Difference between revisions of "השאלות החרשות/האלמות"

Revision as of 12:10, 12 April 2019

Contents 1 Prologue 2 Indeterminate Problems 3 Word Problems 3.1 Garments 3.2 Group of People 3.3 Motion Problems 4 Notes 5 Appendix: Bibliography Prologue
In the name of God	בשם השם
Abū Kāmil said: after we have completed inferring the summary of much of them	אמר אבו כאמל אחר שהשלמנו להוציא מה שהיה קצור מהרבה מהם
and commenting on words of the geometricians of our time and the ancients regarding to:	ונעיר על זה המהנדסים אשר בזמננו זה ומאשר חברו לנו דבריהם מהקודמים
the lines that are cutting the pentagon and decagon, each of which is circumscribed by a known circle, or both are circumscribed by a known circle.	מהקוים המחתכים המחומש והמעושר אשר תקיף לכל אחד מהם עגולה ידועה או שתקיף לשניהם עגולה ידועה
extracting the diameter of the circle circumscribing the known pentagon and decagon, or inscribed by known pentagon and decagon.	והוצאת קטר העגולה המקפת במחומש ובמעושר הידועים או כשיקיפו בעגולה מחומש ומעושר ידועים
extracting the measure of one of the parts of the circumference of the known circle [= arc].	והוצאת שעור קו חלק אחד מחלקי מקיף העגולה הידועה
extracting the measure of the sides of the regular pentagon and decagon, when their area is known; and the sides of the triangles whose area is known, when they are in a regular pentagon or a regular decagon.	והוצאת שעור צלעות המחומש והמעושר שוי הצלעות והזויות כאשר היה שעורם ידוע וצלעות המשולשים ידועי השעור כאשר היו במחומש או במעושר שוה הצלעו' והזיות
and more, that we explained in our book.	ויותר מזה שבארנו בספרנו זה
Now, I shall explain many of the indeterminate problems, that were inferred by the arithmeticians, each by itself.	ועתה אבאר הרבה מהשאלות החרשות נ' האלמות שהוציאום החשבנים כל דבר בעצמו
That is to say, they will be solved through many methods, by straight knowledge, in ways that consist of techniques used by the arithmeticians.	רצוני שהוצאתם היה בדרכים רבים וידיעה ישרה ובפנים מורכבים מאופנים נהוגים בין החשבנים
Those techniques were deprived of proofs, that should have been done.	והם אופנים משוללים ממופתים היה ראוי לעשות עליהם
Many of them are derived from proper speculation and good skill.	ומהם אשר הוצאו עם עיון טוב ומלאכה נאותה והרבה מהם
Praised be the Lord, for every praise, for he is informer of every knowledge.	ומשובח יהיה היוצר על כל שבח כי הוא המודיע כל ידיעה
I shall further explain much of what was given by the arithmeticians in their books, which they solved by the techniques of restoration and reduction [algebra], in order that the reader will understand them properly.	ואבאר עוד הרבה מאשר הניחום החשבנים בספריהם ועשו אותם עם האופנים מאלגבר ואלמוקאבלה בעבור שיבינם הקורא הבנה טובה
Indeterminate Problems
1) $\scriptstyle x^2+5=n^2$	א כאשר יאמרו לך אלגו שמחזיק שרש אם תוסיף עליו חמשה יחזיק שרש כמה הוא האלגו
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
it has many solving methods - two will be given here:	ולה דרכים רבים ונאמר אנחנו שנים מהם ואיך ייעשו להיותם מובנים לך לעשות איזה מהם שתרצה
First method:	והדרך האחת
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	היא שתניח האלגו שלך אלגו המחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2}=x}}$	ושרשו הוא דבר
$\scriptstyle n^2=x^2+5$ should have a root	ותוסיף עליו חמשה יותר ויהיה אלגו וחמשה יותר וצריך שיחזיק שרש
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}>x$	וכבר ידעת כי שרשו יותר מדבר
since $\scriptstyle\sqrt{x^2}=x$	בעבור כי האלגו היה שרשו דבר
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x+a$	ותשים שרשו דבר ומספר
then: $\scriptstyle a^2<5$	יהיה מאותו המספר אלגו כשיוכה בעצמו יהיה פחות מהחמשה הנוספים
assuming: $\scriptstyle x+1=\sqrt{x^2+5}$	ונשימיהו דבר ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2}}$	ותכה זה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+2x=x^2+5}}$	ויהיה אלגו ודרהם אחד ושני דברים ישוה אלגו וחמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5-\left(x^2+1\right)}}$	ותגרע אלגו ודרהם אחד מאלגו וחמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=4}}$	וישאר שני דברים ישוו ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר שנים והם שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}$	והאלגו ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+5=9}}$	וכשתוסיף עליו חמשה יהיה תשעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=3}}$	ושרשו שלשה
assuming: $\scriptstyle x+2=\sqrt{x^2+5}$	ואם תניח שרשו דבר ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+2\right)^2=\left(\sqrt{x^2+5}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4+4x=x^2+5}}$	יהיה אלגו וארבעה דרהמי וארבעה דברים ישוו אלגו וחמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5-\left(x^2+4\right)}}$	תגרע אלגו וארבעה דרהמי מאלגו וחמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4x=1}}$	ישאר ארבעה דברים ישוו דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	והדבר ישוה רביע דרהם והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו חצי שמינית מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+5=5+\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	וכשתוסיף עליו חמשה דרהמי יהיה חמשה וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+5}=2+\frac{1}{4}}}$	ושרשו שני דרהמי ורביע
If desired, it can also be assumed: $\scriptstyle\sqrt{x^2+5}=x+\frac{1}{2}$	ואם תרצה תניח שרש האלגו דבר וחצי דרהם
Or: $\scriptstyle\sqrt{x^2+5}=x+\frac{1}{2}$	או דבר ודרהם אחד ושני שלישים
or any other desired number, provided that the square of the number added to $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ is less than 5	או איזה מספר שתרצה אחר שיהיה המספר שתוסיף על הדבר כאשר הוכה בעצמו יהיה פחות מחמשה דרהמי
The same procedure should be done for similar problems.	וכן כל אשר תשאל מזה ייעשה כמעשה הזה
2) $\scriptstyle x^2-10=n^2$	ב וכאשר יאמרו לך אלגו המחזיק שורש אם תגרע ממנו עשרה דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
$\scriptstyle\sqrt{x^2}=x$	וכבר ידעת כי שרש מאלגו דבר
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}>x$	ושרש מאלגו פחות עשרה דרהמי הוא פחות מדבר
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}=x-1$	ותניחהו דבר פחות דרהם אחד
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}=x-2$	או פחות שני דרהמי
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}=x-x^2$ [?]	או פחות אלגו
either number and fractions, or fractions	תוסיף מהמספר והשברים או מהשברים
assuming: $\scriptstyle x-1=\sqrt{x^2-10}$	ונניחהו דבר פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-1\right)^2=\left(\sqrt{x^2-10}\right)^2}}$	ותכה אותו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1-2x=x^2-10}}$	ויהיה אלגו ודרהם אחד פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+11-2x=x^2}}$	ויהיה אלגו וי"א דרהמי פחות שני דברים ישוה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x}}$	איאימיינטה השני דברים ותוסיפם על האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{11=2x}}$	וישאר י"א דרהמי ישוו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{2}}}$	והדבר חמשה וחצי והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30+\frac{1}{4}}}$	והאלגו שלשים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=20+\frac{1}{4}}}$	וכאשר תגרע מהם עשרה דרהמי ישאר עשרים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=4+\frac{1}{2}}}$	ושרשו ארבעה וחצי
assuming: $\scriptstyle x-2=\sqrt{x^2-10}$	ואם תניח שרש האלגו שלך פחות עשרה דרהמי דבר פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-2\right)^2=x^2-10}}$	ותכה אותו בעצמו ותכונהו עם המחובר מהכאת אלגו פחות עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{1}{2}}}$	יהיה שרש האלגו שלשה וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12+\frac{1}{4}}}$	והאלגו י"ב ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=2+\frac{1}{4}}}$	ואם תגרע מהם עשרה ישאר שנים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=1+\frac{1}{2}}}$	ושרשו אחד וחצי
If $\scriptstyle a^2>b$	ואם תניח המספר הנמשך לדבר כאשר תכה אותו בעצמו יתקבץ יותר מהדרהמי הנמשכים אל האלגו אחד
then $\scriptstyle\sqrt{x^2-b}=a-x$	תדע כי שרש האלגו פחות אותו המספר יהיה אז אותו המספר מהדבר פחות אותו הדבר
$\scriptstyle\sqrt{x^2-10}=a-x$	בעבור כי שרש האלגו פחות עשרה יהיה אותו המספר הנמשך לדבר פחות דבר
$\scriptstyle\left(a-x\right)^2=\left(x-a\right)^2$	וכן הכאת המספר מהדבר פחות מהמספר בעצמו כמו הכאת הדבר פחות אותו המספר בעצמו
3) $\scriptstyle x^2+3x=n^2$	ג ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו שלשה פעמים יחזיק שרש כמה יהיה האלגו
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
assuming: $\scriptstyle\sqrt{x^2+3x}=x+1$	תניח שרש האלגו ושלשה דברים דבר ודרהם אחד
Or: $\scriptstyle\sqrt{x^2+3x}=x+\frac{1}{2}$	או דבר וחצי דרהם
Or: $\scriptstyle\sqrt{x^2+3x}=x+1$ [?]	או דבר ואדרהם אחד על האלגו והוא בזאת השאלה שלשה דברים
assuming: $\scriptstyle x+1=\sqrt{x^2+3x}$	ונניחהו דבר ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2}}$	ותכה אותו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+2x=x^2+3x}}$	יהיה אלגו ודרהם אחד ושני דברים ישוה אלגו ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x-\left(x^2+2x\right)}}$	ותגרע אלגו ושני דברים מאלגו ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}$	ישאר דבר אחד ישוה דרהם אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1}}$	והאלגו דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+3x=4}}$	ואם תוסיף עליו שלשה פעמי' שרשו יהיה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+3x}=2}}$	ושרשו שנים
4) $\scriptstyle x^2-6x=n^2$	ד ואם יאמרו לך אלגו מחזיק שרש כאשר גרענו ממנו שרשו ששה פעמים יחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה הוא שנניח האלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x}}$	ונגרע ממנו שרשו ששה פעמים וישאר אלגו פחות ששה שרשיו
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2-6x}>x$	ושרשו^[1] פחות מהדבר
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-4$	אם כן תניחהו דבר פחות ארבעה דרהמי
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-5$	או פחות חמשה
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-\left(3+\frac{1}{2}\right)$	או פחות שלשה וחצי
or any number greater than half the six roots $\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-a$ such that $\scriptstyle a>\frac{1}{2}\sdot6$	או פחות מהמספר שתרצה אחר שיהיה יותר מהחצי מהששה דברים הנמשכים אל האלגו
assuming: $\scriptstyle x-4=\sqrt{x^2-6x}$	ונניחיהו דבר פחות ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-4\right)^2=\left(\sqrt{x^2-6x}\right)^2}}$	ונכה אותם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+16-8x=x^2-6x}}$	ויהיה אלגו וי"ו דרהמי פחות שמנה דברי' ישוה אלגו פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=8}}$	ותנכחהו עמו ויהיה הדבר שמנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=64}}$	והאלגו הוא ששים וארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x=64-48=16}}$	תגרע מהם שרשו ששה פעמים והוא מ"ח ישארו י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-6x}=4}}$	ושרשו ארבעה
5) $\scriptstyle x^2+10x+20=n^2$	ה ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו עשרה פעמים שרשו ועשרה דרהמי יחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20}}$	ותוסיף עליו שרשו עשרה פעמי' ועשרי' דרהמי אחד
$\scriptstyle n=\sqrt{x^2+10x+20}=x+a$	יהיה שרש זה דבר ומספר
so that for $\scriptstyle\left(x+a\right)^2$ it is impossible that the product by $\scriptstyle x$ will be less or more than 10 and it is impossible that $\scriptstyle a^2$ will be less or more than 20	שכאשר הוכה בעצמו יהיה המתקבץ מן ההכאה בדברי' פחות מהעשרה ובדרהמי יהיה יותר מהעשרים דרהמי ולא יעבור שיהיה פחות משניהם רצוני מהעשרה ומהעשרים ולא יותר משניהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x+20=\left(x+a\right)^2}}$	בעבור כי כאשר תכונוהו עם מה שיתקבץ מההכאה האלגו והעשרה דברים והעשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=x}}$ [?]	ישאר דבר ודרהמי אחד ישוה הדבר
assuming: $\scriptstyle x-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{x^2+10x+20}$	אחר תניחהו דבר וארבעה דרהמי וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]^2=\left(\sqrt{x^2+10x+20}\right)^2}}$	ותכה זה בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x+\left(20+\frac{1}{4}\right)=x^2+10x+20}}$	ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים דרהמי ורביע ישוה אלגו ועשרה דברים ועשרים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	ותכונם עמו ויהיה הדבר הוא רביע דרהם והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו חצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20=22+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	ואם תוסיף עליו שרשו עשרה פעמים ועשרים דרהמי יהיה עשרים ושנים וחצי וחצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+10x+20}=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ושרש זה ארבעה דרהמי וחצי ורביע
6) $\scriptstyle x^2-8x-30=n^2$	ו ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו שרשו שמנה פעמי' ושלשים דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	וידיעתה שתניח האלגו שלך אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30}}$	תגרע ממנו שרשו שמנה פעמים ושלשים דרהמי וישאר אלגו פחות שמנה דברים ופחות שלשים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}<x}}$	ושרשו פחות מדבר
assuming: $\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=x-5$	וננחיהו דבר פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=x-6$	או פחות ששה
$\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=x-a$ for any number greater than half the eight roots of the square: $\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}$	או פחות מהמספר שתרצה שיהיה יותר מחצי השמנה דברים הנשנים באלגו
$\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=a-x$ for any number greater than half the eight roots of the square: $\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}$	ואם תרצה תניח שרשו מספר פחות דבר ויהיה המספר יותר מחצי הדברים הנשנים באלגו
assuming $\scriptstyle x-5=\sqrt{x^2-8x-30}$	ונניחהו דבר פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-5\right)^2=\left(\sqrt{x^2-8x-30}\right)^2}}$	ותכה אותו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25-10x=x^2-8x-30}}$	ויהיה אלגו וכ"ה דרהמיש פחות עשרה דברים ישוה אלגו פחות שמנה דברים ושְלֹשִים דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2{\color{red}{7}}+\frac{1}{2}}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה כ"ו וחצי והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=756+\frac{1}{4}}}$	והאלגו תשנ"ו דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30=506+\frac{1}{4}}}$	ותסיר ממנו שרשו שמנה פעמי' ושלשים דרהמי וישאר תק"ו ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}=2{\color{red}{2}}+\frac{1}{4}}}$	ושרשו כ"ו וחצי
7) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x=m^2\end{cases}$	ז ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו אלגו שני שרשיו יחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה אלמת
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$ , such that: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}}}$	שתחפש מספר שיחזיק שרש ואם תוסיף עליו מספר אחר יחזיק שרש ואם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר מצאת אותו המספר תחלקהו על המספר הנוסף והעולה יהיה שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=24\\\scriptstyle 2b=48\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש אחד והמספר הנוסף כ"ד ומ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{1+48=49=7^2}}$	וכבר ידעת כי בהוסיפך על אחד מ"ח יהיה מ"ט ושרשו שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{1+24=25=5^2}}$	ואם תוסיף כ"ד על האחד יהיה כ"ה ושרשו חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{24}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}$	ואם בקשת לדעת כמה היה האלגו תחלק האחד על כ"ד ויעלה שלישית משמינית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{576}}}$	והאלגו חלק אחד מתקע"ו חלקים באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{5}{24}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא שלישית משמינית וחלק אחד מתקע"ו יחזיק שרש ושרשו חמשה חלקים מכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{m^2=x^2+2x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{7}{24}\right)^2}}$	ואם תוסיף באלגו שני שרשיו והוא חצי ששית וחלק אחד מתקע"ו ומחזיק שרש ושרשו שבעה חלקים מכ"ד
[?]	והאלגו ששית משמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=49\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 2b=240\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המושג או המחופש שמחזיק שרש מ"ט והחלק הנוסף ק"כ ור"מ
$\scriptstyle{\color{blue}{49+120=169=13^2}}$	ואתה יודע כי כשתוסיף על מ"ט ק"כ יהיה קס"ט ושרשו י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{49+240=289=17^2}}$	ואם תוסיף עליו ר"מ יהיה רפ"ט ושרשו י"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{49}{120}=\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור האלגו תחלק מ"ט על ק"כ ויעלה לחלק חומש אחד ושמינית אחד וחצי ששית והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{2401}{14400}}}$	והאלגו אלפיים ות"א חלקים מי"ד אלפים ות' באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle n^2=x^2+x&\scriptstyle=\frac{2401}{14400}+\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{2401}{14400}+\frac{5880}{14400}=\frac{8281}{14400}=\left(\frac{91}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא חמשת אלפים ותת"פ מי"ד אלפים ות' יהיה שמנת אלפים ורפ"א מי"ד אלפים ות' ויחזיק שרש ושרשו צ"א חלקים מק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle m^2=x^2+2x&\scriptstyle=\frac{2401}{14400}+2\sdot\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{2401}{14400}+\frac{11760}{14400}=\frac{14161}{14400}=\left(\frac{119}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף על האלגו שני שרשיו והוא י"א אלפים ותש"ס מי"ד אלפים ות' יהיה י"ד אלפים ות' ויחזיק שרש ושרשו קי"ט מק"כ
8) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+3x=m^2\end{cases}$	ח וכן אם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו שלשה שרשיו יחזיק שרש
[?]	ואם תוסיף עליו שלשה פעמים שעור האלגו יחזיק שרש ואמרנו זה בעבור כי משולש השרשים הוא משלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=8\\\scriptstyle 3b=24\end{cases}}}$	והמספר הנשאל אשר מחזיק שרש אחד והמספר הנוסף עליו שמנה וכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{8}}}$	ותחלק האחד על שמנה יעלה שמינית אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}}}$	והאלגו שמינית השמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{8}=\left(\frac{3}{8}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והוא שמינית יהיה שמינית ושמינית השמינית ויחזיק שרש ושרשו שלשה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(3\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{3}{8}=\left(\frac{5}{8}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שלשה שרשים והוא שלשה שמיניות יהיה שלשה שמיניות ושמינית השמינית ויחזיק שרש ושרשו חמשה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=169\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 3b=360\end{cases}}}$	ואם תרצה תניח המספר המחזיק שרש קס"ט והמספר הנוסף עליו ק"כ וש"ס
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b=169+120=289=17^2}}$	וזה כי כשתוסיף על קס"ט ק"כ יהיה רפ"ט ומחזיק שרשו ושרשו הוא שבעה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+3b=169+360=529=23^2}}$	ואם תוסיף עליו ש"ס יהיה תקכ"ט ומחזיק שרש ושרשו שלשה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{169}{120}=1+\frac{49}{120}}}$	ואם רצונך לדעת שעור המרובע תחלק קס"ט על ק"כ ויעלה אחד ומ"ט חלקים מק"כ והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\frac{14161}{14400}}}$	והמרובע יהיה אחד שלם וי"ד אלפים וקס"א חלקי' מי"ד אלפים ות' באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+x&\scriptstyle=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(1+\frac{49}{120}\right)\\&\scriptstyle=3+\frac{676920}{1728000}=\left(1+\frac{101}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שרשו יעלה שלשה שלמים ותרע"ו אלפים ותתק"כ חלקים מאלף אלפים ותשכ"ח אלפים באחד ומחזיק שרש ושרשו הוא אחד וק"א חלקי' מק"כ באחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2+3x&\scriptstyle=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+3\sdot\left(1+\frac{49}{120}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(4+\frac{27}{120}\right)\\&\scriptstyle=6+\frac{300{\color{red}{1}}}{14400}=\left({\color{red}{2}}+\frac{59}{120}\right)^2\\\end{align}}}$	ואם תוסיף עליו שלשת שרשיו והם ארבעה דרהמי ועשרים ושבעה חלקים מק"כ באחד יהיה ששה דרהמי ושלשת אלפי' חלקי' מי"ד אלפים ות' ומחזיק שרש ושרשו אחד ונ"ט מק"כ
There are many ways to solve this problem and its similar	ולזאת השאלה ולדומים אליה דרכים רבים
Explanation: the reason for the extraction of these numbers	ועתה אבאר לך הסבה בהוצאת אלו המספרים
for testing all these methods	למען תהיה לך למאזנים לכל אלו האופנים
$\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$	דע כי כל מרובע המחזיק שרש אם תקבץ עמו שני שרשיו ואדרהם אחד יחזיק שרש ושרשו הוא כמו שרש המרובע הראשון עם תוספת אחד
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}$ $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+3b=m^2\end{cases}$ $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+4b=m^2\end{cases}$	וכאשר תבקש למצוא מספר מהמספרים שיחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו מספר מה אחר יחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו שני פעמים המספר שהוספת בראשונה או שלשה פעמים או ארבעה פעמים או כמה שתרצה מהפעמים יהיה לאשר יתקבץ מהם שרש
assuming: $\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2$	תניח המרובע שלך מרובע ותקבץ עמו שנים משרשיו ואדרהם אחד ויהיה העולה יחזיק שרש ושרשו הוא דבר ואדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2\sdot\left(2x+1\right)=x^2+4x+2}}$	ואם תרצה להוסיף על המרובע כשעור המספר הראשון תקבץ עמו ארבעה שרשים ושנים דרהמי ואם תרצה שלשה פעמים או ארבעה תקח כפי זה
[assuming: $\scriptstyle{\color{red}{\left(x+1+\frac{1}{2}\right)^2}}=x^2+4x+2$ ]	ואם לקחת כשעור המספר יהיה מרובע וארבעה שרשים ושנים דרהמי ותכונהו עמהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}$	ויהיה דבר ישוה רביעית אדרהם והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	והמרובע הוא חצי שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=1+\frac{1}{2}}}$	ונהיה כאלו הנחנו המספר הנוסף עליו שני דברים ודרהם אחד ויהיה אדרהם אחד וחצי בעבור כי הדבר הוא רביע דרהם
[assuming]: one dirham = 16	והדרהם ששה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=24}}$	ויהיה מפני זה האדרהם וחצי עשרים וארבעה חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{1+24=n^2}}$	והוא המספר שכאשר תוסיף אותו על האחד יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(2\sdot24\right)=1+48=m^2}}$	ואם תוסיפהו שני פעמים והוא מ"ח יחזיק גם כן שרש ותשוה אחר זה כאשר בארתי לך
Another method	ואם תרצה תעשה לזאת השאלה דרך אחרת
assuming: $\scriptstyle x+1+\frac{2}{3}=\sqrt{x^2+4x+2}$	תניח שרש המרובע והארבעה דברים ושני דרהמי דבר ודרהם אחד ושני שלישי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=\left(x+1+\frac{2}{3}\right)^2}}$	ותכה זה השרש בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=x^2+\left(3+\frac{1}{3}\right)x+\left(2+\frac{7}{9}\right)}}$	ויהיה מרובע ושני דרהמי ושבע תשיעיות מדרהם ושלשה דברים ושליש דבר ישוו מרובע וארבעה דברים ושני דרהמי ותכונם יחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{6}}}$	ויהיה הדבר דרהם אחד ושתות והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{49}{36}}}$	והמרובע יהיה מ"ט חלקים מל"ו חלקים באדרהם והוא החלק הנשאל שיחזיק שרש
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle49+a=n^2\\\scriptstyle49+2a=m^2\end{cases}$	ואם רצית לדעת המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש ואם תוסיפהו עליו שני פעמים יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=2x+1=2\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)+1=3+\frac{1}{3}}}$ assuming one dirham = 36	הנה ידעת שהנחת המספר הראשון הנוסף שני שרשים ודרהם אחד וכבר בארנו שהשרש הוא דרהם אחד ושתות והאדרהם ל"ו חלקים ויהיו שני השרשים ואדרהם שלשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=36\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=120}}$	ותכה שלשה ושליש בל"ו ויהיה ק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{49+120=n^2}}$	והוא המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{49+\left(2\sdot120\right)=49+240=m^2}}$	ואם תוסיף על מ"ט שני פעמים ק"כ והוא ר"מ יחזיק שרש ותעשה כאשר בארתי
9) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-2x=n^2\\\scriptstyle x^2-3x=m^2\end{cases}$	ט וכן אם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרע ממנו שני שרשים יחזיק הנשאר שרש ואם תגרע מהמרובע שלשה שרשים יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	וזאת השאלה חרשת^[2]
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה הזה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$ , such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(b+\frac{1}{2}b\right)=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שרש וכאשר תגרע ממנו מספר אחר יהיה הנשאר יחזיק שרש ואם תגרע ממנו אותו המספר וכמו חציו יהיה הנשאר יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{3x=2x+\left(\frac{1}{2}\sdot2x\right)}}$	בעבור כי שלשת השרשים כמו שני המספרים וחצי יותר
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{\frac{1}{2}b}}}$	וכאשר תמצא אותו המספר תחלקהו על ^חצי המספר הנגרע והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
dividing by half the subtracted number, since the subtracted number represents the two roots of the square, and its half represents the root of the square	וחלקת על חצי המספר הנגרע בעבור כי המספר הנגרע עלה במחשבת המספרים כפי שני שרשי המרובע והחצי עלה כפי שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=2x=16\\\scriptstyle\frac{1}{2}b=x=8\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}$	והמספר הנגרע שיחזיק שרש כ"ה והמספר הנגרע ממנו הוא י"ו והוא צמח ועלה משני שרשים כל שרש שמנה והמספר האחר שהוא שלשה שרשים כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{25-16=9=3^2}}$	כאשר תגרע מכ"ה י"ו ישאר תשעה ומחזיק שרש והוא שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{25-24=1=1^2}}$	וכאשר תגרע מהם כ"ד ישאר אחד ושרשו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור המרובע תחלק כ"ה על שמנה ויעלה לחלק שלשה ושמינית והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והמרובע תשעה וששה שמיניות ושמינית השמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-2x&\scriptstyle=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(6+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{7}{8}\right)^2\\\end{align}}}$	ותגרע ממנו שני שרשיו והוא ששה ורביע וישאר שלשה וחצי ושמינית השמינית ומחזיק שרש והוא אחד ושבעה שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-3x&\scriptstyle=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(9+\frac{3}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{5}{8}\right)^2\\\end{align}}}$	ותגרע מהמרובע שלשת שרשיו שהם תשעה ושלשה שמיניות ישאר שלשה שמיניו' ושמינית השמינית ויחזיק שרש והוא חמשה שמיניות
The extraction of these numbers is already obvious from what was shown,	והוצאת המספרים האלה כבר תהיה נגלית מאשר הראינו לך
but, it will be further taught in order that it will be memorized properly.	אבל אשכילך עוד עליהם למען יכנס הדבר בלבך היטב
$\scriptstyle n^2-\left(2n-1\right)=\left(n-1\right)^2$	דע כי כל מספר המחזיק שרש כאשר תגרע ממנו שני שרשיו פחות דרהם אחד יהיה לנשאר שרש ושרשו יהיה כמו שרש המרובע פחות דרהם אחד
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)b=m^2\end{cases}$	וכאשר תרצה למצוא מספר המחזיק שרש שכאשר תגרע ממנו מספר אחר יהיה לנשאר שרש ואם תגרע עוד ממנו כמו המספר האחר וכמו חציו יהיה לנשאר שרש
assuming $\scriptstyle x^2-\left(2x-1\right)=x^2+1-2x=\left(x-1\right)^2$	תניח המרובע שלך מרובע ותגרע ממנו שני שרשיו פחות דרהם אחד וישאר מרובע ודרהם אחד פחות שני שרשים ושרשו הוא דבר פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2x-1\right)=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x}}$	ותגרע מזה המרובע שני שרשיו פחות דרהם אחד ועוד כמו חציו וישאר מרובע ודרהם וחצי פחות שלשה דברים
[assuming: $\scriptstyle{\color{red}{\left(3-x\right)^2}}=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x$ ]	ותכוין עמהם כמו שבארתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{2}}}$	ויהיה הדבר שני דרהמי וחצי והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}}}$	והמרובע ששה ורביע והוא כ"ה חלקים מארבעה בדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=4}}$	ונניח המספר הנגרע ממנו שני שרשים פחות דרהם אחד והוא ארבעה דרהמי
[assuming]: one dirham = 4	וכל דרהם ארבעה חלקי'
$\scriptstyle{\color{blue}{b=4\sdot4=16}}$	ויהיו שש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=16\\\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)b=24\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}$	והנה יהיה המספר המבוקש אשר יחזיק שרש כ"ה והמספר הנגרע ממנו י"ו והמספר השני הנגרע כ"ד
proceeding as shown for the rest of the problem	ותעשה מהנשאר בשאלה כאשר הראיתיך
This problem and similar can be solved by other methods, as one wishes.	והנה תוכל לעשות לזאת השאלה ולדומים אליה דרכים אחרים כרצונך כאשר בארתי לך
10) $\scriptstyle x-x^2=n^2$	י ואם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרעהו מן שרשו יהיה לנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ונניח המרובע מרובע
$\scriptstyle n^2=x-x^2$ should have a root	ונגרעהו משרשו והוא דבר וישאר דבר פחות מרובע וצריך שיחזיק שרש
its root can be $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ or more or less	תניח שרשו איזה שתרצה מהדברים אם תרצה יהיה דבר או אם תרצה יהיה יותר או אם תרצה יהיה פחות
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{x-x^2}=x$	ותנחיהו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(\sqrt{x-x^2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=x-x^2}}$	ויהיה מרובע ישוה דבר פחות מרובע ותכוין עמו כאשר אמרתי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}}}$	ויהיה הדבר ישוה חצי דרהם והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}$	והמרובע רביעי דרהם
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{x-x^2}=2x$	ואם נניח שרשו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{5}}}$	יעלה הדבר ישוה חמישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והמרובע חמישית מחמישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x-x^2=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{2}{5}\right)^2}}$	ותגרעהו משרשו והוא חמישית דרהם וישאר ארבעה חֳמשים מחמישית דרהם ויחזיק שרש והוא שני חומשים מחמישית דרהם
11) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x+x^2=n^2\\\scriptstyle x-x^2=m^2\end{cases}$	יא ואם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תגרע המרובע משרשו יהיה לנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
the solving procedure:	ותעשה אותה כמעשה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$ , such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle b-a^2=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שרש ואם תקבץ עמו מספר אחר יחזיק שרש ואם תגרע המספר הראשון המחזיק שרש מהמספר האחר הנוסף יחזיק הנשאר שרש
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר תמצא זה המספר תחלקהו על המספר הנוסף והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=4\\\scriptstyle b=5\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש ארבעה והמספר הנוסף חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{4+5=9=3^2}}$	וכאשר תוסיף על ארבעה חמשה יהיה תשעה ומחזיק שרש ושרשו שלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1=1^2}}$	וכאשר תגרע הארבעה מהחמשה ישאר אחד ומחזיק שרש והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{5}}}$	וכאשר תרצה לדעת שעור המרובע תחלק ארבעה על חמשה ויעלה לחלק ארבעה חומשים והוא שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והמרובע יהיה שלשה חומשים וחמישית מחמישית
The procedure of extracting these numbers was explained here.	ובארתי לך הנה המלאכה להוציא אלו המספרים
As explained hitherto:	וכבר בארתי במה שעבר עד הנה
assuming $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	שאם נניח מרובע שיחזיק שרש
$\scriptstyle n^2=2x+1-x^2$	ואם תגרעהו משני שרשיו ואדרהם אחד ישאר שני שרשים ואדרהם אחד פחות מרובע
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{2x+1-x^2}=x-1$	אחר זה נניח שרשו דבר פחות דרהם אחד
the reason why $\scriptstyle{\color{blue}{x-1}}$ was chosen - in order that squares equal roots will remain after equalizing.	ושניתי האדרהם בדבר בעבור שיעלה בהכאה דרהם אחד וכאשר תכוין עמו ישאר מרובע ישוה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-1\right)^2=\left(\sqrt{2x+1-x^2}\right)^2}}$	אחר זה תכה דבר פחות דרהם אחד בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1-2x=2x+1-x^2}}$	ויהיה מרובע ואדרהם אחד פחות שני דברים ישוה שני דברים ואדרהם אחד פחות מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2x}}$	ותכוין עמו ויהיה מרובע ישוה שני דברי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2}}$	והדבר שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4}}$	והמרובע ארבעה והוא המספר המחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=4+1=5}}$	והמספר האחר הוא ארבעה ואדרהם אחד והוא חמשה
assuming: $\scriptstyle n=\sqrt{2x+1-x^2}=\frac{1}{2}x+1$	ואם נניח שרש המרובע חצי דבר ואדרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x+1\right)^2=\left(\sqrt{2x+1-x^2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו ותכונהו עם העולה מהכאת שני דברי' ודרהם אחד פחות מרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{16}{{\color{red}{25}}}}}$	יעלה המספר המחזיק שרש ששה עשר
[?]	והמספר האחר חמשה ושני דברים ויהיה שרש המרובע ששה עשר חלקים מס"ה חלקים באחד
Similar cases should be solved by this procedure, or by any chosen method	וכל מה שיפול בידך מזה האופן תעשהו במעשה הזה ותקח הדרך אשר תבחר
Another method	ועתה אבאר לך זאת השאלה בהבנת דרך אחרת
For every number divided into two parts, each of which has a root $\scriptstyle a^2+b^2=n$ , and into two other parts that have no root	דע כי כל מספר שיחלק לשני חלקים באופן שיהיה לכל חלק שרש ולשני חלקים אחרים שלא יהיה להם אטימו
It will be explained now:	ועתה אבאר לך זה למען תבינהו
12) $\scriptstyle x^2+y^2=5$	יב אם יאמרו לך חמשה דרהמי תחלקם לשני חלקים ולכל חלק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1^2=1\\\scriptstyle b_1^2=4\end{cases}}}$	וכבר ידעת שאחד החלקים הוא אחד והאחר ארבעה
Dividing the number into two other numbers that have roots:	וכאשר תרצה לחלקם לשני חלקים אחרים בלעדי אלו החלקים באופן שיהיה לכל חלק שרש
$\scriptstyle a_2=\left(a_1+x\right)^2$	תקח שרש החלק האחד ותוסיף עליו דבר ותכהו בעצמו והיוצא יהיה החלק האחד
$\scriptstyle b_2=5-a_2$	ותגרעהו מחמשה וישאר החלק האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1^2=1}}$	ולקחנו החלק האחד והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}$	ושרשו אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=\left(1+x\right)^2=x^2+1+2x}}$	הוספנו עליו דבר ויהיה אחד ודבר אחד הכינו אותו בעצמו והיה מרובע ודרהם אחד ושני דברים והוא החלק האחד משני החלקים המבוקשים
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2^2=5-\left(x^2+1+2x\right)=4-x^2-2x}}$ should have a root	ותגרעהו מן החמשה וישאר ארבעה פחות מרובע ופחות שני דברים והוא החלק האחר וצריך שיחזיק שרש
the root should be less than 2	וכבר ידענו ששרשו פחות משני דרהמי
assuming: $\scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left(1+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\right)x$	ונניחיהו שני דברי' פחות דבר ושני שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2-\left(1+\frac{1}{3}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{4-x^2-2x}\right)^2}}$	והכינום בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(1+\frac{7}{9}\right)x^2-\left(5+\frac{1}{3}\right)x=4-x^2-2x}}$	ויהיה ארבעה דרהמי ואלגו ושבעה תשיעיות מאלגו פחות חמשה דברים ושליש דבר ישוה ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{5}}}$	ותכוין עמו כאשר ידעת ויהיה הדבר דרהם אחד וחמישית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x+1=2+\frac{1}{5}}}$	והנחנו שרש החלק האחד מהשנים דבר ודרהם אחד ויהיה שרש החלק האחד שני דרהמי וחמישית
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=\left(2+\frac{1}{5}\right)^2=4+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ותכהו בעצמו ויהיה ארבעה דרהמי וארבעה חומשים וחמישית החמישית והוא החלק האחד אשר בקשת
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2^2=5-\left[4+\frac{4}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}}}$	והאחר הוא הנשאר מהחמשה והוא ארבעה חומשי החומש
Dividing the number into two other numbers that have root:	ואם תרצה לחלק אותו לשנים חלקים אחרים זולת אלו החלקים
assuming: Failed to parse (syntax error): \scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left({{\color{red}{1+\frac{1}{2}}}\right)x	תניח החלק הקטן שרש מארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים ושנים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2-\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{4-x^2-2x}\right)^2}}$	ותכם בעצמם ותכונהו עם המתקבץ מהכאת ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים
proceeding as been said above	ותעשה כאשר אמרתי לך
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x+1=2+\frac{3}{13}}}$	ויהיה שרש החלק האחד שנים דרהמי ושלשה חלקים משלשה עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{2}{13}}}$	ושרש החלק האחר שנים חלקים מי"ג
multiplying each by itself:	ותכה כל אחד משניהם בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=4+\frac{12}{13}+\frac{9}{169}}}$	ויהיה החלק האחד ארבעה דרהמי וי"ב חלקים מי"ג חלקים באחד ותשעה חלקים מקס"ט
	וכן תעשה לכל אשר יבוא לך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה ויחזיק מהחלקים כמה שתרצה
	והוא שלעולם תקח שרש האחד מהשני חלקים ותוסיף עליו דבר ותכה זה בעצמו והיוצא הוא האחד מהשני חלקים אשר בקשת ותגרעהו מהמספר אשר תרצה לחלק לשני חלקים אשר לכל חלק מהם שרש והנשאר הוא החלק האחד והוא מספר שיחזיק שרש הנשנה לו אלגו ודבר ותקח שרש המספר ותשנה לו אשר תרצה מהדברים אחר אשר לא יכוונו כאשר תכם בעצמם ותכוין עמו החלק שהוא מספר המחזיק שרש נשנה מהאלגו ודבר ויעלו לך מן החלקים עד אין להם תכלית
13) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle20+a=n^2\\\scriptstyle50-b=m^2\end{cases}$	יג) ואם יאמרו לך עשרה תחלקהו לשני חלקי' ותוסיף החלק האחחר על עשרים ויהיה מה שיחזיק שורש ותגרע החלק האחד מחמישים וישאר חזיק הנשאר שורש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20}}$	ומעשהו שנניח החלק האחד אלגו פחות עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=x^2}}$	באופן שכאשר תוסיפיהו על עשרים יחזיק שורש והוא האלגוש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a+20}=\sqrt{x^2}=x}}$	ושרשו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=30-x^2}}$	והחלק האחר יהיה הנשאר מהעשר' והוא שלשים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{50-b=50-\left(30-x^2\right)=x^2+20}}$	ותגרעם מן החמשי' וישאר אלגו ועשרים דרהמי
	וצריך שיחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{20<x^2<30}}$	וכאשר תבקש לדעתו תניח האלגו יותר מעשרי' ופחות משלשים כי זה המספר לו אופני' רבים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{6}}}$	והאופן האחר שתניח שרש האלגו חמשה ושתות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=26+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והאלגו יהיה כ"ו ושני שלישי' ורביע תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20=\left[26+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]-20=6+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	ותגרע ממנו עשרים דרהמי וישאר ששה ושני שלישי' ורביע תשיעית ותגרע ממנו עשרים דרהמי וישאר ששה ושני שלישית ורביע תשיעית והוא אחד מהשני חלקים
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=\left(5+\frac{1}{6}\right)^2}}$	וכאשר תוסיפיהו על עשרים יחזיק שורש ושרשו חמשה ושתות
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=10-\left[6+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)\right]=3+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והחלק האחר הוא מה שישאר מהעשרה והוא השלשה דרהמי ורביע וחצי תשיעית
$\scriptstyle{\color{blue}{50-b=46+\frac{2}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)=\left(6+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}\right)^2}}$	וכאשר תגרעם מחמשים ישאר מ"ו ושני שלישי' ורביע תשיעית ומחזיק שרש ושרשו הוא הששה דרהמי וחצי ושליש
	וכאשר נרצה לדעת איך נניח שורש המרובע חמשה ושתות תניח שורש מאלגו ועשרים דרהמי דרהם אחד ושני שלישי' ודבר אחד ותכם בעצמם ויהיה שני דרהמי ושבעה תשיעיות ואלגו ושלשה דברי' ושלישית דבר ישוה אלגו ועשרים דרהמי ותכוין עמו ויהיה הדבר חמשה ושתות ואם תרצה אופן אחר זולת זה תעשה כאשר אמרתי לך קודם זה
14) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle20+a=n^2\\\scriptstyle50+b=m^2\end{cases}$	יד) ואם יאמרו לך תחלק עשרה לשני חלקים ותוסיף החלק האחד על עשרים ויחזיק שרש ותוסיף החלק האחר על חמשים ויחזיק שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
$\scriptstyle{\color{blue}{a=x^2-20}}$	ומלאכתו שנניח החלק האחד אלגו פחות עשרי' דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a+20=x^2}}$	באופן שכאשר נוסיפיהו על עשרים יחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{b=10-a=30-x^2}}$	והחלק האחר הנשאר מן העשרה יהיה שלשים פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{50+b=50+\left(30-x^2\right)=80-x^2}}$	וכשתוסיפם על החמישים יהיו שמונים דרהמי פחות אלגו
	וצריך שיחזיק שרש כאלו אמר תחלק שמנים לשני חלקים וכל חלק שרש וכאשר יפלו לפניך שאלות מזה המין תעשה כמעשה הזה עד שיעלה לך מספר שתחלקהו לשני חלקי' ויחזיק כל חלק שרש אם הניח מספר שתוכל להתחלק
	ואם לאו השאלה היא לא יתכן שתגיע תכלית ותחלק השמנים לשני חלקים ולכל חלק שרש ותניח אחד החלקי' יותר מעשרים ופחות משלשים והחלק האחר יותר מחמשי' ופחות מששים ולזה הדרך אופנים רבים עד אין מספר והמלאכה להוציא איזה אופן שתרצה מהם הוא כפי מה שאמרתי לך קודם ואחד מהאופנים שנשי' החלק כ"ו אדרהמי ול' חלקים מרפט והחלק האחד הנשאר משמנים והוא נ"ג ות"ט חלקים מרפט חלקים באחד
	וכאשר תרצה לדעת שעור כל חלק מהעשרה תגרע מהחלק הראשון מהשמנים עשרים וישאר ששה דרהמי ושלישי' חלק' מרפט והוא החלק הראשון מהעשר' והחלק האחר הוא הנשאר מעשרה והוא שלשה דרהמי ורנט חלקים מרפט חלקי' באחד
	וכאשר נוסיף החלק הגדול משני חלקים העשרה על עשרים יהיה עשרים ושש ושלשי' חלקי' מרפט ומחזיק שרש והוא חמשה דרהמי ושלשה חלקי' מי"ז
	כאשר נוסיף החלק הקטן מן העשרה על החמישי יהיה חמשי' ושלשה דרהמי ורע"ו חלקים מרפט ומחזיק שרש והוא שבעה דרהמי וחמשה חלקים משבעה עשר
15) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle3-x^2=n^2\\\scriptstyle2+x^2=m^2\end{cases}$	טו) ואם יאמרו לך מרובע אם תגרעהו משלשה דרהמי יחזיק הנשאר שורש ואם תוסיפיהו על שני דרהמי יהיה למתקבץ שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
$\scriptstyle{\color{blue}{3+2=5}}$	ומעשהו שתקבץ השנים עם השלשה ויהיו חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{5=a^2+b^2}}$	תחלקם לשני חלקים יחזיק כל חלק שרשו
	ותניח החלק האחד יותר משנים ופחות משלשה ותגרע השנים מהחלק האחד ומה שישאר יהיה המרובע
	ואם תרצה תניח הד האלגו עשרים ושלשה חלקים מקס"ט חלקים באחד
	ואם תרצה תניח האלגו עשרים ושלשה חלקים מקסט חלקי' באחד ואם תרצה תנחיהו ק[מ]ו מקס"ט ואם תרצה תנחיהו תל"א חלקי' מתרכ"א חלקים באחד
	והנה תוכל לעשות זאת השאלה והדומים אליה כפי האופנים אשר תבחר כאשר ביארתי לך לפנים
16) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10-x^2=n^2\\\scriptstyle20-x^2=m^2\end{cases}$	יו) ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו מי' דרהמי יחזיק הנשאר שרש ואם תגרעהו מעשרים יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	זאת השאלה חרשת
	ומעשהו שתניח האלגו שלך י' צרהמי דרהמי פחות אלגו ואם תרצה עשרים עשרים דרהמי פחות אלגו ותניחהו כן בעבור כי כאשר תגרעהו מאחד מהם ישאר אלגו ומחזיק שורש והוא דבר ונניחהו י' דרהמי פחות אלגו
	וכאשר תגרעהו מן עשרה ישאר אלגו ואם תגרעהו מעשרים ישאר אלגו ועשרה דרהמי וצריך שיחזיק שורש וכבר ידעת ששרשו יותר מדבר ונניח שרשו דבר ושני דרהמי או דבר ושלשה דרהמי או אשר תרצה מהמספרי' כאשר ביארתי לך לפני' אחר שיהיו כאשר הכינו אותו בעצמו ונכוין עמהם אלגו ועשרה דרהמי יהיה האלגו פחות מעשרה דרהמי ותנחיהו דבר ושני דרהמי ותכהו בעצמו יהיה אלגו וארבעה דרהמי וארבעה דברי' ישוה אלגו ועשרה דרהמי ותכוין עמו ויהיה שורש האלגו אדרהם ואחד וחצי והאלגו שנים דרהמי ורביע והנחנו האלגו עשרה דרהמי פחות אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=7+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}$	ויהיה האלגו המבוקש שבעה דרהמי וחצי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{10-x^2=2+\frac{1}{4}}}$	ואם נגרעהו מעשרה ישאר שנים ורביע ושרשו אחד וחצי
	ואם הנחנו שורש מאלגו מעשרה דרהמי דבר ושלשה דרהמי
	יהיה האלגו תשעה דרהמי וחצי ושליש וחמישי ששיות הששית
	והאופנים הם שתניח בזאת השאלה ובדומים אליה יותר מאשר הוא המספר
17) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20+x^2=n^2\\\scriptstyle30+x^2=m^2\end{cases}$	יז) ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיפהו על עשרי' יחזיק שורש ואם תוסיפיהו על שלשים יחזיק שרש
	זאת השאלה חדשית ומעשהו שנניח האלגו אלגו פחות עשרים עשרים דרהמי או אם תרצה אלגו פחות שלשים
	ותנחיהו אלגו פחות עשרים דרהמי ובתוספתו על עשרים יעלה אלגו ושרשו דבר ונוסיפהו על שנים ויהיה אלגו ועשרה דרהמי וצריך שמחזיק שורש ויהיה האלגו יותר מעשרים ותניח שרשו דבר ואדרהם אחד ותכם בעצמם ותכוונם עם המתקבץ מן הכאת אלגו ועשרה דרהמי ויהיה המרובבע עשרים דרהמי ורביע ותגרע ממנו עשרים דרהמי וישאר רביע והוא המרובע המבוקש
	ואם תוסיפהו על עשרים יחזיק שורש
	ואם תרצה תאמר האלגו ע"ה דרהמי וחצי שמינית אם תוסיפהו על עשרים יחזיק שורש ושרשו תשעה דרהמי וחצי ורביע ואם נוסיפהו על שלשים יחזיק שורש והוא עשרה דרהמי ורביע ולזאת השאלה ולדומים אליה אופנים רבים
18) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle10+x^2=n^2\\\scriptstyle10-x^2=m^2\end{cases}$	יח) ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיפהו על עשרה יחזיק שורש ואם תגרעעהו מן עשרה יחזיק שורש
	וכאשר ישתוו שני מספרים בזאת השאלה ונניח אחד מהשני
	המספרי' שיחלקו לשני חלקי' לכל אחד שרש אז תחזיק מהאופני' מה שלא יסופרו
	ואם לא יתחלק לשני חלקי' שיחזיק כל חלק שורש תהיה השאלה חדשת זולת שום אופן
	ותחלק עשרה לשני חלקים ולכל חלק שרש והוא אחד ותשעה ותקח שרשי אחד ותשעה ויהיו ארבעה ותכם בעצמם והיו י"ו תגרע מהם העשרה וישאר ששה והוא האלגו אשר כאשר תוסיפהו על העשרה יחזיק שרש וכאשר תגרעהו מן העשרה יחזיק שרש והמשפט בזאת השאלה הוא עולה בעבור כי כאשר תגרע האלגו שהוא ששה מעשרה ישאר ארבעה והארבעה הם מהכאת העודף מאחד השני החלקים על השרש האחד אין שיבוש
19) $\scriptstyle8x+109-x^2=n^2$	יט) ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו משמנה שרשי' וק"ט דרהמי יחזיק שורש
	וכאשר יקרה לפניך שאלה כזאת תכה מחצית השרשים בעצמ' ותוסיפם על האדרהמי
	ואם יתחלק המקובץ מהם לשני חלקים ויחזיק [כל] אל חלק שורש תהיה השאלה נעלמת ותחזיק מהאופנים הרבה אשר לא יוכלו להמנות
	ואם לא יתחלק המתקבץ מהם לשני חלקים ולכל חלק מהם שורש תהיה השאלה חדשת בזולת שום אופן ותכה מחצית השרשים בעצמם ויהיה ששה עשר ותוסיפם על ק"ט ויהיה קכ"ה ותחלק קכ"ה לשני חלקים שיחזיק כל חלק שורש ואם תרצה תניח החלק האחד כ"ה והאחר מאה
	ואם תרצה תניח האחד ארבעה והאחר קכ"א ואם תרצה תחלקהו לשני חלקי' אחרים כאשר אמרתי וביארתי
	ותשוב ותקח החלק האחד מאיזה משני חלקים ותוסיפהו על המרובע אחר תקח כ"ה ותוסיפהו על המרובע ויהיה אלגו וכ"ה דרהמי ישוו שמנה וק"ט דרהמי ותגרע כ"ה מקט וישאר אלגו ישוה שמנ' דברי' ופ"ד דרהמי ומחצית הדברי' יהיה ארבעה תכם בעצמם והיו י"ו תוסיפם על פ"ד ויהיה ק' והם החלק האחד האחד
	והמשפט למה הוצאנוה בזה המעשה וחלקנום לשני חלקים לכל אחד שורש בעבור כי כשהוספנו החלק האחר על האלגו והשוינו עמו הדברי' והדרהמי אשר במספרנו החלק האחר וחצינו הדברי' והכינום בעצמם והוספנוהו על המספר או גרענו המספר ממנו יהיה המתקבץ ממנו או הנשאר הוא החלק האחר ויהיה מה שישאר מהשרשי' והדרהמי אחר גרעון האלגו מהמספר יהיה החלק הנוסף עליו אלגו
	ותשוב ותקח שורש המאה והוא עשרה ותוסיף עליהם מחצית השרשי' והוא ארבעה ויהיו ארבעה עשר והוא שורש האלגו והאלגו קצו ותגרעהו משמנה שרשיו וק"ט דרהמי והם רכ"א וישאר כ"ה ושרשו ה' ואם לקחנו החלק האחר והוא ק' דרהמי והוספנו על האלגו ונכוין המקבץ עם שמנה שרשיו וק"ט דרהמי והם רכ"א וישאר כ"ה ושרשו ה' ואם לקחנו החלק האחר והוא ק' דרהמי והוספנו על האלגו ונכוין המקבץ עם שמנ' שרשיו וק"ט דרהמי יהיה אלגו פ"א
	ואם לקחנו החלק האחד והוא ארבעה והוספנוהו על האלגוש ונכוין עמו שמנה שרשיו וק"ט יהיה המרובע רכ"ה
	ואם תרצה ל"ו ואם תרצה ר' והאופני' לזאת השאלה הם רבים
20) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle8x+x^2=n^2\\\scriptstyle2x-x^2=m^2\end{cases}$	כ) ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שמנה שרשיו שרש ואם תגרעהו משני שרשיו יהיה לנשאר שרש
	זאת השאלה חדשת וחכמת שנניח השמנה שרשי' הנוספי' באלגו י"ו דברי' וס"ד דרהמי באופן שיהיה למתקבץ שורש ושרשו דבר ושמנה דרהמי
	ואם הנחנו אחר זולת זה יעבור אחר זה שיהיה שיחזיק שורש וכאשר הנחנו השמנה שרשי' י"ו דברי' וס"ד דרהמי הנה אז תדע כי כל שרש שני דברי' ושמנה דרהמי והשני שרשי' ארבע דברי' וי"ו דרהמי והוא כמו שיאמרשאר שיאמר אלגו אם תגרעהו מארבע שרשיו וששה עשר יחזיק מה שישאר שורש ותעשה כאשר אמרתי ויהיה האלגו ל"ו והוא האלגו
	ותשוב ותאמר כבר הנחנו שרש האלגו שני דברי' ושמנה דרהמי ועשרי' דברי' ותחלק ל"ו על עשרים יעלה דרהם אחד וארבעה חומשי' והוא שרש האלגו המבוקש והאלגו שלשה דרהמי וחמשית וחומש החמשי' ואם תוסיף עליהם שמנה שרשיו והוא י"ד דרהמי ושני חומשי' יהיה י"ז וג' חומשי' וחומש החמישית ושרשו ארבעה וחומש
	ואם תגרע מהאלגו שהוא שלשה דרהמי וחמישית וחחומש החמישית משני שרשיו שהם שלשה דרהמי ושלשה חומשי' ישאר חומש אחד חומשי' מחמשית ושרשו שלשה חומשי'
	ואם תעשה כן באופן החלק האחר יהיה האלגו דרהם אחד
	והיטב תוכל לעשות לזאת השאלה באופני' רבים
21) $\scriptstyle2x+49-x^2=n^2$	כא) ואם יאמרו לך אלגו אם תגרעהו משני שרשיו ומ"ט דרהמי יחזיק הנשאר שורש אם תרצה תעשה כאשר אמרתי
	ואם תרצה תכה שני השרשי' בעצמם והיוצא יהיה אלגו והסיבה למה עשינו בזה בעבור כי המ"ט מחזיקי' שורש ואם לא יחזיק המספר שורש תשוב למעשה הראשון שביארתי לך קודם זאת השאלה כי זה המעשה לא יתכן כי אם במספר שיחזיק שורש ולא יחזיק אופן אחד כי אם רבים והמעשה הראשון לזאת השאלה ולדומה אליה יהיה באופני' רבים
22) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2-x=m^2\end{cases}$	כב) ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שרשו יהיה למתקבץ שרש ואם תגרע ממנו שרשו יחזיק הנשאר שרש
this is an indeterminate problem	וזאת חרשת
the solving procedure:	ותעשה אותה במעשה
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$ , such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2-b=m^2\end{cases}$	שתבקש מספר שיחזיק שורש וכאשר תקבץ עמו מספר אחר יחזיק שורש ואם תגרע ממנו אותו המספר יחזיק שרש
then: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}$	וכאשר מצאת אותו המספר תחלק אותו על המספר הנוסף ומה שיעלה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=24\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש הוא כ"ה והמספר הנוסף עליו כ"ד והמספ' הנגרע כ"ד
	וכבר ידעת כי כאשר תוסיף כ"ד על כ"ה יהיה מ"ט
	ושורשו ז' וכאשר תגרע כ"ד מכ"ה ישאר אחד ושרשו אחד
	ואם תבקש לדעת שעור האלגו תחלק כ"ה על כ"ד ויהיה אחד ושלישית השמינית והוא האלגו והאלגו אחד ושני שלישים וחלק אחד מתקע"ו באחד
	ואם תוסיף עליו שרשו והוא אחד ורביע ושתות יהיה שנים דרהמי ושמינית אחד וחלק אחד מתקעו ומחזיק שורש והוא אחד ושליש ושמינית
	ואם תגרע ממנו שרשו והוא אחד ושליש ושמינית ישאר כ"ה חלקי' מתקעו חלקי' באחד ומחזיק שורש והוא שמינית אחד וחצי ששית
	ואם תרצה תניח המספר המבוקש המחזיק שורש קס"ט והמספר הנוסף ק"כ והמספר הנגרע ממנו ק"כ ואתה יודע כי כשתוסיף על קס"ט ק"כ יהיה למתקבץ שורש והוא י"ז וכאשר תגרע מהם ק"כ יהיה לנשאר שורש והוא ז'
	וכאשר תרצה לדעת שיעור האלגו תחלק קס"ט על ק"כ ויעלה לחלק אחד וחמישית אחד ושמינית אחד וחצי שתות והוא שרש האלגו והאלגו אחד וי"ד אלפי' וקס"א מי"ד אלפי' ות' באחד
	ואם תוסיף באלגו שרשו והוא אחד וחמישית ושמינית וחצי שמינית ושתות אחד יהיה שלשה דרהמי וחמש' אלפי' ותרמא חלקי' מי"ד אלפי' ות' חלקי' באחד
	ומחזיק שורש והוא אחד מעשרה חלקי' מק"כ
	ואם תגרע ממנו שרשו שהוא אחד וחמישית ושמינית וחצי שתות ישארו שמנת אלפי' ורפ"א מי"ד אלפים ות' ומחזיק שורש והוא צ"א חלקי' מק"כ
	ולזאת השאלה ולדומים אליה אופני' רבי'
	וכבר ביארתי לך המלאכה בהוצאת אילו המספרי' או אשר תרצה מהם כי הם מחזיקים אופני' רבים כרצונך
	ואני אשכילך עוד בהוצאת אילו המספרי' למען יחכם בהם לבבך
	כבר הודעתיך שכל אלגוש שיחזיק שורש כאשר תוסיף עליו שני שרשים ודרהם אחד יחזיק שורש אחד זה תגרע מהאלגו שני שרשיו ודרהם אחד ותאמר שני שרשיו ודרהם אחד וכבר ידעת ששרשיו פחות מדבר וננחיהו דבר פחות שני דרהמי ותכהו בעצמו ויהיה אלגו וארבעה דרהמי פחות ארבעה דברי' ישוה אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד ותכוונהו עמו ויהיה הדבר ישוה שני דרהמי וחצי והוא שורש האלגו והאלגו ששה ורביע
	ונניח המספר הנוסף עליו שני שרשי' ודרהם אחד ותכוונהו עד עמו ויהיה הדבר ישוה שני דרהמי וחצי והוא שורש האלגו והוא ששה בעבור כי השורש הוא שני' וחצי יהיה המספר המבוקש ששה ורביע והמספר הנוסף ששה והמספר הנגרע ששה
	תשיבם לרביעיות ויהיה המספר המבוקש כ"ה והמספר הנוסף כ"ד והמספר הנגרע כ"ד
	ואם נניח שורש האלגו פחות שני דברי' ודרהם אחד דבר פחות דרהם וחצי תכהו בעצמו ויהיה אלגו ושני דרהמי ורביע פחות שלשה דברים ישוה אלגו פחות דבר ודרהם אחד ותכוונהו עמו ויהיה הדבר ישווה שלשה דרהמי ורביע ותכוונהו עמו ויהיה הדבר י"ג והוא שורש האלגו המבוקש
	שיחזיק שרש והוא קס"ט כל ששה עשר ממנו אחד והמספר הנוסף עליו הוא שני שרשים ודרהם אחד והוא ששה וחצי בעבור כי השורש שלשה דרהמי ורביע כל דרהם י"ו חלקי' ויהיה זה ק"כ חלקי' ותעשה כְנִמְעשךְ כאשר הראתי לך
23) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2-3x=m^2\end{cases}$	כג) ואם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשה שרשיו יחזיק שורש
seeking a number $\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}$ , such that: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(b+\frac{1}{2}b\right)=m^2\end{cases}$	וצריך שתבקש מספר שיחזיק שורש וכאשר תוסיף עליו מספר מה אחר יחזיק שרש בעבורם וכאשר תגרע ממנו כמו המספר הנוסף וכמו חציו יחזיק הנשאר שורש
	בעבור כי שלשת השרשי' הם שני השרשי' וכמו חציים
	וכאשר מצאת אותו המספר תחלקהו על חצי המספר הנוסף או על שלישית המספר הנגרע והעולה לחלק יהיה שרש המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=121\\\scriptstyle b=48\\\scriptstyle b+\frac{1}{2}b=72\end{cases}}}$	והמספר המחזיק שרש קכ"א והמספר הנוסף עליו מ"ח והמספר הנגרע ע"ב
	וכאשר תרצה לדעת שעור המספר תחלק קצא אם תרצה על מחצית המ"ח או אם תרצה על שליש הע"ב שהוא כ"ד למה שיעלה לחלק יהיה חמשה ושלישית השמינית והוא שרש האלגו והאלגו כ"ה ורביעית הששית וחלק אחד מתקע"ו באחד
	ואם תוסיף עליו שני שרשיו שהם עשרה דרהמי וחצי ששית ויהיה ל"ה דרהמי ושלשה רביעי ששית לחלק אחחד מתקעו ומחזיק שרש והוא חמשה דרהמי וחצי ושלישי' השמיניות
	ואם תגרע מהאלגו שלישית שרשו שהם ט"ו ושמינית אחד ישאר עשרה ושתות ושמינית וחלק אחד מתקעו
	ומחזיק שורש והוא שלשה ושמינית וחצי ששית
	ואם תרצה תניח המספר המבוקש שיחזיק שורש מ"ט והמספר הנגרע מ"ח ותחלק מ"ט על י"ו ועלה לחלק ג' וחצי שמינית והוא שרש האלגו והאלגו תשעה ושלשה שמיניות וחלק אחד מרנ"ו
	ואם תרצה תניח המספר המחזיק השרש תרכ"ה והמספר הנוסף של"ו והמספר הנגרע תק"ד ותחלק תרכ"ה על מחצית של"ו א או על שלישית תקדא והוא קסח ויעלה לחלק ג' ושני שלישית ורביע השביעיות ושמינית השביעית והוא שרש האלגו והאלגו י"ג דרהמי וקמ"א חלקי' מקספט וכ"ה חלקים מכ"ה אלפים ודבר
	ואם תוסיף עליו שני שרשיו והם ז' דרהמי וצ"ד חלקי' מקפ"ט יהיה כ"א דרהמי ומ"ז חלקי' מקס"ח חלקי' וכ"ה חלקי' מכ"ח אלפי ורכ"ד חלקי' ומחזיק שורש והוא ארבעה דרהמי וק"ג חלקי' מקס"ג חלקי' מאחד
	ואם תגרע מאלגו שלשת שרשיו ישאר שני אדרהמי וקי"ד חלקי' מקס"ח וכ"ה חלקי' מכ"ח אלפי' ורכ"ד חלקי' מאחד ומחזיק שורש והוא דרהם אחד וק"ט מקס"ה חלקים באחד
	וסבת הוצאת אלו המספרי' תהיה מבואר' ממה שביארנו קודם וכבר הראיתי לך שכל אלגו שיחזיק שרש והוא דבר ודרהם אחד תניח המספר הנוסף על האלגוש שני דברי' ודרהם אחד תניח והמספר הנוסף גרע ממנו שלשת שרשיו שרשיו ודרהם וחצי וישאר אלגו פחות שלשה שרשים ודרהם אחד
	ותניח שרשו ושני דברי' פחות שני דרהמי ותכם על עצמם
	ויהיה אלגו וארבעה דרהמי פחות ארבעה דברי' ישוה האלגוש פחות שלשה דברי' ודרהם אחד וחצי
	ותכוונם עמהם ויהיה הדבר חמשה וחצי והאלגו שלשי' ורביע
	ונניח המספר הנוסף עליו שני דברי' ודרהם אחד והוא י"ב ונניח המספר הנגרע ממנו ג' דברי' ודרהם אחד וחצי והוא י"ח השיבם רביעיות ויהיה המספר המבוקש שיחזיק שורש קכ"א והמספר הנוסף מ"ח והנגרע ע"ב ותעשה בפעלתם כמו שאמרתי לך
24) $\scriptstyle10x-8-x^2=n^2$	כד) ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תגרעהו מעשרת שרשיו פחות ח' דרהמי יחזיק מה שישאר שרש כאשר יקרה שאלות ככה תכה מחצי השרשי' בעצמם והמתקבץ תגרע ממנו האדרהמי ומה שישאר אם מתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש הנה תחזיק השאלה רבים מהאופנים כמו שתרצה
	ואם לא יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש יהנה לא יהיה לשאלה אופן ולא מלאכה
	ואם כאשר תכה מחצית השרשים בעצמו יצא כמו שיעור הדרהמי או פחות מהם לא הייתה השאלה נכונה
	ונכה מחצית השרשי' בעצמם בזאת השאלה והוא ה' ויהיה כ"ה תגרע מהם השמנה דרהמי וישאר ז"ז חלקם לשני חלקים ולכל חלק שרששה והם ששה עשר ואחד
	ואם תרצה תאמר אלגו וי"ו דרהמי ישוה עשרה שרשי' פחות שמנה דרהמי
	ואם תתרצה תאמר אלגו ודרהם אחד ישוה י' שרשי' פחות שמנה דרהמי ויהיה האלגו אם תרצה ל"ו ואם תרצה יהיה י"ח
25) $\scriptstyle x^2+1=10x-8$	כה) ואם יאמרו לך אלגו ודרהם אחד ישוו עשרה שרשים פחות שמנה דרהמי יהיה האלגו אם תרצה אחד ואם תרצה יהיה שמנים ואחד
26) $\scriptstyle260-6x-x^2=n^2$	כו) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרעהו מר"ס פחות ששה שרשים יחזיק הנשאר שרש
	וכאשר תפול לפניך שאלה כזאת תכה מחצית השרשים בעצמם ותוסיפם על הדרהמי ומה שיתקבץ אם יתחלק לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש תהיה השאלה אז בעלת אופנים כמה שתרצה
	ואם לא יתחלק ככה תהיה השאלה חרשת בזולת האופן
$\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b^2=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2+260=3^2+260=9+260=269=100+169}}$	אחר זה הנה הכאת מחצית השרשים בעצמם בזאת השאלה היא תשעה כי מחציתם שלשה תוסיפם על ר"ס ויהיה רס"ט תחלקם לשני חלקים שיחזיק כל חלק שרש ויהיו קס"ט ומאה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+169=260-6x}}$	ותאמר אם תרצה אלגו וקס"ט ישוו ר"ס דרהמי פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100=260-6y}}$	ואם תרצה תאמר אלגו ומאה דרהמי ישוו ר"ס פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=49}}$	ויהיה האלגו מ"ט דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2+100=260-6y}}$	ואם אמרת אלגו ומאה דרהמי ישוו ר"ס דרהמי פחות ששה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{y^2=100}}$	יהיה האלגו מאה דרהמי
27) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+3\sqrt{x^2+2x}=m^2\end{cases}$	כז) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על המקובץ שלשת שרשיו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x}}$	מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו תוסיף עליו שני שרשיו ויהיה אלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2}}$	ויחזיק שרש והוא דבר וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2+2x}=2\sqrt{x^2+2x}+\left(\frac{1}{2}\sdot2\sqrt{x^2+2x}\right)}}$	והסבה למה הנחתי שרשו דבר וחצי בעבור כי שלשת השרשים כמו שני השרשים וכמו חציים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2}}$	ותכה דבר וחצי בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)x^2=x^2+2x}}$	ויהיה שני אלגו ורביע ישוה אלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=1+\frac{3}{5}}}$	ותכונהו עמו ויהיה שרש האלגו דרהם אחד ושלשה חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=2+\frac{2}{5}+\left({\color{red}{\frac{4}{5}}}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והאלגו שני דרהמי ושני חומשים ורביע חומש החומש
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x=\left[2+\frac{2}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]+\left(3+\frac{1}{5}\right)=5+\frac{3}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ואם תוסיף עליו שני שרשיו והם שלשה וחמשית יהיה חמשה דרהמי ושלשה חומשי' וארבעה חומשי החומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x}=\left(1+\frac{1}{2}\right)x=2+\frac{2}{5}}}$	והוא ידוע כי שרשו כמו שרש האלגו הראשון וכמו חציו והוא שני דרהמי ושני חמישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	ושני השרשים כמו האלגו וכמו רביעיתו
	והוא מחויב שיהיו שלשת שרשים מחמשה דרהמי ושלשה חומשים ורביע חומש מחמישית כמו שהוא האלגו ורביעיתו יותר והוא שבעה וחומש
	וכאשר תוסיפם על חמשה דרהמי ושלשה חומשים וארבעה חומשי החומש יהיה שנים עשר וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש
	והוא ידוע כי שרשו הוא כמו שרש אחד וחצי מחמשה ושלשה חומשים וארבעה חומשי החומש והוא שלשה דרהמיש ושלשה חומשים
	והוא ראוי שיהיו ארבעה שרשים וחצי מי"ב וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש שיהיו כמו האלגו וכמו רביעיתו יותר והוא י"ו וחומש
	וכאשר תוסיפם על י"ב וארבעה חומשים וארבעה חומשי החומש יהיה כ"ט וארבעה חומשי החומש
	והוא ידוע כי שרשו הוא כמו שרש אחד וחצי מי"ב וארבעה חומשי' וארבעה חומשי החומש והוא חמשה דרהמי ושני חומשים
	וכן אם תוסיף מה שתרצה מהשרשים על המתיחס אליו שאשר יתקבץ ממנו יחזיק שרש כמו שנאמר כי כאשר נוסיף על כ"ט וארבעה חומשי החומש ששת שרשיו ושלשה רביעי השרש יהיה למתקבץ מהם שרש והוא כמו שרש וחצי מכ"ט וארבעה חומשים מחומש והוא שמנה עשר
	וכאשר תוסיף על המתקבץ עשרת שרשיו ושמינית השרש יחזיק המתקבץ מהם שרש והוא כמו שמנה עשר וכמו חציו שהם כ"ז
	וכן ימשכו כל אשר תרצה מההוספות כמו זה האופן כאשר תניח התוספת מתיחס לשאלה כאלו אמרנו שיחס השאלה הוא שששת שרשיו הם כמו שני השרשים וכמו חצים והולכים ומתוספים עד אין להם סוף
28) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+3x=n^2\\\scriptstyle x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}=m^2\end{cases}$	כח) וכן אם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שלשת שרשיו יחזיק שרש ואם תקבץ עם העולה ששת שרשיו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x}}$	מלאכתו שתניח האלגו שלך אלגו תוסיף עליו שלשת שרשיו ויהיה האלגו ושלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=2x}}$	ושרשו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sqrt{x^2+3x}=6x}}$	והסיבה בהניחנו שרשו שני דברים הוא בעבור כי ששת השרשים כמו שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x\sdot2x}}$	ותכה שני דברים בשני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{4x^2=x^2+3x}}$	ויהיה ארבעה אלגוש ישוו אלגו ושלשה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=1}}$	ותכונהו עמו ויהיה הדבר ישוה דרהם אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1}}$	והאלגו דרהם אחד
	וכמו זה ימשך מה שתרצה מההוספות כפי יחס השאלה
$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle x^2+3x\\&\scriptstyle+6\sqrt{x^2+3x}\\&\scriptstyle+12\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}}\\\end{align}$	נאמר כי כאשר תוסיף על מה שהתקבץ שנים עשר שרשים יחזיק שרש
	ואם תוסיף על המקובץ שרשו יחזיק שרש
$\scriptstyle+24\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}+12\sqrt{x^2+3x+6\sqrt{x^2+3x}}}$	וכאשר תוסיף על זה המקובץ עשרי' וארבעה שרשיו יחזיק המתקבץ שרש
$\scriptstyle+48\sqrt{\ldots}$	ואם תוסיף מ"ח שרשים יחזיק שורש
$\scriptstyle+96\sqrt{\ldots}$	ואם תוסיף צ"ו שרשים יחזיק שרש
	וכמעשה הזה יעלו כל מה שיפלו לפניך מזה המין כאשר יניחו השרשים השניים יותר מהראשונים
	ואם יונחו פחות מהראשונים לא יצאו עם זה המעשה
	אבל להם דרכים אחרים יצאו בהם והם אלו
29) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+2x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}=m^2\end{cases}$	כט) כאשר יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני שרשים יחזיק שרש ואם תוסיף על המקובץ שרשו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x}}$	ולידיעתו תניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו שני שרשיו ויהיה אלגו ושני שרשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}}$	ותוסיף על הנקבץ שרשו והוא שרש האלגו ושני שרשים ויהיה אלגו ושני שרשי' ושרש האלגו ושני שרשים וצריך שיחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}=x+\frac{1}{2}}}$	ונניח שרשו דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+\frac{1}{4}=x^2+2x+\sqrt{x^2+2x}}}$	ויהיה אלגו ודבר ורביעית דרהם ישוה אלגו ושני דברים ושרש מאלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x-\left(x^2+x\right)}}$	ותגרע אלגו ושרש מאלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+2x}=\frac{1}{4}}}$	וישאר שרש ושרש מאלגו ושני שרשים ישוו רביעית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-x}}$	ותגרע שרש מרביעית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-x=\sqrt{x^2+2x}}}$	ישאר רביעית דרהם פחות שרש ישוה שרש מאלגו ושני שרשי'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}-x\right)^2}}$	ותכה רביעית דרהם פחות שרש בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{16}+x^2-\frac{1}{2}x=x^2+2x}}$	ויהיה חלק מי"ו ואלגו פחות חצי דבר ישוה אלגו ושני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}}}$	ותכונהו עמו ויהיה השרש רביעית העשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{1600}}}$	והאלגו חלק אחד מאלף ות"ר
	והנחנו השרש דבר וחצי דרהם כדי שישחתו האלגוש וישארו דברים ישוו למספרים
30) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+4x=n^2\\\scriptstyle x^2+4x+2\sqrt{x^2+4x}=m^2\end{cases}$	ל) וכן אם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו ארבעת שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על המתקבץ שני שרשיו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו ארבעת שרשיו ויהיה אלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2\sqrt{x^2+4x}=x^2+4x+\sqrt{4x^2+16x}}}$	ותוסיף על אלגו וארבעה דברים שני שרשיו ושרש ארבעה אלגוש וי"ו דברים ויהיה אלגו וארבעה דברים ושרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x-\left(x^2+2x\right)}}$	ותגרע אלגוש ושני דברים מאלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1=2x+\sqrt{4x^2+16x}}}$	וישאר דרהם אחד ישוה שני דברים ושרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1-2x}}$	ותגרע שני הדברים מהדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{1-2x=\sqrt{4x^2+16x}}}$	וישאר דרהם אחד פחות שני דברים ישוה שרש מארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-2x\right)^2}}$	ותכה דרהם אחד פחות שני דברים בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{1+4x^2-4x=4x^2+16x}}$	ויהיה דרהם אחד וארבעה אלגוש פחות ארבעה שרשים ישוה ארבעה אלגוש וי"ו דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	ותכוין עמו ויהיה הדבר חצי עשירית מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{400}}}$	והאלגו חלק אחד מארבע מאות
	וכל אשר יפול בידך מזה המין תעשה מלאכה בשרשו עד שכאשר מצאת אותו עם הכוון ישאר דברים ישוו מספרים וזאת המלאכה גדולת התועלת די מוגו אפרוביגו
31) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-4x=n^2\\\scriptstyle x^2-4x-2\sqrt{x^2-4x}=m^2\end{cases}$	לא) ואם יאמרו לך אלגו אם תגרע ממנו ארבעה שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע מהנשאר שני שרשיו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4x}}$	ולידיעת זה תניח האלגו שלך אלגו ותגרע ממנו ארבעה שרשיו וישאר אלגו פחות ארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4x=\left(\frac{1}{2}x\right)^2}}$	ויחזיק שרש והוא חצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{2x=\frac{1}{2}\sdot4x}}$	והסיבה למה הנחתי חצי הדבר בעבור כי היו שני שרשים חצי הארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x\right)^2}}$	ותכה חצי דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}x^2=x^2-4{\color{red}{x}}}}$	ויהיה רביע אלגו ישוה אלגו פחות ארבעה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=5+\frac{1}{3}}}$	ותכונהו עמו ויהיה שרש האלגו חמשה ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=28+\frac{4}{9}}}$	והאלגו עשרים ושמנה וארבעה תשיעיות
	וזאת השאלה והדומים אליה יתנהג בה יחס השרשים כאשר נהגנו בשאלה שקדמה לה
	נאמר כי כאשר תגרע מהנשאר שרשו יחזיק שרש ואם תגרע מהנשאר חצי שרשו יחזיק שרש וכן רביעית שרשו ושמינית שרשו וחצי שמינית שרשו כל אחד מאלו המספרים הנגרעים חצי המספרים הנגרעים שהם קודמים אליו בעבור כי שני השרשים חצי הארבעה השרשים
	וכל אשר יפול לפניך מזה המין תעשהו עם זה האופן כאשר הניחו השרשים השניים פחות מהראשונים
32) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+1=m^2\end{cases}$	לב) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרשו ואם תוסיף עליו דרהם אחד יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו שרשו ויהיה אלגו ודבר ויחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1}}$	ותוסיף על האלגו אדרהם אחד ויהיה אלגו ודרהם אחד ויחזיק שורש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+x}}}$	ותשוב ותניח שרש האלגו ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}}}$	ושרש מאלגו ודרהם אחד פחות חצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+x}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+1}-\frac{1}{2}\right)^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+\frac{1}{4}-\sqrt{x^2+1}=x^2+x}}$	ויהיה אלגו ודרהם ורביע פחות שרש מאלגו ודרהם אחד ישוה אלגו ודבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{4}-\sqrt{x^2+1}=x}}$	וישאר דרהם אחד ורביע פחות שרש מאלגו ודרהם אחד ישוה שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+1}}}$	ותאסוף האדרהם ורביע עם שרש מאלגו ודרהם אחד ותוסיפם על השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2+1}=1+\frac{1}{4}}}$	ויהיה שרש ושרש מאלגו ודרהם אחד ישוה דרהם ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)-x}}$	ותגרע השרש מדרהם ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)-x=\sqrt{x^2+1}}}$	ישאר דרהם ורביע פחות דבר ישוה שרש מאלגו ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{4}\right)-x\right]^2}}$	ותכה האדרהם ורביע פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+{\color{red}{x^2}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)x=x^2+1}}$	ויהיה אדרהם וחצי וחצי שמינית פחות שני שרשים וחצי ישוה אלגו ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{9}{40}}}$	ותכונהו עמהם ויהיה הדבר ישוה תשעה חלקים מארבעים והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{81}{1600}}}$	והאלגו פ"א חלקים מאלף ות"ר
	והנחנו שרשו אלגו ודרהם פחות חצי דרהם למען ישאר אחר הכוון שרשים ישוו לדרהם אחד
33) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-5=n^2\\\scriptstyle x^2-5+\sqrt{x^2-5}=m^2\end{cases}$	לג) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו חמשה דרהמי יחזיק הנשאר שרש ואם תוסיף על הנשאר שרשו יחזיק המקובץ שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותגרע ממנו חמשה דרהמי וישאר אלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5+\sqrt{x^2-5}}}$	ותוסיף על אלגו פחות חמשה דרהמי שרשו והוא שרש האלגו פחות חמשה דרהמי ויהיה אלגו פחות חמשה דרהמי ושרש מהאלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-5+\sqrt{x^2-5}}=x{\color{red}{-\frac{1}{2}}}}}$	ותניח שרשו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x{\color{red}{-\frac{1}{2}}}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}-x=x^2-5+\sqrt{x^2-5}}}$	ויהיה אלגו ורביע דרהם פחות שרש ישוה אלגו פחות חמשה דרהמי והוא שרש מאלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}-x+5}}$	ותאסוף זה האלגו עם החמשה וזה יהיה עם השרש ותוסיף החמשה על אלגו ורביע דרהם והשרש אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{4}\right){\color{red}{-x}}=\sqrt{x^2-5}}}$	ויהיה השרש אלגו וחמשה דרהמי ורביע מהדברים ישוה שרש האלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right){\color{red}{-x}}\right]^2}}$	ותכה חמשה דרהמי ורביע הדברי' בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[27+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+x^2-\left(10+\frac{1}{2}\right)x=x^2-5}}$	ויהיה עשרים ושבעה דרהמי וחצי וחצי שמינית ואלגו פחות עשרה שרשים וחצי שרש ישוה אלגו פחות חמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=3+\frac{17}{1{\color{red}{68}}}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה שלשה דרהמי ושבעה עשר חלקים מקפ"ט והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}}}$	והאלגו תשעה דרהמי וק"ג חלקים מקס"ח חלקים וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד חלקים באחד
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-5=4+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}}}$	וכאשר תגרע ממנו חמשה ישאר ארבעה דרהמי וק"ג חלקים מקס"ח וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-5+\sqrt{x^2-5}&\scriptstyle=\left(4+\frac{103}{168}+\frac{121}{28224}\right)+\left(2+{\color{red}{\frac{25}{168}}}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{10{\color{red}{1}}}{168}\right)^2\\\end{align}}}$	ותוסיף עליו שרשו שהוא שני דרהמי וכ"ה חלקים מקס"ח וקכ"א חלקים מכ"ח אלפים ורכ"ד ויחזיק שורש והוא שני דרהמי ומאה דרהמי מקס"ח חלקים
34) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+4x=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(2x+1\right)=m^2\end{cases}$	לד) ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שורש אם תוסיף עליו ארבעת שרשיו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שני שרשיו ודרהם אחד יחזיק הנשאר שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו ארבעת שרשיו ויהיה אלגו וארבעה שרשי' ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(2x+1\right)}}$	ותגרע מהאלגו שני שרשיו ודרהם אחד וישאר אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד ויחזיק שרש
	ותניח שרשו כמו שאבאר לך בכוון שלא יתכן להיות שרש אחד מאלגו וארבעה דברים פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+4x}-3\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9+4x-6\sqrt{x^2+4x}=x^2-\left(2x+1\right)}}$	ויהיה אלגו ותשעה דרהמי וארבעה שרשים פחות ששה שרשים מאלגו וארבעה דברים ישוו אלגו פחות שני שרשים ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+6x+10=x^2+6\sdot\sqrt{x^2+4x}}}$	ותכוין עמו ויהיה אלגו וששה שרשים ועשרה דרהמי ישוה אלגו וששה שרשים מאלגו וארבעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\sqrt{x^2+4x}=\sqrt{36x^2+144x}}}$	וששה שרשים מאלגו וארבעה דברים שרש מל"ו אלגוש וקמ"ד דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{6x+10=\sqrt{36x^2+144x}}}$	וישאר ששה שרשים ועשרה דרהמי ישוה שרש מל"ו אלגוש וקמ"ד דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=4+\frac{1}{6}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה ארבעה דרהמי ושתות והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=17+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	והאלגו שבעה עשר דרהמיש ורביע התשיעית
35) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-2x=n^2\\\scriptstyle x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}=m^2\end{cases}$	לה) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו שני שרשיו יחזיק שרש ואם תוסיף על הנשאר שרשו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותגרע ממנו שני שרשיו וישאר אלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}}$	ותוסיף עליו שרשו ויהיה אלגו פחות שני שרשים ושרש האלגו פחות שני שרשים ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}=x-\left(1+\frac{1}{2}\right)}}$	ותניח שרשו דבר פחות דרהם אחד וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[x-\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(2+\frac{1}{4}\right)-3x=x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}}}$	ויהיה אלגו ושני דרהמי ורביע פחות שלשה שרשים ישוה אלגו פחות שני שרשים ושרש מאלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{x^2-2x}=2+\frac{1}{4}}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכוון דבר ושרש מאלגו פחות שני שרשים ישוו שני דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)-x}}$	ותגרע דבר משני דרהמי ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{4}\right)-x=\sqrt{x^2-2x}}}$	ישאר שני דרהמי ורביע פחות דבר ישוה שרש מאלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2+\frac{1}{4}\right)-x\right]^2}}$	ותכה שני דרהמי ורביע פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[5+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]+x^2-\left(4+\frac{1}{2}\right)x=x^2-2x}}$	ויהיה חמשה דרהמי וחצי שמינית ואלגו פחות ארבעה דברים וחצי דבר ישוה אלגו פחות שני שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שני דרהמי ורביע עשירית והוא שורש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=4+\frac{1}{10}{\color{red}{+}}\frac{1}{1600}}}$	והאלגו ארבעה ועשירית אחד מחלק אחד מאלף ת"ר
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-2x&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{10}+\frac{1}{1600}\right)-\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\\\end{align}}}$	ותגרע ממנו שני שרשיו והם ארבעה וחצי עשירית ישאר חצי עשירית וחלק אחד מאלף ת"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2-2x+\sqrt{x^2-2x}&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\right]+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)+\frac{1}{1600}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]^2\\\end{align}}}$	ותוסיף עליו שרשו והוא חומש אחד ורביעית העשירית יהיה רביע אחד ורובע העשירית וחלק אחד מאלף ת"ר ומחזיק שרש והוא חצי ורביע העשירית
36) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+3x+1=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(3x-2\right)=m^2\end{cases}$	לו) ואם יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשת שרשיו פחות שני דרהמי יחזיק מה שישאר שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+1}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד ויהיה אלגו ושלשה שרשים ודרהם אחד ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3x-2\right)=x^2+2-3x}}$	ותגרע מהאלגו שלשת שרשיו פחות שני דרהמי וישאר אלגו ושני דרהמי פחות שלשה שרשים ומחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2-3x}=\sqrt{x^2+3x+1}-3}}$	ותניח שרשו שרש מאלגו ושלשה שרשים ודרהם אחד פחות שלשה דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{x^2+3x+1}-3\right)^2}}$	ותכם בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+10-\sqrt{36x^2+36+108x}=x^2+2-3x}}$	ויבא אלגו ושלשה שרשים ועשרה דרהמי פחות שרש מל"ו אלגוש ול"ו דרהמי וק"ח דברים ישוו אלגו ושני דרהמי פחות שלשה שרשים
$\scriptstyle{\color{blue}{6x+8=\sqrt{36x^2+36+{\color{red}{1}}08x}}}$	ותכוין עמהם ויהיה אחר הכוון ששה דברים ושמנה דרהמי ישוה שרש מל"ו אלגוש ול"ו דרהמיש ור"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6x+8\right)^2}}$	ותכה ששה דברים ושמנה דרהמי בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{36x^2+96x+64=36x^2+36+108x}}$	ויהיה ל"ו אלגוש וצ"ו דברי' וס"ד דרהמי ישוו ל"ו אלגו ול"ו דרהמי וק"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=2+\frac{1}{3}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שני דרהמי ושליש אחד והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=5+\frac{4}{9}}}$	והאלגו חמשה דרהמי וארבעה תשיעיות
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x+1=13+\frac{4}{9}=\left(3+\frac{2}{3}\right)^2}}$	ואם תוסיף עליו שלשת שרשיו ודרהם אחד יהיה שלשה עשר דרהמי וארבעה תשיעיות ושרשו ג' דרהמי ושני שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3x-2\right)=\frac{4}{9}=\left(\frac{2}{3}\right)^2}}$	ואם תגרע ממנו שלשת שרשיו פחות שנים דרהמי ישאר ארבעה תשיעיות ושרשו שנים שלישיות
37) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle{\color{red}{x^2-\left(x-1\right)=n^2}}\\\scriptstyle x^2-\left(1-x\right)=m^2\end{cases}$	לז) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תגרע ממנו דרהם אחד פחות שרש האלגו יחזיק הנשאר שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1-x}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו דרהם אחד פחות שרש האלגו ויהיה אלגו ודרהם אחד פחות שרש האלגו ומחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(1-x\right)=x^2+x-1}}$	ואם תגרע מהאלגו דרהם אחד פחות שרש האלגו ישאר אלגו ושרש פחות דרהם אחד ומחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+1-x}=1-\sqrt{x^2+x-1}}}$	ותניח שרש האלגו אלגו ודרהם אחד פחות דבר ודרהם אחד פחות שרש האלגו ושרש פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\sqrt{x^2+x-1}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x-2\sqrt{x^2+x-1}=x^2+1-x}}$	ויהיה אלגו ושרש פחות שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ישוה אלגו ודרהם אחד פחות שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+x}}$	ותאספם עם השרש ותוסיפהו עם האלגו ושרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+2\sqrt{x^2+x-1}}}$	ותאסוף האחד עם שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ותוסיפהו על האלגו ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{1+{\color{red}{2}}\sdot\sqrt{x^2+x-1}=2x}}$	וישאר דרהם אחד ושרש מאלגו ושרש פחות דרהם אחד ישוו שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-1}}$	ותגרע דרהם אחד משני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=2\sdot\sqrt{x^2+x-1}}}$	וישאר שני דברים פחות דרהם אחד ישוה שני שרשים מאלגו ושרש פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=2\sdot\sqrt{x^2+x-1}\quad/\sdot\frac{1}{2}}}$	וחציו
$\scriptstyle{\color{blue}{x-\frac{1}{2}=\sqrt{x^2+x-1}}}$	שהוא דבר פחות חצי דרהם ישוה שרש מאלגו ושרש פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{2}\right)^2}}$	ותכה דבר פחות חצי דרהם בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{1}{4}-x=x^2+x-1}}$	ויהיה אלגו ורביע דרהם פחות דבר ישוה אלגו ושרש פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{5}{8}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר חמשה שמיניות מדרהם והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והאלגו שלשה שמיניות ושמינית אחד משמינית
38) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+\left(2-x\right)=n^2\\\scriptstyle x^2-\left(3-x\right)=m^2\end{cases}$	לח) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שני דרהמי פחות שרש האלגו יחזיק שרש ואם תגרע ממנו שלשה פחות שרש האלגו יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2-x}}$	ולידיעת זה תשים האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו שני דרהמי פחות שרש ויהיה אלגו ושני דרהמי פחות שרש ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(3-x\right)=x^2+x-3}}$	ותגרע ממנו שלשה פחות שרש וישאר אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2-x}=1+\sqrt{x^2+x-3}}}$	ותניח שרש האלגו ושני דרהמי פחות שרש מדרהם אחד ושרש מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\sqrt{x^2+x-3}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x-2+2\sqrt{x^2+{\color{red}{x}}-3}=x^2+2-x}}$	ויהיה אלגו ושרש פחות שני דרהמי ושני שרשים מאלגו פחות שלשה דרהמי ישוה אלגו ושנים דרהמי פחות שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x-2+x}}$	ותאסוף האלגו ושני דרהמי עם השרש ותוסיפיהו עם האלגו ושרש פחות שני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-x^2}}$	ותגרע אלגו מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{2x+{\color{red}{2}}\sqrt{x^2+x-3}=4}}$	וישאר שני שרשים ושרש מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי ישוה ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4-2x}}$	ותגרע שני השרשים מהארבעה דרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{4-2x=2\sdot\sqrt{x^2+x-3}}}$	ישאר ארבעה דרהמי פחות שני שרשים ישוה שנים שרשים מאלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{4-2x=2\sdot\sqrt{x^2+x-3}\quad/\sdot\frac{1}{2}}}$	ותקח חציו
$\scriptstyle{\color{blue}{2-x=\sqrt{x^2+x-3}}}$	והוא שני דרהמי פחות שרש ישוה אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2-x\right)^2}}$	ותכה שני דרהמי פחות דבר בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{4+x^2-4x=x^2+x-3}}$	ויהיה ארבעה דרהמי ואלגו פחות ארבעה דברים ישוה אלגו ושרש פחות שלשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{2}{5}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה דרהם אחד ושני חומשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\frac{4}{5}+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	והאלגו דרהם אחד וארבעה חומשים וארבעה חומשים מחומש
39) $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x+1=n^2\\\scriptstyle x^2+2x+2=m^2\end{cases}$	לט) ואם יאמרו לך אלגו המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו ודרהם אחד יחזיק שרש ואם תוסיף על האלגו שני שרשיו ושני דרהמי יחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x+1}}$	וידיעתו שתניח האלגו שלך אלגו ותוסיף עליו שרשו ודרהם אחד ויהיה אלגו ושרש ודרהם אחד ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2x+2}}$	ותוסיף על האלגו שני שרשיו ושני דרהמי ויחזיק שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+2x+2}=\frac{1}{2}+\sqrt{x^2+x+1}}}$	ותניח שרשו חצי דרהם ושרש מאלגו ושרש ודרהם אחד ישוה אלגו ושני שרשים ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2+2x+2\right)-\left[\left(x^2+x+1\right)+\frac{1}{4}\right]=x+\frac{3}{4}}}$	ותגרע אלגו ושרש ודרהם אחד ורביע מאלגו ושני שרשים ושני דרהמי וישאר דבר ושלשה רביעי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{3}{4}\right)^2}}$	ותכהו בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)x+\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=x^2+x+{\color{red}{1}}}}$	ויהיה אלגו ודבר וחצי וחצי דרהם וחצי שמינית ישוה אלגו ושרש ושני דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{x^2}=\frac{7}{8}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר שבעה שמיניות והוא שרש האלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{{\color{red}{6}}}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והאלגו חמשה שמיניות ושמינית השמינית

Word Problems
40) If you are told: four people gathered to buy a beast. The first said to the three [others]: if you give me half of what you have I will have the price of the beast. The second asked the three [others] for a third. The third asked the three [others] for a quarter. The fourth asked the three [others] for a fifth of what they have How much is the price of the beast and how much money does each of them have? $\scriptstyle{\color{blue}{a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]}}$	מ) ואם יאמרו לך ארבעה אנשים התקבצו יחד לקנות בהמה אחת ואמר הראשון לשלשה אם תתנו לי החצי מאשר תחזיקו יהיה לי ערך הבהמה ושאל השני לשלשה השלישית ושאל השלישי לשלשה הרביעית ושאל האיש הרביעי לשלשה החומש מאשר להם כמה יהיה ערך הבהמה וכמה ממון כל אחד מהם
the first has = davar = x the second has = dinar = y the third has = dirham = u the fourth has = fals = v	וידיעת זה שתניח אל האחד דבר ולשני דינר אחד ולשלישי דרהם אחד ולרביעי פלס אחד
the price = the first + half of the second, the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v}}$	ואמר הראשון שמחזיק דבר אל השלשה תנו לי החצי מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה ומחצית אשר להם הוא חצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס וכאשר קובצו עם הדבר אשר הוא מחזיק יהיה דבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס והוא ערך הבהמה
the price = the second + third of the first, the third and the fourth $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	ואמר השני אשר לו דינר אחד לשלשה תנו לי השלישית מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה ושלישית אשר להם הוא שלישית דבר ושלישית דרהם ושלישית פלס וכאשר קובצו עם הדינר אשר לו יהיו בידו דינר אחד ושלישית דבר ושלישית דרהם ושלישית פלס והוא ערך הבהמה
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v=y+\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	וזה יהיה שוה לדבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי פלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)+\left(\frac{1}{2}u-\frac{1}{3}u\right)+\left(\frac{1}{2}v-\frac{1}{3}v\right)=y-\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה זה שתגרע שלישית דבר מדבר שלם וישאר שני שלישי דבר ותגרע שליש דרהם מחצי דרהם וישאר ששית דרהם ותגרע שליש פלס מחצי פלס וישאר ששית פלס ותגרע חצי גאקיש מדינר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}u+\frac{1}{6}v}}$	וישאר חצי דינר ישוה שני שלישי דבר^[3] ושתות דרהם ושתות פלס^[4]
$\scriptstyle{\color{blue}{y=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	והדינר ישוה דבר ושליש דבר ושליש דרהם ושליש אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}y=\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)u+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)v}}$	ורביע דינר ישוה שליש דבר וחצי שתות דרהם וחצי שתות פלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}y=\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)u+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{3}\right)v}}$	וחמישית דינר ישוה חמישית דבר וחמישית שלישית הדבר וחמישית שלישית דרהם וחמישית שלישית פלס
the price = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\\&\scriptstyle=x+\left[\frac{2}{3}x+\frac{1}{6}u+\frac{1}{6}v\right]+\frac{1}{2}u+\frac{1}{2}v\\&\scriptstyle=1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v\\\end{align}}}$	ותניח ערך הבהמה דבר וחצי דינר וחצי דרהם וחצי אלפלס ותגרע חצי הדינר מערך הבהמה ותניח במקומו חצי אשר ישוה הדינר והוא שני שלישי דבר ושתות דרהם ושתות אלפלס ויהיה ערך הבהמה דבר ושני שלישים מדבר ושני שלישי דרהם ושני שלישי אלפלס
	וכבר הסירונו מספר הדינר והנחנו במקומו דבר ושליש דבר ושליש דרהם ושליש פלס
the price = the third + quarter of the first, the second and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle u+\frac{1}{4}x+\frac{1}{4}y+\frac{1}{4}v\\&\scriptstyle=u+\frac{1}{4}x+\left[\frac{1}{3}x+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)u+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)v\right]+\frac{1}{4}v\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)x+\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]u+\frac{1}{3}v\\\end{align}}}$	ואמר השלישי אשר לו דרהם אחד תנו לי הרביעית מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה ורביעית אשר להם הוא רביעית הדבר ורביעית דינר ורביעית פלס וכאשר תקבצם עם האדרהם אשר לו יהיו ותסיר סך הדינר ותניח במקומו אשר ישוה רביעית הדינר כמבואר למעלה יהיו אז מה שבידו שלישית דבר ורביעית דבר ודרהם וחצי שתות דרהם ושליש אלפלס והוא ערך הבהמה
$\scriptstyle{\color{blue}{1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)x+\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]u+\frac{1}{3}v}}$	ויהיה שוה לדבר ושני שלישי דבר ושני שלישי דרהם ושני שלישי אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]-\frac{2}{3}\right]u=\left[\left(1+\frac{2}{3}\right)-\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\right]x+\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{3}\right)v}}$	ותכוין בהם והוא שתגרע שלישית דבר ורביעית דבר מדבר ושני שלישי דבר ושליש פלאס משני שלישי פלאס וישאר דבר וחצי ושתות ושליש פלאס ותגרע שני שלישי דרהם מדרהם וחצי שתות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)u=\left[1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]x+\frac{1}{3}v}}$	וישאר רביע ושתות דרהם ישוה דבר וחצי שתות דבר ושליש פלאס
$\scriptstyle{\color{blue}{u=\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v}}$	והדרהם ישוה שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלאס
the price = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}u+\frac{2}{3}v\\&\scriptstyle=1\frac{2}{3}x+\frac{2}{3}\sdot\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v\right]+\frac{2}{3}v\\&\scriptstyle=1\frac{2}{3}x+\left[\left(1+\frac{1}{3}+\frac{2}{5}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)v\right]+\frac{2}{3}z\\&\scriptstyle=3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v\\\end{align}}}$	ותסיר השני שלישי דרהם מערך הבהמה ותשים במקומם שני שלישים ממה ששוה הדרהם והוא דבר ושליש ושני חומשי דבר ושליש וחומש אלפלאס ויהיה ערך הבהמה שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v\\&\scriptstyle=1\frac{1}{3}x+\frac{1}{3}\sdot\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)x+\frac{4}{5}v\right]+\frac{1}{3}v\\&\scriptstyle=1\frac{1}{3}x+\left[\left(\frac{2}{3}+\frac{1}{5}\right)x+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v\right]+\frac{1}{3}v\\&\scriptstyle=2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v\\\end{align}}}$	וכבר לקחנו הדרהם ושמנו במקומו שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלאס ותגרע שלישית הדרהם אשר הוא בערך הדינר ותניח במקומו שלישית מה שישוה הדרהם והוא שני שלישי דבר וחומש דבר וחומש אלפלאס ושלישית חומש אלפלאס ויהיה ערך הדינר שני דברים וחומש ושלשה חומשי אלפלאס
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle first=x\\\scriptstyle second=y=2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v\\\scriptstyle third=u=2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v\end{cases}}}$	הנה התבאר שיחזיק הראשון דבר והשני והוא אותו מהדינר יחזיק שני דברים וחומש ושלשה חומשי אלפלס והשלישי והוא אותו מהדרהם יחזיק שני דברים ושלשה חומשי דבר וארבעה חומשי אלפלס
the price = $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v}}$	וערך הבהמה יהיה שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
the price = the third + quarter of the first, the second and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle v+\frac{1}{5}x+\frac{1}{5}y+\frac{1}{5}u\\&\scriptstyle=v+\frac{1}{5}\sdot\left[x+\left(2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v\right)+\left(2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v\right)\right]\\&\scriptstyle=v+\left[\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v\right]\\&\scriptstyle=\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x+\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v\\\end{align}}}$	ואמר האיש הרביעי המחזיק אלפלס אחד אל השלשה תנו לי החמישית ממה שבידכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה וחמישית אשר להם הוא דבר וארבעה חומשי חמישית דבר וחמישית אלפלס ושני חומשי חמישית אלפלס וכאשר קבצנום עם האלפלס אשר הוא מחזיק יהיה לו אלפלס אחד וחמישית אלפלס ושני חומשי חמישית אלפלאס ודבר וארבעה חומשי חמשית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x+1\frac{1}{5}v=\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x+\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v}}$	וישוה כל זה ערך הבהמה שהוא שלשה דברים ושני חומשי דבר ופלס אחד וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\left[1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x=\left[1+\frac{1}{5}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]v-1\frac{1}{5}v}}$	תגרע פלס וחומש מפלס וחומש ושני חומשי חמשית פלס וישאר שני חומשי חמישית פלס ותגרע דבר וארבעה חומשי חמישית דבר משלשה דברים ושני חומשי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\frac{1}{5}x+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]x=\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}v}}$	וישאר שני דברים וחומש וחמישית חמישית הדבר וישוה שְני חומשי חמשית אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{v=28x}}$	והפלס ישוה עשרים ושמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle first=x=1\\\scriptstyle second=y=2\frac{1}{5}x+\frac{3}{5}v=\left[\left(2+\frac{1}{5}\right)\sdot1\right]+\left(\frac{3}{5}\sdot28\right)=19\\\scriptstyle third=u=2\frac{3}{5}x+\frac{4}{5}v=\left[\left(2+\frac{3}{5}\right)\sdot1\right]+\left(\frac{4}{5}\sdot28\right)=25\\\scriptstyle price=3\frac{{\color{red}{2}}}{5}x+1\frac{1}{5}v=\left[\left(3+\frac{2}{5}\right)\sdot1\right]+\left(1+\frac{1}{5}\sdot28\right)=37\end{cases}}}$	ונניח הדבר אחד והוא מה שמחזיק הראשון והשני תשעה עשר בעבור כי הוא שלשה חומשים ממה שמחזיק הרביעי וכמו הכפל מאשר יחזיק הראשון ושני חומשיו יותר והשלישי עשרים וחמשה בעבור כי הוא ארבעה חומשי מאשר לרביעי וכמו הכפל מהראשון ושלשה חומשי יותר וערך הבהמה שלשים ושבע בעבור כי הוא כמו אשר לרביעי וכמו החומש וכמו שלשה דימיוני אשר לראשון וכמו חמישיתו
	וזה המעשה הוא אשר ידעו אותו בעלי המספר ביניהם והיא הבנה שלימה זולת שהיא מאד דקה ובקושי גדול יצא החשבון
	וכבר אוצאוהו לאור אני עם [נ"ר אם] המלאכה ישרה והבנה שלימה
total sum = first + second + third + fourth = dirham = y	וזה שנניח כל אשר יחזיקו דרהם אחד
first = davar = x	ונניח שיהיה לאחד מזה הדרהם דבר
second + third + fourth = $\scriptstyle{\color{blue}{y-x}}$	וישאר לשלשה דרהם פחות דבר
the price = the first + half of the second, the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(y-x\right)\right]=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y}}$	וכאשר נקבץ חציים עם אשר לראשון שהוא דבר יהיה ערך הבהמה חצי דבר וחצי דרהם
second = dinar = u	ותניח לשני דינר אחד
the price = the second + third of the first, the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{u+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(y-u\right)\right]=\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}y}}$	ובאשר נקבץ שלישית הדרהם עם הדינר יהיה ערך הבהמה שני שלישיות מדינר ושלישית אדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{2}{3}u+\frac{1}{3}y}}$	וישוה ערך הבהמה מהחלק האחד שהיה חצי דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{3}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}y}}$	ותגרע שליש דרהם מחצי דרהם וישאר שני שלישי דינר ישוה חצי דבר וששית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{u=\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y}}$	והדינר שלשה רביעי דבר ורביע דרהם
	והוסר שם הדינר ונשאר במקומו שלשה רביעי דבר ורביע דרהם
third = dinar = u	ותניח לשלישי דינר אחד
the price = the third + quarter of the first, the second and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{u+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(y-u\right)\right]=\frac{3}{4}u+\frac{1}{4}y}}$	וישאר לשלשה דרהם אחד פחות דינר וכאשר קבצנו רביעיתו עם אשר לשלישי שהוא דינר אחד יהיה ערך הבהמה שלשה רביעי דינר ורביעית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{3}{4}u+\frac{1}{4}y}}$	וישוה ערך הבהמה מהחלק האחד שהוא חצי דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{4}y=\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}y}}$	ותגרע רביעית דרהם מחצי דרהם וישאר חצי דבר ורביע דרהם ישוה שלשה רביעי דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{u=\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y}}$	והדינר ישוה שני שלישי דבר ושליש דרהם
first + second + third = $\scriptstyle{\color{blue}{x+\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y\right)+\left(\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y\right)=\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y}}$	ויהיה כל אשר לשלשה שני דברים ורביע ושתות דבר ושליש ורביע דבר ושליש ורביע דרהם
fourth = $\scriptstyle{\color{blue}{y-\left[\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y\right]=\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x}}$	וכבר הנחנו לארבעתם דרהם אחד ומפני זה ישאר לרביעי רביע ושתות מדרהם פחות שני דברים ורביע ושתות דבר
the price = the fourth + fifth of the first, the second and the third: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x+\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)y\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x\right]+\left(\frac{29}{60}x+\frac{7}{60}y\right)\\&\scriptstyle=\frac{32}{60}y-1\frac{56}{60}x\\\end{align}}}$	ואמר זה האיש הרביעי אל השלשה המחזיקים שני דברים ורביע ושתות דבר ושליש ורביע דרהם תנו לי החומש מאשר לכם ואקבצנו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה והחומש אשר להם הוא כ"ט חלקים מס' חלקים בדבר וז' חלקים מס' בדרהם וכאשר תקבצהו עם אשר לו שהוא רביע ושתות מדרהם פחות שני דברים ורביע ושתות מדבר יהיה אשר יחזיק הרביעי ל"ב חלקים מששים בדרהם אחד פחות דבר וחמישים וששה חלקים מששים חלקים בדבר והוא ערך הבהמה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=\frac{32}{60}y-1\frac{56}{60}x}}$	וישוה לערך מהחלק האחד שהוא חצי דבר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{10}\right)y=\left(2+\frac{1}{3}+\frac{1}{10}\right)x}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכיון שלישית העשירית מדרהם ישוה שְנֵי דברים ושלישית דבר ועשירית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{y=73x}}$	והדרהם ישוה ע"ג דברים
first + second + third + fourth = $\scriptstyle{\color{blue}{y=73}}$	ותניח שווי הדרהם ע"ג והוא כל אשר מחזיקים ארבעתם
the first has: $\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}$	ושווי הדבר אחד והוא מה שיש לראשון
the second has: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}y=19}}$	ואשר לשני יהיה תשע עשרה בעבור כי היה לו כדי אשר ישוה רביע דרהם ושלשה רביעי דבר
the third has: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{3}y=25}}$	ולשלישי עשרים וחמשה בעבור כי היה לו כדי שליש דרהם ושני שלישי דבר
the fourth has: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)y-\left(2+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)x=28}}$	ולרביעי כ"ח בעבור כי היה לו כדי רביע ושתות דרהם פחות שני דברים ורביעי ושתות דבר
the fourth = y - (first + second + third): $\scriptstyle{\color{blue}{73-\left(1+19+25\right)=73-45=28}}$	ואם תרצה תקבץ אשר לראשון ולשיני ולשלישי ויהיה מ"ה ותגרעם מע"ג ויהיה מה שישאר אשר לאיש הרביעי והוא כ"ח
the price of the beast = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y=37}}$	וערך הבהמה ל"ז בעבור כי הונח חצי מה ששוה דרהם וחצי מה שיש לראשון
	ומעתה תוכל לעשות כמעשה הזה אשר יפול בידך מן האופן ויצא לאור תעלומותיו
41) If you are told: five people gathered to buy a beast. The first said to the second and the third: give me half of what you have and I will have enough to buy it. The second said to the third and the fourth: give me a third of what you have and I will have the price of the beast. The third said to the fourth and the fifth: give me a quarter of what you have and I will have the price of the beast. The fourth said to the fifth and the first: give me a fifth of what you have and I will have the price of the beast The fifth said to the first and the second: give me a sixth of what you have and I will have the price of the beast How much is the price of the beast and how much does each of the five have? $\scriptstyle{\color{blue}{a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]=b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(c+d\right)\right]=c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(d+e\right)\right]=d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(e+a\right)\right]=e+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(a+b\right)\right]}}$	מא) ואם יאמרו לך חמשה אנשים התקבצו יחד לקנות אלפאגה אחת ואמר הראשון לשיני ולשלישי תנו לי החצי מאשר לכם ויהיה לי כדי לקנותה ואמר השני לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית אשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה ואמר השלישי לרביעי ולחמישי תנו לי רביעית אשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה ואמר הרביעי לחמישי ולראשון תנו לי חמישית אשר לכם ויהיה לי ערך האלפאגה ואמר החמישי לראשון ולשיני תנו לי הששית מאשר לכם ויהיה לי ערך הבהמה כמה יהיה ערך הבהמה וכמה יהיה לכל אחד מהחמשה
the first has = davar = x the second has = dinar = y the third has = dirham = u	ולדעת זה נניח לראשון דבר ולשלישי דינר אחד ולשלישי דרהם אחד
	ולא נצטרך בזאת השאלה ולדומים אליה כדי להוציא החשבון ליותר מאילו השלשה מינים
the price = the first + half of the second and the third: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	אחר כן אמר הראשון המחזיק דבר לשני ולשלישי המחזיקים דינר ודרהם תנו לי החצי מאשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה והחצי מאשר מחזיקים הוא חצי דינר וחצי דרהם ולכן יהיה לו דבר אחד וחצי דינר וחצי דרהם והוא ערך הבהמה
the price = the second + third of the third and the fourth	ואמר השני אשר לו דינר אחד לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית החלק מאשר לכם ועם אשר לי שהוא דינר אחד אחזיק ערך הבהמה שֵיהַיַה דבר אחד וחצי דבר וחצי ודרהם
third of the third and the fourth = price - the second: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u\right)-y=x+\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}y}}$	ותגרע מערך הבהמה דינר אחד וישאר דבר אחד וחצי דרהם פחות חצי דינר והוא שליש מה שיחזיקו השלישי והרביעי
the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(x+\frac{1}{2}u-\frac{1}{2}y\right)=3x+1\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותכהו בשלשה ויהיה שלשה דברים ודרהם אחד וחצי פחות דינר וחצי והוא כל אשר יחזיקו השלישי והרביעי
the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x+1\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)-u=3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותגרע אשר לשלישי שהוא דרהם אחד וישאר מה שהוא לרביעי והוא שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי
the price = the third + quarter of the fourth and the fifth	ואמר השלישי המחזיק דרהם אחד לרביעי ולחמישי תנו לי רביעית אשר לכם ועם אשר לו יהיה לי ערך הבהמה והוא דבר אחד וחצי דינר וחצי דרהם
quarter of the fourth and the fifth = price - the third: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u\right)-u=x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}u}}$	ותגרע מערך הבהמה אשר לשלישי שהוא דרהם אחד וישאר דבר וחצי דינר פחות חצי דרהם והוא רביעית אשר לרביעי ולחמשי
the fourth and the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(x+\frac{1}{2}y-\frac{1}{2}u\right)=4x+2y-2u}}$	ותכהו בארבעה ויהיה ארבעה דברים ושני דינרים פחות שני דרהמי והוא כל אשר לרביעי ולחמישי
the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4x+2y-2u\right)-\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)=x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u}}$	ותגרע מהם מה שיש לרביעי שהוא שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי וישאר מה שיש לחמשי דבר אחד ושלשה דינרים וחצי פחות שני דרהם וחצי
the price = the fourth + fifth of the fifth and the first: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(2x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y\right)+\left(\frac{2}{5}x+\frac{7}{10}y-\frac{1}{2}u\right)\\&\scriptstyle=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y\\\end{align}}}$	ואמר הרביעי המחזיק שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר אחד וחצי לחמישי ולראשון המחזיקים שני דברים ושלשה דינרים וחצי פחות שני דרהמי וחצי תנו לי החמישית מאשר לכם ועם אשר לי יהיה בידי כמו ערך הבהמה וחמישית אשר להם הוא שני חומשי דבר ושבעה עשיריות דינר פחות חצי דרהם וכאשר תקבצם עם אשר לו יהיה בידו שלשה דברים ושני חומשים פחות ארבעה חומשי דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y}}$	והוא שוה לערך הבהמה מהחלק האחר שיהיה דבר וחצי דינר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{u=4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם יהיה שוה ארבעה דברים וארבעה חומשי דבר פחות שני דינרים ושלשה חומשי דינר
the price = $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y\right)\right]=x+\frac{1}{2}y+2\frac{2}{5}x-1\frac{3}{10}y=3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y}}$	ותגרע חצי הדרהם אשר בערך הבהמה ותניח במקומו חצי מה ששוה הדרהם והוא שני דברים ושני חומשי דבר פחות דינר אחד ושלשה עשירית מדינר ויהיה ערך הבהמה שלשה דברים ושני חומשי דבר פחות ארבעה חומשי דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle first=x\\\scriptstyle second=y\\\scriptstyle third=4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y\\\scriptstyle fourth=5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y\end{cases}}}$	והנה אשר לראשון הוא דבר ואשר לשני הוא דינר אחד ולשלישי ארבעה דברים וארבעה חומשי דבר פחות שני דינרים ושלשה חומשי דינר ולרביעי חמשה דברים ושני חומשי דבר פחות שני דינרים וארבעה חומשי דינר
the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y=5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y}}$	והסבה למה הנחנו ככה לרביעי הוא בעבור שהיה לרביעי שלשה דברים וחצי פחות דינר אחד וחצי ותגרע חצי דרהם מאשר בידו ותניח במקומו החצי ממה ששוה הדרהם
the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u=10y-11x}}$	וצריך הוא כפי מה שביארנו לחמישי עשרה דינרי' פחות אחד עשרה דברים
the price = the fifth + sixth of the first and the second: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(10y-11x\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(x+y\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10y-11x\right)+\left(\frac{1}{6}x+\frac{1}{6}y\right)\\&\scriptstyle=10\frac{1}{6}y-10\frac{5}{6}x\\\end{align}}}$	ואמר לראשון ולשני אשר להם דבר אחד ודינר אחד תנו לי הששית מאשר לכם ואקבצנו עם אשר לי ויהיה לי ערך הבהמה והששית מאשר להם הוא ששית דבר וששית דינר ויהיה מה שיחזיק החמישי עשרה דינרים ושתות פחות עשרה דברים וחמשה ששיות הדבר והוא ערך הבהמה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y=10\frac{1}{6}y-10\frac{5}{6}x}}$	וישוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא ג' דברים ושני חומשי דבר פחות ארבעה חומשי דינר
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=47}}$	ותכוין בהם ויהיו אחרי זה הכיון הדבר ארבעים ושבעה והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=61}}$	והדינר ששים ואחד והוא אשר לשני
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{4\frac{4}{5}x-2\frac{3}{5}y=67}}$	ואשר לשלישי ששים ושבעה בעבור כי הוא ארבעה דימיונים וארבעה חומשים ממה שיש לראשון פחות שני דמיונים ושלשה חומשים ממה שיש לשני
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{5\frac{2}{5}x-2\frac{4}{5}y=83}}$	ולרביעי שמונים ושלשה בעבור כי לו חמשה דימיונים ושני חומשים ממה שיש לראשון פחות שני דימיונים וארבעה חומשים ממה שיש לשני
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{10y-11x=93}}$	ולחמישי תשעים ושלשה בעבור כי הוא עשרה דימיונים מאשר לשני פחות אחד עשר דימיוני אשר אל הראשון
the price of the beast = $\scriptstyle{\color{blue}{3\frac{2}{5}x-\frac{4}{5}y=111}}$	וערך הבהמה קי"א בעבור כי הוא שלשה דימיונים ושני חומשים מאשר לראשון פחות ארבעה חומשים מאשר לשני
	ואם בקשת להוציא אשר לרביעי ואשר לחמישי אחר זה המעשה
the first has 47 the second has 61 the third has 67	הנה כבר ידעת שאשר לראשון מ"ז ואשר לשני ס"א ואשר לשלישי ס"ז
the fourth = 3×(the price - the second) - the third = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[3\sdot\left(111-61\right)\right]-67=\left(3\sdot50\right)-67=150-67=83}}$	ותגרע מה שיש לשני מערך הבהמה וישאר חמישים ותכם בשלשה ויהיה ק"נ ותגרע מהם מה שיש לשלישי והוא ס"ז ישאר אשר לרביעי פ"ג
the fifth = 4×(the price - the third) - the fourth = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(111-67\right)\right]-83=\left(4\sdot44\right)-83=176-83=93}}$	ואם בקשת לדעת אשר לחמישי תגרע מה שיש לשלישי מערך הבהמה וישאר מ"ד ותכם ארבעה ויהיה קעו ותגרע מהם מה שיש לרביעי והוא פ"ג וישאר צ"ג והוא מה שיש לחמישי
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle first=davar=x\\\scriptstyle second=dinar=y\\\scriptstyle third=dirham=u\end{cases}$	ואם תרצה תניח לראשון דבר אחד ולשני דינר אחד ולשלישי דרהם אחד
fourth = fals = v	ולרביעי אלפלס אחד
	ולא יצטרך לזאת השאלה ולדומים אליה כדי להוציא החשבון ליותר מאילו הארבעה מינים
the price = the first + half of the second and the third: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	ואמר הראשון לשני ולשלישי תנו לי החציה אשר לכם ואקבצהו עם אשר לי ויהיה עימי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה דבר וחצי דינר וחצי דררהם
the price = the second + third of the third and the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	ואמר השני לשלישי ולרביעי תנו לי שלישית אשר לכם ועם אשר לי יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערכה מזה החלק דינר ושליש דרהם ושליש אלפלס
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=y+\frac{1}{3}u+\frac{1}{3}v}}$	וישוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר וחצי דרהם
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{v=3x+\frac{1}{2}u-1\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה האלפלס ישוה שלשה דברים וחצי דרהם פחות דינר וחצי והוא אשר לרביעי
fifth = fals = v	ותניח לחמישי אלפלס אחד
the price = the third + quarter of the fourth and the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle u+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[\left(3x+\frac{1}{2}u-{\color{red}{1}}\frac{1}{2}y\right)+v\right]\right]\\&\scriptstyle=u+\left(\frac{3}{4}x+\frac{1}{4}v+\frac{1}{8}u-\frac{3}{8}y\right)\\&\scriptstyle=1\frac{1}{8}u+\frac{1}{4}v+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}y\\\end{align}}}$	ואמר השלישי אשר לו דרהם אחד לרביעי ולחמישי אשר להם אלפלס אחד ושלשה דברים וחצי דרהם פחות שני דינרים וחצי תנו לי רביעית אשר לכם ועם אשר לי יהיה ערך הבהמה ורביעית אשר להם היא שלשה רביעי דבר ורביעית אלפלס ושמינית דרהם פחות ג' שמיניות מדינר וכאשר קובצו עם הדרהם אשר לו יהיה בידו כמו ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק דרהם אחד ושמינית אחד מדרהם ורביע אלפלס ושלשה רביעי דבר פחות שלשה שמיניות מדינר
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=1\frac{1}{8}u+\frac{1}{4}v+\frac{3}{4}x-\frac{3}{8}y}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק הראשון שהוא דבר וחצי דינר וחצי דרהם
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{v=x+3\frac{1}{2}y-2\frac{1}{2}u}}$	ותכוין בהם ויהיה אלפלס ישוה דבר ושלשה דינרי' וחצי פחות שני דרהמי וחצי והוא אשר לחמישי
	ותעשה הנשאר מן השאלה כפי מה שהראתיך
42) If you are told: five people gathered. The first said to the second: if you give me half of what you have I will have the price of the beast. The second said to the third: if you give me a third of what you have I will have the price of the beast. The third said to the fourth: if you give me a quarter of what you have I will have the price of the beast. The fourth said to the fifth: if you give me a fifth of what you have I will have the price of the beast The fifth said to the first: if you give me a sixth of what you have I will have the price of the beast How much is the price of the beast and how much does each of them have? $\scriptstyle{\color{blue}{a+\frac{1}{2}b=b+\frac{1}{3}c=c+\frac{1}{4}d=d+\frac{1}{5}e=e+\frac{1}{6}a}}$	מב) ואם יאמרו לך חמשה אנשים התקבצו ואמר הראשון לשני אם תתן לי החצי מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר השני לשלישי אם תתן לי השלישית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר השלישי לרביעי אם תתן לי הרביעית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר הרביעי לחמישי אם תתן לי החמישית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה ואמר החמישי לראשון אם תתן לי ששית אשר בידך יהיה לי ערך הבהמה כמה יהיה ערך הבהמה וכמה יהיה אלגו מכל אחד מהחמשה
the first has = davar = x the second has = dinar = y the third has = dirham = u	ולדעת זה תניח לראשון דבר ולשני דינר אחד ולשלישי דרהם אחד
the price = the first + half of the second: $\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y}}$	ואמר הראשון אשר בידו דבר אחד לשני אשר בידו דינר אחד אם תתן לי החצי מאשר לך יהיה לי ערך האלפאגה ויהיה ערך הבהמה דבר וחצי דינר
the price = the second + third of the third: $\scriptstyle{\color{blue}{y+\frac{1}{3}u}}$	ואמר השני אשר בידו דינר אחד לשלישי אשר בידו דרהם אחד אם תתן לי השלישית מאשר לך יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק דינר אחד ושלישית דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=y+\frac{1}{3}u}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק האחד שהיה דבר וחצי דינר
the third has $\scriptstyle{\color{blue}{u=3x-1\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם ישוה שלשה דברים פחות דינר אחד וחצי והוא אשר לשלישי
the fourth has = dirham = u	ותניח לרביעי דרהם אחד
the price = the third + quarter of the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x-1\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{4}u=3x+\frac{1}{4}u-1\frac{1}{2}y}}$	ואמר השלישי אשר לו שלשה דברים פחות דינר וחצי לרביע אשר לו דרהם אחד אם תתן לי הרביעית מאשר לך יהיה ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק שלשה דברים ורביע דרהם פחות דינר וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=3x+\frac{1}{4}u-1\frac{1}{2}y}}$	וישוה ערך הבהמה והחלק האחד שהוא דבר וחצי דינר
the fourth has $\scriptstyle{\color{blue}{u=8y-8x}}$	ותכוין עמו ויהיה הדרהם ישווה שמונה דינרים פחות שמנה דברים והוא אשר לרביעי
the fifth has = dirham = u	ותניח לחמישי דרהם אחד
the price = the fourth + fifth of the fifth: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8y-8x\right)+\frac{1}{5}u=8y+\frac{1}{5}u-8x}}$	ואמר הרביעי אשר לו שמנה דינרים פחות שמנה דברים לחמישי אשר לו דרהם אחד אם תתן לי החמישית מאשר לך יהיה לי ערך הבהמה ויהיה ערך הבהמה מזה החלק שמנה דינרים וחמשית דרהם פחות שמנה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=8y+\frac{1}{5}u-8x}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה והחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר
the fifth has $\scriptstyle{\color{blue}{u=45x-37\frac{1}{2}y}}$	ותכוין בהם ויהיה הדרהם ישוה מ"ה דברים פחות ל"ז דינרים וחצי והוא מה שיש לחמישי
the price = the fifth + sixth of the first: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(45x-37\frac{1}{2}y\right)+\frac{1}{6}x=45x+\frac{1}{6}x-37\frac{1}{2}y}}$	ואמר לראשון אשר לו דבר אם תתן לי הששית מאשר בידך יהיה לי ערך הבהמה והששית מהראשון הוא ששית דבר ונקבציהו עם מה שמחזיק ויהיה ערך הבהמה מזה החלק מ"ה דברים וששית דבר פחות ל"ז דינרים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\frac{1}{2}y=45x+\frac{1}{6}x-37\frac{1}{2}y}}$	ויהיה שוה לערך הבהמה מהחלק האחר שהוא דבר וחצי דינר
$\scriptstyle{\color{blue}{44\frac{1}{6}x=38y}}$	ותכוין בהם ויהיה אחר הכוון מ"ד דברים וששית דבר ישוה ל"ח דינרים
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=228}}$	והשיבם כלם ששיות ויהיה הדבר רכ"ח והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=265}}$	והדינר רס"ה והוא אשר לשיני
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{3x-1\frac{1}{2}y=286\frac{1}{2}}}$	ולשלישי שלשה דברים פחות דינר אחד וחצי והוא רפ"ו וחצי
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot228=456}}$	והשיבם כלם חצאים ויהיה הדבר והוא אשר לראשון תנ"ו
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=2\sdot265=530}}$	ויהיה הדינר והוא מה שיש לשני תק"ל
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(286\frac{1}{2}\right)=573}}$	ויהיה אשר לשלישי תקע"ג
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{8y-8x=592}}$	ולרביעי שמנה דינרים פחות שמנה דברים ויהיה תקצ"ב
the fifth has = $\scriptstyle{\color{blue}{45x-37\frac{1}{2}y=645}}$	ולחמישי מ"ה דברים פחות ל"ז דינרים וחצי והוא תרמ"ה
the price = $\scriptstyle{\color{red}{721}}$	ויהיה ערך הבהמה תתקכ"א
43) If you are told: four people gathered to buy a beast. The first said to the second: if you give me one dirham I will have twice as much of what remains with you. The second said to the third: if you give me two dirham I will have three times as much of what remains with you. The third said to the fourth: if you give me three dirham I will have four times as much of what remains with you. The fourth said to the first: if you give me four dirham I will have five times as much of what remains with you $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a+1=2\sdot\left(b-1\right)\\\scriptstyle b+2=3\sdot\left(c-2\right)\\\scriptstyle c+3=4\sdot\left(d-3\right)\\\scriptstyle d+4=5\sdot\left(a-4\right)\end{cases}}}$	מג) ואם יאמרו לך ארבעה אנשים התקבצו לקנות בהמה אחת ואמר הראשון לשני אם תתן לי דרהם אחד יהיה לי הכפל ממה שנשאר לך ואמר השני לשלישי אם תתן לי שני דרהמי יהיה לי שלשה כפלים ממה שנשאר לך ואמר השלישי לרביעי אם תתן לי שלשה דרהמי יהיה לי ארבעה כפלים ממה שנשאר לך ואמר הרביעי לראשון אם תתן לי ארבעה דרהמי יהיה לי חמשה כפלים ממה שנשאר לך
the first has = davar = x the second has = dinar = y	ולדעת זה תניח לראשון דבר ולשני דינר אחד
the first took one dirham from the second: $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=2\sdot\left(y-1\right)=2y-2}}$	וכאשר לקח הראשון מהשני דרהם אחד יהיה לראשון דבר ודרהם אחד ויהיה כמו הכפל ממה שנשאר לשני והוא שני דברים פחות שני דרהמי
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}}}$	ותכוין בהם ויהיה הדינר ישוה חצי דבר ודרהם וחצי והוא אשר לשני
the third has = dinar = y	ותניח לשלישי דינר אחד
the second took two dirham from the third: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}+2=\frac{1}{2}x+3\frac{1}{2}=3\sdot\left(y-2\right)=3y-6}}$	וכאשר לקח ממנו השני שני דרהמי יהיה לשני חצי דבר ושלשה דרהמי וחצי ויהיה שוה לשלשה דימיוני מה שנשאר לשלישי והוא שלשה דינרים פחות ששה דרהמי
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}}}$	ותכוין בהם וישוה הדינר שתות דבר ושלשה דרהמי ושתות והוא אשר לשלישי
the fourth has = dinar = y	ונניח לרביעי דינר אחד
the third took two dirham from the fourth: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}+3=\frac{1}{6}x+6\frac{1}{6}=4\sdot\left(y-3\right)=4y-12}}$	וכאשר לקח ממנו השלישי שלשה דרהמי יהיה לו שתות דבר וששה דרהמי ושתות וישוה ארבעה דימיונים ממה שנשאר לרביעי והוא ארבעה דינרים פחות שנים עשר דרהמי
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{y=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}}}$	ותכוין בהם ויהיה שוה הדינר שלישית השמינית מדבר וארבע דרהמי ורביע ושתות ושמינית דרהם והוא אשר לרביעי
the fourth took 4 dirham from the first: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}+4=\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+8\frac{13}{24}=5\sdot\left(x-4\right)=5x-20}}$	וכאשר לקח מהראשון ארבעה דרהמי יהיה לו שמנה דרהמי וי"ג חלקים מכ"ד חלקים בדרהם ושלישית השמינית מדבר וישוה לחמשה דימיונים מאשר נשאר לראשון והוא חמשה דברים פחות עשרים דרהמי
the first has = $\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{90}{119}}}$	ותכוון בהם יהיה הדבר ישוה לחמשה דרהמי ותשעים חלקים מקי"ט חלקים מאחד והוא אשר לראשון
the second has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+1\frac{1}{2}=4+\frac{45}{119}}}$	ולשני החצי ממה שיש לראשון ודרהם אחד וחצי יותר ויהיה ארבעה דרהמי ומ"ה חלקים מקי"ט
the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x+3\frac{1}{6}=4+\frac{15}{119}}}$	ולשלישי הששית ממה שיש לראשון ושלשה דרהמי ושתות יותר והוא ארבעה דרהמי וט"ו חלקים מקי"ט חלקים בדרהם
the fourth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)x+4\frac{1}{4}+\frac{1}{6}+\frac{1}{8}=4+\frac{95}{119}}}$	ולרביעי שליש השמינית מאשר לראשון וארבעה דרהמי ושתות ושמינית והוא ארבעה דרהמי וצ"ג חלקים מקי"ט חלקים בדרהם
44) If you are told: an amount of money [is shared] between three people: one has a half, the second has a third and the third has a sixth. They earned the money. Then the one who has the half returned a half of his share. The one who has the third returned a third of his share. The one who has the sixth returned a sixth of his share. They shared all their earning and divided it equally between the three of them and each received his proper share.	מד) ואם יאמרו לך אלגו בין שלשה אנשים לאחד החצי ולשני השליש ולשלישי השתות והרויחו האלגו ביניהם והחזיר אשר לו החצי המחצית מחלקו והחזיר אשר לו השליש השלישית מחלקו והשיב בעל השתות הששית מחלקו ושתפו כל אשר הרויחו שלשתם וחלקוהו בין שלשתם בשוה ועלה לכל אחד מהם
the amount of money = davar+dinar+dirham = x+y+u $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle davar=x\\\scriptstyle dinar=y\\\scriptstyle dirham=u\end{cases}}}$	ולדעת זה נניח האלגו דבר ודינר אחד ודרהם אחד אידיו נ"א איגאנו נראה לי
the profit of owner of the half = x	והרויח בעל החצי דבר
the profit of owner of the third = y	ובעל השליש דינר אחד
the profit of owner of the sixth = u	ובעל השתות דרהם אחד
the owner of the half returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	והשיב בעל החצי חצי דבר
the owner of the third returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}y}}$	והשיב בעל השליש שלישית הדינר
the owner of the sixth returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}u}}$	והשיב בעל השתות ששית דרהם
the sum of what they returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u}}$	והתקבץ מאשר השיבו חצי דבר ושלישית דינר וששית דרהם
each received a third of this sum = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u\right)=\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u}}$	וחלקו אותו ביניהם לשליש והמגיע לכל אחד מהם שתות דבר ותשיעית דינר וחצי תשיעית דרהם
	וקבצוהו כל אחד מהם עם מה שנשאר להם
the proper share of the owner of the half = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{6}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u=\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u}}$	ויהיה לבעל החצי שני שלישי דבר ותשיעית דינר וחצי תשיעית דרהם
this is equal to half the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x+\frac{1}{9}y+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)u=\frac{1}{2}x+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	וישוה לחצי האלגו שהוא חצי דבר וחצי דינר וחצי דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר ישוה שני דינרים ושליש ושני דרהמי ושני שלישיות
then the amount of money is = $\scriptstyle{\color{blue}{x+y+u=3\frac{1}{3}y+3\frac{2}{3}u}}$	וצריך שיהיה האלגו שלשה דינרים ושליש ושלשה דרהמי ושני שלישים
the owner of the half returned half of his share = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}\sdot\left(2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u\right)=1\frac{1}{6}y+1\frac{1}{3}u}}$	ושב חציו והוא דינר ושתות ודרהם ושליש
the sum of what they returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{1}{3}y+\frac{1}{6}u=1\frac{1}{2}y+1\frac{1}{2}u}}$	וכל מה שהשיבו דינר אחד וחצי ודרהם וחצי
each received a third of this sum = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(1\frac{1}{2}y+1\frac{1}{2}u\right)=\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u}}$	וחלקוהו לשליש לכל אחד חצי דינר וחצי דרהם
the proper share of the owner of the third = $\scriptstyle{\color{red}{\frac{2}{3}y+\frac{1}{2}y+\frac{1}{2}u=1\frac{1}{6}y+\frac{1}{2}u}}$ this is equal to a third of the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{1\frac{1}{6}y+\frac{1}{2}u=\frac{1}{3}\sdot\left(3\frac{1}{3}y+3\frac{2}{3}u\right)=1\frac{1}{9}y+1\frac{2}{9}u}}$	ויהיה לבעל הדינר אשר לו שלישית האלגו והוא דינר ותשיעית דינר ודרהם ושני תשיעיות דרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{y=13u}}$	ותכוין בהם ויהיה הדינר ישוה י"ג דרהמיש והוא מה שהרויח בעל השלישית
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\frac{1}{3}y+2\frac{2}{3}u=33u}}$	והדבר שני דינרים ושליש ושני דרהמיש ושני שלישים והוא שלשים ושלשה והוא מה שהרויח בעל החצי
$\scriptstyle{\color{blue}{u_1=1}}$	והרויח בעל השתות דרהם אחד והוא אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle u=6\\\scriptstyle y=6\sdot13=78\\\scriptstyle x=6\sdot33=198\\\scriptstyle x+y+u=282\end{cases}}}$	וצריך מבלי טורח כאשר תנסהו שתכהו בששה פעמים ויהיה מה שהרויח בעל החצי קצ"ח ובעל השלישית ע"ח ובעל השתות ששה והאלגו כולו רפ"ב
	וכמעשה הזה יעשוהו בעלי החשבון ביניהם והיא הבנה שלימה אלא שתתדקדק ביותר על מי שיעשהו במספר רב אם יניחו האנשים הרבה ואוציאהו אני לחפשי עם מלאכה ישרה והבנה מובנת
the amount of money = x	והוא שנניח האלגו דבר
	ואשר הרויח כל אחד מהם מן אלגו ואחר מה שהשיבו כפי הנחתנו מדרהמי שליש וחלקוהו לִשְלִיש ועלה לכל אחד מהם וקבצהו עם מה שנשאר לו ויהיה לכל אחד
the owner of the half returned half of his share and was left with = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-y}}$	ובנקלה תדע שאשר נשאר לבעל החצי אחר שהשיב החצי ממה שהרויח חצי דבר פחות דרהם
the owner of the half returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-y}}$	ומה ששב הוא חצי דבר פחות דרהם אחד
the owner of the third returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}x-{\color{red}{\frac{1}{2}}}y}}$	ולשלישי שב שתות דבר פחות דרהם אחד
the owner of the sixth returned = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{30}x-\frac{1}{5}y}}$	ומה ששב אחד משלשים בדבר חמשה דרהמי
they returned a total of: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x-y\right)+\left(\frac{1}{6}x-{\color{red}{\frac{1}{2}}}y\right)+\left(\frac{1}{30}x-\frac{1}{5}y\right)=\frac{1}{2}x+\frac{1}{5}x-y-\frac{7}{10}y=3y}}$	ויהיה כל אשר השיבו חצי דבר וחמישית דבר פחות דרהם אחד וז' עשיריות מדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6\frac{5}{7}y}}$	וה' שביעיות מדרהם והוא כל האלגו
the owner of the half has = $\scriptstyle{\color{blue}{x-2y=4\frac{5}{7}y}}$	וכאשר תרצה לדעת כמה הרויח בעל החצי דבר פחות שני דרהמי והוא ארבעה דרהמי וה' שביעיות מדרהם
the owner of the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x-1\frac{1}{2}y=1\frac{6}{7}y}}$	והרויח בעל השליש חצי דבר פחות דרהם אחד וחצי והוא דרהם אחד וו' שביעיות מדרהם
the owner of the sixth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}x-1\frac{1}{5}y=\frac{1}{7}y}}$	ומה שהרויח בעל השתות חמישית דבר פחות דרהם אחד וחומש והוא שביעית דרהם
the dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{y=42}}$	ותניח כל דרהם מ"ב חלקים
the amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(6+\frac{5}{7}\right)\sdot42=282}}$	ויהיה האלגו רפ"ב
the owner of the half has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{7}\right)\sdot42=198}}$	ומה שהרויח בעל החצי קצ"ח
the owner of the third has = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{6}{7}\right)\sdot42=78}}$	ומה שהרויח בעל השליש ע"ח
the owner of the sixth has = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot42=6}}$	ומה שהרויח בעל השתות ששה

Garments
45) If you are told: there are ten garments, the value of the first garment is one dirham and the value of each of the others exceeds one by the other by one dirham - the second exceeds the first by one dirham, the third exceeds the second by one dirham and so on for all the others, how much is the total value?	מה) ואם יאמרו לך עשרה בגדים ערך הבגד הראשון דרהם אחד וערך כל אחד מן האחרים יוסיפו האחד על האחר דרהם אחד השני יעדיף על הראשון דרהם אחד והשלישי יעדיף על השני דרהם אחד וכן כל האחרים כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{10}=1+10}}$	וכבר תדע כי ערך הבגד הראשון דרהם אחד והעשירי עשרה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_9=2+9}}$	וערך השני שנים והתשיעי תשעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3+a_8=3+8}}$	וערך השלשי שלשה והשמיני שמנה
the value of all these pairs = 11	והנה הערך מכל אחד מאלו הזוגות אחד עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(1+10\right)+\left(2+9\right)+\left(3+8\right)+\left(4+7\right)+\left(5+6\right)=11\sdot5=55}}$	וכמו כן יהיה ערך כל הזוגות כאלו והם חמשה זוגות ותכה אחד עשר בחמשה ויהיה נ"ה וככה ערך עשרת הבגדים
46) If you are told: the value of the first garment is one and the value of each of the rest exceeds the former by 2, how much is the total value?	מו) ואם יאמרו לך ערך הבגד הראשון אחד ויוסיף ערך כל אחד מהנשארים שנים על ערך חבירו כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=19}}$	הנה יהיה ערך הבגד העשירי י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_1+2}}$	בעבור כי הוסיף השני על הראשון שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a_2+2}}$	והשלישי על השני שנים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a_1+4}}$	ויוסיף השלישי על הראשון ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_4=a_1+6}}$	והרביעי על הראשון ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=a_1+18}}$	והעשירי יוסיף על הראשון י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{10}=20}}$	וכפי זה יהיה ערך הראשון עם העשירי מקובצים עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} \left(2i-1\right)=20\sdot5=100}}$	ותכה עשרים בחמשה ויהיה מאה וככה יהיה ערך עשרת הבגדים
47) If you are told: there are ten garments, the value of the first garment is three dirham and the value of each of the others exceeds one by the other by four, how much is the total value?	מז) ואם יאמרו לך עשרה בגדים ערך הראשון שלשה דרהמים ויוסיף ערך האחרים האחד על האחר ארבעה ארבעה כמה יהיה ערך כלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=\left[d\sdot\left(n-1\right)+a_1\right]=\left[4\sdot\left(10-1\right)\right]+a_1=36+3=39}}$	והמעשה בזה כאשר ביארתי והוא שתכה יתרון האחד על האחר והוא ארבעה במספר הבגדים פחות אחד ויהיה ל"ו ותוסיף עליהם שלשה והוא ערך הבגד הראשון ויתקבץ ל"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} \left[3+4\sdot\left(i-1\right)\right]=\left(a_1+a_{10}\right)+\left(a_2+a_9\right)+\ldots=42+42+\ldots=42\sdot5=210}}$	ויהיה ערך הראשון והעשירי מ"ב וכן ערך התשיעי והשני יהיה מ"ב ובדרך הזה יהיה ערך כל שני בגדים מהם ותכה מ"ב בחמשה ויהיה מאתים ועשר וככה ערך כל הבגדים

Group of People
48) If you are told: a group of people earned, the first earned one dirham, each of them earned one dirham more than the former, and they earned a total of 300. How many people were in the group?	מח) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים עלו להרויח והרויח הראשון דרהם אחד והרויח כל אחד מהם יותר מאשר לפניו דרהם אחד והיה כל אשר הרויחו שלש מאות כמה היו האנשים מהחבורה
the number of people in the group = x	ולדעת זה תניח מספר אנשי החבורה דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_x=x_2+a_{x-1}=\ldots=x+1}}$	וצריך שירויחו בין כל שנים מהם כפי הסדר האמור בבגדים דבר ודרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)\sdot\frac{1}{2}x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=300}}$	ותכה דבר ודרהם אחד בחצי דבר ויהיה חצי אלגו וחצי דבר והוא כל מה שהרויחו ויהיה שוה שלש מאות דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=24}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים וארבע וככה מספר אנשי החבורה
49) If you are told: a group of people, the first earned two dirham, each of them exceed his former by three, and they earned a total of 126. How many people were in the group?	מט) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים והראשון הרויח שני דרהמי והוסיף כל אחד על אשר לפניו שלשה והיה כל מה שהרויחו מאה ועשרים ושש כמה יהיה מספר החבורה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_x=\left[d\sdot\left(n-1\right)\right]+a_1=\left[3\sdot\left(x-1\right)\right]+2=\left(3x-3\right)+2=3x-1}}$	ולדעת זה תניח כמו שביארתי לך בבגדים שתכה מה שיותיר כל אחד במספר החבורה פחות אחד ויהיה שלשה דברים פחות שלשה דרהמיש ותוסיף עליו מה שהרויח הראשון והוא שנים ויהיה שלשה דברים פחות דרהם אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_x=x_2+a_{x-1}=\ldots=3x+1}}$	ויהיה מה שהרויח הראשון והאחרון שלשה דברים ודרהם אחד והוא מה שהרויח כל שנים מהם כפי הסדר האמור
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3x+1\right)\sdot{\color{red}{\frac{1}{2}}}x=1\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=126}}$	ותכה זה במספר חבורה ויהיה אלגו וחצי וחצי דבר והוא כל מה שהרויחה החבורה והוא ישוה קכ"ו דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר תשעה והוא מספר החבורה
50) If you are told: a group of people, the first earned one dirham, each of them exceeded his former by one dirham. They summed the total of what they earned together then divided it equally and each got 10 dirham.	נ) ואם יאמרו לך חבורה מאנשים שהרויח הראשון דרהם אחד והוסיף כל אחד על אשר לפניו דרהם אחד וקבצו כל אשר הרויחו יחד וחלקוהו בשוה ועלה לחלק לכל אחד מהם עשרה דרהמי
the total earning: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וכבר ביארנו שכל אשר הרויחו הוא חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}{x}=10}}$	וחלקנום על מספר החבורה והוא דבר ויגיע לחלק עשרה דרהמי
51) If you are told: a group, two thirds of which, the first earned one dirham, and each of them exceeded his former by two dirham. When they summed the total of what they earned together and divided it equally between the whole group each got 4 dirham. How many were in the group?	נא) ואם יאמרו לך חבורה אשר שני שלישיתה הרויח הראשון דרהם אחד והוסיפו בשנים דרהמי וכאשר שבו קבצו כל אשר הרויחו וחלקוהו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם ארבעה דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
the number of people in the group = x	ולדעת זה תשים מספר החבורה דבר
	ושני שלישם הרויח הראשון דרהם אחד והוסיפו בשני דרהם
the total earning = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2}}$	וצריך כפי מה שביארנו שיהיה כל אשר הרויחו ארבעה תשיעיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{9}x^2}{x}=4}}$	ואנחנו נחלקם על מספר החבורה שהוא דבר ויצא ארבעה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2=4x}}$	ותכה ארבעה דרהמי בדבר ויהיה ארבעה דברים ישוו ארבעה תשיעיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9x}}$	והאלגו ישוה תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	והדבר ישוה תשעה והם מספר החבורה
52) If you are told: a group, its three quarters earned, the first earned two dirham, and the others exceeded by three dirham. When they divided the total of what they earned equally between the whole group each got 24 dirham. How many were in the group?	נב) ואם יאמרו לך חבורה ששלשת רביעיה עלו להרויח והרויח הראשון שני דרהמי והוסיפו האחרים בשלשה רביעים וכאשר שבו חלקו כל אשר הרויחו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם כ"ד דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
the number of people in the group = x	ולדעת זה תניח מספר החבורה דבר
three quarters of the group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}x}}$	ועלו שלשת רביעיה להרויח והם שלשה רביעי דבר
	והרויח הראשון שנים דרהמי והוסיפו בשלשה שלשה רביעיים
the total earning of the $\scriptstyle\frac{3}{4}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x}}$	וצריך כפי מה שביארנו שיהיה כל אשר הרויחו שלשת רביעי הדבר ששה שמיניות מאלגו ושלשת רביעי שמיניות האלגו ושלשה שמיניות מדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x}{x}=24}}$	ותחלקהו על מספר החבורה שהוא דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{8}x^2+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{8}\right)x^2+\frac{3}{8}x=24x}}$	ויהיה כ"ד דברים ישוה שלשה רביעי אלגו ושלשה שמיניות מדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=28}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר כ"ח והוא מספר החבורה
53) If you are told: a group, its two thirds earned, the first earned one dirham, and [the others] exceeded by two dirham. The remaining third - the first earned two dirham and [the others] exceeded by four [dirham]. Then the total earning of all people of the group was summed up and divided equally between them and each got 20 dirham. How many were in the group?	נג) ואם יאמרו לך חבורה ששני שלישיה יצאו להרויח והרויח הראשון מהם דרהם אחד והוסיפו בשני דרהמי. והשלישית הנשאר הרויח הראשון מהם שנים דרהמי והוסיפו בארבעה וקבצו כל מה שהרויחו כל אנשי החבורה וחלקוהו ביניהם בשוה והגיע לכל אחד מהם מעשרים דרהמי כמה יהיה מספר החבורה
the number of members in the group = x	ולדעת זה יהיה מספר החבורה דבר
	ויצאו שני שלישיה להרויח והם שלישי דבר והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו בשני דרהמי
the total earning of the $\scriptstyle\frac{2}{3}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2}}$	וצריך לפי מה שביארנו שיהיה מה שהרויחו שני השלישים ארבעה תשיעיות מאלג מאלגו
	והשליש האחר הראשון מהם שני דרהמי ונתוספו הארבעה
the total earning of the $\scriptstyle\frac{1}{3}x$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}x^2}}$	וצריך כפי מה שביארנו שיהיה מה שהרויח השלישית שתי תשיעיות מאלגו
the total earning of the whole group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}x^2+\frac{2}{9}x^2=\frac{2}{3}x^2}}$	ותקבצם עם אשר הרויחו השני שלישית והוא ארבעה תשיעיות ויהיה כל מה שהרויחו אנשי החבורה שני שלישיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{2}{3}x^2}{x}=20}}$	ותחלקהו על מספר החבורה שהוא דבר והוא עשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x^2=20x}}$	ותכה עשרים בדבר ויהיה עשרים דברים ישוו שני שלישי אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30x}}$	והאלגו ישוה שלשים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=30}}$	והדבר שלשים והוא מספר החבורה
54) If you are told: a group earned, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one dirham. Then they summed up the total earning of all and divided it equally between them and each got [an amount] equal to two thirds of the number of [members in] the group	נד) ואם יאמרו לך חבורה יצאו להרויח והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו באחד וכאשר שבו קבצו יחד כל מה שהרויחו כלם וחלקוהו ביניהם בשוה והגיע לכל אחד מהם כמו שני שלישי מספר החבורה
the number of members in the group = x	וצריך שיהיה כאשר הנחנו מספר החבורה דבר
the total earning of the whole group = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	שיהיה כמו שביארנו כל מה שהרויחו חצי האלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}{x}=\frac{2}{3}x}}$	ונחלקהו על מספר החבורה והוא דבר ויהיה שני שלישי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=\frac{2}{3}x^2}}$	ותכה שני שלישי דבר בדבר ויהיה שני שלישי אלגו ישוה חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	והדבר ישוה שלשה דרהמי והוא מספר החבורה
55) If you are told: a group, 4½ of its root earned, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one dirham. Then they shared the total earning between all [members of] the group and each got 10½ dirham. How many were in the group?	נה) ואם יאמרו לך חבורה שיצאו ארבעה שרשיה וחצי שרש להרויח והרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו באדרהם אחד וכאשר שבו חלקו מה שהרויחו בין כל החבורה בשוה והגיע לכל אחד מהם עשרה דרהמי וחצי כמה יהיה מספר החבורה
the number of members in the group = x²	ולדעת זה תניח מספר החבורה אלגו
the number of earning members = $\scriptstyle{\color{blue}{4\frac{1}{2}\sqrt{x^2}=4\frac{1}{2}x}}$	ויצאו ארבעת שרשיו וחצי והוא ארבעה דברי' וחצי
	והריוח הראשון דרהם אחד ונתוספו באדרהם אחד
the total earning = $\scriptstyle{\color{blue}{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x}}$	וצריך שיהיה מה שהרויחו כפי מה שביארנו עשרה אלגוש ושמינית מאלגו ושני דברים ורביע דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x}{x^2}=10\frac{1}{2}}}$	נחלקם על מספר החבורה והוא אלגו ויצא לחלק עשרה דרהמי וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{10\frac{1}{8}x^2+2\frac{1}{4}x=10\frac{1}{2}x^2}}$	ותכה עשרה דרהמי וחצי באלגו ויהיה עשרה אלגוש וחצי ישוו עשרה אלגוש ושמינית מאלגו ושני דברים ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ששה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}$	והאלגו ל"ו והוא מספר החבורה
56) If you are told: 30 people, the first earned one dirham, and [each of them] exceeded by one thing. Their total earning was 1335. By how much did each one exceed his former?	נו) ואם יאמרו לך שלשים אנשים הרויח הראשון דרהם אחד ונתוספו בדבר אחד והיה כל אשר הרויחו אלף ושלש מאות ושלשים וחמשה בכמה נתוספו כל אחד על האחר אשר לפניו
	ולדעת זה תניח השני שהוסיף על הראשון בדבר אחד והשלישי על השיני בדבר אחד והרביעי על השלישי בדבר אחד וכן עד האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{30}=a_n=\left[d\sdot\left(n-1\right)\right]+a_1=\left[x\sdot\left(30-1\right)\right]+1=29x+1}}$	ותעשה בהם כאשר ביארתי והוא שתכה מה שהוא ההעדף והוא דבר בחבורה כלה פחות אחד לעולם ויהיה כ"ט ותוסיף עליהם מה שהרויח הראשון והוא דרהם ויהיה כ"ט דברים ודרהם אחד והוא מה שהרויח האחרון
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_{30}=a_2+a_{30-1}=\ldots=29x+1+1=29x+2}}$	ותוסיף עליו מה שהרויח הראשון והוא דרהם אחד ויהיה כ"ט דברים ושני דרהמי והוא מה שהרויח כל שנים מהם כפי הסדר שבארנו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(29x+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)=\left(29x+2\right)\sdot15=435x+30=1335}}$	ותכם בחמש עשרה שהוא מחצית החבורה ויהיה שלשים דרהמי ותל"ה דברים והוא כל אשר הרויחו א"י אלוגלו ויהיה אלף ושלש מאות ושלשים וחמשה דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר שלשה והוא מה שהוסיף על כל אחד מהם על אשר לפניו
Motion Problems
57) If you are told: I sent a man from the city and ordered him to walk on the first day one parsa and add one parsa each day. He walked 81 days. Then I sent another man and ordered him to walk on the first day one parsa and add two parsa each day. In how many days he will meet the other one?	נז) ואם יאמרו לך שלחתי איש אחד מן העיר וציוותיו שילך ביום ראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום פרסא אחת והלך שמנים וארבעה ימים ואחר זה שלחתי איש אחר וציויתיו שילך ביום ראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום שתי פרסאות בכמה ימים יפגוש באחר
number of walking days of the first man = davar = x	וידיעת זה היא שתניח מספר הימים הראשונים שהלך האיש הראשון דבר
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך כפי מה שביארנו בחבורה שיהיה מספר הפרסאות שהלך חצי אלגו וחצי דבר
number of walking days of the second man = $\scriptstyle{\color{blue}{x-84}}$	ויהיה מה שהלך השני מהימים דבר פחות פ"ד ימים
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{x-84} \left(2i-1\right)=x^2+7056-168x}}$	וצריך שיהיה מספר הפרסאות כפי מה שבארנו בחבורה אלגו ושבעה אלפים וחמשים וששה פחות קס"ח דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=x^2+7056-168x}}$	ויהיה שוה חצי אלגו וחצי דבר
the number of walking days of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{x=288}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר מאתים ושמנים ושמנה והוא מה שהלך האיש הראשון
the number of walking days of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{288-84=204}}$	והלך השני מאתים וארבעה ימים
58) If you are told: I ordered the first to walk on the first day one parsa and add one parsa each day. He walked 8 days. I ordered the second to walk on the first day one parsa and add three parsa each day. In how many days he will find him?	נח) ואם יאמרו לך ציויתי לראשון שילך ביום ראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום פרסא אחת והלך שמנה ימים וציויתי לשני שילך בכל יום הראשון פרסא אחת ושיוסיף בכל יום שלשה פרסאות בכמה ימים ימצאנו
number of walking days of the first = davar = x	ולדעת זה תניח מספר הימים שהלך הראשון דבר
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך כפי מה שבארנו בחבורה שיהיה מספר הפרסאות חצי אלגו וחצי דבר
number of walking days of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{x-8}}$	ויהיה מה שהלך השני מן הימים דבר פחות שמנה
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{x-8} \left[1+\left(3i-3\right)\right]=1\frac{1}{2}x^2+100-24\frac{1}{2}x}}$	וצריך שיהיה מספר פרסותיו אלגו וחצי ומאה דרהמי פחות כ"ד דברים וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x=1\frac{1}{2}x^2+100-24\frac{1}{2}x}}$	והוא ישוה חצי אלגוש וחצי דבר
the number of walking days of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{x=20}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים ימים והוא מה שהלך הראשון
the number of walking days of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{20-8=12}}$	ומה שהלך השני הוא שנים עשר ימים
59) If you are told: a man left the city and I ordered him to walk each day 20 parsa. He walked 15 days. Then I sent another man after him and ordered him to walk each day the root of the number of parsa that the first one walked.	נט) ואם יאמרו לך איש אחד עלה מן העיר וציויתיו שילך בכל יום עשרים פרסאות והלך ט"ו ימים ושלחתי איש אחר אחר זה וציויתיו שילך בכל יום שורש מספר הפרסאות שיפגע בהם הראשון
the number of parsa the first walked = x²	וידיעתו שתניח מה שהלך הראשון מן הפרסאות אלגו
the number of days he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2}}$	וצריך שיהיה מספר הימים שהלך חצי עשירית מאלגו
the number of walking days of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15}}$	והאיש השני הלך פחות מן הראשון בחמשה עשר ימים ויהיה מספר ימיו חצי עשירית מאלגו פחות ט"ו ימים
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15\right)\sdot\sqrt{x^2}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^2-15\right)\sdot x=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^3-15x}}$	ותכם במה שהלך בכל יום והוא דבר בעבור שצוה ללכת בכל יום שרש מספר הפרסאות שימצאהו בהם ומספר הפרסאות הוא אלגו ושרשו דבר ויהיה חצי עשירית ממעוקב דיקוביקא בלעז פחות חמשה עשר דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}x^3-15x}}$	ישווה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=20x+300}}$	ותכוין עמהם ויהיה אלגו ישוה שלש מאות דרהמי ועשרים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=30}}$	והדבר ישוה שלשים והוא שורש מספר הפרסאות שהלך הראשון
the number of parsa the first walked $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30^2=900}}$	ותכם בעצמם ויהיה תשע מאות פרסאות
the number of walking days of the first = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{x^2}{20}=\frac{900}{20}=45}}$	ותחלקם על הפרסאות שהלך בכל יום והם עשרים ויעלה לחלק מ"ה ימים והם ימי השני
60) If you are told: a man left the city and I ordered him to walk each day 20 parsa. He walked 44 days. Then I sent another man after him and ordered him to walk each day the root of the number of days that the first one walked.	ס) ואם יאמרו לך איש אחד עלה מן העיר וציויתיו שילך בכל יום עשרים פרסאות והלך מ"ה ימים ושלחתי אחר זה אחר וציויתיו שילך בכל יום שורש מאשר הלך הראשון מהימים שימצאהו בהם
the number of walking days of the first = x²	וידיעתו שתניח בכל יום שורש מאשר הלך הראשון מהימים אלגו
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{20x^2}}$	ויהיה מספר פרסותיו שהלך עשרים אלגוש
the number of walking days of the second = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-4{\color{red}{4}}}}$	ויהיה מספר ימי השני אלגו פחות מ"ה ימים
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2-4{\color{red}{4}}\right)\sdot\sqrt{x^2}=\left(x^2-4{\color{red}{4}}\right)\sdot x=x^3-4{\color{red}{4}}x}}$	ותכם במה שהלך בכל יום והוא דבר והנה קוביקא פחות מ"ה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{20x^2=x^3-4{\color{red}{4}}x}}$	ישוה עשרים אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=22}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרים ושנים והוא שורש הימים שהלך הראשון
the number of walking days of the first $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=22^2=484}}$	ותכם בעצמם ויהיה תפ"ד והם הימים שהלך שהלך הראשון
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{20x^2=20\sdot484=9680}}$	ותכם בעשרים ויהיה תשעה אלפים ותר"פ והוא מספר הפרסאות שהלך
the number of walking days of the second $\scriptstyle{\color{blue}{484-44=440}}$	ומספר אשר מהשני ת"מ
the number of parsa he walked = $\scriptstyle{\color{blue}{22\sdot440=9680}}$	ותכם בפרסאות שהלך בכל יום והם כ"ב תשעה אלפים ותר"פ
61) If you are told: one ounce for 20 dirham, one ounce for 15 dirham and one ounce for 10, and you are told to take from all one ounce for 18 dirham	סא) ואם יאמרו לך אונקיא אחת בעד עשרים דרהמי ואונקיא אחת בעד ט"ו דרהמי ואונקיא בעד עשרה ואמרו לך תקח מהכל אונקי' אחת בעד י"ח דרהמי
	זאת השאלה היא חרשת
take from the ounce for 10 dirham: x for 10x	וידיעתה שתקח דבר מהאונקיא שהיא בעד עשרה דברים מהדרהמי
take from the ounce for 15 dirham: x for 15x	ודבר מהאונקיא שהיא בעד ט"ו דברים מהדרהמי
remains from the ounce: 1 ounce−2x	וישאר מהאונקיא אונקיא פחות שני דברים
remains from the 18 dirham: 18 dirham−25x	ומהדרהמי י"ח דרהמי פחות כ"ה דברים
take from the ounce for 20 dirham: 1 ounce−2x for 20−40x	ותקח מאונקיא שהיא בעד עשרים אונקיא פחות שני דברים בעד עשרים דרהמי פחות ארבעים דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{18-25x=20-40x}}$	ויהיה י"ח דרהמי פחות כ"ה דברים ישוה עשרים דרהמי פחות ארבעים דברים
from the ounce for 10 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ישוה שני שלישי החומש וקנה מן האונקיא שהיא בעד עשרה
from the ounce for 15 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{15}}}$	ומאשר היא בעד ט"ו מכל אחת ב' מט"ו מאונקיא
from the ounce for 20 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{15}}}$	וקנה מן האונקיא שהיא בעד עשרים י"א מט"ו מאונקיא
take from the ounce for 10 dirham: x for 10x	ואם תרצה תקח דבר מהאונקיא שהיא בעד עשרה דברים מהדרהמי
take from the ounce for 15 dirham: 2x for 30x	ותקח שני דברים מהאונקיא שהיא בעד ט"ו דברים מהדרהמי
remains from the 18 dirham: 18 dirham−40x	וישאר ערך האונקיא י"ח דרהמי פחות ארבעים דברים
remains from the ounce: 1 ounce−3x	ומהאונקיא אונקיא פחות שלשה דברים
take from the ounce for 20 dirham: 1 ounce−3x for 20−60x	וקנה בהם מהאונקיא שהיא בעד עשרים דרהמי בעד עשרים דרהמי פחות שני דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{1{\color{red}{8}}-40x=20-{\color{red}{60}}x}}$	והדבר ישוה י"ו דרהמי פחות ארבעים דברים
from the ounce for 10 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{10}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר עשרה ותקח מהאונקיא שהיא בעד עשרה עשירית אחד מאונקיא
from the ounce for 15 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}}}$	ומאשר היא בעד ט"ו חמישית אחד מאונקיא
from the ounce for 20 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{10}=\frac{1}{2}+\frac{1}{5}}}$	ומאשר היא בעד עשרים שבעה עשיריות מאונקיא וחצי וחומש מאונקיא
62) If you are told: one liṭra for 5 dirham, one liṭra for 4 dirham and 10 liṭra for one dirham - take from all one liṭra for 2 dirham	סב) ואם יאמרו לך ליטרא אחת בעד חמשה דרהמי וליטרא אחת בעד ארבעה דרהמי ועשרה ליטרא בעד דרהם אחד תקח מהכל ליטרא אחת בעד שני דרהמי
	זאת השאלה היא חרשת
take from the liṭra for 5 dirham: x for 5x	וידיעתו שתניח דבר מהליטרא שהיא בעד חמשה דרהמי בעד חמשה דברים מהשני דרהמי
take from the liṭra for 4 dirham: x for 4x	ודבר מהליט' שהיא בעד ארבעה דרהמי בעד ארבעה דברים משני הדרהמי
remains from the 2 dirham: 2 dirham−9x	וישאר משני הדרהמי שני דרהמי פחות תשעה דברים
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}}}-\frac{1}{5}x=2-9x}}$	ישוה עשרה דרהמי פחות חמישית דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{{\color{red}{1}}9}{88}}}$	ותכוין עמהם ויהיה הדבר ט' מפ"ח בליטרא
take from the liṭra for 5 dirham: x for 5x [take from the liṭra for 4 dirham: 5x for 20x - missing]	ואם תרצה תקח מהליטר' שהיא בעד חמשה דברים דבר בחמשה דברים משני הדרהמי
remains from the 2 dirham: 2 dirham−25x	וישאר משני הדרהמי שני דרהמי פחות כ"ה דברים
remains from the liṭra : liṭra−6x	ומהליט' ליטר' פחות ששה דברים
take from the 10 liṭra for one dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}\sdot\left(1-6x\right)=\frac{1}{10}}}-\frac{3}{5}x}}$	ותקח מאשר היא עשרה ליטרא בעד דרהם אחד עם עשרה דרהמי פחות שלשה חומשי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{1}{10}}}-\frac{{\color{red}{3}}}{5}x=2-25x}}$	ויהיה אז שני דרהמי פחות כ"ה דברי' ישוה עשרה דרהמי פחות שני חומשי דבר
from the liṭra for 5 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{19}{244}}}$	ותכוין עמו ויהיה הדבר י"ט מרמ"ד והוא מה שקנה מהליטרא אשר אשר בעד חמשה דרהמי
from the liṭra for 4 dirham: $\scriptstyle{\color{blue}{5x=\frac{95}{244}}}$	וקנה מהליט' אשר בעד ארבעה דרהמי צ"ה מרפ"ד בליטרא
take from the liṭra for 5 dirham: $\scriptstyle\frac{3}{10}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)$ for $\scriptstyle1\frac{1}{2}+\frac{1}{5}$	ואם תרצה תקח מהליט' שהיא בעד חמשה ג' מעשרה בליט' ושני חומשים מעשירית הליטרא בעד דרהם אחד וחצי וחומש
take from the liṭra for 4 dirham: $\scriptstyle\frac{3}{50}$ for $\scriptstyle{\color{red}{\frac{1}{5}}}+\frac{2}{50}$	ומהליטרא שהיא בעד ארבעה דרהמי שלשה מחמישים בליטרא בעד חמשה דרהמי ושנים מחמשים באדרהם
take from the 10 liṭra for one dirham: $\scriptstyle\frac{3}{5}$ for $\scriptstyle\frac{3}{50}$	ומהליטר' שהיא עשרה ליט' בעד דרהם אחד שלשה חומשים מליטרא בעד שלשה מחמשים בדרהם
63) If you are told: I bought wheat for ten dirham at the rate of [three] qafiz for one dirham and I bought sesame [الجلجلان] for three dirham at unknown rate, then I sold both of them at the price of the other and four dirham remained. How much was the price of the sesame?	סג) ואם יאמרו לך קניתי בעד עשרה דרהמי חטה לחשבון הקאפיזיש בעד דרהם אחד וקניתי עם שלשה דרהמי גולגולאן לחשבון בלתי ידוע ומכרתי מכל אחד מהם מהחטה כפי סוגו השעור מהגולגולאן ויותירו ארבעה דרהמי כמה יהיה ערך הגולגלאן
the wheat is bought: $\scriptstyle10\times3=30$ qafiz for 10 dirham	וידיעתו שתקנה ל' קאפיזיש מחטה בעד עשרה דרהמי לחשבון שלשה קאפיזיש בעד דרהם אחד
the sesame is bought: $\scriptstyle3\times x=3x$ for 3 dirham	וקניתי עם שלשה דרהמי גולגלאן לחשבון דבר אחד בעד דרהם אחד ויהיה שלשה דברים
the sesame sold at the price of the wheat: $\scriptstyle3x$ for $\scriptstyle\frac{3x}{3}=x$ dirham	ושלשת הדברים לחשבון שלשה דרהמי ויעלה שוויו דבר
the value of the wheat sold at the price of the sesame: $\scriptstyle\left(10+3+4\right)-x=17-x$ dirham	וישאר מהקרן ומהריוח שבעה עשר פחות דבר והוא שווי החטה כאשר מכרוהו בכלל הגולגלאן ותהיה החטה והיא ל' קאפיזיש לחשבון דבר אחד בעד דרהם אחד יהיה י"ז דרהמי פחות דבר
the amount of the wheat sold at the price of the sesame $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(17-x\right)=17x-x^2=30}}$	תכה דבר אחד בי"ז דרהמי פחות דבר ויהיה י"ז דברים פחות אלגו ישוה שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=15}}$ qafiz of sesame $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=2}}$ qafiz of sesame	וכוין עמו ויהיה הדבר אם תרצה ט"ו ואם תרצה שנים ואמור הכלל מהגולגלאן אם תרצה ט"ו קאפיזיש ואם תרצה שנים
	וכאשר יקרה לפניך שאלה כזאת או דומה אליה אם יחלק הקרן והריוח או הקרן פחות מההפסד אם יאמר הפסדתי לשני חלקים יהיה הכאת האחד באחר כמו הכאת אחד מהשני מאנירי בשווי המאטרא האחרת ותהיה השאלה ואם לא יחלק תהיה חרשת
64) If you are told: unknown qafiz are worth 93 dirham, the sum of the number of qafiz plus the price of one qafiz is 34. How many are the qafiz and what is the price of each qafiz?	סד) ואם יאמרו לך קאפיזיש בלתי ידועים שווים צ"ג דרהמי אלא שמספר הקאפיזיש עם שווי קאפיז אחד מהם ל"ד כמה יהיה מספר הקאפיזיש ושווי כל קאפיז
the price of one qafiz: x	וידיעתו שתניח שווי הקאפיז דבר
the number of the qafiz: 34-x	ישאר מספר הקאפיזיש ל"ד פחות דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot\left(34-x\right)=34x-x^2=93}}$	תכה דבר בל"ד פחות דבר יהיה ל"ד דברים פחות אלגו ישוה צ"ג דרהמי
the price of one qafiz = $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=3}}$	ותכוין ויהיה הדבר שלשה והוא שווי הקאפיז
the number of qafiz = $\scriptstyle{\color{blue}{34-x_1=31}}$	והקאפיזיש ל"א
the number of qafiz = $\scriptstyle{\color{blue}{34-x_2=3}}$	ואם תרצה תניח הקאפיזיש שלשה
the price of one qafiz = $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=31}}$	ושווי הקאפיז ל"א
65) If you are told: unknown qafiz - the first is sold for one dirham, then [the price of each] exceed by one dirham. Take a square of the total sum and add to the [unknown] number and the result is 14	סה) ואם יאמרו לך קאפיזיש בלתי ידועים מכר הראשון בעד דרהם אחד והוסיפו בדרהם אחד ולקח שרש הכל והוסיפהו על מספרו ויצא י"ד
the number of the qafiz: x	חכמתו שתניח מספר הקאפיזיש דבר
their price = $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^x i =\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	וצריך שיהיה שוויו כפי מה שבארנו בחבורות חצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}+x=14}}$	ושרשו נוסף על דבר יהיה י"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{14-x=\sqrt{\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}}$	ותגרע דבר מי"ד ישאר י"ד פחות דבר ישוה שרש מחצי אלגו וחצי דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(14-x\right)^2=196+x^2-28x=\frac{1}{2}x^2+\frac{1}{2}x}}$	תכה י"ד פחות דבר בעצמו יהיה^[5] קצ"ו דרהמי' ואלגו פחות כ"ח דברים ישוה חצי אלגו וחצי דבר
the number of the qafiz = $\scriptstyle{\color{blue}{x=8}}$	ותכוין בהם ויהיה הדבר שמנה והם הקאפיזיש

Notes

↑ marg.: ר"ל שרש הנשאר
↑ top: נ' אלמת
↑ דבר: MS Ma דבר ~~וחצי דרהם~~
↑ פלס: MS Ma ~~טורניש~~ [פלס]
↑ יהיה: MS M ויעלה

Appendix: Bibliography

Kitāb Masā’il allatī hiya ghair Maḥdūda (The third section on indeterminate equations) / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
Ḥeshbon ha-ʽAgulah (ha-Sheʼelot ha-Ḥershot ve-ha-ʼIlmot)

Manuscripts:

1) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 17/3 (IMHM: f 797), ff. 63v-85v; 112r-113v (15th century; autograph)

Abu Kamil Shudeya, Algebra

2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 225/3 (IMHM: f 1118), ff. 166v-191v (15th century)

Mathematische Abhandlungen, vielleicht von Mordechai Finzi (1445-1473)

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Schub, Pincus and Martin Levey. 1968. Book on Indeterminate Problems of abū Kāmil (850-930), Centaurus 13, pp. 91-94.
———. 1970. Indeterminate Problems of abū Kāmil (850-930), Atti della Accademia Nazionale dei Lincei, Memorie della classe di scienze fisiche, matematiche e naturali, ser. VIII, vol. X, no.2, pp. 23-96.
Sesiano, Jacques. 1977. Les Méthodes d'analyse indéterminée chez Abū Kāmil, Centaurus 21, pp. 89-105.
Yadegari, Mohammad. 1978. The Use of Mathematical Induction by Abū Kāmil Shujā‘ Ibn Aslam (850-930), Isis, vol. 69, no. 2 (Jun., 1978), pp. 259-262.

[1] rg.: ר"ל שרש הנשאר

[2] top: נ' אלמת

[3] דבר: MS Ma דבר ~~וחצי דרהם~~

[4] פלס: MS Ma ~~טורניש~~ [פלס]

[5] יהיה: MS M ויעלה

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

@@ Line 1,109: / Line 1,109: @@
 |-
 |
-:Dividing the number into two other numbers that have root:
+:Dividing the number into two other numbers that have roots:
 |style="text-align:right;"|וכאשר תרצה לחלקם לשני חלקים אחרים בלעדי אלו החלקים באופן שיהיה לכל חלק שרש
 |-
@@ Line 1,142: / Line 1,142: @@
 |-
 |
-::*assuming: <math>\scriptstyle n=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left(1+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\right)x</math>
+::*assuming: <math>\scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left(1+\frac{{\color{red}{1}}}{3}\right)x</math>
 |style="text-align:right;"|ונניחיהו שני דברי' פחות דבר ושני שלישי
 |-
@@ Line 1,170: / Line 1,170: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק אותו לשנים חלקים אחרים זולת אלו החלקים תניח החלק הקטן שרש מארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים ושנים דרהמי פחות שני דברים ותכם בעצמם ותכונהו עם המתקבץ מהכאת ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים ותעשה כאשר אמרתי לך ויהיה שרש החלק האחד שנים דרהמי ושלשה חלקים משלשה עשר ושרש החלק האחר שנים חלקים מי"ג ותכה כל אחד משניהם בעצמו ויהיה החלק האחד ארבעה דרהמי וי"ב חלקים מי"ג חלקים באחד ותשעה חלקים מקס"ט וכן תעשה לכל אשר יבוא לך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה ויחזיק מהחלקים כמה שתרצה
+:Dividing the number into two other numbers that have root:
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק אותו לשנים חלקים אחרים זולת אלו החלקים
+|-
+|
+::*assuming: <math>\scriptstyle b_2=\sqrt{4-x^2-2x}=2-\left({{\color{red}{1+\frac{1}{2}}}\right)x</math>
+|style="text-align:right;"|תניח החלק הקטן שרש מארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים ושנים דרהמי פחות שני דברים
+|-
+|
+:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2-\left(1+\frac{1}{2}\right)x\right]^2=\left(\sqrt{4-x^2-2x}\right)^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכם בעצמם ותכונהו עם המתקבץ מהכאת ארבעה דרהמי פחות אלגו ופחות שני דברים
+|-
+|
+:::proceeding as been said above
+|style="text-align:right;"|ותעשה כאשר אמרתי לך
+|-
+|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=x+1=2+\frac{3}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה שרש החלק האחד שנים דרהמי ושלשה חלקים משלשה עשר
+|-
+|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{2}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרש החלק האחר שנים חלקים מי"ג
+|-
+|
+::multiplying each by itself:
+|style="text-align:right;"|ותכה כל אחד משניהם בעצמו
+|-
+|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2^2=4+\frac{12}{13}+\frac{9}{169}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה החלק האחד ארבעה דרהמי וי"ב חלקים מי"ג חלקים באחד ותשעה חלקים מקס"ט
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה לכל אשר יבוא לך מזה המין תעשה עמו כמעשה הזה ויחזיק מהחלקים כמה שתרצה
 |-
 |

Difference between revisions of "השאלות החרשות/האלמות"

Revision as of 12:10, 12 April 2019

Contents

Prologue

Indeterminate Problems

Word Problems

Garments

Group of People

Motion Problems

Notes

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools