Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Revision as of 14:19, 18 June 2019

ספר האלזיברא
לרבי שמעון מטוט

Contents 1 Introduction 1.1 Definitions of algebraic terms 2 First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra 3 Second Section: Algebra 3.1 Introduction 3.2 The six canonical equations 3.3 Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree 4 Epilogue 4.1 Notes 5 Additional excerpt 6 Appendix: Bibliography Introduction
Praise to God	אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת ופתח מאיר כל מאמר ומעשה יתב' ויתע' שמו עלוי רב
Definitions of algebraic terms
Starting by saying that one should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown value, and made it one whole thing in their calculations, which they called cosa	אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרי' בחשבון האלזיברא יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו קוֹסָא
They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know	רצונם להורות בזאת התיבה שני עניני' דבר אחד שלם ודבר נעלם לא ידענוהו
Hence, the author also is doing the same in its translation, and calls it davar [= a "thing"] X (variable) = thing	וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתו זאת ובשם אקראנו דבר
They called the product of the thing by itself çenso	וכפל הדבר בעצמו יקראוהו צֵינְסו
The author asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told him that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.	ושאלתי לחכמי דקדוק לשונם על הוראת זאת התיבה ואמ' לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
Since the author did not find in his language one word that has this meaning, and he did not want to extend his words by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, he called it by the Hebrew word merubaʼ [= a square] as it is. X² = square	ובעבור כי לא מצאנו בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת הָהוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם מרובע כאשר הוא
They called the square that is multiplied by it self çenso di çenso, and the author named it merubaʼ ha-merubaʼ [= a square of the square] (X²)² square of a square	ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו צֵינְסו דֵיצֵינְסו ואני אקראנו מרובע המרובע
They called the cube number cubo. X³ = cube	ולמספר המעוקב יקראוהו קוּבוּ
They called the cube of the cube cubo di cubo (X³)³ cube of a cube	ולמעוקב המעוקב יקראוהו קוּבוּ דֵיקוּבוּ
The units of the number are called numeri, as their usage in all other places. number (constant)	ולאחדי המספר נוּמְרִי כמנהגם בכל שאר המקומות

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra
After the introduction, the teaching of its principles will be discussed that should be known and precede the studying of algebra	ואחרי הקדמתי זאת אדבר בלמוד שרשיה צריכי' לדעתם ולהקדימם ללימודי חשבון האלזיברא
They will be explained as much as possible, starting by that:	ואבארם כפי אשר תשיג ידי וזה החלי
1) If you wish to multiply a root of a known number by a root of a number $\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}$	א כאשר רצית לכפול שרש מספר ידוע בשרש מספר
$\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a\sdot b}$	כפול המספר האחד על חברו ושרש העולה הוא מה שרצית
to bring it closer to perception an example is given:	ולקרבו אל ציורך אמשול משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}}$	כאשר רצית לכפול שרש מספר ה' בשרש מספר י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}$	כפול ה' בי"ב יעלה ס‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\sqrt{12}=\sqrt{60}}}$	ושרש ס' הוא מה שרצית לדעת
2) If you wish to multiply a root of a known number by a known number $\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}$	ב ואם רצית לכפול שרש מספר ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\sdot b}$	עשה מן המספר מרבע בכפול אותו בעצמו אחר תכפול המרבע האחר בחברו ושרש העולה הוא מה שרצית לדעת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3}}$	המשל רצית לכפול שרש מספר ז' במספר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה מג' מרבע והוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}$	ועתה תכפול ז' בט' יעלה ס"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{63}}}$	ושרש ס"ג הוא המבוקש
This is because the ratio of a square to a square is the same as the ratio of its side to its side multiplied. $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	וזה מפני כי יחס מרבע אל מרבע כיחס צלעו אל צלעו שנוי ר"ל כפול
Therefore, $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{7\sdot3^2}}}$	ע"כ ראוי לכפול מרבע ז' בכפל ג' בעצמו
according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11	מתמונת י"א מן המאמ' השמיני לאיקלידיש
3) $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}$	ג ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מעוקב ידוע
$\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\sdot b}$	כפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' בשרש מעוקב ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	כפול ה' בו' יעלה ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{30}}}$	ושרש מעוקב ל' הוא המבוקש
4) $\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}$	ד ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3\sdot b}$	עשה מן המספר מעוקב וכפול המעוקב האחד בחברו ושרש המעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ה' במספר ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	עשה מן ג' מעוקב והוא כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{27\sdot5=135}}$	וכפול ה' בכ"ז יעלה קל"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{135}}}$	ושרש מעוקב קל"ה הוא המבוקש
This is because the ratio of a cube to a cube is the same as the ratio of its side to its side tripled $\scriptstyle a^3:b^3=\left(a:b\right)^3$ , according to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 12	וזה מפני כי יחס מעוקב אל מעוקב כיחס צלעו אל צלעו משלש מתמונת י"ב מהמאמ' הח' לאיקלידס
5) $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}$	ה ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש מרובע ידוע
$\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt[3]{a^2\sdot b^3}}$	עשה מן המרבע מעקב ומן המעקב מרבע ובזה המעשה השנית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב אח"כ תכפול אחד מהם בחברו ושרש מרבע מן שרש מעוקב העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=2\sdot3}}$	ולמען תשכיל אמשול לך משל במספרי' בעלי שרש ואומ' רצית לכפול שרש מרבע ט' שהוא ג' בשרש מעקב ח' שהוא ב' וידוע כי מכפל ג' בב' יעלה ו' והוא המבוקש
according to the mentioned way	ולפי הדרך אשר זכרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}$	ראוי לעשות מן ט' מעוקב והוא תשכ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}$	ומן ח' מרבע והוא ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{64\sdot729=46656}}$	כפול ס"ד בתשכ"ט יעלה מ"ו אלפי' תרנ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}}}$	והנה שרש מרבע מן שרש מעוקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא המבוקש
	ולהוסיף באור נשיב המבוקש אל מספר ונוכל עשוהו מפני כי המספרי' אשר לקחנו במשלנו הם בעלי שרש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}=\sqrt{36}=6}}$	ונאמר שרש מעקב מ"ו אלפי' תרנ"ו הוא ל"ו ושרש מרבע ל"ו הוא ו' והנה מספר ו' הוא המבוקש כאשר אמרנו בתחלה
This is clear from the explanations above	מופת זה מובן למבין ממופתי' הלמודי' הקודמי‫'
6) $\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ו ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
$\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\sdot b}}$	כפול המרבע האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ד' בשרש שרש מרבע ז‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	כפול ד' בז' יעלה כ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{28}}}}$	ושרש שרש מרבע כ"ח הוא המבוקש
7) $\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ז ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע במספר ידוע
$\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\left(a^2\right)^2\sdot b}}$	עשה מן המספר מרבע ומן מרובעו מרבע וכפול האחד בחברו ושרש שרש העולה הוא מה שרצית
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ה' במספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2\right)^2=4^2=16}}$	עשה מן ב' מרבע והוא ד' ומן ד' מרבע והוא י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}$	כפול ה' בי"ו יעלה פ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{80}}}}$	ושרש שרש מרבע פ' הוא מה שרצית
8) $\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ח ואם רצית לכפול שרש מעוקב ידוע בשרש שרש מרבע ידוע
$\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left(a^2\right)^2\sdot b^3}}}$	עשה מן המעקב מרבע וממרובעו מרבע ומן המרבע עשה מעקב ובזה המעשה השנית השרשי' ועשית כל אחד מהם שרש שרש מרבע מן שרש מעקב אחר תכפול האחד מהם בחברו ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב והעולה הוא מה שרצית לדעת
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}}}$	המשל רצית לכפול שרש מעוקב ג' העולה בשרש שרש מעקב ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2\right)^2=9^2=81}}$	עשה מן המעקב שהוא ג' מרבע והוא ט' ומן ט' מרבע והוא פ"א מרבע
$\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$	אח"כ תעשה מן ד' מעקב יהיה ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{81\sdot64=5184}}$	כפול פ"א בס"ד יעלה ה' אלפים וקפ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{5184}}}}}$	ושרש שרש מרבע מן שרש מעוקב ה' אלפי' וקפ"ד הוא מה שרצית
9) $\scriptstyle\left(5+\sqrt{6}\right)^2$	ט ואם רצית לכפול מספר ה' ושרש מספר ו' בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}$	עשה על הדרך הזאת כפול ה' בעצמו יעלה כ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}^2=6}}$	עוד נכפול שרש ו' בעצמו יעלה ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{25+6=31}}$	הרי ל"א שמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)}}$	עוד תכפול מספר ה' בשרש ו' פעמי' על הדרך הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\sqrt{6}=\sqrt{5^2\sdot6}=\sqrt{25\sdot6}=\sqrt{150}}}$	ראשונה תכפול מספר ה' בשרש ו' ועשה מן ה' מרבע והוא כ"ה כפלהו בו' יעלה ק"נ והנה שרש ק"נ הוא העולה מכפל בעשותך מספר ה' בשרש מספר ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)=2\sdot\sqrt{150}=\sqrt{2^2\sdot150}=\sqrt{4\sdot150}=\sqrt{600}}}$	עוד תכפול שרש ק"נ במספר ב' מפני כי אתה רוצה אותו פעמי' ותעשה מן ב' מרבע והוא ד' כפול ד' בק"נ יעלה ת"ר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\sqrt{6}\right)^2=31+\sqrt{600}}}$	הנה תאמר כי מספר ל"א אשר אמרת ושרש מספר ת"ר מחוברים הוא מה שרצית לדעת
	ולמען תשכיל אתאר לך תמונת הכפל ואוציא מכל אחד מהמספרים אשר בתמונה קוים נמשכים בה אל המספרי' אשר ראוי לכפלו בהם

10) $\scriptstyle\left(\sqrt{32}-3\right)^2$	י ואם רצית לכפול שרש ל"ב פחות מספר ג' בעצמו
$\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה ראשונה מן ג' מרבע והוא ט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}^2=32}}$	ועתה תכפול שרש ל"ב בעצמו יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(-\sqrt{9}\right)^2=9}}$	עוד תכפול שרש ט' פחות בעצמו יעלה ט' יותר
subtractive × subtractive = additive [ $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$ ]	שראוי לך שתדע שמכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אבאר
$\scriptstyle{\color{blue}{9+32=41}}$	על כן תחבר ט' בל"ב יעלה מ"א שמרם
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\sqrt{32}\sdot\left(-\sqrt{9}\right)\right]=-\sqrt{1152}}}$	עוד תכפול שרש ל"ב בשרש ט' פחות פעמי' על דרך האמור למעלה יעלה שרש אלף קנ"ב פחות
a number or a measure multiplied by a subtractive = subtractive [ $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$ ]	לעולם מכפל איזה מספר או איזה שעור שיהיה בחסרון יעלה חסרון
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}-3\right)^2=41-\sqrt{1152}}}$	הנה תאמר כי מספר מ"א אשר שמרת פחות שרש אלף קנ"ב הוא המבוקש
11) $\scriptstyle\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\times\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)$	יא ואם רצית לכפול שרש מ"ח ושרש י' בשרש מ"ח פחות שרש י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}^2=48}}$	כפול ראשנה שרש מ"ח בעצמו יעלה מ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{10}\right)\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-10}}$	עוד תכפול שרש י' יותר בשרש י' פחות יעלה י' פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{48-10=38}}$	חסרם ממ"ח ישאר ל"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(+\sqrt{10}\right)=+\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' יותר יעלה שרש ת"פ יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{38+\sqrt{480}}}$	הרי בידך ל"ח ושרש ת"פ יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' פחות יעלה שרש ת"פ פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\sdot\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)=38+\sqrt{480}-\sqrt{480}=38}}$	על כן תחסרנו מל"ח ושרש ת"פ יותר ישאר בידך מספר ל"ח והנה הוא המבוקש
Rules of multiplication for expressions of the type (a+b) and (a-b)	ועתה אתן לך כלל
number × additive = additive: $\scriptstyle a\times\left(+\right)=\left(+\right)$	מכפל איזה מספר ביתרון יעלה יתרון
number × subtractive = subtractive: $\scriptstyle a\times\left(-\right)=\left(-\right)$	ומכפל איזה מספר בחסרון יעלה חסרון
additive × additive = additive: $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)$	ומכפל יתרון ביתרון יעלה יתרון
additive × subtractive = subtractive: $\scriptstyle\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)$	ומכפל יתרון בחסרון יעלה חסרון
subtractive × subtractive = additive: $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$	ומכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אמרנו למעלה
The explanation is accompanied by a geometric illustration for the example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)}}$	ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר רצינו לכפול מספר י"ב פחות מספר ד' במספר ח' פחות מספר ב‫'
Geometric illustration	ונתאר תמונה כפי המשל הנז‫'

ABGD□:	ויהיה שטח אבג"ד
AB = $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	צלע א"ב ממנו י"ב מדות
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וצלע א"ג ממנו ח' מדות
AB - AH = $\scriptstyle{\color{blue}{12-4}}$	ונחסר מצלע א"ב חלק ד' א"ה ממנו ד' מדות
AG - AW = $\scriptstyle{\color{blue}{8-2}}$	ומצלע א"ג נחסר צלע א"ו ממנו ב' מדות
drawing line HZ from point H, parallel to AG, BD	ונעביר מנקודה ה' קו ה"ז נכוחי לקוי א"ג ב"ד
drawing line WC from point W, parallel to AB, GD	ומנקודת ו' קו ו"ח נכוחי לקו א"ב ג"ד
These two lines are intersect in ABGD□ at point T	ויחתכו שני אלה הקוים בתוך השטח על נקודת ט‫'
They divide ABGD□ into four areas:	ויחלקוהו לארבעה שטחים
the gnomon of ABGD□ = TG□ + TA□ + TB□	לשטח ט"ג ושטח ט"א ושטח ט"ב שלשתם יחד נקראם רושם התמונה
TD□ = the sought-after, because its area is equal to the requested number, that is the product of the mentioned numbers, as one can see	ושטח ט"ד הרביעי ונקראהו המבוקש כי מספרי שבריו שוה למספר המבוקש העולה מכפל המספרי' הנז' כאשר אתה רואה
	אין צורך להאריך במופת זה אליך
	ועתה נכפול המספרי' הנז' אחד מהם בחברו כפי הדרך הנז‫'
ABGD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{12\times8=96}}$	ונתחיל לכפול י"ב בח' יעלה צ"ו כמספר שברי שטח א"ד כלו
– (TA□ + TB□) = $\scriptstyle{\color{blue}{12\times\left(-2\right)=-24}}$	עוד נכפול י"ב במספר ב' פחות יעלה כ"ד פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ב
– (TA□ + TG□) = $\scriptstyle{\color{blue}{8\times\left(-4\right)=-32}}$	עוד נכפול מספר ח' במספר ד' פחות יעלה ל"ב פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ג
(TA□ + TB□) + (TA□ + TG□) = $\scriptstyle{\color{blue}{24+32=56}}$	ואם נחבר כ"ד ול"ב יעלה נ"ו כמספר שברי הרושם ושברי שטח ט"א מחוברי‫'
TD□ – TA□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] = $\scriptstyle{\color{blue}{96-56}}$	ואם נחסרם משברי שטח א"ד כלו שהם צ"ו ישאר שטח ט"ד המבוקש פחות שטח ט"א שמרהו
TA□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-2\right)\times\left(-4\right)=8}}$	ותשלים לכפול המספרים הנז' ותכפול ב' פחות בד' פחות יעלה ח' כמספר שברי שטח א"ט
TD□ = AD□ – [((TA□ + TB□) + (TA□ + TG□)] + TA□ [TD□ = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)=\left(12\times8\right)-\left[\left(12\times2\right)+\left(8\times4\right)\right]+\left(2\times4\right)}}$ ]	וצריך אתה להוסיפו על השמור להשלים שטח ט"ד המבקש
The conclusion: subtractive × subtractive = additive: $\scriptstyle\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)$	על כן יאמ' כי מכפל חסרון בחסרון יעלה תוספת
	ולקרבו אל ציורך אתאר גם לך תמונת הכפל באופן אשר צירתי תמונת הכפל מן הקודמת

12) $\scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}$	יב) ואם רצית לחבר שרש י"ב בשרש מ"ח דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{12}\right)^2+\left(\sqrt{48}\right)^2+\left(2\sdot\sqrt{12\sdot48}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{12+48+\left(2\sdot\sqrt{576}\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{12+48+\left(2\sdot24\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{12+48+48}=\sqrt{108}\\\end{align}}}$	כפול י"ב במ"ח יעלה תקע"ו והנה שרש תקע"ו כ"ד קח שני דמיוניו יעלה מ"ח חבר אליו שני המרבעים שהם י"ב ומ"ח יעלה ק"ח והנה שרש ק"ח הוא המבקש
Geometric proof (no figure is given)	מופת זה נחבר צלע מרבע י"ב וצלע מרבע מ"ח על יושר ויהיו שני חלקי קו אחד ישר
It was already clarified in Euclid, Elements, Book II, proposition 4 that when a straight line is cut randomly into two segments, the square on the whole line equals the sum of the two squares that are generated from the two segments plus twice the rectangle encompassed by the two segments. $\scriptstyle\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab$	וכבר נתבאר בתמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידס כי כאשר נחלק קו ישר לב' חלקים איך שקרה הנה מרבע הקו כלו שוה לשני המרבעים ההוים משני החלקים ולכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
the quadrilateral surface that is generated from both segments = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12\sdot48}=\sqrt{576}}}$	ועתה הנה כאשר כפלנו שני המרובעים זה בזה הנה שרש העולה שהוא תקע"ו הוא שוה לשטח הנצב הזויות ההוה משני החלקים
double the quadrilateral surface that is generated from both segments = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{12\sdot48}=2\sqrt{576}}}$	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידנו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
	וכאשר חברנו אל זה שני המרובעים עלה בידנו מרבע הקו כלו ושרשו הוא המבקש
13) $\scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}$	יג) ואם רצית לחבר שרש ח' בשרש י"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\sqrt{8}\right)^2+\left(\sqrt{19}\right)^2+\sqrt{2^2\sdot\left(8\sdot19\right)}}\\&\scriptstyle=\sqrt{8+19+\sqrt{4\sdot152}}\\&\scriptstyle=\sqrt{27+\sqrt{608}}\\\end{align}}}$	כפול ח' בי"ט יעלה קנ"ב והנה אין לו שרש קח שני דמיוני שרש ק'נ'ב' על הדרך הזאת כפול שרש ק'נ'ב' במספר ד' יעלה שרש ת'ר'ח' שמרהו. חבר שני המרבעים שהם ח' וי"ט יעלה כ"ז הנה תאמר כי שרש העולה מחבור כ"ז עם שרש ת'ר'ח' הוא המבקש מופת זה אופן הלמוד מובן מאשר לפניו
14) $\scriptstyle\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}$	יד) ואם רצית לחבר שרש מעקב צ"ו עם שרש מעקב שכ"ד
greatest common divisor $\scriptstyle{\color{blue}{12}}$	קח המספר היותר גדול שימנה שני אלה המספרי' והוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{12}=8}}$	חלק אליו צ"ו יגיע בחלוק ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{324}{12}=27}}$	עוד תחלק אליו שכ"ד יגיע כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{96=324\sdot\frac{8}{27}}}$	הנה צ"ו הוא ח' חלקים מכ"ז ממספר שכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}}}$	קח שרש מעקב ח' חלקים מכ"ז יהיה ב' שלישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה כי שרש מעקב צ"ו הוא ב' חלקי' מג' משרש שכ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	חבר ב' וג' יעלה ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה חברנו שני שרשי המעקבי' ועלה ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt[3]{125}}}$	אח"כ תעשה מן ה' מעוקב משרש מעקב והוא קכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{\sqrt[3]{125}}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	והנה עלה בידינו מעקב חלקי שני שרשי המעקבי' כאשר חוברו שמרהו
finding the measure of each of the $\scriptstyle{\color{blue}{125}}$ :	ועתה לדעת שעור כל אחד מאלו קכ"ה במדה שבה המעקב האחד צ"ו והמעקב השני שכ"ד נעשה על הדרך הזאת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt[3]{96}}}$	קח החלק האחד מהחמשה חלקי' הנז' והנה הוא חצי שרש מעקב צ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}}$	עשה מן חצי מעקב ויעלה בידך שמינית אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sdot96}=\sqrt[3]{12}}}$	הנה מעקב החלק האחד הוא שמינית מספר צ"ו שהוא י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{125\sdot12=1500}}$	כפול י"ב בקכ"ה אשר שמרת יעלה אלף ות"ק
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{125\sdot12}=\sqrt[3]{1500}}}$	והנה שרש מעקב אלף ות"ק הוא המבקש
	הנה לפי דרכי בהדריכי אותך במעגלי יושר לחשוב זה החשבון בדרך חכמה הורתיך המופת
15) $\scriptstyle\sqrt{30}\div\sqrt{6}$	טו) ואם רצית לחלק שרש ל על שרש ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}}}$	חלק ל' לו' יעלה ה' ושרשו הוא המבוקש
Relying on [Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11]: $\scriptstyle a^2:b^2=\left(a:b\right)^2$	וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי
16) $\scriptstyle20\div\sqrt{10}$	יו) ואם רצית לחלק מספר כ' על שרש י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{20^2}{10}}=\sqrt{\frac{400}{10}}=\sqrt{40}}}$	עשה מן כ' מרבע והוא ת' חלק ת' לי' יגיע מ' הוא המבקש
The argument of the following case is an explanation also for the two subsequent cases:	הנה אקדים למוד אחד אם תתבונן תבין ממנו מופתי שני הלמודי' הנמשכי' אחריו
17) $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	יז) אם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשרש ח' ושרש ד' יותר דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8-4=4}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' ומספר ד' הנשאר הוא המבוקש
	ולמען תדע כין כן הוא נתאר תמונת הכפל ונכפול המספרי' על הדרך הנודע

$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\sqrt{8}=8}}$	ונתחיל לכפול שרש ח' בשרש ח' יעלה מספר ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(+\sqrt{4}\right)=+\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' יותר יעלה שרש ל"ב יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{8+\sqrt{32}}}$	הנה בידינו מספר ח' ושרש ל"ב שמרהו
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{4}\right)\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-4}}$	ונשלים חשבוננו ונכפול שרש ד' יותר בשרש ד' פחות יעלה מספר ד' פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' פחות יעלה שרש ל"ב פחות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8+\sqrt{32}-4-\sqrt{32}=4=\sqrt{16}}}$	ועתה נפחות ממספר ח' ושרש ל"ב השמור מספר ד' ושרש ל"ב שראוי לפחות נשאר מספר ד' כאשר אמרנו והוא המבקש או נאמר כי שרש י"ו הוא המבקש
18) $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\sqrt{64}$	יח) ואם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשני שרשים אחרים יהיה העולה שרש ס"ד לא שרש י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{\frac{64}{16}\sdot8}+\sqrt{\frac{64}{16}\sdot4}=\sqrt{4\sdot8}+\sqrt{4\sdot4}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע בחלוק ד' ועתה כפול בח' יעלה ל"ב עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו והנה יעלה י"ו והנה בשרש ל"ב ושרש י"ו ראוי לכפלם ויהיה העולה שרש ס"ד וזה מובן בעצמו
19) $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)$	יט) ואם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' פחות שרש ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' אשר אמרת לפחות שרשו משרש ח' יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8}-\sqrt{4}}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב ושרש י"ו מחוברים הוא המבוקש
Relying on the rule according to which the dividend is equal to the product of the result of division by the divisor $\scriptstyle\frac{a\sdot b}{b}=a$	זה הלמוד הולך בדרך הקודם כי לעולה המספר המתחלק הוא שוה למספר העולה מכפל המספר העולה בחלוק במספר אשר אליו יתחלק המתחלק
20) $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	כ) וכן אם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' ושרש ד' יותר
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יעלה ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8}+\sqrt{4}}=\sqrt{32}-\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב פחות שרש י"ו הוא המגיע בחלוק
Similar technique as in the previous case	הנך רואה כי זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לא פחות ולא יותר
	רק תחת אמרך בלמוד הקודם שהמבקש הוא שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים בזה הלמוד אמרת שהוא שרש ל"ב פחות שרש י"ו
21) $\scriptstyle8\div\left(\sqrt{8}+2\right)\quad8\div\left(\sqrt{8}-2\right)$	כא) ואם רצית לחלק מספר ח' על שרש ח' ומספר ב' יותר או על שרש פחות מספר ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{\sqrt{8}+2}=\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{8}+\sqrt{2^2}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8}+\sqrt{4}}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{\sqrt{8}-2}=\frac{\sqrt{8^2}}{\sqrt{8}-\sqrt{2^2}}=\frac{\sqrt{64}}{\sqrt{8}-\sqrt{4}}}}$	עשה ממספר ח' מרבע יהיה ס"ד וממספר ב' מרובע יהיה ד‫'
The manipulations lead to the previous cases	והנה אתה עתה שבת אל שני הלמודים הקודמים לזה פתרון על דרך שני הסעיפים הקודמים
22) $\scriptstyle\frac{\sqrt{6}}{\sqrt[3]{10}}$	כב) ואם רצית לחלק שרש מרבע ו' בשרש מעקב י‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{6}}{\sqrt[3]{10}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{6^3}{10^2}}}=\sqrt{\sqrt[3]{\frac{216}{100}}}=\sqrt{\sqrt[3]{2+\frac{4}{25}}}}}$	עשה מן ו' מעקב יעלה רי"ו ומן י' מרבע יהיה ק' ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב ועתה חלק רי"ו על ק' ויגיע ב' וד' חלקי' מכ"ה ושרש מרבע מן שרש מעקב ב' וד' חלקי' מכ"ה הוא המבקש
23) $\scriptstyle\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt{\sqrt{8}}}$	כג) ואם רצית לחלק שרש מעקב ה' בשרש שרש מרבע ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt[3]{18}}{\sqrt{\sqrt{8}}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\frac{\left(5^2\right)^2}{8^3}}}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\frac{625}{51{\color{red}{2}}}}}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}}}}$	עשה מן ה' מרבע מרבע ויהיה ת'ר'כ'ה' גם תעשה מן ח' מעקב יהיה ת'ק'י'ג' והנה השוית השרשים חלק ת'ר'כ'ה' בת'ק'י'ג' ויגיע אחד וק'י'ג' חלקים מת'ק'י'ג' והנה שרש שרש מרבע מן שרש מעקב א' וק'י'ג' חלקים מת'ק'י'ג' הוא המבקש
24) $\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	כד) ואם רצית לגרוע שרש ח' משרש י"ח דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}&\scriptstyle=\sqrt{\left(18+8\right)-2\sdot\sqrt{18\sdot8}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26-2\sdot\sqrt{144}}\\&\scriptstyle=\sqrt{26-\left(2\sdot12\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}\\\end{align}}}$	כפול ח' בי"ח יעלה ק'מ'ד' הוצא שרשו והוא י"ב קח שני דמיוניו ויהיו כ"ד חבר ח' וי"ח יהיו כ"ו חסר כ"ד מכ"ו ישאר ב' ושרש ב' הוא מה שרצית
When a straight line is cut randomly into two segments, the sum of the squares on both segments equals twice the rectangle encompassed by both segments plus the square that is generated from the excess of the larger segment over the smaller segment. $\scriptstyle a^2+b^2=2ab+\left(a-b\right)^2$ [Euclid, Elements, Book II, proposition 7]	ולהראותך מופת על זה צריך אני להשכילך כי כאשר נחלק קו ישר לשני חלקי' איך שקרה הנה מרבעי שני החלקי' שוים לכפל השטח הנצב הזוית אשר יקיפו בו שני החלקי' ולמרבע ההוה ממותר החלק הגדול על הקטן
Geometric illustration
line AB is cut randomly at point G	ויהיה קו ישר עליו א"ב ויחולק איך שקרה על נקודה ג‫'
AZ is cut from line AG, so that it equals the smaller segment GB: AZ = GB	עוד נחלק מן קו א"ג חלק א"ז ממנו שוה לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
ZG = AG - AZ = the excess of the larger segment over the smaller segment	וישאר קו ז"ג הוא מותר החלק הגדול על הקטן
Supposition: [2·(AG × GB)] + ZG² = AG² + GB²	הנה אומר כי כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב עם המרבע ההוה מן ז"ג מחברים יהיו שוים לשני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב כאשר יחברו
Proof: constructing: AGDH□ = AG²	ונעשה מן קו א"ג מרבע אגד"ה
GBCW□ = GB²	ומן קו ג"ב מרבע גבח"ו
drawing line ZI from point Z, parallel to AD and GH.	ומנקודת ז' נמשיך קו ז"י נכחי לשני קוי א"ד ג"ה
extending line WC straight until it meets line ZI at point K.	ונמשיך קו ו"ח על יושר עד אשר יפגיש קו ז"י על נקודת כ‫'
GB = AZ	ועתה מפני כי ג"ב שוה לקו א"ז
ZB = [GZ + GB = GZ + AZ] = AG the larger segment	יהיה קו ז"ב שוה לקו א"ג שהוא החלק הגדול
BW = GB the smaller segment	וקו ב"ו לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
BK□ = [ZB × BW] = [AG × GB]	א"כ שטח ב"כ שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אשר הם שני חלקי הקו כלו
AD = AG	וגם כן מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ג
AZ = GB	וקו א"ז שוה לקו ג"ב
ZD□ = [AD × AZ] = AG × GB	יהיה שטח ז"ד גם כן שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
KB□ + ZD□ = 2·(AG × GB)	אם כן שני שטחי כ"ב וז"ד שוים לשטח לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
KH□ = [2·(AG × GB)] - [AG² + GB²] = ZG²	ושטח כ"ה הנשאר מן שני מרבעי שני החלקים הוא מרבע שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן
KC = ZG	מפני כי קו כ"ח שוה לקו ז"ג
HC = ZG	וקו ה"ח שהוא צלעו השני שוה לקו ז"ג
HC = GH - GC = the excess of the larger segment over the smaller segment	גם כן מפני כי הוא מותר קו ג"ה שהוא שוה לחלק הגדול על קו ג"ח שהוא שוה לחלק הקטן
AG² + GB² = BK□ + ZD□ + KH□ = (AG × GB) + (AG × GB) + ZG²	הנה שני המרובעים ההוים מן א"ג וג"ב מחברים שוים לשני שטחי ב"כ וז"ד אשר כל אחד מהם שוה לשטח אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב שהם שני חלקי הקו ולמרבע כ"ה שהוא שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן כאשר יחברו
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר
	ונעשה דמיון במספר
A[B] = the side of a square whose area is $\scriptstyle{\color{blue}{18}}$	ויהיה קו א"ג צלע מרבע שבריו י"ח
AG = the side of a square whose area is $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וחלק א"ג ממנו צלע מרבע שבריו ח‫'
AH□ = AG²	והוא מרובע א"ה
the area of the rectangle encompassed by the two segments = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8\times18}}}$	והנה כאשר כפלנו ח' בי"ח הנה שרש העולה שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקי‫'
double the area of the rectangle encompassed by the two segments = $\scriptstyle{\color{blue}{2\sqrt{8\times18}}}$	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידינו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
(A[B]² + AG²) - [2·(A[B] × AG)] = $\scriptstyle{\color{blue}{26-2\sqrt{8\times18}}}$ = (A[B] - AG)²	וכאשר חסרנו מכ"ו שהוא שברי שני המרובעי' נשאר בידנו מרבע מותר החלק הגדול על הקטן
	ושרשו הוא המבקש

Second Section: Algebra
	ועתה בשם שמו בגוים בורא
The study of the algebraic calculation	אחל לדבר בלמודי חשבון האלזיברא
Explained briefly	ואבארם ביד שכלי הקצרה
Opens with an introduction:	וטרם החילי אציע הצעה מבוארה
Introduction
$\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^3:x^2$	ואומר ראוי שתשכיל ותדע כי יחס מרבע המרבע אל המעקבי' כיחס המעקב אל המרבע
$\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1$	וכיחס המרבע אל שרש הדבר
$\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x^2:x$	וכיחס השרש הדבר אל האחד
Explanation:
The number of units in the thing is equal to the number of things in the square	וזה מפני כי מספר האחדים אשר בשרש בדבר כמספר הדברי' אשר במרבע
And to the number of squares in the cube	וכמספר המרבעי' אשר במעקב
And to the number of cubes in the square of the square	וכמספר המעקבי' אשר במרבע המרבע
This rules should be kept in mind, as they are needed for the proofs of the teachings below	וזאת ההצעה שמרה כי תצטרך אליה במופתי הלמודי' הבאי' אחריה. וזה החלי
The six canonical equations
1) Things / roots that are equal to numbers $\scriptstyle bx=c$	א) כאשר הדברי' שרשי' שוים לאחדים מספרי‫'
$\scriptstyle x=\frac{c}{b}$	חלק הדברי' לאחדי' האחדי' שרשי' לדברי' מספרי' והמגיע בחלוק הוא הדבר שרש זה מובן בעצמו
Divide a Number Problem: I want to divide the number ten into two parts, so that when the one part is divided by the other part the result is five $\scriptstyle\frac{10-x}{x}=5$	שאלה רציתי לחלק מספר עשרה לשני חלקי' כאשר חולק החלק האחד בחברו הגיע בחלוק ה‫'
The procedure:	עשה על הדרך הזאת
the divisor = one thing = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	אמור החלק אשר אליו יתחלק הוא דבר שרש אחד
the dividend = five things, as the result of division = $\scriptstyle{\color{blue}{5x}}$	והחלק המתחלק הוא בהכרח חמשה דברים שרשים כמספר אשר הגיע בחלוק
the sum of the two parts = $\scriptstyle{\color{blue}{6x=10}}$	הנה שני החלקי' מחברים הם ששה דברים והם שוים למספר עשרה
	וכפי הדרך הנזכר בזה הלמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}$	ראוי לחלק מספר עשרה לו' ויגיע בחלוק א' וב' שלישי' וככה הדבר
2) Squares that are equal to numbers $\scriptstyle ax^2=c$	ב) כאשר המרבעים צינסי שוים לאחדים מספרי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{c}{a}}$	חלק האחדים למרבעים ושרש המגיע בחלוק הוא הדבר שרש
Find a Number Problem: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the square of the remainder is 20 $\scriptstyle\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=20$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישיתו מרבע הנשאר הוא מספר כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=\left(\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{4}{9}x^2=20}}$	עשה על הדרך הזאת אמור זה המספר אשר שני שלישיו הם שרש כ' הוא דבר אחד כפול ב' שלישיו בעצמם יהיו ד' תשיעיות מרבע המספר כלו אשר רציתי למצא
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{20}{\frac{4}{9}}=45}}$	ולפי הדרך הנז' בזה הלמוד ראוי לחלק מספר כ' לד' תשיעיות והמגיע בחלוק הוא מ"ה וככה מרבע כל המספר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{45}}}$	ושרשו הוא מה שרצית
3) Squares that are equal to things / roots $\scriptstyle ax^2=bx$	ג) כאשר המרבעי' צינסי שוים לדברים שרשי‫'
$\scriptstyle x=\frac{b}{a}$	חלק הדברי' שרשי' למרבעי' צינסי והמגיע בחלוק הוא הדבר שרש
Based on the preliminary rule: $\scriptstyle x^2:x=x:1$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס המרבע אל הדבר כיחס הדבר אל האחד כאשר אמרנו בהצעה
Example: $\scriptstyle x^2=3x$	וע"כ אם מרבע אחד ישוה לג' דברים דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{x=3}}$	דבר אחד ישוה לג' אחדים בהכרח
Find a Number Problem: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the remainder is the root of the original number $\scriptstyle x^2-\frac{1}{3}x^2=x$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישית הנשאר הוא שרש המספר כלו
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\frac{1}{3}x^2=\frac{2}{3}x^2=x}}$	עשה על הדרך הזאת אמור ב' שלישי זה המספר הוא דבר אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	אם כן המספר אחד כלו הוא דבר אחד וחצי הנה דבר אחד וחצי הוא שוה למרבע אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}=1+\frac{1}{2}}}$	וכפי הדרך הנזכ' ראוי לחלק א' וחצי לאחד יגיע א' וחצי וככה הדבר שהוא שני שלישי המספר אשר רצית למצא
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}}}$	אם כן המספר כלו הוא ב' ורביע
4) Things / roots and numbers that are equal to squares $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ד) כאשר הדברי' שרשי' והאחדי' מספרי' שוים למרבעי' צינסי
Normalization: $\scriptstyle\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2$	חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}$	והדברי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפול המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על האחדי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך זה לעין השכל נתאר תמונה ונביא דמיון במספר

$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AB = $\scriptstyle{\color{blue}{10}}$	ויהיה קו א"ב עשר מדות
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{8}}$	וחלק איך שקרה על נקודת ז' ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
AGZK = $\scriptstyle{\color{blue}{8x}}$	ונעשה מן א"ב מרבע א"ב ג"ד ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמנה דברים במספר מדות קו א"ז כי כל מדה ממדות א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
ZKBD = $\scriptstyle{\color{blue}{20}}$	ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות
AGZK + ZKBD = ABGD [AB²= $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=8x+20}}$ = AGZK + ZKBD]	שניהם יחד שוים למרבע א"ד
AT = TZ = ½AZ = 4	ועתה הנה לפנינו קו א"ז ארכו ח' מדות כמספר הדברים ונחלקהו לחצאין על נקודת ט‫'
ZBKD + TZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(x-8\right)\sdot x\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=20+16=36=\left[x-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]^2}}$ = TB² Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6: $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	והוסף עליו קו ז"ב וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח ז"ד אשר תשבורתו מספר ב' במשלנו שניהם יחד שהם ל"ו שוים למרובע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו ט"ב בתמונתנו
TB = √36 = 6	על כן אם תקח שרש ל"ו שהוא ו' יעלה בידך מדת הקו המורכב מחצי הקו והתוספת שהוא קו ט"ב
x = AB = TB + AT = $\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6+4=10}}$	הוסף עליו מחצית הדברי' שהוא מספר ד' כמספר מדות קו א"ט יעלה י' במדרגת כל קו א"ב צלע המרבע והוא הדבר
Find a Number Problem: we want to find a number such that when we add to it 28 the sum is twice its square	שאלה רצינו למצא מספר כאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה שוה לשני דמיוני מרבעו
$\scriptstyle x+28=2x^2$	עשה על הדרך הזאת אמור זה המספר הוא דבר אחד וכאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה דבר אחד וכ"ח אחדים והם שוים לשני מרבעים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{28}{2}=\frac{1}{2}x+14=x^2}}$	והנה כפי הדרך הנזכר בזה הלמוד ראוי לחלק דבר אחד וכ"ח אחדים לשנים מספר המרבעי' ויגיע בחלוק חצי דבר וי"ד אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}+14}\\&\scriptstyle=\frac{1}{4}+\left(3+\frac{3}{4}\right)=4\\\end{align}}}$	קח מחצית חצי דבר שהגיע בחלוק יהיה רביע דבר כפלהו בעצמו יהיה חלק אחד מי"ו הוסיפהו על י"ד מספר האחדי' המגיעי' בחלוק יעלה י"ד וחלק אחד מי"ו קח שרשו והוא ג' וג' רביעים הוסיפהו על מחצית הדברים המגיעים בחלוק שהוא רביע דבר יעלה ד' וככה הדבר
5) Squares and numbers that are equal to things $\scriptstyle ax^2+c=bx$	ה) כאשר המרבעי' והאחדים שוים לדברים
Normalization: $\scriptstyle x^2+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}x$	חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה ותכפול המחצית בעצמו והעולה תגרע ממנו המספר היוצא בחלוק האחדי' והנשאר זה שרשו והוסיפהו על מחצית היוצא בחלוק הדברי' והעולה הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר

AG = 8	ויהיה קו א"ג הישר ח' מדות
GZ = ½AG = 4	ונחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת ז' ויהיה א"כ קו ג"ז ד' מדות
GB = 2	עוד נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת ב' ויהיה ג"ב ב' מדות
AB = x	ונעשה מן קו א"ב מרבע א'ב'ה'ו‫'
KH = AG	ונמשיך קו ה"ו עד ח' ויהיה קו ח"ה שוה לקו א"ג
GBHW = 12	גם נעביר קו ג"ה ולפי זה יהיה שברי שטח ג"ו י"ב מדות
ABKW + GBHW = $\scriptstyle{\color{blue}{x^2+12=8x}}$ = AGKH	ועתה הנה לפנינו מרבע א"ב א"ו ושטח ג"ו שבריו י"ב מדות שניהם יחד שוים לשטח א"ח שבריו שמנה דברים כי כל מדה ממדות קו א"ג מחזקת בשטח א"ה דבר אחד
BGWH + ZB² = AZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=4^2=16}}$ Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 5: $\scriptstyle\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-b\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left( a+b\right)\right]^2$	והנה כפי מה שנתבאר בתמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש יהיה המרבע ההוה מן א"ז שהוא ארבע מדות כמספר מחצית הדברים ומרובעו אם כן ידוע שהוא י"ו שוה לשטח ב"ח שהוא שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים הבלתי שוים ושבריו ידועים שהם י"ב ולמרבע ההוה מן ז"ב אשר הוא מה שבין שני החלקי‫'
ZB² = AZ² – BGWH = 16‒12 = 4	והנה נחסר שטח ב"ח שהוא י"ב מהמרבע ההוה מן א"ז שהוא י"ו ישאר המרבע ההוה מן ז"ב ידוע
x = AB = ZB +AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}}$	קח שרשו והוסיפהו על קו א"ז שהוא מחצית הדברי' יהיה קו א"ב ידוע שהוא צלע המרבע וזה מה שרצינו
How Much Problem: a trader went trading with a certain amount in his hand and he earned six. Then he returned with the amount and earned again as he earned on the first time, and it turned out that he had 27. You want to know how much the original amount was	שאלה סוחר אחד הלך לסחור ובידו קצבת מה והרויח ו' עוד חזר עם הקצבה והרויח כפי הערך שהרויח בפעם הראשונה ונמצא בידו כ"ז רציתי לדעת מספר הקצבה הראשונה
$\scriptstyle\frac{x+6}{x}\sdot\left(x+6\right)=27$	עשה על הדרך הזאת אמור הקצבה הו' הראשונה היא הקצבה הראשונה דבר אחד ומזה הדבר הצליח ועשה דבר אחד וו' וכפי זה הערך מדבר אחד וו' מכירה ראשונה מכירה שנייה עשה כ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(x+6\right)=\left(x+6\right):27}}$	הנה יחס דבר אחד עם דבר אחד וו' כיחס דבר אחד וו' עם כ"ז אחדים הנה לפנינו ג' שעורים מתיחסים
Euclid, Elements, Book VI, proposition 17: $\scriptstyle a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2$	וכבר נתבאר מתמונת י"ז מן המאמר הששי לאיקלידש כי הכאת הראשון באחרון כמו הכאת האמצעי בדומה לו
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36}}$	ועתה כפול דבר אחד שהוא הראשון בכ"ז אחדים שהוא האחרון יעלה כ"ז דברים עוד תכפול דבר אחד וו' שהוא האמצעי בעצמו יעלה מרבע אחד וי"ב דברים ול"ו אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36 /-12x\longrightarrow15x=x^2+36}}$	ועתה חסר הי"ב דברים משני אלה השעורים השוים ישארו ט"ו שוים למרבע אחד ול"ו אחדים
Normalization: $\scriptstyle{\color{blue}{15x=\frac{15}{1}x=x^2+\frac{36}{1}=x^2+36}}$	וכפי הדרך אשר אמרנו בזה הלמוד ראוי לחלק ט"ו מספר הדברי' ול"ו מספר האחדי' לאחד שהוא מספר המרבע ויגיע ט"ו דברי' ול"ו אחדי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(7+\frac{1}{2}\right)^2-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(56+\frac{1}{4}\right)-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{20+\frac{1}{4}}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}$	אחר תחצה הדברי' יהיו ז' וחצי כפלם בעצמם. עלה נ"ו ורביע תגרע מהם ל"ו אחדי' ישאר כ' ורביע קח שרשו והוא ד' וחצי הוסיפהו על מחצית הדברים שהוא ז' וחצי יעלה י"ב וככה הדבר שהוא הקצבה הראשונה
6) Squares and things that are equal to numbers $\scriptstyle ax^2+bx=c$	ו) כאשר המרבעי' והדברי' שוים לאחדי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}$	תחלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)$	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על היוצא בחלוק האחדי' ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Geometric illustration	ולהראותך מופת זה

describing: AGHD = AG²	נתאר מרבע אגה"ד‫'
BGHW = $\scriptstyle{\color{blue}{2x}}$	ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
ABDW = AGHD + BGHW = $\scriptstyle{\color{blue}{48}}$	שניהם יחד ר"ל המרבע והשטח שוים למספר מ"ח
GB = $\scriptstyle{\color{blue}{2}}$	וצלע ג"ב משטח גבה"ו שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי‫'
AG = $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$	ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
BZ = ZG	נחלק קו ב"ג לחצאין על נקודת ז' והנה לפנינו קו ג"ב נחלק לחצאין על נקדת ז‫'
ABDW + GZ² = AZ² = $\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]^2=48+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2=48+1=49}}$ Relying on Euclid, Elements, Book II, proposition 6: $\scriptstyle\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2$	ונוסף עליו קו ג"א וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח א"וֹ אשר שבריו ידועים שהם מ"ח ומרבע חצי הקו אשר תשבורתו ידוע שהוא א' שניהם יחד שהם מ"ט שוים למרבע הקו המרכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו א"ז
AZ = $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}=7}}$	על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ = AG = AZ ‒ ½GB = AZ – GZ = $\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}$	חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות וזה מה שרצינו לבאר
Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree
7) Cubes that are equal to numbers $\scriptstyle ax^3=c$	ז) כאשר המעקבים שוים לאחדי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3=\frac{c}{a}$	תחלק האחדי' למעקבי' וככה מספר אחדי המעקב
$\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}$	ושרשו המעקבי' הוא הדבר
The reason is clear	זה מובן בעצמו
8) Cubes that are equal to things $\scriptstyle ax^3=bx$	ח) כאשר המעקבי' שוים לדברי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3=\frac{b}{a}x$	תחלק הדברי' למעקבי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}$	והיוצא קח שרשו המרבעי' וככה הדבר
Based on proposition 2 above and the preliminary rule: $\scriptstyle x^3:x=x^2:1$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני מפני כי יחס המעקב אל הדבר הוא כיחס המרבע אל האחד וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{x^3=9x}}$	ועל כן אם היה מעקב אחד שוה לט' דברים דרך משל
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	יהיה בהכרח מרבע אחד שוה לט' אחדים גם כן
9) Squares of squares that are equal to numbers $\scriptstyle ax^4=c$	ט) כאשר מרבעי המרבעים שוים לאחדים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{c}{a}$	תחלק האחדים למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt{\sqrt{\frac{c}{a}}}$	והיוצא קח שרש שרשו וככה הדבר
The reason is clear	גם זה מובן מעצמו
10) Squares of squares that are equal to things $\scriptstyle ax^4=bx$	י) כאשר מרבעי המרבעים שוים לדברים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x$	תחלק הדברים למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}$	והיוצא קח שרשו המעקבים וככה הדבר
Based on proposition 7 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x=x^3:1$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הז' מפני כי יחס מרבע המרבע אל הדבר כיחס המעקב אל האחד וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=27x}}$	ועל כן אם מרובע מרובע אחד ישוה לכ"ז דברי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^3=27}}$	מעוקב אחד ישוה לכ"ז אחדי' בהכרח
11) Squares of squares that are equal to squares $\scriptstyle ax^4=bx^2$	יא) כאשר מרבעי המרבעים שוים למרבעים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^2$	תחלק המרבעי' למרבעי המרבעים
$\scriptstyle x=\sqrt{\frac{b}{a}}$	ושרש היוצא הוא הדבר
Based on proposition 2 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^2=x^2:1$	זה הלמוד הולך בדרך השני מפני כי יחס מרבע המרבע אל המרבע הוא כיחס המרבע אל האחד וזה יובן מן ההצעה
Example: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=9x^2}}$	ועל כן אם מרובע מרובע ישוה לט' מרובעי‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9}}$	מרובע א' ישוה לט' אחדי‫'
12) Squares of squares that are equal to cubes $\scriptstyle ax^4=bx^3$	יב) כאשר מרבעי המרבעי' שוים למעקבים
Normalization: $\scriptstyle x^4=\frac{b}{a}x^3$	תחלק המעקבים למרבעי המרבעי‫'
$\scriptstyle x=\frac{b}{a}$	והיוצא הוא הדבר
Based on proposition 1 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\left(x^2\right)^2:x^3=x:1$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס מרבע המרבע אל המעקב הוא כיחס הדבר אל האחד כאשר הקדמנו בהצעה
13) Cubes and squares that are equal to things $\scriptstyle ax^3+bx^2=cx$	יג) כאשר המעקבים והמרבעי' שוים לדברי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3+\frac{b}{a}x^2=\frac{c}{a}x$	תחלק המרבעי' והדברי' למעקבי‫'
$\scriptstyle x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)$	והמעקבי' המגיעי' בחלוק תחצה וכפלת המחצית בעצמו והוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Based on proposition 6 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x=x^2:1\\\scriptstyle x^2:x=x:1\end{cases}$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הששי מפני כי יחס המעקב והמרבע כל אחד מהם אל הדבר כיחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל האחד כמבואר בהצעה
14) Cubes and things that are equal to squares $\scriptstyle ax^3+cx=bx^2$	יד) כאשר המעקבי' והדברי' שוים למרבעי‫'
Normalization: $\scriptstyle x^3+\frac{c}{a}x=\frac{b}{a}x^2$	תחלק הדברי' והמרבעי' למעקבים
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה תחסר ממנו הדברי' המגיעי' בחלוק והנשאר קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
Based on proposition 5 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^3:x^2=x^2:x\\\scriptstyle x:x^2=1:x\end{cases}$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הה' מפני כי יחס המעקב והדבר כל אחד מהם אל המרבע כיחס המרבע והאחד כל אחד מהם אל הדבר זה יובן מההצעה
15) Squares and things that are equal to cubes $\scriptstyle bx^2+cx=ax^3$	טו) כאשר המרבעי' והדברי' שוים למעקבי‫'
Normalization: $\scriptstyle\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x=x^3$	תחלק המרבעי' והדברי' למעקבים
$\scriptstyle x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}$	והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה וכפלת את המחצית בעצמו והעולה הוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק והעולה קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
Based on proposition 4 above and the preliminary rule: $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2:x^3=x:x^2\\\scriptstyle x:x^3=1:x^2\end{cases}$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הרביעי מפני כי יחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל המעקב כיחס הדבר והאחד כל אחד מהם אל המרבע

Epilogue
The sorces used for writing the book – Christian books	תם זה הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' זעיר שם זעיר שם
Much of the teachings were made up by Moṭoṭ himself	ורבים מן הלמודים האלה בדיתים מלבי
Accusing Mordecai Finzi of writing a book without presenting any proofs	וראוי שתדע אחי הדבר היקר בר' מרדכי יזייא וחפץ ה' ביי"א‫^[1] בכר' אברהם פינצי זלה"ה כי מחבר הספר כל הלמודים האלה בלי ראיות בספרו הביאם ואין אחד מני אלה מן המעיינים בו יודע דרך החכם ומאין הוציאם
Dedicating the book to Moṭoṭ's brother and his close friend R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor	ואני אחיך בראותי אותך ואת היקר מיודעי ורעי ר' יהודה בבר' יוסף יצו' בכר' אביגדור זלה"ה נכספים לדעתו והיודע בקראנו אליו יודע צריך שיהיה יודע הדבר בדרכי ההיקש המופתי למלאת רצוניכם הוצרכתי להתבונן במופתים ולכתבם אליכם
The reasons for the briefness of the work:	אמנם קצרתי בהם לשתי סבות
Relying on the wisdom of his readers	האחת להשעני ברוחכם הטובה רוח אלקים מרחפת על פני כל חכמה
The author is busy in other matters	הסבה השנית לרב טרדת לבי ובשרי בהרפקתי דעלו עלי ובחשבונות רבים בעסקי העולם
	מכל מקום אם דבר מה יעלם לאחד מכם לקצורי ולאות רוחי בהאריך במופתים אמרתי הנני מוכן להוסיף בו באור
	ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא כל משאלותיך יפוצו מעיינותיך מעייני הישועה אמן
	כרצונך וכרצון אחיך הדבק הסר אל משמעיך
	שמעון בכמהה"ר משה יצו' בכמהה"ר שמעון מטוט זלה"ה
	תם ונשלם

Notes
	↑ ישעיהו נג, י

Additional excerpt
Additional word problem (appears in a few of the manuscripts containing the work): Exchange Problem - Currencies - a man exchanged 23 peraḥim – some for liṭra of Rome and some for liṭra of Marciana. One peraḥ is worth of liṭra of Marciana twice as much as of liṭra of Rome minus a quarter of a liṭra. It turned out that he had 30 liṭra of Rome and 30 liṭra of Marciana. How many peraḥim did he exchange for liṭra of Rome; how many peraḥim did he exchange for liṭra of Marciana; how many liṭra of Rome and how many liṭra of Marciana is one peraḥ worth?	שאלה: אדם אחד החליף כ"ג פרחי' - קצתם בליטרי' רומנייולי וקצתם בליט' מרקיאני והפרח שוה מהליט' מרקיאני הכפל ממה ששוה מהליט' רומניולי פחות רביע ליט' ונמצא בידו ל' ליט' רומניולי ול' ליט' מרקיאני. רציתי לדעת כמה פרחי' החליף בליט' רומניולי וכמה פרחי' החליף בליט' מרקיאני וכמה שוה הפרח מהליט' רומניולי וכמה מהליט' מרקיאני
	‫עשה על הדרך הזאת:
$\scriptstyle x\sdot y=30$	אמור סכום הפרחי' אשר נחלפו בליט' רומניולי הוא דבר אחד, כל אחד מהם נחלף במספר ליט' נעלם והיו ל' ליט‫'
$\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)=30$	נשאר הסכום אשר נחלף בליט' מרקיאני הוא כ"ג פחות דבר אחד, נחלפו בשני דמיוני מספר הליט' הנעלם הנזכ' פחות רביע ליט' אחד והיו גם כן ל' ליט‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left(23\sdot2y\right)+\left(x\sdot\frac{1}{4}\right)-\left(x\sdot2y\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(2\sdot30\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(65+\frac{3}{4}\right)=30\\\end{align}}}$	וכן תעשה תכפול כ"ג פחות דבר אחד בב' דמיוני המספר הנעלם פחות רביע אחד וכבר ידעת כי מכפל דבר אחד במספר נעלם אחד יעלה ל' אחדים ואם כפלת מספר כ"ג יעלה מ"ו דמיוני המספר הנעלם ורביע דבר פחות ס"ה אחדים וג' רביעי אחד וכפי השאלה זה העולה הוא שוה לל' אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{46y+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4}}}$	ועתה תשלים כל אחד מאלה החלקים ותשוה אותם ותאמ' מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר שלימי' בלי חסרון שוים לצ"ה אחדי' וג' רביעי אחד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(46\sdot\frac{30}{x}\right)+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4} /\sdot x}}$	ועתה תכפול מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר בדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{1380+\frac{1}{4}x^2=\left(95+\frac{3}{4}\right)x}}$	יעלה אלף וש"פ אחדים ורביע מרבע וגם כן תכפל צ"ה אחדי' וג' רביעי אחד בדבר יעלה צ"ה דברי' וג' רביעי דבר
$\scriptstyle c+ax^2=bx$	וכבר ידעת כאשר היו האחדים והמרובעים שוים לדברי' איך תדע מספר הדבר ומידיעת הדבר תדע הכל

Appendix: Bibliography

Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ
Ḥeshbon ha-Alzibra (Calculation of Algebra)
Italy, 1460s
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/42 (IMHM: f 3576), ff. 223r-226r (15th century)

Ets Haim 47 D 20/42

2) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/14 (IMHM: f 1996), ff. 113r-120r (15th-16th century)

Or. Oct. 244/14

3) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/2 (IMHM: f 17970), ff. 46r-53v (16th century)

Plut.88.46/2

4) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 10/6 (IMHM: f 790), ff. 122v-133r (15th century)

ebr. 10/6

5) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2196/3 (IMHM: f 13362), ff. [117r]-[119v] (15th-16th century)

Parm. 2196/3

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. p.193 (h59).

[1] ישעיהו נג, י

[1]

@@ Line 1,106: / Line 1,106: @@
 |-
 |
-::x = AB = 10
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{10}}</math>
 |style="text-align:right;"|ויהיה קו א"ב עשר מדות
 |-
 |
-::AZ = 8
+::AZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8}}</math>
 |style="text-align:right;"|וחלק איך שקרה על נקודת ז' ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
 |-
 |
-::AGZK = 8x
+::AGZK = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ונעשה מן א"ב מרבע א"ב ג"ד ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמנה דברים במספר מדות קו א"ז כי כל מדה ממדות א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
 |-
 |
-::ZKBD = 20
+::ZKBD = <math>\scriptstyle{\color{blue}{20}}</math>
 |style="text-align:right;"|ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות
 |-
@@ Line 1,275: / Line 1,275: @@
 |-
 |
-::AGHD = AG<sup>2</sup>
+::describing:
-|style="text-align:right;"|נתאר מרבע א'ג'ה'ד&#x202B;'
+:*AGHD = AG<sup>2</sup>
+|style="text-align:right;"|נתאר מרבע אגה"ד&#x202B;'
 |-
 |
-::BGHW = 2x
+::BGHW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונחבר אליו שטח ב'ג'ה'ו' שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
+|style="text-align:right;"|ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
 |-
 |
-::ABDW = AGHD + BGHW = 48
+::ABDW = AGHD + BGHW = <math>\scriptstyle{\color{blue}{48}}</math>
 |style="text-align:right;"|שניהם יחד ר"ל המרבע והשטח שוים למספר מ"ח
 |-
 |
-::GB = 2
+::GB = <math>\scriptstyle{\color{blue}{2}}</math>
-|style="text-align:right;"|וצלע ג"ב משטח ג'ב'ה'ו' שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וצלע ג"ב משטח גבה"ו שעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברי&#x202B;'
 |-
 |
-::AG = x
+::AG = <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math>
 |style="text-align:right;"|ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
 |-
@@ Line 1,304: / Line 1,305: @@
 |-
 |
-::AZ = √49 = 7
+::AZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{49}=7}}</math>
 |style="text-align:right;"|על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
 |-
 |
-::x = AG = AZ ‒ ½GB = AZ – GZ = 7‒1 = 6
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> = AG = AZ ‒ ½GB = AZ – GZ = <math>\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות וזה מה שרצינו לבאר
 |-

Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Revision as of 14:19, 18 June 2019

Contents

Introduction

Definitions of algebraic terms

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra

Second Section: Algebra

Introduction

The six canonical equations

Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree

Epilogue

Notes

Additional excerpt

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools