Introduction: The Positional Decimal System

• Units

• Tens

• Hundreds

• Thousands

Table of Contents

Section One: Integers

Chapter One: Addition

Written Addition

Description of the Procedure

• If you do not find there any number, but zeros, put a zero in the rank of the units.

• If you find a number or numbers with zeros, do not [pay attention to] the zeros and sum the numbers that are in that rank.

• If the [interim] result is ten or tens, without units, put a zero beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.

In order that you will not forget them, put a dot or dots on top of the number in the succeeding rank, as the number of the reserved tens that are kept as units.

• If the [interim] result is ten or tens and units, put the number of the units beneath the line, in the place of that rank, and keep the ten, or tens, as units to sum them with what you find in the succeeding rank.

If you do not find in the succeeding rank but zeros, do not pay attention to them, since you have a [reserved] ten, or tens, to put as units in that rank. Put these tens as units beneath the line corresponding to that rank.

• If you do not have a ten, or tens, and you find in that rank only zeros, put beneath the line a zero corresponding to that rank, as mentioned for the first rank, when there is no number there but zeros, for there is one rule to this.

Example

• You wish to sum up two hundred and five thousand and five with three hundred ninety thousand and five and with six hundred twenty five thousand and two.

Set the digits as follows:

• First rank: Say: 3 and 5 are 8, plus 2 they are 10.

Since you do not have units, but a whole ten, put 0 beneath the line corresponding to the first rank.

Keep the ten, as one, for the succeeding rank, and put one dot above it so it will not be forgotten.

• Second rank: Since you do not find there any number, and you have that ten, do not pay attention to these zeros, put one under the line corresponding to the second rank, for the ten that you reserved as one.

• Third rank: Go to the third rank and since all of it are zeros and you do not have any reserved number, put one zero beneath the line corresponding to the third rank.

• Fourth rank: Go to the fourth rank and you will find there numbers and a zero. Since there is a number or numbers there, do not pay attention to the zero or the zeros that are there.

Say: 5 and 5 are 10.

Put 0 beneath the line, corresponding to that rank, as you did in the first rank.

Keep the 10 as one to sum it with what you find in the fifth succeeding rank and put one dot above it so it will not be forgotten.

• Fifth rank: Say: one for the reserved and 9 are 10, plus 2 are 12.

Put the two units beneath the line, keep one for the ten, and put one dot above the following rank.

• Sixth rank: Say: one for the reserved and 2 are 3, plus 3 are 6, plus 6 are 12.

Put the two units beneath the line, corresponding to that rank, and keep the ten as one in the succeeding rank.

Since the numbers are complete [and there is no more rank there] put that ten as 1 in the seventh rank, which is the succeeding rank.

Check

• Subtraction: subtract the first row from the result, subtract the second [row] from the remainder and so on, until only one [row] is left to subtract and the remainder then is equal to [the row] that you did not subtract.

As appears in the following diagram:

• Example:

For, when we subtract the row 625002 from their sum beneath the line, which is 1220010, 595008 remains, we subtract from this the other row, which is 390005, and 205003 remains, which is equal to the remaining row that was not subtracted yet.

Q.E.D.

Reason: Procedure

Reason: Check

Chapter Two: Subtraction

Written Subtraction

Description of the Procedure

• If you cannot subtract it from what is above it, as it is smaller than it or 0, take one from the upper digit that is in the succeeding rank, so it is ten in the [present] rank, and put one dot beneath the upper digit, from which you have borrowed the one.

• Even if there is 0 [in the succeeding upper rank], borrow from it and put a dot under it, so the one that you have borrowed is 10 in the [present] rank.

• Even if there is only 0 in this rank, subtract the bottom [digit] from it and put the remainder from these 10 under the line.

• If there is a number in the [present] rank, add the 10 to what you find there and subtract the corresponding bottom digit from the total sum, then put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

• When you go to the rank, from which you have borrowed the one, where you have put the dot, add one for it to what you find in that rank in the bottom row, if there is a number there, and subtract the total from this rank in the upper row.

• If you do not find there enough to subtract, borrow one from the succeeding rank and put a dot under it, so it is ten in the [present] rank, as explained and so on.

• If there is no number on the bottom row in the place of the dot, for instance when there is a zero there, or nothing, as the bottom row is already complete, subtract the one from the rank, under which the dot is, if there is a number there, and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

• If there is no number but 0 in the [upper] row corresponding to the dot, borrow one from the succeeding rank and put under it a dot, so that this one is ten [in the present rank]. Subtract from it the one and put the remainder under the line, corresponding to the [present] rank.

• When the whole procedure is complete, if there are still digits on the upper row, under which there is no number, nor 0, or a dot, since all is complete, put them as a remainder under the line, as they are.

Example

• We wish to subtract 40438 the smaller from the greater number that is 76540304.

We put the smaller under the greater, like this:

This second diagram is as follows:

• First rank: We start to subtract from the first rank and say: 8 cannot be subtracted from 4. We borrow one from the succeeding upper rank, where there is 0. Put a dot beneath it. The one becomes a ten in the first rank and with the 4 that are in it they are 14. We subtract 8 from them. 6 remain. We put them under the line corresponding to the first rank.

• Second rank: We go to the second rank and we find there a dot. We add it to 3 that is found in this rank on the bottom row, they are 4. We cannot subtract them from 0 that is on the upper row in this rank, so we borrow one from the third rank and put a dot beneath it. So we have a ten, we subtract from them 4, 6 remain. We put them under the line, corresponding to the second rank.

• Third rank: We go to the third rank and add the dot to 4 that is on the bottom row, they are 5. We cannot subtract them from 3 that are above them, so we borrow one from the fourth rank, where there is 0, and we put a dot beneath it. This one becomes a ten, we add to it 3 that is on the upper row in the third rank and the total is 13. We subtract from them 5, 8 remain. We put them under the line, corresponding to the [third] rank.

• Fourth rank: We go to the fourth rank and we find there a dot, but there is no number in the fourth rank on the bottom row to add to it, only 0, so we subtract this one alone from what is found in the fourth rank on the upper row. Yet, we cannot since there is no number there but 0, so we borrow one from the fifth rank and put a dot beneath it. The 1 becomes a ten, we subtract from it 1, 9 remain. We put them under the line, corresponding to the [fourth] rank.

• Fifth rank: We go to the fifth rank and add the dot that is found there to 4 that is found in the fifth rank on the bottom row, they are 5. We cannot subtract them from 4 that above them, so we borrow 1 from the succeeding sixth rank and we put a dot beneath it. Thus, we have 10 and with 4 they are 14. We subtract from them 5, 9 remain. We put them under the line.

• Sixth rank: We go to the sixth rank and we find there a dot, but there is no number corresponding to it on the bottom row, since it is already complete, so we subtract the one alone from 5 that is in the sixth rank on the upper row and 4 remain. We put them under the line.

• The digits that are on the bottom row are already complete, as well as the dots, and there are two digits left on the upper row. We put them under the line as they are successively, as a remainder.

Thus, what resulted under the line is what remains from the greater number after we subtract the smaller from it.

Reason: Check

Check

Chapter Three: Multiplication

Written Multiplication

Description of the Procedure

• Multiply the first upper digit by each of the bottom digits and always write the units of the result of its product by each of the bottom digit beneath the line, under that bottom digit and keep the tens to add them as units to its product by the following digit to the left.

• If there is no number in the following rank of the bottom line since it is already completed or since there is a zero there, write the [reserved] number that you have in the following rank under the line.

• If when you multiply the upper digit by zero, you do not have [reserved] units, write a zero corresponding to that rank.

• If you have tens [reserved] as units, write them in that rank, under the line, as said, and do not write a zero at all.

• Once you complete multiplying the first top digit by each of the bottom digits, you start multiplying again the second top digit by each of the bottom digits and produce a second row from it.

Always write down the units and keep the tens as units to add them to the the next [product] as said.

• After you complete multiplying all the upper digits by the bottom [digits], draw an ink line beneath all these rows and sum them up, each with all its corresponding [digits], as we explained in the chapter on addition, and the result is the sought, which is the product of the two numbers one by the other.

• If there is a zero in the top row of the multiplicands, it would be expected to produce a row of zeros from it, but there is no need for that, since when you keep that every row starts from the rank that corresponds the rank of the upper digit by which you multiply all the bottom [digits] in that row and as you proceed, you always move one rank to the left - when you keep all that, you do not need to take care of the zeros [or to produce] rows of zeros from at all.

• If at the beginning of the top line you find zero or zeros before any digit, you have to write one zero for each zero of them below the line and complete [this row] by multiplying the next digit that follows them in the top line by all the bottom digits.

• If you want also, in order that you would not be mistaken [...] always this procedure itself, i.e. that you put one zero for every zero in the top row, even if they are in the middle, in the rank that corresponds to that zero and complete this row by multiplying [the upper next digit that follows them] by all the bottom digits.

Example

• We wish to multiply the number 9007500 by another number 5400920.

Set the numbers one above the other successively, like this:

• Since there are two zeros at the beginning of the top row, write under the line two zeros corresponding to them as their number.

• Complete this row by multiplying the next upper digit that follows them, which is 5:

• Multiply the 5 by the zero that is in the first rank of the bottom number; it is zero. Put it after the two mentioned zeros, which is the third rank that [precedes] the fourth rank. It follows that its row starts from the third rank.

• Then say: multiply 5 by 2; it is 10. Put the zero after the mentioned zeros.

• Keep the 10 as one, to add it to the product of 5 by 9, which is 45; the total sum is 46. Put the 6 after all the zeros and keep the 4.

• When you multiply the 5 by the zero that follows the 9, [do not] put zero, since you have 4 in your hand, so put it instead after the 6.

ואין צורך אלא שתתחיל מה7 אשר אחריה ותעשה שורתו בלבד שתתחיל שורת ה7 מהמעלה הה' אשר היא מעלתו כנזכר
אכן כדי שלא תטעה תשים בראש שורת ה7 במעלה סיפרא בעד הסיפרא העליונה אשר בין הה' וה7 אשר מעלתה המעלה ה5

ותאמ' כפל 7 בסיפרא הוא סיפרא ותשים סיפרא אחרת
ותאמר עוד כפל 7 [ב2 ויעלו 14 תשים 4 שהם האחדים אחר הסיפרות הנזכרות ותשמור הא'
ותאמר עוד כפל 7 ב9] ב9 ויעלה 63 ועוד האחד אשר בידינו יעלה 64 נשים ה4 ונשמר ה6 לאחדים בידינו
ונאמר עוד כפל 7 בסיפרא היה עולה סיפרא אכן להיות בידינו ה6 לא נשים סיפרא אבל נשים ה6 אשר בידינו למקומה
ונאמר כפל 7 בסיפרא עולה סיפרא ונשים סיפרא אחר שאין בידינו אחדים כלל
ונאמר כפל 7 ב4 עולה 28 נשים 8 ותשמור 2
ונאמר כפל 7 ב5 עולה 35 ועם השנים אשר בידינו יעלו 37 נשים 7 ואחריהם 3 כי כבר נשלם כפל זה ה7 על כל הרשמי' התחתונים

ונאמר כפל 9 ב2 עולה 18 נשים 8 אחר השלשה סיפרות הנזכרות ונשמור אחד
ונאמר כפל 9 ב7 ב9 עולה 18 81 ואחר שהיה בידינו 1 יעלו 82 נשים 2 ונשמור 8
ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשים ה8 אשר בידינו במקומה
ונאמר כפל 9 בסיפרא הוא סיפרא ונשימה אחר שאין בידינו דבר שוב
ונאמר כפל 9 ב4 עולה 36 נשים 6 ונשמור 3
ונאמר כפל 9 ב5 עולה 45 ו3 אשר בידינו יעלו 48 ונשים 8 ואחריהן 7 כי כבר נשלם כפל 9 זה בכל הרשמים התחתונים

Check

• Division

Reason: Procedure

• The reason for the decimal place of the product of each digit of the multiplier:

• The product [of units] by hundreds - are hundreds

• The product [of units] by thousands - are thousands

• The units of a product [of units] by hundreds are hundreds; the tens of this product are units of the subsequent rank

• The product of tens by hundreds - are tens of hundreds, i.e. thousands

• The product of tens by thousands - are tens of thousands - which is the rank that follows the rank of thousands

Therefore, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

• The product of units by a certain rank - the units are placed in that certain rank

• The product of tens by a certain rank - the units are placed one rank higher than that certain rank

• The product of hundreds by a certain rank - the units are placed in the second rank higher than that certain rank

So, the digit of the multiplier adds its rank minus 1 to the decimal place of the product in addition to the rank of the digit of the multiplicand

Hence, the rank of the units in the product of a digit of the multiplier by a digit of the multiplicand is equal to the sum of the ranks of both digits minus 1

Reason: Check

• property÷(number of people) = share of each

• property÷(share of each) = number of people

Example: dividing 12 golden coins equally between 3 people - the share of each will be 4

The result of dividing a product of multiplication by one of the multiplicands is precisely the other multiplicand - thus, the check of the multiplication operation is division, and the check of the division operation is multiplication

Chapter Four: Division

written division

description of the procedure

• The procedure starts with the highest rank - the last digit on the left of the divisor

• The leftmost digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend as tens

The interim result should be multiplied by all digits of the divisor and the products are extracted from the corresponding digits of the dividend

• An interim digit of the dividend is smaller than the corresponding digit of the divisor or its multiple - considering the next rank of the dividend - keeping in mind the value of each rank in relation to the present rank

• The decimal place of the interim result of division

• The remainder of the division

• Proceeding to the next interim division

• The last interim division

• Tracing the rank of the dividend to be divided by a certain digit of the divisor

• The decimal place of the interim result of division

example

אכן מד' אשר לפני האחרון העליון שהוא אשר לפני האחרון התחתון לא נוכל לצאת 6 שהוא אשר לפני האחרון התחתון לכן לא נוציא משום [משם] דבר אבל נוציא מהשנים האחרונים שהם 43
ונאמר 43 כמה פעמים יש 4 ולא נאמר עשרה שמהמעלה הזאת היה יכול לקחת 10 היה לוקח מהאחרון אחרון שהוא 10 בערך המעלה הזאת לכן לא נאמ' כי אם 9
והנה השורה התחתונה היא 5 רשמים לכן לא נמנה מהג [3] העליון אשר לוקח משם 5 מעלות לצד ימין ויכלו בסיפרא ונשים תחתיה אלו ה9 היוצאים בחילוק שהוא מספר הכפלים אשר לנו להוציא התחתונים מהעליונים בפעם הזאת כל אחד מהמעלה הראויה לו כנזכר

ואין ב3 כדאי להוציאם מהם ה6 האחדים, לכן נקח עשר אחד מה4 מוסיף על ה3 עשרות אשר יש לנו לקחת משם
לכן נקח כל ה4 ונשים עליו סיפרא, או נעביר עליו הקולמו‫'
וזה העשר הנוסף אשר לקחנו נחברהו אל ה3 העליון ויהיו 13 נקח משם ה6 אחדים אשר לנו לקחת משם, ישארו 7 ונשימם על ה3
והנה כבר לקחנו האחדים גם העשרות כל אחד מהמעלה הראויה לו

ונקח ה4 אחדים מהמעלה אשר לפני האחרונים העליונים הנזכרים שהוא ה8 וישארו 4, נשימם עליהם
עוד נקח ה5 עשרות מהמעלה שאחריו לצד שמאל, שהם עשרות בעדה ותשים ותמצא שם 7, תסיר מהם 5, ישארו ב' ונשימם עליהם

נסיר ה3 אחדים מה4 העליון הנזכר וישאר 1 ונשימנו עליו
והיה ראוי לנו לקחת ה6 עשרות ממקום הסיפרא ואחר שאין שם כדאי להוציאם, נקח אחד מהמעלה הבאה האחריה, תמצא שם 4, נקח אחד, ישארו 3, נשימם עליו
וזה האחד הוא עשר בערך מעלת הסיפרא העליונה, אשר משם נקח העשרות, כי כל אחד מאלו העשרה הוא עשר בערך ה4, אשר משם לקח ה7 ונסור ה6 עשרות, אשר עליו, להוציא מאלו ה10 וישארו 4 ונשימם על הסיפרא

וזה האחד היה לנו לקחתו ממקום הסיפרא העליונה אשר לפני 4, אשר לקחנו משם ל7 ואין שם דבר, לכן נקח האחד אשר על ה4 ויהיה כאן עשרה. נקח האחד ישארו 9 ונשימם עליה
וה8 עשרות היה לנו לקחת אותם ממעלת ה4 ואין שם דבר, כי אפי' האחד שיהיה שם כבר לקחנוהו ל[...] האחד, לכן נקח אחד מהד' אשר על הסיפרא הבאה אחריה וישארו 3 ונשימם עליו
וזה האחד יהיה לעשר על ה4 אשר משם נקח ה8 עשרות וכל אחד מאלו העשרה הוא עשר, כערך מקום הסיפרא אשר משם לקח ה9 ונסיר ה8 [עשרות מעשר] עשרות אלו, ישארו 2 ונשימם על ה4, ר"ל על האחד שהיה על ה4
וכבר לקחו כל התחתונים כ"כ כפלים כל אחד מהראוי לו כאשר לקח האחרון התחתון מהאחרוני' התחתונים
ונשאר לנו 233298998 במספר העליון, שהוא יותר מהתחתון כמה כפלי כפלים
לכן נשוב לחלק להם זאת השארית כאשר בתחלה ונרשום קו על כל הנשאר, כדי שלא נתבלבל

ונאמ' ה' פעמי' 4 הם כ‫'
ואחר שאין שם אחדים, לא נקח מהג' דבר, אבל הב' עשרות אלו נקח מהב' הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו ב‫'

ואלו ה5 אחדים נקחם מה9 אשר על ה0' כי שם מקום לקיחתם במעלת 4 לצד ימין מה3, אשר על ה8 העליון, אש' לקח רושם האחרון התחתון כמרחק זה הז' לצד ימין מה4 האחרון התחתון כמרחק ואחר קחתנו אלו ה5 אחדים מה9 הנזכרים, ישארו 4 ונשימם עליהם
והג' עשרות נקחם מהב' אשר עליהם כי שם מקום לקיחתם הבא אחריו ולא נוכל, לכן נקח אחד מהג' הבא אחריו וישארו 2, נשימם עליו
וזה הא' הוא עשרה בערך השנים ונחברם אליהם, יהיה 12, נקח מהם ה3 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם

נסיר ה5 מה8, ישארו 3
נסיר ה4 עשרות מה4 ולא ישאר דבר ונשים עליו 0
והנה לקחו כל התחתונות ונשאר לנו במספר העליון 2943998 והוא הרבה מאד יותר מהתחתון ונשוב לחלקם להם ונרשום על זאת השארית קו דיו, כדי שלא נתבלבל

לכן לא נקח כי אם 6 ונשימם תחת ה9 שהוא ה5 לצד ימין מה9 כנגד [....] העליון, אשר משם נקח לאחרון התחתון, ר"ל שהוא כמנין מעלות השורה התחתונה
ואחר שיש מעלה חלקה ממספר בין ה5, אשר יצא לנו בחילוק מתחלה וזהו אשר יצא לנו עתה, נשים 0 במעלה החלקה ממספר, כי זה מעשה ה0, כאשר ביארנו בתחלת הספר
ונאמר 6 פעמים 4 הם 24
נקח 4 אחדים מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם
ונקח ה2 עשרות מה2 הבא אחריו ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

היה לנו לקחת ה6 אחדים מהם אשר בזו השארית ולא נוכל, לכן נקח אחד מה5 אשר משם נקח הג' עשרות
ויהיה כאן עשרה, נקח 6 אחדים, ישארו 4 ונשימם עליהם
עוד נקח ה3 עשרות מה5 וכבר לקחנו 1, הנה לא ישאר שם כי אם 1 ונשימהו עליו

נקח השנים אחדים מה9, ר"ל אשר במעלת המאות שהוא ל4 מעלות לצד ימין מהמקום שלקח האחרון התחתון, ישארו 7 ונשימם עליהם
ו[...] לנו לקחת ה4 עשרות מה3 ואין בו די, נקח אחד מה4 הבא אחריו וישארו 3 ונשימם עליו
וזה ה1 הוא 10 במדרגת ה3 ונחברם ויהיו 13, נקח מהם ה4 עשרות, ישארו 9 ונשימם עליהם

ונקח ה4 מה9, ישארו 5 ונשימם עליהם
[missing]
והנה לקחו כולם ונשאר עוד בעליון 139258 והוא יותר מהתחתון, לכן נשוב לחלקם עליהם, נרשום קו דיו עליהם על השארית הנזכר

	01
	13
	054
	00290
	2332492
	074419375
	4380408998
	95063
	46079

ונאמ' ג' פעמים 4 הם 12
ונקח ה2 מה3 וישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

ונקח ה8 מה9 וישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה1 מה1 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

ונקח ה1 מה5 וישארו 4 ונשימם עליו
ונקח ה2 מה2 ולא ישאר דבר ונעביר עליו הקולמוס

ונקח ה7 מה8, ישאר 1 ונשימהו עליו
ונקח ה2 עשרות מה4, ישארו 2 ונשימם עליו

check

• Multiplication

ונאמר 9 ב5 הם 45
נסיר ה5 מה8, ישאר 3
נסיר ה4 מה4, לא ישאר דבר

	0
	030
	486463564860000
	9
	5400920

נסיר ה6 מה6, לא ישאר דבר
ונסיר] ונסיר ה3 מה3, לא ישאר ג"כ דבר

	0
	030382
	486463564860000
	9
	5400920

ולדעת מאיזו מדרגה וקח [נקח] תעשה אחד מ2 דברים: או תמנה מהמעלה [אשר שמת שם היוצא בחלוק, שהוא ה6, לצד שמאל 3 מעלות במרחק זה ה9 מהמעלה הא'] הא' ויכלו ב[3] העליון ומשם נקח זה האחד שעלה בכפל
ואם תרצה תמנה מהמקום אשר משם לקח המספר האחרון התחתון והוא ה8 [העליון, 5] מעלות לצד ימין כמרחק זה ה9 מה5 המספר האחרון לצד ימין ויכלו ג"כ ג' ומשם נקח ה1 וישארו 2
ונקח ה8 עשרות מה6 ואין די ויקחו מה4 וישארו 3 וזה הראשון הוא לעשרה ועם ה6 יהיו 16, נסיר מהם ה8, ישארו 8

	0   0
	0303827
	486463564860000
	9
	5400920

ומה5 לא יוכל לצאת ה8, לכן נקח 1 מה2 ועוד נקח משם 1 לעשר ולא ישאר דבר
וזה ה1 הראשון אשר לקחנו יהיה עשרה ועם ה5 יהיו 9, נסיר מהם 8, ישארו 7 [ישאר 7]

	0 030
	0303827
	486463564860000
	9007
	5400920

והנה נשאר בעליון 3807648606000 והוא רב מאד מהמספר התחתון, לכן נשוב נחלקנו עליו ונרשום קו דיו עליהם
ונאמ' מ3 אין די ל5 ונקח מ38 ויהיה בהם 7 פעמים 5, תשים זה ה7 היוצא בחילוק תחת ה6, כי שם יכלו הד' מעלות מזה ה8 לצד ימין, אשר הם כמנין מעלות השורה התחתונה
ונאמ' 7 ב5 הם 35
ונקח ה5 מה8, ישארו 3
וה3 מה3, לא ישאר דבר

	02
	0 030
	0303827
	486463564860000
	9007
	5400920

וה8 לא יוכלו לצאת מהם ונקח 1 מה3 ויהיה 34, נקח ה8 וישארו ב' ונשימם עליו
ונקח עוד מה3 ויהיה 4 הב' עשרות ולא ישאר דבר

	02
	0 030
	030382701
	486463564860000
	9007
	5400920

ונקח ה3 מה4, שהיא מדרגה הראויה לו כמו שהזכרנו באחד מהב' דרכים, אם להיותה שלישית לשמאל ואם להיותה חמישית לימין, כמו שהוא ה9 וישאר א' מה4 ונשימהו עליו
והו' עשרות נסירם מה6 ולא ישאר דבר והנה לקחו כלם

	02
	0 030  0
	0303827014
	486463564860000
	9007
	5400920

נסיר ה4 מה8, ישארו 4
ונסיר ה1 מ1 ולא ישאר דבר

	0
	02
	0 0302 0
	0303827014
	486463564860000
	900705
	5400920

וה7, לפי שהוא תחת הקו הרשום תחלה ואולי תשכחהו, שימהו על הקו הרשום ועוד תרשום קו על הכל ותשוב לחלקים אחרי היותם יותר מהתחתון
ונאמר ב2 אין די ל5, ניקח מ27 ויהיו בו ה' פעמים ונשימהו תחת השלישית, כי שם יכלו ה7 מעלות לצד ימין, שהם כמנין מעלות השורה התחתונה ונאמר 5 ב5 הם 25
נסיר הה' מהז', ישארו שנים
ונסיר הב' מהב' ולא ישאר דבר

	0
	020
	0 0302 0
	0303827014
	486463564860000
	900705
	5400920

ולא נקח אחדים
אכן הב' עשרות נקחם מהב' אשר שמנו עתה על הז' ולא ישאר דבר

	0
	020
	0 0302 00
	03038270141
	486463564860000
	900705
	5400920

נסיר הה' מהו', כי היא מעלה הראויה לו כנזכר וישאר א‫'
ונסיר הד' מהד' ולא ישאר דבר הנה לנו שכלה כל החשבון

reason: procedure

As the tens are tens in relation to the units, so the thousands are tens in relation to the hundreds; and as the hundreds are in relation to the units, so the thousands are in relation to the tens, and the tens of thousands are in relation to the hundreds

The rank of the division by units is the rank of the dividend - thus, if the units were extracted from the hundreds, the tens will be extracted from the thousands, and the hundreds will be extracted from the tens of thousands

If the units of the divisor were extracted from the hundreds of the dividend, then the hundreds of the divisor, that are on the third rank in relation to the units of the divisor, should be taken from the tens of thousands of the dividend, that are on the third rank in relation to the hundreds of the dividend

reason: check

• The meaning of division: finding out how many times the small number is in the larger number

• The meaning of multiplication: [finding out] how much is the sum of the multiples of a given number for a given number of times

או לד' לכל אחד ה‫'
הנה כ' הוא כפל ד' בה', שהם המספר אשר חלקנו עליו והיוצא בחילוק

ולזה כאשר כפלנו ד' בה' ויעלה כ', הוספנו עליהם הא' הנשאר, יעלה הכל כ"א, שהוא כמספר המתחלק וכל זה ברור

divisibility of a number

3; 6; 9

• six: See, if the first digit that is in the first rank is an odd number, then you know that the number does not have a sixth [= not divisible by 6].

If it is an even number, know that if it has a third [= divisible by 3], it has also a sixth [= divisible by 6], otherwise it has not.

• nine and three: Every [number] that it has a ninth [= divisible by 9], has also a third [= divisible by 3], but not vice versa.

To know if a number has a ninth or a third, consider all the digits of the number as if they are of the first rank, i.e. sum them as units and cast out the nines from this sum

• No remainder - If it is consumed by the nines, know that it has a ninth [= divisible by 9] and it certainly has a third [= divisible by 3].

• The reminder is 6 or 3 - if 6 or 3 remains, it has a third [= divisible by 3], but it does not have a ninth [not divisible by 9].

• The reminder is a number other than 3 - if another number remains, such as 4 or 5 and the like, it does not even have third [= not divisible by 3].

• The reason that we consider all the digits of the number as units, without considering their ranks, is that every [unit of] a certain rank is ten [units of] the preceding rank, therefore when subtracting nine from the ten [of a certain rank] the remainder belongs to the preceding rank, and so on repeatedly. We find that after casting out the nines [their ranks] are the same.

נמצא שלאחר הסרת התשיעיות כלם שוים

• We say that if the first digit is an odd number, it does not have a sixth [= 6 is not a divisor of the number], since the whole number is odd, and an odd number is indivisible by an even number, i.e. it is not a product of an even number multiplied by an odd number and all the more so by an even number.

• We say that if it is an even number that has a third [= divisible by three], it has also a sixth [= divisible by six], since the whole number that consists of an even number multiplied by 3 is an even number. For if it were an odd number, it were a product of an odd number by an odd number, but as the number that consists of the 3 is even, it is divisible by double the 3, i.e. by six, so it has a sixth.

2; 4; 8

• two: if it is an even number or 0 - then the whole number is even, for the tens and up are even - therefore it has a half [= divisible by 2]

• four and eight: if it is an even number or 0

• for a number of the type
  

→ the sum is

• for a number of the type
  

→ the sum is

ואם הוא זוג, או 0, לא תקח בעבורו מאומה וכן מהמעלה השלישית ולמעלה לא תקח דבר

Considering the remainder after casting out eights from this sum

• No remainder - the number has an eighth and a quarter [= divisible by 8 and 4]

• The remainder is 4 - the number has a quarter [= divisible by 4]

• The remainder is a number other than 4 - the number does not have an eighth or a quarter [=not divisible by 4 or 8]

7

• If there is no remainder - the number has a seventh [= divisible by 7]

• Otherwise - it does not

5; 10

• If the digit of the units is zero - the whole number is tens and therefore it has a tenth and a fifth [= divisible by 10 and 5]

• If the digit of the units is 5 - the number has a fifth [= divisible by 5]

• If the digit of the units is other than 0 or 5 - it does not have a fifth [= not divisible by 5]

11

• If there is no remainder - the number has an 11th [= divisible by 11]

• Otherwise - it does not

13

• If there is no remainder - the number has a 13th [= divisible by 13]

• Otherwise - it does not

general rules

• If the numbers 2-11, 13 are not [divisors] of a given number - any [divisor] of the given number is not divisible by these numbers

The reason: if one of these numbers was a [divisor] of the [divisor], then this [divisor] could not have been a [divisor] of the given number, for if it were a [divisor] of the given number then its own [divisor] should have been the [divisor] of the given number also

• 21 is a [divisor] → 7 and 3 are also [divisors]

• If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a<n² - then n is not a [divisor] of a

The reason: if n is a [divisor] of a and a<n², then there is b<n, so that a=b·n, but b cannot be a [divisor] of a according to the condition that 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a → contradiction

• 1; 2; 3; …; 16 are not [divisors] of a → if a is divided by 17, 17 times or more, then a≥17² = 289; and if it is divided by 17, 16 times or less, then one of the numbers smaller than 17 is a [divisor] of a → contradiction

ואם הפעמים האלה אשר י"ז בו הם פחות מי"ז, המשל י"ו ומשם ולמטה, הנה היה לו רביעית, או אחד מהמורים הקודמים, שהרי יתחלק למספר פעמים אלו ג"כ ויצא בחילוף הי"ז וזה שקר, שהרי לא מצאת לו אחד מהעוברים

• If 1; 2; 3; …; n-1 are not [divisors] of a given number a, and a≥n²

• If there is an integer m, so that a÷n=m → then n and m are [divisors] of a

• Otherwise - n is not a [divisor] of a

Repetitive division of a number by its [divisors]

• Dividing a number by a known [divisor] and receiving an integer as a result

The [divisor] and the result of the division are both [divisors] of the number

• Dividing the result of division by its [divisor] - this [divisor] must be also a [divisor] of the given number itself

• Dividing the second result of division by its divisor, and so on

Are 3, 6, 9 [divisors] of 50335084800?

the first digit is 0 → if 3 or 9 are [divisors] of 50335084800 then 6 is also its [divisor]

ונאמ' ח' עם ד' הם י"ב, נוציא מהם הט' ישארו [.] ג‫'
ועם 8 הם י"א, נסיר הט', ישארו ב‫'
ועם ה' יהיו ז' ועם הג' יהיו עשרה, נסיר ט', ישארו א‫'
ועם הג' יהיו ד' ועם הה' יהיו כולם ט' ט', הרי יצא החשבון לט' ט‫'

→3, 6, 9 are [divisors] of 50335084800

the first digit is 0

→3, 6, 9 are [divisors] of 8389180800

ואחר שהרושם הראשון סיפרא
ויש לו ט', יש לו ג"כ ו' וכ"ש ג‫'

the first digit is 0

→3, 6 are [divisors] of 8389180800

הנה יש לו ג‫'
ג"כ ו' להיות הראשונה סיפרא

Since 9 is not a [divisor] of 8389180800 → 3 is not a [divisor] of 310710400

הטעם לפי שזה שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית הקודם ואם לזה היה לו שלישית, הנה שלישיתו, ר"ל שלישית זה שהיה שלישית הראשון, הוא לראשון שלישית שלישית, שהוא תשיעית ולא מצאנוהו

Are 2, 4, 8 [divisors] of 310710400?

the first digit is 0 → 2 is a [divisor] of 310710400

the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number

→ 4 and 8 are [divisors] of 310710400

הנה יש לו ח' וד' וב‫'

the first digit is 0; the second digit is 0; the third digit is an even number

→ 4 and 8 are [divisors] of 38838800

the first digit is 0; the second digit is 0; but the third digit is an odd number

→ only 2 and 4 are [divisors] of 9709700

הנה שאין לו כי אם ד' וב‫'

Since 8 is not a [divisor] of 9709700 → 4 is not a [divisor] of 4854850

Are 5, 10 [divisors] of 4854850?

the first digit is 0

→ 5, 10 are [divisors] of 4854850

the first digit is 0

→ 5, 10 are [divisors] of 970970

the first digit is not 0

→ 5, 10 are not [divisors] of 97097

Is 7 [divisor] of 97097?

→ 7 is a [divisor] of 97097

ונכפלהו בג', יהיו ו' ונחברם לז' אשר לפניו, יהיו י"ג, נסיר הז', ישארו ו‫'
נכפלהו בג', יהיו י"ח, נסיר מהם י"ד, שני שביעיות, ישארו ד‫'
ואחר שבמעלה שלפני זאת אין שם חשבון כי אם 0, נכפול אלו הד' בג', יהיו י"ב, נסיר ז', ישארו חמשה
נחברם לט' שלפני זאת, יהיו י"ד והם שביעיות, גם הראשונה ז', הנה יצא הכל ז' ז‫'
הנה יש לו שביעית

Is 7 a [divisor] of 13871?

the remainder 4

→ 7 is not a [divisor] of 13871

הנה אין לו ז‫'

Is 11 a [divisor] of 13871?

→ 11 is a [divisor] of 13871

נסירם מהח' שלפניהם, ישארו ו‫'
נסירם מהז' שלפניהם, ישאר א‫'
נסירם מהא' שלפניו ולא ישאר דבר, הרי יש לו י"א

Is 11 a [divisor] of 1261?

the remainder 7

→ 11 is not a [divisor] of 1261

הנה אין לו י"א

Is 13 a [divisor] of 1261?

→ 13 is a [divisor] of 1261

ונכפלם בג' ויהיו ל"ו, נסיר כ"ו שהם י"ג י"ג, ישארו י‫'
[ולא נוכל להסירם מהו' שלפניהם ונוסיף עליהם י"ג ויהיה י"ט, נסיר מהם י', ישארו] ישארו ט‫'
נכפלם בג', יהיו כ"ז, נסיר כ"ו, ישאר א‫'
נסירנו מהא' הראשון ולא ישאר דבר
הרי יש לו י"ג

the numbers 1-12 are not [divisors] of 97

→ 13 is not a [divisor] of 97

ועוד יצא בחלוקנו זה ה' עשיריות חלק זה פי'[ה'][עשיריות] ה[חמיש]ית חצי רביעית שמינית שלישית תשיעית שישית
ועוד שביעית עשירית חמישית חצי רביעית וכו‫'
ועוד ד' חלקים מי"א מז' מי' מה' וכו‫'
ועוד [ט' חלקים מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫'
ועוד כ"ב] כ"ב חלקים מצ"ז מי"ג מי"א מז' מי' מה' וכו‫'

ולחלוקה על המורים עליו השגחה זו נקרא לו כלילת יופי, לפי שהוא לעשות מהפרטים כללים יפים ונאותים

• The dividend is smaller than the divisor

• The dividend is larger than the divisor

• There are integers in the final result

• There are no integers in the final result

נחבר לזה הב' אשר תחת המורה הזה ויעלה הכל 43385285
נכפלם על הח' שהוא המורה השני ויעלה 347082280
ואחר שלא נמצא תחת זה המורה דבר, לא נוסיף עליהם דבר
ונשוב ונכפלם בט' שהוא המורה השלישי ויצא לנו החשבון המתחלק בעינו שהוא 3123740520

הנה ידענו כי כאשר חלקנו ע' על ק', שהגיע לכל אחד מהם י"ז חמישיות חמישית וב' רביעיות חמשית חמישית

וזה כי כאשר רצינו לחלק אלו הע' לאלו המורים, אחר שהעין יש לו חמישית שהוא א' מאלו המורים, ראוי לנו לחלקם ראשונה על הה' ונשימנו אחרון, כדי שלא ישאר דבר לשים תחתנו ויצא בחילוק י"ד
ואם היה להם רביעית, היה ראוי לחלקם על ד' ולשומו לפני האחרון
ואם היה לו ה' לה‫'
אכן שאין לו אחד מהם, נסדר אלו השני המורים הנשארים כפי המזדמן
וע'ד'מ' נחלק אלו היד לד' ונשימהו לפני האחרון ויצא בחילוק ג' ואחר שהוא פחות מהה' שהוא המורה האח', נשימהו תחתיו והב' הנשארים נשימם תחת הד' שהוא המורה השני [אשר] נחלקנו עליו כזה‫:

וידוע כי כל חמישית שלמה היא ד' רביעיותיה, פי' ד' רביעית חמישית, כמו שכל שלם ד' רביעיות שלם, הרי לנו כי כל אחד מאלו הג' חמישיות שלימות היא ד' רביעיות חמישית ולדעת כמה הם נכפול ג', שהוא מספר החמישיות, בד' שהוא המורה הבא אחריו ויעלה י"ב, הרי לנו שהג' חמישיות הם י"ב רביעיות חמישית
ומצאנו תחתיו שנים שהם מזה המין, פי' שהם רביעיות חמישיות, נחברם אליהם ויהיו י"ד רביעיות חמישית
וכאש' נרצה לדעת כמה חמישיות רביעית חמישית הם, נכפלם בה' שהוא המורה הבא אחריהם ויעלו כלם ע‫'
ואם תחת זה המורה היה נמצא דבר, זה היה ג"כ חמישיות רביעית חמישית והיינו מחברים אותם אליהם
אכן אחר שלא נמצא תחתיו דבר וכבר כלו המורים, כבר כלינו מעשינו
ואחר שעלה לחשבוננו הראשון, פי' לעין [ע'], שהוא החשבון הקטן אשר רצינו לחלק על הק' שהוא בעל אלו המורים מבלי תוספת ומגרעת, ידענו כי כל מעשינו בצדק ובמשפט

וכאשר נרצה להשיבם רביעיות חמישית, נכפלם בד' ויהיו כ"ח רביעיות חמישית ואחר שלא נמצא תחתיו דבר, לא נחבר אליהם דבר
עוד נשיבם חמישיות רביעית חמישית וזה בכפלנו אותו בה' ויעלה ק"מ חמישיות רביעית חמישית והנה כלו המורים ואין תחתיו דבר לחבר על העולה

Chapter Five: Proportions

Rule of Four

• For example, the ratio of 5, which number has the same ratio?

• Example: For the ratio that 5 is to 7, 10 is in the same ratio to which number?

• Or, which number has the same ratio to 14?

• If you say: to which number does 10 has this ratio? What we relate to it is missing, which is the second of the others.

• If we say: which number has this ratio to 14? the related is missing, which is the first of the others.

• When you wish to know the unknown:

• If you have the first of the two that are last, but the second of those that are last is unknown: we multiply the first [of those that are last] by the second of the first two that are known, then divide by that which remains of the three that are known, i.e. by the first of those that are first; the result of division is the unknown.

• If you have the second of those that are last, but the first is unknown: multiply the second [of those that are last], which is known, by the first of those that are first, then divide the product by the second of those that are first; and the result of division is the required unknown.

• Example: if we say: the ratio of 3 to 7 - 5 has this ratio to whom?

We know the related of those that are last, which is called first, it is 5. We multiply it by the second of those that are first, which is 7; the result is 35. We divide it by what remains of those that are known, which is 3; the result of division is 11 integers and 2-thirds and this is the required unknown.

Meaning: the ratio that 3 is to 7 is that same ratio that 5 is to 11 and 2-thirds.

It is clear that as 7 is twice 3 plus its third, which is 1, so is 11 and 2-thirds twice 5 plus its third, which is 1 and 2-thirds.

כן י"א וב' שלישיות הוא כפל ה' ועוד שלישיתו שהוא א' וב' שלישיות

• Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many silver dinar will 11 golden dinar be worth?

• Exchange Problem - Currencies: If 3 golden dinar are worth 50 silver dinar, how many [golden dinar] will 183⅓ silver dinar be worth?
  

• The first problem:

• The second problem:

Rule of Three

• When the mean and one of the others are known, the unknown is extracted, for we multiply the mean by itself , then divide [the product] by the other that is known and the result is the unknown.

• When the two [extremes] are known, the mean is extracted, by multiplying the two that are known [one by the other] and the product is as the product of the mean by itself, i.e. as its square.

The mean is the root - we extract the root of this number by finding a number whose product by itself is as this product and the resulting root is the unknown mean.

• 

• As we say: the ratio of 2 to 4 is as the ratio of 4 to 8

• 4 is the mean, instead of the two [means], which is the second of those that are first and the first of those that are last.

• If one of the extremes is unknown, such as 2, whereas 4 and 8 are known:

• Meaning that one asks: Who has the ratio to 4, as the ratio of 4 to 8?

• Exchange Problem - Currencies: Or if he says: How many golden dinar are worth 4 silver dinar, if 4 golden dinar are worth [8] silver dinar?

We know that the product of 4 by 4, which is the mean, that is 16 is as the product of the known 8 by the unknown

Thus, we divide it by 8 and the result of division, which is 2, is the unknown.

• If 2 and 4 are known, and 8 is unknown:

• That is, one asks: the ratio of 2 to 4 - 4 has this ratio to whom?

• Exchange Problem - Currencies: Or, if he asks: If 2 golden dinar are worth 4 silver dinar, how many silver dinar will 4 golden dinar be worth?

We multiply 4 by itself; the result is 16. We divide it by [2]; the result of division is [8] and this is the unknown.

• If the unknown is 4, which is the mean that stands instead of the two [means], whereas 2 and 8, the first and the last, are known:

We multiply 2 by 8; the result is 16 and it is the product of the unknown mean by itself, as we have explained; the 16 is the square of the mean.

The mean is its root - the root of 16 is 4.

Chapter Six: Roots

written extraction of roots

description of the procedure

• If it is odd, consider the last digit [= leftmost digit] as if it is units, [then seek] a number such that when we multiply it by itself that product is the last digit or as close to it as possible and we write it beneath it.

If something remains from the last upper digit after subtracting the product of the number that you wrote beneath it by itself, write this remainder above the last digit.

• If the number of the ranks of the number, whose root you wish to know, is even, consider the last digit as tens and what you find in the preceding rank as units, then seek a number whose square is the same as these tens and units or as great as possible to be subtract from them and write this number you find beneath the rank that precedes the last rank.

What remains after subtracting the square of the number you find from the units and tens that are found in the last two ranks - if tens remain, write them above the last digit; if units, write them above [the digit] that precedes the last digit.

• The result are units

• The result are units and tens

• The result are tens

• The remainder of the given number in corresponding ranks is not enough for subtracting the subtrahend from it - shifting the subtrahend to a lower rank

• Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units alone

• Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are units and tens

• Doubling the interim rightmost digit of the root - the result are tens alone

examples

ונבקש מספר שנכפלנו על עצמו ויוציא כל ה34, או היותר שאפשר והוא ה' ונשימנו תחת הד' ונאמר ה' פעמים ה' הם כ"ה נוציאם מהל"ד ישארו ט' ונעביר קולמוס על הג' ונשים הט' על הד‫'
ונכפול הה' ואחר שאין ונעביר עליו הקולמוס והנה כופלו הוא י' נשים א' תחת הה' ואחר שאין עם עשר זה אחדים כלל נשים לפני זה האחד 0
ונבקש מספר נשימהו במעלה שלפני ה0' ונכפלנו ב בא' ובעצמו ונוציא כל היותר שנוכל מאשר נשאר על הד' גם מהמ"ו אשר לפניו שהם השלימות המעלות אשר עליהן ויהיה ח' ונשימנו לפניהם ונכפול ח' בא' יהיו ח' נוציאם מהט' אשר עליו ישאר אחד נשימנו עליו
עוד נכפול ח' על עצמו ויעלה ס"ד ונוציא הד' האחדים מהו' אשר על ראשו ישארו ב' נשימם על הו‫'
והס' שהם ו' עשרות לא נוכל להוציאם מהד' שאחר הו' שהוא עשרות נגדו ונקרא הא' אשר אחריהם ונעביר עליו הקולמוס ויהיה עשר במעלת הד' הנזכר ונחבר אליהם הד' עצמו, יהיו כלם י"ד נוציא מהם הס' אשר הם ו' עשרות נשארו ח' ונשימנו על הד‫'
אחר זה נורידם מעלה אחת ונכפול הח' אשר נתחדש בפעם הזאת ואחר אשר נתחדש מכפלו אחדים ועשר לא נשים ה0' אבל נשים א' בעד העשר במקומה ונשים הו' אחדים לפניו

	1
	1151
	98261
	344680129066
	5
	108
	1167
	1174

עוד נאמר ז' פעמים א' על הא' אשר לפניו הם ז' ולא נוכל להוציאם מהב' אשר על ראשם נקח הא' אשר שמנו עתה על הח' ונעביר עליו הקולמוס ויהיו לעשרה ועם הב' יהיו י"ב נוציא מהם הז' ישארו ה' נשימם על הב‫'
עוד נכפול הז' בו' יעלו מ"ב נסיר הב' מהח' ואש' עליהם ישארו ו' נשימם עליהם ונסיר הד' עשרות מהה' אשר במעלה שאחריהם וישאר א' ונשימנו עליו
עוד נכפול הז' על עצמו ויעלה מ"ט ומה0 אשר עליו לא נוכל להסיר אפילו האחדים, לכן נסיר מהו' שאחרי הה' וישאר א' ויהיה נ' במעלתם ה0' נסיר מהם המ"ט וישארו א' ונשימנו עליהם
עוד נורידם מעלה אחת ונכפול הז' אשר נתחדש בזאת הפעם ויהיו י"ד ונחבר העשר לא' עם הו' אשר אחריו לצד שמאל ויהיו ז' אחרי כן נשים הד' שהם האחדים לפני הז‫'

the next digit of the root to the right is 0

the next digit of the root to the right is 9 - the procedure is not detailed

the next digit of the root to the right is 4 - the procedure is not detailed

ואם לא היה נשאר דבר היה זה השרש אמיתי אבל אחר שנשאר דבר והוא 764230 אין השרש הזה אמיתי כי אם בקרוב

				1 4
10375		10375		10375
		120		120
				201

ונכפלנו ונורידנו ולא נוכל להוציאם מה0' אשר עליהם אפי' פעם אחת גם על האחד לא נותר דבר לכן נשים 0 לפניו עוד נורידם ולא נכפול דבר כי לא נתחדש מספר בזה הפעם
ונבקש מספר אשר נשים לפניהם כנזכר ויהיה א' ונשימנו לפניהם ונכפול הא' על הב' ויהיו ב' נסירם מהג' אשר עליהם ישאר א' ונשימנו עליו ונכפול הא' על עצמו ויעלה א' נסירנו מהה' אשר עליו וישארו ד' נשימם עליו
וכבר שלמו המעלות ולא נוריד עוד והנה האותיות והם שנתחדשו פעם בפעם, הם השרש והוא 101

reason: procedure

• If the number of ranks of the given number is odd - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number

• If the number of ranks of the given number is even - the square of the leftmost digit of the root will be subtracted from the highest rank of the given number together with its preceding rank as units and tens, for the units of the product will always be placed in an odd rank and the tens in an even rank

כי ע'ד'מ' המושם בתחלה הוא מכפל המספר בעצמו וכאשר אנחנו מוסיפים עתה בשרש זה המתוסף הוא פחות מעלה אחת מהראשון וכאש' כפלנוהו בראשון יגרע זאת המעלה אשר גרע זה ממנו

Example: if the leftmost digit of the root is subtracted from the fifth rank of given number, then the rank of that digit in the root is the third rank (5=(3+3)-1)

The preceding digit of the root will be in the second rank, and therefore double the product of the leftmost two digits of the root will be represented in the given number in the fourth rank - i.e. the number of both ranks minus 1 (4=(3+2)-1) → therefore the subtrahend was shifted one rank to the right, from the fifth to the fourth rank

The product of the digit in the second rank of the root by itself is subtracted from the third rank of the given number, for the rank of this product is twice the rank of this digit in the root minus 1 (3=(2+2)-1) → so, again the subtrahend is shifted one rank to the right from the fourth to the third rank

Example: if the leftmost digit of the root is in the fourth rank, its product by itself is subtracted from the seventh rank of given number, then if the digit in the preceding rank of the root is a zero, its preceding digit will be in the second rank and its product by itself will be subtracted from the third rank of the given number, which is four ranks to the right of its seventh rank

Approximations

• First approximation:

• If it is less than the root, double the root and set it as a denominator to divide the remainder. The result is the addition to the integer [received through the algorithm] in the [new approximate] root.

• If the remainder is greater or equal to the root, and you do not intend to come closer to the root except by this time alone, then double the root, add one, and divide the remainder by [the sum]. The result is the fractions added in the root to the initial integer.

• Second approximation:

If you wish to come closer to the truth, even if the truth is hidden from the eyes of all living [Job 28, 21], as Euclid proved, multiply the integer and fractions by themselves, as I will explain in the chapter on multiplication, in the section on fractions and the result will exceed or fall short of the initial number [whose root is being extracted].

Double the root, as stated, and divide the excess or deficit by [the result].

• Subtract the result from the preceding fractions if the number [whose root is being extracted] is less than the square of the root that you extracted in the previous stage.

• If the square is less than the [given] number, add the result to the preceding fractions.

The sum or the remainder will be the fraction added in the root to the initial integer.

• 
  

• First approximation
  

ואם היה פחות מהשרש היינו מחלקים אותו לכפל השרש שהוא 202 בלי תוספת אחד
וכן עתה שהוא יותר מהשרש נכפול השרש שהנו 101 ויהא 202 ונוסיף עליו א' ויהיו 203
ונוציא מוריו ונמצא שיש לו שביעית ושביעיתו 29 ואלו הם מוריו ר"ל ז' כ"ט
ונחלק אליהם השארית שהוא 174 ויצא בחילוק ו' שביעיות שלמות ואלו הם השברים העודפים בשרש על הק"א השלמים הראשונים

• Second approximation
  

• The first approximation

If it is an addition [to the integer received through the extraction algorithm] and it was produced by adding 1 to twice the root [in the denominator], find the product of the fraction attained in this step by its complement [with respect to 1]. This product will be the deficit when you multiply the [approximate] root by itself, with respect to the initial number [whose root is extracted].

The error of the approximation

ראה כמה כפל השברים המתחדשים ההם בפעם ההיא במה שיש מהשברים ההם עד תשלום
והעולה הוא אשר יחסר כאשר תכפול השרש בעצמו מהחשבון הראשון

The second approximation

You should, therefore, divide it by double the [approximate] root itself and added to this root.

You can see it clearly in the previous example, which had [a fraction] added and involved adding one [in the denominator], where the fraction was six sevenths.

Its complement [with respect to one] is one seventh, and when you multiply them by this complement the product is six sevenths of a seventh; this is indeed the deficit we found with respect to the original number [whose root was extracted], and so we instructed to divide it by double the [approximate] root and add [the result] to this root.

• The first approximation

But if the additional [fraction] did not involve adding 1 [in the denominator] and falling short [of the initial number whose root is extracted], then we multiply the [additional] fraction by itself, and divide by double the [approximate] root, because this is the excess of the square of the [approximate] root over the original number [whose root is extracted].

The error of the approximation

נראה כפל השברים אשר נתחדשו על עצמם ונחלקם לכפול השרש
לפי שזהו בעצמו אשר יהיה כפל השרש בעצמו יותר על החשבון

The second approximation

We subtract the result from the previous [approximate] root, and so on.

אבל המכפיל פעמי המעשה אינך צריך לתוספת זה
כי בהכפל המעשה יתקרב מאד מאד אף מבלי תוספת הא‫'
וטוב שלא נוסיפנו כדי שיהיה כל מעשהו בסגנון אחד ולא יתבלבל

הוא לפי שאש' יתוסף בשורש יוסיף במרובע כפלו בשורש הראשון פעמים גם כפלו בעצמו כאשר ביארנו בשלמים

• The excess of the first approximation:

ואם היה זה האמת ר"ל שהמתוסף על השרש לא היה מוסיף על המרובע כי אם כפל זה המתוסף בכפל השרש לבד
הנה היה בידינו המספר העולה מהכפל הזה והוא השארית הנזכרת שהיא נוספת בחשבון על מרובע השלימים

Hence, when we would add in the root what is equal to its product by twice the root, as this excess itself, we would reach the required result.

לכן כאשר נכפול השרש בעצמו אחר הוסיף עליו זה התוספת יעלה המרובע מוסף על החשבון הראשון כפל התוספת הזה בעצמו וכן ביארנוהו למעלה

ואם חלקנום לכפל השרש יצא בחילוק ג' רביעיות

וזה ברור כי כפל ב' וג' רביעיות עולה ז' שלמים וב' רביעיות רביעית כאשר יתבאר בחלק הב' בפרק הג' ממנו

וכאשר נחלק עליהם ב' רביעיות ורביעית רביעית יצא בחילוק ט' חלקים מי"א מחצי רביעית
וכאשר נסירם מהשרש הקודם ישאר ב' שלמים וב' רביעיות שלמות וחצי רביעית וב' חלקים מי"א מחצי רביעית וכל זה יתבאר מעשהו בחלק הב‫'

המשל על כפל ג' ועל כפל א‫'

אם אין דעתינו להכפיל המעשה להתקרב עוד אל האמת זולתי בפעם הזאת לבד
הוא לפי שאם לא היינו מוסיפים אחד היה מרובע השרש המקובץ מהשלמים והשברים עודף על החשבון ככפל השברים אשר יצאו בחילוק וזה יהיה רביעית אחת או יותר

For, if [the remainder] is equal to the root itself, and we divide it by double the root, the result of division will be a half. Its square, i.e. its product by itself, which is the excess, will then be an entire quarter.

And if the remainder is greater than the root, when we divide it by double the root, the result will be more than a half, and its square more than a quarter.

ואם חלקנום על כפל השרש בלי תוספת אחת יתחלק לד' שהוא כפל השרש ויצא בחילוק חצי ויהיה כל השרש ב' שלמים וחצי

ואם לא נוסיף א' נוסיף רביע
וכ"ש אם היה גדול מהשרש

For, the product of a portion of a line or a number by its complement never reaches a quarter.

Because, if you multiply its half by its half the result will be a quarter.

And clearly if you multiply its smaller portion by its larger [complementing] portion [the product] will not be a quarter but smaller than it by the square of their distances from half the line or the number.

dividing a line to ¼ and ¾

והחשבון הנשאל היה ז' שלימים הנה יחסר זה המרובע מז' שלמים חמישית [אחת שלמה וחמישית חמישית
וזה] וזה בעצמו הוא כפל הג' חמישיות אשר יצאו בחלוק על השלמתם לאחד שלם שהוא ב' חמישיות
כי כפל ג' חמישיות בב' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית שהן חמישית אחד שלם וחמישית חמישית

ואולם החשבון הנשאל אשר בקשנו שרשו היה ו' שלמים הנה יחסר זה המרובע מהחשבון ההוא חמישית אחת שלימה וחמישית חמישית
והוא ככפל הב' חמישיות אשר יצאו בחילוק בהשלמתם לאחד שהוא ג' חמישיות
כי כפל ב' חמישיות בג' חמישיות הוא ו' חמישיות חמישית שהן חמישית אחד שלמה וחמישית חמישית כאשר ביארנו

For example, the product of a third by one is as its product by all the parts [of 1], namely by a third, which is itself, and by two thirds, which is its complement with respect to one; this is clear.

→ is a closer approximation

→ is a closer approximation

• Example: if we wish the root of 29

ואם חלקנום לכפל השרש בלי תוספת שהוא י' יצאו ד' עשיריות

ויחסר מרביע ככפל חלק אחד וחצי
שהוא מרחקו מחצי הי"א בעצמו
שהוא מרובע מרחקו שהוא ב' ורביע

ויתרחק מן האמת ככפלו בעצמו
שהוא פחות מרביע כמרובע מרחקו מחצי שהוא האחד וכפל זה האחד בכפל זה השרש
שעולה הכל ט‫'

כי לא ציויתי להוסיף אחד כאשר השארית כשרש או יותר אלא למסתפק בפעם אחת
אבל הרוצה לידע להתקרב מאד ולהכפיל המעשים לא יוסיף ולא יתבלבל

If you wish to approach the truth at once with little effort, add the remainder [i.e. the difference between the number and the approximate the root] to the square of double the [approximate] root that is in your hand, and divide by it the product of the remainder and double the [approximate] root. Add the result to the [approximate] root that is in your hand, and this root will be very near the truth.

חבר הנשאר למרובע כפל השרש שבידיך וחלק עליו כפל הנשאר בכפל השרש
והיוצא חברהו לשרש שבידיך ויהיה שרש קרוב מאד אל האמת

If you wish to approach the truth further, [divide] the cube of the above remainder by the denominator squared.

Section Two: Fractions

Introduction

• Chapter one on fractionalization

• Chapter two on multiplication [= fractions of fractions, fractions of integers]

• Chapter three on equalization

Chapter One on Fractionalization

• Fractionalization = converting the integers to fractions of whichever type you wish

If you have integers and fractions - converting all to the type of these fractions

If you have fractions and fractions of fractions - converting all to the lower type of them.

• If you have 3 integers and 5 sevenths.

The integers are converted to sevenths, which is the type of fractions that are with them, by multiplying these three integers by the denominator of the sevenths, which is 7. The result is 21. By adding the 5 sevenths to them, the total is 26 sevenths.

• Example: if you have 3 integers, 2 quarters of a fifth and 4 eighths of quarters of a fifth, like this:

• First we convert the 3 integers to fifths by multiplying them by 5, which is their denominator. This is because each integer is 5 fifths. Hence, they are 15 fifths.

If there was a number beneath it [as the numerator of the 5] we would have add it to them, so they are also fifths.

• Since there is no [number beneath the 5], we further convert them to quarters of a fifth, which is the denominator of the 2, by multiplying them by 4. Because each fifth is 4 quarters of a fifth. The result is 60 quarters of a fifth. We add to them the two that is beneath [the 4], which is also of the same type, i.e. quarters of a fifth. The total is 62.

• We convert them to eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 8, the result is 496. We add to them the 4 that is beneath [the 8], which is of their type. The total is 500.

• We convert them to ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 9, the result is 4500. Since we do not find anything beneath [the 9] we do not add anything to them.

• We convert them to thirds of ninths of eighths of quarters of a fifth by multiplying them by 3, the result is 13500. We add to them the 2 that is beneath [the 3], which is of their type. The total is 13502 and we completed the procedure.

• If there are no integers there at all.

• We should start from the 2 that is beneath the first denominator beneath which there is a number, even if it were the second of the denominators. We multiply them by 8, which is the next denominator. The result is 16. We add to them the 4 that is beneath [the 8]. The result is 20.

Then we multiply them by 9. The result is 180. We multiply them also by 3. The result is 540. We add to them the 2 that is beneath [the 3]. The total is 542.

Chapter Two on Multiplication

• As when we say: two fifths of three quarters of 5 integers, like this:

Our saying two fifths of 3 quarters of 5 integers is as saying that we take 5 integers and divide them into 4 equal parts. We take 3 of them, which are 3 quarters of the 5 integers, and divide these three parts further into 5 equal parts. Then we take 2 of them, which are 2 fifths of 3 quarters of 5 integers.

For, our saying: 2 fifths of 3 quarters is as our saying: 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter, plus 2 fifths of a quarter. Therefore, we multiply 2 by 3, which is the number of the quarters. The result is 6. Hence, we know that the 2 fifths of 3 quarters are 6 fifths of a quarter and this clear by the operation and by reason.

Since we say "of 5 integers" it is as if we have 6 fifths of a quarter of one five times. Therefore, we multiply 6, which is the number of the fractions that we have, by 5, which is the number of the integers, as the number of the duplications of what we have. The result is 30. Hence, 2 fifths of 3 quarters of 5 integers are 30 fifths of a quarter.

• Example: two quarters and 3 fifths of a quarter of 3 sevenths of an eighth and 4 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers.

Set the following diagram:

First apply the fractionalization on each of them:

• Fractionalizing the 3 sevenths of an eighth that are related [to the four fifths of sevenths of an eighth] by multiplying them by each other, that is by multiplying the 3 that is the number of the [sevenths] by 5, which is the next denominator. The result is 15. We add to them the 4 that is beneath [the 5], which is of the same type. The total is 19.

• Fractionalizing 2 quarters and 3 fifths of a quarter that are also related, by multiplying 2 by 5. The result is 10. We add to them the 3 that is beneath [the 5]. The result is 13.

Thus, our first question is as if saying: we have 13 fifths of a quarter of 19 fifths of sevenths of an eighth of 3 ninths of a tenth of 4 integers. As follows:

Hence, the explanation of our question is if we were told:

• We took 4 integers and divided them, i.e. the four of them together, into ten equal parts.

• We took one part of them and divided it into 9 parts.

• We took 3 parts of these 9 latter together and divided them into 8 equal parts.

• We took one part of them, divided it into 7 equal parts, then divided each part of them into 5.

• We took 19 parts of the type of the latter, divided them into 4 equal parts, then divided each part of them into 5.

• So we have 13 of the type of these latter parts and we wish to know which are they.

We should understand, since it is said "of 19 fifths" etc. and it is said "of 3 ninths" etc. and it said "of 4 integers", that from this we know that they are not of one fraction nor of one integer, but of a number of integers and fractions.

ואחר שיש לחשבון רביעית נשימהו לאחרון כדי שיתבטל ונחלקם על ד' ויצא בחילוק 741 ולא ישאר דבר
וזה היוצא בחלוק אין לו אחד מהמורים הנשארים לכן נשים אשר נספק לפני האחרון אשר שמנו ויהיה ה' ונחלקם על הה' ויצא בחלוק 148 וישאר א' ונשימנו תחתיו
ואחר שיש לו החשבון רביעית נתיך המורה השמינית שהוא הח' ונעשה ממנו ב'ד' ונשימם במקומו כך הוא הוראת חצי רביעית או רביעית חצי [כמו] או שמינית ועוד נבאר זה בסוף הספר ואחר התיכנו אותו ר"ל שנסירהו ונשים במקומו ב'ד' נשים הד' לפני המורי' המושמים ונחלק לו אשר בידינו ויצא בחלוק ל"ז חלקים
ונחלקם לאשר נחפוץ ויהיה על הז' ויצא בחילוק ה' וישארו ב' ונשימם תחתיו
ונחלק הה' שיצאו בחלוק למורה הה' הא' ויצא א' בחלוק ולא ישאר דבר
ואחר שאשר יצא בחלוק הוא פחות מהקטן שבכל המורים הנזכרים אין לנו לחלק עוד אבל נשימם על הסדר לפני המושמים בכל השגחה ונשים זה האחד אשר יצא בחילוק באחרונה תחת המורה הסמוך למושמים עד הנה והנה יצא לנו מבוקשינו והוא שהנשאל לנו תחלה עולה חצי תשיעית עשירית ושתי שביעיות חמישית חצי תשיעית עשירית וחמישית רביעית שביעית וכו‫'

The number of denominators in the above example has increased from 7 to 8 - due to the factorization of the eighths to halves of quarters

Comparing Fractions

• Example: if you have two integers, 3-eighths and 2-quarters of an eighth, 4-fifths, 6-sevenths and 3-eighths of a sevenths, like this, and you wish to convert all of them into one type.

First we fractionalize the 2 integers plus the 3-eighths and the 2-quarters of an eighth, then the 4-fifths and then the 6-sevenths, since they are related to the 6-sevenths and the 3-eighths of a seventh, for the related also need fractionalizing.

• We start by saying: 2 units, how many eighths are they? This is known by multiplying them by 8; they are 16. We add to them the 3 that is beneath [the 8] and the total is 19.

We convert them further to quarters of an eighth by multiplying them by 4; the result is 76. Then we add to them the 2 that is beneath [the 4]; the result is 78 quarters of an eighth.

• We also fractionalize the 6-sevenths plus 3-eighths of a seventh by saying: 6-sevenths, how many eighths of a seventh are they? This is known by multiplying them by 8; they are 48. We add to them the 3 that is beneath [the 8]; the result is 51 eighths of a seventh.

It is as if we were asked to convert 78 quarters of an eighth, 4 fifths, and 51 eighths of a seventh into one type. Like this:

Since we have different denominators and different fractions, we should explain how to convert all of them into one type without changing them, i.e. that they will all be fractions of the same denominators.

First, I will explain that the order of the denominators neither increases nor decreases:

Because, the seventh of an eighth, for instance, is the the same as the eighth of a seventh, since each is a part of 56, which is the number that consists of these denominators and this is clear.

• So, when we have, for example, 3-sevenths and 4-eighths

We convert all of them into sevenths of an eighth, which are eighths of a seventh

• This is done by multiplying the 3 that are the number of the sevenths by 8; they are 24 eighths of a seventh.

This is clear, since every seventh is 8-eighths of a seventh, as each integer is eight eighths.

• We do the same with the 4-eighths: we convert them into sevenths of an eighth by multiplying the 4, which is the number of the fractions, by 7, which is the denominator of the seventh; the result is 28.

They are 28 sevenths of an eighth and the others are 24 eighths of a seventh, so all are of the same type, as we said that there is no difference between saying a seventh of an eighth and saying an eighth of a seventh.