Difference between revisions of "לקוטים מספר פראלוקא"

Revision as of 15:30, 11 October 2024

Introduction

The arithmeticians compared the one to God, because just as God is the Cause of causes, from Whom all creatures were derived, and they all need Him, but He does not need any of them, so the one is the foundation of each number and is the foundation of all numbers.

‫1 חכמי המספר המשילו האחד אל האל ית' כי כמו שהאל ית' הוא עלת העלות וממנו נאצלו כל הנבראים וכלם צריכין לו והוא אין צריך לאחד מהם כן האחד הוא יסוד כל מספר והוא יסוד כל המספרים

They also compared the one to the center, because just as the center is the root of the circle, so the one is the root and foundation of all numbers, from which all numbers were derived and is their foundation and root.

גם המשילו האחד אל המרכז כי כמו שהמרכז הוא שרש העגול כן האחד שרש ויסוד כל המספרים וממנו נאצלו כל המספרים והוא יסודם ושרשם

We wish to divide this [book] into three sections:

והנה נרצה לחלק זה המספר לג' חלקים

The first section discusses the theoretical arithmetic.

החלק האחד ידבר על העיונית מן המספר

והחלק השני ידבר על המעשית מהמספר

‫^[2]והחלק השלישי ידבר על המעשית מההנדסה וזה החלו לעשות בג"ה

Section One - Theoretical Arithmetic

‫2 החלק הראשון

I say that the numbers 5 and 6 keep themselves in their square and their cube.

אומר כי מספר ה' וו' שומרים את עצמן במרובעם ובמעוקבם

As: 5 times 5 is 25; so, the 5 is perceivable.

\scriptstyle{\color{blue}{5^2=5\times5=25}}

כגון ה' פעמים ה' הם כ"ה והנה הה' נרגשת

In its cube: 5 times 5 is 25, and 5 times 25 is 125; it is also perceivable.

\scriptstyle{\color{blue}{5^3=5\times5\times5=5\times25=125}}

ובמעוקבם ה' פעמים ה' הם כ"ה וה' פעמים כ"ה הוא קכ"ה גם היא נרגשת

Similarly you say for the 6: because, if you take the square of 6, it is 36; so, it is perceivable.

\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}

וכך תאמר מהו' כי אם תקח מרובע ו' הם ל"ו והיא נרגשת

Also in its [cube]: because, 6 times 6 is 36, and 6 times 36 is 216; it is also perceivable in the cube.

\scriptstyle{\color{blue}{6^3=6\times6\times6=6\times36=216}}

גם במרובעם כי ו' פעמי' ו' הם ל"ו וו' פעמים ל"ו הם רי"ו גם היא נרגשת במעוקב

The 1 also keeps itself in its square and its cube.

וכן הא' שומרת עצמה במרובע ובמעוקב

Therefore, Abraham Ibn Ezra said in parashat Shemot that the letters א [=1], ה [=5] , ו [=6] keep themselves in their square and their cube.

ועל כן אמר א"ע בפרשת שמות כי אותיות אהיה שומרות עצמן במרובען ובמעוקבן

Perfect Numbers

3) Definition of the superabundant number: The discussion on the superabundant number, such as 12 or 24, for the sum of its parts exceeds over it, i.e. when you sum all the parts generated from 12, the result is 16, so its parts are more than its whole, and this number is called in their language "numero abbondante".

‫3 המאמר במספר המוסיף חלק כמו מספר י"ב או כ"ד כי חלקיו מקובצים יעדיפו עליו ר"ל כי כשתקבץ כל החלקים הנעשים מי"ב יעלו י"ו א"כ חלקיו יותר מכלו וזה המספר נקרא בלשונם נומירו אבונדאנטי

4) Definition of the deficient number: The discussion on the number, which the sum of its parts is less than the number [itself]; as eight, for the sum of its parts, which are the half, quarter and eighth, is only 7; and this number is called in their language "numero povero".

‫4 המאמר במספר אשר חלקיו מקובצים מחסירים מהמספר כאלו תאמר מספר שמונה כי חלקיו מקובצים אינם כי אם ז' והוא החצי והרובע והשמינית וזה המספר נקרא בלשונם נומירו פווירו

5) Definition of the perfect number: The discussion on the perfect number, which is the number, which the sum of its parts is the same as the given number no more and no less; as 6, for when you sum all its parts they are the same as it, since its half is 2, its third is 2, its sixth is 1 and the total is 6, as it is; and this number is called "numero perfetto".

‫5 המאמר במספר שלם והוא המספר אשר חלקיו מקובצים הם כמו המספר המונח לא יוסיף ולא יגרע והוא כמו מספר ו' כי כשתקבץ כל חלקיו יעלו כמוהו כי חציו הוא ג' ושלישיתו הוא ב' ושישיתו א' ובין כלם ו' כמו שהיה וזה המספר נקרא נומירו פירפיטו

6) The discussion about how we know if a given number is perfect or imperfect.

‫6 המאמר איך נכיר ממספר מה מונח אם הוא שלם או בלתי שלם

See: if in the rank of units it has 6 or 8, it might be a perfect number; if it does not have 6 or 8, it cannot be a perfect number.

ראה אם במדרגת האחדים יש בו ו' או ח' אפשר להיותו מספר שלם ואם אין לא ו' ולא ח' הוא נמנע היותו מספר שלם

The good thing is that you can find only one perfect number in each rank.

והנועם הוא בזה כי לא תמצא מספר שלם כי אם אחד בכל מדרגה

6 is a perfect number in the units.

והנה ו' הוא שלם באחדים

28 in the tens.

וכ"ח בעשרות

All the numbers in the other ranks follow these.

והנה כל המספרים מכל שאר מדרגות נמשכים אחר אלו

The perfect number in the hundreds is 496 and you see that the 6 is in the units.

המספר השלם במאיות הוא תצ"ו והנך רואה כי הו' נמצאת באחדים

In the perfect number of the thousands you find the 8 in the units.

והמספר השלם ‫^[3]באלפים תמצא הח' באחדים

So is the rule for the rest of the ranks after them: one has 6 and the other 8.

וכן תדין בשאר המדרגות אחר אלו בא' ו' ובאחר ח‫'

7) The discussion about finding the way.

‫7 המאמר למצא הדרך

I say that God created his world in six days, because the number 6 is a perfect number and on the sixth day man was created, to indicate that he is the most perfect of all creatures.

ואומר כי האל ברא עולמו בששת ימים יען כי מספר ו' הוא מספר שלם וביום ו' נברא אדם להורות כי הוא השלם מכל הנבראים

I say that the way is as follows:

ואומר כי הדרך הוא כך

We find the first: take one and add it to 2; it is 3.

נמצא הראשון קח אחד וחברהו עם ב' ויהיו ג‫'

See if the number 3 is composite: you see that it is prime.

ותראה אם מספר ג' הוא מורכב והנך רואה כי הוא פשוט

So, multiply it by 2; it is 6 and this is the perfect number in the first rank.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2\right)\sdot2=3\sdot2=6}}

ולכן כפול אותו על ב' ויהיו ו' והוא מספר שלם במדרגה הראשנה

To find the second: take 1, 2, 4 and sum them; it is 7.

ולמצא השני קח א'ב'ד' וקבצם ויהיו ז‫'

See if it is composite: you see that it is prime.

ותראה אם הוא מורכב והנך רואה כי הוא בלתי מורכב

So, multiply 7 by the last number you took, which is 4; the result is 28 and this is the perfect number in the second rank.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+4\right)\sdot4=7\sdot4=28}}

לכן כפול ז' על המספר האחרון אשר לקחת שהיה ד' ויעלה כ"ח והוא מספר שלם במדרגה שניה

To find the third: take 1, 2, 4, 8 and sum them; it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8=15}}

ולמצא הג' קח א'ב'ד'ח' וקבצם ויעלו ט"ו

You see it consists of 3 and 5.

והנך רואה כי הוא מורכב מג' וה‫'

So, take the other number, which is 1, 2, 4, 8, 16; the result is 31.

ולכן קח מספר האחר שהוא א'ב'ד'ח' י"ו ויעלו ל"א

It is not composite.

והוא בלתי מורכב

Multiply it by the last number you took, which is 16; the result is 496 and this is the perfect number in the rank of hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+4+8+16\right)\sdot16=31\sdot16=496}}

כפלם על מספר אחרון שלקחת והוא י"ו ויעלה תצ"ו והוא מספר שלם במדרגת המאיות

To find the fourth: take 1, 2, 4, 8, 16, 32 and sum them; it is 63.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16+32=63}}

ולמצא הד' קח א'ב'ד'ח' י"ו ל"ב וקבצם ויהיו ס"ג

It consists of 21 and 3.

והוא מספר מורכב מכ"א וג‫'

So, take the other number, which is 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64 and sum them; the result is 127.

לכן קח המספר האחר שהוא א'ב'ד'ח' י"ו ל"ב ס"ד וקבצם יעלו קכ"ז

Multiply it by the last number, which is 64; the result is 8 thousand and 128 and this is the fourth [perfect number].

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+4+8+16+32+64\right)\sdot64=127\sdot64=8128}}

וכפלם על המספר האחרון שהוא ס"ד ויעלו ח' אלפים וקכ"ח והוא הרביעי

ובזה הדרך תוכל למצא לשאר מדרגות הנמשכות אחר אלו

‫8 המאמר להכיר אם המספר הוא מספר שלם

והדרך הוא כך ראה אם תחלק אותו המספר על חצי שתוכל לחלקו בצימצום והיוצא תשוב לחלקו על חצי והיוצא מן החלוקה עוד תחלק על חצי וכן לעולם עד שתגיע למספר שלא תוכל לחלקו על חצי

ואחר שתגיע לאותו המספר בלתי מחולק שוב וחלק כל המספר אשר בקשת לדעת אם הוא מספר (שלם) באותו חלק בלתי מתחלק

עוד תחלקהו לאותו המספר אשר הוא למעלה ממנו בטור אשר הוא על המספר הבלתי מתחלק וכן לעולם תחלקהו על כל המספרים אשר הם על הטורים העליונים

ואם תוכל לחלק אותו מספר עד שתגיע ‫^[4]שלא יצא מן החלוקה כי אם אחד תוכל להכיר כי הוא מספר שלם

ואם לא תוכל לחלקו אינו מספר שלם וכל אותם החלוקות אשר עשית מאז הגעת באותה חלוקה שלא יכולתה לחלקה על ב' עד שחלקת כל המספר המבוקש עד שהגעת אל הב' הם המספרים אשר ראוי לקחת כדי למצא מספר שלם

Example: we have the number 496. We wish to know if it is a perfect number and how many numbers it consists of, starting from one.

המשל הנה יש לנו מספר תצ"ו ונרצה לדעת אם הוא מספר שלם ומכמה מספרי' הוא מורכב מתחיל מן האחד

Divide 496 by 2; you receive 248.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{496}{2}=248}}

חלק תצ"ו על ב' ויצא לך רמ"ח

Divide also 248 by 2; you receive 124.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{248}{2}=124}}

עוד חלק רמ"ח על ב' ויצא לך קכ"ד

Divide also 124 by 2; you receive 62.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{124}{2}=62}}

עוד חלק קכ"ד על ב' ויצא לך ס"ב

Divide also 62 by 2; you receive 31.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{62}{2}=31}}

עוד חלק ס"ב על ב' ויצא לך ל"א

Divide also 31 by 2; you cannot.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{31}{2}}}

עוד חלק ל"א על ב' ולא תוכל

Therefore, divide the required number, which is 496 by 31; the result is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{496}{31}=16}}

על כן חלק המספר המבוקש שהוא תצ"ו על ל"א ויצא י"ו

Divide also 496 by 62, which is [double] 31; the result is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{496}{62}=\frac{496}{2\sdot31}=8}}

עוד חלק תצ"ו על ס"ב שהוא על ל"א ויצא ח‫'

Divide also 496 by 248, which is [double] 124; the result is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{496}{248}=\frac{496}{2\sdot124}=2}}

עוד חלק תצ"ו על רמ"ח שהוא על קכ"ד ויצא ב‫'

Divide 496 by 496; the result is 1, because 496 is [double] 248.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{496}{496}=\frac{496}{2\sdot248}=1}}

עוד חלק תצ"ו על תצ"ו ויצא א' כי מספר תצ"ו הוא על רמ"ח

Hence, 496 is a perfect number, because the division reaches one.

א"כ מספר תצ"ו הוא מספר שלם כי הגעת החלוקה עד א‫'

It consists of: 1, 2, 4, 8, 16, 32.

והוא מורכב מא' וב' וד' וח' י"ו ול"ב

As you know the way mentioned below and this is the diagram:

כמו שידעת הדרך הנזכר למטה וזאת היא הצורה

4	9	6
2	4	8
1	2	4
	6	2
	3	1
	1	6
		8
		4
		2
		1

All these numbers add up to 496.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16+31+62+124+248=496}}

וכל אלו המספרים מקובצים עולים תצ"ו

Another example of the number 8 thousand and 128: we wish to know if it is a perfect number and if it is a perfect number, how many numbers it consists of.

משל אחר הנה ממספר ח' אלפים וקכ"ח נרצה לדעת אם הוא מספר שלם ואם הוא מספר שלם מכמה מספרים הוא מורכב

First, divide 8128 by 2; the result is 4 thousand and 64.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8128}{2}=4064}}

ראשנה חלק ח' אלפים וקכ"ח על ב' ויצא ד' אלפים וס"ד

Divide also 4 thousand and 64 by 2; the result is 2 thousand and 32.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4064}{2}=2032}}

עוד חלק ד' אלפים וס"ד על ב' ויצא ב' אלפים ול"ב

Divide also 2 thousand and 32 by 2; the result is one thousand and 16.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2032}{2}=1016}}

עוד חלק ב' אלפים ול"ב על ב' ויצא אלף וי"ו

Divide also one thousand and 16 by 2; the result is 5 hundred and 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1016}{2}=508}}

עוד חלק אלף וי"ו על ב' ויצא ה' מאות וח‫'

Divide also 5 hundred and 8 by 2; the result is 254.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{508}{2}=254}}

עוד חלק ה' מאות וח' על ב' ויצא רנ"ד

Divide it also by 2; the result is 127.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{254}{2}=127}}

עו' חלקם ויצא קכ"ז

Divide it also; you cannot.

עו' חלקם ולא תוכל

Therefore, divide the number, which is 8 thousand and 128 by 127; the result is 64.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8128}{127}=64}}

על כן חלק המספר שהוא ח' אלפים וקכ"ח על על קכ"ז ויצא ס"ד

Divide also [8 thousand and 128] by 254, which is [double] 127; the result is 32.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8128}{254}=\frac{8128}{2\sdot127}=32}}

עוד חלק קי"ו ‫^[5]על רנ"ד שהוא (על) קכ"ז ויצא לך ס"ב ל"ב

Divide also 8 thousand and 128 by 5 hundred [and 8]; the result is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8128}{508}=16}}

עוד חלק ח' אלפים וקכ"ח על ה' מאות (וח') ויצא לך י"ו

Divide also 8 thousand and 128 by one thousand and 16; the result is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8128}{1016}=4}}

עו' חלק ח' אלפים וקכ"ח על אלף וי"ו ויצא לך ח‫'

עו' חלק ח' אלפים וקכ"ח על ד' אלפים וס"ד ויצא לך ב‫'

עוד חלק ח' אלפים על עצמם ויצא א‫'

הנה א"כ תדין כי זה המספר הוא מספר שלם כי אם תקבץ כל החלוקות יצא ח' אלפים וקכ"ח כמו שהוא נרשם פה

8	1	2	8
4	0	6	4
2	0	3	2
1	0	1	6
	5	0	8
	2	5	4
	1	2	7
		6	4
		3	2
		1	6
			8
			4
			2
			1

‫9 המאמר הוא למצא מספרים כי כשתחלק המספר על חצי וחציו על חצי גם חצי חציו לעולם תוכל לחלקו בלי שום שבר עד שתגיע אל האחד

המשל קח א' וכפלהו ויהיו ב' וכפלהו ויהיו ד' וכפלהו ויהיו ח' כפלהו ויהיו י"ו כפלהו ויהיו ל"ב כפלם והם ס"ד וכן לעולם

ועתה אם תחלק אותו מספר על ב' והיוצא על ב' תוכל לחלקו עד שתגיע אל האחד

ומסגלות זה המספר כי אם מאלו המספרים אשר קבצת תקח המספר האמצעי אם הוא נפרד ר"ל אם המספרים אשר יש לך הם נפרדי‫'

המשל יש לנו א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב ס"ד

הנה מספר ח' הוא אמצעי כפלם על עצמם ויהיו ס"ד

כן אם תכפול הראשון שהוא א' על האחרון שהוא ס"ד יצא ס"ד

וכן אם תכפול המספר השני שהוא ב' על הו' שהוא ל"ב יצא ס"ד

וכן אם תכפול המספר הג' שהוא ד' על המספר ה' שהוא י"ו יצא ס"ד

וכן תוכל לעשות ממספרים מתיחסים מיחס אחר כי זה היחס אשר עשינו הוא יחס דופלא שהוא יחס א' אל ב‫'

כן תוכל לעשות מטריפלא או קואטרופלא או קואינקופלא

והנה נעשה מיחס טריפלא שהוא יחס א' אל ג' כמו

כי הראשון א' ג' ט' כ"ז פ"א

אם תכפול האמצעי שהוא ט' על עצמו יעלה פ"א

כן אם תכפול המספר ראשון שהוא א' על האחרון שהוא פ"א יעלה פ"א

‫^[6]וכן אם תכפול השני שהוא ג' על הרביעי שהוא כ"ז יעלה פ"א

וכן אם תכפול ט' שהוא השלישי על כ"ז עצמו יעלה פ"א

כן תוכל לעשות מכל היחסים

וכן אם הם מיחס א' אל ד' הנקרא בלשונם קואטרופלא

כגון א' ד' י"ו ס"ד רי"ו

אם תכפול האמצעי על עצמם שהם י"ו יעלה רי"ו

וכן אם תכפול ד' שהוא השני על ס"ד שהוא רביעי יעלה רי"ו

ואם המספר הם זוגות כגון א' ב' ד' ח' י"ו ל"ב

אם תכפול ב' אמצעיים שהם ד"ח יעלו ל"ב

כן אם תכפול הראשון על ל"ב שהוא האחרון יעלו ל"ב

וכן אם תכפול השני שהוא ב' על י"ו יהיו ל"[ב]

כן תוכל לעשות אם היחס הוא משלשה או מארבעה או מאיזה יחס אחר שיזדמן ואלו המספרים נקראים בלשונם נומירי אפורפורציאונאטי

‫10 המאמר לקבץ מספרים יחסיים

כגון לקבץ א ב' וד' וח' וי"ו ול"ב וכן לעולם ראה היחס הבא אחר ל"ב והוא ס"ד הסר ממנו אחד וישארו ס"ג והוא המבוקש

‫11 המאמר לקחת מספרים נפרדים

כגון לקבץ א ג ה ז ט י"א וכן לעולם

ותכפול כל אחד על ב' יהיה המספר היוצא מספר זוג בלתי מורכב נקרא בלשונם פארי אין פארי

המשל אם תכפול א' על ב' יהיה המספר היוצא מספר זוג בלתי מורכב מזוג

וכן ג' כפול על ב' יעלה ו' והוא מספר מורכב מזוג בלתי זוג

וכן ז' וכן ט' וכן י"א כלם כשתכפלם על ב' ותחלקם יהיה המספר היוצא זוג בלתי מורכב מזוג

‫12 המאמר על המרובע

דע כי כשתכפול מספר מרובע על מספר מרובע יהיה העולה מספר מרובע

המשל אם תכפול ד' שהוא מספר מרובע על ט' יהיה היוצא ל"ו והוא מספר מרובע

וכן ‫^[7]אם תכפול ט' על כ"ה יהיה העולה קרכ"ה והוא מספר מרובע ולא יחטיא

וכן אם תכפול ד' על כ"ה יעלה ק' והוא מספר מרובע

ולדעת השרש תכף כפול שרש זה על שרש זה והיוצא הוא השרש מכפל מרובע על מרובע

המשל בזה כפול ט' על כ"ה והוא רכ"ה ולדעת שרשם כפול ג' שהוא שרש ט' על ה' שהוא שרש כ"ה ויעלו ט"ו והוא שרש רכ"ה

גם כשכפלת ד' על ט' ויהיה היוצא ל"ו לדעת שרשם כפול ב' שהם שרש ד' על ג' שהם שרש ט' ויעלה ו' והוא שרש ל"ו ולא יחטיא

וכן תוכל לעשות מכל שני מספרים מרובעים

ודע כי גם זה יצדק במעוקבים כי אם תכפול מעוקב על מעוקב יהיה היוצא מעוקב ושרש זה כפול על שרש זה הוא שרש המספר המבוקש

המשל כפלנו ח' שהוא מעוקב ב' על ס"ד שהוא מעוקב ד' ויעלה תקי"ב ושרשם הם כפל ב' על ד' שהם ח' ולא יחטיא לעולם ודע זה מאד כי הוא סוד במספר

‫13 המאמר במספרים מתיחסים הנה הראשון יש לו שרש והשני אין לו שרש והשלישי יהיה לו שרש והרביעי יהיה לו שרש מעוקב ושרשו הוא המספר הרביעי

Example: we have ten proportional numbers of double ratio: the first is 1, 2, 4, 8, 16, 32, 64, 128, 256, 512.

המשל יש לנו עשרה מספרים מתיחסים מכפל והנה הראשון א ב ד ח י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח רנ"ו תקי"ב

I say that 1 is a root.

אומר אני כי א' הוא שרש

The 4, which is third, also has a root.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=4}}

והד' שהוא השלישי יש לו ג"כ שרש

The fourth, which is 8, is a cube.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=8}}

והרביעי שהוא ח' הוא מעוקב

The fifth, which is 16, has a root; its root is 4, which is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=16=4^2=\left(a_3\right)^2}}

והה' יש לו שרש שהוא י"ו שרשו ד' שהוא השלישי

The sixth has no root.

והשישי אין לו שרש

The seventh, which is 64, has a cube root; its root is 4, which is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7=64=4^3=\left(a_3\right)^3}}

והשביעי שהוא ס"ד יש לו שרש מעוקב כי שרשו הוא ד' והוא השלישי

The eighth has no root.

והשמיני אין לו שרש

The ninth, which is 256, has a root, which is 16 and it is the fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_9=256=16^2=\left(a_5\right)^2}}

והט' שהוא רנ"ו יש לו שרש והוא י"ו והוא החמישי

The tenth, which is 512, has a cube root; which is the fourth number, which is 8, because 8 is a cube root of 512.

\scriptstyle{\color{blue}{a_{10}=512=8^3=\left(a_4\right)^3}}

והעשירי יש לו שרש מעוקב והוא תקי"ב שהוא המספר הרביעי שהוא ח' כי ח' הוא שרש מעוקב מתקי"ב

‫^[8]וכן תוכל לעשות אם המספרים מתיחסים מיחס א אל ג‫'

Example: 1, 3, 9, 27, 81, 243, 72[9].

המשל א ג ט כז פא רמ"ג תשכ"ז

I say that 1 that is the first has a root.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}

ואומר כי א' שהוא הא' יש לו שרש

The second has no root.

והשני אין לו שרש

The third, which is 9, has a root, because its root is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=9=3^2}}

והשלישי שהוא ט' יש לו שרש כי שרשו ג‫'

The fourth, which is 27, has only a cube root.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=27}}

והרביעי שהוא כ"ז אין לו שרש כי אם מעוקב

The fifth, which is 81, has a square root.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=81}}

והחמישי שהוא פ"א יש לו שרש מרובע

The sixth has no root.

והשישי אין לו שרש

The seventh, which is 72[9], has a cube root; its root is 9, which is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_7=729=9^3=\left(a_3\right)^3}}

והשביעי שהוא תשכ"ז יש לו שרש מעוקב כי שרשו ט' שהוא השלישי

And so on.

וכן לעולם

וכן תוכל לעשות אם היחס מא' אל ד' כגון אם האחד א ד' י"ו ס"ד רי"ו

אומר כי כל אחד יש לו שרש מרובע יען כי הם כפולים על ד' וכבר אמרנו כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע

3	9	27	81	243
מרובע	מרובע	מעוקב	מרובע	מעוקב
1	4	16	64	256
מרובע	מרובע	מרובע	מרובע	מרובע
1	2	4	8	16	32	64
מרובע		מרובע	מעוקב	מרובע		מרובע ומעוקב

‫14 המאמר במספרים הנפרדים מתחילים מהאחד

אם להוסיף האחד על הנמשך אחריו יהיה מרובע ואותו הסכום תוסיף על הנמשך אחריו יהיה מרובע וכן לעולם

המשל יש לנו ז' מספרים נפרדים מתחילין מן האחד על משך המספרים כמו הראשון א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו

אומר כי אם תקבץ המספר הראשון שהוא ‫^[9]שרש ומרובע עם הנמשך אחריו שהוא ג' יהיה ג"כ מרובע קיח והוא ד‫'

ואם תוסיף על אלו הד' הנפרד הבא אחריו שהוא ה' עם ד' הם ט' והוא ג"כ מרובע

ואם תוסיף על ט' הנפרד הד' שהוא ז' יהיה מרובע והם י"ו

ואם תוסיף על י"ו הנפרד הבא שהוא ט' יהיו כ"ה והוא מרובע וכן לעולם

‫15 הדרך לידע ממרובע מה מונח מכמה נפרדים הוא מורכב

שים שרש אותו מרובע והוא המבוקש

המשל ממרובע כ"ה

קח שרשו שהוא ה' א"כ מספר כ"ה הוא מחובר מה' נפרדים והוא א' ג' ה' ז' ט‫'

וכן אם תרצה לדעת ממספר קמ"ד שהוא מרובע מכמה נפרדים הוא מחובר

קח שרש קמ"ד והם י"ב א"כ קמ"ד הוא מחובר מי"ב נפרדים והם א ג ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כן תוכל לדעת מכל מספר מרובע

‫16 המאמר לדעת ממעוקב אחד איזה אות יש במעלה ראשנה

See if there is 1 in the first rank of the cube, deduce that there is also 1 in the first rank of the root.

ראה אם במעוקב במדרגה ראשנה יש בה א' תדין כי בשרש ג"כ יש א' במדרגה ראשנה

If you find 2, deduce that the root has 2 in the first [rank].

ואם תמצא ב' תדין כי בשרש יש ח' בראשנה

If 3, deduce that there is 7 in the first rank.

ואם ג' תדין כי יש ז' במדרגה ראשנה

If 4, its root has also 4 in the first [rank].

ואם ד' יש ג"כ בשרשו ד' בראשנה

If 5, its root has also 5 in the first [rank].

ואם ה' יש ג"כ בשרשו ה' בראשנה

If 6, its root has also 6.

ואם ו' גם בשרשו יש ו‫'

If 7, deduce that there is 3 in the first [rank].

ואם ז' תדין כי יש ג' בראשנה

If 8, deduce that the root has 2.

ואם ח' תדין כי בשרשו ב‫'

If 9, deduce that the root has 9 also.

ואם ט' תדין כי בשרשו ג"כ ט‫'

‫17 המאמר למצא מעוקבים על דרך יחסיי

Start from 2: double it; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}

תתחיל מב' וכפלם והם ד‫'

Double it; it is 8 and it is a cube.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}

וכפלם והם ח' והוא מעוקב

Double it again; it is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot8=16}}

עוד כפלם והם י"ו

Double it again; it is 32.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot16=32}}

עו' כפלם והם ל"ב

Double it again; it is 64 and it is a cube.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot32=64}}

עוד כפלם והם ס"ד והוא מעוקב

Double it again; it is 128.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot64=128}}

עוד כפלם והם קכ"ח

Double it again; it is 256.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot128=256}}

עוד כפלם והם רמ"ח עו' כפלם רנ"ו

Double it again; it is 512 and it is a cube.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot256=512}}

עוד כפלם והם תקי"ב והוא מעוקב

וכן מג' לג' הכפלות לעולם הוא מעוקב

וכמו שהוא היחס מהמספרים אשר הנחת כמו אלו המספרים שהם מיחס א' אל ב' הנקרא בלשונם דופלא כך השרשים הם מיחס דופלא

וזה כי מעוקב ח' הוא ב' ומעוקב ס"ד ד' ומעוקב תקי"ב ח‫'

כן תוכל לעשות מיחס א' אל ‫^[10]כמו ג' וט' וכ"ז ופ"א ורמ"ג ותשכ"ט

כי מג' לג' המספר הוא מעוקב כי א' הוא מעוקב וכ"ז הוא מעוקב ותשכ"ט הוא מעוקב וכן עד אין סוף

הנך רואה כי אלו הם מיחס טריפלא כן שרשהם הם מיחס טריפלא

כי שרש א' הוא א' ושרש כ"ז ג' ושרש תשכ"ט ט' והם מיחס א' אל ג‫'

וכן תוכל לעשות לשאר מספרים יחסיים והוא דרך נאה ביותר

כן תוכל למצא המרובעים אמנם במרובעים השני הוא המרובע

ובמעוקבים השלישי הוא המעוקב כמו שהוא רשום פה

זהו יחס דופלא

2	4	8	16	32	64	128	256	512
		2 שרש			4 שרש			8 שרש

זהו מיחס טריפלא

1	3	9	27	81	243	229	2187	6561	19683
שרש			3 שרש			9 שרש			27 שרש

זהו מהמרובע יחס דופלא

1	2	4	8	16	32	64	128	256	512	1024
1 שרש		2 שרש		4 שרש		8 שרש		16 שרש		שרש

1	3	9	27	81	243	729
1 שרש		3 שרש		9 שרש		27 שרש

Congruence of Squares

‫18 המאמר במספרים הנקראים קונגרואיט ומספרים נקראים קונגרי

והדרך בידיעתם הוא זה קח אחד ושנים וחברם ויהיו ג' וכפלם ויהיו ו' ושמרם אח"כ ‫^[11]כפול זה על זה ר"ל אחד על שנים ויהיו ב' וכפול ב' על ו' השמורים ויהיו י"ב וכפלם על ב' ויהיו כ"ד וזהו המספר הראשון הקונגרואינט

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[2\sdot\left(1+2\right)\right]\sdot\left(1\sdot2\right)\right]=2\sdot\left[\left(2\sdot3\right)\sdot2\right]=2\sdot\left(6\sdot2\right)=2\sdot12=24}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1^2+2^2\right)^2=\left(1+4\right)^2=5^2=25}}

ולמצא מרובעו עשה כך תרבע אחד ויהיה אחד אח"כ תרבע ב' ויהיו ד' וחבר בו מרובע א' ויהיו ה' וקח מרובעם ויהיו כ"ה אשר זה המספר הראשון מרובע קונגרו מהמספר הראשון קונגרואינט

To find the second congruent number we do as follows:

ולמצא מספר שני קונגרואינט נעשה ככה

Take 2 and 3: as you did for the first, when you summed up 1 and 2, so for the second we add 2 to 3; it is 5.

קח ב' וג' כמו שעשית מהראשון שחברת הא' והב' כן עתה בעד השני נחבר ב' עם ג' והם ה‫'

Double it, as you did for the first; it is 10.

וכפלם כמו שעשית מהראשון ויהיו י‫'

Then, multiply 2 by 3, as you did for the first; it is 6.

אח"כ כפול ב' על ג' כמו שעשית מן הראשון ויהיו ו‫'

Multiply it by the reserved 10; it is 60.

וכפלם על י' השמורים ויהיו ס‫'

Multiply it by 2, as you did for the first; it is 120 and this is the second congruent number.

וכפלם על ב' כמו שעשית מהראשון ויהיו ק"כ והוא מספר שני קונגרואינ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[2\sdot\left(2+3\right)\right]\sdot\left(2\sdot3\right)\right]=2\sdot\left[\left(2\sdot5\right)\sdot6\right]=2\sdot\left(10\sdot6\right)=2\sdot60=120}}

To find its congruent:

וכדי למצא מספרו קונגרו

Square 2; it is 4.

תרבע ב' ויהיו ד‫'

Square 3 also; it is 9.

גם תרבע ג' ויהיו ט‫'

Sum them; it is 13.

וחברם ויהיו י"ג

Square it; it is 169 and this is the congruent of the number 120, which is its congruent.

וקח מרובעם ויהיו קס"ט והוא מספר שני קונגרו כמו שמספר ק"כ הוא מספר קונגרואינט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2+3^2\right)^2=\left(4+9\right)^2=13^2=169}}

To find the third [congruent number]:

ולמצא השלישי

Take 3 and 4; sum them up; it is 7.

קח ג' וד' וחברם ויהיו ז‫'

Double it; it is 14.

וכפלם ויהיו י"ד

Then, multiply 3 by 4; it is 12.

אח"כ כפול ג' על ד' ויהיו י"ב

Multiply it by 14; it is 168.

וכפלם על י"ד ויהיו קס"ח

Multiply it by 2; it is 3 hundred and 36 and this is the third congruent number.

כפלם על ב' ויהיו ג' מאות ול"ו והוא מספר שלישי קונגרואינט

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[2\sdot\left(3+4\right)\right]\sdot\left(3\sdot4\right)\right]=2\sdot\left[\left(2\sdot7\right)\sdot12\right]=2\sdot\left(14\sdot12\right)=2\sdot168=336}}

ולמצא מרובעו קונגרו

תרבע ג' ויהיו ט‫'

גם תרבע ד' ויהיו י"ו

חברם ויהיו כ"ה

תרבעם ויהיו תרכ"ה וזה המספר הוא מרובע קונגרו השלישי

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2+4^2\right)^2=\left(9+16\right)^2=25^2=625}}

\scriptstyle{\color{blue}{336+625=961=31^2}}

חבר מספר קונגרואינט עם מספר קונגרו ויעלה תתקס"א ושרשו ל"א

\scriptstyle{\color{blue}{625-336=289=17^2}}

ואם מן תרכ"ה תסיר של"ו ישאר עדין רפ"ט והוא מרובע ושרשו י"ז

ולמצא הרביעי קונגרואינט

קח ד' וה' וחברם ויהיו ט‫'

כפלם ויהיו י"ח

אח"כ כפול ד' על ה' ויהיו עשרים

כפול עשרים על י"ח ויעלה ש"ס

כפלם על ב' ויהיו ז' מאות ועשרים

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[2\sdot\left(4+5\right)\right]\sdot\left(4\sdot5\right)\right]=2\sdot\left[\left(2\sdot9\right)\sdot20\right]=2\sdot\left(18\sdot20\right)=2\sdot360=720}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4^2+5^2\right)^2=\left(16+25\right)^2=41^2=1681}}

ולמצא מספרו הקונגרו

תרבע ד' ויהיו י"ו גם תרבע ה' ויהיו כ"ה חברם ויהיו מ"א כפלם ויהיו אלף ושש מאות ופ"א והוא מספרו המרובע קונגרו

והנה קונגרו ר"ל כי אם תחבר המספר הראשון קונגרואינ' עם מספר קונגרו מרובעו יהיה מרובע וכן אם תוציא מספר ראשון קונגרואינט ממספר מרובעו קונגרו ישאר ג"כ מרובע

וכן מכל המספרים אם תחבר הראשון או השני או השלישי ‫^[12]או הרביעי

וכן לעולם תחבר הקונגרו עם הקונגרואינט יהיה מרובע העולה משניהם גם אם תוציא הקונגרואיט מן הקונגרו ישאר מרובע

\scriptstyle{\color{blue}{24+25=49=7^2}}

המשל למספר קונגרואינט ראשון שהוא כ"ד אם תחברהו עם מספרו קונגרו יעלה מ"ט והוא מרובע

\scriptstyle{\color{blue}{25-24=1=1^2}}

גם אם תוציא ממספר כ"ה מספר כ"ד ישאר א' והוא מרובע ובזה האופן תוכל להוציא שאלות עמוקות

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+6=n^2\\\scriptstyle a^2-6=m^2\end{cases}$

‫19 למצא הדרך איך נמצא מספר אשר יהיה מרובע ואם תוסיף בו ו' ישאר מרובע ואם תוציאנו ממנו ישאר מרובע

הדרך הוא כך תבקש מספר קונגרואינט אחד כי אם תחלקהו על ו' יהיה מספר מספר מרובע והנה הקונגרואינט הראשון הוא כ"ד וחלקהו על ו' ויצא ד' כי הוא מספר מרובע אח"כ חלק הקונגרו הראשון שהוא כ"ה על ד' ויצא ו' ורביע והוא המבוקש

כי מספר ו' ורביע שרשו ב' ורביע ואם תוסיף בם ו' יהיו י"ב ורביע והוא ג' מרובע כי שרשו ג' וחצי ואם תוציאנו ממנו ישאר רביע והוא ג"כ מרובע כי שרשו חצי אחד

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+30=n^2\\\scriptstyle a^2-30=m^2\end{cases}$

‫20 דרך למצא מספר מרובע כי כשתוסיף עליו ל' יהיה מרובע ואם תסיר ממנו ל' ישאר ג"כ מרובע

הדרך הוא כך תמצא איזה מספר קונגרואינט כי כשתחלקהו על ל' שהיוצא יהיה מרובע והנה כשתחלק מספר קונגרואינט שני על ל' יצא ד' כי הוא ק"כ והיוצא ד' הוא מספר מרובע

אח"כ חלק מספר קונגרו מרובעו על ל' חלק קס"ט על ל' ויצא לך מ"ב ורביע והוא מרובע כי שרשו ו' וחצי ואם תוסיף בם ל' ויהיו ע"ב ורביע והוא ג"כ מספר מרובע

כי שרשו ח' וחצי ואם תחסר ממנו ל' ישאר י"ב ורביע והוא ג"כ מספר מרובע כי שרשו ג' וחצי

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+7=n^2\\\scriptstyle a^2-7=m^2\end{cases}$

‫21 דרך למצא מספר מרובע שאם תוסיף עליו ז' יהיה מרובע ואם תחסר ממנו ז' ישאר מרובע

עשה כך תחבר ז' וט' ויהיו י"ו אח"כ תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א וי"ו פעמים י"ו הם רנ"ו חברם עם פ"א ויהיו של"ז וכפלם על עצמם ויעלו עוד 113569 כפול ט' על י"ו יעלו קמ"ד אח"כ כפול כ"ה על קמ"ד ויעלה ג' אלפים ות"ר כפול זה על ד' ויעלה י"ד ‫^[13]אלפים וד' מאות אח"כ תחלק 113569 על י"ד אלפים וד' מאות ויצא י"א שלמים וי"ב אלפים ותשס"ט חלקים מי"ד אלפים וד' מאות וזהו המספר המבוקש

כי הוא מספר מרובע ואם תוסיף בם ז' יהיה מרובע ואם תחסר ממנו ז' ישאר ג"כ מרובע

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+5=n^2\\\scriptstyle a^2-5=m^2\end{cases}$

‫22 דרך למצא מספר מרובע כי אם תוסיף בו ה' יהיה מרובע ואם תוציאנו ממנו ישאר מרובע

תעשה כנז' ותמצא כי הוא מספר י"א וכ"ז חלקים מקמ"ד

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+13=n^2\\\scriptstyle a^2-13=m^2\end{cases}$

‫23 דרך למצא מספר מרובע כי כשתוסיף בו י"ג יהיה מרובע ואם תוציאנו ממנו ישאר ג"כ מרובע

עשה הדרך כנז' ותמצא כי המספר המרובע המבוקש הוא ל‫'

1	6	4	5	6	8	2	4	1
3	7	5	5	8	4	4	0	0

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+3a=n^2\\\scriptstyle a^2-3a=m^2\end{cases}$

‫24 דרך למצא מספר כי כשתוציא ממנו ג' שרשיו ישאר מרובע ואם תוסיף עליו ג' שרשיו יהיה מרובע

הדרך הוא כך קח איזה מספר קונגרואינט איזה שתרצה ותחלקהו כפי סכום השרשים שרוצה להוסיף ולגרוע אח"כ חלק מרובעו על אותו מספר קונגרואינטי איזה קח מספרו קונגרו ותחלקהו על אותו הסך שהגיע לך אחר שחלקת אותו על ג' שרשיו והמגיע תכפלהו על עצמו והיוצא הוא המבוקש

המשל תקח מספר כ"ד שהוא המספר הראשון קונגרואי' וחלקהו על ג' יען כי אמר אם תוסיף או תגרע ג' שרשיו יהיה מרובע ואם תחלק כ"ד על ג' יעלו ח' חלק מספרו קונגרו שהוא מתיחס אל כ"ד שהוא כ"ה ויצא ג' ושמין ותרבעהו על עצמו ויצא ט' ומ"ט חלקים מס"ד והוא המבוקש

וכן אם אמ' כי אם תוציא מן המספר ד' שרשיו או אם תוסיף יהיה מרבע

היתה מחלק מספר כ"ד על ד' והקונגרו שהוא מתיחס אליו שהוא כ"ה היתה מחלקו על היוצא שהוא ו' ויצא ו' ורביע והוא המבוקש

אח"כ תרבעהו ויעלה י"ז וי"ג חלקים מל"ו ‫^[14]והוא הדרוש כי אם תוציא ממנו ד' שרשיו ישאר כ"ה חלקים מל"ו והוא מרובע כי שרשו ה' שישיות ואם תוסיף בו ד' שרשיו יעלה ל"ד וחלק א' מל"ו והוא ג"כ מרובע

וכן ממש כמו שלקחת הדמיון על המספר הראשון קונגרואינטי כן תוכל לקחת המשל אל השני שהוא ק"כ ולחלק היוצא על הקונרגו המתיחס אליו שהוא קס"ט

וכן תוכל לעשות מכל המספרים אם אמר להוסיף ה' שרשיו על אותו הסכום או אם אמר ו' שרשיו תחלקהו על ו' ואם ז' על ז' אח"כ תחלק הקונגרו המתיחס אליו על היוצא ולכפול אח"כ היוצא והוא המבוקש

‫25 דרך למצא ג' מספרים מרובעים כי כשתחברם יהיה מרובע ואם תחבר הראשון והשני ג"כ יהיה מרובע

עשה כך תמצא מספר מרובע איזה שיהיה נפרד כגון תשעה כי הוא נפרד והוא מרובע והנה נקח ט' נסיר ממנו א' וישאר ח' וחלקם על ב' ויהיו ד' וכפלם ויהיו י"ו והוא המספר השני

וט' הוא הראשון ומהג' יש לנו ב' מספרים מרובעים כי כשתחברם יהיו כ"ה והוא מספר מרובע

ולמצא השלישי קח כ"ה ותסיר ממנו א' כמו שעשית בראשנה וישאר כ"ד קח חצים כאשר עשית בראשנה ויהיו י"ב ותרבעם ויהיו קמ"ד וזהו המרובע הג‫'

ואם תחברם יהיו קס"ט והוא מספר מרובע ושרשו י"ג

גם הראשון מחובר עם השני הוא כ"ה והוא מרובע

כך תוכל למצא הרביעי ותעשה כנז' והוא כי עתה שיש לך קס"ט תסיר א' וישארו קס"ח חלקם על ב' ויעלו פ"ד תרבעם יעלו ז' אלפים ונ"ו והוא המספר הרביעי

ואתה רואה כי תחבר הראשון היינו ט' עם י"ו הם כ"ה והוא מרובע

ואם תחבר ט' וי"ו וקמ"ד הוא קס"ט והוא מרובע

ואם תחבר ארבעתם יעלה ז' אלפים ומאתים וכ"ה והוא ג"כ מספר מרובע

וכן תוכל לעשות מה' או מו' מרובעים או מזולתם מקובצים שהסך העולה יהיה מרובע

אמנם הזהר שהמרובע ראשון ‫^[15]שתקח יהיה נפרד כגון א' או ט' או כ"ה ולא יחטיא לעולם וזה סוד גדול במספר

‫26 דרך למצא ב' מספרים אשר מרובעם מקובצים ביחד יהיה מרובע

עשה כך קח ב' מספרים מרובעים אשר שניהם יהיו נפרדים או זוגות כי זולת זה לא תוכל למצא הדרך

ונניח כי הב' מספרי' הזוגות יהיו ד' וי"ו שהם מרובעים וזוגות

וכפול זה על זה וכבר אמרנו כי כפל מרובע על מרובע הוא מרובע ב' בהכרח כפול ד' על י"ו והם ס"ד קח שרשם והוא ח' וזה אחד מהמספרים

ולמצא השני תוסיף ד' על י"ו שהם עשרים וקח מחציתם והם ק' י' ומאלו הי' תסיר המרובע הקטן שהוא ד' הנשאר ו' והוא השני

כי אם תוסיף מרובע ו' על מרובע ח' יהיו ק' והוא מרובע

ואם תניח ב' מספרים נפרדים מרובעים ונניח שהאחד הוא ט' והאחר כ"ה שהם נפרדים

כפול ה' על כ"ה ויהיו רכ"ה וקח שרשם שהם ט"ו וזה א' מהמספרי‫'

ולמצא השני חבר ט' עם כ"ה ויהיו ל"ד וקח חצים שהם י"ז תסיר ממנו מספר ט' שהנחת שהוא הקטן וישאר ח' והוא השני

והנה הא' מספר ח' והאחר ט"ו ואם תחבר מרובע ט"ו עם מרובע ח' יעלה רפ"ט והוא מספר מרובע ושרשו י"ז

ואם לא תרצה לקחת ב' מספרים נפרדים או ב' מספרים זוגיים קח מספרים אחרים מתיחסים אליהם

המשל מן הב' מספרים מרובעים שהם זוגות שהאחד היה ד' והאחר י"ו קח מספרים אחרים שיהיו מתיחסים אליהם

כאלו תקח האחד עשרה והאחר מ' הנך רואה כי יחס י' אל מ' כיחס ד' אל י"ו ומאלו הב' מספרים תנהוג זה המנהג כאשר ראית

ואם תרצה שיהיו נפרדים ג"כ תקח ב' מספרים אחרים שיהיו מתיחסים אליהם

המשל תקח כ"ז וע"ה כי אלו המספרים מתיחסים אל ט' ואל כ"ה כי יחס ט' אל כ"ה כיחס כ"ז אל ע"ה

ותעשה כמו שעשית ממספר ט' וכ"ה ולא יחטיא לעולם והנה תקח י' ומ' שהם זוגות ועשה כמו שעשית מד' וי"ו וכפול י' על מ' והם ד' מאות ‫^[16]וקח שרשם שהוא כ' וזהו אחד מהמספרים

ולמצא השני תוסיף י' על מ' והם נ' וקח מחציתם והם כ"ה תוציא מהם מ' המספר הקטן שהוא י' ונשאר ט"ו והוא השני

אח"כ תוסיף מרובע הראשון שהוא ת' על מרובע השני שהוא רכ"ה ויעלו תרכ"ה והוא מרובע ושרשו כ"ה

כן תעשה מב' מספרים נפרדים

מכ"ז וע"ה והוא שתכפול זה על זה ויעלה ב' אלפים וכ"ה וקח שרשם ויהיו מ"ה והוא הראשון

ולמצא השני תוסיף כ"ז על ע"ה ויהיו ק"ב וקח מחציתם והם נ"א הוצא מהם המספר הקטן שהוא כ"ז הנשאר כ"ד והוא השני

ותוכל לבחון אותו וכן תוכל לעשות כדרך הערכים ותאמר דמ' לראשון שהוא מספר הזוגות שהראשון היה ח' כמה יתן לי וכו‫'

‫27 דרך למצא מספר שאם תוסיף עליו עשרה יהיה מרובע ואם תוציא ממנו עשרה ישאר מרובע

עשה כך תרבע המספר שרוצה להוסיף ולגרוע ויהיו מאה תוסיף בם ד' ויהיו ק"ב ותחלקם על ד' ויצא כ"ו והוא הנדרש

כי אם תוסיף בם י' יהיו ל"ו והוא מרובע ואם תחסר י' ישארו י"ו והוא מרובע

וכדומה לזה אם אמר תמצא לי מספר כי כשתוסיף עליו ו' יהיה מרובע ואם תחסר ממנו ו' ישאר מרובע

תרבע לו' שרוצה להוסיף ולגרוע והם ל"ו תוסיף בם ד' ויהיו מ' חלקם על ד' ויצאו י' והוא המבוקש

כי אם תוסיף בם ו' יהיו י"ו והוא מרובע ואם תוציא מי' ו' נשאר ד' והוא מרובע

וכן תוכל לעשות מכל מספר

כגון האומר תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו ט"ו יהיה מרובע ואם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע

תרבע ט"ו ויהיו רכ"ה תוסיף בם ד' ויהיו רכ"ט חלקם על ד' ויצא נ"ז ורביע והוא המבוקש

תוסיף בם ט"ו ויהיו ע"ב ורביע והוא מרובע ושרשם ח' וחצי תוציא מהם ט"ו וישארו מ"ב ורביע ושרשם ו' וחצי

29) The way to find a number, such that when adding ten to it, it is a square, and if you subtract 11 from it, it is a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+10=n^2\\\scriptstyle a-11=m^2\end{cases}

‫28 דרך למצא מספר ולהוסיף עליו עשרה יהיה ‫^[17]מרובע ואם תוציא ממנו י"א יהיה מרובע

Do as follows:

כך תעשה

Add 10 to 11; it is 21.

תחבר י' עם י"א ויהיו כ"א

Subtract one from it; twenty remains.

תסיר ממנו אחד וישארו עשרים

Divide it by 2; the result is ten.

וחלקם על ב' ויצאו עשרה

Square it; it is 100.

ותרבעם ויהיו ק‫'

Add to it the 11 that you wish to subtract; it is 111 and this is the required.

תוסיף בם י"א שתרצה לחסר ויהיו קי"א והוא הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{\left(10+11\right)-1}{2}\right)^2+11=\left(\frac{21-1}{2}\right)^2+11=\left(\frac{20}{2}\right)^2+11=10^2+11=100+11=111}}

Because, if you subtract 11 from it, 100 remains; if you add ten to it, it is 121; and both are squares.

\scriptstyle{\color{blue}{111-11=100{\color{OliveGreen}{=10^2}}}}

\scriptstyle{\color{blue}{111+10=121{\color{OliveGreen}{=11^2}}}}

כי אם תחסר ממנו ממנו י"א ישארו ק' ואם תוסיף בם עשרה יהיו קכ"א והם מרובעים

If it is said: find a number, such that when you add 8 [to it], it is a square, and if you subtract 7 [from it], it is a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+8=n^2\\\scriptstyle a-7=m^2\end{cases}

ואם אמר תמצא מספר כי כשתוסיף ח' יהיה מרובע ואם תחסר ז' יהיה מרובע

Do as you did:

עשה כמו שעשית

Add 7 to 8; it is 15.

תחבר ז' עם ח' ויהיו ט"ו

Subtract 1 from it; 14 remains.

תסיר ממנו א' ישאר י"ד

Take its half; it is 7.

וקח חצים והם ז‫'

Square it; it is 49.

ותרבעם והם מ"ט

Add 7 to it; it is 56 and this is the required.

תוסיף בם ז' והם נ"ו והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{\left(7+8\right)-1}{2}\right)^2+7=\left(\frac{15-1}{2}\right)^2+7=\left(\frac{14}{2}\right)^2+7=7^2+7=49+7=56}}

Because, if you add 8 to it, it is 64 and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{56+8=64{\color{OliveGreen}{=8^2}}}}

כי אם תוסיף בם ח' יהיו ס"ד והוא מרובע

And, if you subtract 7, 49 remains and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{56-7=49{\color{OliveGreen}{=7^2}}}}

ואם תחסר ז' נשארו מ"ט והוא מרובע

אמנם אם מה שתרצה לחסר ולהוסיף יהיה יותר מאחד אין המספר צודק

ואתן לך דרך לחסר ולהוסיף יותר מאחד

29) The way to find a number, such that when subtracting ten from it, a square remains, and when adding ten to it, it is a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a-10=n^2\\\scriptstyle a+10=m^2\end{cases}

‫29 דרך למצא מספר לחסר ממנו עשרה וישאר מרובע וגם להוסיף עליו עשרה ויהיה מרובע

עשה כך

קח חצי עשרה והם ה' וכפלם והנם כ"ה תוסיף בם אחד ויהיו כ"ו כי זה המספר אם תוסיף בם עשרה יהיו ל"ו והוא מרובע

ואם תחסר מהם עשרה ישארו י"ו והוא מרובע

וכן אם אמר מספר תוסיף בם י"ב או תגרעם חסר חצי שהם ו' וכפלם ויהיו ל"ו תוסיף אחד ויהיו ל"ז והוא הדרוש כי אם תוסיף או תחסר יהיה מרובע

וכן תעשה

מי"ד קח חצים שהם ז' ותרבעם והם מ"ט תוסיף א' והוא נ' והוא הדרוש

כי אם תוסיף או תחסר י"ד יהיה מרובע

30) The way to find two square numbers, such that one exceeds the other by 7.

\scriptstyle a^2=b^2+7

‫30 דרך למצא ב' מספרים מרובעים אשר א' מוסיף על חברו ז‫'

עשה מז' ב' חלקי' האחד יהיה ג' והאחר ד' תרבע ד' ויהיו י"ו תרבע ג' ויהיו ט' ואלו הם הב' מספרים אשר האחד מוסיף על חברו ז‫'

וכן תעשה

מי"ג קח החלק הגדול שהוא ז' והחלק הקטן שהוא ו' תרבע ו' ויהיו ל"ו תרבע ז' ויהיו מ"ט ואלו הם המספרים שהאחד מוסיף על חברו י"ג

ולא תוכל לעשות אלו הדרכים כי אם במספרים נפרדים ר"ל שהאחד מוסיף על חברו מספר נפרד

31) The way to find a number, such that when adding it to five, it is a square and when subtracting it from five, it is a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle5+a=n^2\\\scriptstyle5-a=m^2\end{cases}

‫31 דרך למצא מספר ולהוסיפו על חמשה יהיה מרובע ולחסרו מחמשה יהיה מרובע

קח ב' מספרים שתכפול כל אחד על עצמו והנה נקח ב' וא‫'

והנה מרובע א' הוא א' ומרובע ב' הוא ד' וחברם ויהיו ה' והוא המבוקש

כי אם תוציא ממספר ה' ד' ישאר א' והוא מרובע

ואם תוסיף ‫^[18]תוסיף ד' על חמשה והוא ט' והוא מרובע

אח"כ כפול שרש ט' שהוא אחד מהמספרים הנדרשים על ד' ויהיו י"ב אח"כ כפול ה' ויהיו כ"ה

ותאמ' כי אם תוסיף כ"ד על כ"ה יהיו מ"ט והוא מרובע

גם אם תחסר כ"ד מכ"ה יהיה מרובע והוא אחד

כן תוכל לעשות למצא מספרים והוא שתראה כמה מרובעים מא' עד כ"ד והם א' ד' ט' י"ו

אח"כ תתחיל מן האחד מהם שתרצה ותקח י"ו וחלק כ"ד על י"ו ויצא א' וחצי וזהו המספר הראוי להוציא ולהוסיף ויהיו מרובעים אח"כ חלק כ"ה על י"ו ויצא א' וט' חלקים מי"ו וזהו המספר המרובע

כי אם תוסיף בו א' וחצי יהיה מרובע

ואם תוציא ממנו א' וחצי ישאר מרובע

וכן תוכל לעשות אם תקח אחד מהמרובעים האחרים כגון א או ד' או ט' כמו שלקחת הדמיון על י"ו

32) The way to find a number, such that if you subtract 5 from it, it is a square and if you add 12 to it, it is a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a-5=n^2\\\scriptstyle a+12=m^2\end{cases}

‫32 דרך למצא מספר אשר אם תוציא ממנו ה' יהיה מרובע ואם תוסיף עליו י"ב יהיה מרובע

Do as follows:

עשה כך

Add 5 to 12; it is 17.

תחבר ה' וי"ב ויהיו י"ז

Add one to it; it is 18.

תוסיף בם אחד ויהיו י"ח

Divide it by 2; it is 9.

תחלקם על ב' ויהיו ט‫'

Square it; it is 81.

ותרבעם ויהיו פ"א

Subtract 12 from it, as said; the result is 69 and this is the required.

תוציא מהם י"ב כמו שאמר ויצא ס"ט והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{\left(5+12\right)+1}{2}\right)^2-12=\left(\frac{17+1}{2}\right)^2-12=\left(\frac{18}{2}\right)^2-12=9^2-12=81-12=69}}

Because, if you subtract 5 from 69, 64 remains and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{69-5=64{\color{OliveGreen}{=8^2}}}}

כי אם תוציא מס"ט ה' ישאר ס"ד והוא מרובע

Also, if you add 12 to it, it is 81 and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{69+12=81{\color{OliveGreen}{=9^2}}}}

ואם תוסיף בם י"ב יהיו פ"א והוא מרובע

Likewise, if it is said: if you add six to it, it is a square and if you subtract 10 from it, a square remains.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+6=n^2\\\scriptstyle a-10=m^2\end{cases}

וכן אם אמר אם תוסיף בם ששה יהיה מרובע ואם תוציא מהם י' ישאר מרובע

Add 6 to [10]; it is 16.

תוסיף ו' וי"א והיו י"ו

Add 1 to it; it is 17.

תוסיף בם א' ויהיו י"ז

Divide it by 2; it is [8] and a half.

ותחלקם על ב' ויהיו ב' וחצי

Square it; it is 72 and a quarter.

תרבעם ויהיו ע"ב ורביע

Subtract 6 from it; 66 and a quarter remains and this is the required.

תסיר מהם ו' וישארו ס"ו ורביע והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{\left(6+10\right)+1}{2}\right)^2-6=\left(\frac{16+1}{2}\right)^2-6=\left(\frac{17}{2}\right)^2-6=\left(8+\frac{1}{2}\right)^2-6=72+\frac{1}{4}-6=66+\frac{1}{4}}}

Add 6 to it; it is 72 and a quarter and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{1}{4}\right)+6=72+\frac{1}{4}{\color{OliveGreen}{=\left(8+\frac{1}{2}\right)^2}}}}

תוסיף בם ו' ויהיו ע"ב ורביע והוא מרובע

If you subtract 10 from it, 56 and a quarter remains and it is a square.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{1}{4}\right)-10=56+\frac{1}{4}{\color{OliveGreen}{=\left(7+\frac{1}{2}\right)^2}}}}

ואם תסיר ממנו י' ישארו נ"ו ורביע והוא מרובע

33) The way to find square numbers such that their sum is a square and if you add ten to them, it is also a square.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b^2=n^2\\\scriptstyle a^2+b^2+10=m^2\end{cases}

‫33 דרך למצא מספרים מרובעים מחוברים זה עם זה יהיה מרובע גם אם תחבר בם עשרה יהיו ג"כ מרובע

Do as follows:

תעשה ככה

Subtract 1 from 10; 9 remains.

תסיר א' מי' וישארו ט‫'

Divide it by 2; 4 and a half remains.

חלקם על ב' ויצא ד' וחצי

Square it; it is twenty and a quarter and this is the square number

תרבעם ויהיו עשרים ורביע והוא המספר המרובע שאם תוסיף בם עשרה

Now, take two numbers, such that when you take their squares and sum them up, the result is twenty and a quarter.

עתה תקח ב' מספרים כי כשתקח מרובעם ותחברם יצא עשרים ורביע

תעשה ככה תרבע עשרים ורביע על מאה ויצא ב' אלפים וכ"ה

עתה תמצא ב' מספרים אשר מרובעם מחוברים יהיו ‫^[19]ב' אלפים וכ"ה

והנה תעשה שתקח שרש ב' אלפים וכ"ה ושרשם קכ"ג מ"ה קח ג' חמישיותיו והוא המספר האחד שהם כ"ז גם קח ד' חמישיותיו והוא המספר השני שהם ל"ו עתה תחלק ל"ו על י' ויצא ג' וג' חמישיות גם תחלק כ"ז על י' ויצא ב' וז' עשיריות אח"כ תרבע ג' וג' חמישיות ויצא י"ב וכ"ד חלקים מכ"ה והוא המספר הראשון גם תרבע ב' וז' עשיריות והיוצא הוא ז' וכ"ט חלקים ממאה והוא השני ותוכל לבחון אותו

‫34 דרך למצא מספרים מתילדים בזה הדרך

ג' פעמים ג' הם ט' וד' פעמים ד' הם י"ו ומקובצים הם כ"ה תמצא לי ב' מספרים אחרים מרובעים ומקובצים יעלו כ"ה זולתם

ראה אם הסך יש לו שרש אמיתי ואם יש לו שרש אמיתי הנקרא ראדיצי דיסקריטא כמו מספרינו שיש לו שרש אמיתי ר"ל כ"ה ראה לעולם אם הסך יש לו שרש אמיתי ר"ל כ"ה בקש ב' מספרים אחרים אשר כשהם מחוברי' יחד נעשה מרובע

ונניח ב' מספרים אשר האחד ה' והאחר י"ב אשר מרובעהם מחוברים יהיו קס"ט ושרשם י"ג אח"כ קח שרש הב' מספרים הראשנים אשר מרובעם מקובצים יעלו כ"ה ושרשם ה' ותכפול אלו הה' נגד הה' אשר לקחת שהא' ה' והאחר י"ב ויעלה כ"ה גם כפול אותם הה' נגד י"ב ויעלו ס' תחלק כ"ה על שרש המספרים שמצאת שמרובעהם עולה קס"ט ושרשם י"ג חלק י"ג ויצא א' שלם וי"ב חלקים מי"ג גם חלק ס' על י"ג ויצא ד' שלמים וי"א חלקים מי"ג ואלו הם הב' מספרים הנדרשים

כי אם תכפול כל אחד מהם על עצמו ותקבץ הכל יעלה כ"ה וכמו שלקחת מספר ה' ומספר י"ב תוכל לקחת מספר ח' ומספר ט"ו אשר מרובע שניהם עלה רפ"ט ושרשם י"ז גם מספרים אחרים וכפול ה' על ט"ו כמו שעשית לעיל על המספרים האחרים ויעלה ע"ה חלקם על י"ז שהוא שרש רפ"ט והיוצא ה' ד' וז' חלקים מי"ז וזהו האחד

‫^[20]ולמצא השני כפול ה' על ח' ויצא מ' חלקם על י"ז ויצא ב' וו' חלקי' מי"ז והוא השני כי אם תרבע הראשון על עצמו גם את השני על עצמו ותקבץ העולה יצא כ"ה בצומצום

‫35 דרך למצא מספרים מתחלפים

הנה ד' פעמים ד' הם י"ו וה' פעמים ה' הם כ"ה ושניהם מחוברים עולה מ"א

תמצא לי ב' מספרים אחרים אשר מרובעם מקובצים יחד יעלו מ"א

כך תעשה תמצא ב' מספרים מקובצים יעלו מ"א ונניח כי האחד ג' והאחר ד' ותרבעם ויעלו כ"ה ו' ושרשם ה‫'

עתה יש לך ד' מספרים לכל אחד שרש היינו הב' הראשנים והב' שהנחנו

וראוי לכפול הב' מספרים ראשנים נגד הב' שניים

Say: 3 times 4 is 12; and 4 times 5 is 20.

ואמור ג' פעמים ד' הם י"ב וד' פעמים ה' הם כ‫'

Subtract 12 from twenty; 8 remains. Keep it.

הסר י"ב מעשרים וישארו ח' והצניעם

Multiply also 4 by 4; it is 16; and 3 times 5; it is 15.

גם כפול ד' על ד' ויהיו י"ו עוד ג' פעמים ה' ויהיו ט"ו

Sum them; it is 31.

ותחברם והנם ל"א

Divide the reserved 8 by the root of the two numbers you assumed, whose sum is 25 and its root is 5.

חלק הח' השמורים על שרש הב' מספרים שהנחת אשר עולים כ"ה ושרשם ה‫'

Divide 8 by 5; the result is 1 and 3-fifths and this is one of the required numbers.

חלק ח' על ה' ויצא א' וג' חמישיות וזהו אחד מהמספרים המבוקשים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot5\right)-\left(3\sdot4\right)}{5}=\frac{20-12}{5}=\frac{8}{5}=1+\frac{3}{5}}}

Divide also 31 by 5; the result is 6 and one-fifth and this is the second number.

גם חלק ל"א על ה' ויצא ו' וא' חומש וזהו המספר השני

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot4\right)+\left(3\sdot5\right)}{5}=\frac{16+15}{5}=\frac{31}{5}=6+\frac{1}{5}}}

Square 1 and 3-fifths; the result is 2 and 14 parts of 25.

תרבע א' וג' חמישיות יעלה ב' וי"ד חלקים מכ"ה

Square 6 and one-fifth also; the result is 38 and 11 parts of 25.

גם תרבע ו' וחומש ויעלה ל"ח וי"א חלקים מכ"ה

Their sum is 41.

ושניהם מקובצים עולה מ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{5}\right)^2+\left(6+\frac{1}{5}\right)^2=\left(2+\frac{14}{25}\right)+\left(38+\frac{11}{25}\right)=41}}

וזה לא יחטיא לעולם

If you assume the other two numbers are: the first is 5 and the other is 12.

ואם נניח כי הב' מספרים השניים הא' ה' והאחר י"ב

The [square] of 5 is 25 and the [square] of 12 is 144; their sum is 169 and its root is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{25+144}=\sqrt{169}=13}}

וכפל ה' בכ"ה וכפל י"ב קמ"ד ומחוברים הם קס"ט ושרשם י"ג

Multiply 5 by 4; it is 20; and 12 by 5; it is 60.

וכפול ה' על ד' ויהיו כ' וי"ב על ה' והם ס‫'

Subtract 20 from it; 40 remains.

תסיר מהם כ' וישארו מ‫'

Multiply 12 times 4; it is 48; and 5 by 5; it is 25.

כפול י"ב פעמי' ד' והם מ"ח וה' על ה' הם כ"ה

Sum them; it is 73.

וחברם והם ע"ג

Divide 40 by 13; the result is 3 and one part of 13.

חלק מ' על י"ג היוצא ג' וא' חלק מי"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(12\sdot5\right)-\left(5\sdot4\right)}{13}=\frac{60-20}{13}=\frac{40}{13}=3+\frac{1}{13}}}

Divide also 73 by 13; the result is 5 and 8 parts of 13 and this is the required.

גם חלק ע"ג על י"ג ויצא ה' וח' חלקים מי"ג והם המבוקשים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(12\sdot4\right)+\left(5\sdot5\right)}{13}=\frac{48+25}{13}=\frac{73}{13}=5+\frac{8}{13}}}

Because, the product of 3 and one part of 13 by itself is 9 and 79 parts of 169.

כי כפל ג' וא' חלק מי"ג על עצמו הוא ט' וע"ט חלקים מקס"ט

The product of 5 and 8 parts of 13 by itself is 31 and 90 parts of 169.

וכפל ה' וח' חלקים מי"ג על עצמם הם ל"א וצ' חלקים מקס"ט

Their sum is 41 integers.

ושניהם מחוברים הם מ"א שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{13}\right)^2+\left(5+\frac{8}{13}\right)^2=\left(9+\frac{79}{169}\right)+\left(31+\frac{90}{169}\right)=41}}

וזהו דרך מולטיפליקרי פירקרוצי כמו שהוא נרשם בספר פראלוקא

‫^[21]ואם המספרים המרובעים המחוברים הם זוג כי אותם אשר עשינו היה חבורם נפרד כמו שראית מכ"ה וממ"א

אבל אם הסכום הוא זוג כמו האומר ב' פעמים ב' הם ד' וד' פעמים ד' הם י"ו ומקובצים יחד עולה עשרים

תמצא לי ב' מספרים אחרים אשר מרובעהם מקובצים יעלו עשרים

Do as follows:

עשה כך

We take the numbers 3 and 4, because their squares are 9 and 16; the sum is 25 and its root is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{9+16}=\sqrt{25}=5}}

נניח מספר ג' וד' כי מרובעהם הם ט' וי"ו ועולה כ"ה ושרשם ה‫'

Now, multiply [2] by 3; it is 6; and 4 by 4; it is 16.

ועתה כפול ה' על ג' והם ו' וד' על ד' הם י"ו

Subtract 6 from 16; ten remains.

תסיר ו' מי"ו נשארו עשרה

Then, multiply 4 by 2; it is 8; and 3 by 4; it is 12.

אח"כ כפול ד' על ב' והם ח' וג' על ד' והם י"ב

Their sum is twenty.

ושניהם מחוברי' עולים עשרים

Then, divide 10 by 5; the result is 2 and this is the first.

אח"כ חלק י' על ה' ויצא ב' וזהו האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot4\right)-\left(2\sdot3\right)}{5}=\frac{16-6}{5}=\frac{10}{5}=2}}

To find the other, divide twenty by 5; the result is 4 and this is the second.

ולמצא האחר תחלק עשרים על ה' ויצא ד' והוא השני

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot2\right)+\left(3\sdot4\right)}{5}=\frac{8+12}{5}=\frac{20}{5}=4}}

והם המספרים ‫^[22]ואנו מבקשים מספרים אחרים לכן תחליף הסדר מהקרוצי והוא כי אותו שהיה עומד למעלה תשים למטה ואחד מן המספרים יספיק להחליף ממטה למעלה כמו שהוא רשום למעלה

Now, multiply 3 by 4; it is 12.

ועתה כפול ג' על ד' והם י"ב

Multiply also 4 by 2; it is 8.

גם כפול ד' על ב' והם ח‫'

Subtract it from 12; 4 remains. Keep it.

תסירם מי"ב וישארו ד' ושמרם

Then, multiply crosswise: 4 times 4 is 16 and 3 times 2 is 6.

אח"כ כפול אינקרוצי ד' פעמי' ד' הם י"ו וג' פעמים ב' הם ו‫'

Add them together; it is 22.

חברם יחד והם כ"ב

Then, take the partitore [divisor], i.e. 5, and divide the reserved 4 by 5; the result is 4-fifths and this is one of the numbers.

אח"כ קח הפארטידור היינו ה' וחלק הד' השמורים על ה' ויצא ד' חמישיו' וזהו אחד מהמספרים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3\sdot4\right)-\left(4\sdot2\right)}{5}=\frac{12-8}{5}=\frac{4}{5}}}

Divide also 22 by 5; the result is 4 and 2-fifths and this is the second number.

גם חלק כ"ב על ה' ויצא ד' וב' חמישיות וזהו המספר השני

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot4\right)+\left(3\sdot2\right)}{5}=\frac{16+6}{5}=\frac{22}{5}=4+\frac{2}{5}}}

Multiply [4-fifths] by itself; it is 16 parts of 25.

כפול ד' וב' חמישיות על עצמם ויהיו י"ו חלקים מכ"ה

Multiply also 4 and 2-fifths by itself; the result is 19 and 9 parts of 25.

גם כפול ד' וב' חמישיות על עצמם ויעלו י"ט וט' חלקים מכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\right)^2+\left(4+\frac{2}{5}\right)^2=\frac{16}{25}+\left(19+\frac{9}{5}\right)=20}}

Their sum is twenty.

ושניהם מחוברים עשרים

ותקיש על זה

ע"כ נעתק מהעיון מספר פראלוקא

Section Two - Practical Arithmetic

השער השני ידבר על המעשית מהמספר

Check

‫36 וראשנה נדבר מן המאזנים

דע כי רוב האומנים והסוחרי' נוהגים לעשות המאזנים מט' ומז' אע"פ כי תוכל לקחת מאזנים בכל אות ואות

והנה המאזנים מז' הם יותר צודקים והם מאזני צדק והטעם הוא זה כי אם יזדמן שתרצה לכתוב מ"ג ותטעה ותכתוב בהפך ר"ל ל"ד כי מוחלפת השטה ותעשה המאזנים מט' לעולם יצא לך ז‫'

כי כן הוא מאזנים ממ"ג כמו מאזנים מל"ד

אמנם כפי מאזני הז' הנה מאזני מ"ג הם א' ומאזני ל"ד הם ו' ולכן יוכר הטעות במאזני הז' ולא יוכר הטעות במאזני הט‫'

ועו' טעם אחר כי אם תשכח לשים הציפרא באיזה מספר כל כך יצא המאזנים בלי זירא כמו עם זירא

המשל אם תרצה לכתוב ארבעים ולא תשים בו כי אם ארבעה ותשכח לשים הזירא הנה מאזנים מד' כמו מאזני ממ' במאזני הט' אמנם במאזני הז' אינו כן כי מאזני ד' הם ד' ומאזני מ' הם ה' ועל כן מצד אלו הב' טעמים מאזני ז' הם יותר צודקים ממאזני הט‫'

‫^[23]‫37 דרך לכזב כל המאזנים הם מז' הם מט' או מג' או מד' או מאיזה מספר שיהיה

המשל הנה יש לנו מספר קכ"ד

והנה המאזנים מט' הוא ז' והמאזנים מז' הוא ה' אם תרצה לכזבם שניהם כפול ז' על ט' ויהיו ס"ג תוסיף ס"ג על קכ"ד ויעלה קפ"ז ועשה המאזנים מט' ומז' יהיו כאשר בתחלה

או אם תרצה הסר ס"ג מקכ"ד מהנשאר תעשה המאזנים מזה ומזה ויהיו כבתחלה וכן תוכל לעשות מכל המאזנים אחרים כמו מאזני ד' או ה' אם תרצה לכזבם כפול ה' על ד' והם כ' תוסיפם על המספר המונח או תחסרם ויהיו כבראשנה

והנה מאזני המגרעת נעשה כך קח המאזנים מהמספר הגדול וקח המאזני' מהמספר הקטן והסר מאזני המספר הגדול מהמספר הקטן וכך יצטרך שיהיו מאזני הנשאר

המשל חסרנו מט' אלפים ותתע"ו מספר ו' אלפים וה' מאות ומג' הנה הנשאר הוא ג' אלפים וקל"ג הסר התשיעיות מט' אלפים וח' מאות הנשאר ג' גם הסר התשיעיות מו' אלפים וח' מאות הנשאר מאומה הסר מאומה מג' הנשאר ג' כן יצטרך שיהיו מאזנים מג' אלפים והנה הנשאר ג' והוא צודק וכן תוכל לעשות מכל המאזנים

ואם לא תוכל לקחת מאזני מספר הקטון מהגדול אז תוסיף בו ט' או ז' כפי המאזנים אשר תעשה

עו' תוכל לעשות מא[ז]נים אחרים והוא כי תסור ג' אלפים קל"ג מן המספר הגדול שהוא ט' אלפים ותתע"ו יצטרך שישאר כמו המספר הקטון שהוא ו' אלפים וה' מאות ומ"ג ודוק ותשכח

Subtraction

‫38 הנה יש כאן דרך נקל ויפה במגרעת

והוא זה המשל נרצה לגרוע

5	4	3	2
2	7	9	4
2	6	3	8
5	4	3	2

הסר ד' מב' ולא תוכל ראה כמה יחסר מד' ועד עשרה והנה יחסר ו' תוסיף בם ב' שהם למעלה ויהיו ח' תשים ח' למטה עתה יש לך עשירית אחד ‫^[24]ותחבר אותו עם הט' מלמטה ויהיו עשרה אח"כ תאמר הסר עשרה מהג' שלמעלה ולא תוכל על כן תוסיף עשרה ועם הג' והם י"ג תסיר מי"ג עשרה הנשאר ג' אח"כ חבר אותם עשרה עם הז' הנמשכים למטה ויהיו ח' תסיר ח' מד' של מעלה ולא תוכל על כן תוסיף בם עשרה ויהיו י"ד תסיר מהם ח' הנשאר ו' וחבר זאת העשרה שהלית עם הב' מלמטה ויהיו ג' הסר ג' מה' שהם למעלה הנשאר ב' הנה הנשאר הוא ב' אלפים ותרל"ח ודוק ותשכח

Multiplication

‫39 אם תרצה לדעת הכפל נקרא פירקואדרילוטו

נעשה כך קח מרובע אחד כפי המדרגות שתרצה לכפול

ואם תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות עשה שיהיה המרובע מד' בתים באורך וג' בתים ברוחב

ועשה שיהיה לעולם בית מיותר באורך על הרוחב ותתחיל לכפול מן האחדים ותשים בכל בית העולה

המשל נרצה לכפול ג' אלפים ושכ"ה על ג' אלפים ותכ"א

ותתחיל לכפול א' על א' הנה היוצא א' ושים א' בבית ראשון

עוד כפול א' על ב' ויעלה ב' ושים ב' בבית שני

עוד כפול א' על ד' ויעלה ד' ושים ד' בבית הג‫'

עוד כפול א' על ג' ויעלה ג' ושים ג' בבית הרביעי

אח"כ קח האות השניה וכפול ב' על א' ויעלה ב' ושים ב' בשורה האחרת בבית הראשון

עוד כפול ב' על ב' והם ד' ושים ד' בבית הב‫'

עוד כפול ב' על ד' ויהיו ח' ושים ח' בבית הג‫'

עוד כפול ב' על ג' ויהיו ו' ושים ו' בבית הד‫'

אח"כ קח האות השלישית וכפול ד' על א' ויצא ד' ושים ד' בקו השלישי בבית הא‫'

עוד כפול ד' על ב' ויהיו ח' ושים ח' בבית שני

עוד כפול ד' על ד' ויהיו י"ו ושים ו' בבית השלישי ותחזיק אחד בידך

עוד כפול ד' על ג' ויהיו י"ב ועם האחד שהחזקת ‫^[25]ויהיו י"ג ושים י"ג ושים ג' בבית רביעי

וא' בחמישי

עוד קח האות הרביעית וכפול אותה עם א' ויהיו ג' ושים ג' בשורה רביעית

עו' כפול ג' על ב' ויהיו ו' ושים ו' בבית הב‫'

עוד כפול ג' על ד' ויהיו י"ב ושים ב' בבית שלישי ותחזיק אחד

עוד כפול ג' על ג' ויהיו ט' תחבר עמם הא' ויהיו עשרה ושים 0 בבית רביעי

וא' בחמישי

עתה תחבר דרך אלכסון ותחבר בראשנה א‫'

ואח"כ תחבר ב' עם ב' שהם בב' בתים באלכסון ויהיו ד‫'

עוד תחבר ד' וד' וד' שהם בג' האלכסוניים ויהיו י"ב ושים ב' ותחזיק אחד

אח"כ תחבר ג' וח' וח' וג' שהם בד' בתים האלכסוניים ועם האחד שהיה בידך ויהיו כ"ג ושים ג' ותחזיק אחד

עתה חבר ו' ו' ו' ועם הב' שיש לך ויהיו עשרים ושים 0 ותחזיק ב‫'

עתה חבר ג' וב' שהם אלכסוניים ועם הב' שיש לך ויהיו ז‫'

עתה חבר א' 0 ושים אלף

עתה תחבר א' שאין לו בית אחר באלכסון ויצא כמו שהוא נרשם בכאן ודוק ותשכח

5	4	3	2
5	4	3	2

1	9	8	6	4
1	6	2	9	6
2	1	7	2	8
2	7	1	6	0

4
2
5
6

2

9

5

0

6

‫40 דרך כפל אחר נקרא בלשונם ריפליגי

ר"ל שהוא מספר אחד מורכב מב' או מג' מספרים

כאלו תאמר מספר ו' שהוא מורכב מג' פעמים ב‫'

וכן מספר י"ב יש לו הרבה ריפליגי

כי הוא מורכב מג' וד‫'

גם הוא מורכב מב' וו‫'

גם מספר כ"ד יש לו ריפלוגי הרבה

ועל כן כשתרצה לכפול איזה מספר קח א' מהריפליגי וכפול המספר האחד והעולה כפול על החלק האחר והעולה הוא המבוקש

משל ‫^[26]נרצה לכפול כ"ד על י"ב

קח הריפליגו מא' מאלו המספרים מאיזה מספר שתרצה וקח ריפליגו אחד מאותם שיש לכ"ד והנה נקח מספר ד' כי הוא מורכב מד' וו' ונכפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח אח"כ קח החלק האחר שהוא ו' וכפול ו' על מ"ח ויהיו רפ"ח וכן עולה הכפל מי"ב על כ"ד

וכן תוכל לעשות מכל המספרים שיש לו ריפליגי לשניהם או לאחד מהם

כמו י"א פעמים י"ב

קח אחד מהריפליגי שיש לו לי"ב והנה נקח ד' כפול ד' על י"א ויהיו מ"ד עוד כפול מ"ד על ג' ויהיו קל"ב

‫41 דרך אחרת מכפל נקרא אישקאפיצא

נעשה כך קח אחד מהמספרים שתרצה לכפול ותעשה ממנו כ"כ חלקים שתרצה וכפול כל חלק שעשית מא' מהב' מספרים נגד חבירו אח"כ חבר הכל והיוצא הוא המבוקש

דמיון הוא כך נרצה לכפול מ"א על כ"ד על מ‫'

נעשה מא' מהמספרים אשר תרצה ואח"כ כפול כל החלקים נגד המספר השני והוא נעשה מכ"ד ד' חלקים החלק האחד ד' והחלק האחר ו' והאחר ה' והאחר ט' והנה נכפול ד' על מ' ויהיו ק"ס עו' נכפול ו' על מ' ויהיו ר"מ עו' נכפול ה' על מ' ויהיו ר' עוד נכפול ט' על מ' ויהיו ש"ס אח"כ קבץ כל ההכפלות ויעלה ט' מאות וס' וכך הוא הסך העולה מכפל כ"ד על מ‫'

גם אם תרצה לעשות מהב' המספרים הנכפלים חלקים כ"כ שיהיו וכפול כל חלק וחלק מהמספר האחד על כל החלקים מהמספר האחר ואח"כ תקבץ כל ההכפלו' והיוצא הוא המבוקש

המשל נרצה לכפול י' על י"ב

הנה נעשה מי"ב ג' חלקים ב' וג' וז' ומי' נעשה ג' חלקים ב' וג' וה' והנה נכפול כל חלק מהחלק האחד על כל החלקים מהחלק האחר אח"כ תקבץ כל החלקים והיוצא הוא המבוקש ויעלה ק"כ ודוק ותשכח

‫42 אם תרצה לכפול ב' מספרים ואל הסך היוצא ‫^[27]מהכפל יצא בכל מדרגה אאאאאא

תקח כל הא' שתרצה שיצא קכז ב' ותעלם ב' מדרגות ויהיו ב' מאות וקח שלשה עשרות בעד הא' ג"כ ויהיו ל' וחברם עם הב' מאות ויהיו ב' מאות ול' תוסיף בם א' ויהיו רל"א ותכפלם על ד' מאות ופ"א ויצאו ו' מדרגות בכל א' וא' יהיו אאאאאא

ואם תרצה שיצא ב' בכל מדרגה קח ב' פעמים ב' שהם ד' ותעלם אל המאיות ויהיו ד' מאות וקח ג' פעמים ב' שהם ו' ותעלם בעשרים בעשרות ויהיו ס' וחברם עם ד' מאות ויהיו ת"ס וקח הב' ושימנו באחדים ויהיה בין הכל תס"ב וכפלם על תפ"ח ויצאו ו' מדרגות בכל אחת ב‫'

ואם תרצה שיצאו ו' מדרגות בכל אחת ג' תעשה כפלו שהם ו' ותעלם במאיות ויהיו ו' מאות וקח ג"כ שלשה כפליו בעשרות שהם ט' עשרות וחברם ויהיו תר"צ ותוסיף בם הג' באחדים ויהיו תרצ"ג וכפלם על קפ"א ויצאו ו' מדרגות בכל אחת ג‫'

ואם תרצה שיצאו ו' מדרגות בכל אחת ד' קח כפלם במאיות ויהיו ו' מאות וקח שלשה כפלם בעשרות ויהיו ק"כ וחברם ויהיו ט' מאות וב' ותוסיפם באחדים הד' ויהיו בין הכל ט' מאות וכ"ד וכפלם על קפ"א ויצאו ו' מדרגות בכל אחת ד‫'

וכן אם תרצה שיצאו ו' מדרגות בכל אחת ה' כפלם ותעלם עד המאיות ויהיו אלף כי הם עשר מאיות וקח שלשה כפלם בעשרות והם מאה וחמישים וחברם ויהיו אלף וק"נ ותוסיף ה' באחדים ויעלה אלף וקנ"ה וכפלם על קפ"א ויצאו ו' מדרגות בכל אחת הההההה ואמנם לא יוכל לעבור ו' מדרגות

אם תרצה לכפול שני מספרים אשר בסך העולה יהיה בכל מדרגה אאאאאא

כפול מאה וארבעים ושלש על ז' מאות וע"ז ויעלה אאאאאא

ואם תרצה שיצא בכל מדרגה בבבבבב

כפול קמ"ג ב' פעמים ויעלה רפ"ו וזה יכפול על ז'ז'ז' ויצא בבבבבב ו' פעמים

ואם תרצה שיצא גגגגגג בכל מדרגה ומדרגה

כפול ג' פעמים קמ"ג ויהיו תכ"ט וזה ‫^[28]על ז'ז'ז' ויצא גגגגגג

וכן אם תרצה שיצא ד' בכל מדרגה

כפול קמ"ג ד' פעמים והעולה כפול על ז'ז'ז' ויעלה דדדדדד

וכן בכל מדרגה הההההה

כפול קמ"ג ה' פעמים והעולה כפול על זזזזזז והיוצא יהיה הההההה

וכן וווווו

וכן זזזזזז

וכן חחחחחח

וכן טטטטטט ולא יחטיא לעולם

‫43 אם תרצה לכפול ב' מספרים והיוצא יהיה שוה לעולם

ר"ל שהיוצא יהיה באבאבאבאבאבא או גדגדגדגדגדגד או הוהוהוהוהוהו או באופנים אחרים כמו בדבדבדבדבדבד

כך תעשה אם תרצה כא כפול ב' פעמים כא שהם מ"ב וקח כ"כ עשרות ר"ל מ"ב עשרות ויהיו ת"כ ותחבר עמם כ"א ויהיו תמ"א וכפלם על תפ"א ויצא לך באבאבאבאבאבא

ואם תרצה שיצא לעולם בגבגבג כפול כג ויהיו מאה מ"ו העלה אותם עשרות ויהיו מ"ו עשרות שהם ת"ס תחבר אליהם כ"ג ויהיו תפ"ג וכפלם על תפ"א ויצא באבאבאבאבאבא

אמנם אם תרצה לכפול והיוצא יהיה לעולם ע0ע0ע0

כפול ע' על(ה) ק"מ קח ק"מ עשרות והם אלף ות"ר תחבר אליהם ע' והם אלף ות"ע והעולה כפול על תפ"א והעולה לעולם יצא ע0ע0ע0 וכן לעולם

‫44 אם תרצה לכפול ב' מספרים כל אחד ו' מדרגות והעולה לעולם תהיה ב' אחדים או ב' מדרגות שניים או י"ב שלשה או י"ב ארבעה וכן לעולם

עשה מספר אחד מי"ב אחדים או מי"ב שניים או מי"ב שלשה ותחלקהו על זה המספר 900990 והיוצא המבוקש ר"ל מה שיצא כפול אותו

דמיון זה נרצה לכפול ב' מספרים כל אחד מו' מדרגות ונרצה שהעולה יהיה י"ב מדרגות בכל אחד יהיה אחד 111111111111

וחלק זה המספר על 900991 וזה כפול על ככה 123321 | 900991

וכן תעשה משאר המספרים

ואם תרצה שיצאו י"ב מדרגות ‫^[29]ככה 121212121212

חלק זה המספר על זה 900991 והיוצא שהוא כך וזה מבואר בנפשו

ואם תחלק י"ב מדרגות בזה האופן 900991

יצא לך 134532

וכפול זה על זה ויצא לך 121212121212

וכן כל כיוצא בזה והם שאלות נאותות למבין

‫45 שאלה מי הוא זה ואיזה הוא המספר אשר כשתכפלהו על ל"ב יצאו ו' מדרגות באחת ב' ובאחת ג' כזה

חלק זה המספר על ל"ב ויצא לך תשכ"ו וג' חלקים מל"ב והוא המבוקש

וכן תעשה מכל מספר שתרצה

דמיון אחר נמצא ז' מדרגות באחת ד' ובאחרת ו' ונרצה לחלק אותו על מ"ח

ויצא צ"ו אלפים וח' מאות וא' ושליש

הנה א"כ אם נאמר לך מי הוא זה ואיזה הוא המספר הכפול במ"ח יצאו ז' מדרגות באחת ד' ובאחת ו' הנה תמצא כי צ"ו אלפים וח' מאות וא' ושליש הוא המבוקש ככה

‫46 מי הוא זה המספר אשר כשתחבר בו מאה יהיה רל"ד

הסר מאה מרל"ד וישאר קל"ד א"כ כשתחבר ק' עם קל"ד יצא רמ"ד

‫47 מי הוא המספר אשר כשתחסר ממנו ע' ישאר קמ"ד

חבר ע' עם קמ"ד ויעלה רי"ד והוא המבוקש

כן תוכל לעשות מהשברים הן מהחבור הן מהמגרעת הן מהכפל הן מהחלוק ודוק ותשכח

‫48 מי הוא זה המספר אשר כשתחלק אותו על כ"ד יצאו ו' מדרגות באחת ד' ובאחת ה' כזה

כך תעשה כפול כ"ד על אלו המדרגות ויעלה עשרת אלפי אלפים ותשע מאות אלפים וט' אלפים ופ' והוא המבוקש

וכן תוכל לעשות מכל מספר ומספר

Progressions

49) A way to know how much is the sum of the numbers beginning from one, by knowing half the sum.

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i

‫49 דרך לדעת כמה יעלה חבור מספרים מתחילין מן האחד מתוך ידיעת חצי מספרו

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sum_{i=1}^n i\right)\right]\sdot4\right]-\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)

קח העולה מחבור חצי מספרו ותכפלהו על ד' ותוציא ממנו חצי מספרו והעולה ‫^[30]הוא המבוקש

Example: we wish to know the sum of all the numbers from 1 to 12.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} i

דמיון נרצה לדעת חבור כל המספרי' מא' עד י"ב

קח חבור המספרים מא' עד ו' שהוא חצי מספרו והוא כ"א וקח ד' פעמים כ"א והם פ"ד תסיר מהם ו' שהוא חצי מספרו וישארו ע"ח והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{12} i=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\sum_{i=1}^{6} i\right)\right]\sdot4\right]-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=\left(21\sdot4\right)-6=84-6=78}}

50) A way to sum from 1 by the succession of the numbers

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i

‫50 דרך לחבר מתחיל מא' על דרך משך המספרים

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)

ראה המספר האחרון עד היכן מגיע תוסיף בו אחד אח"כ קח חצי מספרו שהזכיר וכפול על זה

It is the required, whether for even or for odd.

והוא המבוקש בין זוג בין נפרד

Example: we wish to sum from 1 to 6.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} i

משל נרצה לחבר מא' עד ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=\left(6+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=7\sdot3=21}}

הנה מספר ו' חציו שלשה תוסיף על ו' א' ויהיו ז' כפול ז' על ג' ויהיו כ"א והוא המבוקש

If you want to sum from 1 to 7.

\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i

ואם תרצה לחבר מא' עד ז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i=\left(7+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)=8\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=28}}

קח חצי ז' והם ג' וחצי תוסיף א' על ז' ויהיו ח' כפול ג' וחצי על ח' ויהיו כ"ח והוא המבוקש

וכן תוכל לעשות מכל המספרים ונקרא בלשונם פוגרישיאון

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 2i$

ואם תרצה לחבר מא' עד י"ב על משך הזוגות

ראה כמה מספרים הם והנה הם ו' מספרים תוסיף בם אחד ויהיו ז' קח חצי ו' והם ג' ראה מה יש בם ו' כפלם על ז' ויהיו מ"ב והוא המבוקש

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)

ואם המספרים הם נפרדים

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)$

כגון הרוצה לחבר א ג ה ז ט יא יג

והם ז' מספרים כפלם על עצמם והוא הדרוש

51)

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)

‫51 אם תרצה לחבר כל הנפרדים מא' עד מספר מה

חבר כל הנפרדי' מחצי מספרו והעולה כפול על ד' והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} \left(2i-1\right)$

דמיון נרצה לדעת חבור כל הנפרדי' מא' עד ט"ו

וידוע כי מא' עד ט"ו הם ח' נפרדים ועל כן תחבר א וג' וה' וז' שהם חצי ח' ויעלו י"ו כפלם על ד' ויעלו ס"ד וכן עולה כל הנפרדים מא' עד ט"ו

52)

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} a_1\sdot q^{i-1}

‫52 לחבר כל המספרים המתיחסים מתחילין מאיזה מספר שיהיה

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 3\sdot 2^{i-1}$

כגון ג ו' י"ב כ"ד מ"ח צ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} 3\sdot 2^{i-1}=\left(48-3\right)+48=45+48=93}}

‫^[31]הסר היחס האחרון שהוא ג' מהראשון שהוא מ"ח וישארו מ"ה קבץ מ"ה עד מ"ח והוא צ"ג והוא המבוקש

53)

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 3^{i-1}

‫53 לחבר מספרים מתיחסים מא' אל ג‫'

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} 3^{i-1}$

המשל לחבר א' וג' וט' וכ"ז ופ"א

תסיר היחס הראשון מפ"א שהוא האחרון וישארו פ' וקח חצים והם מ' חברם עם פ"א ויהיו קכ"א והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} 3^{i-1}=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(81-1\right)\right]+81=\left(\frac{1}{2}\sdot80\right)+81=40+81=121}}

54)

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 4^{i-1}

‫54 ולחבר מספרים מתיחסים מא' אל ד‫'

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 2\sdot4^{i-1}$

כמו לחבר ב' ח' ל"ב קכ"ח

הסר הראשון מהאחרון הנשאר קכ"ו ושלישיתם מ"ב וחברם עם קכ"ח ויהיו ק"ע והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} 2\sdot4^{i-1}=\left[\frac{1}{3}\sdot\left(128-2\right)\right]+128=\left(\frac{1}{3}\sdot126\right)+128=42+128=170}}

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 4^{i-1}$

וכן אם אמר חבר א' ד' י"ו ס"ד

חסר מס"ד א' וישארו ס"ג ושלשיתם כ"א חברם עם ס"ד ויעלו פ"ה והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} 4^{i-1}=\left[\frac{1}{3}\sdot\left(64-1\right)\right]+64=\left(\frac{1}{3}\sdot63\right)+64=21+64=85}}

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 5^{i-1}

ובזה האופן תוכל לעשות אם המספרים שתרצה לחבר מיחס א' אל ה‫'

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} 5^{i-1}$

כמו א' ה' כ"ה קכ"ה

חסר א' מקכ"ה וישארו קכ"ד ורביעיתם ל"א חברם עם קכ"ה ויעלה קנ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} 5^{i-1}=\left[\frac{1}{4}\sdot\left(125-1\right)\right]+125=\left(\frac{1}{4}\sdot124\right)+125=31+125=156}}

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 6^{i-1}

וכן אם הוא מיחס א' אל ו‫'

אחר שתסיר הראשון מהאחרון תחלק הנשאר על ה' והעולה תחבר עם האחרון והעולה הוא המבוקש

וכן לעולם תחלק על היחס פחות אחד

ר"ל אם היחס הוא מא' אל ז' תחלק על ו‫'

וכל אלו המספרים היחסיים הם צודקים בשלמים ובשברים בין שיתחיל היחס מאחד או מאיזה מספר אחר שיזדמן

‫55 דרך לחבר כל הזוגות מא' דרך המשך כל הזוגות

קח חצי הזוגות וחברם ומהעולה כפלם על ד' ומהסך העולה קח ב' פעמים כמו זוגות חצי מספרו היחס וחסרם והעולה הוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2i$

דמיון נרצה לחבר ח' זוגות מתחילין מן האחד

קח חצי ח' והם ד' וקח העולה

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2i$

דמיון נרצה לחבר מא' עד י"ו והם ח' זוגות

קח ב' ד' ו' ח' והם עשרים כפלם על ד' שהם חצי הזוגות מהמספר המבוקש והם פ' תסיר ח' ויהיו ע"ב וכך הוא חבר הזוגות מא' עד י"ו וכן תעשה מכל מספר

‫^[32]‫56 דרך למצא מיחס ב' אל ג‫'

כאלו תאמר חבר ב' וג' וד' וחצי וו' וג' רביעיות

כפול ב' שהוא הראשון ויהיו ד' אח"כ כפול ג' פעמים האחרון שהוא ו' וג' רביעיות ויהיו עשרים ורביע תסיר מהם ד' וישארו י"ו ורביע והוא הדרוש

57)

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} a_1+\left(i-1\right)\sdot d$

‫57 אם תרצה לחבר מספרים מוסיפים

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{9} 7+\left(i-1\right)\sdot3$

כאלו תאמר ז' וי' וי"ג י"ט וכ' וכ"ז ר"ל וי"ו וי"ט וכ"ב וכ"ה וכ"ח ול"א

חבר ז' על ל"א ויהיו ל"ח וקח החצי מהמספרים המבוקשים כי הם ז' וחצים ג' וחצי וכפלם על ל"ח והם קע"א והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} {\color{red}{3}}+\left(i-1\right)\sdot4$

וכן אם תרצה לחבר מתחיל מד' מוסיף כל אחד ד‫'

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} 3+\left(i-1\right)\sdot4$

כאלו תאמ' ג' וז' וי"א וט"ו וי"ט וכ"ג וכ"ז

קח חצים והם ד' תוסיף הראשון שהוא ג' על האחרון שהוא ל"א ויהיו ל"ד כפול ל"ד על ד' והם קכ"ו והוא הדרוש

58)

‫58 לחבר כל הזוגות על דרך משך המספרים

ראה אותו הסכום שעולה המקובץ וראה כמה המרחק מהמרובע הקרוב לו שעבר והם ה' וכך הם הזוגות המקובצים

והנה קבצנו ב' וד' וו' וח' וי' ועולה ל‫'

וכן לדעת קבוץ כל הנפרדים על דרך משך המספר מתחיל מן א‫'

המשל אם אמר קבצנו כל הנפרדים מתחיל מא' ועלה כ"ה

קח שרש כ"ה והוא ה' וכך הם המספרים נפרדים מתחילי' מא' והם א' ג' ה' ז' ט‫'

59)

\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^2

‫59 אם תרצה לחבר כל המרובעי' שהם מא' עד עשרה או איזה מספר אחר בין זוג בין נפרד

קח הסכום האחרון שהוא עשרה וחבר בו א' ויהיו י"א חבר י"א וי' והם כ"א אח"כ כפול עשרה על י"א ויהיו ק"י אח"כ כפול זה על כ"א ויעלו ב' אלפים וש"י חלקם על היתרון שהם מי' עד י"א והוא א' ויצא ב' אלפים וש"י וחלקם על ו' ויצא שפ"ז והוא המבוקש והקיש על זה

וכן אם תרצה לחבר כל המרובעים שהם מא' עד י"ב

חבר א' עם י"ב ויהיו י"ג אח"כ כפול י"ג על י"ב והם קנ"ו כפלם על ‫^[33]כ"ה ויעלו ג' אלפים וט' מאות חלקם על ו' ויצא ו' מאות ונ' והוא המבוקש קל

60)

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)^2$

‫60 ואם תרצה לחבר כל המרובעים הנפרדים שהם מא' עד ט‫'

חבר ט' שהוא הנפרד האחרון על הבא שהוא י"א והם עשרים אח"כ כפלם כנז' והוא שתכפול ט' על י"א ויעלה צ"ט כפול צ"ט על עשרים ויעלה אלף וט' מאות ופ' וחלקם על היתרון שהוא מט' אל י"א שהם ב' ויצא ט' מאות וצ' וחלק זה על ו' ויצא קס"ה והוא המבוקש

גם תוכל לעשות ככה קח שליש ט' שהם ג' וקח רביעית המחובר שהם עשרים והם ה' כפול ג' על ה' והם ט"ו וכפול זה על י"א ויעלה קס"ה והוא המבוקש

61)

$\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i\right)^2$

‫61 אם תרצה לחבר כל המרובעים שהם מא' עד י' על דרך הזוגות

חבר י' וי"ב שהוא הזוג הבא והם כ"ב אח"כ כפול ו' על י"ב והם ק"כ גם כפול זה על כ"ב ויעלו ב' אלפים ותר"מ חלקם על היתרון שהם מי' לי"ב שהם ב' ויצא אלף וש"כ וחלק זה על ו' ויצא ב' מאות וכ' והוא המבוקש

62)

‫62 ואם תרצה לחבר כל המרובעים מכל המספרים שמוסיף על חברו ב' או ג' או ד' או ה' או איזה מספר אחר שתרצה

כאלו נרצה לחבר כל המספרים מד' וח' וי"ב וי"ו וכ' כי כל אחד מוסיף על חברו ד' ומרובעהם הם י"ו ס"ד וקמ"ד רנ"ו ת' תוסיף על כ' המספר הנמשך שמוסיף בו ד' והם כ"ד וחברם עם כ' ויהיו מ"ד ועשה כנז' כפול כ' על כ"ד ויעלה ת"פ וזה כפול על מ"ד ויעלה כ"א אלפים וק"ך וחלקם על יתרון שהוא מכ' אל כ"ד שהם ד' ויצא ה' אלפים ור"פ וזה חלק על ו' ויצא תת"פ והוא המבוקש

או קח שישית כ"ד שהם ד' ורביעית ד' שהוא א' חלק עשרים על א' ויצא כ' כפול כ' על מ"ד ויצא תת"פ

וכן אם אמר קבץ כל המרובעים שהם ג' ו' ט' י"ב ט"ו כל א' מוסיף על חברו ג' ומרובעם ט' ל"ו פ"א קמ"ד רכ"ה קח המספר הנמשך אחר ט"ו שהוא י"ח וחברם והם ל"ג אח"כ כפול ט"ו על י"ח ויצא ע"ד גם כפול ע"ד על ל"ג ויעלה ח' אלפים וט' מאות וי' וחלקם על ג' שהוא היתרון מט"ו על י"ח והיוצא חלק על ו' ויצא ה' מאות וצ"ה והוא המבוקש

‫63 שאלה אדם שולח רץ הולך בכל יום עשרים מילין אח"כ שלח אחר הולך ביום ראשון א' ויום ב' ב' ויום ג' ג' וכן בכל יום מוסיף מיל אחד ‫^[34]מתי יתחברו זה את זה

כפול עשרים ויהיו מ' תסיר א' ויהיו ל"ט א"כ בל"ט ימים יתחברו זה את זה

‫64 שאלה שנים רצים אחד הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך ביום ראשון ב' וביום (ב') ד' ובג' ו' ובד' ח' מתי ישיגנו

כך תעשה הסר א' מל' הנשאר כ"ט ובכ"ט ימים ישיגנו

‫65 שאלה שנים רצים אחד הולך בכל יום כ"א מילין והאחר הולך בא' ג' ובב' ה' ובג' ז' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין מתי ישיגנו

הנה בכ"א ימים יתחברו ביחד

‫66 שאלה שנים רצים אחד הולך בכל יום ס' מילין והאחר הולך ביום ראשון ג' וביום ב' ו' וביום ג' ט' וכן לעולם מוסיף ג' מילין ארצה לדעת מתי יתחברו

חלק ס' על ג' והם כ' כפלם והם מ' הוצא מהם א' נשאר ל"ט ובל"ט ימים ישיגו זה את זה

‫67 שאלה אם תרצה לדעת מתוך חבור המספרים כמה הם המספרים המחוברים על דרך משך המספרים

דמיון חברנו כל המספרי' עד מספר ידוע מתחיל מן האחד עם ב' ועם ג' ועם ד' וכן עד מספר מה ועלה המחובר נ"א

כך תעשה כפול נ"א על ב' והם ק"י וקח שרשם והם י' וכך הם המספרים המחוברים

וכן אם תרצה לדעת קבוץ כל הנפרדים ועלה המחובר כ"ה כמה הם המספרים המחוברים

קח שרש כ"ה והם ה' וכך הם המספרים הנפרדים מקובצים

ולדעת חבור הזוגות מתחילין מן האחד על משך המספר קח השרש שעבר מל' והוא ה' וכך הם חבור הזוגות ב' ד' ו' ח' י' עולה ל‫'

‫68 אמר א"ע והנה מספר חמשה מעוקבו שוה למרובעו ולמרובע כפלו

ולמטה ממנו הדבר הפוך [ולמטה ממנו יעדיף המרובע על המעוקב ולמעלה מחמשה הדבר הפוך] ופירוש הדבר כן הוא כי למטה מחמשה קח מרובע שנים הם ד' ומרובע כפלו הם י"ו ועם ד' הם עשרים

והנה מעוקב ב' אינו כי אם ח' והנה ערך ח' אל עשרים ב' חמישיותיו וכן מרובע ג' הם ט' ומרובע כפלו הם ל"ו ועם ט' הם מ"ה ומעוקב ג' הם כ"ז וערכם אל ג' ‫^[35]חמישיותיו וכן מרובע ד' הם י"ו ומרובע כפלו הם ס"ד וחברם והם פ' ומעוקב ד' הם ס"ד וערכם אל פ' ד' חמישיותיו

אמנם מרובע ה' עם מרובע כפלו הם קכ"ה וכן הוא מעוקב ה' והם שוים

ולמעלה מה' הדבר הפוך כי עולה יותר המעוקב מהמרובע

כמו מרובע ו' הם ל"ו ומרובע כפלו הם קמ"ד וחברם ויהיו ק"פ ומעוקב ו' הם רי"ו וערך ק"פ אל רי"ו ד' חמישיותיו

וכן מרובע ז' הם מ"ט ומרובע כפלו הם קצ"ו ושניהם מחוברים הם שמ"ז ר"מ רמ"ז ומעוקב ז' הוא שמ"ג וערך רמ"ז אל שמ"ג ג' חמישיותיו

וכן מרובע ח' הם ס"ד ומרובע כפלו רנ"ו ושניהם מחוברים ש"ך ומעוקב ח' הם תקי"ב וערך ש"ך אל תקי"ב ב' חמישיותיו ומרובע ט' הם פ"א ומרובע כפלו הם שכ"ד ושניהם מחוברים הם תשמ"ג [ומעוקב ט' הם תשכ"ט] והערך הוא א' חמישית

וכן מרובע י' הם ק' ומרובע כפלו הם ת' ושניהם מחוברים הם ת"ק ומעוקב י' הוא אלף וערכם אל ת"ק ב' פעמים כמוהו וכן לעולם

והכלל העולה מזה הוא כי מרובע אחד עם מרובע כפלו הוא ה' פעמים ממעוקבו

Motion Problems

69) Question: One man walks 32 miles every day; another man starts following him after 6 days and reaches him in 25 days.

I ask: how many miles did the latter walk each day?

‫69 שאלה איש אחד הולך בכל יום ל"ב מילין ואיש אחר הולך אחריו אחר ו' ימים והשיגו בכ"ה ימים

אשאל כמה מילין הלך האחרון בכל יום

כפול ו' ימים שהלך הראשון קודם שנסע האחרון על ל"ב ויצא קצ"ב חלקם על כ"ה ויצאו ז' ימים וי"ז חלקים מכ"ה הוסיפם על ל"ב ויהיו ל"ט וי"ז חלקים מכ"ה וכך ילך בכל יום השני ובכ"ה ימים ישיגנו

70) Question: a man walks 30 miles every day; at the end of 5 days another [man] starts following him and walks 35 every day.

I ask: in how many days will he reach him?

‫70 שאלה איש הולך בכל יום ל' מילין ובסוף ה' ימים אחר רודף אחריו והולך בכל יום ל"ה

אשאל בכמה ימים ישיגנו

כפול ה' שהם הימים שהלך הראשון קודם שנסע השני והם ק"נ וחלקם על היתרון שיש ממהלך המילין שהולך השני על הראשון שהם ה' מילין ויצא ל' א"כ בל' ימים ישיגנו

71) Question: a man walks, we do not know how many [miles] every day; at the end of 4 days [another] man starts following him and walks 35 every day. He reaches him at the end of twenty days.

I ask: how many [miles] does the former walk every day?

‫71 שאלה אדם הולך ולא ידענו כמה הולך ובסוף ד' ימים איש הולך אחריו והולך ‫^[36]בכל יום ל"ה מילין ובסוף עשרים יום השיגו

אשאל כמה הולך הראשון בכל יום

נניח כי הראשון הולך בכל יום א' מיל א"כ בכ"ד ימים עשרים שהלך השני וד' ימים שהלך הוא שנסע קודם חברו הם כ"ד

אח"כ ראה כמה הלך השני בכ' ימים כפול כ' על ל"ה ויצא ז' מאות חלק ז' מאות על כ"ד ויצא לך כ"ט ושישית מיל כך הולך הראשון בכל יום

‫72 שאלה אדם נוסע מפירושא לרומא בד' ימים ואיש נוסע מרומא ללכת בפירושא בה' ימים ומפירושא לרומא פ' ימים מילין אשאל מתי יפגעו זה את זה

ראה כמה הלך בכל יום אותו שעושה המהלך בד' ימים והנה הולך בכל יום עשרים מילין גם ראה בכמה ימים הלך השני היינו חלק פ' על ה' ויצא י"ו חבר עשרים עם י"ו ויהיו ל"ו א"כ חלק פ' על ל"ו ויצאו ב' שלמים וב' תשיעיות ואז יפגעו זה את זה

‫73 שאלה הנה ב' נמלים עומדי' במקום שוה זו עומדת בזוית זו וזו עומדת בזוית זו ומן הקצה אל הקצה ק' אמות והולכות זו לעומת זו הא' הולכת בכל יום שליש אמה וחוזרת רביע אמה והאחרת הולך בכל יום חומש אמה ונוזרת אחור בלילה שישית אמה

מתי יפגעו זה את זה

הוצא משליש רביע נשאר חלק אחד מי"ב חבר חלק משלשים עם חלק מי"ב ויצא לך ז' חלקי' משישים וכן הולכים בין שניהם בכל יום חלק ק' עליהם ויצא ז' מאות וס"ב וב' שביעיות ובכך ימים ישיגו זה את זה

74) Question: A man has to walk ten miles. During the day he walks 2 [miles] and at night he goes back one [mile].

I ask: how many days will he walk?

‫74 שאלה איש יש לו ללכת עשרה מילין ליום הולך ב' ובלילה נזור א'

אשאל בכמה ימים ילך

הסר א' מעשרה ונשאר ט' א"כ בט' ימים ילך מהלכו ויען כי אמר כי ביום הולך ג' ובלילה נזור ב' הוצא ב' מעשרה הנשאר שמונה א"כ בח' ימים יעשה מהלכו

75) Question: A dog is sixty cubits away from a rabbit and 5 steps of the dog are equal to 7 of the rabbit.

I ask: when will the dog reach the rabbit?

‫75 שאלה כלב רחוק מארנבת שישים אמה וה' פסיעות מהכלב שוה ז' מהארנבת

‫^[37]אשאל מתי ישיג הכלב הארנבת

הנך רואה כי בה' מהכלב עודף הארנבת ב' פסיעות כי בכל ה' מהכלב הולכת הארנבת ז' ולכן תאמר אם ב' שוים ה' ס' כמה שוים ויצא לך ק"נ ובזה הזמן ישיגנו

‫76 שאלה לדעת כמה יעלה בתי האשקאקיר לכפול מא' עד ס"ד כפול בזה האופן בא' ב' ובב' ד' ובג' ח' ובד' י"ו וכן לעולם כופל

כך תעשה תחבר ד' בתים היינו א'ב'ד'ח' והם ט"ו תוסיף בם אחד והם י"ו וכפלם והם רנ"ו והסר א' והם רנ"ה והוא מה שבבית הח‫'

אח"כ כפול רנ"ו על עצמם ומה שיעלה הוא מה שבבית הי"ו אחר שחסרת ממנו אחד עוד תשוב ותכפול העולה עם תוספת אחד על עצמם והעולה הוא מה שבבית הל"ב

עוד תשוב ותכפול היוצא על עצמם עם תוספת אחד ומה שיעלה הוא מה שבבית הס"ד

77) If you wish to sum up all the cubes from 1 to 12; i.e. 1, 8, 27, 64, 125.

‫77 שאלה אם תרצה לקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב מעוקבי' היינו א' וח' וכ"ז וס"ד וקכ"ה

קח חצי י"ב והם ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו אח"כ קח י"ב הוסף בם א' והם י"ג וכפלם על עצמם ויהיו קס"ט כפול קס"ט על עצמם ל"ו והעולה הוא קבוץ כל המעוקבים מא' עד י"ב

78) If you wish to sum up all the squares from 1 to ten; i.e. 1, 4, 16, 25.

‫78 שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים מא' עד עשרה כאלו א' ד' ט' י"ו כ"ה

חבר עשרה עם עשרה אחרים והם עשרי' תוסיף בם אחד ויהיו כ"א ושמרם וחלקם על ג' ויצא ז' אח"כ חבר כל המספרים מא' עד עשרה ויהיו נ"ה וכפול נ"ה על ז' ויצא לך שפ"ה והוא המבוקש

וכן אם תרצה לחבר כל המרובעים מא' עד ח' שהם ל"ו כפול ל"ו על ה' וב' שלישיות

‫79 שאלה אם תרצה לקבץ כל המספרים והוא שיוסיף השני על הראשון וכן כל אחד מוסיף על חברו אם מעט ואם הרבה הסר המספר הראשון מהאחרון והנשאר הוא המבוקש

כאלו תקבץ ההפרש מג' וח' וי' וי"ג וי"ז וכ"ד ול"ז הנה אתה רואה כי ההפרש מג' אל ח' הוא ה' וכן בכלם יש הפרש מזה לזה וכלם מקובצים הם ל"ד לכן אם תסיר הראשון שהוא ג' מן האחרון שהוא ל"ז הנשאר ל"ד

Question: to extract the root of fractions and integers or fractions alone.

שאלה לקחת שרש השברים עם השלמים או משברים ‫^[38]בלבד

קח ממה שעל הקו שרשו וממה שתחת הקו שרשו ולחלק שרש שעל הקו על שרש שתחת הקו

Example: we wish to extract the root of 9 parts of 16.

דמיון נרצה לקחת שרש ט' חלקים מי"ו

קח שרש ט' והוא ג' וקח שרש ד' שר' י"ו שהוא ד' ותחלק ג' על ד' והם ג' רביעיות

ואם הוא מעורב עם שלמים עשה מהשלמים שברים

כמו אם תרצה לקחת שרש י"ב ורביע

עשה מהי"ב רביעיות ויהיו מ"ט עם הרביעית וקח שרש מ"ט והם ז' וקח שרש ד' והם ב' חלק ז' על ב' ויצא ג' וחצי והוא שרש י"ב וחצי

‫80 אם תרצה למצא מספר קונגרו כמו שנז' לעיל קח ב' מספרים איך שיזדמן ונניח כי הראשון ג' והשני ח' ותרבע כל אחד ונניח כי האחד ט' ח' והשני ס"ד ותחברם ויהיו ס"ג ותרבעם והם ה' אלפים ושכ"ט וזהו מספר קונגרו

ולמצא הקונגרואינט כך תעשה כפול כל הב' מספרים ג' וח' והם ו' וי"ו וכפול ו' על י"ו והם צ"ו ועתה תחבר הראשון והשני שהם י"א וכפול י"א על צ"ו ויעלה אלף ונ"ו עתה הוצא המספר הראשון שהוא ג' מן המספר השני שהוא ח' הנשאר ה' וכפלם על אלף ונ"ו ויעלה ה' אלפים ור"פ והוא הקונגרואינט

ולבחון אותו חבר המספר הקונגרו עם מספר קונגרואינט ויעלה עשרת אלפים וו' מאות וט' וזה המספר הוא מרובע עתה הוצא ה' אלפים ור"פ מה' אלפים וז' מאות וכ"ט הנשאר מ"ט והוא ג"כ מספר מרובע הנה א"כ אם תוציא או תוסיף יהיה לעולם מרובע

81) Question: find me 9 different squares such that their sum is a square number.

‫81 שאלה למצא לי ל"ט מרובעים מתחלפים מקובצי' ביחד והעולה יהיה מספר מרובע

כך תעשה תקבץ כל המספרי' מאיזה מספרים ונניח כי תקבץ א' וד' וט' וי"ו וכ"ה ו[ל]"ו וכן כלם אשר כלם מקובצים עולה י"ט אלפים וי"ט וזה המספר איננו מרובע ולכן תאמר כי יחסר לך מרובע אחד כי אין לנו כי אם ל"ח ואנו מבקשים ל"ט לכן ראה כי אם תוסיף מספר ל"ט שעולה אלף ותקכ"ה והוא מרובע אם תוסיפהו על המספרים גם איננו מרובע כשהוא מחובר עם ל"ח מספרים מרובעים מחוברים וכן תחפש ‫^[39]עד שתמצא איזה מרובע מחובר עם הל"ח מרובעים שיהיה מרובע

ואומר לך כי לא תתחיל ממספר א' כי אם ד' וט' וי"ו וכ"ה ול"ו וכן עד ל"ט פחות אחד מהמספר הנדרש ויעלו עשרי' אלף ותתקל"ט ונשאר לך לקבץ מספר ל"ט כך תעשה הסר א' מן המקובץ וישאר עדין עשרים אלף ותתקל"ח וקח חצים והם עשרת אלפים ורס"ט וכפלם על עצמם ויעלה 105452361 וזהו המספר האחרון ר"ל הל"ט והנה המרובע הראשון הוא אחד להתחיל מן האחד וד' וט' וי"ו וכ"ה וכן עד ל"ט אשר כלם מקובצים עולה י"ט אלפים וזה המספר איננו מרובע ולכן תאמר כי יחסר לך מרובע אחד כי אין לנו כי אם ל"ח ואנו מבקשים ל"ט לכן ראה כי אם תוסיף מרובע שהוא הל"ט שעולה אלף ותתכ"ה ותוסיפהו על המספרים גם איננו מרובע על כן תקח המרובע הנמשך שהוא אלף ות"ר ותוסיפהו גם איננו מרובע לכן קח הנמשך שהוא אלף ותרפ"א גם איננו מרובע כשהוא מחובר עם הל"ח מספרים מרובעים מחוברים וכן תחפש עד שתמצא איזה מספר מרובע מחובר עם הל"ח יהיה מרובע והנה תמצא מספר ג' אלפים ותפ"א כי כשתוסיפהו על הל"ח מספרים יעלה אלף ותמ"ז והל"ז הוא אלף ושפ"ט וכן עד שתגיע אל האחד ובזה הדרך תוכל למצא כל המספרים שתבקש

Cubic Roots

82) Question:

‫82 שאלה אם תרצה למצא שרש מעוקב מאיזה מספר שיהיה

דע כי ראוי למצא השרש היותר קרוב למספר המונח אח"כ לכפול השרש על עצמו אחר שהוספת בו אחד והעולה כפול ג' פעמים והנשאר תחלק עליו אמנם ראוי שישאר למעלה כ"כ כדי שתוכל לקחת ממנו מעוקב השרש וגם כי תוכל לקחת ממנו מעוקב היוצא כפול על ג' ומהשרש תחסר אחד ותכפול אותו השרש הכפול ג' פעמי' על השרש פחות אחד והעולה כפול על השרש הראשון

דמיון נרצה לקחת שרש י"ו אלפים

הנה השרש הראשון הוא עשרים ומעוקבו ח' אלפים תוסיף על עשרים ‫^[40]א' ויהיו כ"א וכפלם על כ' ויעלו ת"כ כפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס' תן לו ג' ויעלו ג' אלפים וז' מאות ופ' ותוסיף זה על מעוקב [זה הלשון מוטעה] ג' שהם כ"ז ויהיו ג' אלפים וח' מאות וז' כפול אלו הג' שהם השרש השני על ג' ויהיו ט' תסיר מג' א' וישארו ב' כפול ב' על ט' ויהיו י"ח כפול זה על עשרים שהוא השרש הראשון ויהיו ג' אלפים וס' תוסיף ג' מאות וס' על ג' אלפים וח' מאות וז' ויעלה ד' אלפי' ומאה וס"ז ותוסיפם על ח' אלפים שהוא מעוקב הראשון ויעלה י"ב אלפים וקס"ז והוא מעוקב מכ"ג ודוק ותשכח

דמיון נרצה לקחת שרש י"ו אלפים

הנה השרש הראשון הוא תוסיף על עשרים א' ויהיו כ"א כפלם על כ' ויעלו ד' מאות וכ' כפלם ג' פעמים ויהיו י"ב מאות וס' תסיר מעוקב עשרים מי"ו אלף הנשאר ח' אלפים תחלק ח' אלפים על י"ב מאות וס' והנה נתן לו ה' כפול ה' ג' פעמים ונתן לו ט"ו תסיר ממנו א' וישארו י"ד כפול ד' על ט"ו ויהיו ס' כפול ס' על עשרי' שהוא השרש הראשון ויהיו י"ב מאות וכפול י"ב מאות וס' על ה' ויעלו ו' אלפים וג' מאות תחבר עמם י"ב מאות ויהיו ז' אלפים וה' מאות תוסיף על זה מעוקב ה' שהם קכ"ה ויהיו ז' אלפים וו' מאות וכ"ה וחברם עם ח' אלפים שהוא השרש הראשון ויעלה ט"ו אלפים וו' מאות וכ"ה והוא מעוקב ט"ו מכ"ה

דמיון אחר נרצה לדעת שרש מעוקב מי"ג אלפים

הנה השרש הראשון הוא עשרים ומעוקבם ח' אלפים ועד י"ג ישארו ה' אלפים כפול השרש היוצא על עצמם עם תוספת אחד תוסיף בם א' ויהיו כ"א כפלם על כ' ויהיו ת"כ כפלם על ג' ויהיו י"ב מאות וס' ויהיו ג' כפול ג' על י"ב מאות וס' ויעלו ג' אלפים וז' מאות ופ' ותוסיף על זה מעוקב ג' שהם כ"ז ויהיו ג' אלפים וח' מאות וז' כפול אלו הג' שהם השרש השני על ג' ויהיו ט' תסיר מג' א' וישארו ב' כפול ב' על ט' ויהיו י"ח כפול זה על עשרים שהוא השרש הראשון ויהיו ג' מאות וס' תוסיף ג' מאות וס' על ג' אלפים וח' מאות וז' ויעלה ד' אלפים ומאה וס"ז תוסיפם ‫^[41]על ח' אלפים שהוא המעוקב הראשון ויעלה י"ב אלפים וקס"ז והוא מעוקב מכ"ג ודוק ותשכח

נרצה לקחת שרש מזה המספר שהוא 10941048

קח השרש מהאות הראשנה והם ח' מדרגות והנה ננקד המדרגה הראשנה נעשה בו נקוד אחד גם ננקד המדרגה ד' ועשה ב' בו גם ננקד השביעית ועשה ג' נקודות בו א"כ היוצא הוא מאיות שהוא מג' נקודות והנה תוריד העשרה שהם במדרגה הח' אצל הז' והם י' והמדרגה והשרש מעוקב שעבר הוא בח' הוא ח' א"כ הוא ב' מאות וכפלם על עצמם עם תוספת א' ויעלו מ' אלפי' וב' מאות כפלם על ג' ויעלו ק"כ אלפים וו' מאות חלקם על הנשאר עליהם שהם ט' רבואות וט' מאות אלף ומ"א אלפים ומ"ח ויצא עשרים וכפלם על שלשה ויהיו שישים וכפול זה על עשרים פחות א' שהוא י"ט ויעלו אלף וק"מ כפול זה על מאתים שהוא השרש הראשון ויעלו מאתים אלף וכ"ח אלפים תוסיף זה שרש מעוקב עשרים שהם ח' אלפים ויעלה הכל מאתים ול"ו אלפים תפילם מהנשאר למעלה הנשאר מאתים אלף תצ"ג אלפים ומ"ח אח"כ כפול ר"כ על ר"כ ואחד ויעלה מ"ח אלפים וו' מאות ועשרים כפלם על ג' ויעלה מאה אלף ומ"ה אלפים וח' מאות וס' חלק מאתים אלף וצ"ג ומ"ח עליהם ויצא לך שנים וישאר עדין אלף וג' מאות וכ"ח כפול ב' שהם השרש השלישי על ג' והם ו' וכפלם על ב' פחות א' שהוא א' ויהיו ו' כפול ו' על מאתים ועשרים ויעלו אלף וג' מאות ועשרים תוסיף בם מעוקב ב' שהם ח' ויהיו אלף

וג' מאות ועשרים וח' תפילם מן האלף וג' מאות וח' הנשאר כלום הנה א"כ השרש היוצא הם רכ"ב ומעוקבם 10941048

דמיון אחר נרצה לקחת שרש מעוקב מל"ב אלפים

הנה השרש שעבר הוא ל' ומעוקבם הוא כ"ז אלף ונשאר עדין ה' אלפים אח"כ כפול ל' על ל"א ויעלו ‫^[42]כ"ז אלף ותתק"ל חלק ה' אלפים עליהם ונשארו עדין ב' אלפים וב' מאות ועשר ויצא לך אחד כפול זה האחד על ג' ויהיו ג' כפלם על א' פחות א' כי צריך לפחות אחד מן האחד היוצא כפי הדרך הנז' לא ישאר מאומה כפול מאומה על השרש הראשון שהוא ל' ויהיה מאומה הסר מאומה מב' אלפים וב' מאות ועשר וישאר כמו שהוא הסר ממנו שרש אחד שיצא בחלוק וישאר ב' אלפים וב' מאות וט' הסירם מכל המספר שהיה ל"ב אלפים וישאר כ"ט אלפים וז' מאות וצ"ו ושרשם ל"א

Fractions

83)

‫83 דרך האשקישארי כפי מחבר הספר הנקרא פראלוקא

נרצה להתיך רמ"ח חלקים מט' אלפים ותרנ"ו שימם ככה ‫

\scriptstyle\frac{248}{9656}

אח"כ תחלק המספר שתחת הקו על המספר שעל הקו ויצא לך ל"ח ונשאר רל"ב אח"כ תחלק עתה רמ"ח על רל"ב ויצא א' ונשאר י"ו עתה תחלק רל"ב על י"ו ויצא י"ד ונשאר ח' עתה תחלק י"ו על ח' ויצא ב' ולא ישאר מאומה

ובהיות כי החלוקה האחרונה היתה ח' אומר כי זה המספר צריך שכתיבהו על ח' ר"ל כי אם תקח החלק השמיני מרמ"ח יהיו ל"א והחלק השמיני מט' אלפים וו' מאות מנ"ו יהיה אלף וו' מאות וז' ולא תוכל להתיכו עוד כזה ‫

\scriptstyle\frac{31}{1207}

ואם לא תוכל להתיכו בזה הדרך תאמ' כי הוא ראשון בלתי מורכב

המשל נרצה לדעת מהו כ"ג חלקים מל‫'

תחלק ל' על כ"ג ויצא אחד ונשאר ז' אח"כ תחלק כ"ג על ז' ויצא ג' ונשאר ב' עתה תחלק ז' על ב' ויצא ג' ונשאר א' עתה תחלק ב' על א' ויצא ב' ולא נשאר מאומה והנך רואה כי יען כי לא נשאר מאומה מספרינו לא תוכל להתיכו

84) If you wish to multiply 30 by 5 sixths.

\scriptstyle30\times\frac{5}{6}

‫84 אם תרצה לכפול ל' על ה' שישיות

Multiply 30 by 5 then divide by 6 and the result is 25.

\scriptstyle{\color{blue}{30\times\frac{5}{6}=\frac{30\sdot5}{6}=25}}

כפול ל' על ה' וחלק על ו' ויצא כ"ה

85) If you wish to subtract 3 fifths from 7 eighths.

\scriptstyle\frac{7}{8}-\frac{3}{5}

‫85 אם תרצה לגרוע ג' חמישיות מז' שמיניות

Common denominator: take a number that consists of 5 and 8, which is 40.

קח מספר שיהיה מורכב מה' וח' והוא מ‫'

Take its 3 fifths, they are 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot40=2{\color{red}{4}}}}$

קח ג' חמישיותיו והם כ"ה

Take its 7 eighths, they are 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot40=35}}$

קח ז' שמיניותיו והם ל"ה

Subtract 24 from 35, the remainder is 11 and they are 11 parts of the denominator, which is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}-\frac{3}{5}=\frac{35-24}{40}=\frac{11}{40}}}

הסר כ"ד מל"ה הנשאר י"א והם י"א חלקים מהמורה שהוא ‫^[43]מ‫'

You can do so with addition:

וכן תוכל לעשות מהחבור

As if you say: sum 2 thirds with 3 quarters

\scriptstyle\frac{2}{3}+\frac{3}{4}

כאלו תאמר חבר לי ב' שלישיות עם ג' רביעיות

Common denominator: take a number that consists of 3 and 4, which is 12 and it is the denominator.

קח מספר מורכב מג' וד' והוא י"ב והוא מורה

Take its 2 thirds, they are 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot12=8}}$

קח ב' שלישיותיו והם ח‫'

And its 3 quarters, they are 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot12=9}}$

וג' רביעיותיו והם ט‫'

Sum 9 and 8, they are 17.

\scriptstyle{\color{blue}{9+8=17}}

חבר ט' וח' והם י"ז

Divide them by 12, which is the denominator and the result is 1 and 5 parts of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\frac{3}{4}=\frac{17}{12}=1+\frac{5}{12}}}

חלקם על י"ב שהוא המורה ויצא א' שלם וה' חלקים מי"ב

Likewise, you can sum integers with fractions, as for every whole unit you take the denominator once.

כן תוכל לחבר שלמים עם שברים כי בעד כל אחד שלם תקח מורה שלם

86) If you wish to divide one half by one third.

\scriptstyle\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}

‫86 ואם תרצה לחלק חצי על שליש

Common denominator: take the denominator, which is 6.

קח המורה והוא ו‫'

Take its third, it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot6=6}}$

וקח שלישיתו והוא ב‫'

And its half, it is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6=3}}$

וחציו והוא ג‫'

Divide 3 by 2, it is 1 and a half and it is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\div\frac{1}{3}=\frac{3}{2}=1+\frac{1}{2}}}

חלק ג' על ב' והוא א' וחצי והוא המבוקש

Likewise, you can divide integers and fractions, by taking the denominator for every whole unit.

וכן תוכל לחלק שלמים עם שברים שתקח בעד כל שלם מורה שלם

If you wish to divide 4 by 2 thirds.

\scriptstyle4\div\frac{2}{3}

ואם תרצה לחלק ד' על ב' שלישיות

שימם כך ‫

\scriptstyle\frac{4}{1}\;\frac{2}{3}

אח"כ שים אחד תחת הד' כמו שהוא רשום

אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' על ד' והם י"ב

וכפול א' על ב' והם ב‫'

חלק י"ב על ב' ויצא ו‫'

87)

‫87 מאיזה מספר חסרת י"ג כי ישארו י"ב ומאי זה מספר חסרת ג' ושליש כי נשאר ד' ושליש

תחבר י"ג עם י"ב ויהיו כ"ה

גם תחבר ג' וחצי עם ד' ושליש ויהיו ויהיו ז' וה' שישיות

88) Which number will you sum with 23 so that the result will be 39?

\scriptstyle23+a=39

‫88 עם איזה מספר חברת כ"ג כדי שיעלה ל"ט

Subtract 23 from 39, the remainder is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{a=39-23=16}}

תסיר מל"ט כ"ג הנשאר י"ו

89) Which number will you sum with 6 and a half so that the result will be 13 and 2 fifths?

\scriptstyle\left(6+\frac{1}{2}\right)+a=13+\frac{2}{5}

‫89 עם איזה מספר חברת ו' וחצי כדי שיעלה י"ג וב' חמישיות

Subtract 6 and a half from 13 and 2 fifths, the remainder is 6 and [9] parts of [10].

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(13+\frac{2}{5}\right)-\left(6+\frac{1}{2}\right)=6+{\color{red}{\frac{9}{10}}}}}

תסיר מי"ג וב' חמישיות ו' וחצי הנשאר ו' וי"א חלקים מט"ו

90) Which number will you divide by 5 so that the result will be 17?

\scriptstyle a\div5=17

‫90 איזה מספר חלקת על ה' כדי שיצא י"ז

Multiply 5 by 17, the result is 85.

\scriptstyle{\color{blue}{a=5\times17=85}}

כפול ה' על י"ז ויצא פ"ה

91) Which number will you divide by 4 and a seventh so that the result will be 2 and one eighth?

\scriptstyle a\div\left(4+\frac{1}{7}\right)=2+\frac{1}{8}

‫91 איזה מספר חלקת על ד' ושביעית כדי שיצא ב' ושמין

Multiply 4 and a seventh by 2 and one eighth, the result is 8 and 45 parts of 56.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(4+\frac{1}{7}\right)\times\left(2+\frac{1}{8}\right)=8+\frac{45}{56}}}

כפול ד' ושביעית עם ב' ושמין ויעלה ח' ומ"ה חלקים מנ"ו

92) By which number will you divide 36 so that the result will be 9?

\scriptstyle36\div a=9

‫92 עם איזה מספר חלקת ל"ו כדי שיצא ט‫'

Do as follows: divide 36 by 9, the result is 4 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{a=36\div9=4}}

כך תעשה תחלק ל"ו על ט' ויצא ד' והוא המבוקש

93) By which number will you divide 12 and a quarter so that the result will be 3 and a half?

\scriptstyle a\div\left(4+\frac{1}{7}\right)=2+\frac{1}{8}

‫93 עם איזה מספר חלקת י"ב ורביע כדי שיצא ג' וחצי

Divide 12 and a quarter by 3 and a half, the result is 4 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(12+\frac{1}{4}\right)\div\left(3+\frac{1}{2}\right)={\color{red}{3}}+\frac{1}{2}}}

חלק י"ב ורביע על ג' וחצי ויצא לך ד' וחצי

ואלו הד' שאלות האחת נעשת עם החבור והאחרת עם המגרעת ואחרת עם כפל ואחרת עם חלוק הן מהשלמים הן מהשברים

94)

‫94 חבר על ג' חמישיות כדי שיעלה ח' תשיעיות

כך תעשה ראה איזה מספר ראוי לחבר על ג' חמישיות יעלה ח' תשיעיות הוצא מח' ‫^[44]ג' חמישיות הנשאר י"ג חלקים ממ"ה ועם זה ראוי לחבר ג' חמישיות עתה ראה אלו הי"ג חלקים ממ"ה כמה שמיניות יש בו ותמצא כי יש בו ב' שמיניות ונשאר י"ד חלקים ממ"ה וכזה ראוי לחבר על ג' חמישיות ר"ל ב' שמיניות וי"ד חלקים ממ"ה ויעלה הכל ח' תשיעיות

95) Question: how many parts of 18 there are in 5 ninths?

\scriptstyle\frac{5}{9}\div18=a

‫95 שאלה בה' תשיעיות כמה חלקים מי"ח יש בו

חלק ה' תשיעיות על י"ח ויצא י' חלקים וכך חלקים יש בו

96)

‫96 תוציא ג' חמישיות מסכום שביעיות באופן שישאר חצי אחד

כך תעשה תחבר ג' חמישיות עם חצי יעלה א' שלם וחלק מי' עתה ראה בא' שלם ועשור כמה שביעיות יש בו ותמצא בו ז' וז' חלקים מי' ומאלו השביעיות צריך להוציא ג' חמישיות וישאר חצי אחד

97) Divide 7 and a half by a certain number so that the result will by 5 sixths of 17 and a half.

\scriptstyle\left(7+\frac{1}{2}\right)\div a=\frac{5}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)

‫97 חלק לי ז' וחצי על מספר מה שהיוצא יהיו ה' שישיות מי"ז וחצי

כך תעשה קח ה' שישיות מי"ז וחצי והיוצא הוא י"ד וז' חלקים מי"ב וכך ראוי שיבא בחלק עתה חלק ז' וחצי על י"ד וז' חלקים מי"ב ויצא לך י"ח חלקים מל"ה והוא המבוקש

98)

‫98 הוצא ההפרש שיש מב' חמישיות אל ה' שישיות ממספר כדי שישאר ההפרש אשר הוא מחצי אל ה' תשיעיות

ראשנה ראה ההפרש אשר הוא מב' חמישיות אל ה' שישיות אשר הוא י"ג חלקים מל' גם ראה ההפרש אשר הוא מחצי אל ה' חלקים מט' והוא חלק מי"ח עתה תחבר חלק מי"ח עם י"ג חלקים מל' ויעלה כ"ב חלקים ממ"ה וזהו המספר המבוקש

99) By how many fifths should we multiply 3 and 2 thirds so that the result will be 7 and 3 quarters?

\scriptstyle\left(3+\frac{2}{3}\right)\times\frac{a}{5}=7+\frac{3}{4}

‫99 על כמה חמישיות נכפול מספר ג' וב' שלישיות כדי שיעשה ז' וג' רביעיות

חלק ז' וג' רביעיות על ג' וב' שלישיות יצא ב' וה' חלקים ממ"ד עתה ראה בזה כמה חמישיות הם והוא המבוקש

100) Divide 7 and a half by so and so ninths so that the result will be 2 and a [quarter].

\scriptstyle\left(7+\frac{1}{2}\right)\div\frac{a}{9}=2+\frac{1}{{\color{blue}{4}}}

‫100 חלק ז' וחצי על כל כך תשיעיות שיהיה היוצא ב' ותשיעית

ראשנה חלק ז' וחצי על ב' ורביע ויצא לך ג' ושליש ועל זה המספר צריך לחלק ז' וחצי על ב' ורביע ויצא לך ג' ושליש עתה ראה בג' ושליש כמה תשיעיות יש בו וחלקם על התשיעיות ויצא לך ל' ועל כן ‫^[45]תאמר כי על ל' תשיעיות נחלק ז' וחצי ויצא ב' ושלישית

101)

‫101 קח ב' שלישיות מסכום של שמיניות שיהיה היוצא חצי אחד

ר"ל כמו האומר חצי מאיזה מספר הוא ב' שלישיות או כמו האומר ב' שלישיות מאיזה מספר הוא נכפל כדי שיהיה חצי על כן חלק חצי על ב' שלישיות והיוצא הוא ג' רביעיות וזה החצי הוא ב' שלישיות יען כי כשתקח ב' שלישיות מג' רביעיות יצא רביע עתה ראה ג' רביעיות כמה שמיניות הם ויצא ו' ומזה המספר ר"ל מו' שמיניות תקח ב' שלישיות ויצא חצי היינו מו' שמיניות

102)

‫102 תכפול ג' חמישיות נגד ה' שישיות כ"כ פעמים שיצא ה' שמיניות

ראשנה תכפול ג' חמישיות נגד ה' שישיות ויצא חצי ר"ל אח"כ כפול חצי באופן יעשה ג' שמיניות חלק ג' שמיניות על חצי ויצא א' ורביע וכנגד אותו מספר תכפול ר"ל נגד א' ורביע והוא המבוקש

103)

‫103 תאמר לי ז' תשיעיות מכמה שמיניות שישיות הם ג' חמישיות

ויצא א' וח' חלקים מכ"ז ומזה המספר ז' תשיעיות הם ג' חמישיות

ולדעת כמה שישיות הם חלקם על שישית ויצא ז' וז' תשיעיות ו' ומאלו השישיות הם ג' חמישיות

104)

‫104 הסר ב' שלישיות מה' שישיות מאיזה מספר שישאר ג' רביעיות מה' שביעיות

קח ב' שלישיות מה' שישיות והם ה' תשיעיות אח"כ קח ג' רביעיות מה' שביעיות והם ט"ו חלקים מכ"ח חברם עם ה' תשיעיות ויצא א' וכ"ג חלקים מרנ"ב ומזה ראוי להסירם

105)

‫105 הסר החצי מג' רביעיות מי"ב וחצי מאיזה מספר כדי שישאר ה' שישיות מב' שלישיות מי' ורביע

ראשנה קח ג' רביעיות מי"ב וחצי והם ט' וה' שמיניות ומזה קח החצי שהם ד' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא החצי מג' רביעיות מי"ב וחצי עוד ראה מה הם ב' שלישיות מי' ורביע שהם ו' וה' שישיות ומזה קח ה' שישיות ויצא ה' וכ"ה חלקים מל"ו עתה תחבר ד' וי"א חלקים מי"ו מאיזה מספר שישאר ה' ‫^[46]וכ"ה חלקים מל"ו וחבר ד' וי"א חלקים מי"ו ויעלה עשרה ונ"ה חלקי' מקמ"ד

106)

‫106 תחבר ההפרש שהוא מב' שלישיות מג' חמישיו' אל ז' שמיניות מח' תשיעיות עם כ"כ חמישיו' שיעשה ההפרש אשר הוא מב' שלישיות מז' תשיעיות אל ז' שמיניות מי"ו חלקים מי"ז

ראשנה מהו ב' שלישיות מג' חמישיות הם ב' חמישיות עוד ראה מהו ז' שמיניות וח' תשיעיות שהם ז' תשיעיות עתה קח ההפרש שהוא מב' חמישיות אל ז' תשיעיות ר"ל שתסיר זה מזה הנשאר י"ז חלקי' ממ"ה עוד ראה מה הם ב' שלישיות מז' תשיעיות שהם י"ד חלקים מכ"ז אח"כ ראה מה הם ז' שמיניות מי"ו חלקים מי"ז שהם י"ד חלקים מי"ז גם ראה ההפרש אשר הוא מי"ד חלקים מי"ז וי"ד חלקים מכ"ז והוא שתסיר זה מזה הנשאר ב' חלקים מתנ"ט וכך הוא ההפרש ממה ששאל

107) Question:

‫107 שאלה תמצא לי ב' מספרים אשר יהיה חצי ושליש ורביע מזה כמו חומש ושישית ושביעית האחר

כך תעשה דע תחלה כי כשיש לך לחבר ב' מספרים שברים הנה מה שעומד על המספר האחד הוא כמו מה שעומד על המספר האחר ר"ל כי אם תחבר ב' שלישיות עם ג' רביעיים שימם ‫

\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{3}{4}

וכפול דרך קרוציטא היינו ג' שהם תחת ב' שלישיות על ג' שהם על הרביעיות ויהיו ט' ושימם על הג' רביעיות וכפול הד' שהם תחת הרביעיות על ב' שהם השלישיות והם ח' ואמור כי כך עולה ב' שלישיות מט' כמו ג' רביעיות מט' ח וכן מכל המספרים

ואם יש לך שבר ושלם בצד אחד תשברהו ועשה כנז' ויצא לעולם שוה

ועם זאת ההקדמה תוכל לדעת שאלתינו וחבר חצי ושליש ורביע ממספר יעלה א' וא' חלק מי"ב תשבר השלם ועם השבר יהיו י"ג חלקים מי"ב כן תעשה מהמספר האחר חבר חומש ושישית ושביעית ויעלה ק"ז חלקים מר"י עתה כפול א' וחלק מי"ב שהם י"ג חלקים מי"ב על ר"י ויצא אלפים ותש"ל גם כפול הי"ב שהם תחת הי"ג על ק"ז ‫^[47]ויצא לך אלף ורפ"ד והשאלה היא נעשת ואומר כי כל כך עולה החומש והשישית והשביעית מאלפים ותש"ל כמו החצי והשליש והרביע מאלף ודוק ותשכח

ודע כי גם זה שוה בשלמים כמו האומר כפול ד' על ח' עשה מהם כמו שברים בזה האופן ‫

\scriptstyle\frac{4}{1}\;\frac{8}{1}

עתה כפול הד' שהם על הא' נגד הא' שהם תחת הח' ויצא ד' ושימם על ד' עתה כפול הח' שהם על הא' נגד הא' שהיא תחת הד' ושימם על הח' ואומר כי כך עולה אם תכפול הד' אשר שמת על הד' נגד הח' כמו אם תכפול הח' נגד הד' כי הכל עולה ל"ב‫'

משל אחד חבר ב' וחצי עם ג' ושליש עשה מב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאים גם עשה מג' ושליש שלישיות ויהיו י' שלישיות אח"כ חברם דרך שתי וערב וכפול הב' שהם תחת הה' על י' שהם על ג' ויעלו עשרים גם כפול הג' שהם תחת הי' על הה' שהם על הב' ויעלו ט"ו ‫

\scriptstyle\frac{5}{2}\;\frac{10}{3}

ואומר כי אם תכפול ג' על ט"ו ושליש יעלו חמישים גם אם תכפול עשרים על ב' וחצי יהיו חמישים וזה הדרך מועיל מאד בחכמת האלגיברא

108)

‫108 עתה נדבר מענין אחר נקרא בלשונם אינפילצארי והוא זה נרצה לעשות אינפילצא אחת מב' שלישיות כמו שהוא מצוייר פה ‫

\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{4}\;\frac{2}{5}\;\frac{5}{6}

הנה נקח הב' שעל הג' ונכפלם על הד' שהם תחת הא' ויהיו ח' וקח הא' מלמעלה ויהיו ט' ושימם על קו אחד כן קח הג' שתחת ב' וכפלם נגד ד' שהם תחת א' ויהיו י"ב ושימם תחת הט' השמורים כך ‫

\scriptstyle\frac{9}{12}

אח"כ כפול הט' נגד הה' שהם תחת הב' והם מ"ה קח הב' שהם לעיל והם מ"ז ושימם על קו אחר כן כפול הי"ב שהם תחת הט' על הה' שתחת ב' ויעלו ס' ושימם תחת מ"ז כך ‫

\scriptstyle\frac{47}{60}

אח"כ כפול מ"ז שעל הס' על הו' שהם תחת הא' ויהיו רפ"ב חבר בם הה' שהם על הו' ויהיו רפ"ז ושימם על קו גם כפול הס' שתחת מ"ז על הו' שתחת הה' ויהיו ש"ס ושימם תחת הקו ‫

\scriptstyle\frac{287}{360}

וכך הוא האינפילצא מאלו השברים

ודע כי כן תעשה אינפילצי מכל שברים שתרצה לא יצא לך לעולם א' שלם אפי' יהיו השברים

109) Question:

‫109 שאלה אם נשאל לך מאינפילצא אחת משברים אשר עלה כך כמה שלישיות וכמה רביעיות וחמישיות ושישיו' היו בה

ואתה תחלק רפ"ז על ו' שהוא השבר האחרון שזכר ויצא לך מ"ז וישאר ה' לחלק על ו' וכך היו השישיות ר"ל ה' שישיות אח"כ כפול מ"ז על ה' שהוא המספר הנזכר אחר האחרון ויצא לך ט' ונשאר ב' וכך חמישיות היו אינפילצאטי ר"ל ב' חמישיות עוד חלק ט' על ד' ויצא לך ב' ויצא א' וכך רביעיות היו ר"ל א' רביע היו באותה א' אינפילצא עוד חלק ב' על ג' ויצא ב' שלישיות ואמור כי ב' שלישיות היו באותה אינפילצא ‫

\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{4}\;\frac{2}{5}\;\frac{5}{6}

110) Question:

‫110 שאלה ה' חלקים מי"ו מכמה חמישיות ושישיות ושמיניות היה אינפילצאטו

הנה לא תוכל כמו בדרך הקודם כי לא תוכל לחלק ה' חלקים מי"ו על ח' שהוא השבר אחרון הנז' וזה המספר ר"ל ה' חלקים מי"ו היה יותר גדול אלא שהיה א' אשקישאטו והשפיל סכומו ונעשה כן כפול השברים הנזכרים זה על זה ר"ל החומש על השישית ויהיו שלשים גם זה כפול על ח' ויהיו ר"מ וזהו המבוקש ר"ל המספר האשקישאטו ועתה ראה ר"מ מאיזה מספר הוא אשקישאטו אשר שב י"ו חלק ר"מ על י"ו ויצא ט"ו אח"כ כפול הה' אשר הם על י"ו על ט"ו ויהיו ע"ה א"כ מצאנו מספר קודם שהיה אשקישאטו שהיה נ"ד ע"ה חלקים מר"מ אחר שהיה אשקישטו על ט"ו היו ה' חלקים מי"ו ועתה לדעת ה' חלקים מר"מ מכמה חמישיות ושישיות ושמיניות היה אינפילצאטו חלק ע"ה על ה' ויצא לך ט' ונשאר ג' שמיניות היה האינפילצא עו' חלק ט' על ו' ויצא א' וג' שישיות א"כ ג' שישיות היה באינפילצא עו' חלק א' על חומש ויצא לך א' חומש וככה אינפילצי היה בו ר"ל א' חומש ג' שישיות ג' שמיניות ואחר שהיה אינפילצטו עלה ע"ה חלקים מר"מ ואחר שהיה אשקישאטו שב ה' חלקים מי"ו ‫

\scriptstyle\frac{75}{240}\;\frac{5}{16}\;\frac{1}{5}\frac{3}{6}\frac{3}{8}

המאזנים מהריגולא מ' דיטרי אם תהפך השאלה כמו האומר אם מאה שוים כ"ד תתקע"ה ‫^[48]כמה שוים מאה ותמצא כי ישוו כ"ד כמו שהנחנו

עוד משל אחר קלח אם עשרה שוים עשרים שלשים כמה שוים

ותמצא כי שלשים ישוו שישים ותהפך השאלה ותאמר אם שלשים ישוו שישים עשרה כמה שוים ויצא לך עשרים הליט' נרשמת כך ٯ והוא שוה י"ב אונקיו' אלאשוטילי איאלאגרושא שוה י"ח

111) Question:

‫111 שאלה אם דבר מה שוה כ"ה דוקט' ג' מאות כמה שוה ונרצה לנכות ד' על כל מאה לעולם כפול הנקוי הנקרא טארא בלשונם על המאיות שהזכיר

המשל הנה הזכיר בכאן ג' מאות תסיר י"ב שהוא ד' פעמים ג' ואח"כ תסיר מג' מאות י"ב הנשאר רפ"ח ותעשה אח"כ שאלתך כאלו אמ' אם דבר מה שוה כ"ה רפ"ח כמה שוה ותעשה שאלתך

ואם הטארא הוא ג' בעד כל מאה תסירם ממאה והעולה תסיר ממה שהזכיר ר"ל מהסכום שהזכיר

Ratios

112) Now we will discuss the ratios

‫112 עתה נדבר על היחסים

I say that Fra luca's elaboration in the introduction of ratios is only to announce that all matters in the world are proportional, such as the tools of craftsmen in any art; even the organs of animals are proportional, the length in relation to the width; and all the sciences such as music and astronomy, as well as the other sciences — their study concerns proportion and progression — regarding this he expands the discussion.

ואומר כי כל האריכות שמאריך פראלוקא בהקדמת היחסים אינו כי אם להודיע כי כל הענינים שבעולם הם מתיחסים כגון כלי הבעלי מלאכות בכל אומנות אפי' איברי הב"ח הם מתיחסים הארך כפי הרוחב וכל החכמות כגון חכמת השיר וחכמת התכונה וכן יתר החכמות הלמוד מהם ביחס ובהדרגה ובזה הוא מאריך הדבור

I say that the double ratio is less than the triple ratio, the triple ratio is less than the quadruple ratio, and the quadruple ratio is less than the quintuple ratio.

ואומר כי יחס הדופלא הוא פחות מיחס הטריפלא והטריפלא פחותה מהקואטרופלא והקואטרופלא פחותה מהקואינקופלא

The reason is that the double ratio is [generated] from the ratio of 1 to 2, for 3 is as 2 plus its half.

\scriptstyle{\color{blue}{1:2}}

והטעם הוא כי הדופלא הוא מיחס א' אל ב' כי ג' הוא כמו ב' וכמו חציו

The sesquialter is [generated] from the ratio of 1 to 5.

\scriptstyle{\color{blue}{1:5}}

אמנם השישקואיטירציאה מיחס א' אל ה‫'

The triple ratio is [generated] from the ratio of 1 to 3, for it is greater than 2.

\scriptstyle{\color{blue}{1:3}}

והטריפלא מיחס א' אל ג' כי הוא גדול מב‫'

The quintuple is greater than the quadruple, because it is [generated] from the ratio of 1 to 4 and the quintuple is [generated] from 1 to 5

\scriptstyle{\color{blue}{4:1<5:1}}

וכן הקואיאינקופלא הוא גדול מהקואטרופלא כי הוא מיחס א' אל ד' והקואינקופלא מא' אל ה‫'

The sesquialter ratio is greater than the sesquitertian ratio.

אמנם השישקואלטירא היחס גדול מהשישקואיטירציאה

The reason is that the sesquialter ratio is [generated] from the ratio of 3 to 2, for 3 is as 2 plus its half.

\scriptstyle{\color{blue}{2:3\quad3=2+\frac{1}{2}\sdot2}}

והטעם כי השישקואלטירא הוא מיחס ג' אל ב' כי ג' הוא כמו ב' וכמו חציו

The sesquitertian ratio is [generated] from the ratio of 4 to 3, for 4 is as 3 plus its third.

\scriptstyle{\color{blue}{4:3\quad4=3+\frac{1}{3}\sdot3}}

אמנם הששקואיטירציאה הוא מיחס ד' אל ג' כי ד' הוא כמו ג' וכמו שלישיתו

Therefore, since the sesquialter adds half, it is greater than the sesquitertian, which only adds a third, and the half is greater than the third.

ועל כן הששקואלטירא יען כי הוא מוסיף חציו הוא גדול מהששקאיטירציאה כי אינו מוסיף כי אם שליש ‫^[49]והחצי גדול משליש

So you are able to know which ratio is greater than the other.

וכן תוכל להכיר איזה יחס גדול מחבירו

113) Question: find me three proportional numbers, such that their product by each other is the same as their sum.

‫113 שאלה תמצא לי ג' מספרים מתיחסים שיהיו כפולים זה על זה כמו מחוברים

Do as follows: 1, 2, 3 are related, because the excess of the second over the first is 1 and the excess of the third over the second is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=2-1=1=3-2=a_3-a_2}}

כך תעשה א'ב'ג' כי הם מתיחסי' כי יתרון על הראשון יש לשני א' וכן יתרון השלישי אל השני א‫'

Multiply 1 by 2; it is 2. Multiply it by 3; it is 6. Also the sum of 1, 2, 3 is 6.

וכפול א' על ב' והם ב' וכפלם על ג' והם ו' וכן א'ב'ג' מחוברים עולים ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_2\sdot a_3=1\sdot2\sdot3=2\sdot3=6=1+2+3=a_1+a_2+a_3}}

ובזה האופן תוכל לעשות שאלות רבות

ודע כי אם תקח ג' מספרים אחרים זולת אלו ותכפול המספרים האחרים על ב' כמו המספר הנז' גם תכפול השני הדרוש על המספר השני הנז' ב' פעמים כמוהו וכן תכפול המספר השלישי ב' פעמי' כמו המספר השלישי הנה אלו המספרים כפולים זה על זה יהיו ד' פעמים כמו מחוברים

המשל הנה מספירינו הראשון היה א' ונכפלהו ויהיו ב' ומספרינו השני היה ב' וכן ח' ד' ומספרינו הג' היה ג' ונכפלנו ויהיו ו' ואומר כי אלו הג' מספרים ר"ל ב' ד' ו' כפולים זה על זה יהיו ד' פעמי' כמו מחוברים כי מחוברים עולים י"ב וכפולים עולים מ"ח

114) The ratios that are called in their language proporzioni are endless.

‫114 הנה היחסים הנקראים בלשונם פורפורציאוני הם בלתי ב"ת

If the ratio is generated from the ratio of 1 to 2, it is called double ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{1:2}}

והנה אם היחס הוא מיחס א' אל ב' נקרא דופלא

If it is generated from the ratio of 1 to 3, it is called triple ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{1:3}}

ואם הוא מיחס א' אל ג' נקרא טריפלא

If it is generated from the ratio of 1 to 4, it is called quadruple ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{1:4}}

ואם הוא מיחס א' אל ד' נקרא קואטרופלא

And so on.

וכן תמיד

The sesquialter ratio is called the ratio of 3 to 2, for 3 is as 2 plus its half.

\scriptstyle{\color{blue}{2:3\quad3=2+\frac{1}{2}\sdot2}}

שקיאלטירא נקרא יחס ג' אל ב' כי ג' כמו ב' וכמו חציו

The sesquitertian ratio is [generated] from the ratio of 4 to 3, for 4 is as 3 plus its third.

\scriptstyle{\color{blue}{4:3\quad4=3+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)}}

ושישקאיטירציאה נקרא מיחס ד' אל ג' כי ד' כמו ג' וכמו שלישיתו

The sesquiquartan ratio is [generated] from the ratio of 5 to 4, for 5 exceeds over 4 by its quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{5:4\quad5=4+\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)}}

ושישקאיקוארטא נקרא מיחס ה' אל ד' כי ה' הוא מוסיף על ד' רביעיתו

The sesquiquintan ratio is [generated] from the ratio of 6 to 5, for 6 is as 5 plus its fifth added to it.

\scriptstyle{\color{blue}{6:5\quad6=5+\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)}}

ושישקואיקיאינטא הוא מיחס ו' אל ה' כי ו' כמו ה' וכמו חמישיתו יוסף עליו

If the ratio is of 5 to 3 it is called superbipartient ratio, for 5 is as 3 plus 2.

\scriptstyle{\color{blue}{5:3\quad5=3+2}}

ואם היחס הוא מה' אל ג' נקרא שופירפאריטינש כי ה' כמו ג' ומוסיף עליו ב‫'

If the number adds 3 over the other, it is called supertripartient, such as 8 to 5, for 8 is as 5 plus 3.

\scriptstyle{\color{blue}{8:5\quad8=5+3}}

ואם המספר מוסיף ג' על האחר נקרא שופירטיפארטיאינש כמו ח' וה' כי ח' כמו ה' ומוסיף עליו ג‫'

If it adds 4 [over the other], such as the ratio of 9 to 5, it is called superquadripartient.

\scriptstyle{\color{blue}{9:5}}

ואם מוסיף ד' כמו יחס ט' אל ה' נקרא שופירקואינדרופארטיאינש

If it added 5, such as the ratio of 11 to 6, it is called superquintipartient ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{11:6}}

ואם הוא מוסיף ה' כמו יחס י"א אל ו' נקרא קואינקיפארטיאינש וכן לעולם

‫^[50]~~ואומר כי אלו האם~~ וכל הדברים מתיחסים ושומרים היחס ו' קלט כגון בעלי המלאכות כאלו תאמר החיטים ראוי שישמרו היחס בכל דבר כגון שיהיה אורך הבגד מתיחס אל הרוחב

וכן הנפחי' כאלו תאמר המקבת צריך שיהיה מתיחס הארך אל הרוחב וכן לשאר המלאכות

115)

‫115 אם יש לך ג' מספרים מתיחסי' כגון א' ב' ג' ותכפול כל אחד בפני עצמו אח"כ תחבר ההכפלות ואח"כ תחבר אותם המספרים הנה יעלה חבור מרובע שלשתם ב' פעמים ושליש כמו שיעלה חבור שלשתם זה על זה

Example: 1, 2, 3. The square of 1 is 1; the square of 2 is 4; the square of 3 is 9; together they are 14. If you sum 1, 2, 3, the result is 6. Divide 14 by 6; the result is 2 and one-third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1^2+2^2+3^2}{1+2+3}=\frac{1+4+9}{6}=\frac{14}{6}=2+\frac{1}{3}}}

המשל א' ב' ג' הנה מרובע א' הוא א' ומרובע ב' ד' ומרובע ג' ט' ומרובע עולים י"ד ואם תחבר א' ב' ג' עולה ו' חלק י"ד על ו' ויצא ב' ושליש

Similarly, if you multiply 2, 4, 6, each by itself, and sum their squares, the result is 4 times and 2-thirds the sum of all three.

\scriptstyle{\color{blue}{2^2+4^2+6^2=\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(2+4+6\right)}}

כן אם תכפול ב' וד' וו' כל איש בפני עצמו ותקבץ מרובעם יעלה ד' פעמים וב' שלישיות כמו חבור שלשתם

Example: multiply 2 [by itself]; it is 4. Multiply 4 [by itself]; it is 16. Multiply 6 [by itself]; it is 36. Sum them; the result is 56. Then, sum 2, 4, and 6; they are 12. It is twice the first.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2^2+4^2+6^2}{2+4+6}=\frac{4+16+36}{12}=\frac{56}{12}=4+\frac{2}{3}=2\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)}}

המשל כפול ב' והם ד' וכפול ד' והם י"ו וכפול ו' והם ל"ו וחברם ויעלו נ"ו אח"כ חבר ב' וד' וו' והם י"ב והוא ב' פעמים כמו הראשון

Likewise, if you multiply 4, 8, 12, each by itself, and sum their products, the result is 224. Divide 224 by their sum, i.e. 4, 8, and 12, which is 24; you receive 9 and one-third, which is twice the previous that was 4 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4^2+8^2+12^2}{4+8+12}=\frac{224}{24}=9+\frac{1}{3}=2\sdot\left(4+\frac{2}{3}\right)}}

וכן אם תכפול ד' וח' וי"ב כל אחד לעצמו וקבץ הכפלותיהם ויעלה רכ"ד וחלק רכ"ד על חבוריהם היינו ד' וח' וי"ב והם כ"ד ויצא לך ט' ושליש והוא ב' פעמים כמו הראשון כי לא עלה כי אם ד' וב' שלישיות

116) Question: If you have a triangle, or a square, or a circle and you make the length of each of the lines twice as long as the first, its area will be 4 times [the original].

‫116 שאלה אם יש לך משולש או מרובע או עגול ותעשה אורך כל א' מהקוים ב' פעמים כראשון תשברתו יעלה ד' פעמים כמוהו

Example: a square, each side of which is 4 cubits.

המשל מרובע כל צלע ד' אמות

Its area is 16 cubits.

הנה תשברתו י"ו אמות

If you make a square, each side of which is 8 cubits, its area is 64, which is 4 times the original.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)^2=8^2=64=4\sdot16=4\sdot4^2}}

ואם תעשה מרובע כל צלע ח' אמות תשברתו ס"ד והוא ד' פעמים כראשון

Apply the same rule for a triangle or a circle.

וכן תדין ממשולש או עגול

117) If you have three proportional numbers, if the ratio is a double ratio, when you multiply the first by the second it is half the product of the first by the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot2a=\frac{1}{2}\sdot\left(a\sdot4a\right)}}

‫117 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים אם היחס הוא דופלא אם תכפול הראשון על השני יהיה חצי מכפל הראשון על ג‫'

המשל ד' ב' ח' אם תכפול ב' שהוא הראשון על ד' יעלה ח' וכן אם תכפול ב' על ח' יעלה י"ו והוא חציו

וכן אם היחס הוא טריפלא אם תכפול הא' על הב' יהיה שליש מכפל הא' על הג' כמו ג' ט' כ"ז ‫^[51]אומר כי אם תכפול ג' פעמים ט' יעלה כ"ז ואם תכפול ג' פעמים כ"ז יעלה פ"א ופ"א הוא ג' פעמים כ"ז

כן תוכל לעשות מכל היחסים אם הוא קואטרופלא או קואינקופלא

118) If you have three proportional numbers and you sum them, then divide the sum by each of the three numbers, the quotients are also proportional numbers.

‫118 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים ותקבץ שלשתם אח"כ תחלק העולה על כל אחת מהג' מספרים הנה העולה לכל חלק יהיו ג"כ מספרים מתיחסים

Example: if we have 2, 4, and 8, they are proportional.

המשל יש לנו ב' ד' ח' והם מתיחסים

I say that if you sum them, they are 14.

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+8=14}}

אומר כי אם תחברם והם י"ד

If you divide 14 by 2, which is one of the quotients, the result is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{2}=7}}

ואם תחלק י"ד על ב' שהוא א' מהחלקים יצא ז‫'

If you divide also 14 by 4, the result is 3 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{4}=3+\frac{1}{2}}}

ואם תחלק עו' י"ד על ד' יצא ג' וחצי

If you divide 14 by 8, the result is 1 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{8}=1+\frac{3}{4}}}

ואם תחלק י"ד על ח' יצא א' וג' רביעיות

These numbers are proportional.

ואלו המספרים הם מתיחסים

119) If you sum three proportional numbers that are doubles or triples, always sum them, then divide the sum by each of the numbers [and the quotients] will always by the same.

‫119 אם תחבר ג' מספרים מתיחסים הן שיהיו דופלא או טריפלא לעולם המחובר מהם ואותו סך תחלק על כל א' מהמספרים לעולם יהיו שוים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a+\left(q\sdot a\right)+\left(q^2\sdot a\right)}{a}\quad\frac{a+\left(q\sdot a\right)+\left(q^2\sdot a\right)}{q\sdot a}\quad\frac{a+\left(q\sdot a\right)+\left(q^2\sdot a\right)}{q^2\sdot a}}}

Example of the doubles: 2, 4, 8

המשל בדופלא ב'ד'ח‫'

Their sum is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+8=14}}

מחוברים הם י"ד

If you divide it by 2, the result is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{2}=7}}

ואם תחלקם על ב' יצא ז‫'

If by 4, [the result is] 3 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{4}=3+\frac{1}{2}}}

ואם על ד' ג' וחצי

If by 8, [the result is] 1 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{8}=1+\frac{3}{4}}}

ואם על ח' א' וג' רביעיו‫'

The same is done with other numbers that are doubles.

כן יעשה מהמספרים אחרים שיהיו דופלא

Such as 6, 12, 24.

כגון ו' י"ב כ"ד

If you sum them, they are 42.

\scriptstyle{\color{blue}{6+12+24=42}}

אם תחברם יהיו מ"ב

Divide it by 6; the result is 7 as at the beginning.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{42}{6}=7}}

חלקם על ו' יצא ז' כמו בראשנה

Divide it by 12; the result is 3 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{42}{12}=3+\frac{1}{2}}}

חלקם על י"ב יצא ג' וחצי

Divide it by 24; the result is 1 and 3-quarters as at the beginning.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{42}{24}=1+\frac{3}{4}}}

חלקם על כ"ד יצא א' וג' רביעיות כבראשנה

Example for triples: 6, 18, 54.

המשל אל הטריפלא ו' י"ח נ"ד

Their sum is 78.

\scriptstyle{\color{blue}{6+18+54=78}}

מחוברים יהיו ע"ח

Divide it by 6; the result is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{6}=13}}

חלקם על ו' ויצא י"ג

Divide it by 18; the result is 4 and one-third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{18}=4+\frac{1}{3}}}

חלקם על י"ח ויצא ד' ושליש

Divide it by 24; the result is 1 and 4-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{54}=1+\frac{4}{9}}}

חלקם על נ"ד ויצא א' וד' תשיעיות

וזה הדרך בכל היחסים הן דופלא או טריפלא או קואינקופלא בין שיהיו מספרים מתחלפים לעולם העולה יהיה שוה

וכמו שתעשה עם ג' מספרים כן תוכל לעשות מד' מספרים ר"ל כי כל אותם הסגולות שיש לג' יש לד' הן דופלא או טריפלא או זולתם מהיחסים

120)

\scriptstyle\frac{a+b}{b}:\frac{a+b}{a}=a:b

‫120 אם יש לך ב' מספרים אם תחברם ומה שיעלה תחלק על אחד מהמספרים ר"ל על הגדול גם אם תחלק העולה על המספר הקטן הנה אלו הב' מספרים יהיה להם אותו היחס כמו שהיה להם קודם שנתחברו

המשל המספר האחר ו' והאחר י"ב הנך רואה כי זה ‫^[52]היחס נקרא דופלא

Sum them; they are 18.

\scriptstyle{\color{blue}{6+12=18}}

חברם ויהיו י"ח

Then, divide 18 by 12; the result is 1 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{12}=1+\frac{1}{2}}}

אח"כ חלק י"ח על י"ב ויצא א' וחצי

Divide 18 also by 6; the result is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{6}=3}}

עוד חלק י"ח על ו' ויצא ג‫'

You see that the ratio of 1 and a half to 3 is a double ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):3=1:2}}

והנך רואה כי יחס א' וחצי אל ג' הוא דופלא

If you multiply these two numbers, i.e. 1 and a half by 3, the result is 4 and a half.

אם תכפול אלו הב' מספרים ר"ל א' וחצי על ג' ויעלה ד' וחצי

Likewise, if you sum them, they are also 4 and a half.

וכן ג"כ יעשו אם תחברם הם ג"כ ד' וחצי

Hence, their sum is the same as their product.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\times3=4+\frac{1}{2}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+3}}

הנה חבורם כמו הכפל

גם אם תחלק ד' וחצי על ג' יצא א' וחצי כמו שהיה אחד מהמספרים

גם אם תחלק ד' וחצי על ג' יצא א' וחצי והוא המספר האחר

כן תוכל לעשות מיחס הטריפלא כגון אם היה האחד ג' והאחר ט‫'

אם תחברם יהיו י"ב

חלק י"ב על ג' ויצאו ד‫'

חלק י"ב על ט' ויצא א' ושליש הוא ג' פעמים כמוהו

וכן מכל היחסים

ודע כי לעולם יבא שבר באחד מאלו החלקי' ולא יחטיא יהיה מאיזה יחס שיהיה גם סגולות אלו היחסים ר"ל החלקים מחוברים

אם היחסים הוא דופלא החלקים מחוברי' יהיו שנים יתרים על הדופלא

ואם היחס טריפלא יהיו מחוברים חמשה זולת השבר הנמצא בכל היחסים

ואם היחס הוא טריפלא המחובר יהיו ו' זולת השבר הנמצא לעולם בכל היחסים

וכן מכל היחסים תמצא לעולם בהיותם מחוברים ב' לעולם זולת השבר

המשל מהנזכר למעלה מו' ומי"ב

הנה היחס הוא דופלא הנך רואה כי החלק הא' הוא א' וחצי והאחר ג' ושניהם ד' וחצי

והנך רואה כי יש בו שנים יתרים על הדופלא ודופלא ר"ל כפול כמו שנים

וכן המשל מהטריפלא האחד היה ד' והאחר א' ושליש ושניהם ה' ושליש

והנך רואה כי מוסיף ב' על הטריפלא כי הטריפלא שם נגזר משלשה גם השבר הנמצא בו מורה על היחס

כי אם הוא טריפלא תמצא בשבר שליש

ואם הוא דופלא תמצא בשבר חצי

ואם קואטרופלא תמצא בשבר רביע

ואם קואינקופלא חומש

121) If you have two proportional numbers, such as 2 and 4: if you wish to find the third.

‫121 אם יש לך ב' מספרים מתיחסים כגון ב' וד' אם תרצה למצא השלישי

Multiply 2 by 4; it is 8 and it is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=2\sdot4=8}}

כפול ב' על ד' והם ח' והוא השלישי

You can also apply the method of proportions.

וכן תוכל לעשות בדרך הערכים

If you have the first and the third, but you do not know the second: multiply the first by the third and extract the root of the result.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}}}

ואם יש לך הא' והג' ולא תדע הב' כפול הא' על הג' ומהעולה קח השרש

Example: the first is 2 and the third is 8.

המשל הא' הוא ב' והג' הוא ח‫'

Multiply 2 by 8; it is 16.

כפול ב' על ח' והם י"ו

Extract its root; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{2\sdot8}=\sqrt{16}=4}}

וקח שרשם והם ד‫'

To find the first: multiply the second by itself, divide by the third and the result is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(a_2\right)^2}{a_3}}}

ולמצא הא' ‫^[53]כפול השני על עצמו ותחלק על השלישי והיוצא הוא הראשון

Example: the second is 4 and the third is 8.

המשל השני הוא ד' והג' הוא ח‫'

Multiply 4 by itself; it is 16.

כפול ד' על עצמם ויהיו י"ו

Divide it by 8; it is 2 and this is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{4^2}{6}=\frac{16}{8}=2}}

וחלקם על [ח'] ויהיו ב' והוא השני הראשון

If you have three numbers and you wish to find [the fourth]: multiply the second by the third and divide the product by the first; the result is the fourth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}}}

ואם יש לך ג' מספרים ותרצה למצא כפול הב' על הג' והיוצא חלק על הא' והיוצא הוא הד‫'

Example: 2, 4, 8.

המשל ב'ד'ח‫'

Multiply 4 by 8; it is 32.

כפול ד' על ח' והם ל"ב

Divide by 2; it is 16 and this is the fourth proportional number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4\sdot8}{2}=\frac{32}{2}=16}}

חלק על ב' והם י"ו והוא היחס מהמספר הרביעי

To find the third: multiply the first by the fourth and divide by the second; the result is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}}}

ולמצא השלישי כפול הא' על הד' וחלק על ב' והיוצא הוא הג‫'

Such as the first by the fourth: multiply 2 by 16; it is 32.

כגון א' בד' י"ו כפול ב' על י"ו והם ל"ב

Divide by 4; it is 8 and it is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{2\sdot16}{4}=\frac{32}{4}=8}}

חלק על ד' ויהיו ח' והוא השלישי

If you know the first, the third, and the fourth, but you do not know the second:

ואם תדע הא' והג' והד' ולא תדע הב‫'

Such as: 2, 8, 16.

כמו ב' ח' י"ו

כפול ב' על י"ו והם ל"ב וחלקם על ח' והם ד' והוא השני

ואם תדע הב' והג' והד‫'

כמו ד' ח' י"ו

כפול ד' על ח' ויהיו ל"ב וחלקם על י"ו ויצא ב' והוא הראשון

ואם תדע הא' והב' למצא הג' והד' כפול א' על ב' חלקם על א' והוא הג‫'

כגון ב' ד' למצא הג' והד' כפול ד' על עצמם ויהיו י"ו חלקם על ב' ויצא ח' והוא השלישי

ולמצא הרביעי תדע מצד השאלות הנזכרות

אם תדע הג' והד' ולא תדע הא' והב' הג' וח' וד' וי"ו

ולמצא השני

כפול ח' על עצמם והם ס"ד חלקם על י"ו והם ד' והוא השני

ולמצא הראשון כתוב לעיל

122)

‫122 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים הנה הא' והד' הם מחוברים והב' והג' ג"כ הם מחוברים אם תרצה לדעת כל אחד ואחד

כך תעשה כמו שיש לנו ד' מספרים ב' ד' ח' י"ו

הנה הא' והד' הם י"ח והב' והג' הם י"ב קח מעוקב י"ב והם אלף ותשכ"ח ושמרם עתה כפול י"ב על שלשה והם ל"ו וחברם עם הי"ח והם נ"ד עתה תחלק אלף ותשכ"ח על נ"ד ויצא ל"ב ושמרם עתה תחלק י"ב על ב' ויצא ו' ושמור ו' גם כפול ו' על עצמם ויהיו ל"ו ומאלו הל"ו תסיר הל"ב השמורים תסיר ב' שהם שרש ד' הנשאר ד' וקח שרשם והם ב' וחברם עם הו' ויהיו ח' וכן היה המספר הג' כי הוא ח' גם מהו' השמורים תסיר ב' שהם שרש ד' וישאר ד' וכן היה השני עתה למצא הראשון כפול ד' על ‫^[54]עצמם וחלק על ח' שהוא המספר השלישי ויצא ב' והוא הראשון עתה אחר שאתה יודע הא' והב' והג' תוכל למצא הד‫'

123)

‫123 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים ולא תדע כי אם הא' והה' ולא תדע הב' והג' והד‫'

המשל הראשון (ב') והה' ל"ב כפול ל"ב על ב' ויהיו ס"ד וקח שרשם והם ח' והוא השלישי עתה כפול ב' על ח' ויהיו י"ו וקח שרשם שהם ד' והוא השני עו' כפול הח' על ל"ב והם רנ"ו וקח שרשם והם י"ו והוא הרביעי

124)

‫124 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים כגון ב' ד' ח' י"ו תחבר הב' והג' והם י"ב עתה תחבר ארבעתם והם ל' הנה י"ב הוא ב' חמישיות מל' עתה תחבר הא' עם הג' ויהיו י' עתה ראה הב' שהוא ד' איזה יחס הוא אצל הי' והם ב' חמישיות ג"כ

125)

‫125 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים ב' ד' ח' י"ו תחבר הא' עם הב' והם ו' גם תחבר הג' והד' והם כ"ד והנה ו' הוא רביע כ"ד עתה ראה הד' כי הוא רביע מהג' ג"כ

126)

‫126 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים ב' ד' ח' י"ו הנה הא' והג' הם י' והב' והד' הם עשרים והנה עשרה הוא חצי עשרים עתה ראה יחס הא' אצל הב' והנה הא' הוא ב' והב' הוא ד' והוא ג"כ חציו

127)

‫127 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים ותקח מספר איזה שתרצה ותחלק אותו מספר על כל אחת מאלו הד' מספרים תמצא כי אותם הד' חלקים יהיו מתיחסים כמו הד' הראשנים

משל ב' ד' ח' י"ו והמספר האחר נניח שיהיה מ"ח חלקהו על י"ו ויצא ג' חלקהו על ח' ויצא ו' חלקהו על ד' ויצא י"ב עוד חלקהו על ב' ויצא כ"ד

והנה אלו הד' הם מספרים מתיחסי' כמו הראשנים

128)

‫128 אם יש לך ד' מספרים מתיחסים או בלתי מתיחסים הנה כל כך יעלה כפל הב' עם הג' כמו הא' עם הד‫'

כגון ב' ד' ח' י"ו הנה ב' על י"ו הם ל"ב וכן ד' על ח' ל"ב וכן אם הא' ב' והב' ד' והג' ה' והד' י' אומר כי הא' שהוא ב' על י' הם עשרים וכן השני ד' על השלישי שהוא ה' הם עשרים

129)

‫129 אם יש לך ד' מספרים הא' הוא שרש ב' והב' שרש ארבעי' הנה עשרה פעמים מ' הם ד' מאות ושרשם עשרים והב' יחסים ‫^[55]אחרים הא' והב' ד' הנה מרובעם עולה ג"כ עשרים כי מרובע ב' ד' ומרובע ד' י"ו והם עשרים והם שוים אל העשרים ה' השמורים והנה כפל ב' על ח' האחרות מחוברות יהיו ד' מאות כי עשרה ומ' הם חמישים וח' פעמים נ' ד' מאות

והנך רואה כי כפל ח' על חמישים הם ד' מאות כמו שהוא הכפל מי' אל מ' ולא יחטיא

130) If you have four proportional numbers, then the product of all of them by each other is the same as the [square of the product of the] first by the fourth.

‫130 ואם יש לך ד' מספרים מתיחסים הנה כל א' כפול על חבירו יעלה כפי הכפל שתעשה אחר שחברת הא' עם הד‫'

Example: 2, 4, 8, 16.

המשל ב' ד' ח' י"ו

Now, multiply 2 by 4; it is 8; 8 by 8 is 64; and 16 times 64 is one thousand and 24.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot8\sdot16=8\sdot8\sdot16=64\sdot16=1024}}

עתה כפול ב' על ד' והם ח' וח' על ח' הם ס"ד וי"ו פעמים ס"ד הם אלף וכ"ד

If you multiply 2, which is the first, by 16, which is the fourth; it is 32 and its square is one thousand and 24.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot16\right)^2=32^2=1024}}

וכן אם תכפול ב' שהוא הא' עם י"ו שהוא ד' יהיו ל"ב וכפלם ויהיו אלף וכ"ד

131)

‫131 ד' מספרים מתיחסים אם תכפול כל אחד לעצמו ועל כל אחד מהאחרים ותחבר הכל יעלה כמו אם תחבר הד' מספרים ואח"כ תקח כפלם בשוה

כמו ב' ד' ח' י"ו כלם מחוברים עולה ל' כפלם ויהיו ט' מאות עתה כפול הא' עם הב' ועם הג' ועם הד' ושמור העולה עו' כפול הב' על הא' ועם הג' ועם הד' ושמור העולה עו' כפול הג' על הא' ועל הב' ועל הד' ושמור העולה עו' כפול הד' על הא' ועל הב' ועל הג' ושמור העולה אח"כ קבץ הכל ויעלה ט' מאות כמו הט' מאות השמורים

132)

‫132 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים ותכפול הא' על הב' והעולה כפול על הג' כן יעלה מעוקב שניהם המשל ב' ד' ח' כפול ב' על ד' והם ח' וקח מרובעם יהיו ג"כ ס"ד כן אם תכפול ב' על ד' והם ח' וקח מרובעם יהיו ג"כ ס"ד

133)

‫133 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים או בלתי מתיחסים ותכפול הב' על הא' והעולה על הג' הנה אם תחלק העולה על א' מהג' מספרים יעלה כמו הב' הנשארים

המשל הנה הג' מספרים מתיחסים הם ב' ד' ח' כפול ב' על ד' ויהיו א' ח' כפול ח' על ח' ויהיו ס"ד אם תחלק ס"ד על ב' יעלה ל"ב כמו הב' והג' מוכפלים או אם תחלק ס"ד על ד' יצא י"ו כמו הא' והג' כפולים או אם תחלקהו על ח' יצא ח' כמו הא' והב' כפולים וכן ‫^[56]ממש תעשה אם המספרים בלתי מתיחסים

134) If you have two proportional numbers, as 6 and 12, which are in a double ratio; then you take three proportional numbers in a double ratio, such as 2, 4, 8, I say that if you add 4 to 8, it is 12. Multiply it by the smaller of the two former numbers, which is 6; it is 72, which is exactly the same as if you add 4 to 2, which is 6, and multiply it by the greater number, which is 12; it is 72.

‫134 אם יש לך ב' מספרים מתיחסים כגון ו' י"ב שהוא דופלא אח"כ קח ג' מספרים מתיחסים מיחס דופלא כמו ב' ד' ח' אומר אם תחבר ד' עם ח' יהיו י"ב כפלם על הקטן מב' מספרים ראשנים שהוא ו' ויהיו ע"ב וכן ממש אם תחבר ד' עם ב' ויהיו ו' וכפלם על המספר הגדול שהוא י"ב ויהיו ע"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+8\right)\sdot6=12\sdot6=72=6\sdot12=\left(2+4\right)\sdot12}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(2a+4a\right)\sdot b=\left(a+2a\right)\sdot2b}}

135) If you have three proportional numbers such as 2, 4, 8.

‫135 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים כגון ב' ד' ח‫'

Multiply the first by the third; it is 16.

ותכפול הא' עם הג' ויהיו י"ו

Multiply also the first by the second; it is 8.

גם כפול הא' על הב' ויהיו ח‫'

Multiply the second by the third; it is 32.

כפול הב' על הג' ויהיו ל"ב

Sum them up; it is 56.

וחברם ויהיו נ"ו

Multiply it by 2; it is 112. Keep it.

וכפלם על ב' ויהיו קי"ב ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(a_1\sdot a_3\right)+\left(a_1\sdot a_2\right)+\left(a_2\sdot a_3\right)\right]\sdot2=\left(16+8+32\right)\sdot2=56\sdot2=112}}

Now, if you multiply each of the three numbers by the two others, the result is also 112, this way:

ואם תכפול עתה כל א' מהג' מספרים על הב' הנשארים יעלו ג"כ קי"ב בזה האופן

Take the first and multiply it by the second; it is 8.

קח א' וכפלהו על ב' והם ח‫'

Multiply it also by the third; it is 16.

ג"כ כפלהו על הג' ויהיו י"ו

Take also the second and multiply it by the first and by the third.

גם קח השני וכפלהו על הא' ועל הג‫'

Take also the third and multiply it by the first and by the second.

גם קח הג' וכפלהו על הא' ועל הב‫'

Sum up all; the result is 112.

וחבר הכל ויעלה קי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(a_1\sdot a_2\right)+\left(a_1\sdot a_3\right)+\left(a_2\sdot a_1\right)+\left(a_2\sdot a_3\right)+\left(a_3\sdot a_1\right)+\left(a_3\sdot a_2\right)=112}}

You can do the same with three non-proportional numbers.

כן תוכל לעשות מג' מספרים בלתי מתיחסים

136) If you have three proportional numbers such as 2, 4, 8.

‫136 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים כגון ב' ד' ח‫'

אם תכפול כל אחד על הב' הנשארים כמו שעשינו לעיל יעלה קי"ב

עתה תחבר אלו הב' מספרים ויעלו י"ד

כפלם ויעלו כ"ח

חלק קי"ב על ה(כ)"ח ויצא ד' כמו השני

עתה תאמר עשה לי מי' ב' חלקים כפולים זה על זה יעלו י"ו שהוא כפל ד' על עצמם שהוא השני

הנה תמצא כי האחד ב' והאחר ח' ובזה האופן מצאת כל הג' מספרים מתיחסים

137) If you have three proportional numbers, as 2, 4, 8, such that the first

‫137 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים כגון ב' ד' ח' אשר הא' כפול בעצמו והג' כפול בעצמו כן יעשה הנה יחס הא' כפול שהוא ד' אל הג' כפול שהוא י"ו הוא רביע כך הוא יחס מא' אל ג' כי הא' הוא ב' והג' הוא ח' והוא רביעיתו

138) What is the number that is mean between 3 and 4?

‫138 איזה המספר הממוצע בין ג' וד‫'

Do as follows:

כך תעשה

Multiply 4 by 3; it is 12.

כפול ד' על ג' והם י"ב

Extract its root; so the number that is mean between 4 and 3 is the root of 12 in the geometrical ratio.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{4\sdot3}=\sqrt{12}}}

וקח שרשם הנה אם כן המספר הממוצע בין ד' וג' הוא שרש י"ב כפי הגיבמיטריקו

But in the arithmetical ratio it is 3 and a half.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_1+a_3}{2}=}}{\color{blue}{3+\frac{1}{2}}}

אמנם כפי הארשמיטיקו הוא ג' וחצי

139) Question:

‫139 שאלה איזהו מספר הממוצע בין ג' וד‫'

כך תעשה כפול ד' על ג‫'

140) Question: A man has a pearl that weighs one trapeso and is worth two hundred ducats.

He has another that weighs 2 trappesi and is worth a thousand zehuvim.

He has also another that weighs 3 trappesi.

How much is it worth according to this ratio?

‫140 שאלה לאיש אחד יש לו מרגלית שוקלת ‫^[57]טראפישו אחד ושוה מאתים דוקט‫'

ויש לו אחרת שוקלת ב' טראפישי ושוה אלף זהובים
גם יש לו אחרת ושוקלת ג' טרפי‫'
כמה תשוה כפי זה היחס

ראוי למצא אבן אחרת לפי היחס שיש מא' לב' ולומ' אם א' יתן לי ב' כמה יתן לי ב' ויתן לי ד' וזה יהיה משקל האבן הד' ראוי לשקול ד' טראפישי והנך רואה כי ההפרש מא' לב' הוא קואינקופלא והנה ראוי לומ' אם ההפרש מא' טרפישי לב' הוא יחס קואינקופלא כן ראוי שיהיה מב' לג' א"כ השוקלת ג' טראפישי ראוי שישוה ה' אלפים והנה יש לך לכפול אלף על ה' אלפים והעולה הוא ככה 5000000 והנה השרש מזה המספר ראוי שישוה השלישית אשר שוקלת ג' טראפיסי

141) If you have three proportional numbers, such that when you multiply the first by the second and the third, you also multiply the second by the two others, you multiply the third by the two others, you also multiply each by itself, and the result is 361.

How much are the three proportional numbers?

‫141 אם יש לך ג' מספרים מתיחסים וכפלת הא' על הב' ועל הג' וכן כפלת הב' על השנים הנשארים וכפלת הג' על השנים הנשארים עו' כפלת כל אחד על עצמו ועלה הכל שס"א כמה הם הג' מספרים מתיחסים

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle\left(a_1\sdot a_2\right)+\left(a_1\sdot a_3\right)+\left(a_2\sdot a_1\right)+\left(a_2\sdot a_3\right)+\left(a_3\sdot a_1\right)+\left(a_3\sdot a_2\right)+\left(a_1\right)^2+\left(a_2\right)^2+\left(a_3\right)^2=361\end{cases}}}

This is mentioned above in the eighth question, because it is said that you extract the root of the product; here the root of the 361 is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{361}=19}}

זה נזכר לעיל בשאלה השמינית כי אמר כי תקח שרש מהמוכפל והנה שרש שס"א הוא י"ט

Now, produce from 19 three proportional parts.

ועתה תעשה מי"ט ג' חלקים שיהיו מתיחסים

You find that one is 4, the other is 6, and another is 9 and they are in a sesquialter ratio and these are the required numbers.

והנה תמצא כי האחד יהיה ד' והאחר ו' והאחר ט' והם מתיחסי' משקאלטירא והוא המספר המבוקש

כן תוכל לעשות חלקים אחרים אחר החפוש

וכן תוכל לעשות מג' מספרים בלתי מתיחסים כמו האומר עשה לי ג' מספרים ממקובץ קמ"ד

קח שרשם והם י"ב עכשו תוכל לעשות מי"ב ג' חלקים מתיחסי' או בלתי מתיחסים ולעולם המקובץ מכל ההכפלות יעלה קמ"ד

142) Produce three proportional numbers from 13, so that when the first part is multiplied by the two others, the second is multiplied by the two others, and the third is multiplied by the two others, the total is 78.

‫142 תעשה לי מי"ג ג' מספרים מתיחסים שהחלק הא' כפול בין הב' הנשארים והב' כפול בין הב' הנשארים והג' כפול בין הב' הנשארים יעלה הכל ע"ח

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=13\\\scriptstyle\left(a_1\sdot a_2\right)+\left(a_1\sdot a_3\right)+\left(a_2\sdot a_1\right)+\left(a_2\sdot a_3\right)+\left(a_3\sdot a_1\right)+\left(a_3\sdot a_2\right)=78\end{cases}}}

הנה זאת השאלה תוכל לתרצה עם השאלה הי"ד האומרת כי ראוי לכפול הסך על ב' ר"ל י"ג ויהיו כ"ו ולחלק ע"ח על כ"ו והוא הג' והנה אם תחלק ע"ח על כ"ו יצא ג' והוא השלישי הסר ג' ‫^[58]מי"ג וישאר י' א"כ יצטרך כי בין הא' והב' יהיו י' והנה תאמר עשה לי מי' ב' חלקים כפול הא' על הב' יצא ט' ואולם אמרתי ט' כי ג' כפול על עצמו הוא ט' כי הוא המספר הראשון אשר מצאת ותמצא כי הא' א' והב' ג' והאחר ט' והוא מיחס טריפלא

143) Produce three proportional numbers from 19, so that if you multiply the first by the second, then [the product] by the third, the result is 216.

‫143 תעשה לי מי"ט ג' מספרים מתיחסים אשר אם תכפול הא' על הב' והאחר כפול על ג' ויעלה רי"ו

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=19\\\scriptstyle\left(a_1\sdot a_2\right)\sdot a_3=216\end{cases}}}

זאת השאלה תוכל לעשותה עם סיוע המפתח הט' האומר כי אם תכפול ג' מספרים מתיחסים זה על זה העולה הוא מעוקב השנית

על כן קח מעוקב רי"ו והם ו' והוא השנית ונשאר עד י"ט י"ג עתה ראוי לכפול ו' על עצמם ויהיו ל"ו

עתה תאמר עשה לי מי"ג ב' חלקים כפול הא' על האחר יעלו ל"ו

והנה כי האחד הוא ד' והאחר ט' והאחר ו' והם מתיחסים

144) Produce three proportional numbers from ten, so that the product of the first by the third is the same as 3 times the product of the first by the second.

‫144 תחלק לי עשרה על ג' מספרים מתיחסים שיהיה הא' כפול על ג' כמו ג' פעמים הא' כפול על השני

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3=10\\\scriptstyle a_1\sdot a_3=3\sdot\left(a_1\sdot a_2\right)\end{cases}}}

Do as follows: since 3 is mentioned, take 1 for the first, 3 for the second, and for the third take it 3 times, which 9.

כך תעשה יען כי הזכיר ג' תקח ג' בעד הראשון א' ובעד השני ג' ובעד הג' ג' פעמים כמוהו שהוא ט'

Sum them; it is 13.

וחברם ויהיו י"ג

Divide 10 by 13; the result is 10 parts of 13 and this is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{10}{1+3+3^2}=\frac{10}{1+3+9}=\frac{10}{13}}}

וחלק י' על י"ג ויעלה י' חלקים מי"ג והוא הראשון

Multiply it 3 times; the result is 2 and 4 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3\sdot\frac{10}{13}=2+\frac{4}{13}}}

כפול זה ג' פעמים ויעלה ב' וד' חלקים מי"ג

Multiply it by 3; the result is 6 and 12 parts of 13 and this is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3\sdot\left(2+\frac{4}{13}\right)=6+\frac{12}{13}}}

כפול זה על ג' ויעלה ו' וי"ב חלקים מי"ג והוא השלישי

והם מתיחסים מיחס טריפלא והנך רואה כי כל אחד ג' פעמים מחבירו

ואם אמר כי הא' כפול בג' הוא ב' פעמים כמו הא' כפול בב' ותקח בעד הראשון א' ובעד השני ב' ובעד השלישי ד' שהוא ב' פעמים כמו השני וחברם והם א' וב' וד' והם ז' וחלק אותו המספר על ז' והוא הראשון כפלהו על ב' והוא הב' כפלהו והוא הג‫'

Example: if it is said: produce three parts from 10, so that the first multiplied by the third is as twice the first multiplied by second.

המשל אם אמ' תעשה לי מי' ג' חלקים שיהיה הראשון כפול על ג' ב' פעמים כמו הראשון כפול על השני

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=10\\\scriptstyle a_1\sdot a_3=2\sdot\left(a_1\sdot a_2\right)\end{cases}}}

Sum 1 for the first, 2 for the second, and 4 for the third; it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4=7}}

חבר א' בעד הא' וב' בעד הב' וד' בעד הג' והם ז‫'

Divide 10 by it; it is 1 integer and 3-sevenths and this is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{7}=1+\frac{3}{7}}}

חלק י' עליהם והם א' שלם וג' שביעיות והוא הראשון

Multiply it by 2; it is 2 and 6-sevenths and this is the second.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(1+\frac{3}{7}\right)=2+\frac{6}{7}}}

כפול זה על ב' והם ב' וו' שביעיות והוא השני

Multiply it by 2; it is 5 integers and 5-sevenths and this is the third.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(2+\frac{6}{7}\right)=5+\frac{5}{7}}}

כפול זה על ב' ויהיו ה' שלמי' וה' שביעיות והוא השלישי

You can see that these three are proportional and their sum is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{7}\right)+\left(2+\frac{6}{7}\right)+\left(5+\frac{5}{7}\right)=10}}

והנך רואה כי שלשתם מתיחסי' ושלשתם מקובצים הם י‫'

145) Question: produce four proportional parts from ten, so that the product of the first part by the fourth is three times the product of the first part by the third.

‫145 שאלה תעשה לי מעשרה ‫^[59]ד' חלקים מתיחסים שהחלק הראשון כפול ברביעי יהיה ג' פעמי' כמו החלק הראשון כפול ברביעי בשלישי

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=10\\\scriptstyle a_1\sdot a_4=3\sdot\left(a_1\sdot a_3\right)\end{cases}}}

Do as follows: we suppose that the first is 1, the second is 3, the third is 9 and the fourth is 27.

כך תעשה נניח כי הא' א' והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז

The total is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}

ובין הכל מ‫'

Therefore, say: if 40 gives me 1, what will ten give you and how much will it add? The method is known.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{40:1=10:a}}

על כן תאמ' אם מ' נתן לי א' עשרה מה יתן לך ומה יוסיף לך והדרך הוא מפורסם

We find that the first is a quarter, the second is 3-quarters, the third is 9-quarters, the fourth is 27-quarters.

ונמצא כי הא' א' רביע והב' ג' רביעיות והג' ט' רביעיות והד' כ"ז רביעיות

146) Question: weigh for me with four stones up to 15.

‫146 שאלה תשקול לי עם ד' אבנים עד ט"ו

Take 1, 2, 4 and 8; they are 15 and with these four you can weigh up to 15.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8=15}}

קח א' ב' וד' וח' והנם ט"ו ועם אלו הד' תוכל לשקול עד ט"ו

If a fifth is added to them one can weigh up to 31.

\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16=31}}

ואם חמישיתו יוסף עליו יוכל לשקול עד ל"א

If you want another ratio, as if you say: weigh with four stones from 1 up to 40.

ואם תרצה לעשות יחס אחר כאלו תאמר תשקול עם ד' אבנים מא' עד מ‫'

Take 1, 3, 9, 27 and they are 40.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}

קח א' ג' ט' כ"ז והנם מ‫'

If you add another stone, you can weigh up to 121 and so on.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27+81=121}}

ואם תוסיף אבן אחרת תשקול עד קכ"א וכן לעולם

If you want to weigh with four stones up to 35.

ואם תרצה לשקול עם ד' אבנים עד ל"ה

כבר ידעת כי האחרונה ראוי שתשקול כ"ז תסיר מכ"ז ה' וישארו כ"ב א"כ האבן הראשה א' והאחרת ג' ט' כ"ב לעולם ראה כמה הוא מחסר מאותו מספר שהוא מבקש וכן תחסר מהגדולה

הנה תוכל למצא יחס טריפלא על זה האופן תתחיל מא' וכפול אותו ויהיו ב' תוסיף בו א' ויהיו ג' והוא השני עוד תחבר השקל הראשון ששוקל א' עם הג' ויהיו ד' כפלם ויהיו ח' תוסיף בם א' ויהיו ט' הנה המספר הג' הוא ט' ולמצא הד' תחבר הג' מספרים היינו א' ג' ט' והם י"ג תוסיף א' ויהיו י"ד כפלם ויהיו כ"ח תחסר אחד ויהיו כ"ז וכן לעולם

False Positions

147) Question: a man spent a third of his money and was left with 18.

How much was his money?

\scriptstyle X-\frac{1}{3}X=18

‫147 שאלה הנה איש פזר שליש ממונו ונשאר לו י"ח

כמה ממונו

\scriptstyle{\color{blue}{X=18+\left(\frac{1}{3-2}\sdot18\right)=18+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)=18+9=27}}

הנה ראוי לקחת המספר הקודם לשלישי שהוא חצי ותוסיף חצי י"ח שהם ט' על י"ח והנם כ"ז וכך היה ממונו

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{24}}

כן תוכל לעשות עם הנחות כוזבות ונניח כי היה ממונו כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=16}}

חסר ממנו שלישיתו ונשארו י"ו

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{16:24=18:X}}

ואנו מבקשים י"ח על כן תאמר אם י"ו נתן לי כ"ד י"ח כמה יתן לי

\scriptstyle{\color{blue}{X=27}}

ויצא כ"ז וכך היה ממונו

148) Question: a man bought something but he did not know how much it is.

He knew that he earns 3⅓ soldi for every florin he spends.

The fund and the profit were 50 florins.

How much did he spend?

\scriptstyle X+\frac{3+\frac{1}{3}}{100}X={\color{red}{5}}0

‫148 שאלה אדם קנה דבר מה ולא ידע כמה

אמנם הוא יודע כי הוא מרויח ג' סולדי ושליש בעד כל פיורינו שפזר
ועולה הקרן והריוח עשרים פרחי‫'
כמה פזר

1 florin = 100 soldi

והנה הפיורינו שוה מאה סולדי

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{30}}

florin

כן תעשה נניח ‫^[60]כי פזר ל' פיוריני

the profit of 30 florin:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot30=100}}

soldi = 1 florin

והנה באלו הל' פיוריני הרויח ק' סולדי שהם פרח אחד

\scriptstyle{\color{blue}{30+\left(\frac{3+\frac{1}{3}}{100}\sdot30\right)=30+1=31}}

חברהו עם הל' ויהיו ל"א

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{31:30=50:X}}

ותאמ' אם ל"א שבו ל' כמה ישובו חמישים

\scriptstyle{\color{blue}{X=48+\frac{12}{31}}}

תמצא כי ישובו מ"ח וי"ב חלקים מל"א ובזה האופן קנה

149) Question:

‫149 שאלה אם ליט' הכסף מח' אוקיו' מטוב שוה ט' דוקט' עשרים ליט' שיהיה בכל אוקי' עשרה אוקיו' כמה ישוה

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{8:9=10:X}}

ותאמר אם ח' שוה ט' י' כמה שוה

תמצא י"א ורביע

כפלם על עשרים ויצא רכ"ה וכך הם שוות

150) Question:

‫150 שאלה אם ליט' מכסף שיש בכל ליט' י' אוקיו' שוה י"א דוקט' ואיש פרע מכ"ה ליט' מאתים דוקט' מאיזה ליגא הם

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{11:10=8:X}}

תאמ' אם י"א נתן לי י' כמה יתן לי שמונה

יען כי ח' פעמים כ"ה הם מאתים

ויצא ז' וג' חלקים מי"א ומזאת הליגא הם הליט' ר"ל הכ"ה

151) Question:

‫151 שאלה איש אחד רצה לבנות בית ומצא ג' אומנים הא' יעשהו בי' ימים והאחר בח' והאחר בד' אשאל אם שלשתם יעשו המלאכה בכמה ימים יעשוהו

תעשה אותו בדרך הנחות כוזבות ותמצא כי יעשו אותו בב' ימים וב' חלקים מי"ט

152) Question:

‫152 שאלה אדם מצא ממון (החצי) והשליש והרביע עולה חמישים כמה הממון

תקח המורה

וקח חצי ושליש ורביע והם י"ג

Rule of Three:

\scriptstyle{\color{blue}{13:12=50:X}}

ותאמר אם י"ג שבו י"ב כמה ישובו חמישים

והנה ישובו מ"ו וב' חלקים מי"ג

דע כי כשתעשה ב' הנחות וכל אחת מוספת אז ראוי לחסר

וכן כששתהם מחסרות ג"כ ראוי לחסר

ואם האחת עודפת והאחרת מחסרת אז ראוי להוסיף

ואם האחת מחסרת והאחת עודפת ג"כ ראוי להוסיף

153) Question:

‫153 שאלה ג' אנשים האחד שואל קצבת מה והשני שואל כמו ב' פעמים ממה שיש לראשון עם תוספת ארבעה והשלישי שואל כמו שיש לראשון ולשני עם תוספת ו' ובין שלשתן יש מ'(ד) כמה לכל אחד ואחד

נעשה אותו עם הנחות כוזבות ונניח כי היה לראשון ב' א"כ לשני יש לו ח' ולג' יש לו י"ו ובין שלשתן עולה כ"ו ועד מ"ד יחסר י"ח ותאמר עבור ב' שהנחתי חסר י"ח

נניח הנחה אחרת ונאמר לראשון ג' ולשני עשרה ולשלישי י"ט ובין הכל עולה ל"ב ויחסר עד מ"ד י"ב ותאמ' בעד ג' שהנחתי חסר י"ב ושימם ככה ‫^[61]עתה הוצא י"ב מי"ח וישארו ו' והוא הפארטידור

עתה כפול שתי וערב הב' נגד הי"ב ויהיו כ"ד גם ג' פעמים י"ח ויהיו נ"ד הוצא מהם כ"ד ונשארו ל' חלק ל' על ו' ויצא ה' וחלק השני י"ד וחלק הג' כ"ה והוא המבוקש ותקיש על זה

ודע כי כשהב' הנחות מחסרו' או עודפות ראוי לחסר הקטון מהגדול והנשאר נקרא פארטידור

ואם האחת מחסרת והאחת עודפת או האחת עודפת והאחרת מחסרת ראוי להוסיף הגדול על הקטון והוא הפארטידור

גם תוכל לעשות זאת השאלה באופן אחר והוא כי תחבר תוספת השני עם הראשון שהוא ד' גם תוספת הג' על הב' שהוא עשרה ויהיו י"ד תחסרם ממ"ד ונשאר ל' חלק ל' על ו' יען כי השני שואל ב' פעמים כראשון ושים בעד הראשון א' ובעד השני ב' כי שואל הכפל ובעד הג' ג' יען כי שואל כמו הראשון והשני ועולה ו' וחלק ל' על ו' ויצא ה‫'

154) Question:

‫154 שאלה תמצא לי מספר א' אשר כשתכפלהו על ד' ותוסיף בו ו' יהיה כמו אם תכפלהו על ו' ותוציא ממנו ד‫'

כך תעשה נניח כי המספר הוא ב' כפלהו על ד' ויהיו ח' תוסיף בו ו' ויהיו י"ד גם כפול ב' על ו' ויהיו י"ב תסיר מהם ד' נשאר ח' ותאמר בעד ב' שהנחתי יחסר ו' שהוא מח' עד י"ד

עוד נניח כי הוא ג' כפלם על ד' ויהיו י"ב תוסיף בם ד ו' ויהיו י"ח גם כפול ג' על ו' ויהיו י"ח תוציא ד' וישארו י"ד ויחסר עד י"ח ד‫'

ותאמר בעד ג' יחסר ד' הוצא ד' ממו' הנשאר ב' והוא הפארטידור אח"כ כפול שתי וערב ב' על ד' והם ח' עו' כפול ג' על ו' והם י"ח תסיר מהם ח' הנשאר י' חלקם על ב' ויצא ה' והוא הדרוש כי אם תכפלם על ד' הם עשרי' תוסיף בם ו' והם כ"ו גם כפול ה' על ו' והם ל' תסיר מהם ד' הנשאר כ"ו ודע כי כל מספר שתוכל לעשות אותו עם הנחה

גם תוכל לדעת אותו עם ב' הנחות אמנם לא יתהפך כי אותו שצריך ב' הנחות לא תוכל לעשות אותו עם הנחה אחת

155) Question:

‫155 שאלה אדם קנה חתיכה מדוק ‫^[62]ואם יקנה הקנה ח' זוזים ישארו בידו חמישים זוזים ואם יקנה אותה קמה עשרה זוזים יחסרו לו שמונים זוזים אשאל כמה קנים היתה ארך החתיכה וכמה זוזים הביא בידו

כך תעשה תחבר נ' עם פ' ויעלו ק"ל חלקם על היתרון שיש מי' לח' שהוא ב' ויצא ס"ה וכך הם הקנים מהחתיכה כי אם תמכור ח' זוזים כל קנה יוסיפו לו חמישים ואם תקנה י' יחסרו שמונים

Euclidean Propositions

156) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: If you have two numbers and you divide one of the two numbers, then you multiply each part by the second number, the total sum is the same as the product of the first number by the second.

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(a\sdot b_i\right)=a\sdot\left(\sum_{i=1}^n b_i\right)

‫156 אם יש לך ב' מספרים ותחלק א' מהב' מספרים ותכפול כל חלק על המספר השני הנה הסך העולה הוא כמו מה שיעלה מכפל המספר הראשון על השני

Example: the two numbers are 10 and 12 and we divide 12 to 2, 3, 5, 2, so their sum is 12.

המשל הנה ב' מספרים והם י' וי"ב ונחלק י"ב על ב' ועל ג' ועל ה' ועל ב' והנה כלם י"ב

והנה אם תכפול ב' על י' הם עשרים וג' על י' הם ל' וה' פעמים י' הם נ' וקבצם ויעלה ק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot10\right)+\left(3\sdot10\right)+\left(5\sdot10\right)+{\color{red}{\left(2\sdot10\right)}}=20+30+50+{\color{red}{20}}=120}}

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot12=120}}

וככה יעלה אם תכפול המספר הא' על הב' היינו י' על י"ב כי הם ק"כ גם

As written in the first proposition of the second section of Euclid.

כמו שהוא רשום בתמונה הראשנה מהחלק הב' מאוקלידס

157) Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you have a number and you divide iy into parts as you wish, if you multiply each part by the divided number, then sum all the [products] they are equal to the divided number multiplied by itself.

\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2

‫157 אם יש לך מספר אחד ותחלק אותו לכ"כ חלקים שתרצה אם תכפול כל חלק על המספר המחולק ותקבץ כל החלקים יהיו שוים אל המספר המחולק כפול על עצמו

Example: we wish to divide 12 into three parts 5, 3, 4.

המשל נרצה לעשות מי"ב ג' חלקים ה' ג' ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+\left(4\sdot12\right)+\left(5\sdot12\right)=36+48+60=144}}

אומר אם תכפול ג' על י"ב יעלו ל"ו ואם תכפול ד' יעלו מ"ח ואם על ה' יעלה ס' ותקבצם ויעלו קמ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144}}

וככה יעלה י"ב כפול בעצמו

158) Euclid, Elements, Book II, proposition 3: If you divide any number into two parts, then multiply any of the two parts by the divided number and keep the product, so will be the result if you multiply the same part by itself, then add to it the product of the one part by the other.

\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b=b^2+\left(a\sdot b\right)

‫158 אם תחלק איזה מספר על ב' חלקים ותכפול החלק שיהיה מב' החלקים על המספר המחולק ושמור העולה כך יעלה אם תכפול אותו חלק על עצמו ותוסיף בו העולה מהכפל מהחלק האחד על השני

Example: we have 12 and you divide it to 8 and 4.

המשל אם יש לנו י"ב ותחלק אותו ח' ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot12=96}}

אומר כי אם תכפול ח' על י"ב יעלה צ"ו ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{8^2+\left(4\sdot8\right)=64+32=96}}

וכן יעלה אם תכפול ח' על עצמם שהם ס"ד ותכפול ד' על ח' שהוא ל"ב וחברם אל ס"ד ויהיו ג"כ צ"ו

159) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: If you divide any number into two and multiply each part by itself, you multiply also one [part] by the other and multiply [the product] by 2, then you sum all, the result is equal to the divided number multiplied by itself.

\scriptstyle a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]=\left(a+b\right)^2

‫159 אם תחלק איזה מספר שיהיה על ב' ותכפול כל חלק על עצמו וג"כ כפול הא' על הב' וכפלם על ב' ותקבץ הכל הנה העולה יהיה שוה אל המספר המחולק כפול על עצמו

Example: we divide 12 to 4 and 8.

המשל הנה נחלק ‫^[63]מספר י"ב על ד' ועל ח‫'

והנה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד וד' על עצמם ויהיו י"ו גם כפול ד' על ח' והם ל"ב וכפלם על ב' והם ס"ד קבץ הכל ר"ל ס"ד ול"ב וס"ד יעלה הכל קמ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{8^2+4^2+\left[2\sdot\left(8\sdot4\right)\right]=64+16+\left(2\sdot32\right)=64+16+64=144}}

\scriptstyle{\color{blue}{12^2=144}}

והוא שוה אל מרובע י"ב

160) Euclid, Elements, Book II, proposition 5: If you divide any number into two equal parts and into two unequal parts, the product of the equal parts one by the other is as the product of the unequal parts one by the other, when you add to it the [square] of the difference between the [equal] part and the [unequal part].

‫160 אם תחלק מספר אחד לב' חלקים שוים ולב' חלקים בלתי שוים הנה כל כך יעלה כפל החלקים השוים זה על זה כמו כפל החלקים הבלתי שוים זה על זה ותוסיף בם כפל היתרון שיש מהחלק האחד על האחר

\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left(a\sdot b\right)+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2

Example: we divide 12 into two equal parts 6 and 6, and into two unequal parts 4 and 8.

המשל נחלק מספר י"ב לב' חלקים שוים ו'ו' ולב' חלקים בלתי שוים ד' וח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}

ואומר כי אם תכפול ו' על ו' והם החלקים שוים יעלו ל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot8\right)+\left(8-6\right)^2=32+2^2=32+4=36}}

כך יעלו אם תכפול ד' על ח' שהם ל"ב ותוסיף בם מרובע היתרון שיש מח' אל ו' שהם ב' ומרובעם ד' תוסיפם על ל"ב ויהיו ל"ו גם כן

161) Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If you divide any number into two equal parts, then add an additional [number] to the divided number, multiply [the sum] by the additional [number] and add [the product] to the square of one of the parts, I say that it is equal to the square of half [the number] with the additional [number].

\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2

‫161 אם תחלק איזה מספר לב' חלקים שוים ותוסיף בם א' מהחלקי' כפול על עצמו ותוסיף בם התוספת על כל המספר המחולק ותכפול אותו המספר אשר הוספת ותחברם עם כפל אחד מהחלקים אומר כי הוא שוה אל כפל המחצית עם התוספת

Example: we have 12, you divide it to 6 and 6, then add to 6 whichever number you wish. Suppose that we wish to add 4 to 6.

המשל יש לנו מספר י"ב ותחלק אותו על ו"ו ותוסיף על ו' מספר איזה שתרצה ונניח כי נרצה להוסיף על ו' ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+4\right]^2=\left(6+4\right)^2=10^2=100}}

והם י' וכפלם על עצמם והם ק‫'

ואומר כי אם תכפול א' מהחלקים השוים על עצמם היינו ו' שהם ל"ו גם תוסיף על כל המספר המחולק שהיה י"ב התוספת שהם ד' ויהיו י"ו ואם תכפול י"ו על ד' שהם התוספת והם ס"ד ותחברם עם ל"ו והם ק' והם שוים אל הק' השמורים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left[\left(12+4\right)\sdot4\right]=6^2+\left(16\sdot4\right)=36+64=100}}

162) Euclid, Elements, Book II, proposition 7: If you have a number and you divide it into two unequal parts, you multiply the greater part by itself and multiply also the divided number by itself, then sum both products, the result is equal to the product of the greater number by the divided number multiplied by two, then you add to it the square of smaller part.

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2

‫162 אם יש לך מספר ותחלקהו לב' חלקים בלתי שוים ותכפול החלק הגדול על עצמו גם תכפול המספר המחולק על עצמו ותחבר הב' הכפלות הנה העולה יהיה שוה אל כפל המספר הגדול על המספר המחולק ותכפלהו אח"כ על ב' גם תוסיף על זה כפל החלק הקטן ותחבר הכל יהיה שוה

Example: we wish to divide 12 to 4 and 8.

המשל נרצה לחלק י"ב על ח' וד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{12^2+8^2=144+64=208}}

ואומר כי אם תכפול ח' על עצמם יהיה ס"ד גם אם תכפול י"ב על עצמם יהיו קמ"ד ותחברם ויהיו ר"ח ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(12\sdot8\right)\right]+4^2=\left(2\sdot96\right)+16=192+16=208}}

אח"כ כפול ח' שהוא המספר ‫^[64]הגדול על י"ב ויהיו צ"ו וכפלם על ב' ויהיו קצ"ב תוסיף בם כפל המספר הקטן שהוא ד' ומרובעם י"ו ויעלה ר"ח והם שוים אל הר"ח השמורי‫'

163) Euclid, Elements, Book II, proposition 8: If you have a number and you divide it into unequal two parts, if you add one of the parts to the whole number, i.e. the divided number, [its square] is equal to the same part that you added multiplied by the whole number, then multiplied by four, when you add to it the square of the second part.

\scriptstyle\left[\left(a+b\right)+a\right]^2=4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2

‫163 אם יש לך מספר ותחלקהו לב' חלקים בלתי שוים אם תוסיף א' מהחלקים על כל המספר ר"ל על המספר המחולק יהיה שוה אל אותו החלק אשר הוספת כפול על כל המספר אח"כ העולה תכפול על ד' ותוסיף על זה מרובע החלק השני

Example: we wish to divide 12 to 4 and 8.

המשל נרצה לחלק י"ב על ד' וח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+4\right)^2=16^2=256}}

תוסיף ד' על י"ב ויהיו י"ו ומרובעם רנ"ו ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(12\sdot4\right)\right]+8^2=\left(4\sdot48\right)+64=192+64=256}}

אח"כ כפול ד' שהוספת כפלם על י"ב ויהיו מ"ח כפלם ד' פעמים ויהיו קצ"ב תוסיף על זה מרובע החלק הב' שהוא ח' ומרובעם ס"ד תוסיפם על קצ"ב ויעלו רנ"ו ג"כ והם שוים אל רנ"ו השמורים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+8\right)^2=20^2=400}}

וכן ממש יהיה ג"כ אם הוספת החלק הגדול שהוא ח' על י"ב יעלו כ' ומרובעם ד' מאות ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(12\sdot8\right)\right]+4^2=\left(4\sdot96\right)+16=384+16=400}}

אח"כ כפול ח' על י"ב ויעלו צ"ו וכפלם על ד' ויהיו שפ"ד תוסיף בם מרובע החלק האחר שהוא ד' והם י"ו ויהיו ד' מאות

164) Euclid, Elements, Book II, proposition 9: If you divide any line into two equal parts and into two unequal parts, then you multiply each of the unequal parts [by itself] and sum them, they are twice [the sum of] the product of the equal parts plus the [square of] excess of the greater [part] over [half the number].

\scriptstyle a^2+b^2=2\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2+\left[a-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]^2\right]

‫164 אם תחלק איזה קו לב' חלקים שוים ולב' חלקים בלתי שוים וכפול כל אחד מהחלקים בלתי שוים ותחברם הם כפל מהחלקים השוים נוסף בם יתרון החלק הגדול על הקטן

Example: we wish to divide 12 into two equal parts 6 and 6 and into two unequal parts 8 and 4.

המשל נרצה לחלק מספר י"ב לב' חלקי' שוים ו'ו' ולב' חלקים בלתי שוים ח' ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{8^2+4^2=64+16=80}}

הנה כפל ח' ס"ד וכפל ד' י"ו וחברם והם פ' ושמרם

אח"כ כפול א' מהחלקים השוים על עצמם ויעלו ל"ו ויתרון החלקים הבלתי שוים האחד על האחר היה ד' כי א' ד' ואחר ח' תוסיף ד' על ל"ו ויהיו מ' והוא חצי פ' השמורים

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left(8-4\right)\right]=2\sdot\left(6^2+4\right)=2\sdot\left(36+4\right)=2\sdot40=80}}

As explained in proposition 36 of the tenth [section] of Euclid.

כמבואר בתמונת ל"ו מעשירי מאוקלידס

165) Euclid, Elements, Book II, proposition 10: If you divide any number into two equal parts, then add another number to the divided number, square it and add to it the square of the [number] you added, it is twice [the sum of] the square of the additional [number] plus half [the number] with the square of half [the number].

\scriptstyle\left(a+b\right)^2+b^2=2\sdot\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2\right]

‫165 אם תחלק איזה מספר על ב' חלקים שוים ואחר תוסיף מספר אחר על המספר המחולק ותרבענו ותוסיף על זה מרובע שהוספת יהיה ב' פעמים כמו כפל ממה שיעלה התוספת הנוסף על החצי עם מרובע החצי נוספים

Example: we have 12, you divide it to 6 and 6, then add to 12 another number. Suppose that we add 8 to it.

המשל יש לנו מספר י"ב ותחלקהו על ו'ו' ותוסיף על י"ב ‫^[65]מספר אחר ונניח כי נוסיף בם ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+8\right)^2+8^2=20^2+64=400+64=464}}

ועם י"ב עשרים ותרבעם ויהיו ד' מאות אח"כ תוסיף בם מרובע ח' שהוא ס"ד ויהיו תס"ד ושמרם

אח"כ קח הח' שהוספת והוסיפם על ו' שהוא החצי ויהיו י"ד ותרבעם ויהיו קצ"ו אח"כ תרבע ו' שהוא ל"ו ותוסיפם על קצ"ו ויעלה רל"ז והנך רואה כי הם חצי תס"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+8\right]^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2\right]&\scriptstyle=2\sdot\left[\left(6+8\right)^2+6^2\right]=2\sdot\left[14^2+6^2\right]\\&\scriptstyle=2\sdot\left(196+36\right)=2\sdot23{\color{red}{2}}=464\\\end{align}}}

166)

\scriptstyle\frac{a+b}{a}-\frac{b}{a}=1

‫166 אם תחלק איזה קו על ב' חלקים בלתי שוים ותחלק כל המספר על החלק הקטן יהיה בו תוספת אחד אם תחלק החלק הגדול על הקטן

המשל נרצה לחלק י"ב על ח'ד' והנה נחלק י"ב על ד' שהוא המספר הקטן והוא ג' ושמרם אחר כן חלק החלק הגדול שהוא ח' על הקטן ויצא ב' והנך רואה כי הוא פחות א' מהג' השמורים

167)

\scriptstyle\frac{a}{b}\sdot\frac{b}{a}=1

‫167 אם תחלק קו לב' חלקים בלתי שוים ותחלק החלק הקטן על הגדול והגדול על הקטן אח"כ חלק החלק היוצא מב' החלקים זה על זה לעולם יצא שוה ר"ל אחד שלם

המשל מספר י"ב נחלקם על ח'ד' אח"כ נחלק ח' על ד' ויצא ב' גם חלק ד' על ח' ויצא חצי אח"כ כפול חצי על ב' ויצא א' שלם

168)

‫168 אם תחלק א' מב' מספרי' ר"ל אם יש לך ב' מספרים בלתי שוים ותחלק הגדול על הקטן

כגון ח"ד ותחלק ח' על ד' יצא ב' גם תחלק ד' שהוא הקטן על הגדול שהוא ח' ויצא חצי ואומר אם תכפול ב' פעמים חצי יצא אחד שלם

169) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: If you have a number and you divide it into two unequal parts, I say that if you sum the [parts] that are multiplied by themselves, then you multiply the smaller [part] by the greater, multiply the product by 2 and sum it with the reserved, the result is equal to the [original] number multiplied by itself.

\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]

‫169 אם יש לך מספר ותחלקהו על ב' חלקים בלתי שוים אומר כי אם תקבץ המספרי' המוכפלים על עצמם ואח"כ תכפול המספר הקטון על הגדול והעולה כפול על ב' ותקבץ זה עם השמור יעלה הכל כמו המספר כפול על עצמו

המשל יש לנו מספר י"ב וחלקהו על ב' מספרים בלתי שוים על ח' ד' הנה ח' על ח' הם ס"ד וד' על ד' הם י"ו וקבצם והם פ' אח"כ כפול ד' על ח' והם ל"ב וכפלם והם ס"ד ותחברם עם הפ' השמורים יעלו קמ"ד וכן עולה כפל י"ב על עצמם

Divide a Number Problems

170) If you have a number and you divide it into two unequal numbers, multiply each one by itself and sum [the products], then multiply the smaller by the greater, multiply [the product] by 2 and subtract the product from the [sum of the] two products. The remainder is equal to the square of the greater number after you subtract the smaller from it.

\scriptstyle\left(a-b\right)^2=a^2+b^2-\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]

‫170 אם יש לך מספר א' ותחלקהו ‫^[66]על ב' [מספרים] בלתי שוים ותכפול כל א' בעצמו ותחברם אח"כ כפול הקטן על הגדול ותכפלהו על ב' והעולה תחסר מב' הכפלו' הנה הנשאר יהיה שוה לכפל המספר הגדול על עצמו אחר שחסרת ממנו הקטן

Let the number be ten. Divide it into 8 and 2.

המשל הנה המספר הוא י' תחלקהו על ח' ועל ב‫'

The sum of the products of these two numbers, i.e. 2 by 2, which is 4, and 8 by 8, which is 64, is 68. Keep it.

הנה כפל אלו הב' מספרים ר"ל ב' על ב' שהם ד' וח' על ח' שהם ס"ד שניהם מקובצים הם ס"ח ושמרם

Then, multiply 2 by 8; it is 16.

אח"כ כפול ב' על ח' שהוא י"ו

Multiply it by 2; it is 32.

וכפלם על ב' והם ל"ב

Subtract it from 68; the remainder is 36.

תסירם מס"ח הנשאר ל"ו

Likewise, [the square of] the excess of the greater [number] over the smaller, which is 6 by 6, is 36.

וכך הוא המספר הגדול עם הקטן כיתרון הגדול על הקטן הוא וו"ו על ו' הם ל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{2^2+8^2-\left[2\sdot\left(2\sdot8\right)\right]=4+64-\left(2\sdot16\right)=68-32=36=6^2=\left(8-2\right)^2}}

171) Divide a number into two unequal parts, divide the greater by the smaller, then multiply the quotient by the greater; the result is the same as the product of the greater by itself divided by the smaller.

\scriptstyle\frac{b}{a}\sdot b=\frac{b^2}{a}

‫171 אם תחלק מספר לב' חלקים בלתי שוים ותחלק הגדול על הקטן ואח"כ תכפול היוצא על הגדול יעלה כמו שיעלה הגדול כפול על עצמו ואח"כ תחלק העולה על הקטן

The number ten. Divide it into 8 and 2.

משל מספר י' תחלקהו על ח' ועל ב‫'

Divide 8 by 2; the result is 4.

תחלק ח' על ב' ויצא ד‫'

Multiply 4 by 8; it is 32. Keep it.

כפול ד' על ח' ויהיו ל"ב ושמרם

Then, multiply the greater by itself and divide the product of 8 by 8, which is 64, by the smaller number, which is 2; the result is 32 and it is equal to the reserved 32.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}\sdot8=4\sdot8=32=\frac{64}{2}=\frac{8^2}{2}}}

אח"כ כפול הגדול על עצמו והעולה שהוא כפל ח' על ח' שהוא ס"ד תחלק על המספר הקטן שהוא ב' יצא ל"ב והם שוים אל ל"ב השמורים

172)

\scriptstyle\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}=\frac{a+b}{a}\sdot\frac{a+b}{b}

‫172 אם יש לך מספר ותחלקהו על ב' חלקי' בלתי שוים הנה אם תחלק כל המספר על הקטן ואח"כ תחלק כל המספר על המספר הגדול ותקבץ הכל יהיה העולה מהמקובץ כמו אם תכפול זה על זה

המשל יש לנו מספר י' אם תחלקהו על ב' וח' ותחלק י' על ב' יצא ה' גם תחלק י' על ח' יצא א' ורביע וקבצם עם הה' ויהיו ו' ורביע וכן הוא ממש אם תכפול ה' על א' ורביע יצא ו' ורביע

173)

\scriptstyle\left(\frac{a+b}{a}+\frac{a+b}{b}\right)-\left(\frac{b}{a}+\frac{a}{b}\right)=2

‫173 אם תחלק מספר מה לב' חלקים בלתי שוים ואח"כ תחלק הגדול על כל המספר על החלק הקטן גם תחלק כל המספר על החלק הגדול ותקבץ הכל הנה המקובץ יעדיף ב' על קבוץ החלק הקטן על הגדול

המשל מספר י' תחלקהו על ח' ב' חלק י' על ב' והם ה' חלק י' על ח' והם א' ורביע וקבצם והם ו' ורביע ושמרם עתה קבץ החלק הגדול שהוא ח' על ב' שהוא הקטן ויצא ד' ‫^[67]גם תחלק ב' על ח' והם רביע וקבצם והם [...] השמורי' הם ו' ורביע עודפים עליהם ב' שאינם כי אם ד' ורביע

174)

‫174 אם יש לך מספר אחד ותחלקהו על ב' מספרים בלתי שוים ותכפול כל א' מהחלקים על עצמם וקבץ ההכפלות ואח"כ תכפול כל המספר קודם שנתחלק על עצמו ותוציא ממרובעו אותם הב' הכפלות מקובצות והנשאר חלק על ב' ומזה המספר תוציאנו ממרובע חצי כל המספר וקח שרשו אם תוציאנו מהמספר המחוצה יצא החלק הקטון ואם תוסיפנו עליו יצא החלק הגדול

המשל המספר הוא י' חלק אותו על ח'ב' ומרובע ח' ס"ד ומרובע ב' י"ו ד' ושניהם מקובצים ס"ח קח מרובע י' שהוא כל המספר שהוא ק' ותוציא מהם ס"ח הנשאר ל"ב וקח חצים והם י"ו תוציאם ממרובע חצי י' שהם ה' ומרובעם כ"ה הנשאר ט' וקח שרשם שהם ג' ואם תוסיפם על ה' שהוא חצי המספר הם ח‫'

ואם תוציאנו מה' שהוא חצי המספר הנשאר ב' והוא המספר הקטן

Find a Number Problems

175) Question: find me two numbers, such that when you sum the squares of each by itself they are 58 and the product of the one by the other is 21.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b^2=58\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}

‫175 שאלה תמצא לי ב' מספרים מרובעים אשר מרובע כל אחד מהם על עצמו ואח"כ תחברם יהיו נ"ח וכפל האחד על השני יעלה כ"א

Do as follows: multiply 21 by 2; it is 42.

כך תעשה כפול כ"א על ב' והם מ"ב

Add it to 58; it is 100.

תוסיפם על נ"ח והם ק‫'

Now, take its root; it is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(2\sdot21\right)+58}=\sqrt{42+58}=\sqrt{100}=10}}

עתה קח שרשם והם י‫'

Divide ten into two parts, such that the product of one by the other is 21.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a\sdot b=21\end{cases}

ועתה עשה מי' שני חלקים כפול הא' על הב' יהיו כ"א

One is 3, the other is 7; together they are 10.

\scriptstyle{\color{blue}{3+7=10}}

הנה האחד ג' והאחר ז' ושניהם י‫'

Multiply [3] by itself; it is 9.

עתה כפול י' על עצמו והם ט‫'

Multiply 7 by itself; it is 49.

וכפול ז' על עצמם ויהיו מ"ט

Their sum is 58.

\scriptstyle{\color{blue}{3^2+7^2=9+49=58}}

ושניהם מחוברים יהיו נ"ח

176) Question:

‫176 שאלה אם תרצה לדעת מב' מספרים אשר כל אחד כפול ואח"כ תחברם אם תרצה למצא אותם המספרים

כך תעשה נניח כי האחד ח' והאחר ב' כפול ח' על ח' והם ס"ד וב' על ב' והם ס"ד ושניהם ס"ח וכפל המספר הקטן על הגדול עולה י"ו

אם תרצה למצא כל הב' מספרים

כך תעשה תחלק ס"ח על ב' ויצא ל"ד וקח מרובעם והם אלף וקנ"ו ומזה תסיר מרובע י"ו שהוא רנ"ו ונשאר ט' מאות וקח שרשם והם ל' תוסיף ‫^[68]בם ל"ד והם ס"ד וקח שרשם והם ח' והוא המספר הגדול אח"כ למצא המספר הקטן תסיר ל' מל"ד הנשאר ד' והוא המספר הקטן ר"ל שרשו

177) Question: find me two numbers, such that when they are multiplied by each other they are 16 and the excess of the greater multiplied by itself over the other multiplied by itself is 60. How much is the greater and which is the smaller?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a\sdot b=16\\\scriptstyle a^2-b^2=60\end{cases}

‫177 שאלה תמצא לי ב' מספרים כפולים זה על זה יעלו י"ו והגדול כפול על עצמו עודף על השני כפול בעצמו ס' כמה הוא הגדול ומה הוא הקטן

כך תעשה תחלק ס' על ב' ויצא ל' תרבעם ויהיו ט' מאות גם תרבע י"ו על רנ"ו ותחברם עם ט' מאות והם אלף וקנ"ו קח שרשם והם ל"ד תוסיפם על ל' והם ס"ד קח שרשם והם ח' והוא הגדול גם תוציא מל"ד ל' הנשאר ד' וקח שרשם והם ב' והוא הקטן

17[8]) Question: find me [two] number[s], such that the one is 8 and 8 ninths more than the other and the product of one by the other is but one.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a=b+\left(8+\frac{8}{9}\right)\\\scriptstyle a\sdot b=1\end{cases}

‫177 השאלה תמצא לי מספר שהאחד יהיה ח' וח' תשיעיות יותר מהאחר וכפול זה על זה לא יעלו כי אם אחד

Do as follows: take a half of 8 and 8-ninths; it is 4 and 4-ninths.

כן תעשה קח חצי ח' וח' תשיעיות ויהיו ד' וד' תשיעיות

Multiply it by itself; it is 19 and 61 parts of 81.

כפלם על עצמם והם י"ט וס"א חלקים מפ"א

Add one to it, i.e. what you want the product of one by the other to be; the result is twenty and 61 parts of 81.

תוסיף בם אחד ר"ל מה שתרצה שיעלה כפול זה על זה ויעלו עשרים וס"א חלקים מפ"א

Take its root; it is 4 and 5-ninths.

וקח שרשם והם ד' וה' תשיעיות

Add it to 4 and 4 ninths; it is nine and this is the greater number.

תחברם עם ד' וד' תשיעיות והם תשעה והוא המספר הגדול

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\left(8+\frac{8}{9}\right)\sdot\frac{1}{2}\right]^2+1}+\left(4+\frac{4}{9}\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left(4+\frac{4}{9}\right)^2+1}+\left(4+\frac{4}{9}\right)=\sqrt{\left(19+\frac{61}{81}\right)+1}+\left(4+\frac{4}{9}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{20+\frac{61}{81}}+\left(4+\frac{4}{9}\right)=\left(4+\frac{5}{9}\right)+\left(4+\frac{4}{9}\right)=9\\\end{align}}}

The smaller is 4 and 5-ninths.

והקטון יהיה ד' וה' תשיעיות

Subtract 4 and 4-ninths from it; the remainder is one-ninth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{5}{9}\right)-\left(4+\frac{4}{9}\right)=\frac{1}{9}}}

תחסר מהם ד' וד' תשיעיות הנשאר תשיעית אחד

You see that the greater exceeds the smaller by 8 and 8-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{9-\frac{1}{9}=8+\frac{8}{9}}}

והנך רואה כי הגדול יותר מן הקטן ח' וח' תשיעיות

The product of one by the other is exactly one.

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot\frac{1}{9}=1}}

וכפול זה על זה אינו כי אם אחד שלם

Divide a Number Problems

179) If you divide one number into two unequal parts:

‫179 אם תחלק מספר אחד לב' חלקים בלתי שוים

As 10: divide it into 2 and 8. The sum of the squares of each by itself is 68. The difference between 2 and 8 is 6 and its square is 36. Subtract it from 68; the remainder is 32 and this is double the product of the greater number multiplied by the smaller [number]; because their product by each other is 16. Double it; it is 32.

כמו י' תחלק על ב' וח' הנה מרובעים כל אחד על עצמו ומחוברי' עולה ס"ח

הנה ההפרש שיש מב' לח' הוא ו' ומרובעו ל"ו
תוציאם מס"ח הנשאר ל"ב והוא כפל מכפל המספר הגדול כפול על הקטן
כי כפל זה על זה הוא י"ו כפלם ויהיו ל"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8^2+2^2\right)-\left(8-2\right)^2=68-\left(8-2\right)^2=68-6^2=68-36=32=2\sdot16=2\sdot\left(8\sdot2\right)}}

180) If you divide one number into two unequal parts:

‫180 אם תחלק מספר א' לב' חלקים בלתי שוים

כמו ח' ב' וכפול כל אחד על עצמו ומחוברים הם ס"ח וההפרש מזה מזה לזה הוא ו' כפלם והם ל"ו תסירם מס"ח הנשאר ל"ב וחצים י"ו כמו שהם הב' מספרים כפולים זה על זה

Find a Number Problems

181) Find me two numbers, such that the sum of the two is 10 and the sum of their squares exceeds by 28 over their product by each other.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(a^2+b^2\right)-ab=28\end{cases}

‫181 תמצא לי ב' מספרים אשר שניהם מחוברים יעלו ‫^[69]י' ושניהם ג"כ מרובעים כל אחד על עצמו ומחוברים אח"כ יעדיף כ"ח על שני המספרים כפולים זה על זה

Do as follows: divide 10 into half; it is 5.

כך תעשה תחלק י' על חצי והם ה‫'

Multiply it by itself; it is 25.

כפלם על עצמם והם כ"ה

Subtract it from 28; 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{28-\left(10\sdot\frac{1}{2}\right)^2=28-5^2=28-25=3}}

תסירם מכ"ח נשאר ג‫'

Divide it by 3; the result is one and its root is one.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{3}}=\sqrt{1}=1}}

תחלקם על ג' ויצא אחד ושרשו אחד

If you subtract 1 from 5, 4 remains and this is one of the two numbers.

\scriptstyle{\color{blue}{5-1=4}}

והנה אם תסיר א' מה' נשאר ד' והוא אחד מהב' מספרים

If you add one to 5, it is 6 and this is the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{5+1=6}}

ואם תוסיף אחד על ה' ויהיו ו' והוא המספר השני

You see that the sum of the products of these numbers by themselves is 52.

והנך רואה כי אלו המספרים כפול כל אחד על עצמו ומחוברים עולה נ"ב

Subtract from it the product of the greater by the smaller, which is 24; 28 remains as we said.

\scriptstyle{\color{blue}{4^2+6^2-\left(4\sdot6\right)=52-24=28}}

תסיר מהם כפל הגדול על הקטן שהוא כ"ד נשאר עדין כ"ח כמו שאמרנו

182) Question: divide ten into two parts, such that the square of the greater exceeds the square of the smaller by 60.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle a^2-b^2=60\end{cases}

‫182 שאלה תעשה לי מי' ב' חלקים שמרובע הגדול יעדיף על מרובע הקטן ס‫'

Do as follows: square ten; it is 100.

כך תעשה תרבע עשרה והם ק‫'

Subtract 60 from it; the remainder is 40.

תסיר מהם ס' הנשאר מ‫'

Divide 40 by double 10, which is twenty; the result is 2 and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{10^2-60}{2\sdot10}=\frac{100-60}{20}=\frac{40}{20}=2}}

ואלו המ' חלקם על כפל י' שהם עשרים ויצא ב' וזהו החלק הקטן

The complement to ten is 8 and this is the greater part.

\scriptstyle{\color{blue}{a=10-2=8}}

ועד עשרה יחסרו ח' והוא החלק הגדול

183) Question: find me two numbers, such that when multiplied by themselves, then you sum these products and you a to them also the product of the smaller by the greater, the result is 84.

\scriptstyle a^2+b^2+ab=84

‫183 שאלה תמצא לי ב' מספרים שיהיו מוכפלים על עצמם ותחבר אותם ההכפלות גם תצרף עמהם הכפל ממה שיעלה הקטן על הגדול והעולה יהיה פ"ד

Square ten; it is 100.

תרבע עשרה והם ק‫'

Subtract 84 from it; the remainder is 16 and this is the product of the smaller by the greater.

\scriptstyle{\color{blue}{10^2-84=100-84=16}}

תסיר מהם פ"ד ונשאר י"ו וזהו הכפל מהקטון על הגדול

Then, say: divide ten into two parts, such that their products by each other is 16.

ואח"כ תאמ' מעשרה תעשה ב' חלקים כפולים זה על זה יעלו י"ו

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle ab=16\end{cases}

You find that one part is 2 and the other is 8.

הנה תמצא כי החלק האחד ב' והאחר ח‫'

Divide a Number Problems

184)

‫184 אם יש לך לחלק עשרה על ב' חלקי' על ב' ועל ח' ואח"כ תחלק הגדול על הקטן והקטון על הגדול היינו ח' על ב' יצא ד' גם חלק ב' על ח' יצא רביע ושניהם הם ד' ורביע ועל זה המספר תחלק איזה מספר כאלו תאמר י"ז ויצא ד' שלמים ואומר כי אלו תחלק י"ז על אלו הד' יצא ד' ורביע כבראשנה

185) Question: Divide ten into two unequal parts, [such that when] you divide the greater [part] by the smaller [part] and the smaller by the greater, then multiply [the sum] by twenty, the result is 85.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{b}{a}\right)\sdot20=85\end{cases}

‫185 שאלה תחלק לי עשרה על ב' חלקים בלתי שוים ואח"כ תחלק הגדול על הקטן והקטן על הגדול והיוצא כפול על עשרים יעשה פ"ה

Do as follows: divide 10 into 2 parts, 2 and 8.

כך תעשה עשה מי' ב' חלקים ב'ח‫'

Divide 2 by 8; the result is a quarter.

חלק ב' על ח' יצא רביע

Divide 8 by 2; the result is 4.

וחלק ח' על ב' יצא ד‫'

Together they are 4 and a quarter.

ושניהם הם ד' ורביע

Then, divide 85 by twenty; the result is also 4 and a quarter.

אח"כ חלק פ"ה על עשרים יצא ג"כ ד' ורביע

Multiply 4 and a quarter by twenty; the result is 85.

אח"כ כפול ד' ורביע על עשרים יצא פ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{8}+\frac{8}{2}\right)\sdot20=\left(\frac{1}{4}+4\right)\sdot20=85}}

186) Question:

‫186 שאלה תעשה מי' ב' חלקים בלתי שוים אשר הגדול מחולק ‫^[70]על הקטן והקטן על הגדול ואח"כ תקבץ הכל והעולה כפול על השטח ההוה מכפל המספרים זה על זה יעלה כמו השטח ההוה מב' המספרים כפול כל אחד על עצמו ומקובצים

המשל ו' ד' חלק ד' על ו' והם ב' שלישיות וו' על ד' והם א' וחצי וקבצם והם ב' ושישית אחד כפול ד' על ו' והם כ"ד כפלם על ב' ושישית והם נ"ב כן ממש יעלה אם תכפול ד' על עצמו הוא י"ו וו' על עצמו ל"ו ושניהם מחוברי' הם נ"ב

187) Question:

‫187 שאלה חלק לי י' על ב' חלקים בלתי שוים

כגון ד' ו' ואח"כ חלק י' שהוא כל המספר על ד' יעלה ב' וחצי ואם תחלק החלק הגדול על החלק הקטן יצא א' וחצי היינו ו' על ד' והנך רואה כי הוא אחד פחות מהחלק האחר גם אם תחלק י' על ו' יצא א' וב' שלישיות והוא אחד פחות לעולם

Find a Number Problems

188) Question: find me two numbers such that their sum is the same as their product.

\scriptstyle a+b=a\times b

‫188 תמצא לי ב' מספרים כי מחוברים יהיו כמו כפולים

כן תעשה שהאחד יעדיף על חבירו אחד או יחסר אחד ונניח כי הא' ג' והאחר ד' כי אם תחלק ד' על ג' יצא א' ושליש ואומר כי זה המספר כפול על ד' יהיה כמו מחובר על ד' כי ד' פעמים א' ושליש הוא ה' ושליש וכן כשהם מחוברים ג"כ

ועל כן תוכל לשאול תעשה לי מי"ג ב' חלקים או מי"ט או מכ"ז או מאיזה מספר שיהיה נפרד ועשה שהאחד יעדיף על חבירו א' ותעשה כנז' כגון אם יאמר תעשה לי מי"ג ב' חלקים שיהיו מוכפלים כמו מחוברים עשה האחד ו' והאחר ז' חלק ז' על ו' ויצא א' ושישית והנה אם תכפול ז' על א' ושישית יעלו ח' ושישית אחד וכן אם תחברם

189) Question:

‫189 שאלה אם תחלק י' על ד'ו' ותקבץ הכפלותיהם כל אחת על עצמם יצא נ"ב עתה קח חצי י' שהוא ה' ותרבענו ויהיו כ"ה עתה תקח ההפרש שהוא מד' אל ה' או מו' אל ה' שהוא אחד ותרבענו ויהיה אחד ותוסיפהו על כ"ה ויהיו כ"ו והוא כמו חצי ג"כ

פירוש מהשאלה של מעלה האומרת תמצא לי ב' מספרים שיהיו ‫^[71]כפולים כמו מרובעים ר"ל תעשה מאיזה מספר שיהיה ב' חלקים כי אם תחלק הגדול על הקטן יעשה רבועם כמו קבוצם כמו מספר ז' תחלקהו על ב' חלקים שהאחד יעדיף אחד על חבירו ולא תוכל לעשות זאת השאלה כי אם ממספר ד נפרד כי אם הוא זוג לא תוכל לחלקו שהחלק האחד יעדיף על האחר א' ועל כן מספר ז' חלקהו על ג'ד' אח"כ חלק הגדול שהוא ד' על ג' ויצא א' ושליש ואומר כי זה המספר הוא המבוקש כי כך עולה כפול כמו מרובע

190) Question: how we can find two numbers such that their product by each other

‫190 שאלה איך נוכל למצא ב' מספרים כפולים זה על זה מי"ב שיעלה ל"ו אם תחבר על העולה המספר הקטן

כן תעשה עשה שהאחד יהיה ד' והאחר ח' וכפלם והנם ל"ב חבר בם ד' והם ל"ו

ולמצא אותם אם לא תדעם הסר י"ב מל"ו הנשאר כ"ד אח"כ מי"ב חסר לעולם ב' או מאיזה מספר אחר שיהיה הנשאר י' חלקם על ב' ויצא ה' וכפלם על עצמם והם כ"ה תסיר מהם כ"ד הנשאר א' וקח שרשו והוא אחד ותוציאנו מה' הנשאר ד' והוא המספר הקטן והחלק האחר הוא י"ב מוסף עליו שרש א' והנם י"ג הסר מהם ה' והנם ה' והוא הגדול

191) Question: produce from 25 two parts such that the ratio of the one to 10 is the same as the ratio of 10 to the other.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=25\\\scriptstyle a:10=10:b\end{cases}

‫191 שאלה תעשה מכ"ה ב' חלקים שיהיה יחס האחד בהקש אל י' כיחס י' אל השני

כך תעשה קח חצי כ"ה והוא י"ב וחצי ותרבעם והם קנ"ו ורביע ומזה תסיר מרובע י' שהוא ק' הנשאר נ"ו ורביע וקח שרשם והם ז' וחצי תוציאם מי"ב וחצי הנשאר ה' והוא החלק האחד ולמצא השני תוסיף אלו הי"ב וחצי על י"ב וחצי והם עשרים והנך רואה כי הם מתיחסים

כי יחס ה' אל י' כיחס י' אל כ‫'

192) Question:

‫192 שאלה תמצא לי ג' מספרים מתיחסים כמו ב'ד'ח' כי קבוצם י"ד ואם תכפול ב' על ד' והם ח' וח' על ח' הם ס"ד ואם תחלק ס"ד על ב' יצא ל"ב כמו שהוא ד' על ח' ואם תחלק ס"ד על ד' יצא י"ו כמו שהוא ב' על ח' ואם תחלקהו על ח' יצא ח' כמו שהוא ב' על ד‫'

193) Question: produce from 14 three parts such that [the product of] the first multiplied by the second is the same as the third multiplied by itself.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=14\\\scriptstyle a\times b=c^2\end{cases}

‫193 שאלה תעשה לי מי"ד ג' חלקים שיהיה הא' כפול על ב' כמו הג' כפול בעצמו

עשה כך תחבר הא' והב' שהם ב'ח' שהם י' וקח חצים ותרבעם והם כ"ה תסיר מזה מרובע הג' שהוא ד' והם י"ו נשאר ט' וקח שרשם והם ג' תוציאם מה' נשאר ב' והוא הא' ותוסיפם על ה' והם ח' והוא הג‫'

194) Question: produce from 12 three numbers such that the square of the first is the same as the sum of the squares of the second and the third.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=12\\\scriptstyle a^2=b^2+c^2\end{cases}

‫194 שאלה תעשה לי מי"ב ג' מספרי' שמרובע הראשון יהיה כמו מרובע הב' והג' מחוברים

הנה הא' הוא ה' והב' ד' והג' ג' הנה מרובע ה' הוא כ"ה כמו מרובע ד' שהוא י"ו וג' שהם ט' כי הם כ"ה לכן כדי למצא אותם קח חצי כ"ה והם י"ב וחצי ומזה תסיר חצי

מהב' מספרים האחרים שהם מחוברים ג'ד' והם ז' וחצים הוא ג' וחצי ותרבעם והם י"ב ורביע תוציאם מי"ב וחצי נשאר רביע ושרשו חצי וזה תוסיף על ג' וחצי והוא ד' והוא השני גם מג' וחצי תוציא חצי הנשאר ג' והוא הג‫'

195) Question:

‫195 שאלה תעשה מט"ו ג' חלקים האחד ג' והאחר ה' והאחר ז' הנה אם תכפול ג' הם ט' ואם תכפול ה' הם כ"ה ועם הט' הם ל"ד גם כפול ג' על ה' והם ט"ו ותחברם והם מ"ט כמו מרובע ג' שהוא ז' כי עולה ג"כ מ"ט

ולמצא אותם אומר כי תחבר ג' עם ח' והם ט' ומרובעם ס"ד ומזה תוציא מרובע הג' שהוא מ"ט הנשאר ט"ו ואלו הט"ו תוציאם מחצי מרובע הא' והב' מחוברים שהם ח' וחצים ד' ומרובעם י"ו הנשאר א' ומזה תוציא מן החצי ר"ל מד' הנשאר ג' והוא ראשנה ולמצאה שניה תוסיף א' על ד' והם ה' והוא השניה

196) Question:

‫196 שאלה אם תחלק איזה מספר על ד' חלקי‫'

כגון מספר כ"ב ותחלקם ו'ח' הם ראשנים ז'א' והם אחרונים ואומר כי ו' כפול על עצמו הוא ל"ו וח' כפול על עצמו הוא ס"ד ושניהם מחוברים הם ק' והנה כפל ז' על עצמו הוא מ"ט וכפל א' על א' הוא א' והם חצי ק‫'

197) Question:

‫197 שאלה אם תעשה מי' ב' חלקים בלתי שוים כגון ב'ח' אם תכפול הא' על הב' הם י"ו והקואטרופלא הם ס"ד כי אם תרבעם על ד' הם ס"ד אח"כ תרבע י' והם ק' ומזה תסיר ס"ד ונשאר ל"ו והוא מרובע היתרון כמו שיש מח' אל ב' שהם ו' ומרובעם ל"ו

198) Question:

‫198 שאלה אם תעשה מי"ג ב' חלקים האחד ד' והאחר ט' אשר שרש האחד כפול על שרש האחר עולה ו' ואם תקח חצי י"ג שהם ו' וחצי ותרבעם עולה מ"ב ורביע ומזה תוציא מרובע ו' שהוא ל"ו ונשאר ו' ורביע ומזה תוציא שרש הנשאר ד' הוא המספר הקטן והאחר הוא ו' וחצי נוסיף עליו שרש ו' ורביע ויעלה ט' והוא השני

199) Question:

‫199 שאלה תעשה לי מי"ב ב' חלקים בלתי שוים שהחלק האחד כפול בחבירו יעלה י"ו יותר קח שרש י"ו כלומ' יעשה עשרים

קח מרובע ו' היינו ל"ו תוציא מהם י"ו הנשאר עשרים ומזה תוציא שרש י"ו הנשאר והוצא שרש י"ו מו' הנשאר ב' והוא הקטן גם תוסיף אלו הד' על הו' והם י' והוא החלק הגדול

200) Question: produce from 29 two parts such that if you subtract the root of the smaller part from the root of the larger 3 will remain

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=29\\\scriptstyle\sqrt{b}-\sqrt{a}=3\end{cases}

‫200 שאלה תעשה מכ"ט ב' חלקים אשר אם תוציא חלק הקטן משרש הגדול שישאר ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle 4+25=29\\\scriptstyle\sqrt{25}-\sqrt{4}=5-2=3\end{cases}}}

כך תעשה עשה שהאחד ד' והאחר כ"ה הנה שרש כ"ה הוא ה' ושרש ד' והוא ב' תוציא ב' מה' נשאר ג‫'

והנה אם תכפול ג' על ז' שהוא קבוץ ב' שרשים יעלה כ"א והוא כמו היתרון שיש מחלק הגדול על הקטן כי הא' כ"ה והאחר ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=3\sdot\left(\sqrt{4}+\sqrt{25}\right)=3\sdot7=21=25-4=b-a}}

201) Question: produce from 10 two parts such that if you subtract the root of the smaller part from the root of the larger 2 will remain

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\sqrt{b}-\sqrt{a}=2\end{cases}

‫201) שאלה תעשה לי מי' ב' חלקים כי אם תוציא שרש הגדול משרש הקטן שישאר ב‫'

כך תעשה תרבע ב' והם ד' תוציאם מי' והם ו' וקח חצים והם ג' ותרבעם והם ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2^2\right)\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-4\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2=3^2=9}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-9=5^2-9=25-9=16}}

אח"כ קח חצי עשרה שהם ה' כפלם על עצמם והם כ"ה ומזה תוציא הט' נשאר י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{a=5-\sqrt{16}=1}}

והנה שרש י"ו אם תוציאנו מה' הנשאר א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{b=5+\sqrt{16}=9}}

ואם תוסיפם על ה' ויהיו ט' והם החלקים

202) Question: produce from 29 two parts such that if you subtract the root of the smaller part from the root of the larger 3 will remain.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=29\\\scriptstyle\sqrt{b}-\sqrt{a}=3\end{cases}

‫202) שאלה תעשה לי מכ"ט ב' חלקים אשר אם תוציא שרש הגדול משרש הקטן שישאר ג‫'

כך תעשה קח חצי ג' שהם א' וחצי וכפלם על עצמם והם ב' ורביע וזה תוציא מחצי כ"ט שהם י"ד וחצי הנשאר י"ב ורביע ומזה תקח שרשם שהם ג' וחצי וזה תכפול על הג' ויעלה עשרה וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot29\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2}&\scriptstyle=3\sdot\sqrt{\left(14+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{1}{2}\right)^2}=3\sdot\sqrt{\left(14+\frac{1}{2}\right)-\left(2+\frac{1}{4}\right)}=3\sdot\sqrt{12+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=3\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{1}{2}\\\end{align}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(\frac{1}{2}\sdot29\right)-\left(10+\frac{1}{2}\right)=\left(14+\frac{1}{2}\right)-\left(10+\frac{1}{2}\right)=4}}

וזה תסיר מחצי כ"ט שהם י"ד וחצי הנשאר ד' והוא החלק הקטן

\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(\frac{1}{2}\sdot29\right)+\left(10+\frac{1}{2}\right)=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(10+\frac{1}{2}\right)=25}}

תוסיף אלו העשרה וחצי על י"ד וחצי והם כ"ה והוא השני

203) Question: produce from twenty two parts such that if you add to the smaller part twice its root, the square of the result is the same as the product of the two numbers multiplied by each other.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=20\\\scriptstyle\left(a+2\sqrt{a}\right)^2=a\sdot b\end{cases}

‫203) שאלה תעשה מעשרים ב' חלקים אשר אם תוסיף על החלק הקטן ב' פעמים שרשו הנה מרובע העולה יעלה כמו השטח ההוה מב' מספרים כפולים זה על זה

ואומר כי החלק האחד ד' והאחר י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left[4+\left(2\sdot\sqrt{4}\right)\right]^2=\left[4+\left(2\sdot2\right)\right]^2=\left(4+4\right)^2=8^2=64}}

קח שרש ד' והם ב' וכפלם על ב' והם ד' ותוסיפם על הד' והם ח' וכפלם ס"ד

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot16=64}}

כן אם תכפול הקטן על הגדול ר"ל ד' על י"ו יעלה ס"ד

204) Question: produce from 13 two parts such that the sum of their roots is five.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=13\\\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{b}=5\end{cases}

‫204) שאלה תעשה לי מי"ג ב' חלקים אשר שרשהם מקובצים יעלו חמשה

תרבע חמשה ויהיו כ"ה תוציא מהם י"ג ונשאר י"ב תרבעם והם קמ"ד תחלקם על ד' ויצא ל"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5^2-13\right)^2}{4}=\frac{\left(25-13\right)^2}{4}=\frac{12^2}{4}=\frac{144}{4}=36}}

אח"כ תרבע ו' וחצי שהוא חצי י"ג ויהיו מ"ב ורביע ומזה תוציא ל"ו הנשאר ו' ורביע

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)^2-\frac{\left(5^2-13\right)^2}{4}=\left(6+\frac{1}{2}\right)^2-36=\left(42+\frac{1}{4}\right)-36=6+\frac{1}{4}}}

\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(6+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{6+\frac{1}{4}}=4}}

\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(6+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{6+\frac{1}{4}}=9}}

תוציאם מו' וחצי ונשאר ו' וחצי פחות שרש ו' ורביע והאחד יהיה ו' וחצי נוסיף עליו ר"ל כי האחד ד' והאחר ט‫'

205) Question:

‫205) שאלה תחלק איזה מספר כאלו תאמר מספר י' לג' חלקים לב' וג' וא' ותכפול הא' על השלישית יעלה י' גם תכפול הראשון על השני יעלה ו' והשני על השלישי יעלה ט"ו ותחבר הכל והם ל"א ותכפלם והם ס"ב ושמרם עו' כפול הראשון על הב' גם כפול השני על הב' הנשארים גם השלישי על הב' הנשארים וקבץ הכל ויעלה ס"ב

206) Question:

‫206) שאלה אם תחלק איזה מספר לג' חלקים כגון י' על ב'ג'ה' אם תכפול כל אחד כנגד הב' הנשארים וקבץ הכל הם ס"ב ומרובעם מקובצים עולה ל"ח ומחוברים עם הס"ב עולים ק‫'

על כן אם נשאל לך תמצא מספר מי' חלקהם מוכפלים כל אחד על הב' הנשארות וגם מרובע כל א' מהם על עצמו המקובץ מהכל עולה ק' כמה הם החלקים הראוים לעשות מי‫'

207) Question:

‫207) שאלה תמצא לי ב' מספרים מתיחסים מאיזה יחס שיהיה ואח"כ תמצא ב' מספרים אחרים מתיחסים כפי אותו היחס הראשון שיעלה כ"כ כפול השני מספרים הראשנים זה על זה כמו מה שיעלה מרובעי כל אחד מהם על עצמו מהשנים האחרים

המשל שיהיה הב' מספרים הראשנים שרש ל' ושרש ר"ע והשניים הם ג' וט' אשר השניים כפול כל אחד על עצמו ומחוברים עולה צ' ורבעם ויעלה ח' אלפים ומאה וכך עולה כפל הראשנים זה על זה ר"ל כ"ז עם ר"ע ואומר כי השטח מהב' שניים כפולים זה על זה שהוא כ"ז אם תכפלהו על ג' מאות אשר הוא העולה מהב' הראשנים עולה ח' אלפים ומאה ושרשם צ' וכן הוא השטח ו' מהראשנים עולה צ' והנך רואה כי יחס הראשנים והשניים הם טריפלא

208) Question:

‫208) שאלה תעשה לי מעשרה ב' חלקים שכל חלק וחלק אצל חבירו ומה שיעלה תחבר אח"כ תחלק מרובע אותם הב' מספרים כל אחד כפול על עצמו שיצא י"ו אח"כ תחלק כ"ד על כל חלק מהחלקים והיוצא מקובץ משניהם יעשה ט"ו

כך תעשה הנה היחס שיש מי' אל ט"ו כן יש מכ"ד אל י"ו כי כל אחד נקרא שישקאלטירא והנה החלק האחד מי' יהיה ב' והאחר ח' אשר כל חלק כפול על חברו ומחוברים עולה ד' ורביע וכפל מרובעהם עולה ס"ח כי אם תחלקם על ד' ורביע עולה י"ו גם אם תחלק כ"ד על ב' ועל ח' יצא ט"ו

209) Question:

‫209) שאלה אם תחלק מספר ט' לב' חלקים ד' וה' אומר כי אם תכפול ד' על ה' הם עשרים והנך רואה כי כפל ד' על עצמם שהם י"ו על כפל ה' על עצמם ו' שהם כ"ה הם ד' מאות ושרשם עשרים

210)

‫210) אם תקח שני מספרי' כגון ד' וי"ב והנה תחלק י"ב על ב' יצא ו' ושמרם אח"כ כפול י"ב על ו‫'

ויצא ע"ב ותכפלם על ב' ויהיו קמ"ד וכך הוא כפל י"ב על עצמם

211) If you divide ten into two parts

‫211) אם תחלק עשרה על ב' חלקים

for example 6 and 4

כגון על ו' ועל ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{4}+\frac{10}{6}=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)=4+\frac{1}{6}}}

חלק י' על ד' ויצא ב' וחצי

גם חלק י' על ו' ויצא א' וב' שלישיות
ומחוברים הם ד' ושתות ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{4}+\frac{4}{6}=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{3}=2+\frac{1}{6}}}

אח"כ תחלק ו' על ד' ויצא א' וחצי

חלק ד' על ו' ויצא ב' שלישיות
ומחוברים הם ב' ושתות אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10}{4}+\frac{10}{6}\right)-\left(\frac{6}{4}+\frac{4}{6}\right)=\left(4+\frac{1}{6}\right)-\left(2+\frac{1}{6}\right)=2}}

על כן אמרתי כי הם פחות ב' מהד' ושתות הנשארים

212) If you divide 12 by 2 and by 6

‫212) אם תחלק י"ב על ג' ועל ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{6}+\frac{12}{3}=2+4=6}}

יצא ו' ר"ל ב' מצד זה וד' מצד זה שהם ו' ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(12\sdot6\right)+\left(12\sdot3\right)}{3\sdot6}=\frac{72+36}{18}=\frac{108}{18}=6}}

אח"כ כפול י"ב על ג' ועל ו' ויהיו ע"ב מצד זה ול"ו מצד אחר

ושניהם מחוברים הם ק"ח
חלקם על כפל ג' על ו' שהם י"ח ויצא ו' והם שוים אל הו' השמורים

213) If you multiply a square by a square the result is a square

‫213) אם תכפול מרובע על מרובע העולה יהיה מרובע

If you multiply a cube by a cube the result is a cube

גם אם תכפול מעוקב על מעוקב העולה יהיה מעוקב

214) Question:

‫214) שאלה אם תכפול ב' מספרים אשר הסך העולה יש לו שרש הנה אלו הב' מספרים הנכפלים עם השרש ההוה מכפל זה על זה יהיו מספרים יחסיים כי יחס הראשון אל השרש כן יחס השרש אל המספר השני

המשל נרצה לכפול מ' על צ' הנה הסך העולה ג' אלפים וו' מאות ושרשם הם ס' אומר כי עתה בכאן ג' מספרים יחסיים והוא כי יחס מ' אל ס' כיחס ס' אל צ' וכן יצא מכל ב' מספרים כפולים זה על זה ולסך יש לו שרש הנה השרש הוא יחס אמצעי בין הא' והג‫'

משל אחר נרצה לכפול ג' על י"ב והנם ל"ו ושרשם ו' הנה ו' הוא אמצעי בין ג' וי"ב והנה הראשון ג' והב' ו' והג' י"ב וכלם הם מספרים יחסיים

215) Question: We have 3 proportional numbers, such that [the root of] the product of the first by the [third] is the mean.

How much is the first and the third?

‫215) שאלה יש לנו ג' מספרים מתיחסים והנה העולה מכפל הראשון על השרש השרש הוא אמצעי

כמה הוא הא' והג‫'

Example: we have 2, 8, 32.

המשל יש לנו ב' ח' ל"ב

The product of 2 by 32 is 64; its root is 8 and this is the mean.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a_1\times a_3}=\sqrt{2\times32}=\sqrt{64}=8=a_2}}

הנה כפל ב' על ל"ב הוא ס"ד ושרשם ח' והוא האמצעי

ולדעת הא' והג' תרבע ח' והוא ס"ד ועשה מהם ב' חלקים שיהיה יחס הא' אל הח' כיחס ח' אל השלישי ותמצא כי האחד ב' והאחר ל"ב כי יחס ח' אל ב' כיחס ל"ב אל ח‫'

216) Question: A man has an amount of money, such that at the end of 3 years it is nine.

How much was it in the beginning?

‫216) שאלה הנה איש יש לו ממון ובסוף ג' שנים עולה תשעה כמה היה בתחלה

הנה ראוי לחלק ט' על ב' ויצא ד' וחצי וזה היה לו בסוף שנה שניה עתה תחלק ד' וחצי על ב' ויצא ב' ורביע וזה היה לו בסוף שנה ראשנה עתה תחלק ב' ורביע על ב' ויצא לך א' ושמין וזה היה לו בתחלה וזהו כשהיחס מא' אל ב' אמנם כשהיחס הוא מא' אל ג' ראוי לחלק כל השנים על ג‫'

217) Sometimes it happens that if you multiply a root of a root of a number [by another], even though these numbers have no real root, that the result of the multiplication has a real root of a root.

‫217) הנה לפעמים יזדמן כי אם תכפול שרש משרש מספר אחד אע"פ שאין לאותם המספרים שרש אמיתי לפעמים העולה מהכפל יהיה לו שרש משרש אמיתי

As saying: multiply the root of the root of 96 by the root of the root of 216.

\scriptstyle\sqrt{\sqrt{96}}\times\sqrt{\sqrt{216}}

כגון האומר כפול שרש משרש צ"ו על שרש משרש רי"ו

The root of 96 has no discrete root.

הנה אין לשרש צ"ו שרש משרש דישקריטו

Whereas 216 has a discrete root of a root, which is 4.

אמנם לרי"ו יש שרש משרש ד' דישקריטא והוא ד‫'

Therefore, multiply 96 by 216; the result is twenty thousand and 736. Its root is 144; the root of 144 is 12 and this is the required.

על כן כפול צ"ו על רי"ו ויעלו עשרים אלף ותשל"ו ושרשם קמ"ד ושרש קמ"ד י"ב והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{96}}\times\sqrt{\sqrt{216}}=\sqrt{\sqrt{96\times216}}=\sqrt{\sqrt{20736}}=\sqrt{144}=12}}

ובזה האופן תוכל למצא אם ישאל אדם תמצא לי ב' מספרים שלא יהיו מרובעים וכפול שרש השרש מזה על שרש השרש מזה והעולה יהיה לו שרש אמיתי והנה תמצא כי המספר הא' יהיה צ"ו והאחר יהיה רי"ו ושרש השרש מזה כפול על שרש השרש מזה יהיה העולה י"ב בצומצום

218) If you multiply the root of a number by the root of a number, multiply one of the numbers by the other number, then take the root of the product and the result is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}\times\sqrt{b}=\sqrt{a\times a}}}

‫218) אם תכפול שרש מספר מה על שרש מספר מה תכפול המספר האחד על המספר האחר ומהעולה תקח השרש והיוצא הוא המבוקש

Example: we wish to multiply the root of four by the root of nine.

\scriptstyle\sqrt{4}\times\sqrt{9}

דמיון נרצה לכפול שרש ארבעה על שרש תשעה

Multiply 4 by 9; it is 36. Take its root; it is 6 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\times\sqrt{9}=\sqrt{4\times9}=\sqrt{36}=6}}

כפול ד' על ט' והם ל"ו וקח שרשם והם ו' והוא המבוקש

Also if no one has a root or one has a root

וכן אם אין לשום אחד שרש או יש לאחד שרש

As if you multiply the root of 12 by the root of 10, because neither of them has a root.

\scriptstyle\sqrt{12}\times\sqrt{10}

כמו אם תכפול שרש י"ב על שרש י' כי אין לשום אחד שרש

Multiply 12 by 10; it is 120 and the root of 120 is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}\times\sqrt{10}=\sqrt{12\times10}=\sqrt{120}}}

כפול י"ב על י' והם ק"כ ושרש ק"כ הוא המבוקש

Also if you multiply the root of 9 that has a root by the root of 10 that has no root.

\scriptstyle\sqrt{9}\times\sqrt{10}

וכן אם תכפול שרש ט' שיש לו שרש על שרש י' שאין לו שרש

Multiply 10 by 9; the result is 90 and its root is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\times\sqrt{9}=\sqrt{10\times9}=\sqrt{90}}}

כפול י' על ט' ויצא צ' ושרשו הוא המבוקש

Also if you wish to multiply the root of the root of a number by the root of the root of another number, multiply these two numbers by each other, then take the root of the root of the product and this is the required.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\sqrt{a}}\times\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\times a}}}}

וכן אם תרצה לכפול שרש משרש מספר אחד על שרש משרש מספר אחר כפול אלו הב' מספרי' זה כנגד זה ומהעולה קח שרש השרש והוא הדרוש

As saying: take the root of the root of 3 and multiply it by the root of the root of 27.

\scriptstyle\sqrt{\sqrt{3}}\times\sqrt{\sqrt{27}}

כמו האומ' קח שרש משרש ג' וכפול אותו על שרש משרש כ"ז

Multiply 27 by 3; it is 81. Take the root of [the root of] 81 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{27}}\times\sqrt{\sqrt{3}}=\sqrt{\sqrt{27\times3}}=\sqrt{\sqrt{81}}}}

כפול כ"ז על ג' והם פ"א ומפ"א קח שרשם והוא הדרוש

219) Question: find me 2 non-square numbers, such that the product of the root of the root of one of them multiplied by the root of the root of the other has no root.

‫219) שאלה תמצא לי ב' מספרים בלתי מרובעים אשר שרש השרש מזה כפול על שרש משרש מזה והעולה לא יהיה לו שרש

As if you say: of 10. Multiply it [by itself]; it is 100.

\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}

כאלו תאמר מי' ותכפלם ויהיו ק‫'

Then, take any number you want, such as 5.

אח"כ קח איזה מספר שתרצה כגון מספר ה‫'

Take 100 and divide it by 5; the result is twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{5}=20}}

ואח"כ קח ק' וחלק על ה' ויצא עשרים

You see that 5 times [twenty] is 100, as the square of ten.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times20=100=10^2}}

והנך כי ה' פעמים עולה ק' כמו שהוא מרובע עשרה

Therefore, if you multiply the root of 5 by the root of twenty, the result is the root of 100, which is ten.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{20}=\sqrt{100}=10}}

ועל כן אם תכפול שרש ה' על שרש עשרים יעלה שרש ק' שהם עשרה

We already said that if you multiply the root of the root of 10 by the root, which is coza, of the root of twenty, it is the root of the root of 100, that is ten.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{5}}\times\sqrt{\sqrt{20}}=\sqrt{\sqrt{100}}=\sqrt{10}}}

וכבר אמרנו כי אם תכפול שרש השרש מי' על שרש Coza השרש מעשרים יהיה שרש השרש מק' כלומ' עשרה

220) Question: divide 16 into 3 proportional numbers that relate in a ratio of 1 to 5 called quintuple ratio.

‫220) שאלה תחלק לי י"ו לג' מספרים מתיחסים מיחס א אל ה' הנקרא קואינקופלא

Do as follows: take 1 for the first, 5 for the second, 25 for the third. Sum them; it is [3]1. Divide 16 by it; the result is 16 parts of 31 and this is the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{16}{1+5+25}=\frac{16}{31}}}

עשה כך קח בעד הראשון א' ובעד הב' ה' ובעד הג' כ"ה וחברם והנם כ"א וחלק י"ו עליהם ויצא י"ו חלקים מל"א והוא הראשון

Do the same for the second and the third.

וכן תעשה מהשני ומהג‫'

You can do the same for all the ratios, whether it is a quintuple ratio, or a quadruple ratio, or any other number.

וכן תוכל לעשות מכל היחסים בין שיהיה קואינקופלא או קואטרופלא או אי זה מספר אחר

221)

‫221) הנה קוסא ר"ל שרש ושינצו ר"ל מרובע [.............] [.....] נומירו ר"ל להביא מספרים מתחלפים במספר אחד כאלו תאמר קרלי' וטורניסי ודוקטי חשבון אחד יקבצם

Quadratic Equations

וכשהוא אומר קובו וצינצו דיצינצו הכל שב אל אלו השלשה כמו שתראה בדמיונות הריגולי מהקוסי הם נכללים בו' דרכים ג' מורכבים וג' פשוטים

We write the simple [types] and then the compound [types]:

ונכתוב הפשוטים ואח"כ המורכבים

222) Question: find me a number such that if you multiply it by 4 it will be the same as it multiplied by itself.

\scriptstyle a\sdot4=a^2

‫222) שאלה תמצא לי מספר כי אם תכפול אותו על ד' יעלה כמוהו כפול על עצמו

נניח כי המספר הוא ו' כפול אותו על ד' ויעלה כ"ד וכפלהו על עצמו ויעלו ל"ו ולכן תאמר אם ל"ו יתן לי ו' כ"ד כמה יתנו ויצא לך ד' והוא המבוקש

ולעשות אותו ריגולא דילאקוסא עשה כך

Take one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

] and multiply it by 4; it is 4 roots [

\scriptstyle{\color{blue}{4X}}

] .

קח קושא אחת ו' וכפלהו על ד' והם ד' קוסי

Then, square one root; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

אח"כ תרבע א' קוסא והוא א סינסו

This is equal to 4 roots.

\scriptstyle{\color{blue}{X^2=4X}}

והוא שוה אל ד' קוסי

Divide the number of roots by the number of squares; you receive 4 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4}{1}=4}}

תחלק מספר הקוסי על מספר הסינסו ויצא לך ד' והוא המבוקש

223) Question: find me a number such that when multiplied by itself and the result is multiplied by 5 it is 45.

\scriptstyle a^2\sdot5=45

‫223) שאלה תמצא לי מספר כפול על עצמו והעולה כפול על ה' יעלה מ"ה‫'

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי הוא א' קוסא

Multiply it by itself; the result is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

כפול אותו על עצמו ויצא א' סינסו

Then, multiply it by 5; it is 5 squares equal 45.

\scriptstyle{\color{blue}{X^2\sdot5=5X^2=45}}

אח"כ כפול אותו על ה' והם ה' סינסי והוא שוה אל מ"ה

Divide 45 by the number of the squares; the result is 9. Extract the root of 9; it is 3 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\frac{45}{5}}=\sqrt{9}=3}}

על כן חלק מ"ה אל מספר הסינסו שהם ה' ויצא ט' וקח שרש ט' והוא ג' והוא הדרוש

224) Question: find me a number such that its third multiplied by 5 will be twenty.

\scriptstyle\frac{1}{3}a\sdot5=20

‫224) שאלה תמצא לי מספר כי שלישיתו כפול על ה' יהיה עשרים

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי הוא קוסא אחת

Take its third; it is a third of one root [

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X}}

].

קח שלישיתו והוא שליש קוסא אחת

Multiply it by 5; it is one root and 2-thirds of a root equal twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X\sdot5=X+\frac{2}{3}X=20}}

וכפלהו על ה' והם קוסא אחת וב' שלישיות קוסא הם שוים אל עשרים

Divide twenty by 1 and 2-thirds; the result is 12 and it is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{1+\frac{2}{3}}=12}}

לכן חלק עשרים על א' וב' שלישיות ויצא י"ב והוא הדרוש

So much for the simple types and these are the compound types:

ע"כ הפשוטים ואלו הג' הם מורכבים

225) Question: find me a number such that when you add it to its square the result is 22.

\scriptstyle a+a^2=12

‫225) שאלה תמצא מספר כי אם תוסיף אותו על מרובעו יעלה י"ב

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח א' קוסא

Square it; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

תרבעהו ויהיה א' סינסו

Add one root to it; it is one square plus one root equal 12.

\scriptstyle{\color{blue}{X+X^2=12}}

תוסיף בו א' קוסא ויהיה א' סינסו ועוד א' קוסא והוא שוה אל י"ב

[Halve] the root; it is half a root.

תחלק הקוסא ויהיה חצי קוסא

Multiply it by itself; the result is a quarter.

כפלהו על עצמו יצא רביעית

Add the required number, which is 12; it is 12 and a quarter.

תוסיף בו המספר הדרוש והוא י"ב ויהיו י"ב ורביע

Hence, the root of 12 and a quarter minus a half equal the square; i.e. 3 and this is the required.

והנה שרש י"ב ורביע פחות חצי הוא שוה הקוסי היינו ג' והוא הדרוש

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12}-\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}+12}-\frac{1}{2}=\sqrt{12+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}=3}}

226) Question: find me a number such that when you add to it 12 the result is equal to its square.

\scriptstyle a+12=a^2

‫226) שאלה תמצא לי מספר כי כשתוסיף בו י"ב יהיה העולה שוה למרובעו

Do as follows:

כך תעשה

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי הוא א' קוסא

Add 12 to it; it is one root plus 12 equal one square.

\scriptstyle{\color{blue}{X+12=X^2}}

תוסיף בו י"ב והוא א' קוסא יותר י"ב והוא שוה אל א' סינסו

[Halve] one root; it is half [a root].

תחלק א' קוסא ויצא חצי

Multiply it by itself; the result is a quarter.

כפלהו על עצמו ויצא רביע

Add 12 to it; the result is 12 and a quarter.

תוסיף בו י"ב ויצא י"ב ורביע

The root of 12 and a quarter plus a half is the required, i.e. 4.

והנה שרש י"ב ורביע נוסף עליו חצי הוא הדרוש היינו ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12}+\frac{1}{2}=\sqrt{\frac{1}{4}+12}+\frac{1}{2}=\sqrt{12+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}=4}}

227) Question: find me a number such that when multiplied by 5 it is the same as its square if you add to it 4.

\scriptstyle5a=a^2+4

‫227) שאלה תמצא לי מספר כפול על ה' יעלה כמו מרובעו וכמו אם תוסיף עליו ד‫'

Do as follows:

כך תעשה

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח שהוא א' קוסא

Square it; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותרבעהו והוא א' סינסו

Add 4 to it; it is one square plus 4 equal 5 roots.

\scriptstyle5X=X^2+4

תוסיף בו ד' ויהיה א' סינסו ועו' ד' והוא שוה אל ה' קוסי

[Halve the number of] the roots, which is 5; it is 2 and a half.

תחלק הקוסי שהם ה' ויהיו ב' וחצי

Multiply it by itself; it is 6 and a quarter.

כפלם על עצמם ויהיו ו' ורביע

Subtract 4 from it; 2 and a quarter remain.

תסיר מהם ד' וישארו ב' ורביע

The root of 2 and a quarter is 1 and a [half].

והנה שרש ב' ורביע הוא א' ורביע

We add 2 and a half to it; it is the required number, i.e. four.

נוסף על ב' וחצי הוא המספר הדרוש היינו ארבעה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2-4}+\left(\frac{5}{2}\right)=\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)^2-4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(6+\frac{1}{4}\right)-4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{2+\frac{1}{4}}+\left(2+\frac{1}{2}\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}

Here end the three compound types. Deduce from this.

ובכאן נשלמו ג' ריגולי מורכבות ותקיש על זה

228) Question: find me a number such that if you add to it a quarter of its square it is three.

\scriptstyle a+\frac{1}{4}a^2=3

‫228) שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו רביע מרובעו יהיה שלשה

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי הוא א' קוסא

Square it; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

תרבע אותו והוא א' צינסו

Its quarter is a quarter of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X^2}}

].

והרובע הוא רביע סינסו

Add one root to it; the result is one root plus one quarter of a square and this is equal to three.

\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{4}X^2=3}}

תוסיף בם א' קוסא ויעלה א' קוסא יותר א' רביע סינסו והוא שוה אל שלשה

Normalization: You see that you have less than one square, because it is only a quarter of a square. So, consider it as one square, i.e. divide all by one quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{X+\frac{1}{4}X^2=3\ \ /\div\frac{1}{4}}}

והנך רואה כי יש לך פחות מסינסו אחד יען כי אינו כי אם רביע סינסו על כן ראוי שתחשוב כי הוא סינסו אחד היינו כי תחלק הכל על א' רביע

You receive one [square] plus 4 roots and this is equal to 12.

\scriptstyle{\color{blue}{4X+X^2=12}}

ויצא לך א' שלם יותר ד' קוסי והוא שוה אל י"ב

This way you find that the root is equal to a root of 16 minus two.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{16}-2}}

והנה לפי זה הדרך תמצא כי הקוסא שוה שרש י"ו פחות שנים

You should do the same also if you have more than one square:

וכן ג"כ ראוי לעשות אם היה לך יותר מסינסו אחד

As say: 3 squares and a half [

\scriptstyle{\color{blue}{3X^2+\frac{1}{2}X^2}}

] or one square and a quarter [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2+\frac{1}{4}X^2}}

]: it should be divide by 3 and a half or by 1 and a quarter.

כאלו תאמר ג' צינסו וחצי או א' צינסו ורביע היה ראוי לחלק על ג' וחצי או על א' ורביע

In conclusion, the fraction should be converted into a whole.

סוף דבר צריך להביא השבר ולעשות ממנו שלם

229) Question: find me a number such that if you multiply it by itself, then multiply the result by itself it is equal to the square of the number multiplied by 4

\scriptstyle\left(a^2\right)^2=4\sdot a^2

‫229) שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכפלהו על עצמו והעולה כפלהו על העולה יהיה שוה כמו מרובע אותו המספר כפול על ד‫'

We suppose [it is] one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח א' קוסא

Multiply it by itself; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותכפלהו על עצמו ויהיה א' צינסו

Square the result again; it is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

עוד תרבע העולה ויהיה סינסו דיסינסו

This is equal to 4 times the square, i.e. 4 squares.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=4X^2}}

וזה שוה אל ד' פעמים סינסו ר"ל אל ד' סינסי

Divide 4 by 1; the result is 4. Extract its root; it is 2 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\frac{4}{1}}=\sqrt{4}=2}}

תחלק ד' אל א' ויצא ד' וקח שרשו והוא ב' והוא המבוקש

230) Question: find me a number such that if you multiply it by itself, then multiply the result once again by itself it will be the same as it is multiplied by 8.

\scriptstyle\left(a^2\right)^2=8\sdot a

‫230) שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכפלהו על עצמו והעולה כפול פעם אחרת על עצמו יהיה כמו שהוא כפול על ח‫'

We suppose the required is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי המבוקש הוא א' קוסא

Multiply it by itself; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותכפלהו על עצמו ויהיה א' סינסו

Multiply it also by itself; the result is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

וזה ג"כ כפול על עצמו יעלה סינסו מסינסו

This is equal to one root multiplied by [8].

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2={\color{red}{8X}}}}

וזה שוה אל א' קוסא כפול ד' קוסי

Divide it by 1; the result is 8. So, the cube root of 8 is equal to the root and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt[3]{\frac{8}{1}}=\sqrt[3]{8}}}

תחלק על א' ויצא ח' והנה שרש מעוקב מח' שוה הקוסי והוא המבוקש

231) Question: find me a number such that the square of its square is 81.

\scriptstyle\left(a^2\right)^2=81

‫231) שאלה תמצא לי מספר אשר מרובע מרובעו יעלה פ"א

Do as follows:

כך תעשה

We suppose it is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי הוא א' קוסא

Square it; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותרבעהו ויהיה א' סינסו

Square it again; it is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

ועוד תרבעהו ויהיה סינסו מסינסו

This is equal to 81.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=81}}

וזה שוה אל פ"א

So, extract the root of the root of 81; it is 3 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\sqrt{81}}=3}}

על כן קח שרש משרש פ"א והוא ג' והוא המבוקש

232) Question: find me a number such that if you add its square to the square of its square the result is 20.

\scriptstyle\left(a^2\right)^2+a^2=20

‫232) שאלה תמצא לי מספר אשר על מרובע מרובעו תוסיף מרובעו יעלה עשרים

We suppose [it is] one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח א' קוסא

Take its square; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

וקח מרובעו ויהיה א' סינסו

Take the square of its square; it is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

וקח מרובע מרובעו ויהיה סינסו מסינסו

Plus one square they are equal to twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2+X^2=20}}

ועו' א' סינסו וזה שוה לעשרים

Take half the square; the result is half a square.

וקח חצי סינסו ויצא חצי סינסו

Square it by itself; the result is a quarter of a square.

ותרבעהו על עצמו ויצא רביע סינסו

Add twenty to it; the result is twenty and a quarter.

תוסיף בם עשרים ויצא עשרים ורביע

Subtract half a square from it; the result is twenty and a quarter minus a half; the root of the remainder is the value of the thing.

ותסיר מזה חצי הסינסו ויצא עשרי' ורביע פחות חצי והנה שרש הנשאר יהיה שווי הדבר

The root is 4 and a half. Subtract a half from it; the remainder is 4 and this is the required.

והנה השרש הוא ד' וחצי ומזה תסיר חצי הנשאר ד' והוא המבוקש

I.e. if you extract the root of 4, which is 2, it is the required.

ר"ל אם תקח שרש ד' שהם ב' הוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+20}-\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt{\frac{1}{4}+20}-\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt{20+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(4+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2}}

233) Question: find me a number such that the square of its square is the same as its square plus 12

\scriptstyle\left(a^2\right)^2=a^2+12

‫233) שאלה תמצא לי מספר אשר מרובע מרובעו יעלה כמו מרובעו נוסף עליו י"ב

Do as follows:

כך תעשה

We suppose the required is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי המבוקש היה א' קוסא

Square it; it is one [square

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותרבעהו והוא א‫'

Square it [again]; it is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

ותרבעהו ויהיה סינסו מסינסו

This is equal to one square plus 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2=X^2+12}}

והוא שוה אל סינסו א' יותר י"ב

[Halve] the square; the result is half a square.

תחלק הסינסו ויצא חצי סינסו

Square it; it is a quarter of a square.

ותרבעהו ויהיה רביעית סינסו

Add it to 12; it is 12 and a quarter.

והוסיפהו אל י"ב ויהיו י"ב ורביע

Add a half to the [root] of 12 and a quarter; the result is a root of 12 and a quarter plus a half.

ועל מרובע י"ב ורביע תוסיף חצי ויעלה שרש י"ב ורביע נוסיף עליו חצי

[The root] of 12 and a quarter plus a half is 4, since the root of 12 and a quarter is 3 and a half.

והנה שרש השרש מי"ב ורביע תוסיף עליו חצי היינו כי שרש י"ב ורביע הוא ג' וחצי ויהיו ד‫'

Extract its [root]; it is 2 and this is the required.

וקח מרובעם והם ב' והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{X=\sqrt{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\right)^2+12}+\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt{\frac{1}{4}+12}+\frac{1}{2}}=\sqrt{\sqrt{12+\frac{1}{4}}+\frac{1}{2}}=\sqrt{\left(3+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{2}}=\sqrt{4}=2}}

234) Question: find me a number such that if you add 4 to the square of its square the result is the same as its square multiplied by 5

\scriptstyle\left(a^2\right)^2+4=5\sdot a^2

‫234) שאלה תמצא לי מספר אשר על מרובע מרובעו תוסיף ד' יעלה כמו מרובעו כפול על ה‫'

Do as follows:

כך תעשה

We suppose the number is one root [

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

].

נניח כי המספר היה א' קוסא

Square it; it is one square [

\scriptstyle{\color{blue}{X^2}}

].

ותרבעהו ויהיה א' סינסו

Square it [again]; it is a square of a square [

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2}}

].

ותרבעהו ויהיה א' סינסו מסינסו

Add four to it; it is a square of a square plus 4 and this is equal to [5] squares.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(X^2\right)^2+4=5\sdot X^2}}

תוסיף בם ארבעה ויהיו סינסו מסינסו ועו' ד' והוא שוה אל הסינסו

[Halve the number of] the squares, which is five; the result is 2 and a half.

תחלק הסינסי שהם חמשה ויצא ב' וחצי

Multiply it by itself; it is 6 and a quarter.

וכפלם על עצמם ויהיו ו' ורביע

Subtract four from it; 2 and a quarter remain.

תסיר מהם ארבעה וישאר ב' ורביע

Add 2 and a half to this, which is half [the number of] the squares; the result is 2 and a half plus a root of 2 and a quarter; all this is equal to the square, i.e. a root of 2 and a half plus a root of a quarter.

ועל זה תוסיף ב' וחצי שהוא חצי הסינסו ויעלה ב' וחצי נוסף עליו שרש ב' ורביע והעולה מכל זה הוא שוה אל הקושא היינו שרש ב' וחצי נוסף עליו שרש ב' ורביע

I.e. 1 and a quarter, which is the root of 2 and a quarter, add to it 2 and a half; the result is 4.

היינו א' ורביע שהוא שרש מב' ורביע ותוסיף בם ב' וחצי ויעלה ד‫'

Extract its root and it is the required.

וקח שרשם והוא המבוקש

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{\left(\frac{5}{2}\right)^2-4}+\left(\frac{5}{2}\right)}=\sqrt{\sqrt{\left(2+\frac{1}{2}\right)^2-4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\sqrt{\left(6+\frac{1}{4}\right)-4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{2+\frac{1}{4}}+\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\sqrt{4}\\\end{align}}}

Partnership Problems

235) Question: two form a partnership.

The first contributed a certain amount.

The second contributed twice as much as him and five more.

They earned 120.

The first deserves 30 minyanim of the profit.

How much should the second receive and how much did each contribute?

‫235) שאלה שנים עושים שותפות

והנה הראשון שם סכום מה
והשני שם ב' פעמים כמוהו יותר חמשה ולשני
והרויחו ק"כ
ולראשון מגיע לו מריוח ל' מנינים
כמה יגיע לשני וכמה שם כל אחד ואחד

the first contributed:

\scriptstyle{\color{blue}{X}}

כך תעשה נניח כי האחד שם א' קוסא

the second contributed:

\scriptstyle{\color{blue}{2X+5}}

והשני שם ב' קוסי יותר חמשה

they contributed together:

\scriptstyle{\color{blue}{3X+5}}

תחבר הכל ויהיו ג' קוסי יותר חמשה

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3X+5\right):120=X:30}}

על כן תאמר אם ג' קוסי יותר חמשה הרויחו ק"כ

\scriptstyle{\color{blue}{X=5}}

והנה תמצא כי הקושא שוה ה'

the first contributed:

\scriptstyle{\color{blue}{X=5}}

הנה א"כ הראשון שם ה'

the second contributed:

\scriptstyle{\color{blue}{2X+5=15}}

והשני ט"ו

236) Question:

‫236) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ד' לחמים וג' חתיכות בשר והאחר ב' לחמים וה' פולייטי מיין והאחר ב' לחמים וד' חתיכות בשר ובעודם אוכלים בא אחר ואכל עמהם ואחרי אכלו ואחרי שתה נתן לשלשתם עשרה טורניסי אשאל כמה יקח כל אחד ואחד מאלו הג'

עשה כך יען כי זה הרביעי נתן עשרה א"כ כל הסעודה שוה מ' אח"כ הסר ג' חתיכות מהראשון וה' פולייטי מהב' קנה וד' חתיכות מהג' שהם י"ב הסירם ממ' נשאר כ"ח והוא שווי הח' לחמים והנה הלחם שוה ג' טורניס וחצי א"כ הד' לחמים מא מהם שוה י"ד וג' חתיכות בשר הם ג' טורניסי והנם י"ז והוא חלק הראשון והוא שאכל משלו י' נשאר ז' וכך יש לו לקבל מהי' טורניסי והשני ב' לחמים שוים ז' וה' פולייטי ה' והם י"ב ואכל משלו י' ויש לו לקבל ב' והג' אכל ב' לחמים הם ז' וד' חתיכות הם ד' והם י"א ואכל משלו י' ויש לו לקבל א'

237) Question:

‫237) שאלה ג' הולכים דרך ים לאחד יש לו ברילי ממרוישיאה ומכיל ל' מדות ולאחר יש לו ברילי אחד מגריגו ומכיל מ' מדות ולאחר יש לו בארילי מרומאנילי ומכיל עשרים מדות נזדמן כי נשברו הברילי ואח"כ גבו וחזרו למלאת הברילי אחר שנתקנו אשאל כמה נתערב בכל ברילי וברילי

תחבר כל מה שמכילים והנה האחד מכיל ל' והאחר מ' והאחר כ' וחברם והם צ' ותאמר אם צ' מדות מכילות בג' בארילי כמה יכיל ל' כמה יכיל מ' כמה יכיל כ' ותעשה כנז'

238) Question:

‫238) שאלה ב' בני אדם רוצים להוסיף להוליך ספינה בוינישיאה בעד גרושי עשרים בזה האופן כי מה שירויח רב החובל זולתם הם מבקשים חצי הריוח והנה שלשה אנשים רוצים ללכת בוינישיאה ופורעים ל' גרוסי אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד לפרוע

הלא ידעת כי אלו הב' הסכימו לקבל חצי מה שירויח יגיע לחלקם מאלו הל' גרוסי ט"ו כי אלו הג' ראוי שיגיע להם מהריוח כפי דרך הראשנים לכן תאמר אם רב החובל מגיע לו מריוח הראשנים החצי גם לאלו השניים ראוי שיקבלו חצי הריוח בין כלם על כן תחבר ב' בעד הראשנים וג' בעד השניי' ב' בעד רב החובל ועולה ז' ואתה מבקש ל' לכן תאמר אם ל' ישוו ל' כמה ב' ותמצא כי השנים הראשנים ושנים מרב החובל וג' מהג' אחרונים ותמצא כי יצא לך ח' וד' חלקים מז' וכן יגיע לרב החובל וכן יגיע לב' הראשנים כי יגיע לכל א' ד' וב' שביעיות ולשלשה יגיע י"ב וב' שביעיות וכן יגיע לשניים מאלו הל' גרושי ועתה ראוי לראות אם פורעים מכולו זה בזה והנה הראשנים פורעים עשרים גרושי פחות הריוח שיש להם לקבל מהראשני' נמצא שהם פורעים י"א גרושי וג' שביעיות היינו כל אחד יפרע ה' וד' שביעיות

239) Question: two form a partnership.

One contributes 3000 and he should receive ⁵/₉ from the profit.

The other contributes 600 and he should receive ⁴/₉ from the profit.

It happened that the first added to the partnership so that he should receive ⁷/₉ from the profit.

‫239) שאלה שנים עושים שותפות

האחד שם ג' אלפים ויש לו לקחת מריוח ה' תשיעיות
והאחר שם ו' מאות ויש לו לקבל מריוח ד' תשיעיות
נזדמן כי הראשון מוסיף ממון בשותפות באופן כי יש לו לקחת מהריוח ז' תשיעיות
ראה כמה ישים השני אם לא היה מתעסק בשותפות באופן כי יקבל ד' תשיעיות

וראה איזה יחס יש בין ה' תשיעיות לד' תשיעיות והנה הוא ד' חמישיות א"כ השני היה לו לשים ד' חמישיות מאלף שהם ח' מאות וב' ג' אלפים הם ב' אלפים וד' מאות ואתה יודע כי לא שם כי אם ו' מאות ומצד ההתעסקות שהוא מתעסק נחשב לו כאלו שם ב' אלפים וד' מאות והנה אנו יודעים כי הראשון מוסיף ממון כל כך כי ראוי למשוך מריוח ז' תשיעיות א"כ השני לא משך כי אם ב' תשיעיות עתה ראה איזה חלק הוא ב' תשיעיות מז' תשיעיות והם ב' שביעיות א"כ יצטרך שתאמ' (ב') אלפים וד' מאות מאיזה דבר הם ב' שביעיות ותמצא ח' אלפים וח' מאות וכן ראוי שישים הראשון בין הכל

ואם תרצה לדעת כמה מוסיף הראשון הוצא מח' אלפים וח' מאות ג' אלפים ששם קודם לכן ותמצא ה' אלפים וח' מאות

240) Question:

‫240) שאלה שנים עושים שותפות הראשון שם ג' אלפים שיש לו לקבל מהריוח ה' שמיניות והשני שם אלף ויש לו למשוך ג' שמיניות והוא מתעסק עסק השותפות ויקר מקרה כי בא איש אחר והסכים להיות משותף עמהם ושם בשותפות ב' אלפים אשאל כמה ימשוך

ראשנה ראה איזה חלק הוא ג' שמיניות מה שמיניות והם ג' חמישיות מהראשון והנה לו לשים ג' חמישיות מהראשון א"כ ראוי לו לשים ג' חמישיות מהראשון אם לא היה מתעסק בשותפות קנו והנה ג' חמישיות מג' אלפים הם אלף וח' מאות וכבר ידעת כי שם אלף א"כ התעסקו בשותפות שוה ח' מאות

עתה ראה איזה חלק שם השלישי עתה תחבר כל אלו החשבונות היינו אלף גם ח' מאות גם ב' אלפים גם ג' אלפים ועולה הכל ו' אלפי' וח' מאות וזהו הקורפו מהשותפות

עתה לדעת המגיע לכל אחד ואחד ראה איזה יחס יש מה ששם כל אחד ואחד אל כל הסכום וכך ראוי שימשוך כל אחד ואחד עתה תחלק ג' אלפי' על ו' אלפים וח' מאות ויצא ט"ו חלקים מל"ד וכך ימשוך השני ממה שירויחו גם עשה כן מאלף וח' מאות ויצא ט' חלקים מל"ד וכן ימשוך השני וכן מצד השלישי חלק ב' אלפי' על ו' אלפים וח' מאות ויצא י' חלקים מל"ד וכן יגיע לג'

241) Question:

‫241) שאלה תעשה לי ממ' ב' חלקים שכ"כ יהיה הא' כפול בג' כמו האחר כפול בד' וכמו האחר כפול בה' וכמו האחר כפול בו'

כך תעשה כפול ג' על ד' וד' על ג' וכל אחד יהיה י"ב א"כ כך יהיה ד' כפול בג' כמו ג' כפול בד' אח"כ חלק י"ב על ה' ויצא ב' וב' חמישיות כפול בה' יעלה י"ב גם חלק י"ב על ו' ויצא ב' א"כ ב' כפול בו' יעשה י"ב וחבר אלו המספרים והם בגד וב' וב' חמישיות והנם י"א וב' חמישיות א"כ תאמר ד' עושים שותפות האחד שם ב' והאחר ג' ואחר ד' ואחר ב' וב' חמישיות והרויחו מ' כמה יקח כל א' וא' והדרך הוא נודע

242) Question:

‫242) שאלה שנים עושים שותפות הא' שם ק' ויש לו לקבל מהריוח מה שמגיע לו וח' יותר והשני שם ק"נ ויש לו לקבל הריוח הראוי לו פחות ארבעה והרויחו נ' כמה יגיע לכל אחד ואחד

כך תעשה הוצא מנ' ח' הנשאר מ"ב הוסף בם ד' ויהיו מ"ו ותאמר ב' עושים שותפות הא' שם ק' והאחר ק"נ והרויחו מ"ו כמה יקח כל אחד ואחד והדרך נודע

243) Question:

‫243) שאלה ג' עושים שותפות והרויחו מ'ק' מנינים ויש לו למשוך מהריוח כמו חצי הג' הנשארים ולאחר יש לו למשוך כמו שליש מהג' הנשארים ולאחר כמו רביע מהג' הנשארים ולאחר יש לו למשוך עד תשלום הריוח כמה יקח כל אחד ואחד

כך תעשה הנך רואה יען כי אמר כי הראשון מושך חצי הריוח ר"ל כמו הג' הנשארים אם כן ראוי למשוך

ולשני יען כי אמר כי יש לו למשוך שליש כמו הג' הנשארים א"כ יש לו למשוך הרביעית ולאחר חומש הריוח עתה קח המורה לאלו החלקים שהם שליש ורביע וחומש והם ס' והשליש והרובע והחומש הוא מז' ויחסר י"ג עד שישים ועתה אמור ד' עושים שותפות הא' שם עשרים ואחר ט"ו ואחר י"ב ואחר י"ג והרויחו ק' כמה יגיע לכל אחד ואחד והדרך הוא נודע

244) Question:

‫244) שאלה ב' עושים מסחר עם רב החובל ללכת ברומינא לוינישיאה ויתנו לו ליט' ארבעה ועשו תנאי עם רב החובל כי אם יוליך עוד אנשים כי חצי הריוח יהיה שלהם קרה מקרה כי רב החובל נשא ג' אנשים אחרים כמה ראוי שיפרעו אלו השנים הראשנים נעשה אותו עם הקאטאשינו ונניח כי פרעו עשרים גרושי כל אחד ואחד

ודע כי עשרים גרושי שוים ליט' אחת והנה הב' הראשנים יפרעו ארבעים והג' אחרונים יפרעו ס' קח מחציתם שהם ס' ותנם לב' האנשים הראשנים שיפרעו מ' ויעלה ע' ואנו מבקשים פ' לכן יחסר י' עד פ' כי הפ' הם ד' ליט'

עוד נניח הנחה אחרת ונאמר כי פרע כל אחד כ"ד א"כ הב' ראשנים פרעו מ"ח והג' פרעו מ"ח קח מחציתם שהם ל"ו ותנם לראשנים ועם ממונם יוסיף ד' כי אנו מבקשים פ' ועולה פ"ד ולכן כפול כ' על ד' והם פ' דרך שתי וערב עוד כפול כ"ד על י' ויצא ר"מ וחברם והם ש"כ חבר עשרה עם ד' והם י"ד וחלק ש"כ עליהם והם כ"ב וב' שביעיות וכך פרע כל אחד ואחד מהשנים הראשנים גם הג' אחרונים גם תעשה אותו דרך ריגולא דיטרי

245) Question: four form a partnership.

The first contributes twenty ducat and he should receive from the profit as if he contributed 30.

The second contributes forty and he should receive [from the profit] as if he contributed 70.

The third contributes fifty and he should receive [from the profit] as if he contributed 60.

The other contributes 100 and he should receive [from the profit] as if he contributed 150.

How much should each receive?

‫245) שאלה ארבעה עושים

שותפות הראשון משים עשרים דוקטי ויש לו לקבל מהריוח כאלו משים ל'
והב' שם ארבעים ויש לו לקבל כאלו שם שבעים
והג' שם חמישים ויש לו לקבל כאלו שם ס'
והאחר שם ק' ויש לו לקבל כאלו שם ק"נ
כמה יקח כל א' וא'

\scriptstyle{\color{blue}{30+70+60+150=3{\color{red}{1}}0}}

כך תעשה תקבץ כל מה שראוי לקבל מהריוח כמו שהתנו והנה הראשון יש לו לקבל ל' ולאחר ע' ולאחר ס' ולאחר ק"נ ואתה רואה כי עולה ג' מאות

the share of the first:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{310}=\frac{3}{31}}}

תחלק ל' עליהם ויצא ג' חלקים מל"א והוא חלק הראשון

the share of the second:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{70}{310}=\frac{7}{31}}}

עו' חלק ע' שהוא חלק השני על ג' מאות וי' ויצא ז' חלקים מל"א

and so on for the third and the fourth

וכן תעשה מהג' וכן מהד'

Grazing Problems

246) Question: Three leased a large pasture for their cattle and paid 460 peraḥim.

The first placed there 4 thousand and 8 hundred goats for 40 days; the second placed 6 thousand there for 25 days and the third placed 7 thousand and 640 for days 28.

They paid a total of 100 peraḥim.

How much should each pay of the 100 peraḥim and how much should each pay for each goat?

‫246) שאלה שלשה לקחו כר נרחב בעד בהמתם ופורעים ת"ס פרחים

והנה הראשון שם בו עזים ד' אלפים וח' מאות מ' יום והשני שם בו ו' אלפים בעד כ"ה ימים והג' שם בו כ' ז אלפים ותר"מ ימים כ"ח
ופזרו בין כלם ק' פרחים
כמה ראוי לפרוע לכל אחד ואחד מההק' פרחים וכמה פורע בכל עז ועז

First, see how much of the 460 peraḥim should each pay:

ראשנה תראה כמה ראוי לפרוע לכל אחד מהם מאלו הת"מ פרחים

Sum up all the goats; they are 18 thousand and 440.

\scriptstyle{\color{blue}{4800+6000+7640=18440}}

ולכן תחבר מנין כל העזים שהם י"ח אלפים ות"מ

Say: if 18 thousand and 440 are worth 460, how much are 4 thousand and 8 hundred worth?

ותאמר אם י"ח אלפי' ות"מ פורעים ת"ס כמה יפרע ד' אלפים וח' מאות

The same for 6 thousand and for 7 thousand [and 640].

וכן ו' אלפים וכן ז' אלפים

You find that the first will pay 190 plus ten thousand and 8 hundred parts of 18 thousand and 440.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{7640\sdot460}{18440}=190+\frac{10800}{18440}}}

ותמצא כי הראשון יפרע ק"צ ועשרה חלקים אלפים וח' מאות חלקים מי"ח אלפים ות"מ

The second will pay 1[4]9 and parts [of 18 thousand and 440].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{6000\sdot460}{18440}=149+\frac{12440}{18440}}}

והשני יפרע קנ"ט וחלקים

The third will pay 119 and parts [of 18 thousand and 440].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{6000\sdot460}{18440}=119+\frac{13640}{18440}}}

והשלישי יפרע קי"ט וחלקים

Now, multiply the number of goats of each by the [number of] days and add up the three products; the result is 555 thousand and 920; and this is the divisor.

עתה כפול העזים מכל אחד וא' כנגד העזים הימים ותחבר כל הסך משלשתם ויעלה תקנ"ה אלפים ותתק"כ וזהו הפארטידור

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(4800\sdot40\right)+\left(6000\sdot25\right)+\left(7640\sdot28\right)=192000+150000+213920=555920}}

Then say: if 555 thousand and 920 are worth 100, how much are 192 thousand worth?

אח"כ תאמר אם תתקכ"ה אלפים ותתק"כ פזרו ק' כמה יפזר קצ"ב אלפים

You receive 34 and 126 parts.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{100\sdot192000}{555920}=34+\frac{3734}{6949}}}

ויצא לך ל"ד וקכ"ו חלקי‫'

Do the same for each and the method is known.

וכן תעשה מכל אחד ואחד והדרך הוא נודע

247) Question: one man gave his leaseholder 100 oxen to keep them for 3 years, but he kept them only for 10 months.

He also gave him 100 and they remained in his hands for 8 months.

He also gave him 100 and they remained in his hands for 9 months.

Now we would like to gather up these 3 hundred sheep.

How long should each hundred remain in the hands of the leaseholder or in the hands of the shepherd?

‫247) שאלה איש אחד נתן לאריסו ק' שורים יחזיקם ג' שנים ולא החזיקם כי אם י' חדשים

עוד נתן לו ק' ועמדו בידו ח' חדשים
עו' נתן לו ק' ועמדו בידו ט' חדשים
עתה נרצה לחבר אלו הג' מאות רחלים
כמה זמן ראוי שיעמדו ביד האריס או ביד הרועה כל מאה ג' שנים

Do as follows:

You already know that there are 36 months in 3 years.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot12=36}}

כך תעשה כבר ידעת כי בג' שנים יש ל"ו חדשים

Subtract 10 from them; 26 remains.

הסר מהם י' ונשארו כ"ו

Subtract also 8 from 36; the remainder is 28.

עוד הסר מל"ו ח' הנשאר כ"ח

Subtract also 7 from 36; the remainder is 29.

עוד הסר מל"ו ז' הנשאר כ"ט

Add up all; it is 83.

וחברם כלם והם פ"ג

Divide it by 36; you receive 2 and 2-thirds and that is how long the shepherd has to keep them.

חלקם על ל"ו ויצא לך ב' כ"ז וב' שלישיות וכן ראוי שיחזיקם הרועה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(36-10\right)+\left(36-8\right)+\left(36-7\right)}{36}=\frac{26+28+29}{36}=\frac{83}{36}=2+{\color{red}{\frac{11}{36}}}}}

248) Question: a man has fifty goats.

He gave them to the shepherd to guard his goats for four years.

The shepherd guarded them 5 and a half years.

At the end of the 5 and a half years the total number of goats was two hundred.

How much does the shepherd deserve?

‫248) שאלה איש אחד יש לו חמישים צאן

ונתנם לרועה לשמור צאנו בעד ד' שנים
והרועה שמרם ה' שנים וחצי ובסוף ה' שנים וחצי נמצאו כל הצאן מאתים ר"ל עזים מאתים
כמה יגיע לרועה

Do as follows:

Take half [the number of] the goats; it is 100.

כך תעשה קח חצי העזים והם ק‫'

Take its half; it is 50.

וקח חצים והם נ‫'

Multiply 50 by the extra [year] and a half he kept them; you receive 75.

וכפול נ' על א' וחצי אשר החזיקם יותר מדאי ויצא לך ע"ה

Divide it by 4; the result is 18 and 3-quarters.

וחלקם על ד' ויצא י"ח וג' רביעיות

Add it to a hundred; it is 118 and 3-quarters and this is the shepherd's share.

וחברם עם מאה ויהיו קי"ח וג' רביעיות והוא חלק הרועה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot200\right)+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot200\right)\sdot\left[\left(5+\frac{1}{5}\right)-4\right]}{4}&\scriptstyle=100+\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)\sdot\left[\left(5+\frac{1}{5}\right)-4\right]}{4}=100+\frac{50\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)}{4}\\&\scriptstyle=100+\frac{75}{4}=100+\left(18+\frac{3}{4}\right)=118+\frac{3}{4}\\\end{align}}}

The remainder is the landlord's share.

והנשאר הוא מהבעל הבית

249) Question: A man gave a shepherd 3 goats for 5 years and then they were supposed to divide all equally.

At the end of 3 and a half years there were 52 goats and they wanted to divide them [equally].

How much will the shepherd get?

‫249) שאלה איש אחד נתן לרועה ג' עזים בעד ה' שנים ואח"כ יש להם לחלק הכל בשוה

והנה בסוף ג' שנים וחצי נמצאו העזים נ"ב ורוצים לחלק
כמה יגיע לרועה

Take a half of 52; it is 26.

קח חצי נ"ב והם כ"ו

Convert the 3 and a half years to 42 months and the 5 years to 60 months.

עשה מהג' שנים וחצי מ"ב חדשים והה' שנים ס' חדשים

Now, multiply 26 by 42; the result is a thousand and 92.

עתה כפול כ"ו על מ"ב ויעלה אלף וצ"ב

Divide it by 60; you receive 18 and a fifth and this is the shepherd's share.

וחלקם על ס' ויצא לך י"ח וחומש וכך יגיע לרועה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(52\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot12\right]}{5\sdot12}=\frac{26\sdot42}{60}=\frac{1092}{60}=18+\frac{1}{5}}}

The remainder is the landlord's share.

והנשאר הוא מהבעל הבית

250) Question: A man gave a shepherd 11 cows. The shepherd had 5 of his own and he had to keep them for 4 years, then they had to divide them equally.

At the end of 2 years and 7 months there are a total of 42 cows and they want to divide them.

How much will each get?

‫250) שאלה איש אחד נתן לרועה י"א פרים והרועה יש לו ה' משלו וראוי לשמרם [ד]' שנים ואז ראוי לחלק בשוה

ובסוף ב' שנים וז' חדשים נמצא בין הכל מ"ב פרים ורוצים לחלק
כמה יגיע לכל אחד ואחד

Add the 5 of the shepherd to the 14 of the landlord; it is 19.

תחבר ה' מהרועה עם י"ד מבעל הבית ויהיו י"ט

You see that the shepherd contributed 5 parts of 19. Therefore, take 5 parts of 19 from 42; the result is 11 and 1 part of 19.

ואתה רואה כי הרועה שם ה' חלקים מי"ט ולכן קח ה' חלקים מי"ט ממ"ב ויצא י"א וא' חלק מי"ט

Then take a half of 42; it is 21.

ואח"כ קח חצי מ"ב שהם כ"א

Now, take the difference, which is from 11 and 1 part of 19 to 21; the result is 9 and 18 parts of 19.

עתה קח ההפרש שהוא מי"א וא' חלק מי"ט אל כ"א ויצא ט' וי"ח חלקי' מי"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(42\sdot\frac{1}{2}\right)-\frac{5}{5+14}\sdot42=21-\left(\frac{5}{19}\sdot42\right)=21-\left(11+\frac{1}{19}\right)=9+\frac{18}{19}}}

Convert the 2 years and 7 months to months; they are 31.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot12\right)+7=31}}

עתה עשה חדשים מהה' שנים וז' חדשים שהם ל"א

Also the 4 years; they are 48.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48}}

גם מהד' שנים שהם מ"ח

Multiply 9 and 18 parts of 19 by 31; you receive 308 and 7 parts of 19.

ותכפול ט' וי"ח חלקים מי"ט על ל"א ויצא לך ש"ח וז' חלקים מי"ט

Divide it by 48; you receive 6 and 387 parts of 912.

וחלקם על מ"ח ויצא לך ו' ושפ"ז חלקים מתתקי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9+\frac{18}{19}\right)\sdot31}{48}=\frac{308+\frac{7}{19}}{48}=6+\frac{387}{912}}}

Add it to 11 and 1 part of 19; the result is 17 and 435 parts of 912 and this is the shepherd's share.

וחברם עם י"א וא' חלק מי"ט ויעלה י"ז ותל"ה חלקים מתתקי"ב וכך יגיע לרועה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{387}{912}\right)+\left(11+\frac{1}{19}\right)=17+\frac{435}{912}}}

The remainder is the landlord's share.

והשאר הוא מן הבעל הבית

251) Question: A man gave a shepherd 40 goats for 4 years, so that at the end of 4 years they will divide the profit into equal parts.

Then, at the end of 18 months, he gave him 60 goats according to the same ratio.

I ask: when should [the profit] distributed?

‫251) שאלה איש אחד נתן לרועה מ' עזים בעד ד' שנים ובסוף ד' שנים יחלקו הריוח לחלקים שוים

אח"כ בסוף י"ח חדשים נתן לו ס' עזים כפי אותו היחס
אשאל כמה מן הזמן ראוי לחלק

זה ראוי לעשות על ריגולי מפוניטורי מזהב על כן כפול מ' על ב' שנים וחצי שיש לו להחזיק עדין כי לא החזיקם מהד' כי אם י"ח חדשי' עתה ראה כמה ראוי להחזיק השישים כפי היחס הראשון והנה ראוי להחזיק אלו הס' עד סוף ד' שנים ולכן כפול ס' על ד' ויהיו ר"מ וחברם עם הק' ויעלה ש"מ עתה תקבץ הצאן שהם מ' וס' והם ק' עתה תחלק ש"מ על ק' ויצא לך ג' וג' חמישיות וכך זמן ראוי שיחזיק אחר הי"ח חדשים שאז נתן לו הס‫'

252) Question: A man gave a shepherd forty sheep and the shepherd has ten sheep.

They agreed that at the end of 5 years they would divide equally.

At the end of 3 years we find that there were 100 sheep and they want to divide [them equally].

How much will each one get?

‫252) שאלה איש נתן לרועה ארבעים צאן ולרועה יש לו עשרה צאן והסכימו כי בסוף ה' שנים יחלקו בשוה

והנה בסוף ג' שנים נמצא שהיו ק' צאן ורוצים לחלק
כמה יגיע לכל אחד ואחד

כך תעשה תחבר עשרה עם ארבעים ויהיו חמישים ואח"כ תאמר אם נ' שוים ק' כמה ישובו מ' ויצא לך פ' וכמה ישובו עשרה והנה ישובו עשרים וכך יגיעו לרועה ומ' יגיעו לבעל הבית

עתה ראה כמה היה מגיע לו אם השותפות עמד ג' שנים כפי תנאם הלא ידעת כי היה להם לחלק בשוה א"כ בסוף שנים היה מגיע לו חמישים שהוא חצי ק' ואתה ידעת כי בסוף ג' שנים מגיע לו עשרים א"כ בסוף עשרים היה מרויח ל' יותר ותאמר אם ה' שנים נתן לי ל' ג' שנים כמה יתנו ויצא י"ח וכך יגיע לו בסוף ג' שנים כפי יחס הה' שנים תוסיף י"ח על עשרים ויהיו ל"ח וכך יגיע לרועה וס"ב יגיע לבעל הבית

253) Question: A man gave 36 animals in the hands of a shepherd.

Another came and also gave him 18 animals.

The partnership was supposed to last for 3 years, 3 months and a quarter, then they had to divide [them] equally.

But, at the end of a year, 5 months and an eighth, there was a quarrel between the owner of the house and the shepherd, when there were 70 animals.

How much will each one take?

‫253) שאלה איש שם ביד רועה אחד ל"ו בהמות

בא אחר ונתן לו ג"כ י"ח בהמות
והשותפות ראוי שימשך ג' שנים וג' חדשים ורביע אז ראוי לחלק בשוה
נפל מריבה בין בעל הבית ובין הרועה בסוף א' שנה וה' חדשים ושמין ואז הבהמות הם ע‫'
כמה יקח כל אחד ואחד

Convert 3 years, 3 months and a quarter to days; they are one thousand, [1]77 and a half.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3\sdot360\right)+\left[\left(3+\frac{1}{4}\right)\sdot30\right]=1177+\frac{1}{2}}}

תעשה מג' שנים וג' חדשים ורביע ימים ויהיו אלף ותע"ז וחצי

Convert also one year, 5 months and an eighth to days; they are 513 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1\sdot360\right)+\left[\left(5+\frac{1}{8}\right)\sdot30\right]=513+\frac{3}{4}}}

גם תעשה ימים משנה אחת וה' חדשי' ושמין והם תקי"ג וג' רביעיות

Take a third of 70; it is 23 and a third.

קח שלישית ע' והם כ"ג ושליש

This is 11 and 2-thirds less than 35, which is a half of 70.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(70\sdot\frac{1}{2}\right)-\left(70\sdot\frac{1}{3}\right)=35-\left(23+\frac{1}{3}\right)=11+\frac{2}{3}}}

ויחסר עד ל"ה שהוא חצי ע' י"א וב' שלישיות

Multiply it by 513 and 3-quarters, then divide the product by one thousand, 177 and a half.

וזה כפול בעד תקי"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על אלף וקע"ז וחצי

Add the quotient to 23 and a third; the result is the share of the one who gave 18.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(11+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(513+\frac{3}{4}\right)}{1177+\frac{1}{2}}+\left(23+\frac{1}{3}\right)}}

והעולה תוסיף על כ"ג ושליש והעולה הוא למי ששם י"ח

254) Question: A man gave a shepherd 25 goats and at the end of 4 years they had to divide [them] equally.

We found that at the end of 2 and a half years there were 60.

How much will each one get?

‫254) שאלה איש נתן לרועה כ"ה עזים ובסוף ד' שנים ראוי לחלק בשוה

והנה נמצא כי בסוף ב' שנים וחצי היו ס‫'
כמה יגיע לכל אחד ואחד

Do as follows:

You know that if at the end of 4 years there were 60, each would have received 30.

כך תעשה אתה ידעת כי אלו בסוף ד' שנים היו ס' היה מגיע לכל א' וא' ל‫'

So, say: if 4 years give me 30, how much will 2 and a half give me?

ולכן תאמר אם ד' שנים נתנו לי ל' כמה יתנו ב' וחצי

You find that they give 18 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{30\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}{4}=18+\frac{3}{4}}}

ותמצא כי יתנו י"ח וג' רביעיות

The remainder of 60, which is 41 and a quarter, is the landlord's share.

\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(18+\frac{3}{4}\right)=41+\frac{1}{4}}}

והשאר עד ס' שהם מ"א ורביע יגיע לבעל הבית

Rent Problems

255) Question: man rents a house at twenty liṭra for a year.

The renter gives the householder, i.e. the owner of the house, 48 liṭra before the time and he promises him to consider what he gives him as his credit 2 coins for each liṭra for a month, I don't know how much they are worth.

I ask: how much he will live in the house in such a way that the owner of the house will consider 2 coins for each liṭra for a month as a credit to the renter?

‫255) שאלה איש אחד שכר בית בעד עשרים ליט' השנה והנה השוכר נתן למשכיר ר"ל לבעל הבית מ"ח ליט' קודם הזמן וזה נדר לו לחשוב זה שנתן לו לתועלתו ב' בעד כל ליט' בעד חדש ב' מטבעים לא אדע כמה שוים

אשאל כמה ידור זה בבית באופן כי בעל הבית יחשוב לו ב' מטבעים בכל חדש ב' כל ליט' לתועלת השוכר

עשה מאלו המטבעים ליט' ר"ל ראה כמה ירויחו אלו המ"ח ליט' לשנה תמימה והנה תמצא כי ירויחו ד' וד' חמישיות ותוסיפם על מ"ח ויהיו נ"ב וד' חמישיות תסיר מהם עשרים הנשאר ל"ב וד' חמישיות עוד ראה כמה ירויחו אלו הל"ב וד' חמישיות לשנה ותמצא כי ירויחו ג' וז' חלקים מכ"ה ותוסיפם על ל"ב וד' חמישיות ויעלה ל"ו וב' חלקים מכ"ה ותסיר מהם עשרים וישארו י"ו וב' חלקים מכ"ה עוד ראה כמה ירויחו אלו הי"ו וב' חלקים מכ"ה בשנה אחת ותמצא כי ירויחו א וע"ח חלקים מקכ"ה בשנה ותוסיפם על י"ו וב' חלקים מכ"ה ויעלה י"ז שלמי' וקפ"ח חלקים מקכ"ה ותוכל לשער זה לימים

256) Question: a man rents a house in the month of January for 60 ducat a year.

Then, comes another man in the month of May and he wants to live with him.

Another man comes in the month of September and he wants to live with them.

I ask: how much should he pay?

‫256) שאלה איש אחד שכר בית אחד קליני גינאר בעד דוקטי ס' דוקטי לשנה אח"כ בא איש אחר קליני מאיו ורוצה לעמוד קנט עם זה ואיש אחר בא קליני סיטימ' ורוצה לדור עמם

אשאל כמה ראוי שיפרע

כך תעשה ראה כמה ימים עמד הראשון והנה עמד י"ב חדשים אח"כ ראה כמה חדשים עמד השני והנה עמד ח' חדשים אח"כ ראה כמה חדשים עמד השלישי והנה עמד ד' חדשים עתה תחבר הכל היינו י"ב ח' ד' והם כ"ד וזהו הפרטידור עתה תאמר אם כ"ד נתן לי ס' כמה יתן י"ב וח' וד'

257) Question: a man rents a house for 5 years at 10 liṭra and the householder says to him: if you give me the money for all the years now, I will give you a credit of 2 for every liṭra a year.

I ask: how much should the householder receive now for the whole 5 years?

‫257) שאלה איש אחד שכר בית בעד ה' שנים לערך י' ליטר' ואמר לבעל הבית אם תתן לי עתה המעות מכל השנה אשכיח אליך ב' בעד כל ליט' לשנה

אשאל כמה ראוי שיקבל בעל הבית עתה מכל הה' שנים

עשה כך ראה כמה הרויח זה בכל שנה והנה מרויח ב' אח"כ ראה כמה מרויח בה' שנים והנה מרויח עשרה סולדי דע כי עשרים סולדי הם ליט' והנה הליט' מרוחת בכל הה' שנים עשרה גרוסי תוסיפם על א' ליט' והנם ליט' וחצי כי עשרה גרוסי הם חצי ליט' ועתה תאמר אם ליט' וחצי נתן לי א' כמה יתן לי חמישים ויצא לך ל"ג וו' גרוסי ופיצולי ח' וכן ראוי שיתן לי בעד הה' שנים עתה

258) Question: a man rents [a house] for 24 per year. [The householder] wants him to pay for two years now, and he wants to earn twenty for a year.

How much should he pay him now?

‫258) שאלה איש שוכר בעד כ"ד לשנה ורוצה שיפרעהו עתה בעד ב' שנים ורוצה שירויח לחשבון עשרים לשנה

כמה ראוי שיתן לו עתה

הנך רואה כי הה' שנים שוים ו' ולכן תאמר אם שש בין קרן וריוח מכמה יבואו כ"ד כפול ה' על כ"ד וחלק על ו' ויצא לך עשרים וזה בעד שנה ראשנה גם בעד שנה שניה תאמר אם ו' באו מה' ממה יבואו עשרים ותמצא י"ו וב' שלישיות יעלה לו' וב' שלישיות וכך ראוי שיתן לו עתה ויעמוד בבית ב' שנים

259) Question: a man rents a house to his friend for 10 liṭra a year. The householder says to the renter: give me a hundred liṭra now, and I want you to earn with me 10 for every kikkar a year.

I ask: how long should he stay at the house?

‫259) שאלה איש שכר לחבירו בית בעד מ' ליט' לשנה ובעל הבית אמר לשוכר תן לי עתה מאה ליטר' וארצה שתרויח עמי י' על כל ככר וככר בכל שנה ושנ

ה אשאל כמה ראוי שיעמוד בבית

כך תעשה הנך רואה כי הק' שוים ק"י הסר ממנו שכירות שנה שהם מ' נשאר ע' גם תאמ' אם ק' נתנו ק"י ע' כמה ישובו וישובו ע"ז הסר ממנו מ' ונשארו ל"ז ויש לנו ב' שנים

עוד תאמר אם ק' שוים ק"י ע"ז כמה ישובו וישובו מ' וי"ד גרוסי הסר מהם מ' ונשארו י"ד גרוסי ויש לנו ג' שנים עוד תאמר אם ק' שוים ק"י כמה ישובו ז' עשיריות כי י"ד גרושי הם ז' עשיריות מליט' ותמצא ט"ו גרושי וד' חמישיו' ותאמר אם בח' מאות גרושי שהם מ' ליט' ראוי לעמוד שס"ה ימים שהם שנה תמימה כמה ראוי לעמוד בעד ט"ו וד' חמישיות ויצאו לך הימים והדרך נודע

260) Question: a man has two houses; one costs 137 liṭra and he rents it for 17; the other costs 113 liṭra.

I ask: how long will it take him to earn 17 liṭra from it as from the one that costs 137, and how long will it take the one that costs 137 to earn the same as the one that costs 113?

‫260) שאלה לאיש אחד יש לו שני בתים האחד שוה קל"ז ליט' ושוכר אותו י"ז והאחר יש לו שוה קי"ג ליט‫'

אשאל כמה זמן ירויח י"ז ליט' כמו אותו מקל"ז ובכמה זמן אותו מקל"ז ירויח כמו אותו של קי"ג

כך תעשה תאמר אם קי"ג היו קל"ז כך ישכור לזו על כן נאמר אם קי"ג היו קל"ז כמה יהיה י"ב יען כי י"ב חדשים לשנה ותמצא כי י"ב ישובו י"ד וס"ב חלקים מקי"ג ובזה הזמן אותו של קי"ג ירויח י"ז כמו אותו של קל"ז

ולדעת אותו של קל"ז ירויח כמו של קי"ג יש לדעת כמה ירויח אותו של קי"ג ותאמר אם קל"ז נתן לי י"ז כמה יתן לי קי"ג אשר זו לזו מרויח לשנה ותמצא כי יתן לי י"ד וג' חלקים מקל"ז ולכן תאמר שירויח אותו של קי"ג לשנה לפי אותו היחס מאותו של קל"ז ולדעת כמה זמן אותו של קל"ז ירויח אותם הי"ד וג' חלקים מקל"ז ר"ל כמה ירויח אותו של קי"ג לשנה תאמ' אם קל"ז היו קי"ג כמה ישובו י"ב ר"ל י"ב חדשי השנה כפול י"ב חדשי השנה כפול י"ב על קי"ג וחלק על קל"ז ויצא ט' ול"ג חלקים מקל"ז ובזה הזמן ירויח אותו של קל"ז י"ד וג' חלקי' מקל"ז

Barter Problems

261) Question: two barter wool for linen.

The owner of the cloth - the canna is worth 5 in cash and in barter he offers it at 6 and he asks for a half in cash.

The owner of the wool sells his wool in barter with the owner of the cloth at 8 more than what it is worth in cash in order to earn the same as him.

I ask: how much was the price of the wool in the beginning?

‫261 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים יחדו

בעל הבגד שוה הקנה במעות ה' ובחלוף משים ו' בחלוף ושואל החצי במעות
ובעל הצמר מכר צמרו ק"ס בחלוף עם בעל הבגד ח' יותר ממה שהיה שוה במעות כדי להרויח כמוהו
אשאל כמה היה שווי הצמר בראשנה

Do as follows: subtract a half of 6 from 6, since he asks for a half in cash; 3 remains. Subtract it from 5; 2 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{5-\left[6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\right]=5-3=2}}

עשה כך הסר חצי ו' מו' יען כי שואל החצי בממון וישאר ג' גם תסירם מה' ונשאר ב‫'

Rule of Three: So, say: I earn 1 from 2, what will I earn from 8?

\scriptstyle{\color{blue}{1:2=8:x}}

ולכן תאמר אני מרויח א' עם ב' מה ארויח עם ח‫'

You find it is 16 and this was the price of the wool in the beginning.

\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}

ותמצא כי ישובו י"ו וכך היה שווי הצמר בראשנה

In barter he offers it for 24.

ובחלוף משים אותו כ"ד

262) Question: two barter cloth for wool.

The cloth is worth 8 in cash and in barter he offers it at 9, and he wants a third in cash.

A hundred of the wool is worth 30 ducat in cash and in barter he offers it at 10 peraḥim.

I ask: how much does the peraḥ worth?

‫262 שאלה שנים מחליפים בגד עם צמר

הבגד שוה ח' במעות ובחלוף משים אותה ט' ורוצה השליש במעות
ומאה מהצמר שוה במעות ל' דוקט' ובחלוף שם אותה פרחים עשרה
אשאל כמה שווי הפרח

Do as follows: subtract a third from 9, which is 3; 6 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{9-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=9-3=6}}

עשה כך הסר שליש ט' שהם ג' ונשארו ו‫'

Subtract it from 8; 5 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=8-3=5}}

גם תסירם מח' ונשאר ה‫'

Rule of Three: Say: if 5 equals 6, how much is 30 equal to?

\scriptstyle{\color{blue}{5:6=30:x}}

ותאמר [א]ם ה' שוים ו' כמה שוים ל‫'

You find it equals 36.

\scriptstyle{\color{blue}{x=36}}

ותמצא כי שוים ל"ו

Divide 36 by ten; you find 3 and 3-fifths and so the peraḥ is worth.

חלק ל"ו על עשרה ותמצא ג' וג' חמישיות וכך שוה הפרח

263) Question: two barter cloth for wool.

He offers the canna of cloth at 8 in barter and he asks for a third in cash.

A hundred of the wool is worth 30 and in barter he offers it at 40.

They earned the same.

I ask: how much does the canna worth in cash?

‫263 שאלה שנים מחליפים בגד עם צמר

והנה קנה הבגד שם אותה בחלוף ח' ושואל שליש במעות
ומאה מהצמר במעות שוה ל' ובחלוף משים אותה מ‫'
והרויחו זה לזה
אשאל כמה שווי הקנה במעות

Take a third of 8, which is 2 and 2-thirds; the remainder is 5 and a third. Say that so it is worth in cash

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)=8-\left(2+\frac{2}{3}\right)=5+\frac{1}{3}}}

קח שליש ח' שהוא ב' וב' שלישיות הנשאר ה' ושליש ולכן תאמר כי היה שוה במעות

Rule of Three: To check it say: if 40 results from 30, from how much will 5 and a third result?

\scriptstyle{\color{blue}{40:30=\left(5+\frac{1}{3}\right):x}}

ולבחון אותו תאמ' אם מ' באו מל' מאיזה דבר באו ה' ושליש

You find 4 and this is the price of the canna.

\scriptstyle{\color{blue}{x=4}}

ותמצא ד' וכך היה שווי הקנה

To subtract the third he asks for in cash, add 2 and 2-thirds to 4; it is 6 and 2-thirds and this is the price of the canna.

\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(2+\frac{2}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}

כדי לנכות השליש שהיה שואל במעות תוסיף ב' וב' שלישיות על ד' והם ו' וב' שלישיות וזהו שווי הקנה

264) Question: two barter iron for lead.

The iron is worth 28 in cash and 36 in barter.

The [lead] is worth 21 in cash.

I ask: if the owner of the lead will give a quarter in cash to the owner of the iron, at how much should he offer the lead in barter?

‫264 שאלה שנים מחליפים ברזל ועופרת

הברזל שוה במעות כ"ח ובחלוף ל"ו
ובעל הברזל האלף שוה כ"א בממון
אשאל אם בעל העופרת יתן לבעל הברזל הרביע בממון כמה ראוי שישים העופרת בחלוף

Do as follows: subtract a quarter of 36, which is 9, from 36; 27 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{36-\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)=36-9=27}}

עשה כן הסר רביעית ל"ו והם ט' הסירם מל"ו נשאר כ"ז

Subtract it also from 28; 19 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{28-\left(\frac{1}{4}\sdot36\right)=28-9=19}}

גם תסירם מכ"ח ונשאר י"ט

Rule of Three: So, if 19 returns 27, how much will 21 return?

\scriptstyle{\color{blue}{19:27=21:x}}

ולכן אם י"ט שבו כ"ז כמה ישובו כ"א

You receive 29 and 16 parts of 19 and so he should offer the lead.

\scriptstyle{\color{blue}{x=29+\frac{16}{19}}}

ויצא לך כ"ט וי"ו חלקי' מי"ט וכך ראוי לשים העופרת

265) Question: two barter sugar [sucro] for cotton-wool [bambagini].

One hundred of sugar is worth 9 in cash and he offers it at 12 in barter and wants a third in cash.

One hundred of cotton-wool is offered at 5 and a half in cash.

I ask: if he will give to the owner of the sugar a quarter in cash, for how much should he offer it in barter?

‫265 שאלה שנים מחליפי' צוקרו ובאנבאגיני

המאה מהצוקרו שוה במעות תשעה ובחלוף משים אותו י"ב ורוצה השליש במעות
והק' מהבנבגיני שואל במעות ה' וחצי
אשאל אם יתן הרביעית במעות לבעל הצוקארו כמה ישים אותו בחלוף

Do as follows: subtract the quarter that the owner of the bambagini asks for from the third that the owner of the sugar asks for; one part of 12 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}

כך תעשה הסר הרביעית שמבקש בעל הבאנבאגיני מהשליש שמבקש בעל הצוקארו וישאר א' חלק מי"ב

Say that the owner of the sugar asks for one part of 12 from his friend and the other does not ask for anything.

אח"כ תאמר כי בעל הצוקארו מבקש מחבירו חלק א' מי"ב והאחר אינו מבקש כלום

Subtract one part of 12 from 12, which is one; 11 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{1}{12}=\frac{12-1}{12}=\frac{11}{12}}}

הסר חלק אחד מי"ב מי"ב שהוא אחד ונשאר י"א

Hence, the fund is 8 and in barter it is 11.

הנה הקרן יהיה ח' ובחלוף י"א

Rule of Three: So, say: if 8 yields 11, how much will 5 and a half yield? Then you will get the required.

\scriptstyle{\color{blue}{8:11=\left(5+\frac{1}{2}\right):x}}

ולכן תאמר אם ח' שם י"א כמה ישים ה' וחצי ויצא לך המבוקש

266) Question: two barter - one has lint and the other has ginger.

One hundred of the lint is worth 9 in cash and 12 in barter and he wants to offer the half in cash.

The other has ginger one hundred of which is worth 15 ducat in cash.

How much will he offer it in barter and for 768 liter of ginger how much lint will he receive?

‫266 שאלה שנים מחליפים לאחד יש לו מוך ולאחר זנגביל

המוך שוה המאה ט' במעות ובחלוף י"ב ורוצה לתת החצי במעות
ולאחר יש לו זנגביל אשר המאה במעות שוה ט"ו דוקטי
בחלוף כמה ישים אותו ובעד ז' מאות וס"ח ליט' של זנגביל כמה מוך יקבל

Know that when a man wishes to give any portion in cash, the portion must be added to the barter as well as to the fund; and vice versa when he takes some portion from his friend, it must be subtracted as mentioned above.

דע כי כי כשאיש רוצה לתת חלק מה במעות ראוי להוסיף חלק על החלוף ובקרן ג"כ וכן בהפך כשהוא שואל מחבירו חלק מה ראוי לחסר כנז' לעיל

Therefore, take a half of 12; it is 6.

על כן קח חצי י"ב והם ו‫'

Add it to 12; it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=12+6=18}}

תוסיפם על י"ב ויהיו י"ח

Add it also to 9; it is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=9+6=15}}

גם תוסיפם על ט' ויהיו ט"ו

Rule of Three: So, say: if 15 returns 18, how much is 15 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{15:18=15:x}}

ועל כן תאמר אם ט"ו שבו י"ח כמה ישוה ט"ו

The result is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{x=18}}

ויצא י"ח

To know how much lint he will take for 7 hundred and 68 liter, multiply crosswise 100 of lint by 18 of ginger; the result is one thousand and 8 hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot18=1800}}

ולדעת כמה מוך יקח בעד ז' מאות וס"ח ליט' כפול שתי וערב ק' של מוך נגד י"ח של זנגביל ויצא א' וח' מאות

Multiply also 100 of ginger by 18 of lint crosswise; it is also one thousand and 8 hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot18=1800}}

עו' כפול ק' של זנגביל נגד י"ח של זנגביל דרך שתי וערב והוא ג"כ אלף וח' מאות

Say that it is one thousand and 8 hundred of ginger and so he will also give the lint, because the result is the same because, since that way the price of the lint is the same as the ginger.

ותאמר כי אלף וח' מאות של זנגביל וכך יתן ג"כ המוך כי הדבר יצא שוה כי כך יצא ערך המוך כמו הזנגביל

267) Question: two barter cloth for wool.

The owner of the cloth sells the canna for 8 and in barter at 9 and he wants a third in cash.

The hundred of the wool is worth 30 and in barter he offers it so that the owner of the cloth earns 5 for 100.

‫267 שאלה שנים מחליפים בגד עם צמר

בעל הבגד מוכר הקנה ח' ובחלוף ט' ורוצה השליש במעות
והק' מהצמר שוה ל' ובחלוף משים אותו באופן כי בעל הבגד מרויח ה' בעד ק‫'

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=5}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{9-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=6}}

Rule of Three: Say: if 5 in cash is worth 6 in barter, how much is 100 in cash worth?

\scriptstyle{\color{blue}{5:6=100:x}}

כך תאמר אם ה' במעות שוות ו' בחלוף ק' בממון כמה ישוו

The result is 120 and this is the price per one hundred of the owner of the cloth.

\scriptstyle{\color{blue}{x=120}}

ויצא ק"כ וכך שוה המאה מבעל הבגד

Since it is said that he earns 5 for 100, subtract 5 from 120; 115 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{120-5=115}}

ויען כי אמר כי מרויח ה' בעד ק' הסר ה' מק"כ ונשאר קט"ו

Rule of Three: Say: if 100 in cash returns 115, how much will 30 return?

\scriptstyle{\color{blue}{100:115=30:x}}

ותאמר אם ק' במנויים שבו קט"ו כמה ישובו ל‫'

You find that it returns 34 and a half and this is the price of the wool in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=34+\frac{1}{2}}}

ותמצא כי ישובו ל"ד וחצי וכך הוא שווי מהצמר בחלוף

268) Question: two barter wool for cloth.

The owner of the cloth sells the canna at 7 in cash and 8 in barter and he asks one third in cash.

The owner of wool sells one hundred at 30 ducat in cash and in barter he offers it so that the owner of the cloth loses 5 for 100.

How much should the owner of the wool sell one hundred?

‫268 שאלה שנים מחליפי' צמר עם בגד

בעל הבגד מוכר הקנה במחושבים ז' ובחלוף ח' ושואל השליש בממון
ובעל הצמר מוכר הק' ל' דוקט' בממון ובחלוף משים אותה באופן כי בעל הבגד מפסיד ה' בעד ק‫'
כמה מכר בעל הצמר המאה

Do as follows: subtract a third from [7]; the remainder is 4 and a third and this is the capital; in barter it is 5 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{7-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)=4+\frac{1}{3}}}

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)=5+\frac{1}{3}}}

כך תעשה הסר השליש מח' הנשאר ד' ושליש והוא הקפיטאל ובחלוף ה' ושליש

Rule of Three: Since he loses 5 for 100, say: if 4 and a third returns 5 and a third, how much will 100 return?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{3}\right):\left(5+\frac{1}{3}\right)=100:x}}

ויען כי הפסיד ה' בעד ק' תאמ' אם ד' ושליש שבו ה' ושליש כמה ישובו ק‫'

You find that is returns 123 and 1 part of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{x=123+\frac{1}{13}}}

ותמצא כי ישובו קכ"ג וחלק א' מי"ג

Add the 5 of the loss to it; it is 128 and one part of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(123+\frac{1}{13}\right)+5=128+\frac{1}{13}}}

תוסיף בם הה' מהפסד והנם קכ"ח וחלק מי"ג

Rule of Three: Say: if 100 in cash returns 128 and one part of 13, how much will 30 return?

\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(128+\frac{1}{13}\right)=30:x}}

ותאמר אם ק' במנויים שבו קכ"ח וחלק מי"ג כמה ישובו ל‫'

You find 38 and 11 parts of [26] and this is the price of 100 of wool in barter. Check this out.

\scriptstyle{\color{blue}{x=38+\frac{11}{26}}}

ותמצא ל"ח וי"א חלקים מקכ"ו וזהו שווי הק' מהצמר בחלוף ותבחון אותו

269) Question: two barter cloth for wool.

The owner of the cloth sells the canna at 7 and in barter he offers it at 8 and he asks for a quarter in cash.

The owner of the wool sells one hundred for twenty and in barter he offers it so that the owner of the wool earns 10 for 100.

I ask: how much is the price of one hundred of the wool?

‫269 שאלה שנים מחליפים בגד עם צמר

בעל הבגד מוכר הקנה ז' ובחלוף משים אותו ח' ושואל רביעית בממון
ובעל הצמר מוכר הק' עשרי' ובחלוף משים אותו באופן כי בעל הצמר מרויח י' בעד ק‫'
אשאל כמה שווי הק' מהצמר

Do as follows: subtract the quarter from 7 and from 8; 6 and 5 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{7-\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=5}}

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{4}\sdot8\right)=6}}

עשה כך הסר הרובע מז' ומח' וישאר ו'ה‫'

Rule of Three: Say: if 5 returns 6, how much will 100 return?

\scriptstyle{\color{blue}{5:6=100:x}}

ותאמר אם ה' שבו ו' כמה ישובו ק‫'

The result is 120 and this is the price in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=120}}

ויצא ק"כ וכך שוה בחלוף

Since the owner of the wool earns 10 for 100, add 10 to 120; the result is 130.

\scriptstyle{\color{blue}{120+10=130}}

ויען כי בעל הצמר מרויח י' בעד ק' תוסיף י' על ק"כ ויצא ק"ל

Rule of Three: Say: if 100 of cloth returns 130, how much will twenty return?

\scriptstyle{\color{blue}{100:130=20:x}}

ותאמר אם ק' מבגד שבו ק"ל כמה ישובו עשרי‫'

The result is 26 and this is the price of 100 of wool.

\scriptstyle{\color{blue}{x=26}}

ויצא כ"ו וכך שווי הק' מהצמר

270) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 8 in cash and in barter he offers it at 9.

The owner of the wool - one hundred is worth 36 and in barter he offers it so that the owner of wool loses 10 for 100.

‫270 שאלה שנים מחליפי' צמר ופשתים יחדו

קנה הבגד שוה ח' במעות מנוים ובחלוף משים אותה ט‫'
ובעל הצמר הק' שוה ל"ו ובחלוף משים אותה באופן כי בעל הצמר יפסיד י' בעד ק‫'

Do as follows: the owner of the cloth asks for a third in cash, so subtract a third; 6 and 5 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{9-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=6}}

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=5}}

עשה כן בעל הבגד שואל השליש במעות הסר השליש ונשאר ו'ה‫'

Rule of Three: Say: if 5 returns 6, how much will 100 return?

\scriptstyle{\color{blue}{5:6=100:x}}

ותאמר אם ה' ישובו ו' כמה ישובו ק‫'

You receive 120.

\scriptstyle{\color{blue}{x=120}}

ויצא לך ק"כ

Since the owner of the wool loses 10 for 100, subtract it from 120; 110 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{120-10=110}}

ויען כי בעל הצמר מפסיד י' בעד ק' הסירם מק"כ וישאר ק"י

Rule of Three: Then, say: if 100 in cash returns 110, how much will 30 return?

\scriptstyle{\color{blue}{100:110=30:x}}

אח"כ תאמ' אם ק' במעות שבו ק"י כמה ישובו ל‫'

The result is 33 and this is the price of the wool in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=33}}

ויצא ל"ג וכך שוה הצמר בחלוף

271) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 8 and in barter he offers it at 9 and he wants a third in cash.

One hundred of wool is offered at 36 in barter.

I ask: how much is it worth in cash?

‫271 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים יחדו

קנה הבגד שוה ח' ובחלוף משים אותו ט' ורוצה השליש במעות
וק' מהצמר בחלוף משים אותו ל"ו
אשאל כמה שוה בממון

Do as follows: the owner of the cloth earns 10, so subtract a third of 9; 6 and 5 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{9-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=6}}

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=5}}

עשה כך באופן כי בעל הבגד ירויח י' הסר השליש מט' וישאר ו'ה‫'

Rule of Three: Say: if 5 returns 6, how much will 100 return?

\scriptstyle{\color{blue}{5:6=100:x}}

ותאמ' אם ה' שבו ו' כמה ישובו ק‫'

We find 120.

\scriptstyle{\color{blue}{x=120}}

ונמצא ק"כ

Since it is said that the owner of the cloth earns 10, subtract 10 from 120; 110 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{120-10=110}}

ויען כי אמר כי בעל הבגד הרויח י' הסר י' מק"כ וישאר ק"י

Rule of Three: Say: if 110 in barter returns 100 in cash, how much will 36 yield?

\scriptstyle{\color{blue}{110:100=36:x}}

ותאמר אם ק"י מחלוף שבו ק' מממון כמה יתן ל"ו

The result is 32 and 8 parts of 11 and this is the price [of the wool] in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{x=32+\frac{8}{11}}}

ויצא ל"ב וח' חלקים מי"א וכך שווי בממון

272) Question: a man barters wool for linen with his friend.

A canna of cloth is worth 7 and he wants a third in cash.

One hundred of the wool is worth 30 and he offers it at 36 so that the owner of the cloth loses 10 for 100.

I ask: at how much will the owner of the cloth sell it in barter?

‫272 שאלה איש מחליף עם חבירו צמר ופשתים

קנה הבגד שוה ז' ורוצה השליש בממון
וק' מהצמר שוה ל' ומשים אותה ל"ו ובעל הבגד הפסיד י' בעד ק‫'
אשאל בעל הבגד כמה מכר אותה בחלוף

First, subtract the third, which is 2 and a third; 4 and 2-thirds remain.

\scriptstyle{\color{blue}{7-\left(\frac{1}{3}\sdot7\right)=7-\left(2+\frac{1}{3}\right)=4+\frac{2}{3}}}

ראשנה הסר השליש שהוא ב' ושליש וישאר ד' וב' שלישיות

Then, multiply 36 of wool by 100 of cloth and divide by 30; the result is 120 and this is its price in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{36\sdot100}{30}=120}}

אח"כ כפול ל"ו מהצמר בבגד ק' וחלק על ל' ויצא ק"כ וכך הוא בחלוף

Since the owner of the wool loses 10 for 100, subtract 10 from 120; 110 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{120-10=110}}

ומצד כי בעל הבגד הפסיד י' בעד ק' הסר י' מק"כ וישאר ק"י

Rule of Three: Say: if 110 in barter returns from 100 in cash, how much will yield 4 and 2-thirds?

\scriptstyle{\color{blue}{100:110=x:\left(4+\frac{2}{3}\right)}}

ותאמר אם ק"י מחלוף שבו ק' בממון מאי זה יבואו ד' וב' שלישיות

You find that it results from 4 and [8] parts of 33.

\scriptstyle{\color{blue}{x=4+\frac{8}{33}}}

ותמצא כי יבא מד' וי"ח חלקים מל"ג

Then, add to it the 2 and a third you subtracted; the result is 6 and 19 parts of 33 and this is the price of the cloth in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{8}{33}\right)+\left(2+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{19}{33}}}

ואח"כ תוסיף בם ב' ושליש אשר חסרת ויעלה ו' וי"ט חלקי' מל"ג וזהו שווי הבגד בממון

273) Question: a man barters wool for linen.

The cloth is worth 20 in cash and in barter he offers it at 2 and a half florin more and he asks for a third in cash.

One hundred of the wool is worth twenty in cash and in barter he offers it at 25 so that he earns 10 for 100.

I ask: how much is the value of the florin?

‫273 השאלה איש מחליף צמר ופשתים

הבגד שוה כ' בממון ובחלוף משים אותו ב' פיוריני וחצי יותר ומבקש השליש בממון
והק' מהצמר בממון שוה עשרים ובחלוף משים אותו כ"ה ומרויח י' בעד ק‫'
אשאל כמה שווי הפרח

Do as follows: subtract a third from the 2 and a half florin, i.e. 5-sixths; one florin and 2-[thirds] remain in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{3}\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=1+\frac{2}{3}}}

כך תעשה הסר השליש מב' פרחים וחצי היינו ה' שישיות נשאר א' פרח וב' חמישיות מחלוף

For the 100 of wool, multiply 25 by 100 and divide the result by 20, which is the price in cash; the result is 125 and this is the price in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{25\sdot100}{20}=125}}

א"כ ק' מהצמר כפול כ"ה כנגד ק' והעולה חלק על כ' שהיה שוה בממון ויצא קכ"ה וכך שוה בחלוף

Since it is said that the owner of the wool earns 10 for 100, subtract 10 from 125; 115 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{125-10=115}}

ויען כי אמר כי בעל הצמר מרויח י' בעד ק' הסר י' מקכ"ה ונשאר הנשאר קט"ו

Rule of Three: Then, say: if 115 in barter [returns] from 100 in cash, how much will yield [1 and] 2-thirds?

\scriptstyle{\color{blue}{100:115=x:\left(1+\frac{2}{3}\right)}}

אח"כ תאמר אם קט"ו מחלוף כ"א מק' בממון מאי זה דבר ב' שלישיות

You receive 1 and 31 parts of 6[9] florin and this is the price of the canna in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{31}{69}}}

ויצא לך א' ול"א חלקים מס"ג פרחים וכך שווי הקנה בממון

Add to it 5-sixths, which is a third of 2 and a half; the result is 2 and 13 parts of 46 and this is the value of the florin.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{31}{69}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=\left(1+\frac{31}{69}\right)+\frac{5}{6}=2+\frac{13}{46}}}

ותוסיף בם ה' שישיות שהוא שליש ב' וחצי ויעלה ב' וי"ג חלקים ממ"ו ויצא ג' וכ"ג חלקים מק"ה וכך שוה הפרח

274) Question: two barter.

One has ginger [gingebre] — one hundred of which is worth 18 ducat.

His friend has sugar — one hundred of which is worth twenty ducat.

He also has cinnamon [canyella] — one hundred of which is worth 16 ducat; and mace [macis] — one hundred of which is worth 12 ducat.

The owner of the pepper has 22 pepper that is worth 886 ducat and he asks for these commodities the same from this as from that.

I ask: how much should he take from each?

‫274 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו זינזיברו אשר הק' שוה י"ח דוקטי
ולחברו יש לו סוקרו אשר הק' שוים עשרים דוקט‫'
גם יש לו קנילא אשר המאה שוה י"ו דוקט' ומאסיש אשר המאה שוה י"ב דוקט‫'
ובעל הפלפל יש לו כ"ב פלפל שעולה תתפ"ו דוקט' ומבקש מאותם הסחורות כ"כ מזה כמו מזה
אשאל כמה יקח מכל א' וא‫'

Take any number — suppose he has a hundred of each. So, the hundred of sugar is worth 20; the hundred of mace [is worth] 12; the hundred of cinnamon [is worth] 16. The total is 48 for a hundred of each.

\scriptstyle{\color{blue}{20+12+16=48}}

קח איזה סכום ונניח כי יש לו מאה מכל א' וא' והנה המאה מהסוקרו שוה כ' ומאה מהמאסיש י"ב ומאה מקנילא י"ו ובין הכל עולה מ"ח מאה מכל א' וא‫'

Rule of Three: He asks for 886, so say: if 48 is 886, how much is 20, how much is 16, and how much is 12?

\scriptstyle{\color{blue}{48:886:20:x\quad48:886:16:x\quad48:886:12:x}}

ומבקש תתפ"ו ולכן תאמר אם מ"ח יהיו תתפ"ו כמה יהיו כ' וכמה יהיו י"ו וכמה יהיו י"ב

The sugar is 369 and a sixth and so he will take from the sugar.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{20\sdot886}{48}=369+\frac{1}{6}}}

והנה הסוקרו יעלה שס"ט ושישית וכך יקח מהסוקרו

Do the same for the others.

וכן תעשה מהאחרים

275) Question: Question: two barter — one has wool and the other has ashtami [?] and pepper.

100 of of wool is worth 30 in cash, but in barter I do not know.

He wants a third in cash, a third in ashtami and a third in pepper.

100 of ashtami is worth 30 in cash and 36 in barter.

One hundred of pepper is worth 40 in cash and 45 in barter.

I ask: how much should one hundred of wool cost in barter, so that the quantity of all will be the same?

‫275 שאלה שנים מחליפים

לאחד יש לו צמר ולאחר יש לו אשטמי ופלפל
והק' מהצמר שוה ל' בממון אמנם בחלוף לא ידעתי
ורוצה השליש בממון והשליש באשטמי והשליש מפלפל
והק' מהאשטמי שוה ל' בממון ובחלוף שוה ל"ו
והמאה מהפלפל שוה מ' בממון ובחלוף שוה מ"ה
אשאל כמה ישוה המאה מהצמר בחלוף למען יצא מספר שוה לכלם

Rule of Three: Do as follows: if what is worth 30 in cash is worth 36 in barter, how much is 40 in cash worth in barter?

\scriptstyle{\color{blue}{30:36=40:x}}

כך תעשה אם מה ששוה ל' בממון הוא שוה ל"ו בחלוף כמה ישוה מ' בממון ובחלוף

You find that it should cost 48.

\scriptstyle{\color{blue}{x=48}}

ותמצא כי ראוי שישוה מ"ח

Add it to 45; the result is 93.

\scriptstyle{\color{blue}{48+45=93}}

ותוסיפם על מ"ה ויעלה צ"ג

Add also [40] to the forty of pepper; the result is 80.

\scriptstyle{\color{blue}{40+40=80}}

גם תוסיפם על המ' מהאשטמי ויעלה פ' גם על הארבעים מהפלפל ויעלה פ‫'

Since it is said that the owner of the wool asks for a third in cash, a third in ashtami and a third in pepper, do as follows: suppose the 100 of wool is worth cosa.

ויען כי אמר כי בעל הצמר מבקש השליש בממון ושליש באשטמי ושליש בפלפל עשה כך שים כי הק' מהצמר שוה קוסא

Subtract a third from it; the result is 30 minus a third of a thing and in barter 2-thirds of a thing.

הסר מהם השליש ויצא ל' פחות שליש דבר ובחלוף ב' שלישיות קוסא

Now, multiply 30 minus a third [of a thing] by 93; you receive two thousand, 7 hundred and 90 minus 31 cosa.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(30-\frac{1}{3}x\right)\sdot93=2790-31x}}

עתה כפול ל' פחות שליש נגד צ"ג ויצא לך אלפים וז' מאות וצ' פחות ל"א קוסי

Then, multiply 2-thirds of a cosa, which is [the price] in barter, by 80; you receive 53 and a third of a cosa.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}x\sdot80=\left(53+\frac{1}{3}\right)x}}

אח"כ כפול ב' שלישיות קוסא שהוא החלוף כנגד פ' ויצא לך נ"ג ושליש קוסא

This is equal to two thousand, 7 hundred and 90 minus 31 cosa.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(53+\frac{1}{3}\right)x=2790-31x}}

וזהו שוה אל אלפים וז' מאות וצ' פחות ל"א קוסא

You find that the cosa is equal to 33 and 21 parts of 253 and this is the price of one hundred of wool in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{x=33+\frac{21}{253}}}

ותמצא כי הקוסא שוה ל"ג וכ"א חלקים מרנ"ג וכך ישוה המאה מהצמר בחלוף

276) Question: two barter.

One has wool that is worth 20 in cash and 21 in barter and he asks for a quarter in cash.

The other has two kinds of cloth - one is worth 4 and he offers it for 5 in barter; the other is worth 12.

I asks: for how much should he offer the one for 12 in barter, if he gives from this the same as from that?

‫276 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו צמר אשר בממון שוה כ' ובחלוף כ"א ומבקש הרביע בממון ולאחר יש לו ב' מיני בגד הא' שוה ד' ומשים אותו בחלוף ה' והאחר שוה י"ב
אשאל כמה ראוי לשים בחלוף אותו של י"ב אם יתן מזה כמו מזה

Do as follows: first, subtract the quarter from 20 and from 25; 13 and 3-quarters, and 18 and 3-quarter remain.

\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(25\sdot\frac{1}{4}\right)=13+\frac{3}{4}}}

\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(25\sdot\frac{1}{4}\right)=18+\frac{3}{4}}}

כך תעשה ראשנה הסר הרביע מכ' ומכ"ה וישאר י"ג וג' רביעיות וי"ח וג' רביעיות

Then, take the prices of the two kinds of cloth, i.e. 5 and 12; the result is 17.

\scriptstyle{\color{blue}{5+12=17}}

אח"כ קח שווי הב' מיני בגד היינו ה' וי"ב ויעלה י"ז

Rule of Three: Consider these two kinds of cloth as one kind, and say: if 13 and 3-quarters are worth 18 and 3-quarters, how much is 17?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{3}{4}\right):\left(18+\frac{3}{4}\right)=17:x}}

ותעשה חשבון כי אלו הב' מיני בגד אינו כי אם מין אחד ותאמר אם י"ג וג' רביעיות שוה י"ח וג' רביעיות כמה ישובו י"ז

The result is 23 and 2 parts of 11 and this is the price of the two kinds of cloth.

\scriptstyle{\color{blue}{x=23+\frac{2}{11}}}

ויצא כ"ג וב' חלקים מי"א ואלו הם שווי הב' מיני בגד

You see that one type is worth 5, so subtract 5 from 23; 18 and 2 parts of 11 remain and this should be the price of the canna of the one of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(23+\frac{2}{11}\right)-5=18+\frac{2}{11}}}

והנך רואה כי מן אחד שוה ה' לכן הסר ה' מכ"ג וישאר י"ח וב' חלקים מי"א וכך ראוי שישוה הקנה מאותו של י"ב

277) Question: two barter.

One has pepper — a hundred of which is worth 30 in cash and he offers it for 35 in barter; and ginger [gingebre] — a hundred of which is worth 27 in cash and 33 in barter.

The other has wool — one hundred of the wool is worth ten.

I ask: for how much should he offer it in barter, when he asks a half for the pepper and a half for the ginger and he wants to barter 10 for 100?

‫277 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו פלפל בממון שוה הק' ל' ובחלוף משים ל"ה והק' מהננגיברי בשוה בממון כ"ז ובחלוף ל"ג ולאחר יש לו צמר וק' מהצמר שוה עשרה
אשאל כמה ישים אותה בחלוף והוא מבקש החצי מפלפל והחצי מזנגביל ורוצה להחליף י' בעד ק‫'

Rule of Three: First, say: if 100 is worth 110, how much is 10 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{100:110=10:x}}

ראשנה תאמר אם ק' שוים ק"י כמה שוים י‫'

You find 11. Say that the 100 of wool is worth 11.

\scriptstyle{\color{blue}{x=11}}

ותמצא י"א ותאמר כי הק' מהצמר שוה י"א

Since he asks from this the same as from that, i.e. if he receives 100 of pepper, he receives 100 of ginger, divide 11 by 2; the result is 5 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{2}=5+\frac{1}{2}}}

ויעקב שואל מזה כמו מזה ר"ל אם יקבל ק' מפלפל כן יקבל ק' מזנגביל לכן חלק י"א על ב' ויצא ה' וחצי

Rule of Three: We start from the pepper, and say: if you offer 30 at 35, how much will I offer 5 and a half?

\scriptstyle{\color{blue}{30:35=\left(5+\frac{1}{2}\right):x}}

ונתחיל עם הפלפל ונאמר אם ל' אתה משים ל"ה כמה אשים ה' וחצי

You receive 6 and 5 parts of 12 and this is the price of a half of 100 of wool in relation to the pepper.

\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{5}{12}}}

ויצא לך ו' וה' חלקים מי"ב וכן ישוה חצי ק' מצמר מצד הפלפל

Rule of Three: In relation to the ginger, say: if 27 is worth 33, how much is 5 and a half worth?

\scriptstyle{\color{blue}{27:33=\left(5+\frac{1}{2}\right):x}}

עוד מצד הזנגביל תאמר אם כ"ז שוה ל"ג כמה ישוה ה' וחצי

ויצא לך ו' וה' חלקים מי"ב וכך ישוה חצי הק' מצמר מצד הפלפל
עו' מצד הזנגביל תאמר אם כ"ז שוה ל"ג כמה ישוה ה' וחצי

You receive 6 and [39] parts of 54 and this is the price of the other half of wool in relation to the ginger.

\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{39}{54}}}

ויצא לך ו' מ"ג חלקים מנ"ד וכך ישוה החצי האחר מהצמר מצד הזנגביל

Now, we know how much a half of 100 is worth in relation to the pepper and in relation to the ginger.

ועתה אנו יודעים כמה ישוה חצי ק' מצד הפלפל ומצד הזנגביל

Add 6 and 5 parts of 12 to 6 and [39] parts of 54; it is 13 and [15] parts of 10[8] and this is the price of 100 of wool in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{5}{12}\right)+\left(6+\frac{39}{54}\right)=13+\frac{15}{108}}}

עתה תחבר ו' וה' חלקים מי"ב וו' ומ"ג חלקים מנ"ד וישוה י"ג ונ"ג חלקים מק"ה וכן ישוה הק' מהצמר בחלוף

Now, add the price of the pepper to the price of the ginger in cash, i.e. 27 and 30; the result is 57.

Divide it by 2; the result is 28 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{27+30}{2}=\frac{57}{2}=28+\frac{1}{2}}}

עתה תחבר שווי הפלפל ושווי הזנגביל בממון היינו כ"ז ול' ויעלה נ"ז

חלקם על ב' ויצא כ"ח וחצי

Add also 35 to 33, which is their price in barter, and divide the sum by 2; the result is 34.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35+33}{2}=34}}

גם תחבר ל"ה עם ל"ג שהוא שווים בחלוף והעולה חלק על ב' ויצא ל"ד

Rule of Three: Then, say: if 28 and a half are worth 34, how much is 11, which is the wool, worth?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(28+\frac{1}{2}\right):34=11:x}}

ואח"כ תאמר אם כ"ח וחצי שוים ל"ד כמה ישוה י"א שהוא הצמר

You receive 13 and 7 parts of 57 and this way the owner of the wool will earn 10 for 100.

\scriptstyle{\color{blue}{x=13+\frac{7}{57}}}

ויצא לך י"ג וז' חלקים מנ"ז ובזה האופן בעל הצמר ירויח י' בעד ק‫'

278) Question: two barter.

One has three types of spices, i.e.: pepper - one hundred is worth 24 and in barter he offers it for 28; cinnamon [canyella] - that is worth 45 and in barter he offers it for 53; and caryophyllus - that is worth 34 and in barter he offers it for 40.

[The other has] wool - one hundred of which is worth 12.

I ask: if he wants a half for pepper, a third for cinnamon, and a quarter for caryophyllus, how much should he offers it in barter, so that the amount of goods will be the same?

‫278 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו מג' מיני תבלין היינו פלפל והק' שוה כ"ד ובחלוף משים אותו כ"ח וקאנילא שוה מ"ה ובחלוף משים אותה נ"ג וגארופאנו שוה ל"ד ובחלוף משים אותו מ' והק' מהצמר שוה י"ב
אשאל אם רוצה חציו פלפל והשליש קאנילא והרובע גארופאני כמה ישים אותו בחלוף כדי שהמסחר יצא שוה

Do as follows: see the price of the wool, i.e. divide it into a half, a third, and a quarter: its half is 6; its third is 4; its quarter is 3; the total is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}

כך תעשה תראה שווי הצמר היינו תחלק לחצי ושליש ורביע חציו ו' ושלישיתו ד' ורביעיתו ג' ובין הכל י"ג

Rule of Three: So, say: if 13 is 12, how much is 6, 3, and 4?

\scriptstyle{\color{blue}{13:12=6:x\quad13:12=3:x\quad13:12=4:x}}

ועל כן תאמר אם י"ג היה י"ב כמה יהיה ו' וג' וד‫'

The half is 5 and 7 parts of 13.

והנה החצי יהיה ה' וז' חלקים מי"ג

The third is 3 and 9 parts of 13.

והשליש יהיה ג' וט' חלקים מי"ג

The quarter is 2 and 10 parts of 13.

והרובע יהיה ב' וי' חלקי' מי"ג

You find 6 and 1[8] parts of 39 and this is the price of the pepper.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{28\sdot\left(5+\frac{7}{13}\right)}{24}=6+\frac{18}{39}}}

ותמצא ו' וי"ט חלקים מל"ט והוא שווי הפלפל

Rule of Three: Do the same with the cinnamon: you offer it for 53, how much will I offer 3 and 9 parts of 13?

\scriptstyle{\color{blue}{45:53=\left(3+\frac{9}{13}\right):x}}

וכן תעשה מהקאנילא אתה משים אותה נ"ג כמה אשים אותה ג' וט' חלקים מי"ג

You receive 4 and 68 parts of 195.

\scriptstyle{\color{blue}{x=4+\frac{68}{195}}}

ויצא לך ד' וס"ח חלקים מקצ"ה

Rule of Three: Also for the caryophyllus: if 34 is worth 40, how much is 2 and 10 parts of 13 worth?

\scriptstyle{\color{blue}{34:40=\left(2+\frac{10}{13}\right):x}}

וכן מהגרופלי אם ל"ד שוים מ' כמה ישוה ב' וי' חלקים מי"ג

You receive 3 and 57 parts of 22[1].

\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{57}{221}}}

ויצא לך ג' ונ"ז חלקים מרכ"ה

Add it all up; the result is 14 and [2 thousand, 938] parts of 43 thousand and 95. This is the price of a hundred of wool in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{18}{39}\right)+\left(4+\frac{68}{195}\right)+\left(3+\frac{57}{221}\right)=14+\frac{2938}{43095}}}

וכל זה תחבר ויעלה י"ד וד' אלפים ומ"ג חלקי' ממ"ג אלפים וצ"ה וכן ישוה המאה מהצמר בחלוף

279) Question: two barter.

One has cloth and he offers it for one more peraḥ.

The other has wool - one hundred of which is worth 10 in cash and he offers it for 12 in barter.

We find that the owner of the cloth earns one and a half times the price of the cloth.

I ask: how much is the price of the cloth in cash?

‫279 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו בגד ומוכר אותו א' פרח יותר ולאחר יש לו צמר והק' שוה י' בממון ומשים אותו י' בממון ובחלוף משים אותו י"ב ואותו מהבגד נמצא שהרויח פעם וחצי ממון בגד
אשאל כמה היה שווי הבגד בממון

Suppose any number you want.

נניח איזה מספר שתרצה

False Position 1: We suppose that he has 4 peraḥim.

ונניח כי היה לו ד' פרחים

So, he sells it for 5.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{4+1=5}}

א"כ מכרו ה‫'

We suppose that one has 25 canna that cost 100 peraḥim.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{4\sdot25=100}}

ונניח כי היה לו לאחד כ"ה קנים ושווים ק' פרחים

He asks for wool that is worth 125 peraḥim.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5\sdot25=125}}

והוא מבקש כ"כ צמר שישוה קכ"ה פרחים

Divide 125 by the price of the wool in barter, which is 12; it is equal to one thousand, 41 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{125\sdot100}{12}=1041+\frac{2}{3}}}

חלק קכ"ה על ערך הצמר בחלוף שהוא י"ב וישוה אלף ומ"א וב' שלישיות

See how much this one thousand, 41 and 2-thirds is worth in cash; you receive 104 and a sixth.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{125\sdot10}{12}=104+\frac{1}{6}}}

וראה כמה שוים אלו האלף ומ"א וב' שלישיות במנוים ויצא לך ק"ד ושישית

The canna is worth 4 and we offered it at 5; but it should have been offered for 6, so [he will earn one and a half times the price].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6\sdot25=150=100+\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)}}

והקנה שוה ד' והנחנו ה' וראוי להניחה ו' למען ישוב ממונו כמוהו וכמו מחציתו

So, I am missing 1 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6-\left[\left(104+\frac{1}{6}\right)-100\right]=1+\frac{5}{6}}}

ויחסר לי א' וה' שישיות

You suppose this, as required by the false position method.

וזה תניח כמו שעושים ההנחות כוזבות

False Position 2: Again make a another assumption and suppose the canna is worth 5.

עו' שוב לעשות הנחה אחרת ונניח כי הקנה שוה ה‫'

So, he offers it for 5.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5+1=6}}

ומשים ו' בחלוף

100 of wool is worth 10 in cash and 12 in barter.

גם הק' מהצמר שוים י' בממון י"ב בחלוף

We assume he has twenty canna.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5\sdot20=100}}

ונניח כי היו לו עשרים קנים

So, they are worth 120 in barter.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{6\sdot20=120}}

ושווים בחלוף ק"כ

Divide 120 by 12, which is the price of the wool in barter; the result is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120}{12}=10}}

וחלק ק"כ על י"ב שהוא שווי הצמר בחלוף ויצא י‫'

In cash he offers [it for 10], so you see that he neither gains nor loses.

ובממון משים ק' והנך רואה כי אינו מרויח ואינו מפסיד

I ask that the owner of the wool will earn 7 and a half, so [he will earn one and a half times the price].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot20=150=100+\left(\frac{1}{2}\sdot100\right)}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(100-100\right)=7+\frac{1}{2}}}

ואני מבקש כי בעל הצמר ירויח ז' וחצי כדי שישוב ממונו כמוהו וכמו חציו

Say that in this assumption seven and a half are missing, and in the other, you are missing 1 and 5-sixths.

ותאמר כי מזאת ההנחה יחסר ז' וחצי ומצד האחרת היה לך פחות א' וה' שישיות

Do as you know and you will find that the canna is worth 3 peraḥim and 23 parts of 34.

ועשה כמו שידעת ותמצא כי הקנה שוה ג' פרחים וכ"ג חלקים מל"ד

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{\left[4\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[5\sdot\left(1+\frac{5}{6}\right)\right]}{\left(7+\frac{1}{2}\right)-\left(1+\frac{5}{6}\right)}=3+\frac{23}{34}}}

He offers it for 4 and 23 parts of 34 and [he earns] one and a half times the [price].

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(3+\frac{23}{34}\right)+1=4+\frac{23}{34}}}

ושם אותה ד' וכ"ג חלקים מל"ד ושב ממונו כמוהו וכמו חציו

280) Question: two barter cloth for wool.

The owner of the cloth [offers] the canna for 4 in cash and 5 in barter.

The owner of the wool [offers] one hundred for 10 in cash and 13 in barter.

I ask: who earns more?

‫280 שאלה שנים מחליפים בגד וצמר

בעל הבגד הקנה שוה בממון ד' ובחלוף ה' ובעל הצמר הק' שוה י' בממון ובחלוף י"ג
אשאל מי מרויח יותר מאלו

Rule of Three: First, do as follows: if 4 returns 5, how much will 1[0] return?

\scriptstyle{\color{blue}{4:5=10:x}}

ראשנה תעשה כך אם ד' שבו ה' כמה ישובו י"ב

You find that it returns 12 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{1}{2}}}

ותמצא כי ישובו י"ב וחצי

Hence, the owner of the wool earns half, because he should have sold it for 12 and a half.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{13-\left(12+\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}}}

הנה בעל הצמר מרויח חצי כי מן הדין אינו ראוי למכרה כי אם י"ב וחצי

To see how much the owner of the cloth should receive in order to get the same as his friend, look at the difference between 4 and 5, i.e. 1.

ולראות כמה ראוי לקבל בעל הבגד בממון להיות שוה לחבירו ראה כמה הפרשים מד' לה' והיינו א‫'

Now, divide 5 by 1; the result is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{5-4}=\frac{5}{1}=5}}

עתה תחלק ה' על א' ויצא ה‫'

Do the same with the wool: look at the difference between 10 and 13; it is 3.

כן תעשה מהצמר וראה ההפרש שיש מי' לי"ג והוא ג‫'

Now, divide 13 by the difference between 10 and 13; it is 4 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{13-10}=\frac{13}{3}=4+\frac{1}{3}}}

עתה תחלק י"ג על היתרון שיש מי' לי"ג והוא ד' ושליש

You see that the part [of the cloth] is 5 and of the wool is 4 and a third.

ואתה רואה כי חלק הוא ה' ומהצמר הוא ד' ושליש

Now, divide 4 and [a third] by 5; the result is 13 parts of 15 and this is the part of the wool he should receive for the cloth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{3}}{5}=\frac{13}{15}}}

עתה תחלק ד' וחצי על ה' ויצא י"ג חלקים מט"ו וזה החלק הוא בצמר ראוי לקבל בעד הבגד

The complement to 1, which is 2 parts of 15, is what he should receive in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}}}

והנשאר עד תשלום א' היינו ב' חלקים מט"ו ראוי לקבל במעות והדבר יצא שוה

281) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 8 and in barter he offers it for 11; he wants a third in cash.

One hundred of the wool is worth 14 and in barter it is worth 16.

I ask: how much cash should the owner of the wool give the owner of the cloth?

‫281 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים יחדו

קנה הבגד שוה ח' ובחלוף משים אותו י"א ורוצה השליש בממון והק' מהצמר שוה י"ד ובחלוף שוה י"ו
אשאל כמה יתן בממון בעל הצמר לבעל הבגד

First, subtract the third, which is 3 and 2-thirds; 4 and a third and 7 and a third remain.

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(\frac{1}{3}\sdot11\right)=8-\left(3+\frac{2}{3}\right)=4+\frac{1}{3}}}

\scriptstyle{\color{blue}{11-\left(\frac{1}{3}\sdot11\right)=11-\left(3+\frac{2}{3}\right)=7+\frac{1}{3}}}

ראשנה תסיר השליש שהוא ג' וב' שלישיות וישאר א' ^ד' ושליש וז' ושליש

Say: if the canna is worth 4 and a third and in barter 7 and a third, and the other has wool that is worth 14 and in barter 16, how much should each give the other?

ותאמר אם שוה הקנה ד' ושליש ובחלוף ז' ושליש ובאחד יש צמר שוה י"ד ובחלוף י"ו מי ראוי לתת לחבירו

Suppose the owner of the cloth asks for one cosa.

נניח כי בעל הבגד שואל קוסא אחת

Subtract it from 16; 16 minus one cosa remain.

תסיר זה מי"ו וישאר י"ו פחות קוסא אחת

Subtract it also from 14; 14 minus one cosa remain.

גם תסירהו מי"ד וישאר י"ד פחות קוסא אחת

Rule of Three: Say: if 14 minus one cosa equals 16 minus a thing, how much is 4 and a third worth?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(14-x\right):\left(16-x\right)=\left(4+\frac{1}{3}\right):y}}

ותאמר אם י"ד פחות קושא אחת שוה י"ו פחות דבר כמה ישוה ד' ושליש

You find that it is 69 and a third minus 4 and a third cosa divided by 14 minus one cosa; the result is 7 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(16-x\right)\sdot\left(4+\frac{1}{3}\right)}{14-x}=\frac{\left(69+\frac{1}{3}\right)-\left(4+\frac{1}{3}\right)x}{14-x}=7+\frac{1}{3}}}

ותמצא כי ישוה ס"ט ושליש פחות ד' ושליש קוסא חלק על י"ד פחות קוסא אחת ויצא ז' ושליש

Hence, the cosa is equal to 11 and a ninth.

\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{9}}}

א"כ הקוסא ישוה י"א ותשיעית

Divide it by 16, which is the price of the wool in barter; the result is 25 parts of 36.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11+\frac{1}{9}}{16}=\frac{25}{36}}}

תחלק זה על י"ו ששוה הצמר בחלוף ויצא כ"ה חלקים מל"ו

The part that should be paid in cash is 11 parts of 36 of the cloth.

\scriptstyle{\color{blue}{1-\frac{25}{36}=\frac{11}{36}}}

וכן יהיה החלק אשר ראוי שישוב לו במעות י"א חלקים מל"ו בבגד ויצא החלוף שוה

282) Question: two barter.

The owner of the cloth [offers] 4 in cash and 5 in barter.

The owner of the wool [offers] 20 in cash and 24 in barter.

I ask: who should ask his friend for a part in cash and how much is this part?

‫282 שאלה שנים מחליפים

בעל הבגד שוה ד' ובחלוף משים ה' ובעל הצמר שוה כ' ובחלוף כ"ד
אשאל מי ראוי לבקש מחבירו איזה קצת חלק בממון ואיזה חלק יבקש

Say: 4 times 24 is 96; and 5 times 20 is 100.

תאמר ד' פעמים [כ]ד' הם צ"ו וה' פעמים כ' הם ק‫'

Subtract 96 from it; the remainder is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot20\right)-\left(4\sdot24\right)=100-96=4}}

הסר מהם צ"ו הנשאר ד‫'

Divide it by the difference between the [prices of the] cloth in cash and in barter, which is 1; the result is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5-4}=\frac{4}{1}=4}}

וזה תחלק על יתרון הבגד מהממון בחלוף שהוא א' ויצא ד‫'

Divide it by 24, which is the price of the wool in barter; the result is one-sixth and this is what he should receive from the owner of the wool in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}=\frac{1}{6}}}

וחלקם על כ"ד ויצא שישית אחד כי כן שוה הצמר בחלוף וכן ראוי לו לקבל מבעל הצמר בממון

283) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 5, and in barter 8, and he wants a quarter in cash.

100 of the wool is worth 13 and in barter he offers it for 15.

The owner of the wool earns 5 for one hundred.

I ask: what part will he ask his friend so the barter will be even?

‫283 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים

קנה הבגד שוה ה' ובחלוף ח' ורוצה הרביעית בממון
וק' הצמר שוה י"ג ומשים בחלוף ט"ו
ובעל הצמר הרויח ה' בעד מאה
אשאל איזה חלק יבקש מחבירו למען יצא המספר שוה

First, subtract the quarter of 8: The quarter of 8 is 2. Subtract it from 5 and from 8; 6 and 3 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(8\sdot\frac{1}{4}\right)=5-2=3}}

\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(8\sdot\frac{1}{4}\right)=8-2=6}}

ראשנה הסר הרביע מח' והנה רביע ח' הם ב' הסירם מה' ומח' ונשאר ו' ג‫'

Since it is said that the owner of the wool earns 5 for 100, multiply 6 by 100; the result is 6 hundred.

ויען כי אמר כי בעל הצמר מרויח ה' בעד ק' כפול ו' על ק' ויצא ו' מאות

Divide it by 3; the result is 2 hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot100}{3}=\frac{600}{3}=200}}

וחלקם על ג' ויצא ב' מאות

Add the 5 of the profit; it is 205. Say that for every 100 in cash, he offers it for 205 in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{200+5=205}}

ותוסיף ה' מריוח ויהיו ר"ה ותאמר כי בעד כל ק' בממון בחלוף משים אותו ר"ה

Since it is said: what part should be given to him, so the barter will be equal, we suppose that he should be given 1 cosa in cash.

ויען כי אמ' איזה חלק ראוי לתת לו למען יצא המספר שוה נניח כי ראוי לתת לו א' קוסא בממון

Subtract it from 15, which is its price in barter; 15 minus one cosa remain.

הסירהו מט"ו נשאר ששוה בחלוף ט"ו פחות קוסא אחת

Subtract it also from 13, which is its price in cash; 13 minus one cosa remain.

גם גם תסירהו מי"ג ששוה בממון ונשאר י"ג פחות א' קוסא

Multiply 13 minus one cosa by 205; the result is 2 thousand, 6 hundred and 65 minus 205 cosa.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(13-x\right)\sdot205=2665-205x}}

וכפול י"ג פחות א' קוסא כנגד ר"ה ויצא ב' אלפים וו' מאות וס"ה פחות ר"ה קוסי

Multiply also 15 minus one cosa by 100; the result is one thousand and 5 hundred minus 100 cosa.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(15-x\right)\sdot100=1500-100x}}

גם כפול ט"ו פחות קוסא א' כנגד ק' ויצא אלף וה' מאות פחות ק' קוסי

Subtract it from 2 thousand, 6 hundred and 65; one thousand and 165 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{2665-205x=1500-100x}}

\scriptstyle{\color{blue}{2665-1500=205x-100x}}

\scriptstyle{\color{blue}{1165=105x}}

הסירם מב' אלפים וו' מאות וס"ה ונשאר אלף וקס"ה דבר

You find that the cosa is equal to 11 and 2 parts of 21.

\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{2}{21}}}

ותמצא כי הקוסא ישוה י"א וב' חלקים מכ"א

Divide it by 15, which is the price of the wool in barter; you receive 23[3] parts of 315 and this is the part that the owner of the wool gives the owner of the cloth, so that the barter will be even.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11+\frac{2}{21}}{15}=\frac{233}{315}}}

וחלק זה על ט"ו ששוה הצמר בחלוף ויצא לך רל"ז חלקים משט"ו וזה החלק ראוי שיתן בעל הצמר לבעל הבגד ויצא החלוף שוה

284) Question: two barter cloth for wool.

The canna of cloth is offered in barter 1 ducat more than its price in cash.

100 of the wool is worth 20 in cash and in barter he offers it for 21.

[The owner of the wool] loses 10 for 100.

I ask: how much is the price of the canna of cloth in cash?

‫284 שאלה שנים מחליפים בגד וצמר

קנה הבגד משים אותו בחלוף א' דוקטו יותר ממה ששוה בממון
וק' מהצמר בממון שוה כ' ובחלוף משים אותו כ"א
והפסיד י' בעד ק‫'
אשאל כמה שוה קנה הבגד בממון

We suppose the canna is worth 1 cosa; so in barter it is worth a cosa [plus 1].

נניח כי הקנה שוה א' קוסא א"כ בחלוף שוה קוסא יותר

Since the owner of the wool loses 10 for 100, we say that the 100 returns 90.

ויען כי בעל הצמר הפסיד י' בעד ק' נאמר כי הק' שבו צ‫'

Rule of Three: So, say: if 100 returns 90, how much will twenty return?

\scriptstyle{\color{blue}{100:90=20:y}}

ולכן תאמר אם ק' שבו צ' כמה ישובו עשרים

It returns 18.

\scriptstyle{\color{blue}{y=18}}

וישובו י"ח

Rule of Three: Say also: if 18, which is the price of the wool in cash, returns 21, for how much we should offer 1 cosa?

\scriptstyle{\color{blue}{18:21=x:y}}

וכן תאמר כי שוה הצמר בממון ותאמר אם י"ח שבו כ"א כמה ראוי שנשים א' קוסא

Multiply 21 by 1 cosa; you receive 21 cosa.

תכפול כ"א על א' קוסא ויצא לך כ"א קוסא

Divide it by 18; you receive 1 and a sixth and this is equal to 1 cosa plus 1.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21x}{18}=\left(1+\frac{1}{6}\right)x=x+1}}

ותחלקהו על י"ח ויצא לך א' ושישית והוא שוה אל א' קוסא יותר אחד

Apply the method; you receive 6, which is [the price of] the canna and in barter he offers it for 7.

\scriptstyle{\color{blue}{x=6}}

ותעשה בדרך ויצא לך ו' וכך היה הקנה ובחלוף שם אותו ז' והוא נכון

285) Understand that if you say that a man wants a quarter of the money, it is the same as saying that a man wants to be given a quarter in cash.

Example: a man barters cloth that is worth twenty, in barter he offers it for 23 and 9 parts of 17, and he wants a quarter in cash.

The other has wool, 100 of which is worth 12 in cash.

I ask: for how much he offers it in barter, so as not to be deceived.

‫285 הבן כי אם תאמר איש רוצה רביעית הממון הוא שוה כאלו תאמר איש רוצה שינתן לו רביעית בממון

המשל איש מחליף בגד ששוה עשרים ובחלוף משים אותו כ"ג וט' חלקים מי"ז ורוצה רביעית בממון
ולאחר יש לו צמר ששוה הק' בממון י"ב
אשאל כמה ישימנה בחלוף למען לא יהיה מרומה

First, take a quarter of 23 and 9 parts of 17, which is 5 and 15 parts of 17, and subtract it from its price in cash and from its price in barter; 14 and 2 parts of 17 and 1[7] and 11 parts of 17 remain.

ראשנה קח רביעית כ"ג וט' חלקים מי"ז שהם ה' וט"ו חלקים מי"ז ותסיר זה מערכו בממון ומערכו בחלוף וישאר י"ד וב' חלקים מי"ז וי' וי"א חלקי' מי"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\left(23+\frac{9}{17}\right)-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(23+\frac{9}{17}\right)\right]=\left(23+\frac{9}{17}\right)-\left(5+\frac{15}{17}\right)=1{\color{red}{7}}+\frac{11}{17}}}

\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\frac{1}{4}\sdot\left(23+\frac{9}{17}\right)\right]=20-\left(5+\frac{15}{17}\right)=14+\frac{2}{17}}}

Rule of Three: Say: if 14 and a fraction returns 17 and a fraction, how much will 12 return?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(14+\frac{2}{17}\right):\left(17+\frac{11}{17}\right)=12:x}}

ותאמר אם י"ד והחלקים שבו י"ז והחלקים כמה יעלה י"ב

You receive 15.

\scriptstyle{\color{blue}{x=15}}

ויצא לך ט"ו

Another method: we suppose one of them wants to pay his friend a quarter in cash. You already know that when he wants to pay something, it should be added; and when he asks for [something], it should be subtracted.

ובדרך אחר נניח כי א' מהם רוצה לתת לחבירו רביעית בממון וכבר ידעת כי כשרוצה לתת איזה דבר ראוי להוסיף וכששואל ראוי לחסר

Because, if he wants to pay a half, the whole should be added.

כי אם רוצה לתת חצי ראוי להוסיף כמוהו

If he asks for a third, half his money should be added.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{3}=\frac{1}{2}\sdot\frac{2}{3}}}

ואם שואל שליש ראוי להוסיף חצי ממונו

For a quarter, a third should be added.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{4}=\frac{1}{3}\sdot\frac{3}{4}}}

ובעד הרביע ראוי להוסיף שליש

וכן ראוי לעשות

So, if the price is twenty and he asks for a third, a half, which is 10, should be added; it is 30.

\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=20+10=30}}

ולכן אם הערך עשרים ושואל שליש ראוי להוסיף חצי שהוא י' ויהיו ל‫'

Therefore, say that [a third of 15], which is 5, is worth 12 and offered for 15. Add it to both, i.e. to 12 and 15; the result is 17 and 20.

\scriptstyle{\color{blue}{12+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=12+5=17}}

\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=15+5=20}}

ולכן תאמ' כי מה ששוה י"ב ראוי שישים אותה ט"ו שהם ה' ותוסיפם לשניהם ר"ל לי"ב ולט"ו ויעלה י"ז וכ‫'

Rule of Three: [Say: if one offers what is worth 17 for 20], for what will his friend offers twenty?

\scriptstyle{\color{blue}{17:20=20:x}}

מה יעשה חבירו מעשרים

The result is 23 and 9 parts of 17 as you saw above.

\scriptstyle{\color{blue}{x=23+\frac{9}{17}}}

ויצא כ"ג וט' חלקים מי"ז וכמו שראית למעלה

286) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 25, in barter it is worth 30, and he wants a quarter in cash.

100 of the wool is worth forty and he wants [in cash] a tenth of what he offers it for in barter.

The barter turns out to be even.

I ask: how much is 100 of wool worth in barter?

‫286 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים יחדו

הקנה מהבגד שוה כ"ה ובחלוף שוה ל' ורוצה הרביעית בממון
והק' מהצמר שוה ארבעים ורוצה העשור ממה שמשים אותה בחלוף
והחלוף יצא שוה
אשאל כמה שוה הק' מהצמר בחלוף

The method is known from the previous questions.

והדרך נודע מצד השאלות שקדמו

287) Question: two barter wool for linen.

The cloth is worth 5 and in barter he offers it for 8.

One hundred of the wool is worth fifty in cash and in barter he offers it in a way that the owner of the wool earns 36 and 2-thirds more than the owner of the cloth for every 100.

I ask: how much is the wool worth in barter?

‫287 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים

הבגד שוה ה' ובחלוף משים אותו ח' והק' מצמר במעות שוה חמישים ובחלוף משים אותה בדרך כי בעל הצמר מרויח יותר מבעל הבגד ל"ו וב' שלישיות בעד כל ק‫'
אשאל כמה הצמר בחלוף

You must know an introduction: if you barter and you earn 10 for 100, you earn a tenth and your friend loses one part of 11, i.e. he loses 9 and one part of 11 for 100, since the profit of the 100 is 110.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{100}=\frac{1}{10}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{110}=\frac{9+\frac{1}{11}}{100}=\frac{1}{11}}}

ראוי לך לדעת הקדמה כי אם תעשה חלוף והרויח י' בעד ק' אתה מרויח העשור וחבירו מפסיד חלק מי"א ר"ל כי מפסיד ט' וחלק מי"א בעד ק' כי המרויח הק' שוים ק"י

When one barters with his friend, to know how much he earns and how much his friend loses, take the part that indicates what he [loses] and add it to the part that he earns.

ודע כי המחליף עם חברו לדעת כמה מרויח וכמה מפסיד חבירו קח החלק המבטא שהרויח ותוסיף אותו על החלק שמרויח

288) Example: one earns ten for 100 from his friend.

‫288 המשל מי שמרויח עם חברו עשרה בעד ק‫'

Take ten for the tenth of 100, which is one part of 10; it is 11 and this is the part that the loser loses.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{100}=\frac{1}{10}}}

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10+\left(10\sdot\frac{10}{100}\right)}=\frac{1}{10+1}=\frac{1}{11}}}

שים עשרה על עשור ק' שהוא חלק מי' ויהיו י"א וזה יהיה החלק שמפסיד המפסיד ושימם ככה ‫

\scriptstyle\frac{1}{11}

Therefore, you loses 11, i.e. you give me what is worth 110 for 100, or say that you give me 11 for 10.

\scriptstyle{\color{blue}{110-\left(110\sdot\frac{1}{11}\right)=100}}

א"כ אתה מפסיד י"א ר"ל כי אתה תתן לי מה ששוה ק"י בעד ק' או תאמר כי אתה תתן לי יא בעד י‫'

One said: someone loses to his friend twenty for 100.

והאומר פלוני הפסיד עם חברו עשרים בעד ק‫'

You already know that twenty is a fifth of 100.

\scriptstyle{\color{blue}{20=\frac{1}{5}\sdot100}}

כבר ידעת כי עשרים חומש ק‫'

Add 1 to five; it is 6.

תוסיף על חמש א' ויהיו ו‫'

So, say that he loses a sixth of his money for 100.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5+\left(5\sdot\frac{1}{5}\right)}=\frac{1}{5+1}=\frac{1}{6}}}

א"כ תאמ' כי הפסיד שישית ממונו בעד ק‫'

289) Question: two barter.

One has iron - one hundred of which is worth 6 peraḥim and in barter he offers it for 7; he wants to give his friend 4 months.

His friend has leathers [...] - the leather is worth 8 grossi in cash and in barter he offers it for 9.

I ask: how much time should the owner of the leather wait for the owner of the iron?

‫289 שאלה שנים מחליפים

לא' יש לו ברזל ושוה ו' פרחים המאה ובחלוף משים אותו ז' ורוצה לתת לחברו זמן ד' חדשים וחברו יש לו עורות אלים מאדמים ושוה העור במעות ח' גרושי ובחלוף משים אותו ט‫'
אשאל כמה זמן ראוי שימתין בעל העור לבעל הברזל

Do as follows: in order for the trade to be as fair to one as to the other, if the owner of iron raises from 6 to 7, it is appropriate that the owner of leather raises from 8 to 9 and a third.

כך תעשה למען יהיה המסחר שוה לזה כמו לזה הלא מן הדין אם בעל הברזל מעלה מו' לז' ראוי לבעל העור שיעלהו מח' לט' ושליש

Therefore, multiply 7 by 8; the result is 56.

ולכן כפול ז' על ח' ויעלה נ"ו

Divide it by 6; the result is 9 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot8}{6}=\frac{56}{6}=9+\frac{1}{3}}}

וחלק על ו' ויצא ט' ושליש

The increment from 8 to 9 and a third is 1 and a third

\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{3}\right)-8=1+\frac{1}{3}}}

והנה התוספת מח' עד ט' ושליש הוא א' ושליש

Divide 4, which is [the number of] the months, by it; the result is 3 integers and this is the time that the owner of the leather should wait for the owner of the iron in order for the trade to be fair.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{1+\frac{1}{3}}=3}}

וחלק ד' שהם החדשים עליהם ויצא ג' שלמים וכן ראוי שימתין בעל העור לבעל הברזל להיות חלופם שוה

290) Question: two barter cloth for linen.

The canna of cloth is worth 10 and in barter 11; and he is waiting for him a whole year.

His friend sells a hundred of the wool for 36.

I ask: for how much will he sell it to his friend this way after 8 months?

‫290 שאלה שנים מחליפים בגד ופשתים

קנה הבגד שוה י' ובחלוף י"א וממתין לו שנה תמימה וחברו מוכר ק' מהצמר ל"ו
ארצה לדעת כמה ימכרנה באופן לחברו ח' חדשים

Do as follows: you see that the owner of the cloth earns 1 out of 10 in a whole year, which is one tenth of its price in 12 months.

כך תעשה הנך רואה כי בעל הב' מרויח עם י' א' בשנה תמימה והוא עשור ממונו בי"ב חדשים

Hence he earns one part of 120 every month.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{10}}{12}=\frac{1}{120}}}

א"כ ירויח בכל חדש חלק מק"כ

Rule of Three: Say: if 10 yields one part of 120, how much will 36 yield?

\scriptstyle{\color{blue}{10:\frac{1}{120}=36:x}}

ותאמר אם י' מרויח חלק מק"כ כמה ירויחו ל"ו

You receive 3 [parts of one hundred].

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{10{\color{red}{0}}}}}

ויצא לך ג' עשיריות

Multiply 3 [parts of one hundred] by 8; you receive [one-fifth and one-fifth of a fifth].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10{\color{red}{0}}}\sdot8={\color{red}{\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}}}

כפול ג' עשיריות על ח' ויצא לך ב' וב' חמישיות

Add it to 36; it is 3[6], [one-fifth and one-fifth of a fifth] and this is [the price of] the wool that he should offer to his friend in barter after 8 months.

\scriptstyle{\color{red}{36+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

תוסיפם על ל"ו ויהיו ל"ח וב' חמישיות וכן ראוי שישים הצמר בחלוף כדי לעשות לחברו המתנה ח' חדשים

291) Question: two barter wool for linen.

The cloth is worth 4 and a half in cash and in barter he offers it for 6; he gives his friend the gift for eight months.

The wool is worth in barter 15 and he gives his friend the gift for 10 months.

I ask: how much is the wool worth in cash?

‫291 שאלה שנים מחליפים צמר ופשתים

הבגד שוה ד' וחצי בממון ובחלוף משים אותו ו' ונותן לחבירו המתנה ח' חדשים והצמר היה שוה בחלוף ט"ו ונתן לחברו המתנה י' חדשים
אשאל כמה שוה הצמר בממון

First, look at the difference of the times of the cloth and the wool; it is 2 months. So subtract the difference, i.e. the smaller from the greater; the remainder is 2.

ראשנה ראה הפרש הזמן מהבגד והצמר והוא ב' חדשים לכן תסיר ההפרש ר"ל הקטן מהגדול הנשאר ב‫'

See what part of 8 is 2: it is its quarter. Keep [it].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10-8}{8}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}}

וראה איזה חלק הוא ב' מח' והוא רביעיתו ושמור

Now, take the price of the cloth in cash, which is 4 and a half, and you see that the difference between the cash and the barter is 1 and a half. Take a quarter of this; you receive 3-[eighths].

\scriptstyle{\color{blue}{\left[6-\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\frac{1}{4}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{4}=\frac{3}{{\color{red}{8}}}}}

עתה קח ממון הבגד בממון שהוא ד' וחצי ואתה רואה כי ההפרש מממון ומחלוף הוא א' וחצי ומזה תקח ומזה תקח רביעיתו ויצא לך ג' רביעיות

Add it to 6; you receive 6 and 3-[eighths] and this should be the price of a canna of cloth in barter.

ותוסיפם על ו' ויצא לך ו' וג' רביעיות וכן ראוי שישוה קנה הבגד בחלוף

Rule of Three: Say: [if] a canna that is worth 4 and a half in cash yields 6 and 3-[eighths], what will yield 15?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{{\color{red}{8}}}\right):\left(4+\frac{1}{2}\right)=15:x}}

ותאמר כי ו' וג' רביעיות בא מקנה ששוה בממון ד' וחצי מה יתן לי ט"ו

The result is 10 and 10 parts of 17 and this should be the price of 100 in cash, so that the barter will be fair.

\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{10}{17}}}

ויצא י' וי' חלקים מי"ז וכך שוה הק' בממון להיות המסחר שוה

292) Question: two barter cloth with wool.

The canna of cloth is worth 3 and in barter 4; he gives it to him for 12 months.

The wool is worth 15 and he gives it to him for 6 months.

I ask: how much is a hundred of wool worth in cash?

‫292 שאלה שנים מחליפים בגד עם צמר

קנה הבגד שוה ג' ובחלוף ד' ונותן לו זמן י"ב חדשים והצמר שוה ט"ו ונתן לו זמן ו' חדשים
אשאל כמה שוה מאה מהצמר בממון

Subtract the time of the wool from the time of the cloth; the remainder is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{12-6=6}}

הסר זמן הצמר מזמן הבגד הנשאר ו‫'

See what part of 12 is 6; it is its half.

\scriptstyle{\color{blue}{6:12=\frac{1}{2}}}

וראה איזה חלק הוא ו' מי"ב והנה הוא חציו

Subtract a half from 4; the remainder is 3 and a half. So, say that this is the value of the cloth in barter.

\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{1}{2}=3+\frac{1}{2}}}

וכן תסיר החצי מד' הנשאר ג' וחצי וכן תאמר ששוה הבגד בחלוף

Rule of Three: Say: if 3 and a half in barter is 3 in cash, what number [in cash] will give 15 [in barter]?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{2}\right):3=15:x}}

ותאמר אם ג' וחצי בחלוף יצא מג' בממון מאיזה מספר יצא ט"ו

You receive 12 and [6] parts of 7 and this is the price of 100 of wool in cash.

\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{{\color{red}{6}}}{7}}}

ויצא לך י"ב וב' חלקי' מז' וכך שוה הק' מהצמר בממון

293) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 10, in barter he offers it for 13 and he gives it for 12 months.

100 of the wool is worth fifty in barter and he gives it to him for 15 months.

I ask: how much is the wool worth in cash?

‫293 שאלה שנים מחליפי' צמר ופשתים יחדו

קנה הבגד שוה י' ובחלוף משים אותו י"ג ונותן זמן י"ב חדש
ובעל הצמר הק' שוה בחלוף חמישים ונתן לו זמן ט"ו חדשים
אשאל כמה שוה הצמר בממון

First, see how much does the liṭra of the owner of the cloth yield a month; you find 6 piccoli.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13-10}{12\sdot10}=\frac{6}{12\sdot20}}}

ראשנה ראה כמה מרויח הליט' לחדש מבעל ה' הבגד והנה תמצא פיצולי ו‫'

Then for the owner of the wool, which is 50 in 15 month; you receive 90 piccoli, which is 7 grossi and 6 piccoli, i.e. 3-eighths of a liṭra.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{12\sdot20}\sdot15=\frac{90}{12\sdot20}=\frac{7}{20}+\frac{6}{12\sdot20}=\frac{3}{8}}}

אח"כ ראה בעל הצמר שהם נ' בט"ו חדשים ויצא לך צ' פיצולי שהם גרושי ז' ופיצולי ו' היינו ג' שמיניות ליט‫'

Rule of Three: So, say: if 1 liṭra yields 3-eighths and he offers it for 1 and 3-eighths — say: if 1 and 3-eighths result from 1 liṭra, from what will 50 liṭra result?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{8}\right):1=50:x}}

ולכן תאמ' אם א' ליט' מרויח ג' שמיניות והוא משים אותו בחלוף א' וג' שמיניות ולכן תאמ' אם א' וג' שמיניות בא ממה ששוה במחושב א' ליט' מאיזה דבר יצא חמישים ליט‫'

You receive that 100 of wool is worth in cash [3]6 and 4 parts of 11.

\scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{3}}6+\frac{4}{11}}}

ויצא לך כי הק' מהצמר בממון שוה י"ו וד' חלקים מי"א

294) Question: two barter wool for linen.

A hundred of wool is worth 20 in cash, he offers it for 30, he wants a half in cash and he gives it to him for 16 months.

His friend has cloth, the canna of which is worth 8 and in barter 10.

The barter is fair.

I ask: How long does the owner of the wool have to wait for his friend?

‫294 שאלה שנים מחליפי' צמר ופשתים

המאה מהצמר שוה בממון כ' ומשים אותו ל' ורוצה החצי בממון ונותן לו זמן י"ו חדשים
ולחברו יש לו בגד שוה הקנה ח' ובחלוף י‫'
והיה המסחר שוה
אשאל כמה זמן המתין בעל הצמר חברו

כך תעשה נניח כי בעל הצמר היו לו ג' מאות ושוה צ' ומזה מבקש חצי הממון שהם מ"ה ומזה נותן זמן י"ו חדשי' והחצי האחר מבקש בגד והנה הבגד בחלוף י' חלק מ"ה על י' ויצא ד' וחצי והנה ד' וחצי בממון שוים ל"ו

עתה ראה ג' מאות מצמר בממון שוה ס' כך היה ראוי שיתן בעל הבגד לבעל הצמר להיות החלוף שוה אמנם לא נותן לו כי אם ד' קנים וחצי היינו ל"ו ויחסר עד ס' כ"ד וכך היה ראוי שיפרע בעל הבגד להיות החלוף שוה והוא פרע מ"ה א"כ ראוי שנאמ' כי כ"ד מרויחים מ"ה בי"ו חדשים

ולדעת כמה עמד הבגד בהמתנה אתה יודע כי כ"ד שוים מ"ה א"כ כ"ד ירויחו כ"א חלק כ"א על כ"ד ויצא ז' שמיניות וכך מרויח הקנה בי"ו חדשים שמגיע לכל חדש ז' חלקים מקכ"ח בעד י"ג קנים ושמין

295) Question: two barter.

The canna of cloth is worth 4 and in barter 5.

The wool is worth 10 for one hundred and in barter 13.

The owner of the wool says to his friend: I want you to wait a year and I want to give you a certain part in cash, so that you will earn 10 for 100.

I ask: what part did the owner of the wool give to his friend at the end of the year so that he would earn 10 for 100?

‫295 שאלה שנים מחליפים

הקנה מהבגד שוה ד' ובחלוף ה‫'
והצמר שוה המאה י' ובחלוף י"ג
ואמר בעל הצמר לחבירו אני רוצה שתמתין לי שנה וארצה לתת לך חלק מה בממון באופן כי תרויח י' בעד ק‫'
אשאל איזה חלק נתן בעל הצמר לחברו בסוף שנה באופן כי ירויח י' בעד ק‫'

כך תעשה תאמר אם ק' שוים ק"י כמה ישוב ד‫'

ותמצא כי ישוב ד' וב' חמישיות וכך שוה הקנה בממון ובחלוף ה' והצמר שוה י' ובחלוף י"ג עתה ראה ההפרש מי' אל י"ג והוא ג' חלק י"ג בג' ויצא ד' ושליש עתה חלק ד' ושליש על ח' ושליש ויצא לך י"ג חלקים מכ"ה וכן ראוי שיקבל מצמר והנשאר שהוא י"ב חלקים מכ"ה יקבל בממון בסוף השנה והדבר יצא שוה

ולבחון תאמר ב' מחליפים צמר ופשתים קנה הבגד שוה ד' ובחלוף ה' ורוצה י"ב חלקים מכ"ה בממון וי"ג חלקים מכ"ה בצמר והצמר שוה י' ובחלוף י"ג אשאל מי מרויח וכמה מרויח בעד כל ק‫'

כך תעשה נניח כי מחליפים כ"ה קנים ששוים קכ"ה בחלוף ומזה מבקש י"ב חלקים בממון שהם ס' בממון והנשאר שהם ס"ה בחלוף והנה הצמר מקבל לחשבון י"ג המאה בעד ס"ה תקבל ה' מאות וראה כמה שוה בממון ה' מאות מצמר שהם חמישים ועולה ק"י ובעד ק"י נתן כ"ה קנים ששוים בממון ק' א"כ מרויח שלחנות א"כ מרויח י' שהם ק"י

Exchange Problems

296) Question:

‫296 שאלה הבולונייני שוה בפלורינצא כ"ו פיצולי ובפירושא שוה ל' אשאל אם איש יש לו לקבל ג' מאות בולונייני בפיורינצא כמה שוים בפירושא

תאמר אם כ"ו שוים ל' ג' מאות כמה שוים ויצא לך שמ"ו וד' חלקים מכ"ו

297) Question: a man should receive in Florence 250 peraḥim, ten soldi and 8 piccoli, and they are worth 259 peraḥim and 15 soldi in Bursa.

I ask: if I want to receive 60 peraḥim, 12 soldi and 6 piccoli in Bursa, how much should I receive [in Florence]?

‫297 שאלה איש אחד יש לו לקבל בפיורינצא ר"נ פרחים וסולדי עשרה ופיצולי ח' והם שוים בפירושא רנ"ט פרחים וט"ו סולדי

אשאל אם ארצה לקבל בפירושא ס' פרחים וי"ב סולדי וו' פיצולי כמה ראוי לקבל

Do as follows: you already know that twenty soldi are one peraḥ.

כך תעשה כבר ידעת כי עשרים סולדי הם פרח א‫'

You find that 25[0] peraḥim, 10 soldi and 8 piccoli, are 250 peraḥim and 8 parts of 15.

\scriptstyle{\color{blue}{25{\color{red}{0}}+\frac{10}{20}+\frac{8}{12\sdot20}=250+\frac{8}{15}}}

והנה תמצא כי רנ"ו פרחים וי' סולדי וח' פיצולי הם ר"נ פרחים וח' חלקים מט"ו

259 [peraḥim] and 15 soldi are 259 peraḥim and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{259+\frac{15}{20}=259+\frac{3}{4}}}

והרנ"ט וט"ו סולדי הם רנ"ט וג' רביעיות פרחים

[60 peraḥim], 12 soldi and 6 piccoli, are 60 peraḥim and 5-eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{60}}+\frac{12}{20}+\frac{6}{12\sdot20}=60+\frac{5}{8}}}

וי"ב סולדי וו' פיצולי הם ס' פרחים וה' שמיניות

Rule of Three: So, say: if 259 and 3-quarters are worth 250 and 8 parts of 15, how much are 60 peraḥim and 5-eighths worth?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(259+\frac{3}{4}\right):\left(250+\frac{8}{15}\right)=\left(60+\frac{5}{8}\right):x}}

לכן תאמר אם רנ"ט וג' רביעיות שבו ר"נ וח' חלקים מט"ו כמה ישובו ס' פרחים וה' שמיניות

You receive 58 peraḥim and one thousand and [47]7 parts of 3 thousand and 117.

\scriptstyle{\color{blue}{x=58+\frac{1{\color{red}{47}}7}{3117}}}

ויצא לך נ"ח פרחים וט' סולדי ואלף ושכ"ז חלקים מג' אלפים וקי"ז

298) Question:

‫298 שאלה איש נדר לתת לאיש אחר ג' מאות מטבעי' פיורינטיני ונתן לו ב' מיני מטבעים היינו בולונייני וגרושוני בולונייני שוה בפיורינצא ה' וחצי ובפירושא שוה ו' ורביע אשאל איזה יותר נכון לו לפרעו בבולונייני או בגרושוני

יש לך לדעת כי יש דבר מה שוה בפיורינצא כ"ו ובפירושא שוה ל' כן כל מטבע ששוה בפיורינצא כ"ו שוה בפירושא ל' כי יחס הבולונייני אל הכ"ו הבולונייני כיחס הגרושוני אל הגרושוני וכן מכל מטבע ונניח כי יפרענו במטבע בולונייני ותאמר אם כ"ו מן פיורינצא שוה בפירושא ל' כמה ישוה ג' מאות ויצא לך שמ"ו וחלקים ושמרם וכן תאמר מהגרושוני ותאמר אם ה' וחצי שוה בפירושא ו' ורביע כמה ישוו ג' מאות ויצא לך ש"מ וחלקים א"כ אתה רואה כי יותר טוב לפרעו בגרושוני יותר מבולונייני כי הגרושוני צריך לתת לו ש"מ ומבולונייני צריך לתת לו שמ"ו

299) Question:

‫299 שאלה לאיש יש לו מב' מיני מטבעים מתחלפים כאלו תאמ' ארמיליני מז' טורניסי ומי' טורניסי ובין הכל יש לו מאתים ורוצה להחליפם שיתן לו החלפני מהם קרליני והחליפם ונתן לו צ"ב קרלי' וחצי אשאל כמה ארמיליני מז' וכמה ארמיליני מי' היו בסכום

כך תעשה ראה כמה ישוו המאתים אלו היו כלם מז' טורניסי והנה ישוו ע' קרלי' וראה ההפרש שיש מע' אל צ"ב וחצי וההפרש הוא כ"ב וחצי וראה אלו היו כל המאתים מי' טורניסי היו שוות ק' קרלי' וההפרש מצ"ב וחצי עד ק' הוא ז' וחצי חלק כ"ב וחצי על ז' וחצי ויצא ג' קח ג' חלקים ממאתים והם ק"נ וכך יקח מהארמיליני מי' ונ' יקח מאותן ששוות ז' טורניס

Section Three: Geometry

החלק השלישי ידבר על ענין המדות ר"ל גיבמאטריאה או ההנדסה

300) If you have a square of 10 by 10 and you have another square of 2 by 2. To know by how much the area of the greater exceeds the area of the smaller:

‫300 אם יש לך מרובע רבוע י' על י' ויש לך מרובע אחר ב' על ב‫'

לדעת כמה תשבורת הגדול הנקרא רֵיאַה עודף על תשבורת הקטן

Do like this:

כך תעשה

Square 10 by 10, they are 100. $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$

תרבע י' על י' והם ק‫'

Square also 2 by 2, they are 4. $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=4}}$

גם תרבע ב' על ב' והם ד‫'

Divide 100 by 4, the result is 25 and by this the greater exceeds the smaller.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{4}=25}}

חלק ק' על ד' ויצא כ"ה וכך פעמים גדול הגדול על הקטן

301) Question: if you know the length of the sides of a rectangle and you wish to know the length of the diagonal

‫301 שאלה אם תדע ממרובע אורך הקוים ותרצה לדעת ארך האלכסון

תוכל למצא אורך האלכסון כאלו תאמר הקו האחת מהמרובע ו' והאחר ח' כפול ח' על ו' ויצא מ"ח ו' על ו' ויצאו ל"ו וח' על ח' והם ס"ד ושניהם מחוברים הם ק' ושרשם י' וכך הוא האלכסון

ואם תדע האלכסון עם ארך אחד מהקוים לדעת הקו האחר כמה

כאלו תאמ' שהאלכסון י' והקו הנודע ו' תרבע [י'] על [ו'] והם והם ק' גם תרבע ו' על ו' והם ל"ו תסיר ל"ו מק' הנשאר ס"ד וקח שרשם והם ח' קסח והוא הקו האחר

ואם תדע קו ח' והאלכסון ולא תדע קו ו' למצא אותו תרבע האלכסון והוא ק' גם תרבע ח' על ח' והם ל"ו ס"ד תוציאם מק' ונשאר ל"ו ושרשם ו' והוא הקו האחר

Triangle

302) Question: if you have an equilateral triangle and you wish to know the length of the height.

‫302 שאלה אם יש לך משולש שוה הצלעו' ותרצה לדעת ארך העמוד

Such as a triangle, each of its sides is ten and you wish to know the height.

כגון משולש כל צלע עשרה ותרצה לדעת העמוד

Multiply ten by itself; it is 100.

כפול עשרה על עצמם והם ק‫'

Subtract from it its quarter, which is 25; the remainder is 75.

הוצא מהם רביעיתם והם כ"ה הנשאר ע"ה

Take its root; it is 8 and 11 parts of 16 and this is the length of the height.

וקח שרשם והם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא אורך העמוד

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10^2\sdot\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{100-\left(100\sdot\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=8+\frac{11}{16}}}

Square

303) Question: if you have a square, each of its sides is ten. To know the diagonal:

‫303 שאלה אם יש לך מרובע רבוע כל קו עשרה

לדעת האלכסון

Multiply ten by itself; it is 100.

כפול עשרה על עצמם והם ק‫'

Multiply it by 2; it is two hundred.

וכפלם על ב' ויהיו מאתים

Take its root; it is 14 and one-seventh and this is the diagonal.

וקח שרשם והם י"ד ושביעית אחד והוא האלכסון

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{2\sdot100}=\sqrt{200}=14+\frac{1}{7}}}

Triangle

304) Question: how we will know the [area] of any triangle whether equilateral, isosceles, or scalene, given that you know the height.

‫304 שאלה איך נדע מופת כל משולש הן שוה הצלעות או שוה השוקים או מתחלף הצלעות אחר שידעת העמוד

תעשה מרובע אורך הב' קוים הנכוחיים הארוכים יהיו כמו התושבת ואורך הב' קוים הקצרים יהיו כמו העמוד ר"ל חציו וכמו שיעלה תשבורת המרובע כי הוא תשבורת המשולש כמו זה מזה המשולש לא תוכל לדעת העמוד יען כי התושבת מרובעו עולה יותר ממרובע שתי ו' הצלעות מחוברים יחדו כי הצלעות אינם כי אם י"ב כל אחד ושני רבועיהם עולה רפ"ח אמנם מרובע התושבת שהוא כ"ו עולה תרע"ו על כן צריך למדוד העמוד ותכפול העמוד על חצי התושבת או התושבת על חצי העמוד והוא תשברתו

305) Question: if you have a scalene triangle, such as if one side is 15, one is 14 and one is 13.

‫305 שאלה אם יש לך משולש מתחלף הצלעות כמו אם הצלע האחד ט"ו והא' י"ד והא' י"ג

Its area is 84 because its height called qatet[?] is 12.

הנה תשברתו הוא פ"ד יען כי עמודו הנקרא קַאטְיט הוא י"ב

ואם תרצה לדעת המופת על זה תעשה מרובע ויהיה התושבת אורך הצלעות הב' הארוכים וחצי העמוד שהוא ו' יהיו ב' צלעות המרובע הקצרים כפול י"ד שהוא התושבת על ו' ויהיו פ"ד

306) Question: if you have an isosceles triangle, such as a triangle, the length of each of its sides is ten and the base is 12.

‫306 שאלה אם יש לך משולש שוה השוקים כגון משולש ארך כל קו עשרה והתושבת י"ב

To know the height: square the side, which is 10; it is 100.

לדעת העמוד תרבע הצלע שהוא י' והם ק‫'

Take half the base, which is 6.

וקח חצי התושבת שהוא ו‫'

Square it; it is 36.

ותרבעהו והם ל"ו

Subtract it from 100; 64 remains.

תסירם מק' ונשארו ס"ד

Its root is 8 and this is the height.

ושרשם ח' וכך הוא העמוד

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(12\sdot\frac{1}{2}\right)^2}=\sqrt{100-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8}}

והתשבורת תרבע חצי התושבת שהוא ו' על כל העמוד או חצי העמוד על כל התושבת ויעלו מ"ח וכך הוא התשבורת

והאות המעיד על זה תעשה מרובע על המשולש כזה

והנך רואה כי זה המרובע הוא מרובע ארוך אורך הב' קוים הקצרים הם ו' ואורך הב' הארוכי' הם ח' ותשברתו מ"ח ואתה רואה כי כך תשבורת המרובע כמשולש

307) A way to measure a triangle of 3 species:

‫307 דרך למדוד משולש בג' מינים

הדרך הראשון הוא ככה כגון משולש מתחלף הצלעות אשר אורך הקו האחד ט"ו והאחר י"ד והאחר י"ג

כפול הצלע הקצר והוא י"ג קסט ומרובעו קס"ט גם כפול התושבת שהוא י"ד ומרובעו קצ"ו ותחברם עם קס"ט ויעלה שנ"ב ומזה תסיר כפל הצלע הארוך והוא רכ"ה הנשאר ק"מ חלקם על כפל התושבת שהוא כ"ח ויצא ה' והוא מקום שנפל בו העמוד או חלק ק"מ על ב' והם ע' וחלקם על י"ד ויצא ג"כ ה' הסר ה' מי"ד הנשאר ט' והוא אורך העמוד מהתושבת רחוק מקצה אחד ה' ומהאחר ט‫'

או אם תרצה כפול הצלע הארוך והוא רכ"ה על התושבת שהוא קצ"ו וחברם ויעלה תכ"א תסיר מהם הכפל מהצלע הקצור שהוא קס"ט וישאר רנ"ב חלקם על ב' ויהיו קכ"ו חלקם על התושבת ויצא ט' ואתה רואה כי מצאת נפילת העמוד בקצה האחר

דרך שני חבר שני הצלעות שהם י"ג וט"ו והם כ"ח וחלקם על ב' ויצא י"ד וחלקם על ההפרש שיש מי"ג שהוא אחד הצלעות אל י"ד שעלה בחלוק ויצא י"ד או חלק י"ד אל ההפרש יש בין י"ד שעלה בחלוק אל ט"ו שהוא הצלע אחד ויצא י"ד וחלק אלו הי"ד על חצי התושבת שהוא ז' ויהיו ב' תסירם מחצי התושבת שהם ז' וישארו ה' והנה ט' הוא המעמד ארוך וה' הוא המעמד קצור

דרך שלישי הסר מרובע הצלע הקצור מן מרובע הצלע הארוך היינו מרכ"ה הסר קס"ט הנשאר נ"ו חלקם על י"ד ויצא לך ד' תוסיפם על התושבת ויהיו י"ח חלקם ויהיו ט' ולמצא המעמד קצור הסר ד' מי"ד נשאר י' חלקם על ב' ויצא ה' והוא המעמד הקצור

אח"כ למצא הקטיטו תרבע הצלע הארוך שהוא רכ"ה הסר ממנו מרובע המעמד הארוך שהוא פ"א ונשאר קמ"ד ושרשם י"ב והוא אורך הקאטיטו או פינדוקולארי או תרבע הצלע י"ג שהוא קס"ט תסיר ממנו מרובע מעמד קצור שהוא כ"ה נשאר ג"כ קמ"ד

308) Question:

‫308) שאלה איך נמדוד משולש בלי עמוד כגון אותו הנזכר חבר הג' צלעות והם מ"ב וחלקם על ב' והם כ"א הסר מהם ט"ו ונשארו ו' הסר מהם י"ד ונשארו ז' כפול ז' על ו' והם מ"ב הסר מכ"א י"ג נשאר ח' כפול ז' על מ"ב ויעלו של"ו כפול של"ו על כ"א ויעלה ז' אלפים ונ"ו וקח שרשם והם פ"ד והוא תשבורת המרובע

309) Question:

‫309 שאלה אם יש לך זוית נצב ותרצה לעשות עליו משולש אם תרצה לדעת ארך הצלע המשלים המשולש כמה הוא

כמו אם יש לך זוית נצב כזה ארך כל קו עשרה

כפול כל קו על עצמו וחברם ויהיו מאתים וקח שרשם והם י"ד ושביעית וכך היא הצלע אשר הוספת על זוית נצב ולמדוד אותו אין צריך עמוד כי הצלע האחד הוא העמוד על כן כפול י' על חצי הצלע האחר שהוא י' וחציו ה' והם נ' וכך הוא תשברתו

310) Question:

‫310) שאלה אם תרצה לדעת מתוך ידיעת זה המשולש הקטן אשר א' מהקוים ג' והאחר ד' והאחרת ה' אשר תשברתו הוא ו' מתוך ידיעת זה המשולש הקטן תוכל לדעת תשבורת המשולש הגדול אשר אחד מהקוים הם עשרים והאחרת י"ו והאחר י"ב כי כל צלע מהגדול הוא ד' פעמים צלעי הקטן וידוע כי יחס משולש אל משולש כיחס מרובע אל מרובע

ואם כל קו הגדול היה ב' פעמי' כצלעי הקטן היה תשברתו ד' פעמים כמוהו ועכשו שהוא ד' יהיה תשברתו י"ו פעמים כמוהו

311) Question:

‫311) שאלה איך נוכל למדוד משולש בלי צלעות שהוא שוה קע הצלעות תרבע אחד מהצלעות ומהעולה קח י"ג חלקים מל' וכך יעלה תשברתו

המשל משולש בכל צלע הוא י‫'

כפול י' על י' ויהיו ק' וקח י"ג חלקי' מל' ויעלה מ"ג ושליש וכך הוא תשברתו

Square

312) Question: to know the square that a man thinks about in his heart.

How much is the length of each side?

‫312) שאלה לדעת מרובע הרבוע שחשב אדם בלבו

כמה אורך כל קו

Tell him to take the area of the square and add the length of the four sides, then ask him how much the result is.

תאמר לו שיקח תשבורת המרובע ויוסיף עליו ארך הד' קוים ותאמ' לו כמה עולה

Add 4 to it and take its root.

ותוסיף על זה ד' וקח שרשם

Subtract 2 from it and the remainder is the side of the square.

\scriptstyle\sqrt{a^2+4a+4}-2

ומזה תסיר ב' והנשאר הוא צלע המרובע

Example: a man thinks of a square, such that the length of each side is 5.

דמיון אדם חשב מרובע ארך כל צלע ה‫'

Its area is 25.

והנה תשברתו כ"ה

Add to it [the sum of] the four sides of the square, which is twenty; it is 45.

תוסיף בם ד' צלעי המרובע שהם עשרים והם מ"ה

Add 4 to it; it is 49.

תוסיף בם ד' והם מ"ט

Take its root; it is 7.

וקח שרשם והם ז‫'

Subtract 2; it is 5.

תסיר ב' והם ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5^2+\left(4\sdot5\right)+4}-2=\sqrt{25+20+4}-2=\sqrt{45+4}-2=\sqrt{49}-2=7-2=5}}

313) Question: knowing the length of the sides of the square based on knowing its diagonal.

‫313) שאלה לדעת אורך צלעי המרובע מתוך ידיעת אלכסונו

Multiply the diagonal by itself, divide it by [4], then take the root of the result and this is the required.

\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{4}}

כפול האלכסון על עצמו וחלקהו על ב' ומהיוצא קח שרשו והוא המבוקש

Example: the diagonal is 14.

המשל האלכסון הוא י"ד

Its square is 196.

ומרובעו קצ"ו

Divide it by [4]; the result is 49; its root is 7 and this is the length of each side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{14^2}{4}}=\sqrt{\frac{196}{4}}=\sqrt{49}=7}}

חלקהו על ב' ויצא מ"ט ושרשו ז' והוא ארך כל צלע

314) Question: if you know [the sum of] the square of the diagonal with the square of the side; as if their sum is 3 hundred.

‫314) שאלה אם תדע רבוע האלכסון עם רבוע הצלע כאלו עולה בין שניהם ג' מאות

Divide it by 3; it is one hundred.

חלקם על ג' והם מאה

Take its root; it is 10 and this is the length of each side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{300}{3}}=\sqrt{100}=10}}

וקח שרשם והם י' והוא ארך כל צלע

The root of two hundred is the diagonal.

ושרש מאתים הוא האלכסון

315) Question: if you add to the area of a square [the sum of] its four sides.

‫315) שאלה אם חברת על תשבורת מרובע רבוע ד' צלעיו

Add 4 to this sum, then take the root of the result and this is the length of each side minus 2.

\scriptstyle\sqrt{a^2+4a+4}-2

ואח"כ תוסיף על אותו הסכום ד' ומהעולה תקח השרש והוא יהיה אורך כל צלע פחות ב‫'

316) Question: I subtract the length of the four sides from [the area of] a square and I have 21 left.

How much is the length of each side of the square?

\scriptstyle a^2-4a=21

‫316) שאלה ממרובע לקחתי ארך הד' קוים ונשאר בידי כ"א

כמה ארך כל קו מהמרובע

Add 4 to 21; it is 25.

תוסיף על כ"א ד' והנם כ"ה

Take its root; it is 5.

וקח שרשם והם ה‫'

Add 2 to it; it is 7 and this is the length of each side.

\scriptstyle{\color{blue}{a=\sqrt{21+4}+2=\sqrt{25}+2=5+2=7}}

ותוסיף בם ב' והם ז' והוא ארך כל צלע

317) Question: if you know that the product of the square of the side by the square of the diagonal is 5 thousand, how much is the side and how much is the diagonal?

‫317) שאלה אם ידעת צלע המרובע עם האלכסון ועולה מרובע הצלע בעצמו עם מרובע האלכסון בעצמו ושניהם מחוברים כפולים זה על זה עולה ה' אלפים

כמה הצלע וכמה האלכסון

Divide it by 2; it is 2 thousand and 5 hundred.

חלקם על ב' ויהיו ב' אלפים וה' מאות

Take its root; it is 50.

וקח שרשם והם נ‫'

Take its root; it is 7 and this is the length of the side.

וקח שרשם והם ז' והוא ארך הצלע

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{\frac{5000}{2}}}=\sqrt{\sqrt{2500}}=\sqrt{50}\approx7}}

Multiply fifty by 2; it is 100.

וכפול חמישים על ב' והם ק‫'

Its root is 10 and this is the length of the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot50}=\sqrt{100}=10}}

ושרשם י' והוא ארך האלכסון

318) Question: when we sum the side with the diagonal, the result is 17.

How much is the length of the side and how much is the length of the diagonal?

‫318) שאלה כשחברנו הצלע עם ~~המרובע~~ האלכסון^[72] עולה י"ז

כמה ארך הצלע וכמה ארך האלכסון

Divide 17 into two parts, such that the greater part multiplied by itself is twice the smaller parts multiplied by itself.

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a+b=17\\\scriptstyle a^2=2b^2\end{cases}}}

עשה מי"ז ב' חלקים שהחלק הגדול כפול בעצמו יהיה ב' פעמים מהחלק הקטן כפול בעצמו

Suppose 2, for example, multiply it [by itself]; it is 4.

נניח ונקח משל ונאמ' ב' כפלם ויהיו ד‫'

If you [double] the smaller part multiplied by itself, the greater part multiplied by itself should be 8, because it is twice the same as it.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2^2=2\sdot4=8}}

ואם תחלק הקטן כפול בעצמו יצטרך כי החלק הגדול כפול בעצמו יעלה ח' כי הוא ב' פעמים כמוהו

Take its root; it is 2 and 5-sixths.

וקח שרשם והם ב' וה' שישיות

Sum it with 2; it is 4 and 5-sixths.

\scriptstyle{\color{blue}{2+\sqrt{8}=2+\left(2+\frac{5}{6}\right)=4+\frac{5}{6}}}

קבצם עם ב' ויהיו ד' וה' שישיות

Say: if 4 and 5-sixths gives me 2, as the smaller part, how much will 17 give me?

ותאמר אם ד' וה' שישיות יתן לי ב' כמו החלק הקטן כמה יתן לי י"ז

You receive 7 and this is the smaller part.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{2\sdot17}{4+\frac{5}{6}}\approx7}}

ויצא לך ז' והוא החלק הקטן

The other part is 10.

והחלק האחר י‫'

Their sum is 17.

\scriptstyle{\color{blue}{7+10=17}}

ושניהם מקובצים הם י"ז

Rectangle

319) Question: a rectangle, the two short sides are [6] and the two other sides are 8. I ask: how much is the diagonal?

‫319) שאלה מרובע ארוך ארך השני קוים הנכוחיים הקצרים [ו'] והב' קוים האחרים ח‫'

אשאל כמה האלכסון

Multiply 6 by 6; it is 36.

כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו

Multiply also 8 by 8; it is 64.

עו' כפול ח' על ח' ויהיו ס"ד

Sum them together; it is 100.

וחברם ויהיו ק‫'

Extract its root; it is 10 and so is the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}

וקח שרשם ויהיו י' וכך הוא האלכסון

320) Question: here is a rectangle whose area is 48. We sum up the long side with the short side; the result is 14.

I wish to know the length of the long and the short sides.

‫320) שאלה בכאן מרובע ארוך תשברתו מ"ח והנה חברנו ארך הקו הארוך עם הקו הקצור ויעלה י"ד

ארצה לדעת ארך הקו הארוך והקצור

Take a half of 14; it is 7.

קח חצי י"ד והם ז‫'

Its square is 49.

ומרובעם מ"ט

Subtract 48 from it; the remainder is 1.

הוצא מהם מ"ח ונשאר א‫'

Its root is 1.

ושרשו א‫'

Add it to 7; it is 8.

הוסיפהו על ז' והם ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}+\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=\sqrt{7^2-48}+7=\sqrt{49-48}+7=\sqrt{1}+7=1+7=8}}

Subtract it from 14; the remainder is 6 and it is the short [side].

\scriptstyle{\color{blue}{14-8=6}}

תוציאהו מ[י"ד] ונשאר ו' והוא הקצור

321) Question: a rectangle whose diagonal is 10, its square is 100, and the area of the rectangle is 48.

I wish to know how much is the length of each side of the rectangle.

‫321) שאלה בכאן מרובע ארוך אלכסונו י' ומרובעו ק' ותשבורת המרובע מ"ח

ארצה לדעת כמה ארך כל צלע מהמרובע

Multiply 48 by 2; it is 96.

כפול מ"ח על ב' ויעלה צ"ו

Add it to 100; it is 196.

ותוסיפם על ק' ויהיו קצ"ו

Extract its root; it is 14.

וקח שרשם והם י"ד

So, you know that the sum of the length of the two sides is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(2\sdot48\right)+100}=\sqrt{96+100}=\sqrt{196}=14}}

ואתה ידעת כי בין השני קוים ארכם י"ד

To know the length of each side, divide 14 [by 2]; it is 7.

ולדעת ארך כל צלע חלק י"ד והם ז‫'

Its square is 49.

ומרובעם מ"ט

Subtract from it 48, which is the area of the rectangle; the remainder is 1.

הוצא מהם מ"ח והוא תשבורת המרובע המרובע נשאר א‫'

Its root is 1.

ושרשו א‫'

Add it to 7; it is 8 and it is the long [side].

תוסיפהו על ז' והם ח' והוא הארוך

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1=8}}

Subtract it from it and this is the short side.

תוציאהו ממנו והוא הקצור

322) Question: here is a rectangle. The length of its diagonal is 10 and the sum of the long and short sides is 14.

I ask: how long is each side of the rectangle?

‫322) שאלה בכאן מרובע ארוך אורך אלכסונו י' ובין שני הקוים ארוך וקצר עולה י"ד

אשאל כמה כל צלע מהמרובע

Square 14; it is 196.

תרבע י"ד והם קצ"ו

Subtract the square of the diagonal from it; it is 96.

הוצא מהם מרובע האלכסון והוא צ"ו

Divide it by 2; it is the area of the rectangle.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14^2-100}{2}=\frac{196-100}{2}=\frac{96}{2}}}

חלקם על ב' והוא תשבורת המרובע

To know the length of each side, we say: this is the area, the diagonal of the rectangle is 100; do as said and you find the one 8 and the other 6.

ולדעת ארך כל צלע נאמ' הנה תשבורת אלכסון המרובע הוא ק' ועשה כאמור ותמצא האחת ח' והאחר ו‫'

323) Question: here is a rectangle. The length of the short side with the diagonal is 16; the long side is 8.

I wish to know the length of the short side and the diagonal.

‫323) שאלה בכאן מרובע ארוך ארך הקו הקצור עם האלכסון עולה י"ו והצלע הארוך הוא ח‫'

ארצה לדעת כמה הוא ארך הצלע הקצור והאלכסון

Do as follows: multiply 16 [by itself]; the result is 256.

כך תעשה כפול י"ו ועלה רנ"ו

Subtract from it the square of the known side, which is 8, i.e. 64; 19[2] remains.

והוצא מהם מרובע הצלע הידוע שהוא ח' היינו ס"ד ונשאר קצ"ו

Divide it by double 16, which is 32; the result is 6 and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16^2-8^2}{2\sdot16}=\frac{256-64}{32}=\frac{192}{32}=6}}

וחלקם על כפל י"ו שהוא ל"ב ויצא ו' והוא הצלע הקצור

From 6 to 16 it is 10 and this is the length of the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{16-6=10}}

ומו' עד י"ו הוא י' והוא ארך האלכסון

324) Question: here is a rectangle. The length of the diagonal exceeds the short side by 4; the other side is 8.

I ask: how much is the length of the short side and the diagonal?

‫324) שאלה בכאן מרובע ארוך ארך אלכסונו מוסיף על הצלע הקצור ד' והצלע האחר ח‫'

אשאל כמה ארך הצלע הקצור עם האלכסון

Do as follows: square 8; it is 64.

כך תעשה תרבע ח' והם ס"ד

Add to it the square of 4; it is 80.

תוסיף בם מרובע ד' ויהיו פ‫'

Divide it by double 4, which is 8; the result is 10 and this is the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8^2+4^2}{2\sdot4}=\frac{64+16}{8}=\frac{80}{8}=10}}

חלקם על כפל ד' שהם ח' ויצא י' והוא האלכסון

Subtract 10 from 16; the remainder is 6 and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{16-10=6}}

הוצא מי"ו י' הנשאר ו' והוא הצלע הקצור

325) Question: here is a rectangle. I multiply the length of the long side by the area of the rectangle; the result is 384. The short side is 6.

I ask: how much is the length of the long side?

‫325) שאלה בכאן מרובע ארוך אשר כפלתי ארך הקו הארוך עם תשבורת המרובע ועלה שפ"ד והצלע הקצור ו‫'

אשאל כמה ארך הצלע הארוך

Divide 384 by 6; the result is 64.

חלק שפ"ד על ו' ו' ויצא ס"ד

Its root is 8 and this is the length of the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{384}{6}}=\sqrt{64}=8}}

ושרשם ח' והוא ארך הצלע הארוך

326) Question: here is a rectangle. Its area is 48. We divide the long side by the short side; the result is 1 and one-third.

I ask: how much is the length of the sides?

‫326) שאלה מרובע ארוך תשברתו מ"ח חלקנו הצלע הארוך על הצלע הקצור עולה א' ושליש

אשאל כמה ארך הצלעות

We suppose the long side is 4.

נניח כי הצלע הארוך היה ד‫'

Since it is said: 1 and one-third, the short side is 3; so we see the ratio of 4 to 3.

\scriptstyle{\color{blue}{4:3=1+\frac{1}{3}}}

בעבור כי אמ' א' ושליש והקצור ג' ונראה היחס שיש מד' אל ג‫'

Multiply 3 by 4; the result is 12.

והנה כפול ג' על ד' ויצא י"ב

Divide 48 by it; the result is 4 and its root is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{48}{3\sdot4}}=\sqrt{\frac{48}{12}}=\sqrt{4}=2}}

חלק עליהם מ"ח ויצא ד' ושרשם ב‫'

Multiply 2 by 3 and by 4; one is 6 and the other is 8. So, the long side is 8 and the short side is [6].

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8\quad2\sdot3=6}}

וכפול ב' על ג' ועל ד' והנה החלק האחד ו' והאחר ח' א"כ הצלע הארוך ח' והקצור

Or, do as follows: multiply 3 by 48, then divide the result by 4; it is 36; its root is 6 and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3\sdot48}{4}}=\sqrt{36}=6}}

או עשה כך כפול ג' על מ"ח והעולה חלק על ד' והוא ל"ו ושרשם ו' והוא הצלע הקצור

To know the long side: multiply 48 by 4, then divide the result by 3; it is 64; its root is 8 and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4\sdot48}{3}}=\sqrt{64}=8}}

ולדעת הצלע הארוך כפול מ"ח על ד' והעולה חלק על ג' והוא ס"ד ושרשם ח' והוא הצלע הארוך

327) Question: a rectangle. The sum of its short side with the diagonal is 16. The long side exceeds the short side by 2.

I ask: how much is [the length of] the short side and the diagonal?

‫327) שאלה ממרובע ארוך מחובר הצלע הקצור עם האלכסו' עולה י"ו והצלע הארוך מוסיף על הצלע הקצור ב‫'

אשאל כמה הצלע הקצור והאלכסון

Do as follows: say: if you add up the long side with the diagonal, it is 18, as it is said that the long side exceeds the short side by 2 and the short side with the diagonal are 16.

כך תעשה תאמר אם תחבר הצלע הארוך עם האלכסון יהיה י"ח כפי מה שאמר כי הארוך מוסיף ב' על הקצור והקצור עם האלכסון הם י"ו

So, multiply 16 by itself and 18 by itself; the result is 256 and 324.

על כן כפול י"ו על עצמם וי"ח על עצמם והעולה רנ"ו ושכ"ד

Add them up; the result is 580.

וחברם יחד והעולה תק"פ

Subtract from it double 2, which is 4; 576 remains and its root is 24.

והוצא מהם כפל ב' שהם ד' וישארו תקע"ו ושרשם כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16^2+18^2-\left(2\sdot2\right)}=\sqrt{256+324-4}=\sqrt{580-4}=\sqrt{576}=24}}

Subtract 16 from it; 8 remains and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{24-16=8}}

הוצא מהם י"ו ונשאר ח' והוא הצלע הארוך

Subtract 18 from it also; 6 remains and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{24-18=6}}

גם הוצא מהם י"ח ונשאר ו' והוא הצלע הקצור

To know the diagonal: subtract 6 from 16; the remainder is 10 and this is the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{16-6=10}}

ולדעת האלכסון הוצא מי"ו ו' הנשאר י' והוא האלכסון

Or, subtract 8 from 18; 10 remains also and this is the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{18-8=10}}

או הוצא מי"ח ח' ונשאר ג"כ י' או מי"ו ו' ונשאר י' והוא האלכסון

328) Question: a rectangle. The sum of its area with the length of its two sides is 62.

I ask: how much is the length of each side of the rectangle?

‫328) שאלה מרובע ארוך אשר תשברתו הנקרא רֵיאַה מחובר עם אורך ב' צלעותיו עולה ס"ב

אשאל כמה ארך כל צלע מהמרובע

Do as follows: subtract 2 from 62; 60 remains.

עשה כך הוצא ב' מס"ב ונשאר ס‫'

Then, double 2; it is 4.

אח"כ כפול ב' ויהיו ד‫'

Add it to 60; it is 64; its root is 8 and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{62-2+\left(2\sdot2\right)}=\sqrt{60+4}=\sqrt{64}=8}}

והוסיפם על ס' ויהיו ס"ד ושרשם ח' והוא הצלע הארוך

If you want to know the short side: subtract 2 from 8; 6 remains and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{8-2=6}}

ואם תרצה לדעת הצלע הקצור הוצא ב' מח' ונשאר ו' והוא הצלע הקצור

329) Question: a rectangle. I multiply the length of the long side by the diagonal; the result is 8[0]. The short side is 6.

I ask: how much is [the length of] the long side and the diagonal?

‫329) שאלה מרובע ארוך כפלתי ארך הצלע הארוך כנגד האלכסון ועלה פ"א והצלע הקצור הוא ו‫'

אשאל כמה הוא הצלע הארוך גם האלכסון

Do as follows: multiply 80 by itself; the result is 6 thousand and 4 hundred.

כך תעשה כפול פ' על עצמם ויעלו ו' אלפים וד' מאות

Multiply also 6 [by itself]; the result is 36.

גם כפול ו' ויעלו ל"ו

Take a half of 36; it is 18 and its square is 324.

וקח חצי ל"ו והם י"ח ומרובעו הוא שכ"ד

Add it to 6 thousand and 4 hundred; it is 6 thousand and 724 and its root is 82.

ותחברם עם ו' אלפים וד' מאות ויהיו ו' אלפים ותשכ"ד ושרשם פ"ב

[Add it to] a half of 36, which is 18; it is 100; its root is 10 and this is the diagonal.

כי עם חצי ל"ו שהם י"ח הם ק' ושרשם י' והוא אלכסון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\sqrt{80^2+\left(\frac{1}{2}\sdot6^2\right)^2}+\left(\frac{1}{2}\sdot6^2\right)}&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{6400+\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)^2}+\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{6400+18^2}+18}=\sqrt{\sqrt{6400+324}+18}\\&\scriptstyle=\sqrt{\sqrt{6724}+18}=\sqrt{82+18}=\sqrt{100}=10\\\end{align}}}

Then, divide 80 by 10; the result is 8 and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80}{10}=8}}

אח"כ חלק פ' על י' ויצא ח' והוא הצלע הארוך

Or, if you want, subtract 18 from 82; the remainder is 64; its root is 8 and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{81-18}=\sqrt{64}=8}}

או אם תרצה מפ"ב הוצא י"ח הנשאר ס"ד ושרשם ח' והוא הצלע הארוך

330) Question: here is a rectangle. I subtract the long side from its area; 40 remains. The long side exceeds the short side by two.

I ask: how much is the length of each side?

‫330) שאלה בכאן מרובע ארוך אשר הוצאתי מתשברתו הצלע הארוך ונשאר מ' והצלע הארוך עודף על הקצור שנים

אשאל כמה ארך כל צלע וצלע

Say: since when I subtract the long side from its area, 40 remains, if I subtract the short side from its area; 42 remains.

תאמר אחר שהוצאתי הצלע הארוך מתשברתו נשאר מ' אם הוצאתי הצלע הקצור מתשברתו הנשאר מ"ב

So, do as mentioned above in the previous questions; you will find that the long side is 8 and the short side is 6.

ועל כן עשה כנזכר לעיל בשאלות הקודמות ותמצא כי הצלע הארוך ח' והקצור ו‫'

331) Question: here is a rectangle. When you sum the two sides, the long and the short, with the diagonal, the result is 24. The long side exceeds the short side by 2.

I ask: how much is the length of each side and the diagonal?

‫331) שאלה בכאן מרובע ארוך כי כשתחבר הב' קוים הארוך והקצור עם האלכסון עולה כ"ד והצלע הארוך עודף על הקצור ב‫'

אשאל כמה ארך כל צלע והאלכסון

Do as follows: multiply 24 [by itself]; it is 576.

כך תעשה כפול כ"ד והם תקע"ו

Double it; the result is one thousand and 152.

וכפלם עלה אלף וקנ"ב

Add to it double the excess of the long side over the short side; it is one thousand and 156; it root is 34.

תוסיף בם כפל היתרון שיש מהצלע הארוך על הקצור והם אלף וקנ"ו ושרשם ל"ד

Subtract 24 from it; the remainder is 10 and this is the diagonal.

הוצא מהם כ"ד הנשאר י' והוא האלכסון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2\sdot24^2+\left(2\sdot2\right)}-24&\scriptstyle=\sqrt{\left(2\sdot576\right)+4}-24\\&\scriptstyle=\sqrt{1152+4}-24=\sqrt{1156}-24=34-24=10\\\end{align}}}

From 24 to ten the remainder is 14 and this is the length of the two sides.

ומכ"ד עד עשרה הנשאר י"ד והוא ארך שתי הצלעות

Subtract 2 from it; the remainder is 12; its half is 6 and this is the short side.

הוצא מהם ב' הנשאר י"ב וחצים ו' והוא הצלע הקצור

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(24-10\right)-2\right]\sdot\frac{1}{2}=\left(14-2\right)\sdot\frac{1}{2}=12\sdot\frac{1}{2}=6}}

8 is the long side.

וח' הוא הצלע הארוך

332) Question: here is a rectangle. The length of its diagonal exceeds [the long side by 2 and the long side exceeds] the short side by 2.

I ask: how much is the length of each side?

‫332) שאלה בכאן מרובע ארוך אשר ארך אלכסונו הוא עודף ב' על הצלע הקצור

אשאל כמה ארך כל צלע

Whenever the excesses are the same, i.e. the diagonal exceeds the long side by 2 and the long side exceeds the short side by 2, multiply the excess, i.e. 2, by 5; it is 10 and this is the diagonal.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5=10}}

לעולם כשהעודף שוה ר"ל כי האלכסון עודף ב' על הצלע הארוך והקו ארוך עודף ב' על הקצור כי הוא שוה כפול היתרון היינו ב' על ה' ויהיו י' וזה יהיה האלכסון

Multiply 2 by 4; it is 8 and this is the long side.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}

עוד כפול ב' עד ד' ויהיו ח' והוא הקו הארוך

Multiply 2 by 3 and this is the short side.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3}}

עוד כפול ב' על ג' והוא הקו הקצור

Rhombus

333) Question: here is a rhombus; if you add up its two diagonals the result is 34.

The larger exceeds the smaller by 14.

How long is each diagonal and how much is its area?

‫333 שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אם תחבר ב' אלכסוניו עולה ל"ד

כמה ארך כל אלכסון
והגדול מוסיף על הקטן י"ד
כמה ארך כל אלכסון וכמה תשברתו

Subtract 14 from 34; the remainder is 20.

הוצא י"ד מל"ד הנשאר כ‫'

Its half is ten and this is the shorter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(34-14\right)\sdot\frac{1}{2}=20\sdot\frac{1}{2}=10}}

וחצים עשרה והוא הקצור

The longer is 24.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{34-10=24}}

והארוך כ"ד

Now, multiply one of its diagonals by [half] the other; the result is 120 and this is its area.

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot24\sdot\frac{1}{2}=120}}

עתה כפול א' מן אלכסוניו על כל האחר ויעלה ק"כ והוא התשבורת

334) Question: here is a rhombus; the sum of the length of one of its diagonals with its area is 154.

How long is each diagonal and how much is its area?

‫334 שאלה בכאן מרובע מעויין אשר ארך אחד מאלכסוניו עם תשברתו עולה קנ"ד

כמה ארך כל אלכסון ותשברתו

The larger exceeds the smaller by 14, since the [sum of the] two diagonals is equal to [the sum of] the four sides [?], as mentioned above.

והגדול מוסיף י"ד על הקטן בהיות כי הב' אלכסונים שוים אל הד' צלעות כנז' לעיל

335) Question: here is a rhombus; if you add up the squares of its two diagonals, the result is 676 and its square is 25 [?].

How long is each of its diagonals?

‫335 שאלה בכאן מרובע מעויין אם תחבר מרובע ב' אלכסוניו עולה תרע"ו ומרובעו כ"ה

אשאל כמה כל א' מאלכסוניו

Do as follows: take a quarter of 676; it is 169.

כך תעשה קח רביע תרע"ו והוא קס"ט

Take its root; it is 13 and this is one of its diagonals.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{676\sdot\frac{1}{4}}=\sqrt{169}=13}}

וקח שרשם והם י"ג והוא אחד מאלכסוניו

If you understand all of the methods mentioned above, you will be able to assume that the long diagonal exceeds the short one by 14; so it is 24 and the other is 10 [?].

ואם תבין כל הדרכי' האמורים לעיל תוכל לשער א"כ האלכסון הארוך עודף על הקטן י"ד והוא כ"ד והאחר י‫'

Circle

336) Question: if you wish to know from the diameter of the circle, how much is its perimeter.

‫336 שאלה אם תרצה לדעת מתוך אלכסון העגלה כמה הקפה

Multiply the diameter by 3 and a seventh and so is its perimeter.

כפול האלכסון על ג' ושביעית וכך יהיה הקפו

If the diameter of the circle is 14.

כאלו אלכסון העגול י"ד

Multiply [14] by 3 and a seventh; the result is 44 and this is the perimeter.

\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=44}}

כפול ג' פעמים י"ד ושביעית ויעלה מ"ד וכך ההקף

Or, multiply the diameter by 22 and divide it by 7.

או כפול האלכסון על כ"ב וחלקהו על ז‫'

If it is said: the perimeter of the circle is 44. How much is the diameter?

ואם אמר הקף העגולה מ"ד כמה האלכסון

Divide 44 by 3 and a seventh; the result is 14 and this is the diameter.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44}{3+\frac{1}{7}}=14}}

חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד והוא האלכסון

Or, multiply 44 by 7 and divide by 22.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44\sdot7}{22}}}

או כפול מ"ד על ז' וחלק על כ"ב

If you wish to know the circle whose diameter is 14 and whose perimeter is 44, how much is its area?

ואם תרצה לדעת העגול אשר אלכסונו הוא י"ד והקפו מ"ד כמה תשברתו

Take half the diameter, which is [7]. Multiply it by half its perimeter, which is 22; the result is 154 and this is its area.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(14\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot22=154}}

קח חצי האלכסון שהוא ג' וחצי וכפול אותו על חצי הקפו שהוא כ"ב ויעלה קנ"ד וכך הוא תשברתו

Or, if you multiply the whole diameter, which is 14, by half its perimeter, which is 22, the result is 308. Divide the product by 2; the result is 154.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14\sdot\left(44\sdot\frac{1}{2}\right)}{2}=\frac{14\sdot22}{2}=\frac{308}{2}=154}}

או אם תכפול כל האלכסון שהוא י"ד על חצי הקפו שהוא כ"ב ויעלה ש"ח והעולה חלק על ב' ויצא קנ"ד

Or, [multiply] half the diameter, which is [7], by the whole perimeter, which is 44; it is 308. Divide it by 2; it is 154.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(14\sdot\frac{1}{2}\right)\sdot44}{2}=\frac{7\sdot44}{2}=\frac{308}{2}=154}}

או תחלק חצי האלכסון שהוא ג' וחצי על כל ההקף שהוא מ"ד ויהיו ש"ח וחלקם על ב' והוא קנ"ד

Or, multiply the whole diameter by the whole perimeter, then divide the product by [4]; the result is 154.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14\sdot44}{4}=154}}

או כפול כל האלכסון על כל ההקף והעולה חלק על י"ד ויצא קנ"ד

Or, multiply the whole diameter by itself, then take 11 parts of 14 from the product; the result is 154.

\scriptstyle{\color{blue}{14^2\sdot\frac{11}{14}=154}}

או כפול כל האלכסון על עצמו ומהעולה קח י"א חלקים מי"ד ויעלה קנ"ד

Or, take a quarter of the perimeter, which is 11. Multiply it by itself; it is 121. Multiply it by the diameter, which is 14; it is one thousand and 6[9]4. Divide it by 11; it is 154.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(44\sdot\frac{1}{4}\right)^2\sdot14}{11}=\frac{11^2\sdot14}{11}=\frac{121\sdot14}{11}=\frac{1694}{11}=154}}

או קח רביעית ההקף שהוא י"א וכפלם על עצמם ויהיו קכ"א וזה כפול על האלכסון שהוא י"ד ויהיו אלף תרס"ד וחלקם על י"א ויהיו קנ"ד

Or, multiply its perimeter by itself and divide by 12 and 4-sevenths.

או כפול הקפו על עצמו וחלק על י"ב וד' שביעיות

As saying: multiply 44 by itself; it is one thousand and 9[3]6. Multiply it by 7 and divide by 88, i.e. by [8] and by 11; you receive 154.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{44^2\sdot7}{88}=\frac{1936\sdot7}{88}=154}}

כאלו תאמר כפול מ"ד על עצמם ויהיו אלף תתקצ"ו עוד כפול זה על ז' וחלקם על פ"ח היינו על ז' גם על י"א ויצא לך קנ"ד

337) Question: if you want to measure a semicircle, whose diameter is 24, if you want to know the arc.

‫337) שאלה אם תרצה למדוד חצי עגול אשר האלכסון הוא כ"ד אם תרצה לדעת קשת

קח חצי ג' ושביעית שהוא א' וד' קעג שביעיות כפול א' וד' שביעיות על כ"ד ויהיו ל"ז ושביעית וקח חציו שהם י"ח וד' שביעיות וכפלם על י"ב שהוא חצי כ"ד ויצא לך רכ"ו וד' שביעיות וככה תשבורת חצי זה העגול

‫338) שאלה דע כי העגול מוסיף על המרובע שהוא בתוכו ג' חלקים מי"ד

כגון עגול אלכסונו ז' הנה תשברתו הוא ל"ח וחצי

והמרובע שהוא בתוך העגול תשברתו הוא כ"ד וחצי הנה ל"ח וחצי מוסיף על כ"ד וחצי ג' חלקים מי"ד

‫339) שאלה עשה עגול תוך מרובע המרובע מוסיף על העגול ד' חלקים מי"א

כגון מרובע אשר כל צלעיו ה' הנה תשברתו כ"ה ואם תעשה עגול בתוכו לא יהיה כי אם י"ט ורביע ד' חלקים מי"א

‫340) שאלה בכאן תיבה ארכה ג' אמות וגבהה א' וחצי ורחבו ג' רביעיות אשאל כמה תכיל מחטה באופן כי תכיל כל אמה מרובעת ט' סטארי בתחלה

כפול ג' על א' וחצי והעולה כפול על ג' רביעיות ויצא לך ג' וג' שמיניות ותאמר אם א' שוה ט' ג' וג' רביעיות כמה ישוה ויצא לך המבוקש

‫341) שאלה בכאן כרי של חטה עגול אשר סביבו הוא כ"ב וגבהו ג' אשאל כמה חטה תכיל הכרי באופן תכיל כל אמה מרובעת ט' סיטארי

כפול כ"ב על עצמם וחלק העולה על י"ב ויצא ל"ח וחצי וכך אמות מרובעות יש בכרי כפול זה על ט' ויעלו שמ"ו אשטארי וחצי

‫342) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו הוא ז' נרצה לעשות בתוכו מרובע ימשש בכל ד' זויותיו העגול כמו זה כמה כל צלע מהמרובע

אתה רואה כי אלכסון המרובע הוא כמו אלכסון העגול כי הוא ז' כפול ז' על עצמם ויהיו מ"ט חלקם על ב' ויצא כ"ד וחצי ושרשם שהוא קרוב לה' הוא צלע המרובע

‫343) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע ז' ונרצה לעשות עגול ימשש המרובע כמה הוא אלכסונו

אתה רואה כי ארך אלכסון העגול כמו צלע המרובע ממש היינו ז‫'

‫344) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות ארך כל צלע י' ונרצה לעשות בתוכו עגול היותר גדול שאפשר שימשש המשולש כמה ארך אלכסון העגול כזה

אתה רואה כי אלכסון העגול הוא ב' שלישיות מעמוד המשולש והנה עמוד המשולש הוא שרש מע"ה שהוא ח' וי"א חלקים מי"ו קח שתי שלישיות מח' וי"א חלקי' מי"ו והוא ארך אלכסון העגול כזה שהוא ה' וז' תשיעיות

‫345) שאלה אם תרצה לדעת מתוך אלכסון העגול שהוא תוך המשולש כמה עמוד המשולש

קח שליש ז' וז' תשיעיות ותוסיף אותו על ה' וז' תשיעיות ויעלה ח' ושליש וכך הוא עמוד המשולש שהוא חוץ לעמוד

ולדעת ארך צלע המשולש כפול ח' ושליש על עצמם ויהיו ע"ה תמצא מספר ע"ה יהיו ג' רביעיות ותמצא ק' וקח שרשם והוא י' והוא ארך כל צלע מהמרובע

‫346) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו הוא ח' נרצה לעשו' מרובע על רביעית העגול כמה צלעי המרובע כמו זה

אתה רואה כי אלכסון המרובע כמו חצי אלכסון העגול ואם אלכסון העגול ח' אלכסון המרובע ד' ולדעת הצלע כפול ד' על ד' והם י"ו חלקם על ב' והם ח' וקח שרשם והוא ארך כל צלע המרובע

347) Question: a vivarium, its length is 8, its width is 6 and its height is 6, is filled with water.

A stone is thrown into it, its length is 3, its width is 3, and its height is 3.

Every square cubit thrown into the vivarium is 5 barile.

I ask: if you throw this stone, how much [water] will spill out?

‫347) שאלה בכאן ביבר ארוך ח' רוחבו ו' גבהו ד' והוא מלא מים

הושלך תוכו אבן ארכה ג' ורחבה ג' וגבהה ג‫'
על כל אמה מרובעת שתשליך תוך הביבר ה' בארילי
אשאל אם תשליך זאת האבן כמה יצא

כפול ג' על ג' והם ט' וזה על ג' והם כ"ז א"כ תשבורת האבן כ"ז כפול כ"ז על ה' ויצא קל"ה וכך ברילי ממים יצאו חוץ אם תשליך שם האבן

348) Question: a vivarium, its length is 8, its width is 6 and its height is 6 and the water is 4 cubits high.

If we throw a stone, its length is 3, its height is 3 and its width is 3, how much will the water rise in the vivarium.

‫348) שאלה בכאן ביבר ארכו ח' ורחבו ו' וגבהו ו' והמים גבוהים ד' אמות

אם נשליך אבן ארכה ג' וגבהה ג' ורחבה ג' כמה יעלו המים תוך הויוארו

קח תשבורת האבן שהוא כ"ז וקח תשבורת הויוארו ארכו עם רחבו שהם מ"ח חלק כ"ז על מ"ח ויצא לך ט' חלקים מי"ו וכך יגברו המים

‫349) שאלה בכאן אבן עגולה אשר אלכסונה הוא ב‫'

אשאל כמה משקלה באופן תשקול כל אמה מרובעת אלף וו' מאות ליט‫'

כך תעשה כפול ב' על ב' והם ד' גם זה על ב' והם ח' ומזה תסיר י"א חלקים מכ"א ויצא לך ד' וד' חלקים מכ"א כפלם על אלף וו' מאות ליט' וכך תשקול האבן

‫350) שאלה אם יש לך עגול ותרצה לעשות עגול אחר יהיה ב' פעמים כראשון

כך תעשה עשה עגול וחוץ לעגול עשה מרובע ימשש לעגול וחוץ לאותו מרובע עשה עגול אחר ותמצא כי העגול החצון הוא ב' פעמים מהפנימי

‫351) שאלה אם תרצה לעשות מרובע יהיה ב' פעמים כמו המרובע האחר

עשה מרובע וחוץ למרובע עשה עגול ימשש וחוץ לעגול עגול ותמצא ותמצא כי המרובע החצון יהיה ב' פעמים מהפנימי

‫352) שאלה בכאן מגן אחד עשוי ככה ארך העמוד י"ב והתושבת (ח') ונרצה לדעת כמה תשברתו

תחבר התושבת עם העמוד ויעלה כ' וקח שלישיתם ר"ל ב' שלישיות שהם י"ג ושליש ומהעולה קח י"א חלקים מי"ד ויצא ס"ט וחלקים וככה התשבורת

‫353) שאלה אם תרצה למדוד צורה כזאת אשר ארך האלכסון ו' והתושבת ד'

תחבר התושבת עם האלכסון והם י' וקח מחציתם והם ה' ותרבעם והם כ"ה וקח מהם י"א חלקים מי"ד ונשאר י"ט וט' חלקים מי"ד וכך הוא תשברתה

354) Question: A man wants to make an overall that will be 2 cubits long and he wants to make it out of a cloth that is a cubit and a half wide. I would like to know of how many cubits he will make the overall?

‫354) שאלה איש אחד רוצה לעשות סרבל שיהיה ארוך ב' אמות ורוצה לעשות אותו מבגד רחבו אמה וחצי ארצה לדעת כמה אמות יצטרך לעשות אותו הסרבל

כך תעשה ידוע הוא כי הסרבל הדיאמטרו הוא ב' פעמים כמו האורך ואם האורך הוא ב' אמות הרוחב הוא ד' על כן תאמר בכאן עגול אשר אלכסונו הוא ד' כמה תשברתו כפול ד' על עצמם ויהיו י"ד וקח מהם י"א חלקים מי"ד הנשאר י"ב וד' חמישיות וכך הוא תשברתו מאמות מרובעות ואנו אמרנו כי הבגד רחב אמה וחצי על כן חלק י"ב וד' שביעיות על א' וחצי ויצא לך ח' וח' חלקים מכ"א וכך בגד יצטרך לעשות הסרבל

355) Question: A man wants to make a garment from a cloth that is a cubit and 2-thirds wide, and he needs 9 cubits of this cloth; then he changes his mind and wants to make it out of cloth that is a cubit and a half wide, how much cloth will he need?

‫355) שאלה אדם רוצה לעשות מלבוש מבגד רחב אמה וב' שלישיות ויצטרך מאותו בגד ט' אמות ואח"כ נמלך ורוצה לעשותו מבגד רחב אמה וחצי כמה בגד יצטרך

כפול ט' על א' וב' שלישיות חלקם על א' וחצי ויצא י' וכך אמות יצטרך מאותו בגד השני

שאלה בכאן מרובע בלתי מתיחס כזה

חלק ב' קוים נכוחיים היינו ד' וי' וחצי י' הם ה' וחצי ד' הם ב' הסר ב' מה' הנשאר ג' וכפלם והם ט' אח"כ חבר י"ב וי"ו ויהיו כ"ח וחלקם על ב' ויהיו י"ד ומרובעם קצ"ו הסר מהם הט' וישארו קפ"ז הסר מהם שרשם והם י"ג וט' חלקים מי"ג אח"כ חבר ד' עם י' והם י"ד וחלקם על ב' קעה והם ז' כפול ז' על י"ג וט' חלקים מי"ג ויצא לך צ"א וב' שלישיו'

וכן תעשה מכל תמונה מתחלפת הצלעות

‫356) שאלה אם תרצה למדוד מרובע שהוא מתחלף הצלעות כזה

כך תעשה כפול ג' על ה' והם ט"ו וכפול ז' על ג' והם כ"א וכפול כ"א על ט"ו והם שט"ו וקח שרשם והם י"ז וכ"ו חלקים מל"ד וכך הוא התשבורת

וכן תוכל לעשות מכל מרובע בין שיהיה ארוך או רבוע או נפתל או מתחלף הצלעות כי כל ד' קוים מתחלפים כשתכפול זה על זה ר"ל ב' מהם איך שיזדמן וכן הב' האחרים זה על זה והסך העולה תכפול זה על זה תמצא תשברתו ולעולם יצא שוה

‫357) שאלה אם ד' בראצי מקורדי מספיקות לקשור י' זמורות ק' בראצי כמה זמורות יקשרו

כפול ד' על ד' והם י"ו גם כפול י' על י' ויהיו ק' ותאמר אם י"ו יקשרו ק' כמה יקשרו ק' ויצא לך תרכ"ה א"כ ק' בראצי יקשרו תרכ"ה זמורות

ואם אמר ד' בראצי קושרים ק' זמורות עשרה בראצי כמה קורדי יצטרך לקשור תרכ"ה

כפול תרכ"ה על י"ו והעולה תחלק על ק' ויצא לך שרש ק' שהוא י' והוא הדרוש

358) Question: If the circumference of Florence is 5 miles, the wall is 3 and a half cubits thick and the foot of the wall is 14 [cubits] thick, I ask: how much is the circumference of Florence outside the wall?

‫358) שאלה אם פיורינצא מקפת ה' מילין והנה החומה עביה ג' אמות וחצי והפושי אשר היא ברגל החומה עביה י"ד אשאל כמה תקיף פיורינצא חוץ לחומה

ידוע כי החומה עביה ג' אמות וחצי מכל צד וחברם עם י' והם י"ד והם י"ז וחצי וכפלם ויהיו ל"ה כפלם על ג' ושביעית ויצא ק"י א"כ פיורינצא מקפת ה' מילין וק' אמות

359) Question: Florence is round and its circumference is 7 miles; Padua is round and its circumference is 2 miles; I ask: How many times larger is Florence than Padua?

‫359) שאלה פיורינצא היא עגולה ומקפת ז' מילין ופאדואה היא עגולה ומקפת ב' מילין אשאל כמה פעמי' יותר גדולה פיורינצא מפאדואה

כפול ב' על ב' והם ד' גם כפול ז' על ז' והם מ"ט חלק מ"ט על ד' ויצא י"ב ורביע וכך פעמים יותר גדולה פיורינצא מפאדואה

360) Question: Rome is round and has a circumference of 33 miles. Constantinople is triangular in shape and has a circumference of 42 miles, one side is 15, the another is 13 and the another is 14. Which one is bigger than the other?

‫360) שאלה רומא היא עגולה ומקפת ל"ג מילין וקושטאנטינופלי היא בדמות משולש ומקפת מ"ב מילין צלע אחד ט"ו ואחר י"ג ואחר י"ד איזו גדולה מחברתה

קח תשבורת רומא היינו חצי ההקף שהוא י"ו וחצי וכפלהו על חצי האלכסון ויצא פ"ו וה' שמיניות וזה הקף רומא קח תשבורת המשולש מקושטאנטינופולי ויצא פ"ד א"כ רומא יותר גדולה

361) Question: A man wants to dig a hole and get [10] ducati, but he dug in such a way that he got 4 ducati. I ask: how much he dug?

‫361) שאלה איש רוצה לחפור בור ולקבל ד' דוקטי וחפרו באופן כי קבל ד' דוקטי אשאל כמה חפר

תאמר כי בעד י' ראוי לעשות נ"ה יגיעות כמו שהוא מחובר מא' עד י' בעד ד' כמה יגיעות ראוי שיעשה ויצא לך כ"ב יגיעות וכבר ידעת כי מא' עד ו' הם כ"א ואחר ו' הוא ז' ושים אותו העודף מכ"א עד כ"ב ושימהו על ז' ויהיה שביעית אחד א"כ בו' אמות ושביעית אמה ראוי שיקבל ד' דוקטי

‫362) שאלה לאיש אחד יש לו ב' שקים אחד מכיל ו' אשטרי ואחד מכיל כ"ד ורוצה לעשות משניהם שק אחד ולחברם אשאל כמה יכיל השק

כך תעשה חבר ו' עם כ"ד ויהיו ל' אח"כ כפול ו' על כ"ד ויהיו קמ"ד וקח שרשם ויהיו י"ב וכפלם ויהיו כ"ד וחברם ויהיו נ"ד וכך אשטארי יכיל השק

‫363) שאלה בכאן צורה עשויה כדמות כסוי מאלביקו הנקרא פיראמידא גבהה ו' אמות ונרצה לחלקה לשני חלקים שוים במשקל לא במדה באיזה מקום ראוי לחתוך אותה

כך תעשה כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו גם כפול ל"ו על ו' ויהיו רי"ו וחלקם על ב' ויהיו ק"ח וקח ו' שרשו המעוקב וזה יהיה גובה החלק האחד והנשאר עד ו' קעו הוא החלק האחר

364) Question: If you have such a shape that is a trapezoid whose two sides are 13, the upper base is 8 and the lower base is 18.

‫364) שאלה אם יש לפניך צורה כזאת שהיא קטומת הראש אשר שני צלעיו י"ג והראש ח' והתושבת י"ח

לדעת מרובעה תחבר הראש עם התושבת ויהיו כ"ו וקח מחציתם והם י"ג וכפול אותם כנגד העמוד שהוא י"ב ויהיו קנ"ו וכך הוא תשברתה

ואם תרצה להשלים הצורה כדמות משולש ותרצה לדעת כמה יצטרך להשלימה עד שיהיה כדמות משולש

כפול ח' שהוא הראש על י"ג ויעלה ק"ח וחלק ק"ח על היתרון שיש לתושבת אל הראש שהוא י' ויצא י' וב' חמישיות

גם תוכל לדעתו באופן אחר והוא תדע ערך הראש אצל מה שעודף התושבת והנה העודף הוא י' חלק ח' על י' והם ד' חומשים קח ד' חומשים מי"ג והם י' וד' חומשים

והמופת תאמר אם י"ג שהם הקוים הרחיבו י' שהוא יתרון התושבת אל הראש כמה יתנו י' וד' חומשים ויצא לך ח' א"כ יצטרך שהראש העומד על נקדה עד שירחיב ח' יצטרך י' וד' חומשים

365) Question: If you want to divide an equilateral triangle into two equal parts.

‫365) שאלה אם תרצה לחלק משלש שוה הצלעות לב' חלקים שוים

חלק התושבת על חציו ותוציא עמוד מראש המשלש עד חצי התושבת והוא נחלק לב' חלקים שוים כזה

366) Question: If you want to measure something that is cubic, i.e. that it has 3 dimensions, such as if you want to measure a tower that is 10 long, 10 wide and 10 high.

‫366) שאלה אם תרצה למדוד איזה דבר מעוקב ר"ל שיש לו ג' רחקים כגון אם תרצה לדעת מגדל ארוך י' ורחבו י' וגבהו י‫'

כפול י' על י' והם ק' וכפול זה על י' והם אלף וכך הוא התשבורת כל חלק אמה על אמה ברום אמה

ואם הארך והרוחב אינו שוה כגון שיהיה ארכו ו' ורחבו ו' וגבהו עשרה

כפול ו' על ו' והם ל"ו וכפלם על י' והם ש"ס וכך הוא תשברתו

ואם הם מתחלפים הארך והרחב והגבה כגון אם הארך ו' והרחב ה' והגובה עשרה

כפול ו' על ה' ויהיו ל' וכפלם על י' והם ש‫'

‫367) שאלה יש לנו משלש ארך הקו האחד ט"ו והשנית י"ד והאחרת לא ידענו אמנם תשבורת המשלש פ"ד אשאל כמה הצלע

כבר ידעת כי כשתכפול חצי העמוד על חצי התושבת הוא תשבורת המשלש ונניח כי הוא י"ד א"כ כשנחלק פ"ד על י"ד יצא חצי העמוד יצא ו' ואם חציו ו' כלו י"ב

ועכשו שמצאת העמוד תמצא באיזה מקום רחוק מקו ט"ו נופל העמוד

והנה תעשה כך כפול י"ב על עצמם וט"ו על עצמם ויצא קמ"ד ורכ"ה הוצא מרכ"ה קמ"ד וישאר פ"א וקח שרשם והם ט' א"כ העמוד נופל ט' רחוק מצלע ט"ו א"כ החלק האחר הוא ה' בהכרח כי ט' וה' הם י"ד

ולדעת כמה ארך הצלע

כפול ה' על עצמם וי"ב על עצמם וחברם ויהיו קס"ט ושרשם י"ג והוא הצלע הנעלם

‫368) שאלה בכאן ג' עגולים משעוה הקף הא' ב' והא' ג' והאחר ו' ונרצה להתיכם ולעשות מהם א' עגול כמה יהיה הקפו

כפול ב' על ב' והם ד' וג' על ג' והם ט' וו' על ו' והם ל"ו וחברם והם מ"ט וקח שרשם והם ז' וכך יהיה הקפו

‫369) שאלה כל ח' מספרים או ו' או ד' והוא שיהיו זוגות ומוכפלים ב' מהם איך שיזדמן זה על זה והב' הנשארים ג"כ כפולים זה על זה והעולה מהב' הכפלו' כפול זה על זה וכן מהאחרים הנה באיזה דרך שתכפלם לעולם המספר יצא שוה

המשל מו' מספרים א'ב'ג'ד'ה'ו‫'

כפול א' על ב' והם ב' וכפול ג' על ד' והם י"ב כפול י"ב על ב' השמורים והם כ"ד עו' כפול ה' על ו' ויעלה ל' כפלם על כ"ד והם ש"כ ושמרם

עוד תעשה ההפוך ב' באופן אחר והנה נכפול א' על ג' ד' והם ד' וב' על ג' והם ו' קעז כפלם על ד' והם כ"ד והם ג"כ ש"כ

עוד תהפכם באופן אחר כפול א' על ד' והם ד' וב' על ג' והם ו' כפלם על ד' והם כ"ד וכפול ה' על ו' והם ל' וכפלם על כ"ד והם ש"כ

וכן תעשה מכל ההפוכים איך שתרצה לעולם יצא שוה וכן תוכל לעשות מכל המספרים כשהם זוג

‫370) שאלה כל דבר מרובע וכל להיות בשני מינים או שלם או חצי כדור או פחות מחצי כדור או יותר מחצי כדור

ולדעת כשהוא חצי כשהחץ הוא חצי המתר הוא חצי עגול וכשהחץ יותר מחצי המתר הוא יותר מחצי עגול וכשהחץ פחות מחצי המתר הוא פחות מחצי עגול

ולמדוד כשהוא חצי עגול כאלו תאמר קשת שמתרו ח' וחצו ד' הוא חצי עגול כפול חצי המתר שהוא ד' על ג' ושביעית והנה יצא י"ב וד' שביעיות והוא ארך הקשת קח חצי י"ב וד' שביעיות וכפול אותם בד' שהוא חצי המתר ויצא לך כ"ה וזהו תשבורת חצי עגול

ותוכל לדעת תשברתו בדרך אחר והוא שתרבע המתר שהוא ח' והם ס"ד ותקח מזה השביעית ומחצית השביעית שהם י"ג וה' שביעיות הנשאר נ' וב' שביעיות חלקם על ב' והם כ"ה ושביעית והוא התשבורת כמו שאמרנו

משל לאותו שהוא פחות מחצי עגול כגון קשת אשר מתרו ח' וחצי ב' הוא פחות מחצי עגול

אם תרצה לדעת קוטר העגולה תרבע חצי המתר והוא שהוא ד' ויהיו י"ו חלק י"ו על החץ שהוא ב' ויצא ח' תוסיף על זה ארך החץ שהוא ב' ויהיו י' והוא קוטר העגולה

371) Question: if you have a shape that gets shorter and shorter, like a triangular solid, at the bottom of which each side of the triangle is 8 cubits, at the top, each side of the triangle is 4 cubits, and its height is 4.

‫371) שאלה אם יש לך תמונה הולכת ומקצרת כגון גוף משולש אשר למטה כל צלע מהמשלש ח' אמות וראשו כל צלע מן המשולש ד' אמות וגבהו ד' אמות

אתה ידעת כי תשבורת התושבת כ"ח אמות פחות שני שביעיות ותשבורת הראש ז' פחות חלק אחד מי"ד וחברם ויהיו ל"ד וט' חלקים מי"ד ואתה ידעת כי גדר תשבורת התושבת מלמטה שהיה כ"ח וב' שביעיות גדרו ה' וב' שביעיות גם שרש או גדר הראש שהיה תשברתו ז' וגדר וחלק אחד מי"ד גדרו ב' וד' שביעיות וחצי שביעית היינו חלק אחד מי"ד כפול ד' וב' שביעיות וחצי שביעית שהוא גדר הראש עם גדר התושבת מלמטה שהיה ה' ושתי שביעיות ועלה י"ד פחות ב' שביעיות ותוסיפם על ל"ד שהיה לך ותשעה חלקים מי"ד ויעלה הכל מ"ח וחצי כפלם על שליש הגובה שהוא ב' ויעלה הכל צ"ז והוא תשבורת גוף המשלש הזה

372) Question: a square shape whose length is ten, whose width is ten and whose height is ten, how much is its volume?

‫372) שאלה תמונה מרובעת אשר ארכה עשרה וארחבה עשרה וגבהה עשרה כמה תשברתה

כפול י' על י' והם ק' וק' על י' והם אלף וכך תשברתה

If the length is equal to the width, but the height is different, for example if the length is 6, the width is 6, and the height is 10.

ואם הארך שוה לרוחב והגובה מתחלף כגון אם הארך ו' והרחב ו' והגבה י‫'

כפול ו' על ו' והם ל"ו וכפלם על י' והם ש"ס

If all its dimensions are different, for example, the length is 6, the width is 5, and the height is 4.

ואם כל רחקיו מתחלפים כגון הארך ו' והרוחב ה' והגובה ד‫'

כפול ו' על ה' והם ל' וד' על ל' והם ק"כ

If you have a triangular shape, one of its side is 3, another is 4, and another is 6.

ואם יש לך תמונה משולשת אשר א' מצלעיו ג' והאחר ד' והאחר ו‫'

אתה ידעת כי זה המשלש הוא ו' ואם תכפול ו' על הגובה ונניח כי הגובה י' והם ס' וכך הוא תשבורת הצורה הזאת

If one wants to know the height of a round tower, for example its diameter is ten cubits and its height is 14.

והרוצה לדעת גובה ממגדל עגול כגון שיהיה קוטרו י' אמות וגבהו י"ד

כך תעשה כפול הקוטר על עצמם והם ק' וכפלם על הגובה שהוא י"ד והם אלף וד' מאות קח מהם ג' חלקים מי"ד שהם ג' מאות ונשארו אלף ומאה וכך ממש תעשה קעח אם תוציא מק' שהוא מרובע הקוטר ג' חלקים מי"ד והנשאר כפול על הגובה

If the shape rises on a slope, such as a shape whose length is 4, whose width is 4, and whose height is ten and it rises and shortens.

ואם התמונה עולה בשפוע כגון תמונה אשר ארכה ד' ורחבה ד' וגבהה עשרה ועולה ומקצרת

כפול ד' על ד' והם י"ו

וכפלם בשלישית הגובה שהוא ג' ושליש ויעלה נ"ג ושליש והוא תשבורת התמונה הזאת

This is true for all the different shapes - square, triangular, or rounded. When you know the area, multiply it by a third of the height.

וזה יצדק בכל התמונות מתחלפי הצורות מרובעת או משולשת או מעוגלת כשתדע השטח כפול ב' בשלישית הגובה

If the shape is getting shorter, but not pointed and its width at the top is 4, such as it is at the bottom 6 in length and width, the height is 10, and the top is 4 in length and 4 in width.

ואם התמונה הולכת ומקצרת אמנם אינה עומדת על נקדה והיא רחבה למעלה ד' כגון שהיא למטה ו' בארך וברחב והגובה י' והראש ד' בארך וד' ברוחב

כפול הראש שהוא ד' עם התושבת ויהיו כ"ד וכפול ו' על ו' והם ל"ו וכפול ד' על ד' והם ע"ו בין הכל וכפלם על ג' ושליש שהוא שליש הגובה ויעלה רנ"ג

This is its volume in any shape - square, or triangular, or round, as it gets shorter and shorter.

והוא תשבורתה באיזה דמות שתהיה מרובעת או משלשת אמנם היא עגולה והולכת ומקצרת

Such as a round tower, its height is 12, its diameter at the bottom is 4 cubits and its diameter at the top is 2 cubits.

כגון מגדל עגול גבהו י"ב וקוטרה למטה ד' אמות וקוטרה למעלה ב' אמות

קח מרובע ד' והם י"ו ו' ומרובע ב' והם ד' ומרובע ב' בד' הם ח' הוצא ממנו שביעיתו ו' ומחצית שביעיתו הנשאר כ"ב כפלם בד' שהוא שליש הגובה ויעלה פ"ח והוא תשבורת המגדל

373) If you want to measure a round solid, like a sphere, or something else

‫373) אם תרצה למדוד גוף עגול כמו כדור או דבר אחר

Such as a sphere whose diameter is 7.

כגון כדור אשר קוטרו ז‫'

תרבע הקטר שהוא מ"ט ותכפלם על ג' ושביעית ויעלה קנ"ד והם אמות שטח הכדור כפלם בשתות הקוטר כי שתות ז' הוא א' וא' שתות ויעלה הכל ק"פ פחות שליש והוא תשבורת הכדור

וכפי זה הדרך תוכל לדעת תשבורת שברי הכדור

As if it is said: A cup full of water, whose body is rounded on the inside and whose surface is deep and rounded, is 7 cubits wide and 3 and a half cubits deep.

כאלו אמ' ספל מלא מים אשר גופו מבפנים מעוגל ופיה עמוק ומעוגל והוא ברחבו ז' אמות והוא עמוק ג' אמות וחצי

תוכל לשער כי הוא חצי כדור כפול עמקו ברוחב פיו אשר הוא קוטר הכדור וקבץ הכל וכפלהו ג' ושביעית כמו שעשית בכדור ויעלה בידך ע"ז והוא תשבורת שטח הספל כפלהו על שישית קוטרו שהיה ז' והוא א' ושתות ויעלה הכל צ' פחות שתות והוא תשבורת הספל

If the cup is less than half the width of its surface.

ואם הספל פחות ממחצית רוחב פיה

אם תוציא את קוטרה כמו שהראיתיך למעלה בשטחים מעוגלים תמצא כי הוא ז' לכן כפול ז' אשר הוא פיה בב' אשר הוא העומק ויעלה כפול אותם בג' ושביעית והעולה כפול בשתות הקוטר ויעלה נ"א ושליש והוא תשבורת גוף הספל הזה

If the depth of the cup is 5, and the diameter of its surface is 7 minus 2-thirds, i.e. the root of 40, which is 6 and one-third.

ואם עומק הספל הוא ה' וקוטר שפתו הוא ז' פחות ב' שלישיות ר"ל שרש מ' שהוא ו' ושליש

היתה מוצא קוטרה ז' ואם תכפול העומק בקוטר יהיה ל"ה כפלהו על ג' ושביעית ויעלה ק"י והוא תשבורת שטח הספל כפלהו על שישית הקוטר שהוא א' ושישית ויעלה הכל קכ"ח ושליש והוא תשבורת הספל הזה העודף על המחצית

374) Question: If you have a quarter of a sphere like this, the length of the two straight lines is 4 cubits, how much is its volume?

‫374) שאלה אם יש לך רביעית כדור כזה אשר ארך הב' קוים ישרים ד' אמה כמה תשברתה

כפול ד' על ד' והם י"ו וקח מהם ג' חלקים מי"ד שהם ג' וו' חלקים מי"ד נשארו י"ב וח' חלקים מי"ד וככה תשברתה

375) Question: to measure a sphere whose diameter is 7.

‫375) שאלה למודוד ק' כדור אשר קוטרו ז‫'

תרבע ז' על ז' והם מ"ט וכפלם על ג' ושביעית והם קנ"ד כנז' לעיל וכפלם בשתות הקוטר ויעלה ק"פ פחות שליש

או קח מעוקב ז' שהוא שמ"ג ומזה קח י"א חלקים מכ"א ויעלה ק"פ פחות שליש

הטעם למה לוקחים י"א חלקים מכ"א כי אם תרצה

לעשות מקוביה שהיא מרובעת לעגלה הוא י"א חלקים מכ"א והפסולת הוא י' חלקים מכ"א כמו שעשה הנסיון פראלוקא

Roots

376) A way to sum roots

‫376 דרך לחבר בשרשים

Such as: if you wish to sum the root of 16 with the root of 16. $\scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt{16}$

כמו אם תרצה לחבר שרש י"ו עם שרש י"ו

בהיות כי שני המספרים שוים על כן קח אחד משניהם ו' וכפול אותו על שרש האחר והנה נקח י"ו וכפול אותו על שרש י"ו שהם ד' ויעלה ס"ד וקח שרשם והם ח' וכך עולה כפל חבור שרש י"ו עם חבור שרש י"ו

ואם המספרים בלתי שוים

Such as: if you wish to sum the root of 16 with the root of 9. $\scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt{9}$

כמו לחבר שרש י"ו עם שרש ט‫'

חבר ט' עם י"ו והם כ"ה אח"כ כפול ט' על י"ו והם קמ"ד וקח שרשם והם י"ב וכפלם והם כ"ד חבר אותם עם כ"ה והם מ"ט וקח שרשם והם ז' והוא המבוקש

וכן תוכל לעשות מב' מספרים שאין להם שרש אמיתי

Such as: to sum the root of 10 with the root of 40. $\scriptstyle\sqrt{10}+\sqrt{40}$

כמו לחבר שרש י' עם שרש מ‫'

עשה כנז' ויצא לך שרש צ‫'

לחבר שרש משרש עשרי' עם שרש משרש עשרים

קח השרש שעבר מעשרים שהם ד' וכפלם והם י"ו וכפול י"ו על עשרים והם ש"כ וקח שרש משרש ש"כ וכך הוא שרש משרש עשרים מחובר עם שרש משרש עשרים

נרצה לחבר שרש משרש פ"א עם שרש משרש פ"א

קח ד' וכפול אותם והם י"ו וכפלם על פ"א ויעלה אלף ורצ"ו וקח שרשם והם ל"ו ומל"ו קח שרשם והם ו' והוא המבוקש

נרצה לחבר שרש משרש ש"כ עם שרש משרש עשרים

חלק ש"כ על עשרים ויצא י"ו וקח שרש משרש י"ו והם ב' תוסיף בם אחד והם ג' וקח מרובע מרובעם והם פ"א ואלו הפ"א כפלם על עשרים והם אלף ותר"כ ושרש משרש זה הוא המבוקש

נרצה לכפול שרשי המעוקבי' כמו לחבר שרש כ"ז עם שרש כ"ז

קח המעוקב שעבר שהוא ח' וכפול אותם עם כ"ז והם רי"ו וקח שרשם ה' המעוקב והם ו' וכן הוא המחובר משרש כ"ז עם שרש כ"ז

נרצה לכפול שרש מ' עם שרש מ' שאין להם מעוקב

חלק מ' על ח' ויצא ה' וקח שרש ח' והם ב' חבר בם א' והם ג' וקח מעוקבם והם כ"ז כפול אותם על המספר הקטן שהיה ה' ויעלה קל"ה וקח מעוקבם כן הוא חבור שרש מעוקב מ' עם שרש מעוקב ה‫'

Tree

377) Question: A tree is 7 cubits high. A man wants to cut it and with every strike he bends it one cubit. When will its top reach the ground?

‫377 שאלה אילן גבוה ז' אמות ואדם רוצה לחתכו ובכל הכאה כופף אותו אמה אחת מתי יגיע ראשו בארץ

כפול ז' על ג' ושביעית והם כ"ב וקח חצים והם י"א א"כ בי"א הכאות יגע ראשו בארץ והטעם הוא כי העץ בהיותו נעוץ הז' אמות מהגובה הם כמו קוטר העגולה שקוטרה ז' והקו הסובב כ"ב ועל כן כשהאילן נופל הוא עושה תנועה סבובית שקוטרה י"א ועל כן בי"א הכאות יפול לארץ ודעהו

Roots

378) If you wish to add the square root of 16 to the cube root of 8.

\scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}

‫378) אם תרצה לחבר שרש מרובע מי"ו עם שרש מעוקב מח‫'

Multiply 8 [by itself]; it is 64. Take also the cube of 16, which is 4 thousand and 96. Divide it by 64; the result is 64. Extract its root; it is 8. Extract its cube root, which is 2. Add 1 to it; it is 3. Take its cube, which is 27. Square it; it is 729. Multiply it by 64; the result is 46 thousand and 656. Extract its square root, which is 216. Extract its cube root, which is 6, and this is the sum of the square root of 16 with the cube root of 8.

כפול ח' ויהיו ס"ד גם קח מעוקב מי"ו שהם ד' אלפים וצ"ו חלקם על ס"ד ויצא ס"ד וקח שרשם שהם ח' וקח שרשם המעוקב שהם ב' תוסיף בם א' ויהיו ג' וקח מעוקבם והם כ"ז ותרבעם ויהיו תשכ"ט ותכפלם על ס"ד ויעלה מ"ו אלפים ותרנ"ו וקח שרשם המרובע שהם רי"ו וקח שרשם המעוקב שהם ו' וכך הוא חבור שרש מרובע מי"ו מחובר עם שרש מעוקב מח‫'

{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{16}+\sqrt[3]{8}&\scriptstyle=\sqrt[3]{\sqrt{\left[\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{16^3}{8^2}}}+1\right)^3\right]^2\sdot8^2}}=\sqrt[3]{\sqrt{\left[\left(\sqrt[3]{\sqrt{\frac{4096}{64}}}+1\right)^3\right]^2\sdot64}}\\&\scriptstyle=\sqrt[3]{\sqrt{\left[\left(\sqrt[3]{\sqrt{64}}+1\right)^3\right]^2\sdot64}}=\sqrt[3]{\sqrt{\left[\left(\sqrt[3]{8}+1\right)^3\right]^2\sdot64}}\\&\scriptstyle=\sqrt[3]{\sqrt{\left[\left(2+1\right)^3\right]^2\sdot64}}=\sqrt[3]{\sqrt{\left(3^3\right)^2\sdot64}}\\&\scriptstyle=\sqrt[3]{\sqrt{27^2\sdot64}}=\sqrt[3]{\sqrt{729\sdot64}}=\sqrt[3]{\sqrt{46656}}=\sqrt[3]{216}=6\\\end{align}}}

379) We wish to subtract roots.

‫379 נרצה לגרוע בשרשים

Subtract the root of 3 from the root of 5.

\scriptstyle\sqrt{5}-\sqrt{3}

הסר משרש ה' שרש ג‫'

Since none of them have a root, say that the remainder is a root of 5 minus a root of 3.

יען כי אין שרש לשום אחד מהם תאמר כי הנשאר הוא שרש ה' פחות שרש ג‫'

We wish to subtract the root of 10 from the root of 40.

\scriptstyle\sqrt{40}-\sqrt{10}

נרצה להסיר משרש מ' שרש י‫'

חבר י' עם מ' והם נ' גם כפול מ' על י' והם ת' וקח שרשם והם עשרים כפלם והם מ' הסירם מנ' הנשאר י' אם נשאר עדין שרש י‫'

We wish to subtract the root of the root of twenty from the root of the root of five thousand and 150.

\scriptstyle\sqrt[4]{5150}-\sqrt[4]{20}

נרצה להסיר שרש משרש עשרים משרש שרש חמשת אלפים וק"נ

חלק ה' אלפים וק"נ על עשרים ויצא רנ"ו והסר שרש השרש שהם ד' הסר מהם א' נשאר ג' וקח מרובע מרובעם שהם פ"א וכפלם על עשרי' ויעלה אלף ותר"כ א"כ הנשאר הוא שרש משרש אלף ותר"פ

We wish to subtract the root of the root of 16 from the root of the root of 81.

\scriptstyle\sqrt[4]{5150}-\sqrt[4]{20}

נרצה להסיר משרש שרש פ"א שרש משרש י"ו

חלק פ"א על י"ו ויצא ה' וחלק מי"ו תעשה מהם חלקים מי"ו והם פ"א וקח שרש משרש פ"א שהוא ג' גם קח שרש משרש י"ו שהוא ב' חלק ג' על ב' ויצא א' וחצי הסר אחד מא' וחצי הנשאר חצי וקח מרובע מרובעו ויצא חלק אחד מי"ו וכפלהו על י"ו ויצא אחד שלם וכך הוא הנשאר

We wish to subtract the cube root of eight from the cube root of 216. How much is the remainder?

\scriptstyle\sqrt[3]{216}-\sqrt[3]{8}

נרצה להסיר משרש מעוקב של רי"ו שרש מעוקב שמונה כמה הנשאר

חלק רי"ו על ח' ונשאר כ"ז וקח שרשם המעוקב שהם ג' הסר מהם אחד ונשאר ב' וקח מעוקבם והם ח' וכפלם על ח' שהוא ק"פ א' מב' מספרים והם ס"ד וקח שרשם מעוקב שהם ד' וכן הוא הנשאר

We wish to subtract the root of 4 from the root of 108, i.e. their cube root. How much is the remainder?

\scriptstyle\sqrt[3]{108}-\sqrt[3]{4}

נרצה להסיר משרש ק"ח שרש ד' ר"ל שרשם המעוקב כמה הנשאר

חלק ק"ח על ד' ויצא כ"ז וקח שרשם המעוקב שהם ג' הסר מהם אחד הנשאר ב' וקח מעוקבם והם ח' כפלם על ד' שהוא אחד מהב' מספרים ויעלה ל"ב א"כ הנשאר הוא שרש מעוקב מל"ב

We wish to subtract the root of 8 from the root of 27, i.e. their cube root.

\scriptstyle\sqrt[3]{108}-\sqrt[3]{4}

נרצה להסיר משרש כ"ז שרש ח' ר"ל שרשם מעוקב

חלק כ"ז על ח' ויצא לך ג' וג' שמיניות היינו כ"ז חלקים מח' קח שרש כ"ז שהם ג' גם שרש ח' שהם ב' וחלק ג' על ב' ויצא א' וחצי ומזה תסיר א' הנשאר חצי וקח מעוקבו שהוא שמינית ותכפלהו על א' מן המספרים היינו על ח' ויצא (א') שלם והוא הנשאר

We wish to subtract the cube root of 8 from the square root of 16. How much is the remainder?

\scriptstyle\sqrt{16}-\sqrt[3]{8}

נרצה להסיר משרש מרובע מי"ו שרש מעוקב מח' כמה הנשאר

קח מעוקב י"ו והם ד' אלפים וצ"ו וקח מרובע ח' שהוא ס"ד חלק ד' אלפים וצ"ו על ס"ד ויצא ס"ד וקח שרשם המרובע שהם ח' ומהם קח שרשם המעוקב שהם ב'

הסר מהם אחד הנשאר אחד וקח מעוקבו שהוא אחד וכפלהו על ס"ד ויהיו ס"ד וקח שרשם והם ח' וקח שרשם המעוקב שהוא ב' והוא הנשאר

380) We wish to multiply the root of 40 by the root of 10.

\scriptstyle\sqrt{40}\times\sqrt{10}

‫380) נרצה לכפול שרש מ' על שרש י‫'

כפול י' על מ' והם ת' וקח שרשם והוא כ' והוא המבוקש כפול שרש מעוקב שמונה על שרש מעוקב ח' כפול ח' על ח' והם ס"ד קח שרשם המעוקב והם ד' והוא המבוקש

כמה יעלה כפל שרש מעוקב מח‫'

כפול על שרש מעוקב כ"ז כפול ח' על כ"ז ויעלו רי"ו וקח שרשם המעוקב שהם ו' והוא המבוקש

We wish to multiply the cube root of 9 by the cube root of 28.

\scriptstyle\sqrt[3]{9}\times\sqrt[3]{28}

נרצה לכפול שרש מעוקב ט' על שרש מעוקב כ"ח

כפול ט' על כ"ח ויעלה רנ"ו וקח שרשם המעוקב והוא המבוקש

We wish to multiply the square root of 4 by the cube root of 8.

\scriptstyle\sqrt{4}\times\sqrt[3]{8}

נרצה לכפול שרש מרובע ד' על שרש מעוקב ח‫'

קח מעוקב ד' והם ס"ד וקח מרובע ח' שהם ס"ד אח"כ כפול זה על זה היינו ס"ד על ס"ד ויעלה ד' אלפים וצ"ו וקח שרשם המרובע שהוא ס"ד ומס"ד קח שרשם המעוקב שהם ד' והוא המבוקש

נרצה לדעת כמה יעלה ה' על שרש מרובע ח' קח מ[עו]קב ה' ויהיו קכ"ה וכפלם על ח' ויעלה אלף וקח שרשם המעוקב ויעלה י‫'

נרצה לדעת מהו שרש משרש י"ו

כפול על שרש מעוקב מח' כך תעשה קח מעוקב י"ו והם ד' אלפים וצ"ו כן תעשה מח' תרבעם והם ס"ד עוד כפלם על עצמם והם ד' אלפים וצ"ו כפול ד' אלפים וצ"ד על ד' אלפים וצ"ו ויצא 177716 ושרשם ד' אלפים וצ"ו ומזה המספר הוצא שרש משרש המעוקב וקח מס"ד שרשם המעוקב שהם ד' וכך הם הכפל

We wish to multiply the root of the root of 3 by the cube root of 2.

\scriptstyle\sqrt[4]{3}\times\sqrt[3]{2}

נרצה לכפול שרש משרש ג' על שרש מב' שרש המעוקב

קח מעוקב ג' שהם כ"ז וקח מרובע ממרובע ב' שהם י"ו כפול כ"ז על י"ו ויעלו ד' מאות ול"ב ויען כי אין לו שרש אמיתי תאמ' תחלק לי עשרים על שרש חמשה תרבע עשרים והם ד' מאות חלקם על ה' ויצא פ' והנה שרש שמונים הוא המבוקש

381) We wish to divide the root of one hundred by twenty.

‫381 נרצה לחלק שרש מאה על עשרים

כפול שרש מאה על ב' והם מאתים וכפלם והם ד' מאות חלק ק' מאות על ד' מאות ויצא ד‫'

We wish to divide the square root of 16 by the square root of 4.

\scriptstyle\sqrt{16}\div\sqrt{4}

נרצה לחלק שרש מרובע י"ו על שרש מרובע ד‫'

Do as follows: divide 16 by 4; the result is 4. Extract its root; it is 2 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}\div\sqrt{4}=\sqrt{\frac{16}{4}}=\sqrt{4}=2}}

עשה כך חלק י"ו על ד' ויצא ד' וקח שרשם והם ב' והוא המבוקש

We wish to divide the square root of 7 by the square root of 3.

\scriptstyle\sqrt{7}\div\sqrt{3}

נרצה לחלק שרש מרובע ז' על שרש מרובע ג‫'

Divide 7 by 3; the result is 2 and one-third. The root of 2 [and one-third] is 1 and one third and this is the result.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\div\sqrt{3}=\sqrt{2+\frac{1}{3}}\approx1+\frac{1}{3}}}

חלק ז' על ג' ויצא ב' ושליש ושרש ב' הם א' ושליש והוא היוצא

382) We wish to find the square roots of those that have no root.

‫382 נרצה למצא שרשי המרובעי' שאין להם שרש

כגון אם תרצה לדעת שרש מעוקב מז‫'

כבר ידעת כי א' היה השרש שעבר ומעוקבו א' הסר א' מז' ונשאר ו' גם הסר א' מח' ונשאר ז' ושים ו' על ז' א"כ תאמ' כי שרש מעוקב מז' הוא א' וו' שביעיות

נרצה למצא שרש כ"ו הנה השרש שעבר היה ח' הסירם מכ"ו ונשאר קפא י"ח אח"כ הסר ח' מכ"ז הנשאר י"ט תשים י"ח על י"ט א"כ שרשו הקרוב הוא ב' וי"ח חלקים מי"ט

You wish to find the square roots of those that have no real root, or those that have [a real root], but it is an integer and fractions.

תרצה למצא שרש המרובעים שאין להם שרש אמיתי או יש להם והם שלמים עם שברים

As when you wish to know the root of 12 and one-quarter.

כאלו תרצה לדעת שרש י"ב ורביע

קח השרש שעבר מט' שהוא ג' וכפלם והם ו' והנה מט' עד י"ב הם ג' ורביע כפול^ ג' על ו' ויצא חצי וקח מרובעו שהוא חלק רביע ותסירהו מהרביע והוא שרשו ג' וחצי

תרצה למצא שרש י"ד וחצי קח המרובע שעבר שהוא ט' ושרשו ג' הנשאר ה' כפול ג' והם ו' חלק ה' וחצי על ו' ויצא י"א חלקים מי"ב ושרשם ג' וי"א חלקים מי"ב

דרך אחר למצא שרש ממספר קטן בקרוב גדול תוסיף בם ב‫' זירי וקח שרשם ואח"כ חלק היוצא על י'

דמיון נרצה לדעת שרש ב' מ' תוסיף ב' זירי והם ב' מאות וקח שרשם והם י"ד ושביעית חלקם על י' ויצא א' וכ"ט חלקים מע' והוא קרוב מאד

כן תוכל לעשות מהמעוקבים אם תוסיף בם ג' זירי וקח שרשם וחלק היוצא על י' והוא הדרוש

דמיון נרצה לדעת שרש ח‫'

שים ג' זירי ויהיו ח' אלפים ושרשם עשרים תסיר מהם א' זירא וישאר ב' והוא שרש ח‫'

Trapezoid

383) If you want to know the area of such a trapezoid

‫383 אם תרצה לדעת תשבורת קטומה כזאת

Do as follows: square the short side, which is 13; the result is 169.

‫^[73]כך תעשה תרבע הצלע הקצור אשר הוא י"ג ויעלה קס"ט

Square also the other side, which is 15; the result is 225.

גם תרבע הצלע האחר שהוא ט"ו ויעלה רכ"ה

Subtract 169 from it; the remainder is 56.

תסיר מהם קס"ט הנשאר נ"ו

Divide it by 2; 28 remains.

תחלקם על ב' וישארו כ"ח

Divide 28 by the excess of the bottom base over the upper base, which is 14; the result is 2.

חלק כ"ח על מה שעודף התושבת על הראש שהוא י"ד ויצא ב‫'

Add this 2 to half the excess of the bottom base over the upper base, which is 7, because the bottom base exceeds the upper base by 14, and its half is 7; the result is 9 and this is the distance of the height from the longer side.

ואלו הב' תוסיפם על מה שעודף מחצית התושבת על הראש שהוא ז' כי התושבת עודף על הראש י"ד ומחציתם ז' ויצא ט' וכך הוא רחוק העמוד מהצלע ארוך

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\frac{\frac{15^2-13^2}{2}}{14}=7+\frac{\frac{225-169}{2}}{14}=7+\frac{\frac{56}{2}}{14}=7+\frac{28}{14}=7+2=9}}

If you subtract 2 from 7, 5 remains and this is the distance of the height from the shorter side.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\frac{\frac{15^2-13^2}{2}}{14}=7-2=5}}

ואם תסיר מז' ב' ישאר ה' והוא מעמד העמוד מהקצור

To know its area, add the bottom base to the upper base; it is 30, and its half is 15.

ולדעת תשברתה תחבר התושבת עם הראש והם ל' וחצים ט"ו

Multiply it by the height, which is 12; you receive 180 and this is its area.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)\sdot12=15\sdot12=180}}

כפלם על העמוד שהוא י"ב ויצא לך ק"פ והוא תשברתו

Circumscribed Square

384) It is known that if you make a square outside of a circle, so that it touches the circle, its [perimeter] exceeds over the [circumference of] the circle by three parts of 14.

\scriptstyle\left(1-\frac{3}{14}\right)\sdot\left(4\sdot 2R\right)= 2R\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)

‫384 ידוע הוא כי אם תעשה מרובע חוץ לעגול ימשש לעגול כי מוסיף על העגול ג' חלקים מי"ד

Example: we have a circle whose diameter is 7.

המשל יש לנו עגול אלכסונו ז‫'

The circumference is 22, because the diameter is multiplied by 3 and one-seventh.

הנה הקו הסובב יהיו כ"ב כי ראוי לכפול האלכסון על ג' ושביעית

If you make a square outside the circle, each of its sides is 7, because it is equal to the diameter of the circle.

ואם תעשה מרובע חוץ לאותו עגול כל צלע יהיה ז' שוה לאלכסון העגול

The area of the square is 49, which is the product of 7 by 7.

ותשבורת המרובע יהיה מ"ט שהוא כפל ז' על ז‫'

So, if you multiply the diameter, which is 7, by 3 and one-seventh, the result is 22 and this is the circumference; [the sum] of the 4 sides of the square is 28, because 4 by 7 is 28; and it is known that 22 is 11 parts [of 14] of 28.

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22=\frac{11}{14}\sdot28=\frac{11}{14}\sdot\left(4\sdot7\right)}}

על כן אם תכפול האלכסון שהוא ז' על ג' ושביעית יעלה כ"ב והוא הקו הסובב וד' צלעות המרובע הם כ"ח כי ד' על ז' הם כ"ח וידוע הוא כי כ"ב הם י"א חלקים מכ"ח

ולכן ראוי לכפול האלכסון על ג' ושביעית כי אם תחלק ד' צלעות ותקח י"א חלקים מי"ד יעלה ג' ושביעית וכדי למצא הקו הסובב ראוי לכפול האלכסון על ג' ושביעית כי כך עולה י"א חלקים מי"ד מד' שלמים ר"ל אם תכפול ד' על י"א חלקים מי"ד יצא ג' ושביעית

Trapezoid

385) To know the area of this shape:

‫385 לדעת תשבורת תמונה כזאת

The way to know the [area of] this quadrangle:

‫^[74]והדרך לדעת מרובע זו

Multiply the excess of the bottom base over the upper base, which is 7, [by it self]; it is 49.

כפול מה שעודף התושבת על הראש שהוא ז' והם מ"ט

Multiply also the short side, which is 15, by itself; the result is 225.

כפול ג"כ הצלע הקצור שהוא ט"ו על עצמם ויעלו רכ"ה

Add 49 to it; the result is 274.

תוסיף בם מ"ט ויעלה רע"ד

Subtract it from 400, which is the product of the longer side by itself; 126 remains.

תוציאם מת' שהוא כפל הצלע הארוך על עצמו וישאר קכ"ו

Divide it by 2; it is 63.

חלקם על ב' והם ס"ג

Divide it by the excess of the bottom base over the upper base, which is 7; the result is [9].

חלקם על מה שמוסיף התושבת על הראש שהוא ז' ויצא מ"ט

Add it to 7, which is the excess of the bottom base over the upper base; the result is 16. The height falls at this point, i.e. the height is far from the long side by 16. The 16 resulting from the division is the segment of the external height. For this shape has three heights - two internal and one external, as written above.

וחברם עם ז' שהוא מה שעודף התושבת על הראש ויעלה י"ו ובאותה נקודה יפול העמוד ר"ל כי העמוד רחוק מן הצלע הארוך י"ו ואלו הי"ו שיצאו מהחלוקה הוא גבול מעמד העמוד החצוני כי זאת התמונה יש לה ג' עמודים ב' תכונים וא' חצוני כמו שהוא נרשם לעיל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{20^2-\left[\left(21-14\right)^2+15^2\right]}{2}}{21-14}+\left(21-14\right)&\scriptstyle=\frac{\frac{20^2-\left(7^2+15^2\right)}{2}}{7}+7=\frac{\frac{400-\left(49+225\right)}{2}}{7}+7\\&\scriptstyle=\frac{\frac{400-274}{2}}{7}+7=\frac{\frac{126}{2}}{7}+7=\frac{63}{7}+7=9+7=16\\\end{align}}}

If you want to know the length of the height, multiply 16 by itself; the result is 256.

ואם תרצה לדעת ארך העמוד כפול י"ו על עצמם ויעלו רנ"ו

Subtract it from the square of 20 that is the long side, which is 400; the remainder is 144; its root is 12 and this is the length of the height.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{400-256}=\sqrt{144}=12}}

תסירם מכ' שהוא הצלע הארוך ומרובעו ת' הנשאר קמ"ד וגדרו י"ב והוא ארך העמוד

The same for the outer height. You know it this way: square the short side, which is 15; its square is 225.

וכן העמוד האחר החצוני תדענו בזה הדרך תרבע הצלע הקצור שהוא ט"ו ומרובעו רכ"ה

Subtract it from 81, which is the square of 9, which is the distance of the height from the short side; the remainder is also 144. Extract its root; it is 12 also.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}

הסר ממנו פ"א שהוא מרובע ט' שהוא המרחק מהעמוד אצל הצלע הקצור הנשאר ג"כ קמ"ד תשרשם י"ב ג"כ

If you want to know the area of this trapezoid, add 14, which is the upper base, to 21, which is the bottom base; the result is 35.

ואם תרצה לדעת תשבורת זאת הקטומה נקראת בלשונינו ר"ל חתוכה תחבר י"ד שהוא הראש עם כ"א שהוא התושבת ויעלה ל"ה

Divide it by 2; the result is 17 and a half.

חלקם על ב' ויעלה י"ז וחצי

Multiply it by 12, which is the height; the result is 210 and this is its area.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14+21}{2}\sdot12=\frac{35}{2}\sdot12=\left(17+\frac{1}{2}\right)\sdot12=210}}

וכפלם על י"ב שהוא העמוד ויעלה ר"י וכך היא תשברתה

If you want to know the diagonal of the [trapezoid], add 9, which is the segment of the outer height, to the bottom base, which is 21; the result is 30 and its square is 9 hundred.

ואם תרצה לדעת אלכסון העגולה תחבר ט' שהוא גבול מעמד העמוד החצוני עם התושבת שהוא כ"א ויעלה ל' ומרובעו ט' מאות

Add the square of the height to it, which is 144; the total sum is one thousand and 44 and its root is the length of the [diagonal], as it is here.

תוסיף בם מרובע העמוד שהוא קמ"ד ויעלה הכל אלף ומ"ד שרשם הוא ארך העמוד כמו שהוא בכאן

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(9+21\right)^2+12^2}=\sqrt{30^2+12^2}=\sqrt{900+144}=\sqrt{1044}}}

Roots

386) If you wish to find the cube root of a certain number:

‫^[75]‫386 אם תרצה לדעת שרש מאיזה מספר שרש מעוקבו

כפול השרש הראשון על עצמו ואח"כ כפלהו על ג' גם כפול השרש היוצא על ג' ושים בקו אחר ומה שנשאר חלק עליו

Example: we wish to know the cube [root] of 16.

דמיון נרצה לדעת מעוקב י"ו

The preceding cube is 8. Subtract it from 16; the remainder is 8. The cube root of 8 is 2. Multiply it by itself; it is 4. Multiply it 3 times; it is 12. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt[3]{16-8}\right)^2\sdot3=\left(\sqrt[3]{8}\right)^2\sdot3=2^2\sdot3=4\sdot3=12}}

המעוקב שעבר היה ח' תפילם מי"ו הנשאר ח' ושרש מעוקב ח' הוא ב' כפלם על עצמם והם ד' כפלם ג' פעמים והם י"ב ושימם למשמרת

Multiply 2, which is the root, by 3 also; it is 6. Keep it in another place.

עוד כפול ב' שהוא השרש על ג' ויהיו ו' ושימם במקום אחר

Divide the 8 that remained by 12; we give it only a half, because if we give it a greater part it will not be enough. Multiply 12 by a half; it is 6; 2 remains until 8.

אח"כ חלק הח' שנשארו על י"ב ולא נתן לו כי אם חצי כי אם נתן חלק יותר גדול לא יספיק כפול י"ב על חצי והם ו' ועד ח' נשארו ב‫'

Multiply half by itself; it is one quarter. Multiply one quarter by the reserved 6; it is 1 and a half.

כפול חצי על עצמו והם רביע אחד כפול רביע אחד על ו' השמורים ויהיו א' וחצי

Subtract it from 2; the remainder is a half. Subtract one eighth from it, which is the cube of a half; 3-eighths remain.

תגרעם מב' הנשאר חצי תגרע ממנו א' שמינית שהוא מעוקב חצי וישאר ג' שמיניות

Subtract it from the total amount, which is 16; the remainder is 15 and 5-eighths and this is the cube of 2 and a half.

תפילם מכל הסך שהיו י"ו ונשאר ט"ו וה' שמיניות והוא מעוקב מב' וחצי

ודוק ותשכח

387) If there are two numbers, such that when you multiply each by itself, then you multiply the products of the two numbers by each other. You wish to find these numbers from the resulting product.

\scriptstyle a^2\sdot b^2

‫387 אם תרצה לדעת משני מספרים כפול כל אחד על עצמו ואח"כ תכפול הכפלת שני המספרים זו על זו ומהסך העולה תרצה למצא אותם המספרים

Do as follows: extract the root of that product and see what numbers it consists of and they are the required numbers.

כך תעשה קח שרש אותו הסכום וראה מאיזה מספר הוא מורכב והם המספרים המבוקשים

Example: we multiply two numbers each by itself, then we multiply both products by each other and the result is two thousand and 25. What are the numbers that this number consists of?

\scriptstyle a^2\sdot b^2=2025

דמיון זה כפלנו שני מספרים כל אחד על עצמו ואח"כ כפלנו הב' הכפלותיהם זו על זו ועלה אלפים וכ"ה מי הם המספרים אשר זה המספר מורכב מהם

Extract its root; it is 45.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2025}=45}}

קח שרשם והם מ"ה

What are the numbers that 45 consists of? 5 and 9.

\scriptstyle{\color{blue}{45=5\sdot9}}

ומ"ה מאיזה מספר הוא מורכב מה' וט‫'

So, multiply 5 by itself and 9 by itself, then multiply 25 by 81; the result is two thousand and 25.

\scriptstyle{\color{blue}{5^2\sdot9^2=25\sdot81=2025}}

על כן כפול ה' על עצמו וט' על עצמו וכפול כ"ה על פ"א ויעלה ב' אלפים וכ"ה

[45] consists also of 3 and 15.

גם אלפים וכ"ה הוא מורכב מג' וט"ו

So, multiply 3 by itself; it is 9; and 15 by itself; the result is 225. Multiply 9 by 225; it is also 2 thousand and 25.

\scriptstyle{\color{blue}{3^2\sdot15^2=9\sdot225=2025}}

על כן כפול ג' על עצמם והם ט' וט"ו על עצמם ויעלו רכ"ה וכפול ט' על רכ"ה ויהיו ג"כ ב' אלפים וכ"ה

ודוק ותשכח

Because My lips shall speak sincerely [Job 33, 3].

כי שפתי ברור מללו‫^[76]

Appendix: Bibliography

Fra Luca Bartolomeo de Pacioli (Tuscany b. ca.1445 – d. 1514/1517)
– Hebrew translation –
by Gad Astruk? (Venice, ca. 1503)

Manuscripts:

London, British Library Add. 27039/2 (IMHM: f 5717), ff. 116r-184v (cat. Margo. 1014, 2); (16th century)

Add. 27039/2

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 336. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 140.

↑ 116r

↑ 116v

↑ 117r

↑ 117v

↑ 118r

↑ 118v

↑ 119r

↑ 119v

↑ 120r

↑ 120v

↑ 121r

↑ 121v

↑ 122r

↑ 122v

↑ 123r

↑ 123v

↑ 124r

↑ 124v

↑ 125r

↑ 125v

↑ 126r

↑ 126v

↑ 127r

↑ 127v

↑ 128r

↑ 128v

↑ 129r

↑ 129v

↑ 130r

↑ 130v

↑ 131r

↑ 131v

↑ 132r

↑ 132v

↑ 133r

↑ 133v

↑ 134r

↑ 134v

↑ 135r

↑ 135v

↑ 136r

↑ 136v

↑ 127r

↑ 137v

↑ 138r

↑ 138v

↑ 139r

↑ 140r

↑ 140v

↑ 141r

↑ 141v

↑ 142r

↑ 142v

↑ 143r

↑ 143v

↑ 144r

↑ 144v

↑ 145r

↑ 145v

↑ 146r

↑ 146v

↑ 147r

↑ 147v

↑ 148r

↑ 148v

↑ 149r

↑ 149v

↑ 150r

↑ 150v

↑ 151r

↑ 151v

↑ marg.

↑ 183v

↑ 184r

↑ 184v

↑ איוב ל"ג, ג

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

@@ Line 12: / Line 12: @@
 |
 |-
-|
+|The arithmeticians compared the one to God, because just as God is the Cause of causes, from Whom all creatures were derived, and they all need Him, but He does not need any of them, so the one is the foundation of each number and is the foundation of all numbers.
 |style="text-align:right;"|&#x202B;1 חכמי המספר המשילו האחד אל האל ית' כי כמו שהאל ית' הוא עלת העלות וממנו נאצלו כל הנבראים וכלם צריכין לו והוא אין צריך לאחד מהם כן האחד הוא יסוד כל מספר והוא יסוד כל המספרים
 |-
-|
+|They also compared the one to the center, because just as the center is the root of the circle, so the one is the root and foundation of all numbers, from which all numbers were derived and is their foundation and root.
 |style="text-align:right;"|גם המשילו האחד אל המרכז כי כמו שהמרכז הוא שרש העגול כן האחד שרש ויסוד כל המספרים וממנו נאצלו כל המספרים והוא יסודם ושרשם
 |-
-|
+|We wish to divide this [book] into three sections:
 |style="text-align:right;"|והנה נרצה לחלק זה המספר לג' חלקים
 |-
-|
+|The first section discusses the theoretical arithmetic.
 |style="text-align:right;"|החלק האחד ידבר על העיונית מן המספר
 |-

Difference between revisions of "לקוטים מספר פראלוקא"

Revision as of 15:30, 11 October 2024

Contents

Introduction

Section One - Theoretical Arithmetic

Perfect Numbers

Congruence of Squares

Section Two - Practical Arithmetic

Check

Subtraction

Multiplication

Progressions

Motion Problems

Cubic Roots

Fractions

Ratios

False Positions

Euclidean Propositions

Divide a Number Problems

Find a Number Problems

Divide a Number Problems

Find a Number Problems

Divide a Number Problems

Find a Number Problems

Quadratic Equations

Partnership Problems

Grazing Problems

Rent Problems

Barter Problems

Exchange Problems

Section Three: Geometry

Triangle

Square

Triangle

Square

Rectangle

Rhombus

Circle

Roots

Tree

Roots

Trapezoid

Circumscribed Square

Trapezoid

Roots

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search