל האמת מיסוד הנמשל הקטן<br>
| |
| − | אך יבוקש יסוד המספר הדרוש מהנמשל הגדול ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכבר התבאר מההקדמות הקודמות שהמספרי' הנמשלי' יסודותיהם גם כן נמשלים ר"ל שכמותם אחד בעינו ושלא יתחלפו רק באיכות ר"ל בשהאחד ממנו אחדים והאחר עשרות או מאות ודומיהם לא זולת זה<br>
| |
| − | הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שכאשר נמצא יסוד הנמשל הגדול מהמספר הדרוש שנקח אותו ונשמרהו והוא כמות יסוד המספר הדרוש שנקח בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שכבר התבאר מההקדמות הקודמות שיסודות המעוקבים הנמשלים הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים<br>
| |
| − | ר"ל שהמעוקב הראשון מהמעוקבים הנמשלים מאותו המין הנה יסודו ממדרגת האחדים<br>
| |
| − | והמעוקב השני מהנמשלי' שהוא במדרגה הרביעי' למדרגת המעוקב הראשון הנה יסודו ממדרגת העשרו' שהיא שנית למדרגת יסוד המעוקב הראשון<br>
| |
| − | ושהמעוקב השלישי מהנמשלים שהוא במדרגה השביעית למדרגת המעוקב הראשון הנה יסודו ממדרגת המאות שהיא שלישית למדרגת יסוד המעוקב הראשון<br>
| |
| − | וכן כלם ר"ל שמדרגות המעוקבים הנמשלים הם בדלוג המדרגות ר"ל בתוספת ג' מדרגות ג' מדרגות על הסדר ויסודותיהם הם נמשכי המדרגות על סדר המספרים הטבעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן יחוייב מזה בהכרח שנקח היסוד השמור והמספר שליש הסיפרש הנוספות על המספר הגדול הנמשל למספר הדרוש ככה יהיו מדרגותיו נוספות על יסוד המספר הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי אין המספר הנמשל מתחלף מהמספר הנמשל הקטן ממנו רק ברבוי המדרגות לבד לא זולת זה<br>
| |
| − | ולכן יחוייב שנשליך ממדרגות היסוד הנמשל הגדול כמספר שליש הסיפרש המורות על רבוי מדרגות הנמשל הגדול<br>
| |
| − | והנשאר הוא יסוד הנמשל הקטן בהכרח אחר שמדרגו' יסוד הנמשל הקטן הם שליש מדרגות המספר ההוא ר"ל אחר שיחוסר אחד מזה ומזה<br>
| |
| − | למה שיהיה תוספת הנמשל על הנמשל כתוספת ג' מדרגות ותוספת היסוד על היסוד הם בהמשך המדרגות שהם שלישיתם<br>
| |
| − | כי במקום שעלה המספר שליש מדרגות יעלה יסודו מעלה אחת<br>
| |
| − | אחר זה נקח המדרגות הנשלכות ונכם עם ס' ויהיו ראשונים בהכרח לפי מה שקדם בשברי התכונה<br>
| |
| − | והעולה מהכאתם נשליך ממדרגותיהם כמספר שליש הסיפרש כמשפט הראשון<br>
| |
| − | ואחר שיהיו ראשונים הנה יהיו הנשארים ראשונים בהכרח<br>
| |
| − | וכן תמיד עד שיכלו כל המספרים ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכדי שנרחיב לזה ביאור נמשיל לזה משל אחד ובו יתבארו כל הספקות הנופלות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שאם רצינו על ד"מ למצוא יסוד השני אשר הוא בלתי נגדר הנה לא נקח יסודו הקרוב ממספר הב' בעצמו<br>
| |
| − | כי כבר קדם שהקרוב הנמצא ליסוד הנמשל הגדול הוא יותר קרוב אל האמת מהקרוב הנמצא ליסוד הנמשל הקטן<br>
| |
| − | ולכן נקח יסוד הב' מהב' פעמים אלף אלפים עד"מ שהוא הנמשל השלישי ונקח יסודו שהוא הכ"ה כמו שקדם ונשמרהו<br>
| |
| − | ולהיות שהב' פעמים אלף אלפים הוא כמות הב' בעינו רק שנקראהו ב' פעמים אלף אלפים עם תוספת הסיפרש אשר יוסיפו המדרגו' וכן בכל המספרים הנמשלים<br>
| |
| − | על כן יחוייב שנוסיף סיפרש על הב' שהוא המספר הדרוש עד שנעלהו אל המספר הנמשל היותר גדול שנרצה<br>
| |
| − | אחר שאין תוספת הנמשל על הנמשל רק עם הסיפרש המורות על המדרגו'<br>
| |
| − | ושיחויב שיהיו בתוספת ג' ג' למה שהיה רוחק הנמשל מהנמשל ג' מדרגות כמו שקדם מההקדמה הה'<br>
| |
| − | ושיחוייב שיהיה יסוד הב' פעמים אלף אלפים אשר הוא משלנו הוא בעצמו יסוד הב' מצד כמותו כמו שקדם מההקדמה הרביעית שהמעוקבי' הנמשלים הנה יסודותיהם ג"כ נמשלי'<br>
| |
| − | ושיחוייב שיהיו מדרגות יסודו פחות ממדרגות יסוד הב' כמספר שליש הסיפרש כי כבר קדם מההקדמה החמישית שהמעוקבים הנמשלים יעלו ג' ג' מדרגות ויסודות הנמשלים יעלו א' א' שהם שלישיתם<br>
| |
| − | ולכן להיות שמדרגות מספר הב' הם פחותות ממדרגות מספר הב' פעמים אלף אלפים ו' מדרגות כמספר כל הסיפרש הנוספות על הב' יחוייב לזה בהכרח שיהיו מדרגות יסוד הב' פחותות ממדרגות יסוד הב' פעמים אלף אלפים שתי מדרגות כמספר שליש הסיפרש<br>
| |
| − | ולכן כאשר נוריד יסוד הב' פעמים אלף אלפים שהם קכ"ה שתי מדרגות יהיה הנשאר יסוד הב' בהכרח<br>
| |
| − | ולהיות שהכ"ה מהקכ"ה לא יתכן שנפחיתם ב' מדרגות כי הה' הם אחדים ולא יתכן שירדו מדרגה למטה ממנה והכ' הם עשרות ולא יתכן שירדו רק מדרגה אחת לא ב' מדרגות<br>
| |
| − | לכן נמנע מלקחת אותם ליסוד הב'<br>
| |
| − | וזאת היא הסבה אשר אנחנו גורעים מהיסוד השמור ככמות שליש הסיפרש לעולם<br>
| |
| − | אולם מספר הק' מהקכ"ה להיות שכבר יתכן שנורידהו ב' מדרגות וישאר א' הנה נקחהו ואין צורך להורידו אל האחדי' כי אחר שנשליך הכ"ה מהקכ"ה ישאר הק' לבדו ויחשב א' בהכרח<br>
| |
| − | כי הוא אמנם יקרא ק' בערך אל המדרגה השלישית אשר עומד אחר הכ"ה אך כאשר יחוסרו הם הנה ישאר הוא להיותו במדרגה הראשונה ויחשב לאחד בהכרח<br>
| |
| − | אחר זה לקחנו הכ"ה הנשלכים והכינום עם הס' ויהיו העולים מהכאת הכ"ה עם הס' ראשוני' בהכרח<br>
| |
| − | כי כל שלם המוכה עם הס' הנה ההווה מהם הם ראשונים בהכרח והנה יעלו אלף ת"ק ראשוני' והם ד' מדרגו'<br>
| |
| − | והשתי מדרגות הראשונות לא נוכל להורידם ב' מדרגות הראויות לסבה שזכרנוה<br>
| |
| − | הנה נקח מהם האלף ת"ק הנשארים ונורידם ב' מדרגות והם ט"ו<br>
| |
| − | וזה בשנשליך מהם הב' סיפראש שבמספר אלף ת"ק כזה 1500<br>
| |
| − | וישארו הם ב' מדרגות ויחשבו ט"ו בהכרח נחברם עם המעלו' שבידינו שהם השלמים והם א' שלם וט"ו ראשונים רוצה לומר ט"ו ששימיים של שלם שהם רביע השלם<br>
| |
| − | וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Chapter Two: [Extracting Cubic Roots of Fractions or Integers and Fractions] =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|<big>פרק שני</big>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שבארנו לך הדרך במציאות יסוד המספרים הנגדרים והבלתי נגדרים אם בנגדרי היסוד האמתי ואם בבלתי נגדר הקרוב וזה בשלמים<br>
| |
| − | הנה מן המחוייב גם כן להודיע הדרך במציאות יסוד השברים או השברים והשלמים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך במציאות יסוד השברים הוא בשנקח יסוד כמותם ונייחסהו אל יסוד איכותם וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the cubic root of one-thousand eighths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד האלף שמניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of one-thousand, it is ten, by the same previous ways.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000}=10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד האלף והם עשרה עם הדרכים הקודמים בעצמם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then, we relate them to the cubic root of eighth, from which the name of the eighths is derived, which is 2 that indicates a half, so they are 10 halves.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{10}{\sqrt[3]{8}}=\frac{10}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחסם אל היסוד השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו שהוא הב' שמורי' על חצי והם י' חצאים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Divide 10 by 2 and the result is 5 integers.
| |
| − | ::Thus, we know that the cubic root of one-thousand eighths is 5 integers.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1000}{8}}=\frac{10}{2}=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חלק הי' על ב' ויצאו ה' שלמים<br>
| |
| − | ואם כן ידענו שיסוד האלף שמניים הוא ה' שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Another example: we wish to know the cubic root of 729 [parts of] 27.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{729}{27}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|דמיון אחר בקשנו לדעת יסוד התשכ"ט כזי"ים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of 729, it is 9.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{729}=9}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד התשכ"ט והם ט'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take also the cubic root of 27, from which the name of the 27 is derived, which is 3 and the fraction that is derived from 3 is one-third.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{27}=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נקח יסוד הכ"ז אשר שם הכ"ז נגזר ממנו והם ג' והשבר הנגזר מהג' הוא שליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Thus, we know that the cubic root of 729 [parts of] 27 is 9 thirds.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{729}{27}}=\frac{9}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן ידענו שיסוד התשכ"ט כזי"ים הוא ט' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We divide 9 by 3 and the result is 3.
| |
| − | ::Hence, we know that the cubic root of 729 [parts of] 27 is 3 integers.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{729}{27}}=\frac{9}{3}=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|חלקינו הט' על הג' ויצאו ג'<br>
| |
| − | וידענו מזה שיסוד התשכ"ט כזי"ים הוא שלשה שלמי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת זה גם כן באופן אחר והוא שנחלק התשכ"ט על הכ"ז ויצאו כ"ז שלמים<br>
| |
| − | נקח יסוד הכ"ז והוא ג' שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם השני אופנים המודיעים לנו יסוד השברים ואיכותם נגזרים משמות מספרים נגדרים ר"ל בעלי יסוד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם השברים אשר כמותם ואיכותם יחד או אשר כמותם לבד או איכותם לבד בלתי נגדרים הנה יצטרך למלאכה<br>
| |
| − | והוא שנכה האיכות הבלתי נגדר עם עצמו והעולה עם האיכות והעולה נשמרהו ויקרא השמור הראשון<br>
| |
| − | עוד נכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו והעולה נשמרהו ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נייחס יסוד השמור השני אל יסוד השמור הראשון וההווה הוא יסוד השבר הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הק' עשריים אשר כמותם ואיכותם בלתי נגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הי' שהוא האיכות בעצמם ויעלו ק' והק' בי' ויעלו אלף ונשמרם<br>
| |
| − | גם נכה הק' שהוא הכמות בק' שהוא העולה מהכאת האיכות בעצמו ויעלו י' אלף ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נבקש יסוד הי' אלף והוא כ"א ל"ב כ"ד ונשמרהו<br>
| |
| − | גם נבקש יסוד האלף והוא י' נקח השבר הנגזר מהי' שהם העשיריים ונייחס אליו הכ"א ל"ב כ"ד השמורים והם כ"א עשריים ול"ב ראשונים העשירית וכ"ד שניי העשיריים<br>
| |
| − | חלקנום על י' והם ב' שלמים ועשירית א' ול"ב חלקים מת"ר חלקי השלם וחלקי אחד מאלף ת"ק חלקי השלם<br>
| |
| − | או חלק הק' על הי' ויצאו י' בקש יסודם הקרוב והוא שני שלמים תשעה ראשונים י"ד שניים כ"ד שלישיים והוא השרש הראשון בעינו אין הבדל ביניהם כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה הדרך עצמו נעשה כאשר נדרוש יסוד השברים שכמותם נגדר ואיכותם בלתי נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אך אם תדרוש יסוד השברים שכמותם בלתי נגדר ואיכותם נגדר הנה אין צורך כל אלה<br>
| |
| − | רק נבקש יסוד הכמות כמנהג רוצה לומר הקרוב והיוצא נייחסהו אל האיכות הנגזר מיסוד איכות שברים הדרושים וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of 100 eighths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{100}{8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הק' שמניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the approximate cubic root of 100, it is 4, 38, 24.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100}=4+38^\prime+24^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד הק' הקרוב שהוא ד' ל"ח כ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of eight, from which the name of the eighths is derived, which is 2 that indicates a half.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונקח יסוד השמנה אשר שם השמניים נגזר ממנו והם ב' המורה על חצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס אליו הד' ל"ח כ"ד השמורים והם ד' חצאים ול"ח דקיי החצי וכ"ד שניי החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|חלקנום על ב' ויצאו ב' שלמים חלקים מס' חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר ביארנו לך דרך מציאות יסוד השברים בכח בין שיהיה כמותם ואיכותם נגדר או כמותם ואיכותם בלתי נגדר או איכותם לבד נגדר או כמותם לבד נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הדרך במציאות יסוד השלמים והשברים יחד הנה הוא דרך מציאות יסוד השברים בעינו וזה אחרי ההתכה לפי מה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of 12 and a half.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{12+\frac{1}{2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת יסוד הי"ב וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הי"ב עם הב' ויעלה כ"ד נחבר עמהם הא' המורה על חצי א' והם כ"ה וזהו כמות כל השלמים והשברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואיכותם הם חצאים שהוא איכות השברים ההם בעצמם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ישובו הי"ב וחצי לכ"ה חצאים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה נשתמש במציאות יסודם עם הדרך הראשון בעינו<br>
| |
| − | רוצה לומר בשנכה הב' המורה על חצי עם עצמו ויעלו ד'<br>
| |
| − | עוד נכה הב' עם הד' ויעלו ח' ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה עם הכ"ה עם הד' ויעלו ק'<br>
| |
| − | אחר זה נבקש יסוד הק' הקרוב והוא ד' ל"ח כ"ד<br>
| |
| − | ונקח יסוד השמנה השמורי' והם ד' חצאים ול"ח דקי החצי וכ"ד שניי החצי<br>
| |
| − | נחלקם על הב' שהם החצאים ויצאו ב' שלמים וי"ט חלקים מס' חלקי השלם וחלק אחד מש' חלקי השלם וזהו יסוד הי"ב שלמי' וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך דרך מציאות יסוד השברים לבד ויסוד השלמים והשברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם המאזנים הכוללים כל המינים יחד רוצה לומר בשלמי' לבד ובשברים לבד ובשלמים עם השברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא שנכה היסוד עם עצמו באופן מעוקב ואם ישוה העולה מהכאתו למספר הדרוש יסודו דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה במספרים הנגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם במספרים הבלתי נגדרים נחבר המותר עם העולה מהכאת היסוד הקרוב באופן מעוקב והעולה מקבוצם אם ישוה למספר המבוקש דע שצדקת ואם לאו כזבת וזה מאזני מרמה וכבר קדם לך הביאור עליו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסבה לכל אלה הדרכים הנה היא מבוארת ממה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שכבר התבאר שיסוד המעוקב הוא המספר אשר מהכאתו בעצמו והעולה עם עצמו יולד המספר הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם התבאר שהכאת השבר עם עצמו והעולה עם עצמו הוא הכאת הכמות עם עצמו באופן מעוקב והכאת האיכות עם עצמו באופן מעוקב והעולה משני ההכאות כאשר ייוחס הא' מהם אל האחר ר"ל העולה מהכאת הכמו' עם עצמו באופן מעוקב יורה על איכו' השבר היוצא מההכאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה א"כ כאשר נרצה לדעת יסוד שבר מה איזה שבר היה נבקש כמותו ויסוד איכותו ונייחס יסוד כמותו אל יסוד איכותו וההווה הוא יסוד השבר הדרוש בהכרח<br>
| |
| − | אחר שכמות השבר היוצא כאשר יוכה עם עצמו באופן מעוקב יצא כמות השבר הדרוש<br>
| |
| − | ואיכו' זה השבר היוצא כאשר יוכה באופן מעוקב יצא איכות השבר הדרוש<br>
| |
| − | וזהו גדר היסוד בעצמו כאשר קדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר לא יהיה כמו' השבר הדרוש נגדר והיה איכותו נגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נמצא אז יסוד כמותו הקרוב בהכרח גם יסוד איכותו האמתי ונייחס יסוד כמותו הקרוב אל יסוד איכותו וההווה הוא יסוד השבר הדרוש בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם כאשר יהיה איכות השבר הדרוש בלתי נגדר הנה לא יספיק לנו שנקח יסודו הקרוב ויהיה הוא איכות השבר היוצא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי האיכות לא יתכן שיהיה נגזר רק ממספר אחד כמו שליש מג' ורביע מד' וחומש מה' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יחוייב לנו שנשיב האיכו' ההוא לאיכו' אחר נגדר ואז נקח יסודם כאש' קדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיו' שהדרך המשותף לכל האיכויות להשיבם אל איכויות נגדרים הוא בשנכה האיכות עם עצמו באופן מעוקב לכן ביארנו הדרך הזאת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עם היות שיתכן לפעמים באופן אחר יותר קל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שאם היה השבר הדרוש תשעיי' עד"מ נכה הט' בג' והם כ"ז והנה הכזי"י אשר הם נגזרי' מהכ"ז הם נגדרי'<br>
| |
| − | לא שנכם עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו תשכ"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן הרביעיים על דרך משל הנה נכם עם ב' ויעלו ח' והשמיניים אשר שם השמנה נגזר ממנו הם נגזרים<br>
| |
| − | לא שנכה הד' עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו ס"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלא שבחרנו זה למה שלא יצדק זה בכל האיכויות גם כי הם משתנים ונצטרך בהם חלופי הדרכי'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי על דרך משל התשיעיים נצטרך להכותם עם הג'<br>
| |
| − | והרביעיים עם הב' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן בחרנו הדרך המשותף לכל שהוא הכאת האיכות עם עצמו באופן מעוקב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נצטרך להכות גם הכמות עם העולה מהכאת האיכות עם עצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסבה בזה הוא מפני שהוכה האיכות עם העולה מהכאתו בעצמו<br>
| |
| − | ולזה יחוייב שנכה גם הכמות עם המספר ההוא בעצמו ר"ל עם העולה מהכאת האיכות בעצמו כדי שישובו השברים הראשוני' שוים לשברים השניים כמו שקדם מהמאמר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולולא זה יהיו השברים הראשונים זולת השברים השניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי עד"מ אם רצינו להשיב הי' רביעיים אל שברים בעלי איכות נגדר והכינו הד' עם עצמו ועלו י"ו<br>
| |
| − | עוד הכינו הד' עם הי"ו ועלו ס"ד<br>
| |
| − | אם לא נכה גם הכמו' עם הי"ו הנה יהיו השברי' השניים י' סדיי"ם והם פחותים מהי' רביעיים<br>
| |
| − | ולכן יתחייב שנכה גם הכמו' בי"ו ויעלו ק"ס סדיי"ם והם שוי' לי' רביעיי' בהכרח<br>
| |
| − | אחר שהוכה כמותם ואיכות' עם מספר א' שהוא מספר הי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי יחס השעורי' קצתם אל קצת כיחס כפליהם קצתם אל קצת כאשר יהיו שוי הכפלים וזה מבואר במאמר שחמישי לאקלידאס אין צורך להאריך בביאורו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הדרך במציאות יסוד שברי התכונה הנה הוא בשנקח יסוד כמותם ונייחסהו אל שליש איכותם והיוצא הוא יסודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of one-thousand sixths of the sexagesimal fractions.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{1000^{vi}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת יסוד האלף ששיים משברי התכונה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of one-thousand, which is 10. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000}=10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד האלף שהם עשרה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We relate them to one-third of the 6, which is 2 that indicates the seconds.
| |
| − | ::The result is 10 seconds, which is the cubic root of one-thousand sixths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1000^{vi}}=10^{\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחסם אל שליש הו' שהם ב' המורים על שניים וההוה הם י' שניים והם יסוד האלף ששיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of 125 ninths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{125^{ix}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לדעת יסוד הקכ"ה תשיעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of 125, which is 5. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{125}=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד הקכ"ה והם ה'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Also, one-third of the nine, which is 3 that indicates the thirds.
| |
| − | ::Thus, we know that the cubic root of 125 ninths is 5 thirds.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{125^{ix}}=5^{\prime\prime\prime}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם שליש התשעה והם ג' המורה שלישיים<br>
| |
| − | ובזה ידענו שיסוד הקכ"ה תשיעיים עם ה' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם היה כמותם ואיכותם יחד או אחד משניהם בלתי נגדרים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הדרך אל ידיעתו היא שאם היה איכותו לבד בלתי נגדר הנה נקח שליש איכותו כמו שקדם ונייחס אליו היסוד הקרוב לכמותו וההווה הוא יסודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: 4 ninths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{4^{ix}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה בד' תשיעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We take the cubic root of 4, which is 5, 50, 24.
| |
| − | ::We relate it to one-third of the nine, which is 3 that indicates the thirds.
| |
| − | ::Thus, we know that the cubic root of 4 ninths is 5 thirds, 50 fourths and 24 fifths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{4^{ix}}\approx5^{\prime\prime\prime}+50^{iv}+24^{v}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח יסוד הד' והוא ה' נ' כ"ד ונייחסם אל שליש התשעה שהם ג' המורים על שלישיים ובזה ידענו שיסוד הד' תשיעיים הוא ה' שלישיים ונ' רביעיים וכ"ד חמישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם היה איכותם בלתי נגדר הנה נשיבם אל הנגדרים<br>
| |
| − | אחר זה נבקש יסוד זה הכמות ונייחסהו אל שליש זה האיכות וההווה הוא יסוד השברים הדרושים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of 100 fifths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{100^{v}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת יסוד ק' חמישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We multiply 100 by 60 and the result is 6000, which are sixths, since it decreased by one rank.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100^{v}=\frac{60\sdot100^{v}}{60}=6000^{vi}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הק' בס' ויעלו ו' אלף והם ששיים לפי שכבר ירד מדרגה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then we take the cubic root of 6000, which is 18, 10, 12.
| |
| − | ::We relate it to one-third of the 6, from which the sixths are derived, which is 2 that indicates the seconds.
| |
| − | ::The result is 18 seconds, 10 thirds and 12 fourths and it is the cubic root of 100 fifths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100^{v}}=\sqrt[3]{6000^{vi}}\approx18^{\prime\prime}+10^{\prime\prime\prime}+12^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נבקש יסוד הו' אלף והוא י"ח י' י"ב<br>
| |
| − | נייחסהו אל שליש הו' שהששיים נגזר ממנו שהם ב' המורים על שניים<br>
| |
| − | וההווה הוא י"ח שניים י' שלישיים י"ב רביעיים וזהו יסוד הק' חמישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if you wish to know the cubic root of 100 fourths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{100^{iv}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת יסוד הק' רביעיי'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*We multiply 100 by 60 and the result is 6000.
| |
| − | ::Then we multiply 600 again by 60 and the result is 360000, which are sixths, since it decreased by two ranks, as it was multiplied twice.
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100^{iv}=\frac{60\sdot60\sdot100^{iv}}{60^2}=\frac{60\sdot6000^{iv}}{60^2}=360000^{vi}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הק' בס' ויעלו ו' אלפים<br>
| |
| − | עוד נכה הו' אלפי' בס' ויעלו ש"ס אלף והם ששיים<br>
| |
| − | לפי שכבר ירד ב' מדרגות אחר שהוכה פעמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*Then we take the cubic root of 360000, which is 71, 7, 48.
| |
| − | ::We relate it to one-third of the 6, from which the sixths are derived, which is 2 that indicates the seconds.
| |
| − | ::Thus, we know that the cubic root of 100 fourths is 71 seconds, 7 thirds and 48 fourths.
| |
| − | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{100^{iv}}=\sqrt[3]{360000^{vi}}\approx71^{\prime\prime}+7^{\prime\prime\prime}+48^{iv}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נבקש יסוד הש"ס אלף והוא ע"א ז' מ"ח<br>
| |
| − | ונייחסם אל שליש הו' הששיים נגזר ממנו שהם ב' המורה על שניים<br>
| |
| − | ובזה ידענו שיסוד הק' רביעיים הם ע"א שניים ז' שלישים מ"ח רביעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומהנה יודע לך הדרך במציאות יסוד מיני שברים רבים משברי התכונה או שברים ושלמים יחד וזה בשנתיך הכל אל מין א' היותר פחות מהם ואז נשתמש עם הדרך הקודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Example: if we wish to know the cubic root of 20 degrees, 24 minutes, 20 seconds and 30 thirds.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\sqrt[3]{20^\circ+24^\prime+20^{\prime\prime}+30^{\prime\prime\prime}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצינו לדעת יסוד הכ' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה הכ' מעלות בס' ויעלו אלף כ' ראשונים נחברם עם הכ"ד ראשונים ויעלו אלף רכ"ד ראשונים<br>
| |
| − | עוד נכם עם ס' ויעלו ע"ג אלף ות"מ שניים חברם עם הכ' שניים ויעלו ע"ג אלף ות"ס שניים<br>
| |
| − | נכם עם הס' ויעלו ד' פעמים אלף אלפים ות' וז' אלפים ושש מאות שלישיים נחברם עם הל' שלישיים ויעלו ד' פעמים אלף אלפים וארבע מאות וז' אלפים ושש מאות ושלשים שלישיים<br>
| |
| − | ולהיות שהשלישיים הוא מדרגה נגדרת על כן בקשנו יסוד הכמות הזה והוא קס"ג נ"ד<br>
| |
| − | עוד לקחנו שליש הג' אשר שם השלישיים נגזר ממנו והוא המורה על הראשונים<br>
| |
| − | ובזה ידענו שיסוד הב' מעלות כ"ד ראשונים כ' שניים ל' שלישיים הוא קס"ג ראשונים ונ"ד שניים שהם ב' מעלות מ"ג ראשונים כ"ד שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסבה הכוללת לכל אלה הדרכים היא הסבה בעצמה אשר זכרנו בשברי המספרים<br>
| |
| − | רק שבמקום שאמרנו שם שהכאת השברים עם עצמם באופן מעוקב והכאת איכותם עם עצמם באופן מעוקב נאמר הנה שהוא ההווה מהכאת כמותם עם עצמם באופן מעוקב ואופן איכותם עם ג'<br>
| |
| − | ולכן יתחייב גם הנה שנבקש הכמו' שיוכה בעצמו באופן מעוקב ויולד כמות השבר הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> באיכות לא נבקש יסודם אחר שמהכאת האיכות בעצמו באופן מעוקב לא יולד איכות השבר הדרוש רק נקח שלישיתו אחר שמג' כפלי האיכות יולד איכות השבר ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר יהיה איכותם נגדר הנה נקח יסוד הכמות האמתי או הקרוב אחר זה נייחסהו אל שליש האיכות וההווה הוא יסודו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם כאשר היה האיכות בלתי נגדר בין שיהיה כמותם נגדר או בלתי נגדר הנה נצטרך בהכרח להשיבם אל שברים בעלי איכות נגדר<br>
| |
| − | וזה בשנכה הכמות בס' פעם אחת או שתים עד שנגיע אל האיכות הנגדר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם כאשר יהיו השברים מינים רבים הנה נצטרך להשיבם אל מין אחד אחר זה ננהיג בהם הדרך הקודם בעצמו ובזה נגיע אל המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזני' אשר בהם יאוזן זה המין מהשברי' הוא כפי המאזנים אשר בהם יאוזן מין השברים המספריים בעצמן כי הדרך בהן היא אחת בעצמה אין צורך להאריך בזה
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | === Section Three: Ratios ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|השער השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע כי היחס הוא הכמות הצרופיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכמות הוא סוג כולל לשני מיני הכמה שהם הצרופיי וזולתי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והצרופיי הוא הבדלו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכמות הצרופיי הוא הכמות המתחדשת מהשני שעורים שהוא שעור הפעמים אשר ימנה אחד את האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו שני שעורים הג' והו' על דרך משל שכמותם הבלתי צרופיי הוא כמות הג' והו'<br>
| |
| − | והצרופיי הוא הב' שהם הב' פעמים שמנה האחד מהם את האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יהיה הגדר הזה מחובר מסוג והבדל סוגו הוא הכמות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והבדלו הוא הצרופיי המורה על הכמות המתחדש בין שני השעורים הנערכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם היחס אשר יפול בין שני האיכויות המתחלפות הנה אמנם יפול עליהם במקרה רוצה לומר מצד מה שקרה לאיכות שישוער בכמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי יאמר האיך הוא כפל האיך האחד<br>
| |
| − | אם מצד נושאו כי זה הלבן נשוא על ב' אמות והאחר נשוא על אמה אחת בלבד<br>
| |
| − | ואם מצד שזה הלובן כאשר ידומה רחוקו מהשחרות ב' אמות יהיה הלובן האחר רחוקו מהשחרות אמה אחת<br>
| |
| − | כאלו תאמר כאשר יהיה הלובן האחד לבן כשלג והאחר כקרום ביצה הנה יחשב השלג יותר מדרגה רחוקה מהשחרות מרוחק הקרום ביצה מהשחרות עד אשר יהיה תוספת הרוחק על הרוחק כתוספת הב' אמות על האמה וזה דמוי לבד<br>
| |
| − | ומפני שידומה בם הכמות יפול עליהם שם היחס במקרה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל שם היחס לא יפול רק על הכמות הצרופיי המתחדש בין שני שעורים מונחים מספרים יהיו או קוים או שטחים או גשמים או זמנים ובכלל בעלי כמות זאת היא הסכמת כל הקודמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולפי דעתי שלא יפול שם היחס בעצם רק על הכמה המספריי בלבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי הקו כאשר יערך אל קו אחר הנה אמנם יאמר שהם מתייחסים ושביניהם יחס מה מצד מה שקרה שידומה שזה הקו מתפרד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי אמנם יאמר שזה הקו כפל קו אחר כאשר ידומה שיחלק הקו הגדול לשנים ויהיה כל חלק וחלק מהם שוה לקו הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה אם כן שם היחס שנאמר בעצם אמנם יאמר על השעורים המספריים בלבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ראוי שנגדור שם היחס בגדר פרטיי והוא שנאמר שהיחס הוא המספר הצרופיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם שם התיחס הוא נאמר על הדמות שני יחסים או יותר<br>
| |
| − | ולכן יחוייב שיהיו שם יותר משני שעורים מונחים בהכרח וזה כי כל יחס הוא מחובר משני שעורים כאשר קדם<br>
| |
| − | ולכן יחוייב שיהיה שם שיעור שלישי בהכרח עד שיתחייבו מהם שני יחסים יחס השעור הראשון אל השעור השני ויחס השיעור השני אל השיעור הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואמרי בגדר ההתיחס שהוא הדמות שני יחסים הוא ההבדל אשר בו יבדל מהיחס כי היחס מתחדש משני שעורי' והתיחס משני יחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם התנות ההדמות אמנם הוא מפני שאין כל ג' שעורים מונחי' מתיחסים ואף כי יחוברו מהם שני יחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי ג' שעורי א' ג' ד' לא יפול ביניהם התייחסות כלל לא מספריי ולא מדותיי ולא מוסקיי כמו שיבא אי"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שההתייחס מתחדש מהיחסים והיחס מהשיעורים הבלתי מוקשים אל הזולת שהם השלמים כמו שקדם בפתיחת זה הספר לכן היה מהמחוייב עלינו להמשיך הדבור ביחסי' אחר הדבור בשלמים המורים על הכמה הנפרד<br>
| |
| − | והם השברים המספריים והשברים התכוניים והשרשים והיסודות כי כל אלה הם מוקשים אל הזולת<br>
| |
| − | ולהיות שכבר השלמנו הדבור בהם הנה מהמחוייב עלינו אחר זה שנמשיך הדבור בהתיחס אשר הוא מחובר מהיחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונאמר שההתיחס יחלק לשלשה חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם אם שיהיו השעורים מתיחסים בעצמם עד שיהיה יחס השעור הראשון אל השעור השני כיחס השעור השני אל השעור השלישי לא המותרים והם הנקראים מדותיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שיהיו המותרים מתיחסים ביחס השווי עד שיהיה יחס מותר השעור הראשון על השני אל מותר השני על השלישי כיחס מותר השני על השלישי אל מותר השלישי על הרביעי לא השעורים והם הנקראים מספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם שיהיו המותרים והשעורים יחד מתייחסים רוצה לומר שהיחס האחד משני היחסים המונחים הוא מהמותרים והאחר הוא מהשעורים עד שיהיה יחס השעור הראשון אל השעור האחרון כיחס מותר הראשון על האמצעי אל מותר האמצעי על האחרון והם הנקראים מוסקיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה אם כן מהמחוייב עלינו להודיע דרך כל אחד ואחד מאלו איש על דגלו ואיש על מחנהו
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Part One: Arithmetic Sequences ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|החלק הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וראוי להקדים הדרך בידיעת המתיחסים המספריים על המתיחסים המדותיים<br>
| |
| − | מפני שהם יכנסו במספר מצד היותם מספר<br>
| |
| − | והמדותיים ואם יצדקו על המספר אמנם לא יכנסו במספר מצד מה שהם מספר אבל מצד מה שקרה לקווי<br>
| |
| − | שישוב עם החלוק מספריי כמו שקדם עד שיקראו אצל הקדמונים מדותיים למה שהיה שם המדה נופל על הקו והשטח ובכלל על השעור המתדבק כי וימד שש שעורים כמו שש איפות או סאים שעורים גם כי הם כפי סדר הטבע או דומה לסדר הטבע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אב"ג שהם המתיחסים המספריים הם על סדר טבע המספרים עצמם ולא כן המדותיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר זה היה כן הנה אם כן מן הראוי להקדים תחלה הדרך בידיעת המתיחים המספריים אחר זה המתייחסים המדותיים<br>
| |
| − | אחר שהם השני פשוטים אשר מהם יתרכב המין השלישי והם המתיחסים המוסקיים<br>
| |
| − | אחר זה בשהיחסים המוסקיים וכבר קדם מכלל דברינו גדר המתיחסי' המספריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Their special property: the sum of their two extremes is equal to double the mean, if the number of the terms is odd; or to the sum of the two means, if the number of terms is even.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_1+a_{2n-1}=2\sdot a_n</math>
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_1+a_{2n}=a_n+a_{n+1}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סגלתם המיוחדת היא שחבור שני קצותיו שוי' לכפל האמצעי אם היו הגבולים נפרדים או לחבור שני האמצעיים אם היו זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Example for an odd number [of terms]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הנפרדים מספרי ב' ד' ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_3=2+6=2\sdot4=2a_2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אשר חבור שני קצותיו שהם ב' ו' שוים לכפל האמצעי שהוא ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Example for an even number [of terms]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל הזוגות מספרי ב' ד' ו' ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_4=2+8=4+6=a_2+a_3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אשר חבור השני קצוות שהם ב' ח' שוי לחבור השני אמצעיים שהם ד' ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Also the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מספר ב' ד' ו' ח' י'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_5=2+10=a_2+a_4=4+8=2a_3=2\sdot6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה חבור שני הקצוות והם י' ב' שוים לחבור הנלוים להם שהם ד' ח' ולכפל האמצעי שהוא ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Also the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_6=a_2+a_5=4+10=a_3+a_4=6+8}}</math> and so on.
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה חבור שני הקצוות שוים לחבור הנלוים להם והם ד' י' ולנלוים לנלוים והם ו' ח' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *A second property: the product of the two extremes one by the other, when it is [subtracted] from the product of the mean by itself, if the number of the terms is odd, the result of subtraction is equal to the product of the excess of the mean over the smaller extreme by the excess of the greater extreme over the mean.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_n^2-\left(a_1\sdot a_{2n-1}\right)=\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{2n-1}-a_n\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד סגולה שנית והיא שהעולה מהכאת שתי הקצוות האחד מהם עם האחר כאשר נערכהו אל העולה מהכאת האמצעי בעצמו אם היו הגבולים המונחים נפרדים יהיה המגרעת שוה לעולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם מותר הקצה הגדול על האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math> for example.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו' עד"מ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2-\left(a_1\sdot a_3\right)=4^2-\left(2\sdot6\right)=16-12=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהעולה מהכאת ב' בו' הם י"ב והעולה מהכאת ד' בעצמו הם י"ו והי"ב הם נגרעי' מהי"ו ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_3-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(6-4\right)=2\sdot2=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהם כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' על מותר הו' על הד' שהם ב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Also the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מספרי ב' ד' ו' ח' י'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3^2-\left(a_1\sdot a_5\right)=6^2-\left(2\sdot10\right)=36-20=16}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה העולה מהכאת הב' בי' הם כ' והעולה מהכאת הו' שהוא האמצעי בעצמו הם ל"ו והכ' נגרעם מהל"ו י"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_5-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(10-6\right)=4\sdot4=16}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהם כמו העולה מהכאת מותר הו' על הב' שהם ד' עם מותר הי' על הו' שהם ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :If the number of the terms is even: the product of the two extremes one by the other, when it is [subtracted] from the product of the two means one [by the other], the result of subtraction is equal to the product of the excess of one of the means over the smaller extreme by the excess of the greater extreme over that same mean.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left(a_1\sdot a_{2n}\right)&\scriptstyle=\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{2n}-a_n\right)\\&\scriptstyle=\left(a_{n+1}-a_1\right)\sdot\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)\\\end{align}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היו הגבולים המונחים זוגות הנה העולה מהכאת שתי הקצוות האחד מהם עם האחר כאשר נערכהו על העולה מהכאת הב' אמצעיים אחד מהם כאשר יהיה המגרעת כמו העולה מהכאת מותר הגבול האמצעי האחד על הגבול הקטן עם מותר הגבול הגדול על האמצעי ההוא בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}</math> for instance.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2\sdot a_3\right)-\left(a_1\sdot a_4\right)=\left(4\sdot6\right)\sdot\left(2\sdot8\right)=24-16=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהעולה מהכאת ב' בח' הם י"ו והעולה מהכאת הד' בו' הם כ"ד והמגרעת הם ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_4-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(8-4\right)=2\sdot4=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' עם מותר הח' על הד' שהם ד' שהעולה מהם ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_4-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(8-6\right)=4\sdot2=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הכאת מותר הו' על הב' שהם ד' עם מותר הח' על הו' שהם ב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12;\;14;\;16}}</math> for example.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4\sdot a_5\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(8\sdot10\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=80-32=48}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהעולה מהכאת הב' עם הי"ו הם ל"ב והעולה מהכאת הב' האמצעיים שהם הח' והי' הם פ' והמגרעת הם מ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_4\right)=\left(8-2\right)\sdot\left(16-8\right)=6\sdot8=48}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שוה לעולה מהכאת מותר הח' על הב' שהם ו' עם מותר הי"ו על הח' שהם ח' שהעולה מהכאת הו' בח' הם מ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::If the two terms that are next to the means on both sides are multiplied:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית להכות שני הגבולים הנלוים לאמצעיים משני צדדין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3\sdot a_6\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(6\sdot12\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=72-32{\color{red}{=40}}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו הו' עם הי"ב שהם ע"ב הנה המגרעת אשר בין הל"ב שהוא העולה מהכאת הקצוות ובין הע"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_3\right)=\left(6-2\right)\sdot\left(16-6\right)=4\sdot10=40}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא כמו הכאת המותר אשר בין הו' לב' שהם ד' עם מותר הי"ו על הו' שהם י' שהעולה מהם מ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::If the two terms that are next to the terms that are next [to the means on both sides] are multiplied:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית להכות שני הגבולים הנלוים הקודמים מהנלוים הראשונים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2\sdot a_7\right)-\left(a_1\sdot a_8\right)=\left(4\sdot14\right)\sdot\left(2\sdot16\right)=56-32=24}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהם הד' והי"ד שהם נ"ו הנה המגרעת אשר בין הל"ב לנ"ו שהם כ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left(a_8-a_2\right)=\left(4-2\right)\sdot\left(16-4\right)=2\sdot12=24}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הוא שוה לעולה מהכאת מותר הד' על הב' שהם ב' עם מותר הי"ו על הד' שהם י"ב שהכאת הב' עם הי"ב הם כ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *A third property: the ratio between two smaller terms is greater than the ratio between the greater terms.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד סגולה שלישית והיא שהיחס אשר בין השני גבולים הקטנים מהם יותר גדול מהיחס אשר בין הגבולים הגדולים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי ב' ד' ו' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:2}}</math> double ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יחס הד' אל הב' הוא יחס הכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6:4}}</math> sesquialter ratio - the double ratio is greater than it.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחס הו' אל הד' הוא כמהו וחציו ויחס הכפל הוא גדול ממנו
| |
| − | |-
| |
| − | |These are the special properties of this species of ratios that are not shared by other ratios.
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הן הסגולות המיוחדות בזה המין מהמתייחסים אשר לא ישתתפו בם זולתם מהמתייחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר יהיו אלה הסגולות ידועים הנה כבר תוכל לדעת הגבול המוסכל מהם בידוע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Meaning, if the number of terms is odd, and you wish to know the last or the first term of them, you will know it by this method:
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שאם היו הגבולים המונחים נפרדים ותרצה לדעת הגבול האחרון או הראשון מהם הנה תדעהו בזה הדרך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the last term is unknown
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שאם היה הגבול האחרון מוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Such as: 6 of <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו הו' מב' ד' ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n-1}=\left(a_n-a_1\right)+a_n=2+4=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מותר האמצעי על הקטן והוא ב' במשלנו ונוסיפנו על האמצעי והעולה הוא ו' והוא הגבול הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the smaller term is unknown
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה המוסכל הגבול הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=a_n-\left(a_{2n-1}-a_n\right)=4-2=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מותר הגדול על האמצעי שהוא ב' ונגרענו מהאמצעי והנשאר הוא ב' והוא הגבול הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Or, if you wish, double the mean, then subtract the smaller from the result, and the remainder is the greater <math>\scriptstyle a_{2n-1}=2a_n-a_1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם תרצה תכפול האמצעי והעולה השלך ממנו הקטן וישאר הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Or [subtract] the greater, and the remainder is the smaller <math>\scriptstyle a_1=2a_n-a_{2n-1}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הגדול וישאר הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *If the number of the terms is even, and you wish to know the last or the first term:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים המונחים זוגות ותרצה לדעת הגבול האחרון או הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}</math> for instance.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו ב' ד' ו' ח' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Take the excess of the smaller mean over the smaller term, add it to the greater mean, and you will find the last term.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_{2n}=a_{n+1}+\left(a_n-a_1\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|קח מותר האמצעי הקטן על הגבול הקטן והוסיפנו על האמצעי הגדול ותמצא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Or take the excess of the last term over the greater mean, subtract it from the smaller mean, and you will find the smaller term.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_1=a_n-\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או קח מותר הגבול האחרון על האמצעי הגדול ותגרענו מהאמצעי הקטן ותמצא הגבול הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Or sum the two means, which are 10 in our example, subtract the smaller term from them and the remainder is the greater term.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_{2n}=\left(a_n+a_{n+1}\right)-a_1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או קבץ שני האמצעיים והם י' במשלנו וגרע מהם הגבול הקטן והנשאר יהיה הגבול הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Or subtract the greater term from them and the remainder is the smaller term.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_1=\left(a_n+a_{n+1}\right)-a_{2n}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או גרע מהם הגבול הגדול והנשאר יהיה הגבול הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |This is the method of finding the first and the last terms.
| |
| − | |style="text-align:right;"|זהו דרך מציאות הגבול הראשון והאחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Finding the mean term
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם מציאות הגבול האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is odd:
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היו הגבולים המונחים נפרדים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Taking half the sum of the extremes, and it is the mean <math>\scriptstyle a_n=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_{2n-1}\right)</math>.
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקח חצי העולה מחבור הקצוות והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים המונחים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Taking the sum of the extremes, then subtracting from it one mean, and the result is the other mean <math>\scriptstyle a_n=\left(a_1+a_{2n}\right)-a_{n+1}</math> <math>\scriptstyle a_{n+1}=\left(a_1+a_{2n}\right)-a_n</math>.
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקח חבור הקצוות ונגרע מהם האמצעי האחד והנשאר יהיה האמצעי האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן כאשר תגרע מהעולה מחבור הקצוות הנלוה לאמצעי האחד ישאר הנלוה לאמצעי האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר תגרע ממנו הנלוה לנלוה על האמצעי האחד ישאר הנלוה לנלוה מהאמצעי האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד עד שיכלו כל האמצעיים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8;\;10;\;12;\;14;\;16}}</math>.
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה מספרי ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_4=\left(2+16\right)-8=18-8=10=a_5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי חבור ב' י"ו הם י"ח תגרע מהם הח' וישארו הי'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_5=18-10=8=a_4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הי' וישארו הח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_3=18-6=12=a_6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הו' וישארו הי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_6=18-12=6=a_3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הי"ב וישארו הו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_2=18-4=14=a_7}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הד' וישארו הי"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_8\right)-a_7=18-14=4=a_2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הי"ד וישארו הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Another way:
| |
| − | :*If the number of the given terms is odd, and you wish to know one of the extremes.
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד דרך אחרת והוא שאם היו נפרדים הגבולים המונחים ורצית לדעת אחד מהקצוות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math> for instance.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n-1}=\frac{a_n^2-\left(a_n-a_1\right)^2}{a_1}=\frac{16-4}{2}=\frac{12}{2}=6}}</math>
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{1}=\frac{a_n^2-\left(a_{2n-1}-a_n\right)^2}{a_{2n-1}}=\frac{12}{6}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכה האמצעי עם עצמו ויעלה י"ו<br>
| |
| − | גרע מהם העולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם עצמו או מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי איזה מהם שיהיה שם שהם ד' וישארו י"ב<br>
| |
| − | חלקם על הב' ויצאו הו'<br>
| |
| − | או על הו' ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is an even number.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Such as the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}</math> for example.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו' ח' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{2n}=\frac{\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left[\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_1}=\frac{24-8}{2}=\frac{16}{2}=8}}</math>
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(a_n\sdot a_{n+1}\right)-\left[\left(a_n-a_1\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_{2n}}=\frac{16}{8}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכה השני אמצעיים האחד עם האחר ויעלו כ"ד<br>
| |
| − | גרע מהם ח' שהוא העולה מהכאת מותר האמצעי הקטן על הקצה הקטן עם מותר האמצעי הגדול על הקצה הקטן או מהכאת מותר שיהיה שם שהם ח' וישארו י"ו<br>
| |
| − | חלקם על הב' וישארו ח'<br>
| |
| − | או הח' ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *If you wish to know the mean
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*If the number of the terms is an odd number:
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היו הגבולים נפרדים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Such as <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6}}</math>.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_n=\sqrt{\left(a_1\sdot a_{2n-1}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_{2n-1}-a_1\right)\right]^2}=\sqrt{12+4}=\sqrt{16}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכה ב' הקצוות זה עם זה ויעלו י"ב<br>
| |
| − | הוסף עליהם ד' שהוא העולה מהכאת חצי המותר הקצה הגדול על הקצה הקטן עם עצמו ויעלו י"ו<br>
| |
| − | קח שרשם והוא ד' וזהו הגבול האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*If the number of the terms is an even number.
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::Such as <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;6;\;8}}</math>.
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ו' ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{n+1}=\frac{\left(a_1\sdot a_{2n}\right)+\left[\left(a_{2n}-a_n\right)\sdot\left(a_n-a_1\right)\right]}{a_n}=\frac{16+8}{4}=\frac{24}{4}=6}}</math>
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_n=\frac{\left(a_1\sdot a_{2n}\right)+\left[\left(a_{2n}-a_{n+1}\right)\sdot\left(a_{n+1}-a_1\right)\right]}{a_{n+1}}=\frac{24}{6}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכה ב' הקצוות זה עם זה ויעלו י"ו<br>
| |
| − | הוסף עליהם ח' שהוא העולה מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי הקטן עם מותר האמצעי הקטן על הקצה הקטן<br>
| |
| − | או מהכאת מותר הקצה הגדול על האמצעי הגדול עם מותר האמצעי הגדול על הקצה הקטן<br>
| |
| − | איזה מהם שיהיה שם ויעלו כ"ד<br>
| |
| − | חלקם על הד' ויצאו הו'<br>
| |
| − | או על הו' ויצאו הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסבה במציאות אלה הדרכים הם ידועים מסוגלתם וסבת הסגולות לא נוכל להאריך בה כי נצא מכלל כוונתנו בזה הספר ולזה הנחנוה
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Part Two: Geometric Sequences ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|החלק השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כבר הקדמנו הסבה אשר חייבתנו להמשיך הדבור במתייחסים המדותיים אחר הדבור במתייחסים המספריים<br>
| |
| − | ובארנו גדר המתייחסים המדותיים<br>
| |
| − | ומעתה נתחיל בסגולות המיוחדות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ===== Chapter One =====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|<big>הפרק הראשון</big>
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע שזה המין מהמתייחסי' כבר יתחלפו על חמשה סוגים והם הכפל והמוסיף חלק והמוסיף חלקים והכפל המוסיף חלק והכפל המוסיף חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד יחלק כל חלק אחד מהם אל מינים לא נצטרך לטרוד בהכאתו כי ישתנה בזה צורת הספר המכוון בתחלת המחשבה ולא יהיה תחלת המחשבה הוא סוף המעשה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה לא נשתדל גם כן בהודעת אופן צמיחת מיני הייחסים האלו ואופני הנחתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רק שנשתדל בהודעת סגולתם לבד כי בהם נגיע אל ידיעת המוסכל בידוע והוא המכוון בעצם וראשונה בזה המאמר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהסגולה המיוחדת לזה המין מהמתייחסים היא שיחס מותרי הגבולים המונחים קצת על קצת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example:
| |
| − | ::*the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שמספרי ב' ד' ח' י"ו על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-2\right):\left(8-4\right)=\left(8-4\right):\left(16-8\right)}}</math> sesquialter ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יחס מותר הד' על הב' אל מותר הח' על הד' ומותר הח' על הד' אל מותר הי"ו על הח' הוא יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:4=4:8=8:16}}</math> sesquialter ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן גם כן יחס הב' אל הד' והד' אל הח' והח' אל הי"ו הוא יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*the numbers <math>\scriptstyle{\color{blue}{3;\;9;\;27}}</math> are related by the sesquitertian ratio and their excesses are also related by the sesquitertian ratio.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן מספרי ג' ט' כ"ז שהם מתייחסים ביחס השליש הנה מותריהם גם כן מתייחסים ביחס השליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::So on for all the types of ratios.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל מיני הייחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *The sign for the numbers of the excesses is the product of the terms by the number, from which the name of the ratio is derived, minus one.
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסימן למספרי המותרים הוא העולה מהכאת השעורים עם המספר הפחות אחד מהמספר אשר יגזר ממנו שם היחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example:
| |
| − | ::*in the double ratio: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה ביחס הכפל שהם מספרי ב' ד' ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::the double ratio is derived from two
| |
| − | |style="text-align:right;"|להיות יחס הכפל הוא נגזר מהשנים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::hence <math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math> → <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}</math> are multiplied by 1
| |
| − | |style="text-align:right;"|נשליך מהשנים אחד וישאר אחד ונכה הב' ד' ח' עם האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::the excesses are: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו לנו המותרים ב' ד' ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*in the triple ratio:
| |
| − | |style="text-align:right;"|וביחס השלשה כפלים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}</math> → the terms <math>\scriptstyle{\color{blue}{3;\;9;\;27}}</math> are multiplied by 2
| |
| − | |style="text-align:right;"|נשליך מהשלשה אחד וישארו שנים נכה השנים עם הגבולים שהם ג' ט' כ"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::the excesses are: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6;\;18;\;54}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו לנו המותרים ו' י"ח נ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*in the quadruple ratio: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וביחס הארבעה כפלים כמו מספרי ב' ח' ל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}</math> → the terms are multiplied by 3
| |
| − | |style="text-align:right;"|נשליך מהארבעה אחד ונשארו שלשה ונכם עם הגבולים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::the excesses are: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6;\;24;\;96}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו לנו המותרים מספרי ו' כ"ד צ"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::And so on.
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד על זה הדרך
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *A second property: the product of the mean by itself, if the number of the terms is odd, or the product of the two means one by the other, if the number of the terms is even, is equal to the product of the two extremes one by the other.
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_n^2=a_1\sdot a_{2n-1}</math>
| |
| − | :<math>\scriptstyle a_n\sdot a_{n+1}=a_1\sdot a_{2n}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד סגולה שנית והיא שהעולה מהכאת האמצעי האחד בעצמו אם היו הגבולים נפרדים או העולה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחר אם היו הגבולי' זוגות שוה לעולה מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Example for an odd number [of terms]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הנפרדים כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_n^2=8^2=64=2\sdot32=a_1\sdot a_{2n-1}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה העולה מהכאת הח' בעצמו הם ס"ד והעולה מהכאת הב' בל"ב הוא ס"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::also for the the product of the successive
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן העולה מהכאת הנלוים לאמצעי ג"כ הם ס"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*Example for an even number [of terms]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32;\;64}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל הזוגות כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_n\sdot a_{n+1}=8\sdot16=128=2\sdot64=a_1\sdot a_{2n}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה העולה מהכאת הח' בי"ו הם קכ"ח והעולה מהכאת הב' בס"ד הם קכ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::also for the the product of the successive: <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot32=128}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן הכאת הנלוים לח' י"ו האמצעיים שהם ד' ל"ב הם גם כן קכ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *A third property:
| |
| − | :*If the number of the terms is odd:
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד סגולה שלישית והיא שאם היו הגבולים המונחים נפרדים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::The excess of the sum of the two extremes over double the mean is as the product of the excess of the mean over the smaller extreme by the number, from which the ratio of the mean to the smaller is derived, minus one.
| |
| − | |style="text-align:right;"|יהיה תוספת העולה מחבור שני הקצוות על העולה מכפל האמצעי כמו העולה מהכאת מותר האמצעי על הקצה הקטן עם המספר אשר יגזר ממנו יחס האמצעי על הקטן פחות אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו גבולי' המונחים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::The excess of the sum of the two extremes over the sum of the two means is as the product of the excess of the greater mean over the smaller extreme by the number, from which the ratio of the smaller mean to the smaller extreme is derived, minus one.
| |
| − | |style="text-align:right;"|יהיה תוספת העולה מחבור שני הקצוות על העולה מחבור שני האמצעיים כמו העולה מהכאת המותר אשר לאמצעי הגדול על הגבול הקטן עם המספר אשר יגזר ממנו היחס אשר לאמצעי הקטן על הקצה הקטן פחות אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example:
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32;\;64}}</math> double ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד בכפל השניי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;6;\;18;\;54;\;162;\;486}}</math> triple ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומספרי ב' ו' י"ח נ"ד קס"ב תפ"ו בכפל השלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32;\;128;\;512;\;2048}}</math> quadruple ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומספרי ב' ח' ל"ב קכ"ח תקי"ב במ"ח בכפל הרביעיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the double ratio:
| |
| − | :::If the number of the terms is odd:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+8\right)+\left(2\sdot4\right)=10-8=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה בשניי אם היו הגבולים נפרדים הנה חבור שני הקצוות ב' ח' הם י' וכפל ד' הוא ח' והי' עודפים על הח' ב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(4-2\right)\sdot\left[\left(4:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהוא כמו העולה מהכאת מותר הד' על הב' עם א' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הד' אל הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the triple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+18\right)+\left(2\sdot6\right)=20-12=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשלישיי חבור ב' י"ח הם כ' וכפל ו' הוא י"ב והכ' עודפים על הי"ב ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(6-2\right)\sdot\left[\left(6:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהוא כמו העולה מהכאת מותר הו' על הב' עם השנים שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הו' אל הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the quadruple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_3\right)-2a_2=\left(2+32\right)+\left(2\sdot8\right)=34-16=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וברביעיי חבור ב' ל"ב הם ל"ד וכפל ח' הוא י"ו והל"ד עודפים על הי"ו י"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_2-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהם כמו העולה מהכאת מותר הח' על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is odd, and more than three:
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היו הנפרדים יותר משלשה שעורים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the double ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+32\right)+\left(2\sdot8\right)=34-16=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה בשניי חבור ב' ל"ב הם ל"ד וכפל האמצעי שהוא הח' הם י"ו והל"ד עודפים על הי"ו י"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו הכאת מותר הח' על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the triple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+162\right)+\left(2\sdot18\right)=164-36=128}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשלישיי חבור ב' קס"ב הם קס"ד וכפל י"ח הם ל"ו והקס"ד עודפים על הל"ו קכ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(18-2\right)\sdot\left[\left(18:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הי"ח על הב' עם הח' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הי"ח על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the quadruple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_5\right)-2a_3=\left(2+512\right)+\left(2\sdot32\right)=514-64=450}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וברביעיי חבור ב' תקי"ב הם תקי"ד וכפל ל"ב הם ארבעה וששים והתקי"ד עודפים על הארבעה וששים ת"נ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(32-2\right)\sdot\left[\left(32:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הל"ב על הב' עם הט"ו שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הל"ב על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו השעורים המונחים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the double ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+16\right)+\left(4+8\right)=18-12=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה בשניי חבור הב' י"ו הם י"ח וחבור הד' ח' הם י"ב והי"ח עודפים על הי"ב ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(8-2\right)\sdot\left[\left(4:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הח' על הב' עם אחד שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו הם יחס הד' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the triple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+54\right)+\left(6+18\right)=56-24=32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשלישיי חבור ב' נ"ד הם נ"ו וחבור ו' י"ח הם כ"ד והנ"ו עודפים על הכ"ד ל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(18-2\right)\sdot\left[\left(6:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הי"ח על הב' עם הב' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הו' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the quadruple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_4\right)-\left(a_2+a_3\right)=\left(2+128\right)+\left(8+32\right)=130-40=90}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וברביעיי חבור ב' קכ"ח הם ק"ל וחבור ח' ל"ב הם מ' והק"ל עודפים על המ' צ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_3-a_1\right)\sdot\left[\left(a_2:a_1\right)-1\right]=\left(32-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הל"ב על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even, and more than four:
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היו מזוגות יותר מארבעה שעורים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the double ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_6\right)-\left(a_3+a_4\right)=\left(2+64\right)+\left(8+16\right)=66-24=42}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה בשניי חבור ב' ס"ד הם ס"ו וחבור ח' י"ו הם כ"ד והס"ו עודפים על הכ"ד מ"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(16-2\right)\sdot\left[\left(8:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהם כמו העולה מהכאת מותר הי"ו על הב' עם הג' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הח' על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*In the triple ratio:
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1+a_6\right)-\left(a_3+a_4\right)=\left(2+486\right)+\left(18+54\right)=488-72=416}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובשלישיי חבור ב' תפ"ו הם תפ"ח וחבור י"ח נ"ד הם ע"ב והתפ"ח עודפי' על הע"ב תי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::which is the same as: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_4-a_1\right)\sdot\left[\left(a_3:a_1\right)-1\right]=\left(54-2\right)\sdot\left[\left(18:2\right)-1\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והם כמו העולה מהכאת מותר הנ"ד על הב' עם הח' שהוא המספר הפחות אחד מהמספר הנגזר ממנו יחס הי"ח על הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הן הסגולו' המיוחדו' אשר בזה המין אשר לא ישתתפו בם זולתם מהמתייחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובידיעת אלה הסגולות הנה כבר תוכל לדעת איזה מוסכל היה מאלה הגבולים המתייחסי' מהגבולים הידועים וזהו אשר הביאנו בזכירת אלה הסגולו' מצורף עם התועלת המגיע מידיעתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה אתחיל בהודעת הדרכים אשר בהם יודע הגבול המוסכל מהידוע אם האמצעי ואם הקצוות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הדרך האחד הוא שנכה האמצעי על עצמו אם היו הגבולים נפרדים או שני האמצעיים זה עם זה אם היו הגבולים זוגות והעולה נחלקהו על הקצה הידוע ויצא הקצה האחר איזה היה המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::For example:
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;4;\;8;\;16;\;32}}</math> double ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספרי ב' ד' ח' י"ו ל"ב בכפל השניי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;6;\;18;\;54;\;162}}</math> triple ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|או מספרי ב' ו' י"ח נ"ד קס"ב בכפל השלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{2;\;8;\;32;\;128;\;512}}</math> quadruple ratio
| |
| − | |style="text-align:right;"|או מספרי ב' ח' ל"ב קכ"ח תקי"ב בכפל הרביעיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{4^2}{2}=\frac{16}{2}=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה העולה מהכאת הד' עם עצמו הם י"ו נחלקם על הב' ויצא הח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{16}{8}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על הח' ויצא הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{6^2}{2}=\frac{36}{2}=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן העולה מהכאת הו' עם עצמו הם ל"ו נחלקם על הב' ויצאו הי"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{36}{18}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ועל הי"ח ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_2^2}{a_1}=\frac{8^2}{2}=\frac{64}{2}=32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן העולה מהכאת הח' בעצמו הם ס"ד נחלקם על הב' ויצאו הל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2^2}{a_3}=\frac{64}{32}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על על הל"ב ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_3^2}{a_5}=\frac{8^2}{32}=\frac{64}{32}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן הכאת הח' בעצמו הם ס"ד נחלקם על הל"ב ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{a_3^2}{a_1}=\frac{64}{2}=32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על הב' ויצאו הל"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{a_3^2}{a_1}=\frac{18^2}{2}=\frac{324}{2}=162}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן הכאת הי"ח עם עצמו הם שכ"ד נחלקם על הב' ויצאו הקס"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_3^2}{a_5}=\frac{324}{162}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על הקס"ב ויצאו הב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל מיני היחסים דרך אחת להם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הד' בח' והם ל"ו נחלקם על הב' ויצאו הו' או על הו' ויצאו הב' וכן כלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם האמצעי נכה שני הקצוות זה עם זה והעולה נקח שרשו והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים המונחים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נחלק העולה מהכאת שני הקצוות על האמצעי האחד ויצא האמצעי האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{2\sdot8}=\sqrt{16}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה נכה הב' בח' והם י"ו נקח שרשם והוא ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{2\sdot32}=\sqrt{64}=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נכה הב' בל"ב והם ס"ד נקח שרשם והם ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{2\sdot162}=\sqrt{324}=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נכה הב' בקס"ב ויעלו שכ"ד נקח שרשם והם י"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{2\sdot16}{8}=\frac{32}{8}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הב' בי"ו ויעלו ל"ב נחלקם על ח' ויצא ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{32}{4}=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על הד' ויצאו ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{2\sdot54}{6}=\frac{108}{6}=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נכה הב' בנ"ד ויעלו ק"ח נחלקם על ו' ויעלו י"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{108}{18}=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או על י"ח ויעלו ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל היחסים דרך אחד לכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד מצאתי דרך אחרת והוא מציאות הקצוות הנה אם היו הגבולים נפרדים נכה היחס אשר לאמצעי על הראשון עם האמצעי ויצא השלישי<br>
| |
| − | או נכה היחס אשר לאמצעי על האחרון עם האמצעי ויצא הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(4:2\right)\sdot4=2\sdot4=8}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה נכה הב' שהוא יחס הד' על הב' עם הד' ויצא ח' שהוא הגבול השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(4:8\right)\sdot4=\frac{1}{2}\sdot4=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה החצי שהוא יחס הד' על הח' עם הד' ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(8:2\right)\sdot8=4\sdot8=32}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הד' שהוא יחס הח' אל הב' עם הח' ויצא ל"ב שהוא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(8:32\right)\sdot8=\frac{1}{4}\sdot8=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הרביעית שהוא הח' אל הל"ב עם הח' ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(18:2\right)\sdot18=9\sdot18=162}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הט' שהוא יחס הי"ח אל הב' עם הי"ח ויצא קס"ב שהוא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(18:162\right)\sdot18=\frac{1}{9}\sdot18=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה התשיעית שהוא יחס הי"ח אל הקס"ב עם הי"ח ויצא ב' שהוא הגבול הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(a_2:a_1\right)\sdot a_2=\left(32:2\right)\sdot32=16\sdot32=512}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה הי"ו שהוא יחס הל"ב על הב' עם הל"ב ויעלו תקי"ב שהוא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_3\right)\sdot a_2=\left(32:512\right)\sdot512=\frac{1}{16}\sdot32=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה החלק מי"ו שהוא יחס הל"ב על התקי"ב עם הל"ב ויעלו ב'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בכל היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקח היחס אשר לאמצעי הקטן אל הראשון ונכפלהו במספר כפלי היחס והעולה נכהו עם אותו האמצעי בעצמו ויצא הקצה האחרון<br>
| |
| − | או נקח היחס אשר לאמצעי הקטן אל האחרו' ונכפלהו עם מספר כפלי היחס והעולה נכהו עם אותו האמצעי בעצמו ויצא הקצה הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(a_2:a_1\right)\sdot2\sdot a_2=\left(4:2\right)\sdot2\sdot4=2\sdot2\sdot4=4\sdot4=16}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה נקח יחס הד' אל הב' שהוא כפל ונכהו עם מספר כפלי היחס הזה שהוא יחס הכפל ויעלו ד' כפלים נכה הד' כפלים עם הד' ויעלו י"ו שהוא הקצה האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_4\right)\sdot2\sdot a_2=\left(4:16\right)\sdot2\sdot4=\frac{1}{4}\sdot2\sdot4=\frac{1}{2}\sdot4=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נקח יחס הד' אל הי"ו שהוא רביעית ונכהו עם מספר כפלי היחס הזה ויעלה חצי ונכהו עם הד' ויעלה ב' שהוא הקצה הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(a_2:a_1\right)\sdot3\sdot a_2=\left(6:2\right)\sdot3\sdot6=3\sdot3\sdot6=9\sdot6=54}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נקח יחס הו' אל הב' שהוא ג' כפליו ונכהו עם ג' כמספר כפלי זה היחס ויעלו ט' כפלים נכם עם הו' ויעלו נ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(a_2:a_4\right)\sdot2\sdot a_2=\left(6:54\right)\sdot3\sdot6=\frac{1}{9}\sdot3\sdot6=\frac{3}{9}\sdot6=\frac{1}{3}\sdot6=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נקח יחס הו' אל הנ"ד שהוא תשיעית ונכהו עם ג' כמספר כפלי זה היחס ויעלו ג' תשיעיות שהוא שליש נכהו עם הו' ויעלו ב' שהוא הקצה הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם למציאות האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היו הגבולי' זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נשתמש עם הדרך הקודם עצמו רוצה לומר שאם היה המוסכל האמצעי ראשון נקח היחס אשר לאמצעי על האחרון ונכהו על האמצעי ויצא האחר<br>
| |
| − | ואם היה האמצעי מוסכל הוא הגדול נקח היחס אשר לאמצעי על הקטן ונכהו עם האמצעי ויצא האמצעי הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל מציאות האמצעי הגדול נקח יחס הד' אל הב' שהוא ב' ונכהו עם ד' ויעלה ח' שהוא האמצעי הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל מציאות האמצעי הקטן נקח יחס הח' אל הי"ו שהוא חצי ונכהו עם ח' ויצא ד' שהוא האמצעי הקטן וכן בכל היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is odd:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים נפרדים והיה האמצעי מוסכל הנה אם היו הגבולים יותר מג' הנה תדענו עם הדרך הקודם והוא שנקח יחס הגבולים המונחים ונכהו עם השני ויצא השלישי וכן נכהו עם השלישי ויצא הרביעי וכן תמיד על זה הסדר<br>
| |
| − | ואם היו שלשה הנה נוכל למצוא האמצעי בשני דרכים אם בשנכה יחס הגבול האמצעי אל הא' עם הקצה הראשון ויצא האמצעי<br>
| |
| − | ואם בשנוסיף על היחס אחד ונחלק עליו מותר הקצה הגדול על הקטן והיוצא בחלוק נוסיפהו על הקצה הקטן ויצא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הדרך הראשון הוא שנקח יחס גבולי ב' ד' ח' על דרך משל שהוא יחס הכפל שהוא שני ונכהו עם הקצה הקטן ויצא ד' שהוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או כמו גבולי ו' י"ח נ"ד על דרך משל שהוא יחס השלשה כפלים נכה הג' עם הקצה הקטן ויצא י"ח שהוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל הדרך השני הוא שגבולי ב' ד' ח' על דרך משל שהוא יחס הכפל המורה על ב' נוסיף עליו אחד ויהיו שלשה נחלק על השלשה מותר השמנה על הב' שהוא ו' ויצא בחלוק ב' נוסיפהו על הב' ויצא ד' שהוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובגבול ו' י"ח נ"ד שהוא יחס משולש בכפל נקח שלשה ונוסיף עליו אחד ויהיו ארבעה ונחלק עליו מותר הארבעה וחמשים על הששה שהם שמנה וארבעים ויצא שנים עשר נוסיפם על הששה ויעלו שמנה עשר והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומציאות יחס האמצעי אל הראשון ואם אין שם אמצעי כי הוא המוסכל הנה ימצא כשנקח המספר אשר יגזר ממנו שם יחס הקצה הקטן אל הקצה הגדול ונקח שרשו והיוצא הוא המספר אשר יגזר ממנו יחס האמצעי אל הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה במספרי ב' ו' י"ח נקח המספר אשר יגזר ממנו שם יחס הב' אל הי"ח והוא הט' ונקח שרשו והוא שלשה והיחס הנגזר מהשלשה הוא יחס השליש ובזה ידענו שיחס השני אל האמצעי הוא יחס השליש ויחס האמצעי אל השני הוא יחס המשולש בכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא שתשים הגבול היוצא לך עם הדרכים האלה לידוע ותחבר עמו אחד מהגבולים המונחים ותשתמש עם הדרכים הקודמים ואם יצא לך הגבול האחד מהגבולים המונחים דע שצדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה גבול י"ח מגבולי ו' י"ח נ"ד המונחים מוסכל והכית הו' עם הנ"ד ועלה שכ"ד ולקחת שרשו ומצאת הי"ח הנה תשים הי"ח והנ"ד מונחים ותדרוש הקצה הקטן שהוא הו' ותשתמש עם הדרך הקודם רוצה לומר שתכה הי"ח עם עצמו ויעלו שכ"ד ותחלקם על הנ"ד ואם יצאו ו' דע שצדקת במציאו' גבול האמצעי שהוא י"ח ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והסבה לכל אלה הדרכים אמנם הם הסגולות הנזכרות רוצה לומר סבת הדרך הראשון היא הסגולה השנית<br>
| |
| − | וזה כי אחר שהתבאר שסגולת זה המין הוא שהעולה מהכאת האמצעי בעצמו הוא שוה לעולה מהכאת הקצוות<br>
| |
| − | אם כן מן המבואר מזה בהכרח שכאשר נדרוש את האמצעי שנכה הקצוות והעולה מהכאתם נקח שרשו והוא האמצעי<br>
| |
| − | אחר שהתבאר במה שקדם שמהכאת השרש בעצמו יולד המספר אשר הוא שרשו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יתבאר לך מזה הדרך בעצמו שאם היה הקצה דרוש שנכה האמצעי עם עצמו ונקח העולה ונחלקהו על הקצה הא' והיוצא לך בחלוק הוא הקצה השני<br>
| |
| − | אחר שהתבאר לך במה שקדם שמהכאת החלק עם החלק יצא המחולק<br>
| |
| − | ואם כן יתחייב מזה שהכאת המחלק שהוא הקצה הראשון עם היוצא לך בחלוק שהוא החלק ישוה למחולק שהוא הכאת האמצעי עם עצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יתבאר לך שאם היו האמצעיים שנים שנכה הקצוות ונקח העולה ונחלקהו על האמצעי הא' ויצא האמצעי האחר<br>
| |
| − | כי אחר שכבר התבאר שהעולה מהכאת הקצוות זה עם זה שוה לעולה מהכאת האמצעיי' זה עם זה הנה א"כ העולה מהכאת הקצוות זה עם זה כאשר נחלקהו על האמצעי האחד יצא האמצעי האחר<br>
| |
| − | כי כבר קדם שהעולה מהכאת החלק עם המחלק הוא המחולק הנה כבר התבאר לך סבת הדרך הקודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרך השנית הנה היא מבוארת מגדר המתייחסים המדותיים<br>
| |
| − | וזה כי אחר שגדרם הוא התדמות הייחסים ר"ל שיחס הגבול האמצעי אל הראשון כיחס הגבול האחרון אל האמצעי הנה אם כן יתחייב מזה שאם נדרוש הקצה הגדול שנקח יחס האמצעי על הראשון ונכהו עם האמצעי ויולד הגבול הגדול בהכרח<br>
| |
| − | וזה שהתדמות הייחסים הוא התדמות הכפלים<br>
| |
| − | ואם כן מספר כפלי האמצעי על הראשון הוא כמספר כפלי האחרון על האמצעי<br>
| |
| − | ולכן כשנקח יחס האמצעי על הראשון שהוא מורה על מספר דמיוני הראשון באמצעי ונכהו עם האמצעי הנה יהיה בהכרח מספר דמיוני האמצעי כאותו העולה ולכן יהיה הוא הגבול האחרון בהכרח<br>
| |
| − | וכן להיות שמספר מה שבדמיוני האמצעי באחרון כמספר מה שבדמיוני הראשון באמצעי יחוייב שכאשר נקח חלק האמצעי מהאחרו' ונכהו עם האמצעי שיהיה ההווה שוה למספר האחרון בהכרח<br>
| |
| − | ולכן יתחייב מזה הצד בעינו שכאשר נדרוש האמצעי שנדע יחס הגבולים המונחים עד שנדע מספר הכפלים אשר לאמצעי מדמיוני הראשון ואז נכם עם הראשון וימצא האמצעי בהכרח לפי מה שקדם וזה לפי הדרך האחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם לפי הדרך האחרת אשר קדם בשנחלק המותר לג' אם היה היחס שניי או לד' אם היה שלישיי וכן תמיד בתוספת אחד והיוצא נוסיפהו על הגבול הראשון ויצא האמצעי זה מבואר גם כן<br>
| |
| − | והוא שהמספרי' המונחים כאשר נסיר מהם המותר שבהם על המספר הראשון הנה ישארו הכל שוים בהכרח למספר הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נרצה שיהיו המספרים מתייחסי' ביחס הכפל הנה אם כן יתחייב מזה שנוסיף על האמצעי כמו הגבול הראשון<br>
| |
| − | וכן במספר האחרון כי כמו שהאמצעי הוא כפל הראשון כן האחרון הוא כפל האמצעי<br>
| |
| − | ולהיות שהאמצעי הנחנוהו שוה לראשון הנה כמו שנתחייב להוסיף על האמצעי כמו המספר הראשון עד יהיה כפלו כן נתחייב להוסיף על האחרו' כמו האמצעי המופשט מהתוספת אשר הוא כמו הראשון עד יהיה האחרון כפל האמצעי קודם ההוספה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן לפי זה יתחייב שיהיה המותר הנוסף על האחרון כמו המותר הנוסף על האמצעי<br>
| |
| − | אלא שבאמצעי לא נצטרך להוסיף עליו יותר מהתוספת הזה אחר שכבר שב עם זה התוספת כפל המספר הראשון<br>
| |
| − | אולם האחרון יתחייב שנוסיף עליו עוד תוספת נוסף על התוספת אשר בו אשר הוא שוה לתוספת האמצעי והוא כפל המותר אשר על האמצעי אחר שהאחרון כפל האמצעי בכללו רוצה לומר כפל האמצעי מופשט מהתוספת וכפל תוספתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה יתחייב מזה שהתוספת אשר על האחרון ראוי שיהיה שלשה כפלי התוספת אשר על האמצעי והם ב' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא כפלו והמותר בעצמו אשר על האמצעי אחר שהוא כפל האמצעי בכללו ר"ל כפל עצמו וכפל מותרו<br>
| |
| − | כי מצד שהוא כפל מותרו ראוי שנוסיף עליו כמו כפל המותר אשר על האמצעי<br>
| |
| − | ומצד שהוא כפל עצמו ראוי שנוסיף עליו כמו עצם האמצעי מופשט מהתוספת אשר הוא שוה לראשון והוא המותר אשר על האמצעי בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויתחייב מזה שיהיה התוספת אשר על האחרון אם בייחס הכפל בכפל המותר אשר על האמצעי וכמו המותר אשר על האמצעי והם ג' כפליו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם בייחס השלישיי יתחייב שיהיה התוספת אשר על האחרון ג' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא ג' כפלי האמצעי בכללו וכמו המותר אשר על האמצעי והם ד' כפליו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה רביעיי יהיה התוספת אשר על המספר האחרון ד' כפלי המותר אשר על האמצעי אחר שהוא ד' כפלי האמצעי בכללו וכמו המותר אשר על האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויתחייב מזה שיהיה המותר אשר על האמצעי חלק אחד מג' חלקי המותר אשר על האחרון שהוא המותר בכללו וזה בכפל השניי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או חלק אחד מד' כפלי המותר אשר על האחרון שהוא המותר בכללו וזה בכפל השלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד בתוספת אחד על המספר אשר יגזר ממנו היחס ההוא איזה יחס היה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזאת היתה הסבה אשר הביאתנו לחלק המותר אל חלקים שוים למספר היחס בתוספת אחד ונוסיף החלק הא' מהם על המספר הראשון שהוא שוה לאמצעי קודם התוספת ונמצא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בא המופת על זה בפתיחת מאמר חמישי לאקלידס והוא כי כבר התבאר שם שכל שלשה שעורים מתייחסים הנה יחס הראשון לשלישי הוא כיחס הראשון אל השני שנוי בכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יתחייב מזה שאם היה כפל שנייי שיהיה יחס האחרון אל הראשון ד' כפלים<br>
| |
| − | כי חצי החצי הוא רביע והשני אל הראשון שני כפלים<br>
| |
| − | אחר זה נשליך מהשני ומהשלישי כמו הראשון כי כבר הנחנום שוים וראוי שנשליך מהם השווי עד שישארו המותרים<br>
| |
| − | ואם כן ישאר מותר האמצעי כמו המספר הראשון ומותר האחרון כמו שלשה דמיוני הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה כפל שלישיי יהיה יחס האחרון אל הראשון ט' כפלי הראשון<br>
| |
| − | כי שליש השליש הוא תשיעית והשני אל הראשון הוא ג' כפליו<br>
| |
| − | נשליך מהאמצעי ומהאחרון כמו הראשון וישארו המותרים<br>
| |
| − | ויהיה מותר האמצעי כפל הראשון ומותר האחרון שמנה כפליו ויהיה מותר האמצעי רביע המותר אשר על האחרון וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם סבת מציאות הסגולות אשר זכרנו הנה קצתם מבוארות ממה שקדם ובקצתם נצטרך לחקירה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם הסגולה הראשונ' להיו' שיחס האמצעי על הראשון כיחס האחרון על האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויתחייב מזה שיהיו כמספר דמיוני הראשון באמצעי כן מספר דמיוני האמצעי באחרון וזה בכל מיני היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ר"ל שאם יהיו מספר דמיוני הראשון באמצעי ג' יהיו גם מספר דמיוני האמצעי באחרון ג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו ד' יהיו גם דמיוני האמצעי באחרון ד' וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר יחוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן כאשר יחוסר ממספר דמיוני הראשון באמצעי כמו הראשון פעם אחת כדי שישאר המותר ויחוסר ג"כ ממספר דמיוני האמצעי באחרון כמו האמצעי פעם אחת כדי שישאר המותר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יתחייב בהכרח שיהיו מספרי הדמיונים הנשארים שוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאם היו על דרך משל מספר דמיוני הראשון באמצעי ג' וכן מספר דמיוני האמצעי באחרון ג' הנה כאשר יחוסר אחד מהג' דמיוני הראשון ומהג' דמיוני האמצעי השוים יהיו הנשארים שוים<br>
| |
| − | ר"ל ישארו מספר דמיוני הראשון באמצעי ב' ומספר דמיוני האמצעי באחרון גם כן ב' והם המותרי' כאשר ביארנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד על הסדר הזה רוצה לומר שיהיה מותר האמצעי על הראשון ומותר האחרון על האמצעי מחוברים מכפלים שוים לראשון ולאמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יתחייב שיהיה יחס המותר אל המותר כיחס כפלי הראשון אל כפלי האמצעי השוי הכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס שכפלי השעורים השוים שוים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שאם היו ב' מספרים או שני קוים שוים ונכפלו נכפלים שוים יחוייב שיהיו העולים מהכפלים שומרים הקודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שאם היו הקודמים שוים יהיו העולי' מכפליהם גם כן שוים<br>
| |
| − | ואם היו מתחלפים ומתייחסים ביחס מה הנה העולים מכפליהם גם כן יהיו מתחלפי' ושומרים היחס הקודם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר אם היו הקודמים כיחס הכפל יהיו העולים מכפליהם גם כן כיחס הכפל<br>
| |
| − | ואם היו כיחס הכפל השלישיי או כיחס הכפל וחצי או איזה מהיחסים החמשה הנזכרים במה שקדם יחוייב שיהיו גם העולים מכפליהם כאשר היו הכפלים שוים כאותו היחס עצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כאשר היה זה כן והיה יחס המותר אל המותר כמו כפלי הראשון אל כפלי האמצעי השוי הפעמים אם כן יתחייב שיהיה יחס המותר אל המותר אשר הם העולים מכפלי הגבול הראשון והאמצעי השוי הפעמים כיחס הראשון אל האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שאם היו כיחס הכפל גם המותר אל המותר יהיה יחס הכפל<br>
| |
| − | ואם היו כיחס הכפל וחצי יהיה גם המותר אל המותר כיחס הכפל וחצי וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם כן יתחייב מזה שיהיו למותרי הגבולים קצתם על קצת היחס כמו מה שבגבולים עצמם מהיחס וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הסגולה השנית היא מבוארת במאמר הז' לאקלידס באר היטב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הסגולה השלישית הנה היא מבוארת ממה שקדם<br>
| |
| − | והוא שכבר ביארנו שהתוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון הוא ג' כפלי התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון ככפל השניי<br>
| |
| − | וכן התוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת הוא ד' כפלי התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת בכפל השלישיי,br>
| |
| − | ובכלל התוספת הנוסף על האחרון מופשט מהתוספת הוא כפלי' לתוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת בכמות המספר אשר יגזר ממנו היחס בתוספת אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נכפול האמצעי הוא כאלו כפלנו הגבול הראשון והתוספת אשר על האמצעי המופשט וחברנום<br>
| |
| − | אחר שהאמצעי מחובר מהגבול הראשון והתוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר חברנו הגבול הראשון והאחרון הוא כאלו כפלנו הגבול הראשון וחברנו עמהם התוספת אשר על האחרון המופשט מהתוספת<br>
| |
| − | אחר שהגבול האחרון מחובר מהגבול הראשון והתוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נשליך מכפל האמצעי ומחבור שני הקצוות הדבר המשותף בשניהם והוא כפל הגבול הראשון יהיה הנשאר מכפל האמצעי הוא כפל התוספת אשר על האמצעי מופשט מהתוספת והנשאר מחבור הקצוות הוא התוספת אשר על האחרון המופשט מהתוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא ג' כפלי התוספת אשר על האמצעי בכפל השניי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או ד' כפליו בשלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או ה' כפליו ברביעיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|בתוספת אחד תמיד על המספר אשר נגזר ממנו היחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם באמצעי יהיה הנשאר תמיד כפל התוספת לא ישתנה ולא ימיר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן כאשר נוציא כפל התוספת מג' כפלי התוספת אשר על האחרון אם היה כפל שניי ישאר כמו התוספת אשר על האמצעי המופשט והוא מותר האמצעי על הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או כאשר נוציא כפל התוספת מד' כפלי התוספת בכפל השלישיי ישאר כמו התוספת שני פעמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד במגרעת אחד מן המספר אשר ממנו יגזר היחס<br>
| |
| − | בעבור שהכפל אשר אנחנו משליכי' הוא עומד תמיד על אופן אחד בלתי משתנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והכפלים אשר בתוספת שעל הגבול האחרון יעלו אחד אחד בכל יחס ויחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה חבור הקצוות עודף על כפל האמצעי כמו העולה מהכאת מותר האמצעי על הגבול הראשון עם המספר אשר יגזר ממנו היחס פחות אחד וזה תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*If the number of the terms is even:
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היו הגבולי' זוגות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יתחייב גם כן לזאת הסבה בעצמה שיהיה העולה מחבור שני הקצוות עודף על העולה מחבור שני האמצעיים כמו העולה מהכאת מותר הגבול השלישי שהוא האמצעי הגדול על הגבול הראשון עם המספר אשר יגזר ממנו יחס הב' על הא' פחות אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה כי התוספת הנוסף על הגבול הד' מופשט מהתוספת שהוא כמו הראשון הוא כמו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי מופשט מהתוספת בכפל השנוי וכמו התוספת שעל הגבול השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או כמו ג' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי מופשט מהתוספת וכמו התוספת שעל הב' בכפל השלישיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או כמו ד' כפלי התוספת שעל הגבול השלישי מופשט מהתוספת וכמו התוספת שעל הב' בכפל הרביעיי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה מבואר ממה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שבכפל השניי כבר התבאר שהתוספת שעל הגבול השלישי הוא כמו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השני וכמו התוספת שעל השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יתחייב מזה הצד שיהיה התוספת אשר על הגבול הרביעי כמו שני כפלי התוספת שבגבול השלישי וכמו התוספת שעל השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|מפני שהגבול הרביעי הוא כפל הגבול השלישי כמו שהגבול השלישי כפל הגבול השני והשני כפל הגבול הא'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכמו שהגבול השלישי הנחנוהו שוה לגבול הראשון ונתחייב להוסיף עליו שני כפלי התוספת אשר על הגבול
| |
| − | השני עד יהיה כפלו וכמו מותר השני על הראשון כאשר בארנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כן נניח גם הגבול הד' שוה לגבול הראשון ויתחייב שנוסיף עליו שני כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו המותר שני על הראשון לסבה הנזכרת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובכפל השלישיי שיהיה התוספת שעל הד' שלשה כפלי התוספת שעל הג' וכמו התוספת שעל השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובכפל הרביעיי יהיה התוספת שעל הד' ד' כפלי התוספת שעל הג' וכמו התוספת שעל השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תמיד על הסדר הזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יתחייב לפי זה השרש ש[י]היה התוספת אשר על הגבול הרביעי ב' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו מותר השני על הראשון וזה בכפל השניי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובכפל השלישיי שלשה כפלי התוספת אשר על הגבול השלישיי וכמו מותר השני על הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובכפל הרביעיי ד' כפלי התוספת אשר על הגבול השלישי וכמו מותר השני על הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יתבאר מפתיחת החמישי לאקלידס כי כבר התבאר שם כי כל ארבעה גבולים מתייחסים הנה יחס הא'
| |
| − | אל הד' הוא כמו יחס האחד אל הב' משלש בכפל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן בשניי יתחייב שיהיה יחס הראשון אל הד' הוא יחס השמינית ויחס הא' אל הב' הוא יחס החצי<br>
| |
| − | וכאשר נשליך משני היחסים א'
| |
| − | שהוא הגבול הראשון הנמצא בכל אחד ואחד מהגבולים הנה ישארו המותרים הנוספים על הגבולים המופשטים מהתוספת<br>
| |
| − | ויהיה מותר הב' על הח' פעם אחד כמו הא'<br>
| |
| − | ומותר הד' על הא' שבעה פעמים כמו הא'<br>
| |
| − | והג' מותרו על הא' שלשה פעמים כמו הא'<br>
| |
| − | אם כן יתחייב מזה שיהיה מותר הד' הנוסף על מותר הג' כמו שני פעמים וכמו מותר הגבול הב' על הא'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בשלישיי יהיה יחס הב' על הא' שלשה כפלים וכשנשליך ממנו הגבול האחד ישאר המותר שני פעמים
| |
| − | כמו הא'<br>
| |
| − | ויהיה יחס הד' על הא' כ"ז כפלים וכשנשליך ממנו הגבול הא' ישאר המותר שעל הגבול הד' י"ג פעמים כמו מותר הב' על הא'<br>
| |
| − | והמותר שעל הגבול השלישי כבר התבאר שהוא ארבעה פעמים כמו מותר הב' על הא'<br>
| |
| − | אם כן יתחייב מזה שיהיה מותר הד' נוסף על מותר הג' שלשה פעמים וכמו מותר הגבול הב' על הראשון וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן והיה חבור השני אמצעיי' חבור השני מותרי' שעל שני האמצעיים וכפל הגבול הראשון אחר שהאמצעיים הם מחוברים מהגבול הא' והמותר וחבור השני קצוות הוא כפל הגבול הא' והמותר שעל הגבול הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נשליך מחבור השני אמצעיים ומחבור השני קצוות הדבר המשותף שבשניהם שהוא כפל הגבול הראשון ישאר מחבור שני אמצעיים חבור שני המותרים שעליהם וישאר מחבור השני קצוות המותר שעל הגבול הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נשליך גם מאלה הנשארי' משני החבורים הדבר המשותף בשניהם והוא המותר שעל הגבול השני כי הוא בעצמו נמצא בתוך המותר שעל הגבול הד' כאשר בארנו הנה ישאר מחבור השני אמצעיים המותר שעל הגבול השלישי וישאר מחבור השני קצוות המותר שעל הגבול הרביעי פחות מותר השני על הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בכל הייחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן יתחייב מזה שיהיה תוספת חבור הקצוות על חבור האמצעיים כמו תוספת המותר שעל הגבול הרביעי פחות מותר השני על הראשון על המותר שעל הגבול השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה תמיד בכל מיני הייחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמותר שעל הגבול השלישי הוא שני כפלי המותר שעל הגבול השלישי בכפל השניי וג' כפליו בשלישיי וד' כפליו ברביעיי ובכלל מנין הכפלים כמו המספר אשר ממנו יגזר שם היחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נוציא המותר שעל הגבול השלישי מהמותר שעל הגבול הד' עד שנמצא העודף שביניהם ישאר העודף שבמותר שעל הגבול הד' על המותר שעל הגבול הג' על הראשון כמו המספר הנגזר ממנו שם היחס פחות אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יתחייב מזה שיהיה העודף שבחבור הקצוות על חבור השני אמצעיים כמו העולה מהכאת מותר הג' על הא' עם המספר הנגזר ממנו מיחס שהוא יחס השני על הראשון פחו' אחד וזה מש"ל
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ===== Chapter Two =====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שביארנו הדרכים אשר בהם יודע המוסכל מהידוע בייחסים המדותיים וזה בשלמים לבד<br>
| |
| − | הנה אשר נשאר עלינו לדבר הוא הודעת הדרכי' אשר בהם יודע המוסכל מהידוע בשברים לבד או בשלמי' והשברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואומר שהדרך הכולל בכל מיני השברים יחד הוא שאם היו הגבולים המונחים נפרדים והיה האמצעי והקצה האחד ידוע ורצית לדעת הקצה האחר המוסכל<br>
| |
| − | הכה האמצעי עם עצמו והעולה חלקהו על הקצה הא' והיוצא בחלוק הוא הקצה המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הקצוות ידועות והאמצעי הוא המוסכל<br>
| |
| − | הכה הקצוות זה עם זה והעולה קח שרשו לפי מה שקדם לך מידיעת שרש השברי' לבד או השברי' והשלמי' יחד והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים המונחים זוגות והיו שני האמצעיים והקצה האחד ידוע ורצית לדעת הקצה האחד המוסכל<br>
| |
| − | הכה שני האמצעיים זה עם זה והעולה חלקהו על הקצה הידוע ויצא לך הקצה המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הקצוות והאמצעי האחד ידוע ורצית לדעת האמצעי האחר המוסכל<br>
| |
| − | הכה הקצוות זה עם זה והעולה חלקהו על האמצעי האחד ויצא האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הגבולים הנפרדים אם בשברים הם מספרי
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{9}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה האמצעי מוסכל<br>
| |
| − | נכה הה' תשיעיות עם הד' חמישיות שהם הקצוות ויעלו כ' חלקים ממ"ה<br>
| |
| − | ונקח קטון יחסם והם ארבע תשיעיות<br>
| |
| − | ובעבור שהתשיעיות הם ממין השברים הנגזרים כאשר ידעת לכן בקשנו שרש הד' והם ב' ושרש התשעה שהתשיעיות נגזר ממנו והם ג' המורה על שלישיות הנגזר ממנו והם שתי שלישיות והוא שרשם והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היו הנפרים יותר מג' גבולים הדרך הוא אחד בכלם רוצה לומר שנכה הקצוות והעולה נקח שרשו והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה הקצה האחד מוסכל<br>
| |
| − | הנה נכה הב' שלישיות עם עצמו והם ארבע תשיעיות<br>
| |
| − | נחלקם על הד' חמישיות ויצאו שני חלקים מל"ו<br>
| |
| − | נקח קטון יחסם והם ה' תשיעיות והוא הקצה הקטן<br>
| |
| − | או נחלק הארבע תשיעיות על הה' תשיעיות ויצאו ל"ו חלקים ממ"ה<br>
| |
| − | נקח קטון ייחס והן ד' חמשיות שהוא הקצה הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם בשברים ושלמים יחד הם מספרי
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |2<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||3<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||5<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם נכה האמצעי על עצמו יעלו י"ד שלמים וחלק אחד מי"ו<br>
| |
| − | נחלקם על הב' וחצי שהוא הקצה האחד ויצאו ה' וחמשים חלקים משמנים<br>
| |
| − | וקטן יחסם הוא ה' שמיניות והם ה' וה' שמיניות שהוא הקצה הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם חלקת הי"ד שלמים וחלק אחד מי"ו הנזכרים על ה' וה' שמיניות שהוא הקצה הקטן יצאו ב' שלמים וש"ס חלקים מתש"כ<br>
| |
| − | וקטון יחסם הוא ב' שלמים וחצי שהוא הקצה הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצינו למצוא האמצעי נכה השני קצוות ויעלו י"ד וחלק אחד מי"ו בשבר הי"ד אל הי"ו חלקים ויעלו רכ"ד חלקים מי"ו<br>
| |
| − | נחבר עמם החלק האחד מי"ו ויעלו רכ"ה חלקים מי"ו<br>
| |
| − | ובעבור שזה המין מהשברי' הם נגזרי' לכן נבקש שרשם והם ד' גם נבקש שרש רכ"ה והם ט"ו<br>
| |
| − | וא"כ שרש הי"ו שלמי' וחלק א' מי"ו הם ט"ו רביעיים<br>
| |
| − | נחלק הט"ו על הד' ויעלו ג' שלמי' וג' רביעיי' והוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל הזוגות אם בשברים הם מספרי
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math><math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה המוסכל א' מהאמצעיי' נכה הקצוות זה עם זה ויעלו חצי<br>
| |
| − | נחלקהו על הג' רביעיות ויצא ב' שלישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נחלקהו על הב' שלישיות ויצאו ג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה אחד מהקצוות מוסכל נכה שני האמצעיי' זה עם זה ויעלו חצי<br>
| |
| − | נחלקהו על ה' שמיניות ויצאו ד' חמשיו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נחלקהו על הד' חמשיו' ויצאו ה' שמיניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל השלמים והשברי' הם מספרי
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |5||11||7||231
| |
| − | |-
| |
| − | |1<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||2<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||3<math>\scriptstyle\frac{1}{2}</math>||5<math>\scriptstyle\frac{3{\color{red}{1}}}{40}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|נתיכם אל השברים כמנהג ויהיו ה' שלישיות וי"א רביעיות וז' חצאים ורל"א ארבעימיות<br>
| |
| − | ומעתה נשתמש עם הדרך הקודם בעצמו אשר נשתמשנו בו בשברים לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם יש דרך אחרת יותר קצרה מזאת והיא שאם היה האמצעי הראשון מוסכל הנה נכה כמות הקצוו' זה עם זה והעולה נכהו עם איכות האמצעי הידוע והעולה הוא המחולק ונשמרהו<br>
| |
| − | עוד נכה איכות הקצוות זה עם זה והעולה נכהו עם כמות האמצעי הידוע והעולה הוא המחלק<br>
| |
| − | ונחלק עליו השמור והיוצא הוא האמצעי המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה א' הקצוו' מוסכל נכה האמצעיי' זה עם זה והעולה נכהו עם איכות הקצה הידוע והעולה נשמרהו והוא המחולק<br>
| |
| − | עוד נכה איכות האמצעיים זה עם זה והעולה נכהו עם כמו' הקצה הידוע והעולה הוא המחלק<br>
| |
| − | נחלק עליו השמור והיוצא הוא הקצה המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה בשברים הם השברים הנזכרי' בעצמם
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה הג' רביעיות מוסכל נכה הה' שעל הח' עם הד' שעל הה' והם כ' אח"כ נכם עם הג' שתחת הב' ויעלו ס' והוא המחולק<br>
| |
| − | עוד נכה הח' שתחת הה' עם הה' שתחת הד' ויעלו מ' נכם עם הב' שעל הג' ויעלו פ' והוא המחלק<br>
| |
| − | נחלק עליהם הס' ויצאו ס' חלקי' מפ' וקטון יחסם ג' רביעיו' שהוא האמצעי המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הה' שמיניות נעלמים נכה הג' שעל הד' עם הב' שעל הג' והם ו' נכם עם הה' שתחת הד' ויעלו ל' והם המחולק<br>
| |
| − | עוד נכה הד' שתחת הג' עם הג' שתחת הב' ויעלו י"ב נכם עם הד' שעל הה' ויעלו מ"ח והוא המחלק<br>
| |
| − | נחלק עליהם ל' והם שלשים חלקים ממ"ח שהם ה' שמניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן בשאר המינים דרך אחד לכלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן תתנהג בשלמים ושברים יחד עם הדרך הזאת וזה אחרי ההתכה כאשר בארנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד דרך אחרת והוא שתכה יחס האמצעי אל האחרון עם האמצעי ותמצא הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הכה יחס האמצעי אל הראשון עם האמצעי ותמצא האחרון וזה אם היו גבולים נפרדים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היו הגבולים זוגות והיה האמצעי השני ידוע הכה יחס האמצעי אל האחרון עם האמצעי ותמצא האמצעי הראשון המוסכל אם היו הד' גבולי' נמשכים ביחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה יחס האחרון אל האמצעי השני עם הגבול הראשון וימצא האמצעי הראשון וזה כולל הנמשכים והבלתי נמשכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה האמצעי הראשון ידוע הכה יחס האמצעי אל הראשון עם האמצעי ותמצא האמצעי השני אם היו הד' גבולים נמשכים ביחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או נכה יחס הראשון אל האמצעי הראשון עם האחרון וימצא האמצעי השני וזה כולל הנמשכים והבלתי נמשכים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה אחד הקצוות מוסכל הכה יחס האמצעי הראשון אל הראשון עם האמצעי השני ותמצא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|או הכה יחס האמצעי השני אל האחרון עם האמצעי השני ותמצא הגבול הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה המספרים הנזכרים והם מספרי
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math><math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה אם היה הקצה הראשון מוסכל נקח יחס השני שלישיות אל הד' חמישיות בזה הדרך בשנכה האלכסונים רוצה לומר כמות השני שלישיות עם איכות הד' חמשיות והם י'<br>
| |
| − | גם נכה כמות הד' חמשיות עם איכות השני שלישיות והם י"ב<br>
| |
| − | ואחר זה נעריך הי' אל הי"ב והם חמשה ששיות וזהו יחס השני שלישיות על הד' חמשיות<br>
| |
| − | אחר זה נכה זה היחס שהוא חמשה ששיות עם הג' רביעיות וימצא ה' שמיניות אם היה הוא המוסכל<br>
| |
| − | או נכה הה' ששיות עם הב' שלישיות ויצאו ג' רביעיות אם היה הוא המוסכל והיו הגבולים נמשכים<br>
| |
| − | או נכה הא' וחומש שהוא יחס הד' חמשיות אל הב' שלישיות עם החמשה שמיניות וימצא הג' רביעיות וכן בשאר המינים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם הדרכים אשר בם נוכל לדעת איזה מוסכל מהגבולים המונחים עם האמצעי או הקצה איזה קצה היה אם הראשון אם האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם בעלי החכמה הזאת השתמשו לסדר המוסכל תמיד בקצה האחרון בין שיהיה המוסכל הגבול האמצעי או הקצה הראשון או הקצה האחרון<br>
| |
| − | וזה בשיסדרו אותם בחלוף הנחתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר במספרים הנזכרים על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם היה האמצעי והוא השני שלישיות מוסכל יסדרוהו כך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה האמצעי האחר והוא השלשה רביעיות מוסכל יסדרהו כך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה הקצה האחרון והוא הד' חמשיות מוסכל יסדרוהו כך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה הקצה הראשון הוא המוסכל והוא הה' שמניות יסדרוהו כך
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר יסדרו כל דרוש ודרוש בקצה האחרון כפי ההנחה אשר הראנו לך אז יכו כמות שני האמצעיים זה עם זה והעולה יכוהו עם איכות הקצה הראשון והעולה ישמרוהו והוא המחולק<br>
| |
| − | עוד יכו איכות שני האמצעיים זה עם זה והעולה יכהו עם כמות הקצה הראשון והעולה הוא המחלק ונחלק עליו השמור והיוצא הוא הקצה האחרון שהוא המוסכל תמיד לפי ההנחות הנזכרות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמאזנים אשר בם יאוזן זה המין הוא חלוף האמצעי לבד ואז נשתמש עם הדרך הראשון עצמו ואם יצא הגבול האחרון צדקת ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה המוסכל הה' שמיניות ומצאנוהו עם הדרכים הקודמים הנה נסדר הה' שמיניות ראשונה ונחליף המצב כזה
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math><math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשתמש עם א' הדרכים הקודמים ואם יצאו הד' חמישיות הנה צדקת במציאו' הה' שמיניות ואם לאו כזבת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אלה הם הדרכים אשר בם נוכל לדעת מציאות איזה מוסכל מהגבולים הד' או הג' כפי מה שהנחת מהגבולים עם המאזנים אשר בם יאוזן זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת הדרכים האלה הנה התבאר לך במה שקדם מהגבולים השלמים כי אין הבדל ביניהם כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות היחס בהכאת האלכסונים הנה התבאר לך ממה שקדם מחלוק השברים זה על זה<br>
| |
| − | כי כבר בארנו שם שעם החלוק יודע יחס המספר אל המספר אם שלמים ואם שברים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם הנחת הגבולים באלה המצבים אשר השתמשו בם בעלי החכמה הזאת והוא סדור הגבולים במצב מתחייב ממנו תמיד שיהיה המוסכל הוא הקצה האחרון זה מבואר בעצמו<br>
| |
| − | וזה כי הד' גבולי' המתייחסים הנה כמו שהם מתייחסים על הסדר המונח ככה הם מתייחסים גם כן בהפוך ובהמרה<br>
| |
| − | כפי מה שהתבאר בפתיחת החמישי לאקלידס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שאם היו הגבולים המונחי' מסודרים על זה הסדר
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{4}{5}</math>||<math>\scriptstyle\frac{2}{3}</math>||<math>\scriptstyle\frac{3}{4}</math>||<math>\scriptstyle\frac{5}{8}</math>
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שנניח הד' חמישיות ראשונה והב' שלישיות שנית והג' רביעיות שלישית והה' שמיניות רביעית<br>
| |
| − | הנה יחס הראשון אל השני כיחס השלישי אל הרביעי<br>
| |
| − | וכן יחס הד' אל הג' כיחס השני אל הראשון<br>
| |
| − | וכן יחס הראשון אל הג' כיחס הב' אל הד'<br>
| |
| − | וכן יחס הד' אל הב' כיחס הג' אל הא'<br>
| |
| − | וכן יתחייב מאלה שאמרנו שיחס הב' אל הא' כיחס הד' אל הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן הנה אם כן יתחייב מזה שיהיה הגבול המוסכל תמיד בקצה האחרון לפי מה שהשתמשו בו בעלי המלאכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סבת מציאות השבר האחרון המוסכל בשיכו כמות האמצעיים זה עם [זה] והעולה עם איכות השבר הראשון והעולה יחלקוהו על העולה מהכאת איכות האמצעיים זה עם זה והעולה עם כמות השבר הראשון<br>
| |
| − | הנה היא מבוארת גם כן אחר הסתכלות מעט<br>
| |
| − | וזה שכבר התבאר במין החלוק סבת הכאת האלכסונים רוצה לומר הכמות עם האיכות והאיכות עם הכמות<br>
| |
| − | וכאשר היה זה כן אם כן כאשר נרצה להכות שני הגבולים זה עם זה יתחייב לנו שנכה הכמות עם הכמות והאיכות עם האיכות<br>
| |
| − | וכאשר נרצה לחלק העולה על השבר הראשון הנה יתחייב לנו שנכה העולה מהכאת הכמות עם הכמות שהוא כמות השבר היוצא מהכאת השבר עם השבר עם איכות השבר אשר נרצה לחלקו עליו וכן נכה העולה מהכאת האיכות עם האיכות שהוא איכות השבר היוצא מהכאת השבר עם השבר עם כמות השבר אשר נרצה לחלקו עליו והיוצא הוא הגבול האחרון המוסכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן באו חכמי המלאכה וקצרו הדרך בשתכו הכמות עם הכמות והעולה עם האיכות ונשמרהו<br>
| |
| − | עוד הכו האיכות עם האיכות והעולה עם הכמות וחלקו עליו השמור ויצא הגבול האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אין הבדל בין מלאכתם ובין המלאכה האחרת כלל בהכאות רק ששם ישתמשו בפעם אחת מה שישתמשו עם המלאכה האחרת בשני פעמים כאשר הזכרנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שכבר דברנו ביחסים המספריים והמדותיים הנה מה שנשאר עלינו לדבר הם הייחסים החבוריים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם הדבור בהם בשהם מורכבים משני מיני המתייחסים המספריים והמדותיים<br>
| |
| − | רוצה לומר שהוא מורכב מיחס המותרי' ומיחס השעורים<br>
| |
| − | כי יחס השעור הראשון אל השעור האחרון הוא כיחס מותר הראשון על האמצעי אל מותר האמצעי על האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו מספר ג' ד' ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם סגולות זה המין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה הראשונה מהן היא שהיא הפכית בסגולת שאר המינים שהם המדותיים והמספריים לפי שבגבולי זה המין יהיה יחס הקטן אל האמצעי הגדול מיחס האמצעי אל הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם בגבולים המספריים הוא הפך זה כי יהיה יחס הקטן אל האמצעי פחות מיחס האמצעי אל הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובגבולים המדותיים יהיו כל הגבולים ביחס אחד כי לעולם יהיה יחס הקטן אל האמצעי כיחס האמצעי אל הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד סגולה שנית והוא שהכאת כל אחד משני הקצוות מגבוליו באמצעי מקובצים בכפל העולה מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והדרך בידיעת המוסכל מהידוע בזה המין הנה אם היה המוסכל הגבול האמצעי ממנו הנה יודע בשנקח מותר הגבול הגדול אל הקטן ונחלקהו בשני חלקים בלתי שוים ויהיה החלק הגדול אל הקטן כמו הגבול הגדול אל הקטן<br>
| |
| − | אחר זה נקח החלק הקטן מהמותר ונוסיפהו על הגבול הקטן והעולה הוא האמצעי<br>
| |
| − | או נחסר החלק הגדול מהמותר מהגבול הגדול והנשאר הוא האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|עוד דרך אחרת למציאות הגבול האמצעי והוא שנכה הגבול הקטן עם הגבול הגדול והעולה נכפלהו והעולה נחלקהו על העולה מקבוץ הגבול הקטן עם הגדול והיוצא לך בחלוקה זו הוא הגבול האמצעי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם אם היה הגבול המוסכל אחד משני הקצוות אין לנו מבוא למציאותו כלל<br>
| |
| − | וזה שיצטרך בהוצאת כל אחד מהם אל שתי ידיעות מוסכלות אחת מהן בגבול המוסכל עצמו והשני מותר הגבול המוסכל על הגבול האמצעי<br>
| |
| − | אם היה הגבול המוסכל הוא הגבול הגדול<br>
| |
| − | או מותר הגבול האמצעי על הגבול הקטן אם היה המוסכל הוא הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כבר התבאר לך היחס החבוריי עם סגולותיו ודרכיו הכוללים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם פרטי היחס הזה ועל כמה פנים יחלק וסבות סגולותיו ודרכיו והדומים לאלה הנה לא נצטרך אל הדבור בהם אחר שאין זה כוונת הספר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם מפני שרצינו לדעת היחסים המספריים והמדותיים אשר היה הצורך בהם בחקירה הזאת והביא אותנו צורך חלוק היחסים והמתיחסים אל הדבור ביחסים החבוריים הנה נמשך הדבור בו ולכן קצרנו בביאורו כי כבר מספיק מה שזכרנו בו הנה לפי הכוונה הזאת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומי שירצה לדקדק ולהעמיק בביאור זה המין עד התכלית הנה יעיין במלאכה המיוחדת לו והיא חכמת המוסיקא ושם ימצא מבוקשו
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | == Book Three: Word Problems ==
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|המאמר השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הכוונה בזה המאמר להודיע בו קצת מהשאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר
| |
| − | ובהנדסא השאלות הנופלות בה מצד שישיגהו המספר ואופני התשובות בכל אחת מהן
| |
| − | והוא נחלק לשנים חלקים החלק הראשון בשאלות המספריות והחלק השני בשאלות ההנדסיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | === Section One: Numerical Problems ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|החלק הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|דע כי כמו שראוי לחלק השאלות לשנים חלקים לשבת חלוק העצם והמקרה כן ראוי לחלק כל חלק מהם לשנים פרקים הפרק הראשון בשאלות המתבארות ממין היחסים והפרק השני בשאלות המתבארות מזולתם מפני שרוב השאלות המספריות אמנם תתבארנה ממיני היחסים ויחס האחד אל האחר כיחס העצם אל המקרה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Chapter One ====
| |
| − | | |
| − | |style="text-align:right;"|הפרק הראשון מהחלק הראשון בשאלות המספריות המתבארות ממין היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *If 4 of Constantinople are equal to 6 of Bursa and 9 of Bursa are equal to 3 of Adrianople, how many of Constantinople are 7 of Adrianople?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם הד' מקוסדינא שוים ו' מפרושא וט' מפרושא שוים ג' מאנדרינופולי הז' מאנדרינופולי כמה מקוסדינא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of two proportions
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :two solving methods: separating into two proportions or using a proportion with five values
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נתיכה אליהם אם בשני יחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(1) two proportions
| |
| − | ::If 3 of Adrianople are equal to 9 of Bursa, how many of Bursa are 7 of Adrianople?<br>
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{3:9=7:x_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם האופן הראשון הוא כשנאמר אם הג' מאנדרינופולי שוים ט' מפרושא הז' מאנדרינופולי כמה
| |
| − | ישוה מפרושא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=21}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצא לך כ"א ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::If 6 of Bursa are equal to 4 of Constantinople, how many of Constantinople are 21 of Bursa?<br>
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{6:4=21:x_2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אח"ז נאמר אם הו' מפרושא שוים ד' מקוסדינא הכ"א מפרושא כמה ישוו מקוסדינא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=14}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו י"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(2) five values
| |
| − | ::If 3 of Adrianople and 6 of Bursa are equal to 9 of Bursa and 4 of Constantinople, how many are 7 of Adrianople?
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואולם האופן השני הוא כשנאמר אם הג' מאנדרינופולי וו' מפרושא שוים ט' מפרושא וד' מקוסדינא הז' מאנדרינופולי כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ותסודר זאת התמונה כזה
| |
| − | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |7
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|36
| |
| − | |-
| |
| − | |4||9
| |
| − | |}
| |
| − | |
| |
| − | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
| |
| − | |-
| |
| − | |colspan="2"|18
| |
| − | |-
| |
| − | |6||3
| |
| − | |}
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot3=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונכה הו' בג' ויעלו י"ח ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הט' בד' ויעלו ל"ו ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot36}{18}=\frac{252}{18}=14}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הז' בל"ו ויעלו רנ"ב נחלקם על הי"ח ויצאו י"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: one hires a worker to carry for him 13 centner walking 17 miles for 19 pesutim and he carried 7 centner walking 11 miles.<br>
| |
| − | :How much is his payment?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה השוכר את הפועל להוליך לו י"ג קנטרין מהלך י"ז מיל בי"ט פשוטי' והוא הוליך ז' קנטרין מהלך י"א מיל כמה שכרו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of two proportions
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני יחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :two solving methods: separating into two proportions or using a proportion with five values
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ראוי להתיכה אליהם אם בשני היחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(1) two proportions
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{13:19=7:x_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הראשון שנאמר אם הי"ג י"ט הז' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=10+\frac{3}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו י' שלמים וג' חלקים מי"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{17:\left(10+\frac{3}{13}\right)=11:x_2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הי"ז י' שלמים וג' חלקים מי"ג הי"א כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=6+\frac{137}{221}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ו' שלמים וקל"ז חלקים מרכ"א חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(2) five values
| |
| − | ::if 13 and 17 are equal to 19, how much are 7 and 11?
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל השני אם הי"ג וי"ז שוים י"ט הז' והי"א כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הי"ג עם הי"ז ויעלו רכ"א ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot11=77}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הז' עם הי"א ויעלו ע"ז ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{77\sdot19}{221}=\frac{1463}{221}=6+\frac{137}{221}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הע"ז עם הי"ט ויעלו אלף תס"ג נחלקם על הרכ"א ויצאו ו' שלמים וקל"ז חלקים מרכ"א חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: someone hired six worker to work for him 4 days for 12 pesutim. Three of them worked for him two days. How much is their payment?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי ששכר ששה פועלים לעבדו ד' ימים בי"ב פשוטין ועבדוהו השלשה מהם שני ימים כמה שכרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of two proportions
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני יחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :two solving methods: separating into two proportions or using a proportion with five values
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ראוי להתיכה אליהם אם בשני יחסים ואם בתמונה הבעלת חמש צורות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(1) two proportions
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{6:12=3:x_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל הראשון שנאמר אם הו' י"ב הג' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{4:6=2:x_2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הד' ו' הב' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the payment: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ג' וככה שכרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(2) five values
| |
| − | ::if 6 and 4 are equal to 12, how much are 3 and 2?
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומשל השני שנאמר אם ו' ד' שוים י"ב הג' וב' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכה הו' בד' והם כ"ד ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הג' בב' ויעלו ו' ונכתבם עליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot12}{24}=\frac{72}{24}=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נכה הו' בי"ב ויעלו ע"ב נחלקם על הכ"ד ויצאו ג'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we added to an amount of money its ninth and its tenth and the result was 50, how much was the amount of money?<br>
| |
| − | :<math>\scriptstyle x+\frac{1}{9}x+\frac{1}{10}x=50</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם חברנו אל ממון תשיעיתו ועשיריתו ועלה נ' כמה היה הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים ממיני המספר שהם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה בשנתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{9}+\frac{1}{10}=1+\frac{19}{90}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ תחלה התשיעית והעשירית והא' ויעלו א' שלם וי"ט חלקים מצ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{19}{90}\right):50=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הא' וי"ט חלקים מצ' שוים נ' הא' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=41+\frac{31}{109}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו מ"א שלמים ול"א חלקים מק"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we took a fifth, a seventh, and a ninth of an amount of money and the whole amount of money was 50. How much is what is taken from the amount of money?<br>
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=50</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית הממון והממון כלו היה חמשי' כמה הוא הלקוח מהממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה כשנתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{143}{315}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ החמישית והשביעית והתשיעית ויעלו קמ"ג חלקים משט"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{315:143=50:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם השט"ו קמ"ג הנ' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=22+\frac{220}{315}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ"ב שלמים ור"כ חלקים משט"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we added to an amount of money its half, its third, its fifth, and its sixth and the total sum is 40. How much is the amount of money?<br>
| |
| − | :<math>\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{5}x+\frac{1}{6}x=40</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם חברנו אל ממון מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל מ' כמה היה הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=2+\frac{1}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשתקבץ החצי והשליש והחומש והששית והאחד ויעלו ב' וחומש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{5}\right):40=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הב' וחומש שוים מ' האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=18+\frac{2}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו י"ח שלמים ושני חלקים מי"א
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we add to an amount of money its half, a third of its half, a fifth of a third of its half, and a sixth of a fifth of a third of its half and the total sum is 40. How much is the amount of money?
| |
| − | :<math>\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)x=40</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם חברנו אל ממון מחציתו ושליש מחציתו וחומש שליש החצי וששית חומש שליש החצי ועלו ארבעים כמה היה הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{2}\right)=1+\frac{127}{180}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנק(ב)ץ השברים הנזכרים עם הא' ויעלו אחד שלם וקכ"ז חלקים מק"פ
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{127}{180}\right):40=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם האחד וקכ"ז חלקים מק"פ שוים ארבעים האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=23+\frac{139}{307}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ"ג שלמים וקל"ט חלקים מש"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we took a ninth and a seventh of an amount of money and they are 7. How much is the amount of money?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{9}x+\frac{1}{7}x=7</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם לקחנו הממון תשיעיתו ושביעיתו והיו ז' כמה היה כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}+\frac{1}{7}=\frac{16}{63}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נקבץ תחלה התשיעית והשביעית והם ששה עשר חלקים מס"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{63}:7=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הששה עשר חלקים מס"ג שוים שבעה האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=27+\frac{9}{16}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו שבעה ועשרים שלמים ותשעה חלקים מששה עשר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: we took from an amount of money its ninth and its seventh and 7 remain. How much is the amount of money?
| |
| − | :<math>\scriptstyle x-\left(\frac{1}{9}x+\frac{1}{7}x\right)=7</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם לקחנו מממון תשיעיתו ושביעיתו ונשארו ז' כמה היה הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition, subtraction and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משלשה מינים מהמספר והם הקבוץ והחסור והיחס ולזה ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}+\frac{1}{7}=\frac{16}{63}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ תחלה התשיעית והשביעית ויעלו י"ו חלקים מס"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::subtraction - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{16}{63}=\frac{63-16}{63}=\frac{47}{63}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסר הי"ו מהס"ג וישארו מ"ז והם מ"ז חלקים מס"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{63}:7=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם המ"ז חלקים מס"ג שם שבעה האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=9+\frac{18}{47}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו תשעה שלמים וי"ח חלקים ממ"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |'''How Many Problem - Group of People'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:group of people|649|fXFT}}Question: a man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us and with you will make 100. How many are the people?
| |
| − | :<math>\scriptstyle x+x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}x+1=100</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה הרי שעבר אדם אחד בין קבוץ אנשים ואמר להם שלום לכם מאה איש וענו לו אין אנחנו מאה אך אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך הם מאה<br>
| |
| − | כמה היו האנשים{{#annotend:fXFT}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|והתשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נקבץ תחלה החצי והרביע עם הב' בעבור שאמרו אנחנו ואחרים כמונו ויעלו ב' שלמים וג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{3}{4}\right):99=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הב' וג' רביעיות שוים צ"ט האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=36}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ל"ו שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: if when a se'ah of flour is worth 12 peshutim, one pashut is worth 8 liters; when its value is 11 pashutim, how many liters does one pashut worth?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם כאשר ישוה סאת הקמח י"ב פשוטים ישוה הפשוט האחד ח' ליטרין כאשר יהיה שוויו י"א פשוטים כמה ליטרין ישוה הפשוט האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :the question is misleading - it should refer to fractions - <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{11}}}</math> and <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}}}</math> - instead of integers (11 and 12)
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה היא שאלה הטאעיית לקוחה ממקום התמורה וזה שהוא לקח תמורת הדבר עצמו הדבר אשר הוא דרך לו רוצה לומר שהשמיט המספרים המתייחסים ולקח תמורת המספר אשר מהם יתחייבו המספרי' וזה שהמספרים המתייחסים הם הי"ביי והי"איי לא הי"ב והי"א<br>
| |
| − | אך מפני שיחוייב מהכאת שוויו בי"ב פשוטים שיהיה כל אחד מהפשוטים חלק י"ביי ומהכאת שוויו י"א יהיה כל אחד מהפשוטים חלק י"איי לקח הי"ב והי"א תמורתם ולכן ראוי שנקח תמורת הי"ב והי"א הי"ביי והי"איי ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}:8=\frac{1}{11}:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשניחס ונאמר אם הי"ביי שמנה ליטרין הי"איי כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{8}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ח' ליטרין ושמנה יא"יים
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: a barrel had three taps, all the three together at the bottom of the barrel, so that the barrel could be drained through each of them. The taps differed from one another as the barrel was drained completely through one of them in half a day, through another in two thirds of a day, and through another in three quarters of a day. We opened all three together. How long will it take the barrel to be drained completely?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{2}{3}}x+\frac{1}{\frac{3}{4}}x=1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היו לחבית אחד שלשה נקבים ושלשתן יחד בתחתית החבית עד שיורק כל החבית עם כל אחד משלשתן והיו הנקבים מתחלפים כל אחד מהאחר עד שיורק כל החבית עם האחד מהם בחצי היום ועם האחר בשני שלישיות היום ועם האחר בג' רביעיות היום ופתחנו שלשתן יחד<br>
| |
| − | בכמה זמן מהיום יורק כל החבית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of two proportions and addition
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים ומקבוץ ולכן ראוי שנתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:1=1:x\longrightarrow x=2}}</math>
| |
| − | ::tap (1) in one day: 2 barrels
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל זה שניחס כל אחד מנקבים ונאמר בנקב הראשון אם בחצי היום יורק חבית אחד בכל היום כמה ויצאו שתי חביות ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:1=1:x\longrightarrow x=1+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | ::tap (2) in one day: 1½ barrels
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר בנקב השני אם בשני שלישיו' היום יורק חבית אחת בכל היום כמה ויצאו חבית א' וחצי ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}:1=1:x\longrightarrow x=1+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | ::tap (3) in one day: 1⅓ barrels
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר בנקב השלישי אם בג' רביעיות היום יורק חבית אחת בכל היום כמה ויצאו חבית אחד ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{5}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר נקבץ השמורים ויעלו ארבע חביות שלמות וחמשה ששיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right):1=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הארבע חביות שלמות וחמש ששיות יורקו ביום אחד החבית אחת בכמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{29}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ששה חלקים מכ"ט חלקי היום
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Shared Work Problem - Filling and draining a pool'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: one pool was full of water and above it a pipe flowing that is filling it in one and a half days and on its edge a hole draining the pool in one day. We opened the two holes together, the hole that is filling it and the pool hole that is draining it. How long will it take the pool to be drained completely?
| |
| − | :<math>\scriptstyle x-\frac{1}{1+\frac{1}{2}}x=1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היתה בריכה אחת מלאה מים ולמעלה ממנה צנור מקלח בתוכה שימלאנה ביום אחד וחצי ובשוליה נקב המריק הבריכה ביום אחד<br>
| |
| − | ופתחנו השני נקבים יחד נקב הצנור המקלח בתוכה ונקב הבריכה המריק אותה<br>
| |
| − | בכמה זמן תורק כל הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנעיין ההבדל שבין הנכנס בתוכה ביום אחד ובין המורק ממנה ביום אחד והוא שליש הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):1=1:x\longrightarrow x=\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | ::pipe fills in one day ⅔
| |
| − | |style="text-align:right;"|בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי ימלא הצנור המקלח בתוכה את כל הבריכה ביום אחד כמה ויצאו שני שלישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::hole drains in one day 1
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{2}{3}=\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמריק אותה יריקנה כלה ביום אחד אם כן ההבדל שבין הנכנס לנשפך ביום אחד הוא שליש הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}:1=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר נייחס ונאמר אם השליש יצא ביום אחד הא' השלם בכמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}</math> days
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ג' ימים וזהו הזמן שתורק בו כל הבריכה המלאה כשב' הנקבי' פתוחי' יחד שהם הממלא והמוריק
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Shared Work Problem - Filling and draining a pool'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: a pool was full of water and above it three pipes flowing - the first pipe is filling it in 1½ days, the second pipe is filling it in 1¼ days and the other pipe is filling it in 1⅖ days. On its edges there are also four draining holes - the first hole is draining it in a half of a day, the second hole is draining it in two thirds of a day, the third hole is draining it in three quarters of a day, and the fourth hole is draining it in four fifths of a day. We opened the the three filling holes together and the four draining holes together. The pool was full. How long will it take the pool to be drained completely?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{\frac{1}{2}}x+\frac{1}{\frac{2}{3}}x+\frac{1}{\frac{3}{4}}x+\frac{1}{\frac{4}{5}}x-\left(\frac{1}{1+\frac{1}{2}}x+\frac{1}{1+\frac{1}{4}}x+\frac{1}{1+\frac{2}{5}}x\right)=1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היתה בריכה מלאה מים ולמעלה ממנה שלשה צנורות מקלחים בתוכה הצנור האחד ימלאנה ביום וחצי והצנור השני ימלאנה ביום ורביע והצנור האחר ימלאנה ביום אחד ושני חמשיות היום<br>
| |
| − | גם יש בשוליה ארבעה נקבים המריקים הנקב הא' יריקנה בחצי היום והנקב השני יריקנה בשני שלישי היום והנקב השלישי יריקנה בג' רביעיות היום והנקב הרביעי יריקנה בד' חמשיות היום<br>
| |
| − | ופתחנו השלשה נקבים המקלחים בתוכה יחד גם הארבעה נקבים המריקים אותה יחד והבריכה מלאה<br>
| |
| − | בכמה זמן תורק כל הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקבץ כל המים הנכנסים בתוכה מכלל הג' נקבים ביום אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):1=1:x\longrightarrow x=\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | ::pipe (1) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי ימלא הבריכה כלה הצנור האחד ביום אחד כמה ויצא שני שלישיות הבריכה ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right):1=1:x\longrightarrow x=\frac{4}{5}}}</math>
| |
| − | ::pipe (2) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם ביום ורביע ימלא הצנור הב' כל הבריכה ביום אחד כמה ויצא ד' חמשיות הבריכה ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{2}{5}\right):1=1:x\longrightarrow x=\frac{5}{7}}}</math>
| |
| − | ::pipe (3) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם ביום א' ושתי חמשיות ימלא הצנור השלישי כל הבריכה ביום אחד כמה ויצא ה' שביעיות ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{4}{5}+\frac{5}{7}=2+\frac{19}{105}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקבץ כל השמורי' ויעלו שתי בריכות שלמות וי"ט חלקים מק"ה חלקי הבריכה האחת ונשמרהו ויקרא השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נקבץ כל המים היוצאים ממנה ביום אחד מכלל הד' נקבים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:1=1:x\longrightarrow x=2}}</math>
| |
| − | ::hole (1) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|בשנייחס ונאמר אם בחצי היום יריק הנקב האחד בריכה אחת ביום אחד כמה ויצא ב' ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}:1=1:x\longrightarrow x=1+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | ::hole (2) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם ניחס ונאמר אם בב' שלישי היום יריק הנקב השני בריכה אחת ביום האחד כמה ויצא אחד וחצי ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}:1=1:x\longrightarrow x=1+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | ::hole (3) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם בג' רביעיות היום יריק הנקב השלישי בריכה אחת ביום האחד כמה ויצא אחד ושליש ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}:1=1:x\longrightarrow x=1+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | ::hole (4) in one day
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם בארבע חמשיות היום יריק הנקב הרביעי בריכה אחת ביום האחד כמה ויצא אחד ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{1}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקבץ כל השמורים ויעלו שש בריכות שלמות וחלק אחד מי"ב חלקי הבריכה האחת ונשמרהו ויקרא השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{12}\right)-\left(2+\frac{19}{105}\right)=3+\frac{1137}{1260}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסר השמור הראשון מהשמור השני וישארו שלש בריכות שלמות ואלף קל"ז חלקים מאלף ר"ס חלקי הבריכה האחת וזהו ההבדל שבין הנשפך בתוכה למורק ממנה ביום אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1137}{1260}\right):12=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם השלש בריכות ואלף קל"ז חלקים מהאלף ר"ס חלקי הבריכה האחת יורק בי"ב שעות שהוא יום אחד הבריכה אחת בכמה שעות יורק
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{123}{1639}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו שלש שעות שלמות וקכ"ג חלקים מאלף תרל"ט חלקי השעה האחת וזהו הזמן שתורק הבריכה המלאה כשהשבעה נקבים פתוחים יחד שהם הג' המקלחים בתיבה והד' המריקים ממנה
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Joint Purchase Problems – If You Give Me'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:two men, money|664|drmN}}Question: a man said to his friend: if you give me one my amount of money will be equal to your amount of money.<br>
| |
| − | :The other answered and said: if you give me one my amount of money will be double your amount of money.
| |
| − | :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+1=b-1\\\scriptstyle b+1=2\sdot\left(a-1\right)\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אמר אדם לחברו אם תתן לי א' יהיה ממוני שוה לממונך<br>
| |
| − | וענה האחר ואמר לו אם תתן לי אתה אחד יהיה ממוני כפל ממונך{{#annotend:drmN}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Or if the first will give the second one the amount of money of the second will be double the amount of money of the other, and if the second will give the first one the amount of money of the first will be a hundred times the amount of money of the second.
| |
| − | :How the amount of each will be known?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b+1=2\sdot\left(a-1\right)\\\scriptstyle a+1=100b\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם יתן הא' לב' אחד יהיה ממון השני כפל ממון האחר ואם יתן השני לאחד אחד יהיה ממון הראשון מאה כפלי ממון השני<br>
| |
| − | היאך יודע כמות כל אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן הטעאיית כי לקחה המחייב תמורת המתחייב וזה שהמתייחסים הצריכים לעניניהם יחס הב' הלקוחי' אחד מזה ואחד מזה אל כלל ממון שניהם יחד לא יחס השנים הלקוחים מחוברים עם ממון האחד מהם אל ממון האחר אחר שיחוסר מממונו אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם מפני שיחוייב ידיעת יחס השנים אל כלל הממון מידיעת זה היחס לקח זה תמורת זה והוא שהוא מן המבואר בעצמו שכאשר נחשב ממון שניהם יחד לממון אחד ונבדיל מכלל הממון ב' שהם אחד מזה ואחד מזה והם אשר יאמר
| |
| − | כל אחד מהם לתת אחד לחבירו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a+b=\left(1+1\right)+\left(a-1\right)+\left(b-1\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יחלק כלל הממון המחובר משניהם לשלשה חלקים והם השנים הלקוחים מזה ומזה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=a-1\\\scriptstyle b_1=b-1\end{cases}</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle a+b=2+a_1+b_1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והממון הנשאר לראשון אחר שיחוסר ממנו האחד<br>
| |
| − | והממון הנשאר לשני אחר שיחוסר ממנו האחד<br>
| |
| − | ויחוייב מזה מבוקשנו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+2=b_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=2b_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאחר שאמר הא' לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני שוה לממונך אשר הוא כאלו אמר אם אחבר על ממוני השני' הלקוחים שהם אחד שאתה רוצה לתת לי והאחד שהיית רוצה לתת לך יהיה העולה מחבורם כמו הנשאר מממונך אחר שתסיר ממנו האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+2=b_1=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון האחד מחובר עם הב' הלקוחים שהם הב' חלקים מג' חלקי הממון חצי הממון המחובר מהג' חלקים אחר שהב' חלקים מחוברים יחד שוים לחלק הג'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle b_1+2=2a_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=3a_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שאמר השני לא' אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך אשר הוא כאלו אמר אם אחבר על ממוני הב' הלקוחים יהיה העולה מחבורם כפל הנשאר מממונך
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle b_1+2=2a_1=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)\longrightarrow a_1=\frac{1}{3}\sdot\left(a+b\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון השני מחובר עם השנים הלקוחים שני שלישי כל הממון המחובר מהג' חלקים אחר שהב' חלקים מחוברי' הם כפל החלק הג'<br>
| |
| − | ויהיה ממון הא' שליש כלל הממון המחובר מהג' חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{3}\sdot\left(a+b\right)+2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר היה חציו בחבורו עם השנים הלקוחים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\sdot\left(a+b\right)=2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההפרש שבין החצי לשליש שהוא שישתוה ב' וזהו המבוקש מזאת השאלה לדעת יחס השנים הלקוחים אל כלל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a+b=\frac{2\sdot1}{\frac{1}{6}}=12</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נייחס ונאמר אם הששית שוה שנים הכל כמה ויצאו י"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+2=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{2}\sdot12=6</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שחלקי כלל הממון ג' והם השני חמשיות השנים הלקוחים וממון הא' וממון הב' ושחבור הב' עם ממון הא' הוא חצי כלל הממון אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון הא' עם השנים הלקוחים ששה שהם חצי הי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=6-2=4\\\scriptstyle b_1=\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)=6\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נפריד מהם הב' המחוברים עם ממון הא' ישאר ממון הא' ד' בהכרח וממון הב' ששה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a=a_1+1=5\\\scriptstyle b=b_1+1=7\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נתן לכל אחד מהם האחד שלקחנו ממנו יהיו לא' חמשה ולב' שבעה וככה הוא ממון כל אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+1=2\sdot\left(b-1\right)\\\scriptstyle b+1=100a\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן במין השני שאמר הראשון לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך ואמר השני לראשון אם תתן לי אחד יהיה ממוני מאה כפלי ממונך גם זה מבואר ממה שקדם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a+b=\left(1+1\right)+\left(a-1\right)+\left(b-1\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאנחנו נבדיל אחד מזה ואחד מזה ואלה השנים נקראם השנים הלקוחים ונניחם לחוד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=a-1\\\scriptstyle b_1=b-1\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחשב כלל הממון המחובר משניהם לממון אחד ויהיו חלקיו שלשה והם השנים הלקוחים והממון הנשאר לראשון אחר שנחסר מממונו האחד והממון הנשאר לשני אחר שנחסר מממונו האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a+b=2+a_1+b_1</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle a_1+2=2b_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=3b_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונאמר הנה כשאמר הראשון לשני אם תתן לי אחד יהיה ממוני כפל ממונך כאלו אמר אם אוסיף על ממוני הנשאר השנים לקוחים יהיה ממוני כפל מממונך
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+2=2b_1=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יחוייב מזה שיהיוה שנים מחוברים עם הממון הנשאר לראשון שני שלישי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle b_1+2=100a_1\longrightarrow{\color{red}{a+b=2+a_1+b_1=101a_1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכשאמר השני לראשון אם תתן לי אחד יהיה ממוני מאה כפלי ממונך כאלו אמר אם אחבר השנים הלקוחים על ממוני הנשאר יהיה ממוני מאה כפלי ממונך
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle b_1+2=100a_1=\frac{100}{101}\sdot\left(a+b\right)\longrightarrow a_1=\frac{1}{101}\sdot\left(a+b\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יחוייב מזה שיהיו השנים מחוברים עם הממון הנשאר לשני ק' חלקים מק"א חלקי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקים הנזכרים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)=\frac{1}{101}\sdot\left(a+b\right)+2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה ממון הראשון זולת השנים הלקוחים חלק אחד מק"א חלקי כלל הממון המחובר מהשלשה חלקי' וכבר היה חבור ממונו עם השנים הלקוחי' שתי שלישיות כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{101}\right)\sdot\left(a+b\right)=2</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{199}{303}\sdot\left(a+b\right)=2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה ההפרש שבין השתי שלישיות לחלק אחד מק"א חלקי הכל שהוא קצ"ט חלקים מש"ג חלקי הכל שוה שנים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a+b=\frac{2\sdot1}{\frac{199}{303}}=3+\frac{9}{199}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נייחס ונאמר אם הקצ"ט חלקים מש"ג שוים שנים הכל כמה ויצאו שלשה שלמים ותשעה חלקי' מקצ"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+2=\frac{2}{3}\sdot\left(a+b\right)=\frac{2}{3}\sdot\left(3+\frac{9}{199}\right)=2+\frac{6}{199}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שחלקי כלל הממון שלשה והם השנים הלקוחים וממון הראשון וממון השני ושחבור הב' עם ממון הראשון הוא שתי שלישיות כל הממון<br>
| |
| − | אם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה ממון הראשון עם השנים הלקוחים יחד שתי שלישיות הג' ותשעה חלקים מקצ"ט שהם שנים שלמים וששה חלקים מקצ"ט חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\left(2+\frac{6}{199}\right)-2=\frac{6}{199}\\\scriptstyle b_1=\frac{a_1+2}{2}=1+\frac{3}{199}\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נפריד מהם השנים המחוברים עם ממונו ישאר ממון הראשון ששה חלקים מקצ"ט וממון השני אחד שלם ושלשה חלקים מקצ"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a=a_1+1=1+\frac{6}{199}\\\scriptstyle b=b_1+1=2+\frac{3}{199}\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נתן לכל אחד מהם האחד שלקחנו ממנו יהיה ממון הראשון אחד שלם וששה חלקים מקצ"ט וממון הב' שנים שלמים ושלשה חלקים מקצ"ט וככה הוא ממון כל אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Buy and Sell Problem'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:WP|641|iLdg}}Question: someone bought with his money sugar for instance, three fifths of a liṭra for one zahuv, then he sold four sevenths of a liṭra for one zahuv and he earned one zahuv. How much was his amount of money?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שקנה מממונו סוכר על דרך משל בג' חמשיות ליטרא בזהוב ומכרה בד' שביעיות ליטרא בזהוב והרויח זהוב אחד<br>
| |
| − | כמה היה כמות ממונו{{#annotend:iLdg}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of two types of arithmetical operations: subtraction and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים ממיני המספר והם החסור והיחס ולכן ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::subtraction - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}-\frac{4}{7}=\frac{1}{35}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנחסר תחלה הד' שביעיות ליטרא מהשלש חמשיות ליטרא וישארו חלק אחד מל"ה חלקי הכל וזהו הרויח שהרויח בזהוב האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{35}:1=\frac{4}{7}:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם כשהרויח חלק אחד מל"ה חלקי הרטל יהיה ממונו זהוב אחד כשהרויח ארבע שביעיות הרטל שהם שווי הזהוב האחד לפי מה שמכר כמה יהיה ממונו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}</math> zehuvim
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו לך שנים זהובים וככה הוא כלל ממונו
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Purchase Problem – Moneychanger'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. The first kind are 5 for one zahuv; the second kind are 7 for one zahuv; and the third kind are 9 for one zahuv. One asked the moneychanger to exchange one zahuv and to give him from the three kinds of coins equally, so that their total will be worth one zahuv. How much should he give him from each kind?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{5}x+\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x=1</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היו אצל השולחני שלשה מטבעות המין האחד הם ה' בזהוב והמין השני הם שבעה בזהוב והמין השלישי הם תשעה בזהוב ובקש אחד מהשולחני להחליף זהוב אחד ושיתן לו מהשלשה מיני מטבעות חלקים שוים ויעלו חשבונם זהוב אחד כמה יתן לו מכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני מינים מהמספר והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}+\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{143}{315}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנחשוב שנתן מכל מטבע אחד ונקבצם ויהיו ג' אחר זה נחקור שווים מהזהוב וזה בשנקבץ החמישית והשביעית והתשיעית אחר שהאח' הנתון מהמטבע ששוים ה' בזהוב שוה חמישית הזהוב והא' הנתון מהמטבע ששוים ז' בזהוב שוה שביעית הזהוב והא' הנתון מהמטבע ששוי' ט' בזהוב שוה תשיעית הזהוב וכשנקבצם יעלו קמ"ג חלקי' משט"ו חלקי הזהוב הא'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{143}{315}:1=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אח"ז ניחס ונאמ' אם הקמ"ג חלקי' משט"ו לקח א' מכל מין הא' השלם כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{29}{143}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ב' שלמים וכ"ט חלקי' מקמ"ג וככה לקח מכל מין
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Motion Problem – Pursuit'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: a master sent a messenger walking 29 miles a day. After 10 days he sent another messenger walking 35 miles a day. When will he catch up with him?
| |
| − | :<math>\scriptstyle35X=29\sdot\left(X+10\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אדון שלח רץ שמהלכו בכל יום כ"ט מיל ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר שמהלכו בכל יום ל"ה מיל<br>
| |
| − | מתי ישיגנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of multiplication, subtraction and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה וחסור ויחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::multiplication: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot29=290}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נכה תחלה העשרה עם הכ"ט ויעלו ר"ץ ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::subtraction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{35-29=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסר הכ"ט מיל מהל"ה מיל וישארו ו' מיל וזהו ההפרש שבין רץ לרץ ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{6:1=290:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם בו' מיל הפרש צריך מהלך יום אחד להשיגו בר"ץ מיל הפרש עשרה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=48+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו מ"ח יום שלמים ושליש יום
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:tree|650|S3Vj}}Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long. How many cubits long is the whole tree?<br>
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אילן ששביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים גבוה ח' אמות כמה אמות הוא כל האילן{{#annotend:S3Vj}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition, subtraction and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחסור ויחס ולכן נתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}+\frac{1}{9}=\frac{16}{63}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזהו בשנקבץ התשיעיות והשביעיות והם י"ו חלקים מס"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::subtraction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{16}{63}=\frac{63-16}{63}=\frac{47}{63}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסרם מהשלם והמותר הם מ"ז חלקים מס"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{63}:8=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וניחס ונאמר אם המ"ז חלקים מס"ג הם שמנה הא' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{34}{47}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו עשרה שלמים וארבעה ושלשים חלקים ממ"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Boiling Problem'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:WP|663|hpAu}}Question: someone had 10 measures of must and he wanted to boil them until one third will remain. He partially cooked them until eight [measures] remained. Then six measures overflow and two measures remained. He wants to boil [the remainder] as planned at first. How much should remain from the two measures?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{2}{X}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שהיו לו י' מדות תירוש ורצה לבשלם עד שישאר השליש וכשבשלם חצי עד שנשארו שמנה נשפכו השש מדות ונשארו שתי מדות ורוצה לבשלם כמשפט הראשון<br>
| |
| − | כמה צריך שישארו מהשתי מדות{{#annotend:hpAu}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of subtraction and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מחסור ויחס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::subtraction - <span style=color:red>False Position:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)=3+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נחסר השתי שלישיות מהי' מדות וישארו ג' ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::proportion - <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{8:\left(3+\frac{1}{3}\right)=2:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם השמנה ראוי שישארו שלשה ושליש השנים כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו חמש ששיות
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Give and Take Problem'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:donation|627|xNzR}}Question: someone took an oath that in each day that God will double his money he will donate two pešuṭim to the poor. For four consecutive days God doubled his money and he gave two pešuṭim each day and he ran out of money. How much was his amount of money?
| |
| − | :<math>\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2x-2\right)\right]-2\right]\right]-2\right]=2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שנדר שיתן לעניים שני פשוטי' בכל יום שיכפול השם את ממונו וכפל השם את ממונו ארבעה ימים רצופים ונתן השני פשוטים בכל יום וכלה כל ממונו<br>
| |
| − | כמה היה ממונו{{#annotend:xNzR}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה בזאת השאלה שנקח הדבר מלמטה לעמלה למה שהוא הוא הידוע
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{2}=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונאמר שאחר שכלה ממונו ביום הד' אם כן ידענו שממונו ביום הד' היה שני פשוטים וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+1}{2}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן ביום השלישי היו לו שלשה פשוטים וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{3+\frac{1}{2}}{2}=1+\frac{3}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן ביום השני היו לו שלשה פשוטים וחצי וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היה לו פשוט אחד ושלש רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2+\left(1+\frac{3}{4}\right)}{2}=\frac{3+\frac{3}{4}}{2}=1+\frac{7}{8}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן ביום הראשון היו לו שלשה פשוטים ושלש רביעיות וזה אחדי הכפל ואם כן קודם הכפל היו לו פשוט אחד וז' שמניות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: someone went to the land of the sea and appointed a guardian for his grain to give the donation and the tithe and keep the remaining.<br>
| |
| − | :When he came he gave him 100 se'ah.<br>
| |
| − | :How much was the whole grain?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שהלך למדינת הים והניח אפטרופוס על תבואתו לתת התרומה והמעשר והנשאר שמרהו וכשבא נתן לו ק' סאה כמה היתה כל התבואה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משני יחסים ולכן נתיכה אליהם ויצא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאחר שהמאה סאה עם המעשר הנתון הם במדרגת השלם הנה יהיו המאה סאה תשעה עשיריות השלם בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot1}{\frac{9}{10}}=111+\frac{1}{9}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נייחס ונאמ' אם התשעה עשיריות שוים מאה האחד כמה ויצאו קי"א סאה ותשיעית הסאה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{50}=\frac{49}{50}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נאמר אחרי שהקי"א ותשיעית עם התרומה הנתונה הם במדרגת השלם והמתרומה אחד מחמשים אם כן הקי"א ותשיעית הם תשעה וארבעים חלקים מנ'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(111+\frac{1}{9}\right)\sdot1}{\frac{49}{50}}=113+\frac{1{\color{red}{6}}7}{441}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס ונאמר אם המ"ט חלקים מנ' הם קי"א ותשיעית הא' כמה ויצאו קי"ג שלמים וקמ"ז חלקים מתמ"א חלקי הסאה ואם כן כללות התבואה טרם הנתן התרומה והמעשר הוא קי"ג סאין שלמים וקמ"ז חלקים מתמ"א חלקי הסאה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\sdot x\right)\sdot\left(\frac{c}{d}\sdot x\right)=\frac{n}{m}\sdot x</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת המספר אשר כשיוכה שלישיתו עם רביעיתו או איזה שבר משבריו אם איזה שבר משבריו ויהיה העולה מהכאתם שוה לאותו המספר בכללו או כמוהו וכמו שבר אחד משבריו או כמו כפלים ממנו וכמו שבר משבריו היאך יתכן מציאותו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה ומיחס ולכן נכה השבר עם השבר מופשטים והעולה נייחסהו ונאמר עם העולה ישוה כך כמוהו או כמוהו שלישיתו לפי השאלה האחד כמה והיוצא הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{\frac{n}{m}\sdot1}{\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת המספר אשר כשיוכה שלישיתו עם רביעיתו או איזה שבר משבריו עם איזה שבר משבריו ויהיה העולה מהכאת' שוה לאותו המספר בכללו ולז' עד"מ או לכפלו ולמספר כך היאך יתכן מציאותו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מהכאה ומיחס ומקבוץ ולכן נכה השבר עם השבר מופשטים והעולה נייחסהו ונאמר אם העולה ישוה כך כפלים ומספר כך לפי השאלה האחד כמה והיוצא מכמות הכפלים נשמרהו והיוצא מכמות המספר נבקש כל אותם המספרים אשר יולד המספר היוצא מהכאתם ונכתבם זוג זוג רוצה לומר כל שנים מספרים אשר מהם יולד המספר ההוא זה בצד זה כל אחד עם בן זוגו והמספר אשר בחבורו עם מספר הכפלים השמור ישוה לבן זוגו נחברנו עם השמור והוא המבוקש וזה במספרים השלמים אך אם היה שלם ושבר יחד נבקש השנים המספרים אשר יוגבל ביניהם המספר המבוקש ונמצאהו בקלו' אחרי שהוא מוגבל בין שני המספרים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}x\right)\sdot\left(\frac{1}{4}x\right)=x+6</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|משל השלמים הנה אם שאל השואל איזהו המספר אשר כשיוכה חציו עם רביעיתו יעלה כמוהו וכמו מספר ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+6\right)\sdot1}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}}=\frac{\left(1+6\right)\sdot1}{\frac{1}{8}}=8+48}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נכה החצי עם הרביעית מופשטים ויעלו שמינית אחד אחר זה נייחס ונאמר אם השמינית שוה כמהו וכמו מספר ו' האחד כמה ויצאו ח' ומספר מ"ח נשמור הח'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot2=48}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot1=48}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot4=48}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot3=48}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot6=48}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונבקש המספרים אשר יולד מספר המ"ח מהכאתם והם זוג זוג כל אחד בצד בן זוגו והם הא' עם המ"ח והב' עם הכ"ד והג' עם הי"ו והד' עם הי"ב והו' עם הח' כי כל שנים מאלו כאשר יוכו יעלו מ"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה בקשנו כל אחד מאלה הזוגות לדעת איזה מספר הוא שכשיחובר עם הח' השמורים יהיה העולה שוה לבן זוגו ומצאנו מספר ד' שכאשר יחובר עם הח' השמורים יעלה י"ב וישוה לבן זוגו כי בן זוגו הד' הוא הי"ב ולכן שפטנו שהמספר המבוקש הוא הי"ב ומהנה כבר תוכל לדעת הדרך בשלמים ושברים יחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: three types of sugar are sold in the market - the most valuable at five whites [levanim] for one rittal, the medial at three whites for one rittal and the least valuable at one white for seven liters.
| |
| − | :One went and bought equal portions from each of the three kinds and he spent ten whites.
| |
| − | :How much did he buy from each kind?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם מוכרים בשוק סוכר ג' מינים החשובה מאד בחמשה לבנים הרטל והבינונית בשלשה לבנים הרטל והפחותה שבעה ליטרין בלבן והלך אחד וקנה מהשלשה מינים חלקים שוים מכל אחד ופזר עשרה לבנים כמה לקח מכל מין ומין
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+3+\frac{1}{7}=8+\frac{1}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ ויחס ולכן נקח מכל מין רטל א' ונקבץ מה שעלה שווים והם ח' ושביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot10}{8+\frac{1}{7}}=1+\frac{13}{57}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר כן ניחס ונאמר אם בשמנה ושביעית לקחנו רטל אחד מכל מין בעשרה כמה נקח מכל מין ויצא לך רטל אחד וי"ג חלקים מנ"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם מוכרים בשוק סוכר חשובה בחמשה לבנים הרטל ובינונית בשלשה לבנים הרטל ופחותה מ[ז'] ליטרין בלבן אחד והלך אחד וקנה ו' ליטרין מהג' מינים ופזר עשרה לבנים כמה לקח מכל מין
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[3\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left(5\sdot3\right)=\left(4+\frac{5}{7}\right)+15=19+\frac{5}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה קח מהשלש מינין ו' לטרין הג' ליטרין מהב' מינין בשווי רוצה לומר רטל וחצי מהבינונית ורטל וחצי מהפחותה והג' ליטרין מהחשובה וחשוב העולה משוויים והם ט"ו לבנים הג' ליטרין של סוכר החשובה וד' לבנים וה' שביעיות הג' ליטרין של סוכר הבינונית והפחותה והנה סך הכל י"ט וה' שביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(19+\frac{5}{7}\right)-10=9+\frac{5}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|תגרע מהם הי' לבנים שקנה הו' ליטרין נשארו ט' לבנים וה' שביעיות ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=3+\frac{3}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחשב ההבדל שבין שווי הרטל האחד מהחשובה ובין שווי הרטל האחד מהבינונית והפחותה יחד כאשר יהיה בשווי רוצה לומר חצי הרטל מהבינונית וחצי הרטל מהפחותה וההבדל שביניהם הוא ג' שלמים וג' שביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(9+\frac{5}{7}\right)}{3+\frac{3}{7}}=2+\frac{5}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס ונאמר אם הג' שלמים ושלשה שביעיות יפסדו ברטל האחד הט' וה' שביעיות השמורים בכמה ליטרין יפסדו ויצאו ב' לטרין שלמים וה' ששיות הרטל
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+\frac{5}{6}\right)=\frac{1}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שאלה התשעה וה' שביעיות השמורים הם יותר מהעשרה לבנים שפזר הקונה בו' ליטרין של סוכר על כן נגרעם מהג' ליטרין שלקחנו מהחשובה ונוסיפם על הג' ליטרין שלקחנו מהבינונית והפחותה והנה נשאר לחשובה ששית הרטל לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+\left(2+\frac{5}{6}\right)=5+\frac{5}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ועלה מספר הבינונית והפחותה ה' ליטרין וה' ששיות הרטל וזה בשווי ר"ל חציים מהבינונית וחציים מהפחותה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\frac{1}{6}=\frac{10}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נמצא שקנה ששית הרטל מהחשובה בי' חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{5}{6}}{2}=2+\frac{11}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והשני ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2+\frac{11}{12}\right)=8+\frac{9}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והשני ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הרטל מהבינונית בח' לבנים וט' חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(2+\frac{11}{12}\right)=\frac{5}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והב' ליטרין וי"א חלקים מי"ב חלקי הרטל מהפחותה בחמשה חלקים מי"ב חלקי הלבן האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(2+\frac{11}{12}\right)+\left(2+\frac{11}{12}\right)=6}}</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{12}+\left(8+\frac{9}{12}\right)+\frac{5}{12}=10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שנמצאו לפי זה הסדר הו' ליטרין בעשרה לבנים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{3}{5}x\sdot10\right)\sdot\left(\frac{2}{5}x\sdot6\right)=200</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שחלק ממונו לשנים חלקים מתחלפים החלק האחד שלשה חמשיות הממון והחלק השני שתי חמשיות הממון והלך וקנה עם שלש חמשיות הממון עשרה ליטרין סוכר בלבן ועם ב' חמשיות הממון קנה ששה ליטרין בלבן והיו כל הליטרין מאתים כמה היה כל ממונו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)\sdot6\right]+\left[\left(\frac{3}{5}\sdot5\right)\sdot10\right]=42}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה בקש מספר שיהיה נחלק לחמשה חלקים והם ה' וקח ב' חמשיותיו והכהו עם ו' כפי השאלה והעולה שמרהו גם תקח ג' חמשיותיו והכהו עם י' כפי השאלה והעולה חברנו עם השמור ויעלו מ"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot200}{42}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם המ"ב ה' שהוא מספר הלקוח הנחלק לה' חלקים הר' ליטרין לפי השאלה כמה והיוצא הוא הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Partnership Problem - For the Same Time'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Question: three people were partners. One of them contributed 12½ to the partnership, the second [contributed] 6⅓, and the third [contributed] 7½. They earned 45½. How much should each of them receive from the profit?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים ושם האחד מהם בחברה י"ב וחצי והשני ו' ושליש והשלישי ז' וחצי והרויחו מ"ה וחצי כמה יגיע לכל א' מהם מהריוח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השא[ל]ה מחוברת משני מינים ממיני המספר והם הקבוץ והיחס ולכן נתיכה אליהם ויתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{1}{3}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=26+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ תחלה ממון שלשתם ויעלו כ"ו ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(26+\frac{1}{3}\right):\left(45+\frac{1}{2}\right)=\left(12+\frac{1}{2}\right):x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ו ושליש הרויחו מ"ה וחצי הי"ב וחצי כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=21+\frac{189}{316}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ"א שלמים וקפ"ט חלקים משי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{298}{316}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה עם ממון השני ויצאו עשרה שלמים ורצ"ח חלקים משי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{303}{316}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה עם ממון השלישי ויצאו י"ב שלמים וש"ג חלקים משי"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Partnership Problem - For Different Times'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: three people were partners for one year, each contributed the same as the other to the partnership, but one contributed his money to the partnership after three months and the other one contributed his money to the partnership after six months. So the money of the first was in the partnership 12 months, the money of the second 9 months, and the money of the third 6 months.<br>
| |
| − | :They earned 45 and a half.<br>
| |
| − | :How much should each receive?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים שנה אחת ושם כל אחד בחברה כמו האחר רק שהאחד שם ממונו בחברה אחר שלשה חדשים והאחר שם ממונו בחברה אחר ששה חדשים שנמצא שהיה ממון האחד בחברה י"ב חדשים וממון השני ט' חדשים וממון השלישי ששה חדשים<br>
| |
| − | והרויחו מ"ה וחצי<br>
| |
| − | כמה יגיע לכל א'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה גם כן מחוברת משני מינין ממיני המספר שהם הקבוץ והיחס ולכן יתבאר ענינה בשנתיכה אליהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+9+6}{12}=2+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ תחלה זמני שלשתן והם ב' שנים ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right):\left(45+\frac{1}{2}\right)=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ניחס ונאמר אם הב' ורביע הרויחו מ"ה וחצי האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{4}{18}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ' שלמים וד' חלקים מי"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=15+\frac{3}{18}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה עם זמן השני ויצאו ט"ו שלמים וג' חלקים מי"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{2}{18}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה מזמן השלישי ויצאו י' שלמים וב' חלקים מי"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Partnership Problem - For Different Times'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: three people were partners. One of them contributed 12 to the partnership and stayed in the partnership a whole year. The second contributed 6 to the partnership four months after the the beginning of the year. The third contributed 7 to the partnership eight months after the the beginning of the year.<br>
| |
| − | :They earned 45.<br>
| |
| − | :How much should each receive?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ג' אנשים שהיו שותפים ושם הא' מהם בחברה י"ב ועמדו בתוך החברה שנה תמימה והשני שם בחברה אחר ד' חדשים מתחלת השנה ששה והשלישי שם בחברה אחר שמנה חדשים מתחלת השנה שבעה<br>
| |
| − | והרויחו בסוף השנה מ"ה<br>
| |
| − | כמה יגיע לכל אחד ואחד מהרויח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(1) The question consists of three proportions and three additions
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת משלשה יחסים ושלשה קבוצים ולכן ראוי להתיכה אליהם ואז יתבאר ענינה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{12+6+7=25}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנקבץ תחלה ממון שלשתם ויעלו כ"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:45=12:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הי"ב כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=21+\frac{3}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ"א וג' חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:45=6:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הו' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו עשרה וד' חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:45=7:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם הכ"ה הרויחו מ"ה הז' כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{3}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו י"ב וג' חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+4+8}{12}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואלה היוצאים נקראם יוצאים ראשונים אחר זה נקבץ זמני שלשתן ויעלו ב' שנים שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(21+\frac{3}{5}\right)=1:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הב' שנים הרויחו כ"א ושלשה חמשיות השנה האחת כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו עשרה וד' חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(10+\frac{4}{5}\right)=\frac{2}{3}:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם הב' שנים הרויחו עשרה וד' חמשיות הב' שלישיות של שנה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{2}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ג' וג' חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(12+\frac{3}{5}\right)=\frac{1}{3}:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם הב' שנים הרויחו י"ב וג' חמשיות השליש של שנה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{10}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ב' ועשירית
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואלה היוצאים נקראם יוצאים שניים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{4}{5}\right)+\left(3+\frac{3}{5}\right)+\left(2+\frac{1}{10}\right)=16+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נקבץ כל היוצאים השניים ויעלו י"ו וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(10+\frac{4}{5}\right)=45:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס ונאמר אם מהי"ו וחצי לקח הראשון מהיוצאים הראשונים עשרה וד' חמשיות שהוא הראשון מהיוצאים השניים מהמ"ה שהוא כל הרויח כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the one who contributed 12: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=29+\frac{5}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו כ"ט שלמים וה' אחד עשריים רוצה לומר ה' חלקים מי"א וככה יקח מי ששם הי"ב בשנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(3+\frac{3}{5}\right)=45:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם מהי"ו וחצי לקח השני מהיוצאים הראשונים שלשה וג' חמשיות שהוא השני מהיוצאים השניים מהמ"ה שהוא כל הרויח כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the one who contributed 6: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=9+\frac{9}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו תשעה שלמים וט' יאיי"ם וככה יקח המשים הששה בשתי שלישיות של השנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(2+\frac{1}{10}\right)=45:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם מהי"ו וחצי לקח השלישי מהיוצאים הראשונים ב' ועשירית שהוא השלישי מהיוצאים השניים מהמ"ה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the one who contributed 7: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{8}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו חמשה שלמים ושמנה יאיי"ם וככה יקח המשים השבעה בשליש השנה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :(2) The question consists of two proportions and three additions with five values
| |
| − | |style="text-align:right;"|או בשני יחסים ושלשה קבוצים עם התמונה הבעלת חמש צורות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: the amounts of money of the three
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שנקבץ ממון שלשתם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: the times of the three
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשמרהו גם זמני שלשתן ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot2\right):45=\left(12\sdot1\right):x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הכ"ה שהוא העולה מממון שלשתן בב' שנים שהוא העולה מזמני שלשתן ירויחו מ"ה הי"ב שהוא ממון האחד בשנה האחת שהוא זמן האחד כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{4}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו עשרה וד' חמשיות ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot2\right):45=\left(6\sdot\frac{2}{3}\right):x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נאמר אם הכ"ה בב' שנים מ"ה הו' בב' שלישיות השנה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::[missing <math>\scriptstyle{\color{red}{x=3+\frac{3}{5}}}</math>]
| |
| − | ::[missing <span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{red}{\left(25\sdot2\right):45=\left(7\sdot\frac{1}{3}\right):x}}</math>]
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{10}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ב' ועשירית ונשמרם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::addition: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{4}{5}\right)+\left(3+\frac{3}{5}\right)+\left(2+\frac{1}{10}\right)=16+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נקבץ כל השמורים ויעלו י"ו וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(10+\frac{4}{5}\right)=45:x_1}}</math>
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(3+\frac{3}{5}\right)=45:x_2}}</math>
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{1}{2}\right):\left(2+\frac{1}{10}\right)=45:x_3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס ונאמר אם מהי"ו וחצי לקח הראשון עשרה וד' חמשיות והשני שלשה וג' חמשיות והשלישי ב' ועשירית מהמ"ה כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the one who contributed 12: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=29+\frac{5}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו לראשון כ"ט וחמשה יאיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=9+\frac{9}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולשני תשעה וט' יאיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit of the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=5+\frac{8}{11}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולשלישי חמשה וח' יאיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :A shorter method:
| |
| − | |style="text-align:right;"|דרך אחר יותר קצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the share of man<sub>i</sub> in the profit =<br>
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{profit\sdot\left(money_i\times time_i\right)}{\sum_{j=1}^3 \left(money_j\times time_j\right)}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והוא שנכה כמות ממון כל אחד עם כמות זמנו אחר זה נקבץ כל העולים מאלה ההכאות ויהיה הוא המחלק<br>
| |
| − | עוד נכה הרויח עם העולה מהכאת כמות ממון כל אחד עם זמנו והעולה הוא המחולק<br>
| |
| − | והחלק והיוצא הוא החלק המגיע לכל א' מהרויח
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Partnership Problem - For the Same Time'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: three people were partners. They agreed between them that the first will take half of the profit, the second [will take] its third, and the third [will take] its quarter.<br>
| |
| − | :They earned 12.<br>
| |
| − | :How much should each receive?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=12</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים והתנו ביניהם שיקח הראשון חצי הרויח והשני שלישיתו והג' רביעיתו<br>
| |
| − | והרויחו י"ב<br>
| |
| − | כמה יגיע לכל אחד ואחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה לקוחה ממקום התמורה כי השמיטה המתייחסי' הצריכים לענינו ולקח תמורתם הדברים אשר יתחייבו מהם המתייחסים וזה שהמתייחסים הצריכים לענינו הם יחסי החלקים קצתם בקצת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שהראשון יקח אחד וחצי כמו השני והשני יקח אחד ושליש כמו השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot a_2\longrightarrow a_2=\frac{2}{3}a_1</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{2}{3}a_1=a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle a_1=\frac{\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\right]\sdot1}{\frac{2}{3}}=2\sdot a_3</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואלו שאל ככה לא היה שם מקום ספק כלל כי היינו מחלקים הרויח לארבעה חלקים ושליש בשנייחס ונאמר אם חלק השני שהוא שתי שלישיות הראשון שוה אחד ושליש כמו השלישי החלק הראשון שהוא אחד שלם בערך אל השני כמה ויצאו שנים שלמים כמו השלישי רוצה לומר כפלו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_2=\left(2\sdot a_3\right)+\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3\right]=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שחלק השני הוא אחד ושליש כמו השלישי אם כן הראשון והשני יחד שוים ג' ושליש כמו השלישי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_2+a_3=\left(4+\frac{1}{3}\right)\sdot a_3</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר נחבר עמהם גם השלישי שהוא אחד יהיה הכל ד' ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_3=\frac{a_1+a_2+a_3}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{4+\frac{1}{3}}=2+\frac{10}{13}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכשנחלק עליהם הי"ב שהרויחו יצא לכל חלק ב' שלמים ועשרה חלקים מי"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1=2\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=5+\frac{7}{13}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה יחוייב שנתן לראשון שיש לו ב' שלמים מהד' ושליש ה' שלמים ושבעה יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_2=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=3+\frac{9}{13}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולשני שיש לו אחד ושליש מהד' ושליש שלשה שלמים וט' יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_3=1\sdot\left(2+\frac{10}{13}\right)=2+\frac{10}{13}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולשלישי שיש לו אחד מהד' ושליש שנים שלמים ועשרה יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_2+a_3=\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)+\left(2+\frac{10}{13}\right)=12</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנה בין הכל י"ב שלמים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}:\frac{1}{3}=\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]:\frac{1}{3}=1+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אך מפני שלא הזכיר בשאלתו יחס חלק האחד על חלק השני וחלק השני על חלק השלישי אבל הזכיר תמורתם המספרים המתחייבים מהם שהם יחס חלק כל אחד אל הכל שהוא החצי והשליש והרביע להיות שיחס החצי אל השליש הוא אחד וחצי כי החצי הוא אחד וחצי שליש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}:\frac{1}{4}=\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]:\frac{1}{4}=1+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחס השליש אל הרביע הוא אחד ושליש כי השליש הוא אחד ושליש רביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|על כן נפל הספק והמבוכה בזאת השאלה כי לא יתכן שיקחו החלקים שהתנו ביניהם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=1+\frac{1}{12}>1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|מפני שקבוץ החצי והשליש והרביע שהתנו לקחת הם יותר מהכל כי קבוצם עולה אחד שלם וחלק אחד מי"ב וזה לא יתכן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{13}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|דרך אחר קצר נקבץ החצי והשליש והרביע והם י"ג חלקים מי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{2}}{13}}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{3}}{13}}}</math>; <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\frac{1}{4}}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונייחס ונאמר אם הי"ג י"ב החצי כמה והשליש כמה והרביע כמה ויצא לך המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2=a_3\\\scriptstyle a_1+a_3=100\sdot a_2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה אנשים שהיו שותפים ושמו בחברה חלקים מתחלפים וכתבו אשר ביניהם לדעת כמות ממון כל אחד ואחד וכשבאו לחלק [ה]שתוף בקשו השטר שביניהם ולא מצאוהו והם שכחו הממון ששם כל אחד ואחד בחברה אך היו זוכרים שכמות ממון הראשון והשני מחוברים יחד היה ככמות השלישי וכמות הראשון והשלישי כמאה מן השני היאך ידעו כמות כל אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שגם זאת השאלה הטעיית כי לקחה המחייב תמורת המתחייב וזה שהמתייחסים הצריכים לענינו הם יחס ממון כל אחד מהם אל ממון האחר לא יחס ממון הב' יחד על ממון האחד אולם מפני שיחוייב מידיעת יחס חבור ממון שניהם אל ממון האחד ידיעת יחס ממון האחד אל ממון האחר לקח זה תמורת זה והוא שהוא מן המבואר בעצמו שכאשר נחשב ממון שלשתם לממון אחד וממון כל אחד לחלק יחד מחלק הממון הנה יחוייב מזה מבוקשנו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_2=a_3\longrightarrow a_1+a_2=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאחר שממון הראשון והשני מחוברים אחד הוא ככמות ממון הג' אם כן ממון שניהם בהכרח חצי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_3=100\sdot a_2\longrightarrow a_1+a_3=\frac{100}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר שממון האחד והג' מחוברים יחד הוא כמו מאה מממון השני אם כן ממון שניהם יחד הוא בהכרח מאה חלקים מק"א חלקי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_2=\frac{1}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחוייב מזה בהכרח שישאר ממון הב' חלק אחד מק"א חלקי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_1+a_2=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\longrightarrow</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שממון האחד והב' יחד הם חצי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_1&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)-\frac{1}{101}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\&\scriptstyle=\frac{49+\frac{1}{2}}{101\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)}\\&\scriptstyle=\frac{99}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\\end{align}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה כאשר נחסר מחצי כל הממון אשר הוא ממון שניהם יחד חלק אחד מק"א חלקי כל הממון ישאר בהכרח ממון האחד מ"ט חלקים וחצי מק"א חלקי כל הממון שהם צ"ט חלקים מר"כ חלקי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a_2=\frac{2}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וממון השני ב' חלקים מר"כ חלקי כל הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a_3&\scriptstyle=\left(a_1+a_2+a_3\right)-\left[\left[\frac{99}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]+\left[\frac{2}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{101}{202}\sdot\left(a_1+a_2+a_3\right)\\\end{align}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וישאר ממון השלישי בהכרח מאה ואחד חלקים מר"כ חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: someone said: if Reuven will work for me 20 days I will pay him 5 zehuvim; if Shimon – I will pay him 4 zehuvim; if Levi – I will pay him 3 zehuvim. They all went and worked for him and he was counting them and writing the hours and days each of them is working. The total time the three of them worked together was 20 whole days. Finally, he paid each of them an equal share. How much is the share of each of them and how many days, hours and parts [of hours] did each of them work?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle 5a_1=4a_2=3a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=20\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שאמר אם יעבדני ראובן כ' יום אתן לו חמשה זהובים ואם שמעון אתן לו ארבעה זהובים ואם לוי אתן לו שלשה זהובים<br>
| |
| − | והם הלכו כלם ועבדוהו והיה סופר עליהם שכותב השעות והימים שעובד כל אחד<br>
| |
| − | והיה כללות הזמן שעבדוהו שלשתן יחד עשרים יום שלמות<br>
| |
| − | ובאחרונה פרע לכל אחד מהם חלק שוה<br>
| |
| − | כמה הוא החלק שלקח כל אחד מהם וכמה הם הימים והשעות והחלקים שעבד כל אחד מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of addition, division and proportion
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחלוק ויחס ולכן נתיכה אליהם וזה כשנעיין תחלה לדעת כמות הזמן שיעבוד כל אחד מהם בזהוב האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Reuven works for one zahuv: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}=4}}</math> days
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה בשנחלק העשרים יום על הה' ויצאו ד' יום לראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Shimon works for one zahuv: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{4}=5}}</math> days
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונחלק הכ' יום על הד' ויצאו ה' יום לשמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Levi works for one zahuv: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}</math> days
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונחלק הכ' יום על הג' ויצאו ו' יום וב' שלישיות היום ללוי
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)=15+\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נקבץ הכל ויעלו ט"ו יום וב' שלישיות היום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{2}{3}\right):1=20:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם בט"ו יום וב' שלישיות היום לכלם יחד יקח כל אחד מהם זהוב אחד בעשרים יום לכלם יחד כמה יקח כל אחד מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the payment of each: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{13}{47}}}</math> zahuv
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצא זהוב אחד וי"ג חלקים ממ"ז חלקי הזהוב האחד וככה לקח כל אחד מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{1:4=\left(1+\frac{13}{47}\right):x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם בזהוב האחד יעבוד ראובן ד' יום שלמות בזהוב האחד וי"ג חלקים ממ"ז כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::working days of Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{5}{47}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ה' ימים שלמים וחמשה חלקים ממ"ז חלקי היום לראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::working days of Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{18}{47}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה לשמעון ויצאו ששה ימים שלמים ושמנה עשר חלקים ממ"ז חלקי היום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::working days of Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{24}{47}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נעשה ללוי ויצאו שמנה ימים שלמים וכ"ד חלקים ממ"ז חלקי היום
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:inheritance|645|JzJ1}}Question: Reuven, Shimon, Levi, and Yehudah - each issued a deed of their father.<br>
| |
| − | :In Reuven's deed it is written that his father Jacob has given him all his fields as a pure gift, a gift of dying man.<br>
| |
| − | :In Shimon's deed it is written that Jacob has given him a half of his fields.<br>
| |
| − | :In Levi's deed it is written that Jacob has given him a third of his fields.<br>
| |
| − | :In Yehudah's deed it is written that Jacob has given him a quarter of his fields.<br>
| |
| − | :The time of all the deeds is the same
| |
| − | :<math>\scriptstyle x+\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x={\color{red}{12}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן שמעון לוי ויהודה שהוציא כל אחד מהם שטר של אביהם<br>
| |
| − | וכתוב בשטר ראובן שיעקב אביו נתן לו כל שדותיו במתנה גמורה מתנת שכיב מרע<br>
| |
| − | וכתוב בשטר שמעון שיעקב נתן לו חצי שדותיו<br>
| |
| − | וכתוב בשטר לוי שיעקב נתן לו שליש שדותיו<br>
| |
| − | וכתוב בשטר יהודה שיעקב נתן לו רביע שדותיו<br>
| |
| − | וזמן כל השטרות הוא אחד{{#annotend:JzJ1}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*'''The sages of Israel''' - according to the request of each
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודין ישראל לקחת כל אחד לפי טענתו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*'''The Gentile sages''' - according to the ratio of each share
| |
| − | |style="text-align:right;"|ודין הגוים שיקח כל אחד לפי ערך טענתו אל טענת חברו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The division according to the Gentile sages:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{25}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שהגויים יקבצו החצי והשליש והרביע והשלם ויעלו כ"ה חלקים מי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:12=12:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה ייחסו ויאמרו אם הכ"ה י"ב הי"ב ששואל ראובן שהוא האחד השלם כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{19}{25}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו חמשה וי"ט כהיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right):x=6:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם ייחסו ויאמרו אם הכ"ה י"ב הו' ששואל שמעון שהוא החצי כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{22}{25}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו ב' וכ"ב כהיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{3}\sdot12\right):x=4:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם יאמרו אם הכ"ה י"ב הד' ששואל לוי שהוא השליש כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{23}{25}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו א' וכ"ג כהיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{25:12=\left(\frac{1}{4}\sdot12\right):x=3:x}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם יאמרו אם הכ"ה י"ב הג' ששואל יהודה שהוא הרביע כמה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Yehudah: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{11}{25}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצאו אחד וי"א כהיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{19}{25}\right)+\left(2+\frac{22}{25}\right)+\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left(1+\frac{11}{25}\right)=12}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובין הכל י"ב וככה יקח כל אחד מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*The division according to the sages of Israel:
| |
| − | Yehudah: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{16}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וחכמי ישראל יחלקו אותם בזה הדרך שיקח יהודה הקטן חלק מי"ו מפני שיאמרו השלשה האחין הגדולים ממנו שכל מה שאתה טוען אינו כי אם רביע הממון ואנחנו טוענים כמוך באותו הרביע לכן נקח כל אחד רביעיתו שהוא חלק אחד מי"ו חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{1}{16}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{12}\right)=\frac{13}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה יקח לוי שליש הי"ביי האחד שהוא ההפרש שבין השליש והרביע וכבר לקח חלקו מהרביע כמו שלקחו יהודה ולכן יחלקו הג' האחין היב"יי האחד שהוא תוספת השליש על הרביע שהשלשה אחים טוענים בו והנה בין הכל י"ג חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{144}+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)\right]=\frac{13}{144}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\frac{25}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה יקח שמעון חצי הששית האחד שהוא תוספת החצי על השליש כי כבר לקח חלקו מהשליש ולכן יחלקו הב' אחים הששית האחד ששניהם טוענים בו והנה בין הכל כ"ה חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן בזה הדרך יקח ראובן צ"ז חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויקח שמעון כ"ה חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויקח לוי י"ג חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Yehudah: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{144}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויקח יהודה תשעה חלקים מקמ"ד חלקי הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{97}{144}+\frac{25}{144}+\frac{13}{144}+\frac{9}{144}=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך הכל אחד שלם שהוא הממון הנתבע
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Joint Purchase Problem - If You Give Me - Buying a Fish'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:fish|664|E8G4}}Question: Reuven, Shimon and Levi went to the fish market and found a fish.<br>
| |
| − | :Reuven said to his two friends: if I will give all that I have and each of you will give a half of what you have we will buy the fish.<br>
| |
| − | :Shimon answer and said: if I will give all that I have and each of you [will give] a third of what you have we will buy the fish.<br>
| |
| − | :Levi answer and said: if I will give all that I have and each of you [will give] a quarter of what you have we will buy the fish.<br>
| |
| − | :What is the ratio of each one to the other i.e. the ratio of their amount of money one to the other?
| |
| − | :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=fish\\\scriptstyle S+\frac{1}{3}R+\frac{1}{3}L=fish\\\scriptstyle L+\frac{1}{4}R+\frac{1}{4}S=fish\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן שמעון ולוי שהלכו בשוק הדגים ומצאו דג אחד<br>
| |
| − | ואמר ראובן לשני חביריו אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל אחד מכם חצי מה שבידכם נקנה הדג<br>
| |
| − | וענה שמעון ואמר אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל אחד מכם שליש מה שבידכם נקנה הדג<br>
| |
| − | וענה לוי ואמר אם אתן אני כל מה שבידי ואתם כל א' מכם רביעית מה שבידכם נקנה הדג<br>
| |
| − | מה יחס ממון כל אחד אצל האחר רוצה לומר יחס ממונם קצתם אל קצת{{#annotend:E8G4}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה הטעיית שהשמיטה הענינים המורים על יחס מה שביד הא' אל מה שביד כל אחד מהנשאר וזכרה הענינים המחייבים אותם תמורתם ולכן כאשר נקח המתחייבים מהענינים הנזכרים בזאת השאלה הנה נגיע אל המכוון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}R+\frac{1}{2}L</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה נאמר שמתחייבים ממאמר ראובן וממאמר שמעון שיהיה חצי מה שביד שמעון כמו ב' שלישיות ראובן וששית לוי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S=\left(1+\frac{1}{3}\right)R+\frac{1}{3}L</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן כל מה שביד שמעון שוה לאחד ושליש ראובן ושליש לוי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=S+\frac{1}{3}R+\frac{1}{3}L</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאחר שכל מה שביד ראובן עם חצי כל אחד מהנשארים כדברי ראובן שוה לכל מה שביד שמעון עם שליש כל אחד מהנשארים כדברי שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(1-\frac{1}{2}\right)S=\left(1-\frac{1}{3}\right)R+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)L</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{1}{2}S=\frac{2}{3}R+\frac{1}{6}L</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן המתחייב מזה שיהיה התוספת שהוסיף שמעון בדבריו על דברי ראובן שהוא חצי מה שבידו שוה למגרעת מה שגרע מכללות מה שביד ראובן שהוא ב' שלישיותיו ולמגרעת מה שגרע מחצי מה שביד לוי שהוא ששיתו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle R+\frac{1}{2}S+\frac{1}{2}L=L+\frac{1}{4}R+\frac{1}{4}S</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{1}{2}L=\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יתחייב מדברי ראובן ולוי בזה האופן בעצמו שיהיה חצי מה שביד לוי שוה לג' רביעיות ראובן ורביעית שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{3}L=\frac{1}{2}R+\frac{1}{6}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יחוייב לפי היחס הזה שיהיה שליש מה שביד לוי שוה לחצי ראובן וששית שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S=\left(1+\frac{1}{3}\right)R+\frac{1}{3}L</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שכל מה שביד שמעון שוה לאחד ושליש ראובן ושליש לוי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R+\frac{1}{6}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן כל מה שביד שמעון שוה לאחד וה' ששיות ראובן וששית שמעון בעצמו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(1-\frac{1}{6}\right)S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{5}{6}S=\left(1+\frac{5}{6}\right)R</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשליך ששית שמעון המשותף וישארו ה' ששיות מה שביד שמעון שוה לאחד וה' ששיות ראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחוייב לפי היחס הזה שיהיה כל מה שביד שמעון שוה לכפל ראובן וחמישיתו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle11R=5S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן מן המחוייב מזה שאם יהיה כל מה שביד ראובן ה' שיהיה כל מה שביד שמעון י"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{2}L=\frac{3}{4}R+\frac{1}{4}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכבר קדם שחצי מה שביד לוי שוה לג' רביעיות ראובן ורביעית שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle L=\left(1+\frac{1}{2}\right)R+\frac{1}{2}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחוייב לפי זה היחס שיהיה כל מה שביד לוי שוה לא' וחצי ראובן וחצי שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle R=5\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle S=11\\\scriptstyle L=13\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow fish=17</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן מן המחוייב מזה שאם יהיה כל מה שביד ראובן חמשה וכל מה שביד שמעון י"א לפי מה שקדם שיהיה כל מה שביד לוי י"ג ויתחייב מזה שיהיה סכום הדג י"ז
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S+L+\frac{1}{2}R=fish\\\scriptstyle R+L+\frac{1}{3}R=fish\\\scriptstyle R+S+\frac{1}{4}L=fish\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן שמעון לוי שהלכו בשוק הדגים ומצאו דג אחד ואמר ראובן אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני חצי מה שבידי נקנה הדג ענה שמעון ואמר אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני שליש מה שבידי נקנה הדג ענה לוי ואמר אם תתנו אתם כל מה שבידכם ואני רביעית מה שבידי נקנה הדג כמה סכום הדג וסכום מה שביד כל אחד ואחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{2}{3}S=\frac{1}{2}R</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה הנה המתחייב ממנה ממאמר ראובן וממאמר שמעון שיהיה ב' שלישיות מה שביד שמעון שוין לחצי ראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S=\frac{3}{4}R</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן כל ממון שמעון שוה לג' רביעיות ראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S+L+\frac{1}{2}R=R+L+\frac{1}{3}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שאחר שכל מה שביד שמעון ולוי עם חצי מה שביד ראובן כדברי ראובן שוה לכל מה שביד ראובן ולוי עם מה שביד שמעון כדברי שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(1-\frac{1}{3}\right)S=\left(1-\frac{1}{2}\right)R</math>
| |
| − | <math>\scriptstyle\frac{2}{3}S=\frac{1}{2}R</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|א"כ המתחייב מזה שיהיה המגרעת שגרע שמעון בדבריו מדברי ראובן שהוא ב' שלישיות מה שבידו שוה לתוספת מה שהוסיף על חצי ראובן שהוא חצי מה שביד ראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle S=\frac{3}{4}R</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן כל ממון שמעון לפי זה היחס שוה לג' רביעיות ראובן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle L=\frac{8}{9}S</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה האופן בעצמו יחוייב מדברי שמעון ולוי שיהיה כל ממון לוי שוה לח' תשיעיות שמעון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle R=12\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle S=\frac{3}{4}R=9\\\scriptstyle L=\frac{8}{9}S=8\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow fish=23</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן אם נניח שיהיה מה שביד ראובן י"ב יהיה מה שביד שמעון תשעה שהם שלש רביעיות ראובן ויהיה מה שביד לוי שמנה שהם ח' תשיעיות שמעון<br>
| |
| − | ויהיה סכום הדג כ"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Multiple Quantities - Brothers Sharing an Inheritance'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question Reuven, Shimon and Levi who were given an inheritance. Reuven was granted half the inheritance, Shimon a third and Levi a sixth of the inheritance.<br>
| |
| − | :The three of them came together and took from the inheritance each one randomly.<br>
| |
| − | :Then they came to stand at the trial to take each one his legal share and commited themselves by the law that they should put in the middle - Reuven a half of what he took, Shimon a third of what he took, and Levi a sixth of what he took, then they will divide all into three equal parts; and each one would take the third so that each will take his legal share.<br>
| |
| − | :How much did each of them took from the inheritance before they stood at the trial?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן שמעון ולוי שנפלה להם ירושה והמגיע ממנה לראובן חצי הירושה ולשמעון שליש הירושה וללוי ששית הירושה<br>
| |
| − | ובאו שלשתם יחד וטרפו מהירושה כל אחד לפי מה שקרה<br>
| |
| − | ואחר כך באו לעמוד בדין לקחת כל אחד חוקו ונתחייבו בדין שישימו באמצע ראובן חצי מה שטרף ושמעון שליש מה שטרף ולוי ששית מה שטרף ואחר כך יחלקו הכל לשלשה חלקים שוים ויקח כל אחד מהם השליש ובזה יקח כל אחד מהם חוקו<br>
| |
| − | כמה טרף כל אחד מהם מאותה הירושה טרם עמדם בדין
| |
| − | |-
| |
| − | |remainder of Reuven = (½∙remainder of all)+(⅙∙whole pool)
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שהמתחייב מזה בהכרח שיהיה הנשאר ביד ראובן [מ]כל מה שטרף אחרי שומו באמצע חצי מה שטרף שוה לחצי כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע ולששית מה שבאמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |remainder of Shimon = ⅓∙remainder of all
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שמעון מכל מה שטרף אחרי שומו באמצע שליש מה שטרף שוה לשליש כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |remainder of Levi = (⅙∙remainder of all)-(⅙∙whole pool)
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד לוי מכל שטרף אחרי שומו באמצע ששית מה שטרף שוה לששית כל הנשאר ביד שלשתן מהטריפה אחרי מה ששמו באמצע פחות ששית מה שבאמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |a:b=c:d →(c-a):(d-b)=c:d
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר התבאר בספר היסודות לאקלידס במאמר השביעי ממנו בתמונת י"א שכאשר
| |
| − | חוסרו משני מספרים ב' מספרים והיה יחס המחוסר אל המחוסר כיחס הכל אל הכל הנה
| |
| − | יהיה הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven : whole inheritance = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יחוייב מזה בהכרח שאחר שהשני מספרי' שהם האחד החלק המגיע לראובן מן הירושה והאחר כלל הירושה הם מתייחסים ביחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven = ½∙whole inheritance
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שהחלק המגיע לראובן הוא חצי כלל הירושה במשלנו זה
| |
| − | |-
| |
| − | |(share of Reuven) - (his remainder) = (his share of the pool)
| |
| − | |style="text-align:right;"|וחוסר מכללו החלק המגיע לראובן חלק מה והוא מה שנשאר בידו מהטריפה
| |
| − | |-
| |
| − | |(whole inheritance) - (total remainder) = (the pool)
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם חוסר מכלל הירושה חלק מה והוא הנשאר ביד שלשתן יחד מהטריפה
| |
| − | |-
| |
| − | |remainder of Reuven : remainder of all = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן המחוייב מזה בהכרח שאם היה יחס הנשאר ביד ראובן אל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven : whole inheritance = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהוא יחס כל המגיע לראובן מכלל הירושה אל כלל הירושה
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven's share of the pool : whole pool = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיהיה גם כן יחס החלק המגיע לראובן מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע כיחס החלק המגיע לראובן מכלל הירושה אל כלל הירושה רוצה לומר יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Shimon : whole inheritance = ⅓
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזאת הסבה יחוייב שיהיה יחס החלק המגיע לשמעון מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon's share of the pool : whole pool = ⅓
| |
| − | |style="text-align:right;"|כיחס החלק המגיע לו מכלל הירושה אל כלל הירושה ר"ל יחס השליש
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Levi ∶ whole inheritance = ⅙
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה יחס החלק המגיע ללוי מהמונח באמצע אל כל המונח באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi's share of the pool : whole pool = ⅙
| |
| − | |style="text-align:right;"|כיחס החלק המגיע לו מכלל הירושה אל כלל הירושה רוצה לומר יחס הששית
| |
| − | |-
| |
| − | |(remainder of Reuven) : (total remainder) = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן נעשה כזה הקש תנאיי מתדבק ונאמר אם היה יחס הנשאר ביד ראובן אל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven : whole inheritance = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|שהוא כיחס כל המגיע לו מהירושה אל כלל הירושה
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven of the pool = (his share of the inheritance) : (whole inheritance) = ½
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יהיה החלק המגיע לראובן מכללות המונח באמצע כיחס כל המגיע לו מהירושה אל כלל הירושה ר"ל יחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |share of Reuven of the pool = ⅓
| |
| − | |style="text-align:right;"|אבל החלק המגיע לו מכלל המונח הוא שליש לבד במשלנו זה
| |
| − | |-
| |
| − | |(remainder of Reuven) : (total remainder) = ½ + [½ - [(share of Reuven of the pool) : (whole pool)]]
| |
| − | |style="text-align:right;"|אם כן אין יחס הנשאר בידו אל כל הנשאר ביד שלשתן יחד יחס החצי אבל הוא יותר מהחצי כמו החסרון אשר יחסר יחס החלק המגיע לו מהמונח באמצע אל הכלל המונח באמצע מיחס החצי
| |
| − | |-
| |
| − | |(share of Reuven of the pool) : (whole pool) = ⅓
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שיחס החלק המגיע לו מהמונח באמצע אל הכלל המונח באמצע הוא יחס השליש במשלנו זה
| |
| − | |-
| |
| − | |½-⅓=⅙
| |
| − | |style="text-align:right;"|והיה יחס השליש חסר מיחס החצי יחס הששית
| |
| − | |-
| |
| − | |(remainder of Reuven) : (total remainder) = ½ + [⅙(whole pool)]
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה מן המחוייב מזה בהכרח שיהיה יתרון יחס הנשאר בידו אל כל הנשאר ביד שלשתן מיחס החצי כמו ששית כל המונח באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |(remainder of Levi) : (total remainder) = ⅙ - [⅙(whole pool)]
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן יתחייב לזאת הסבה בעצמה שיהיה חסרון יחס הנשאר ביד לוי אל כל הנשאר ביד שלשתן מיחס הששית כמו ששית כל המונח באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |(remainder of Shimon) : (total remainder) = ⅓
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיהיה יחס הנשאר ביד שמעון אל כל הנשאר ביד שלשתן הוא יחס השליש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן ברצותנו לדעת מה שנשאר ביד כל אחד הנה נניח בעד הנשאר ביד שלשתן מספר אחד שיהיו לו כל אלה החלקים רוצה לומר החצי ושליש וששית
| |
| − | |-
| |
| − | |total remainder = 360<br>
| |
| − | pool<sub>1</sub> = 60
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה על דרך משל מספר ש"ס גם נניח שיהיה המספר המונח באמצע מספר ס' על דרך משל
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=190}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחוייב לפי מה שקדם שיהיה הנשאר ביד ראובן חצי הש"ס וששית הס' שהם ק"צ
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot360=120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שמעון שליש הש"ס לבד שהם ק"כ
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד לוי ששית הש"ס פחות ששית הס' שהם נ'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהנשאר ביד ראובן ק"צ הנה יחוייב מזה בהכרח שיהיה מה ששם באמצע ק"צ
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot120=60}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יחוייב לזאת הסבה בעצמה שיהיה מה ששם שמעון באמצע ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot50=10}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיהיה מה ששם לוי באמצע עשרה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{190+60+10=260}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כל מה שבאמצע ר"ס
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{260-60=200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהמונח באמצע במשלנו זה היחס והמקובץ מהחלקים הנתונים באמצע הוא ר"ס ולקחנו ההבדל שביניהם שהם הר' ושמרנום וקראנום השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |total remainder = 360<br>
| |
| − | pool<sub>2</sub> = 61
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה שמנו מונח אחר והוא ס"א תמורת המונח הראשון שיהיה ששים והנשאר ביד שלשתן הוא הנשאר הראשון בעינו שהוא מספר ש"ס וענינו לדעת ההפרש שבין המונח והנתון בזה המשל ובין המונח והנתון במשל הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot61\right)=190+\frac{1}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויחוייב לפי מה שקדם שיהיה הנשאר ביד ראובן חצי הש"ס וששית הס"א שהם ק"צ וששית
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot360=120}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שמעון שליש הש"ס לבד שהם ק"כ
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left(\frac{1}{6}\sdot61\right)=49+\frac{5}{6}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד לוי הש"ס פחות ששית הס"א שהם מ"ט וה' ששיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיחוייב שיהיה מה ששם ראובן באמצע ק"צ ששית
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot120=60}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומה ששם שמעון באמצע ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(49+\frac{5}{6}\right)=9+\frac{29}{30}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומה ששם לוי באמצע ט' וכ"ט חלקים משלשים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(190+\frac{1}{6}\right)+60+\left(9+\frac{29}{30}\right)=260+\frac{2}{15}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כל מה שבאמצע ר"ס וב' חלקים מט"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(260+\frac{2}{15}\right)-61=199+\frac{2}{15}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולקחנו ההבדל שבין המונח והנתון והם קצ"ט וב' חלקים מט"ו ושמרנום וקראנום השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{200-\left(199+\frac{2}{15}\right)=\frac{13}{15}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה עייננו ההבדל שבין השמור הראשון והשמור השני והם י"ג חלקי' מט"ו למגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{61-60=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם עייננו ההבדל שבין המונח הראשון והמונח השני והוא אחד לתוספת<br>
| |
| − | כי המונח הראשון היה ששים והמונח השני הוא ס"א
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה ידענו שכשנוסיף אחד על המונח יגרעו י"ג חלקים מט"ו מן ההבדל שבין המונח לנתון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן מן המחוייב מזה בהכרח שכשיהיה ההבדל שבין המונח לנתון י"ג חלקי' מט"ו לתוספת שנוסיף על המונח אחד ואז ישוו בהכרח אחר שהמונח כשנוסיף עליו אחד יהיה נגרע מן ההבדל י"ג חלקי' מט"ו וא"כ ישוו בהכרח
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{260-60=200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולזה נייחס ונאמ' אם כשההבדל שבין המונח לנתון י"ג חלקים מט"ו נוסיף על המונח א' כשההבדל שבין המונח לנתון ר' כמו במשלנו הראשון שיהיה המונח ס' והנתון ר"ס כמה ראוי שנוסיף על המונח ויצאו ר"ל וי' חלקים מי"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{60+\left(\frac{15}{13}\sdot200\right)=60+\left(230+\frac{10}{13}\right)=290+\frac{10}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נוסיפם על הס' המונח הראשון ויעלו ר"צ ועשרה חלקים מי"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=360\\\scriptstyle b=290+\frac{10}{13}\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזהו הנתון באמצע כשהנשאר ביד שלשתן הוא ש"ס
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה יחוייב ממה שקדם שיהיה מה שטרף ראובן כמו מספר ש"ס ושליש המונח שהם הר"ץ ועשרה חלקים מי"ג
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven's remainder: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שכבר קדם שהיה הנשאר בידו מהטריפה חצי הש"ס וששית המונח וזה אחר שנתן באמצע חצי מה שהיה בידו
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven used: <math>\scriptstyle{\color{blue}{360+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]=456+\frac{12}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם כן יחוייב מזה בהכרח שיהיה כל מה שטרף כפל מה שנשאר בידו שהם מספר ש"ס ושליש הר"צ ועשרה יגיי"ם שהם בין הכל תנ"ו וי"ב יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon used: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot360=180}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיהיה מה שטרף שמעון מאה ושמונים לזאת הסבה בעצמה
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi used: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{6}{5}\sdot\left[\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]\right]=13+\frac{11}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיהיה כל מה שטרף לוי שלשה עשרה ואחד עשר יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |total used: <math>\scriptstyle{\color{blue}{650+\frac{10}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כל הטריפה שש מאות וחמשים ועשרה יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven gave to the pool: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[360+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]=228+\frac{6}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושיהיה כל מה שנתן ראובן באמצע חצי מה שטרף שהם רכ"ח וששה יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon gave to the pool: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot360\right)=60}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומה שנתן שמעון הוא שליש מה שטרף שהם ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi gave to the pool: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\left[\frac{6}{5}\sdot\left[\left(\frac{1}{6}\sdot360\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(290+\frac{10}{13}\right)\right]\right]\right]=2+\frac{4}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומה שנתן לוי הוא ששית מה [ש]טרף שהם שנים וד' יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |Pool: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(228+\frac{6}{13}\right)+60+\left(2+\frac{4}{13}\right)=290+\frac{10}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נמצא כל הנתון באמצע משלשתן יחד הם ר"צ ועשרה יגיי"ם והנשאר ביד שלשתן הם ש"ס שלמים סך הנשאר בידם והנתון באמצע תר"נ ועשרה יגיי"ם כן אם היה המגיע מהירושה לראובן שליש ולשמעון ב' חמשיות וללוי ד' חלקים מט"ו על דרך משל ובאו וטרפו כל הירושה כל אחד לפי מה שקרה וכשבאו בדין שמו באמצע כל אחד מהם חצי הטריפה ואחר כך חלקו באמצע לג' חלקים שוים ולקח כל אחד מהם שליש וכזה לקח כל אחד חוקו ורצית לדעת כמה טרף כל א' מהם הנה תצטרך בהכרח לנהוג זה הדרך בעינו ובזה תדע מה שטרף כל אח' מהם
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot a}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה שהנשאר מהטריפה ביד ראובן בהכרח הוא שליש הנשאר ביד שלשתן אחר שהמגיע לו ממונח באמצע הוא שליש ושהמגיע לו מכלל הירושה הוא גם כן שליש כי כבר קדם שכאשר היה יחס מה שחוסר אל מה שיחוסר כיחס הכל אל הכל הנה יהיה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot a\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot b\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושהנשאר ביד שמעון בהכרח הוא ב' חמשיות הנשאר ביד שלשתן וחלק אחד מט"ו חלקי המונח באמצע לזאת הסבה בעצמה
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot a\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot b\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושהנשאר ביד לוי הוא ד' חלקים מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות חלק אחד מט"ו חלקי המונח באמצע
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b_1=60\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכאשר היה זה כן נניח מספר אחד ימצאו בו כל אלה החלקים ר"ל שליש וחמישית וחלק אחד מט"ו והוא מספר רכ"ה על דרך משל ויהיה הוא הנשאר ביד שלשתן יחד גם נניח המספר המונח שהם ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot225=75}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שהנשאר ביד ראובן הוא שליש הנשאר ביד שלשת אם כן הנשאר ביד ראובן הם ע"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot60\right)=94}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שמעון שהם שתי חמישיות הנשאר ביד שלשתם ואחד מט"ו מהמונח הם צ"ד
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot60\right)=56}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד לוי שהם ארבעה חלקי' מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות טוי"י אחר מהמונח הם נ"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{75+94+56=225}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושמה שנתן ראובן באמצע שהם חצי הטריפה הם ע"ה ומה שנתן שמעון צ"ד ומה שנתן לוי נ"ו סך הנתון באמצע רכ"ה וסך הנשאר ביד שלשתן רכ"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{225-60=165}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמונח הם ס' וההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ה ושמרנום וקראנום השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b_2=60+1=61\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה הוספנו על המונח אח' והיה ס"א ויחוייב שיהיה הנשאר ביד ראובן ע"ה והנתון ע"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{15}\sdot61\right)=94+\frac{1}{15}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שמעון צ"ד וטוי"י א' והנתון צ"ד וטוי"י א'
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{1}{15}\sdot61\right)=55+\frac{14}{15}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד לוי נ"ה וי"ד טויי"ן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{75+\left(94+\frac{1}{15}\right)+\left(55+\frac{14}{15}\right)=225}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך הנתון באמצע הם רכ"ה וסך הנשאר ביד שלשתן רכ"ה והמונח ס"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{225-61=164}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ד ושמרנום וקראנום השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{165-164=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה עייננו ההבדל שבין ב' השמורים והוא אחד למגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{61-60=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם עייננו ההבדל שבין ב' המונחים והוא אחד לתוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובזה ידענו שכשנוסיף אחד על המונח שיגרע אחד מההבדל שבין המונח לנתון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{60+165=225}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן להיות שכבר קדם שההבדל שבין המונח לנתון הם קס"ה יחוייב שנוסיף על המונח קס"ה לתוספת עד שיגרעו הקס"ה שבין המונח לנתון וישוה הנתון למונח ולכן נוסיף על הס' שהוא המונח הראשון קס"ה ויעלו רכ"ה ואז יהיה המונח שוה לנתון בלי תוספת ומגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=225\\\scriptstyle b=225\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואכן מן המ[ח]וייב מזה ש[כא]שר יהיה הנשאר ביד שלשתן יחד מספר רכ"ה שיהיה גם המונח שהוא הנתון באמצע רכ"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot225=150}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומעתה יחוייב ממה שקדם שיהיה מה שטרף ראובן הוא כמו שתי שלישיות הנשאר ביד שלשתן שהם ק"נ
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot225\right)+\left(\frac{2}{15}\sdot225\right)=210}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה מה שטרף שמעון ארבע חמישיות הנשאר ביד שלשתן ושנים חלקים מט"ו חלקי המונח באמצע שהם ר"י
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{8}{15}\sdot225\right)-\left(\frac{2}{15}\sdot225\right)=90}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה מה שטרף לוי [שמנה] חלקים מט"ו חלקי הנשאר ביד שלשתן פחות ב' חלקים מט"ו חלקי המונח באמצע הם צ'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{150+210+90=450}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כל הטריפה ת"נ
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot450=225}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויהיה מה שנתן ראובן ושמעון ולוי שהוא חצי מה שטרף כל אחד רכ"ה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot225=75}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר ביד שלשתן רכ"ה וכשלקח כל אחד מהם שליש המונח שהם ע"ה והוסיפם על מה שנשאר בידו הנה לקח כל אחד חוקו
| |
| − | |-
| |
| − | |Reuven: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot150\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=75+75=150=\frac{1}{3}\sdot450}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כי אחר שכל מה שטרף ראובן הם ק"נ ונתן חצי מה שטרף א"כ יהיה הנשאר בידו ע"ה וכשלקח שליש המונח שהם ע"ה והוסיפם על הע"ה שבידו עלו ק"נ והוא שליש כל הירושה שהם ת"נ לפי חקו
| |
| − | |-
| |
| − | |Shimon: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=105+75=180=\frac{2}{5}\sdot450}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יחויב שיהיה הנשאר ביד שמעון ק"ה וכשלקח שליש המונח שהם הע"ה והוסיפם על הק"ה שבידו עלו ק"פ והם ב' חמשיו' כל הירושה שהם ת"נ לפי החוק הראוי לו
| |
| − | |-
| |
| − | |Levi: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)=45+75=120=\frac{4}{15}\sdot450}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן יחויייב שיהיה הנשאר ביד לוי מ"ה וכשלקח שליש המונח שהם הע"ה והוסיפ' על המ"ה שבידו יעלו ק"כ שהם ד' חלקים מט"ו חלקי כל הירושה שהם ת"נ וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם לקחנו ממספר מאיזה מספר היה קצת וחלקנוהו לארבעה חלקים מתחלפים<br>
| |
| − | אחר כך לקחנו כל הנשאר מהמספר ההוא וחלקנו ממנו כמו חצי החלק האחד מהד' חלקי' והוספנוהו עליו וכמו שליש החלק הב' מהארבעה חלקים והוספנוהו עליו וכמו שליש החלק הב' מהד' חלקים והוספנוהו עליו וכמו רביעית החלק השלישי והוספנוהו עליו וכמו ששית החלק הד' והוספנוהו עליו וכזה כל המספר כמה היה כל חלק טרם התוספת וכמה הוא האחר התוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזה החלוק יתכן על פנים רבים ואיננו חלוק מוגבל אך הכוונה בכל מיני החלוק שיסכימו באופן אחד כפי ההנחה הקודמת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{3}\sdot2\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{4}\sdot3\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{6}\sdot4\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{3}{4}\right)+\left(4+\frac{2}{3}\right)\\&\scriptstyle=12+\frac{7}{12}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה המספר המונח כ' ולקחנו מהם עשרה וחלקנום לד' חלקים מתחלפים והם חלקי
| |
| − | א' ב' ג' ד'<br>
| |
| − | אחר כך לקחנו הי' הנשארים וחלקנו מהם חצי הא' והוספנוהו עליו והיה אחד וחצי ושליש הב' והוספנוהו עליו והיו ב' וב' שלישיות ורביעית הג' והוספנוהו עליו והיו ג' וג' רביעיות וששית הד' והוספנוהו עליו והיו ד' וב' שלישיות חברנום ועלו י"ב וז' חלקים מי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(12+\frac{7}{12}\right)=7+\frac{5}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונשארו בידינו מהכ' שבעה וה' חלקים מי"ב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=1+\frac{89}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שלא כלה כל המספר כפי ההנחה הקודמת הנה הוצרכנו לייחס ולומר אם בי"ב וז' יביי"ם היו החלקים המתחלפים א' ב' ג' ד' טרם התוספת בכ' כמה יהיו החלקים ההם ונעשה זה על דרך היחס ויצאו החלק הא' אחד ופ"ט חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=3+\frac{27}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני שלשה ו[כ]ז' חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=4+\frac{116}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השלישי ד' וקי"ו חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{12+\frac{7}{12}}=6+\frac{54}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ששה ונ"ד חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{89}{151}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{89}{151}\right)\right]=2+\frac{58}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה טרם התוספת אחר זה לקחנו מהנשארים ממספר כ' והוספנו על החלק הראשון כמו חציו ועל החלק השני כמו שלישתו ועל החלק השלישי כמו רביעיתו ועל החלק הרביעי כמו ששיתו והנה עלה החלק הראשון ב' ונ"ח חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{27}{151}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{27}{151}\right)\right]=4+\frac{36}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני ד' ול"ו חלקי' מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{116}{151}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{116}{151}\right)\right]=5+\frac{145}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הג' ה' וקמ"ה חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{54}{151}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{54}{151}\right)\right]=7+\frac{63}{151}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ז' וס"ג חלקים מקנ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{58}{151}\right)+\left(4+\frac{36}{151}\right)+\left(5+\frac{145}{151}\right)+\left(7+\frac{63}{151}\right)=20}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כ' שלמים בלי תוספת ומגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)\right]+\left[6+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)\right]=3+4+5+7=19}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אך אין זה החלוק מיוחד בו כי כבר יתכן גם בזולת זה האופן והוא בשנחלק הד' חלקים על דרך ב' ג' ד' ו' וזה טרם התוספת אחר כך לקחנו הנשארים וחלקנו מהם כמו חצי הב' והוספנוהו עליו והיו ג' וכמו שליש הג' והוספנוהו עליו והיו ד' וכמו רביע הד' והוספנוהו עליו והיה ה' וכמו ששית הו' והוספנוהו עליו והיו ז' חברנום ועלו י"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולהיות שלא כלה כל מספר הכ' כפי ההנחה הקודמת הוצרכנו לייחס ולומר אם בי"ט היו החלקים המתחלפים טרם התוספת ב' ג' ד' ו' בכ' כמה יהיו החלקים ההם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot20}{19}=2+\frac{2}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ויצא החלק הראשון ב' ושני יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot20}{19}=3+\frac{3}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני ג' וג' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot20}{19}=4+\frac{4}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השלישי ד' וד' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot20}{19}=6+\frac{6}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ו' וו' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{19}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{19}\right)\right]=3+\frac{3}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וזה טרם התוספת אך אחר התוספת יהיה החלק הראשון ג' וג' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{19}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(3+\frac{3}{19}\right)\right]=4+\frac{4}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השני ד' וד' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{4}{19}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(4+\frac{4}{19}\right)\right]=5+\frac{5}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק השלישי ה' וה' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{6}{19}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(6+\frac{6}{19}\right)\right]=7+\frac{7}{19}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והחלק הרביעי ז' וז' יטיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{19}\right)+\left(4+\frac{4}{19}\right)+\left(5+\frac{5}{19}\right)+\left(7+\frac{7}{19}\right)=20}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כ' שלמים בלי תוספת ומגרעת וכן תוכל לחלקם גם בדרך אחרת וכלם יסכימו על אופן אחד רוצה לומר שכלם לפי ההנחה הראשונה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle3a=5b=8c\\\scriptstyle a+b+c=50\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שלשה שותפים שרצו להשתתף בחברה בשישים כל אחד מהם סך שוה ל[ח]ביריו והיה להם זהב ושמו בחברה שלשתן יחד חמשים ליטרין וזהב האחד מהם שוה הרטל ג' זהובים וזהב השני שוה הרטל חמשה זהובים וזהב השלישי שוה הרטל שמנה זהובים כמה ליטרין שם כל אחד מכלל הנ' ליטרין ששמו שלשתן יחד עד שיהיה סך הזהובים ששם כל אחד שוה לחביריו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot120\right)+\left[\left(\frac{1}{5}\sdot120\right)\right]+\left(\frac{1}{8}\sdot120\right)=40+{\color{red}{24}}+15=79}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נבקש מספר שימנוהו מספרי ג' ה' ח' והוא מספר ק"כ ונקח שלישית זה המספר והם מ' ונשמרם גם נקח שמיניתו והם ט"ו ונשמרם נחבר השמורים והם ע"ט
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{79}=25+\frac{25}{79}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נייחס ונאמר אם הע"ט ישוו נ' המ' כמה ויצאו כ"ה ליטרין וכ"ה חלקים מע"ט חלקי הרטל וזהו סך הזהב ששם הראשון בחברה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot24}{79}=15+\frac{15}{79}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נייחס ונאמר אם הע"ט נ' הכ"ד כמה ויצאו ט"ו ליטרין וט"ו עטיי"ם מהרטל וזהו סך הזהב ששם השני בחברה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot15}{79}=9+\frac{39}{79}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן נייחס ונאמר אם הע"ט נ' הט"ו כמה ויצאו תשעה ליטרין ותשעה ושלשים עטיי"ם מהרטל וזהו סך הזהב ששם השלישי בחברה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(25+\frac{25}{79}\right)+\left(15+\frac{15}{79}\right)+\left(9+\frac{39}{79}\right)=50}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|סך כל הזהב חמשים ליטרין שלמות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(25+\frac{25}{79}\right)=5\sdot\left(15+\frac{15}{79}\right)=8\sdot\left(9+\frac{39}{79}\right)=75+\frac{75}{79}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וסך שווי זהב כל אחד ואחד מהם חמשה ושבעים זהובים וחמשה ושבעים חלקים מע"ט חלקי הזהוב הא'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{3}x+\frac{1}{4}x=9</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ירושה שעלתה לד' אנשים החלק המגיע לראשון חצי והחלק המגיע לשני שליש והחלק המגיע לשלישי רביע והחלק המגיע לרביעי הוא חלק אחד מי"ב ולקחו חלקם הראשון והרביעי והלכו להם ונשאר מהירושה תשעה זהובים לחלקם השני והשלישי שמגיע לאחד מהם שליש מכללות הירושה ולאחר רביע מכללות הירושה כמה מגיע לכל אחד מהם מהט' זהובים הנשארים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=4+3=7}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנבקש מספר שיהיו בו שליש ורביע והם י"ב ושלישיתו ורביעיתו ג' נחברם שניהם והם ז'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot4}{7}=5+\frac{1}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר נייחס ונאמר אם הז' ט' הד' כמה ויצאו ה' שלמים ושביעית אחד וזהו המגיע לבעל השליש מהט'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot3}{7}=3+\frac{6}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם הז' ט' הג' כמה ויצאו ג' שלמים וו' שביעיות וזהו המגיע מהט' לבעל הד'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{7}{12}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם נרצה נשתמש בדרך אחרת והוא שנקבץ השליש והרביע והם ז' יביי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot\frac{1}{3}}{\frac{7}{12}}=5+\frac{1}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואחר נייחס ונאמר אם היביי"ם ט' השליש כמה ויצאו ה' ושביעית
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot\frac{1}{4}}{\frac{7}{12}}=3+\frac{6}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נייחס ונאמר אם השבעה יביי"ם תשעה הרביע כמה ויצאו ג' וו' שביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Two ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השני מהחלק הראשון בשאלות המספריות המתבארות מזולת מין היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Buy and Sell Problem'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:WP|641|QcgR}}Question: someone bought a hundred liters of sugar for a hundred zehuvim for example and sold fifty liters at one liter and a quarter for one zahuv and the rest at liter minus a quarter for one zahuv.<br>
| |
| − | :Did he earn or lose?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שקנה במאה זהובים מאה ליטרין סוכר על דרך משל ומכר החמשים ליטרין ליטרא ורביע בזהוב והנ' ליטרין הנשארים ליטרא פחות רביע בזהוב הרויח או הפסיד{{#annotend:QcgR}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :The question consists of four types of arithmetical operations: multiplication, addition, division and subtraction
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מארבעה מיני המספר והם ההכאה והקבוץ והחלוק החסור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::converting the first 50 liter into fourths: <math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot4=200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן נתיכה אליהם בשנכה הנ' ליטרין בד' ויעלו ר' רביעיים ונשמרם ויקרא השמור הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::converting the remaining 50 liter into fourths: <math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot4=200}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|גם נכה הנ' ליטרין הנשארים בד' ויעלו ר' רביעיים ונשמרם ויקרא השמור השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the profit:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50\sdot4}{5}+\frac{50\sdot4}{3}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=\left(106+\frac{2}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחלק השמור הראשון על הה' ויצאו מ' זהובים ונשמרם<br>
| |
| − | גם נחלק השמור השני על הג' ויצאו ס"ו זהובים ושתי שלישיות הזהוב<br>
| |
| − | נחברם עם המ' השמורים ויצאו ק"ו זהובים ושתי שלישיות הזהוב<br>
| |
| − | נגרע מהם הק' זהובים שנתן ונשארו ו' זהובים וב' שלישיות הזהוב וככה הוא הריוח
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: two little towns between them a hundred miles.<br>
| |
| − | :two men left them one towards the other at the same moment, one is walking 19 miles a day and the other one is walking 16 miles a day.<br>
| |
| − | :When will they meet?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שתי עיירות שהיו ביניהם מאה מיל<br>
| |
| − | ויצאו מהן שני אנשים זה לקראת זה ברגע אחד ומהלך האחד ביום י"ט מיל ומהלך האחר ביום י"ו מיל<br>
| |
| − | מתי יפגשו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{17+19}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שזאת השאלה מחוברת מקבוץ וחלוק ולכן נקבץ הי"ז עם הי"ט ויעלו ל"ו והם מהלך יום א' אחר זה נחלק עליהם הק' מיל שבין ב' העיירות ויצאו ב' ימים וכ"ח חלקים מל"ו חלקי היום שהם ז' תשיעיות היום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת כל המספרים הנמשכים על הסדר מבלתי דלוג כלל בשיוסיפו חלקיהם על כללם מספר זוג או כשיגרעו חלקיהם מכללם מספר זוג איזה מספר שיהיה או שישוו חלקיהם לכללם והם המספרים השלמים היאך יהיה זה
| |
| − | |-
| |
| − | |superabundant numbers: <math>\scriptstyle2^n\sdot\left[2^{n+1}-\left(d+1\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנסדר מספרי זוג הזוג בטור אחד על הסדר אחר זה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה פחו' מכפל המספר שעליו כמו התוספת אשר רצית שיתוספו החלקי' על הכלל בתוספת אחד אם רצית לדעת המספרים אשר חלקיהם נוספים על כללם
| |
| − | |-
| |
| − | |deficient numbers: <math>\scriptstyle2^n\sdot\left[2^{n+1}+\left(d-1\right)\right]</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית לדעת המספרים אשר חלקיהם גורעים מכללם הנה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה נוסף על כפל מספר זוג הזוג שעליו כמו המגרעת אשר רצית שיגרעו החלקים מן הכלל פחות אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |perfect numbers: <math>\scriptstyle2^n\sdot\left(2^{n+1}-1\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת המספרים השלמים והם אשר חלקיהם שוים לכללם הנה נכתוב תחת כל מספר ממספרי זה הטור מספר שיהיה פחות אחד מכפל מספר זוג הזוג שעליו אחר זה נכה כל אחד ממספרי זוג הזוג עם המספר שהוא תחתיו אם הוא מספר ראשון והעולה יכתבנו בטור שלישי כל אחד תחת המספר אשר יולד מהכאתו ויהיו כל המספרים אשר בזה הטור מסכימים על אופן אחד רוצה לומר אם בתוספת חלקיהם על כללם ואם במגרעת ואם בשווי כשהתוספת או המגרעת שוה בכלם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית בתוספת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה זאת צורתם א' ב' ד' ח י"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית המגרעת הנה צורתם א ב ד ח י"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{+2:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(2+1\right)=5\longrightarrow4\sdot5=20\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(2+1\right)=13\longrightarrow8\sdot13=104\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(2+1\right)=29\longrightarrow16\sdot29=464\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיוסיפו ב ה יג כט<br>
| |
| − | רקד תסד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{-2:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(2-1\right)=5\longrightarrow2\sdot5=10\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(2-1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(2-1\right)=17\longrightarrow8\sdot17=134\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(2-1\right)=33\ not\ prime\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיגרעו ב ה ט י"ז ל"ג<br>
| |
| − | י 0 קל"ו 0
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{+4:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(4+1\right)=3\longrightarrow4\sdot3=12\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(4+1\right)=11\longrightarrow8\sdot11=88\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(4+1\right)=27\ not\ prime\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיוסיפו ד ג יא כז<br>
| |
| − | י"ב פ"ח 0
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{-4:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(4-1\right)=7\longrightarrow2\sdot7=14\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(4-1\right)=11\longrightarrow4\sdot11=44\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(4-1\right)=19\longrightarrow8\sdot19=152\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(4-1\right)=35\ not\ prime\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיגרעו ד ז י"א י"ט לה<br>
| |
| − | יד מד קנב 0
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{+6:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(6+1\right)=1\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(6+1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(6+1\right)=25\ not\ prime\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיוסיפו ו 0 ט כה<br>
| |
| − | 0 0 0
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{-6:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(6-1\right)=9\ not\ prime\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(6-1\right)=13\longrightarrow4\sdot13=52\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(6-1\right)=21\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(6-1\right)=37\longrightarrow16\sdot37=592\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיגרעו ו ט י"ג כא לז<br>
| |
| − | ‫0 נב 0 תקצב
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{+8:\begin{cases}\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-\left(8+1\right)=1\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-\left(8+1\right)=7\longrightarrow8\sdot7=56\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-\left(8+1\right)=23\longrightarrow16\sdot23=368\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיוסיפו ח 0 ז כג<br>
| |
| − | ‫0 נ"ו שס"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{-8:\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}+\left(8-1\right)=11\longrightarrow2\sdot11=22\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}+\left(8-1\right)=15\ not\ prime\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}+\left(8-1\right)=23\longrightarrow8\sdot23=184\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}+\left(8-1\right)=39\ not\ prime\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שיגרעו ח י"א ט"ו כג לט<br>
| |
| − | כב 0 קפד 0
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית השווי הנה צורתו א ב ד ח י"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2^1\longrightarrow2^{1+1}-1=3\longrightarrow2\sdot3=6\\\scriptstyle2^2\longrightarrow2^{2+1}-1=7\longrightarrow4\sdot7=28\\\scriptstyle2^3\longrightarrow2^{3+1}-1=15\ not\ prime\\\scriptstyle2^4\longrightarrow2^{4+1}-1=31\longrightarrow16\sdot31=496\end{cases}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ג ז טו לא וכח 0 תצו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2x-12\right)\right]-12\right]\right]-12\right]=12</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אמר אומר כפלתי ממוני והוצאתי י"ב עוד כפלתי הנשאר והוצאתי י"ב עוד כפלתי הנשאר והוצאתי י"ב וכפלתי הנשאר והיו י"ב כמה היה המספר מתחלה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{2}+12=6+12=18}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה תחשוב זה החשבון מלמטה למעלה וזה כשתחלק הי"ב לשנים ותקח חציו והם ששה ותוסיף עליהם י"ב והם י"ח
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{2}+12=9+12=21}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right"|ותקח חציו והם ט' הוסף עליהם י"ב והם כ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21/2}+12=\left(10+\frac{1}{2}\right)+12=22+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקח חציים והם עשרה וחצי והוסף י"ב והם כ"ב וחצי
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+\frac{1}{2}}{2}=11+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וקח חציים והם י"א ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומפני שמספר הפעמים אשר לקחתי החצי כמספר הפעמים אשר לקח הוא הי"ב הנה ידענו שהמספר המבוקש הוא אחד עשר ורביע
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | <math>\scriptstyle\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]+1\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[x-\left(\frac{1}{2}x+1\right)\right]+1\right]\right]+1\right]=1</math>
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אמר אומר הוצאתי ממוני חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ואחד יותר ונשאר אחד כמה היה מממונו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+1\right)+1=\left(2\sdot2\right)+1=4+1=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נחשוב מלמטה למעלה ונוסיף על הא' אחד ויעלו ב' ונכפלם ויעלו ד' עוד נוסיף עליהם אחד ויעלו חמשה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכפלם ויעלו עשרה נוסיף עליהם אחד ויעלו אחד עשר
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot11\right)+1=22}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכפלם ויעלו שנים ועשרים ומפני שמספר הפעמים אשר הוספנו וכפלנו הם כמספר הפעמים אשר חלק ממונו לחצאים והשליכו עם התוספת על כן שפטנו שממונו היה שנים ועשרים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=465</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אמר אומר חברתי כל המספרים הטבעיים עד מספר מה ועלה המחובר תס"ה איזהו המספר האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2+n=2\sdot465=930\longrightarrow n=30}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכפול המחובר ויעלה תתק"ל נקח שרש המרובע הקודם למספר תתק"ל והוא שלשים וזהו המספר האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=225</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם אמר אומר חברתי כל מעוקבי המספרים הטבעיים עד מספר מה על הסדר ועלה המחובר רכ"ה [אי]זהו המעוקב האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקח שרש המחובר והוא ט"ו ונשמרהו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^3=5^3=125}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נבקש כל זוגי המספרים אשר יולד מספר הט"ו מהכאתם כשיהיה המספר האחד מהזוג שלם והמספר האחר פעם שלם ופעם שלם וחצי אחר זה נבקש מכל אותם הזוגות הזוג אשר יהיה המספר האחד ממנו כפל המספר האחר פחות אחד והוא מספר ה' שהוא פחו' מכפל בן זוגו שהוא ג' אחד ומעוקבו רכ"ה וזהו המעוקב האחרון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שקל הזהב שוה ארבעים לבנים ונתן אחד לחברו חתיכת זהב של מאה שקלים למכור ממנו כל כך עד שיהיה כמות שקלי הזהב הנשאר ככמות הלבנים אשר לקח מהנמכר ממנו כמה זהב מכר מהחתיכה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{40+1}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נוסיף על ארבעים אחד ונחלק המאה עליו והיוצא הוא משקל הזהב הנמכר
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{55+1}=\frac{100}{56}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה השקל שוה נ"ה על דרך משל נוסיף עליו אחד ויעלו נ"ו ועליהם נחלק המאה וכן תמיד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם נתן אחד לחברו חתיכת זהב למכור ממנו כל כך עד שיעלה מספר מעות הזהב הנמכר כמספר שקלי הזהב הנשאר והיה מספר שקלי הזהב הנשאר צ"ז שקלים וכ"ג חלקים ממ"א חלקי השקל בכמה לבנים מכר השקל וכמה היה כמות החתיכה כלה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(97+\frac{23}{41}\right)+\frac{97+\frac{23}{41}}{41-1}&\scriptstyle=\left(97+\frac{23}{41}\right)+\frac{97+\frac{23}{41}}{40}\\&\scriptstyle=\left(97+\frac{23}{41}\right)+\left(2+\frac{18}{41}\right)=100\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנגרע אחד מהמ"א וישארו מ' וככה הוא שווי השקל אחר זה נחלק כמות השקלים הנשארים שהם הצ"ז שקלים וכ"ג חלקים ממ"א על המ' ויצאו לך ב' שקלים וי"ח חלקים ממ"א חברם עם הצ"ז שקלי' וכ"ג חלקי' ממ"א ויעלו ק' שקלים שלמים וככה הוא מספר שקלי כל חתיכה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2+10a=39</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם ישאל שואל איזהו המרובע אשר חבורו עם עשר כפלי שרשו על דרך משל יעלו תשעה ושלשים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2+\left(10^2\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)+39-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2+\left(100\sdot39\right)}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{50^2+3900}\\&\scriptstyle=50+39-\sqrt{2500+3900}\\&\scriptstyle=89-\sqrt{6400}=89-80=9\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ק' ונכה הק' עם הל"ט ויעלו ג' אלפים תת"ק ונשמרם<br>
| |
| − | אחר זה נכה חצי הק' עם עצמו ויעלו שני אלפים ת"ק נחברם עם השמור ויעלו ו' אלפים ת"ק נקח שרשם והם פ' ונגרעם מהעולה מקבוץ הנ' שהם חצי הק' עם הל"ט שהם פ"ט וישארו ט' וזהו המרובע
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{9}=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרשו ג'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle3a^2+12a=180</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם הרבית המרובעים הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד כמו על דרך משל אם שאל שואל איזהו המרובע אשר ג' כפליו עם י"ב כפלי שרשו יעלו ק"פ
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{3a^2+12a=180\quad /\sdot\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח המרובע האחד מהם ולהיות שהמרובע האחד מהם הוא שליש מספר המרובעים אשר שם בשאלה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)\sdot a^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot a=\frac{1}{3}\sdot180\longrightarrow a^2+4a=60}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת גם מכפלי השרשים שלישיתם והן ד' וכן נקח שליש המחובר והם ס' והנה שבה השאלה כאלו שאל השואל איזהו המרובע אשר בחבורו עם ד' כפלי שרשו הם ששיםונעשה הדרך הקודם בעינו וכן אם חלקת המרובעים הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{3}a^2+3a=30</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|כמו על דרך משל אם שאל שואל איזהו המרובע אשר שלישיתו עם ג' כפלי שרשו הם שלשים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a^2+3a=30\quad /\sdot3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מרובע אחד תמורת שלישיתו ולהיות שהמרובע האחד הוא שלשה כפלי שלישיתו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\left(3\sdot\frac{1}{3}\right)\sdot a^2+\left(3\sdot3\right)\sdot a=3\sdot30\longrightarrow a^2+9a=90}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת גם כן שלשה כפלי השרשים שבשאלה והם תשעה כפלי שרשו כי שלשה פ[ע]מי' ג' הם תשעה גם נקח ג' כפלי השלשים והם תשעים
| |
| − | והנה שבה השאלה כאלו שאל השואל איזהו המרובע אשר בחבורו עם ט' כפלי שרשו הם תשעי'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2+b\sdot a=c</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ונעשה הדרך הראשון בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a=\sqrt{\left(\frac{1}{2}b\right)^2+c}-\left(\frac{1}{2}b\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם תרצה בדרך אחרת הנה נקח חצי כפלי השרשים ונכם עם עצמם והעולה נחברם עם המספר המחובר מכפלי השרשים והמרובע כפי השאלה והעולה נקח שרשו וגרע ממנו חצי כפלי השרשים והנשאר הוא שרש המרובע תרבענו והוא המרובע
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2+10a=39</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה בשאלה הנזכרת והיא שהמרובע הא' עם עשרה כפלי שרשו הם תשעה ושלשים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{25+39}-5\\&\scriptstyle=\sqrt{64}-5=8-5=3\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח חצי כפלי השרשים והם חמשה נכם עם עצמם ויעלו כ"ה נחברם עם התשעה ושלשים והם ס"ד נקח שרשם והם שמנה נגרע מהם ה' שהם חצי כפלי השרשים ונשארו ג' והוא שרש המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=3^2=9}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|תרבענו והוא ט' וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2+21=10a</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר חבורו עם עשרים ואחד על דרך משל יעלה כמו עשרה כפלי שרשו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{4}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-2=3\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח חצי כפלי השרשים ותכם עם עצמם ויעלו כ"ה נגרע מהם הכ"א וישארו ד' נקח שרשם והם ב' נג[רע]ם מחצי כפלי השרשי' וישארו ג' וזהו שרש המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=3^2=9}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נכם עם עצמם ויעלו ט' וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2+c=b\sdot a</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם ישוה העולה מהכאת חצי כפלי השרש למספרים המחוברים עם המרובע אשר לא נוכל אז לגרוע המספרים מהעולה מהכאת חצי כפלי השרש למספרים המחוברים עם המרובע מהכאת חצי כפלי השרש בעצמם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2=c\longrightarrow a=\frac{1}{2}b</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה יהיה אז השרש הדרוש מספר חצי כפלי השרש בעינו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}b\right)^2<c\longrightarrow\ not\ possible</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם שיהיה העולה מהכאת חצי כפלי השרש פחות מהמספרים המחוברים עם המרובע הדרוש הנה זה נמנע בלא ספק
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle3a^2+21=10a</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם הרבית המרובעים בשאלה כמו שתאמר איזהו המרובע אשר ג' כפליו עם כ"א ישוו לי' כפלי שרשו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{1}{3}a^2+21=10a</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם חלקת המרובעים כמו שתאמר איזהו המרובע אשר שלישתו עם כ"א ישוו לי' כפלי שרשו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10^2\right)^2-\left(10^2\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)^2-\left(100\sdot21\right)}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{50^2-2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{2500- 2100}-21\\&\scriptstyle=50-\sqrt{400}-21=50-20-21=30-21=9\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד כמו שקדם ותעשה לפי הדרך הראשון בעינו או בדרך אחרת והוא שתכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ק' אחר זה הכה הק' עם הכ"א והם שני אלפים ק' ותשמרם אחר זה הכה חצי העולה מהכאת כפלי השרשי' בעצמם שהם נ' עם עצמם ויעלו שני אלפים ת"ק ותגרע מהם השמור וישארו ת' ושרשם עשרים ותגרעם מהנ' שהם חצי העולה מהכאת כפלי השרשים בעצמם וישארו שלשים תגרע מהם האחד ועשרים המחוברים עם המרובע וישארו ט' וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{9}=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרשו ג'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle3a+4=a^2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר ג' כפלי שרשו וד' ישוו לי'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח חצי כפלי השרש ותכהו עם עצמו ויעלו שנים ורביע חברהו עם המספרים המחוברים עם כפלי השרשים שהם הד' ויעלו ו' ורביע קח שרשם והם ב' וחצי חברם עם חצי כפלי השרש ויעלו ד' וזהו השרש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=16}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומרובעו י"ו וזהו הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a^2&\scriptstyle=4+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)+\sqrt{\left(3^2\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3^2\right)^2}\\&\scriptstyle=4+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)+\sqrt{\left(9\sdot4\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{36+\left(20+\frac{1}{4}\right)}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{56+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=4+\left(4+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)=16\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או בדרך אחרת שתכה מספר כפלי השרש עם עצמו ויעלו ט' הכם עם המספרים שהם הד' ויעלו ל"ו ושמרם<br>
| |
| − | אחר זה קח חצי העולה מהכאת כפלי השרש עם עצמו שהם ד' וחצי והכם עם עצמם ויעלו כ' ורביע חברם עם השמור ויעלו נ"ו ורביע קח שרשם והם ז' וחצי חברם עם חצי העולה מהכאת כפלי השרש עם עצמם שהם ד' וחצי ועם המספרים שהםד' ויעלו י"ו וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{16}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ושרשם ד' וזהו השרש הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם הרבית המרובעי' בשאלה או אם חלקת אותם הנה עליך להשיב השאלה אל מרובע אחד כמו שקדם ועשה לפי דרך הראשון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע ב' כפלי שרש מרובע מה או ג' כפליו או איזה כפלים שרצית מבלתי שנדע שרשו ר"ל שלא נצטרך למצוא שרשו תחלה ואחר כך כפלו או כפליו אבל מתחלה נמצא כפלו או כפליו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם שאל שואל כמה הוא העולה מד' כפלי שרש מרובע הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{9}=\sqrt{4^2\sdot9}=\sqrt{16\sdot9}=\sqrt{144}=12}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה הנה נכה מספר הכפלים ויעלו י"ו אחר זה נכה הי"ו עם הט' שהוא המרובע י' ויעלו קמ"ד ושרשם י"ב וזהו העולה מד' כפלי שרש הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מב' כפלי שרש מרובע מה או משלשה כפליו או מאיזה כפלי' שרצית לאיזו מרובע יהיה שרש מבלתי שנדע שרש המרובע ההוא ולא העולה מכפלי שרשו אבל שיצא לנו הכל מתוקן בתחבולה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם שאל שואל לאיזה מרובע יהיה שרש העולה מארבעה כפלי שרש התשעה מבלתי שנדע שרש הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{9}=\sqrt{4^2\sdot9}=\sqrt{16\sdot9}=\sqrt{144}=12}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר הכפלים בעצמם ויעלו י"ו אחר זה נכה הי"ו עם התשעה ויעלו קמ"ד וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת חצי שרש מרובע מה או שלישיתו או רביעיתו מבלתי שתדע שרשו תחלה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם שאל שואל כמה הוא שלישית שרש התשעה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{1}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{1}{9}\sdot9}=\sqrt{1}=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה השלישית עם עצמו ויעלה תשיעית נכהו עם הט' ויעלה אחד נקח שרשו והוא אחד וזה שלישית שרש הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם שאל שואל כמה הוא ב' שלישיותיו נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות ונכם עם הט' ויעלו ד' ונקח שרשם והם ב' וזהו שתי שלישיות שרש הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המרובע אשר העולה מב' שלישיות שרש הט' הוא שרשו מבלתי שנדע שרש הט' ולא שתי שלישיותיו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}=\sqrt{\frac{4}{9}\sdot9}=\sqrt{4}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה השתי שלישיות עם עצמם ויעלו ארבע תשיעיות נכם עם הט' ויעלו ארבעה וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת שרש מרובע מה עם שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולה מהכאתם ואחר כך מרובעו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת שרש הט' עם שרש הל"ו מבלתי שנדע שרשם לאיזה מרובע הוא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\sdot\sqrt{36}=\sqrt{9\sdot36}=\sqrt{324}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה הט' עם הל"ו ויעלו שלש מאות וארבעה ועשרים וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת כפל או כפלי שרש מרובע מה עם כפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרש המרובעי' ההם ואח"כ העולים מכפלי כל אחד מהם ואח"כ העולה מהכאת העולים מכפליהם זה עם זה ואחר כך העולה מהכאתו בעצמו והוא מרובעו אך יצא לך הכל מתוקן עם תחבולה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(4\sdot\sqrt{9}\right)\sdot\left(3\sdot\sqrt{36}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left(4^2\sdot9\right)\sdot\left(3^2\sdot36\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(16\sdot9\right)\sdot\left(9\sdot36\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144\sdot324}=\sqrt{46656}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת ד' כפלי שרש הט' עם ג' כפלי שרש הל"ו לאיזה מרובע הוא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר כפלי המרובע הא' כל אחד בעצמו ונאמר ד' פעמים ד' הם י"ו אחר זה נכה הי"ו עם הט' ויעלו קמ"ד ונשמרם גם נכה ג' פעמים ג' ויעלו תשעה אחר זה נכה התשעה עם הל"ו ויעלו שכ"ד אחר זה נכה השכ"ד עם הקמ"ד השמורים ויעלו ששה וארבעים אלף תרנ"ו וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איך נדע העולה מהכאת שבר או שברי שרש מרובע מה עם שבר או עם שברי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרש המרובעים ההם ואחר כך לקחת שבריהם ואחר כך להכותם ואחר כך לדעת מרובעם אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה מהכאת שתי שלישיות שרש הט' עם חצי שרש הששה ושלשים לאיזה מרובע הוא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{36}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot36\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{4\sdot9}=\sqrt{36}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר השברים בעצמם ונאמר ב' שלישיות פעמים ב' שלישיות הם ד' תשיעיות ואחר זה נכה הד' תשיעיות עם הט' ויעלו ד' ונשמרם גם נכה החצי בעצמו ויעלה רביעית אחד ואחר זה נכהו עם הל"ו ויעלו ט' אחר זה נכה הט' עם הד' השמורים ויעלו ל"ו וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\frac{a}{b}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק שרש מרובע מה על שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם ואחר כך לחלקם זה על זה אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{36}}{\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{36}{9}}=\sqrt{4}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק שרש הל"ו על שרש הט' מבלתי שנדע שרשם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נחלק הל"ו על הט' ויצאו ד' נקח שרשם והוא ב' וככה הוא היוצא מחלוק שרש הל"ו על שרש הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק כפל או כפלי שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולה מכפלי כל א' מהם ואחר כך היוצא מחלוקם זה על זה אבל יצא לך הכל מתוקן בתחבולה אחת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק העולה מה' כפלי שרש הט' על העולה מב' כפלי שרש הל"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot\sqrt{9}}{2\sdot\sqrt{36}}=\sqrt{\frac{5^2\sdot9}{2^2\sdot36}}=\sqrt{\frac{25\sdot9}{4\sdot36}}=\sqrt{\frac{225}{144}}=\sqrt{1+\frac{81}{144}}=1+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר כפלי שרש כל אחד עם עצמו ונאמר ה' פעמים ה' הם כ"ה ואחר זה נכה הכ"ה עם הט' ויעלו רכ"ה ונשמרם<br>
| |
| − | גם נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הל"ו ויעלו קמ"ד נחלק הרכ"ה השמורי' על הקמ"ד ויצא אחד שלם ופ"א חלקים מקמ"ד קח שרשם והם ט"ו חלקים מי"ב שהם אחד שלם ורביע וככה הוא היוצא מחלוק ה' כפלי שרש הט' על ב' כפלי שרש הל"ו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע היוצא מחלוק שבר או שברי שרש מרובע מה על שבר או שברי שרש מרובע מה בלתי שנדע שרשם ואחר כך העולה משבריהם ואחר כך היוצא מחלוקם זה על זה זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת היוצא מחלוק ב' שלישיות שרש הל"ו על ב' שלישיות שרש הט' מבלתי שנדע שרשם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{36}}{\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}}=\sqrt{\frac{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36}{\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9}}=\sqrt{\frac{\frac{4}{9}\sdot36}{\frac{4}{9}\sdot9}}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה הב' שלישיות עם הב' שלישיות ויעלו ד' תשיעיות ואחר כך נכה הד' תשיעיות עם הל"ו ויעלו י"ו ונשמרם גם נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות אחר זה נכה הד' תשיעיות עם הט' ויעלו ד' נחלק הי"ו השמורים על הד' ויצאו ד' נקח שרשם והם ב' וככה הוא היוצא מחלוק שתי שלישיות הששה ושלשים על שתי שלישיות הט'
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ שרש מרובע מה עם שרש מרובע
| |
| − | מה לאיזה מרובע הם שרש מבלתי שנדע שרשי אותם המרובעים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נקבץ המרובע עם המרובע והעולה נשמרהו גם נכה המרובע עם המרובע והעולה נקח ממנו כפל שרשו ונחברהו עם השמור ושרש המחובר הוא העולה מקבוץ שרשי שני המרובעים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt{36}&\scriptstyle=\sqrt{16+36+2\sdot\sqrt{16\sdot36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{52+2\sdot\sqrt{576}}\\&\scriptstyle=\sqrt{52+48}=\sqrt{100}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה מקבוץ שרש הי"ו עם שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש נקבץ הל"ו עם הי"ו ויעלו נ"ב ונשמרם<br>
| |
| − | גם נכה הי"ו עם הל"ו ויעלו תקע"ו ונקח כפל שרשו והם מ"ח נחבר המ"ח עם הנ"ב השמורים ויעלו מאה וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ כפל או כפלי שרש מרובע מה עם כפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזו מרובע הם שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך כפליהם ואחר כן העולה מקבוצם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה משני כפלי שרש הט' עם ג' כפלי שרש הי"ו לאיזו מרובע הוא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(2\sdot\sqrt{9}\right)+\left(3\sdot\sqrt{16}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(2^2\sdot9\right)+\left(3^2\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(2^2\sdot9\right)\sdot\left(3^2\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(4\sdot9\right)+\left(9\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(4\sdot9\right)\sdot\left(9\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{36+144+2\sdot\sqrt{36\sdot144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{180+2\sdot\sqrt{5174}}\\&\scriptstyle=\sqrt{180+\left(2\sdot72\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{180+144}=\sqrt{324}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הט' ויעלו ל"ו ונשמרם גם נכה הג' עם עצמם ויעלו ט' והט' עם הי"ו ויעלו קמ"ד ונשמרם<br>
| |
| − | אח"ז נחבר השמורים ויעלו ק"פ ונשמרם אחר זה נכה הל"ו עם הקמ"ד והעולה הוא חמשה אלפים וקפ"ד ושרשם ע"ב נקח כפלו והוא קמ"ד נחברם עם הק"פ השמורים ויעלו שלש מאות וארבעה ועשרים וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע העולה מקבוץ שבר או שברי שרש מרובע מה עם שבר או שברי שרש מרובע מה לאיזו מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך שבריהם ואחר כך העולה מקבוץ שבריהם ואחר כך מרובעו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת העולה מקבוץ שני שלישי שרש הט' עם ג' רביעיות שרש הי"ו לאיזו מרובע הם שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{9}\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot\sqrt{16}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]+\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2\sdot16\right]+2\sdot\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot9\right]\sdot\left[\left(\frac{3}{4}\right)^2\sdot16\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)+\left(\frac{9}{16}\sdot16\right)+2\sdot\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot9\right)\sdot\left(\frac{9}{16}\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{4+9+2\sdot\sqrt{4\sdot9}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+2\sdot\sqrt{36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה השתי שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות ואחר זה נכם עם הט' ויעלו ד' ונשמרם גם נכה הג' רביעיות עם עצמם ויעלו תשעה חלקים מי"ו ואח"ז נכם עם הי"ו ועלו תשעה ונשמרם אחר זה נחבר השני שמורים ויעלו י"ג ונשמרם גם נכה הט' עם הד' ויעלו ל"ו נקח כפל שרשם והם י"ב נחברם עם הי"ג השמורים ויעלו כ"ה וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מחסור שרש מרובע מה מבלתי שנדע שרשם לאיזו מרובע הוא שרש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נקבץ המרובע עם המרובע והעולה נשמרהו אחר זה נכה המרובע עם המרובע והעולה נקח ממנו שני כפלי שרשו ונגרעהו מהשמור והנשאר הוא המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{36}-\sqrt{16}&\scriptstyle=\sqrt{16+36-2\sdot\sqrt{16\sdot36}}\\&\scriptstyle=\sqrt{52-2\sdot\sqrt{576}}\\&\scriptstyle=\sqrt{52-48}=\sqrt{4}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור שרש הי"ו משרש הל"ו לאיזה מרובע הוא שרש הנה נקבץ הל"ו עם הי"ו והם נ"ב ונשמרם אחר זה נכה הי"ו עם הל"ו ויעלו תתקע"ו ונקח כפל שרשם שהם מ"ח ונגרעם מהנ"ב השמורים וישארו ארבעה וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מח[ס]ור כפל או כפלי שרש מרובע מה מכפל או כפלי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע שרשם תחלה ואחר כך העולים מכפליהם ואחר כך הנשאר מחסור העולה מהעולה ואחר כך מרובע הנשאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה מספר כל אחד מהם עם עצמם והעולה עם מרובעו אחר כך נחבר העולה עם העולה ונשמרהו אחר כן נכה העולה עם העולה והעולה נקח ב' כפלי שרשו ונגרעם מהשמור והנשאר הוא המרובע המבוקש ושרשו הוא הנשאר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | <math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(3\sdot\sqrt{36}\right)-\left(2\sdot\sqrt{16}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(3^2\sdot36\right)+\left(2^2\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(3^2\sdot36\right)\sdot\left(2^2\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(9\sdot36\right)+\left(4\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(9\sdot36\right)\sdot\left(4\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{324+64-2\sdot\sqrt{324\sdot64}}\\&\scriptstyle=\sqrt{388-2\sdot\sqrt{20736}}\\&\scriptstyle=\sqrt{388-288}=\sqrt{100}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור שני כפלי שרש הי"ו משלשה כפלי שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש<br>
| |
| − | הנה נכה הב' עם עצמם ויעלו ד' והד' עם הי"ו ויעלו ס"ד ונשמרם<br>
| |
| − | גם נכה הג' עם הג' ויעלו ט' והט' עם הל"ו ויעלו שכ"ד ונחבר השכ"ד עם הס"ד השמורים ויעלו שפ"ח ונשמרם אחר זה נכה הס"ד עם השכ"ד ויעלו כ' אלפים תשל"ו ונקח שני כפלי שרשם והם רפ"ח נגרעם מהשפ"ח השמורים וישאר מאה וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע הנשאר מחסור שבר או שברי שרש מרובע מה משבר או שברי שרש מרובע מה לאיזה מרובע הוא שרש מבלתי שנדע תחלה שרשיהם ואחר כך הנשאר מחסור האחד מהאחר ואחר כך מרובע הנשאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה שברי המרובע האחד עם עצמו והעולה עם מרובעו וההווה נשמרהו וכן נעשה גם בכפלי המרובע השני ונשמרהו ונחבר שני השמורים והעולה נשמרהו ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר כך נכה שניהשמורים הראשונים זה עם זה והעולה נקח שני כפלי שרשם ונגרעם מהשמור השני והנשאר הוא המרובע המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{36}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{16}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16\right]-2\sdot\sqrt{\left[\left(\frac{2}{3}\right)^2\sdot36\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\right)^2\sdot16\right]}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot36\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)-2\sdot\sqrt{\left(\frac{4}{9}\sdot36\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{16+4-2\sdot\sqrt{16\sdot4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{20-2\sdot\sqrt{64}}\\&\scriptstyle=\sqrt{20-16}=\sqrt{4}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת הנשאר מחסור חצי שרש הי"ו משתי שלישיות שרש הל"ו לאיזו מרובע הוא שרש הנה נכה החצי עם עצמו ויעלה רביעית אחת נכהו עם הי"ו ויעלו ד' ונשמרם גם נכה הב' שלישיות עם עצמם ויעלו ד' תשיעיות נכם עם הל"ו ויעלו י"ו ונשמרם אחר כך נחבר השני שמורים שהם הד' והי"ו ויעלו כ' ונשמרם ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | גם נכה הד' עם הי"ו ויעלו ס"ד ונקח כפל שרש הס"ד שהם י"ו ונגרעם מהכ' שהוא השמור השני וישארו ד' וזהו המרובע הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה שנים ושלשים חלקים מתחלפים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול בעצמו כמו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן או כמוהו ושבר או כפלים ושבר או שבר לבד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנחבר מספרי הכפלי' או הכפלים והשבר עם המתייחס אליו והעולה נחלק עליהם המספר הנחלק לשני החלקים והיוצא הוא החלק האחד משני חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(a\sdot b\right)\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים מתחלפים כשיהיה מרובע החלק הגדול שלשה ושליש כמו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\left(3+\frac{1}{3}\right)+1}=\frac{10}{4+\frac{1}{3}}=2+\frac{4}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחבר השלשה ושליש עם האחד שהוא העולה מהכאת הגדול בקטן והם ד' ושליש ונחלק עליהם העשרה ויצאו ב' וארבעה יגיי"ם וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(2+\frac{4}{13}\right)=7+\frac{9}{13}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וישאר החלק הגדול שבעה ותשעה יגיי"ם
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2=\frac{1}{5}\sdot\left(a\sdot b\right)\sdot a^2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים מתחלפים כשיהיה מרובע החלק הגדול חמישית העולה מהכאת הגדול בקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10}{\frac{1}{5}+1}=\frac{10}{1+\frac{1}{5}}=8+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחבר החמישית עם הא' שהוא העולה מהכאת הגדול בקטן והוא אחד וחמישית נחלק עליהם הי' ויצאו שמנה ושליש וזהו החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא אחד ושתי שלישיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזו מספר שיהיה לשנים חלקים מתחלפים באופן שכאשר נחלק החלק הגדול על החלק הקטן יהיה החלק היוצא ששה או שבעה או איזה מספר שנרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנחבר מספר החלק היוצא עם הנחלק שהוא אח' לעולם והעולה נחלק עליו העשרה או איזה מספר שיהיה והיוצא הוא החלק האחד מהשני חלקים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=6\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לב' חלקים שכשתחלק החלק הגדול על הקטן יצא החלק ששה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{6+1}=\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחבר הו' עם האחד שהוא המחולק ויעלו שבעה ונחלק עליהם העשרה ויצאו אחד ושלש שביעיות וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(1+\frac{3}{7}\right)=8+\frac{4}{7}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא ח' וארבע שביעיות והוא החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=6+\frac{1}{3}\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שכשנחלק הגדול על הקטן יצא החלק ו' ושליש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\left(6+\frac{1}{3}\right)+1}=\frac{10}{7+\frac{1}{3}}=1+\frac{8}{22}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחבר הו' ושליש עם המחלק שהוא אחד ויהיו שבעה ושליש נחלק עליהם הי' ויצאו אחד וח' כביי"ם וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(1+\frac{8}{22}\right)=8+\frac{14}{22}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא ח' וי"ד כביי"ם וזהו החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{5}\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שכשנחלק הקטן על הגדול יצא החלק חומש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10}{\frac{1}{5}+1}=\frac{10}{1+\frac{1}{5}}=8+\frac{1}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחבר החמישית עם האחד שהוא המחלק ויהיה אחד וחמישית נחלק עליהם הי' ויצאו אחד ושליש והוא החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{2}{3}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא אחד ושתי שלישיות והוא החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לשנים חלקים באופן שיהיה מרובע המספר כלו כמו מרובע החלק הא' מב' חלקיו או ששה פעם ורביע או איזה שעור שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנחלק מרובע המספר כלו על מספר כפלי מרובע חלקו או על מספר כפליו ושבר מרובע חלקו והעולה קח שרשו והוא החלק הא' והנשאר הוא החלק האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot a^2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק העשרה על ב' חלקים מתחלפים באופן שיהיה מרובע הי ו ורביע פעם כמרובע החלק האחד משני חלקי העשרה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{\frac{10^2}{6+\frac{1}{4}}}=\sqrt{\frac{100}{6+\frac{1}{4}}}=\sqrt{16}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחלק מרובע העשרה שהם הק' על ו' ורביע ויצאו י"ו ושרשם ד' וזהו החלק האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-4=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר שהוא ו' הוא החלק האחר
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle10^2=4\sdot a^2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה באופן שיהיה מרובע העשרה ד' כפלי חלקו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{\frac{10^2}{4}}=\sqrt{\frac{100}{4}}=\sqrt{25}=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נחלק המאה על הארבעה ויצאו חמשה ועשרים ושרשם חמשה וזהו החלק האחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא החלק השני
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לחלק העשרה או איזה מספר שתרצה לשנים חלקים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול כמו שנים ורביע ממרובע החלק הקטן או איזה שעור שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקח שרש הכפלים או הכפלים והשבר ונחבר עליו אחד והעולה נחלק עליו העשרה או המספר המבוקש והיוצא הוא יהיה החלק הקטן והנשאר הוא החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(2+\frac{1}{4}\right)\sdot a^2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לשנים חלקים שיהיה מרובע החלק הגדול ב' פעמים ורביע כמו מרובע החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{1+\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{10}{1+\left(1+\frac{1}{2}\right)}=\frac{10}{2+\frac{1}{2}}=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נקח שרש הב' ורביע והוא אחד וחצי ונחבר עליו אחד והוא שנים וחצי ונחלק עליהם העשרה ויצאו ד' וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-4=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר שהוא הו' הוא החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(3+\frac{22}{49}\right)\sdot a^2\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיהיה מרובע החלק הגדול ג' פעמים וכ"ב מטיי"ם כמרובע החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{1+\sqrt{3+\frac{22}{49}}}=\frac{10}{1+\left(1+\frac{6}{7}\right)}=\frac{10}{2+\frac{6}{7}}=3+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח שרש הג' וכ"ב מטיי"ם והוא י"ג שבועיי"ם שהם אחד וו' שבעיים ונחבר עליהם אחד והם ב' ושש שביעיות נחלק עליהם הי' ויצאו ג' וחצי וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=10-\left(3+\frac{1}{2}\right)}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר הוא החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לשני חלקים מתחלפים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול שוה לעולה מהכאת החלק הקטן בט' או בי' או באיזה מספר שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקח העולה מהכאת הי' או איזה מספר שיהיה מוכה בו החלק הקטן ונוסיף עליו העולה מהכאת חצי התשעה עם עצמם או איזה מספר שיהיה מוכה בו החלק הקטן והעולה נקח שרשו אחר זה נגרע מהשרש הזה חצי הט' או המספר המוכה עם החלק הקטן והנשאר הוא החלק הגדול נגרעהו מהמספר הנחלק והנשאר הוא החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=9\sdot a\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת היאך נחלק העשרה לשני חלקים באופן שיהיה מרובע החלק הגדול ממנו שוה לעולה מהכאת החלק הקטן ממנו עם ט'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\sqrt{\left(10\sdot9\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)^2}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{90+\left(20+\frac{1}{4}\right)}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=6\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח העולה מהכאת העשרה עם התשעה והם תשעים ונחברם עם העולה מהכאת חצי הט' בעצמם שהם כ' ורביע ויעלו ק"י ורביע ושרשם י' ורביע נגרע מהם חצי הט' וי[שאר]ו ו' וזהו החלק הגדול נגרעם מהעשרה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-6=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וישארו ד' וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle b^2=\left(48+\frac{1}{6}\right)\sdot a\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לדעת היאך נדע לחלק העשרה לשני חלקי' באופן שיהיה מרובע החלק הגדול שוה לעולה מהכאת החלק הקטן עם מ"ח וששית
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\sqrt{\left[10\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]^2}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(48+\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(481+\frac{2}{3}\right)+\left(24+\frac{1}{12}\right)^2}-\left(24+\frac{1}{12}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(481+\frac{2}{3}\right)+\left(580+\frac{1}{144}\right)}-\left(24+\frac{1}{12}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{1061+\frac{97}{144}}-\left(24+\frac{1}{12}\right)\\&\scriptstyle=\left(32+\frac{7}{12}\right)-\left(24+\frac{1}{12}\right)=8+\frac{1}{2}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח העולה מהכאת העשרה עם המ"ח וששית והם תפ"א וב' שלישיות ונחברם עם העולה מהכאת חצי המ"ח וששית בעצמם שהם תק"פ וחלק אחד מקמ"ד חלקי השלם ויעלו אלף וס"א שלמים וצ"ז חלקים מקמ"ד חלקי השלם נקח שרשם והם שנים ושלשים שלמים ושבעה יביי"ם נגרע מהם חצי המ"ח וששית שהם כ"ד ויבי"י אחד וישארו שמנה שלמים וחצי וזהו החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(8+\frac{1}{2}\right)=1+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נגרעהו מהעשרה וישארו אחד וחצי וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע לחלק העשרה או איזה מספר שיהיה לב' חלקים מתחלפים באופן שיהיה העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן אחד ועשרים או איזה מספר שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקח מרובע חצי המספר הנחלק ונגרע ממנו העולה מהכאת החלק הגדול עם החלק הקטן והנשאר נקח שרשו ונוסיפהו על חצי המספר הנחלק והעולה הוא החלק הגדול ותגרע החלק הגדול מהמספר הנחלק והנשאר הוא החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיעלה מהכאת ב' החלקי' זה עם זה כ"א
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{5^2-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{25-21}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{4}=5+2=7\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מרובע חצי העשרה והם כ"ה ונגרע מהם הכ"א וישארו ד' ונקח שרשם והם ב' ונוסיפם על הה' ויעלו שבעה וזהו החלק הגדול
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-7=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נגרעם מהי' וישארו ג' וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=24+\frac{3}{4}\end{cases}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לחלק העשרה לשני חלקים שיעלה מהכאתם ארבעה ועשרים שלמים וג' רביעיות
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle b&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\left(24+\frac{3}{4}\right)}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{5^2-\left(24\frac{3}{4}\right)}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{25-\left(24\frac{3}{4}\right)}\\&\scriptstyle=5+\sqrt{\frac{1}{4}}=5+\frac{1}{2}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מרובע חצי העשרה והם כ"ה ונגרע מהם הכ"ד וג' רביעיות וישאר רביעית אחד ונקח שרשו והוא חצי ונחברהו על החמשה ויעלו ה' וחצי וזהו החלק הגדול נגרעם מהי'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(5+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וישארו ד' וחצי וזהו החלק הקטן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשנוסיף עליו ח' על דרך משל או איזה מספר שיהיה ונכה המקובץ עם ד' על דרך משל או עם איזה מספר שיהיה והעולה יהיה שוה למרובע המספר ההוא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנקח מרובע חצי המספר אשר יוכה בו המספר המקובץ ונוסיפהו על העולה מהכאת כל המספר אשר יוכה בו המקובץ עם המספר הנוסף על המספר המבוקש והעולה נקח שרשו ונוסיפהו על חצי המספר אשר יוכה בו המקובץ והעולה הוא המספר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2=4\sdot\left(a+8\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת איזהו המספר אשר יהיה מרובעו שוה לעולה מהכאת הד' עם המספר ההוא מחובר עם ח'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+\left(4\sdot8\right)}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{2^2+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{4+32}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{36}=2+6=8\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח מרובע חצי הד' והם ד' ונוסיפם על העולה מהכאת הד' בח' שהם שנים ושלשים ויעלו ל"ו ונקח שרשם והם ו' ונוסיפם על חצי הד' ויעלו ח' וזהו המספר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle a^2=\left(3+\frac{10}{13}\right)\sdot\left(a+6\right)</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם רצית לדעת המספר אשר יהיה מרובעו שוה לעולה מהכאת השלשה וי' יגיי"ם עם המספר ההוא מחובר עם ו'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=
| |
| − | \left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\frac{10}{13}\right)\right]+\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+\frac{10}{13}\right)\right]^2+
| |
| − | \left[\left(3+\frac{10}{13}\right)\sdot6\right]}\\&\scriptstyle=
| |
| − | \left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{\left(1+\frac{23}{26}\right)^2+\left(22+\frac{8}{13}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{373}{676}\right)+\left(22+\frac{8}{13}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\sqrt{26+\frac{113}{676}}=\left(1+\frac{23}{26}\right)+\left(5+\frac{3}{26}\right)={\color{red}{7}}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|הנה נקח חצי הג' ועשרה יגיי"ם עם המספר ההוא מחובר עם ו' הנה נקח חצי הג' ועשרה יגיי"ם והם אחד וכ"ג כויי"ם ומרובעו ג' שלמים ושע"ג חלקים מתרע"ו ונוסיפם על העולה מהכאת הג' ועשרה יגיי"ם עם הו' שהם כ"ב שלמים וח' יגיי"ם והם כ"ו שלמים וקי"ג חלקים מתרע"ו נקח שרשם והם ה' שלמים וג' כויי"ם נוסיפם על חצי הג' ועשרה יגיי"ם שהם אחד וכ"ג כויי"ם ויעלו ח' שלמים וזהו המספר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שלח המלך רץ אחד אל מקום אחד שמהלכו בכל יום עשר מילין ותכף שלח רץ אחר אחריו מהלכו ביום ראשון מיל אחד וביום השני שני מילין וביום השלישי שלשה וביום הרביעי ארבעה וכן תמיד מתי ישיגנו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot2\right)-1=20-1=19}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנכפול מספר המילין שהולך הרץ הראשון בכל יום והם כ' ונשליך אחד וישארו י"ט וזהו מספר הימים שישיגנו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot2\right)-1=18-1=17}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היה מהלך הראשון על דרך משל תשעה מילין נכפול התשעה ויעלו שמנה עשר ונשליך אחד וישארו שבעה עשר וזהו מספר הימים שישיגנו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה מי שחלק נכסיו לבניו וצוה שיקח הראשון מממונו זהוב אחד בראשונה ומהנשאר עשיריתו והשני יקח שני זהובים מהנשאר מהראשון ואחר כך יקח עשירית הנשאר והשלישי יקח שלשה זהובים מהנשאר מהשני ואחר כך יקח עשירית הנשאר וכן תמיד על זה הסדר והאחרון מבניו יקח כל הנשאר מהקודמים ונמצא עם הסדר הזה לקחו הכל בשוה כמה היה הממון וכמה היו הבנים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\longrightarrow10-1=9}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתגרע אחד מהמספר הנגזר ממנו והשבר הלקוח מהמותר והנשאר הוא מספר הבנים<br>
| |
| − | ומרובע זה המספר הוא הממון ומפני שבמשלנו זה היה השבר הלקוח מהמותר עשירית ומספר העשרה הוא המספר הנגזר ממנו העשירית גרענו אחד מהעשרה ונשארו תשעה וככה הוא מספר הבנים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{9^2=81}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומרובע הט' הם פ"א וככה הוא הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\longrightarrow7-1=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היה החלוק כשיקח הראשון אחד ומהנשאר שביעיתו במקום עשיריתו הנה המספר הנגזר ממנו שם השביעית הוא הז' נגרע ממנו אחד וישארו ששה וככה הוא מספר הבנים
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומרובע הו' הם ל"ו וככה הוא הממון
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישארו א' ומג' ג' ישארו ב' ומד' ד' ישארו ג' ומה' ה' ישארו ד' ומו' ו' ישארו ה' ומז' ז' לא ישארו כלום
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנבקש קטון המספר שימנוהו הב' והג' והד' והה' והו' והוא מספר ס'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-1=59}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אחר זה נחסר מס' א' ובהכרח שיחסרו ממנין כל מספר ומספר ממספרי ב' ג' ד' ה' ו' אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{59=2\sdot n_1-1\longrightarrow59mod2=1}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|רוצה לומר שמב' ב' יחסר אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{59=3\sdot n_2-1\longrightarrow59mod3=2}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומג' ג' יחסר אחד ואם כן ישארו ב'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{59=4\sdot n_3-1\longrightarrow59mod4=3}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומד' ד' יחסר אחד ואם כן ישארו ג'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{59=5\sdot n_4-1\longrightarrow59mod5=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומה' ה' יחסר אחד ואם כן ישארו ד'
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{59=6\sdot n_5-1\longrightarrow59mod6=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומו' יחסר אחד ואם כן ישארו ה' וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{60mod7=4}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|אך מפני שהונח במשלנו זה מז' ז' לא ישאר דבר הנה נצטרך לחלק מספר הס' על מספר הז' ונעיין במותר מהחלוק שהם הד' כמה פעמים יכפל עד שכשיחסר מהעולה אחד ישארו ז' שלמים וראינו שהם ב' כי ב' פעמים ד' הם שמנה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)-1=8-1=7}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכשיחוסר ממנו אחד ישארו שבעה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot60\right)-1=120-1=119}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ולכן הכינו הס' בב' ועלו ק"כ חסרנו מהם א' ונשארו קי"ט וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישארו אחד ומג' ג' ישארו שנים ומד' ד' ישארו שלשה ומה' ה' לא ישאר דבר הנה נבקש קטון המספר שימנוהו הב' והג' והד' והם י"ב אחר זה נחסר מהי"ב אחד ובהכרח שיחסר ממנין כל מספר ומספר ממספרי ב' ג' ד' אחד רוצה לומר שמב' ב' יחסר אחד ואם כן ישאר אחד ומג' ג' יחסר אחד ואם כן ישארו ג' וזהו המבוקש אך מפני שהונח במשלנו זה שמה' ה' לא ישאר דבר הנה נצטרך לחלק הי"ב על הה' ונעיין במותר מהחלוק שהם הב' כמה פעמים יכפל עד שכשיחסר מהעולה אחד ישארו ה' וראינו שהם ג' פעמים כי ג' פעמים ב' הם ו' וכשיחסר מהם אחד ישארו ה' ולכן הכינו הי"ב בה' ועלו ל"ו גרענו מהם אחד ונשארו חמשה ושלשים וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד ומד' ד' ישאר אחד ומה' ה' ישאר אחד ומו' ו' ישאר אחד ומז' לא ישאר דבר
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{60+1=61}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|תשובה שנבקש המספר היותר קטן שימנוהו ב ג ד ה ו והם ששים ונוסיף עליו אחד ויהיו ס"א ובהכרח שישארו מכל מספרי ב ג ד ה ו אחד רוצה לומר שמב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד וכן מכל מספרי ב ג ד ה ו וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אך מפני שהונח במשלנו זה שמז' ז' לא ישאר דבר על כן נצטרך לחלק הס' על הז' ונעיין במותר מהחלוק שהם הד' כמה פעמים יכפל עד כשנוסיף על העולה א' יהיה המחובר נמנה ממספר הז' וראינו שהם ה' כי ד' פעמים ה' הם עשרים וכשנוסיף עליו אחד יהיו הכל כ"א ומספר כ"א נמנה ממספר הז' ולכן הכינו הס' בה' ועלה ש' הוספנו עליו אחד והם ש"א וזהו המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אחד ומג' ג' ישאר אחד ומד' ד' ישאר אחד ומה' ה' לא ישאר דבר הנה נבקש המספר הקטן אשר ימנוהו מספרי ב' ג' ד' והוא י"ב נחלק הי"ב על ה' ה' ונקח המותר מהחלוק שהם הב' במשלנו זה ונעיין עליו כמה פעמים יכפל ויהיה העולה כשנוסיף עליו אחד נמנה ממספר ה' ומצאנו שהם ב' כי ב' פעמים ב' הם ד' ועם תוספת הא' הם חמשה והנה מספר ה' מונהו ולכן נכה הי"ב עם הב' ויעלו עשרים וארבע ונוסיף עליו אחד ויעלו כ"ה וזהו המספר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' ישאר אח' ומג' ג' ישארו ב' ומד' ד' ישארו ג' ומה' ה' ישאר אחד ומו' ו' ישארו חמשה ומז' ז' ישאר אחד ומח' ח' ישארו ז' ומט' ט' ישארו שמנה ומי' י' ישאר אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנגרע המותר מהמספר האחרון כמו האחד במשלנו זה שהוא המותר מי' י' ויהיו כל המותרים מתחלפים מהמותרי' הראשונים במגרעת אחד<br>
| |
| − | רוצה לומר שמב' ב' לא ישאר דבר ומג' ג' ישאר אחד ומד' ד' ישארו שנים ומה' ה' לא ישאר
| |
| − | דבר ומו' ו' ישארו ארבעה ומז' ז' לא ישאר דבר ומח' ח' ישארו ששה ומט' ט' ישארו ו' ומי' י' לא ישאר דבר<br>
| |
| − | ולהיות שהמספר האחרון שהוא הי' במשלנו לא ישאר ממנו דבר אחר שגרענו אחד<br>
| |
| − | לכן נניח שהמספר הנשאר אחר מגרעת אחד מהמספר המבוקש הוא י' ונדרוש המותרים ממנו וראינו שמט' ט' ישאר אחד ומח' ח' ישארו שנים ומז' ז' ישארו ג' ומו' ו' ישארו ארבעה ומה' ה' לא ישאר דבר ומארבעה ארבעה ישארו שנים ומשלשה שלשה ישאר א' משנים שנים לא ישאר דבר אחר זה עייננו במותרים האלו באיזה מין כפלים יכפלו כלם יחד עד שישוו המותרים מהעולים מהם למותרים מהמספר המבוקש אחרי מגרעת האחד ממנו ועם מספר הכפלים ההם נכפול המספר המונח ונוסיף עליו האחד הנגרע והוא המספר המבוקש ולכן עייננו במותרים הט' הט' מהמספר המונח שהוא הי' והיה אחד גם עייננו אל הנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש אחר הא' ממנו והיה ז' וחוייב מזה בהכרח שיהיה מספר הכפלים אשר יכפל בו האחד הנשאר מהמספר המונח אשר יהיה הנשאר מהט' ט' מהעולה ממנו שוה לנשאר מהט' ט' מהמספר המבוקש הוא מספר ז' מפני שהעולה מז' פעמים א' הוא שבעה והנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש הם שבעה אך ראוי לעיין גם במותרי' האחרים הנשארי' מהי' אם ישוו אחדי הכפלים עם הז' כפלים למותרי' המספר המבוקש ואז נגזור במאמר פוסק שמספר הכפלים אשר יכפול בו מספר הד' הוא ז' כפלים ולכן עייננו אל המותר הנשאר מח' ח' ממספר הי' והם ב' הכינום עם ז' ויעלו י"ד גרענו מהם ח' ח' ונשארו ו' כמו שנשארו מח' ח' מהמספר המבוקש גם כפלנו השלשה הנשארים מז' ז' ממספר הי' עם ז' ועלו ב' גרענו מהם ז' ז' ולא נשאר דבר כמו שלא נשאר דבר מז' ז' מהמספר המבוקש גם כפלנו הד' הנשארים מו' ו' ממספר הי' עם ז' ועלו כ"ח גרענו ו' ו' ונשארו ד' כמו שנשארו מו' ו' מהמספר המבוקש והנשאר מה' ה' ממספר הי' הוא 0 וכשתכפל עם הז' הנה העולה הוא 0 כמו שהנשאר מה' ה' מהמספר המבוקש הוא 0 גם כפלנו הב' הנשארים מד' ד' ממספר הי' עם הז' ועלו י"ד גרענו מהם ד' ד' ונשארו ב' כמו הנשארים מהמספר המבוקש גם כפלנו הא' הנשאר מג' ג' ממספר הי' ועלו ז' גרענו מהם ג' ג' ונשאר אחד כמו הנשאר מג' ג' מהמספר המבוקש ולהיות שמצאנו שהמותרים הנשארים מהעולים מהכאת המותרים ממספר הי' עם הז' שוים למותרים הנשארים מהמספר המבוקש שפטנו כשמספר ז' הוא המספר אשר יוכו בו הי' ולכן הכינום עם הי' ועלו שבעים הוספנו עליהם האחד הנגרע ועלו ע"א וזהו המספר המבוקש אך צריך להזהר במותר המספר האחרון כמו הי' במשלנו שהוא הא' פן יהיה הוא בעצמו המספר המבוקש וזהו כשנבחן המותרים האחרים מהי' ואם נמצא מותר יותר גדול ממותר הא' הנשאר מהי' כמו במשלנו זה שהמותר מט' ט' הוא שמנה אז נשפוט בסלוקו רוצה לומר כשאין המספר המבוקש הוא המותר ממספר הי' במשלנו זה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם שאל שואל איזהו המספר אשר כשימנה מב' ב' לא ישאר דבר ומג' ג' ישארו שנים ומד' ד' לא ישאר דבר וחמשה חמשה לא ישאר דבר ומששה ששה ישארו שנים ומז' ז' ישארו שלשה ומח' ח' ישארו ארבעה ומט' ט' ישארו חמשה ומי' לא ישאר דבר הנה להיות שלא נשאר דבר מהמספר האחרון שהוא הי' במשלנו זה לא נגרע מהמספר המבוקש דבר ולכן ישארו המותרים הנזכרים בעינם ונניח שיהיה המספר המבוקש שהוא שוה למספר האחרון במשלנו זה ונדרוש המותרים מהי' והם מט' ט' אחד ומח' ח' שנים ומז' ז' שלשה ומו' ו' ארבעה ומה' ה' 0 ומד' ד' שנים ומג' ג' אחד ומב' ב' 0<br>
| |
| − | אחר זה נעיין במותרים מהי' באיזה כפלים יכפלו כלם יחד עד שישוו המותרי' מעולים מהם למותרי' מהמספר המבוקש כל אחד למינו רוצה לומר הנשארים מח' ח' מהמספר המבוקש לנשאר מח' ח' מהמספר העשרה וכן בכל מין ומין ולכן עייננו תחלה במותר האחרון הנשאר מט' ט' מהי' שהוא האחד וכפלנו אותו עם ה' ועלה ה' והוא שוה לנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו הב' הנשאר מח' ח' מהי' עם הי' ועלו עשרה גרענו מהם ח' ח' ונשארו שנים והנה אינם שוים לנשארים מח' ח' מהמספר המבוקש שהם הד' במשלנו זה ולכן שבנו להכות הנשאר מט' ט' ממספר העשרה שהוא האחד עם כפלים אחדים זולת החמשה יען שכפלי הה' אינם צודקים במותרים האחרים והכינו האחד עם תשעה כפלים נוספים על הה' יען שתשעה פעמים אחד יעלה תשעה ונשליך הט' וישארו הה' פעמים הקודמים שהם הח' הנשאר מט' ט' מהמספר המבוקש ולכן חברנו התשעה עם החמשה הקודמים ויעלו י"ד וכפלנו האחד שנשאר מתשעה תשעה מהעשרה עם י"ד ועלו י"ד גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר הי' עם הי"ד ועלו כ"ח גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו ד' כמו הארבעה הנשארים משמנה שמנה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו השלשה הנשארים משבעה שבעה מהעשרה עם הי"ב ועלו מ"ב גרענו מהם שלשה שלשה ונשאר 0 והוא בלתי שוה למותר הנשאר מהמספר המבוקש משבעה שבעה שהם שלשה ולכן שבנו להכות הנשאר האחרון מתשעה תשעה מהעשרה שהוא האחד עם כפלים ט' נוספים על הי"ד שבידינו והם כ"ג הכינום עם האחד הנשאר מתשעה תשעה ממספר העשרה ועלו כ"ג גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו הנשארים מט' ט' מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו הכ"ג עם השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר הי' ועלו מ"ו גרענו מהם ח' ח' ונשארו ששה והם בלתי שוים לנשאר משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה ולכן שבנו להכות האחד הנשאר מתשע' תשעה ממספר העשרה עם ט' נוספים על הכ"ג שבידינו שהם ל"ב גרענו מהם ט' ט' ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו השנים ושלשים עם השנים הנשארים משמנה שמנה ועלו ס"ד גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו 0 והוא בלתי שוה לנשאר משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה ולכן שבנו להכות האחד הנזכר עם תשעה נוספים על השנים ושלשים והם מ"א כמשפט הראשון ועלו מ"א גרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו החמשה הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה כפלנו המ"א עם השנים הנשארים מח' ח' ממספר העשרה ועלו פ"ב וכשגרענו מהם שמנה שמנה נשארו שנים והם בלתי שוים לנשארי' משמנה שמנה מהמספר המבוקש שהם הארבעה ולכן שבנו להכות האחד הנזכר עם ט' נוספים על המ"א שבידינו והם חמשי' ועלו חמשים וגרענו מהם תשעה תשעה ונשארו חמשה כמו הנשארים מתשעה תשעה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | אחר זה הכינו החמשים עם השנים הנשארים משמנה שמנה ממספר העשרה ועלו מאה גרענו מהם שמנה שמנה ונשארו ארבעה והם שוים לנשארים משמנה שמנה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | גם כפלנו החמשים עם השלשה הנשארים משבעה שבעה מספר עשרה ועלו ק"נ גרענו מהם שבעה שבעה ונשארו שלשה והם שוים לנשארים משבעה שבעה מהמספר המבוקש<br>
| |
| − | גם כפלנו החמשים עם כל אחד מהמותרים על זה הסדר והיו הנשארים ממספר העשרה שוים לנשארים מהמספר המבוקש ולכן גזרנו אומר שהכפלים אשר יכפלו בהם המספר המונח שהוא העשרה במשלנו הם החמשים כפלנום עם החמשים ועלו ת"ק וזהו המספר המבוקש
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | {|
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | === Section Two: Geometrical Problems ===
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|החלק השני בשאלות ההנדסיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ==== Chapter One ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק הראשון מהחלק השני בשאלות המתבארות מהיחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Payment Problem - Digging a Hole'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: Reuven hired Shimon to dig for him in his vineyard 10 in length and 5 in width for 15 pešuṭim, but he dug 9 in length and 4 in width.<br>
| |
| − | :How much is his payment?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה ראובן שכר את שמעון לחפור לו בכרמו עשרה באורך חמשה ברוחב בט"ו פשוטים והוא חפר תשעה באורך ארבעה ברוחב<br>
| |
| − | כמה שכרו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[15\sdot\left(9\sdot4\right)\right]}{10\sdot5}=\frac{15\sdot36}{50}=10+\frac{4}{5}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנכה העשרה בחמשה ויעלו חמשים ונשמרם גם נכה התשעה בד' ויעלו ל"ו ונשמרם אחר זה נייחס ונאמר אם החמשים ישוו חמשה עשר הל"ו כמה ויצאו עשרה שלמים וארבע חמשיות
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת שעור גבוה אחד עומד על שטח הארץ על זויות נצבות איזה גובה שיהיה מבלתי מדידה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנשוה שטח המקום שהוא סביב הגובה עד שנעשהו מישור ונעמיד עמוד אחד נצב על אותו המישור על זויות נצבות ונשים ראשנו על הארץ עד צד שיגיע העין לשטח המישור ונעיין בראש הגובה ובראש העמוד עד שיהיה קו אחד ניצוצי פוגש בשלשה מקומות והם ראש הגובה וראש העמוד ונקודת שטח הארץ הגובה אשר שם בו עינו וזה כשירחק ויקרב מעמד עינו משרש העמוד עד שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלשה המקומות הנזכרי' יחד ובמקום ההוא מנקודת השטח נסמן בו סימן ונקראהו העמוד סימן ראשון ונקרא שרש העמוד סימן שני ונקרא שרש הגובה סימן שלישי אחר זה נקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והסימן השני ונשמרהו ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | גם נקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והסימן השלישי ונשמרהו ויקרא שמור שני<br>
| |
| − | גם נקח מספר האמות שמראש העמוד עד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שלישי<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוב כמו השמור השני השמור השלישי כמה ישוה והיוצא לך הוא מספר אמות הגובה ההוא או אם לא תרצה לצער עצמך לשום עינך על שטח הארץ עמוד על רגלך והתרחק והתקרב מהעמוד עד שיסכי' הקו הניצוצי שיפגוש השלשה מקומו' יחד שהם עינך וראש העמוד והגובה ואז תסמן סימן במקום מעמד רגלך ותקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והשני ושמרהו ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | גם תקח מספר האמות שבין הסימן הראשון והשני ושמרהו ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | גם תקח מספר האמות שבין המספר הראשון והשלישי ושמרהו ויקרא שמור שני<br>
| |
| − | גם תקח מספר האמות שמראש העמוד על שרשו ותגרע מהם מספר אמות קומתך והנשאר שמרהו ויקרא שמור שלישי
| |
| − | אחר זה תייחס ותאמר אם השמור הראשון ישוה כמו השמור השני השמור השלישי כמה ישוה<br>
| |
| − | והיוצא הוסף עליו מספר אמות קומתך והוא מספר אמות הגובה ההוא<br>
| |
| − | ובזה הדרך בעצמו תוכל לדעת מספר האמות שמראש הגובה עד נקודה אחת מהנקודות המונחות באותו הגובה או מספר האמות שבין שתי נקודות שתרצה מהנקודות המונחות באותו הגובה<br>
| |
| − | אולם ידיעת מספר האמות שמראש הגובה עד נקודה אחת שתרצה מהנקודות המונחות באותו הגובה הנה כשנעמוד תחלה במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש ג' מקומות שהם ראשי הגובה והעמוד והעין ועשה לפי מה שקדם לך ותדע מספר אמות כללות הגובה ותשמרהו<br>
| |
| − | אחר זה נעמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש שלשה מקומות שהם העין וראש העמוד והנקודה הנזכרת ועשה לפי מה שקדם ותדע בו מספר האמות שמאותה הנקודה עד שרש הגובה תגרעם ממספר הגובה השמורות והנשאר הוא מספר האמות שמראש הגובה עד אותה הנקודה<br>
| |
| − | ואולם ידיעת מספר האמו' שבין שתי הנקודות המונחות באותו הגובה<br>
| |
| − | הנה כשתעמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלם מקומות והם העין והנקודה העליונה מהשתי נקודות כנזכר וראש העמוד ויודע לך כי מספר האמות שמאותה הנקודה עד שרשו ותשמרהו<br>
| |
| − | אחר זה עמוד במקום שיהיה הקו הניצוצי פוגש בשלש מקומות והם העין וראש העמוד והנקודה השפלה משתי נקודות הנזכרות ויודע לך בו מספר האמות שמנקודה השפלה עד שרשו ותגרעם מהשמור והנשאר הוא מספר האמות שבין שתי הנקודות ההן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת שעור שטח אחד ישר איזה שטח שיהיה מבלתי מדידה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנעמיד עמוד אחד ישר נצב על ראש השטח המונח על זויות נצבות אחר זה נסמן סימן על נקודה מנקודות אותו העמוד יותר שפלה מראש העמוד איזו נקודה שתרצ' ונוציא ממנה עמוד הפוך נצב על העמוד הישר על זויות נצבות ונאריך זה העמוד ההפוך עד שיהיה הקו הניצוצי היוצא מהעין המונח על ראש העמוד הישר פוגש בשלש מקומו' והם ראש העמוד הישר אשר עין המביט מונח שם וראש העמוד ההפוך וסוף השטח המבוקש שעורו<br>
| |
| − | אחר זה נקח מספר האמות שמראש העמוד הישר העמוד עד הנקודה המסומנת אשר היא שרש העמוד ההפוך ונשמרהו ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | אחר זה נקח מספר האמות שמראש העמוד הישר עד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שני<br>
| |
| − | אחר העמוד ההפוך זה נקח מספר האמו' שמראש העמוד ההפוך עד שרשו ונשמרהו ויקרא השמור השלישי<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוב כמו השמור השני השמור השלישי כמה והיוצא לך הוא מספר אמור השטח המבוקש וכבר הודעתיך במה שקדם התחבולה אשר סוף השטח ראש השטח בה תוכל לדעת מספר האמות שמנקודה מונחת מנקודת השטח איזו נקודה שתרצה עד סוף השטח או מספר האמות אשר בין שתי נקודות מונחות על שטח ההוא איזו נקודות שתרצה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת שעור עומק אחד איזה עומק שיהיה מבלתי מדידה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנעמיד עמוד ישר על שפתו על זויות נצבות עוד נוציא משרש העמוד הישר עמוד הפוך עומד על זויות נצבו' על העמוד הישר ונאריך זה העמוד ההפוך עד שיהיה הקו הניצוצי היוצא מהעין המונח על ראש העמוד הישר פוגש בשלש מקומות והם ראש העמוד הישר אשר עין המביט מונח שם וראש העמוד הההפוך וסוף העומק המבוקש שעורו גם נעמיד עמוד על הנקוד' אשר הביט בה המביט בסוף העומק שיהיה נצב על זויות נצבות וראש העמוד ההוא יגיע עד השטח העליון שעל פי העומק אשר עליו העמדנו העמוד הישר על שפתו<br>
| |
| − | אחר זה נקח מספר אמות כל העמוד ההפוך רוצה לומר מראשו עד שרש העמוד הישר אשר הוא שרש גם העמוד ההפוך ונשמרהו ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | גם נקח מספר אמות הרוחק אשר מראש העמוד ההפוך עד ראש העמוד על הנקודה אשר היא בסוף העומק ונשמרהו ויקרא שמור שני<br>
| |
| − | גם נקח מספר אמו' העמוד הישר מראשו ועד שרשו ונשמרהו ויקרא שמור שלישי<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון ישוה כמו השמור השני השמור השלישי כמה והיוצא לך הוא מספר אמות העומק המבוקש וכבר הודעתיך במה שקדם התחבולה אשר בה תוכל לדעת מספר האמות שמנקודה מונחת מנקודות העומק ההוא איזה נקודה היתה עד סוף העומק או מספר האמות בין שתי נקודות מונחות על העומק ההוא איזה נקודו' שתרצה מהנקודו' שעליו
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Payment Problem - Digging a Hole'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: one hires the worker to dig for him a hole 10 in length 8 in width and 9 in depth for 10 whites, but he dug 9 in length 7 in width and 8 in depth.<br>
| |
| − | :How much is his payment?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה השוכר את הפועל לחפור לו בור עשרה באורך שמנה ברוחב תשעה בעומק בי' לבני' והוא חפר ט' באורך ז' ברוחב ח' בעומק<br>
| |
| − | כמה שכרו
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot\left(9\sdot7\sdot8\right)}{10\sdot8\sdot9}=\frac{10\sdot504}{720}=7}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נכה העשרה בשמנה והעולה בט' והם תש"כ ונשמרם גם נכה הט' בז' והעולה בח' והם תק"ד ונשמרם אחר זה נייחס ונאמר אם התש"כ י' התק"ד כמה ויצאו שמנה שלמים בלי תוספת ומגרעת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: if a ball mixed with silver and gold was brought to you, how the amount of gold and the amount of silver in it would be known without testing it with a touchstone?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם הביאו לך כדור מעורב מכסף וזהב היאך יודע כמות הזהב שבתוכו וכמות הכסף שבתוכו מבלתי שתבחן אותו באבן הבוחן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח אורך קוטרו וממנו תדע משקלו כמו שיבא אם היה כלו זהב ונשמרהו ויקרא שמור ראשון ומשקלו אם היה כלו כסף ונשמרהו ויקרא שמור שני<br>
| |
| − | אחר זה נחבר שני השמורים ונקח חצי המחובר והוא משקל זה הכדור אם היה חציו מכסף וחציו מזהב ונשמרהו ויקרא השמור השלישי<br>
| |
| − | אחר זה נשקול זה הכדור והעולה נשמרהו ויקרא השמור הרביעי<br>
| |
| − | אחר זה נקח ההפרש שבין השמור השלישי והשמור השני ונשמרהו ויקרא השמור הה'<br>
| |
| − | גם נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור הרביעי ונשמרהו ויקרא השמור הששי<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם השמור החמישי יהיה הזהב חצי הכדור בשמור הששי כמה ויצא לך כמות הזהב שבזה הכדור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה קוטר הכדור הדרוש שבעה פעמים כמו צלע המעוקב הזהביי השוקל אח' דרהם והיה משקל הכדור ההוא ק"כ דרהם הנה נדע משקלו אלו היה כלו זהב וזה בידיעת קוטחו כמו שקדם והוא קע"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם ונשמרהו ויקרא השמור הראשון<br>
| |
| − | גם נדע משקלו אלו היה כלו כסף והוא צ"א דרהם וחלק אחד מחמשים ונשמרהו ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נחבר שני השמורים ונקח חצי המחובר והוא קל"ה וי"ג חלקים משלשים ונשמרהו ויקרא השמור השלישי וזהו משקלו אלו היה חציו מזהב וחציו מכסף<br>
| |
| − | גם נשמור משקל זה הכדור שהם המאה ועשרים דרהמים ויקרא השמור הרביעי<br>
| |
| − | אחר זה נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור השלישי והם מ"ד וז' חלקים משלשים ונשמרהו והוא השמור החמישי<br>
| |
| − | גם נקח ההפרש שבין השמור השני והשמור הרביעי והם ס"ח וד' חמשיות ונשמרהו והוא השמור הששי<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם כשההפרש שבין הכדור הכספיי ובין הכדור שחציו מכסף וחציו מזהב שהם המ"ד דרהם ושבעה חלקים משלשים שהוא השמור החמשי ישוב הכספיי חצי מזהב כשההפרש שבין הכספיי לזה הכדור כ"ח דרהמי' וד' חמשיות שהוא השמור הששי כמה זהב יהיה בו ויצאו לך תל"ב חלקים מאלף ש' כ"ז וככה הוא יחס הזהוב שבו אל כלל כמות הכדור הזה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: if there is a stone, 2 in length, 1 in width, and 3 in depth, going down in a fixed motion from above into a filled water pool, 10 in length, 5 in width, and 15 in depth, with a pipe flowing in it that fills it in a day and a half if nothing comes out of it and a hole on its edge that drains it in one day if nothing comes into it.<br>
| |
| − | :When the lower surface of that stone reaches the upper surface of the pool water, the hole on its edge is opened, and the pipe flowing in it is also opened.<br>
| |
| − | :The stone is going down in a fixed motion within the water of the pool so that the pool will always be full as in the beginning and nothing will spill from it.<br>
| |
| − | :How long will it take the whole stone to sink into the pool from the time that its lower surface touches the upper surface of the water until the time its upper surface touches the upper surface of the water when the pool is still filled?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היתה אבן אחת שאורכה ב' ורחבה אחד ועומקה ג' יורדת בתנועה שוה מלמעלה לתוך בריכת מים מליאה שאורכה י' ורוחבה ה' ועמקה ט"ו והצנור המקלח בתוכה ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום והנקב שבשוליה יריקנה ביום אחד אם לא יכנס בה כלום<br>
| |
| − | וכאשר הגיע השטח התחתון של אותה האבן בשטח העליון של מימי הבריכה פתח הנקב שבשוליה וגם פתח הצנור המקלח בתוכה<br>
| |
| − | וגם יורדת האבן בתנועה שוה בתוך מימי הבריכה באופן שתהיה הבריכה מלאה תמיד כאשר בתחלה ושלא ישפך ממנה כלום<br>
| |
| − | בכמה זמן תשקע כל האבן בתוך הבריכה מעת שנגע שטחה התחתון בשטח העליון של המים עד העת שתגיע שטחה העליון בשטח העליון של המים ועוד תהיה הבריכה מלאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנדע תחלה ההפרש שבין המים היוצאים ממנה מהנקב המריק ובין המים הנכנסים בתוכה מהנקב הממלא והוא שליש הבריכה ביום אחד וזה שכבר קדם שהנקב הממלא ימלאנה ביום אחד וחצי<br>
| |
| − | ואם כן יחוייב מזה שיכנס הנקב ההוא בתוכה ביום אחד לבד ב' שלישיותיה וכבר קדם גם כן שבנקב המריק יריקנה כלה ביום אחד אם כן ההפרש שבין המים הנכנסים בתוך הבריכה ובין המים היוצאים ממנה ביום אחד הוא שליש הבריכה<br>
| |
| − | אחר זה נדע תשבורת שליש הבריכה כשנדע תשבורת כל הבריכה וזה בשנכה אמות האורך עם אמות הרוחב ויעלו חמשים אחר זה נכה הנ' עם העומק ויעלו תש"נ ושלישיתה ר"נ ונשמרם ויקרא השמור הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נדע תשבורת האבן בשנכה אמות ארכה עם אמות רחבה ויעלו ב' אחר זה נכה הב' עם עמקה ויעלו ששה ונשמרם ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם השמור הראשון בי"ב שעות השמור השני בכמה ויצאו ל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת וככה הוא זמן שמתחלת שקיעת האבן במים עד סוף שקיעתה רוצה לומר משוש שטחה העליון לשטח העליון בהיות הבריכה מלאה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: if there is a stone, 2 in length, 1 in width, and 3 in depth, going down in a fixed motion from above into a filled water pool, 10 in length, 5 in width, and 15 in depth, with a pipe flowing in it that fills it in a day and a half if nothing comes out of it and it has a hole on its edge.<br>
| |
| − | :When the lower surface of that stone reaches the upper surface of the pool water, the hole on its edge is opened, and the pipe flowing is also opened.<br>
| |
| − | :The stone is entering the water of the pool in a fixed motion so that the pool will always be full as in the beginning and no water will spill from it.<br>
| |
| − | :The stone is sinking until upper surface of the stone touches the upper surface of the water.<br>
| |
| − | :The pool fills up by 36 parts of 125 of one hour.<br>
| |
| − | :How long will it take the pool to be drained from the hole on its edge if no water enters into it and no body enters it as well?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היתה אבן אחת שארכה ב' ורחבה א' ועומקה ג' יורדת בתנועה שוה מלמעלה לתוך בריכת מים מלאה שארכה י' ורחבה ה' ועומקה ט"ו והצנור המקלח בתוכה ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום ויש לה נקב בשוליה<br>
| |
| − | ומשהגיע השטח התחתון של האבן הזאת בשטח העליון של מימי הבריכה המלאה פתח הנקב שבשוליה וגם פתח הצנור המקלח<br>
| |
| − | וגם נכנסת האבן בתנועה שוה בתוך מימי הבריכה באופן שהבריכה מלאה תמיד כאשר בתחלה ואינו נשפך ממנה מים כלל<br>
| |
| − | ונשקע האבן תוך המי' עד שמשוש השטח העליון של האבן לשטח העליון של מימי הבריכה<br>
| |
| − | ועוד הבריכה מליאה בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת<br>
| |
| − | בכמה זמן תורק הבריכה מהנקב שבשוליה אם לא יכנס בתוכה מים כלל וגם לא יכנס בתוכה גשם כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנדע תשבורת האבן אמות אורך האבן עם אמות רחבה ויעלו ב' ונכה הב' עם אמות עמקה ויעלו ז' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים למים היוצאים בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש שבין הנכנסי' ליוצאים ז' בי"ב שעות כמה ויצאו ר"נ וככה הוא ההפרש שבין הנכנסים ליוצאים ביום אחד ונשמרם ויקרא השמור הראשון אחר זה נדע תשבורת מימי הבריכה בשנכה אמות אורך הבריכה עם אמות רחבה ויעלו נ'<br>
| |
| − | עוד נכה הנ' עם אמות העומק ויעלו תש"נ אמות וככה הוא תשבורת מימי הבריכה ונשמרם ויקרא השמור השני אחר זה נדע המים הנכנסים בתוכה ביום א' שהם ת"ק אמות וזה בשנייחס ונאמר אם ביום וחצי תש"כ ביום אחד כמה ויצאו ת"ק אחר זה נחבר השמור הראשון עם הת"ק ואם המחובר הוא שוה לשמור השני דע שכמות הזמן אשר בו תורק מהבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה לא מים ולא גשם אחר הוא יום אחד ואם המחובר מוסיף או גורע מהשמור השני נייחס ונאמר אם המחובר ביום אחד השמור השני בכמה והיוצא הוא הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה בשלא יכנס שם לא מים ולא גשם אחר כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה כשהמחובר שוה לשמור השני הוא המשל הראשון בעינו כי חברנו השמור הראשון שהם הר"נ עם המים הנכנסים ביום אחד שהם הת"ק ועלה המחובר תס"ב<br>
| |
| − | ולהיות שזה המחובר שוה לשמור השני שהם התש"נ שפטנו בכמות הזמן אשר בו תורק הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה לא מים ולא גשם אחר הוא יום אחד והמשל כשהמחובר מוסיף על השמור השני הוא שנניח שבו' חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת השקעה האבן הנזכרת עד שמשוש שטחה העליון שטח המים שבבריכה המלאה ושביום א' תתמלא רוב הבריכה מהצנור המקלח בתוכה ונמצא תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בו' חלקי' מקכ"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בי' חלקים מקכ"ה יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו אלף ת"ק וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום א' ונשמרם והוא השמור הראשון אחר זה נמצא תשבורת הבריכה והם תש"נ ונשמרם והוא השמור השני אח"ז נחבר השמור הראשון עם הנכנסים ביום אחד שהם תס"ב ויעלו שני אלפים ר"כ ולהיות שהמחובר מוסיף על תשבורת הבריכה שהוא השמור השני נייחס ונאמר אם השני אלפים ר"נ ביום אחד התש"נ בכמה ויצא שליש היום וזהו הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה מים או גשם אחר כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|והמשל כשהמחובר גורע מתשבורת הבריכה שהוא השמור השני הוא שנניח שבע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה האחת נשקעה האבן הנזכרת עד שמשוש שטחה העליון שטח המים שבבריכה המלאה ושבשני ימים וחצי תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח בתוכה ונמצא תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בע"ב חלקים מע"ה חלקי השעה יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו ע"ה וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד ויקרא שמור ראשון<br>
| |
| − | אחר זה נמצא תשבורת הבריכה הנזכרת והם תש"נ ונשמרם והוא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נחבר השמור הראשון עם הנכנסים ביום אחד שהם ש' ויעלו שע"ה ולהיות שהמחובר גורע מתשוברת הבריכה שהוא השמור השני נייחס ונאמ' אם השע"ה ביום אחד התש"נ בכמה ויצאו שני ימים וזהו הזמן שבו תורק כל הבריכה מהנקב שבשוליה כשלא יכנס בתוכה מים או גשם אחר כלל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: if the stone mentioned above is going down in a fixed motion into the pool; the pipe is flowing in it; the hole on its edge drains it in one day; the pipe and the hole on its edge are opened.<br>
| |
| − | :The stone is going down into the water in a fixed motion.<br>
| |
| − | :From the time that its lower surface touches the water surface until its upper surface touches the water surface when the pool is still filled 36 parts of 125 of one hour.<br>
| |
| − | :How long will it take the pipe that flows in it to fill the pool?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם האבן הנזכרת יורדת תוך הבריכה בתנועה שוה והצנור מקלח בתוכה והנקב שבשוליה יריקה ביום אחד ופתח הצנור והנקב שבשוליה<br>
| |
| − | והאבן יורדת לתוך המים בתנועה שוה<br>
| |
| − | ומעת משוש שטחה התחתון לשטח המים עד שתמשש שטחה העליון לשטח המים ועוד תהיה הבריכה מלאה ל"ו חלקי' מקכ"ה חלקי השעה האחת<br>
| |
| − | בכמה זמן ימלאנה בצנור המקלח בתוכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנדע תשבורת האבן הנזכרת והם ו' וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בי"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה ונייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש שבין הנכנסים והיוצאים ו' ביום א' כמה ויצאו לך ר"כ ותשמרהו והוא השמור הראשון<br>
| |
| − | אחר זה נמצא תשבורת הבריכה והם תש"נ ותשמרם והוא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה נדע המים היוצאים ביום א' מתוך הבריכה מהנקב המריק אותם והם תש"נ ונגרע מהם השמור הראשון והנשאר הם ת"ק וזהו הנשאר והוא כמו' המי' הנכנסי' בבריכה ביום א' מהצנור המקלח בתוכה<br>
| |
| − | אחר זה נייחס ונאמר אם הת"ק נכנסים ביום א' התש"נ שהוא השמור בכמה ויצא לך יום וחצי והוא כמות הזמן שתתמלא הבריכ' מהצנור המקלח בתוכה וכן אם היה הנשאר מוסיף על השמור השני דרך א' להם ר"ל שנצטרך לייחס ולומר אם הנשאר יום אחד השמור כמה והיוצא לך הוא כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח<br>
| |
| − | אך אם הנשאר שוה לשמור השני הנה לא נצטרך לייחס בזה כלל כי אז יהיה כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור המקלח<br>
| |
| − | אך אם הנשאר שוה לשמור השני הנה לא נצטרך לייחס בזה כלל כי אז יהיה כמות הזמן שבו תתמלא כל הבריכה מהצנור יום אחד
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם הבריכ' הנזכרת יריקנה הנקב שבשוליה ביום אחד וימלאנה הצנור המקלח בתוכה ביום וחצי והאבן נשקעת בתוכה בתנועה שוה באופן שלא ישפך מהמים כלום וגם תהיה הבריכה מלאה כאשר בתחלה בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת כמה תשבורת האבן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנמצא ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד והם ר"נ אחר זה נייחס ונאמר אם בי"ב שעות יהיה ההפרש ר"נ בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת כמה יהיה ההפרש ויצאו לך ו' וזהו תשבורת האבן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם האבן הנזכרת נשקעת בתוך בריכה מלאה מים בתנוע' שוה באופן שלא ישפך ממימי הבריכה המלאה כלום וגם תהיה הבריכה המלאה כאשר בתחלה וגם יהיה צנור מקלח בתוכה מים אשר הצנור ההוא ימלאנה ביום וחצי אם לא יצא ממנה כלום וגם הנקב שבשוליה מריק ממנה מים אשר הנקב ההוא יריקנה ביום אח' אם לא יכנס בה לא מים ולא גשם אחר כלל כמה תשבורת הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנמצא תשבורת האבן והם ששה וזהו ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת ונייחס ונאמר אם בל"ו חלקים מקכ"ה חלקי השעה האחת יהיה ההפרש ו' בי"ב שעות כמה ויצאו ר"נ וזהו
| |
| − | ההפרש שבין המים הנכנסים והיוצאים ביום אחד<br>
| |
| − | אחר זה נבקש לדעת יחס הר"נ אל תשבורת הבריכה וזה כשנאמר אם ביום וחצי ימלאנה הצנור המקלח ביום אחד כמה ויצאו לך שתי שלישיות וכבר קדם שהנקב שבשוליה יריקנה ביום אחד אם כן ההפרש שבין הנכנסים והיוצאים ביום א' הוא שליש הבריכה אם כן יחס הר"נ אל תשבורת הבריכה הוא יחס השליש אל השלם ולכן נכה הר"נ בג' ויעלו תש"נ וזהו תשבורת הבריכה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | | |
| − | ==== Chapter Two ====
| |
| − | | |
| − | !style="text-align:right;"|הפרק השני מהחלק השני בשאלות ההנדסיות המתבארות בזולת מין היחסים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה סולם שגבוה עשר אמות וגובה הכותל גם כן עשר אמות והשפלנו ראש הסולם למטה מראש הכותל ב' אמות כדי שתהיה הסולם מושפעת כמה מספר האמות שבין רגלי הסולם ליסוד הכותל
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה נקח מרובע השמנה אמות הנשארות מהכותל מהנקודה המונחת על
| |
| − | ראש הסולם עד יסוד הכותל והוא ס"ד ונגרעם ממרובע מספר אמות כל הסולם שהוא הק' במשלנו והנשאר הם ל"ו אמות ושרשו שהם ו' אמות הוא מספר רוחק רגלי הסולם מיסוד הכותל
| |
| − | |-
| |
| − | |'''Triangulation Problem - Two towers'''
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:two towers|655|DH1n}}Question: two towers - one is 60 cubits tall, the second is 40 cubits tall, and the distance between them is 50 cubits.<br>
| |
| − | :At the top of each tower a bird, and between the two towers a spring.<br>
| |
| − | :The birds flew at the same speed and arrived to the spring at the same moment.<br>
| |
| − | :How far is the spring from the base of each of the towers?
| |
| − | :<math>\scriptstyle40^2+\left(50-a\right)^2=60^2+a^2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה שני מגדלים גובה האחד ששים אמות וגובה השני ארבעים אמות מרחק שביניהם '''עשרים''' אמות<br>
| |
| − | ובראש כל מגדל צפור ובין שני המגדלים מעיין<br>
| |
| − | ועפו הצפורים בהתעפפות שוה והגיעו אל המעיין ברגע אחד<br>
| |
| − | כמה רוחק המעיין מיסוד כל אחד משני המגדלים{{#annotend:DH1n}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[50^2-\left(60^2-40^2\right)\right]}{50}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שנגרע מרובע המ' ממרובע הס' והנשאר נגרעם ממרובע הנ' שהוא הרוחק שבין שני המגדלי' והנשאר קח חציו ונחלקהו על הרוחק שבין שני המגדלים והיוצא הוא רוחק המעיין מהמגדל היותר גבוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the tower whose height is 60 cubits:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[50^2-\left(60^2-40^2\right)\right]}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[2500-\left(3600-1600\right)\right]}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(2500-2000\right)}{50}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot500}{50}=\frac{250}{50}=5\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה מרובע הס' הוא ג' אלפים ת"ר ומרובע המ' הוא א'ת"ר<br>
| |
| − | גרענו הא' מהאחר ונשארו ב' אלפים<br>
| |
| − | גרענום ממרובע כל הרוחק שבין המגדלים שהוא ב' אלפים ת"ק ונשארו ת"ק<br>
| |
| − | וחציים הם ר"נ חלקנום על הנ' שהוא הרוחק שבין המגדלים ויצאו ה' וזה הוא רוחק המעיין מהמגדל היותר גבוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the lower tower: <math>\scriptstyle{\color{blue}{50-a=50-5=45}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר מהרוחק שהם מ"ה הוא רוחק המעיין מהמגדל הקצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *{{#annot:two towers|655|zAZ6}}If one is 50 [cubits] tall, the other is 40 [cubits] tall, and the distance between them is 60 [cubits]
| |
| − | :<math>\scriptstyle40^2+\left(60-a\right)^2=50^2+a^2</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|וכן אם היה גובה האחד נ' וגובה האחר מ' והרוחק שביניהם ס'{{#annotend:zAZ6}}
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the higher tower:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[60^2-\left(50^2-40^2\right)\right]}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[3600-\left(2500-1600\right)\right]}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(3600-900\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot2700}{60}=\frac{1350}{60}=22+\frac{1}{2}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|נגרע האלף ת"ר שהוא מרובע המ' מהב' אלפים ת"ק שהוא מרובע הנ' וישארו תת"ק<br>
| |
| − | ונגרעם מהג' אלפים ת"ר שהוא מרובע הרוחק שבין שני המגדלים וישארו ב' אלפים ת"ש<br>
| |
| − | ונקח חציים שהם אלף ש"נ ונחלקם על הס' שהוא הרוחק שבין המגדלי' ויצאו כ"ב וחצי וככה הוא רוחק המעיין מהמגדל הגבוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the lower tower: <math>\scriptstyle{\color{blue}{60-a=60-\left(22+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשא' מהרוחק שהם הל"ז וחצי הוא רוחק המעיין מהקצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :Another method:
| |
| − | ::the distance between the pool and the lower tower:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot distance\right)+\frac{\left[higher-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(higher +lower\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(higher+lower\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot distance}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|או אם תרצה בדרך אחרת<br>
| |
| − | שנחבר כמות הב' מגדלים ונקח מהמחובר חציו ונשמרהו<br>
| |
| − | ונקח תוספת כמות המגדל האחד על חצי המחובר השמור ונכהו עם חצי המחובר השמור<br>
| |
| − | והעולה נחלקהו על חצי מרחק מה שבין שני המגדלים<br>
| |
| − | והיוצא נוסיפהו על חצי המרחק<br>
| |
| − | והוא מרחק המעיין מהמגדל הקצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*first example:
| |
| − | ::the distance between the pool and the lower tower:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle50-a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot50\right)+\frac{\left[60-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(60+40\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(60+40\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot50}\\&\scriptstyle=25+\frac{\left[60-\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{\left(60-50\right)\sdot50}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{10\sdot50}{25}\\&\scriptstyle=25+\frac{500}{25}=25+20=45\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה הנה במשל הא' נחבר כמו' ב' המגדלים והם ק' ונקח חציים והם נ'<br>
| |
| − | ונקח תוספת המגדל הגבוה על הנ' והם י' נכם עם הנ' ועולים ת"ק<br>
| |
| − | נחלקם על הכ"ה שהם חצי מרחק מה שבין שני המגדלים ויצאו כ'<br>
| |
| − | נוסיפם על חצי המרחק והם מ"ה וככה הוא רוחק המעיין מהמגדל הקצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the higher tower: <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=50-45=5}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר מהרוחק שהם ה' הוא מרחק המעיין מהמגדל הגבוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | :*second example:
| |
| − | ::the distance between the pool and the lower tower:
| |
| − | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle60-a&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\frac{\left[50-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(50+40\right)\right]\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(50+40\right)\right]}{\frac{1}{2}\sdot60}\\&\scriptstyle=30+\frac{\left[50-\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot90\right)}{30}\\&\scriptstyle=30+\frac{\left(50-45\right)\sdot45}{30}\\&\scriptstyle=30+\frac{5\sdot45}{30}=30+\left(7+\frac{1}{2}\right)=37+\frac{1}{2}\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובמשל השני חברנו השני מגדלים והם צ' נקח חציים שהם מ"ה ונשמרם<br>
| |
| − | ונקח תוספת כמות המגדל הגבוה על חצי המחובר השמור שהם ה' ונכם עם השמור והעולה נחלקם על חצי המרחק שהם ל' ויצאו ז' וחצי<br>
| |
| − | נוסיפם על חצי המרחק ויעלו ל"ז וחצי וככה הוא מרחק המעיין מהמגדל הקצר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | ::the distance between the pool and the higher tower: <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=60-\left(37+\frac{1}{2}\right)=22+\frac{1}{2}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשא' מהמרחק שהם כ"ב וחצי הוא מרחק המעיין מהמגדל הגבוה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם שאל שואל היאך נדע אורך קוטר הכדור מידיעת משקלו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח עשר' חלקים מי"א חלקי משקל הכדור ותוסיפם על משקל הכדור והעולה כך יסודו והוא אורך קוטרו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת אורך קוטר הכדור השוקל קע"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם קח י' חלקים מי"א חלקי זה המספר והם קס"ג ושליש הוסיפם על הקע"ט ושתי שלישיות ויעלו שמ"ג קח יסודם והם שבעה
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה הכדור כספיי דע ששבעה כפלי צלע המעוקב הכספיי השוקל אחד דרהם הוא אורך קוטרו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם היה הכדור נחשתיי דע ששבעה כפלי צלע המעוקב הנחושת והשוקל אחד דרהם הוא אורך קוטרו וכן בכל מין ומין ולכן ראוי שיהיו לך מעוקבים מכל מין שיהיה משקל כל אחד אחד דרהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית לדעת אורך קוטר כדור כל מין ומין ממעוקב אחד של זהב על דרך משל מבלתי שתצטרך לעשות לך מעוקבים מכל מין ומין הנה לך הדרך קח עשרה חלקים מי"א חלקי משקל הכדור ותוסיפם על משקל הכדור והעולה הכהו עם ק' והעולה חלקהו על ארבעים אם היה הכדור הדרוש קוטרו ברזליי או על ל"ז אם היה הכדור הדרוש בדיל הנקרא בלשון יון קשידירו או על נ"ד אם היה הכדור הדרוש כספיי או על נ"ט אם היה הכדור הדרו' עופרתיי או על מ"ה אם היה הכדור הדרוש נחשתיי או מנחשת קלל והיוצא לך בחלוק קח יסודו אם היה מספר מעוקב או הקרוב ליסודו לפי מה שקדם והיסוד היוצא לך הם כפלי צלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהמים וזה מה שרצינו לבאר
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת כמות המשקל מידיעת קוטרו איך יודע מציאותו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתדע מספר הפעמים אשר ימנה צלע המעוקב אשר הוא ממין הכדור הדרוש לקוטר הידוע והעולה ממספר הפעמים הכהו עם עצמו והעולה הכהו עם מספר הפעמים ההם והעולה אחר זה גרע ממנו י' חלקים מכ"א והנשאר הוא משקל הכדור הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת משקל הכדור הכספיי מידיעת קוטרו הנה תצטרך לדעת תחלה כמות הפעמים אשר ימנה צלע מעוקב הכספיי קוטר הכדור הכספיי ונאמר שיהיה מונה אותו על דרך משל ז' פעמים נכה הז' עם עצמו ויעלו מ"ט והמ"ט עם הז' ויעלו שמ"ג ונגרע מהם י' חלקים מכ"א חלקי הכל וישארו קפ"ט ושתי שלישיות וככה הוא משקל הכדור ההוא
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|אולם אם רצית לדעת משקל הכדור ההוא מאיזה מין שיהיה מידיעת קוטרו מבלתי שיהיה לך מעוקב אחר רק מעוקב אחד של זהב על דרך משל הנה תוכל לדעת זה כשתגרע תחלה כמות הפעמים אשר ימנה צלע המעוקב הזהביי לקוטר הכדור ההוא מאיזה מין שיהיה והמספר אשר יהיו אחריו כמספר הפעמי' ההם נכהו עם עצמו והעולה עם עצמו והעולה אחר זה נכהו עם ארבעי' אם היה הכדור ברזליי או עם ל"ז אם היה הכדור בדליי והוא הנקרא בלשון יון קשידירו או עם כ"ד אם היה הכדור כספיי או עם נ"ט אם היה הכדור עופרתי או עם מ"ה אם היה הכדור נחשתיי או מנחשת קלל והעולה קח ממנו חלק אחד ממאה וגרע מהלקוח עשרה חלקים מכ"א והנשאר הוא משקל הכדור
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם היה הכדור כספיי וכפלי קוטרו הוא שמנה שלמים וחמשה ושלשים ראשונים וכ"ד שניים כמו הצלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהם הנה נכה הח' שלמים ל"ה ראשונים כ"ד שניים עם עצמם והעולה עם עצמם ויעלו תרל"ה בקרוב נכם עם הנ"ד מפני שהכדור כספיי ויעלו ל"ד אלף ש' בקרוב קח מהם חלק אחד מק' והם שמ"ג גרע מהם י' חלקים מכ"א וישארו קע"ט ושתי שלישיות וככה הוא משקל הכדור הכספיי שקוטרו ח' שלמים ול"ה ראשונים האחד השלם וכ"ד שניים הא' השלם כמו צלע המעוקב הזהביי השוקל אחד דרהם וז"משל
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת משקל הכדור המוקף ממשקל המעוקב המקיף בו היאך יודע מציאותו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה קח י"א חלקים מכ"א חלקי משקל המעוקב הידוע והוא משקל הכדור המוקף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף ממשקל הכדור המוקף הידוע קח עשרה חלקים מי"א חלקי משקל הכדור הידוע והוסיפם על משקל הכדור הידוע והעולה הוא משקל המעוקב המקיף בו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת הכדור המקיף בו מעוקב שמשקלו שמ"ג דרהם קח י"א חלקים מכ"א חלקי הכל והם קפ"ט דרהם ושתי שלישיות הדרהם האחד וככה הוא משקל הכדור המוקף
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף על כדור שמשקלו קע"ט דרהם ושתי שלישיות דרהם קח עשרה חלקים מי"א חלקי הכל והם קס"ג ושליש הוסיפם על הקע"ט ושתי שלישיות והם שמ"ג שלמים וככה הוא משקל המעוקב המקיף על הכדור הידוע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם רצית לדעת משקל הכדור המקיף ממשקל המעוקב המוקף הידוע היאך יודע מציאותו
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח העולה משלשה כפלי מרובע צלע המעוקב הידוע ותשמרהו ויקרא השמור הראשון<br>
| |
| − | אחר זה קח שרש השמור הראשון ושמרהו ויקרא השמור השני<br>
| |
| − | אחר זה הכה השמור הראשון עם ג' ושביעית והעולה הכהו עם ששית השמור השני והעולה הוא משקל הכדור המקיף<br>
| |
| − | ואם רצית לדעת משקל המעוקב המוקף ממשקל הכדור המקיף הידוע קח שליש מרובע קוטר הכדור הידוע ושמרהו<br>
| |
| − | אחר זה קח שרש השמור והכהו עם השמור והעולה הוא משקל המעוקב המוקף
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot\left(\sqrt[3]{8}\right)^2 }\right]\sdot\left[\left[3\sdot\left(\sqrt[3]{8}\right)^2\right]\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot2^2}\right)\sdot\left[\left(3\sdot2^2\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{3\sdot4}\right)\sdot\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot\sqrt{12}\right)\sdot\left[12\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle\approx\left[\frac{1}{6}\sdot\left(3+27'+3''+24'''\right)\right]\sdot\left(37+\frac{5}{7}\right)\approx21+47'\\\end{align}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|המשל בזה אם רצית לדעת משקל הכדור המקיף על מעוקב שמשקלו ח' דרהם קח שלשה כפלי מרובע צלע המעוקב הזה והם י"ב כי צלעו ב' ומרובעו ד' וג' כפליו י"ב אחר זה קח שרש הי"ב והם שלשה שלמים וכ"ז ראשונים וג' שניים וכ"ד שלישיים בקרוב ושמרם אחר זה הכה הי"ב עם ג' ושביעית ויעלו ל"ז וה' שביעיות הכם עם ששית השמור ויעלו כ"א שלמים מ"ז ראשונים בקרוב וככה הוא משקל הכדור המקיף על המעוקב שמשקלו ח' דרהם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם רצית לדעת משקל המעוקב המקיף בו כדור שמשקלו כ"א דרהם ומ"ז ראשוני' הדרהם האחד קח שליש מרובע קוטר הכדור הזה והוא ד' ושמרם כי קוטרו ידוע ממשקלו כמו שקדם ומרובעו גם כן ידוע אחר זה קח שרשו והכהו עם הד' ויעלו ח' וככה הוא משקל המעוקב המוקף הדרוש
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ובכלל אם ידעת משקל המעוקב ורצית לדעת משקל הכדור המקיף בו קח כפל משקל המעוקב הידוע ומ"ג ראשוניו ונ"ד שנייו והעולה הוא משקל הכדור בקרוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ואם ידעת הכדור ורצית לדעת המעוקב קח שלישית הכדור וחלק אחד משלשים והעולה הוא משקל הכדור הקירוב
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אם היה משקל המעוקב תקי"ב דרהם על דרך משל ובא אחד וגרר זויות המעוקב עם מגרה ועשאה תמונה בעלת ח' תושבות ראשה ותושבתה תמונה משומנת שוות הצלעות והזויות והשטחים המקיפים בה הם מרובעים ארוכים כמה נגרע ממשקל התקי"ב דרהם<br>
| |
| − | עוד אחר זה בא אחר וגרר כל הזויות ועשאה איצטיונא עגולה שוות הקצוו' והעובי ראשה ותושבתה עגולה כמה נגרע ממשקל התמונה הקודמת<br>
| |
| − | עוד אחר זה בא אחר וגרר התמונה הזאת מכל צדדיה באופן ששבה תמונה כדורית כמה נגרע ממשקל התמונה הקודמת לה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{8=\sqrt[3]{512}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתקח יסוד התקי"ב והם ח' ותשמרם גם תקח מרובע חצי השמור ותכפלהו והעולה מכפלו קח ממנו שרשו והשלך משרש היוצ' חצי השמור והנשאר הכהו עם חצי השמור והעולה הכהו עם מספר צלעות התמונה שהם הח' במשלנו זה והעולה הכהו עם השמור ויעלו תפ"ג וי"ד חלקים מט"ו בקרוב תגרעם מהתקי"ב וישארו כ"ח וחלק אחד מט"ו וזהו מגרעת התמונה המשוכת מהמעוקבת הקודמת לה<br>
| |
| − | עוד אחר זה נמצא משקל התמונה שהיא האצטוונא העגולה שוות הקצוות והעובי שראשה ותשובתה עגולה שאחר התמונה הנזכרת וזה בשנקח קוטר העגולה שהיא ראש האצטוונא שקוטרה כמו השמור שם ח' במשלנו ונקח מרובעו והם ס"ד נגרע מהם שביעיתו וחצי שביעיתו וישארו חמשים ושתי שביעיות נכם עם הח' השמורים ויעלו ת"כ וב' שביעיות תגרעם מהתפ"ג וי"ד חלקים מט"ו וישארו כ"א ועשרה חלקים מט"ו בקרוב וזהו מגרעת זאת התמונה מתמונה הקודמת לה<br>
| |
| − | עוד אחר זה נמצא משקל התמונה הכדורית שאחר זאת התמונה וזה בשנקח קוטרה שהם הח' השמורים במשלנו ונכם בעצמם והעולה עם ג' ושביעית והעולה עם ששית הקוטר ויעלו רס"ח וד' כאיי"ם תגרעם מהת"כ ושתי שבישיות וישארו קל"ד וב' תוי"ם וזהו מגרעת זאת התמונה מהתמונה הקודמת
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: a tree that is ten cubits high. A strong wind came and broke it into two parts and its parts were not parted but it was inclined from the breaking point, its treetop reached the earth, and the distance between its treetop and its bottom is 5 cubits.<br>
| |
| − | :How many cubits are from the top of the tree to the breaking point?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה אילן שגובהו עשר אמות ובא רוח חזק ושברתו לשנים חלקים ולא נפרדו חלקיו אך נטה ממקום השבירה והגיע ראשו לארץ והרוחק שבין ראשו לשרשו ה' אמות<br>
| |
| − | כמה אמות מראש האילן עד מקום השבירה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{5^2}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{25}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left[10+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=6+\frac{1}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתחלק מרובע הרוחק שבין שרש האילן לראשו שהם הכ"ה אמו' במשלנו על גובה כל האילן שהם הי' במשלנו ויצאו לך ב' וחצי נחברם עם הי' ונקח חציים והם ו' ורביע וזהו כמות האמות שמראש האילן עד מקום השבירה
| |
| − | |-
| |
| − | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{3}{4}}}</math>
| |
| − | |style="text-align:right;"|והנשאר עד תשלום הי' שהם הג' וג' רביעיות הם כמות האמות שממקום השבירה עד שרש האילן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | *Question: a lance that was stuck in water and its top above the water, and its bottom touch the ground of the water, and we do not know the depth of the water.<br>
| |
| − | :How can we know how many cubits is the lance that is stuck in water on the ground of the water?
| |
| − | |style="text-align:right;"|שאלה רומח שהיה תקוע במים וראשו למעלה מהמים ושרשו נוגעו בקרקע המים ואינו ידוע לנו עומק המים היאך נדע כמות אמות הרומח השקוע במים על קרקע המים
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|התשובה שתנענע ראש הרומח הנראה בצדו הימני עד שיטה ויגיע ראשו אל שטח המים ותסמן שם סימן אחד גם תטה ראשו לצדו השמאלי עד שיגיע ראשו אל שטח המים ותסמן שם סימן שני וקח חצי מה שבין שני הסימנים ושמרהו וחשוב כל הנראה מהרומח כמה שהיה לאמה אחת ותמנה בו השמור ודע כמה אמות הוא מזאת האמה והעולה ממספר האמות הכהו בעצמו והעולה תוסיף עליו אחד וקח מהעולה חציו והשלך ממנו אחד והנשאר הוא מספר אמות הרומח השקוע במים עד הקרקע
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|תם ונשלם שבח לאל בורא עולם
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ותהי השלמת זה הספר ביום ה' כ"ו לחדש אדר שנת הרצ"ד לפ"ק פה קושטאנטינה רבתי יע"ה אמן
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|ומי שחננו ונתן לנו כח להדפיס ספר הזה הוא למען רחמיו יוכנו להשלים המכלול ולעשות ספרים אחרים עד אין קץ
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | {|
| |
| − | | |
| − | ==Notes==
| |
| − | |
| |
| − | |-
| |
| − | |
| |
| − | |style="text-align:right;"|<references />
| |
| − | |-
| |
| − | |}
| |
| − | | |
| − | == Appendix: Bibliography ==
| |
| − | '''Elijah Mizraḥi'''<br>
| |
| − | Constantinople, ca. 1450-1526<br>
| |
| − | '''''Sefer ha-Mispar'''''<br>
| |
| − | <u>'''Manuscripts</u>:'''<br>
| |
| − | :1) Cambridge, University Library Add. 492.2 (IMHM: f 16786), (16th century)
| |
| − | :2) Cambridge, University Library Add. 492.3/3 (IMHM: f 16786), ff. 21v-59v, (16th century)
| |
| − | :3) Jerusalem, The National Library of Israel Ms. Heb. 8°957 (IMHM: B 323 (8°957)), (1515)
| |
| − | :4) New York, M. Lehmann 282/1 (IMHM: f 24627) (1598)
| |
| − | :5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1012/2 (IMHM: f 15713), ff. 247v-267v (15th century)<br>
| |
| − | ::[[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b90643430/f252.image.r=Hébreu.langEN heb.1012]]
| |
| − | :6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/2 (IMHM: f 15721), ff. 31r-42v, 86r-193v, (15th-16th century)<br>
| |
| − | ::[[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9064672r/f32.image.r=Hébreu.langEN heb.1029]]
| |
| − | :7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1093/1 (IMHM: f 15043), ff. 1r-123r (15th century)<br>
| |
| − | ::[[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b10720217h/f7.image heb.1093]]
| |
| − | :8) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 710 (IMHM: f 51024), (16th century)
| |
| − | <br>
| |
| − | | |
| − | '''<u>Critical Edition</u>''':
| |
| − | *Segev, Stela. 2010. The Book of the Number by Elijah Mizrahi: a Textbook from the 15th century. Ph.D thesis, the Hebrew University of Jerusalem, (Hebrew).
| |
| − | | |
| − | '''<u>Printed (Traditional) Edition</u>''':
| |
| − | *Sefer ha-Mispar le-ha-Ḥaḵam ha-Elohi Eliya ha-Mizraḥi: ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי, קוסטנטינא: דפוס שונצין ב'א'ר'ץ' [רצ"ג],
| |
| − | | |
| − | | |
| − | '''<u>Bibliography</u>:'''<br>
| |
| − | *Wertheim, Gustav. 1896. Die Arithmetik des Elia Misrachi. Ein Beitrag zur Geschichte der Mathematik. Braunschweig: Friedrich Vieweg und Sohn.
| |
ספר המספר
להחכם האלהי מוהר"ר
אליה המזרחי ז"ל :
בקוסטנטינא
קרית אדוננו המלך הגדול והאדיר
שולטאן שולימאן
ירום הודו ויתנשא : בשנת שתים עשרה למלכו:
can be described as multiplication – 
cannot be described as multiplication
.
.
.
.
.
.
.
.
.
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/6/c/06c63af39299edc6855c33fffaa423ba.png)
![\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a](/mediawiki/images/math/0/2/1/021c5965b811b3a4f60d24984894eb93.png)
![\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a](/mediawiki/images/math/c/2/c/c2cdd5e9b41a5d2fead0db29924624d1.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^2&\scriptstyle=\left(24+1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2+25+24\\&\scriptstyle=576+25+24=576+49=625\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/c/f/2/cf24628d732d146344e7ec72249b0f81.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left(24-1\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot 24\right)^2-23-24\\&\scriptstyle=576-23-24=576-47=529\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/8/b/18bde168f981dac3a6078efaf6c64321.png)
![\scriptstyle a^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]](/mediawiki/images/math/b/3/4/b3481213dc0651b3432f9242b3bf6787.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle25^2&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot5^2\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot25\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot250=625\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/6/e/5/6e521d97932cd7f922688db01312edd7.png)
![\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left(a+1\right)+a](/mediawiki/images/math/f/1/6/f163c700e39a45716e40f504955ae3f3.png)
![\scriptstyle\left(a+2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]](/mediawiki/images/math/a/5/b/a5b54369139469571a0846206b57917d.png)
![\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[\left(a+1\right)+a\right]](/mediawiki/images/math/2/0/9/209e917ce743593d88751893e6fdb61a.png)
![\scriptstyle\left(a-2\right)^2=\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot a\right)^2\right]\right]-\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+a\right]\right]](/mediawiki/images/math/2/1/b/21b3801c6cc2625edd929cf3f48e0f41.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle26^2&\scriptstyle=\left(25+1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+26+25\\&\scriptstyle=625+\left(26+25\right)\\&\scriptstyle=625+51=676\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/7/7/877a232cba49e389e3903d1c0425f81f.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle27^2&\scriptstyle=\left(25+2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625+\left[2\sdot\left(27+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625+\left(2\sdot52\right)=625+104=729\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/6/8/56878f5c028a63d1b642852993f0bdd4.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left(25-1\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-24-25\\&\scriptstyle=625-\left(24+25\right)\\&\scriptstyle=625-49=576\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/b/7/fb72b69e510f7db1997f5ff900ea2dda.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left(25-2\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[10\sdot\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)^2\right]-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625-\left[2\sdot\left(23+25\right)\right]\\&\scriptstyle=625-\left(2\sdot48\right)=625-96=529\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/1/7/7175e4b699abb5e1976dcbe39542c5e7.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2](/mediawiki/images/math/2/a/1/2a190390030d9c138d548197fab10837.png)
![\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]](/mediawiki/images/math/7/2/7/727b0c35fd93a7a347bed8413905049f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle
3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]&\scriptstyle=9+49+\left(2\sdot21\right)\\&\scriptstyle=9+49+42\\&\scriptstyle=100\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/a/7/1/a7124fd79d78cc444a3ea8295f8ef0a7.png)
![\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2](/mediawiki/images/math/c/e/d/ceda777c2ea9424440ecf784d4535ff0.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-3\right]^2=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2}}](/mediawiki/images/math/0/3/d/03dfdce3ec288d58b8f094e10b1397f2.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3\sdot7\right)+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(7-5\right)^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=21+4=25\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/5/2/f521e1f4f1dca4115f309c2e3019171b.png)
![\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2](/mediawiki/images/math/a/0/b/a0b403dd8b7c15a5cb1dc47a5f8ca5bb.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(10+2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2&\scriptstyle=\left(2\sdot12\right)+5^2\\&\scriptstyle=24+25=49\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/c/3/c/c3c3764776977dc46ad5e51f08a93886.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2=7^2=49}}](/mediawiki/images/math/9/b/3/9b3cf27ff055757df78d0a09f9ec8a84.png)
![\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2](/mediawiki/images/math/5/e/f/5ef738b800e1b84fc257df70a83fb86b.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(7\sdot10\right)\right]+3^2=140+9=149}}](/mediawiki/images/math/6/b/a/6ba5ed3d21cd5ff449f8a713fdc2633e.png)
![\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2](/mediawiki/images/math/f/6/2/f62f5f20431f619df80a01a1d97e57cf.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\left[4\sdot\left(10\sdot7\right)\right]+3^2=280+9=289}}](/mediawiki/images/math/b/7/2/b722813e84b44351080393163a08ab5e.png)
![\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]](/mediawiki/images/math/5/e/8/5e87deb6f6b5cec598e43b4b3374a25c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+\left[7-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2\right]&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(7-5\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+2^2\right)=58\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/e/b/3eb0aad27cc7aad29afd44d3d3cd3b15.png)
![\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2\right]](/mediawiki/images/math/b/7/d/b7dd112f5309b8cd4f778bd6269c21f3.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+2\right]^2\right]&\scriptstyle=2\sdot\left[5^2+\left(5+2\right)^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(5^2+7^2\right)\\&\scriptstyle=2\sdot\left(25+49\right)=2\sdot74=148\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/c/1/2c13fad2298c170d8d85173bf4c258a7.png)
![\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)}}](/mediawiki/images/math/8/d/c/8dc8ea5fd20cbe3266fa72be1d52430a.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}](/mediawiki/images/math/6/1/7/617943e7ca7860da0b7bbfe0ba7cb824.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2](/mediawiki/images/math/f/f/7/ff717fa761c8d937b448726d011e10f2.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2}}](/mediawiki/images/math/e/d/f/edf4313227c02c3c8d5de19c8d906ea0.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]](/mediawiki/images/math/a/b/6/ab6e4befd77731f9e182b0ca6b343fbc.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{8} 2k=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]=8\sdot9=72}}](/mediawiki/images/math/7/e/a/7ea34aa748b9acceacf3fbc0046bfe5f.png)
]
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=10}^{13} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{13} k\right)-\left(\sum_{k=1}^{9} k\right)=10+11+12+13\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13\right]-45\\&\scriptstyle=\left(7\sdot13\right)-45=91-45=46\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/5/5/3552bcce0500e805af9993fd0ad6d617.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=5}^{8} 2k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{8} 2k\right)-\left(\sum_{k=1}^{4} 2k\right)=10+12+14+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+1\right]\right]-20\\&\scriptstyle=72-20=52\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/d/7/4/d74489efeb46e3ca321a57b14a40306e.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{15} k=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=8\sdot15=120}}](/mediawiki/images/math/d/5/2/d527030424695688026ab096f7ecad10.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{8} 2k=2+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot16=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16=72}}](/mediawiki/images/math/6/b/5/6b58e8803a0312be5e5e9d71831ae230.png)
![\scriptstyle S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]](/mediawiki/images/math/8/1/5/81579ce84bf5456e3746c90ba86226c1.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{8} \left(2k-1\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[15+\left(2-1\right)\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot8\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(15+1\right)\right]-\left(1\sdot8\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot16\right]-8=72-8=64\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/b/6/0b6a8441aed7cdde2eeaf3eecfc63f8a.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} 3k\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot15=3\sdot15=45\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/c/e/3ce33fb3ee07eab923d7487dee8d725f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[2+3\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[14+\left(3-2\right)\right]\right]-\left[\left(3-2\right)\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(14+1\right)\right]-\left(1\sdot5\right)\\&\scriptstyle=45-5=40\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/d/8/8d84f5f51da627ca5ae71b5f91097fc8.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[1+3\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[13+\left(3-1\right)\right]\right]-\left[\left(3-1\right)\sdot5\right]\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(13+2\right)\right]-\left(2\sdot5\right)\\&\scriptstyle=45-10=35\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/3/8/2389c5200d9043d90b23cd0d413ff96b.png)
![\scriptstyle a_1=d\longrightarrow S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n](/mediawiki/images/math/2/5/0/25081dbdfe413ad303e97ce433a7d7b8.png)
![\scriptstyle a_1<d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]](/mediawiki/images/math/b/a/4/ba453ff87c6ae0897a2991325f819322.png)
![\scriptstyle a_1>d\longrightarrow S_n=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(a_1-d\right)\right]\right]-\left(a_1-d\right)](/mediawiki/images/math/b/1/8/b18553c29d5c99bfc9ce3f31658b5d39.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n&\scriptstyle=\sum_{k=1}^{5} \left[3+2\sdot\left(k-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[11+\left(3-2\right)\right]\right]-\left(3-2\right)\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left(11+1\right)\right]-1\\&\scriptstyle=\left(3\sdot12\right)-1=36-1=35\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/1/7/117308309f8290a47f2919f59f8a8dab.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\\&\scriptstyle=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n\right]-\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot a_{m-1}\right]\\\end{align}](/mediawiki/images/math/3/2/7/327f5c8b339ea36ad84030b7201bd184.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=m}^{n} a_i&\scriptstyle=a_m+a_{m+1}+\ldots+a_n\\&\scriptstyle=S_n-S_{m-1}=\left(\sum_{i=1}^{n} a_i\right)-\left(\sum_{k=1}^{m-1} a_i\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}](/mediawiki/images/math/6/b/2/6b27a6965fee042c47e4d9b193fbc70e.png)
![\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=m\sdot d\quad\;\;\longrightarrow S_n=m\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]](/mediawiki/images/math/6/3/3/633361133d356ab918812f367a296b34.png)
![\scriptstyle\exists m\in N:\; a_n=\left(m\sdot d\right)+r\longrightarrow S_n=\left(m+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]](/mediawiki/images/math/8/d/d/8ddfc8b7c408a1efef82a2c07f1e7dd2.png)
![\scriptstyle S_n=\left(\frac{a_n-a_1}{d}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]](/mediawiki/images/math/9/b/b/9bbc17fd835c782c701ae3ed8d171b6f.png)
![\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]=2+6+10](/mediawiki/images/math/0/b/7/0b783a53f4a9916844a5d3103bb92435.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[2+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=2+6+10\\&\scriptstyle=\left(2+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2+10\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=3\sdot6=18\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/8/d/58d16577f8f4ae998a269f163c9e9424.png)
![\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]=4+8+12](/mediawiki/images/math/5/0/3/5031596cb43e0561cbee34170539fddc.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{3} \left[4+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=4+8+12\\&\scriptstyle=3\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4+12\right)\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=3\sdot8=24\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/4/2/c/42c3380a893ccb0071a314f887c1b452.png)
![\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]=8+12](/mediawiki/images/math/6/f/c/6fc1ebd2873bd4adaa1eebc6091ff037.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_n=\sum_{k=1}^{2} \left[8+4\sdot\left(k-1\right)\right]&\scriptstyle=8+12\\&\scriptstyle=\left(\frac{12-8}{4}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+12\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{4}+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)\\&\scriptstyle=\left(1+1\right)\sdot10=2\sdot10=20\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/d/4/7d48f383a51345e4e3c35a31d1a4a522.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} 2^{k-1}=2a_n-1=\left[\left(2\sdot2^{n-1}\right)-1\right]](/mediawiki/images/math/c/f/3/cf3dbf9073f4e4984db5f213e7a00cfb.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot2^{k-1}=2a_n-a_1=\left[\left[2\sdot\left(a\sdot2^{n-1}\right)\right]-a\right]](/mediawiki/images/math/1/1/3/113cb7d0bff90f026bb469f499b40738.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{6} 2^{k-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-1\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot31\right)=32+31=63\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/f/7/3f7c3eb11cf4548258bf19fb12221990.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 8\sdot2^{k-1}&\scriptstyle=8+16+32\\&\scriptstyle=32+\left[\frac{1}{2-1}\sdot\left(32-8\right)\right]\\&\scriptstyle=32+\left(1\sdot24\right)=32+24=56\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/1/5/11561b44b681465487562a35f804e719.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3^{k-1}&\scriptstyle=1+3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-1\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(27-1\right)\right]=27+13=40\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/6/1/d/61dd3121a43b67a50dd15eee0ee43fb4.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot3^{k-1}&\scriptstyle=3+9+27\\&\scriptstyle=27+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(27-3\right)\right]\\&\scriptstyle=27+\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)=27+12=39\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/e/5/0e5976c64bbe6b8d24f0c881bbc4daef.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 4^{k-1}&\scriptstyle=1+4+16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-1\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(64-1\right)\right]=64+21=85\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/b/0/0/b0005902aafb998d57fa765061617100.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{2} 16\sdot4^{k-1}&\scriptstyle=16+64\\&\scriptstyle=64+\left[\frac{1}{4-1}\sdot\left(64-16\right)\right]\\&\scriptstyle=64+\left(\frac{1}{3}\sdot48\right)=64+16=80\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/d/f/3/df3dbdde765374a0884d0d690c1289d6.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^2&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]\\\end{align}](/mediawiki/images/math/4/2/9/429ff5c276c5b9b3333120e84c630a61.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/9/f/4/9f4045aac598492429f2144cb534c8cf.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^2&\scriptstyle=3^2+4^2=9+16\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^2\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^2\right)=\left(1+4+9+16\right)-\left(1+4\right)\\&\scriptstyle=30-\left[\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left[\left(1+\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\right]\\&\scriptstyle=30-\left[3\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)\right]=30-5=25\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/9/1/59191b9975b84115fc306a5a3bd67613.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^3&\scriptstyle=1^3+2^3+3^3+4^3=1+8+27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)^2\\&\scriptstyle=\left[4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2=10^2=100\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/7/9/8/7984488f736e1d92c0fb36cf5b96e42b.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=3}^{4} k^3&\scriptstyle=3^3+4^3=27+64\\&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{4} k^3\right)-\left(\sum_{k=1}^{2} k^3\right)=\left(1+8+27+64\right)-\left(1+8\right)\\&\scriptstyle=100-\left[2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]\right]^2\\&\scriptstyle=100-3^2=100-9=91\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/5/2/552ac29a8c896f9147132a06aa00a8ae.png)
![\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2](/mediawiki/images/math/a/d/c/adc8980cebb51bd09caae3a1910fbd8e.png)
![\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2](/mediawiki/images/math/6/6/9/669d098149df5c68b5fe9e475df8e3d8.png)
![\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+a+\left(a+1\right)](/mediawiki/images/math/b/7/3/b738c3c268b17b14598c0d8cc801f193.png)
![\scriptstyle\left(a+1\right)^2=a^2+\left[\left(a+1\right)+\left[\left(a+1\right)-1\right]\right]](/mediawiki/images/math/d/4/c/d4c5610347bd58e84e21f5cacdeb54f8.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]](/mediawiki/images/math/0/4/9/049d8da0a5739f86448feb0a6e1c4656.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)+\frac{1}{2}\right]^2](/mediawiki/images/math/2/3/a/23a2aa1d3e8226509b6ac3494485fe13.png)
![\scriptstyle S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n](/mediawiki/images/math/f/5/c/f5c1b1569ae6c347530ded7dd0c9e626.png)
![\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)\right]+n](/mediawiki/images/math/f/5/8/f587b82191481afa6f48db452aff8864.png)
![\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k^3\right):\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right)\right]+\left(n-1\right)](/mediawiki/images/math/6/0/8/60817fc67d2f5ba5155cb324697d2c68.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} a\sdot k^3=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot a\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]](/mediawiki/images/math/b/6/a/b6a262ee43400e71f888765e7d3bfa83.png)
![\scriptstyle4a=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]-a](/mediawiki/images/math/c/4/1/c41fd3be715975c84f3e0ee0e61be20c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{294\times40=\left[10\sdot\left(10\sdot\frac{294}{2}\right)\right]-\left(10\sdot294\right)=14700-2940=11760}}](/mediawiki/images/math/2/a/f/2af78f42b5a409f66bbe8924afab20f1.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle a=c\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times d\right)+\left(b\times10a\right)\\&\scriptstyle=10a\times\left(d+b\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10a+10a\right)\right]\times\left(b+d\right)\\\end{align}](/mediawiki/images/math/f/0/a/f0a8fffb157d34f47617b808ed7c72ce.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle b=d\longrightarrow\left(10a\times d\right)+\left(b\times10c\right)&\scriptstyle=\left(10a\times b\right)+\left(b\times10c\right)\\&\scriptstyle=b\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+b\right)\right]\times\left(10a+10c\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10b+10b\right)\right]\times\left(a+c\right)\\\end{align}](/mediawiki/images/math/f/7/0/f7044ac71bbca0bcc8c1be005eb7bdec.png)
![\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2=\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]](/mediawiki/images/math/0/5/9/05979306c73a41a730c2c5c7b509f334.png)
![\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times b=b\times\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]+b\right]](/mediawiki/images/math/f/2/2/f222862bd9b7c305e861e7fb9f519523.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)^2&\scriptstyle=\left[\left(a\sdot10^n\right)\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left[b\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+\left(b\times b\right)\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\right]+b^2\\\end{align}](/mediawiki/images/math/c/e/7/ce7f5195e0d189919de75d2378cb5d62.png)
![\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2:a^2=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot a\right):a\right]^2=\frac{1}{3}^2=\frac{1}{9}](/mediawiki/images/math/0/2/c/02ce97ef994d0a728e3dd868892bcb3d.png)
![\scriptstyle a^2=9\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2](/mediawiki/images/math/e/0/c/e0cbe1d1e5bb628a35f0052d2ac382d3.png)
![\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2\right]\right]\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)^2](/mediawiki/images/math/f/4/7/f47f83b348188f10a5f402ac12db897c.png)
![\scriptstyle a^2=\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2](/mediawiki/images/math/d/9/0/d901842e7c4e919f3f3bf2c43eb81e37.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left[10\sdot5\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2&\scriptstyle=\left[50\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2\\&\scriptstyle=49\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot a\right)^2=a^2\\\end{align}](/mediawiki/images/math/2/d/9/2d93242523a721dd8619db0fd163199e.png)
![\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-a-\left(a-1\right)](/mediawiki/images/math/0/0/3/00303c8857118de0893cd9a7f7113d6b.png)
![\scriptstyle a^2-\left(a-b\right)^2=\left[a+\left(a-b\right)\right]\times b](/mediawiki/images/math/5/e/5/5e5a42511ac9df5b0d2a894d75afa7a3.png)
![\scriptstyle a\times\left(a-b\right)=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left(a-b\right)\right]](/mediawiki/images/math/8/1/b/81b150ab53cbf0902a173d052c0f5a98.png)
![\scriptstyle a\times a=\left[a\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)](/mediawiki/images/math/8/8/2/882ae19f3b01049a049314ff3fa862b8.png)
![\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]](/mediawiki/images/math/a/5/f/a5f271fc1f8a2fbf7bd77d4f9749ac6f.png)
![\scriptstyle\left(b\times a\right)+\left[b\times\left(a-b\right)\right]=b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]](/mediawiki/images/math/a/3/a/a3ab75331c41db3d1726af496e220ea6.png)
![\scriptstyle a\times a=\left[\left(a-b\right)\times\left(a-b\right)\right]+\left[b\times\left[\left(a-b\right)+a\right]\right]](/mediawiki/images/math/f/7/3/f73acf8a406c8bc5c0e748038da42915.png)
![\scriptstyle\left(a+2\right)^2=a^2+\left[2\sdot\left[\left(a+2\right)+\left[\left(a+2\right)-2\right]\right]\right]](/mediawiki/images/math/4/b/6/4b656b3a636dde4dd5559ee741c2394f.png)
![\scriptstyle\left(a+3\right)^2=a^2+\left[3\sdot\left[\left(a+3\right)+\left[\left(a+3\right)-3\right]\right]\right]](/mediawiki/images/math/5/c/4/5c44da7fa9cbdb525c51e1359a44f6b8.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right):n&\scriptstyle=\left[\left(\sum_{k=1}^{n-2} k\right):\left(n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\\&\scriptstyle=\underbrace{\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\ldots+\frac{1}{2} }_{\left(n-1\right)\; times}=\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\\\end{align}](/mediawiki/images/math/9/7/1/971a93b1e80a763d873097fddff229d9.png)
![\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k&\scriptstyle=\left(\sum_{k=1}^{n-1} k\right)+n\\&\scriptstyle=\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]+n\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)-\frac{1}{2}+1\right]\\&\scriptstyle=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\\\end{align}](/mediawiki/images/math/e/1/1/e116728a3313782edd520eda174d61f9.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\sdot\left(n+1\right)](/mediawiki/images/math/1/9/0/190995b6d5ca6a5d6fd79658bf42a4f1.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} \left(2k-1\right)=n^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2](/mediawiki/images/math/8/a/0/8a0a21d7fcdbf7f143b5871833079912.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^2+2^2+3^2\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+4+9\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=14:6=2+\frac{1}{3}=\frac{7}{3}\\&\scriptstyle=\frac{5}{3}+\frac{2}{3}=\left[\left(1^2+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+\frac{2}{3}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/e/b/8/eb8ad658dd05ab3c35457ad67bdcb70a.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot\sqrt{16}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(2+\frac{2}{3}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot10=3\sdot10=30\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/f/6/1f63af1b8ab78981a0d0705f8d2fa5d3.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} k^2&\scriptstyle=1^2+2^2+3^2+4^2=1+4+9+16\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left(\sum_{k=1}^{4} k\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{8}{3}+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=\frac{9}{3}\sdot\left(1+2+3+4\right)=3\sdot\left(1+2+3+4\right)=30\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/c/a/0ca78fbf4b5c7e5bd035efe5c527db9b.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{4} 3\sdot k^2&\scriptstyle=\left(3\sdot1^2\right)+\left(3\sdot2^2\right)+\left(3\sdot3^2\right)+\left(3\sdot4^2\right)\\&\scriptstyle=3+12+27+48\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left[3\sdot\left[\sdot4\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=3\sdot\left(3\sdot10\right)=3\sdot30=90\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/3/7/2370265176f21367ae6b026b8f5dbbb0.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3\right):\left(1+2+3\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27\right):\left(1+2+3\right)\\&\scriptstyle=36:6=6=3+3\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2\right):\left(1+2\right)\right]+3\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/0/a/e/0aeac222b5b00e0372cfb89c5e9bfa3c.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1^3+2^3+3^3+4^3\right):\left(1+2+3+4\right)&\scriptstyle=\left(1+8+27+64\right):\left(1+2+3+4\right)\\&\scriptstyle=100:10=10=6+4\\&\scriptstyle=\left[\left(1^3+2^2+3^3\right):\left(1+2+3\right)\right]+3\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/5/2/5/52529343695a818ebf74873713ae40a4.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^3=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)=\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot\left[n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]](/mediawiki/images/math/e/f/2/ef2b39cea9a16d1771155b1adc438fdb.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{3} 3\sdot k^3&\scriptstyle=\left(3\sdot1^3\right)+\left(3\sdot2^3\right)+\left(3\sdot3^3\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot1\right)+\left(3\sdot8\right)+\left(3\sdot27\right)=3+24+81\\&\scriptstyle=\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\sdot3\sdot\left[3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]\right]\\&\scriptstyle=6\sdot3\sdot6=18\sdot6=108\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/6/1/a/61aef754052473165b52b9b22a8219b3.png)
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
; 
![\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]+\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}](/mediawiki/images/math/7/1/4/714d8ca6bc64ad1e30c1a6194069ff6f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{1}{4}\right)\sdot\frac{1}{3}\right]+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)+\frac{1}{12}=\frac{3}{12}+\frac{1}{12}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}}}](/mediawiki/images/math/4/a/7/4a7533c542683fcce03417b4b104741e.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b};\; \frac{c}{d}>1\longrightarrow\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}](/mediawiki/images/math/5/4/4/5447963825869768d83fec94c180e9ad.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{3};\; \frac{6}{4}>1\longrightarrow\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left[\left(\frac{4}{3}-1\right)\sdot\frac{6}{4}\right]=\left(\frac{4}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{6}{4}\right)=\frac{6}{4}}}](/mediawiki/images/math/a/6/5/a6598d0e64da2964d8881cb57f53ddbe.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{2}{9}=\frac{3}{4}\sdot\frac{2\sdot4}{9\sdot4}=3\sdot\frac{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)}{9\sdot4}=\frac{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot4\right)\right]\sdot3}{9\sdot4}}}](/mediawiki/images/math/e/5/7/e57adddc9e86ea8b9931f987f96929a3.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot\left(3\sdot5\right)=8\sdot15=\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5}}](/mediawiki/images/math/d/d/5/dd5a7cd1ede94498f106c3815f9001ca.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\sdot\left(4\sdot6\right)=15\sdot24=\left[\left(3\sdot5\right)\sdot4\right]\sdot6}}](/mediawiki/images/math/2/6/2/262972470196891b6f5ca7cd2d142174.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\sdot3=24\longrightarrow\left[\left(2\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot5=8\sdot15}}](/mediawiki/images/math/a/2/7/a2700d67b36559f74d2ef52dadbf74d7.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)}}](/mediawiki/images/math/5/8/2/582b7840956240c3c5036bb5c239a5ca.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot7=\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)}}](/mediawiki/images/math/8/9/0/890fee8ddf6a410943ec3af0b6eed81f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\sdot7\right)=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7=}}](/mediawiki/images/math/6/5/2/652b55ef359aa112aa902c3999d63a1c.png)
![\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}](/mediawiki/images/math/b/0/0/b004a230c2747363566f251fea4f2784.png)
![\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)](/mediawiki/images/math/a/3/5/a35499fb03f1d70145c39d0707a0c653.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)+\left(\frac{6}{7}\times\frac{7}{8}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot30\right]\sdot56\right]+\left[\left[\left(4\sdot5\right)\sdot12\right]\sdot56\right]+\left[\left[\left(7\sdot6\right)\sdot30\right]\sdot12\right]}{\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(6\sdot30\right)\sdot56\right]+\left[\left(20\sdot12\right)\sdot56\right]+\left[\left(42\sdot30\right)\sdot12\right]}{\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/8/7/887fce3189b5d06c8ca0837c034ba79f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(12\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}](/mediawiki/images/math/d/5/f/d5febbcd0da0509735da0cfc3d8f119f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(5\sdot6\right)\right]\sdot\left(7\sdot8\right)=\left(6\sdot30\right)\sdot56=\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7\right]\sdot8}}](/mediawiki/images/math/7/4/8/748d5ea762ea21946840f1ade00cd699.png)
![\scriptstyle\frac{c}{d}=1\sdot\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)\sdot\frac{c}{d}\right]](/mediawiki/images/math/0/2/e/02e74b114e7b708b4fd0efbe60a008c1.png)
:![\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}=\left[1+\left(\frac{a}{b}-1\right)\right]\sdot\frac{c}{d}=\left(1\sdot\frac{c}{d}\right)+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}+\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]](/mediawiki/images/math/4/1/1/411423608dc2df27b13c514bd7de8cfe.png)
![\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)-\left[\left(\frac{a}{b}-1\right)\sdot\frac{c}{d}\right]=\frac{c}{d}](/mediawiki/images/math/8/6/5/8657ba1cf8eef89c8726bda433475cee.png)
![\scriptstyle\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}=\frac{a}{b}\sdot\frac{c}{d}](/mediawiki/images/math/1/5/c/15ccaff66cd90ad75bcce46650f26c37.png)
![\scriptstyle\left(a:b\right)\sdot\left(c:d\right)=\left(a\sdot c\right):\left(b\sdot d\right)=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]](/mediawiki/images/math/d/d/a/dda8c48f6adc807beb15772c15ed7682.png)
![\scriptstyle\left(a\sdot c\right):x=a:b\longrightarrow\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left[x:\left(b\sdot d\right)\right]=\left[\left(a\sdot c\right):x\right]\sdot\left(c:d\right)\longrightarrow x:\left(b\sdot d\right)=c:d](/mediawiki/images/math/1/e/7/1e764af07cf1d1546fdc7238bd34a18d.png)
![\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]=1](/mediawiki/images/math/0/5/3/053dbef788a010e3fc673e11b7a233d0.png)
![\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]](/mediawiki/images/math/d/6/6/d66c6fc311bbb16dd317d77c6c5a6ca6.png)
![\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1](/mediawiki/images/math/2/3/b/23bbd8921616da524fc3fde8faaa736a.png)
![\scriptstyle\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]](/mediawiki/images/math/9/7/8/978feee7dd9bd3622fe9d7d94b31d024.png)
![\scriptstyle\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)\right]\right]+1](/mediawiki/images/math/8/d/e/8de2bf68796330d27da961a88b1ef56f.png)
![\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1](/mediawiki/images/math/c/7/b/c7b0abf4f3f738c224c245168150911e.png)
![\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]](/mediawiki/images/math/2/3/7/23755dccf0f300bf22db1e74a43d08af.png)
![\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1](/mediawiki/images/math/8/e/e/8eecfed88c0a67a691054eae0d4909a3.png)
![\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1](/mediawiki/images/math/e/4/2/e421c97946f56831f1aca290ec4497b9.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}<\frac{1}{2}&\scriptstyle=1-\frac{1}{2}\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\\&\scriptstyle=1-\left[\left(1-\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\right]=1-\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)=1-\frac{1}{6}=\frac{5}{6}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/3/1/f/31f8370d34a8e72f4985dc80c846a538.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{4}>\frac{1}{6}&\scriptstyle=1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{4}-\left[1-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{6}\right)+1=1+\frac{1}{12}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/2/7/227b915197e219831540b2d08f9cd186.png)
![{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{5}<\frac{11}{12}&\scriptstyle=1-\frac{1}{12}=1-\left[\left(1+\frac{1}{12}\right)-1\right]=1-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-1\right]\\&\scriptstyle\longrightarrow\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left[1-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)-1\right]\right]-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left[1-\left[\left(1+\frac{1}{12}\right)-1\right]\right]-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left[\left(1-\frac{1}{12}\right)-\frac{1}{5}\right]\right]\\&\scriptstyle=1+\left[1-\left(\frac{11}{12}-\frac{1}{5}\right)\right]=1+\left(1-\frac{43}{60}\right)=1+\frac{17}{60}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/d/0/7/d0736c5f03ad47fc29d3ea85b18d70dc.png)
![\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}](/mediawiki/images/math/1/9/0/19031c8dff61d5ec20ee45e37072ee97.png)
![\scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)](/mediawiki/images/math/b/6/f/b6ff88df5070f7c498ae873b6e2b3a65.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(8,6\right)=LCM\left[\left(4\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=8\sdot3=4\sdot6=24}}](/mediawiki/images/math/e/3/2/e3200600cf4516e6310bf73f886c02b3.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(6,4\right)=LCM\left[\left(3\sdot2\right),\left(2\sdot2\right)\right]=6\sdot2=12}}](/mediawiki/images/math/6/d/7/6d78c5e2b069dd8563f2f93f37481300.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(420,8\right)=LCM\left[\left(105\sdot4\right),\left(2\sdot4\right)\right]=420\sdot2=840}}](/mediawiki/images/math/7/8/b/78b37015a9fe519a1c27aba3889ff086.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(840,9\right)=LCM\left[\left(280\sdot3\right),\left(3\sdot3\right)\right]=840\sdot3=2520}}](/mediawiki/images/math/2/8/2/282ff305e8fcdfef97f0fef187333492.png)
![\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}](/mediawiki/images/math/8/b/b/8bb79c6340b5cc89864d498428993391.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{3}{4}\right)-1=\left(1+\frac{1}{3}\right)-1=\frac{1}{3}}}](/mediawiki/images/math/7/f/f/7fff08553918ee078a279e0993c564ba.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1=\left(\frac{7}{12}+\frac{2}{3}\right)-1=\left(1+\frac{1}{4}\right)-1=\frac{1}{4}}}](/mediawiki/images/math/b/3/b/b3b3b5736de2b8c9b10a71de23d2b912.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{4}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{3}{4}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{8}{15}\right)-1=\frac{8}{15}=\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/f/1/6/f16adba27ef33daa1d13a020dfe25d72.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\right)+\left(1-\frac{1}{3}\right)\right]-1&\scriptstyle=\left(\frac{47}{60}+\frac{2}{3}\right)-1\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{9}{20}\right)-1=\frac{9}{20}=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/b/0/1b089b3e7ce44a7f7cfde34a1480da68.png)
![\scriptstyle\left[\left(a\sdot b\right)\sdot c\right]\sdot d=\left(a\sdot b\right)\sdot\left(c\sdot d\right)=\left(a\sdot b\sdot c\right)\sdot d](/mediawiki/images/math/4/1/c/41c26ea7c361ca3e8daf9add8229fba0.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5=120}}](/mediawiki/images/math/5/7/7/57797562fd85aa3f965529a2ab150a05.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot2\right)\sdot4\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot3\right)\sdot2\right]\sdot5\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)\sdot3\right]\sdot2\right]=154}}](/mediawiki/images/math/3/8/6/386494611d439f660ed4b9adc79394cd.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)\right]\sdot20\right]+\left[\left[\left(1\sdot4\right)+\left(1\sdot5\right)\right]\sdot6\right]\\&\scriptstyle=\left(5\sdot20\right)+\left(9\sdot6\right)=154\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/1/d/9/1d91808c2f72074aa3774d7d24724f97.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot3\right)\right]+\left[\left(5\sdot4\right)\sdot\left(1\sdot2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(20\sdot3\right)+\left(20\sdot2\right)=20\sdot5\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/2/0/1/20134b43dd9770106fcf68e0512e7b6f.png)
![\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot4\right)\right]+\left[\left(2\sdot3\right)\sdot\left(1\sdot5\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(6\sdot4\right)+\left(6\sdot5\right)=6\sdot9\\\end{align}}}](/mediawiki/images/math/8/e/7/8e7e244f00dffbebfd33cd8f41ddf111.png)
![\scriptstyle\frac{c}{d}<1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]](/mediawiki/images/math/6/f/b/6fba8d94990153a88a7195400f3b81ce.png)
![\scriptstyle\frac{c}{d}>1-\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1](/mediawiki/images/math/2/a/2/2a2d1e8a945abc387685f8b9be15517a.png)
![\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}](/mediawiki/images/math/2/3/9/2399eb56044d2f231c4a14303f4ec763.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1+\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]](/mediawiki/images/math/0/1/0/010048356f70daff9e623c8308bfadbb.png)
![\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}](/mediawiki/images/math/2/9/8/298201ce9c260170d7566e31317c2b79.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<1\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]](/mediawiki/images/math/1/d/9/1d97aa14079007a497b47505918050ca.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1+\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]](/mediawiki/images/math/d/c/8/dc8b0827522f39a91d84cdebbc171739.png)
![\scriptstyle2-\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)=1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]](/mediawiki/images/math/b/d/c/bdc392e24e2ff2abc6263fc55afdf63d.png)
![\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]=2](/mediawiki/images/math/b/a/0/ba0ff347f3242cd23cc258fe0f3fd558.png)
![\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}](/mediawiki/images/math/8/4/7/8479cc1b6158079526b344adbf2320a7.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}>2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2+\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]](/mediawiki/images/math/0/2/2/022d383f76d39d23ec2b51a08fae5fe5.png)
![\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}](/mediawiki/images/math/d/1/2/d128c6f907bb4ba3a8e2ea9da851b494.png)
![\scriptstyle\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}<2\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=2-\left[\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]-\frac{e}{f}\right]](/mediawiki/images/math/4/8/b/48bf903088d4601b193670aed6946375.png)
![\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}+\frac{e}{f}](/mediawiki/images/math/6/4/d/64d7d88a972fc5b8498047f9b16f7711.png)
