Difference between revisions of "Kaufmann A506/2 – Discussion on Numbers"
From mispar
| Line 431: | Line 431: | ||
| | | | ||
|style="text-align:right;"|ובג' כשנמצא <s>של</s> שרשו הוא צלע המרובע השוה לשטח המתחדש מהכפלת הקצוות | |style="text-align:right;"|ובג' כשנמצא <s>של</s> שרשו הוא צלע המרובע השוה לשטח המתחדש מהכפלת הקצוות | ||
| + | |- | ||
| + | | | ||
|style="text-align:right;"|ואולם לדרך הב' כי אחר שהיה <s>ה</s>יחס הנעלם לידוע ידוע כי הוא כיחס הידוע לידוע אחר | |style="text-align:right;"|ואולם לדרך הב' כי אחר שהיה <s>ה</s>יחס הנעלם לידוע ידוע כי הוא כיחס הידוע לידוע אחר | ||
|- | |- | ||
Revision as of 07:04, 17 November 2021
| [1]המאמר במספרים נחלק לפרקי' | |||||||
| הדרך הא' בהצעת המאמר | |||||||
| המספר הנעלם דרוש הידיעה יודע אם מפני מספר או מספרי' אחדים או מפני יחסו או סדורו | |||||||
| אולם מפני מספר אחר ידוע הנה או שזה שוה לו והוא פשוט או שזה יותר גדול ממנו וידיעת השעור שהוא יותר גדול ממנו ויקרא זה חבור או שהוא יותר קטן ויודע בכמה יותר קטן ויקרא מגרעת | |||||||
| אולם מפני מספרי' אחרי' שיוכפלו יחד ויקרא זה הכפלה אולם מפני יחסו ויקרא ערך או סדרו ויקרא המספר המסודר ביחס | |||||||
| הצעה שנית המספרים שיעיין בם בעל חכמת החשבון הם מחוברי' מאחדי' שלמים ויקרא לאחר החלוקה בבחינת נושאו שהוא המתדבק | |||||||
| ויעיין בו הלמודי ג"כ כשיצייר נושא האחד נחלק לחלקי' אם לחצי או לשלישי או לרביע וזולתם ויקרא שם לשברי' נגזר מהשלמי' יקרא השליש נגזר משלש למה שהגדול ג' דמיוני הקטן | |||||||
| הקטן חלק משלשה בו | |||||||
| והרביע נגזר מהארבעה וכן זולתם | |||||||
| הצעה ג' המספרי' החשבוניי' מסודרי' בהדרגה ועל יחס האחד לעשר על שיחס כל אחדי המעלה הא' לאחדי המעלה הב' כיחס אחדי השנית אל אחדי השלישית וכיחס אחדי העשירית לאחדי האחד עשר | |||||||
| דמיונו שכמו ששנים במעלה השנית הם עשרה פעמי' שנים במעלה הא' כך שניים במעלה החמישית הם עשרה דמיוני לשנים במעלה רביעית | |||||||
| וכן מדרגות שברי חכמי התכונה אלו שאותם הם יחס הגרעון ואלו יחס התוספת | |||||||
| ואותם יחס אחר ששים לאחר ואלו יחס אחד מששים | |||||||
| ועם זה יחס ג' דקי' לג' שניים כיחס ג' שביעיים לג' שמיניים | |||||||
| ולזה יפול בכל אחד מהמספרי' בחינה בבחינות המספר ומה שבו מהאחדים ובחינה במדרגתו | |||||||
| הפרק במכפלת מספרי' במספרי' קצתם ידועי' וקצתם נעלמי' | |||||||
| ויקרא הנעלם בשם הסוג היותר כולל והוא דבר | |||||||
| אם ינתן לך לכפול מספרי' ידועי המניין והשעור בדברי' ידועי המניין לא השעור כאלו נאמר כפלנו עשרה אחדי' בד' | |||||||
| הנה איך אתה השיב תשובה ידועה מצד ונעלמת ונכפול עשרה בארבעה יעלו מ' | |||||||
| ואחר בדבר יהיה דבר ולכן תאמר שהעולה מ' דברים כלומר הוא מ' פעמים השעור ש[כינת] אותו אתה בשם דבר מספר היה או מקובץ אחדים | |||||||
| ואלו היה המכוון בדבר עשריים היה מובן השאלה תכפול עשרה אחדי' בארבעה דברים על שכל דבר הוא עשרה מספרי' | |||||||
| ואם היה המכוון בדבר מאה היו מ' מאות וכן בכל מה שרצהו מהכוונות ואז צריך ב' הכפלות ויתחדשו בזה ו' מינים מההרכבות | |||||||
| הא' שתכפול המספרי' בדברי' כאמרנו י' מספרי' בד' דברי' | |||||||
| הב' שתכפול מספרי' במספרי' ודברי' כאמרנו כפול ד' מספרי' בו' מספרי' וה' דברים ואז צריך ב' הכפלות | |||||||
| והדרך שתכפול ד' מספרי' בו' מספרי' יעלו כ"ד כפול ד' בה' דברים יעלו כ' דברים | |||||||
| הנה המקובץ כ"ד מספרים וכ' דברים | |||||||
| |||||||
| הג' שתכפול מספרים ודברי' במספרי' ודברי' ואז צריך ד' הכפלות כפול ד' מספרי' וג' דברים בה' מספרי' וו' דברים | |||||||
| הנה נכפול הד' מספרים בה' מספרי' עלו כ' וד' מספרי' בו' דברי' עלה כ"ד דברים עוד נשוב [2]נשוב נכפול ג' דברי' בה' מספרים עלו ט"ו דברים נשוב נכפול ג' דברים בו' | |||||||
| עלו י"ח דברים מדברים כלומר י"ח מרובעי הדבר המונח נקבצם עלה כ' מספרים ל"ט דברים וי"ח מרובעי הדברים | |||||||
| הד' דרך הגרעון | |||||||
| אם יאמר לך ששה מספרים בעשרה מספרים פחות ו' דברים | |||||||
| הנה תכפול ששה בעשרה עלו ס' מספרים | |||||||
| עוד שוב כפול ו' מספרים בששה דברים חסרים יהיו ל"ו דברים חסרים | |||||||
| הנה המקובץ ששים פחות ל"ו דברים | |||||||
| הה' גרעון ותוספת | |||||||
| אלו אמ' לך כפול ו' מספרים וג' דברים בז' מספרים פחות ה' דברים | |||||||
| הנה תכפול ו' מספרי' בז' מספרים עלו מ"ב | |||||||
| כפול ו' מספרים בה' דברים חסרים עלו ל' דברים חסרים | |||||||
| כפול ג' דברים נוספים בז' מספרים עלו כ"א דברים נוספים | |||||||
| ג' דברים נוספים בה' דברים חסרים עלו ט"ו דברים מדברים חסרים כלומ' ט"ו מרובעי הדברים חס(ר)ים | |||||||
| ונסיר מן השלשים דברים הנגרעים כ"א דברים נוספים נשארו ט' | |||||||
| ויהיה כלל המקובץ מההכפלה מ"ב מספרי' ט' דברים חסרים וט"ו דברים מדברים | |||||||
| וראוי שתקדם ותדע שהכפלת כל מספר בכל מספר העולה מספר | |||||||
| ומספר בדבר או מניין מדברים יעלה דבר או דברים כמו העולה מכפל מניין הדברים על המספר | |||||||
| ודבר בדבר או דברים יעלה דבר מדבר כלומ' מרובע המספר ההוא הנעלם או דברים כעולה מכפל מניין הדברים קצתם בקצת | |||||||
| ומספר בדבר נוסף יעלה דבר נוסף | |||||||
| ובדבר גורע יעלה דבר גורע | |||||||
| ודבר גורע בדבר מוסיף או גורע יעלה דבר מדבר גורע | |||||||
| הו' דרך הגרעון בכופל והנכפל | |||||||
| שיאמ' כפול עשרה פחות ג' דברים בח' פחות ה' דברים | |||||||
| הנה זה בד' הכפלות א' להוסיף וג' לגרוע | |||||||
| נכפול י' בח' ויעלו פ' | |||||||
| י' בה' דברים גורעים יהיו נ' דברים גורעים | |||||||
| ח' בג' דברים גורעים יהיו כ"ד דברים גורעים | |||||||
| ג' דברים גורעים בה' דברים גורעים הרי ט"ו דברי' מדברי' גורעים | |||||||
| היה כלל המקובץ פ' מספרים פחות ע"ד דברים וט"ו דברים מדברים | |||||||
| הז' גרעון ותוספת | |||||||
| שיאמ' כפול עשרה מספרים ודבר על דבר פחות עשרה מספרים הנה זה בד' הכפלות גם כן | |||||||
| והוא שתכפול הדבר הנוסף על הדבר הנוסף יעלה יעלה דבר מדבר נוסף | |||||||
| הנה העשרה מספרים בי' מספרים הגורעים יהיו ק' מספרים גורעים | |||||||
| תכפול י' בדבר עלו י' דברים נוספים | |||||||
| שוב כפול דבר נוסף בי' מספרי' גורעי' עלו י' דברים גורעים | |||||||
| כפול דבר בדבר נוסף עלה דבר מדבר נוסף | |||||||
| נתן הי' דברים נוספים כנגד הגורעים ועלה כלל החשבון ק' מספרים חסרים ודבר מדבר נוסף הנה העולה דבר מדבר פחות ק' מספרים | |||||||
| וכמו שהמשלנו בשלמי' כן יתכן <s>ביחס בשברים דמיונו כפלנו י' מספרים ושני שלישי דבר על ג' מספרים פחות ו' דברים | |||||||
| הנה נכפול עשרה מספרים על ג' מספרים עלה ל' מספרים | |||||||
| נכה עשרה דברים בששה דברים הגורעים יהיו ס' דברים גורעים | |||||||
| נכה ב' שלישי דבר על ג' מספרים יהיו ב' דברים נוספים | |||||||
| נכה ב' שלישי דבר בו' דברים גורעים יהיו ד' דברים מדברים גורעים | |||||||
| נקבץ הכל אלא שנגרע הב' דברים הנוספים מהששים הגורעים נשארו נ"ח גורעים | |||||||
| ולזה יהיה המקובץ ל' מספרים פחות נ"ח דברים וד' דברי' מדברים גורעים | |||||||
| [3]הפרק בהוצאת מספר ממספר מתוך ידיעת יחסו | |||||||
| כשהיה מספר מה נעלם ידוע היחס למספר אחר ותבקש ידיעתו מתוך ידיעת המספר האחר ויחסו לו | |||||||
| הנה ראשונה ראוי שתדע שהיחס ימצא על ג' פנים | |||||||
| אם יחס מספרי והוא הבדל במספרים שלימים ידועי' כאלו תאמר יחס ג' לי' כיחס ג' דמיונים ואחד | |||||||
| ויהיו המספרים מתיחסים כשהיה התוספת בהם שוה | |||||||
| דמיונו שיחס עשרה לי"ג כיחס ק' לק"ג | |||||||
| ואם יחס למודי והוא יחס בין ההבדל וכלל המספרים המתיחסים | |||||||
| כאמרנו יחס ג' לעשרה כיחס ג' דמיונים ושליש | |||||||
| ויהיה היחס בין המספרים אחר כשיהיה ההבדל לו יחס אחד למתיחסים | |||||||
| דמיונו יחס עשרה לי"ג כיחס מ' לנ"ב | |||||||
| כי ההבדל בין הראשוני' הוא ג' ויחסו לעשרה כיחס כמוהו וחומשו וחצי | |||||||
| וכן יחס מ' לנ"ב | |||||||
| והג' הוא יחס נגוני | |||||||
| אולם היחס למודי יהיה לקוח אם בין שני שעורים לבד | |||||||
| כאלו תאמר יחס י"ג לי"ב הוא ג' רביעיות | |||||||
| ויחס י"ב לי"ו הוא ד' שלישיות | |||||||
| והדרך בזה כשיהיה אחד השעורים ידוע ויחס האחר אליו ידוע | |||||||
| שיכפל היחס בשעור האחד ויצא האחר | |||||||
| דמיונו שאחד השעורים ז' וחצי והאחר יחסו לו שהוא ה' שביעיות | |||||||
| הנה נכפול ה' שביעיות בז' וחצי יהיה ה' וה' חלקים מן י"ד | |||||||
| ואם היה ט' שביעיות יהיה תשעה וט' חלקים מי"ד | |||||||
| ואם יהיה בין ג' שעורים לבד | |||||||
| כאלו תאמר יחס אחד השעורי' והוא הנעלם אל שעור ידוע כיחס הידוע אל ידוע אחר | |||||||
| כאלו תאמר יחס שעור נעלם אל עשרה כיחס עשרה לארבעים | |||||||
| והנה זה הנעלם אפשר שיהיה | |||||||
| אם הראשון כמו בהמשלנו | |||||||
| ואפשר שיהיה השני כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס הנעלם לחמשים | |||||||
| ואם שיהיה בין ד' שעורים כאלו תאמר יחס הנעלם לעשרה כיחס ק' לג' מאות | |||||||
| וזה גם כן אם שיהיה הנעלם מהמספרים אשר מהקצוות או מהמספרים האמצעיים | |||||||
| והראשון מאלו כבר המשלנו בו | |||||||
| והשני כאמרנו יחס עשרה לנעלם כיחס ק' לג' מאות | |||||||
| והדרך בזה הוא אחד משני דברים | |||||||
| אם לכפול הקצוות כשהיה הנעלם האמצעי ושורש העולה הוא הנעלם | |||||||
| וזה בג' מספרים כאמרך יחס שנים לנעלם כיחס הנעלם לד' וחצי | |||||||
| הנה נכפול הראשון והוא ב' בג' השלישי והוא ד' וחצי והעולה והוא ט' נקח שורשו והוא ג' וכן השני | |||||||
| וכשהיה הנעלם הוא אחד הקצוות נכפול האמצעי בעצמו ונחלק העולה על אחד הקצוות ויצא האחר | |||||||
| דמיונו שיחס ב' לג' כיחס ג' לנעלם נכפול ג' על עצמו ונחלק העולה על ב' ויצא ד' וחצי וכן הנעלם | |||||||
| ואולם בד' מספרים הנה אם היה הנעלם אחד האמצעיים הנה נכפול הקצוות ונחלק העולה על האמצעי הידוע יצא האמצעי האחר | |||||||
| דמיונו יחס | |||||||
| הנה נכפול ב' בכ"ה עלו נ' נחלקם על ה' יצא עשרה והוא הנעלם השלישי | |||||||
| ואם היה אחד הקצוות הוא הנעלם | |||||||
| הנה נכפול האמצעיים בעצמם ונחלק העולה על אחד הקצוות והוא הידוע יצא האחר | |||||||
| דמיונו יחס ב' לו' כיחס ט' לנעלם | |||||||
| הנה נכפול ו' בט' עלה נ"ד נחלקם על ב' עלה כ"ז | |||||||
| וכן הרביעי | |||||||
| והדרך הב' מהמצאתינו שבד' שעורים שנחלק השוים הן הקרובים הידועים | |||||||
| ונכפול העולה על האחר על הקרוב לנעלם | |||||||
| דמיונו יחס ג' לט' כיחס הנעלם לי"ח הנה נחלק ט' על ג' עלה שליש כפלנו שליש בי"ח יעלו ו' וכן האמצעי הנעלם | |||||||
| בהיות הנעלם אחד הקצוות | |||||||
| כאמרנו יחס הנעלם לד' כיחס ג' לי"ב | |||||||
| הנה חלקנו י"ב על ג' עלה רביע כפלנוהו על ד' עלה אחד והוא הראשון | |||||||
| ואולם בג' שעורים בהיות הנעלם אחד הקצוות | |||||||
| כאמרנו יחס ב' לו' כיחס ו' לנעלם | |||||||
| הנה חלקנו ו' על ב' עלה ג' כפלנו ג' בו' עלה י"ח וכן השלישי הנעלם | |||||||
| ואם היה האמצעי נעלם | |||||||
| הנה חלקנו הקצוות האחד על האחר ונקח שורש העולה והוא השני | |||||||
| דמיונו יחס ב' לנעלם כיחס הנעלם לי"ב וחצי כפלנו ב' בי"ב וחצי עלה כ"ה לקחנו שורשו והוא ה' וכן הוא האמצעי | |||||||
| |||||||
| והסבה בכל אלו הדרכים אם לראשון הנה לפי שהיו השעורים המתיחסים שיור העולה מהכאת הראשון בשלישי כהכאת | |||||||
| ובהיותו בין ד' מספרים היה הכאת הראשון באחרון כהכאת השני בשלישי | |||||||
| כי הכאת השני בשלישי ידוע כשהיה היחס בין ד' שעורים [4]שעורים והנעלם אחד מהאמצעים | |||||||
| או שטח הראשון באחרון ידוע כשהיה הנעלם אחד הקצוות | |||||||
| וכשהיה שטח מה ידוע ואחד צלעיו ידועים הנה הצלע האחר גם כן ידוע בדרך חלוקה כמו שקדם | |||||||
| הוא כשנחלק שטח האמצעי בעצמו או האמצעים על אחד הקצוות יצא האחר | |||||||
| ואם נחלק שטח הקצוות על אחד האמצעיים יצא האחר בד' שעורים | |||||||
| ובג' כשנמצא | |||||||
| ואולם לדרך הב' כי אחר שהיה | |||||||
| יצא היחס בין שני הידועים והוא בעינו כיחס הנעלם לידוע ולזה כשיכפל היחס בידוע יצא הנעלם הידוע | |||||||
| והיחס בין ששה שעורים שתאמר יחס עשרה לעשרים מורכב מיחס ד' לי"ו ומיחס י"ד לז' | |||||||
| |||||||
| [5]הפרק בידיעת השורש מפני שורש אחר או שרשים | |||||||
| ויחלק לה' דרושים | |||||||
| הא' מפני קבוץ השרשים | |||||||
| הב' מפני כפלם | |||||||
| הג' מפני חלוקתם | |||||||
| הד' מפני סדרם | |||||||
| הה' מפני יחסם | |||||||
| הדרוש הא' | |||||||
| בקשנו השורש העולה מחבור ב' שרשי' כאלו תאמר חברנו שורש כ"ה בשורש י"ו ונבקש השורש המקובץ | |||||||
| הנה הדרך בזה שתחבר השני מרובעים יחד ועלה מקובצם מ"א הכה שני המרובעים קצתם בקצת עלה ת' קח שני שרשיו והם מ' תקבצם עם מחובר השני מרובעי' שהוא מ"א עלה פ"א קח שרשו והוא ט' והוא כמו מקובץ שורש י"ו בשורש כ"ה | |||||||
| וכזה כשבקשנו חבור שורש |
ושורשו הוא הדרוש | ||||||
| והסבה בזה שנניח השני שרשי' קוי א"ב ג"ד ומרובע א"ב ד"ט ומרובע <s>ב"ג ה"ג מרובע ב"ג | |||||||
| הנה לפי שמרובע א"ג שוה לשני מרובעי א"ב ב"ג וכפל שטח א"ב בב"ג שהוא כמו כפל שטח כ"ה | |||||||
| ושטח א"ה אמצעי ביחס בין שני מרובעי ה"ט וה"ג היה כפל מרובע ד"ט בה"ג כמו כפל א"ה בעצמו הנה כשכפלנו מרובע ד"ט בה"ג ולקחנו שורש | |||||||
| העולה היה השורש ההוא שוה לשטח א"ה | |||||||
| וכאשר הכפלנוהו על שני שטחי א"ה ה"ב וכאשר קבצנום עם שני מרובעי ד"ט ה"ג הידועים היה כלל מרובע א"ב ידוע שרשו המחובר מן א"ב ב"ג ידוע | |||||||
| הדרוש הב' | |||||||
| בקשנו העולה מגרעון שני שרשים האחד מהאחר כאלו תאמר בקשנו לגרוע שורש |
