Difference between revisions of "האריתמטיקה של ניקומכוס"

Revision as of 20:14, 22 August 2017

Contents 1 Book One 1.1 Prologue of the translator/commentator 1.2 Introduction 1.3 Arithmetic – Absolute Quantity 1.3.1 The Nature of Number 1.3.2 The Definition of Number and its Types 1.3.2.1 The Units 1.3.2.2 Even Number 1.3.2.2.1 Even-Times Even 1.3.2.2.2 Even-Times Odd 1.3.2.2.3 Even-Times-Even-Times Odd 1.3.2.3 Odd Number 1.3.2.3.1 Prime Incomposite Number 1.3.2.3.2 Composite Odd Number 1.3.2.3.3 Relatively Prime 1.3.2.4 Second Categorization of Even Numbers 1.3.2.4.1 Perfect Number 1.4 Relative Quantity 1.4.1 Simple Ratios 1.4.1.1 Multiple Ratio 1.4.1.2 Superparticular Ratio 1.4.1.3 Superpartient Ratio 1.4.1.4 Multiple Superparticular Ratio Book One	המאמר הראשון מספר הארתמאיטי
Prologue of the translator/commentator
	ימלא הבורא משאלותיך ויפיק זממיך ויוסיף חסדו ונעמו אצלך הבינותי יתמיד האל כבודך מה שזכרת עיינת בספר הארתמאיטיקא הידוע אשר בינינו אשר הניחו וחברו ניקומאכוש אלגהר שיני הפיתאגורי בנסחה אשר תקננו זה הספר ממנה על דעת מלמדנו המעולה יעקב בן אסחק אלצבאה אלכנדי משבט מחשבות חביב בן בהריז אלנסטורי אשר תרגמו מהסריאני אל הערבי לבעל שני הימינים טאהר בן אלחסין ואתה ראית לתקנו במאמ' הראשון ממקום המספרים והלאה לפי שהוא אמנם תקון מזה המקום נשען למי שכבר קדם לו בחכמת ההגיון מה שיעזרהו להבין פתיחתו הקודמת לפני זכירת המספר ושזאת הפתיחה לא נפלה אליך ולא ידעת כוונתה ולא מה זכר בה מניחה ואשר שאלת מזה הנו מפורש לך כמו שפירשתי בשאר פירושינו הנשארים בספר וקצרינו לעניניו במאמ' קצר מבלתי אריכות והכפלה ואתה חושב שבזה תועלת יקרה והערה נפלאה ואני מודיעך יכבדך האל אולי ארצה הרבה פעמים לתאר דבר בהפלגה ואריכות כדי להגיע בו אל כוונת מניח הספר ויזדמן לי מאמ' קצר שמעתיו ממלמדנו אבו יוסף לבאר מה ששאלת לבארו ולפרש מה שכוונת לפרשו כבר הגיע ממנו עם קצורו באשר לא יגיעהו מאמ' מאריך ולא יעברהו תאר מפליג ואעזוב מה שראיתי לגלותו בדברים מרובים בעבור מאמרו הקצר ובעבור זה אמנע אני מליפות הספר ולקשטו ביותר: וממה ששמעתיו ממלמדנו יותר מפעם אחת כשיאמר שהיותר ראוי ממה שתתבאר בו פילוסופות שני אלו האנשים ר"ל בטלמיוס וניקומאכוש הוא בפתיחת נושאיהם אם בטלמיוס בפתיחתו לספר המגסטי ואם ניקומאכוש בפתיחת ספר הארתמאיטיקא כי פתיחות שני אלו הספרים מעוררות על מקומות עליונים בפילוסופייא ומדרגתם יקרה בידיעה ולא כזבה מחשבתך בזה ואמנם אחשוב אותה חי השם שהיא אמתי למה שהתאמת אצלך גודל מעלת פתיחת זה הספר ומעלת שעור תועלתו וטובו : ואני השיבותיך יפארך השם למה ששאלת נמשך להפיס דעתך בכל מה שאוכל להועילך וכתבתי אליך פתיחת זה הספר בספרי זה וכל מה שאיפשר לבארו ממנו בהשלמת המאמר המספיק ולהשליך ההכפלה והמותר ואפשר בו מלותיו והסירותי ממנו עמקו וקשיו וכבר עשיתי זה והקרבתיו לך ממלת המעתיק אותו מבלתי שיהיה בין העינינים חלוף ואמנם מה שהיה עליון במדרגה רחוק מהמנהג הנני לא אסור מלספר סדר מניח הספר אבל אני ממשיך לכל פרק שיהיה בזה התאר מאמ' סמוך לאותו הפרק מגיד אמתת הדרוש ולא אעבור בדבר ממה שאביא בו דעת מלמדנו אבו יוסף ובכאן עת להתחיל במה ששאלת והיה בו מצליח יישירך השם יתע' למה שתושע בו נפשך
Introduction
	אמר ניקומאכוש שהקדמונים הראשונים אשר דקדקו בחכמה והעמיקו בה והיה הראשון להם פיתאגורש גדרו הפילוסופייא כשאמרו שהפילוסופיאה אהבת החכמה כמו ששמה מורה על זה ממנה כי העתקתו אהבת החכמה ירצה באומרו שמה מורה על זה ממנה לפי ששם הפילוסופיאה מורכב משתי מלות פילו וסופיה ופילו אוהב וסופיה חכמה הנה שמה מורכב מאוהב החכמה : אמר וכבר היה אשר היו קודם פיתאגוריש וקראו כל מי שהיה פקח בדבר מהמלאכות או הרפואה חכם בשם משולח מבלתי שיחקרו על השורש אשר בו ראוי להקרא בשם החכמה אמנם פיתאגוריש למה שייחד זה השני לעיניינו והשרש אשר ממנו נגזר קרא אמתת הידיעה בדברים המתמידים ר"ל המינים והסוגים החכמה בפרט מבלתי מה שיצא מזה מן החכמות :/ אמר ובודאי^ מי שקרא והראוי סופייא והאהבה לה הפילו סופיה ר"ל אהבת החכמה אמר הנה יותר ראשון שיצדק המאמר בגדרה ויותר ראוי בשנקבל ממנו בלתי מי שגדרה נגזר משמה
	אמר אבו יוסף כי הקדמונים גדרו הפילוסופיה במספר גדרים אם מגזרת שמה כמו אוהב החכמה לפי שפילוסוף הוא מורכב מפילו והוא אוהב וסופיה והוא החכמה ואם שגדרוה מפעולתה ואמרו שהפילוסופיאה ההתדמות בבורא ית' כפי יכולת האדם ירצה בזה שיהיה האדם שלם בחשיבות וגדרוה עוד מצד פעולתה ואמרו שהיא ההשגחה במות והמות אצלם שתי מיתות מות טבעי והוא עזיבת הנפש שמוש הגוף ומות רצוניי והוא הריגת התאות והיא בחרה הבחירות החשובות וזהו המות אשר בו כוונו הנה לפי שבמיתת התאוות הדרך להגיע אל החשיבות ולזה אמרו רבים מחשובי הפילוסופים שהתענוג רע בהכרח שכאשר יהיו לנפש שני עסקים אחד מהם חושיי והאחר שכליי והיה מה שיקרא תענוג הוא מה שיקרה בהרגשה עם העסק בתענוגיה החושיים תעזוב הנפש עם זה העסק בשכל וגדרו גם כן הפילוסופיאה היא מלאכת המלאכות וחכמת החכמות וגדרו גם כן הפילוסופיה כשאמרו כי היא ידיעת האדם עצמו וזה מאמ' נכבד ורחוק מהעול מאד ודרך משל אומ' שבדברים אחר שהיו גשמים ולא גשמים והיו הגשמים עצמים והיו לא גשמים אם עצמים ואם מקרים והיה האדם הוא בעל הנפש והגשם והמקרה והיתה הנפש עצם לא גשם הנה כשידע האדם עצמו ידע הגשם במקריו והמקרה בראשון והעצם אשר הוא לא גשם וכאשר ידע זה יחד הנה כבר ידע הכל ולזאת העלה קראו החכמים האדם עולם קטן ואמנם מה שנגדור בו אנחנו הפילוסופיה הוא שהפילוסופיה היא ידיעת הדברי' הנצחיים הכוללים ישתויותיהם ומהיותיהם ועלותיהם ולמויותיהם כפי יכולת האדם להשיגו שלמו דברי אבו יוסף
	אמר מניח הספר ועוד שהוא גדר החכמה בשאמר שהחכמה אמיתת הידיעה בדברים התמידים עוד גדר הידיעה כשאמר שהידיעה היא השגת תכלית הדברים המיוחסים לידיעה ר"ל אותם התמידיים אשר לא יעתקו מעניין מציאותם ולא ישיגם שינוי בישותם ולא יותרו מתכונתם והם המינים והסוגים הראשונים בטבע אשר בהשתתפות האישים להם וכשהם מתוארים בם היו ראויים לשם הנמצא אחר שיתנו מיניהם שמותיהם וגדריהם ואמנם האישים המוחשים הגשמיי' הנה הם בהתוך מתמיד ובשנוי מדובק והנה עם זה מתדמי הטבע והסגולה אל הסגולה הראשונה מן ההיולי אשר בו התוו ורצוני בסגלה היסוד כי היסוד כלו היה גלגל אחד השתנה והותר
	אמר אבו יוסף ירצה בזה שהבורא ית' שם קצת תכונה לקצת עלות ודרך משל אומ' כראות אשר שמו עלה לנראים מהגוונים והשמע אשר שמו עלה למציאות הנשמעים וכן שם הכח אשר יקרא הטבע עלה לתנועות המתנועעים הנחים אחר התנועה והמתנועעים הם הגשמים ולזה יקראו הגשמים טבע לפי שאשר יקבלו מהתנועה והמנוחה אמנם יקבלוהו מן הטבע הנה הם בזה בחסרון לעולם ובתמורה וכן הגשמים המוחשים ר"ל האישים יקרה להם ההעתק והתמורה תמיד ואמנם אשר תחת ההויה מהם הנה התמורה תקרה להם בעצם ובטבע ואמנם הגלגל ומה שבו הנה תקרה להם ההעתקה במקום ואמנם האש והאויר והמים והארץ יקרה להם ההעתק והתמורה בקצת בלתי הכל וכל אחד מאלו אשר תארנום במה שיקרה להם מהתמורה הנה הם בו כל ימי היותם ואמרו הסגלה הראשונה מן ההיולי ירצה בו אויש המתייאשים שהם יומרו מה שהיו מלא אל יש והיסוד הוא האפשרות אמר מניח הספר ואמנ' אשר אינם גשמים והם מה שימצא ר"ל מאמרות התשעה המקרים הנה הם בגדר הפרדתם בלתי סרים מתכונתם ולא משתנים מענינם ירצה המקרים השיניים כי הם מושכלים יחד אבל מה שישיג אישי אלו המקרים המוחשים כמו לובן פלני ותנועת פלני מהשנוי והתמורה הנה הם להשתתפם לעצם הנושא אותם ר"ל כשהם עומדים ישיגם השינוי והתמורה בתוסדתו ושינויו ולזה ידיעתם לא תקרא חכמה אבל העצמים השניים והמקרים השניים הנה הם אשר ידיעתם בפרט היא החכמה ואמנ' על ההעברה הנה תקרא ידיעת האישים חכמה אחר שהיא הדרך אל ידיעת אותם הדברים המתמדיים הנצחיים הראשונים אשר לא ישיגם שנוי ולא הסרה מטבעם אשר יאמ' שהם נימצאים באמת ובברור אבל האישים הנופלים תחת התנועות השש אשר הן ההויה וההפסד והגדול והחסרון וההשתנות וההעתק הנה אמנם יאמרו שהם נימצאים מפני מציאות מיניהם אחר שמיניהם כמו שבארנו יתנו להם שמותיהם וגדריהם ואמנם כאשר נכוון אל אחד מאישיהם לא ימצא בטבעו נמצא לפי שלא יתקיים כהרף עין אל עניין אחד אחר שהאישים בכל עת להם תנועה ותמורה ולזה אמ' אפלטון בספר טימאוש מה הדבר אשר הוא נמצא לעולם ואין לו התהוות כלל ומה הדבר אשר יתהווה לעולם ואין לו מציאות כלל ירצה בראשון הסוגים והמינים המתדמים לנצח אשר לא תשיגם הויה אמנם יושגו בשכל ר"ל בהדרכה מהמוחשות ואמנם השני ירצה בו האישים אשר יחשב שהם נימצאים בעת אחד ואינם כן באמת אחר שיתהוו ויומרו מבלתי שימצאו בשני עיתים בענין אחד אמר הנה כבר ראוי לנו ויחוייב עלינו אם היינו נכספים לשלמות האדם אשר כפי יכלתו וההשארות המתמיד והיה זה אמנם יהיה בפילוסופיה לבדה לא בדבר זולתה והפילוסופיה כמו שזכרנו אהבת החכמה והחכמה אמיתות הידיעה בדברים הנימצאים והדברים הנימצאים מהם מה שיאמ' לא נמצא באמת ומהם מה שיאמ' זה בשתוף השם נוכל שנחקור מהדברים הנמצאים ונבארם באמתות ונאמ' שהנמצאות המוחשות מה שהם מתאחדי החלקים מחוברי האיברים במדרגת החי אשר חלקיו מתאחדים בו וכמו כן האילן והדומה להם ואילו יאמ' להם גדלים באמתות ומהם מה שהם מפורדים והם בהתקרב מקומותיהם ובהתקבצם יקראו כללים ורבויים ואם לא יהיו מתאחדי החלקים כמו עדרי הצאן ושורות האנשים הנה כבר התבאר שמהמוחשים מהם מה שהוא נופל תחת הרבוי אלא ששני הגודל ומהם מה שהוא נופל תחת הרבוי אלא ששני אלו המינים אין תכלית להם בטבע כאשר יאמרו מאמ' משולח כי הרבוי כאשר יתחיל משרש מוגבל ויכפיל לא יהיה לו תכלית בטבע יעמד אצלו ולא יהיה לו כפל אחר אבל יוסיף ויצמח תמיד וכמו כן הגודל כאשר יתחיל בחלוקתו מכללות מוגבל לא תכלה החלוקה אל חלק אין חלק לו אבל יסבול החלוקה תמיד הנה אין ידיעת שני אלו נמצאות על האמת אחר שידיעת מה שאין תכלית לו בלתי נמצאת ואמנ' הידיעה על אמיתתו ידיעת הדברים הניכללים המוגבלים הנה כבר התבאר שהידיעה לא תעמד אצל הרבוי המשולח לפי שהוא בלתי ב"ת ומה שהוא בב"ת הוא בלתי מוגבל אין דרך אל הידיעה בו כלל ואמנם אם נאמ' הרבוי בהצטרף אל המיעוט ונקרא שני המצטרפים בשמותם המיוחדים היו אז ידועים לפי שהרב אמנם יהיה רב אצל מה שהוא פחות ממנו וכמו כן המעט אמנם הוא מעט אצל מה שהוא יותר ממנו (והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו) והמעט אצל מה שהוא יותר ממנו ממעט אצל מה שהוא יתר ממנו הוא הרב אצל מה שהוא פחות ממנו כמו העשרה שהוא הרבה אצל מה שהוקש אל מה שתחתיו ומעט כשהוקש אל מה שעליו וכן הגדול אמנם הוא גדול כשהוקש אל מה שהוא יותר קטן ממנו ואם הוקש אל מה שהוא יותר גדול ממנו היה קטן הנה כבר התבאר משני אלו הצדדים שאפלו היו בלתי מוגבלים בעצמם הנה הם עם ההצטרף אליהם מוגבלים : ונאמ' עתה שהכמה המספרי יחלק לשני חלקים אחד מהם הוא אחד מה שחוייב לו יחוייב לו לבדו ובטבעו והאחד הוא שמה שיחוייב לו יחוייב לו לבד בהצטרף אמנ' המחוייב לו בטבע כמו הזוג והנפרד וזוג הזוג וזוג הנפרד והנפרד הראשון בלתי המורכב והשני המורכב כי אלו אמנם יחוייבו לכמה המספרי בטבעו לא מפני הצטרפו אל זולתו כי אין הזוג מתחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים מפני הצטרפו אל דבר אחר ואמנם אשר יחוייב לו מה שיחויב בהצטרף כמו הכפל והחצי והשליש כי החצי לדבר מה חצי והכפל לדבר מה כפל הנה אם כן התבאר שהכמה חכמה יחקרוה שתי מלאכות הם הארתמאיתיקא והיא תחקור מהכמה הניפרד והמוסיקא והיא תחקור מהכמה המצורף : ואמנם איכות הדברים הטבעיים יחלק לשני חלקים אם איכות מתנועע ואם איכות נח והמתנועע הוא מה שיחקור במלאכת האסטרונומייא ר"ל התכונה והנח הוא מה שיחקר במלאכת הגאומטר' ר"ל ההנדסה אמר הנה אין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נימצאים באמת רק באלו האומניות הד' אשר הם הארתמאיטיקא וההנדסה והתכונה וחבור הנגונים ולא ימצא דרך אל הפילוסופיה אלא בם וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך עושה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו החכמות במלאכת הפילוסופיה אשר היא מלאכת המלאכות וכבר יאמ' זה המאמ' אנדרוקודיס הפיתאגוריי וכן יאמר גם כן ארגוטאלס אל אטראנטיני כאשר התחיל במלאכת חבור הליחנים שהוא אמ' הביטו הראשונים במה שראו מענין אלו החכמות כי אינו בלתי אפשר כלל שיהיה להם דבר סברה אחת אמיתית הנה כמו שהם כבר הביטו במה שראו מענין טבע הכל כן היו מוכל מוכנים לסבור בכל א' מן החלקים סברא אמיתית כי הם הקנו לה בשערי ה[ ]ות והתכונה חכמה גלויה ומבוארת ולא קצרו גם כן מזה במה שהועילונו מעלות מלאכת הליחני וכבר ידומה שאלו החכמות הארבעה אחים ואם היו כבר ישובו אל שני המינים הראשונים אשר הם הכמות והאיכות כמו שביארנו לפנים עם שאפלטון בסוף האופן השלשה עשר מהספר אשר הניח בנימוסים והוא הספר אשר יקראוהו האנשים הפילוסופיא בחקרו וגדרו איך ראוי שיהיה אשר הוא פילוסוף באמת כן בידיעת אלו הארבעה אחר כן שב ואמ' בקצרה אחר שהפליג בזה והקדים שכל תמונה וקיבוץ מספר והסכמת חבור ומה שיורו בו ממרוצות הכוכבים אמנם ראוי שיורגל ידיעתו כפי שעור חבורם אחד אחד וכבר יתבאר עלה מה שזכרנוהו כי כאשר היה האדם אמנם יתלמד הרבה להשיג בם ידוע אחד הוא כונתו מהם הנה אמנם הם דבר אחד ואם רבו ואמנ' אם יחליף האדם זה הדרך בחכמת הפילוסופיא אין דרך לו אליה לפי שזה האופן אשר ממנו יבא הדרך אשר ממנו המציאות אין דרך לו זולת כלל ר"ל החכמות הארבעה אשר זכרנו קשות היו או קלות רבות היו או מועטות אין ראוי להתרשל בקניניהם כי מי שקיבץ אלו החכמות על צד שתארתי הוא אשר אקראהו אני חכם אמתי ואתארהו שש בחכמתו כי לא יעלם שאלו החכמות הם כמו גשרים בם יעברו מחשבותינו מאלו הדברים המוחשים המחושבים אל הדברים הנימצאים המושכלים ויעבירו דעותנו מאלו הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם והרגלנום אל הדברים תורים אצלנו אשר לא הרגילום ראשנו ואשר הם בדקותם דומים לנפשותינו והיותר ראוי ממה שבחרנוהו בהקדמת העיון בחכמות וקנינם מה שזכרו אפלאטון בספר הנימוסים שסקראט אמ' לו והוא יתחכם כשיביא עלות אמיתיות מועילות בענין אלו החכמות מתחייבות מצד החוכמות מועילות בתיקון חיי בני אדם אמ' שיאמ' אמנם מלאכת החשבון אמנם נצטרך אליה בחשבונות א[] בחלוקות ובתבואות ובהוצאות ופרעון החובות והשותפיות אמנם המדות בהשואת המחנות ובניין המדינות וההיכלות ומדידת השדות : אמנ' חכמת הכוכבים בידיעת עיתות עבודת הקרקעות ורכיבת הים וזולת זה מבחירות עיתות התחלות המלאכות ופרק הזמנים אמנם חכמת הניגונים להודות בם הבורא ית' או לשמוח במקהלות או בצניעה ולזה יאמ' אפלאטון משיב לו והוא יוכיחהו כתחשבני כי תראה שאחמול עליך שלא תחלק עמך הנני אומ' שאלו החכמות אין לדקדק בם שזה אחלוק יקשה מאד מכל צד אבל אוסיפך חזוק שאין דרך לאחד לומ' זה כי עין הנפש ר"ל כאשר יעצומוהו ויסתמוהו שאר הפעולות הגופיות וישימו עליך מסך הנה הוא יפקח ויעור באלו החכמות ואמתת עין הנפש יותר משובח מאמתת עשרת אלפים עינים מהעינים הגופים כי בו לבדו יראו אמתויות הדברים : אמר והיותר ראשונה מאלו סדר המדעים המתמטיים החכמות הארבעה והיותר קודמת על הנשארות בטבע והיותר חזקת האמונה והיא להם כמדרגת המולידה אשר ממנה התחלה היותן ושרש צמיחתן הוא מלאכת החשבון אין זה לפי ש[ ] היא אשר התקיים בהצעת הבורא אבל לפי שהיא במדרגת ההמשל היתה ראשונה במחשבת האל והדמיון אשר ממנו יקחו תכונת הדברים אשר הצמיחם ית' מהיסוד והשלימם על הענינים המיוחדים אשר עליהם כל אחד מהם
	אמר מניח הספר ויורה על מלאכת החשבון ג"כ יותר קודמת בטבע מזולתה שהיא תשים זולתה מאלו החכמות אובד באבדה מבלתי שתאבד היא באבדן דבר מהן כי אם יסתלק המספר קודמת מבחינה טבעית יעדרו הספורים ולא אם יעדרו הספורים יאבד המספר כאמרנו בחי שהוא יותר קודם מן האדם קדימה טבעית שכאשר יעלה החי יעלה האדם בהעלותו ולא כשיעלה האדם יעלה החי וכן כל דבר יותר קודם מדבר אחר קדימה טבעית כשיעלה הקודם יעלה בהעלותו זולתו ולא יעלה הוא בהעלות דבר ממה שהוא יותר קודם ממנו וכן כאשר תהפך המאמ' תמצא הענין כפי זה כשיחויב דבר יחויב בחיובו מה שהוא יותר קודם ממנו קדימה טבעית ולא כשיחויב הקודם יהיה הכרח שיחויב בחיובו מה שהוא תחתיו בקדימה כמו האדם והמשורר כי האדם יותר קודם מהמשורר וכשיחויב משורר יחויב שיהיה אדם ואין הכרח כשיחויב אדם שיהיה בלי ספק משורר הנה כפי זה הסדר אלו החכמות הארבעה אשר זכרנו כאשר תהיה המדידה אין ספק שיהיה החשבון האריתמטיקה הכרחית לגיאומטריה עמה כי כשיחויב במדות משולש ומרובע ובעל שמנה תושבות או חמש עשרה תושבות הנה כבר השתמשת בזה ממלאכת החשבון לפי שהארבעה והשלשה והשמנה והט"ו מן החשבון ולא תמצא מלאכת המדות ריקה מן החשבון והמספרים אשר יחויבו בחיובה בהכרח כי אין דרך לומר בהכרח בכפל שלשה פעמים וארבעה פעמים מבלתי ידיעת השלשה והארבעה קודם בהנחה ואמנם אם תהפך המאמ' תמצא השלשה והארבעה וזולתה מהמספרים כבר נתקיימו בטבע והמחשבה ואם לא היו הגדולים הניגודי השמות מהם ידועים או נמצאים הנה כבר התבאר אם כן שהמספר יותר קודם מן המדות קדימה טבעית אחר שבסור החשבון תסור המדידה ולא יסור החשבון בסורה וכן גם כן בכמו זה הבאור יתבאר הגיאומטריה לא הכרחית לאריתמטיקה שמלאכת החשבון יותר קודמת ממלאכת הלחנים לפי שהעצם יותר האריתמטיקה הכרחית למוסיקה קודם מההצטרפות כמו שהממון יותר קודם מגודל העצם והאדם יותר קודם מהכלים וזה לפי שחבור הנגונים והאותותם והסכימם אמנם הוא כשיהיה תכלית הקול אחד מהם אצל האחר וזה בהסכמה אשר בארבעה ואשר בחומש ואשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל והארבעה ואשר בכל והחומש ר"ל אשר בכל שלשה פעמים ואשר בכל ארבעה פעמים וכל קבוץ יחסים אמנם נרצה ממנו מספר הנעימות אשר בו ואשר בארבעה אחד מתכליותיו אצל האחר כמוהו וכמו שלישיתו ואשר בחמשה אחד מתכליותיו אצל האחד כמהו וכמו חציו ומאשר במרבע ואשר בחמש יהיו שני התכליות ביחס אשר בכל ואשר אחד מתכליותיו אצל האחר שלשה דמיוניו לפי שתכלית אשר בכל וחמש אצל אשר בכל ביחס כל וחצי כל ואשר בארבעה ובכל אחד מתכליותיו אצל האחד בשמנה אצל השלשה ואשר בכל ארבעה פעמים הוא אשר אחד מתכליותיו אצל האחר ארבעה דמיוניו ואלו כל קבוצי החבור אין דרך לחברם והחשבון בלתי נמצא וכשימצא החשבון לא יחוייב שיהיו המוסיקה לא הכרחית לאריתמטיקה החבורים ולא הלחנים נמצאים וכמו כן גם כן מלאכת החשבון בזה הבאור יתבאר שהיא קודמת ממלאכת התכונה וזה גלוי אחר שבחשבון והמדות יושגו כל דרושיה וכבר יתבאר גם כן שהמדה יותר האריתמטיקה והגיאומטריה הכרחיות לאסטרונומיה קודמת מהתכונה מצד שהתנועה אמנם תהיה אחר המנוחה ועוד שכבר יאמ' שתנועות הכוכבים הם נגונים נערכים ר"ל הן בייחס דבוריי פשוט ר"ל בפשיטות יחס בעל הכפלים ויחס המוסיף חלק וכאשר היה זה כן הנה החבור הנגוני יותר הקודם מהתכונה ואמנ' המוסיקה הכרחית לאסטרונומיה זריחות הכוכבים ועריבותיהם וקדריותיהם והסתרתם והראותם לא יעלם שכבר יושב במדה וכאשר היתה מלאכת החשבון יותר קודמת מזולתה בראוי אם כן ממנה מה שהקדמנו לפנים שהמאמ' עליה ומשפטי הדבור בה יותר ראשונים בקדימה ואנחנו בזה מכאן הנה לך אחי שלמות פתיחת זה הספר כאשר שאלת עד מקום המספר ממנו והיה בו ובכל מה שהשיב הבורא עליך מצליח והוא בחסדו יישירך לרצונו אמן

Arithmetic – Absolute Quantity
The Nature of Number	הדבור בטבע המספר
	כל הדברים שתיקן הטבע חבורם ימצאו נופלים תחת סדר המספר כמו היסודות והזמנים ותנועות השמים ושאר התקונים הטבעיים הנה בזה ראוי שיהיה המספר במדרגת ההמשל והדמיון אשר ממנו יוקח הדבר וחדשו הבורא ית' ראשון בטבע ואמנם חבור המספר עצמו אין סדר לו זולתו לפי שהוא בתכונתו נצחי בעצמו לא עומד בזולתו אבל לפי שכל מחובר אמנם הוא מחובר מדברים מתחלפים בלי ספק ומדברים הם גם כן נימצאים אחר שאשר אינם נימצאים אין לשער חבורם ולא אשר הם ואפי' היו נמצאים אלא לפי שהם בלתי דומים אי אפשר חבורם הנה נמשיך לזה שהדברים המחוברים אמנם יחוברו מדברים נמצאים מתחלפים נאותים לפי שאם לא יהיו מתחלפים הנה הם אחד לא יצטרכו אל חבור ואם לא יהיו נאותים לא יהיו מתדמים ואם לא יהיו מתדמים אלא שהם הפכיים לא יפול בם החבור הנה המספר יהיה גם כן מתחלף ונאות כך אחר שהוא מחובר וזה אמת אחר שבו שתי מינים ראשונים מתחלפים נאותים דומים ר"ל הזוג והנפרד כי הבורא ית' חברם עם חלופם חבור מסתבך אין הפרדה בו כמו שיתבאר זה במה שיבא אחר זה
The Definition of Number and its Types	הדבור בגדר המספר וחלוקתו
	המספר בהעברה הגדרת המספר מן המאמ' הוא קבוץ האחדים או כלל הכמות המורכב מהאחדים והמספר יחלק חלוקה ראשונה אל שני חלקים אחד מהם הזוג והאחר הנפרד והזוג הגדרת המספר הזוגי יחלק לשני חלקים שוים אין ביניהם אחדות אמצעי יעדיף בו אחד מהם על האחר והנפרד הוא אשר אין דרך אל שיחלק בשני חלקים שוים הגדרת המספר האי-זוגי אבל בהכרח כשיחלק בשני חלקים בתכלית הקירוב מן השווי היה בין חלקיו אחדות יעדיף בו אחד משני חלקיו על האחר וזה הוא הגדר כפי מה שיראו ההמון ואמנם כפי מאמ' פיתאגוריש הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק חלוקה יראה בה היחס המקיף בתחלת המיעוט הגדרת פיתגורס למספר הזוגי ותחלת הרבוי ירצה ביחס המקיף בתחלת המיעוט ותחלת הרבוי יחס הכפל והחצי אחר שלא יראה אלא בחלוקת המספר הזוג ר"ל המתחלק בשני חלקים שוים : אמר ואמנם הנפרד הנה הגדרת פיתגורס למספר אי-זוגי הוא אשר לא יקבל זה אבל הוא יחלק בשני חלקים בלתי שוים לעולם וכפי צד מאמר הראשונים גם כן הנה המספר הזוג הוא אשר יחלק בשני חלקים שוים ויחלק גם כן בשני חלקים בלתי שוים בתוספת והחסרון מלבד השנים מהמספר הזוג שהם כאשר נחלקו יותכו אל האחדים ולא יסבלו חלקיהם התוספת והחסרון ולא יעבור הזוג בהחלקו בשני חלקים שוים מן אחד מן המספר ר"ל אם היה אחד משני חלקיו זוג היה האחר זוג ואם היה אחד מהם נפרד היה האחר נפרד והמספר הנפרד הוא אשר איך שתחלקהו לא ישתוו חלקיו ולא ימנעו מחלקיו הזוג והנפרד יחד ר"ל שאם היה אחד מחלקיו נפרד היה האחר זוג אם כן הוא מבואר שהיותר קרוב מה שיהיו חלקי הנפרד מן השווי כאשר היה בין שני חלקיו אחדות יעדיף בו אחד מהם לאחד ואמנם בגדר אשר יקרא דיאלילש וענינו ידיעת אחד משני המוסכלים באחד כי המספר הנפרד הוא המתחלף משני צדדיו לזוג באחדות אם בתוספת עליו ואם בחסרון ממנו הנה אם כן בזה הגדר לא יודע הנפרד אשר הוא מוסכל עד שיודע הזוג אשר הוא מוסכל ולא יודע הזוג אשר הוא מוסכל עד שיודע הנפרד אשר הוא מוסכל
The Units	הדבור באחדים ושררת האחדות
	כל מספר הוא חצי שתי פאותיו כאשר יקובצו ר"ל מה שהוא מוסיף מאותו המספר באחד ופוחת ממנו באחד כאשר יקובצו וכמו כן הוא חצי שתי פאות פאותיו וחצי גם כן מה שאחר זה כאשר היה מה שיחסר מאחת משתי הפיאות כשעור מה שיוסיף באחרת וכן יהיה תמיד עד שיגיע החסרון מהפאה הקטנה אל האחדות אשר לא יוכל לעברו ואמנם האחדות הנה לא ילוה לו רק הפחות במספרים אשר הוא שנים ולפי שאינו מספר שיהיו לו שתי פיאות היה חצי פאתו האחת ר"ל חצי השנים אחר שתולדת השנים מכפלו הנה כבר התבאר מה שהאחדות עלת המספר בצמיחתו
Even Number	הדבור בחלקי הזוג וסגולתו
Even-Times Even	זוג הזוג
	המספר הזוג יחלק לשלשה חלקים אחד מהם זוג הזוג והשני זוג הנפרד והשלישי זוג הזוג והנפרד הנה אם כן שני החלקים הראשונים אשר הם מיני המספר הזוגי זוג הזוג וזוג הנפרד נבדלים להבדל הזוג והנפרד בגדר והחלק השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד כאמצעי משני הקצוות ללקחו השם מורכב משמות שני החלקים הנה זוג הזוג הוא מורכב מהכפלת האחד אם כן הוא אשר איפשר שיחלק בשני חלקים שוים הם חצאיו וכל חצי הגדרת זוג הזוג מהם לשני חצאים וכן חצאי חצאיו עד שיגיע אל האחד לפי שהוא מהכפלתו כמו שבארנו לפנים הנה אם כן כבר התבאר שכל אחד מחצי זוג הזוג זוג הזוג וכן חצי חצייו לפי שכל אלו להם חציים ולחצייהם חציים עד שיגיעו אל האחדות ועוד כי חלקי זוג הזוג נמצאים לעולם נגזרי השם מזוג הוא זוג הזוג והגעתם ג"כ זוג הזוג כמו שמינית ס"ד אשר הוא נגזר משמנה אשר הוא זוג הזוג והגעתו שמנה והוא זוג הזוג גם כן כמו רביעיתם הנגזר בארבעה והוא זוג הזוג והגעתו י"ו וכן חצים והוא נגזר משנים והוא זוג הזוג והגעתו ל"ב והוא זוג הזוג ולא ימצא לזוג הזוג חלק נגזר השם ממספר נפרד כמו התשיעית הנגזר מתשעה והשלישית הנגזר מג' וכבר יחשב שזה המספר אמנם נקרא זוג הזוג לפי שחלקיו נגזרי השמות ממספרים זוגות והגעתם זוגות גם כן ונמצא מסגולת זוג הזוג שחלקיו אחר שהם נגזרי השמות ממספרי זוג הזוגות שאותם הזוגות גם כן הם הגעות חלקי זוגות זוגות מן המספר אשר הם לו חלקי' כמו החצי הנגזר מב' והגעתו ל"ב מס"ד אשר החלק מל"ב מהם ב' וכאשר הנחנו מדרגות מספרי זוג הזוג בהכפלה מהאחד כפי זה הסדר א"ב ד"ח י"ו ל"ב ס"ד קכ"ח היו שמנה מדרגות הראשונה א' והשמינית קכ"ח סדרת זוג הזוג: והיו להם שני אמצעיים והם ח' וי"ו והיה החלק מי"ו מקכ"ח ח' ושמינית קכ"ח י"ו וכמו כן החלק מל"ב מהם ד' ורביע קכ"ח ל"ב וכמו החלק מס"ד מהם ב' וחציים ס"ד וכמו כן וכמו כן הם באחדות פעם אחת קכ"ח כמו שהאחד בם קכ"ח פעם הנה כבר התבאר במספרי זוג הזוג חלקיהם נגזרי השמות ממה שבתוכם מהגעתם כפי ההכפלה אשר תארנוה לפנים וכמו כן גם כן אם יושלך ממדרגותיהם מדרגה עד שיהיה מספר מדרגותיהם נפרד ויהיה הקצה הגדול מהם ס"ד תמצא שלא סדרת זוג הזוג: יבצר דבר ממה שתארנו ויהיה שמיניתו ח' אשר הוא האמצעי וחלק מי"ו מהם ד' ורביעיתם י"ו והחלק מל"ב מהם ב' וחציים ל"ב וס"ד באחד ס"ד פעם כמו שהאחד בו ס"ד פעם ועוד יתחייב למדרגות זוג הזוג כאשר יונחו על הסדר אשר המשלנו והיו המדרגות זוג ויחויב שיהיו להם שני אמצע[יי]ם * יהיה מה שיתקבץ מהכאת אחד משני האמצעיים אמצעיים באחד שוה למה שיתקבץ מהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר שוה למה שיתקבץ וכן מה שילווה לשני הקצוות אחד מהם באחד ומה שילוה לו נלוה עד שיגיע לנלוים לשני האמצעיים ותבחן הקש בזה במדרגת אשר ספרנום שיהיה מספרם זוג והם אשר תחלתם אחד וסופם קכ"ח ותמצא כמו שאמרנו וכאשר היה מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד ויהיה כח מוכה האמצעי בעצמו כהכאת שני הקצוות אחד מהם באחר וכן מה שימשך להם כמו שבארנו וכבר יתחייב למדרגת זוג הזוג שיהיו כאשר נכללו מן האחד היה הגעת כלם פחות מהקצה הגדול באחד ואם לוקח עמם הקצה הגדול היה כל זה פחות מכפל הקצה הגדול באחד וזה יתחייב למדרגות ימעטו או ירבו ומבואר מזה שמדרגות זוג הזוג כשנכללו מן האחד היה הגעתם נפרד לפי שהם פחות מהקצה הגדול אשר הוא לעולם זוג באחד והחסר מהזוג אחד הוא הנפרד
Even-Times Odd	הדבור בזוג הנפרד
	המספר אשר הוא זוג הנפרד Iיחלק לשני חלקים דומי האחדים למה שהקנהו מטבע סוגו אחר שהוא זוג ושם יעמוד ולא יתחלק פעם שנית אחד מחלקיו בשני חצאים הנה אם כן זוג הנפרד הוא הכפלת הנפרד פעם אחת כמו ששה ועשרה וארבעה עשר וי"ח וכ"ב וכ"ו דוגמאות: כי ששה מכפל ג' ועשרה מכפל ה' וי"ד מכפל ז' וי"ח מכפל ט' הנה אם כן כשיסודרו הנפרדים הטבעיים ר"ל על משך סדר הטבע ויתחילו מתחלת הנפרדים אשר הוא ג' כמו ג' ה' ז' ט' י"א י"ג והיה תוספת הנפרד על הנפרד אשר לפניו מהם שנים שנים עוד תכפול אלו הנפרדים על המשכם ותסדרם כמו ו"י י"ד י"ח תוסיף כל פעם על אשר לפניו ד"ד לפי שהנפרדים הטבעיים אשר חדשו אלו הזוגות מכפלם היו נוספים שנים שנים וכאשר נכפלו יכפלו התוספת והיו ד"ד כמו שהמשלנוהו ממדרגותיהם ומבואר שהם אמנם יתחדשו על משך טבעם מהכפלת הנפרדים הטבעיים פעם אחת וכבר יתחייב לזוג הנפרד שיהיה כל אחד מחלקיו מתחלף ההגעת לשמות גזרתו בסוג ר"ל שאם היה החלק נגזר השם ממספר נפרד היה הגעתו זוג ואם היה החלק נגזר השם ממספר זוג היה הגעתו נפרד כמו ששה מזוג הנפרד כי שלישיתו הנגזר מג' והוא נפרד ב' וחציו הנגזר ב' והוא זוג ג' והוא נפרד אם כן כבר התבאר שזוג הזוג מתחלף לזוג הנפרד לפי שזוג הזוג חלקיו נגזרי השמות מסוג הגעתם כמו ח' אשר רביעיתם ב' וחציים ד' וכבר יחשב שלזה נקרא זה המין זוג הנפרד אחר שהיו חלקיו מתחלפים בשם ובהגעה בסוג וכבר יתחייב לזוג הנפרד שלא יהיה לדבר ממנו שליש אלא למה שאתאר וזה שתניח מדרגות זוג הנפרד אשר התחלתם ו' על הדמיון המתואר קודם זה והם ו' י' י"ח כ"ב כ"ו ל' ל"ד ל"ח מ"ב מ"ו נ' נ"ד עוד נעבור שלשה מדרגות מתחלת המדרגות הנה הרביעית יש לה שליש והיא י"ח ושלישיתה ו' עוד תתרחק מי"ח שלשה מדרגות והרביעית יש שליש והיא ל' ושלישיתה י' וכן תמיד ולא ימלטו ממך מזוג הנפרד מה שיש לו שליש אמר אבו יוסף ואתה כאשר תקח הזוגות אשר להם שליש מתחלתם ותסדרם ימשכו קצתם לקצת כמו י"ח ל' ומ"ב ונ"ד וס"ו ותקח שליש כל אחד מהם על המשך ותסדרם ימשכו קצתם לקצת כמו ו' י' י"ד י"ח כ"ב תמצא שלשיותיהם על משך סדרם הם מדרגות זוג הנפרד מתחלתם על סדרם לא יבצר מהם דבר וכבר ישיג לסוג הנפרד שמדרגותיו כאשר היה מספרם זוג והיו להם שני אמצעיים כמו שני הקצוות מקובצים וכמו אשר ילוה לשני הקצוות ואשר ילוה לנלוה כמו שבארנו לפנים במדרגות זוג הזוג אלו שהענין יהיה שם בהכאה ובכאן יהיה בחבור ואם היו מספר המדרגות נפרד היה להם אמצעי אחד לבד ותהיה הכפלה האמצעי האחד ממדרגות זוג הנפרד כמו מקובץ שני הקצוות וכן מה שימשך לשני הקצוות ומה שימשך לנמשך אליהם הנה כבר התבאר הנה חלוף זוג הזוג וזוג הנפרד בהתחלף ענין ההכאה וענין החבור בשני הקצוות והאמצעי ושני האמצעיים וכבר יתחלף זוג הזוג לזוג הנפרד גם כן כאשר המתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד ושהבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אשר הוא האחד
Even-Times-Even-Times Odd	הדבור בתאר זוג הזוג והנפרד
	אמנ' המספר אשר הוא זוג הזוג והנפרד והוא המין השלישי ממיני הזוג באמצעי להם ומורכב מהם ללוקחו מכל אחד כמו סגלתו אמנם מה שלקח מדמיון זוג הזוג שהוא יחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו סוגו עוד יחלק כל אחד משני חלקיו שנית בשני חלקים מתמשלי האחדים בטבע אשר הקנהו בהכרח ואולי יחלקו חלקיו וחלקי חלקיו פעמים רבות אלא שלא תגיע בו החלוקה אל האחד הנה במה שיחלק לשני חלקים מתמשלי האחדים יותר מפעם אחת ידמה לזוג הזוג ויתחלף לזוג הנפרד ובאשר לא יכלה בחצוי אל האחד ידמה לזוג הנפרד ויתחלף לזוג הזוג הנה כל מה שידמה בו אחד משני המינים יתחלף באותו הענין למין האחר ותבחן זה במספרי זוג הזוג והנפרד כמו י"ב וכ' וכ"ד ותמצאהו דוגמאות: כן וכבר ישיג מספר זוג הזוג והנפרד שימצאו לו הסגלות אשר נאמרו שלא ימצאו לזוג הזוג ולא לזוג הנפרד ושימצאו לו ג"כ אותם הסגלות אשר ימצאו אליהם אמנם אשר ישיגהו ממה שלא ישיגם מזה שהמתחלק מזוג הנפרד קצהו הגדול לבד והבלתי מתחלק מזוג הזוג קצהו הקטן לבד אבל זוג הזוג והנפרד אין המתחלק לבד קצהו הגדול ולא הבלתי מתחלק ממנו קצהו הקטן לבד אבל כבר ימצאו לו בלתי קצהו הגדול חלקים יקבלו ההחלק גם כן וימצאו לו בהכרח קודם שיכלה בו ההחלק אל האחד חלק לא יקבל חלוקה ואמנם מה שישיגהו ממה שישיגם הוא שבו חלקים נגודי השמות ממספר מין הגעתם דומה בזה לזוג הזוג ובו חלקים מתחלפים הגזרה במין להגעתם ידמה בזה לזוג הנפרד ותבחן זה ותמצאהו כן ואמנם איך יתילד זה המין ואיך יצמח הנה למה שהיה לוקח הדמוי לזוג הזוג ולזוג הנפרד יודע שהוא יורכב ממה שהורכבו ממנו יחד הנה המספר אשר הוא זוג הנפרד אמנם יתילד מהכפלת הנפרדים הטבעיים והמספר אשר הוא זוג הזוג אמנם יתילד מהכפלת האחדים הנה כאשר תרצה להוליד זה המין השלישי אשר הוא זוג הזוג והנפרד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם שלשה ימשכו קצתם לקצת בטור הארוך עוד תסדר מדרגות זוג הזוג אשר הכפלתם מד' ר"ל בזה הצד לפי שאחר הנפרד הראשון מהנפרדים הטבעיים התחלת זוג הזוג ימשכו קצתם לקצת בטור הרחב עוד תתחיל ותכה המדרגה הראשונה מאי זה משני הטורים שתרצה בכל מדרגות הטור האחר אחד אחד עוד תעמיד כל מה שיצא לך על מדרגותיו בטור שלישי עוד אחר זה תשוב אל המדרגה הנמשכת למדרגה אשר הכית בכל מדרגות הטור האחד ותעשה בם גם כן כמו שעשית באשר לפניה ותכה אותה בכל מדרגות הטור האחד ותעמיד מה שיצא לך גם כן א א ד ח יו ל"ב ס"ד קכח ג"כ מסודר בטור ו ג יב כד מח צו קצב שפד רביעי וכן תעשה י ה כ מ פ קס שך תרמ במדרגה השלישית י"ד ז כח נו קיב רכד תמח תתצו והרביעית או מה יח ט לו עב קמד רפח תקעו אלף קנב שהנחת מהמדרגות כב יא מד פח קעו שנב תשד אלף תח ותסדר זה כלו כמו כו יג נב קד רח תיו תתלב אלף תרסד שאתה מראה ל טו ס קכ רמ תף תתקס אלף תתקך בזאת הצורה וכבר הוספנו ברחב לוח הולך באורך ילוה ללוח אשר בו הנפרד הטבעי העמדנו בו זוג הנפרד על סדר מדרגותיו אשר התחלתם ששה כדי להראות בזה כל מה שזכרנו מהסגולות למיני הזוג השלשה אחר שזאת הצורה תקיף עליהם יחד כי אתה כאשר תשים הקצה הקטן מזוג הנפרד ששה והקצה הגדול ממנו י"ד תמצאם מקובצים כ' ותמצא האמצעי אשר הוא י' כאשר תכפלהו כמו זה וכן אם שמת הקצה הגדול י"ח תמצא שני הקצוות מקובצים כ"ד שני האמצעיים והם י' וי"ד וכ"ד ואמנם זוג הזוג הנה אתה אם שמת הקצה הקטן ממנו ד' והגדול י"ו תמצא מה שיתקבץ מהכאת ד' בי"ו שוה למה שיתקבץ ממוכה האמצעי והוא בעצמו והוא ס"ד ואם שמת הקצה הגדול ל"ב תמצא כלל הכאת ד' בל"ב קכ"ח והוא שוה למה שיהיה מהכאת שני האמצעיים אחד מהם באחד והם ח' וי"ו הנה כבר התבאר ממה שבארנו לפנים מסגולות זוג הזוג וזוג הנפרד וממה שנמצאהו משיג לזאת הצורה אחרי השלמה שאתה כשתכה תחלת מדרגה ממדרגות הנפרד הטבעי במדרגה הראשונה הנפרד זוג הזוג והנפרד מאי זה מן הטורים ההולכים באורך המתחילים מן הרחב שתרצה תמצא ההגעה כבר תתרחק מאותה המדרגה שני אמצעיים והיה הוא המדרגה הרביעית מאותה המדרגה המוכה בה ממדרגות זוג הזוג והנפרד באורך ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות הנפרד באותה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה מתרחקת מאותה המדרגה הראשונה ממדרגת זוג הזוג והנפרד חמש אמצעיים והיא מתרחקת מההגעה הראשונה שני אמצעיים ותהיה ההגעה השנית היא המדרגה הרביעית מההגעה הראשונה באורך : וכמו כן ישיג כל מדרגות הנפרד שכל מה שתרד בה מדרגה תעבור הגעת אשר לפניה בשני אמצעיים באורך כאשר היתה המדרגה המוכה בה מדרגות הנפרד ממדרגות זוג הזוג והנפרד לבדו ואמנ' אם תכה המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד מאי זה הטורים ההולכים ברחב שתרצה תעבור אמצעי מהמדרגה המוכה בה מזוגות הזוגות והנפרד והיית בעברך האמצעי לוקח ברחב מכוין למה שהיית עושה בהכאת מדרגות הנפרד הנה נפלת על ההגעה אשר תהיה מהכאת המדרגה הראשונה מזוג הזוג במדרגה הא' מאי זה מטורי זוג הזוג והנפרד שתרצה ההולכים ברחב המתחילים בארך ואם תכה המדרגה השנית ממדרגות זוג הזוג במה שהכית בו ממדרגות זוג הזוג והנפרד ר"ל המדרגה הראשונה מזוג הזוג והנפרד תמצא ההגעה כבר נתרחקה מן המדרגה המוכה בה מזוג הזוג והנפרד שני אמצעיים והיית המדרגה הרביעית ממנה ברחב וגם כן אם תכה המדרגה השנית מזוג הזוג והיא ח' במדרגה השנית ברחב מזוג הזוג והנפרד והיא כ"ד תמצא ההגעה מתרחקת מכ"ד שני אמצעיים גם כן ולא תתרחק מההגעה הראשונה שני אמצעיים אבל מהמוכה בה הנה אם כן כבר התבאר שמוכה המדרגה הראשונה ממדרגות זוג הזוג כשהוכה במדרגות טור מטורי זוג הזוג והנפרד ההולכים ברחב כל מה שירד מדרגה ירד אחרת מההגעה הראשונה לוקח ברחב ושהמדרגה הראשונה ממדרגות טורי זוג הזוג והנפרד כאשר תוכה בכל מדרגות זוג הזוג ויצאו ההגעות ימשכו קצתם לקצת בלא אמצעי בטור אשר התחלתו היא המדרגה מזוג הזוג והנפרד הנה זה סוף המאמר בחלקי הזוג השלשה הנראים בחלוקה אשר זכרנו לפנים אמנם זכירת הזוג השוה והנוסף והחסר הוא בזולת זה המקום יותר ראוי באשר זכרו מניח הספר ושם נדבר עליו ברצון הש' ית'
Odd Number	בזכירת המספר הנפרד ובאור חלוקותיו
	המספר הנפרד כמו שאמרנו לפנים הוא אשר איך שחולק חלק בשני חלקים מתחלקים בתוספת וחסרון וכשיקרבו חלוקותיו מהשווי תכלית מה שאיפשר היה ביניהם אחד יעדיף אחד מהם על האחר והוא יחלק בטבע לשני חלקים ויקרה לו שיהיה לו חלק שלישי ואמנם האחד מהשנים אשר בטבע יאמ' לו ראשון בלתי מורכב ואמנם האחר יאמר לו שני מורכב ואמנם השלישי הנה יקרה משני אלו החלקים בהצטרף והוא שיהיה נפרד ש[ני] מורכב יצורף אל נפרד שני מורכב ויהיה כל אחד מהם אצל חבירו ראשון בלתי מורכב וכבר ישיג הנפרד הטבעי שכל מספר מדרגותיו כמו הכאת מספרי המדרגות בעצמם ותבחן זה בצורה הזאת
Prime Incomposite Number	בזכירת הנפרד הראשון הבלתי מורכב
	המספר הנפרד הראשון שהוא בלתי מורכב אשר אין לו חלק ימנהו בלתי האחד כמו גה"ז י"א י"ג י"ז אלו המספרים ומה שימצא כמותם לא דוגמאות: ימצא להם מספר ימנם ואין להם חלק כלל ימנם בלתי האחדים שנגזר להם חלק מכלל המספר כמו השלישי מג' והשביעית מז' אשר הוא האחד הנה בראוי אם כן נאמ' שהוא ראשון אחר שלא ימנהו בלתי האחדות ושהוא בלתי מורכב אחר שאי אפשר שיחלק בחלקי מספרים שוים לפי שהוא אמנם התילד מסדר האחדים והמשכם ואמנם יהיה למספר הנפרד חלק ימנהו כאשר היה נכפל מזה המין מהנפרד ר"ל הנפרד הראשון הבלתי מורכב כי אם נכפל פעמים מספרם זוג יתילד מהם מספר הזוג לו מספר ימנהו בהכרח לפי שאפילו ימעטו חלקיו המונים אותו מאד הנה השנים ימנהו וימנהו גם כן כלל אחדי הפעמים אשר בם ימנוהו השנים ואם היו הפעמים הזוג אשר נכפל בם הנפרד שנים לבד יתחדש מכל נפרד מהם זוג הנפרד ואם נכפל הנפרד מספר פעמים והיה מספר הפעמים זוג והיה הזוג יותר משנים הנה המתחדש מהם זוג הזוג והנפרד ואם נכפל פעמים מספרם נפרד יחודש ממנו נפרד ימנהו אותו המספר הנפרד הנכפל בשעור אחדי הפעמים אשר נכפל בם וימנהו ג"כ כלל אחדי הפעמים אשר נכפל בו וימנהו אותו המספר הנפרד הראשון הבלתי מורכב רצוני לומר בשעור אחדי אותו הנפרד הנכפל
Composite Odd Number	בזכר המספר הנפרד השני המורכב
	המספר הנפרד המורכב הוא אשר לו עם האחד מספר ימנהו וזה המספר הוא חלק לו וכבר אמרנו שהמספר הנפרד הראשון אמנם התילד מהמשך האחדים לבד ואמנם אם יהיה המספר נפרד יכפל הנה לא יהיה ואמנם זה הנה אמנם יצמח ויתילד מהכפלת הנפרדים הראשונים כשנכפלו פעמים מספרם נפרד הנה זה הנפרד אם כן מורכב מהנפרד הראשון הנה הוא אם כן שני לפי שהוא אמנם חודש מהראשון והוא מורכב לפי שהנפרד הראשון חלק לו וזה כמו ט' וט"ו דוגמאות: וכ"ה וכ"ז כי ט' מורכב מהכפלת ג' שלשה פעמים וט"ו מורכב מהכפלת ה' שלשה פעמים או מהכפלת ג' חמשה פעמים וכמו כן כ"א מהכפלת ז' שלשה פעמים או מכפל ג' שבעה פעמים הנה אם כן כבר יכלול זה המין מהנפרד והמין הראשון שיש לו חלק נגזר השם משמו אינו מספר והוא האחדות כי זה סגולת סוג הסוגים אשר הוא המספר ר"ל שהוא מורכב מהאחדים ואמנם מה שנתיחד בו השני המורכב הנה הוא שיש לו חלק אינו נגזר משמו ימנהו כמו ט' כי הוא ואם היה לו חלק נגזר משמו הוא האחד אשר הוא תשיעית התשעה יש לו שליש גם כן הוא השלשה וכמו כן טו יש לו חומש והוא ג' ושליש ה' עם החלק מט"ו אשר הוא האחד
Relatively Prime	תאר המין השלישי מהמספר הנפרד
	שזה המין יתחדש לנפרד במקרה לפי שהוא אמנם יהיה עם ההקשה בין שני המספרים המורכבים אין להם מספר משותף ימנה אותם ולכל אחד מהם כאשר הושב אל טבעו מספר ימנהו הוא חלק לו וזה כמו ט' אשר הם מורכבים כמו שאמרנו מהכפלת ג' שלשה פעמים הנה כאשר הוקשו אל כ"ה אשר הם מורכבים מה' חמשה פעמים הנה כל אחד משני אלו המספרים אצל חבירו ראשון בלתי מורכב לפי שאין להם מספר משותף ימנם ואמנם היה שיהיה להם מספר משותף אלו היה החלק לאחד מהם חלק לאחד אחר שהחלק הוא המונה לכל ואין השלשה אשר הם חלק לתשעה חלק לחמשה ועשרים שימנום ולא החמשה אשר הם חלק לחמשה ועשרים חלק לתשעה שימנום ואמנם ישתתפו באחד אשר אינו מספר ואמנ' הוא עלה למספר אמנם איך יוכרו אלו המינים אשר הם מיני הנפרד ואיך יברר מין מין מהם מהנפרד הטבעי עד שיודע הראשון הבלתי מורכב מהשני המורכב הנה זה בתחבולה יקראה ארסטשאש המכבר והיא שתקח הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ג' על סדרם הטבעי ימשכו קצתם לקצת כפי מה שבלוח אשר למעלה וכשתרצה השני המורכב מאלו הנפרדים תתחיל ותעזוב שני אמצעיים אחר המדרגה הראשונה והמדרגה הרביעית מספר שיני מורכב והמדרגה הראשונה ג' והרביעית ט' והיא שיני מורכב לפי שהיא מורכבת מג' שלשה פעמים עוד עזוב ממנו שני אמצעיים והמדרגה הרביעית גם כן ממנה נפרד מורכב והיא ט"ו מורכב מה' שלשה פעמים או מג' חמשה פעמים וכן תעשה תמיד ותעזוב שני אמצעיים והרביעי מספר נפרד שני מורכב עד שתגיע אל סוף מה שהנחת מהנפרדים הטבעיים אחר תשוב תתחיל מחמשה והיא המדרגה השנית מהנפרדים הטבעיים ותעזוב אחריה ארבע אמצעיים והמדרגה הששית ממנה נפרד שני מורכב והיא ט"ו עוד המדרגה השנית מט"ו והיא כ"ה וכ"ה מורכב מהכפלת ה' חמשה פעמים עוד תעזוב ארבע אמצעיים גם כן אחר כ"ה והמדרגה הששית ממנה היא מספר נפרד שני מורכב עד שיכלה לאשר הנחת מהמספרים הנפרדים וכן תעשה כל מה שתרד מן ההתחלה מדרגה תוסיף בה שיותירו ש[ ] האמצעיים שנים לכל מדרגה כי כשתעשה זה ורשמת על מדרגת הנפרד השני המורכב אשר תעמד עליהם בזאת התחבולה לא יבצר ממך דבר והיה מה שישאר אחר כלותך מזה ולקיחתו כפי זה הרושם אשר תארתי לך מאשר לא יפל בם סימן הם נפרדים ראשונים בלתי מורכבים ודע שכאשר החלות במדרגה הראשונה ותעזוב שני אמצעים בין כל שני מורכב ושני מורכב תהיה המדרגה המורכבת הראשונה תצא מורכבת מן המדרגה אשר ממנה התחילה נכפלת בעצמה ר"ל בשיעור אחדיה והמדרגה השנית המורכבת מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השנית והמדרגה השלישית המורכבת היא מורכבת מהמדרגה הראשונה נכפלת במדרגה השלישית ואם תתחיל מן המדרגה השנית ותדלג ארבע אמצעיים בין כל מורכב ומורכב יהיו המורכבים היוצאים מורכבים מהמדרגה השנית אשר החלות ממנה נכפלת בכל א' מהאחדים וכל מדרגה ראשונה מורכבת שתצא היא מן המדרגה אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה הראשונה והמורכב השני מורכב מהמדרגה השנית נכפלת בעצמה והמורכב השלישי מורכב מהמדרגה השנית אשר ממנה הוחל נכפלת במדרגה השלישית מראש המדרגות והיא המדרגה השלישית מאשר ממנה הוחל וכבר ציירתי לך המכבר לבחון בו כל אלו הענינים ואחר שכבר התבאר לך איך תברור בזה המכבר המספרים השניים המורכבים מהנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים עד שיוכרו שני המינים הטבעיים ממיני הנפרד כל אחד מהם לבדו נמשיך לזה הכרת המין השלישי המקרי ונגלה איך יודע כשנקיש בין שני מספרים כל אחד מהם בעצמו שני מורכב אם הם עם ההקשה כל אחד מהם אצל חברו ראשון ר"ל שאין להם מספר משותף ימנם ואם היה להם מספר משותף ימנם איך נמצאהו כי אנו כשנרצה לידע זה בשני מספרים הנה אנו נשליך מגדול המספרי' המונחים מה שבו מדמיוני הקטן וכאשר ישאר מהגדול פחות מן הקטן נשליך מן הקטן מה שהוא מדמיוני הנשאר מהגדול עוד נשליך מה נשאר מן הגדול מה שבו מדמיוני הנשאר מהקטן עוד כן לא נסור מחסר מה שביתר מדמיוני הפחות עד שנגיע אם אל האחדות או אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הגדול ואם יגיעו אל האחדות הנה כל אחד מהם אצל האחר ראשון בלתי מורכב ואם הגענו אל שני מספרים הקטן מהם ימנה הרב הנה הקטן הוא המספר המשותף אשר ימנה שני המספרים אשר הוקש אחד מהם אל האחר משל זה במספרים אשר כל אחד מהם בעצמו שני מורכב ובהקש אל האחר ראשון בלתי דוגמא: 9 ו-25 מורכב מספר ט' וכ"ה שאנו נשליך בכ"ה מדמיוני ט' וישאר ז' נשליך מה שבט' מדמיוני ז' ישאר ב' נשליך מה שבז' מדמיוני ב' ישאר אחד והאחד ימנה השנים ואין האחד מספר הנה ט' וכ"ה כל אחד מהם אצל חברו ראשון בלתי מורכב ואמנם דמיון המספרים אשר כל אחד מהם שני מורכב ובהקשה ביניהם להם מספר משותף ימנם והם בו שניים דוגמא: מורכבים הם כמו מספר כ"א ^ וישאר י"ד עוד נשליך מה שבכ"א מדמיוני ול"ה כי [אם] נשליך מס[פר] י"ד וישאר ז' וז' ימנה י"ד הנה כ"א ול"ה להם מספר משותף ימנה אותם מדמיוני כ"א וישא[ר] והוא ז' והם בו עם ההקשה שניים מורכבים אם כן כבר התבאר איך יוצא המין השלישי המקרי מחלקי הנפרד והנה נשלם המאמר על מיני המספר יחד וזה צורת חלוקת מה שדברנו עליו מתחלת ספרנו עד זה המקום זוג הזוג הוא המתחלק בשני חצאים וכל חצי לחצאים עד האחד ודימיונו ס"ד הזוג זוג הזוג הנפרד הוא הנחלק פעם אחת לשני חצאים ויעמד בנפרד י"ד הנפרד זוג זוג הזוג והנפרד הוא החלק יותר מפעם אחת ולא יכלה לאחד הנפרד הזוג ודמיונם כ"ד והנפרד נפרד הנפרד הראשון הבלתי מורכב הוא אשר לא ימנהו מספר כלל אין ראשון ראשון חלק לו אלא האחת י"א נפרד הנפרד השני המורכב הוא אשר לו מספר ימנהו ולא יהיה המספר לו שני אלא נפרד ודמיונו ט"ו מורכב המין המניין המקרי הוא מהקשת שני נפרדים מורכבים אין להם מספר ט' הג' להם בהצטרף משותף כלל כ"ה
Second Categorization of Even Numbers	חלוקה שנית למספר הזוג
	המספר והזוג יחלק לשלשה חלקים אם נוסף ר"ל מוסיף על כלו ואם חסר ר"ל שהגעת כלל חלקיו יחסרו מכלו ואם שוה ר"ל שהגעת כלל חלקיו שוה לכלו וזה המין השלישי כאמצעי בין שני המינים הראשונים אשר הם בדמות קצוות נבדלים אחר שהם בתכלית ההבדל לעברם השווי בתוספת ובחסרון ונאמ' במספר הנוסף שהוא כמו הבעל חיים שאיבריו הם נוספים במקרה על האיברים הטבעיים לו ולכל אישי צורתו וזה כמו י"ב וכ"ד והדומה להם כי לי"ב חצי ושליש ורובע ושתות וחלק מי"ב ואלו החלקים מי"ב הם ששה וארבעה ושנים ואחד וכלל זה י"ו והנה י"ו יותר מי"ב והם חלקיו אמנם המספר החסר הנה הוא המתחלף בתאר למספר הנוסף והוא אשר הגעת חלקיו פחות מכלו וידמה לזה המספר הבעל חיים שאיבריו הטבעיים חסרים משוויים הנמצא בכל אחדי צורתו בטבע וזה כמו מספר ח' וי"ד והדומה להם כי לשמנה מן החלקים חצי ורביעית ושמינית והם ד' ב' א' וכלם ז' וז' פחות מח' אשר ז' כלל חלקיו וכמו שהיציאה מהשווי בתוספת אי אפשר לעמד על תכליתו בטבע כמו שנאמ' בפתיחת הספר כן החסרון בכמות בעל הגודל בלתי מוגבל התכלית אחר שהוא בהצטרף אלא במאמר כולל והשווי אחד אמצעי בין שני דברים אי אפשר לעמד על תכליתם כן רבוי שני המינים אשר זכרנום מהנוסף והחסר בטבע המספר הזוג ואמנ' השוה אמנם ימצא מעט לא הרבה כמו שיתרבו שני המינים הראשונים וזה שאנו אמנם נמצא מהמספר הזוג השוה מה שנגיע אליו לבד בתחבולה אשר נזכרה עתה בג"ה
Perfect Number	הדבור בתאר המספר השוה
	והוציאו כבר אמרנו שהמספר השוה הוא אשר הגעת כלל חלקיו שוה לכלו וזה המספר ידמה בעל חיים שוה האיברים ממוצע הצורה וזה כמו מספר ו' ומספר כ"ח כי ששה יש לו חצי ושליש ושתות והם גב"א וכלם ששה הנה אלו הששה שוים לששה אשר הם חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו וכמו כן גם כן כ"ח יש לו מהחלקים חצי ורביעית ושביעית וחלק מי"ד וחלק מכ"ח והם י"ד ז' ד' ב'א' ואלו כלם שוים למספר כ"ח אשר הם כלל חלקיו לא יוסיפו ולא יחסרו מהם ואמנם איך יתילדו אל המספרים השווים ואיך נעמוד על המספר הנמצא מהם וכמה מספרים ימצאו מהם בכל מספר מונח הנה הוא במה שאתאר וזה שנניח מדרגות מספרי זוג הזוג אשר התחלתם מהאחד בטור ותהיה המדרגה הראשונה א' והשנית ב' ונעזוב המדרגה הראשונה עוד נתחיל מב' ונניח תחתיה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה וזה ג' וכן תעשה במה שילוה לה מן המדרגות זוג הזוג תניח תחת כל מדרגה כלל מה שיתקבץ ממנה וממה שלפניה הנה בהכרח שיהיו המספרים המונחים תחת מדרגות זוג הזוג נפרדים לפי שהמדרגה הראשונה האחד והמדרגות אשר אחריה זוגות והזוג כאשר יוסף עליו האחד ישוב נפרד הנה יוכרו מאלו המספרים הנפרדים כל מספר ראשון בלתי מורכב ונרשום עליו רושם ונעזוב מה שזולתו עוד נכה כל מספר שרשמנו עליו במה שלמעלה ממנו עליו ר"ל במספר הזוג אשר תחתיו אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב ונעמיד מה שיצא מן ההכאה תחת אותו הנפרד הראשון הבלתי מורכב כדי שיסודרו גם כן הגעות המוכים כפי מדרגותיהם בטור שלישי וכאשר תחפש בזאת התחבולה כל מה שהנחת ממדרגות מספרי זוג הזוג הנה כבר הוצאת כל המספרים השלמים אשר הם נכללים תוך מספר המדרגה האחרונה ממה שהוצאת מהם ואותם המספרים הם אשר העמדתם בטור השלישי תחת הנפרדים הראשונים הבלתי מורכבים והם נלוים על משך סדרם בטבע לא ידולג ביניהם מספר שלם כלל וכבר יתחייב לאלו המספרים השלמים שיהיה הפרט העודף הם על עשרה פעם ו' פעם ח' וכן תמיד ימצאו אלו המספרים בזה התאר ובחן כל מה שזכרתי לך מתארם ודרך הוצאתם בזאת הצורה בג"ה
Relative Quantity	הדבור בתאר הכמה הצירופיי והחלקו אל השוה ובלתי שוה
	ואחר אשר הרחבנו המאמ' על הכמה הנפרד והשלמנו תאריו ובאור פירושיו אנו נקח עתה לדבר בכמה המצטרף ונתארהו תאר נאות ומסכים למה שתארנו בו מה שקדם לפניו והכמה המצטרף יחלק חלוקה ראשונה לשני חלקים אחד מהם השווי והאחר לא שווי כי כל מספר יחובר אל מספר אם שיהיה שוה לו ואם שיהיה מבלתי שוה מבלתי שיהיה בזאת החלוקה מן שלישי כלל הנה השווי אין תוספת בו ולא חסרון אבל יהיה בין אחד משני המצטרפים שוה לאחד כמו המראה כאשר הוקשו אל המאה והעשרה אל העשרה והדומה לזה ממה שהוא שוה למה שהוקש אליו ממה שהקשו אליו בענין הכמה אשר סגלתו שוה ולא שוה והישר לא יחלק למינים כלל לפי שאמנם ענין הישר השוה והשוה שוה לשוה והישר ישר למתישר לו ואמנם המספרים המונחים המתחלפים עם הצטרף קצתם אל קצת ביציאה מהשווי כי מינם יחלק בחלוקה השנית לשני חלקים אחד מהם גדול והאחר קטון והם מתחלפים בשם ונבדלים בענין זה וההצטרפות הגדול יחלק בחלקה שלישית לחמשה חלקים מהם בעל הכפלים למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם המוסיף חלקים למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלק למה שהוקש אליו ומהם בעל הכפלים המוסיף חלקים למה שהוקש אליו / ואמנם הקטן יחלק כמו הגדול ההקש בו לחמשה מינים יקביל כל מין מהם מין מהגדול ייוחס ויקרא בהקבלתו ר"ל שיקראו מיני הקטן כשיאמר מין תחת בעל הכפלים ומין תחת המוסיף חלק ומין תחת בעל הכפלים המוסיף חלקים
Simple Ratios
	אמר אבי יוסף ומאלו היחסים החמש שנים מהם פשוטים והם בעל הכפלים והמוסיף חלק לא ירצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק : אמנם רצה היחס אשר בין שני המספרי' אשר הגדול מהם כמו הקטן פעם אחת כמו חלק מהקטן וזה מבואר במה שביארו אליך אפלטון בספר המיוחס אל עלות הכחות המיוחסות אל האישים העליונים וזה שלמה שזכר המספרים המיוחסי' אל הכדוריים התשעה וייחס ביניהם לחבר אל כל כדור עליון הדמוי בשכל מטבעיהם מה שיוחסו מספריהם מהמספרים המונחים לכדורי היסודות הארבעה וייחס אל כדור הארץ והמים כ"ד וייחס אל כדור האויר והאש כ"ז וייחס אל כדור הירח ל"ו וייחס אל כדור כוכב ונוגה מ"ה אחר שבאר למה היו שני אלו הכוכבים כדורם אחד והמספר המיוחס אליהם אחד בשאמ' ששני אלו הכוכבים יכללם ענין אחד והוא שמרחקיהם מן השמש אמנ' הוא בגלגלי הקפותיהם לבד ואמנם מרכזיהם הנה סך תנועותיהם והשמש אחד ולזה נתייחס אליהם מספר אחד ונתייחס אל כדור השמש נ"ד ולכדור מאדים ס"ד ולכדור צדק ע"ב ולכדור שבתאי צ"ו ולכדור הכוכבים הקיימי' ק"ח ולא היתה הנחתו לאלו היחסים אל אלו הכדורים אשר חייבו זה המספר בהזדמן מבלתי טעם ראוי אבל אמנם נתחייב זה במאמ' הכרחי המאמת שזה הוא היותר ראשון במה שיתואר מהצטרפות אלו המספרים אל אלו הכדורים בזה היחס וכאשר ייחס בין אלו המספרים זכר שק'ח' מכ"ד אינו ביחס פשוט ' אמר ולזה נאמר שהכוכבים הקיימים רחוקים מהפעולות הגשמיות ככלות ההויה וק"ח כמו ארבעה דמיוני כ"ד וכמו חציים הזה הוא הכפל המוסיף חלק הנה לא יהיה זה היחס פשוט זה הוא באור שלא רצה במוסיף חלק בעל הכפלים המוסיף חלק ולא הארכתי בזה המאמר הנה לחשבי שכמו זה ממאמרי המחבר נעלם ממך עם פלפולך ושקידתך בעיון דבריו ואהבתך לזאת המלאכה וכל שכן שאתה ממי שספריו אצלו אבל רציתי להזכירך זה ולא אספק שספרנו זה יפל אצל מי שסכול מסברת המלמד מה שתדעהו אתה וכאשר לא היה בכח המאמר שיביא אל האמתת הדרוש יתבלבלו המחשבות ויפול הדמוי ויעלמו האמתיות ויעדרו הידיעות יישירך האל לאור באורו ולהשיג זיו יקרו
Multiple Ratio	הדבור ביחס בעל הכפלים וטבעו והתילדו
	ואמנם עתה נקדים המאמר על יחס בעל הכפלים אחר שהוא היותר קודם בטבע משאר היחסים הארבעה הנשארים וזה שאנו כאשר הקשנו תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר הוא עלת המספר מצאנוה כפל לו וזה הוא הנקרא הכפל השניי ואם הקשנו באחד גם כן אל המספר השני אשר הוא ג' יתחדש הכפל השלישי ואם הקשנוהו אל המספר השלישי והוא ד' יתחדש הכפל הרביעי עוד כן כאשר יוקש אל מדרגות המספרים הטבעיים יתחדשו כפליים יקרא בשם המספר אשר אליו יוקש האחד הנה התבאר שהיחס הראשון שיפל במספר הוא יחס הכפלים בהצטרף תחלת המספרים אשר הוא ב' אל האחד אשר מהכפלו יהיה מספר והתבאר שהכפל השניי ראשון למיני הרב הכפליים בטבע לפי שהוא מהקשת האחד אל תחלת המספרים ואין למיני הכפלים תכלית בכח להתרבותם עם התרבות המספרים הטבעיים ונתחיל ראשונה בספור התילד בעל הכפלים בלתי שאר היחסים ונקדים ממנו הראשון מהם בטבע ונאמר שהכפל השניי הוא אשר יתחדש מיחס כפל כל מספר אליו כמו ד' אצל ב' וכמו ח' אצל ד' הנה אם כן כבר התבאר איך יצמח הכפל השניי וזה כשיסודרו המספרים על משך סדר הטבע כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' עד מה שנרצה להניח עוד נסדר הזוגות הטבעיים על משך סדר הטבע בטור נכחיי לטור הראשון כמו ב' ד' ו' ח' י' י"ב י"ד ויהיו מדרגותיו כמספר המדרגות אשר סדרת אותם בטור סדר המספרים הטבעיים עוד תקיש הראשון ממדרגות הזוג הטבעי בראשון ממדרגות המספר הטבעי והשני בשני והשלישי בשלישי וכן במה שאחר זה שאנו נמצאם יחד ביחס הכפל השני כמו ד' אצל ב' וו' אצל ג' וח' אצל ד' וכן כלם אמנם הכפל השלישי הוא שיהיה בגדול משני המספרים המונחים שלשה דמיוני המספר הקטן אם כן הוא מבואר לך איך יתילד הכפל השלישי וזה כשתסדר המספרים כטבעיים על משך סדר הטבע בטור כמו א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' עוד נתחיל ונעבור שני מדרגות ונקח השלישית ונשימה ראש מדרגות טור אחד עוד נעבור גם כן שתי מדרגות אחר אותה המדרגה תקח המדרגה השלישית ונשימה ראש מדרגות השנית מהטור האחר עוד כן נדלג שתי מדרגות אחר כל מדרגה שנקח ונחשק בשלישית ממנה ונסדרם במדרגות אשר כטור האחד ואחר נקיש בין המדרגות מהטור המוצא ובין המדרגה הראשונה מטור המספר הטבעיי עוד השנית בשנית והשלישית בשלישית הנה אנו נמצאם ביחס הכפל השלישי כמו ג' כמו ג' אצל א' ו' אצל ב' וט' אצל ג' וכן תמיד עד סוף שהנחת מן המספרי' הנה אם כן כבר התבאר שאמנם יתחדש יחס הכפל השלישיי מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספרים הטבעיים בשלשה והעמדת אלו ההגעות במדרגות טור אחד וכבר יתחייב לטור אשר בו מדרגות המספרים הגדולים מזה היחס ובכל יחס נגזר ההכפלה ממספר נפרד אל מספר שיהיה נפרד ואחר כן זוג עוד נפרד כפי מה שתראה אותך הבחינה וכבר יתחייב גם כן בזה היחס לבד שיהיה בין כל נפרד ונפרד שני אמצעיים מן הנפרד הטבעי כבר עברו כמו ה' וז' אשר כבר בין שני גדולים מאותו מין ישנם שני מספרים מאותו מין עברו מהנפרד הטבעי בין ג' וט' וכן יחוייב גם כן שיהיה בין הזוג שני שאינם נכללים ביחס – בין 6 ל-12 הגדולים חסרים 8 ו-10 אמצעיים כבר עברו מהזוג השביעי והזוג כמו ח' וי' אשר כבר עברו בין ו' וי"ב כמו י"ד וי"ו בין י"ב וי"ח אמנם הכפל הרביעיי אמנם יתחדש מהכאת כל מדרגה ממדרגות המספר הטבעי בד' עוד יוקיש מה שיצא מן ההכאה אל אותה המדרגה וכן החמשיי ומה שאחריו ממה שתרצה ממיני הכפלים אלא שכאשר היה הכפל נקרא למספר הזוג היו כל מדרגותיו זוגות כמו הכפל הרבעיי אשר תחלת מדרגותיו ארבעה עוד ח' י"ב י"ו ואם היה הכפל נקרא למספר נפרד היו מדרגותיו אחת זוג ואחרת נפרד כמו הכפל החמשיי אשר תחלת מדרגותיו ה' עוד י' עוד ט"ו עוד כ' וראוי שיקרא זה המין מן הגדול בעל הכפלים ומהקטן תחת בעל הכפלים
Superparticular Ratio	הדבור ביחס השני הפשוט והוא יחס המוסיף חלק
	ואחר שכבר הבאנו הדבור על יחס הכפלים אחר שהוא יותר פשוט ויותר קודם בטבע כמו שבארנו נאמ' על אשר ימשך לו המשכות טבעי והוא המוסיף חלק וזה שאנו כאשר הקשנו בין תחלת המספרים אשר הוא ב' ובין המספר אשר ימשך לו והוא ג' היה ג' אצל ב' כמהו וכמו חציו הנה יתחדש המוסיף חלק מההקשה בין תחלת המספרים ואשר ימשך לו והתבאר שהחלק הראשון בטבע הוא המוסיף חצי עוד המוסיף שליש בבקשת המספר השלישי אשר הוא ד' אל המספר השני אשר הוא ד' אל המספר השני אשר הוא ג' כי ד' כמו ג' וכמו שלישיתו עוד המוסיף רביע עוד המוסיף חומש בהקשת כל מספר אל אשר לפניו מהמספרים הטבעיים הנה אם כן יחוייב שנזכיר המוסיף חלק חצי ונאמ' שזה היחס יתילד בשנסדר הזוג הטבעי אשר התחלתו ב' והוא הטור אשר נעשה בכפל השניי בטור ימשך קצתו לקצת עוד נסדר המספרים אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיי' כל א' בג' והוא אשר נראה בכפל השלישיי בטור ימשכו קצתם לקצת עוד יוקש בין כל מדרגה מזה הטור ובין דומה לה מהטור האחר במספר המדרגות כי יראו המדרגות יחס המוסיף חלק החציי כמו שתראה בזאת הצורה / ו ח י יב יד יו יח כ כב כד כו כח ל לב ט יב טו יח כא כד כז ל לג לו לט מב מה מח ואמנם המוסיף שליש הוא אמנם יתחדש בסדור זה הטור אשר מהכאת מדרגות המספרים הטבעיים בג' נכחיי לסדר הטור אשר יתחדש מהכאת המספרים הטבעיים בד' והוא הטור אשר חודש בכפל הרבעיי וכמו כן המוסיף רביע כי אחד מטוריו טור הכפל הרבעיי והאחר טור החמשיי וכמו כן כל מה שתרצה מהמוסיף חלק הוא כמו זה המשל אשר תארתי לך וכבר יתכן שיקרא המוקש בזה המין אם הגדול המוסיף חלק ואם הקטן תחת המוסיף חלק וכמו כן יקרא המוקש הקטן מכל מין כאשר הוא תחת מה שלמעלה ממנו מההצטרפות הגדול הנקרא בשם מיוחד וכבר רשמתי מה שזכרתי לך מהכפלים והמוסיף חלק ומה שיאות לומ' ב[] בזאת הצורה וזה שאנו נתחיל א ב ג ד ה ו ז ח ט י המספרים הטבעיים ונסדר בטור ב ד ו ח י יב יד יו יח כ הכפל השני הראשון הלוקח ג ו ט יב טו יח כא כד כז ל הכפל השלישי ברחב המספרים ד ח יב יו כ כד כח לד לו מ הכפל הרביעיי על סדר הטבע ה י טו כ כה ל לה מ מה נ הכפל החמישיי מא' עד עשרה ו יב יח כד ל לו מב מח נד ע הכפל השישיי ובטור השני ז יד [כא] כח לה מב מט נו סג [ה] הכפל השביעיי הכפל השני ח יו כד לב מ מח נו סד עב פ הכפל השמיניי נלוה לטור הראשון ט יח כו לו מה נד סג עב פא צ הכפל התשיעיי י כ ל מ נ ס ע פ צ ק הכפל העשיריי ובטור השלישי הכפל השלישי ובטור הרביעי הכפל הרביעי וכן עשרה טורים ויהיה הכפל העשריי סופם וגלוי בזאת הצורה ששני הטורים אשר יפגשו על מרובע א' ויתרחבו עד א'ק' שטח ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ד' ויתרחבו עד שטח א"ק ושני הטורים אשר יפגשו על מרובע ט' ויתרחבו עד שטח א' ק' יחסם א' ר"ל ששעור כל מדרגה מאשר לפניה מאחד מכל שני טורים מהם יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על הקוטר ר"ל קוטר הצורה הגדולה כשעור המדרגה אשר היא דומה לה מהטור האחר מאשר היא גם כן לפניה אלא ששני הטורים הראשונים תוסיף כל מדרגה מהם על אשר ילוה לה מכל אחד משני הטורים אחד ושני הטורים השניים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה לה שנים שנים ושני הטורים השלישיים תוסיף כל אחת ממדרגותיהם על אשר תלוה שלשה שלשה והרביעיים ארבעה ארבעה ויחסי המדרגות מאלו הטורים יחס כל מדרגה אל אשר לפניה אל היחס שתרצה אחד אחר שיהיו דומים משל זה שיחס מ"ב מהטור השביעי הלוקח ברחב אל ל"ו אשר לפניה מזה הטור כיחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך ברחב אל ו' אשר לפניו ועוד יחס ז' מהטור הראשון הלוקח באורך אל ו' אשר לפניו מאותו בזה הטור כיחס מ"ב מהטור הז' הלוקח באורך אל ל"ו אשר לפניו מאותו הטור לפי שהטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך ברחב הולך באורך והטור אשר יצא מו' מהטור הראשון ההולך באורך הולך ברחב יפגשו על מרובע ל"ו והיה ל"ו לכל אחת משתי המדרגות אשר בכל אחת מהן מ"ב משני הטורים המתחלפים מדרגה ראשונה לפי ששני הטורים יתחתכו על מרובע ל"ו וכן כל שני טורים מתחלפים באורך וברחב יפגשו על מרובע מן המרובעים אשר על קוטר המרובע הגדול הנה ממרובע אשר יפגשו עליו משותף להם הנה אם כן כבר התבאר איך יתילד בעל הכפלים למה שיוקש אליו לפי שהטור השני מטורי אי זה משני צדי האורך והרחב שתרצה אל הטור הראשון מאותו הצד כפל שניי והשלישי אליו שלשיי והרביעי אליו רבעיי וכן תמיד כפי סדר ועל הטבע וזה הוא המאמ' על הכפלים בזאת הצורה אמנם המוסיף חלק הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב וכבר יצאו משני מרובעי כ' כ' ויפגשו על מרובע ד' כל מדרגה אל אשר ילוה לה תמצא זה ביחס המוסיף חלק החציי וכן יחס שאר מדרגות אלו הטורים הארבעה אל התחלותיהם ר"ל אל שני בתי ב' וג' משני הטורי' הלוקחים באורך ואל שני בתי ב' וג' משני הטורים הלוקחים ברחב ואמנם יחס המוסיף חלק השלישי הנה שני הטורים שלוקח אחד מהם באורך והאחר ברחב וכבר יצאו משני מרובעי מ' מ' ויפגשו על מרובע י"ו כאשר יוחסו מדרגותיהם אל מדרגות שני הטורים הלוקחים באורך והרחב היוצאים משני מרובעי ל' ל' ויפגשו על מרובע ט' כל מדרגה אשר לפניה מהטור האחר תמצא זה ביחס המוסיף חלק השלישי בכמו אותו הביאור אשר זכרנו כמוסיף חלק החציי וכן המוסיף חלק הרביעי וכן המוסיף חלק החמשיי ומה שאחר זה ממיני המוסיף חלק תמצאהו בזאת המלאכה נמשך בגזרת שמו ממשך המספרים הטבעיים המתילדים מהוספת האחדים הנה אם כן כבר התבאר לחוש מהיותר קודם באלו היחסים בטבע לא ברצון והנחה בעל הכפלים למה שיוחס אליו ושהקודם יותר בזה השניי עוד השלישי וכן תמיד כפי הגזר המספרים כמו שהם בסדר הטבע ושאשר ימשך לבעל הכפלים הוא המוסיף חלק ושתחלת זה הוא החציי עוד השלישי ועוד הרביעי עוד כן תמיד כפי הגזרה מהמספרים כמו שהם בסדר הטבע ממה שישיג סדר זאת הצורה שמדרגות המספרים אשר על קוטר הוצא מא' אל ק' הכתוב אדום נגדו כל אחת נגזרת ר"ל שיש לו שורש וידובר בו כשיכפל בעצמו ר"ל בשעור אחדיו היה שוה לכלם כמו א' ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ק"ד פ"א ק' כי כל אחד מאלו מספר נגזר בפעל מלבד האחד שהוא נגזר בכח וגדרו אחד לפי שהוא אחד בעצמו וגדר ד' ב' וגדר ט' ג' ואם לקחת גדרי אלו המדרגות ותסדרם בטור תמצאם כסדר מדרגותיהם על סדר משך המספרים הטבעיים כמו א"ב ג"ד ה"ו עד תכלית מה שהנחת מן המספרים הנגדרים באלכסון המרובע אמר אבו יוסף מצאנו אל המספרים הנגדרים אמנם יתחדשו ויצמחו מתוספת הנפרדים הטבעיים על משך סדרם אשר התחלתם מהאחד אשר הוא נפרד בכח על קצתם על קצת ג' כאשר נוסף על האחד יתקבץ מספר נגדר והוא ד' וגדרו ב' וכאשר נוסף על ד' הנפרד אשר ימשך לג' והוא ה' יתקבץ מספר נגדר והוא ט' וגדרו ג' וכאשר נוסף הנפרד אשר ימשך לה' והוא ז' על ט' יתקבץ ח' מספר נגדר והוא י"ו ושרשו ד' וכן תמיד הנה אם כן כבר התבאר שכאשר נוספו הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם האחד אשר הוא נפרד בכח קצתם על קצת על משך סדרם יתילדו המספרים הנגדרים הטבעיים על משך סדרם והיו שרשיהם לקוחים מהם על משך סדרם על סדר מספר הטבעי ואמנם שני הטורים אשר ימשכו וילוו לקוטר הנה מדרגותיהם זולתיות האורך ר"ל ששני המספרים אשר התקבצה מהכאת אחד מהם באחר יוסיף אחד מהם על האחר באחד ^ שקבר קברו מגדר המדרגה אשר היה להם גדר מספרי ידובר ברישומו בו והמספרים הזולתיים כמו ו' כי הוא מהכאת ב' בג' וכמו י"ב שהוא מהכאת ג' בד' עוד כן נמצאם תמיד בשני הטורים אשר משני צדי הקוטר כלם וממה שישיג זאת הצורה ששני הטורים היוצאים ממרובע א' באורך והרחב יתוספו מדרגותיהם אחד אחד עד שיגיע כל אחד מהם אל העשרה אשר הם סוף כל המדרגות בם וששני הטורים היוצאים משני מרובעי י"י ויפגשו על מרובע ק' יתוספו מדרגותיהם י' י' ואם קובץ מה שבזויות זאת הצורה הארבעה תמצא כלל זה המספר נגדר וממה שישיג זאת הצורה שכלל מדרגות כל מרובע יהיה קטרו נבדל מקוטר הצורה הוא נגדר אמר אבו יוסף וממה שישיג הקוטר האחד ? אשר תכליותיו עשרה עשרה ומספר מדרגותיו זוג שיש לו שני אמצעיים והם ל' ל' והמדרגות אשר בין אחד משני התכליות עד אחד משני האמצעיים ביחס קצתם אל קצת והגעות מספריהם כיחס מה שבין התכלית האחר והאמצעי האחד אמר הפילוסוף מניח הספר כבר נמצא המקויים בזאת המדה הצורה כאשר ידוקדק הענין ^ בה כי בה דברים מהתועלות והזכיות יותר העיון מאשר תארנו אלא שאנו לא נחקרם בזה המבוא לפי שאין כונתנו בו לחקרם וראוי שנעתק אל המאמר על מה שהוא חזק ההאותות למה שהחלונו לדבר בו מזכר היחסים החמש ונאמ' עתה שהמוסיף חלקים למה שהוקש אליו יותר ראשון להקדים המאמר עליו לפי שהוא יותר פשוט משני היחסים הנשארים וזה שבעל הכפלים המוסיף חלק הוא מורכב משני יחסים ובעל הכפלים המוסיף חלקים מורכב גם כן משני יחסים ועוד שאנו כאשר חברנו ראש הנפרדים אשר הוא ג' אל הנפרד השני אשר הוא ה' יתחדש המוסיף שני חלקים והוא תחלת מיני המוסיף חלקים ולזה יחוייב שנשים המאמר על זה היחס נמשך למה שאמרנו משני היחסים הראשונים הפשוטים ואמנם בהצטרף על סדר הטבע הנה הכפל המוסיף חלק יראה קודם מהמוסיף חלקים וזה כשנקיש תחלת שני מספרים ממדרגות המספרים יתחדש בהקשתם יחס שלישי והוא כמו צרוף ה' אל ב' כי ה' כמו כפל ב' וכמו חציו וחציו חלק ממנו וה' וב' ראשוני שני מספרים ממדרגות המספרים הטבעיים יתחדש בהצטרף אחד מהם אל האחר יחס שלישי אבל הוא מבואר נגלה שיחס המוסיף חלקים יותר פשוט מיחס הכפל המוסיף חלק והפשוט יותר קודם מהמורכב קדימה טבעית הנה אם כן יחוייב שנקדים המאמר על המוסיף חלקים אל מה שיוקש אליו ונקדים ממיניו המוסיף שני חלקים אחר שהוא ראש מיניו
Superpartient Ratio	הדבור ביחס השלישי והוא היחס המוסיף חלקים
	בפחות שלא יהיה היחס מהמוסיף שני חלקים ולזה אמנם יתילד זה חלקים בפחות היחס מסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם השלשה בטור לפי שהמספר אשר קודם השלשה אין לו שני חלקים יהיו פחות ממנו אחר שחלקיו שוים לו / אמר ויסודר תחת מדרגות הטור הנזכר מדרגות הנפרדים הטבעיים אשר הראשון מהם ימשך לג' והוא ה' עוד נקיש בין כל מדרגה ואשר למעלה ממנו ויראו לנו כל מיני המוסיף חלקים נמשכים כפי משפט המשכם בטבע / ואמנם כאשר תרצה שתראה איך צמיחת כל מין ממיני זה היחס הנה עתה תעמיד שני המספרים הראשונים הפועלים למין ההוא במדרגה אחת ותניח הקטן למעלה מהגודל עוד תכה כל אחד מהם בב' ותעמיד שני המספרים המגיעים אחר ההכאה במדרגה תמשך לשני המספרים הראשונים כל אחת מהן תמשך לדומה לה הגדול ימשך לגדול והקטן ימשך לקטן עוד תשוב אל שני המספרים הראשונים ותכה אותה גם כן בג' ותעמידם במדרגה שלישית על הצד אשר העמדת בו שני המספרים במדרגה השנית וכן גם כן תכה שני המספרים הראשונים בד' ותעמידם כפי הגדר הנזכר במדרגה הנגזרת השם מהמספר אשר הכית שני המספרים הראשונים בו וכן תעשה תמיד כאשר תרצה להצמיח מין ממיני המוסיף חלקי / ואמנם איך תניח המספרים הראשונים הפועלים למיני המוסיף חלקים על סדר אותם המינים הטבעיים עד שלא יפול מהם מין בפנוי מה שיונח מהמספרים הנה הוא כמו שנזכר בפתיחת זה הפרק וכמו שכבר המשלנו תחת זה המספרים הראשונים הפועלים למיני יחס המוסיף חלקים וזאת הצורה וע"כ דברי מחבר הספר / ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד ט יו יז יח יט ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז אמנם איך יוצאו שאר המינים הדומים באי זה מין שנרצה מאלו המינים הראשונים כמו הדומה דרך משל במוסיף שני שלישים תחת המוסיף שני חלקים שני חומשים ושני שביעים ושאר מה שיפל תחת המוסיף שני חלקים או במתדמים לנפלם תחת המו[ס]י[פ]ים שלשה חלקים או בלתי שני אלו מאי זה ממיני המוסיף חלקים הנה הדרך הגלוי אל מציאות זה הוא בסדור המספרים הטבעיים בטור יהיה ראש מדרגותיו המספר אשר הוא מספר החלקים הנוספים במין המכוון להוצאת הדומים לו ותנשא המדרגה הראשונה על השנית ויונח מה שיתקבץ תחת השנית עוד נניח המדרגה הראשונה גם כן עם השלישית תחת השלישית וכן תונח הראשונה עם הרביעית תחת הרביעית ונעשה זה תמיד עד תכלית המונח מן המספרים הטבעיים עוד תקיש בין כל מדרגה ממנה והדומה לה וכבר הנחתי לזה משל מהמוסיף ארבעה כדי שיבחנהו החושב ויתישר בו בזולתו ודע שמהמוסיף חלקים מה שיכנס במין אחד מהמוסיף חלקים כמו ו' וי' כי הם בהצטרף המוסיף הארבעה שתויות והם גם כן בהצטרף המוסיף שני שלישים וממנו גם כן מה שיכנס בזולת סוגו ר"ל במוסיף חלק כמו ח' וי"ב שהם בהצטרף המוסיף הארבעה שמיניות והם גם כן בצרוף המוסיף חלק ר"ל חצי ואם תרצה במין מה להכיר הצרופים הגמורים אשר לא יכנסו בזולת מינם לא יספיק בזה מה שטרח בו אלכנדי מהניח מלאכה מיוחדת לכל מין לפי שהוא השתדל במה שלא נוכל עד תכליתו אבל המלאכה הכוללת לכל מה שהובא מזה היא שנדלג ממדרגות המספרים הטבעיים כל מדרגה שיהיה מספרה משותף למנין החלקים הנוספים ור"ל בהשתתפות שיהיה אחד משני המספרים חלק לאחר ולא יהיה זה אלא אם להם חלק משותף בלתי האחד ימנם יחד וזה כבר עבר ביאורו בזכירת המספר הזוג וזכירת המספר הנפרד המורכב ומכאן תבוקש התחבולה בהכרת המדרגות אשר נצטרך הנה לדלגם והיה כמו שאמרנו המדרגות אשר אם שיהיה מנין החלקים המוסיפים מכל אחד ממספריהם ולמנין החלקים חלק משותף להם בלתי האחד ימנה אותם יחד כי צירופי אלו ואם לא יכנסו בבלתי סוגם ר"ל במוסיף חלק הנה יכנסו במין בלתי מינם מהמוסיף חלקים הנה כאשר תדלג אלו המדרגות המשותפות למנין החלקים הנה כבר השארת המדרגות אשר לא יכנסו צרופיהם בבלתי מינם והם הגמורים ממדרגות המוסיף חלקים וכבר תארנו משל זה שאמרנו בזאת הצורה עם רושם השותפים הנזכרים בה שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח ט י א יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל לא לב
Multiple Superparticular Ratio	הדבור ביחס הרביעי והוא יחס הכפל המוסיף חלק
	אמר מניח הספר אמנם המינים הפשוטים ממיני הכמה המצטרף הנה הם מיני שלשת היחסים אשר קדם המאמר עליהם כי הם כהתחלות וכפנות לשני המינים הראשונים ר"ל מין הכפל המוסיף חלק מן הכפלים המוסיף חלקים אחר ששני אלו המינים כבר יתילדו מהמינים הראשונים ויותכו אליהם ולפשוט גם כן צד אחר ייוחד בו מין הכפל ומין המוסיף חלק בלתי מין המוסיף חלקים והוא בשיאמ' שהוא יתדמה הראשון ממנו לשני ויאמ' לו פשוט לפי שעניינו אמנם הוא של שני המספרים המצטרפים בכל אחד מאותם שני המינים התדמות בעצמם אם התדמות שני המספרים במין הכפל באשר הגדול מחובר מהקטן ואם התדמות שני המספרים במין המוסיף חלק כאשר הם יחד מחו מחוברים מפנה אחת והוא המותר אשר ביניהם ולזה הקישו הראשונים הדברים הטבעיי החבור בשני אלו המינים לבד ולא יקישו אותם במין השלישי אשר יאמ' לו שהוא פשוט גם כן ר"ל במין המוסיף חלקים ואמנם שני המינים המורכבים הנה אחד מהם מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלק ואמנם האחר מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלקים ולפי שהחלק קודם בטבע על החלקים היה הכפל המוסיף חלק קודם על הכפל המוסיף חלקים ולזה יחוייב להקדים המאמר על הכפל המוסיף חלק ונאמ' שזה היחס יראה משני מספרים אחד מהם יותר לאחד מדמיון אחד או דמיונים הרבה וכמו חלק ממנו כמו החמשה כאשר יוקשו אל שנים כי החמשה שני דמיוני שנים וכמו חציים וכבר יקח זה המין הדמוי משני המינים אשר הוא מורכב מהם אמנם מה שיקח מיחס הכפל הנה ברבות כפלו והחלק אחד בלתי מומר כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישיי המוסיף חצי והכפל הרביעיי המוסיף חצי וכן תמיד ברבות הכפלים והחלק אחד [ו]לא יומר ואמנם מה שנקחהו מדמיון המוסיף חלק יומרו חלקיו ולא יתרבו כפליו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השניי המוסיף שליש והכפל השניי המוסיף רביע והכפל השניי המוסיף חומש עוד כן יומרו ח חלקיו ולא יתרבו כפליו וכבר יתחדש לו והתרכבו מהם קבוץ שני סגולותיו כאשר יתרבו כפליו ויומרו חלקיו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישי המוסיף שליש והכפל הרביעיי המוסיף רביע וכן תמיד יתרבו כפליו ויומרו חלקיו ואמנם יתחדש המין האחד לדמוי מהמוסיף חלק לבד באשר תסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם ב' בטור ונקיש כל מדרגה עוד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ה' בטור ונקיש כל מדרגה אל הדומה לה כמו שתראה בזה הדמיון בזאת הצורה צורת הדמיון שנזכרנו ב ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז ה ז ט יא יג טו יו יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה ותמצא המין האחר לדמוי מהכפל לבד כשתסדר טור באורך יהיה ראשיתו שני המספרים הפועלים ביחס הכפל המוסיף חלק והם ב' ותחתיו ה' עוד תסדר תחת הה' מה שימשך לו ממדרגות הנפרד הטבעי ימשכו קצתם לקצת יורדים ותשים אלו המדרגות יתחילו בטורים לוקחים ברחב יתוספו מדרגות כל טור מהם כמנין המדרגה הראשונה ממנו עוד תקיש כל אחת ממדרגות זה המרובע באשר נכח לו והוא מקבילו מהטור הראשון שאתה תמצא בזה כבר העמדת בו יחס הכפל מבלתי שיצמח החלק וזה כמו שתראה בכאן ויתחדש זה המין ב ד ו ח י יב יד יו יח כ האחד ליחס משני ה י טו כ כה ל לה מ מה נ פנותיו אשר הוא ז יד כא כח לה מב מט נו סג ע מורכב מהם ט יח כז לו מה נד סג עב פא צ והוא אשר יתרבו יא כב לג מד נה סו עז פח צט קי כפליו ויומרו חלקיו יג כו לט נב סה עח צא קד קיז קכט באשר תסדר טו ל מה ס עה צ קה קכ קלה קנ הנפרדים הטבעיים יז לד נא סח פה קב קיט קלו קנג קע יט לח נז עו צה קיד קלג קנב קעא קצ כא מב סג פד קה קכו קמז קסח קפט רי אשר התחלתם מה' בטור הנרשם באודם ולא נרצה להקיש בו אבל לשומו רושם לקחת דמיון ממנו וזה שאנו נסדר טור אחד יהיה ראש מדרגותיו גם כן ה' והמדרגה השנית כמו אשר לפניה ר"ל כמו ה' מוסף עליו מה שלמעלה ממנו ר"ל מהטור הראשון האדום אשר לפניה והמדרגה השלישית כמו אשר לפניה ר"ל כמו י' מוסף עליו מה שהוא למעלה ממנו ר"ל המדרגה השנית מהטור האדום וכן תעשה עד שיכלה אל סוף מה שהנחת מהמספרים בטור ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה נז נט י יז כו לה נ סה פב קא קכב קיא קע קצה רכו רנז רצ שכה שסו ת תמז תפד תקכט תקטו תרכה תרפו תשט תשפו תתמו תתק ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל האדום וכאשר הולדנו זה הטור השני כן סדרנו נכחו טור המספרים הטבעיים והתחלתו מב' עוד נקיש בין מדרגותיו ובין מדרגות הטור אשר הולדנו ונעזוב הטור האדום ויראה בהקשתם איך יתילד המין הלוקח הדמוי משני פאותיו וזה המין השלישי ממיני הכפל המוסיף חלק ותבחנהו בצורה שעשינו והתישר בו

@@ Line 182: / Line 182: @@
 |
 |style="text-align:right;"|בפחות שלא יהיה היחס מהמוסיף שני חלקים ולזה אמנם יתילד זה חלקים בפחות היחס מסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם השלשה בטור לפי שהמספר אשר קודם השלשה אין לו שני חלקים יהיו פחות ממנו אחר שחלקיו שוים לו / אמר ויסודר תחת מדרגות הטור הנזכר מדרגות הנפרדים הטבעיים אשר הראשון מהם ימשך לג' והוא ה' עוד נקיש בין כל מדרגה ואשר למעלה ממנו ויראו לנו כל מיני המוסיף חלקים נמשכים כפי משפט המשכם בטבע / ואמנם כאשר תרצה שתראה איך צמיחת כל מין ממיני זה היחס הנה עתה תעמיד שני המספרים הראשונים הפועלים למין ההוא במדרגה אחת ותניח הקטן למעלה מהגודל עוד תכה כל אחד מהם בב' ותעמיד שני המספרים המגיעים אחר ההכאה במדרגה תמשך לשני המספרים הראשונים כל אחת מהן תמשך לדומה לה הגדול ימשך לגדול והקטן ימשך לקטן עוד תשוב אל שני המספרים הראשונים ותכה אותה גם כן בג' ותעמידם במדרגה שלישית על הצד אשר העמדת בו שני המספרים במדרגה השנית וכן גם כן תכה שני המספרים הראשונים בד' ותעמידם כפי הגדר הנזכר במדרגה הנגזרת השם מהמספר אשר הכית שני המספרים הראשונים בו וכן תעשה תמיד כאשר תרצה להצמיח מין ממיני המוסיף חלקי / ואמנם איך תניח המספרים הראשונים הפועלים למיני המוסיף חלקים על סדר אותם המינים הטבעיים עד שלא יפול מהם מין בפנוי מה שיונח מהמספרים הנה הוא כמו שנזכר בפתיחת זה הפרק וכמו שכבר המשלנו תחת זה המספרים הראשונים הפועלים למיני יחס המוסיף חלקים וזאת הצורה וע"כ דברי מחבר הספר / ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד ט יו יז יח יט ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז אמנם איך יוצאו שאר המינים הדומים באי זה מין שנרצה מאלו המינים הראשונים כמו הדומה דרך משל במוסיף שני שלישים תחת המוסיף שני חלקים שני חומשים ושני שביעים ושאר מה שיפל תחת המוסיף שני חלקים או במתדמים לנפלם תחת המו[ס]י[פ]ים שלשה חלקים או בלתי שני אלו מאי זה ממיני המוסיף חלקים הנה הדרך הגלוי אל מציאות זה הוא בסדור המספרים הטבעיים בטור יהיה ראש מדרגותיו המספר אשר הוא מספר החלקים הנוספים במין המכוון להוצאת הדומים לו ותנשא המדרגה הראשונה על השנית ויונח מה שיתקבץ תחת השנית עוד נניח המדרגה הראשונה גם כן עם השלישית תחת השלישית וכן תונח הראשונה עם הרביעית תחת הרביעית ונעשה זה תמיד עד תכלית המונח מן המספרים הטבעיים עוד תקיש בין כל מדרגה ממנה והדומה לה וכבר הנחתי לזה משל מהמוסיף ארבעה כדי שיבחנהו החושב ויתישר בו בזולתו ודע שמהמוסיף חלקים מה שיכנס במין אחד מהמוסיף חלקים כמו ו' וי' כי הם בהצטרף המוסיף הארבעה שתויות והם גם כן בהצטרף המוסיף שני שלישים וממנו גם כן מה שיכנס בזולת סוגו ר"ל במוסיף חלק כמו ח' וי"ב שהם בהצטרף המוסיף הארבעה שמיניות והם גם כן בצרוף המוסיף חלק ר"ל חצי ואם תרצה במין מה להכיר הצרופים הגמורים אשר לא יכנסו בזולת מינם לא יספיק בזה מה שטרח בו אלכנדי מהניח מלאכה מיוחדת לכל מין לפי שהוא השתדל במה שלא נוכל עד תכליתו אבל המלאכה הכוללת לכל מה שהובא מזה היא שנדלג ממדרגות המספרים הטבעיים כל מדרגה שיהיה מספרה משותף למנין החלקים הנוספים ור"ל בהשתתפות שיהיה אחד משני המספרים חלק לאחר ולא יהיה זה אלא אם להם חלק משותף בלתי האחד ימנם יחד וזה כבר עבר ביאורו בזכירת המספר הזוג וזכירת המספר הנפרד המורכב ומכאן תבוקש התחבולה בהכרת המדרגות אשר נצטרך הנה לדלגם והיה כמו שאמרנו המדרגות אשר אם שיהיה מנין החלקים המוסיפים מכל אחד ממספריהם ולמנין החלקים חלק משותף להם בלתי האחד ימנה אותם יחד כי צירופי אלו ואם לא יכנסו בבלתי סוגם ר"ל במוסיף חלק הנה יכנסו במין בלתי מינם מהמוסיף חלקים הנה כאשר תדלג אלו המדרגות המשותפות למנין החלקים הנה כבר השארת המדרגות אשר לא יכנסו צרופיהם בבלתי מינם והם הגמורים ממדרגות המוסיף חלקים וכבר תארנו משל זה שאמרנו בזאת הצורה עם רושם השותפים הנזכרים בה שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף שתוף ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח ט י א יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל לא לב
+|-
+|
+===== Multiple Superparticular Ratio =====
+!style="text-align:right;"|הדבור ביחס הרביעי והוא יחס הכפל המוסיף חלק
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|אמר מניח הספר אמנם המינים הפשוטים ממיני הכמה המצטרף הנה הם מיני שלשת היחסים אשר קדם המאמר עליהם כי הם כהתחלות וכפנות לשני המינים הראשונים ר"ל מין הכפל המוסיף חלק מן הכפלים המוסיף חלקים אחר ששני אלו המינים כבר יתילדו מהמינים הראשונים ויותכו אליהם ולפשוט גם כן צד אחר ייוחד בו מין הכפל ומין המוסיף חלק בלתי מין המוסיף חלקים והוא בשיאמ' שהוא יתדמה הראשון ממנו לשני ויאמ' לו פשוט לפי שעניינו אמנם הוא של שני המספרים המצטרפים בכל אחד מאותם שני המינים התדמות בעצמם אם התדמות שני המספרים במין הכפל באשר הגדול מחובר מהקטן ואם התדמות שני המספרים במין המוסיף חלק כאשר הם יחד מחו מחוברים מפנה אחת והוא המותר אשר ביניהם ולזה הקישו הראשונים הדברים הטבעיי החבור בשני אלו המינים לבד ולא יקישו אותם במין השלישי אשר יאמ' לו שהוא פשוט גם כן ר"ל במין המוסיף חלקים ואמנם שני המינים המורכבים הנה אחד מהם מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלק ואמנם האחר מורכב מבעל הכפלים ומהמוסיף חלקים ולפי שהחלק קודם בטבע על החלקים היה הכפל המוסיף חלק קודם על הכפל המוסיף חלקים ולזה יחוייב להקדים המאמר על הכפל המוסיף חלק ונאמ' שזה היחס יראה משני מספרים אחד מהם יותר לאחד מדמיון אחד או דמיונים הרבה וכמו חלק ממנו כמו החמשה כאשר יוקשו אל שנים כי החמשה שני דמיוני שנים וכמו חציים וכבר יקח זה המין הדמוי משני המינים אשר הוא מורכב מהם אמנם מה שיקח מיחס הכפל הנה ברבות כפלו והחלק אחד בלתי מומר כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישיי המוסיף חצי והכפל הרביעיי המוסיף חצי וכן תמיד ברבות הכפלים והחלק אחד [ו]לא יומר ואמנם מה שנקחהו מדמיון המוסיף חלק יומרו חלקיו ולא יתרבו כפליו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השניי המוסיף שליש והכפל השניי המוסיף רביע והכפל השניי המוסיף חומש עוד כן יומרו ח חלקיו ולא יתרבו כפליו וכבר יתחדש לו והתרכבו מהם קבוץ שני סגולותיו כאשר יתרבו כפליו ויומרו חלקיו כמו הכפל השניי המוסיף חצי והכפל השלישי המוסיף שליש והכפל הרביעיי המוסיף רביע וכן תמיד יתרבו כפליו ויומרו חלקיו ואמנם יתחדש המין האחד לדמוי מהמוסיף חלק לבד באשר תסדר המספרים הטבעיים אשר התחלתם ב' בטור ונקיש כל מדרגה עוד תסדר הנפרדים הטבעיים אשר התחלתם ה' בטור ונקיש כל מדרגה אל הדומה לה כמו שתראה בזה הדמיון בזאת הצורה צורת הדמיון שנזכרנו ב ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז ה ז ט יא יג טו יו יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה ותמצא המין האחר לדמוי מהכפל לבד כשתסדר טור באורך יהיה ראשיתו שני המספרים הפועלים ביחס הכפל המוסיף חלק והם ב' ותחתיו ה' עוד תסדר תחת הה' מה שימשך לו ממדרגות הנפרד הטבעי ימשכו קצתם לקצת יורדים ותשים אלו המדרגות יתחילו בטורים לוקחים ברחב יתוספו מדרגות כל טור מהם כמנין המדרגה הראשונה ממנו עוד תקיש כל אחת ממדרגות זה המרובע באשר נכח לו והוא מקבילו מהטור הראשון שאתה תמצא בזה כבר העמדת בו יחס הכפל מבלתי שיצמח החלק וזה כמו שתראה בכאן ויתחדש זה המין ב ד ו ח י יב יד יו יח כ האחד ליחס משני ה י טו כ כה ל לה מ מה נ פנותיו אשר הוא ז יד כא כח לה מב מט נו סג ע מורכב מהם ט יח כז לו מה נד סג עב פא צ והוא אשר יתרבו יא כב לג מד נה סו עז פח צט קי כפליו ויומרו חלקיו יג כו לט נב סה עח צא קד קיז קכט באשר תסדר טו ל מה ס עה צ קה קכ קלה קנ הנפרדים הטבעיים יז לד נא סח פה קב קיט קלו קנג קע יט לח נז עו צה קיד קלג קנב קעא קצ כא מב סג פד קה קכו קמז קסח קפט רי אשר התחלתם מה' בטור הנרשם באודם ולא נרצה להקיש בו אבל לשומו רושם לקחת דמיון ממנו וזה שאנו נסדר טור אחד יהיה ראש מדרגותיו גם כן ה' והמדרגה השנית כמו אשר לפניה ר"ל כמו ה' מוסף עליו מה שלמעלה ממנו ר"ל מהטור הראשון האדום אשר לפניה והמדרגה השלישית כמו אשר לפניה ר"ל כמו י' מוסף עליו מה שהוא למעלה ממנו ר"ל המדרגה השנית מהטור האדום וכן תעשה עד שיכלה אל סוף מה שהנחת מהמספרים בטור ה ז ט יא יג טו יז יט כא כג כה כז כט לא לג לה לז לט מא מג מה מז מט נא נג נה נז נט י יז כו לה נ סה פב קא קכב קיא קע קצה רכו רנז רצ שכה שסו ת תמז תפד תקכט תקטו תרכה תרפו תשט תשפו תתמו תתק ג ד ה ו ז ח ט י יא יב יג יד טו יו יז יח יט כ כא כב כג כד כה כו כז כח כט ל האדום וכאשר הולדנו זה הטור השני כן סדרנו נכחו טור המספרים הטבעיים והתחלתו מב' עוד נקיש בין מדרגותיו ובין מדרגות הטור אשר הולדנו ונעזוב הטור האדום ויראה בהקשתם איך יתילד המין הלוקח הדמוי משני פאותיו וזה המין השלישי ממיני הכפל המוסיף חלק ותבחנהו בצורה שעשינו והתישר בו
 |-
 |
 |}

Difference between revisions of "האריתמטיקה של ניקומכוס"

Revision as of 20:14, 22 August 2017

Contents

Book One

Prologue of the translator/commentator

Introduction

Arithmetic – Absolute Quantity

The Nature of Number

The Definition of Number and its Types

The Units

Even Number

Even-Times Even

Even-Times Odd

Even-Times-Even-Times Odd

Odd Number

Prime Incomposite Number

Composite Odd Number

Relatively Prime

Second Categorization of Even Numbers

Perfect Number

Relative Quantity

Simple Ratios

Multiple Ratio

Superparticular Ratio

Superpartient Ratio

Multiple Superparticular Ratio

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools