Difference between revisions of "ספר המספר / אליהו מזרחי"
(→Written multiplication) |
(→Written multiplication) |
||
Line 1,517: | Line 1,517: | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
− | + | |- | |
+ | |} | ||
{| | {| | ||
|- | |- |
Revision as of 20:20, 1 December 2019
ספר המספר להחכם האלהי מוהר"ר אליה המזרחי ז"ל : בקוסטנטינא קרית אדוננו המלך הגדול והאדיר שולטאן שולימאן ירום הודו ויתנשא : בשנת שתים עשרה למלכו:
Contents
[hide]- 1 Prologue
- 2 Introduction
- 3 Book One
- 3.1 Section One - Integers
- 3.1.1 Chapter One - Addition
- 3.1.2 Chapter Two - Multiplication
- 3.1.3 Chapter Three - Subtraction
- 3.1.4 Chapter Four - Division
- 3.2 Section Two - Fractions
- 3.3 Section Three - Integers and Fractions
- 3.1 Section One - Integers
- 4 Book Two
- 5 Book Three: Word Problems
- 6 Notes
- 7 Appendix: Bibliography
בבית צעיר המחוקקים קטון התלמידים | |
גרשם בן הח"ר אשה בן החכם המופלג הר"ר ישראל נתן שונצין בן שמואל בן ה"ר משה ז"ל | |
והוא נלחם בעיר פירט נגד הרשע פרא יואן די קאפישטראנו וגרש אותו עם כל חילו משם | |
והוא היה דור חמישי למה"ר משה משפירה הנזכר בתוספות מטוך | |
שנת כי גר הייתי בארץ נכריה | |
רצונך סבריך לחסר תסדר זה כנגד זה למולם | |
ותגביהי לשבת בימני בשפל השמאלי הך במקלם | |
ותוסיף עוד להכות כן שניים שפל ימין כגובה מ-שמאלם | |
והמספר מעט מרב תחסר והנותר כתוב זכר לעולם | |
בהכותך שתי אלה פעמים הלא תראה באלכסון שבילם | |
ומכתך בפעם זאת שלישית ישרה היא והם תוכו לדגלם | |
והעולה כתוב אותו למטה לנותרך וזה חסור משולש | |
והמופת קחה חסור ונגדו לימין או שמאל דרוש בגילם | |
והשמר לבל תשים מרובה מעט מהשניים שים טפלם | |
והך אלכסונית פעמים והעולה תקבץ כל נטילם | |
והך דרך ישרה עם שפלם ותחת המקובץ הם זבולם | |
כנגדם רב דרושך שים שתים פעמים הך באלכסון במילם | |
ואם צעדו פעמיהם בשוה שבריך בחזקתם ותלם | |
וחשבונך בלי ספק אמתי בעסקיך יהיה שלום בחילם | |
שמע וראה בחון שירי ידידי אשר עמם רצונך תם ונשלם | |
ואשא עוד משלי ואומר | |
אני יוסף בנו יואל ליחס בני ביבאם ספרדים וגרים | |
לבקשת ידי תלמיד חמודות אליהו למשפחת גברים | |
בכל מעלות ומדות ה חשובות מעוטרת מפוארת לדורים | |
לזכרון אשורר ו אזמר זמירותי בחסור ה שברים |
ב"ק יברך ב 2
Prologue |
|
The author: Elijah b. the honorable R. Abraham ha-Mizraḥi | אמר אליה בן ב"ר אברהם המזרחי יעמ"ש |
The theoretical knowledge is divided to three: | להיות שהידיעה העיונית נחלקת לשלשה חלקים |
|
האחד מהם נקרא החכמה האלהית והפילוסופיא הראשונה |
|
והשני יקרא החכמה ההרגלית והלמודית |
|
והשלישי יקרא החכמה הטבעית הפחותה |
The reason for this division is that all rational things are either free from matter or depend on it | והיה עלת החלוק הזה אמנם הוא מפני חלוק הענינים המושכלים וזה שהענינים המושכלים לא ימנעו מהיותם נקיים מהחומר וההתלות בו או דבקים ונתלים בו |
Those that depend on matter are either conceivable separately from the matter (as a triangle or a square) or can not be thought of as apart from it (as a man or a plant) | עוד אם היו נתלים בחומר לא ימנע מהיותם דבקים בחומר מעויין עד אי אפשר שיגיעו במחשבה נקיים מן החומר שמעויין כאדם והצמח וזולתו ואם שאפשר הגעתם במחשבה בזולת חומר מעויין |
|
והיתה החכמה אשר ימשך העיון בה במה שהוא נקי מהחומר תקרא האלהית |
|
ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר מעויין תקרא החכמה הטבעית |
|
ואשר ימשך העיון בה במה שהוא דבק בחומר אך לא בחומר מעויין וזה במחשבה זולת המציאות תקרא החכמה הלמודית |
Since mathematics is between metaphysics and physics like a mediator between two extremes, we should persevere its study inasmuch as it is shared by all wisdoms | והיה נושא החכמה הלמודית כדמות ממוצע בין נושא החכמה האלהית והטבעית והממוצע הוא אשר בו חלק משני הקצוות כאשר התבאר בחכמה הטבעית |
Mathematics bridges between the ordinary material perceptible things and the unusual rational things | מצורף לזה כי הוא מהמבואר בעצמו שזאת החכמה היא במדרגת הגשר אשר בו תעבור מחשבתנו מאלה הדברי' הגשמיים המוחשי' אל הדברים הנמצאים המושכלים ויעבור שכלנו מאלה הדברים הגשמיים אשר גדלנו בם מנערותנו והרגלנום אל הדברים הזרים אצלנו אשר לא הרגילום חושינו אשר הם בדקותם דומים לנפשותינו |
The types of the real beings are known only through the mathematical sciences – arithmetic, geometry, astronomy and music | ושאין דרך אל ידיעת מיני מה שנאמר שהם נמצאים באמת אלא באלו האומניות הארבעה שהם הארמתיקא וההנדסא והתכונה והמוסיקא אשר הם מיני זאת החכמה או חלקיה |
These four arts are needed for philosophy, as every art requires skill | וכמו שכל מלאכה מן המלאכות יצטרך לעושיה אל בקיאות במלאכתו ודמיון יתיישר ממנו בהוצאת דרושו כן אלו
החכמות במלאכת הפלוסופיא |
Arithmetic and geometry are closer to philosophy and more important than astronomy and music, since they are more inclusive and comprehensive fields – therefore it is necessary to teach them | ובאשר היה זה כן והיו שני חלקי החכמה הזאת שהם המספר וההנדסא אמנם הם יותר נכבדים ויותר קרובים אל הפלוסופיא הראשונה משני חלקיה האחרים שהם התכונה והמוסיקא למה שהיה נושא חכמת המספר אמנם הוא המספר המשותף לכל חומר איזה חומר שיהיה |
Arithmetic precedes geometry by nature – geometry exists only when arithmetic exists, but arithmetic can exist without geometry, and so arithmetic should be taught firstly | אמנם להיות שחכמת המספר ואם היא משותפת ומתדמה לחכמת ההנדסה לסבות שזכרנום אולם היא יותר קודמת בטבע מחכמת ההנדסה וזה שכאשר נעלה המספר נעלה ההנדסה ולא יעלה הוא בהעלות ההנדסה |
The reasons that drove Mizraḥi to write his book, even though other scholars had already wrote arithmetic textbooks before him | ואולם הסבות המניעות אותי בדבור ואם כבר קדמוני בזה החכמים הקדמונים הנה הם שתי סבות |
|
הסבה האחת שכל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אצלינו בזאת החכמה אמנם השתדלו בהודעת הדרכים והאופנים אשר בם יגיעו בכל דרוש מדרושי זאת החכמה ולא היתה עיקר כוונתם רק לקצר הדרכים המישרים אל ידיעתם לבד לא זולת זה |
|
והסבה השנית היא כי כאשר יעלמו מהתלמידים סבות הדרכים המיישרים אל ידיעתם הנה לא ידעו רק דרכי המחבר אשר התעסקו בדרכיו ואולם דרכי שאר המחברים לא ידעו מוצאם ומובאם אבל יהיו הדרכים ההם סגורים ומסוגרים אין יוצא ואין בא[2] |
The request of the Mizraḥi's students to write them arithmetic textbook and his duty to fulfill their wish | ובאשר היה זה כן וכבר נוספה על אלה הסבות סבה אחרת גם כן והיא אהבת התלמידים היקרים ז"ל אשר בקשו ממני לחבר להם ספר מודיע כל הדרכים אשר השתמשו בהם כל הקדמונים אשר הגיעו חבוריהם אלינו מחוברים בסבותיהם ומופתיהם ממה שהיה בו מהאפשרות עד שיהיה זה סבה שיפקחו עיניהם בתחבולות זאת החכמה ודרכיה ומוצאיה ומובאיה ולא יכולתי להשיב פניהם ריקם למה שכבר דמוני בזה שבידי להועילם תועלת גדול |
The pedagogic approach – introducing the proofs and the reasons of the arithmetical procedures will enable the reader to find all possible arithmetical techniques and principles by himself | ודע כי כבר תמצא בתוך החבור הזה דרכים חדשים חדשתים שם וחורפות נכבדות ואם הם צריכות לטורח גדול כי כוונתי להודיע תחבולות זאת החכמה כי רבוי הדרכים ופלפולם יעזור אל מציאות הסבות בדרכים ההם |
Introduction |
|
Necessary preliminary definitions: | |
---|---|
|
המספר היא חכמה יודעו ממנה אופני התחבולו' והדרכים המיישרים אל ידיעת הדרושים המספריים בקלות מבלי יגע ועמל |
Preliminary numerical principles: | ולהיות שאי אפשר לכל דורש החכמה הזאת להגיע אל זה אלא אחר הקדמת ידיעת מספר הדרושים המספריים כי הדרושים אמנם יהיו תחלה דרושים עוד אחר זה יהיו תולדות הנה אם כן מהמחויב עלינו לחלק הדרושים המספריים תחלה |
|
וטרם החלי בחלוק הדרושים המספריים אודיע גדר המספר כי זהו הקודם מכל מה שנכוין לדבר בו כי לולא זה לא נוכל לדעת חלוקי המספר כי הדורש בידיעת חלקי דבר מה איזה דבר היה הנה אמנם מהמחויב לו לדעת תחלה מהות הדבר ההוא אחר כן יחלק אותו לחלקים אם אל מינים ואל אישים אם היה אפשר זה או אל אישים לבד |
|
ואומר שהמספר הנה גדרוהו הראשונים בספר הארתמטיקא בהעברה מן המאמר שהוא קבוץ האחדים או האחדיות עוד גדרוהו כשהוא כלל הכמות המורכב מהאחדים |
|
ואמרו שהוא בדרך העברה הוא מפני שלא הזכירו בו סוג המספר ולא הבדלו כמו שהוא מהמחויב לכל הגדרים ואמנם גדרוהו בהעברה כי אין כוונתם הנה אלא הרושם לבד לא זולת זה |
|
אולם גדר המספר המודיע מהותו הוא כמה מתפרדת אשר החלק אשר בו ישוער כללותו הוא האחד |
|
והכמה הוא סוגו הרחוק ובו יובדל מהאיך ושאר המאמרות ומתפרדת הוא סוגו הקרוב כי בו יובדל מהכמה המתדבק והם הקו והשטח והגשם והמקום והזמן |
|
ואומנם הוצרכנו להזכיר בזה הגדר סוגו הרחוק ואם אין מתנאי הגדר למה שאין לנו שם נפרד מורה על הכמה המתפרד כמו שעשו זה בגדר החי בהזכירם הגשם ואם הוא סוג רחוק והשתמשו עם שתי מלות גשם נזון במקום מלה אחת |
|
ואולם אם נרצה בשם הכלל או הקבוץ שיורה על הכמה המתפרד הנה יהיה הגדר בשהוא הכלל או הקבוץ אשר החלק אשר ישוער בו כללותו הוא האחד ואולי שכוונו לזה הקדמונים ובאמרם המורכב מהאחדים רצו בו על שהמשער הכלל הוא האחד |
|
אולם חלקי המספר הנה אין כוונתנו בזה אלא החלקים אשר נצטרך בם בזה המאמר לא החלקים היוצאים מכלל כוונתנו זה כמו חלוק המספר אל הזוג והנפרד |
|
אולם החלק הראשון מזה הנה הם המספרים השלמים ורצוני בשלמים כמו שנים שלשה וארבעה והדומים להם כאשר לא נקישם אל זולתם |
|
ואולם החלק השני הם השברים ורצוני בשברים בשנקיש מספר מה עם מספר אחר ויהיה האחד חלק או חלקים לאחר |
Fractions as ratios: | |
|
|
|
משל הראשון והוא החלק בהקישך השנים עם הארבעה או עם הששה והדומים להם |
|
כי הב' ימנה הד' ב' פעמים והוא חצי |
|
וימנה הו' ג' פעמים והוא שליש |
והחצי הוא חלק אחד משני חלקי הכל והשליש אחד מג' חלקיו | |
ויקרא הגדול בשם נגזר ממנו הקטן כי אם היה הקטן שליש נקרא הגדול משולש בכפל | |
|
ומשל החלק השני והוא החלקים |
|
בהקישך השנים עם השלשה אשר הם שתי שלישיות |
|
או בהקישך השנים עם החמישי אשר הם שתי חמישיות |
ובכלל כאשר לא ימנה האחד את האחר | |
והגדול אחר שהוא בלתי מנוי מהקטן והוא מהמחויב שיהיה אם כמוהו ויותר או כפל ויותר או כפלים ויותר | |
|
ושהיותר אם שיהיה חלק או חלקים לקטן הנה נקראהו בשתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל הנשאר הנוסף שהוא בלתי נמנה |
|
|
|
המשל אם הקשת הג' אל הב' הנה אחר שהג' הוא כמו הב' פעם אחת ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הג' בהקש אל הב' כמוהו וחציו |
והנה שם כמוהו מורה על שהוא נמנה מהקטן פעם אחת | |
ושם חציו מורה על שהנשאר מהגדול ימנה הקטן והוא חלק לו | |
|
|
|
ואם הקשת הה' אל הב' הנה אחר שהה' הוא כמו הב' ב' פעמים ויותר והיותר הוא אחד משני חלקי הב' הנה נקרא הה' כפל וחצי |
והנה שם הכפל מורה על שהוא נמנה מהקטן פעמים | |
ושם חצי מורה על שהנשאר מהגדול הוא מונה לקטן והוא חלק לו | |
|
|
|
וכן אם הקשת הז' על הה' הנה אחר שהוא כמו הה' ויותר והיותר הוא ב' חלקים מה' חלקי הה' הנה אם כן נקרא לו שתי שמות שם בהקש אל מה שהוא נמנה ושם בהקש אל מה שהנשאר הוא חלקים לקטן |
Mizraḥi blames his contemporaries for understanding the fractions as parts of the absolute one instead of the relative one | והוצרכתי להאריך בזה למה שראיתי אנשי זמננו חושבים כי השלמים הם מאחד ומעלה כמו א' או ב' או ג' או איזה מספר שיהיה והשברים הם מא' ולמטה כמו חצי הא' או שלישיתו או רביעיתו ובכלל שברי הא' |
Fractions are parts of the one as a divisible whole, not as an indivisible absolute unit | ר"ל כי דבריהם אמנם צדקו בשהשברים אמנם הם שברי השלם האחד אבל זה האחד ראוי שתדע שהוא מספר מה יכונה בשם שלם |
כי כל כלל במה הוא כלל אמנם יכונה בשם שלם בהקש אל חלקיו | |
ר"ל כמו הב' אל הח' עד"מ שהם רביעית הח' והנה יקרא הב' רביעית הח' בשיכונה הח' בשם שלם והב' בשם חלק | |
ויהיה הח' מרובע בכפל והוא ד' כפלי הב' | |
זהו האחד אשר נחשב ממנו שבריו לא האחד האמתי הבלתי מתחלק | |
כי גדר הכולל ראוי שינשא על המיוחד | |
ואם יהיו שני מיני המספר שלמים ושברים ויהיו השברים שברי האחד הבלתי מתחלק הנה לא יצדק שם המספר וגדרו אשר הוא קבוץ האחדים | |
כי האחד האמתי איננו מספר וכ"ש שברי האחד | |
והחכם בן עזרא נתעורר בזה ואמר ידוע כי האחד כמו הנקודה בתוך העגולה | |
ע"כ לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם האחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב | |
ובעבור זה יעשה האדם במחשבה מן האחד שברים ושברי שברים | |
Three categories of numbers: integers, fractions, integers and fractions | הנה א"כ כבר התבאר לך ענין השלמים והשברים אשר המספר נחלק עליהם ר"ל חלקיו הפשוטים וכבר יתחייב מזה חלק שלישי מחובר מהשלמים והשברים יחד |
The practical need for arithmetical knowledge – the necessity of the operations of adding, subtracting and dividing for bargaining, geometry, astronomy etc. | ואחר שכבר בארנו שחלקי המספר הם שלשה חלקים והם שלמים לבד ושברים לבד וחבור השלמים והשברים יחד והיה הדרישה המוטלת עלינו אמנם היא הדרישה מידיעת המספר הנופל תחת המשא והמתן והיא העסק המדיניי וידיעת המדות והתמונות השטוחות והמוגשמות ודברים רבים מענייני ההנדסא אשר הם הכרחיים בידיעת חלוקי הבתים והחצרות כי זה הוא אשר נצטרך בידיעתו להנצל מהעושק והחמס אשר הזהירה עליהם תורתנו הקדושה |
Four ways for relating a number to another: adding a number to the other; subtracting a number from the other; ratio of a number to the other; addition and subtraction together | וזה שהדרישה מידיעת המספר איננו מצד הבטתנו המספר האחד בעינו כי המספר האחד בעינו איננו מצטרך לחקירה כלל כי הוא ענין נודע בעצמו |
Adding and subtracting are opposites – cannot be applied at the same time on the same subject | ואחר שהאופן הארבעה נמנע כי התוספת והמגרעת הם שני הפכים ולא יתכן שימצאו יחד בנושא אחד בזמן אחד מצד אחד |
Three operations should be known – addition, subtraction, ratio – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions | והנה ישארו השלשה פנים והוא ידיעת התוספת וידיעת המגרעת וידיעת יחס זה אל זה הנה מן המבואר בעצמו שכל אחד משלשה חלקי המספר שהם השלמים לבד והשברים לבד וחבור שניהם יחד שהוא יחלק עוד לשלשה חלקים אלו שהם התוספת והמגרעת ויחס זה אל זה |
Addition is either by summing or by multiplying | ולהיות שהתוספת יהיה אם בקבוץ זה על זה ואם בהכאה כי ההכאה אינו רק קבוץ מספרים רבים כאשר יתבאר ענינו במה שיבא |
והמגרעת יהיה בחסור זה מזה | |
Ratio is known by division | ויחס זה אל זה אמנם יודע בחלוק כי עם החלוק נדע כמות הפעמים אשר ימנה הקטן את הגדול והנה אם לא ישאר דבר בלתי מחולק ידענו שהמספר הקטן הוא חלק לגדול והגדול כפל או כפלים לו |
Four operations should be known – summing, multiplication, subtraction, division – specified for each of the three categories of numbers – integers, fractions, integers and fractions | הנה מן המבואר מזה שמיני הדרושים המספריים המצטרפים לענינינו זה הם ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק וזה בכל אחד מג' מיני המספר שהם השלמים והשברים והשלמים עם השברים |
The ancients count two additional operations: doubling and halving | ואולם קצת מהראשונים כבר הוסיפו עוד ב' מינים זולת אלו הד' והם כפול וחלוק באמצע |
|
והוא טעו' בידם כי הכפול הוא ההכאה בעצמו רק שההכא' כולל הכאת מספר אחד איזה מספר היה עם מספ' אחר איזה מספר היה |
|
ואולם החלוק באמצע הוא הכאת השברים עם השלמים רק שהכאת השלמים עם השברים יהיה עם איזה מין שברים שיהיו |
Every duplication is multiplication, but not every multiplication is duplication
Every multiplication is summing, but not every summing is multiplication |
ואין לטעון על זה שכאשר אין ראוי למנות הכפול וההכאה שני מינים מפני שכל כפול הכאה ואם אין כל הכאה כפול כן אין ראוי למנות הקבוץ וההכאה שני מינים מפני שכל הכאה קבוץ ואם אין כל קבוץ הכאה |
|
וזה כי הכאת שלשה עם ששה עשר הם מ"ח וכן אם תסדר ששה עשר בשלשה טורים ויקובצו יעלו מ"ח |
|
אולם במספרים המתחלפים כמו מספרי י"ו י"ז י"ח עד"מ הנה אין דרך להשיבם אל מספר אחד אלא עם הקבוץ לבד |
ולכן כל מה שיצדק בו דרך ההכאה שהם המספרים השוים יצדק בו דרך הקבוץ | |
ולא כל מה שיצדק בו דרך הקבוץ יצדק בו דרך ההכאה כי המספרים המתחלפים לא יצדק קבוצם אלא עם הקבוץ בלבד | |
Summing identical numbers and multiplication – defferent operations, same result
Duplication and multiplication by 2 – identical operations, identical result |
כי התשובה בזה מבוארת בעצמה וזה שהקבוץ וההכאה יתחלפו בפעלותם ואם תכליתם הוא אחד בעצמו וזה בכתיבה ובסדור ובאורך ובקצור ואולם הכפול וההכאה הוא מין אחד בעצמו בפעולתם ובתכילתם |
Multiplication is an easier way to write a sum of identical numbers, but a sum of different numbers cannot be described as multiplication – hence the use of summing is needed as well as multiplication | ולו היה אפשר להשתמש עם ההכאה בכל המספרים הנוספים זה על זה לא היינו מצטרכים אל הקבוץ כלל אחר שהוא בלתי מצטרך להנחת טורים רבים ולא לפעלות רבות אבל בעבור שהמספרים המתחלפים שאינם ממין אחד לא יתכן ידיעתם אלא עם הקבוץ לבד אחר שהם מתחלפים לכן הוכרחנו להשתמש עם הקבוץ |
ואחר שהיה זה כן הנה א"כ מהמחויב מזה שיהיו מיני המספר ד' קבוץ הכאה חסור וחלוק | |
וזה אם בשלמים לבד ואם בשברים לבד ואם בשלמים עם השברים יחד | |
ואלו הם הדרושים המספריים הצריכים לעניננו זה | |
אולם סדורם ואופן הנחתם הנה יתבאר בחלוק מאמרנו זה אל חלקי' ראשונים עוד כל אחד מהם אל חלקים שניים כפי מספר החלקים הראויים לכל חלק וחלק | |
ואומר דע שמאמרנו זה יחלק תחלה לשלשה מאמרים | |
המאמר הראשון כוונתנו בו להודיע כל הדרושים המספריים במה הם מספריים | |
המאמר השני כוונתנו בו להודיע הדרושים המספרים המשיגים להנדסא והתכונה אף כי אינם למספר במה הוא מספר כאשר יתבאר בע"ה | |
המאמר השלישי כוונתנו בו להודיע השאלות הנופלות במספר מצד מה שהוא מספר ובהנדסא והתכונה מצד מה שישיגם המספר ואופן התשובה בכל אחד ואחד מהם |
Book One |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והמאמר הראשון יחלק לשלשה שערים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
השער הראשון יודיע הדרושים המספריים שבשלמים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
השער השני יודיע הדרושים המספריים שבשברים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
השער השלישי יודיע הדרושים המספריים שבשלמים עם השברים יחד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אולם השער הראשון יחלק לד' פרקים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הפרק הראשון יודיע דרך הקבוץ | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הפרק השני יודיע דרך ההכאה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הפרק השלישי יודיע דרך החסור | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הפרק הרביעי יודיע דרך החלוק | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן השער הב' והשער הג' יחלק כל אחד מהם לאלו הד' פרקים כי כל שער ושער יתבארו בם אלו הד' מינים הנזכרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Section One - Integers |
השער הראשון במספרים השלמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Chapter One - Addition |
הפרק הראשון במין הקבוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Introduction |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Necessary preliminary clarification: | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Precedence of addition over the other operations – addition is the simplest operation and all other operations consist on it | ואמנם הקדמנו זה המין מזולתו משאר מיני המספר למה שהיה מדרגתו משאר המינים מדרגת הפשוט מהמורכב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שכמו שהפשוט אמנם יורכבו ממנו כל המורכבים ולא יורכב הוא מזולתו כן מין הקבוץ אמנם יתרכבו ממנו שאר המינים ולא יתרכב הוא מהם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר היה כן הנה כמו שיחוייב למרכיב אם בידיעה ואם במציאות שיקדים הפשוטים על המורכבים אחר שהפשוטים קודמים על המורכבים כן יחויב עלינו להקדים זה המין משאר מיני המספר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition of addition | ואומר שהקבוץ הוא השבת מספרים רבים איזה מספרים מונחים שיהיו שוים או מתחלפים למספר אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The Positional Decimal System: |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The written numerals | והנה המתחיל במלאכה הזאת יצטרך לדעת ראשונה הסימנים ההודיים או העבריים או איזה סימנים שיהיו המורים ובהסכמה כל המספרים עוד אחר זה יכנס במלאכה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולהיות שהסימנים ההודיים פשטו בכל ארץ מערב וברוב ארצות מזרח לכן בחרנו לכתוב הסימנים ההודיים בספרנו זה מכל שאר הסימנים וזה סימנם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם רצית להשתמש עם האותיות הקדושות אשר לנו הנה כזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
א ב ג ד ה ו ז ח ט 0 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
numerical value (kamut) and positional place (eykut) | ואולם אופן הוראתם על המספרים הנה הוא מב' צדדין מצד הכמות ומצד האיכות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אולם הכמות הנה יורו בו בעצמם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם האיכות הנה יורו בו מצד מקומם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונרצה בכמות באשר לא נביט בהם רק מספר החלקים הנכללים בם לבד לא אם יהיו החלקים ההם אחדים או עשרות או מאות או זולת זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כמו סימן השלשה עד"מ כשלא נביט בהם רק השלוש לבד ר"ל שהם מחוברים משלשה חלקים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולא נביט החלקים ההם אם הם אחדים והם שלשה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
או אם הם עשרות והם שלשים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
או אם הם מאות והם שלש מאות והדומים להם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונרצה באיכות כאשר נביט בחלקים הנכללים בם מאיזה מין הם אם הם מהאחדים או מהעשרות או מהמאות או מזולת זה מהמדרגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי האות הראשון המורה על א לפי כמותו אם היה במקום הראשון לפי הנחת הסימנים יורה על מדרגת האחדים והנה יהיה אחד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה במקום השני יורה על מדרגת העשרות והנה יהיה י' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז ק' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן בזה הדרך לעולם לפי רבוי המקומות יתרבו המדרגות המורות על האיכות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The numerical value of a numeral is unchangeable, but its positional value is changeable | אמנם כמותו לעולם אחד רק שיתחלף האחד שיהיה פעם א' מהאחדים ופעם א' מהעשרות ופעם א' מהמאות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן האות השני המורה ב' מצד כמותו אם היה במקום הראשון יורה על מדרגת האחדים ויהיו שני אחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה במקום השני יורה על עשרות ויהיו אז שני עשרות שהם עשרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היה במקום הג' יורה על מדרגת המאות והנה יהיה אז שני מאות ר"ל מאתים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן כלם יתרבו המדרגות בהתרבות המקומות והכמות אחד בעצמו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The positional value of a given rank is unchangeable, but its numerical value is changing according to the replacement of the numeral placed in it | ואולם אם המקום אחד ויתחלפו האותיות יתרבה הכמות והמדרגה תהיה אחת בעצמה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ר"ל אם שמת במקום השני ד"מ סימן הב' יורה על שתי עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שמת בו סימן הג' יורה על ג' עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שמת בו סימן הט' יורה על ט' עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור אופן הוראת האותיות האלו על המספרים בכמות ובאיכות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Zero – placeholder digit, which have no decimal value | ואולם הסימן העשירי שהוא כדמות גלגל הנה הוא בלתי מורה כמות כלל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונקרא בלשון לעז נולא והוא נגזר מינו אשר יורה בלשונם על האין | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובלשון ישמעאל סיפרא אשר יורה ג"כ בלשונם על ההעדר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובלשון יון אודן אשר יורה גם כן על האין | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אמנם אף כי איננה מורה על כמות כלל אבל היא סבה על האיכות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ר"ל שהאות הנמשך אחריה יורה כמותו אז על מדרגה אחרת מהמדרגה המורה מקום הנחת הסיפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי עד"מ אם רצינו לכתוב י' הנה נכתוב סיפרא תחלה ואחריו האות הראשון מהאותיות אשר הוא מורה על אחד מצד כמותו והנה יורה אז על עשרה אחר שמקום הנחתו הוא אחר מקום הסיפרא אשר הסיפרא ואם איננה מורה על כמות אבל היא מורה על מדרגה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן אם רצית לכתוב מאה ואחד עד"מ אשר הנחת הסיפרא אז הוא באמצע הנה אין ספק האות הראשון אז יורה על א' מהאחדים בעבור שכמותו יורה א' ומקומו מקום האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה שתועלת הסיפרא הוא להרבות מקום המדרגות לא זולת זה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן לפי הדרך הזאת כבר תוכל לכתוב איזה מספר שרצית עם אלה הסימנים הכתובים הנה אשר הט' מהם יורו על כמות והעשירי בלתי מורה על כמות כלל | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The reason for using only nine numerals | ואחר שכבר התבאר לך הוראת הסימנים האלו למקומותם למושבותם וידיעת הנחת המספרים עם הסימנים האלו איזה מספרים שיהיו הנה כבר מה שנשאר עלינו להודיע הוא הדרך אשר בו נגיע אל ידיעת זה המין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שהיה כל מספר אם שיהיה פרטים לבד או כללים לבד או מחובר מהפרטי' והכללים יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והפרטים לבד הם המספרים אשר מא' ועד ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכללים לבד הם המספרים הנמשלים לאחדים והם העשרות והמאות והאלפים והרבבות ודומיהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכללים עם הפרטים יחד הם המספרים המחוברי' מאחדים ומעשרות כמו כ"ה עד"מ או מהאחדים ומאות כמו ר"ג עד"מ ודומיהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיו הכללים נכללים תחת האחדים אחר שהם נמשלים להם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי העשרה כמו א' בחשבון וכן הק' והאלף והרבבה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והכ' הם כמו ב' בחשבון וכן הר' והאלפים והרבותים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והשלשים הם כמו הג' בחשבון וכן הש' והשלשה אלפים והג' רבבות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן התשעים הם כמו הט' בחשבון וכן התשע מאות והתשעה אלפים והתשעה רבבות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן בזה הדרך לעולם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והכללים עם הפרטים יחד הנה הם גם כן יכללו באחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי הכ"ה על דרך משל הנה הכ' מהם הם כמו ב' כאשר בארנו והה' הם אחדים בעצמם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן הר"ג הנה הר' מהם הם כמו הב' והג' הם אחדים בעצמם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה יתחייב מזה שיהיה כמות כל מספר נכלל בתוך הט' האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
לכך היו סימני המספר ט' לבד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם הסבה אשר בעבורה הסכימו כל הקדמונים להיות האחדים ט' לא פחות ולא יתר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה כבר כתבו הראשוני' בזה ובפרט החכם ראב"ע ואמרו שהסבה בזה הוא מפני שבהם ישלם העגול | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
שאם יונחו הט' מספרי' בעגול כמו זה ויוכה הט' על עצמו יעלה פ"א והנה הא' מצד ימין והח' שהוא כמו פ' הוא מצד שמאל | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והכאת הח' עם הט' עולה ע"ב והנה הב' מצד ימין והז' שהוא כמו הע' מצד שמאל | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן תמיד על זה הדרך עד שיוכה הה' עם הט' ואז יתהפך שיהיו העשרות ימניים והאחדים שמאליים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר היה זה כן הנה יהיו המספרי' ט' בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואין ספק שזאת הסבה היא אמתית אבל היא סבה הנדסיית לא מספריית | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אולם הסבה המספריית לזה היא זאת לפי דעתי | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא שלהיות הא' ואם הוא סבת כל מספר איננו מספר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיה המחובר ממנו אשר הוא המספר נחלק לשני מינים מתחלפים והם הזוג והנפרד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה מן המחויב שיחלקו האחדים לשלשה חלקים ראשונים והם האחד והב' והג' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי האחד איננו מספר והשנים אשר הוא ההרכבה הראשונה הם זוג והג' אשר הם ההרכבה השנית הם הנפרד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואלה השני חלקים שהם הב' והג' הם המספרים הפשוטים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולהיות שהמורכבים הראשונים יחלקו לשני חלקים ראשונים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והם אם שיהיו שני חלקיו יחד פשוטים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד פשוט והאחר מורכב | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיה החלק הראשון נחלק לשלשה חלקים שניים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והם אם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשוט הראשון | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיו שני חלקיו יחד מהפשו' השני | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה אחד משני חלקיו מהפשוט הראשון והאחר מהפשוט השני | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיה החלק השני נחלק גם כן לששה חלקים שניים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והם אם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק השני מהמורכב מהפשוט הראשון שהוא המין הראשון משלשה מיני המורכבים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון בעצמו אבל החלק האחר יהיה מהמורכב מהפשוט השני שהוא המין השני משלשה מיני המורכבים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט הראשון והחלק האחר מהמורכב מהפשוט הראשון והפשוט השני שהוא המין השלישי משלש מיני המורכבים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב הראשון | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט השני והחלק האחר מהמורכב השני | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם שיהיה החלק האחד מהפשוט ה[ש]ני והחלק האחר מהמורכב השלישי | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיו השלשה חלקים מהו' נופלי' כי הם נכנסים אל החלקים הראשונים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה ישארו גם אלה שלשה חלקי' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה מן המחויב לנו א"כ שיהיו מיני המורכבים ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכבר קדם שהמינים הראשונים שלשה הפשוטים השנים והאחד אשר איננו מספר הנה יהיו החלקים תשעה בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה מה שרצינו לבאר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Written Addition |
ומעתה נתחיל בהודעת דרך הקבוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Description of the algorithm | ואומר שכאשר תרצה להוסיף מספרים יותר מאחד קצתם על קצת להשיבם אל מספר אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה ראוי שתסדר כל טורי המספרים זה תחת זה ושתהיה כל מדרגה תחת המדרגה הדומה לה ר"ל האחדים תחת האחדים והעשרות תחת העשרות וכן תמיד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אחר זה תחבר כמות כל הסימני' המתחלפי' או השוים אשר הם בעלי איכות אחד ר"ל במדרגה אחת | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והמספר העולה מהם לא ימלט מאחד מג' פנים לפי מה שקדם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם שיהיו פרטי' לבד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם כללים לבד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם חבור שניהם יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו פרטים לבד הנה תכתבנו למטה באותה המדרג' עצמה אחר שתמשיך קו תחת כל הנקבצים ר"ל אם היו הנקבצים במדרגת האחדים תכתוב גם הסך במדרגת האחדי' תחת הקו המבדיל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם הנקבצים במדרגת העשרות כתוב גם הסך במדרגת העשרות תחת הקו המבדיל וכן בכל מדרגה ומדרגה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה הסך כלל לבד ראוי שנביט הכלל ההוא מאיזה מדרגה הוא וכפי מדרגתו יונח כל אחד ואחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ר"ל אם היו הנקבצים אחדים והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים במדרגה השנית או שתי נקודות ותחת מדרגת האחדים יכתוב סיפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן אם היו הנקבצים עשרות והסך עלה כ' על דרך משל שהם כלל יכתוב שני סימנים או נקודות במדרגה השנית לה ותחת מדרגת העשרות יכתוב סיפרא | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה הסך העולה ב' מיני כללים כמו ק"כ על דרך משל הנה ראוי שיכתוב ב' סימני' או נקודות במדרגה השנית לה בעד כלל הכ' שבידינו וא' במדרגה השלישית לה בעד כלל הק' שבידינו או ירשום י"ב נקודות או סימנים מורים על י"ב על המדרגה השנית לה ותחת המדרגה הנקבצת נכתוב סיפרא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה הסך כלל ופרט יחד הנה יכתו' הכלל במקומו לפי מדרגתו כאשר בארנו והפרט תחת המדרגה הנקבצת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ובזה הדרך תוכל לחבר איזה מספרים שיהיו אל מספר אחד ירבו מה שירבו המדרגות אין חשש בזה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
המשל בזה רצינו לקבץ אלף ומאה ואחד וג' אלפים תשע מאות ל"א וט' אלפים תשנ"ה ונ"ז אלפים ונ"ב וכ"ח אלפי' וס"ז
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה נסדר הטורים ונתחיל מהאחדים מפני שאם יהיה הסך העולה כלל הנה מקום הנחתו הוא במדרגה הנמשכת לה ולכן נקבץ האחדי' כלם והנה הם י"ו וזהו הסך העולה מהאחדים ונמשוך קו אחד תחת הנקבצים ונכתוב תחתיו הסך ר"ל הו' תחת מדרגת האחדים והי' אשר כמותו א' להיות שהם העשרות ראוי שיכתב במדרגה הנמשכת לה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Methods of checking |
והמאזנים אשר בו יאוזן זה המין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Unreliable tests - reliable only for the false findings | הנה כבר כתבו הראשונים על זה שני מינים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
האחד על דרך התשיעיות והאחר על דרך השביעיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אולם המין הראשון מהם הוא שתשליך כמות כל הנקבצים ט' ט' ר"ל שלא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם עוד תשליך כמות הסך ט' ט' ולא תביט בהם האיכות והנשארים שלא הגיעו לכלל ט' שמרם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם הם שוים אפשר שצדקת לא שהוא מחויב כי יתכן שיהיה הטעות ט' אם בתוספ' אם בחסרון | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולכן ראוי שיקראו אלה המאזנים מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד הא' לבד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואולם המין השני מהם הוא ע"ד השביעיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא שתתחיל מהמדרגה האחרונה ותחשבה לאחדים ותשליך כמות כל נקבצים לז"ז והנשאר תחשבהו לעשרו' וחברהו עם המדרגה הקודמת לה כשתחשוב אותה לאחדי' ותשליך העולה מכמו' כל נקבצים לז"ז | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם יהיה השמור השני היוצא לך מהסך שוה לשמור הראשון אפשר שצדקת ואם לאו כזבת | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וגם אלה מאזני מרמה אחר שלא יחייב הצדק והכזב רק הצד האחד לבד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Reliable tests: | ואולם המאזני צדק אשר בזה המין אשר בו יאוזן הצדק והכזב יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עם מאזני התשיעיות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הוא מה שאומר שנקבץ כמות כל נקבצי המדרגה הא' ותשליך אותן ט' ט' כאשר בארנו ודע כמה תשיעיות יש בידך וכמה אחדים שלא הגיעו לט' ושמרם בידך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המשל במשלנו זה הכתוב הנה קבצנו התשיעיו' והאחדי' מכל הנקבצים ממדרגת האחדים ועלו תשיעית א וג' אחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו הנקבצים ב' מספרים לבד שוים או מתחלפים יהיו שם עוד מאזני צדק אחרים זולת אלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא חסור המספר הא' מהמקובץ והנשאר אם יהיה שוה למספר האחד הקבוץ אמת ואם לאו שקר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו הנקבצים שנים מספרים שוים יהיו לו עוד מאזני צדק שלישיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא החלוק באמצ' אשר הוא הכאת החצי עם המקובץ והיוצא אם הוא שוה למספר הא' הוא אמת ואם לאו דע שטעית | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולהיות שיש דרך קצר זולת זה בקבוץ קצת מינים מהמספרים אף כי אין הקצר הזה באיזה מין מספרים שיהיו רק במינים מעויינים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה ראוי לנו להודיע גם זה אמנם למה שלא יודע הדרך ההוא אלא בידיעת מין ההכאה לכן ראוי לנו שנמתין הענין עד באנו אל המין ההוא אם ירצה השם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Reasons and Explanations |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The reason for the adding procedure | והסבה למציאות זה המין מבואר בעצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
All ranks are similar to the units | וזה שאחר שהעשרו' והק' והאלפים והרבבות כלם נמשלים ר"ל שהי' במדרגה הראשונה הם א' במדרגה הנמשכת לה והי' שבמדרגה השנית הם א' במדרגה הנמשכת לה וכן תמיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה אם כן אין הבדל בזה שנקח כל העולם מהנקבצים מהמדרגה האחת או שנקח האחדים שתחת אותה המדרגה עם האחדי' ששמנו במדרגה הנמשכת לה תמורת הכלל המחובר עם האחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
המשל בזה אם רצינו לקבץ תשכ"ג ות"ת סה ותתקנ"ז אשר הסך העולה מהם הוא ב' אלפים תקמ"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה אין הבדל שנקח כל הנקבצים ממדרגת האחדים שהם ט"ו אחדים או שנקח הה' שבמדרגת האחדים והא' שבמדרגה הנמשכת לה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
ואולם הסבה אשר בעבורה היו מאזני התשיעיות והשביעיות מורים על שהקבוץ איננו אמתי כאשר לא יהיו מותרי הסך והנקבצים שוים הוא מבואר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Euclid ![]() |
וזה שכבר התבאר בפתיחת ספר אקלידס כאשר חוסר מהשוים שוה יהיה הנשאר שוה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה דבר מוסכם לכל ואם כן יתחייב מזה בהכרח שאם מספר הסך הוא שוה למספר כל הנקבצים שיהיו מותרי שניהם שוים כאשר מוסר מהם מספרים שוים שהם מספרי התשיעיות והשביעיות וזה הקש תנאי מתדבק | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכבר התבאר בספר ההקש כי סותר הנמשך יוליד סותר הקודם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
אם כן יחוייב מזה שכאשר ימצא מקביל הנמשך והוא היות המותרים בלתי שוים שיחויב מזה מקביל הקודם והוא שהסך בלתי שוה לנקבצים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכבר היה מתנאי הסך האמתי שיהיה שוה לנקבצים לפי מה שקדם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אם כן זה הסך הוא בלתי אמתי בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואין לטוען לטעון על מאזני התשיעיות על היותנו חושבים כל המדרגות כמו אחדים בין בסך בין בנקבצים ולומר שאמנם היה זה צודק ר"ל כאשר יהיו המותרים בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים התשיעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם אנחנו אחר שחשבנו על המדרגות לאחדים הפך האמת הנה לא חוסר משני המספרים השוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי התשובה בזה מבוארת בעצמה והוא שאחר שהעשרות או המאות כאשר תשליך מהם התשיעיות לא ישארו מהם רק אחדי' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שהנשאר מהעשרה אחד וכן מהמאה ומהאלף ומהרבבה וזולת זה מכל שאר המדרגו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אם כן אין הבדל בין שנחשוב כל המדרגות לאחדים או לעשרות או למאות או לאלפים או זולת זה מהמדרגות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי עד"מ מספרי ת"ש אם חשבנום לז' אחדים הנה הם ז' ואם חשבנום לשבע עשרות הנה הנשאר מהם גם כן שבעה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר היה כן הנה אין הבדל בזה אם נחשוב כל המספרים שבכל המדרגות כמו אחדים או כמו עשרות או כמו מאות כי המותר שוה לעולם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולהיות שזה הקצור הנפלא והוא שיחשבו כל המספרי' שבכל המדרגות לאחדים הוא ענין בלתי צודק למספר אחר זולת הט' והג' על כן השתמשו בתשיעיות משאר כל המספרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והניחו השלשה לרוב קטנותו כי המספר היותר גדול בו יותך המספר בקלות מאשר יותך אל המספר הקטן ממנו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
גם אין לטוען לטעון על מאזני השביעיות על היותנו חושבים כל מדרגות הסך חוץ ממדרגת האחדים לעשרות ונחבר עם כל מדרגה המדרגה הקודמת לה ונחשבה לאחדים ואם הם מאות או אלפים או זולת זה מהמדרגות ולומר שאמנם היה צודק שכאשר יהיו המותרי' בלתי שוים שיהיה הסך בלתי אמתי אלו היינו גורעים השביעיות מכל הסך ומכל הנקבצים אחרי שנתיך שניהם לאחדים כי אז יהיו המספרים הנחסרים שוים ויתחייב שיהיו המותרים שוים בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אולם אנחנו אחרי שחשבנו המדרגה האחרונה לעשרות והקודמת לה לאחדים ואם הם אלפים או מאות הפך האמתי הנה לא חוסר משני המספרים שוים מספר שוה עד יהיו הנשארים שוים בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי התשובה בזה מבוארת גם כן והוא שמצד הנשלכים אין הבדל שיהיו עשרות או מאות או אלפים או זולת זה המדרגות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי התשעה על דרך משל כאשר תחסר מהם שבעה אין הבדל בין שיהיו התשעה תשע האחדים ויחסרו מהם שבעה ובין שיהיו תשע עשרות אשר הז' הנשלכים ממנו אז הם עשרות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולכן אין הזק אם נחשוב המאות או האלפים או זולתם עשרות ונשליך מהם השביעיות ואם מצד המותרים אין הזק גם כן וזה שהמותרים ואם הם בלתי שוים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי מספר התשעה עד"מ אם היה אחדים הנה כאשר נשליך מהם השביעיות ישארו שני אחדים ואם היו עשרות הנה ישארו ו' אחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אולם עם ההתכה יתוקן זה הענין בהכרח וזה שאחרי שאנחנו מתיכים כל אחד מהנשארים לעשרה במדרגה הקודמת לה ומשליכים מהם השביעיות וכן הנשארים מהם עוד אנחנו מתיכים כל אחד מהם לעשרה עד שנגיע למדרגת האחדים הנה אין הזק בזה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שהתשעה עד"מ הנה אם היו אחדים יהיו הנשארים ב' אחדי' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן אם היו עשרות יהיו הנשארים מהם ב' עשרות והנה אחרי שיש להם מדרגה אחת קודמת אחר שהם עשרות ויתחייב שנחשוב כל אחד מהם לעשרה פעם אחת במדרגת האחדים הקודמת לה הנה ישובו הב' לעשרים ונשליך מהם השביעיות וישארו ו' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכן אם היו מאות יהיה הנשאר מהם ר' והנה אחרי שיש להם שתי מדרגות קודמות להם אחרי שהם מאות ויתחייב עם זאת התחבולה שיותכו ב' פעמי' פעם ראשונ' במדרגת העשרות ופעם שנית במדרגת האחדים הנה אם כן ישובו הב' עשרים במדרגת העשרות ונשליך מהם השביעיות וישארו ששה עוד ישובו הששה לששים במדרגת האחדים ונשליך מהם השביעיות וישארו ארבעה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם הסבה אשר נחבר המדרגה הקודמת לאחרונה עם האחרונה ונחשוב האחרונה לעשרות והקודמת לאחדים ולא חשבנו כל מדרגה לאחדים ונשליך מהם השביעיות אחר שבנשלכים אין חשש ועם ההתכה יתוקן המותר כאשר בארנו היא זאת שאנחנו אם נקח המדרגה האחרונה לבדה ונחשבנה לאחדים הנה המותר מהם יתחייב שיותך לעשרה ויחוייב שנחבר אותה עם המדרגה הקודמת ונחשוב הקודמת לאחדי' והמותר לעשרות לפי מה שקדם ולכן חברנוה מתחלה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם הסבה אשר לא חשבנו כל אחד לפי מדרגתו היא מפני שהעשרות יותכו אליהם השביעיות יותר בקלות מאשר יותכו אל המדרגות היותר גדולות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי מהעשרה יחוסרו פעם אחת שבעה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ומהמאה ארבעה עשר פעמים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ומהאלף קמ"ב פעמים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר היה זה כן הנה כבר התבאר לך תכלית ביאור שעם הדרך הזאת נוכל למצוא המותר מהשביעיות כמו שנמצאהו אם נתיך הכל לאחדים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולכן אין ראוי לטרוח בהתכת הכל לאחדים ולא בהשלכת השביעיות מכל מדרגה לפי מדרגתה אחר שזאת הדרך היא הקצור הנפלא שבדרכים ולולא שהנקבצים הם מספרים רבים בכל מדרגה אבל היינו משתמשים בם גם כן עם הדרך הזה לרוב קצורו ולכן בשאר מיני המספר אשר הטורי' המונחים אינם יותר מא' השתמשו שם גם כן עם זה הדרך כמו בסך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר היה זה כן הנה אם כן הדבר שוה כאלו התכנו הנקבצים והסך כל אחד מהם לאחדים והשלכנו מהם השביעיות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר בארנו שאחדי הנקבצים והסך שוים הנה אם כן יהיו המותרים שוים בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזהו הנרצה בזה המין מהמאזנים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אלא שתמהתי מאד על הקודמים מדוע השתמשו בזה המין בשביעיות לבד אחר שעם זה המין נוכל להשתמש בכל מספר שנרצה לפי הסבה הנתונה בזה ר"ל אם רצית להשליכם שלשה שלשה או ד' ד' או ה' ה' או ו' ו' או ח' ח' או ט' ט' או י"א י"א או ט"ו ט"ו וכן תמיד וזה מספיק בידיעת זה המין | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם סבת המאזני צדק הנה היא ידועה בעצמה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שאחר שמאזני התשיעיות אמנם הם מאזני מרמה מאשר לא יוליד עין הנמשך והוא שווי המותרים עין הקודם והוא שווי שני המספרי' שהם הנקבצים והסך | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה מפני שכבר יתכן שיהיה המספר האחד מתחלף מחברו אם בתוספת תשיעיות או במגרעת ועוד יהיו המותרים שוים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה אם כן כאשר נשמור בידינו התשיעיות והאחדים שבכל מדרגה ומדרגה והתשיעיות והמותרים שבסך שתחת כל מדרגה ומדרגה עם הסימנים הנרשמים במדרגה הנמשכת לה תמורת הכללים שבסך הנה לא יקרה מזה טעות בהכרח לא בתוספת תשיעיות ולא בגרעונם וזה מבואר מאד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם סבת המאזני צדק השניים שהם ע"ד החסור גם היא מבוארת בעצמה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שאחר שהקבוץ הוא תוספת מספר על מספר כאשר התבאר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם כן הסך הוא מורכב מב' מספרים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והחסור הוא הפך התוספת כמו שההתכה הפך ההרכבה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
לכן יתחייב מזה שכאשר נחסר מהסך המספר הא' שהוא אחד משני חלקי הסך אשר הורכב מהם שישאר החלק האחר שהוא המספר האחד ואם לאו דע שכזבת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם סבת המאזנים השלישיים שהם על דרך החלוק באמצע הנה גם היא מבוארת מהסבה הקודמת | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
![]() |
והוא שאחר שהסך מורכב משני מספרים שוים והחלוק באמצע הוא חסור החלק האחד משני חלקי הכל השוים הנה יהיה הנשאר הוא החלק האחד בהכרח שהוא המספר האחד משני המספרים השוים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Special Properties |
וסגלת זה המין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הוא כאשר נקבצו מספרי זוגות כמה שיהיו הנה קבוצם מספר זוג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם זוג הנה קבוצם מספר זוג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נקבצו מספרים נפרדים כמה שיהיו והיה מספרם מפרד הנה קבוצם נפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר נקבצו מספרי' נפרדים וזוגות יחד כמה שיהיו והיה מספר הנפרדים זוג הנה קבוצם זוג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היה מספרם נפרד הנה קבוצם נפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וסבות הסגלה הזאת הנם כתובים בספר היסודות לאקלידס במאמר התשיעי ממנו ואין צורך להכפיל המאמר הנה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה כבר התבאר לך זה המין עם הדרכים אשר בהם השתמשו הקדמונים ועם המאזנים אשר בהם יאוזן הכזב או אשר יאוזן בהם הצדק והכזב יחד עם הסגלה המיוחדת בו וזה מחובר בסבותיהם יחד וזהו מה שכוננו ביאורו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ומעתה אתחיל לבאר מין ההכאה להיות שזה המין דומה למין הקבוץ כאשר התבאר וכאשר יתבאר עוד |
Chapter Two - Multiplication |
הפרק השני במין ההכאה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Introduction |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition: Multiplication = summing identical numbers, by writing only one of them instead of listing all of them | ההכאה הוא קבוץ מספרים שוים במה שיהיו בלתי מונחים מכללם רק האחד לבד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Six kinds of multiplications | ולהיות שמיני ההכאות יחלקו לששה חלקים והם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכאת פרטים עם פרטים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכאת פרטים עם כללים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכאת פרטים עם פרטים וכללים יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכאת כללים עם כללים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכאת כללים עם כללים ופרטים יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכאת כללים ופרטים יחד עם כללים ופרטים יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שכבר קדם שהמספרים נחלקים לג' חלקים כללים לבד ופרטים לבד וחבור שניהם יחד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וכאשר יוכו כל אחד מהם עם חברו יעלו ט' ויפלו מהם הג' מיני' המשותפים והנה נשארו ו' מיני הכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והיה דרך הכאות כל המינים האלו אמנם הוא עם ידיע' הכאת המין הראשון והוא הכאת הפרטים עם הפרטים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזה שכל המדרגות אמנם יחשבו כמו אחדי' בענין ההכאה כאשר יתבאר הנה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אם כן מן המחויב לכל דורש ידיעת מין ההכאה לדעת תחלה הכאת הפרטים עם הפרטים אחר זה ידרוש בידיעת ההכאה במינים הנשארים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplication of Units by Units |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ולהיות שידיעת הכאת הפרטים עם הפרטים אמנם יגיע בהרגל לבד כי אין שם תחבולה ודרך אל ידיעתו לכן היה מן המחוייב לנו לתקן לוח כולל כל מיני הכאות הפרטים עם הפרטים אי זה פרטים שיהיו עד ירגיל בו האדם עצמו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה הלוח הכולל הוא זה
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Written multiplication |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואחר שכבר ידעת זה על פה הנה כבר תוכל להכנס בדרך ידיעת זה המין | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונאמר שכבר בארנו שההכאה הוא קבוץ מספרים שוים רבים בלתי מונחים מכללם רק האחד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי לולא זה לא נדע איזה מין מספרים הם הנקבצים ולכן יחוייב עלינו שנכתוב בטור אחד המספר המוכה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד נניח תחתיו טור שני מודיע כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא שהוא הנקבץ עם השוים לו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כמו על דרך משל אם רצית לקבץ שלשה מספרים כל אחד מהם ששה עשר | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הנה מן ההכרח הוא לכתוב ששה עשר בטור אחד להודיע שהמין הנקבץ עם השוים לו הוא ששה עשר ואין צורך לכתוב עוד ששה עשר בשני טורים אחרים כמו שהוא מהמחויב בקבוץ המספרים זה עם זה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והנה הדבר שוה כאלו כתבנו עוד בשני טורים אחרים מספר ששה עשר כי אין הבדל שנקבץ הי"ו הכתובים בשלשה טורים או שנכפול הששה עשר האחד שלשה פעמים | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
כי הכפל הוא קבוץ המספר האחד עם עצמו והמשלש בכפל הוא קבוץ המספר האחד עם שני פעמים כמו עצמו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אחר זה נמשיך קו תחת השני טורים הראשונים ונכתוב תחתיו המספר היוצא מההכאה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וזאת היא ההנחה הכוללה לכל מיני ההכאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
אלא שאם היו כללים לבד או כללים ופרטים יחד מוכים עם פרטי' לבד יהיה המספר הכתוב תחת הקו אשר הוא היוצא מההכאה טור אחד לבד | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היו מוכים עם כללים או עם כללים ופרטים יחד הנה ירבו הטורים המונחים תחת הקו בהכרח | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וגם נצטרך בו להנחות מתחלפות הצריכים אל ביאור | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואומר שהכאת כללים לבד או כללים ופרטים יחד עם פרטים לבד דרך אחד להם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא שנסדר תמיד המספר הרב המדרגות בטור הראשון והפרטים המודיעים כמות הפעמים אשר יכפל המספר ההוא תחתיו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היו כללים לבד נכתוב סיפרא והכלל נשמרהו במדרגה הנמשכת | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואם היו כללים ופרטים יחד נכתוב הפרטים במקומם והכללים נשמרם במדרגה הנמשכת ואחר שתשלים הכאות כל המדרגות הנה ידעת שהסך העולה מהכאת המספר ההוא עם הפרט שבטור השני הוא המספר שבטור השלישי | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואולם הכאת הכללים לבד או הכללים והפרטים יחד עם הכללים לבד או עם כללים ופרטים יחד דרך אחד להם | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
והוא שנכה אחדי הטור השני עם כל המדרגות הטור העליון ונכתוב העולה בטור השלישי לפי מה שקדם אחר זה נכה עשרות הטור השני עם כל מדרגות הטור העליון ונכתוב גם כן העולה בטור רביעי תחת הטור השלישי כפי הסדר שזכרנו | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
משל הדרך הראשון הנה הוא כזה
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
הכינו הה' עם הסיפר"א שבטור העליון ועלה סיפר"א וכתבנו הסיפר"א תחת הקו במדרגת האחדים עוד הכינו הה' עם הב' שבטור העליון ועלה י ולהיות שהוא כלל שמרנוהו בידינו לחברו עם העולה מהכאת הה' עם הג' שבטור העליון וכתבנו תחת הקו סיפרא במדרגה הנמשכת | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ומשל הדרך השני והוא הכאת הכללים או הכללים והפרטים יחד עם הכללים או עם הכללים ופרטים יחד הנה הוא כזה
NotesAppendix: BibliographyElijah Mizraḥi
Critical Edition:
Printed (Traditional) Edition:
|