Difference between revisions of "מלאכת המספר"

Revision as of 13:03, 3 November 2018

Introduction
The previous arithmetic books were written overly at length	אמר המחבר בראותי אריכות דברי החכמים הקדומים מחברי ספרי המספר
The astronomical, geometrical and musical doctrines as well as the arithmetical teachings were not explained properly in those books	ושהסדרים והלמודים ההכרחיים בחכמת התכונה וההנדסה ויחסי המוסיקא אינם מבוארים בספרים ההם אלא בקושי גדול
	וכן ג"כ בז' מיני שלמים כמו בשברים ובשרשים וביחסי המספרים
Teaching using shortcuts and comprehensive methods is preferable to the student as well as the teacher, since lengthiness of words and loquacity are exhausting	ולהיות הלמוד שהוא בדרכים הקצרים והכוללים יותר נבחר כן ללומד כמו למלמד
	כי כל אריכות דברים ולהג הרבה יגיעת בשר‫^[1]
The author: Yiẓḥaq b. R. Moshe ʽEli ha-Sefaradi [= the Spanish] from the city of Oriola of the kingdom of Aragon	לכן אני יצחק בכ"ר משה עלי נ"ע הספרדי ממדינת אוריאולה ממלכות ארגון
Isaac wrote his book at the request of his friends who studied astronomy and geometry because they used those methods with a great difficulty and bother	לבקשת קצת אוהבי המעיינים בחכמת התכונה וההנדסה למה שהיה פועלם בקשי ובטורח גדול בדרכים ההם
He composed a short treatise that encompasses all necessary arithmetic knowledge, and thus saves lengthy talks that are ineffectual and cause a waste of time	נערתי חצני וחברתי זה החבור הקצר כולל כל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה מלאכת המספר הנקראת ארישמטיקה כפי מה שחנני השם וכפי יד אלהי הטובה עלי
	וחברתי בו ד' דרכים כוללים וקצרים בכל ז' מיני המספר וסגולותיו ומציאות היחסים בכל מה שהוא אפשרי במלאכה הזאת
	וזה בדרכים מופתיים ונאהבים למשכילים באופן שכל מי שישתדל לעיין בזה הספר הקצר יקיף בכל מה שהוא הכרחי בזאת המלאכה וינצל מהאריכות הבלתי מועיל ומהפסד הזמן וישיג בו בכל מה שלבו חפץ כי הוא לחכמות הלמודיות כאור נגה הולך ואור עד נכון^[2] ובעזר השם ב"ה אתחיל ואומר
Table of content	הספר הזה יחלק לשלשה מאמרים
	במאמר הראשון נדבר בז' מיני המספר
	במאמר השני נדבר בדרכים ויחסים ושאלות ותשובות הצריכות במלאכת הזאת
	במאמר השלישי נדבר בקצת דרכים והתחלות משותפות למלאכת המספר וההנדסה
	המאמר הא' יחלק לד' כללים
	בכלל הא' נדבר בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
	בכלל השני נדבר בששה מיני המספר השלמים
	בכלל השלישי נדבר בז' מיני השברים ואפני רבוע השברים בחכמת התכונה
	בכלל הרביעי נדבר בדרכים מישרים למציאות שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים
	הכלל הא' מהמאמר הא' בגדר מלאכת המספר וגדר המספר והאחדות וקצת התחלות הצריכות אליה ומנין מיני המספר
	הכלל הב' יחלק לששה פרקים
	הפרק הראשון נדבר בו מהמין הראשון מהמספר שהוא הקבוץ
	הפרק השני במין השני שהוא חסור
	הפרק השלישי מהמין השלישי שהוא הכפול ודרכים כוללים בידיעת המספר השלמים
	הפרק הרביעי במין הרביעי שהוא חלוק באמצע
	הפרק החמישי במין החמשי שהוא הרבוע וקצת מסגלותיו
	הפרק הששי במין הששי שהוא המחלק
	הכלל הג' מהמאמר הראשון ויתחלק לשמנה פרקים
	הפרק הראשון בדרכים מישירי בענייני הנחת השברים וגדרם וסדרם
	הפרק השני בקבוץ השברים
	הפרק השלישי בחסור השברים
	הפרק הרביעי בכפול השברים
	הפרק החמשי בחלוק השברים באמצע
	הפרק הששי ברבוע השברים
	הפרק השביעי באופני רבוע השברים בחכמת התכונה
	הפרק השמני מהחלק השברים
	הכלל הד' מהמאמר הראשון ויתחלק לד' פרקים
	הפרק הא' בנתינת דרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים
	הפרק השני במציאות שרשי המספרים בשברים לבד או בשברים ושלמים יחד
	הפרק השלישי בנתינת דרך אחד כולל למצא בו שרשי המספרים על דרך תוספת הסיפרש
	הפרק הד' בדרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המעוקבים או היותר קרובים למספרים הבלתי מעקבים
	המאמר השני יתחלק בשני כללים
	בכלל הראשון נדבר בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
	בכלל השני נדבר בקצת שאלות ותשובות מישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
	הכלל הא' מהמאמר השני יחלק לשמנה פרקים
	הפרק הראשון ביחסי המספרים מהשלמים
	הפרק השני בדרכים מישירים למציאות יחסי המספרים השברים
	הפרק הג' בדרכים מישירים למציאות המחולק ביחסי השברים
	הפרק הרבעי בנתינת משל א' כולל לכל חלקי הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי השברים
	הפרק החמשי בידיעת יחסי הד' מספרים המתיחסים בשתי המלאכות וההנדסה
	הפרק הששי בידיעת יחסי כל ג' מספרים המתיחסים
	הפרק הז' בידיעת יחס הששה מספרים המתיחסים
	הכלל השני מהמאמ' השני ויחלק לד' פרקים
	הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות והמשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף מקומם
	הפרק השני בידיעת התיחסות שני מספרים שיש להם זאת הסגולה שאם נחסר א' מהמספר הגדול והוספנוהו על הקטן יהיו שווים ואם בהפך יהיה הגדול הפך הקטן או יותר כפי שנרצה
	הפרק הג' ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן יהיה הקטן הגדול ואם בהפך יהיה הגדול ג' פעמים
	הפרק הד' שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאי זה כל או יותר איך נדע הכל
	הפרק הה' בנתינת דרכים כוללים לידיעת איזה מספר בלתי ידוע בדרך המתנגדים
	הפרק הששי בלמוד החבורות
	הפרק הז' בקצת שאלות ותשובות
	המאמר השלשי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה ויתחלק לג' כללים
	הכלל הראשון בידיעת השעור הקוויי
	הכלל השני בידיעת השעור השטחיי
	הכלל השלישי בידיעת השעור הגשמי
	הכלל הראשון מהמאמר השלישי יתחלק לג' פרקים
	הפרק הראשון בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו ובידיעת השעור הקוויי בגבה
	הפרק השני בידיעת השעור הקוויי במישור
	הפרק השלישי בידיעת השעור הקוויי בעמק
	הכלל השני מהמאמר השלישי בידיעת השעור השטחי ויתחלק לה' פרקים
	פרק א' בידיעת שעור השטח המשלש השוה הזויות
	הפרק השני בידיעת שעור שטח המשלש שוה הצלעות
	הפרק השלשי בידיעת שעור שטח המשלש מתחלף הצלעות
	הפרק הד' בידיעת שעור שטח המרובע ושטח הרבוע
	הפרק הה' בידיעת שעור שטח העגול לפי סברת החכמים
	הכלל השלישי מהמאמר השלשי ובו פרק א' והוא בידיעת שעור אי זה גשם שיהיה

Book One: Numbers
Section one: Introduction to Arithmetic – Definitions and Principles	הכלל הראשון מהמאמר הראשון בגדר מלאכת המספר גדר המספר והאחדות וקצת התחלות צריכות אליה ומנין מיני המספר
Necessary preliminary definitions:
arithmetic	מלאכת המספר היא מלאכה תורה למנות הרבה אחדים והבדליהם וסגולתם ובנקלה יקויימו בזכירה
one	אחדות הוא יסוד וחלק ראשון מהמספר וכל מספר יורכב ממנו אבל הוא חוץ לכל מספר כי שנים או שלשה לא יצויירו בלתי האחד
	כי השנים אינם אלא כפל האחד
	והשלשה אינם אלא שלוש האחד
	אבל האחד יצוייר בלתי שיצויירו שנים או שלשה
number	ולכן יגדר המספר בשהוא קבוץ אחדים
The Positional Decimal System
The numerals	והראשון שצריך שתדע שתמונות המספר עשרה והם אלו: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0
	התמונה הראשונה או האות או הסימן כמו שתרצה לקרוא לה תורה אחד השנית שתים והשלישית שלשה וכן כסדר עד תשעה
Zero	והעשירית תקרא סיפרא ואינה שוה דבר בעצמה אבל היא להוראת מקום מקנה יותר כמות לאות הנמשכת אליה
The written ranks [= decimal places] and their writing order	ואלה התמונות צריך שיכתבו כמו שהן בכאן כסדר
1) Units	והמקום הראשון שבטור יקרא מקום של אחדים בעבור שירמוז לאחדים בין שתהיה הראשונה תשעה או אי זה שתהיה מהן
2) Tens	והמקום השני שבטור יקרא מקום של עשרות
3) Hundreds	והמקום השלישי יקרא מקום של מאות
4) Thousands	והמקום הרבעי של אלפים
5) Tens of Thousands	והמקום החמשי של עשרת אלפים
6) Hundreds of Thousands	והששי של מאות אלפים
7) Thousands of Thousands	והשביעי של אלף אלפים
8) Tens Thousands of Thousands	והשמני של עשרות אלף אלפים
9) Hundreds Thousands of Thousands	והתשיעי של מאות אלף אלפים
10) Thousands Thousands of Thousands	והמקום העשירי שבטור יקרא מקום של אלף אלפי אלפים בעבור שתרמוז אליהם
Every rank is ten times the preceding rank	וכן מעשרה לעשרה כי כל מעלה או מדרגה עולה יותר מהקודמת לה מנין עשרה וכן אל לא תכלית אם נרצה
The numerals in the written ranks	א"כ התמונות הנזכרות ר"ל האותיות לפי מקומם כך יהיה הוראתם בדרך זה שהאחד במקום האחדים ישווה אחד ובמקום העשרות עשרה ובמקום המאות מאה ובמדרגת האלפים אלף וכן בסדר ממדרגה למדרגה
	וכן שנים במקום האחדים שוה שנים ובמקום העשרות עשרים ובמקום המאות מאתים ובמקום האלפים אלפים
	וכן בסדר ממדרגה למדרגה ממעלה למעלה
Every number is either units, or product of ten, or composed from both	וכל מספר לא ימנע מאחד משלשה דרכים או שיהיה אחדים או כללים או מורכב משניהם
	והאחדים הוא כל מספר שהוא פחות מעשרה
	והכללים הוא מספר ששוה עשרות או מאות או זולת זה מהמדרגות
	ומורכב משניהם הוא כל מספר שיש בו אחדים וכללים יחד
List of the seven arithmetical operations: subtraction, doubling, halving, multiplication, division, and extracting roots of square and cubic numbers	ודע שמיני מלאכת המספר הם שבעה והם: קבוץ, חסור, כפול, חלוק באמצע, רבוע, חלוק, מציאות עקרי המספרים המרובעים והמעוקבים

Section Two: Integers

הכלל השני מהמאמר הראשון

ויתחלק לשבעה פרקים

Chapter One: Addition

הפרק הראשון במין הראשון מהמספר והוא הקבוץ

Definition of the addition operation: summing two or more numbers to one inclusive number

קבוץ הוא חבור שני מספרים או יותר במספר אחד כולל לכולם

Written Addition

Description of the procedure:

במין הזה נוכל לכתוב כל הטורים שנרצה וצריך לכתוב האחדים כנגד האחדים והעשרות כנגד העשרות ומאות כנגד מאות וכן כסדר מדרגה כנגד כל מדרגה הדומה לה

Summing the numerals as units

ואחר כך יקובצו כל האותיות האחדים

The sum of two digits - three options:

והקבוץ הזה לא ימנע מהיותו אחד משלש דרכים כמו שידעת

אם שיהיה מאחדים או מעשרות או מורכב משניהם

The sum of the digits in the rank is equal to units

ואם יהיה מאחדים נכתוב אותו בטור האחדים

The sum of the digits in the rank is equal to tens

ואם יהיה מעשרות נכתוב סיפרא ונעביר עשרה או עשרות אל המדרגה הראשונה הנמשכת אחריה שהיא מדרגת העשרות

The sum of the digits in the rank is equal to units and tens

ואם יהיו אחדים ועשרות יחד נכתוב האחדים תחת האחדים כאמור והעשרות במדרגת העשרות ובסדר הזה בכל מדרגה ומדרגה שיהיה

$\scriptstyle5243+8962$

כפי הנראה בצורה הזאת

	5	2	4	3
	8	9	6	2

1

4

2

0

5

ג ד ב ה

ב ו ט ח

ה 0 ב ד א

Check: casting out by 9

והמופת על זה שנשליך המקובץ ט' ט' והנשאר נשמור אותו וכן נעשה בנקבץ ואם הנותר משניהם שוה א"כ הקבוץ היה אמיתי ואם לא אינו אמתי וזה יספיק במין הראשון

Chapter Two: Subtraction

הפרק השני במין חסור

Definition of the subtraction operation: knowing the remainder of a number after a smaller number was subtracted from it

חסור הוא ידיעת הנשאר מאי זה מספר שיהיה כשיוסר ממנו מספר אחד פחות ממנו

Written Subtraction

Description of the procedure:

ויעשה בדרך זה נכתוב השני מספרים בשני טורים הגדול למעלה והקטן למטה מסודרים כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה עד תשלום כל המדרגות שיהיו

Subtracting a digit from a digit - three options:

ובזה המין צריך לעיין בשלשה דברים

או האות האחד מהמספר העליון תהיה שוה לאות האחר מהמספר התחתון או יותר או פחות

The digit of the subtracted is equal to the digit in the corresponding rank of the subtrahend

ואם יהיו שוות נכתוב למטה מהם סיפרא לאות שלא נשאר דבר כמי שמחסר ששה מששה שלא ישאר דבר

The digit of the subtracted is larger than the digit in the corresponding rank of the subtrahend

ואם האות העליון יהיה יותר נחסר מה שלמטה מהמדרגה של מעלה ונכתוב הנותר כמי שמחסר חמשה מששה שישאר אחד

The digit of the subtracted is smaller than the digit in the corresponding rank of the subtrahend:

the corresponding digit of the result = the digit of the subtracted + the complement of ten of the subtrahend's digit

ואם העליון יהיה פחות מאותו שלמטה נעיין האות שלמטה כמה יש עד עשרה ומה שיהיה נחבר אותו עם האות העליון שכנגדו וחבור אלו השנים יקרא מותר ונכתוב אותו למטה תחת האות העליון

then one is added to the succeeding digit of the subtrahend

וכשנרצה לחסר האות הנמשכת אליה מהעליונה שכנגדה צריך להוסיף אחד על האות התחתונה הנמשכת

the same as adding one to loaning one from the succeeding digit of the subtracted

וזה הפעל הכרחי בעבור שהאות העליונה הקודמת היתה פחותה מהתחתונה וזה התוספת מהאחד שאמרנו הוא כמו שאם חסרנו אחד מהאות הסמוכה לעליונה הפחותה מהתחתונה שכנגדה ובזה הדרך נעשה עד שיגמר כל הטור

$\scriptstyle4282-2432$

כפי הנראה בזאת הצורה

4	2	8	2
2	4	3	2

1

8

5

0

ב ח ב ד

ב ג ד ב

‫0 ה ח א

4282	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2-2}}={\color{blue}{0}}}$	4282
2432		2432
		0

וצריך שתדע כמו שאמרנו שבעבור שהאות העליונה שוה לתחתונה כשיחוסר האחת מהאחרת לא נשאר דבר ולכן כתבנו סיפרא

4282	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8-3}}={\color{blue}{5}}}$	4282
2432		2432
		50

ובמדרגה השנית בעבור שהאות העליונה היא שוה יותר מהתחתונה נראה כמה יש מהתחתונה עד תשלום העליונה וידענו שהם ה' ולכן כתבנו ה' למטה

4282	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2+\left(10-4\right)=2+6}}={\color{blue}{8}}}$	4282
2432		2432
		850

ואח"כ במדרגה השלישית בעבור שהאות התחתונה שוה יותר מהעליונה נדע כמה יש ממנה ר"ל מהתחתונה עד תשלום עשרה וידענו שהם ו' ונחבר אליהם האות העליונה שהיא ב' ויהיה קבוץ שניהם ח' והוא המותר ונכתוב אותו תחת הד'

4282	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4-\left(2+1\right)=4-3}}={\color{blue}{1}}}$	4282
2432		2432
		1850

ואח"כ בב' שהיא במדרגה הרביעית נוסיף אחד ויהיה ג' ונחסרם מהד' שהוא האות העליון וישאר למטה א'

וכסדר הזה צריך לעשות ואם ירבו המדרגות

והמופת על זה נחבר אותו המספר שחסרנו מהעליון עם המותר

Check: addition

ואם יהיה למספר העליון כמו מספר העולה מחבור המותר עם המספר שחסרנו דע כי החסור שעשינו הוא אמתי ואם לא אינו אמתי וזה מספיק במין השני

Chapter Three: Doubling

הפרק השלישי במין השלישי והוא הכפול ודרכים כוללים למציאות המספרים השלמים

Definition of the doubling operation: summing two equal numbers

כפול הוא קבוץ אי זה שני מספרים שיהיו שווים

starting from the units

וגם בזה המין ראוי שנתחיל מהאחדים

Description of the procedure:

ואי זה מספר שיהיה נכתוב אותו למטה כסדר כפל כל מדרגה ומדרגה בזה הדרך

double the digit is less than ten

שאם יהיה הכפל מאי זו מדרגה שתהיה פחות מעשרה נכתוב אותו

double the digit is equal to ten

ואם יהיה הכפל עשרה שלמים נכתוב סיפרא וישאר בידינו אחד להוסיף על כפל האות הנמשכת אליה

double the digit is more than ten

ואם יהיה יותר מעשרה נכתוב מה שיהיה יותר והעשרה נעבירם למדרגה הנמשכת כמו שעשינו במין הקבוץ לא פחות ולא יותר

$\scriptstyle2\times5372$

כפי הנראה בצורה הזאת

5

3

7

2

1

0

7

4

ב ז ג ה

ד ד ז 0 א

the doubles: 2; 2×2=4; 2×4=8

והמין הזה נוכל להתחיל מהאחד שכפלו הב' וכפול הב' ד' וכפול ד' ח'

Perfect Numbers

ובדרך הכפול הזה ימצאו המספרים השלמים

definition of a perfect number: any number that generated from the sum of all its divisors, so that when all its divisors are summed they produce it neither less nor more

וגדר מספר השלם הוא כל מספר שיבנה מקבוץ כל חלקיו שכשילקח כל אחד מחלקיו ויקובצו יבנו אותו לא פחות ולא יתר

for a prime number

\scriptstyle\left(2\sdot2^n\right)-1

והמספר השלם ימצא בדרך זה בשנקח כפל אחד מזה המין ונעיין אם כפלו פחות אחד יהיה מספר ראשון

the number

\scriptstyle2^n\sdot\left[\left(2\sdot2^n\right)-1\right]

is a perfect number

ואם יהיה מספר ראשון אז נכה אותו הכפל שלקחנו עם כפלו פחות אחד והעולה מהכאה זו הוא מספר שלם

definition of a prime number: every number that is not resulting from a product of any number

וגדר המספר הראשון הוא כל מספר שלא יצא מהכאת שום מספר

example: 7; 31; 3

כמו ז' או ל"א או ג'

6 is the perfect number in the rank of units: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot3=6}}$

המשל לקחנו הכפל הראשון מזה המין שהוא ב' ובעבור שכפלו פחות אחד הוא ג' והוא מספר ראשון נכה הכפל הראשון שהוא ב' בכפלו פחות אחד שהוא ג' ויצאו ששה שהוא מספר שלם וזהו המספר השלם שבמדרגת האחדים

in each rank there is only one perfect number

כי בכל מדרגה יש מספר אחד שלם לא יותר

וימצא בדרך האמור וזה מספיק במין השלישי הזה

Check: halving

והמופת במין הזה הוא בשנעשה המין הד' שהוא חלוק באמצע

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2^i=\left(2\sdot2^n\right)-2

ולזה המין יש סגלה אחרת שמי שירצה לדעת העולה מכל הנכפל יכפול האחרון ויסיר אחד ויהיה שוה לכל הנכפל והנה לך צורתו

			1
			2
			4
			8
		1	6
		3	2
		6	4
	1	2	8
	2	5	6
	5	1	2
1	0	2	4
2	0	4	8
4	0	9	6
8	1	9	2

			א
			ב
			ד
			ח
		א	ו
		ג	ב
		ו	ד
	א	ב	ח
	ב	ה	ו
	ה	א	ב
א	0	ב	ד
ב	0	ד	ח
ד	0	ט	ו
ח	א	ט	ב

Chapter Four: Halving

הפרק הרביעי במין הד' שהוא חלוק באמצע

Definition of the halving operation: dividing a number into two equal parts

חלוק באמצע והוא חלוק אי זה מספר שיהיה בשני חלקים שוים

starting from the highest rank

ובזה המין נתחיל לחלק מהאות השוה יותר

Description of the procedure:

half the digit is an even number

ונעשה בדרך זה שאם יהיה זוג נשים תחתיה חציה כמי שמשים תחת ח' ד'

half the digit is an odd number

ואם יהיה נפרד נשאיר אחד ונכתוב חצי הנשאר והאחד שנשאר יהיה עשרה לאות הסמוכה לה

no preceding digit before the odd digit

ואם לא יהיו יותר אותיות נחלק אותו ויהיה חציו של אחד

one of the digits in the middle of the number is zero

ואם באמצע הטורים ימצא אחד נשים תחתיו סיפרא והאחד יחזור עשרה עם האות הסמוכה לה

$\scriptstyle262144\div2$

כפי הנראה בצורה הזאת

2

6

2

1

4

1

3

1

0

7

2

ד ד א ב ו ב

ב ז 0 א ג א

צורה אחרת

$\scriptstyle1048876\div2$

1

0

4

8

7

6

5

2

4

3

8

א

0

ד

ח

ז

ו

ה

ב

ד

ג

ח

$\scriptstyle1048576\div2$

1

0

4

8

5

7

6

5

2

4

2

8

$\scriptstyle32143\div2$

3

2

1

4

3

1

6

0

7

1

½

Check: doubling

והמופת על זה הוא הכפול שאם לאחר שנכפל לא ישוה אינו אמתי וזה מספיק בזה המין מחלוק באמצע

Chapter Five: Multiplication	הפרק החמישי במין החמישי והוא הרבוע וקצת מסגולותיו
Definition of a product: a third number that is necessarily obtained from multiplying any two numbers one by the other so that each of them is found in [the third number] as many times as the units are in the other	רבוע הוא מספר שלשי מתחייב מהכאת אי זה שני מספרים שיהיו האחד באחר שכל כך פעמים ימצא כל אחד מהם בו כאחדים שבאחר
The need of memorizing the multiplication table	וצריך שתדע שכל מי שירצה להיות בקי בזה המין צריך שידע זה הלוח על פה ויקרא לוח הרבוע או לוח ההכאות

ז

ב

ט

ח

ה	ו
ו	ג

ח	ז
ט	ז

ד	ב
ד	ח
ה	ד

ז	ו
ח	ו
ט	ו

ג	0
ג	ה
ד	0
ד	ה

ו	ה
ז	ה
ח	ה
ט	ה

ב	0
ב	ד
ב	ח
ג	ב
ג	ו

ה	ד
ו	ד
ז	ד
ח	ד
ט	ד

א	ב
א	ה
א	ח
ב	א
ב	ד
ב	ז

ד	ג
ה	ג
ו	ג
ז	ג
ח	ג
ט	ג

	ו
	ח
א	0
א	ב
א	ד
א	ו
א	ח

ג	ב
ד	ב
ה	ב
ו	ב
ז	ב
ח	ב
ט	ב

	א
	ד
	ט
א	ו
ב	ה
ג	ו
ד	ט
ו	ד
ח	א

א	א
ב	ב
ג	ג
ד	ד
ה	ה
ו	ו
ז	ז
ח	ח
ט	ט

7

2

9

8

5	6
6	3

8	7
9	7

4	2
4	8
5	4

7	6
8	6
9	6

3	0
3	5
4	0
4	5

6	5
7	5
8	5
9	5

2	0
2	4
2	8
3	2
3	6

5	4
6	4
7	4
8	4
9	4

1	2
1	5
1	8
2	1
2	4
2	7

4	3
5	3
6	3
7	3
8	3
9	3

	6
	8
1	0
1	2
1	4
1	6
1	8

3	2
4	2
5	2
6	2
7	2
8	2
9	2

	1
	4
	9
1	6
2	5
3	6
4	9
6	4
8	1

1	1
2	2
3	3
4	4
5	5
6	6
7	7
8	8
9	9

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מז	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

no difference between the two tables - except for the extensiveness versus brevity

ואלו השתי לוחות מה שיושג באחת יושג באחרת ואין ביניהם הבדל אלא באריכות ובקצור

וכדי שיוכרו בטוב השני מספרים להכות או לרבע נקרא לתחתון פועל ולעליון פעול ונכתוב מהפעול אי זה טור שנרצה ותחתיו נכתוב הפועל

the multiplier consists of one digit: one lines - one starting with units

ואם הפועל יהיה אות אחת נעשה טור אחד ונתחיל מהאחדים

the multiplier consists of two digits: two lines - one starts with units, the second starts with tens

ואם הפועל יהיה משני אותיות נעשה שני טורים הטור הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות

the multiplier consists of three digits: three lines - one starts with units, the second starts with tens, and the third starts with hundreds

ואם הפועל יהיה מג' אותיות נעשה ג' טורים הראשון יתחיל באחדים והשני בעשרות והשלישי במאות

and so on

וכן כסדר הזה

ואם ירבו האותיות מאד כלומר שתחת מדרגת אות הפועל אי זה שיהיה שם צריך שיכתב התחלת פעלתו וזהו חלוף הטורים שאמרנו כמו שתראה אותם בצורה הבאה תחת צורות הפעול והפועל

ונעשה כן שבראשונה נכה אות אחדות הפועל באות אחדות הפעול ומההכאה ההיא או יהיו עשרה או יותר או פחות

The product of units by units is equal to ten

ואם יהיו עשרה נכתוב ספרא ונשמור העשרה למדרגה הנמשכת אליה ויהיו שם בשם אחד

The product of units by units is more than ten

ואם יהיו יותר מעשרה נכתוב המותר מהעשרה ונעביר העשרה למדרגה הנמשכת הסמוכה ויהיו שם בשם אחד

The product of units by units is less than ten

ואם יהיו פחות מעשרה נכתוב אותם במקומם

וכן צריך לעשות מכל אחד מאותיות הפועל עם אותיות הפעול

the multiplier consists of one digit: one interim product

ואם כן אם אות הפועל תהיה אחת הטור תהיה אחת בהכאה

the multiplier consists of two digits: two interim products

ואם יהיו שני הטורים יהיו שנים

the multiplier consists of more than two digits: more than two interim products

ואם יותר יותר

ואחר נקבץ כל המעלות שעשינו וזו היא ההכאה או רבוע שבקשנו מהשני מספרים

כמו שיראה בכל אחת מאלו הצורות

$\scriptstyle1234\times12$

	1	2	3	4
			1	2

	2	4	6	8
1	2	3	4

1

4

8

0

8

	א	ב	ג	ד
			א	ב

	ב	ד	ו	ח
א	ב	ג	ד

א

ד

ח

0

ח

$\scriptstyle1234\times5$

1	2	3	4
			5

6

1

7

0

א	ב	ג	ד
			ה

ו

א

ז

0

$\scriptstyle9876\times25$

		9	8	7	6
				2	5

	4	9	3	8	0
1	9	7	5	2

2

4

6

9

0

Check: casting out by 9

והמופת על זה שנמנה כל אותיות הפועל כמו אחדים ונחלקם לתשעיות ונשמור המותר וכן מהפעול

והמותר מהפועל נכה אותו במותר הפעול והעולה נשליך ממנו עוד התשיעיו' הנשאר נשמור אותו
והמקובץ מההכאה הראשנה נחלקהו ג"כ בתשעיות ונשמור הנשאר
ואם זה הנשאר או המותר יהיה שוה למותר העולה מהכאת הפועל והפעול ההכאה ההיא אמתית ואם לא אינה אמיתית

Multiplication with recollection

ויש דרך אחר לרבע

דע כי כמו שהפועל בהכאתו בפעול עושה כל כך טורים באותיות שיש בו כאשר אמרנו למעלה ואח"כ בקבוץ טוריו מורה הרבוע כן ג"כ אם נרצה להקל מלעשות הרבה טורים באופן שמה שנשיג בהרבה טורים נוכל להשיג במעלה אחת וכבר יש לנו דרך בזה והיא זו

דע שהתחלת פעלת הפועל היא בהכאת האחדים שלו באחדי הפעול ומקום ההכאה הזאת היא מקום האחדים

וההכאה שממנה יולדו העשרות צריך שתתחיל במקום העשרות

וההכאה שממנה יולדו המאות צריך שתתחיל במדרגת המאות

וכן מהאחרות כסדר

ולדעת ההכאה שממנה יולדו העשרות וההכאה שממנה יולדו המאות וכן מהמדרגות האחרות זו היא הדרך

כבר ידעת שהכאת האחדים עם האחדים התחלתה היא באחדים

2 interim products from which the tens of the final product are generated:

units of the multiplier×tens of the multiplied
tens of the multiplier×units of the multiplied

וההכאה שממנה יולדו העשרות היא זאת שהכאת אחדי הפועל בעשרות הפעול

וגם כן עשרות הפועל באחדי הפעול אלו שתי ההכאות לבד הם העשות עשרות

3 interim products from which the hundreds of the final product are generated:

units of the multiplier×hundreds of the multiplied
tens of the multiplier×tens of the multiplied
hundreds of the multiplier×units of the multiplied

וההכאה שממנה יולדו המאות הם ג'

הא' מאחדי הפועל במאות הפעול
והב' עשרות הפועל בעשרות הפעול
וההכאה השלישית היא ממאות הפועל באחדי הפעול
וקבוץ שלשתם צריך שיתחיל במדרגת המאות

4 interim products from which the thousands of the final product are generated:

units of the multiplier×thousands of the multiplied
tens of the multiplier×hundreds of the multiplied
hundreds of the multiplier×tens of the multiplied
thousands of the multiplier×units of the multiplied

וההכאות שמהם יולדו האלפים הם ד'

הראשנה היא הכאת אחדות הפועל באלפי הפעול
הב' בעשרות הפועל במאות הפעול
הג' הכאת מאות הפועל בעשרות הפעול
הד' אלפי הפועל באחדי הפעול
והעולה מאלו הד' הכאות צריך להתחיל כתיבתו במדרגת אות האלפים

וכסדר הזה בכל אותיות הטור שיהיו כי לפי המקום יהיו ההכאות

ובעבור שמקום האלף הוא מקום ד' לכן עשינו ד' הכאות

וכמו כן בעשרות אלפים שהוא מקום ה' צריך ה' הכאות

וכסדר הזה ואם ירבו המדרגות ירבו ההכאות וזה מה שרצינו והנה לך צורתו

$\scriptstyle4321\times1542$

			4	3	2	1
			1	5	4	2

6

2

9

8

2

			ד	ג	ב	א
			א	ה	ד	ב

ו

ב

ט

ח

ב

$\scriptstyle3245\times432$

			3	2	4	5
				4	3	2

1

4

0

1

8

4

0

ובעבור שבזה המין ימצאו קצת סגלות מיוחדות נאמר אותם הנה והם אלו

Sums

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=1+2+3+4+5+\ldots

ראשנה לדעת קבוץ מספרים הרבה מסודרים במדרגותיהם כמי שמונה אחד שנים שלשה וארבעה וחמשה וכן כסדר

ואם ירבו מאד ונרצה לדעת קבוץ כלם יש לנו בזה שני דרכים

הדרך הראשון הוא זה שאמרנו ודרך ידיעתו היא זאת שנעיין המספר האחרון אם הוא זוג או נפרד

even number of items

\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n} i=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left(2n+1\right)

ואם יהיה זוג נקח חציו ונכה אותו על האחרון בתוספת אחד ויצא לנו קבוץ כלם

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12$

המשל שנרצה לדעת קבוץ אחד מאחד עד י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{12} i=1+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left(12+1\right)=6\sdot13=78}}

נקח חצי י"ב שהוא ו' ונכהו בי"ג שהוא המספר האחרון עם תוספת א' ויהיו ע"ח וכך הוא הקבוץ מא' עד י"ב

odd number of items

\scriptstyle\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left(2n-1\right)

ואם המספר האחרון יהיה נפרד נקח חציו וחציו של אחד יותר ונכה אותו באחרון ויצא לנו קבוץ כולם

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13$

המשל שנרצה לדעת המקובץ מאחד עד י"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{13} i=1+\ldots+13=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=\left[\left(6+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot13=7\sdot13=91}}

נקח ו' וחצי וחצי יותר שהם ז' ונכה אותם על י"ג ויעלו לצ"א וכך הוא הקבוץ מאחד עד י"ג

וכסדר הזה ואם ירבו המספרים מאד

sum of evens

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots

והדרך השני הוא זה שאם יהיו המספרים כלם זוגות כשנתחיל מב' ואחר ד' ואחר ו' וא"כ ירבו מאד כסדר הזה

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=2+4+6+\ldots=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+1\right]

לדעת המקובץ מכלם נקח חצי הזוג האחרון ונכה אותו על חציו האחר בתוספת אחד ומה שיעלה הוא קבוץ כל הזוגות

$\scriptstyle\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12$

המשל בזה שאם הזוג האחרון יהיה י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^6 2i=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+1\right]=6\sdot\left(6+1\right)=6\sdot7=42}}

נקח חציו שהוא ו' ונכהו על ז' שהם חצי המספר בתוספת אחד ויעלה למ"ב וכך הוא הקבוץ של כלם

sum of odds

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots

ואם יהיו המספרים נפרדים כלם בשנתחיל מאחד ואחר ג' ואחר ה' ואחר ז' ואם ירבו מאד כסדר הזה

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=1+3+5+7+\ldots=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2

לדעת המקובץ מכלם נקח חצי המספר האחרון וחצי אחד יותר ונכהו בעצמו ומה שיעלה הוא המקובץ מכלם

$\scriptstyle\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15$

המשל בזה נרצה לדעת המקובץ מכל הנפרדים מהאחד עד הט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 \left(2i-1\right)=1+\ldots+15=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\frac{1}{2}\right]^2=\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}\right]^2=8^2=64}}

נקח חצי האחרון שהוא ז' וחצי וחצי יותר ויהיו ח' ונכהו בעצמו ויעלה ס"ד וכך הוא המקובץ מכלם

וכסדר הזה תעשה ואם ירבו המספרים הרבה מאד

Shortcuts

ובמין הזה ר"ל הרבוע יש דרכים אחרים עוד לדעת הכאת המספרים בדרך קצרה

$\scriptstyle a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot a\right)-\left[\left(10-b\right)\sdot a\right]$

והראשון כשנרצה לדעת כל שני מספרים שהם תחת העשרה נעשה כן נראה המספר היותר גדול כמה הוא פחות מי' וכמו שיהיה הגדול פחות מי' כך פעמים נוציא המספר הפחות מעשיריתו

$\scriptstyle8\times9$

המשל שנרצה לדעת קבוץ הכאת ח' בט'

\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot8\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot8\right]=80-\left(1\sdot8\right)=80-8=72}}

ומצאנו שהמספר היותר גדול שהוא ט' הוא פחות מי' אחד ולכן נחסר ח' פעם אחת מפ' שהם עשיריתו ונשארו ע"ב וזאת היא ההכאה מח' בט' וכך הוא הסדר באחדים

$\scriptstyle a<b<10\longrightarrow a\times b=\left(10\sdot b\right)-\left[\left(10-a\right)\sdot b\right]$

וכמו שסדרנו פעלתנו על המספר היותר גדול ג"כ נוכל לסדרו על המספר הפחות

\scriptstyle{\color{blue}{8<9<10\longrightarrow8\times9=\left(10\sdot9\right)-\left[\left(10-8\right)\sdot9\right]=90-\left(2\sdot9\right)=72}}

המשל כי כמו שאמרנו בהכאת ח' בט' כמה היו הט' פחות מי' כך נעשה כשנעיין כמה היו מח' עד י' שהם פחות ב' ולכן נחסר ב' פעמים ט' מהצ' וישארו ע"ב

והכל פעלה אחת אלא שהוא יותר נקל כשנסדר פעולתנו על המספר הגדול

$\scriptstyle10\times a=a0$

ואם יהיה ההכאה במדרגת העשרות כשנרצה להכות איזה מספר שיהיה בעשרה נוסיף עליו 0'

$\scriptstyle10\times12=120$

המשל אם נרצה לדעת י' פעמים י"ב כמה הם נוסיף 0' על י"ב ויהיו ק"ך ובדרך המספר יסודרו כן 0בא

$\scriptstyle20\times a=\left(2\sdot a\right)0$

ואם יהיה ההכאה על כ' באי זה מספר נכפול המספר המוכה בב' ונוסיף עליו סיפרא

$\scriptstyle20\times5=\left(2\sdot5\right)0=100$

המשל כ' פעמים ה' נכפול הה' ויהיו י' ונוסיף 0' ויהיו ק' וכן מהאחדים

$\scriptstyle30\times a=\left(3\sdot a\right)0$

ואם נרצה להכות בל' אי זה מספר שיהיה נשלשהו ונוסיף עליו 0'

$\scriptstyle30\times20=\left(3\sdot20\right)0=600$

המשל ל' פעמים כ' נשלש הכף ויהיו ס' ונוסיף 0' ויהיו ת"ר וזו היא צורתו בדרך המספר 00ו

וכסדר הזה בכל העשרות

$\scriptstyle100\times a=a00$

ואם נרצה להכות במאה אי זה מספר ונוסיף עליו ב' סיפראש ויהיה מוכה במאה

$\scriptstyle1000\times a=a000$

ואם נרצה להכות אי זה מספר באלף נוסיף עליו ג' סיפראש

וכן כסדר הזה כשנוסיף תמיד בכל מדרגה סיפרא אחת

Chapter Six: Division

הפרק הששי במין הששי שהוא החלוק

Definition of the division operation: dividing any number into equal parts as the number of units in the divisor

חלוק הוא חלוקת אי זה מספר שיהיה בכך חלקים שוים כמספר האחדים שבמחלק

ובמין הזה צריך שנתחיל באות ששוה יותר ונכתוב המחלק תחת המחולק בשנניח מקום פנוי בין המחלק והמחולק שנכתוב בו החלק המבוקש לכל אחד מחלקי המחלק

ובעבור שהחלוק אינו אלא לדעת כמה פעמים ימצא המחלק במחולק לכן צריך שנעיין כמה פעמים ימצא אות המחלק באות המחולק ומספר אותם הפעמים צריך שנכתוב במקום הפנוי שהנחנו

$\scriptstyle144\div8$

המשל נרצה לחלק קמ"ד לשמנה תעשה כך כצורה הזאת

	0
0	6	0
1	4	4

1

8

	0
0	ו	0
א	ד	ד

א

ח

וצריך שתדע כי כשאות המחולק פחות מהמחלק כמו בזה המשל אז נקח ב' אותיות מהמחולק ונקח היותר גדולה בשם עשרה והאחרת בשם אחדות

כמו שאתה רואה בזאת הצורה

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{14\div8={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{6}}}}}$	06
144		144
		1
8		8

הא' בשם עשרה והד' בשם ארבעה וקבוצם י"ד ונאמר כמה פעמים ימצא ח' בי"ד וראינו שימצא פעם אחת ונשארו ששה והאחד שמנו בשם חלק שהיא א' תחת הד' והו' שנשארו כתבנו על הד' של המחולק ובעבור שמהי"ד לא נשארו יותר מו' כתבנו על הא' מהמחולק 0' והו' הנשארים יהיו עשרות להבא

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{64\div8={\color{blue}{8}}}}}$	0
06		060
144		144
1		18
8		8

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{18\ the\ result}}

וא"כ נשארו עדיין לחלק ס"ד ונחלקם בח' ויהיו ח' לחלק ונכתוב אותם תחת הד' הראשון של המחולק ונאמר ח' פעמים ח' הם ס"ד וכשנחסרם מהמחולק שהם ס"ד לא ישאר דבר ולכן כתבנו 0' על הו' ו0' על הד'

the divisor consists of one digit [= units] alone

ובדרך הזה צריך בכל המדרגות ואם ירבו מאד וכל זה כשיהיה המחלק אות אחת בלבד

ודע כי כשאות החלק יבא תחת אחדי המחולק אז נדע שלא נשאר יותר לחלק וזה יובן בשלמים

ואם ישאר דבר תיחסהו למחלק וכאותו היחס מחלקי שלם אחד יהיה לכל חלק מהמחלק או תהפך כל א' וא' מהנשארים לכל כך חלקים כמו האחדים שיש במחלק ואחר נחלקם במחלק ואז לא ישאר דבר לחלק

המשל בזה שאם המחלק יהיה ח' והנשאר לחלק היו ג' ניחס הג' לח' ויהיה היחס ג' שמניות או נעשה מכל א' מג' הנשארים ח' חלקים ויהיו כ"ד חלקים ונחלקם על המחלק שהם ח' ויבא לכל חלק ג' שמניות ובדרך הזה תעשה בכל עת שישאר לך דבר לחלק

the divisor consists of two digits [= units and tens]

ואם יהיה המחלק מב' אותיות נכתוב אותו תחת המחולק במדרגה השוה יותר בהניחנו מקום פנוי כאמור

וצריך שתדע עוד שאם המחלק יהיה מב' אותיות שהאותיות הנגדיות מהמחולק צריך שבפעלתנו נקח האחת כמו אחדים והאחרת כמו עשרות

the divisor consists of three digits = units, tens and hundreds

ואם המחלק יהיה מג' אותיות הנגדיות מהמחולק תהיה האחת כמו אחדים והב' כמו עשרות והג' כמו מאות

וכן בסדר הזה ואם ירבו ירבו השמות

וראשונה נעיין האות השמאלית מהמחלק כמה פעמים ימצא באות הראשון שבמחולק וכל כך פעמים שימצא בו כך נכתבהו בשם חלק במקום הפנוי על אות אחדי המחלק בתנאי זה שהכאת החלק באות הימנית מהמחלק יספיק לחסר אותה מהאות הימנית של המחולק בעזר האות השמאלית שבצדה למה שהשתי אותיות של המחולק נעזרות לעולם וזה הכרחי בכל מדרגות החלוק ואז נחסרם מהמחולק

ואם שתי האותיות של המחולק היו פחות מאותיות המחלק נכתוב 0' בשם חלק

ונעבור לבאות ואז צריך שנקח השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל בשם אות שמאלית מהמחלק והאחרת בשם אות ימנית ומאלו השתי אותיות מהמחולק מצד שמאל נעיין כמה פעמים אפשר לחסר מהן השמאלית מהמחלק ושכל כך פעמים יחסר האות הימנית מהמחלק מהימנית מהמחולק

וכדרך זה עד כלות כל אותיות המחולק כאמור למעלה

כי כונת החלוק אינו אלא שהאות שנשים בשם חלק שכל כך פעמים שיחסר שמאלית המחלק משמאלית המחולק שכל כך פעמים יחסר ימנית המחלק מימנית המחולק ויותר אם יהיו

$\scriptstyle9876\div12$

כנראה בצורה הזאת

0	0	0
1	2	3	0
9	8	7	6

8

2

3

1

2

0	0	0
א	ב	ג	0
ט	ח	ז	ו

ח

ב

ג

א

ב

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{9-\left(1\sdot{\color{blue}{8}}\right)=9-8={\color{green}{1}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{{\color{green}{1}}8-\left(2\sdot{\color{blue}{8}}\right)=18-16={\color{green}{2}}}}\\\end{align}}$	0
		12
9876		9876
		8
12		12

ונניח שנרצה לחלק ט' אלפים ותתע"ו בי"ב חלקים בעבור שהמחלק הוא משתי אותיות נקח השתי אותיות אחרונות מהמחולק שהם ח'ט' הח' בשם אחדים והט' בשם עשרות שהם צ"ח על י"ב ונעיין כמה פעמים אפשר לחסר האות השמאלי של המחלק שהיא א' מאות השמאלית מהמחולק שהוא ט' ונראה שימצא בה ט' פעמים האמנם למה שאמרנו שכל כך פעמים כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק שכל כך פעמים צריך לחסר ימנית המחלק מימינית המחולק וזה אינו מספיק לכן כתבנו ח' בשם חלק וחסרנו אותם מהט' וישאר א' על הט' ונאמר ח' פעמים ב' שהם י"ו כשנחסרם מי"ח ישארו ב' על הח' וסיפרא על הא' מהמחולק

0	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2-\left(1\sdot{\color{blue}{2}}\right)=2-2={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(2\sdot{\color{blue}{2}}\right)=7-4={\color{green}{3}}}}\\\end{align}}$	00
12		123
9876		9876
8		82
12		12

ועתה נחזור ונקח הב' והז' הב' בשם שמאלי והז' בשם ימיני כאמור ונסדרם כמו שסדרנו בב' אותיות הראשונות בשנאמר כמה פעמים אפשר לחסר שמאלית המחלק שהיא א' משמאלית המחולק שהיא ב' ונמצא שאפשר שיחסר ב' פעמים וג"כ נמצא שימינית המחלק שהיא ב' אפשר שיחסר שני פעמים מימינית המחולק שהיא ז' ולכן כתבנו ב' בשם חלק והכינו הב' מהחלק על הא' שהיא אות שמאלית מהמחלק ויעלו ב' ונחסרם מהב' שהיא שמאלית המחולק וישאר 0' עוד נכה הב' שהיא החלק על הב' שהיא ימנית המחלק ויעלו ד' ונחסרם מהז' וישאר ג' על הז'

00	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{3-\left(1\sdot{\color{blue}{3}}\right)=3-3={\color{green}{0}}}}\\&\scriptstyle{\color{red}{6-\left(2\sdot{\color{blue}{3}}\right)=6-6={\color{green}{0}}}}\\\end{align}}$	000
123		1230
9876		9876
823		823
12		12

ויהיה ו' ימינית המחולק וג' שמאלית המחולק ונעיין כמה פעמים אפשר לחסר א' שהוא שמאלית המחלק מהג' שהיא שמאלית המחולק ומצאנו שג' פעמים ובקשנו ג"כ אם ימצא הב' שהיא ימנית המחלק כל כך פעמים בימינית של המחולק ומצאנו שכן ולכן כתבנו ג' בשם חלק והכינו ג' בא' ועלה לג' ונוציאם מהג' של המחולק המחולק וישאר 0' וגם כן נכה הג' של החלק על ימינית המחלק שהיא ב' ויעלו ו' ונחסרם מהו' שהיא ימינית המחולק וישאר 0' ונכתוב 0' על הו'

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{823\ the\ result}}

והנה נחלק הכל ויהיה החלק תתכ"ג

והמופת על זה הוא שנכה החלק במחלק ואם יהיה שוה למחולק הוא אמת ואם לאו נחזור שנית לחשבוננו

ומופת אחר שנחסר התשעיות מהמחלק בצד אחד ומהחלק לצד אחר ונכה הנשאר מהשנים שלא יעלה לט' ונוציא ג"כ התשיעיות ומה שלא יעלה לט' נשמרהו ונשליך ג"כ המחולק לתשיעיות ונראה הנשאר שלא הגיע לט' ואם לא נשאר דבר בלתי מתחלק אז נראה אם הנשאר מהתשיעיות המחולק שוה לשמור הרי טוב ואם לא טעינו אמנם אם נשאר דבר בלתי מתחלק נשליך ג"כ המתחלק לתשיעיות והנשאר חסריהו מהנשאר מטור המתחלק או נוסיפהו על הנשאר הראשון שהוא השמור ונראה ואם יהיה שוה לנשאר מההכאה הוא אמת ואם לא אינו אמת

ואם יהיה המחלק יותר משתי אותיות נעשה בדרך זה בעצמו לא פחות ולא יתר שכל כך פעמים כמו שימצא שמאלית המחלק בשמאלית המחולק כל כך פעמים נחסר ימינית המחלק מימינית המחולק וכל כך פעמים אות הג' של המחלק מאות הג' מהמחולק והד' ג"כ אם יהיה מד'

וכן אם ירבו האותיות הרבה מאד נעשה כסדר הזה

וזה יספיק בו' מיני השלמים

ונדבר עתה מו' מיני השברים ומסגולותיהם בעה"ו

Section Three: Fractions

הכלל השלישי מהמאמר הראשון

ויתחלק לשמנה פרקי'

Chapter One: Introduction on Fractions

הפרק הראשון בדרכים מישירים באופני הנחת השברים וגדרם וסדורם

ואחר שדברנו מו' מיני השלמים עתה צריך שנדבר בו' מיני השברים

וצריך שתדע כי כמו שיש ו' מיני שלמים כן ג"כ יש ו' מיני שברים

וקודם שנדבר מהם צריך שנאמר מהו שבר ואיך יסודר בכתיבתו ובאי זה חשבון ישבר

definition of fraction = any part that is taken from an integer

השבר הוא אי זה חלק שילקח מהשלם

כמו חצי או שליש או רביע וכדומה

ואיך יסודרו בכתיבתם הוא זה בעבור שבכל שבר ושבר יצויירו שני עניינים ר"ל כמות המתדבק וכמות המתחלק

המשל כשנאמר ב' שלישיות או שלש רבעיות

הב' והג' הם כמות מתחלק בעבור שמדברים מהמספר כי המספר הוא כמות מתחלק

והשלישיות והרביעיות כמות מתדבק בעבור שמדברים מחלק או חלקים מאיזה כל שיהיה ולכן רומזים לכמות מתדבק

ובעבור שהשברים יוכללו בשני מיני הכמה כאמור לכן צריך שיכתב כל שבר ושבר בשתי אותיות האחת לרמוז על הכמה מתדבק והשני על הכמה המתחלק

והאות הרומזת לכמה המתחלק נכתוב למעלה ותחתיה קו אחד

והאות הרומזת לכמה המתדבק נכתוב תחתי הקו

המשל אם נרצה לכתוב שני שלישיות

נכתוב ב' ותחת הב' קו אחד ותחת הקו ג' כמו שיראה בצורה זו

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}}}$

ב

ג

והאות העליונה שהיא ב' או מה שיהיה תרמוז לכמות רבוי השברים כמו א' ב' ג' ד' ה' וכל מה שתרצה

והאות התחתונה שהיא ג' כל מה שיהיה תרמוז לשם החלק כמו חצי או שליש או רביע או חמישית או מה שיהיה מחלקי השלם

כי השלם יחלק לשני חצאים ולג' שלישיות ולד' רביעיות ולה' חמישיות ולו' ששיות וכן מכל החלקים שנרצה לחלק בהם השלם

וצריך שתדע כי כמו שהשליש הוא א' מג' חלקי השלם כן השלם לא יחלק בשלישיות יותר משלש ולא רביעיות יותר מד' ולא בחמישיות יותר מה' וכן כלם כסדר הזה

והשברים יכתבו בדרך זה

שאם תכתוב חצי שלם כתוב כך

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$

א

ב

והשלשית תכתוב כך

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$

א

ג

והרבעית כך

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}}}$

א

ד

וג' רביעיות תכתוב כך

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}}}$

ג

ד

וד' חמשיות תכתוב כך

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}}}$

ד

ה

וכן כל מה שתרצה כסדר הזה

Chapter Two: Addition of Fractions

הפרק השני בקבוץ השברים

Definition of the addition of fractions = conversion of two types of fractions or more to integers, or to one type of fractions, or to integers and one type of fractions together

והוא השבת ב' מיני שברים או יותר לשלמים או למין אחד מהשברים או לשלמים ומין אחד מן השברים יחד

ונעשה בדרך זה נכתוב כל השברים שנרצה

$\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$

כמי שרוצה לחבר או לדעת קבוץ חצי ושליש ורביע או מה שיהיה כנראה בצורה זו

א	א	א
ד	ג	ב

הראשון שצריך בזה המין הוא למצא חשבון אחד שימצאו בו כל אלה השברים וימצא בדרך זה בשנכה ב' על ג' והעולה משניהם נכה בד' וכן כסדר הזה נכה לעולם כל העולה מהכאת כל האותיות העוברות עם הנמשכת אליהן עד שנשלים כל הטור התחתון ר"ל כל האותיות שהן תחת הקו והעולה מכל אלה ההכאות הוא החשבון שימצאו בו כל השברים באי זה מין שיהיה ממיני השברים

common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4=6\sdot4=24}}

והחשבון שימצאו בו כל השברים הכתובים בזאת הצורה שלמעלה הוא כ"ד והוא בדרך זה נכה ב' על ג' ויעלו ו' וכל זה ר"ל הו' על הד' ויהיו לכ"ד

ובזה החשבון ימצאו חצי ושליש ורביע ולזה החשבון ר"ל כ"ד יש להם מקום של שלם

כי כמו שמהשלם יקח אדם אי זה חלק שירצה כך מזה החשבון של כ"ד שהם במקום השלם נקח אי זה חלק שנרצה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot24=1\sdot3\sdot4=3\sdot4=12}}

ולכן נקח החצי והשליש והרביע בזה הדרך נתחיל לקחת החצי בזה הדרך שהאות שנמצאת על קו החצי שהיא א' נכהו באות ג' שהיא תחת הא' הרומזת השליש ויהיו ג' ואלו הג' נכם על ד' שהיא תחת א' הרומזת הרביע ויהיו י"ב שהוא חצי של אותו החשבון שאמרנו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot24=1\sdot2\sdot4=2\sdot4=8}}

ואח"כ נקח השליש בדרך זה שנכה אות השליש שהיא על הקו עם האות של החצי שהיא תחת הקו ויהיה המוכה ב' ונכה הב' על ד' ויעלה ח' שהוא השליש של זה החשבון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot24=1\sdot2\sdot3=2\sdot3=6}}

ואח"כ נכה הא' שהיא על ד' על הב' שהיא תחת הקו הרומזת החצי ויהיה ב' ואלו הב' נכה אותם בג' שהם תחת הקו הרומזת השליש ויעלו לו' שהם רביע זה החשבון ר"ל הכ"ד

numerator:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right) +\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=12+8+6=26}}

א"כ יש לנו ג' חשבונות שהם חצי ושליש ורביע שהם י"ב וח' וו' וקבוץ כלם כ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=\frac{26}{24}=1+\frac{2}{24}=1+\frac{1}{12}}}

והשלם שיוחסו אליו אלו הכ"ו הוא כ"ד ולכן נחלק הכ"ו בכ"ד ויצא א' שלם וישארו ב' שלא נחלקו וניחס אותם לחשבון כ"ד ונמצא שהם חלק א' מי"ב של שלם א' וזהו העולה מג' שברים האמורים למעלה א"כ העולה מהשברים האמורים הוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב חלקי השלם

$\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}$

וכדי שיובן יותר טוב נעשה משל אחד ונניח שנרצה לקבץ ב' שלישיים וג' רביעיים וד' חמישיים וה' ששיים שצורתם היא זאת

ה	ד	ג	ב
ו	ה	ד	ג

common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5\sdot6=12\sdot5\sdot6=60\sdot6=360}}

הראשון שצריך שנמצא הוא החשבון שהוא במקום שלם ר"ל שימצאו בו כל אלו השברים ונעשה כך נכה כל האותיות שתחת הקוים בזה הדרך ראשנה נכה ג' בד' ויהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בה' ויעלו ששים ונכה ששים בו' ויעלו ש"ס וזהו המספר שבו ימצאו כל אלו השברים והוא מקום שלם ויקרא ג"כ מחלק

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot360=2\sdot4\sdot5\sdot6=8\sdot5\sdot6=40\sdot6=240}}

ועתה צריך שנוציא ממנו כל השברים ונעשה בדרך זה וראשנה נוציא השבר הראשון מהצורה האמורה שהוא שני שלישיות בדרך זה בשנקח הב' שהם על הג' ונכם בד' ויהיו ח' ואלו הח' נכם על ה' שהיא תחת ד' ויהיו מ' ומ' נכה בו' שהיא תחת הה' ויעלו ר"מ וזה המספר יקרא שני שלישיים של מחלק ר"ל של אותו המחלק שאמרנו שהוא במקום שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot360=3\sdot3\sdot5\sdot6=9\sdot5\sdot6=45\sdot6=270}}

ואח"כ נוציא הג' רביעיות בדרך זה בשנקח הג' שהיא על הד' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת האות שתחתיה שהיא ד' בדרך זה ג' על ג' ויהיו ט' וט' על ה' ויהיו מ"ה ומ"ה על ו' ויעלו ר"ע והוא החשבון שיורה על ג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot360=4\sdot3\sdot4\sdot6=12\sdot4\sdot6=48\sdot6=288}}

ואח"כ נוציא הד' חמישיות בדרך זה בשנקח הד' שהיא על ה' ונכה בכל האותיות התחתונות זולת הה' שהיא תחת הד' בדרך זה נכה ד' בג' ויהיו י"ב וי"ב בד' ויעלו מ"ח ומ"ח בו' ויעלו רפ"ח וזהו החשבון שיורה על ד' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot360=5\sdot3\sdot4\sdot5=15\sdot4\sdot5=60\sdot5=300}}

ואח"כ נוציא הה' ששיות בשנקח ה' שהיא על ו' ונכהו בכל האותיות התחתונות זולת הו' שתחתיה בדרך זה ה' על ג' יעלה ט"ו וט"ו על ד' יעלה סמך וס' בה' יעלה ש' וזהו החשבון שיורה על ה' ששיות

numerator:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left(\frac{2}{3}\sdot360\right) +\left(\frac{3}{4}\sdot360\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot360\right)\left(\frac{5}{6}\sdot360\right)\\&\scriptstyle=240+270+288+300=1098\\\end{align}}}

והנה כבר הוצאנו כל השברים שאמרנו ועתה צריך שנקבץ כל אלה השברים שאמרנו ונעשה בדרך זה נקח החשבון הר"מ והר"ע והרפ"ח והש' ונחבר הכל ויהיה קבוצם אלף וצ"ח וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}=\frac{1098}{360}=3+\frac{1}{20}}}

וכל זה הקבוץ נחלק בש"ס שהוא המחלק והוא במקום שלם כמו שאמרנו ויצאו ג' שלמים וחלק אחד מעשרים החלקים של שלם אחד וזהו קבוץ כל השברים שאמרנו והנה לך צורתו

ובעבור שאמרנו שקבוץ כל הצורה האמורה למעלה עולה לג' שלמים וחלק אחד מעשרים חלקים משלם א' צריך עתה שנבאר איך מצאנו אותו החלק מכ' חלקי השלם ואיך ימצאו כל הדומים דע כי לאחר שיחלק אי זה חשבון שיהיה באחר וישאר אי זה חשבון שלא יחלק להיותו פחות מהחלק אז ניחסהו למחלק ויחס שימצא ביניהם אותו היחס יש לו עם שלם אחד

המשל כבר ראית שבצורה שלמעלה נשארו י"ח שלא נחלקו בעבור שהיו פחות מהמחלק שהוא ש"ס לכן בקשנו היחס שיש בין הי"ח והש"ס ומצאנו שהוא יחס האחד לעשרים ולכן אמרנו למעלה שהוא אחד מכ' חלקי השלם והדרך למצא היחס הזה בנקלה דע אלו השני מספרים י"ח למעלה וש"ס למטה ונעיין בכמה חלקים אפשר לחלק הי"ח ובכל כך חלקים נחלק הש"ס

המשל כי כמו שהי"ח יחלקו בג' חלקים ויצאו ו' כך הש"ס יחלקו בג' חלקים ויצאו ק"ך ונחזור ונחלק הו' בג' חלקים ויצאו שנים ונחלק הק"ך בג' גם כן יצאו מ' עוד נחלק הב' באמצע ויצא א' וגם המ' באמצע ויצאו כ' אם כן יהיה אחד מכ' חלקי השלם ובדרך זה ניחס כל שני מספרים שבכל כך חלקים שיחלק האחד יחלק השני והנה לך צורתו

וצריך שתדע שבזה המין ר"ל הקבוץ אפשר לקבץ הרבה חלופים משברים מה שאינו כן במינים האחרים כי בכל מין מהם צריך חלוף שני שברים בלבד מה שאינו כן בזה המין וזה מספיק במין הזה

Chapter Three: Subtraction of Fractions	הפרק השלישי בחסור השברים
	וכבר נגדר במיני השלמים והוא בזה הדרך שנניח שני מספרים על שברים אי זה שנרצה ונכתוב כל אחד אצל חברו
$\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{2}{3}$	כנראה בצורה הזאת שנעשה ונניח שמשלשה רבעי שלם נרצה לחסר ב' שלישי שלם ונרצה לדעת כמה ישאר
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	ונסדרם כך והראשון שצריך שנעשה הוא המספר המשותף ויקרא המורה ויקרא ג"כ המחלק וג"כ במקום השלם ונעשה בדרך זה שנכה האותיות שהם תחת הקוים האחת בחברתה המשל מזאת הצורה הד' שהוא מצד א' על הג' שהוא מצד אחר ויעלו לי"ב וזהו המספר שאמרנו שהוא משותף ויקרא משותף כי בו ישתתפו שני המספרים שתחת הקוים כאמור
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=3\sdot3=9}}$	ועתה צריך שנוציא ג' רביעיות מהמספר המשותף בדרך זה שנכה הג' על הג' שתחת הב' ויעלו לט' ואלו הן ג' רביעיות של המחלק שהוא הי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=2\sdot4=8}}$	ואח"כ נוציא הב' שלישיות בדרך זה נכה הב' שהיא על הג' עם הד' שהיא תחת הג' ויעלו לח' ואלו הן שני שלישי המחלק
	והנך רואה שעד עתה עשינו בזה המין ג' דברים ראשונה מצאנו המחלק שהוא במקום שלם ושנית מצאנו הג' רבעיות ממנו שהם ט' ושלישית מצאנו שלשיות ממנו שהם ח'
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot12\right) -\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)=9-8=1}}$	ובעבור שכונתינו היה לחסר ב' שלישיות מג' רביעיות לאחר שהם נמצאו אצלנו נוציא הח' שהם שני שלישיות מהט' שהם ג' רביעיות וישאר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}-\frac{2}{3}=\frac{1}{12}}}$	והאחד הזה שנשאר צריך שנדע מה הוא ולדעת זה נחלקהו במחלק או המוכה שהוא י"ב ואז נדע מה הוא ודרך חלוקו הוא זה א"כ הוא מי"ב חלקים מהשלם
Check: addition $\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$	והמופת על זה הוא שנחבר מה שהוצאנו שהוא ב' שלישיות ומה שנשאר שהוא אחד מי"ב חלקי השלם ואם קבוץ אלו יעלה לג' רביעיות החסור שעשינו הוא אמת ואם לא אינו אמתי
	ודרך עשיית זה הוא במין הקבוץ וכבר ידעתו וכמו שיראה בצורה הזאת
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot12=36}}$	והראשון צריך להוציא המחלק שהוא הכאת הג' בי"ב ויהיו ל"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot36=2\sdot12=24}}$	ומאלו נוציא בשלישיות בדרך זה נכה הב' מהצורה שהיא על הג' על הי"ב שהם תחת הא' ויהיו כ"ד ואלו הם שני שלישיות המחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}\sdot36=1\sdot3=3}}$	ונוציא גם האחד מי"ב חלקי השלם בדרך זה שנכה הא' שעל הי"ב על הג' שתחת הב' ויהיו ג' וזהו אחד מי"ב חלקי השלם
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot36\right) +\left(\frac{1}{12}\sdot36\right)=24+3=27}}$	ועתה נחבר אלו השלשה עם הכ"ד ויהיו כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{27}{36}}}$	ואלו הכ"ז נחלקם במחלק בדרך המין הראשון לא פחות ולא יותר ויהיו כ"ז חלקים מל"ו מהשלם
	והחלקים האלו צריך שיהיו ג' רביעיות מהשלם ולדעת זה צריך שתעיין בזאת הצורה
	ונעשה כן נכה המספרים כל אחד עם שכנגדו ר"ל הד' עם הכ"ז והג' עם הל"ו ואם ההכאות יהיו שוות היא ראיה שאותו המספר שהוא הוא ג' רביעיות מהשלם ובדרך זה יעשו כל הראיות כשנרצה לדעת שווי כל שני מספרים שנרצה וזה מספיק בזה המין

Chapter Four: Doubling Fractions	הפרק הרביעי מכפול השברים
	וכבר ידעת גדרו במין הזה צריך סוג אחד משברים המשל כמי שרוצה לכפול ב' שלישיות או ה' ששיות או ד' חמישיות או אי זה מהשברים שירצה ונעשה בדרך זה שנכפול האות שעל הקו ומה שיהיה נחלקהו על האות שהיא תחת הקו ומה שיצא לחלק הוא כפל השבר או שברים שרצינו
$\scriptstyle2\times\frac{3}{4}$	כמי שירצה לכפול זה המספר שהוא ג' רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2\times\frac{3}{4}=\frac{2\sdot3}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}$	נכפול הג' שעל הקו ויעלה ו' ונחלקם בד' שהיא תחת הקו ויצא מהחלוקה אחד שלם וחצי שהוא כפל ג' רביעיות
	ומופת זה המין הוא המין הרביעי שהוא החלוק באמצע וזה מספיק בזה המין

Chapter Five: Halving Fractions	הפרק החמישי מחלוק השברים באמצע
	וכבר אמרנו גדרו ובזה המין אינך צריך אלא כפול האות שתחת הקו ויהיה השבר מחולק באמצע
$\scriptstyle\frac{1}{4}\div2$	כמי שרוצה לחלק רביע אחד באמצע שצורתו זאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\div2=\frac{1}{2\sdot4}}}$	נכפול הד' שהיא למטה ויהיה וזה מספיק בזאת הצורה
	והמופת על זה הוא הכפול

Chapter Six: Multiplication of Fractions	הפרק השישי מרבוע השברים
	וכבר גדרנוהו ולא יקרה אלא באחד מחמשה פנים
1) Integers by fractions	הא' שלם או שלמים לבד עם שבר לבד
2) Integers and fractions by fractions	ב' שלם או שלמים ושברי' יחד עם שבר לבד
3) Integers and fractions by integers	ג' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
4) Integers and fractions by integers and fractions	ד' שלם או שלמים ושבר יחד עם שלם ושבר יחד
5) Fractions by fractions	ה' שבר לבד בשבר לבד
1) Integers by fractions	וראשונה מהפן האחד שהיא משלם או שלמים לבד עם שבר לבד
$\scriptstyle4\times\frac{2}{3}$	המשל נרצה לרבע ד' שלמים בב' שלישיות
denominator: 3	ונעשה כן נניח ב' מספרים משני צדדים בדרך זה וראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנקח המספר שלמטה מהקו והוא יהיה המחלק והוא ג' בזאת הצורה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	אח"כ נרבע הד' שלמים בב' שהם על הקו ויהיו ח' ואלו הח'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{2}{3}=\frac{8}{3}=2+\frac{2}{3}}}$	נחלקם במחלק שאמרנו שהם ג' ויבאו שני שלמים וב' שלישיות וזהו הרבוע מד' שלמים האמורים בב' שלישיות
2) Integers and fractions by fractions	ומשל הפן השני שהוא שלם או שלמים ושבר יחד עם שבר לבד
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לרבע ד' וחצי עם שני שלישיות
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	ראשונה נעשה המחלק בדרך זה שנרבע הב' שהם תחת הא' על הג' שהיא תחת הב' ויעלה לו' ואלו הו' הם המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(8+1\right)\sdot2=9\sdot2=18}}$	ואח"כ נרבע הד' שלמים בב' שהיא מצדו שהיא תחת הא' ויעלה לח' ונחבר עליהם הא' שהיא על הב' ויהיו ט' וזהו המספר של זה הצד ונכה הט' עם הב' של הצד האחד ויעלו י"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}=\frac{18}{6}=3}}$	ואל הי"ח נחלקם על המחלק שהם ו' ויבא לכל חלק ג' ואלו הג' הם הרבוע העשוי מד' שלמים וחצי עם שני השלישיות
3) Integers and fractions by integers	ומשל לפן השלישי שהוא או שלם או שלמי' ושבר יחד עם שלם או שלמים לבד
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6$	כמי שרוצה לרבע ד' שלמים ושליש אחד על ו' שלמים
denominator: 3	ובעבור שאין בכאן אלא מין אחד משברים בלבד לכן יהיה הג' שהיא תחת הא' הוא המחלק
	ותשמור כלל זה שבכל מקום שלא יהיה אלא מין אחד משברים יהיה המספר שהוא תחת קו השבר המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר שנתננו דרך המחלק נכה הד' שלמים שאמרנו על ג' שהיא תחת הא' ויהיו י"ב ונוסיף לו הא' שעל הג' ויהיו י"ג ואלו הי"ג נכם על הו' השלמים שאמרנו ע"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\times6=\frac{78}{3}=26}}$	ואלו הע"ח נחלקם בג' שהוא המחלק שאמרנו ויבאו כ"ו מהחלוקה וזה הוא הרבוע מד' שלמים ושלם אחד על ו' שלמים
4) Integers and fractions by integers and fractions	ומשל הפן הד' השלם או שלמים ושבר יחד עם שלם או שלמי' מצד א' יחד
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)$	כמי שרוצה לרבע זה המספר
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	קודם כל דבר שנעשה המחלק כן והוא רבוע האותיות שתחת קוי השברים אח"כ נקח הד' שהיא תחת הג' ונכה אותה על הב' שהיא תחת הא' ויהיו ח' וזהו המחלק ונשמור אותו בפני עצמו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot4\right)+3\right]\sdot\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]=\left(16+3\right)\sdot\left(4+1\right)=19\sdot5=95}}$	ואח"כ נכה הד' השלמים על הד' שהיא תחת הג' שבצדה ויעלה לי"ו ונוסיף עמהם הג' שעל הד' שבצדם ויעלה לי"ט ונשמרם ונעבור לצד האחר ונכה הב' שלמים בב' שתחת הא' שבצדה ויעלו לד' ונוסיף עמהם הא' שעל הב' שבצדם ויעלו ה' ונשמרם ג"כ א"כ יש לנו ג' דברים הראשון המחלק והשני שהשלמים שמצד אחד החזרנו אותם למין השברים שבצדם ועלו י"ט והשלישי שהשלמי' שמצד האחד החזרנום למין השברים שבצדם ועלו כלם ה' ועתה נכה הה' עם הי"ט ויעלו צ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(4+\frac{3}{4}\right)=\frac{95}{8}=11+\frac{7}{8}}}$	ונחלקם על המחלק האמור שהוא ח' ויבא מהחלוקה י"א שלמי' וז' שמניות וזו ההכאה שרצינו
5) Fractions by fractions	ומשל הפן הה' שהוא רבוע שבר עם שבר
$\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לרבע
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	נוציא המחלק שהוא הכאת האותיות שתחת הקוים שהם ג' וה' ויעלה ט"ו ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	ואחר נכה האותיות שעל הקוים שהם ב' וד' ויעלו ח'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{2}{3}=\frac{8}{15}}}$	ואלו השמנה נחלקם במחלק שהוא ט"ו שבעבור שהמחלק יותר מהמחולק כיחס המחולק אל המחלק ומצאנו ח' חלקים מט"ו של שלם אחד וזהו הרבוע מב' שלישיות וד' חמישיות
	והמופת ממין רבוע השברים הוא זה שנחלק הרבוע שעשינו מהשני צדדים על אחד מהצדדים ויצא הצד האחד ואם לא אינו אמת ובעבור שמופת הרבוע הוא בחלק ועדיין לא דברנו בחלוק השברים לכן לא הרחבנו בו עד שנדבר מחלוק השברים הנמשך לזה

Chapter Seven: Multiplication of Sexagesimal Fractions

הפרק השביעי באפני רבוע השברים בחכמת התכונה

האמנם לרבע השברי' שבחכמת התכונה צריך שתדע שהמעלה האחת תתחלק לששים חלקים ויקראו ראשוני'

וכל אחד מהראשונים יתחלק לששים חלקים אחדים ויקראו שניים

וכל שני יתחלק לששים חלקים ויקראו שלישיים

וכל שליש לס' חלקים ויקראו רבעיים וכן כסדר הזה

ולכן כשנחלק הראשונים בששים יהיו מעלות כי כל מעלה ס' ראשונים כאמור ואם נחלק השניים בששים ישובו ראשונים וכן מהאחרי' כשנחלקם לששים ישובו למדרגה הקודמת להם

וראוי שתדע שאם תכה מעלות על ראשונים יהיה כל מה שיצא מההכאה ראשונים

ואם נכה מעלות על שניים יהיה כל מה שיצא שניים וכן מהאחרים כי לעולם מהמין שיהיה השבר המוכה עם המעלה מאותו מין יהיה מה שיצא מההכאה

ועוד צריך שתדע שהכאת ראשונים על ראשונים שהיוצא מהם הוא שניים והכאת ראשוניים על שניים היוצא הוא שלישיים והכאת ראשונים על רבעיים היוצא מהם יהיה חמשיים וכן כסדר הזה והכאת שניים על שניי' היוצא הוא רבעיים ושניים על שלישיות עושה חמשיות ושניים על רבעיות עושה ששיות וכן כסדר הזה

והכלל לידיעת כל אלו ההכאות בנקלה הוא שנקח בחבור שני מספרי השברים המוכים

המשל שאם נכה שניים עם שלישיים נאמר אות השניים היא ב' ואות השלשיים היא ג' והחבור משניהם עולה ה' א"כ היוצא מהכאתם יהיה חמשיות וזה הכלל מספיק לכל שברי התכונה

והנה לך צורה אחת בקצת זה נניח שרצינו להכות ב' מעלות וכ"ד ראשונים ומ"ג שניים על ג' מעלות וג' ראשונים וח' שניים כנראה בצורה זאת

fourths	thirds	seconds	minutes	degrees
		43	24	2
		8	3	3
44	5	3
	12	16
	9	2	1	7
		12	6
		9	2
			12
44	26	42	21	7

רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות
		מג	כד	ב
		ח	ג	ג
מד	ה	ג
	יב	יו
	ט	ב	א	ז
		יב	ו
		ט	ב
			יב
מד	כו	מב	כא	ז

ולפי הנראה בצורה זו צריך שתכתוב כל מין כמותו בבית בפני עצמו ובשני טורים אחד למעלה והאחד למטה מעלות כנגד מעלות וראשונים כנגד ראשונים ושלישיות כנגד שלשיות כן כסדר ואחר נתחיל מהשבר היותר קטן מלמטה ונכהו עם כל האותיות של מעלה ומכל הכאה שנעשה משבר עם שבר נעיין באי זה מין הוא בדרך הנזכר ואם יעלה יותר מס' כל ס' שיהיו נכתוב אותם במעלה הקודמת ובשמה וכן בכל השברים המשל אם מכל ההכאה יצאו קכ"ד שניים נכתוב ד' שניים בבית השניים והק"ך שניים שהם ב' פעמים ששים שהם ב' ראשונים נכתבם בבית ראשונים וזה הסדר נשמור בהכאת שברי התכונה וכסדר הזה נכה האותיות שלמטה עם האותיות שלמעלה עד שנשלים כלם בהכות כל אחת מהתחתונות עם כל העליונות כמו שהוא כתוב בצורה שעברה

וכדי להוסיף לך ביאור כתבתי זאת הצורה השנית שיש בה יותר מלאכה ועיון

sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees
			24	50	24	1
			24	50	24	1
36	9	20	9	0	0	0
		36	24	0	0	0
0	0	20	41	20	0	0
		40		50	0	0
0	0	36	9	20	9	0
				36
			24	50	24	1
36	32	32	9	57	35	1

ששיים	חמישיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות
			דב	‫0ה	דב	א
			דב	‫0ה	דב	א
וג	ט	‫0ב	ט	0	0	0
		וג	דב	0	0	0
0	0	‫0ב	אד	‫0ב	0	0
		‫0ד		‫0ה	0	0
0	0	וג	ט	‫0ב	ט	0
				וג
			דב	‫0ה	דב	א
וג	בג	בג	ט	זה	הג	א

ויש דרך אחר יותר קצר תמצאנו כתוב וכולל לזה הפרק השמיני

Chapter Eight: Division of Fraction	הפרק השמיני והוא מחלק השברים
	וכבר ידעת גדרו והמין הזה יקרה בשמנה פנים
1) Fractions by fractions	האחד שבר בשבר
2) Fractions by integers	הב' שבר בשלם
3) Fractions by integers and fractions	השלשי שבר בשלם ושבר
4) Integers and fractions by integers and fractions	הד' שבר ושלם בשבר ושלם
5) Integers by fractions	הה' שלם בשבר
6) Integers and fractions by fractions	הו' שלם ושבר בשבר
7) Integers and fractions by integer	הז' שלם ושבר בשלם
8) Integers by integers and fractions	הח' שלם בשלם ושבר
1) Fractions by fractions	הפן הראשון שהוא חלוק שבר בשבר
$\scriptstyle\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}$	כמי שרוצה לחלק ג' רביעיות בב' שלשיות נכתוב כל אחד בצד חברו בצורה הזאת
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$	וקודם כל דבר נעשה המחלק כן שנכה ב' שהיא על ג' על ד' שהיא תחת ג' ויעלה ח' וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3=9}}$	ואחר צריך שנעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שהיא על ד' בג' שהיא תחת ב' ויעלה ט' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{8}=1+\frac{1}{8}}}$	ואח"כ נחלק המחולק במחלק ויצא אחד שלם ושמינית שלם וזהו חלוק ג' רבעיות בשני שלישיות כמו שרצינו
2) Fractions by integers	השני שהוא חלוק שבר בשלם
	נכתוב כל אחד בצד חברו כמו שעשינו בפן הראשון בדרך זה
$\scriptstyle\frac{3}{8}\div2$	נניח שרצינו לחלק ג' שמניות בשני שלמים בצורה זו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot8=16}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נניח השלם שהוא ב' על ח' שהוא תחת ג' ויעלה י"ו וזהו המחלק
numerator: 3	ואחר כך נעשה המחולק כך שנקח הג' שהיא על ח' והוא המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\div2=\frac{3}{16}}}$	ונחלק זה המחולק שהוא ג' בי"ו שהוא המחלק ויצאו ג' חלקים מי"ו חלקים של שלם אחד וזהו מה שרצינו
3) Fractions by integers and fractions	השלישי שהוא שבר בשלם ושבר
$\scriptstyle\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)$	כמי שרוצה לחלק ב' שלישיות בד' שלמים וחצי
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot3=\left(8+1\right)\sdot3=9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ד' על ב' שהוא תחת הא' ויעלה ח' ונוסיף עליהם הא' שהוא על הב' ויהיו ט' ואלה הט' נכה אותם על ג' שהיא תחת הב' שבצד הא' ויעלו כ"ז וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הב' שהיא על ג' על הב' שהיא תחת הא' שבצד הא' ויעלה ד' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\div\left(4+\frac{1}{2}\right)=\frac{4}{27}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא כ"ז ויצא מהחלוקה ד' חלקים מכ"ז חלקים של שלם וזה הוא מה שרצינו
4) Integers and fractions by integers and fractions	הרביעי שהוא שבר ושלם בשבר ושלם נכתוב כל אחד כאמור למעלה
$\scriptstyle\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)$	כמי שרוצה לחלק ט וחצי בג' וד' חמשיות וצורתו היא זאת
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(5\sdot3\right)+4\right]\sdot2=\left(15+4\right)\sdot2=19\sdot2=38}}$	ונעשה המחלק בדרך זה שנכה ג' על ה' שהיא תחת ד' שבצדה ויעלה טו ונוסיף עוד ד' שהיא על ה' על טו ויהיו י"ט ואלו נכם על ב' שהיא תחת א' שבצד האחר ויעלו ל"ח וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(9\sdot2\right)+1\right]\sdot5=\left(18+1\right)\sdot5=19\sdot5=95}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה ט' על ב' שתחת הא' שבצדה ויעלה י"ח ונוסיף עוד א' שעל הב' שבצדה ויעלו י"ט ואלו נכה אותם על ה' שתחת הד' שבצד האחר ויעלו צ"ה וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{2}\right)\div\left(3+\frac{4}{5}\right)=\frac{95}{38}=2+\frac{1}{2}}}$	ואח"כ נחלק המחולק במחלק שאמרנו ויצא מהחלוקה ב' שלמים וחצי וזהו מה שרצינו
5) Integers by fractions	החמישי שהוא שלם בשבר
$\scriptstyle12\div\frac{4}{9}$	נכתבם כאמור כמי שרוצה לחלק י"ב בד' תשיעיות וזהו צורתו
denominator: 4	ובזה הפן המחלק הוא האות שהיא על הקו ולכן המחלק הנה הוא ד' שעל הט'
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot9=108}}$	והמחולק יהיה מה שיעלה מהכאת הי"ב שלמים על הט' שתחת הד' וא"כ המחולק הוא ק"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{12\div\frac{4}{9}=\frac{108}{4}=27}}$	ונחלקם בד' שהוא המחלק ויהיו כ"ז בחלוקה וזהו מה שרצינו
6) Integers and fractions by fractions	הששי שהוא שלם ושבר בשבר
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}$	נכתוב כל א' כאמור המשל נרצה לחלק ד' ושליש אחד בה' ששיות והנה לך צורתו:
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	ונעשה המחלק כך שנכה ה' שהיא על ו' בג' שתחת הא' שבצדו האחר ויעלה ט"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(4\sdot3\right)+1\right]\sdot6=\left(12+1\right)\sdot6=13\sdot6=78}}$	ואחר שנעשה המחולק בדרך זה שנכה ד' על ג' שתחת הא' שבצדה ויעלו י"ב ונוסיף א' שהיא על ג' שבצדה ויהיו י"ג ונכם בו' שתחת הה' שבצד האחר ויעלו ע"ח וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right)\div\frac{5}{6}=\frac{78}{15}=5+\frac{1}{5}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא ט"ו ויצא מהחלוקה ה' שלמים וא' חמישית וזה הוא מה שרצינו בזה הפן
7) Integers and fractions by integer	השביעי שהוא שלם ושבר בשלם
$\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4$	נכתבם כאמור המשל רצינו לחלק ג' ושלישיות בד' וצורתו היא זאת
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	ראשונה נעשה המחלק כך שנכה הד' על ג' שהיא תחת הא' שבצד האחד ויעלה י"ב וזהו המחלק בפן הזה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}$	ונעשה המחולק בדרך זה שנכה הג' שלמים על ג' שהיא תחת הא' שבצדה ויהיה ט' ונוסיף עליו הא' שעל הג' שבצדה ויעלו עשרה וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{3}\right)\div4=\frac{10}{12}=\frac{5}{6}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא י"ב ויצאו ה' ששיות וזהו מה שרצינו
8) Integers by integers and fractions	השמיני שהוא שלם בשלם ושבר
$\scriptstyle50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)$	נכתוב כל אחד כאמור המשל שנרצה לחלק נ' בשנים וחצי וזאת היא צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\right)+1=4+1=5}}$	וראשונה נעשה המחלק בדרך זה נכה ב' על ב' שתחת הא' שבצדה ויעלה ד' ונוסיף הא' שעל הב' שבצדה ויעלה ה' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot2=100}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה שנכה הנ' על ב' שהיא תחת הא' מהצד האחר ויעלה ק' וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{50\div\left(2+\frac{1}{2}\right)=\frac{100}{5}=20}}$	ונחלקהו במחלק שהוא ה' ויצא מהחלוקה כ' לכל אחד מהשנים השלמים של המחלק
	ואחר נתן לכל שבר הראוי לו ביחס מה שנתננו לשלם המשל במין זה שחלקנו נ' בב' וחצי ויצא מהחלוקה כ' לכל שלם
	א"כ נאמ' אם לכל אחד מהשלמים ראוי כ' לחצי ראוי שיהיו עשרה ובדרך זה ראוי לחלק החמישים וזהו מה שרצינו
	והמופת לכל מיני החלוק הוא שנכה המחלק בחלק ואם יעלה כמו המחולק שוה בשוה אז נדע שהחלוק אמתי המשל כבר ידעת שהחלק האחרון מזה המין היה כ' והמחלק היה שנים וחצי ולכן אם תכה שנים וחצי בכ' יעלו לחמשים
	וזה המופת כולל לכל הח' פנים שאמרנו מזה המין שהוא חלוק וזהו מה שרצינו

Section Four: Roots

הכלל הד' מהמאמר הראשון

ויתחלק לד' פרקים

Chapter One: Extracting and Approximation of Square Roots of Integers

הפרק הראשון בנתינת דרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים או היותר קרובים למספרים הבלתי מרובעים

ואחר שדברנו מששת מיני המספר מהשלמים גם מהשברים שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר עתה צריך שנדבר מדרכים מישירים למציאות שרשי המספרים המרובעים והמעוקבים בעבור שהם הכרחיים ומועילים בחכמות הלמודיות

ולכן ראוי שנאמ' ראשונה מהו גדר שרש המספר

וקודם כל דבר צריך שתדע שיש שני מיני שרשי מספר כוללים

הראשון שרש המרובע

והשני יקרא שרש המעוקב

וראשונה נדבר בשרש המרובע

ואם כן גדר שרש המרובע הוא מספר אחד שכשיוכה בעצמו מוליד אותו

ולכן שנים הם שרש ד' בעבור שכשיוכה בעצמו יוליד ד'

גדר אחד שהוא מספר אחד שכשיוכה בעצמו מוליד מספר מרובע אם כן כל מספר מוכה בעצמו מוליד מספר שיש לו שרש ומספר כזה יקרא מרובע

כמו ב' פעמים ב'

או ה' פעמים ה'

או י' פעמים י' וכן מהאחרים

צריך שתדע שכל מרובע מוכה על אי זה מרובע שיהיה יוליד מרובע

המשל ד' שיש להם שרש מוכה על ט' שגם כן יש לו שרש יולידו ל"ו ששרשם ו'

ואם כשיחולק המחולק במחלק החלק יהיה מרובע או אם יוכה המחולק במחלק יוליד מההכאה ההיא מרובע

המשל י"ח מחולק בח' יצאו והשרש מאלו אחד וחצי אם נכה י"ח על ח' יצאו קמ"ד ושרש המספר הזה הוא י"ב ואע"פ שאין שרש לי"ח ולח'

ומכאן יתחייב שצריך שתדע שכל המדרגות אין להם שרש אלא אותם שמהכאת אחרים בעצמם יולדו

כמו טור האחדים שהוא הטור הראשון יש לו שרש שאינו מאחד אלא מהכאתו בעצמו כי פעם אחד אחד הוא א'

והטור השני שהוא עשרות אין לו שרש כי לא ימצא שום מספר שבהכאתו בעצמו יוליד אותו

והטור השלישי שהוא מאות יש לו שרש כי מהכאת עשרה בעצמו יולד ק'

והטור הרביעי שהוא אלף אין לו שרש כי אין שם מספר שבהכאתו יולד הוא

והטור הה' שהוא עשרת אלפים יש לו שרש כי המאה מוכה בעצמו יולידהו כי ק' פעמים ק' יולידו עשרת אלפים

וכן אפשר לומ' מהטורים האחרים עד בלתי תכלית באופן שכל ההבדלי' שבסדר המספר יהיו נפרדים ימצא להם שרש כמו א' ג' ה' ז' כלומ' במדרגת האחדות ואם תרצה לומ' כן מהמאות ובמדרגת עשרות האלפים ובהבדל האלף אלפים וכן מכל המדרגות האחדות שהם נפרדות כאמור

וההבדלים או מדרגות שיהיו זוגות אין להם שרש כמו מדרגת הב' הרומזת לעשרות או מ' מדרגת הד' הרומזת לאלפים או מדרגת הו' הרומזת למאות האלפים וכן מכל המדרגות האחרות מהזוגות

ובשברי התכונה או אי זה שיהיו הוא בהפך

כי השברים התכונים ראשונים אין להם שרש

אבל אותם שיצאו מאחרים יש להם שרש

כמו הראשונים שבשברים בעבור שיש להם מקום ראשון אין להם שרש

אבל השניים יש להם מקום שני בשברים יש להם שרש כי מהכאת הראשונים בעצמם יולדו

והשלישיים שבמקום שלישי יעמדו אין להם שרש כי לא יולדו מהכאת אחרים בעצמם

והרבעיים שיש להם מקום הד' יש להם שרש כי מהכאת השניים בעצמם יולדו וכן מהאחרים בדרך זה

וכן יעשה משברי הסוגים האחרים ר"ל שאינם מהתכונה כשיהיו מההנדסה או מאיזו חכמה שיהיו

כמו חציים שלשיים וחמשיות וששיות והדומים בעבור שלא יולדו מאחדים ואלו יקראו מהבדל ראשון או שברים ראשונים לכן אין להם שרש

אבל כל מספר שיוכה בעצמו יקרא שבירה שנייה ולכן יש לו שרש

כמו מהכאת חצי בעצמו שיוליד רביעית שיקרא חצי של חצי

ומהכאת השלשית בעצמו שיוליד ט' שיקרא שלשית של שלשית

ומהכאת החמישית בעצמו שיולד כ"ה ויקרא חמישית החמישית

אבל העשירית והאחד עשירית והשלשה עשירית וארבע עשירית והדומים אין להם שרש כי הם שברים ראשונים ולא יולדו מהאחרים

אבל העשירית מעשירית והאחד עשירית מא' עשירית ושלשה עשירית משלשה עשירית וארבעה עשירית מארבע עשירית וחמשה עשירית מחמשה עשירית וכן מהדומים יש להם שרש

האמנם השברים שמההבדל השלישי שיש להם מקום שלשי אין להם שרש כמו חצי מחצי של חצי או שלשה עשיריות משלשה עשיריות של שלשה עשיריות וכן כל הדומים

א"כ כל השברים שלא יולדו מהכאת אחרים יקראו שברים של הבדל ראשון ואין להם שרש

אבל אותם שמהכאת אחרים בעצמם ראשונה יולדו יקראו שברים מהבדל שני ויש להם שרש

א"כ דבר מבואר הוא בשלמים שאותם ההבדלים שיש להם שרש הם אותם שיהיו נפרדים בטורים אבל בשברים הוא בהפך שהזוגות יש להם שרש ולנפרדים לא

ואחר ידיעת אלה העניינים כשנרצה למצא שרש אי זה מספר שיהיה נסדרהו בהבדלותיו ר"ל מדרגותיו כלומ' מקומותיו גם אותיותיו

ובעבור שלעולם ראוי להתחיל מההבדל הנפרד לכן צריך ראשונה להבחין אם ההבדלים יהיו זוגות או נפרדים

ואם יהיו נפרדים תשים תחת ההבדל האחרון מספר אחד שמנה בעצמו יעשה המספר שוה למספר שעליו או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא אם לא ימצא שוה

ואם ההבדלים יהיו זוגות יושם תחת האות ר"ל ההבדלים שקודם ההבדל ר"ל האחרונה מספר אחד שכשיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא למספר שעליו אם לא ימצא לו שוה ויחוסר מאותו שעליו ומחברו

ואם לא ישאר מאומה אז נכתוב עליהם 0'

ואם ישאר יכתב מה שישאר באות הקודמת שהיא הימנית ואחר יוכפל ויושם בהבדל הנמשך אליו ובהבדל השלישי יושם מספר אחד שמוכה בנכפל ומחוסר מאותו שעל הנכפל ואחר כך מוכה בעצמו ומחוסר מהמספר שעליו יהיה יותר קרוב לבטל המספר של מעלה משום מספר אחר

ואם לא ישאר יותר הבדל אז יהיה המספר הראשון והשלשי שרש המספר שלמעלה

ואם יהיו יותר אותיות ר"ל הבדלים נכפול האות השלישית מהתחתונות ואח"כ נסייע הכפל הראשון אות אחת לפנים ונכפול הכפלים הראשוניים ואחר הכפל השני נניח מספר אחד שכשיוכה בנכפלים ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור

ואם יהיו יותר הבדלים ר"ל אותיות יוכפל המספר האחרון ויונח מספר אחר שכשיוכה בנכפלים הצריכים לסיע ממקומם ללכת מדרגה אחרת יותר קודם ההכאה ובעצמו ימחוק כל מה שלמעלה כאמור וכן צריך להעשות עד שיגמר כל הטור באופן שלעולם המספר שהוא אחד הנכפל יוכה בנכפלים ובעצמו

המשל שנניח מספר אחד שנרצה לבקש שרשו והוא ה"בוה"ו

	0
	ב
0	ז	0	0
ה	ו	ב	ה

ז

ד

ה

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{56-{\color{blue}{7}}^2=56-49=}}{\color{green}{7}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times7=}}{\color{blue}{14}}\\\end{align}}$	07
5625		5625
7		74
		1

ובעבור שההבדלים הם זוגות צריך שנתחיל באות שקודם האחרונה שהיא ו'

וצריך שנניח מספר אחד שיוכה בעצמו יוליד מספר שוה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא בשלא ימצא מספר שוה לאותו שלמעלה שהוא ו"ה
והמספר היותר קרוב לו"ה הוא ז' כי כשיוכה בעצמו יוליד מ"ט וכשיוסרו מהמספר שלמעלה שהוא ו'ה' ישארו ז' ואלו הז' שישארו נשימם על הו' שהיא אחת מאותיות ו"ה ועל הה' נשים 0'
והז' ששמנו למטה לשרש נכפול אותם ויהיו י"ד והעשרה נשים תחת הז' ונמחוק הז' והד' ננחם במקו' הנמשך שהוא תחת הב'

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{7-\left(1\times{\color{blue}{5}}\right)=7-5=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{22-\left(4\times{\color{blue}{5}}\right)=22-20=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-{\color{blue}{5}}^2=25-25=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	2
	0700
	5625
	745
	1

ואח"כ תחת האות האחרת הנמשכת נשים מספר אחד שהוא ה' שכשיוכה בנכפל ובעצמו ימחוק או יבטל אותו שלמעלה באופן זה בהכות הה' באחד שהוא העשרה מהכפל יוליד ה' שכשיוסרו מאותו שלמעלה שהוא ז' ישארו ב' על ז'

ואחר נכה הה' הנזכרים בד' ויהיו כ' שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ב ישארו ב' על הב' ונכתוב 0' על הב' העליון שהיה במקום יוד לבית הנמשכת
אח"כ נכה הה' בעצמה ויהיו לנו כ"ה שכשיוסרו משלמעלה שהוא כ"ה לא ישאר כלום ואז יהיה לנו שרש המספר ה"ז כמו שנראה זאת הצורה הראשונה ובעבור שלא נשאר כלום נכתוב 0"0 על ב' ועל ה' וזה מה שרצינו זו היא הצורה הראשונה

Chapter Two: Extracting Square Roots of Fractions or Fractions and Integers	הפרק השני במציאות שרשי המספרים בשברי' לבד או בשברים ושלמים יחד
	כבר ידעת שלא ימצא שרש לכל השברי' אלא לאותם שיולדו מהכאת שברים אחרים בעצמם ולכן נעיין בשברים שנרצה למצא שרשם אם מהם שיש להם שרש אם לא
	ואם יהיו מאותם שיש להם שרש נוציא השרש כמו בשלמים לא פחות ולא יתר
	וראוי שתדע שרש שיצא לך מהשברים אינו מסוג אותם השברים שבקשת שרשם אלא מסוג אחר
	המשל אם השברים שבקשת שרשם יהיו רביעיות השרש שלהם יהיה חציים
	ואם יהיו תשיעיות שרשם יהיה שלישיות
	ולעולם שרשי השברים יהיו יותר כמות במספר מהשברים שאין להם שרש
	כמי שמכה שלישית בעצמו שיוליד תשיעית שהוא מספר פחות מהשליש שהוא שרשו
	ולכן בתכונה ג' ראשונים לא יהיו שרש לט' ראשונים בעבור שהכאת הראשונים בעצמם עושה שניים שהם מסוג אחר
	ואם השברים שבקשנו שרשם לא יהיו מהשברים שיש להם שרש נחליפם לשברים אחרים שיהיו בעלי שרשים
	המשל שאם יהיו שלישיות שאין להם שרש אז נחליפם לתשיעיות שהם בעלי שרש
	וכן בתכונה אם יהיו ראשונים ורצינו לבקש שרשם נחליפם לשניים ואז נוציא שרשם
	ואם נרצה לדעת שרש השלמים והשברים יחד נחזיר השלמים לסוג השברים ואז נוציא שרשם וזהו מה שרצינו

Chapter Three: Short-Cuts for Finding Roots of Numbers

הפרק השלישי בנתינת דרך אחד כולל למצוא שרשי המספר על דרך תוספת הסיפראש

ודע שיש דרך אחד כולל למצוא בו שרשי המספרים והוא זה והוא שנקח אי זה מספר שנרצה ונוסיף עליו ו' סיפראש או יותר בתנאי שיהיו זוגות כי כל מה שתוסיף בסיפראש יותר בנקלה תמצא השרשים היותר אמתיים ר"ל היותר קרובים למספרים אם לא יהיו בעלי שרשים או האמתיים אם יהיו בעלי שרשים ואחר שתוסיף הסיפראש תוציא השרש בדרך שאמרנו למעלה ואם לאחר הוצאת השרש ישאר אי זה דבר אז תדע שאין שרש אמתי לאותו המספר ואם לא ישאר דבר הנה שכבר נמצא שרשו ואחר תעיין כמה הבדלים יש בשרש שמצאת ואם יהיו יותר מחצי הסיפרא כל מה שיהיו יותר ר"ל מצד שמאל תקחהו בשם שלמים

המשל שאם הנחת ו' 0' ובשרש שמצאת יהיו יותר מג' הבדלים שהוא חצי ו' 0' שהוא מניין הסיפראש כל מה שיהיה יותר תקח בשם שלמים כאמור והשאר שהוא ג' הבדלים הכהו ב0' והעולה מההכאה תעיין כמה הבדלים יש לו מלבד כמות חצי ה0' ומה שיהיה מלבד חצי ה0' יהיו ראשונים והנשאר נכהו פעם אחרת ב0 ותעיין באופן האמור למעלה ר"ל כמה שהוא יותר מחצי ה0 כלומ' כמה הבדלים שהם יותר מחצי ה0' וכל מה שיהיה יותר יהיו שניים ובדרך הזה תעשה עד שלא ישאר אלא חצי ה0 שהנחת ר"ל שבכל הכאה ישוה הנותר מההכאה פחות מהקודם לה אחת שאם ההכאה הקודמת לה היתה ראשונית שתהיה האחרת הנמשכת לה שניים וההכאה האחרת שלישיים וכן כסדר עד שלא ישארו אלא הג' סיפראש לבד

המשל נרצה לדעת השרש היותר קרוב שאפשר לשניים נניח ב' ונוסיף עליה וקודם לה ו' סיפראש

		א	ג	ו
		ב	א	ז	0
א	ב	ד	ב	ט	ב	ד
ב	0	0	0	0	0	0

א	ב	ד	ח	א	ב	ד
		ב	ב	ח

ונוציא קודם כל דבר השרש בדרך שאמרנו בפרק השרשים ונמצא ששרשם באותו הדרך הוא זה דאדא ומעט יותר

ובעבור שיש בכאן ד' אותיות נקח האות הד' בשם שלם שהוא א' והאותיות האחרות שהם ככמות חצי ה0' נכם ב0' ויצא מההכאה 0דחדב

ונקח השתי אותיות האחרונות שהם ב"ד שהם יותר מחצי ה0' ויהיו ראשונים והתת"מ שנשאר נכם ב0' ויצאו מההכאה 00ד0ה

ונקח מ"ה שהוא יותר מחצי ה0 ויהיו נ' ואלה הנ' יהיו שניים והת' הנשארים נכם ב0' ויצאו מההכאה 000דב

ונקח הכ"ד שהם יותר מחצי הסיפראש ויהיו שלישיות וישארו הג' סיפראש שהם חצי הסיפראש הראשונות שהוספנו בלבד

ובדרך זה תעשה במספרים שתרצה עד שלא ישאר אלא חצי הסיפראש

וא"כ בזה הפעל מצאנו שהשרש היותר קרוב למספר המכוון שהם ב' הוא שלם אחד וכ"ד ראשונים ונ' שניים וכ"ד שלישיים

ודע כי כמו שלקחת בכאן בהכאות מניין הס' והם ראויים למספרי התכונה ר"ל בשם הראשונים או שניים או שלישיים כמו כן תוכל לקחת בהכאות הדומות לאלו מספר כ' או ל' או מה שתרצה וכמו שייחסנו השברים בכאן למספר הס' כמו כן נוכל ליחס אותם למספר הכ' או ל'ל' כפי המספר שתקח בהכאות או כפי המספר שתרצה וזה מה שרצינו

Chapter Four: Extracting and Approximation of Cubic Roots of Numbers

הפרק הרביעי בנתינת דרכים מישירים למציאות שרש המספרים המעוקבי' או היותר קרובים למספרים הבלתי מעוקבים

ושרש מעוקב מאי זה מספר שיהיה הוא מספר אחד שכשיוכה במרובע ויוליד מספר אחר יקרא מספר מעקב

$\scriptstyle2^3=2\sdot2^2=2\sdot4=8\longrightarrow\sqrt[3]{8}=2$

כמו ב' שהם שרש מעקב של ח' בעבור שהכאת הב' במרובעם שהם ד' יולידו ח' שהוא מספר מעקב של ב'

$\scriptstyle3^3=3\sdot3^2=3\sdot9=27\longrightarrow\sqrt[3]{27}=3$

וכן ג' הם שרש מעקב כ"ז בעבור שהכאת ג' במרובעם שהוא ט' יוליד כ"ז שהוא מספר מעקב של ג'

$\scriptstyle10^3=10\sdot10^2=10\sdot100=1000\longrightarrow\sqrt[3]{1000}=10$

וכן אלף הוא מספר מעקב של יו"ד כי הוא נולד בהכאת י' במרובעם שהוא ק' וכן מן האחרים

The cubic square of the units should be memorized

ודע ששרש מעקב לא ימצא בזאת התחבולה שנאמ' אם לא שיהיה יותר מתשעה [ר"ל השרש] וכל אותם שהם פחותים מי' צריך שיודעו על פה בהכרח אם כן אתה לא תוכל למצא שרש מספר בתחבולה אם לא שיהיה מאלף ומעלה

ולהבין השרש הזה הוא הכרחי לדעת מה הם המדרגות שיש להם שרש מעקב

וצריך שתדע שאין לכל המדרגות שרש אלא לאותם שיולדו מהכאה מעוקבת

units - have cubic roots

כי המדרגה הראשונה מהמספר שהוא מדרגת האחדות יש לו שרש מעקב כי האחד מוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד אחד שהוא מספר מעוקב

tens - no cubic roots

והמדרגה השנית שהיא מדרגת העשרות אין לה שרש מעקב כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו באופן מעקב יוליד עשרה

hundreds - no cubic roots

והמדרגה השלישית שהיא מדרגת המאות אין לה שרש מעוקב כי לא ימצא מספר אחר שמוכה בעצמו יולידהו

thousands - have cubic roots

אבל המדרגה הד' שהיא מדרגת האלפים יש לה שרש כי יולד מההכאה המעקבת מהעשרה

tens of thousands - no cubic roots

והמדרגה הה' שהיא עשרת אלפים אין לה שרש מעקב לסבה הנזכרת

hundreds of thousands - no cubic roots

והמדרגה הו' שהיא מאת אלפים אין לה ג"כ שורש מעוקב וסבה הנזכרת

thousands of thousands - have cubic roots

והמדרגה הז' שהיא אלף אלפים יש לה שרש מעוקב כי יולד מההכאה המעוקבת מהמאה

the first rank and the ranks that are a product of thousand (every fourth rank) have square roots; in other ranks there are no square roots

וכן ראוי שיובן בכל המספרים האחדים והוא שלא ימצא שרש מעקב אלא במדרגת האחדים והאלפים

Written calculations

ואחר שידעת כל זה אם תרצה להוציא זה השרש נכתוב המספר שנרצה בין שיהיה אלף או יותר מאלפים ונרשום האותיות העושות האלפים בשנתחיל מהאחדים

ודע שהאותיות המורות השרש הם האחדים והאלפים ואלף אלפים ואלף אלפי אלפים ואלף אלפי אלפי אלפים וכן כסדר הזה כלומ' כל האלפים בדרך הזה ר"ל האחדים והאות הד' לה כשימנה עמה והאות הז' והי' והי"ג והי"ו והי"ט והכ"ב והכ"ה וכן מהדומות ארבעה כי אלו הם המורות על בעלה השרש המעוקב

ואחר ידיעת אלו האותיות המורות אלפים נתחיל לעקב ר"ל לבקש השרש המעוקב מהאות האחרונה מהמורות אלפים בשנכתוב תחתיה אות אחת שכשיוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה מספר שוה לאותה שלמעלה הימינה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא אם לא ימצא שוה ונחסרהו משלמעלה ממנו

והאות הזאת תקרא תחת המשולשת ואח"כ נשלשה ר"ל שנרצה אותה יותר ממה שהיה ג' פעמים

המשל אם יהיו ב' נחזירם ז' ונכתוב אותם במקום שלשי אליה ר"ל לתחת המשלשת לצד הימין והתחת המשלשת נסיעה אות אחת לאחור ונרשום הראשונה

ובמקום הסמוך למשלשת אחריה נכתוב אות אחרת ויקרא אות נמצאת שכשיוכה במשולשת ובתחת משלשת ובעצמה באופן מעקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאפשר למספר שעליהם ונחסרם ממה שלמעלה מהם

ואם הטור יהיה יותר באותיות נשלש האות הנמצאת והמשלשת שלה נכתוב במקום השלשי לה בדרך המוזכר שלמעלה והיא ר"ל הנמצאת נרשום אותה ונסיעה אות אחת לאחור והמשולשות האחרות והתחת משולשות נסיעם כל אחת לאחור אות אחת ונרשום הראשונות ונבקש אות אחרת נמצאת שמוכה בכל המשלשות והתחת משלשות ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה או היותר קרוב שאפשר לשלמעלה מהם ונחסרהו מהם וזה הדרך יהיה לנו תמיד ואם ירבו האותיות מאד מאד

וצריך שתדע שאם המשלשת תהיה ב' אותיות ר"ל אחדים ועשרות האחדים נכתוב כנזכר ר"ל במקום והעשרות נכתוב במקום השלישי לאחדים מצד שמאל אליה שהוא מקום רשימת התחת משלשת וכן לעולם

ודע שכל אות נמצאת בשתפעול פעולתה ויהיו יותר אותיות תחזור היא תחת משלשת

$\scriptstyle\sqrt[3]{12167}$

המשל נרצה לדעת השרש המעקב של י"ב אלף וקסב

וזו היא צורתו

	0	0	0
0	ד	ה	ב	0
א	ב	א	ו	ז

ב

ו

ג

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$	04
12167		12167
2		226

ולפי מה שאמרנו למעלה לא ימצא בזה המספר אלא שני מקומות בעלי שרשים מעקבים והם האחדים והאלפים ונתחיל במקום האלפים שהוא ב' וא' עמה והוא המקום האחרון המעוקב מזה המספר ונכתוב ב' תחתיו בעבור שלא נמצא מספר יותר קרוב לב"א שיקבל הכאה מעוקבת אלא ב'

א"כ נכה ב' בעצמם באופן מעוקב ויוליד ח' ונחסרם מב"א וישארו ד' על ב' ונכתוב 0' על הא'
ואחר נשלש הב' ויהיו ו' ונכתוב אותה תחת האות השלישית לב' שהיא תחת הו' העליונה ונרשום הב' ונסיעה אות אחת לאחור ונשימה אצל המשלשת ובמקום שהיתה שלישית אליה חזרה שניה אליה מצד שמאל

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{41-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=41-\left(2\sdot18\right)=41-36=}}{\color{green}{5}}\\&\scriptstyle{\color{red}{56-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=56-\left(3\sdot18\right)=56-54=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	000
	04520
	12167
	2263

ואחר המשולשת נכתוב ג' שמוכת במשולשת שהיא ו' יוליד י"ח ואלו הי"ח נכם בתחת משלשת שהיא ב' ויהיו ל"ו ונחסרם ממ"א שהם על הב' וישארו ה' על הא' ו0' על הד'

ואחר נכה הג' הנזכרת שהיא האות הנמצאת במשולשת שהיא ו' ויוליד י"ח וכל זה נכה בג' ויוליד נ"ד ונחסרם מהמספר שהוא על המשלשת שהוא נ"ו וישארו ב' על הו' ו0' על הה'
ואחר נכה הג' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויוליד כ"ז ונחסרם ממה שלמעלה מהם שהם כ"ז ולא ישאר ולא מאומה ולכן נכתבם על הב' ועל הז' ז'

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12167}=23}}

וא"כ ידענו שהמספר הזה הוא מעוקב ושרש כ"ג

$\scriptstyle\sqrt[3]{571787}$

ומשל אחר אם יקרה באופן אחר נניח שנרצה לדעת השרש המעוקב מתקע"א אלף ותשפ"ז

וזאת היא צורתו

	0	0
	א	א	0	0
0	ה	ט	ג	ב	0
ה	ז	א	ז	ח	ז

		ח	ח	ד	ג
		ב

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{571-{\color{blue}{8}}^3=571-512=}}{\color{green}{59}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times8=}}{\color{blue}{24}}\\\end{align}}$	059
571787		571787
8		884
		2

ובעבור שבזאת הצורה לא ימצא אלא במקומות בעלי שרש נתחיל באחרון שהוא א' ונכתוב תחתיו מספר אחד שמוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד מספר היותר קרוב אליו והוא ח' שאין שם מספר יותר קרוב בעבור שמוכה בעצמו באופן מעוקב יוליד מספר היותר קרוב אליו והוא ח' שאין שם מספר יותר קרוב

בעבור שמוכה בעצמו באופן מעוקב יעשה תקי"ב ונחסרם מתקע"א שהם על הח' וישארו נ"ט הט' נכתוב על הא' והה' על הז'
ונשלש הח' ויהיו כ"ד ונכתוב הד' באות השלישית לח' שהיא תחת משלשת והעשרים הנרמזים בכ' נכתוב תחת א' שכתבנו למטה בראשונה ונרשום אותה ר"ל הח' ונסיעה לאחור מדרגה א' ויהיו למטה ג' אותיות הב' למטה כנגד הט העליונה והח' תחת הז' והד' תחת הח'

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{59-\left(8\times2\times{\color{blue}{3}}\right)=59-\left(8\sdot6\right)=59-48=}}{\color{green}{11}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\times4\times{\color{blue}{3}}\right)+\left(3\times2\times{\color{blue}{3}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left[\left(8\sdot12\right)+\left(3\sdot6\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{117-\left(96+18\right)=117-114=}}{\color{green}{3}}\\&\scriptstyle{\color{red}{38-\left(3\times4\times{\color{blue}{3}}\right)=38-\left(3\sdot12\right)=38-36=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{27-{\color{blue}{3}}^3=27-27=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	00
	1100
	059320
	571787
	8843
	2

ונכתוב עוד אחר הד' אות חדשה ויקרא אות נמצאת ויהיה רביעית שישוה כל כך שכשיוכה על הג' התחתונות ובעצמה באופן מעקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות או היותר קרוב שאפשר ולא ימצא אות יותר ראויה לזה מהג' ולכן נכתוב ג' תחת הז' במדרגה הראשונה

ודרך ההכאות יהיה זה נכה הג' שכתבנו באות השוה שהיא ב' ויעלה ו' ואלו הו' נכה במשלשת שהיא ח' ויעלו מ"ח ואלו המ"ח נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם נ"ט וישארו י"א
ונחזור ונכה הג' פעם שנית על הד' שהיא אות האחדים מהשלוש הראשון על הח' ויעלה י"ב ואלו הי"ב נכה על הח' ויעלו צ"ו
ואח"כ נכה הג' הנזכר בב' הנזכרת ויעלה ו' ונחזור ונכה אלו הו' על הג' ויהיו י"ח
ואלו הי"ח עם הצ"ו יעלה קי"ד ואלו הקי"ד נחסרם מהג' אותיות העליונות שעל הח' שהם קי"ז וכשנחסר מהם קי"ד ישארו ג' ונכתוב הג' על הז' ונכתוב סיפרא על כל אחת מהב' אלפים
ונחזור ונכה הג' פעם שלישי על הד' שהיא אות מהאחדים מהמשלשת ויוליד י"ב ואלו נכם עם הג' בעצמה ויעלו ל"ו ונחסרם מהאותיות שעל הד' שהם ל"ח וישארו ב' ונכתוב אותם על הח' העליונה ונכתוב סיפרא על הג'
ופעם ד' נכה הג' בעצמה באופן מעוקב ויעלה כ"ז ונחסרם מהאותיות שעל הג' שהם כ"ז ולא ישאר דבר

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{571787}=83}}

אם כן לא נשאר דבר אחר הוצאת השרש הזה יראה שזה המספר הוא מעוקב שלם ושרשו הוא פ"ג

$\scriptstyle\sqrt[3]{12812904}$

וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחר והנה לך צורתו

			0
			ב
		א	ו	0
	א	ו	ד	א	0	0
0	ד	ב	ז	ה	ה	ו	0
א	ב	ח	א	ב	ט	0	ד

	ב	ב	ו	ג	ג	ט	ד
			ב	ו

	$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-{\color{blue}{2}}^3=12-8=}}{\color{green}{4}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times2=}}{\color{blue}{6}}\\\end{align}}$	04
12812904		12812904
2		226

ולפי מה שאמרנו יש במספר הזה ג' מקומות בעלי שרשי מעוקבים הראשון הוא מקום האחדים והשני מקום האלפים והג' מקום האלף אלפים

ובעבור שלעולם צריך להתחיל במקום האחרון א"כ נתחיל מהב' שהוא מקום האלף אלפים ומקום האחרון ונכתוב תחתיה ב' כי לא ימצא מספר אחד שמוכה בעצמו באופן מעוקב יהיה יותר קרוב לי"ב שהם על הב' מב'
ולכן נכה הב' באופן מעוקב ויוליד ח' ונחסרם מי"ב וישארו ד' ונכתוב אותם על הב' שבטור העליון שהיא מקום האחרון ונכתוב 0' על הא'
ונשלש הב' ויהיו ו' ונכתוב אותה תחת האות השלישית אל הב' שהיא תחת הא' העליונה ונסיע הב' התחתונה מדרגה אחת לאחור כאמור למעלה ונרשום הב' הראשונה התחתונה

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{48-\left(2\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=48-\left(2\sdot18\right)=48-36=}}{\color{green}{12}}\\&\scriptstyle{\color{red}{121-\left(3\times6\times{\color{blue}{3}}\right)=121-\left(3\sdot18\right)=121-54=}}{\color{green}{67}}\\&\scriptstyle{\color{red}{72-{\color{blue}{3}}^3=72-27=}}{\color{green}{45}}\\&\scriptstyle{\color{red}{3\times3=}}{\color{blue}{9}}\\\end{align}}$	0
	164
	04275
	12812904
	226339
	26

ואח"כ נכתוב אות אחת אצל הו' שהיא האות המשולשת באופן שכשיוכה בו' שהיא המשולשת ובב' שהיא תחת המשלשת ובעצמה באופן מעוקב יוליד מספר שוה לכל האותיות העליונות שעליהן או היותר קרוב שאפשר ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב נכתו' ג' אצל הז'

ואח"כ נעשה ההכאות בדרך זה שנכה הג' באות המשלשת שהיא ו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם על הב' שאצלה והיא התחת משלשת ויהיו ל"ו ונחסרם מהאותיות שעל הב' שהם מ"ח וישארו י"ב ונכתוב ב' על ח' וא' על ד'
ונחזור ונכה הג' על ו' ויהיו י"ח ואלו הי"ח נכם בג' עצמו שהיא האות הנמצאת ויהיו נ"ד ואלו נחסרם מהאותיות שעל הו' שהם קכ"א וישארו ס"ז ונכתוב ז' על א' וו' על ב' ו0' על הא'
ונחזור ונכה הג' בעצמו באופן מעוקב ויוליד כ"ז ונחסרם מהאותיות שעליה וישארו ה' על הב' וד' על הז'
ואח"כ נשלש הג' ויהיו ט' ונכתוב אותם במקום השלשי אליה שהוא תחת ה0' והמשולשת שהיא ג' נרשום אותה ונסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הט' העליונה וג"כ הו' נרשום אותה ונסיעה אות אחת אצלה ויעמוד תחת הה' העליונה והב' ג"כ נסיעה למקום הסמוך אליה ויעמוד תחת הה' העליונה

$\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{64-\left(2\times6\times{\color{blue}{4}}\right)=64-\left(2\sdot24\right)=64-48=}}{\color{green}{16}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(2\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left[\left(3\sdot24\right)+\left(2\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{165-\left(72+72\right)=165-144=}}{\color{green}{21}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\times6\times{\color{blue}{4}}\right)+\left(3\times9\times{\color{blue}{4}}\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left[\left(4\sdot24\right)+\left(3\sdot36\right)\right]=}}\\&\scriptstyle{\color{red}{219-\left(96+108\right)=219-204=}}{\color{green}{15}}\\&\scriptstyle{\color{red}{150-\left(4\times9\times{\color{blue}{4}}\right)=150-\left(4\sdot36\right)=150-144=}}{\color{green}{6}}\\&\scriptstyle{\color{red}{64-{\color{blue}{4}}^3=64-64=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}$	0
	02
	0160
	164100
	04275560
	12812904
	2263394
	26

ואחר כך נכתוב עוד אות אחת שכשיוכה באותיות הד' התחתונות ובעצמה באופן מעוקב יולידו מספר שוה לכל האותיות שלמעלה או פחות היותר קרוב שאפשר שימצא ובעבור שלא ימצא מספר יותר קרוב לד' לכן נכתוב ד'

ונעשה ההכאות בדרך זה שנכה ד' שהיא האות הנמצאת על ו' שהיא המשולשת ראשונה ויעלה כ"ד ואלו נכם בב' ויעשה מ"ח ואלו נחסרם מהאותיות שעל הב' שהם ס"ד וישארו י"ו ונכתוב ו' על ד' וא' על ו'
ופעם שנית נכה הד' הנזכר במשולשת הראשונה שהיא ו' ויעלה כ"ד ואלו נכם בג' שהיא תחת המשלשת השנית שהיא תחת ט' ויהיו ע"ב
ופעם שלשית נכה הד' על ט' ויעלו ל"ו ונכם בב' ויהיו ע"ב
ואלו עם הע"ב שלמעלה יהיו קמ"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הו' שהיא המשלשת הראשונה שהם קס"ה וישארו כ"א והא' נכתוב על הה' והעשרים שהם ב' על ו' ו0' על הא'
ופעם ד' נכה הד' על הו' שהיא המשולשת הראשונה ויהיו כ"ד ואלו נכם על ד' עצמה ויהיו צ"ו
ופעם חמשית נכה הד' על הט' שהיא המשולשת הב' ויהיו ל"ו ואלו נכם על הג' שהיא תחת המשולשת השנית ויוליד ק"ח
ונחברם עם צ"ו ויהיו ר"ד ונחסרם מהאותיות שהם על הג' שהם רי"ט וישארו ט"ו
ופעם ששית נכה הד' הנזכר במשולשת השנית שהם ט' ויעלה ל"ו ואלו נכם בד' בעצמה ויעשה קמ"ד ונחסרם מהאותיות שעל הט' שהם קן וישארו ו' ונכתוב אותם על ה0' ונכתוב 0' על הה' ו0' על הא'
ופעם ז' ואחרונה נכה הד' הנזכרת בעצמה באופן מעוקב ויעשה ס"ד ונחסרם מהאותיות שעליה שהם ס"ד ולא ישאר דבר ולכן נכתוב 0' על הד' העליונה ועל הו' העליונה

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{the\ result\ \sqrt[3]{12812904}=234}}

ובעבור שלא נשאר שום דבר לכן נקראהו מעוקב ושרשו הוא רל"ד

Check: multiplying the result by itself three times

והמופת לזה שנכה השרש בעצמו באופן מעוקב ויוליד המספר הראשון וזהו מה שרצינו

Book Two: Proportions	המאמר השני
	ויתחלק לב' כללים
Section One: Proportions	הכלל הא' נדבר בו בדרכים ויחסים כוללים בזאת המלאכה
	ויתחלק לשבעה פרקים
Chapter One: Proportions of Integers	הפרק הא' ביחסי המספרים השלמים
	ואחר שדברנו מו' מיני מספר השלמים ומו' מיני השברים שהם כוללים לכל מה שיצטרך במלאכת המספר ובדרכים מישירים למציאות שרשי המספרי' המרובעים והמעוקבים עתה נדבר מיחסים ודרכים כוללים ושאלות ותשובות בעיון ובמעשה המלאכה הזאת
	וראשונה נדבר מדרכי היחוסים
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	אם נרצה לדעת שאם כך ישוו כך כמה ישוו כך
$\scriptstyle2:3=5:X$	המשל אם שנים שווים שלשה כמה ישוו ה'
	נסדר אותם ככה
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	ונעשה בדרך זה שנכה המספר האמצעי בשלשי והיוצא נחלקהו בראשון והיוצא לחלק כך הוא שווי השלשי
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{3\sdot5}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}$	המשל שאם הכינו ג' שהוא המספר האמצעי בה' שהוא המספר השלשי ויצאו ט"ו נחלקם בב' שהוא המספר הראשון ויצאו לחלק ז' וחצי וזהו שווי המספר השלשי שהוא ה'
Check: $\scriptstyle5:\left(7+\frac{1}{2}\right)=2:X$	והמופת נניח ג' מספרים בדרך זה ונאמ' אם ה' שוים ז' וחצי כמה שוים שנים
	ואלו נסדרם כמו שסדרנו הראשונים
	ואם יצא המספר האמצעי שהוא ג' ביחס הראשון הראשון היה אמתי ואם לא אינו אמתי
	המשל אם ה' ז' וחצי ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{2\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)}{5}=\frac{15}{5}=3}}$	ועתה נכה ז' וחצי בב' ויעלה ט"ו ונחלקם בב' הראשון שהוא ויבאו מהחלוקה שלשה שהם המספר האמצעי ביחס הראשון וא"כ הראשון היה אמתי
$\scriptstyle2:3=5:\left(7+\frac{1}{2}\right)$	ולכן נוכל לומ' אם ב' שוים ג' ה' שוים ז' וחצי וזה מה שרצינו
	וזה הדרך מספיק בשלמים לבד האמנם בשברים דרך אחר כמו שיראה בפרק הנמשך לזה

Chapter Two: Proportions of Fractions – finding the common denominator	הפרק השני בדרכים מישירים במציאות יחסי המספרים השברים
	האמנם בשברים צריך לדעת שני דברים והם מציאות המחלק ומציאות המחולק ומציאות המחלק יודע בדרך זה שנעיין המספר הראשון מהשלשה שאמרנו כי לא ימנע מאחד מאלו הה' דרכים הראשון אם שיהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים הג' או הראשון שבר ושלם יחד ואחדים או בא זה מהם שבר הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשניהם שבר וראשונה מהראשון
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(7+\frac{4}{9}\right)=\frac{4}{13}:X$	המשל אם נרצה לדעת אם ב' שלישיות שוים ז' שלמים וד' תשיעיות כמה שוים ד' שלשה עשריות
	והנה לך צורתם
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot9\right)\sdot13=18\sdot13=234}}$	וראשונה נוציא המחלק שנכה הב' שהיא על ג' בט' שהיא תחת הד' ויעלו י"ח וכל זה נכה על י"ג שהוא תחת ד' ויעלה רלד וזהו המחלק
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	ומשל אחר לזה המין אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ו'
	והנה לך צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	ונעשה המחלק כך נכה הב' שעל הג' על ב' שהיא תחת א' ויהיו ד' וזהו המחלק
	הדרך השני או יהיה הראשון שבר לבד והאחרים שלמים
$\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם שני שלישיות שוות ח' כמה שווים ט'
	והנה לך צורתו
	וימצא המחלק כך שנקח הב' שהיא על הג' כי הוא לבד המחלק בעבור שלא נצטרך במחלק בזה המין למספרים האחדים ר"ל הב' האחרונים אלא כשיהיה באחד מהם או בשניהם שבר או שברים
	הדרך הג' או יהיה הראשון שבר ושלם יחד ובאחד מהאחרים אי זה שיהיה או בשניהם שבר לבד או שבר ושלם יחד
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה' וב' שלשיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' שנים עשריות
	וזו צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(5\sdot3\right)+2\right]\sdot4\right]\sdot12=\left[\left(15+2\right)\sdot4\right]\sdot12=\left(17\sdot4\right)\sdot12=68\sdot12=816}}$	ולמצוא המחלק נכה ה' על ג' שתחת ב' מצדה ויעלה ט"ו ונוסיף הב' שעל הג' ויעלו י"ז ואלו נכם בד' שהיא תחת ג' של מספר ב' ויעלו ס"ח ואלו נכם בי"ב שהם תחת ה' שהוא המספר הג' ויעלו תתי"ו וזהו המחלק
	וצריך שתדע שהי"ז שעלו הכאת ה' בג' מצדה והוספת הב' שעל הג' ואח"כ הכינו אותם בד' שתחת הג' של מספר שני ועלו ס"ח שאם לא היה עוד שבר במספר הג' זה לבדו ר"ל הס"ח היה המחלק
	וכן הוא הדין אם השבר יהיה במספר השלשי ולא יהיה במספר השני
	הדרך הד' או הראשון שבר ושלם יחד והאחרים שלמים
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{7}\right):4=20:X$	המשל אם ה' וב' שביעיות שוות ד' כמה שוים עשרים
	וזו היא צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot7\right)+2=35+2=37}}$	ונמצא המחלק כך נכה הה' בז' מצדה שהיא תחת הב' ויעלו ל"ה ונוסיף הב' שעל הז' ויהיו ל"ז וזהו המחלק ובעבור שהשני מספרים האחרים הם שלמים אינם מצטרכים במחלק כאמור
	הדרך הה' או הראשון שלם ובאחד מהאחרים או בשתיהם שבר לבד או שבר ושלם
$\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות
	וזאת היא צורתו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	ונוציא המחלק כך נכה הראשון שהוא הכ' השלמים בל"ז שתחת הה' מהמספר השני ויעלו תש"מ ואלו נכם על ז' שתחת ב' של מספר ג' ויעלו ה' אלפים וק"ף וזהו המחלק
	ואם לא יהיה שבר אלא באחד מהמספרי' האחרים נכה הראשון השלם באותו השבר שתחת הקו והוא יהיה המחלק
	וזה יספיק במה שהוא המחלק ועתה נדבר במחולק בע"ה

Chapter Three: Proportions of Fractions – finding the numerator	הפרק השלשי בדרכים מישירים במציאות המחולק ביחסי השברים
	וצריך שתדע שהמחולק יקרה באחד מו' דרכים
	הדרך הראשון אם שכל א' משני המספרים האחרונים יהיה שבר לבד והב' או משני מספרים יהיו שלמים והג' או שכל אחד מהשני מספרים יהיה שלם ושבר ביחד והד' או אחד מהשני מספרים יהיה שלם ושבר ביחד והאחר שבר לבד והה' או אחד מהם שלם ושבר יחד והאחד שלם וה' או האחד יהיה שלם והאחר שבר וראשונה מהדרך הראשון
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\frac{4}{9}=\frac{4}{13}:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ד' תשיעיות כמה שוים ד' חלקים מי"ג
	והנה לך צורתו
	ונבקש המחולק כך בזה המין שנכה המספר שהוא על הקו של הא' מן האחרונים על המספר שהוא על קו המספר האחר וזאת ההכאה נשמור אותה ונכה עוד במספר שתחת קו המספר הראשון וזהו המחולק
	ואם המספר הראשון יהיה שלם לבד אז יהיה המחולק מה שעלה מההכאה הראשונה מהשני מספרים האחרונים כמו שאמרנו בענין המחלק כי אין אנו צריכים שלמים אלא לשברים שתחת הקוים על שני המספרים האחרונים וכן בענין המחולק אין אנו צריכים מהראשון אם יהיה שלם שום הכאה אלא כשיהיה שבר ואז ממה שתחת הקו שלו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)\sdot3=16\sdot3=48}}$	ויהיה המחולק בזה המשל מ"ח שכך עולה ד' של אחד מהאחרונים על ד' של האחר שהיא י"ו וי"ו על ג' מהמספר הראשון והוא מ"ח כאמור
	הדרך השני או השני מספרים יהיו שלמים
$\scriptstyle\frac{2}{3}:8=9:X$	המשל אם ב' שלישיות שוות ח' כמה שוים ט'
	והנה לך צורתו
	ונמצא המחולק ככה שנכה השם באחר באחר והעולה נכהו בשבר שתחת הקו של המספר הראשון
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot9\right)\sdot3=72\sdot3=216}}$	המשל נכה ח' על ט' ועלו ע"ב ואלו נכה אותם בג' ועלו רי"ו וזהו המחולק
	הדרך הג' או שכל א' מהשני מספרים יהיה שלם ושבר אחד
$\scriptstyle\left(5+\frac{2}{3}\right):\left(6+\frac{3}{4}\right)=\left(8+\frac{5}{12}\right):X$	המשל אם ה' וב' שלישיות שוות ו' וג' רביעיות כמה שוים ח' וה' חלקים מי"ב
	והנה צורתו
	ונוציא המחולק כך שנכה כל א' מהשלמים מהמספרי' האחרונים במה שתחת הקו שבצדו ונוציא עוד מה שעל הקו שבצדו ואחר נכה העולה מהב' מספרים זה על זה ונכה עוד זו ההכאה באות שתחת הקו של מספר ראשון וזהו המחולק
	ואם המספר הראשון יהיה שלא יספיקו למחולק הכאות המספרים האחרונים כמו שאמרנו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(6\sdot4\right)+3\right]\sdot\left[\left(8\sdot12\right)+5\right]\right]\sdot3=\left[\left(24+3\right)\sdot\left(96+5\right)\right]\sdot3=\left(27\sdot101\right)\sdot3=2727\sdot3=8181}}$	והמשל לזאת הצורה נכה ו' בד' שבצדם ויעלו כ"ד ונוסיף ג' שעל הקו ויעלו כ"ז עוד נכה ח' מהמספר האחרון על י"ב שבצדו ויעלו צ"ו ונוסיף ה' שעל הקו ויעלו כלם ק"א ועוד נכה ק"א על כ"ז ויעלו אלפים ותשכ"ז ואלו נכם באות שתחת קו המספר הראשון ויהיו ח' אלפים וקפ"א וזהו המחולק
	ואם לא היה שבר במספר הראשון היה המחולק אלפים ותשכ"ז שהיא הכאת השני מספרים אחרונים כאמור
	הדרך הד' או אחד מהשני מספרים האחרונים יהיה שלם ושבר יחד והאחר שבר לבד
$\scriptstyle1:\frac{4}{5}=\left(2+\frac{1}{2}\right):X$	המשל אם אחד שוה ד' חמישיות כמה שוים שנים וחצי
	והנה צורתו
	ונוציא המחולק בדרך זה שמהצד שימצא השלם עם השבר נכה השלם בשבר שתחת הקו שבצדו ונוסיף עליו מה שעל הקו שבצדו וכל זה נכהו במספר האחר מהאחרונים שהוא על הקו וזהו המחולק
	ואם היה במספר הראשון שבר היינו מכים עמו כל זאת ההכאה האמורה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot2\right)+1\right]\sdot4=\left(4+1\right)\sdot4=5\sdot4=20}}$	המשל לזאת הצורה נכה ב' שלמי' בב' שהוא שבר שבצדה ויעלה ד' ונוסיף א' שעל הקו ויעלו ה' ואלו נכם בד' שהיא על הה' ויעלו כ' וזהו המחולק
	ואם היה שבר במספר הראשון הוצרכנו להכות אלו הכ' באות שהיא תחת הקו של מספר ראשון
	הדרך הה' או יהיה אחד מהמספרים האחרונים שלם ושבר יחד והאחר שלם לבד
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	המשל אם שני שלישיות שוות ד' וחצי כמה שוים ששה
	וזה צורתו
	ונבקש המחולק ככה שנכה השלם עם המספר שתחת הקו שהוא מצדו ונוסיף מה שלמעלה הימנו וכל זה נכה עם השלם היחידי שהוא מהצד האחר וכל זה נכה עוד עם המספר שהוא תחת הקו שבמספר הראשון אם יהיה בו שבר
	ואם לא יהיה בו שבר אלא שלם לבד אינו צריך יותר הכאה
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$	והמשל לצורה נעשה המחולק בדרך זה שנכה הד' על הב' * ויעלה ט' וזה נכה על הו' שהוא השלם מהמספר השלשי ויעלה נ"ד וזה היה * ויעלה ח' ונוסיפ המחולק אם לא היה במספר הראשון שבר אבל בעבור שיש בו שבר נכה עליו הא' שעל הקו הנ"ד שיש בידינו על האות שתחת תחת הקו של אותו שבר שהוא ג' ויעלה קס"ב וזה יהיה אז המחולק
	הדרך הו' או יהיה אחד מהמספרים האחרונים שבר לבד והאחר שלם לבד
$\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	המשל אם ט' שוים ב' שלישיות כמה שוים ח'
	וזו היא צורתו
	ונוציא המחולק כך שאי זה שיהיה מהשני מספרים האחרונים שלם נכה אותו עם המספר שעל הקו שהוא ג"כ מהאחרונים וזהו המחולק בעבור שאין שום שבר במספר הראשון
	אבל אם יהיה בו שבר בין שיהיה לבדו בין שיהיה עם שלם אז נכה זאת ההכאה עם המספר שהוא תחת הקו וכל זה אז יהיה המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	המשל לצורה זו נעשה המחולק כך שנכה הח' שהיא אחד מהאחרונים על ב' שהוא על ג' ויעלה ט' וזהו המחולק י"ו
	אבל אם יהיה במספר הראשון שבר נוסיף להכות האמורים
	וצריך שתדע שבזה המין ר"ל אם כך שוים כך כמה שוים כך כלומ' סוג היחסים האמורים לא ימצאו יותר דרכים מאותם שאמרנו בין במחלק בין במחולק ואחר שיהיו בידינו המחלק והמחולק נחלק במחולק המחלק ויצא לנו מספר שביעי* והוא מה שבקשנו ואם כן יש לנו עתה ד' מספרים מתיחסים באופן רביעי שהיחס שימצא בין הראשון והשני אותו יחס ימצא בין השלישי והרביעי
	ומופת נחליף היחסים בדרך זה והוא שנקח הג' מספרים בזה הסדר והוא שנעשה מהמספר הג' שיש בידינו מספר ראשון ומהמספר הרביעי נעשה שני ומהמספר הראשון שלשי ונסדרם כמו שלמעלה ונאמ' אם זה שוה זה כמה שוה זה ואם יצא לנו במספר הד' בסדר זה המספר שהיה שני בסדר הראשון אז נדע שהמספר הרביעי שיצא בסדר הראשון היה אמתי ואם לא לא וזה מספיק בזה הלימוד

Chapter Four: Proportions of Fractions – finding the fourth number	הפרק הרביעי בנתינת משל אחד כולל לכל אופני הלמוד במחלק ובמחולק בידיעת יחסי השברים
	וכדי להוסיף ביאור נתן משל לכל חלקי הלמוד ביחד ר"ל מהמחלק והמחולק והמופת שלהם וזה באחד מן הדרכים שאמרנו
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:X$	והוא זה אם שוים כמה שוים ו'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$	וראשונה נוציא המחלק כך שנכה הב' שהיא על הג' מהמספר הראשון על ב' שהיא תחת א' של מספר שני ויהיו ד' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\left(4\sdot2\right)+1\right]\sdot6\right]\sdot3=\left[\left(8+1\right)\sdot6\right]\sdot3=\left(9\sdot6\right)\sdot3=54\sdot3=162}}$	ואחר נעשה המחולק כך שנכה ד' מהמספר השני על ב' שהיא תחת הא' שבצדה ויעלה ח' ונוסיף עוד הא' שעל הב' מהמספר השני ויעלה ט' ואלו נכם עוד על ו' שהוא מספר שלשי ויעלה נ"ד עוד נכם על ג' שהיא תחת ב' של מספר ראשון ויעלה קס"ב וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{4}=40+\frac{1}{2}}}$	ונחלק אלו במחלק שהוא ד' ויצא מהחלוק מ' וחצי וזהו המספר הד' ששוים ו' המבוקש
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)$	והיחס שיש בין שתי שלישיות לד' וחצי וזהו המספר הד' ששוים למ' וחצי
$\scriptstyle6:\left(40+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{3}:X$	והמופת לדעת אם זה אמת נסדרם ככה ונאמר אם ו' שוים מ' וחצי כמה שוים
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot2\right)\sdot3=12\sdot3=36}}$	נעשה המחלק כך נכה המספר הראשון שהוא ו' על ב' שהיא תחת הא' של מספר שני יהיו י"ב ואלו הי"ב נכם בג' שהיא תחת ב' של מספר שלשי ויעלה ל"ו וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(40\sdot2\right)+1\right]\sdot2=\left(80+1\right)\sdot2=81\sdot2=162}}$	ואחר נעשה המחולק בדרך זה נכה המ' שהוא מהמספר השני על ב' שהיא תחת א' שבצדה ויעלה פ' ונוסיף א' שהיא על ב' של מספר שני ויעלה פ"א ונכם בב' שעל הג' של מספר שלשי ויעלה קס"ב וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{162}{36}=4+\frac{1}{2}}}$	ונחלקהו בל"ו שהוא המחלק ויצא מהחלוק ואלו הד' וחצי היה המספר השני של סדר ראשון שאמרנו וזה המופת יורה שהסדר הראשון שעשינו היה אמתי
$\scriptstyle\frac{2}{3}:\left(4+\frac{1}{2}\right)=6:\left(40+\frac{1}{2}\right)$	א"כ אם ב' שלישיות שוות ד' וחצי הו' שוים מ' וחצי וזה מה שרצינו
$\scriptstyle9:\frac{2}{3}=8:X$	ומשל אחר להוסיף ביאור אם ט' שוים כמה שוים ח'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot3=27}}$	ונעשה המחלק בשנכה הט' שהוא המספר הראשון על הג' שתחת ב' מהמספר השני ויעלה כ"ז וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot2=16}}$	ונעשה המחולק ככה בשנכה הח' שהוא מספר שלשי בב' שעל הג' של מספר שני ויעלה י"ו וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{16}{27}}}$	ונחלק הי"ו על כ"ז שהוא המחלק ויצא מהחלוק י"ו חלקים מכ"ז בשלם וזהו המספר הרביעי שרצינו לדעת
$\scriptstyle8:\frac{16}{27}=9:X$	ולמופת זה נאמ' אם ח' שוים י"ו כמה שוים ט'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot27=216}}$	ונעשה המחלק בשנכה הח' שהוא מספר ראשון מזה הסדר על כ"ז שתחת י"ו של מספר שני ויעלה רי"ו וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot16=144}}$	והמחולק נעשה בשנכה הט' על י"ו שהוא על הקו של מספר שני ויעלו קמ"ד וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{144}{216}}}$	ונחלקהו במחלק שהוא רי"ו ויצא מהחלוק קמ"ד חלקים מרי"ו חלקים של שלם והנה לך צורתו ואם יהיה זה שוה לב' שלישיות של מספר שני של סדר ראשון מה שעשינו הוא אמת
$\scriptstyle8:\frac{16}{27}=9:\frac{2}{3}$	ומופת שהם שוים שני שלישיות הוא זה שנכתוב ב' שלישיות בדרך זה והמספר שרצינו לדעת אם הוא ב' שלישיות נכתוב כנגדו כמו שאתה רואה ואח"כ כל אות עם סותרו ואם ב' ההכאות יהיו שוות השברים הם שוים כמו שאמרנו וא"כ הסדר שעשינו הוא אמתי וזה מה שרצינו
	דע שזה המופת מהשברים שעשינו הוא כולל לכל שני שברים כשנרצה לדעת אם הם שוים וזה מה שרצינו

Chapter Five: Rule of Four	הפרק החמישי בידיעת יחס הד' מספרים המתיחסים בב' המלאכות מלאכת המספר ומלאכת ההנדסה
	ואחר שדברנו בזה הלמוד שעבר מהיחסים בכל הדרכים שאפשר שיקרו בהם במה שהיא מלאכת המספר עתה נדבר בהם במה שהם ממלאכת ההנדסה ר"ל במה שהם חלקי הכמה המתדבק ואע"פ שדרך ההכאה והחלוק א' הוא בשני המלאכות
$\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4$	ודע כי במה שהם במלאכת ההנדסה יובנו בדרך זה שבכל זמן שיהיו ד' מספרי' מתיחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס השלשי לרביעי
$\scriptstyle a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	והד' יהיה בלתי ידוע אם תרצה לדעתו נכה השני בשלשי והעולה נחלקהו בראשון ויבא לנו הרביעי שבקשנו
	ומעין הדרך הזה הם כל היחסים שאמרנו למעלה
	האמנם צריך שתדע שיש לזה היחס עוד סגלה אחרת והיא שכמו שבדרך הזה ידענו המספר הד' בלתי ידוע אם יקרה שלא יודע לנו אי זה מהאחרים אי זה שיהיה והשלשה האחרים יודעו נוכל לדעתו בדרך הזה שאומר
$\scriptstyle a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}$	המשל נניח שהמספר הראשון בלתי ידוע והג' האחרים ידועים ר"ל הב' והג' והד' אז נדע המספר הראשון בדרך זה שנכה הב' בשלשי ונחלק העולה ברבעי ויצא לנו הראשון
$\scriptstyle a_2=\frac{a_4\sdot a_1}{a_3}$	ואם נסכל השני וידענו האחרים נכה הד' בראשון ונחלק העולה על הג' ויצא לנו הב'
$\scriptstyle a_3=\frac{a_4\sdot a_1}{a_2}$	ואם נסכל הג' נכה הד' בא' ונחלק העולה בב' ויצא הג'
	ובזה הדרך יודע הבלתי ידוע בשלשה הידועים וזה מה שרצינו

Chapter Six: Rule of Three	הפרק הששי
$\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3$	וצריך שתדע שיש דרך אחר מיחסים והיא זאת שאם יהיו ג' מספרים מתיחסים באופן שיחס הראשון לשני יהיה כיחס השני לשלישי
$\scriptstyle a_3=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_1}$	והג' בלתי ידוע אם נרצה לדעתו נעשה כן המספר השני בעצמו ונחלקהו בראשון ויצא המספר השלישי שבקשנו
$\scriptstyle a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}$	ואם סכלנו המספר השני נדעהו בדרך זה שנכה הראשון בשלישי ומזאת ההכאה נקח שרשה וזהו המספר השני שבקשנו
$\scriptstyle a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{3}$	ואם סכלנו המספר הראשון בדרך זה בשנכהו המספר השני בעצמו ונחלק העולה בג' ויצא לנו המספר הראשון
	ובדרך זה ימצאו המספרים הבלתי ידועים בידועים בזה היחס וזה היחס הוא הכרחי מאד ומועיל במלאכת ההנדסה

Chapter Seven: Rule of Six	הפרק השביעי בידיעת יחס הו' מספרים המתיחסים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_5:a_2=a_6:a_4\end{cases}$	ועוד יש דרך אחרת מיחסים והיא זאת אם יהיו ו' מספרים מתיחסים באופן שיהיה יחס הראשון לשני כיחס הג' לד' ויחס הה' לב' כיחס הו' לד'
$\scriptstyle\left(a_1:a_2\right)+\left(a_5:a_2\right)=\left(a_3+a_6\right):a_4$	יהיה יחס קבוץ הראשון לשני והחמישי לשני כיחס קבוץ השלישי והששי לרביעי
	וזה היחס הוא הכרחי בהנדסה לדעת אי זה גובה שיהיה הכרחי לדעתו בשתי הבטות
	המשל לששה המספרים המתיחסים והם אלו:
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle2:3=4:6\\\scriptstyle 9:3=18:6\end{cases}}}$	ובעבור שיחס ב' שהוא מספר ראשון לג' שהוא מספר שני כיחס ד' שהוא שלישי לו' שהוא מספר רביעי ויחס ט' שהוא מספר חמשי לג' שהוא מספר שני כיחס י"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
$\scriptstyle\left(a_1+a_5\right):a_2=\left(a_3+a_6\right):a_4$	לכן כל זמן שיהיו הו' מספרים בזה היחס יהיה יחס קבוץ המספרים הראשון והחמישי למספר השני כיחס קבוץ המספר השלשי והששי למספר הרביעי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+9\right):3=11:3=22:6=\left(4+18\right):6}}$	כמו שהוא נראה באלו הששה מספרים שיחס י"א שהוא קבוץ המספר הראשון שהוא ב' והחמישי שהוא ט' לג' שהוא המספר השני כיחס כ"ב שהוא זה קבוץ ד' שהוא מספר שלישי וי"ח שהוא מספר ששי לו' שהוא מספר רביעי
	ודע שלעולם בכל ו' מספרים מזה היחס יהיה יחס קבוץ הראשון וה' לשני כיחס קבוץ השלישי והששי לרביעי
	ובזה הדרך ר"ל מהקבוץ ישובו ליחס הד' מספרים הנזכרים בפרק חמשי מזה הכלל וזה מה שרצינו

Section Two: Mathematical Problems	הכלל הב' מהמאמר השני נדבר בו בקצת שאלות ותשובות מישירות בעיון ובמעשה בזאת המלאכה
	ויתחלק לז' פרקים:
Chapter One: Measurements, Weights and Coins	הפרק הראשון בידיעת חלוף המדות המשקלים והמשורות והמטבעות לפי חלוף המקומות
	בעבור שבהרבה מקומות יש חלוף באלו הדברי' הנזכרים צריך שנדבר מאי זה דרך כללי שבו נוכל לדעת כל חלוף מאלה שנרצה
If 4 measurements or weights or whatever it will be from Constantinople are worth 6 from Bursa, and 9 from Bursa are worth 3 from Alexandria, how much are 6 from Alexandria worth? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle4c=6b\\\scriptstyle9b=3a\\\scriptstyle6a=Xc\end{cases}$	וראשונה נשאל אם ד' מדות או משקלים או מה שיהיה מקוסטנדינה שוים ששה מברוסה וט' מברוסה שוים ג' מאלישנדריאה ו' מן אלישנדריאה כמה שוים מאותם של קוסטדינה
	ולדעת זה נסדר כל אלו המספרים ככה
$\scriptstyle6:4=9:X$	ובעבור שדרושנו הוא שו' מאלישנדריאה כמה שוים מקוסטנדינה צריך שתדע קודם הג' מאלישנדריאה שוים ט' מברוסה אם כן כשתדע הט' מברוסה כמה שוים מקוסטנדינה אז נדע הג' מאלישנדריא' כמה שוים מקוסטנדינה וכבר ידענו שהו' מברוסה שוים ט'* מקוסטנדינה אם כן נאמר אם ו' שוים ד' כמה שוים ט' ונסדר הצורה כך הם שלמים הראשון הוא המחלק וא"כ הו' הם המחלק והכאת המספר השני בשלישי הוא המחולק שהוא ל"ו ונחלקהו בו' ויבאו ו' מהחלק א"כ ידענו שהט' מברוסה שוים ו' מקוסטנדינה אבל ג' מאלישנדריאה שוים ט' מברוסה א"כ הג' מאלישנדריאה שוים ו' מקושטנדינה ואחר שידענו שג' מאלישנדריאה שוים ו' מקוסטנדינה נסדר דרושנו כך ונאמר אם ג' מאלישנדריא' שוים ו' מקוסטנדינה כמה שוים ו' מאלשנדריאה וזהו היא צורתו
	וכבר ידעת שהמספר הראשון הוא המחלק בשלמים א"כ ג' הם המחלק והמחולק הוא הכאת המספר הב' בג' שהיא הכאת ו' בו' אם כן הם ל"ו ונחלקם על ג' ויצאו י"ב מהחלוק וא"כ ו' מאלכסדריאה שוים ו' מקוסטנדינה וזה מה שרצינו

Chapter Two: finding two numbers that have the following property $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle2\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$	הפרק השני בידיעת התיחסות שני מספרים שיש להם טבע זה שאם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול כפל הקטן או יותר אם נרצה
	ודעהו בדרך זה שנניח קודם במחשבה הב' מספרים ונחסר אחד מכל אחד מהן ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ואלו הב' יהיו אמצעי לדעת אותם ויש להם זה הטבע שאם נוסיפם על המספר הקטון יהיה שוה לגדול ואם נוסיפם במספר הגדול יהיה כפל הקטן א"כ יש לנו עתה ג' מספרים שהם הגדול והקטון והאמצעי ונניח שכלם הם דבר אחד וא"כ וכולם דבר אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו השני מספרים הראשונים שוים מהכל כל א' הוא חצי הכל וא"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל א"כ יראה שב' הוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסר אלו הב' שהוספנו למספר הקטן ונוסיפם לגדול והגדול ישוב כפל הקטן אם כן יראה שהגדול יהיה שני חלקים מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם ג' חלקים שוים לכל וא"כ המספר הקטן יהיה אז שלישי הכל והגדול יהיה שני שלישיות א"כ נאמ' שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן היה סבה שיהיה המספר הקטן חצי הכל וחסרונם היה סיבה שיהיה שליש הכל א"כ יראה לנו מזה שהמספר האמצעי הוא ההבדל שיש שליש הכל חצי אבל ההבדל מהשליש אל החצי הוא ששית הכל א"כ האמצעי הוא ששית הכל ולדעת שזהו ההבדל נחסר השליש מהחצי וישאר ששית וא"כ יראה שהאמצעי הוא ששית הכל ואם האמצעי היה ששית הכל והוא היה ב' א"כ הכל יהיה י"ב שהוא ו' פעמים שנים ובעבור שאמרנו למעלה שכשנוסיף א' לקטן יהיה חצי הכל יראה שהוא חצי הכל פחות אחד ר"ל הקטן יהיו ה' ואם הקטן הוא ה' המספר הגדול יהיה ז' לסבות האמורות וכמו שאפשר לומ' שאם נחסר אחד מהגדול ונתן אותו לקטן יהיה שוה לקטן וכו' כן
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-2=a+2\\\scriptstyle2\sdot\left(a-2\right)=b+2\end{cases}$	ג"כ אם ישאלו לנו שאם נחזר ב' מהגדול ונתנם לקטן וכו' לא נצטרך למצוא אלה המספרים והדומה אלא לכפול כל אחד משני המספרים הנמצאים ר"ל הה' והז'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-3=a+3\\\scriptstyle2\sdot\left(a-3\right)=b+3\end{cases}$	ואם התוספת או החסרון יהיה ג' נשלש השני מספרים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{2}=a+\frac{1}{2}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{2}\right)=b+\frac{1}{2}\end{cases}$	ואם יהיה חצי ר"ל התוספת או החסרון נקח חצי השני מספרים הנמצאים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-\frac{1}{3}=a+\frac{1}{3}\\\scriptstyle2\sdot\left(a-\frac{1}{3}\right)=b+\frac{1}{3}\end{cases}$	ואם התוספת או החסרון יהיה שליש נקח שליש השני מספרים הנמצאים ר"ל הידועים לנו כבר ר"ל הו' והז' כי בזה יוסרו כל אלו השאלות ובדרך זה נעשה בכל הדומה וזה מה שרצינו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b-1=a+1\\\scriptstyle20\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$	וכדי להוסיף ביאור נעשה משל אחד בשנניח ב' מספרים שאם נחסר אחד מהמספר הגדול ונוסיפה לקטן יהיו השני מספרים שוים ואם נחסר אחד מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול יהיה הגדול עשרים פעמים בקטן
	ונדעם בדרך זה שנניח קודם במחשבה השני מספרים ונקח אחד מכל אחד מהשני מספרים ונעשהו מספר שלישי ויהיה ב' ויש לזה המספר זה הטבע שאם נוסיפהו על המספר הקטן יהיה שוה לגדול ואם נוסיפהו על המספר הגדול יהיה הגדול כפל המספר הקטן כ' פעמים ר"ל עשרים פעמים בקטן א"כ יש לנו עתה ג' מספרים כאמור למעלה גדול וקטן ואמצעי ונניח שכלם יעשו כל אחד א"כ וכולם כל אחד וכשנוסיף המספר האמצעי לקטן יהיו שני הב' מספרים הראשונים שוים א"כ יש לנו עתה שני חלקים שוים לכל ובעבור שכל שני חלקים שוים לכל כל אחד הוא חצי הכל א"כ כל אחד מאלו הוא חצי הכל א"כ יראה שב' שהוא מספר אמצעי מחובר לקטן עשהו חצי הכל ואם נחסרהו מהמספר הקטן ונוסיפהו בגדול ויהיה הגדול כ' פעמים כמו הקטן יראה שהמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל והקטן חלק אחד א"כ הם כ"א חלקים שוים לכל אם כן המספר הקטן יהיה אז חלק אחד מכ"א חלקים מהכל והמספר הגדול יהיה כ' חלקים מכ"א מהכל אם כן נאמר שאם חבור המספר האמצעי למספר הקטן עשהו חצי הכל וחסרנו חלק עשהו מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל אבל ההבדל בין חלק אחד מכ"א חלקי הכל ובין חצי הכל י"ט חלקים ממ"ב חלקי הכל אם כן האמצעי הוא י"ט חלקים ממ"ב של הכל
	ולדעת שזהו ההבדל נחסר חלק אחד מכ"א חלק שלם מהחצי וישאר י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם וא"כ יראה שהאמצעי י"ט חלקים ממ"ב חלקי השלם והוא היה שנים אם כן הכל היה ד' שלמים וח' חלקים מי"ט חלקי השלם
	והמופת על זה נאמר ככה אם ט' שוים ב' כמה שוה האחד שהוא הכל הדרוש
	ונדעהו בא' הדרכים האמורים למעלה בדרכי היחסים וזה מה שרצינו

Chapter Three: finding two numbers that have the following property

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle2\sdot\left(b-1\right)=a+1\\\scriptstyle3\sdot\left(a-1\right)=b+1\end{cases}$

הפרק השלישי ביחס שני מספרים שאם הגדול יתן אחד לקטן היה הקטן כפל הגדול ואם הקטן יתן אחד לגדול יהיה הגדול ג' פעמים יותר מהקטן

ואם נרצה לדעת אלו המספרים נעשה קודם כל דבר האמצעי כמו למעלה והאמצעי לעולם הוא ב' שלמים בכיוצא לאלו היחסים א"כ נאמ' אם האמצעי מחובר לקטן יעשה כפל הגדול מכאן יראה שהקטן עם האמצעי הם שני שלישי הכל ושהמספר הגדול בלתי האמצעי הוא שליש הכל וא"כ כשנוסיף האמצעי לגדול יהיה ג' פעמים יותר מהקטן יראה מכאן שהקטן בלתי האמצעי יהיה רביע אחד מהכל וא"כ נאמר עתה אם הכל שהנחנו במחשבה הוא מורכב מג' מספרים שהם גדול וקטן ואמצעי א"כ כמות שלשתם שוה לזה הכל אבל כמות המספר הגדול והקטן הם שליש ורביע הכל א"כ מה שיחסר לתשלום הכל הוא המספר האמצעי בהכרח א"כ נחבר שליש ורביע במין הראשון מהשברים שהוא הקבוץ ויהיה קבוצם א"כ לתשלום הכל חסרים וא"כ האמצעי שוה הוא ידוע שהאמצעי בעצמו הוא ב' שלמים ומיוחס לכל הוא [] ולכן נעשה דרך היחסים כך ונאמר אם מהכל שוים שני שלמים כמה שוה הכל ובמקום הכל נשים אחד שלם ונעשה הצורה כך ונאמר אם שוים שני שלמים כמה שוה א' שהוא במקום ונמצא שהכל שבקשנו הוא ד' שלמי' וארבע חמישיות ועתה צריך שנבקש המספר הגדול והקטן ממנו והגדול נמצאהו כך כבר ידעת שהמספר הגדול בלתי האמצעי היה שליש הכל א"כ נקח מזה הכל השליש שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים של האמצעי ויהיה וזהו הגדול וכבר ידעת שהקטן בלתי האמצעי הוא רביע הכל ולכן נקח רביע הכל שהוא ונוסיף עליו האחד מהשנים מהאמצעי ויהיה המספר הקטן ואלו הם השני מספרים שבקשנו ומה שרצינו

Chapter Four: finding the whole from a given sum of its part using the rule of four	הפרק הרביעי שבידיעת קבוץ ב' חלקים מתחלפים מאי זה כל שיהיה או יותר איך נדע הכל
	ונעשה כן נקח אי זה כל שימצאו בו אותם החלקים מנשאלים ונעשה קבוץ מהם ונאמר כיחס זה הקבוץ מהחלקים אל הכל הידוע שלוקחו ממנו יחס החלקים הנשאלים לכל הבלתי ידוע ונסדרם בדרך הד' מספרים המתיחסים ונקח למספר ראשון חלקי המספר הבלתי ידוע ונשלים דרך היחסים כפי שנאמר במקומו
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=10+\frac{1}{2}$	המשל לזה נניח קבוץ אחד משליש ורביע ששוה עשרה וחצי ורצינו לדעת הכל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	ולדעת זה נבקש מספר אחד שימצאו בו אלו השברים שהנחנו אין שם מספר נותר קרוב מי"ב א"כ נקח קבוץ שלישו ורביעו שהם שבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{7:12=\left(10+\frac{1}{2}\right):X}}$	ונאמר אם ז' שוים י"ב כמה שוים י'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=18}}$	ונשלים זה היחס כמו שכבר נאמר בלמוד היחסים ונמצא בזה הדרך שהמספר המבוקש הוא י"ח וזה מה שרצינו
	ובדרך זה יעשו כל הדומים לזה היחס כשיבחנו כל השברים שאפשר שיונחו או שישאל עליהם
$\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=5$	כמי שישאל על קבוץ רביע וחמש שהם ה' שלמים ונרצה לדעת הכל כמה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=9}}$	נבקש מספר אחד שימצאו בו אלה השברים רביע וחומש שהם נמצאים בעשרים א"כ נקח מכ' הרובע והחומש וקבוצם הוא ט'
$\scriptstyle{\color{blue}{9:20=5:X}}$	ונאמר אם ט' שוים עשרים כמה שוים ה'
	ובדרך היחסים יודע שכל המבוקש הוא וקבוץ רביעתו וחמישיתו ה' וזה מה שרצינו ובדרך יעשו כל הדומים

Chapter Five: finding the whole from a given sum of its part using double false position	הפרק החמישי בנתינת דרכים כוללים לדעת אי זה מספר שיהיה בלתי ידוע בדרך המתנגדים
	וזה יודע בג' דרכים כוללים בעבור שבהם יעשו כאלה היחסים וזולתם אי זה שיהיו ויקראו דרכי המתנגדות
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X=10$	והראשון הוא זה נניח שרצינו למצא אי זה כל שקיבוץ שלישיתו וחמישתו יחד הם עשרה
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=8=10-2}}$	וקודם כל דבר נבקש אי זה מספר שימצאו בו אלו השברים [והמספר שנמצא בו אלו הנזכרים הוא ט"ו] וקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד הוא ח' ואלו הם פחות מהמבוקש שנים
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)=16=10+6}}$	ונקח מספר אחר שהוא ל' ונראה שקבוץ שלישיתו וחמישיתו הוא י"ו וא"כ יהיו יותר מהמבוקש ו'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{2+6=8}}$	ועתה נניח כל זה בדרך צורה כן והראשון שצריך שנבקש יחד הם היותר והפחות שהם ב' וו' וזה יהיה המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot6\right)+\left(30\sdot2\right)=90+60=150}}$	ואחר נעשה המחולק כן שנכה המתנגדים כל אחד עם נגדו כמו ט"ו עם ו' ויעלה צ' ונכה עוד ל' עם ב' ויעלה ס' ונחבר צ' עם ס' ויהיו ק"ן
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{8}=18+\frac{3}{4}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ח' ויצא מהחלוקה י"ח וג' רביעיות וזהו המספר שקבוץ שלישיתו וחמישיתו יחד יוד וזה מה שרצינו בדרך הראשון
	הדרך הב' והוא שהשני מספרים שאנו צריכים בדרך הזה למצא בהם השברים המבוקשים צריך שיהיה כל אחד פחות מקבוץ ה' חלקים הכל המבוקשים
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=20$	המשל רצינו למצא מספר שקבוץ שלישיתו ורביעיתו יהיה כ'
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7=20-13}}$	נבקש מספר אחד שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעתו ז' א"כ הוא פחות מקבוץ השברים י"ג
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=14=20-6}}$	ונקח עוד מספר אחר שימצא בו שליש ורביע והוא כ"ד וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הם י"ד אם כן הוא פחות מהמבוקש ו'
	ואח"כ נאמר י"ב פחות י"ג וכ"ד פחות ו'
	וכמו שלמעלה עשינו מחלק מהיותר והפחות בכאן צריך שנעשה מחלק מהפחות ומהפחות והם י"ג וו'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{13-6=7}}$	וכמו שלמעלה קבצנו היותר והפחות לעשות המחלק בכאן צריך שנחסר לעשות המחלק ואכ"כ נחסר ו' מי"ג וישארו ז' וזהו המחלק ונשמור אותו
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13\sdot24\right)-\left(6\sdot12\right)=312-72=240}}$	ואחר נכה המתנגדים כאמור למעלה והם י"ג עם כ"ד ויעלו שי"ב ונכה עוד ו' עם י"ב ויעלו ע"ב ונחסר ע"ב משי"ב וישארו לך ר"מ וזהו המחולק
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{240}{7}=34+\frac{2}{7}}}$	ונחלק במחלק שהוא ז' ויצא מהחלוקה ל"ד וב' שביעיות והנה לך צורתו
	הדרך השלישי והוא שכל אחד משני המספרים שברים נבקש השברים צריך שיהיה יותר
$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=6$	המשל רצינו למשול מספר אחד שרביעיתו ושלישיתו יהיה ו'
false position (1): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+1}}$	נבקש מספר שימצא בו שליש ורביע והוא י"ב וקבוץ שלישיתו ורביעיתו הוא אחד יותר מהמבוקש
false position (2): $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=6+8}}$	ונבקש ג"כ מספר שהוא כ"ד והוא ח' יותר מהמבוקש ונחסר היותר קטן מהגדול והגדול הוא ח' והקטן הוא א'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{8-1=7}}$	ונחסר א' מח' וישארו ז' וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\sdot12\right)-\left(1\sdot24\right)=96-24=72}}$	ויעשה המחולק כן נכה המתנגדים הח' על הי"ב ויעלו צ"ו ונכה הא' על הכ"ד ויעלו כ"ד ונחסר כ"ד מצ"ו וישארו ע"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{72}{7}=10+\frac{2}{7}}}$	ונחלקם במחלק שהוא ז' ויצא מחלוקתו וזהו המספר שלישיתו ורביעיתו מקובץ באחד שוה ששה [והנה] זאת היא צורתו
	למוד אחר מיחסים אם ישאל שואל אם כששוה מדת הקמח י"ב לבנים גזר המלך שית[נו] ח' ליטרין לחם בלבן כששוה המדה י"א לבנים כמה ראוי שיתנו לפי אותו היחס
	נעשה כן שנניח דרושינו זה [על] שרש התיחסות הג' מספרים וזה בשנסדר המספר הראשון על שווי האחרון ר"ל לשווי הי"א לבנים והמספר השני נסדר על שווי הראשון ר"ל שווי הי"ב והמספר השלישי כמות הלחם ונאמר א"כ י"ב שוים י"א כמה שוים ח' ונשלים הלמוד כמו שהוא כתוב בדרכי היחסים וזה מה שרצינו
	שאלה אם כשהשקל שוה מ' לבנים ואדם אחד יש לו חתיכת זהב שוקל ה' שקלים ורוצה להחליף ממנו כל כך שקלים שהנשארים יהיו שוים ללבנים ר"ל כמות השקלים הנשארים לו ככמות הלבנים שלקח מהחלוק
	נעשה כן נקח שווי השקל שהוא מ' לבנים ונוסיף א' ויהיו מ"א ונחלק מאה במ"א ויבאו ב' וי"ח ממ"ג של שקל וכל כך שקלים צריך להחליף וזה מה שרצינו

Chapter Six: Partnership	הפרק הששי בלמוד החבורות
	והוא כשנרצה לדעת כל א' מהחבורה כמה יגיע לו מחלק הריוח או ההפסד מיוחס לזמן ולכמות הסחורה
Partnership Problem - For the Same Time - one contributed 12½, the second [contributed] 6, the third contributed 7½, and the profit was 50 $\scriptstyle\left(12+\frac{1}{2}\right)a_1+6a_2+\left(7+\frac{1}{2}\right)a_3=50$	המשל אם יהיו בחבורה ג' אנשים והא' הכניס לחברה י"ב וחצי והשני ו' והשלישי ז' וחצי ויהיה הריוח נ'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+6+\left(7+\frac{1}{2}\right)=26}}$	ולדעת זה נקבץ כל המספרי' ויהיה הקבוץ כ"ו וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון
	והריוח או הפסד יהיה מספר ב'
	וכל אחד מהשלשה מספר שלישי
$\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(12+\frac{1}{2}\right):a_1}}$	ונאמר כן אם כ"ו שוים נ' כמה שוים י"ב וחצי ונשלים היחס כמו שידעת ומה שיצא הוא ריוח או הפסד הראשון שהכניס הי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{26:50=6:a_2}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים נ' כמה שוים ו' ונשלים היחס ג"כ ומה שיצא הוא ריוח או הפסד השני שהכניס בחלקו הששה
$\scriptstyle{\color{blue}{26:50=\left(7+\frac{1}{2}\right):a_3}}$	ואחר נאמ' אם כ"ו שוים חמשים כמה שוים ז' וחצי ונשלים היחס כמו שלמעלה ומה שיצא הוא ריוח השלשי או הפסד מאותו שהכניס ז' וחצי
	ובדומה לזה תעשה בכל היחסים שאפשר להעשות בכל החבורות וזה מה שרצינו

Chapter Seven: Word Problems	הפרק השביעי בקצת שאלות ותשובות
$\scriptstyle2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2X-12\right)\right]-12\right]=12$	שאלה אם מכפלו של אי זה דבר נקח י"ב ומכפל הנשאר נקח גם י"ב אחרים וכפל הנשאר יהיה י"ב כמה היה המספר הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+12=18}}$	התשובה נקח מהמספר הידוע שהוא י"ב חציו ונחבר אליו המספר המוסד שהוא הי"ב והם י"ח וזה המספר שבקשנו תחלה
	ובדרך זה נוכל לומר כל מספר שיהיה בין של שלמים בין של שברים בין מעט בין רב
$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+1\right)\right]\right]+1\right]\right]\right]+1\right]\\&\scriptstyle=1\\\end{align}$	שאלה אם מאיזה כמות ילקח חציו ואחד יותר ומהנשאר חציו ויותר אחד ומהנשאר שלישית חציו ויותר אחד ונשאר אחד כמה היה המספר הראשון
	התשובה נקח האחד שנשאר באחרונה ויותר א' ונכפול אותם ויהיו ד' ונוסיף אותם עליהם עוד אחד ויהיו י"א ונכפלם ויהיו כ"ב וזהו המספר הראשון שנשאל עליו ובדרך זה תוכל לעשות ואע"פ שתוסיף בכל פעם במקום האחד שנים או שלשה או מה שתרצה
Shared Work Problem - Draining a Vessel - Barrel - with three holes. Through one hole it is drained in a half of a day. Through the second hole, it [is drained] in a two thirds of a day. Through the third hole, it [is drained] in a three quarters of a day. When it is drained through the three holes together, how long will it take [the barrel] to be drained? $\scriptstyle\frac{X}{\frac{1}{2}}+\frac{X}{\frac{2}{3}}+\frac{X}{\frac{3}{4}}=1$	שאלה אם יהיה חבית אחת ויהיו לה שלשה נקבים שבאחד יורק בחצי היום ובנקב השני בב' שלישי היום ובנקב השלישי בג' רביעי יום כשיורק בשלשה הנקבים יחד בכמה זמן יורק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{1}{2}}=2}}$	תשובה נאמר כן באותו נקב שיורק בחצי יום יורקו שנים ביום אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{2}{3}}=1+\frac{1}{2}}}$	ובנקב שיורק בב' שלישי יום יורקו ביום אחד אחת וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{\frac{3}{4}}=1+\frac{1}{3}}}$	ובנקב שיורק בג' רביעיות יורקו ביום אחד חבית אחת ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{2+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{5}{6}}}$	ועתה נחבר כל אלו הג' מספרים ויהיה קבוצם ד' חביות וה' ששיות
	ואח"כ נאמר בדרך שכך שוה כך כמה שוה כך
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{6}\right):1=1:X}}$	אם ד' חביות וה' ששיות של חבית שוות יום אחד כמה שוה חבית אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6}{29}}}$	ונשלים הדרך וימצא ששות ו' חלקים כ"ט מיום אחד
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=c\\\scriptstyle a+c=b\end{cases}$	שאלה אם יהיו ג' מספרים וראשון ושני יהיו בכמות השלישי וראשון ושלישי בכמות מן השני כמה יהיה שוה כל אחד מהשלשה מספרים
	התשובה נניח שאלו השלשה מספרים הם חלקי דבר אחד ונניח עוד שהמספר הראשון והשני הם חצי אותו דבר והשלישי הוא חציו האחד ונאמר אם ראשון ושלישי הם מאה מהשני יראה שהשני הוא אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ואם הראשון עם השני הם חצי הכל א"כ נאמר שההבדל שיש בין חלק אחד ממאה ואחד מחלקי הכל ובין חצי הכל הוא שווי המספר הראשון אבל ההבדל הוא צ"ט חלקים ממאתים ושנים מהכל אם כן נאמר שהמספר הראשון הוא צ"ט חלקים מר"ב מהכל ואם הכל הוא ר"ב יהיה המספר השני ב' שהוא חלק אחד ממאה ואחד מהכל הנזכר שהוא ר"ב ובעבור שהמספר השלישי הוא חצי הכל והכל הוא ר"ב אם כן יהיה המספר השלישי מאה ואחד שהוא חצי הכל וזה מה שרצינו ועתה יש לנו שלשה מספרים הראשון צ"ט והשני ב' והשלישי ק"א ואם נחבר המספר הראשון והשלישי יעלה ר' שהם מאה מהשני ובזה הדרך נוכל לעשות מכל המספרי' המתיחסים בזה היחס ואם היו יותר או פחות וזה מה שרצינו בזה
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{1}{2}X\\\scriptstyle a_2=\frac{1}{3}X\\\scriptstyle a_3=\frac{1}{4}X\\\scriptstyle X=12\end{cases}$	שאלה אם יהיו שלשה אנשים בחברה אחת וחצי הריוח יהיה ראוי לא' ושלישית הריוח לשני ורביעית הריוח לשלישי והריוח יהיה י"ב כמה יבא לכל אחד מהם
	התשובה צריך שתדע שאם נתן לא' החצי מזה המספר ר"ל הי"ב ושלישיתו לאחד ורביעיתו לאחר לא יספיקו ולכן צריך שתעשה בדרך זה שלמי שראוי החצי יקח פחות וכן השני והשלישי ויהיה בדרך זה שנקח אי זה מספר שנרצה שימצאו בו חצי ושלישי ורבע כמו י"ב או כ"ד או ל"ו או אי זה שיהיה ונקח חציו ושלישיתו ורביעיתו ונקבצם יחד וזה הקבוץ יקרא מספר ראשון והריוח יהיה מספר שני וכל אחד מחלקי המספר המקובץ יהיה מספר שלישי וכשיהיו בידינו אלו המספרים נסדרם בדרך שאם זה שוה זה
	המשל שנאמר אם כל המקובץ שוה ככל הריוח כמה שוה ו' וחצי
	ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ו' ושליש היחס ונמצא ששוה ה' וז' מי"ג ואחר נחזור ונאמר אם כל המקובץ ששוה שוה כל הריוח כמה שוה השליש ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ד' ונמצא ששוים ג' וט' מי"ג ונחזור עוד ונאמר אם כל המקובץ שוה כל הריוח כמה שוה הרובע ר"ל אם י"ג שוים י"ב כמה שוים ג' ונמצא ששוים וזה מה שרצינו
	שאלה איך יחלקו עשרה בשני חלקים שהאחד נחלק לאחד וי' מי"ג שיצאו מהחלוקה ה'
	ולדעת זה צריך שנקדים שתי הקדמות כוללות
	ההקדמה הראשונה היא שכמו שכל מחולק נחלק במחלק יוליד החלק כן ג"כ כשנחלק המחולק על החלק יוליד המחלק
	ההקדמה השנית היא שמספר החלק ומספר היחס המחולק למחלק שוים
	המשל אם נחלק י' על ב' יהיה החלק ה' ומספר יחס המחולק למחלק ה' כי י' הם ה' פעמים ב' וזהו יחס המחולק למחלק וא"כ המחולק הוא ביחס ה' והחלק ה' בלתי היחס וא"כ במה שיש לכל אחד שם של ה' הם שוים וזה מה שרצינו
	התשובה היא שנקח במחשבתנו חלק אחד מעשרה בלתי ידוע ויהיה שמו דבר אחד והי' בלתי דבר אחד יהיה המחולק ולפי ההקדמה השנית יהיה שוה לה' שהוא החלק וא"כ אם י' בלתי דבר אחד שוה לה' עם דבר אחד יהיה יותר מה' דבר אחד ובעבור שיהיו שוים החלק והמחולק נוסיף דבר אחד על הה' שהוא החלק ויהיו ו' ואחר שהמחולק והחלק הם שוים נחלק המחולק על החלק ויצא מהחלק שבקשנו שהוא א' ושני שלישיות וזהו הדבר האחד הבלתי ידוע שלקחנו מהעשרה ומה שנשאר עד תשלום י' שהם ח' ושליש המחולק והם ג"כ העשרה בלתי דבר שיהיה ג"כ מספר בלתי ידוע כמו שאמרנו ועתה אם נחלק ח' ושליש א' ושני שלישיות יבא לחלק ה' ואלו השני מספרים המחולק והמחלק הם עשרה וזהו מה שרצינו וכמו שאמרנו בעשרה להיות החלק ה' נוכל לומר גם כן אי זה מספר שנרצה בשנשמור היחסים הראויים לאותו מספר כמו שעשינו בזה המשל כי כמו שלקחנו לחלק ה' מי' נקח לחלק כ"ז משלשים ונעשה כאמור ותמצא באותו דרך שהמחלק הוא והמחלק כ"ח והחלק כ"ז כמו שידעתו וזהו מה שרצינו לזה

Book Three: Geometry	המאמר השלישי נדבר בו בקצת התחלות מההנדסה
	ויתחלק לשלשה כללים
Section One: Line	הכלל הראשון בידיעת השיעור הקווי
	ויתחלק לג' פרקים
Chapter One: Height	הפרק הא' בקצת התחלות ההנדסה וגדר הקו ובידיעת השעור הקווי בגובה
	ואחר שדברנו מז' מינים מיני המספר ומדרכי היחסים וקצת שאלות ותשובות צריך שנדבר עתה מקצת התחלות ההנדסה כדי שתדע הדרך איך תשתמש ביחסי המספרים הצריכים בה
	ולכן ראוי שתדע שתמונות ההנדסה הראשונות שבהן נוכל לדעת כמות אי זה גשם שיהיה או כל אחד ממרחקיו או התיחסות גשם לגשם או שטח לשטח או קו לקו הם שלש עצמיות שהם משלש מרבע עגלה
	ובעבור שהגשם כולל בג' סגלות שהם ארך רחב עמק
	לכן נדבר בגדר כל אחד ובשיעורו
	וראשונה שבר מהארך
	ובעבור שהארך ישוער בקוים נאמר מהו קו
	והקו הוא כמות ארך בלתי רחב ועמק
	וקצותיו הם שתי נקדות
	ובעבור שמיני השעור הקווי הם ג' שהם גבה מישור עמק
	צריך שנדבר מכל אחד מהם
	וראשונה מהגבה
	כשתרצה לדעת אי זה גבה שיהיה תקח עמוד אחד שתדע שיעורו ויושם במישור מעומד וביושר בלתי שום נטיה ותטה עיניך בארץ בהיותך מביט לקצה הגבה שתרצה באופן שיעבור נצוץ הראות על קצה העמוד הגבה בקו ישר מעיניך עד קצה הגבה שתרצה
a₃= the distance between the eye and the starting point of the height	ואחר תשער ממקום נטיית העין עד המקום התחתון מהגבה שאתה מבקש וזה יהיה המספר השלישי
a₂= the size of the pole	ושיעור העמוד יהיה המספר השני
a₁= the distance between the eye and the pole	והרוחק שיש בין העין והעמוד יהיה המספר הראשון
the height = $\scriptstyle\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	ואחר תיחס בדרך שידעת אם זה שוה זה כמה שוה זה בהכותך השני בשלישי ונחלקהו במספר הראשון ויצא לנו הגבה שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Two: Length	הפרק השני בידיעת שהשיעור הקווי במישור
	כשנרצה לדעת ארך זה מישור שיהיה יושם על הארץ מעומד עמוד אחד ישר שנדע שעורו ובמקום שנרצה ובלתי שום נטיה
length of the surface = BH	ודרך משל יקרא המישור ב"ה
pole = AB	ועמוד הישר א"ב
stick = GD	ובעמוד א"ב נשים יתד אחד שנקרא ג"ד על זויות שוות באופן שכשיביט האדם מראש העמוד לקצה המישור יעבור נצוץ הראות על ראש היתד ביושר עד קצה המישור המבוקש
length = $\scriptstyle BH=\frac{GD\sdot AB}{AG}$	ואחר תכה כמות ג"ד על א"ב וזה יחלק על א"ג ויצא לנו כמות ב"ה שהוא אורך המישור שבקשנו וזה מה שרצינו

Chapter Three: Depth	הפרק השלישי בידיעת השיעור הקווי בעומק
depth = AD	כשנרצה לדעת אי זה עומק שיהיה ונניח שיהיה העומק א"ד
pole = HZ	ונשים עמוד אחד על שפת העומק ויהיה ה"ז
stick = ZB	ונשים יתד אחד בעמוד בזויות נצבות על שפת העומק ויהיה ז"ב ויעבור עד א' ונקודת המבט תהיה ה' שעל ראש העמוד ויעבור נצוץ המבט מנקדת ה' ועל קצה היתר לזויות העומק שהוא ד' באלכסון
$\scriptstyle\angle HZB=\angle BAD = 90^\circ$	והנה בעבור שזוית הז"ב הוא שוה לזוית בא"ד הנצבת
$\scriptstyle\angle ABD=\angle ZBH$	וג"כ זוית אב"ד שוה לזוית זבה הנגדיים
$\scriptstyle\angle BHZ=\angle ADB$	והזוית הנשאר שמקיף אותו בה"ז שוה לזוית שמקיף אותו אד"ב
$\scriptstyle\longrightarrow\triangle ADB\sim\triangle BHZ$	א"כ כל זויות משולש אד"ב שות לכל זויות משולש בה"ז ולכן צלעותיהם מתיחסות
$\scriptstyle BZ:ZH=BA:AD$	ויהיה יחס ב"ז לז"ה כיחס ב"א לא"ד
Depth = $\scriptstyle AD=\frac{ZH\sdot BA}{ZB}$	ועתה נכה שעור ז"ה על שעור ב"א ונחלקהו על ז"ב ויצא לנו שעור וזה מה שרצינו

Section Two: Surface	הכלל השני מהמאמר השלשי בידיעת השעור השטחי
	ויתחלק לה' פרקים
Chapter One: Equilateral Triangle	הפרק הראשון בידיעת שעור שטח המשולש שוה הזויות
	ואחר שדברנו מהכמות הקווי וכל שעוריו עתה צריך שנדבר מהכמות השטחי ושעוריו
	וראשונה נדבר מגדרו א"כ השטח הוא כמות בעל אורך ורוחב בלתי עמק שתכליותיו הם שני קוים
	והתמונות השטחיות הראשון הן ג' מינים או יהיה שוה שלשת הצלעות או שוה שתי הצלעות בלבד או מתחלף שלש הצלעות
	ואם תהיה שוה שלשת הצלעות צורתה היא זאת
	ואם נרצה לדעת כמותה נחלק הצלע הא' בשני חלקים שוים ומנקודת החלוקה שהם ג' נוציא קו ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' וזה הקו נדע כמותו באי זו מדה שנרצה ונשמור אותו
	וצריך שנדע עוד כמות אחד מהצלעות
	ונכה חצי זה הכמות בכמות הקו השמור אצלנו ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו

Chapter Two: Isosceles Triangle	הפרק השני בידיעת שעור שטח המשולש שוה הצלעות
	ואם יהיה המשלש שוה בשתי צלעות בלבד צורתו היא זאת
	ולדעת כמותה נחלק הצלע הבלתי שוה בשני חלקים שוים ומנקודת החלוק ששם ד' נוציא קו אחד ישר עד הזוית הנגדיי שהוא א' ונדע כמות חצי הצלע שחלקנו וכמות הקו הישר שעשינו ונכה האחד על האחר ומה שיעלה הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו

Chapter Three: Scalene Triangle	הפרק השלישי בידיעת שעור שטח המשלש מתחלף הצלעות
	ואם יהיה המשולש מהשלשה צלעות מתחלפות צורתו זו
	ולדעת כמותו נוציא קו ישר בלתי שום נטייה מהזוית הרחב ששם א לצלע הנגדיי ונדע כמותו ר"ל כמות הצלע הנגדיי ונשמור אותו ונדע אות כמות הקו הישר שעשינו ונכה אותו בכמות הצלע השמור אצלינו וחצי מה שיעלה הכל הוא כמות כל שטח המשולש וזה מה שרצינו

Chapter Four: Quadrilateral and Square	הפרק הרביעי בידיעת שעור שטח המרובע ושטח הרבוע
	ומיני המרובע שבהם נדע כמות כל המרובעים הם ב'
1) square	המין הא' שיהיה שוה הארך והרחב
2) rectangle	והמין השני שהארך והרחב בלתי שוים
	ולדעת כמות המרובע השוה האורך והרחב שצורתו היא זאת
area of a square = side₁×side₁	הוא בדרך זה שצריך שנדע כמות הצלע הא' ונכה אותו בעצמו ומה שיעלה הוא כמות הכל שטח המרובע וזה מה שרצינו
	ואם נרצה לדעת כמות שטח המרובע שארכו ורחבו בלתי שוים שזאת היא צורתו
area of a rectangle = side_long×side_short	צריך שנדע כמות הצלע הגדול וכמות הצלע הקטן ונכה האחד באחר ומה שיעלה הוא כמות השטח כולו וזה מה שרצינו

Chapter Five: Circle	הפרק החמישי בידיעת שיעור העגול לפי סברת החכמים
area of a circle = ½diameter × ½perimeter	ולדעת כמות שטח העגלה בקרוב שזאת היא צורתה צריך שנדע חצי האלכסון ונכה אותו בחצי הקף העגלה ומה שיעלה הוא כמות השטח
perimeter of a circle = (3·diameter) + (⅐·diameter)	ולדעת כמות העגלה נשלש האלכסון ויוסיף עוד החלק השביעי ממנו כך הוא כמות כל העגלה
	ובעבור שאין יחס בין הקו הישר והבלתי ישר לכן הוא נמנע לדעת כמות העגלה בדקדוק אמתי אלא בקרוב
	ובאלו העגלות שאנו עושי' נוכל להתקרב לידיעת אמתתם
	ואם יקרה טעות אינו נחשב למעוטו אבל בעגלות הגדול כ"ש השממיות שיהיה הטעות הגדול מאד
	ולכן אמרו ארגימידש ואלפארבי שמי שיתן לעגלה כמות שליש האלכסון ומע' חלקים ממנו העשרה שנותן פחות מן העשרה א"כ כמות האמתי הוא בין ע' חלקים וע"א מהאלכסו' וזה מה שרצינו בתמונות השטחיות
	ואחר שדברנו מהכמות השטחי נדבר עתה מהגשמי
	ולכן ראוי שנאמר קודם מהו גשם א"כ גשם הוא כמות שיש לו שלשה מרחקים שהם ארך ורחב ועמק שתכליותיו הם שני שטחים

Section Three: Solid	הכלל השלישי מהמאמר השלישי
Chapter One: Volume	ובו פרק אחד והוא בידיעת שעור אי זה גשם שיהיה התמונות
	והתמונות הגשמיות הראשונות הם שלשה והם
	מחודד
	ומוגשם
	וכדור
	ואם נרצה לדעת כמותם כמו שאם רצינו לדעת כמות כלי אחד מעוקב או בלתי מעקב או מחודד כמה יכיל צריך שנדע קודם שטח התושבת בדרך שאמרנו ואחר נכהו בעמקו ומה שיעלה הוא כמותו הגשמי
	המשל נניח שיש בכאן כלי אחד שהתושבת שלו הוא ג' אמות ועמקו ב' נכה הב' בג' ומה שיעלה הוא כמותו
	ואם שטח תושבת הכלי יהיה יותר גדול משטח פיו או בהפך נדע שטח כל אחד מהם ונחברם ונקח החצי וזה יהיה כמות השטח הראוי להכות עם העמק ונכם ומה שיעלה הוא כמות כל גשם הכלי
	ובעבור שאין שם תמונות אחרות שנוכל לדעת שעורם בדרך שאמרנו אלא אלו לכן אם נרצה לדעת שעור אי זה תמונה צריך שתהפכנה באחת מאלו התמונות המשלשות או המרובעות מאי זה מין שיהיה מהם זה בשנשלש התמונה שנרצה או נרבע אותה וזה מה שרצינו וכל מי שיהיה בקי באלה התחלות יוכל לעיין בקלות בכל ספרי אקלידס וכן בכל חכמה שתקנה התחלותיה מלאכת המספר וכבר הארכנו בכל מה שצריך לכונתינו
Supplement (Oxford MS d.5) – operations with fractions
	דרך אחרת קצרה יותר ממה שכתבנו בחבורנו בענין ההכאות והחלוק והיחסים
	קודם כל דבר צריך לדעת מספר הפועל ומספר הפעול והם נעשים בדרך זה
	וראשונה המספר הפעול הוא בכל מה שיכתב תחת הקו
	והמספר הפועל הוא בשלש דרכים [שלם לבד] שבר לבדו או שניהם כאחד
	ואם יהיה שלם לבד יקרא מספר פועל
	ואם יהיה שבר לבד המספר שעל הקו שלו יקרא מספר פועל
$\scriptstyle2+\frac{3}{4}$	המשל אם יהיו בידינו ב' שהם שנים שלמים ושלשה רביעיות
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right) +3=8+3=11}}$	נכה הב' שלמים על ד' ויהיו ח' עוד נוסיף עליהם ג' שעל הקו כאמור ויהיו י"א וזהו המספר הפועל שלהם
	א"כ כשנדע המספר הפועל והפעול בדרך שאמרנו ונרצה לעשות שום הכאה נכה פועל המספר האחד עם פועל המספר השני וזאת ההכאה נחלק בהכאת פעול האחד עם הפעול השני
	או יהיה פעול לשני המספרים ואם לא יהיה שם אלא פעול אחד הוא יהיה המחלק
$\scriptstyle\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}$	המשל נרצה להכות
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot3=15}}$	נעשה המחלק שהוא הכאת הפעולים שהם ה' וג' שעולה ט"ו וזהו המחלק
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{19\sdot20=380}}$	ואחר נעשה המחולק מהכאת הפועלים שהוא י"ט עם כ' שעולה ש"ף
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}\times\frac{19}{5}=\frac{380}{15}}}$	וזה נחלק בט"ו שהוא המחלק
	ודרך החלוק הוא זה שהמספר שרצינו שיהיה המחלק הוא שנכה הפועל שלו עם פעול של האחד וזהו המחלק ואותו שנרצה שיהיה המחולק נכה הפועל שלו בפעול של האחד וזהו המחולק ואח"כ נחלק האחד באחר
$\scriptstyle\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}$	המשל נרצה לחלק
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\div\frac{2}{3}=\frac{9}{10}}}$	נעשה הפועלים יותר והראשון הוא ט' והשני י' ונחלק ט' בי' ויהיו ט' עשיריות
	ומדרך היחסים מונחים הג' מספרי היחס שהם ראשון ושני ושלישי נבקש הפועל ראשון בפעול שני וכל מה שיעלה נכה בפעול השלישי אם יהיה לו פעול ואם לא באי זה פעול שימצא וזאת ההכאה תקרא המחלק ונשמור אותה א"כ נכה פועל השני עם פועל השלישי והעולה נכה בפעול המספר הראשון אם לא יהיה לו פעול ואם לא יספיק הכאת הפועלים וזאת ההכאה תקרא המחולק ואחר נחלק המחולק במחלק ויצא היחס המבוקש
$\scriptstyle20:\left(15+\frac{5}{37}\right)=\left(5+\frac{2}{7}\right):X$	המשל אם כ' שוים ט"ו וה' חלקים מל"ז כמה שוים ה' וב' שביעיות וזו היא צורתו
denominator 1: 20	ולפי הנאמר פועל הראשון הוא כ'
denominator 2: 560	ופועל המספר הב' תק"ס
denominator 3: 37	ופועל המספר השלישי ל"ז
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot37\right)\sdot7=740\sdot7=5180}}$	א"כ נכה הכ' שהם הפועל של המספר הראשון על פעול המספר השני שהם ל"ז ויעלו תש"מ ואלו נכה בפעול המספר השלישי שהם ז' ויעלו ה' אלפים ק"ף וזהו המחלק ונשמור אותם
numerator: $\scriptstyle{\color{blue}{560\sdot37}}$	ואחר כך נכה תק"ס שהוא פועל המספר השני עם ל"ז שהוא פועל המספר השלישי
	וזאת ההכאה נחלק במחלק ששמרנו ומה שיצא הוא היחס המבוקש
	נשלם
	תהלה לאל יתעלה השם
	ונשלם הספר הזה ספר המספר לעלי לידי לי אליאו גבה בכ"ר אליעזר יצ"ו בשנת עזרה בצרות נמצא ליצירה בחדש טבת כ"ה בו

Appendix: Bibliography

Isaac Ben Moses ‘Eli / ‘Ali
Oriola, Aragon, Spain, 15th century
Meleket ha-Mispar

Manuscripts:

1) Leiden, Bibliotheek der Rijksuniversiteit Cod. Or. 1090/3 (IMHM: f 19382), ff. 25v-49r (16th century)

2) Oxford, Bodleian Library MS Heb. d. 3 (IMHM: f 22729), ff. 21r-44r (Cat. Neub. 2774, 2); (16th century)

3) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 141 (IMHM: f 22111), ff. 17r-36r (Cat. Neub. 1297, 2); (15th century)

4) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187 (IMHM: f 19350), ff. 9r-46v (Cat. Neub. 2060, 1); (1503)

Poc. 187

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/4 (IMHM: f 15721), ff. 72r-83v (15th-16th century)

heb. 1029/4

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1095/2 (IMHM: f 15045), ff. 7-49 (15th century)

heb. 1095/2

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, p. 208 (h74); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.

↑ קהלת יב, יב
↑ משלי ד, י"ח

[1] קהלת יב, יב

[2] משלי ד, י"ח

[1]

[2]

@@ Line 2,815: / Line 2,815: @@
 |
 |style="text-align:right;"|וכדי להוסיף לך ביאור כתבתי זאת הצורה השנית שיש בה יותר מלאכה ועיון
+|}
+{|
 |-
 |
@@ Line 2,840: / Line 2,842: @@
 |&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||24||50||24||1
 |-
-!36||32||32||9||57||38||1
+!36||32||32||9||57||35||1
 |}
@@ Line 2,867: / Line 2,869: @@
 |&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||דב||&#x202B;0ה||דב||א
 |-
-!וג||בג||בג||ט||זה||חג||א
+!וג||בג||בג||ט||זה||הג||א
 |}
+{|
 |-
 |

Difference between revisions of "מלאכת המספר"

Revision as of 13:03, 3 November 2018

Contents

Introduction

Table of content

Book One: Numbers

Section one: Introduction to Arithmetic – Definitions and Principles

The Positional Decimal System

Section Two: Integers

Chapter One: Addition

Chapter Two: Subtraction

Chapter Three: Doubling

Chapter Four: Halving

Chapter Five: Multiplication

Sums

Shortcuts

Chapter Six: Division

Section Three: Fractions

Chapter One: Introduction on Fractions

Chapter Two: Addition of Fractions

Chapter Three: Subtraction of Fractions

Chapter Four: Doubling Fractions

Chapter Five: Halving Fractions

Chapter Six: Multiplication of Fractions

Chapter Seven: Multiplication of Sexagesimal Fractions

Chapter Eight: Division of Fraction

Section Four: Roots

Chapter One: Extracting and Approximation of Square Roots of Integers

Chapter Two: Extracting Square Roots of Fractions or Fractions and Integers

Chapter Three: Short-Cuts for Finding Roots of Numbers

Chapter Four: Extracting and Approximation of Cubic Roots of Numbers

Written calculations

Book Two: Proportions

Section One: Proportions

Chapter One: Proportions of Integers

Chapter Two: Proportions of Fractions – finding the common denominator

Chapter Three: Proportions of Fractions – finding the numerator

Chapter Four: Proportions of Fractions – finding the fourth number

Chapter Five: Rule of Four

Chapter Six: Rule of Three

Chapter Seven: Rule of Six

Section Two: Mathematical Problems

Chapter One: Measurements, Weights and Coins

Chapter Two: finding two numbers that have the following property

Chapter Three: finding two numbers that have the following property

Chapter Four: finding the whole from a given sum of its part using the rule of four

Chapter Five: finding the whole from a given sum of its part using double false position

Chapter Six: Partnership

Chapter Seven: Word Problems

Book Three: Geometry

Section One: Line

Chapter One: Height

Chapter Two: Length

Chapter Three: Depth

Section Two: Surface

Chapter One: Equilateral Triangle

Chapter Two: Isosceles Triangle

Chapter Three: Scalene Triangle

Chapter Four: Quadrilateral and Square

Chapter Five: Circle

Section Three: Solid

Chapter One: Volume

Supplement (Oxford MS d.5) – operations with fractions

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search