Difference between revisions of "ספר הכללים במספר"

Revision as of 14:20, 7 September 2022

ספר הכללים במספר

Contents 1 Problems of Various Types 2 Exchange Problems 3 Interest and Pricing Problems 4 Problems of Various Types 5 Geometrical Problems 6 Additional Problems 7 Appendix: Bibliography Problems of Various Types
[Gold Weights: 1 kikkar = 100 liṭra; 1 liṭra = 20 dinar/zuz; 1 dinar/zuz = 12 pešiṭim/pešuṭim]
Find a Number Problem - Subtraction of Fractions $\scriptstyle\frac{1}{a}-\frac{1}{b}=\frac{\left[\frac{1}{a}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]-\left[\frac{1}{b}\sdot\left(a\sdot b\right)\right]}{a\sdot b}$
1) How large is the third from the quarter? $\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{4}$	א) אם ישאלך אדם כמה הוא יותר השליש מן הרביע
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	אמור ג' פעמים ד הם י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}{12}=\frac{4-3}{12}=\frac{1}{12}}}$	השליש הוא ד' דנריצימו הרביע הוא ג' דנריציסמו נמצא שהשליש הוא יותר מן הרביע א' תריציסמו
How large is the quarter from the fifth? $\scriptstyle\frac{1}{4}-\frac{1}{5}$	וכן אם ישאלך כמה יותר הרביע מן החומש
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	תעשה כמו שעשינו למעלה ואמור ד' פעמים ה' הם כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)}{20}=\frac{5-4}{20}=\frac{1}{20}}}$	הרביע הוא ה' בינטיני החומש הוא ד' בינטיני נמצא שהרביע הוא יותר מן החומש א' בינטינו וכן כל הדומה לו
How large is the third from the fifth? $\scriptstyle\frac{1}{3}-\frac{1}{5}$	וכן אם ישאלך כמה הוא יותר השליש מן החמישית
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	אמור ג' פעמים ה' הם ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{5}=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)}{15}=\frac{5-3}{15}=\frac{2}{15}}}$	השליש הוא ה' קוויניציסמי והחומש הוא ג' קוויניציס נמצא שהשליש הוא יותר מן החומש ב קוויני ציסמו
Find a Number Problem - Addition of Fractions
2) How much are a third, a quarter, a fifth, a sixth, and a seventh of one pašuṭ? $\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}$	ב) אם ישאלך אדם כמה הוא שליש פשוט ורביע וחומש ושתות ושביעית
common denominator:	תצטרך לחלק הפשוט לכל כך חלקי' שתמצא בו כל אלו השעורים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(3\sdot4\right)\sdot5\right]\sdot6\right]\sdot7&\scriptstyle=\left[\left(12\sdot5\right)\sdot6\right]\sdot7\\&\scriptstyle=\left(60\sdot6\right)\sdot7\\&\scriptstyle=360\sdot7=2520\\\end{align}}}$	וכלך לדרך זו ואמור ג' פעמים ד' הם י"ב ה' פעמין י"ב הם ס‫' ו' פעמי' ס' הם ש"ס ז' פעמין ש"ס הם אלפי' ותק"כ ובזה השעור תמצא שאלתך
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}=\frac{\frac{1}{3}\sdot2520}{2520}=\frac{840}{2520}}}$	השליש הוא תת"מ חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}=\frac{\frac{1}{4}\sdot2520}{2520}=\frac{630}{2520}}}$	הרביע הוא תר"ל חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}=\frac{\frac{1}{5}\sdot2520}{2520}=\frac{504}{2520}}}$	החומש הוא תק"ד חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}=\frac{\frac{1}{6}\sdot2520}{2520}=\frac{420}{2520}}}$	השתות הוא ת"כ חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}=\frac{\frac{1}{7}\sdot2520}{2520}=\frac{360}{2520}}}$	השבעית הוא ש"ס חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}+\frac{1}{7}&\scriptstyle=\frac{840+630+504+420+360}{2520}\\&\scriptstyle=\frac{2754}{2520}\\&\scriptstyle=1+\frac{234}{2520}\\&\scriptstyle=1+\frac{117}{1260}\\\end{align}}}$	הרי שמן כולם הם אלפי' ותשנ"ד חלקי‫' תוציא מהם אלפים ותק"כ חלקי' שהוא אחד שלם נשארו בידך רל"ד חלקי‫' נמצא ששליש פשוט ורבע וחומש ושתות ושביעי הוא א' פשוט שלם ורל"ד חלקי' מפשוט אחד שתחלקהו לאלפי' ותק"כ חלקי‫' שהוא קי"ז חלקי' מאלף ור"ס

Find a Quantity Problem - Whole from Parts Problem - Lance
3)Question: one-third of the lance is in the water, its quarter is in the ground, and 10 cubits of it are up above the water. How many cubits is the whole lance? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X$	ג) שאלה רומח אחד שלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה אמות כל הרומח
False Position: We look for a number that has a third and a quarter; it is 12.	נבקש מניין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב
The sum of its third and its quarter is 7.	ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז‫'
We subtract it from 12; 5 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	נחסרם מי"ב ישארו ה‫'
Rule of Four: We multiply the extremes; the result is 120.	כפלנו הקצוות עלו ק"כ
We divide it by 5; the result is 24 and this is the length of the whole lance. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}$	חלקנום על ה' עלה כ"ד וזהו גבהות כל הרומח
Check: Its third is 8; its quarter is 6; we subtract them from 24; 10 integers remain no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=10}}$	שלישיתו ח' ורביעיתו ו' נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים בלי תוספת ומגרעת

How Much Problem - Money
4) A fifth, a seventh, and a ninth of an amount of money make 10. How much is the money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10$	ד) שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו י‫' כמה הממון
False Position - common denominator: We look for the denominator; it is 315 and the parts are 143:	נבקש המורה והוא שט"ו והחלקי' ההם קמ"ג
When the part of 315 is a fifth, the result is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot315=63}}$	כאשר החלק שט"ו של ה' יעלו ס"ג
When the part is a seventh, the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot315=45}}$	וכשהחלק של ז' יעלו מ"ה
When the part is a ninth, the result is 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot315=35}}$	וכשהחלק של ט' יעלו ל"ה
Sum them up; the result is 143. $\scriptstyle{\color{blue}{63+45+35=143}}$	חברם יחד יעלו קמ"ג
Rule of Four: We multiply 315 by 10; the result is 3150.	נכפול שט"ו על י' עלו ג' אלפי' וק"נ
We divide it by 143; the result is 22 integers and 4 parts of 143 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}$	חלקנום על קמ"ג עלו כ"ב שלמי' וד' חלקי' מן קמ"ג וככה הממון
Check: Take a fifth of 22; it is 4 and 2 remain that are 2 times 143, which is 286.	קח חמישית כ"ב הם ד' נשאר ב' שהם ב' פעמי' קמ"ג והם רפ"ו
Add to it 4 parts; it is 290.	חבר עליהם ד' חלקי' הרי ר"צ
Divide it by 5; the result is 58 parts of 143.	חלקם בה' יעלו נ"ח חלקי' מקמ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)&\scriptstyle=4+\frac{2}{5}+\frac{4}{5\sdot143}\\&\scriptstyle=4+\frac{\left(2\sdot143\right)+4}{5\sdot143}\\&\scriptstyle=4+\frac{286+4}{5\sdot143}\\&\scriptstyle=4+\frac{290}{5\sdot143}=4+\frac{58}{143}\\\end{align}}}$
Do likewise with the ninth and the seventh; and the result is 10.	וכן עשה מן התשיעית והשבעית ויעלו י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(22+\frac{4}{143}\right)\right]=10}}$
another method:	עוד יש בו כלל אחר
$\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	שתאמר החלקי' שהוספת שהם י' הם קמ"ג והממון הראשון היה קע"ב
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{143:10=172:a}}$	אמור אם קמ"ג שוים י' קע"ב כמה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10\sdot172}{143}=\frac{1720}{143}=12+\frac{4}{143}}}$	אמור י' פעמי' קע"ב הם אלף תשכ חלקם על קמ"ג יבאו י"ב שלמי' וד' חלקי' מקמ"ג
the amount of money = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(12+\frac{4}{143}\right)+10=22+\frac{4}{143}}}$	חבר אליהם הי' יהיו כ"ב שלמי' וד' חלקי' מקמ"ג בלי תוספת ומגרעת
	וכן כ.. מה הכלל ג"כ הוא טוב לדעת מדת הרומח הכתוב למעלה

Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
5) An amount of money - its fifth, its seventh, and its ninth are subtracted from it and 10 remain. $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10$	ה) נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמשיתו ושבעיתו ותשיעיתו ונשארו י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$	נחסר קמ"ג שהם השברי' משט"ו שהוא המורה ישאר קע"ב
Rule of Four: the amount of money = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot315}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}$	ונעשה כך כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפי' וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמי' ונ"ד חלקי' מקע"ב
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{54}{172}\right)-\left[\left[\frac{1}{5}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(18+\frac{54}{172}\right)\right]\right]=10}}$	לקחנו חמשית ושבעית ותשעית של זה המספר ישאר י' שלמי‫'
How Much Problem – Money
6) An amount of money – we add to it its half, its third, its fifth, and its sixth, and the total sum is 40. How much is the money? $\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$	ו) שאלה ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובסך הכל היה מ‫' כמה היה הממון
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}\right)+\frac{1}{5}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}$	ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם ונחשוב כי היה אלו אחד הרי שנים יש לו תוספת החמישית
the amount of money = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40}{\frac{\left(5\sdot2\right)+1}{5}}=\frac{40\sdot5}{11}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}$	עתה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון הנה נקח לכל אחד מן השלמים ה' ונשים עמהם החמשית יהיו אלף גם נכפול המ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר‫' נחלקנו על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקי' מי"א
How Much Problem – Money
7) We take a fifth amount of money, its seventh, and its ninth. How much is [their sum] in relation to the [original] amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X$	ז) שאלה לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון
False Position - common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{315}}$	נבקש המורה והוא שט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=143}}$	ונחבר חמישית ושביעית ותשיעית יהיו קמ"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=\frac{143}{315}=\frac{\frac{143}{35}}{9}=\frac{4}{9}+\frac{\frac{3}{35}}{9}=\frac{4}{9}+\left(\frac{3}{5}\sdot\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{9}\right)}}$	נחלקה על ל"ה והנה הם ד' תשעיות ונשארו ג' חלקי' מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית לכן ג' חלקי' הם ג' חמשיות שבעית התשיעית
Pricing Problem - Find the Amount
8) A man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešiṭim]? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}$	ח) שאלה אדם מוכר י"ג מדות בכ"ג כמה מדות יתן בז' פשוטי‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$ measures	נאמר ז' פעמי' י"ג יהיו צ"א נחלקם על כ"ג בא ג' מדות וכ"ב מכ"ג חלקי' במדה אחת
Pricing Problem - Find the Price
How much will he get for 7 measures? $\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}$	ועת' נהפוך חשבון שנבקש לדעת בכמה יתן לו ז' מדות
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}$ pešiṭim	נאמר ז' פעמים כ"ג הם קס"א נחלקם על י"ז יהיו י"ב וה' חלקי' מי"ג בפשוט
Exchange Problem - Currencies
If 3 of Treviso(?) are worth 4 of Cortona, how many of Cortona are 5 of Treviso(?) worth? $\scriptstyle\frac{3}{4}=\frac{5}{X}$	וכן אם יאמר לך אדם אם ג' תרוביסים שוים ד' קורטונוס ה' תרוביסיט' כמה קורטונוס שוים
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5\sdot4}{3}=\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}$ of Cortona	אמור ה' פעמי' ד' הם כ‫' חלקם על ג' בא ו' קורטוניס וב' שלשי' וכ"ה
Motion Problem – Pursuit
9) A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? $\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$	ט) שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מילים אחר מהלך י' ימי' שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום ל"ז מילי‫' מתי ישיגנו
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$ days	נכפול המילים שהלך בי' ימי' יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורבע יום
Motion Problem – Encounter
10) Reuven left his city, walking to Shimon, to his city, on Sunday morning of the first of the month. Shimon left his city on that same day, walking to Reuven's city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven is walking 19 miles a day and Shimon is walking 17 [miles a day]. When will they meet? $\scriptstyle19X+17X=100$	י) שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון לעירו בקר יום ראשון של ר"ח ובאותו יום עצמו יצא שמעון מעירו ללכת לעיר ראובן והמרחק בין שני הערים ק' מלים ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מלים ומהלך שמעון י"ז מתי יתחברו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}$ days	ככה תעשה חבר שני המהלכי' הם ל"ו חלק עליו הק' מילים יהיו ב' ימים ישארו כ"ח חלקי' מל"ו ביום אחד שהם ז' תשעיו' יום
How Many Problem - Group of People
11) A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100 $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	יא) שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלו' לכם מאה איש ענו לו אין אנו מאה רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו עדיף נהיה מאה
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}$	והנה נקח למספרם אחד ואחד כמונו והנה שנים ומחציתנו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רבעיתו יהיו ג' רבעיות ובעבור שיש לנו רבעית נקח לכל שלם ד' ויהיו ח‫' נחבר אליהם הג' רבעים יהיו י"א
the number of people in the group: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}$	ובעבור שאמרו שיהיו עמו מאה יהיה מספרם עם התוספת צ"ט נשיבם מהדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
Buy and Sell Problem
12) A man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? $\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100$	יב) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט‫' אחרי כן מכר הנ' ליט' ורבע ליט' בזהוב והנ' ליט' מכר ליט' פחות רבע ליט' בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
the total cost of the first 50: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50}{1+\frac{1}{4}}=\frac{4\sdot50}{5}=\frac{200}{5}=40}}$ zehuvim	נשיב הנ' ראשונים ר' כי רבעים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבע ליט' מכר בזהוב יהיו מ' זהובי‫'
the total cost of the other 50: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50}{1-\frac{1}{4}}=\frac{4\sdot50}{3}=\frac{200}{3}=66+\frac{2}{3}}}$ zehuvim	גם נכפול הנ' אחרים על ד' יהיו ר‫' נחלקם על ג' כי ג' רבעים מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושני שלישי זהוב
the profit = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100=6+\frac{2}{3}}}$ zehuvim	וחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושני שלישי זהוב
Boiling Problem
13) A man had 10 measures of apricot and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of apricot $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	יג) שאלה אדם היו לו י' מדות משמש ורוצה לבשלם עד שלא ישאר כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך מהם ב' מדות והנה רצה לבשלם עד שיהיה כמשמש הראשון
three given numbers:	ועתה יש לך ג' מספרים ידועים
1) $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}$	האחד שליש י' והוא ג' ושליש
2) the 8 measures	והשני ח' הם המדות שנתבשלו
3) the 6 measures that remained	והשלישי ו' שנשארו מן הנשפך
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}$	והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ‫' וחלקם על ח' יהיו ב וחצי
Partnership Problem - For the Same Time
14) Four people: one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?	יד) שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינרי' ולשני י"ג די' ולשלישי ט"ו דינרי' ולרבעי י"ז דינרי‫' והרויחו י"ט דינרי‫' כמה יקח כל אחד ואחד
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}$	נחבר ראשי' כל ד' ממונם ויהיו נ"ו
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{a_i}{56}=\frac{x_i}{19}}}$	ובערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}$	ונעשה כך נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו יעלו ג' שלמי' ומ"א חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}$	עשינו כן בי"ג עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}$	עשינו כן בט"ו יהיו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}$	עשינו כן בי"ז עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' ומ"ג חלקי‫'
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}$	חברנו אלו השלמי' ואלו החלקי' עלו י"ט שלמי' כי החלקי' האלו חלקי נ"ו הם
Purchase Problem – Moneychanger
15) The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1$	טו) שאלה יש אצל המחליף ג' מטבעים והזהוב שוה ממטבע אחד ג' דינרי ומן השני ד' ומן השלישי ו‫' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעים בזהוב ויהיה המספר שוה מן היקרים כמו משאינם יקרים
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	בקש היתרה שיהיה בו שלישית ורבעית וששית והוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$	החלקי' הם ט' והוא דינר
the amount taken from each coin: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12}{9}}}$	נחלק המורה על זה המספר יהיו י"ב תשי' וככה לקח מכל מטבע
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}$	אחר על זאת השאלה שתאמר מה ערך י"ב אל ט' והיה כמות שלישיתו והנה נוסיף על י"ב ד' יהיו י"ו
Payment Problem - Digging a Hole
16) Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment? $\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}$	יו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשיטי‫' והוא חפר ו' באורך ה' ברוחב ד' בעומק כמה שכרו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot6\right)\sdot5=42\sdot5=210}}$	נעשה כך ז' פעמים ו' הם מ"ב כפלם על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot5\right)\sdot4=30\sdot4=120}}$	גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}$ pešiṭim	ונכפול י"א פעמי' ק"כ הם אלף וש"כ חלקם על ר"י עלו ו' שלמי' ונשאר ס' שהם ב' שבעיות פשוט
Buy and Sell Problem
17) A man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$	יז) שאלה אדם קנה ג' חמשיות ליט' בפשוט ומכר ד' שבעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	בקש המורה הוא ל"ה וכפול ה' על ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}$	והיה ג' חמשיותיו כ"א
the original amount of money: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}$	וד' שבעיותיו כ' והממון היה כ' וכה"‫[ל‫]
	[נראה שרוצה לו' שהוצ' כ' פשוטי' וזהו]
Buy and Sell Problem
18) A man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninth of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1$	יח) שאלה אדם קנה ד' שבעיות ליט' בפשוט ומכר ה' תשעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}$	ידוע הוא כי ד' שבעיות אחד הוא יותר מה' תשעיות אחד
common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{63}}$	והנה המורה ס"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}$	וה' תשיעיותיו ל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{4}{7}\sdot63=36}}$	וד' שבעיותיו ל"ו
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}$	ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שבעיות ליט' בפשוט ממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט‫' עשה מהם תשעיו' יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשעיו' מכר בפשוט יעלו בידך ל"ו
If he earned two pešiṭim $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2$	ואילו אמר כי הרויח ב"פ
$\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35}}$	כפלם על ל"ה יהיו הפשוטי' שהוציא
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot\left(2\sdot35\right)}{\frac{5}{9}}=\frac{40}{\frac{5}{9}}=\left(2\sdot35\right)+2}}$	כי פ יהיה מ' ליט‫'
If he earned three pešiṭim $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3$	ואם אמר ג"פ
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}$	יכפלם על ל"ה וככה עד סוף החשבון

Exchange Problems
19) The Rule of Four: For Measures; Weights; Numbers $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:x\longrightarrow x=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}$	יט) כלל כל החשבונות הוא על שלשה פנים במדה או במשקל או במספר על כן נאמר הרי גו הנאותים לשלשתם אם ישאל לך שום חשבון שיהיה בו אחד מאלו הג' מינים נרבה אותו הדבר שנרצה ליחס כנגד אותה שאיננה ממינה עצמה ממש ותחלקנה על השלשי‫'
If 7 of Pisa are worth 9 of Cortona, how many of Cortona are 100 liṭra of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{7}{9}=\frac{100}{X}$	המשל בזה אם ז' פיסט' שוים ט' קורטוניס כמה ישוו ק' ליט' מפיסני' לקורטו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{9\sdot100}{7}=\frac{900}{7}=128+\frac{4}{7}=128+\frac{11}{20}+\frac{3}{7\sdot20}}}$	כבר ידעת כי הקורטו' הוא הדבר שאינה ממינה עצמה ממש לכן נרבה ט' פעמי' ק' יהיו תת"ק וחלקם על ז' קכ"ח ליט' וי"א דינרי' והם וכך ישוו הק' ליט' מפיסני' לקורטו‫'
if 7 of Pisa = 9 of Cortona→	ודע כי אם ז' פיסני' שוים ט' קורטו‫'
7 dinar of Pisa = 9 dinar of Cortona	הז' דינרי' פיסני' שוים ט' דינרי' קורטוני‫'
7 liṭra of Pisa = 9 liṭra of Cortona	והז' ליט' מפיסני' שוים ט' ליט' קורטו‫'
700 liṭra of Pisa = 900 liṭra of Cortona	ות"ש ליט' מפיסני' שוים תת"ק ליט' קורטו‫'
	וכן יבא בין פפריני' וסמטסיני' ולכל כזה
20) Rule of Four: with fractions: $\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}:\frac{a_2}{b_2}=a_3:x &\scriptstyle\longrightarrow\left[\frac{a_1}{b_1}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]:\left[\frac{a_2}{b_2}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]=a_3:x \\&\scriptstyle\longrightarrow x=\frac{\left[\frac{a_2}{b_2}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)\right]\sdot a_3}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\left(b_1\sdot b_2\right)}\\\end{align}$	כ) אם ישאל לך חשבון שיהיה בו מאלו הג' מינים ולפני הב' חלקי' יהיו שבורים נדע באיזה המספר ימצאו אלו השבורים ואחר שידעת באי זה המספר ימצאו אלו השבורים נרבה הב' חלקי' באותו המספר שימצאו בו אלו השבורים אחרי כן נרבה אותו הדבר שנרצה לדעת כנגד אותו הדבר שאנינה ממינה עצמה ונחלק אותה על השלישית וכה
21) Rule of Four: with fraction: $\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}:a_2=a_3:x &\scriptstyle\longrightarrow\left(\frac{a_1}{b_1}\sdot b_1\right):\left(a_2\sdot b_1\right)=a_3:x \\&\scriptstyle\longrightarrow x=\frac{\left(a_2\sdot b_1\right)\sdot a_3}{\frac{a_1}{b_1}\sdot b_1}\\\end{align}$	כא) ואם נשאל לך חשבון אחר שיהיה שבור מחלק אחד נרבה הב' חלקי' באותו המספר דהיינו עם אותו השבור אחרי כן נרבה אותו הדבר שנרצה לידע כנגד אותו הדבר שאנינה ממינה ונחלק אותה על השלישית
Example for the two cases:	ונשים המשל בשני פנים האחד בעבור החשבון שהוא שבור מחלק אחד והאחר שהוא שבור מב' חלקי‫'
If 5¼ of Pisa are worth 7 of Cortona, how many of Cortona are 1000 liṭra of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{5+\frac{1}{4}}{7}=\frac{1000}{X}$	אם ה' פיסני' ורביע שוים ז' קורטוט' כמה ישוו אלף ליט' מפיסני‫'
converting to quarters	וזה החשבון הוא שבור מחלק אחד וזה השיבור הוא הרביע לכן נרבה הב' חלקי' עם ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left(5+\frac{1}{4}\right)=21}}$	ואמור ד' פעמי' ה' פיסני' ורביע יבוא כ"א פיסני‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	וד' פעמי' ז' קורטו' בא כ"ח קורטו‫'
21 of Pisa = 28 of Cortona	הרי שכ"א פיסני' שוים כ"ח קורטו‫'
reducing by 7	ונחלק לשביע בעבור שבשני החלקי' ימצא שביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot21=3}}$	השביע מכ"א הוא ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot28=4}}$	השביע מכ"ח הוא ד‫'
3 of Pisa = 4 of Cortona	נמצא שג' פיסני' שוים ד' קורטו‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=1000:X}}$	ואנחנו נרצה לידע כמה ישוו אלף ליט' מפיסני' הפיסני הוא הדבר שנרצה לידע והקורטו' הוא הדבר שאנינה ממינה עצמה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1000\sdot4}{3}=\frac{4000}{3}=1333+\frac{6}{20}+\frac{\frac{8}{12}}{20}}}$ 1000 liṭra of Pisa = 1333 liṭra + 6 dinar + 8 pešuṭim of Cortona	לכן נרבה ד' פעמים אלף יבא ד' אלפי' מקורטו‫' ונחלק בג' שיבא אלף ושל"ג ליט' וו' דינרי' וח"פ וכן ישוו אלף ליט' מפיסני לקורטוט‫'
If 7⅓ ounce of Pisa are worth 73 liṭra and 5 dinar of Cortona, how many of Cortona are 19 ounce of Pisa worth? $\scriptstyle\frac{7+\frac{1}{3}}{73+\frac{1}{4}}=\frac{19}{X}$	ונשים המשל אל החשבון שהוא שבור מב' חלקיו אם ז' אונקיו' ושליש כסף שוים ע"ג ליט' וה' דינרי' מפיסני‫' כמה ישוו הי"ט אונקיו' כסף לפי זה החשבון
converting to parts of 12	ואלו השבורים הם שליש ורביע אנה ימצאו בי"ב לכן יש לנו לרבות הב' חלקי' בי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(7+\frac{1}{3}\right)=88}}$	ואמור י"ב פעמי' ז' אונקיו' ושליש יבא פ"ח אונקיו' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(73+\frac{1}{4}\right)=879}}$	וי"ב פעמי' ע"ג ליט' וה' דינרי' יהיו תתע"ט ליט' מפסני‫'
88 ounce = 879 liṭra	הרי שפ"ח אונקיות כסף שוים תתע"ט ליט‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{88:879=19:X}}$	ונרצה לידע כמה ישוו הי"ט אונקיו' כסף
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{19\sdot879}{88}=\frac{16701}{88}=\frac{16701}{8\sdot11}=189+\frac{15}{20}+\frac{\frac{8+\frac{2}{11}}{12}}{20}}}$ 19 ounce = 189 liṭra + 15 dinar + 8²/₁₁ pešiṭim	נרבה י"ט פעמי' תתע"ט ליט' יהיו י"ו אלפי' ותש"א חלקם בפ"ח יבא קפ"ט ליט' וט"ו די' וח[פ'] וב' חלקי' מי"א וכן ישוו הי"ט אונקיו' כסף באותו החשבון

Interest and Pricing Problems
Find the Time
22) One kikkar yields 36 liṭra and 18 dinar a year. How long will it take 65 liṭra to yield the same? $\scriptstyle\frac{\left(36\sdot20\right)+18}{12\sdot100}=\frac{\left(36\sdot20\right)+18}{X\sdot65}$	כב) שאלה הככר ירויח השנה ל"ו ליט' וי"ח די' נוסף הס"ה ליט' בכמה זמן ירויחו בהם
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12\sdot100}{65}=\frac{1200}{65}=18+\frac{13}{30}+\frac{\frac{11}{13}}{30}}}$ =18 months and $\scriptstyle13\frac{11}{13}$ days	תרבה הק' ליט' כנגד י"ב חדשי השנה ואמור י"ב פעמי' ק' חדשים הם אלף ור‫' חלקם על ס"ה יבא לכל חלק י"ח חדשי' וי"ג ימים וי"א חלקי' מי"ג חלקי' ביום נמצא שבי"ח חדשי' וי"ג ימי' וי"א חלקי' מי"ג ביום ירויחו ס"ה ליט' כלכך כמו שירויח הככר השנה
Find the Earned Interest
23) I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month. How many [liṭra] will 60 liṭra make in 8 months? $\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{8\sdot60}$	כג) שאלה אם יאמר אדם הלותי מעות לחשבון גפה"ח הליט' החדש כמה יבואו הס' ליט' ח' חדשים
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot8=24}}$ pešuṭim = 2 dinar	תרבה מעות הרבית עם החדשים ואמור ג' פעמי' ח' כ"ד שהם ב' דינרי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot60=120}}$ dinar = $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot6}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{X=6}}$ liṭra	אחר כן תרבה אלו הב' די' עם הס' ליט' ואמור ס' פעמי' ב' דינרי' הם ק"כ די' שהם ו' ליט‫' נמצא שבס' ליט' לחשבון גפה"ח יבוא ו' ליט' לח' חדשים וכה
Find the Fund
24) I lent one liṭra for so and so pešuṭim a month. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}$	כד) אם ישאלך אדם הלותי מעות הליט' לחשבון כך וכך החדש כמה ליט' ירויחו היום אח‫'
30÷(the pešuṭim earned a month) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}$	נחלק ל' ליט' בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש
I lent one liṭra for 2½ pešuṭim a month. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{30\sdot1}=\frac{1}{1\sdot X}$	המשל בזה הרי שהלותי הליט' בב' פשוטי' וחצי החדש ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום אח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{2+\frac{1}{2}}=12}}$ liṭra	נחלק ל' ליט' בב' וחצי שיבוא י"ב ליט‫' נמצא שבי"ב ליט' ירויחו היום אח' וכה
Find the Time
25) I lent one liṭra for so and so a month. In how many days will one liṭra yield one? $\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{1}{X\sdot1}$	כה) אם ישאלך אדם הלותי הליט' לחשבון כך וכך החודש בכמה ימים ירויח הליט' אח‫'
$\scriptstyle X=\frac{30}{a}$	חלק ל' יום בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש
I lent [one liṭra] for 3 [a month]. In how many days will one liṭra yield one? $\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{1}{X\sdot1}$	המשל בזה הרי שהלוית לחשבון ג' ותרצה לידע כמה ימים ירויח הליט' אח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30}{3}=10}}$ days	חלק ל' יום בג' חלקי' שיבוא י' ימים הרי שבי' ימים ירויח הליט' אח‫'
Find the Fund
26) One kikkar yields so and so liṭra a year. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}$	כו) אם ישאלך אדם הככר ירויח כל השנה כל כך ליט‫' כמה ליט' ירויחו היום אח‫'
150÷(the liṭra earned a year) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}$	חלק ק"נ ליט' בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה
One kikkar yields 12 liṭra a year. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot12}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}$	המשל בזה הככר ירויח י"ב ליט' השנה ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום אח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{12}=12+\frac{1}{2}}}$ liṭra	חלק ק"נ ליט' בי"ב חלקי' שיבוא י"ב וחצי הרי שבי"ב ליט' וחצי ירויחו ביום אח' וכה
Find the Time
27) One kikkar yields so and so liṭra a year. In how many days will one liṭra yield one pašuṭ? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}$	כז) אם ישאלך אדם הככר ירויח כל כך ליט' השנה בכמה ימים ירויח הליט' אח‫'
150÷(the liṭra earned a year) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{a}}}$	חלק ק"נ ימים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה
One kikkar yields 9 liṭra a year. In how many days will one liṭra yield one pašuṭ? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot9}{360\sdot100}=\frac{1}{X\sdot1}$	המשל בזה הככר ירויח ט' ליט' השנה ותרצה לידע בכמה ימים ירויח הליט' אח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{150}{9}=16+\frac{2}{3}}}$ days	חלק ק"נ ימים בט' חלקי' שיבואו י"ו ימים וב' שלשי הרי שבי"ו ימים וב' שלישי ירויח הליט' אח' וכה
Find the Time
28) So and so liṭra yield so and so [liṭra] in so and so [months]. In how many [months] will so and so liṭra yield the same? $\scriptstyle\frac{a}{c\sdot b}=\frac{a}{X\sdot d}$	כח) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו כל כך בכל כך זמן כמה ליט' כמה כל כך ליט' בכל כך זמן בכמה זמן ירויחו כהם או בכל חדשים כמה ליט' ירויחו כל
Rule of Four: $\scriptstyle X=\frac{b\sdot c}{d}$	תרבה סכום הליט' כנגד סכום החדשים וחלק בכל כך חלקי' כמו שהם ליט' או חדשים
50 liṭra yield 3 liṭra in 4 months. In how many [months] will 75 liṭra yield the same? $\scriptstyle\frac{3}{4\sdot50}=\frac{3}{X\sdot75}$	המשל בזה נ' ליט' ירויחו ג' ליט' בד' חדשים הע"ה ליט' בכמה זמן ירויחו כהם
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{50\sdot4}{75}=\frac{200}{75}=2+\frac{20}{30}}}$ months	הרבה סכום הליט' כנגד סכום החדשים ואמור נ' פעמי' ד' חדשים יבא ר' חדשים וחלקם בע"ה יבא ב' חדשים וכ' ימים נמצא שבב' חדשי' וב' ימים ירויחו הע"ה ליט' כל כך כמו הנ' ליט' ד' חדשים וכה
Find the Fund
29) So and so liṭra yield so and so liṭra in so and so [months]. How many liṭra will yield the same in so and so [months]? $\scriptstyle\frac{a}{c\sdot b}=\frac{a}{d\sdot X}$	כט) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו בכל כך זמן כל כך ליט‫' כמה ליט' בכל כך זמן ירויחו כהם
(months₂×liṭra)÷months₁ $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{c\sdot b}{d}}}$	תרבה סכום החדשים כנגד סכום הליט' וחלקם בכל כך חלקי' כמו החדשי' או הליט' שנרצה לידע
25 liṭra yield 40 dinar in 6 months. How many liṭra will yield the same in 8 months? $\scriptstyle\frac{40}{6\sdot25}=\frac{40}{8\sdot X}$	המשל בזה כ"ה ליט' ירויחו בו' חדשי' מ' דינרי‫' כמה ליט' ירויחו בהם בח' חדשים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot25}{8}=\frac{150}{8}=18+\frac{15}{20}}}$ 18 liṭra and 15 dinar	תרבה סכום החדשים כנגד סכום הליט' ואמור ו' פעמי' כ"ה ליט' יבא ק"נ ליט‫' חלקם בח' חלקי' יבא י"ח ליט' וט"ו דינרי‫' נמצא שי"ח ליט' וט"ו דינרי' ירויחו בח' חדשים מ' דינרי' כמו הכ"ה ליט' ו' חדשים
Find the Time
30) I lent one liṭra for so and so [pešuṭim] a month. In how many [years] will so and so liṭra be doubled? $\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot b}{12\sdot X\sdot b}$	ל) אם ישאלך אדם הלותי הליט' בכך וכך החדש כל כך ליט' בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן
20÷(the pešuṭim earned a month) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{a}}}$	חלק כ' שנים בכל כך חלקי' כמו המעות שירויח הליט' החדש
I lent one liṭra for 3 pešuṭim a month. In how many [years] will 95 liṭra be doubled? $\scriptstyle\frac{3}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot95}{12\sdot X\sdot95}$	המשל בזה הלותי הליט' בגפ"ה הצ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{3}=6+\frac{8}{12}}}$ 6 years and 8 months	חלק כ' שנים בג' חלקי' שיבא ו' שנים וח' חדשי' נמצא שבו' שנים וח' חדשים יכפלו הצ"ה ליט‫'
Find the Time
31) One kikkar yields so and so liṭra a year. In how many [years] will so and so liṭra be doubled? $\scriptstyle\frac{a}{1\sdot100}=\frac{b}{X\sdot b}$	לא) אם ישאלך אדם הככר ירויח השנה כל כך ליט‫' כל כך ליט' בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן
100÷(the liṭra earned a year) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{a}}}$	חלק ק' שנים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר
One kikkar yields 8 liṭra a year. In how many [years] will 45 liṭra be doubled? $\scriptstyle\frac{8}{1\sdot100}=\frac{45}{X\sdot45}$	המשל בזה הככר ירויח ח' ליט' השנה המ"ה ליט' בכמה זמן יכפלו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{100}{8}=12+\frac{6}{12}}}$ 12 years and 6 months	חלק ק' שנים בח' חלקי' שיבא י"ב שנים וחצי נמצא שבי"ב שנים וחצי יכפלו המ"ה ליט‫'
Pricing Problem - Find the Price
32) One kantar [measurement of weight] of lint is worth 17 liṭra‏ and 5 dinar. One kantar is 165 liṭra. How much is one liṭra worth? $\scriptstyle\frac{165}{\left(20\sdot17\right)+5}=\frac{1}{X}$	לב) אם ישאלך אדם הקנטרו' מן המוך שוה י"ז ליט' וה' דינרי‫' כמה ישוה הליט‫' והקנטרו' הוא קס"ה ליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\frac{\frac{\left(20\sdot17\right)+5}{3}}{5}}{11}=\frac{\frac{\left(20\sdot5\right)+15}{5}}{11}=\frac{23}{11}=2+\frac{1}{11}}}$ pešuṭim	חלק אלו הי"ז ליט' וה' דינרי' בג' חלקי' שיבא לכל חלק ה' ליט' וט"ו די‫' אחרי כן חלק אלו הה' ליט' וט"ו די' בה' חלקי' שיבא לכל חלק כ"ג דינרי‫' עת' תחלק אלו הכ"ג דינרי' בי"א חלקי' שיבא לכל חלק בה"פ וא' חלק מי"א נמצא שהליט' מן המוך שוה וא' חלק מי"א בפשוט
$\scriptstyle{\color{blue}{11\sdot15=165}}$	יסוד זה החשבון הוא כי הם ט"ו וי"א פעמי' ט"ו הם קס"ה א"כ בחלק הזמן
Find the Earned Interest
33) So and so liṭra yield one pašuṭ a day. How many [pešuṭim] will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{1}{1\sdot a}=\frac{X}{30\sdot1}$	לג) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו היום אח‫' לאי זה חשבון יבא החדש הליט‫'
30÷(the liṭra that yield one pašuṭ a day) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{a}}}$	חלק ליט' בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויחו היום אח‫'
12 liṭra yield one pašuṭ a day. How many [pešuṭim] will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{1}{1\sdot12}=\frac{X}{30\sdot1}$	המשל בזה י"ב ליט' ירויחו היום א"פ ותרצה לידע לאי זה חשבון יבא החדש הליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{30}{12}=2+\frac{1}{2}}}$ pešuṭim	חלק ל"פ בי"ב חלקי' שיבא ב"פ וחצי נמצא שיצא החדש הליט' ב"פ וחצי וכה
34) So and so liṭra yield one pašuṭ a day. How many liṭra will 100 liṭra yield a year? $\scriptstyle\frac{1}{1\sdot a}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot100}$	לד) אם ישאלך אדם כל כך ליט' ירויחו היום א"פ כמה ליט' ירויחו ק' ליט' א' שנה
$\scriptstyle x=\frac{150}{a}$	חלק ק"נ בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויחו היום א"פ
15 liṭra yield one pašuṭ a day. How many liṭra will 100 liṭra yield a year? $\scriptstyle\frac{1}{1\sdot15}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot100}$	המשל בזה ט"ו ליט' ירויחו היום א"פ כמה ירויחו ק' ליט' א' שנה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{150}{15}=10}}$ liṭra for 100 liṭra a year	חלק ק"נ ליט' בט"ו חלקי' שיבא י' ליט‫' נמצא שק' ליט' ירויחו א' שנה י' ליט‫'
35) One kikkar yields 29 liṭra 13 dinar and 7 pešuṭim a year. How many liṭra will yield the same in 7 months? $\scriptstyle\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{7}{12\sdot20}}{12\sdot100}=\frac{29+\frac{13}{20}+\frac{7}{12\sdot20}}{7\sdot X}$	לה) אם ישאלך אדם הככר ירויח השנה כ"ט ליט' וי"ג דינרי' וז"פ כמה ליט' ירויחו בהם ז' חדשי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot100}{7}=\frac{1200}{7}=171+\frac{8}{20}+\frac{6+\frac{6}{7}}{20\sdot12}}}$ 171 liṭra, 8 dinar, and $\scriptstyle6\frac{6}{7}$ pešuṭim	תרבה חדשי השנה עם סכום הליט' דהיינו ק' ליט‫' וחלקם בכל כך חלקי' כמו החדשי' שנרצה לידע דהיינו הז' חדשים ואמור י"ב פעמי' ק' ליט' יבא אלף ור‫' חלקם על ז' שיבא קע"א ליט' וח' דינרי' וחצי וו' חלקי' מז' בפשוט נמצא שקע"א ליט' וח' די' וחצי וו' חלקי' מז' בפשוט ירויחו כ"ב בז' חדשי' כמו הככר א' שנה וכה
Find the Time
36) One kikkar yields so and so liṭra a year. In how many [years] will one kikkar be doubled? $\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{100}{X\sdot1}$	לו) אי"א הככר ירויח כ"כ ליט' השנה בכמה זמן יכפלו בלתי לשים ריוח אקרן
$\scriptstyle x=\frac{100}{a}$	חלק ק' שנים בכל כך חלקי' כמו הליט' שירויח הככר השנה
One kikkar yields 14 liṭra a year. In how many [years] will [one kikkar] be doubled? $\scriptstyle\frac{14}{1\sdot1}=\frac{100}{X\sdot1}$	המשל בזה הככר ירויח י"ד ליט' השנה ותרצה לידע בכמה זמן יכפלו
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{14}=7+\frac{1}{12}+\frac{21+\frac{3}{7}}{12\sdot30}}}$ 7 years, 1 month and 21³/₇ days	חלק ק' שנים בי"ד חלקי' שיבא ז' שנים וא' חדש וכ"א ימים וג' חלקי' מז' ביום נמצא שבז' שנים וא' חדש וכ"א ימים וג' חלקי' מז' ביום יכפלו
37) One liṭra yields 2½ pešiṭim a month. In how many [years] will [so and so dinar] be doubled? $\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot a}{X\sdot12\sdot a}$	לז) אי"א הלויתי הליט' לחשבון ב"פ וחצי החדש בכמה זמן יכפלו בלתי לשים רבית אקרן
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}}}$	חלק כ' שנים בכל כך חלקים כמו המעות שירויח הליט' החדש המ"ב
One liṭra yields 2½ pešiṭim a month. In how many [years] will [20 dinar] be doubled? $\scriptstyle\frac{2+\frac{1}{2}}{1\sdot20}=\frac{12\sdot20}{X\sdot12\sdot20}$	הלותי כ' דינרי' לחשבון ב"פ וחצי החדש הליט' ותרצה לידע בכמה זמן יכפלו
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20}{2+\frac{1}{2}}=8}}$ years	חלק כ' שני' בב' וחצי שיבא ח' שני‫' נמצא שבח' שנים יכפלו וכה
Find the Earned Interest
38) One kikkar yields so and so liṭra a year. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}$	לח) אם ישאלך אדם הככר ירויח כ"כ ליט' השנה כמה ליט' ירויחו היום א"פ
$\scriptstyle x=\frac{150}{a}$	חלק ק"נ ליט' בכל כך חלקי‫'
One kikkar yields 13 liṭra a year. How many liṭra will yield one pašuṭ a day? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot13}{360\sdot100}=\frac{1}{1\sdot X}$	כמו הליט' שירויחו הככר השנה הב' הככר ירויח י"ג ליט' השנה ותרצה לידע כמה ליט' ירויחו היום א"פ
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{150}{13}=11+\frac{10}{20}+\frac{9+\frac{3}{13}}{12\sdot20}}}$ 11 liṭra, 10 dinar and 9³/₁₃pešuṭim	חלק ק"נ ליט' בי"ג חלקי' שיבא י"א ליט' וי' די' וט"פ וג' חלקי' מי"ג בפשוט וכל כך מעות ירויחו היום א"פ
39) One liṭra [yields] so and so a month. How much will 100 liṭra yield a day? $\scriptstyle\frac{a}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}$	לט) אי"א הלותי הליט' החדש לחשבון כך וכך כמה ירויחו היום ק' ליט‫'
3⅓×(money earned) $\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot a}}$	תרבה ג' ושליש כנגד מעות הרבית
One liṭra [yields] 3 pešiṭim a month. How much will 100 liṭra yield a day? $\scriptstyle\frac{3}{30\sdot1}=\frac{X}{1\sdot100}$	המשל בזה הלותי הליט' לחשבון ג"פ החדש ותרצה לידע כמה ירויחו היום ק' ליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot3=10}}$ pešuṭim a day	תרבה ג' ושליש עם ג' ואמור ג' פעמי' ושליש ג' י"פ נמצא שק' ליט' ירויחו היום י"פ וכה
40) One kikkar yields so and so pešuṭim a day. How many [liṭra] will one kikkar yield a year? $\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot1}$	מ) אם ישאלך אדם הככר ירויח כ"כ פשוטי' היום כמה ירויח הככר השנה
$\scriptstyle x=a\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)$	תרבה א' וחצי עם המעות שירויח הככר היום
One kikkar yields 10 pešuṭim a day. How much will it yield a year? $\scriptstyle\frac{10}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{360\sdot1}$	המשל בזה הככר ירויח היום י"פ ותרצה לידע כמה יבוא השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=15}}$ liṭra	תרבה א' וחצי עם י' ואמור א' וחצי פעמי' י' ליט' יבא ט"ו ליט‫' נמצא שירויח הככר ט"ו ליט' השנה
41) One kikkar yields so and so pešuṭim a day. How much will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{a}{1\sdot100}=\frac{X}{30\sdot1}$	מא) אם ישאלך אדם הככר ירויח היום כ"כ פשוטי‫' כמה יבא החדש הליט‫'
$\scriptstyle x=\frac{a}{3+\frac{1}{3}}$	חלק בג' ושליש מ"א המעות שירויח הככר היום
One kikkar yields 10 pešuṭim a day. How much will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{10}{1\sdot100}=\frac{X}{30\sdot1}$	המשל בזה הככר ירויח היום י"פ ותרצה לידע כמה יבא החדש הליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{3+\frac{1}{3}}=3}}$ pešuṭim	חלק י"פ בג' ושליש יבא ג"פ נמצא שיבא לחשבון גפה"ה וכה"ל
42) One kikkar yields so and so liṭra a year. How much will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}$	מב) אי"א הככר ירויח כל כך ליט' השנה כמה יבא החדש הליט‫'
$\scriptstyle x=\frac{a}{5}$	חלק לחומש הליט' שירויח הככר השנה ותחשבם פשוט‫'
One kikkar yields 12 liṭra a year. How much will one liṭra yield a month? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot12}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot1}$	המשל בזה הככר ירויח י"ב ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא החדש הליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}}}$ pešuṭim	חלק י"ב ליט' ה' לחומש ותחשבם פשוטי' שיבא ב"פ וב' חמשי פשוט נמצא שיבא החדש הליט' ב"פ וב' חמשי' וכה"ל
43) You lend 100 liṭra for one month at 8 liṭra a year. You want to know how much will be earned $\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}$	מג) אם תלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא בדרך קצרה
$\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{a}{1\sdot100}$	כלך לדרך זו ואמור אם היית מלוה אותם א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{100}{12\sdot20}=\frac{8}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}$ 100 pešuṭim = 8 dinar and 4 pešuṭim	היה עולה הריוח ק' פשוטי' שהם ח' די' וד"פ שיבא לכל ליט' א"פ בחדש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{12\sdot100}=\frac{1+\frac{3}{5}}{12\sdot20}}}$ 1⅗ pešuṭim for a liṭra	וכשאתה מוסיף עוד ח' ליט' הרי שעולה הריוח בכל ליט' בא' חדש א' פשוט וג' חמשי פשוט
the profit = $\scriptstyle{\color{blue}{x=100\sdot\frac{8}{12\sdot100}=100\sdot\frac{1+\frac{3}{5}}{12\sdot20}=\frac{100+60}{12\sdot20}=\frac{13}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}$ 160 pešuṭim = 13 dinar and 4 pešuṭim	שיבא הככר ק' פשוטי' וס' חומשי פשוט שהוא סך הכל י"ג די' וד"פ וכך יבא הככר החדש
At 7 liṭra a year $\scriptstyle\frac{7}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}$	ולחש' ז' ליט' השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12\sdot100}=\frac{1+\frac{2}{5}}{12\sdot20}}}$ 1⅖ pešuṭim for a liṭra	יבא לכל ליט' א"פ וב' חומשי פשוט בחדש
$\scriptstyle{\color{blue}{x=100\sdot\frac{7}{12\sdot100}=100\sdot\frac{1+\frac{2}{5}}{12\sdot20}=\frac{12}{20}-\frac{4}{12\sdot20}}}$ 12 dinar minus 4 pešuṭim	שיבא הככר בחדש י"ב די' פד"פ [פחות ד' פשוטי'] וכה"ל
another method	אחר על זאת השאלה הכתובה למעלה
You lend 100 liṭra for one month at 8 liṭra a year. You want to know how much will be earned. $\scriptstyle\frac{8}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}$	אם תלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון ח' ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא בדרך קצרה
$\scriptstyle\frac{\frac{20}{20}}{12\sdot100}=\frac{a}{1\sdot100}$	כלך לדרך זו ואמור אם היית מלוה ק' ליט' א' חדש לחשבון כ' די' השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{20}{12\sdot20}=\frac{\frac{5}{3}}{20}}}$ 20 pešuṭim = 5 yadot a month 1 yadot = ⅓ dinar	יבא החדש כ"פ שהם ה' ידות ‫[שלישיון דינר‫]
$\scriptstyle{\color{blue}{x=8\sdot\frac{\frac{5}{3}}{20}=\frac{\frac{40}{3}}{20}=\frac{13}{20}+\frac{4}{12\sdot20}}}$ 40 yadot = 13 dinar and 4 pešuṭim	ואמור ה' פעמי' ח' ידות [ח' לי'] הם מ' ידות [שלישיון] שהם י"ג די' וד"פ
$\scriptstyle\frac{7}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}$ $\scriptstyle{\color{blue}{x=7\sdot\frac{\frac{5}{3}}{20}=\frac{\frac{35}{3}}{20}=\frac{12}{20}-\frac{4}{12\sdot20}}}$ 35 yadot = 12 dinar minus 4 pešuṭim	ולחשבון זה תאמ' ג"כ ה' פעמי' ז' ידות הם ל"ה ידות שהם י"ב די' פחות ד"פ וכה"ל
Find the Interest
44) I lent 20 dinar for one year at 4 pešuṭim a month and at the end of the year I cashed some. I lent [what remained] for a second year at 4 pešuṭim a month also and cashed some. I lent [what remained] for a third year again at 4 pešuṭim a month and cashed some as I did in the first and the second year. Then I had no pašuṭ left. How much is the sum of all the repayments, and how much was each repayment? $\scriptstyle20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left[20+4-X+\left[\frac{4}{20}\sdot\left(20+4-X\right)\right]-X\right]\right]=X$	מד) אם ישאלך אדם הלותי כ' די' שנה אחת לחש' דפ"ה ובסוף השנה פרעתי מהם קצת הלותים שנה שניה לחשבון דפ"ה כמו כן ופרעתי מהם קצת הלותים שנה שלשית לחשבון דפ"ה כמו כן ועשיתי הפרעון כמו שעשתי בשנה ראשונה ושנייה ולא נשאר בידי אי פשוט כמה עלו כל הפרעונות וכמה כל פרעון ופרעון לבדו
the three payments = $\scriptstyle{\color{blue}{3X=28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}}$ = 28 dinar + $\scriptstyle5\frac{73}{91}$ pešuṭim	עלו כל הפרעונות כ"ח דינרי' וה' פשו' וע"ג חלקי' מצ"א בפשוט
each payment = $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{28+\frac{5+\frac{73}{91}}{12}}{3}=9+\frac{5+\frac{85}{91}}{12}}}$ = 9 dinar and $\scriptstyle5\frac{85}{91}$ pešuṭim	שיבא לכל פרעון ט' די' וה' פשוטי' ופ"ה חלקי' מצ"א
if the payment in each year was 6 dinar:	ודרך עשיית החשבון הוא על זה הדרך שתתפוש החשבון אחר ותשים קצת הפרעון שבכל שנה ושנה ו' די‫'
at the end of the third year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{6}}$ dinar	ותתפוש החשבון מסופו דהיינו שבסוף שנה שלישית נשארו ו' דינרי‫'
at the beginning of the third year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{5+1}\sdot6\right)=6-\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6-1=5}}$ dinar	ונרצה לדעת כמה נשארו בראש שנה שלישית שהוא סוף שנה שנייה אמור אם בסוף שנה שלישית נשארו ו' דינרי' הסר מהם השתות והנשאר הוא הקרן שנשאר בסוף שנה שנייה כי לעולם בכל חשבון עולה בו ריוח לחשבון דפה"ה החומש מלג שהוא שתות מל' ולכן כשתסיר ממנו השתות ופרי הוא מעתה רשאי לעשות מהם ובהם ככל אות נפשו אך א' עליו פרוע בתנאי שיפרע לעולם כל השתות ישאר הקרן לבד א"כ בראש שנה שלישית נשארו ה' די‫'
at the end of the second year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{6+5=11}}$ dinar	ואז פרעת ו' די' עבור שנה שנייה הרי שבסוף שנה שנייה היו י"א
at the beginning of the second year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{11-\left(\frac{1}{6}\sdot11\right)=9+\frac{2}{12}}}$ = 9 dinar and 2 pešuṭim	הסר מהם השתות שהוא הריוח שעלה בהם בשנה שנייה נשארו ט' די' וב"פ
at the end of the first year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(9+\frac{2}{12}\right)=15+\frac{2}{12}}}$ = 15 dinar and 2 pešuṭim	ואז פרעת ו' די' בעבור שנה ראשונה הרי שבסוף שנה ראשונה היו ט"ו די' וב"פ
at the beginning of the first year remained: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{2}{12}\right)-\left[\frac{1}{6}\sdot\left(15+\frac{2}{12}\right)\right]=12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}}}$ = 12 dinar and 7⅔ pešuṭim	הסר מהם השתות ישארו י"ב די' וז"פ וב' שלישי פשוט
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right):6=20:X}}$ if for 12 dinar and 7⅔ pešuṭim the payment is 6 dinar each year, how much will be the payment for 20 dinar?	אם כן ידענו שאם הקרן הוא י"ב די' וז"פ וב' שלישי פשוט הפרעון הוא ו' די' בכל שנה ונרצה לידע אם הקרן הוא כ' די' כמה הוא הפרעון
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{3:4=5:X}}$	עשהו בדרך זה אם ג' שוה ד' ה' כמה שוה והבן זה כי עמוק הוא וכה"ל
another method:	גם נוכל לעשותו בדרך אחרת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1+\frac{2}{3}}{12}}{12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}}=\frac{1}{91}}}$	ותאמר א"פ וב' שלשיות כמה חלק הוא מי"ב די' וז"פ וב' שלישיות הוא חלק אחד מצ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right)-\left[\frac{1}{91}\sdot\left(12+\frac{7+\frac{2}{3}}{12}\right)\right]=12+\frac{1}{2}}}$ dinar	אם תסירהו מן הקרן ישארו י"ב די' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]=10}}$ dinar	תסיר ממנו עוד מן הנשאר החומש ישארו י' די‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot10=20}}$ dinar	כפלהו יעלה כ' די‫'
each payment: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left[6-\left(\frac{1}{91}\sdot6\right)\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[6-\left(\frac{1}{91}\sdot6\right)\right]\right]\right]=9+\frac{5+\frac{85}{91}}{12}}}$ = 9 dinar and $\scriptstyle5\frac{85}{91}$ pešuṭim	וכן תעשה בפרעון תסיר מו' די' חלק אחד מצ"א אחרי כן תסיר מן הנשאר החומש ותכפול המותר יעלה בידך ט' די' וה"פ ופ"ה חלקי' מצ"א וכן יבא לכל פרעון ופרעון וכה"ל
Pricing Problem - Find the Price
45) You bought some fruit in trade at so and so liṭra for one kikkar and you want to know how much one liṭra is worth $\scriptstyle\frac{20\sdot a}{100}=\frac{X}{1}$	מה) פרי שקנית תגרות בכל כך ליט' הככר ותרצה לידע כמה יבא הליט' התגרות בדרך קצרה
$\scriptstyle X=\frac{a}{5}$	תפוש החומש מסכום החשבון המעות וד' חומשי' תשליך ומכל ליט' שנשאר בידך קח די' וכל כך מעות יבא הליט' מן התגרות
I bought 100 liṭra of pepper for 40 liṭra and you want to know how much one liṭra is worth $\scriptstyle\frac{20\sdot40}{100}=\frac{X}{1}$	המשל בזה הרי שקניתי ק' ליט' מפלפל לחשבון מ' ליט' ותרצה לידע כמה יבא הליט‫'
one liṭra of pepper for $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{40}{5}=8}}$ dinar	תפוש החומש שהם ח' ליט' ומכל ה' ליט' תקח די' הרי שיבא ח' די' הרי שיבא הליט' מן הפלפל ח' די‫'
if each liṭra is worth $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{5}=2+\frac{2}{5}}}$ pešuṭim	וה"ל אחר שבכל ליט' ממעות שהוציא בככר אחד מן התגרות יגיע לכל ליט' ב"פ וב' חמשי‫'
If you bought one kikkar in trade for 40 liṭra and you want to know how much one liṭra is worth	והרי שקנית הככר מן התגרות במ' ליט' ותרצה לידע כמה יבא הליט‫'
one liṭra for $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{5}\right)\sdot\frac{40}{12}=\left(2\sdot\frac{40}{12}\right)+\left(2\sdot\frac{\frac{40}{5}}{12}\right)=8}}$ dinar	תאמר ב"פ מ"פ וב' פעמי' מ' חומשי פשוט הם ח' די' וכה"ל
Find the Earned Interest
46) How much will be the profit of 100 liṭra for one day at 8 liṭra a year? $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot8}{360\sdot100}=\frac{X}{1\sdot100}$	מו) אם ישאלך אדם כמה יעלה הריוח מק' ליט' א' יום לחשבון ח' ליט' השנה
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot8}{3}=\frac{16}{3}=5+\frac{1}{3}}}$ pešuṭim	תאמר ב' פעמי' ח' הם י"ו תפוש השליש בפרוטות שהם ה"פ ושליש וכן יבא וכה"ל
Problems of Various Types
Rent Problem
47) If you rent a house at so and so liṭra a year and you want to know how much [should be paid] a day $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{360}=\frac{X}{1}$	מז) אם תשכיר בית אחד לחשבון כך וכך ליט' השנה ותרצה לידע כמה יבא היום
take for every liṭra $\scriptstyle\frac{2}{3}$ pešuṭim a day $\scriptstyle X=a\sdot\frac{2}{3}$	עשה כן מכל ליט' שתוציא בבית השנה יבא ליום ב' שלישי פשוט
You rent a house at 20 liṭra a year $\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot20}{360}=\frac{X}{1}$	והרי שהשכרת בית אחד לחשבון כ' ליט' השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=20\sdot\frac{2}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$ pešuṭim	תאמ' כ' פעמי' ב שלשיים הם מ' שהם י"ג פשו' ושלי' וכן יבא לזו
Exchange Problems
48) 22 of Pisa are worth 25 of Bologna. What is the exchange of the liṭra of Bologna to a liṭra of Pisa? $\scriptstyle\frac{22}{25}=\frac{1}{X}$	מח) אם ישאלך אדם הכ"ב פיסני שוים כ"ה בולייניני' כמה יתן חלוף הליט' מן הבולונייני' לליט' מן הפיסני‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25\sdot1}{22}=\frac{25}{22}=\frac{20}{20}+\frac{\frac{8}{11}}{20}}}$ 20 dinar and $\scriptstyle8\frac{8}{11}$ pešuṭim?	תרבה כ"ה פעמי' א' ליט' מבולנייני' יהיו כ"ה ליט' מבולנייני‫' חלקם על כ"ב יבא כ' די' וח"פ ח' חלקי' מי"א בפשוט וכן יתן חלוף הליט' מן הבוליי' לליט' מן הפיסני‫'
Proportions of Fractions
49) If one third equals a quarter, how much is one fifth equal? $\scriptstyle\frac{\frac{1}{3}}{\frac{1}{4}}=\frac{\frac{1}{5}}{X}$	מט) אם שליש שוה רביע חומש כמה שוה
False Position = commen denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot5=12\sdot5=60}}$	אמור תחלה אנה ימצאו שליש ורביע וחומש אמור ג' פעמי' ד' י"ב ה' פעמי' י"ב הם ס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}$	השליש הוא כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}$	הרביע הוא ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}$	החומש הוא י"ב
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{20:15=12:\left(60\sdot X\right)}}$	ואמור אם כ' שוה ט"ו י"ב כמה שוה
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\frac{12\sdot15}{20}}{60}=\frac{\frac{180}{20}}{60}=\frac{9}{60}=\frac{3}{20}}}$	אמור י"ב פעמי' ט"ו הם ק"פ חלקם בכ' חלקי' הרי שיבא ט' שהם ט' חלקי' מס‫' שהם ג' חלקי' מכ' וכה"ל

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Tree
50) If one asks you: I have a tree - its half and its third are in the water; a third and a quarter of what is left are planted in the soil; and three spans remain. How much is the length of the tree? $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)+\left[\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}\right)\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]+3=X$	נ) אם ישאלך אדם יש לי אי אילן שהחצי והשליש ממנו הוא עומד במים תחת הארץ והשליש והרבע מן הנשאר הוא מכוסה תקוע בארץ ונשאר ממנו מן האילן ג' זרתות אשאלך כמה גבהות כל האילן
False Position = common denominator: Look for the denominator, which is 72, by multiplying 3 by 2, which is 6; 3 by 6 is 18; 4 by 18 is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot3\sdot4=6\sdot3\sdot4=18\sdot4=72}}$	בקש המורה והוא ע"ב בכפלך ג' על ב' והם ו' וג' פעמי' ו' הם י"ח וד' פעמי' י"ח הם ע"ב
So, you find in 72 a half, a third, a third, and a quarter.	ובע"ב תמצא חצי ושליש ושליש ורבע
Extract a third and a half from 72; it is 60 and 12 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{72-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot72\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot72\right)\right]=72-60=12}}$	והוצא שליש וחצי מע"ב והם ס' וישארו י"ב
For the part that is in the ground, extract a third and a quarter of 12; it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	א"כ בעבור החלק האחד שהוא בארץ הוצא השליש והרבע מי"ב והם ז‫'
Now, sum 7 with 60; it is 67 and 5 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{72-\left(60+7\right)=72-67=5}}$	ועתה אסוף ז' עם ס' והם ס"ז וישארו ה‫'
Rule of Four: Do [as follows:] if 5 is 3, how much is 72? $\scriptstyle{\color{blue}{5:3=72:X}}$	אם כן עשה אם ה' היו ג' ע"ב כמה היו
72 times 3 is 216.	ע"ב פעמי' ג' הם רי"ו
Divide it by 5, the result is 43⅕.	חלקם בה' בא מ"ג וחומש
Hence, the length of the whole tree is 43⅕ spans. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{72\sdot3}{5}=\frac{216}{5}=43+\frac{1}{5}}}$	א"כ אורך כל האילן היה מ"ג זרתות וחומש
	וכה

Motion Problem - To and From - an Ant Climbing a Tower
51) A tower is 20 cubits tall. An ant wants to climb up. Every day it climbs up one third of a cubit and every night it goes down a quarter [of a cubit]. In how many days will it reach the top? $\scriptstyle\frac{1}{3}X-\frac{1}{4}X=20$	נא) הרי שיש לפניך מגדל גבוה כ' אמה ונמלה אחת רוצה לעלות למעלה ובכל יום עולה שליש אמה ובכל לילה יורדת רביע בכמה ימי' עולה למעלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}-\frac{1}{4}=\frac{1}{12}}}$	אמור תחלה כמה יותר השליש מן הרביע א' חלק מי"ב
each day it moves upwards by $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{12}}}$ of a cubit	נמצא שבכל יום יש לה יתרון א' חלק מי"ב מן האמה
it climbs up one cubit in 12 days	הרי שבי"ב ימים היא עולה אמה אחת
it will reach the top in $\scriptstyle{\color{blue}{x=12\sdot20=240}}$ days	אמור י"ב פעמים כ' בעבור המגדל שגובהו כ' הרי ר"מ הרי שבר"מ ימים תעלה על המגדל
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
52) You have some money in your purse. You take a third, a quarter, and a fifth of it and their sum is nine. How much remains? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X\right)=X-9$	נב) הרי שיש לך מעות בכיס והוצאת מהם השליש והרביע והחומש והם ט‫' כמה יהיו הנשארים
False Position = common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	אמור תחלה אנה ימצאו שליש ורביע וחומש בס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot60=20}}$	השליש הוא כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot60=15}}$	והרביע ט"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot60=12}}$	והחומש י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{20+15+12}{60}=\frac{47}{60}}}$	וכללם מ"ז חלקי' מס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{47}{60}=\frac{13}{60}}}$	נמצא שהנשארי' הם י"ג חלקי' מס‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{47}{60}:9=\frac{13}{60}:a}}$	ואמור אם מ"ז חלקי' מס' שוים ט' פשוט י"ג חלקי' מס' כמה יבואו
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{13\sdot9}{47}=\frac{117}{47}=2+\frac{23}{47}}}$	אמור י"ג פעמי' ט' הם קי"ז חלקם במ"ז בא ב' וכ"ג חלקי' ממ"ז
the money that was in the purse: $\scriptstyle{\color{blue}{X=11+\frac{23}{47}}}$ pešiṭim	נמצא שהיו בתוך הכיס י"א וכ"ג חלקי' ממ"ז
the money that remained: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{23}{47}\right)-9=2+\frac{23}{47}}}$	ומה שהוציא היו ט' ומה שנשאר היו ב' וכ"ג חלקי' ממ"ז וכ"ה
Find a Quantity Problem - First from Last Problem – Money
53) You have some money in your purse. You subtract a tenth from it and ten remain. How much was the money at first? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{10}X\right)=10$	נג) אם ישאלך אדם היו לי מעות בכיס והוצאתי מהם העשירית ונשאר י‫' כמה היו בתחלה
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=9}}$	תפוש חשבון אחד ואמור מי' כשתקח ממנו העשירית ישארו ט‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{9:10=1:a}}$	ואם כן הדרך היא כך אם ט' היו י' א' כמה היא
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot10}{9}=\frac{10}{9}=1+\frac{1}{9}}}$	כפול א' על י' הם י‫' חלקם על ט' יהיו א' ותשיעי‫'
[the money that was in the purse:] $\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\left(1+\frac{1}{9}\right)=11+\frac{1}{9}}}$	והוסיפם על הי' יהיו י"א ותשיעי‫'
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{11+\frac{1}{9}-\left[\frac{1}{10}\sdot\left(11+\frac{1}{9}\right)\right]=10}}$	הוצא מהם העשירית ישארו י' שלמי' וכה"ל
If ten and a sixth remain $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{10}X\right)=10+\frac{1}{6}$	ואם יאמר ט' נשארו י' ושתות
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{1:\left(1+\frac{1}{9}\right)=\frac{1}{6}:a}}$	עשה כן אחר שידעת כי האחד היא אחד ותשיעי‫' תאמ' אם אחת היא אחת ותשיעי' השתות כמה היא
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)}}$	תפוש השתות מא' ותשיעי‫'
[the money that was in the purse:] $\scriptstyle{\color{blue}{X=11+\frac{1}{9}+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{1}{9}\right)}}$	והוסיפם על הי"א ותשיעי' וכן יצא
Divide a Quantity – Money
54) If you want to divide 5 pešuṭim to a third and a quarter without a remainder $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5$	נד) אם תרצה לחלק ה"פ לשליש ולרביע ולא ישאר ממנו כלל
False Position - common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	אמור תחלה שליש ורביע נמצא בי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	השליש הוא ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}$	הרביע הוא ג‫'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}$	חברם יחד הם ז' והוא המחלק
the portion of the one who has a third - Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot5}{7}=\frac{20}{7}=2+\frac{6}{7}}}$	ואם תרצה לידע כמה יבא למי שיש לו השליש שהוא ד‫' אמור ד' פעמי' ה' בעבור שהם הפ' יבא כ‫' וחלק אותם לז' יבאו ב' וו' חלקי' מז‫'
the portion of the one who has a quarter - Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot5}{7}=\frac{15}{7}=2+\frac{1}{7}}}$	ומי שהוא שיש לו הרביע שהוא ג‫' אמור ג' פעמי' ה' ט"ו חלקם לז' יבא ב' וא' חלק מז‫'
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{7}\right)+\left(2+\frac{1}{7}\right)=5}}$	חברם יחד יעלו ה' במספר המעות הרי שנחלקו לשליש ולרביע ולא נשאר מהם כלל וכה"ל
Divide a Quantity – Money
55) If you want to divide 12 pešuṭim to a half, a third, and a quarter without a remainder $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=12$	נה) אם תרצה לחלק י"ב פשוט לחצי ולשליש ולרביע
False Position - common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	אמור תחלה אנה ימצאו בי"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}$	החצי הוא ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	והשליש ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}$	והרביע ג‫'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{6+4+3=13}}$	חברם הם י"ג והוא המחלק
the portion of the one who has a half - Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}X=\frac{6\sdot12}{13}=\frac{72}{13}=5+\frac{7}{13}}}$	ומי שיש לו החצי אמור החצי מי"ב הוא ו‫' ואמור ו' פעמי' י"ב בעבור המעות שהם י"ב יבואו ע"ב חלקם על י"ג יבואו ה' וז' חלקי' מי"ג
the portion of the one who has a third - Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{4\sdot12}{13}=\frac{48}{13}=3+\frac{9}{13}}}$	ומי שיש לו השליש שהוא ד‫' אמור ד' י"ב הם מ"ח חלקם בי"ג יבואו ג' וט' חלקי' מי"ג
the portion of the one who has a quarter - Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}X=\frac{3\sdot12}{13}=\frac{36}{13}=2+\frac{10}{13}}}$	ומי שיש לו הרביע שהוא ג‫' אמור ג' פעמי' י"ב הם ל"ו חלקם בי"ג יבוא ב' וי' חלקי' מי"ג
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)+\left(2+\frac{10}{13}\right)=12}}$	ואם תאסוף כלם יבאו יב"פ כמספ' המעו‫'
Ordering Problem - Six Coins
56) A man has a worker for 30 pešuṭim for 30 days. [The worker] wants to be paid each day, but the employer has only six silver coins that are worth a total of 30 pešuṭim. He pays him every day with these six coins. How much should [each of] the six coins [be worth] so that he will not need to exchange them? $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+3+4+8+12=30}}$	נו) הרי שאדם יש לו שכיר אחד לשלשי' יום בל' פשו‫' ורוצה לקבל פרעונו בכל יום ואין לשוכר רק ו' מטבעות כסף ששוים ל"פ סך כולם והוא פורע אותו בכל יום עם אלו הו' מטבעות היאך יהיו אלו הו' מטבעות ולא יצטרך להחליפם
1; 2; 3; 4; 8; 12	סימ' א' ב' ג' ד' ח' י"ב
Find a Number Problem - Ratio of Integers and Fractions
57) If three and one third equal four and a quarter, how much are five and one fifth equal? $\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right):\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(5+\frac{1}{5}\right):X$	נז) אם ג' ושליש שוים ד' ורביע ה' וחומש כמה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}}}$	אמור ה' וחומש פעמי' ד' ורביע ומה שיבא חלקהו בג' ושליש
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{5}=\frac{\left(5\sdot5\right)+1}{5}=\frac{25+1}{5}=\frac{26}{5}}}$	וזה סדר עשייתו תפוש ה' וחומש ואמור ה' פעמי' כ"ה וא' הרי כ"ו הרי שעשית מה' וחומש כ"ו חמשיות ותזמן אותם כאשר תראה
$\scriptstyle{\color{blue}{4+\frac{1}{4}=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}=\frac{16+1}{4}=\frac{17}{4}}}$	אחרי כן תפוש ד' ורביע ואמור ד' פעמי' ד' י"ו וא' הרי י"ז הרי שעשית מד' ורביע י"ז רבעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=\frac{26}{5}\sdot\frac{17}{4}=\frac{26\sdot17}{5\sdot4}=\frac{442}{20}=22+\frac{1}{10}}}$	ובעבור שאנו צריכים לומ' ה' וחומש פעמי' ד' ורביע תרבה כ"ו עם י"ז יעלו תמ"ב ונחלק אותם אחרי כן לרביע וחומש ונאמ' ד' פעמי' ה' כ‫' נחלק אותם תמ"ב יעלו כ"ב וב' חלקי' מכ' דהיינו א' עשירי‫'
converting to thirds: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)=22+\frac{1}{10}=\frac{3\sdot\left(22+\frac{1}{10}\right)}{3}=\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}}$	ובעבור שאנו צריכים לחלק בג' ושליש עשה מכ"ב וא' עשירי' כולם שלישייות ואמור ג' פעמי' כ"ב ס"ו וג' פעמי' א' עשירי' הם ג' עשריות הרי ס"ו וג' עשירייות
$\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}=\frac{\left(3\sdot3\right)+1}{3}=\frac{9+1}{3}=\frac{10}{3}}}$	חלק אותם אחרי כן בג' ושליש וזהו דרך חלוקו שתעשה מג' ושליש כולם שלישייות ואמור ג' פעמי' ג' ט' וא' הרי י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle X&\scriptstyle=\frac{\left(5+\frac{1}{5}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{4}\right)}{3+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{66+\frac{3}{10}}{3}}{\frac{10}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{66+\frac{3}{10}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{66}{10}+\frac{\frac{3}{10}}{10}\\&\scriptstyle=6+\frac{6}{10}+\frac{3}{100}\\&\scriptstyle=6+\frac{60}{100}+\frac{3}{100}=6+\frac{63}{100}\\\end{align}}}$	א"כ נחלק ס"ו בי' חלקי' יבואו ו' וו' עשירייות נחלק אחרי כן ג' עשיריות בי' חלקי' יבואו' ג' חלקי' מק‫' הרי שעולה החשבון ו' שלמים וו' עשירייות וג' חלקי' מק‫' נקבץ אותם יחד ונעשה מו' עשיריות חלקי' מק' ויהיו ס' וג' חלקי' שהיו לנו הרי ס"ג נמצא שיבא ו' שלמים וס"ג חלקי' ממאה
Multiple Quantities - Boys Selling Eggs
58) A man gave his sons eggs to sell: to one [of them] he gave 50 eggs, to the second 30, and to the third 10. He said to them: go, sell the eggs equally, and bring me equal amounts of money $\scriptstyle10X=30Y=50Z$	נח) אדם נתן לבניו ביצות למכור לאחד נתן נ' בצים ולשני ל' ולשלישי י‫' ואמ' להם לכו ומכרו הבצים בשוה וכולכם תביאו לי מעות בשוה
first they sold 7 eggs for one pašuṭ	הלכו ונתנו ז' בצים בפשוט
The first who had 50 eggs: 49 eggs for 7 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{50-\left(7\sdot7\right)=50-49=1}}$ egg remains	אותו שהיו לו נ' בצים מכר מ"ט בצי' בז"פ ונשארה לו ביצה אחת
The second who had 30 eggs: 28 eggs for 4 pešuṭim $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(7\sdot4\right)=30-28=2}}$ eggs remain	ואותו שהיו לו ל' בצים מכר כ"ח בצים בד' פשו' ונשארו לו ב' בצים
The third who had 10 eggs: 7 eggs for 1 pašuṭ $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(7\sdot1\right)=10-7=3}}$ eggs remain	ואותו שהיו לו י' בצים מכר ז' בצים בפשו' ונשארו לו ג' בצים
then they sold one egg for 3 pešuṭim	הילכו פעם שנייה ומכרו הבצים שנשארו להם בג"פ הביצה
The first who had 1 egg left: 1 egg for 3 pešuṭim he had a total of $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\right)+7=3+7=10}}$ pešuṭim	הראשון שנשארה לו ביצה אחת קבל ג' פשוט וז' שקבל במכירה ראשונה הרי י' פשו‫'
The second who had 2 eggs left: 2 eggs for 6 pešuṭim he had a total of $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+4=6+4=10}}$ pešuṭim	והשני שנשארו לו ב' בצים קבל ו"פ וד"פ שקבל במכירה ראשונה הרי י"פ
The third who had 3 eggs left: 3 eggs for 9 pešuṭim he had a total of $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot3\right)+1=9+1=10}}$ pešuṭim	והשלישי שנשארו לו ג' בצים קבל ט"פ וא"פ שקבל במכירה ראשונה הרי שקבל י"פ
they sold the eggs for the same price and received the same amount of money	נמצא שכולם מכרו הבצים בשוה וכולם קיבלו מעות בשוה

Find a Quantity Problem - Whole from Parts – Fish
59) A fish - its head and tail were cut off. The body weighs 10 liṭra. The head weighs one third and a quarter of the whole fish. The tail weighs a fifth and a sixth of the whole fish. How much does the whole fish weigh? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+10=X$	נט) הרי שיש לפניך דג ונחתך ראשו וזנבו והגוף שוקל י' ליט‫' והראש היה שוקל השליש והרביע מכל הדג והזנב שוקל החומש והשתות מכל הדג כמה ישקול כולו
False Position: First say: a third, a quarter, a fifth, and a sixth are found in 60.	אמור תחלה שליש ורביע וחומש ושתות נמצא בס‫'
They are 20, 15, 12, and 10, which are 57 parts of 60.	שהם כ' וט"ו וי"ב וי' שהם נ"ז חלקי' מס‫'
We find that the head and tail that weigh together a third, a quarter, a fifth, and a sixth are 57 parts of 60, which is the whole. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15+12+10}{60}=\frac{57}{60}}}$	נמצא שהראש והזנב ששקלו סך שניהם שליש ורביע וחומש ושתות הם נ"ז חלקי' מס' שהוא השלם
The 3 parts that remain from 60 are the body that weighs 10 liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60}{60}-\frac{57}{60}=\frac{3}{60}}}$	ואותם הג' חלקי' שנשארו עד ס' הוא הגוף ששוקל י' ליט‫'
Rule of Four: So say: if 3 parts of 60, i.e. the body, weigh 10 liṭra, how much do the remaining 57 parts of 60, i.e. the third, the quarter, the fifth, and the sixth, which are the head and the tail weigh? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{57}{60}:a}}$	אמור א"כ אם ג' חלקי' מס' שוקלים י' ליט' דהיינו הגוף הנשאר הנ"ז חלקי' מס' דהיינו השליש והרביע והחומש ושתות שהם הראש והזנב כמה שוקלי‫'
Say: 57 times 10 is 570.	אמור נ"ז פעמי' י' הם תק"ע
Divide it by 3 parts; the result is 190 liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{57\sdot10}{3}=\frac{570}{3}=190}}$	חלקם בג' חלקי' יבוא ק"צ ליט‫'
We find that the head and the tail weigh 190 liṭra.	נמצא שהראש והזנב שוקלים ק"צ ליט‫'
The body weighs 10 liṭra, so the total is 200 liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{x=190+10=200}}$	והגוף שוקל י' ליט' שהוא סך הכל ר' ליט‫'
If you wish to know how much does the head weigh alone:	ואם תרצה לידע כמה שוקל הראש לבדו
You already know that the head weighs a third and a quarter; and the third and the quarter of 60 are 35 parts of 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)}{60}=\frac{20+15}{60}=\frac{35}{60}}}$	כבר ידעת כי הראש שוקל השליש והרביע והשליש והרביע מס' הם ל"ה חלקי' מס‫'
Rule of Four: Say: if 3 parts of 60, i.e. the body, weigh 10 liṭra, how much do these 35 parts, i.e. the head that weighs a third and a quarter, weigh? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{60}:10=\frac{35}{60}:b}}$	ואמור אם ג' חלקי' מס' דהיינו הגוף שוקל י' ליט' אלו הל"ה חלקי' דהיינו הראש ששוקל שליש ורביע כמה שוקל
Say 35 times 10 [is] 350.	אמור ל"ה פעמי' י' ש"נ
Divide it by 3; the result is 116⅔ and this is the weight of the head. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\frac{35\sdot10}{3}=\frac{350}{3}=116+\frac{2}{3}}}$	חלקם בג' יבא קי"ו וב' שלשיות והוא משקל הראש
Do the same with the tail and you will get the matter.	ובזה הדרך תעשה גם הזנב ויצא לך הענין
	וכה"ל

Simultaneous Division - Money in a Purse
60) Two men had money in one purse. One said to the other: hear me my brother, one third and a quarter of my money are equal to a sixth and a seventh of your money. They checked and found this as they said. How much money did each one of them have? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=\frac{1}{6}Y+\frac{1}{7}Y$	ס) ב' אנשים היו להם מעות בא' כיס אמ' זה לזה שמעני אחי כך הם השליש והרביע ממעותי כמו השתות והשבע ממעותיך והם בדקו ומצאו כן כאשר אמרו אשאלך כמה מעות היו לכל אחד ואחד
the money of the one with the third and the quarter: $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	תמצא חשבון שימצא בו שליש ורביע וימצא בי"ב וכך מעות היו לו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$ pešuṭim	קח מהם שליש ורביע והם ז"פ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{6}\sdot42\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot42\right)}{42}=\frac{13}{42}}}$	ועבור האיש האחר שהיה לו שתות ושביע שהם י"ג חלקי' ממ"ב
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{13:7=42:y}}$	ואמור אם י"ג היו ז' כמה היו מ"ב
the money of the one with the sixth and the seventh: $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{7\sdot42}{13}=\frac{294}{13}=22+\frac{8}{13}}}$	אמור ז' פעמי' מ"ב רצ"ד חלקם בי"ג יהיו כ"ב וח' חלקי' מי"ג וכך מעות היו לו
Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{6}\sdot\left(22+\frac{8}{13}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(22+\frac{8}{13}\right)\right]=7}}$ pešuṭim	תוציא השתות והשביע מהם ויהיו ז"פ
Partnership - for the same time
61) Three people wanted to form a partnership and contribute together 40 ounces of gold. The first has gold that is worth 3 liṭra per ounce. The second has gold that is worth 5 liṭra per ounce. The third has gold that is worth 8 liṭra per ounce. How much gold should each of them contribute so that the total will be 40 ounces and the share of each of them will be equal to the shares of his friends? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{8}X=40$	סא) הרי שג' אנשים רצו להתחבר ולשים בחברותה מ' אונקי' זהב לאחד יש לו זהב ששוה ג' ליט' האונ‫' והשני יש לו זהב ששוה ה' ליט' האונקי‫' ולשלשי יש לו זהב ששוה ח' ליט' האונקי‫' כמה זהב ישים כל אחד שיהיו מ' אונקיו' וכל אחד יהיה שוה השלו כמו של חברו
False Position - common denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{120}}$	עשה על זה הדרך אמור שליש וחומש ושמינית אנה ימצאו בקש המורה והוא ק"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot120=40}}$	השלשי הוא מ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot120=24}}$	החומש הוא כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot120=15}}$	השמינית הוא ט"ו
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{40+24+15=79}}$	צרף כולם יהיו ע"ט והוא המחלק
the one whose gold is worth 3 liṭra contributes: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}X=\frac{40\sdot40}{79}=\frac{1600}{79}=20+\frac{20}{79}}}$ ounces of gold	ואם תרצה לידע כמה זהב ישים אותו שיש לו הזהב ששוה ג' ליט' האונקי‫' אמור השלשי הוא מ' ותרבה אותו עם סך האונקי' שהם מ' ואמור מ' פעמי' מ' אלף ות"ר חלקם בע"ט יבוא כ' וכ' חלקי' מע"ט הרי שישים בחברותה כ' אונ' וכ' חלקי' מע"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}$ liṭra	ואם תרצה לידע כמה שוה חלקו של זה אמור מן הכ' אונקי' יבוא ס' ליט‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{1:720=\frac{20}{79}:X}}$	ומן הכ' חלקי' מע"ט אמור אם ע"ט שהוא אחד שלם שוה תש"כ פש' הכ' חלקי' מע"ט כמה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{720\sdot20}{79}=\frac{14400}{79}=182+\frac{22}{79}}}$ pešiṭim	אמור כ' פעמי' תש"כ י"ד אלפי' ות‫' חלקם בע"ט יבואו קפ"ב פשוטי' וכ"ב חלקי' מע"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{X=60+\frac{182+\frac{22}{79}}{20\sdot12}=60+\frac{15}{20}+\frac{2+\frac{22}{79}}{20\sdot12}}}$ his share is worth: 60 liṭra, 15 dinar, 2²²/₇₉ pešiṭim	הרי ששוה חלקו של זה ס' ליט' וט"ו די' וב"פ וכ"ב חלקי' מע"ט
the same for the others	וכן תעשה מן האחרים ויצא לך הענין וכה"ל

Give and Take Problem - gatekeeper
62) A man passed through four towns. In the first town, he doubled all his money and when leaving town the gatekeeper took from him 8 pešuṭim. The same happened in the second and the third towns – in each town he doubled all his money and when leaving town the gatekeeper took from him 8 pešuṭim. In the fourth town, he doubled again all the remaining money and paid 8 pešuṭim. Then he had no pašuṭ left. How much money did he have at first? $\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2x-8\right)-8\right]-8\right]=8$	סב) איש אחד מהלך בד' עיירות ובעיר ראשונה הכפיל כל מעותיו ובצאתו מן העיר לקח לו השוער ח"פ וכן בעיר השנית והשלישית הכפיל כל מעותיו ובצאתו מן העיר לקח לו השוער ח"פ בכל עיר וכן בעיר הרביעית הכפיל כל מעותיו הנשארים ופרע ח"פ ומ.. לא נשאר בידו פשוט אשאלך כמה מעות היו לו קודם
If you wish to know this, since this man passed through four towns and in each town he paid 8 pešuṭim:	אם תרצה לידע אותו עבור כי זה האיש הלך בד' עיירות ובכל עיר פרע ח"פ
For the first town, the 8 pešuṭim should be divided into half; they are 4 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}$	עבור העיר ראשונה צריך אלו הח"פ לחלק לחצי ויהיו ד"פ
For the second town, the 4 pešuṭim should be divided into half; they are 2 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{2}=2}}$	ועבו' העיר השנית אלו הד"פ חלק לחצי ויהיו ב"פ
For the third town, the 2 pešuṭim should be divided into half; they are 1 pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{2}=1}}$	ועבו' העיר השלישית אלו הב"פ חלק לחצי ויהיה א"פ
Divide the pašuṭ into half; it is a half pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}}}$	וזה הפשוט חלק לחצי ויהיה חצי פשוט
Then, sum up all together; they are 7½ pešuṭim and this was the original amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4+2+1+\frac{1}{2}=7+\frac{1}{2}}}$	ואסוף אחרי כן כולם יחד ויהיו ז' פשו' וחצי וכך היה הקרן
	וכה"ל

Shared Work Problem - Rivers Filling a Fountain

63) Four rivers are flowing towards a fountain.

The first fills it in a day.

The second fills it in two days.

The third [fills it] in 3 days.

The fourth [fills it] in 4 days.

If all are flowing together, how long will it take them to fill [the fountain]?

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=1

סג) ד' נהרות רצים אל מעיין אחד

האחד ממלאו ביום אחד
והשני ממלאו בב' ימים
והשלשי בג' ימים
והרבעי בד' ימים
ותרצה לידע אם ירוצו בו כלם יחד בכמה זמן ימלאוהו

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{12}}

עשה על זה הדרך אמור ראשון וחצי ושליש ורביע ימצא בי"ב

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot12=12}}

הראשון י"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}

החצי ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}

השליש ד‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}

הרביע ג‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{12+6+4+3=25}}

חברם יחד הם כ"ה והוא המחלק

together they fill 25 fountains in 12 days:

הרי שבי"ב ימי' ימלאו כ"ה מעינות

the one that fills it in 1 day - fills 12 fountains in 12 days

כיצד אותו שממלאהו ביום אחד א"כ בי"ב ימים ימלא י"ב מעינות

the one that fills it in 2 days - fills 6 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בב' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ו' מעינות

the one that fills it in 3 days - fills 4 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בג' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ד' מעיינות

the one that fills it in 4 days - fills 3 fountains in 12 days

ואותו שממלאהו בד' ימים א"כ בי"ב ימים ימלא ג' מעיינו‫'

together they fill 25 fountains in 12 days

נמצא שארבעתם יחד ימלאו בי"ב ימים כ"ה מעיינות

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{25:12=1:X}}

אמור א"כ אם כ"ה מעיינות מתמלאי' בי"ב ימים א' מעיין בכמה מתמלא

together they fill one fountain in

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}

of a day

אמור א' פעם י"ב הם י"ב

חלקם בכ"ה יבא י"ב חלקי' מכ"ה הרי שבי"ב חלקי' מכ"ה מתמלא ביום המעיין

ואם תרצה לידע כמה חלק מן המים שם כל אחד מן הנהרות במעיין

the one that fills it alone in 1 day, fills $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{1\sdot12}{25}=\frac{12}{25}}}$ parts of the fountain in $\scriptstyle\frac{12}{25}$ of a day

אמור הראשון הוא י"ב אמור י"ב פעמי' א' בעבו' המתמלא שהוא א' הם י"ב חלקם בכ"ה יבוא י"ב חלקי' מכ"ה

the same for the others

ובזה הדרך תעשה מן האחרים וכה"ל

the number of fountains they fill in one day:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot25}{12}=\frac{25}{12}=2+\frac{1}{12}}}

fountains

ואם תרצה לידע כמה מעיינות ימלאו ביום אחד תאמ' א' פעם כ"ה הם כ"ה חלקם בי"ב יבואו ב' מעיינות וא' חלק מי"ב וכה"ל

Motion Problem – Pursuit

64) A man is walking ten miles a day.

Another man is walking one mile on the first day, two miles on the second day, three miles on the third day, and so on he adds in each day one more mile.

In how many days will [the total distance each of them walked] be equal?

[See the additional problems below]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i

סד) הרי אדם אחד שהוא מהלך בכל יום י' מילין

ואדם אחר מהלך ביום אחד א' מיל וביום שני ב' וביום ג' ג' והוא מוסיף בכל יום מיל אחד
בכמה ימים יעמדו בשוה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}

days

כפול י' עם י' ויבוא כ' תפחות א' מכ' יהיו י"ט הרי שבי"ט ימים יעמדו בשוה וכה"ל

If the slower is walking 1, 3, 5, 7, and so on - each day he walks an odd number [of miles]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)

ואם הצולע מהלך אגה"ז ובכל יום מוסיף והולך פרדים ולא זוגות

\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}

days

תפוס הי' מילים שמהלך הקבוע ודע שבי' ימים ישיגנו

If the slower is walking 2, 4, 6, 8, and so on - each day he walks an even number [of miles]

\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i

ואם הצולע מהלך בדו"ח וכן מוסיף והולך זוגות ולא פרדים

\scriptstyle{\color{blue}{x=10-1=9}}

days

תפחות א' מן הי' מילין שמהלך הקבוע ואמור כי בט' ישיגנו ימים וכה"ל

Mixture and Alligation Problem - Goldsmith making rings from several kinds of coins

65) You gave the goldsmith 10 ounces of gold to create rings from them.

Two ounces of them were of 14 carat per ounce.

Three ounces of them were of 16 carat per ounce.

Five ounces of them were of 18 carat per ounce.

The goldsmith mixed all the gold together.

You want to know how many carats per ounce all of them will be together

\scriptstyle\frac{\left(2\sdot14\right)+\left(3\sdot16\right)+\left(5\sdot18\right)}{2+3+5}

סה) הרי שנתתה לצורף י' אונקיו' זהב לעשות ממנו טבעות

והב' אונקיו' מהם היה זהב מי"ד קראטי' האונקי‫'
והג' אונק' מהם היה זהב מי"ו קרטי' האונק‫'
והה' אונקיות מהם היה זהב מי"ח קרטי' האונק‫'
והצורף צירף כל הזהב ביחד
ותרצה לידע מכמה קראטי' יהיה האונק' כולם יחד

(the total sum of the carat)÷(the total sum of the ounces)

תפוש סכום האונק' והקרטי' וכפול הקרטי' בסכום האונק' שלהם

two ounces of 14 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot14=28}}

carat

כיצד הב' אונ' מי"ד קרטי' האונ' ת..ם כ"ח

three ounces of 16 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot16=48}}

carat

והג' אונק' מי"ו קרטי' האונ' ת..ם מ"ח

five ounces of 18 carat:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot18=90}}

carat

והה' אונק' מי"ח קרטי' האונ' ת..ם צ‫'

total sum: :

\scriptstyle{\color{blue}{28+48+90=166}}

carat

חברם יחד הם קס"ו קרטי‫'

each ounce:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28+48+90}{2+3+5}=\frac{166}{10}=16+\frac{3}{5}}}

carat

חלקם לי' חלקי' כמנין האונ' יבא לכל אונק' י"ו קרטי' וג' חומשי קרטי' וכה"ל

Divide a Quantity - Price of a Fish Paid by a Group of People

66) Three men bought one fish for nine pešuṭim.

One had a half; the second had a third; and the third had a ninth.

You want to know: how much was the share of each in the fish?

\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{9}X=9

סו) הרי שג' אנשים קנו א' דג בט"פ

לאחד יש לו החצי ולשני יש לו השליש ולשלישי יש לו התשיעי
ותרצה לידע כמה חלק מן הדג יש לכל אחד

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{18}}

עשה על זה הדרך אמור אנה ימצא חצי ושליש ותשיעי בי"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot18=9}}

החצי הוא ט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot18=6}}

השליש הוא ו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot18=2}}

התשיעי הוא ב‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{9+6+2=17}}

חברם יחד הם י"ז והוא המחלק

the one who has a half:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)}{17}=\frac{9}{17}}}

of the fish

ואותו שיש לו החצי מן הדג

אמור החצי הוא ט' ותרבה אותו על הדג שהוא א' ואמור ט' פעמי' א' הוא ט‫'
חלקהו בי"ז יבא לחלקו ט' חלקי' מי"ז

the same for the others

וכן תעשה מן האחרים ויצא לך הענין וכה"ל

Joint Purchase Problem - If You Give Me - two men - Amounts of Money

67) A man said to his friend: give me six pešuṭim and I will have as much as you have.

The other one said: if you give me six pešuṭim I will have twice as much as you have.

How much money did the first have and how much money did the second have?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+6=Y-6\\\scriptstyle Y+6=2\sdot\left(X-6\right)\end{cases}

סז) אם יאמר אדם לחבירו תן לי ו"פ יהיה לי כאשר יש לך

והאחר אמ' אם תתן לי ו"פ יהיה לי פי שנים ממך
אשאלך כמה מעות היו לאחד וכמה מעות היו לאחר

the one who asked for 6 pešuṭim:

\scriptstyle{\color{blue}{Y=6\sdot7=42}}

pešuṭim.

תאמ' ו' פעמי' ז' מ"ב וכך מעות היו לאיש שאמר תן לי ו"פ יהיה לי כפול ממך

the second:

\scriptstyle{\color{blue}{X=5\sdot6=30}}

pešuṭim.

ולמעות האחר תאמ' ה' פעמ' ו' ל' וכן היו לו כה"ל

Interest and Discount Problem - find the fund

68) I produced two pešuṭim from one pašuṭ, I produced three [pešuṭim] from two [pešuṭim], four from three, five from four, and six from five, and I had a total of 400 pešuṭim.

How much was the money invested?

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{1}=\frac{400}{X}}}

סח) אם נאמר לך אני פלני עשיתי מא"פ ב' ומב' עשיתי ג' ומג' ד' ומד' ה' ומה' ו' והיו לי בין קרן וריוח ת"פ

אשאלך כמה היה הקרן

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{6:1=400:X}}

עשה כן עת' כי מאחד עשית ב' ומב' ג' ומג' ד' ומד' ה' ומה' ו‫'

א"כ צריך לראות כי ו' יצאו מא' א"כ מאיין מצים לצאת ת"פ

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1\sdot400}{6}=66+\frac{2}{3}}}

pešuṭim

עשה כן א' פעם ת"פ וחלקם בו' יהיו ס"ו פשו' וב' שלישי פשוט וכן היה הקרן

69) Exchange Problems

69) 20 dinar of Ancona are worth 31½ pešuṭim of Bologna.

How many [of Bologna] are 37½ dinar of Ancona worth?

\scriptstyle\frac{20}{31+\frac{1}{2}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{X}

סט) כ' די' אונקוניטני לחילוף בולייניני' ל"א פ' וחצי הליט' שוה שתות מן הבולונייני‫'

כמה יבא לל"ז די' וחצי מאנקונטני' מחלוף

\scriptstyle{\color{blue}{37\sdot31=1147}}

עשה כן ל"ז פעמי' ל"א הם אלף וקמ"ז

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot31=15+\frac{1}{2}}}

ואחר אמור איזהו החצי מל"א הוא ט"ו וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot37=18+\frac{1}{2}}}

ומהו החצי מל"ז והוא י"ח וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}=\frac{1}{4}}}

ומהו החצי מן החצי הוא רביע

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\left(37+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(31+\frac{1}{2}\right)}{20}\\&\scriptstyle=\frac{1147+\left(15+\frac{1}{2}\right)+\left(18+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{4}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{1181+\frac{1}{4}}{20}\\&\scriptstyle=59+\frac{1}{20}+\frac{1}{80}\\&\scriptstyle=59+\frac{5}{80}\\\end{align}}}

ואסוף ט"ו וחצי וי"ח וחצי ורביע יהיו אלף וקפ"א ורביע

חלק אותם לכ' חלקי' יבא נ"ט פשו' וא' חלק מכ' וא' חלק מפ‫'
דהיינו ה' חלקי' מפ' וכה"ל

How many [of Bologna] are 91¼ dinar of Ancona worth?

\scriptstyle\frac{20}{31+\frac{1}{2}}=\frac{91+\frac{1}{4}}{X}

ואם יאמר לצ"א די' ורביע כמה יבא כמו כן

\scriptstyle{\color{blue}{91\sdot31=2821}}

תרבה צ"א פעמי' ל"א והם אלפיים ותתכ"א

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot31=7+\frac{3}{4}}}

ואחר אמור איזהו הרביע מל"א הוא ז' וג' רבעי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot91=45+\frac{1}{2}}}

ומה הוא החצי מצ"א והוא מ"ה וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}}}

ומהו החצי מן הרביע הוא שמינית

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\frac{\left(91+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(31+\frac{1}{2}\right)}{20}\\&\scriptstyle=\frac{2821+\left(7+\frac{3}{4}\right)+\left(45+\frac{1}{2}\right)+\frac{1}{8}}{20}\\&\scriptstyle=\frac{2874+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}}{20}\\&\scriptstyle\approx143+\frac{3}{4}+\frac{1}{20}\\&\scriptstyle=144-\frac{1}{5}\\\end{align}}}

ואסוף עם אלפים ותתכ"א ויהיו אלפי' ותתע"ד וא' רביע וא' שמינית

וחלקם בכ' חלקי' ויהיו קמ"ג פשו' וג' רבעים וא' חלק מכ‫'
דהיינו קמ"ד פשו' פחות חומש וכה"ל

Interest and Discount Problem

70) A certain amount produced 17 liṭra in one year at 3 pešuṭim for one liṭra a month.

How much was the money invested?

\scriptstyle X+\left(12X\sdot\frac{3}{12\sdot20}\right)=17

ע) חשבון אחר שבין קרן וריוח היו בשנה אחת י"ז ליט' לחשבון גפה"ה

כמה היה הקרן

תפוס חשבון אחד ואמור כ"ג ליט' לחשבון גפה"ה היו בסוף השנה כ' ליט' מקרן וג' ליט' מריוח

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{23:20=17:X}}

ואמור אם כ"ג היה כ' י"ז כמה היה

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{17\sdot20}{23}=\frac{340}{23}=14+\frac{15}{20}+\frac{\frac{15}{23}}{20}}}

14 liṭra and 15

\scriptstyle\frac{15}{23}

dinar

אמור י"ז פעמי' כ' ש"מ

חלקם על כ"ג יהיו י"ד ליט' וט"ו די' נוס' וט"ו חלקי' מכ"ג בפשוט וכה"ל

Pricing Problem - Find the Amount

71) One kikkar of leather for 21½ liṭra.

How much leather [can be bought] for 12¼ liṭra?

\scriptstyle\frac{100}{21+\frac{1}{2}}=\frac{X}{12+\frac{1}{4}}

עא) אם נשאלת בכ"א ליט' וחצי הככר מן העורות עבור י"ב ליט' ורביע כמה עורות יבא

False Position - denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(21+\frac{1}{2}\right)+\left(21+\frac{1}{2}\right)=43}}

עשה כ"א וחצי וכ"א וחצי ויהיו מ"ג וזהו המחלק

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot100=200}}

ואחר עשה ב' פעמי' ק' והם מאתיי‫'

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{200\sdot\left(12+\frac{1}{4}\right)}{43}=\frac{2450}{43}=56+\frac{42}{43}}}

ותרבה י"ב ליט' ורביע עם מאתיים ויהיו אלפיי' ות"נ

וחלק במ"ג חלקים ויהיו נ"ו עורות ומ"ב חלקי' ממ"ג מא' עור וכה"ל

How much leather [can be bought] for 71½ liṭra?

\scriptstyle\frac{100}{21+\frac{1}{2}}=\frac{X}{71+\frac{1}{2}}

ואם יאמר בע"א ליט' וחצי כמה עורות יבואו לו כמו כן

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100\sdot2\sdot\left(71+\frac{1}{2}\right)}{\left(21+\frac{1}{2}\right)+\left(21+\frac{1}{2}\right)}=\frac{100\sdot143}{43}=332+\frac{24}{43}}}

תרבה ע"א ליט' וחצי עם ב' ויהיו קמ"ג ככרים

וחלק במ"ג ויהיו של"ב עורות וכ"ד חלקי' ממ"ג מא' עור וכה"ל

Divide a Quantity - Sharing Food

72) Two men sat down to eat.

One had two loaves of bread and the second had three [loaves of bread].

A third came and ate with them.

The three ate the five loaves of bread and after they ate and drank, the third who came to eat with them gave five pešiṭim for the two.

How should they share the [five pešiṭim]?

\scriptstyle\left[\left(2-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]+\left[\left(3-\frac{5}{3}\right)\sdot X\right]=5

עב) ב' אנשים היו יושבים לאכול

לאחד יש לו ב' לחמים ולשני ג‫'
בא השלישי והיסב לאכול עמהם ואכלו כן שלשתם אלו הה' לחמים
לאחר שאכלו ושתו נתן השלשי שבא לאכול עמהם הפ' לאותם השנים
היאך יחלקום

each ate

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}

loaves of bread

אמור כמה חלקי' מן הלחם אכל כל אחד ואחד א' לחם וב' שלישיות

the one who had 2 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}

of a loaf

א"כ אותו שהיו לו ב' לחמים ואכל א' לחם וב' שלשיות לא הפסיד כי אם שליש לחם

the one who had 3 loaves of bread lost

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}=\frac{4}{3}}}

of a loaf

ואותו שהיו לו ג' לחמים ואכל א' לחם וב' שלשיות הפסיד א' לחם ושליש דהיינו ד' שלשיות

the one who had 2 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1}}

pašuṭ

א"כ אותו שהיו לו ב' לחמי' יקבל א"פ

the one who had 3 loaves of bread will receive:

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=4}}

pešiṭim

והאחר יקבל ד"פ

Find a Number Problems - Multiplication of fractions

Fractions by Fractions

73) How much are four fifths by four fifths?

\scriptstyle\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}

עג) אם ישאלך אדם כמה הוא ד' חמשיות על ד' חמשיות

\scriptstyle\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}

תאמר אם היה שואל א' חמישית על א' חמישית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\times\frac{1}{5}=\frac{1}{5\sdot5}=\frac{1}{25}}}

הייתה אומר ה' פעמי' ה' כ"ה והיה עולה א' חלק מכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\times\frac{4}{5}=\frac{4\sdot4}{25}=\frac{16}{25}}}

ועתה שהוא שואל ד' חמשיות על ד' חמשיות עדיין תאמ' ד' פעמי' ד' י"ו נמצא שיבא י"ו חלקי' מכ"ה

Fractions by fractions

74) How much are seven ninths by four sevenths?

\scriptstyle\frac{7}{9}\times\frac{4}{7}

עד) אי"א כמה הוא ז' תשיעיות על ד' שבעיות

\scriptstyle\frac{1}{9}\times\frac{1}{7}

תאמ' אם היה שואל א' תשיעית על א' שבעית

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\times\frac{1}{7}=\frac{1}{7\sdot9}=\frac{1}{63}}}

הייתה אומ' ז' פעמ' ט' הם ס"ג נמצא שהיה עולה א' חלק מס"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\times\frac{4}{7}=\frac{7\sdot4}{63}=\frac{28}{63}}}

ועתה שהוא שואל ז' תשעיות על ד' שבעיות עדיין תאמ' ז' פעמ' ד' כ"ח נמצא שיבא כ"ח חלקי' מס"ג וכה"ל

Integers and Fractions

How much are three integers and two fifths by two integers and four sevenths?

\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\times\left(2+\frac{4}{7}\right)

אי"א ג' שלמים וב' חמשיות על ב' שלמים וד' שבעיות כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2=6}}

תאמ' ג' פעמ' ב' הם ו' שלמים

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{4}{7}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}=1+\frac{25}{35}}}

אח"כ תאמר ג' פעמ' ד' שבעיות הם י"ב שהוא אחד שלם וה' שבעיות שהוא כ"ה חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{2}{5}=\frac{4}{5}=\frac{28}{35}}}

אח"כ תאמ' ב' פעמ' ב' חמשיות הם ד' חמשיות שהם כ"ח חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{4}{7}=\frac{8}{35}}}

ואחרי כן תאמ' ב' חמשיות על ד' שבעיות הוא ח' חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\times\left(2+\frac{4}{7}\right)&\scriptstyle=6+\left(1+\frac{25}{35}\right)+\frac{28}{35}+\frac{8}{35}\\&\scriptstyle=8+\frac{26}{35}\\\end{align}}}

צרף כלם יחד יבא ח' שלמים וכ"ו חלקי' מל"ה וכן יבא וכה"ל

Integers and fractions

75) How much are one integer and five sevenths by one integer and four fifths?

\scriptstyle\left(1+\frac{5}{7}\right)\times\left(1+\frac{4}{5}\right)

עה) אי"א א' וה' שבעיות על א' וד' חמשיות כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot1=1}}

אמור א' פעם א' א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot\frac{4}{5}=\frac{28}{35}}}

א"כ תאמ' א' פעם ד' חמשיות הם כ"ח חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot\frac{5}{7}=\frac{25}{35}}}

אח"כ תאמ' א' פעם ה' שבעיות הם כ"ה חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{5}\sdot\frac{5}{7}=\frac{20}{35}}}

אחר כן תאמ' ד' חמשיות על ה' שבעיות הם כ' חלקי' מל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{5}{7}\right)\times\left(1+\frac{4}{5}\right)&\scriptstyle=1+\frac{28}{35}+\frac{25}{35}+\frac{20}{35}\\&\scriptstyle=3+\frac{3}{35}\\\end{align}}}

צרפם יחד יבא ג' שלמים וג' חלקי' מל"ה וכה"ל

Multiple Quantities - Coins that Worth an Amount of Money

76) Four coins are worth all in all 80 pešuṭim:

The first is equal to a half and a sixth of the second.

What is left from the second equals two thirds of the third.

The third is equal to a third, a quarter, and a sixth of the first.

The fourth is equal to four fifths of the third.

How much is each [of the coins] worth?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3+a_4=80\\\scriptstyle a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\\\scriptstyle a_2-\left[\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2\right]=\frac{2}{3}a_3\\\scriptstyle a_3=\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}

עו) הרי שיש לך ד' מטבעות ששוים סך ארבעתם פ' פשוטי‫'

והראשון שוה החצי והשתות מן השני
הנשאר מן השני הם ב' שלישיות מן השלשי
והשלשי הוא שליש ורביע ושתות מן הראשון
והרבעי הוא ד' חמשים מהשלשי
ותרצה לידע כמה שוה כל אחד ואחד

עשה על זה הדרך אמור הראשון ששוה החצי והשתות מן השני

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{6}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)}{6}\\&\scriptstyle=\frac{3+1}{6}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}

אמור חצי ושתות אנה ימצא בו‫'

החצי הוא ג' השתות הוא א‫'
הרי ד' חלקי' מו‫'
שהם ב' שלשיות

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{6}\right)\sdot a_2=\frac{2}{3}a_2}}

א"כ זה ששוה חצי ושתות מן השני הוא כאלו אמר הראשון שוה ב' שלשיות מהשני

והשלשי ששוה שליש ורביע ושתות מן הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{6}&\scriptstyle=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)}{60}\\&\scriptstyle=\frac{20+15+10}{60}=\frac{45}{60}\\\end{align}}}

אמור אנה ימצא שליש ורביע ושתות בס‫'

השליש הוא כ' הרביע ט"ו והשתות י‫'
הרי למ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{45}{60}a_1=\frac{3}{4}a_1}}

א"כ השלשי ששוה שליש ורביע ושתות מן הראשון שהם מ"ה חלקי' מס' הוא כאלו אמר ג' רבעיות מן הראשון

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\frac{4}{5}a_3}}

והרבעי ששוה ד' חמשיות מהשלשי הוא מבואר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=\frac{2}{3}a_2\\\scriptstyle a_3=\frac{3}{4} a_1\\\scriptstyle a_4=\frac{4}{5}a_3\end{cases}}}

א"כ הסדר כך הוא הראשון ששוה ב' שלשיות מהשני

והשלשי שוה ג' רבעיות מן הראשון
והרבעי שוה ד' חמשים מהשלשי

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{b_2=60}}

אמור תחלה השברים הנז' בזה החשבון הם חצי ושליש ורבע וחומש ושתות וימצאו כלם בס‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle b_2=60\\\scriptstyle b_1=\frac{2}{3}b_2=\frac{2}{3}\sdot60=40\\\scriptstyle b_3=\frac{3}{4}b_1=\frac{3}{4}\sdot40=30\\\scriptstyle b_4=\frac{4}{5}b_3=\frac{4}{5}\sdot30=24\end{cases}}}

א"כ השני הוא ס‫'

והראשון שהוא שוה ב' שלשיות מן השני שהוא ס' הוא מ' כי מ' הוא ב' שלשיות מס‫'
והשלשי ששוה ג' רבעיות מהראשון שהוא מ' א"כ הוא ל' כי ל' הם ג' רבעיות ממ‫'
והרבעי ששוה ד' חמשיות מהשלשי שהוא ל' הוא כ"ד כי כ"ד הוא ד' חמשיות מל‫'

\scriptstyle{\color{blue}{b_2-b_1=60-40=20=\frac{2}{3}\sdot30=\frac{2}{3}b_3}}

והנשאר מהשני שהוא ב' שלשיות מהשלשי

עשה על זה הדרך אמור כמה נשאר מן השני שהוא ס' אחר שהוצאת ממנו הראשון שהוא מ' נשארו כ‫'
א"כ כ' שהוא הנשאר מהשני הם ב' שלשיות מן השלשי שהוא ל‫'
כי כ' הם ב' שלשיות מל‫'

denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{b_1+b_2+b_3+b_4=40+60+30+24=154}}

הרי שהראשון הוא מ' והשני הוא ס' והשלשי ל' והרבעי כ"ד צרף אותם יחד יעלו קנ"ד והוא המחלק

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{40\sdot80}{154}=\frac{3200}{154}=20+\frac{120}{154}}}$

ואם תרצה לידע כמה שוה הראשון שהוא מ‫'

אמור מ' פעמ' פ' בעבור שכלם שוים פ' יהיו ג' אלפי' ומאתיים
חלקם בקנ"ד יבאו כ' וק"כ חלקי' מקנ"ד

the same for the others

ובזה הדרך תעשה מן האחרים ויצא לך הענין השוה וכה"ל

Find a Number Problems - Sums

77) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8

\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7+8=\sum_{i=1}^{8} i

עז) א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח‫'

[the number of items] is divisible by 2 = last term is even:

\scriptstyle n=2m

שהם נחלקי' לחצי

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}n\sdot\left(n+1\right)

תוסיף א' על הסך ותרבה אותו על החצי

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^8 i=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot\left(8+1\right)=4\sdot9=36}}

ואמור ד' פעמ' ט' ל"ו וכן יהיה מספרם ל"ו וכה"ל

78) 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7

\scriptstyle1+2+3+4+5+6+7=\sum_{i=1}^{7} i

עח) א' ב' ג' ד' ה' ו' ז‫'

[the number of items] is indivisible by 2 = last term is odd:

\scriptstyle n=2m+1

שאינם נחלקים לחצי

\scriptstyle\sum_{i=1}^n i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(n+1\right)\right]\sdot n

תפוס הרוב ותרבה אותו על הסך

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^7 i=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(7+1\right)\right]\sdot7=4\sdot7=28}}

ע"ח ואמור ד' פעמ' ז' כ"ח וכה"ל

79) 1, 3, 5, 7, 9 - that are odds

\scriptstyle1+3+5+7+9=\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)

עט) א' ג' ה' ז' ט' שהם פרדים

\scriptstyle\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)=n^2

תרבה הרוב בעצמו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^5 \left(2i-1\right)=5^2=25}}

ואמור הרוב מט' הוא ה' ואמ' ה' פעמ' ה' כ"ה וכן יבאו וכה"ל

80) 2, 4, 6, 8 - that are evens

\scriptstyle2+4+6+8=\sum_{i=1}^{4} 2i

פ) ב' ד' ו' ח' שהם כלם זוגות

\scriptstyle\sum_{i=1}^n 2i=n\sdot\left(n+1\right)

תרבה חציים על הבא לאחריו

\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^4 2i=4\sdot\left(4+1\right)=4\sdot5=20}}

ואמור החצי מח' ד' ואמור ד' פעמ' ה' הם כ' וכן יבא וכה"ל

Find a Number Problem - Multiplication of integers and fractions

81) How much are one integer and a quarter by one integer and a fifth?

\scriptstyle\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)

פא) אם ישאלך אדם א' ורביע על א' וחמישית כמה הוא

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot1=1}}

אמור תחלה א' פעם א' א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot\frac{1}{4}\right)+\left(1\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac{9}{20}}}

אח"כ תאמ' פעם אחת רביע ופעם אחת חמישית הם ט' בנטיני‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}=\frac{1}{20}}}

אחר כך תאמ' א' רביע על א' חמישית הוא א' חלק מכ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)\times\left(1+\frac{1}{5}\right)=1+\frac{9}{20}+\frac{1}{20}=1+\frac{10}{20}=1+\frac{1}{2}}}

נמצא שיבא הכל א' וי' בנטיני' דהיינו א' וחצי

Interest and Discount Problems

Find the Earned Interest

82) One liṭra yields so and so pešuṭim a month.

How much is the profit of 100 liṭra for a year?

\scriptstyle\frac{a}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{12\sdot100}

פב) אם ישאלך אדם הלותי מעות לחשבון כך וכך פשו' החדש הליט‫'

כמה יעלה ריוח בק' ליט' א' שנה

\scriptstyle X=a\sdot5

תרבה ה' פעמ' כנגד המעות שירויח הליט' החדש

I lent 100 liṭra for one [year] at 7 pešuṭim for one liṭra a month

\scriptstyle\frac{7}{1\sdot1}=\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot X}{12\sdot100}

המשל בזה הרי שהלוית ק' ליט' א' חדש לחשבון ז"פ החדש הליט‫'

\scriptstyle{\color{blue}{x=5\sdot7=35}}

liṭra

תאמ' ה' פעמ' ז' ל"ה נמצא שיבא הק' ליט' השנה ל"ה ליט' וכה"ל

Compound Interest

83) Summing several loans for different times and converting them to one time

פג) מי שרוצה לקבץ חשבונות הלוואות רבים שנעשו בזמנים שונים להביאם בזמן אחד

(Sum of the months)÷(Number of loans)

יקבץ חשבונות החדשים כלם ויחלקם כחשבון המעות או הפרחי' או כמטבע ההלוואות ההם

I lent 100 peraḥim of gold for a month, 100 peraḥim for two months, 100 peraḥim for three months, 100 peraḥim for four months, and 100 peraḥim for five months

המשל בזה הרי שהלוית ק' פרחי' זהב א' חדש וק' פרחי' ב' חדשים וק' פרחי' ג' חדשי' וק' פרחי' ד' חדשי' וק' פרחי' ה' חדשי‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1+2+3+4+5}{5}=\frac{15}{5}=3}}

= 5 kikkar for 3 months

עשה כן אחד ושנים ושלשה וארבעה וחמשה שהם החדשי' הרי ט"ו

חלקם בסכום המעות שהם ה' יגיע לכל חלק מהם ג‫'
הרי שעמדו כלם ג' חדשי‫'

וכן הדומה לכל מטבע ולכל מ וכה"ל

Find the Earned Interest

84) One kikkar yields so and so [liṭra a year].

How many [pešuṭim] will so and so [liṭra] yield a month?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot a}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot b}

פד) הרוצה לידע לחשבון כך וכך הככר כמה יבואו קצתם לחדש

Rule of Four:

\scriptstyle X=\frac{b\sdot a}{5}

תרבה חשבון הככר כסכום המעות שתרצה וחלקם בחמשה והחלק שיצא יגיע לכל חדש כסכום ההוא

One kikkar yields 7 liṭra a year.

How many [pešuṭim] will 30 liṭra yield a month or two months or more?

\scriptstyle\frac{\left(20\sdot12\right)\sdot7}{12\sdot100}=\frac{X}{1\sdot30}

המשל בזה לחשבון ז' ליט' הככר לשנה כמה יבא לי ליט' חדש אחד או ב' חדשי' או יותר

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{30\sdot7}{5}=\frac{210}{5}=42}}

pešuṭim a month

תרבה ל' בז' והם ר"י

חלקם בחמשה יגיע לכל חלק מהם מ"ב
הרי שבמב"פ יבא לכל לחדש אחד

אחרי כן תרבה החדשים שתרצה ויצא לך הענין וכה"ל

Ordering Problem - Five Weights

85) The butcher sells meat but he has only five weights summed up together to 121 liṭra.

How much should each of the weights weigh, so that the butcher will be able to weigh the meat with these weights be it light or heavy?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\sum_{i=1}^5 a_i=121\\\scriptstyle a_i=3^{i-1}\\\scriptstyle a_i:a_{i+1}=a_{i+1}:a_{i+2}\end{cases}

פה) אם הקצב מוכר בשר ואין לו רק ה' משקלות ששוקלות בין כולם קכ"א ליט‫'

כמה ישקול כל משקל לעצמו שיוכל הקצב לשקול הבשר באלו המשקלות למי רב ולמי מעט

if someone wants to buy 121 liṭra of meat he will put all the weights against the meat

שמי שירצה לקנות קכ"א ליט' בשר ישים כל המשקלות כנגד הבשר

if someone wants to buy 50 liṭra of meat or more or less, he will put the appropriate weights in the scales against the meat he wants to buy

ואם ירצה לקנות נ' ליט' בשר או יותר או פחות ישים כל כך משקלות בצד המאזנים שכנגד הבשר שישקלו כמו הבשר שהוא רוצה לקנות

sometimes some of the weights should be added to the meat in order to achieve the balance

ואם לא יבא בכיוון יחליף המשקלות ולפעמים צריך שישים אחד ושנים ושלשה משקלות עם הבשר כנגד משקל אחד להפיק רצון הקונה

ועתה אשאלך כמה ישקול כל משקל לעצמו

one will weigh

\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1}}

liṭra

האחד ישקול א' ליט‫'

the second will weigh

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3}}

liṭra

והשני ישקול ג' ליט‫'

the third will weigh

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=9}}

liṭra

והשלישי ט' ליט‫'

fourth will weigh

\scriptstyle{\color{blue}{a_4=27}}

liṭra

והרבעי כ"ז ליט‫'

the fifth will weigh

\scriptstyle{\color{blue}{a_5=81}}

liṭra

והחמשי פ"א ליט‫'

the total sum of the five weights:

\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27+81=121}}

liṭra

צרפם יחד יהיו קכ"א ליט' לא פחות ולא יותר

ובאלו המשקלות יוכל הקצב למכור כרצונו למי רב ולמי מעט וכה"ל

Guessing - coins

86) Three different coins [gold, silver, and copper, given] to three different people: give the first one pašuṭ, the second two [pešuṭim], and the third four [pešuṭim].

The one who has the largest coin should multiply his share [= the number of the pešuṭim he has] by 4, the second by 3, and the one who has the smallest coin should double his share once.

Then they should sum up [the products] and cast out the sevens from the result

פו) חשבון הג' מטבעות שונות לג' אנשים שונים להגידם לראשון תן א"פ ולשני ב' ולשלשי ד‫'

ובעל המטבע הגדול יכפול חלקו ד' פעמ' והשני ג' פעמים ובעל המטבע הקטן יכפול חלקו פעם אחד
ויקבצום וישלכום ז"ז

[[(2·1)+(4·2)+(3·4)] mod 7 =] 1 → copper, gold, silver

וסימן א' כסף זהב נחשת

[[(3·1)+(2·2)+(4·4)] mod 7 =] 2 → silver, copper, gold

ב' זהב נחשת כסף

[(2·1)+(3·2)+(4·4)] mod 7 =] 3 → copper, silver, gold

ג' זהב כסף נחשת

[[(4·1)+(3·2)+(2·4)] mod 7 =] 4 → gold, silver, copper

ד' נחשת כסף זהב

[[(3·1)+(4·2)+(2·4)] mod 7 =] 5 → silver, gold, copper

ה' נחשת זהב כסף

[[(4·1)+(2·2)+(3·4)] mod 7 =] 6 → gold, copper, silver

ו' כסף נחשת זהב וכה"ל

Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment

87) A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease.

If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3.

They all worked during the 20 days and he was sitting and watching over them: how many hours and parts of hours each of them is working a day.

Finally, he paid each of them an equal share.

How much is the share of each of them?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}

פז) אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון לוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שיהיה ולא תשבות המלאכה

והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים ואם שמעון ד' ואם לוי ג‫'
והנה בין כלם עבדו הכ' שנים ימים והוא יושב ושומר עליהם כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעות
והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה
נרצה לדעת כמה החלק של כל אחד

Reuven is paid one zahuv for

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}=4}}

days

דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד

Shimon is paid one zahuv for

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{4}=5}}

days

ושמעון ה' ימים

Levi is paid one zahuv for

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{3}=6+\frac{2}{3}}}

days

ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום

together:

\scriptstyle{\color{blue}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)=15+\frac{2}{3}}}

days

והנה הכל ט"ו ימים וב' שלישיות אחד

each was paid:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{15+\frac{2}{3}}&\scriptstyle=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{13}{47}\\\end{align}}}

= one zahuv and 13 pešuṭim

נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית

והנה בעבור השלישית נשים הכל שלישיות
והנה נשיב הכ' ימים ס' שלשיות והט"ו וב' שלישיו' מ"ז שלשיות והד' ושלישית י"ג
והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשו' ממטבע מ"ז בזהוב

ועתה נבקש כמה חייב כל אחד לעבוד עד שישלימו הכ' ימים

Levi had to work $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}}}$ days for the one zahuv

והנה נחל מלוי שחייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}

ונעשה מאלו שלשיות ויהיו כ‫'

ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור יג"פ שלקח
כפלנו י"ג על כ' היו ר"ס
חלקנום על מ"ז עלו ה' נשארו כ"ה חלקי‫'
חברנו ה' עם כ' היו כ"ה שלשיות וכ"ה חלקי' ממ"ז
חלקנו אלו השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד
נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום
נכפול כ"ה על ד' עלו ק‫'
נחלקם על מ"ז עלו ב' שעות ונשארו ו' חלקי‫'

Levi worked 8 days and

\scriptstyle6\frac{6}{47}

hours

והנה לוי עבד ח' ימים ו' שעות ו' חלקי‫'

Shimon had to work $\scriptstyle{\color{blue}{5=\frac{15}{3}}}$ days for the one zahuv

נבקש לדעת כמה עבד שמעון הוא חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}\\&\scriptstyle=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}

ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור יג"פ שלקח

נכפול י"ג על ט"ו עלו קצ"ה
נחלקם על מ"ז יעלו ד' ונשאר ז' חלקי‫'
נחבר הד' אל הט"ו כי שלשיות הם יהיו י"ט שלשיות
נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים
ונקח לאחד הנשאר ד' שעו‫'
גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח

Shimon worked 6 days and

\scriptstyle4\frac{28}{47}

hours

והנה הם ו' ימים וד' שעות וכ"ח חלקי' וככה עבד שמעון

Reuven had to work $\scriptstyle{\color{blue}{4=\frac{12}{3}}}$ days for the one zahuv

נבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלשיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}\\&\scriptstyle=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}

ונעשה בעבור היג"פ שלקח הערך גא זד נ"פ

נכפול י"ג על י"ב עלו קנ"ו
נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים ס כא
חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלשיות
והנה עבד ה' ימים
גם הט"ו חלקי' נכפול על ד' עלו ס‫'
נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקי' משעה שעבד ראובן

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\right)+\left(6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\right)+\left(5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\right)=20}}

days

וכאשר תחבר אלה החלקי' יעלה מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת

וכאשר תחבר שעה זו לשעות הנוכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד
וכאשר תחבר היום לימים הנו' יהיו כ' ימים בלי תוספת ומגרעת וכה"ל

Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance

88) Jacob died.

Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death.

His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him.

His son Levi also issued a deed according to which a third of his property should be given to him.

His son Yehudah too issued a deed according to which a quarter of his property should be granted to him.

All of them are writing this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour

פח) שאלה יעקב מת

והוציא ראובן שטר בשני עדים כשרים שנתן לו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וציוה כן מחמת מיתה
גם הוציא שמעון בנו שטר שיינתן לו חצי ממונו
גם הוציא לוי שטר שינתן לו שליש ממונו
גם הוציא יהודה שטר שינתן לו רביע ממונו
וכולם ביום אחד וזמן אחד ושעה אחת ברושלים שכותבים בו שעות

Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:

The sages of Israel - according to the request of each

והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד

The Gentile sages - according to the ratio of each share

וחכמי הגוים על דרך ערך הממון של כל אחד

The arithmeticians - considering the property as a whole

וחכמי החשבון

The division according to the arithmeticians:

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

יחשבו כי הממון היה אחד וכאשר תחבר אליו חציתו ושלשיתו ורבעיתו יהיו הכל שנים וחצי ששית

False Position:

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}

והנה נשים האחד שלם ס' שיש לו כל החלקי' הנז' ויהיו בין הכל קכ"ה

another false position:

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}

או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנז' י"ג ושוה יצא המספר באחרונה אי זה מהם שתקח

Suppose the property is 10 dinar i.e. 120 pešuṭim

ועתה נבקש כמה יקח ראובן לפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ס' כי הוא מבקש כל הממון ונעשה כי הממון י' די' ‫'שהם ק"כ פ

Reuven's share

וזה צורת ערך הממון שיקח ראובן

0	60
120	125

‫0	‫0ו
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}

כפלנו הקצוות עלו ז' אלפי' ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקי' וזה חלק ראובן

Shimon's share

וזה צורת ערך שמעון

0	30
120	125

‫0	‫0ג
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot120}{125}}}

נכפול הקצוות ונחלק כמשפט

Levi's share

וזה צורת חלק לוי

0	20
120	125

‫0	‫0ב
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot120}{125}}}

ונכפול ונחלק כמשפט

Yehudah's share

וזו צורת חלק יהודה

0	15
120	125

‫0	הא
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot120}{125}}}

ונכפול ונחלק כמשפט

The division according to the Gentile sages:

ענין אחר בדרך קצרה

Shimon's share = ½ Reuven

יקח שמעון חצי חלק ראובן

Levi's share = ⅓ Reuven

ולוי יקח שליש חלק ראובן

Yehudah's share = ¼ Reuven

ויהודה יקח רביע חלק ראובן

Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120

וכאשר תחבר אלו כל החלקי' והשלמים יהיו ק"כ פ' שהם י' די‫'

The division according the sages of Israel:

ועל דרך חכמי ישראל

Yehudah's share = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}$

יאמר הג' אחים הגדולים ליהודה אין אתה מערער רק על ל"פ וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרבעית ולך מעמנו

וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים

Levi's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)\\\end{align}}}

=

\scriptstyle{\color{blue}{10+\frac{5}{6}}}

pešuṭim

ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ"פ וכבר לקחת חלקך מהל' שהארבעתינו חלקנו עליו

קח אתה שלישית י' שהוא רבעית מ' ולך מעמנו
והנה חלק לוי י' וה' ששיות פשוטי
כי החצי מן הז' וחצי שלקח כבר הם ג' ששיות
ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות
הרי ה' ששיות

Shimon's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]}}

גם ראובן יאמ' לשמעון אין אתה מערער רק על חצי האחד שהוא ס' וחצי האחר כולו שלי וכבר לקחת חלק מהמ' והנה שנשאר בינך ובני הערעור קח חציים ולך מעלי

=

\scriptstyle{\color{blue}{20+\frac{5}{6}}}

pešuṭim

והנה חלק שמעון כ' וה' ששיות פשוט

Reuven's share =

[

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)}}

]

=

\scriptstyle{\color{blue}{80+\frac{5}{6}}}

pešuṭim

וחלק ראובן פ' וה' ששיות פשוט

Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120 = 10 dinar

וכאשר תחבר אלו החלקי' יהיו י' די' וכה"ל

Geometrical Problems
Triangulation Problem - Two towers
89) two towers, one is 15 cubits tall and the other is 12 cubits tall. There are two pigeons there, [one pigeon at the top of each tower], and between them a spring. [The pigeons] arrive to the spring at the same moment. How far are the towers from each other and where is the place of the spring? $\scriptstyle15^2+a^2=12^2+b^2$	פט) ב' מגדלים אחד גבוה ט"ו אמות ואחד גבוה י"ב אמות ושם ב' יונים ומעיין אחד ביניהם ומגיעים ברגע אחד במעיין כמה מרוחקים המגדלים זה מזה ואנה מקום המעיין

Suppose the distance between them is the same as the measure of both heights, i.e. 12 plus 15, which is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{12+15=27}}$	שים הרוחק שבניהם כמדת גובה שתיהם דהיינו י"ב וט"ו שהם כ"ז
Divide 27 into 12 and 15. $\scriptstyle{\color{blue}{27=12+15}}$	וחלק כ"ז לי"ב ולט"ו
Give the 15 to the tower that is 12 cubits high.	ושים הט"ו אצל המגדל שהוא גבוה י"ב
Give the 12 to the tower that is 15 cubits high.	ושים הי"ב אצל המגדל שהוא גבוה ט"ו
The place of the spring is 12-15 cubits from the bases [of the towers].	ובגבול הט"ו והי"ב מן התושבת שם המעיין וכה"ל
Figure Problem - Side; Diagonal; Area – Rectangle
90) Question: a rectangle, its diagonal together with its one side are 18, and its other side is 6. How much are its area, its diagonal and its side that is summed with the diagonal?	צ) שאלה מרובע ארוך אשר אלכסונו עם צלעו האחד י"ח וצלעו השנית ו‫' כמה הוא ריבועו ואלכסונו וצלעו המנויה עם האלכסון
[this figure does not appear in the text]
The one who answers this question squares the known side, which is 6; its square is 36.	והמשיב על השאלה הזאת ירבע את הצלע הידועה והוא ו' ויהיה רביעו ל"ו
He divides it by the sum of the diagonal and the second side, which is 18; the quotient is 2.	ויחלקם על מניין האלכסון והצלע השנית שהוא י"ח ותהיה החלוקה ב‫'
He adds 2 to 18; it is 20.	ויוסיף ב' על י"ח ויהיו כ‫'
So, he knows that half 20 is the diagonal.	וידע כי מחצית כ' הוא האלכסון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{6^2}{18}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{36}{18}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(18+2\right)=\frac{1}{2}\sdot20}}$
The remainder from 18 is the second side; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{18-10=8}}$	והנשאר מי"ח הוא הצלע השנית והוא ח‫'
Their product, 8 by 6, is the area. $\scriptstyle{\color{blue}{8\times6}}$	ורבועם ח' בו' והוא התשבורת
Figure Problem - Area - Quadrangle
91) A quadrangle whose sides are not equal - its length is not equal to its breadth, the one length is not equal to the other length, and the one breadth is also not equal to the other breadth.	צא) הרי שיש לפניך א' מרובע שאין ארכו כרחבו ואינו שוה האורך האחד לאורך השני וגם רוחב האחד אינו שוה לרוחב השני
Add up the lengths, divide [the sum] in half and keep its half.	צרף האורך וחלקהו לחצי ותפוש חציו
Add up the breadth with the breadth, and keep its half.	וצרף הרוחב עם הרוחב ותפוש חציו
Multiply half the sum of the two lengths by half the sum of the two breadths; its area is as their product. $\scriptstyle\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{length_1+length_2}\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{breadth_1+breadth_2}\right)\right]}}$	ותרבה החצי משני הארכים על החצי משני הרחבים וכפי מספר אותם הרבויים יהיו מספר שבריו
[The author does not note that this formula is not accurate in the general case]
Example: its one length is 4, and its other length is 6 its one breadth is 5, and its other breadth is 3	והמשל בזה הרי שהיה מקום אחד ארכו האחד ד' ואורכו השני ו' ורחבו האחד ה' ורחבו השני ג' כזה

Add the length to the length and say: 6 plus 4 is 10. Take its half; it is 5. Keep it.	צרף האורך עם האורך ואמ' ו' וד' הרי י' תפוס חציו הרי ה' ויהיה ד' ארכו ו' לך למשמר
Then add the breadth to the breadth and say: 3 plus 5 is 8. Take its half; it is 4.	אחרי כן צרף הרוחב עם הרוחב ואמור ג' וה' הרי ח' תפוס חציו שהוא ד' רחבו ה‫'
Multiply it by 5, which is half the sum of the two lengths; say: 4 by 5 is 20. So, its area is 20.	ותרבה אותו עם הה' שהוא מחצית ב' האורכים ואמור ד' פעמ' ה' הם כ' הרי שמידת שבריו הם כ' וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(4+6\right)\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+3\right)\right]=\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=5\sdot4=20}}$
Triangulation Problem - Tree leaning against a wall
92) A tree 30 cubits high was standing straight next to a wall. Then it was withdrawn from the bottom [of the wall] by 10 cubits [so that its top is leaning against the wall]. By how much was the top of the tree brought down from its original place?	צב) הרי שעץ אחד גבוה ל' אמות וזקוף בצד חומה אחת והוסר מלמטה י' אמות נרצה לידע מזה כמה הורד ראש העץ ממקום שהיה
[this figure does not appear in the text]
You know that from the top of the tree to the ground and from the wall to the base of the tree is a right angle.	אתה יודע כי החומה דהיינו מראש העץ עד הקרקע והקרקע דהיינו מן החומה עד סוף העץ הם שני זוויות על זוית נצבה
Pythagorean Theorem:
The hypotenuse is the tree, which is 30 cubits. Its square is 900.	והאלכסון שלהם הוא העץ שהוא ל' אמות ושברי מרובע שיוצא ממנו הם תת"ק
Then, square the line of the ground, which is 10; its square is 100.	ואחר כן תרבע קו הקרקע שהוא י' ושבריו הם ק‫'
Subtract it from 900; 800 remains.	והוציאם מן התת"ק ישארו ת"ת
Extract the root and it is the length of the wall; it is slightly more than 28 and a quarter.	ומצא השורש והוא קו החומה ויהיה מעט יותר מכ"ח ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2-10^2}=\sqrt{900-100}=\sqrt{800}\approx28+\frac{1}{4}}}$
Subtract the length of the wall from 30 when the tree was upright; a little less than 1 and 3-quarters remain and this is [the length of the part of] the tree that was brought down. $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(28+\frac{1}{4}\right)=1+\frac{3}{4}}}$	והוציאם מן הל' שהיה קו החומה כשהיה העץ זקוף ישארו מעט פחות מא' וג' רבעי' וכן הורד העץ
Sometimes the result is exact.	ולפעמי' יבא בכיוון וכה"ל
93) A tree 10 cubits high was standing straight next to a wall. Then it was withdrawn from the bottom [of the wall] by 6 cubits [so that its top is leaning against the wall]. By how much was the top of the tree brought down from its original place?	צג) וכן אם היה עץ אחד גבוה י' אמות וזקוף בצד חומה והוסר מלמטה ו' אמות כמה הורד ראש העץ ממקום שהיה
Pythagorean Theorem:
Do as we did above: square the length of the tree, it is 100.	עשה כמו שעשינו למעלה ותרבע מדת העץ והם ק‫'
Then, square the 6 cubits that were brought down; it is 36.	אחר כן תרבע הו' אמות שהורד מלמטה והם ל"ו
Subtract it from 100; 64 remains.	והוציאם מן הק' ישארו ס"ד
Extract the root, meaning 8, and it is the length of the wall.	ומצא השורש דהיינו ח' והוא קו החומה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8}}$
Subtract the length of the wall from 10 when the tree was upright; you are left with [the length of the part of] the tree that was brought down, meaning 2 cubits. $\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}$	והוציאם מן הי' שהיה קו החומה כשהיה העץ זקוף ומה שישאר בידך הורד העץ דהיינו ב' אמות
Now, the result is exact.	ועתה בא בכיוון וכה"ל
Figure Problem - Find the Perimeter - Circling the Square
94) A square, its area is 38 and a half and you want to create a circle from it, so that its area is the same as the area of the square. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Area_{square}=38+\frac{1}{2}\\\scriptstyle Area_{circle}=Area_{square}\\\scriptstyle\rm{Perimeter_{circle}}=\sqrt{4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\sdot\rm{Area_{circle}}}\end{cases}$	צד) מרובע שוה צלעות ושבריו ל"ח וחצי ותרצה לעשות מהם עגול שיהיו שבריו כשברי זה המרובע
Multiply 38 and a half by 12 and 4-sevenths; the result is 484.	תרבה ל"ח וחצי על י"ב וד' שבעיות עולים תפ"ד
Extract the root of 484; it is 22 and it is the perimeter of the circle, whose area is the same as the area of the square, whose area is 38 and a half.	ותמצא השורש מתפ"ד והם כ"ב והוא יהיה מספר העגול יהיו שבריו כשבר המרובע שמספר שבריו ל"ח וחצי וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]}=\sqrt{\left(38+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(12+\frac{4}{7}\right)}=\sqrt{484}=22}}$
Figure Problem - Find the Side - Squaring the Circle
95) A circle, its area is 100, and you want to create a square from it. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\rm{Area_{circle}}=100\\\scriptstyle \rm{Area_{circle}=Area_{square}}\\\scriptstyle\rm{Side_{square}=\sqrt{Area_{square}}}\end{cases}$	צה) עגול שבריו ק' ותרצה לעשות ממנו מרובע שוה צלעות
Extract the root of 100; it is 10 and it is the size of each of its sides. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{100}=10}}$	תפוס השורש מק' והוא י' והוא יהיה מדת כל צלע מצלעו וכה"ל
Figure Problem - Volume - Sphere
96) The volume of the sphere.	צו) תשבורת הכדור
As the geometricians stated, it is that you square the diameter of the sphere, then multiply this square 3 times and a seventh; you receive the surface of the sphere. $\scriptstyle\left(2r\right)^2\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)$	כאשר זכרו אנשי חכמת השיעור הוא שתהיה מרבע את קוטר הכדור ותכפול המרובע הזה ג' פעמ' ושביעית פעם ויעלה בידך משיחת שטח הכדור
Multiply it by a sixth of the diameter; you receive the volume of the sphere. $\scriptstyle\rm{Surface_{sphere}}\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]$	מנה אותו בשתות הקוטר ויעלה בידך תשבורת גוף הכדור
Example: a sphere whose diameter is 7 cubits	כגון כדור אשר קוטרו ז' אמות

The square of the diameter is 49 cubits.	יהיה מרובע הקטר מ"ט אמה
When you multiply this number 3 times and a seventh, it is 154 and this is the surface of the sphere. $\scriptstyle{\color{blue}{7^2\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=49\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=154}}$	וכשאתה כופל המספר הזה ג' פעמ' ושביעית פעם יהיה קנ"ד והם מניין שטח אמות הכדור
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 180 minus a third and this is the volume of the sphere. $\scriptstyle{\color{blue}{154\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)=180-\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר והוא אחד ושתות ויהיה ק"פ פחות שליש והוא תשבורת גוף הכדור הזה
Segment of a Sphere
From this calculation you can deduce the volume of the segments of a sphere.	ומתוך החשבון הזה אתה יכול להבין תשבורת שברי הכדור
Example: a water pool - its body is rounded from the inside, its upper surface is a circular, its breadth [= diameter] is 7 cubits, and its depth is 3 cubits and a half.	כגון בריכת מים אשר גופה מבפנים מעוגל ופיה עגול ורחבו ז' אמות ועומקו ג' אמות וחצי
You know that this pool is a hemisphere. Multiply its depth by the breadth of its upper surface, which is the diameter of the sphere, then multiply the product you received 3 times and a seventh, as you have done with the sphere; the result is 77 and this is the surface of the hemisphere. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[7\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=77}}$	ואתה יודע כי הבריכה הזאת היא חצי כדור ובא ומנה עומקה ברחב פיה אשר הוא קוטר הכדור והנקבץ בידך כפליהו ג' פעמי' ושביעית פעם כאשר עשית בכדור ויעלה ע"ז והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 90 minus a sixth and it is the volume of the hemispherical pool. $\scriptstyle{\color{blue}{77\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=90-\frac{1}{6}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר יהיה צ' פחות שתות והוא תשבורת גוף הבריכה אשר היא חצי כדור
If the depth is less than half the breadth [= less than half the diameter], know that the pool is less than a hemisphere.	ואלו היה העומק פחות ממחצית הרוחב תהיה יודע שהבריכה הזאת מעוטה מחצי הכדור
Example: a spherical solid [spherical cap] – its depth is 2 cubits and the breadth of the circle [= the diameter] of its base is a root of 40 which is approximately 6 and a third.	כגון עגולת גוף שעמקה ב' אמות ורוחב עגולת פיה גדר מ' שהוא ו' ושליש בקירוב
You know that this pool is less than a hemisphere, because its depth is less than half the breadth of its upper surface.	ואתה יודע שהבריכה הזאת אין בה חצי כדור מפני שעומקה פחות ממחצית רוחב פיה
If you extract its diameter as you have learned, you find it 7. $\scriptstyle{\color{blue}{2r=7}}$	ואם אתה מוציא את קוטרה כאשר למדת תמצאנו ז‫'
Multiply 2, which is the depth of the pool, by 7, which is the diameter of the sphere; it is 14.	ובא ומנה ב' שהוא עומק הבריכה בז' שהוא קוטר הכדור יהיו י"ד
Multiply it 3 times and a seventh; it is 44 and this is the surface of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot2\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=14\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=44}}$	כפול אותם ג' פעמי' ושביעית יהיו מ"ד והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter, which is one and a sixth; it is 51 and a third and this is the volume of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{44\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=44\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)=51+\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר והוא אחד ושתות יהיו נ"א ושליש והוא תשבורת גוף הבריכה
If you say that the depth of the pool is 5 cubits and the breadth [= diameter] of its upper surface is a root of 40.	ואם היית אומר עומק הבריכה ה' אמות ורוחב פיה גדר מ‫'
You find its diameter is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{2r=7}}$	היות מוצא קוטרה ז‫'
If you multiply the depth by the diameter, it is 35.	ואם אתה מונה העומק בקוטר יהיה ל"ה
Multiply it 3 times and a seventh; it is 110 and this is the surface of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot5\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=35\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=110}}$	כפליהו ג' פעמ' ושביעית יהיה ק"י והוא משיחת שטח הבריכה
Multiply it by a sixth of the diameter; it is 128 and a third and this is the volume of the pool. $\scriptstyle{\color{blue}{110\sdot\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2r\right)\right]=128+\frac{1}{3}}}$	מנה אותו בשתות הקוטר יהיה קכ"ח ושליש והוא תשבורת רבוע הבריכה וכה"ל
Figure Problem - Volume - Triangular Prism
97) A halved prism: a triangular prism is called halved, bacause it is half a square prism.	צז) מצבה חצויה וקורים למצבה משולשת חצויה מפני שהיא מחצית המרובעת
A halved prism, its upper base and its bottom base are a right triangle, whose one side is 3 cubits, the second [side] is 4 [cubits] and the third [side] is 5 [cubits], and the height [of the prism] is 10 cubits	מצבה חצויה אשר ראשה ותושבתה משולש נצב הזוית אשר צלעו האחת ג' אמות והשני ד' והשלישית ה' וגובהו י' אמות
[this figure does not appear in the text]
You know the area of this triangle is 6 cubits.	אתה יודע תשבורת המשולש הזה והוא ו' אמות
Multiply it by 10, which is the height; it is 60 cubits and this is the volume of the halved prism. $\scriptstyle{\color{blue}{\rm{height_{prism}}\times \rm{Area_{triangle}}=10\sdot6=60}}$	מנה אותם בי' שהוא הגובה יהיו ס' אמה והוא תשבורת המצבה חצוית הראש
Figure Problem - Volume - Pentagonal / Hexagonal Prism
	וכן אלו היה הגולם ראשו ותושבתו שטחים מחומשות או משושתות היא נקראת מצבה מחומשת או משותתת
$\scriptstyle\rm{Volume_{prism}=height_{prism}}\times\rm{Area_{pentagon/hexagon}}$	תהיה יודע משיחת המחומש או המשותת הזה אשר היא תושבתו או ראשו ותהיה מונה משיחתו במניין הגובה ויעלה בידך תשבורת המצבה ההיא
Figure Problem - Volume - Cylinder
	ואם יהיה הגולם ראשו ותשברתו שטחים עגולים וכל גופו עולה בעגול עם הראש
$\scriptstyle\rm{Volume_{cylinder}=height_{cylinder}}\times\rm{Area_{circle}}$	ואתה מונה תשבורת התמונה הזאת על הדרך אשר ידעת התמונות הראשונות אם אתה מרבע העגול שהוא התושבת או הראש ואתה מונה מרובעו במניין הגובה יעלה בידך תשבורת התמונה הזאת והיא נקראת מצבה עגולה
Example: cylinder, its upper base as well as its bottom base are a circle whose diameter is 10 cubits, and the height of the cylinder is 14	ואני נותן לך דמיון מזה מצבה עגולה אשר ראשה וכן תושבתה שטח עגול אשר קוטרו י' אמות וגובה המצבה י"ד
[this figure does not appear in the text]
the volume of the square prism = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2r\right)^2\sdot\rm{height_{cylinder}}=10^2\sdot14=100\sdot14=1400}}$	ואתה יכול להגיע אל תשבורת המצבה הזאת אם אתה מונה את קוטר העגול שהוא י' אמות במנין עצמם ויהיו ק' אמות ומנה ק' בי"ד שהם אמות הגובה ויהיו אלף ות' אמות וזה הוא תשבורת התמונה הזאת אלו היתה מרובעת
the volume of the cylinder = $\scriptstyle{\color{blue}{1400-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot1400\right]=1400-300=1100}}$	הוצא מהמספר הזה שבעיתו וחצי שבעיתו והם ג' מאות אמה ונשאר בידך אלף ומאה אמה והוא תשבורת המצבה העגולה
the volume of the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{100-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot100\right]=100-\left(21+\frac{3}{7}\right)=78+\frac{4}{7}}}$	וכן אלו היית מוציא מן ק' אמה שהוא רביע התושבת שביעיתו ומחצית שבעיתו והוא כ' אמה וג' חלקי' מז' חלקי' באמה וישאר בידך ע"ח אמה וג' חלקי' מז' באמה והם משיחת העגול אשר היא תושבת המצבה
the volume of the cylinder = $\scriptstyle{\color{blue}{\rm{Volume_{circle}}\times \rm{height_{cylinder}}=\left(78+\frac{4}{7}\right)\sdot14=1100}}$	מנה אותה בגובה אשר הוא י"ד יעלה המניין לאלף ומאה אמה והוא תשבורת המצבה הזאת העגולה
General rule: $\scriptstyle\rm{Volume_{prism}=Area_{base}}\times\rm{height_{prism}}$	ונראה לך שדרך כל המין הזה נוהג מנהג אחד ואם אתה יודע מספר תשבורת מזה התושבת מן התושבת או הראש מאיזו תמונה הייתה ותמנה תשברתה במנין הגובה י' אתה מוצא תשבורת הגוף ההוא ואין שם חילוף
Rectangle	שאלות במרובע ארוך
Figure Problem - Diagonal - Rectangle
98) A rectangle whose one side is 8 cubits and its other side is 6 [cubits]. How much is its diagonal?	צח) מרובע ארוך שיש בצלעו האחד ח' אמות ובצלעו השנית ו‫' כמה הוא אלכסונו

the diagonal =	תשובה מנה ח' שהוא צלע האחת בו' שהוא הצלע השנית ויהיה רבועם מ"ח וכפול המרובע הזה והם צ"ו ואם תוסיף עליו מרובע ב' אשר היא תוספת הצלע האחת אל השנית יהיה הכל ק‫' וגדר ק' הוא י' והוא אלכסון מן המרובע הזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[2\sdot\left(8\sdot6\right)\right]+\left(8-6\right)^2}=\sqrt{\left(2\sdot48\right)+2^2}=\sqrt{96+2^2}=\sqrt{100}=10}}$
General rule:	וכללו של ענין שכל מרובע ארוך אם אתה מוסיף רבוע העודף אשר בן שתי צלעיו על כפל תשברתו יהיו אלה שניהם שוים למרובע אלכסונו
$\scriptstyle\rm{diagonal_{rectangle}}=\sqrt{\left(2\sdot\rm{Area_{rectangle}}\right)+\left(\rm{side_1-side_2}\right)^2}$
Figure Problem - Side; Area - Rectangle
99) Question: a rectangle whose diagonal is 10 cubits, and its length exceeds its breadth by 2 cubits. How much are its length, its breadth, and its area?	צט) שאלה אחרת מרובע ארוך אשר באלכסונו י' אמה וארכו מוסיף על רחבו ב' אמות כמה הוא ארכו וכמה הוא רחבו וכמה תשברתו

the area =	תשובה אתה יודע כי מרובע האלכסון הוא ק‫' הוצא ממנו רבוע עדף האורך על הרחב אשר הוא ב' וריבועו ד' ישאר בידך מהם צ"ו חלק אותם לשנים ויהיו מ"ח והוא תשבורת המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[diagonal^2-\left(side_1-side_2\right)^2\right]=\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)=\frac{1}{2}\sdot96=48}}$
the length =	ואם תרצה לדעת צלעותיו אשר האחד מוספת על השנית ב' בא וחלק העודף הזה לשנים ויהיה א' וריבועו א' הוסיפנו על התשבורת ויהיה מ"ט וגדר המניין הזה הוא ז' ואם תוסיף עליו אחת שהוא מחצית העודף יהיה ח' והוא קו האורך
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+\rm{Area}}+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)=\sqrt{1^2+48}+1=\sqrt{1+48}+1=\sqrt{49}+1=7+1=8}}$
the breadth = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2+\rm{Area}}-\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)=7-1=6}}$	ואם תפחות ממנו א' ישאר ו' והוא קו הרוחב
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot6=48}}$	ומנין ח' בו' הוא מ"ח והוא התשבורת
A rectangle, its area is 48 and the sum of its length and its breadth together is 14. How much are its length and its breadth?	ואם יאמר מרובע בתשברתו מ"ח וקו ארכו עם קו רחבו שניהם יחד י"ד כמה הוא ארכו וכמה הוא רחבו
the length =	ולתשובת השאלה הזאת תקח מחצית י"ד והוא ז‫'
	ותרבע אותו ויהיה מ"ט
	הוצא מהם מ"ח הוא התשבורת וישאר בידך א‫'
	וגדר הא' הוא א‫'
	אם תוסיפנו על ז' יהיה ח' והוא אורך המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1=8}}$
the breadth = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1=6}}$	ואם תפחות האחד מן הז' ישאר בידך ו' והוא רוחב המרובע
The area of the rectangle cannot be greater than the square of half the sum of its two sides	והוי יודע כי אם ישאל בענין זה שאלה אשר יהיה בה התשבורת עודף על מרובע מחצית הצלעות כי שאלה זאת שקר וכזב
Example: rectangle whose area is 48 and the sum of its length and its breadth together is 13.	כגון האומר לך מרובע שתשברתו מ"ח וקו ארכו עם רחבו י"ג
this is impossible	טעות הוא בידו או מנסה הוא לך ואיך צריך להשיב
Figure Problem - Diagonal - Square
100) Question: a square, its length is 10 and its breadth is 10. How much is its diagonal?	ק) שאלה מרובע השוה ונצב הצ' הזוית שארכו י' ורחבו י‫' כמה הוא אורך אלכסונו
the diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{200}}}$	תשובה האלכסון הזה הוא גדר מאתיים כי מרובע האלכסון ימצא ברבועו מאתיי‫'
$\scriptstyle\left(\rm{diagonal_{square}}\right)^2=2\sdot\left(\rm{side_{square}}\right)^2$	מפני שכל מרובע נצב הזוויות רבוע אלכסונו כפלים מהמרובע ההוא ומפני זה אמרנו על האלכסון הזה שהוא גדר מאתיי' אשר הוא כפלים מרובע י' על י‫'
Figure Problem - Side - Square
A square whose diagonal is √200. How much is its side?	ואם יאמר מרובע שאלכסונו גדר מאתים כמה צלעו
the side =	חלק מרובע האלכסון לשנים ויהיה ק' האחד ואמור גדר ק' הוא הצלע המרובע והוא י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot200}=\sqrt{100}=10}}$
the diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{1}{7}}}$	והאלכסון הזה י"ד ושביעית בקרוב
Figure Problem - Side; Area - Square
101) Question: a square, you subtract the sum of its four sides from its area and the remainder is 21 cubits. How much is its area, and how much is each of its sides?	קא) שאלה אחרת מרובע שוה שהוצאת מן מניין תשברתו מניין צלעותיו הארבעה ונשאר בידך מהתשבורת כ"א אמה כמה הוא התשבורת וכמה מניין כל צלע וצלע מהמרובע
the side =	תשובה חלק מנין הצלעות שהוא ד' לשנים
	ומנה השנים בעצמם כלומר רבעם יהיו ד‫'
	הוסף המניין הזה על המניין המסודר לך הנשאר לך מן המרובע ויהיה הכל כ"ה
	ודע גדר כ"ה והוא ה‫'
	ותוסיף עליו חצי מניין הצלעות והוא ב' ויהיה הכל ז' והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+21}+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2=7}}$
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{49}}$	ותשברתו מ"ט
A square, you add the sum of its four sides to its area and the result is 77. How much is the area?	ואם יאמר מרובע אשר הוספת מניין כל ד' צלעותיו על מניין תשברתו ויהיה הכל ע"ז כמה הוא המרובע הזה
the side =	ואתה בשאלה הזאת קח מניין חצי הצלעות והוא ב‫'
	ותמנה אותו בעצמו ויהיו ד‫'
	והוסיפנו על המניין שמסר לך והוא ע"ז ויהיו פ"א
	וקח גדר המספר הזה והוא ט‫'
	הוצא ממנו חצי מספר הצלעות שהוספת וישארו בידך ז' והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2+77}-\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)=\sqrt{2^2+77}-2=\sqrt{4+77}-2=\sqrt{81}-2=9-2=7}}$
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{49}}$	ותשברתו מ"ט
Figure Problem - Side - Square
102) Question: a square, you subtract its area from the sum of its four sides and the remainder is 3	קב) שאלה שלישית מרובע השלכת תשברתו ממניין ד' צלעותיו ונשאר בידך ג‫'
the side =	חלק מניין הצלעות על ב' וחציים הוא ב‫'
	וריבועם הוא ד‫'
	הוצא מהם השלשה שנשארו בידך וישאר א‫'
	אשר גדרו א‫'
	פחות אותו ממחצית הצלעות וישאר אחד והוא צלע המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2-3}=2-\sqrt{2^2-3}=2-\sqrt{4-3}=2-\sqrt{1}=2-1=1}}$
another possible side = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2-3}=2+\sqrt{1}=2+1=3}}$	או הוסף עליו גדר האחד שנשאר בידך על מחצית הצלעות יהיו ג' ויהיו גם הם צלע המרובע
two possible sides	כי יכול יהיה א' הגדר ויכול יהיה ג' כי שני חשבונות לשאלה הזאת
Figure Problem - Area - Circle
103) If you want to know the area of a whole circle, when its diameter is known	קג) אם תרצה לדעת תשבורת העגול התמים אם תדע אלכסונו והוא הקוטר
the perimeter of the circle = $\scriptstyle2r\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)$	תכפול אותו ג' פעמי' ושבעית פעם והוא יהיה אורך הקו הסובב
the area of the circle = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot \rm{perimeter_{circle}}\right)$	ואחר כן הוי מרבע מחצית הקוטר במחצית הקו הסובב והוא יהיה תשבורת העגול
Example: a circle whose diameter is 14	והדמיון לענין הזה עגולה שהקוטר שלה י"ד

the perimeter = $\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=44}}$	ואתה כופל אותו ג' פעמ' ושביעית ויהיה מ"ד והוא מדת הקו הסובב
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot44\right)=7\sdot22=154}}$	ואם אתה מונה מחצית הקוטר והוא ז' במחצית הקו הסובב והוא כ"ב יהיה המניין קנ"ד אמות והוא תשבורת העגול
Figure Problem - Area - Triangle
104) A triangle such as this - you want to know its area	קד) הרי שיש לפניך אי' משולש כזה ותרצה לידע מדת שבריו

the area of the triangle = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot side\right)\sdot \rm{height_{triangle}}$	תרבה חצי צלע העליון על כל העמוד וכן יהיו מדת שבריו
Example: the upper side is 10 cubits and its height is 12 cubits	המשל בזה הרי שהיה צלע העליון י' אמות והעמוד שלו י"ב אמות
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot12=5\sdot12=60}}$	תקח חצי צלע העליון שהוא ה' ותרבה אותו על כל העמוד שהוא י"ב ואמור ה' פעמ' י"ב ס' וכן יבא
Figure Problem - Area - Square
105) An equilateral quadrangle whose angles are right angles - you want to know its area	קה) המרובע שהוא שוה הצלעות וכל זוויותיו נצבות ותרצה לידע תשברתו
the area of the square = $\scriptstyle\rm{side}^2$	תמדוד אחד מצלעיו ותרבה אותו בעצמו וכפי מה שיעלה כן יהיה
Example: a square, each of its sides is 4	המשל בזה מרובע אחד שכל אחד מצלעותיו ד' וזוויותיו נצבות

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{4^2=16}}$	תמדוד אחד מצלעותיו שהוא ד' ותרבה אותו בעצמו ואמור ד' פעמ' ד' י"ו וכן יהיה מניין תשברתו וכה"ל
Figure Problem - Area - Triangle whose base is an arc - Sector
106) A triangle whose base is arc BG and its sides are the straight lines AB and AG	קו) משולש אשר תושבתו עקמימות ב"ג וב' צלעיו הם קוים ישרים והם כצורה אשר אני מצייר לך ב' קוים א"ב וא"ג והתושבת קו עקום אשר עליו בד"ג
drawing a straight line BG to create -	ואם אתה עושה כצורה ד' הזאת קו כגון קו ב"ג
triangle ABG	יהיה לך משולש ישר אשר עליו אב"ג
segment of a circle BDG	וצורת העקום אשר עליה בד"ג והיא שבר עגולה

the area of the sector = $\scriptstyle\rm{Area_{triangle}+Area_{segment\ of\ circle}}$	ואתה מרבע כל אחד מהם לבד ותאסוף שני המרובעים ויהיו תשבורת הצורה
Figure Problem - Area - Rectangle
107) A rectangle whose parallel sides are identical i.e. both longitudinal lines are identical and both latitudinal lines are identical and all the angles are right angles. You want to know its area.	קז) המרובע ארוך שלא תהיינה צלעותיו שוות זו לזו אבל הנכוחים לבד הם שוות דהיינו שיהיו שני הארוכים שוים ושני הרחבים שוים וכל הזוויות הם נצבות ותרצה לידע תשברתו
the area of the rectangle = $\scriptstyle\rm{length_{rectangle}\times breadth{rectangle}}$	תרבה צלע האורך עם צלע הרוחב וכאשר יעלה כן יהיה תשברתו
Example: rectangle, its two long sides are 9 cubits and its two short sides are 5 cubits	כגון מרובע ארוך ששתי צלעותיו האורך כל אחד מהם ט' אמות ושתי צלעות הרוחב כל אחד מהם ה' אמות כזה

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	תרבה האורך עם הרוחב ואמור ה' ט' הם מ"ה וכן יהיה מניין תשברתו וכה"ל
Figure Problem - Area - Rhombus
108) An equilateral quadrangle whose angles are not right angles is called a rhombus quadrangle. For example: rhombus, each of its sides is 10 cubits, its angles are not right angles, and its diagonals are not identical e.g.- its one diagonal is 12 cubits and the other diagonal is 16 cubits. You want to know its area.	קח) המרובע שהוא שוה הצלעות ואינו נצב הזוויות והוא הנקרא מרובע המעויין כגון מרובע שיש בכל צלעותיו י' אמות ואינו נצב הזוויות ואתה מוצא אלכסונותיו שאינן שוים כגון שיהיה האלכסון האחד י"ב אמות ואלכסון השני י"ו אמות ותרצה לידע תשברתו

the area of the rhombus = $\scriptstyle\rm{diagonal_1}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot \rm{diagonal_2}\right)$	תמנה האלכסון האחד במחצית האלכסון השני
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=16\sdot6=96}}$	ואמור י"ו פעמי' ו' הם צ"ו וכן יהיה מנין תשברתו
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12\sdot8=96}}$	או אמור י"ב פעמ' ח' צ"ו וכן יהיה מניין תשברתו
Figure Problem - Area - Equilateral Triangle
109) This shape is an equilateral triangle and you want to know its area	קט) וזו היא הצורה משולש שוה הצלעות ותרצה לדעת תשברתו

the area of the equilateral triangle = $\scriptstyle\left(\frac{1}{3}\sdot side^2\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot side^2\right)$	דע כי תשברתו הוא שלישית מרובע צלעו ועשירית מרובע הצלע
Example: triangle, each of its sides is 15	כגון משולש שכל אחד מצלעיו ט"ו
the area =	תרבה אחת מצלעיו ואמור ט"ו פעמי' ט"ו הם רכ"ה קח שלישית רכ"ה שהוא ע"ה ועשירית רכ"ה שהוא כ"ב וחצי ויהיה הכל צ"ז וחצי וכן יהיה תשבורת זה המשולש וכה"ל וזאת היא הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot15^2\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot15^2\right)=\left(\frac{1}{3}\sdot225\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot225\right)=75+\left(22+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$
the area of the equilateral triangle = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)=\rm{side}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	ואם תרצה לדעת תשבורת המשולש בעניין אחר תרבע העמוד היוצא בו במחצית התושבת או תרבע התושבת במחצית העמוד
Example: triangle, each of its sides is 15 and its height is 13	כגון משולש שכל אחד מצלעותיו ט"ו ועמודו י"ג כזה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)=13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$	תרבה העמוד שהוא י"ג במחצית התושבת שהוא ז' וחצי ואמור י"ג פעמ' ז' וחצי הם צ"ז וחצי וכן יהיה תשבורת המשולש
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)=15\sdot\left(6+\frac{1}{2}\right)=97+\frac{1}{2}}}$	או תרבע התושבת שהוא ט"ו במחצית העמוד שהוא ו' וחצי ואמור ט"ו פעמ' ו' וחצי צ"ז וחצי וכן יהיה תשברתו וכה"ל
Figure Problem - height; Area - Equilateral Triangle
110) if you want to know the area and the height of the triangle that is an equilateral triangle For example: triangle, each of its sides is 10	קי) ואם תרצה לדעת שבור העמוד מן המשולש שהוא שוה הצלעות עשה כענין זה כגון משולש שכל אחד מצלעותיו י' כזה

the height of the equilateral triangle =	תרבה הצלע האחד בעצמו ואמור י' פעמ' י' הם ק‫'
	ותרבה חצי התושבת שהוא ה' בעצמו ואמור ה' פעמ' ה' כ"ה
	ותפחות אותם מק' ישארו ע"ה
	ותמצא הגדר של ע"ה והנו ח' וב' שלישי בקירוב והוא יהיה מספר העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{side}^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)}=\sqrt{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}=\sqrt{100-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{3}}}$
the area of the equilateral triangle =	ואם תרצה לדעת שברי זה המשולש
$\scriptstyle\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{side}\right)$	תרבה כל העמוד עם חצי התושבת שהוא ה‫'
$\scriptstyle\rm{side}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	או תרבה כל התושבת במחצית העמוד
Figure Problem - height; Area; Side - Equilateral Triangle
111) If you want to know the height of the triangle that is equilateral in another way	קיא) ואם תרצה לדעת שיעור העמוד בעניין אחר מן המשולש שהוא שוה הצלעות
the height of the equilateral triangle = $\scriptstyle\rm{side}-\left(\frac{2}{15}\sdot\rm{side}\right)$	תפחות לעולם מן הצלע שלמשולש שוה הצלעות ב' חלקי' מט"ו והוא יהיה מספר העמוד
Example: triangle, each of its sides is 15, you know that its height is 13, and you want to know its area	כגון משולש שכל אחד מצלעותיו [ט"ו]‫ הוי יודע כי עמודו י"ג ואם תרצה לדעת תשברתו
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)=13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)}}$	תרבה י"ג שהוא העמוד בז' וחצי שהוא חצי התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{15\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot13\right)=15\sdot\left(6+\frac{1}{2}\right)}}$	או כל התושבת שהוא ט"ו בו' וחצי שהוא חצי השיעור מן העמוד
If you know the height of the equilateral triangle and you want to know the side using the height	ואם תדע העמוד מן המשולש השוה הצלעות ותרצה לדעת הצלע מן העמוד ההוא
the side of the equilateral triangle = $\scriptstyle\sqrt{\rm{height}^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\rm{height}^2\right)\right]}$	תרבע העמוד בעצמו והוסיף על זה המרובע שלישיתו ותידע כמה הוא גדר הכל והוא יהיה מדת כל צלע מצלעי המשולש שוה הצלעות
Example: triangle, its height is 13, and you want to know its side	כגון משולש שהעמוד שלו הוא י"ג ותרצה לידע מידת הצלע
the side =	תרבה העמוד בעצמו ואמור י"ג פעמ' י"ג קס"ט הוסף עליהם שלישית קס"ט שהם נ"ו ושליש יהיו רכ"ה ושליש תמצא הגדר של רכ"ה ושליש שהם ט"ו בקירוב והוא יהיה מספר הצלע
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{13^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13^2\right)\right]}=\sqrt{169+\left(\frac{1}{3}\sdot169\right)}=\sqrt{169+\left(56+\frac{1}{3}\right)}=\sqrt{225+\frac{1}{3}}\approx15}}$
Figure Problem - Side - Scalene Triangle
112) If someone tells you: a scalene triangle, its height is 12, one of its legs is 13 and the other is 15. How much is the base?	קיב) אם יאמר לך אדם משולש מתחלף עמודו י"ב והצלע האחר המקפת את ראשו י"ג והשנית ט"ו כמה תהיה התושבת
the base =	והתשובה בשאלה הזאת תרבע הצלע האחת כגון י"ג שריבועה קס"ט ותוציא ממנו מרובע העמוד והוא קמ"ד ישאר כ"ה שגדרו ה' והוא המעמד האחד ושוב ורבע את הצלע השנית ומרובעה רכ"ה הוצא ממנה מרובע העמוד ישאר פ"א וגדרו ט' והוא המעמד השני וב' המעמדי' האלה הם י"ד והוא אורך התושבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\rm{side}_1^2-\rm{height}^2}+\sqrt{\rm{side}_2^2-\rm{height}^2}&\scriptstyle=\sqrt{13^2-12^2}+\sqrt{15^2-12^2}=\sqrt{169-144}+\sqrt{225-144}\\&\scriptstyle=\sqrt{25}+\sqrt{81}=5+9=14\\\end{align}}}$
Figure Problem - height - Scalene Triangle
If he tells you: a scalene triangle, the sum of its area with the height is 96, the base of the height is 14. How much is the height?	ואם יאמר לך משולש מתחלף בתשברתו עם העמוד צ"ו ותושבת העמוד י"ד כמה הוא העמוד
the height of the scalene triangle = $\scriptstyle\frac{\rm{Area+height}}{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)+1}$	תשובה קח מחצית התושבת והוסף אחד לעולם וחלק עליה את המספר אשר בידך ותמצא העמוד
the height = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+1}=\frac{96}{8}=12}}$	כאילו היית מחלק בשאלה הזאת התושבת לשנים ומחציתה הוסף עליה אחד יהיו ח‫' חלק עליהם צ"ו יהיה י"ב והוא אורך העמוד
Figure Problem - Area; height; Side - Isosceles Triangle
113) An isosceles triangle is a triangle whose legs are equal but the base is not equal to the legs. For example: this triangle, whose both legs are 15, and its base is 18. If we want to know its area.	קיג) משולש שוה השוקים והוא משולש ששוקיו שוים והתושבת אינו שוה עמהם כגון זה המשולש שכל אחד משוקיו ט"ו והתושבת היא י"ח ואם נרצה לדעת שבריו

the height of the isosceles triangle =	נדע מספר העמוד תחלה ונעשה בענין זה נרבע אחד מן השוקים בעצמו ואמור ט"ו פעמי' ט"ו הם רכ"ה ונפחות מרכ"ה מרובע חצי התושבת וחצי התושבת הוא ט' ומרובעו פ"א ונפחות אותם מרכ"ה ישארו קמ"ד ותמצא השורש מקמ"ד והוא י"ב וכן יהיה מספר העמוד הזה י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{side}^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)^2}=\sqrt{15^2-\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2}=\sqrt{225-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}$
the area of the isosceles triangle =	ואם תרצה לדעת תשבורת המשולש הזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)=12\sdot9=108}}$	תרבה כל העמוד שהוא י"ב על חצי התושבת שהוא ט' ואמור ט' פעמ' י"ב הוא ק"ח והוא תשבורת זה המשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)=18\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=18\sdot6=108}}$	או תרבה כל התושבת שהוא י"ח על חצי העמוד שהוא ו' ואמ' ו' פעמ' י"ח הוא ק"ח והוא יהיה תשברתו וכה"ל
If you know the size of the height and the base of an isosceles triangle and you want to know the size of both legs. For example: this triangle, whose height is 12, and its base is 18. You want to know how much are the legs.	ואם תדע מדת העמוד ומדת התושבת ממשולש שוה השוקים ותרצה לדעת מדת כל אחד מהשוקים כגון זה המשולש שעמודו י"ב ותושבתו י"ח ותרצה לדעת מדת השוקים
the side of the isosceles triangle =	תרבע העמוד בעצמו שהוא י"ב ואמור י"ב פעמ' י"ב הם קמ"ד הוסף עליהם מרובע חצי התושבת שהוא ט' שיבא פ"א וקבצם יהיו רכ"ה תמצא השורש מרכ"ה והוא ט"ו וכן יהיה מדת כל אחד מהשוקיים וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\rm{height}^2+\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)^2}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2}=\sqrt{144+9^2}=\sqrt{144+81}=\sqrt{225}=15}}$
Figure Problem - Area - Scalene Triangle
114) A scalene triangle such as triangle ABG: AB is 13, BG is 14, and AG is 15	קיד) משולש מתחלף הצלעות כגון משולש אב"ג שצלע א"ב י"ג וצלע ב"ג י"ד וצלע א"ג ט"ו

The area of this triangle can be found only by using the height	וזה המשולש לא נוכל לדעת תשברתו אלא מן העמוד
[Although later on (problem 116) a general formula is given for finding the area of any triangle according to its three sides without needing to know the height]
The rule for every triangle: the area = $\scriptstyle\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)$	כי כל משולש בין שוה הצלעות בין מתחלף הצלעות תשברתו הוא ברבוע העמוד על חצי התושבת או בריבוע כל התושבת בחצי העמוד
The height of a scalene triangle does not stand on half its base, but is closer to one side than the other	ולכן נצטרך להוציא העמוד ולהגביל מעמדו בתושבת כי העמוד במשולש הזה אינו עומד במחצית התושבת אבל נוטה ממחצית התושבת אל צד אחד
The long segment of the base from its meeting point with the height	והצד הארוך מגבול מעמדו אנו קוראים לו מעמד ארוך
The short segment of the base from its meeting point with the height	והצד השני מעמד קצר
the long segment =	ואם נרצה להוציא המעמד הארוך נקח מרובע הצלע משתי הצלעות אשר העמוד יוצא מבניהם והוא צלע א"ג שהוא ט"ו ומרבעו רכ"ה ונחבר המרובע הזה אל מרובע התושבת שהוא י"ד ומרובעו קצ"ו ויהיו שני המרובעים תכ"א נוציא מהם מרובע צלע הקצר שהוא צלע א"ב שהוא י"ג ומרובעו קס"ט וישארו רנ"ב נחלק רנ"ב לשנים ויהיה המחצית קכ"ו נחלק קכ"ו על התושבת שהוא י"ד יהיו ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע הארוך הרי שקו ג"ד הוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AG^2+BG^2\right)-AB^2\right]}{BG}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(15^2+14^2\right)-13^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(225+196\right)-169\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(421-169\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot252}{14}=\frac{126}{14}=9\\\end{align}}}$
the short segment =	ואם נרצה לדעת המעמד הקצר נקח מרובע הצלע הקצר שהוא י"ג ומרובעו קס"ט עם מרובע התושבת שהוא קצ"ו ויהיו שני המרובעי' שס"ה נוציא מהם רכ"ה שהוא מרובע קו א"ג שהוא הצלע הארוך שהוא ט"ו ישארו ק"מ חלקם לשנים ויהיה המחצית ע‫' נחלקם על התושבת שהוא י"ד יהיו ה' וכן מרחק מעמד העמוד מן הצלע הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(AB^2+BG^2\right)-AG^2\right]}{BG}&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(13^2+14^2\right)-15^2\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[\left(169+196\right)-225\right]}{14}=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(365-225\right)}{14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot140}{14}=\frac{70}{14}=5\\\end{align}}}$
height = $\scriptstyle\sqrt{side_1^2-\left(\rm{long\ segment}\right)^2}=\sqrt{side_2^2-\left(\rm{short\ segment}\right)^2}$	ואם תרצה לדעת אורך זה העמוד נרבע הצלע ונוציא ממרובעו מרובע המעמד הדבק בו ונקח גדר הנשאר והוא יהיה אורך העמוד
the height =	המשל בזה נרבע הצלע הקצר שהוא י"ג בזה המשולש יהיו קס"ט נפחות מקס"ט מרובע המעמד הקצר הדבק בו דהיינו קו ד"ב שהוא ה' ומרובעו כ"ה ישארו קמ"ד וגדר קמ"ד הוא י"ב הרי שמספר העמוד הוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{AB^2-DB^2}=\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12}}$
the height =	וכן אם נרבע הצלע הארוך שהוא ט"ו ומרובעו רכ"ה ונפחות ממנו מרובע המעמד הארוך דהיינו קו ג"ד שהוא ט' ומרובעו פ"א ישארו קמ"ד כמו שנשאר מן הצלע הקצר וגדר קמ"ד הוא י"ב והוא אורך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{AG^2-GD^2}=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}$
the area =	ואם תרצה לדעת תשבורת זה המשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{height}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{base}\right)=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=12\sdot7=84}}$	תרבה כל העמוד שהוא י"ב בחצי התושבת שהוא ז' שיבואו פ"ד והוא תשברתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\rm{base}\times\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{height}\right)=14\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=14\sdot6=84}}$	או תרבה כל התושבת שהוא י"ד בחצי העמוד שהוא ו' ויהיו פ"ד והוא תשברתו וכה"ל
Figure Problem - Area - Right Triangle
115) This is the shape of the triangle that is called a right-angled triangle. If you want to know its area	קטו) וזאת היא צורתה המשולש הזה נקרא משולש נצב הזויות ואם תרצה לדעת תשברתו
the area of the right triangle = $\scriptstyle base_1\times\left(\frac{1}{2}\sdot base_2\right)$	תרבה הצלע האחד מן הצלעות המקיפות בזוית הנצבה בחצי הצלע האחרת
Example: line BA is 10 and line BG is also 10	כגון אם היה קו ב"א י' וקו ב"ג ג"כ י‫'

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=10\sdot5=50}}$	אמור י' פעמ' ה' הם נ' והוא תשברתו
Right triangle is half a square	כי אתה רואה שהוא חצי מרובע שוה הצלעות נצב הזוויות
the area of the right triangle = = $\scriptstyle\frac{1}{2}$ the area of the square	ואם היה מרובע שלם היינו אומרי' י' פעמ' י' הם ק‫' ועכשיו שהוא חצי מרובע נאמר י' פעמ' ה' הם נ' וכן לכל חשבון כזה
$\scriptstyle{\color{blue}{10\times\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=10\sdot5=50=\frac{1}{2}\sdot100=\frac{1}{2}\sdot10^2}}$
Figure Problem - Area - Triangle
116) General Rule: calculating the area of a triangle without considering the height- "calculation of differences" [= Heron's Theorem]	קיו) כלל גדול לדעת תשבורת המשולש שאינך צריך בו אל הוצאת העמוד והחשבון הזה נקרא חשבון המותרות
	והוא שתדע מחצית כל אחד מצלעי המשולש ותקבץ כל המחציות האלה ותדע מותר כללם על כל צלע וצלע ותשמור המותרות האלה ותמנה אחד מהם בשיני והמספר הנקבץ מנה אותו בשלישי במספר ואשר יכנס בידך מהחשבון הזה מנה אותו בכל כלל המחציות אשר קבצת ויהיה המספר הזה מרובע תשבורת המשולש ואם תוציא גדר המספר הזה תמצא התשבורת
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle side_1=a\\\scriptstyle side_2=b\\\scriptstyle side_3=c\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{2}b+\frac{1}{2}c=s\end{cases}\scriptstyle\longrightarrow Area_{\triangle}=\sqrt{\left(s-a\right)\times\left(s-b\right)\times\left(s-c\right)\times s}$
Example: triangle whose one side is 10, the second is 8, and the third is 6	המשל בזה משולש שצלעו האחד י' והשני ח' והשלישי ו‫'

half the sum of the sides = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)=12}}$	ואם אתה מקבץ מחצית ג' הצלעות האלה יהיה המספר י"ב
the area =	ומותר י"ב על הצלע האחד ב' ועל השני ד' ועל השלישי ו‫' ואתה בוא ומנה ב' שהוא מותר הצלע האחד בד' שהוא מותר הצלע השני יהיו ח‫' בוא ומנה אלו הח' בו' שהוא מותר הצלע השלישי ויהיו מ"ח שוב ומנה מ"ח בי"ב שהוא כלל המחציות ויהיו תקע"ו ותקע"ו הוא מרובע התשבורת ואם תמצא הגדר של תקע"ו יהיו כ"ד והוא יהיה תשבורת זה המשולש וכה"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(12-10\right)\times\left(12-8\right)\times\left(12-6\right)\times12}=\sqrt{2\sdot4\sdot6\sdot12}=\sqrt{8\sdot6\sdot12}=\sqrt{48\sdot12}=\sqrt{576}=24}}$
Figure Problem - Area - Parallelogram
117) Quadrangle whose two long sides are equal, both are 25, its two short sides are equal, both are 15, and its angles are not right angles.	קיז) מרובע ששני אורכיו שוים וכל אחד מהם כ"ה ושני רחביו שוים וכל אחד מהם ט"ו ואין זוויותיו נצבות כגון זה

The area of a parallelogram can be found only by calculating the areas of the two equal triangles to which it is intersected by the diagonal Example: AG is 20 and the height to AB in the triangle ABG is 12	כשנבוא לרבעו נמדוד בו אלכסון א"ג והיה כ' אמה והוא החולק הזה המרובע לב' משולשים שוים ואין אנו יכולין לדעת שברי זה המרובע אלא מתוך ריבוע ב' המשולשים האלה
Therefore, the area is calculated after finding the height	ומפני זה אם אנו מוציאים את העמוד באחד מהם נדע תשבורת המשולש ההוא
the area of the parallelogram = $\scriptstyle\rm{side}\times\rm{height}$ = twice the area of the triangle	ונכפול אותו ונמצא תשבורת שני המשולשים דהיינו תשבורת כל זה המרובע
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\rm{Area_{ABG}}=2\sdot150=300}}$	ואם תוציא עמוד במשולש אב"ג על צלע א"ב יהיה העמוד י"ב ותשבורת המשולש ק"נ וכפל ק"נ הוא ש' והוא תשבורת המרובע הזה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{300\neq375=25\sdot15=side_1\times side_2}}$	ומי שלא היה מבין זה הדרך והיה מרבע האורך עם הרוחב כשאר המרובעים שהם על זוויות נצבות והיה אומ' כ"ה פעמ' ט"ו היו עולים שע"ה ראה כמה טעות בין שני החשבונות המרובע עודף
Additional segment: the differences between the square and its inner circle and the inner square of the inner circle	המרובע עודף על העגול שבתוכו העגול עודף על המרובע שבתוכו
The external square is larger than the circle by $\scriptstyle\frac{3}{14}$ The inner square is less than the circle by $\scriptstyle\frac{4}{14}$
Figure Problem - Area - Isosceles Trapezoid
118) A trapezoid such as this ABGD. AB and GD are equal, both 13. AG and BD are parallel and not equal to each other AG is 8 cubits and BD is 18 cubits	קיח) קטומת הראש כגון זאת הצורה שיש לה ד' צלעות ועליהם אבג"ד וצלע א"ב וג"ד הם שוות וכל אחד מהם י"ג וצלעי א"ג וב"ד הם נכוחיים ואינם שוים זה לזה וצלע א"ג ח' אמות וצלע ב"ד י"ח אמות
this shape is called isosceles trapezoid	והצורה הזאת נקראת קטומת הראש שוה
AG which is the shorter is called the top base	וצלע א"ג שהיא הקצרה משתי צלעות הנכוחייות נקראת ראש הקטומה
BD which is the longer is called the bottom base	וצלע ב"ד הארוכה נקראת תושבת הקטומה

height of isosceles trapezoid = $\scriptstyle\sqrt{\rm{side}^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)\right]\right]^2}$	והרוצה למדוד הצורה הזאת יוציא עמודה ראשונה ודרך הוצאתו הוא שיפחות ראש הקטומה משרשה מתושבתה והעודף ביניהם יחלק אותו לשנים וידע מרובע המחצית ויפחות מהמרובע הזה מרובע אחת מן הצלעות השוות והנשאר ממרובע הצלע ידע שרשו והוא יהיה מספר העמוד
the height =	ובצורה הזאת נפחות מנין ח' שהוא ראש הקטומה מן י"ח שהוא התושבת ישאר י‫' והמחצית מי' הוא ה' והוא יהיה ודאי חלק העודף האחד מנקודת ה' קו ב"ה ומנקודת ז' קו ד"ז ונוציא קו מא' אל ה' ומן ג' אל ז' ובידוע שכל קו מהם הוא עמוד על תושבת ב"ד ויהיה משולש אה"ב נצב הזוית ומיתר הזוית הזאת הוא קו א"ב ובידוע כי מרובע המיתר הזה שהוא י"ג שוה למרובע ב"ה שהוא אשר ידענו שהוא ה' ולמרובע א"ה שאנו רוצים לדעתו ואם נפחות מרובע ה' שהוא כ"ה ממרובע י"ג שהוא קס"ט ישאר קמ"ד ובידוע שגדר קמ"ד והוא י"ב יהיה מדת העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AH&\scriptstyle=\sqrt{AB^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]^2}=\sqrt{13^2-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(18-8\right)\right]^2}=\sqrt{169-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{169-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12\\\end{align}}}$
the area =	ואם תרצה לדעת תשבורת זאת הצורה תכניס הראש עם התושבת ויהיו כ"ו קח מחציתם והם י"ג ומנה אותם בי"ב שהוא מדת העמוד יהיו קנ"ו והוא תשברתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]\sdot\rm{height}&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+18\right)\right]\sdot12\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot26\right]\sdot12=13\sdot12=156\\\end{align}}}$
Extending the sides in order to create a triangle	ואם תרצה להאריך למעלה שני צלעי הקטומה שהם קו א"ב וג"ד עד שיפגשו אל נקודת ז' כמו שתראה בצורה ותהיה הצורה דומה למשולש

the additional segments of the sides of the triangle	ותרצה לדעת אורך הקוים העולים למעלה והם קוי א"ז וג"ז
	תדע עודף התושבת על הראש שהוא י' בצורה הזאת ותשמור אותו עמך ושוב ותראה הראש שהוא ח' בכל הצלע שהוא י"ג ויהיה הכל ק"ד חלקם על י' אשר הוא העודף אשר שמרת ותהיה החלוקה י' ושני חומשי' והוא אורך קו א"ז וכמו כן קו ג"ז העולים עד הנקודה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AC=GC &\scriptstyle=\frac{\left(\rm{bottom\ base}\right)\sdot\rm{side}}{\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)}=\frac{8\sdot13}{18-8}\\&\scriptstyle=\frac{104}{10}=10+\frac{2}{5}\\\end{align}}}$
	או תעשה על זה הדרך שתדע ערך ח' אמות שהוא אורך הראש מי' שהוא עודף התושבת על הראש וערך ח' אל י' הוא ד' חמשי' דהיינו א' פחות חומש וכערך ח' אל י' כן יהיה ערך הקו העולה עד נקודת הז' אל י"ג שהוא הצלע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AC:13=AC:BC=GC:13&\scriptstyle=GC:DC=AG:\left(BD-AG\right)\\&\scriptstyle=\left(\rm{top\ base}\right):\left[\left(\rm{bottom\ base}\right)-\left(\rm{top\ base}\right)\right]=8:\left(18-8\right)=8:10\\&\scriptstyle=\frac{4}{5}=1-\frac{1}{5}\\\end{align}}}$
$\scriptstyle{\color{blue}{AC=GC=13-\frac{13}{5}=10+\frac{2}{5}}}$	דהיינו שיהיו י"ג פחות י"ג חומשי' שהם י' וב' חמשים וכה"ל

Figure Problem - Area - Trapezoid
119) the area of this trapezoid is the product of one of its heights by half the sum of the top base and the bottom base together the area of the trapezoid = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]$	קיט) רבוע הקטומה הזאת הוא בריבוע אחד מעמודה במחצית הראש והתושבת יחד והוא שתהיה מקבץ

Example: the length of the top base is 8; the bottom base is 22; and the height is 12	בצורה הזאת ח' שהוא אורך הראש כ"ב שהוא התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+22\right)\right]=12\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)=12\sdot15=180}}$	ויהיה הכל ל' קח מחציתו והוא ט"ו ומנה אותו בי"ב שהוא אורך העמוד ויהיה הכל ק"פ והוא יהיה תשבורת הקטומה הזאת וזאת היא הצורה
Figure Problem - Area - [Right] Trapezoid
120) The area of this trapezoid	קכ) רבוע הקטומה הזאת

Finding the area of this drawn shape Area of right trapezoid = $\scriptstyle height\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(top\ base\right)+\left(bottom\ base\right)\right]\right]$	הוא באסיפת ראשה אל תושבתה ותקח מחצית' וימנה בעמוד והוא יהיה תשברתה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+20\right)\right]=9\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)=9\sdot14=126}}$	ואם תאסוף בצורה הזאת ראשה אל תושבתה יהיה כללם כ"ח קח מחציתם שהוא י"ד ותרבה אותו בט' שהוא אורך העמוד יהיו קכ"ו והוא תשבורת הקטומה הזאת
Figure Problem - Area - Trapezoid
121) The area of this trapezoid	קכא) תשבורת הקטומה הזאת

Finding the area of this drawn shape Area of trapezoid = $\scriptstyle\rm{height}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\rm{top\ base}\right)+\left(\rm{bottom\ base}\right)\right]\right]$	הוא ברבוע העמוד בחצי הראש וחצי התושבת
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(14+21\right)\right]=12\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)=210}}$	וחצי הראש וחצי התושבת הם י"ז וחצי תרבה אותם על י"ב שהוא העמוד יהיו ר"י והוא תשברתו וכה"ל

Figure Problem - Quadrangle whose two sides are equal to its diagonal
122) Quadrangle whose two sides are equal to its diagonal	קכב) מרובע שני קוויה כמרובע אלכסונה

No verbal description is given
Figure Problem - Area - Half a Circle; Arc
123) A shape of half a circle - if you want to know the area of this shape	קכג) צורת חצי עגול אם תרצה לדעת תשבורת הצורה הזאת
the area of half the circle = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{perimeter\ of\ half\ circle}\right)$	תרבע חצי המיתר שהוא חצי קוטר העגול בחצי הקו העקום הנקרא קשת ותמצא התשבורת
the perimeter of half the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot2r\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=4\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=12+\frac{4}{7}}}$	ואם תרצה לדעת מדת הקשת תכפול חצי המיתר שהוא ד' ג' פעמ' ושביעי' פעם ויהיו י"ב אמות וד' שבעיות וכן יהיה מדת הקשת ר"ל הקו הסובב עקמומית זה החצי העגול

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+\frac{4}{7}\right)\right]=4\sdot\left(6+\frac{2}{7}\right)=25+\frac{1}{7}}}$	ואם תרצה לדעת שברי זה החצי העגול תרבע כאשר אמרנו חצי המיתר בחצי הקו הסובב דהיינו שתאמ' ד' פעמ' ו' וב' שבעיות יהיו כ"ה ושביעית וכן יהיה תשבורת חצי העגול וכה"ל
the area of half the circle = $\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2r\right)^2-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot\left(2r\right)^2\right]\right]$	או תעשה על דרך זה תרבע את המיתר בעצמו ותוציא מזה המרובע שביעיתו וחצי שביעיתו וקח מחצית הנשאר והוא יהיה תשבורת חצי העגול
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\left[8^2-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot8^2\right]\right]&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left[64-\left[\left[\frac{1}{7}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{7}\right)\right]\sdot64\right]\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left[64-\left(13+\frac{5}{7}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\left(50+\frac{2}{7}\right)\\&\scriptstyle=25+\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	וכצורה הזאת אשר עשינו תרבע המיתר שהוא ח' בעצמו יהיו ס"ד הוצא ממנו שבעיתו וחצי שביעיתו שהם י"ג אמות וה' שבעיות ישארו נ' אמות וב' שביעי אמה קח מחציתם שהם כ"ה ושביעית והוא יהיה תשבורת חצי העגול
Figure Problem - Area - Arc, smaller than half a circle
124) An arc that is smaller than half a circle For example: arc ABG; its chord AG = 8; its versed sine DB = 2	קכד) קשת פחות מחצי עגול הדמיון לצורה המעוטה מחצי העגולה היא צורת קשת אב"ג ומיתרה א"ג ואורכו ח' וחיצה ד"ב ואורכו ב‫'

The area can be found only if the diameter is known	ואי אתה יכול להגיע לתשבורת הצורה הזאת אם אינך יודע כל קוטר העגול שזה הקשת נקטם ממנו
the diameter = $\scriptstyle2r=\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)^2}{\rm{versed\ sine}}+\rm{versed\ sine}$	ותוכל לדעת קוטר העגול בעניין זה תרבע מחצית המיתר ותחלק מרובעו על החץ והוסף מדת החץ עליו ותדע סך הכל והוא יהיה אורך כל הקוטר
the diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2}{2}+2=\frac{4^2}{2}+2=\frac{16}{2}+2=8+2=10}}$	ומצורה הזאת אשר עשינו תרבע מחצית המיתר שהוא ד' בעצמו יהיו י"ו וחלק אותו על החץ שהוא ב' יהיו ח' והוא האורך הנשאר מן הקוטר הוסף עליהם ב' שהוא החץ יהיו י‫' הרי שכל הקוטר מן העגול שזה הקשת נקטם ממנו הוא י' וכה"ל
Geometric illustration - completing the circle in order to find the area of the figure that is smaller than half the circle	ולראות העניין באר הטב הוי משלים העגולה הזאת כלה והוצא קו ב"ד עד שיגיע אל עקמימות העגולה מן הצד השני כגון קו בד"ז ואם תרצה לידע תשבורת הצורה הזאת חלק קו ב"ז לב' חלקי' שוים על נקודת ח' ות‫' נקודת ח' ותהיה הנקודה הזאת ציר העגולה ותרצה והוצא ממנה ב' קווים אל נקודת א' ואל נקודת ג' והם קוי ח"א וח"ג

triangle AHG = $\scriptstyle{\color{blue}{HD\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG\right)}}$	ואם אתה מרבע קו א"ח שהוא חצי הקוטר העגול בחצי הקשת אשר הוא עוקם א"ג יהיה מנין הזה תשבורת המשולש אשר ב' צלעיו הם ב' קוי א"ח וח"ג
segment ABGD = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AG_{sector}-AHG_{\triangle}&\scriptstyle=AH\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG_{arc}\right)-AHG_{\triangle}\\&\scriptstyle=\left[r\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG_{arc}\right)\right]-AHG_{\triangle}\\\end{align}}}$	ותשבורת קשת אב"ג הוצא מן המנין תשבורת המשולש אח"ג וישאר בידך תשבורת הצורה שעליה אבג"ד ותשבורת המשולש הזה הוא רבוע קו ח"ד שהוא בצורה הזאת ג' אמות בחצי קו א"ג והוא ד' אמות ורבועם י"ב והוא הסך אשר תוציא מרבוע קו א"ח הישר בקו א"ב העקום ויהיה הנשאר תשבורת צורת אבג"ד שהוא צורת הקשת שהוא פחות מחצי עגול
the area of the shape that is smaller than half a circle = $\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]-\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]-\rm{versed\ sine}\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)\right]$	ומכאן אתה אומ' כי רבוע הקשת שהוא פחות מחצי עגול הוא שתרבע חצי כל הקוטר מן העגול שהקשת נקטם ממנו בחצי הקשת ותשמור אותו ואחרי כן תוציא מחצי הקוטר קו החץ אשר לקשת והנשאר מחצי הקוטר מנה אותו במחצית המיתר והעולה בידך תפחות אותו מן המנין אשר שמרת בידך והנשאר בידך הוא תשבורת הקשת שהוא פוחת מחצי עגול
Figure Problem - Area - Arc, greater than half a circle
125) The shape of the arc that is greater than half the circle, which is arc ABG; its chord AG = 12; [versed sine = 12]	קכה) צורת הקשת העודף על חצי העגול והוא קשת אשר עליו אב"ג ומיתרו א"ג ואורכו י"ב

the area of the shape that is greater than half a circle = $\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]+\rm{Area}_{\triangle}$	ואם תרצה לדעת תשבורת הצורה הזאת תוציא קוטר כל העגול שזאת הצורה נקטמת ממנו ותרבה חצי הקוטר בחצי הקשת ותוסיף עליו תשבורת המשולש אשר המיתר הוא תושבתו ויהיה סך הכל תשבורת כל זאת הצורה
the diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}{12}+12=\frac{6^2}{12}+12=\frac{36}{12}+12=3+12=15}}$	ובצורה הזאת תרבע חצי המיתר שהוא ו' בעצמו שיבואו ל"ו חלק אותם על החץ שהוא י"ב ויהיה החלוקה ג‫' הוסיפם על החץ יהיה סך הכל ט"ו והוא אורך כל הקוטר מן העגול שזאת הצורה נקטמת ממנה
BZ = $\scriptstyle{\color{blue}{r=\frac{1}{2}\sdot15=7+\frac{1}{2}}}$	ומחציתו הוא מחצית הקוטר והוא בצורה הזאת קו ב"ז הרי שקו ב"ז הוא ז' וחצי
area ABGZA = $\scriptstyle{\color{blue}{BZ\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}_{ABG}\right)}}$	מנה אותו במחצית הקשת ומה שיעלה יהיה תשבורת הצורה העקומה אשר יקיפו אותה ב' קווי ג"ז וא"ז עם קשת א'ב'ג‫'
area ABGDA = $\scriptstyle{\color{blue}{\rm{area}_{ABGZA}+\rm{area}_{AZG}=\rm{area}_{ABGZA}+\left[DZ\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AG\right)\right]}}$	הוסף עליהם תשבורת משולש א'ז'ג' והוא המספר הנקבץ מרובע קו ד"ז במחצית קו א"ג וכשתקבץ הכל יהיה תשבורת העקמומית הזאת
the area of the shape that is greater than half a circle = $\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{arc}\right)\right]+\left[\left[\rm{versed\ sine}-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2r\right)\right]\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{chord}\right)\right]$	ומכאן אתה למד הרוצה לדעת תשבורת העקום העודף על חצי העגול יהיה מרבע חצי הקוטר בחצי הקשת וישמור המספר ואחרי כן יפחות חצי הקוטר מן החץ [והנשאר מן החץ] ירבע אותו בחצי המיתר והמספר העולה יאספינו אל המספר אשר שמר ויהיה הכל סך תשבורת העקומה העודפת על חצי העגול
Figure Problem - Divide a Figure - Triangle
126) If you want to divide the triangle into two equal parts [= the areas of both are equal] such that one part is a triangle and the other is a quadrangle	קכו) אם תרצה לחלק המשולש לב' חלקי' שוים וישאר החלק האחד משולש והשני דומה למרובע
Geometric illustration - dividing triangle ABG - based on the following condition: the square of the original side should be twice as the square of its larger portion	כגון משולש א'ב'ג' אשר ראשו נקודת א' ותושבתו ב"ג ותרצה לחלקו לחצי אתה צריך לחלק כל אחד מצלעי א"ב וא"ג לב' חלקי' בענין שיהיה מרובע הצלע כולו כפליים ממרובע הצלע החלק הגדול מחלקיו
	כגון שתהיה חולק קו א"ב לב' חלקים על נקודת ד' וקו א"ג לב' חלקי' על נקודת ה‫'

$\scriptstyle{\color{blue}{AD^2=\frac{1}{2}\sdot AB^2}}$	ויהיה מרובע א"ד מחצית מרובע א
$\scriptstyle{\color{blue}{AH^2=\frac{1}{2}\sdot AG^2}}$	וכן מרובע א"ה מחצית מרובע א"ג
ADH = DHBG	ותוציא קו מד' על ה' והיה משולש נחלק לב' חלקי' שוים החלק האחד משולש א'ד'ה' וחלק השני נפתל ד'ה'ב'ג‫'
The size of the large portion of a side a should be: $\scriptstyle\frac{5}{7}a-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)a=\frac{99}{140}a$	ודרך חשבון המרובעים האלה יהיה אם תהיה לוקח מאורך הקו מנקודת א' אשר הוא הראש ה' חלקי' מז' בו פחות חצי עשירית השביעית והכלל המסור לזה הוא שתהיה לוקח מן הקו צ"ט חלקי' מק"מ חלקי' בו
Example: [triangle ABC] AB is 7 cubits long	כאילו היה אורך צלע א"ב ז' אמות
AD = $\scriptstyle{\color{blue}{5-\frac{1}{20}}}$ cubits	יהיה קו א"ד מהם ה' אמות פחות חלק אחד מעשרים באמה
AG is 10 cubits long	וצלע א"ג היה אורכו י' אמות
AH = $\scriptstyle{\color{blue}{AH=7+\frac{1}{14}}}$ cubits	יהיה קו א"ה ז' אמות וחלק אחד מי"ד באמה
	ועל החשבון הזה אתה חולק את שתי הצלעות האלה ותוציא קו מן החלק האחד אל השני ויחלק המשולש לב' חלקים שוים
Figure Problem - Divide a Figure - Triangular Field
127) If you have to divide a triangular field to three owners and each asks his share in accordance with one of the sides of the triangle	קכז) ואם יהיה קרקע המשולש לג' בעלים ואתה צריך לחלקו ביניהם וכל אחד מהבעלים מבקש חלקו נגד צלע אחד מצלעי המשולש
Geometric illustration of the problem: triangle ABG	ויהיה המשולש הזה משולש א'ב'ג‫'
AD = BD	ואתה בא וחלק צלע א"ב לב' חלקי' שוים על נקודת ד' והוצא קו מד' אל ג' ויחלק המשולש לב' חלקי' שוי‫'

${\color{blue}{\scriptstyle DH=\frac{1}{3}\sdot DG}}$	ואחר כן מדוד מקו ד"ג אשר הוא קומת המשולש שלישיתו מנגד נקודת ד' אשר על התושבת ויהיה החלק הזה קו ד"ה והוצא מנקודת ה' ב' קוים אל נקודת א' ואל נקודת ב‫'
$\scriptstyle\triangle GHA=\triangle AHB=\triangle GHB$	ויחלק המשולש לג' חלקים שוים והם משולש ג'ה'א' ומשולש א'ה'ב' ומשולש ג'ה'ב‫'
Figure Problem - Side, Diagonal - Rhombus
128) Questions concerning the rhombus mentioned above	קכח) שאלות במעויין הנז' למעלה
Example: one of the diagonals is 16 and the other is 12. How much is the side?	אשר אחד מאלכסוניו י"ו והשני י"ב כמה הוא צלעו
the side of the rhombus = $\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2\right)^2}$	תשובה קח מחצית כל אחד מאלכסוניו ורבע אותם וקבץ שני המרובעי' וקח את גדרם ותמצא הצלע
the side = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}=\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10}}$	ופירוש התשובה קח מחצית י"ו והוא ח‫' וריבועו ס"ד וקח מחצית י"ב והוא ו‫' וריבועו ל"ו ומניין שני המרובעים האלו הם ק‫' וגדר ק' הם י' והוא צלע המרובע
Example: the area of the rhombus is 96, and one of its diagonals is 16. How much is the other diagonal?	ואם יאמר מעויין שתשברתו צ"ו ואלכסון האחד י"ו כמה הוא האלכסון השני
$\scriptstyle\rm{diagonal}_2={\color{blue}{2\sdot\frac{\rm{area_{rhombus}}}{diagonal_1}=2\sdot\frac{96}{16}=2\sdot6=12}}$	חלק צ"ו אשר הוא התשבורת על האלכסון אשר ידעת שהוא י"ו ותמצא מחצית האלכסון השני ו' וכפלה י"ב והוא האלכסון השני
Example: the side of the rhombus is 10 and its area is 96. How much are its diagonals?	ואם יאמ' מעויין צלעו י' ותשברתו צ"ו כמה אלכסונו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1+\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2&\scriptstyle=\sqrt{\rm{side^2+area}}\\&\scriptstyle=\sqrt{10^2+96}\\&\scriptstyle=\sqrt{100+96}=\sqrt{196}=14\\\end{align}}}$	קח מרובע הצלע והוא ק' הוסף עליו התשבורת ויהיו קצ"ו וגדר המספר הזה הוא י"ד והם שני חציי האלכסונות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_1&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{area}\right)}\\&\scriptstyle=7+\sqrt{7^2-\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)}\\&\scriptstyle=7+\sqrt{49-48}\\&\scriptstyle=7+\sqrt{1}=7+1=8\\\end{align}}}$	קח מחצית המספר והוא ז' ומרובעו מ"ט הוצא ממנו מחצית התשבורת אשר הוא מ"ח וישאר בידך א‫' וגדר הא' הוא א' אם אתה מוסיף אותו על ז' יהיו ח' והוא מחצית האלכסון האחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}_2=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{area}\right)}=7-1=6}}$	ואם אתה פוחת אותו מן ז' ישאר ששה והוא מחצית האלכסון השני
Figure Problem - Divide a Figure - Triangle
129) Question: a triangle, its one side AB is 12 cubits; the second side BG is 10 cubits and the third side AG is 15 cubits. You want to divide it to two owners equally	קכט) שאילה משולש אשר צלעו האחד י"ב אמות והוא צלע א"ב וצלע ב"ג השני י' אמות וצלע א"ג השלישי ט"ו אמות ואתה רוצה לחלקו לב' בעלים לכל אחד חלק שוה

Geometric illustration of the problem: D₁B = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$ cubits	והנה נשים נקודות ד' אשר הוא המיתר רחוקה מנקודת ב' על צלע א"ב שתי אמות
AD₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{AB-D_1B=10}}$ cubits	וישאר קו א"ד י' אמות
AZ = BZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot AB=6}}$ cubits	ויהיה מחצית צלע א"ב על נקודת ז' ויהיה קו א"ז שש אמות כי כן מסרנו צלע א"ב כולו י"ב אמות
D₁Z = AZ-AD₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{4}}$ cubits $\scriptstyle{\color{blue}{=\frac{2}{5}\sdot AD_1}}$	ובין קו א"ז שהוא המחצית ובין קו א"ד ארבע אמות והם שני חמישיות קו א"ד
GH₁ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot AG=\frac{2}{5}\sdot15=6}}$ cubits	ואתה קח מצלע א"ג הנדבק אל א"ד שני חמשיותיו אשר היא הראש על נקודת ה‫' ויהיה קו ג"ה שש אמות כי כל צלע א"ג היה ט"ו אמה והוצא המחצה מנקודת ד' עד נקודת ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\triangle D_1AH_1=D_1H_1GB}}$	ויהיה המשולש הזה נחלק לשני חלקי' שוים החלק האחד משולש ד'א'ה' והחלק השני נפתל ד"ה ג"ב
AD₂ = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$ cubits	ואילו היה המיצר אשר הוא נקודת ד' נופל לצד אחד עד שיהיה א"ד שתי אמות לא היית מוצא המחצה אל הצלע א"ג אבל אל צלע ב"ג
GH₂ = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot BG=\frac{2}{5}\sdot10=4}}$ cubits	והיית לוקח מצלע ב"ג אשר הוא י' אמות שני חמשיותיו על נקודת ה' מנגד נקודת ג‫' ויהיה קו ג"ה בצלע ב"ג ד' אמות
$\scriptstyle{\color{blue}{\longrightarrow\triangle D_2BH_2=D_2H_2GA}}$	ותוציא המחצה מנקודת ד' אל נקודת ה' כאשר אתה רואה בצורה הזאת
	כי המחצה בדמיון הזה היא יוצאה לעולם אל החלק הארוך אם יהיה הארוך ב"ד אתה מוציא המחצה אל צלע ב"ג ואם יהיה הארוך א"ד אתה מוציא המחצה אל צלע א"ג ואתה מתחיל למדוד את שתי החמשיות מנקודת ג' אשר היא הראש ואל הנקודה הזאת הייתה המחצה יוצאה אלו היה המיצר נופל על מחצית צלע א"ב ומדת מרחק המיצר מן המחצית אתה מתרחק מנקודת ג' אשר הוא הראש
It is possible to understand the issue without the numbers attached, but the author added the numbers in the above example to facilitate learning	ואתה יכול להבין את העניין הזה אם לא היית מדמה אותו במספר אלא שזכרתי המספר כדי להקל על הלומד ולהקריב העניין ללב המלמד
Figure Problem - Area - Polygons
130) Measuring equilateral or scalene polygons with more than four sides	קל) שאלה במדידת הצורות אשר צלעותיו עודפות על ארבע הצלעות והצורות האלה הם על תמונות רבות מהם מחומשות ומהם משותתות ומשובעות ולמעלה מהם יש מהם שצלעותם וזוויותם שוות ויש שלא יהיו שוות אלא מתחלפות
The rule for equilateral polygons:	ואני נותן לך כלל ראשונה במדידת הצורות אשר צלעותן וזוויותן שוות
the area of the equilateral polygon = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum \rm{sides}$	והכלל הזה הוא כל תבנית וכל צורה אשר אין לה קוים ישרים אם אתה מעגיל בתוכה עגול שיהיה מושש לצלעיה ידוע הוא כי רבוע קוטר חצי העגול הזה במחצית כל צלעי הצורה ההיא א"ו היא תשברתה
Every equilateral polygon with four or more sides can contain an incircle that will touch all its sides	וכל צורה מן המרבע ולמעלה אשר צלעיה וזוויותיה שוות זו לזו אתה יכול לחוק בה עגול שיהיה מושש לכל צלעיה
A scalene polygon might not contain an incircle that will touch all its sides	ואם אין צלעיה וזוויותיה שוות יש מהם שלא יתכן לחוק בעגול שיהיה מושש לכל צלעיה
the area of the equilateral polygon = $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum \rm{sides}$	ואם תבא לידך צורה מכל התמונות מן משולש או מרובע או מחומש או למעלה מהם ואתה מחיק בתוכה עגולה מוששת לצלעיה הוי יודע כי רבוע חצי קוטר העגול ההוא במחצית כל צלעי התמונה הוא תשברתה
The method for finding the area of triangle and square - was explained above	ואין אנו צריכין לתת דמיון מן המשולש ולא מן המרובע כי כבר פורש דרך רבועם
Geometric Illustration: Example: [finding the area] of pentagon ABGDH, of which all the sides are equal and all the angles are equal	אבל אנו נותנין דמיון מן המחומש והוא אשר על חמש זוויותיו א'ב'ג'ד'ה' וכל צלע וצלע מצלעותיו שוות באורכן וכן זוויותיו כלם שוות זו לזו
ZCTKL - the incircle of the pentagon	ואנו מעגילים בתוכן עגול מושש לה' צלעותיו על חמש נקודות ז'ח'ט'כ'ל‫'
M - the incenter	וציר העגול הזה הנקרא מרכז הוא נקודת מ‫'

the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter_{incircle}}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum_{i=1}^5 \rm{side}_i}}$	ואנו אומרים כי רבוע חצי קוטר העגול הזה במחצית כל צלעי המחומש הוא תשברתו
half the diameter = any line that connects the center with one of the points of tangency	וחצי הקוטר הוא קו יוצא מנקודת מ' אל אחת הנקודות אשר העגול מושש עליהם את המחומש
creating triangle MAB	ועתה אם אנו מוצאים קו מנקודת מ' אשר הוא המרכז על שתי נקודות א' וב' מן זווית המחומש נתן לנו משולש אשר עליו מ'א'ב‫'
the area of MAB = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\rm{height}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)&\scriptstyle=ML\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{2}\sdot\rm{diameter}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot AB\right)\\\end{align}}}$	ותשבורת המשולש הזה הוא ברבוע העמוד היוצא אל תושבתו בחצי התושבת ואם אנו מוציאים קו מנקודת מ' אל נקודת ל' אשר משש עליה העגול את צלע א"ב יהיה הקו הזה עמוד במשולש מ'א'ב' והוא חצי קוטר העגול ואם מרבע העמוד הזה בחצי צלע א"ב יהיה רבועו תשבורת המשולש
The area of the pentagon is calculated by dividing it into 5 equal triangles the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot diameter_{incircle}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot\sum_{i=1}^5 side_i}}$	ועל הדרך הזה אתה יכול לעשות חמשה משולשים על חמש צלעי המשולש המחומש ויהיה תשבורת כל משולש מהם ברבוע חצי הקוטר בחצי הצלע כאשר היה בצלע הזה ותשבורת חמש המשולשים כולם הוא תשבורת המחומש והוא מרבוע חצי הקוטר בחצי כל חמש הצלעות
	והוא יהיה העניין לכל צורה כמוה אשר צלעותיה רבים או מעטים אם אתה מעגיל בתוכה עגול מושש לצלעיה יהיה תשברתה ברבוע חצי קוטר העגול במחצית הצלעות וזאת היא צורתה
Not all the geometrical figures can have incircle	ומפני שאין אתה יכול להוציא בכל תמונה ותמונה עגול שיהיה מושש לכל צלעיה אין הכלל הזה מספיק לך במדידת כל העודפות על ד' צלעות
Another rule for polygons [no proof is given]:	ומפני זה אני נותן לך כלל אחר שיהיה נוהג לך בכל צורה אשר צלעותיה ישרות
Every polygon with n sides can be divided into (n-2) equal triangles	הוי יודע כי כל תמונה שטוחה שצלעותיה ישרות מתחלקת למשולשים שהם חסרים מן מניין הצלעות שנים
Square - is divided into 2 equal triangles	כגון המרובע אשר לו ד' צלעות יתחלק לב' משולשים אשר מניינם פוחת ב' ממספר הצלעות
Hexagon - is divided into 4 equal triangles	והמשושה יתחלק לד' משולשים וכן למעלה מזה
Finding the area of a polygon - by finding the areas of the triangles into which the polygon is divided	ואתה בא מן הכלל הזה וחלק כל תמונה שיבוא לידך אל המשולשים אשר היא נחלקת אליהם ורבע כל משולש מהם על הדרך אשר למדת ויהיה מרובע כולם תשבורת התמונה אשר נחלקו ממנה
Example: dividing the pentagon into three triangles – as illustrated in the figure above – lines AG and AD divide the pentagon ABGDH into three equal triangles	כאלו היית מוצא במחומש אשר ציירתי לך למעלה קו מנקודת א' אל נקודת ג' וקו אחר אל נקודת ד' ויהיה המחומש נחלק לג' משולשים
The minimal number of equal triangles in a pentagon with n sides is n-2	ואין אתה יכול לפחות מהמשולשים האלה ואם אתה מרבע אותם יהיה רבוע שלשתם תשבורת המחומש כגון הצורה הזאת
Figure Problem - Area - Square
131) A square of 10 cubits by 10 cubits within it a smaller square of 4 cubits by 4 cubits. You want to know how much is the area of the larger square after subtracting the area of the smaller square from it	קלא) הרי שיש לפניך א' מרובע מי' אמה על י' אמה ובאמצע הוא חקוק ופוחת ד' אמות על ד' אמות ותרצה לדעת כמה הוא המרובע בשיבור אחר הוצאת הד' אמות על ד' אמות מן החקק

$\scriptstyle\rm{area_{big\ square}}-\rm{area_{small\ square}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{10^2-4^2=100-16=84}}$	תאמר אלו היה הטבלה מרובעת שלימה בלתי שום חקיקה היית אומר י' פעמ' י' הם ק' ותשברתו היה ק‫' ועתה שפוחת באמצע ד' על ד' תאמ' ד' פעמ' ד' הם י"ו תפחתם מק' ישארו פ"ד א"כ א' טבלה מרובעת שהיא י' על י' ופוחת באמצעה ד' על ד' תשברתה פ"ד וכן כל הדומה לו
Figure Problem - Area - Scalene Trapezoid
132) Scalene trapezoid that has two parallel sides: AG is 8 cubits long, BD is 22 cubits long; and two unequal sides: AB is 15 [cubits] long, and GD is 13 cubits long. It is called scalene trapezoid.	קלב) קטומה שיש לה ב' קוים נכוחיים קו א"ג ואורכו ח' אמות וקו ב"ז ואורכו כ"ב אמות וב' צלעים שאינם שוות והם קו א"ב ואורכו ט"ו וקו ג"ד ואורכו י"ג אמות והצורה הזאת נקראת קטומת הראש חלופה

The area of the trapezoid is found using the height	וריבוע הצורה הזאת יהיה בהוצאת עמוד ה' כאשר עשית בראשונה שכתבתיה למעלה
Finding the distances between the heights and the meeting points of the longer and shorter sides with the basis	ואתה צריך בקטומה הזאת לגבל מעמד העמודים ולדעת מעמד הגדול ומעמד הקטון ואתה נוהג בהם המנהג הזה
The distance between the height and the meeting point of the longer side with the basis: $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{bottom}-base_{top}}\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{side_1^2-side_2^2}\right)}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	תרבע הצלע הקצורה וגרע מרובעה ממרובע הצלע הארוך והעודף שבהם תקח מחציתו ותחלק אותו על עודף התושבת על הראש ואשר יצא מהחלוקה הזאת אם אתה מוסיף אותו על מחצית עדף התושבת תמצא המעמד הגדול אשר לעמוד והוא מרחקו מן הצלע הארוך
The distance between the height and the meeting point of the shorter side with the basis: $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{bottom}-base_{top}}\right)\right]-\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{side_1^2-side_2^2}\right)}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	ואם תגרעינו ממחצית העודף תמצא המעמד הקטן אשר לעמוד והוא מרחקו מן הצלע הקצר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle BH &\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(AB^2-GD^2\right)}{BD-AG}\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(22-8\right)\right]+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(15^2-13^2\right)}{22-8}\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(15^2-169\right)}{14}\\&\scriptstyle=7+\frac{\frac{1}{2}\sdot56}{14}\\&\scriptstyle=7+\frac{28}{14}=7+2=9\\\end{align}}}$	ואם אתה מרבע בצורה הזאת י"ג שהוא אורך צלע ג"ד הקצור יהיה מרובעו ק'ס'ט‫' פחות אותו ממרובע א"ב שהוא מרובע הצלע הארוך ישאר נ"ו קח מחצית המניין הזה והוא כ"ח חלק אותו על י"ד שהוא עודף התושבת על הראש תהיה החלוקה ב‫' ואם תוסיף ב' על ז' אשר הוא חצי עדף התושבת יהיה ט' והוא אורך קו ב"ה אשר הוא מרחק העמוד מהצלע הארוך
$\scriptstyle{\color{blue}{CD=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(BD-AG\right)\right]-\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(AB^2-GD^2\right)}{BD-AG}=7-2}}$	ואם תפחות ב' מז' תמצא מרחק העמוד מהצלע הקצר
Extending the sides in order to create a scalene triangle BZD:	והאות על העניין הזה התבונן לך מאשר פירשתי למעלה בעמוד המשולש מתחלף הצלעות

Finding the additional segment of the short side of the triangle $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle GZ=\frac{TC\sdot GD}{CD}&\scriptstyle=\frac{\left(DT-CD\right)\sdot GD}{CD}\\&\scriptstyle=\frac{\left(3-\frac{1}{7}\right)\sdot13}{5}\\&\scriptstyle=\frac{37+\frac{1}{7}}{5}=7+\frac{3}{7}\\\end{align}}}$	כי בהוציאך מן התושבת את הרחב הראש והוא ה' ישאר קו ט"ח ג' אמות פחות שביע והוא עודף מעמד עמוד המשולש על מעמד עמוד הקטומה הקצר והעודף הזה רבע בצלע הקטומה הקצר שהוא י"ג יהיה ל"ז ושביעית בוא וחלק המספר הזה על מעמד העמוד הקצר בקטומה והוא ה' תהיה החלוקה הזאת ז' וג' שביעיות והוא עודף צלע המשולש על צלע הקטומה הקצרה והוא קו ג"ז היוצא מצד הקצר
Finding the additional segment of the long side of the triangle: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AZ=\frac{HT\sdot AB}{HB}&\scriptstyle=\frac{\left(BT-HB\right)\sdot AB}{HB}\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(14+\frac{1}{7}\right)-9\right]\sdot 15}{9}\\&\scriptstyle=\frac{\left(5+\frac{1}{7}\right)\sdot15}{9}\\&\scriptstyle=\frac{77+\frac{1}{7}}{9}=8+\frac{4}{7}\\\end{align}}}$	ואם תרצה לדעת קו א"ז הארוך הוצא המעמד הארוך במשולש על העניין שהוצאת הקצר ותמצא אותו י"ד ושביעית והוא מעדיף על מעמד הארוך ה' ושביעית מנה אותו בצלע הארוך שהוא ט"ו יהיה המניין ע"ז ושביעית חלק המספר הזה על ט' שהוא המעמד הארוך בקטומה תהיה החלוקה ח' וד' שביעיות והוא עודף צלע המשולש על צלע הקטומה הא' הארוך והוא א"ז
Finding the height of the triangle $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle ZT&\scriptstyle=\frac{TC\sdot GC}{CD}+GC \\&\scriptstyle=\frac{\left(3-\frac{1}{7}\right)\sdot12}{5}+12\\&\scriptstyle=\left(7-\frac{1}{7}\right)+12=19-\frac{1}{7}\\\end{align}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle ZT&\scriptstyle=\frac{HT\sdot AH}{BH}+AH \\&\scriptstyle=\frac{\left(5+\frac{1}{7}\right)\sdot12}{9}+12\\&\scriptstyle=\left(7-\frac{1}{7}\right)+12=19-\frac{1}{7}\\\end{align}}}$	ואם תבוא לדעת עמוד המשולש הזה הוי מונה עודף המעמד הקטן והוא ג' פחות שביע בעמוד הקטומה שהוא י"ב וחלק אותו על מעמד הקטן והוא ה‫' או הוי מונה עודף המעמד הגדול והוא ה' ושביע בעמוד הקטומה שהוא י"ב נחלקהו על המעמד הגדול והוא ט‫' תמצא שניהם מוציאים אל חשבון אחד והוא ז' פחות שביע והוא עודף עמוד המשולש על עמוד הקטומה הוסף אותו על י"ב שהוא עמוד הקטומה ויהיה הכל י"ט פחות שביע והוא אורך קו ז"ט אשר הוא עמוד המשולש בצורה הזאת
	גליון וזה דבר ברור הוא כאשר אמרנו למעלה כי קו ה"ט בקו א"ה בקו ב"ה בקו עודף עמוד המשולש על עמוד הקטומה שהיה א"ה על כן אם נרבע קו ה"ט בקו א"ה ונחלק על קו ב"ה יצא לנו העודף
Figure Problem - Area - Right Trapezoid
133) The third trapezoid is a trapezoid whose top base is parallel to its bottom base and one of its legs is its height - right trapezoid. For example: [right] trapezoid ABGD - its top base AG is 8, its bottom base BD is 20, its long leg AB is 15, and its short leg GD is 9 which is the height of BD.	קלג) התמונה השלישית הקטומה שראשה נכוחי לתושבתה ואחד מצלעיה עמוד עליה והתמונה הזאת נקראת חצי קטומה והדמיון לצורה הזאת קטומה שעליה א'ב'ג'ד' וראשה א"ג והיא ח' ותושבתה ב"ד והיא כ' וצלע א"ב הארוך ט"ו וצלע ג"ד הקצור ט' אמות והוא עמוד על תושבת ב"ד

Area of right trapezoid = $\scriptstyle \left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{top}+base_{bottom}}\right)\right]\sdot\rm{height}$	וחשבון רבוע הקטומה הזאת הוא באסיפת ראשה אל תושבתה ולקחת מחציתם וימנה בעמוד ויהיה תשבורת הקטומה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+20\right)\right]\sdot9=\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)\sdot9=14\sdot9=126}}$	ואם תאסוף בצורה הזאת ראשה אל תושבתה יהיה כללם כ"ח ומחציתם י"ד ואם תרבע המספר הזה באורך העמוד והוא ט' יהיה ק'כ'ו' והוא תשבורת הקטומה הזאת
The reason for that was given above	ואות לזה מפורש למעלה בקטומה הנשלמת
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AD&\scriptstyle=\sqrt{\rm{base_{top}^2+height^2}}\\&\scriptstyle=\sqrt{8^2+9^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{64+81}=\sqrt{145}\\\end{align}}}$	ואם תבוא לדעת אלכסונה הקצור והוא א"ד הוי מרבע את הראש והוא ח' ומרובעו ס"ד ואסוף אליו מרובע העמוד והוא הצלע הקצור והוא פ"א ויהיו שניהם יחד ק'מ'ה' והוא מרובע האלכסון וגדר המספר הזה הוא אורך אלכסון הקצור
the long diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle GB&\scriptstyle=\sqrt{\rm{base_{bottom}^2+height^2}}\\&\scriptstyle=\sqrt{20^2+9^2}=\sqrt{481}\\\end{align}}}$	ואם תרצה לדעת אלכסון הארוך אסוף מרובע התושבת למרובע העמוד ויהיו שניהם ת'פ'א' והוא מרובע אלכסון הארוך
Explanation: both diagonals are hypotenuses of right-angled triangles	ונתכוון לך החשבון הזה מפני ששתי זוויות אשר על נקודת ג' ונקודת ד' מן צלע ג"ד הן ניצבות כי הצלע הזה הוא עמוד על התושבת ועל הראש אשר הם נכוחיים
AD is the hypotenuse opposite the right angle AGD	ואלכסון א"ד הוא מיתר לזוית ג' הניצבה
GB is the hypotenuse opposite the right angle GDB	ואלכסון ג"ב הוא מיתר לזוית ד' הניצבה ומרובע מיתר זוית הניצבה הוא שוה לשם מרובעי ב' הצלעות אשר הן מקיפות לה כאשר ידעת וזה לך האות על חשבון האלכסונות בצורה הזאת
Extending the sides in order to create a right-angled triangle:	ואם תרצה להשלים הקטומה הזאת ולהוציא ראש המשולש הנקטמת ממנה
Finding the additional segment of the height of the triangle: $\scriptstyle\frac{\rm{base_{top}}\times\rm{long\ side_{trapezoid}}}{\rm{base_{bottom}-base_{top}}}$	עשה כמעשה שלמדת מן הקטומה שלפניה והוא שתהיה יודע עודף התושבת על הראש והוא י"ב בצורה הזאת ואם תמנה הראש בקו א"ב וחלקנו על עודף התושבת יצא לך אורך הקו היוצא מהעמוד אל ראש המשולש ואתה יכול להוציאו למעשה מן הדרך שלמדת בצורות האחרות
Figure Problem - Area - "Obtuse Trapezoid"
134) A trapezoid whose top base is parallel to its bottom base and one of its legs is at obtuse angle to the bottom base. It has two inner heights and one outer height. It is an obtuse trapezoid For example: [obtuse] trapezoid ABGD - its top base AG is 14, its bottom base BD is 21, its long leg AB is 20, and its short leg GD is 15.	קלד) קטומה שראשה נכוחי לתושבתה והצלע אחת נופלת על התושבת על זוית נרווחת ולקטומה הזאת שני עמודים תכונים ועמוד חצוני והיא קטומה מתמוטטת והדמיון קטומה שעליה א'ב'ג'ד' וקו א"ג ראשה י"ד וקו ב"ד התושבת כ"א וצלע א"ב הארוך כ' וצלע ג"ד הקצור ט"ו

The area of the trapezoid is found using the height	ואתה יודע תשבורת הקטומה הזאת בהוצאת עמודיה
The distance between the height and the meeting point of the shorter side with the basis: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle CD &\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[AB^2-\left[\left(BD-AG\right)^2+GD^2\right]\right]}{BD-AG}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[20^2-\left[\left(21-14\right)^2+15^2\right]\right]}{21-14}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left[20^2-\left(7^2+15^2\right)\right]}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(400-274\right)}{7}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{1}{2}\sdot126}{7}=\frac{63}{7}=9\\\end{align}}}$	ואתה צריך תחלה להגביל מעמד העמוד והוא שתהיה פוחת הראש והוא י"ד מן התושבת והוא כ"א ישאר בידך ז' והוא עודף התושבת ובוא ורבע העודף הזה ואסוף מרובעו אל מרובע הצלע הקצור ותמצא ב' מרובעים אילו ר'ע'ד‫' הוצא המספר ממרובע הצלע הארוך שהוא ת' ישאר בידך ק'כ'ו‫' קח המחצית והוא ס"ג חלק אותו על ז' והוא עודף התושבת
The distance between the height and the meeting point of the longer side with the basis: $\scriptstyle{\color{blue}{HB=16}}$	ויהיה הכל י"ו והוא גבול מעמד העמוד מנגד קו א"ב הארוך
	ואלו הט' אשר מצאת הם המרחק הקצר וכן מרחק העמוד שעליו ג"ח אשר הוא יוצא חוצה מן קו ב"ד התושבת וכן מרחק העמוד התיכוני הנופל על נקודת ד' שעליו ד"ט
the height = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AH&\scriptstyle=\sqrt{AB^2-HB^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{20^2-16^2}=\sqrt{144}=12\\\end{align}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle GC&\scriptstyle=\sqrt{GD^2-CD^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{144}=12\\\end{align}}}$	ואם תבוא לדעת אורך העמוד הוי מרבע את מעמד שתרצה ואם [אתה] מרבע המעמד הארוך שהוא י"ו הוציאנו ממרובע הצלע הארוך אשר הוא כ‫' ואם תרבע המעמד הקצור הוציאנו ממרובע הצלע הקצר ויהיה המותר מן כל אחד משני החשבונים האלה ק'מ'ד' והוא מרובע העמוד בק וגדרו י"ב והוא אורך העמוד
the area of obtuse trapezoid = $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{base_{top}+base_{bottom}}\right)\right]\sdot\rm{height}$	ותשבורת הקטומה הוא ברבוע העמוד בחצי הראש ובחצי התושבת כאשר עשית בשאר הקטומות שלפניה
the area = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(14+21\right)\right]\sdot12=210}}$	והתשבורת הוא ר"י והאות על החשבון הזה שהוצאת בו את העמוד הוא מעניין האות שהורתיך בקטומה שאין צלעותיה שוות
The reason: the height of the obtuse trapezoid is also the height of an obtuse triangle whose hypotenuse is the long side of the trapezoid AB, one of its two other sides is created by subtracting the top base from the bottom base (BD-AG), and its third side is equal to the short side of the trapezoid GD	כי בהוציאך הראש מהתושבת ונשארו בידך ז' היה הקו ההוא צלע למשולש מרויח הזויות א' שצלעו האחת ז' והשינית ט"ו והם הצלעות המקיפות זוית הנרווחת ומיתר הזוית הזאת הוא כ' אמה אשר הוא אורך קו א"ב מן הקטומה הזאת ואם אתה מוציא במשולש הזה המרויח הזויות עמוד שיהיה נופל חוצה אתה מוצא מעמדו חוצה כאשר מצאת בחשבונך בצורה הזאת

the long diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle GB &\scriptstyle=\sqrt{\left(BD+CD\right)^2+GC^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(21+9\right)^2+12^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{30^2+12^2}=\sqrt{1044}\\\end{align}}}$	ואתה יכול להוציא אלכסון הקטומה הארוך אם אתה מאסף אל התושבת מעמד העמוד החיצוני וכולל את הכל ומרבע אותו כאילו היית מאסף בצורה הזאת כ"א שהוא אורך התושבת אל ט' שהוא אורך מעמד העמוד חוצה ויהיה הכל ל‫' ואתה מרבע המניין הזה ומוסיף עליו מרובע העמוד ויהיה הכל אלף ומ"ד והוא מרובע האלכסון הארוך וגדר המספר הזה הוא אורך האלכסון בקטומה הזאת מנקודת ג' אל נקודת ב‫'
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle AD &\scriptstyle=\sqrt{\left(BD-HB\right)^2+AH^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(21-16\right)^2+12^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{5^2+12^2}=\sqrt{169}\\\end{align}}}$	ואם תרצה להוציא אלכסון הקצור היוצא מן א' ועד ד‫' תאסוף אל מרובע העמוד מרובע עודף התושבת על המעמד הארוך והוא בצורה הזאת ה' ויהיו שני המרובעים ק'ס'ט' והוא מרובע האלכסון הקצור וגדרו הוא אורך האלכסון
The reason can be found when looking on right-angled triangles created from the diagonals, the sides, and the heights of the trapezoid [→ ∆GCB and ∆AHD]	והאות אל העניין הזה אתה יכול להבין מהאותות אשר למעלה אם אתה מביט אל המשולשים מוצבי זוית אשר הם מתיילדים מהאלכסונות האלה עם צלעי הקטומה והעמודים כאשר הראיתך למעלה
The short diagonal of the trapezoid can be also its height	ויכול הוא בצורה הזאת שיהיה אלכסון הקצור הוא עמוד בקטומה בעצמו

Example: [obtuse trapezoid ABGD] - the top base of the trapezoid [AG] is 9 cubits, its bottom base [BD] is 16, [its long leg AB is 20, and its short leg GD is 15].	כאילו היה בצורה הזאת אורך ראש הקטומה ט' אמות ותושבתה י"ו ומניין ב' הצלעות הנשארות המניין אשר היה להם בצורה הראשונה
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{AD=\rm{height}}}$	והיית מוצא בצורה הזאת השינית העמוד נופל מנקודת א' אל נקודת ד' ויהיה העמוד ההוא אורך האלכסון הקצר
the long diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle GB&\scriptstyle=\sqrt{\left(AG+BD\right)^2+AD^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(16+9\right)^2+12^2}=\sqrt{769}\\\end{align}}}$	והאלכסון הארוך אשר הוא יוצא מג' עד ב' הוא גדר ת'ש'ס'ט' אשר הוא מרבע עמוד א"ד עם מרובע קו א"ג עם קו ב"ד אשר ראש הקטומה ותושבת שניהם יחד בקו אחד
	ואתה מבין אותות כל החשבון הזה על מכונו אם אתה מעיין בה עיון יפה
Figure Problem - Area - Quadrangle which has no parallel sides
135) The second type of shapes that have four sides are all the quadrangles that none of their sides is parallel to another side	קלה) המין השני הנשאר מן התמונות אשר יש להם ד' צלעות הוא כל מרובע שאין אחת מצלעותיו נכוחי לצלע אחרת
The areas of these quadrangles can be found only by calculating the areas of the triangles contained in them	ובתמונות האלו אי אתה מוצא רבועם אלא מרבוע המשולשי' אשר הם נחלקי' עליהם
Every quadrangle can be divided into two triangles	וכל מרובע בעולם אתה יכול לחלקו לשני משולשין
The sum of the areas of these two triangles is the area of the quadrangle	וידוע הוא כי המשבר שני המשולשי' ההם ומצרף תשברתם ימצא התשבורת המרובע אשר הם חלקיו
Therefore, the area of every quadrangle can be found by calculating the areas of the triangles into which they are divided	ועל הענין הזה תוכל למצא התשבורת כל מרובע על חלופי מיניהן מן השוים בצלעותיו והנכוחיים מתשבורת המשולשים שהן נחלקים עליהם
For quadrangles that have equal sides or parallel sides there is another method for finding their area that does not rely on calculating the areas of the triangles into which they are divided	אלא שהמרובעים השוים בצלעותיו והנכוחיים בהם אתה יכול להגיע אל תשברתן מדרך אחרת ואינך צריך לרבע בהן את המשולשים הנחלקים עליהם
The areas of other quadrangles that do not have parallel sides can be found only by calculating the areas of the triangles into which they are divided	ושאר המרובעים הנפתלים ואין בהם צלע נכוחי ובצלע אחד אי אתה יכול למצוא תשברתם אלא מתשבורת המשולש אשר יחלקו עליהם
Example:	ואני נותן לך דמיון בעניין זה ויהיה מספיק לך בשאר הצורות והדמיון הזה הוא מהצורה שהשלמתי פירושה
The fourth trapezoid is the obtuse trapezoid ABGD - [its top base] AG is 14 cubits, [its bottom base] BD is 21 cubits, [its long leg] AB is 20 cubits, and [its short leg] GD is 15 cubits.	והיא הקטומה הרביעית המתמוטטת אשר צלע א"ג היה בה י"ד אמה וצלע ב"ד כ"א אמה וצלע א"ב כ' אמות וצלע ג"ד ט"ו אמה
the short diagonal = $\scriptstyle{\color{blue}{AD=13}}$	ומצאת האלכסון הקצור בקטומה הזאת כאשר חשבונו למעלה י"ג אמה
If the diagonal is not 13 → the area of the quadrangle is greater or smaller than the area of the given trapezoid	וכשמדדת אותו אתה מרבע לא מצאת בו המידה הזאת אלא יותר ממנה או פחות ממנה
If the short diagonal = 16 → the sides are not parallel - if they were parallel, their diagonals should have been exactly the same as in the given trapezoid	ואנו מוסרין כאילו מצאת אותה יתר ב"ג י"ו אמה ונודע לך מזה כי אין הצורה הזאת קטומת הראש כי אין אחת מצלעיה נכוחית עם צלע אחרת לפי אם היו נרוחיות לא היה אלכסונה הארוך או הקצר מתחלף מחשבונו שהיא בקטומה

Finding the area of the quadrangle: finding the areas of the two triangles into which the diagonal divides the quadrangle by calculating their heights: ABGD = ∆ADB + ∆ADG	ומפני זה אתה צריך לרבע שני המשולשים אשר נחלק עליהן המרבע הזה באלכסון שהוצאת בו והוא שני משולשי א'ד'ב' וא'ד'ג' וכל אחד מהם צלעותיו ידועות
finding the areas of the triangles - by finding their heights	ואתה יכול להגיע אל ריבועם בהוצאת העמודים כאשר למדת בריבוע המשולשים
∆ADB = $\scriptstyle{\color{blue}{96+\frac{1}{3}-\ldots}}$	ואם אתה נוהג בהם המנהג הזה תמצא תשבורת משולש א'ד'ב' מהן צ"ו ושליש פחות משהו
∆ADG = $\scriptstyle{\color{blue}{150+\frac{2}{3}-\ldots}}$	ומשולש א'ד'ג' תהיה תשברתו ק"נ וב' שלישיים פחות משהו
ABGD = $\scriptstyle{\color{blue}{247-\ldots}}$	ויהיה כל התשבורת בעניין הזה ר'מ'ז' פחות משהו ואנו מצאנו רבועו בקטומה המתמוטטת ה‫'
Since the diagonal of the quadrangle ABGD is greater than the diagonal of the obtuse trapezoid ABGD, the area of the quadrangle ABGD is greater than the area of the trapezoid ABGD	ונמצא הריבוע עודף בתמונה הזאת מפני עדיפת האלכסון
If the diagonal of the quadrangle were smaller than the diagonal of the given obtuse trapezoid, the area of the quadrangle would be smaller than the area of the trapezoid	ואילו היה האלכסון מתמעט היה הריבוע פוחת
Rule for finding the area of a quadrangle: the diagonal divides the quadrangle into triangle1 and triangle2 - looking for the height of the diagonal in each of these two triangles:	ומהעניין הזה אתה יכול למסור לך גדול במרובעת ואומר מרובע אשר אתה מוציא את אלכסונו נחלק לב' משולשים אם אתה מוציא עמוד של האלכסון בשני המשולשין
Area of quadrangle = $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\rm{height_1+height_2}\right)\right]\sdot\rm{diagonal}$	ותאסוף את שני העמודים ותקח את מחציתם ותצרף המחצית הזה במניין כל האלכסון אתה מוציא תשבורת המרבע
Area of quadrangle = $\scriptstyle\left(\rm{height_1+height_2}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot\rm{diagonal}\right)$	או תצרף שני העמודים במחצית האלכסון וגם בא תמצא תשבורת המרובע
No need for example - this can be understood from the examples concerning the areas of triangles	ואיני צריך להביא לך להביא לך משל מן החשבון הזה מפני שאתה מבין אותו מהדמיונות אשר במשיחת המשולשין ואיני נזקק להאריך בפירוש המרובעי' יותר מזה
Additional Problems
Motion Problem - Pursuit
136) A man is walking ten miles a day. Another man is walking one mile on the first day, two miles on the second day, three miles on the third day, and so on he goes on walking in each day [one mile more]. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x i$	קלו) אם יאמר הרי אדם שהוא מהלך י' מלים בכל יום ואחר הוא מהלך ביום ראשון א' מיל וביום שני ב' מילים וביום השלישי ג' ומוסיף והולך בכל יום בכמה ימים יהיו בשוה
[See problem 64 above]
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(2\sdot10\right)-1=20-1=19}}$ days	תכפול המילים שמהלך הקבוע יהיו כ' וגרע מהם אחד ישארו י"ט הרי שבי"ט ימים יהיו בשוה
2×(the miles of the one who walks regularly)-1	וכן לעולם תכפול שמהלך הקבוע ותגרע מהם אחד
137) A man is walking ten miles a day. Another man is walking one mile on the first day, three miles on the second day, five miles on the third day, and so on he goes on walking in each day an odd number of miles. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x \left(2i-1\right)$	קלז) ואם יאמר הרי אדם שהוא מהלך י' מילים בכל יום והאחר מהלך ביום אחד א' מיל וביום שני ג' וביום שלישי ה' וביום רבעי ז' ומוסיף והולך בכל יום חשבון נפרד בכמה יעמדו בשוה
the days = the miles of the one who walks regularly	דע כי כמספר המילים שמהלך הקבוע ליום כן מספר הימים שיעמדו בשוה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10}}$ days	ואם הקבוע מהלך י' מילים ביום בי' ימים יעמדו בשוה
if he walks 9 miles a day = $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$ days	ואם מהלך ט' מילים ביום בט' ימים יעמדו בשוה וכה"ל
138) A man is walking ten miles a day. Another man is walking two miles on the first day, four miles on the second day, six miles on the third day, and so on he goes on walking in each day an even number of miles. In how many days will [the total distance each of them walked] be equal? $\scriptstyle10X=\sum_{i=1}^x 2i$	קלח) וכן אדם שמהלך בכל יום י' מילים והאחר מהלך ביום ראשון ב' וביום שני ד' וביום שלשי ו' ומוסיף והולך בכל יום מספר זוג כגון בדוח"י י"ב י"ד י"ו בכמה ימים יעמדו בשוה
$\scriptstyle{\color{blue}{x=10-1=9}}$ days	תחסר אחד מן המילים שמהלך הקבוע שהם י' יהיו ט‫' הרי שבט' ימים יעמדו בשוה
(the miles of the one who walks regularly)-1	וכן לעולם תחסר אחד ממספר המילים וכן כל הדומה לו
Triangulation Problem - Tree
Question: a tree is ten cubits tall. One day a strong wind blew and broke it into two parts, so that the top of the tree snapped and bent from the breaking spot to the ground. The distance between the top of the tree and its roots was five cubits. How many cubits are there from the top of the tree to the breaking spot? $\scriptstyle X^2=\left(10-X\right)^2+5^2$	שאלה אילן שגובהו י' אמות ובא רוח חזק ושברתו לשנים חלקים ולא נערכו חלקיו אך נטז ממקו' השבירה והגיע ראשו לארץ והרוחק שבין ראשו לשרשו ה' אמות כמה אמות מראש האילן עד מקום השבירה
from the top of the tree to the breaking spot: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{5^2}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(10+\frac{25}{10}\right)=\frac{1}{2}\sdot\left[10+\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]=6+\frac{1}{4}}}$	תשובה תחלק מרובע הרוחק שמשרש האילן לראש שהם כ"ה במשלנו על גובה האילן שהם י' ויצאו ב' וחצי נחברם עם הי' ונקח חציים שהם ו' ורביע וזהו כמות האילן עד מקום השבירה
from the breaking spot to the foot of the tree: $\scriptstyle{\color{blue}{10-x=10-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{3}{4}}}$ cubits	והנשאר עד תשלום הי' שהם ג' וג' רביעיות הם כמות האמות שממקום השבירה עד שרש האילן
MS Mantova: Multiple Quantities - Boys Sharing Property of Their Father
A man who had sons, their number is unknown, said to one of them: take one peraḥ for yourself, and a tithe of the remaining. To the second he said: take two peraḥim and a tithe of the remaining. And so [he said] to the third [son] and the fourth [son] and the fifth [son] until the last [son]. To the last [son] he said: take all that remained. They went and took [the peraḥim] and found out that they all took the same share equally, the number of the peraḥim corresponded to the number of the boys. How many were the sons and how many were the peraḥim? $\scriptstyle1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]=2+\frac{1}{10}\sdot\left[X-\left[\left[1+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(X-1\right)\right]\right]+2\right]\right]$	אדם שהיו לו בנים ולא נודע מספרם ואמר לאחד לך [....] וקח לך פרח אחד והעשירית מכל הנשאר ולשני אמ' קח ב' פרחים והעשירית מכל הנשאר וכן לשלישי וכן לרביעי ולחמשי עד האחרון ולאחרון אמ' קח לך כל הנשאר הלכו ולקחו ומצאו שכולם לקחו בשוה וכמספר הבנים כך מספר הפרחים שיבאו לכל אחד כמה היו הבנים וכמה היו הפרחי‫'
the number of the sons: $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)=10-1=9}}$	לפי חשבון השבור [.....] הוא עשירית תפחות א' מעשרה ישארו ט' הרי שט' היו הבנים
the number of the peraḥim: $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot9=81}}$	אמור אחר זה ט' פעמי' ט' [...] פ"א ו[ככה] היו הפרחים
	ואם יקחו [..] שצוה אביהם [יהיה] לכל אחד חלק שוה וכן לכל חשבון ש[תרצה] עשה כן שתפחות א' מהחשבון השבור והוא חשבון הבנים ותרבע [...] והוא חשבון הפרחי' [.......] מספר הפרחים שיבא לכל אחד ודו"ק
MS Mantova; MS Amsterdam: Multiple Quantities - Boys Selling Cubits of a Cloth
A man gave his three sons 30 cubits of cloth and they went to sell them in the market. One sold one cubit for 4 dinar, the second for 5 [dinar], and the third for 6 [dinar]. All of them earned the same [amount of money]. How many cubits did each of them [sell] and how much money did each of them get? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+a_2+a_3=30\\\scriptstyle4a_1=5a_2=6a_3\end{cases}$	הרי אדם שנתן לג' בניו ל' אמות בגד והלכו לשוק למכרו האחד מכר בד' דנרי' האמה והשני בה' והשלישי בו‫' וכולם הביאו מעות בשוה כמה אמות כל אחד וכמה מעות קבל כל אחד
False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{60}}$	אומר תחילה רביע וחומש ושתות נמצא בס‫'
denominator: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=15+12+10=37}}$	וכללם הוא ל"ז והוא המחלק
the one who sold one cubit for 4 dinar sold: Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)\sdot30}{37}=\frac{15\sdot30}{37}=\frac{450}{37}=12+\frac{6}{37}}}$ cubits	ואם תרצה לדעת כמה אמות מכר אותו שמכר בד' דינרי‫' תפוס הרביע מס' שהוא ט"ו ותרבע אותו על סך הבגד שהוא ל' ואמור ט"ו פעמי' ל' ת"נ חלקם בל"ז יבא י"ב ו' חלקי' מל"ז הרי שמכר [הה] י"ב אמות ו' חלקי' מל"ז
the money he received:	ואם תרצה לדעת כמה מעות קבל
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot12=48}}$ dinar for 12 cubits	אמור תחילה מי"ב אמות קבל מ"ח דינ‫'
Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{37:48=6:X}}$	ומן הו' חלקי' מל"ז עשה על זה הדרך אם ל"ז שהוא אמה שלמה שוה מ"ח פשי' הו' חלקי' מל"ז כמה שוים
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{6\sdot48}{37}=\frac{288}{37}=7+\frac{29}{37}}}$ pešuṭim	אמור ו' פעמי' מ"ח רפ"ח חלקם בל"ז יבא ז' פשי' וכ"ט חלקים מל"ז
the same for the others	וכזה תעשה האחרי' ויצא לך העניין

Appendix: Bibliography

Anonymous
Sefer ha-Kelalim ba-Mispar
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/43 (IMHM: f 3576), ff. 227r-232v (15th century)

Ets Haim 47 D 20/43

2) Cambridge, University Library Add. 553 (IMHM: f 16842), ff. 90r-95r; 101r-104r (17th century)

3) Mantova, Comunità Ebraica MS ebr. 8/16 (IMHM: f 788), ff. 72r-82v (Porto, 1464-1471)

ebr. 8/16

4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 698/2 (IMHM: f 47914), ff. 10r-40v (14th-15th century)

5) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 536/6 (IMHM: f 22082), ff. 88r-99v; 110r-117v (cat. Neub. 1268, 6); (1518-1520)

The transcript is based mainly on manuscript Oxford 536

Bibliography:
Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 214. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 137.

@@ Line 4,684: / Line 4,684: @@
 |colspan=2|
 :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(12-10\right)\times\left(12-8\right)\times\left(12-6\right)\times12}=\sqrt{2\sdot4\sdot6\sdot12}=\sqrt{8\sdot6\sdot12}=\sqrt{48\sdot12}=\sqrt{576}=24}}</math>
-|}
-{|
 |-
 !<span style=color:green>Figure Problem - Area - Parallelogram</span>
@@ Line 4,695: / Line 4,693: @@
 |-
 |
-:[[File:Kelalim ba-Mispar 117.png|thumb|250px|left]]
+:[[File:Kelalim ba-Mispar 117.png|thumb|150px|left]]
-|[[File:כללים במספר - קיז.png|thumb|250px]]
+|[[File:כללים במספר - קיז.png|thumb|150px]]
 |-
 |The area of a parallelogram can be found only by calculating the areas of the two equal triangles to which it is intersected by the diagonal<br>
@@ Line 4,817: / Line 4,815: @@
 ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{AC=GC=13-\frac{13}{5}=10+\frac{2}{5}}}</math>
 |style="text-align:right;"|דהיינו שיהיו י"ג פחות י"ג חומשי' שהם י' וב' חמשים וכה"ל
+|}
+{|
 |-
 !<span style=color:green>Figure Problem - Area - Trapezoid</span>

Difference between revisions of "ספר הכללים במספר"

Revision as of 14:20, 7 September 2022

Contents

Problems of Various Types

Exchange Problems

Interest and Pricing Problems

Problems of Various Types

Geometrical Problems

Additional Problems

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools