Difference between revisions of "עיר סיחון"
(→Extracting roots - written procedure) |
(→Extracting roots - written procedure) |
||
Line 1,381: | Line 1,381: | ||
:{| | :{| | ||
|- | |- | ||
− | | ||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{ | + | | ||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{2>1^2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2-{\color{blue}{1}}^2=}}{\color{green}{1}}\\&\scriptstyle{\color{red}{2\times1=}}{\color{blue}{2}}\\\end{align}}</math>|| ||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{\begin{align}&\scriptstyle{\color{red}{12-\left(2\times{\color{blue}{5}}\right)=}}{\color{green}{2}}\\&\scriptstyle{\color{red}{25-{\color{blue}{5}}^2=}}{\color{green}{0}}\\\end{align}}||<span style="color:LimeGreen>0</span>   |
|- | |- | ||
− | | ||<span style="color:LimeGreen>1</span>  ||1<span style="color: | + | | ||<span style="color:LimeGreen>1</span>  ||1<span style="color:LimeGreen>00</span> |
|- | |- | ||
|<span style="color:red">2</span>25||225||225 | |<span style="color:red">2</span>25||225||225 |
Revision as of 09:03, 13 January 2018
אישים באו קרית ספר | |
בה כל מספר תוכלו לבחון | |
את שם העיר אגיד לכם | |
הלא כי חשבון עיר סיחון | |
Contents
Introduction |
|
The author: Yoseph b. rabi Moshe ha-Ṣarfati [= the French] Ish Ḥay | אמר יוסף בר משה הצרפתי איש חי |
Arithmetic contains signs for the unity of God | מאשר ראיתי כי חכמת החשבון היא חכמה מפוארה ונחמדת עד מאד והיוצר ברוך הוא שם בתכונת החשבון סוד אחדותו |
Realizing that, the author decided to write a book on arithmetic in a clear and explicit language, drawn from the studies of the ancient scholars, for their way is hidden and concealed | יעצוני לבי וכליותי לחבר ממנה ספר אחד כאשר אוציא ממחקרי החכמים הקדומים בלשון גלוי ומבואר לכל משכיל למען אשר דרכה הנסתר ונעלם וצריכה דעת רחבה בפתחו של אולם |
The author expects that all those who are interested in the words of wisdom of the book will benefit much from its additional interpretation | וירוחו בני אדם אשר נדב להם אל דברי החכמות בזה הספר מאד בתוספת הביאור |
The author himself will benefit from writing the book: memorizing the wisdom properly when actualizing it by linguistic phrasing. Therefore, the author will gain learning as well as teaching | וארויח אנכי גם כן שתשתמר החכמה בקרבי היטב בהוציאי אותה במליצת לשוני ואזכה ללמוד וללמד |
A short rhyme of praise to God – asking him for a shelter and for turning a good thought into act | ויוצרי יהיה לי למעוז ומחסה ומחשבתי הטובה יצרף אותה למעשה |
The name of the work ʽIr Siḥon refers to biblical phrase in which Siḥon is associated with the Hebrew word ḥeshbon = arithmetic Numbers 21, 27: בֹּאוּ חֶשְׁבּוֹן; תִּבָּנֶה וְתִכּוֹנֵן, עִיר סִיחוֹן = "Come to Ḥeshbon, may it be built and established as the city of Siḥon" |
וקראתי שם הספר הזה עיר סיחון על שם כי חשבון עיר סיחון |
Table of Contents |
ונחלק הספר הזה לאחד עשר חלקים |
השער הראשון ביסוד המספר ותולדת האחד | |
השער השני במדרגת המספר וסכו' האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה | |
השער השלישי במחברת חשבונות רבים זה עם זה | |
השער הד' במגרעת חשבון קטן מחשבון גדול | |
השער החמישי בכפילת הכאת האחדים על עצמם או על אחדים אחרים או בכפול הכאת כל חשבון או על חשבו' אחר | |
השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון קטן ממנו ובזה השער אדבר על מאזני הכפל והחילוק והחיבור והמגרעת | |
השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו | |
השער הח' במערכת חשבון מחשבון אחר | |
השער התשיעי בידיעת חלקי השבר מן השלם בין בכפל בין בחלוק [בין] במגרעת | |
השער העשירי בידיעת צלעות המרובעים מחשבו' החדש וה[אלם] על דרך קרוב | |
השער הי"א בכללים נחמדים והם פרפראות החכמה הזאת וקצת מהשאלות העמוקות והקשות אזכיר בשער הזה בעזרת האל אלהי ישראל |
Chapter One – The Nature of the One and Foundation of Numbers |
השער הראשון בתולדות האחד ויסוד כל המספרים |
---|---|
Numeration |
|
|
|
|
דבר ידוע ברור ואמתי הוא כי האחד אננו מקבל לא שנוי ולא ריבוי אבל הוא מקבל [סבת] כל ריבוי ושינוי |
|
והוא קדמון ואב לכל המספרים וכלם מתחדשים בעבורו כי הוא להם שורש ויסוד וממנו צומחים כל החשבונות |
|
ומזה יוכל להבין כל משכיל קצת רמיזות מסוד אחדות הש' הנכבד והנורא |
The names of the ranks | |
|
|
והנה כאשר נחבר אחד עם אחד והיא ההרכבה הראשונ' נקרא זה שנים וכשנוסיף על השנים אחד נקרא זה שלשה | |
|
וכאשר נוסף אחד על תשעה נקרא זה עשרה והוא ראשית כל חשבון עשרות |
|
והנה חשבון העשרה בחשבון העשרות כמו האחד באחדים |
וכשיהיו לו שני עשרות נקרא אותם עשרים ונקרא לשלש עשרות שלשים | |
|
וכל השמות האלה הם מושאלים משמות האחדים והנה תשעים בעשרות כמו תשעה באחדים |
|
|
|
וכאשר יהיה לנו עשר עשרות נקרא להם בשם כולל מאה והוא ראשית חשבון המאות כמו האחד ראשית האחדים והעשרה ראשית העשרות |
|
|
|
וכשיתקבצו עשרה מאו' נקרא להם בשם כולל אלף והוא ראשית האלפים כמו מאה שהוא ראשית המאות
אמנם למאות אין להם שם כולל עד שנגיע לעשר מאות שיקראו אלף כאמור |
The twelve names of numbers | וכן האלפים אי להם שם כולל כלל כי כל שמות המספרים החלוקים זה מזה הם שנים עשר לא פחות ולא יותר |
|
ואלה הם תשעה שמות האחדים |
|
ושם העשרה |
|
ושם המאה |
|
ושם האלף |
והנה כל המספרים ילקחו מאלו השנים עשר שמות | |
כי עשרי' ומאתים ואלפים הם כמו שני אחדים כל אחד ואחד כפי מעלתו | |
וכן כאשר נאמר אחד עשר או שנים עשר הנה הם שמות מורכבים מאחדי' ומעשרות | |
ועל הדרך הזה יתיילדו וילוו כל המספרים מאלו השמות השנים עשר המפורשים |
Chapter Two – the Decimal Ranks and the Ten Digits |
השער השני במדרגות המספר וסכום האותיות אשר ישתמשו בהם החכמים בזאת המלאכה |
---|---|
The names of the ranks are determined according to the principle that every rank is tithe of the subsequent rank | הנה התבאר בשער הקודם לזה כי כל א' שמות המספרים הם מושאלי' מתשעה שמות האחדי' עד אשר יבא החשבון העשירי ונקרא לו בשם אחד כולל ומפני זה נחלקו המספרים למדרגות מדרגות |
ויקראו האחדי' מדרגה ראשונה והעשרות מדרגה שניה והמאות מדרגה שלישית והאלפי' מדרגה רביעית וככה אי' קץ כי כל מדרגה היא עישור מדרגה הבאה אחריה ולפי זה נקרא לעשרת אלפים מדרגה חמישית ולמאה אלף מדרגת ששית וזהו דרך מדרגות המספר | |
The Positional Decimal System |
|
The reason why there are nine numerals – in every rank there are nine numbers | ובעבור כי כל החשבונות מתגלגלים על תשעה באשר נמצא חשבונו' תשעה ממדרגת האחדים ותשעה חשבונות ממדרגות העשרות וכל וכן בכל המדרגות יש תשעה חשבונו' בכל אחד מהם יספיק לכתוב כל חשבון קטן או גדול בתשעה אותיות שנחשוב כל אחד מהם כמו האחדים שהם עד תשעה |
The Hebrew numerals | ואלה הם האותיות המשמשות בחכמה הזאת א ב ג ד ה ו ז ח ט |
|
וכשנצטרך לכתוב חשבון העשרה נעשה על דרך הזה בידוע כי העשרות הם המדרגה השנית וכבר התבאר כי יחס העשרה אל העשרות כיחס האחד אל האחדים על כן אי אנו צריכי' כי אם לכתוב אות הא' המורה אחד לעשות הכר וסימן שהאות הזאת היא מדרגת שנית |
Zero = sifra | והסכימו חשבו חכמי החשבון לעשות סימן הכר המדרגות בצורת עגול כדמות זה וקורי' לצורה הזאת סיפרא |
Writing numbers with numerals, including zeroes or without them | |
|
וכשנרצה לכתוב עשרים נכתוב סיפרא מתחילה ואחריה אות הב' במדרגה השנית ויורה זה שני עשרות |
|
וכאשר נבקש לכתוב מאה נכתוב שתי סיפראש ואות א' במדרגת שלישית ויורה זה מאה |
|
ולעולם כשיהיו לנו אחדים ועשרות נכתוב במדרגה הראשונה האחדים ואחריה במדרגת השנית העשרות |
|
ואם אי' לנו עשרות כי אם אחדים ומאות נכתוב האחדים במדרגה ראשונה וסיפרא אחת בשנית והמאות בשלישית |
And so on for three of more zeros | וכן נשים שנים או שלשה סיפראש כאשר נצטרך לפי החשבון עד אין חקר ונכתוב לעולם כל חשבון וחשבון במדרגתו |
Chapter Three – Addition |
השער השלישי במחברת רבים זה עם זה | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Written Addition | ||||||||||||||||||||
Description of the procedure: | דרך מחברת חשבונות כך היא נכתוב כל מספר ומספר מבקשת החיבור זה תחת זה כל כל אחד ואחד בטור בפני עצמו מדרגה אחר מדרגה הדומה לה ואחר נעביר קו הדיו | |||||||||||||||||||
|
ונתחיל במדרגה הראשונה ונקבץ כל האחדים | |||||||||||||||||||
|
והמקובץ נכתבנו תחת קו דוי אם לא יספיק לעשר | |||||||||||||||||||
|
אמנם אם ילך בעשרות נכתוב אות בטורי המספר במדרגה השנייה כפי מספר עשרות המקובץ ונכתוב סיפרא בלבד תחת קו הדיו | |||||||||||||||||||
|
ואם יעדיף המקובץ על עשרות אין אנחנו צריכים כי אם לכתוב תחת הקו העודף ההוא ובמדרגה השנית נכתוב כפי מספר העשרות כאמור | |||||||||||||||||||
|
ובדרך הזה נלך ונעשה גם כן כאשר עשינו במדרגת האחדים מכל שאר המדרגות ונכתוב כל קיבוץ המדרגות בזה אחר זה בסידור תחת קו הדיו ומה שיצא מקיבוץ המדרגות מסודר תחת הקו הוא המחובר | |||||||||||||||||||
Summing the numerals in each rank as units | ולעולם כשנחבר אות עם אות נחשוב כל אחת ואחת מהן באזה מדרגה שתהיינה כאילו הן אחדים ואחר תמצא אמתתם במדרגתם | |||||||||||||||||||
The reason for writing the tens of the sum of a certain rank in the following rank - every rank is tenth of the next rank | וכל משכיל יבין כי טעם מספר כתיבת מספר העשרות מהמתחבר באותיות המדרגה ההיא במדרגה הבאה אחריה הוא לפי שכל אות ואות מן המדרגות היא עישור מהמדרגה הבאה אחריה | |||||||||||||||||||
|
ואם יהיה בטורי מספר חשבונות החבור מדרגה אחת או שתים שכל טוריה סיפראש צריך לכתוב תחת קו הדיו סיפראש כאשר יבאו במקומן כפי מספר המדרגות ההם | |||||||||||||||||||
Examples will be given in order to explain the procedure better | ולמען אשר יתבאר הטב אצל כל אדם מלאכת החיבור הזאת הנזכרת אדבר ממנה בדרך הנסיון בחשבונות אלו | |||||||||||||||||||
|
בקשנו לידע כמה מחובר תשע אלפים ומאתים ושמנה עם שלשת אלפים ושמנה מאות ואחד | |||||||||||||||||||
והנה נכתוב אלו השני חשבונות בשני טורים על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
|
והנה מקובץ המדרגה הראשונה אינו מספיק לעשר ועל כן נכתוב העולה תחת קו הדיו והנה הוא ט' וכאשר אין במדרגה השנית אות כלל כי אם סיפראש לבדנה נכתוב תחת הקו סיפרא אחת אחרי הט' שכתבנו בעבור האותיות המדרגה הראשונה |
Chapter Four – Subtraction |
השער הרביעי במגרעת חשבון קטן מחשבון הגדול | |||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Written Subtraction | ||||||||||||||||||||
Description of the procedure: | כשנבקש לעשות זה נכתוב חשבון הגדול בטור אחד והתחתון הקטן תחתיו בטור שני מדרגה תחת מדרגה | |||||||||||||||||||
|
והנה נחשוב כל האותיות כאלו הם אחדים באזו מדרגה שיהיו | |||||||||||||||||||
|
ונתחיל בראשונה באות המדרגה האחרונה אשר בחשבון הטור השפל ונגרוע אותה מהאות שכנגדה בטור מספר החשבון העליון | |||||||||||||||||||
|
ונכתוב עליו הנשאר אם ישאר ממנה כלום | |||||||||||||||||||
|
ואם אין נמחקנה והוא שנרשום על ראשה סיפרא | |||||||||||||||||||
ואחרי כן נעשה מכל המדרגות האחרות כמעשה המדרגה הזאת ונלך אחור אחורנית ממדרג' למדרגה עד תומם | ||||||||||||||||||||
|
ואם תהיה אות באחת מהמדרגות מחשבון הטור השפל גדולה מהאות שכנגדה בטור העליון אמנם בהכרח יש אות אחת בטור החשבון העליון סמוכה לזו אשר אנחנו עומדים במדרגתה מלאחריה | |||||||||||||||||||
|
נעשה על הדרך הזה נסיר א' מהאות שאחרי זאת המדרגה ונכתוב הנשאר מהאות ההיא אשר לקחנו הא' ממנה עליה ואם לא ישאר ממנה כלום כגון שלא היה שם כי אם א' נמחקנה | |||||||||||||||||||
|
ובידוע כי הא' הזאת שיש לנו היא שוה עשר בהקש אל המדרגה שלפניה לכן נחשב זאת הא' עשרה ונחבר אל העשרה הזאת החשבון מהאות מהמדרגה העליונה אשר אנחנו עומדים עליה ויהיה לחשבון העשרה הנזכר כמו אחדים ועתה יספיק לנו בריוח להסיר מכל זה האות התחתונה ונכתוב הנשאר על האות העליונה שכנגדה | |||||||||||||||||||
|
וכן נעשה תמיד עד שנגיע אל המדרגה הראשונה ומה שישאר על טור המספר העליון הוא הנשאר מהמגרעת | |||||||||||||||||||
|
והנה בכל עת אשר לא נוכל להסיר האות התחתונה מהעליונה נסייע לה מהמדרגה הבאה אחריה על הדרך האמור ואפילו היו סיפראש מפסקות בינה ובין האות שאחריה או שיש לנו להסיר האות התחתונה מסיפרא אחת אשר תהיה כנגדה בטור העליון נשיב אחורנית על הדרך הזה שנסיר מהאות הקרובה א' ונכתוב עליה הנשאר אם ישאר ממנה כלום ונשי' זאת הא' על הסיפרא שלפניה ותהיה עשרה ונסיר מהם א' וישאר שמה על הסיפרא ט' ונשים זאת הא' על הסיפרא הקודמת לזה ויהיו עשרה ונסיר מהם א' וישאר תשעה על הסיפרא וכן נעשה לעולם עד שתגיע אל האות או אל הסיפרא מהמדרגה אשר אנחנו עומדים עליה ואז נעשה כמשפט האמור למעלה | |||||||||||||||||||
|
המשל בזה בקשנו לגרוע מחמשת אלפים ושמונים ושלש ותשעים ושנים | |||||||||||||||||||
הנה נכתוב שני טורי החשבונות על זאת הצורה החשבון הגדול בטור העליון והחשבון הקטן בטור שפל כנגדו | ||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||
|
ומאשר חשבון האות מהמדרגה התחתונה שבטור השפל גדול מחשבון האות אשר היא כנגדה בטור העליון נעשה על הדרך האמור ונסיר א' מהאות האחרונה מהטור העליון שהיא ה' הסמוכה לאות המדרגה העליונה שאנחנו עומדים עליה מאחריה אחר הסיפרא והנה ישאר ד' במקום הה' ותהיה האות הזאת עשרה כשנשים אותה על הסיפרא ונסיר מהעשרה אחד וישאר תשעה |
Chapter Five – Multiplication |
השער החמשי בכפילת [הכאת] האחדים על עצמם או על אחדים אחרים ובכפול כל חשבון על עצמו או על אחר | |||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definition of the multiplication operation
|
כוונת הכפילה הזאת היא לכפול החשבון האחד על חבירו | |||||||||||
|
על דרך משל שלשה פעמים ארבעה | |||||||||||
|
או על עצמו | |||||||||||
|
כאשר נאמר שלשה פעמי' שלשה | |||||||||||
|
וכן נאמר עשר פעמי' עשרים | |||||||||||
|
או עשר פעמים עשר | |||||||||||
Multiplication of Units by Units |
||||||||||||
The need of memorizing the products of units by units | ובאמת כי בכפילת האחדים לבדם לא נמצא דרך בחכמה הזאת למצוא ההווה ולפיכך צריך להזכיר ולהסדיר כל כפולות האחדים הן על עצמם או על אחדים אחרים והוויתן | |||||||||||
List of all the possible products of units by units | ואלה הם האחד שני פעמים שנים ושלשה פעמים שלשה | |||||||||||
|
וכן כל המספרים האחרים שיכפלו באחד לא יקבלו שום שינוי וריבוי | |||||||||||
השנים בשנים ארבעה שנים בשלשה ששה שנים בארבעה שמנה שנים בחמשה עשרה שנים בששה שנים עשר שנים בשבעה ארבעה עשר שנים בשמנה ששה עשר שנים בתשעה שמנה עשר השלשה בשלשה תשעה שלשה בארבעה עשר שנים עשר שלשה בחמשה חמשה עשר שלשה בששה שמנה עשר שלשה בשבעה עשרים ואחד שלשה בשמנה עשרים וארבעה שלשה בתשעה עשרים ושבעה הארבעה בארבעה ששה עשר הארבעה בחמשה עשרים ארבעה בשש' עשרים וארבע ארבעה בשמנה עשרים ושמנה ארבעה בשמנה שלשים ושנים ארבעה בתשעה ששה ושלשים החמשה בחמשה עשרים וחמשה חמשה בששה שלשים חמשה בשבעה שלשים וחמשה חמשה בשמנה ארבעים חמשה בתשעה ארבעים וחמש הששה בששה ששה ושלשים ששה בשבעה שנים וארבעים ששה בשמנ' שמנה וארבעים ששה בתשעה ארבעה וחמשים השבעה בשבעה תשעה וארבעים שבעה בשמנה ששה וחמשים שבעה בתשעה שלשה וששים השמנה בשמנה ארבעה וששים שנים שמנה בתשעה שנים ושבעים התשעה בתשעה אחד ושמנים ובזה התבאר כל סדר כפילת האחדים ולא נפסד מהם דבר | ||||||||||||
Written Multiplication |
||||||||||||
Description of the procedure: | וכאשר נבקש חשבון על חשבון מהמדרגות האחרות נעשה על הדרך הזה נכתוב שני החשבונות אשר נרצה לכפול אלה על אלה טור תחת טור ומדרגה תחת חברתה ונעביר תחת שני טורי החשבונות קו דיו | |||||||||||
|
והנה נתחיל באות הראשונה מהטור העליון ונכפיל כל האותיות העליונות על כל האותיות התחתונות הטור השפל זו אחר זו וכל הכפלים נכתוב תחת הקו במדרגות הראויות להם אות תחת האות כאשר יצטרך כי לעולם נמנה כמה מדרגות מהאות אשר נכפיל מהטור העליון עד הטור האות הנכפלת שבטור השפל ושתי האותיות בכלל המניין | |||||||||||
|
ואם יספיק כפל האות על חברתה לעשרות נכתוב אות כמספר העשרות כמספר מניין המדרגות | |||||||||||
|
ואם לא יספיק לעשר נכתוב הנכפל מדרגה אחת פחותה מהמספר | |||||||||||
|
ואם יעלה המספר להיות בו אחדי' ועשרות נכתוב העשרות כמספרם כמספר המדרגות שבין אות לאות והאחדי' מדרגה אחת אחורנית | |||||||||||
|
וכשיכפלו כל אותיות הטור השפל בכל אותיות הטור העליון כמשפטן נעביר קו דיו תחת מדרגות הכפלה ונחבר ונקבץ כל האותיות מכל מדרגה ומדרגה בדרך עשיית החיבור כאשר | |||||||||||
התבאר במקומו במה שקדם והעולה הוא נכפל ועתה אדבר ממלאכת השער הזה על דרך הדמיון | ||||||||||||
|
בקשנו לכפול ולהכות שנים ותשע מאות על ששה וארבעים ושנים ומאתים ונכתבם על זאת הצורה | |||||||||||
|
902 | 902 | 902 | 902 | 902 | 902 | 902 | ||||||
246 | 246 | 246 | 246 | 246 | 246 | 246 | ||||||
12 | 12 | 412 | 5412 | 35412 | 135412 | |||||||
8 | 8 | 48 | 648 | 8648 |
וכאשר נכפיל אות הב' על אות הו' אשר תחתיה בטור השפל יהיו שנים עשר והנה מספר המדרגות שתים לכן נכתוב אות ב' במדרגה ראשונה כנגד שני האחדים ואחריה במדרגה שנית נכתוב א' כנגד העשרה וכאשר נכפיל אות הב' הנזכרת על הד' מהטור השפל יהיו שמונה ומספר המדרגות שלש ואולם באשר אין הכפילה הזאת מגעת לעשר נשים אותה מדרגה אחת אחורנית ונכתוב כנגדן במדרגה השנייה ח' תחת הא' | |
ועתה אנחנו צריכים גם כן להכפיל אות הט' שהיא המדרגה האחרונה מהטור העליון על כל אותיות הטור השפל והנה כשנכפול האות ההיא על אות המדרגה הראשונה מהטור השפל שהיא ו' יעלה ארבעה וחמשים ומספר המדרגות הם ארבעה ולכן נכתוב במדרגה הרביעית ה' כנגד החמשים וכנגד הארבעה נכתוב תחת הד' הכתובה במדרגה השלישית ד' אחרת | |
ועתה נחל לקבץ כל האותיות שבכל מדרגה ומדרגה כמשפט מלאכת החיבור אחר אשר נעביר קו הדיו תחת הכפילה ונכתוב תחת הקו מה שיצא מן החיבור וידוע כי מה שיוצא מן המדרגה הראשונה מן הכפילה הזאת תצא ב' | |
וככה הוא דרך וסדר כפילת כל החשבונות מערכה לקראת מערכה |
Chapter Six – Division |
השער הששי בחלוקת חשבון גדול על חשבון גדול קטן ממנו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Written Division | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Description of the procedure: | הרוצה לעשות זה יכתוב טור החשבון הגדול בתחלה ואחר יניח ריוח וחלק כמלא טור אחד ויכתוב בחשבון הקטן בטור אחר כנגד הטור הראשון מהחשבון הגדול מדרגה אחר מדרגה הדומה לה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר יביט ויראה כמה פעמים יוכל להוציא מספר האות מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות מהמדרגה האחרונה שבטור החשבון הגדול ויוציאם ממנה ואולם צריך שיחכם ויראה אם ישאר שם חשבון שיוכל להסיר ממנו כל המדרגות האחרות מטור החשבון הקטן הקדומות לזו האחרונה כמספר הפעמים אשר הסיר המדרגה הזאת האחרונה מהאות האחרונה מטור החשבון הגדול ואם ראה שלא ישאר שם חשבון שיספיק לזה לא יסירנה כל כך פעמים אלא כאשר יראה שיספיק לעשות מה שאמור | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכמספר הפעמים אשר תהיה ההסרה יכתוב אות כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וימנה מהמדרגה האחרונה מטור החשבון הגדול כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן אחורנית ובמדרגה אשר יכלה החשבון שם יכתוב תחתיה המספר פעמי ההסרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם ישאר מהאות מההסרה מהחשבון הקטן כלום אחרי מה שהסיר ממנה יכתוב עליה הנשאר ואם לא נשאר ממנה כלום יכתוב עליה סיפרא ואחר יסיר כל שאר האותיות המדרגות שבטור החשבון הקטן הקדומות לאות המדרגה האחרונ' זו אחר זו מהאותיות אשר ימצא עתה כתובות בטור החשבון הגדול כמספר פעמי ההסרה מהאות האחרונה ובכל מקום יהיה זהיר לכתוב אחר ההסרה מה שישאר במקומו ואם לא ישאר עליו כלום יכתוב עליו סיפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יזדמן לו אות במדרגה אחת מטור החשבון שלא יוכל להסיר אותה מהאות הכתובה בטור החשבון הגדול כראוי אבל יש עדיין אותיות אחרי המדרגה שהוא עומד בה יעזור לה מאותיות מאותן המדרגות לפי שידוע שכל מדרגה ומדרגה הי' כפולה גדולה עשר פעמים מהמדרגה הקדומה לו כאשר נודע בשערים הקודמי' לזה ויקח ממספרם כאשר יצטרך ויכתוב מה שישאר במקומו' ההשארות וסיפראש במקומות אשר לא נשאר שם כלום ואחרי אשר ישלים פעמי ההסרה מיסוד החשבון הגדול כל אותיות מטור החשבון הקטן במספר שוה זו כזו שלא נתחלק מספרו רב ממספר טור החשבון הקטן ואם כן יחזור ויביט ויראה וישום וישער כמה פעמים יוכל להסיר האות שבמדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן מהאות האחרונה ממה שנשאר בטור החשבון הגדול וכמספר הפעמים אשר יסיר אותה ממנה כך פעמים יצטרך להסיר שאר המדרגות שבטור הקטן ממה שישאר אחרי כן בטור החשבון הגדול לכן ישמור בתחלת הבטת השיעור והשומא שיכלול מעשיו כמשפט וצדק וכמספר הפעמים אשר יוציא את האותיות שבטור החשבון הקטן מטור אותיות החשבון הגדול יכתוב אות אחת כנגדן באמצע שני טורי החשבונות הקטן והגדול לכן ישמור בתחלת השיעור הבטת השיעור ויתחיל למטת מטור החשבון הגדול מהאות אשר התחיל להביט בה שנית כפי מניין המדרגות שבטור החשבון הקטן ובאותה מדרגה אשר תכלה מספרן שם יכתוב תחתיה מספר פעמי הסרת ההוצאה ויזהר שלא ישכח לכתוב בכל מקום מהטור מהחשבון הגדול מה שישאר בו או לכתוב סיפרא על מקום הכליון אשר לא נשאר שם כלום ואחרי זה יעיין אם רבה עדיין מה שנשאר בטור החשבון הגדול על מספר טור החשבון הקטן ואם הוא כן יחזור עוד ויביט כאשר עשינו זה פעמים ויעשה ככה הרבה פעמים עד שיהיה מה שישאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן ממספר הטור מהחשבון הקטן | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יזדמן לו בתחלת הבטה שיגדל מספר אות האחרונה ממדרגות טור החשבון הקטן מהאות האחרונה שבטור החשבון הגדול עד שלא נוכל להוציאה ממנו אפילו פעם אחת ישים את כל האות ההיא מדרגה אחת אחורנית ותהיה היא מספר עשרות לאותה מדרגה ואז יספיק להוצי' ממנה את האות מהחשבון הקטן הרבה פעמים ויחשוב ויביט וישום וישער כמה פעמי' יוכל להוציאנ' משם שיספיק הנשאר גם כן להסיר ממנו ככה פעמי האותיות האחרות שבטור החשבון הקטן ולעולם יכתוב פעמי מספר ההסרה באמצע שני טורי החשבונות מהקטן והגדול מהמדרגות מהחשבון הקטן ויתחיל * במספר מניין מספרם מהאות שבמדרגה אשר התחיל בה הבטת הסרת ההוצאה שבטור החשבון הגדול | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה הטור המתהוה בין שני הטורים הוא מספר הפעמים אשר מספר טור החשבון הקטן בטור החשבון הגדול | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומה שנשאר על טור החשבון הגדול הוא מה שעודף עדיין מספר הטור מהחשבון העליון על מספר הטור מהחשבון השפל אחרי כפלת אותו עליו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the procedure for dividing a large number by a smaller number | וכן הוא דרך מלאכת חלוקת המספר הגדול על חשבון קטן ממנו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר מלאכת השער הזה היא נכבדת ונחמדת עד מאד והיא עמוקה הרבה לרוב אכתוב בשער הזה עצמו בביאור דרך מלאכת החלוקה הזאת מהרבה חשבונות כדי להדריך ולהיישיר אל המתלמד שיבין כל העניינים הנזכרי' מלמעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בקשנו לחלק חמשה ועשרים ומאה על אחד עשר והנה נכתוב שני טורי החשבו' על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||
נכתוב החשבון הגדול בראשונה בטור אחד ואחר כך נניח ריוח ונכתוב כנגדו החשבון הקטן בטור אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
וכאשר נביט וניקח א' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הקטן וגם הא' שבמדרגה אחרונה מטור החשבון הגדול הנה ידענו בבירור שלא נוכל להוציא להסיר האחת מחברתה כי אם פעם וכנגד הפעם הזאת כאשר מדרגות הטור מהחשבון הגדול הקטן הם שנים נכתוב א' תחת הב' שבטור החשבון הגדול באשר היא מדרגת שנית גם כן לאות הא' מהטור ההוא עצמו אשר התחלנו ההבטה ממנה וכאשר לא נשאר כלום מהא' הזאת נכתוב עליה סיפרא אחר כך נקח סיפרא שהמדרג' ראשון מטור החשבון הקטן הקדומה במכתב אל האחרת אשר התחלנו בה ונסיר אותה גם כן פעם אחרת מהב' שהיא בטור החשבון הגדול וישאר עליה א' ובזה השלמנו הסרת האותיות שבטור החשבון הקטן מטור החשבון החשבון הגדול בשוה פעם האחת בפעם חברתה וכאשר נעיין הנותר בטור החשבון הגדול ראינו שהוא ארבעה עשר והנה המספר הזה מרובה ממספר טור אותיות החשבון הקטן שאינו עולה כי אם אחד עשר ובעבור זה נחזור וניקח הא' אחרונה ממדרגות שבטור החשבון הקטן ונסיר אותה פעם אחת מהא' שנשארה על הב' שבטור החשבון הגדול א ואחר נכתוב עליה סיפרא וכנגד פעם ההסרה הזאת נכתוב א' תחת הה' שהיא המדרגה הראשונה מטור החשבון הגדול באשר היא שניה אל האות אשר התחלנו ממנה הבטת ההסרה ואחר נסיר גם כן הא' שבטור החשבון הקטן הראשונה פעם אחת מהה' שהיא המדרגה הראשונה מטו' החשבון הגדול וישאר ד' על הה' ועתה נראה וניכר לעין שמה שנשאר בטור החשבון הגדול מספרו קטן מאד ממספר טור החשבון הקטן והנה מספר הטור האמצעית אשר חדשנו ממספר פעמי ההסרות עולה אחד עשר ומה שנשאר בטור החשבון הגדול הוא ארבעה אם כן נוכל לומר זאת מצינו שהמספר הקטן הוא הא אחד עשר פעם במספר הגדול ועוד זולת זה עודף ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד בקשנו לחלק מאה על תשעה הנה נכתבם על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר נקח הט' שהיא החשבון הקטן נראה שלא נוכל [ ] להסיר אותה מהא' שבמדרגה שלישית שהיא החשבון הגדול ועל כן נשים הא' על הסיפרא הקדומה לה במכתב ותהיה שוה עשר ומאלה העשר נסיר ט' וישאר א' על הסיפרא ההיא ונכתוב עליה א' תחתיה כנגד פעם אחת שהסירונו הט' מהעשר כאשר היא המדרגת הראשונה להבטת להתחלת הבטת ההסרה בחשבון הקטן גם כן אי' בו כי אם מדרגה א' על הא' אשר העתקנוה ממקומה ואחר נשוב עוד ונביט להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהא' שנשארה על הסיפרא בטור החשבון הגדול והנה צריכי' אנחנו גם כן לשים אותה על הסיפרא האחרת הדומה לה ותהיה שוה עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכשנסיר מהם ט' פעם אחת ישאר א' על הסיפרא הראשונה שבטור החשבון הגדול וכנגד הפעם הזאת שהסירונו הט' מהעשר נכתוב תחת הסיפרא הראשונ' א' באשר היא ראשונה להבטת ההסרה ובזה נגמרה החלוקה הזאת ומצאנו שיש במאה אחד עשר פעמים תשעה ועוד אחד מוסף עליהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד בקשנו לחלק מאה על שנים עשר ונכתבם על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה כאשר נקח א' שהיא המדרגה האחרונה מטור החשבון הקטן ונביט להסיר אותה מהא' שבמדרגה השלישית בטור ה החשבון הגדול הנה אחרי כן לא נוכל להסיר הב' הקדומה במכתב לפני הא' מהחשבון הקטן מהחשבון אשר ישארו שם ולפיכך צריך לנו להבין אחרית דבר מראשיתו ובתחלת כל דבר נשים הא' שהיא החשבון העליון על הסיפר' הקדומ' לה במכתב ותהיה שוה עשר ואחר כך נביט כמה פעמים נסיר הא' מהחשבון הקטן מהעשר האלו והנה אם לא נסיר אותה תשע פעמים לא ישאר מכל העשר כי אם א' ולא יספיק לנו אחרי כן להסיר הב' שבטור החשבון הקטן גם כן תשע פעמי' ממה שנשאר בטור החשבון העליון לפי שהנשאר אינו שוה כי אם עשר באשר הא' היא במדרגת שנית ותשע פעמי' ב' עולה שמנה עשר ומפני זה לא נסיר הא' מהעשר אשר על הסיפרא שבמדרג' שנית מטור החשבון הגדול כי אם שמנה פעמים וישאר ב' על הסיפרא הזאת ונכתוב סיפרא על הא' שהייתה במדרג' השלישית שהרי שמנו אותה על הסיפרא ולא נשאר שם כלום וכנגד שמנה [מיני] ההסרה נכתוב ח' תחת הסיפרא הראשונה באשר מדרגת החשבון הקטן הם שתים ומניינם מתחיל מהסיפרא מהמדרגה השניה שבטור החשבון הגדול לפי שמשם התחלנו הבטת ההסרה הזאת ואחר זה נסיר גם כן הב' מהחשבון הקטן שמנה פעמי' ממה שנשאר בטור החשבון הגדול ונעשה על הדרך הזה הב' שנשארה לנו במקום הסיפרא השנית על הסיפרא הראשונה ותהיה שוה שני עשרות שהם עשרים נסיר מהם ששה עשר שהוא העולה מכפל פעמי ההסרה על הב' וישאר מהם ד' על ראש הסיפרא שבמדרגה הראשונה ונכתוב במקום שהייתה כתובה הב' אשר שמנו אותה על הסיפרא הראשונה סיפרא אחת לפי שלא נשאר ממנה שם כלל כלום והנה יצא לנו החלוקה שיש שמנה פעמים שנים עשר במאה ועודף עליהם עדנה ארבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד בקשנו לחלק אחד ותשע מאות על שלשים ושתים ונכתב' על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אנחנו רואים שאם נסיר הג' שבטור השפל שהוא החשבון הקטן מהט' אשר בטור העליון שהוא החשבון הגדול שלשה פעמים לא נוכל אחרי כן לעשות תשלום לאות האחרת שבטור השפל לה להסיר אותה מהסיפרא לפי שלא ישאר מאומה מן הט' לכן לא נסירנה כי אם שני פעמים ונכתוב הג' הנותרת מהט' עליה וכנגד שני פעמים ההסרה האלה נכתוב ב' תחת הסיפרא באשר מדרגות הטור השפל הם שתים והסיפרא גם כן היא שנית אל האות אשר התחלנו בה ההסרה אחרי כן נסיר אות הב' שהיא המדרגה הראשונה שבטור השפל ג"כ ב' פעמי' מהסיפרא שבטור העליון והנה נעשה על הדרך הזה נקח א' מן הג' הנותרת על הט' וישאר עליה ב' והא' אשר לקחנו נשי' אותה על הסיפרא ותהיה שוה עשר נסיר מהם ב' פעמים ב' העולה כפלתם ארבעה וישאר ו' על הסיפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ועתה עשינו תשלום שהסירונו כל האותיות הטור השפל מהטור העליון במספר פעמים שוה זו בזו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אכן כאשר נעיין הנותר בטור העליון נראה שהוא רב יותר ממספר הטור השפל ומפני זה אנחנו צריכים לחזור ולהביט להסיר הג' שהיא המדרגה האחרונה שבטור השפל מהב' שנשארה לנו במדרגה האחרונה מהטור העליון ונעשה על דרך זה נשים הב' ההיא כלה על הו' אשר בראש הסיפרא יהיו עשרים וששה ועתה נשי' ונשער כמה פעמי' נוכל להסיר הג' מהששה ועשרים והנה נוכל להסיר אותה שמנה פעמים העולים עשרים וארבעה כשנסיר אותם מששה ועשרים ישאר [ ] על הו' ב' ונכתוב סיפרא על המדרגה האחרונה מהטור העליון שהרי לא נשאר שם כלום וכנגד שמנה פעמים ההסרה נכתו' ח' תחת הא' שהיא המדרגה הראשון מהטור העליון באשר היא שניה אל המדרגה אשר התחלנו הסרת ההבטה ממנה ועתה נסיר גם כן אות הב' מהטור השפל שמנה פעמים ממה שנשאר בטור העליון ונעשה על הדרך הזה נשים הב' שנשארה לנו במדרגה השניה מהטור העליון על הא' שמ שבמדרגה ראשונה ממנה יהיו עשרים ואחד נסיר מהם כפל ח' על ב' שהוא ששה עשר וישאר מהם ה' על ראש הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון ונכתוב סיפרא על הב' הכתובה על המדרגה השנית שהרי שמנו את כלה במדרגה הראשונה ונשלמה החלוקה הזאת ומצאנו שהטור האמצעי עולה שמנים שמנה ועשרים והנותר על הטור העליון חמשה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק שמנה מאות ותשעי' ואחד על ארבעים הנה נכתבם על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונסיר הד' שבטור השפל שתי פעמים מהט' [מהח'] אשר בטור העליון ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד שני פעמים ההוצאה נכתוב ב' תחת הט' שבטור העליון באשר מדרגה שנית אל האות אשר התחלנו ממנה ההסרה ובטור השפל יש גם כן שתי מדרגות עוד נשוב ונסיר הד' הנודעת מן הט' שכנגדה בטור העליון שתי פעמים וישאר עליה א' וכנגד שני פעמי ההסרה נכתוב ב' תחת הא' שהיא המדרגה הראשונה מהטור העליון באשר היא שנית אל אות הט' אשר התחלנו עתה ההסרה ממנה והנה יצאת אלינו החלוקה שיש בת בשמנה מאות ותשעים ואחד שתים ועשרים פעמי ארבעים ועוד נוסף עליהם אחד עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק שלש מאות ועשרים ואחד על תשעה ונכתו' אותם על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר נסינו להסיר הט' שהיא החשבון הקטן מהג' שבמדרג' העליונה מהטור העליון יצטרך לו לשום את הג' כלה על הב' הקדומה לה במכתב ויהיו שלשי' ושתים ונסיר מהם הט' שלש פעמים שעולים ע עשרים ושבעה וישאר מהם חמשה על הב' וכנגד שלשה פעמים ההסרה אלה נכתוב ג' תחת הב' ש שבטור העליון לפי שמאותה מדרגה אנו מתחילי' ההסרה ואי' טור השפל השפל כי אם מדרגה אחת ונכתוב סיפרא על מדרג' הג' כאשר לא נשאר ממנה כלום ונשוב עוד להסיר הט' מהה' הנשארת על הב' בטור העליון וכאשר לא נוכל להסיר הט' מה' נשים כל הה' על הא' שהיא המדרגה הקדומ' הראשונה הקדומה במכתב ויהיו חמשים ואחד והנה נסיר מהם הט' חמש פעמים וישאר מהם ו' על המדרגה הראשונה ונכתוב סיפרא על הה' כאשר לא נשאר ממנה כלום וכנגד חמש פעמי ההסרה נכתוב ה' תחת המדרגה הראשונה שהתחלנו ההסרה ממנה כאשר אין בטור השפל כי אם מדרגה אחת והנה נשלמה המדרג החלוקה והטור האמצעי עולה שלשים וחמש והנותר על הטור העליון ששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על שבע מאות וששי' וארבעה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה המבוקש הזה מלאכתו רבה ועמוקה מכל שזכרנו וזה תארו הנה כשנביט להסיר הז' שבטור התחתון מהה' שבטור העליון לא נוכל ועל כן נשים אותה על הח' שהיא המדרגה הקדומה לה כמכתב ונכתוב במקומה סיפרא כאשר לא נשאר שם כלום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נסיר הו' שבטור השפל גם כן ז' פעמים מהט' והעולה מכפל זה על זה הם ארבעים ושנים ונעשה על הדרך הזה נסיר מהט' ההיא ד' ונכתוב עליה הנשאר שהוא ה' ונשים הד' על הג' שהיא מדרגה קדומה במכתב למדרגה שהייתה הט' עליה והנה יהיו ארבעים ושלש נמצא שישאר מהם א' על הג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן נסיר הד' שבטור השפל שהיא המדרגה הראשונה ממנה גם כן ז' פעמים שעולה כפלתן שמונה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח א' מן הה' שנשארה לנו בטור העליון במדרגה חמישית ונשים אותה על הא' שנשארה על הג' הקדומה למדרגה הזאת ויהיו אחד עשר נסיר מהם ג' ישאר על הא' ח' נשים הג' על המדרגה הקדומה למדרגתה במכתב שהיא ו' ויהיו ששה ושלשים נסיר מהם כפל הד' על הז' שהם שמונה ועשרים וישאר על הו' ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ועתה השלמנו להסיר כל אותיות הטור השפל מהטור העליון בשוה זו כזו האחת כפעם חברתה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנעיין במה שנשאר בטור העליון נראה שהוא רב מאד על מספר הטור השפל ועל כן נחזור ונביט להסיר הז' שבטור השפל מהד' שנשארה בטור העליון במדרגה החמישית והנה צריכים אנחנו לשים על הח' שנשארה על המדרגה הקדומה לזו יהיו שמונה וארבעים וכאשר נשום ונשער נמצא שנוכל להסיר הז' מהם שש פעמים שעולה כפלתם שנים וארבעים ונמצא כשנסיר אותם מהם ישארו על הח' ו' ונכתוב סיפרא על הד' כאשר לא נשאר ממנה כלום ומהמדרגה אשר כתבנו הו' עליה נחל לספור אחורנית השלש מדרגות שבטור השפל ויכלו בט' שהיא המדרגה השנית מהטור העליון ושם נכתוב תחתיה ו' כנגד שש פעמי ההסרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי כן יש לנו להסיר הו' שבטור השפל גם כן ששה פעמים שעולה כפלתם ששה ושלשים ונעשה על הדרך הזה נסיר מהו' שנשארה לנו במדרגה רביעית שלשה וישאר על הו' ההיא ג' ונשים הג' אשר הסירונו מהם על הח' הנשארת לנו במדרגה הקדומה למדרגה הזאת ויהיו שמונה ושלשים כשנסיר מהם ששה ושלשים ישארו מהם ב' על הח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד יש לנו להוסיף להסיר הד' מהטור השפל גם כן שש פעמים והנה עולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נקח הב' שנשארה על הח' ונשים אותה על הט' שהיא המדרגה הקדומה במכתב לזאת המדרגה שהייתה הב' כתובה עליה ויהיו תשעה ועשרים נמצא כשנסיר מהם ארבע ועשרים ישאר על הט' ה' ונכתוב סיפרא על המדרגה אשר הב' כתובה עליה באשר לא נשאר ממנה כלום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובזה השלמנו להסיר שנית אותיות הטור השפל מהטור העליון במספר שוה פעמים זו בזו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נעיין בנשאר בטור העליון נמצא שמספרו מרובה עדיין ממספר הטור השפל ועל כן אנחנו צריכים עוד לחזור ולהביט ולהסיר הז' שהיא המדרגה האחרונה מהטור השפל מהג' שנשארה לנו במדרגה רביעית והנה מוכרח לשום את הג' הזאת על המדרגה השלישית הקדומה לה במכתב הכתוב עליה סיפרא ותהיה שוה הג' שלשים ונסיר הז' ד' פעמים כי כן יספיק לנו לעשות בנשאר המשפט הצריך ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר שם מאומה והנה כאשר נסיר שמנה ועשרים משלשים ישאר ב' על הסיפרא שהיא במדרגה השלישית ומהמדרגה הזאת נמנה אחורנית מספר הג' מדרגות שבטור השפל ויכלה מספרן במדרגה הראשונה והנה נכתוב תחתיה ד' פעמי ההוצאה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחרי זאת צריך גם כן שנסיר הו' שבטור השפל ד' פעמים שעולה כפלתם ארבעה ועשרים ונעשה על הדרך הזה נשים הב' אשר נשארה במדרגה השלישית על אות הה' הנשארת במדרגה הקדומה לה במכתב ויעלו חמשה ועשרים וכשנסיר מהם עשרים וארבע ישאר א' במקום הה' ועל הב' נכתוב סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד אנחנו צריכים להסיר הד' שהיא המדרגה הראשונה מהטור השפל גם כן ד' פעמים ועולה כפלתם ששה עשר ונעשה על זה הדרך נקח הא' הנשארת במדרגה השנית ונכתוב עליה סיפרא ונשים אותה על הו' הקדומה לזאת המדרגה יהיו ששה עשר ומזה נסיר כפלת הד' על הד' ונכתוב על הו' סיפרא באשר לא נשאר שם כלום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונמצא שכל הטור העליון הוא כלה בחלוקות אשר עשינו והטור האמצעי אשר נתחדש הוא כטור החשבון הקטן לא פחות ולא יתר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד בקשנו לחלק חמש מאות ושמנים ושלשת אלפים ושש מאות ותשעים וששה על אלף ושמנים ונכתבנו על זאת הצורה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אנחנו רואים שיש בידינו רשות להסיר הא' שבטור השפל חמש פעמים מהה' שבטור העליון ונעשה כדברינו ונכתוב עליה סיפרא באשר לא נשאר ממנה כלום ונמנה מהמדרגה הזאת שבטור העליון ארבע מדרגות אחורנית כנגד הארבע מדרגות שבטור השפל ויכלה מניינם בו' שבאותו טור ושם נכתוב תחתיה ה' כנגד חמש פעמי ההסרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחרי זאת יש לנו להסיר הח' שבטור השפל גם כן ה' פעמי' שכפלתם עולה ארבעים ונעשה על הדרך הזה נסיר ד' מהח' שבטור העליון ונשים הד' על המדרגה הקדומה במכתב אל הח' שהיא ג' והעולה ארבעים ושלש והארבעים יכלו ויתמו והג' תשאר במקומה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון כל אחת ואחת מהן פעמים שוות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנעיין הנותר בטור העליון נראה שמספרו מרובה עדנה ממספר הטור השפל ובעבור זה נחזור ונביט ונסיר הא' שבטור השפל ד' פעמי' מהד' שנשארה לנו במדרגה החמשית ותכלה כלה ונכתוב במקומה סיפרא וממנה נמנה ארבע מדרגות אחורנית ויכלו במדרגה השנייה ושם נכתוב תחתיה ד' כנגד ארבע פעמי ההסרה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד יש לנו להסיר גם כן הח' מהטור השפל ד' פעמים וכפל ד' על ח' עולה שנים ושלשים והנה נעשה על הדרך הזה נקח הג' אשר נשארה במקומה בטור העליון במדרגה רביעית ונשים אותה על אות המדרגה השלישית שהוא ו' הקדומה לה במכתב ויעלה ששה ושלשים וכשנים מהם השנים ושלשים ישאר על הו' ד' ונכתוב סיפרא על הג' באשר לא נשאר ממנה כלום | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובזה הוסרו כל אותיות הטור השפל מהטור העליון פעם שנייה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה כאשר נעיין הנשאר בטור העליון נראה שהוא מועט במספרו ממספר הטור השפל וזהו אות שנגמרה החלוקה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי הסרת אותיות המדרגות עולה חמש מאות וארבעים והנשאר על אותיות הטור העליון עולה ארבע מאות ותשעים ושש | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ומתוך כל אלו החשבונות הרבים שהזכרתי דרך חלוקתן בארוכה יוכל כל נבון וחכם להבין ולהשכיל אמיתות עשיית המלאכה הזאת בדקדוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Methods of Checking - Multiplication, Division, Addition, Subtraction |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The writer presents now the methods of checking of the four fundamental arithmetic operations - which are based on the inverse operations | ועתה צריך אני לדבר בשער הזה ממאזני מלאכת החלוקה הזאת וממאזני מלאכת הכפל והחבור והמגרעת כאשר התנאתי בהתחילי בספר הזה בהזכרת פרטי כללי שעריו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנני אומר כי אין בכל המאזנים יותר צודקים וישרים כי אם מי שעשה מלאכת חלוקתו שיכפול ויכה במלאכת מעשה הכפילה הטור האמצעי המתהוה ממספר פעמי ההסרות על הטור השפל שהוא החשבון הקטן ואחר יקח כל מה שנותר למעלה בטור העליון אם נשאר שם כלום ויוסיף אותו