Difference between revisions of "קצת מענייני חכמת המספר"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version])
(→‎Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version])
Line 2,728: Line 2,728:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:It is clear that the difference between the product of the half by the excess and the product of the smaller number by the excess is the product of the excess by the excess, thus the product of the excess by itself.
 
|style="text-align:right;"|והוא מבואר שההכא' בין הכאת החצי בתוספת בין הכאת המספר הקטן בתוספת הוא הכאת התוספת בתוספת וע"כ כהכאת התוספת בעצמו
 
|style="text-align:right;"|והוא מבואר שההכא' בין הכאת החצי בתוספת בין הכאת המספר הקטן בתוספת הוא הכאת התוספת בתוספת וע"כ כהכאת התוספת בעצמו
 
|}
 
|}
Line 2,734: Line 2,735:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
 +
:If we add it to the product of the smaller by the greater, it is the square of the half.
 
:<math>\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2+\left(a\sdot b\right)</math>
 
:<math>\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2+\left(a\sdot b\right)</math>
 
|style="width:45%; text-align:right;"|ואם נוסיפהו על מרובע הקטן בגדול הוא מרוב' החצי בהכאת
 
|style="width:45%; text-align:right;"|ואם נוסיפהו על מרובע הקטן בגדול הוא מרוב' החצי בהכאת
 
|-
 
|-
−
|  
+
|
 +
::In the example: the product of 7 by 3 is as if we multiply 3 by 5 and by 2.
 +
|style="text-align:right;"|במשל הכאת הז' בג' הוא כאלו הכינו הג' בה' ובב&#x202B;'
 +
|-
 +
|
 +
::The product of 5 by itself is as if we multiply 3 by 5 and 5 by 2, which is the excess.
 +
|style="text-align:right;"|והכאת הה' בעצמו הוא כאלו הכינו הג' בה' והה' בב' שהם התוספת
 +
|-
 +
|
 +
::The difference between this product and the product of 3 by 2 is the product of 2 by itself and this is very clear.
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5^2&\scriptstyle=\left(5\sdot3\right)+\left(5\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+2^2\right]\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2\\\end{align}}}</math>
 
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5^2&\scriptstyle=\left(5\sdot3\right)+\left(5\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+2^2\right]\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2\\\end{align}}}</math>
−
|style="text-align:right;"|במשל הכאת הז' בג' הוא כאלו הכינו הג' בה' ובב' והכאת הה' בעצמו הוא כאלו הכינו הג' בה' והה' בב' שהם התוספת וההבדל שבין זאת ההכאה להכאת הג' בב' הוא הכאת הב' בעצמם וזה מבואר מאד
+
|style="text-align:right;"|וההבדל שבין זאת ההכאה להכאת הג' בב' הוא הכאת הב' בעצמם וזה מבואר מאד
 
|-
 
|-
 
|
 
|

Revision as of 08:44, 11 December 2021

קצת מענייני חכמת המספר

Qeṣat mi-ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar

(Some Issues of Arithmetic)
‫[1]קצת מענייני חכמת המספר

Sums

Sums of Natural Numbers
  • To know the numbers that are set in succession.
\scriptstyle\sum_{i=1}^n i
 לידע מספרים מונחים על סדר המספר
Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i
 כגון אבג"ד ה"ו זחט"י
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]}}
Multiply the last number, which is ten, by its half plus one half.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=10\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]}}
 תכה מהמספר האחרון שהוא העשרה בחציו וחצי א‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}
Or add to it one, then multiply it by its half without the addition - they are 55 and so is their sum.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=55}}
 או הוסיף עליו אח' והכהו בחציו בלי תוספ' ויהיו נ"ה וככה קבוצם
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)}}
  • If you wish, multiply the last number, which is 10, by itself, the result is 100, add to it the root, which is 10, they are 110, take their half and it is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\frac{1}{2}\sdot\left(10^2+10\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100+10\right)=\frac{1}{2}\sdot110}}
 ואם תרצה הכה המספר האחרון בעצמו שהוא י' יעלה ק' הוסיף עליו מספר השרש שהוא הי' יהיו ק"י קח חציים והוא המבוקש
  • Numbers that are summed successively and the result is a known number.
\scriptstyle\sum_{i=1}^n i =a
 חשבון שחובר על הסדר ועלה מספר ידוע
Such as the number 55, how much is the last number?
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i =55}}
 כגון מספר נ"ה כמה הוא מספר האחרון
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a=n^2+n}}
Multiply it by 2, they are 110, you will find it contains a square and its root together, then the question is true and its root is the last number.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot55=110=n^2+n}}
 תכפלהו בב' יהיו ק"י תמצא בו מרובע וגדרו באחת ואז השאלה אמתית וגדרו הוא סוף המספר
  • If you wish, add a quarter to its double, then extract the root of the total, subtract the root of the quarter, which is a half, and the remainder is the required.
\scriptstyle n=\sqrt{2a+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}
 ואם תרצה הוסיף רביע אחד על כפלו וקח גדר הכל ותפיל גדר הרביע והוא החצי והנשאר הוא המבוקש
  • If the numbers that are given in succession do not start from 1.
 ואם המספרים המונחים על סדר המספר לא יתחילו מהא‫'
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{m-1} i}}
As saying: from 5 to 10.
\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i
 כאמרך מה' עד י‫'
Know their sum from 1 to ten - it is 55; know their sum for 1 to 4 that precedes 5 - it is 10. Subtract it from 55, 45 remains and this is their sum.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} i=\sum_{i=1}^{10} i-\sum_{i=1}^4 i=55-10=45}}
 דע קבוצם מא' עד עשרה הוא נ"ה ודע קבוצם מא' עד ד' שהוא קודם ה' יהיו י' הפלים מהנ"ה ישארו מ"ה וככה קבוצם
  • Numbers that are summed from a known number.
\scriptstyle\sum_{i=m}^n i=a
 חשבון שחובר מתחלת מספר ידוע
As saying: from 5 and the sum is 45, how much is the last number?
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^n i=45}}
 כאמרך מה' ועלה מ"ה כמה הוא סוף המספר
Know their sum of the units from 1 to the number that precedes 5, which is 4 - it is 10. Add it to 45, they are 55. Know [up to] which number it is summed according to the previous way, it is 10 and it is the last number.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^4 i+45=10+45=55=\sum_{i=1}^{10} i}}
 דע קבוץ האחדים שמא' עד המספר הקודם לה' שהוא הד' יהיו י' הוסיפם על המ"ה יהיו נ"ה דע מאיזה מספר נתחברו ע"ד הקודם והוא י' וזהו סוף המספר
We know the 10, which is [the last] summed number, and that the sum is 45, but the 5 is unknown.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=m}^{10} i=45}}
 ידענו הי' שהוא המספר שהנקבץ עד מ"ה ונעלם הה‫'
Know [the sum] from 1 to 10, which is 55.
 תדע מהא' עד י' שהוא נ"ה
Know up to what number the sum is the excess of this sum over 45, which is 10, according to the previous way; it is 4 and this is the number that precedes the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i-45=55-45=10=\sum_{i=1}^{4} i=\sum_{i=1}^{5-1} i}}
 ותדע עד איזה מספר נקבץ קבוץ היתרון על המ"ה שהוא י' ע"ד הקודם והוא ד' והמספר שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Squares
  • To know the squares of the natural numbers [that are set] in succession until whichever number you wish.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^2
 לידע מרובעי המספרים הטבעיי' על הסדר עד איזה מספר שתרצה
Such as from 1 to 10.
\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i^2
 כגון מהא' עד י‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}
Know their sum according to the previous way; it is 55.
 תדע קבוצם ע"ד הקודם והוא נ"ה
Take 2-thirds of 10 plus one third; it is 7.
 ותקח ב' שלישיות הי' בתוספת שליש א' יהיו ז‫'
Multiply it by 55; it is 385 and so is their sum.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i^2=\left(\sum_{i=1}^{10} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7=385}}
 ותכם עם הנ"ה יהיו שפ"ה וככה קבוצם
  • If the number does not have a third but it exceeds over [a number that has a third] by one.
 ואם אין למספר שליש שלם אם בתוספת א‫'
Such as 10.
 כמו הי‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i^2=\left(\sum_{i=1}^n i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(n-1\right)\right]+1\right]}}
Subtract 1; take 2-thirds of the remainder; add to it one integer; then multiply it by the sum of its units.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(10-1\right)\right]+1\right]}}
 חסר א' וקח ב' שלישיות הנשאר והוסף עליו אח' שלם והכם בקבוץ אחדיו
  • If it is less than [a number that has a third] by one.
 ואם בחסרון אחד
Such as 11.
 כמו הי"א
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{11} i^2 =\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(n+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]}}
Add one; take 2-thirds; subtract one third from the result; then multiply it by the sum of its units and it is the sought.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{11} i^2 =\left(\sum_{i=1}^{11} i\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(11+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]}}
 הוסיף אח' וקח ב' שלישיות ותחסר מהמקובץ שליש א' ותכהו בקבוץ אחדיו והוא המבוקש
  • If [the numbers] do not start from 1.
 ואם לא יתחילו מהא‫'
As saying: from 5 to 10.
 כאמרך מה' עד י‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=m}^{n} i^2=\sum_{i=1}^{n} i^2-\sum_{i=1}^{m-1} i^2}}
Know the sum of the squares from 1 to 10 according to the previous way, then know the sum of the squares from 1 to 4, which precedes 5, subtract one from the other and the remainder is the sought.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} i^2 =\sum_{i=1}^{10} i^2-\sum_{i=1}^{4} i^2}}
 דע חבור המרובעים שמהא' עד י' ע"ד הנקדם ואח"כ דע קבוץ המרובעים שמהא' עד ד' שקודם הה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
The ancients did not talk about the opposite questions. בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes
  • To know the sum of the cube numbers [that are set] in succession until whichever number you wish.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3
לידע מעוקב המספרים על הסדר ר"ל קבוצם על הסדר עד איזה מספר שתרצה
Multiply the sum of their units by itself and this is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2}}
 תכה קבוץ אחדיהם בעצמו והוא המבוקש
  • [The sum of] unknown [number of] cube numbers is a known number and you wish to know how much is the last root.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=a
 מעוקבי' מספרים נעלמים שעלה סך ידוע ותרצה לדעת איזהו היסוד האחרון
Take the root of the total sum, then know up to which number it is the sum, and this is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n k=\sqrt{a}}}
 קח גדר הכל ודע עד איזה מספר חובר והוא המבוקש
  • If they do not start from 1.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^n k^3=\sum_{k=1}^n k^3-\sum_{k=1}^{m-1} k^3}}
 ואם לא יתחילו מהא‫'
As if you wish to know [the sum of] the cube numbers from 5 to 10.
 כגון שרצית לידע מעוקבי מספרים מה' עד הי‫'
Know how much are the cubes from 1 to 10 according to the previous way, then know [how much] are the cubes from 1 to 4, which precedes 5, subtract one from the other and the remainder is the sought.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^3=\sum_{k=1}^{10} k^3-\sum_{k=1}^{5-1} k^3}}
 תדע כמה מעוקבי' שמא' עד י' ע"ד הקודם ותדע המעוקבים שמא' עד הד' שהוא הקודם לה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
  • We sum from the cube of a known number to an unknown number and the result is a known amount. You wish to know up to which number is the sum.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n k^3=a
 קבצנו ממעוקב מספר ידוע עד מספר נעלם ועלה סך ידוע ורצית לידע עד איזה מספר נקבץ
  • As saying: from 5 to an unknown number the sum is 2[0]25.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^n k^3=2{\color{red}{0}}25}}
 כאמרך מה' עד מספר נעלם עלה 2925
Know the cubes from 1 to 4; they are 100. Add them to 2[0]25; they are [3025]. Know its root; it is 55. Know up to which number it is the sum according to the previous way; it is 10 and this is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^n k&\scriptstyle=\sqrt{2{\color{red}{0}}25+\sum_{k=1}^4 k^3}\\&\scriptstyle=\sqrt{2{\color{red}{0}}25+100}=\sqrt{3025}=55=\sum_{k=1}^{10}\\\end{align}}}
 תדע המעוקבים שמהא' עד ד' והם 100 ותוסיפם על 2925 יהיו [3025] תדע גדרם בנ"ה ותדע עד איזה מספר נקבץ על דרך הקודם והוא י' והוא המבוקש
  • We know the 10, the 5 is unknown, and the sum is 2[0]25
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=m}^{10} k^3=2{\color{red}{0}}25}}
 ידענו הי' ונעלם הה' ועלה 2925
Know [the sum] from 1 to 10; it is 3025. Subtract the number that you know, which is 2[0]25; 100 remains. Extract its root; it is ten. Know up to which number it is the sum according to the previous way; it is 4 and the number that follows it, which is 5, is the required.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{m-1} k&\scriptstyle=\sqrt{\sum_{k=1}^{10} k^3-2{\color{red}{0}}25}\\&\scriptstyle=\sqrt{3025-2{\color{red}{0}}25}\\&\scriptstyle=\sqrt{100}=10=\sum_{k=1}^4 k=\sum_{k=1}^{5-1} k\\\end{align}}}
 תדע מא' עד י' והם 3025 ותגרע מהם המספר הידוע לך והוא 2925 וישארו ק' קח גדרם בעשר ודע עד איזה מספר חובר ע"ד הקודם והוא הד' והמספר שלאחריו שהוא ה' הוא המבוקש

Sums of Odd Numbers
  • To know the sum of the odd numbers [that are set] in succession.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)
 לידע קבוץ הנפרדים על הסדר
  • Take half the last odd number plus one half and multiply it by itself.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2}}
 קח חצי הנפרד האחרון בתוספת חצי והכהו בעצמו
  • Or, add one to the last odd number and take half the total without addition and multiply it by itself.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]\right]^2}}
 או הוסיף אחד על הנפרד האחרון וקח חצי הכל בלא תוספת והכהו בעצמו
  • Numbers that are summed by the succession of the odd numbers and their sum is a known number. You wish to know up to which odd number they are summed.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)=a
 חשבון שחובר על סדר הנפרדים ועלה קבוצם חשבון ידוע ותרצה לידע עד איזה נפרד חובר
  • Take the root of the number, for if the question is true, it necessarily has a whole root, double it, then subtract 1 from the result; the remainder is the sought.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=2\sqrt{a}-1}}
 קח גדר המספר כי בהכרח יהיה לו גדר שלם אם השאלה אמתית וכפלהו והפיל א' מהנקבץ והנשאר הוא המבוקש
  • If you want, multiply the known number by 4, then subtract 1 from the root of the product.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=\sqrt{4a}-1}}
 ואם תרצה הכה חשבון הידוע בד' והפיל א' מגדר הכל
  • If the given odd numbers, whose sum we wish to know, do not start from 1.
 ואם הנפרדים המונחים אשר רצינו לדעת קבוצם לא יתחילו מהא‫'
Know their sum from 1 up to the last odd number according to the previous way, subtract from it the sum from 1 up to the odd number that precedes the first odd number and the remainder is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)-\sum_{k=1}^{m-1} \left(2k-1\right)}}
 דע קבוצם מהא' עד נפרד האחרון ע"ד הקודם וחסר מהמבוקש העולה מא' עד הנפרד שקודם הנפרד הא' והנשאר הוא המבוקש
  • Numbers that are summed from a known odd number by the succession of the odd numbers and the sum is a known number, how much is the last odd number?
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a
 חשבון שחובר מנפרד ידוע על סדר הנפרדים ועלה סך ידוע כמה הוא הנפרד האחרון
Sum up from 1 to the odd number that precedes the known odd number, then add it to the known sum; you will know up to which odd number the sum is and it is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)+a=\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)}}
 חבר מהא' עד הנפרד הא' שקודם הנפרד הידוע והוספיהו על הסך הידוע ותדע עד איזה נפרדים הגיע הכל והוא המבוקש
  • We know the last odd number and the sum, but the [first] odd number is unknown.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a
 ידענו הנפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האח‫'
Sum up the odd numbers from 1 to the last odd number, then look at the difference between it and the known sum; know up to which number this sum is and the odd number that follows it is the first odd number.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)}}
 חבר קבוץ הנפרדים שמהא' עד הנפרד האחרון וראה היתרון שבינו ובין הסך ידוע ודע עד איזה מספר חובר והנפרד שאחריו הוא הנפרד הראשון

Sums of Squares of Odd Numbers
  • To know [the sum of] the squares of the odd numbers [that are set] in succession.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left (2k-1\right)^2
לידע מרובעי הנפרדים על הסדר
As if you say: 1; 3; 5; 7; 9.
\scriptstyle\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2
 כאלו תאמר א' ג' ה' ז' ט‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2k - 1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot{n}\right)}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)\right]-\frac{5}{3}\\&\scriptstyle=\left(166+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{2}{3}\right)\\\end{align}}}
 דע חבור הנפרדי' ע"ד הקודם והם כ"ה וקח ב' שלישי התשעה שהוא מספר האחרון בתוספת שני שלישיות אחד יהיו ששה וב' שלישיות אחד הכם עם כ"ה יעלה קס"ו וב' שלישיות א' ודע כמה הנפרדים שמאחד עד תשעה שהוא המספר האחרון הם ה' קח לכל שלם שליש אחד יעלה חמשה שלישים שהם א' וב' שלישיות חסרם מהקס"ו וב' שלישי אח' ישאר קס"ה וככה קבוצם
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+1\right)\right]\right]
 ואם תרצה קח שני שלישי הנפרד האחרון והכהו בשטח ההווה מהכאת חצי הזוג שאחריו בחצי נפרד שלאחריו
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{2}{3}\sdot{9}\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{10}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left[5\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left(27+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}
 והמשל בזה שני שלישי הט' הם ו' הזוג שלאחריו הוא י' קח חציים בה' ושמרם והנפרד שלאחריו הוא י"א קח חציים בה' וחצי והכם בה' השמורים יעלו כ"ז וחצי הכם בששה יהיו קס"ה וככה קבוצם
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left(2n+1\right)\right]
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot{9}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{9}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(49+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}
 ואם תרצה תקח שליש הנפרד האחרון בתוספת שליש אחד והוא ‫[2]ג' ושליש ושמרם אח"כ הכה חצי הנפרד האחרון והוא הט' שהוא ד' וחצי בנפרד שלאחריו שהוא הי"א יעלו מ"ט וחצי הכם בג' ושליש השמורים יעלו קס"ה
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]
ואם תרצה חסר מקבוץ נפרדיו שלישיתו וששית אח' ושמור הנשאר והוסיף על הנפרד האחרון אח' והכה הכל בשמור
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot25\right)+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}
 במשלינו זה קבצינו נפרדיו ועלו כ"ה חסרנו מהם שלישיתו וששית אחד נשאר י"ו וחצי ושמרנום הוספנו על הט' אחד יהיו י' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי עם י"ו וחצי השמורים יעלה קס"ה
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot{10}\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}
 ואם תרצה קח שליש הט' בתוספת ב' ג' א' אח' יהיו ג' וב' ג' אח' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי יעלה י"ו וחצי הוסיף א' על הט' יהיו י' הכם בי"ו וחצי יעלה קס"ה
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+2\right]\right]
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot9\right)\sdot\left[\left(9+1\right)\sdot\left(9+2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot11\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot110\\\end{align}}}
 ואם תרצה בדרך יותר נקל, קח ששית הט' באח' וחצי ושמרהו אח"כ הכה המספרים הנמשכים אחריו זה בזה והם י' והי"א יעלה ק"י הכם באחד וחצי יעלה קס"ה
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left (2k-1\right)^2
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{5^2+\cdots+9^2=\left(1^2+\cdots+9^2\right)-\left(1^2+\cdots+3^2\right)}}
 לידע מרובעי הנפרדים שיש ממספ' ה' עד ט' תדע חבור מרובעי הנפרדים שיש מא' עד ט' ותדע חבור מרובעי הנפרדים שמאח' עד המספר הנפרד שקודם הה' והוא ג' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
The ancients did not talk about the opposite questions. בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Odd Numbers
  • To sum the cubes of the odd numbers until a known odd number.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3
 לקבץ מעוקבי הנפרדים על הסדר עד נפרד ידוע
  • Multiply the sum of the odd numbers by its double minus one.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]^2\right]-\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]}}
 הכה קבוץ נפרדיו בכפל וחסר אחת
  • Or, subtract one half from the sum of the odd numbers, then multiply the remainder by double the sum of the odd numbers.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\frac{1}{2}\right]\sdot\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]}}
 או חסר חצי אחת מקבוץ נפרדיו והנשאר הכהו בכפל קבוץ נפרדיו
  • Numbers that are summed by the succession of the cubes of odd numbers and you wish to know [how much] is the last odd number.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=a
 חשבון שנתקבץ ממעוקבי הנפרדים על הסדר ורצית לידע נפרד האחרון
Take half the sum; add to it a half of an eighth; extract the root of the total; add to the result one quarter, which is the root of a half of an eighth; multiply all by 4; extract the root of the result; subtract one from it and the remainder is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n-1=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot{a}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}\right]}-1}}
 קח חצי החשבו' הנתקב' והוסיף עליו חצי שמנית וקח גדר הכל והוסיף על היוצא רביע אחד שהוא שורש חצי שמנית והכה הכל בד' וקח השרש מהעולה וחסר אחת ממנו והנשאר הוא המבוקש
  • We know the last odd number and the sum, but the first odd number is unknown.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)^3=a
 ידענו נפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האחד
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)^3}}
 דע מהא' עד הנפרד האחרון וקח היתרון שבין זה הסך ובין הסך הידוע לך ודע הנפרד האחרון ממנו ע"ד הקודם והנפרד שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Even Numbers
  • To know the sum of the even numbers [that are set] in succession.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k
לידע קבוץ הזוגות על הסדר
  • Take half the last even number plus one; or add to it 2 and then take half the total. Multiply it by half the last even number and this is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k =\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)+1\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)}}
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k =\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)}}
 קח חצי הזוג האחרון בתוספת אח' או הוסיף עליו ב' וקח חצי הכל והכהו בחצי הזוג האחרון והוא המבוקש
  • If you wish, take a quarter of the last even number and multiply it by the even number that follows it; or take a quarter of the even number that follows it and multiply it by the last even number.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\left(\frac{1}{4}\sdot{2n}\right)\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]}}
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\left[\frac{1}{4}\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]\right]\sdot{2n}}}
 ואם תרצה קח רביע הזוג האחרו' והכהו בזוג שלאחריו או קח רביע הזוג שלאחריו והכהו בזוג האחרון
  • Numbers that are summed by the succession of the even numbers and the result is a known sum, how much is the last even number?
\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=a
 חשבון שחובר על הסדר הזוגות ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
Multiply the known sum by 4 and add 1 to the result; the root of the total minus one is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2n=\sqrt{4a+1}-1}}
 הכה הסך הידוע בד' והוסף על העולה א' ושרש הכל בחסרון אח' הוא המבוקש
  • If the even numbers, whose sum we wish to know, do not start from 2.
 ואם הזוגות אשר רצינו לידע קבוצם ולא יתחילו מב‫'
Sum up from 2 to the last even number, then subtract from the result the sum from 2 up to the even number that precedes the first even number and the remainder is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}2k=\sum_{k=1}^{n}2k-\sum_{k=1}^{m-1}2k}}
 קבץ מב' עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הזוג האח' והנשאר הוא המבוקש
  • We sum up from a known even number and the result is a known amount, how much is the last even number?
\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a
 חברנו מזוג ידוע ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
Know the sum of the even numbers successively up to the even number that precedes the first even number, add it to the known amount, then know up to what even number the sum is according to the previous way.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^{m-1}2k+a=\sum_{k=1}^{n}2k}}
 דע חבור הזוגות על הסדר עד הזוגות שקודם הראשון הידוע והוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוגות נתחבר ע"ד הקודם
  • We know the last even number and the sum, but the first even number is unknown.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a
 ידענו הזוג האחרון והסך הנעלם הזוג הא‫'
Know the sum of the even numbers from 2 up to the last known [number] and take the difference between it and the sum that is known to you; know up to which even number it is summed and the even number that follows it is the first unknown number.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k-a=\sum_{k=1}^{m-1}2k}}
 דע חבור הזוגות שמב' עד האחרון הידוע וקח יתרון שבינם ובין הסך הידוע לך ודע עד איזה זוג נתחבר והזוג שלאחריו הוא הזוג הא' הנעלם

Sums of Squares of Even Numbers
  • To know the sum of the squares of the even numbers [that are set] in succession.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2
 לדעת מרובעי הזוגות על הסדר
  • Take two thirds of the last even number plus 2-thirds of 1 and multiply it by the sum of the even numbers.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]}}
 קח שני שלישי הזוג האחרון בתוספת ב' שלישי א' והכהו בעולה מחבור הזוגות
  • If you wish, take 2-thirds of the sum of the even numbers and multiply it by the last even number, to which you add 1.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]\right]\sdot\left(2n+1\right)}}
 ואם תרצה קח מחבור זוגותיהם ב' שלישיות והכהו בזוג האחרון שתוסיף עליו א‫'
  • If you wish, take one-sixth of the last even number and multiply it by the product of the two numbers that follows it.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2k\right)\right]\sdot\left[\left(2n+1\right)\sdot\left(2n+2\right)\right]}}
 ואם תרצה קח ששית הזוג האחרון והכהו בשטח ההווה מב' המספרים הנמשכים אחריו
  • If they do not start from 2.
 ואם לא יתחילו מהב‫'
Know [the sum of] the squares from 2 up to the last even number and subtract from it the sum [of the squares] from 2 up to the even number that precedes the first.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^2-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^2}}
 תדע מרובעים מהב' עד הזוג האחרון ותחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון
Understand this. והבן
The ancients did not talk about the opposite questions. בהפך שאלו אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Even Numbers
  • To know [the sum of] the cubes of the even numbers [that are set] in succession.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3
 לידע מעוקבי הזוגות על הסדר
Multiply the sum of the even numbers by their double and this is the required.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=2\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]^2}}
 תכה העולה מקבוץ זוגי אחדיו בכפלם והוא המבוקש
  • [The sum of] the cubes of the even numbers is a known amount, and you wish to know [how much is] the last even number?
\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=a
 מעוקבי זוגות שעלה סך ידוע ותרצה לידע הזוג האחרון
Take the root of half the amount and know up to what even number it is summed.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2k=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot{a}}}}
 תקח גדר חצי הסך ותדע עד איזה זוג חובר
  • To know [the sum of] the cubes of the even numbers that do not start from 2.
 לידע מעוקבי זוגות שלא יתחילו מב‫'
Know [the sum of] the cubes up to the last even number and subtract from it the sum [of the cubes] from 2 up to the even number that precedes the first.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^3=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^3-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3}}
 דע מעוקבם עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון
  • We know the first even number and the sum, but the last even number is unknown.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a
 ידענו הזוג האחד והסך ונעלם הזוג האחרון
Sum up [the cubes] from 2 to the even number that precedes the first and add it to the known sum; know up to which even number it is summed.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3\right]+a=\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3}}
 תקבץ מהב' עד הזוג שקודם הא' ותוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר
  • We know the last [even number] and the sum, but the first [even number] is unknown.
\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a
 ידענו האחרון והסך ונעלם הא‫'
Sum up [the cubes] from 2 to the last odd number and take the difference between it and the known sum; know up to which even number it is summed according to the previous way and the even number that follows it is the unknown.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3}}
 תקבץ מהב' עד הזוג האחרון ותקח היתרון שבינו ובין הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר ע"ד הקודם והזוג שלאחריו הוא הנעלם

Progression
The sum of numbers that exceed each other by a known increment. קבוץ מספרים נוספים אלו על אלו בתוספת ידוע

Geometric progression
  • Whether by geometric progression and it is of two types:
\scriptstyle\sum_{k=1}^n q^k
 אם על יחס הנדסי וזה על שני מיני‫'
  • Either by the power of 2, starting from one or not.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2^k
\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2^k
 אם על יחס הכפל יתחילו מהאח' או לא יתחילו
Such as the numbers 2; 4; 8; 16; 32; 64; 128.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 2^k}}
 כגון מספרי ב'ד'ח' י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח
The way to know their sum is by doubling 128, which is the last number; the result is 256. Subtract from it the first number, which is 2; 254 remains and this is their sum.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n 2^k=\left(2\sdot{2^n}\right)-2}}
\scriptstyle{\color{blue}{2+4+8+16+32+64+128=\left(2\sdot{128}\right)-2=256-2}}
 הדרך לדעת קבוצם שתכפול הקכ"ח שהוא המספר האחרון יעלה רנ"ו וגרע ממנו המספר הראשון שהוא הב' ישאר רנ"ד וככה קבוצם
  • Or by another power, even if it is two or three.
 ואם הוא יחס אחר וגם אם יהיה יחס הכפל או השליש
Such as the numbers 3; 9; 27; 81; 243; 729; that are powers of three.
\scriptstyle\sum_{k=1}^6 3^k
 כגון מספרי ג' ט' כ"ז פ"א רמ"ג תשכ"ט שהם הולכים על יחס השליש
It has two ways:
 יש בזה ב' דרכים
  • The first way is that you know the number from which the name of the progression is derived: two for a half, 3 for a third, 4 for a quarter; then we subtract one from it. As our number for instance, for which the increment of one over the other is three; we subtract one from it; two remains. The fraction that is derived from two is half. We take half the last number, after we subtract the first from it; it is 363. We add it to the last number, which is 729; the result is 1089 and this is their sum.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\left[\frac{1}{q-1}\sdot\left(q^n-q\right)\right]}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3+9+27+81+243+729&\scriptstyle=729+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(729-3\right)\right]\\&\scriptstyle=729+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(729-3\right)\right]\\&\scriptstyle=729+363\\\end{align}}}
 הדרך הראשון שתדע המספר אשר יגזור שם היחס שנים לחצי ג' לשליש ד' לרביע ונגרע ממנו אחד כגון מספרינו זה שתוספת קצת על קצת הוא שליש נגרע ממנו האחד ישארו שנים והשבר הנגזר משנים הוא החצי ונקח החצי מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו הראשון יהיה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא תשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם
  • The second way is that you multiply the first number, which is 3, by 729, which is the last number, after you subtract the first from it; the result is 2178. We divide it by the difference between the second and the first, which is six; the quotient is 363. We add it to the last number, which is 729; the result is 1089 and this is their sum.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\frac{q\sdot\left(q^n-q\right)}{q^2-q}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3+9+27+81+243+729&\scriptstyle=729+\frac{3\sdot\left(729-3\right)}{9-3}\\&\scriptstyle=729+\frac{2178}{6}\\&\scriptstyle=729+363\\\end{align}}}
 הדרך הב' שתכה המספר הראשון שהוא הג' עם התשכ"ט שהוא המספר האחרון אחר שתגרע ממנו הראשון יעלה שני אלפים וקע"ח חלקנום על המותר שבין הב' לראשון שהוא ששה יעלה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא התשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם
  • \scriptstyle2^n=\left(2^\frac{n}{2}\right)^2
Example: \scriptstyle{\color{blue}{64=8^2}}
 ואם התחלתם מהאחד והם מיוחסים יחס הכפל כגון מספרי א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד ורצית לדעת מספר המדרגה האחרונה או איזו מדרגה שתהיה תכה האמצעית בעצמה כגון הח' במשלינו זה יעלה ס"ד
  • \scriptstyle2^n=2^\left(\frac{n}{2}-a\right)\sdot{2^\left(\frac{n}{2}+a\right)}
Example: \scriptstyle{\color{blue}{64=4\sdot{16}=2\sdot{32}}}
 או שני המדרגות הרחוקות מהאמצעית ריחוק שוה כגון הד' עם הי"ו או השנים עם הל"ב
  • \scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1\right)\sdot{2^\frac{2m}{2}}
 ואם היה מספר המדרגות זוג תכה השני אמצעים
Example: \scriptstyle{\color{blue}{32=4\sdot{8}}}
 כגון שרצית לדעת מספר המדרגה הו' תכה המדרגה השלישית עם הרביעית שהוא הד' עם הח' ויעלה ל"ב
  • \scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1-a\right)\sdot{2^\left(\frac{2m}{2}+1\right)}
Example: \scriptstyle{\color{blue}{32=2\sdot{16}}}
 או ב' המדרגות הרחוקות שהם ריחוק שוה כגון הב' עם הי"ו ויעלה ל"ב וזהו מספר המדרגה הששית

Arithmetic progression
  • Or they are in an arithmetic progression and it is in three types: either their beginning is equal to their increment, or less, or more.
 ואם הם על יחס מספרי וזה על ג' מינים או התחלתם שוה לתוספתם או פחות או יותר
  • If their beginning is equal to their increment, they either start from one, or not.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1=d}}
 ואם התחלתם שוה לתוספתם יתחילו מהאח' או לא יתחילו
Such as the numbers 3; 6; 9; 12; 15; 18; 21; whose increment one over the other is equal to the first number, which is 3.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 3k}}
 כגון מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו י"ח כ"א שתוספת אלו על אלו שוה למספר הראשון והוא הג‫'
It has two ways:
 יש בזה ב' דרכים
  • The first is that you take half the number of the terms, plus a half of 7, which is 4 in our example, and multiply it by the last number, which is 21; the result is 84.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot a_n}}
\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot21=4\sdot21=84}}
 הראשון שתקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ז' שהוא במשלינו זה ד' ותכהו במספר האחרון שהוא הכ"א יעלה פ"ד
  • The second is that you sum the first with the last; it is 24. Take its half, which is 12, and multiply it by the number of the terms, which is 7; the result is 84.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot n}}
\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+21\right)\right]\sdot7=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)\sdot7=12\sdot7=84}}
 והב' שתחבר הראשון עם האחרון יהיו כ"ד ותקח חצים והוא י"ב ותכם במנין המדרגות והוא ז' יעלה פ"ד
  • If their beginning is less than their increment.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1<d}}
 ואם התחלתם פחות מתוספתם
Such as the numbers 1; 3; 5; 7; 9; 11; 13; 15; whose increment is two and their beginning is one.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^8 \left[\left[2\sdot\left(k-1\right)\right]+1\right]}}
 כגון א' ג' ה' ז' ט' י"א י"ג ט"ו שתוספתם שנים והתחלתם מהאחד
  • We add the deficit, which is one, to the last number, which is 15; it is 16. We multiply it by half the [number of the] terms plus one half, which is 4½; the result is 72. We subtract from it the product of the deficit by the [number of the] terms, which is the product of one by 8 that is the number of the terms; the product is 8; we subtract it from 72; 64 remains and this is their sum.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\left[\left(d-a_1\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot n\right]}}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+5+7+9+11+13+15&\scriptstyle=\left[\left[\left(2-1\right)+15\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot8\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(1+15\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-\left(1\sdot8\right)\\&\scriptstyle=\left[16\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-8=72-8=64\\\end{align}}}
 נוסיף המגרעת שהוא אחד על המספר האחרון שהוא ט"ו יהיו י"ו ונכם בחצי המדרגות בתוספת חצי שהם ד' וחצי יעלה ע"ב נגרע מהם הכאת המגרעת עם כל המדרגות שהוא הכאת האח' בח' שהם מנין המדרגות יעלה ח' נגרעם מהע"ב ישארו ס"ד וככה קבוצם
  • If you want to use the second way: we sum 1 with 15; it is 16. We take its half, which is 8, and multiply it by the number of the terms, which are 8; it is 64 and this is their sum.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot n}}
\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9+11+13+15=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+15\right)\right]\sdot8=\left(\frac{1}{2}\sdot{16}\right)\sdot8=8\sdot8}}
 ואם תרצה להשתמש בדרך הב' שנחבר הא' עם הט"ו יהיו י"ו ונקח חציים שהוא ח' ותכם במנין המדרגות שהם ח' יהיו ז' ס"ד וככה קבוצם
  • If their beginning is greater than their increment.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1>d}}
 ואם יותר מתוספתם
Such as the numbers 5; 8; 11; 14; 17; 20; 23.
\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 \left(3k+2\right)}}
 כגון מספרי ה' ח' י"א י"ד י"ז כ' כ"ג
  • \scriptstyle S_n=\left[\left[\left(a_1-d\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(a_1-d\right)
Example: {\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left[\left[\left(5-3\right)+23\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(5-3\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(2+23\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2=100-2\\\end{align}}}
 תוסיף היתר על התוספת שהוא ב' על המספר האחרון שהוא כ"ג יהיו כ"ה הכם בחצי המדרגות בתוספת חצי יהיו ק' גרע התוספת שהוא ב' ישאר צ"ח וככה קבוצם
  • \scriptstyle S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\right]\sdot\left(a_1+a_n\right)
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{23-5}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{18}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)\sdot\left(5+23\right)\\\end{align}}}
 ואם תרצה חסר הראשון שהו' הה' מן האחרון שהוא כ"ג ישארו י"ח תחלקהו על מספר תוספתם שהוא ג' והיוצא תוסיף עליו א' יהיו שבעה ושמרם אח"כ חבר הראשון והאחרון והכם בחצי השבעה
  • \scriptstyle S_n=\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]
Example:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left(\frac{23-5}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{18}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\&\scriptstyle=7\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\\end{align}}}
 או תקח חציים ותכם עם השבעה וככה קבוצם
  • \scriptstyle a_1=d
 ואם תרצה תדע אם המספר שממנו צמיחתם שוה לתוספתם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=3}^{10} 2k}}
 כגון מספרי ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו י"ח כ‫'
  • \scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1} a_k
 תדע מנין המדרגות שממספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ותדע קבוץ המספרים על דרך הקודם ושמרהו ואח"כ תדע מנין המדרגות שהם מהמספר שממנו צמיחתם עד המספר הקודם לראשון מדרגה אחת ותדע קבוצם על דרך הקודם ותגרע זה מהשמור
  • \scriptstyle a_1<d
 ואם המספר שממנו צמיחתם פחות מתוספתם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^5 \left(3k+2\right)}}
 כגון מספרי ה'ח' י"א י"ד י"ז
{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot{n}\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}}}
תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ותוסיף המגרעת על המספר האחרון ותדע מנין קבוצם ע"ד הקודם תכה חצי כמות המדרגות בתוספת חצי עמו ותגרע מהעולה הכאת המגרע' עם מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ושמור הנשאר אח"כ תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר המדרגה הראשונה ותחבר עמו מספר המגרעת עם כל המדרגות ותכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי ותגרע מהעולה הכאת המגרעת עם כל המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר הראשון והנשאר תגרעהו מהשמור והוא המבוקש
ולידע מנין המדרגות וגם לידע אם המספר הא' שממנו צמיחתם שוה לתוספתם תחלק המספר האחרון על מספר תוספתם
  • \scriptstyle a_1=d\longrightarrow\frac{a_n}{d}=n
 ואם יצא בחילוק שוה מה שיצא בחילוק הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והתחלתם שוה לתוספתם
  • \scriptstyle a_1\neq{d}\longrightarrow\frac{a_n-a_1}{d}+1=n
 ואם נותר שום מספר מה שיצא בחילוק בתוספת אחת הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנותר הוא המספר שממנו צמיחתם והבן
  • \scriptstyle a_n=d\sdot\left(n-1\right)+a_1
 ואם המספר האחרון הוא אשר רצית לידע הכה המותר עם מספר המדרגות חסר אחת והוסיף על העולה מספר הראשון והבן
ויש דרכים אחרים מיוחדים בנושא מיוחד וג"כ עניינים אחרים לידע שאלות החשבון וכו‫'

Multiplication of Fractions

 הכאת השברים
Multiply the numerator by the numerator, then relate [the product] to the product of the denominator by the denominator.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}}}
 שתכה הכמות עם הכמות וניחסהו אל הכאת האיכות עם האיכות
Or we multiply the product of the denominators by itself, then we relate to it the result of multiplication of the products of the numerator of one by the denominator of the other.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}}}
 או נכה העולה מהכאת האיכות בפני עצמו ונייחס אליו הכאת העולה מהכאת כמות האח' עם איכות חבירו זה בזה
Likewise, if fractions of fractions, and fractions of fractions of fractions and so on endlessly are related to integers: we multiply all the numerators by each other, then the product by the integers, whether they are integers or fractions of fractions of integers, then multiply the denominators by their order and relate the product to the product of the numerators by each other.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}\sdot{n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}\sdot{n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}}}
 וכן אם היו מיוחסים אל שלמים שברי שברים ושברי שברי שברים וכן עד אין תכלית נכה כל האיכיות זה בזה ומה שיתקבץ עם השלימים ואם היו שלמים אחדים או שברי שברים של שלמים תחזור ותכה כל הכמיות על הסדר ותיחס ואם תרצה המקובץ אל הכאת האיכות זה בזה
If you want to sum products of numbers: ואם תרצה לקבץ מספרים מוכים
For instance: you wish to know the sum of the product of two quarters by 2-sixths with the product of 4-fifths by 5-sixths, without having to multiply first then to sum, and still the total result is exact.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)}}
 כגון שרצית לידע קבוץ הכאת שני רביעיות עם ב' ששיות עם קבוץ הכאת ד' חומשיות עם ה' ששיות מבלתי שתצטרך תחלה להכות ואח"כ לקבץ אבל יצא הכל מתוקן ביחד
\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5} \scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}
Multiply all the denominators by each other; the result is 720, keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}
 תכה האיכיות כלם זה בזה יעלה תש"כ ותשמרם
Multiply the numerator of the first by the denominator of the second; it is 120.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2\sdot5\sdot6=120}}
 אח"כ תכה כמות הראשונים עם איכות השניים יהיו ק"ך
[Multiply] the numerator of the second by the denominator of the first; the result is 480.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot4\sdot6=480}}
 וכמות השניים עם איכות הראשונים יעלה ת"ף
Add it to 120; it is 600.
\scriptstyle{\color{blue}{120+480=600}}
 חברם אל ק"ך יהיו ת"ר
Relate it to 720; it is 600 parts of 720, which is 5-sixths and so is the sum of the product of these with the product of these.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)=600:720=\frac{600}{720}=\frac{5}{6}}}
 יחסם אל תש"כ יהיו ת"ר חלקים מתש"כ והם ה' שישיות וככה העולה מקבוץ הכאת אלו עם קבוץ הכאת אלו
In this way, as many as the numbers are, you multiply the numerators of the whole number by all the denominators. וכן על דרך זה ירבו המספרים מה שירבו תכה כמיות כל המספר עם כל האיכיות
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}}}
If you want by way of addition, i.e. you wish to multiply this sum by that sum. ואם תרצה ע"ד הקיבוץ שרצית להכות קבוץ זה עם קבוץ זה
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}}}
For instance: you wish to know the product of [the sum of] two quarters with two sixths by the sum of 4-fifths with 5-sixths, without having to sum them, then to multiply them, and still the total result is exact.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)}}
 כגון שרצית לידע כמה העולה מהכאת הב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם ה' ששיות בזול' שתקבצם ואח"כ להכותם אבל יצא הכל מתוקן בפעם אחת
Arrange them as follows:
 תסדרם ככה
\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5} \scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}
Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the denominator of the third, and the numerator of the fourth; it is 300, keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot5\sdot5=300}}
 תכה כמות הראשון עם אכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' יהיו ש' ושמרם
Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the numerator of the third, and the denominator of the fourth; it is 288, keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot6=288}}
 אח"כ תכה כמות הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' יהיו רפ"ח ושמרם
Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the denominator of the third, and the numerator of the fourth; it is 200, keep it.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5\sdot5=200}}
 אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון ועם איכות הג' וכמות הד' יהיו ק"ק ושמרם
Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the numerator of the third, and the denominator of the fourth; it is 192.
\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot4\sdot6=192}}
 אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון וכמות הג' ואיכות הד' יהיו קצ"ב
Sum the four reserved; the result is 980.
\scriptstyle{\color{blue}{300+288+200+192=980}}
 חבר הד' השמורים יעלה תתק"ף
Multiply the denominators by each other; the result is 720.
\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}
 ותכה המורים זה בזה עד כלותם יעלה תש"כ
Relate the 980 to it and this is the product of the sum of 2-quarters with two sixths by the sum of 4-fifths with five sixths.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)=980:720}}
 יחס התתק"ף אליהם הוא העולה מהכאת קבוץ ב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם חמשה ששיות

Methods of checking

 מאזנים
Divide the result of the multiplication by one of the multiplied fractions, whichever you want, and the result of division is the other fraction.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\div\frac{a}{b}=\frac{c}{d}}}
 שתחלק העולה מההכאה על השב' אחד מהמוכים איזה שתרצה ויעלה השבר האחר בחלוקה
Like this: we multiply 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.
 כיצד הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד
We divide them by the 2-quarters; the result of division is two sixths.
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)\div\frac{2}{4}=\frac{4}{24}\div\frac{2}{4}=\frac{2}{6}}}
 נחלקם על הב' רביעיות יצא בחילוק שני ששיות
The division procedure will be explained in its place with God's help. ודרך החלוק יתבאר במקומו בעה"ו
Other scales: multiply the difference between the smaller fraction and 1 by the other. We sum the result with the primary product and [the sum] is equal to the greater fraction.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(1-\frac{c}{d}\right)\times\frac{a}{b}\right]+\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)=\frac{a}{b}}}
 מאזנים אחרים שתכה ההב' שבין השבר הקטן עד תשלום הא' שלם עם חבירו ונקבץ העולה עם העולה מהכאה ראשונה וישוה לשבר הגדול
In this example, we multiply 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.
 במשל זה הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד
We take the smaller fraction, which is 2-sixths, the difference between it and the unit is 4-sixths.
לקחנו השבר הקטן והוא הב' ששיות וההבדל שבינו ובין השלם ד' ששיות
We multiply it by 2-quarters, which is the greater fraction; the result is 8 parts of 24.
 הכינום עם ב' רביעיות שהוא השבר הגדול ועלה ח' חלקים מכ"ד
We sum it with the 4 parts of 24, which is the primary product; [the sum] is 12 parts of 24 that are 2-quarters.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(1-\frac{2}{6}\right)\times\frac{2}{4}\right]+\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{4}{6}\times\frac{2}{4}\right)+\frac{4}{24}\\&\scriptstyle=\frac{8}{24}+\frac{4}{24}=\frac{12}{24}=\frac{2}{4}\\\end{align}}}
 קבצנו אותם עם הד' חלקים מכ"ד שהיא ההכאה הראשונה והם י"ב חלקים מכ"ד והם הב' רביעיות
If you want to verify that they are indeed 2-quarters, arrange them as follows:
 ואם תרצה לאמת אם הם בעצמם הב' רביעיות סדרם ככה
\scriptstyle\frac{2}{4} \scriptstyle\frac{1}{2}\;\frac{2}{4}
Cross-multiply the numerator of the one by the denominator of the other and [the result] is equal to the product of the denominator of the one by the numerator of the other. Understand [this].
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow b\times{c}=d\times{a}}}
 ותכה אלכסונות כמות הא' עם איכות חבירו וישו' העולה מהכאת כמות האחד עם איכות חבירו והבן
  • \scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot{c}}{b\sdot{d}}\longrightarrow\left(a\sdot{c}\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot{d}\right)=\frac{c}{d}
 מאזנים אחרים נקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהי' יחסו אליו יחס השבר האח' מהשברים המוכים איזה שתרצה ואם היחס מספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר צדקת
In our example: we multiply the 2-quarters by 2-sixths; the result is 4 parts of 24.
 במשלינו זה הכינו הב' רביעיות עם הב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד
We look for a number, to which the 4 that is the numerator resulting from the product of the multiplied fractions is related by the ratio of 2-quarters or 2-sixths.
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{4}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{6}}}
 נבקש מספר שיהיה מיוחס אליו הד' שהוא הכמות היוצא מהכאת השברים המוכי' יחס ב' רביעיות או ב' ששיות
ודרך ידיעת זה הוא שנסדרם ככה
\scriptstyle\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot{4}}{2}=\frac{16}{2}=8\longrightarrow 4:8=\frac{2}{4}\longleftrightarrow 8:24=\frac{2}{6}}}
 ונכה האלכסונות שהם ד' עם ד' יעלה י"ו נחלקם על השנים שהוא איכות הב' רביעיות יעלה ח' ונשים אותו תחת הד' הב' נמצא שארבעה מח' הוא יחס הב' רביעיות וניחס מספר המבוק' שהוא הח' אל איכות השבר היוצא מההכאה שהוא כ"ד ונמצא שהם ב' ששיות ממנו וזהו השבר האחד הנשאר
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{6}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{4}}}
 ואם תרצה לעשות המאזנים בהכ' שתבקש מספר שיהיה יחסו הד' אליו כיחס הב' שישיות
וזה בשנסדרם ככה
\scriptstyle\frac{4}{12}\;\frac{2}{6}
Cross-multiply the 6 by the 4; the result is 24.
 ותכה האלכסון שהוא הו' עם הד' יעלה כ"ד
Divide it by 2; the quotient is 12. Write it beneath the 4.
 חלקם על הב' יעלה י"ב בחלוקה ותשימים תחת הד‫'
Take the 12 and relate it to the 24, of which it is 2-quarter, and this is the other fraction itself.
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot{4}}{2}=\frac{24}{2}=12\longrightarrow 4:12=\frac{2}{6}\longleftrightarrow 12:24=\frac{2}{4}}}
 ותקח הי"ב ותיחסם אל הכ"ד והם ב' רביעיו' ממנו והוא בעצמו השבר האחר

Addition of Fractions

 קבוץ השברים
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}}}
 המין הב' הוא קבוץ השברים והוא שאם תרצה לקבץ שברים ידועים תכה כמות האח' עם כל האכיות זולת מה שתחתיו ותיחסהו אל הכאת האיכיות זה בזה או תחלקהו עליהם ותעשה אותם כלילת יופי רצוני שתראה לאיזה מהם מתחלק ראשונה ותחלקהו עליו ואח"כ על הב' עד תומם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}}}
 דמיו' רצינו לקבץ שני רביעיות וד' שמניות וג' תשיעיות נסדרם ככה
\scriptstyle\frac{3}{9}\;\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot{8}\sdot{9}\right)+\left(4\sdot{4}\sdot{9}\right)+\left(3\sdot{8}\sdot{4}\right)}{4\sdot{8}\sdot{9}}\\&\scriptstyle=\frac{144+144+96}{288}\\&\scriptstyle=\frac{384}{288}=1+\frac{96}{288}=1+\frac{3}{9}\\\end{align}}}
 תכה הב' שהוא הכמות הא' עם הח' שבאלכסונות ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם אח"כ תכה כמות השני והוא הד' עם הד' שבאלכסונות שהוא איכות הראשו' ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם ג"כ תכה כמות הט' והוא הג' עם איכות הד' והוא הח' ומה שיתקבץ עם איכות הב' והוא הד' יעלה [.] צ"ו חברם עם הב' המספרים השמורים יעלה שפ"ד אח"כ נכה כל האכיות זה בזה יעלה רפ"ח והם השפ"ד מהם א' שלם וצ"ו חלקים מרפ"ח ואם תרצה לחלק השפ"ד על המורים כשתחלקהו תחלה על הח' אח"כ לד' אח"כ לט' כדי שיצאו לך החלקים נאותים ויעלה בחלוקה א' שלם וג' תשיעיות והם הצ"ו חלקים מרפ"ח
והמופת שתסדרם ככה
\scriptstyle\frac{96}{288}\;\frac{3}{9}
Check: \scriptstyle{\color{blue}{96\sdot{9}=288\sdot{3}}}
 ותכה האלכסונו' ויהיו שוים זהו הדרך הא‫'
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]}}
 והדרך הב' שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר הא' עד תשלומו לא' שלם ונחסר ממנו השבר הא' הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד תשלום הא' שלם והוא סך הב' שברים
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}}}
 דמיון רצית לקבץ שני רביעיות עם ב' תשיעיו' תסדרם ככה
\scriptstyle\frac{2}{9}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}=1-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{9}\right]=1-\left(\frac{2}{4}-\frac{2}{9}\right)=1-\frac{10}{36}=\frac{26}{36}}}
 ותקח החסר מהב' רביעיות עד תשלום א' שלם והם שני רביעיות אחרים ותחסר מהם הב' תסיעיות ישארו י' חלקים מל"ו וקח החסר מהם עד תשלום האחד שלם והם כ"ו חלקים מל"ו וככה קבוצם
  • \scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1
 ואם מה שחסר לא' שלם הוא יותר קטן מהשבר הב' באופן שלא תוכל מחסר ממנו השבר הא‫'
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}+\frac{5}{6}}}
 כגו' ד' תשיעיו' עם ה' ששיות
\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{9}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\frac{4}{9}\right)=\frac{5}{9}<\frac{5}{6}}}
 שחסר לד' תשיעיות לתשלום אח' שלם הוא ה' תשיעיו' והם פחות מה' ששיות
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}&\scriptstyle=\left[\frac{5}{6}-\left(1-\frac{4}{9}\right)\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{9}\right)+1=\frac{15}{54}+1\\\end{align}}}
 הנה נחסר הה' תשיעיות מהה' ששיות ישאר ט"ו חלקים מנ"ד והם התוספת על הא' השלם וקבוצם הוא א' שלם וט"ו חלקים מנ"ד
  • \scriptstyle\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]\right]+1+1
 ואם תרצה לקבץ עוד שב' ג‫'
Example: {\color{blue}{\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}}}
 כאלו משל ו' שביעיות
\scriptstyle{\color{blue}{1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]=1-\frac{15}{54}=\frac{39}{54}<\frac{6}{7}}}
 הנה תעשה הדרך הקודם בעיון שתשלים הט"ו חלקים מנ"ד לא' שלם והוא ל"ט חלקים מנ"ד ובעבור שהשש שביעיות יותר מל"ט חלקים מנ"ד
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{6}{7}-\left[1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]\right]\right]+1+1\\&\scriptstyle=\left[\frac{6}{7}-\left(1-\frac{15}{54}\right)\right]+1+1=\left(\frac{6}{7}-\frac{39}{54}\right)+1+1=\frac{51}{378}+1+1\\\end{align}}}
 הנה נחסר מהם ל"ט חלקים מנ"ד ישאר נ"א חלקים משע"ח והם התוספת על הא' השלם והא' השמור שבידינו הם ב' והם ב' ונ"ח חלקים משע"ח
  • \scriptstyle\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]-\frac{e}{f}\right]+1
 וכן אם היית צריך לחסר השבר האחד ממנו כגון שהיה אשר יחסר ליוצא גדול ממנו הנה ממה שישאר תשלימהו לא' והוא סך הג' שברים הנקבצים וכן בזה הדרך תוכל לקבץ עד אין תכלית
ואם תרצה להשתמש בדרך אחרת והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או תוסיפהו
  • \scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1
 ואם היה היוצא מאשר יצטרך להשלים לאחד וג"כ היה קטן מהג' אשר תרצה לקבץ עם הב' האחרים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם הא‫'
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}}}
 ד"מ ואם רצית לקבץ ב' רביעיות עם ב' שישיות וד' שביעיו' סדרם ככה
\scriptstyle\frac{4}{7}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{4}{7}-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{7}-\frac{4}{24}\right)+1\\&\scriptstyle=\frac{68}{168}+1\\\end{align}}}
 הנה תקח החסר מב' רביעיות עד הא' השלם ונחסר ממנו שני ששיות נשאר ד' חלקים מכ"ד ונצטרך להשלים לאחד ובזה יודע סך הג' שברים הנה לא תשלימהו לאחד אלא תקחם כמות שהם ונחסרם מהשבר הג' שהוא ד' שביעיו' ישאר ס"ח חלקים מקס"ח והם התוספת על אח' שלם תמצא סך קבצם עולה א' ס"ח חלקים מקצ"ח
  • \scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]
 ואם היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}}}
 כגון שהוספנו במקום הד' שביעיות עשירית כזה הצורה
\scriptstyle\frac{1}{10}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]=\frac{4}{24}>\frac{1}{10}}}
 שהנה הד' חלקים מכ"ד הם יותר גדול מעשירית
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}&\scriptstyle=1-\left[\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]-\frac{1}{10}\right]\\&\scriptstyle=1-\left(\frac{4}{24}-\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{16}{240}=\frac{224}{240}\\\end{align}}}
 הנה נחסר העשירית מהם ישארו י"ו חלקים מר"ם הם נשלימם לא' שלם רכ"ד חלקים מר"ם וככה קבוצם של ג' השברים
  • \scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1
 ואם היוצא מאשר נצטרך להוסיף על השלם האחד הנה נשמור השלם ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום הא' השלם
  • \scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1
 ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הג' הנקבץ עם האחרים הנה נחסרהו ממנו היוצא נוסיף עליו אחד ועם הא' השמור בידינו והוא סך השבר
ואם היה החשבון גדול מהשבר הג' הנקבץ הנה תחסר השבר ממנו והיוצא תשלימהו לא' שלם והוסיף עליו הא' השמור אשר בידנו והוא סך הג' שברים והבן
  • Another algorithm
 והדרך הג' לקבוץ
Two types of numbers:
 צריך לידע הקדמה א': והוא שהמספרים ב' מנים נבדלים משותפים
1) Coprime numbers - do not share common divisor other than 1
 הנבדלים הם שלא ימנה לשנים מספר זולת הא‫'
2) Associated [= relatively composite] numbers - two types:
 והמשותפים שני מינים‫:
1) One is a divisor of the other
 או ימנה האח' את חברו
2) They share a common divisor
 או לא ימנהו אלא שיש מספר אח' ימנה את שניהם
\scriptstyle a\sdot{b}\div{a}=b
 והדרך אל ידיעת אלו המנים בשתחלק הגדול על הקטן והחלק היוצא בחלוק מורה על קטן היחס
Example: \scriptstyle{\color{blue}{100\div{10}=10\longleftrightarrow 100=10\times{10}}}
 כי אם היו שני המספרים המתיחסים עשרה וק' תחלק הק' על הי' ויצא בחלוקה י' ואלה הם הי' מורים שק' י' פעמים כפל הי‫'
Finding the reduced ratio of two associated numbers (a·b):(c·b)
\scriptstyle\left(a\sdot b\right)\div\left(c\sdot b\right)=\left[\left(a\sdot b\right)\div b\right]\div\left[\left(c\sdot b\right)\div b\right]=a\div c
 ואם ישאר כלום תחלק המספר הקטן על המותר אח"כ המותר האח' על המותר הב' ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה המספר שלא ישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנם יחד, אח"כ חלק המספר הקטן עליו והעולה שמרהו גם בקש מספר הפעמים אשר ימנהו הגדול וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו והב' שמורים הם קטני היחס ההוא
Example: \scriptstyle{\color{blue}{12:27=12\div27=\left(12\div 3\right)\div\left(27\div 3\right)=4\div 9=\frac{4}{9}}}
 המשל השות' י"ב והמספר הקטן כ"ז חלקהו הכ"ז על הי"ב נשארו ג' חלקנו עליהם הי"ב ולא נשאר כלום ולכן מצינו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג' בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב הוא בשחלקנו הי"ב על הג' ועלה ד' ושמרנום חלקנו הכ"ז על הג' ועלה ט' ושמרנום וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא ולכן ידענו שהי"ב יחסו אל הכ"ז ד' תשיעיות
Finding the common denominator of two fractions
 ולכן כשתרצה לדעת קטן המספרים אשר ימצאו בו השברים המונחים איזה שברים שיהיו
  • The denominators of the fractions are coprime numbers: \scriptstyle LCM\left(p,q\right)=p\sdot q
 עם איכיותיהם נבדלים זה מזה יוכו זה עם זה והעולה הוא קטן המספר אשר מצאו בו אלו החלקים ההם המונחים
  • The denominator of one of the fractions is a divisor of the other: \scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),b\right]=a\sdot b
 אם יהיו משותפים והאח' מונה אחר המספר הגדול הוא קטן היחס אשר ימצאו השברי' המונחים
  • The denominators of the fractions share a common divisor: \scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)
 ואם לא ימנהו אלא שיש מספר ימנם יחד נבקש קטן יחסם ע"ד הקודם ונכה המספר הגדול מב' האיכות המונחים עם המספר הקטון מב' איכות קטן היחס

או נכה המספר הקטן מב' איכיות המונחים עם המספר הגדול מב' איכיות קטן היחס והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו ב' שברים ההם

For more than two fractions: finding the common denominator of two of them
 ואם היו השברים רבים תעש' בזה הדרך עצמו תמצא קטן היחס אשר ימצאו בו ב' שברים ההם לפי מה שקדם
  • The third fraction is a divisor of their common denominator
 עם השבר הג' מונהו הנה קטן היחס אשר ימצאו בו השברים הקודמים בו ג"כ ימצא קטון היחס של הג' שברים
  • The third fraction is and their common denominator are coprime numbers
 ואם הם נבדלים נכהו עמו
  • The third fraction and their common denominator share a common divisor
 ואם מספר אחד ימנם יחד נכה המספר הקטון יחסם עם המספר הגדול שהוא המספר קטן היחס אשר נמצא בו הב' שברים הקודמים
The same way for more fractions
 וכן ע"ז הדרך ירבו השברי‫'
\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}
 ולכן אם תרצה לקבץ שברים מה הנה ניקח קטון היחסם ע"ד האמור ונחלקהו על כל האיכיות כפי מנין כמותם ונשמור כל אחד בפני עצמו אח"כ נקבצם ונחלקם על מספר קטון יחסם וזהו העולה
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}}}
 ד"מ בזה רצינו לקבץ ב' רביעיות וד' ששיות וח' תשיעיות וה' שמניות סדרם ככה
\scriptstyle\frac{5}{8}\;\frac{8}{9}\;\frac{4}{6}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(4,6\right)=LCM\left[\left(2\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=2\sdot6=3\sdot4=12}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(12\sdot9\right)\sdot4=108\sdot4=432}}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}&\scriptstyle=\frac{\left[2\sdot\left(432\div4\right)\right]+\left[4\sdot\left(432\div6\right)\right]\left[8\sdot\left(432\div9\right)\right]+\left[5\sdot\left(432\div8\right)\right]}{432}\\&\scriptstyle=\frac{216+288+384+270}{432}\\&\scriptstyle=\frac{1158}{432}\\&\scriptstyle=2+\frac{294}{432}\\\end{align}}}
 והד' והו' ימנם מספר הב' כשתעשה הדרך האמור שנחלק הו' על הד' וישאר ב' אח"כ תחלק הד' על הב' ולא ישא' כלום ידענו שהשנים הוא מספר ימנם יחד ולכן נכהו עם הו' או נכה הג' שהוא מספר הפעמים שישנה הו' הב' עם ד' יעלה י"ב וזהו קטון היחס אשר יש בו רביעית וששית אח"כ ידענו שהט' הוא מספר נבדל מהי"ב ולכן הכנו אותו עם הט' יעלה ק"ח וע"ד הקודם מצאנו שהד' ימנה לח' ולק"ח והכנו הד' עם הק"ח ועלה תל"ב וזהו קטון המספר אשר ימצא בו רביעית וששית ותשיעית ושמנית ואח"כ חלקנו התל"ב על הו' ד' פעמים כמנין כמותם ועלה רפ"ח אח"כ חלקנו התל"ב על הט' ח' פעמים כמנין כמותם ועלה שפ"ד ושמרנום אח"כ חלקנו התל"ב על הח' ה' פעמים כמנין כמותם ועלה ר"ע חברנו הד' שמורים יעלה אלף וקנ"ח יחסם אל תל"ב יהיו שנים שלמים ורצ"ד חלקים מתל"ב וזה מה שרצינו לבאר

Methods of checking

 מאזנים
  • \scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}
 שנחסר השבר הנשאר איזה מהם שתרצה וישאר האחר
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}}}
 המשל קבצנו שני רביעיות עם ב' ששיות כזה
\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)-\frac{2}{6}=\frac{20}{24}-\frac{2}{6}=\frac{2}{4}}}
 ועלה עשרים חלקים מכ"ד חסר מהם הב' רביעיות ונשארו שני ששיות או חסר הב' ששיות וישארו הב' רביעיות
  • \scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}
 מאזנים אחרים שתקבץ עם המקובץ החסר משלימו איזה שבר שתרצה מהנקבצין עד האחד השלם והעולה תשליך ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצין הנשארים צדקת
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{2}{4}\right)-1=\left(1+\frac{2}{6}\right)-1=\frac{2}{6}}}
 כגון שלקחנו הב' רביעיות שחסר משלמותך השלם וקבצנום עם כ' חלקים מכ"ד יעלה א' וב' ששיות השלכנו האח' נשאר הב' ששיות
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{6}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{4}{6}\right)-1=\left(1+\frac{3}{6}\right)-1=\frac{3}{6}=\frac{2}{4}}}
 או נקבץ החסר משני ששיות שהם ד' ששיות עם כ' חלקים מכ"ד יעלה אח' וג' שישיות והשלכנו האחד ונשאר ג' ששיות והם שני רביעיות והבן

Subtraction of Fractions

 דרך החסור
  • \scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}
 ועתה נתחיל לבאר דרך החסור בע"ה ואו' שהדרך היותר כולל הוא שתכה כמות האחד עם איכות חבירו וכמות האחר עם איכות חבירו וחסר זה מזה והנשאר [תיחס] אל הכאת האיכות
  • \scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b}}{d}
 או תחלקהו על המורים ע"ד הקודם בשתעשה להם כלילת יופי והוא המבוקש
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}}}
 דרך משל רצינו לחסר ג' שמניות מד' ששיות כזה הצורה
\scriptstyle\frac{4}{6}\;\frac{3}{8}
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\frac{\left(4\sdot 8\right)-\left(3\sdot 6\right)}{6\sdot 8}=\frac{32-18}{48}=\frac{14}{48}=\frac{\frac{14}{6}}{8}=\frac{2+\frac{2}{6}}{8}=\frac{2}{8}+\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{8}}}
 תכה כמות הג' עם איכות הד' יהיו י"ח ותכה הכמות האחר עם איכות חבירו יהיו ל"ב תחסר מהם י"ח ישאר י"ד ותכה האיכיות והם הח' בו' יהיו מ"ח והם י"ד חלקים ממ"ח או תחלק הי"ד על הו' יעלה ב' וישארו ב' והם שני שמניות וב' ששיות וככה צורתם
\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{8}
והוא הנשאר מחסור הג' שמניות מד' ששיות
  • \scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=1-\left[\frac{3}{8}+\left(1-\frac{4}{6}\right)\right]=1-\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{6}\right)=1-\frac{34}{48}=\frac{14}{48}}}
 דרך אחרת שתשלים השבר הגדול שהוא ד' ששיות לא' שלם והנה השלמנום בשני ששיות קבצנום עם השבר הקטן והוא הג' שמניות יעלה ל"ד חלקים ממ"ח השלמנום לאח' שלם בי"ד חלקי' ממ"ח והוא המבוקש
  • \scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{c}{d}\right)\right]-1
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\left[\frac{4}{6}+\left(1-\frac{3}{8}\right)\right]-1=\left(\frac{4}{6}+\frac{5}{8}\right)-1=\left(1+\frac{14}{48}\right)-1=\frac{14}{48}}}
 ואם תרצה קבץ החסר מהשבר הקטן והוא הג' שמניות השלמנום לאח' שלם בה' שמניות נקבצו עם הד' ששיות ועלה א' שלם וי"ד חלקים ממ"ח והשלכנו האחד השלם ומה שישאר הוא המבוקש

Methods of checking

 מאזנים
  • \scriptstyle\left[\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)
 שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת
Example:
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)\right]-\frac{3}{8}&\scriptstyle=\left(\frac{4}{6}+\frac{14}{48}\right)-\frac{3}{8}\\&\scriptstyle=\frac{276}{288}-\frac{3}{8}\\&\scriptstyle=\frac{1344}{2304}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{14}{48}=2\sdot\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)\\\end{align}}}
 במשלינו זה קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הד' ששיות ועלה רע"ו חלקי' מרפ"ח חסרנו מהם הג' שמניות ונשאר אלף ושמ"ד חלקים מהאלפים וש"ד והם כפל הי"ד חלקים ממ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{1344\sdot48=2304\sdot28}}
 והמופת שתשי' ה[כ"]ד חלקים ממ"ח והאלף ושמ"ד חלקים מאלפים וש"ד בזאת הצורה
\scriptstyle\frac{1344}{2304}\;\frac{28}{48}
ותכה האלכסונות ויהיו שוים
  • \scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}
 מאזנים אחרים שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול צדקת
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)+\frac{3}{8}=\frac{14}{48}+\frac{3}{8}=\frac{4}{6}}}
 הרי קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הג' שמניות ועלה ד' ששיות
  • \scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}
 מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם ישוה לקטן דע שצדקת
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4}{6}-\frac{14}{48}=\frac{108}{288}=\frac{3}{8}}}
 במשלינו זה חסרנו הארבעה עשר חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הג' שמיניות
והמופת שתסדרם ככה
\scriptstyle\frac{3}{8}\;\frac{108}{288}
\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot288=8\sdot108}}
 ותכה האלכסונות ויהיו שוים ודי למבין
מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם שוה לקטן דע שצדקת
במשלינו זה חסרנו הי"ד חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הו' שמיניות

Combined Subtraction
{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_2}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{d_2}+\frac{c_2}{d_2}+\cdots+\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^m \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^m d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^m d_i}\\\end{align}}} ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחסרם הנה תוכל להשתמש בזה הדרך
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)}}
\scriptstyle\frac{1}{7}\;\frac{5}{6}\;\frac{4}{5} \scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{1}{3}\;\frac{1}{2}
  • Multiply all the denominators by each other, the result is 5040
\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4=5040}}
 תכה כל האיכיות זה בזה יעלה 5040
  • Multiply the [each] numerator of the subtrahend by all the denominators except its denominator, the result is 7980
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(3\sdot2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\right)=7980}}
 ותכה כמות השבר הנחסר עם כל איכיות זולת איכותו וכן כל איכות הכמות מהנחסר יעלה 7980
  • Do the same with all the numerators [of the minuend], the result is 8952
\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(5\sdot5\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(1\sdot5\sdot6\sdot2\sdot3\sdot4\right)=8952}}
 וכן תעשה לכל הכמיות אשר יוחסרו השברים מהם ויעלה ח' אלפים ותתקנ"ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=\frac{8952-7980}{5040}=\frac{972}{5040}}}
 ותחסר מהם הז' אלפים ותתק"ף ישארו תתקע"ב והם תתקע"ב חלקים מה' אלפים ומ‫'
{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{c_n}{d_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^n \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^n d_i}\\\end{align}}} ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונו' שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם
Example: {\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}
 לחסר החצי מב' שלישיות וג' רביעיות מד' חומשיות
\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4} \scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot5\sdot4=120}}
 נכה האיכיות יעלו ק"כ
  • \scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot5\sdot4=60}}
 נכה כמות השבר הנחסר מהראשון עם כל האיכיות חוץ מאיכותו והם ס‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot3\sdot2=90}}
 גם נכה כמות השבר הנחסר מהב' עם כל האיכיות זולת אכותו והם צ‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{60+90=150}}
 קבצם עם הס' הם ק"נ
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\sdot5\sdot4\right)+\left(4\sdot4\sdot3\sdot2\right)=176}}
 אח"כ הכה השבר הגדול אשר ממנו יחוסר הקטן מהמין הראשון עם כל איכות זולת מאיכותו וכן כמות השבר הגדול אשר ממנו ויחוסר הקטן מהמין הב' וקבצהו עם הראשון והם קע"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{176-150}{150}=\frac{26}{150}}}
 נחסר מהם הק"נ וישארו כ"ו והם כ"ו חלקים מק"נ
{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{c_1}\times\frac{c_2}{c_2}\times\cdots\times\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\sdot\left(\prod_{j=1}^m d_j\right)\right]-\left[\left(\prod_{j=1}^m c_j\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{i=1}^n b_i\sdot\prod_{j=1}^m d_j}\\\end{align}}} ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת השברים אחדים עם שברים מבלתי שתצטרך לדעת העולה מהכאת השברים ההם
Example: {\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)}}
 כמו עד"מ רצית לדעת מחיסור העולה מהכאת החצי עם ב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם ד' חומשיות מבלתי שתצטרך להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חומשיות הנה יסודרו בזה הדרך
\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4} \scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}
  • \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot2\sdot3=120}}
 נכה כל האיכיו' והם ק"כ
  • \scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5=40}}
 ונכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם איכות השברים הגדולים אשר יוחסרו הקטנים מהם והם מ‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3=72}}
 ונכה כמות השברים הגדולים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכיות השברים הקטנים והם ע"ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)=\frac{72-40}{120}=\frac{32}{120}}}
 נחסר מהם מ' ישארו ל"ב והם ל"ב חלקים מק"כ
{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]}{b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2}\\\end{align}}} ואולם אם רצית לדעת העול' מהכאת הנשאר מחיסור שברים מה משברים מה עם הנשאר מחיסור השברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים מהחסורים ההם כלל
Example: {\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}
 כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מב' שלישיו' עם הנשאר מחיסור הג' רביעיות מהד' חמשיות הנה יסודרו ע"ז הדרך
\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4} \scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}
{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\times\left[\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)\right]}{3\sdot2\sdot5\sdot4}}}
 נכה האיכיות והם ק"כ
אח"ז נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו
גם נחס' העול' מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה מהכאת אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו
ואח"ז נכה הנשאר עם הנשאר וההווה נייחסהו אל השמור הראשון וההוה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיו' עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמשיות
{\color{OliveGreen}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}\times\frac{c_n}{d_n}\right)\right]-\\&\scriptstyle-\left[\left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\times\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}}\times\frac{c_{n+2}}{d_{n+2}}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n+m}}{b_{n+m}}\times\frac{c_{n+m}}{d_{n+m}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\sum_{k=1}^n \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]-\left[\sum_{k={n+1}}^{n+m} \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]}{\prod_{i=1}^{n+m} b_i\sdot\prod_{i=1}^{n+m} d_i}\\\end{align}}} ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולה מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברים מה מבלתי שתצטרך להכות ואח"ז לקבץ ואח"ז לחסר אבל יצאו לך שלשתן בפעם אחת
Example: {\color{blue}{\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]}}
 עד"מ רצית להכות חצי עם ב' שלישיו' וג' רביעיות עם ד' חמשיות וג' שביעיות עם ד' חמשיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואח"ז לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם ד' חמשיו' והעולה מהכאת הג' שביעיות עם ד' חמשיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע אח"ז לחסר ההוה מהקבוץ מההוה מהקבוץ לדעת הנשאר הנה יסודרו על זה הסדר
\scriptstyle\frac{1}{4}\;\frac{2}{3} \scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{7} \scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4} \scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=50400}}
 נכה כל האיכיות והם נ' אלף ות‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=16800}}
 נכה כמות הב' שברים הראשונים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות על הסדר הזה חוץ מאיכיותיו והם י"ו אלף ות"ת
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=30240}}
 גם נכה כמות הב' שברים השניי' העול' עם כל האכיות על הסדר חוץ אכיותיו והם ל' אלף ור"מ
  • \scriptstyle{\color{blue}{16800+30240=47040}}
 ונקבצם עם י"ו אלפים ות"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=17280}}
 אח"ז נכה הב' שברים מהשלישיי' זה עם זה והעולה עם האכיות כולם חוץ מאכיותיהם והם י"ז אלף ור"פ
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1\sdot7\sdot5\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=8400}}
 גם נכה כמות הב' שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות חוץ מאכיותיהן והם ח' אלפים ות‫'
  • \scriptstyle{\color{blue}{17280+8400=25680}}
 נקבצם עם הי' אלף ור"פ והם כ"ה אלף ותר"פ
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{47040-25680}{50400}=\frac{21360}{50400}}}
 נחסרם מהשמור הב' וישארו כ"א אלף ש"ס והם כ"א אלף ש"ס [..] נ' אלף ות"ת

Division

Dividing a large number by a smaller number
Dividing a certain amount among people, giving each one twice as much as his friend כאשר תרצה לחלק מספר מה אל אנשים מה ולתת לכל אח' כפל חבירו
Example: dividing 100 among four people, giving each one twice as much as his friend
 כגון שתרצה לחלק ק' אל ד' אנשים ולתת לכל אחד כפל חבירו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle100\div\left(1+2+4+8\right)&\scriptstyle=100\div\left(3+4+8\right)\\&\scriptstyle=100\div\left(7+8\right)\\&\scriptstyle=100\div15\\\end{align}}}
 ככה תעשה דע א' כמה יתחבר וזה שחלק הא' נקחהו כמו שהוא אח' והחלק ב' הרי ג' והחלק ג' ד' הרי ז' והחלק הד' ח' הרי ט"ו חלק ק' על ט"ו והיוצא הוא חלק הראשון ולדעת הב' כפלהו בו כן לעולם
ומזה תבין לכל השאלות שבזה המין והבן

Small number by a larger number

 לחלק מספר מעט על מספר רב
The method: dividing the larger number by the smaller number תחלק הרב על המעט
  • If there is no remainder - the result is the denominator: \scriptstyle a\div\left(a\sdot b\right)=\frac{1}{\left(a\sdot b\right)\div a}
 אם יתחלק לו לשלמים בלתי תוספת ומגרע' הנה היוצא בחלק בצמצום הוא מורה החלק אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{1\div4=\frac{1}{4\div1}}}
 ר"ל שאם יצא בחלוק ד' הנה יבא לו רביעית הא' ובדומה לזה
  • If the remainder is 1: \scriptstyle a\div\left[\left(a\sdot b\right)+1\right]=\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}\sdot\frac{a-1}{\left(a\sdot b\right)+1}\right)
 ואם לא יתחלק כלו לשלמים וישאר שום מספר הנה נוסי' אח' ועלה יוצא בחלוק ונחסר הנשאר מהמספר אשר חלקו ועליו ומה שישא' הם חלקים מכל המורים
Example: {\color{blue}{\scriptstyle7\div29}}
 המשל רצינו לחלק ז' על כ"ט
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7\div29&\scriptstyle=\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}\sdot\frac{7-1}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{6}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)\\\end{align}}}
 נעשה ההפך נחלק הכ"ט על הז' יצא בחלוק ד' ובשביל שנשאר א' בלא נוסי' על הד' א' ויהיה ה' והוא ה' ונחסר הא' מז' ישארו ו' והם ו' חלקים מכ"ט בחמישית נוסף שהעלה חמישי' שיש בידינו
  • If the remainder is greater than 1: \scriptstyle a\div\left[\left(a\sdot b\right)+c\right]=\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}\sdot\frac{a-c}{\left(a\sdot b\right)+c}\right)
 ואם תרצה שיצאו לך חלקים יותר
Example: {\color{blue}{\scriptstyle6\div29}}
 חלק הכ"ט על הו‫'
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6\div29&\scriptstyle=\frac{1}{\left[\left(29-5\right)\div6\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(29-5\right)\div6\right]+1}\sdot\frac{6-5}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{1}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{29}\right)\\\end{align}}}
 יצא בחלוק ד' וישארו ה' נוסי' א' על הד' ויהיו ה' ונחסר הה' אל הו' כאמור וישאר א' והעולה הוא ה' א' וחמישית ה' א' וחלק מכ"ט מחמישית חמישית אחד וזו צורתם
\scriptstyle\frac{ \;1\;1\;1}{29\;5\;5}
Check: conversion of fractions \scriptstyle\frac{a}{b}+\left(\frac{1}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{\left(a\times d\right)+c}{b\sdot d} והמופת שנעשם פריטה
{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)=\frac{\left(1\times 29\right)+6}{5}\div29=\frac{7}{29}}}
 שתכה הא' בה' ותשא מה שעל ראש' ותכה הכל עם הכ"ט ותשא מה שעל ראשם ותחלק הכל לכל המורים זולת הכ"ט ויצא לך מספ' הז' שלם בלי תוספת ומגרעת
ואם לא יהיה במורים המספר אשר תרצה לחלק עליו המספר האחד
the last sentence is unclear
 כגון אם רצית לחלק ו' לכ"ז שיבא לו חמישי' אח' בכ"ז ותחלקהו על כל המורי' זולתו ויצא לך בשוה המספר

Division of Fractions [= Converting Fractions]

 מין החלוק מן השברים
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\longrightarrow\frac{2}{5}}}
 רצית לחלק ג' רביעיות על שני חמישיות
\scriptstyle\frac{2}{5}\;\frac{3}{4}
  • \scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{c}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\sdot\frac{a\sdot d}{b\sdot c}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{3\sdot5}{4\sdot2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{15}{8}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\left(1+\frac{7}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\frac{7}{4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\frac{7}{20}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}
 הכה הב' עם הד' יהיו ח' אח"כ הכה הג' עם הה' יהיו ט"ו חלק הט"ו על הח' יצא א' שלם הרי יצא לנו שני חמישיות ונשארו ז' יחסם על הכ' שהו' הכאת האיכות עם האיכות יעלה ז' מכ' אח"כ חלקם על החומש ויצא חומש אח' וג' רביעיות חומש חברהו עם הב' חמישיות והיוצא הוא המבוקש והוא ג' חמישיות וג' רביעיות החומש האח‫'
  • \scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{1}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot d}{b\sdot d}}{d}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{\left(3\sdot5\right)\sdot5}{4\sdot5}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{15\sdot5}{20}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{75}{20}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}
 דרך אחר נכה הג' עם הה' כמות המחלק עם איכות המחלק יעלה ט"ו והכה הט"ו עם איכות המחלק שהוא הה' יעלה ע"ה וזהו המחולק אח"כ נכה האיכיות והם כ' נחלק עליהם הע"ה יצאו ג' וג' רביעיות ולהיות שהמחולק הוא חמישיות ידענו שהג' וג' רביעיות חמשיות וג' רביעיות החומש
  • \scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{1}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{\frac{a\sdot d}{b}}{d}
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{3\sdot5}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{15}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}
 דרך אחר נכה כמות המחולק עם איכות המחלק יהיו ט"ו נחלקם על איכות המחולק יצאו ג' וג' רביעיות ולהיות שהמחול' הוא חמישי' ידענו שהג' וג' רביעיות הם ג' חמשיות וג' רביעיות החומש

Methods of checking

 מאזנים
  • \scriptstyle\left(a\div b\right)\times b=a
 תכה החלק עם המחלק אם הוא שוה למחולק צדקת
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}=\frac{3}{4}}}
 במשלינו זה הכינו הג' וג' רביעיו' עם החמישי' ועלה ג' רביעיות והוא הוא בעצמו המחולק
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}}}
 או נכה א' וז' שמיניות עם ב' חמישיות ויעלה בעצמו הג' רביעיות
\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}}} וזה שא' וז' שמיניות כשיוחס אל הב' חמישיות שהם א' וז' שמיניות כמותם ר"ל הא' הוא ב' חמישיות וז' שמיניו' הם ז' שמיניות של ב' חמישיו' שהוא חומש א' וג' רביעיו' החומש עם הב' חומשים שבידינו הם ג' רביעיות וג' רביעיו' החומש וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו' וזה מבואר בעין השכל והבן
  • \scriptstyle a:x=\frac{c}{d}\longleftrightarrow x:b=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)
 מאזנים אחרים שתמצא המספ' המתיחס כמות המחלק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמו' החלק אל איכותו דע שצדקת
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}\longrightarrow 3:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}\longleftrightarrow \left(7+\frac{1}{2}\right):4=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)}}
 במשלינו זה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמשיות ויצא א' וז' שמיניות שהם ט"ו שמיניות בקשנו מספר שתיחס כמות המחולק שהוא הג' אליו יחס כמות המחלק אל איכותו שהוא הב' אל הה' ומצאנו שהוא ז' וחצי והנה יחס הז' וחצי אל הד' שהוא איכות המחולק כיחס כמות החלק שהוא הט"ו אל איכותו שהוא ח' וזה מבואר בעין השכל
וג"כ אם תרצה לעשותו בזה הדרך בג' וג' רביעיות ותבקש ביחס החמישית לבד גם עשה תעשה ויכול תוכל כי הכל דבר א' כמו שביארנו וגלינו
ואם תרצה לעשות המאזנים בהפך והוא שתראה המסופר שיהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס כמות המחלק אל איכותו
  • \scriptstyle a:x=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)\longleftrightarrow x:b=\frac{c}{d}
 ואם המספר ההוא מתחלק אל איכות המחולק כיחס כמות המחלק אל איכותו ידענו שצדקנו
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}\longrightarrow 3:\left(1+\frac{3}{5}\right)=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)\longleftrightarrow \left(1+\frac{3}{5}\right):4=\frac{2}{5}}}
 במשלינו זה בקשנו מספר שיהיה יחס כמות מחולק אליו שהוא ג' כיחס כמות החלק אל איכותו שהוא הט"ו עם הח' ומצאנו שהוא א' וג' חמישיות שהם ח' שמיניות ויחסם אל הד' הוא כיחס הב' אל הה' שהוא כמות המחלק אל אכותו והבן זה מאד כי הובן בתכלית

Combined Division
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}+\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2\right)}{\left(b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}}}
ואולם אם רצית לחלק קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיו' על קבוץ שני שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחל' הנה יסודרו על זה הדרך
\scriptstyle\frac{1}{6}\;\frac{2}{7} \scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{2}{3}
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot7\sdot1=84}}
 ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם כמו' הד' והם פ"ד
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot6=144}}
 גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעול' עם כמות הג' והעול' עם איכות הד' והם קמ"ד ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{84+144=228}}
 נחברם אל הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot7\sdot6=336}}
 אח"ז נכה איכות הד' עם איכות הג' והעולה עם אכות הב' והעולה עם כמות הראשון והם של"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot6=378}}
 גם נכה איכות הרביעי עם איכות הג' והעולה עם כמות הב' והעולה עם איכות הראשו' והם שע"ח
  • \scriptstyle{\color{blue}{336+378=714}}
 חברם אל השל"ו הם תשי"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)=\frac{714}{228}}}
 נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיו' וג' רביעיו' על הב' שביעיות וששית
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}
ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ
  • \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}
 נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' ועם איכות הג' ועם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}
 אח"ז נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' והם צ"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}
 גם נכה כמות השבר הד' עם איכות הג' וכמות הב' ואיכות הראשו' והם ס"ג
  • \scriptstyle{\color{blue}{63+96=159}}
 נחברם אל הצ"ו והם קנ"ט
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{159}{56}=2+\frac{47}{56}}}
 נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' שלמים ומ"ה חלקים מנ"ו והוא המבוקש מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיו' ומחלוק הב' שביעיו' על הו‫'
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2}{b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot c_2}}}
ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעי' על העולה מהכאת הב' שביעיו' עם הששי' מבלתי שתצטר' להכות תחלה ואח"כ לחלק
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7\sdot6=252}}
 נכה כמות הראשו' עם הב' והעול' עם איכות הג' ואיכות הד' והם רנ"ב ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot1=24}}
 אח"ז נכה כמות השבר הד' עם כמו' השבר הג' והעולה עם איכות הראשו' והב' והם כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)=\frac{252}{24}}}
 תחלק עליהם הרל"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעיו' על העולה מהכאת הב' שביעי' על הו‫'
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}
ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעית על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות
  • \scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}
 נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' והם נ"ו ונשמרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot2\sdot6=108}}
 אח"ז נכה האכות הראשון עם כמות הב' ועם כמות הג' ועם איכות הד' והם ק"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{108}{56}}}
 נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הששית
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left(b_2\sdot d_2\right)}{\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]\times\left(b_1\sdot d_1\right)}}}
ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחצור הב' שלישיות מג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot3\right)-\left(4\sdot2\right)\right]\times\left(7\sdot6\right)=42}}
 נכה כמות הראשון עם איכות הב' והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות הג' ואיכות הד' והם מ"ב
  • \scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot6\right)-\left(7\sdot1\right)\right]\times\left(4\sdot3\right)=60}}
 אח"ז נכה כמות הד' עם איכות הג' והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות הג' עם איכות הד' והנשאר נכהו עם איכות הב' ועם איכות הראשון והם ס'
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)=\frac{42}{60}}}
 נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיו' מהג' רביעיות על הנשאר מחיסור הו' מהב' שביעיות
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)-\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)-\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}
ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' מהיוצא מחילוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם
  • \scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1\sdot4\sdot2=56}}
 נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמו' הד' והם נ"ו וזהו השמור הראשון
  • \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}
 אח"כ נכה איכות הראשון עם הב' והעולה עם איכות הג' ועם איכות הד' והם ס"ג ונשמרם וזהו השמור הב'
  • \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}
 אח"ז נכה איכות הד' עם כמות הג' ועם איכות הב' ועם כמות הראשו' והם צ"ו
  • \scriptstyle{\color{blue}{96-63=33}}
 נחסר מהם הס"ג שהוא השמור הב' והנשאר שהוא הל"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)=\frac{33}{56}}}
 ניחסם אל השמור הראשון שהוא הנ"ו וההווה הוא ההוה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית וש'מ'ל‫'

Roots

The Roots of Integers

 גדר השלמים
Description of the extraction procedure:
We arrange the required number in a line each [digit] according to its rank. נסדר המספר הדרוש בטור אח' כל אח' לפי מדרגתו
If the number of ranks is odd, we start from the last rank. ואם המספר המדרגות נפרדות נתחיל מהמדרגה האחרונה
If its is even, we start from the rank that precedes the last rank, while considering the last rank as tens and the one that precedes it as units. ואם זוג נתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה בעוד המדרגה האחרונה שתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים
We seek for the closest root and write it beneath the required rank, i.e. the last or the one that precedes it; it is called the first root.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a^2+r}\approx a}}
 ונבקש שרש הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הא‫'
Then, we seek for a number, such that twice its product by the first root plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes the rank of the first root and from the one that precedes it; it is called the second root.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{100a^2+20ab+b^2}=\sqrt{\left(10a+b\right)^2}=10a+b}}
 אח"ז נבק' מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השורש הראשון פעמים ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש הב‫'
We write it in the rank that precedes the [rank] of the first root. ונכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון
We further seek for a number, such that twice its product by the first and the second roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of] the second root and from the two that precede it; it is called the third root. עוד אח"ז נבקש מספר שיספיק העולה מהעולה מהכאתו עם השרש הא' והב' פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש הב' ומהשתים הקודמת לה ויקרא השרש הג‫'
We write it in the rank that precedes the [rank] of the second root. כתבנהו במדרגה הקודמת לשרש הב‫'
We seek again for a number, such that twice its product by the first, the second, and the third roots plus once by itself is enough to be subtracted from the rank that precedes [the rank of the third root] and from the three that precede it; it is called the fourth root. עוד אח"ז תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' והב' והג' פעמים ועם עצמו פעם שיחוסר מהמדרגה הקודמת ומהג' הקודמת לה ויקרא שרש ד‫'
We write it in the rank that precedes the [rank] of the third root. וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשרש הג‫'
And so on always until the subtracted rank is the first rank. וכן תמיד עד אשר תגיע שיהיה המדרג' הנחסרת המדרגה הראשונה
The numbers that are written beneath the ranks are themselves the root. והמספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמם
But, if there is a remainder from the required number that cannot be divided, know that the required number does not have a root. ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר

Approximating the root of a non-square number
The way of knowing the approximate root is that you add to the required number whatever even number of zeros you wish, then apply this same procedure itself, until you come to subtract from the first rank, as I write: והדרך בידיעת שרש הקרו' הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג תפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעצמו עד שתגיע לחסר מהמדרג' הראשונה כזה שאני כותב
Exammple: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{356870000}}}
the solving procedure is not given, but it seems that it is based on the following calculations:
\scriptstyle{\color{blue}{1^2\longrightarrow3-1^2=3-1=2}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(20\sdot8\right)+8^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle25-\left(2\sdot8\right)=25-16=9\\\scriptstyle96-8^2=96-64=32\\\end{cases}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot18\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(360\sdot8\right)+8^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle32-\left(3\sdot8\right)=32-24=8\\\scriptstyle88-\left(6\sdot8\right)=88-48=40\\\scriptstyle407-8^2=343\\\end{cases}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot188\right)\right]+9\right]\sdot9=\left(3760\sdot9\right)+9^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle34-\left(3\sdot9\right)=34-27=7\\\scriptstyle73-\left(7\sdot9\right)=73-63=10\\\scriptstyle100-\left(6\sdot9\right)=100-54=46\\\scriptstyle460-9^2=379\\\end{cases}}}
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1889\right)\right]+1\right]\sdot1=\left(37780\sdot1\right)+1^2\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle3-\left(3\sdot1\right)=0\\\scriptstyle7-\left(7\sdot1\right)=0\\\scriptstyle9-\left(7\sdot1\right)=9-7=2\\\scriptstyle20-\left(8\sdot1\right)=20-8=12\\\scriptstyle20-1^2=19\\\end{cases}}}
Hence the root is 18891 and the remainder is 119
 
 
 
0
2
3		 0
9
04
38
92
56		 00
17
74
40
03
87		  
 
21
92
69
00		  
 
 
1
29
00
1 8 8 9 1
Then, multiply the result by sixty and again by sixty, until the number of zeros at the beginning of the product is half the number of the zeros that were added, and the denominator of the result is the number of times that it is multiplied by 60.
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}=\frac{\sqrt{60^{2n}\sdot a}}{60^n}}}
 אח"ז תכה היוצא בששים והעולה בששים עד שיהיו תפארש שבראש טור העולה בהכאת כמות חצי התפראש הנוספות והעולה יהיה איכותו במספר הפעמים שהוכה בס‫'
\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes ר"ל אם הוכה פעם אחת הם ראשונים
\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds ואם ב' פעמים הם שניים
\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds ואם ג' פעמים הם שלישים
\scriptstyle\frac{a}{60^4}=fourths ואם ארבעה הם רביעים
Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60: אח"ז השלך מהמספר העולה מהמספר הכאת הספראש והנשאר תחלקהו על ששים והיוצא יעלה מדרגה א‫'
\scriptstyle\frac{60^4a_1+60^3a_2+60^2a_3+60a_4+a_5}{60^4}=\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4} ר"ל שאם היו רביעיי' היוצא היה שלישים והנשארים בלתי נחלקם הם רביעיים ושמרם
\scriptstyle\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4} עוד חלק היוצא מהחלוק שהם שלישים על ס' והיוצאים בחילוק הם שניים והנשארים בלתי נחלקים הם שלישיים ושמרם
\scriptstyle\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4} עוד חלק היוצאים בחלוק שהם ב' על ס' והיוצא בחלוק הם ראשונים הנשארים בלתי נחלקי' הם שניים ושמרם
\scriptstyle\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=a_1+\frac{a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4} אח"ז חלק הראשונים על ס' והיוצא הם מעלות ר"ל שלמים והנשארים הם ראשונים וככה הוא היוצא מהמעלות והראשונים והשניים והשלישים והרביעיים

The Roots of Fractions

 שרש השברים
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{a}{b}}}
 אם היה כמותם ואכותם נגדר תקח גדר כמותם ותיחסהו לגדר אכותם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{2^2}{3^2}}=\frac{\sqrt{2^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{2}{3}}}
 כגון ד' תשעיות גדר הד' שנים וגדר הט' ג' א"כ גדר הד' תשעיות הם שני שלישיות
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2}{b}}=\sqrt{\frac{a^2\sdot b}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2\sdot b}}{\sqrt{b^2}}}}
 ואם אכותם וכמותם בלתי נגדר או איכותם לבד תכה האיכות בעצמו ותכה הכמות עם האיכות ותיחסהו לההכאה הראשונה ותעשה זה הדרך בעצמו שתקח גדר הכמות ר"ל שהוא הכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות הכאת האיכות עם האיכות אם יש לו גדר שלם או על דרך קרוב אם אין לו גדר שלם ותיחסהו לגדר העולה מהכאת האיכות עם האיכות וזהו השרש הקרוב
  • \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\frac{a^2+r}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+r}}{\sqrt{b^2}}\approx\frac{a}{b}}}
 ואם כמותם לבד בלתי נגדר ואיכותם הוא המספר הנגדר קח שרש הקרוב לכמות ותיחסהו אל האיכות
Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction ואם היה שלמים ושברים תתיך השלמים עד שיהו שברים ותיחסם אל האיכות על דרך בעינו שהקדמנו

Cubic Roots

Cubic Roots of Integers

 מעוקב השלמים
Description of the extraction procedure: תסדר הטור הדרוש כל אח' כפי מדרגתו
Marking every three ranks with a dividing line
 ובסוף כל ג' אותיות תשים קו
The procedure starts from the leftmost dividing line:
 ותתחיל מהקו האחרון
  • Finding the highest digit of the root - based on the rule: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a^3+r}\approx a}}
 ונכתוב שם מספר שיוכה בדרך עקוב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הקודמו' ויקרא היסוד הראשון
  • Finding the second highest digit of the root - based on the rule: \scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{\left(10a\right)^3+3\sdot\left[\left(10a\right)^2\sdot b\right]+3\sdot\left(10a\sdot b^2\right)+b^3}=\sqrt[3]{\left(10a+b\right)^3}=10a+b}}
 אח"ז תכתוב במקום הקו הקודמת יסוד ב' ושיוכה עם העולה מהכאת הראשון בג' והעול' עם היסוד הראשון והב' יחד והעולה שיחוסר מהמספר שני לו עם עזר הנמשכים לו גם תכה היסוד הב' באופ' מעוקב והעולה תחסרהו מהמספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
  • Finding the third highest digit of the root - based on the previous rule
 אח"ז נכתו' במקום הקו הקודמת יסו' ג' שיוכה עם העולה מהכאת הראשון והב' יחד עם מספר הג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' ויחוס' מהמרב' הב' עם עזר המדרגות הנמשכים לו גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרהו מן המספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
  • So on
 וכן תמיד בסדר הזה

Approximating the root of a non-cubic number
  • First method
  • Adding triplets of zeros to the right of the number
 וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש ותרצה לדעת עוד יסודו הקרוב נוסיף על המדרגו' המונחות מצד האחדים ג' סיפראש או ששה או ט' או מה שתרצה לבד שתוסיפהו ג'ג‫'
  • Applying the above procedure
 ואח"ז נעשה מה שקד' מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע למדרגה הראשונה מהסיפראש
  • Erasing from the result one third of the number of zeros added in the first step
 אח"ז נקח כל היסודות ונסדרם בטור אח' על סדר המדרגות ונשליך מהם במספר שליש הסיפראש
  • Converting the result to sexagesimal fractions:
Considering the result as degrees
 ונקח היסודות האחדות והם מעלות
Multiplying the remainder by 60 and erasing three zeros from the product - the remainder are minutes
 אח"ז נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר ג' הסיפראס ונקח הנשארים והם ראשונים
So on until all the zeros added in the first step are erased
 וכן נעשה תמיד עד שיכלה הסיפראש
Summing up all the resulted sexagesimal fractions as the approximate cubic root
 ואז נחבר הכל יהיה הוא היסוד הקרוב
  • Second method
 דרך אחר למספר שאין בו יסוד מעוקב
  • Adding triplets of zeros to the right of the number
 שתוסיף סיפראש כמה שתרצה ובלבד שיהיו נוספים בתוספת ג'ג‫'
  • Applying the above procedure
 ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו עד שנגיע לסיפרא הראשונה
  • Converting the result to sexagesimal fractions: if 3n is the number of zeros added to the right of the given number, 60n should be placed as the denominator of the result in the first step of the procedure
 אח"ז נקח כל היסודות המסודרות תחת מספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינ' הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאות בכמות שליש הסיפראש
  • Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60
 אח"ז נשליך הסיפראש ונחלק הנשאר על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים
\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes
 ר"ל שאם הוכו פעם אחת לבד יהיו ראשונים
\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds
 ואם ב' שניים
\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds
 ואם ג' שלישיים
והיוצא הוא ממין הקודם למין ז' המחולקים ר"ל שאם היו ראשונים היוצא מהחלוקה מעלות ואם היו שניים היוצא מהחלוקה ראשונים וכן תמיד

Cubic Roots of Fractions

 יסוד השברים המעוקבים
  • \scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{b^3}}=\frac{a}{b}
 אם הכמות והאיכות מעוקב תקח מעוקב הכמות ותיחסהו אל מעוקב האיכות
  • \scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\sqrt[3]{\frac{a^3\sdot b^2}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3\sdot b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}
 ואם אינם מעוקבים או האיכות לבד בלתי מעוקב נכה האיכות בדרך עקוב ונכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אח"ז ניחס יסוד השמור הב' שהוא הכאת הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אל השמור הראשון שהוא העולה מהכאת האיכות בדרך עקוב
  • \scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{b^3}}\approx\frac{a}{b}
 ואם איכותם נעקב נבקש יסוד הכמות הקרוב והיוצא ניחסהו אל מעוקב האיכות
Example: \scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{3^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{3^3}}\approx\frac{1}{3}a
 ר"ל שאם היה מעוקבו ג' היה היחס הוא השליש וכן תמי‫'
Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction ואולם בשלמים ושברים יחד נתיך השלמים לשברים ונעשה הדרך הקודם בעינו

Divisibility of a Number

3; 6; 9
To know if a certain number has a third, a sixth, or a ninth without fractions [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]: לידע אם יש שלישי' או ששי' או ט' מספר מה מבלי שברים
First, you should know if it has a ninth, and this is known by summing the numerals of the number as if they were units. תדע ראשונה אם יש לו תשיעי' וזה יודע כשתחבר רשמי מספר החשבון כאלו הם אחדים
If it is cast out by nines, it is known that is has a ninth, as well as a third [= divisible by 9 and 3]. ואם יושלך לט"ט בידוע שיש לו תשיעיות וג"כ שלישי‫'
Also a sixth, if the number is even [= divisible by 6], but not if it is odd. וג"כ ששית אם המספר זוג ואם נפרד לאו
If 6 or 3 remain, it has a third [= divisible by 3], and, if it is an even number, a sixth also [= divisible by 6], but not a ninth [= not divisible by 9]. ואם ישארו ו' או ג' יהיה לו שלישי' וג"כ ששית אם הוא זוג אבל לא תשיעית

2; 4; 8
If you wish to know if it has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]: ואם תרצה לידע אם יש לו מחצית או ד' או שמינית
If the number is odd, it does not have any of them [= not divisible by 2, 4, or 8]. אם חשבון נפרד אין לו שום אחד מהם
If it is even, it has a half [= divisible by 2]. ואם זוג בידוע שיש לו חצי
To know if [it also has] a quarter and an eighth: ולידע אם לא ג"כ רביעית ושמיני‫'
Take the number that is in the first rank to the right [= units] as it is.
 קח המספר אשר במעלה הראשונה לצד ימין כמו שהיא
Double the one that is in the second [rank] [= tens], but if there is no number there, do not take any thing.
 ואשר בשנייה כפול ואם אין שם מספר לא תקח כלום
If the one that is in the third [rank] [= hundreds] is an odd number, multiply it by 4, if it is an even number or a zero, do not take any thing.
 ואשר בשלישית אם הוא נפרד כפלהו בד' ואם הוא זוג או סיפרא לא תקח כלום
From the [fourth] rank onward leave [the digits] and do not take any thing. Sum up all that you have gathered up to the third rank according to this procedure.
 וכן מהמעלה הג' ולמעלה תניח אותו לא תקח כלום וקבץ כל מה שקבצת עד המעלה הג' עד"ז
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a+10b+\left[\left(2c-1\right)\sdot100\right]\longrightarrow 2a+2b+4\sdot\left(2c-1\right)}}
\scriptstyle{\color{OliveGreen}{2a+10b+\left(2c\sdot100\right)\longrightarrow2a+2b}}
If it is cast out by eights it has an eighth [= divisible by 8], the more so a quarter [= divisible by 4]. אם יושלך באלו לח' יש לו שמינית וכ"ש רביעי‫'
If 4 remains, it has a quarter [= divisible by 4] alone. ואם ישארו ד' יש לו ד' לבד
If another number remains, it does not have even a quarter [= not divisible by 4]. ואם נותר מספר אחר אין לו אפי' רביעית

7
If you wish to know if it has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number] ואם תרצה לידע אם יש לו שביעי‫'
If has a few methods: יש בזה דרכים
  • The first is that you set these numerals 1, 3, 2, 6, 4, 5 by the order of the ranks, then multiply each of these numerals by its corresponding rank, consider all as units, and cast out the sevens. If it is cast out by sevens it has a seventh [= divisible by 7], otherwise it has none.
 הראשון שתניח אלו האותיות א'ג'ב'ו'ד'ה' על סדר המדרגות חלילה ותכה כל א' מאלו האותיות במדרגה שכנגדה וחשב כל האחדים והשלך השביעיות ואם יושלך לז' יש לו שביעית ואם לאו לאו
  • The second is that you multiply the leftmost digit by 3, add [the product] to what you find in the rank that precedes it and cast out the sevens, then multiply the remainder from casting out the sevens by 3, add [the product] to what you find preceding it, and so on repeatedly, up to the first rank. If it is cast out by sevens, it has a seventh [= divisible by 7].
 הב' שתכה הרושם האחרון שלצד שמאל בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו ותשליכה לז' והנשאר תחברהו לאשר לפניו ותכה הנשאר מהשלכת השביעיו' בג' וחברהו לאשר תמצא לפניו וכן תמיד עד המדרגה הראשונה ואם יושלך ז'ז' יש לו שביעית
If you do not find there any number but a zero, for every zero, multiply the remainder by 3, until all the zeros end and so on [the procedure continues as described].
 ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרא תכה הנשאר בג' וכן בכל ספרא וספרא תכה הנשאר בג' עד שיכלו כל סיפראים וכן תמיד

11
To know if it has an eleventh, i.e. if it is cast out by elevens [= if 11 is a divisor of a given number]: ולידע אם לו י"א ר"ל אם יושלך לי"א
Subtract the leftmost [numeral] from the one that precedes it, then the remainder from the one that precedes the preceding and so on repeatedly. תחסר האחרון שלצד שמאל מאשר לפניו והנשאר מאשר לפני פניו וכן תמיד
If all is cast out, it has an eleventh [= divisible by 11], otherwise it has none. ואם יושלך הכל יש לו י"א ואם לאו לאו
If you do not find there a number, or if the digit is smaller than [the subtrahend], so that you cannot subtract from it, add 11 to it, then subtract from the total and so on [the procedure continues as described]. ואם לא תמצא שם מספר או מספר קטן ממנו שלא תוכל לחס' ממנו והנשאר תוסיף עליו הי"א ותחסר מהכל זה המספר וכן תמיד

13
If it has a thirteenth [= if 13 is a divisor of a given number] אם יש לו י"ג
Multiply the last numeral by 3, cast out the thirteens, subtract the remainder from what you find in the preceding rank, then multiply the remainder by 3 again, cast out the thirteens, subtract the remainder from what precedes it, and so on until their end. תכה הרושם האחרון בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר לפניו וכן תמיד עד תכליתם
If all is gone, it is cast out by thirteens [= divisible by 13]. ואם יצא הכל יושלך לי"ג
If there is not enough in a certain rank, so that you do not find there enough to subtract as I have instructed you, add 13, then subtract from the sum what you should subtract, multiply the remainder by 3, cast it out by thirteens [the procedure continues as described] and if it is cast out, it has a thirteenth, otherwise it has none. ואם יחסר בשום מעלה שלא תמצא שם די להוציא אשר צויתיך הוסיף י"ג והוציא מהנתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוציאוהו י"ג י"ג ואם יצא יש לו י"ג ואם לאו לאו

General technique

 דרך כולל כל
Adding the leftmost digit to the second leftmost digit and casting out the [potential divisor] in question from the sum, then adding the remainder to the digit in the preceding rank as tens and casting out the [potential divisor] again from the sum, and so on שתחבר המספר האחרון עם אשר לפניו בשתחברהו לעשרות והב' לאחדים ותשליכהו למספר אשר תרצה להשליכו והנשאר חשבהו לעשרות וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו והוציאהו למספר אשר תרצה להוציא וכן תמיד על הסדר הזה

Square Numbers

 כשתרצה לידע מרובע שום מספר ע"ד הקל
  • \scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2
 קח שלישיתו והכהו בעצמו והעלהו למדרגה הקרובה אם היא אחדים המדרגה הקרובה היא העשרות ואם היא עשרות המדרגה הקרובה היא המאות וחסר מהם הכאת השליש ומה שישאר הוא המרובע שרצית לידע
Example:
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot3^2\right)-3^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot9\right)-9=90-9=81\\\end{align}}}
 המשל אם תרצה לידע כמה הוא מרובע הט' קח שלישיתו והוא הג' והכה אותו בעצמו ויעלה ט' עלהו למדרגה הקרובה והיא תשעים חסר מהם הכאת השליש והוא ט' ישאר א' ושמונים והוא מרובע הט‫'
  • \scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a
 ואם יהיה חסר אחד לשליש שאין לו שליש הוסף א‫'
Example:
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle8^2&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-8-9\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]-17\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]-17\\&\scriptstyle=\left(90-9\right)-17=81-17=64\\\end{align}}}
 המשל אם תרצה לידע מרובע הח' וכשתרצה לקחת השליש אין לו שליש הוסף אח' ויהיו ט' ושלישים הוא ג' הכם בעצמם כמו שאמרנו בזה המשל הקודם והעלהו למדרגה הקרובה ויהיה תשעים חסר מהם מרובע הג' ישאר פ"א ובשביל הא' שהוספת חסר הח' והט' שהוא י"ז מהפ"א ישארו ס"ד וככה מרובע השמונה
  • \scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a
 ואם היה בתוספת רצוני שאין לו שליש אלא שישאר תוספת
Example:
{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]+7+6\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot2^2\right)-2^2\right]+13=36+13=49\\\end{align}}}
 כגון רצית לידע מרובע ז' וכשתרצה לקחת שלישיתו תעש' ע"ז הדרך שתחסר א' וישארו ששה שלישית הוא שניים עשה הדרך בעצמו שאמרנו ויעלה ל"ו אח"כ בשביל הא' שחסרת הוסיף הז' והששה הם י"ג עם ל"ו יעלה מ"ט וככה מרובע הז‫'

Completion
Numerical operation called jaber in Arabic מין מספר הנקרא בערבי ג'בר
Its Hebrew technical term is unknown ולא ידעתי לו שם בלשוננו
In foreign language reducir ובלע"ז רידוזיר
  • Finding the complement number by which a given number should be multiplied so that the product will be a required number
\scriptstyle a\sdot x=b
 וענינו שאם יש לך שום מספ' ורצית לומ' באיזה מספר נכה זה השבר או אלו השברים עד שיעלה זה השבר או אלו השברים
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\sdot x=1+\frac{4}{5}}}
 במשל ב' רביעיות באיזה מספר נכו אותם עד שישובו א' וד' חמישיו‫'
  • The procedure: dividing the required number by the given number \scriptstyle x=b\div a
 והדרך בזה שתחלק זה המספר על השבר המיוחד
  • The complement is called [in Arabic] al-majbur
 ומה שיעלה כמו שמבואר בחלוק השלמים ושברים על שברים הוא אלמגבור

Conversion
The opposite numerical operation called bāb al-ḥaṭ in Arabic ויש מין אחר הפכי לזה והוא הנקרא באב אלחט
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{5}\right)\sdot x=\frac{2}{4}}}
 והוא א' וארבע' חמישיות באיזה מספר נכה אותם עד שישובו ב' רביעיות שהוא חסרון בערך הראשון
  • The procedure: dividing the given number by the resulting number
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{4}\div\left(1+\frac{4}{5}\right)}}
 ותעשה ההפך שתחלק הב' רביעיו' על א' וד' חמישיות
Indication that the treatise relies on another work: "although the author wrote two chapters concerning these two [issues], it seems that they can be deduced in one chapter" ואעפ"י שהמחבר חברם בב' שערים נ"ל שהם מכללו בשער אח' והבן

Geometric Shapes

Square
Example: finding the area or the diagonal of a square both sides of which are 10
 אם מרובע נכון שיש בצלעיו עשר על עשר ד"מ ורצית לידע שטחו או אלכסונו
  • The area of a square = the product of its two sides
\scriptstyle S_{square}=side\times side
 תעשה בזה הדרך: תכה הצלע עם חבירו כאח' וזהו שטחו
  • The diagonal of a square: \scriptstyle d_{square}=\sqrt{side^2+side^2}
 ותכה הב' צלעות כל אחת בפני עצמו וגדר של מקובצם הוא האלכסון
  • The side of a square, when its area is given: \scriptstyle side_{square}=\sqrt{S}
 ואם ידעת השטח גדרו והוא הצלע
  • The side of a square, when its diagonal is given: \scriptstyle side_{square}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot d^2}
 ואם ידעת האלכסון גדר חצי הכאתו הוא הצלע

Rectangle
Example: finding the area of a rectangle of 10 in length and 5 in width
 אבל במרובע ארוך שיש לצלעיו י' באורך וה' ברוחב עד"מ
  • The area of a rectangle = the product of its two sides
\scriptstyle S_{rectangle}=side_1\times side_2
 בידיעת ב' צלעיו תכה זה עם זה כאחת זהו שטחו
  • The side of a rectangle, when the area and one of the sides are given: \scriptstyle side_1=S_{rectangle}\div side_2
 ובידיעת שטחו וצלע א' תחלק השטח על הצלע הידוע ויצא הצלע הנעלם
  • The diagonal of a rectangle: \scriptstyle d_{rectangle}=\sqrt{side_1^2+side_2^2}
 ובידיעת ב' צלעיו ותכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו וגדר מקובצם הוא האלכסון
  • The side of a rectangle, when the diagonal and one of the sides are given:\scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}
 ובידיע' האלכסון וצלע א' תוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר

Triangle

 בשבירת המשולש
Relying on Euclid יש דרכים רבים אבל מה שנ"ר יותר כולל הוא מה שנתבא' בכח דברי אקדידס החכם מתוך הקדמה אח' ובקיום זאת ההקדמה נוליד המבוקש בע"ה
  • The square of the diagonal of a given rectangle is equal to sum of the squares of both its sides \scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^2+side_2^2
 וזה ששם נתבאר שקוטר המרובע ר"ל אלכסונו הוא כפל מרובע ב' הצלעים כשיוכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו הוא שוה להכאת האלכסון בעצמו
Example: finding the area of an equilateral triangle whose sides are equal to 10
 ובזה ההקדמה יתבאר לך כשיש משולש בצורה הזאת
Mispar - triangle.png
קצת מענייני חכמת המספר - משולש.png
ונסכים שהוא שוה הג' הצלעות ושיש בכל צלע עשר
Finding the area by dividing the triangle into two identical triangles הנה ידיעת שבריו הוא שתחלקהו במחשבתך לב' משולשים שוים וזה שתרשום בזוית א' קו ישר ובהכרח יחלוק הקו ר"ל קו ג"ב לשני חצאין ובזה הרי ידענו שצלע אחד יש בו ה' והאלכסון עשר כפי מה שהונח
  • \scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}
 ובהוצאת הצלע האח' יתחייב כפי ההקדמ' שהנחנו שתוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
  • \scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^side_2^2
 ואיכות החיוב מבואר כיון שהאלכסון בהכאתו שוה להכאת שני צלעיו כל אח' בפני עצמו א"כ יתחייב בהכרח כשתוציא הכאת הצלע האח' מהאלכסון שגדר הנשאר הוא האלכסו‫'
\scriptstyle{\color{blue}{side=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}
 ועשינו כן שהכינו הה' והיה כ"ה והכינו הי' והיה ק' חסרנו הכ"ה מהק' ונשארו ע"ה וגדרם הוא הצלע האחר בקשנו גדרם ע"ד הקירוב כמו שהודעתיך בשער הקידום הדרך היותו נקל כזו והיותר מדוייק ומצאנו ששרשם הוא הוא ח' וב' רביעיות וג' רביעיות רביעית
\scriptstyle{\color{blue}{S_{triangle}=5\sdot\left[8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=43+\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}
 הכינום עם ה' שהוא הצלע הא' ויצא מ"ג שלמים ורביעי' וג' רביעיות רביעית והוא שטח המשולש
לפי שהאלכסון חולק המרובע לב' חצאים וחצי זהו חצי המשולש וחציו האחר הוא חצי המשולש ר"ל החלקים מהמשולש אשר חלקנו צלעו בזוית אח' ודי למבין

Euclidean Propositions

Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version]
Propositions that are of great need for arithmetic from the words of Euclid the wise in Book II and they are 9 propositions הקדמות צריכין צורך גדול למספר מדברי אקלידס החכם במא' הב' והם ט' הקדמות
1) Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number.
\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2
 אחת כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אח' מהחלקי' בכל המספר השוה למרובע הכל
Proof: the whole contains nothing but its parts and the product of the whole by the whole is equal to the product of the whole by each of its parts
 המופת שאין בכלל זולת חלקיו והכאת הכלל בכלל הוא כהכאת הכלל בכל חלקיו וזה מבואר
2) Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number.
\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b= \left(a\sdot b\right)+b^2
 ב כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד מב' חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם האחר ולמרובע החלק אשר בו הכית כל המספר
Proof: the whole, when you multiply it by whichever of its parts it is as if you multiply this same part by itself and by the other part, since the whole consists of both of them.
\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+\left(b\sdot b\right)
 ‫[3]מופתו כי הכלל כשהכית אותו עם איזה חלק הוא כאלו הכית אותו החלק בעצמו ועם החלק האחר כיון שזה הכלל מורכב מהם
  • Example: the number 10 is divided into two parts - 7 and 3.
 כמשל מספר הי' נחלק לב' חלקים לז' ולג‫'
The product of 10 by 7 is as if you multiply 7 by itself and by 3; since 7 and 3 are the parts of 10 and the whole contains nothing but its parts.
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot7=\left(7+3\right)\sdot7=7^2+\left(3\sdot7\right)}}
 הנה הכאת הי' בז' כאלו הכית הז' בעצמו ועם הכת הג' אחר שהז' והג' הם חלקי' הי' ואין בכלל זולת חלקיו
Likewise, when you multiply 10 by 3 it is as if you multiply 3 by 7 and by itself; since they are, i.e. 3 and 7 summed themselves, are the number 10 and this is very clear.
\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot3=\left(7+3\right)\sdot3=\left(7\sdot3\right)+3^2}}
 וכן כאשר הכית הי' בג' הרי הוא כאלו הכית הג' עם הז' ועמו בעצמו כגון שהם ר"ל הג' והז' הם הם בעצמם מקובצים מספר הי' וזה מבואר מאד
3) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other.
\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]
 ג כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לב' המרובעים ההווים מב' החלקים ולהכאת החלק האחד עם חבירו ב' פעמים
Proof: the product of the whole by the whole is as if you multiply the two parts by the whole. But, the product of the first part by the whole is as if you multiply the part by itself and by the other part. Also, the product of the other part when you multiply it by the whole is as if you multiply it by itself and by the first part. For, the whole contains nothing but its parts and these parts are the parts of this whole number.
 מופתו כי הכאת הכלל עם הכלל כאלו הכית הב' חלקים עם הכלל והכאת החלק והא' עם הכלל הוא כאלו הכית החלק בעצמו ועם החלק האח' וג"כ בחלק האח' שהכית אותו בכלל כאלו הכית בעצמו ועם החלק הא' כיון שאין בכלל זולת חלקיו והרי אלו החלקים הם חלקי זה המספר הגדול
\scriptstyle\left(a+b\right)^2=\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]=\left[a^2+\left(a\sdot b\right)\right]+\left[b^2+\left(a\sdot b\right)\right]=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]
  • Example: the number 10 is divided into 7 and 3.
 כמשל הי' נחלק לז' ולג‫'
The product of 10 by itself is as if you multiply 7 by 10 and 3 by 10.
 הכאת הי' בעצמו הוא כאלו הכית הז' עם הי' והג' עם הי‫'
The product of 7 by 10 is as if you multiply 7 by itself and by 3, since 7 and 3 are the parts of 10.
 הכאת הז' עם הי' כאלו הכית הז' בעצמו ועם הג' כיון שהז' והג' הם חלקי הי‫'
The product of 3 by 10 is as if you multiply 3 by 7 and by 3.
 והכאת הג' בי' כאלו הכית הג' בז' ועם הג‫'
So, we multiply 3 by 7 twice, and we multiply also 7 by itself and 3 by itself, and the total is equal to the square of 10, and this is very clear to the one who observes with the intellect.
 הרי ב' פעמים הכינו הג' עם הז' וג"כ הכינו הז' בעצמו והג' בעצמו ושוה הכל למרובע הי' ומבואר הוא מאד למסתכל בעין השכל
\scriptstyle{\color{blue}{10^2=\left(7\sdot10\right)+\left(3\sdot10\right)=\left[7^2+\left(7\sdot3\right)\right]+\left[3^2+\left(3\sdot7\right)\right]=3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]}}
4) Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number.
\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2
 ד כל מספר כאשר תחלקהו לב' חלקים שוים ולב' חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלק הא' עם חבירו מהחלקים הבלתי שוים ומרוב' מה שבין ב' חלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
Proof: [when] the number is divided into two unequal parts, the excess of its half over the smaller [part] is the excess of the greater [part] over the half.
\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a=b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]
 מופתו המספר שנחלק לב' חלקים בלתי שוים מה שנגרע מהמספר הקטן מהחצי הוא מיותר במספר הגדול על החצי
  • Example: the number 10 that is divided into 7 and 3.
 במש' הי' שנחלק לז' ולג‫'
The excess of 5 over 3, is 2; 7 exceeds over 5 by this same number, which is 2.
\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2=7-5}}
 מה שנגרע הג' מהה' שהוא ב' הז' יותר מהה' זה המספר בעצמו שהם הב‫'
Hence, when we multiply the smaller number by the greater it is as if we multiply the smaller number by half the number plus the excess, since the excess and the half are the parts of the greater part.
\begin{align}\scriptstyle a\sdot b&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]\\\end{align}
 וא"כ כשאנו מכים המספר הקטן בגדול הוא כאלו הכינו המספר הקטן בחצי המספר והתוספת כיון שהתוספת והחצי הם חלקי החלק הגדול
Also, the product of the half by itself is as we multiply the half by the smaller number plus the excess, since the excess and the smaller number are the parts of the half.
\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[a+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]
 והכאת החצי עצמו הוא כאלו הכינו החצי עם המספר הקטן ועם התוספת כיון שהתוספת והמספר הקטן הם חלקי החצי
It is clear that the difference between the product of the half by the excess and the product of the smaller number by the excess is the product of the excess by the excess, thus the product of the excess by itself.
 והוא מבואר שההכא' בין הכאת החצי בתוספת בין הכאת המספר הקטן בתוספת הוא הכאת התוספת בתוספת וע"כ כהכאת התוספת בעצמו
\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]-\left[a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]
If we add it to the product of the smaller by the greater, it is the square of the half.
\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2+\left(a\sdot b\right)
 ואם נוסיפהו על מרובע הקטן בגדול הוא מרוב' החצי בהכאת
In the example: the product of 7 by 3 is as if we multiply 3 by 5 and by 2.
 במשל הכאת הז' בג' הוא כאלו הכינו הג' בה' ובב‫'
The product of 5 by itself is as if we multiply 3 by 5 and 5 by 2, which is the excess.
 והכאת הה' בעצמו הוא כאלו הכינו הג' בה' והה' בב' שהם התוספת
The difference between this product and the product of 3 by 2 is the product of 2 by itself and this is very clear.
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5^2&\scriptstyle=\left(5\sdot3\right)+\left(5\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+2^2\right]\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2\\\end{align}}}
 וההבדל שבין זאת ההכאה להכאת הג' בב' הוא הכאת הב' בעצמם וזה מבואר מאד
5) Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If we divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together.
\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2
 ה כל מספר כאשר חלקנו אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר הנה הכאת המספר כלו מחובר עם התוספ' בתוספת ומרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
Proof: \scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[b\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]+\left[b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]\right]
 מופתו כי כשהוספנו על החצי מספר מה הנה יתוסף על מרובע החצי הכאת התוספת בחצי והכאת התוס' בחצי מחובר עם התוספת
Example: \scriptstyle\left(5+2\right)^2=5^2+\left(2\sdot5\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)\right]
 וזה כי אמרנו ה' פעמים ה' הם כ"ה ואמרנו ז' שלז' הרי נתוסף הכאת הב' שהם התוספת בה' והכאת הב' בז' שהוא מחובר עם התוספת והחצי
\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2\\\end{align}
 וזהו בעצמו מה שאנו עושין כשאנו מוסיפין התוספת במספר כלו לפי שהמספ' חציו ועם התוספת שאנו מוסיפין עליו ומהל' הכאת התוספת עם החצי ואע"כ עם החצי והתוספת מחובר או הכאתו עם כל המספר והתוספת ביחד והבן
6) Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself
\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2
 ו כל מספר שתחלקהו בב' חלקים איך שקרה המרובע ההווה מהמספר כלו והמרובע ההווה מא' מב' אלו החלקים כאשר התקבצו שוה להכאת החלק הנזכ' עם המספר כלו ולהכאת החלק הב' הנשאר בעצמו
Proof: \scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a+b\right)\right]
 מופתו כבר התבאר בהקדמה ג' שהכאת הכלל בעצמו הוא הכאת חלקיו כל אחת בפני עצמו והכאת החלק הא' עם חבירו ב' פעמים
\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=2a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=a^2+\left[a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2\right]\\&\scriptstyle=\left(a+b\right)^2+a^2\\\end{align}
 וא"כ כשאנו מכין החלק הנז' אשר הוספנו מרובעו למרובע המספר כלו עם המספר כלו ב' פעמים הרי אנו מכין אותו בעצמו ב' פעמים ועם החלק הא' ב' פעמי' ואח"כ אנו מוסיפין מרובע החלק הב' הנשאר והכאת הכלל בעצמו הוא הכאת החלק בעצמו פעם א' וכל אח' עם חבירו ב' פעמים הרי נותר הנה הכאת חלק אחד בעצמו פעם אח' אנו מוסיפין זה על מרובע הכלל כדי שיהיה שוה
  • Example: the number 10 is divided into 7 and 3.
 במשל הרי הי' נחלק לז' ולג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(3\sdot10\right)\right]+7^2&\scriptstyle=\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+\left(2\sdot3^2\right)+7^2\\&\scriptstyle=10^2+3^2\\\end{align}}}
 הנה הכאת הג' בי' ב' פעמים הוא הכאת הג' בז' ב' פעמים והכאת הג' בעצמו ב' פעמים ואח"כ אנו מכין הז' בעצמו נותר לנו על מרובע הכלל הכאת ‫[4]הג' בעצמו פעם אחד לכן אנו מוסיפין אותו על מרובע הכלל כדי שישוו
7) Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part
\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2
 ז כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה אם הכית המספר כלו עם חלק אח' מהם ד' פעמים וקבצת הכל עם מרובע החלק הב' הנשאר היה שוה להכאת מספרו החלק הנזכר כאשר תחברם יחד
Proof: based on two propositions
 המופת יתבאר בב' הקדמות
  • I) For any number divided into two parts as you wish, [the sum of] the product of one part by the whole number and the [square] of the other part is equal to the sum of the product of the other part by the whole number and the [square] of the one part.
\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2
 אחת כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים כי איך שקרה הנה הכאת החלק עם כל הכלל והחלק הנשאר בעצמו כאשר תקבצם שוה להכאת החלק הנשאר בכלל והכאת החלק הא' בעצמו כאשר תקבצם
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot10\right)+3^2=\left(3\sdot10\right)+7^2}}
 במשל הי' נחלק לז' ולג' הנה הכאת הז' בי' והכאת הג' בעצמו שוה להכאת הג' בי' והכאת הז' בעצמו
\scriptstyle a\sdot\left(a+b\right)=a^2+\left(a\sdot b\right)
 וזה כי הכאת החלק בכלל הוא כאלו הכית אותו בעצמו ועם החלק האחד הנשאר כי אין הכלל זולת חלקיו
\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=a^2+\left(a\sdot b\right)+b^2
 ואח"כ כשאנו מכין החלק הנשא' בעצמו הרי עשינו ג' הכאות הכאת כל חלק בפני עצמו והכאת החלק הא' באחר
\scriptstyle\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2=b^2+\left(a\sdot b\right)+a^2
 וג"כ כאשר הפכנו הענין זה בעצמו אנו עושין
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)+7^2=\left(3\sdot7\right)+3^2+7^2=\left(7\sdot10\right)+3^2}}
 המשל כי הכאת הג' בי' הוא כאלו הג' בז' ועמו בעצמו וכשהכינו הז' בעצמם עשינו בזה ג' הכאות הכאת הז' בעצמו והכאת הג' בעצמו והכאת הג' בז' כן ג"כ כשאנו מכין הז' בי' ואח"כ הג' בעצמו אלו הג' הכאות בעצמם אנו עושין הכאת הג' בעצמם והכאת הז' בעצמם והכאת הג' בז' וזה מבואר
  • II) For any number whose square is known and we want to know the square of another number, we add [to the known square] twice the product of difference [between the two numbers] by the number [whose square is] known plus [the square] of the difference.
\scriptstyle b^2=a^2+2\sdot\left[a\sdot\left(b-a\right)\right]+\left(b-a\right)^2
 ההקדמה הב' כי כל מספר שנודע לנו מרובעו ונרצה לידע מרובע מספר אחר הנה נוסף עליו הכאת התוספת במספ' הנודע ב' פעמים והתוספת בעצמו פעם אחת
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]+\left(17-10\right)^2\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}
 במשל נודע לנו מרובע הי' ורצינו לידע מרובע הי"ז הנה נכה הז' בי' ב' פעמים ועם עצמו פעם אחת ונוסיפהו על מרובע הי' והוא העולה מהכאת י"ז בעצמו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=\left(10\sdot17\right)+\left(7\sdot17\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7\right)+\left(10\sdot10\right)+\left(7\sdot10\right)+\left(7\sdot7\right)\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}
 והסב' כשאנו אומרים י"ז פעמים הוא כאמרנו י' פעמים י"ז וז' פעמים י"ז וכשאנו אומרים י' פעמים י"ז כאלו אמרנו ז' פעמים י' וי' פעמים ז' וכשאנו אומרי' ז' פעמים י"ז כאלו אמרנום ז' פעמים י' וז' פעמים ז' נמצאו בזה ד' הכאות הכאת הי' בי' והכאת הז' בי' ב' פעמים והכאת הז' בעצמם
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left(10\sdot7\right)-7^2\\&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]-\left(17-10\right)^2\\\end{align}}}
 וכשיש לנו י' פעמים י' חסר לנו הכאת הז' שהוא התוספת בי' שהוא המספר אשר נודע מרובעו ב' פעמים והכאת הז' שהוא התוספת בעצמו
\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2
 בזה יובנו דברי ההקדמה הנזכ' הנה כשהכית החלק בכלל ד' פעמים ואח"כ החלק הנשאר בעצמו שוה להכאת המספר והתוספת כשיחוברו
\scriptstyle b^2+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]=a^2+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]
 וזה כי הכאת החלק הנשאר בעצמו כאשר יחובר אל הכאת החלק האח' בכלל שוה כאשר המירונו שנעשה ההפך
\begin{align}\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\\end{align}
 וא"כ הד' פעמים שהכינו בכלל נקח אחד מהם וישארו ג' ותחבר זאת ההכאת אל הכאת החלק הנשאר בעצמו הוא כאלו החלק האח' בכלל וזה החלק שאנו מכין אותו בכלל נכה אותו בעצמו וא"כ יש לו ג' הכאות החלק בכלל והכאת אחרת של החלק האחר בכלל והכאת החלק האח' בעצמו
  • Based on the first proposition proved above [Elements, Book II, propositions 1-2]
\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2
 וכבר ביארנו בהקדמה הראשונה שהכאת המספר שנתחלק בעצמו כאלו הכינו אותו עם כל חלקיו
\begin{align}\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\&\scriptstyle=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\&\scriptstyle=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left(a+b\right)^2+a^2\\&\scriptstyle=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2\\\end{align}
 וא"כ מהג' פעמים שהכינו החלק בכלל נחסר אחת ונחבר עמה הכאת החלק האח' במספר שנתחל' והרי יש לנו מרובע המספר שנתחלק כלו נשאר לנו ב' פעמים הכאת החלק במספר שנתחלק ב' פעמים והכאת זה החלק בעצמו וזהו מה שאנו צריכין להוסיף על מרובע המספר שנתחלק כמו שביארנו

Other Propositions

 הקדמות אחרות
1) For numbers [multiplied by] the same multiplier, the ratio of a [product] to a [product] is equal to the ratio of a [number] to a [number].
\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c
 החלקים אשר כפליהם שוים הנה ייחס קצתם אל קצתם כיחס חלק קצתם אל קצת
\scriptstyle\longrightarrow\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a}{b}
 וא"כ יתחייב מזה שכל חלק מהשברים כאשר יכפל כמותו ואיכותו שוה הפעמי' הנה הוא השבר הראשון בעינו
\scriptstyle\longrightarrow\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{a}{b}
 וכן אם תחלק כמותו ואכותו לחלקים שוים ותיחס חלק הכמות עם חלק האיכות הוא השבר הראשון בעינו
2) the product of a fraction by a fraction is a fraction of fraction ב הכאת השבר עם השבר הוא כאמרנו נקח השבר השבר
3) For any number multiplied by any number, the ratio of the multiplied number to the product is equal to the ratio of one to the multiplier.
\scriptstyle a:\left(a\sdot b\right)=1:b
 ג שכל מספר נכפל בכפלים כמ' שיהיו המספר הנכפל יחסו אל המספר העולה מכפליו כערך הא' אל הכפלים שבו נכפל
Example: \scriptstyle{\color{blue}{2:\left(2\sdot3\right)=2:6=1:3=\frac{1}{3}}}
 כמו מספר הב' שהוכה בג' ועלה ו' יחסו אל הו' כיחס האחד אל שלשה שהוא שליש
4) \scriptstyle\frac{1}{c}\sdot\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{c}\sdot a}{b} ד כאשר תרצה לקחת מהשברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפני החלק הדרוש וניחסהו אל האיכות
Example: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{9}{10}=\frac{\frac{1}{3}\sdot9}{10}=3:10=\frac{3}{10}}}
 אם רצית שליש הט' עשיריות קח שליש הט' והם ג' יחסים אל האיכו' והם עשיריות יהיו ג' עשיריות
5) \scriptstyle c\sdot\frac{a}{b}=\frac{c\sdot a}{b} ה שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים באיזה כפלים שיהיו נכפול הכמו' וניחסהו אל האיכות
Example: \scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot2}{9}=6:9=\frac{6}{9}}}
 רצית להכות ב' תשיעיות בג' תכה הב' בג' הם ו' יחסם אל האיכות יהיו ו' תשיעיות
6) Euclid, Elements, Book VII, proposition 17: For any number multiplied by two numbers, the ratio of the two products one to the other is equal to the ratio of the two numbers one to the other.
\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c
 ‫[5]ו כל מספר יוכו בו ב' מספרים יחס השטח האחד אל האח' כיחס הב' מספרים בעצמם הא' מהם אל הב‫'
7) Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: For any four proportional numbers, the product of the first by the fourth is equal to the product of the second by the third.
\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3
 ז ד' מספרים מתיחסם הכאת הראשון בד' שוה להכאת הב' בג‫'
8) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: For any number multiplied by any number, their product is equal to [the sum of] the products of the multiplied number by each part of the multiplier number, divided into parts as you wish.
\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)=\sum_{k=1}^n \left(a\sdot b_k\right)
 ח כל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שיחלק
A short paragraph – philosophical observation concerning the meaning of the mean term:
Reminder: the mean with regard to itself is not opposing, but with regard to its quality it is opposing to each of the extremes. It is hidden as the center of the circle for those who know geometry. It is mean in relation to us, but not in relation to the thing, therefore it is hidden. For, the mean in relation to the thing is known to the geometricians and the improvement is by removing the less from the extreme. You cannot measure it through a general way, but by the divine holy Torah that cannot be measured by the human intellect and this is true anyway. זכירה האמצעי בבחינתו בעצמו אינו נגדיי ובבחינות טובו הוא נגדיי לא' מהקצוות והוא נסתר כמו מרכז העגולה אף ליודעי חכמת השיעור והוא האמצעי בערך אלינו ולא בערך הדבר ועל כן הוא נסתר כי האמצעי בערך הדבר ידוע לבעלי חכמת השיעור והתיקון בהרחיק מהקצווי הפחות ולא תשער זה ע"ד כולל זולת התורה האלהית הקדושה שאינה משוערת מהשכל האינושי וזה אמת על כל פנים

Notes

  1. ↑ 29r
  2. ↑ 29v
  3. ↑ 35r
  4. ↑ 35v
  5. ↑ 36r

Appendix: Bibliography

Anonymous
Qeṣat mi ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar
Manuscripts:

  • Paris, Bibliothèque Nationale heb. 1007/2 (IMHM: f 15710), ff. 29r-36r (1572)
heb. 1007/2

Bibliography:

  • Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 349. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 153.
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=קצת_מענייני_חכמת_המספר&oldid=51247"