Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Epilogue)
Line 1,934: Line 1,934:
 
|-
 
|-
 
|}
 
|}
 +
 +
== Appendix I: Glossary of Terms ==
 +
Arithmetic Operations
 +
addition, additional segment תוספת
 +
to add לחבר (ב), תחבר, נחבר, נחבר אליו, חבר אליו, חבר, חברנו אל, חברנו
 +
to add להוסיפו על, הוסיפהו על (ה), הוסף עליו, הוספנו עליו
 +
to be added to נוסף עליו
 +
sum, result of addition העולה מחבור
 +
to be summed חוברו, יחברו
 +
summed מחוברים, מחברים
 +
additive יתרון
 +
additive תוספת
 +
to divide לחלק, חלק (ה), חלק אליו, תחלק (אליו / ה)
 +
to be divided חולק
 +
dividend המתחלק, המספר המתחלק
 +
divisor מספר אשר אליו יתחלק, החלק אשר אליו יתחלק
 +
quotient, result of division המספר העולה בחלוק, מספר אשר הגיע בחלוק
 +
quotient, result of division יגיע, יגיע בחלוק, המגיע בחלוק, הגיע בחלוק, המגיעים בחלוק, שהגיע בחלוק, היוצא בחלוק (ה), המספר היוצא בחלוק, היוצא
 +
greatest common divisor המספר היותר גדול שימנה
 +
to double כפלת
 +
to double, to take twice קח שני דמיוני, קח שני דמיוניו, לקחנו שני דמיוניו
 +
twice שני דמיוני, ב' דמיוני ה
 +
twice as much as הכפל מ
 +
to extract a root קח שרשו, תקח שרש, הוצא שרשו
 +
to extract a square root קח שרשו המרבעי'
 +
to extract a cube root קח שרש מעקב, קח שרשו המעקבים
 +
to extract a root of a root, to extract a root of fourth degree קח שרש שרשו
 +
to cube עשה מעקב
 +
cubed משלש
 +
root שרש (ה), שרש מספר, שרש המספר
 +
square root שרש מרבע, שרש מרובע
 +
cube root שרש מעוקב, שרש המעוקב, שרש מעקב, שרשו המעקבי'
 +
שרש שרש מרבע
 +
שרש שרש מעקב
 +
√√³√x שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
 +
√³√x שרש מרבע מן שרש מעוקב, שרש מרבע מן שרש מעקב
 +
having a root מספרי' בעלי שרש, בעלי שרש
 +
not having a root אין לו שרש
 +
to halve תחצה (ה), קח מחצית
 +
half of מחצית ה, חצי ה
 +
multiplication הכאת (ה), כפל, כפל... בעצמו
 +
to multiply לכפלו ב, לכפלם, לכפול, לכפול המספרים, כפלנו, כפול, תכפול, תכפל, כפול ב, נכפול, כפלהו, תכפלהו
 +
multiplied שנוי
 +
multiplied כפול
 +
product, result of multiplication מספר העולה מכפל, העולה מכפל
 +
product, result of multiplication העולה, יעלה
 +
בכפול אותו בעצמו, כפול... בעצמם/בעצמו, כפלהו בעצמו, כפלם בעצמם, כפלת את ה... בעצמו, כפלת ה... בעצמו
 +
times פעמי'
 +
דמיוני (ה) times
 +
to subtract לגרוע, תגרע (ממנו ה / מהם)
 +
to subtract חסר ממנו, חסרה מ, חסרם מ, תחסרנו מ, נחסר, נחסר מ, נחסרם מ, חסרנו מ, תחסר מ
 +
to subtract נפחות מ, לפחות
 +
to be subtracted חסר ממנו
 +
subtractive חסרון
 +
minus פחות
 +
plus, additive יותר
 +
Arithmetic Terms
 +
part חלק, חלקים
 +
parts of, fractions חלקים מ, חלקי, חלק אחד מ
 +
number מספר
 +
number of מספר, מספר ה
 +
value מספר ה, מספרו
 +
one האחד
 +
units אחדים
 +
units of the number אחדי המספר
 +
number of units in מספר האחדים אשר ב, מספר אחדי ה
 +
ratio יחס, יחס ה... אל
 +
proportional measures שעורים מתיחסים
 +
 +
Calculation Terms
 +
 +
calculation חשבונם, חשבוננו, החשבון, חשבונות
 +
to calculate לחשוב
 +
amount הסכום, סכום ה
 +
measure, quantity, value שעור, שעורים, שעורו
 +
the sought הוא מה שרצית, אשר רציתי למצא, המספר אשר רצית למצא
 +
the sought הוא המבוקש, המבוקש, מספר המבוקש, המבקש, הוא המבקש
 +
excess מותר
 +
known ידוע, ידועים, נודע
 +
unknown בלתי ידוע
 +
to result יהיה, יהיו, ויהיו
 +
result העולה, יעלה, עלה בידנו, יעלה בידך, עלה, יהיה העולה
 +
procedure המעשה
 +
to produce עשה, עשה מן, עשה מ, עשית
 +
to use, to make יעשוהו
 +
to do, to proceed עשוהו, תעשה, אעשה
 +
to transform לעשות מן, תעשה מן
 +
to remain ישאר, ישארו, נשאר
 +
remainder הנשאר, נשאר מ, הנשאר מן
 +
to be left with ישאר בידך, נשאר בידנו
 +
to have in one's hand בידך, הנה בידינו
 +
to equalize השוית ה, תשוה אותם
 +
equal to שוה ל, שוים ל, השוים, ישוה ל, יהיה שוה ל
 +
to keep שמרם, שמרת, שמרהו, שמרה
 +
reserved השמור
 +
to give a numerical example נביא דמיון במספר, נעשה דמיון במספר
 +
 +
 +
Algebraic Terms
 +
algebra חשבון האלזיברא
 +
algebraic calculations חשבונות ספר האלזיברא
 +
number, constant נוּמְרִי
 +
thing, root דבר, דברים, קוֹסָא
 +
square צֵינְסו, מרובע, מרבע, מספר מרבע, מרבע המספר
 +
square square x⁴ צֵינְסו דיצֵינְסו, מרובע המרובע, מרבע מרבע, מרבע המרבע, מרובע מרובע, מרבעי המרבעים
 +
cube x³ מספר המעוקב, מעוקב, המעקבים, קוּבוּ
 +
cube cube, x⁶ מעוקב המעוקב, קוּבוּ דֵיקוּבוּ
 +
unknown number המספר הנעלם, מספר נעלם, מספר ... נעלם, מספרי' נעלמי'
 +
unknown דבר נעלם
 +
fixed number מספר קצוב
 +
terms of the equation החלקים
 +
part of an equation, algebraic expression חלק אחד מן השאלה
 +
 +
Geometric Terms
 +
figure, geometric illustration תמונת, תמונה, תמונתנו, תמונת הכפל
 +
segment חלק, החלקים, חלקי', החלק
 +
segment of a line חלקי קו אחד, חלקי הקו
 +
segment… of it חלק... ממנו
 +
point נקודה, נקודת
 +
at point על נקודת
 +
line קו, קוים
 +
the whole line הקו כלו
 +
straight line קו ישר
 +
straight (line) ישר
 +
side צלעו, צלע, צלע מרבע, צלע המרבע
 +
length ארכו
 +
measure מדה, מדת ה, מדות
 +
surface שטח, שטחים
 +
gnomon רושם התמונה
 +
area שברי, שבריו, מספרי שבריו, מספר שברי, שברי שטח, מספר שברי שטח, שברי הרושם, מספר שברי הרושם, תשבורתו
 +
square מרבע, המרבע, מרבעים, המרבעים, מרובע הקו
 +
square on the whole line מרבע הקו כלו
 +
quadrilateral surface, rectangle שטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזוית, שטח נצב הזויות
 +
encompassed by the two segments אשר יקיפו בו שני החלקים
 +
אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת
 +
encompassed by the (two) lines אשר יקיפו בו שני קוי, אשר יקיפו בו קוי, אשר יקיפו בו קוי
 +
the difference between the two segments מה שבין שני החלקי‫'‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
 +
straight, straightly על יושר
 +
parallel to נכוחי ל, נכחי ל, נכחי לקו
 +
to draw נעביר מ
 +
to draw a line נעביר קו
 +
to draw a line from point נעביר בו מנקודת ... קו
 +
to intersect יחתכו
 +
to divide (surface) יחלקוהו ל
 +
to cut from line נחלק מן קו
 +
to construct a square from a line נעשה מן קו... מרבע, נעשה מן ... מרבע
 +
to extend a line נמשיך קו
 +
to meet a line עד אשר יפגיש קו
 +
line is cut into נחלק קו ישר ל
 +
to cut randomly at point חלק איך שקרה על נקודת
 +
to be cut randomly at point יחולק איך שקרה על נקודה
 +
to halve it at point נחלקהו לחצאין על נקודת, נחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת
 +
to be halved it at point נחלק לחצאין על נקדת
 +
to cut into two unequal segments at point נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת
 +
unequal segments החלקים הבלתי שוים
 +
to draw צירתי
 +
 +
Logical Terms
 +
 +
to say, to state אומר (כי), אומ', אמור, נאמר, אמרנו (ב), נאמר כי, תאמר כי, אמרת ש, ותאמ', יאמ' כי, אמרתי
 +
to say, to tell ואמ' לי
 +
saying אמרך
 +
אשר אמרת ל
 +
to explain, to demonstrate אבארם, אבאר
 +
to be explained, to be clarified נתבאר (ב / מ ... כי)
 +
as clarified כמבואר ב
 +
clear, clarified מבוארה
 +
Q.E.D; this is what we wanted to explain וזה מה שרצינו לבאר, וזה מה שרצינו
 +
להוסיף באור, להוסיף בו באור
 +
to know (that) לדעתם, לדעת, לדעתו, תדע (כי / ש)
 +
knowing מידיעת ה
 +
לא ידענוהו
 +
וכבר ידעת כי, וכבר ידעת
 +
יודע, יהיה יודע ה
 +
the Knower היודע
 +
it is known that ידוע (כי / ש)
 +
to understand תבין ממנו
 +
to be clear from יובן (מ / מן)
 +
clear, understandable מובן ל
 +
מובן מאשר לפניו
 +
clear by itself, understandable by itself זה מובן בעצמו, זה מובן מעצמו
 +
one who understands מבין
 +
to give an example אמשול
 +
example משל, המשל, דרך משל, משלנו
 +
to learn, to become wise תשכיל
 +
to teach להשכילך כי
 +
to deduce, to conclude הקש על זה
 +
by analogy בדרכי ההיקש
 +
way, method, technique דרך (ה), דרכי
 +
to proceed according to this way עשה על הדרך הזאת, נעשה על הדרך הזאת
 +
according to the known way על הדרך הנודע‬‬‬‬
 +
על דרך האמור למעלה, כאשר אמרנו למעלה, כאשר אמרנו, על דרך
 +
according to the abovementioned method כפי הדרך הנזכר, ולפי הדרך הנז', וכפי הדרך אשר אמרנו
 +
teaching למוד, הלמודים, זה הלמוד, למודי, בזה הלמוד
 +
studying ללימודי
 +
proof, argument מופת, מופת זה, מופתי (ה), במופתים
 +
to demonstrate, to show להראותך זה, להראותך מופת זה, הורתיך המופת, ולהראותך מופת על זה
 +
demonstrative המופתי
 +
manner, way באופן אשר
 +
speech, discussion דבורי
 +
to discuss, to speak לדבר ב, אדבר ב
 +
reason הדבר
 +
reason סבה, סבות
 +
meaning, sense עניני'
 +
conception, perception ציורך
 +
evidence, proof ראיות
 +
principles שרשיה
 +
question שאלה
 +
to ask שאלתי ל
 +
rule כלל
 +
wisdom חכמה
 +
wise way בדרך חכמה
 +
wise החכם
 +
 +
Economic Terms
 +
trader סוחר
 +
to trade לסחור
 +
to have, at his disposal בידו, נמצא בידו
 +
amount קצבה, קצבת
 +
to earn הרויח
 +
value, price הערך (מ)
 +
a man אדם אחד
 +
to exchange החליף (ב)
 +
peraḥim פרח, פרחי'
 +
liṭra ליטרי', ליט'
 +
of Rome רומנייולי, רומניולי
 +
of Marciana מרקיאני
 +
to be worth of שוה מ, שוה ה... מה...
 +
to be exchanged נחלפו ב, נחלף ב
 +
 +
Literary Terms
 +
chapter מאמר, מאמ'
 +
book ספרי ה, ספרו
 +
author מחבר הספר
 +
translation בהעתקתו
 +
 +
Linguistic terms
 +
grammarians חכמי דקדוק
 +
language לשונם, לשוננו, בלשון
 +
word תיבה, תיבות
 +
 +
 +
• א.ר.כ.
 +
to elaborate, treat at length, lengthen להאריך (ב), בהאריך ב, להאריך
 +
• ב.ו.א.
 +
to bring, to present הביאם
 +
• ב.ק.ש.
 +
to seek בקשתי
 +
• ה.י.ה.
 +
let there be ויהיה, יהיה
 +
generated from ההוה מ, ההוה מן, ההוים מ, ההוים מן
 +
• ה.ל.כ.
 +
to go הלך ל
 +
following, in accordance with הולך ב
 +
• ז.כ.ר.
 +
to note, to mention זכרנו
 +
לפי הדרך אשר זכרנו, על הדרך הזאת, כפי הדרך הנז‫'‬‬
 +
• ח.ד.ש.
 +
to invent לחדש
 +
• ח.ז.ק.
 +
to occupy, tohold מחזקת ב
 +
• ח.ל.ל.
 +
to start, to begin אחל, החילי, החלי
 +
• י.כ.ל.
 +
to be able נוכל
 +
• י.צ.א.
 +
to draw אוציא מ
 +
to derive, to draw הוציאם‬‬‬‬‬‬‬
 +
• י.צ.ע.
 +
to propose, to offer אציע
 +
explanation, introduction הצעה
 +
• י.ר.ה.
 +
to signify, to mean להורות
 +
meaning הוראת, ההוראה
 +
to indicate מורה, תורה
 +
• ל.ק.ח.
 +
to take קח, לקחנו
 +
to understand a word in a certain sense, to regard יקחו
 +
• מ.צ.א.
 +
to find למצא, מצאנו ב, מצאתי
 +
• צ.ר.כ.
 +
should צריכי', צריך אתה ל, צריך אני ל, צריך ש
 +
to have to הוצרכתי ל
 +
to need it תצטרך אליה ב
 +
no need אין צורך
 +
• ק.ד.מ.
 +
to precede להקדימם, אקדים, הקדמנו (ב)
 +
introduction הקדמתי
 +
• ק.ר.א.
 +
to name, to denote יקראוהו, אקראנו, בשם אקראנו, קראתיהו, נקראם, נקראהו
 +
• ר.א.ה.
 +
to see רואה (כי), בראותי אותך
 +
• ר.צ.ה.
 +
meaning רצונם
 +
to wish רציתי (ל), רצית ל, רצינו ל, רוצה
 +
as one wishes כרצונך, כרצון
 +
• ש.ו.ב
 +
to return שבת אל
 +
to convert, to transform נשיב
 +
• ש.ל.מ.
 +
to finish תשלים, נשלים
 +
to complete להשלים
 +
complete שלימי'
 +
whole שלם
 +
• ת.ח.ל.
 +
to start, to begin אתחיל, נתחיל
 +
 +
 +
should ראוי ש, ראוי ל
 +
Christians הנוצרי'
 +
usage, custom כמנהגם
 +
place מקומות
 +
as much as one can כפי אשר תשיג ידי
 +
to bring closer לקרבו אל
 +
it is, the result is הרי
 +
to describe נתאר, אתאר לך, אתאר
 +
drawn נמשכים
 +
subsequent, following הנמשכי' אחריו
 +
to give אתן לך
 +
intellectual vision לעין השכל
 +
by the measure that במדה שבה
 +
guidance בהדריכי
 +
to observe, to look להתבונן, תתבונן
 +
exactly, no more and no less לא פחות ולא יותר
 +
consists of המורכב מ, המרכב מ
 +
to return חזר
 +
to succeed, to make profit הצליח
 +
its similar דומה לו
 +
to be finished, to end תם
 +
lesson שעור
 +
a little here, a little there זעיר שם זעיר שם
 +
to devise בדיתים
 +
of one's own heart מלבי
 +
to cleave הדבק
 +
to longed for נכספים ל
 +
precious היקר
 +
reader מעיינים בו
 +
companion, corresponding חברו
 +
brother אחי, אחיך
 +
friend מיודעי
 +
friend רעי
 +
שם
 +
תפארת
 +
ופתח מאיר כל מאמר ומעשה יתב' ויתע' שמו עלוי רב
 +
to call upon בקראנו אליו
 +
to write לכתבם אליכם
 +
to abbreviate קצרתי בהם
 +
brevity קצורי
 +
relying on להשעני ב
 +
in any case מכל מקום
 +
unknown, hidden יעלם
 +
prepared, ready מוכן ל
 +
should not אין ל
 +
 +
Euclid איקלידיש, איקלידס
 +
Elements II.4 תמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידש
 +
Elements II.6 תמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
 +
Elements VI.17 תמונת יז מן המאמר הששי לאיקלידש
 +
Elements II.5 תמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש
 +
 +
Mordecai Yaḥya the son of Abraham Finzi כמ"ר מרדכי יזייא בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה
 +
R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה
 +
Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
 +
 +
helplessness of the mind ביד שכלי הקצרה
 +
paths of uprightness במעגלי יושר
 +
one out of a thousand אחד מני אלף
 +
to fulfill desires למלאת רצוניכם
 +
good spirit רוחכם הטובה
 +
worldly affairs עסקי העולם
 +
trouble of the heart and body טרדת לבי ובשרי
 +
the adventures that came upon me בהרפתקי דעדו עלי
 +
spiritual exhaustion לאות רוחי
 +
praising God התהלה לאל, תהלתו
 +
by his awful name among the nations בשם שמו בגוים נורא
 +
spirit of God hovered over the face of רוח אלקים מרחפת על פני
 +
God's purpose shall prosper in his hand וחפץ ה' בייא‫‬‬‬‬‬‬
 +
entreat the Lord בהעתיר אל ה'
 +
may the Lord fulfill all your requests ימלא כל משאלותיך
 +
Let thy springs be dispersed יפוצו מעיינותיך
 +
the fountains of salvation מעייני הישועה
 +
giveth heed unto thy bidding הסר אל משמעתך
 +
over and done תם ונשלם
 +
Amen אמן
 +
 +
 +
Titles - Acronyms
 +
 +
our honorable teacher Rabbi כמ"ר
 +
the son of our honorable teacher Rabbi בכמ"ר, בכמה"ר
 +
may his memory live in the world to come זלה"ה
 +
rabbi ר'
 +
may God preserve him, and keep him alive יצ"ו
 +
 +
 +
Demonstratives
 +
it אותו
 +
these אלו (ה), אלה (ה), האלה
 +
זה הוא
 +
this הזאת, זה (ה), זאת (ה)
 +
וזה, זה
 +
by this, from this מזה (ה), בזה
 +
in this, for this בזה ה
 +
thereby, in this regard, relating to this בזה
 +
by each other זה בזה
 +
מאלו (ה)
 +
Pronouns
 +
a certain, whichever איזה, איזה... שיהיה
 +
I am אני, הנני
 +
you אתה, הנך, אותך
 +
which is שהוא, אשר הוא
 +
it is, which is (result) והוא (ה), הוא ה, היא
 +
which are שהם
 +
something דבר מה
 +
certain מה
 +
what מה ש
 +
by itself בעצמו
 +
 +
Adjectives
 +
one of אחד מ, אחד מכם
 +
each of כל אחד מהם, אחד מהם, כל אחד מ
 +
other אחר, אחרים
 +
last אחרון
 +
middle האמצעי
 +
aforementioned האמור
 +
following, consequent הבאי' אחריה
 +
larger הגדול
 +
whole כלו, כל (ה)
 +
all כל ה
 +
every כל
 +
everything, all הכל
 +
mentioned הנזכר, הנז', הנזכ'
 +
previous הקודמי‫', הקודמת, הקודם‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
 +
prior to הקודמים לזה
 +
smaller הקטן
 +
some קצתם
 +
first, firstly ראשונה, ראשנה
 +
first ראשון, ראשונה
 +
much רב
 +
many רבים
 +
many of רבים מן ה
 +
other, rest of שאר ה
 +
equal שוים
 +
unequal בלתי שוים
 +
Adverbs
 +
then, afterwards אח"כ, אחר
 +
after אחרי
 +
how איך
 +
randomly איך שקרה
 +
there is no אין
 +
indeed אמנם
 +
without בלי
 +
before טרם
 +
together יחד, שניהם יחד
 +
למעלה, למעלה מ above
 +
already כבר
 +
is so, indeed כי כן הוא
 +
in all בכל
 +
how many כמה, כמה מה...
 +
as, the same as כמו
 +
so is וככה ה
 +
also וכן
 +
and so, thus וכן
 +
according to this, accordingly לפי זה
 +
therefore לפי כן
 +
from where מאין
 +
also גם, גם כן
 +
always לעולם
 +
therefore על כן, ע"כ
 +
now עתה
 +
also, further, likewise עוד
 +
hither והנה, הנה, הנה כי
 +
here הנה לפנינו, לפנינו
 +
necessarily בהכרח
 +
on the first time בפעם הראשונה
 +
namely, i.e. ר"ל
 +
but רק
 +
first, at the beginning בתחלה
 +
instead תחת
 +
 +
 +
Conjunction
 +
or או
 +
then, if so א"כ, אם כן
 +
what, that, which אשר, ש
 +
because (of), since מפני כי, כי, ל
 +
because, since בעבור כי
 +
if ואם, אם
 +
when כאשר
 +
that כי
 +
according to, as, like כפי, כפי מה ש
 +
as, like, the same as כ, כפי ה
 +
in order that למען
 +
until עד אשר
 +
 +
Preposition
 +
as it is כאשר הוא
 +
as כ, כאשר
 +
according לפי
 +
of it ממנו
 +
of מן (ה)
 +
by, according על
 +
on it עליו
 +
with עם ה
 +
inside בתוך ה
 +
  
 
== Appendix: Bibliography ==
 
== Appendix: Bibliography ==

Revision as of 17:39, 26 June 2019


ספר האלזיברא
 לרבי שמעון מטוט

Introduction
After the praise to God, the name of his praise is Glory אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
Illuminating beginning of any discussion and action ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
Blessed and exalted be his name a great exaltation יתב' ויתע' שמו עלוי רב

Definitions of algebraic terms
Starting by saying that one should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown value, and made it one whole thing in their calculations, which they called cosa אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרי' בחשבון האלזיברא יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו קוֹסָא
They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know
 רצונם להורות בזאת התיבה שני עניני' דבר אחד שלם ודבר נעלם לא ידענוהו
Hence, the author also is doing the same in its translation, and calls it davar [= a "thing"]
  • X (variable) = thing
 וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתו זאת ובשם אקראנו דבר
They called the product of the thing by itself çenso וכפל הדבר בעצמו יקראוהו צֵינְסו
The author asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told him that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.
 ושאלתי לחכמי דקדוק לשונם על הוראת זאת התיבה ואמ' לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
Since the author did not find in his language one word that has this meaning, and he did not want to extend his words by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, he called it by the Hebrew word merubaʼ [= a square] as it is.
  • X2 = square
 ובעבור כי לא מצאנו בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת הָהוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם מרובע כאשר הוא
They called the square that is multiplied by it self çenso di çenso, and the author named it merubaʼ ha-merubaʼ [= a square of the square]
  • (X2)2 square of a square
 ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו צֵינְסו דֵיצֵינְסו ואני אקראנו מרובע המרובע
They called the cube number cubo.
  • X3 = cube
 ולמספר המעוקב יקראוהו קוּבוּ
They called the cube of the cube cubo di cubo
  • (X3)3 cube of a cube
 ולמעוקב המעוקב יקראוהו קוּבוּ דֵיקוּבוּ
The units of the number are called numeri, as their usage in all other places.
  • number (constant)
 ולאחדי המספר נוּמְרִי כמנהגם בכל שאר המקומות

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra
After the introduction, the teaching of its principles will be discussed that should be known and precede the studying of algebra ואחרי הקדמתי זאת אדבר בלמוד שרשיה צריכי' לדעתם ולהקדימם ללימודי חשבון האלזיברא
They will be explained as much as possible, starting by that: ואבארם כפי אשר תשיג ידי וזה החלי
1) If you wish to multiply a root of a known number by a root of a number \scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}
 א כאשר רצית לכפול שרש מספר ידוע בשרש מספר
\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a\sdot b}
 כפול המספר האחד על חברו ושרש העולה הוא מה שרצית
to bring it closer to perception an example is given:
 ולקרבו אל ציורך אמשול משל
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}}
כאשר רצית לכפול שרש מספר ה' בשרש מספר י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}
כפול ה' בי"ב יעלה ס‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\sqrt{12}=\sqrt{60}}}
 ושרש ס' הוא מה שרצית לדעת
2) If you wish to multiply a root of a known number by a known number \scriptstyle a\sdot\sqrt{b}
 ב ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר ידוע
\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\sdot b}
 עשה מן המספר מרבע בכפול אותו בעצמו

אחר תכפול המרבע האחר בחברו
ושרש העולה הוא מה שרצית לדעת

Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3}}
 המשל רצית לכפול שרש מספר ז' במספר ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}
 עשה מג' מרבע והוא ט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}
 ועתה תכפול ז' בט' יעלה ס"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{63}}}
 ושרש ס"ג הוא המבוקש
This is because the ratio of a square to a square is the same as the ratio of its side to its side multiplied. \scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2 וזה מפני כי יחס מרבע אל מרבע כיחס צלעו אל צלעו שנוי ר"ל כפול
Therefore, \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{7\sdot3^2}}}
 ע"כ ראוי לכפול מרבע ז' בכפל ג' בעצמו
according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11 מתמונת י"א מן המאמ' השמיני לאיקלידיש
3) \scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}
 ג ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מעוקב ידוע
\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\sdot b}
 כפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}}}
 המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' בשרש מעוקב ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}
 כפול ה' בו' יעלה ל‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{30}}}
 ושרש מעוקב ל' הוא המבוקש
4) \scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}
 ד ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע במספר ידוע
\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3\sdot b}
 עשה מן המספר מעוקב וכפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}}}
 המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' במספר ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}
 עשה מן ג' מעוקב והוא כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{27\sdot5=135}}
 וכפול ה' בכ"ז יעלה קל"ה
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{135}}}
 ושרש מעוקב קל"ה הוא המבוקש
This is because the ratio of a cube to a cube is the same as the ratio of its side to its side cubed \scriptstyle a^3:b^3=\left(a:b\right)^3 וזה מפני כי יחס מעוקב אל מעוקב כיחס צלעו אל צלעו משלש
according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 12 מתמונת י"ב מהמאמ' הח' לאיקלידס
5) \scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}
 ה ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מרובע ידוע
  • cube the square
 עשה מן המרבע מעקב
  • square the cube
 ומן המעקב מרבע
by this procedure the degrees of roots are equalized to a square root of a cube root
 ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt[3]{a^2\sdot b^3}}
 אח"כ תכפול אחד מהם בחברו ושרש מרבע מן שרש מעוקב העולה הוא מה שרצית
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=2\sdot3}}
 ולמען תשכיל אמשול לך משל במספרי' בעלי שרש ואומ' רצית לכפול שרש מרבע ט' שהוא ג' בשרש מעקב ח' שהוא ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}
 וידוע כי מכפל ג' בב' יעלה ו' והוא המבוקש
according to the mentioned way
 ולפי הדרך אשר זכרנו
\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}
 ראוי לעשות מן ט' מעוקב והוא תשכ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
 ומן ח' מרבע והוא ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{64\sdot729=46656}}
 כפול ס"ד בתשכ"ט יעלה מ"ו אלפי' תרנ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}}}
 והנה שרש מרבע מן שרש מעוקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא המבוקש
To add a further explanation, the result is reduced to a number, which is possible since the numbers chosen in the example have roots: ולהוסיף באור נשיב המבוקש אל מספר ונוכל עשוהו מפני כי המספרי' אשר לקחנו במשלנו הם בעלי שרש
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}=\sqrt{36}=6}}
 ונאמר שרש מעקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא ל"ו ושרש מרבע ל"ו הוא ו' והנה מספר ו' הוא המבוקש כאשר אמרנו בתחלה
The proof for this is clear to the one who understands from the proofs of the previous teachings.
 מופת זה מובן למבין ממופתי הלמודי' הקודמי‫'
6) \scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
 ו ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\sdot b}}
 כפול המרבע האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}}}
 המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ד' בשרש שרש מרבע ז‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}
 כפול ד' בז' יעלה כ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{28}}}}
 ושרש שרש מרבע כ"ח הוא המבוקש
7) \scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
 ז ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע במספר ידוע
\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\left(a^2\right)^2\sdot b}}
 עשה מן המספר מרבע ומן מרובעו מרבע וכפול האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}}}
 המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ה' במספר ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2\right)^2=4^2=16}}
 עשה מן ב' מרבע והוא ד' ומן ד' מרבע והוא י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}
 כפול ה' בי"ו יעלה פ‫'
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{80}}}}
 ושרש שרש מרבע פ' הוא מה שרצית
8) \scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}
 ח ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
  • square the cube, then square the square
 עשה מן המעקב מרבע וממרובעו מרבע
  • cube the square
 ומן המרבע עשה מעקב
by this procedure the degrees of roots are equalized to a root of a square root of a cube root
 ובזה המעשה השוית השרשי' ועשית כל אחד מהם שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left(a^2\right)^2\sdot b^3}}}
 אחר תכפול האחד מהם בחברו ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב והעולה הוא מה שרצית לדעת
Example:
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}}}
 המשל רצית לכפול שרש מעוקב ג' העולה בשרש שרש מעקב ד‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2\right)^2=9^2=81}}
 עשה מן המעקב שהוא ג' מרבע והוא ט' ומן ט' מרבע והוא פ"א מרבע
  • \scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}
 אח"כ תעשה מן ד' מעקב יהיה ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{81\sdot64=5184}}
 כפול פ"א בס"ד יעלה ה' אלפים וקפ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{5184}}}}}
 ושרש שרש מרבע מן שרש מעוקב ה' אלפי' וקפ"ד הוא מה שרצית
9) \scriptstyle\left(5+\sqrt{6}\right)^2
 ט ואם רצית לכפול מספר ה' ושרש מספר ו' בעצמו
  • \scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}
 עשה על הדרך הזאת כפול ה' בעצמו יעלה כ"ה
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}^2=6}}
 עוד נכפול שרש ו' בעצמו יעלה ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{25+6=31}}
 הרי ל"א שמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)}}
 עוד תכפול מספר ה' בשרש ו' פעמי' על הדרך הזאת
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\sqrt{6}=\sqrt{5^2\sdot6}=\sqrt{25\sdot6}=\sqrt{150}}}
 ראשונה תכפול מספר ה' בשרש ו' ועשה מן ה' מרבע והוא כ"ה

כפלהו בו' יעלה ק"נ והנה שרש ק"נ הוא העולה מכפל מספר ה' בשרש מספר ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)=2\sdot\sqrt{150}=\sqrt{2^2\sdot150}=\sqrt{4\sdot150}=\sqrt{600}}}
 עוד תכפול שרש ק"נ במספר ב' מפני כי אתה רוצה אותו פעמי' ותעשה מן ב' מרבע והוא ד' כפול ד' בק"נ יעלה ת"ר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\sqrt{6}\right)^2=31+\sqrt{600}}}
 הנה תאמר כי מספר ל"א אשר אמרת ושרש מספר ת"ר מחוברים הוא מה שרצית לדעת
In order to learn it, a geometric illustration of the multiplication is described ולמען תשכיל אתאר לך תמונת הכפל
from each of the numbers in the figure, lines are drawn to the numbers by which they should be multiplied
 ואוציא מכל אחד מהמספרים אשר בתמונה קוים נמשכים בה אל המספרי' אשר ראוי לכפלו בהם
Alzibra 9.png
אלזיברא 9.png
10) \scriptstyle\left(\sqrt{32}-3\right)^2
 י ואם רצית לכפול שרש ל"ב פחות מספר ג' בעצמו
\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}
 עשה ראשונה מן ג' מרבע והוא ט‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}^2=32}}
 ועתה תכפול שרש ל"ב בעצמו יעלה ל"ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(-\sqrt{9}\right)^2=9}}
 עוד תכפול שרש ט' פחות בעצמו יעלה ט' יותר
subtractive × subtractive = additive [\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)] שראוי לך שתדע שמכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אבאר
\scriptstyle{\color{blue}{9+32=41}}
 על כן תחבר ט' בל"ב יעלה מ"א שמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\sqrt{32}\sdot\left(-\sqrt{9}\right)\right]=-\sqrt{1152}}}
 עוד תכפול שרש ל"ב בשרש ט' פחות פעמי' על דרך האמור למעלה יעלה שרש אלף קנ"ב פחות
a number or a measure multiplied by a subtractive = subtractive [\scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)] לעולם מכפל איזה מספר או איזה שעור שיהיה בחסרון יעלה חסרון
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}-3\right)^2=41-\sqrt{1152}}}
 הנה תאמר כי מספר מ"א אשר שמרת פחות שרש אלף קנ"ב הוא המבוקש
11) \scriptstyle\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\times\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)
 יא ואם רצית לכפול שרש מ"ח ושרש י' בשרש מ"ח פחות שרש י‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}^2=48}}
 כפול ראשנה שרש מ"ח בעצמו יעלה מ"ח
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{10}\right)\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-10}}
 עוד תכפול שרש י' יותר בשרש י' פחות יעלה י' פחות
\scriptstyle{\color{blue}{48-10=38}}
 חסרם ממ"ח ישאר ל"ח
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(+\sqrt{10}\right)=+\sqrt{480}}}
 עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' יותר יעלה שרש ת"פ יותר
\scriptstyle{\color{blue}{38+\sqrt{480}}}
 הרי בידך ל"ח ושרש ת"פ יותר
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-\sqrt{480}}}
 עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' פחות יעלה שרש ת"פ פחות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\sdot\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)=38+\sqrt{480}-\sqrt{480}=38}}
 על כן תחסרנו מל"ח ושרש ת"פ יותר ישאר בידך מספר ל"ח והנה הוא המבוקש
Rules of multiplication for expressions of the type (a+b) and (a-b) ועתה אתן לך כלל
  • number × additive = additive: \scriptstyle a\times\left(+\right)=\left(+\right)
 מכפל איזה מספר ביתרון יעלה יתרון
  • number × subtractive = subtractive: \scriptstyle a\times\left(-\right)=\left(-\right)
 ומכפל איזה מספר בחסרון יעלה חסרון
  • additive × additive = additive: \scriptstyle\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)
 ומכפל יתרון ביתרון יעלה יתרון
  • additive × subtractive = subtractive: \scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)
 ומכפל יתרון בחסרון יעלה חסרון
  • subtractive × subtractive = additive: \scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)
 ומכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אמרנו למעלה
The explanation is accompanied by a geometric illustration for the example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)}} ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר רצינו לכפול מספר י"ב פחות מספר ד' במספר ח' פחות מספר ב‫'
Geometric illustration ונתאר תמונה כפי המשל הנז‫'
Alzibra 11.png
אלזיברא 11.png
ABGD□:
 ויהיה שטח אבג"ד
  • AB = \scriptstyle{\color{blue}{12}}
 צלע א"ב ממנו י"ב מדות
  • AG = \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 וצלע א"ג ממנו ח' מדות
AB - AH = \scriptstyle{\color{blue}{12-4}}
 ונחסר מצלע א"ב חלק א"ה ממנו ד' מדות
AG - AW = \scriptstyle{\color{blue}{8-2}}
 ומצלע א"ג נחסר צלע א"ו ממנו ב' מדות
drawing line HZ from point H, parallel to AG, BD
 ונעביר מנקודה ה' קו ה"ז נכוחי לקוי א"ג ב"ד
drawing line WC from point W, parallel to AB, GD
 ומנקודת ו' קו ו"ח נכוחי לקו א"ב ג"ד
These two lines are intersect in ABGD□ at point T
 ויחתכו שני אלה הקוים בתוך השטח על נקודת ט‫'
They divide ABGD□ into four areas:
 ויחלקוהו לארבעה שטחים
the gnomon of ABGD□ = TG□ + TA□ + TB□
 לשטח ט"ג ושטח ט"א ושטח ט"ב שלשתם יחד נקראם רושם התמונה
TD□ = the sought-after, because its area is equal to the requested number, that is the product of the mentioned numbers, as one can see
 ושטח ט"ד הרביעי ונקראהו המבוקש כי מספרי שבריו שוה למספר המבוקש העולה מכפל המספרי' הנז' כאשר אתה רואה
No need to further elaborate this proof. אין צורך להאריך במופת זה אליך
Now the above mentioned numbers are multiplied by each other, according to the aforementioned method: ועתה נכפול המספרי' הנז' אחד מהם בחברו כפי הדרך הנז‫'
  • ABGD□ = \scriptstyle{\color{blue}{12\times8=96}}
 ונתחיל לכפול י"ב בח' יעלה צ"ו כמספר שברי שטח א"ד כלו
  • – (TA□ + TB□) = \scriptstyle{\color{blue}{12\times\left(-2\right)=-24}}
 עוד נכפול י"ב במספר ב' פחות יעלה כ"ד פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ב
  • – (TA□ + TG□) = \scriptstyle{\color{blue}{8\times\left(-4\right)=-32}}
 עוד נכפול מספר ח' במספר ד' פחות יעלה ל"ב פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ג
(TA□ + TB□) + (TA□ + TG□) = \scriptstyle{\color{blue}{24+32=56}}
 ואם נחבר כ"ד ול"ב יעלה נ"ו כמספר שברי הרושם ושברי שטח ט"א מחוברי‫'
TD□ – TA□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] = \scriptstyle{\color{blue}{96-56}}
 ואם נחסרם משברי שטח א"ד כלו שהם צ"ו ישאר שטח ט"ד המבוקש פחות שטח ט"א שמרהו
  • TA□ = \scriptstyle{\color{blue}{\left(-2\right)\times\left(-4\right)=8}}
 ותשלים לכפול המספרים הנז' ותכפול ב' פחות בד' פחות יעלה ח' כמספר שברי שטח א"ט
TD□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] + TA□
[TD□ = \scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)=\left(12\times8\right)-\left[\left(12\times2\right)+\left(8\times4\right)\right]+\left(2\times4\right)}}]
 וצריך אתה להוסיפו על השמור להשלים שטח ט"ד המבקש
The conclusion: subtractive × subtractive = additive: \scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right) על כן יאמ' כי מכפל חסרון בחסרון יעלה תוספת
In order to bring it closer to perception a geometric illustration of the multiplication will be described as drawn in the previous multiplication figure: ולקרבו אל ציורך אתאר גם לך תמונת הכפל באופן אשר צירתי תמונת הכפל הקודמת
Alzibra 11-2.png
אלזיברא 11-2.png
12) \scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}
 יב ואם רצית לחבר שרש י"ב בשרש מ"ח דרך משל
  • \scriptstyle{\color{blue}{12\sdot48=576}}
 כפול י"ב במ"ח יעלה תקע"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{576}=24}}
 והנה שרש תקע"ו כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot24=48}}
 קח שני דמיוניו יעלה מ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}=\sqrt{12+48+48}=\sqrt{108}}}
 חבר אליו שני המרבעים שהם י"ב ומ"ח יעלה ק"ח והנה שרש ק"ח הוא המבקש
Geometric proof (no figure is given): summing the sides of the squares \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}}} as two segments of one line מופת זה נחבר צלע מרבע י"ב וצלע מרבע מ"ח על יושר ויהיו שני חלקי קו אחד ישר
It was already clarified in Euclid, Elements, Book II, proposition 4: וכבר נתבאר בתמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידס
When a straight line is cut randomly into two segments, the square on the whole line equals the sum of the two squares that are generated from the two segments plus twice the rectangle encompassed by the two segments. \scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab כי כאשר נחלק קו ישר לב' חלקים איך שקרה הנה מרבע הקו כלו שוה לשני המרבעים ההוים משני החלקים ולכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
  • the quadrilateral surface that is generated from both segments = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12\sdot48}=\sqrt{576}}}
 ועתה הנה כאשר כפלנו שני המרובעים זה בזה הנה שרש העולה שהוא תקע"ו הוא שוה לשטח הנצב הזויות ההוה משני החלקים
  • double the quadrilateral surface that is generated from both segments + the two squares = the square of the whole line, whose root is the sought.
 וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידנו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים וכאשר חברנו אל זה שני המרובעים עלה בידנו מרבע הקו כלו ושרשו הוא המבקש
13) \scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}
 יג ואם רצית לחבר שרש ח' בשרש י"ט
  • \scriptstyle{\color{blue}{8\sdot19=152}} which has no root
 כפול ח' בי"ט יעלה קנ"ב והנה אין לו שרש
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{152}=\sqrt{4\sdot152}=\sqrt{608}}}
 קח שני דמיוני שרש קנ"ב על הדרך הזאת כפול שרש קנ"ב במספר ד' יעלה שרש תר"ח שמרהו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}\right)^2+\left(\sqrt{19}\right)^2=8+19=27}}
 חבר שני המרבעים שהם ח' וי"ט יעלה כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}+\sqrt{19}=\sqrt{27+\sqrt{608}}}}
 הנה תאמר כי שרש העולה מחבור כ"ז עם שרש תר"ח הוא המבקש
The proof of this teaching is clear from the preceding one מופת זה הלמוד מובן מאשר לפניו
14) \scriptstyle\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}
 יד ואם רצית לחבר שרש מעקב צ"ו עם שרש מעקב שכ"ד
greatest common divisor \scriptstyle{\color{blue}{12}}
 קח המספר היותר גדול שימנה שני אלה המספרי' והוא י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{12}=8}}
 חלק אליו צ"ו יגיע בחלוק ח‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{324}{12}=27}}
 עוד תחלק אליו שכ"ד יגיע כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{96=324\sdot\frac{8}{27}}}
 הנה צ"ו הוא ח' חלקים מכ"ז ממספר שכ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}}}
 קח שרש מעקב ח' חלקים מכ"ז יהיה ב' שלישים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
 הנה כי שרש מעקב צ"ו הוא ב' חלקי' מג' משרש שכ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}
 חבר ב' וג' יעלה ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
 הנה חברנו שני שרשי שני המעקבים ועלה ה‫'
\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt[3]{125}}}
 אח"כ תעשה מן ה' מעוקב משרש מעקב והוא קכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{\sqrt[3]{125}}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}
 והנה עלה בידינו מעקב חלקי שני שרשי שני המעקבים כאשר חוברו שמרהו
finding the measure of each of the \scriptstyle{\color{blue}{125}}:
 ועתה לדעת שעור כל אחד מאלו הקכ"ה במדה שבה המעקב האחד צ"ו והמעקב השני שכ"ד נעשה על הדרך הזאת
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt[3]{96}}}
 קח החלק האחד מהחמשה חלקי' הנז' והנה הוא חצי שרש מעקב צ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}}
 עשה מן חצי מעקב ויעלה בידך שמינית אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sdot96}=\sqrt[3]{12}}}
 הנה מעקב החלק האחד הוא שמינית מספר צ"ו שהוא י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{125\sdot12=1500}}
 כפול י"ב בקכ"ה אשר שמרת יעלה אלף ות"ק
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{125\sdot12}=\sqrt[3]{1500}}}
 והנה שרש מעקב אלף ות"ק הוא המבקש
According to the method of leading in paths of uprightness to calculate this calculation in a wise way, the proof was demonstrated. הנה לפי דרכי בהדריכי אותך במעגלי יושר[1] לחשוב זה החשבון בדרך חכמה הורתיך המופת
15) \scriptstyle\sqrt{30}\div\sqrt{6}
 טו ואם רצית לחלק שרש ל על שרש ו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}}}
 חלק ל' לו' יעלה ה' ושרשו הוא המבוקש
Relying on [Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11]: \scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2 וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי
16) \scriptstyle20\div\sqrt{10}
 יו ואם רצית לחלק מספר כ' על שרש י‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{20^2}{10}}=\sqrt{\frac{400}{10}}=\sqrt{40}}}
 עשה מן כ' מרבע והוא ת' חלק ת' לי' יגיע מ' הוא המבקש
The argument of the following case is an explanation also for the two subsequent cases: הנה אקדים למוד אחד אם תתבונן תבין ממנו מופתי שני הלמודי' הנמשכי' אחריו
17) \scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)
 יז אם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשרש ח' ושרש ד' יותר דרך משל
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8-4=4}}
 חסר ד' מח' ישאר ד' ומספר ד' הנשאר הוא המבוקש
In order to know that it is so, a geometric illustration of the multiplication is described, in which the numbers are multiplied according to the known method: ולמען תדע כי כן הוא נתאר תמונת הכפל ונכפול המספרי' על הדרך הנודע
Alzibra 17.png
אלזיברא 17.png
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\sqrt{8}=8}}
 ונתחיל לכפול שרש ח' בשרש ח' יעלה מספר ח‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(+\sqrt{4}\right)=+\sqrt{32}}}
 עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' יותר יעלה שרש ל"ב יותר
\scriptstyle{\color{blue}{8+\sqrt{32}}}
 הנה בידינו מספר ח' ושרש ל"ב שמרהו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{4}\right)\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-4}}
 ונשלים חשבוננו ונכפול שרש ד' יותר בשרש ד' פחות יעלה מספר ד' פחות
  • \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-\sqrt{32}}}
 עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' פחות יעלה שרש ל"ב פחות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8+\sqrt{32}-4-\sqrt{32}=4=\sqrt{16}}}
 ועתה נפחות ממספר ח' ושרש ל"ב השמור מספר ד' ושרש ל"ב שראוי לפחות נשאר מספר ד' כאשר אמרנו והוא המבקש או נאמר כי שרש י"ו הוא המבקש
18) \scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\sqrt{64}
 יח ואם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשני שרשים אחרים יהיה העולה שרש ס"ד לא שרש י"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
 חלק ס"ד לי"ו יגיע בחלוק ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
 ועתה כפול בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
 עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו והנה יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}
 והנה בשרש ל"ב ושרש י"ו ראוי לכפלם ויהיה העולה שרש ס"ד וזה מובן בעצמו
19) \scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)
 יט ואם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' פחות שרש ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}
 חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
 חלק ס"ד לי"ו יגיע ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
 ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
 עוד תכפלהו בד' אשר אמרת לפחות שרשו משרש ח' יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}
 והנה שרש ל"ב ושרש י"ו מחוברים הוא המבוקש
Relying on the rule according to which the dividend is equal to the product of the result of division by the divisor \scriptstyle\frac{a\sdot b}{b}=a זה הלמוד הולך בדרך הקודם כי לעולה המספר המתחלק הוא שוה למספר העולה מכפל המספר העולה בחלוק במספר אשר אליו יתחלק המתחלק
20) \scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)
 כ וכן אם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' ושרש ד' יותר
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}
 חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}
 חלק ס"ד לי"ו יעלה ד‫'
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}
 ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}
 עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}-\sqrt{16}}}
 והנה שרש ל"ב פחות שרש י"ו הוא המגיע בחלוק
This teaching follows the technique of the previous teaching exactly. הנך רואה כי זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לא פחות ולא יותר
Except that in the previous teaching the sought was \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}+\sqrt{16}}}, while in the present teaching it was \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}-\sqrt{16}}} רק תחת אמרך בלמוד הקודם שהמבקש הוא שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים בזה הלמוד אמרת שהוא שרש ל"ב פחות שרש י"ו
21) \scriptstyle8\div\left(\sqrt{8}+2\right)\quad8\div\left(\sqrt{8}-2\right)
 כא ואם רצית לחלק מספר ח' על שרש ח' ומספר ב' יותר או על שרש פחות מספר ב‫'
\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}
 עשה ממספר ח' מרבע יהיה ס"ד
\scriptstyle{\color{blue}{2^2=4}}
 וממספר ב' מרובע יהיה ד‫'
The manipulations lead to the two previous cases והנה אתה עתה שבת אל שני הלמודים הקודמים לזה והקש על זה
22) \scriptstyle\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}
 כב ואם רצית לחלק שרש מרבע ו' בשרש מעקב י‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}
 עשה מן ו' מעקב יעלה רי"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}
 ומן י' מרבע יהיה ק‫'
by this procedure the degrees of roots are equalized to a square root of a cube root
 ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{100}=2+\frac{4}{25}}}
 ועתה חלק רי"ו על ק' ויגיע ב' וד' חלקי' מכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}=\sqrt{\sqrt[3]{2+\frac{4}{25}}}}}
 ושרש מרבע מן שרש מעקב ב' וד' חלקי' מכ"ה הוא המבקש
23) \scriptstyle\sqrt[3]{18}\div\sqrt{\sqrt{8}}
 כג ואם רצית לחלק שרש מעקב ה' בשרש שרש מרבע ח‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(5^2\right)^2=625}}
 עשה מן ה' מרבע מרבע ויהיה תרכ"ה
  • \scriptstyle{\color{blue}{8^3=51{\color{red}{2}}}}
 גם תעשה מן ח' מעקב יהיה תקי"ג
by this the degrees of roots are equalized
 והנה השוית השרשים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{625}{51{\color{red}{2}}}=1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}
 חלק תרכ"ה בתקי"ג ויגיע אחד וקי"ג חלקים מתקי"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{18}\div\sqrt{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}}}}
 והנה שרש שרש מרבע מן שרש מעקב א' וקי"ג חלקים מתקי"ג הוא המבקש
24) \scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}
 כד ואם רצית לגרוע שרש ח' משרש י"ח דרך משל
  • \scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}
 כפול ח' בי"ח יעלה קמ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{144}=12}}
 הוצא שרשו והוא י"ב
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}
 קח שני דמיוניו ויהיו כ"ד
  • \scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}
 חבר ח' וי"ח יהיו כ"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}
 חסר כ"ד מכ"ו ישאר ב' ושרש ב' הוא מה שרצית
To show the proof for this it should be taught that: ולהראותך מופת על זה צריך אני להשכילך
When a straight line is cut randomly into two segments, the sum of the squares on both segments equals twice the rectangle encompassed by both segments plus the square that is generated from the excess of the larger segment over the smaller segment.\scriptstyle a^2+b^2=2ab+\left(a-b\right)^2 [Euclid, Elements, Book II, proposition 7] כי כאשר נחלק קו ישר לשני חלקי' איך שקרה הנה מרבעי שני החלקי' שוים לכפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו שני החלקי' ולמרבע ההוה ממותר החלק הגדול על הקטן
Geometric illustration
Alzibra 24.png
אלזיברא 24.png
  • line AB is cut randomly at point G
 ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שקרה על נקודה ג‫'
  • AZ is cut from line AG, so that it equals the smaller segment GB: AZ = GB
עוד נחלק מן קו א"ג חלק א"ז ממנו שוה לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
  • ZG = AG - AZ = the excess of the larger segment over the smaller segment
 וישאר קו ז"ג הוא מותר החלק הגדול על הקטן
Supposition: [2·(AG × GB)] + ZG2 = AG2 + GB2 הנה אומר כי כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב עם המרבע ההוה מן ז"ג מחברים יהיו שוים לשני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב כאשר יחברו
Proof:
constructing:
  • AGDH□ = AG2
 ונעשה מן קו א"ג מרבע אגד"ה
  • GBCW□ = GB2
 ומן קו ג"ב מרבע גבח"ו
drawing line ZI from point Z, parallel to AD and GH.
 ומנקודת ז' נמשיך קו ז"י נכחי לשני קוי א"ד ג"ה
extending line WC straight until it meets line ZI at point K.
 ונמשיך קו ו"ח על יושר עד אשר יפגיש קו ז"י על נקודת כ‫'
GB = AZ
 ועתה מפני כי ג"ב שוה לקו א"ז
ZB = [GZ + GB = GZ + AZ] = AG the larger segment
 יהיה קו ז"ב שוה לקו א"ג שהוא החלק הגדול
BW = GB the smaller segment
 וקו ב"ו לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
BK□ = [ZB × BW] = [AG × GB]
 א"כ שטח ב"כ שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אשר הם שני חלקי הקו כלו
AD = AG
 וגם כן מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ג
AZ = GB
 וקו א"ז שוה לקו ג"ב
ZD□ = [AD × AZ] = AG × GB
 יהיה שטח ז"ד גם כן שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
KB□ + ZD□ = 2·(AG × GB)
 אם כן שני שטחי כ"ב וז"ד שוים לשטח לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
KH□ = [2·(AG × GB)] - [AG2 + GB2] = ZG2
 ושטח כ"ה הנשאר מן שני מרבעי שני החלקים הוא מרבע שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן
KC = ZG
 מפני כי קו כ"ח שוה לקו ז"ג
HC = ZG
 וקו ה"ח שהוא צלעו השני שוה לקו ז"ג
HC = GH - GC = the excess of the larger segment over the smaller segment
 גם כן מפני כי הוא מותר קו ג"ה שהוא שוה לחלק הגדול על קו ג"ח שהוא שוה לחלק הקטן
AG2 + GB2 = BK□ + ZD□ + KH□ = (AG × GB) + (AG × GB) + ZG2
 הנה שני המרובעים ההוים מן א"ג וג"ב מחברים שוים לשני שטחי ב"כ וז"ד אשר כל אחד מהם שוה לשטח אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב שהם שני חלקי הקו ולמרבע כ"ה שהוא שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן כאשר יחברו
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר
Numerical example: ונעשה דמיון במספר
  • A[B] = the side of a square whose area is \scriptstyle{\color{blue}{18}}
 ויהיה קו א"ג צלע מרבע שבריו י"ח
  • AG = the side of a square whose area is \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 וחלק א"ג ממנו צלע מרבע שבריו ח‫'
  • AH□ = AG2
 והוא מרובע א"ה
the area of the rectangle encompassed by the two segments = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8\times18}}}
 והנה כאשר כפלנו ח' בי"ח הנה שרש העולה שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקי‫'
double the area of the rectangle encompassed by the two segments = \scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{8\times18}}}
 וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידינו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
(A[B]2 + AG2) - [2·(A[B] × AG)] = \scriptstyle{\color{blue}{26-2\sqrt{8\times18}}} = (A[B] - AG)2
 וכאשר חסרנו מכ"ו שהוא שברי שני המרובעי' נשאר בידנו מרבע מותר החלק הגדול על הקטן
Its root is the sought.
 ושרשו הוא המבקש

Second Section: Algebra
By his awful name among the nations ועתה בשם שמו בגוים נורא
The study of the algebraic calculation אחל לדבר בלמודי חשבון האלזיברא
Explained briefly ואבארם ביד שכלי הקצרה
Opens with a clarified introduction: וטרם החילי אציע הצעה מבוארה

Introduction
  • the ratio of a square of a square to the cube is the same as the ratio of the cube to the square
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^3:x^2
 ואומר ראוי שתשכיל ותדע כי יחס מרבע המרבע אל המעקבי' כיחס המעקב אל המרבע
  • and as the ratio of the square to the thing
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^2:x
 וכיחס המרבע אל הדבר
  • and as the ratio of the thing to the unit
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1
 וכיחס הדבר אל האחד
Explanation:
The number of units in the thing is equal to the number of things in the square
 וזה מפני כי מספר האחדים אשר בשרש בדבר כמספר הדברי' אשר במרבע
And to the number of squares in the cube
 וכמספר המרבעי' אשר במעקב
And to the number of cubes in the square of the square
 וכמספר המעקבי' אשר במרבע המרבע
This rules should be kept in mind, as they are needed for the proofs of the teachings below וזאת ההצעה שמרה כי תצטרך אליה במופתי הלמודי' הבאי' אחריה
starting by that: וזה החלי

The six canonical equations
1) Things that are equal to numbers
\scriptstyle bx=c
 א כאשר הדברים שוים לאחדים
\scriptstyle x=\frac{c}{b}
 חלק האחדים לדברי' והמגיע בחלוק הוא הדבר זה מובן בעצמו
  • Question: I want to divide the number ten into two parts, so that when the one part is divided by the other part the result is five
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=5\end{cases}
 שאלה רציתי לחלק מספר עשרה לשני חלקים כאשר חולק החלק האחד בחברו הגיע בחלוק ה‫'
The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the divisor = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור החלק אשר אליו יתחלק הוא דבר שרש אחד
  • the dividend = five things, as the result of division =\scriptstyle{\color{blue}{5x}}
 והחלק המתחלק הוא בהכרח חמשה דברים שרשים כמספר אשר הגיע בחלוק
the sum of the two parts = \scriptstyle{\color{blue}{6x=10}}
 הנה שני החלקי' מחברים הם ששה דברים והם שוים למספר עשרה
According to the method mentioned in this teaching:
 וכפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}
 ראוי לחלק מספר עשרה לו' ויגיע בחלוק א' וב' שלישי' וככה הדבר
2) Squares that are equal to numbers
\scriptstyle ax^2=c
 ב כאשר המרבעים צינסי שוים לאחדים מספרי‫'
\scriptstyle x=\sqrt{\frac{c}{a}}
 חלק האחדים למרבעים ושרש המגיע בחלוק הוא הדבר שרש
  • Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the square of the remainder is 20
\scriptstyle\left(a-\frac{1}{3}a\right)^2=20
 שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישיתו מרבע הנשאר הוא מספר כ‫'
The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the number whose two thirds are the root of twenty = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור זה המספר אשר שני שלישיו הם שרש כ' הוא דבר אחד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=\left(\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{4}{9}x^2=20}}
 כפול ב' שלישיו בעצמם יהיו ד' תשיעיות מרבע המספר כלו אשר רציתי למצא
According to the method mentioned in this teaching:
 ולפי הדרך הנז' בזה הלמוד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{20}{\frac{4}{9}}=45}}
 ראוי לחלק מספר כ' לד' תשיעיות והמגיע בחלוק הוא מ"ה וככה מרבע כל המספר
\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{45}}}
 ושרשו הוא מה שרצית
3) Squares that are equal to things
\scriptstyle ax^2=bx
 ג כאשר המרבעים שוים לדברים
\scriptstyle x=\frac{b}{a}
 חלק הדברים למרבעים והמגיע בחלוק הוא הדבר
Based on the preliminary rule: \scriptstyle x^2:x=x:1
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס המרבע אל הדבר כיחס הדבר אל האחד כאשר אמרנו בהצעה
Example: \scriptstyle x^2=3x
 וע"כ אם מרבע אחד ישוה לג' דברים דרך משל
\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}
 דבר אחד ישוה לג' אחדים בהכרח
  • Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the remainder is the root of the original number
\scriptstyle a-\frac{1}{3}a=\sqrt{a}
 שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישית הנשאר הוא שרש המספר כלו
The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the two thirds of the number = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור ב' שלישי זה המספר הוא דבר אחד
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}
 אם כן המספר אחד כלו הוא דבר אחד וחצי הנה דבר אחד וחצי הוא שוה למרבע אחד
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}=1+\frac{1}{2}}}
 וכפי הדרך הנזכ' ראוי לחלק א' וחצי לאחד יגיע א' וחצי וככה הדבר שהוא שני שלישי המספר אשר רצית למצא
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}}}
 אם כן המספר כלו הוא ב' ורביע
4) Things and numbers that are equal to squares
\scriptstyle bx+c=ax^2
 ד כאשר הדברים והאחדים שוים למרבעים
Normalization: \scriptstyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2
 חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}
 והדברי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפול המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על האחדי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה הוא הדבר
Geometric illustration ולהראותך זה לעין השכל נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
Alzibra 4-II.png
אלזיברא 4-II.png
\scriptstyle{\color{blue}{x}} = AB = \scriptstyle{\color{blue}{10}}
 ויהיה קו א"ב עשר מדות
AB is cut randomly on point Z
 וחלק איך שקרה על נקודת ז‫'
AZ = \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
constructing: ABGD□ = AB2
 ונעשה מן א"ב מרבע אבג"ד
drawing line ZC from point Z, parallel to AG and BD
 ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד
AC□ = \scriptstyle{\color{blue}{8x}}
 הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמנה דברים במספר מדות קו א"ז
each measure of AZ occupies one thing \scriptstyle{\color{blue}{x}} in AC□
 כי כל מדה ממדות א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
ZD□ = \scriptstyle{\color{blue}{20}}
 ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות
AD□ = AC□ + ZD□
[AB2= \scriptstyle{\color{blue}{x^2=8x+20}} = AC□ + ZD□]
 שניהם יחד שוים למרבע א"ד
AZ = \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 ועתה הנה לפנינו קו א"ז ארכו ח' מדות כמספר הדברים
AZ is halved on point T
 ונחלקהו לחצאין על נקודת ט‫'
adding line ZB to it
 והוסף עליו קו ז"ב
  • Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6:
 וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2
ZD□ + TZ2 =\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(x-8\right)\sdot x\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=20+16=36=\left[x-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]^2}}= TB2
 כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח ז"ד אשר תשבורתו מספר ב' במשלנו שניהם יחד שהם ל"ו שוים למרובע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו ט"ב בתמונתנו
TB = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{36}=6}}
 על כן אם תקח שרש ל"ו שהוא ו' יעלה בידך מדת הקו המורכב מחצי הקו והתוספת שהוא קו ט"ב
\scriptstyle{\color{blue}{x}} = AB = TB + AT = \scriptstyle{\color{blue}{6+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6+4=10}}
 הוסף עליו מחצית הדברי' שהוא מספר ד' כמספר מדות קו א"ט יעלה י' במדת כל קו א"ב צלע המרבע והוא הדבר
  • Question: we want to find a number such that when we add to it 28 the sum is twice its square
\scriptstyle a+28=2a^2
 שאלה רצינו למצא מספר כאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה שוה לשני דמיוני מרבעו
The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the number = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור זה המספר הוא דבר אחד
\scriptstyle x+28=2x^2
 וכאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה דבר אחד וכ"ח אחדים והם שוים לשני מרבעים
According to the method mentioned in this teaching:
 והנה כפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
Normalization: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{28}{2}=\frac{1}{2}x+14=x^2}}
 ראוי לחלק דבר אחד וכ"ח אחדים לשנים מספר המרבעי' ויגיע בחלוק חצי דבר וי"ד אחדים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(3+\frac{3}{4}\right)=4\\\end{align}}}
 קח מחצית חצי דבר שהגיע בחלוק יהיה רביע דבר כפלהו בעצמו יהיה חלק אחד מי"ו הוסיפהו על י"ד מספר האחדי' המגיעי' בחלוק יעלה י"ד וחלק אחד מי"ו קח שרשו והוא ג' וג' רביעים הוסיפהו על מחצית הדברים המגיעים בחלוק שהוא רביע דבר יעלה ד' וככה הדבר
5) Squares and numbers that are equal to things
\scriptstyle ax^2+c=bx
 ה כאשר המרבעים והאחדים שוים לדברים
Normalization: \scriptstyle x^2+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}x
 חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}
 והיוצא בחלוק הדברי' תחצה ותכפול המחצית בעצמו והעולה תגרע ממנו המספר היוצא בחלוק האחדי' והנשאר זה שרשו והוסיפהו על מחצית היוצא בחלוק הדברי' והעולה הוא הדבר
Geometric illustration ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
Alzibra 5-II.png
אלזיברא 5-II.png
AG = \scriptstyle{\color{blue}{8}}
 ויהיה קו א"ג הישר ח' מדות
AG is cut into two equal segments at point Z
 ונחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת ז‫'
  • GZ = ½AG = \scriptstyle{\color{blue}{4}}
 ויהיה א"כ קו ג"ז ד' מדות
AG is cut into two unequal segments at point B
 עוד נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת ב‫'
  • GB = \scriptstyle{\color{blue}{2}}
 ויהיה ג"ב ב' מדות
constructing:
  • ABHW□ = AB2
 ונעשה מן קו א"ב מרבע אבה"ו‫'
extending line HW to C
 ונמשיך קו ה"ו עד ח‫'
CH = CG
 ויהיה קו ח"ה שוה לקו ח"ג
drawing line GH
 גם נעביר קו ג"ה
GW□ = \scriptstyle{\color{blue}{12}}
 ולפי זה יהיה שברי שטח ג"ו י"ב מדות
AH□ = ABHW□ + GW□ = \scriptstyle{\color{blue}{x^2+12=8x}}
 ועתה הנה לפנינו מרבע אבה"ו ושטח ג"ו שבריו י"ב מדות שניהם יחד שוים לשטח א"ה שבריו שמנה דברים כי כל מדה ממדות קו א"ג מחזקת בשטח א"ה דבר אחד
  • Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 5:
 והנה כפי מה שנתבאר בתמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש
\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-b\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left( a+b\right)\right]^2
AZ2 = BH□ + ZB2 = \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=4^2=16}}
 יהיה המרבע ההוה מן א"ז שהוא ארבע מדות כמספר מחצית הדברים ומרובעו אם כן ידוע שהוא י"ו שוה לשטח ב"ה שהוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים הבלתי שוים ושבריו ידועים שהם י"ב ולמרבע ההוה מן ז"ב אשר הוא מה שבין שני החלקי‫'
ZB2 = AZ2 – BH□ = \scriptstyle{\color{blue}{16-12=4}}
 והנה נחסר שטח ב"ה שהוא י"ב מהמרבע ההוה מן א"ז שהוא י"ו ישאר המרבע ההוה מן ז"ב ידוע
\scriptstyle{\color{blue}{x}} = AB = ZB + AZ = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}}
 קח שרשו והוסיפהו על קו א"ז שהוא מחצית הדברי' יהיה קו א"ב ידוע שהוא צלע המרבע
Q.E.D. וזה מה שרצינו
  • Question: a trader went trading with a certain amount in his hand and he earned six. Then he returned with the amount and earned again as he earned on the first time, and it turned out that he had 27. You want to know how much the original amount was
 שאלה סוחר אחד הלך לסחור ובידו קצבת מה והרויח ו' עוד חזר עם הקצבה והרויח כפי הערך שהרויח בפעם הראשונה ונמצא בידו כ"ז

רציתי לדעת מספר הקצבה הראשונה

The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the first amount = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור הקצבה הו' הראשונה היא דבר אחד
\scriptstyle\frac{x+6}{x}\sdot\left(x+6\right)=27
 ומזה הדבר הצליח ועשה דבר אחד וו' וכפי זה הערך מדבר אחד וו' עשה כ"ז
\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(x+6\right)=\left(x+6\right):27}}
 הנה יחס דבר אחד עם דבר אחד וו' כיחס דבר אחד וו' עם כ"ז אחדים הנה לפנינו ג' שעורים מתיחסים
  • Euclid, Elements, Book VI, proposition 17:
 וכבר נתבאר מתמונת י"ז מן המאמר הששי לאיקלידש
\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2 כי הכאת הראשון באחרון כמו הכאת האמצעי בדומה לו
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36}}
 ועתה כפול דבר אחד שהוא הראשון בכ"ז אחדים שהוא האחרון יעלה כ"ז דברים עוד תכפול דבר אחד וו' שהוא האמצעי בעצמו יעלה מרבע אחד וי"ב דברים ול"ו אחדים
\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36 /-12x\longrightarrow15x=x^2+36}}
 ועתה חסר הי"ב דברים משני אלה השעורים השוים ישארו ט"ו שוים למרבע אחד ול"ו אחדים
Normalization: \scriptstyle{\color{blue}{15x=\frac{15}{1}x=x^2+\frac{36}{1}=x^2+36}}
 וכפי הדרך אשר אמרנו בזה הלמוד ראוי לחלק ט"ו מספר הדברי' ול"ו מספר האחדי' לאחד שהוא מספר המרבע ויגיע ט"ו דברי' ול"ו אחדי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(7+\frac{1}{2}\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(56+\frac{1}{4}\right)-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{20+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}
 אחר תחצה הדברי' יהיו ז' וחצי כפלם בעצמם. עלה נ"ו ורביע תגרע מהם ל"ו אחדי' ישאר כ' ורביע קח שרשו והוא ד' וחצי הוסיפהו על מחצית הדברים שהוא ז' וחצי יעלה י"ב וככה הדבר שהוא הקצבה הראשונה
6) Squares and things that are equal to numbers
\scriptstyle ax^2+bx=c
 ו כאשר המרבעים והדברי' שוים לאחדים
Normalization: \scriptstyle x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}
 תחלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)
 והיוצא בחלוק הדברי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על היוצא בחלוק האחדי' ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Geometric illustration ולהראותך מופת זה
Alzibra 6-II.png
אלזיברא 6-II.png
describing:
  • AGHD□ = AG2
 נתאר מרבע אגה"ד‫'
adding to it:
BGHW□ = \scriptstyle{\color{blue}{2x}}
 ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
AGHD□ + BGHW□ = \scriptstyle{\color{blue}{48}}
 שניהם יחד ר"ל המרבע והשטח שוים למספר מ"ח
GB = the side of GBHW□ = \scriptstyle{\color{blue}{2}}
 וצלע ג"ב משטח גבה"ו שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי‫'
finding the side of the square AGHD□ = AG = [\scriptstyle{\color{blue}{x}}]
 ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
BG is halved at point Z [= Z midpoint of GB]
 נחלק קו ב"ג לחצאין על נקודת ז' והנה לפנינו קו ג"ב נחלק לחצאין על נקדת ז‫'
ונוסף עליו קו ג"א
  • Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6:
 וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2
AZ2 = AW□ + GZ2 = \scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]^2=48+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2=48+1=49}}
 כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח א"וֹ אשר שבריו ידועים שהם מ"ח ומרבע חצי הקו אשר תשבורתו ידוע שהוא א' שניהם יחד שהם מ"ט שוים למרבע הקו המרכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו א"ז
AZ = \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}=7}}
 על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
\scriptstyle{\color{blue}{x}} = AG = AZ ‒ ½GB = AZ – GZ = \scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}
 חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות
Q.E.D. וזה מה שרצינו לבאר

Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree
7) Cubes that are equal to numbers
\scriptstyle ax^3=c
 ז כאשר המעקבים שוים לאחדי‫'
Normalization: \scriptstyle x^3=\frac{c}{a}
 תחלק האחדים למעקבים וככה מספר אחדי המעקב
\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}
 ושרשו המעקבי' הוא הדבר
This is self-evident
 זה מובן בעצמו
8) Cubes that are equal to things
\scriptstyle ax^3=bx
 ח כאשר המעקבי' שוים לדברים
Normalization: \scriptstyle x^3=\frac{b}{a}x
 תחלק הדברים למעקבי‫'
\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}
 והיוצא קח שרשו המרבעי' וככה הדבר
  • Based on proposition 2 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני
the ratio of the cube to the thing is the same as the ratio of the square to the unit
\scriptstyle x^3:x=x^2:1
 מפני כי יחס המעקב אל הדבר הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation
 וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{x^3=9x}}
 ועל כן אם היה מעקב אחד שוה לט' דברים דרך משל
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 יהיה בהכרח מרבע אחד שוה לט' אחדים גם כן
9) Squares of squares that are equal to numbers
\scriptstyle ax^4=c
 ט כאשר מרבעי המרבעים שוים לאחדים
Normalization: \scriptstyle x^4=\frac{c}{a}
 תחלק האחדים למרבעי המרבעים
\scriptstyle x=\sqrt{\sqrt{\frac{c}{a}}}
 והיוצא קח שרש שרשו וככה הדבר
This is also self-evident
 גם זה מובן מעצמו
10) Squares of squares that are equal to things
\scriptstyle ax^4=bx
 י כאשר מרבעי המרבעים שוים לדברים
Normalization: \scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x
 תחלק הדברים למרבעי המרבעים
\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}
 והיוצא קח שרשו המעקבים וככה הדבר
  • Based on proposition 7 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הז‫'
the ratio of the square of the square to the thing is the same as the ratio of the cube to the unit
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x=x^3:1
 מפני כי יחס מרבע המרבע אל הדבר כיחס המעקב אל האחד
This is clear from the explanation
 וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=27x}}
 ועל כן אם מרובע מרובע אחד ישוה לכ"ז דברי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^3=27}}
 מעוקב אחד ישוה לכ"ז אחדי' בהכרח
11) Squares of squares that are equal to squares
\scriptstyle ax^4=bx^2
 יא כאשר מרבעי המרבעים שוים למרבעים
Normalization: \scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^2
 תחלק המרבעי' למרבעי המרבעים
\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}
 ושרש היוצא הוא הדבר
  • Based on proposition 2 above:
 זה הלמוד הולך בדרך השני
the ratio of the square of the square to the square is the same as the ratio of the square to the unit
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^2=x^2:1
 מפני כי יחס מרבע המרבע אל המרבע הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the explanation
 וזה יובן מן ההצעה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=9x^2}}
 ועל כן אם מרובע מרובע ישוה לט' מרובעי‫'
\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}
 מרובע א' ישוה לט' אחדי‫'
12) Squares of squares that are equal to cubes
\scriptstyle ax^4=bx^3
 יב כאשר מרבעי המרבעים שוים למעקבים
Normalization: \scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^3
 תחלק המעקבים למרבעי המרבעי‫'
\scriptstyle x=\frac{b}{a}
 והיוצא הוא הדבר
  • Based on proposition 1 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון
the ratio of the square of the square to the cube is the same as the ratio of the thing to the unit
\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1
 מפני כי יחס מרבע המרבע אל המעקב הוא כיחס הדבר אל האחד
As introduced in the explanation.
 כאשר הקדמנו בהצעה
13) Cubes and squares that are equal to things
\scriptstyle ax^3+bx^2=cx
 יג כאשר המעקבים והמרבעי' שוים לדברי‫'
Normalization: \scriptstyle x^3+\frac{b}{a}x^2=\frac{c}{a}x
 תחלק המרבעי' והדברי' למעקבי‫'
\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)
 והמעקבי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפלת המחצית בעצמו והוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
  • Based on proposition 6 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הששי
the ratio of the cube and the square each of them to the thing is the same as the ratio of the square and the thing each of them to the unit
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x=x^2:1\\\scriptstyle x^2:x=x:1\end{cases}
 מפני כי יחס המעקב והמרבע כל אחד מהם אל הדבר כיחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל האחד
As clarified in the explanation.
 כמבואר בהצעה
14) Cubes and things that are equal to squares
\scriptstyle ax^3+cx=bx^2
 יד כאשר המעקבי' והדברי' שוים למרבעי‫'
Normalization: \scriptstyle x^3+\frac{c}{a}x=\frac{b}{a}x^2
 תחלק הדברי' והמרבעי' למעקבים
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}
 והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה תחסר ממנו הדברי' המגיעי' בחלוק והנשאר קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
  • Based on proposition 5 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הה‫'
the ratio of the cube and the thing each of them to the square is the same as the ratio of the square and the unit each of them to the thing
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x^2=x^2:x\\\scriptstyle x:x^2=1:x\end{cases}
 מפני כי יחס המעקב והדבר כל אחד מהם אל המרבע כיחס המרבע והאחד כל אחד מהם אל הדבר
This is clear from the explanation
 זה יובן מההצעה
15) Squares and things that are equal to cubes
\scriptstyle bx^2+cx=ax^3
 טו כאשר המרבעי' והדברי' שוים למעקבי‫'
Normalization: \scriptstyle\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x=x^3
 תחלק המרבעי' והדברי' למעקבים
\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}
 והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
  • Based on proposition 4 above:
 זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הרביעי
the ratio of the square and the thing each of them to the cube is the same as the ratio of the thing and the unit each of them to the square
\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2:x^3=x:x^2\\\scriptstyle x:x^3=1:x^2\end{cases}
 מפני כי יחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל המעקב כיחס הדבר והאחד כל אחד מהם אל המרבע

Epilogue
The end. תם
This is the lesson of the algebraic calculations that was seeked and found in the Christian books a little here, a little there. זה הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' זעיר שם זעיר שם‫[2]
Much of these teachings were made up by Moṭoṭ himself ורבים מן הלמודים האלה בדיתים מלבי
Accusing Mordecai Finzi of writing a book without presenting any proofs וראוי שתדע אחי הדבק היקר כמ"ר מרדכי יזייא וחפץ ה' ביי"א‫[3] בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה כי מחבר הספר כל הלמודים האלה בלי ראיות בספרו הביאם ואין אחד מני אלף[4] מן המעינים בו יודע דרך החכם ומאין הוציאם
Dedicating the book to Moṭoṭ's brother and his close friend R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor ואני אחיך בראותי אותך ואת היקר מיודעי ורעי ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה נכספים לדעתו והיודע בקראנו אליו יודע צריך שיהיה יודע הדבר בדרכי ההיקש המופתי למלאת רצוניכם הוצרכתי להתבונן במופתים ולכתבם אליכם
The reasons for the briefness of the work: אמנם קצרתי בהם לשתי סבות
  • Relying on the wisdom of his readers
 האחת להשעני ברוחכם הטובה רוח אלקים מרחפת על פני[5] כל חכמה
  • The author is busy in other matters
 הסבה השנית לרב טרדת לבי ובשרי בהרפתקי דעדו עלי ובחשבונות רבים בעסקי העולם
מכל מקום אם דבר מה יעלם לאחד מכם לקצורי וליאות רוחי בהאריך במופתים אמרתי הנני מוכן להוסיף בו באור
ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא כל משאלותיך[6] יפוצו מעיינותיך[7] מעייני הישועה[8] אמן
כרצונך וכרצון אחיך הדבק הסר אל משמעתך‫[9]
שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
תם ונשלם

Notes
  1. ↑ משלי ד, יא
  2. ↑ ישעיהו כח, י
  3. ↑ ישעיהו נג, י
  4. ↑ איוב לג, כג
  5. ↑ בראשית א, ב
  6. ↑ תהילים כ, ו
  7. ↑ משלי ה, טז
  8. ↑ ישעיה יב, ג
  9. ↑ שמואל א כב, יד

Additional excerpt
Additional word problem (appears in a few of the manuscripts containing the work):
  • Exchange Problem - Currencies - a man exchanged 23 peraḥim – some for liṭra of Rome and some for liṭra of Marciana. One peraḥ is worth of liṭra of Marciana twice as much as of liṭra of Rome minus a quarter of a liṭra. It turned out that he had 30 liṭra of Rome and 30 liṭra of Marciana. How many peraḥim did he exchange for liṭra of Rome; how many peraḥim did he exchange for liṭra of Marciana; how many liṭra of Rome and how many liṭra of Marciana is one peraḥ worth?
 שאלה אדם אחד החליף כ"ג פרחי' קצתם בליטרי' רומנייולי וקצתם בליט' מרקיאני והפרח שוה מהליט' מרקיאני הכפל ממה ששוה מהליט' רומניולי פחות רביע ליט' ונמצא בידו ל' ליט' רומניולי ול' ליט' מרקיאני

רציתי לדעת כמה פרחי' החליף בליט' רומניולי וכמה פרחי' החליף בליט' מרקיאני וכמה שוה הפרח מהליט' רומניולי וכמה מהליט' מרקיאני

The procedure:
 עשה על הדרך הזאת
defining:
  • the amount of peraḥim exchanged for liṭra of Rome = one thing = \scriptstyle{\color{blue}{x}}
 אמור סכום הפרחי' אשר נחלפו בליט' רומניולי הוא דבר אחד
  • each is exchanged for an unknown number of liṭra
 כל אחד מהם נחלף במספר ליט' נעלם
\scriptstyle x\sdot y=30
 והיו ל' ליט‫'
  • the remaining amount that was exchanged for liṭra of Marciana: \scriptstyle{\color{blue}{23-x}}
 נשאר הסכום אשר נחלף בליט' מרקיאני הוא כ"ג פחות דבר אחד
  • each is exchanged for twice the unknown number of liṭra minus one quarter of a liṭra
 נחלפו בשני דמיוני מספר הליט' הנעלם הנזכ' פחות רביע ליט' אחד
\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)=30
 והיו גם כן ל' ליט‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(23\sdot2y\right)+\left(x\sdot\frac{1}{4}\right)-\left(x\sdot2y\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(2\sdot30\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(65+\frac{3}{4}\right)=30\\\end{align}}}
 וכן תעשה תכפול כ"ג פחות דבר אחד בב' דמיוני המספר הנעלם פחות רביע אחד

וכבר ידעת כי מכפל דבר אחד במספר נעלם אחד יעלה ל' אחדים
ואם כפלת מספר כ"ג יעלה מ"ו דמיוני המספר הנעלם ורביע דבר פחות ס"ה אחדים וג' רביעי אחד
וכפי השאלה זה העולה הוא שוה לל' אחדים

Restoration and Reduction: \scriptstyle{\color{blue}{46y+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4}}}
 ועתה תשלים כל אחד מאלה החלקים ותשוה אותם ותאמ' מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר שלימי' בלי חסרון שוים לצ"ה אחדי' וג' רביעי אחד
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(46\sdot\frac{30}{x}\right)+\frac{1}{4}x\right]\sdot x=1380+\frac{1}{4}x^2}}
 ועתה תכפול מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר בדבר יעלה אלף וש"פ אחדים ורביע מרבע
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(95+\frac{3}{4}\right)x=95x+\frac{3}{4}x}}
 וגם כן תכפל צ"ה אחדי' וג' רביעי אחד בדבר יעלה צ"ה דברי' וג' רביעי דבר
  • \scriptstyle c+ax^2=bx
 וכבר ידעת כאשר היו האחדים והמרובעים שוים לדברי' איך תדע מספר הדבר ומידיעת הדבר תדע הכל

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations addition, additional segment תוספת to add לחבר (ב), תחבר, נחבר, נחבר אליו, חבר אליו, חבר, חברנו אל, חברנו to add להוסיפו על, הוסיפהו על (ה), הוסף עליו, הוספנו עליו to be added to נוסף עליו sum, result of addition העולה מחבור to be summed חוברו, יחברו summed מחוברים, מחברים additive יתרון additive תוספת to divide לחלק, חלק (ה), חלק אליו, תחלק (אליו / ה) to be divided חולק dividend המתחלק, המספר המתחלק divisor מספר אשר אליו יתחלק, החלק אשר אליו יתחלק quotient, result of division המספר העולה בחלוק, מספר אשר הגיע בחלוק quotient, result of division יגיע, יגיע בחלוק, המגיע בחלוק, הגיע בחלוק, המגיעים בחלוק, שהגיע בחלוק, היוצא בחלוק (ה), המספר היוצא בחלוק, היוצא greatest common divisor המספר היותר גדול שימנה to double כפלת to double, to take twice קח שני דמיוני, קח שני דמיוניו, לקחנו שני דמיוניו twice שני דמיוני, ב' דמיוני ה twice as much as הכפל מ to extract a root קח שרשו, תקח שרש, הוצא שרשו to extract a square root קח שרשו המרבעי' to extract a cube root קח שרש מעקב, קח שרשו המעקבים to extract a root of a root, to extract a root of fourth degree קח שרש שרשו to cube עשה מעקב cubed משלש root שרש (ה), שרש מספר, שרש המספר square root שרש מרבע, שרש מרובע cube root שרש מעוקב, שרש המעוקב, שרש מעקב, שרשו המעקבי' שרש שרש מרבע שרש שרש מעקב √√³√x שרש שרש מרבע מן שרש מעקב √³√x שרש מרבע מן שרש מעוקב, שרש מרבע מן שרש מעקב having a root מספרי' בעלי שרש, בעלי שרש not having a root אין לו שרש to halve תחצה (ה), קח מחצית half of מחצית ה, חצי ה multiplication הכאת (ה), כפל, כפל... בעצמו to multiply לכפלו ב, לכפלם, לכפול, לכפול המספרים, כפלנו, כפול, תכפול, תכפל, כפול ב, נכפול, כפלהו, תכפלהו multiplied שנוי multiplied כפול product, result of multiplication מספר העולה מכפל, העולה מכפל product, result of multiplication העולה, יעלה בכפול אותו בעצמו, כפול... בעצמם/בעצמו, כפלהו בעצמו, כפלם בעצמם, כפלת את ה... בעצמו, כפלת ה... בעצמו times פעמי' דמיוני (ה) times to subtract לגרוע, תגרע (ממנו ה / מהם) to subtract חסר ממנו, חסרה מ, חסרם מ, תחסרנו מ, נחסר, נחסר מ, נחסרם מ, חסרנו מ, תחסר מ to subtract נפחות מ, לפחות to be subtracted חסר ממנו subtractive חסרון minus פחות plus, additive יותר Arithmetic Terms part חלק, חלקים parts of, fractions חלקים מ, חלקי, חלק אחד מ number מספר number of מספר, מספר ה value מספר ה, מספרו one האחד units אחדים units of the number אחדי המספר number of units in מספר האחדים אשר ב, מספר אחדי ה ratio יחס, יחס ה... אל proportional measures שעורים מתיחסים

Calculation Terms

calculation חשבונם, חשבוננו, החשבון, חשבונות to calculate לחשוב amount הסכום, סכום ה measure, quantity, value שעור, שעורים, שעורו the sought הוא מה שרצית, אשר רציתי למצא, המספר אשר רצית למצא the sought הוא המבוקש, המבוקש, מספר המבוקש, המבקש, הוא המבקש excess מותר known ידוע, ידועים, נודע unknown בלתי ידוע to result יהיה, יהיו, ויהיו result העולה, יעלה, עלה בידנו, יעלה בידך, עלה, יהיה העולה procedure המעשה to produce עשה, עשה מן, עשה מ, עשית to use, to make יעשוהו to do, to proceed עשוהו, תעשה, אעשה to transform לעשות מן, תעשה מן to remain ישאר, ישארו, נשאר remainder הנשאר, נשאר מ, הנשאר מן to be left with ישאר בידך, נשאר בידנו to have in one's hand בידך, הנה בידינו to equalize השוית ה, תשוה אותם equal to שוה ל, שוים ל, השוים, ישוה ל, יהיה שוה ל to keep שמרם, שמרת, שמרהו, שמרה reserved השמור to give a numerical example נביא דמיון במספר, נעשה דמיון במספר


Algebraic Terms algebra חשבון האלזיברא algebraic calculations חשבונות ספר האלזיברא number, constant נוּמְרִי thing, root דבר, דברים, קוֹסָא square צֵינְסו, מרובע, מרבע, מספר מרבע, מרבע המספר square square x⁴ צֵינְסו דיצֵינְסו, מרובע המרובע, מרבע מרבע, מרבע המרבע, מרובע מרובע, מרבעי המרבעים cube x³ מספר המעוקב, מעוקב, המעקבים, קוּבוּ cube cube, x⁶ מעוקב המעוקב, קוּבוּ דֵיקוּבוּ unknown number המספר הנעלם, מספר נעלם, מספר ... נעלם, מספרי' נעלמי' unknown דבר נעלם fixed number מספר קצוב terms of the equation החלקים part of an equation, algebraic expression חלק אחד מן השאלה

Geometric Terms figure, geometric illustration תמונת, תמונה, תמונתנו, תמונת הכפל segment חלק, החלקים, חלקי', החלק segment of a line חלקי קו אחד, חלקי הקו segment… of it חלק... ממנו point נקודה, נקודת at point על נקודת line קו, קוים the whole line הקו כלו straight line קו ישר straight (line) ישר side צלעו, צלע, צלע מרבע, צלע המרבע length ארכו measure מדה, מדת ה, מדות surface שטח, שטחים gnomon רושם התמונה area שברי, שבריו, מספרי שבריו, מספר שברי, שברי שטח, מספר שברי שטח, שברי הרושם, מספר שברי הרושם, תשבורתו square מרבע, המרבע, מרבעים, המרבעים, מרובע הקו square on the whole line מרבע הקו כלו quadrilateral surface, rectangle שטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזוית, שטח נצב הזויות encompassed by the two segments אשר יקיפו בו שני החלקים אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת encompassed by the (two) lines אשר יקיפו בו שני קוי, אשר יקיפו בו קוי, אשר יקיפו בו קוי the difference between the two segments מה שבין שני החלקי‫'‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬ straight, straightly על יושר parallel to נכוחי ל, נכחי ל, נכחי לקו to draw נעביר מ to draw a line נעביר קו to draw a line from point נעביר בו מנקודת ... קו to intersect יחתכו to divide (surface) יחלקוהו ל to cut from line נחלק מן קו to construct a square from a line נעשה מן קו... מרבע, נעשה מן ... מרבע to extend a line נמשיך קו to meet a line עד אשר יפגיש קו line is cut into נחלק קו ישר ל to cut randomly at point חלק איך שקרה על נקודת to be cut randomly at point יחולק איך שקרה על נקודה to halve it at point נחלקהו לחצאין על נקודת, נחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת to be halved it at point נחלק לחצאין על נקדת to cut into two unequal segments at point נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת unequal segments החלקים הבלתי שוים to draw צירתי

Logical Terms

to say, to state אומר (כי), אומ', אמור, נאמר, אמרנו (ב), נאמר כי, תאמר כי, אמרת ש, ותאמ', יאמ' כי, אמרתי to say, to tell ואמ' לי saying אמרך אשר אמרת ל to explain, to demonstrate אבארם, אבאר to be explained, to be clarified נתבאר (ב / מ ... כי) as clarified כמבואר ב clear, clarified מבוארה Q.E.D; this is what we wanted to explain וזה מה שרצינו לבאר, וזה מה שרצינו להוסיף באור, להוסיף בו באור to know (that) לדעתם, לדעת, לדעתו, תדע (כי / ש) knowing מידיעת ה לא ידענוהו וכבר ידעת כי, וכבר ידעת יודע, יהיה יודע ה the Knower היודע it is known that ידוע (כי / ש) to understand תבין ממנו to be clear from יובן (מ / מן) clear, understandable מובן ל מובן מאשר לפניו clear by itself, understandable by itself זה מובן בעצמו, זה מובן מעצמו one who understands מבין to give an example אמשול example משל, המשל, דרך משל, משלנו to learn, to become wise תשכיל to teach להשכילך כי to deduce, to conclude הקש על זה by analogy בדרכי ההיקש way, method, technique דרך (ה), דרכי to proceed according to this way עשה על הדרך הזאת, נעשה על הדרך הזאת according to the known way על הדרך הנודע‬‬‬‬ על דרך האמור למעלה, כאשר אמרנו למעלה, כאשר אמרנו, על דרך according to the abovementioned method כפי הדרך הנזכר, ולפי הדרך הנז', וכפי הדרך אשר אמרנו teaching למוד, הלמודים, זה הלמוד, למודי, בזה הלמוד studying ללימודי proof, argument מופת, מופת זה, מופתי (ה), במופתים to demonstrate, to show להראותך זה, להראותך מופת זה, הורתיך המופת, ולהראותך מופת על זה demonstrative המופתי manner, way באופן אשר speech, discussion דבורי to discuss, to speak לדבר ב, אדבר ב reason הדבר reason סבה, סבות meaning, sense עניני' conception, perception ציורך evidence, proof ראיות principles שרשיה question שאלה to ask שאלתי ל rule כלל wisdom חכמה wise way בדרך חכמה wise החכם

Economic Terms trader סוחר to trade לסחור to have, at his disposal בידו, נמצא בידו amount קצבה, קצבת to earn הרויח value, price הערך (מ) a man אדם אחד to exchange החליף (ב) peraḥim פרח, פרחי' liṭra ליטרי', ליט' of Rome רומנייולי, רומניולי of Marciana מרקיאני to be worth of שוה מ, שוה ה... מה... to be exchanged נחלפו ב, נחלף ב

Literary Terms chapter מאמר, מאמ' book ספרי ה, ספרו author מחבר הספר translation בהעתקתו

Linguistic terms grammarians חכמי דקדוק language לשונם, לשוננו, בלשון word תיבה, תיבות


• א.ר.כ. to elaborate, treat at length, lengthen להאריך (ב), בהאריך ב, להאריך • ב.ו.א. to bring, to present הביאם • ב.ק.ש. to seek בקשתי • ה.י.ה. let there be ויהיה, יהיה generated from ההוה מ, ההוה מן, ההוים מ, ההוים מן • ה.ל.כ. to go הלך ל following, in accordance with הולך ב • ז.כ.ר. to note, to mention זכרנו לפי הדרך אשר זכרנו, על הדרך הזאת, כפי הדרך הנז‫'‬‬ • ח.ד.ש. to invent לחדש • ח.ז.ק. to occupy, tohold מחזקת ב • ח.ל.ל. to start, to begin אחל, החילי, החלי • י.כ.ל. to be able נוכל • י.צ.א. to draw אוציא מ to derive, to draw הוציאם‬‬‬‬‬‬‬ • י.צ.ע. to propose, to offer אציע explanation, introduction הצעה • י.ר.ה. to signify, to mean להורות meaning הוראת, ההוראה to indicate מורה, תורה • ל.ק.ח. to take קח, לקחנו to understand a word in a certain sense, to regard יקחו • מ.צ.א. to find למצא, מצאנו ב, מצאתי • צ.ר.כ. should צריכי', צריך אתה ל, צריך אני ל, צריך ש to have to הוצרכתי ל to need it תצטרך אליה ב no need אין צורך • ק.ד.מ. to precede להקדימם, אקדים, הקדמנו (ב) introduction הקדמתי • ק.ר.א. to name, to denote יקראוהו, אקראנו, בשם אקראנו, קראתיהו, נקראם, נקראהו • ר.א.ה. to see רואה (כי), בראותי אותך • ר.צ.ה. meaning רצונם to wish רציתי (ל), רצית ל, רצינו ל, רוצה as one wishes כרצונך, כרצון • ש.ו.ב to return שבת אל to convert, to transform נשיב • ש.ל.מ. to finish תשלים, נשלים to complete להשלים complete שלימי' whole שלם • ת.ח.ל. to start, to begin אתחיל, נתחיל


should ראוי ש, ראוי ל Christians הנוצרי' usage, custom כמנהגם place מקומות as much as one can כפי אשר תשיג ידי to bring closer לקרבו אל it is, the result is הרי to describe נתאר, אתאר לך, אתאר drawn נמשכים subsequent, following הנמשכי' אחריו to give אתן לך intellectual vision לעין השכל by the measure that במדה שבה guidance בהדריכי to observe, to look להתבונן, תתבונן exactly, no more and no less לא פחות ולא יותר consists of המורכב מ, המרכב מ to return חזר to succeed, to make profit הצליח its similar דומה לו to be finished, to end תם lesson שעור a little here, a little there זעיר שם זעיר שם to devise בדיתים of one's own heart מלבי to cleave הדבק to longed for נכספים ל precious היקר reader מעיינים בו companion, corresponding חברו brother אחי, אחיך friend מיודעי friend רעי שם תפארת ופתח מאיר כל מאמר ומעשה יתב' ויתע' שמו עלוי רב to call upon בקראנו אליו to write לכתבם אליכם to abbreviate קצרתי בהם brevity קצורי relying on להשעני ב in any case מכל מקום unknown, hidden יעלם prepared, ready מוכן ל should not אין ל

Euclid איקלידיש, איקלידס Elements II.4 תמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידש Elements II.6 תמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש Elements VI.17 תמונת יז מן המאמר הששי לאיקלידש Elements II.5 תמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש

Mordecai Yaḥya the son of Abraham Finzi כמ"ר מרדכי יזייא בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה

helplessness of the mind ביד שכלי הקצרה paths of uprightness במעגלי יושר one out of a thousand אחד מני אלף to fulfill desires למלאת רצוניכם good spirit רוחכם הטובה worldly affairs עסקי העולם trouble of the heart and body טרדת לבי ובשרי the adventures that came upon me בהרפתקי דעדו עלי spiritual exhaustion לאות רוחי praising God התהלה לאל, תהלתו by his awful name among the nations בשם שמו בגוים נורא spirit of God hovered over the face of רוח אלקים מרחפת על פני God's purpose shall prosper in his hand וחפץ ה' בייא‫‬‬‬‬‬‬ entreat the Lord בהעתיר אל ה' may the Lord fulfill all your requests ימלא כל משאלותיך Let thy springs be dispersed יפוצו מעיינותיך the fountains of salvation מעייני הישועה giveth heed unto thy bidding הסר אל משמעתך over and done תם ונשלם Amen אמן


Titles - Acronyms

our honorable teacher Rabbi כמ"ר the son of our honorable teacher Rabbi בכמ"ר, בכמה"ר may his memory live in the world to come זלה"ה rabbi ר' may God preserve him, and keep him alive יצ"ו


Demonstratives it אותו these אלו (ה), אלה (ה), האלה זה הוא this הזאת, זה (ה), זאת (ה) וזה, זה by this, from this מזה (ה), בזה in this, for this בזה ה thereby, in this regard, relating to this בזה by each other זה בזה מאלו (ה) Pronouns a certain, whichever איזה, איזה... שיהיה I am אני, הנני you אתה, הנך, אותך which is שהוא, אשר הוא it is, which is (result) והוא (ה), הוא ה, היא which are שהם something דבר מה certain מה what מה ש by itself בעצמו

Adjectives one of אחד מ, אחד מכם each of כל אחד מהם, אחד מהם, כל אחד מ other אחר, אחרים last אחרון middle האמצעי aforementioned האמור following, consequent הבאי' אחריה larger הגדול whole כלו, כל (ה) all כל ה every כל everything, all הכל mentioned הנזכר, הנז', הנזכ' previous הקודמי‫', הקודמת, הקודם‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬ prior to הקודמים לזה smaller הקטן some קצתם first, firstly ראשונה, ראשנה first ראשון, ראשונה much רב many רבים many of רבים מן ה other, rest of שאר ה equal שוים unequal בלתי שוים Adverbs then, afterwards אח"כ, אחר after אחרי how איך randomly איך שקרה there is no אין indeed אמנם without בלי before טרם together יחד, שניהם יחד למעלה, למעלה מ above already כבר is so, indeed כי כן הוא in all בכל how many כמה, כמה מה... as, the same as כמו so is וככה ה also וכן and so, thus וכן according to this, accordingly לפי זה therefore לפי כן from where מאין also גם, גם כן always לעולם therefore על כן, ע"כ now עתה also, further, likewise עוד hither והנה, הנה, הנה כי here הנה לפנינו, לפנינו necessarily בהכרח on the first time בפעם הראשונה namely, i.e. ר"ל but רק first, at the beginning בתחלה instead תחת


Conjunction or או then, if so א"כ, אם כן what, that, which אשר, ש because (of), since מפני כי, כי, ל because, since בעבור כי if ואם, אם when כאשר that כי according to, as, like כפי, כפי מה ש as, like, the same as כ, כפי ה in order that למען until עד אשר

Preposition as it is כאשר הוא as כ, כאשר according לפי of it ממנו of מן (ה) by, according על on it עליו with עם ה inside בתוך ה


Appendix: Bibliography

Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ
Ḥeshbon ha-Alzibra (Calculation of Algebra)
Italy, 1460s
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/42 (IMHM: f 3576), ff. 223r-226r (15th century)
Ets Haim 47 D 20/42
2) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/14 (IMHM: f 1996), ff. 113r-120r (15th-16th century)
Or. Oct. 244/14
3) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/2 (IMHM: f 17970), ff. 46r-53v (16th century)
Plut.88.46/2
4) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 10/6 (IMHM: f 790), ff. 122v-133r (15th century)
ebr. 10/6
5) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2196/3 (IMHM: f 13362), ff. [117r]-[119v] (15th-16th century)
Parm. 2196/3

Bibliography:

  • Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
  • Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. p.193 (h59).
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_האלזיברא&oldid=38299"