תחת הכפילה כל אות ואות תחת מדרגה הראויה לה ואחרי כן יחבר ויקבץ כל הכפילה ובהכרח צריך שתצא טור הקבוץ והחיבור כטור החשבון הגדול אשר חלק דומה כדומה מספר הטור האחת כמספר חברתה אם זך ואם ישר פעלו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם מאזני מלאכת הכפל הנה הם שיחלק העולה מהכפילה על האחד משני טורי החשבונות הנכפלים ויצא לו בחלוקה הטור השני אם בדרך ישר הולך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן כל מי שחיבר שני טורי חשבונות יחד זה עם זה יתעסק במלאכת המגרעת ויגרע מהמחובר אחד מן שני הטורים וישאר לו הטור השני אם היה מעשהו באמונה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי דרכינו נבין ונלמוד שגם כן הגורע חשבון קטן מחשבון גדול שאם יחבר מה שנותר לו עם טור החשבון הקטן שבהכרח יצא לו המחובר טור אחת כטור החשבון הגדול במספר שוה זו לזו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ועם זה התבארה כוונת כל מה שהתנאתי לבאר בזה השער והגיע העת לפסוק בו ולהתחיל באחר |
Chapter Seven – Roots |
השער השביעי בלקיחת גדר המספר השלם היותר קרוב אליו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Definition of a square number [lit. a number that has a root] - the product of a number by itself, the root of which is the number multiplied by itself | תדע כי בכל הכאת חשבון על עצמו הוא הנקרא חשבון נגדר או נשרש באשר גדרו אשר שרשו הוא החשבון הנכפל על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One versus the integers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובכל המספרים אשר יהיו שלמים תמצא לעולם כשתכפול המספר על עצמו שיתרבה פ' העולה מאשר היה המספר מתחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חוץ מן המספר האחד כי כשתכה האחד על עצמו לא יקבל שום תמורה וחלוף אך יעלה אחד כאשר היה בתחלה בלתי ריבוי ושינוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועל כן נאמר שמספר האחד הוא נגדר וגם כן הוא גדר עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד יש למספר האחד יתרון על שאר המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שהנה כל המספרים זולתו שתקח שני קצוותיהם ר"ל המספר שלפניהם והמספר שלאחריהם יהיה המחובר מן שני הקצוות כפל המספר האמצעי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולמספ' האחד הנה אין לו קצה האחד לפניו ועם הקצה שלאחריו בלבד שהוא שנים יספיק לכפלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
These properties are presented as a virtue and superiority of one over all the other numbers | וזהו מעלת ורוממות מעלת האחד על שאר המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
There are other virtues of one - but they are not the main issue of the present chapter | ועוד דברים אחרים שאין מקומן להזכירם בזה והנה יצאתי מכוונת השער הזה כאשר הוצרכתי לדבר במעלות מספר האחד ועתה אשוב אל אשר הייתי בתחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
square numbers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואומר בענייני הגדרים שאם תכפול ותכה מספר נגדר על מספר נגדר יהיה המספר גם כן מספר נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר תרצה לדעת גדרו אינך צריך כי אם לקחת גדרי המספרים אשר הכית וכפלת זה על זה ותכה ותכפול גדר האחד על חבירו וההווה הוא גדר המספר השלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון הנה ארבעה הוא מספר נגדר וגם תשעה והעולה מכפל האחד על חבירו הוא ששה ושלשים והנה הוא גם כן מספר נגדר ואם נבקש לדעת גדרו נקח גדר הארבעה שהוא שנים וכן גדר התשעה שהוא שלשה ונכה אותם זה על זה יעלו ששה והוא המבוקש כי כאשר נכפול ששה על עצמו יהיו ששה ושלשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The odd ranks have roots; the even ranks have no root | ותדע כי לעולם מדרגות החשבון הולכות על הסדר הזה זו אחר זו כעניין זה שהראשונה נגדרת והשניה לה אינה נגדרת והשלישית נגדרת והרביעית אינה נגדרת וככה אין קץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ורצוני לומר בגדר המדרגות הזה כי כשסתכל המדרגה הראשונה שהיא מדרגת האחדים מספרם הראשון שהוא האחד הוא נגדר כמו שהתבאר במה שקדם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמדרגה השנית שהיא מדרגת העשרות מספרם הראשון שהוא עשר בלתי נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן המדרגה השלישית מספרה הראשון שהוא מאה נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמדרגה הרביעית מספר הראשון שהוא אלף הוא בלתי נגדר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובדרך הזו הולכות המדרגות כלנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Extracting roots - written procedure |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The procedure of extracting root is very complicated, with many aspects, and it cannot be explained through one inclusive rule for all numbers | ודרך מציאת הגדר הנעלם מהמספר הידוע היא עמוקה עד מאד ויש בה צדדים רבים ומדות נחלקות זו מזו ולא אוכל לפרש אותם דרך כלל אחד לכל המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore the author offers various elaborate examples from which an intelligent person is expected to deduce the extraction procedure in other cases | ועל כן אכתוב חשבונות הרבה בלתי דומים זה לזה ואבאר בארוכה בכל אחת מהם דרך להוציא גדרו ומהם יבין כל משכיל ונבון אשר תנוח חכמה בלבו לעשות ככה במספרים אחרים זולתם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה שבקשנו לדעת גדר מאתים ועשרי' וחמשה נכתבם על זאת הצורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|