Difference between revisions of "המחומשים והמעושרים"

Revision as of 15:12, 27 December 2019

Contents 1 Introduction 2 Finding the side of a pentagon that is circumscribed by a circle 3 Finding the tithe of the circle when the fifth of the circle is known 4 Finding the side of a pentagon that circumscribes the circle 5 Finding the side of a decagon that circumscribes the circle 6 Finding the diameter of a circle that circumscribes a pentagon 7 Finding the diameter of an inscribed circle that is contained in a pentagon 8 Finding the diameter of a circle that is inscribed by a pentagon 9 Finding the diameter of a circle that is inscribed by a decagon 10 Finding the side of a pentadecagon that is circumscribed by a circle 11 Finding the height of an equilateral triangle 12 Finding the length of a rectangle that is encompassed by an equilateral triangle 13 Finding the side of a square that is contained in an equilateral triangle 14 Finding each side of a pentagon that is encompassed by a square 15 Finding each side of a regular pentagon whose area is fifty spans 16 Finding the side of a regular pentagon that contains a triangle, whose area is ten 17 Finding the line that cuts a fifth of the circle that circumscribes a decagon 18 Appendix: Bibliography Introduction
Abū Kāmil: after explaining what needs explanation of the restoration and reduction relating to numbers according to our predecessors, by knowledge and wisdom of them, in addition to what was written by those who are well versed in geometry, who know Euclid's Elements and other books.	אמר אבו כאמל אחר אשר ביארנו מה שצריך ביאור מן הנתלה במספרי' מהאסיפה וההשואה דילקובראמיינטו אידיל קונפרונטאמיינטו על הקודמים לנו וזה בידיעה ובחכמה בהם מוסף על מה שכתבו הבקיאים בגמטרייא שידעו ספר האוקלידס וספרים אחרים
Here, this book will further define and explain:	הנה נניח עוד ונבאר בספרנו זה
the measures of the sides of the regular pentagons and decagons, each of which circumscribed by a known circle or circumscribes a known circle.	שעור כל צלע מצלעות כל אחד מהמחומשים והמעושרים אשר צלעותיהם שוות וזויותיהם שוות אשר תקיף לכל אחד מהם עגולה ידועה או יקיף כל אחד מהם אל עגולה ידועה
	ושעור קוטר העגולה אשר תקיף אל המחומש ואל המעושר ידוע שוה הצלעות והזויות או שיקיפו כל אחד מהם אל עגולה ידועה
	ושעור הקו החותך חלק אחד מחמשה עשר חלקים ממקיף העגולה
	ושעור כל צלע מצלעות המחומש והמעושר שהם שוי הצלעות והזויות כאשר היו ידועי השעור
	ושעור צלעות המשולשים ידועי השעור כאשר היו במחומשים ובמעושרים שוי הצלעות והזויות
	ודברים אחרים בלעדי אלו נבאר בספרנו זה אשר הוציאו אותם הקודמים בטורח רב ויעידו על זה בעלי המספר והגימטרייא אשר בזמננו זה ואשר כתבו לנו דבריהם מן הקודמים בידיעת המספר והגימטריאה
	ויעזרנו השם היכול לחבר הראוי מזה ולישר מה שנניח על הכנתו וישתבח היוצר ויחונן

Finding the side of a pentagon that is circumscribed by a circle
	ואתחיל בהוצאת שעור חמשית קו העגולה אשר קטרה ידוע

defining: circle ABHG	וזה שנניח העגולה הידועה עגלת א"בה"ג
its diameter = CH = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	וקטרה הוא עשרה במספר והוא קו ח"ה
its cyclic regular pentagon = ABHG	ובתוכה מחומש שוה הצלעות והזויות תקיף בו העגולה והוא מחומש אבה"ג
When you wish to kmow the measure of each side of this pentagon	וכאשר תרצה לדעת שעור כל צלע מצלעות זה המחומש
line GLD cuts two fifth of the circle's circumferential line	נוציא קו גל"ד והוא קו חותך שני חומשי קו המקיף העגולה
HD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו ה"ד דבר
HL = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}x^2}}$	והוא ידוע שקו ה"ל עשירית האלגו
HD² = CH × HL	בעבור כי הכאת ה"ד בעצמו היא כמו הכאת ח"ה בה"ל
GL = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}}$	וקו ג"ל שרש האלגו פחות עשירית העשירית מאלגו אלגו
GL = LD	וקו ג"ל כמו קו ל"ד
GD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4x^2-\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}}$	ויהיה קו ג"ד שרש מארבעה אלגוש פחות שני חומשי עשירית מאלגו אלגו
(AB × GD) + AB² = GD²	והוא ידוע שא"ב בג"ד וא"ב בעצמו יהיו כמו הכאת ג"ד בעצמו
(AB × GD) + (AG × BD) = AD × BG	בעבור כי הכאת א"ב בג"ד וא"ג בב"ד יהיו כמו הכאת א"ד בב"ג
AG × BD = AB²	וא"ג בב"ד הוא כמו א"ב בעצמו
AD × BG = GD²	וא"ד בב"ג הוא כמו ג"ד בעצמו
GD² = $\scriptstyle{\color{blue}{4x^2-\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}$	וג"ד בעצמו הוא ארבעה אלגוש פחות שני חומשי עשירית מאלגו אלגו
AB × GD = GD² - AB² = = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[4x^2-\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4\right]-x^2=3x^2-\left(\frac{{\color{red}{2}}}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}$	ותגרע ממנו הכאת א"ב בעצמו והוא אלגו ישאר שלשה אלגוש פחות חמישית עשירית מאלגו אלגו ישוה להכאת א"ב בג"ד
GD = (AB × GD) ÷ AB = = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3x^2-\left(\frac{{\color{red}{2}}}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}{x}=3x-\left(\frac{{\color{red}{2}}}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^3}}$	ותחלק שלשה אלגוש פחות חמישית עשירית מאלגו אלגו על קו א"ב והוא דבר ויעלה קו ג"ד שלשה דברים פחות חמישית עשירית ממעוקב בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{9x^2+\frac{1}{625}x^6-\frac{6}{25}x^4=4x^2-\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}$	ויהיו תשעה אלגוש וחלק אחד מתרכ"ה חלקים ממעוקב מעוקב פחות ששה חלקים מכ"ה חלקים מאלגו אלגו ישוו ארבעה אלגוש פחות שני חומשי עשירית מאלגו אלגו
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}x^4=5x^2+\frac{1}{625}x^6}}$	ותנכח עמהם ויהיה חמישית האלגו אלגו ישוה חמשה אלגוש וחלק אחד מתרכ"ה חלקים ממעוקב מעוקב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}x^4=5x^2+\frac{1}{625}x^6\;\div x^2}}$	ותחלק כל הדברים שתחזיק על אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{625}x^4=\frac{1}{5}x^2}}$	ויעלה חמשה אדרהמי וחלק אחד מתרכ"ה מאלגו אלגו ישוה חמישית האלגו
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{5+\frac{1}{625}x^4=\frac{1}{5}x^2\;\times 625}}$	ותשלים האלגו שלך עד שיהיה אלגו אלגו והוא שתכהו בתרכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+3125=125x^2}}$	ויהיה אלגו אלגו ושלשת אלפים וקכ"ה אדראהמי ישוו קכ"ה אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x^2&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot125\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot125\right)^2-3125}\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{\left(62+\frac{1}{2}\right)^2-3125}\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{\left(3906+\frac{1}{4}\right)-3125}\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{781+\frac{1}{4}}\\\end{align}}}$	ותחצה האלגוש ויהיו ס"ב וחצי ותכה אותם בעצמם ויהיה שלשת אלפים ותתק"ו ורביע תגרע מהם ג' אלפים וקכ"ה וישאר תשפ"א ורביע ושרש נגרע מס"ב וחצי ושרש הנשאר הוא קו ה"ד שהוא אחד מהצלעות מהמחומש
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the tithe of the circle when the fifth of the circle is known
When we wish to know the measure of the line that cuts a tithe of a known circle, when the line that cuts a fifth of the circle is known:	וכאשר רצינו לדעת שעור הקו החותך עשירית עגולה ידועה וידענו הקו החותך חמישית העגולה

defining: the circle's circumferential line ABGDHC	נניח הקו המקיף בה אבגדה"ח
its diameter = AC = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ונניח קוטרה עשרה במספר והוא קו א"ח
fixing on the half of the circle five equal lines, each of which cuts a tithe of the circle, these lines are: AB, BG, GD, DH, HC	ונניח בחצייה חמשה קוים שוים וכל אחד מהם חותך עשירית העגולה והם קוי א"ב ב"ג ג"ד ד"ה ה"ח
It is known that line DC cuts a fifth of the circle.	והוא ידוע כי קו ד"ח הוא קו חותך לחמישית מזאת העגולה
DC² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{781+\frac{1}{4}}}}$	וכבר בארנו כי כשהוכה בעצמו הוא ששים ושנים וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע וקו א"ג בעצמו
(AG × DC) + (GD × AC) = AD × GC	והכאת א"ג בד"ח וג"ד בא"ח יהיו כמו א"ד בג"ח
AG = DC	וא"ג כמו ד"ח
DC² + (GD × AC) = GC²	והכאת ד"ח בעצמו וג"ד בא"ח יהיה הכאת ג"ח בעצמו
GD cuts a tithe of the circle.	וקו ג"ד הוא קו חותך עשירית זאת העגולה
defining: GD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניחהו דבר
GD × AC [= diameter] = $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot10=10x}}$	ותכה אותו בקו א"ח שהוא קוטר העגולה והוא עשרה ויהיה עשרה דברים
DC² = $\scriptstyle{\color{blue}{62+\frac{1}{2}-\sqrt{781+\frac{1}{4}}}}$	ותכה קו ד"ח בעצמו ויהיה ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע
	ויהיה קו ג"ח בס"ב וחצי ועשרה דברים פחות שרש מתשפ"א ורביע
	ותוסיף עליהם הכאת א"ג בעצמו והוא ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע ויהיה קכ"ה אדרהמיש ועשרה דברים פחות שרש משלשת אלפים ומאה דרהמיש
Reduction: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{3125}-25=10x}}$	ותנכח עמהם ויהיה אחרי הנכוחות שרש משלשת אלפים ומאה וקכ"ה אדרהמיש פחות כ"ה ישוה עשרה דברים
GD = the line that cuts a tithe of the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)}}$	והדבר ישוה שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי והוא קו ג"ד שהוא קו חותך עשירית העגולה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the side of a pentagon that circumscribes the circle
When you wish to know the measure of the line that cuts a fifth part of the regular pentagon that circumscribes the circle:	וכאשר תרצה לדעת שעור הקו החותך חמשי חלק אחד מהמחומש השוה הצלעות והזויות אשר יקיף אל עגולה ידועה

defining: the diameter of the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ונניח קוטר העגלה עשרה
constructing on it a cyclic regular pentagon = ABGDZ	ונעשה עליה מחומש שוה הצלעות והזויות והוא מחומש אבגד"ז
It is known that line TC cuts a fifth of the circle.	והוא ידוע כי קו ט"ח חותך חמישית העגלה
TC² = $\scriptstyle{\color{blue}{62+\frac{1}{2}-\sqrt{781+\frac{1}{4}}}}$	וכבר בארנו כי כשהוכה בעצמו הוא ס"ב וחצי פחות שורש מתשפ"א ורביע
TL² = $\scriptstyle{\color{blue}{15+\frac{5}{8}-\sqrt{48+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}}$	ומרובע ט"ל חמשה עשר וחמשה שמיניות פחות שרש ארבעים ושמנה ורביע וחמשה שמיניות משמינית
HL² = TH² - TL² = = $\scriptstyle{\color{blue}{25-\left[15+\frac{5}{8}-\sqrt{48+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}\right]}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{9+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}}$	תגרעם ממרובע קו ט"ה שהוא חצי הקוטר ומרובעו עשרים וחמשה וישאר מרובע קו ה"ל תשעה ורביע ושמינית ושרש ממ"ח וחצי ורביע וחמשה שמיניות משמינית
defining: AB = one of the sides of the pentagon that circumscribes the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו א"ב שהוא צלע אחד מצלעות המחומש שיקיף בעגולה דבר
AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ומרובעו אלגו
BH² : AB² = = $\scriptstyle{\color{blue}{25:x^2=\left[9+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}-\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}\right]:\left[62+\frac{1}{2}-\sqrt{781+\frac{1}{4}}\right]}}$ = HL² : TC²	ושעור זה האלגו ממרובע קו ב"ה שהוא עשרים וחמשה כמו שעור מרובע ט"ח שהוא קו חותך חמשית המחומש המקיף בעגולה והוא ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע ממרובע ה"ל והוא תשעה ורביע ושמינית ושרש ממ"ח וחצי ורביע וחמשה שמיניות משמינית משמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{8}\right)x^2+\sqrt{48+\frac{6}{8}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}x^4}}$ = = $\scriptstyle{\color{blue}{1562+\frac{1}{2}-\sqrt{488281+\frac{1}{4}}}}$ = = KH² × TC²	ויהיה תשעה אלגוש ושלשה שמיניות מאלגו ושרש ממ"ח וששה שמיניות וחמשה שמיניות משמינית מאלגו אלגו וזה ישוה מרובע כ"ה במרובע ט"ח והוא אלף ותקס"ב וחצי פחות שרש מתפ"ח אלפים ורפ"א ורביע
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)-\sqrt{\frac{20}{625}}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה אותו בחמישית וחמישית מחמישית פחות שרש מעשרים חלקים מתרכ"ה חלקים מאדרהם
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(9+\frac{3}{8}\right)x^2+\sqrt{48+\frac{3}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}x^4\right]\times\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)-\sqrt{\frac{20}{625}}\right]=x^2}}$	ותכה תשעה אלגוש ושלשה שמיניות מאלגו ושרש ממ"ח אלגוש אלגו ושלשה רביעים מאלגו אלגו וחמשה שמיניות משמינית מאלגו אלגו בחמישית וחמישית מחמישית פחות שרש מעשרים חלקים מתרכ"ה חלקים מאחד ויהיה אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[1562+\frac{1}{2}-\sqrt{488281+\frac{1}{4}}\right]\times\left[\frac{1}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)-\sqrt{\frac{20}{625}}\right]}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{375+\sqrt{15625}-\sqrt{{\color{red}{78}}125}-\sqrt{28{\color{red}{1}}25}}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{500-\sqrt{200000}}}$	ותכה אלף תקס"ב וחצי פחות שרש מתפ"ח אלפי' ורפ"א ורביע בחמישית וחמישית החמישית פחות שרש מעשרים חלקים מתרכ"ה חלקים מאחד ויהיה שע"ה אדרהמיש ושרש מט"ו אלפים ותרכ"ה פחות שרש מתת"ע אלף וקכ"ה אדרהמי ופחות שרש מכ"ח אלפי' וכ"ה אדרהמי' וזה הוא ת"ק פחות שרש ממאתים אלף
	ושרש זה הנשאר הוא קו א"ב שהוא צלע אחד מהמחומש שוה הצלעות והזויות המקיף בעגולה ידועה אשר קוטרה עשרה במספר
	וכבר התבאר שמרובע קו א"ב שהוא חלק אחד מהמחומש הוא ת"ק פחות שני שרשים ממאתים אלף והבן זה

Finding the side of a decagon that circumscribes the circle
When you wish to know the measure of the line that cuts a tithe part of the regular decagon that circumscribes the circle:	וכאשר תרצה לדעת שעור קו החותך עשירית המעושר השוה הצלעות והזויות המקיף בעגולה ידועה

Constructing a circle whose diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	תעשה עגולה יהיה קוטרה עשרה במספר
Constructing on it a decagon that circumscribes the circle = ABGDESCQZM	ותעשה עליה מעושר אחד שיקיף בעגלה והוא מעושר אבג"ד ע"ס צ"ק ז"מ
We wish to know the measure of line AB, which is a side of the decagon.	ונרצה לדעת שעור קו א"ב שהוא צלע אחד מהמעושר
It is known that line TC cuts a tithe of the decagon of the circle.	כבר הוא ידוע שקו ט"ח הוא קו חותך עשירית המעושר אשר בעגולה
TC = $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)}}$	ובארנו שהוא שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי
TL = ½TC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}-\left(1+\frac{1}{4}\right)}}$	וקו ט"ל הוא חציו והוא שרש משבעה וחצי ורביע וחצי שמינית פחות אחד ורביע
TL² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)-\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}}$	ומרובעו הוא תשעה ורביע ושמינית פחות שרש ממ"ח וחצי ורביע וחמשה שמיניות משמינית
HL² = TH² - TL² = = $\scriptstyle{\color{blue}{25-\left[\left(9+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}\right)-\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}\right]}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{5}{8}\right)+\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}}$	ותגרעם ממרובע ט"ה והוא עשרים וחמשה וישאר מרובע ה"ל חמשה עשר וחמשה שמיניות ושרש ממ"ח וחצי ורביע וחמשה שמיניות משמינית
TC² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(37+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{781+\frac{1}{4}}}}$	ומרובע ט"ח שלשים ושבע וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע
difining: AB = one side of the decagon that circumscribes the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ונניח קו א"ב דבר והוא צלע אחד מצלעות המעושר אשר יקיף בעגולה
AB² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ומרובעו אלגו
AB² : TC² = = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2:\left[\left(37+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{781+\frac{1}{4}}\right]=25:\left[\left(15+\frac{5}{8}\right)+\sqrt{48+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}\right]}}$ = KH² : HL²	ויחס האלגו אל מרובע ט"ח שהוא שלשים ושבע וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע הוא כיחס מרובע כ"ה שהוא עשרים וחמשה אל מרובע ה"ל שהוא חמשה עשר וחמשה שמיניות ושרש ממ"ח וחצי ורביע וחמשה שמיניות משמינית
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(15+\frac{5}{8}\right)x^2+\sqrt{\left[48+\frac{3}{4}+\left(\frac{5}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4}=\left(937+\frac{1}{2}\right)-\sqrt{488281+{\color{red}{\frac{1}{4}}}}}}$ = KH² × TC²	ותכה אותם במרובע א"ב שהוא אלגו ויהיה ט"ו אלגוש וה' שמיניות מאלגו ושרש ממ"ח אלגוש מאלגו וג' רביעים מאלגו אלגו וה' שמיניות משמינית מאלגו אלגו ישוה מרובע כ"ה במרובע ט"ח והוא תתקל"ז וחצי פחות שרש מתפ"ח אלפים ורפ"א
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\left(\frac{2}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)-\sqrt{\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{625}}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל מה שתחזיק בשני חמישיות מחמישית האחד פחות שרש מארבעה חמישיות מחלק אחד מתרכ"ה חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=75+\sqrt{625}-\sqrt{3125}-\sqrt{1125}=100-\sqrt{8000}}}$	ויהיה אלגו ישוה ע"ה דרהמי ושרש מתרכ"ה דרהמי פחות שרש משלשת אלפים וקכ"ה ופחות שרש מאלף וקכ"ה אדרהמי וזה הוא מאה דרהמי פחות שרש משמנת אלפים והוא מרובע קו א"ב שהוא צלע אחד מהמעושר אשר יקיף בעגולה ידועה אשר קוטרה עשרה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the diameter of a circle that circumscribes a pentagon
	וכאשר תרצה לדעת שעור קוטר עגולה המקפת במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות

	נניח המחומש הידוע מחומש אבגד"ה
	ונניח כל צלע ממנו עשרה במספר
	ועליו עגולה תקיף בו
	וקטרה קו כל"ד
	ולדעת קטרה
	שנוציא קו ה"ג ונשימהו דבר
	ונבאר שהכאתו בא"ב שהוא עשרה וא"ב בעצמו הוא שוה להכאת ה"ג בעצמו
	והכאת ה"ג בעצמו שהוא דבר בא"ב שהוא עשרה יהיה עשרה דברים
	וא"ב בעצמו מאה
	וה"ג בעצמו אלגו
	ויהיה אלגו ישוה עשרה דברים ומאה דרהמי
	והדבר ישוה חמשה ושרש מקכ"ה והוא קו ה"ג
	וחציו שני דרהמי וחצי ושרש מל"א ורביע והוא קו ה"ל
	תכה אותו בעצמו ויהיה ל"ז וחצי ושרש מתשפ"א ורביע תגרעם מה"ד בעצמו שהוא מאה ישאר ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע והוא מרובע קו ד"ל
	ונניח קטר העגולה שהוא קו כל"ד דבר
	ומרובעו אלגו
	ויחס ד"כ אל מרובע ה"ד שהוא מאה הוא כיחס מרובע ה"ד אל מרובע ל"ד והוא ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע
	ותכה אותו באלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x^2-\sqrt{\left(781+\frac{1}{4}\right)x^4}=10000}}$	ויהיה ס"ב אלגוש וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע אלגו אלגו ישוה רביע מרובע מה"ד בעצמו והוא עשרת אלפים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)+\sqrt{\frac{1}{15625}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{15625}\right)}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל מה שתחזיק באלגו מחמישית אחת מעשירית אחד ושרש מחלק אחד ורביע מט"ו אלפים ותרכ"ה חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=200+\sqrt{8000}}}$	ויהיה אלגו ישוה מאתים ושרש שמנת אלפים וכבר התבאר כי מרובע קוטר העגולה שהוא קו כל"ד הוא מאתים ושרש משמנת אלפים
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר

Finding the diameter of an inscribed circle that is contained in a pentagon
When we wish to know the diameter of the inscribed circle that is contained in the known regular pentagon ABGDH, each of its sides is ten	וכאשר נרצה לדעת קוטר העגולה המקפת במחומש אבגד"ה הידוע שוה הצלעות והזויות והוא שכל צלע מצלעותיו עשרה במספר

The centre of the circle = point M	ומרכז העגולה נקדת מ'
Half of its diameter [= radius of the inscribed circle] = line KM	וחצי קוטרה קו כ"מ
Half the diameter [= radius] of the circumscribed circle = line AM	וחצי קטר העגולה המקפת במחומש הוא קו א"מ
It was explained that the square of its diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{200+\sqrt{8000}}}$	ובארנו כי מרובע קטרו הוא מאתים ושרש משמנת אלפים
AM² = $\scriptstyle{\color{blue}{50+{\color{red}{\sqrt{500}}}}}$	ומרובע א"מ שהוא חצי הקטר יהיה חמשים ושרש מחמישית
KM² = AM² - AK² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(50+\sqrt{500}\right)-25=25+{\color{red}{\sqrt{500}}}}}$	תגרע מהם מרובע א"כ והוא עשרים וחמשה ישאר מרובע כ"מ והוא חצי קוטר העגולה הנופלת בזה המחומש והוא עשרים וחמשה וחלק אחד מת"ק
	ומרובע קטר העגולה אשר נפל המחומש שלך בתוכה הוא מאה ושרש שמונת אלפים
Q.E.D.	וזה הוא מה שרצינו לבאר
Diameter of inscribed circle = √[(diameter of circumscribed circle)² - (side of the pentagon)²]	ואם תרצה תכה צלע אחד מהמחומש בעצמו ותגרעהו מהכאת הקטר מהעגולה אשר נפלה על זה המחומש בעצמו ותקח שרש הנשאר והיוצא הוא קוטר העגולה אשר נפלה תוך המחומש
	וזה האופן יצא מצורה שות הצלעות והזויות
	וכאשר נרצה לדעת שעור קוטר עגולה מקפת במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות וכל צלע ממנו עשרה במספר בזולת המעשה אשר בארנו קודם
	יהיה ידוע ממה שאמר אוקלידס שכל קו יחתוך חלק אחד מהעגולה יהיה יחס זה הקו אל הקו אשר יחתוך מעגולה אחרת חלק שוה כמו החלק אשר חתך הקו האמור מהעגולה האמורה כיחס קטרי העגולות האחד באחר
	וכבר בארנו כי העגולה אשר קטרה עשרה יהיה מרובע הקו החותך חמישית זאת העגולה ס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע
	והוא ידוע ממה שאמרנו כי יחס המאה אל הס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע יהיה כיחס האלגו שהוא מרובע קטר קטר העגולה בלתי ידועה אשר יקיף בה המחומש אשר כל חלק ממנו עשרה בעבור כי הח הנחנוהו דבר ממאה והוא מרובע קטר העגולה המקפת אל המחומש הידוע . ותכה מאה במאה יהיה עשרת אלפים . ותכה אלגו בס"ב וחצי פחות שרש מתשפ"א ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right)x^2-\sqrt{\left(781+\frac{1}{4}\right)x^4}=10000}}$	ויהיה ס"ב אלגוש וחצי אלגו פחות שרש מתשפ"א ורביע מאלגו אלגו וישוה עשרת אלפים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{10}\right)+\sqrt{\frac{1}{{\color{red}{1}}5625}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{{\color{red}{1}}5625}\right)}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק בחמישית העשירית מאחד ושרש חלק אחד ורביע חלק מכ"ה אלפים ותרכ"ה חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=200+\sqrt{8000}}}$	ויהיה אלגו ישוה מאתים דרהמי ושרש משמנת אלפים והוא מרובע קטר העגולה המקפת במחומש כאשר היה כל צלע ממנו עשרה

Finding the diameter of a circle that is inscribed by a pentagon
	וכן כאשר נרצה לעשות במחומש ידוע שוה הצלעות והזויות וכל צלע ממנו הוא עשירית עגלה אשר יקיף בה המחומש
	וכבר בארנו כי עגולה אשר יהיה קוטרה עשרה יהיה המרובע מכל צלע מהמחומש המקיף בעגולה ת"ק פחות שרש ממאתים אלף
	ואומר ויהיה החלק מהמחומש מת"ק פחות שרש ממאתים אלף יהיה אלגו והוא מרובע העגולה הבלתי ידועה המבוקש כקטרה אל קטר העגולה הידועה והוא מאה ותכה מאה במאה ויהיה עשרת אלפים ותכה אלגו בת"ק פחות שרש ממאתים אלף
$\scriptstyle{\color{blue}{500x^2-\sqrt{200000x^4}=10000}}$	ויהיה ת"ק אלגוש פחות שרש ממאתים אלף אלגו אלגו ישוה עשרת אלפים דרהמי
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{10}\right)+\sqrt{\frac{1}{12500}}\right]}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל מה שתחזיק בעשירית העשירית מאחד ושרש חלק אחד מי"ב אלפים ות"ק חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=100+\sqrt{8000}}}$	ויהיה האלגו ישוה מאה ושרש משמנת אלפים והוא מרובע הקטר מן העגולה אשר נפלה בזה המחומש אשר כל צלע מצלעיו עשרה

Finding the diameter of a circle that is inscribed by a decagon
	וכן כאשר נרצה לעשות על מעושר ידוע שוה הצלעות והזויות אשר כל צלע ממנו הוא עשירית העגולה המקפת בזה המעושר
	וכבר בארנו כי עגלה שיהיה קטרה עשרה שעגלת המעושר אשר נפל בתוכה הוא שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי
	ונניח קטר העגולה דבר ותאמר כי יחס הדבר אל עשרה יהיה כמו יחס העשרה אל שרש ל"א ורביע פחות שנים וחצי . ותכה ותכה עשרה בעשרה יהיה מאה ותכה דבר בשרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי ויהיה שרש מל"א אלגו ורביע פחות שני דברים וחצי . ותאספם עם השני דברים וחצי ישוה שרש מל"א אלגו ורביע . ותכה מאה דרהמי ודבר וחצי בעצמו ויהיה עשרת אלפים אדרהמי וששה אלגוש ורביע ות"ק דברים ישוה ל"א אלגו ורביע . ותנכחם עמהם ויהיה הדבר עשרה ושרש מת"ק והוא שרש קטר עגלת המעושר אשר כל צלע מצלעותיו עשרה
When we wish to construct an incircle in a known regular decagon	וכן כאשר נרצה לעשות במעושר ידוע שוה הצלעות והזויות אשר כל צלע ממנו עשרה עגולה אחת תקיף בזה המעושר
	וכבר בארנו כי עגלה אשר קוטרה עשרה יהיה מרובע הקו אשר הוא חלק אחד מהמעושר שנפל עליו הוא מאה פחות שרש משמנת אלפים
	ואומר כי יחס מאה פחות שרש משמנת אלפים אל מאה יהיה כיחסם אל אלגו
	תכה אותם בעצמם יהיו עשרת אלפים . ותכה מאה פחות שרש משמנת אלפים באלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{100x^2-\sqrt{8000x^4}=10000}}$	ויהיה עשרת אלפים פעם מאה אלגוש פחות שרש משמנת אלפים אלגו אלגו ישוה עשרת אלפים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left[\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)+\sqrt{\frac{1}{500}}\right]}}$	ותשיב כל אשר תחזיק אל אלגו והוא שתכה אותו בחצי עשירית אחד ושרש חלק אחד מת"ק חלקים מאחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=500+\sqrt{200000}}}$	ויהיה האלגו ישוה ת"ק ושרש ממאתים אלף והוא מרובע קטר העגולה אשר נפלה חוץ מן המעושר בעצמו
	וכבר בארנו שאם הקוטר הוא עשרה ושרש מת"ק יהיה מרובעו מאה ושרש ממאתים אלף
	תגרע מהם מאה והוא הכאת צלע אחד מהמעושר בעצמו ישאר ת"ק ושרש ממאתים אלף ושרש זה הוא קטר העגולה אשר נפלה חוץ מזה המעושר
	ואניח סבת זה האופן
	והוא כי כל תמונה שות הצלעות והזויות אשר תקיף בעגולה ותקיף בה עגולה הנה הכאת אחת הצלעות בעצמה והכאת קטר העגולה אשר נפלה פנימה בעצמו יהיו שתי אלו ההכאות יחד כמו הכאת קטר העגולה המקפת בתמונה בעצמו

	דמיון זה שנעשה משולש שוה הצלעות והזויות והוא משולש אב"ג
	ובתוכו עגולה יקיף בה המשולש עליה חז"ל
	ותקיף למשולש עגולה אחרת עליה אב"ג וקטרה קו א"ד
	וקטר העגלה הפנימית מהמשולש הוא קו כ"ע
	ואומר שהכאת א"ג בעצמו וכ"ע בעצמו יהיו כמו הכאת א"ד בעצמו
	מופת זה שנוציא מקו א"ג מנקדת ל' ממנו והוא המקום שאר ימשש בו זה הקו אל העגולה הפנימית קו אחד על זוית נצבה יחלק העגולה הפנימית
	והוא ידוע שיעבור על מרכז שתי העגולות
	ונוציאהו עד שיעבור אל מקיף זאת העגולה היא עגולת חז"ל והוא קו ל"ז
	ויהיה זה הקו כמו קטר עגולת חז"ל והוא שוה לקו כ"ע
attaching point Z to point D by line ZD	ונדביק נקדת ז' בנקדת ד' עם קו ז"ד
attaching point D to point G by line GD	ונדביק ד' בג' עם קו ג"ד
AM = MD	ויהיה קו א"מ שווה לקו מ"ד
ML = MZ	וקו מ"ל כמו קו מ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\measuredangle AML = \measuredangle DMZ}}$	וזוית אמ"ל כמו זוית דמ"ז
DZ = AL	וקו ד"ז כמו קו א"ל
AL = LG	וא"ל כמו ל"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\measuredangle GLZ = \measuredangle DZL}}$	וזוית גל"ז כמו דז"ל
$\scriptstyle{\color{blue}{\triangle AML = \triangle DMZ}}$	ומשולש אמ"ל כמו משולש דמ"ז
the angles of the one are equal to the angles of the other	וזויות האחד כמו זויות האחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\measuredangle ALM = \measuredangle MZD}}$	וזוית אל"מ כמו זוית מז"ד
ZD = LG	וקו ז"ד יהיה שוה לקו ל"ג
	וכבר בארנו שהם שוים ושנדבקו שני ראשי כל אחד מהם קו משני קוים אלו עם קוי ז"ל וד"ג
ZL = DG	ויהיה קו ז"ל שוה לקו ד"ג
AG² + GD² = AD²	ותכה א"ג בעצמו וג"ד בעצמו ויהיה כמו הכאת א"ד בעצמו
Since :: $\scriptstyle{\color{blue}{\measuredangle AGD=90^\circ}}$	בעבור כי זוית אג"ד נצבת
DG = LZ	וד"ג הוא כמו ל"ז
LZ = KE	ול"ז כמו כ"ע
AG² + KE² = AD²	והנה הכאת א"ג בעצמו וכ"ע בעצמו יהיו כמו הכאת א"ד בעצמו
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the side of a pentadecagon that is circumscribed by a circle
When we define a regular pentadecagon shape that is circumscribed by a circle whose diameter is ten, its sides and angles are equal, and we wish to know the measure of each of its sides.	וכאשר נניח תמונה בעלת חמש עשרה זויות שוות תקיף בה עגולה אשר קטרה עשרה והיא שות הצלעות והזויות ונרצה לדעת שעור כל צלע ממנה

Defining: The known circle as circle ABG	נניח העגולה הידועה עגולת אב"ג
Its diameter = AB	וקטרה א"ב
Constructing: BD side of the inscribed decagon = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1+\frac{1}{2}}{15}}}$ of the circle	ונעשה בתוכה צלע אחד יחתוך המעושר שלה והוא חלק וחצי מאחד מהחמשה עשר והוא קו ב"ד
BD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)}}$	וכבר בארנו שהוא שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי
AD = its complement that cuts $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}}}$ of the circle	וקו א"ד הוא תשלומה והוא קו חותך שני חמשי העגולה
AD = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(62+\frac{1}{2}\right){\color{red}{-}}\sqrt{781{\color{red}{+\frac{1}{4}}}}}}}$	והוא ס"ב וחצי ושרש מתשפ"א הנלקח שרשו
	וארשום בזאת העגולה קו חותך הששית והוא קו ב"ג והוא קו חותך שני חלקים וחצי מהחמש עשרה והוא חותך מחמשה
AG = its complement that cuts $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}}}$ of the circle	וקו א"ג הוא תשלומה והוא קו חותך שלישית העגולה
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{75}}}$	והוא שרש מע"ה
BD × AG = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sqrt{31+\frac{1}{4}}-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\times\sqrt{75}=\sqrt{2343+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}-\sqrt{468+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}}$	ותכה קו ב"ד והוא שרש מל"א ורביע פחות שנים וחצי בקו א"ג והוא שרש מע"ה ויהיה שרש מאלפיים ושמ"ג וחצי ורביעית פחות שרש מתס"ח וחצי ורביע
	ותגרעם מהכאת קו א"ד בקו ב"ג והוא אלף ותקס"ב וחצי ושרש מת' אלפים ופ"א אלפים ורפ"א ורביע הלקוח שרשו
	ותוסיף עליו שרש מתס"ח וחצי ורביע ותגרע מכל זה שרש מאלפים ושמ"ג וחצי ורביעית והוא כמו הכאת קו א"ב בקו ג"ד
	ומה שישאר תחלקהו על קו א"ב והוא עשרה ויעלה קו ג"ד חמשה עשר וחמשה שמיניות ושרש ממ"ח ושלשה רביעים וחמשה שמיניות משמינית לקוח שרשו ושרש מארבעה דרהמי וחצי ושמינית וחצי שמינית פחות שרש מכ"ג ושלשה שמיניות וחצי שמינית
	ונדביק הוצאת ג"ד בעבור שתבינהו תקח שרש ממ"ח ושלשה רביעים וחמשה שמיניות משמינית פור לו מאש סירקאנו ויהיה ששה ונ"ט דקים וט"ו שניים ומ"ו שלישיים . תוסיפם על ט"ו ושלשה שמיניות ויהיה ויהיה כ"ב ול"ו דקים ומ"ה שניים ומ"ו שלישיים . ותקח השרשו ויהיה לו מאש סירקאנו ארבעה ומ"ה דקים וי"ט שניים ושליש אחד . ותוסיף עליו שרש מד' וחמשה שמיניות וחצי שמינית פור לו מאש סירקאנו והוא שנים וט' דקים ונ"ד שניים וי"ב שלישיים תגרע מהם שרש מכ"ג ושלשה שמיניות וחצי שמינית והוא ארבעה דרהמי ונ' דקים וכ"ח שניים וכ"ה שלישיים וישאר שנים וד' דקים ומ"ה שניים והוא קו ג"ד פור לו מאש סירקאנו
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the height of an equilateral triangle
If you are told: an equilateral triangle whose area is ten, how much is its height?	ואם יאמרו לך משלש שוה הצלעות והזויות עשרה במספר כמה יהיה קטרו
We define: $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$	ונניח המשולש אב"ג
Its height is AD	וקטרו א"ד
We wish to know the measure of AD that is the height of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$	ונרצה לדעת שעור א"ד שהוא קטר המשולש מאב"ג
We define it as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{AD=x}}$	נניחהו דבר
DG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	ויהיה קו ד"ג שרש משלישית האלגו
Each side of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^2}}}$	וכל חלק מהמשולש מאב"ג שרש מאלגו ושליש
The area of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^4}}}$	ושעור משלש אב"ג שרש משלישית אלגו אלגו
Its height is a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וקוטרו דבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x+\sqrt{\frac{1}{3}x^4}=10}}$	ויהיה דבר ושרש משלישית אלגו אלגו ישוה עשרה
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\sqrt{3}}}$	ותשלים שרש משלישית אלגו אלגו עד שיהיה שרש אלגו אלגו והוא אלגו והשלימך אותו הוא שתכה אותו בשרש שלשה ותכה כל מה שתחזיק בשרש משלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{3x^2}=\sqrt{300}}}$	ויהיה אלגו ושרש שלשה אלגוש ישוה שרש משלש מאות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{3}\right)^2+\sqrt{300}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{3}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{\frac{3}{4}}\right)^2+\sqrt{300}}-\sqrt{\frac{3}{4}}\\&\scriptstyle=\sqrt{\frac{3}{4}+\sqrt{300}}-\sqrt{\frac{3}{4}}\\\end{align}}}$	ותחצה שרש משלשה אלגוש ויהיה שרש משלשה רביעים תכה אותו בעצמו ויהיה שלשה רביעים תוסיפם על שרש משלש מאות יהיה שלשה רביעים ושרש משלש מאות תקח שרשו ותגרע ממנו שרש משלשה רביעים ומה שישאר הוא קו א"ד שהוא קטר משלש אב"ג
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the length of a rectangle that is encompassed by an equilateral triangle
If you are told: an equilateral triangle, each side of which is ten, inside it a rectangle, whose area is ten, how much is the length of the rectangle?	ואם יאמרו לך משלש שוה הצלעות והזויות כל חלק ממנו עשרה ובתוכו מרובע ארוך נצב הזויות ושעורו עשרה כמה יהיה אורך המרובע
For example, we define the triangle as $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$	דמיון זה שנשים משולש משלש אב"ג
The rectangle in it is rectangle HZCT	והמרובע ארוך שנפל בתוכו מרובע הזח"ט
We wish to know the measure of line CH, which is the length of the rectangle.	ורצינו לדעת שעור קו ח"ה שהוא אורך המרובע
We define it as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{CH=x}}$	ונשימהו דבר
BC = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	ויהיה קו ב"ח שרש משלישית האלגו
TG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	וכן הוא קו ט"ג שרש משלישית אלגו
CT = $\scriptstyle{\color{blue}{10-\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^2}}}$	ישאר קו ח"ט עשרה פחות שרש מאלגו ושליש
CT × HC = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[10-\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^2}\right]\times x=10{\color{red}{x}}-\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^4}=10}}$	תכה אותו בקו ה"ח והוא דבר יהיה עשרה פחות שרש מאלגו אלגו ושלישית מאלגו אלגו ישוה עשרה דרהמי
Restoration of the things by adding the $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^4}}}$ to the dirham	ותאסוף הדברי' עם שרש מאלגו אלגו ושלישית מאלגו אלגו ותוסיפם על האדרהמיש
$\scriptstyle{\color{blue}{10+\sqrt{\left(1+\frac{1}{3}\right)x^4}=10x}}$	ותכה עשרה דרהמי ושרש מאלגו אלגו ושלישית אלגו אלגו ישוה עשרה דברים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\sqrt{\frac{3}{4}}}}$	ותשיב כל הדברים דבר אשר תחזיק אל שרש אלגו אלגו והוא אלגו וזה שנכה אותו בשרש משלשה רביעיות תכה כל מה שתחזיק בשרש משלשה רביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\sqrt{75}=\sqrt{75x^2}}}$	ויהיה אלגו ושרש מע"ה דרהמי ישוה שרש מע"ה דרהמי אלגוש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{75}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\sqrt{75}\right)^2-\sqrt{75}}\\&\scriptstyle=\sqrt{18+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}+\sqrt{\left(\sqrt{18+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}\right)^2-\sqrt{75}}\\&\scriptstyle=\sqrt{18+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}+\sqrt{\left(18+\frac{3}{4}\right)-\sqrt{75}}\\\end{align}}}$	ותחצה שרש מע"ה ויהיה שרש מי"ח וחצי ורביע תכה אותו בעצמו ויהיה י"ח וג' רביעים תגרע מהם שרש מע"ה ישאר י"ח וחצי ורביע פחות שרש מע"ה ותקח שרשו ומה שיעלה תוסיפהו על י"ח וחצי ורביע והמקובץ הוא אורך המרובע שהוא קו ה"ח

Finding the side of a square that is contained in an equilateral triangle
If you are told: an equilateral triangle ABG, inside it a square CLEM, the measure of [the sum of] the triangle and the square is ten, how much is each side of the square CLEM and how much are the areas of the triangle and the square?	ואם יאמרו לך משלש שוה הצלעות והזויות עליו אב"ג ובתוכו מרובע נצב הזויות ושוה הצלעות עליו חלע"מ ושעור המשולש והמרובע עשרה כמה יהיה כל חלק ממרובע חלע"מ וכמה יהיה שעור המשולש והמרובע
To know this we define each side of the square as a thing: $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ולדעת זה נשים כל חלק מהמרובע דבר
Its area = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ויהיה שעורו אלגו
The area of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG=10-x^2}}$	וישאר שעור משולש אב"ג עשרה פחות אלגו
The area of the square = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}$	ושעור המרובע אלגו
Hence: $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle BLC+\triangle MEG+\triangle ACE=10-2x^2}}$	וישאר שעור משלשי בל"ח ומע"ג ואח"ע עשרה פחות שני אלגוש
We defined each side of the square as a thing $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ , which is ME	והנחנו כל חלק מהמרובע דבר ויהיה קו מ"ע
MG = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	וקו מ"ג שרש שלישית אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\triangle MEG}}={\color{red}{\frac{1}{2}\sdot\sqrt{\frac{1}{3}x^4}}}$	ושעור משלש מע"ג
LB = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^2}}}$	וקו ל"ב שרש שלישית אלגו אלגו
AT = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{4}x^2}}}$	וקו א"ט שרש משלשה רביעיות מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ACE=\sqrt{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4}}}$	ושעור משלש אח"ע שרש משמינית אלגו אלגו וחצי שמיני' אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\triangle MEG+\triangle CBL+\triangle CEA}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^4}+\sqrt{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4}=10-2x^2}}$	ויהיה משלש מע"ג ומשלש חב"ל ומשלש חע"א שרש משלישית אלגו אלגו ושרש משמינית אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו וישוו עשרה פחות שני אלגוש
Normalization: completing $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^4}}}$ by $\scriptstyle{\color{blue}{\times\sqrt{3}}}$	ותשלים שרש משלישית אלגו אלגו עד שיהיה שרש מאלגו והוא אלגו והשלימך אותו הוא שתכה אותו בשרש משלשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{3}x^4}\times\sqrt{3}=\sqrt{x^4}=x^2}}$	תכה שרש שלישית אלגו אלגו בשרש משלשה יהיה שרש מאלגו אלגו והוא אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4}\times\sqrt{3}=\sqrt{\left[\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4}=\frac{3}{4}x^2}}$	ותכה שרש שמינית אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו בשרש שלשה ויהיה שרש מחצי אלגו אלגו וחצי שמינית אלגו אלגו והוא שלשה רביעים מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2+\frac{3}{4}x^2}}$	ויהיה אלגו ושלשה רביעים מאלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-2x^2\right)\times\sqrt{3}=\sqrt{300}-\sqrt{12x^4}}}$	ותכה עשרה פחות שני אלגוש בשרש שלשה יהיה שרש משלש מאות פחות שרש מי"ב אלגו אלגו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)x^2=\sqrt{300}-\sqrt{12x^4}}}$	ויהיה אלגו ושלשה רביעי אלגו ישוה שרש משלש מאות פחות שרש מי"ב אלגו אלגו
Restoration of $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{300}-\sqrt{12x^4}}}$ by adding it to $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)x^2}}$	ותשלים שרש משלש מאות עם שרש מי"ב אלגו אלגו ותוסיפהו על אלגו ושלשה רביעים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)x^2+\sqrt{12x^4}=\sqrt{300}}}$	ויהיה אלגו ושלשה רביעים ושרש מי"ב אלגו אלגו ישוה שרש משלש מאות
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(\sqrt{\frac{3072}{20449}}-\frac{28}{143}\right)}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו והוא שתכה כל מה שתחזיק בשרש משלשת אלפים וע"ב חלקים מעשרים אלף ותמ"ט חלקים מאחד פחות כ"ח חלקים מקמ"ג דרהמי
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\sqrt{45+\frac{1395}{2{\color{red}{0}}449}}-\sqrt{11+\frac{10261}{20449}}}}$	ויהיה אלגו ישוה שרש ממ"ה דרהמי ואלף ושצ"ה חלקים מכ"ה אלפים ותמ"ט חלקים מאחד פחות שרש מי"א דרהמי ועשרת אלפי' ורס"א חלקים מכ' אלף ותמ"ט חלקים מאדרהם
Which is the area of sqaure CLEM in $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABG}}$	והוא שעור מרובע חלע"מ אשר במשולש אב"ג
	תגרעהו מעשרה ומה שישאר הוא שעור משולש אב"ג
	ואם תרצה תאמר כי שעור המרובע ששה וק"ב חלקים מקל"ב חלקים מאחד פחות שרש מיא מי"א אדרהמי ועשרת אלפים ורס"א חלקים מעשרים אלפים ותמ"ט חלקים מדרהם אחד
	ושעור המשולש שלשה ומ"א חלקים מקמ"ג חלקים מאחד ושרש מי"א ועשרת אלפים ורס"א חלקים מעשרים אלפי' ותמ"ט חלקים מאחד

Finding each side of a pentagon that is encompassed by a square
	ואם יאמרו לך מרובע שוה הצלעות והזויות נצבות וכל צלע ממנו עשרה והוא מרובע אבג"ד
	ועשינו בו מחומש אחד כמו זאת התמונה והוא מחומש אהחז"מ
	ורצינו לדעת כל צלע מצלעות המחומש כמה יהיה שעורו
	ולדעת זה נניח החלק האחד מהמחומש והוא קו א"ה דבר
	וישאר קו ח"ב עשרה פחות שרש מעש מדבר
	וקו ג"ז חצי אלגו
	וקו ב"ה עשרה פחות דבר
	ותכה כל אחד מהם בעצמו ותקבצם ויהיה מאתים דרהמי ואלגו וחצי אלגו פחות עשרים שרשים ופחות שרש ופחות שרש ממאתים אלגוש ישוה אלגו
	ותנכחהו עמו ויהיה קו א"ה שהוא צלע אחד מהמחומש מאתים ושרש מש"כ אלפים כשילקח שרש זה ויגרע מעשרים ושרש מן מאתים
Q.E.D.	וזה הוא מה שרצינו לבאר
	ואני מרדכי הכותב מה שמצאתי מלה במלה העתקתי אבל לא הבינותי כלל מזאת התמונה
	גם נראה לי כי הצורה הראויה לבאר היא שיהיה גם המחומש שוה הצלעות והזויות יקיף בו המרובע כמו זאת התמונה השניה
	ואחרי זה מדי השלימי לרשום זאת התמונה השניה הבינותי בה והנה המרובע הוא המקיף במחומש הוא מרובע ארוך לא מרובע אמתי
	ונראה שלא יתכן לעשות מרובע אמתי יקיף במחומש שוה הצלעות והזויות כי אם כמו זאת התמונה השלישית אשר פניה דורכות מול פני התמונה הראשונה אשר נעתקה מן הספר הלועז
	וחשבתי ראשונה שהתמונה היתה משובשת בספר ובאתי לישרה כאשר יישרתי הרבה מן התמונות האחרות וישתבח השם שפתח עיני כן יראני נפלאות בתורתו אכיר'

Finding each side of a regular pentagon whose area is fifty spans
If you are told: a regular pentagon whose area is fifty spans, how much is each of its sides?	ואם יאמרו לך מחומש שוה הצלעות והזויות שעורו חמשים זרתות כמה יהיה כל חלק ממנו
	דמיון זה שנניח המחומש מחומש אבגד"ה
	ומרכז העגולה אשר יקיף בה זה המחומש נקדת מ'
	ונוציא קוי א"מ מ"ב מ"ג מ"ד מ"ה
	והוא ידוע שנחלק זה המחומש למשולשים שוים והם אמ"ב במ"ג גמ"ד דמ"ה המ"א
	ויהיה משלש המ"ד עשרה במספר
	וכבר בארנו במה שאמרנו קודם בזה הספר שיהיה כאשר נניח מחומש שוה הצלעות והזויות כל חלק ממנו עשרה יהיה מרובע הקטר מהעגלה אשר תקיף בו מאתים ושרש משמנת אלפים
	וידוע ממה שאמרנו שכאשר נרצה לדעת קטר עגולה מקפת במחומש ידוע שנכה חלק אחד מהמחומש בעצמו ונכפלהו ונשמרהו . ונכה חלק אחד מהמחומש בעצמו והעולה נכה בעצמו ונקח ארבעה חמשיו ומה שיצא תקח שרשו והעולה תוסיפהו על מה ששמרת ואשר יתקבץ תקח שרשו והעולה יהיה קטר העגולה
	וכאשר נניח זה כן נניח קו ה"ד דבר והוא חלק אחד מהמחומש ויהיה מרובע קטר העגולה כפי מה שבארנו שני אלגוש ושרש מארבעה חמשים מאלגו אלגו
	ומרובע חצי קטרה והוא קו ה"מ הוא חצי אלגו ושרש חצי עשירית מאלגו אלגו
	ונוציא עמוד ממשולש המ"ד וידוע שיפול בנקדת חצי קו ה"ד והוא קו מ"ח
	ויהיה קו ה"ח חצי דבר תכה אותו בעצמו יהיה רביע אלגו . תגרעהו ממרובע קו ה"מ והוא חצי אלגו ושרש מחצי עשירית אלגו אלגו וישאר מרובע קו מ"ח רביע אלגו ושרש מחצי עשירית מאלגו אלגו . תכה אותו בקו ה"ח והוא חצי דבר ויהיה חצי שמינית מאלגו אלגו ושרש משני חלקים מש"כ חלקים מאלגו אלגו . אלגו אלגו ישוה עשרה מוכה בעצמו והוא מאה
	ותשלים חצי שמינית מאלגו אלגו עד שיהיה אלגו אלגו והוא שתכה אותו בששה עשר . תכה כל אשר תחזיק בי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+\sqrt{\frac{4}{5}x^8}=1600}}$	ויהיה אלגו אלגו ושרש מארבעה חמשים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה אלף ות"ר
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(5-\sqrt{20}\right)}}$	ותשיב כל מה שתחזיק אל אלגו אלגו וזה שתכה כל דבר שתחזיק בחמשה פחות שרש מעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=8000+\sqrt{51200000}}}$	ויהיה אלגו אלגו ישוה שמנת אלפים פחות שרש מחמשים ואחד אלף אלפים ומאתים אלף
	תקח שרש זה והיוצא יהיה כל חלק מהמחומש
If you are told: the area of a [regular] decagon, whose sides and angles are equal, is a hundred, how much is each part of it?	ואם יאמרו לך מעושר שוה הצלעות והזויות שעורו מאה מהמספר כמה יהיה כל חלק ממנו
For example, defining: The decagon ABGDHWZCTL	דמיון זה שנניח המעושר מעושר אב"ג דה"ו זחט"ל
The circumcenter of circumscribed circle is point M.	ומרכז העגולה אשר תקיף לזאת העגולה נקדת מ'
It is known that it is divisible into ten equal triangles.	והוא ידוע שנחלק לעשרה משולשים שוים
Triangle ZMW = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ויהיה משולש זמ"ו עשרה
	וכבר בארנו קודם זה שכאשר נניח מעושר שוה הצלעות והזויו' כל חלק ממנו עשרה שקוטר העגולה אשר תקיף לזה המעושר יהיה עשרה ושרש מת"ק
	ויהיה ידוע מאשר אמרנו כי כאשר נרצה לדעת קוטר עגולה תקיף למעושר ידוע שתכה חלק אחד מהמעושר בעצמו והעולה בחמשה ותקח שרש העולה ותוסיפהו על חלק אחד מהמעושר והיוצא יהיה הוא קוטר העגולה
	ואחר שמבואר הוא זה ממה שאמרנו נניח קו ז"ו דבר והוא חלק אחד מהמעושר ויחוייב שיהיה קוטר העגולה דבר ושרש מחמשה אלגוש
Half the diameter = ZM = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	וחצי הקטר והוא קו ז"מ חצי דבר ושרש מאלגו ורביע
	והוא ידוע מאשר אמרנו שאמרו אקלידס ואמר שכל קו שהוא על יחס אמצעי ושני קצוות ונוסף באורך הקו כמו החלק הגדול הגדול וכל זה יחלק על יחס אמצעי ושני קצוות שהחלק הגדול הוא הקו הראשון
	יהיה ידוע מאשר אמרנו שכאשר חלקו קו על יחס אמצעי ושני קצוות שהחלק הגדול ממנו הוא החלק הקטן מהקו הראשון
	ואמר במקום אחר שכאשר קובצו צלע המשושה עם צלע המעושר אשר בעגולה אחת בקו אחד ישר יהיה כל הקו נחלק על יחס אמצעי ושני קצוות וצלע המשושה הוא החלק הגדול
ZW = the side of the decagon	וקו ז"ו צלע המעושר
ZM = the side of the hexagon	וקו ז"מ הוא צלע המשושה
	וכאשר הנחנו שני אלו הקוים קו אחד יהיה קו כבר נחלק על יחס בעל אמצעי ושני קצוות כמו קו זמ"ו
	וכאשר נניח ז"ו דבר ונגרעהו מז"מ ונוסיף על מה שישאר חצי קו ז"ו ותכה מה שיתקבץ בעצמו יהיה כמו חמשה דמיוני מרובע חצי קו ז"ו כפי מה שכתב אוקלידס . ותכה קו ז"ו בעצמו והעולה בחמשה ותקח שרשו ותוסיפהו על חצי קו ז"ו והוא חצי דבר יעלה קו ז"מ
ZM = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	וכבר התבאר כי קו ז"מ חצי דבר ושרש מאלגו ורביע
	ותוציא עמוד משולש זמ"ו והוא קו מ"ס והוא ידוע שיפול על נקדת אמצע קו ז"ו והוא ז"ס
ZM² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}x+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}\right]^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^4}}}$	ותכה קו ז"מ בעצמו והוא חצי דבר ושרש מאלגו ורביע ויהיה אלגו וחצי ושרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
ZS² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2}}$	ותכה קו ז"ס והוא חצי דבר בעצמו ויהיה רביעית אלגו
ZM² - ZS² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^4}\right]-\frac{1}{4}x^2=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^4}}}$	תגרעהו מאלגו וחצי ושרש מאלגו אלגו ורביעית אלגו אלגו וישאר אלגו ורביע ושרש מאלגו אלגו ורביעית אלגו אלגו
	ושרש זה הוא קו מ"ס
	תכה אותו בקו ז"מ והוא חצי דבר יהיה רביעית אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו ושרש מחמשה חלקים מס"ד חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה מאה דרהמי
	ותשלים רביע אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו עד שיהיה אלגו אלגו והוא שנכה אותו בשלשה וחומש תכה כל דבר שתחזיק בשלשה וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+\sqrt{\frac{4}{5}x^8}=320}}$	יהיה אלגו ושרש מארבעה חומשים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה ש"כ דרהמי
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(\sqrt{5}-\sqrt{20}\right)}}$	ותשיב כל דבר שתחזיק אל אלגו אלגו והוא שתכה כל דבר שתחזיק בשרש מחמשה פחות שרש מעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=1600+\sqrt{{\color{red}{2}}048000}}}$	ויהיה אלגו אלגו ישוה אלף ות"ר פחות שני שרשים מאלף אלפים ומ"ח אלפים
	ושרש זה הוא קו ז"ו שהוא חלק אחד מהמעושר
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the side of a regular pentagon that contains a triangle, whose area is ten
If you are told: a regular pentagon ABGDH, it [contains] a triangle BHD whose measure is ten, how much will be Line DH, which is [the base of] the triangle and one side of the pentagon?	ואם יאמרו לך מחומש אבגד"ה שוה הצלעות והזויות שעורו הוא משולש בה"ד שהוא עשרה כמה יהיה קו ד"ה שהוא דומה למשלש וחלק אחד מהמחומש
defining: line HD = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	וידיעת זה הוא שנניח קו ה"ד דבר
	ובאר אוקלידס שקו ב"ה כאשר חולק על יחס אמצעי ושני קצוות שהחלק הגדול הוא שוה אל קו ד"ה
	והוא ידוע כי כאשר נחלק קו אחד על יחס בעל אמצעי ושני קצוות ונוסיף על החלק הקטן חצי החלק הגדול ונכה הכל בעצמו שהמרובע ההוה משני אלו מקובצים יהיה חמשה דמיוני הכאת החלק הגדול בעצמו
	ונחלק קו ב"ה על יחס אמצעי ושני קצוות על נקדת מ'
	ונשים החלק הגדול קו ה"מ
	ויהיה קו מ"ה שוה לקו ה"ד
	ונחלק קו מ"ה לשני חלקים על נקדת ל'
	והכאת ב"ל בעצמו יהיה חמשה דמיוני הכאת ל"ה בעצמו
HL² = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}x^2}}$	והכאת ה"ל בעצמו הוא רביעית אלגו
	בעבור שעשינו קו ה"ד דבר
MH = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	ויהיה קו מ"ה דבר
LH = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	ול"ה חצי דבר
LB² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}$	והכאת ל"ב בעצמו הוא אלגו ורביע
BL = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	וקו ב"ל הוא שרש מאלגו ורביע
LH = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	וקו ל"ה חצי דבר
BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	וקו ב"ה חצי דבר ושרש מאלגו ורביע
	ונוציא עמוד במשולש בה"ד והוא קו ב"ח
HC = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x}}$	ויהיה קו ה"ח חצי דבר
HC² = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}x^2}}$	תכה אותו בעצמו יהיה רביעית אלגו
	תגרעהו מהכאת ב"ה בעצמו והוא אלגו וחצי ושרש מאלגו אלגו ורביעית אלגו אלגו וישאר אלגו ורביעית ושרש מאלגו אלגו ורביעית אלגו אלגו
	ושרש זה הוא קו ב"ח
	תכה אותו בקו ה"ח והוא חצי דבר ויהיה רביעית אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו ושרש מחמשה חלקים מס"ד חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה מאה דרהמי
	ותשלים רביעית רביעית אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו עד שיהיה אלגו אלגו וזה בשנכה אותו בשלשה וחומש
	וכאשר הוכה כל דבר שתחזיק בשלשה וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4+\sqrt{\frac{4}{5}x^8}=32{\color{red}{0}}}}$	יהיה אלגו אלגו ושרש מארבעה חומשים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה שכ"ב שכ"ד דרהמי
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(5-\sqrt{20}\right)}}$	ותשיב כל דבר אל אלגו אלגו והוא שתכה אותו בחמשה פחות שרש מעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=1600+\sqrt{{\color{red}{2}}048000}}}$	יהיה אלגו אלגו ישוה אלף ות"ר פחות שרש מאלף אלפים ומ"ח אלפים
	ושרש זה הוא קו ד"ה
	והוא משולש בה"ד מזה המחומש שאמרנו שהוא דומה לזמ"ו מהמעושר שאמרנו בתמונה שקדמה לזאת
	ואם יאמרו לך שעור משלש אב"ה עשרה כמה יהיה קו ב"ה
Defining: BH = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ידיעת זה הוא שנניח קו ב"ה דבר
	ובאר אקלידס כי כאשר נחלק קו על יחס אמצעי ושתי קצוות שהחלק הגדול כאשר נוסף בארכו כמו חצי הקו כלו והוכה כל זה בעצמו המרובע ההוה מזה יהיה חמשה דמיוני המרובע ההוה מחצי הדבר
	ונניח קו ב"ה דבר וכאשר הכינו חציו בעצמו ומה שיצא בחמשה יהיה אלגו ורביעית
AH = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}-\frac{1}{2}x}}$	ויהיה נודע מאשר אמרנו שקו א"ה שרש מאלגו ורביע פחות חצי דבר
AE = the height on line BH	ויעלה הקטר על קו ב"ה והוא א"ע
AH² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)x^2-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	ותכה קו א"ה בעצמו יהיה אלגו וחצי פחות שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
HE² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}x\right)^2=\frac{1}{4}x^2}}$	ותכה קו ה"ע בעצמו והוא חצי דבר ויהיה רביע אלגו
AH² - HE² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(1+\frac{1}{2}\right)x^2-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}\right]-\frac{1}{4}x^2=\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}$	ותגרעהו ממנו ישאר אלגו ורביע פחות שרש מאלגו אלגו ורביע אלגו אלגו
AE = the height on line BH = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}}}$	ושרש זה יהיה קו א"ע שהוא עמוד משלש אב"ה
AE × HE = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2-\sqrt{\left(1+\frac{1}{4}\right)x^2}}\times\frac{1}{2}x=\sqrt{\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4-\sqrt{\frac{5}{64}x^8}}}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle ABH=10}}$	תכה אותו בקו ה"ע והוא חצי דבר יהיה רביע אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו פחות חמשה חלקים מס"ד חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו ושרש זה ישוה שעור משולש אב"ה והוא עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]x^4-\sqrt{\frac{5}{64}x^8}=10^2=100}}$	תכה אותם בעצמם יהיה מאה ישוה רביע אלגו אלגו וחצי שמינית מאלגו אלגו פחות שרש מחמשה חלקים מס"ד חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו
Normalization of $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}+{\color{red}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}\right]x^4}}$ : multiplying the whole equation by $\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{5}}}$	ותשלים רביע אלגו אלגו עד שיהיה אלגו אלגו והוא שנכה אותו בשלשה וחומש תכה כל מה שתחזיק בשלשה בשלשה וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4-\sqrt{\frac{4}{5}x^8}=320}}$	ויהיה אלגו אלגו פחות שרש מארבעה חומשים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה ש"כ
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(5+\sqrt{20}\right)}}$	תשלימהו עד שיהיה אלגו אלגו שלם והוא שתכה אותו בחמשה ושרש מעשרים ותכה כל דבר שתחזיק בחמשה ושרש מעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=1600+\sqrt{{\color{red}{2}}048000}}}$	ויהיה אלגו אלגו ישוה אלף ת"ר דרהמי ושרש מאלף אלפי' ומ"ח אלפים
	ושרש זה הוא קו ב"ה
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Finding the line that cuts a fifth of the circle that circumscribes a decagon
If you are told: a regular decagon ABGDHWZCTK, its measure is a triangle KTC = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ואם יאמרו לך מעושר אב"ג דה"ו זחט"כ שוה הצלעות והזויות ושעור משלש כט"ח עשרה במספר
How much will be Line KC, which is a line that cuts a fifth of the circle that circumscribes the decagon?	כמה יהיה קו כ"ח שהוא קו חותך חמישית העגולה המקפת בזה המעושר
Defining: KC = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ולדעת זה נניח קו כ"ח דבר
It was already explained that if the line that cuts a fifth of the circle = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ , the square of its diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{2x^2+\sqrt{\frac{4}{5}x^4}}}$	וכבר בארנו שכאשר נניח קו חותך חמישית העגולה דבר יהיה מרובע קטרה שני אלגוש ושרש מארבעה חומשים מאלגו אלגו
Hence, the square of a half of its diameter = $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x^2+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}}$	ויהיה מרובע חציו של הקטר חצי אלגו ושרש מחצי עשירית מאלגו אלגו
When it is subtracted from the line that cuts a fifth of the circle: KT² = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left[\frac{1}{2}x^2+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}\right]=\frac{1}{2}x^2-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}}$	תגרעהו ממרובע קו החותך החמישית והוא אלגו ישאר מרובע כ"ט חצי אלגו פחות שרש מחצי עשירית מאלגו אלגו
We do this since Euclid had explained that the line that cuts the fifth is on the line that cuts the sixth and the tithe when they are set on one circle.	ועשינו זה בעבור כי באר אוקלידס כי קו החותך החמישית על הקו החותך הששית והעשירית כאשר הונחו בעגולה אחת
The square of the height of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle KTC}}$ : TM² = KT² - KM² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}x^2-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}\right]-\frac{1}{4}x^2=\frac{1}{4}x^2-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}}}$	תגרע ממנו מרובע כ"מ בעצמו ורביע אלגו ישאר מרובע ט"מ שהוא עמוד משלש כט"ח ורביע אלגו פחות שרש מחצי עשירית מאלגו אלגו
TM² × KM² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}x^2-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{10}\right)x^4}\right]\times\frac{1}{4}x^2=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)x^4-\sqrt{\frac{1}{320}x^8}}}$	תכה אותו במרובע כ"מ והוא רביעית אלגו ויהיה חצי שמינית מאלגו אלגו פחות שרש מחלק אחד מש"כ חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו
The area of $\scriptstyle{\color{blue}{\triangle MTC}}$ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)x^4-\sqrt{\frac{1}{320}x^8}}=10}}$	ושרש זה ישוה שעור משולש מט"ח והוא עשרה במספר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)x^4-\sqrt{\frac{1}{320}x^8}=10^2=100}}$	ותכה העשרה בעצמם יהיה מאה ישוה חצי שמינית מאלגו אלגו פחות שרש חלק אחד מש"כ חלקים מאלגו אלגו אלגו אלגו
Normalization of $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)x^4}}$ : multiplying the whole equation by 16	ותשלים חצי שמינית מאלגו אלגו עד שיהיה אלגו אלגו שלם והוא שתכה אותו בשש עשרה אחר זה תכה כל אשר תחזיק בשש עשרה
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4-\sqrt{\frac{4}{5}x^8}=1600}}$	ויהיה אלגו אלגו פחות שרש מארבעה חומשים מאלגו אלגו אלגו אלגו ישוה אלף ות"ר
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\times\left(5+\sqrt{20}\right)}}$	ותשלימהו עד שיהיה אלגו אלגו שלם והוא שתכה אותו בחמשה ושרש מעשרים ותכה כל דבר שתחזיק בחמשה ושרש מעשרים
$\scriptstyle{\color{blue}{x^4=8000+\sqrt{51200000}}}$	יהיה אלגו אלגו ישוה שמנת אלפים ושרש מחמשים ואחד אלף אלפים ומאתים אלף
	ושרש זה הוא קו כ"ח שהוא קו חותך חמישית העגולה המקפת במעושר
Q.E.D.	והוא מה שרצינו לבאר

Appendix: Bibliography

The second section: on pentagons and decagons / by Abū Kāmil Shujāʽ Ibn Aslam Ibn Muḥammad ibn Shujāʽ (Egypt, ca. 850-930)
– Hebrew translation –
by Mordecai (Angelo) Finzi (Mantua, d. 1475)
ha-Meḥumashim ve-ha-Meʽusharim

Manuscripts:

1) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 17/2 (IMHM: f 797), ff. 51v-62r (15th century; autograph)

Abu Kamil Shudeya, Algebra

2) 2) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 225/2 (IMHM: f 1118), ff. 155r-165v (15th century)

Mathematische Abhandlungen, vielleicht von Mordechai Finzi (1445-1473)

@@ Line 614: / Line 614: @@
 אשר כל צלע מצלעותיו עשרה
 |-
-|
+|When we wish to construct an incircle in a known regular decagon
 |style="text-align:right;"|וכן כאשר נרצה לעשות במעושר ידוע שוה הצלעות והזויות אשר כל צלע ממנו	עשרה עגולה אחת תקיף בזה המעושר
 |-

Difference between revisions of "המחומשים והמעושרים"

Revision as of 15:12, 27 December 2019

Contents

Introduction

Finding the side of a pentagon that is circumscribed by a circle

Finding the tithe of the circle when the fifth of the circle is known

Finding the side of a pentagon that circumscribes the circle

Finding the side of a decagon that circumscribes the circle

Finding the diameter of a circle that circumscribes a pentagon

Finding the diameter of an inscribed circle that is contained in a pentagon

Finding the diameter of a circle that is inscribed by a pentagon

Finding the diameter of a circle that is inscribed by a decagon

Finding the side of a pentadecagon that is circumscribed by a circle

Finding the height of an equilateral triangle

Finding the length of a rectangle that is encompassed by an equilateral triangle

Finding the side of a square that is contained in an equilateral triangle

Finding each side of a pentagon that is encompassed by a square

Finding each side of a regular pentagon whose area is fifty spans

Finding the side of a regular pentagon that contains a triangle, whose area is ten

Finding the line that cuts a fifth of the circle that circumscribes a decagon

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools