Difference between revisions of "Anonymous"

Revision as of 10:56, 28 December 2022

1 Introduction
2 Table of Contents
3 Interpolated Excerpt
4 Chapter One: Addition
- 4.1 The First Category: [Addition of] Integers
  - 4.1.1 Sums
- 4.2 The Second Category: Addition of Fractions
  - 4.2.1 Sexagesimal Fractions
  - 4.2.2 Simple Fractions
5 Chapter Two: Subtraction
- 5.1 The First Category: [Subtraction] of Integers
- 5.2 The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions
  - 5.2.1 Sexagesimal Fractions
  - 5.2.2 Simple Fractions
6 Chapter Three: Multiplication
7 Chapter Four: Division
8 Chapter Five: Ratios
- 8.1 Sexagesimal Fractions
- 8.2 Simple Fractions
9 Chapter Six: Deducing One from Another
- 9.1 In Astrology
- 9.2 In Mathematics
  - 9.2.1 Word Problems
10 Chapter Seven: Conversion of One to the Other
- 10.1 Simple fractions to simple fractions
- 10.2 Simple fractions to sexagesimal fractions
11 Chapter Eight: Roots
12 Notes
13 Apparatus
14 Appendix I: Glossary of Terms
15 Appendix II: Bibliography

Praise be to the wonderful Almighty God,	‫^[1]תהלה לאל הנעלה הנפלא
Who has no beginning or end,	אשר אין לו תחלה ותכלה
Who created His world repeating itself,	ויצר עולמו חוזר חלילה
Day and night,	יומם ולילה
And put wisdom and knowledge in the human heart,	ושם [בלב] האדם חכמה ודעה
To calculate a number from one to nine.	לחשב מספר מאחד ועד תשעה
Introduction
Presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle
When you write it on a circle you find it recurrent.	גם הוא [כאשר] תכתבנו בעגולה תמצאנו חוזר חלילה

9×9; 9×8; 9×7; 9×6:
For, when you multiply nine by nine the number obtained will be on its both sides: the units to the left and the tens to the right.	כי כאשר תערוך תשעה על תשעה יהיה מספר העולה בין שני צדיו האחדים מצד שמאל והעשרות מצד ימין
Likewise by 8, by 7 and by 6.	וכן על ח' ועל ז' ועל ו‫'
9×5; 9×4; 9×3; 9×2:
But, when you reach five the tens will turn to the left and the units to the right	אך כאשר תגיע לחמשה יתהפכו העשרות לשמאל והאחדים לימין
In the same way by 4, by 3 and by 2.	ועל זה הדרך על ד' ועל ג' ועל ב‫'
If you multiply it by 1, you will get 9 itself, as every number that is multiplied by 1 has no increment.	ואם תערכנו על א' יצא לך ט' בעצמו כי כל חשבון הנערך על א' אין לו תוספת
If you write nine on the beginning of the circle, you extract them according to this way, only that it will be vice versa to the right and to the left.	ואם תכתוב תשעה בתחלת העגול תוציאם על זה הדרך רק שיתהפך הדבר לימין ולשמאל
One is not a number
If the number is like a circle - the one is like a point.	ואם המספר כעגלה האחד כנקדה
For, it is the foundation and the cause of all numbers, but it is not a number - it is the essence of a thing.	כי הוא יסוד וסבת כל מספר ואיננו מספר והוא עצם דבר
The similar to this are the words of the language that are the secret of every speaker and the source of every reason, but do not utter any reason.	והדומה לזה תבות הלשון שהם סוד כל מדבר ומוצא כל דבר ואינם משמיעים דבר מעניני הדבר
From the categories of number it is clear that the one is not a number, for every number is either even or odd, but one is neither.	וממחלקות המספר יתבאר כי האחד איננו מספר כי כל מספר יתחלק לזוג ולנפרד ולא כן האחד
One is a number
From another aspect it is also a number.	ומפאה אחרת גם הוא מספר
General properties of numbers that apply to one
Every number, even or odd, is summed from it.	ובו נתחבר כל זוג וכל נפרד
If we sum the odd numbers, when they are in a sequence one by one, the squares are generated and one is included with them. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=n^2}}$	ואם חברנו הנפרדים כאשר הם במערכת זה אחר זה יולדו המרובעים והנה האחד עמהם
Every number is half the sum of its two sides. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]}}$	וכל מספר מחצית שתי פאותיו
One applies on one side what every number applies on two [sides] and in this respect its conduct is the same as every number. $\scriptstyle{\color{blue}{1=\frac{1}{2}\sdot2}}$	והאחד יעשה בפאה אחת מעשה כל מספר בשתים והנו בדרך כל המספר
There are three fundamental types for all number:	יסוד כל מספר על שלש דרכים
1) [Identifiable] in one: its addition to itself is greater than its product by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot1<1+1}}$	האחת באחד להיות הנחבר יותר מהנערך
2) [Identifiable] in two: its addition to itself is equal to its product by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=2+2}}$	והשנית בשנים להיותם שוים
3) [Identifiable] in three: its product by itself is greater than its addition to itself. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3>3+3}}$	והשלישית בשלשה להיות הנערך רב מהמחובר
Every number greater than three follows the conduct of three. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall n>3: n\sdot n>n+n}}$	ומשפט כל מספר אחר השלשה בדרך השלשה
So, [from this aspect] one is [considered] with the numbers.	והנה האחד עם כל מספר
Properties of the numbers 2-10 that pertain to one
The number two
Two is the beginning of the numbers.	ושנים תחלת המספר
It is the root of four. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2}}$	והוא שורש ארבעה
As the first root of a square number, it represents the properties of the roots:
The ratio that is generated from the product of one of the roots by the other to the first square is as the ratio of the second square to the mentioned product. Likewise for the one, which is a root and a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot b}{a^2}=\frac{b^2}{a\sdot b}}}$	וערך הנחבר מעריכת אחד השרשים על האחר אל המרובע הראשון כערך המרובע השני אל הנחבר הנזכר וככה האחד והנו שרש ומרובע
For every number, if we sum the root with its square, [the sum] is as the product of the root by the succeeding number. Likewise for the one, which is a root and a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a+a^2=a\sdot\left(a+1\right)}}$	וכל חשבון אם חברנו השרש עם מרובעו יהיה כעריכת השורש על המספר שהוא שני וככה האחד והנו שרש ומרובע
For every root that you double its square and add its quarter to it, [the sum] is a square and its root is as the original root summed with its half. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a^2+\frac{1}{4}a^2=\left(a+\frac{1}{2}a\right)^2}}$	כל שרש שתכפול מרובעו ותוסיף עליו ‫^[2]רביעיתו יהיה מרובע ושרשו כמו השרש הראשון מחובר עם חציו וככה האחד
The number three
It represents a special property of the proportional triad:
[For every] three numbers, such that the ratio of the mean to the first is as the ratio of the last to the mean, if we multiply the first by the last it is the same as the square of the mean. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_3}{a_2}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}$	שלשה מספרים ערך התיכון אל הראשון כערך האחרון אל התיכון אם ערכנו הראשון על האחרון יהיה כמרובע התיכון
	‫[ו]‫אם הראשון כן יהיה האחרון וככה האחד
The number four
Four is a square number	וארבעה מרובע
As the first square number, it represents the properties of the square numbers:
Between every square to double-double the square there is a number that is not a square. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall n\in N, \exists b\neq n^2:a^2<b<\left(2\sdot2\sdot a^2\right)}}$	ובין כל מרובע לכפל כפל המרובע אחד שאיננו מרובע וככה האחד
If we subtract a square from its successive square, the remainder is as the sum of both their roots together. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+1\right)^2-n^2=\left(n+1\right)+n}}$	אם חסרנו מרובע ממרובע הקרוב אליו יהיה הנשאר כשנים השרשים הנחברים וככה האחד
For every number, if we multiply the number preceding it by the number succeeding it and add one, [the result] is as the square of that number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(n-1\right)\sdot\left(n+1\right)\right]+1=n^2}}$	כל חשבון אם ערכנו החשבון שהוא לפניו על החשבון שהוא לאחריו ונוסיף אחד יהיה כמרובע החשבון
For every square, when you take its root and the number preceding it and subtract them from it, a square remains. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2-n-\left(n-1\right)=a^2}}$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפניו ותחסרם ממנו ישאר מרובע
And if you add to it its root and the number succeeding [the sum] is a square. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2+n+\left(n+1\right)=b^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאחריו יהיה מרובע וככה האחד
The number five
Five is a circular number, for its first square is found in every power of [five].^[3]	החמשה חשבון עגול כי ימצא בכל חשבונו המרובע הראשון
The number six
The same for six, only that six itself is found in each of its powers instead of its first square.^[4]	גם כן ששה רק ששה ימצא בכל חשבונו ולא מרובעו הראשון
Likewise the one.	והנה האחד ככה

The number seven
Holds the following property:
If we sum seven with all the numbers preceding it, the sum is the same as the square of its double and it includes the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+2+3+4+5+6+7\right)\sdot7=\left(2\sdot7\right)^2}}$	אם ערכנו שבעה על עצמו ועל כל מספר שלפניו יהיה הנחבר כמרובע כפלו והנה האחד עמהם
The number eight
Eight is a cube number [guf šaveh]	השמונה גוף שוה
As the first cube number it represents the following properties of the cube numbers:
If we sum up all the cube numbers successively, including the one, the sum is a square number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i^3=a^2}}$	ואם חברנו כל חשבון שהוא גוף שוה כאשר הם בתולדת זה אחר זה יהיה מרובע והנה אחד עמהם
Between two square numbers there is always a cube number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall a<b; \exists n: a^2<n^3<b^2}}$	ולעולם ימצא גוף שוה בין שנים מרובעים
When we subtract one half from half the cube root and multiply the remainder by the cube root, we find the root of the smaller square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)-\frac{1}{2}\right]\sdot n}}$	כשנחסר מחצי קו הגוף חצי אחד ונערוך הנשאר על הקו נמצא שרש המרובע הקטן
When we add one half to half the cube root and multiply [the sum] by the cube root, we find the root of the greater square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b=\left[\left(\frac{1}{2}n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot n}}$	וכאשר נוסיף חצי אחד על חצי הקו ונעריכנו על הקו נמצא שרש המרובע הגדול
If you subtract the smaller square from the greater square, you will find the cube number. The same for one, which is a cube. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{b^2-a^2=n^3}}$	ואם תחסר מרובע הקטן ממרובע הגדול נמצא הגוף השוה וככה האחד שהוא גוף שוה
If you want to extract the difference between two successive cube numbers, take the square of the cube root of the first [cube] and the square of the cube root of the second [cube], multiply the cube root of the first by [the cube root of] the second, then sum all and you will find the difference between the two cube numbers. The same for one. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(n+1\right)^3-n^3=\left(n+1\right)^2+n^2+\left[\left(n+1\right)\sdot n\right]}}$	ואם תרצה להוציא המרחק שיש בין שני הגופות שהם זה אחר זה קח מרובע קו הגוף הראשון גם מרובע הקו השני וערוך הקו הראשון על השני וחבר הכל אז תמצא המרחק שיש בין שני הגופות וככה האחד
The number nine
Nine is a square number.	התשעה חשבון מרובע
As the second square it represents the following properties of square numbers:
The difference between one square and another square is always an odd number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b^2=2n-1}}$	והיתרון שיש בין מרובע אחד ובין מרבע אחר לעולם נפרד
If you multiply the difference between two squares by each of their two roots: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]}}$	ואם תערוך היתרון שיש בין שני המרובעים על שני השרשים כל אחד בפני עצמו
If the greater is second to the first in succession, [the sum of both products] is the same as the square of the difference.	אם הגדול ‫^[5]שני לראשון יהיה כמרובע היתרון
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=b+1\longrightarrow\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$
If it is third to it, multiply [the sum] of both products of the difference by both roots by two.	אם היה שלישי לו תערוך היוצא מעריכת היתרון על שני השרשים על שנים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=b+2\longrightarrow2\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$
If it is fourth to it, multiply [the sum] by three.	ואם רביעי לו על שלשה וככה האחד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=b+3\longrightarrow3\sdot\left[\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot a\right]+\left[\left(a^2-b^2\right)\sdot b\right]\right]=\left(a^2-b^2\right)^2}}$
If we divide the square of the smaller by the [square of the] greater or the [square of the] greater by the [square of the] smaller, the result is always a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow\frac{b^2}{a^2}=\left(\frac{b}{a}\right)^2}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow\frac{a^2}{b^2}=\left(\frac{a}{b}\right)^2}}$	אם חלקנו מרובע הקטן על הגדול או הגדול על הקטן לעולם יהיה כמרובע
When you divide nine by the square of seven, the result of division is a seventh and two-sevenths of a seventh and its root is 3 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{7^2}}=\sqrt{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}=\frac{3}{7}}}$	וכאשר תחלק תשעה על מרובע שבעה יצא בחלוק שביעית ושתי שביעיות שביעית ושרשו ג' שביעיות
The Check: consider the parts of one as seventy, so the seventh and two-sevenths of a seventh are 12 minutes and 60 seconds. Convert the minutes to seconds and add the seconds to them; the result is nine hundred seconds. Divide them by seventy, the result of division is thirty minutes, which are 3 sevenths. Likewise for the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{12}{70}+\frac{60}{70^2}=\frac{900}{70^2}=\left(\frac{30}{70}\right)^2=\left(\frac{3}{7}\right)^2}}$	והבחינה שתחשב חלקי האחד שבעים יהיה השביעית ושתי שביעיות י"ב ראשונים ס' שניים תשיב הראשונים לשניים ותחבר השניים עמהם יעלה תשע מאות שניים תחלקם על שבעים יצא בחלוק שלשים ראשונים והם ג' שביעיות וככה האחד
If we divide the square of seven by nine, the result of division is five and four-ninths and their root is two and one-third; for the nine, by which we divided, is generated from its root, which is three. Likewise the one. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{9}}=\sqrt{5+\frac{4}{9}}=2+\frac{1}{3}}}$	אם חלקנו מרובע שבעה על תשעה יצא בחלק חמשה וארבע תשיעיות ושרשם שנים ושלישית כי תשעה שחלקנו עליו קם משרש שלשה וככה האחד
If you want to know the square whose root is known using a known square whose root is also known, multiply the difference between the two roots by each of the roots, then add the result to the known square, if it is less than that sought; $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a>b\longrightarrow a^2=\left[\left(a-b\right)\sdot a\right]+\left[\left(a-b\right)\sdot b\right]+b^2}}$	אם תרצה לדעת מרובע שרשו ידוע ממרובע ידוע גם שרשו ידוע ערוך המרחק שהוא בין שני השרשים על כל אחד מהשרשים ואשר יהיה תחברם למרובע הידוע אם היה פחות מהמבוקש
or subtract the result [from the known square] if it exceeds over it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow a^2=b^2-\left[\left(b-a\right)\sdot a\right]-\left[\left(b-a\right)\sdot b\right]}}$	או תחסרם אם היה יתר עליו וככה האחד
Approximation method for finding a root of a square number
If you want to know the root of a square, integer or fraction, from the preceding square:	אם תרצה לדעת שרש ממרובע שלם או נשבר מהמרובע שלפניו
Such as the root of 9 from the square of 2. $\scriptstyle\sqrt{9}$	כמו שרש תשעה‫^[6] ‫^[7]ממרובע שנים
Divide the [difference between the two squares] by twice the [known] root. The result of division is 1° 15′. We add them to the [known] root and the approximate root is 3° 15′.[This is when] we use sexagesimal fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}\approx\sqrt{2^2}+\frac{9-2^2}{2\sdot\sqrt{2^2}}=2+\left(1+15^\prime\right)=3+15^\prime}}$	חלק המרובע על כפל השרש יצא בחלוק א' ט"ו חברנום עם השרש ויהיה השורש המיוחד ג' ט"ו וחלקנו כחלקי חכמי המזלות
We want to correct it: we multiply 1 by itself and [twice] by 15, it is 1° 30′; 15 by 15, [the result is 3° 45′]. We double the result, because we always double the fractions, and divide the product by 60 it is 7′ 30′′. We add them to 1° 30′, the result is 1° 37′ 30′′. We convert them to minutes, the result is 97′ 30′′. We double them for the half, it is 195′. We divide them by 13, which is twice the approximate root. The result of division is 15. We subtract it from the approximate root and the remainder is 3, which is the [sought] root.	רצינו לתקנו ערכנו א' על עצמו ועם ט"ו והנה א"ל וט"ו על ט"ו וכפלנו העולה כי לעולם נכפול השברים וחלקנו הנחבר על ששים והנה ז"ל חברנום עם א"ל עלה א'ל"זל‫' החזרנום לראשונים עלה צ"ז ל‫' וכפלנום בעבור החצי והנה קצ"ה חלקנום על י"ג שהוא כפל השרש המיושר בחלקיו יצא בחלק ט"ו חסרנום מהשרש המיושר והנה ג' הוא השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot\left[1^2+\left(2\sdot15^\prime\right)+\left[2\sdot\left(15^\prime\right)^2\right]\right]}{2\sdot\left[2\sdot\left(3+15^\prime\right)\right]}=\frac{2\sdot\left[1+30^\prime+\left(7^\prime+30^{\prime\prime}\right)\right]}{13}=\frac{2\sdot\left(1+37^\prime+30^{\prime\prime}\right)}{13}=\frac{2\sdot\left(97^\prime+30^{\prime\prime}\right)}{13}=\frac{195^\prime}{13}=15^\prime}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=\left(3+15^\prime\right)-\frac{2\sdot\left[1^2+\left(2\sdot15^\prime\right)+\left[2\sdot\left(15^\prime\right)^2\right]\right]}{2\sdot\left[2\sdot\left(3+15^\prime\right)\right]}=\left(3+15^\prime\right)-15^\prime=3}}$
First approximation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}}}$
For every square, do as follows: divide the difference between the two squares by double the first root, then add the result to the root and this is the approximate root.	וככה תעשה לכל מרובע שתחלוק היתרון שבין שני המרובעים על כפל השרש הראשון ותשמור היוצא הוסיפנו על השרש ויהיה מיושר
Second approximation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{b}{2a}\right)-\frac{1^2+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)+2\sdot\left(\frac{b}{2a}-1\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}}}$
Afterwards take the quotient and multiply it by itself. Double the square of the quotient [...] Divide the total by double the approximate root, then subtract the result from the approximate root; the root of the greater square remains.	ואחר כן קח היוצא בחלוק וערוך אותו על עצמו ותכפול מרובע השבר ותחלק הכל על כפל השרש המיושר והיוצא תגרע מהשורש המיושר ישאר השרש מהמרובע הגדול
This is the case with one, because the difference between it and four is three. We divide it by double the root; the result is one and a half. We add it to the root; the approximate root is two and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}\approx\sqrt{1}+\frac{4-1}{2\sdot\sqrt{1}}=1+\frac{3}{2}=1+\left(1+\frac{1}{2}\right)=2+\frac{1}{2}}}$	וכן משפט האחד כי המרחק בינו ובין ארבעה שלשה חלקנום על כפל השרש יצא אחד וחצי הוספנום על השרש ויהיה השרש המיושר שנים וחצי
We take the square of the quotient; the result is [a quarter]. We double the quarter, which is [the square of] the quotient [...] it is two and a half. We divide it by double the approximate root; the result is a half. Subtract it from the approximate [root]; two remains and it is the root of four.	לקחנו מרובע היוצא בחלוק עלה שנים ורביע כפלנו הרביע שהם השברים והנה שנים וחצי חלקנום על כפל השרש המיושר יצא חצי תגרענו מהמיושר ישארו שנים והם שרש ארבעה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1^2+\left(2\sdot\frac{1}{2}\right)+\left[2\sdot\left(\frac{1}{2}\right)^2\right]}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{2+\frac{1}{2}}{2\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)}=\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{1}{2}=2}}$
For every square, when you take its root and the number that precedes the root and subtract them from it, the remainder is a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-\left[a+\left(a-1\right)\right]=b^2}}$	כל מרובע שתקח שרשו והחשבון שלפני השרש ותחסרם ממנו ישאר מרובע
If you add to it its root and the number that follows [its root], the result is a square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+\left[a+\left(a+1\right)\right]=c^2}}$	ואם תוסיף עליו שרשו והחשבון שלאח' אחריו יהיה מרובע
The same for one.	וככה האחד
The number ten
Ten is analogous to one [= as a unit in the rank of tens]	ומספר עשרה דומה לאחד
As such it represents the following properties:
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=10a-\left[\left(10-a\right)\sdot a\right]}}$
When you wish to know the square of nine, multiply it by one, which is the difference [from ten], and subtract it from ninety, which is similar to nine, so it is eighty-one. $\scriptstyle{\color{blue}{9^2=\left(9\sdot10\right)-\left[\left(10-9\right)\sdot9\right]=90-\left(1\sdot9\right)=81}}$	וכאשר תרצה לדעת מרובע תשעה תערכנו על אחד שהוא המרחק ותחסרנו מתשעים הדומה לתשעה והנה שמונים ואחד
The same for every number [including] one.	וכן כל המספר לפי המרחק וככה האחד
Since ten is analogous to one, we can extract the squares - whether integers or fractions - from their ratio to ten, or to one hundred, or to one thousand. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left(\frac{a}{10}\sdot a\right)\sdot10}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2=\left(\frac{a}{100}\sdot a\right)\sdot100}}$	ובעבור היות עשרה דומה לאחד נוכל ‫^[8]להוציא המרובעים התמימים והנשברים מהערך שיש לו אל עשרה או אל מאה או אל אלף
Such as 75 - how much is its square?	כמו ע"ה כמה מרובעו
Take its ratio to one hundred; it is 3-quarters. Take 3-quarters of 75; it is 18 and three-quarters. Subtract them from 75; fifty-six and a quarter remain; so it is five thousand 600 and twenty-five.	קח ערכו אל מאה והוא ג' רביעיותיו וכמו כן קח ג' רביעיות ע"ה והם י"ח ושלש רביעיות חסרם מע"ה נשארו חמשים וששה ורביעית והם חמשת אלפים ות"ר מאות וחמשה ועשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{75^2=\left(\frac{75}{100}\sdot75\right)\sdot100=\left(\frac{3}{4}\sdot75\right)\sdot100=\left[75-\left(18+\frac{3}{4}\right)\right]\sdot100=\left(56+\frac{1}{4}\right)\sdot100=5625}}$
The same rule for the fractions, including the one.	וככה משפט הנשברים עם האחד
For every square greater than ten, its ratio to the square is the same as the ratio of another square smaller than ten to [ten]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall{a^2>10},\exists{b^2<10}:\quad 10:a^2=b^2:10}}$	וכל מרובע שהוא אחר העשרה יש מערכת המרובע אליו כערך מרובע אחר טרם העשרה אליו
Such as sixteen with six and a quarter:	כמו ששה עשר עם ששה ורביע
The ratio of 16 to ten is as one time and 3-fifths.	שערך י"ו אל עשרה כמוהו וג' חמישיותיו
When you add to six and a quarter its three-fifths, which is 3 to 5, the result is ten.	וכאשר תוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו שהם ג' מה' יעלה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{16:10=1+\frac{3}{5}=\frac{\left(6+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]}{6+\frac{1}{4}}=10:\left(6+\frac{1}{4}\right)}}$
Check: The roots prove it, because the one is divided by the other: When you divide ten by the root of 16, the result is two and a half. Multiply it by itself; the result is 6 and a quarter and the ratio of ten to it is the same as the ratio of 16 to ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{10}{\sqrt{16}}\right)^2=\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=6+\frac{1}{4}}}$	והשרשים יוכיחו כי זה יתחלק על זה כי כשתחלק עשרה על שרש י"ו יעלה שנים וחצי תערכם על עצמם יעלה ו' ורביע וערך עשרה אליו כערך י"ו אל עשרה
Likewise, if you take the ratio of ten to 16, which is five-eighths, and we wish to find a number smaller than ten that is 5-eighths of ten, this is how you find it: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{16}=\frac{a}{10}}}$	וכן אם תקח מהערך עשרה אל י"ו והוא חמש שמניותיו רצינו להוציא חשבון טרם העשרה שיהיה ה' שמיניות עשרה וככה תמצאנו
Multiply 10 by 5; the result is fifty. Divide it by eight; the result of division is six and two remains, which is one quarter and it is five-eighths of ten. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{16}\sdot10=\frac{5}{8}\sdot10=\frac{10\sdot5}{8}=\frac{50}{8}=6+\frac{2}{8}=6+\frac{1}{4}}}$	ערוך י' על ה' יעלה חמשים חלק על שמונה יצא בחלוק ששה נשארו שנים שהם רביע אחד והם חמש שמיניות עשרה
Check: When we take the ratio of 16 to 10; it is one time and three-fifths. We add to six and a quarter its three-fifths; the result is ten.	וכאשר נקח ערך י"ו אל י' והוא כמוהו ושלש חמישיותיו ונוסיף על ששה ורביע שלש חמישיותיו יעלה עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{10}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=\left(1+\frac{3}{5}\right)\sdot\left(16+\frac{1}{4}\right)=\left(16+\frac{1}{4}\right)+\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=10}}$
For every number you find it the same way.	וכן תמצא לכל חשבון
Also for seven by seven with one and three-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7^2}{10}=\frac{10}{\left(1+\frac{3}{7}\right)^2}}}$	וכן שרש שבעה על שבעה עם אחד ושלש שביעיות
The same for all.	וככה כלם
This property is also applicable to one: The same for one with the squares that precede it and follow it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\forall{b^2>1},\exists{a^2<1}: \frac{b^2}{1}=\frac{1}{a^2}}}$	גם כן משרש האחד עם המרובעים לפניו ואחריו
This is clear: as one quarter, whose root is half, so they are similar to four and two. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2^2}{1}=4=\frac{1}{\frac{1}{4}}=\frac{1}{\left(\frac{1}{2}\right)^2}}}$	וזה יתברר כרביע אחד ששרשו חצי והנה הם כארבעה ושנים
Likewise the rule of the fractions of fractions and so on endlessly.	וכן משפט שברי השברים עד אין קץ
The uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions
The proper fractions before one are the inverses to the improper fractions after one	ובעבור היות השרשים בנשברים שהם טרם האחד הפך הנמצאים אחרי האחד
Therefore one has the following properties:
One is a root, a square number, and a cubic number. $\scriptstyle{\color{blue}{1=\sqrt{1}=1^2=1^3}}$	על כן האחד שורש ומרובע וגוף שוה
His hand will be upon all, and the hand of everyone upon him [Genesis 16, 12]; it is the beginning and the end of all.	ידו בכל ויד כל בו‫^{[note 1]} והוא ראשית הכל ואחרית הכל
It has no addition [ $\scriptstyle{\color{blue}{1\times1=1;\;1\times a=a}}$ ] and no subtraction [ $\scriptstyle{\color{blue}{1\div1=1;\;a\div1=a}}$ ].	ולא יקבל תוספת ומגרעת
No number resembles to it.	ואין לו דמות במספר
The Twelve Names that Form Every Number
The names of all numbers are formed by twelve words:	יסוד כל מספר נכלל בשנים עשר שמות
Nine of them repeat themselves and they are [the names] of the units from one to nine.	תשעה מהם חוזרים חלילה והם האחדים מאחד ועד תשעה
Three form the names of the ranks - tens, hundreds, and thousands.	והשלשה שמות בונים מעלותיו והם העשרות והמאות והאלפים
For, every number higher than the thousands reiterate these [three] names, such as ten thousand, one hundred thousand, one thousand thousand.	‫^[9]כי כל חשבון אשר על האלפים חוזרים חלילה על אלו השמות כמו עשרת אלפים ומאת אלף ואלף אלפי אלפים
Table of Contents
The chapters representing the eight arithmetical operations applied to all numbers - integers and fractions:
Every number - integer or fraction - is divided into eight chapters and they are: addition of one to another; subtraction of one from another; multiplication of one by another; division of one by another; ratio of one to another; deducing one from another; conversion of one into another; root of one and another.	וכל מספר השלם והנשבר נחלק לשמנה שערים והם מחברת זה עם זה מגרעת זה מזה מערכת זה על זה מחלוקת זה על זה ערך זה אל זה הוצאת זה מזה השבת זה לזה שורש זה וזה

Interpolated Excerpt

שהיה י"ו ישאר ד‫'

If the scales of the remainder we have to subtract from the greater number are greater than the scales of the greater number, we add 9 to the scales of the greater number and then we subtract.

ואלו היה מאזני הנשאר שיש לנו לחסר מהחשבון הגדול יותר ממאזני החשבון הגדול היינו מוסיפים על מאזני החשבון הגדול ט' ואחר כן היינו מחסרים

Another example with odd numbers:

דמיון אחר בנפרדים

We say that the number is eighty thousand, seven thousand, six hundred and fifty four, which is of the odds.

\scriptstyle\sqrt{87654}

נאמר החשבון שמנים אלף ושבעת אלפים ושש מאות וחמשים וארבעה והוא מן הנפרדים

The analogous of eighty thousand in the units is eight; the closest preceding square is four and its root is two. Since it is in the fifth rank, the root is two hundred.

והדומה לשמנים אלף הוא שמונה באחדים והמרובע הקרוב שעבר הוא ארבעה ושרשו שנים ובעבור היותו ‫^[10]במערכת חמישית הנה השרש מאתים

We subtract the square, which is 4, from eight, which is eighty thousand; we are left with [47] thousand and 654.

ונסיר המרובע שהוא ד' משמונה שהם שמונים אלף אז ישארו לנו [מ"ז] אלף גם תרנ"ד

We double the root; it is 400.

ונכפול השרש ויהיו ת‫'

87654	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8}}-{\color{blue}{2^2}}=8-4={\color{blue}{4}}}$	47654	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	47654
		2	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot200={\color{blue}{4}}00}$	4

We divide 47 by it, but we cannot give it a ten, since it is a hundred and we must subtract its square, which is ten thousand. So, we give it 9, which is 90; the result is 36000 and we are left with 11654.

ונחלק מ"ז עליו ולא נוכל לתת לו עשרה ובעבור שיהיו מאה ויש לנו להסיר מרובעו שהוא עשרת אלפים והנה נתן לו ט' שהם צ' ועלה המספר ל"ו אלפים ונשארו לנו י"א אלף גם תרנ"ד

The root is 290.

והשרש ר"צ

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{47}}000-\left(400\sdot{\color{blue}{9}}0\right)=47000-36000={\color{blue}{11}}000}$	11654
	49

We must subtract the square of 90, which is 8 thousand and one hundred; 3[5]54 remain.

ויש לנו להסיר מרובע צ' שהוא ח' אלפים ומאה ונשארו ג' אלפים גם תרנ"ד

We double the root; it is five hundred and eighty.

נכפול השרש והנו חמש מאות ושמנים

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{116}}00-90^2=11600-8100={\color{blue}{35}}00}$	3554	$\scriptstyle\xrightarrow{2\sdot290={\color{blue}{58}}0}$	3554
	49		58

missing stages of calculation:

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{35}}00-\left(500\sdot{\color{blue}{6}}\right)=3500-3000={\color{blue}{5}}00}$	554	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{55}}0-\left(80\sdot{\color{blue}{6}}\right)=550-480={\color{blue}{7}}0}$	74
	586		586

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{74}}-6^2=74-36={\color{blue}{38}}}$	38
	586

We divide the remaining number by it; the result is 6.

נחלק החשבון הנשאר עליו ויצא ו‫'

Subtract a square of six from the remainder, which is 74; 38 remains.

הסר מרובע ששה מהנשאר שהיה ע"ד ונשאר ל"ח

So, the root is 296 and its square is 87616.

\scriptstyle{\color{blue}{296^2=87616}}

והנה השרש רצ"ו ומרובעו פ"ז אלפים תרי"ו

Check: The scales of the root are one, we add it to the scales of 38, which is the remainder added to the square, that is two; the result is three.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296^2=87616\equiv_91\right)+\left(38\equiv_92\right)=3}}

ומשקל השרש א' חברנו אותו עם משקל ל"ח שהוא הנשאר יותר מהמרובע שהוא שנים עליו שלשה

Look at the scales of the original number, which is the greater; it is three.

\scriptstyle{\color{blue}{87654\equiv_93}}

והנה הסתכל משקל החשבון הראשון שהוא הגדול היה שלשה

We also look how much is [the scales of] 38; it is two. We subtract it from the scales of the greater number, which is 3; 1 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(87654\equiv_93\right)-\left(38\equiv_92\right)=1}}

ועוד בקשנו כמה ל"ח שהוא לחסר והנו שנים חסרנוהו ממשקל החשבון הגדול שהיה ג' ונשאר א‫'

So should be the scales of the square as well as the scales of the root multiplied by itself and so they are.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(296\equiv_91\right)=\left(296^2=87616\equiv_91\right)}}

וככה ראוי להיות משקל המרובע גם משקל שרשו ערוך על עצמו וככה הוא

The three algebraic species: root, square, and number

All numbers are divided into three categories, which are: root, square, and a number that is neither root nor square.

וכל המספרים הם נפרדים לשלשה ענינים והם שרש ומרובע ומספר שלא יעשה לא שרש ולא מרובע

You can extract them from each other:

ואתה יכול להוציאם זה מזה

As saying: a square is equal to its five roots.

\scriptstyle x^2=5x

כאמרך מרובע שוה לחמשת שרשיו

Know that its root is 5 and its square is 25

\scriptstyle{\color{blue}{x=5;\ x^2=25}}

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

Also, a third of a square is equal to its five roots.

\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=5x

וכן שלישית מרובע שוה לחמשת שרשיו

Know that its root is [15] and its square is [2]25.

דע כי שרשו ה' ומרובעו כ"ה

Also, a third of a square is equal to its 4 roots.

\scriptstyle\frac{1}{3}x^2=4x

וכן שלישית מרובע שוה לד' שרשיו

Know that there are 12 roots in the square and the square is [14]4.

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12x}}

דע כי המרובע יהיה בו י"ב שרשים והמרובע ד‫'

The six canonical equations

Three simple types of equations

One category is a square equals roots.

\scriptstyle ax^2=bx

והנה ענין אחד הוא מרובע שוה לשרשים

The second category is a square equals a number.

\scriptstyle ax^2=c

והענין השני מרובע שוה למספר

As saying 5 squares equal 80.

\scriptstyle5x^2=80

כאמרך ה' מרובעים שוים לפ‫'

Know that one square is a fifth of 80, which is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot80=16}}

דע לך כי המרובע האחד הוא חמישית פ' שהוא י"ו

Also half a square equals 18.

\scriptstyle\frac{1}{2}x^2=18

וכן חצי מרובע שוה לי"ח

Know that the square is 36.

\scriptstyle{\color{blue}{x^2=36}}

דע כי המרובע הוא ל"ו

The third category is roots equal a number.

\scriptstyle bx=c

והענין השלישי שרשים שוים למספר

As saying 9 roots equal 81.

\scriptstyle9x=81

כאמרך ט' שרשים שוים פ"א

Know that the number is the square and its root is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{x=9;\ x^2=81}}

דע המספר ‫^[11]הוא המרובע ושרשו ט‫'

Also half a root equals 10.

\scriptstyle\frac{1}{2}x=10

וכן חצי שרש שוה לי‫'

The [root] is 20 and the square is two hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{x=20;\ x^2=200}}

השני עשרים והמרובע מאתים

You can also find three other composite [types of equations] and they are:

וגם תוכל להוציא מזה שלשה ענינים אחרים מורכבים והם

A square and a root equal a number.

\scriptstyle ax^2+bx=c

מרובע ושרש שניהם שוים למספר

Or, a square and a number equal roots.

\scriptstyle ax^2+c=bx

או מרובע ומספר שוים לשרשים

Or, root and a number equal a square.

\scriptstyle bx+c=ax^2

או שרשים ומספר שוים למרובע

The first category:

\scriptstyle ax^2+bx=c

הענין הראשון

As saying: a square summed its ten roots are 39 - how much is the square and how much is the root?

\scriptstyle x^2+10x=39

כאמרך מרובע עם עשרת שרשיו מחוברים עלו ל"ט כמה המרובע וכמה השרש

Take half [the number of] the roots and multiply it by itself; the result is 25.

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה כ"ה

Add it to 39; the result is 64.

הוסיפם על ל"ט יעלה ס"ד

Extract the root; it is 8.

הוצא השרש והוא ח‫'

Subtract from it half [the number of] the roots, which is 5; 3 remains, which is the required root and the square is 9.

וחסר מהם חצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא השרש המבוקש ומרובע ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2+39}-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\sqrt{5^2+39}-5=\sqrt{25+39}-5=\sqrt{64}-5=8-5=3}}

Normalization: also if it is said: 2 squares, or 3, or more, plus so and so of its roots are equal to a certain number. Do as follows:

וכן אם יאמר ב' מרובעים או ג' או יותר עם שרשיו כך וכך שוין למספר כך וכך ככה תעשה

Take one square and take its ratio to [the number of] the squares from the roots and the number. Then, proceed according to the rule: half, multiply, add, extract the root, and subtract; the remainder will be the root of a single square.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ax^2+bx=c\longrightarrow x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}}}

קח מרובע אחד וכערכו מן המרובעים קח מן השרשים ומן המספר ועשה כמשפט לחצות ולערוך ולהוסיף ולהוציא השרש ולחסר והנשאר יהיה שרש המרובע האחד

The same if it is said: half a square, or its third, plus so and so of its roots are equal to a certain number. Do as follows:

וכן אם יאמר חצי מרובע או שלישיתו עם גדריו כך שוים למספר כך ככה תעשה

Complete the square and add to the roots and the number as the value you add to [the square]. Then, proceed according to the rule and you will receive the root of the whole square.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{a}x^2+bx=c\longrightarrow x^2+a\sdot bx=a\sdot c}}

השלם המרובע וכערך שהוספת עליו הוסף על השרשים ועל המספר ועשה כמשפט יצא לך שרש המרובע השלם

The second category:

\scriptstyle ax^2+c=bx

הענין השני

A square plus 21 equal ten roots of the square.

\scriptstyle x^2+21=10x

מרובע עם כ"א שוים לעשרת שרשי המרובע

Take half [the number of] the roots and multiply it by itself; it is 25.

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יהיה כ"ה

Subtract from it the number, which is 21; 4 remains.

הוצא מהם המספר שהוא כ"א ישאר ד‫'

Its root is 2.

ושרשם ב‫'

If you subtract it from half [the number of] the roots, which is 5, 3 remains and this is a root of the square.

אם תגרעהו מחצי השרשים שהוא ה' ישאר ג' והוא שרש המרובע

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5-\sqrt{25-21}=5-\sqrt{4}=5-2=3}}

If you add it to half [the number of] the roots, the result is 8 and this is also a root of the square.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-21}=5+2=7}}

ואם תוסיפהו על חצי השרשים יעלה ח' והוא כמו כן שרש המרובע

Check: when you add it to the 21, they will be equal to 10 roots of the square.

\scriptstyle{\color{blue}{3^2+21=10\sdot3}}

\scriptstyle{\color{blue}{7^2+21=10\sdot7}}

כשתחברהו עם כ"א ההם יחד יהיו שוים לי' שרשי המרובע

Sometimes it does not have two results.

ופעמים שאינו יוצא לשני הפנים האלה

Know that if the product of half [the number of] the roots is less than the number, then the question is wrong.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2<c\longrightarrow\varnothing}}

ודע שאם יהיה היוצא מערך חצי השרשים פחות מן המספר שהשאלה משובשת

If the product is equal to the number, know that the root of the square is half [the number of] the roots mentioned in the question.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{1}{2}\sdot b\right)^2=c\longrightarrow x=\frac{1}{2}\sdot b}}

ואם יהיה היוצא שוה למספר דע כי שרש המרובע הוא חצי השרשים הנזכרים בשאלה

The third category

\scriptstyle bx+c=ax^2

הענין השלישי

As saying: 3 roots plus four equal a square.

\scriptstyle3x+4=x^2

כאמרך ג' שרשים וארבעה שוים למרובע

Take half [the number of] the roots and multiply it by itself; the result is 2 and a quarter.

קח חצי השרשים וערכם על עצמם יעלה ב' ורביע

Add it to the number, which is 4; it is 6 and a quarter.

‫^[12]הוסיפם על המספר שהוא ד' יהיה ו' ורביע

Its root is 2 and a half.

ושרשי ב' וחצי

Add it to half [the number of] the roots, which is one and a half; the result is 4 and this is the root of the square.

הוסף על חצי השרשים שהם אחד וחצי יעלה ד' והוא שרש המרובע

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+4}+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+4}+\left(1+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{6+\frac{1}{4}}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=4\\\end{align}}}

ודע כי לעולם כפל כפל המרובע

Chapter One: Addition	השער הראשון במחברת
It is divided into two categories:	והוא נחלק לשני ענינים
Addition of integers with integers	חבור שלמים עם שלמים
Addition of fractions of fractions with fractions	וחבור שברי שברים עם שברים
The First Category: [Addition of] Integers	הענין הראשון בשלמים
Sums
sum of arithmetic progression of consecutive numbers
When you want to sum numbers increasing by progression as much as you wish.	שתרצה לחבר חשבון הולך וגדל על דרך המספר עד כמה שתרצה
If the number of terms is odd	אם החשבון מן הנפרדים
Multiply the [last] number by its half plus one half and the result is the sum $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left(2n-1\right)\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot \left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]}}$	ערוך החשבון שהגיע עדיו על חציו בתוספת חצי אחד והעולה הוא המחובר
Example: question: we summed the units by progression up to 11, how much are they? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{11} i$	והמשל שאלה חברנו האחדים על דרך המספר עד י"א כמה הם
The answer: take half the last number, add to it one half, it is 6. Multiply it by the [last] number, the result is 66 and so is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)+\frac{1}{2}\right]=11\sdot6=66}}$	התשובה קח חצי המספר האחרון והוסף עליו חצי אחד והנה ו‫' ערכם על המספר עלה ס"ו וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n-1} i=\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]}}$
Know it by adding one to 11, then multiply the result by a half of 11 and so is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i=\left(11+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot11\right)}}$	ותדענו שתוסיף על י"א אחד ותערוך העולה על חצי י"א וככה המבוקש
If the number of terms is even	ואם החשבון מן הזוגות
Multiply the last [number] by its half and add to it half the [last] number. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left[2n\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$	ערוך האחרון על חציו והוסף עליו חצי החשבון
Example: we summed from 1 to 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i$	והמשל חברנו מא' עד י‫'
We take its half, which is 5, multiply it by 10, then add five, which is a half of 10, the result is 55 and so it the sought.	לקחנו חציו והוא ה‫' ערכנו אותו על י' והוספנו חמשה שהוא חצי י' ועלה נ"ה וככה המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left[10\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(10\sdot5\right)+5=55}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n} i=\left(2n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
Know it by adding one to 10, then multiply the result by half the 10. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)}}$	ותדענו שתוסיף אחד על י' והעולה תערוך במחצית הי‫'
sum of arithmetic progression of consecutive even integers
If you add the numbers [two by two]	ואם תוסיף החשבון בב‫'
Start from two to 10. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} 2i$	ותתחיל בשנים עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left(2n+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
It is known that the last [number] is 20, add to it 2, then multiply the result by half the 10 and the result is the sought, which is 110. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left(20+2\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=110}}$	ידוע הוא כי האחרון הוא כ' הוסף עליהם ב' והעולה תערוך על חצי הי' והעולה הוא המבוקש והוא ק"י
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n} 2k=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
Or, take half the last number, which is 10, add a half of 2, it is 11, multiply it by 10 and the result is the sought.	או קח חצי ‫^[13]המספר האחרון והוא י' הוסף חצי ב' והוא י"א ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=\left[10+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]\sdot10=11\sdot10}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot2n}}$
Or, take half the last [number], which is 5, add to it one half and multiply by the last [number]. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot20=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot20}}$	או קח חצי האחרון והוא ה' הוסיף עליהם חצי אחד והערך על האחרון
sum of arithmetic progression of consecutive triples
If you add three by three	ואם תוסיף ג"ג
Start from 3 to 10. $\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} 3k$	ותתחיל בג' עד י' פעם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left(3n+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
It is known that the last number is 30, add to it 3, then multiply the result by half the 10, the result is 165 and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=\left(30+3\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=165}}$	ידוע הוא כי החשבון האחרון הוא ל' הוסף עליהם ג' והעולה תערוך על חצי הי' יעלה קס"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 3i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot n}}$
Or, take half the last number, which is 15, add to it a half of 3, it is 16 and one half, multiply it by 10 and the result is the sought.	או קח חצי מספר האחרון והוא ט"ו הוסף עליהם חצי ג' והוא י"ו וחצי ערכם על י' והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot30\right)=\left[15+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)\right]\sdot10=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10}}$
sum of arithmetic progression of consecutive quadruples
If [you] add four by four	ואם מוסיף ד"ד
Take a half of its quarter. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 4i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 4n}}$	קח חצי רביעיתו
sum of arithmetic progression of consecutive quintuples
If five by five	ואם ה"ה
Take a half of its fifth. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 5i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\sdot 5n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot 5n}}$	קח חצי חמישיתו
sum of arithmetic progression of consecutive integers when the first number is equal to the excess $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}$
Always add one half and multiply by the last [term] - the way is one [and the same] for all excesses. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} ai=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{a}\sdot an\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot an}}$	ולעולם תוסיף חצי אחד והערך על האחרון ודרך אחד לכל התוספות
This sum of progression is true when adding one by one, starting from 1, or for all excesses, [when the first number is the excess itself] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}$	וזה חבור המוספים הוא הנכון כשתוסיף א"א תתחיל בא' וכן לכל התוספות תתחיל בחשבונם
sum of arithmetic progression of consecutive integers when the first number is not equal to the excess $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1\ne d}}$
If you start from 10 and add one by one, or two by two, or three by three, as much as you want, do like this: Extract the [total] sum up to the last, as instructed above for the odds and for the evens, and save it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n} ak=\left(\sum_{i=1}^{n} ai\right)-\left(\sum_{i=1}^{m-1} ai\right)}}$	אך אם תתחיל מי' ותוסיף א"א או ב"ב או ג"ג עד שתרצה ככה תעשה שתוציא לעולם חשבונך מהאחרון כמו שהורתיך למעלה משפט הנפרדים המשפט הזוגות ושמרהו
sum of consecutive natural numbers
Then is you added one by one until reaching 19, which is of the odds $\scriptstyle\sum_{i=10}^{19} i$	ואחר כן אם א"א הוספת עד שהגעת לי"ט והוא מן הנפרדים
You apply on it the rule of the odds, then subtract 1 from 10, take half the remainder, multiply it by the 10, subtract the result from the reserved, which is 190 and the remainder is your sum.	וכבר עשית בו משפט הנפרדים אחר כן תפחות א' מן י' וקח מחצית הנשאר וערכם על הי' והעולה תחסר מן השמור שהיה ק"צ והנשאר הוא חשבונך
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=10}^{19} i=\left(\sum_{i=1}^{19} i\right)-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]=190-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-1\right)\right]\sdot10\right]}}$
sum of consecutive even numbers
If you added two by two and the last number is 20 $\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} 2i$	ואם ב"ב הוספת והיה החשבון האחרון כ‫'
I have already demonstrated how much is [the total sum], which is 110 and it is the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 2i=110}}$	וכבר הורתיך כמה יעלה והוא ק"י והוא השמור
Now, subtract 2 from 10, take half the remainder, multiply it by a half of 10, subtract the result from the reserved and the remainder is the sum from 10 to 20. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} 2i=110-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10-2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]}}$	עכשו חסר ב' מן י' וקח מחצית הנשאר ערכם על מחצית י' והעולה חסר מהשמור והנשאר הוא המחובר מי' עד כ‫'
sum of consecutive triples
If you added three by three, started your sum from 12 and the last [term] is 30, as it is impossible to start from 10. $\scriptstyle\sum_{i=4}^{10} 3i$	ואם ג"ג הוספת והתחלת בחשבונך מי"ב והיה האחרון ל' אך לא יתכן להתחיל בי‫'
Extract your sum from 3 to the last [number], which is 465 and save it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} 3i=465}}$	הוצא חשבונך מן ג' עד האחרון והוא תס"ה ושמרהו
Subtract 3 from 12, then take half the remainder and multiply it by a third of 12, subtract the result from the reserved and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{10} 3i=465-\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12-3\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]}}$	ושוב חסר ג' מי"ב וקח מחצית הנשאר וערכם על שלישית י"ב וחסר העולה מן השמור והנשאר הוא המבוקש
Apply this for all the excesses.	וככה תעשה לכל התוספות שתשמר השמות
Finding the number of terms in a given sum of multiples
If you want to sum a known number multiplied by the units successively, their [number] is unknown and their sum is so and so, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} ai=m}}$	ואם תרצה לחבר מספר ידוע הספור במספר האחדים על הסדר ואינם ידועים ועלו ככה על כמה מספרים ספר אותו
Divide the result [= the given sum] by the said number, then observe from how many units the quotient is summed and as the number of the units so is the number of terms $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n} k=\frac{m}{a}}}$	חלק המספר העולה על המספר שאמר ומה שיצא בחלוק ראה מכמה אחדים יעלה וכמספר האחדים כך ‫^[14]מספרים תפש
Example: 15 multiplied by the numbers successively and the sum is 315, by how many numbers it was multiplied? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 15i=315$	והמשל ט"ו ערוכים על החשבון על הסדר ועלה המחבר שט"ו על כמה מספרים ספר אותו
Divide 315 by 15, the result is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{315}{15}=21}}$	חלק שט"ו על ט"ו יצא כ"א
We know that the units that are summed from 1 to 6 are 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	וידענו מהאחדים הספורים מא' ועד ו' הם כ"א
Hence, it was multiplied by six numbers $\scriptstyle{\color{blue}{n=6}}$ and the sum is 315.	והנה על ששה מספרים ספר אותו והיה המחובר שט"ו
If you want to know the sum of 15 multiplied successively by 1 to 6. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} 15i$	ואם תרצה לדעת כמה המחובר מט"ו ספורים על סדר חשבון מא' ועד ו‫'
We know that up to six the result is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} i=21}}$	ידענו כי עד ששה יעלה כ"א
Multiply 15 by 21, the result is 315. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} 15i=15\sdot21=315}}$	וערוך ט"ו על כ"א יעלה שט"ו
sum of geometrical progressions of even-times-even numbers
If you want to sum the even-times-even numbers from one to however you wish successively. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}$	ואם תרצה לחבר חשבון כפל הכפל מאחד ועד כמה שתרצה על סדר החשבון
odd number of even-times-even terms
Take the square of the mean even-times-even term, which is the last even-times-even term if the number of the even-times-even terms is odd, double the number, subtract from it one, which is the first term, and the remainder is the sum.	קח מרובע הכפל האמצעי והוא הכפל האחרון אם הכפולים נפרדים וכפול החשבון וחסר ממנו אחד שהוא החלק הראשון והנשאר הוא המחובר
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n+1} 2^{i-1}=\left[2\sdot\left(2^{\frac{\left(2n+1\right)-1}{2}}\right)^2\right]-1=\left[2\sdot2^{2n}\right]-1}}$
Example: 1, 2, 4	והמשל א' ב' ד‫'
The square of the 2 is 4 and it is the last even-times-even term $\scriptstyle{\color{blue}{a_n=2^2=4}}$	מרובע הב' הוא ד' והוא הכפל האחרון לעולם
even number of even-times-even terms	ואם הכפולים זוגות
Take the square of the greater mean, subtract one from it and the remainder is the sum. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{2n} 2^{i-1}=\left(2^{n}\right)^2-1}}$	קח מרובע הכפל האמצעי הגדול וחסר ממנו אחד והנשאר הוא המחובר
And if the way be too long for you [Deuteronomy 14, 24], as if you want to know [the sum of] the even-times-evens from [the first term] to the sixty-fourth [term] by sequence of the numbers, it will be difficult for you to extract the mean even-times-even term and its square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n+1} 2^{k-1}=2^{n+1}-1}}$ ${\color{blue}{\scriptstyle1+2+2^2+\ldots+2^{64}=2^{64+1}-1}}$	וכי ירבה ממך דרך‫^{[note 2]} החשבון שתרצה לדעת מאחד ועד ס"ד כפל הכפל על סדר החשבון ויתקשה עליך להוציא הכפל האמצעי ומרובעו
repetitive process of squaring:
You can find it this way: Start with two and multiply it by itself. The result, which is 4, is the number that is the second term and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{2}=4\longrightarrow1+2=2^2-1}}$	ככה תדענו שתתחיל מן השנים וערכם על עצמם והעולה שהוא ד' הוא חשבון שבמדרגה השניה לה וכל החשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 4 by itself, the result is 16, which is the number that is the fourth term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{4}=4^2=16\longrightarrow1+2+2^2+2^3=2^4-1}}$	ושוב וערוך הד' על עצמם יעלה י"ו והוא חשבון שבמדרגה הרביעית לשנית וכל חשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 16 by itself; the result is 256, which is the number that is the eighth term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{8}=16^2=256\longrightarrow1+2+\ldots+2^7=2^8-1}}$	ושוב וערוך הי"ו על עצמם יעלה רנ"ו והוא חשבון שבמדרגה השמינית לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply 256 by itself; the result will be 65536, which is the 16th term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{16}=256^2=65536\longrightarrow1+2+\ldots+2^{15}=2^{16}-1}}$	ושוב וערוך רנ"ו על עצמם יעלה ס"ה אלפים וחמש מאות ושלשים וששה והוא מדרגת י"ו לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply the result in the 16th term by itself, the result will be the number that is the 32nd term; and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{32}=\left(2^{16}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{31}=2^{32}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת י"ו על עצמם ומה שעלה הוא חשבון שבמדרגת ל"ב לשניה והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
Again, multiply the result in the 32nd term [by itself], the result will be the number that is the 64th term, and the sum [of all the numbers] preceding it is equal to it, minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{2^{64}=\left(2^{32}\right)^2\longrightarrow1+2+\ldots+2^{63}=2^{64}-1}}$	ושוב וערוך העולה במדרגת ל"ב ומה שיעלה הוא חשבון שבמדרגת ס"ד והחשבון שלפניה כמוה פחות אחד
sum of squares
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{n} k^2=\left[\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}$
If you want to add up the square of one, the square of two [and so on] by the sequence of the numbers up to the square of 10. $\scriptstyle\sum_{k=1}^{10} k^2$	ואם תרצה לחבר ‫^[15]מרובע אחד ומרובע שנים על דרך החשבון עד מרובע עשרה
Do as follows: add one to ten, then multiply the sum by half the ten; the result will be 55 — keep it. Then take two-thirds of the ten and add one third to it; the result is seven. Multiply this by the 55 you kept and the result will be the sough. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left[\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7}}$	ככה תעשה הוסף אחד על עשרה והמחובר תערוך בחצי העשרה יהיו נ"ה ושמרם ואחר כן קח שני שלישי העשרה ותוסיף עליהם שליש אחד יהיה שבעה ערכם על נ"ה ששמרת והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\left[\left[\left[\left(m-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot m\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\right]}}$
If you wish to sum from four up to ten. $\scriptstyle\sum_{k=4}^{10} k^2$	ואם רצית לחבר מארבעה ואילך עד עשרה
Extract the sum from one to ten. Then subtract one from four, take half the remainder and multiply it by four and multiply the result by two thirds of three plus one third. Subtract the result from the number that you have in your hand and the remainder is the sought.	הוצא כל החשבון מאחד ועד עשרה אחר כך חסר האחד מן הארבעה וקח חצי הנשאר וערכהו בארבעה והעולה תערוך בשני שלישי שלשה בתוספת שליש אחד והעולה חסר מהחשבון שעלה בידך והנשאר הוא שאלתך
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(4-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot4\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot3\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{m-1} k^2}}$
Know it by extracting the sum from 1 to 10, then extract the sum from 1 to 3, according to the way you have seen. Subtract the result from the total sum and the remainder is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=4}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\sum_{k=1}^{3} k^2}}$	ותדענו שתוציא כל החשבון מא' עד י' ואחר כך הוצא החשבון מא' ועד ג' כל על הדרך שראית והעולה חסר מכל החשבון והנשאר הוא שאלתך
If you wish to sum from five up to ten. $\scriptstyle\sum_{k=5}^{10} k^2$	ואם מחמשה ועד עשרה רצית לחבר
Always extract the total sum. Then subtract one from the five, take half the remainder and multiply it by the five and multiply the result by two thirds of 4 plus one third. Subtract the result from the [total sum] and the remainder is the sought.	הוצא לעולם כל החשבון ואחר כך חסר האחד מן החמשה ומהנשאר קח מחציתם וערכם על החמשה ותערוך העולה בשני שלישי ד' בתוספת שליש אחד לעולם והעולה חסר מן החשבון והנשאר הוא שאלתך
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^2=\sum_{k=1}^{10} k^2-\left[\left[\left[\left(5-1\right)\sdot\frac{1}{2}\right]\sdot5\right]\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]\right]}}$
According to this way for all, keeping the names and the terms.	ועל זה הדרך לכלם שתשמר השמות והמדרגות
The Second Category: Addition of Fractions	הענין השני בחבור השברים
Sexagesimal Fractions
If you have fractions as the fractions of the astrologers	אם היו בידך שברים כשברי חכמי המזלות
Who divide the sign [of the zodiac] into thirty degrees $\scriptstyle{\color{blue}{1=30^\circ}}$	שמחלקים המזל אל שלשים מעלות
The degree into sixty minutes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\circ=60'}}$	והמעלה לששים ראשונים
The minute into sixty seconds $\scriptstyle{\color{blue}{1'=60''}}$	והראשון לששים שניים
Let there be 8 signs, 24 degrees, 24 minutes and 44 seconds, and you wish to sum them with 7 signs, 18 degrees, 48 minutes and 28 seconds. $\scriptstyle\left(8+24^\circ+24^\prime+44^{\prime\prime}\right)+\left(7+18^\circ+48^\prime+28^{\prime\prime}\right)$	ויהיו ח' מזלות כ"ד מעלה כ"ד ראשונים מ"ד שניים ותרצה לחברם עם ז' מזלות י"ח מעלה מ"ח ראשונים כ"ח שניים
Seconds: first, sum the seconds, which are 72, add one to the minutes, 12 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{44^{\prime\prime}+28^{\prime\prime}=72^{\prime\prime}=1^\prime+12^{\prime\prime}}}$	חבר בתחלה השניים והם ע"ב הוסף אחד על הראשונים ישארו י"ב
Minutes: then, sum the minutes, which are 73, add one to the degrees, 13 remain. $\scriptstyle{\color{blue}{24^\prime+48^\prime+1^\prime=73^\prime+1^\prime=1^\circ+13^\prime}}$	ושוב חבר הראשונים והם ע"ג הוסף אחד על המעלות ישארו י"ג
Degrees: sum the degrees, which are 43, add one to the signs, 13 degrees remain. $\scriptstyle{\color{blue}{24^\circ+18^\circ+1^\circ=43^\circ=1+13^\circ}}$	ושוב וחבר המעלות והם מ"ג הוסף על אחד על המזלות ישארו י"ג מעלה
Signs: sum the signs, which are 16, extract from them 12 signs that are recurrent. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+7+1\right)-12=16-12=4}}$	ושוב וחבר המזלות והם י"ו הוצא מהם י"ב מזלות שהם חוזרים חלילה
4 signs, 13 degrees, 13 minutes and 12 seconds remain.	ישארו ד' מזלות י"ג מעלות י"ג ראשונים י"ב שניים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+24^\circ+24^\prime+44^{\prime\prime}\right)+\left(7+18^\circ+48^\prime+28^{\prime\prime}\right)=4+13^\circ+13^\prime+12^{\prime\prime}}}$
Simple Fractions
But, the geometricians divide one into a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, a seventh, an eighth, a ninth, and a tenth.	אך חכמי המדות הם מחלקים אחד לחצי ולשליש ולרביע ולחומש ולששית ולשביעית ולשמינית ולתשיעית ולעשירית
If you add four sixths to three ninths. $\scriptstyle\frac{4}{6}+\frac{3}{9}$	ואם תחבר ד' ‫^[16]שתותין אל שלשה תשיעיות
common denominator: Seek a number that has a sixth and a ninth, this is by multiplying six by nine, the result is 54 and this is the denominatorץ $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot9=54}}$	בקש חשבון שיהיה לו שתות ותשיעית והוא שתערוך ששה על תשעה יעלה נ"ד והוא המורה
Take 4 sixths of the denominator, which is 36, add it to its three ninths, which are 18, the result is 54, and it is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{\left(\frac{4}{6}\sdot54\right)+\left(\frac{3}{9}\sdot54\right)}{54}=\frac{36+18}{54}=\frac{54}{54}=1}}$	קח ד' שתותין מן המורה והוא ל"ו וחברם אל שלשת תשיעיותיו שהם י"ח יעלה נ"ד והוא אחד שלם
Another way:
common denominator: you will know it by knowing from which number the sixth is derived, which is from six.	ותדענו שתדע מאי זה חשבון יצא השתות והוא מששה
Take its 4 sixths, which is 4: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot6=4}}$	קח ד' ששיותיו והוא ד‫'
Take its 3 ninths, which is 2: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}\sdot6=2}}$	וקח ג' תשיעיותיו והוא ב‫'
Sum them and divide by 6, the result is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{4+2}{6}=\frac{6}{6}=1}}$	חברם וחלקם עליו על ו' יצא אחד
Another way:
common denominator: you will know it by knowing from which number the ninth is derived, which is from nine.	ותדענו שתדע מאיזה חשבון התשיעית והוא מתשעה
Take its 3 ninths, which is 3: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{9}\sdot9=3}}$	קח ג' תשיעיותיו והוא ג‫'
Take its 4 sixths, which is 6: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}\sdot9=6}}$	וקח ד' ששיותיו והוא ו‫'
Sum them and divide by 9, the result is one. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}+\frac{3}{9}=\frac{3+6}{9}=\frac{9}{9}=1}}$	חברם וחלקם על ט' יצא אחד
If you add 3 eighths to 7 tenths. $\scriptstyle\frac{3}{8}+\frac{7}{10}$	ואם תחבר ג' שמיניות אל ז' עשיריות
common denominator: Take the denominator, which is eighty.	קח המורה והוא שמנים
Its 3 eighths are thirty, add them to 56, which are its 7 tenths, the result is eighty six, which is one and six eighths of a tenth.	וג' שמיניותיו הם שלשים חברם אל נ"ו שהם ז' עשיריותיו יעלה ששה ושמונים והוא אחד וששה שמיניות העשירית
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{7}{10}=\frac{\left(\frac{3}{8}\sdot80\right)+\left(\frac{7}{10}\sdot80\right)}{80}=\frac{30+56}{80}=\frac{86}{80}=1+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$
If you add 4 eighths and a seventh to 3 sixths and a fifth. $\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)$	ואם תחבר ד' שמיניות ושביעית אל ג' ששיות וחמישית
common denominator: Seek for a number that is divisible by the four fractions, this is by multiplying them one by the other, the result is 1680 and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot7\sdot6\sdot5=1680}}$	בקש חשבון שיחלק על ארבעת השברים והוא שתערכם זה על זה ויעלה אלף ושש מאות ושמונים והוא המורה
Its eighth is 210: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot1680=210}}$	ושמיניתו והוא ר"י
Its seventh is 240: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot1680=240}}$	ושביעיתו והוא ר"מ
Its sixth 280: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot1680=280}}$	וששיתו ר"פ
Its fifth 336: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot1680=336}}$	וחמישיתו של"ו
Add its four eighths and a seventh, which are 1080, to its three sixths and a fifth, which are 1176, the result is 2256, which is one and 2 sevenths, a quarter of a seventh, half the quarter of a seventh, and a tenth of a quarter of a seventh.	חבר ארבעת שמיניותיו ושביעית שהם אלף ושמנים אל שלשת ששיותיו וחמישית שהם אלף וקע"ו יעלו אלפים רנ"ו והוא אחד וב' שביעיות ורביעית שביעית וחצי רביעית השביעית ועשירית רביעית השביעית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{4}{8}+\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{3}{6}+\frac{1}{5}\right)&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\frac{4}{8}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1680\right)\right]+\left[\left(\frac{3}{6}\sdot1680\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot1680\right)\right]}{1680}\\&\scriptstyle=\frac{1080+1176}{1680}=\frac{2256}{1680}=1+\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}$
If you sum the fractions from one half up to a tenth. $\scriptstyle\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}$	ואם תחבר השברים מחצי עד עשירית
common denominator: Seek for a number that has all these fractions, it is 2520	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים והוא אלפים וחמש מאות ועשרים
When you sum all the fractions the result is 4861, which is one and 7 eighths, half a tenth, ?, and a fifth of a seventh of an eighth.	וכשתחבר כל השברים יעלה ד' אלפים תתס"א שהם אחד וז' שמיניות וחצי עשירית ושמינית שלישית וחמישית שביעית שמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=2}^{10} \frac{1}{k}=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot\prod_{i=2}^{10} i\right)}{\prod_{i=2}^{10} i}=\frac{\sum_{k=2}^{10} \left(\frac{1}{k}\sdot2520\right)}{2520}=\frac{4861}{2520}=1+\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+?+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$
If you wish to know how much is the number whose sixth and quarter are 5. $\scriptstyle\frac{1}{6}a+\frac{1}{4}a=5$	ואם תרצה לדעת חשבון שתיתו ורביעיתו היו ה' כמה סך החשבון
common denominator: the denominator is 24.	הנה המורה הוא כ"ד
Take its sixth and its quarter, they are 10, divide the denominator by it, the result is two and 4 tenths, multiply the outcome by five, the result is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{a=5\sdot\frac{24}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=5\sdot\frac{24}{10}=5\sdot\left(2+\frac{4}{10}\right)=12}}$	קח שתותו ורביעיתו והיו י' חלק עליו המורה יצא שנים וד' עשיריות ערוך היוצא על חמשה יעלה שנים עשר
Or, multiply the denominator by five, then divide by ten, the result is twelve. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{24\sdot5}{\left(\frac{1}{6}\sdot24\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)}=\frac{24\sdot5}{10}=12}}$	או ערוך המורה על חמשה והעולה חלק על עשרה ‫^[17]עלה שנים עשר
Another way:
common denominator: You can also extract it from one, by taking its sixth and its quarter, which is 2 sixths and a half of a sixth, and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{6}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1\right)=\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	גם תוכל להוציא מאחד שתקח שתיתו ורביעיתו והוא ב' ששיות וחצי ששית והוא המורה
We divide one by it, the result is two and a sixth remains, i.e. we convert [the one] into sixths, then divide them without a fraction by each sixth, the result is two sixths for each sixth and a sixth remains that is not divided. Multiply by 5, the result is ten and 5 sixths. Divide 5 sixths by the denominator, the quotient is two, add them to the ten and they are twelve.	נחלק עליו אחד יצא שנים ונשאר ששית כלו' נעשה ממנו ששיות ונחלקם בלא שבר על כל ששית וששית יצא שני ששיות לכל ששית וששית ונשאר ממנו ששית שלא נתחלק ערוך על ה' יעלה עשרה וה' ששיות חלק ה' ששיות על המורה יצא בחלוק שנים חברם עם העשרה והנה שנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=5\sdot\frac{1}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=5\sdot\frac{\frac{6}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=5\sdot\left(2+\frac{\frac{1}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}\right)=10+\frac{\frac{5}{6}}{\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}=10+2=12}}$
If you add its fifth to its seventh they are two, how much is the whole number? $\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{7}a=2$	ואם תחבר חמישיתו עם שביעיתו ויהיו שנים כמה כל החשבון
Multiply the denominator by two, then divide by twelve, which are a fifth and a seventh of the denominator, the result is five integers and five sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot2}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=\frac{2\sdot35}{12}=5+\frac{5}{6}}}$	ערוך המורה על השנים וחלק על השנים עשר שהם חמשית ושביעית המורה יצא חמשה שלמים וחמש ששיות אחד
Or, divide by the denominator, i.e. 35 by twelve, then multiply the result, which is 3 minus half a sixth, by two, the result is five and five sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{a=2\sdot\frac{35}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot35\right)}=2\sdot\frac{35}{12}=2\sdot\left[3-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=5+\frac{5}{6}}}$	או חלק המורה כלו' ל"ה על שנים עשר והיוצא שהוא ג' פחות חצי שתות תערוך על שנים יעלה חמשה וחמש ששיות אחד
Another way:
common denominator: Also extract it from one, by taking its fifth and its seventh, which is 2 sevenths and 2 fifths of a seventh, and it is the denominator. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot1\right)=\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	גם תוציאנו מאחד והוא שתקח חמישיתו ושביעיתו ויהיו ב' שביעיות וב' חמישיות השביעית והוא המורה
We divide one by it, the quotient is two, and two sevenths and a fifth of a seventh remain. We multiply them by two and they are four integers, 4 sevenths and 2 fifths of a seventh. Divide the four sevenths and 2 fifths of a seventh by the denominator, the result is one. Add it to the four and ten fifths of a seventh remain, which are 2 sevenths, and one seventh is five [fifths of a seventh]. Thus, ten parts remain, which are 10 parts of twelve.	נחלק עליו אחד יצא בחלוק שנים וישאר שתי שביעיות וחומש שביעית נערכם על שנים והם ארבעה שלמים וד' שביעיות וב' חמישיות השביעית חלק הארבעה שביעיות והב' חמישיות שביעית על המורה יצא אחד וחברהו עם הארבעה ונשארו עשרה חמישיות שביעית שהם ב' שביעיות והשביעית הוא חמשה והנה נשארו עשרה חלקים שהם י' חלקים משנים עשר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=2\sdot\frac{1}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}=2\sdot\left[2+\frac{\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=4+\frac{\frac{4}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}=4+\left[1+\frac{\frac{10}{5}\sdot\frac{1}{7}}{\frac{2}{7}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}\right]=5+\frac{10}{12}}}$
If you add a third of a quarter of its fifth to a seventh of an eighth of its ninth they are two, and you wish to know how much is the whole number. $\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot a\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot a\right]=2$	ואם תחבר שלישית רביעית חמישיתו עם שביעית שמינית תשיעיתו ויהיו שנים ותרצה לדעת כמה כל החשבון
common denominator: Seek for a number that has all these fractions, the number that has all these fractions is 2520 and this is the denominator.	בקש חשבון שיהיו לו כל השברים האלה והוא החשבון שיש לו כל החלקים אלפים וחמש מאות ועשרים והוא המורה
Then, take a third of a quarter of its fifth, which is 42, add it to a seventh of an eighth of its ninth, which is 5, the sum is 47. Divide the denominator by it, the result is fifty three and 29 remains. Multiply them by two, the result is 106 [integers], 58 [fractions]. Divide 58 by 47, the result is one, add it to 106, the sum is 107 integers and eleven parts of 47 remain, and this is the whole number.	ואחר כן קח שלישית רביעית חמישיתו והוא מ"ב וחברהו עם שביעית שמינית תשיעיתו שהוא ה' יהיה הכל מ"ז וחלק עליו המורה יצא חמשים ושלשה וישאר כ"ט ערוך אותם בשנים יעלה ק"ו נ"ח חלק הנ"ח על מ"ז יהיה אחד חברהו עם הק"ו יעלה ק"ז שלמים וישאר אחד עשר חלקים ממ"ז באחד וכן היה כל החשבון
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a&\scriptstyle=2\sdot\frac{2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}=2\sdot\frac{2520}{42+5}=2\sdot\frac{2520}{47}\\&\scriptstyle=2\sdot\left(53+\frac{29}{47}\right)=106+\frac{58}{47}=106+1+\frac{11}{47}=107+\frac{11}{47}\\\end{align}}}$
Or, double the denominator, then divide by 47, the result is 107 and 11 remain, as in the other method.	או כפול המורה וחלק על מ"ז יצא ק"ז וישאר י"א כמו ‫^[18]הענין האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{2\sdot2520}{\left[\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot2520\right]+\left[\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot2520\right]}=\frac{2\sdot2520}{47}=107+\frac{11}{47}}}$
Its check: Multiply 107 by 47 and add 11 to the product, the result is 5040. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(107\sdot47\right)+11=5040}}$	ובחינתו שתערוך ק"ז על מ"ז ותחבר עם העולה הי"א יהיה הכל חמשת אלפים וארבעים
When you take a third of a quarter of its fifth the result is 84, which is one integer and 37 parts of 47. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot5040}{47}=\frac{84}{47}=\left(1+\frac{37}{47}\right)}}$	וכשתקח שלישית רביעית חמישיתו יהיה פ"ד והוא אחד שלם ול"ז חלקים ממ"ז באחד
When you take a seventh of an eighth of its ninth the result is ten parts of 47. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot5040}{47}=\frac{10}{47}}}$	וכשתקח שביעית שמינית תשיעיתו יהיה עשרה חלקים ממ"ז באחד
Sum them with 37 and it is one integer. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{37}{47}+\frac{10}{47}=1}}$	חברם עם הל"ז והנה אחד שלם

Chapter Two: Subtraction	השער השני במגרעת
It is divided into two categories:	והוא נחלק לשני ענינים
Subtraction of integers from integers	מגרעת שלמים משלמים
Subtraction of fractions from fractions	ומגרעת שברים משברים
The First Category: [Subtraction] of Integers	הענין הראשון בשלמים
When you wish to know a number that is subtracted repeatedly by the succession of the [natural] numbers, one by one, or two by two, or three by three, from ten to one, the way to extract it is the same as explained for addition, so there is no need to elaborate on that.	שתרצה לדעת חשבון הולך הלוך וחסור על דרך המספר אחד אחד או שנים שנים או שלשה שלשה מעשרה ועד אחד הדרך להוציאו שוה כמו שפרשתי בחבור ואין צורך להאריך בו
The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions	הענין השני מגרעת שברים משברים
Sexagesimal Fractions
If you have fractions of the astrologers.	ואם שברי חכמי המזלות יהיו בידך
Such as 2 signs, 20 degrees, 40 minutes, and 40 seconds, and you wish to subtract from them one number and know the reminder, such as 1 sign, 10 degrees, 45 minutes and 30 seconds. $\scriptstyle\left(2+20^\circ+40'+40''\right)-\left(1+10^\circ+45'+30''\right)$	כמו ב' מזלות כ' מעלות מ' ראשונים ומ' שניים ותרצה לגרוע מהם חשבון אחד ולדעת הנשאר כמו א' מזלות י' מעלה מ"ה ראשונים ל' שניים
Seconds: you start from the seconds, 10 seconds remain. $\scriptstyle{\color{blue}{40''-30''=10''}}$	אתה מתחיל בשניים וישארו י' שניים
Minutes: then, minutes from minutes, but you cannot subtract the greater from the smaller, so take one degree from the degrees, it will be 60 minutes. Add them to the minutes and subtract from them 45 minutes. 55 minutes remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1^\circ+40'\right)-45'=\left(60'+40'\right)-45'=55'}}$	ושוב הראשונים מהראשונים ולא תוכל לגרוע הרב מהמעט [..] ומפני זה קח מהמעלות מעלה אחת תהיה ס' ראשונים ותחברם עם הראשונים וגרע מהם מ"ה ראשונים ישארו נ"ה ראשונים
Degrees: subtract also degrees from degrees. 9 degrees remain. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20^\circ-1^\circ\right)-10^\circ=9^\circ}}$	ושוב וגרע המעלות מהמעלות וישארו ט' מעלות
Signs: then subtract one sign from the 2 signs. $\scriptstyle{\color{blue}{2-1}}$	ושוב וגרע מזל אחד מהב' מזלות
1 [sign], 9 [degrees], 55 [minutes] and 10 [seconds] remain.	ישאר א' ט' נ"ה י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+20^\circ+40'+40''\right)-\left(1+10^\circ+45'+30''\right)=1+9^\circ+55'+10''}}$
If the signs of the subtrahend excceed the minuend signs, you add to them 12 signs, which are the cyclic zodiac signs, then you subtract from the sum and keep the remainder: signs, degrees, minutes and seconds.	ואם מזלות חשבון הנגרעים עודפים על המזלות שאתה גורע ממנו ולא לגרוע אתה מוסיף עליהם י"ב מזלות שהם מזלות הגלגל שהם חוזרים חלילה ומן הנאסף תגרע ותשמור הנשאר בידך מזלות מעלות ראשונים ושניים
Simple Fractions
If you have fractions of the geometricians.	ואם שברי חכמי המדות יהיו בידך
Such as when you wish to subtract from ten its sixth and its quarter and know the remainder. $\scriptstyle10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]$	כמו שתרצה לגרוע מעשרה ששיתו ורביעיתו ולדעת הנשאר
common denominator: Seek a number that has a sixth and a quarter, it is 12 and it is the denominator.	בקש חשבון שיהיה לו ששית ורביעית והוא י"ב והוא המורה
Subtract from it its sixth and its quarter, 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=7}}$	גרע ממנו ששיתו ורביעיתו ישאר ז‫'
Know their ratio, and as their ratio, take from the ten, it is five [and five] sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{7}{12}\sdot10=5+\frac{5}{6}}}$	ודע ערכם ‫^[19]והוא חציו וכזה הערך קח מן העשרה והוא חמשה שתותין
Or, take the ratio of ten to 12, which is 5 sixths, and as this ratio, take from the seven, it is 5 and 5 sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot10\right)\right]=\frac{10}{12}\sdot7=\frac{5}{6}\sdot7=5+\frac{5}{6}}}$	או קח מהערך עשרה אל י"ב והוא ה' ששיותיו וקח כזה הערך מן השבעה והוא ה' וה' שתותין
If you wish to subtract 3 quarters from 4 fifths and know how much is the remainder. $\scriptstyle\frac{4}{5}-\frac{3}{4}$	ואם תרצה לגרוע ג' רביעיות אחד מן ד' חומשין ולדעת כמה הנשאר
common denominator: Know from which number the fifth is [derived]. It is from five.	דע מאיזה חשבון החומש והוא מחמשה
Take [its] 4 fifths, which is 4, then 3 quarters of the five, which is 3 and 3 quarters. Subtract them from the 4, the remainder is a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot5\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot5\right)=4-\left(3+\frac{3}{4}\right)=\frac{1}{4}}}$	קח ד' חומשין והוא ד' ואחר כך ג' רביעיות החמשה והוא ג' וג' רביעיות תחסרם מן הד' ישאר רביע
Know the ratio of the quarter from the 5, it is half a tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{4}:5=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	ודע מה ערך הרובע מן הה' והוא חצי עשירית
Or, take from the denominator, which is twenty, its 3 quarters, which are 15, subtract them from its 4 fifths, which are 16, one remains, which is half a tenth and this is the remainder. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}\sdot20\right)-\left(\frac{3}{4}\sdot20\right)=16-15=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}-\frac{3}{4}=\frac{1}{20}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}}}$	או נקח מן המורה שהוא עשרים ג' רביעיותיו והם ט"ו וגרעם מד' חומשיו שהם י"ו ישאר אחד שהוא חצי עשירית וככה השאר
If you wish to subtract four fifths from 5 sixths and 3 quarters and know the remainder. $\scriptstyle\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}$	ואם תרצה לגרוע ארבע חומשיו מן ה' שתותין וג' רביעיות ולדעת הנשאר
common denominator: Seek a number that has a fifth and a sixth, it is thirty.	בקש חשבון שיהיה לו חומש ושתות והוא שלשים
Take [its] four fifths, which are 24, subtract them from its five sixths and its three quarters, which are 47 and a half, the remainder is 23 and a half.	קח ארבע חמישיות והם כ"ד ותגרעם מחמשה שתותיו ומשלש רביעיותיו שהם מ"ז וחצי יהיה הנשאר כ"ג וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{5}{6}\sdot30\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot30\right)\right]-\left(\frac{4}{5}\sdot30\right)=\left(47+\frac{1}{2}\right)-24=23+\frac{1}{2}}}$
Know their ratio to thirty, it is 7 tenths and half a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{5}{6}+\frac{3}{4}\right)-\frac{4}{5}=\left(23+\frac{1}{2}\right):30=\frac{7}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	ודע ערכם משלשים והוא ז' עשיריות וחצי השתות
If you subtract its third and its quarter, eight remains and you wish to know how much is the whole number. $\scriptstyle a-\frac{1}{3}a-\frac{1}{4}a=8$	ואם תגרע שלישיתו וריביעיתו ונשאר שמונה ותרצה לדעת כמה היה כל החשבון
common denominator: Take the denominator, which is 12.	קח המורה והוא י"ב
Subtract from it its third and its quarter. Five remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}$	וגרע ממנו שלישיתו ורביעיתו ישאר חמשה
Divide the denominator by it, the result is 2 and 2 fifths. Multiply them by eight, the result is 19 and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{12}{5}\sdot8=\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot8=19+\frac{1}{5}}}$	חלק עליו המורה יצא ב' וב' חומשין ערכם בשמונה יעלה י"ט וחומש
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)-\left(\frac{1}{m}\sdot a\right)=b}}$
According to this way for every remaining number, whether two, or three, or whichever number that remains: extract the denominator, subtract from it the subtracted parts - whether sixths, or fifths, or quarters, or whichever is subtracted - then divide the denominator by the remainder and multiply by the stated remainder. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\frac{n\sdot m}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot b}}$	ועל זה הדרך לכל חשבון שישאר שנים או שלשה או איזה חשבון שישאר שתוציא המורה ותגרע ממנו הערכים שגרע הן שתותין או חמישיות או רביעיות או כל מה שגרע ועל הנשאר תחלק המורה והיוצא תערוך בנשאר שאמר
Or, divide the stated remainder by what remains from the denominator, after subtracting the subtracted from it, then multiply the result by the denominator. It is the same thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=\frac{b}{\left(n\sdot m\right)-\left[\left[\frac{1}{n}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]+\left[\frac{1}{m}\sdot\left(n\sdot m\right)\right]\right]}\sdot\left(n\sdot m\right)}}$	או חלק הנשאר שאמר על מה שישאר מן המורה כשתוציא ממנו מה שגרע והיוצא תערוך על המורה והדבר שוה
If you subtract its fifth, then a seventh of the remainder, 24 remains. How much is the whole? $\scriptstyle\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=24$	ואם תגרע חמישיתו ומהנותר שביעיתו ונשאר כ"ד כמה היה הכל
common denominator: Know the denominator, which is 35.	דע המורה והוא ל"ה
Multiply it by the remainder, i.e. according to the rule mentioned above, the result is 35 and it is the sought. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{35\sdot24}{24}=35}}$	וערכהו על הנשאר כלומ' כמשפט אשר הזכיר למעלה יצא ל"ה והוא המבוקש
This way is correct when the [unknown] number is equal to the denominator like this. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]-\left[\frac{1}{m}\sdot\left[a-\left(\frac{1}{n}\sdot a\right)\right]\right]=b}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=n\sdot m \longrightarrow a=\frac{\left(n\sdot m\right)\sdot b}{b}}}$	וזה הדרך הוא נכון כשיהיו סך החשבון והמורה שוים כמו זה
Also if one takes 30, subtract its fifth and a sixth of what remains, so the remainder is twenty. Thus, the [unknown] number and the denominator are equal.	וכמו אם יקח ל' ויחסר חמישיתו ומן הנותר ששית וישאר עשרים שהחשבון והמורה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30\longrightarrow\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]-\left[\frac{1}{6}\sdot\left[30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)\right]\right]=20}}$
For every number like this, the denominator leads you to the truth.	ובכל חשבון כאלו יוציאך המורה אל האמת
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a-\frac{1}{5}a\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(a-\frac{1}{5}a\right)\right]=17+\frac{1}{7}}}$
But, if one takes 25, then subtracts its fifth and a seventh of the remainder, 17 and one-seventh remain, so the denominator and the [unknown] number are unequal.	אך אם יקח כ"ה ויגרע חמישיתו ומן הנשאר שביעיתו וישאר י"ז ^ושביעית שהמורה והחשבון אינם ‫^[20]שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\ne25\longrightarrow\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]-\left[\frac{1}{7}\sdot\left[25-\left(\frac{1}{5}\sdot25\right)\right]\right]=17+\frac{1}{7}}}$
For every number such as this if "your eyes shall see thy Teacher and your ears shall hear a word from behind thee... This is the way; walk in it" [Isaiah 30, 20-21].	ובכל חשבון כיוצא בו אם יהיו עיניך רואות את מוריך אזניך תשמענה דבר מאחריך זה הדרך תלכו בה‫^{[note 3]}
The way for every number is that you seek a number that is divisible by seven after you subtract its fifth from it:	והדרך לכל חשבון שתבקש חשבון שיהיה לו שביעיות אחרי שתגרע ממנו חמישית
Such as 35, whose fifth is 7. 28 remain, whose seventh is 4. We sum them and the result is 11.	כגון ל"ה שחומשו ז‫' וישאר כ"ח ששביעיתו ד‫' ונחברם יעלה י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)+\left[\frac{1}{7}\sdot\left[35-\left(\frac{1}{5}\sdot35\right)\right]\right]=7+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(35-7\right)\right]=7+\left(\frac{1}{7}\sdot28\right)=7+4=11}}$
24 remain: $\scriptstyle{\color{blue}{35-11=24}}$	וישאר כ"ד
Know the ratio of 11 to [24] - it is a quarter and 5 sixths of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{11:24=\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ודע מה ערך י"א אל והוא רביעית וה' ששיות רביעית
Take this ratio from 17 and one-seventh, which is the [given] remainder, and the result is 7 plus 6 sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{1}{7}\right)\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=7+\frac{6}{7}}}$	וכזה הערך קח מי"ז ושביעית שהוא הנשאר והיוצא שהוא ז' ועוד ו' שביעיות
Add [it] to 17 and one-seventh, the result is 25 and this is what you asked for. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left(7+\frac{6}{7}\right)=25}}$	הוסף על י"ז ושביעית יעלה כ"ה והוא מה ששאלת
Know it by maintaining the degrees of the fractions and adding one degree to each fraction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)+\left[\frac{1}{m-1}\sdot\left[b+\left(\frac{1}{n-1}\sdot b\right)\right]\right]}}$	ותדענו שתשמור מדרגות השברים ותוסיף על כל שבר ושבר מדרגה אחת
Do so: take the remainder, add to it its sixth, which exceeds by one degree over the seventh that was stated. Add to the sum a quarter of the sum, which exceeds by one degree over the fifth that was stated at first, and the sum is the sought.	וכן תעשה קח הנשאר והוסף ששיתו שהוא נוסף מדרגה אחת מן השביעית שאמר באחרונה ועל המחובר תוסיף רביעית המחובר שהוא עודף מדרגה אחת על החמישית שאמ' בתחלה והמחובר הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(17+\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[17+\left(\frac{1}{7}\right)+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(17+\frac{1}{7}\right)\right]\right]}}$
If you take two numbers, such that are not equal to one another. You subtract a fifth of the one from a third of the other and six remain. You wish to know how much is each of the numbers? $\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6$	ואם תקח שני חשבונות שאין האחד שוה לחברו ותגרע חמישית האחד משלישית האחר וישארו ששה ותרצה לדעת כמה היה כל אחד ואחד מהחשבונות
common denominator: Seek a number that has a fifth and a third, it is 15 and it is the denominator.	בקש חשבון שיהיה לו חמישית ושלישית והוא ט"ו והוא המורה
Take its fifth, which is three, add it to the six, it is 9. Multiply it by the three, the result is 27, which is the number from which you subtract. Since you know it, you can extract the number that is subtracted, which is 15, for its fifth is three. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=\left[\left(15\sdot\frac{1}{5}\right)+6\right]\sdot3=\left(3+6\right)\sdot3=9\sdot3=27\\\scriptstyle \frac{1}{5}b=3\longrightarrow b=15\end{cases}}}$	וקח חמישיתו והוא שלשה והוסף על הששה ויהיה ט' ותערכם על השלשה ויעלה כ"ז וזה הוא החשבון שגרעת ממנו ואחר שידעת זה תוכל להוציא החשבון הנגרע שהוא ט"ו אחרי שחמישיתו שלשה
This way is not a general way for every number "and your Teacher shall no longer hide Himself" [Isaiah 30, 20], except when one number is equal to the denominator, such as this and the like, but if none is equal to the denominator it does not apply.	וזה הדרך אינו דרך כלל לכל חשבון ולא יכנף עוד מוריך‫^{[note 4]} זולתי כשיהיה החשבון האחד שוה למורה כגון זה וכיוצא בו אך אם לא ישוו המורה אל יורה
Such as when one is 10 and the other is 24 and when you subtract a fifth of the ten from a third of 24, six remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6}}$	כגון שהיה האחד י' והשני כ"ד וכשתגרע חמישית עשרה משלישית כ"ד ישאר ששה
Whereas if you look at the denominator it leads you to 27 and 15 and this number is known if the first number is known. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot27\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=6}}$	ואם תביט אל המורה יוציאך אל כ"ז ואל ט"ו וזה החשבון יודיע אם החשבון האחד ידוע
As when it is said that the one is ten, we subtract its fifth from a third of an unknown number and six remains. How much is the unknown number? $\scriptstyle\frac{1}{3}a-\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)=6$	כמו שיאמר האחד עשרה גרעונו חמישיתו משלישית חשבון שאינו ידוע ונשאר ששה כמה החשבון שאינו ידוע
The way for this and for every number is that you add a fifth of the known to the remainder and multiply the sum by three, since the third is denominated from three and the result is the unknown number. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left[6+\left(\frac{1}{5}\sdot10\right)\right]\sdot3}}$	הדרך בו ולכל חשבון שתוסיף חמישית ‫^[21]הידוע על הנשאר והמחובר תערך על שלשה בעבור כי שלישית יוצאת משלשה והעולה הוא החשבון שאינו ידוע
You can also extract the two numbers.	וגם תוכל להוציא שני החשבונות
If it is said: when we subtract one-fifth of the one from one-third of the other, 6 remains. We sum them and the result is ten. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{3}a-\frac{1}{5}b=6\\\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{1}{5}b=10\end{cases}$	אם יאמר כאשר גרענו חמישית האחד משלישית האחר נשאר ו‫' חברנום יעלו עשרה
The way of this is that you subtract the remainder from the sum, then take half of what remains and so is the number of the fifth that was subtracted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}b=\frac{1}{2}\sdot\left(10-6\right)}}$	הדרך בזה שתחסר הנשאר מהמחובר ומן הנותר קח המחצית וככה מספר החמישית שגרע
Since you know its fifth, you know its whole and you can extract the second from the first.	ואחר שידעת חמישיתו ידעת כלו ומן האחד תוציא השני
According to this way for every number.	ועל זה הדרך לכל חשבון
If it is said: if we subtract one-quarter of the one from one-fifth of the other, 1 remains and if we sum them together, the result is 11. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{5}a-\frac{1}{4}b=1\\\scriptstyle\frac{1}{5}a+\frac{1}{4}b=11\end{cases}$	שאם יאמר אם גרענו רביעית האחד מחמישית האחר נשאר אחד ואם חברנום יעלו י"א
Do as follows: subtract one from 11, 10 remain. Take its half; it is 5, which is the number of the quarter that was subtracted. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}b=\frac{1}{2}\sdot\left(11-1\right)=\frac{1}{2}\sdot10}}$	ככה תעשה גרע אחד מי"א ונשאר עשרה קח מחציתם והוא מספר הרביעית שגרע
It is discovered that one number is twenty, and from it you can deduce the other, which is thirty. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b=20\\\scriptstyle a=30\end{cases}}}$	מתברר שהחשבון האחד הוא עשרים וממנו תוכל להוציא השני והוא שלשים
This way will lead you to the truth and to the correct.	וזה הדרך ידריכך אל האמת ואל הנכון

Chapter Three: Multiplication

השער השלישי במערכת

It is divided into three categories:

ונחלק לשלשה ענינים

Multiplication of integers by integers

מערכת שלמים על שלמים

Multiplication of integers by fractions

ומערכת שלמים על שברים

Multiplication of fractions by fractions

ומערכת שברים על שברים

The First Category: [Multiplication of] Integers by Integers

הענין הראשון בשלמים על שלמים

You should know that every number is built and established on ten ranks:

יש לך לדעת כי כל חשבון יבנה ויכונן בעשרה מדרגות

The first rank are the units

והמדרגה הראשונה הם האחדים

The second - the tens

והשניה העשרות

The third - the hundreds

והשלישית המאות

The fourth - the thousands

והרביעית האלפים

The fifth - the tens of thousands

והחמישית העשרות אלפים

The sixth - the hundreds of thousands

והששית במאות אלף

The seventh - the thousands of thousands

והשביעית באלף אלפים

The eighth - the tens thousands of thousands

והשמינית עשרת אלפי אלפים

The ninth - the hundreds thousands of thousands

והתשיעית במאת אלף אלפים

The tenth - the thousands thousands of thousands

והעשירית באלף אלפי אלפים

And so on endlessly.

וכן עד אין קץ

Definition of the multiplication operation: the multiplication of a number by a number is that you count the first number by the multitude of the second number.

ומערכת מספר על מספר הוא שתהיה מונה המספר האחד במנין המספר השני

Multiplication of units by units

Every number that you multiply by one persists and does not increase.

וכל מספר שאתה עורך אותו באחד הוא עומד ואינו נוסף

Indeed, if you multiply one by one it is one, two by one are two, and so every number that you multiply by one does not increase.

ואכן אם תערוך אחד על אחד הוא אחד ושנים על אחד הם שנים וכן כל מספר שתערכנו על אחד אינו נוסף

If you multiply two by two, you double it.

ואם תערוך שנים על שנים אתה כופל אותו

If you multiply by three, you will find it three [times] the number.

ואם בשלשה תערכנו תמצאנו שלשה מן המספר

So on up to ten that if you multiply if by itself it is one-hundred.

וכן עד עשרה שאם תערכנו על ‫^[22]עצמו יהיו מאה

If you multiply a number by a number that are greater than ten, you should master the multiplication of units, for every number is calculated this way.

ואם תרצה לערוך מספר על מספר למעלה מעשרה אתה צריך שיהיה חשבון האחדים סדורים על פיך כי כל חשבון מתחשב על זה הדרך

Full multiplication table:

To make it easier for the reader, I have drawn a table for you from 1 to 10, by which you may find out every number.

ולהקל על הקורא ציירתי לך זה המכבר מא' ועד י' שתברור לך בו כל חשבון

10	9	8	7	6	5	4	3	2	1
20	18	16	14	12	10	8	6	4	2
30	27	24	21	18	15	12	9	6	3
40	36	32	28	24	20	16	12	8	4
50	45	40	35	30	25	20	15	10	5
60	54	48	42	36	30	24	18	12	6
70	63	56	49	42	35	28	21	14	7
80	72	64	56	48	40	32	24	16	8
90	81	72	63	54	45	36	27	18	9
100	90	80	70	60	50	40	30	20	10

י	ט	ח	ז	ו	ה	ד	ג	ב	א
כ	יח	יו	יד	יב	י	ח	ו	ד	ב
ל	כז	כד	כא	יח	טו	יב	ט	ו	ג
מ	לו	לב	כח	כד	כ	יו	יב	ח	ד
נ	מה	מ	לה	ל	כה	כ	טו	י	ה
ס	נד	מח	מב	לו	ל	כד	יח	יב	ו
ע	סג	נו	מט	מב	לה	כח	כא	יד	ז
פ	עב	סד	נו	מח	מ	לב	כד	יו	ח
צ	פא	עב	סג	נד	מה	לו	כז	יח	ט
ק	צ	פ	ע	ס	נ	מ	ל	כ	י

Instructions for using the multiplication table:

When you wish to multiply a number by a number from 1 to 10

וכאשר תרצה לערוך חשבון על חשבון מא' ועד י‫'

Such as when you wish to multiply 8 by 7

\scriptstyle8\times7

כמו שתרצה לערוך ח' על ז‫'

You place your fingers orderly on the first two lines [lengthwise and breadthwise], in which 1 to 10 are written: one finger on 8 and your other finger on 7. Lead them and where the fingers meet there you will find the result, which is 56.

אתה נותן אצבעותיך בשני הטורים הראשונים אשר כתוב בהם מא' ועד י' על הסדר

האצבע האחד על ח' ואצבעך השני על ז‫'
הולך אותם ובמקום אשר יפגשו האצבעות שם תמצא העולה והוא נ"ו

Likewise for every number.

וכן לכל החשבון

If you wish to multiply the other ranks one by the other, consider them as if they are units.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)}}

ואם תרצה לחשוב משאר המדרגות אחת על אחת יחשוב אותם כאלו הם אחדים

As if you want to [multiply] six hundred by four thousand.

\scriptstyle600\times4000

כמו שתרצה שש מאות על ארבעת אלפים

What is the number of the hundreds? six. And the thousands? four. Multiply six by four as if they were units; the result is 24, save it.

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}

מאיזה חשבון הם המאות מששה והאלפים מארבעה

ערוך ששה על ארבעה כאלו הם אחדים והם כ"ד ושמרם

Determining the place of 6·4 in the product 600×4000

Then take the rank of hundreds, which is three, and count up three ranks from the thousands, it is the sixth rank.

(rank of hundreds)+[(rank of thousands)-1]=3+(4-1)=6

ואחר כך קח מדרגת המאות והוא שלשה ומנה מהאלפים ולמעלה ג' מדרגות והוא מדרגה הששית

Likewise, if you take the rank of thousands, which is four, and count up from the hundreds, you reach the sixth rank.

(rank of thousands)+[(rank of hundreds)-1]=4+(3-1)=6

וכן אם תקח מדרגת האלפים והוא ארבעה ותמנה אתו מן המאות ולמעלה אתה מגיע אל המדרגה הששית

Put there the number of units that you kept, and the tens in the succeeding rank, which is the seventh.

ושים שם חשבון האחדים ששמרת והעשרות במדרגה אשר אחריה והיא השביעית

Hence, you say that the 24 that you kept are 2 thousand of thousand and four hundred of thousand.

\scriptstyle{\color{blue}{600\times4000=2400000}}

ומפני זה אתה אומר כי הכ"ד ששמרת הם ב' אלפי אלפים וארבע מאות אלף

Another way is that you count the ranks of the two numbers and subtract one from [the sum]; the remainder will be the rank of the number [sought].

[(rank of hundreds)+(rank of thousands)]-1=(3+4)-1=7-1=6

דרך אחרת שתהיה חושב מדרגות בב' חשבונות ותפחות אחד מהם והנשאר יהיה מדרגת המספר

Such as, when you take the rank of hundreds, which is three, and the rank of thousands, which is four, and add them, they are seven. Always subtract one from them; you are left with six. This is equal to the first number.

כמו שתקח מדרגת המאות והוא שלשה ומדרגת האלפים ארבעה תחברם יהיו שבעה

תחסר מהם אחד לעולם וישארו בידך ששה
זה דבר שוה ‫^[23]לחשבון הראשון

The reason you subtract [one] from the sum of the two ranks is that the rank of the units appears here and here [= the rank of the units is counted twice]

והטעם שאתה מחסר משתי המדרגות בהתקבצם מפני שמדרגת האחד עולה לכאן ולכאן

If you multiply units and tens by units and tens.

ואם תערוך אחדים ועשרות על אחדים ועשרות

Such as 25 by 28.

\scriptstyle25\times28

כמו כ"ה על כ"ח

Know the ratio of 25 to 100, it is a quarter. Take a quarter of 28, which are 7. The units will be hundreds

\scriptstyle{\color{blue}{25\times28=\left(\frac{25}{100}\sdot28\right)\sdot100=\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)\sdot100=7\sdot100}}

דע מה ערך כ"ה ממאה והוא רובע

קח רובע כ"ח והוא ז‫'
יהיו האחדים מאות

If you multiply 54 by 64.

\scriptstyle54\times66

ואם תערוך נ"ד בס"ו

Know the ratio of fifty to one-hundred, it is a half. Take a half of sixty-six, it is 33. The tens are thousands and the units are hundreds. Then multiply the remaining four by sixty-six, the result is 264. Add it to the 33, the result is 3 thousand, 5 hundred and sixty-four.

דע מה ערך החמשים ממאה והוא חצי

קח חצי מספר ששה וששים יהיו ל"ג
העשרות הם האלפים והאחדים הם מאות
ואחר כך תערוך הארבעה הנותרים על בששה וששים יעלה רס"ד
חברם על הל"ג יעלה ג' אלפים וה' מאות וארבע וששים

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle54\times66&\scriptstyle=\left[\left(\frac{50}{100}\sdot66\right)\sdot100\right]+\left(4\sdot66\right)=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot66\right)\sdot100\right]+264\\&\scriptstyle=\left(33\sdot100\right)+264=3300+264=3564\\\end{align}}}

If you multiply 125 by itself.

\scriptstyle125\times125

ואם תערוך קכ"ה על עצמו

Know its ratio to one-thousand, it is an eighth. Take an eighth of 125, it is 15 and five eighths. Multiply it by one-thousand, the result is 15 thousand and 625.

דע מה ערכו מאלף והיא שמינית

קח שמינית קכ"ה והוא ט"ו וחמשה שמיניות
ערוך אותם באלף יעלה ט"ו אלפים ותרכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{125\times125=\left(\frac{125}{1000}\sdot125\right)\sdot1000=\left(\frac{1}{8}\sdot125\right)\sdot1000=\left(15+\frac{5}{8}\right)\sdot1000=15625}}

If you multiply units by tens

ואם תערוך אחדים על עשרות

If you multiply five by seventy.

\scriptstyle5\times70

כמו חמשה על שבעים

Multiply five by seven, the result is 35. The tens are hundreds and the units are tens. So, it is 3 hundred and fifty.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot7\right)\sdot10=35\sdot10=350}}

ערוך חמשה על שבעה יעלה ל"ה

יהיו העשרות מאות והאחדים עשרות
והוא ג' מאות וחמשים

Know it also by calculating how much is five from ten, it is its half. Take a half of seventy, it is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(\frac{5}{10}\sdot70\right)\sdot10=\left(\frac{1}{2}\sdot70\right)\sdot10=35\sdot10}}

גם תדענו שתחשוב מהו חמשה מעשרה והוא חציו

קח מחצית השבעים והוא ל"ה

Or, know it by calculating how much is seventy from one-hundred, it is seven tenths. Take seven tenths of a five, it is 3 and a half. Multiply it by one-hundred, it is 3 hundred and fifty.

או תדענו שתחשוב מהו השבעים ממאה והוא שבע עשיריות

קח שבע עשיריות מחמשה והוא ג' וחצי
תערכם על מאה יהיו ג' מאות וחמשים

\scriptstyle{\color{blue}{5\times70=\left(5\sdot\frac{70}{100}\right)\sdot100=\left(5\sdot\frac{7}{10}\right)\sdot100=\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot100=350}}

If you multiply units by hundreds

ואם תערוך אחדים על מאות

Such as five by three hundred.

\scriptstyle5\times300

כמו חמשה על שלש מאות

Multiply five by 3, the result is 15. The tens are thousands and the units are hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot3\right)\sdot100=15\sdot100}}

ערוך חמשה על ג' יעלה ט"ו

יהיו העשרות אלפים והאחדים מאות

Know it by calculating how much is five of one-hundred, it is half the tenth. Take half the tenth of 3 hundred, it is 15.

ותדענו שתחשב מהו חמשה ממאה והוא חצי עשיריות

קח חצי עשירית של ג' מאות והוא ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(\frac{5}{100}\sdot300\right)\sdot100=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\sdot300\right]\sdot100=15\sdot100}}

Know it by dividing the 3 hundred by one-hundred, then multiplying the result by five, the result is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times300=\left(5\sdot\frac{300}{100}\right)\sdot100=15\sdot100}}

ותדענו שתחלק הג' מאות על מאה ותערוך היוצא על חמשה יעלה ט"ו

If you multiply tens by tens

ואם תערוך עשרות על עשרות

Such as 20 by 30.

\scriptstyle20\times30

כמו כ' על ל‫'

Multiply two by three, they are six. The units are hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(2\sdot3\right)\sdot100=6\sdot100}}

ערוך שנים על שלשה יהיו ששה

האחדים יהיו מאות

Know it by calculating how much is 20 of one-hundred, take its ratio from 30 and multiply the result by one-hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(\frac{20}{100}\sdot30\right)\sdot100}}

ותדענו שתחשוב מהו כ' ממאה וקח ערכו מל' ומה שיהיה תערכנו במאה

Or, know how much is the 30 of one-hundred and take its ratio from twenty. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{20\times30=\left(20\sdot\frac{30}{100}\right)\sdot100}}

או תדע מה שהם הל' ממאה וקח ערכו מן עשרים והדבר שוה

If you multiply tens by hundreds

ואם תערוך עשרות על מאות

Such as 40 by six hundred.

\scriptstyle40\times600

כמו מ' בשש מאות

Multiply 4 by six, the result is 24. The units are thousands and the tens are tens of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(4\sdot6\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

ערוך ד' על ‫^[24]ששה יעלה כ"ד יהיו האחדים אלפים והעשרות עשרות אלפים

Know it by calculating how much is 6 hundred of one-thousand, which is 6 tenths, take this ratio from 40, the result is 24.

ותדענו שתחשב מהן ו' מאות מאלף והוא ו' עשיריות

קח זה הערך ממ' יעלה כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(40\sdot\frac{600}{1000}\right)\sdot1000=\left(40\sdot\frac{6}{10}\right)\sdot1000=24\sdot1000}}

Or, know how much is the forty of one-thousand, [it is] one part of 25 and take its ratio from six hundred. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times600=\left(\frac{40}{1000}\sdot600\right)\sdot1000=\left(\frac{1}{25}\sdot600\right)\sdot1000}}

או תדע מהן הארבעים מאלף חלק אחד מן כ"ה וכערכו קח משש מאות והדבר שוה

If you multiply tens by thousands

ואם תערוך עשרות על אלפים

Such as 50 by 7 thousand.

\scriptstyle50\times7000

כמו נ' בז' אלפים

Multiply 5 by seven, the result is 35. The units are tens of thousands and the tens are hundreds of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(5\sdot7\right)\sdot10000=35\sdot10000}}

וערוך ה' על זה שבעה יעלה ל"ה

יהיו האחדים עשרות אלפים והעשרות מאות אלפים

Know it by calculating how much is 7 thousand of 10 thousand, take this ratio from fifty, it is 35.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(50\sdot\frac{7000}{10000}\right)\sdot10000}}

ותדענו שתחשב מהן ז' אלפים מי' אלפים וקח אותו הערוך מחמשים והוא ל"ה

Or, know how much is the 50 of 10 thousand and take its ratio from the 7 thousand. It is the same thing.

\scriptstyle{\color{blue}{50\times7000=\left(\frac{50}{10000}\sdot7000\right)\sdot10000}}

או תדע מהם הנ' מי' אלפים וכערכו קח מן הז' אלפים והדבר שוה

By these ways you can know every number endlessly, keeping the names and the ranks.

ועל אלו הדרכים תוכל לדעת כל חשבון עד אין קץ שתשמר השמות והמדרגות

The Second Category: Multiplication of Integers by Fractions

הענין השני מערכת שלמים על שברים

Sexagesimal Fractions

If you have fractions of the astrologers: degrees, minutes and seconds

אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות מעלות ראשונים ושניים

If you mulnitply degrees by degrees, the product are degrees

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^\circ\times b^\circ=\left(a\sdot b\right)^\circ}}

אם אתה עורך מעלות ^על מעל[ו]ת יהיה הנקבץ מעלות

If you multiply degrees by fractions, the product are fractions:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot b}{60^n}}}

ואם אתה עורך מעלות על שברים יהיה הנקבץ שברים

If you multiply by minutes, they are minutes.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^\circ\times b^\prime=\left(a\sdot b\right)^\prime}}

אם ערכת על ראשונים הם ראשונים

If by seconds, they are seconds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^\circ\times b^{\prime\prime}=\left(a\sdot b\right)^{\prime\prime}}}

ואם על שניים הם שניים

If by thirds, they are thirds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^\circ\times b^{\prime\prime\prime}=\left(a\sdot b\right)^{\prime\prime\prime}}}

ואם על שלישיים הם שלישיים

And so on for all the fractions that are multiplied by degrees.

וכן למעלה מהם לכל השברים הנערכים על מעלות

Such as when you wish to multiply 20 degrees by 50 minutes.

\scriptstyle20^\circ\times50^\prime

כמו שתרצה לערוך כ' מעלות על נ' ראשונים

The result is one-thousand, which are minutes. Divide them by sixty, the result of the division is 16 and 40 minutes remain, which are 5 sixths. Take this ratio from the 20, they are 16 degrees and 40 minutes.

\scriptstyle{\color{blue}{20^\circ\times50^\prime=1000^\prime=20^\circ\sdot\frac{5}{6}^\circ=16^\circ+40^\prime}}

יעלו אלף והם ראשונים

תחלקם על ששים יצא בחלוק י"ו וישאר מ' ראשונים והוא ה' ששיותיו וכאותו הערך קח מן הב' יהיו י"ו מעלות מ' ראשונים

According to this calculate the seconds, thirds and all the fractions endlessly.

ועל זה תחשב לשניים ולשלישיים ולכל השברים עד אין קץ

Since the calculation of the integers that are multiplied by fractions is decreasing.

כי כל חשבון השלמים הנערכים בשברים הוא פחות פוחת והולך

The saying: "multiply ten by a third or a quarter" is the same as the saying: "how much is a third or a quarter of the ten" and so on to all fractions.

והאומר חשוב עשרה בשליש או ברביע דומה כמי שאומר כמה חלק שליש או רביע מהעשרה וכן לכל השברים

Integers by integers and fractions

Simple Fractions

If you have fractions of the geometricians and you wish to multiply integers by integers and fractions.

ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה לערוך שלמים על שלמים ושברים

Such as two by three and a quarter.

\scriptstyle2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)

כגון שנים על שלשה ורביע

common denominator: We seek a number that has a third and a quarter, which is twelve and it is the denominator.

נבקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית והוא שנים עשר והוא המורה

Take 12 for each integer:

ותקח לכל אחד שלם י"ב

They are 24 in the first number $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$

והם כ"ד בחשבון האחד

In the second number the result is 36, add to them 3 for the quarter, the result is 39 $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)+3=36+3=39}}$ .

‫^[25]והחשבון השני השלשה יעלו ל"ו הוסף עליהם ג' בעבור הרביע יעלו ל"ט

We multiply 24 by 39, the result is 936

\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot39=936}}

ונערוך כ"ד על ל"ט יעלו תתקל"ו חלקים

Divide them by 144, which is the square of the denominator, the result is six and 72 remain, which are half of 144, thus six and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{936}{12^2}=\frac{936}{144}=6+\frac{72}{144}=6+\frac{1}{2}}}

חלקם על קמ"ד שהוא מרובע המורה יצא ששה ונשארו ע"ב שהוא חצי קמ"ד והנה ששה וחצי

Know it by leaving [aside] the two as they are two and take four for each of the three for the fraction of the quarter, the result is 12. We add one for the quarter, they are 13. We multiply them by two that we have, the result is 26. We divide by four, the result is six and a half.

ותדענו שתעזב השניים כמו שהם שנים ובעבור שבר הרביעית וקח לכל אחד מן השלשה ארבעה יעלו י"ב

נוסיף אחד בעבור הרביעית הנה י"ג
ערכנום על שנים שהיה לנו עלה כ"ו
נחלק על ארבעה יצא ששה וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{2\sdot\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]}{4}=\frac{2\sdot\left(12+1\right)}{4}=\frac{2\sdot13}{4}=\frac{26}{4}=6+\frac{1}{2}}}

common denominator: Know it by taking [the number] by which the quarter is denominated, which is four and it is the denominator.

ותדענו שתקח מה שיצא ממנו הרביע והוא ארבעה והוא המורה

We multiply two by 4, the result is eight. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4=8}}$

נערוך שנים על ד' יעלו שמונה

The three by 4, the result is 12 and with the quarter, 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot4\right)+1=12+1=13}}$ .

ושלשה על ד' יעלו י"ב ועם הרביעית י"ג

Multiply them one by the other, the result is 104. Divide by the square of the denominator, which is 16, the result is six and eight remain, which are one-half.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=\frac{8\sdot13}{4^2}=\frac{104}{16}=6+\frac{8}{16}=6+\frac{1}{2}}}

ערכם זה על זה יצא ק"ד וחלק על מרובע המורה שהוא י"ו יצא ששה וישאר שמונה שהוא חצי אחד

Know it by multiplying two by three, the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$

ותדענו שתערך שנים על שלשה עלה ששה וישוב ו‫'

Multiply two by a quarter, the result is two quarters, which is one-half, and it will be the reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{1}{4}=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}

\scriptstyle{\color{red}{2\times\left(3+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{1}{2}}}

וערוך על שנים על רביעית עלה שנים רביעיות שהוא חצי וזה יהיה שמור בידך

For the one when it is multiplied by a fraction is the same [as the fraction].

\scriptstyle1\sdot\frac{a}{b}=\frac{a}{b}

כי האחד הנערך על שבר הרי הוא כמוהו

It is like saying one in length by one-half in width, which is really nothing but one-half. The same by one-third and by all fractions.

ודומה כמי שאומר אחד באורך על חצי ברוחב וזה באמת אינו כי אם חציו וכן על שליש ועל כל השברים

Integers by fractions fractions

If you multiply integers by fractions

ואם תערוך שלמים על שברים

Simple Fractions

Such as three quarters by nine.

\scriptstyle\frac{3}{4}\times9

כגון שלשה רביעיות בתשעה

Know by which number the quarters are denominated, it is four.

דע מאיזה מספר הרביעיות והוא מארבעה

Divide the nine by it; the result is two and one-quarter for each. Multiply the result by three; it is six and three-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=3\sdot\frac{9}{4}=3\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=6+\frac{3}{4}}}

חלק התשעה עליהם יצא לכל אחד שנים ורובע

ערוך היוצא על שלשה יהיה ששה וג' רביעיות

Know it [by knowing] by which number the quarters are denominated, it is four and it is the denominator.

ותדענו מאיזה מספר הרביעית והוא מארבעה והוא המורה

We multiply the nine by four; the result is 36.

\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot4=36}}

נערוך התשעה על ארבעה יעלה ל"ו

We multiply them by three for the quarters, which are three; the result is 108.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot36=108}}

ונערכם על שלשה בעבור הרביעיות שהם שלשה יעלה ק"ח

Divide them by 16, which is the square of the denominator, the result is six integers and 12 remain, which are 3 quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times9=\frac{108}{4^2}=\frac{108}{16}=6+\frac{12}{16}=6+\frac{3}{4}}}

חלקם על י"ו שהוא מרובע המורה יצא ששה שלמים וישארו י"ב שהם ג' רביעיות אחד

Integers and fractions by integers and fractions

If you multiply integers and fractions by integers and fractions

ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברים

Simple Fractions

Such as three and a seventh by five and an eighth.

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)

כגון שלשה ושביעית על חמשה ושמינית

common denominator: Seek for a number that has the two fractions, i.e. a seventh and an eighth, it is 56 and it is the denominator.

בקש חשבון שיש לו שני השברים כלומ' שביעית ושמינית והוא נ"ו והוא המורה

We multiply the first number, which is three, by the denominator; the result is 168. We add to it 8, for the seventh; the result is 176.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot56\right)+8=168+8=176}}

ונערוך החשבון האחד שהוא שלשה על המורה ויעלה קס"ח ונוסיף עליו ח' בעבור השביעית ועלה קע"ו

We further multiply the first number, which is five, by the denominator; the result is 280. For the eighth we add seven; it is 287.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot56\right)+7=280+7=287}}

ועוד ‫^[26]נערוך החשבון האחד שהוא חמשה על המורה יעלה ר"פ ובעבור השמינית נוסיף שבעה והנה רפ"ז

We multiply 176 by 287; the result is fifty thousand five hundred and twelve.

\scriptstyle{\color{blue}{176\times287=50512}}

נערוך קע"ו על רפ"ז עלה חמשים אלף וחמש מאות ושנים עשר

We divide it by three thousand one hundred and thirty-six, which is the square of the denominator; the result of the division is sixteen and 336 remain, which are three-quarters of one-seventh

חלקנום על שלשת אלפים ומאה ושלשים ושש שהוא מרובע המורה יצא בחלוק ששה עשר ונשארו של"ו והם שלש רביעיות שביעית אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)=\frac{50512}{56^2}=\frac{50512}{3136}=16+\frac{336}{3136}=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

שהאחד הוא מרובע המורה שהם ושביעיתו הם באותיות הודו ובאותיותנו הם ת'מ'ח‫'

Know it by taking forty for the [five] that have one-eighth with them and add one; the result is 41.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot8\right)+1=40+1=41}}

ותדענו שתקח לשלשה שיש עמהם שמינית ארבעים והוסף אחד הנה מ"א

\scriptstyle{\color{red}{\left(3\sdot7\right)+1=21+1=22}}

We multiply them by each other; the result is nine hundred and two.

\scriptstyle{\color{blue}{22\times41=902}}

ערכנום זה על זה עלו תשע מאות ושנים

We divide them by 56, which is the product of seven by eight; the result is 16 and 6 remain, which are three-quarters of one-seventh, because one-seventh of 56 is 8.

חלקנום על נ"ו שהוא ערך שבעה על שמונה ויצא י"ו ונשארו ו' שהם שלש רביעיות שביעית אחד כי שביעית נ"ו הם ח‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)=\frac{902}{7\sdot8}=\frac{902}{56}=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)=16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

Know it by multiplying three by five; the result is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}

ותדענו שתערוך שלשה על חמשה עלה ט"ו

Multiply three again by one-eighth; the result is 3 eighths.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times\frac{1}{8}=\frac{3}{8}}}

ועוד תערוך ג' על שמינית עלה ג' שמיניות

Five by one-seventh is five-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{1}{7}=\frac{5}{7}}}

וחמשה על שביעית הנה חמש שביעית

We count them as eighths and add them to the three; the result is one unit and five-eighths of one-seventh remain from the excess of the seventh over the eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{5}{7}=1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

ונחשוב שהם שמיניות ונחברם עם השלש עלה אחד שלם ונשאר מיתרון השביעית על השמינית חמש שמיניות שביעית

Still you have to multiply one-seventh by one-eighth; the result is one-seventh of one-eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\times\frac{1}{8}=\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}}}

ועוד יש לך לערוך שביעית על שמינית והוא שביעית שמינית

Add this to the five that you have and the result is six-eighths of one-seventh.

תחברם עם החמש שיש לך והנה שש שמיניות שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)=15+1+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)=16+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

All of these ways yield the same.

וכל הדרכים יצאו שוה

Sexagesimal Fractions

For the way of the astrologers, as sixty is indivisible by seven nor by eight, do as follows:

ולדרך חכמי המזלות שלא יחלקו ששים על שבעה ולא על שמונה ככה תעשה

Divide one degree into 56 minutes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\circ=56^\prime}}$

שתעשה מן מעלה אחת נ"ו ראשונים

And one minute into 56 seconds $\scriptstyle{\color{blue}{1^\prime=56^{\prime\prime}}}$

ומראשון נ"ו שניים

Since 56 has a seventh and an eighth [= divisible by 7 and 8].

בעבור שנ"ו יש להם שביעית ושמינית

Thus, you should multiply three degrees and 8 minutes, which are one-seventh of 56, by five degrees and 7 minutes, which are one-eighth of 56.

והנה יש לך לערוך שלשה מעלות וח' ראשונים שהם שביעית נ"ו על חמשה מעלות ז' ראשונים שהם שמינית נ"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)=\left(3+\frac{\frac{1}{7}\sdot56}{56}\right)\sdot\left(5+\frac{\frac{1}{8}\sdot56}{56}\right)=\left(3^\circ+8^\prime\right)\times\left(5^\circ+7^\prime\right)}}

Multiply 3 by 5, which are degrees; the result is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3^\circ\times5^\circ=15^\circ}}

תערוך ג' על ה' שהם מעלות עלה ט"ו

Multiply the three integers by seven minutes; the result is 21 minutes.

\scriptstyle{\color{blue}{3^\circ\times7^\prime=21^\prime}}

ותערוך השלשה שלמים על שבעה ראשונים ועלה כ"א ראשונים

Then, multiply 8 by 5 integers; the result is 40 minutes.

\scriptstyle{\color{blue}{8^\prime\times5^\circ=40^\prime}}

ואחר כן תערוך ח' על ה' שלמים יעלה מ' ראשונים

We multiply 8 minutes by 7 minutes; the result is 56 seconds.

\scriptstyle{\color{blue}{8^\prime\times7^\prime=56^{\prime\prime}}}

ונערוך ח' ראשונים על ז' ראשונים יעלה נ"ו שניים

We divide the seconds by 56; the result is one minute, which we add to the minutes, so [they are] 62.

\scriptstyle{\color{blue}{21^\prime+40^\prime+56^{\prime\prime}=21^\prime+40^\prime+1^\prime=62^\prime}}

נחלק השניים על נ"ו עלה ראשון אשר חברנו עם הראשונים והנה ס"ב

We convert 56 to one degree; the result is sixteen degrees and 6 minutes remain, which are 3 quarters of one-seventh of 56.

נעשה מהם מעלה אחת מנ"ו עלה שש עשרה מעלות ונשארו ו' ראשונים ‫^[27]שהם ג' רביעיות משביעית נ"ו במעלה אחת

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\times\left(5+\frac{1}{8}\right)=15^\circ+62^\prime=15^\circ+1^\circ+6^\prime=16^\circ+6^\prime=\left[16+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]^\circ}}

Integers and fractions by integers and fractions of fractions

If you multiply integers and fractions by integers and fractions of fractions

ואם תערוך שלמים ושברים על שלמים ושברי שברים

Simple Fractions

Such as three and a quarter by five and one-sixth of one-seventh.

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]

כמו שלשה ורביעית על חמשה וששית שביעית

common denominator: Take a number that has a sixth and a seventh, which is 42, multiply it by four, for the quarter, the result is 168 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7\sdot4=42\sdot4=168}}$

קח חשבון שיש לו ששית ושביעית והוא מ"ב גם נערכנו על הארבעה בעבור הרביעית יעלו קס"ח והוא המורה

Convert all the integers to the denominator, sum the fractions [= numerators] with each of the numbers, multiply the sums one by the other, then divide by the square of the denominator - the result of division are the integers and the remainder are the parts of the denominator.

והשב כל השלמים על המורה ותחבר השברים עם כל אחד מהחשבונות והעולה תערוך זה על זה ותחלק על מרובע המורה והיוצא בחלוק הם שלמים והנשאר הם חלקים מהמורה

Know it by multiplying 3 by 5; it is 15 integers.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times5=15}}

ותדענו שתערך ג' על ה' והוא ט"ו שלמים

Multiply three by one-sixth of one-seventh; it is 3 sixths of one-seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}}}

ותערוך שלשה על ששית שביעית והוא ג' ששיות שביעית

common denominator: Since you find all the fractions that are needed for this calculation, take 84, that has a sixth, a seventh and a quarter, and it is the denominator.

ובעבור שתמצא כל השברים שצריכים לזה החשבון קח פ"ד שיש לו ששית ושביעית ורביעית והוא המורה

Its quarter is 21: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot84=21}}$

ורביעיתו כ"א

Its seventh is 12: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot84=12}}$

ושביעיתו י"ב

Its sixth is 14: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot84=14}}$

וששיתו י"ד

Hence, the 3 sixths of one-seventh resulting by the ratio are six.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{6}\sdot\frac{1}{7}=\frac{6}{84}}}

והנה ג' ששיות שביעית שיצאו בערך הם ששה

Multiply a quarter by 5, which are quarters, they are 105

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times5=\frac{105}{84}}}

ושוב וערוך רביעית על ה' והם רביעיות שהם ק"ה

Multiply a quarter by one-sixth of one-seventh; it is one half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\times\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{\frac{1}{2}}{84}}}

ושוב וערוך רביעית על ששית שביעית והוא חצי אחד

When you sum them, the result is 111 and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{84}+\frac{105}{84}+\frac{\frac{1}{2}}{56}=\frac{111+\frac{1}{2}}{84}}}

וכאשר תחברם יעלה קי"א וחצי

Take one integer from them, which is 84, and add it to the 15 integers; the result is 16 integers and 27 and a half still remain. Twenty-one is one-quarter; 6 and a half remain: the six are 2 sevenths of one-quarter and the remaining half is one-sixth of one-seventh of one-quarter. It becomes clear that the result is 16 integers, one-quarter, 2 sevenths of one-quarter and one-sixth of one-seventh of one-quarter.

קח מהם אחד שלם שהוא פ"ד וחברהו עם הט"ו שלמים יעלו י"ו שלמים ונשארו עדין כ"ז וחצי

ועשרים ואחד הוא רביעית נשאר ו' וחצי
והששה הם ב' שביעיות רביעית
והחצי שנשאר הוא ששית שביעית רביעית
ונתברר שעלה י"ו שלמים ורביעית וב' שביעיות רביעית וששית שביעית הרביעית

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{1}{4}\right)\times\left[5+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]&\scriptstyle=15+\frac{111+\frac{1}{2}}{84}=15+\frac{84+27+\frac{1}{2}}{84}=15+1+\frac{27+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{21+6+\frac{1}{2}}{84}=16+\frac{1}{4}+\frac{6+\frac{1}{2}}{84}\\&\scriptstyle=16+\frac{1}{4}+\left(\frac{2}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{4}\right)\\\end{align}}}

You can extract it in all ways.

ובכל הדרכים תוכל להוציאו

The Third Category: Multiplication of Fractions by Fractions

הענין השלישי מערכת שברים על שברים

Sexagesimal Fractions

If you have fractions of the astrologers, such as minutes and seconds and you wish to multiply them by minutes and seconds.

אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות כגון ראשונים ושניים ותרצה להעריכם על ראשונים ושניים

When you multiply minutes by minutes the result are seconds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a'\times b'=\left(a\sdot b\right)''}}

כשאתה עורך ראשונים על ראשונים יעלה מן הערך שניים

If minutes by seconds the result are thirds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a'\times b''=\left(a\sdot b\right)'''}}

ואם ראשונים בשניים יעלה שלישיים

If minutes by thirds the result are fourths

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a'\times b'''=\left(a\sdot b\right)^{iv}}}

ואם ראשונים בשלישים יעלה רביעים

If you multiply thirds by thirds the result are sixths

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a'''\times b'''=\left(a\sdot b\right)^{vi}}}

ואם שלישים בשלישים אתה עורך יעלה ששיים

If by fourths the result are sevenths

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a'''\times b^{iv}=\left(a\sdot b\right)^{vii}}}

ואם ברביעים יעלה שביעים

Since, every number that you multiply by fractions is decreasing from its value by the rank of the fraction by which we multiply.

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{60^n}\sdot\frac{1}{60^m}=\frac{1}{60^{n+m}}}}$

כי כל מספר שאתה עורך אותו בשברים שברים בשברים הוא פוחת ‫^[28]ומתרחק מחשבונו כמרחק השבר אשר נערוך בו

Multiplication table of sexagesimal fractions

To make it easier for the reader, I have drawn a table in order to understand the product of fractions by fractions.

ולהקל על הקורא ציירתי לוח להבין העולה משברים על שברים

חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	מעלות
ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	ראשונים
שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	שניים
שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שלישיים
תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמישיים	רביעיים	רביעיים
עשיריים	תשיעיים	שמיניים	שביעיים	ששיים	חמשיים	חמשיים

fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	degrees	degrees
sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	minutes	minutes
sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	seconds
eighths	sevenths	sixths	fifths	fourths	thirds	thirds
ninths	eighths	sevenths	sixths	fourths	fourths	fourths
tenths	ninths	eighths	sevenths	sixths	fifths	fifths

Instructions for using the multiplication table: when you wish to know the product of one of the types of the fractions that are written in the lines breadthwise [and lengthwise], look at where the two lines meet and this is where the product of both is.

וכאשר תרצה לדעת העולה מאחד ממיני השברים שהם כתובים בטור הרוחב הסתכל במקום אשר ייפגשו שני הטורים זה בזה ושם העולה משניהם

When you multiply fractions by fractions:

וכאשר תערוך שברים על שברים

If the result is less than sixty, you keep it and count it as belonging to the species that resulting from that product.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ab<60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{a\sdot b}{60^{n+m}}}}

אם יהיה העולה פחות מששים אתה מחזיק בו ומונה אותו מאותו המין היוצא מהערך ההוא

But, if it exceeds sixty, you divide it by sixty and the result of the division belongs to the species, which is higher than the species you divided.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ab>60\longrightarrow\frac{a}{60^n}\sdot\frac{b}{60^m}=\frac{\frac{a\sdot b}{60}}{60^{n+m-1}}}}

ואם יהיה מוסיף על ששים אתה מחלק אותו על ששים והיוצא בחלוק הוא מן המין אשר למעלה מאותו המין אשר חלקת אותו

As if you multiply 50 seconds by 50 seconds.

\scriptstyle50^{\prime\prime}\times50^{\prime\prime}

כאלו היית עורך נ' שניים בנ' שניים

The result is two thousand and 500 fourths. Divide them by sixty. The result of division is 41, which are thirds, and 40 fourths remain, which can not be divided.

\scriptstyle{\color{blue}{50^{\prime\prime}\times50^{\prime\prime}=2500^{iv}=\frac{2500^{\prime\prime\prime}}{60}=41^{\prime\prime\prime}+40^{iv}}}

יהיה העולה אלפים ות'ק' מאות רביעיים

חלקם על ששים יצא בחלוק מ"א והם שלישים ונשארו מ' רביעיים שלא נתחלקו

According to this way for all fractions.

ועל זה הדרך לכל השברים

Simple Fractions

If you divide the fractions of the geometricians one by another.

ואם שברי חכמי המדות תערוך ^זה על זה

Fraction by Fraction

Such as two thirds by two fifths.

\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}

כגון שני שלישיים על שני חמישיים

This is the sign that you keep the names of the fractions:

זה לך האות שתשמור שמות השברים

Know that the thirds are derived from three and the fifths from five.

ודע כי השלישים הם חצובים משלשה והחמישיים מהחמשה

common denominator: Multiply 3 by five, they are 15 and it is the denominator $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$

וערוך ג' על חמשה והם ט"ו והוא המורה

Then multiply two by two, they are four $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2=4}}$

ואחר כן תערוך שנים על שנים והם ארבעה

As the ratio of four to 15 so is the ratio of this number to one, which is a fifth and a third of a fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{5}=4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

וכערך ארבעה מט"ו כן ערך חשבון זה מאחד והוא חמישית ושליש חמישית

The reason is that saying a third by a fifth is as saying a third of a fifth, which is one part of 15.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{15}}}

והטעם כי האומר שלישי על חמישי דומה כמי שאומר שלישית מחמישית שהוא חלק אחד מט"ו

Or it is as saying a third lengthwise by a fifth breadthwise and it is clear that it is one part of 15.

או דומה כמי שאומר שלישי באורך על חמישי ברוחב וידוע וברור שהוא חלק אחד מט"ו

Fraction by fraction of fraction

If you multiply 2 parts of five by a tenth by 2 thirds.

\scriptstyle\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\times\frac{2}{3}

ואם תערוך ב' חלקים מחמשה בעשירית האחד בב' שלישי אחד

Know that the name of one part is fifty, as the number of five by ten.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot10=50}}

דע כי שם החלק האחד הוא חמשים כמספר חמשה בעשרה

Multiply the 50 by 3, which is the name of the other part; the result is 150 and it is the denominator.

\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot3=150}}

ותערוך הנ' בג' שהוא שם החלק השני ויעלה ק"נ והוא המורה

As the ratio of 4, which is the [common numerator of] both numbers, to 150 so is its ratio to one and it is two-thirds of one-fifth of one-fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\times\frac{1}{10}\right)\times\frac{2}{3}=\left(2\sdot2\right):150=4:150=\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}

וכערך ד' שהם שני החשבונות מן ק"נ כן ערך ערכו מן האחד והוא שני שלישי ‫^[29]חמישית החמישית

Fraction of integer and fraction by fraction of integer

If you multiply three-quarters of three and one-third by six-sevenths of five.

\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)

ואם תערוך שלשה רביעיות [ש]ל שלשה ושליש על ששה שביעיות חמשה

Know from which number the quarter is derived - it is from four.

דע מאיזה מספר יצא הרביע והוא מארבעה

Take its three-quarters, they are three. Multiply them by three and one-third; the result is ten, keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=3\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}

קח שלשת רביעיותיו יהיו שלשה

ערכם בשלשה ושליש יעלה עשרה ושמרם

Then, take six-sevenths of five, it is four and 2-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot5=4+\frac{2}{7}}}

ואחר כך תקח ששה שביעיות חמשה והוא ארבעה וב' שביעיות

Multiply them by the reserved; the result is 42 and six-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)=42+\frac{6}{7}}}

ערכם על השמור יעלה מ"ב וששה שביעיות

Divide them by four; the result of the division is ten integers and 5-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\frac{42+\frac{6}{7}}{4}=10+\frac{5}{7}}}

תחלקם על ארבעה יצא בחלוק עשרה שלמים וה' שביעיות

Know it by knowing from which number the seventh is derived - it is from seven.

ותדענו דע מאיזה מספר הוא השביעית והוא משבעה

Take its six-sevenths and multiply them by five; the result is thirty, keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{6}{7}\sdot7\right)\sdot5=30}}

קח ששה שביעיותיו ותערכם בחמשה יעלה שלשים ושמרם

Then, take three-quarters of three and one-third, it is two and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=2+\frac{1}{2}}}

ואחר כך תקח שלשה רביעיות משלשה ושליש והוא שנים וחצי

Multiply them by the reserved, which are 30; the result is 75.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot30=75}}

ערכם על השמור שהם ל' יעלה ע"ה

Divide them by 7; the result of the division is ten and five-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)= \frac{75}{7}=10+\frac{5}{7}}}

חלקם על ז' יצא בחלוק עשרה וחמשה שביעיות

Know it by multiplying two and a half, which is the first number, by four and 2-sevenths, which is the [second] number; the result is ten and 5-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left(\frac{6}{7}\sdot5\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(4+\frac{2}{7}\right)=10+\frac{5}{7}}}

ותדענו שתערוך שנים וחצי שהוא החשבון האחד על ארבעה וב' שביעיות שהוא החשבון יעלה עשרה ‫^[30]וה' שביעיות

Fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

If you multiply seven eighths of 5 and a third by 3 fifths of 6 and a quarter.

\scriptstyle\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]

ואם תערוך שבעה שמיניות של ה' ושליש בג' חמישיות של ו' ורובע

Know by which number the eighth is [denominated], it is eight. Take 7 eighths from eight, it is 7. Multiply it by 5 and one-third; the result is 37 and one-third. Keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=7\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=37+\frac{1}{3}}}

דע מאיזה מספר השמינית והוא משמנה

קח ז' שמיניות והוא ז‫'
ערכם בה' ושליש יעלה ל"ז ושליש ושמרם

Know by which number the fifth is [denominated], it is five. Take its 3 fifths, they are 3. Multiply them by six and one-quarter; the result is [18] and 3 quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=3\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=18+\frac{3}{4}}}

ואחר כך דע מאיזה מספר החומש והוא מחמשה

קח ג' חמישיותיו והם ג‫'
ערכם בששה ורביע יעלה [י"ח] וג' רביעיות

Multiply them by the reserved, the result is 139 and 4 quarters. Divide them by eight and the result of the division is seventeen and a half.

תערכם על השמור יעלה קל"ט וד' רביעיות

תחלקם על שמונה יצא בחלוק שבעה עשר וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\frac{139+\frac{4}{4}}{8}=17+\frac{1}{2}}}

Or, if you wish, divide the reserved, which is 37 and one-third, by eight. Multiply the result, which is 4 and 2 thirds, by 18 and three-quarters. Divide the result, which is 87 and a half, by five and the result is 17 and a half.

או אם תרצה תחלק השמור שהוא ל"ז ושליש על שמונה והעולה שהוא ד' וב' שלישים תערוך על י"ח ושלשה רביעיות והעולה שהוא פ"ז וחצי תחלק על חמשה יצא י"ז וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{37+\frac{1}{3}}{8}\sdot\frac{18+\frac{3}{4}}{5}=\frac{\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(18+\frac{3}{4}\right)}{5}=\frac{87+\frac{1}{2}}{5}=17+\frac{1}{2}}}

Know it by converting the five and one-third to thirds; they are 16 thirds. Take their 7 eighths; the result is 14. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)=\frac{7}{8}\sdot\frac{16}{3}=\frac{14}{3}}}

ותדענו שתשיב החמשה ושליש כלם שלישים יהיו י"ו שלישים

קח ז' שמיניותיו והעולה שהוא י"ד ושמרם

Return to the six and one-quarter and convert them to quarters; they are 25. Take their three fifths. Divide the result, which is 15, by four.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)=\frac{3}{5}\sdot\frac{25}{4}=\frac{15}{4}}}

ושוב אל הששה ורביע תשיבם כלם רביעיות ויהיו כ"ה

קח שלשת חמישיותיו והעולה שהוא ט"ו תחלק על ארבעה

Multiply the result of the division, which is three and three-quarters, by the reserved, then divide the result by three; the result is 17 and a half.

והיוצא בחלוק שהוא שלשה ושלשה רביעיות תערכם על השמור והעולה תחלק על שלשה יצא י"ז וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{14\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)}{3}=17+\frac{1}{2}}}

Or, if you wish, divide the resereved, which is 14, by three. Multiply the result, which is 4 and two-thirds, by 15. Divide the result, which is 70, by 4 and the result is 17 and a half.

או אם תרצה תחלק השמור שהם י"ד על שלשה והיוצא שהוא ארבעה ושני שלישיים תערוך בט"ו והעולה שהוא ע' תחלק על ד' יצא י"ז וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{7}{8}\sdot\left(5+\frac{1}{3}\right)\right]\times\left[\frac{3}{5}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{14}{3}\sdot\frac{15}{4}=\frac{\left(4+\frac{2}{3}\right)\sdot15}{4}=\frac{70}{4}=17+\frac{1}{2}}}

Fraction of fraction by fraction of fraction

If you multiply 3 quarters of 3 fifths by 5 sixths of 3 sevenths.

\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)

ואם תערוך ג' רביעיות של ג' חומשין בה' שתותין של ג' רביעיות

Know from which number the quarter and the fifth are derived, it is twenty. Its 3 fifths are 12. Take its three-quarters, which is 9, they are 2 fifths and one-quarter of one-fifth. Keep them.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}=\frac{\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\sdot20}{20}=\frac{\frac{3}{4}\sdot12}{20}=\frac{9}{20}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

דע מאיזה מספר הרובע והחומש והוא מעשרים

וג' חומשיו הוא י"ב
קח שלשה רביעיותיו והוא ט' שהם ב' חמישיות ורביעית חמישית ושמרם

Then, take the second number and know from which number the sixth and the seventh are derived, it is 42. When you take its five-sixths of three-sevenths the result is 15, which are two-sevenths and one-half of one-seventh.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}=\frac{\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\sdot42}{42}=\frac{15}{42}=\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

ואחר תקח החשבון השני ודע מאיזה מספר השתות והשביעית והוא מ"ב

וכאשר תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות יעלה ט"ו שהם שתי שביעיות וחצי שביעית

When you multiply the reserved 2 fifths and one-quarter of one-fifth by two-sevenths and one-half of one-seventh, look for a number that has a quarter, a fifth and a seventh; it is 140 and this is the denominator. You get from the multiplication of the one by the other 22 and a half, which are parts of the denominator, and they are one-seventh and one-eighth of one-seventh.

וכאשר תערוך הב' חמישיות ורביעית חמישית השמורים על שתי שביעיות וחצי שביעית בקש לך חשבון שיהיה לו רביעית וחמישית ושביעית והוא ק"מ והוא המורה

ועלה בידך ממערכת זה על זה כ"ב וחצי והם חלקים מהמורה והם שביעית ושמינית שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)&\scriptstyle=\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=\frac{140\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{140}\\&\scriptstyle=\frac{22+\frac{1}{2}}{140}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)\\\end{align}}}

Know it by knowing the three-quarters of three fifths, which are 9, as said. Then take five-sixths of three-sevenths, which are two-sevenths and one-half of one-seventh. Take the ratio of two-sevenths and one-half of one-seventh from the nine; the result is three and one-seventh and one-half of one-seventh. Take the ratio of the result from the twenty, from which the quarter and the fifth are derived, and so is the ratio of the number to the one, which is one-seventh and one-eighth of one-seventh.

ותדענו שתדע השלשה ‫^[31]רביעיות של שלשה חומשין שהוא ט' כאשר אמרנו

ואחר כך תקח חמשה שתותין של שלשה שביעיות שהם שני שביעיות וחצי שביעית ותקח מן התשעה כערכם שתי שביעיות וחצי שביעית יעלה שלשה ושביעית וחצי שביעית
וכערך העולה קח מן העשרים אשר יצאו הרביע והחומש ממנו וכן החשבון מן האחד והוא שביעית ושמינית שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{3}{5}\right)\times\left(\frac{5}{6}\sdot\frac{3}{7}\right)=\frac{9}{20}\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]=\frac{9\sdot\left[\frac{2}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]}{20}=\frac{3+\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}{20}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

If you multiply two parts of a five by one-tenth by two parts of an eight by one-third.

\scriptstyle\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)

ואם תערוך שני חלקים מחמשה בעשירית האחד בשני חלקים משמונה בשלישית האחד

know the names of the parts of the second number, which are eight and three. Multiply them by each other, the result is 24.

$\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot3=24}}$

דע שמות החלקים חלקי החשבון השני והם שמונה ושלשה

ערכם ^זה בזה יעלה כ"ד

Multiply 50 by 24, the result is one thousand and two hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot24=1200}}

ותערוך נ' בכ"ד ויעלה אלף ומאתים

As the ratio of the numerators of both numbers, which are two by two, to one thousand and two hundred, so is their ratio to one, which is one part of three hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)=\left(2\sdot2\right):1200=\frac{1}{300}}}

וכערך שמות שני החשבונות שהם שנים שנים מן אלף ומאתים כן ערכם מן האחד והוא חלק אחד משלש מאות

Know it by taking from the 50 two parts a five of one-tenth, which are two, and it is one-fifth of one-fifth by one-quarter of one-third. It is the same as to say one-fifth of one-fifth from one-quarter of one-third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5\sdot10}\sdot\frac{2}{8\sdot3}=\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)}}

ותדענו שתקח מן הנ' שני חלקים מחמשה בעשירית והם שנים והוא חומש החומש על רביעית השליש הוא כמי שיאמר חומש החומש מרביעית השליש

Now, look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and one-fifth of one-fifth. It is 300.

ועתה בקש חשבון שליש ורביע וחומש וחומש החומש והוא שלש מאות

Take its third, which is 100.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot300=100}}

קח שלישיתו והוא ק‫'

From the 100 [take] its quarter, it is 25.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot100=25}}

ומן הק' רביעיתו והוא כ"ה

From 25 [take] its fifth, it is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot25=5}}

ומן כ"ה חמישיתו והוא ה‫'

From 5 [take] its fifth, it is one.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot5=1}}

ומן ה' חמישיתו והוא אחד

It has been found that [the answer] is one part of three hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)\times\left(\frac{2}{8}\sdot\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{300}}}

ונתברר שהוא חלק אחד משלש מאות

From these examples and ways you can understand the fractions of fractions and all of them are present for the one who understands.

ומן הדמיונות והדרכים האלה תוכל להבין בשברי השברים וכולם נכוחים למבין

Chapter Four: Division

השער הרביעי במחלוקת

It is divided into three categories:

והוא נחלק לשלשה ענינים

[The First Category]: Division of Integers by Integers

חלוקת שלמים על שלמים

Sexagesimal Fractions

If you wish to divide degrees by degrees according to the calculation of the astrologers:

אם תרצה לחלק מעלות על מעלות לחשבון חכמי המזלות

greater by smaller: If you divide a greater number by a smaller [number], the result of division are degrees.

אם תחלק חשבון רב על מעט יהיה היוצא בחלוק מעלות

If there is a remainder that cannot be divided, multiply the remainder by sixty - they are minutes; then it is divided by the [original divisor] and the result of division are minutes.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}}}

ואם ישאר שלא יתחלק ערוך הנשאר על ששים יהיו ראשונים ויתחלק על מה שחלקת בראשונה והיוצא בחלוק הם ראשונים

If there is still a remainder that cannot be divided, multiply it by sixty, then divide by the [original divisor] and the result are seconds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a>b\longrightarrow a\div b=n+\frac{r_1\sdot60}{60}+\frac{r_2\sdot60}{60^2}}}

ואם ישאר שלא יתחלק תערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא הם שנים

And so on, as much as you wish.

וכן עד כמה שתרצה

smaller by greater: If you wish to divide a smaller number by a greater [number], multiply the smaller [number] by sixty - they are minutes; then, divide [by the greater number] and the result of division are minutes.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<b\longrightarrow a\div b=\frac{\frac{a\sdot60}{b}}{60}}}

ואם רצית לחלק חשבון מועט על רב תערוך המועט על ששים יהיו ראשונים ואחר כן ‫^[32]תחלוק והיוצא בחלוק הם ראשונים

If there is a remainder that cannot be divided, multiply it by sixty, then divide by the [original divisor] and the result are seconds.

ואם ישאר שלא יחלק ערכם על ששים ותחלק על מה שחלקת יהיה היוצא שניים

And so on for thirds, fourths and to infinity.

וכן לשלישיים ולרביעיים עד אין קץ

Simple Fractions

If according to the calculation of the geometricians.

ואם לחשבון חכמי המדות

greater by smaller: If you wish to divide a greater number by a smaller [number].

תרצה לחלק חשבון רב על מועט

Such as when you wish to divide one-hundred by 15.

\scriptstyle100\div15

כגון שתרצה לחלק מאה על ט"ו

Look for a number that counts both, it is five. Take a fifth of one-hundred, it is 20. Divide by a fifth of 15, which is 3; the result of the division is six and two-thirds and so is [the quotient of] 100 by 15.

\scriptstyle{\color{blue}{100\div15=\frac{\frac{1}{5}\sdot100}{\frac{1}{5}\sdot15}=\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}

בקש חשבון שהיה מונה לשניהם והוא חמשה

קח חמישית מאה והוא כ' וחלק על חמישית ט"ו והוא ג' יצא בחלוק ששה ושני שלישיות וככה מק' על ט"ו

If you divide one-thousand by seventy-two.

\scriptstyle1000\div72

ואם תחלק אלף על שנים ושבעים

The number that counts both is eight. One-eighth of 72 is nine and one-eighth of one-thousand is 125. Divide the greater by the smaller; the result of the division is 14 minus one-ninth and so is [the quotient of] one-thousand by 72.

\scriptstyle{\color{blue}{1000\div72=\frac{\frac{1}{8}\sdot1000}{\frac{1}{8}\sdot72}=\frac{125}{9}=14-\frac{1}{9}}}

החשבון שמונה לשניהם הוא שמונה ושמינית ע"ב תשעה ושמינית אלף קכ"ה

חלק המרובה על המועט יצא בחלוק י"ד פחות תשיעית וככה מאלף על ע"ב

If you cannot find a number that counts the two numbers:

ואם יהיו שני החשבונות שלא תמצא להם חשבון שמונה לשניהם

Such as when you wish to divide 40 by 7.

\scriptstyle40\div7

כגון שתרצה לחלק מ' על ז‫'

The result of the division is 5 and you are left with 5. Make sevenths from them, so the result of the division is 5 integers and 5-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{40\div7=5+\frac{5}{7}}}

יצא בחלוק ה' וישארו לך ה‫'

עשה מהם שביעיות יצא בחלוק ה' שלמים וה' שביעיות

smaller by greater: If you divide a smaller [number] by a greater [number].

ואם מספר מועט תחלק על רב

Such as 15 by 100.

\scriptstyle15\div100

כמו ט"ו על ק‫'

This category is derived from the ratios:

זה הענין יצא מהערכים

You already know that the five counts both: 3 times for 15 and [20] times for 100. Hence, as the ratio of 3 to 20, which is one-tenth and one-half of one-tenth, so is the ratio of 15 to one-hundred.

\scriptstyle{\color{blue}{15\div100=\frac{\frac{1}{5}\sdot15}{\frac{1}{5}\sdot100}=\frac{3}{20}=\frac{1}{10}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}

וכבר ידעת כי החמשה מונה לשניהם למספר ט"ו ג' פעם ולמספר ק' פעם וכערך ג' אל כ' שהוא עשור וחצי עשור כך ערך ט"ו אל מאה

If you cannot find a number that counts both:

ואם לא תמצא מספר שיהיה מונה לשניהם

Such as 7 by 40.

\scriptstyle7\div40

כגון ז' על מ‫'

Take one part of the greater number, then take its ratio from the smaller [number].

קח חלק אחד מהמספר הרב ותערוך המועט אליו

In this example, take one-tenth of the 40, which is 4; or its fifth, which is 8; or its eighth, which is 5.

ובדמיון זה תקח עשור המ' והוא ד' או חמישיתו והוא ח' או שמיניתו והוא ה‫'

If you took its tenth, when you take its ratio from the 7, you find in it two-tenths minus one-quarter of one-tenth. Hence, each part of the 40 is two-tenths minus one-quarter of one-tenth.

\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{10}\sdot40}\sdot\frac{1}{10}=\frac{7}{4}\sdot\frac{1}{10}=\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)}}

אם עשיריתו לקחת כאשר תערוך הז' אליו תמצא בו שנים עשיריות פחות רביע העשור וכן יגיע לכל אחד מן המ' שני עשיריות אחד פחות רביע העשור

Or one-fifth minus one-eighth of one-fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{5}\sdot40}\sdot\frac{1}{5}=\frac{7}{8}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

או חומש פחות שמינית החומש

Or one-eighth plus two-fifths of one-eighth.

\scriptstyle{\color{blue}{7\div40=\frac{7}{\frac{1}{8}\sdot40}\sdot\frac{1}{8}=\frac{7}{5}\sdot\frac{1}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

או שמינית וב' חמישיות שמינית

This is the result of the division for each.

וככה יצא בחלוק לכל אחד

Check:

Its check is when you multiply two-tenths minus one-quarter of one-tenth by 40.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{10}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]\sdot40=7}}

ובחינתו שכשתערוך שנים עשיריות אחד פחות רביע העשור על מ‫'

Or, one-fifth minus one-eighth of one-fifth by 40.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot40=7}}

או חומש אחד פחות שמינית החומש על מ‫'

Or, one-eighth and 2-fifths of one-eighth by 40.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot40=7}}

או שמינית וב' חמישיות שמינית על מ‫'

The result is 7 integers no more and no less.

יעלה ז' שלמים בלי ‫^[33]חסר ויתר

Word Problems - Divide a Quantity Problems

Dividing a known quantity among a known number of people in given ratios

double ratio - each one receives double the previous

If you wish to divide a known number among a known [number of] people and give each double of [the share of] his friend. You wish to know how much should you give the first, so that the whole number is divided no more and no less.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_n=m\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}

ואם תרצה לחלק מספר ידוע על אנשים ידועים ולתת לכל אחד ואחד כפל חברו ותרצה לדעת כמה תתן לראשון שיתחלק כל המספר בלא תוספת ובלא מגרעת

Such as when you divide 100 among 4, so that each has double of [the share of] his friend.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_n=2\sdot a_{n-1}\end{cases}

כמו שתחלק מספר ק' על ד' כל אחד ואחד כפל חבירו

Know how much is the sum of the even-times-evens from one up to four people, then divide the number by the sum and the result is the share of the first.

\scriptstyle a_1=\frac{m}{\sum_{i=1}^{n} 2^{i-1}}

זה תדע מאחד כמה יתחבר בתוספת הכפל לארבעה אנשים ועל המחובר תחלק המספר והיוצא הוא חלק הראשון

It is known that the sum of the even-times-evens for four people is 15. Divide the 100 by it; the result of the division is six and 2-thirds and so is the share of the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}}=\frac{100}{15}=6+\frac{2}{3}}}

וכפל הכפל לארבעה אנשים ידוע הוא שהם ט"ו חלק עליהם הק' יצא בחלוק ששה וב' שלישיים וככה חלק הראשון

likewise if it is said to add to the second a half of what the first has, to the third a third of what the the second has, and to the fourth a quarter of what the third has

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_4=100\\\scriptstyle a_2=a_1+\frac{1}{2}a_1\\\scriptstyle a_3=a_2+\frac{1}{3}a_2\\\scriptstyle a_4=a_3+\frac{1}{4}a_3\end{cases}

וכן אם יאמר להוסיף לשני חצי הראשון ולשלישי שלישית השני ולרביעית רביעית השלישי

Know how much is summed from one up to four, it is known that it is summed to 7 integers.

תדע זה מאחד כמה יתחבר עד ארבעה וידוע הוא שיתחבר ז' שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]+\frac{1}{4}\sdot\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=7}}

Divide the 100 by them; the result of division is 14 and two-sevenths and so is the share of the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{100}{7}=14+\frac{2}{7}}}

תחלק עליהם הק' יצא בחלוק י"ד ושתי שביעיות וככה חלק הראשון

According to this way for every number whether great or small.

ועל זה הדרך לכל מספר בין רב למעט

If you divide 10 by 2, then you divide the result of the first division by 3, then by 4 and then by 5. You wish to know how much the share of the fifth is.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1=100\\\scriptstyle a_2=\frac{a_1}{2}\\\scriptstyle a_3=\frac{a_2}{3}\\\scriptstyle a_4=\frac{a_3}{4}\\\scriptstyle a_5=\frac{a_4}{5}\end{cases}

ואם תחלק ק' על ב' והיוצא בחלוק האחד תחלק על ג' והיוצא על ד' והיוצא על ה' ותרצה לדעת כמה חלק החמישי

Multiply the two by three, then by 4, then by 5; the result is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5=120}}

ערוך השנים בשלשה והעולה בד' והעולה בה' יעלה ק"כ

When you divide the 100 by the result, which is 120, the result is one minus one-sixth and so is the share of the fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\frac{100}{120}=1-\frac{1}{6}}}

וכאשר תחלק הק' על העולה שהוא ק"כ יצא אחד פחות שתות וככה חלק החמישי

arithmetic progression: If you divide 90 between 9 people, so that each one exceeds over his friend by one. How much will be given to the first?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_9=90\\\scriptstyle d=1\end{cases}

ואם תחלק צ' על ט' אנשים ושיוסיף כל אחד על חברו אחד

כמה יתן לראשון ויצא שוה

This is the rule that you have: subtract one from the number of the people; the remainder is eight. Know how much is the sum from one up to eight, by adding one to eight, then multiplying the sum by half the eight; the result is 36.

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{9-1} i=\sum_{i=1}^{8} i=\left[\left(8+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]=36}}

זה הכלל יהיה בידך שתגרע אחד מחשבון האנשים והנשאר שהם שמונה דע כמה יתחבר מאחד ועד שמונה והוא שתוסיף אחד על שמונה והמחובר תערוך על חצי השמונה יעלה ל"ו

Subtract it from ninety and divide the remainder, which is fifty-four, by the nine. The result, which is six, is the share of the first.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{90-36}{9}=\frac{54}{9}=6}}

גרע אותם מהתשעים והנשאר שהוא ארבעה וחמשים חלקם על התשעה והיוצא שהוא שוה ששה הוא חלק הראשון

[this is the general rule for arithmetic progression:] This is the rule that will guide you in all the questions that are similar to this one, when all the excesses are equal, so that the excess of the third over the second is the same as the excess of the fourth over the third and of the fifth over the fourth and so on.

[

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3-a_2=a_4-a_3=a_5-a_4=\ldots}}

]

[

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d}}

]

[

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{S_n-\sum_{i=1}^{n-1} i}{n}=\frac{S_n-\left[n\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n-1\right)\right]\right]}{n}}}

]

וזה הכלל ידריכך בכל השאלות הדומות לזו שיהיו כל התוספות שוות שיהיה תוספת השלישי על השני כתוספת רביעי על השלישי והחמישי על הרביעי וכן כלם

If you divide eighty between five people, so that the second exceeds over the first by 3, the third [exceeds] over the second by one, the fourth [exceeds] over the third by two, and the fifth [exceeds] over the fourth by six. You wish to know how much will be given to the first.

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle S_5=80\\\scriptstyle a_2=a_1+3\\\scriptstyle a_3=a_2+1\\\scriptstyle a_4=a_3+2\\\scriptstyle a_5=a_4+6\end{cases}

ואם תחלק שמונים על חמשה אנשים ושיוסיף השני על הראשון ג' והשלישי על השני אחד והרביעי על השלישי שנים והחמישי על הרביעי ששה ותרצה לדעת כמה יתן לראשון

Sum up all the excesses over the first, they are 25. Subtract them from the eighty and divide the remainder by the number of the people. The result of division is 11 and it is the share of the first.

חבר ‫^[34]כל התוספות שיש על הראשון יעלו כ"ה וגרעם מהשמונים והנשאר שהוא נ"ה חלק על האנשים יצא בחלוק י"א וככה חלק הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{80-\left[3+\left(3+1\right)+\left(3+1+2\right)+\left(3+1+2+6\right)\right]}{5}=\frac{80-25}{5}=\frac{55}{5}=11}}

If you divide a known number between three people. You wish to know how much will be given to each.

\scriptstyle S_3=a_1+a_2+a_3

ואם תחלק מספר ידוע לשלשה אישים ותרצה לדעת כמה נתן לכל אחד

Do as follows: tell him to double the share of the first; multiply the whole share of the second by the [known] number minus one; divide the share of the third by the whole [known] number; and sum up all.

ככה תעשה שתצוה לו לכפול חלק הראשון וחלק השני כלו יערוך על המספר פחות אחד וחלק השלישי על המספר כלו ויחבר הכל

Then, ask him what is the complement to the square of the number he divided.

ואחר כן תשאל ממנו כמה יש להשלמת מרובע החשבון אשר חילק

Divide it by the number he divided minus two; the result of division is the share of the first.

\scriptstyle a_1=\frac{S_3^2-\left[2a_1+\left[a_2\sdot\left(S_3-1\right)\right]+\left(a_3\sdot S_3\right)\right]}{S_3-2}

ומה שיהיה חלק על המספר ההוא אשר חילק פחות שנים והיוצא בחלוק הוא חלק הראשון

What remains that cannot be divided into integers is the share of the second and from this you know [the share of] the third.

ומה שישאר ולא יוכל לחלקו עד שיעשנו ש[למ]ים הוא חלק השני ו[מז]ה תדע השלישי

Sometimes this calculation goes wrong, so that [there is no remainder] in the division.

וזה החשבון פעמים שישתבש שיצא הכל בחלוק

When this happens, know that he gave only one to the first. Give all the remainder to the second and from them you will know the [share] of the third.

וכאשר יקרך זה תדע שלא נתן לראשון כי אם אחד בלבד והנשאר כלו תן לשני ומהם תדע השלישי

The Second Category: Division of Fractions by Integers or Integers by Fractions

הענין השני חלוקת שברים על שלמים או שלמים על שברים

Sexagesimal Fractions

If you have sexagesimal fractions [lit. fractions of the astrologers] and you wish to divide them by degrees, the result of division will be of the same type of the fractions: if they are primes, [the result will be] primes; if seconds [the result are] seconds; and so on for all the fractions

אם יהיו בידך שברי חכמי המזלות ותרצה לחלקם על מעלות יהיה היוצא בחלוק ממין השבר אם ראשונים ראשונים ואם [שניים] שניים וכן לכל השברים

Because, for every fraction you multiply by a degree, the result is of the same type of that fraction.

מפני שכל שבר אשר אתה עורך אותו במעלה יהיה העולה ממין השבר ההוא

If something remains that cannot be divided, multiply the remainder by sixty and divide by what you have divided; the result will be fractions that are lower than the first type by one rank.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{60^n}\div a=\frac{\frac{b}{a}}{60^n}=\frac{k}{60^n}+\frac{\frac{m\sdot60}{a}}{60^{n+1}}}}

ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק על מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה אחת מן המין הראשון

If you divide degrees by [sexagesimal] fractions, you convert the degrees into the type by which you want to divide, then divide this type by its own type and the result of division is degrees.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a\sdot60^n}{b}}}

ואם תחלק מעלות על שברים אתה משיב המעלות אל המין אשר אתה רוצה לחלוק עליו ותחלק מין על מינו ויהיה היוצא בחלוק מעלות

You must always convert the degrees into the type by which you want to divide, even if the degrees are many.

ואתה צריך לעולם להשיב המעלות אל המין אשר תרצה לחלק עליו וגם אם יהיו המעלות רבות

As if you wish to divide ten degrees by five primes.

\scriptstyle10^\circ\div5^\prime

כגון שתרצה לחלק עשרה מעלות על חמשה ראשונים

It is impossible to say: divide ten by five, so that the result of division will be 2 degrees.

\scriptstyle{\color{blue}{10^\circ\div5^\prime\ne10\div5=2^\circ}}

אי איפשר לומ' שתחלק עשרה על חמשה ויצא בחלוק ב' מעלות

Since when you multiply degrees by primes they are primes, as we have said in the Chapter on [Multiplication].

כי כאשר תערוך מעלות על ראשונים יהיו ראשונים כאשר אמרנו בשער המגרעת

In addition, for every number, when you multiply the result of division by the divisor, the result will be the divided number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a}}

‫^[35]וכל חשבון כאשר תערוך מה שיצא בחלוק על הנחלק עליו יעלה החשבון המחולק

Therefore, you multiply the ten by sixty, the result is 600. Then, divide [them] by five, the result of division is 120, which are degrees.

\scriptstyle{\color{blue}{10^\circ\div5^\prime=10\div\frac{5}{60}=\frac{10\sdot60}{5}=\frac{600}{5}=120^\circ}}

ומפני זה אתה עורך העשרה על ששים יעלו ת"ר ותחלק על חמשה יצא בחלוק ק"כ והם מעלות

Because the one who divides ten degrees by 5 primes should to do as follows: he should divide the 10 degrees, so that the breadth on one side will be only 5 primes. You find that there are 120 degrees lengthwise.

כי המחלק עשרה מעלות על ה' ראשונים כך הוא רוצה לעשות שיחלק הי' מעלות שלא יהיה בצד האחד שהוא הרחב כי אם ה' ראשונים ותמצא שיהיה באורך ק"כ מעלות

If something remains indivisible, multiply the remainder by sixty, then divide by what you have divided; the result will be fractions that are lower than the first type by one rank.

ואם ישאר שלא יתחלק תערוך הנשאר על ששים ותחלק מה שחלקת והיוצא יהיו שברים יורדים מדרגה מן המין הראשון

Simple Fractions

If you divide simple fractions [lit. fractions of the geometricians]:

ואם שברי חכמי המדות תחלק

Integer by integer and fraction

As the one who divides 100 by two and a quarter.

\scriptstyle100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)

כגון מי שמחלק ק' על שנים ורביע

Find the ratio of one to two and a quarter; it is four-ninths.

דע מה ערך האחד מן השנים ורביע והוא ארבע תשיעיות

Take four-ninths of 100, which is 44 integers and 4-ninths and this is the part of every unit of two and a quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{100\div\left(2+\frac{1}{4}\right)=100\sdot\frac{1}{2+\frac{1}{4}}=100\sdot\frac{4}{9}=44+\frac{4}{9}}}

וקח ארבעת תשיעיות הק' שהם מ"ד שלמים וד' תשיעיות וכן יגיע לכל אחד מהשנים ורביע

Integer by fraction of integer and fraction

If you divide twenty by two-thirds of seven and one-fifth.

\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]

ואם תחלק עשרים על שני שלישי שבעה וחומש

know how much two-thirds of seven and one-fifth are. They are 4 and four-fifths, which are 24 fifths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)=4+\frac{4}{5}=\frac{24}{5}}}

דע כמה שני שלישי ז' וחומש והוא ארבעה וארבע חומשין שהם כ"ד חומשין

Know what the ratio of one to them is. It is one-sixth and one-quarter of one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{1:\frac{24}{5}=\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

ודע מה ערך האחד מהם והוא שתות ורובע השתות

Take from twenty its one-sixth and one-quarter of one-sixth. They are four and one-sixth and so is the part of each.

\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle20\div\left[\frac{2}{3}\sdot\left(7+\frac{1}{5}\right)\right]=20\sdot\left[\frac{1}{6}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=4+\frac{1}{6}}}

וקח מהעשרים שתותם ורובע שתותם והם ארבעה ושתות וככה חלק כל אחד

Integer and fraction by fraction

If you divide 2 by 3-sevenths.

\scriptstyle\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}

ואם תחלק ב' על ג' שביעיות

Know how much is the complement of 3-sevenths to one; it is two and a third.

דע בכמה ישלמו הג' שביעיות עד שי' שיהיו אחד והוא שנים פעמים ושליש פעם

Multiply it by twenty-sevenths; the result is 7 minus a third and this is the part of each unit.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)\div\frac{3}{7}=\left(2+\frac{6}{7}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{7}}=\frac{20}{7}\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=7-\frac{1}{3}}}

ערכם בעשרים שביעיות יעלה ז' פחות שליש וככה חלק כל אחד

Integer and fraction by fraction and fraction of fraction

If you divide twenty by 7-eighths and half an eighth.

\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]

ואם תחלק עשרים על ז' שמיניות וחצי שמיניות

Know how much is the complement of 7-eighths and half and eighth to one; it is one and a third of a fifth.

דע בכמה ישלמו הז' שמיניות וחצי שמיניות עד שיהיו אחד והוא אחד ושליש חומש

Multiply it by twenty-eighths; the result is 21-eighths and a third [of an eighth], which are two, 5-eighths and a [third] of an eighth that are 3 minus a third.

תערכם על עשרים שמיניות יעלה כ"א שמיניות ושליש שהם שנים וה' שמיניות ושלש שמינית שהם ג' פחות שליש

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\div\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]&\scriptstyle=\frac{20}{8}\sdot\frac{1}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{20}{8}\sdot\left[1+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{21}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)\\&\scriptstyle=2+\frac{5}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=3-\frac{1}{3}\\\end{align}}}

Completion of Fractions

The way to know the multiplicative inverses of fractions so that they become one:

ודרך לדעת תשלומי השברים עד אשר יהיו אחד ככה תדענו

Such as when you wish to know how 3-eighths are completed until they become one one.

\scriptstyle a\sdot\frac{3}{8}=1

כגון שתרצה לדעת איך ג' שמיני האחד ישלמו עד שיהיו אחד שלם

Know that the name of the eighths is derived from eight and the number of the times that the three are counting the eight, is 3 times minus one-third. By this number you multiply the three-eighths and the result is one.

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\frac{3}{8}=1\longrightarrow a=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}

דע כי שם השמיניות הוא משמונה ומספר הפעמים אשר השלשה מונים את השמונה הם ג' פעמים פחות שליש ‫^[36]וכמספר הזה אתה חושב את שלשת השמיניות ויהיו אחד

For The number of times that one number [i.e., the numerator] counts the denominator is the same as [the number of times that] the part counts the one.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}}}

כי כמנין הפעמים אשר מספר אחד מונה את המספר המוכיח כמוהם החלק מונה את האחד

Such as if you wish to complete 2-fifths and one-tenth of the fifth until they become one.

\scriptstyle a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1

כגון שתרצה להשלים ב' חמישיות ועשירית החומש עד שיהיו אחד

Look for a number that has a fifth and a tenth, which is 50, and it is the denominator which in this book is called "moreh".

בקש חשבון שיהיה לו חמישית ועשירית והוא נ' והוא המוכיח אשר נקרא בספר הזה המורה

2-fifths of this number and one-tenth of its fifth is 21.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot50=21}}

וב' חמישי המספר הזה ועשירית חמישיתו הוא כ"א

This number counts the fifty 2 times and one-third and one-seventh of one-third of one time. According to this will be the complementary fraction of 2-fifths and one-tenth of one-fifth so it becomes one.

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1\longrightarrow a=\frac{50}{21}=2+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)}}

והמספר הזה מונה את החמשים ב' פעמים ושליש פעם ושביעית השליש וכענין הזה יהיו תשלומי ב' חמישיות ועשירית החומש ויהיה אחד

For an integer you can also say the same way.

וגם במספר השלם אתה יכול לומר על זה הדרך

Such as if you wish to complete the seven until they become 16.

\scriptstyle a\sdot7=16

כגון שתרצה להשלים את השבעה עד שיהיו י"ו

You know that the seven counts 16 two times and two-sevenths of a time and this is its complementary number to 16.

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot7=16\longrightarrow a=\frac{16}{7}=2+\frac{2}{7}}}

אתה יודע כי השבעה מונה את י"ו שני פעמים ושני שביעי פעם ובהם ישלמו י"ו

This way you can find every number.

ועל זה הדרך תוכל למצא לכל חשבון

If you divide three-quarters of three-fifths of nine by 24:

\scriptstyle\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24

ואם תחלק שלשה רביעיות של שלשה חומשי תשעה על כ"ד

It is known that three-fifths of nine are 27-fifths and their three-quarters are 4 integers and half a tenth.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{3}{4}\sdot\left(\frac{3}{5}\sdot9\right)\right]\div24=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{27}{5}\right)\div24=\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}}}

וידוע כי שלשה חומשי תשעה הם כ"ז חומשין ושלשה רביעיותיהם הם ד' שלמים וחצי עשירית אחד

Therefore, the author said: "take" etc.

ולפיכך אמ' המחבר תקח וכו‫'

Take one part from 24: its eighth, which is 3; or its third, which is 8; or its quarter, which is 6.

תקח חלק אחד מכ"ד שמיניתו והוא ג' או שלישיתו והוא ח' או רביעיתו והוא ו‫'

If you take its eighth, when you multiply the 4 and half a tenth by it, you find in it an eighth, a third of an eighth, and half a tenth of a third of an eighth.

אם שמיניתו לקחת כאשר תערוך הד' וחצי עשירית אחד אליו תמצא בו פעם אחת שמינית ושליש שמינית וחצי עשירית שליש שמינית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{8\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{8}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

If you take its third, you find in it half a third and half a tenth of an eighth of a third.

ואם שלישיתו לקחת תמצא בו חצי שלישיתו וחצי עשירית שמינית שלישית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{3\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{3}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

If you take its quarter, you find in it two-thirds of a [quarter] and half a tenth of a sixth of a quarter.

ואם רביעיתו לקחת תמצא בו שני שלישי שלישית וחצי עשירית ששית רביעית

This is the result of division by 24.

וככה יצא בחלוק לכל אחד מכ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}{24}=\frac{\frac{4\sdot\left[4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)\right]}{24}}{4}=\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{6}\sdot\frac{1}{4}\right)}}

The check is by multiplying whichever fraction you wish of the fractions we mentioned by 24; the result is 4 and half a tenth.

\scriptstyle{\color{blue}{result\times24=4+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)}}

והבחינה כשתערוך איזה שתרצה מהחלקים שהזכרנו על כ"ד יעלה ד' וחצי עשירית אחד

The Third Category: Division of Fractions by Fractions

הענין השלישי חלוקת שברים על שברים

Sexagesimal Fractions

The first rule

If you divide sexagesimal fractions [lit. fractions of the astrologers] by each other:

אם שברי חכמי המזלות תחלק זה על זה

If you divide primes by primes, the result of division will be degrees.

אם ראשונים על ראשונים תחלק יהיה היוצא בחלוק מעלות

If you divide seconds by seconds, the result will be degrees.

וכן אם שניים על שניים תחלק היוצא מעלות

The same for the rest of the [sexagesimal] fractions: if you divide them by their type, the result will be degrees - this is the first rule of the division of [sexagesimal] fractions.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{60^n}\div\frac{b}{60^n}=\frac{a}{b}}}

וכן שאר ‫^[37]השברים אם אתה מחלק אותם על מיניהם יהיה היוצא מעלות וזה כלל אחד בחלוק השברים

The second rule

The second rule: know that if you divide one type of fractions by another type that is lower:

וכלל שני דע שאם אתה מחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא תחתיו

As if you wish to divide primes by seconds, or by thirds:

כגון שתרצה לחלק ראשונים על שניים או על שלישיים

You multiply the primes by sixty; they become seconds, then you divide seconds by seconds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{60^2}\div\frac{b}{60^2}=\frac{a\sdot60}{b}}}

אתה עורך הראשונים על ששים ויהיו שניים ותחלק שניים על שניים

If you divide by thirds, multiply them by sixty another time; they become thirds, then divide thirds by thirds and the result is degrees.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{60}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{60^3}\div\frac{b}{60^3}=\frac{a\sdot60\sdot60}{b}}}

ואם על שלישיים תחלק ערכם על ששים פעם אחרת ויהיו שלישיים ותחלק שלישיים על שלישיים ויהיה היוצא מעלות

The same for everything similar to it.

וכן כל הדומה לזה

The third rule

The third rule: if you divide one type of fractions by another type higher than it, the result of division will be of a lower type than the type [that is divided] according to the type by which you divide.

וכלל שלישי אם תחלק מין אחד מן השברים על מין אחר שהוא גדול ממנו יהיה היוצא בחלוק מן המין אשר תחתיו של המין אשר אתה מחלק עליו

As if you divide by primes, the result of division will be seconds.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^{\prime\prime\prime}\div b^\prime=\left(\frac{a}{b}\right)^{\prime\prime}}}

כאלו חלקת שלישיים על ראשונים יהיה היוצא בחלוק שניים

Or, seconds by primes will be primes.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^{\prime\prime}\div b^\prime=\left(\frac{a}{b}\right)^\prime}}

או שניים על ראשונים יהיו ראשונים

Because, when you multiply the result of division by the divisor, the result should be the original dividend.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=c\longrightarrow c\sdot b=a}}

מפני שכשתערוך מה שיצא בחלוק על מה שחלקת עליו צריך שיצא הראשון הנחלק

Remainder

If something remains that cannot be divided, you multiply the remainder by sixty, then divide by what you have divided; the result will be of a type that is one rank lower than the type of the number that initially resulted from the division.

ואם ישאר שלא יתחלק אתה עורך הנשארים בששים ותחלק על מה שחלקת ויהיה היוצא ממין שירד מדרגה אחת ממין המספר שיצא בחלוק בראשונה

As if you divide fifty primes by seven primes.

\scriptstyle50^\prime\div7^\prime

כאלו תחלק חמשים ראשונים על שבעה ראשונים

The result of division is seven degrees and one remains indivisible.

יצא בחלוק שבע מעלות וישאר שלא יתחלק אחד

Multiply it by sixty; they are seconds.

ערכהו על ששים יהיו שניים

Divide them by the seven, by which you have divided at first; the result of division is eighth primes and 4 seconds remain indivisible.

חלקם על שבעה אשר חלקת בראשונה יצא בחלוק שמונה ראשונים וישאר שלא יתחלק ד' שניים

Multiply them by sixty; the result is 240 thirds.

ערכם על ששים יעלו ר"מ שלישיים

Divide them by 7; the result is 34 seconds and two-thirds remain.

חלקם על ז' יעלה ל"ד שניים וישאר שני שלישיים

Multiply them by sixty and divide them by what you have divided; the result is thirds.

ערכם בששים וחלקם על מה שחלקת ויעלו שלישיים

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle50^\prime\div7^\prime&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{7}\right)^\circ=7+\frac{\frac{1\sdot60}{7}}{60}=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4}{7}}{60}=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^2}=7+\frac{8}{60}+\frac{\frac{240}{7}}{60^2}\\&\scriptstyle=7+\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}+\frac{\frac{2}{7}}{60^2}\\\end{align}}}

You can convert them into fourths, fifths, and so on as much as you like.

וכן אתה יכול לחקרן לרביעיים ולחמישיים עד כמה שתרצה

division table of sexagesimal fractions

To make it easier for the reader, I have drawn for you a table of primes to sixths.

ולהקל על הקורא ציירתי לך לוח מראשונים עד ששיים

ששיים	חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	_רוחב/^אורך
חמשיים	רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים
רביעיים	שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים
שלישיים	שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים
שניים	ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים
ראשונים	מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים
מעלות	ראשונים	שניים	שלישיים	רביעיים	חמשיים	ששים

sixths	fifths	fourths	thirds	seconds	primes	^length/_width
fifths	fourths	thirds	seconds	primes	degrees	primes
fourths	thirds	seconds	primes	degrees	primes	seconds
thirds	seconds	primes	degrees	primes	seconds	thirds
seconds	primes	degrees	primes	seconds	thirds	fourths
primes	degrees	primes	seconds	thirds	fourths	fifths
degrees	primes	seconds	thirds	fourths	fifths	sixths

If you want to divide degrees and fractions by degrees and fractions: convert the two numbers into one rank, then divide.

ואם תרצה לחלק מעלות ושברים על מעלות ושברים השב שני החשבונים למדרגה אחת ואחר תחלק

Such as if you wish to divide eight degrees and twenty primes by 3 degrees and 15 primes.

\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)

כגון שתרצה לחלק שמנה מעלות ועשרים ראשונים על ג' ‫^[38]מעלות וט"ו ראשונים

We convert all of them to primes: the first number is 500, which is the dividend, and the other is 195. We divide the greater by the smaller. The result of division is two, which are degrees, and 110 remain.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)=500^\prime\div195^\prime=\left(2+\frac{110}{195}\right)^\circ}}

נשיבם כלם ראשונים והנה החשבון האחד ת"ק והוא המחולק והשני קצ"ה

חלקנו הגדול על הקטן יצא בחלוק שנים והם מעלות ונשארו ק"י

Multiply them by sixty and divide by 195. The result of division is 33, which are primes, and 165 remain.

ערוך אותם על ששים וחלק על קצ"ה

יצא בחלוק ל"ג והם ראשונים וישאר קס"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)=2^\circ+\left(\frac{110\sdot60}{195}\right)^\prime=2^\circ+\left(33+\frac{165}{195}\right)^\prime}}

Multiply them by 60 and divide by 195. The result of division is 50 and they are seconds.

ערכם על ס' וחלק על קצ"ה ראשונים יצא בחלוק נ' והם שניים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)=2^\circ+33^\prime+\left(\frac{165\sdot60}{195}\right)^{\prime\prime}=2^\circ+33^\prime+\left(50+\frac{150}{195}\right)^{\prime\prime}}}

If you want to make it more accurate with thirds and fourths, do it in this way.

ואם תרצה לדקדק כן לשלישיים ולרביעיים תעשה על זה הדרך

Or, know the ratio of the remaining 110 to the divided 390. Their quarter is 97 and a half and 12 and a half remain. The 6 and a half are one-third of one-fifth of one-quarter [of 390] and 6 remain, which are 6 parts of 13 of two-thirds of one-fifth of one-quarter [of 390].

או תדע מה ערך ק"י הנשארים אל ש"צ הנחלקים והנה רביעיתם צ"ז וחצי נשארו י"ב וחצי והו' וחצי הם שלישית חמישית הרביעית ונשארו ו' שהם ו' חלקים מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{110}{195}&\scriptstyle=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)}{195}=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\left(6+\frac{1}{2}\right)+6}{195}=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{6}{195}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{4}\sdot390}{195}+\frac{\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}+\frac{\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot390}{195}=\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)+\left(\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)\\\end{align}}}

For the quarter add one-quarter of 2 degrees, so that the result of division are 30 primes. For the 6, which are 6 parts of 13 of two-thirds of one-fifth of one-quarter add one prime and [50] seconds. The result of division is 33 primes and 50 seconds, as in the first calculation

ובעבור הרביעית הוסף רביעית ב' מעלות שיצאו בחלוק והם ל' ראשונים

ובעבור ו' חלקם מי"ג בשני שלישי חמישית רביעית הוסף ראשון אחד לשניים והנה יצא בחלוק ל"ג ראשונים נ' שניים כמו החשבון הראשון

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(8^\circ+20^\prime\right)\div\left(3^\circ+15^\prime\right)&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{4}\sdot2\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)+\left(\frac{6}{13}\sdot\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\sdot2\right)\\&\scriptstyle\approx2+30^\prime+2^\prime+\left(1^\prime+50^{\prime\prime}\right)=2+33^\prime+50^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Simple Fractions

Integer and fraction by integer and fraction

If you divide simple fractions [lit. fractions of the geometricians]:

ואם שברי חכמי המדות תחלק

Such as three and three-quarters by one and a fifth.

\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)

כגון שלשה ושלשה רביעיות על אחד וחומש

Find the ratio of one to one and a fifth; it is five-sixths.

דע מה ערך האחד מן אחד וחומש והוא חמשה שתותיו

Take 5-sixths from 3 and 3-quarters that are six-eighths; the result is three and an eighth.

קח ה' שתותין מג' וג' רביעיות אחד שהם שש שמיניות יעלה ‫^[39]שלשה ושמינית וככה חלק האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\div\left(1+\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{1+\frac{1}{5}}=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{5}{6}=3+\frac{1}{8}}}

Integer and fraction by fraction

If you divide 7 and a fifth by three-quarters.

\scriptstyle\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}

ואם תחלק ז' וחומש על שלש רביעיות אחד

Find the complement of the 3-quarters to one; it is one and a third, meaning add to 7 and a fifth its third.

דע בכמה ישלמו הג' רביעיות לאחד כלו' שתוסיף על ז' וחומש שלישיתם והוא אחד ושליש

Multiply [one and a third] by 7 and a fifth; the result is nine and 3-fifths and their quarter is the part of each quarter.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\frac{1}{\frac{3}{4}}=\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{3}{5}}}

תערכם על ז' וחומש יעלה תשעה וג' חומשין ורביעיתם הוא חלק כל רביע ורביע

Or, convert the 7 and a fifth into fifths; you have 36-fifths.

או תשיב הז' וחומש לחומשין יהיו בידך ל"ו חומשין

Divide them by the 3-quarters; the result of division is 12-fifths, which are two and 2-fifths for each quarter, which is 9 and 3-fifths for one unit.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{5}\right)\div\frac{3}{4}=\frac{36}{5}\div\frac{3}{4}=\frac{\frac{12}{5}}{\frac{1}{4}}=\frac{2+\frac{2}{5}}{\frac{1}{4}}=9+\frac{3}{5}}}

חלקם על הג' רביעיות יצא בחלוק י"ב חומשין שהם שנים וב' חומשין לכל רביע ורביע שהוא לאחד שלם ט' וג' חומשין

Fraction by fraction

If you divide six-sevenths by eight-tenths.

\scriptstyle\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}

ואם תחלק ששה שביעיות על שמונה עשיריות

find its complement to one; it is one and a quarter.

דע בכמה ישלים אחד והוא אחד ורביע

Multiply them by six-sevenths; the result is [seven] and a half.

תערכם על ששה שביעיות יעלה א' שביעיות וחצי

Divide them [by seven]; the result is one and half a seventh and this is one part.

חלקם יצא אחד וחצי שביעית וככה חלק האחד

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{6}{7}\sdot\frac{1}{\frac{8}{10}}=\frac{6}{7}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=\frac{7+\frac{1}{2}}{7}=1+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

Or, if you divide six by eight, the result is one minus a quarter.

או אם תרצה חלק ששה על שמונה יצא אחד פחות רובע

So, now the result is one seventh minus a quarter of a seventh divided by a tenth, which is 10 to one; 7-sevenths and half a seventh.

לפיכך יצא עכשו שביעית אחד פחות רובע שביעית לחלק העשירית והם י' לאחד ז' שביעי^ות וחצי שביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\div\frac{8}{10}=\frac{\frac{6}{8}}{7}\div\frac{1}{10}=\frac{1-\frac{1}{4}}{7}\div\frac{1}{10}=\left[\frac{1}{7}-\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\div\frac{1}{10}=\frac{7}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

Fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

If you divide six-sevenths of five and a quarter by three-eighths of one and one-fifth.

\scriptstyle\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]

ואם תחלק ששה שביעיות חמשה ורובע על שלשה שמיניות מאחד וחומש

Convert the five and a quarter to quarters. They are 21. Their six-sevenths are 18, which are 4 integers and a half.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)=\frac{6}{7}\sdot\frac{21}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}

השב החמשה ורובע כלם לרביעיות יעלו כ"א וששה שביעיותיו י"ח שהם ד' שלמים וחצי

Convert also the one and one-fifth to fifths. They are six-fifths. Their three-eighths are 2-fifths and one-quarter of one-fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)=\frac{3}{8}\sdot\frac{6}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)}}

ועוד השב האחד וחומש לחמישיות והם ששה חמישיות ושלשה שמיניותיו ב' חומשין ורביע חומש

Know how much of them are 1, it is two and two-ninths.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot\left(2+\frac{2}{9}\right)=1}}

ותדע בכמה יהיו אחד והוא בשנים ושני תשיעיותיו

For, one-quarter of one-fifth is one-ninth of two-fifths and one-quarter of one-fifth.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{9}\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]}}

כי רביעית חומש הוא תשיעית ב' חומשין ורביע חומש

Multiply them by four and a half, i.e. take twice of 4 and a half and two-ninths of them. The result is 10 of 5 fifths. We find that each fifth gets two integers and from them you know the part.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{6}{7}\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\div\left[\frac{3}{8}\sdot\left(1+\frac{1}{5}\right)\right]=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{2}{9}\right)=10}}

תערכם בארבעה וחצי כלו' תקח שני פעמים ד' וחצי ותקח שני תשיעיותיהם יעלה עשרה והם ה' חומשין

נמצא מגיע שנים שלמים לכל חומש וחומש ומהם תדע חלק אחד שלם

Chapter Five: Ratios

השער החמישי בערך

Sexagesimal Fractions

The method of the astrologers is to calculate all their calculations by sixty, since it has most of the divisors.

דרך חכמי המזלות לחשוב כל חשבונם על ששים מפני שיש לו רוב החלקים

We wish to multiply thirty by twenty and divide by sixty.

\scriptstyle\frac{30\sdot20}{60}

רצינו לערוך שלשים על עשרים ולחלק על ששים

Know the ratio of one number, which is thirty, to sixty, by which we divide; it is its half. Take half the other number; it is ten and this is the result of division.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{30}{60}\sdot20=\frac{1}{2}\sdot20=10}}

דע מה ערך החשבון האחד שהוא שלשים ~~על עשרים~~ אל ששים אשר עליו נחלק והוא חציו וקח חצי חשבון ‫^[40]האחר והנה עשרה וככה יצא בחלוק

Or, know the ratio of twenty to sixty, which is its third. Take a third of the other number; it is ten.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot20}{60}=\frac{20}{60}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}

או דע מה ערך עשרים אל ששים והוא שלישיתו תקח שלישית החשבון האחר והנה עשרה

If one number is 50 and the other is 40 and we divide the product by 60.

\scriptstyle\frac{50\sdot40}{60}

ואם החשבון האחד נ' והשני מ' ונחלק העולה על ששים

Take the ratio of 50 to sixty, which is five-sixths, and as this ratio [take] from forty: from thirty-six take its five-sixths; the result is thirty and four remain.

קח ערך נ' אל ששים והוא חמש ששיות וכזה הערך מארבעים והנה מששה ושלשים קח חמש ששיותיו והם שלשים ונשארו ארבעה

Multiply it by five; the result is twenty.

ערכם על חמשה עלו עשרים

Divide this by six; the result is three integers and one-third, which are twenty fractions and the number is 33 and one-third.

תחלקם על ששה יצא שלשה שלמים ושליש שהם עשרים שברים והנה המספר ל"ג ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{50}{60}\sdot40=\frac{5}{6}\sdot40=\left(\frac{5}{6}\sdot36\right)+\left(\frac{5}{6}\sdot4\right)=30+\frac{20}{6}=30+\left(3+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}

Or, take the ratio of 40 to 60; it is its two-thirds.

או קח ערך מ' אל ס' והוא שני שלישיותיו

Take two-thirds of 50: of 48 it is thirty-two and two remain.

קח שני שלישיות נ' והנה מן מ"ח שנים ושלשה ונשארו שנים

Multiply them by 2, which are the two-thirds, the result is 4.

נערכים על שנים שהם שתי שלישיות ועלו ארבעה

We divide them by three; the result is one and one-third.

נחלקם על שלשה יצא אחד ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50\sdot40}{60}=\frac{40}{60}\sdot50=\frac{2}{3}\sdot50=\left(\frac{2}{3}\sdot48\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot2\right)=32+\frac{4}{6}=32+\left(1+\frac{1}{3}\right)=33+\frac{1}{3}}}

If the two numbers are not related to sixty, as 14 and 39.

\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}

ואם שני חשבונים שאין לאחד מהם ערך אל ששים כמו י"ד ול"ט

We do as follows: we add one part to 14, its ratio [to sixty] is a quarter.

ככה נעשה נוסיף על חשבון י"ד חלק אחד והנה ערכו רביעית

We add one to 39; its quarter is ten.

וככה נוסיף על ל"ט אחד ויהיה רביעיתו עשרה

We have two subtractive, because we added two: for the one we added to 39, we have to subtract fifteen seconds. We multiply the one we added by 39; the result is 39 seconds.

ויש לנו לחסר שני חסרונים כי שנים הוספנו והנה בעבור האחד שהוספנו על ל"ט יש לנו לחסר חמשה עשר שניים ונערוך האחד שהוספנו על ל"ט ויעלו ל"ט שניים

We add them to the 15 we have; the result is 54.

נחברם עם ט"ו שהיו לנו עלו נ"ד

We subtract them from one prime; the result is 9 primes and 6 seconds.

נחסרם מראשון אחד ועלה החשבון ט' ראשונים גם ו' שניים

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(14^\prime\sdot39^\prime\right)+\left(1^\prime\sdot39^\prime\right)-39^{\prime\prime}=\left(15^\prime\sdot39^\prime\right)-39^{\prime\prime}=\left(\frac{1}{4}\sdot39^\prime\right)-39^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{4}\sdot39^\prime\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot1^\prime\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot1^\prime\right)-39^{\prime\prime}=\left(\frac{1}{4}\sdot40^\prime\right)-15^{\prime\prime}-39^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=10^\prime-15^{\prime\prime}-39^{\prime\prime}=10^\prime-54^{\prime\prime}=9^\prime+\left(1^\prime-54^{\prime\prime}\right)=9^\prime+6^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Or, we add one to 39.

או נוסיף על ל"ט אחד

Know its ratio to sixty; it is two-thirds.

ודע מה ערכו אל ששים והנו שתי שלישיות

We take two-thirds of fourteen; it is 9', 20:

והנה נקח שתי שלישיות ארבעה עשר והנו ט"כ

Because, two-thirds of 15 are ten.

כי מט"ו יהיו שתי שלישיות עשרה

We have to subtract two-thirds of one prime, which are 40 seconds, so the number is 9', 20.

ויש לנו לחסר שתי שלישיות ראשון אחד שהם מ' שניים והנה המספר ט"כ

Since we added one to 39, we multiply it by 14; the result is 14 seconds.

ובעבור שהוספנו על ל"ט אחד נערכנו על י"ד ויעלו י"ד שניים

We subtract them from twenty; you are left with 6 seconds.

נחסרם מעשרים נשארו לך ו' שניים

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{14}{60}\sdot\frac{39}{60}&\scriptstyle=\left(14^\prime\sdot39^\prime\right)+14^{\prime\prime}-14^{\prime\prime}=\left(14^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-14^{\prime\prime}=\left(14^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)+\left(1^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-\left(1^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-14^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(15^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-\left(1^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-14^{\prime\prime}=10^\prime-\left(1^\prime\sdot\frac{2}{3}\right)-14^{\prime\prime}=10^\prime-40^{\prime\prime}-14^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=9^\prime+60^{\prime\prime}-40^{\prime\prime}-14^{\prime\prime}=9^\prime+20^{\prime\prime}-14^{\prime\prime}=9^\prime+6^{\prime\prime}\\\end{align}}}

If we wish to multiply 35 by thirteen, then divide by sixty.

\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}

ואם רצינו לערוך ל"ה על שלשה עשר ונחלק על ששים

We seek for the ratio of twelve, which is close to 13, to sixty; it is its fifth.

בקשנו מה ערך שנים עשר שהוא הקרוב אל י"ג אל ששים והוא חמישיתו

We take a fifth of 35; it is seven.

לקחנו חמישית ל"ה והנה שבעה

One remains; we multiply it by 35 and they are seconds.

ונשאר אחד ערכנוהו על ל"ה והנם שניים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}=\left(35^\prime\sdot13^\prime\right)-35^{\prime\prime}+35^{\prime\prime}=\left(35^\prime\sdot12^\prime\right)+35^{\prime\prime}=\left(35^\prime\sdot\frac{1}{5}\right)+35^{\prime\prime}=7^\prime+35^{\prime\prime}}}

The Check: we know that 35 is three-fifths plus one.

והבחינה ידענו כי ל"ה שלש חמישיות בתוספת ‫^[41]אחד

We take 3-fifths of fifteen, which is the number closest to 13; they are 9.

לקחנו ג' חמישיות חמשה עשר שהוא המספר הקרוב אל י"ג והיו ט‫'

We add two, since we had 13, and we multiplied them by 35; it is one [prime] and [twelve] seconds.

והוספנו שנים כי י"ג היו לנו ערכנום על ל"ה והוא חלק אחד ועשרה שניים

We added one at first, because we took thirty-six; they are 15.

והוספנו בתחלה אחד כי לקחנו ששה ושלשים והיו ט"ו

We subtract all from nine; the remainder is the number.

חסרנו הכל מתשעה ונשאר החשבון

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(36^\prime-1^\prime\right)\sdot13^\prime=\left(\frac{3}{5}-1^\prime\right)\sdot13^\prime=\left(\frac{3}{5}\sdot13^\prime\right)-13^{\prime\prime}=\left(\frac{3}{5}\sdot15^\prime\right)-\left(\frac{3}{5}\sdot2^\prime\right)-13^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=9^\prime-\left(\frac{3}{5}\sdot2^\prime\right)-13^{\prime\prime}=9^\prime-\left(36^\prime\sdot2^\prime\right)-13^{\prime\prime}=9^\prime-\left(1^\prime+12^{\prime\prime}\right)-13^{\prime\prime}=7^\prime+35^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Or, we take a half of 13, for the thirty; they are six and a half, which is thirty seconds.

או לקחנו חצי י"ג בעבור השלשים והנם ששה וחצי שהוא שלשים שניים

We multiply five by 13; the result is one [prime] and five seconds.

וערכנו חמשה על י"ג עלה חלק אחד וחמשה שניים

We add them and the result is the number.

חברנום ועלה המספר

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{35}{60}\sdot\frac{13}{60}&\scriptstyle=\left(30^\prime\sdot13^\prime\right)+\left(5^\prime\sdot13^\prime\right)=\left(30^\prime\sdot\frac{\frac{1}{2}\sdot13}{30}\right)+\left(5^\prime\sdot13^\prime\right)=\left(30^\prime\sdot\frac{6+\frac{1}{2}}{30}\right)+\left(5^\prime\sdot13^\prime\right)\\&\scriptstyle=\left(6+\frac{1}{2}\right)^\prime+\left(5^\prime\sdot13^\prime\right)=6^\prime+30^{\prime\prime}+\left(5^\prime\sdot13^\prime\right)=6^\prime+30^{\prime\prime}+1^\prime+5^{\prime\prime}=7^\prime+35^{\prime\prime}\\\end{align}}}

If one of the two numbers is 46 and the other is 25.

\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}

ואם שני חשבונים האחד מ"ו והשני כ"ה

We do not find a ratio of 46 to sixty.

והנה לא מצאנו ערך למ"ו עם ששים

So, we subtract one from the number; 45 remains and its ratio [to sixty] is three-quarters.

נחסר אחד מהחשבון ישאר מ"ה וערכו שלש רביעיות

We take 25 from 24; its three-quarters are 18 and 3-quarters of one remain, which are 45 seconds.

ונקח מכ"ה כ"ד ושלש רביעיותיו י"ח נשארו ג' רביעיות אחד שהם מ"ה שניים

We multiply the one added to 45 by 25; the result is 25.

וערכנו האחד שיש תוספת על מ"ה על כ"ה ועלה כ"ה

We add them to the 45 seconds; the result is one prime and ten seconds remain. The number is 19', 10.

הוספנום על מ"ה שניים שהיו לנו ועלה ראשון אחד ונשארו עשרה שניים והנה החשבון י"ט י‫'

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(45^\prime\sdot25^\prime\right)+\left(1^\prime\sdot25^\prime\right)=\left(\frac{3}{4}\sdot25^\prime\right)+\left(1^\prime\sdot25^\prime\right)=\left(\frac{3}{4}\sdot24^\prime\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot1^\prime\right)+25^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=18^\prime+45^{\prime\prime}+25^{\prime\prime}=18^\prime+1^\prime+10^{\prime\prime}=19^\prime+10^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Or, we take the ratio of 25 to 60; it is its third and a quarter of its third.

או נקח מה ערך כ"ה אל ס' והיו שלישיתו ורביע שלישיתו

We take from 46 its third, which is 15 [primes] and twenty seconds.

נקח ממ"ו שלישיתו שהוא ט"ו ועשרים שניים

A quarter of 15 [primes] and twenty seconds are three [primes] and 50 [seconds].

ורביעית ט"ו ועשרים שניים הם שלשה וגם נ' שברים

We add them to the above; the result is 19', 10.

חברנום עם אשר למעלה עלה י"ט י‫'

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=46^\prime\sdot\left[\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{3}\right)\right]=46^\prime\sdot\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)=\left(15^\prime+20^{\prime\prime}\right)\sdot\left(1+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(15^\prime+20^{\prime\prime}\right)+\left(15^\prime+20^{\prime\prime}\right)\sdot\frac{1}{4}=15^\prime+20^{\prime\prime}+3^\prime+50^{\prime\prime}=19^\prime+10^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Or, we subtract one from 25 and we know the ratio of 24 to sixty, which is two-fifths.

או נחסר אחד מכ"ה ונדע מה ערך כ"ד אל ששים והנו שתי חמישיות

Two-fifths of 45 are 18.

ושתי חמישיות מ"ה הם י"ח

We multiply the one that remains to complete the 25 by 45; it is [one] second

והאחד שנשאר להשלמת כ"ה נערכנו על מ"ה יהיו שניים

We multiply the one added by 25 also.

גם נערוך האחד שהוא תוספת על כ"ה

We sum up all the seconds and the result is the number.

ונחבר כל השניים ועלה המספר

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}&\scriptstyle=\left(46^\prime\sdot24^\prime\right)+\left(46^\prime\sdot1^\prime\right)=46^\prime\sdot\left(\frac{2}{5}+1^\prime\right)=\left[45^\prime\sdot\left(\frac{2}{5}+1^\prime\right)\right]+\left[1^\prime\sdot\left(\frac{2}{5}+1^\prime\right)\right]\\&\scriptstyle=18^\prime+45^{\prime\prime}+\left[1^\prime\sdot\left(24^\prime+1^\prime\right)\right]=18^\prime+45^{\prime\prime}+24^{\prime\prime}+1^{\prime\prime}=19^\prime+10^{\prime\prime}\\\end{align}}}

Or, we add two to 46; the result is 48 and its ratio to sixty is four-fifths.

או נוסיף על מ"ו שנים ועלה מ"ח וערכו אל ששים ארבע חמישיות

We take four-fifths of 25; they are twenty.

נקח ארבע חמישיות כ"ה והנם עשרים

Since we added two, we multiply it by 25; the result is 50 seconds.

ואנחנו הוספנו שנים נערכם על כ"ה עלו נ' שניים

We subtract them from twenty [primes]; 19 remain.

נחסרם מעשרים ישאר י"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{46}{60}\sdot\frac{25}{60}=\left(48^\prime\sdot25^\prime\right)-\left(2^\prime\sdot25^\prime\right)=\left(\frac{4}{5}\sdot25^\prime\right)-50^{\prime\prime}=20^\prime-50^{\prime\prime}=19^\prime+10^{\prime\prime}}}

Always do as follows: find a number that has a ratio to sixty, or an approximate ratio, whether by adding to it, or by subtracting. Take the ratio from that number. Subtract finally if you added at first, or add finally if you subtracted at first.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{60a+n}{60}=a+\frac{n}{60}}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{60b-m}{60}=b-\frac{m}{60}}}

וככה תעשה לעולם שהסתכל איזה חשבון יש לו ערך אל ששים או ערך קרוב אליו בין להוסיף עליו בין לגרוע ומאותו החשבון תקח הערך ואם הוספת בראשונה גרע באחרונה ואם גרעת בראשונה תוסיף ‫^[42]באחרונה

If one of the numbers is greater than the divisor, or both are greater than it, find the ratio of the divisor to one of the numbers and take its ratio from the other number.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a\sdot b}{60}=\frac{a}{60}\sdot b=\frac{b}{60}\sdot a}}

ואם היה אחד החשבונים גדול מהמחולק עליו או שניהם גדולים ממנו הסתכל מה ערך חשבון שיחלק עליו אל אחד החשבונים וכערכו קח מן החשבון האחר

As eighty by ninety divided by sixty.

\scriptstyle\frac{80\sdot90}{60}

כגון שמונים על תשעים מחולקים על ששים

We find the ratio of sixty to eighty; it is one and a third. We add to ninety its third; the result is one hundred and twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80\sdot90}{60}=\frac{80}{60}\sdot90=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot90=90+30=120}}

נסתכל מה ערך ששים אל שמונים והוא כמהו ושלישיתו ונוסיף על תשעים שלישיתו יעלו מאה ועשרים

Or, find the ratio of 60 to 90; it is one and a half. We add to 80 its half; the result is 120.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot90}{60}=\frac{90}{60}\sdot80=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot80=80+40=120}}

או הסתכל מה ערך ס' אל צ' והוא כמוהו וחציו והנה נוסיף על פ' חציו יעלו ק"כ

If one number is 80 and the other is 88.

\scriptstyle\frac{80\sdot88}{60}

ואם החשבון האחד פ' והשני פ"ח

We think of it as 90, because it has a ratio to 60; the resulting number is 120.

נחשוב שהוא צ' מפני שיש לו ערך אל ס' ויצא החשבון ק"כ

Since we added two, we relate it to eighty, which is the other number; the result is one hundred and sixty primes, which are two degrees and 40 primes.

ובעבור שהוספנו שנים נערכם על שמונים שהוא החשבון האחר יעלו מאה וששים ראשונים והם שתי מעלות מ' ראשונים

Subtract them from 120; the remainder is 117⁰ 20' and this is the number.

חסרם מק"כ ישאר קי"ז כ' וככה החשבון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80\sdot88}{60}=\frac{90\sdot80}{60}-\frac{2\sdot80}{60}=120-\frac{160}{60}=120-\left(2+\frac{40}{60}\right)=117+\frac{20}{60}}}

Simple Fractions

The geometricians said that there are five kinds of ratios and they are derived from the units and they are:

וחכמי המדות אמרו שחמשה ערכים הם ונלקחים מן האחדים והם

The first is the multiple ratio:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:\left(n\sdot a\right)}}

האחד ערך הכפל

Such as two of three to one.

\scriptstyle{\color{blue}{1:2;\ 1:3}}

כמו שנים או שלשה עם אחד

The second is the superparticular ratio [lit. the same and a part]:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:\left[\left(1+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]}}

והשני כמוהו וחלק ממנו

Such as two to three and this ratio is not found [in smaller numbers].

\scriptstyle{\color{blue}{2:3}}

כמו שנים עם שלשה וזה הערך לא ימצא קודם זה

The third is the multiple superparticular ratio:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:\left[\left(n+\frac{1}{m}\right)\sdot a\right]}}

והשלישי כפלו וחלק ממנו

Such as five to two

\scriptstyle{\color{blue}{2:5}}

כמו חמשה עם שנים גם הוא

The fourth ratio is the superpartient ratio [lit. the same and parts]:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:\left[\left(1+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]}}

הערך הרביעי שהוא כמוהו וחלקים ממנו

Such as five to three

\scriptstyle{\color{blue}{3:5}}

והיו כמו חמשה עם שלשה

The fifth is the multiple superpartient ratio:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a:\left[\left(n+\frac{r}{m}\right)\sdot a\right]}}

והחמישי שהוא הכפל וחלקים ממנו

Which is not found [in numbers smaller] than eight to three.

\scriptstyle{\color{blue}{3:8}}

לא ימצא עד שמונה עם שלשה

There are no ratios other than these.

ואין ערכים אלא אלו

All kinds of ratios are divided into three categories of progressions:

The science of ratio is according to three ways:

וחכמת הערכין על שלש דרכים

Arithmetic Progression:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2-a_1=a_3-a_2}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n=a_1+\left(n-1\right)\sdot d}}

One is as four, six, and eight - where the increment is the same and this is the arithmetic progression.

\scriptstyle{\color{blue}{4,6,8}}

האחת כמו ארבעה וששה ושמונה שהתוספת היא שוה והוא דרך החשבון

Geometric Progression

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2:a_1=a_3:a_2}}

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_n=a_1\sdot q^{n-1}}}

The second is as 4, 6, 9 - where the ratio of 6 to 4 is one and its half, and so is the ratio of 9 to 6.

והשנית כמו ד' ו' ט' שערך ו' אל ד' כמהו וחציו וככה ערך ט' אל ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{9:6:4\longrightarrow q=1+\frac{1}{2}\longrightarrow6:4=\left[4\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:4=\left[6\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]:6=9:6}}

Or, you can say that the ratio of 4 to 6 is two-thirds and so is 6 to 9.

\scriptstyle{\color{blue}{4:6:9\longrightarrow q=\frac{2}{3}\longrightarrow4:6=\left(6\sdot\frac{2}{3}\right):6=\left(9\sdot\frac{2}{3}\right):9=6:9}}

או תוכל לומ' כי ערך ד' אל ו' שתי שלישיותיו וככה ו' עם ט‫'

Proportional Triad: always if we multiply the smallest by the greatest, it is the same as the square of the mean.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_2}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_3=a_2^2}}

ולעולם אם ערכנו קטן על גדול יהיה כמרובע התיכון

Rule of Three: likewise, if we take four numbers, such that the ratio of the fourth to the third is the same as the ratio of the second to the first:

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}}}

וככה אם לקחנו ארבעה ומספרים שיהיה ערך הרביעי אל השלישי כערך השני אל הראשון

If we multiply the first by the fourth, the product is the same as the product of the second by the third.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_2}{a_1}=\frac{a_4}{a_3}\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3}}

אם ערכנו הראשון על הרביעי יהיה המחובר כמחובר העולה מערך השני על השלישי

Harmonic Progression

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_2-a_1}{a_3-a_2}=\frac{a_1}{a_3}}}

The third is as 3, 4, 6 - where the difference between 3 and 4 is one, whereas between 4 and 6 is two, so the ratio of the differences is double, as the ratio of the smallest to the greatest.

\scriptstyle{\color{blue}{3:4:6\longrightarrow\frac{4-3}{6-4}=\frac{1}{2}=\frac{3}{2\sdot3}=\frac{3}{6}}}

והשלישית כמו ג'ד'ו' שהתוספת שיש בין ג' וד' הוא אחד ובין ד' וו' שנים ‫^[43]שערך התוספת היא כפל כערך הקטן אל הגדול

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}}}$

If we know two of them, we can extract the third: we multiply 3 by 4; the result is twelve. We subtract from the smallest the difference between it and the second, then divide 12 by the remainder; the result is six.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{3-\left(4-3\right)}=\frac{12}{2}=6}}

ואם ידענו השנים מהם נוכל להוציא השלישי נערך ג' על ד' עלו שנים עשר ונחסר מן הקטן התוספת שיש בינו ובין השני ועל הנשאר נחלק י"ב יצא ששה

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}}}$

Similarly, if we know the second and the third, 4 and 6, and we want to extract the smallest: we multiply 4 by 6; the result is 24. We add to the greatest its excess over the second; the result is eight. We divide 24 by it; the result is three.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot6}{6+\left(6-4\right)}=\frac{24}{8}=3}}

וכן אם ידענו שהשני והשלישי ד'ו' ורצינו להוציא הקטן נערך ד' על ו' עלו כ"ד ונוסיף על הגדול התוספת שיש לו על השני ועלו שמונה ועליו נחלק כ"ד יעלה שלשה

$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_1\sdot a_3}{a_1+a_3}\sdot2}}$

If we know the smallest and the greatest, 3 and 6, and we want to know the mean: we multiply 3 by 6; the result is 18. We add the smallest to the greatest; it is nine. We divide eighteen by it; the result is two. We always double the result and this is the mean.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{3+6}\sdot2=\frac{18}{9}\sdot2=2\sdot2=4}}

ואם ידענו שהקטן והגדול ג'ו' ונרצה לדעת האמצעי נערוך ג' על ו' יעלו י"ח ונחבר הקטן עם הגדול יהיו תשעה ונחלק עליו שמונה עשר יצא שנים ונכפול העולה לעולם וככה האמצעי

Or, we add to the smallest a quarter of the greatest, then divide by it [???].

או נוסיף על הקטן רביעית הגדול ונחלק עליו והיוצא לאחד מהשלמים הוא האמצעי

Instructions for creating a table of arithmetic progressions based on the set of the natural numbers

If you wish to extract the multiples from the units, write the sequence of the [natural] numbers from 1 to whichever you want.

ואם תרצה להוציא חשבון הכפול מן האחדים תכתוב החשבון מא' ועד כמה שתרצה על סדר החשבון

Write beneath them, starting from 2, then 4, always adding 2 by 2 - this line is double the first correspondingly, as the two rows, the first and the second, in the table.

ואחר כך תכתוב תחתיו ותתחיל בב' ואחריו ד' שתוסיף לעולם ב'ב' וזו השטה תהיה כפל מן הראשונה על הסדר כגון שני שטין שבמכבר הראשונה והשניה

If you want to extract the multiples from the units, write their same and a part [= superparticular ratio], which is a half, derived from two and three: write the sequence of the even numbers, starting from two, which is the first of the even numbers. Then, multiply the sequence of the units by three, meaning always add three, as the third row of the table, which is the same and a half of the second row.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{3n=2n+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2n}}

ואם תרצה להוציא חשבון הכפל מן האחדים תכתוב החשבון כמוהו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא משנים עם שלשה תכתוב הזוגות על הסדר ותתחיל משנים שהם ראש הזוגות ואחר כן תערך האחדים על הסדר על שלשה שתוסיף לעולם שלשה כמו הטור השלישי שבמכבר והוא יהיה כמוהו וחציו אל הטור השני

If you want to extract its double and a part [= double superparticular ratio], which is a half, derived from five to two: write 2 first. Add 2 [by 2] after it, as the second row in the table. Then, multiply the units by 5, as the fifth row of the table, which is double and a half of the second row.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5n=\left(2\sdot2n\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)=\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot2n}}

ואם תרצה להוציא כפלו וחלק ממנו שהוא חצי היוצא מחמשה אל שנים תכתוב ב' בתחלה והוסף בב' אחריה כמו הטור השני שבמכבר ואחר כן תערוך האחדים על ה' כמו הטור החמישי שבמכבר והוא יהיה כפלו וחלק ממנו אל הטור השני

If you want to extract its same and parts [= superpartient ratio], which are two-thirds, derived from five to three: it is as the fifth row of the table to the third row.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{5n=3n+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(1+\frac{2}{3}\right)\sdot3n}}

ואם תרצה להוציא כמוהו וחלקים ממנו שהם שתי שלישיות היוצא מחמשה אל שלשה הוא כמו הטור החמישי שבמכבר אל הטור השלישי

If you want to extract its double and parts [= double superpartient ratio], which are two-thirds, derived from eight to three: it is as the eighth row to the third row of the table.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{8n=\left(2\sdot3n\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot3n\right)=\left(2+\frac{2}{3}\right)\sdot3n}}

ואם תרצה להוציא כפלו וחלקים ממנו שהוא שתי שלישיות היוצא משמונה אל שלשה כמו הטור השמיני ‫^[44]אל הטור השלישי שבמכבר הוא

For every number that has a divisor, the divisor counts it by its own multitude, or by the multitude of another divisor.

וכל מספר שיש לו חלק החלק מונה אותו כמנינו או כמנין חלק אחר

Definition of a square number: the number whose part counts it by its number is called a square number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{n^2}}$ ], since its one side is equal to its other side, and when you count its side by its multitude the product is the square number.

והמספר אשר חלקו מונה אותו כמספרו נקרא מספר מרובע מפני שצלעו האחד שוה לצלעו השני וכשאתה מונה את צלעו כמנינה תקבץ המספר הרבוע

Such as the numbers 4, 9, 16 and their like.

כמספר ד' וט' וי"ו וכדומה להם

Definition of a plane number: that whose part counts it as the multitude of one of its parts is called a plane number and it has two sides [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a=n\sdot m}}$ ].

ואשר חלקו מונה אותו כמנין אחד מחלקיו נקרא מספר שטוח ויש לו שתי צלעות

Such as the number 15, whose one side is 3 and the other is 5.

כמספר ט"ו אשר צלעו האחת ג' והשנית ה‫'

When you count its side by the multitude of the other side, the product is the plane number, which is 15.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}

וכשאתה מונה צלעו כמנין הצלע השנית תקבץ מספרו השטוח שהוא ט"ו

Definition of a prime number: every number that you count by one alone is called a prime number [lit. lengthy number $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{p=1\sdot p}}$ ], since it has no other side but one, which is not a number.

וכל מספר שאתה מונה אותו באחד לבדו נקרא מספר ארוך מפני שאין לו צלע שני כי אם האחד שאינו מספר

All square numbers are formed successively by the sum of one, which is the first square, with the sequence of the odd numbers.

וכל המספרים המרובעים נמצאים על סדרם מקבוץ האחד אשר הוא המרובע הראשון עם המספרים הנפרדים על סדרם

Meaning that if you add one, which is the first square, to three, which is the beginning of the odd [numbers], you find the second square, which is 4, whose factor is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3=1^2+3=4=2^2}}

וענין זה אם אתה מקבץ האחד שהוא המרובע הראשון אל השלש שהוא תחלת הנפרדים אתה מוצא הרבוע השני והוא ד' אשר צלעו ב‫'

If you add the second odd number, which is 5, to the second square, the total is 9, which is the third square, whose factor is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=2^2+5=9=3^2}}

ואם אתה מוסיף על מרובע השני המספר הנפרד השני והוא ה' יהיה הכל ט' והוא המרובע השלישי אשר צלעו ג‫'

Also if you add the third odd [number], which is 7, to the third square, the result is the fourth square, which is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=3^2+7=16=4^2}}

וכן אם אתה מוסיף על המרובע השלישי הנפרד השלישי והוא ז' יצא המרובע הרביעי והוא י"ו

And so on endlessly, you add to the square its corresponding odd number successively, the result is the square that follows it.

\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1+3+5+7+\ldots+\left(2n+1\right)=n^2+\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2}}

וכן על הסדר הזה אתה מוסיף על המרובע המספר הנפרד אשר במעלתו יצא המרובע התלוי אליו עד אין סוף

You find the five different kinds of ratios depend on the equivalence ratio and return to it, when you dissolve their relation, as the odd numbers create the square numbers.

וכן אתה מוצא חמשה ערכי המספר אשר הם נחלפים תלויים בערך הישר וחוזרים אליו כשאתה מתיר את קשרם כאשר המספרים הנפרדים קושרים את המרובע במספר

I draw for you a diagram, in which you can see the six different ratios, including the equivalence ratio, arranged with three numbers for each ratio:

והנה אני מצייר לך צורה תראה בה שש הערכים אשר הם הנחלפים עם הישר סדורים בשלשה מספרים בכל ערך וערך

If you want to dissolve an inequivalence ratio to the equivalence ratio, you subtract the first number from the second; you are left with three [numbers] that are equal, or proportional by a ratio closer to the equivalence ratio.

ואם אתה רוצה להתיר הערך הנחלף אל ישר אתה פוחת ראש מספרו מן השני וישאר בידך שלשה ‫^[45]שהם שוים או מוערכים על שרש אחד שהוא קרוב אל השוה

1	1	1	Equivalence Ratio	1
4	2	1	Multiple Ratio	2
9	6	4	Superparticular Ratio	3
21	10	4	Multiple Superparticular Ratio	4
25	15	9	Superpartient Ratio	5
64	24	9	Multiple Superpartient Ratio	6

א	א	א	ערך ישר	א
ד	ב	א	ערך כפל	ב
ט	ו	ד	ערך חלק	ג
כא	י	ד	כפל וחלק	ד
כה	טו	ט	חלקים	ה
סד	כד	ט	כפל וחלקים	ו

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4,6,9\right)\longrightarrow\left(1,2,4\right)}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1,2,4\right)\longrightarrow\left(1,1,1\right)}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x_1=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]}}{\color{blue}{=9-\left[6+\left(6-4\right)\right]=1}}$	$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{ x_1=a_1}}{\color{blue}{=1}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x_2=a_2-a_1}}{\color{blue}{=6-4=2}}$	$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x_2=a_2-a_1}}{\color{blue}{=2-1=1}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x_3=a_1}}{\color{blue}{=4}}$	$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x_3=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]}}{\color{blue}{=4-\left[2+\left(2-1\right)\right]=1}}$

As the superparticular ratio, which is the third level in this diagram, and its numbers are 4, 6, 9:

כגון ערך החלק אשר היא המעלה השלישית בצורה הזאת ומספרנו ד' ו' ט‫'

If you subtract 4 from 6, you are left with 2.

אם אתה פוחת ד' מן ו' ישארו בידך ב‫'

If you subtract 1 from 2, then subtract 1 and 2 from 4, which is the greatest number, you are left with one three times and this is the equivalence ratio.

ואם אתה פוחת מן ב' א' ואחר כך תפחות מד' שהוא המספר הגדול א' וב' ישאר לך אחד ג' פעמים והוא הערך הישר

All ratios return to the equivalence ratio, when you dissolve their relation and inequivalence.

והנה כל הערכים כאשר אתה מתיר את קשרם ואת חלופם חוזרים אל ערך הישר

The sages deduce from this an allusion about the human: if he keeps himself once in the virtues of the ascetics and restrains himself from the passions of the world, the next time will be easier for him until reaching the definition of righteousness that is derived from the image of the one that corresponds the form of the Most High; Who dwells alone; Who is everything and everything is from Him, the beginning of all and the end of all; Who knows everything in particular and in general; to Whom the spirit of everything returns; the Secret of praises and the Reason of prayers; may God's name be blessed forever and ever.

ואמרו מכאן החכמים רמז על האדם אם ישמור נפשו במעלות הפרושים ויכבוש את עצמו מתאות העולם פעם אחת יקל עליו באחרת עד שיגיע לגדר היושר היוצא מדמות האחד אשר דמות העליון כנגדו והוא שוכן לבדו והוא הכל ומאתו הכל ראשית הכל ואחרית הכל ויודע הכל בפרט וכל ואליו תשוב רוח הכל על כן סוד התהלות וטעם התפלות יהי שם יי' מבורך לעולם ועד

Chapter Six: Deducing One from Another	השער הששי הוצאת זה מזה
In Astrology
It is known in the science of the zodiacal constellation of the seven planets.	ידוע בחכמת המזלות לשבעת המשרתים שהם כוכבי לכת
The mean motion of Saturn each day is approximately 2 minutes, of Jupiter 5 minutes, of Mars 32 minutes, of the Sun and Venus 29 minutes, of Mercury 3 degrees and 11 minutes, and of the Moon 13 degrees and 11 minutes.	ומהלך השוה בכל יום בדרך קרובה לשבתי ב' ראשונים ולצדק ה' ראשונים ולמאדים ל"ב ראשונים ולחמה ונוגה כ"ט ראשונים ולכוכב חמה ג' מעלות י"א ראשונים וללבנה י"ג מעלות י"א ראשונים
If you know a certain day in which one of the slower planets enters the sign of Aries, then after 15 days one of the quicker planet enters the sign of Aries, and you wish to calculate in how many days and hours it will catch up and conjunct with it, according to calculation of their motion:	ואם ידעת יום ידוע שנכנס אחד מן המשרתים שמהלכם במתון בראש טלה ולאחר ט"ו יום נכנס אחד מן הקלים שמהלכם במרוצה בראש ו' טלה ותרצה להוציא מתוך חשבון מהלכם בכמה ימים וכמה שעות ישיגנו ויתחבר עמו
Multiply the degrees or the fractions as they are by the days it moves and divide by the difference between the two motions; the result are the days and what remains are the fractions of the difference. Divide the parts of the difference by 12, then divide the fractions of the difference by the result and these are the hours and parts of an hour.	הערך המעלות או החלקים כפי מה ‫^[46]שיהיו בימים שהלך וחלק על היתרון שיש בין שתי ההליכות ומה שיצא הם ימים ומה שישאר הם חלקים מהיתרון חלק חלקי היתרון על י"ב ומה שיצא חלק חלקי היתרון עליו והם שעות וחלקי שעה
The check is to multiply the motion of the first by the days that have passed plus the days when the other is chasing it.	ובחינתו להעריך מהלך הראשון על הימים שעברו מחוברים עם הימים שירדף אחריו השני
Multiply the fractions of the difference by the number of degrees or fractions of its motion, then divide by the difference; these are the degrees, or the fractions, and fractions of fractions of the difference remain.	והערך חלקי היתרון על חשבון המעלות או החלקים שילך וחלק על היתרון והם מעלות או חלקים וישארו חלקים מחלקי היתרון
Do the same with the motion of the other: multiply the fractions of the difference by its motion, then divide by the difference.	וכן תעשה במהלך השני שתערוך חלקי היתרון על מהלכו וחלקם על היתרון
You should find them equal.	תמצאם שוים
If one moves and the other moves towards it, as when it is retrograde, and you wish to calculate when they will conjunct:	ואם ילך האחד והשני יבא כנגדו כגון שיהיה נזור ותרצה להוציא מתי יתחברו
Sum the motion of the two and it is the day; divide the distance by it.	חבר מהלך שניהם והוא היום וחלק הדרך עליו
You can calculate this way for runners and messengers whose motion you know exactly.	ועל זה הדרך תוכל לחשב לרצים ולשלוחים אשר תדע מהלכם בלא תוספת ובלא מגרעת
It is also known that the planets have conjunctions: sometimes all conjunct in one zodiacal constellation, sometimes six of them, or 5, or 4, or 2 in one zodiacal constellation; and you wish to calculate how much are all the conjunctions that differ from one another:	וגם ידוע הוא שיש למשרתים מחברות פעמים שיתחברו כלם במזל אחד ופעמים ששה מהם או ה' או ד' או ג' או ב' מהם במזל אחד ותרצה להוציא כמה הם כל המחברות שלא ידמה זה לזה
This is how you can find them: know that you can find any sum from one to whichever number you wish by multiplying it by [its] half plus one half. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n k=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]}}$	וככה תוכל לדעתם דע כי כל חשבון שיחובר מאחד עד איזה מספר שתרצה תוכל להוציאו מערכו אל חצי ואל חצי אחד
We begin to count how many are the double conjunctions, meaning the conjunctions of only two planets:	ונחל לספור כמה יהיו המחברות השניות והטעם שיתחברו שני כוכבים לבדם
Saturn has six conjunctions with the planets. We multiply six by its half plus one-half; the result is 21 and so is the number of the double conjunctions. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\frac{1}{2}\right]=21}}$	והנה יש לשבתי עם המשרתים מחברות ששה ונערוך ששה על חציו וחצי אחד יעלה כ"א וככה מספר המחברות השניות
We wish to extract the triple conjunctions [= conjunctions of three planets]:	רצינו להוציא השלישיות
We take Jupiter and Saturn and one of the other five with them; their resulting number is five. We multiply it by three, which is half the number plus one-half; the result is 15 and those are the conjunctions of Saturn. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\frac{1}{2}\right]=5\sdot3=15}}$	ושמנו צדק עם שבתי ועמהם אחד מהאחרים החמשה ויעלה מספרם חמשה ערכנום על שלשה שהוא חצי המספר וחצי אחד יעלה ט"ו וזאת מחברת שבתי
The conjunctions of Jupiter should be four. We multiply them by two and one-half; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10}}$	וראוי להיות מחברות צדק ארבעה ערכנוהו על שנים וחצי עלה עשרה
The conjunctions of Mars are three. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	ומחברות מאדים שלשה ערכנוהו על שנים עלה ששה
The conjunctions of Mercury are two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ומחברות חמה שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
The conjunction Venus is one.	ומחברות נגה אחת
So the total number of the triple conjunctions is thirty-five. $\scriptstyle{\color{blue}{15+10+6+3+1=35}}$	והנה מספר מחברות‫^[47] השלישיות חמשה ושלשים
We wish to extract the quadruple conjunctions [= conjunctions of four planets]	רצינו להוציא הרביעיות
We begin with Saturn, Jupiter and Mars and the [one] that those three should conjoin with to start the quadruple conjunctions. We multiply by two and one-half; the result is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\frac{1}{2}\right]=4\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=10}}$	ונחל משבתי וצדק ומאדים עמו ובעבור שצריך לשלשה שיתחברו עמו תחלת המחברת ארבעה ערכנו על שנים וחצי עלו עשרה
Then the conjoin of Saturn and Jupiter with the others and they are three at first. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	ואחר כן יהיה מחברת שבתי וצדק עם האחרים ויהיו בתחלה שלשה ערכנום על שנים עלה ששה
Then occur [the conjunctions of] Saturn with Mars, which are two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ואחר כן יחל שבתי עם מאדים ויהיו שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחרי כן מחברת אחת
The total number of conjunctions of Saturn is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{10+6+3+1=20}}$	ועלה מספר מחברות שבתי עשרים
Jupiter starts with three. We multiply them by two; the result is six. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)+\frac{1}{2}\right]=3\sdot2=6}}$	והנה יחל צדק משלשה ערכנום על שנים עלה ששה
Then two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ואחר כן שנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחר כן מחברת אחת
[The total number of] conjunctions of Jupiter is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{6+3+1=10}}$	והנה מחברת צדק עשר
Mars starts with two. We multiply them by one and one-half; the result is three. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+\frac{1}{2}\right]=2\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=3}}$	ויחל מאדים משנים ערכנום על אחד וחצי עלה שלשה
Then one conjunction.	ואחר כן מחברת אחת
The total number of conjunctions of Mars is four. $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$	הנה ארבע מחברות למאדים
The Sun has one [conjunction] with the planets beneath it.	ומחברת חמה עם השפלים אחת
The total number of conjunctions of quadruple conjunctions is thirty-four. $\scriptstyle{\color{blue}{20+10+4+1=35}}$	והנה מספר הרביעיות חמשה ושלשים
We wish to extract the quintuple conjunctions [= conjunctions of five planets]: we find that Saturn has 15, Jupiter 5, Mars one; the number of quintuple conjunctions is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{15+5+1=21}}$	רצינו להוציא החמישיות ומצאנו לשבתי ט"ו ולצדק ה' ולמאדים אחת והנה מספר החמישיות כ"א
The sextuple conjunctions [= conjunctions of six planets]: Saturn has six and Jupiter one - they are seven. $\scriptstyle{\color{blue}{6+1=7}}$	והמחברות הששיות יש לשבתי שש ואחת לצדק והנם שבע
There is one septuple conjunction.	ומחברות השבעה אחת
So, the total number of planetary conjunctions is one hundred and twenty conjunctions. $\scriptstyle{\color{blue}{21+35+35+21+7+1=120}}$	ועלה מספר כלם מאה ועשרים מחברות
In many issues the astrologers need to extract the unknown from the known:	ובעינינים רבים יצטרכו חכמי המזלות להוציא הנסתר מהידוע
As in the calculation of arcs, chords, and sagittae - to extract one from the other. By the decree of God I will explain it in this book in its place.	כמו בחשבון הקשתות והיתרים והחצים להוציא זה מזה ועם גזור האל אפרשנו במקומו בזה הספר
Also in the calculation of the shadows of the sun - to extract the tangent from the cotangent; the cotangent from the tangent; the height from each; each from the height - but this is not the place to elaborate on this.	וכאשר בחשבון צללי השמש להוציא הישר מן ההפוך וההפוך מן הישר ומן כל אחד ואחד הגובה ומן הגובה כל אחד ואחד מהם אך אין זה מקומו להאריך בו
Reference to Abraham Ibn Ezra's works: This is explained in Sefer Keli ha-Neḥošet [Book on the Astrolabe] and Sefer ha-Luḥot le-Šivʿah ha-Mešaretim [Tables of the Seven Planets].	והנה מפורש בספר כלי הנחשת ובספר הלוחות לשבעה המשרתים
In Mathematics
In the mathematicians' way you extract the unknown from the known as you have seen in the preceding chapters on addition, subtraction, multiplication, division, ratio of one to another, and we find it also in the issue of roots. By the decree of God I will explain it in its place.	ולענין חכמי המדות אתה מוציא הנסתר מן הגלוי כאשר ראית בשערים שעברו במחברת ובמגרעת ‫^[48]ובמערכת ובמחלוקת ובערך זה אל זה וגם בענין השרשים נמצאנו ועם גוזר האל במקומו אפרשנו
In bargaining and in human affairs you find also the extraction of the unknown from the known.	וגם בחשבוני מקח וממכר ובעסקי בני אדם אתה מוצא להוציא הנסתר מהידוע
For, all human affairs associated with the calculations of commerce, employment of workers, and exchange are based on four numbers in two orders of ratio [= "Rule of Three"]	כי כל עסקי בני אדם בחשבוני מקחם וממכרם ושכירות כל מעשיהם ושעור חלופיהם הם עומדים בין ארבעה מספרים בשני סדרי הערך
The Rule of Three is built on four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio
For every four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio:	כי כל ארבעה מספרים בשני סדרי ערך שוה
The part that the first is of the second is as the portion that the third is of the fourth. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4}}$	והוא שיהיה חלק האחד מן השני כחלק השלישי מן הרביעי
If you multiply the first by the fourth the product will be the same as the product of the second [multiplied] by the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3}}$	אם אתה עורך הראשון ברביעי יהיה מספרו כמספר השני בשלישי
For example, the two numbers 4 and 15 with the two numbers 12 and 45. $\scriptstyle{\color{blue}{4:15=12:45}}$	והמשל כגון שני מספר ד' ט"ו עם שני מספרי י"ב מ"ה
The first, which is 4, is a part of the number 15, which is the second, as 12, which is the third number, is [a part] of the number 45, which is the fourth, meaning one-fifth of it plus one-third of one-fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{4:15=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)=12:45}}$	והראשון שהוא ד' הוא חלק מן מספר ט"ו אשר הוא השני כמו י"ב שהוא המספר השלישי מן מספר מ"ה והוא הרביעי והוא חמישיתו ושליש חמישיתו
If you multiply 4, which is the first, by the number 45, which is the fourth, the product will be equal to [the product of the] number 15, which is the second, [multiplied] by number 12, which is the third. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot45=15\sdot12}}$	ואם אתה עורך ד' והוא הראשון במספר מ"ה והוא הרביעי יהיה מספרו כמספר ט"ו השני במספר י"ב השלישי
Also, if you take the ratio of 4 to 12, which is the third, it will be equal to the ratio of 15 to 45, which is the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{4:12=15:45}}$	ועוד אם תקח ערך ד' אל י"ב השלישי יהיה כערך ט"ו אל מ"ה הרביעי
You find number 4, which is the first, proportional to the two numbers - the second and the third - and not proportional to the fourth.	ואתה מוצא מספר ד' והוא הראשון נערך אל שני המספרים אל השני ואל השלישי ואינו נערך אל הרביעי
Likewise, the second is proportional to the first and the fourth, but not proportional to the third. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1:a_4\neq a_2:a_3}}$	וכן השני נערך אל הראשון ואל הרביעי ואינו נערך אל השלישי
The numbers which are proportional to each other are called “companions”.	והמספרים הנערכים זה אל זה נקראים חברים
Those which are not proportional are called “strangers”.	ושאינם נערכים נקראים נכריים
Hence, you learn that every four numbers that are equal in ratio, if you multiply one of the ratio’s orders by its stranger from the second order, it will be equal to the product of its companion in the ratio [multiplied] by its own stranger from the other ratio. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3}}$	ומכאן אתה למד שכל ד' מספרים שהם שוים בערך אם אתה עורך האחד מסדרי הערך עם הנכרי לו מסדר השני יהיה שוה לחשבון חברו בהקשה באשר הוא נכרי לו מן הערך השני
Word Problems
Trade
Trade is based on the "Rule of Three"
All human affairs are based on the two orders of the equivalence ratio:	וכל עסקי בני אדם עומדים בשני סדרי הערך הזה
The [amount of goods offered in] business and trade are one [term] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1}}$ ]; the corresponding price is the second [term] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ].	כי העסק והמסחר הוא האחד ושני לו השער המסור לו
The second order is the taken or sold [amount of goods] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3}}$ ] and its second [term] is the money [paid for the amount of goods which was actually sold] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4}}$ ].	והסדר השני הוא הנלקח או הנמכר ושני לו הדמים
The [amount of goods offered in] business is proportional to the price, as the sold [amount of goods] is proportional to the money [paid].	והעסק נערך אל השער כאשר הנמכר נערך אל הדמים
The ratio of the [amount of goods offered in] business to the sold merchandise is equal to the ratio of the price to the money [paid] and they are the "companions".	ועוד ערך העסק אל המכר כערך השער אל הדמים ואלו הם החברים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{\left[amount\ of\ goods\ offered\ in\right]\ business}{price}=\frac{sold\ \left[amount\ of\ goods\right]}{money\ \left[paid\right]}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_3}{a_4}}}$
You find the [amount of goods offered in] business stranger to the money [paid] and the sold merchandise stranger to the price.	ותמצא לעולם העסק נכרי ‫^[49]לדמים והמכר נכרי לשער
In all human affairs three of these values are known and the fourth is unknown, but we can deduce it from the three that are known:	ובכל עסקי בני אדם שלשה מאלה הארבעה ידועים והרביעי נסתר ונוציאנו מכח השלשה הידועים
For, if you multiply one of the three knowns by its stranger and you get the product, then you divide the product by the third known, you find the fourth unknown.	שאם אתה עורך אחד מהשלשה הידועים בנכרי לו מהם ותדע המספר הנכלל בחשבון ותחלק אותו על השלישי הידוע אתה מוצא הרביעי הנסתר
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_3\sdot a_2}{a_4}\quad a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\quad a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}}}$
Examples
As the one who says: 10 kors of wheat for 6 dinar. How many kors could I take for 4 dinar? $\scriptstyle 10\div6=x\div4$	כגון האומר עשרה כורי החטה בו' דינ' כמה כורים אוכל לקחת בארבעה דינ‫'
The [amount of goods offered in the] business are the 10 kors.	והמסחר הוא הי' כורים והוא הנקרא עסק
Its corresponding price is 6 dinar.	והשער המסור לו הוא ו' דינ‫'
These two [values] stand in one [order of the equivalence ratio].	ואלה שניהם עומדים בערך אחד
The other [order of the equivalence ratio] is the 4 dinar, which is the money [paid].	והערך השני הוא הד' דינ' והוא הדמים
You want to extract the unknown sold merchandise.	ואתה רוצה להוציא המכר הנסתר
In this case the two stranger among the three knowns are the money [paid] and the [amount of goods offered in the] business, which are 10 and 4.	ובזה הענין שני הנכרים אשר בשלשה הידועים הם הדמים והעסק והם י' וד‫'
So, multiply 10 by 4; it is 40.	ולפיכך תערוך י' בד' ויהיו מ‫'
Divide it by the known price, which is 6; it is six and two-thirds and this is the amount of sold merchandise that was unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{6}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}$	חלקם על השער הידוע שהוא ו' ויהיה ששה ושני שלישי אחד והוא מספר המכר שהיה נסתר
Or, know the ratio of 4, which is the money [paid], to 6, which is the price and they are companions; it is 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}$	או דע מה ערך ד' שהם הדמים מן ו' שהם השער והם החברים ויהיה ב' שלישיותיו
Take two-thirds of ten, which is the [amount of goods offered in the] business, and so is the [amount of] sold merchandise that was unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3}\sdot10=6+\frac{2}{3}}}$	קח שני שלישיותיו העשרה שהוא העסק וככה הוא המכר שהיה נסתר
Or, divide ten by 6 and multiply the quotient by 4; the result is the [amount of] sold merchandise that was unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}\sdot4=6+\frac{2}{3}}}$	או חלק העשרה על הו' והיוצא תערוך על ד' והעולה הוא המכר אשר היה נסתר
Here, the third number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3}}$ ], which is the sold merchandise, was unknown.	ובכאן היה המספר השלישי נסתר והוא המכר
If the fourth number [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4}}$ - the money paid] is unknown:	ואם היה המספר הרביעי נסתר
As the one who says: 10 kors for 6 dinar. What is the price of 4 kors? $\scriptstyle10\div6=4\div x$	כגון האומר י' כורים בו' דינ' כמה הוא דמי ד' כורים
Here the money [paid] is unknown.	ובכאן הם הדמים נסתרים
You know it by multiplying the price, which is 6, by the sold merchandise, which is 4; the result is 24.	ותדענו שתערוך השער שהוא ו' במכר שהוא ד' יעלה כ"ד
Divide it by the [amount of goods offered in the] business, which is the 10 kors; the result is 2 dinar and 2-fifths of a dinar and this is the money [paid] that was unknown. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot4}{10}=\frac{24}{10}=2+\frac{2}{5}}}$	חלקם על המסחר והוא הנקרא עסק והם הי' כורים יצא ב' דינ' וב' חומשי דינ' והוא הדמים שהיו נסתרים
You know it also by finding the ratio of 4, which is the sold merchandise, to 10, which is the [amount of goods offered in the] business and they are companions; it is two-fifths.	גם תדענו שתדרוש מה ערך הד' שהם המכר מן הי' שהם העסק והם החברים והוא שני חמישיותיו
Take two-fifths of 6 and this is the unknown money [paid]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{10}\sdot6=\frac{2}{5}\sdot6=2+\frac{2}{5}}}$	קח שני חמישיות ו' והוא הדמים הנסתרים
Or, divide the 6 dinar by 10, then multiply the quotient, which is three-fifths, by 4; the result is the unknown money [paid]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{10}\sdot4=\frac{3}{5}\sdot4=2+\frac{2}{5}}}$	או חלק הו' דינ' על הי' והיוצא שהם שלשה חומשין ערכם על הד' והעולה הם הדמים הנסתרים
If the price [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ] is unknown:	ואם היה השער נסתר
As the one who says: I bought 3 kors for 4 dinar. For how much would I buy 10 kors? $\scriptstyle10\div x=3\div4$	כגון האומר קניתי ג' כורים בד' דינ' בכמה הייתי קונה עשרה כורים
Here the sold merchandise and the money [paid] are known; they are 3 kors and 4 dinar.	‫^[50]ובכאן המכר ודמיו ידועים והם ג' כורים וד' דינ‫'
The [amount of goods offered in the] business is also known, which is 10 kors	וכן המסחר שנקרא העסק ידוע והם הי' כורים
But you do not know the price of the 10 kors.	ונסתר ממך שער הי' כורים
You know it by multiplying the [amount of goods offered in the] business, which is 10 kors, by 4, which is the money [paid] for the sold merchandise; the result is 40.	ותדענו שתערוך המסחר שהם י' כורים בד' שהם דמי המכר ועלה מ‫'
Divide it by 3, which is the sold merchandise; the unknown price is 13 dinar and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$	חלקם על ג' והם המכר ושא השער הנסתר והוא י"ג דינ' ושליש
You know it also by finding the ratio of 10 to 3; it is 3 times and a third.	גם תדענו ראה מה ערך הי' מן הג' והוא כפלו ג' פעם ושליש
Multiply it by 4, meaning multiply 4 three times and a third; the result is 13 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{3}\sdot4=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot4=13+\frac{1}{3}}}$	ערכם על הד' כלו' כפול ד' ג' פעמים ושליש יעלה י"ג ושליש
Or, divide 4 by 3; the result is one and a third.	או חלק הד' על הג' יצא אחד ושליש
Multiply it by 10; the result is 13 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{3}\sdot10=\left(1+\frac{1}{3}\right)\sdot10=13+\frac{1}{3}}}$	ערכם על הי' יעלה י"ג ושליש
If the [amount of goods offered in the] business [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1}}$ ] is unknown:	ואם היה המסחר שהוא הנקרא עסק נסתר
As the one who says: I bought 6 kors for 4 dinar. How many kors would I buy for 7 dinar? $\scriptstyle x\div7=6\div4$	כגון האומר קניתי ו' כורים בד' דינ' כמה כורים אקנה בז' דינ‫'
We find that you know the sold merchandise and the money [paid] for it, which are 6 kors and 4 dinar and they are [order of the equivalence] ratio.	נמצא שאתה יודע המכר ודמיו והם ו' כורים וד' דינ' והם כערך אחד
You also know the price from the first [order of the equivalence] ratio, which is 7 dinar.	וגם אתה יודע מן הערך הראשון השער שהוא ז' דינ‫'
But you do not know the [amount of goods offered in the] business.	ונסתר ממך העסק והוא המסחר
You know it by multiplying the price, which is 7, by 6, which is the sold merchandise and they are stranger; the result is 42.	ותדענו שתערוך השער שהם ז' בו' שהוא המכר והם הנכריים ועלו מ"ב
Divide it by 4, which is the money [paid]; the result is the [amount of goods offered in the] business, which is 10 kors and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot6}{4}=\frac{42}{4}=10+\frac{1}{2}}}$	חלקם על ד' שהם הדמים יצא המסחר שהוא העסק והוא י' כורים וחצי
You know it by finding the ratio of 7 to 4; it is one and 3-quarters.	ותדענו שתדע מה ערך ז' אל ד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו
Multiply it by 6; it is 10 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7}{4}\sdot6=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot6=10+\frac{1}{2}}}$	ערכם אל הו' והוא י' וחצי
Or, divide 6 by 4; the result is one and a half.	או חלק הו' על הד' יצא אחד וחצי
Multiply it by 7; the result is 10 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6}{4}\sdot7=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot7=10+\frac{1}{2}}}$	ערכם אל על הז' יעלה י' וחצי
Now I have explained to you the extraction of the unknown number from the known [numbers].	ועתה בארתי לך הוצאת המספר הנסתר מתוך הידועים
If you want to extract both the [amount of goods offered in the] business and the corresponding price:	ואם רצית להוציא הכורים והדמים
As the one who asks: 3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that when you sum up the kors and their price, the result is 60. :How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle x+\frac{5}{3}x=60$	כגון שישאל השואל ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים וכאשר תחבר הדמים עם הכורים יעלו ששים כמה היו הכורים והדמים
Sum up the 3 and the 5; the result is 8.	חבר הג' והה' יעלה ח‫'
Find the ratio of 3 to 8; it is 3-eighths.	ודע מה ערך הג' מן הח' והוא ג' שמיניות
Take 3-eighths of sixty; it is 22 and a half and these are the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{3+5}\sdot60=\frac{3}{8}\sdot60=22+\frac{1}{2}}}$	קח ג' שמיניות הששים והוא כ"ב וחצי והם הכורים
To extract the price: find the ratio of 5 to 8; it is 5-eighths.	ולהוציא הדמים דע מה ערך הה' מן הח' והוא ה' שמיניות
Take 5-eighths of sixty; it is 37 and a half and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{5}{8}\sdot60=37+\frac{1}{2}}}$	קח ה' שמיניות הששים והם ל"ז וחצי והם הדמים
Or, divide sixty by eight; the result is 7 and a half.	או חלק הששים על שמונה יהיה היוצא ז' וחצי
If you multiply it by 3, the result is the number of the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{60}{8}\sdot3=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	אם תערכם על הג' יעלה חשבון הכורים
If you multiply them by 5, the result is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\frac{60}{8}\sdot5=\left(7+\frac{1}{2}\right)\sdot5}}$	‫^[51]ואם תערכם על ה' יעלה חשבון הדמים
If you give 3 kors for 7 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that when you subtract their price from them 20 remain. How many were the kors and how much was the price? $\scriptstyle\frac{7}{3}x-x=20$	ואם תרצה להוציא ג' כורים בז' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתגרע מהם הדמים ישאר כ‫' כמה היו הכורים והדמים
Subtract 3 from 7; 4 remains.	גרע הג' מן הז' ישאר ד‫'
Find the ratio of 3 to 4; it is 3-quarters.	ודע מה ערך הג' מן הד' והוא ג' רביעיות
Take 3-quarters of 20; it is 15 and they are the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{7-3}\sdot20=\frac{3}{4}\sdot20=15}}$	קח ג' רביעיות הכ' והוא ט"ו והם הכורים
To find the price: find the ratio of 7 to 4; it is one and 3-quarters.	ולהוציא הדמים דע מה ערך הז' מן הד' והוא כמוהו וג' רביעיותיו
Take this ratio from 20; it is 35 and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{7}{4}\sdot20=\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot20=35}}$	קח כערכם מן הכ' והוא ל"ה והם הדמים
Or, if you divide 20 by 4, the result is 5.	או אם תחלק הכ' על ד' יצא ה‫'
Multiply it by 3; the result is the number of the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{4}\sdot3=5\sdot3}}$	אם תערכם על ג' יעלה חשבון הכורים
If you multiply them by 7, the result is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{3}x=\frac{20}{4}\sdot7=5\sdot7}}$	ואם תערכם בז' יעלה חשבון הדמים
If you give 3 kors for 5 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that when you multiply the kors by their price, the result is 60. $\scriptstyle x\sdot\left(\frac{5}{3}x\right)=60$	ואם תוציא ג' כורים בה' דינ' וקנה כורים נעלמים כשתערוך הכורים על הדמים יעלה ששים
Multiply 3 by 5; the result is 15.	ערוך הג' בה' יעלה ט"ו
Divide sixty by it and extract the root of the result; it is 2.	וחלק עליהם הששים ומהעולה קח השורש והוא ב‫'
Multiply it by 3; it is six and they are the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{60}{3\sdot5}}\sdot3=\sqrt{\frac{60}{15}}\sdot3=2\sdot3=6}}$	וערכם על ג' יהיה ששה והם הכורים
If you multiply 2 by 5, the result is 10 and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=2\sdot5=10}}$	ואם תערוך הב' על הה' יעלה י' והם הדמים
Or, if you multiply 3 by sixty, the result is 180.	או אם תערוך הג' בששים יצא ק"פ
If you divide it by 5, the result is 36.	אם תחלקם על הה' יצא ל"ו
Extract the root of the quotient and the result is the number of the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\frac{3\sdot60}{5}}=\sqrt{\frac{180}{5}}=\sqrt{36}=6}}$	ומהיוצא תקח השרש והעולה הוא חשבון הכורים
If you divide them by 3 and extract the root of the quotient, the result is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}x=\sqrt{\frac{180}{5}}\sdot3}}$	ואם תחלקם על הג' ומהיוצא תקח שרש והעולה הוא חשבון הדמים
If you give 4 kors for 9 dinar. An unknown [quantity of] kors was bought, so that if you add the root of the kors to the root of their price, the result is 7 and a half. $\scriptstyle\sqrt{x}+\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=7+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' וקנה כורים נעלמים אם תחבר שורש הכורים עם שורש הדמים יעלה ז' וחצי
Extract the root of 4; it is 2.	קח שורש הד' והוא ב‫'
Extract the root of 9; it is 3.	וקח שורש הט' והוא ג‫'
Add 2 to 3; it is 5.	חבר ב' עם ג' יהיה ה‫'
Divide 7 and a half by it, then multiply the quotient by two; the result is 3 and this is the root of the kors; their number is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{4}+\sqrt{9}}\sdot\sqrt{4}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+3}\sdot2=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot2=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	חלק עליהם הז' וחצי והיוצא תערוך בשנים יעלה ג' והם שורש הכורים ומספרם ט‫'
If you multiply the quotient by 3, it is 4 and a half and this is the root of the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{5}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק בג' יהיה ד' וחצי והם שורש הדמים
Multiply it by itself; the result is 20 dinar and a quarter of a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2=20+\frac{1}{4}}}$	תערכם על עצמם יעלה כ' דינ' ורובע דינ‫'
Or, if you divide 9 by 4, the result is 2 and a quarter.	או אם תחלק הט' על הד' יצא ב' ורובע
Extract the root; it is one and a half.	קח השורש והוא אחד וחצי
Always add one to it; it is two and a half.	הוסף עליו אחד לעולם יהיה שנים וחצי
Divide the 7 and a half by it, then multiply the quotient, which is 3, by itself; the result is the number of the kors.	חלק עליהם הז' וחצי והיוצא שהם ג' תערוך ‫^[52]על עצמם והעולה הוא חשבון הכורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{9}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\left(1+\frac{1}{2}\right)+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=3}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=3^2=9}}$
To know the price: divide 4 by 9; the result is 4-ninths.	ולדעת הדמים תחלק הד' על הט' יצא ד' תשיעיות
Extract the root, which is the root of 4-ninths; it is 2-thirds.	קח השרש והוא ב' שלישיות שהם שורש ד' תשיעיות
Add one to them; it is one and 2-thirds.	הוסף עליהם אחד יהיה אחד וב' שלישיות
Divide the 7 and a half by it; the result is 4 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\sqrt{\frac{4}{9}}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{\frac{2}{3}+1}=\frac{7+\frac{1}{2}}{1+\frac{2}{3}}=4+\frac{1}{2}}}$	חלק עליהם הז' וחצי יצא לאחד שלם ד' וחצי
Multiply it by itself and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\left(4+\frac{1}{2}\right)^2}}$	ערכם על עצמם והוא חשבון הדמים
If you give 4 kors for 9 dinar and when you subtract the square [of the kors] from the square of their price, one and a half would remain. $\scriptstyle\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}-\sqrt{x}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתפחות שרשו משורש הדמים ישאר אחד וחצי
Extract the root of 4; it is 2.	קח שורש הד' והוא ב‫'
Subtract it from the root of 9; 1 remains.	וחסרם משרש הט' ישאר א‫'
Divide one and a half by it; the result is the whole [one and a half].	חלק עליו אחד וחצי יצא הכל
If you multiply it by two, the result is the root of [the number of] the kors . $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x}=\frac{1+\frac{1}{2}}{\sqrt{9}-\sqrt{4}}\sdot\sqrt{4}=\frac{1+\frac{1}{2}}{3-2}\sdot2=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}\sdot2=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot2}}$	אם תערכנו עם שנים יעלה שורש הכורים
If you multiply it by three, the result is the root of the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\sqrt{9}=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot3}}$	ואם תערכנו על שלשה יצא שרש הדמים
You can extract it by the other way.	ותוכל להוציאו בדרך האחר
If you give 4 kors for 9 dinar and when you multiply the square of the kors by the square of their price, the result is 24. $\scriptstyle\sqrt{x}\sdot\sqrt{\frac{9}{4}\sdot x}=24$	ואם תוציא ד' כורים בט' דינ' כשתערוך שורש הכורים על שורש הדמים יהיה כ"ד
Extract the root of 4; it is 2.	קח שרש הד' והוא ב‫'
Multiply it by the root of 9; the result is six.	ערכם בגדר הט' יעלה ששה
Divide 24 by it and multiply the quotient by 4; it is 16 and this is the number of the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24}{\sqrt{4}\sdot\sqrt{9}}\sdot4=\frac{24}{2\sdot3}\sdot4=\frac{24}{6}\sdot4=16}}$	חלק עליהם הכ"ד והיוצא תח תערוך בד' יהיה י"ו והוא חשבון הכורים
If you multiply the quotient by 9, the result is 36 and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{4}\sdot x=\frac{24}{6}\sdot9=36}}$	ואם תערוך היוצא בחלוק על ט' יעלה ל"ו והוא חשבון הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and the sum of the price of one kor with the kors is 16 $\scriptstyle x+\frac{60}{x}=16$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים ודמי הכור כשיתחברו עם חשבון הכורים יהיה י"ו
Take a half of 16; it is 8.	קח חצי הי"ו והוא ח‫'
Multiply it by itself and subtract sixty from the product; four remains.	ערכם על עצמם ומהעולה חסר הששים ישאר ארבעה
Extract its root; it is 2.	קח השורש והוא ב‫'
Add it to the 8; it is 10 and they are the kors.	והוסף על הח' יהיו י' והם הכורים
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2-60}+8=\sqrt{8^2-60}+8=\sqrt{4}+8=2+8=10}}$
Subtract the 2 from the 8; 6 remains and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	וחסר הב' מן הח' ישאר ו' והם הדמים
If you give an unknown [quantity of] kors for a price of 60 and you subtract the price of one kor from all the kors, 4 would remain $\scriptstyle x-\frac{60}{x}=4$	ואם תוציא כורים נעלמים ודמיהם ששים אם תחסר דמי הכור מחשבון הכורים ישאר ארבעה
Take a half of 4 and multiply it by itself; it is 4.	קח חצי הד' ותערכנו על עצמו יהיה ד‫'
Add it to sixty and extract the root; it is 8.	חברם עם הששים וקח השרשים והוא ח‫'
Add the two to it; it is 10 and they are the kors. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+60}+2=\sqrt{4+60}+2=8+2=10}}$	הוסף עליהם השנים והוא י' והם הכורים
Or, if you subtract the 2 from the 8, six remains and this is the price of the kor. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{x}=8-2=6}}$	או אם תחסר הב' מן הח' ישאר ששה והם דמי הכור
If you give a kor for 3 and a kor for 7 and you want to buy a kor for 6 from each of them, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle3x+\left[7\sdot\left(1-x\right)\right]=6$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' ורוצה לקנות משניהם כור בו' כמה יקח מכל אחד ואחד
Find the [difference] between 3 and 7; it is 4.	דע מה ‫^[53]בין הג' והז' והוא ד‫'
Then, subtract 6 from 7; one remains.	ואחר כך תגרע הו' מן הז' ישאר אחד
Find its ratio to 4; it is a quarter and so he takes a quarter from the kor for 3. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7-6}{7-3}=\frac{1}{4}}}$	ודע מה ערכו מן הד' והוא רביע וככה יקח מן הכור שהוא בג' רביע
He takes what remains from the kor, which is 3-quarters, from the kor for 7. $\scriptstyle{\color{blue}{1-x=1-\frac{1}{4}=\frac{3}{4}}}$	ומותר הכור שהם ג' רביעיות יקח מן הכור שהוא בז‫'
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and you want to take for 2 dinar from each one equally, how much will be taken from each of them? $\scriptstyle\left(3+4+5\right)x=2$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ורוצה ליקח בב' דינ' מכל כור וכור בשוה כמה יקח מכל אחד
Sum up the 3, the 4, and the 5; they are 12.	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב
Find the ratio of the 2 dinar to 12; it is a sixth and so he takes from each type. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{3+4+5}=\frac{2}{12}=\frac{1}{6}}}$	ודע מה ~~ערך הכור וחצי מן הג' כורים~~ שם הב' דינ' מן הי"ב והוא שתות וככה יקח מכל מין ומין
If you give a kor for 3, a kor for 4 and a kor for 5 and a kor and a half were taken from the three of them, from each one equally, what would be the price? $\scriptstyle\frac{3x}{3+4+5}=1+\frac{1}{2}$	ואם תוציא כור בג' וכור בד' וכור בה' ולקח משלשתם כור וחצי מכל אחד בשוה כמה הם הדמים
Sum up the 3, the 4, and the 5; they are 12.	חבר הג' והד' והה' יהיו י"ב
Find the ratio of a kor and a half to the three [types of] kors and take their ratio from 12; it is 6 and this is the price. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot\left(3+4+5\right)=\frac{1+\frac{1}{2}}{3}\sdot12=6}}$	ודע מה ערך הכור וחצי מן הג' כורים וכערכם קח מן הי"ב והוא ו' והם הדמים
If you give a kor for 3, a kor for 7 and a kor for 12 and he wants to take a kor for 10 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(3+7\right)\sdot x\right]+\left[12\sdot\left(1-2x\right)\right]=10$	ואם תוציא כור בג' וכור בז' וכור בי"ב וירצה לקח כור בי' דינ‫' כמה יקח מכל מין ומין
Sum up the 3 and the 7; it is ten. Keep it.	חבר הג' והז' והוא עשרה ושמרם
Then, double the 12; it is 24.	ואחר כך כפול הי"ב יהיו כ"ד
Subtract from it the 10 you kept; 14 remains.	וחסר מהם הי' ששמרת ישאר י"ד
Subtract the 10, for which he takes the kor, from the 12; two remains.	ואחר חסר הי' אשר לקח מהם הכור מן הי"ב ישאר שנים
Find its ratio to 14; it is a seventh and so he takes from the kor for 3 as well as from the kor for 7. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-10}{\left(12\sdot2\right)-\left(3+7\right)}=\frac{2}{24-10}=\frac{2}{14}=\frac{1}{7}}}$	ודע מה ערכם מן הי"ד והוא שביעית וככה קח מן הכור שהוא בג' וכמו כן מן הכור שהוא בז‫'
We take the remainder, which is 5-sevenths, from the kor for 12. $\scriptstyle{\color{blue}{1-2x=1-\left(2\sdot\frac{1}{7}\right)=\frac{5}{7}}}$	והנשאר שהוא ה' שביעיות נקח מן הכור שהוא בי"ב
If you give a kor for 2 dinar, a kor for 3, a kor for 5, and a kor for 14 and one wants to take a kor for 12 dinar, how much will he take from each kind? $\scriptstyle\left[\left(2+3+5\right)\sdot x\right]+\left[14\sdot\left(1-3x\right)\right]=12$	ואם תוציא כור בב' דינ' וכור בג' וכור בה' וכור בי"ד ורוצה לקח כור בי"ב דינ‫' כמה יקח מכל מין ומין
Sum up the 2, the 3, and the 5; the result is ten.	חבר הב' והג' וה' יעלו עשרה
Then, multiply the 14 three times, because this price exceeds the prices of the three [other] kinds, but above we only doubled, because the [higher] price did not exceed the prices of three types. When we multiply the 14 three times, the result is 42.	ואחר כך כ"כ כפול הי"ד שלשה פעמים לפי שעלו הדמים בדמי ג' המינין אך למעלה לא כפלנוהו אלא פעם אחת לפי שלא עלו הדמים לדמי ג' המינין וכשכפלנו הי"ד ג' פעם עלה מ"ב
Subtract the 10 from it; 32 remains.	חסר מהם הי' ישאר ל"ב
Subtract the 12 from the 14; two remains.	ואחר חסר הי"ב מן הי"ד ישאר שנים
Find its ratio to 32; it is half an eighth and so he takes from the kor for 2 dinar, as well as from the kor for 3 [dinar] and from the [kor for] 5 [dinar]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{14-12}{\left(14\sdot3\right)-\left(2+3+5\right)}=\frac{2}{42-10}=\frac{2}{32}=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}$	ודע מה ערכם מן הל"ב והוא חצי שמינית וככה יקח מן הכור שהוא בב' דינ' וכן מן הג' וכן מן הה‫'
He takes the remainder, which is 6-eighths and half an eighth, from the kor for 14. $\scriptstyle{\color{blue}{1-3x=1-\left[3\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]=\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}$	והנשאר שהוא ו' שמיניות וחצי שמינית יקח מן הכור שהוא בי"ד
If you give 10 kors for 20, 12 for 20 and 15 kors for 20 and one wants to take for 20 an equal part from each kind, how much will be given to him? $\scriptstyle\left(\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}\right)\sdot x=20$	ואם תוציא עשרה כורים בעשרים ושנים עשר בעשרים וחמשה עשר כורים בעשרים וירצה לקח בעשרים חלק שוה מכל מין ומין כמה יתן לו
Divide the twenty by ten - the result is two; by 12 - the result is one and two-thirds; by 15 - the result is one and a third.	חלק העשרים ‫^[54]על עשרה יצא שנים ועל י"ב יצא אחד ושני שלישיות ועל ט"ו יצא אחד ושליש
Sum up all; it is five.	חבר הכל יהיו חמשה
Divide the twenty by it; the result is four and so he takes from each type. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{20}{\frac{20}{10}+\frac{20}{12}+\frac{20}{15}}=\frac{20}{2+\left(1+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)}=\frac{20}{5}=4}}$	חלק עליהם העשרים יצא ארבעה וכן יקח מכל מין ומין
If you give 4 kors for 8 zuz minus an unknown thing and 2 kors were taken for the unknown thing and a zuz. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{4}{8-x}=\frac{2}{x+1}$	ואם תוציא ד' כורים בח' זוז פחות דבר שאינו ידוע ולקח שני כורים בשאינו ידוע וזוז כמה היה מה שאינו ידוע
Add the 2 kors to the 4; they are 6.	הוסף הב' כורים על הד' יהיו ו‫'
Add the unknow [thing] plus a zuz to the 8 minus the unknown thing; they are nine.	ואחר כך חבר שאינו ידוע וזוז עם הח' פחות דבר שאינו ידוע יהיו תשעה
Find the ratio of two kors to six; it is a third.	ודע מה ערך שני הכורים מן הששה והוא שליש
Take a third of the nine and subtract the zuz from it; the remainder, which is two zuzim, is the unknown thing.	קח שליש התשעה וחסר ממנו הזוז והנשאר שהוא שני זוזים הוא הדבר שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left[\left[\left(8-x\right)+\left(x+1\right)\right]\sdot\frac{2}{2+4}\right]-1=\left(9\sdot\frac{2}{6}\right)-1=\left(9\sdot\frac{1}{3}\right)-1=2}}$
If you give 5 kors for 10 dinar minus a thing and 3 kors were taken for the unknown thing minus a dinar. How much is the thing? $\scriptstyle\frac{5}{10-x}=\frac{3}{x-1}$	ואם תוציא חמשה כורים בעשרה דינ' פחות משהו ולקח ג' כורים במשהו שאינו ידוע פחות דינ' עם כמה זה המשהו
Add 3 to 5; it is 8.	חבר הג' עם הה' יהיו ח‫'
Then, add the thing minus a dinar to the 10 minus a thing; it is 9 dinar.	ואחר כך חבר המשהו פחות דינ' עם הי' פחות משהו יהיה ט' דינ‫'
Find the ratio of the 3 kors to eight; it is a quarter and half a quarter.	ודע מה ערך הג' כורים מן השמונה והוא רביעית וחצי רביעית
Take this ratio from 9; it is 3 and three-eighths.	וכערכם קח מן הט' והוא ג' ושלשה שמיניות
Add the subtractive dinar to it; it is 4 and 3-eighths and this is the thing.	הוסף עליהם הדינר הפחות והם ד' וג' שמיניות והוא המשהו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(x-1\right)+\left(10-x\right)\right]\sdot\frac{3}{3+5}\right]+1=\left(9\sdot\frac{3}{8}\right)+1=\left[9\sdot\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]\right]+1=\left(3+\frac{3}{8}\right)+1\\&\scriptstyle=4+\frac{3}{8}\\\end{align}}}$
Employment of workers
Likewise you find in the employment issue.	וכן אתה מוצא בענין השכירות
As the one who says: I hired a worker for 30 days for 10 dinar and he had worked 8 days. How much is his payment? $\scriptstyle30\div10=8\div x$	כגון האומר שכרתי פועל לשלשים יום בי' דינ' ועשה על ח' ימים כמה שכרו
Here you consider the 30 days of employment as [the amount of goods offered in] trade.	ובכאן אתה חושב ל' ימי השכירות למסחר
The 10 dinar as the [corresponding] price.	והי' דינ' לשער
The 8 days that we worked as the sold [amount of goods].	וח' ימים שעשה מלאכתו למכר
The unknown number as the money paid.	ויהיה המספר הנסתר דמי המכר
You extract it by multiplying 8 by 10; it is 80.	ותוציאנו שתערך הח' בי' יהיו פ‫'
Divide it by 30; the result is 3 minus one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot10}{30}=\frac{80}{30}=3-\frac{1}{3}}}$	חלקם על הל' יצא ג' פחות שליש
You know it when you find the ratio of 8 to 30, which is 4-fifths of a third, then you take this ratio from 10; the result is 3 minus one-third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{30}\sdot10=\left(\frac{4}{5}\sdot{1}{3}\right)\sdot10=3-\frac{1}{3}}}$	ותדענו שתדע מה ערך ח' אל ל' והוא ד' חמשיות שלישית וכערכם קח מן הי' יצא ג' פחות שליש
You know it by dividing 10 by 30; the result is one-third.	ותדענו שתחלק הי' על הל' יצא שליש
Multiply it by 8; the result is 8-thirds and this is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{30}\sdot8=\frac{1}{3}\sdot8=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}$	ערכהו על ח' יצא והוא ח' שלישיות והדבר שוה
With these methods you solve when the sold merchandise, or price, or [amount of goods offered in the] business are unknown. There is no need to elaborate.	ועל אלו הדרכים תוציא כשיהיו המכר או השער או המסחר נסתרים ואין צריך להאריך בזה
If you hired a salaried for an unknown [number of] days for an unknown [quantity of] dinar. When you add up the days and dinar they summed up by 40. He had worked unknown days so that when multiplied by their salary the total is 12 and if you multiply the remaining days by the remaining salary the total is 192, how much are the unknown days and how much are the dinar?	ואם תוציא שכיר בימים נעלמים בדינר נעלמים וכשתחבר הימים והדינ' יהיו מ' ועשה ימים נעלמים כשתערכם בשכרם יעלה י"ב ואם תערך הנשאר ‫^[55]מן הימים בנשאר מן השכר יעלה קצ"ב כמה הם הימים הנעלמים וכמה הדינ' וכמה עשה מן הימים
$\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1+a_2=40\\\scriptstyle a_3\times a_4=12\\\scriptstyle\left(a_1-a_3\right)\sdot\left(a_2-a_4\right)=192\end{cases}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+12=\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\sdot x}}$
Divide 192 by 12; the result is 16.	חלק הקצ"ב על י"ב יצא י"ו
Take its root, which is 4, and add one to it; it is 5.	קח שרשם והוא ד' והוסף עליהם אחד יהיה ה‫'
Divide 40 by it; the result is 8.	וחלק עליהם המ' יצא ח‫'
Take its half, which is 4, multiply it by itself and subtract 12 from the product; 4 remains.	קח חצים והוא ד' וערכם על עצמם ומהעולה חסר הי"ב ישאר ד‫'
Take its root, which is 2, add it to 4, which is half the 8; the result, which is 6 are the unknown [number of] days that he worked.	קח שרשם והוא ב' הוסיפם על הד' שהם חצי הח' והעולה שהוא ו' הם הימים הנעלמים אשר עשה
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{192}{12}}+1}\right)^2-12}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{16}+1}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{4+1}\right)^2-12}=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{5}\right)^2-12}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2-12}=4+\sqrt{4^2-12}=4+\sqrt{4}=4+2=6\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{y^2+192=\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\sdot y}}$
Or, find the ratio of 12 to 192, which is a half of an eighth, take its root, which is a quarter and add to it always one; it is one and a quarter.	או דע מה ערך הי"ב מן הק'צ'ב' והוא חצי שמינית קח השרש והוא רובע הוסף עליו אחד לעולם יהיה אחד ורובע
Divide 40 by it; the result is 32.	חלק עליהם המ' יצא ל"ב
Take its half, which is 16, and multiply it by itself; the result is 256.	קח חצים והוא י"ו וערכם על עצמם יעלה רנ"ו
Subtract 192 from it; the remainder is 64.	חסר מהם הק'צ'ב' יהיה הנשאר ס"ד
Take its root, which is 8, and add it to 16; it is 24.	קח שרשם והוא ח' הוסיפם על הי"ו יהיו כ"ד
Add it to the previous 6; the sum, which is 30 are the unknown [number of] employment days.	חברם עם הו' ראשונים והמחובר שהוא ל' הם הימים הנעלמים מן השכירות
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle y&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{12}{192}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}+1}\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{40}{\frac{1}{4}+1}\right)^2-192}=6+\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot32\right)^2-192}\\&\scriptstyle=6+16+\sqrt{16^2-192}=6+16+\sqrt{256-192}=6+16+\sqrt{64}=6+16+8=6+24=30\\\end{align}}}$
Subtract it from 40, the remainder, which is 10, is the unknown [number of] dinar [paid]. $\scriptstyle{\color{blue}{40-30=10}}$	וחסרם מן המ' והנשאר שהוא י' הם הדינ' הנעלמים
You hired a salaried for a month [=30 days] for 10 dinar, and if he rests he has to pay one-half of his salary. He had worked and rested and his salary turned out equal to his loss. $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}=\left(30-x\right)\sdot\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם חצי שכרו ועשה ובטל ויצא שכרו בהפסדו
Add 5, which is half the salary, to 10; it is 15.	חבר הה' שהוא חצי השכר עם הי' יהיה ט"ו
Know the ratio of 5 to it; it is a third and as this ratio take from the days of the month; the result, which is 10, are the days that he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{2}\sdot10}{\frac{1}{2}\sdot10+10}\sdot30=\frac{5}{5+10}\sdot30=\frac{5}{15}\sdot30=\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	ודע מה ערך הה' מהם והוא שליש וכערכם קח ממי החדש והיוצא שהוא י' הוא הימים שעשה
The rest of the days are [the days in which] he was unemployed. $\scriptstyle{\color{blue}{30-10=20}}$	ובטל שאר הימים והם כ‫'
Or, divide the 10 dinar by 5 dinar; the result is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{\frac{10}{\frac{1}{2}\sdot10}+1}=\frac{30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{30}{2+1}=\frac{30}{3}=10}}$	או תחלק הי' דינ' על הה' דינ' יצא ב‫'
Add one to it; it is 3.	הוסף עליהם אחד לעולם יהיה ג‫'
Divide the days of the month by it; the result, which is 10, is the days that he worked.	וחלק עליהם ימי החדש והיוצא שהוא י' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he rests he has to pay 5 dinar. He had worked and rested and his salary was unknown zuzim. $\scriptstyle\left(x\sdot\frac{10}{30}\right)-\left[\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}\right]=1$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל והיה שכרו זוזים נעלמים
Add 5 to 10; they are 15.	חבר הה' עם הי' יהיו ט"ו
Add the zuzim to 5; they are 6.	הוסף הזוזים על הה' יהיו ו‫'
Find their ratio to 15 and take their ratio from the days of of the month; it is 12 and these are the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5+1}{5+10}\sdot30=\frac{6}{15}\sdot30=12}}$	גרע ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא י"ב והם הימים שעשה
He rested on the rest, which are 18. $\scriptstyle{\color{blue}{30-12=18}}$	ובטל הנשאר והם י"ח
?	ולקח בשכרו שכר ב' ימים
Or, divide 10 by 5; always add one to the result, which is 2; it is 3.	או חלק הי' על ה' והיוצא שהוא ב' הוסף עליהם אחד לעולם ויהיה ג‫'
Find the ratio of the zuzim to 5; it is a fifth.	ודע מה ערך הזוזים מן הה' והוא חומש
Add to the days of the month their fifth; it is 36.	הוסיפם על ימי החדש חמישיתם יהיה ל"ו
Divide it by 3; the result is the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+30}{\frac{10}{5}+1}=\frac{36}{2+1}=\frac{36}{3}=12}}$	חלקם על הג' והיוצא הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for 10 dinar, and if he rests he has to pay 5 dinar. He had worked and rested and had to pay unknown zuzim. $\scriptstyle x\sdot\frac{10}{30}+1=\left(30-x\right)\sdot\frac{5}{30}$	ואם תוציא שכיר בחדש בי' דינ' ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ובטל ונתחייב לשלם זוזים נעלמים
Add 5 to 10; it is 15.	‫^[56]חבר הה' עם הי' יהיה ט"ו
Then, subtract a dinar from 5; 4 remains.	ואחר כן חסר דינ' מן הה' ישאר ד‫'
Find its ratio to 15 and take its ratio from the days of the month; it is 8 and they are the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5-1}{5+10}\sdot30=\frac{4}{15}\sdot30=8}}$	ודע מה ערכם מן הט"ו וכערכם קח מימי החדש והוא ח' והם הימים שעשה
He rested 22 days and he had to pay a salary of 2 days. $\scriptstyle{\color{blue}{30-8=22}}$	ובטל כ"ב יום ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
Or, divide 10 by 5; the result is 2.	או חלק הי' על הה' יצא ב‫'
Add one to it; it is 3. Keep it.	הוסף עליהם אחד יהיה ג' ושמרם
Then, find the ratio of the dinar to 5 dinar; it is [a fifth].	ואחר דע מה ערך דינ' מן הה' דינ' והוא חמשים
Take from the days of the month their fifth; 24 remain.	וקח מימי החדש חמישיתם ישאר כ"ד
Divide them by the 3 you kept; the result, which is 8 are the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30-\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)}{\frac{10}{5}+1}=\frac{24}{2+1}=\frac{24}{3}=8}}$	חלקם על הג' ששמרת והיוצא שהוא ח' הם הימים שעשה
You hired a salaried for a month for unknown [number of] dinar, and if he rests he has to pay 5 dinar. He had worked unknown [number of] days so that when you multiply the unknown [number of] days by the unknown [number of] dinar [the result] is 80 and when he rested he had to pay unknown dinar. $\begin{cases}\scriptstyle\left(y\sdot\frac{x}{30}\right)+1=\left(30-y\right)\sdot\frac{5}{30}\\\scriptstyle x\sdot y=80\end{cases}$	ואם תוציא שכיר בחדש בדינ' נעלמים ואם יבטל ישלם ה' דינ' בחדש ועשה ימים נעלמים וכשתערוך הימים הנעלמים על הדינ' הנעלמים היה פ' וכשיצא ממלאכתו נתחייב דינ' נעלמים
Subtract the dinar from 5; 4 remain.	חסר הדינר מן הה' ישארו ד‫'
Multiply them by 30 and subtract 80 from the product; 40 remains.	ערכם על הל' ומהמחובר חסר פ' ישאר מ‫'
Divide it by 5 and the result, which is [8], are the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{\left[\left(5-1\right)\sdot30\right]-80}{5}=\frac{\left(4\sdot30\right)-80}{5}=\frac{40}{5}=8}}$	חלקם על ה' והיוצא שהוא הם הימים שעשה
Divide the 80 by them and the result, which is 10, are the unknown dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{80}{8}=10}}$	חלק עליהם הפ' והיוצא שהוא י' הם הדינ' הנעלמים
He had to pay a salary of 2 days.	ונתחייב לשלם שכר ב' ימים
If you multiply the dinar by 30 and add the result by 80, it is 110.	ואם תערוך הדינ' בל' ותחבר העולה עם הפ' יהיה ק"י
Divide it by 5; the result, which is 22, are the resting days. $\scriptstyle{\color{blue}{30-x=\frac{\left(1\sdot30\right)+80}{5}=\frac{110}{5}=22}}$	חלקם על הה' והיוצא שהוא כ"ב הם ימי הבטלה
You hired three workers — one for 3 dinar for one month, the second for 6 dinar and the third for 10 dinar. They had worked together a total of one month and each one took equally. How many [days] each one of them had worked? $\begin{cases}\scriptstyle\frac{30}{3}a=\frac{30}{6}b=\frac{30}{10}c\\\scriptstyle a=\frac{a}{a+b+c}\sdot30\end{cases}$	ואם תוציא שכר ג' פועלים אחד ג' דינ' בחדש והשני ו' דינ' והשלישי י' דינ' ועשו בין שלשתם חדש אחד ולקחו כל אחד בשוה כמה עשה כל אחד מהם
Know the ratio of 3 to 10; it is 3-tenths.	דע מה ערך הג' מן הי' והוא ג' עשיריות
Know the ratio of 3 to 6; it is a half.	ודע מה ערך הג' מן הו' והוא חצי
Add it to the 3-tenths; it is 4-fifths.	חברהו אל הג' עשיריות יהיה ד' חומשין
Always add one to it; it is 1 and 4-fifths.	הוסף עליהם אחד לעולם יהיה אחד וד' חומשין
Know how much is [the ratio of] one to it; it is five-ninths.	ודע מה האחד מהם והוא חמשה תשעיות
Take five-ninths days on the month, which are 16 and two-thirds of a day and those are the days of work of the first	קח חמש תשעיות ימי החדש שהם י"ו ושני שלישי יום והם הימים שעשה הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{3}{6}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\left(\frac{3}{10}+\frac{1}{2}\right)}\sdot30=\frac{1}{1+\frac{4}{5}}\sdot30=\frac{5}{9}\sdot30=16+\frac{2}{3}}}$
Take half the working [days] of the first, which is 8 and a third, and those are the days the second worked. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{1}{2}a=\frac{1}{2}\sdot\left(16+\frac{2}{3}\right)=8+\frac{1}{3}}}$	וקח חצי מלאכת הראשון והוא ח' ושליש והם הימים שעשה השני
Or, divide 30 by 3 and find the ratio of 30 to 18; it is one and two-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{18}=1+\frac{2}{3}}}$	או חלק הל' על הג' ודע מה ערך הל' מי"ח והוא כמוהו ושני שלישיותיו
Take this ratio from the result of division and those are the days of them each worked. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{30}{3}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{30}{6}\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}}$	וכערך הזה קח מכל מה שיצא בחלוק לכל אחד ואחד והם הימים שעשה כל אחד ואחד
You hired three workers — one for 30 days for an unknown thing, the second for one-half of the unknown thing and the third for one-third of the unknown thing. They had worked together 30 days. The first took 2 dinar, the second took 3 dinar and the third took 4 dinar. How much was the unknown thing and how many days each one of them had worked? $\scriptstyle\left(2\sdot\frac{30}{x}\right)+\left(3\sdot\frac{30}{\frac{1}{2}x}\right)+\left(4\sdot\frac{30}{\frac{1}{3}x}\right)=30$	ואם תוציא שכר ג' פועלים האחד ל' יום בדבר שאינו ידוע והשני בחצי הדבר שאינו ידוע והשלישי ‫^[57]בשלישית הדבר שאינו ידוע ועשו ל' יום בין שלשתם ולקח הראשון ב' דינ' והשני ג' די' והשלישי ד' די‫' כמה היה הדבר שאינו ידוע וכמה עשה כל אחד
Multiply the share of the first by the days of the month; the result is 60.	ערוך חלק הראשון בימי החדש יעלה ס‫'
Multiply the share of the second by the days of the month and multiply the product [twice; the result is 180. Multiply the share of the third by the days of the month and multiply the product] three times; the result is 360.	וערוך חלק השני בימי החדש והעולה תכפול ג' פעם יעלה ש"ס
Sum up all; it is 600.	חבר הכל יהיה ת"ר
Divide it by the days of the month; the result, which is 20, is the unknown thing.	חלקם על ימי החדש והיוצא שהוא כ' הוא הדבר שאינו ידוע
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(2\sdot30\right)+\left[\left(3\sdot30\right)\sdot2\right]+\left[\left(4\sdot30\right)\sdot3\right]}{30}=\frac{60+180+360}{30}=\frac{600}{30}=20}}$
To know the [number of] days the first worked, find the ratio of 60 to 600; it is a tenth.	ולדעת הימים שעשה הראשון דע מה ערך ס' מת"ר והוא עשירית
Take this ratio from the days of the month; it is 3 and these are the days the first worked. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{600}\sdot30=\frac{1}{10}\sdot30=3}}$	וכערכו קח מימי החדש והם ג' והם הימים שעשה הראשון
Find the ratio of 180 to 600 and take this ratio from the days of the month; they are [the] 9 days the second worked. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{180}{600}\sdot30=9}}$	ודע מה ערך הק"פ מת"ר וכערכם קח מימי החדש^[58] והם ט' ימים שעשה השני
Find the ratio of 360 to 600; it is 3-fifths.	ודע מה ערך הש"ס מת"ר והוא ג' חמישיותיו
Take this ratio from the days of the month; they are [the] 18 days the third worked. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{360}{600}\sdot30=\frac{3}{5}\sdot30=18}}$	וכערכם קח מימי החדש והם י"ח ימים שעשה השלישי
You hired a salaried for 6 dinar and an unknown thing for one month. He had worked 10 days and took the unknown thing. How much is it? $\scriptstyle\frac{30}{6+x}=\frac{30-10}{6}$	ואם תוציא שם שכיר בו' דינ' ובדבר שאינו ידוע חדש אחד ועשה עשרה ימים ולקח הדבר שאינו ידוע כמה הוא
Multiply the days of the month by 6 dinar; the result is 180. Keep it.	ערוך ימי החדש בו' דינ' עלה ק"פ ושמרם
Then, subtract the 10 days he worked from the days of the month; the remainder, which is 20, is the denominator.	ואחר כן חסר י' ימים שעשה מימי החדש והנשאר שהם כ' הוא המורה
Divide the 180 you kept by the denominator; the result is 9 and this is the total that is known. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30\sdot6}{30-10}-6=\frac{180}{20}-6=9-6=3}}$	וחלק ק"פ ששמרת על המורה יצא ט' והוא הכל הידוע
As for the unknown: subtract the known and the remainder is the unknown, which is 3.	ושאינו ידוע חסר הידוע ישאר מה שאינו ידוע והוא ג‫'
Another way: subtract the days he worked from the days of the month; the remainder, which is 20 is the denominator.	דרך אחרת חסר הימים שעשה מימי החדש והנשאר שהוא כ' הוא המורה
Then, multiply the days he worked by the 6 dinar; the result is 60.	ואחר כן ערוך הימים שעשה על הו' דינ' יעלה ס‫'
Divide it by the denominator; the result is 3 and this is the unknown thing. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot6}{30-10}=\frac{60}{20}=3}}$	חלקם על המורה יצא ג' והוא הדבר שאינו ידוע
Another way: find the ratio of the days he worked to the denominator; it is a half.	דרך אחרת דע מה ערך הימים שעשה אל המורה והוא חצי
Take this ratio from the 6 dinar; it is 3 and this is the unknown thing. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{30-10}\sdot6=\frac{10}{20}\sdot6=\frac{1}{2}\sdot6=3}}$	וכערך זה קח מן הו' דינ' הידוע והוא ג' והם הדבר שאינו ידוע
If the number has no ratio:	ואם היה חשבון שלא היה לו ערך
Multiply the days he worked by the 6 dinar and divide the result by the denominator, then you will find the unknown thing.	ערוך הימים שעשה על הו' דינ' והעולה חלק על המורה אז תמצא הדבר שאינו ידוע
If he took the unknown thing as his salary and he gave him another dinar.	ואם אמר ולקח בשכרו הדבר שאינו ידוע ונתן לו עוד דינר
Add one to the unknown thing and proceed according to the rule.	הוסף על הדבר הידוע אחד ועשה כמשפט
Partnership
You also find two orders of ratio in the issue of partnership:	וכן לענין שתוף אתה מוצא שני סדרי הערך
For, all the parts of the money that are contributed to the partnership are as [the amount of goods offered in] business, which is the trade [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1}}$ ].	כי כל ראשי הממון שמכניסים בשתוף הם כעין העסק שהוא ‫^[59]המסחר
The total profit is as the corresponding price. [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2}}$ ].	וכל הריוח הוא כעין השער המסור לו
The share of each [of the partners] in the capital is as the sold [amount of goods] [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3}}$ ].	וחלק כל אחד מהממון כעין המכר
And the part owed to each [of the partners] from the profit is as the money paid [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4}}$ ].	והחלק המגיע לכל אחד מן הריוח כעין הדמים
If the money paid [= the part owed to each of the partners from the profit] is unknown:	ואם הדמים הנסתרים
As when [three] shared: one [contributed] 10, the second [contributed] 20, the third [contributed] 30, and they earned [together] 30.	כגון שנשתתפו האחד בי' והשני בכ' והשלישי בל' והרויחו ל‫'
Multiply the price by the sold merchandise and divide by the [amount of goods offered in] business; the result is a share [of one of them]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{30\sdot10}{10+20+30};\;\frac{30\sdot20}{10+20+30};\;\frac{30\sdot30}{10+20+30}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על העסק יצא חלק
If the sold merchandise [= share of each of the partners in the money] is unknown:	ואם המכר נסתר
As when [three] shared in a total of 60 and earned 30. One took 5, the second [took] 10 and the third [took] 15.	כגון שנשתתפו בין כלם בששים ורוחו ל' ולקח האחד ה' והשני י' והשלישי ט"ו
Multiply the [amount of goods offered in] business by the money paid by one and divide by the price; the result is his share. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{60\sdot5}{30};\;\frac{60\sdot10}{30};\;\frac{60\sdot15}{30}}}$	ערוך המסחר בדמי האחד וחלק על השער יצא חלקו
If the price [= total profit] is unknown:	ואם השער נסתר
As when [three shared]: one [contributed] 10, the second [contributed] 20, the third [contributed] 30 and the profit of the one [who contributed] 10 was 5.	כגון האחד י' והשני כ' והשלישי ל' ורוח בעל הי' חמשה
Multiply the [amount of goods offered in] business by the money paid for the sold merchandise and divide by the sold merchandise. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{\left(10+20+30\right)\sdot5}{10}}}$	ערוך העסק בדמי המכר וחלק על המכר
If the business [= all the parts of the money given to the partnership] is unknown:	ואם העסק נסתר
As when [three shared]: it is known that one [contributed] 10 and all earned 30 together. The one [who contributed] 10 took 5 from the profit.	כגון שידוע שחלק האחד היה י' ורוחו בין כלם ל' ולקח בעל הי' חמשה מן הריוח
Multiply the price by the sold merchandise and divide by the money paid. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{30\sdot10}{5}}}$	ערוך השער על המכר וחלק על הדמים
In all the other ways you can extract them also as it is in employment and trade.	וגם בשאר כל הדרכים תוכל להוציאם כאשר הם בשכיר ובמקח וממכר
Also if there are four partners, each [contributed] an amount different from what the other contributed: [one contributed 5, the second contributed 10, the third contributed 15 and the fourth contributed 20] and they earned.	וכן אם היו ד' שותפים לכל אחד ראש ממון שאינו שוה לחברו [כלו' ה' וי' וט"ו וכ'] ויצא להם ריוח
Multiply the money of each by itself by the profit and divide by the sum of the amounts of money of all, which is 50; the result is the relative share owed to each of them from the profit. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}}}$	הערך ראש ממון כל אחד בפני עצמו בריוח וחלק על המחובר מראש ממון כלם שהוא נ' והיוצא הוא בחלק חלקו המגיעו מן הריוח
If something remains undivided, convert the dinar into pešiṭim and then divide by what you have divided.	ואם ישאר שלא יתחלק השב הדי' לפשיטים וחלק על מה שחלקת
Or, divide the sum, which is 50, by the quotient, then divide the profit by the result, which is 10. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2}{\frac{a_1}{a_3}}}}$	או חלק המחובר שהוא נ' על החלק ועל היוצא שהוא י' תחלק הריוח
In another way, you can know how much is the share of each in the profit:	ובדרך אחרת תוכל לדעת כמה חלק כל אחד מן הריוח
Sum up their amounts of money; find the ratio of the profit to [the sum of] their amounts of money; take the ratio from the amount of each of them and this is his share. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{total\ profit}{total\ capital}\sdot his\ share\ in\ the\ capital}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2}{a_1} \sdot a_3}}$	שתחבר ראש ממונם ודע מה ערך הריוח מראש ממונם וכערכו קח מראש כל אחד והוא חלקו
know it by dividing the greatest amount of money by the smallest and keep the result.	ותדענו שתחלק ראש ממון הגדול על הקטן ושמור היוצא
Divide also the mean amount of money by the smallest; the result is the share of the first.	ועוד חלק ראש ממון האמצעי על הקטן והיוצא הוא חלק הראשון
Find the ratio of the smallest amount of money to the mean; add this ratio to his share in the profit and this is the share of the mean.	וראה מה ערך ראש ממון הקטן אל האמצעי וכערכו תוסיף על חלקו מן הריוח והוא חלק האמצעי
Add to the [share of] third its ratio to the smallest.	וכן תוסיף לשלישי כערכו אל הקטן
Three shared — one [contributed] 20, the second [contributed] 30 and the third [contributed] 40. The profit of the one who contributed 20 was 3. What was the profit of the others? $\scriptstyle20x=3$	ואם תרצה להוציא ג' נשתתפו האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' והריוח בעל הכ' ג‫' כמה הגיע לחלק האחרים
Divide 30 by 20 and multiply the quotient by 3; the result, which is 4 and a half, is the share of the owner of the 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30}{20}\sdot3=4+\frac{1}{2}}}$	חלק הל' על הכ' והיוצא תערכנו בג' שרוח והעולה ‫^[60]הוא חלק בעל הל' והוא ד' וחצי
Divide 40 by 20 and multiply the quotient by 3; the result, which is 6, is the share [of the owner of the 40]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{20}\sdot3=6}}$	וכן תחלק המ' על הכ' והיוצא תערוך בג' והעולה שהוא ו' הוא חלקו
Know it by finding the ratio of 3 to 20; it is 3-quarters of a fifth.	ותדענו שתדע מה ערך הג' אל הכ' והוא ג' רביעיות חמישית
Take this ratio from the amounts of money of the second and the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot30=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{20}\sdot40=\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\sdot40}}$	וכערכו קח מראש ממון השני והשלישי
One [contributed] 20, the second [contributed] 30 and the third [contributed] 40. If you add the profit of the one who contributed 20 to the profit of the one who contributed 30, the sum is 10. $\scriptstyle20x+30x=10$	ואם תוציא האחד כ' והשני ל' והשלישי מ' וריוח בעל הכ' כשתחברנו אל ריוח בעל הל' יעלה עשרה
Add 20 to 30; it is fifty.	חבר הכ' והל' יהיו חמשים
Divide 10 by it; the result is a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10}{20+30}=\frac{10}{50}=\frac{1}{5}}}$	חלק עליהם הי' יצא חומש
Take a fifth of the amount of money of each:	קח חומש ראש ממון כל אחד
The owner of the 20 takes 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$	יקח בעל הכ' ד‫'
The owner of the 30 [takes] 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot30=6}}$	ובעל הל' ו‫'
The owner of the 40 [takes] 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	ובעל המ' ח‫'
[Three shared] — one [contributed] 10, the second [contributed] 30 and the third [contributed] 50. When you add the profit of the first to the profit of the second and subtract the result from the profit of the third what remains is 3. $\scriptstyle50x-\left(10x+30x\right)=3$	ואם תוציא האחד י' והשני ל' והשלישי נ' וכשתחבר ריוח הראשון והשני ותחסרם מריוח השלישי ישאר ג‫'
Add 10 to 30; it is 40.	חבר הי' והל' יהיו מ‫'
Subtract it from 50; 10 remains.	ותגרעם מן הנ' ישאר י‫'
Find the ratio of 3 to 10; it is 3-tenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{50-\left(10+30\right)}=\frac{3}{50-40}=\frac{3}{10}}}$	ודע מה ערך ג' מי' והוא ג' עשיריות
Take 3-tenths of the amount of money of each and this is his share:	קח ג' עשיריות ראש ממון כל אחד וככה חלקו
The first [receives] 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot10=3}}$	הראשון ג‫'
The second [receives] 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot30=9}}$	והשני ט‫'
The third [receives] 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot50=15}}$	והשלישי ט"ו
[Three shared] — one [contributed] 10, the second [contributed] 20 and the third [contributed] 40. When you multiply the profit of the first and the second by the profit of the third, the result is 48. What was the profit of each one? $\scriptstyle\left(10x+20x\right)\sdot40x=48$	ואם תוציא האחד י' והשני כ' והשלישי מ' וכשתערוך ריוח הראשון והשני בריוח השלישי עלה מ"ח כמה היה ריוח כל אחד
Add 10 to 20 and multiply the sum by 40; the result is one thousand and two hundred.	חבר הי' עם הכ' והעולה תערוך על המ' יעלה אלף ומאתים
Find the ratio of 48 to it; it is a fifth of a fifth.	דע מה ערך המ"ח מהם והוא חמישית החומש
Consider them as fractions and extract their root; it is a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{48}{\left(10+20\right)\sdot40}}=\sqrt{\frac{48}{1200}}=\sqrt{\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}=\frac{1}{5}}}$	חשוב אותם כאלו הם שברים וקח השרש והוא חומש
Take a fifth of the amount of money of each:	וקח חומש ראש ממון כל אחד מהם
The first takes 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot10=2}}$	יקח הראשון ב‫'
The second [takes] 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot20=4}}$	והשני ד‫'
The third [takes] 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot40=8}}$	והשלישי ח‫'
Two shared — one [contributed] 8 and the other [contributed] 18 and they earned [a profit]. When you multiply the root of the profit of the one by the root of the profit of the other the result is 6. $\scriptstyle\sqrt{8x}\sdot\sqrt{18x}=6$	ואם תוציא שני שותפין האחד ח' והשני י"ח ורוחו וכשתערוך שורש ריוח האחד בשורש ריוח השני יהיה ו‫'
Multiply 6 by itself; the result is 36.	ערוך הו' על עצמם יעלה ל"ו
Then, multiply 8 by 18; the result is 144.	ואחר כן ערוך הח' על הי"ח יעלה קמ"ד
Divide 36 by it; extract the root of the result, which is a quarter; it is a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6^2}{8\sdot18}}=\sqrt{\frac{36}{144}}=\sqrt{\frac{1}{4}}=\frac{1}{2}}}$	חלק עליהם הל"ו והיוצא שהוא רוביע קח שרשו והוא חצי
If you multiply it by eight, the result is 4 and this is the profit of the owner of the 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot8=4}}$	אם תערכהו על השמונה יעלה ד' והוא הריוח של בעל הח‫'
If you multiply it by 18, the result is 9 and this is the profit of the owner of the 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot18=9}}$	ואם תערכהו על י"ח יעלה ט' והוא הריוח של בעל הי"ח
Know it by dividing 18 by 8; the result is 2 and a quarter.	ותדענו שתחלק הי"ח על הח' יצא ב' ורביע
Extract its root; it is one and a half.	קח שרשם והוא אחד וחצי
Divide 6 by it; the result, which is 4 is the profit of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{\sqrt{\frac{18}{8}}}=\frac{6}{\sqrt{2+\frac{1}{4}}}=\frac{6}{1+\frac{1}{2}}=4}}$	חלק עליו הו' והיוצא שהוא ד' הוא ריוח הראשון
If you multiply 4 by two and a quarter, the result is 9 and this is the profit of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\frac{18}{8}=4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)=9}}$	ואם תערוך הד' בשנים ורובע יעלה ט' והוא ריוח השני
Two men shared — one [contributed] 5 kikkar, and the other one [contributed] 3 kikkar. The third [man] who did not bring anything shared with them. The three contributed together the 8 kikkar. The third paid the others 8 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תוציא שני אנשים נשתתפו זה בה' ככר וזה בג' ככר ונשתתף עמהם השלישי שלא הביא ‫^[61]כלום והוציאו שלשתם אותם הח' ככר ושלם להם השלישי ח' ליטרין כסף כמה יקח כל אחד
Take a third of the 8 kikkar; it is 2 and 2-thirds.	קח שליש הח' ככר והוא ב' וב' שלישיים
Subtract it from 5; 2 and a third remains.	חסרם מן הה' ישארו ב' ושליש
Find its ratio to 2 and 2-thirds; it is 7-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-\left(\frac{1}{3}\sdot8\right)}{\frac{1}{3}\sdot8}=\frac{5-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{2+\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{7}{8}}}$	ודע מה ערכם מן הב' וב' שלישיים והוא ז' שמיניות
Take 7-eighths of 8, which is [7] and this is the share of the owner of the 5 kikkar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}\sdot8=7}}$	קח ז' שמיניות הח' שהוא והוא יהיה חלק בעל הה' ככר
If you subtract 2 and 2-thirds from 3, a third remains.	ואם תחסר הב' וב' שלישים מן הג' ישאר שליש
Find its ratio to 2 and a thirds; it is an eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3-\left(2+\frac{2}{3}\right)}{2+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{1}{3}}{2+\frac{2}{3}}=\frac{1}{8}}}$	ותדע ערכו אל ב' ושליש והוא שמינית
Take an eighth of 8, which is one and this is the share of the owner of the 3 kikkar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot8=1}}$	וקח שמינית הח' והוא אחד והוא חלק בעל הג' ככרים
Three men shared — one [contributed] 9 kikkar, the second [contributed] 8 kikkar and the third [contributed] 7 kikkar. The fourth [man] who did not bring anything shared with them. The three contributed together. The fourth paid the others 18 liṭra of money. How much will each one of them take?	ואם תרצה תוציא ג' אנשים נשתתפו האחד בט' ככר והשני בח' והשלישי בז' ונשתתף עמהם הרביעי שלא הביא כלום והוציאו בין שלשתם הכל ושלם הרביעי להם י"ח ליט' כסף כמה יקח כל אחד
Divide all the kikkar by the four people; the result is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9+8+7}{4}=6}}$	חלק כל הככרים על הד' אנשים יצאו ו‫'
Subtract it from 9; 3 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}$	חסרם מן הט' ישאר ג‫'
From 8; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}$	ומן הח' ישאר ב‫'
From 7; one remains. $\scriptstyle{\color{blue}{7-6=1}}$	ומן הז' ישאר אחד
Sum up all the remainders and divide the 18 by them; the result is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{3+2+1}=3}}$	חבר כל השיורין וחלק עליהם הי"ח יצא ג‫'
If you multiply it by 3, the result is 9 and this is the share of the owner of the 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(9-6\right)=3\sdot3=9}}$	אם תערכם בג' יעלה ט' והוא חלק בעל הט‫'
If you multiply it by 2, the result is 6 and this is the share of the owner of the 8. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=3\sdot2=6}}$	ואם תערכנו בב' יעלה ו' והוא חלק בעל הח‫'
If you multiply it by one, the result is 3 and this is the share of the owner of the 7. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(7-6\right)=3\sdot1=3}}$	ואם תערכהו באחד יהיה ג' והוא חלק בעל הז‫'
Three shared — each [contributed] the same amount as what the other contributed. One contributed four-fifths of his money, the second contributed five-sevenths of his money, and the third [contributed] six-ninths of his money. How much did each one has? $\scriptstyle\frac{4}{5}a=\frac{5}{7}b=\frac{6}{9}c$	ואם תוציא שלשה נשתתפו בראש ממון שוה כל אחד לחבירו ומה שהביא האחד היה ארבע חומשי ממונו והשני הביא חמש שביעיות ממונו והשלישי שש תשיעיות ממונו כמה היה לכל אחד ואחד
Multiply the first two by each other crosswise. The reason is that you multiply the numerator of the one by the denominator of the other and consider them as if they are integers.	הערך השנים הראשונים זה על זה באלכסון והטעם שתערוך שברי האחד על חשבון חברו ותחשבם כאלו הם שלמים
The first is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5=25}}$	והנה הראשון כ"ה
The second is 28. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	והשני כ"ח
Do the same for the second and the third:	ועשה כן לשני גם לשלישי
The second is 42. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6=42}}$	והנה השני מ"ב
The third is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	והשלישי מ"ה
Know by how much the second exceeds the first; it is three-quarters of a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28-25}{28}=\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}}}$	ודע כמה הוסיף השני על הראשון והוא שלש רביעיות שביעית
Subtract this from 42; 37 and a half remains and this is the amount of money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a=42-\left[\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{7}\right)\sdot42\right]=37+\frac{1}{2}}}$	חסר כן ממ"ב ישארו ל"ז וחצי והוא ראש ממון הראשון
Its 4-fifths are 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}a=\frac{4}{5}\sdot\left(37+\frac{1}{2}\right)=30}}$	וד' חמשיותיו ל‫'
The amount of money of the second is 42. $\scriptstyle{\color{blue}{b=42}}$	וראש ממון השני מ"ב
Its 5-sevenths are 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot42=30}}$	וה' שביעיותיו ל‫'
The amount of money of the third is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{c=45}}$	וראש ממון השלישי ‫^[62]מ"ה
Its six-ninths are 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{9}\sdot45=30}}$	ושש תשיעיותיו ל‫'
Coinage
You also find two orders of ratio in the issue of coinage:	וגם בענין קשור המטבע אתה מוצא שני סדרי ההקשה
For the liṭra is a kind of [goods offered in the] business.	כי הליטרא כעין המסחר
The silver [in it] is a kind of its price.	והכסף הראוי לה כעין השער
The ՚oqya are a kind of a sold merchandise.	והאוקיאות כעין המכר
The silver in the ՚oqya is a kind of money [paid].	והכסף המגיע לאוקיא כעין הדמים
If the money paid [= silver belong to the ’oqya] is unknown:	ואם היו הדמים נסתרים
As the one who says: one liṭra of coins is 12 ՚oqya. Four of them are ՚oqya of silver. How many [՚oqya of] silver there are in 3 ՚oqya?	כגון האומר ליט' מטבעות שהיא י"ב אוקיאות ויש בהם ד' אוקיאות כסף כמה כסף יש בג' אוקיאות
Multiply the price [of the goods] by the sold merchandise and divide by the [goods offered in the] business. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_4=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{price\times sold}{business}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{3\sdot4}{12}}}$	ערוך השער במכר וחלק על המסחר
If the sold merchandise [= the ՚oqya] is unknown:	ואם היה המכר נסתר
As the one who says: one liṭra there are 4 ՚oqya of silver. In how many [՚oqya] there is one ՚oqya of silver?	כגון האומר ליט' בד' אוקיאות כסף בכמה יש אוקיא מכסף
Multiply the [goods offered in the] business by the money paid and divide by the price [of the goods]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}=\frac{business\times money\ paid}{price}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{12\sdot1}{4}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על השער
If the price [of the goods] [= silver in the liṭra] is unknown:	ואם היה השער נסתר
As the one who says: I bought 3 ՚oqya; [one of them is] ՚oqya of silver. How many would I buy in one liṭra?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות באוקיא כסף בכמה אקנה הליטרא
Multiply the [goods offered in the] business by the money paid and divide by the sold merchandise. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}=\frac{business\times money\ paid}{sold}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{12\sdot1}{3}}}$	ערוך המסחר בדמים וחלק על המכר
If the [goods offered in the] business [= liṭra] is unknown:	ואם היה המסחר נסתר
As the one who says: I bought 3 ՚oqya of coins; [one of them is] ՚oqya of silver. How much would I take of the coins for 4 ՚oqya of silver?	כגון האומר קניתי ג' אוקיאות מטבעות באוקיא כסף כמה אקח מן המטבעות בד' אוקיא כסף
Multiply the price [of the goods] by the sold merchandise and divide by the money paid. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_4}=\frac{price\times sold}{money\ paid}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{4\sdot3}{1}}}$	ערוך השער במכר וחלק על הדמים
If you want to produce a coin with one ՚oqya of silver in a liṭra, the second [coin] with two ՚oqya of silver in a liṭra, and the third [coin] with six ՚oqya [of silver] in a liṭra. You have to know how much you should take of each coin so that the sum will be four ՚oqya [of silver] in a liṭra. $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left(1+2\right)\right]=6-4$	ואם תרצה לקשור מטבע מא' אוקיאות כסף בליט' והשני מב' אוקיאות כסף בליט' והשלישי מו' אוקי' בליטרא ואתה צריך לדעת כמה תקח מכל מטבע ומטבע ויהיה המחובר לד' אוק' אוקיאות בליט‫'
Know it as follows: Sum up the silver in the two less valuable coins; the result is three.	ככה תדענו שתחבר הכסף שיש בשני המטבעות הפחותות ויעלה שלשה
Double the third coin; its double is 12.	ואחר תכפול המטבע השלישי ויהיה הכפול י"ב
Subtract the sum of the two coins from it; 9 remains. Keep it.	וגרע מהם העולה מהמחובר משני המטבעות ישאר ט' ושמרהו
Subtract the 4 he wants to produce from the six, which is the value of the third coin; 2 remains.	ואחר תגרע הד' שהוא רוצה לקשור מן הששה שהוא סך המטבע השלישי ישאר ב‫'
Know the ratio of the remainder to the reserved remainder, which is 2-ninths, and so you take from each of the two [less valuable] coins. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left(1+2\right)}=\frac{2}{12-3}=\frac{2}{9}}}$	ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ב' תשיעיות וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות
The sum of the two is 5 ՚oqya and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(2\sdot12\right)=5+\frac{1}{3}}}$	ויעלה בין שניהם ה' אוקיאות ושליש
They contain 2-thirds ՚oqya of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{9}\sdot\left(1+2\right)=\frac{2}{3}}}$	ויש בהן כסף ב' שלישי אוקיא
From the third coin he takes 6 ՚oqya and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(5+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}$	ומן המטבע השלישי יקח ו' אוקי' וב' שלישי אוקי‫'
Which contain 3 ՚oqya of silver and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{3}=3+\frac{1}{3}}}$	שיש בהן כסף ג' אוקי' ושליש אוקי‫'
You receive one liṭra that contains for ՚oqya of silver.	ותעלה בידך ליט' שיש בה ארבע אוקיאו' כסף
If you have a liṭra with one ՚oqya of silver, a liṭra with five ՚oqya [of silver], and a liṭra with seven ՚oqya [of silver]. You want to produce [a coin] with four ՚oqya of silver. $\scriptstyle\left[x\sdot\left(5+7\right)\right]-\left(2x\sdot1\right)=4-1$	ואם יש בידך מן המטבעות ליט' באוקי' כסף וליט' בה' אוקי' וליט' בז' אוקי' ותרצה לקשור ליט' בד' אוקי' כסף
Do as follows: Sum up [the silver in] the two most valuable coins of the coins he wants mix; the result is 12.	‫^[63]כן תעשה חבר שני המטבעות הגדולות מן המטבעות שהוא רוצה לקשור ויעלה י"ב
Double the third [coin]; the result is 2.	וכפול השלישי ויעלה ב‫'
Subtract it from the sum; 10 remains. Keep it.	וגרע אותו מהעולה מהמחובר ישאר י' ושמרהו
Subtract the one, which is the one coin he wants to produce, from the 4 he wants to mix; 3 remains.	ואחר גרע האחד שהוא המטבע היחידי מן הד' שהוא רוצה לקשור ישאר ג‫'
Know the ratio of the remainder to the reserved remainder, which is 3-tenths, and so you take from each of the two [most valuable] coins. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-1}{\left(5+7\right)-\left(2\sdot1\right)}=\frac{3}{12-2}=\frac{3}{10}}}$	ודע מה ערך זה הנשאר אל הנשאר השמור והוא ג' עשיריותיו וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
The sum of the two is seven ՚oqya and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(2\sdot12\right)=7+\frac{1}{5}}}$	ויעלה בין שניהם שבעה אוקי' וחומש אוקי‫'
They contain 3 ՚oqya of silver, a half and a half of a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{10}\sdot\left(5+7\right)=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	יש בהם כסף ג' אוקיאות וחצי וחצי חומש
From the third coin 4 ՚oqya and 4-fifths [are taken]. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(7+\frac{1}{5}\right)=4+\frac{4}{5}}}$	ומן המטבע השלישי ד' אוקיאות וד' חומשין
Which contain 2-fifths ՚oqya of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$	יש בהם כסף ב' חומשין
This is what we wanted.	והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¾ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 6 ՚oqya [of silver]. You want to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver]. $\scriptstyle\left(2x\sdot6\right)-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=6-4$	ואם יש בידך ליט' בג' רביעיות אוקי' וליטר' באוקיא ורביע וליט' בו' אוקיאו' ותרצה לקשור בד' אוקי' בליט‫'
Know it as follows: Sum up [the silver in] the two less valuable coins; it is 2.	ככה תדענו חבר שני המטבע הפחותות יהיה ב‫'
Double the third [coin]; the result is 12.	וכפול השלישי ויעלה י"ב
Subtract the sum from it; 10 remains. Keep it.	וגרע ממנו המחובר ישאר י' ושמרהו
Subtract the 4 from the 6; 2 remains.	ואחר גרע הד' מן הו' ישאר ב‫'
Know its ratio to the reserved remainder, which is a fifth and so you take from each of the two [less valuable] coins you summed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6-4}{\left(2\sdot6\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{12-2}=\frac{2}{10}=\frac{1}{5}}}$	ודע ערכם מהנשאר השמור והוא חומש וככה תקח מכל אחד ואחד משני המטבעות שחברת
The sum of the two is four [՚oqya] and 4-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(2\sdot12\right)=4+\frac{4}{5}}}$	ויעלה בין שניהם ארבעה וד' חמישיות
They contain 2-fifths [՚oqya] of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{5}}}$	ויש בהם כסף ב' חומשין
From the third coin 7 [՚oqya] and a fifth [are taken]. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(4+\frac{4}{5}\right)=7+\frac{1}{5}}}$	ומהמטבע השלישי ז' וחומש
Which contain 3 [՚oqya] of silver, a half and half a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{5}=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	יש בהם כסף ג' וחצי וחצי חומש
This is what we wanted.	והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with 2 ՚oqya [of silver], a liṭra with 5¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 6¾ ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]-\left(2x\sdot2\right)=4-2$	ואם יש בידך ליט' בשני אוקי' וליט' בה' ורביע וליט' בו' וג' רביעיות וקושר בד' בליטר‫'
Know it as follows: Sum up [the silver in] the two most valuable [coins]; the result is 12.	ככה תדענו חבר השנים הגדולים יעלה י"ב
Double the third [coin]; the result is 4.	וכפול השלישי יעלה ד‫'
Subtract the double from the sum; 8 remains. Keep it.	וגרע הכפול מהמחובר ישאר ח' ושמרם
Subtract the 2 from the 4; 2 remains.	ואחר כן גרע הב' מן הד' ישאר ב‫'
Its ratio to the reserved remainder is a quarter and so he takes from each of the two [most valuable]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-2}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]-\left(2\sdot2\right)}=\frac{2}{12-4}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}}}$	וערכם אל הנשאר השמור והם רביע וככה יקח מכל אחד ואחד משני המטבע
The sum of the two is 6 ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(2\sdot12\right)=6}}$	ויעלה בין שניהם ו' אוקי‫'
They contain 3 ՚oqya of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=3}}$	ויש בהם כסף ג' אוקי‫'
From the third [coin] he takes 6 ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{12-6=6}}$	ומן השלישי יקח ו' אוקי‫'
Which contain one ՚oqya of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}$	יש בהם כסף אוקי‫'
This is what we wanted.	והנה מה שרצינו
If you have a liṭra with ¼ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with ½ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 5 ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver]. $\scriptstyle\left(3x\sdot5\right)-\left[x\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=5-4$	ואם יש בידך ליט' ברביע אוקי' וליט' בחצי אוקי' וליט' באוקי' ורביע וליט' בה' אוקי' וקושר בד' אוקי' בליט‫'
Do as follows: Sum up [the silver in] the three less valuable coins; the result is 2.	ככה תעשה חבר הג' מטבע הפחותות ויעלה ב‫'
Multiply the third [coin] three times, because you mix three coins; the result is 15.	וכפול השלישי ג' פעמים בעבור שחברת ג' מטבעו' ויעלה ‫^[64]ט"ו
Subtract the sum from the product; 13 remains. Keep it.	וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ג ושמרם
Subtract the 4 from the 5; one remains.	ואחר כך גרע הד' מן ה' ישאר אחד
Its ratio to the reserved remainder is one part of 13 and so he takes from each of the three [less valuable] coins summed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5-4}{\left(3\sdot5\right)-\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{1}{15-2}=\frac{1}{13}}}$	וערכו מהנשאר השמור חלק אחד מי"ג וככה יקח מכל אחד מהשלשה המטבעו' המחוברות
The sum of the three is 2 ՚oqya and ten parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left(3\sdot12\right)=2+\frac{10}{13}}}$	ויעלה בין שלשתם ב' אוקי' ועשרה חלקים מי"ג באחד
They contain 2 parts of 13 of one [՚oqya of silver]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{13}\sdot\left[\frac{1}{4}+\frac{1}{2}+\left(1+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{2}{13}}}$	ויש בהם כסף ב' חלקים מי"ג באחד
From the third [coin] he takes 9 ՚oqya and 3 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+\frac{10}{13}\right)=9+\frac{3}{13}}}$	ומן השלישי יקח ט' אוקי' וג' חלקים מי"ג
Which contain 3 ՚oqya of silver and eleven parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\frac{2}{13}=3+\frac{11}{13}}}$	יש בהם כסף ג' אוקי' ואחד עשר חלקים מי"ג באחד
What we wanted became clear.	ונתברר מה שרצינו
If you have a liṭra with 3 ՚oqya [of silver], a liṭra with 5¼ ՚oqya [of silver], a liṭra with 6½ ՚oqya [of silver], and a liṭra with 7¼ ՚oqya [of silver]. [You want] to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver]. $\scriptstyle\left[x\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]-\left(3x\sdot3\right)=4-3$	ואם יש בידך ליט' בג' אוקי' וליט' בחמשה ורביע וליט' בששה וחצי ליט' בז' ורביע וקושר בד' בליט‫'
Do as follows: Sum up [the silver in] the three most valuable coins; the result is 19.	ככה תעשה חבר הג' מטבעו' הגדולות ויעלו י"ט
Multiply the third [coin] three times; the result is 9.	וכפול השלישי ג' פעם ויעלה ט‫'
Subtract the product from the sum; 10 remains. Keep it.	וגרע הכפול מהמחובר ישאר י' ושמרם
Subtract the 3 from the 4; one remains.	ואחר גרע הג' מן הד' ישאר אחד
Its ratio to the reserved remainder is a tenth and so he takes from each of the three [most valuable coins] summed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4-3}{\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]-\left(3\sdot3\right)}=\frac{1}{19-9}=\frac{1}{10}}}$	וערכו אל הנשאר השמור עשירית וככה יקח מכל אחד ואחד מהשלשה המחוברות
The sum of the three is 3 ՚oqya and 3-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(3\sdot12\right)=3+\frac{3}{5}}}$	ויעלה בין שלשתם ג' אוקי' וג' חומשין
They contain 2 ՚oqya [of silver] and half a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left[\frac{1}{10}\sdot\left[\left(5+\frac{1}{4}\right)+\left(6+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$	ויש בהם כסף ב' אוקי' וחצי חומש
This is what we wanted	והנה מה שרצינו
	ואם יש בידך ליט' בב' אוקי‫'
If you have a liṭra with ½ of an ՚oqya [of silver], a liṭra with ¾ [of an ՚oqya of silver], a liṭra with 2½ [՚oqya of silver], a liṭra with 3¼ [՚oqya of silver], and a liṭra with 5¾ [՚oqya of silver]. [You want] to produce [a coin] with 3¾ [՚oqya of silver].	ואם יש בידך ליט' בחצי אוקי' וליט' בג' רביעיות וליט' בב' וחצי וליט' בג' ורביע וליט' בה' וג' רביעיות וקושר בג' וג' רביעיות
$\scriptstyle\left[4x\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[x\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)$
Know it as follows: Sum up [the silver in] the four less valuable coins; the result is 7.	ככה תדענו חבר הד' מטבעו' הפחותות ויעלה ז‫'
Multiply the fifth [coin] four times; the result is 23.	וכפול החמישי ד' פעם ויעלה כ"ג
Subtract the sum from the product; 16 remains. Keep it.	וגרע המחובר מהכפול ישאר י"ו ושמרם
Subtract the 3 and 3-quarters from the 5 and 3-quarters; 2 remains.	ואחר חסר הג' וג' רביעיות מן הה' וג' רביעיות ישאר ב‫'
Its ratio to the reserved remainder is an eighth and so he takes from each of the four [less valuable] coins.	וערכם אל הנשאר השמור והם שמינית וכן יקח מכל אחד מהד' מטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(5+\frac{3}{4}\right)-\left(3+\frac{3}{4}\right)}{\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]}=\frac{2}{23-7}=\frac{2}{16}=\frac{1}{8}}}$
The sum of the four [coins] is 6 ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left(4\sdot12\right)=6}}$	ויעלה מארבעתם ו' אוקי‫'
They contain 7-eighths [of an ՚oqya] of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[\frac{1}{2}+\frac{3}{4}+\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{7}{8}}}$	ויש בהם כסף ‫^[65]ז' שמיניות אחד
From the fifth [coin] he takes 6 ՚oqya.	ומן החמישי יקח ו' אוקי‫'
Which contain 2 ՚oqya of silver 7-eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot\left[4\sdot\left(5+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{7}{8}}}$	ויש בהם כסף ב' אוקי' וז' שמיניות
This is what we wanted.	וזה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] less than 4 [՚oqya of silver], for instance if he has a liṭra with ¾ of an ՚oqya of silver, a liṭra with 1¼ ՚oqya [of silver], a liṭra with 1½ ՚oqya [of silver] and a liṭra with 2½ ՚oqya [of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper with them.	ואם הוא רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש מטבעות שכלם פחותות מד' כגון שיש בידו ליט' מג' רביעיות אוקי' כסף בליט' וליט' באוקי' ורביע וליט' באוקי' וחצי וליט' בב' אוקי' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב בהם כסף
$\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=12-4$
Know it as follows: Sum up [the silver in] the four coins; the result is six.	ככה תדענו חבר הד' מטבעו' ויעלה ששה
Multiply the liṭra of silver four times; the result is 48.	וכפול ליט' של כסף ד' פעם יעלה מ"ח אוקי‫'
Subtract the sum from the product; 42 remains. Keep it.	חסר המחובר מהכפול ישאר מ"ב ושמרם
Subtract the 4 from the liṭra of silver; 8 ՚oqya remain.	ואחר כך חסר הד' מן הליט' כסף ישאר ח' אוקי‫'
Its ratio to the reserved remainder is a seventh and a third of a seventh and so he takes from them.	וערכם מהנשאר השמור שביעית ושליש שביעית וככה יקח מכל אחד מהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-4}{\left(4\sdot12\right)-\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]}=\frac{8}{48-6}=\frac{8}{42}=\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$
The sum of the four [coins] is 9 ՚oqya and a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left(4\sdot12\right)=9+\frac{1}{7}}}$	ויעלה מארבעים ט' אוקי' ושביעית
They contain one ՚oqya of silver and a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left[\frac{3}{4}+\left(1+\frac{1}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=1+\frac{1}{7}}}$	ויש בהם כסף אוקי' ושביעית
From the silver he takes 2 ՚oqya and 6-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(9+\frac{1}{7}\right)=2+\frac{6}{7}}}$	ומן הכסף ישים ב' אוקי' וו' שביעיות
This is what we wanted.	והנה מה שרצינו
If he wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya [of silver] in a liṭra and all the coins he has are [with] more than 4 [՚oqya of silver], for instance if he has a liṭra with 5¼ ՚oqya of silver, a liṭra with 6½ [՚oqya of silver], a liṭra with 7¾ [՚oqya of silver] and a liṭra with 8½ [՚oqya of silver]. He wants to melt out of all equally and he has to mixture copper [with them].	ואם רוצה לקשור בד' אוקי' בליט' ויש לו מטבעות שכלם גדולות מד' כגון שיש לו ליט' מה' אוקי' ורביע כסף וליט' מו' וחצי וליט' מז' וג' רביעיות וליט' מח' וחצי ורוצה להתיך מכלם בשוה וצריך לערב נחשת
$\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left[12-\left(8+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(7+\frac{3}{4}\right)\right]+\left[12-\left(6+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[12-\left(5+\frac{1}{4}\right)\right]\right]\right]=12-\left(12-4\right)$
You know this by reversing the matter: take the amount of copper in the coins and the amount of copper in the coin he wants to produce.	ככה תדענו שתהפוך הענין ותקח חשבון הנחשת אשר במטבעו וחשבון נחשת המטבע אשר הוא רוצה לקשור
This is the calculation: a liṭra with 3½ [՚oqya of] copper, a liṭra with 4¼ [՚oqya of] copper, a liṭra with 5½ [՚oqya of] copper, a liṭra with 6¾ [՚oqya of] copper, and a liṭra of 12 ՚oqya of copper. He wants to produce [a coin] with 4 ՚oqya of silver and 8 ՚oqya of copper	וכך הוא החשבון ליט' בג' וחצי נחושת וליט' בד' ורביע נחשת וליט' בה' וחצי נחשת וליט' בו' וג' רביעיות נחשת וליט' מנחושת שהיא י"ב אוקי' ורוצה לקשור מכל זה ד' אוקי' כסף בח' מנחשת
$\scriptstyle4x\sdot12-\left[x\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]\right]=12-8$
Do as follows: Sum up the copper in the four coins; the result is 20 ՚oqya.	כן תעשה חבר נחשת הד' מטבעו יעלה כ' אוקי‫'
Multiply the liṭra of copper four times; the result is 48.	וכפול ליט' הנחשת ד' פעם יעלה מ"ח
Subtract the sum from the product; 28 remains. Keep it.	חסר המחובר מהכפול ישאר כ"ח ושמרם
Subtract the [8] from the [12]; 4 remains.	ואחר כן חסר הד' מן הי' ישאר ד‫'
Its ratio to the reserved remainder is a seventh and so he takes from each of coins.	וערכם מהנשאר השמור שביעיות וככה יקח מכל אחד ואחד מהמטבעו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12-8}{\left(4\sdot12\right)-\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]}=\frac{4}{48-20}=\frac{4}{28}=\frac{1}{7}}}$
He will have 6 ՚oqya and 6-sevenths of the four [coins]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(4\sdot12\right)=6+\frac{6}{7}}}$	ויעלה לו מארבעתם ו' אוקי' וו' שביעיות
They contain 2 ՚oqya of copper and 6-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left[\left(3+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{4}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(6+\frac{3}{4}\right)\right]=2+\frac{6}{7}}}$	יש בהם מנחשת ב' אוקי' וו' שביעיות
From the copper he takes 5 ՚oqya and a seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(6+\frac{6}{7}\right)=5+\frac{1}{7}}}$	ומן הנחשת ישים ה' אוקי' ושביעית
The result is what we wanted.	ויצא מה שרצינו
If one produce [a coin] with four [types of coins] and he has some that are less valuable and some that are more valuable, he should sum the less valuable [coins] and multiply one of the most valuable or sum the most valuable [coins] and multiply one of the [less] valuable, then he should proceed according to the rule.	ואם הוא קושר בד' ויש בידו פחותות ויתרות ‫^[66]יחבר הפחותות ויכפול אחת מהיתרות או יחבר היתרות ויכפול אחת מהיתרות ויעשה כמשפט
You should apply the following rule: multiply according to the number of the coins you mix.	וכלל זה יהא בידך שתכפול הכפול לפי חשבון המטבעות שחברת
When you sum the most valuable [coins], subtract the product from the sum, then subtract the one that is less valuable [coin] from the remainder.	ובחברך היתרות תגרע הכפול מהמחובר ותגרע היחידי שהוא פוחת מן הנקשר
Vice versa when you sum up the less valuable [coins]: subtract the sum from the product, then subtract the remainder from the one that is the most valuable [coin].	והפך הדבר בחברך הפחותות שתחסר המחובר מהכפול ותחסר הנקשר מן היחידי היתר
From these examples you can deduce for all [kinds of] coins and all human affairs.	ומאלו הדמיונות תוכל להוציא לכל המטבעות ולכל עסקי בני אדם בין רב למע' למעט
Instruct a wise man, and he will become wiser [Proverbs 9, 9].	ותן לחכם ויחכם עוד‫^{[note 5]}

Chapter Seven: Conversion of One to the Other	השער השביעי השבת זה לזה
The example: Hipparchus said that the arc of the Sun's inclination is ¹¹/₈₃ of the circle.	והדמיון שאמ' אברכז כי מעלות נטיית הגלגל אשר לשמש אחד עשר חלק משמונים ושלשה בכל הגלגל
Ptolemy said that the arc of the Sun's inclination is 47 degrees of the 360 degrees of the circle plus 42 minutes [47°42'].	ותלמי אמ' כי מעלות הנטייה ארבעים ושבע מעלות ממעלות הגלגל שהם ש"ס ועוד שנים וארבעים חלק ראשונים
We wish to know if [their estimates] are equal or different, so do like this:	ונרצה לדעת אם הם שוים או שונים ככה תעשה
Multiply 11, which is Hipparchus' smaller number, by the degrees of the circle, which are Ptolemy's greater number, then divide the product, which is 3960, by 83, which is Hipparchus' greater number; the result of the division is 47, as Ptolemy said, and 59 remain that cannot be divided. We multiply them by sixty, then divide the product, which is 3540, by 83; the result of the division is 42 [minutes] as Ptolemy said. Hence, it became clear that the two calculations are equal.	ערוך י"א שהוא חשבון אברכז הקטן על מעלות הגלגל שהוא חשבון תלמי הגדול והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות וששים חלק על פ"ג שהוא חשבון הגדול של אברכז יצא בחלוק מ"ז כדברי תלמי ונשארו נ"ט שלא יתחלקו ערכנום על ששים והעולה שהוא ג' אלפים וחמש מאות וארבעים חלק על פ"ג יצא בחלוק שנים וארבעים חלק כדברי תלמי ונתברר ששני החשבונים שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot360}{83}=\frac{3960}{83}=47+\frac{59}{83}=47+\frac{\frac{59\sdot60}{83}}{60}=47+\frac{\frac{3540}{83}}{60}\approx47+\frac{42}{60}}}$
Vice versa: we multiply 47, which are Ptolemy's degrees, by 83; the result is 3901. We multiply 42 by 83; the product is 3486. We divide [the sum] by 360, which is Ptolemy's greater number; the result of the division is 11, which is Hipparchus' smaller number. So, the two calculations are equal. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{83\sdot\left(47+\frac{42}{60}\right)}{360}=\frac{3901+\frac{3486}{60}}{360}\approx11}}$	והפך הדבר ערכנו מ"ז שהם מעלות תלמי על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים ותשע מאות ואחד וערכנו מ"ב על פ"ג והעולה שהוא ג' אלפים וד' מאות ושמונים וששה חלקנום על ש"ס שהוא החשבון הגדול של תלמי ויצא בחלוק י"א שהוא החשבון הקטן של אברכז והנה שני החשבונים שוים
Simple fractions to simple fractions
If you have fractions of the geometricians and you wish to convert them to other fractions	ואם יהיו בידך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברים אחרים
Such as three-quarters, how many sixths are they? $\scriptstyle\frac{3}{4}=\frac{a}{6}$	כגון שלשה רובעים כמה שתותים הם
Know from which number the sixth is [derived]; it is from six.	דע מאיזה מספר הוא השתות והוא מששה
Take its three-quarters; they are four and a half and so is [the number of] the sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3}{4}\sdot6}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	קח שלשה רביעיותיו והם ארבעה וחצי וככה שתותים הם
Know it by multiplying three by six and divide the [product] by four; the result are the sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{3\sdot6}{4}}{6}}}$	ותדענו שתערוך שלשה על ששה והעולה תחלק על ארבעה והיוצא הם שתותים
Know it by multiplying four by six; the result is 24 and this is the denominator.	ותדענו שתערוך ארבעה על ששה יעלה כ"ד והוא המורה
Take its 3-quarters; they are 18.	קח ג' רביעיותיו והם י"ח
Divide them by a sixth of the denominator; the result of division is 4 and a half and so is [the number of] the sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot\left(4\sdot6\right)}{\frac{1}{6}\sdot\left(4\sdot6\right)}}{6}=\frac{\frac{\frac{3}{4}\sdot24}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{\frac{18}{\frac{1}{6}\sdot24}}{6}=\frac{4+\frac{1}{2}}{6}}}$	חלקם על ששית המורה יצא בחלוק ד' וחצי וככה שתותים הם
If you wish to know how many ninths are six-sevenths? $\scriptstyle\frac{6}{7}=\frac{a}{9}$	ואם תרצה לידע ששה שביעיות כמה תשיעיות הם
Know from which number the ninth is [derived]; it is from 9.	דע מאיזה מספר הוא התשיעית והוא מט‫'
Take its six-sevenths; they are seven and 5-sevenths of a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6}{7}\sdot9}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	קח ששה שביעיותיו והם שבעה וה' שביעיות תשיעית
Or, multiply six by nine and divide the product by seven. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}}}$	או ערוך הששה על תשעה והעולה חלק על שבעה
Or, multiply seven by nine and the result, which is 63, is the denominator.	או ערוך השבעה על תשעה והעולה שהם ס"ג הוא המורה
Take its six-sevenths, which are 54, and divide them by a ninth of the denominator, which is 7; the result is seven and 5-sevenths.	קח ששה שביעיותיו שהם נ"ד וחלקם על תשיעית המורה שהם ז' יצא שבעה וה' שביעיות
So, we have found that six-sevenths are seven-ninths and 5-sevenths of a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot\left(7\sdot9\right)}{\frac{1}{9}\sdot\left(7\sdot9\right)}}{9}=\frac{\frac{\frac{6}{7}\sdot63}{\frac{1}{9}\sdot63}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}=\frac{7+\frac{5}{7}}{9}}}$	אם כן מצאנו ששה שביעיות הם שבעה תשיעיות וה' שביעיות תשיעית
Or, know from which number the seventh is [derived]; it is from seven.	או דע מאיזה מספר הוא השביעית משבעה
Take its six-sevenths; they are six.	קח ששת שביעיותיו והם ששה
Multiply them by nine and divide the product, which is 54, by seven; the resulting number is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}=\frac{\frac{\left(\frac{6}{7}\sdot7\right)9}{7}}{9}=\frac{\frac{6\sdot9}{7}}{9}=\frac{\frac{54}{7}}{9}}}$	ערכם על תשעה והעולה שהם נ"ד חלק על שבעה יצא לחשבון אחד
If you wish to convert seven-eighths and half an eighth into tenths. $\scriptstyle\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{a}{10}$	ואם תרצה להשיב שבעה שמיניות וחצי שמינית לעשיריות
Know from which number the tenth is [derived]; it is from ten.	דע מאיזה מספר הוא העשירית מעשרה
Take its seven-eighths and half its eighth; the result is nine-tenths and three-eighths of a tenth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)=\frac{\left[\frac{7}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]\sdot10}{10}=\frac{9}{10}+\left(\frac{3}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}$	קח שבעה שמיניותיו וחצי שמיניתו יעלה תשעה עשרות ושלשה שמיניות עשירית
You can solve it in all the other ways.	ובכל הדרכים האחרים תוכל להוציאו
You can solve in these ways if you want to convert sixths into quarters, or ninths into quarters, whether you convert the fractions into smaller or into larger fractions; the [method] is the same.	ועל אלו הדרכים כמו כן תוכל להוציא אם תרצה להשיב ששיות לרביעיות או תשיעיות לרביעיות בין שתשיב השברים לפחותים מהם בין שתשיבם לגדולים מהם הדבר שוה
Simple fractions to sexagesimal fractions
If you have simple fractions [= fractions of the geometricians] and you wish to convert them into fractions of the astrologers that are sexagesimal.	ואם יהיו בידיך שברי חכמי המדות ותרצה להשיבם לשברי חכמי המזלות שהם ששים
If the fractions you have are a half, a third, a quarter, a fifth, a sixth, or a tenth, it is easy to convert them into sexagesimal [fractions], because they are [divisors of sixty].	ואם השברים שבידך הם חצי או שליש או רביע או חומש או ששית ועשירית דבר קל להשיב אל ששים מפני שיתחלקו עליו
But, if you have a seventh, an eighth, or a ninth, which [are not divisors of] sixty, and you need to know how you can convert them into sexagesimal [fractions]:	אך אם יש בידך שביעית ושמינית ותשיעית לא יתחלקו עליהם ששים ואתה צריך לדעת איך תוכל להשיבם אל ששים
As when you have 2-sevenths in your hand and you wish to convert them into a sexagesimal number. $\scriptstyle\frac{2}{7}=\frac{a}{60}$	כגון שהיו בידך ב' שביעיות ותרצה להשיבם לחשבון ששים
Do as follows: multiply the number of the sevenths by sixty and divide the product, which is 120, by seven; the result is 17 and one remains.	ככה תעשה ערוך מספר השביעיות על ששים והעולה שהוא ק"כ חלק על שבעה יצא י"ז וישאר אחד
Multiply the remainder by sixty and divide by 7; the result is 8, which are seconds and 4 remain.	וערוך הנשאר על ששים וחלק על ז' יצא ח' והם שניים ישאר ד‫'
Multiply them by sixty and divide by 7; the result is 34 and they are thirds.	וערכם על ששים וחלק על ז' יצא ל"ד והם שלשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{7}=\left(\frac{2\sdot60}{7}\right)^\prime&\scriptstyle=\left(\frac{120}{7}\right)^\prime=\left(17+\frac{1}{7}\right)^\prime=17^\prime+\left(\frac{1\sdot60}{7}\right)^{\prime\prime}=17^\prime+\left(8+\frac{4}{7}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=17^\prime+8^{\prime\prime}+\frac{\frac{4\sdot60}{7}}{60^3}=17^\prime+8^{\prime\prime}+34^{\prime\prime\prime}+\ldots\\\end{align}}}$
This way you can make it more accurate by convert it] into fourths, or fifths, [and so on] endlessly.	ועל זה הדרך תוכל לדקדק אותו לרביעים או לחמישיים עד אין קץ
Or, if you want, multiply the number of the sevenths by 8 34′ 17′′, which is a seventh of sixty; the result is 17′ 8′′ 34′′′, as in the first method $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}=\frac{2\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=\frac{2\sdot\left(8+34^\prime+17^{\prime\prime}\right)}{60}=17^\prime+8^{\prime\prime}+34^{\prime\prime\prime}+\ldots}}$	או אם תרצה ערוך מספר השביעיים על ח' ל"ד י"ז שהם שביעית ששים יעלה י"ז ח' ל"ד כדרך הראשון
In these ways you also solve for eighths, and ninths.	ובאלו הדרכים תוציא כמו כן לשמיניות ולתשיעיות
If you have fractions of seventy and you want to convert them into a sexagesimal number:	ואם יהיו בידך חלקים משבעים ותרצה להשיבם לחשבון ששים
Multiply the fractions by sixty and divide the result by seventy. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{70}=\frac{\frac{a\sdot60}{70}}{60}}}$	ערוך החלקים על ששים וחלק העולה על שבעים
If something remains indivisible: multiply by 60 and divide by 70; it will by seconds of a sexagesimal number.	ואם ישאר שלא יתחלק ערוך על ס' וחלק על ע' יהיו שניים מחשבון ששים
Or, multiply the fractions you have by 8 primes, 34 seconds, 17 thirds, which is a seventh of sixty, and divide the result by sixty; the result is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{7}=\frac{a\sdot\left(\frac{1}{7}\sdot60\right)}{60}=a\sdot\left(8^\prime+34^{\prime\prime}+17^{\prime\prime\prime}\right)}}$	או ערוך החלקים שיש בידך על ח' ראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים שהם שביעית ששים וחלק העולה על ששים והיוצא הוא המבוקש
(?)	או חסר שביעית החשבון והנשאר הם חלקים מששים

Chapter Eight: Roots	השער השמיני שרש זה וזה
[Extracting] roots - of integers or fractions - is difficult.	השרשים הם קשים בין בשלמים בין בשברים
Most of them do not have a known root in the units, the tens, or the consequent ranks, therefore we extract them by approximation.	ורבם אין להם שורש ידוע באחדים ובעשרות ובכל המערכות הבאות אחריהן ונלקחום בדרך קרובה אל האמת
Integers
Shortcuts for finding the root of a perfect square
We start to explain the [extraction of roots of] integers that have a known root and give introductions and checks, as eyes for their seekers.	ונחל לפרש השלמים שיש להם שורש ידוע ונתן מפתחות ומאזנים להיות למבקשיהם עינים
The roots [of perfect squares] are found in two ways:	והשרשים ימצאו על שני דרכים
The one - according to the units:	האחד על דרך מספר האחדים
The squares integers in the rank [of units] are three, which are: 1; 4; 9 and their roots: 1; 2; 3.	והמרובעים הנמצאים בשלמים במערכתם הם שלשה והם א'ד'ט' ושרשם א'ב'ג‫'
The second way - according to the tens:	והדרך השני על דרך מספר העשרות
The squares that are in the rank [of tens] are six, which are: 16; 25; 36; 49; 64; 81 and their roots: 4; 5; 6; 7; 8; 9.	והמרובעים הנמצאים במערכתם ששה והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד'ה'ו' ז'ח'ט‫'
These are the foundations of all the roots.	ואלה הם מוסדי כל השרשים
From here on: every rank that is not even [i.e. every odd rank] takes after the units and every even [rank] takes after the tens.	ומכאן ואילך כל מעלה שאינה זוג היא כאחדים ומה שהיה זוג היא כעשרות
For, the hundreds are similar to the units, because they are the third rank, hence an odd rank.	כי המאות כמו האחדים כי הם כמערכת השלישית כמספר נפרד
The thousands are similar to the tens.	והאלפים כמו העשרות
The tens of thousands are similar to the units.	ועשרות אלפים כאחדים
The hundreds of thousands are similar to the tens.	ומאות אלפים כעשרות
The thousands of thousands are similar to the units.	ואלפי אלפים כאחדים
The tens of thousands of thousands are similar to the tens.	ועשרות אלפי אלפים כעשרות
The hundreds of thousands of thousands are similar to the units.	ומאות אלפי אלפים כאחדים
The thousands of thousands of thousands are similar to the tens.	ואלף אלפים כעשרות
So on endlessly, whether even or odd.	ככה עד אין קץ ובין כזוג ובין כמה שאינה זוג
The [units] that are [roots] of the first rank become ten[s] [as roots] of the third rank, which is analogous to it; hundreds [as roots] of the fifth rank; and thousands [as roots] of the seventh rank.	האחד שהוא במערכת הראשונה ישוב עשרה במעלה השלישית שהיא דומה לה ובמעלה חמישית ממנה מאות ובשביעית ממנה אלפים
The root of one, which is one [in the first rank], becomes ten for the third rank, which is a root of one hundred - both are analogous to one. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1}=1\longrightarrow\sqrt{100}=10}}$	ששרש אחד הוא אחד ישוב המעלה השלישית עשרה והוא שורש מאה ששניהם דומים לאחד
The root of four is two, therefore the root of 400 is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}=2\longrightarrow\sqrt{400}=20}}$	ושרש ארבעה שנים על כן שרש ד' מאות עשרים
Likewise, the root of 900 is 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{900}=30}}$	ועל זה הדרך שרש תשע מאות ל‫'
The fourth rank, which is even, is analogous to the second [rank]:	והמעלה הרביעית שהיא זוג דומה לשנית
One thousand and six hundred is analogous to 16, therefore its root is forty. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}=4\longrightarrow\sqrt{1600}=40}}$	והנה אלף ושש מאות דומה לי"ו על כן שרשו ארבעים
Because the one becomes ten, as the third rank to the second.	כי שב האחד עשרה כמערכת השלישית מן השנית
The root of ten thousand is one hundred, because it is in the fifth rank from the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10000}=100}}$	והנה עשרת אלפים יהיה שרשו מאה כי הוא במעלה החמישית מן הראשונה
The root of a thousand of thousand, which is the seventh rank, is a thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1000000}=1000}}$	ויהיה אלף אלפים שהיא המעלה השביעית שרשו אלף
The forty thousand is similar to four.	והנה ארבעים אלף כדמות ארבעה
One hundred and sixty thousand is analogous to 16.	ומאה וששים אלף כדמות ששה עשר
This way for all the squares.	ועל זה הדרך לכל המרובעים
When you have a number and you want to find out if it has an integer root [= if it is a perfect square] weigh it in the scales of nine [= cast it out by 9]: consider the units, tens, hundreds, and all the numbers, as if they are units, and cast them out by nines.	וכאשר יהיה בידך חשבון ותרצה לדעת אם יש לו שרש שלם שקלו במאזני תשעה והוא שתחשב האחדים והעשרות והמאות וכל החשבונות כאלו הם אחדים והוציאם ט'ט‫'
If 1; or 4; or 9; or 7 remains - [the number] may be a [perfect] square.	ואם נשאר א' או ד' או ט' או ז' יתכן להיותו מרובע
If 2; or 3; or 5; or 8 remains - know that [the number] is not a [perfect] square.	ואם נשאר ב' או ג' או ה' או ח' דע שאיננו מרובע
This is one way.	והנה דרך אחד
The second way is that you examine the number - if there are units in it, which are the first rank:	ודרך שנית שתסתכל בחשבון אם יש שם ממספרי האחדים שהם במערכת הראשונה
If you find there 1; or 4; or 5; or 6; or 9 - [the number] may be a [perfect] square.	ואם מצאת שם א' או ד' או ה' או ו' או טיתין ט' יתכן להיות מרובע
The third way:	ודרך שלישית
Know that if there is 1 in the number — there should be 1 or 9 in its root.	שתדע כי אם יהיה בחשבון א' ראוי להיות בשרש א' או ט‫'
You can know which of them will be in the root of the number through the closest to the analogous of the square of the units: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10^n\sdot a\right)^2}}$	ותוכל לדעת איזה יהיה בשרש החשבון לאיזה חשבון הוא קרוב אל הדומה למרובע האחדים
If the analogous square precedes the number and there is a double of the root of the [analogous] square between them, add one to the analogous root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a+1}}$	ואם יהיה המרובע הדומה קודם החשבון ויש ביניהם כפל שרש המרובע הוסף על השרש הדומה אחד
If [the given number] is less [than the analogous square], subtract one from the analogous root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot\left(10a\right)\right]+1\longrightarrow x=10a-1}}$	ואם היה פחות גרע משרש הדומה אחד

If If the given number is larger than the closest - there is [1] in the root.	ואם יהיה בשרש ט‫'
For example the square 441 $\scriptstyle441=b^2$	כמו מרבע ת'מ'א‫'
We weigh it in scales of 9 and all is gone by 9’9’. Therefore it is a sign that it could be a square. $\scriptstyle{\color{blue}{441mod9\equiv0}}$	שקלנוהו במאזני ט' ויצא כלו ט'ט' והנה לאות שיתכן להיותו מרבע
The closest analogous is 400 and its root is 20.	והדומה הקרוב הוא ד' מאות ושרשו כ‫'
Since the [given] number is greater than it by double the root, we add one to the [analogous] root and the root is 21.	ובעבור שהחשבון גדול ממנו כפל השרש נוסיף בשרש אחד והנה השרש כ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{441=400+40+1=20^2+\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{441}=20+1=21}}$
Check: Its test is that you subtract the square of the excess from the number; the remainder is 440. We double the analogous root; it is 40, and this is the distance of the number from the analogous [square]. $\scriptstyle{\color{blue}{441-\left(21-20\right)^2-20^2=440-400=40=2\sdot20}}$	ובחינתו שתסיר מרבע התוספת מן החשבון ישאר ת"מ ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
If the number is less than the analogous square - there is 9 in the root	ולו היה החשבון פחות ממרובע הדומה
Such as 361. $\scriptstyle361=b^2$	כגון שס"א
Since it is less, subtract one from the root of the closest analogous square, which is 20; 9 remains in the root, which is 19.	ובעבור שהוא פחות תחסר אחד משורש מרובע הדומה הקרוב שהוא כ' וישאר בשרש ט' והוא י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{361=400-40+1=20^2-\left(2\sdot20\right)+1\longrightarrow\sqrt{361}=20-1=19}}$
Check: The test is to subtract the square of the difference from the number; 360 remains. We double the analogous root; it is 40, and this is the distance of the number from the analogous [square]. $\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[361-\left(20-19\right)^2\right]=400-360=40=2\sdot20}}$	והבחינה להסיר מהחשבון מרובע החסרון וישאר ש"ס ונכפול השרש הדומה והוא מ' וככה מרחק החשבון מן הדומה
If there is 4 in the square — there is 2 in the root or 8, which is second to one, or 8, which is second to [9]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a+2}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot2\left(10a\right)\right]+4\longrightarrow x=10a-2}}$	ואם במרובע ד' יהיה בשרש ב' שהוא שני לאחד או ח' שהוא שני לי"ט
If the analogous [square] precedes it, as the square 484 - there is 2 in the root and the root is 22. $\scriptstyle484=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{484>400\longrightarrow\sqrt{484}=20+2=22}}$	ואם חשבון הדומה לפניו כמו מרובע ת'פ'ד' יהיה בשרש ב' והשרש כ"ב
Check: When you subtract the square of the excess from the number, 480 remains. So, the distance from the analogous [square] is 80 and this should be double double the analogous root. $\scriptstyle{\color{blue}{484-\left(22-20\right)^2-20^2=480-400=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{484=400+80+4=20^2+\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$	וכשתחסר מרובע התוספת מהחשבון ישאר ת"פ והנה המרחק מן הדומה פ' וככה ראוי להיות כפל הכפל מהשרש הדומה
If the analogous [square] follows it, as the square 324, whose analogous [root] is 20. Since the [given] number is smaller [than the analogous square], subtract 2 from [the root] - there is 8 in the root and the root is 18. $\scriptstyle324=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{324<400\longrightarrow\sqrt{324}=20-2=18}}$	ואם חשבון הדומה אחריו כמו מרובע ש'כ'ד' שהדומה הקרוב כ' ובעבור שהחשבון פחות חסר ממנו ב' יהיה בשרש ח' והשרש י"ח
Check: When you subtract the square of the difference from the [given] number, 320 remains. We double the analogous root twice and this is the distance.	וכשתסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ש"כ ונכפול פעמים שרש הדומה וככה המרחק
$\scriptstyle{\color{blue}{20^2-\left[324-\left(20-18\right)^2\right]=400-320=80=2\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{324=400-80+4=20^2-\left(2\sdot2\sdot20\right)+2^2}}$
If there is 9 in the square — there is 3 in the root, or 7, which is 3 [steps] backwards from ten. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2+\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a+3}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2=\left(10a\right)^2-\left[2\sdot3\left(10a\right)\right]+9\longrightarrow x=10a-3}}$	ואם יש במרובע ט' יהיה בשרש ג' או ז' שהוא רחוק מעשרה ג' לאחורי‫'
If the analogous [square] precedes it, as the square 529, the closest analogous [square] to which is 4 hundreds - there is 3 in the root and the root is 23. $\scriptstyle529=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{529>400\longrightarrow\sqrt{529}=20+3=23}}$	ואם הדומה הקרוב הוא לפניו כגון מרובע ת'ק'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ד' מאות יהיה בשרש ג' והשרש כ"ג
Check: When you subtract the square of the excess from the number, 500 remains. So, the distance [from the analogous square] is 120. We double the analogous root; it is 40. The distance should be three times double the root, and so it is.	וכשתסיר מרובע התוספת מן החשבון ישאר ת'ק' והנה המרחק ק"כ ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וכן הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{529-\left(23-20\right)^2-20^2=520-400=120=3\sdot40=3\sdot2\sdot20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{529=400+120+9=20^2+\left(3\sdot2\sdot20\right)+3^2}}$
If the closest analogous [square] follows it, as the square 729, whose closest analogous [root] is 30. Since [the given number] is smaller [than the analogous square], subtract 3 from [the root] - there is 7 in the root and the root is 27. $\scriptstyle729=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{729<900\longrightarrow\sqrt{729}=30-3=27}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון מרובע ת'ש'כ'ט' שהדומה הקרוב הוא ל' ובעבור שהוא פחות חסר ממנו ג' יהיה בשרש ז' והשרש כ"ז
Check: If you subtract the square of the difference from the [given] number, 720 remains. The distance is 180. We double the analogous root; it is [60]. The distance should be three times double the root, and so it is.	ואם תסיר מרובע החסרון מהחשבון ישאר ת'ש'כ' והנה המרחק ק'פ' ונכפול שרש הדומה והוא מ' וראוי להיות המרחק ג' פעמים כפל השרש וככה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[729-\left(30-27\right)^2\right]=900-720=180=3\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{729=900-180+9=30^2-\left(3\sdot2\sdot30\right)+3^2}}$
If there is 5 in the square — there is 5 in the root, whether [the analogous square] precedes it, or follows it. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(10a+5\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(a+1\right)\right]-5\right]^2}}$	ואם במרובע ה' יהיה בשרש ה' בין לפניו בין לאחריו
If [the analogous square] precedes it, as 1225, the closest analogous [root] of which is 30. $\scriptstyle1225=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{900<1225\longrightarrow\sqrt{1225}=30+5=35}}$	ואם הוא לפניו כגון אלף ור'כ'ה' שהדומה הוא ל‫'
When you subtract the square of 5, 1200 remains and the excess of the difference is 300.	וכשתסיר מרובע ה' ישאר אלף ור' ותוספת המרחק הוא ש‫'
We double the analogous root; it is 60. The difference should be 5 times 60 and so it is.	ונכפול השורש הדומה והוא ס' וראוי להיות המרחק ה' פעם ס' וככה הוא
$\scriptstyle{\color{blue}{1225-\left(35-30\right)^2-30^2=1200-900=300=5\sdot60=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{1225=900+300+25=30^2+\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$
If the closest analogous [square] follows it, as 625, the [closest] analogous [root] of which is [30]. $\scriptstyle626=b^2$ $\scriptstyle{\color{blue}{625<900\longrightarrow\sqrt{625}=30-5=25}}$	ואם הדומה הקרוב לאחריו כגון ת'ר'כ'ה' שהדומה הוא כ‫'
When you subtract the square of 5, 600 remains and the excess of the difference [is 300. [We double the analogous root; it is 60. The difference should be 5 times 60 and so it is].	וכשתסיר מרובע ה' ישאר ת'ר' וחסרון המרחק וכן ראוי להיות
$\scriptstyle{\color{blue}{30^2-\left[625-\left(30-25\right)^2\right]=900-600=300=5\sdot2\sdot30}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625=900-300+25=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)+5^2}}$
Because every square [containing] 5 is [exactly] between two analogous numbers.	כי כל מרובע ה' בין שני מרובעים הדומים
For, when we subtract the square [of 5], which is 25, from 625, the remainder is 600 and it is between 400, which is the analogous [square], and 900, which is the analogous [square], one preceding and the other following the square.	כי מספר ת'ר'כ'ה' כאשר נסיר מרובעו שהוא כ"ה נשאר ת"ר והוא בין ד' מאות שהוא הדומה ובין ט' מאות שהוא הדומה האחד לפנים והאחד לאחור מן השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=900-300=30^2-\left(5\sdot2\sdot30\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{625-5^2=625-25=600=400+200=20^2+\left(5\sdot2\sdot20\right)}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot10\right)+5\right]^2=\left(20+5\right)^2=625=\left(30-5\right)^2=\left[\left(3\sdot10\right)-5\right]^2}}$
Approximations
[It seems that the beginning of the discussion concerning this issue is missing though there is no indication for that in the manuscript]
$\scriptstyle\sqrt{2}$
[...] one, 2-sixths and half a sixth remain and this is the "corrected root". $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$	שאינו מתוקן ישאר אחד וב' ששיות וחצי ששית והוא השרש המתוקן
If you want to correct it, correct it one more time: multiply half the sixth resulting in division by itself; divide the product by double the "corrected root"; then subtract the quotient from the "corrected root". The remainder is the approximate root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left[1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]}}}$	ואם תרצה לתקן אותו תקנהו פעם אחרת וערוך חצי הששית שיצא בחלוק על עצמו והעולה חלק על כפל השרש המתוקן והיוצא בחלוק חסר מן השורש המתוקן והנשאר הוא השרש המדוקדק
If you want, you can correct [the "corrected root"] as you wish, but you cannot reach the truth, only approximately.	ואם תרצה תוכל לדקדק אותו כרצונך אך לא תוכל להגיע אל האמת כי לעולם יהיה בדרך קרובה
If the number, whose root you want to extract, is closer to the following square than to the preceding square: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו יותר קרוב מהמרובע אשר לאחריו מן המרבע אשר לפניו
As three is closer to the square four that follows it, than to the square one, that precedes it. $\scriptstyle\sqrt{3}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3-1^2=3-1>4-3=2^2-3}}$	כמו שלשה שהוא קרוב אל המרובע ארבעה אשר לאחריו יותר ממרובע אחד אשר לפניו
Always take from the closer and do as follows:	לעולם תקח מן הקרוב וככה תעשה
"[un]corrected root": $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}}}$ Take the root of four, which is two. Then take the difference between your number and the square, whose root you took, and divide it by double the root. Subtract the result of division from the root you took and the remainder is the [un]corrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3}\approx\sqrt{4}-\frac{4-3}{2\sdot\sqrt{4}}=2-\frac{1}{4}}}$	קח השרש אשר לארבעה והוא שנים ואחר כן קח המרחק אשר בין חשבונך ובין המרובע שלקחת שרשו וחלקהו על כפל השרש והיוצא בחלוק תחסר מהשרש שלקחת והנשאר הוא השרש המתוקן
"corrected root": $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}}}$ Correct it another time by taking the square of the remainder of division and divide it by double the [uncorrected] root and subtract the result from the [un]corrected root.	ותקנהו פעם אחרת שתקח מרובע מה שיצא בחלוק וחלקהו על כפל השרש והיוצא תחסר מהשרש המתוקן
You can correct it and make it more accurate as you wish.	ותוכל לתקנו ולדקדק אותו כרצונך
[if the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$ ] $\scriptstyle\sqrt{10}$	ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו הוא מן הזוגות והדומה לו במעלה הרביעית אלף והמרובע הקרוב אליו ת'ת'ק'ס'א' ושרשו ל"א ונשאר ל"ט
	חלקנום על כפל השרש שהוא ס"ב ויצא חצי אחד ונשארו ח‫'
	עשינו מהם שביעיות והנם נ"ו חלקנום על כפל השרש ונתן לו בדרך קרובה אחד והנה שרש אלף ל"א וחצי ושביעית
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{1000}&\scriptstyle\approx\sqrt{961}+\frac{1000-961}{2\sdot\sqrt{961}}=31+\frac{39}{2\sdot31}=31+\frac{39}{62}=31+\frac{1}{2}+\frac{8}{62}\\&\scriptstyle=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{8\sdot7}{62}}{7}=31+\frac{1}{2}+\frac{\frac{56}{62}}{7}\approx31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{1000}\approx\frac{1}{10}\sdot\left(31+\frac{1}{2}+\frac{1}{7}\right)\approx3+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{7}\right)}}$	ועשיריתם בדרך קרובה אל האמת שלשה ושביעית שביעית
"uncorrected root": $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}}}$ Know it by taking the root of the square that is the closest to it, which is 9, and its root is 3. Divide the remainder [= the difference between 10 and the closest square], which is 1, by double the root. The result is one-sixth. Add it to the 3, and it is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx\sqrt{9}+\frac{10-9}{2\sdot\sqrt{9}}=3+\frac{1}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}}}$	ותדענו שתקח שורש המרובע הקרוב אליו והוא ט' ושרשו ג‫' חלק הנשאר שהוא אחד על כפל השרש יצא ששית וחברהו עם הג' והוא השרש שאיננו מתוקן
"corrected root": $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}}}$ Correct it by multiplying the remainder from the division by itself. The result is one-sixth of one-sixth. [Divide it by double the uncorrected root and] subtract it from the uncorrected root. 3 will remain, which are sixths of a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{1}{6}-\frac{\left(\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{1}{6}\right)}}}$	ותקן אותו שתערוך מה שיצא בחלוק על עצמו יעלה ששית הששית חסרהו מן השרש שאינו מתוקן ישאר ג' והם ששיות הששית
	תקנהו פעם אחרת שתערוך ששית הששית על עצמו ותחסרהו מן השרש המתוקן והנשאר הוא מדוקדק
	ואם המרובע הבא לאחריו הוא יותר קרוב מהמרובע שעבר שהוא לפניו תעשה כאשר הראיתיך והדבר שוה בין בנפרדים בין בזוגות
Fractions
Simple Fractions
If you want to extract the root of 6 eighths and one-eighth of an eighth. $\scriptstyle\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}$	ואם תרצה להוציא שרש ו' שמיניות ושמינית שמינית
Know from what number one-eighth of one-eighth is derived, it is 64 and its root is 8. Take six-eighths and one-eighth of one-eighth from 64, it is 49. Take its root, it is 7. Divide it by 8, the result is 7 eighths, and so is the root.	דע מאיזה חשבון יצא שמיניתו שמינית השמינית והוא ס"ד ושרשו ח‫' וקח מן ס"ד ו' שמיניות ושמינית שמיניתו והוא מ"ט קח שרשם והוא ז‫' חלק על ח' יצא ז' שמיניות וככה השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{8^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{64\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{8}\sdot\sqrt{49}=\frac{7}{8}}}$
Know it by taking its double of a double; it is 3 and one-half of an eighth. Its root is 1 and 3 quarters. Take its half, which is 7 eighths, and so is the root.	ותדענו שתקח כפל כפלו והוא ג' וחצי שמינית ושרשו א' וג' רביעיות קח חציו והוא ז' שמיניות וככה השרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{2^2\sdot\left[\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{3+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}=\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{3}{4}\right)=\frac{7}{8}}}$
$\scriptstyle\sqrt{2+\frac{1}{2}}$	ואם תרצה להוציא שרש שנים וחצי
	דע כי החצי יצא משנים ואין לשנים שרש ידוע ונעשה מהכל חציים ויעלו ה' נערכם על שנים ויעלו י' ושרשם ג' וששית בדרך קרובה ונחלק זה השרש על שנים יצא אחד וחצי וחצי ששית והוא דרך קרובה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2+\frac{1}{2}}=\sqrt{\frac{5}{2}}=\frac{\sqrt{2\sdot5}}{2}=\frac{\sqrt{10}}{2}\approx\frac{3+\frac{1}{6}}{2}=1+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}$
$\scriptstyle\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}$	ואם תרצה להוציא שרש אחד וג' חומשים
	דע כי החומש יצא מה' נעשה מכלם חמישיות יהיו ח' נערכם על ה' יעלו מ' ושרשם בדרך קרובה ו' שליש, חלקם על ה' יצא אחד וחומש ושליש חומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}\approx\frac{6+\frac{1}{3}}{5}=1+\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{5}\right)}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1+\frac{3}{5}}=\sqrt{\frac{8}{5}}=\frac{\sqrt{5\sdot8}}{5}=\frac{\sqrt{40}}{5}=\frac{\sqrt{40\sdot100}}{5\sdot\sqrt{100}}}}$	ותדענו שתערוך המ' בק' וקח שרש העולה וחלקהו על העולה מערך ה' על שרש ק' והיוצא הוא השרש
	ועל אלו הדרכים נהגו חכמי המדות להוציא השרשים בשלמים ובנשברים ובשברי השברים עד אין קץ
Sexagesimal Fractions
The astrologers extract it by degrees, minutes, seconds, thirds	וחכמי המזלות מוציאים אותו למעלות לראשונים ולשניים ולשלישיים ומדקדקים עד עשיריים ועד כמה שירצו
	וסוף הכל לא יגיעו אל האמת רק בדרך קרובה
extracting roots of degrees is the same as extracting roots of integers	וכאשר אתה מוציא שרש מספר מעלות, אתה מוציאו בדרך הוצאת שרשי המספר השלם ויהיה השרש מעלות כמוהו
two kinds of sexagesimal fractions:	וכאשר תוציא שרש מספר שברים יש לך לדעת כי השברים נחלקים לשני מינין‫:
1) Sexagesimal fractions with a known root:	יש מהם שיש להם שרש ידוע ומפורסם
As the seconds and the fourths: The root of the seconds are minutes $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1^{\prime\prime}}=1^\prime}}$ and the root of fourths are seconds $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{1^{iv}}=1^{\prime\prime}}}$ .	כגון השניים והרביעים ששורש השניים הם ראשונים ושרש רביעיים הם שניים
For when you multiply minutes by minutes the result will be seconds. minutes × minutes = secondes $\scriptstyle{\color{blue}{1^\prime\times1^\prime=1^{\prime\prime}}}$	מפני כי כאשר תערוך ראשונים על ראשונים יעלו שניים
When you multiply seconds by seconds the result will be fourths seconds × seconds = fourths $\scriptstyle{\color{blue}{1^{\prime\prime}\times1^{\prime\prime}=1^{iv}}}$	וכאשר תערוך שניים על שניים יעלו רביעים
2) Sexagesimal fractions with an unknown root	ויש מהם שאין להם שרש ידוע ומפורסם
As minutes and thirds and fifths and all that are similar to them.	כגון הראשונים והשלישיים והחמישיים וכל הדומה להם
For you cannot find fractions whose multiplication by themselves will produce these fractions.	כי אין אתה מוצא שברים שתהיה עריכתם על עצמם מוציאה אל השברים האלה
extracting the root of sexagesimal fractions of the first kind (with a known root) is the same as extracting the root of integers	ומיכן היה הדרך בהוצאת שרשי השברים אם יהיו השברים שתרצה להוציא שרשם מן המין ששרשם ידוע ומפורסם אתה מוצא שרשם בדרך הוצאת שרשי מספרי השלמים
	אך שאתה קורא שם השרש ממין השברים אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל שם השברים שאתה רוצה להוציא שרשם
For instance, if you want to extract 9 seconds. $\scriptstyle\sqrt{9^{\prime\prime}}$	כגון שהיית רוצה להוציא ט' שניים
You know that the root of 9 as integer is 3 integers, here you say that the root is [3] minutes, because the multiplication of minutes by minutes will bring you to seconds, which are of the type whose root you extract. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}=3\longrightarrow\sqrt{9^{\prime\prime}}=3^\prime}}$	ואתה יודע כי שרש ט' במספר השלם הוא ג' שלמים ובכאן אתה אומר כי השרש ו' ראשונים מפני שעריכת ראשונים על ראשונים מוציאך אל שניים אשר הם המין שאתה מוציא שרשו
	ועל זה הדרך לכל השברים אשר שרשם ידוע ומפורסם
extracting the root of sexagesimal fractions of the second kind (with an unknown root):	ואם היו השברים שאתה מוציא שרשיהם מן השברים הסתומים והנעלמים שאין שרשיהם מפורסמים
converting the fraction to the closest smaller fraction with a known root	אתה משיב השברים ההם אל השברים הקרובים אשר פחותים מהם ששרשיהם ידועים ויהיה שרש המספר ההוא מן המין אשר עריכתו על עצמו מוציאך אל המין אשר החזרת חשבונך אליו
As if you want to extract the root of 15 thirds, which are of the reduced fractions. $\scriptstyle\sqrt{15^{\prime\prime\prime}}$	כאלו רצית להוציא שרש ט"ו שלישיים והם מן השברים הסתומים
You return them to fourths, which are the closest to them and are of the knowns. When we multiply 15 by sixty the result will be 900 fourths and their root is thirty, which are seconds, for seconds by seconds bring you to fourths. Therefore, you say that 15 thirds their root is thirty seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15^{\prime\prime\prime}}=\sqrt{900^{iv}}=30^{\prime\prime}}}$	ואתה מחזיר אותם אל רביעיים אשר הוא הקרובים אליהם והם מהידועים וכשנערוך ט"ו על ששים יעלו תת"ק רביעיים ושרשם הוא שלשים והם שניים כי שניים על שניים מוציאך אל רביעים ונמצא אתה אומ' כי ט"ו שלישיים שרשם שלשים שניים
	ועל זה הדרך לכל השברים שאין שרשם מפורסם
if there are seconds in the square - there are minutes in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^2}}=\frac{a}{60}}}$	ולעולם אם יהיה במרובע שניים יהיה בשרש ראשונים
if there are fourths in the square - there are seconds in the root: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{a^2}{60^4}}=\frac{a}{60^2}}}$	ואם רביעיים יהיה בשרש שניים
The rule is that in the root will be half the number of the fractions [= the rank of the fractions of the root is half the rank of the fractions of the square]: $\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{60^n}}=\frac{a}{60^{\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$	והכלל כי בשרש יהיה מספר חצי השברים
Sexagesimal approximations of integers
Two sexagesimal approximation methods	והנה לך שני דרכים על דרך חכמי המזלות להוציא השרשים בדרך קרובה מדוקדקים היטב
First approximation method
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+\frac{\left(2\sdot a\sdot n\right)+m}{60}}=\sqrt{\left(a+\frac{n}{60}\right)^2+\left[\frac{m}{60}-\left(\frac{n}{60}\right)^2\right]}\approx a+\frac{n}{60}}}$
The one way is that you extract the root of the previous square closest to it and multiply the remainder, which is the distance between your number and the square, by sixty, called minutes. Divide the result by double the root, but be careful not to give all to the division, so you will be able to subtract from it the square of the remainder from division. Know that the remainder from division is minutes and when you multiply them by themselves the resultis seconds. Convert them to minutes, then subtract them from the remainder. You will have degrees and minutes in the root. Multiply what is left in your hand, after you took the square of the minutes from it, by sixty, it will be seconds. Convert them also to thirds, so they will be divided by double the root, after you will convert it to minutes, and the result of the division is seconds.	הדרך האחד שתוציא שרש המרובע שעבר הקרוב אליו והנשאר שהוא המרחק שיש בין חשבונך ובין המרובע תערך אל ששים יקראו ראשונים והעולה תחלק על כפל השרש רק השמר שלא תתן לו הכל בחלוק בעבור שתוכל לחסר ממנו מרובע מה שיצא בחלוק ודע שהיוצא בחלוק הם ראשונים וכאשר תערכם על עצמם יהיה העולה שניים תשיבם ראשונים ואז תחסרם מהנשאר ויהיה בידך בשרש מעלות וראשונים ומה שנשאר בידך אחרי שהוצאת ממנו מרובע הראשונים תערוך על ששים יהיו שניים ותשיבם גם לשלישיים בעבור שיתחלקו על כפל השרש אחר שתשיבם ראשונים והיוצא בחלוק הם שניים
	והשמר שישאר שתוכל לחסר מרובע מה שיצא בחלוק
	וככה עד שתגיע אל השלישים והוא מדוקדק
Example: we want to extract the root of two. $\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שנים
The closest preceding square is one, its root is one, and the remainder is one. We convert it to minutes, it is sixty. We divide them by double the root, but we can not give 25 in the division, for nothing will remain. We have a square of 25 minutes of them, which are 10 minutes, 25 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\sqrt{1+1}=\sqrt{1+60^\prime}=\sqrt{1+\frac{2\sdot25}{60}+\frac{10}{60}}}}$	והמרובע הקרוב שעבר הוא אחד ושרשו אחד ונשאר אחד ונשאר א‫' נשיבהו ראשונים והוא ששים חלקנום על כפל השרש ולא יכולנו לתת בחלוק כ"ה כי לא ישארו זולתי ויש לנו מהם מרובע כ"ה ראשונים שהם י' ראשונים כ"ה שניים
Hence, they exceed by 25 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(25^\prime\right)^2-10^\prime=\left(10^\prime+25^{\prime\prime}\right)-10^\prime=25^{\prime\prime}}}$	והנה יוסיפו כ"ה שניים
Therefore we do not give it but 24 and 12 are left. The square of 24 is 9 minutes and 36 seconds. We subtract them from the remainder 12: 2 minutes and 24 seconds will be left and the root is 1° 24′.	ובעבור זה לא נתננו לו כי אם כ"ד ונשארו י"ב ומרובע כ"ד הוא ט' ראשונים ל"ו שניים חסרנום מן י"ב הנשארים וישארו ב' ראשונים כ"ד שניים והשרש א' כ"ד
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{1+1}=\sqrt{1+60^\prime}=\sqrt{1+\frac{2\sdot24}{60}+12^\prime}=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[12^\prime-\left(24^\prime\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[12^\prime-\left(9^\prime+36^{\prime\prime}\right)\right]}=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(2^\prime+24^{\prime\prime}\right)}\approx1+24^\prime\\\end{align}}}$
We convert 2 minutes and 24 seconds to thirds, so we will be able to divide by double the root, which are 168 minutes. The result of division is 51 seconds and the remainder is 72 thirds. When you subtract from them the square of 51 seconds, which is 43 thirds and 21 fourths, the remainder is 28 thirds and 39 fourths and the root is 1° 24′ 51′′.	השיבונו ב' ראשונים כ"ד שניים לשלישיים בעבור שנוכל לחלק על כפל השרש שהם ק'ס'ח' ראשונים יצא בחלוק נ"א שניים ונשארו לנו ע"ב שלישיים וכאשר תסיר מהם מרובע נ"א שניים שהוא מ"ג שלישיים כ"א רביעיים ישארו כ"ח שלישיים ל"ט רביעיים והשרש א'כ'ד' נ"א
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(2^\prime+24^{\prime\prime}\right)}=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left(\frac{168\sdot51}{60^3}+72^{\prime\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime\right)^2+\left[\left[2\sdot\left(1+24^\prime\right)\sdot51^{\prime\prime}\right]+72^{\prime\prime\prime}\right]}=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left[72^{\prime\prime\prime}-\left(51^{\prime\prime}\right)^2\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left[72^{\prime\prime\prime}-\left(43^{\prime\prime}+21^{\prime\prime\prime\prime}\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)^2+\left(28^{\prime\prime\prime}+39^{\prime\prime\prime\prime}\right)}\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}+10^{\prime\prime\prime}+8^{iv}}}$	ועל זה הדרך תדקדקהו תמצא השרש א'כ'ד' נ"א י'ח' רביעיים והוא מדוקדק
	ואם תערוך על זה המספר שרש חשבון שתרצה שיהיה העולה שרש כפל החשבון
$\scriptstyle\sqrt{7200}$	ואם תשיב האחד לס' ראשונים ותחבר עמהם הכ"ד ראשונים יהיו פ"ד ותחשבם שהם שלמים ותחשב כמו כן השניים ראשונים והשלישיים שניים והרביעיים שלישיים אז תמצא שרש שבעת אלפים ומאתים כי שלשת אלפים ושש מאות הוא מרובע ששים והנו חשוב כאחד והמספר הנזכר והוא כפלו
${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3600}=\sqrt{2\sdot60^2}=60\sdot\sqrt{2}\approx60\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+\ldots\right)\\&\scriptstyle=60\sdot\left[\left(60+24\right)^\prime+51^{\prime\prime}+\ldots\right]=60\sdot\left(84^\prime+51^{\prime\prime}+\ldots\right)=84+51^\prime+\ldots\\\end{align}}}$
$\scriptstyle\sqrt{b^2a}=b\sqrt{a}$	ולעולם אם ידענו שרש מספר ונרצה לדעת שרש מספר שהוא כפל כפלו נכפול השרש וככה הוא
$\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}a}=\frac{1}{2}\sqrt{a}$	והפך הדבר אם ידענו שרש מספר ידוע ונרצה לדעת כמה שרש מספר שהוא רביעיתו נקח חצי השרש וככה הוא
Second approximation method
The other way:	והדרך האחרת
If the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$
Divide the distance from the closest square by double the root and give it all. Add the result to the closest root that precedes it. This is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}}}$	חלק המרחק מהמרובע הקרוב על כפל השרש ותן לו הכל והיוצא תחבר עם השרש הקרוב אשר לפניו וככה השרש שאיננו מתוקן
But if the next square, which follows it, is closer $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$	אך אם היה המרובע הבא אשר לאחריו יותר קרוב
Divide the difference by [double] the root of the next square and subtract the result from the root of the next square. The remainder is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}}}$	תחלק המרחק על שרש המרובע הבא והיוצא תחסר מהשורש מן המרובע הבא והנשאר הוא השרש שאיננו מתוקן
Then, take the result of division, in whatever way it would be, and multiply it by itself. Divide the result by double the uncorrected root. Subtract the result of division, whether you took the root of the preceding square or the root the next square, from the uncorrected root. The result after the subtraction will be the root which is corrected once. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a-\frac{b}{2a}\right)}}}$	ואחר כן קח מה שעלה בחלוק על איזה דרך שיהיה וערוך אותו על עצמו והעולה תחלק על כפל השרש שאיננו מתוקן והיוצא בחלוק בין שלקחת שרש המרובע אשר עבר בין שלקחת שרש המרובע הבא תגרע מהשרש שאיננו מתוקן וההוה אחר הגרעון יהיה השרש מתוקן פעם אחת
	ועל זה הדרך תקנהו עד שתגיע לשלישיים והוא מדוקדק קרוב אל האמת
checking whether the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$ or less than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$	ובהוציאך השרש תוכל לדעת ולהכיר אם לקחת חשבון קרוב אל המרובע שעבר או אל הבא
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{2a}>30^\prime\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]<\left(a^2+b\right)-a^2}}$ → the given number is less than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}$	כי כאשר תחלק המרחק ממרובע הראשון על כפל השרש אם עלה יותר משלשים אז תדע כי הוא קרוב אל המרובע הבא
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{2a}<30^\prime\longrightarrow\left[\left(a+1\right)^2-\left(a^2+b\right)\right]>\left(a^2+b\right)-a^2}}$ → the given number is larger than the closest square $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}$	ואם עלה שלשים או פחות דע כי הוא קרוב אל המרובע שעבר
Example: we want to extract the root of two. $\scriptstyle\sqrt{2}$	והדמיון רצינו להוציא שרש שניים
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}}}$ The difference will be one, which is 60 minutes. We divide them by double the root, which is two. The result is 30 minutes. We add them to the root, which is one, and this is the uncorrected root. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1}{2\sdot1}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60}{60}}{2}=1+30^\prime}}$	יהיה המרחק אחד והוא ס' ראשונים חלקנום על כפל השרש שהוא שנים יצא ל' חלקים ראשונים חברנום עם השרש שהוא אחד והוא השרש שאיננו מתוקן
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)-\frac{\left(\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{\frac{60\sdot b}{2a}}{60}\right)}}}$
We want to correct it. We multiply 30 by itself and divide it by 60, the result is 15. We divide it by double the uncorrected root, which is 3, the result is 5. We subtract it from the uncorrected root and the remainder is 1° 25′ and it is corrected once.	רצינו לתקנו ערכנו ל' על עצמו וחלקנום על ס' יצא ט"ו וחלקנום על כפל השרש שאינו מתוקן שהוא ג' יצא ה‫' חסרנום מהשרש שאינו מתוקן ונשאר א'כ"ה והוא מתוקן פעם אחת
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx\left(1+30^\prime\right)-\frac{\left(30^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{15}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}}{60}=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{15}{3}}{60}=\left(1+30^\prime\right)-5^\prime=1+25^\prime}}$
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}-\frac{\left[\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]^2}{2\sdot\left[a+\frac{b}{2a}-\frac{\left(\frac{b}{2a}\right)^2}{2\sdot\left(a+\frac{b}{2a}\right)}\right]}}}$
We correct it the second time: we multiply the 5 primes resulting in division by themselves; the result is 25 that are seconds.	נתקן אותו פעם שנית ונערוך ה' ראשונים שיצאו בחלוק על עצמם עלו כ"ה והם שניים
We convert them into thirds; the result is 1500.	השיבונו אותם שלישיים עלו אלף וחמש מאות
We divide them by double the corrected root, which is 170 primes; the result of division is 8, which are seconds, and 140 remain.	וחלקנום על כפל השרש המתוקן והוא ק"ע ראשונים יצא בחלוק ח' והם שניים ונשארו ק"מ
We convert them into fourths; the result is 8400.	השיבונום לרביעים עלו ח' אלפים וארבע מאות
We divide them by 170; the result is 49 and there is still a remainder to divide, but there is no need to bother anymore.	חלקנום על ק"ע ויצא מ"ט ונשארו עוד לחלק אך אין צריך להטריח יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}=\frac{25^{\prime\prime}}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}=\frac{1500^{\prime\prime\prime}}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}=\frac{1500^{\prime\prime\prime}}{170^\prime}=\left(8+\frac{140}{170}\right)^{\prime\prime}=8^{\prime\prime}+\left(\frac{8400}{170}\right)^{\prime\prime\prime}=8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}+\ldots}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx\left(1+25^\prime\right)-\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)=1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}}}$	והנה יש לנו לחסר מהשרש המתוקן ח' שניים מ"ט שלישיים וישאר א'כ"ד כ"א י"א והוא מדוקדק
combination of a shortcut and approximation: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}=\frac{\sqrt{a\sdot10^{2n}}}{10^n}}}$
	ואם תרצה להוציא שרשו שתקח דמיונו במעלה השלישית והוא במאות והנכון במעלה החמישית ואם תקחנו במעלה השביעית יהיה יותר נכון
When you extract the root of two from the fifth rank: Extract the root of twenty thousand, which is similar [to two] as the rule, you find it 141 integers, 25 minutes, 16 seconds and 58 thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}\approx141+25^\prime+16^{\prime\prime}+58^{\prime\prime\prime}}}$	וכאשר תוציא שרש שנים מן המעלה החמישית תוציא שרש עשרים אלף שהוא הדומה כמשפט תמצאנו ק'מ'א' שלמים כ"ה ראשונים י"ו שניים נ"ח שלישיים
To know the root of two: Divide all by one hundred and the result is the root of two, which is one integer, 24 minutes, 51 seconds, 10 thirds, 7 fourths and 48 fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{20000}}{100}\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}+10^{\prime\prime\prime}+7^{iv}+48^v}}$	ולדעת שרש שנים חלק הכל על מאה והיוצא הוא שרש שנים והוא אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י' שלישיים ז' רביעיים מ"ח חמישיים
If you know the root of two: Multiply it by one hundred and the result is the root of twenty thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
If you extract the root of two from the third rank, which is the hundreds: Extract the root of two hundred, which is similar [to two]. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}=\frac{\sqrt{200}}{10}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן המעלה השלישית שהיא המאות הוציא שרש מאתים שהוא הדומה
Divide the result by ten and we will find the root of two.	והיוצא חלק על עשרה ונמצא שרש שנים
If you know the root of two: Multiply it by one hundred and the result is the root of twenty thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=100\sdot\sqrt{2}}}$	ואם ידעת שרש שנים תערכנו על מאה והעולה הוא שרש כ' אלף
If you extract the root of two from ten, the result is the root of two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}=10\sdot\sqrt{2}}}$	ואם הוצאת שרש שנים מן עשרה והעולה הוא שורש מאתים
	ואם תרצה להוציא שרש עשרה תוציאנו בכל הדרכים כמשפטם תמצאנו ג' שלמים כ"ו ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
Shortcuts
For every number that we know its root, if we multiply it by ten and we wish to know how much is the root of the product, multiply the root of the number by the root of ten and the result is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{10a^2}=a\sqrt{10}}}$	וכל מספר שנדע שרשו אם נערכנו על עשרה ונרצה לדעת כמה שרש המחובר מהמערכות תערוך השרש של המספר על שרש עשרה והעולה הוא המבוקש
there are tables of roots from 1 to 2½ and a range up to 6¼: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)\longrightarrow1,\ldots,\left(2+\frac{1}{2}\right)^2=1,\ldots,\left(6+\frac{1}{4}\right)}}$	והנה יש לוחות עשויות מאחד שלם עד שנים וחצי ויעלה המרובע עד ששה שלמים ורביע ומהם תוכל לתקן כל השרשים
guidelines for finding roots using these tables:
If you have parts less than one: Multiply them by four and take the root of the result in the table and what it will be take its half. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt{4\sdot a}}}$	ואם היו לך חלקים פחותים מאחד ערכם על ארבעה וקח בלוח שרש העולה ומה שיהיה קח חציו
If we double it and the result is no more than one: Multiply it by eight and take one-quarter of the root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a<1\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{4}\sdot\sqrt{8\sdot2a}}}$	ואם כפלנוהו כל ככה ולא עלה עד אחד ערכהו על שמונה וקח רביעית השרש
for numbers beteen 1 and 6¼:	ואם היה חשבונך מאחד ועד ששה ורביע ותרצה להוציא השרש בקש מספר חשבונך
if the number does not appear in the table: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\le\left(a^2+b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2+b}\approx a+\frac{60b}{2a}}}$ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1\le\left(a^2-b\right)\le\left(6+\frac{1}{4}\right)\longrightarrow\sqrt{a^2-b}\approx a-\frac{60b}{2a}}}$	ואם לא תמצאנו קח השרש בלוח שהוא כנגד החשבון הקרוב הנמצא לפניו או לאחריו וקח הקרוב אל חשבונך בין לפניו בין לאחריו וערוך המרחק הנמצא בין החשבון ובין חשבונך על ששים וחלק העולה על המרחק הנמצא בין שני המרובעים וההוה תוסיפנו על השרש הנמצא אם היה החשבון בלוחות שלקחת פחות מחשבונך ואם יותר תגרענו אז תמצא המבוקש
If the number is greater than six and a quarter [and smaller than] twenty-five integers: take the root of its quarter and double the resulting root; you will find the root. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(6+\frac{1}{4}\right)<a\le25\longrightarrow\sqrt{a}=2\sdot\sqrt{\frac{1}{4}a}}}$	ואם היה המספר יותר מששה ורביעית עד חמשה ועשרים שלמים קח שרש רביעיתו וההוה בשרש כפלהו תמצא השרש
If it is greater than 25 [and smaller than] one hundred: multiply it four times and extract the analogous root; take half the result and this is the root of the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{25<a\le100\longrightarrow\sqrt{a}=\frac{1}{2}\sdot\left(10\sdot\sqrt{\frac{4a}{100}}\right)}}$	ואם היה יותר מכ"ה עד מאה כפלהו ארבעה פעמים וקח שרש הדומה וההוה קח חציו וככה שרש המבוקש
	והנה המאות דומות לאחדים
for numbers greater than 100 [and smaller than 1000]: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{100\le a<1000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{10a}{100}}}}$	ואם היה לך מספר יותר ממאה ערכהו על ששה וחלק העולה על עשרה וההוה קח שרשו וקח לכל מאה אחד במרובע וכאשר תדע השרש תערכנו על עשרה אז תמצא השרש המבוקש
for numbers greater than 1000 [and smaller than 10000]: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1,000\le a<10,000\longrightarrow\sqrt{a}=10\sdot\sqrt{\frac{a}{100}}}}$	ואם היה חשבונך באלפים חשוב כי הוא בעשרות והוצא דמיונו והיוצא ערכנו על עשרה אז תמצא רצונך
for numbers greater than 10000 [and smaller than 100000]: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{10,000\le a<100,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}}}$	ואם החשבון בעשרות אלפים הוציא הדומה וההוה תערכנו על מאה
for numbers greater than 100000 [and smaller than 1000000]: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{100,000\le a<1,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=100\sdot\sqrt{\frac{a}{10000}}}}$	ואם במאות אלפים הוצא הדומה בעשרות וההוה תערכנו על מאה
	ועל זה הדרך תוכל להוציא שרש כל חשבון שתרצה
for numbers greater than 1000000 [and smaller than 10000000]: $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{1,000,000\le a<10,000,000\longrightarrow\sqrt{a}=1000\sdot\sqrt{\frac{a}{1000000}}}}$	ואלף אלפים דומה לאחדים וההוה בשרש ערכנו על אלף
	ומשם והלאה תעשה על זה הדרך

הספר הנשלם
תהלה לאל עולם

Notes

↑ בראשית טז, יב
↑ דברים יד, כד
↑ ישעיה ל, כ-כא
↑ ישעיה ל, כ
↑ משלי ט, ט

Apparatus

↑ 2r
↑ 2v
↑ $\scriptstyle{\color{blue}{n>1;a\in N: 5^n=a25}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle5^2=\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^3=1\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^4=6\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^5=31\color{Red}{25}\\\scriptstyle\ldots\end{cases}}}$
↑ $\scriptstyle{\color{blue}{a\in N: 6^n=a6}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle6^2=3\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^3=21\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^4=129\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^5=777\color{Red}{6}\\\ldots\end{cases}}}$
↑ 3r
↑ MS Geneva: here starts the interpolated excerpt
↑ MS Geneva continues 4v
↑ 5r
↑ 5v
↑ 3v
↑ 4r
↑ 4v
↑ 6r
↑ 6v
↑ 7r
↑ 7v
↑ 8r
↑ 8v
↑ 9r
↑ 9v
↑ 10r
↑ 10v
↑ 11r
↑ 11r
↑ 12r
↑ 12v
↑ 13r
↑ 13v
↑ 14r
↑ 14v
↑ 15r
↑ 15v
↑ 16r
↑ 16v
↑ 17r
↑ 17v
↑ 18r
↑ 18v
↑ 19r
↑ 19v
↑ 20r
↑ 20v
↑ 21r
↑ 21v
↑ 22r
↑ 22v
↑ 23r ומחברות מאדים ... והנה מספר מחברות: again
↑ 23v
↑ 24r
↑ 24v
↑ 25r
↑ 25v
↑ 26r
↑ 26v
↑ 27r
↑ 27v
↑ 28r
↑ והם ג' והם... וכערכם קח מימי החדש: twice
↑ 28v
↑ 29r
↑ 29v
↑ 30r
↑ 30v
↑ 31r
↑ 31v
↑ 32r

Appendix I: Glossary of Terms

author	המחבר
book	ספר
introduction	מפתחות
chapter	שער, שערים, השער ה... ב
Decimal Dystem
rank	מדרגה, מדרגת (ה), מדרגות (ה), במדרגה (ה), במדרגת, במדרגת... ל, במדרגה ה... ל
	מעלה ה, מעלות, מעלותיו
rank	מערכת, מערכות, במערכתם
units	אחדים
tens	עשרות
hundreds	מאות, מדרגת המאות
thousands	אלפים, מדרגת האלפים
tens of thousands	עשרות אלפים
hundreds of thousands	מאות אלף, מאות אלפים
thousands of thousands	אלף אלפים, אלפי אלפים
tens of thousands of thousands	עשרת אלפי אלפים, עשרות אלפי אלפים
hundreds of thousands of thousands	מאת אלף אלפים, מאות אלפי אלפים
thousands of thousands of thousands	אלף אלפי אלפים, אלף אלפים
Arithmetic Operations
Addition
addition	מחברת, מחברת זה עם זה, חבור (ה / ... עם)
to add	בחברך ה, לחבר, לחבר מ... ואילך עד, לחברם עם, חבר (ה / הכל, כל ה), חבר ... (אל / ה / עם), חבר ה... עם ה, חברו, חברהו (אל ה / עם ה), חברם (אל / על ה / עם ה), חברנו (אותו עם / ה / ה... עם / עם ה), חברנו מ... עד, חברנום (עם), חברת, יחבר ה, נחבר ה... עם ה, נחברם עם, תחבר (ה / כל ה / עם / עמהם), תחבר ... (אל / עם / ה... עם / ה... עמהם), תחברהו עם... יחד, תחברם (ל / עם ה), תחברנו אל
	תחבר ה... מ... עד
	חבר בתחלה ה
	להוסיף (ל / עליו), הוסף (ב / ל / על / עליו / עליהם), הוסף ... על, הוסף ה... על, הוסיף עליהם, הוסיף ה... על ה, הוסיפם על, הוסיפנו על, הוספנו (על), הוספנום על, הוספת (עליו), מוסיף (על / על ה... ה / עליהם), נוסיף (ב / על / עליו), נוסיף... על, תוסיף (ל / על / עליהם / עליו), תוסיף ... על, תוסיפהו על, תוסיפנו על
	מוסיפים על
	קבוץ ה... עם
	מקבץ ה... אל, תקבץ ה
to add one by one	תוסיף א"א, א"א הוספת
to add two by two	תוסיף החשבון בב, ב"ב הוספת, תוסיף לעולם בב'
to add three by three	תוסיף ג"ג, ג"ג הוספת, תוסיף לעולם שלשה
to add four by four	מוסיף ד"ד
	נוסף ... מן ה
to sum	חברנו כל חשבון, חבר הכל, יחבר הכל
to be summed	בו נתחבר, יחובר מ... עד, יתחבר (עד), יתחבר מ... ועד, יתחברו עם, מחובר שם, מחוברים (עם), מחוברות, נחברים
sum	מחובר (ל / מ), המחובר מ... עד, המחבר, חבור ה, הנחבר, הנאסף
sum	בהתקבצם
total sum	כל החשבון
Progression
progression	מוספים
progression of multiples	חשבון הכפול
progression of doubles	חשבון הכפל
excess	התוספת, תוספת (ה / על), התוספת שיש בינו ובין ה, התוספת שיש לו על ה, תוספות
excess	תוספת ה... על ה... כתוספת ... על ה
to exceed	יוסיף (... על / ה... על ה), יוסיפו, יתר עליו, עודף ... על ה, עודפים על, מוסיף על
has no addition and no subtraction	לא יקבל תוספת ומגרעת, בלא תוספת ובלא מגרעת
	בלי חסר ויתר
last term	החשבון שהגיע עדיו, המספר האחרון, החשבון האחרון, אחרון
succession of numbers	על דרך המספר, על דרך החשבון
according to	על דרך, על דרך מספר ה
approximately	בדרך קרובה, בדרך קרובה אל האמת
successively	על הסדר, על סדר ה, על סדר החשבון, על סדר חשבון, על סדרם
sequence	בתולדת, במערכת
successive	זה אחר זה
plus	עם
plus	בתוספת
increment	תוספת, התוספת שיש בין
Subtraction
subtraction	מגרעת, מגרעת ... מ, מגרעת זה מזה
subtraction	הגרעון
to subtract	לגרוע (מ / מהם / ... מ / ... מן / ה... מ), גורע ממנו, גרע (אותו מ / אותם מה / ה / מ / מהם / ממנו / ... מ / ... מה / ה... מ / ה... מן), גרעם מ, גרענו ... מ, גרעת, יגרע
	גרעונו ... מ
	תגרע (מ / מהם / ממנו / ה... מ / ה... מן / ... מ), תגרעהו מ, תגרעם (מ / מן), תגרענו מ
	לחסר (מ / ממנו), חסר (ה / כן מ / מ / מה / מן ה / מהם / ממנו / מכל ה), חסר ... (מ / מן), חסר ה... (מ / מן ה / מה), חסרהו מן
	חסרם מן ה, חסרנו ... מ, חסרנוהו מ, חסרנום (מ / מן), חסרם מ, יחסר, מחסר מ, נחסר (מ / מן / ... מ / ... מה), נחסרם מ
	תחסר (מ / מהם / מן ה / ... מ / ... מה / ... מן ה / ה... מ / ה... מן / ה... מן ה), תחסרהו מן ה, תחסרם (מ / מן ה / ממנו), תחסרנו מ
	מחסרים
subtracted repeatedly	הולך הלוך וחסור
to subtract	פוחת (... מן / ... מן ה), תפחות ... (מ / מן / מהם)
	להסיר (מ), הסר ... מ, נסיר ה... מ, תסיר (מהם), תסיר ... (מ / מן)
	הוצא מהם (ה), הוצאת ממנו
subtrahend	חשבון הנגרעים, החשבון הנגרע
	החשבון שגרעת ממנו
minus	פחות
Multiplication
multiplication	חשבון ה
multiplication	מערכת זה על זה, מערכת ... על, מערכת מספר על מספר, עריכת ... על, עריכת ה... על ה, ערכו אל
to multiply	להעריך... על, להעריכם על, לערוך, לערוך מספר על מספר, לערוך חשבון על חשבון, לערוך... על
	הערך (ה / על ה / ... על), הערך ה... זה על זה
	יערוך על
	נערוך... על, נערוך ה... על, נעריכנו על ה, נערכים על, נערך ... על, נערכם על, נערכנו על
	עורך (אותו ב), עורך... ב, עורך... על, עורך ה... ב, עורך ה... על, עורך ה... עם
	ערוך (על), ערוך אותם ב, ערוך אותם על, ערוך... ב, ערוך ... על, ערוך ה... ב, ערוך ה... על, ערוך ה... על ה, ערוך על, ערכהו (ב / על)
	ערכם (ב / על), ערכם זה בזה, ערכם זה על זה
	ערכנו (אותו על / על), ערכנו... על, ערכנו ה... על
	ערכנוהו על, ערכנום על, ערכנום זה על זה
	ערכת על
	תערוך (ב / על), תערוך ה... ב, תערוך ה... על, תערוך... ב, תערוך ... על, תערוך זה על זה
	תערך (ה... ב / ה... על / על / ... על), תערכהו (ב / על), תערכם (ב / על), תערכנו (ב / על / עם)
	תערכם זה על זה
to multiply	לחשוב... על, חושב את, חשוב... ב
to duplicate	יכפול, תכפול הכפול, כפלנוהו
to triple	כפול ה... שלשה פעמים, כפול ה... ג' פעמים, כפול ... ג' פעמים, כפול ה.... ג' פעם, כפלנו ה... ג' פעם, תכפול ג' פעם
to quadruple	כפול ה... ד' פעם, כפלהו ארבעה פעמים
duplication	כפלו
	ערכם על עצמם
	ערוך על עצמו, ערוך אותו על עצמו, ערוך... על עצמו, ערוך ... על עצמם, ערוך ה... על עצמם, ערכנו... על עצמו, נערוך... על עצמם, תערוך... על עצמו, תערוך על עצמם, תערכם על עצמם, תערכנו על עצמו
	עריכתו על עצמו, עריכתם על עצמם
to be multiplied	הנערך (על), הערוך, ערוכים על ה, אשר נערוך בו, הנערכים (ב / על)
product	עריכת ה... על, ערך ... על
product	היוצא מערך, העולה מערך ה... על ה
product	המחובר (מ), הנחבר (מ), הנקבץ
product	הכפול
product	חשבון... ב, המספר הנכלל בחשבון
power	חשבונו
Doubling
to double	כופל אותו, כפול ה, כפלהו, כפלנו ה, כפלנוהו, כפלנום, נכפול ה, תכפול (ה), נכפול פעמים
double	הכפול, כפל (ה / ב / מן ה), כפלו
double of a double	כפל כפל ה, כפל כפלו
Halving
to half	לחצות, קח חצי (ה), נקח חצי ה, לקחנו חציו, קח מחצית (ה), קח המחצית, קח מחציתם, קח חציו, קח חצים
half	חצי (ה), חציו, חציים, מחצית (ה)
Division
division	מחלוקת, מחלוקת זה על זה, חלוקת ... על, בחלוק ה
to divide	לחלוק עליו, לחלק (על / עליו / ... על), לחלקו, לחלקם על, חלק (על / על ה / עליו / עליהם / ה... על / ה... עליהם / ה... עליו / ... על / ... עליו), חלקהו על, חלקם (על / עליו), חלקנו (... על / ה... על / כ), חלקנום על, חלקת ... על, יחלק ה, מחלק (אותו על / אותם על / ... על / עליו), מחלקים (... ל / ה... אל), נחלק (על / עליו), נחלק (... עליו / ה... על / ה... עליו / זה ה... על), נחלקם על
	תחלוק (ה... על), תחלק (אותו על / ה / על / עליהם ה), תחלק... ל, תחלק ... על, תחלק ה... על, תחלק זה על זה, תחלקם על
	ונחלקם בלא שבר על
divided into	נחלק ל, נחלקים ל, יחלק על, יחלקו ... על, זה יתחלק על זה, יתחלק על, יתחלקו (על / עליו / עליהם)
quotient	מה שיצא בחלוק, יצא בחלוק, יצא בחלק, היוצא בחלוק, שיצאו בחלוק, מה שעלה בחלוק
dividend	המחולק, הנחלק, הנחלקים
	מחולקים על, המחולק עליו
	הנחלק עליו
	החשבון המחולק
	אשר חילק, אשר חלקת (אותו), מה שחלקת
	מה שחלקת עליו, שחלקנו עליו, אשר עליו נחלק
	שיחלק עליו
	יצא הכל בחלוק
	תתן לו הכל בחלוק
	לתת בחלוק
	שלא יחלק, שלא יתחלק, שלא יתחלקו, שלא נתחלק, שלא נתחלקו
divisible	יתחלק ל, יתחלק כל המספר
divisible by	יהיו לו כל השברים, שיש לו כל החלקים, יש לו רוב החלקים, שיש לו חלק
divisor	חלק, חלקים
divisible by seven	יהיה לו שביעיות
Extraction of Roots
	גדר ה, שורש (ה), שרש (ה), שרשו, שרשי ה, שרשיו, שרשם, שרשיהם, שרש המרובע, השורש מן המרובע
	הוצאת שרשי (ה)
to extract a root	בהוציאך השרש, להוציא השרש, להוציא השרשים, להוציא שרש, להוציא שרשו, להוציא שרשם (מן), הוצא השרש, הוציא שרש, הוצאת שרש ... מן, מוציא שרש, מוציא שרשו, מוציא שרשיהם, תוציא שרש
to extract a root	מוציאו
	לקחת שרשו, קח שורש, קח השורש, קח שרש, קח שרשו, קח שרשם, קח השרש, קח השרשים, תקח השרש, תקח שורש, תקח שרש, תקח שרשו
	לקחת שרש המרובע
	לדעת שרש מספר, ידענו שרש מספר, ידענו שרש מספר ידוע
root	שרש ה, שרשו, שרשם, שרש ממרובע, שרש מה, שרשים, השרש של ה, שרש מספר
square	מרבע, מרובע (ה), מרובעים, מרובעו, מרובע שרשו, הרבוע
	קח מרובע ה, תקח מרובע, לקחנו מרובע ה
none-square	איננו מרובע
perfect square	המרובעים התמימים
	הסתומים
	אין ל... שרש, אין להם שורש
	יש להם שורש
to correct	לתקן (אותו), לתקנו, תקן אותו ש, תקנהו, נתקן אותו
uncorrected root	השרש שאיננו מתוקן, השרש שאינו מתוקן, שאינו מתוקן
corrected root	השרש המתוקן, השורש המתוקן, השרש המדוקדק
	השורש המיוחד
approximate root	השורש המיושר, השרש המיושר, השרש המיושר בחלקיו, מיושר
	השורש הדומה, השרש הדומה, שרש הדומה
	השרש הקרוב
	לדקדק אותו (ל), לדקדק כן ל, מדקדקים עד, תדקדקהו
	מדוקדק, מדוקדק קרוב אל האמת
	מדוקדקים היטב
corrected	מתוקן
wrong, incorrect	משובשת
Ratio and Proportion
to take ratio, to relate	תערוך ה... אליו, הערך ... כ
relation	הקשה, ערך, ערך זה אל זה
ratio	ערך (אל / ה / ... אל / ... אל ה / ה... אל / ה ... אל ה / ... על / ל... עם), ערכים, ערכו (אל / מ / מן), ערכם (מה / מן ה), ערכי המספר
	ערך ה... מן ה
	הערך שיש לו אל
	ערך זה אל זה
	ערך ה... אל ה... כערך ה... אל ה, ערך ... אליו כערך ... אל
	כערך (ה), כערך ... אל... כך ערך ... אל, כערך ... מ... כן ערך ... מ, כערך ... מן ... כן ערך
	כערכו אל ה
	יש לו ערך אל
ratio	מערכת ה... אליו כערך ... אליו
proportion	ערכים, ערכין
to take the ratio	ערכם אל ה
	נקח ערך ... אל, נקח מה ערך ... אל
	קח ערך ... אל, קח מהערך ... אל, קח ערכו (אל / מ / מן), קח זה הערך מ
	תקח הערך, תקח ערך ... אל ... יהיה כערך ... אל, תקח מן ה... כערכם
	כערכו קח מ, כערכו קח מן ה, כערכו מן ה... קח מן ה
	וכערכם קח מ, וכערכם קח מן ה
	תערך אל
	כזה הערך קח מ, כזה הערך קח מן ה, קח כזה הערך מן ה
	כערך זה קח מן ה, כערך הזה קח מכל
	כאותו הערך קח מן ה
	וכזה הערך מ
	דע מה ערך ...(אל / מ / מן), דע מה ערך ה... (אל / מ / מהם / מן), ודע מה ערך האחד מהם
	נדע מה ערך ... אל, תדע מה ערך ... אל, תדע מה ערך ה... אל ה
	תדע מה שהם ה... מ, תדע מהן ה... מ, תדע מהם ה... מ
resulting by the ratio	יצאו בערך
order	סדרי ה
to be arranged	סדורים ב
proportional	נערך אל ה, מוערכים על
not proportional	אינו נערך אל ה
related to, depend on	התלוי אליו, תלויים ב
proportional	נערך אל ה, נערכים זה אל זה
disproportionate	שאינם נערכים
order of ratio	סדר (ה), סדרי הערך
companion	חברו בהקשה, חברים
stranger	נכריים, נכרים, נכרי ל, נכרי לו
to resolve	להתיר הערך ... אל, מתיר את קשרם
relation	קשרם
to join, to relate	קושרים את ה... ב
	הערך הנחלף
Equivalence Ratio	ישר, ערך ישר, ערך שוה, ערך הישר, הערך הישר, השוה
Multiple Ratio	ערך כפל, ערך הכפל
Superparticular Ratio	ערך חלק, כמוהו וחלק ממנו, ערך החלק
Multiple Superparticular Ratio	כפל וחלק, כפלו וחלק ממנו, כפלו וחלק ממנו אל ה
Superpartient Ratio	חלקים, כמוהו וחלקים ממנו
Multiple Superpartient Ratio	כפל וחלקים, הכפל וחלקים ממנו, כפלו וחלקים ממנו
	כמהו וחציו, כמוהו וחציו (אל)
	כמהו ושלישיתו
	כמוהו ושני שלישיותיו
	כמוהו וג' רביעיותיו
	כמוהו וג' חמישיותיו, כמוהו ושלש חמישיותיו
Completion
multiplicative inverse	תשלומי (ה)
completion	להשלמת
to complete	להשלים (את ה), השלם ה, ישלים
to be completed	ישלמו (ה), ישלמו ה... ל, נשלם
Conversion
to convert	נעשה (מהכל / מהם / מכלם / ממנו), עשה מהם, עשינו מהם, תעשה מן
	החזרנום ל, החזרת חשבונך אליו, מחזיר אותם אל
	השבת זה לזה
	להשיב (אל), להשיב... ל, להשיב ה... אל, להשיבם (אל / ל), להשיבם לחשבון, השב ... על ה, השיבונו אותם, השיבונו ... ל, השיבונום ל, השב (... ל / ה... ל / ה... כלם ל), נשיבהו, נשיבם כלם, תשיב ה... ל, תשיבם (כלם / ל)
	משיב ה... אל
Algebraic Terms
x	שרש, שרשים, שרשיו, שרשם, שרשי ה, גדריו
thing, x	דבר, משהו
x²	מרובע, מרובעים
constant	מספר
Arithmetic Terms
numeral	באותיותנו
Indian numerals	באותיות הודו
number	חשבון (ה), חשבונך, חשבונם, חשבונות, חשבונים
	מספר (ה), מספרי ה, מספרים, מספרם, מספרנו
	מנין ה
multitude	כמנינה
amount	סך ה
integer	שלם, שלמים, המספר השלם, במספר השלם
fraction	נשבר, נשברים, שבר (ה), שברים, שברי (ה)
fraction of fraction	שברי שברים, שברי השברים
sexagesimal fractions	שברי חכמי המזלות, חלקי חכמי המזלות, מחשבון ששים
part	חלקו, חלקי (ה), חלקיו, חלקים
part of	חלק אחד (מן / מ), חלק ... מה, חלקים (מ), חלקים מ... באחד, חלקי ה, חלק ה... מן ה, חלק מן
portion	חלק
denominator	מורה, המוכיח, המספר המוכיח
	יורה
"round" number	חשבון עגול
cube number	גוף שוה, הגופות
cubic root	קו הגוף, הקו
square number	מספר מרובע, המספר הרבוע, חשבון מרובע, המספרים המרובעים
plane number	מספר שטוח, מספרו השטוח
prime number	מספר ארוך
congruent modulo	משקל ה
	מאזני ה
	שקלו במאזני תשעה
	שקלנוהו במאזני ט'
	יצא כלו ט'ט'
	הוציאם ט'ט'
even	זוג, זוגות
odd	נפרד, נפרדים, מספר נפרד, המספר הנפרד, המספרים הנפרדים
sequence of the even-times-evens	בתוספת הכפל
even-times-even term	הכפל, הכפולים
even-times-even number	כפל הכפל
to calculate	לחשב, לחשוב, תחשוב מהו ה... מ, תחשוב מהו... מ, תחשב (ל / מהו), תחשב מהן... מ
to be calculated	מתחשב
calculation	חשבון (ה), החשבונים, חשבונך, חשבונם
to count	חושב
to count	מונה (את ה / אותו / אותו ב / אותו כמנין / אותו כמנינו / אותו כמספרו), מונה את ... פעמים, מונה ... כמנין ה, מונה ה... במנין ה, מונים את ה... פעמים, מנה מה, תמנה אתו מן ה
	לספור, ספר אותו
counted by	הספור ב, ספורים
common factor	מונה לשניהם, חשבון שמונה לשניהם
same, equal	שוה (ל / ... ל), שוים (ל), שוות
to be equal	שוים (ב), שוין ל, יהיו שוים (ל), ישוו ה
unequal	אינם שוים
to recognize	ולהכיר (אם)
to bother	להטריח
reason	הטעם (כי / ש)
extraction, deducing	הוצאת זה מזה, הוצאת ה... מתוך ה
to deduce	להוציא מתוך, להוציא מתי, נוציאנו מכח ה
to extract	להוציא (ה / מ / מזה / ... מן ה / ה... מה / ה... מן ה / לכל ה / זה מזה), להוציאו (ב / מ), להוציאם (זה מזה)
	הוצא (ה / מהם), הוציא (ה), תוציא (ה / ממנו / ... מ / ... ל), תוציאם, תוציאנו (מ)
	מן ה... תוציא ה
	הוצא החשבון מ... ועד, הוצא חשבונך מן ... עד האחרון, תוציא כל החשבון מ... עד
	מוציאים אותו ל
	מוציאך אל, מוציאה אל ה
	מוציא ה... מן הגלוי
[goods offered in the] business	מסחר, עסק
affairs	עסקי
profit	ריוח (ה), הריוח של, רוח
corresponding	המסור לו
corresponding	כנגד ה, כנגדו
corresponding to	הראוי לה
corresponding to	המגיע ל
to contribute	הביא (ה)
to share	נשתתפו (ב), נשתתפו בין כלם ב, נשתתף עמהם (ה)
partnership	שתוף
partner	שותפים, שותפין
to invest	מכניסים ב
to earn	הרויחו ל, רוחו, רוחו בין כלם, יצא להם ריוח, שרוח
to spend	הוציאו
share	חלק (ה), חלק כל אחד מן ה, חלקו, חלקו מן ה
capital	הממון
owed to	המגיע ל, מגיע ... ל, מגיעו מן ה
amount, money	ממונו, ראש ממון (ה), ראש ממונם, ראשי הממון, ראש כל אחד, ראש ממון כל אחד, ראש ממון כלם
people	אנשים, אישים
human	אדם, בני אדם
share	חלק, חלקו
	בעל ה
kikkar	ככר, ככרים
liṭra	ליטרא, ליט', ליטרין
՚oqya	אוקיא (מ), אוקיאות
kor	כור, כורים, כורי ה
silver	כסף, של כסף
copper	נחושת, נחשת, מנחשת
wheat	חטה
coin	מטבע, מטבעות
coinage	קשור המטבע, לקשור מטבע מ, לקשור (מ), קושר ב, קושר ב... בליטר
	הנקשר
	להתיך מכלם בשוה
	לערב, לערב בהם
zuzim	זוז, זוזים
dinar	דינר, דינ'
pešiṭim	פשיטים
to persist	עומד
to exist	עומדים בין, עומדים ב
to buy	לקנות מ, קנה, קניתי, אקנה (ב / ה), קניתי ... ב, קונה
to pay	לשלם, ישלם, שלם להם ה, שלם ה... להם
to be payed	ולקח בשכרו (ה)
price	שער, שער ה
measure	שעור
exchange	חלופיהם
sold merchandise	מכר, הנמכר, הנלקח
money [paid]	דמים, דמי (ה), דמיו, דמיהם
trade	במקח וממכר
trading calculation	בחשבוני מקח וממכר, בחשבוני מקחם וממכרם
payment	שכר, שכרו, שכרם
to hire	תוציא שכיר ב, שכרתי... ל... ב
	תוציא שכר ... פועלים, תוציא שם שכיר ב
worker, salaried	שכיר
worker	פועל
employment	שכירות, בשכיר
to be unemployed	בטל
to cancel	יבטל, בטל
unemployment	בטלה
to work together	ועשו ... יום בין שלשתם, ועשו בין שלשתם
to work	עשה, עשה מלאכתו
days of work	ימים שעשה (ה), עשה מן הימים
work	מלאכתו, מלאכת ה
	נתחייב, נתחייב ל
month	חדש
day	יום, ימים, ימי ה, ימי החדש, בכל יום
hour	שעה, שעות
equally	בשוה
name	שם ה, שמות (ה)
saying	כדברי
to give	לתת (ל / לו), יתן (ל / לו), נתן (ל / לו), נתננו לו, תן (ל / לו הכל), תתן ל... ש
to be able	אוכל ל, יוכל ל, יכול ל, יכולנו ל, נוכל ל, תוכל ל
have to, need to	צריך (ל / ש), יש לך ל, יש לנו ל, יש לו ל, יצטרכו ... ל
to be needed	צריכים ל
no need	ואין צורך ל
to have	היה ל, יש, יש בידך מן ה, היה לו, היה לך, היה לנו, היו לנו, היו לך, יהיה לו, יהיו לו, יש ל, יש להם, יש לו, יש לנו, היו בידך, יהיו בידך, יהיה בידך, שיש לך, יש בידו, שבידך, שיש בידך
have no	אין ל, אין לו, אין להם
to know by heart	סדורים על פיך
remainder	הנותר, הנותרים
remainder	מותר ה
to keep	מחזיק בו
explained	מפורש ב
to understand	להבין (ב), מבין
to ease	להקל על ה
to ease	יקל עליו ב
easy	דבר קל
to be difficult	יתקשה עליך ל
difficult	קשים
to mention	הזכרנו, הזכיר למעלה
to draw	מצייר לך, ציירתי (לך)
diagram	צורה
table	לוח (ל), לוחות, לוח מ... עד, מכבר (מ... ועד)
line	טור, טורים, שטה, שטין
row	בטור הרוחב
width	רוחב, ברוחב
length	אורך, באורך
derived	חצובים מ
sage	החכמים
geometricians	חכמי המדות
astrologers	חכמי המזלות
Astrology	חכמת המזלות
	חשבון חכמי המזלות
	דרך חכמי המזלות (ל / ש)
Hipparchus	אברכז
Ptolemy	תלמי
sign	מזל, מזלות, מזלות הגלגל
degree	מעלה, מעלות
minute	ראשון, ראשונים, חלק אחד, חלקים ראשונים
second	שניים
third	שלישים, שלישיים
fourth	רביעים, רביעיים
fifth	חמישיים
sixth	ששיים
sevenths	שביעיים
eighths	שמיניים
ninths	תשיעיים
tenths	עשיריים
sign of Aries	טלה
Saturn	שבתי
Mars	מאדים
Mercury	כוכב חמה, חמה
Venus	נגה, נוגה
Jupiter	צדק
moon	לבנה
sun	שמש
planets	משרתים, כוכבים, כוכבי לכת
	שבעת המשרתים
planets beneath	השפלים
runner	רצים
messenger	שלוחים
mean motion	מהלך השוה
motion	מהלך ה, מהלכו, מהלך שניהם, מהלכם ב, הליכות
quick motion	מהלכם במרוצה
quick	הקלים
slow motion	מהלכם במתון
to conjoin	יתחבר עמו, יתחברו (עמו / כלם ב)
conjunction	מחברת, מחברות
double conjunctions	המחברות השניות
triple conjunctions = conjunctions of three planets	השלישיות, מחברות השלישיות
quadruple conjunctions = conjunctions of four planets	הרביעיות
quintuple conjunctions = conjunctions of five planets	החמישיות
sextuple conjunctions = conjunctions of six planets	המחברות הששיות
septuple conjunctions	מחברות השבעה
the arc of the Sun's inclination	מעלות הנטייה, מעלות נטיית הגלגל אשר לשמש
degrees of the circle	מעלות הגלגל, מעלות מ
to enter	נכנס
to catch up	ישיגנו
to chase	ירדף אחריו
have passed	עברו
to move	הלך, ילך (ה)
to come	יבא כנגדו
retrograde	נזור
arcs	קשתות
chord	היתרים
sagittae	החצים
shadow	צללי ה
tangent	הפוך
cotangent	הישר
height	הגובה
circle	גלגל
circle	עגלה, עגולה, עגול
point	נקדה
side	פאה, פאותיו, צדיו
aspect	פאה
side, divisor, factor	צלע, צלעו, צלעות
	א.מ.ר.
	האומר
	דומה כמי שאומר, הוא כמי שיאמר
	שאמר
to say	לומר, אמר, יאמר, נאמר, אמרו (ש), אמ' (ה / כי / ... כי), אומר כי, אומ' כי, לומ' כי, לומ' ש
	כאמרך, כאשר אמרנו ב
	ב.א.ר
to explain	לפרש ה, אפרשנו במקומו, במקומו אפרשנו, פרשתי ב, בארתי לך
	יתבאר כי
	ב.ר.ר.
it becomes clear	יתברר כ, מתברר ש, נתברר (ש)
	תברור לך בו
	ח.ש.ב
to think	חשוב כי
to consider	חושב ... ל, חשוב אותם כאלו הם, נחשוב ש, תחשב (ה), תחשבם (שהם), יחשוב אותם כאלו הם
to be considered	חשוב כ
	י.ד.ע.
to know	לדעת (ה / כי / איזה / איך / כמה), לדעתם, לידע
	דע (ה / כי / לך כי / ש / כמה / בכמה / מה), ידענו (כי / ש / מ), ידענו ה... מהם, ידעת (זה / כי), יודע (כי / מן ה... ה), נדע, תדע (ה / כי / ש / בכמה / מ / זה מ), תדענו (ש), מהם תדע (ה)
	יודע ה
to be known	יודיע
known	ידוע הוא (כי / ש), ידוע (כי / ש / מ / ב)
	ככה תדענו (ש)
	לדעת מ... ועד
	דע מאיזה מספר (ה / הוא ה / יצא ה), דע מאיזה חשבון (ה / יצא), תדע מאיזה חשבון (ה / יצא ה)
	וידוע וברור ש
	י.צ.א.
result	מה שיצא
	יצא (ה / הכל / ל / לך / מ), יצאו
	יצא לחשבון אחד
	יצא ... לכל
	היוצא (ל / מ)
to be solved	יוצא ל
to be derived	יצא (מ / מה / ממנו ה), יוצאת מ, יצאו ה
	כ.ת.ב.
to write	תכתבנו ב, תכתוב (ה / תחתיו)
written	כתוב בהם, כתובים ב
	ל.ק.ח.
to take	אקח מן ה, יקח (ה / מ / מן ה), ליקח ב...מ, לקח (ב / ה / מ / מהם ה / ... ב), לקחו, לקחנו, לקחת (ב), נקח (מ / מן ה), קח (אותו ב / ה... מ / ה / כ / מ / מה / מהם / מן / מן ה / ... מ / ... מן ה), תקח (ה / ל / מ / מן ה), תקחנו ב, נלקחום
	קח לכל, תקח לכל אחד שלם, קח לכל אחד מן ה
	שלקחת
to be derived	נלקחים מן ה
	מ.צ.א.
to find	למצא ל, מוצא (ב / ה), מצאנו (ל), מצאת, נמצא (ה / ש), נמצאנו, תמצא (בו / ה / ש / להם), תמצאם, תמצאנו (ב)
to be found	ימצא (ב), ימצא... בין, ימצאו, נמצאים (אחרי ה)
	הנמצא, הנמצאים (ב)
	נ.ג.ע.
to reach	הגעת ל, יגיע ל, תגיע (אל / ל), מגיע אל ה
	להגיע אל האמת, יגיעו אל האמת
to be owed	הגיע ל, יגיע לכל אחד (מה / מן ה)
	ע.ל.ה.
to result	עלה (ה / עד), עלו, עלו ה... (ב / ל), עולה, יעלה (ה / מ / מן ה / לו מ), יעלו, ויעלה בין שניהם, ויעלה בין שלשתם, תעלה בידך
result, obtained	העולה (ב / מ / משניהם), מה שיעלה, מה שעלה, המספר העולה, החשבון שעלה בידך, עלה בידך מ
	ע.ש.ה.
to do, to apply	לעשות, יעשה ב, תעשה ל, תעשה ש, עשית בו
to make	יעשה
	יעשנו
conduct	מעשה
doing, action	מעשיהם
	עשה כן ל, כן תעשה (ל), ככה תעשה (ל / ש), ככה נעשה
to be formed	עשויות
	ק.ר.א.
to be called	נקראים, נקרא, הנקרא, שנקרא ה, יקראו
to denominate	קורא שם ה
to read	קורא
reader	קורא
	ר.א.ה.
to see	ראה (מה), ראית ב, תראה בה
to show	כאשר הראיתיך
	ר.צ.ה.
to want	נרצה ל, רוצה ל, תרצה (ל / ש), רצינו ל, רצית (ל), ירצה ל
	זה שרצינו, מה שרצינו
	רצונך
as much as you wish	כרצונך, עד כמה שתרצה, עד כמה שירצו, עד איזה מספר שתרצה
whichever you wish	איזה שתרצה מה, כל ... שתרצה
	ש.א.ר.
to remain	ישאר (ב / מן ה / לך / בידך), ישארו (בידך / לך / לנו), נשאר (בידך / ל / מ / ממנו), נשארו (לך / לנו / עוד ל)
remainder	הנשאר (מן ה), הנשארים, שיורין, הנשאר בידך, מה שישאר, השאר
	ש.מ.ר.
to keep	שמור ה, שמרהו, שמרם, תשמר ה, תשמור (ה)
reserved	השמור, השמורים, ששמרת, שמור בידך
preserve	ישמור
be careful	השמר ש
to investigate	תדרוש
to learn	למד ש
to instruct	תצוה לו
to instruct	הורתיך
	כמו שהורתיך למעלה
to look at, to observe	הסתכל (איזה / ב / מה), נסתכל (מה), תסתכל ב
to look	תביט אל ה
friend	חברו, חבירו
to be used to	נהגו... ל
to lead	יוציאך אל
to lead	הולך אותם
to lead	ידריכך ב
	יוציאך ה... אל האמת, ידריכך אל האמת ואל הנכון
to return	אליו תשוב, ושוב אל ה
to return	חוזרים אל, חוזרים אליו
to return	ישוב (ה / ... ב), שב ה
to put	ישים
to place	ושם ב, ושים... ב, ושמנו ... עם
to place	נותן... ב
place	במקומו (ב), מקומו
	אין זה מקומו ל
to meet	יפגשו ה, ייפגשו... זה בזה
to leave aside	תעזב ה... כמו שהם
case	ענין
category	ענין, ענינים
issue	ענין (ה / ה... ב), ענינים, עינינים
type	מין, מינו, מיני ה, מינין, מיניהם, ממין (ה / ש), מן המין אשר
example	משל, דמיון (ש), בדמיון זה, דמיונות
example	כגון (ה / ש)
	כגון זה וכיוצא בו
question	שאלה, שאלות
	הוא שאלתך, והוא מה ששאלת
	ישאל השואל
	תשאל ממנו
answer	תשובה
to be confusing, to go wrong	ישתבש
to happen	יקרך זה
to elaborate	להאריך בזה, להאריך בו
to prove	יוכיחו כי
check	בחינתו (ל / ש), הבחינה (ל / ש / כש)
check	מאזנים
sought	מבוקש, הוא המבוקש, וככה המבוקש, והעולה הוא המבוקש
seeker	מבקשיהם
to seek	בקש חשבון (ש), בקש לך חשבון ש, תבקש חשבון ש, בקש מספר חשבונך
	בקשנו כמה, בקשנו מה
way	פנים
way, method	דרך (ה / ל / ל... ש / ב / בזה ש), דרכים (ל), בדרך (ה), כדרך ה, הדרך בו
	דרך אחרת (ש)
	בדרך כל המספר
	על הדרך שראית
	דרך החשבון (ש)
	ודרך אחד לכל ה
general way	דרך כלל ל
rule	כלל (... ב), והכלל כי
	וכלל זה יהא בידך ש
	זה הכלל יהיה בידך ש
rule	משפט ה
	כמשפט, כמשפטם, עשה כמשפט, יעשה כמשפט
difference	מרחק (מ)
	המרחק שהוא בין, המרחק שיש בין, המרחק הנמצא בין, המרחק בינו ובין
	המרחק מן ה, מרחק החשבון מן ה
	המרחק שיש בין חשבונך ובין ה, המרחק אשר בין חשבונך ובין ה
	מתרחק מחשבונו כמרחק ה
difference	יתרון, יתרון ה... על ה, היתרון שיש בין ... ובין , היתרון שיש בין שני ה, היתרון שיש בין שתי ה, היתרון שבין שני ה
difference, deficiency	החסרון, חסרון ה, חסרונים
foundation	יסוד, מוסדי
element, basis	שרש
cause	סבת
letter	תבות ה
language	לשון
essence	עצם דבר
secret	סוד (ה)
origin	מוצא
speaking	מדבר
express	משמיעים
word	דבר
thing	דבר (מ)
sense	עניני ה
category	מחלקות ה
to start	להתחיל ב, התחלת ב... מ, תתחיל (ב / מ / מן ה), נחל ל, יחל... מ, יחל ... עם, נחל מ
	מתחיל ב
first, at first	בתחלה
at first	בראשונה
beginning	בתחלת, תחלת ה
beginning	בראש
the beginning and the end of all	ראשית הכל ואחרית הכל
beginning and end	תחלה ותכלה
to turn	יתהפכו, יתהפך ה, תהפוך ה
vice versa	והפך הדבר (ב)
inverse	הפך ה
to increase	נוסף
to increase	הולך וגדל
to decrease	פחות פוחת והולך, פוחת
to be lowered	יורדים ... מן ה, ירד
time	פעם, פעמים
once	פעם אחת
twice	שני פעמים
three times	שלשה מן ה
exalted	הנעלה
wonderful	הנפלא
virtue	מעלות ה
ascetic	פרושים
to subdue	ויכבוש את עצמו מ
earthly desire	תאות העולם
form, shape	דמות ה
the Most High	העליון
from Him	ומאתו
Knower	יודע הכל
glory	התהלות
reason	טעם ה
prayer	תפלות
definition, category	גדר ה
righteousness	יושר
to create	יצר
to be generated	יולדו ה
to be generated	קם מ
world	עולמו
day and night	יומם ולילה
dwell	שוכן
alone	לבדו, לבדם
allusion	רמז על ה
sign	זה לך האות ש, לאות ש
similarity	דמות ב
included	נכלל ב
to form	בונים
to be built	יבנה
to be established	יכונן ב
soul	נפשו
eye	עינים
heart	לב ה
finger	אצבע, אצבעך, אצבעות, אצבעותיך
wisdom, science	חכמה, חכמת ה
knowledge	דעה
	אני, אנחנו, אתה, הוא, הם
to be	להיות (ה / ל), להיותם
to be	היות ה... ב, היותו ב
to be	היה (ה / ה... ב), שהיה, יהיה (ב / ה), היו (ה), יהיו (ה / כל ה), היית, הייתי, היינו, תהיה
there is / are	יש (ב / מהם ש / שם מ), יהיה בו
	הוא (ה / מ / ש), שהוא (ב / ה / ל), היא (ה), שהיא, הם (ה), שהם (ה)
	ההוא, ההם
	זה (ה / הוא ה), הזה, זו, זאת, הזאת, האלה, אלה (ה / הם), אלו (ה / הם ה), הנו, הנם
	אותו ה, אותם ה, מאותו ה
	אשר
as much as	עד כמה ש, עד ש
kind of	כעין ה
endlessly	עד אין קץ, עד אין סוף
because	כי, בעבור (זה / כי / ש), מפני (כי / ש), לפי ש
hence	ומכאן
therefore	על כן, לפיכך, ומפני זה
how many, how much	כמה (ה / הוא / הם ה / הם כל ה / היה / היה ה / היה הכל / זה ה / יש / ... הם), בכמה, מכמה
what	מה, מה ש
every	כל, בכל
everything	הכל
all, total	כל ה, כל מה ש, הכל, יהיה הכל, בכל ה, לכל ה, כלם, כולם
whole	כל ה, כלו, שלם
the same for all	וככה כלם
	יש, יש ב, יש בהם (מ), יש בהן, שיש ב, שיש בה, שיש בהן
	שיש עמהם
each	כל אחד (מ / מה / מהם / מן ה), כל אחד ואחד (מ / מהם), לכל אחד מ, מכל אחד
each	לכל ... ו..., בכל ... ו
on its own	בפני עצמו
both	שני ה, שניהם
one of	אחד (ה / מה / מהם / מן ה), אחת מ
of the	מן ה, הם מן ה, הם מה, מהם
also	גם (הוא), וגם ב, גם כן, וכן (הוא / ל), וכן היה
only	רק ש
	לא ... רק
likewise	וכן (ה / כלם / לכל ה), וככה (ה), וככה הוא (ה)
	על זה הדרך (ל / לכלם / לכל), ובאלו הדרכים, ועל אלו הדרכים, על... דרכים
so	וכן, כן
so	ככה (ה / הוא), כך (הוא ה)
as… so	וכמספר ה... כך
so and so	כך, כך וכך, ככה
between	בין, ובין כל ... ל, ביניהם, בין שלשתם
	בין ... ובן, בין ה... ובין, בין ה... וה..., בין ל ... בין ל
	בין ... בין ..., בין ש... בין ש, בין ב... בין ב
left	מצד שמאל, לשמאל
right	מצד ימין, לימין
itself	בעצמו, בפני עצמו
still	עדין
known	ידוע, ידועים
known	מפורסם, מפורסמים
unknown	נסתר, נסתרים, נעלמים, נסתר ממך (ה), אינם ידועים, שאינו ידוע
mentioned	הנזכר, הנזכרים ב
compound	מורכבים
as if	כאלו
if	אלו, ולו, וכי, אם, ואם, שאם
	והנה (ה), והנה לך
first	ראשון, ראשונים
second	שני (ל / לו / לו ה), שניה, שנית, השניה לה
half	חצי ה, חציו, מחצית ה
third	שליש, שלישי, שלישית, שלישי לו, שלישי..., שלישיות
fourth	רביעי, רביעית, רביעי לו
quarter	רביע, רובע, רביעית
fifth	חמישית (ממנה), חומש, חומשין
sixth	ששית, שתות, שתותים, שתותין
seventh	שביעית (ממנה), שביעיות
eighth	שמינית
ninth	תשיעית
tenth	עשירית, עשור
different	שונים
differ	נפרדים ל
differ	נחלפים, הנחלפים עם ה
diversity, difference	חלופם
similar to	כמו ה, כדמות
to be similar, to resemble	ידמה זה לזה
	דומה (ל / לה), דומות ל, דומים ל
	דמיונו (ב), הדומה ל, הדומה לזה, והדומה לו ב, הדומים
	וכן כל הדומה לזה, וכל הדומה להם, וכדומה להם
	כיוצא בו
up to, until	עד, עד ש, עד אשר
or	או
always	לעולם, לעולם ועד
true	הנכון, הוא הנכון
when	מתי
when	כאשר, כש
as	כאשר
as	יהיה כ, יהיה ה... כ
but	אך
	כמו (ה / זה / ש), היא כ
such as	כמו ב
	כמו כן
same	כמוה, כמוהו, כמוהם
closest	הקרוב (אל / אל ה / אליו), קרוב (אל ה / אליו), הקרובים (אליהם)
closer	יותר קרוב (מה / מה... מן ה)
	לפנים, לפניו
	לאחור מן ה, אחריו, לאחריו
	רחוק מ... לאחורי
preceding	אשר לפניו, שלפני ה, שלפניה, שלפניו, שהוא לפניו, אשר עבר, שעבר, שעברו, שעבר שהוא לפניו, הנמצא לפניו
succeeding, following, consecutive	אשר אחריה, אשר לאחריו, שלאחריו, שהוא לאחריו, הבא, הבא לאחריו, הבא אשר לאחריו, הבאות אחריהן
	שלאח' אחריו
above	למעלה, אשר למעלה
more than	למעלה מ, למעלה מהם
greater than, more	יותר (מ), רב מ
less than	פחות (מ / מן)
small	פוחת, הפחות, הפחותות, מועט, חשבון מועט, מספר מועט, מעט, הקטן, החשבון הקטן
smaller	פחותות (מ), פחותים (מ / מהם)
first, first term	הראשון, ראש ה, ראש מספרו, האחד
consecutive term	השני
last	האחרון
mean	אמצעי, תיכון
	האמצעי הגדול
great	הגדול, הגדולים, הגדולות, החשבון הגדול
greater	גדול (מ / ממנו), גדולות מ, גדולים (מהם / ממנו), יתרות, היתר, המרובה, רב, חשבון רב, המספר הרב
	בין רב למעט
then	אז, ואז
then, afterwards	אחר, אחר כן, אחרי כן, אחר כך, אחר ש, אחרי ש, לאחר
after	אחר ה, אחרי ש, אחריה, אחריו
already	כבר
now	עכשו, ועתה
impossible	לא יתכן ל, אי איפשר
possible	יתכן להיות, יתכן להיותו
further, still	ועוד
before	טרם ה
before	קודם ה, קודם זה
upon	בכל, בו
where	במקום אשר
there	שם (ה)
here	ובכאן
henceforth	ומכאן ואילך
thenceforth	משם והלאה
according	ועל זה
according, as	כפי מה ש
according	לפי (ה)
again	ושוב, שוב, ושוב ו
recurrent	חוזר חלילה, חוזרים חלילה
indeed	ואכן
indeed	הרי (הוא)
towards	כנגדו
to catch	תפש
to be too long	ירבה ממך
from which	מאיזה ... הם ה
i.e.	כלו', כלו' ש, כלומ'
for	בעבור ה
since	בעבור היות
since	ואחר ש, אחרי ש
with, including	עם (ה), עמו, עמהם
should be	וראוי להיות (ב / ה / כי), וככה ראוי להיות
rest	שאר (ה), משאר ה
most	ורבם, רוב ה
numerous, many	רבות, רבים
here and here	לכאן ולכאן
for all	לכל ה
really	וזה באמת
sometimes	פעמים ש
correct	נכון
like this	כאלו
recently, lastly	באחרונה
except	זולתי
other	חבירו, חברו, אחר, אחרת, אחרים
others	אחרים
another	אחר, אחרת
another	עוד
crosswise	באלכסון
from	וממנו, ומהם, מן ה
in front of	נכוחים ל
who	מי ש
how	איך
etc.	וכו'
beneath, lower	תחתיו, אשר תחתיו של ה
himself	עצמו
particularly and generally	בפרט וכל
	כ"כ
then	אם כן
finally	וסוף הכל
hence	ומיכן
no longer	לא... עוד
no	אין
not	אין (ה), אינה, אינו, איננו, אינם
does not	אינו
	ולא כן ה
	לא ... ולא
	לא ... זולתי
	לא... אלא
	לא ... כי אם
	לא ... כי אם ... בלבד
anything	לא ... כלום
	ואין ... אלא
	אין לו... כי אם ה
	אינו כי אם
which	איזה
whichever	איזה ... ש, איזה ... שיהיה
whether… or	בין ש... בין ש
	או ... או
secluded, separated	היחידי (ה / מן ה)
accurate	נכון, והנכון ב
from … to	מ... ועד, מ... עד
in	הוא ב
	ההוה (ב)
	בצד ה
	הרחב
	לחקרן ל
His hand will be upon all, and the hand of everyone upon him [Genesis 16, 12]	ידו בכל ויד כל בו
and your Teacher shall no longer be concealed from you [Isaiah 30, 20]	ולא יכנף עוד מוריך
your eyes shall see your Teacher and your ears shall hear a word behind you, saying, "This is the way; walk in it" [Isaiah 30, 20-21]	יהיו עיניך רואות את מוריך אזניך תשמענה דבר מאחריך זה הדרך תלכו בה
may the name of the Lord be blessed [Job 1, 21]	יהי שם יי' מבורך
the spirit returns to God [Ecclesiastes 12, 7]	תשוב רוח
instruct a wise man, and he will grow wiser [Proverbs 9, 9]	ותן לחכם ויחכם עוד
his gain disappears in his loss [Mishnah, Avot 5, 10]	ויצא שכרו בהפסדו
Praise be to God	תהלה לאל, תהלה לאל עולם
by the decree of God	ועם גזור האל, ועם גוזר האל
Sefer Keli ha-Neḥošet	ספר כלי הנחשת
Sefer ha-Luḥot le-Šivʿah ha-Mešaretim	ספר הלוחות לשבעה המשרתים

Appendix II: Bibliography

Anonymous Textbook

Manuscripts:

Budapest, Magyar tudomanyos akademia, MS Kaufmann A 507/2 (IMHM: f 15161), ff. 20-43 (15th-16th century)
Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/1 (IMHM: f 2320), ff. 2r-38r (14th-15th century)

Ms. heb. 10

Vatican, Biblioteca Apostolica, MS ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), f. 104r, line 3 – f. 105v, line 19 (Canea, 1493)

Vat.ebr.171

The transcript is based mainly on manuscript Genève 10

Bibliography:

Aradi, Naomi. 2013. An Unknown Medieval Hebrew Anonymous Treatise on Arithmetic, Aleph 13.2, pp. 235-309.
Lévy, Tony. 2002. A Newly Discovered Partial Hebrew Version of al-Khwārizmı̄’s Algebra, Aleph 2, pp. 225–34.

[9] בראשית טז, יב

[16] דברים יד, כד

[23] ישעיה ל, כ-כא

[24] ישעיה ל, כ

[71] משלי ט, ט

[1] 2r

[2] 2v

[3] $\scriptstyle{\color{blue}{n>1;a\in N: 5^n=a25}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle5^2=\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^3=1\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^4=6\color{Red}{25}\\\scriptstyle5^5=31\color{Red}{25}\\\scriptstyle\ldots\end{cases}}}$

[4] $\scriptstyle{\color{blue}{a\in N: 6^n=a6}}$
${\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle6^2=3\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^3=21\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^4=129\color{Red}{6}\\\scriptstyle6^5=777\color{Red}{6}\\\ldots\end{cases}}}$

[5] 3r

[6] MS Geneva: here starts the interpolated excerpt

[7] MS Geneva continues 4v

[8] 5r

[10] 5v

[11] 3v

[12] 4r

[13] 4v

[14] 6r

[15] 6v

[17] 7r

[18] 7v

[19] 8r

[20] 8v

[21] 9r

[22] 9v

[25] 10r

[26] 10v

[27] 11r

[28] 11r

[29] 12r

[30] 12v

[31] 13r

[32] 13v

[33] 14r

[34] 14v

[35] 15r

[36] 15v

[37] 16r

[38] 16v

[39] 17r

[40] 17v

[41] 18r

[42] 18v

[43] 19r

[44] 19v

[45] 20r

[46] 20v

[47] 21r

[48] 21v

[49] 22r

[50] 22v

[51] 23r ומחברות מאדים ... והנה מספר מחברות: again

[52] 23v

[53] 24r

[54] 24v

[55] 25r

[56] 25v

[57] 26r

[58] 26v

[59] 27r

[60] 27v

[61] 28r

[62] והם ג' והם... וכערכם קח מימי החדש: twice

[63] 28v

[64] 29r

[65] 29v

[66] 30r

[67] 30v

[68] 31r

[69] 31v

[70] 32r

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[note 1]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[note 2]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[note 3]

[note 4]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[note 5]

@@ Line 8,082: / Line 8,082: @@
 |-
 |
+::[...] one, 2-sixths and half a sixth remain and this is the "corrected root".
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}</math>
 |style="text-align:right;"|שאינו מתוקן ישאר אחד וב' ששיות וחצי ששית והוא {{#annot:term|1614,1386|pRz4}}השרש המתוקן{{#annotend:pRz4}}
 |-
 |
+::If you want to correct it, correct it one more time: multiply half the sixth resulting in division by itself; divide the product by double the "corrected root"; then subtract the quotient from the "corrected root". The remainder is the approximate root.
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)-\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)^2}{2\sdot\left[1+\frac{2}{6}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]}}}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם תרצה לתקן אותו {{#annot:term|1612,1385|mYU2}}תקנהו{{#annotend:mYU2}} פעם אחרת וערוך חצי הששית שיצא בחלוק על עצמו והעולה חלק על כפל השרש המתוקן והיוצא בחלוק חסר מן השורש המתוקן והנשאר הוא {{#annot:term|1614,1388|qx2G}}השרש המדוקדק{{#annotend:qx2G}}
 |-
-|the "corrected root" can be corrected again and again, but yields only an approximation. It allows one to get as close to the answer as one wishes but never to reach the exact answer itself
+|If you want, you can correct [the "corrected root"] as you wish, but you cannot reach the truth, only approximately.
 |style="text-align:right;"|ואם תרצה תוכל לדקדק אותו כרצונך אך לא תוכל להגיע אל האמת כי לעולם יהיה {{#annot:term|2507,1613|NJvW}}בדרך קרובה{{#annotend:NJvW}}
 |-
 |
-*If the number, whose root you want to extract, is closer to the succeeding square than to the preceding square:
+*If the number, whose root you want to extract, is closer to the following square than to the preceding square:
 :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2-b}}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו יותר קרוב מהמרובע אשר לאחריו מן המרבע אשר לפניו
 |-
 |
-:*as 3 is closer to the square 4 that succeeds it, than to the square 1, that precedes it.
+:*As three is closer to the square four that follows it, than to the square one, that precedes it.
 ::<math>\scriptstyle\sqrt{3}</math>
 ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-1^2=3-1>4-3=2^2-3}}</math>
@@ Line 8,126: / Line 8,128: @@
 |-
 |
-<span style=color:green>[if the given number is larger than the closest square <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}</math>]</span>
+:<span style=color:green>[if the given number is larger than the closest square <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b}}</math>]</span>
 *<math>\scriptstyle\sqrt{10}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם החשבון שתרצה להוציא שרשו הוא מן הזוגות והדומה לו במעלה הרביעית אלף והמרובע הקרוב אליו ת'ת'ק'ס'א' ושרשו ל"א ונשאר ל"ט

Difference between revisions of "Anonymous"

Revision as of 10:56, 28 December 2022

Contents

Introduction

Presentation of the products of units by nine through the arrangement of the nine digits in a circle

One is not a number

One is a number

General properties of numbers that apply to one

Properties of the numbers 2-10 that pertain to one

The number two

The number three

The number four

The number five

The number six

The number seven

The number eight

The number nine

The number ten

The uniqueness of one – as mean between the proper fractions and the improper fractions

The Twelve Names that Form Every Number

Table of Contents

Interpolated Excerpt

Chapter One: Addition

The First Category: [Addition of] Integers

Sums

The Second Category: Addition of Fractions

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Chapter Two: Subtraction

The First Category: [Subtraction] of Integers

The Second Category: Subtraction of Fractions from Fractions

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Chapter Three: Multiplication

The First Category: [Multiplication of] Integers by Integers

The Second Category: Multiplication of Integers by Fractions

Sexagesimal Fractions

Integers by integers and fractions

Simple Fractions

Integers by fractions fractions

Simple Fractions

Integers and fractions by integers and fractions

Simple Fractions

Sexagesimal Fractions

Integers and fractions by integers and fractions of fractions

Simple Fractions

The Third Category: Multiplication of Fractions by Fractions

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Fraction by Fraction

Fraction by fraction of fraction

Fraction of integer and fraction by fraction of integer

Fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

Fraction of fraction by fraction of fraction

Chapter Four: Division

[The First Category]: Division of Integers by Integers

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

The Second Category: Division of Fractions by Integers or Integers by Fractions

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Integer by integer and fraction

Integer by fraction of integer and fraction

Integer and fraction by fraction

Integer and fraction by fraction and fraction of fraction

Completion of Fractions

The Third Category: Division of Fractions by Fractions

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Integer and fraction by integer and fraction

Integer and fraction by fraction

Fraction by fraction

Fraction of integer and fraction by fraction of integer and fraction

Chapter Five: Ratios

Sexagesimal Fractions

Simple Fractions

Chapter Six: Deducing One from Another

In Astrology

In Mathematics

Word Problems