Difference between revisions of "לקוטים מספר פראלוקא"

Section One - Theoretical Arithmetic

תמצא לי ב' מספרים אחרים אשר מרובעהם מקובצים יעלו עשרים

גם חלק כ"ב על ה' ויצא ד' וב' חמישיות וזהו המספר השני

Section Two - Practical Arithmetic

Check

Multiplication

Progressions

וכן אם תרצה לחבר כל המרובעים שהם מא' עד י"ב

ולמעלה מחמשה הם ל"ו ועם ט' הם מ"ה ומעוקב ג' הם כ"ז וערכם אל מ"ה ג' חמישיותיו קלא וכן מרובע ד' הם י"ו ומרובע כפלו הם ס"ד וחברם והם פ' ומעוקב ד' הם ס"ד וערכם אל פ' ד' חמישיותיו

Cubic Roots

82) Question:

83)

84)

85)

86)

87)

88)

89)

90)

91)

92)

93)

94)

95) Question:

96)

97)

98)

99)

100)

101)

102)

103)

104)

105)

106)

107) Question:

108)

109) Question:

110) Question:

111) Question:

Ratios

112)

113) Question:

114)

115)

116) Question:

117)

118)

119)

כן יעשה מהמספרים אחרים שיהיו דופלא כגון ו' י"ב כ"ד אם תחברם יהיו מ"ב חלקם על ו' יצא ז' כמו בראשנה חלקם על י"ב יצא ג' וחצי חלקם על כ"ד יצא א' וג' רביעיות כבראשנה

120)

121)

122)

123)

124)

125)

126)

127)

128)

129)

130)

131)

132)

133)

134)

135)

136)

137)

138)

139) Question:

140) Question:

141)

142)

143)

144)

145) Question:

146) Question:

False Positions

147) Question: a man spent a third of his money and was left with 18.

How much was his money?

כמה ממונו

False Position:

Rule of Four:

148) Question: a man bought something but he did not know how much it is.

He knew that he earns 3⅓ soldi for every florin he spends.

The fund and the profit were 50 florins.

How much did he spend?

אמנם הוא יודע כי הוא מרויח ג' סולדי ושליש בעד כל פיורינו שפזר
ועולה הקרן והריוח עשרים פרחי'
כמה פזר

1 florin = 100 soldi

False Position: florin

the profit of 30 florin: soldi = 1 florin

Rule of Four:

149) Question:

Rule of Four:

150) Question:

Rule of Four:

151) Question:

152) Question:

Rule of Four:

153) Question:

154) Question:

155) Question:

156)

157)

158)

159)

160)

161)

162)

163)

אח"כ כפול ד' שהוספת כפלם על י"ב ויהיו מ"ח כפלם ד' פעמים ויהיו קצ"ב תוסיף על זה מרובע החלק הב' שהוא ח' ומרובעם ס"ד תוסיפם על קצ"ב ויעלו רנ"ו ג"כ והם שוים אל רנ"ו השמורים וכן ממש יהיה ג"כ אם הוספת החלק הגדול שהוא ח' על י"ב יעלו כ' ומרובעם ד' מאות ושמרם
אח"כ כפול ח' על י"ב ויעלו צ"ו וכפלם על ד' ויהיו שפ"ד תוסיף בם מרובע החלק האחר שהוא ד' והם י"ו ויהיו ד' מאות

164)

165)

166)

167)

168)

169)

170)

171)

172)

173)

174)

175) Question:

176) Question:

177) Question:

178) Question:

179)

180)

181)

182) Question:

183) Question:

184)

185) Question:

186) Question:

187) Question:

188) Question:

189) Question:

190) Question:

191) Question:

192) Question:

193) Question:

194) Question:

195) Question:

196) Question:

197) Question:

198) Question:

199) Question:

200) Question:

201) Question:

202) Question:

203) Question:

204) Question:

205) Question:

206) Question:

207) Question:

208) Question:

209) Question:

210)

211)

212)

213)

214) Question:

215) Question

216) Question

217)

218)

219) Question:

וכבר אמרנו כי אם תכפול שרש השרש מי' על שרש Coza השרש מעשרים יהיה שרש השרש מק' כלומ' עשרה קנג

220) Question:

221)

222) Question: find me a number such that if you multiply it by 4 it will be the same as it multiplied by itself.

223) Question: find me a number such that when multiplied by itself and the result is multiplied by 5 it is 45.

the number =

multiplied by itself =

224) Question: find me a number such that its third multiplied by 5 will be twenty.

the number =

a third of the number =

225) Question: find me a number such that when you add it to its square the result is 22.

the number =

its square =

כפלהו על עצמו יצא רביעית
תוסיף בו המספר הדרוש והוא י"ב ויהיו י"ב ורביע
והנה שרש י"ב ורביע פחות חצי הוא שוה הקוסי היינו ג' והוא הדרוש

226) Question: find me a number such that when you add to it 12 the result is equal to its square.

the number =

כפלהו על עצמו ויצא רביע
תוסיף בו י"ב ויצא י"ב ורביע
והנה שרש י"ב ורביע נוסף עליו חצי הוא הדרוש היינו ד'

227) Question: find me a number such that when multiplied by 5 it is the same as its square if you add to it 4.

the number =

its square =

כפלם על עצמם ויהיו ו' ורביע
תסיר מהם ד' וישארו ב' ורביע
והנה שרש ב' ורביע הוא א' ורביע
נוסף על ב' וחצי הוא המספר הדרוש היינו ארבעה

228) Question: find me a number such that if you add to it a quarter of its square it is three.

the number =

its square =

a quarter of its square =

normalization:

229) Question: find me a number such that if you multiply it by itself, then multiply the result by itself it is equal to the square of the number multiplied by 4

the number =

its square =

the square of its square =

230) Question: find me a number such that if you multiply it by itself, then multiply the result once again by itself it will be the same as it is multiplied by 8.

the number =

its square =

the square of its square =

231) Question: find me a number such that the square of its square is 81.

the number =

its square =

the square of its square =

232) Question: find me a number such that if you add its square to the square of its square the result is 20.

the number =

its square =

the square of its square =

ותרבעהו על עצמו ויצא רביע סינסו
תוסיף בם עשרים ויצא עשרים ורביע
ותסיר מזה חצי הסינסו ויצא עשרי' ורביע פחות חצי והנה שרש הנשאר יהיה שווי הדבר
והנה השרש הוא ד' וחצי ומזה תסיר חצי הנשאר ד' והוא המבוקש
ר"ל אם תקח שרש ד' שהם ב' הוא המבוקש

233) Question: find me a number such that the square of its square is the same as its square plus 12

the number =

its square =

the square of its square =

ותרבעהו ויהיה רביעית סינסו
והוסיפהו אל י"ב ויהיו י"ב ורביע ועל מרובע י"ב ורביע תוסיף חצי ויעלה שרש י"ב ורביע נוסיף עליו חצי
והנה שרש השרש מי"ב ורביע תוסיף עליו חצי היינו כי שרש י"ב ורביע הוא ג' וחצי ויהיו ד'
וקח מרובעם והם ב' והוא המבוקש

234) Question: find me a number such that if you add 4 to the square of its square the result is the same as its square multiplied by 5

the number =

its square =

the square of its square =

וכפלם על עצמם ויהיו ו' ורביע
תסיר מהם ארבעה וישאר ב' ורביע
ועל זה תוסיף ב' וחצי שהוא חצי הסינסו ויעלה ב' וחצי נוסף עליו שרש ב' ורביע והעולה מכל זה הוא שוה אל הקושא
היינו שרש ב' וחצי נוסף עליו שרש ב' ורביע
היינו א' ורביע שהוא שרש מב' ורביע ותוסיף בם ב' וחצי ויעלה ד'
וקח שרשם והוא המבוקש

Partnership Problems

235) Question: two form a partnership.

The first contributed a certain amount.

The second contributed twice as much as him and five more.

They earned 120.

The first deserves 30 minyanim of the profit.

How much should the second receive and how much did each contribute?

והנה הראשון שם סכום מה
והשני שם ב' פעמים כמוהו יותר חמשה ולשני
והרויחו ק"כ
ולראשון מגיע לו מריוח ל' מנינים
כמה יגיע לשני וכמה שם כל אחד ואחד

the first contributed:

the second contributed:

they contributed together:

Rule of Four:

the first contributed:

the second contributed:

236) Question:

237) Question:

238) Question:

239) Question:

240) Question:

241) Question:

242) Question:

243) Question:

244) Question:

245) Question: four form a partnership.

The first contributes twenty ducat and he should receive from the profit as if he contributed 30.

The second contributes forty and he should receive [from the profit] as if he contributed 70.

The third contributes fifty and he should receive [from the profit] as if he contributed 60.

The other contributes 100 and he should receive [from the profit] as if he contributed 150.

How much should each receive?

שותפות הראשון משים עשרים דוקטי ויש לו לקבל מהריוח כאלו משים ל'
והב' שם ארבעים ויש לו לקבל כאלו שם שבעים
והג' שם חמישים ויש לו לקבל כאלו שם ס'
והאחר שם ק' ויש לו לקבל כאלו שם ק"נ
כמה יקח כל א' וא'

the share of the first:

the share of the second:

and so on for the third and the fourth

Grazing Problems

246) Question:

247) Question:

248) Question: a man has fifty goats.

He gave them to the shepherd to guard his goats for four years.

The shepherd guarded them 5½ years, and at the end of the 5½ years the total number of goats was two hundred.

How much does the shepherd deserve?

ונתנם לרועה לשמור צאנו בעד ד' שנים
והרועה שמרם ה' שנים וחצי ובסוף ה' שנים וחצי נמצאו כל הצאן מאתים ר"ל עזים מאתים
כמה יגיע לרועה

the shepherd's share:

וקח חצים והם נ'
וכפול נ' על א' וחצי אשר החזיקם יותר מדאי ויצא לך ע"ה
וחלקם על ד' ויצא י"ח וג' רביעיות וחברם עם מאה ויהיו קי"ח וג' רביעיות והוא חלק הרועה

the owner's share: the remainder

249) Question:

250) Question:

251) Question:

252) Question:

253) Question:

254) Question:

Rent Problems

255) Question:

256) Question:

257) Question:

258) Question:

259) Question:

260) Question:

Barter Problems

261) Question: two barter wool for linen.

The owner of the cloth - the canna is worth 5 in cash and in barter he offers it at 6 and he asks for a half in cash.

The owner of the wool sells his wool in barter with the owner of the cloth at 8 more than what it is worth in cash in order to earn the same as him.

I ask: how much was the price of the wool in the beginning?

בעל הבגד שוה הקנה במעות ה' ובחלוף משים ו' בחלוף ושואל החצי במעות
ובעל הצמר מכר צמרו ק"ס בחלוף עם בעל הבגד ח' יותר ממה שהיה שוה במעות כדי להרויח כמוהו
אשאל כמה היה שווי הצמר בראשנה

Rule of Four:

262) Question: two barter cloth for wool.

The cloth is worth 8 in cash and in barter he offers it at 9, and he wants a third in cash.

A hundred of the wool is worth 30 ducat in cash and in barter he offers it at 10 perahim.

I ask: how much does the perah worth?

הבגד שוה ח' במעות ובחלוף משים אותה ט' ורוצה השליש במעות
ומאה מהצמר שוה במעות ל' דוקט' ובחלוף שם אותה פרחים עשרה
אשאל כמה שווי הפרח

Rule of Four:

263) Question: two barter cloth for wool.

He offers the canna of cloth at 8 in barter and he asks for a third in cash.

A hundred of the wool is worth 30 and in barter he offers it at 40.

They earned the same.

I ask: how much does the canna worth in cash?

והנה קנה הבגד שם אותה בחלוף ח' ושואל שליש במעות
ומאה מהצמר במעות שוה ל' ובחלוף משים אותה מ'
והרויחו זה לזה
אשאל כמה שווי הקנה במעות

Rule of Four:

264) Question: two barter iron for lead.

The iron is worth 28 in cash and 36 in barter.

The [lead] is worth 21 in cash.

I ask: if the owner of the lead will give a quarter in cash to the owner of the iron, at how much should he offer the lead in barter?

הברזל שוה במעות כ"ח ובחלוף ל"ו
ובעל הברזל האלף שוה כ"א בממון
אשאל אם בעל העופרת יתן לבעל הברזל הרביע בממון כמה ראוי שישים העופרת בחלוף

Rule of Four:

265) Question: two barter sugar [sucro] for cotton-wool [bambagini].

One hundred of sugar is worth 9 in cash and he offers it at 12 in barter and wants a third in cash.

One hundred of cotton-wool is offered at 5½ in cash.

I ask: if he will give to the owner of the sugar a quarter in cash, for how much should he offer it in barter?

המאה מהצוקרו שוה במעות תשעה ובחלוף משים אותו י"ב ורוצה השליש במעות
והק' מהבנבגיני שואל במעות ה' וחצי
אשאל אם יתן הרביעית במעות לבעל הצוקארו כמה ישים אותו בחלוף

Rule of Four:

266) Question: two barter - one has lint and the other has ginger.

One hundred of the lint is worth 9 in cash and 12 in barter and he wants to offer the half in cash.

The other has ginger one hundred of which is worth 15 ducat in cash.

How much will he offer it in barter and for 768 liter of ginger how much lint will he receive?

המוך שוה המאה ט' במעות ובחלוף י"ב ורוצה לתת החצי במעות
ולאחר יש לו זנגביל אשר המאה במעות שוה ט"ו דוקטי
בחלוף כמה ישים אותו ובעד ז' מאות וס"ח ליט' של זנגביל כמה מוך יקבל

Rule of Four:

267) Question: two barter cloth for wool.

The owner of the cloth sells the canna for 8 and in barter at 9 and he wants a third in cash.

The hundred of the wool is worth 30 and in barter he offers it so that the owner of the cloth earns 5 for 100.

בעל הבגד מוכר הקנה ח' ובחלוף ט' ורוצה השליש במעות
והק' מהצמר שוה ל' ובחלוף משים אותו באופן כי בעל הבגד מרויח ה' בעד ק'

Rule of Four:

Rule of Four:

268) Question: two barter wool for cloth.

The owner of the cloth sells the canna at 7 in cash and 8 in barter and he asks one third in cash.

The owner of wool sells one hundred at 30 ducat in cash and in barter he offers it so that the owner of the cloth loses 5 for 100.

How much should the owner of the wool sell one hundred?

בעל הבגד מוכר הקנה במחושבים ז' ובחלוף ח' ושואל השליש בממון
ובעל הצמר מוכר הק' ל' דוקט' בממון ובחלוף משים אותה באופן כי בעל הבגד מפסיד ה' בעד ק'
כמה מכר בעל הצמר המאה

269) Question: two barter cloth for wool.

The owner of the cloth sells the canna at 7 and in barter he offers it at 8 and he asks for a quarter in cash.

The owner of the wool sells one hundred for twenty and in barter he offers it so that the owner of the wool earns 10 for 100.

I ask: how much is the price of one hundred of the wool?

בעל הבגד מוכר הקנה ז' ובחלוף משים אותו ח' ושואל רביעית בממון
ובעל הצמר מוכר הק' עשרי' ובחלוף משים אותו באופן כי בעל הצמר מרויח י' בעד ק'
אשאל כמה שווי הק' מהצמר

270) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 8 in cash and in barter he offers it at 9.

The owner of the wool - one hundred is worth 36 and in barter he offers it so that the owner of wool loses 10 for 100.

קנה הבגד שוה ח' במעות מנוים ובחלוף משים אותה ט'
ובעל הצמר הק' שוה ל"ו ובחלוף משים אותה באופן כי בעל הצמר יפסיד י' בעד ק'

271) Question: two barter wool for linen.

The canna of cloth is worth 8 and in barter he offers it at 9 and he wants a third in cash.

One hundred of wool is offered at 36 in barter.

I ask: how much is it worth in cash?

קנה הבגד שוה ח' ובחלוף משים אותו ט' ורוצה השליש במעות
וק' מהצמר בחלוף משים אותו ל"ו
אשאל כמה שוה בממון

272) Question: a man barters wool for linen with his friend.

A canna of cloth is worth 7 and he wants a third in cash.

One hundred of the wool is worth 30 and he offers it at 36 so that the owner of the cloth loses 10 for 100.

I ask: at how much will the owner of the cloth sell it in barter?

קנה הבגד שוה ז' ורוצה השליש בממון
וק' מהצמר שוה ל' ומשים אותה ל"ו ובעל הבגד הפסיד י' בעד ק'
אשאל בעל הבגד כמה מכר אותה בחלוף

273) Question: a man barters wool for linen.

The cloth is worth 20 in cash and in barter he offers it at 2½ florin more and he asks for a third in cash.

One hundred of the wool is worth twenty in cash and in barter he offers it at 25 so that he earns 10 for 100.

I ask: how much is the value of the florin?

הבגד שוה כ' בממון ובחלוף משים אותו ב' פיוריני וחצי יותר ומבקש השליש בממון
והק' מהצמר בממון שוה עשרים ובחלוף משים אותו כ"ה ומרויח י' בעד ק'
אשאל כמה שווי הפרח

274) Question: two barter.

One has ginger [gingebre] - one hundred of which is worth 18 ducat.

His friend has sugar - one hundred of which is worth twenty ducat.

He also has cinnamon [canyella] - one hundred of which is worth 16 ducat; and mace [macis] - one hundred of which is worth 12 ducat.

The owner of the pepper has 22 pepper that is worth 886 ducat and he asks for these commodities the same from this as from that.

I ask: how much should he take from each?

לא' יש לו זינזיברו אשר הק' שוה י"ח דוקטי
ולחברו יש לו סוקרו אשר הק' שוים עשרים דוקט'
גם יש לו קנילא אשר המאה שוה י"ו דוקט' ומאסיש אשר המאה שוה י"ב דוקט'
ובעל הפלפל יש לו כ"ב פלפל שעולה תתפ"ו דוקט' ומבקש מאותם הסחורות כ"כ מזה כמו מזה
אשאל כמה יקח מכל א' וא'

והנה הסוקרו יעלה שס"ט ושישית וכך יקח מהסוקרו וכן תעשה מהאחרים

275) Question:

276) Question:

277) Question:

278) Question:

279) Question:

280) Question:

281) Question:

282) Question:

283) Question:

284) Question:

285)

286) Question:

287) Question:

288) Example:

289) Question:

290) Question:

291) Question:

292) Question:

293) Question:

294) Question:

295) Question:

ותמצא כי ישוב ד' וב' חמישיות וכך שוה הקנה בממון ובחלוף ה' והצמר שוה י' ובחלוף י"ג עתה ראה ההפרש מי' אל י"ג והוא ג' חלק י"ג בג' ויצא ד' ושליש עתה חלק ד' ושליש על ח' ושליש ויצא לך י"ג חלקים מכ"ה וכן ראוי שיקבל מצמר והנשאר שהוא י"ב חלקים מכ"ה יקבל בממון בסוף השנה והדבר יצא שוה

כך תעשה נניח כי מחליפים כ"ה קנים ששוים קכ"ה בחלוף ומזה מבקש י"ב חלקים בממון שהם ס' בממון והנשאר שהם ס"ה בחלוף והנה הצמר מקבל לחשבון י"ג המאה בעד ס"ה תקבל ה' מאות וראה כמה שוה בממון ה' מאות מצמר שהם חמישים ועולה ק"י ובעד ק"י נתן כ"ה קנים ששוים בממון ק' א"כ מרויח שלחנות א"כ מרויח י' שהם ק"י

296) Question:

297) Question:

298) Question:

299) Question:

Section Three: Geometry

300)

301) Question:

302) Question:

303) Question:

304) Question:

305) Question:

306) Question:

307)

308) Question:

309) Question:

כמו אם יש לך זוית נצב כזה ארך כל קו עשרה

310) Question:

311) Question:

312) Question:

313) Question:

314) Question:

315) Question:

316) Question:

317) Question:

318) Question:

319) Question:

320) Question:

שאלה בכאן מרובע בלתי מתיחס כזה