Difference between revisions of "ספר יסודי התבונה ומגדל האמונה"

Revision as of 17:32, 8 January 2019

	זה ספר יסודי התבונה ומגדל האמונה
The book was translated from Arabic to Hebrew by the Spanish sage Abraham bas Ḥiyya ha-Nasi	שנעתק מכתב ערבית ללשון הקדש על ידי הנשיא החכם ר' אברהם ב"ר חייא ז"ל הספרדי
Introduction	פתח הספר
Jeremiah 9, 22-23 – according Bar Ḥiyya, these two verses represent the order of studying the sciences	כתוב כֹּה אָמַר יְהוָה אַל-יִתְהַלֵּל חָכָם בְּחָכְמָתוֹ וְאַל-יִתְהַלֵּל הַגִּבּוֹר בִּגְבוּרָתוֹ וְאַל-יִתְהַלֵּל עָשִׁיר בְּעָשְׁרוֹ. כִּי אִם-בְּזֹאת יִתְהַלֵּל הַמִּתְהַלֵּל הַשְׂכֵּל וְיָדֹעַ אוֹתִי כִּי אֲנִי יְהוָה עֹשֶׂה חֶסֶד ומִשְׁפָּט וּצְדָקָה בָּאָרֶץ כִּי-בְאֵלֶּה חָפַצְתִּי נְאֻם-יְהוָה ^{[note 1]}
	וכתוב תחלת חכמה יראת י' ודעת קדושים בינה‫^{[note 2]}
	וכתוב ויאמר לאדם הן יראת י' היא חכמה וסור מרע בינה‫^{[note 3]}
Bar Ḥiyya asks why the verses in Jeremiah warn one from praising himself for his wisdom, but allow him the be praised for the knowledge of God	ויכול אדם לשאול על הכתובים האלה איך אמר הכתוב אל יתהלל חכם בחכמתו הזהירו להלל עצמו ואחר כך אמר כי אם בזאת יתהלל המתהלל השכל וידע אותי והרשהו להתהלל בדעת אלהים
There are no wisdom and intelligence without the knowledge of God	וידוע וברור הוא לכל אדם שאין חכמה ובינה אלא בדעת אלהים
The one who has the knowledge of God should be called wise	והיודע דעת אלהים ראוי הוא להקרא חכם כמו שפרש בכתוב השני ודעת קדושים בינה
The two biblical verses supposedly contradict each other: the wise should not praise himself for his wisdom, but one should praise himself for his wisdom	וזה דומה למי שאומר אל יתהלל חכם בחכמתו אבל יתהלל אדם בחכמה ונראה שני הכתובים מכחישין וסותרין זה את זה
Ber Ḥiyya discusses the question at length not because it is a difficult question but since it is and issue of wisdom	ואנו משיבים על השאלה הזו ומאריכים בה לא מפני שהשאלה קשה אלא מפני שהוא דבר חכמה ונאה לו לאדם להאריך ולהתעסק בדבר חכמה
Wisdom is said in two senses:	ואנו פותחים ראשונה ואומרים כי מלת חכמה נאמרת על שני ענינים
1) real wisdom – the science of all existences	על החכמה שהיא חכמה ממש שאומר עליה הכתוב והחכמה מאין תמצא‫^{[note 4]} והיא מדע כל הנמצאות על אומד תבניתן ותוכן יצירתם ואומן נתינתן
Its definition includes three virtues:	והוצרכנו לשום בגדר החכמה ג' חוצצים כדי להכניס בגדר הזה ג' מעלות
1. Estimating the shapes of the beings – wisdom that investigates the shapes and forms of the bodies – arithmetic etc.	ויהיה אומד תבנית הנמצאות מכניס בגדר הזה החכמה מעיינת בצורת הנמצאות תבנית גופן כחכמת המנין והדומה לה
2. Characterizing the creation of the beings – wisdom that inquires the bodies of the beings and their creation order	ותוכן יצירתם מכניס בו החכמה המעיינת בגופי הנמצאות וסדר יצירתם ככל החכמות המדברות על בנין שמים וארץ ושאר כל היצורים
3. Teaching of their giving – wisdom of the Torah	ואומן נתינתם מכניס בו החכמה המעולה על כל החכמות והיא חכמת התורה נתונה ליראי השם
These virtues match the three virtues of truth and belief in wisdom:	והמעלות האלה השלוש מסורות כנגד ג' מעלות האמת והאמונה אשר בחכמה
I. The wisdom that investigates the external limits and shapes of the beings – inquires things that are grasped by the mind in all their aspects, there is no doubt in them and no contradiction between their truth and the wisdom.	כי החכמה המעיינת בתכליתי הנמצאות וצורתן החיצונה מעיינת בדבר שהדעת מקפת לו מכל צדדין ואין לו מחלוקת בין החכמה והאמת בו מוחזק ואין בו ספקה
II. The wisdom that investigates the creation of the beings and their inner shapes – inquires things that are hidden from the eye and the senses and are grasped by the mind only through speculation. This wisdom is disputable and not obliging.	והחכמה המעיינת ביצירת הנמצאות וצורתן התיכונה היא חוקרת ובוחנת על דברים נסתרים מהעין ומחוששי הגוף ואין הדעת שולטת עליהם אלא מדרך הסברא ובין אנשי החכמה בה מחלוקות גדולות והאדם רשאי להחזיק בדברי מי שיראו לו דבריו מהחכמה לראית בינתו והישר בעיניו ואין עליו חטא ואשמה ויכול להוציא הוצאה מלבו ולהוסיף ולגרוע בדרך בינתו ולא יהיה במעשה הזה סר מדרך החכמה
III. The wisdom that investigates the Holy Scriptures – received from the Holy Spirit, inquires wondrous bright things that cannot be grasped by the human mind, only through the prophets, whose words are obliging and indisputable	והחכמה המעיינת בדברי הקדש היא חכמה מקובלת מרוח הקדש וחוקרת על דברים שאין הדעת מגעת אליהם מעוצם פלואתם ורב נגהם כאשר אין העין יכולה להביט אל מאור השמש בחצי השמים לפי שאורו בהיר וחזק מאור עין האדם כן האמונה והאמת בדברי תורה בהירים ומופלאים עד שאין כח בדעות בני אדם יכולה להגיע אליהם אלא על ידי הנביאים אשר האמינם הקב"ה ברוח הקדש וחייב האדם לקבל דבריהם ואין לו רשות להוסיף ולגרוע אלא לסייג ולברר ואם יוסיף או יגרע יהיה חוטא וענוש מהשמים
This type of wisdom that includes the three virtues is called rational wisdom, wisdom of the intellect	על דרך הזו היא מעלת החכמה שלוש מעלות והגדר אשר שמנו לחכמה כוללם והחכמות האלה נקראות חכמת שכלנית וחכמת השכל
2) the wisdom of arts and crafts – acquired and studied by man through his own intelligence	ואת הענין השנית אשר החכמה נאמרת עליו בלשון הקדש היא חכמת האומנות והמלאכות שאדם קונה אותם ולומד לעשותם מבינת לבו כמו שנאמר ויעשו כל חכם לב^{[note 5]} וכל אשה חכמת לב‫^{[note 6]} כל זה על עושי המלאכה החכמה באמונתי (?)
This wisdom is called wisdom of the heart, practical wisdom, and is defined as the capacity through which man can accomplish by his hands every shape and image existing in his heart	וגדר החכמה הזו היא כח שאדם יכול להוציא בו במעשה ידיו כל הצורות והתמונות העומדות בתוך לבו ומפני זה נקראת חכמת לב וחכמה עמלנית
These two types of wisdom are acquired by man through his rational soul	והאדם קונה שתי החכמות האלה בכח נפשו הדברנית
God gave man three souls, or one soul with three faculties:	כי הקב"ה מסר באדם ג' נפשות או נפש אחת שיש לה ג' כוחות אי זה מהן תצרה לג (?) הענין בו אחד במקום הזה וחכמי הגוים מתחלקים בו יש מהן אומרים הנפש אחת היא ויש לה ג' כוחות ויש אומרים ג' נפשות הן והמחלקת הזה אין מזיק לה בכאן
1) The vegetative appetitive soul – The faculty by which man grows, become fruitful, eat, drink, and desires. By this faculty, a man resembles the field crops and plants	והנפש האחת מג' היא הכח אשר בו האדם צמח וגדל ופרה ורבה ואוכל ושותה ומתאוה לכל תאוות העולם הזה ובכח הזה הוא דומה לצמח האדמה ולגדולי הארץ ומפני זה קראו לה הנפש הצמחה והנפש המתאוה
2) The vital rageful soul – The faculty of vitality, anger, jealousy, and motion from one place to another. By this faculty, a man resembles the animals and beasts	והנפש השנית יש לה כוח החיים החמה והקנאה והגבורה והתנועה והטלטול ממקום למקום והאדם דומה בכוח זה לחיות ולבהמות ומפני זה קראוה הנפש החיה ובעלת החימה
3) The rational soul – The faculty by which a person distinguishes between good and bad, disgrace and praise, truth and false, right and wrong. Thus, the person departs from the animals and resembles the angels. Through this faculty, a man speaks and thinks.	והנפש השלישית בה יכול אדם להב[ח]ין בין טוב לרע בכל עניני העולם ובין הגנאי והשבח במעשי בני האדם ולהבדיל בין האמת ובין השקר בכל הענינים המובנים בלב ולהכיר הנכון מהכזב בדברת האדם ובדמות האלה נפרד מהחיות ונבדל מהבהמות ודומה למלאכים וגדודי עולם עליוני והנפש הזאת נקראת נפש הדברנית והוגה מפני שבנפש הזו האדם הוגה ומדבר
Speaking and thinking – meaning reflection of the heart and rational thinking	ואין משמע הוגה ומדבר בכאן ההגיון היוצא על פה והדבור הנשמע על הלשון אבל הגיון הלב והנפש ודבורם כי מצינו מלת ההגיון נאמר על ההרהורין והמחשבות שבתוך הלב ועל הענינים הנרשמין והנקשרים בנפש כמו שאמר הכתוב יהיו לרצון אמרי פי והגיון לבי לפניך‫^{[note 7]} וכן כתוב והגיתי בכל פעלך‫^{[note 8]} ולא נכון לפרש והגיתי קריאה והוצאה מהפה אלא במחשבה והרהור שנתן דעתו עליהם על פליאתם וכן באשמורת אהגה בך‫^{[note 9]} וכן נאמר בדבור אני טרם אכלה לדבר אל לבי‫^{[note 10]} וחנה היא מדברת על לבה‫^{[note 11]} וכן אתה הבן ממאמרנו הנפש ההוגה והדברנית הגיון ודבור אשר בלב
The faculty of the rational soul defines the human being and determines his domain that establishes his creation and provides signs separating him from the animals:	ובכוח הנפש הזו נתקיים גדר האדם ונגבל תחומו המכונן את יצירתו והנותן סמני ההפרש בינו ובין בעלי החיים והוא החי הדובר המת
Living – the basic principle that associates him with the other animals	והחי הוא הכלל הגדול הכונס אותו עם שאר בעלי החיים
Speaking – the sign that separates him from all the beasts, animals, birds, and all the speechless livings, and associates him with the angels	והדובר סימן חוצץ בינו ובין כלל הבהמות והחיות והעופות ובין כל החיים שאינם דוברים ומכניסו בכלל המלאכים
Dying – the sign that separates him from the angels and associates him with all the animals that end their life in death	והמת סימן אחר חוצץ בינו ובין המלאכים ומכניסו בכלל הבהמות ושאר בעל החיים אשר סוף חיותם למות
Speaking means reflection of the heart – if it were not so, the mute would not be defined as a human being, because he is not speaking through his mouth, but he is indeed a human being since he understand by his heart.	ויהיה הדובר בכאן אמור על דבור הלב ועל הבינה שהוא דומה למלאכים בדבורם ועל אשר בו אדם יכול לדבר ולהבין ואלו לא היה פירושו כך לא היה האלם נכנס בגדר האדם מפני שאינו מדבר בפיו והוא נקרא אדם ונכנס בגדר האדם מפני שהוא מבין בלבו
Speaking in the present but also in future	וכן דובר באיכת אתה יכול לאמרו על מה שהוא מדבר באותה שעה ועל מה שעתיד לדבר וכן פירוש כל מה אשר אני דובר כל מה שאני מדבר לך מעתה שאני עתיד לדבר
Dying means is about to die eventually and not is already dead, since the one who deceased already is no longer a human being.	וכן המת האמור בגדר הזה הבן ממנו שסופו למות ואתה מוצא מלת מת אמורה בלשון הקודש על ב' ענינים על המת שחלה עליו המיתה ונפטר מהעולם כמו והנה סיסרא נפל מת‫^{[note 12]} ועל שסופו למות דכתיב הנך מת על האשה‫^{[note 13]} ופרושו הכי אתה בא לידי מיתה על מה שעשיתה ותהיה מלת המת אמורה בגדר האדם על אשר סופו למות כי המת הנפטר מעולם אינו נכנס בגדר האדם כי אינו חי ואינו מדבר דכתיב והמתים אינם יודעים מאומה‫^{[note 14]}
The human rational soul is the superior and the ruler of the two other souls. The person whose soul behaves in the right way and its virtues subdue the two other souls is a man who is praised in all his acts.	והנפש הדברנית אשר באדם היא המעולה והשולטת על שתי נפשות אחרות והאדם אשר נפשו הזאת נוהגת על דרכה ועל נכונה ותהיינה מדותיה גוברות על שתי נפשות הנשארות הוא האדם המשובח המפואר בכל מעשיו
Each one of the three souls has good virtues by which it is praised and vices by which it is condemned:	וכל נפש ונפש מאלו ג' נפשות יש לה מדות טובות שהיא מתהללת ומדות רעות שהיא מתגנה בהם
The vegetative soul virtues: righteousness, humility, controlling the sight, and refrainment from bad passions and indecent possessions	ונמצא מהלל הנפש הצמחה היא הצדקות והענוה ושיהיה אדם שולט בראותו ומונע עצמו מתאוות רעות וקניינין מגונים
vices: the opposite of the above virtues and the tending to worldly desires	ומדותיה הרעות כל מה שהוא חלוף הדבר הזה ושיהיה האדם נוטה לתאוות העולם ובוצע להם
The praise of the vegetative soul – sufficiency: A person cannot control his desire if he has no sufficiency and property in order to stay away from bad possessions	ואין אדם יכול לשלוט בתאותו אם לא יהיה לו עושר וממון שיהיה יכול להרחיק עצמו מקנינים רעים כי העני המוצרך והרעב נזקק מרב דלותו ועניותו ודחקו לכנס בכל קנין שהוא בא אל ידו אם טוב ואם רע ואתה מוצא מכאן שבכח הנפש הצמחה ומהללה הוא העושר
The vital soul	וכן הנפש החיה יש לה מדות טובות וכנגדה מדות רעות
vices: not obeying to the rational soul and surrendering to the vegetative soul	ומדותיה הרעות אם לא תהיה נשמעת לנפש ההוגה ונכנעת אליה ותהיה הנפש הצמחה לוכדת עליה נכנעת לה
virtues: obeying to the rational soul and restraining the vegetative soul	ותהיינה מדותיה הטובות שתהיה שומעת לנפש ההוגה ומקבלת עצמה ושולטת על הנפש הצמחה ושוברת גסותה
The vegetative soul is metaphorically compared to a bad tempered beast wishing to eat everything infront of it.	וכל החכמים המשילו הנפש הצמחה לבהמה רעה גסת רוח אשר רצונה לאכול ולהריק כל אשר לפניה
The vital soul is metaphorically compared to a bridle on the mouth of that beast, for keeping it away from its lust and leading it to the desired place, and a goad to instruct and guide it.	והמשילו נפש החיה למתג ורסן בפי הבהמה הזאת ואם לא יהיה כח במתג ורסן הזה וחוזק למנעה מתאותה לא יוכל אדם לרכוב הבהמה הגסה ולחסום פיה ולהנהיגה למקום שירצה וכן הדרבן והמלמד והמרדע שמורה דעה בפרה בעטנית ורבצנית ומכוין אותה לתלמיה
The praise of the vital soul – strength	ומשם היתה לנפש החיה צריכה לכח וגבורה ותהיה מהללה ופארה הגבורה
The rational soul Two praises – two kinds of virtues:	והנפש הדברנית צריכה לשני מידות טובות
1) Wisdom – by which it leads the two other souls and give them guidance and resourcefulness to subordinate the body in all earthly needs and to repair the bodily faculties and the worldly crafts and arts.	כדי שתהיה במין האחד מנהגת שתי נפשות האחרות ונותנת להם עצה ותושיה לשמש הגוף בכל צרכי העולם הזה ולתקן על כוחות הגוף ועל מלאכות ואומניות שהם מעסקי העולם והכתוב קרא למדות האלה חכמה
2) Intellect – by which it repairs itself, produces all human spiritual faculties and acquires favor and goods in the next world. Through these virtues, the soul can look at every thing that is more excellent than itself.	והמין השני הוא המדות שהיא מתקנת בהם עצמה ומייצרת בהם כל כוחות נפשיות אשר באדם וקונה בהם זכות העולם הבא וטובותיו ובמדות האלה יכולה להביט אל כל דבר מופלא ומעולה ממנה והכתוב קרא למין הזה השכל
	ותמצא לנפש ההוגה שתי מהללות והן חכמה והשכל
A person should not praise himself for the virtues of wisdom, strength, and sufficiency of his three souls, for these are bodily virtues of this earthly world.	ובא הכתוב ואמר אל יתהלל חכם בחכמתו‫^{[note 15]} כלומר אל יתהלל אדם במדות נפשו ההוגה המיסרת בהן כח הגוף וכן אל יתהלל הגבור בגבורתו‫^{[note 16]} אל יתהלל בחמדת נפשו החיה וכן אל יתהלל עשיר בעשרו‫^{[note 17]} אל יתהלל בחמדת נפשו הצמחה כי כל החמדות האלה הן ממדות הגוף ועוסק בעניני העולם הזה
A person can praise himself for his intellect, the virtue of his rational soul by which it tortures itself and glances at the upper world, but he may do so only when reaching the knowledge of God, which can be obtained only by God's help.	אבל רשאי אדם להתהלל בהשכל והיא מדת נפשו ההוגה שהיא מיסרת בהן את עצמה ומבטת על העולם העליון ואין לו להתהלל בהשכל אם לא ידביק לו דעת אלהים מפני שאין אדם יכול להגיע אליה וחכמת לבו אם לא יעזרנו המקום ברוח הקודש לקבל דברי הנביאים הבאה מרוח הקודש
Every wisdom other than the knowledge of God is a human acquisition and therefore not worthy to be praised for. A person who acquires this human wisdom but does not engage in religious studies is blind and lost	וכל חכמה בלעדיה אינה ראויה להשתבח בה מפני שהיא קנין בני אדם ואיש הקונה אותה ואין מתעסק וטורח בדברי תורה וזריז לעשותן הוא כעור באפלה ותועה בין הכרמים ואינו יודע למצוא הדרך וללכת אל עיר
The one who acquires the fear of God and learns religious studies then studies the other wisdoms is going in the right way.	והקונה יראת השם ותלמוד תורה ואחר יעיין בשאר החכמות ילך בדרך ישרה וימצא אחרית טוב וזהו שאמר הכתוב ראשית חכמה יראת יהוה‫^{[note 18]}
The God-fearing who studies the Torah must praise himself, and thank God for bestowing him by His grace the knowledge and reason to understand wisdom.	והירא את השם ועוסק בתורה חייב להתהלל בחלקו ולהדות לקונו ויהיה יודע כי הקב"ה עושה חסד עם האדם ונותן לו דעת ובינה להבין החכמה ולא שהיה אדם ראוי לולי חסד המקום שהוא גומל לו ונותן לו עצה ותבונה וזהו שאמר הכתוב בחכמתו‫^{[note 19]}
One should not praise himself for the virtues of wisdom, strength, and sufficiency, since he did not acquire them by himself, but he should thank God for granting him these virtues by His grace	ולא אמר אל יתהלל בחכמה שלא יאמר אדם החכמה שקניתי חכמתי היא ובתבונתי הגעתי אליה אבל יודה וישתבח לצורו עושה החסד אשר נתן לו חכמה בגדל חסדו ורב טובתו וכן אל יתהלל בגבורתו ויאמר הגבורה שלי לעשות משפט אבל יהלל ליוצרו אשר סייעו בגבורה עד אשר היה בו כח לעשות דין ומשפט וכן בעשרו שלא יתהלל ויאמר שלי הוא ואני קניתיו בחכמתי אבל יתן הודאה לקונו שעשה עמו צדקה ונתן לו עושר כי אין העשיר עושה צדקה עם העני אלא מצדקת הקב"ה שנתן לו מברכותיו וזה פירוש עושה חסד ומשפט וצדקה‫^{[note 20]} שיהא אדם משבח לבראו בכל מאודו על מדה ומדה שמודד עמו אם טוב על החסד שגמל י' ואם תמורתו יצדיק הדין והכל יקבל בסבר פנים ויברך השם על הכל שהכל בדין וברחמנות דכתיב יהוה נתן יהוה לקח‫^{[note 21]} כשם שנתן בדין כך לקח בדין ועל הכל יש לאיש להודות ולברך לשם הגדול הגבור והנורא דכתיב יהי שם יהוה מבורך‫^{[note 22]} ועל הדרך הזה יעשה חפצת השם דכתיב כי באלה חפצתי נאם יהוה‫^{[note 23]} העושה כענין הזה הוא העושה בחפצו ורצונו שלמקום והפירוש הזה נוהג בכתוב אשר פתחנו בו את הספר מנהג טוב ויפה כדרך פשוט ועל העיון הגם אינו מדוקדק
Intellect is superior to sufficiency, which is superior to strength, which is superior to wisdom	והמעיין בו עיון יפה יכול לטעון עליו ויאמר כי בפירוש הזה אתה נותן החכם עודף על הגבור כי החכמה מפארת הנפש הדברנית והגבורה מפארת הנפש הבהמית ועושר מפאר הנפש הצמחית ואם אין החכם יכול להתהלל בפאר נפשו הדברנית כל שכן שאין רשאי להתהלל בפאר נפשו הבהמית וכל שכן בפאר נפשו הצמחה המתאוה ואין זה דרך בכתבי הקדש ודברי אלהים חיים לדבר בזה העניין אבל ראוי הוא הגבור שיהא עודף מהחכם ועשיר מהגבור ולפי כך הוצרכו כלם לפרש שלא יוכל ללמד מאסור מהלל החכם מהלל הגבור ולא מאסור הגבור אסור העשיר העודף על הגבור
Strength, sufficiency and craft are attributed also to animals; therefore, it is obvious that a person should not praise himself for these virtues	ועוד שגנאי הדבר שיהיה אדם מתהלל בדבר הנמשל בו כבהמה וצמחי האדמה כי הגבורה והכח נמצאות בארי ונמר יתר מהאדם וקנין וצבירת מצוי בנמלה ובדבורה וגם המלאכה מצוי בעכביש ובתלעה וברוב עופות וחיות ולא הוצרך הכתוב להזהיר על זאת שאין אדם בער וכסיל שיתהלל באלו המדות
Since sufficiency is superior to strength, which is superior to wisdom and wisdom is a virtue of the rational soul, all these virtues are associated to the rational soul and the bible warns man not to praise himself for them	אבל הזהיר הכתוב אדם מתהלל במדת נפשו ההוגה ותהיה הגבורה והחכמה והעושר ממדות נפשו ההוגה ותהיה הגבורה עודפת על החכמה והעושר מהגבורה ותהיינה כל השמות האלה מסורות לחכמה שהיא מהלל נפש ההוגה על סדרה ועל מעלותיה
Wisdom precedes strength, which precedes sufficiency, which precedes intellect, which is the essence of all wisdoms: A person first acquires wisdom; when increasing his wisdom he obtains strength; when increasing his strength he becomes self-sufficient; then, reaching the depth of wisdom, he becomes endowed with intellect. On top of all these wisdoms lies the knowledge of God, as a tower built upon them.	ויהיה אדם בתחלתן קונה חכמה וכשהוא מוסיף על קנין החכמה ומתגבר בה נקרא גבור והמעדיף על זה נקרא עשיר ואשר מגיע לעמק החכמה יהיה משכיל והכתר אשר על ראש החכמות האלה והמגדל הבנוי עליהם הוא דעת אלהים ואין האדם רשאי להתהלל כי אם בה דכתיב כי אם בזאת יתהלל המתהלל‫^{[note 24]} וכן אנו מוצאים בדברי הקדש גבורה עודפת מחכמה כי כן דניאל שבח למקום דכתיב די חכמתא וגבורתא דיליה‫^{[note 25]} וכתוב מהודה ומשבח קדם אלהיך אנא די חכמתא וגבורתא יהבת ליה‫^{[note 26]} וכתוב לי עצה ותושיה אני חכמה (בינה) ולי גבורה‫^{[note 27]} ותמצא מכאן הגבורה נאמרת על החכמה העודפת וכן תמצא העושר אמור על החכמה דכתיב עושר וכבוד אתי הון עתק וצדקה‫^{[note 28]} וכתוב ארך ימים בימינה ובשמאלה עשר וכבוד‫^{[note 29]} ולפי שהזכיר עשיר אחר גבור נודע שהעושר בחכמה עדין מהעשיר ואין נזקקין להביא ראיה על השכל מפני שהוא דבר גלוי וידוע לכל אדם כי השכל הוא עקר החכמות כלן ויסודן והיא המעלה שאין למעלה ממנה
The types of wisdom of the sages in this world are based on four foundations corresponding to the four expressions in the verse from Jeremiah mentioned in the beginning of the introduction	ואנו מוצאין החכמות אשר בידי החכמים בעולם הזה בראיות על ד' יסודות כנגד ד' שמות שקראם הכתוב בפסוק אשר פתחנו בו
The belief in God and the study of his Holy Scriptures, for which one is allowed to praise himself, are the tower built upon these four foundations	ואמונת השם ותלמוד תורתו אשר הרשה לנו הכתוב להתהלל בה מקיימת היסודות האלו אשר על ד' פנות החכמה והוא המגדל הבנוי עליהם
From the prohibition to be praised for those virtues it is concluded that one is allowed learn them and be engaged with them.	ומתוך שאסר הכתוב להתהלל במדות האלה אנו רואים שהתירם ללמדם ולהתעסק בהן
The purpose of the treatise is to state and reveal these types of wisdom in short	ומפני זה באתי בחבור הזה להודיע ולגלות ענייני החכמות האלה בדרך קצרה לפי עניות דעתי ודלות בינתי
The work is divided to two sections:	ואני מחלק החבור הזה לב' מאמרות
The first section of the work deals with the "foundations of wisdom" [= Ḥokmah, Gevurah, ʽOsher, Haskel]	המאמר הראשון יתפרש בו יסודי התבונה שהתנה עליהם הכתוב מתחלת הפסוק עד השכל וידוע אותי‫^{[note 30]}
The second section discusses the "tower of faith"	והמאמר השני יתברר בו מגדל המפרש בפסוק הזה מן כי אני יהוה עושה^{[note 31]} עד סוף הפסוק
I. The First Section: the Foundations of Wisdom	והמאמר הראשון מתחלק לד' חלקים ויקרא כל חלק וחלק מהם יסוד כנגד יסודות החכמה
1) Mathematics – wisdom (Ḥokmah)	היסוד הראשון בפירוש חכמת המוסר וחכמת המדבר והיסוד הזה קראו הכתוב חכמה ועומדים עליו ה' עמודים
I. Section One - Arithmetic	העמוד הראשון בחכמת המנין אשר היא נקרא בלשון ערבי עלם אלעדד
II. Section Two - Geometry	העמוד השני בחכמת השעור הנקרא בלשון ערבי אלהנדסה
III. Section Three – Music	העמוד השלישי בחכמת הנגון הנקרא עלם אלתאליף
IV. Section Four – Astronomy	העמוד הד' בחכמת הכוכבים עלם אלנג'ום
V. Section Five – Logic	העמוד החמישי בחכמת הדבר הנקרא אלמנטיק
	וכל אחד מהעמודים האלה נחלקים לשערים ויהיו נזכרים בתחלת כל עמוד ועמוד מהם
2) Foundation Two – Natural Science – strength (Gevurah)	היסוד השני מפרש חכמת היצירות החוקרת על כל הנמצאות ומבארת תוכן מציאותם ודרך בריאתם וקראה הכתוב גבורה
	והעמודים הסמוכים עליה שמונה
I. Section One - Physics (principles of beings)	העמוד הראשון חוקר על כללות נבראות ותחלת החכמה הזאת ועקרה אשר ממנו
II. Section Two - Cosmology (simple celestial bodies)	העמוד השני חוקר על כל גופות הפשוטות שאין מתחלפות בשמים וכוכבים
III. Section Three - Generation and Corruption	העמוד השלישי חוקר על הכוננות וההפסד הבא על הנמצא תחת השמים
IV. Section Four - Four Elements of Creation	העמוד הרביעי חוקר על פנות היצירה הארבעה ועל הדומה להם
VI. Section Five - Mineralogy	העמוד החמישי חוקר על גופות מתחלפות אשר תוכן כברן ככסף וזהב ודומה להם
VI. Section Six - Botany	העמוד השישי חוקר על צמח האדמה
VII. Section Seven - Zoology	העמוד השביעי חוקר על בעלי החיים
VIII. Section Eight - Psychology and Medicine (soul and body of the human being)	העמוד השמיני חוקר נפש האדם וגופו הגופנית והרוחנית
	וכל העמודים נחלקים לשערים
3) Foundation Three – Ethics and Politics - sufficiency (ʽOsher)	היסוד השלישי חוקר על חכמה האינשית והחכמה המדנית הנקרית עושר ועמודיה ג'
I. Section One - conduct of a person with himself	העמוד הראשון מפרש דרך שמוש האדם בעצמו
II. Section Two - conduct of a person with his family and slaves	העמוד השני מבאר דרך שמושו בינו לבין ביתו ועבדיו
III. Section Three - conduct of kings and rulers	העמוד השלישי מבאר דרך עצות המלך ורוזני המדינות
4) Foundation Four – Metaphysics – the Wisdom of Wisdoms	היסוד הרביעי מפרש חכמת האלהית שקורין לה חכמי הגוים חכמת החכמות
	ויש להם שני עמודים
I. Section One - The wisdom that provides signs and proofs for issues delivered by tradition, that are above the previous types of wisdom	העמוד האחד מדבר על כל העניינים הנסדרים בראש החכמות אשר לפניה המסורים שם על דרך קבלה והחכמה הזאת נותנת להם אות ומופת
II. Section Two - The wisdom that inquires the Unity of God, the divine light, and all abstract bodiless beings	העמוד השני חוקר על האחדות האלהית ועל האור הבהיר ועל כל הנמצאות אשר אינן גופות ולא גלם ואינם נצרכות לגוף ולגלם ככל צבאי עולם העליון
While there is no need for studying the Holy Scriptures in order to acquire all previous types of wisdom, theology could be understood correctly only from the Holy Scriptures.	והכתוב קרא לחכמה הזו נקראת בשני שמות האלו אלא להודיעך כי על כל החכמות אשר לפניה אי אתה צריך בלימודם אל תלמוד התורה והחכמה הזו אין אדם מבינה על דרכה הנכונה אלא מהתורה וכתבי הקדש
The above introduction concentrates on the principles of the first section of the work. The explanation to the parts of the second section was supposed to be given later on at the beginning of the second section, which is now lost, or was not completed	זהו מספר יסודי המאמר הראשון ועמודיו ואני מאחר פירוש חלקי המאמר השני עד הגיעו אליו בעזרת השם

Classification of even numbers	חלקי הזוג
Book One – the Foundations of Wisdom
Prologue
Bar Ḥiyya asks his readers not to blame him for entering a narrow place not fitting for walking and endangering himself in losing his way by writing the book	ואל יאשימוני רבותי המסתכלים בדברי אלה ואהיה בעיניהם כמו שהכניס עצמו ממצוק ובמקום צר שאינו ראוי ללכת בו ומסתכן בעצמי בצאתי מדרכי ואני מגלה להם את סודי
He explains that he did not engage in it voluntarily for his own sake, but because many of the distinguished men of his time, whose advice he must accept, brought him to do so, since in the whole land of France there was no book written in Hebrew about these types of wisdom. By their instruction, he translated it from Arabic books to Hebrew according to his own understanding.	ולא לרצוני נכנסתי ולא לכבודי להחזיק לי טובה אבל רבים מגדולי דורי שאני חייב לקבל עצתם הביאוני בכל זה מפני שלא היה בכל ארץ צרפת מהחכמות האלו ספר כתוב בלשון עברית ועל פיהם העתקתים מספרי ישמעאל אל לשון הקדש בהשגת ידי ככתוב איש כמתנת חלקו כברכת יהוה אלהיך אשר נתן לך‫^{[note 32]}
Bar Ḥiyya states that every man has to teach his learning according to his own understanding and aim to God	וכל אדם חייב להורות מתלמודו כפי בינתו אחד המרבה ואחד הממעיט ושיכוון לבו לשמים
He begs his reader to acquit him and to gracefully correct every mistake and error found in the book both linguistically and in terms of content	ואני מפייס מכל הקורא בחבור הזה שידינני לכף זכות כתכתב בצדק תשפט עמתך‫^{[note 33]} ויגיה בחסדו כל טעות ושגגה שיראה בדברי אלה הן בלשון הן בענין לכשיתברר לו האלהים יכפיל שכרו
Lastly, he asks God to help him, save him from sin, and to bestow him his grace	וכמו כך אני מתחנן לפני צורי ומבקש מלפניו להיות בעוזרי ולהצילנו מחטא ועון ויתן חנו עלי בעיניו ובעיני כל חסידיו כי הכל בידיו ואין צור מבלעדיו
Foundation One – Mathematics
Introduction
Mathematics is divided into three sciences:	החבור הזה מיוסד על שלושה עמודים
1) Arithmetic	העמוד הראשון מן היסוד הראשון מחובר בחכמת המספר הנקראה בלשון יון ארתמאטיקה
2) Geometry	והעמוד השני בחכמת השיעור הנקראה גיאומטריא בלשון יון
3) Music	והעמוד השלישי בחכמת הנגון הנקראה בלשון יון מושיקא
Section One – Arithmetic	העמוד הראשון מפרש חכמת המנין
Introduction
	וחכמת הזאת נקראת בלשון יון ארתמטיקה
	וכל חכמי האומות לומדים אותה תחלת כל החכמות מפני שדיעות בני האדם מקבלות את החכמה הזאת מילדותם
	ואי אתה מוצא אדם שאין מבין ממנה מעט
	וכל הלמד אותה אינו צריך בבינתה אל עוזר מחכמה אחרת מפני שהחכמה הזאת קרובה אל הלב וגלוייה
Arithmetic consists of two parts:	והיא מתחלקת לשני חלקים
1) theoretical arithmetic - the wisdom of number	החלק האחד על המנין מדרך שהוא נמצא בדעות ועומדת צורתו בלבות החכמים לא מדרך שהוא בדברים הנמנין בו ועומד בגדודי עולם ובכל הנמצאים בו ואנו קוראים לחלק הזה חכמת המספר ויהיה השם מפרש לה מהחלק השני
2) practical arithmetic - the wisdom of calculation	והחלק השני מעיין במנין מדרך שהוא עומד בכל הנמצאות בעולם והוא מונה אותם ובו האדם יכול לחשוב כל עסקיו וקניניו ומפני זה אנו קוראים לה חכמת החשבון
	ואנו מתחילים לבאר את שני החלקים האלה בענין זה החבור
Part One – Theoretical Arithmetic	החלק הראשון בחכמת המספר
Introduction - Preliminary definitions
Number - multitude summed from units	הוי יודע כי המספר הזה או המנין הזה הוא רבוי הנקבץ מהאחדים
Unity	ומשמע האחדות בכאן הוא ענין הנמצא באחד אשר בו הוא נקרא אחד והאחדות היא משכללת את צורת האחד ומקיימת תבניתו ומפני שאנו מעיינים במספר הנוצר בלב הביאנו בגדרו האחדות שהיא נוצרת בלב ולא הביאנו האחד שהוא נמצא חוצה מהלב
one is not a number - it is the foundation and the cause of all numbers	ומתוך שגדר המספר הוא רבוי הנקבץ מהאחדים או מן החד אתה רואה כי זה האחד והאחדות אינה מספר אבל אתה אומר כי האחד הוא מן המספר והוא עקר המספר ואינו מספר וכן הוא סופר את המספרים ואינו מספר
same as the letters are the cause of a language but not a language	וכדומה לו תיבות אלף בית אשר הן עקר לשון הקודש ובהן נבנה כל לשון ויובן כל דבר אמור בלשון והן מן הלשון ואינם לשון כי אינם משמיעים ענין מעניני העולם אשר הלשון מחוה ומלמד אותם וכל ענין אינו נשמע אלא בהם והם מן הלשון ואינו לשון כן האחד מן המספר ואינו מספר
Digit	והאות המעידה על המספר ומפרשת אותו ונותנת בו סימן אשר הוא משכלל אותו
Every number is half of the sum of the numbers on either side	כי כל מספר הוא מחצית שני צדיו הצד העודף עליו והצד החסר וכן הוא מחצית שני צדי צדיו עד תכלית כל צדיו
	ואתה מבין האות הזה מן העשרה על דרך המשל הצד אשר לפניה העודף הוא י"א והצד אשר מאחריה החסר ממנה הוא ט' ואתה מוצא העשרה מחצית שני הצדדים האלה בהתקבצם יחד וכן הוא מחצית שני צדי צדדיה שהם י"ב וח' ומחצית שני צדי צדי צדדיה שהם י"ג וז' וכן עד תכלית כל צדדיה ובענין הזה תמצא כל המספר מחצית ב' צדיו עד סופן
	והאחד מפני שאינו מספר אין אתה מוצא לו ב' צדדים ומפני שהוא פשוט בלי מתחלק אתה מוצא אותה מחצית צדו האחד והוא השנים אשר האחד מחציתו והוא מחצית לדבר אחד מענין אחד ולא מחצה לשני דברים ולא על שני ענינים
Classification of numbers	חלקי המספר
Two types of numbers – odd and even	והמספר נחלק לב' חלקים ראשונים והם הזוג והנפרד
Even Number - any number that is divisible [by two]	הזוג הוא המספר הנחלק בנתים
Odd Number - any number that is indivisible [by two]	והנפרד הוא המספר שאינו יכול ליחלק בנתים
	ומסמני הזוג שכל חלקיו שהוא נחלק אליהם הם שנים בדמותם
	אם החלק האחד יהיה זוג השני יהיה זוג
	ואם האחד יהיה נפרד גם השני יהיה נפרד
	אבל הנפרד הוא שכל חלקיו לעולם אינם שוים לא במנינם ולא בדמותם אבל האחד לעולם זוג והשני נפרד
	ואתה יכול לחלק את הזוג בנתים לשני חלקים שוים במספרם ואי אתה יכול לחלק את הנפרד לשני חלקים שוים במספרם
	אבל אם אתה מדקדק בחלוקם ומקריב אותם מן השוה אתה מוצא חלק אחד מוסיף על השני אחד או גורע ממנו אחד כגון ט' כשאתה מחלק אותה לה' חלקים ולד'
	והזוג נחלק לשני חלקים ראשונים והם זוג הזוג וזוג הנפרד ויתילד ביניהם חלק שלישי והוא זוג הזוג והנפרד
even times even (2n)	וזוג הזוג כמו ד' ח' י"ו הוא המספר הבא מכפילת הזוג הראשון פעם אחת או יותר מאחת
even times odd (2·a for a=2n−1)	וזוג הנפרד כמו ו' י"ד י"ח הוא המספר הבא מכפילת הנפרד פעם אחת
even times even and odd (2n·a)	וזוג הזוג והנפרד כמו י"ב כ"ד ל"ו הוא המספר הבא מכפילת המספר הנפרד פעמים שיהיה מספרם זוג
	ומסימני זוג הזוג אם אתה מחלקו בנתים יהיו שני חלקיו זוג
	וכן כל אחד מחלקיו אם אתה מחלק בנתים יהיו חלקיו זוגות
	וכן חלקי חלקיו עד שאתה מגיע אל הזוג הראשון והוא שנים
	כגון מספר י"ו אם תחלקהו בנתים יהיו ב' חלקיו ח' ח'
	ואם תחלק עוד את חלקים האלה יהיו חלקיהם ד' ד'
	ועוד הם נחלקים לב' ב' שהוא הזוג הראשון
	ואתה קורא למספר הזה ולכל בתריו הבאים מחלוקם בנתים זוג הזוג עד הגיעם אל הזוג הראשון שהוא שנים
	ומסימני זוג הנפרד הוא הנחלק בנתים לשני נפרדות פעם אחת בלבד כגון י"ד, נ"ח
	ומסמני זוג הזוג והנפרד שהוא נחלק בנתים וחלקיו נחלקים בנתים ואינו מגיע בחלוקו אל הזוג הראשון
	כמספר י"ב שהוא נחלק בנתים לו"ו והם נחלקים לג"ג
	ואתה מוצא בחלק הזה סימני זוג הזוג והנפרד ודומה לזוג הזוג בחלקו בנתים למספר שהוא זוג והוא דומה לזוג הנפרד בהגיעו אל מנין נפרד בסוף בתריו
	ובענין שהוא דומה לזוג הזוג הוא נפרש מזוג הנפרד ובענין הדומה לזוג הנפרד נפרש מזוג הזוג
	והוא דומה לכל אחד מהם בענין אחד
	וקראו את זוג הזוג בשם הזה מפני שאין מונה אותו מספר שאינו זוג והוא מונה אותו פעם זוגות
	ונקרא השני זוג הנפרד מפני שהזוג מונה אותו נפרד פעמים והנפרד מונה אותו זוג פעמים
	ונקרא זוג הזוג והנפרד מפני שהזוגות המונין לו מהן מונה זוגים פעמים ומהן נפרדים פעמים
Classification of odd numbers	חלקי הנפרד
prime	והנפרד נחלק לשני חלקים לנפרד ראשון ולנפרד שני הנפרד הראשון הוא כל נפרד שאחד לבדו מונה אותו ואין אתה מוצא מספר שיהיה משלים את מנינו בלתי האחד לבדו כגון ג' ה' ז' י"א וכדומה להן
composite	והנפרד השני הוא כל מספר שאתה מוצא מספר שיהיה מונה אותו ולא יהיה המספר הזה כי אם בנפרדות
	כגון ט' ט"ו כ"א ודומה להם כי מספר ט' תמצא מספר ג' מונה אותו ג' פעמים וכן ה' מונה ט"ו וכן ז' לכ"א ג' פעמים וכן ג' מונה לט"ו בה' פעמים ומונה לכ"א בז' פעמים
	וקורין לחלק הזה נפרד הנפרד מפני שכל מספר שהוא מונה אותו הוא נפרד פעמים נפרדות
composite number which is relatively prime to another number (i.e. has no common divisor with this number)	ואתה מוצא לנפרד הזה חלק שלישי והוא המספר שהוא שני לגבי עצמו וראשון לגבי מספר אחד ואי אתה מוצא החלוק הזה אלא בין שני מספרים נפרדים כשאתה מקיש אחד מהם אל חברו
example: 9 and 25	כגון שני מספרים ט' וכ"ה אשר כל אחד מהם שני בפני עצמו מפני שיש לכל אחד מהם מספר שהוא מונה אותו ואין אתה מוצא מנין שהם מתחברים בו שהוא מונה לשניהם
	כי התשעה תמצא שלשה מונה אותו ואינו מונה למספר כ"ה
	וכן מספר כ"ה חמשה מונה אותו ואינו מונה למספר ט'
	ואין ג' (ב'?) המספרים האלה דומים למספרי ט"ו וכ"א כאשר זכרנו למעלה אשר יש להם מנין שהוא מונה לשניהם והוא ג'
2 is a prime number	ואין אתה מוצא בזוג מספר ראשון לבד מהשנים אשר הוא תחלת המנין ואין המספר מונה אותן כי אם אחד
	והן נקראים ראשון על ב' פנים מפני שהאחד לבדו מונה אותן ומפני שהן ראשון המנין
Other classifications of numbers	חלקי המספר בדרך אחרת
Three types of numbers	והמספר נחלק מדרך אחרת וג' חלקים
	למלא ועודף וחסר
Perfect numbers	והמספר המלא הוא אשר חלקיו המונין אותו ממלאים אותו ואין עודפים עליו ולא פוחתים ממנו
	כגון מספר ו' אשר חלקיו שתות ושליש וחצי ואי אתה מוצא לו חלק אחר וכשאתה מקבץ שתיתו ושלישו וחציו תמצא בהן ששה לא פחות ולא יותר ודומה לו מספר כ"ח
Superabundant numbers	והמספר העודף הוא אשר חלקיו עודפים על מספרו
	כמו י"ב אשר אתה מוצא בהן כמו אחד מי"ב וגם שתות ושליש ורביע וחצי וכשאתה כולל כל החלקים האלה יהיה המספר י"ו ויהיה יותר על המספר אשר הם חלקין (חלקיו?) והוא י"ב
Deficient numbers	המספר החסר הוא אשר אין חלקיו ממלאים את מספרו
	כמספר י"ד אשר תמצא לו חלק אחד מי"ד וגם יש לו שביע ויש לו חצי ואי אתה מוצא בו יותר מאלו ג' חלקים וכשאתה מצרפם יחד יגיע מספרם עד עשרה ולא יותר והוא חסר מי"ד אשר הם חלקיה
	והמשילו החכמים המספר המלא לאדם ישר ותמים
	והמספר העודף המשילו לאדם שיש לו אברים עודפים כגון מי שיש לו שש אצבעות בידיו וברגליו
	והמספר החסר המשילו לאדם שהוא פחות אחד מאבריו או יש לו ד' אצבעות בידיו וברגליו
	וכאשר המספרים העודפים והפוחתים רבים בכל מעלות המספר והמספר המלא מופלא ומעט כי אי אתה מוצא ממנו כי אם אחד במעלת האחדים ובמעלת העשרות ואחד במעלת המאות ויש מעלות שאי אתה מוצא בו מספר מלא
	כן בני האדם אתה מוצא בהם רבים המוסיפים על מדותם ויוצאים מקצתם וכן תמצא רבים החסרים והגרועים בבני אדם ואין אתה מוצא אדם ישר תמים כי אם אחד באלף כאשר אי אתה מוצא מספר מלא ותמים אלא בדרך מופלא על קצב אחד במספר הזוג בלבד על הענין המפורש בספרי החכמה הזאת אשר אין החבור הזה נזקק לפרשו
Types of numbers in relation to other numbers	חלקי המספר מדרך הקשתו
	והמספר זה נחלק למספר רב ומספר מעט
Small number	והמספר המעט
Part of a larger number – divisor	נקרא חלק אל המספר הרב אם יהיה מונה אותו על השלמות
Divisor with remainder	והוא נקרא מקצת למספר הרב אם לא ישלימנו במנותו אבל ישאיר מעט שאינו יכול למנותו מפני שאינו כמוהו
	כמספר ג' והוא נקרא חלק ממספר י"ב מפני שהוא מונה אותו ד' פעמים ומשלימו
	ונקרא מקצת המספר ח' מפני שאין משלים אותו במנותו אבל הוא משיייר ממנו ב' שהן המעט מג' והם מקצת ח'
large number	והמספר הרב
multiple	נקרא כפלים למעט אם יהיה המעט מונה אותו
surplus	ואם אינו מונה אותו יקרא הרב עודף על המעט ואינו נקרא כפלים לו
Numbers that have a common divisor (15; 25)	וכל שני מספרים שיש להם מספר שהוא מונה לשניהם נקראים מספרים נאותים
	השני מספרים ט"ו וכ"ה אשר הם נאותים זה לזה כמספר (במספר ?) ה' שהוא מונה לשניהם ומשלים אותם והוא מונה למספר ט"ו ג' פעמים, ולמספר כ"ה ה' פעמים והוא חלק לשניהם לאחד שלישית ולשני חמישית
Co-prime numbers (8; 15)	וכל שני מספרים שאין להם מספר שיהיה מונה אותם זולתי האחד שאינו המספר נקרים מספרים נכריים זה מזה
	כשני מספרים ח' וי"ה וכדומה להם
Classification of ratios
Equality	וכל מספר שאתה מקיש אותו אל מספר יכול יהיה המספר המוקש אליו שוה לו במנותו
	וההקשה הזאת נקראת ישרה ושקולה
	כשאתה מקיש י' אל י' או ק' אל ק'
	ואין בהקשה הזאת חלקים רבים אבל היא באה לעולם על דרך אחת
Inequality	ויכול תהיה ההקשה אל מספר עודף עליו או פוחת ממנו והיא נקראת הקשה נחלפת
	ויש חלקים רבים כפי רוב תוספת או החסרון
	ואעפ"כ היא עומדת על ה' שרשים שהן אבות לכל החלקים המתחלקים מהם
	ואלה ה' חלקים נחלקים לשני ענינים
Two types involve with co-prime numbers:	הענין האחד הוא בין מספרים נכריים וכוללים להם שני שרשים
1) Superpartient number (5:7)	האחד כשאתה מקיש מספר אל מספר אחד שהוא עודף עליו או פוחת ממנו שני חלקים או ג' ואין ביניהם חלק שיהיה מונה לשניהם
	כמספר ה' אל מספר ז' אשר ביניהן ב' והוא שני חלקים לשניהם מפני שהוא שני חמישי הה' ושני שביעי הז'
2) Multiple superpartient number (5:12)	והשרש השני מההקשה הזאת כל מספר שיהיה מוקש אל כפלו ועוד שני חלקים ממנו או ג'
	כמספר ה' אל מספר י"ב אשר הוא כפלו וב' חמישיות וכיוצא בדמיונות האלו כגוף המוסיף ג' כפלים וחלקים או יותר או פחות מזה
	וכל ההקשה הזאת אינה משמשת באחת מן החכמות אלא בצד רחוק
Three types involve with numbers that have a common divisor:	וענין השני משרשי ההקשה בין שני מספרים נאותים וכוללים לה ג' שרשים
1) Superparticular number (6:8)	הראשון מהם הקשת מספר אל מספר שהוא מוסיף עליו או פוחת ממנו חלק אחד
	כמספר ו' אל מספר ח' או ט'
2) Multiple number (6:12)	והשני מוסיף עליו או פוחת כפל
	כשאתה מקיש מספר ו' אל מספר י"ב
3) Multiple superparticular number (6:15)	והשלישי מורכב משניהם והוא הקשת מספר אל כפלו וחלק אחד
	כמספר ו' אל ט"ו אשר הוא כפלו וחצי כפלו
	וכשאתה שונה החלק הראשון בין ג' מספרים יש פעמים שתהיה ביניהם מוצא החלק השני
	כגון מספרים האלה והם ו' ח' י"ב
	אם אתה מקיש ו' אל ח' תמצאנו מוסיף שליש
	ואם תקיש ח' אל י"ב תמצאנו מוסיף מחצית
	ואם תקיש ו' אל י"ב תמצאנו כפלו
	וכן אם אתה מקיש העודף אל פוחת כמו הקשתך י"ב אל ח' ואחר כן ח' אל ו' ולבסוף י"ב אל ו' תמצא הענין אחד
	אלא שאתה בהקשת הפוחת אל העודף עולה בהקשה ובהקשת העודף אל הפוחת יורד בהקשה
Importance of ratios - sign for the material bodies	וברבוי ההקשות האלה רמז לחכמי המספר הוציאו ממנו אות על כל גדודי העולם שהם נבראים על סוד ההקשה הנאותה
	ואתה מוצא כל צלעי הנבראות מוקשים בשעורם על השרש הזה
	ושבחו החכמים המעיינים בחכמות החצוניות ההקשה הזאת שבח גדול
	והוא פתח חכמת הנגון ועליה נבנה כל יסודה אשר אתה רואה בעמוד השלישי מן היסוד הזה בע"ה
Types of numbers in relation to their own parts	סדרי המספר בהקשת חלקיו אליו
divisible number and its divisor	וכל מספר שיש לו חלק החלק מונה אותו כמנין החלק עצמו או כמנין חלק אחד מחלקיו
square number - definition	והמספר אשר חלקו מונה אותו במספרו נקרא מספר רבוע מפני שצלעו האחת שוה לצלעו השנית
$\scriptstyle a=n^2$	וכשאתה שונה את צלעו כמנינה יתקבץ המספר הרבוע
$\scriptstyle{\color{blue}{4;\ 9;\ 16}}$	כמספר ד' וט' וי"ו וכדומה להן
plane number - definition $\scriptstyle a=n\sdot m$	ואשר חלקו מונה אותו כמנין חלק אחד מחלקיו יקרא מספר שטוח ויש לו שני צלעים
$\scriptstyle{\color{blue}{15=3\sdot5}}$	כמספר ט"ו אשר צלעו האחת ג' והשנית ה'
	וכשאתה שונה צלעו כמנין הצלע השנית יתקבץ מספרו השטוח שהוא ט"ו
prime number - definition $\scriptstyle p=1\sdot p$	וכל מספר שאתה מונה אותו באחד לבדו נקרא מספר ארוך
	מפני שהוא צלע עצמו ואין לו צלע שני כי אם האחד שאינו מספר
	והמספר הרבוע דומה לשטוח המרובע בגופי הגלמים
	והמספר השטוח דומה לשטוח שאינו מרובע אבל ארכו מוסף על רחבו
	והמספר הארוך דומה לקו אשר יש לו אורך בלבד ואין לו רוחב
	וכל הענין הזה תראהו מפורש בחכמת השיעור
the square numbers are formed in sequence by the series of the odd numbers $\scriptstyle{\color{blue}{1=1^2}}$	וכל המספרים הרביעים הם נמצאים על סדרן מקבוץ האחד אשר הוא הריבוע הראשון עם המספרים הנפרדים על סדרם
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3=1^2+3=4=2^2}}$	והענין הזה אם אתה מקבץ האחד שהוא הרבוע הראשון אל השלש שהן תחלת הנפרדות ואתה מוצא הריבוע השני והוא ד' אשר צלעו ב'
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5=2^2+5=9=3^2}}$	ואם אתה מוסיף על ריבוע השני המספר הנפרד השני והוא ה' יהיה הכל ט' והוא הריבוע השלישי שצלעו ג'
$\scriptstyle{\color{blue}{1+3+5+7=3^2+7=16=4^2}}$	וכן אם אתה מוסיף על הריבוע השלישי הנפרד השלישי והוא ז' יצא לך הרביעי והוא י"ו
$\scriptstyle1+3+5+7+\ldots+\left(2n+1\right)=n^2+\left(2n+1\right)=\left(n+1\right)^2$	וכן על הסדר הזה לעולם אתה מוסיף על הריבוע המספר הנפרד אשר במעלתו ויצא לך הריבוע התלוי אליו ועד אין סוף
the five types of ratios depend on the equivalence ratio, created from it, and return to it, as the square numbers are created from the odd numbers	וכן אתה מוצא חמשת ההקשות המנין אשר הן נחלפות תלויות בהקשה הישרה וחוזרות אליה כשאתה מתיר את הקשרם כאשר המספרים הנפרדים קושרים את הריבוע במספר
sample table of ratios	והנה אני מצייר לך צורת אחת תראה בה שש ההקשות אשר הם עם הנחלפות עם הישרה סדורות בשלשה מספרים בכל הקשה והקשה כדי שתבין הענין הזה

Three rules of reducing the ratios successively to equality:

$\scriptstyle{\color{blue}{\left(4,6,9\right)\longrightarrow\left(1,2,4\right)}}$	$\scriptstyle{\color{blue}{\left(1,2,4\right)\longrightarrow\left(1,1,1\right)}}$
$\scriptstyle x_1=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=9-\left[6+\left(6-4\right)\right]=1}}$	$\scriptstyle x_1=a_1{\color{blue}{=1}}$
$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=6-4=2}}$	$\scriptstyle x_2=a_2-a_1{\color{blue}{=2-1=1}}$
$\scriptstyle x_3=a_1{\color{blue}{=4}}$	$\scriptstyle x_3=a_3-\left[a_2+\left(a_2-a_1\right)\right]{\color{blue}{=4-\left[2+\left(2-1\right)\right]=1}}$

ואם אתה רוצא להתיר הקשה נחלפת עם ישרה אתה פוחת ראש מספריו מהשני והנשאר אחר הפחת חבר עם השני ופחות מן השלישי וישאר בידך שלשה שהן שוין או מוקשין על שרש אחד שהוא קרוב אל השוה

כגון הקשת החלק אשר היא המעלה השלישית בצורה הזאת ומספריה ד' ו' ט'
ואם אתה פוחת ד' מן ו' ישאר בידך ב'
ואם אתה פוחת ב' עם ו' מן ט' ישאר א'
והנה נשארו לך מן השלש מספרים א' ב' ד' והם מספרי הקשת הכפל בצורה הזאת
ואם אתה פוחת מב' א' ואחר כן תפחות מד' שהוא המספר הגדול א' וב' ישאר לך אחד ג' פעמים והוא הקשת הישר

לוח שש ההקשות

1	1	1	Equivalence Ratio	1
4	2	1	Multiple Ratio	2
9	6	4	Superparticular Ratio	3
21	10	4	Multiple Superparticular Ratio	4
25	15	9	Superpartient Ratio	5
64	24	9	Multiple Superpartient Ratio	6

א	א	א	הקשה ישרה	א
ד	ב	א	הקשת כפל	ב
ט	ו	ד	הקשת חלק	ג
כא	י	ד	הקשת כפל וחלק	ד
כה	טו	ט	הקשת חלקים	ה
סד	כד	ט	הקשת כפל וחלקים	ו

analogy between the returning of the five ratios to the equivalence ration and the gradual stage of refraining from desire:

overcoming one make the next stage easier, until the level of righteousness is reached

והחכמים נוהגים מזה רמז על האדם אם הוא מכריח עצמו וכובש יצרו מתאוות העולם פעם אחת יהיה זריז פעם אחרת להכריח יותר עד שיעלה לגדר התמימות וחסד

ולבעלי החכמה הזאת בענין הזה טעמים נאים ונכוחים במוסר הנפש

וכן יש להם בענין הראשון בסדור המספרים אשר הם רבועים רמז גדול על שבח האחד שהוא יסוד המספר והוא העקר והסוד לכל בריות העולם יהיה השם המיוחד האמתי אשר לא יוגדר כי הוא מחוייב המציאות ואין סבה למציאותו יתברך שמו לעד ולנצח

theoretical arithmetic versus practical arithmetic:

Theoretical arithmetic – rational wisdom inquiring the number – its form and definitions – as understood by the heart [= theoretically]

וכל אשר הקדמנו למעלה מצורת המנין וגדריו הוא מן החכמה השכלנית ומעיינת במנין מהדרך שהוא עומד בלב

Part Two – Practical Arithmetic

Practical arithmetic – wisdom that investigates number as it is realized in earthly affairs and businesses, for there is nothing in this world that does not use number, is not counted by number, and coincide with it from all aspects

וחכמת החשבון אשר אנו באים עתה לדבר עליה בחלק הזה היא מעיינת במנין מדרך שהוא נופל על כל עניני העולם הזה ועל עסקיו כי אין לך דבר בעולם הזה שאין המנין משמש ומונה אותו וחופף אליו מכל צדדיו

Numeration

The Twelve Names that Form Every Number

The names of all numbers are formed by twelve words:

וכל המנין כלו נכלל בשנים עשר שמות

תשעה מהם הם חוזרין חלילה עליו
ושלשה מהם בונין מעלותיו

the names of the nine units one-nine

והתשעה שמות הם האחדים והם המעלה הראשונה מהם עד תשעה

the names of the three ranks - tens, hundreds, and thousands

והג' שמות הן לג' מעלות המנין אחר האחדים והם העשרות והמאות והאלפים

The four ranks that build all numbers – units, tens, hundreds, thousands

ואלו הארבע הם עקר מעלות המנין אשר הם חוזרין עליו ומקיפין אותו

The names of all ranks after the thousands are quarried from the three preceding ranks

כי כל מעלה אשר עולה אל האלפים שמה חצוב משלושת המעלות אשר לפניה אלפי אלפים ועשרות אלפי אלפים ומאות אלפי אלפים ואלפי אלפי אלפים וכן למעלה מזה

The Arabic and Hebrew terminology for the concept of rank

וחכמי החשבון קורין לכל מעלה ומעלה מהמעלות האלה בלשון ישמעאל אוש בסמך

ופירושו בלשוננו מענין יסוד ואנו קורין לו בלשון הקדש אוש בשין והוא חצוב מן אושיא יחיטו^{[note 34]} ואושיא שאמרו רבותינו בתלמוד והוא משמע יסוד

ומפני זה אנו אומרים אוש האחדים אחד אוש העשרות שנים ואוש המאות שלשה כאלו היינו אומרים יסוד מעלת האחדים אחד וכן העשרות והמאות

The fundamental arithmetical operations

וחכמי המנין מתעפקים (מתעסקים?) בחשבון על ענינים רבים

1) Multiplication

ראשונה הם צריכים לחשוב מנין במנין

2) Division

ושנית לחלק מנין אל מנין

3) Ratio

ושלישית לדעת קצב מנין ממנין

4) Subtraction

ורביעית לפחות מנין מן מנין

5) Addition

וחמישית לספות מנין אל מנין

6) Completion

וששית להשלים מנין במנין

7) Conversion

ושביעית להשיב מנין אל מנין

ובזה הענין הם צריכים לחלק את האחד ולעיין בחלקיו איך הם נחשבים זה בזה ונמשלים זה עם זה

ואנו נותנים כללות לכל אחד מענינים האלה בדרך החבור הזה

והמבין צורת הענינים האלה נקרא מבין בחכמת החשבון

והממהר בחשבון ומקבץ אותו נחוץ נקרא זריז במלאכת החשבון

ואינו נקרא על זה חכם בה ומבין

וזה דרך הבינה יכול אדם ללומדה וללמדה בספר

והמלאכה והזריזות בה אינה נלמדת מספר כי בינה ממעשה הלב והמלאכה ממעשה ידים

Multiplication

דרך חשבון מנין במנין

הוא שיהיה האדם שונה מספר אחד פעמים שיהיה מנינם כמנין האחדים אשר במספר השני

וכל מספר שאתה מונה אותו פעם אחת אינו נוסף והוא עומד במנינו הראשון

ומפני זה אנו אומרים האחד הנחשב על אחד הוא אחד

והשנים על האחד הוא שנים וכן כל מנין שאתה מונה אותו באחד כמו כן אין אתה משנה אותו במספרו

ואם תחשוב אותו בשנים אתה כופל אותו ומוצא כפלים מהמספר הראשון

ואם תחשוב אותו בשלש תמצא בו שלשה מהמספר

וכן עד העשרה אשר אם תחשוב אותם בעשרה יהיו מאה

והרוצה לחשוב מספר במספר למעלה מן העשרה הוא צריך שיהיה חשבון מעלת האחדים על האחדים סדור בפיו

other ranks: $\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)$

ואם יבא לחשוב שאר המעלות אחת אל אחת יעמיד המספר אשר משני המעלות בדמותו ממעלת האחדים ויחשוב אותם כאלו הם אחדים ויחזיק המנין שמור בידו

ואח"כ ידע אוש אחד מן המעלות וירחק מהמעלה השנית כמנין אוש המעלה האחת והמעלה אשר יגיע אליה היא מעלת החשבון אשר שמר בידו האחדים מן המעלה ההיא והעשרות מן המעלות אשר באות אחריה

$\scriptstyle600\times4000$

וכאלו היית רוצה לחשוב שש מאות בד' אלפים

$\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot4=24}}$

אתה נוהג בהם ראשונה מנהג האחדים ותחשוב ששה בד' ויהיו כ"ד ואתה שומר המספר הזה עמך

determining the place of 6·4 in the product 600×4000

(rank of hundreds)+[(rank of thousands)-1]=3+(4-1)=6

וקח אוש המאות שהוא ג' ומנה מן האלפים ג' מעלות והמעלה שמגיע אליה היא מעלת החשבון השמור והיא מעלת מאות האלפים

(rank of thousands)+[(rank of hundreds)-1]=4+(3-1)=6

וכן אם אתה מונה אוש האלפים והוא ארבעה ממעלת המאות אתה מגיע כמו כן אל מעלת מאות האלפים

\scriptstyle{\color{blue}{600\times4000=2400000}}

ותדע מכאן כי האחדים מהמספר אשר שמרת הם מן המעלה הזאת ומן מעלת אלפי האלפים אשר אחריהם הם עשרותיו

מפני זה אתה אומר כי מספר כ"ד אשר אמרת הם אלפי אלפים ת' אלף כי אחדיו הם ארבעה ועשרותיו הם שנים

[(rank of hundreds)+(rank of thousands)]-1=(3+4)-1=7-1=6

ואתה יכול לדעת מעלת המספר הנכלל על דרך אחר והוא שתהיה חושב אושי שני המעלות ותדע מנין אושיהם והפחות מהם אחד והשאר יהיה מעלת המספר הנכלל

כאלו היית לוקח בדמוי הזה אוש המאות והוא ג' ותחשוב אותו עם אוש האלפים והוא ארבעה ויהיה הכל שבעה ותפחות ממנו אחד לאוש וישארו בידך ששה וזה המספר הוא אוש מאות (אלפי) אלפים אשר היא מעלת הנכלל בחשבון כאשר חשבת למעלה

the reason for subtracting 1 from the total number of ranks of the product: the rank of the units is counted twice

וחכמי המנין יודעים מכאן מאי זה טעם אתה משליך מן שתי האושות בהתקבצם אחד לאוש ותמצא מעלת החשבון הנכלל והטעם הזה הוא מפני האחד שעולה בחשבון האוש לכאן ולכאן

ואיש המעיין היטב בענין הזה יבין את הטעם ואינו צריך לפירוש אחר

Division

דרך חלוק מנין על מנין והוצאת קצב מנין מן מנין

חלוק מנין על מנין הוא שתחלק מנין רב על מעט

והוצאת קצב מנין מן מנין כשאתה מחלק מנין מעט אל רב

ומפני שהענין דומין זה לזה מצד אחד נתפרשו שניהם בשער אחד

והרוצה לדעת קצב מנין מן מנין יעיין בשני המספרים אם מעט מהם מונה את הרב ידע כי המעט הוא חלק מן הרב קצוב שמו מן המספר אשר הוא מונה אותו בו

כגון מי שהוא רוצה לדעת קצב מספר ט"ו ממספר ק"פ

הוא יודע כי מספר ט"ו מונה את ק"פ י"ב פעמים ומשם הוא יודע כי ט"ו הוא חלק אחד מי"ב מן ק"פ

ואם אין המעט מונה את הרב יכול יהיה ביניהם מספר שיהיה לשניהם

ואם הוא כן ידע כמה פעמים מונה הוא למעט וכמה הוא מונה לרב וכדרך שני המספרים יהיה קצב שני המספרים הראשונים אחד מן אחד

כגון הרוצה לומר קצב ט"ו מן מאה

אתה יודע כי מספר אשר הוא מונה לשניהם הוא ה' ותמצא המספר הזה מונה למספר ט"ו ג' פעמים ולמספר ק' הוא מונה אותו כ' פעמים וכקצב ג' מכ' כן ט"ו ממספר ק' והוא עשור וחצי עשור

ועוד על דרך אחרת קח החלק הנמצא לשניהם ביחד וכקצב החלק מן החלק כן קצב המספר מן המספר

ואתה מוצא לשני מספרים האלה חומש וחמישית ט"ו הוא ג' וחמישית ק' הוא כ' וכמו קצב ג' מן כ' כן קצב ט"ו מן ק'

ואם שני המספרים יהיו נוכריים זה מזה יהיה קצב האחד מן השני חלקים

כאלו היית רוצה לדעת מספר ז' מן מ' אתה אומר שחלקו ממנו שבעה חלקים מארבעים חלק באחד

זהו דרך בעלי חשבון

ויש מהם המדקדק והוא לוקח חלק אחד מהמספר הרב ומקיש אליו המספר המעט

והוא בדמיון הזה עישור הארבעים והוא ד' ומקיש אליו השבעה ומוצא בה שנים פחות רביע העשור או חומש פחות שמינית החומש

ואם הוא מקיש אותו אל שמינית הארבעים שהם חמשה הוא אומר שמינית וב' חמישית שמינית

וכענין הזה הוא הוצאת קצב מנין מן מנין והוא חלוק מן מספר מעט על מספר רב ממנו

וחלוק מספר רב על מספר שהוא המעט ממנו אם יהיה ביניהן חלק שהן שוין בו אתה מחלק חלק הרב על חלק המעט והוא הדין לשני מספרים השלמים

כאלו היית רוצה לחלק מספר מאה על מספר ט"ו אם אתה מוצא לשניהם חלק אחד והוא החומש שהוא כ' ממספר מאה והוא ג' ממספר ט"ו ואם אתה מחלק כ' על ג' יהיה ששה ושני שלישי אחד והוא מספר חלוק ק' על ט"ו

ואם אין להם חלק שיהיו שוין בו אתה מחלק שני המספרים בעצמן ולעולם כשאתה חושב החלק בנחלק עליו והוא המספר המעט יצא לך המספר הרב

כאלו היית אומר מספר שחלקתי אותו על ט"ו והיה החלק ו' וב' שלישיים כמה היה המספר הזה

אתה חושב ט"ו על ו' וב' שלישיים ויעלה החשבון למאה והוא מספר אשר חלקת

ומהכללות האלה אתה יודע לחלק מנין על מנין אם רב ממנו אם מעט ממנו

Subtraction

דרך חסרון מנין ממנין

ואין אתה צריך בחסרון מנין מן מנין לשים לך דרך שתהיה נוהג עליו אלא במעלת החשבון אשר למעלה מאלפי אלפים

כגון האומר לך איך תפחות אלף וקפ"ה מעשרת אלפי אלפים

אתה לוקח ראשונה אחד מן המעלה והוא אלף אלפים ונשאר לך ט' אלפי אלפים ומהאלף אלפים אשר לקחת תפחות ממנו האלף וקפ"ה ויהיה הנשאר בידך ט' מאות אלף ושמנה ותשעים אלף ושמונה מאות וחמשה עשר

וכענין הזה אתה מוסיף מנין על מנין ומשלים מנין במנין

ואין אתה צריך להוספת פירוש אחר כי הענינים האלה קלים במנין השלם וכל אדם יכול להוציאם מלבו מכח הכללות אשר למעלה ואנו באים להורות על אלו הענינים בחלק האחד

Multiplication of Fractions

דרך חשבון חלקי האחד

הוי יודע כי חשבון המספר השלם בחלקים הוא מענין קצב מנין מן מנין

כי האומר חשוב י"ז בשליש או חשוב שליש בי"ז דומה למי שאומר כמה הוא שליש מי"ז

ואין בין הענינים שום הפרש בעולם

ומפני זה אתה אומר חשבון שליש באחד הוא שליש

וחשבון שליש בשנים הוא שני שלישי האחד

ואם תבא לחשבון החלקים בחלקים יהיה בענין הזה הוצאה חלקי החלקים ויהיה החשבון שליש בשליש הוא שליש השליש

ובעלי החשבון הקימו לענין החלקים בכל דרכי החשבון כלם מספר שיהיה דיין ומוכיח ועל פיו יצא דיני החלקים בכל דרכי החשבון בענין הזה

אם יאמר לך חשבו שני שלישים בשני שלישים כמה הם

הוה יודע כי שם השלישות הוא שלשה ומן המספר הזה הוא שם השליש חצוב

ובא וחשוב השלשה על השלשה כשם החלק השני ויהיו ט' ואתה משים המספר הזה למוכיח
ואחר תחשוב מניני החלקים והוא ב' על ב' והוא ד'
ותקיש אלה הארבעה אל תשעה שהוא המוכיח
וכקצב ד' מט' כן קצב ב' שלישיים חשובים בב' שלישיים מן האחד והוא ד' תשיעיים

ואלו הדמיונים מסורים לך

חשבון ב' שלישיים על ב' חמישיים

תחשוב אתה ג' על ה' שהן שמות החלקים ויהיה לך המספר המוכיח ט"ו

ואליו תקיש הד' שהוא חשבון החלקים ותאמר כקצב ד' מט"ו כן קצב החשבון הזה מן האחד והוא חמישית ושליש חמישית

ואלו היו אומרים לך חשוב שני חלקים מי"א באחד בב' חלקים מי"ג באחד

תחשוב שמות החלקים והם י"א על י"ג ויהיה קמ"ג

ותדע כי קצב ד' מקמ"ג הוא קצבם מן האחד

ואם יאמר לך חשוב ב' חלקים מה' בעשירית האחד בב' שלישי האחד

תדע אתה כי שם האחד הוא חמישים כמנין חמשה בעשרה

ותמנה אלו החמישים בשלשה שהוא שם החלק השני ויהיה הכל ק"נ
ויהיה הכל ד' חלקים מק"ג והוא המספר המוכיח
ותבין כי קצב הד' מק"נ הוא קצבם מן האחד

וכן אם יאמר חשוב בב' חלקים מחמשה בעשירית האחד בב' חלקים משמנה בשלישית האחד

אתה נזקק לדעת שמות החלקים ותחשוב ה' בי' ויהיה נ' והם שם החלק האחד

ותחשוב ח' בג' ויהיה כ"ד והוא שם החלק השני
ואחר חשוב נ' על כ"ד ויהיו אלף ור' והוא המספר המוכיח שתקיש אליו
ויהיה קצב ד' מאלף ור' הוא קצבם מן האחד

ומהדמיונות האלה תוכל להבין דרך חשבון החלקים וחלקי החלקים במספר השלם ובחלקים ובחלקי החלקים

Division of Fractions

דרך חלוק החלקים

אתה מקים ראשונה מספר שיהיה מוכיח ואליו תקיש כל חשבונך

$\scriptstyle\frac{3}{8}\div\frac{2}{5}$

כגון האומר לך חלק ג' שמיניות על ב' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\div\frac{2}{5}=\left(\frac{3}{8}\sdot40\right)\div\left(\frac{2}{5}\sdot40\right)=15\div16=1-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

אתה חושב ראשונה שמות החלקים והם ח' על ה' והנה המספר המוכיח מ'

וקח ג' שמיניות מ' והם ט"ו וב' חמישיותיו והם י"ו ונחלק ט"ו על י"ו הוא חלק ג' שמיניות על ב' חמישיות והוא אחד חסר חצי שמינית

ועל הדרך הזה אתה יכול להוציא קצב חלק מחלק

$\scriptstyle\frac{3}{8}\sdot\frac{2}{5}$

כגון האומר כמה הם ג' שמיניות מב' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}\sdot\frac{2}{5}=\frac{\frac{3}{8}\sdot\left(\frac{2}{5}\sdot40\right)}{40}=\frac{\frac{3}{8}\sdot16}{40}=\frac{6}{40}=\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{8}\right)}}

אתה מקים המספר המוכיח מ' וב' חמישיות הם י"ו וג' שמיניות י"ו הוא ו'

וכקצב ו' מן מ' כן קצב ג' שמיניות מב' חמישיות מן האחד והוא שמינית וחומש שמינית וכן כל כדומה לזה

Subtraction of Fractions

דרך חסרון חלק מחלק

וכן לפחות חלק מחלק יצטרך למספר המוכיח ועל פיו יצא מספר החשבון

$\scriptstyle\frac{2}{3}-\frac{3}{7}$

כגון האומר השלך ג' שביעיות מב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}-\frac{3}{7}=\frac{\left(\frac{2}{3}\sdot21\right)-\left(\frac{3}{7}\sdot21\right)}{21}=\frac{14-9}{21}=\frac{5}{21}=\frac{1}{7}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{7}\right)}}

ואתה מקים מספר המוכיח במקום הזה כ"א

ותקח ב' שלישיות והם י"ד ותשליך מהם ג' שביעיות והם ט' ונשאר לך ה'
וכקצב מספר ה' ממספר כ"א כן קצב הנשאר משני שלישיות אחר שהושלך מהם ג' שביעיות והוא שביעית וב' שלישי שביעיות וכן כל הדומה לזה

Addition of Fractions

דרך תוספת חלק על חלק

וכן נצטרך אל המספר המוכיח

$\scriptstyle\frac{3}{8}+\frac{7}{10}$

כגון האומר הוסף ג' שמיניות על ז' עשיריות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}+\frac{7}{10}=\frac{\left(\frac{3}{8}\sdot80\right)+\left(\frac{7}{10}\sdot80\right)}{80}=\frac{30+56}{80}=\frac{86}{80}=1+\left(\frac{6}{8}\sdot\frac{1}{10}\right)}}

תקים אתה בכאן לעמת המספר המוכיח והוא פ'

תצרף ג' שמיניותיו והם ל' אל ז' עשיריותיו והם נ"ו שהם ז' על ח' ויהיו פ"ו והוא הנכלל מב' חלקים בהצטרפם
ואתה יודע קצב החלקים המקובצים מנין מן פ' והוא אחד וששת שמיני העשיריות והוא קצב החלקים המקובצים
וכן כל הענין הזה

Converting of Fractions

דרך חזרת החלקים אחד אל אחד

והענין הזה נוהג בחלקים ואינו נוהג במספר השלם

$\scriptstyle\frac{3}{8}=\frac{a}{10}$

כגון האומר ג' שמיניות כמה עשיריות יהיו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{8}=\frac{\frac{3}{8}\sdot80}{80}=\frac{\frac{30}{8}}{10}=\frac{4-\frac{1}{4}}{10}}}

ואתה מקים המוכיח בכאן פ'

ותקח ג' שמיניות והם ל' ותחלוק אותן על עשיריותיו והוא ח' ויהיה החלק ד' פחות רביע מן האחד וכן כל הדומה לענין הזה

Completion of Fractions

דרך תשלומי החלקים

וכמו כן הענין הזה אינו נוהג במספר השלם כי אם על דרך שאזכיר לך

ואני מתחיל ראשונה בתשלומי החלקים

$\scriptstyle a\sdot\frac{3}{8}=1$

אם יאמר לך אדם איך תעשה ג' שמינית האחד עד שיהיה אחד שלם

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot\frac{3}{8}=1\longrightarrow a=\frac{8}{3}=3-\frac{1}{3}}}

אתה יודע כי שם השמיני חצוב משמנה כאשר זכרנו למעלה

ומספר הפעמים אשר הם שלשה מונים את השמנה הם ג' פעמים פחות שליש ובמספר הזה אתה חושב את שלשת השמיניות ויהיו אחד

multiplicative inverse:

\scriptstyle\frac{a}{b}=\frac{1}{\frac{b}{a}}

כי כמנין הפעמים אשר מספר אחד מונה את המוכיח כמו כן החלק מונה את האחד

$\scriptstyle a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1$

כגון האומר איך תשלים ב' חמישיות ועשירית החומש עד שיהיו אחד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle a\sdot\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]=1\\&\scriptstyle\longrightarrow a=\frac{50}{\left[\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{5}\right)\right]\sdot50}=\frac{50}{21}=2+\frac{1}{3}+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{1}{3}\right)\\\end{align}}}

אתה יודע כי המספר המוכיח בענין הזה הוא נ' כמו שנתפרש לך מהדמיונות אשר למעלה

וב' חמישי המספר הזה כ' ועשירית חמישיתו הוא א' הנה בין הכל הוא כ"א
והמספר הזה מונה את החמישים שני פעמים ושלישית פעם ושביעית השליש והוא א' והנה בין הכל נ'
וכענין הזה יהיה תשלומי ב' חמישיות ועשירית החומש ויהיה אחד

ומנה התשלומין במספר השלם הוא כמו כן על הענין הזה

$\scriptstyle a\sdot7=16$

כגון האומר איך תשלים את השבעה עד שיהיו י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{a\sdot7=16\longrightarrow a=\frac{16}{7}=2+\frac{2}{7}}}

אתה יודע כי הז' מונה את י"ו ב' פעמים וב' שביעי פעם ובהם יהיו תשלומין

וכל הענינים האלה הם דרכי החשבון המונה את כל עסקי העולם

והמבין אותם יכול להוציא מהם דרך חשבוני בני אדם במקחם ובממכרם

ולפי שרצוני להקל על המעיין בחבור הזה אני מפרש מחשבוני המקח והממכר כללות שיוכל אדם להקיש אליו כל דבר ולהוציא מהם על חשבוני עסקיו

Business Arithmetic

פתח חשבוני המקח והממכר

the Rule of Four is built on four numbers that are in the two orders of the equivalence ratio

הוי יודע כי כל ד' מספרים שיהיו בב' סדרי ההקש השוה

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4

והוא שיהיה חלק האחד או חלקיו מן השני הן הן חלק השלישי או חלקיו מן הרביעי

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3

כי המספרים האלה אם אתה חושב הראשון ברביעי יהיה מספר חשבונו כמו חשבון השני בשלישי

$\scriptstyle{\color{blue}{4:15=12:45}}$

והדמיון לזה הם שני מספרים ד' וט"ו עם מספרי י"ב ומ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{4:15=12:45}}

והראשון שהוא ד' הוא חלקים ממספר ט"ו אשר הוא השני כמו חלקי י"ב אשר הוא שלישי מן מספר מ"ה והוא הרביעי

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot45=15\sdot12}}

ואם אתה חושב ד' והוא הראשון במספר מ"ה והוא הרביעי יהיה מספרו כמספר ט"ו והוא השני במספר י"ב השלישי

\scriptstyle{\color{blue}{4:12=15:45}}

ועוד המספר הראשון והוא ד' אם תקיש אותו אל י"ב השלישי יהיה דומה להקשתך ט"ו אל מ"ה הרביעי

ואתה מוצא מספר ד' והוא הראשון נקוש אל שני מספרים אל השני ואל השלישי ואינו נקוש אל הרביעי

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1:a_4\neq a_2:a_3

וכן השני נקוש אל הראשון ואל הרביעי ואינו נקוש אל השלישי

proportional numbers = “companions”

והמספרים הנקושים זה לזה נקראים חברים

nonproportional numbers = “strangers”

ושאינן נקושים נקראים נכריים

\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\longleftrightarrow a_1\times a_4=a_2\times a_3

ומן כאן אתה למד שכל ד' מספרים שהם שוים בהקשה אם אתה חושב האחד מן סדרי ההקשה עם הנכרי לו מסדר ההקשה השנית יהיה שוה לחשבון חברו בהקשה באשר הוא נכרי לו מן ההקשה השנית כאשר הראיתיך בדמיון זה

ואתה צריך לתת לבך בענין הזה ולהבין אותו עד אשר תוציא בו כל חשבון נסתר מן החשבון הגלוי בכל עניני המקח והממכר והשכירות ואמידת המעשים ושיעור שכרם וכל עסק ושכר

Word problems

Trade

דרך חשבוני המקח והממכר

all human affairs associated with commerce, employment of workers, and exchange are based on two orders of the equivalence ratio = [the "Rule of Four"]

תדע כי כל עסקי בני אדם בחשבוני מקחם וממכרם ושכירות מעשיהם ושיעור כל חלופיהם הם עומדים בין ד' מספרים בב' סדרי ההקשה שוה

the first order:

[the amount of goods offered in] business and trade = a₁
the corresponding price = a₂

הסדר האחד הוא העסקא והמעשים והשני השער המסור לו

the second order:

the taken or sold [amount of goods] = a₃
the money [paid for the amount of goods which was actually sold] = a₄

והסדר השני הנלקח או הנמכר או הנשכר והשני הדמים החייבים לו

The [amount of goods offered in] business is proportional to the price as the sold [amount of goods] is proportional to the money [paid]

והעסק נקוש אל השער כאשר המכר נקוש אל הדמים

The ratio of the [amount of goods offered in] business to the sold merchandise is equal to the ratio of the price to the money [paid]

\scriptstyle\frac{\left[amount\ of\ goods\ offered\ in\right]\ business}{price}=\frac{sold\ \left[amount\ of\ goods\right]}{money\ \left[paid\right]}

\scriptstyle\frac{a_1}{a_2}=\frac{a_3}{a_4}

ועוד נקוש העסק אל המכר כאשר נקוש השער אל הדמים ואלו הם החברים

the [amount of goods offered in] business stranger to the money [paid]
the sold merchandise stranger to the price

ותמצא לעולם העסק נכרי לדמים והמכר נכרי לשער

ומפני זה אם אתה חושב העסק בדמים יהיה בחשבון המכר בשער וכן בחלוף

in all human affairs three of these values are known and the fourth is unknown but can be deduced from the three that are known:

ובכל עסקי בני האדם שלשה מאלו הארבעה הם ידועים לעולם והרביעי נסתר ואנו נוציא אותו מכח הידועים

multiplying one of the three by its stranger and dividing the result by the companion

\scriptstyle a_1=\frac{a_3\sdot a_2}{a_4}\quad a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\quad a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}

ואם אתה חושב אחד מהשלשה הידועים בנכרי לו מהם ותדע המספר הנכלל בחשבון ותחלק על השלישי הידוע אתה מוצא הרביעי הנסתר

Pricing problems

finding the amount - find the sold merchandise

10 kors of wheat for 6 dinar. How many kors could I take for 4 dinar?

\scriptstyle 10\div6=x\div4

כגון האומר י' כורי חטה בו' דינרין כמה כורין אוכל ליקח בד' דינרין

the [amount of goods offered in the] business = 10 kors

והמסחר הוא י' כורין

the corresponding price = 6 dinar

והשער המסור לו ו‫'

ואלו הב' עומדים בהקשה אחת

the money [paid] = 4 dinar

ואתה יודע מן ההקשה השנית ד' דינרין והם הדמים הנכרים לגבי המסחר

the sold merchandise = unknown

ואתה מבקש לדעת המכר הנסתר

ובענין הזה ב' הנכריים אשר בב' הידועים הם הדמים והמסחר

$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{6}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}$

וחשוב אתה מפני זה י' בד' ויהיה מ' ותחלק אותם על השער ידוע והוא ו' יהיה המכר ו' כורין וב' שלישי כור והוא המספר הנסתר אשר אתה מבקש

in the above example a₃ = the sold merchandise = unknown

ובכאן היה המספר השלישי נסתר והוא המכר

וזה הכלל יהיה בידך כי כפל הקצות ככפל האמצעיים והנה אם לא ידעת האמצעי האחת ותכפול הקצות זה על זה ותחלק על האמצעי אשר לך ותמצא האמצעי הנעלם

וככה אם לא ידעת אחת הקצות ערוך האמצעי האחד על חברו וחלק על אחת הקצות הנודעות וכמוהו יהיה הקצה הנסתר

וזה יודע בכפול מה שיצא בחלוק עם המחולק עליו כאשר אמרנו ובין תדע

finding the price - find the money

in the following example a₄ = the money [paid] = unknown:

ואילו היה המספר הרביעי נסתר

10 kors of wheat for 6 dinar. What is the price of 4 kors??

\scriptstyle10\div6=4\div x

כגון האומר י' כורי חטין בו' דינרין כמה הם דמי ד' כורין

the money [paid] = unknown

ובכאן הוא דמי המכר נסתר והוא המספר הרביעי

$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{6\sdot4}{10}=\frac{24}{10}=2+\frac{2}{5}}}$

ואם אתה רוצה לגלותו חשוב השער שהוא ו' במכר שהוא ד' ויהיה כ"ד חלקהו על המסחר והוא י' ויצא לך דמי המכר הנסתר והוא ב' דינרין וב' חמישי דינר

finding the price - find the rate

if a₂ = the price = unknown:

וכן אילו היה השער נסתר

I bought 3 sheaves for 4 dinar. For how much would I buy one ephah?

\scriptstyle10\div x=3\div4

כגון האומר קניתי ג' עמרים בד' דינרין בכמה הייתי קונה את האיפה

the sold merchandise = 3 sheaves
the money [paid] = 4 dinar

אתה יודע בכאן המכר ודמיו והם ג' עמרים וד' דינרין

the [amount of goods offered in the] business = 10 sheaves = one ephah

וכן אתה יודע המסחר י' עמרים האיפה

the corresponding price = unknown

ונסתר ממך שער האיפה ותרצה לגלותו

$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot4}{3}=\frac{40}{3}=13+\frac{1}{3}}}$

ואתה חשוב עמרי האיפה בד' שהם דמי המכר ויהיה מ' נחלק אותו על ג' והם המכר ויצא לך השער הנסתר והוא י"ג דינרין ושליש דינר

finding the amount - find the business

if a₁ = the [amount of goods offered in the] business = unknown:

וכן אלו היה המסחר נסתר ותדע השלשה והם השער והמכר ודמיו

I bought 6 kors for 4 dinar. How many kors would I buy for 7 dinar?

\scriptstyle x\div7=6\div4

כגון האומר לקחתי ו' כורין בד' דינרין כמה כורין אוכל לקנות בז' דינרין

the sold merchandise = 6 kors
the money [paid] = 4 dinar

ואתה יודע כאן המכר ודמיו והם ו' כורין וד' דינרין והם הקשה אחת

the corresponding price = 7 dinar
the [amount of goods offered in the] business = unknown

וגם אתה יודע מן ההקשה ראשונה את השער והוא ז' נכרי למכר

$\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot6}{4}=\frac{42}{4}=10+\frac{1}{2}}}$

ומפני זה אתה חושב אותו בו' אשר הוא המכר ויהיה מ"ב וחלק אותו על ד' והם הדמים ויצא לך המסחר שהיית מבקש והם י' כורין וחצי כור

ואתה רואה מכאן דרך הוצאת המספר הנסתר מתוך המספרים הארבעה שעליהם סובל כל עסקי העולם וכל מקח וממכר וכל הדומה לו ותוכל לדעת לעולם הרביעי הנסתר מן הג' הגלויים

Payment problems - employment of workers

וכן לענין השכירות

I hired a worker for 30 days for 10 dinar and he had worked 8 days. How much was his payment?

\scriptstyle30\div10=8\div x

כגון האומר שכרתי פועל לשלשים יום בי' זוזים ועשה עמי ח' ימים כמה הוא שכרו

days of employment = a₁ = [the amount of goods offered in] trade = 30

וכאן אתה מדמה ל' ימי השכירות למסחר

corresponding dinar = a₂ = the corresponding price = 10

והי' זוזים לשער המסחר

days of work = a₃ = the sold [amount of goods] = 8

וח' ימים שעבד למכר

payment = a₄ = the money paid = unknown

ויהיה המספר הנסתר ממך דמי המכר

וזה דומה למי שאומר י' כורין בו' דינרין כמה הם דמי ד' כורין אשר שמתי לך למעלה

$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8\sdot10}{30}=\frac{80}{30}=3-\frac{1}{3}}}$

ואתה בא ועשה כאשר עשית למעלה וחשוב המכר עם הנכרי לו וחשוב ח' ימים אשר העמדת אותם במקום המכר בי' שהם השער והוא הנכרי למכר ויהיה פ'

חלק אותו על המסחר והוא ל' יום ויהיו ג' פחות שליש והוא השכר שחייב לו בעבודתו והוא ג' זוזין פחות שליש הזוז

ועל הדרך הזה אתה מדמה כל ענין שיבא לידך לאלה ד' דמיונות ששמתי לך בשער הזה ותוציא הנסתר בחשבונות הן במקח ובממכר הן בשכירות ומלאכה וכל מיני חלופין הנוהגין בבני אדם הנזקקים אל החשבון

והבאתי לך כל המשלים והדמיונות מחשבונים קלים שלא להטריח הלמד והמשכיל יוכל להוציא מאלו הדמיונות כל חשבון חמור

ובכאן חתמתי לך העמוד הראשון במה שיראה לי הכרחי בידיעת אריתמיתיקא כמו שידענו אמנם הערכים והשרשים מפורשים ברובתא אחרינא ואתחיל לפרש העמוד השני מן היסוד בעזרת האל

Section Two – Geometry

העמוד השני מפרש חכמת השיעור

Introduction

והחכמה הזאת קורין לה בלשון ישמעאל הנדסה ובלשון יון גיאומיטריאה

geometry leans on numbers and therefore on arithmetic

והחכמה הזאת תלוייה לחכמת המנין

כי המקרה הנמצא בעולם תחלה הוא המנין

כי כל הנמצא מעניני העולם הוא אחד או שנים או יותר והאחד או שנים הן מחכמת המנין

וכל אחד בעולם הוא מתחלק לחלקים או לאברים או לגזרים והענינים האלה הם מחכמת השיעור וחכמת המנין

ועוד כי כל נמצא בעולם אשר אנו שואלים עליו בכמה השאלה באה על דמות נפרדת או על דמות נמשכת

וכל דמות נמשכת צריכה למדירה ואין המדירה יכולה להיות בלא מנין

ומפני כל הענינים האלה היתה חכמת המנין תחלת כל החכמות והחכמה הסמוכה לה חכמת השיעור

והחכמה הזאת מתחלקת בחכמות לחלקים רבים בחכמות אשר יוצאות מכחה

ואנו מחלקים עניניה בשני חלקים בערך החבור הזה

Part One – Theoretical Geometry

החלק הראשון בגדר חכמת השיעור וגדר כל הענינים אשר היא מעיינת בהם ופירושם בדרך קצרה

Initial definitions:

geometry

חכמת השיעור היא חכמת מפרשת את הגידולים ומודיעה ערכם ויצירתם ומיניהם וסימניהם

measure

והגידולים הם הערכים בלשון אחת הוא כל דבר שיש לו מרחק

dimensions: length, breadth and depth

והמרחקים הם ג' אורך ורוחב ועומק או רום

כי המרחק השלישי הוא נקרא בשני שמות רום ועומק כפי שני הדרכים שהוא נערך אליהם

והערכים שיש להם המרחקים הם שלשה

body

הראשון נקרא גולם ויש לו שלשה מרחקים

surface

והשני נקרא פרוש וקראו לו בשם הזה מפני שהוא פרוש על הגולם כאלו היה חוצה ממנו וזה הפרוש יש לו אורך ורוחב בלבד

line

והשלישי נקרא קו ויש לו מרחק אחד והוא אורך בלבד

ואין לך מרחקים יותר מהשלשה אשר לגולם ולהם תמצא ששה צדדין אשר הם תכלית כל גולם קטון וגדול אפיה כל העולם כלו תמצא לו ששה צדדין

מהם באורך ב' צדדין והן ימין ושמאל או מזרח ומערב

ומהן ברוחב ב' צדדין והם פנים ואחור או צפון ודרום

ומהם בעומק או ברום שני צדדין והם ראש וסוף או מטה ומעלה

ואם אתה מתחיל מן הראש והולך אל הסוף או מלמעלה ויורד אל מטה אתה קורא זה המרחק עומק

ואם אתה מתחיל מן הסוף והולך אל הראש ומלמטה ועולה למעלה אתה קורא זה המרחק רום

ובדרך קצרה אתה אומר לכל גולם אשר הוא תחת הקרקע יש לו עומק

ולכל גולם שהוא למעלה יש לו רום

תמצא הגולם כלה עם רקיע גולמי ויהיה תכלית הגולם פרושים ויהיה להם ב' מרחקים אורך ורוחב וד' צדדין והן ימין ושמאל וצפון ודרום

ואי אתה מוצא להם מעלה ומטה מפני שאין להם עומק

ויהיו כמו כן תכליתי הפרוש פוחתים מרחק אחד ויהיה תכליתם הקו ולו אורך בלבד

ותכליתי הקו הוא הנקודה ואין אתה יכול לשום לה מרחק

ומפני זה אמרו הנקודה הוא דבר שאין לו ערך ולא מרחק כלל והוא תכלית דבר שאין לו אלא מרחק אחד

והגולם נמצא בלב ובעין ובכל חושי הגוף והוא נמצא עומד בעצמו

והפרוש אינו נמצא ואינו נראה אלא מדרך עמידתו בגולם ואינו נפשט מהגולם אבל הדעת פושט אותו מן הגוף ומעמידו לבדו בתוך הלב ומפרש ענינו

והקו אינו נמצא אלא בפרוש ואינו נפשט ממנו אבל הדעת פושטו והוא מעמידו בלב ומעיין בו

point

והנקודה מציאותה בתוך הקו מפני שהיא תכליתו והדעת פושט אותה ומעמידה בתוך הלב

והחכמה הזאת מעיינת בכל הערכים האלה השלשה ומגידה את יצירתם ומיניהם

ואנו מתחילים לפרש עתה חלקי הקו

Classification of lines

מיני הקו הראשונים שנים מתפרד ומתרכב

1) Single line

ומיני הקו המתפרד ג' קו מיושר וקו עגול וקו עקום

3) Straight line

והקו המיושר הוא ההולך לנוכח שתי הנקודות אשר תכליתיו

2) circular line

והקו העגול הוא כל אשר אי אתה יכול למצוא ג' נקודות על נוכח וימצא בתוכו נקודה שיהיה מרחקה מכל נקודות העגול מרחק אחד

3) curve

והקו העקום כל קו שאי אתה מוצא שלשה נקודות על נוכח אחד ואף נקודה שיהיה מרחקה מנקודות העקום מרחק אחד אי אתה מוצא בו

2) Line which consists of two or more lines

והקו המורכב הוא המתחבר משני קוים או יותר יכול יהיו הקוים האלה ממין אחד או יותר ממין אחד

והקוים המתחברים הם נצמדים בנקודה אחד ונפרדים עליה ואנו קורין לפירוד הבא על זאת הנקודה זוית

Classification of angles

מיני הזויות

והזויות נחלקים ראשונה לשתים

זוית שטוחה וזוית גלומה

2) Plane angle

והזוית השטוחה היא פירוד שני קוים הנצמדים יחד בנקודה אחת ונפרדים עליה על שטח אחד

1) Solid angle

והזוית הגלומה הוא פירוד שלשה קוים הנצמדים יחד בנקודה אחת ונפרדים מעליה על שני שטחים

ועוד נחלקים על דרך אחרת לקוים ישרים ולשאינן ישרים ושהאחד מהם ישר והשני אינו ישר אבל עגול או עקום הן בזוית שטוחה או גלומה

Angle which consists of straight lines

ואנו מניחים פירוש הזוית אשר אין קויהם ישרים ומדברים על הזוית הישרה

מיני הזויות הישרות שלושה

זוית נצבת וזוית נרוחת וזוית חדה

1) Right angle

והזוית נצבת היא אחת משני זויות אשר על צדי קו העומד על קו אחד וכל אחד מהם שוה בערך לחברתה

2) Obtuse angle

והזוית הנרוחת היא המוסיפה בערכה על הנצבת

3) Acute angle

והזוית החדה המחסרת בערכה מן הנצבת

Relations of lines

סדר הקוים בישובם

והקוים מדרך ישובם הם על שלשה מינים

3) Parallel lines

מהם אשר ישובם אחד לנכח השני וערך המרחק אשר ביניהם עומד לעולם על דרך אחת ואינו לא מוסיף ולא גורע

2) Intersecting lines

ומהם אשר אין ישובם נכוחים וערך המרחק אשר ביניהן נוסף מצד אחד ונגרע מצד אחד וגם המינים האלה נמצאים בקוים ישרים ובשאינם ישרים

3) Tangent lines

והמין השלישי הוא הקוים הנמשכים אשר האחד מושש את השני על נקודה ונפרד ממנו ואינו מחלק אותו ולא עובר עליו

ואין הענין הזה בין שני קוים ישרים אבל הוא נמצא בין שני עגולים או עקומים או בין שני מינין ממיני הקוים כגון קו ישר וקו עגול או עקום

וזה הענין מספיק בפירוש מחלקי הקו

Classification of surfaces

באור חלקי הפרוש

והפרוש הוא המוקף מכל סביבותיו בקוים הן ישרים הן שאינן ישרים או מעורבים מן ישר ומן שאינו ישר

מיני הפרוש מדרך משיכתו בקרקע הגולם הם שלשה מינין

האחד ישר והשני קבוב והשלישי עקמומי

1) Plane surface

והשטח הישר הוא הנמשך על יושר הקוים המקיפים אותו ועל נכחם

וכל קו אשר תשים אותו על גב השטח תמצאנו מכוון כנגד קוי תכליתו ואינו עולה מהם ולא יורד

וזהו הנקרא לבדו שטח בחכמת השיעור

2) Convex surface

והפרוש הקבוב הוא הרקיע המקיף את קו הקובה מלמעלה והרקיע הזה יהיה עגול ויהיה עקום

3) Concave surface

והפרוש העקמומי הוא הרקיע המקיף את גב הקובה מלמטה ויהיה כמו כן עגול או עקום

Classification of plane surfaces

עניני השטח הישר

והשטח הישר הוא נחלק על ג' מינים גדולים

1) Plane surface surrounded by one line

האחד הוא אשר יקיף אותו קו אחד מכל סביביו ויהיה הקו הזה עגול או עקום ולא יתכן להיות קו ישר

Circle

והשטח אשר קו האחד המקיפו הוא עגול אנו קורין לשטח עגולה ישרה אם הוא בשטח ישר

Wheel or Celestial circle

ואם תמצא בכדור או בעגול הרקיע אנו קוראים לה אופן

Plane surface surrounded by curve

ואם יהיה הקו המקיף אותו עקום אנו קורין לה עגולה עקומה

2) Plane surface surrounded by two lines

והמין השני הוא המקיף אותו שני קוים ולא יתכן גם בזה להיות הקוים שניהם ישרים אבל יכול יהיה האחד מהן ישר והשני אינו ישר או שניהם עגולים או עקומים או מתחברים מעגול ועקום

ואין אנו משגיחין לפרש המין הזה בכאן

3) Plane surface surrounded by more than two lines

והמין השלישי אשר הקוים המקיפים אותו יתר משני קוים הנה כלם ישרים או אינם ישרים או מתחברים מן הישרים ושאינן ישרים

סימן המין הראשון אשר יקיף אותו קו אחד והוא הנחלק לעגול ועקום

השטח העגול הוא הנמצא באמצעיתו נקודה אחת אשר כל קו שתוציא ממנה אל הקו המקיף יהיו שוים בערכם זה לזה

והנקודה הזאת נקראת ציר העגול אשר הוא סובב עליו

וכל קו אשר הוא עובר על ציר העגול ומגיע מב' פנותיו אל הקו המקיף הוא נקרא אלכסון העגול

והשטח העקום אין מרחק הנקודה אשר באמצעיתה מהקו המקיף לו מרחק אחד ויש לו שני אלכסונים האחד עודף על השני ואין אנו צריכין לפרש סימני השני מהמינין מפני שאינו מותיר בחבור הזה

Plane surfaces surrounded by straight lines

סימני המין השלישי והוא השטח המוקף בקוים ישרים

ומיני השטח אשר כל קויו ישרים הם שלשה מינים גדולים

1) triangle

הראשון מהם הוא המשלש והוא המקיף אותו ג' קוים ישרים

2) quadrilateral

והשני הוא המרובע והוא אשר יקיף אותו ד' קוים ישרים

3) polygon

והשלישי הוא המרבה ד' פנות אשר הקוים המקיפים אותו הן עודפים על ד'

כגון המחומש אשר יקיפו אותו ה' קוים וכן ממנו ולמעלה עד אין סוף

ואנו קורין לקוי המקיפים את השטח צלעי השטח

Classification of triangles

פירוש עניני השטח אשר לו שלשה צלעים ונקרא משלש

סימני השטח כי כל שני צלעים מצלעיו המקיפות אותו הן עודפות באורך על הצלע השלישית מהן לעולם

ומסימניו כי כל זויותיו השלש ערכם כערך שתי זויות נצבות לא פחות ולא יותר

והמשלש נחלק מצד צלעיו המקיפות אותו לשלשה מינין

1) Acute-angled triangle

האחד הוא אשר כל זוית מזויותיו זוית חדה והוא הנקרא מחודד הזוית

והמין הזה תמצא בו שלשה מיני צלעים

יכול יהיה בכל צלעיו שוות ויכול יהיה שני מצלעיו שוות ויכול שלא תהיה אחת מהן שוה לחברתם

2) Right-angled triangle

והמין השני הוא אשר יש לו זוית אחת נצבת ושתים חדות והוא נקרא משלש נצב הזוית

ולא יתכן להיות ג' צלעות המשלש הזה שוות יחד אבל יכול להמצא ב' מהן שוות יחד

3) Obtuse-angled triangle

והמין השלישי הוא אשר יש לו זוית אחת נרוחת והוא נקרא מרווח הזוית

ולא יתכן להיות שלש צלעותיו שוות כאשר לא נכון בנצב הזויות

וסימן המשלש מחדד הזויות אם אתה מרבע איזה צלע שתרצה מצלעיו תמצא רבועו חסר מרובע ב' הצלעות הנשארות

וסימן המשלש אשר לו זוית נצבת אם אתה מרבע את צלעו העומדת נכח הזוית הנצבה יהיה רבועה שוה לרבוע צלעות הנשארות העומדות על קרן הזוית הנצבה לא פחות ולא יותר

וסימן המשלש מרווח הזוית אם אתה מרבע צלעו העומדת נכח הזוית המרויחה יהיה רבועה עודף על רבוע שני צלעות הנשארות העומדות על קרן זוית המרויחה

Classification of quadrilaterals

פירוש עניני השטח המרובע

השטח המרובע הוא אשר יש לו ד' צלעות מקיפות אותו מארבע פנותיו

ואתה יכול לחלקו לשני משלשים בקו האלכסון החולק אותו

והמרובע יש לו ד' זויות והם שוות לעולם בערכם לד' זויות נצבות לא פחות ולא יותר

והוא מתחלק מדרך צלעיו מן זויותיו לה' חלקים

1) Square

החלק הראשון הוא אשר ארבע צלעיו כלם שוים בערכם אחת אל אחת וכן זויות ד' כל אחת מהן זוית נצבה וזה נקרא רבוע

2) Rectangle

והשני הוא אשר שני מצלעיו הם נכוחיות ושוות וכן צלעותיו אחרות שוות כמו כן וד' זויותיו כלם (נצבות?) ולה (וזה) נקרא מרובע ארוך

3) Rhombus

והשלישי דומה לראשון בצלעיו שהן שוות אלא שזויותיו אינם נצבות וזה נקרא מעויין

4) Parallelogram

והרביעי דומה לשני שכל שני מצלעותיו העומדות זו כנגד זו נכחיות ושוות אלא שזויותיו אינן נצבות וזה נקרא דומה למעויין

ואלו הד' מינין מן המרובעות הם המינים אשר החכמה הזאת מעיינת בהן מן המרובעות וחוקרת על עניניהם והחקירה בהם מועלת בחכמות אשר אחריה מפני שאלו הארבעה יש להם איזון בהקשת צלעותם אחת אל אחת

5) Irregular quadrilateral

והמין החמישי הוא כל מרובע שאתה אין מוצא בו אחד מעניני הד' מינין שלפניו והמין הזה נקרא מרובע נפתל

ואם אתה מחלק המין הזה לכל צורות המרובעים הנפרדים ממנו יגיע מספר חלקיו אל שמנה עשרה צורה

Classification of polygons

פירוש עניני השטח המרבה צלעות

הוא כל שטח אשר צלעותיו עודפות על ארבע כגון המחומש והמשושש

וכל אחד מהם נחלק לשלשה חלקים

1) All its sides and angles are equal

האחד הוא אשר כל צלעותיו וזויותיו שוות בערכם זו לזו ובארכן

2) Its sides are equal but its angles are unequal

והשני הוא כל אשר [צלעותיו] שוות בארך זו לזו ואין זויותיו שוות בערכם

3) Its sides and angles are unequal

והשלישי הוא כל אשר אין צלעותיו שוות ולא זויותיו

וכל שטח אשר תהיינה צלעותיו וזויותיו שוות אתה יכול לעגל בתוכו עגולה ויהיה כל צלע מצלעות השטח מושש לעגול מבחוץ

וכן אתה יכול לעגל עליו עגולה ויהיה כל קרן מקרנות השטח מושש לעגולה מבפנים

וכל שטח אשר צלעיו מרבות על המשלש הוא נחלק למשלשות

ומנין המשלשות אשר הוא נחלק אליהם פוחת ממספר צלעותיו שנים

כגון המרובע אשר לו ארבע צלעות והוא נחלק לשני משלשים והם חסרות ממספר צלעותיו שנים

ואתה למד מן הענין הזה כי ערך זויותיו בזוית הנצבה כפל מנין המשלשות אשר הוא נחלק אליהם

כי כבר למדת שזוית המשלש שוות לשני זויות נצבות

ובמחומש ערך זויותיו החמש כערך שש זויות נצבות

והמשושש ערך שש זויות כערך ח' זויות נצבות

ועל הענין הזה בין והבן ערך זוית כל שטח ומספר המשלשות שהוא נחלק אליהן

Classification of solids

פירוש חלקי הגולם

והגולם הוא כאשר למדת למעלה כל ערך אשר יש לו ג' מרחקים ותכליותיו פרושים

ומיני הגולם הראשונים הגדולים שנים

האחד מקיפין לו פרושים שהם שטוחים

והשני מקיפין לו פרושים שאינן משוטחים אבל עגולים או עקומים או מעורבים

Solids contained by plane surfaces

והגולם המוקף בשטחים מתחלק לשני מינים

1) Which can be contained by a sphere

האחד גולמים שהכדור יכול להקיפן מלמעלה ויהיה מושש לכל אחד מקרנותיו

2) Which can not be contained by a sphere

והשני הגולמים שאין הכדור יכול להקיפן כענין הזה

והגולמים שהכדור יכול להקיף הם ה' מינין שוין בשטחים

הראשון גולם אשר לו ד' קרנות חדות וד' צדים ומקיפים מד' צדיו ד' משלשות שוות בצלעותן

והשני אשר לו ח' קרנות וו' צדים ויקיפו מו' צדיו ו' רבועות שוות

והשלישי גולם שיש לו שש קרנות וח' צדים ומקיפים אותו מצדדיו ח' מושבות משלשות שוות בצלעותן

והרביעי גולם שיש לו כ' קרן וי"ב צדדין ומקיפים לו מכל צדדיו י"ב מושבות מחומשות שוות בזויותם וצלעותם

והחמישי שיש לו י"ב קרנות וכ' צדין כמו הן מקיפים מכל צדיו כ' מושבות משלש שוה בצלעותיו

ולא יתכן להיות הכדור מקיף לגולם שוה בצלעותן וזויותיו כי אם לחמשה האלה

ויש גולמים שאין מושבותיהן שוות והכדור מקיף להם ואין החבור הזה מכיל פירושם

והגולם אשר הוא מוקף בשטחים ואין הכדור יכול להקיפו על קרנותיו נחלק על חלקים רבים ומינים עד אין סוף אלא שאנשי חכמת השיעור הכניסום בג' מינים

האחד אשר שטחיו משולשות שאין שוות

והשני שטחיו מרובעות שאין זויותיו נצבות

והשלישי מורכב ממשולשות ומרובעות שאינן שוות ומשאר מיני השטחים

Solids contained by surfaces that are not plane

פירוש עניני הגולם המוקף בפרושים שאינם שטוחים

ומיני הגולם הזה הגדולים הם שני מינים

Solids contained by one surface

האחד גולם אשר יקיף אותו פרוש אחד עגול או עקום

והשני אשר יקיפו אותו שני פרושים או יותר מהם

1) Sphere

והגולם אשר יקיף אותו פרוש אחד עגול הוא הנקרא כדור

2) Ellipsoid

ואשר יקיף אותו פרוש אחד עקום נקרא גולם ביצני או גולם דומה לביצה

וסימני הגולם הנקרא כדור

הוא אשר יקיפו פרוש אחד מכל סביביו ובאמצעיתו נקודה אחת וכל הקוים היוצאים ממנה אל פרוש הכדור שוים זה לזה

והנקודה הזאת נקראת ציר הכדור

וכל קו העובר על ציר הכדור והוא מגיע בשני צדיו אל הפרוש נקרא אלכסון הכדור

ואם יהיה הכדור סובב על האלכסון הזה אנו קורין לו בעת ההיא בריח הכדור

וב' הנקודות אשר הם תכליתי הבריח נקראים ראשי הבריח וקוראים להם בלשון ישמעאל קטבי הבריח

וסימני הגולם הדומה לביצה

ומסימני הגולם הזה שהנקודה האמצעית אשר בתוכו אין מרחקה מכל צדי הפרוש הסובב לה מרחק אחד

ואתה מוצא על הנקודה הזאת קו עובר עליה ומגיע בשתי קצותיו אל פרוש הביצה והקו הזה ארוך מכל קו ישר אשר ימצא בגוף הביצה והקו הזה נקרא אלכסון

וזאת הנקודה נקראת צירה הביצה

וזה הגולם הביצני יש לו צורות רבות שאין אנו נזקקין להאריך בפירושן

Solids contained by two or more surfaces

פירוש עניני הגולם המקיפים אותו שני פרושים או יותר מהם

והגולמים המקיפים אותם פרושים שאינן שטוחים אבל יש מהן שטוח ויש מהן שאינו שטוח נכללים בם מינין

מהם גולמי המצבות וגולמי החרוטות

ומהן שברי הכדור ושברי המצבות ושברי החרוטות

Cylinder

והמצבה הזאת הנזכרת בחכמה הזאת הוא גולם אשר תכלית ראשו וסופו עגולה

והוא עולה בתבניתו עגול על ב' העגולות האלה

והמצבה נוצרת בתוך הלב וגם בענין המעשה אם אתה מעמיד בתוך החרט צלע אחת מצלעי המרובע ותסובב אותו על צלע המעמד בחרט מסבה אחת עד אשר יחזור אל מקומו אשר התחיל לסבוב ממנו ותעמיד הצורה הזאת בתוך לבך ותבין ממנה תבנית המצבה

Cone

והגולם החרוט הוא לדומה לפרי האלון

והגולם הזה נוצר ואם אתה מעמיד בתוך החרט צלע אחת מצלעי משלש שהן נפרדות בו על זוית נצבה ותסוב את המשלש על הצלע הזאת עד שיחזור למקומו אשר התחיל לסבוב ממנו ומהצורה הזאת תבין תבנית הגולם האלוני

Segments of a sphere

ושברי הכדור ג' מינים

מהן חצי כדור

ומהן יותר מחציו

ומהן פחות מחציו

Segments of a cylinder

ושברי המצבה הם שבריה אשר תחלק אליהם בהפרידך אותה בשטח מרובע שיהיה עובר על ראשה ומבתר את שני עגולותיה אשר על ראשה ועל סופה

Segments of a cone

ושברי האלון הם שבריו אשר יחלק אליהן אם אתה מפרידו בשטח שיהיה מפרידו על נקודת ראשו או על צדי הנקודה הזאת והעובר על ראש האלוני הוא מפרידו בנתים והעובר על שני צדי הנקודה הזאת הוא מחלק את האלוני לשברים אחד גדול ואחד קטון

References for further study

והחכמה הזאת חוקרת על כל הענינים האלה ובוחנת על צורתם ותבניתם ועל ערכם בשוים ועודפם וחסרונם וענינם וישובם ונותנת בכל ענין וענין מהם מופתים ואותות נאמנים שאין בהם שום ספק

והיא נחלקת בעיונה בערכים האלה על שני חלקים

החלק האחד מעיין בקוים ובפרושים ובדומה להם והוא נחלק במחקרו אליהם לחלקים רבים

ממנו חוקר על הקוים אשר בשטח ועל השטחים ועל הגלמים המקיפים בשטחים ועל כל עניניהם המפורשים בספר השרשים לאיקלידש ובדומה לזה הספר מחבורי אקלידש הנזכר וחבור שאר החכמים המעיינים בשיעור על דרכו הנבונה

וממנו מעיין בקוים ובפרושים אשר בכדור ובכל עניניהם הנראין מהם בעמידתן כגון ספרי הכדורות לתאודוסיס ומיליאוס וחבריהם

וגם הוא מעיין בהם בסביבתם ובהחלופם את מקומם כאשר הוא מפורש בספרי תנופי הכדורות לטליקוס ולשאר חכמי השעור

וממנו מעיין בקוים ובפרושים העמוקים ובכל עניניהם ובכל הטעמים הנמצאים בהם כאשר הוא מפורש בספר הצורות האלוניות לאבלניוס וספר הכדור והמצבה לאריסמידש

והחלק השני מעיין בגולמים על רוב מיניהם ובכל עניניהם ובצדי מעשיהן ובכל המלאכות אשר הן פארות משרשי החכמה הזאת בספרי הצדדין לאיטימיש וחבריו

וכמו ספרי המשקל והכימת והמשא והכבד לאירן ודימומס וחבריהם

ומן החלקים האלה יצמחו חכמות רבות ותקון מלאכות שהן מועילות לבני העולם

ואין החבור הזה יכול לסבול פירושם ועל כן אנו מפרשין עניני חכמה אחת לתת ממנה דמיון לחברותיה בעזרת האל

Part Two – Optics

החלק השני מהעמוד השני מפרש עניני חכמת המראה

והנה אשר העין יכול לראות בו את כל הדברים אשר היא מגעת אליהם והם ראויים להראות מכחי הגוף החי

מצינו החכמים המעיינים בחכמות החצונות חוקרים על הענין הזה על שני דרכים

האחד הוא מחקר החכמה החוקרת על תמונת המראה או הראות ועל ערכו ועל שעור מרחקו מן הנראה ומעדמו ממנו

ואיך יהיה הדבר מדבר מעמדו מן העין נראה בתמונתו
ואיך יהיה נראה בתמונתו ואיך יהיה נראה שלא בתמונתו

והדרך השנית היא מחקר חכמת היצורית חוקרת על הענינים אשר הם נראים בעין איך הם נראים

ועל איזה ענין הכח פושטת עליהם ונוגעת עליהם
ואיך הוא הדעת והלב מבין את הדבר אשר העין רואה אותו
ואין זה הדבר נפרד משני הדרכים

יכול יהיה האור יוצא מהעין והולך ופושט באויר העולם עד שהוא מגיע אל הנראה וכשהוא נוגע אל הנראה הוא מתבונן בצורתו ומודיע את ערכם אל הנפש ההוגה

או יכול יהיה שיהיה אור העולם הנפשט בתוך האויר נושא את צורת הדבר הנראה ומקריב אותה אל שטח העין ואל הלוחות הנזהרות אשר בעין עד שתהיה הצורה נרשמת בשטח העין ונטבעת באור הזהיר אשר בתוך העין

והנפש יודעת את הדבר הנראה מהצורה הזאת הטבועה בתוך העין

ואתה רואה כי המחלוקה הזאת אינה כי אם בצמיחת המרחק בין העין ובין הדבר הנראה אם הוא מתחיל מהעין והולך אל הנראה או הוא מתחיל מהנראה והולך אל העין

והרוצה למדוד המרחק הזה ולשערו אינו חושש אם הוא מתחיל מן העין או מתחיל מהנראה כי אין החלוק הזה מזיק לו בשעורו

כי השעור אחד הוא אם מתחיל מכאן או מתחיל מהלן

ומפני זה לא חשו לו חכמי השעור ולא חקרו עליו איזה הוא העקר

אבל סמכו על הענין האחד אשר הוא קל בעיניהם לחשבון ולשיעור והוא המתחיל מהעין

מפני שהוא דבר עומד במקומו והנראה הוא מתקרב אליו ומתרחק

לא מפני שראו אותו נכון יותר מהענין השני אלא מפני שהיה מתוקן להם בדרך מחקרם

ועל הטעם הזה התחילו בתחלת החכמה הזאת ואמרו האור היוצא מהעין על קוים ישרים והולך אל נוכח הנראה וכל קו וקו מהם יש נוכח כנגדו מן הנראה וכרוב הקוים כן רוב הנכוחיים אשר כנגדם והקוים האלה יוצאים מנקודה אחת מן העין ובצאתם הם מתפרדים ממנה על זוית שטוחה ויתקבץ מן הקוים האלה בהתחברם יחד זוית גלומה

ויהיו הקוים האלה בהגיעם אל הנראה כתמונת גולם אלוני ראשו מצד העין ועגולת מושבו הוא עם שטח הנראה

ומפני זה אנו רואים את התמונות המרובעות כשהם מתרחקים מן העין עגולות

וכל דבר שהקוים המראים נוגעים אליו הוא נראה ואשר אין נוגעים אליו ואינו נראה

וכל דבר שהוא נראה בעין על זוית ידועה יש לו תכלית ידועה וסוף כשהוא מגיע אליו הוא נסתר מן העין ואינו נראה

וכל הקרוב אל העין יראה אל שעור אחד ואם יתרחק מהעין יתמעט שעורו בראיה וכשהוא מוסיף הרחוק יהיה שעורו מתמעט כמו כן עד שיהיה נסתר מהעין ואין כח הראות מגעת אליו

וכל הנראה על זוית גדולה נראה גדול והנראה על זוית קטנה נראה קטן

והענינים אשר העין מגעת אליהם והם ידועים מכחה הם הצבעונים והתמונות והגולם והערך והיישוב והתנועה והעמידה

ואין העין מכרת אחד מהענינים האלה אלא על ידי שני דברים והם אור ועובי

וכל דבר שאין האור נופלת ואין לו עובי שיהיה מעמיד את האור מלעבור עליו אינו נראה

מפני זה אין העין רואה כל דבר רקיק שהאור עובר עליו

וכל הנראה בעין יש ממנו נראה ראשונה שלא על ידי דבר אחר ויש ממנו נראה על ידי דבר אחר שהוא תלוי בו ותובע לו

והנראה נחלק על דרך אחר לשני חלקים

יש מהם בתמונתו ותבניתו ויש ממנו שלא בתמונתו אבל הוא כדמות העין או כדמות הדבר המטעה את העין

והנראה ראשונה הוא הדבר אשר העין נוגעת אליו ראשונה ונופלת עליו תחלה והוא גוף הנראה וצבעונו

כי כל דבר שאין צבעונו נראה אינו נראה ואפ"י יש לו עובי בארך גופו ויהיה האור נופל עליו אינו נראה עד שיהיה לו צבעון

וכל המצטבע בצבעון אינו נראה אלא עם האור ועובי אורג הגוף וחזוקו כדי שיהיה מונע את האור מעבור עליו

ואתה מוצא את העין צריכה לשלשה דברים והוא אור שיהיה נופל על דבר נוגה שיש לו צבעון

והצבעון הוא הנראה ושני הענינים האחרים משמשים לו ועוזרין אותו עד הראות

וכל דבר שהוא בחשך אינו נראה

וכן החשך אינו נראה אבל הוא נודע כי אין אדם רואה את החשך אבל הוא מכיר את החשך בדעתו ותבונתו מפני שהוא העדר האור

והדומה לזה הקול והשתיקה כי הקול הוא נשמע באזנים ואתה מכיר את השתיקה לא מפני שאתה שומעה אבל מפני שאי אתה שומע קול

וכמו כן כל המכיר את הדבר הוא ראוי להכיר את חלופו

ומפני זה אמרו על החשך שהוא נכר ואינו נראה

ותמצא הנראה תחלה הוא הצבעון

וכל הנראים עם הצבעון הם נראים על ידי הצבעון ותלואים בו כגון הגולם והתמונה והערך אין אתה רואה אותם אלא על ידי הצבעון

כי כלם אין הכח מכיר אותם ומבין את תבניתם אלא בשטח הגולם הצבוע אשר האור נופל עליו

ומצינו כי אין דבר נראה ראשית אלא הצבעון בלבד והוא הדבר הנראה לראות העין ואין חוש אחד מכל חושי הגוף יכול להכירו ולשלוט בו

וכל הענינים הנראים עם הצבעון הם נכרים כמו כן בחוש אחד מחושי הגוף ומפני זה אמרו עליהם שהם נראים שנית ועל ידי דבר שהן תלויין בו כגוף התבנית והמספר והתנועה והעמידה אשר אתה יכול להכיר אותם במשישה כאשר אתה מכיר אותם בראיית העין

והרי אתה יכול לומר על הגולם הזה שהוא מרבע או שהוא מתנענע כשאתה מושש בידך כדרך שאתה מכיר אותו בראיית העין

ואין הצבעון כך שאין אחד מחושי הגוף יכול להכירו בלתי העין בלבד לפי שהוא המסור לעין

וכל הנראין בעין נראין על ידו

ונתברר לך מה הוא הדבר הנראה ראשונה אשר הוא מראה את עצמו ואת תבניתו ומה הוא הדבר הנראה שנית ועל ידי דבר אחר

ואנו רואים לפרש על איזה דבר יראה הדבר בתבניתו ואיך יראה שלא בתבניתו

ואנו אומרים כי אין העין מכיר את הנראה עד שתהיה נזהרת באור האויר ומצטבעת בצבעון הדבר הנראה ותהיה צורת הנראה נטבעת בעין ומצטיירת בעין

ומפני זה העין צריכה שלא תהיה לה צבעון אבל תהיה חלוקה מכל אורות ומכל צבעון ומזומנת

לקבל את האור ואת הצבעון הבאים אליה או אשר היא נוגעת אליהם

ויראה לך מהענין הזה כי העין מכירה את האדום מפני שהיא מתאדמת ואת הלבן מפני שהיא מתלבנת וכל הענינים הנראים עם הצבעון נראים לה תלויים בצבעון אשר היא מצטבעת בו

ואם תהיה העין קודם הראייה אדמדמת או ירקרקת יראה לה כל דבר שהיא מביטה אליו ירקרק או אדמדם או על צבעון אחד מעין הצבעונים אשר בתוכה וזהו ענין אחד מטעות העין כשהוא רואה את הנראה שלא כדמותו

וגם העין טועה טעות אחר בערך הנראה ושעורו מדרך קרובו אל העין ורחקו ממנה

וגם הדמויות והצורות והתמונות מתחלפות בראות העין עד שתהיה רואה את הארוך קצר ואת הקצר ארוך ואת הרחב צר ואת הצר רחב ואת העגול רבוע ואת הרבוע עגול וכן בשאר התמונות

וכן היא טועה בישוב הנראה ובסדרו עד שתהיה רואה את השמאל ימין ואת הימין שמאל ואת המוקדם מאוחר ואת המאוחר מוקדם ואת הסדורים אחד כנגד אחד כשאינם סדורים ואת הנתונים בשטח אחד כאלו האחד עולה והאחד יורד

ובחכמה הזאת יכול אדם להפריש בין החכמות האלה המטעיות את הנראה כדרכו ואת הנראה שלא כדרכו

והיא נותנת אותות ומופתים על כל אלה הענינים וחוקרת על עלתם ונותנת צדדים ותנאים להשמר מכל אלה הטעיות עד שיהיה אדם יודע את ערך הנראה ושעורו ותמונתו וכל הענינים הנתלים בראותו על תקונם וישרם בלא שום טעות ולא קירוב ולא ספקא ויסור מעליו כל ספקא שהיא באה בראייה

ומתוך החכמה הזאת יהיה האדם יודע בראות עינו שעור כל דבר שאינו יכול למדוד אותו ולא לקרב אליו

וידע שעור המרחק בינו ובין כל דבר שהוא רחוק ממנו

וגם המרחק אשר הוא בין דברים שהם נמסרים למראית העין וגם אינו מגיע אליהן

וכן ידע אורך האילנות והמגדלים וההרים במראית עינו בלבד

וגם רוחב הימים והנהרות אשר הוא רואה את שפתם

וכן עומק הבורות והגבים בעמידתו על שפת הנהר והאגם או על פי הבאר והשוחה

ובה יכול לדעת את רוחק העבים מן הארץ ולאמר על איזה מקום הם עומדים

ועל מרחק הכוכבים מהארץ ועל מדתם ועל שעורם ואיזה מהם גדול מן הארץ ואיזה מהם גדול מחברו

והוא מכיר את כל הענינים האלה בהביטו אל הכוכב או על העבים

ובראותו אותם יש מהם ענינים שהוא מצטרך בהם אל כלים מתוקנים להנהיג אור העין על דרך ישר כשהוא מסתכל אל הנראה על הכלים האלה

ויש ענינים שאין צריך בהם אל כלי

וכל הדברים הנראים הם נראים כאשר זכרנו למעלה על ידי אור הנפרש באויר או בגולם זהיר באויר עד שיגיע אל הנראה

והאור הזה נמצא בקוים ההולכים אל העין או היוצאים מהעין

ואלו הקוים יש מהם על יושר דרכו עד שהוא מגיע אל הנראה או עד שיכלה כחו ויסוף אורו ואלו נקראים אורות ישרים

ויש מהם קוים אשר יקרה אותם בדרכם קודם הגעתם אל הנראה מונעות וכלים נזהרים שיהיו מונעים את הקוים מלעבור אל הנראה והם משיבים אותם מדרכם אחורנית

והקוים האלה שונים מן המקרה הזה הקרה אותם על ג' ענינים

יש מהם חוזרות אחורנית על דרך עצמן ועל הדרך שיצאו בה והם נקראים אור נשבר

והאדם רואה בענין הזה צורת עצמו כשהוא מביט בדבר הזהיר השובר את האור ומשיבו לאחור

ויש מהם שהולכים כנגד הדבר המונע כגון הצורה הזאת

והאור הזה נקרא אור פושט והשם הזה חצוב מן ופשטת על העיר^{[note 35]}

ואתה הבן ממנו שהאור פושט לפניו והולך כנגדו ואינו שב לאחוריו ורואה באור הזה דברים שהם רחוקים ואין העין עומדת כנגדם ומביטה אליהן

ויש מהן קוים שהן חוזרין אל נוכח העין ולא על נכחה ממש אלא על ימין או על שמאל כגון הצורה הזאת

ואלו הקוים נקראים אור נזור

ואדם רואה בענין הזה דבר אשר הוא עומד על ימינו או על שמאלו או למעלה ממנו או לאחוריו ואם אינו מביט אליו או מסתכל בו

והקוים החוזרים אם יהיה המחזירם זוהר שטוח הם חוזרות על זויות שוות לזויות אשר הגיע בהם אל השטח הזהיר

ואם יהיו נופלות על זוית נצבה הם חוזרות על עצמן והיא הזוית הנצבה היא שוה משני צדי הקו

ואם הם נופלים על זוית חדה מצד נפילתן הן חוזרין על זויות שוות להן מהצד אשר כנגדן

ואם לא יהיה הזוהר המשיב את האור שטוח אבל יהיה עגול או עקום יהיה האור הנזור ממנו חוזר על זוית דומה לזוית אשר היא נופל בה אלו היה ביניהן שטח וזה המזהיר החוצץ בין העין ובין הדבר הנראה יהיה אויר עבה או זכוכית או מים או דבר מלוטש

וחכמת המראה חוקרת על דרך הראייה בכל הקוים הארבעה האלו והם הקוים הישרים והקוים הנשברים והקוים הפושטים והקוים הנזורים ומפרשת כל מאורעות שהן קורות בדברי הראייה האלה

והחקירה על דרך המראה בקוים הישרים נקראת חכמת המראות הישרה

ואותה החוקרת על דרך הראיה הנשברת והנזורה והפושטה נקראה חכמת המראות המעוקלות

וכל החכמה הזאת היא תולדה אחת מתולדות חכמת השעור הנקראת אלהנדסה בערבית

והמעמיק בחכמה הזאת עד סופה הוא נקרא חכם מוסרי או חכם סורי

מפני שכל חכמתו ובינת לבו עסק בה כל ימיו בחכמה הזאת בלבד

והמעמיקים בשאר החכמות כמו חכמת התבונה וחכמת הטבע וחכמת האלקות שהוא מה שאחר הטבע ובלשון רז"ל מעשה בראשית ומעשה מרכבה והמעמיקים בה הם הנקראים פלוסופים אלקיים

ואינם משביחים את האדם המכלה כל ימיו בלמוד החכמה הזאת בלבד

ואע"פ שהיא חכמה גדולה ומועילה ומוסרת לבו שלאדם ודעתו אל הבינה אין נאה להאביד כל ימיו בלמודה עד שיהיה מגיע אל עמקה

אבל ספק לו ממנה מקצתה כדי שינהיג בה את לבו להבין שאר החכמות שאחריה

כי אין אדם יכול להבין רוב החכמות אשר אחריה אם לא ישתמש בחכמה הזאת

ומכאן אמרו שלמודה צורך וחובה וחמדה ללמוד שאר החכמות ומקצתה מספיק בזה

ואם יהיה אדם מעמיק בה אל ישתמש בה כל ימיו אבל יהיה מנהיג את לבו מלמודה אל למוד שאר החכמות שאחריה

כותרת העמוד השני

והחכמה הזאת יצאה לעולם על ידי בצלאל והחכמה הזאת אשר לפניה מחכמי (?) המנין היא מחכים בה אהליאב בן אחיסמך אשר נאמר עליו חורש וחושב^{[note 36]}

ויהיה פירוש חושב חכם בחכמת החשבון ובכל מלאכות שהן צריכות לחשבון כגון רוקם ואורג

והיה מן הענין הזה בצלאל חכם בכל החכמות הנמצאות בעולם כי כן כתוב בו ואמלא אותו רוח אלהים וג"ו^{[note 37]}

ויהיה אלו ארבע מדות טובות אשר מלא הב"ה בצלאל כנגד ארבע יסודות החכמה אשר בעולם ויהיה מדרש הפסוק הזה כך

ואמלא אותו רוח אלהים^{[note 38]} זו חכמת אלהית ותלמוד תורה שהוא היסוד הרביעי אשר הוא ממלא האדם וגומר את תמימותיו

והרוח הזה מסרו הב"ה מחובר בג' ענינים טובים

בחכמה זו חכמת המוסר וחכמת המוסר הוא היסוד הראשון המעיין בראש החכמות ותחלתן שהן מתקנות את הלב ומקבילות אותו כלפי בינה

ובתבונה היא חכמת היצורים המעיינת בעניני היצירה ותבנית כל הנבראים והיא היסוד השני אשר אין האדם יכול ללומדו עד שיתגבר בחכמה

וקרא אותה תבונה לפי שהיא עודפת על החכמה כמו שאמר הפסוק מי חכם ויבן אלה נבון וידעם ^{[note 39]} נקרא תחלה חכם אח"כ נבון

ובדעת זו חכמה אנושית אשר היא יסוד שלישי

כי דרך העולם לקרוא למי שהוא מכוון בכל דבריו וזריז בדרך ארץ ולתת תושיה ועצה לבני עמו הוא דעתן ובעל דעת

ויהיה שם מלאכה אמור על כל אומניות אשר בעולם ונמצא בצלאל חכם ומבין בכל חכמה שכליית ועמלנית

ומצינו יסודי החכמה סדורים בבצלאל חלוף סדורן בפסוק הראשון אשר פתחנו בו את הספר הזה

כי בבצלאל זכר החכמה האלהית תחלה ובפסוק הראשון זכר אותה באחרונה

וזו החלוף בא מפני בצלאל וסדר אותם על הדרך שאדם ראוי לקנותן ועל הדרך שמסר אותן בבצלאל

והתחיל ראשונה ברוח אלהים והוא תלמוד תורה ויראת השם אשר האדם חייב להקדימם וללמד קודם כל חכמה

ואחר סדר בו שאר החכמות על דרך למודם ועל סדרם הקל תחלה ואחריו החמור ממנו עד שהשלים יסודי החכמות הד'

ובפסוק האחר סדר אותם על סדר מעלתם ומעלות הענינים אשר היא חוקרת עליהם

מפני זה התחיל בחכמת המוסר שהיא חוקרת עליהם על תכלית הנמצאות וחתם בחכמת השכל והיא חכמת האלהית המעיינת בפלאי פלאות החכמה

ומצינו חכמת המוסר קרואה בשני הפסוקים האלו חכמה מפני שהיא קלה בלמודה וקרובה היא במעלתה

וקרא לחכמה היצורית בפסוק אחד גבורה מפני שהיא מעיינת בחכמת הבורא וחוקרת על הנמצאות ועקרם ולא יכול אדם לירד לעומק החכמה הזאת עד שיתגבר בבינה

וקרא לה הפסוק השני תבונה והתבונה מוסיפה על החכמה ועודפת עליה כמו שזכרנו למעלה

וקרא לחכמה האנושית בפסוק האחד עושר מפני שהיא מעיינת בדרך מנהג האדם בעולם

וקרא לה בפסוק השני דעת מפני שהאדם צריך בשימושו עם בני העולם אל הדעת

וכן קרא לחכמה האלהית בפסוק האחד השכל מפני שהענינים שהיא חוקרת עליהם הם עומדים בהשכל ומצויירים בו ואין להם צורה ודמות חוץ מהלב ואין לאחד מחושי הגוף כוח להגיע אליהם

וקרא לה בפסוק השני רוח מפני שאין אדם יכול להבין אותה על דרכה כי אם ברוח אלהים מרוב פליאותה

ותמצא כל החכמות קרואות בשני הפסוקים בשמות נמנות ונכונות על שני המנהגים

האחד על דרך בינת האדם להם וסדר חיובם בלמוד

והמנהג השני על דרך מעלתם ודקדוק הענינים אשר היא חוקרת עליהם

At the end of the chapter dealing with optics, which concludes the section on geometry, appears a sentence that apparently was supposed to open the section devoted to metaphysics now lost or eventually not written. The author presents this expected section on metaphysics as dealing with sacred matters that might purify him from engaging with the previous secular affairs

ובאתי בכאן לבאר כל הענין הזה ואם אינו מדרך החבור מפני שעסקתי לפנים בדברי חול מדרך ארץ והבאתי הענין הזה אולי אטהר דברי חול בדברי קודש

ואני חותם במקום הזה העמוד השני ומתחיל לפרש העמוד השלישי

והבורא ברחמיו וברוב חסדיו יישירנו ללכת בדרכיו כי הכל בידיו

Section Three – Music

העמוד השלישי מפרש חכמת הנגון, והחכמה הזאת נקראת בלשון יון מושיקא

Notes
	↑ ירמיה ט, כב-כג ↑ משלי ט, י ↑ איוב כ"ח, כ"ח ↑ איוב כ"ח, י"ב ↑ שמות ל"ו, ח ↑ שמות ל"ה, כ"ה ↑ תהלים י"ט, ט"ו ↑ תהלים ע"ז, י"ג ↑ תהלים ס"ג, ז' ↑ בראשית כ"ד, מ"ה ↑ שמואל א א, י"ג ↑ שופטים ד, כ"ב ↑ בראשית כ, ג ↑ קהלת ט, ה ↑ ירמיה ט, כ"ב ↑ ירמיה ט, כ"ב ↑ ירמיה ט, כ"ב ↑ תהלים קי"א, י ↑ ירמיה ט, כב ↑ ירמיה ט, כ"ג ↑ איוב א, כ"א ↑ איוב א, כ"א ↑ ירמיה ט, כ"ג ↑ ירמיה ט, כ"ג ↑ דניאל ב, כ ↑ דניאל ב, כ"ג ↑ משלי ח, י"ד ↑ משלי ח, י"ח ↑ משלי ג, ט"ז ↑ ירמיה ט, כג ↑ ירמיה ט, כג ↑ דברים ט"ז, י"ז ↑ ויקרא י"ט, ט"ו ↑ עזרא ד, י"ב ↑ שופטים ט, ל"ג ↑ שמות ל"ח, כ"ג ↑ שמות ל"א, ג ↑ שמות ל"א, ג ↑ הושע י"ד, י
Apparatus

Appendix: Bibliography

Abraham bar Ḥiyya ha-Nasi (known as Abraham Judaeus or Savasorda)
b. 1065 – d. 1136 or 1145, worked in Barcelona, Spain
Yesodei ha-Tevunah u-Migdal ha-Emunah (The Foundations of Understanding and Tower of Faith)

Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/15 (IMHM: f 1996), ff. 121r-136v (15th-16th century)

2) Madrid, Biblioteca Nacional de España 5474/8 (IMHM: f 7233), ff. 340v-342v (14th-15th century)

3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 698/1 (IMHM: f 47914), ff. 2r-9v (14th century)

4) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. hebr. 36/19 (IMHM: f 1166), ff. 203v-209r (1485)

5) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 536/8 (IMHM: f 22082), ff. 118-125 (cat. Neub. 1268, 8) (1518-1520)

6) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2635/1 (IMHM: f 13551), ff. 1r-6r (Lecce, 1437)

7) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 400/6 (IMHM: f 478), ff. 66r-75r (14th-15th century)

Edition:

La obra enciclopedica Yesode ha-Tebuna u-Migdal ha-Emuna de R. Abraham Bar Hiyya Ha-Bargeloni. edición critica con traducción, prólogo y notas por Jose M. Millás Vallicrosa. Madrid-Barcelona: Casa Provincial de Caridad de Barcelona, 1952.

Bibliography:

Adler, Israel. 1975. Hebrew Writings Concerning Music: In Manuscripts and Printed Books from Geonic Times up to 1800. München: G. Henle Verlag, pp. 6-7.
Efros, Israel. 1926-7. Studies in Pre-Tibbonian Philosophical Terminology: I. Abraham Bar Hiyya, the Prince, The Jewish Quarterly Review, New Series, vol. 17, no. 2 (Oct., 1926), pp. 129-164; vol. 17, no. 3 (Jan., 1927), pp. 323-368.
Freudenthal, Gad and Mauro Zonta. 2009. Nicomachus of Gerasa in Spain, Circa 1100: Abraham bar Ḥiyya’s Testimony, Aleph 9.2, pp. 189-224.
Levey, Martin. 1952. The Encyclopedia of Abraham Savasorda: A Departure in Mathematical Methodology, Isis, Vol. 43, No. 3 (Sep., 1952), pp. 257-264.
———.1954. Abraham Savasorda and His Algorism: A Study in Early European Logistic, Osiris, Vol. 11, pp. 50-64.
Rubio, Mercedes. 2000. The First Hebrew Encyclopedia of Science: Abraham bar Ḥiyya’s Yesodei ha-Tevunah u-Migdal ha-Emunah. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp. 140–53
Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 61-129.
Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 83-87 (d34-d38); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.

[1] ירמיה ט, כב-כג

[2] משלי ט, י

[3] איוב כ"ח, כ"ח

[4] איוב כ"ח, י"ב

[5] שמות ל"ו, ח

[6] שמות ל"ה, כ"ה

[7] תהלים י"ט, ט"ו

[8] תהלים ע"ז, י"ג

[9] תהלים ס"ג, ז'

[10] בראשית כ"ד, מ"ה

[11] שמואל א א, י"ג

[12] שופטים ד, כ"ב

[13] בראשית כ, ג

[14] קהלת ט, ה

[15] ירמיה ט, כ"ב

[16] ירמיה ט, כ"ב

[17] ירמיה ט, כ"ב

[18] תהלים קי"א, י

[19] ירמיה ט, כב

[20] ירמיה ט, כ"ג

[21] איוב א, כ"א

[22] איוב א, כ"א

[23] ירמיה ט, כ"ג

[24] ירמיה ט, כ"ג

[25] דניאל ב, כ

[26] דניאל ב, כ"ג

[27] משלי ח, י"ד

[28] משלי ח, י"ח

[29] משלי ג, ט"ז

[30] ירמיה ט, כג

[31] ירמיה ט, כג

[32] דברים ט"ז, י"ז

[33] ויקרא י"ט, ט"ו

[34] עזרא ד, י"ב

[35] שופטים ט, ל"ג

[36] שמות ל"ח, כ"ג

[37] שמות ל"א, ג

[38] שמות ל"א, ג

[39] הושע י"ד, י

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

[note 5]

[note 6]

[note 7]

[note 8]

[note 9]

[note 10]

[note 11]

[note 12]

[note 13]

[note 14]

[note 15]

[note 16]

[note 17]

[note 18]

[note 19]

[note 20]

[note 21]

[note 22]

[note 23]

[note 24]

[note 25]

[note 26]

[note 27]

[note 28]

[note 29]

[note 30]

[note 31]

[note 32]

[note 33]

[note 34]

[note 35]

[note 36]

[note 37]

[note 38]

[note 39]

@@ Line 1,712: / Line 1,712: @@
 |-
 |
-*the [amount of goods offered in] business foreign to the money [paid]<br>
+*the [amount of goods offered in] business stranger to the money [paid]<br>
-*the sold merchandise foreign to the price
+*the sold merchandise stranger to the price
 |style="text-align:right;"|ותמצא לעולם העסק נכרי לדמים והמכר נכרי לשער
 |-
@@ Line 1,723: / Line 1,723: @@
 |-
 |
-:multiplying one of the three by that which is foreign and dividing the result by the known third<br>
+:multiplying one of the three by its stranger and dividing the result by the companion<br>
 :<math>\scriptstyle a_1=\frac{a_3\sdot a_2}{a_4}\quad a_2=\frac{a_1\sdot a_4}{a_3}\quad a_3=\frac{a_1\sdot a_4}{a_2}\quad a_4=\frac{a_3\sdot a_2}{a_1}</math>
 |style="text-align:right;"|ואם אתה חושב אחד מהשלשה הידועים בנכרי לו מהם ותדע המספר הנכלל בחשבון ותחלק על השלישי הידוע אתה מוצא הרביעי הנסתר

Difference between revisions of "ספר יסודי התבונה ומגדל האמונה"

Revision as of 17:32, 8 January 2019

Contents

Introduction

Book One – the Foundations of Wisdom

Prologue

Foundation One – Mathematics

Introduction

Section One – Arithmetic

Introduction

Part One – Theoretical Arithmetic

Introduction - Preliminary definitions

Classification of numbers

Classification of ratios

Part Two – Practical Arithmetic

Numeration

The fundamental arithmetical operations

Multiplication

Division

Subtraction

Multiplication of Fractions

Division of Fractions

Subtraction of Fractions

Addition of Fractions

Converting of Fractions

Completion of Fractions

Business Arithmetic

Word problems

Section Two – Geometry

Introduction

Part One – Theoretical Geometry

Part Two – Optics

Section Three – Music

Notes

Apparatus

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Search