Revision as of 09:18, 7 September 2021

קצת מענייני חכמת המספר

Qeṣat mi-ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar

(Some Issues of Arithmetic)

Contents 1 Sums 1.1 Sums of Squares 1.2 Sums of Cubes 1.3 Sums of Odd Numbers 1.3.1 Sums of Squares of Odd Numbers 1.3.2 Sums of Cubes of Odd Numbers 1.4 Sums of Even Numbers 1.4.1 Sums of Squares of Even Numbers 1.4.2 Sums of Cubes of Even Numbers 1.5 Geometric progression 1.6 Arithmetic progression 2 Multiplication of Fractions 2.1 Methods of checking 3 Addition of Fractions 3.1 Methods of checking 4 Subtraction of Fractions 4.1 Methods of checking 4.2 Combined Subtraction 5 Division 5.1 Dividing a large number by a smaller number 5.2 Small number by a larger number 5.3 Division of Fractions [= Converting Fractions] 5.3.1 Methods of checking 5.3.2 Combined Division 6 Roots 6.1 Roots of Integers 6.1.1 Approximating the root of a non-square number 6.2 Roots of Fractions 7 Cubic Roots 7.1 Cubic Roots of Integers 7.1.1 Approximating the root of a non-cubic number 7.2 Cubic Roots of Fractions 8 Divisibility of a Number 8.1 3; 6; 9 8.2 2; 4; 8 8.3 7 8.4 11 8.5 13 8.6 General technique 9 Square Numbers 10 Completion 11 Conversion 12 Geometric Shapes 12.1 Square 12.2 Rectangle 12.3 Triangle 13 Euclidean Propositions 13.1 Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version] 13.2 Other Propositions 14 Appendix: Bibliography Sums
To know the numbers that are set in the arithmetic succession $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i$	לידע מספרים מונחים על סדר המספר
Such as: 1; 2; 3; 4; 5; 6; 7; 8; 9; 10 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{10} i$	כגון אבג"ד ה"ו זחט"י
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} i=n\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)+\frac{1}{2}\right]}}$
Multiply the last number, which is ten, by its half plus one half. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=10\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)+\frac{1}{2}\right]}}$	תכה מהמספר האחרון שהוא העשרה בחציו וחצי א‫'
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} i=\left(n+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot n\right)}}$
Or add to it one, then multiply it by its half without the addition - they are 55 and so is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\left(10+1\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=55}}$	או הוסיף עליו אח' והכהו בחציו בלי תוספ' ויהיו נ"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{1}{2}\sdot\left(n^2+n\right)}}$
If you wish, multiply the last number, which is 10, by itself, the result is 100, add to it the root, which is 10, they are 110, take their half and it is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{10} i=\frac{1}{2}\sdot\left(10^2+10\right)=\frac{1}{2}\sdot\left(100+10\right)=\frac{1}{2}\sdot110}}$	ואם תרצה הכה המספר האחרון בעצמו שהוא י' יעלה ק' הוסיף עליו מספר השרש שהוא הי' יהיו ק"י קח חציים והוא המבוקש
Numbers that were summed successively and the result is a known number $\scriptstyle\sum_{i=1}^n i =a$	חשבון שחובר על הסדר ועלה מספר ידוע
Such as the number 55, how much is the last number? $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^n i =55}}$	כגון מספר נ"ה כמה הוא מספר האחרון
$\scriptstyle{\color{red}{2a=n^2+n}}$
Multiply it by 2, they are 110, you will find it contains a square and its root together, then the question is true and its root is the last number. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot55=110=n^2+n}}$	תכפלהו בב' יהיו ק"י תמצא בו מרובע וגדרו באחת ואז השאלה אמתית וגדרו הוא סוף המספר
If you wish, add a quarter to its double, then extract the root of the total, subtract the root of the quarter, which is a half, and the remainder is the required. $\scriptstyle n=\sqrt{2a+\frac{1}{4}}-\frac{1}{2}$	ואם תרצה הוסיף רביע אחד על כפלו וקח גדר הכל ותפיל גדר הרביע והוא החצי והנשאר הוא המבוקש
If the numbers that are given in succession do not start from 1.	ואם המספרים המונחים על סדר המספר לא יתחילו מהא‫'
$\scriptstyle{\color{red}{\sum_{i=m}^{n} i=\sum_{i=1}^{n} i-\sum_{i=1}^{m-1} i}}$
As saying: from 5 to 10 $\scriptstyle\sum_{i=5}^{10} i$	כאמרך מה' עד י‫'
Know their sum from 1 to ten - it is 55; know their sum for 1 to 4 that precedes 5 - it is 10. Subtract it from 55, 45 remains and this is their sum. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{10} i=\sum_{i=1}^{10} i-\sum_{i=1}^4 i=55-10=45}}$	דע קבוצם מא' עד עשרה הוא נ"ה ודע קבוצם מא' עד ד' שהוא קודם ה' יהיו י' הפלים מהנ"ה ישארו מ"ה וככה קבוצם
Numbers that were summed from a known number $\scriptstyle\sum_{i=m}^n i=a$	חשבון שחובר מתחלת מספר ידוע
As saying: from 5 and the sum is 45, how much is the last number? $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^n i=45}}$	כאמרך מה' ועלה מ"ה כמה הוא סוף המספר
Know their sum of the units from 1 to the number that precedes 5, which is 4 - it is 10. Add it to 45, they are 55. Know [up to] which number it is summed according to the previous way, it is 10 and it is the last number. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^4 i+45=10+45=55=\sum_{i=1}^{10} i}}$	דע קבוץ האחדים שמא' עד המספר הקודם לה' שהוא הד' יהיו י' הוסיפם על המ"ה יהיו נ"ה דע מאיזה מספר נתחברו ע"ד הקודם והוא י' וזהו סוף המספר
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=m}^{10} i=45}}$	ידענו הי' שהוא המספר שהנקבץ עד מ"ה ונעלם הה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k-45=55-45=10=\sum_{k=1}^{4} k=\sum_{k=1}^{5-1} k}}$	תדע מהא' עד י' שהוא נ"ה ותדע עד איזה מספר נקבץ קבוץ היתרון על המ"ה שהוא י' ע"ד הקודם והוא ד' והמספר שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Squares
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^2$	לידע מרובעי המספרים הטבעיי' על הסדר עד איזה מספר שתרצה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k^2=\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot10\right)+\frac{1}{3}\right]=55\sdot7=385}}$	כגון מהא' עד י' תדע קבוצם ע"ד הקודם והוא נ"ה ותקח ב' שלישיות הי' בתוספת שליש א' יהיו ז' ותכם עם הנ"ה יהיו שפ"ק וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^2=\left(\sum_{k=1}^n k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(n-1\right)\right]+1\right]$	ואם אין למספר שליש שלם אם בתוספת א‫'
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{10} k^2=\left(\sum_{k=1}^{10} k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(10-1\right)\right]+1\right]}}$	כמו הי' חסר א' וקח ב' שלישיות הנשאר והוסף עליו אח' שלם והכם בקבוץ אחדיו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{11} k^2 =\left(\sum_{k=1}^{n} k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(n+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]$	ואם בחסרון אחד
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^{11} k^2 =\left(\sum_{k=1}^{11} k\right)\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot \left(11+1\right)\right]-\frac{1}{3}\right]}}$	כמו הי"א הוסיף אח' וקח ב' שלישיות ותחסר מהמקובץ שליש א' ותכהו בקבוץ אחדיו והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n} k^2=\sum_{k=1}^{n} k^2-\sum_{k=1}^{m-1} k^2$	ואם לא יתחילו מהא‫'
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^2 =\sum_{k=1}^{10} k^2-\sum_{k=1}^{4} k^2}}$	כאמרך מה' עד י' דע חבור המרובעים שמהא' עד י' ע"ד הנקדם ואח"כ דע קבוץ המרובעים שמהא' עד ד' שקודם הה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
	בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3$	לידע מעוקב המספרים על הסדר ר"ל קבוצם על הסדר עד איזה מספר שתרצה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=\left(\sum_{k=1}^n k\right)^2$	תכה קבוץ אחדיהם בעצמו והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k^3=a$	מעוקבי' מספרים נעלמים שעלה סך ידוע שתרצה לדעת איזהו קיבוץ האחרון
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n k=\sqrt{a}$	קח גדר הכל ודע עד איזה מספר חובר והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n k^3=\sum_{k=1}^n k^3-\sum_{k=1}^{m-1} k^3$	ואם לא יתחילו מהא‫'
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^{10} k^3=\sum_{k=1}^{10} k^3-\sum_{k=1}^{5-1} k^3}}$	כגון שרצית לידע מעוקבי מספרים מה' עד הי' תדע כמה מעוקב שמא' עד י' ע"ד הקודם ותדע המעוקבים שמא' עד הד' שהוא הקודם לה' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n k^3=a$	קבצנו ממעוקב מספר ידוע עד מספר נעלם ועלה סך ידוע ורצית לידע עד איזה מספר נקבץ
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=5}^n k^3=2025}}$	כאמרך מה' עד מספר נעלם עלה 2025
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^n k&\scriptstyle=\sqrt{2025+\sum_{k=1}^4 k^3}\\&\scriptstyle=\sqrt{2025+100}=\sqrt{3025}=55=\sum_{k=1}^{10}\\\end{align}}}$	תדע המעוקבים שמהא' עד ד' והם 100 ותוסיפם על 2025 יהיו 025[3] גדר ב תדע גדרם בנ"ה ותדע עד איזה מספר נקבץ על דרך הקודם והוא י' והוא המבוקש
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=m}^{10} k^3=2025}}$	ידענו הי' ונעלם הה' ועלה 2025
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=1}^{m-1} k&\scriptstyle=\sqrt{\sum_{k=1}^{10} k^3-2025}\\&\scriptstyle=\sqrt{3025-2025}\\&\scriptstyle=\sqrt{100}=10=\sum_{k=1}^4 k=\sum_{k=1}^{5-1} k\\\end{align}}}$	תדע מא' עד י' והם 3025 ותגרע מהם המספר הידוע לך והוא 2025 וישארו ק' קח גדרם בעשר ודע עד איזה מספר חובר עד הקודם והוא הד' והמספר שלאחריו שהוא ה' הוא המבוקש

Sums of Odd Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)$	לידע קבוץ הנפרדים על הסדר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]^2$	קח חצי הנפרד האחרון בתוספת חצי והכהו בעצמו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left(2k-1\right)=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]\right]^2$	או הוסיף אחד על הנפרד האחרון וקח חצי הכל בלא תוספת והכהו בעצמו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)=a$	חשבון שחובר על סדר הנפרדים ועלה קבוצם חשבון ידוע ותרצה לידע עד איזה נפרד חובר
$\scriptstyle2n-1=2\sqrt{a}-1$	קח גדר המספר כי בהכרח יהיה לו גדר שלם אם השאלה אמתית וכפלהו והפיל א' מהנקבץ והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle2n-1=\sqrt{4a}-1$	ואם תרצה הכה חשבון הידוע בד' והפיל א' מגדר הכל
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n}\left(2k-1\right)=\sum_{k=1}^{n}\left(2k-1\right)-\sum_{k=1}^{m-1} \left(2k-1\right)$	ואם הנפרדים המונחים אשר רצינו לדעת קבוצם לא יתחילו מהא' דע קבוצם מהא' עד נפרד האחרון ע"ד הקודם והסר מהמבוקש העולה מא' עד הנפרד שקודם הנפרד הא' והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a$	חשבון שחובר מנפרד ידוע על סדר הנפרדים ועלה סך ידוע כמה הוא הנפרד האחרון
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)+a=\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)$	חבר מהא' עד הנפרד הא' שקודם הנפרד הידוע והוספיהו על הסך הידוע ותדע עד איזה נפרדים הגיע הכל והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)=a$	ידענו הנפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האח‫'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)$	חבר קבוץ הנפרדים שמהא' עד הנפרד האחרון וראה היתרון שבינו ובין הסך ידוע ודע עד איזה מספר חובר והנפרד שאחריו הוא הנפרד הראשון

Sums of Squares of Odd Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left (2k-1\right)^2$ $\scriptstyle\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^5\left(2k-1\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2k - 1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot{n}\right)$	לידע מרובעי הנפרדים על הסדר
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)\right]-\frac{5}{3}\\&\scriptstyle=\left(166+\frac{2}{3}\right)-\left(1+\frac{2}{3}\right)\\\end{align}}}$	כאלו תאמר א' ג' ה' ז' ט' דע חבור הנפרדי' ע"ד הקודם והם כ"ה וקח ב' שלישי התשעה שהוא מספר האחרון בתוספת שני שלישיות אחד יהיו ששה וב' שלישיות אחד הכם עם כ"ה יעלה קס"ו וב' שלישיות א' ודע כמה הנפרדים שמאחד עד תשעה שהוא המספר האחרון הם ה' קח לכל שלם שליש אחד יעלה חמשה שלישים שהם א' וב' שלישיות חסרם מהקס"ו וב' שלישי אח' ישאר קס"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+1\right)\right]\right]$	ואם תרצה קח שני שלישי הנפרד האחרון והכהו בשטח ההווה מהכאת חצי הזוג שאחריו בחצי נפרד שלאחריו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{2}{3}\sdot{9}\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{10}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left[5\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=6\sdot\left(27+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}$	והמשל בזה שני שלישי הט' הם ו' הזוג שלאחריו הוא י' קח חציים בה' ושמרם והנפרד שלאחריו הוא י"א קח חציים בה' וחצי והכם בה' השמורים יעלו כ"ז וחצי הכם בששה יהיו קס"ה וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left(2n+1\right)\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{3}\sdot{9}\right)+\frac{1}{3}\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{9}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left[\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot{11}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(49+\frac{1}{2}\right)\\\end{align}}}$	ואם תרצה תקח שליש הנפרד האחרון בתוספת שליש אחד והוא ג' ושליש ושמרם אח"כ הכה חצי הנפרד האחרון והוא הט' שהוא ד' וחצי בנפרד שלאחריו שהוא הי"א יעלו מ"ט וחצי הכם בג' ושליש השמורים יעלו קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]$	ואם תרצה חסר מקבוץ נפרדיו שלישיתו וששית אח' ושמור הנשאר והוסיף על הנפרד האחרון אח' והכה הכל בשמור
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[25-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot25\right)+\frac{1}{6}\right]\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	במשלינו זה קבצינו נפרדיו ועלו כ"ה חסרנו מהם שלישיתו וששית אחד נשאר י"ו וחצי ושמרנום הוספנו על הט' אחד יהיו י' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי עם י"ו וחצי השמורים יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(2n-1\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n-1\right)\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left[\left[\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)+\frac{2}{3}\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)\right]\sdot\left(9+1\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(3+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot{10}\\&\scriptstyle=\left(16+\frac{1}{2}\right)\sdot10\\\end{align}}}$	ואם תרצה קח שליש הט' בתוספת ב' ג' א' אח' יהיו ג' וב' ג' אח' הכם בחצי הט' שהוא ד' וחצי יעלה י"ו וחצי הוסיף א' על הט' יהיו י' הכם בי"ו וחצי יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2n-1\right)\right]\sdot\left[\left[\left(2n-1\right)+1\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+2\right]\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1^2+3^2+5^2+7^2+9^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{6}\sdot9\right)\sdot\left[\left(9+1\right)\sdot\left(9+2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(10\sdot11\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot110\\\end{align}}}$	ואם תרצה בדרך יותר נקל, קח ששית הט' באח' וחצי ושמרהו אח"כ הכה המספרים הנמשכים אחריו זה בזה והם י' והי"א יעלה ק"י הכם באחד וחצי יעלה קס"ה
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left (2k-1\right)^2$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{5^2+\cdots+9^2=\left(1^2+\cdots+9^2\right)-\left(1^2+\cdots+3^2\right)}}$	לידע מרובעי הנפרדים שיש ממספ' ה' עד ט' תדע חבור מרובעי הנפרדים שיש מא' עד ט' ותדע חבור מרובעי הנפרדים שמאח' עד המספר הנפרד שקודם הה' והוא ג' והפיל זה מזה והנשאר הוא המבוקש
	בהפך שאלות אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Odd Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3$	לקבץ מעוקבי הנפרדים על הסדר עד נפרד ידוע
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]^2\right]-\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]$	הכה קבוץ נפרדיו בכפל וחסר אחת
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=\left[\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]-\frac{1}{2}\right]\sdot\left[2\sdot\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)\right]\right]$	או חסר חצי אחת מקבוץ נפרדיו והנשאר הכהו בכפל קבוץ נפרדיו
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3=a$	חשבון שנתקבץ ממעוקבי הנפרדים על הסדר ורצית לידע נפרד האחרון
$\scriptstyle2n-1=\sqrt{4\sdot\left[\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot{a}\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}+\sqrt{\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}\right]}-1$	קח חצי החשבו' הנתקב' והוסיף עליו חצי שמנית וקח גדר הכל והוסיף על היוצא רביע אחד שהוא שורש חצי שמנית והכה הכל בד' וקח השרש מהעולה וחסר אחת ממנו והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k-1\right)^3=a$	ידענו נפרד האחרון והסך ונעלם הנפרד האחד
$\scriptstyle\left[\sum_{k=1}^n\left(2k-1\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k-1\right)^3$	דע מהא' עד הנפרד האחרון וקח היתרון שבין זה הסך ובין הסך הידוע לך ודע הנפרד האחרון ממנו ע"ד הקודם והנפרד שלאחריו הוא המבוקש

Sums of Even Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k$	לידע קבוץ הזוגות על הסדר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k =\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)+1\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)$ $\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k =\left[\frac{1}{2}\sdot\left(2n+2\right)\right]\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot{2n}\right)$	קח חצי הזוג האחרון בתוספת אח' או הוסיף עליו ב' וקח חצי הכל והכהו בחצי הזוג האחרון והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=\left(\frac{1}{4}\sdot{2n}\right)\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]$ $\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=\left[\frac{1}{4}\sdot\left[2\sdot\left(n+1\right)\right]\right]\sdot{2n}$	ואם תרצה קח רביע הזוג האחרו' והכהו בזוג שלאחריו או קח רביע הזוג שלאחריו והכהו בזוג האחרון
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=a$	חשבון שחובר על הסדר הזוגות ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
$\scriptstyle2n=\sqrt{4a+1}-1$	הכה הסך הידוע בד' והוסף על העולה א' ושרש הכל בחסרון אח' הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n}2k=\sum_{k=1}^{n}2k-\sum_{k=1}^{m-1}2k$	ואם הזוגות אשר רצינו לידע קבוצם ולא יתחילו מב' קבץ מב' עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הזוג האח' והנשאר הוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a$	חברנו מזוג ידוע ועלה סך ידוע איזה הוא הזוג האחרון
$\scriptstyle\sum_{k=1}^{m-1}2k+a=\sum_{k=1}^{n}2k$	דע חבור הזוגות על הסדר עד הזוגות שקודם הראשון הידוע והוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוגות נתחבר ע"ד הקודם
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2k=a$	ידענו הזוג האחרון והסך הנעלם הזוג הא‫'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k-a=\sum_{k=1}^{m-1}2k$	דע חבור הזוגות שמב' עד האחרון הידוע וקח יתרון שבינם ובין הסך הידוע לך ודע עד איזה זוג נתחבר והזוג שלאחריו הוא הזוג הא' הנעלם

Sums of Squares of Even Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2$	לדעת מרובעי הזוגות על הסדר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\left[\frac{2}{3}\sdot\left(2n\right)\right]+\frac{2}{3}\right]\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]$	קח שני שלישי הזוג האחרון בתוספת ב' שלישי א' והכהו בעולה מחבור הזוגות
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{2}{3}\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]\right]\sdot\left(2n+1\right)$	ואם תרצה קח מחבור זוגותיהם ב' שלישיות והכהו בזוג האחרון שתוסיף עליו א‫'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^2=\left[\frac{1}{6}\sdot\left(2k\right)\right]\sdot\left[\left(2n+1\right)\sdot\left(2n+2\right)\right]$	ואם תרצה קח ששית הזוג האחרון והכהו בשטח ההווה מב' המספרים הנמשכים אחריו
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^2=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^2-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^2$	ואם לא יתחילו מהב' תדע מרובעים מהב' עד הזוג האחרון ותחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון והבן
	בהפך שאלו אלו לא דברו הראשונים

Sums of Cubes of Even Numbers
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3$	לידע מעוקבי הזוגות על הסדר
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=2\sdot\left[\sum_{k=1}^n 2k\right]^2$	תכה העולה מקבוץ זוגי אחדיו בכפלם והוא המבוקש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3=a$	מעוקבי זוגות שעלה סך ידוע ותרצה לידע הזוג האחרון
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2k=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot{a}}$	תקח גדר חצי הסך ותדע עד איזה זוג חובר
$\scriptstyle\sum_{k=m}^{n}\left(2k\right)^3=\sum_{k=1}^{n}\left(2k\right)^3-\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3$	לידע מעוקבי זוגות שלא יתחילו מב' דע מעוקבם עד הזוג האחרון וחסר מהמקובץ העולה מב' עד הזוג שלפני הראשון
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a$	ידענו הזוג האחד והסך ונעלם הזוג האחרון
$\scriptstyle\left[\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3\right]+a=\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3$	תקבץ מהב' עד הזוג שקודם הא' ותוסיפהו על הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n\left(2k\right)^3=a$	ידענו האחרון והסך ונעלם הא‫'
$\scriptstyle\left[\sum_{k=1}^n\left(2k\right)^3\right]-a=\sum_{k=1}^{m-1}\left(2k\right)^3$	תקבץ מהב' עד הזוג האחרון ותקח היתרון שבינו ובין הסך הידוע ותדע עד איזה זוג חובר ע"ד הקודם והזוג שלאחריו הוא הנעלם

Geometric progression	קבוץ מספרים נוספים אלו על אלו בתוספת ידוע
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n q^k$	אם על יחס הנדסי וזה על שני מיני‫'
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2^k$	אם על יחס הכפל יתחילו מהאח‫'
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n 2^k$	או לא יתחילו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 2^k}}$	כגון מספרי ב'ד'ח' י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n 2^k=\left(2\sdot{2^n}\right)-2$ $\scriptstyle{\color{blue}{2+4+8+16+32+64+128=\left(2\sdot{128}\right)-2=256-2}}$	הדרך לדעת קבוצם שתכפול הקכ"ח שהוא המספר האחרון יעלה רנ"ו וגרע ממנו המספר הראשון שהוא הב' ישאר רנ"ד וככה קבוצם
	ואם הוא יחס אחר וגם אם יהיה יחס הכפל או השליש
$\scriptstyle\sum_{k=1}^6 3^k$	כגון מספרי ג' ט' כ"ז פ"א רמ"ג תשכ"ט שהם הולכים על יחס השליש
	יש בזה ב' דרכים‫:
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\left[\frac{1}{q-1}\sdot\left(q^n-q\right)\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3+9+27+81+243+729&\scriptstyle=729+\left[\frac{1}{3-1}\sdot\left(729-3\right)\right]\\&\scriptstyle=729+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(729-3\right)\right]\\&\scriptstyle=729+363\\\end{align}}}$	הדרך הראשון שתדע המספר אשר יגזור שם היחס שנים לחצי ג' לשליש ד' לרביע ונגרע ממנו אחד כגון מספרינו זה שתוספת קצת על קצת הוא שליש נגרע ממנו האחד ישארו שנים והשבר הנגזר משנים הוא החצי ונקח החצי מהמספר האחרון אחר שנגרע ממנו הראשון יהיה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא תשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם
$\scriptstyle\sum_{k=1}^n q^k=q^n+\frac{q\sdot\left(q^n-q\right)}{q^2-q}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3+9+27+81+243+729&\scriptstyle=729+\frac{3\sdot\left(729-3\right)}{9-3}\\&\scriptstyle=729+\frac{2178}{6}\\&\scriptstyle=729+363\\\end{align}}}$	הדרך הב' שתכה המספר הראשון שהוא הג' עם התשכ"ט שהוא המספר האחרון אחר שתגרע ממנו הראשון יעלה שני אלפים וקע"ח חלקנום על המותר שבין הב' לראשון שהוא ששה יעלה שס"ג הוספנום על המספר האחרון שהוא התשכ"ט יעלה אלף ופ"ט וככה קבוצם
$\scriptstyle2^n=\left(2^\frac{n}{2}\right)^2$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{64=8^2}}$	ואם התחלתם מהאחד והם מיוחסים יחס הכפל כגון מספרי א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד ורצית לדעת מספר המדרגה האחרונה או איזו מדרגה שתהיה תכה האמצעית בעצמה כגון הח' במשלינו זה יעלה ס"ד
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{n}{2}-a\right)\sdot{2^\left(\frac{n}{2}+a\right)}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{64=4\sdot{16}=2\sdot{32}}}$	או שני המדרגות הרחוקות מהאמצעית ריחוק שוה כגון הד' עם הי"ו או השנים עם הל"ב
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1\right)\sdot{2^\frac{2m}{2}}$	ואם היה מספר המדרגות זוג תכה השני אמצעים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{32=4\sdot{8}}}$	כגון שרצית לדעת מספר המדרגה הו' תכה המדרגה השלישית עם הרביעית שהוא הד' עם הח' ויעלה ל"ב
$\scriptstyle2^n=2^\left(\frac{2m}{2}-1-a\right)\sdot{2^\left(\frac{2m}{2}+1\right)}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{32=2\sdot{16}}}$	או ב' המדרגות הרחוקות שהם ריחוק שוה כגון הב' עם הי"ו ויעלה ל"ב וזהו מספר המדרגה הששית

Arithmetic progression
	ואם הם על יחס מספרי וזה על ג' מינים או התחלתם שוה לתוספתם או פחות או יותר
$\scriptstyle a_1=d$	ואם התחלתם שוה לתוספתם יתחילו מהאח' או לא יתחילו
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 3k}}$	כגון מספרי ג' ו' ט' י"ב ט"ו י"ח כ"א שתוספת אלו על אלו שוה למספר הראשון והוא הג‫'
	יש בזה ב' דרכים‫:
$\scriptstyle S_n=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot{a_n}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot{21}=4\sdot{21}}}$	הראשון שתקח חצי כמות המדרגות בתוספת חצי ז' שהוא במשלינו זה ד' ותכהו במספר האחרון שהוא הכ"א יעלה פ"ד
$\scriptstyle S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot{n}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(3+21\right)\right]\sdot{7}=\left(\frac{1}{2}\sdot{24}\right)\sdot{7}=12\sdot{7}}}$	והב' שתחבר הראשון עם האחרון יהיו כ"ד ותקח חצים והוא י"ב ותכם במנין המדרגות והוא ז' יעלה פ"ד
$\scriptstyle a_1<d$	ואם התחלתם פחות מתוספתם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^8 \left[\left[2\sdot\left(k-1\right)\right]+1\right]}}$	כגון א'ג' ה'ז' ט' י"א י"ג ט"ו שתוספתם שנים והתחלתם מהאחד
$\scriptstyle S_n=\left[\left[\left(d-a_1\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot{n}\right]$ Example: ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle1+3+5+7+9+11+13+15&\scriptstyle=\left[\left[\left(2-1\right)+15\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{8}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left[\left(2-1\right)\sdot{8}\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(1+15\right)\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-\left(1\sdot{8}\right)\\&\scriptstyle=\left[16\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]-8=72-8\\\end{align}}}$	נוסיף המגרעת שהוא אחד על המספר האחרון שהוא ט"ו יהיו י"ו ונכם בחצי המדרגות בתוספת חצי שהם ד' וחצי יעלה ע"ב נגרע מהם הכאת המגרעת עם כל המדרגות שהוא הכאת האח' בח' שהם מנין המדרגות יעלה ח' נגרעם מהע"ב ישארו ס"ד וככה קבוצם
$\scriptstyle S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]\sdot{n}$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7+9+11+13+15=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+15\right)\right]\sdot{8}=\left(\frac{1}{2}\sdot{16}\right)\sdot{8}=8\sdot{8}}}$	ואם תרצה להשתמש בדרך הב' שנחבר הא' עם הט"ו יהיו י"ו ונקח חציים שהוא ח' ותכם במנין המדרגות שהם ח' יהיו ז' ס"ד וככה קבוצם
$\scriptstyle a_1>d$	ואם יותר מתוספתם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^7 \left(3k+2\right)}}$	כגון מספרי ה'ח' י"א י"ד י"ז כ' כ"ג
$\scriptstyle S_n=\left[\left[\left(a_1-d\right)+a_n\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(a_1-d\right)$ Example: ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left[\left[\left(5-3\right)+23\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-\left(5-3\right)\\&\scriptstyle=\left[\left(2+23\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2\\&\scriptstyle=\left[25\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)+\frac{1}{2}\right]\right]-2=100-2\\\end{align}}}$	תוסיף היתר על התוספת שהוא ב' על המספר האחרון שהוא כ"ג יהיו כ"ה הכם בחצי המדרגות בתוספת חצי יהיו ק' גרע התוספת שהוא ב' ישאר צ"ח וככה קבוצם
$\scriptstyle S_n=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\right]\sdot\left(a_1+a_n\right)$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{23-5}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\frac{18}{3}+1\right]\right]\sdot\left(5+23\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot{7}\right)\sdot\left(5+23\right)\\\end{align}}}$	ואם תרצה חסר הראשון שהו' הה' מן האחרון שהוא כ"ג ישארו י"ח תחלקהו על מספר תוספתם שהוא ג' והיוצא תוסיף עליו א' יהיו שבעה ושמרם אח"כ חבר הראשון והאחרון והכם בחצי השבעה
$\scriptstyle S_n=\left[\frac{a_n-a_1}{d}+1\right]\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_n\right)\right]$ Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5+8+11+14+17+20+23&\scriptstyle=\left(\frac{23-5}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(\frac{18}{3}+1\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\&\scriptstyle=7\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(5+23\right)\right]\\\end{align}}}$	או תקח חציים ותכם עם השבעה וככה קבוצם
$\scriptstyle a_1=d$	ואם תרצה תדע אם המספר שממנו צמיחתם שוה לתוספתם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=3}^{10} 2k}}$	כגון מספרי ו' ח' י' י"ב י"ד י"ו י"ח כ‫'
$\scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k=\sum_{k=1}^n a_k-\sum_{k=1}^{m-1} a_k$	תדע מנין המדרגות שממספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ותדע קבוץ המספרים על דרך הקודם ושמרהו ואח"כ תדע מנין המדרגות שהם מהמספר שממנו צמיחתם עד המספר הקודם לראשון מדרגה אחת ותדע קבוצם על דרך הקודם ותגרע זה מהשמור
$\scriptstyle a_1<d$	ואם המספר שממנו צמיחתם פחות מתוספתם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{k=1}^5 \left(3k+2\right)}}$	כגון מספרי ה'ח' י"א י"ד י"ז
$\begin{align}\scriptstyle\sum_{k=m}^n a_k&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(\frac{1}{2}\sdot{n}\right)+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_n+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot{n}\right]\right]\\&\scriptstyle-\left[\left[\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(m-1\right)\right]+\frac{1}{2}\right]\sdot\left[a_{m-1}+\left(d-a_1\right)\right]\right]-\left[\left(d-a_1\right)\sdot\left(m-1\right)\right]\right]\\\end{align}$	תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ותוסיף המגרעת על המספר האחרון ותדע מנין קבוצם ע"ד הקודם תכה חצי כמות המדרגות בתוספת חצי עמו ותגרע מהעולה הכאת המגרע' עם מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון ושמור הנשאר אח"כ תדע מנין המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר המדרגה הראשונה ותחבר עמו מספר המגרעת עם כל המדרגות ותכהו עם חצי המדרגות בתוספת חצי ותגרע מהעולה הכאת המגרעת עם כל המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המדרגה הקודמת למספר הראשון והנשאר תגרעהו מהשמור והוא המבוקש
	ולידע מנין המדרגות וגם לידע אם המספר הא' שממנו צמיחתם שוה לתוספתם תחלק המספר האחרון על מספר תוספתם
$\scriptstyle a_1=d\longrightarrow\frac{a_n}{d}=n$	ואם יצא בחילוק שוה מה שיצא בחילוק הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והתחלתם שוה לתוספתם
$\scriptstyle a_1\neq{d}\longrightarrow\frac{a_n-a_1}{d}+1=n$	ואם נותר שום מספר מה שיצא בחילוק בתוספת אחת הוא מספר המדרגות שמהמספר שממנו צמיחתם עד המספר האחרון והנותר הוא המספר שממנו צמיחתם והבן
$\scriptstyle a_n=d\sdot\left(n-1\right)+a_1$	ואם המספר האחרון הוא אשר רצית לידע הכה המותר עם מספר המדרגות חסר אחת והוסיף על העולה מספר הראשון והבן
	ויש דרכים אחרים מיוחדים בנושא מיוחד וג"כ עניינים אחרים לידע שאלות החשבון וכו‫'

Multiplication of Fractions

הכאת השברים

Multiply the numerator by the numerator, then relate [the product] to the product of the denominator by the denominator.

\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot c}{b\sdot d}

שתכה הכמות עם הכמות וניחסהו אל הכאת האיכות עם האיכות

Or we multiply the product of the denominators by itself, then we relate to it the result of multiplication of the products of the numerator of one by the denominator of the other.

\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot\left(c\sdot b\right)}{\left(b\sdot d\right)^2}

או נכה העולה מהכאת האיכות בפני עצמו ונייחס אליו הכאת העולה מהכאת כמות האח' עם איכות חבירו זה בזה

$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}\sdot\frac{a_2}{b_2}\cdots\frac{a_n}{b_n}\sdot{n}=\frac{a_1\sdot{a_2}\cdots{a_n}\sdot{n}}{b_1\sdot{b_2}\cdots{b_n}}$

וכן אם היו מיוחסים אל שלמים שברי שברים ושברי שברי שברים וכן עד אין תכלית נכה כל האיכיות זה בזה ומה שיתקבץ עם השלימים ואם היו שלמים אחדים או שברי שברים של שלמים תחזור ותכה כל הכמיות על הסדר ותיחס ~~ואם תרצה~~ המקובץ אל הכאת האיכות זה בזה

ואם תרצה לקבץ מספרים מוכים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)}}

כגון שרצית לידע קבוץ הכאת שני רביעיות עם ב' ששיות עם קבוץ הכאת ד' חומשיות עם ה' ששיות מבלתי שתצטרך תחלה להכות ואח"כ לקבץ אבל יצא הכל מתוקן ביחד

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

Multiply all the denominators by each other, the result is 720, save it. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}$

תכה האיכיות כלם זה בזה יעלה תש"כ ותשמרם

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second and they are 120 $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot2\sdot5\sdot6=120}}$

אח"כ תכה כמות הראשונים עם איכות השניים יהיו ק"ך

[Multiply] the numerator of the second by the denominator of the first and the result is 480 $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot4\sdot6=480}}$

וכמות השניים עם איכות הראשונים יעלה ת"ף

Add them to 120, they are 600 $\scriptstyle{\color{blue}{120+480=600}}$

חברם אל ק"ך יהיו ת"ר

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)+\left(\frac{4}{5}\times\frac{5}{6}\right)=600:720=\frac{600}{720}=\frac{5}{6}}}$

יחסם אל תש"כ יהיו ת"ר חלקים מתש"כ והם ה' שישיות וככה העולה מקבוץ הכאת אלו עם קבוץ הכאת אלו

$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\right)+\left(\frac{a_3}{b_3}\times\frac{a_4}{b_4}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n-1}}{b_{n-1}}\times\frac{a_n}{b_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{a_2}\sdot{b_3}\cdots{b_n}\right)+\left(a_3\sdot{a_4}\sdot{b_1}\sdot{b_2}\sdot{b_5}\cdots{b_n}\right)+\cdots+\left(a_{n-1}\sdot{a_n}\sdot{b_1}\cdots{b_{n-2}}\right)}{\prod_{k=1}^n b_k}\\\end{align}$

וכן על דרך זה ירבו המספרים מה שירבו תכה כמיות כל המספר עם כל האיכיות

$\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}\right)\times\left(\frac{a_3}{b_3}+\frac{a_4}{b_4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_1\sdot{b_2}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{b_3}\sdot{a_4}\right)+\left(a_2\sdot{b_1}\sdot{a_3}\sdot{b_4}\right)}{\prod_{k=1}^4 b_k}\\\end{align}$

ואם תרצה ע"ד הקיבוץ שרצית להכות קבוץ זה עם קבוץ זה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)}}

כגון שרצית לידע כמה העולה מהכאת הב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם ה' ששיות בזול' שתקבצם ואח"כ להכותם אבל יצא הכל מתוקן בפעם אחת תסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the denominator of the third and the numerator of the fourth, they are 300, keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot5\sdot5=300}}$

תכה כמות הראשון עם אכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' יהיו ש' ושמרם

Multiply the numerator of the first by the denominator of the second, the numerator of the third and the denominator of the fourth, they are 288, keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot6=288}}$

אח"כ תכה כמות הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' יהיו רפ"ח ושמרם

Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the denominator of the third and the numerator of the fourth, they are 200, keep them. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot5\sdot5=200}}$

אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון ועם איכות הג' וכמות הד' יהיו ק"ק ושמרם

Multiply the numerator of the second by the denominator of the first, the numerator of the third and the denominator of the fourth, they are 192. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot4\sdot6=192}}$

אח"כ תכה כמות הב' עם איכות הראשון וכמות הג' ואיכות הד' יהיו קצ"ב

Sum the four reserved, the result is 980 $\scriptstyle{\color{blue}{300+288+200+192=980}}$

חבר הד' השמורים יעלה תתק"ף

Multiply the denominators by each other, the result is 720 $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot6\sdot5\sdot6=720}}$

ותכה המורים זה בזה עד כלותם יעלה תש"כ

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)\times\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}\right)=980:720}}

יחס התתק"ף אליהם הוא העולה מהכאת קבוץ ב' רביעיות עם שני ששיות עם קבוץ ד' חומשיות עם חמשה ששיות

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)\div\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

שתחלק העולה מההכאה על השב' אחד מהמוכים איזה שתרצה ויעלה השבר האחד בחלוקה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)\div\frac{2}{4}=\frac{4}{24}\div\frac{2}{4}=\frac{2}{6}}}

כיצד הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד נחלקם על הב' רביעיות יצא בחילוק שני ששיות

ודרך החלוק יתבאר במקומו בעה"ו

$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{c}{d}\right)\times\frac{a}{b}\right]+\left(\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}\right)=\frac{a}{b}$

מאזנים אחרים שתכה ההב' שבין השבר הקטן עד תשלום הא' שלם עם חבירו ונקבץ העולה עם העולה מהכאה ראשונה וישוה לשבר הגדול

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(1-\frac{2}{6}\right)\times\frac{2}{4}\right]+\left(\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}\right)&\scriptstyle=\left(\frac{4}{6}\times\frac{2}{4}\right)+\frac{4}{24}\\&\scriptstyle=\frac{8}{24}+\frac{4}{24}=\frac{12}{24}=\frac{2}{4}\\\end{align}}}

במשל זה הכינו ב' רביעיות עם ב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד לקחנו השבר הקטן והוא הב' ששיות וההבדל שבינו ובין השלם ד' ששיות הכינום עם ב' רביעיות שהוא השבר הגדול ועלה ח' חלקים מכ"ד קבצנו אותם עם הד' חלקים מכ"ד שהיא ההכאה הראשונה והם י"ב חלקים מכ"ד והם הב' רביעיות

ואם תרצה לאמת אם הם בעצמם הב' רביעיות סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{2}{4}$	$\scriptstyle\frac{1}{2}\;\frac{2}{4}$

$\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\longleftrightarrow b\times{c}=d\times{a}$

ותכה אלכסונות כמות הא' עם איכות חבירו וישו' העולה מהכאת כמות האחד עם איכות חבירו והבן

$\scriptstyle\frac{a}{b}\times\frac{c}{d}=\frac{a\sdot{c}}{b\sdot{d}}\longrightarrow\left(a\sdot{c}\right):x=\frac{a}{b}\longleftrightarrow x:\left(b\sdot{d}\right)=\frac{c}{d}$

מאזנים אחרים נקח כמות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים ונבקש מספר שיהי' יחסו אליו יחס השבר האח' מהשברים המוכים איזה שתרצה ואם היחס מספר המבוקש אל איכות השבר היוצא מהכאת השברים המוכים שוה אל יחס השבר הנשאר צדקת

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{4}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{6}}}

במשלינו זה הכינו הב' רביעיות עם הב' ששיות ועלה ד' חלקים מכ"ד נבקש מספר שיהיה מיוחס אליו הד' שהוא הכמות היוצא מהכאת השברים המוכי' יחס ב' רביעיות או ב' ששיות

ודרך ידיעת זה הוא שנסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot{4}}{2}=\frac{16}{2}=8\longrightarrow 4:8=\frac{2}{4}\longleftrightarrow 8:24=\frac{2}{6}}}

ונכה האלכסונות שהם ד' עם ד' יעלה י"ו נחלקם על השנים שהוא איכות הב' רביעיות יעלה ח' ונשים אותו תחת הד' הב' נמצא שארבעה מח' הוא יחס הב' רביעיות וניחס מספר המבוק' שהוא הח' אל איכות השבר היוצא מההכאה שהוא כ"ד ונמצא שהם ב' ששיות ממנו וזהו השבר האחד הנשאר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\times\frac{2}{6}=\frac{4}{24}\longrightarrow 4:x=\frac{2}{6}\longleftrightarrow x:24=\frac{2}{4}}}

ואם תרצה לעשות המאזנים בהכ' שתבקש מספר שיהיה יחסו הד' אליו כיחס הב' שישיות

וזה בשנסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{12}\;\frac{2}{6}$

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot{4}}{2}=\frac{24}{2}=12\longrightarrow 4:12=\frac{2}{6}\longleftrightarrow 12:24=\frac{2}{4}}}

ותכה האלכסון שהוא הו' עם הד' יעלה כ"ד חלקם על הב' יעלה י"ב בחלוקה ותשימים תחת הד' ותקח הי"ב ותיחסם אל הכ"ד והם ב' רביעיו' ממנו והוא בעצמו השבר האחר

Addition of Fractions

קבוץ השברים

$\scriptstyle\frac{a_1}{b_1}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq{k}}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k}$

המין הב' הוא קבוץ השברים והוא שאם תרצה לקבץ שברים ידועים תכה כמות האח' עם כל האכיות זולת מה שתחתיו ותיחסהו אל הכאת האיכיות זה בזה או תחלקהו עליהם ותעשה אותם כלילת יופי רצוני שתראה לאיזה מהם מתחלק ראשונה ותחלקהו עליו ואח"כ על הב' עד תומם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}}}

דמיו' רצינו לקבץ שני רביעיות וד' שמניות וג' תשיעיות נסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{3}{9}\;\frac{4}{8}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{4}{8}+\frac{3}{9}&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot{8}\sdot{9}\right)+\left(4\sdot{4}\sdot{9}\right)+\left(3\sdot{8}\sdot{4}\right)}{4\sdot{8}\sdot{9}}\\&\scriptstyle=\frac{144+144+96}{288}\\&\scriptstyle=\frac{384}{288}=1+\frac{96}{288}=1+\frac{3}{9}\\\end{align}}}

תכה הב' שהוא הכמות הא' עם הח' שבאלכסונות ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם אח"כ תכה כמות השני והוא הד' עם הד' שבאלכסונות שהוא איכות הראשו' ומה שיתקבץ עם הט' שהוא איכות הג' יעלה קמ"ד ושמרם ג"כ תכה כמות הט' והוא הג' עם איכות הד' והוא הח' ומה שיתקבץ עם איכות הב' והוא הד' יעלה [.] צ"ו חברם עם הב' המספרים השמורים יעלה שפ"ד אח"כ נכה כל האכיות זה בזה יעלה רפ"ח והם השפ"ד מהם א' שלם וצ"ו חלקים מרפ"ח ואם תרצה לחלק השפ"ד על המורים כשתחלקהו תחלה על הח' אח"כ לד' אח"כ לט' כדי שיצאו לך החלקים נאותים ויעלה בחלוקה א' שלם וג' תשיעיות והם הצ"ו חלקים מרפ"ח

והמופת שתסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{96}{288}\;\frac{3}{9}$

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{96\sdot{9}=288\sdot{3}}}

ותכה האלכסונו' ויהיו שוים זהו הדרך הא‫'

$\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)>\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=1-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]$

והדרך הב' שתקח החסרון אשר יחסר מהשבר הא' עד תשלומו לא' שלם ונחסר ממנו השבר הא' הנקבץ עמו אם היה החסרון גדול ממנו והיוצא קח החסר ממנו עד תשלום הא' שלם והוא סך הב' שברים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}}}

דמיון רצית לקבץ שני רביעיות עם ב' תשיעיו' תסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{2}{9}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{9}=1-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{9}\right]=1-\left(\frac{2}{4}-\frac{2}{9}\right)=1-\frac{10}{36}=\frac{26}{36}}}

ותקח החסר מהב' רביעיות עד תשלום א' שלם והם שני רביעיות אחרים ותחסר מהם הב' תסיעיות ישארו י' חלקים מל"ו וקח החסר מהם עד תשלום האחד שלם והם כ"ו חלקים מל"ו וככה קבוצם

$\scriptstyle\left(1-\frac{a}{b}\right)<\frac{c}{d}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}=\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]+1$

ואם מה שחסר לא' שלם הוא יותר קטן מהשבר הב' באופן שלא תוכל מחסר ממנו השבר הא‫'

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}+\frac{5}{6}}}

כגו' ד' תשיעיו' עם ה' ששיות

$\scriptstyle\frac{5}{6}\;\frac{4}{9}$

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1-\frac{4}{9}\right)=\frac{5}{9}<\frac{5}{6}}}

שחסר לד' תשיעיות לתשלום אח' שלם הוא ה' תשיעיו' והם פחות מה' ששיות

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}&\scriptstyle=\left[\frac{5}{6}-\left(1-\frac{4}{9}\right)\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{5}{6}-\frac{5}{9}\right)+1=\frac{15}{54}+1\\\end{align}}}

הנה נחסר הה' תשיעיות מהה' ששיות ישאר ט"ו חלקים מנ"ד והם התוספת על הא' השלם וקבוצם הוא א' שלם וט"ו חלקים מנ"ד

$\scriptstyle\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]\right]+1+1$

ואם תרצה לקבץ עוד שב' ג‫'

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}}}

כאלו משל ו' שביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]=1-\frac{15}{54}=\frac{39}{54}<\frac{6}{7}}}

הנה תעשה הדרך הקודם בעיון שתשלים הט"ו חלקים מנ"ד לא' שלם והוא ל"ט חלקים מנ"ד ובעבור שהשש שביעיות יותר מל"ט חלקים מנ"ד

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{4}{9}+\frac{5}{6}+\frac{6}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{6}{7}-\left[1-\left[\left(\frac{4}{9}+\frac{5}{6}\right)-1\right]\right]\right]+1+1\\&\scriptstyle=\left[\frac{6}{7}-\left(1-\frac{15}{54}\right)\right]+1+1=\left(\frac{6}{7}-\frac{39}{54}\right)+1+1=\frac{51}{378}+1+1\\\end{align}}}

הנה נחסר מהם ל"ט חלקים מנ"ד ישאר נ"א חלקים משע"ח והם התוספת על הא' השלם והא' השמור שבידינו הם ב' והם ב' ונ"ח חלקים משע"ח

$\scriptstyle\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[1-\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-1\right]\right]-\frac{e}{f}\right]+1$

וכן אם היית צריך לחסר השבר האחד ממנו כגון שהיה אשר יחסר ליוצא גדול ממנו הנה ממה שישאר תשלימהו לא' והוא סך הג' שברים הנקבצים וכן בזה הדרך תוכל לקבץ עד אין תכלית

ואם תרצה להשתמש בדרך אחרת והוא שתקח היוצא טרם שתחסרהו או תוסיפהו

$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\frac{e}{f}-\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]\right]+1$

ואם היה היוצא מאשר יצטרך להשלים לאחד וג"כ היה קטן מהג' אשר תרצה לקבץ עם הב' האחרים הנה תחסרהו מהשבר ההוא והיוצא הוא התוספת על השלם הא‫'

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}}}

ד"מ ואם רצית לקבץ ב' רביעיות עם ב' שישיות וד' שביעיו' סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{4}{7}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{4}{7}&\scriptstyle=\left[\frac{4}{7}-\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]\right]+1\\&\scriptstyle=\left(\frac{4}{7}-\frac{4}{24}\right)+1\\&\scriptstyle=\frac{68}{168}+1\\\end{align}}}

הנה תקח החסר מב' רביעיות עד הא' השלם ונחסר ממנו שני ששיות נשאר ד' חלקים מכ"ד ונצטרך להשלים לאחד ובזה יודע סך הג' שברים הנה לא תשלימהו לאחד אלא תקחם כמות שהם ונחסרם מהשבר הג' שהוא ד' שביעיו' ישאר ס"ח חלקים מקס"ח והם התוספת על אח' שלם תמצא סך קבצם עולה א' ס"ח חלקים מקצ"ח

$\scriptstyle\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=1-\left[\left[\left(1-\frac{a}{b}\right)-\frac{c}{d}\right]-\frac{e}{f}\right]$

ואם היוצא גדול מהשבר אשר תרצה לקבצו

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}}}

כגון שהוספנו במקום הד' שביעיות עשירית כזה הצורה

$\scriptstyle\frac{1}{10}\;\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]=\frac{4}{24}>\frac{1}{10}}}

שהנה הד' חלקים מכ"ד הם יותר גדול מעשירית

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{2}{6}+\frac{1}{10}&\scriptstyle=1-\left[\left[\left(1-\frac{2}{4}\right)-\frac{2}{6}\right]-\frac{1}{10}\right]\\&\scriptstyle=1-\left(\frac{4}{24}-\frac{1}{10}\right)\\&\scriptstyle=1-\frac{16}{240}=\frac{224}{240}\\\end{align}}}

הנה נחסר העשירית מהם ישארו י"ו חלקים מר"ם הם נשלימם לא' שלם רכ"ד חלקים מר"ם וככה קבוצם של ג' השברים

$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]<\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[\left[\frac{e}{f}-\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]\right]+1\right]+1$

ואם היוצא מאשר נצטרך להוסיף על השלם האחד הנה נשמור השלם ונבקש החסרון אשר יחסר מהיוצא עד תשלום הא' השלם

$\scriptstyle\left[1-\left[\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]\right]>\frac{e}{f}\longrightarrow\frac{a}{b}+\frac{c}{d}+\frac{e}{f}=\left[1-\left[\left[1-\frac{c}{d}-\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-\frac{e}{f}\right]\right]+1$

ואם היה החסרון ההוא קטן מהשבר הג' הנקבץ עם האחרים הנה נחסרהו ממנו היוצא נוסיף עליו אחד ועם הא' השמור בידינו והוא סך השבר

ואם היה החשבון גדול מהשבר הג' הנקבץ הנה תחסר השבר ממנו והיוצא תשלימהו לא' שלם והוסיף עליו הא' השמור אשר בידנו והוא סך הג' שברים והבן

Another algorithm

והדרך הג' לקבוץ

Two types of numbers:

צריך לידע הקדמה א': והוא שהמספרים ב' מנים נבדלים משותפים

1) Coprime numbers - do not share common divisor other than 1

הנבדלים הם שלא ימנה לשנים מספר זולת הא‫'

2) Associated [= relatively composite] numbers - two types:

והמשותפים שני מינים‫:

1) One is a divisor of the other

או ימנה האח' את חברו

2) They share a common divisor

או לא ימנהו אלא שיש מספר אח' ימנה את שניהם

\scriptstyle a\sdot{b}\div{a}=b

והדרך אל ידיעת אלו המנים בשתחלק הגדול על הקטן והחלק היוצא בחלוק מורה על קטן היחס

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{100\div{10}=10\longleftrightarrow 100=10\times{10}}}

כי אם היו שני המספרים המתיחסים עשרה וק' תחלק הק' על הי' ויצא בחלוקה י' ואלה הם הי' מורים שק' י' פעמים כפל הי‫'

Finding the reduced ratio of two associated numbers (a·b):(c·b)

\scriptstyle\left(a\sdot b\right)\div\left(c\sdot b\right)=\left[\left(a\sdot b\right)\div b\right]\div\left[\left(c\sdot b\right)\div b\right]=a\div c

ואם ישאר כלום תחלק המספר הקטן על המותר אח"כ המותר האח' על המותר הב' ולא תסור מחלוק המותר על המותר עד שיכלה המספר שלא ישאר בו מותר והוא גדול המספר אשר ימנם יחד, אח"כ חלק המספר הקטן עליו והעולה שמרהו גם בקש מספר הפעמים אשר ימנהו הגדול וזה כשתחלקהו עליו והעולה שמרהו והב' שמורים הם קטני היחס ההוא

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{12:27=12\div27=\left(12\div 3\right)\div\left(27\div 3\right)=4\div 9=\frac{4}{9}}}

המשל השות' י"ב והמספר הקטן כ"ז חלקהו הכ"ז על הי"ב נשארו ג' חלקנו עליהם הי"ב ולא נשאר כלום ולכן מצינו שגדול המספר אשר ימנם יחד הוא ג' בקשנו מספר הפעמים אשר ימנה הי"ב הוא בשחלקנו הי"ב על הג' ועלה ד' ושמרנום חלקנו הכ"ז על הג' ועלה ט' ושמרנום וידענו שהד' והט' הם קטני היחס ההוא ולכן ידענו שהי"ב יחסו אל הכ"ז ד' תשיעיות

Finding the common denominator of two fractions

ולכן כשתרצה לדעת קטן המספרים אשר ימצאו בו השברים המונחים איזה שברים שיהיו

The denominators of the fractions are coprime numbers: $\scriptstyle LCM\left(p,q\right)=p\sdot q$

עם איכיותיהם נבדלים זה מזה יוכו זה עם זה והעולה הוא קטן המספר אשר מצאו בו אלו החלקים ההם המונחים

The denominator of one of the fractions is a divisor of the other: $\scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),b\right]=a\sdot b$

אם יהיו משותפים והאח' מונה אחר המספר הגדול הוא קטן היחס אשר ימצאו השברי' המונחים

The denominators of the fractions share a common divisor: $\scriptstyle LCM\left[\left(a\sdot b\right),\left(c\sdot b\right)\right]=\left(a\sdot b\right)\sdot c=a\sdot\left(c\sdot b\right)$

ואם לא ימנהו אלא שיש מספר ימנם יחד נבקש קטן יחסם ע"ד הקודם ונכה המספר הגדול מב' האיכות המונחים עם המספר הקטון מב' איכות קטן היחס

או נכה המספר הקטן מב' איכיות המונחים עם המספר הגדול מב' איכיות קטן היחס והעולה הוא קטן המספר אשר ימצאו בו ב' שברים ההם

For more than two fractions: finding the common denominator of two of them

ואם היו השברים רבים תעש' בזה הדרך עצמו תמצא קטן היחס אשר ימצאו בו ב' שברים ההם לפי מה שקדם

The third fraction is a divisor of their common denominator

עם השבר הג' מונהו הנה קטן היחס אשר ימצאו בו השברים הקודמים בו ג"כ ימצא קטון היחס של הג' שברים

The third fraction is and their common denominator are coprime numbers

ואם הם נבדלים נכהו עמו

The third fraction and their common denominator share a common divisor

ואם מספר אחד ימנם יחד נכה המספר הקטון יחסם עם המספר הגדול שהוא המספר קטן היחס אשר נמצא בו הב' שברים הקודמים

The same way for more fractions

וכן ע"ז הדרך ירבו השברי‫'

\scriptstyle\sum_{k=1}^n \frac{a_k}{b_k}=\frac{\sum_{k=1}^n \left[\frac{a_k}{b_k}\sdot LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)\right]}{LCM\left(b_1,b_2,\cdots,b_n\right)}

ולכן אם תרצה לקבץ שברים מה הנה ניקח קטון היחסם ע"ד האמור ונחלקהו על כל האיכיות כפי מנין כמותם ונשמור כל אחד בפני עצמו אח"כ נקבצם ונחלקם על מספר קטון יחסם וזהו העולה

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}}}

ד"מ בזה רצינו לקבץ ב' רביעיות וד' ששיות וח' תשיעיות וה' שמניות סדרם ככה

$\scriptstyle\frac{5}{8}\;\frac{8}{9}\;\frac{4}{6}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{ LCM\left(4,6\right)=LCM\left[\left(2\sdot2\right),\left(3\sdot2\right)\right]=2\sdot6=3\sdot4=12}}

\scriptstyle{\color{blue}{\left(12\sdot9\right)\sdot4=108\sdot4=432}}

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{2}{4}+\frac{4}{6}+\frac{8}{9}+\frac{5}{8}&\scriptstyle=\frac{\left[2\sdot\left(432\div4\right)\right]+\left[4\sdot\left(432\div6\right)\right]\left[8\sdot\left(432\div9\right)\right]+\left[5\sdot\left(432\div8\right)\right]}{432}\\&\scriptstyle=\frac{216+288+384+270}{432}\\&\scriptstyle=\frac{1158}{432}\\&\scriptstyle=2+\frac{294}{432}\\\end{align}}}

והד' והו' ימנם מספר הב' כשתעשה הדרך האמור שנחלק הו' על הד' וישאר ב' אח"כ תחלק הד' על הב' ולא ישא' כלום ידענו שהשנים הוא מספר ימנם יחד ולכן נכהו עם הו' או נכה הג' שהוא מספר הפעמים שישנה הו' הב' עם ד' יעלה י"ב וזהו קטון היחס אשר יש בו רביעית וששית אח"כ ידענו שהט' הוא מספר נבדל מהי"ב ולכן הכנו אותו עם הט' יעלה ק"ח וע"ד הקודם מצאנו שהד' ימנה לח' ולק"ח והכנו הד' עם הק"ח ועלה תל"ב וזהו קטון המספר אשר ימצא בו רביעית וששית ותשיעית ושמנית ואח"כ חלקנו התל"ב על הו' ד' פעמים כמנין כמותם ועלה רפ"ח אח"כ חלקנו התל"ב על הט' ח' פעמים כמנין כמותם ועלה שפ"ד ושמרנום אח"כ חלקנו התל"ב על הח' ה' פעמים כמנין כמותם ועלה ר"ע חברנו הד' שמורים יעלה אלף וקנ"ח יחסם אל תל"ב יהיו שנים שלמים ורצ"ד חלקים מתל"ב וזה מה שרצינו לבאר

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)-\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$

שנחסר השבר הנשאר איזה מהם שתרצה וישאר האחר

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}+\frac{2}{6}}}

המשל קבצנו שני רביעיות עם ב' ששיות כזה

$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{4}$

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)-\frac{2}{6}=\frac{20}{24}-\frac{2}{6}=\frac{2}{4}}}

ועלה עשרים חלקים מכ"ד חסר מהם הב' רביעיות ונשארו שני ששיות או חסר הב' ששיות וישארו הב' רביעיות

$\scriptstyle\left[\left(\frac{a}{b}+\frac{c}{d}\right)+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]-1=\frac{c}{d}$

מאזנים אחרים שתקבץ עם המקובץ החסר משלימו איזה שבר שתרצה מהנקבצין עד האחד השלם והעולה תשליך ממנו אחד ואם הנשאר שוה לעולה מהנקבצין הנשארים צדקת

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{4}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{2}{4}\right)-1=\left(1+\frac{2}{6}\right)-1=\frac{2}{6}}}

כגון שלקחנו הב' רביעיות שחסר משלמותך השלם וקבצנום עם כ' חלקים מכ"ד יעלה א' וב' ששיות השלכנו האח' נשאר הב' ששיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{4}+\frac{2}{6}\right)+\left(1-\frac{2}{6}\right)\right]-1=\left(\frac{20}{24}+\frac{4}{6}\right)-1=\left(1+\frac{3}{6}\right)-1=\frac{3}{6}=\frac{2}{4}}}

או נקבץ החסר משני ששיות שהם ד' ששיות עם כ' חלקים מכ"ד יעלה אח' וג' שישיות והשלכנו האחד ונשאר ג' ששיות והם שני רביעיות והבן

Subtraction of Fractions

דרך החסור

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b\sdot d}$

ועתה נתחיל לבאר דרך החסור בע"ה ואו' שהדרך היותר כולל הוא שתכה כמות האחד עם איכות חבירו וכמות האחר עם איכות חבירו וחסר זה מזה והנשאר [תיחס] אל הכאת האיכות

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)-\left(c\sdot b\right)}{b}}{d}$

או תחלקהו על המורים ע"ד הקודם בשתעשה להם כלילת יופי והוא המבוקש

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}}}

דרך משל רצינו לחסר ג' שמניות מד' ששיות כזה הצורה

$\scriptstyle\frac{4}{6}\;\frac{3}{8}$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\frac{\left(4\sdot 8\right)-\left(3\sdot 6\right)}{6\sdot 8}=\frac{32-18}{48}=\frac{14}{48}=\frac{\frac{14}{6}}{8}=\frac{2+\frac{2}{6}}{8}=\frac{2}{8}+\frac{2}{6}\sdot\frac{1}{8}}}

תכה כמות הג' עם איכות הד' יהיו י"ח ותכה הכמות האחר עם איכות חבירו יהיו ל"ב תחסר מהם י"ח ישאר י"ד ותכה האיכיות והם הח' בו' יהיו מ"ח והם י"ד חלקים ממ"ח או תחלק הי"ד על הו' יעלה ב' וישארו ב' והם שני שמניות וב' ששיות וככה צורתם

$\scriptstyle\frac{2}{6}\;\frac{2}{8}$

והוא הנשאר מחסור הג' שמניות מד' ששיות

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=1-\left[\frac{c}{d}+\left(1-\frac{a}{b}\right)\right]$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=1-\left[\frac{3}{8}+\left(1-\frac{4}{6}\right)\right]=1-\left(\frac{3}{8}+\frac{2}{6}\right)=1-\frac{34}{48}=\frac{14}{48}}}

דרך אחרת שתשלים השבר הגדול שהוא ד' ששיות לא' שלם והנה השלמנום בשני ששיות קבצנום עם השבר הקטן והוא הג' שמניות יעלה ל"ד חלקים ממ"ח השלמנום לאח' שלם בי"ד חלקי' ממ"ח והוא המבוקש

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\frac{c}{d}=\left[\frac{a}{b}+\left(1-\frac{c}{d}\right)\right]-1$

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\frac{3}{8}=\left[\frac{4}{6}+\left(1-\frac{3}{8}\right)\right]-1=\left(\frac{4}{6}+\frac{5}{8}\right)-1=\left(1+\frac{14}{48}\right)-1=\frac{14}{48}}}

ואם תרצה קבץ החסר מהשבר הקטן והוא הג' שמניות השלמנום לאח' שלם בה' שמניות נקבצו עם הד' ששיות ועלה א' שלם וי"ד חלקים ממ"ח והשלכנו האחד השלם ומה שישאר הוא המבוקש

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle\left[\frac{a}{b}+\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)\right]-\frac{c}{d}=2\sdot\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)$

שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הגדול והעולה מקבוצם חסר ממנו הקטן והנשאר ממנו אם היה כפל הנשאר מהחסור צדקת

Example:

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\frac{4}{6}+\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)\right]-\frac{3}{8}&\scriptstyle=\left(\frac{4}{6}+\frac{14}{48}\right)-\frac{3}{8}\\&\scriptstyle=\frac{276}{288}-\frac{3}{8}\\&\scriptstyle=\frac{1344}{2304}\\&\scriptstyle=2\sdot\frac{14}{48}=2\sdot\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)\\\end{align}}}

במשלינו זה קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הד' ששיות ועלה רע"ו חלקי' מרפ"ח חסרנו מהם הג' שמניות ונשאר אלף ושמ"ד חלקים מהאלפים וש"ד והם כפל הי"ד חלקים ממ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{1344\sdot48=2304\sdot28}}

והמופת שתשי' ה[כ"]ד חלקים ממ"ח והאלף ושמ"ד חלקים מאלפים וש"ד בזאת הצורה

$\scriptstyle\frac{1344}{2304}\;\frac{28}{48}$

ותכה האלכסונות ויהיו שוים

$\scriptstyle\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)+\frac{c}{d}=\frac{a}{b}$

מאזנים אחרים שתקבץ הנשאר מחיסור השבר מהשבר עם השבר הקטן ואם ישוה לגדול צדקת

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)+\frac{3}{8}=\frac{14}{48}+\frac{3}{8}=\frac{4}{6}}}

הרי קבצנו הי"ד חלקים ממ"ח עם הג' שמניות ועלה ד' ששיות

$\scriptstyle\frac{a}{b}-\left(\frac{a}{b}-\frac{c}{d}\right)=\frac{c}{d}$

מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם ישוה לקטן דע שצדקת

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{6}-\left(\frac{4}{6}-\frac{3}{8}\right)=\frac{4}{6}-\frac{14}{48}=\frac{108}{288}=\frac{3}{8}}}

במשלינו זה חסרנו הארבעה עשר חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הג' שמיניות

והמופת שתסדרם ככה

$\scriptstyle\frac{3}{8}\;\frac{108}{288}$

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot288=8\sdot108}}

ותכה האלכסונות ויהיו שוים ודי למבין

מאזנים אחרים חסר הנשאר מהשבר הגדול והנשאר אם שוה לקטן דע שצדקת

במשלינו זה חסרנו הי"ד חלקים ממ"ח מד' ששיות ישארו ק"ח חלקים מרפ"ח והם הם הו' שמיניות

Combined Subtraction

\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_2}+\frac{a_2}{b_2}+\cdots+\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{d_2}+\frac{c_2}{d_2}+\cdots+\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^m \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^m d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^m d_i}\\\end{align}

ואולם אם רצית לחסר שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחסרם הנה תוכל להשתמש בזה הדרך

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)}}

$\scriptstyle\frac{1}{7}\;\frac{5}{6}\;\frac{4}{5}$	$\scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{1}{3}\;\frac{1}{2}$

Multiply all the denominators by each other, the result is 5040

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4=5040}}

תכה כל האיכיות זה בזה יעלה 5040

Multiply the [each] numerator of the subtrahend by all the denominators except its denominator, the result is 7980

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot3\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot6\sdot7\right)+\left(3\sdot2\sdot3\sdot5\sdot6\sdot7\right)=7980}}

ותכה כמות השבר הנחסר עם כל איכיות זולת איכותו וכן כל איכות הכמות מהנחסר יעלה 7980

Do the same with all the numerators [of the minuend], the result is 8952

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot6\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(5\sdot5\sdot7\sdot2\sdot3\sdot4\right)+\left(1\sdot5\sdot6\sdot2\sdot3\sdot4\right)=8952}}

וכן תעשה לכל הכמיות אשר יוחסרו השברים מהם ויעלה ח' אלפים ותתקנ"ב

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{5}+\frac{5}{6}+\frac{1}{7}\right)-\left(\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{3}{4}\right)=\frac{8952-7980}{5040}=\frac{972}{5040}}}$

ותחסר מהם הז' אלפים ותתק"ף ישארו תתקע"ב והם תתקע"ב חלקים מה' אלפים ומ‫'

\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}-\frac{c_n}{d_n}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\sum_{k=1}^n \left[a_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n b_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^m d_i\right)\right]-\sum_{k=1}^n \left[c_k\sdot\left(\prod_{i=1,i\neq k}^n d_i\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{k=1}^n b_k\sdot\prod_{i=1}^n d_i}\\\end{align}

ואולם אם רצית לדעת העולה מכל הנשארים מחסרונו' שברים רבים משברים רבים מבלתי שתצטרך לחסרם תחלה ואח"כ לקבצם

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}

לחסר החצי מב' שלישיות וג' רביעיות מד' חומשיות

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot2\sdot5\sdot4=120}}$

נכה האיכיות יעלו ק"כ

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3\sdot5\sdot4=60}}$

נכה כמות השבר הנחסר מהראשון עם כל האיכיות חוץ מאיכותו והם ס'

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot3\sdot2=90}}$

גם נכה כמות השבר הנחסר מהב' עם כל האיכיות זולת אכותו והם צ'

$\scriptstyle{\color{blue}{60+90=150}}$

קבצם עם הס' הם ק"נ

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot2\sdot5\sdot4\right)+\left(4\sdot4\sdot3\sdot2\right)=176}}$

אח"כ הכה השבר הגדול אשר ממנו יחוסר הקטן מהמין הראשון עם כל איכות זולת מאיכותו וכן כמות השבר הגדול אשר ממנו ויחוסר הקטן מהמין הב' וקבצהו עם הראשון והם קע"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{176-150}{150}=\frac{26}{150}}}$

נחסר מהם הק"נ וישארו כ"ו והם כ"ו חלקים מק"נ

\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{a_2}{b_2}\times\cdots\times\frac{a_n}{b_n}\right)-\left(\frac{c_1}{c_1}\times\frac{c_2}{c_2}\times\cdots\times\frac{c_m}{d_m}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(\prod_{i=1}^n a_i\right)\sdot\left(\prod_{j=1}^m d_j\right)\right]-\left[\left(\prod_{j=1}^m c_j\right)\sdot\left(\prod_{i=1}^n b_i\right)\right]}{\prod_{i=1}^n b_i\sdot\prod_{j=1}^m d_j}\\\end{align}

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מהכאת השברים אחדים עם שברים מבלתי שתצטרך לדעת העולה מהכאת השברים ההם

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)}}

כמו עד"מ רצית לדעת מחיסור העולה מהכאת החצי עם ב' שלישיות מהעולה מהכאת הג' רביעיות עם ד' חומשיות מבלתי שתצטרך להכות החצי עם הב' שלישיות והג' רביעיות עם הד' חומשיות הנה יסודרו בזה הדרך

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5\sdot2\sdot3=120}}$

נכה כל האיכיו' והם ק"כ

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5=40}}$

ונכה השברים הנחסרים הכמות עם הכמות והעולה עם איכות השברים הגדולים אשר יוחסרו הקטנים מהם והם מ'

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3=72}}$

ונכה כמות השברים הגדולים הכמות עם הכמות והעולה עם כל איכיות השברים הקטנים והם ע"ב

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)-\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)=\frac{72-40}{120}=\frac{32}{120}}}$

נחסר מהם מ' ישארו ל"ב והם ל"ב חלקים מק"כ

\begin{align}&\scriptstyle\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]}{b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2}\\\end{align}

ואולם אם רצית לדעת העול' מהכאת הנשאר מחיסור שברים מה משברים מה עם הנשאר מחיסור השברים מה משברים מה מבלתי שתצטרך לדעת הנשארים מהחסורים ההם כלל

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)}}

כמו עד"מ אם רצית לדעת העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מב' שלישיו' עם הנשאר מחיסור הג' רביעיות מהד' חמשיות הנה יסודרו ע"ז הדרך

$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

{\color{blue}{\scriptstyle\left(\frac{2}{3}-\frac{1}{2}\right)\times\left(\frac{4}{5}-\frac{3}{4}\right)=\frac{\left[\left(2\sdot2\right)-\left(1\sdot3\right)\right]\times\left[\left(4\sdot4\right)-\left(3\sdot5\right)\right]}{3\sdot2\sdot5\sdot4}}}

נכה האיכיות והם ק"כ

אח"ז נחסר העולה מהכאת אלכסון א"ג מהכאת אלכסון ב"ב והנשאר נשמרהו

גם נחס' העול' מהכאת אלכסון ג"ה מהעולה מהכאת אלכסון ד"ד והנשאר נשמרהו

ואח"ז נכה הנשאר עם הנשאר וההווה נייחסהו אל השמור הראשון וההוה הוא העולה מהכאת הנשאר מחסור החצי מהב' שלישיו' עם הנשאר מחסור הג' רביעיות מד' חמשיות

\begin{align}&\scriptstyle\left[\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)+\cdots+\left(\frac{a_n}{b_n}\times\frac{c_n}{d_n}\right)\right]-\\&\scriptstyle-\left[\left(\frac{a_{n+1}}{b_{n+1}}\times\frac{c_{n+1}}{d_{n+1}}\right)+\left(\frac{a_{n+2}}{b_{n+2}}\times\frac{c_{n+2}}{d_{n+2}}\right)+\cdots+\left(\frac{a_{n+m}}{b_{n+m}}\times\frac{c_{n+m}}{d_{n+m}}\right)\right]\\&\scriptstyle=\frac{\left[\sum_{k=1}^n \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]-\left[\sum_{k={n+1}}^{n+m} \left[\left(a_k\sdot c_k\right)\sdot\prod_{i=1,i\neq k}^{n+m} \left(b_i\sdot d_i\right)\right]\right]}{\prod_{i=1}^{n+m} b_i\sdot\prod_{i=1}^{n+m} d_i}\\\end{align}

ואולם אם רצית לדעת הנשאר מחסור העולה מקבוץ העולה מהכאות שברים מהעולה מקבוץ העולים מהכאת שברים מה מבלתי שתצטרך להכות ואח"ז לקבץ ואח"ז לחסר אבל יצאו לך שלשתן בפעם אחת

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]}}

עד"מ רצית להכות חצי עם ב' שלישיו' וג' רביעיות עם ד' חמשיות וג' שביעיות עם ד' חמשיות וב' שלישיות עם ג' רביעיות ואח"ז לקבץ העולה מהכאת החצי עם הב' שלישיות עם העולה מהכאת ג' רביעיות עם ד' חמשיו' והעולה מהכאת הג' שביעיות עם ד' חמשיות עם העולה מהכאת הב' שלישיות עם הרביע אח"ז לחסר ההוה מהקבוץ מההוה מהקבוץ לדעת הנשאר הנה יסודרו על זה הסדר

$\scriptstyle\frac{1}{4}\;\frac{2}{3}$	$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{7}$	$\scriptstyle\frac{4}{5}\;\frac{3}{4}$	$\scriptstyle\frac{2}{3}\;\frac{1}{2}$

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=50400}}$

נכה כל האיכיות והם נ' אלף ות'

$\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2\sdot4\sdot5\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=16800}}$

נכה כמות הב' שברים הראשונים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות על הסדר הזה חוץ מאיכיותיו והם י"ו אלף ות"ת

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot7\sdot5\sdot3\sdot4=30240}}$

גם נכה כמות הב' שברים השניי' העול' עם כל האכיות על הסדר חוץ אכיותיו והם ל' אלף ור"מ

$\scriptstyle{\color{blue}{16800+30240=47040}}$

ונקבצם עם י"ו אלפים ות"ת והם מ"ז אלף ומ' ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot3\sdot4\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=17280}}$

אח"ז נכה הב' שברים מהשלישיי' זה עם זה והעולה עם האכיות כולם חוץ מאכיותיהם והם י"ז אלף ור"פ

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot1\sdot7\sdot5\sdot2\sdot3\sdot4\sdot5=8400}}$

גם נכה כמות הב' שברים הרביעיים זה עם זה והעולה עם כל האיכיות חוץ מאכיותיהן והם ח' אלפים ות'

$\scriptstyle{\color{blue}{17280+8400=25680}}$

נקבצם עם הי' אלף ור"פ והם כ"ה אלף ותר"פ

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\times\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{3}{4}\times\frac{4}{5}\right)\right]-\left[\left(\frac{3}{7}\times\frac{4}{5}\right)+\left(\frac{2}{3}\times\frac{1}{4}\right)\right]=\frac{47040-25680}{50400}=\frac{21360}{50400}}}$

נחסרם מהשמור הב' וישארו כ"א אלף ש"ס והם כ"א אלף ש"ס [..] נ' אלף ות"ת

Division

Dividing a large number by a smaller number

Dividing a certain amount among people, giving each one twice as much as his friend

כאשר תרצה לחלק מספר מה אל אנשים מה ולתת לכל אח' כפל חבירו

Example: dividing 100 among four people, giving each one twice as much as his friend

כגון שתרצה לחלק ק' אל ד' אנשים ולתת לכל אחד כפל חבירו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle100\div\left(1+2+4+8\right)&\scriptstyle=100\div\left(3+4+8\right)\\&\scriptstyle=100\div\left(7+8\right)\\&\scriptstyle=100\div15\\\end{align}}}

ככה תעשה דע א' כמה יתחבר וזה שחלק הא' נקחהו כמו שהוא אח' והחלק ב' הרי ג' והחלק ג' ד' הרי ז' והחלק הד' ח' הרי ט"ו חלק ק' על ט"ו והיוצא הוא חלק הראשון ולדעת הב' כפלהו בו כן לעולם

ומזה תבין לכל השאלות שבזה המין והבן

Small number by a larger number

לחלק מספר מעט על מספר רב

The method: dividing the larger number by the smaller number

תחלק הרב על המעט

If there is no remainder - the result is the denominator: $\scriptstyle a\div\left(a\sdot b\right)=\frac{1}{\left(a\sdot b\right)\div a}$

אם יתחלק לו לשלמים בלתי תוספת ומגרע' הנה היוצא בחלק בצמצום הוא מורה החלק אשר הם כל השברים הנשאלים יחד מהשלם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{1\div4=\frac{1}{4\div1}}}

ר"ל שאם יצא בחלוק ד' הנה יבא לו רביעית הא' ובדומה לזה

If the remainder is 1: $\scriptstyle a\div\left[\left(a\sdot b\right)+1\right]=\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}\sdot\frac{a-1}{\left(a\sdot b\right)+1}\right)$

ואם לא יתחלק כלו לשלמים וישאר שום מספר הנה נוסי' אח' ועלה יוצא בחלוק ונחסר הנשאר מהמספר אשר חלקו ועליו ומה שישא' הם חלקים מכל המורים

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle7\div29}}

המשל רצינו לחלק ז' על כ"ט

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7\div29&\scriptstyle=\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(29-1\right)\div7\right]+1}\sdot\frac{7-1}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{6}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)\\\end{align}}}

נעשה ההפך נחלק הכ"ט על הז' יצא בחלוק ד' ובשביל שנשאר א' בלא נוסי' על הד' א' ויהיה ה' והוא ה' ונחסר הא' מז' ישארו ו' והם ו' חלקים מכ"ט בחמישית נוסף שהעלה חמישי' שיש בידינו

If the remainder is greater than 1: $\scriptstyle a\div\left[\left(a\sdot b\right)+c\right]=\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(a\sdot b\right)\div a\right]+1}\sdot\frac{a-c}{\left(a\sdot b\right)+c}\right)$

ואם תרצה שיצאו לך חלקים יותר

Example:

{\color{blue}{\scriptstyle6\div29}}

חלק הכ"ט על הו‫'

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6\div29&\scriptstyle=\frac{1}{\left[\left(29-5\right)\div6\right]+1}+\left(\frac{1}{\left[\left(29-5\right)\div6\right]+1}\sdot\frac{6-5}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{4+1}+\left(\frac{1}{4+1}\sdot\frac{1}{29}\right)\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{29}\right)\\\end{align}}}

יצא בחלוק ד' וישארו ה' נוסי' א' על הד' ויהיו ה' ונחסר הה' אל הו' כאמור וישאר א' והעולה הוא ה' א' וחמישית ה' א' וחלק מכ"ט מחמישית חמישית אחד וזו צורתם

$\scriptstyle\frac{ \;1\;1\;1}{29\;5\;5}$

Check: conversion of fractions

\scriptstyle\frac{a}{b}+\left(\frac{1}{b}\sdot\frac{c}{d}\right)=\frac{\left(a\times d\right)+c}{b\sdot d}

והמופת שנעשם פריטה

{\color{blue}{\scriptstyle\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{6}{29}\right)=\frac{\left(1\times 29\right)+6}{5}\div29=\frac{7}{29}}}

שתכה הא' בה' ותשא מה שעל ראש' ותכה הכל עם הכ"ט ותשא מה שעל ראשם ותחלק הכל לכל המורים זולת הכ"ט ויצא לך מספ' הז' שלם בלי תוספת ומגרעת

ואם לא יהיה במורים המספר אשר תרצה לחלק עליו המספר האחד

the last sentence is unclear

כגון אם רצית לחלק ו' לכ"ז שיבא לו חמישי' אח' בכ"ז ותחלקהו על כל המורי' זולתו ויצא לך בשוה המספר

Division of Fractions [= Converting Fractions]

מין החלוק מן השברים

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\longrightarrow\frac{2}{5}}}

רצית לחלק ג' רביעיות על שני חמישיות

$\scriptstyle\frac{2}{5}\;\frac{3}{4}$

$\scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{c}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{c}{d}\sdot\frac{a\sdot d}{b\sdot c}$

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{3\sdot5}{4\sdot2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\frac{15}{8}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}\sdot\left(1+\frac{7}{8}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\frac{7}{4\sdot5}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\frac{7}{20}\\&\scriptstyle=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

הכה הב' עם הד' יהיו ח' אח"כ הכה הג' עם הה' יהיו ט"ו חלק הט"ו על הח' יצא א' שלם הרי יצא לנו שני חמישיות ונשארו ז' יחסם על הכ' שהו' הכאת האיכות עם האיכות יעלה ז' מכ' אח"כ חלקם על החומש ויצא חומש אח' וג' רביעיות חומש חברהו עם הב' חמישיות והיוצא הוא המבוקש והוא ג' חמישיות וג' רביעיות החומש האח‫'

$\scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{1}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{\frac{\left(a\sdot d\right)\sdot d}{b\sdot d}}{d}$

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{\left(3\sdot5\right)\sdot5}{4\sdot5}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{15\sdot5}{20}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{75}{20}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

דרך אחר נכה הג' עם הה' כמות המחלק עם איכות המחלק יעלה ט"ו והכה הט"ו עם איכות המחלק שהוא הה' יעלה ע"ה וזהו המחולק אח"כ נכה האיכיות והם כ' נחלק עליהם הע"ה יצאו ג' וג' רביעיות ולהיות שהמחולק הוא חמישיות ידענו שהג' וג' רביעיות חמשיות וג' רביעיות החומש

$\scriptstyle\frac{a}{b}\longrightarrow\frac{1}{d}\longrightarrow\quad\frac{a}{b}=\frac{\frac{a\sdot d}{b}}{d}$

{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{3}{4}&\scriptstyle=\frac{\frac{3\sdot5}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{15}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3+\frac{3}{4}}{5}\\&\scriptstyle=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\\\end{align}}}

דרך אחר נכה כמות המחולק עם איכות המחלק יהיו ט"ו נחלקם על איכות המחולק יצאו ג' וג' רביעיות ולהיות שהמחול' הוא חמישי' ידענו שהג' וג' רביעיות הם ג' חמשיות וג' רביעיות החומש

Methods of checking

מאזנים

$\scriptstyle\left(a\div b\right)\times b=a$

תכה החלק עם המחלק אם הוא שוה למחולק צדקת

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}=\frac{3}{4}}}

במשלינו זה הכינו הג' וג' רביעיו' עם החמישי' ועלה ג' רביעיות והוא הוא בעצמו המחולק

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{3}{4}}}

או נכה א' וז' שמיניות עם ב' חמישיות ויעלה בעצמו הג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{7}{8}\right)\sdot\frac{2}{5}=\frac{2}{5}+\left(\frac{7}{8}\sdot\frac{2}{5}\right)=\frac{2}{5}+\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{3}{5}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)=\left(3+\frac{3}{4}\right)\sdot\frac{1}{5}}}

וזה שא' וז' שמיניות כשיוחס אל הב' חמישיות שהם א' וז' שמיניות כמותם ר"ל הא' הוא ב' חמישיות וז' שמיניו' הם ז' שמיניות של ב' חמישיו' שהוא חומש א' וג' רביעיו' החומש עם הב' חומשים שבידינו הם ג' רביעיות וג' רביעיו' החומש וא"כ הכל שוה לאמרנו ג' וג' רביעיות ויחסנו אותם לחומש או א' וז' שמיניות ויחסנו אותם לב' חמישיו' וזה מבואר בעין השכל והבן

$\scriptstyle a:x=\frac{c}{d}\longleftrightarrow x:b=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)$

מאזנים אחרים שתמצא המספ' המתיחס כמות המחלק אליו יחס כמות המחלק אל איכותו ואם המספר ההוא מתיחס אל איכות המחולק יחס כמו' החלק אל איכותו דע שצדקת

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}\longrightarrow 3:\left(7+\frac{1}{2}\right)=\frac{2}{5}\longleftrightarrow \left(7+\frac{1}{2}\right):4=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)}}

במשלינו זה חלקנו הג' רביעיות על הב' חמשיות ויצא א' וז' שמיניות שהם ט"ו שמיניות בקשנו מספר שתיחס כמות המחולק שהוא הג' אליו יחס כמות המחלק אל איכותו שהוא הב' אל הה' ומצאנו שהוא ז' וחצי והנה יחס הז' וחצי אל הד' שהוא איכות המחולק כיחס כמות החלק שהוא הט"ו אל איכותו שהוא ח' וזה מבואר בעין השכל

וג"כ אם תרצה לעשותו בזה הדרך בג' וג' רביעיות ותבקש ביחס החמישית לבד גם עשה תעשה ויכול תוכל כי הכל דבר א' כמו שביארנו וגלינו

ואם תרצה לעשות המאזנים בהפך והוא שתראה המסופר שיהיה יחס כמות המחולק אליו כיחס כמות המחלק אל איכותו

$\scriptstyle a:x=\left(\frac{a}{b}\div\frac{c}{d}\right)\longleftrightarrow x:b=\frac{c}{d}$

ואם המספר ההוא מתחלק אל איכות המחולק כיחס כמות המחלק אל איכותו ידענו שצדקנו

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}=\frac{15}{8}=1+\frac{7}{8}\longrightarrow 3:\left(1+\frac{3}{5}\right)=\frac{15}{8}=\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{5}\right)\longleftrightarrow \left(1+\frac{3}{5}\right):4=\frac{2}{5}}}

במשלינו זה בקשנו מספר שיהיה יחס כמות מחולק אליו שהוא ג' כיחס כמות החלק אל איכותו שהוא הט"ו עם הח' ומצאנו שהוא א' וג' חמישיות שהם ח' שמיניות ויחסם אל הד' הוא כיחס הב' אל הה' שהוא כמות המחלק אל אכותו והבן זה מאד כי הובן בתכלית

Combined Division

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}+\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}+\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot d_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2\right)}{\left(b_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}}}

ואולם אם רצית לחלק קבוץ הב' שלישיות וג' רביעיו' על קבוץ שני שביעיות וששית מבלתי שתצטרך לקבץ תחלה ואח"כ לחל' הנה יסודרו על זה הדרך

$\scriptstyle\frac{1}{6}\;\frac{2}{7}$	$\scriptstyle\frac{3}{4}\;\frac{2}{3}$

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot7\sdot1=84}}$

ונכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעולה עם איכות הג' והעולה עם כמו' הד' והם פ"ד

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot6=144}}$

גם נכה איכות השבר הראשון עם איכות השבר הב' והעול' עם כמות הג' והעול' עם איכות הד' והם קמ"ד ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{84+144=228}}$

נחברם אל הפ"ד והם רכ"ח ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot4\sdot7\sdot6=336}}$

אח"ז נכה איכות הד' עם איכות הג' והעולה עם אכות הב' והעולה עם כמות הראשון והם של"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot6=378}}$

גם נכה איכות הרביעי עם איכות הג' והעולה עם כמות הב' והעולה עם איכות הראשו' והם שע"ח

$\scriptstyle{\color{blue}{336+378=714}}$

חברם אל השל"ו הם תשי"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}+\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}+\frac{1}{6}\right)=\frac{714}{228}}}

נחלקם על הרכ"ח השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הב' שלישיו' וג' רביעיו' על הב' שביעיות וששית

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)+\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)+\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

ואולם אם רצית לקבץ היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ לקבץ

$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}$

נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' ועם איכות הג' ועם כמות הד' והם נ"ו ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}$

אח"ז נכה כמות השבר הראשון עם איכות הב' וכמות הג' ואיכות הד' והם צ"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}$

גם נכה כמות השבר הד' עם איכות הג' וכמות הב' ואיכות הראשו' והם ס"ג

$\scriptstyle{\color{blue}{63+96=159}}$

נחברם אל הצ"ו והם קנ"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)+\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{159}{56}=2+\frac{47}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ב' שלמים ומ"ה חלקים מנ"ו והוא המבוקש מקבוץ היוצאים מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיו' ומחלוק הב' שביעיו' על הו‫'

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}\times\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}\times\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot d_2}{b_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot c_2}}}

ואולם אם רצית לחלק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעי' על העולה מהכאת הב' שביעיו' עם הששי' מבלתי שתצטר' להכות תחלה ואח"כ לחלק

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3\sdot7\sdot6=252}}$

נכה כמות הראשו' עם הב' והעול' עם איכות הג' ואיכות הד' והם רנ"ב ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4\sdot2\sdot1=24}}$

אח"ז נכה כמות השבר הד' עם כמו' השבר הג' והעולה עם איכות הראשו' והב' והם כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}\right)\div\left(\frac{2}{7}\times\frac{1}{6}\right)=\frac{252}{24}}}

תחלק עליהם הרל"ב והיוצא הוא ההווה מחלוק העולה מהכאת הב' שלישיו' עם הג' רביעיו' על העולה מהכאת הב' שביעי' על הו‫'

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)\times\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{a_1\sdot d_1\sdot a_2\sdot d_2}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

ואולם אם רצית להכות היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות עם היוצא מחלוק הב' שביעית על הו' מבלתי שתצטרך לחלק תחלה ואח"כ להכות

$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2\sdot7\sdot1=56}}$

נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמות הד' והם נ"ו ונשמרם

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot2\sdot6=108}}$

אח"ז נכה האכות הראשון עם כמות הב' ועם כמות הג' ועם איכות הד' והם ק"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)\times\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)=\frac{108}{56}}}

נחלקם על הנ"ו השמורים והיוצא הוא ההווה מהכאת היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' עם היוצא מחלוק הב' שביעיו' על הששית

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}-\frac{c_1}{d_1}\right)\div\left(\frac{a_2}{b_2}-\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left[\left(a_1\sdot d_1\right)-\left(c_1\sdot b_1\right)\right]\times\left(b_2\sdot d_2\right)}{\left[\left(a_2\sdot d_2\right)-\left(c_2\sdot b_2\right)\right]\times\left(b_1\sdot d_1\right)}}}

ואולם אם רצית לחלק הנשאר מחצור הב' שלישיות מג' רביעיות על הנשאר מחסור הששית מהב' שביעיות מבלתי שתצטרך לחסר ראשונה ואח"כ לחלק

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot3\right)-\left(4\sdot2\right)\right]\times\left(7\sdot6\right)=42}}$

נכה כמות הראשון עם איכות הב' והעולה נחסרהו מהכאת כמות השני עם איכות הראשון והנשאר נכהו עם איכות הג' ואיכות הד' והם מ"ב

$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot6\right)-\left(7\sdot1\right)\right]\times\left(4\sdot3\right)=60}}$

אח"ז נכה כמות הד' עם איכות הג' והעולה נחסרהו מהעולה מהכאת כמות הג' עם איכות הד' והנשאר נכהו עם איכות הב' ועם איכות הראשון והם ס'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}-\frac{2}{3}\right)\div\left(\frac{2}{7}-\frac{1}{6}\right)=\frac{42}{60}}}

נחלקם על המ"ב השמורים והיוצא הוא ההווה מחלוק הנשאר מחסור הב' שלישיו' מהג' רביעיות על הנשאר מחיסור הו' מהב' שביעיות

\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{a_1}{b_1}\div\frac{c_1}{d_1}\right)-\left(\frac{a_2}{b_2}\div\frac{c_2}{d_2}\right)=\frac{\left(a_1\sdot d_1\sdot b_2\sdot c_2\right)-\left(b_1\sdot c_1\sdot a_2\sdot d_2\right)}{b_1\sdot c_1\sdot b_2\sdot c_2}}}

ואולם אם רצית לחסר היוצא מחלוק הג' רביעיו' על הב' שלישיו' מהיוצא מחילוק הב' שביעיו' על הו' מבלתי שתצטרך לחלק ראשונה ואח"כ לחסרם

$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1\sdot4\sdot2=56}}$

נכה כמות הראשון עם איכות הב' ואיכות הג' וכמו' הד' והם נ"ו וזהו השמור הראשון

$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot3\sdot7\sdot1=63}}$

אח"כ נכה איכות הראשון עם הב' והעולה עם איכות הג' ועם איכות הד' והם ס"ג ונשמרם וזהו השמור הב'

$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6\sdot4\sdot2=96}}$

אח"ז נכה איכות הד' עם כמות הג' ועם איכות הב' ועם כמות הראשו' והם צ"ו

$\scriptstyle{\color{blue}{96-63=33}}$

נחסר מהם הס"ג שהוא השמור הב' והנשאר שהוא הל"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\div\frac{1}{6}\right)-\left(\frac{3}{4}\div\frac{2}{3}\right)=\frac{33}{56}}}

ניחסם אל השמור הראשון שהוא הנ"ו וההווה הוא ההוה מחסור היוצא מחלוק הג' רביעיות על הב' שלישיות מהיוצא מחלוק הב' שביעיות על הששית וש'מ'ל‫'

Roots

Roots of Integers

גדר השלמים

Description of the extraction procedure:

נסדר המספר הדרוש בטור אח' כל אח' לפי מדרגתו

Odd number of ranks - the procedure starts from the highest rank

ואם המספר המדרגות נפרדות נתחיל מהמדרגה האחרונה

Even number of ranks - the procedure starts from the second highest rank - the most highest rank is regarded as the tens of the second highest rank

ואם זוג נתחיל ממדרגה הקודמת למדרגה האחרונה בעוד המדרגה האחרונה שתחשוב המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים

Finding the highest digit of the root - based on the rule: $\scriptstyle\sqrt{a^2+r}\approx a$

ונבקש שרש הקרוב ונכתבהו תחת המדרגה הנדרשת ר"ל האחרונה או הקודמת לה ויקרא השרש הא‫'

Finding the second highest digit of the root - based on the rule $\scriptstyle\sqrt{100a^2+20ab+b^2}=\sqrt{\left(10a+b\right)^2}=10a+b$

אח"ז נבק' מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השורש הראשון פעמים ועם עצמו אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת למדרגת השרש הראשון ומהקודמת לה ויקרא השרש הב‫'

Placing the second highest digit of the root

ונכתבהו במדרגה הקודמת לשרש הראשון

Finding the third highest digit of the root - based on the previous rule

עוד אח"ז נבקש מספר שיספיק העולה מהעולה מהכאתו עם השרש הא' והב' פעמים ועם עצמו פעם אחת שיחוסר מהמדרגה הקודמת לשרש הב' ומהשתים הקודמת לה ויקרא השרש הג‫'

Placing the third highest digit of the root

כתבנהו במדרגה הקודמת לשרש הב‫'

Finding the fourth highest digit of the root - based on the previous rule

עוד אח"ז תבקש מספר שיספיק העולה מהכאתו עם השרש הא' והב' והג' פעמים ועם עצמו פעם שיחוסר מהמדרגה הקודמת ומהג' הקודמת לה ויקרא שרש ד‫'

Placing the fourth highest digit of the root

וכתבנוהו במדרגה הקודמת לשרש הג‫'

So on until reaching the first rank

וכן תמיד עד אשר תגיע שיהיה המדרג' הנחסרת המדרגה הראשונה

The place of the result of the procedure - the root

והמספרים הכתובים תחת המדרגות הם השרש בעצמם

If there is a remainder - the number does not have a root

ואולם אם נשאר מהמספר הדרוש בלתי מתחלק דע שהמספר הדרוש הוא בלתי נגדר

Approximating the root of a non-square number

First step of the procedure: adding an even number of zeros to the right of the number, then applying the above procedure

והדרך בידיעת שרש הקרו' הוא זה שתוסיף על המספר הדרוש איזה זוג תפרש שתרצה ותנהיג זה הדרך בעצמו עד שתגיע לחסר מהמדרג' הראשונה כזה שאני כותב

Exammple:

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{356870000}}}

the solving procedure is not given, but it seems that it is based on the following calculations:
$\scriptstyle{\color{blue}{1^2}}\longrightarrow3-1^2=3-1=2$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(20\sdot8\right)+8^2}}\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle25-\left(2\sdot8\right)=25-16=9\\\scriptstyle96-8^2=96-64=32\\\end{cases}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot18\right)\right]+8\right]\sdot8=\left(360\sdot8\right)+8^2}}\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle32-\left(3\sdot8\right)=32-24=8\\\scriptstyle88-\left(6\sdot8\right)=88-48=40\\\scriptstyle407-8^2=343\\\end{cases}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot188\right)\right]+9\right]\sdot9=\left(3760\sdot9\right)+9^2}}\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle34-\left(3\sdot9\right)=34-27=7\\\scriptstyle73-\left(7\sdot9\right)=73-63=10\\\scriptstyle100-\left(6\sdot9\right)=100-54=46\\\scriptstyle460-9^2=379\\\end{cases}$
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[2\sdot\left(10\sdot1889\right)\right]+1\right]\sdot1=\left(37780\sdot1\right)+1^2}}\longrightarrow\begin{cases}\scriptstyle3-\left(3\sdot1\right)=0\\\scriptstyle7-\left(7\sdot1\right)=0\\\scriptstyle9-\left(7\sdot1\right)=9-7=2\\\scriptstyle20-\left(8\sdot1\right)=20-8=12\\\scriptstyle20-1^2=19\\\end{cases}$
Hence the root is 18891 and the remainder is 119

0 2 3	0 9 04 38 92 56	00 17 74 40 03 87	21 92 69 00	1 29 00
1	8	8	9	1

Second step of the procedure: converting the result to sexagesimal fractions: if 2n is the number of zeros added to the right of the given number, 60ⁿ should be placed as the denominator of the result in the first step of the procedure:

\scriptstyle\sqrt{a}=\frac{\sqrt{60^{2n}\sdot a}}{60^n}

אח"ז תכה היוצא בששים והעולה בששים עד שיהיו תפארש שבראש טור העולה בהכאת כמות חצי התפראש הנוספות והעולה יהיה איכותו במספר הפעמים שהוכה בס‫'

\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes

ר"ל אם הוכה פעם אחת הם ראשונים

\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds

ואם ב' פעמים הם שניים

\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds

ואם ג' פעמים הם שלישים

\scriptstyle\frac{a}{60^4}=fourths

ואם ארבעה הם רביעים

Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60:

אח"ז השלך מהמספר העולה מהמספר הכאת הספראש והנשאר תחלקהו על ששים והיוצא יעלה מדרגה א‫'

\scriptstyle\frac{60^4a_1+60^3a_2+60^2a_3+60a_4+a_5}{60^4}=\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

ר"ל שאם היו רביעיי' היוצא היה שלישים והנשארים בלתי נחלקם הם רביעיים ושמרם

\scriptstyle\frac{60^3a_1+60^2a_2+60a_3+a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

עוד חלק היוצא מהחלוק שהם שלישים על ס' והיוצאים בחילוק הם שניים והנשארים בלתי נחלקים הם שלישיים ושמרם

\scriptstyle\frac{60^2a_1+60a_2+a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

עוד חלק היוצאים בחלוק שהם ב' על ס' והיוצא בחלוק הם ראשונים הנשארים בלתי נחלקי' הם שניים ושמרם

\scriptstyle\frac{60a_1+a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}=a_1+\frac{a_2}{60}+\frac{a_3}{60^2}+\frac{a_4}{60^3}+\frac{a_5}{60^4}

אח"ז חלק הראשונים על ס' והיוצא הם מעלות ר"ל שלמים והנשארים הם ראשונים וככה הוא היוצא מהמעלות והראשונים והשניים והשלישים והרביעיים

Roots of Fractions

שרש השברים

$\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2}}{\sqrt{b^2}}=\frac{a}{b}$

אם היה כמותם ואכותם נגדר תקח גדר כמותם ותיחסהו לגדר אכותם

Example:

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{4}{9}}=\sqrt{\frac{2^2}{3^2}}=\frac{\sqrt{2^2}}{\sqrt{3^2}}=\frac{2}{3}}}

כגון ד' תשעיות גדר הד' שנים וגדר הט' ג' א"כ גדר הד' תשעיות הם שני שלישיות

$\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2}{b}}=\sqrt{\frac{a^2\sdot b}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2\sdot b}}{\sqrt{b^2}}$

ואם אכותם וכמותם בלתי נגדר או איכותם לבד תכה האיכות בעצמו ותכה הכמות עם האיכות ותיחסהו לההכאה הראשונה ותעשה זה הדרך בעצמו שתקח גדר הכמות ר"ל שהוא הכאת הכמות עם האיכות שהוא כמות הכאת האיכות עם האיכות אם יש לו גדר שלם או על דרך קרוב אם אין לו גדר שלם ותיחסהו לגדר העולה מהכאת האיכות עם האיכות וזהו השרש הקרוב

$\scriptstyle\sqrt{\frac{a^2+r}{b^2}}=\frac{\sqrt{a^2+r}}{\sqrt{b^2}}\approx\frac{a}{b}$

ואם כמותם לבד בלתי נגדר ואיכותם הוא המספר הנגדר קח שרש הקרוב לכמות ותיחסהו אל האיכות

Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction

ואם היה שלמים ושברים תתיך השלמים עד שיהו שברים ותיחסם אל האיכות על דרך בעינו שהקדמנו

Cubic Roots
Cubic Roots of Integers	מעוקב השלמים
Description of the extraction procedure:	תסדר הטור הדרוש כל אח' כפי מדרגתו
Marking every three ranks with a dividing line	ובסוף כל ג' אותיות תשים קו
The procedure starts from the leftmost dividing line:	ותתחיל מהקו האחרון
Finding the highest digit of the root - based on the rule: $\scriptstyle\sqrt[3]{a^3+r}\approx a$	ונכתוב שם מספר שיוכה בדרך עקוב ויחוסר מהמספר שעליו עם עזר המדרגות הקודמו' ויקרא היסוד הראשון
Finding the second highest digit of the root - based on the rule: $\scriptstyle\sqrt[3]{\left(10a\right)^3+3\sdot\left[\left(10a\right)^2\sdot b\right]+3\sdot\left(10a\sdot b^2\right)+b^3}=\sqrt[3]{\left(10a+b\right)^3}=10a+b$	אח"ז תכתוב במקום הקו הקודמת יסוד ב' ושיוכה עם העולה מהכאת הראשון בג' והעול' עם היסוד הראשון והב' יחד והעולה שיחוסר מהמספר שני לו עם עזר הנמשכים לו גם תכה היסוד הב' באופ' מעוקב והעולה תחסרהו מהמספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
Finding the third highest digit of the root - based on the previous rule	אח"ז נכתו' במקום הקו הקודמת יסו' ג' שיוכה עם העולה מהכאת הראשון והב' יחד עם מספר הג' והעולה עם היסוד הראשון והב' והג' ויחוס' מהמרב' הב' עם עזר המדרגות הנמשכים לו גם נכה היסוד הג' באופן מעוקב והעולה נחסרהו מן המספר שעליו עם עזר המספרים הקודמים לו
So on	וכן תמיד בסדר הזה
Approximating the root of a non-cubic number
First method
Adding triplets of zeros to the right of the number	וכאשר הגענו אל מדרגת האחדים ממנו ונשארו מספרים על המספר הדרוש ותרצה לדעת עוד יסודו הקרוב נוסיף על המדרגו' המונחות מצד האחדים ג' סיפראש או ששה או ט' או מה שתרצה לבד שתוסיפהו ג'ג‫'
Applying the above procedure	ואח"ז נעשה מה שקד' מהדרך למציאות היסוד עד שתגיע למדרגה הראשונה מהסיפראש
Erasing from the result one third of the number of zeros added in the first step	אח"ז נקח כל היסודות ונסדרם בטור אח' על סדר המדרגות ונשליך מהם במספר שליש הסיפראש
Converting the result to sexagesimal fractions: Considering the result as degrees	ונקח היסודות האחדות והם מעלות
Multiplying the remainder by 60 and erasing three zeros from the product - the remainder are minutes	אח"ז נכה הנשלכים בס' והעולה נשליך מהם כמספר ג' הסיפראס ונקח הנשארים והם ראשונים
So on until all the zeros added in the first step are erased	וכן נעשה תמיד עד שיכלה הסיפראש
Summing up all the resulted sexagesimal fractions as the approximate cubic root	ואז נחבר הכל יהיה הוא היסוד הקרוב
Second method	דרך אחר למספר שאין בו יסוד מעוקב
Adding triplets of zeros to the right of the number	שתוסיף סיפראש כמה שתרצה ובלבד שיהיו נוספים בתוספת ג'ג‫'
Applying the above procedure	ונשתמש עם הדרך הקודם בעינו עד שנגיע לסיפרא הראשונה
Converting the result to sexagesimal fractions: if 3n is the number of zeros added to the right of the given number, 60ⁿ should be placed as the denominator of the result in the first step of the procedure	אח"ז נקח כל היסודות המסודרות תחת מספר הדרוש ונכהו בס' והעולה בס' וזה עד שתהיינ' הסיפראש היוצאות בראש הטור העולה מההכאות בכמות שליש הסיפראש
Erasing the zeros added in the first step and dividing the result by 60	אח"ז נשליך הסיפראש ונחלק הנשאר על ס' והנשאר יהיה מאיכות השברים המחולקים
$\scriptstyle\frac{a}{60}=minutes$	ר"ל שאם הוכו פעם אחת לבד יהיו ראשונים
$\scriptstyle\frac{a}{60^2}=seconds$	ואם ב' שניים
$\scriptstyle\frac{a}{60^3}=thirds$	ואם ג' שלישיים
	והיוצא הוא ממין הקודם למין ז' המחולקים ר"ל שאם היו ראשונים היוצא מהחלוקה מעלות ואם היו שניים היוצא מהחלוקה ראשונים וכן תמיד
Cubic Roots of Fractions	יסוד השברים המעוקבים
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3}}{\sqrt[3]{b^3}}=\frac{a}{b}$	אם הכמות והאיכות מעוקב תקח מעוקב הכמות ותיחסהו אל מעוקב האיכות
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3}{b}}=\sqrt[3]{\frac{a^3\sdot b^2}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3\sdot b^2}}{\sqrt[3]{b^3}}$	ואם אינם מעוקבים או האיכות לבד בלתי מעוקב נכה האיכות בדרך עקוב ונכה הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אח"ז ניחס יסוד השמור הב' שהוא הכאת הכמות עם העולה מהכאת האיכות בעצמו אל השמור הראשון שהוא העולה מהכאת האיכות בדרך עקוב
$\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{b^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{b^3}}\approx\frac{a}{b}$	ואם איכותם נעקב נבקש יסוד הכמות הקרוב והיוצא ניחסהו אל מעוקב האיכות
Example: $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a^3+r}{3^3}}=\frac{\sqrt[3]{a^3+r}}{\sqrt[3]{3^3}}\approx\frac{1}{3}a$	ר"ל שאם היה מעוקבו ג' היה היחס הוא השליש וכן תמי‫'
Integers and fractions - converting the integers into an improper fraction	ואולם בשלמים ושברים יחד נתיך השלמים לשברים ונעשה הדרך הקודם בעינו

Divisibility of a Number
3; 6; 9
To find out if a given number has a third, a sixth, or a ninth [= if 3, 6, or 9 are divisors of the number]	לידע אם יש שלישי' או ששי' או ט' מספר מה מבלי שברים
Summing the numerals of the given number as units and casting nines from the sum	תדע ראשונה אם יש לו תשיעי' וזה יודע כשתחבר רשמי מספר החשבון כאלו הם אחדים
If there is no remainder - the number has a ninth and a third [= divisible by 9 and 3]	ואם יושלך לט"ט בידוע שיש לו תשיעיות וג"כ שלישי‫'
If the given number is even - it has a sixth [= divisible by 6] as well	וג"כ ששית אם המספר זוג ואם נפרד לאו
If the remainder is 3 or 6 - it does not have a ninth [= not divisible by 9], but it has a third [= divisible by 3], and if this number is even, it has also a sixth [= divisible by 6]	ואם ישארו ו' או ג' יהיה לו שלישי' וג"כ ששית אם הוא זוג אבל לא תשיעית
2; 4; 8
To find out if a given number has a half, a quarter, or an eighth [= if 2, 4, or 8 are divisors of a the number]	ואם תרצה לידע אם יש לו מחצית או ד' או שמינית
If the given number is odd - it does not have any of these fractions [= not divisible by 2, 4, or 8]	אם חשבון נפרד אין לו שום אחד מהם
If the given number is even - it has a half [= divisible by 2]	ואם זוג בידוע שיש לו חצי
Casting out eighths from the sum of the numerals of the given number received through to the following procedure: $\scriptstyle number\;of\;the\;type:\;2a+10b+\left[\left(2c-1\right)\sdot100\right]\longrightarrow the\;sum:\;2a+2b+4\sdot\left(2c-1\right)$ $\scriptstyle number\;of\;the\;type:\;2a+10b+\left(2c\sdot100\right)\longrightarrow the\;sum:\;2a+2b$	ולידע אם לא ג"כ רביעית ושמיני' קח המספר אשר במעלה הראשונה לצד ימין כמו שהיא ואשר בשנייה כפול ואם אין שם מספר לא תקח כלום ואשר בשלישית אם הוא נפרד כפלהו בד' ואם הוא זוג או סיפרא לא תקח כלום וכן מהמעלה הג' ולמעלה תניח אותו לא תקח כלום וקבץ כל מה שקבצת עד המעלה הג' עד"ז
If there is no remainder - the number has an eighth [= divisible by 8]	אם יושלך באלו לח' יש לו שמינית וכ"ש רביעי‫'
If the remainder is 4 - it has a quarter [= divisible by 4] alone	ואם ישארו ד' יש לו ד' לבד
If the remainder is a number other than 4 - it has no quarter [= not divisible by 4]	ואם נותר מספר אחר אין לו אפי' רביעית
7
To find out if a given number has a seventh [= if 7 is a divisor of a given number]	ואם תרצה לידע אם יש לו שביעי‫'
	יש בזה דרכים‫:
Multiplying each of the numbers 1, 3, 2, 6, 4, 5 by the numeral in the corresponding rank by the order, then summing the numerals of the products - if there is no remainder after casting out the sevenths - the given number has a seventh [= divisible by 7], otherwise it does not	הראשון שתניח אלו האותיות א'ג'ב'ו'ד'ה' על סדר המדרגות חלילה ותכה כל א' מאלו האותיות במדרגה שכנגדה וחשב כל האחדים והשלך השביעיות ואם יושלך לז' יש לו שביעית ואם לאו לאו
Another procedure: multiplying the leftmost digit of the given number by 3, adding the product to the digit in the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum, then multiplying the remainder by 3, adding the product to the preceding rank on the right and casting out sevens from the sum, and so on repeatedly - if there is no final remainder, the given number has a seventh [= divisible by 7]	הב' שתכה הרושם האחרון שלצד שמאל בג' וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו ותשליכה לז' והנשאר תחברהו לאשר לפניו ותכה הנשאר מהשלכת השביעיו' בג' וחברהו לאשר תמצא לפניו וכן תמיד עד המדרגה הראשונה ואם יושלך ז'ז' יש לו שביעית
If one of the numerals is a zero the interim remainder is multiplied by 3 and the procedure continues as described	ואם לא תמצא שם מספר כי אם סיפרא תכה הנשאר בג' וכן בכל ספרא וספרא תכה הנשאר בג' עד שיכלו כל סיפראים וכן תמיד
11
To find out if a given number has 11th [= if 11 is a divisor of a given number]	ולידע אם לו י"א ר"ל אם יושלך לי"א
Subtracting the numeral in the highest rank of the given number from the numeral in the previous rank, then subtracting the remainder from the preceding numeral and so on repeatedly	תחסר האחרון שלצד שמאל מאשר לפניו והנשאר מאשר לפני פניו וכן תמיד
If there is no remainder - the number has an 11th [= divisible by 11], otherwise it is not	ואם יושלך הכל יש לו י"א ואם לאו לאו
If one of the numerals is a zero or if it is smaller than the subtrahend, 11 is added to this numeral and the procedure continues as described	ואם לא תמצא שם מספר או מספר קטן ממנו שלא תוכל לחס' ממנו והנשאר תוסיף עליו הי"א ותחסר מהכל זה המספר וכן תמיד
13
To find out if a given number has 13th [= if 13 is a divisor of a given number]	אם יש לו י"ג
[Multiplying the leftmost digit of the number by 3], casting out thirteens from the product, subtracting the remainder from the preceding rank then multiplying the result of subtraction by 3 again and so on	תכה הרושם האחרון בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר תמצא במעלה אשר לפניו והנשאר כפלהו שנית בג' והוציאוהו י"ג י"ג והנשאר הוציאוהו מאשר לפניו וכן תמיד עד תכליתם
If there is no remainder - the number has a 13th [= divisible by 13]	ואם יצא הכל יושלך לי"ג
If one of the numerals is smaller than the subtrahend, 13 is added to this numeral and the procedure continues as described	ואם יחסר בשום מעלה שלא תמצא שם די להוציא אשר צויתיך הוסיף י"ג והוציא מהנתחבר אשר עליך להוציא והנשאר כפלהו בג' והוציאוהו י"ג י"ג ואם יצא יש לו י"ג ואם לאו לאו
General technique	דרך כולל כל
Adding the leftmost digit to the second leftmost digit and casting out the [potential divisor] in question from the sum, then adding the remainder to the digit in the preceding rank as tens and casting out the [potential divisor] again from the sum, and so on	שתחבר המספר האחרון עם אשר לפניו בשתחברהו לעשרות והב' לאחדים ותשליכהו למספר אשר תרצה להשליכו והנשאר חשבהו לעשרות וחברהו לאשר תמצא במעלה שלפניו והוציאהו למספר אשר תרצה להוציא וכן תמיד על הסדר הזה

Square Numbers	כשתרצה לידע מרובע שום מספר ע"ד הקל
$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2$	קח שלישיתו והכהו בעצמו והעלהו למדרגה הקרובה אם היא אחדים המדרגה הקרובה היא העשרות ואם היא עשרות המדרגה הקרובה היא המאות וחסר מהם הכאת השליש ומה שישאר הוא המרובע שרצית לידע
Example: ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle9^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot3^2\right)-3^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot9\right)-9=90-9=81\\\end{align}}}$	המשל אם תרצה לידע כמה הוא מרובע הט' קח שלישיתו והוא הג' והכה אותו בעצמו ויעלה ט' עלהו למדרגה הקרובה והיא תשעים חסר מהם הכאת השליש והוא ט' ישאר א' ושמונים והוא מרובע הט‫'
$\scriptstyle\left(a-1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(a-1\right)-a$	ואם יהיה חסר אחד לשליש שאין לו שליש הוסף א‫'
Example: ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle8^2&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)^2\right]-8-9\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot3^2\right)-3^2\right]-17\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot9\right)-9\right]-17\\&\scriptstyle=\left(90-9\right)-17=81-17=64\\\end{align}}}$	המשל אם תרצה לידע מרובע הח' וכשתרצה לקחת השליש אין לו שליש הוסף אח' ויהיו ט' ושלישים הוא ג' הכם בעצמם כמו שאמרנו בזה המשל הקודם והעלהו למדרגה הקרובה ויהיה תשעים חסר מהם מרובע הג' ישאר פ"א ובשביל הא' שהוספת חסר הח' והט' שהוא י"ז מהפ"א ישארו ס"ד וככה מרובע השמונה
$\scriptstyle\left(a+1\right)^2=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot a\right)^2\right]+\left(a+1\right)+a$	ואם היה בתוספת רצוני שאין לו שליש אלא שישאר תוספת
Example: ${\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]+7+6\\&\scriptstyle=\left[\left(10\sdot2^2\right)-2^2\right]+13=36+13=49\\\end{align}}}$	כגון רצית לידע מרובע ז' וכשתרצה לקחת שלישיתו תעש' ע"ז הדרך שתחסר א' וישארו ששה שלישית הוא שניים עשה הדרך בעצמו שאמרנו ויעלה ל"ו אח"כ בשביל הא' שחסרת הוסיף הז' והששה הם י"ג עם ל"ו יעלה מ"ט וככה מרובע הז‫'

Completion
Numerical operation called jaber in Arabic	מין מספר הנקרא בערבי ג'בר
Its Hebrew technical term is unknown	ולא ידעתי לו שם בלשוננו
In foreign language reducir	ובלע"ז רידוזיר
Finding the complement number by which a given number should be multiplied so that the product will be a required number $\scriptstyle a\sdot x=b$	וענינו שאם יש לך שום מספ' ורצית לומ' באיזה מספר נכה זה השבר או אלו השברים עד שיעלה זה השבר או אלו השברים
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}\sdot x=1+\frac{4}{5}}}$	במשל ב' רביעיות באיזה מספר נכו אותם עד שישובו א' וד' חמישיו‫'
The procedure: dividing the required number by the given number $\scriptstyle x=b\div a$	והדרך בזה שתחלק זה המספר על השבר המיוחד
The complement is called [in Arabic] al-majbur	ומה שיעלה כמו שמבואר בחלוק השלמים ושברים על שברים הוא אלמגבור
Conversion
The opposite numerical operation called bāb al-ḥaṭ in Arabic	ויש מין אחר הפכי לזה והוא הנקרא באב אלחט
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{5}\right)\sdot x=\frac{2}{4}}}$	והוא א' וארבע' חמישיות באיזה מספר נכה אותם עד שישובו ב' רביעיות שהוא חסרון בערך הראשון
The procedure: dividing the given number by the resulting number $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2}{4}\div\left(1+\frac{4}{5}\right)}}$	ותעשה ההפך שתחלק הב' רביעיו' על א' וד' חמישיות
Indication that the treatise relies on another work: "although the author wrote two chapters concerning these two [issues], it seems that they can be deduced in one chapter"	ואעפ"י שהמחבר חברם בב' שערים נ"ל שהם מכללו בשער אח' והבן

Geometric Shapes
Square
Example: finding the area or the diagonal of a square both sides of which are 10	אם מרובע נכון שיש בצלעיו עשר על עשר ד"מ ורצית לידע שטחו או אלכסונו
The area of a square = the product of its two sides $\scriptstyle S_{square}=side\times side$	תעשה בזה הדרך: תכה הצלע עם חבירו כאח' וזהו שטחו
The diagonal of a square: $\scriptstyle d_{square}=\sqrt{side^2+side^2}$	ותכה הב' צלעות כל אחת בפני עצמו וגדר של מקובצם הוא האלכסון
The side of a square, when its area is given: $\scriptstyle side_{square}=\sqrt{S}$	ואם ידעת השטח גדרו והוא הצלע
The side of a square, when its diagonal is given: $\scriptstyle side_{square}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot d^2}$	ואם ידעת האלכסון גדר חצי הכאתו הוא הצלע
Rectangle
Example: finding the area of a rectangle of 10 in length and 5 in width	אבל במרובע ארוך שיש לצלעיו י' באורך וה' ברוחב עד"מ
The area of a rectangle = the product of its two sides $\scriptstyle S_{rectangle}=side_1\times side_2$	בידיעת ב' צלעיו תכה זה עם זה כאחת זהו שטחו
The side of a rectangle, when the area and one of the sides are given: $\scriptstyle side_1=S_{rectangle}\div side_2$	ובידיעת שטחו וצלע א' תחלק השטח על הצלע הידוע ויצא הצלע הנעלם
The diagonal of a rectangle: $\scriptstyle d_{rectangle}=\sqrt{side_1^2+side_2^2}$	ובידיעת ב' צלעיו ותכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו וגדר מקובצם הוא האלכסון
The side of a rectangle, when the diagonal and one of the sides are given: $\scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}$	ובידיע' האלכסון וצלע א' תוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
Triangle	בשבירת המשולש
Relying on Euclid	יש דרכים רבים אבל מה שנ"ר יותר כולל הוא מה שנתבא' בכח דברי אקדידס החכם מתוך הקדמה אח' ובקיום זאת ההקדמה נוליד המבוקש בע"ה
The square of the diagonal of a given rectangle is equal to sum of the squares of both its sides $\scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^2+side_2^2$	וזה ששם נתבאר שקוטר המרובע ר"ל אלכסונו הוא כפל מרובע ב' הצלעים כשיוכה זה בפני עצמו וזה בפני עצמו הוא שוה להכאת האלכסון בעצמו
Example: finding the area of an equilateral triangle whose sides are equal to 10	ובזה ההקדמה יתבאר לך כשיש משולש בצורה הזאת

	ונסכים שהוא שוה הג' הצלעות ושיש בכל צלע עשר
Finding the area by dividing the triangle into two identical triangles	הנה ידיעת שבריו הוא שתחלקהו במחשבתך לב' משולשים שוים וזה שתרשום בזוית א' קו ישר ובהכרח יחלוק הקו ר"ל קו ג"ב לשני חצאין ובזה הרי ידענו שצלע אחד יש בו ה' והאלכסון עשר כפי מה שהונח
$\scriptstyle side_1=\sqrt{d_{rectangle}^2-side_2^2}$	ובהוצאת הצלע האח' יתחייב כפי ההקדמ' שהנחנו שתוציא הכאת הצלע מהכאת האלכסון וגדר הנשאר הוא הצלע האחר
$\scriptstyle d_{rectangle}^2=side_1^side_2^2$	ואיכות החיוב מבואר כיון שהאלכסון בהכאתו שוה להכאת שני צלעיו כל אח' בפני עצמו א"כ יתחייב בהכרח כשתוציא הכאת הצלע האח' מהאלכסון שגדר הנשאר הוא האלכסו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{side=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	ועשינו כן שהכינו הה' והיה כ"ה והכינו הי' והיה ק' חסרנו הכ"ה מהק' ונשארו ע"ה וגדרם הוא הצלע האחר בקשנו גדרם ע"ד הקירוב כמו שהודעתיך בשער הקידום הדרך היותו נקל כזו והיותר מדוייק ומצאנו ששרשם הוא הוא ח' וב' רביעיות וג' רביעיות רביעית
$\scriptstyle{\color{blue}{S_{triangle}=5\sdot\left[8+\frac{2}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)\right]=43+\frac{1}{4}+\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}}$	הכינום עם ה' שהוא הצלע הא' ויצא מ"ג שלמים ורביעי' וג' רביעיות רביעית והוא שטח המשולש
	לפי שהאלכסון חולק המרובע לב' חצאים וחצי זהו חצי המשולש וחציו האחר הוא חצי המשולש ר"ל החלקים מהמשולש אשר חלקנו צלעו בזוית אח' ודי למבין

Euclidean Propositions
Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version]	הקדמות צריכין צורך גדול למספר מדברי אקלידס החכם במא' הב' והם ט' הקדמות
1) Euclid, Elements, Book II, propositions 2: If you divide any number into parts as you wish, [the sum of] the products of each of the parts by the whole number is equal to the square of the whole number $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2$	אחת כל מספר שחלקת אותו לחלקים איך שרצית הנה הכאת כל אח' מהחלקי' בכל המספר השוה למרובע הכל
Proof: the whole contains nothing but its parts and the product of the whole by the whole is equal to the product of the whole by each of its parts	המופת שאין בכלל זולת חלקיו והכאת הכלל בכלל הוא כהכאת הכלל בכל חלקיו וזה מבואר
2) Euclid, Elements, Book II, proposition 3: For any number divided into two parts as you wish, the product of the whole number by any of its two parts is equal to the product of the one part by the other plus the square of the part by which you multiplied the whole number. $\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b= \left(a\sdot b\right)+b^2$	ב' כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה הנה הכאת המספר כלו עם כל אחד מב' חלקיו איזה שיהיה שוה להכאת החלק האחד עם האחר ולמרובע החלק אשר בו הכית כל המספר
Proof: the product of the whole by one of its parts is equal to the product of the part by itself and by the other part, since the whole consists of both of them $\scriptstyle\left(a+b\right)\sdot b=\left(a\sdot b\right)+\left(b\sdot b\right)$	מופתו כי הכלל כשהכית אותו עם איזה חלק הוא כאלו הכית אותו החלק בעצמו ועם החלק האחר כיון שזה הכלל מורכב מהם
Example: the number 10 is divided into two parts - 7 and 3.	כמשל מספר הי' נחלק לב' חלקים לז' ולג'
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot7=\left(7+3\right)\sdot7=7^2+\left(3\sdot7\right)}}$	הנה הכאת הי' בז' כאלו הכית הז' בעצמו ועם הכת הג' אחר שהז' והג' הם חלקי' הי' ואין בכלל זולת חלקיו
$\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot3=\left(7+3\right)\sdot3=\left(7\sdot3\right)+3^2}}$	וכן כאשר הכית הי' בג' הרי הוא כאלו הכית הג' עם הז' ועמו בעצמו כגון שהם ר"ל הג' והז' הם הם בעצמם מקובצים מספר הי' וזה מבואר מאד
3) Euclid, Elements, Book II, proposition 4: For any number divided into two parts as you wish, the square of the whole number is equal to [the sum of] the squares of the two parts and twice the product of the one part by the other. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]$	ג' כל מספר שחלקת אותו לשני חלקים איך שקרה הנה מרובע כל המספר שוה לב' המרובעים ההווים מב' החלקים ולהכאת החלק האחד עם חבירו ב' פעמים
Proof: $\begin{align}\scriptstyle\left(a+b\right)^2&\scriptstyle=\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[a^2+\left(a\sdot b\right)\right]+\left[b^2+\left(a\sdot b\right)\right]\\&\scriptstyle=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]\\\end{align}$	מופתו כי הכאת הכלל עם הכלל כאלו הכית הב' חלקים עם הכלל והכאת החלק והא' עם הכלל הוא כאלו הכית החלק בעצמו ועם החלק האח' וג"כ בחלק האח' שהכית אותו בכלל כאלו הכית בעצמו ועם החלק הא' כיון שאין בכלל זולת חלקיו והרי אלו החלקים הם חלקי זה המספר הגדול
Example: the number 10 is divided into 7 and 3.	כמשל הי' נחלק לז' ולג'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle 10^2&\scriptstyle=\left(7\sdot10\right)+\left(3\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\left[7^2+\left(7\sdot3\right)\right]+\left[3^2+\left(3\sdot7\right)\right]\\&\scriptstyle=3^2+7^2+\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]\\\end{align}}}$	הכאת הי' בעצמו הוא כאלו הכית הז' עם הי' והג' עם הי' הכאת הז' עם הי' כאלו הכית הז' בעצמו ועם הג' כיון שהז' והג' הם חלקי הי' והכאת הג' בי' כאלו הכית הג' בז' ועם הג' הרי ב' פעמים הכינו הג' עם הז' וג"כ הכינו הז' בעצמו והג' בעצמו ושוה הכל למרובע הי' ומבואר הוא מאד למסתכל בעין השכל
4) Euclid, Elements, Book II, proposition 5: For any number divided into two equal parts and into two unequal parts, [the sum of] the product of one of the unequal parts by the other and the square of the difference between the two parts, i.e. between the equal part [= the half of the whole number] and the unequal [part] is equal to the square of half the [whole] number. $\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2$	ד' כל מספר כאשר תחלקהו לב' חלקים שוים ולב' חלקים בלתי שוים הנה הכאת החלק הא' עם חבירו מהחלקים הבלתי שוים ומרוב' מה שבין ב' חלקים ר"ל בין החלק השוה ובלתי שוה שוה למרובע חצי המספר
Proof: $\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a=b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]$	מופתו המספר שנחלק לב' חלקים בלתי שוים מה שנגרע מהמספר הקטן מהחצי הוא מיותר במספר הגדול על החצי
Example: the number 10 that is divided into 7 and 3.	במש' הי' שנחלק לז' ולג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2=7-5}}$	מה שנגרע הג' מהה' שהוא ב' הז' יותר מהה' זה המספר בעצמו שהם הב‫'
$\begin{align}\scriptstyle a\sdot b&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b-\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\right]\right]\\&\scriptstyle=a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]\\\end{align}$	וא"כ כשאנו מכים המספר הקטן בגדול הוא כאלו הכינו המספר הקטן בחצי המספר והתוספת כיון שהתוספת והחצי הם חלקי החלק הגדול
$\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[a+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]$	והכאת החצי עצמו הוא כאלו הכינו החצי עם המספר הקטן ועם התוספת כיון שהתוספת והמספר הקטן הם חלקי החצי
$\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]-\left[a\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]\right]$	והוא מבואר שההכא' בין הכאת החצי בתוספת בין הכאת המספר הקטן בתוספת הוא הכאת התוספת בתוספת וע"כ כהכאת התוספת בעצמו
$\scriptstyle\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2=\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-a\right]^2+\left(a\sdot b\right)$	ואם נוסיפהו על מרובע הקטן בגדול הוא מרוב' החצי בהכאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle5^2&\scriptstyle=\left(5\sdot3\right)+\left(5\sdot2\right)\\&\scriptstyle=\left(3\sdot5\right)+\left[\left(3\sdot2\right)+2^2\right]\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+2^2\\&\scriptstyle=\left(3\sdot7\right)+\left(5-3\right)^2\\\end{align}}}$	במשל הכאת הז' בג' הוא כאלו הכינו הג' בה' ובב' והכאת הה' בעצמו הוא כאלו הכינו הג' בה' והה' בב' שהם התוספת וההבדל שבין זאת ההכאה להכאת הג' בב' הוא הכאת הב' בעצמם וזה מבואר מאד
5) Euclid, Elements, Book II, proposition 6: If we divide any number into half and add to it another number, [the sum of] the product of the whole number plus the additional [number] by the additional [number] and the square of half the number is equal to the square of half the number and the additional [number] together. $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	ה' כל מספר כאשר חלקנו אותו לחצי והוספת עליו מספר אחר הנה הכאת המספר כלו מחובר עם התוספ' בתוספת ומרובע חצי המספר שוה למרובע חצי המספר והתוספת ביחד
Proof: $\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[b\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)\right]+\left[b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]\right]$	מופתו כי כשהוספנו על החצי מספר מה הנה יתוסף על מרובע החצי הכאת התוספת בחצי והכאת התוס' בחצי מחובר עם התוספת
Example: $\scriptstyle\left(5+2\right)^2=5^2+\left(2\sdot5\right)+\left[2\sdot\left(5+2\right)\right]$	וזה כי אמרנו ה' פעמים ה' הם כ"ה ואמרנו ז' שלז' הרי נתוסף הכאת הב' שהם התוספת בה' והכאת הב' בז' שהוא מחובר עם התוספת והחצי
$\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2+\left[b\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]\right]\\&\scriptstyle=\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2\\\end{align}$	וזהו בעצמו מה שאנו עושין כשאנו מוסיפין התוספת במספר כלו לפי שהמספ' חציו ועם התוספת שאנו מוסיפין עליו ומהל' הכאת התוספת עם החצי ואע"כ עם החצי והתוספת מחובר או הכאתו עם כל המספר והתוספת ביחד והבן
6) Euclid, Elements, Book II, proposition 7: For any number divided into two parts, the sum of the square of the whole number and the square of one of the parts is equal to twice the product of this part by the whole number plus the product of the other part by itself $\scriptstyle\left(a+b\right)^2+a^2=2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2$	ו' כל מספר שתחלקהו בב' חלקים איך שקרה המרובע ההווה מהמספר כלו והמרובע ההווה מא' מב' אלו החלקים כאשר התקבצו שוה להכאת החלק הנזכ' עם המספר כלו ולהכאת החלק הב' הנשאר בעצמו
Proof: $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+\left[2\sdot\left(a+b\right)\right]$	מופתו כבר התבאר בהקדמה ג' שהכאת הכלל בעצמו הוא הכאת חלקיו כל אחת בפני עצמו והכאת החלק הא' עם חבירו ב' פעמים
$\begin{align}\scriptstyle2\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=2a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=a^2+\left[a^2+\left[2\sdot\left(a\sdot b\right)\right]+b^2\right]\\&\scriptstyle=\left(a+b\right)^2+a^2\\\end{align}$	וא"כ כשאנו מכין החלק הנז' אשר הוספנו מרובעו למרובע המספר כלו עם המספר כלו ב' פעמים הרי אנו מכין אותו בעצמו ב' פעמים ועם החלק הא' ב' פעמי' ואח"כ אנו מוסיפין מרובע החלק הב' הנשאר והכאת הכלל בעצמו הוא הכאת החלק בעצמו פעם א' וכל אח' עם חבירו ב' פעמים הרי נותר הנה הכאת חלק אחד בעצמו פעם אח' אנו מוסיפין זה על מרובע הכלל כדי שיהיה שוה
Example: the number 10 is divided into 7 and 3.	במשל הרי הי' נחלק לז' ולג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[2\sdot\left(3\sdot10\right)\right]+7^2&\scriptstyle=\left[2\sdot\left(3\sdot7\right)\right]+\left(2\sdot3^2\right)+7^2\\&\scriptstyle=10^2+3^2\\\end{align}}}$	הנה הכאת הג' בי' ב' פעמים הוא הכאת הג' בז' ב' פעמים והכאת הג' בעצמו ב' פעמים ואח"כ אנו מכין הז' בעצמו נותר לנו על מרובע הכלל הכאת הג' בעצמו פעם אחד לכן אנו מוסיפין אותו על מרובע הכלל כדי שישוו
7) Euclid, Elements, Book II, proposition 8: For any number divided into two parts as you wish, if you multiply the whole number by one of the parts four times, the sum of the product with the square of the other part is equal to the [square] of the whole number plus the one part $\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2$	ז' כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים איך שקרה אם הכית המספר כלו עם חלק אח' מהם ד' פעמים וקבצת הכל עם מרובע החלק הב' הנשאר היה שוה להכאת מספרו החלק הנזכר כאשר תחברם יחד
Proof: based on two propositions	המופת יתבאר בב' הקדמות
I) For any number divided into two parts as you wish, [the sum of] the product of one part by the whole number and the [square] of the other part is equal to the sum of the product of the other part by the whole number and the [square] of the one part $\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2$	אחת כל מספר שחלקת אותו לב' חלקים כי איך שקרה הנה הכאת החלק עם כל הכלל והחלק הנשאר בעצמו כאשר תקבצם שוה להכאת החלק הנשאר בכלל והכאת החלק הא' בעצמו כאשר תקבצם
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\sdot10\right)+3^2=\left(3\sdot10\right)+7^2}}$	במשל הי' נחלק לז' ולג' הנה הכאת הז' בי' והכאת הג' בעצמו שוה להכאת הג' בי' והכאת הז' בעצמו
$\scriptstyle a\sdot\left(a+b\right)=a^2+\left(a\sdot b\right)$	וזה כי הכאת החלק בכלל הוא כאלו הכית אותו בעצמו ועם החלק האחד הנשאר כי אין הכלל זולת חלקיו
$\scriptstyle\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2=a^2+\left(a\sdot b\right)+b^2$	ואח"כ כשאנו מכין החלק הנשא' בעצמו הרי עשינו ג' הכאות הכאת כל חלק בפני עצמו והכאת החלק הא' באחר
$\scriptstyle\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2=b^2+\left(a\sdot b\right)+a^2$	וג"כ כאשר הפכנו הענין זה בעצמו אנו עושין
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)+7^2=\left(3\sdot7\right)+3^2+7^2=\left(7\sdot10\right)+3^2}}$	המשל כי הכאת הג' בי' הוא כאלו הג' בז' ועמו בעצמו וכשהכינו הז' בעצמם עשינו בזה ג' הכאות הכאת הז' בעצמו והכאת הג' בעצמו והכאת הג' בז' כן ג"כ כשאנו מכין הז' בי' ואח"כ הג' בעצמו אלו הג' הכאות בעצמם אנו עושין הכאת הג' בעצמם והכאת הז' בעצמם והכאת הג' בז' וזה מבואר
II) For any number whose square is known and we want to know the square of another number, we add [to the known square] twice the product of difference [between the two numbers] by the number [whose square is] known plus [the square] of the difference $\scriptstyle b^2=a^2+2\sdot\left[a\sdot\left(b-a\right)\right]+\left(b-a\right)^2$	ההקדמה הב' כי כל מספר שנודע לנו מרובעו ונרצה לידע מרובע מספר אחר הנה נוסף עליו הכאת התוספת במספ' הנודע ב' פעמים והתוספת בעצמו פעם אחת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]+\left(17-10\right)^2\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}$	במשל נודע לנו מרובע הי' ורצינו לידע מרובע הי"ז הנה נכה הז' בי' ב' פעמים ועם עצמו פעם אחת ונוסיפהו על מרובע הי' והוא העולה מהכאת י"ז בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle17^2&\scriptstyle=\left(10\sdot17\right)+\left(7\sdot17\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7\right)+\left(10\sdot10\right)+\left(7\sdot10\right)+\left(7\sdot7\right)\\&\scriptstyle=10^2+2\sdot\left(10\sdot7\right)+7^2\\\end{align}}}$	והסב' כשאנו אומרים י"ז פעמים הוא כאמרנו י' פעמים י"ז וז' פעמים י"ז וכשאנו אומרים י' פעמים י"ז כאלו אמרנו ז' פעמים י' וי' פעמים ז' וכשאנו אומרי' ז' פעמים י"ז כאלו אמרנום ז' פעמים י' וז' פעמים ז' נמצאו בזה ד' הכאות הכאת הי' בי' והכאת הז' בי' ב' פעמים והכאת הז' בעצמם
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle10^2&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left(10\sdot7\right)-7^2\\&\scriptstyle=17^2-2\sdot\left[10\sdot\left(17-10\right)\right]-\left(17-10\right)^2\\\end{align}}}$	וכשיש לנו י' פעמים י' חסר לנו הכאת הז' שהוא התוספת בי' שהוא המספר אשר נודע מרובעו ב' פעמים והכאת הז' שהוא התוספת בעצמו
$\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2$	בזה יובנו דברי ההקדמה הנזכ' הנה כשהכית החלק בכלל ד' פעמים ואח"כ החלק הנשאר בעצמו שוה להכאת המספר והתוספת כשיחוברו
$\scriptstyle b^2+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]=a^2+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]$	וזה כי הכאת החלק הנשאר בעצמו כאשר יחובר אל הכאת החלק האח' בכלל שוה כאשר המירונו שנעשה ההפך
$\begin{align}\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\\end{align}$	וא"כ הד' פעמים שהכינו בכלל נקח אחד מהם וישארו ג' ותחבר זאת ההכאת אל הכאת החלק הנשאר בעצמו הוא כאלו החלק האח' בכלל וזה החלק שאנו מכין אותו בכלל נכה אותו בעצמו וא"כ יש לו ג' הכאות החלק בכלל והכאת אחרת של החלק האחר בכלל והכאת החלק האח' בעצמו
Based on the first proposition proved above [Elements, Book II, propositions 1-2] $\scriptstyle\sum_{k=1}^n \left[\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)\sdot a_k\right]=\left(\sum_{i=1}^n a_i\right)^2$	וכבר ביארנו בהקדמה הראשונה שהכאת המספר שנתחלק בעצמו כאלו הכינו אותו עם כל חלקיו
$\begin{align}\scriptstyle4\sdot\left[\left(a+b\right)\sdot a\right]+b^2&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+b^2\\&\scriptstyle=3\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\&\scriptstyle=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left[b\sdot\left(a+b\right)\right]+a^2\\&\scriptstyle=2\sdot\left[a\sdot\left(a+b\right)\right]+\left(a+b\right)^2+a^2\\&\scriptstyle=\left[\left(a+b\right)+a\right]^2\\\end{align}$	וא"כ מהג' פעמים שהכינו החלק בכלל נחסר אחת ונחבר עמה הכאת החלק האח' במספר שנתחל' והרי יש לנו מרובע המספר שנתחלק כלו נשאר לנו ב' פעמים הכאת החלק במספר שנתחלק ב' פעמים והכאת זה החלק בעצמו וזהו מה שאנו צריכין להוסיף על מרובע המספר שנתחלק כמו שביארנו

Other Propositions	הקדמות אחרות
1) Euclid, Elements, Book VII, proposition 17: For numbers [multiplied by] the same multiplier, the ratio of a [product] to a [product] is equal to the ratio of a [number] to a [number] $\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c$	החלקים אשר כפליהם שוים הנה ייחס קצתם אל קצתם כיחס חלק קצתם אל קצת
$\scriptstyle\longrightarrow\frac{a\times c}{b\times c}=\frac{a}{b}$	וא"כ יתחייב מזה שכל חלק מהשברים כאשר יכפל כמותו ואיכותו שוה הפעמי' הנה הוא השבר הראשון בעינו
$\scriptstyle\longrightarrow\frac{a\div c}{b\div c}=\frac{a}{b}$	וכן אם תחלק כמותו ואכותו לחלקים שוים ותיחס חלק הכמות עם חלק האיכות הוא השבר הראשון בעינו
2) the product of a fraction by a fraction is a fraction of fraction	ב' הכאת השבר עם השבר הוא כאמרנו נקח השבר השבר
3) For any number multiplied by any number, the ratio of the multiplied number to the product is equal to the ratio of one to the multiplier $\scriptstyle a:\left(a\sdot b\right)=1:b$	ג' שכל מספר נכפל בכפלים כמ' שיהיו המספר הנכפל יחסו אל המספר העולה מכפליו כערך הא' אל הכפלים שבו נכפל
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2:\left(2\sdot3\right)=2:6=1:3=\frac{1}{3}}}$	כמו מספר הב' שהוכה בג' ועלה ו' יחסו אל הו' כיחס האחד אל שלשה שהוא שליש
4) $\scriptstyle\frac{1}{c}\sdot\frac{a}{b}=\frac{\frac{1}{c}\sdot a}{b}$	ד' כאשר תרצה לקחת מהשברים מה חלק מה הנה נקח מכמות השברים המונחים לפני החלק הדרוש וניחסהו אל האיכות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\frac{9}{10}=\frac{\frac{1}{3}\sdot9}{10}=3:10=\frac{3}{10}}}$	אם רצית שליש הט' עשיריות קח שליש הט' והם ג' יחסים אל האיכו' והם עשיריות יהיו ג' עשיריות
5) $\scriptstyle c\sdot\frac{a}{b}=\frac{c\sdot a}{b}$	ה' שכאשר תרצה לכפול שברים מונחים באיזה כפלים שיהיו נכפול הכמו' וניחסהו אל האיכות
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\frac{2}{9}=\frac{3\sdot2}{9}=6:9=\frac{6}{9}}}$	רצית להכות ב' תשיעיות בג' תכה הב' בג' הם ו' יחסם אל האיכות יהיו ו' תשיעיות
6) Euclid, Elements, Book VII, proposition 17: For any number multiplied by two numbers, the ratio of the two products one to the other is equal to the ratio of the two numbers one to the other $\scriptstyle\left(a\sdot b\right):\left(a\sdot c\right)=b:c$	ו' כל מספר יוכו בו ב' מספרים יחס השטח האחד אל האח' כיחס הב' מספרים בעצמם הא' מהם אל הב‫'
7) Euclid, Elements, Book VII, proposition 19: For any four proportional numbers, the product of the first by the fourth is equal to the product of the second by the third $\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1\sdot a_4=a_2\sdot a_3$	ז' ד' מספרים מתיחסם הכאת הראשון בד' שוה להכאת הב' בג‫'
8) Euclid, Elements, Book II, proposition 1: For any number multiplied by any number, their product is equal to [the sum of] the products of the multiplied number by each part of the multiplier number, divided into parts as you wish $\scriptstyle a\sdot\left(\sum_{k=1}^n b_k\right)=\sum_{k=1}^n \left(a\sdot b_k\right)$	ח' כל מספר יוכה עם מספר מה איזה מספר היה הנה העולה מהם שוה לעולה מהכאת המספר המוכה עם כל אחד מחלקי המספר המכה על איזה חלקים שיחלק
A short paragraph – philosophical observation concerning the meaning of the mean term	זכירה האמצעי בבחינתו בעצמו אינו נגדיי ובבחינות טובו הוא נגדיי לא' מהקצוות והוא נסתר כמו מרכז העגולה אף ליודעי חכמת השיעור והוא האמצעי בערך אלינו ולא בערך הדבר ועל כן הוא נסתר כי האמצעי בערך הדבר ידוע לבעלי חכמת השיעור והתיקון בהרחיק מהקצווי הפחות ולא תשער זה ע"ד כולל זולת התורה האלהית הקדושה שאינה משוערת מהשכל האינושי וזה אמת על כל פנים

Appendix: Bibliography

Anonymous
Qeṣat mi ʽInyanei Ḥoḵmat ha-Mispar
Manuscripts:

Paris, Bibliothèque Nationale heb. 1007/2 (IMHM: f 15710), ff. 29r-36r (1572)

heb. 1007/2

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 349. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 153.

@@ Line 2,210: / Line 2,210: @@
 |-
 |Numerical operation called jaber in Arabic
-!style="text-align:right;"|<big>מין מספר הנקרא בערבי ג'בר</big>
+!style="text-align:right;"|<big>מין מספר הנקרא בערבי {{#annot:term|695,1307|ul5O}}ג'בר{{#annotend:ul5O}}</big>
 |-
 |Its Hebrew technical term is unknown

Difference between revisions of "קצת מענייני חכמת המספר"

Revision as of 09:18, 7 September 2021

Contents

Sums

Sums of Squares

Sums of Cubes

Sums of Odd Numbers

Sums of Squares of Odd Numbers

Sums of Cubes of Odd Numbers

Sums of Even Numbers

Sums of Squares of Even Numbers

Sums of Cubes of Even Numbers

Geometric progression

Arithmetic progression

Multiplication of Fractions

Methods of checking

Addition of Fractions

Methods of checking

Subtraction of Fractions

Methods of checking

Combined Subtraction

Division

Dividing a large number by a smaller number

Small number by a larger number

Division of Fractions [= Converting Fractions]

Methods of checking

Combined Division

Roots

Roots of Integers

Approximating the root of a non-square number

Roots of Fractions

Cubic Roots

Cubic Roots of Integers

Approximating the root of a non-cubic number

Cubic Roots of Fractions

Divisibility of a Number

3; 6; 9

2; 4; 8

7

11

13

General technique

Square Numbers

Completion

Conversion

Geometric Shapes

Square

Rectangle

Triangle

Euclidean Propositions

Euclid's Elements, Book II, Propositions 1-8 - [Arithmetical Version]

Other Propositions

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search