Difference between revisions of "ספר המספר / אברהם אבן עזרא"

Difference between revisions of "ספר המספר / אברהם אבן עזרא"

Revision as of 07:04, 31 December 2018

Prologue

Chapter One – Multiplication

Chapter Two – Division

Chapter Three – Addition

Chapter Four – Subtraction

Chapter Five - Fractions

Chapter Six - Proportions

Chapter Seven - Square Roots

Additional Excerpt

Appendix: Bibliography

Revision as of 07:04, 31 December 2018

Contents

Prologue

Chapter One – Multiplication

Chapter Two – Division

Chapter Three – Addition

Chapter Four – Subtraction

Chapter Five - Fractions

Chapter Six - Proportions

Chapter Seven - Square Roots

Additional Excerpt

Notes

Apparatus

Appendix: Bibliography

Navigation menu

Numeration

The Positional Decimal System

Shortcuts

Written calculations

Introduction - Preliminary definitions

Written calculations

Sums

Written calculations

Addition of Sexagesimal Fractions

Written calculations

Word Problems

Rule of Four in Astronomical Tables

Integers

Fractions

Integers and Fractions

Approximations

Numeration

The Positional Decimal System

Table of Contents

Shortcuts

Written calculations

Introduction - Preliminary definitions

Written calculations

Sums

Written calculations

Addition of Sexagesimal Fractions

Written calculations

Word Problems

Rule of Four in Astronomical Tables

Integers

Fractions

Integers and Fractions

Approximations

Search

ראה ספר מחוקק באמונה‫^[1]

ותמצא בו^[2] לכל מספר תכונה

אשר חבר בנו מאיר למאיר

קטן שנים וחכם בתבונה‫^[3]

ספר המספר‫^[4]

The nine heavenly spheres revolving around the earth

בעבור^[5] כי השם הנשגב^[6] לבדו^[7] ברא בעולם^[8] העליון^[9] תשע עגולות גדולות^[10] סובבות את^[11] הארץ שהוא^[12] העולם^[13] השפל

Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers

ובעל ספר^[14] יצירה^[15] אמר^[16] כי נתיבות החכמה^[17] הם בִּסְפָר^{[note 1]} וְסֵפֶר^[18] וְסִפּוּר‫^[19]^{[note 2]}

והנה הַסְּפָר^[20] תשעה^[21] מספרים

The resemblance of the ranks to the rank of units

units – as foundations of all numbers

כי תשעה^[22] סוף כל חשבון^[23] ואלה^[24] יקראו^[25] האחדים^[26] שהם במעלה הראשונה‫^[27]

tens and their resemblance to the units

כי עשרה^[28] דומה לאחד

ועשרים דומים^[29] לשנים^[30] שהם שני^[31] עשרות

the exceptional pronunciation of the number twenty

והיה^[32] ראוי שיקראוהו^[33] עֶשְׂרַיִם^[34] כאשר יקראו^[35] ממאה^[36] מאתים ומאלף^[37] אַלְפַּים

רק בעבור^[38] חבריו הבאים אחריו^[39] שהם^[40] שלשים^[41] עד תשעים נהגו^[42] כמנהגם‫^[43]

והנה שלשים^[44] מגזרת שלש^[45] וככה כלם‫^[46]

hundreds and their resemblance to the units

והנה מאה^[47] דומה^[48] לאחד גם^[49] לעשרה‫^[50]

ומאתים^[51] דומה^[52] לשנים גם לעשרים‫^[53]

thousand and upwards

וככה אלף ורבבה שהם ראשי^[54] כללים למספרים^[55] הבאים אחריהם^[56] שהם^[57] א'י'ק' ב'כ'ר‫'^[58]^{[note 3]}

The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle

והאות על זה^[59]^{[note 4]} כשתעשה^[60] עגול^[61]^{[note 5]} ותכתוב סביבו^[62] תשעה מספרים

ותכפול תשעה^[63] על^[64] עצמו והטעם^[65] להיותו^[66] מרובע ארכו כרחבו תראה זה^[67] וככה הוא‫^[68]

$\scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}$

והנה המרובע^[69] אחד ושמונים^[70] והנה^[71] האחד^[72] לשמאלו של^[73] תשעה^[74] שהוא ראש האחדים^[75] וח' שהוא^[76] כנגד שמונים^[77] בכלל לימין תשעה

$\scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}$

ואם תכפול ט' על ח' יהיה המחובר^[78] ע"ב והנה ב'^[79] לשמאלו^[80] וז' שהוא^[81] כנגד^[82] ע'^[83] לימינו

$\scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}$

ואם תכפול^[84] ט' על^[85] ז'^[86] יהיה המחובר^[87] ס"ג והנה^[88] ג'^[89] לשמאלו וו'^[90] לימינו שהוא כנגד ס'‫^[91]

$\scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}$

ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר^[92] נ"ד והנה^[93] ד' לשמאלו^[94] וה'^[95] שהוא^[96] כנגד נ'^[97] לימינו‫^[98]

ובעבור כי חשבון^[99] חמשה^[100] הוא אמצעי בט' מספרים^[101] על^[102] כן^[103] נקרא חשבון עגול^{[note 6]} כי הוא מתגלגל^[104] על עצמו כי מרובעו^[105] יש בו חמשה‫^[106]

$\scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}$

וכאשר תכפול^[107] ט' על ה'^[108] יתגלגל הדבר בעגול^[109] כי^[110] האחדים יהיו^[111] לימין ט'^[112] והכללים^[113] לשמאלו כי המחובר^[114] הוא^[115] מ"ה והנה הה'^[116] מפאת ימין ט'^[117] והכללים^[118]לשמאלו שהוא^[119] ד'^[120] במקום המ‫'^[121]

$\scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}$

וכאשר תכפול ט' על ד'^[122] יהיה המחובר ל"ו והנה ג'^[123] כנגד שלשים‫^[124]

$\scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}$

וכאשר תכפול ט'^[125] על ג'^[126] יהיה המחובר כ"ז והנה^[127] ב'^[128] כנגד עשרים‫^[129]

$\scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}$

וכאשר תכפול ט'^[130] על ב'^[131] יהיה המחובר י"ח והנה^[132] א' כנגד עשרה‫^[133]

Hence the checking scales are based on modulo 9

על^[134] כן^[135] מאזני מספר^[136] שהוא כפול^[137] על עצמו או על אחר^[138] הם^[139] ט‫'^[140]

The written numerals

‫^[141]על כן^[142] עשו^[143] חכמי הודו כל מספרם^[144] על תשעה^[145] ועשו צורות לט' מספרים^[146]

ואני כתבתי במקומם^[147] א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'^[148]

The written ranks and their writing order

tens

units and tens

והנה לעולם אם^[149] יש בידך^[150] מספר^[151] אחדים^[152] ותחלת^[153] הכללים^[154] שהם עשרות^[155] יכתוב בתחלה^[156] מספר^[157] האחדים^[158] ואחר כך מספר הכלל‫^[159]

tens

ואם אין^[160] לו^[161] מספר האחדים^[162] ויש לו מספר^[163] במעלה השנית שהם^[164] העשרות^[165] ישים^[166] כדמות גלגל^[167]^{[note 7]} בראשונה^[168] להורות^[169] כי אין^[170] במעלה הראשונה^[171] מספר^[172] ויכתוב^[173] המספר^[174] שיש לו בעשרות^[175] אחריו‫^[176]

hundreds

tens and hundreds

ואם הכלל שלו^[177] מהמאות^[178] ומהעשרות^[179] יכתוב גלגל^[180] בראשונה ואחר כך^[181] מספר העשרות^[182] בשנית ומספר^[183] המאות בשלישית‫^[184]

thousands and upwards

ואם^[185] יש לו מספר^[186] אלפים ברביעית^[187] ומספר עשרת^[188] אלפים בחמישית ומספר מאות^[189] אלפים^[190] בששית‫^[191]

Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds

כי א'י'ק'^[192] יחזור^[193] ברביעית לאלפים^[194]^{[note 8]} ובשביעית^[195] לאלף^[196] אלפים ובעשירית לאלף^[197] אלפי אלפים^[198] וככה^[199] עד אין קץ‫^[200]

units and hundreds

ואם יש^[201] לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות^[202]^{[note 9]} יכתוב^[203] מספר^[204] האחדים^[205] בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה^[206] בשלישית

zero – a placeholder digit

ועל זה הדרך^[207] ישים^[208] שנים^[209] גלגלים בראשונה^[210] או כפי מה שיצטרך עד אין חקר^[211] או באמצע‫^[212]

השער הא'^[219]^{[note 10]} לכפול^[220] חשבון על עצמו^[221]^{[note 11]} או על^[222] אחר^{[note 12]} או כפל^[223] חשבון אחד^[224] על שנים^[225] חשבונות^[226]^{[note 13]} או יותר^[227] או כפל^[228] חשבונות^[229] רבים על רבים‫^[230]^{[note 14]}

Chapter Two: division of decades by units; two decades by units; large decades by small decades; decades and units by units; including a discussion on the checking of multiplication and division

השער הב'^[231]^{[note 15]} לחלק^[232] חשבון כלל^[233] על פרט^[234] או שנים^[235] כללים^[236] על פרט אחד^[237] או כללים גבוהים על כללים^[238] שפלים או^[239] כללים ופרטים^[240] על פרטים^[241] גם אדבר על המאזנים^[242]^{[note 16]} של^[243] שער^[244] הכפל^[245] והחלוק‫^[246]

Chapter Three: addition of a number to a number; units to decades or decades to decades

השער הג'^[247]^{[note 17]} בחבור^[248] מספר על^[249] מספר^[250]^{[note 18]} פרט^[251] עם^[252] כלל^[253] או כלל עם^[254] כלל‫^[255]

Chapter Four: subtraction of a number from a number; units from decades or decades from decades; including a discussion on the checking of addition and subtraction

השער הד'^[256]^{[note 19]} לחסר^[257] מספר^[258] ממספר^{[note 20]} פרט^[259] מכלל^[260] או כלל מכלל גם אדבר^[261] על מאזני שער^[262] החבור^[263] והמגרעת‫^[264]

השער הה'^[265] על השברים^[266] והם על^[267] דרכים^[268] רבים שלמים על^[269] שלמים^[270] ונשברים^[271] עמהם או שלמים ונשברים^[272] עם^[273] שלמים^[274] ונשברים^[275] למיניהם^[276] או שברים עם^[277] שברים או שברים^[278] על^[279] שברי^[280] שברים^[281] או שברי שברים^[282] על^[283] שברי^[284] שברים^[285] בין לכפול בין לחלק בין לחבר^[286] בין לגרוע^[287] ומאזניהם‫^[288]

השער הו'^[289] בערכים^[290] והוא שער נכבד מאד^[291] כי ממנו יוכל^[292] להוציא^[293] רובי^[294] השאלות הקשות ורוב^[295] הראיות^[296] מחכמת^[297] המזלות יצאו מזה^[298] הערך‫^[299]

השער הז'^[300] על שרשי^[301] המרובעים והמאזנים^[302] שלהם כי הם רבים^[303] וחכמת המדות תלויה^[304] בשער הזה^[305] וזה^[306] השער^[307] חמור^[308] מכל השערים^[309] ואין^[310] כח במשכיל^[311] לדעת קדרות^[312] המאורות אם לא ילמד^[313] זה^[314] השער^[315] ויתרי^[316] קשתי^[317] העגול^[318] יצאו^[319] מהשער הזה‫^[320]

השער הראשון

$\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}$

כבר הזכרתי איך הם^{[I 1]} מעלות המספר^{[I 2]} והנה^{[I 3]} כשיבואו^{[I 4]} לך שנים^{[I 5]} מספרים לכפול^{[I 6]} כלל על^{[I 7]} כלל

בין שיהיה^{[I 8]} על עצמו‫^{[I 9]}
או^{[I 10]} על אחר‫^{[I 11]}
בקש^{[I 12]} דמיונו במעלה הראשונה ^{[I 13]}וראה כמה^{[I 14]} המחובר מכפל^{[I 15]} זה על זה ושמור^{[I 16]} אותו‫^{[I 17]}
ואחר כך^{[I 18]} ראה כמה מעלות שני^{[I 19]} החשבונות^{[I 20]} בין שיהיה^{[I 21]} במעלה אחת או^{[I 22]} בשתים^{[I 23]} מעלות ודע כמה המחובר ממספר^{[I 24]} שתים^{[I 25]} מעלות^{[I 26]} וגרע לעולם אחד^{[I 27]} למוסד
ובקש במספר^{[I 28]} המעלה^{[I 29]} הנשאר^{[I 30]} במספר^{[I 31]} השמור‫^{[I 32]}

ועוד אדבר על טעם^{[I 33]} המוסד^{[I 34]} בדברי על סוד האחד^{[I 35]} בע"ה‫^{[I 36]}

$\scriptstyle30\times200$

דמיון רצינו^{[I 37]} לכפול שלשים על מאתים

והנה^{[I 38]} דמיון שלשים^{[I 39]} שלשה^{[I 40]} ודמיון^{[I 41]} מאתים שנים‫^{[I 42]}

כפלנו ב'^{[I 43]} על ג' והנה^{[I 44]} עלו^{[I 45]} ששה וזהו^{[I 46]} החשבון השמור‫^{[I 47]}
ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה^{[I 48]} השנית שהם עשרות^{[I 49]} והנה נקח לו^{[I 50]} שנים‫^{[I 51]}
ובעבור כי המאתים^{[I 52]} מהמעלה^{[I 53]} השלישית כי הם^{[I 54]} מאות נקח לו שלשה^{[I 55]} ונחבר עליו^{[I 56]} השנים^{[I 57]} ויהיה^{[I 58]} חמשה
נחסר^{[I 59]} אחד^{[I 60]} למוסד ישארו^{[I 61]} ארבעה וכבר ידענו^{[I 62]} כי המעלה הרביעית^{[I 63]} היא לאלף‫^{[I 64]}
והמספר השמור^{[I 65]} היה^{[I 66]} ששה^{[I 67]} והנה^{[I 68]} העולה^{[I 69]} ששת אלפים‫^{[I 70]}

$\scriptstyle200\times700$

דמיון^{[I 71]} אחר^{[I 72]} בקשנו^{[I 73]} לכפול מאתים על שבע מאות

והנה כפלנו שנים על שבעה^{[I 74]} והנה^{[I 75]} י"ד והוא^{[I 76]} השמור

והנה מאתים^{[I 77]} מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן^{[I 78]} מהמעלה השלישית^{[I 79]} נקח^{[I 80]} להם^{[I 81]} ששה ונחסר^{[I 82]} אחד^{[I 83]} הנה^{[I 84]} חמשה
וראש^{[I 85]} המעלה^{[I 86]} החמישית^{[I 87]} עשרת^{[I 88]} אלפים והשמור היה^{[I 89]} י"ד
הנה נקח במספר^{[I 90]} הזה^{[I 91]} עשרת^{[I 92]} אלפים^{[I 93]} ויהיה^{[I 94]} העולה^{[I 95]} מאה^{[I 96]} אלף^{[I 97]} וארבעים אלף‫^{[I 98]}^{[I 99]}

ועל^{[I 100]} זה הסדר^{[I 101]} תוכל לעשות עד אין קץ‫^{[I 102]}

$\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2$

ואם היו שנים^{[I 103]} מספרים מרחקם^{[I 104]} מחשבון^{[I 105]} כלל כמרחק שנים^{[I 106]} מספרים^{[I 107]} אחרים^{[I 108]} רק^{[I 109]} האחד במגרעת והשני בתוספת‫^{[I 110]}

דע כמה^{[I 111]} מרובע^{[I 112]} מספר^{[I 113]} הכלל^{[I 114]} וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר^{[I 115]} והנשאר הוא^{[I 116]} החשבון^{[I 117]} המבוקש

$\scriptstyle29\times31$

דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א‫^{[I 118]}

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29\times31&\scriptstyle=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)\\&\scriptstyle=30^2-1^2=900-1=899\\\end{align}}}

והנה חשבון^{[I 119]} הכלל הוא^{[I 120]} שלשים ומרובעו^{[I 121]} ט' מאות כי שלשה על שלשה^{[I 122]} הם^{[I 123]} תשעה ^{[I 124]}והיתרון והחסרון^{[I 125]} הוא^{[I 126]} אחד^{[I 127]} ומרובעו אחד^{[I 128]} חסרנום^{[I 129]} ממרובע^{[I 130]} הכלל^{[I 131]} והנשאר הוא המבוקש והוא^{[I 132]} תתצ"ט‫^{[I 133]}

$\scriptstyle66\times54$

דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד‫^{[I 134]}

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle66\times54&\scriptstyle=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)\\&\scriptstyle=60^2-6^2=3600-36=3564\\\end{align}}}

והנה חשבון^{[I 135]} הכלל ס'^{[I 136]} והחסרון והיתרון^{[I 137]} הוא^{[I 138]} ששה והנה מרובע הכלל^{[I 139]} ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע^{[I 140]} החסרון והיתרון^{[I 141]} והנשאר^{[I 142]} הוא המבוקש‫^{[I 143]}

$\scriptstyle250\times350$

‫^{[I 144]}דמיון אחר^{[I 145]} המספר האחד ר"נ והמספר האחר^{[I 146]} ש"נ

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle250\times350&\scriptstyle=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)\\&\scriptstyle=300^2-50^2=90000-2500=87500\\\end{align}}}

והנה הכלל^{[I 147]} הוא^{[I 148]} ש' ומרובעו^{[I 149]} צ'^{[I 150]} אלף נחסר ממנו מרובע^{[I 151]} נ' שהוא^{[I 152]} החסרון והיתרון^{[I 153]} ומספרו^{[I 154]} אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫^{[I 155]}

ועל זה הסדר^{[I 156]} נוכל^{[I 157]} לעשות שאר^{[I 158]} המספרים^{[I 159]} הדומים לאלה^{[I 160]} שהחסרון^{[I 161]} כמו היתרון‫^{[I 162]}

$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2$

‫[note 21]דרך אחרת נכבדת^{[I 163]} שהוצאתי^{[I 164]} בדרך^{[I 165]} השלישית^{[I 166]} שנקח^{[I 167]} שלישית החשבון^{[I 168]} ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו^{[I 169]} והנשאר הוא המבוקש

$\scriptstyle3^2$

‫^{[I 170]}דמיון בקשנו^{[I 171]} לדעת כמה מספר מרובע^{[I 172]} ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1^2\right)-1^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1\right)-1=10-1=9\\\end{align}}}

נקח^{[I 173]} שלישיתו^{[I 174]} שהוא^{[I 175]} אחד ומרובעו^{[I 176]} אחד^{[I 177]} ועשרה^{[I 178]} שהוא הכלל^{[I 179]} הקרוב אליו נחסר ממנו^{[I 180]} מרובע אחד שהוא^{[I 181]} השלישית^{[I 182]} וישאר^{[I 183]} ט' והוא^{[I 184]} המבוקש

$\scriptstyle15^2$

דמיון אחר^{[I 185]} בקשנו לדעת מרובע ט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle15^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot5^2\right)-5^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot25\right)-25=250-25=225\\\end{align}}}

ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה^{[I 186]} בכלל הקרוב אליו^{[I 187]} ר"נ^{[I 188]} חסר^{[I 189]} ממנו מרובע ה' שהוא השלישית^{[I 190]} ישאר^{[I 191]} רכ"ה‫^{[I 192]}

$\scriptstyle24^2$

‫^{[I 193]}דמיון אחר^{[I 194]} בקשנו לדעת כמה^{[I 195]} מרובע כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}

הנה^{[I 196]} שלישיתו^{[I 197]} ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו^{[I 198]} במעלה הגבוהה^{[I 199]} ממנו תר"מ^{[I 200]} נחסר ממנו^{[I 201]} מרובע^{[I 202]} השלישית שהוא ס"ד ישאר^{[I 203]} תקע"ו והוא המבוקש

$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]$

ואם לא היה^{[I 204]} למספר שלישית שלמה ויהיה בו^{[I 205]} תוספת אחד‫^{[I 206]}

חסר^{[I 207]} האחד^{[I 208]} מהמספר^{[I 209]} והוצא^{[I 210]} המספר^{[I 211]} המבוקש כמשפט^{[I 212]} שהראיתיך ומה שיעלה^{[I 213]} הוסף^{[I 214]} עליו המספר שיש לו^{[I 215]} שלישית^{[I 216]} והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש

$\scriptstyle7^2$

דמיון בקשנו לדעת מרובע ז‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13\\&\scriptstyle=\left(10\sdot4\right)-4+13\\&\scriptstyle=40-4+13=36+13=49\\\end{align}}}

והנה אין^{[I 217]} לו^{[I 218]} שלישית חסרנו^{[I 219]} ממנו^{[I 220]} אחד שהוא נוסף^{[I 221]} והנה שלישית^{[I 222]} הנשאר^{[I 223]} שנים ומרובעו ארבעה והנה^{[I 224]} בכלל הקרוב הדומה^{[I 225]} אליו מ'^{[I 226]} נחסר^{[I 227]} ממנו^{[I 228]} ד' שהוא מרובע השלישית^{[I 229]} וישאר^{[I 230]} ל"ו שהוא^{[I 231]} מרובע ו' נחבר אליו^{[I 232]} הו' שיש לו שלישית^{[I 233]} והז' שהיה^{[I 234]} מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר^{[I 235]} מ"ט והוא מרובע ז‫'

$\scriptstyle22^2$

דמיון אחר^{[I 236]} רצינו^{[I 237]} לדעת^{[I 238]} כמה^{[I 239]} מרובע כ"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43\\&\scriptstyle=\left(10\sdot49\right)-49+43\\&\scriptstyle=490-49+43=441+43=484\\\end{align}}}

והנה^{[I 240]} חסרנו אחד ונשאר^{[I 241]} כ"א ושלישיתו^{[I 242]} ז' ומרובעו^{[I 243]} מ"ט והנה^{[I 244]} בכלל^{[I 245]} הקרוב^{[I 246]} אליו^{[I 247]} ת"צ^{[I 248]} נחסר ממנו^{[I 249]} מ"ט שהוא מרובע השלישית^{[I 250]} נשארו^{[I 251]} תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם^{[I 252]} כ"ב מחוברים^{[I 253]} שהם^{[I 254]} מ"ג^{[I 255]} יעלה^{[I 256]} המחובר^{[I 257]} תפ"ד וזהו^{[I 258]} מרובע כ"ב

$\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]$

ואם היו^{[I 259]} שנים^{[I 260]} בין המספר^{[I 261]} שלנו^{[I 262]} ובין^{[I 263]} המספר^{[I 264]} שיש לו שלישית‫^{[I 265]}

נעשה להפך שנוסיף^{[I 266]} על המספר שלנו^{[I 267]} אחד ונדע כמה מרובע^{[I 268]} מספר^{[I 269]} שיש לו שלישית^{[I 270]} ונחסר^{[I 271]} ממנו כמספר^{[I 272]} שיש לו שלישית^{[I 273]} וכמספר^{[I 274]} שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש

$\scriptstyle23^2$

דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע^{[I 275]} כ"ג

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64-47\\&\scriptstyle=640-64-47=576-47=529\\\end{align}}}

והנה בעבור שאין לו^{[I 276]} שלישית שלמה^{[I 277]} נוסיף אחד יהיו^{[I 278]} כ"ד ושלישיתו^{[I 279]} ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו^{[I 280]} תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר^{[I 281]} תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם^{[I 282]} נחסר^{[I 283]} מזה המספר^{[I 284]} מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים^{[I 285]} ויהיה הנשאר^{[I 286]} תקכ"ט והוא המבוקש

The number of steps required for receiving the product:

units by units - one step

ודע כי אם יהיו^{[I 287]} שנים^{[I 288]} מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת

units by two-digit number - two steps

ואם היה^{[I 289]} מספר אחד^{[I 290]} על^{[I 291]} שנים^{[I 292]} מספרים^{[I 293]} אתה צריך לעשות זה פעמים‫^{[I 294]}

units by three-digit number - three steps

ואם על שלשה שלשה‫^{[I 295]}

ועל^{[I 296]} זה המשפט הכל

two-digit number by two-digit number - four steps

ואם הם שני^{[I 297]} מספרים על שני^{[I 298]} מספרים^{[I 299]} אתה צריך^{[I 300]} לעשות^{[I 301]} זה^{[I 302]} ד' פעמים

$\scriptstyle13\times28$

דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times28&\scriptstyle=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)\\&\scriptstyle=200+80+60+24\\&\scriptstyle=280+84=364\\\end{align}}}

והנה^{[I 303]} כפלנו י' על כ' שהוא כלל^{[I 304]} גם י'^{[I 305]} על^{[I 306]} ח'^{[I 307]} עלו^{[I 308]} ר"פ^{[I 309]} ואחר^{[I 310]} כפלנו ג' על כ' גם^{[I 311]} על^{[I 312]} ח' עלו^{[I 313]} פ"ד^{[I 314]} והנה^{[I 315]} הכל^{[I 316]} שס"ד

two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps

ואם היה כלל אחד כולל^{[I 317]} שני^{[I 318]} המספרים^{[I 319]} די לך^{[I 320]} בג' פעמים

$\scriptstyle13\times16$

דמיון בקשנו^{[I 321]} לכפול^{[I 322]} י"ג על י"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times16&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot19\right)+18\\&\scriptstyle=190+18=208\\\end{align}}}

והנה^{[I 323]} י' כולל שני^{[I 324]} המספרים^{[I 325]} והנה נחבר^{[I 326]} ג' עם^{[I 327]} ו'^{[I 328]} עם^{[I 329]} י'^{[I 330]} והנה יהיה^{[I 331]} מספרינו י"ט נכפול^{[I 332]} אותו^{[I 333]} בעשרה עלו^{[I 334]} ק"צ^{[I 335]} נכפול^{[I 336]} שני^{[I 337]} המספרים הקטנים^{[I 338]} שהם^{[I 339]} ג' על ו' יעלו^{[I 340]} י"ח והנה הכל^{[I 341]} ר"ח‫^{[I 342]}

ויש^{[I 343]} שיספיק לך שני^{[I 344]} פעמים לבדם

$\scriptstyle24\times26$

דמיון^{[I 345]} בקשנו לכפול^{[I 346]} כ"ד^{[I 347]} על כ"ו‫^{[I 348]}

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24\times26&\scriptstyle=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(20\sdot30\right)+24\\&\scriptstyle=600+24=624\\\end{align}}}

הנה^{[I 349]} כ'^{[I 350]} כולל שני^{[I 351]} המספרים חברנו ד' עם^{[I 352]} כ"ו שהוא הגדול^{[I 353]} עלה^{[I 354]} המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו^{[I 355]} ת"ר וכפלנו^{[I 356]} הקטנים זה על זה עלו^{[I 357]} כ"ד^{[I 358]} והנה^{[I 359]} המבוקש^{[I 360]} תרכ"ד‫^{[I 361]}

three-digit number by three-digit number - nine steps

ואם^{[I 362]} תכפול ג' מספרים על ג'^{[I 363]} אתה צריך לעשות זה ט' פעמים

ועל זה הסדר^{[I 364]} כל החשבון‫^{[I 365]}

וראה^{[I 366]} אם המספר אחד^{[I 367]} או רבים‫^{[I 368]}

Multiplication of evens and odds

even number by even number - the product is even $\scriptstyle2a\times2b$

אם^{[I 369]} הוא^{[I 370]} מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫^{[I 371]}

the digit of the units indicates if the number is even

וטעם הזוג^{[I 372]} הוא באחדים

every product of ten is even

כי כל כלל הוא זוג‫^{[I 373]}

even number by odd number - the product is even $\scriptstyle2a\times\left(2b-1\right)$

ואם^{[I 374]} המספר האחד^{[I 375]} זוג^{[I 376]} והשני נפרד^{[I 377]} והטעם^{[I 378]} שאינו^{[I 379]} זוג^{[I 380]} איזה מהם^{[I 381]} שיהיה גם המחובר יהיה זוג

odd number by odd number - the product is odd $\scriptstyle\left(2a-1\right)\times\left(2b-1\right)$

ואם המספר^{[I 382]} האחד^{[I 383]} נפרד^{[I 384]} וגם^{[I 385]} כן^{[I 386]} האחר^{[I 387]} גם^{[I 388]} המחובר^{[I 389]} יהיה נפרד‫^{[I 390]}

ודע כי אם היו^{[I 391]} המספרים^{[I 392]} הנכפלים^{[I 393]} אלה^{[I 394]} על אלה רבים אתה צריך לכפול^{[I 395]} אותם^{[I 396]} במכתב^{[I 397]} ט' אותיות שהראיתיך‫^{[I 398]}

the multiplicand of which the highest rank is smaller is written on the top line

והדרך הסלולה^{[I 399]} שתשים טורי המספר המעט^{[I 400]} עליונים^{[I 401]} ופירוש^{[I 402]} המעט^{[I 403]} בחשבון הכלל ולא^{[I 404]} תחוש מן^{[I 405]} הפרטים

the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line

ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול

the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line

ואם^{[I 406]} החשבון שכללו קטן^{[I 407]} הם^{[I 408]} יותר מספרים מחשבון שכללו גדול^{[I 409]} שים אותם^{[I 410]} עליונים ולא תחוש

ואלו^{[I 411]} היית^{[I 412]} עושה להפך לא יזיק^{[I 413]} רק יתבלבל מעט^{[I 414]} על התלמיד‫^{[I 415]}

ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון^{[I 416]} והאחרים^{[I 417]} בטור השפל כפול הראשון^{[I 418]} של^{[I 419]} הטור^{[I 420]} העליון על הראשון^{[I 421]} שבטור^{[I 422]} השפל^{[I 423]} והעולה כתוב^{[I 424]} אותו כנגד הטור^{[I 425]} הראשון^{[I 426]} העליון‫^{[I 427]}

ואחר כן^{[I 428]} כפול המספר^{[I 429]} הראשון^{[I 430]} העליון על המספר^{[I 431]} השני השפל וכתוב בטור השלישי^{[I 432]} כנגד המספר^{[I 433]} השני העליון

וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫^{[I 434]}

The product of two digits is equal to units and tens

ואם כאשר תכפול הראשון העליון^{[I 435]} על שכנגדו בשפל ויתחבר^{[I 436]} במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל^{[I 437]} במספרו^{[I 438]} תכתבנו בחשבון שהוא אחריו

ואחר שתשלים^{[I 439]} לכפול החשבון הראשון של הטור^{[I 440]} העליון על כל מספרי^{[I 441]} הטור^{[I 442]} השפל תחל לכפול^{[I 443]} המספר^{[I 444]} השני של הטור^{[I 445]} העליון על מספר^{[I 446]} הראשון של הטור^{[I 447]} השפל והעולה כתבהו^{[I 448]} בטור השלישי כנגד השני העליון

ואחר^{[I 449]} כן תכפול השני^{[I 450]} העליון על שני^{[I 451]} שבטור השפל ותכתבהו^{[I 452]} בטור השלישי^{[I 453]} במספר השלישי^{[I 454]}^{[note 22]} שהוא שני^{[I 455]} למספר^{[I 456]} שהחלות^{[I 457]} עתה ממנו‫^{[I 458]}

ואחר^{[I 459]} כן תחל במספר השלישי העליון^{[I 460]} לכפול אותו^{[I 461]} על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו^{[I 462]} כנגד טור^{[I 463]} השלישי שהחילות^{[I 464]} ממנו

וככה^{[I 465]} המשפט^{[I 466]} לכלם^{[I 467]} עד^{[I 468]} אין קץ עם משפט^{[I 469]} הפרט^{[I 470]} להיות התחתון^{[I 471]} והכלל^{[I 472]} שיבא^{[I 473]} אחריו בטור^{[I 474]} השני לו

ואם היה^{[I 475]} גלגל בין בטור^{[I 476]} העליון בין^{[I 477]} בטור^{[I 478]} השפל משפטו^{[I 479]} לכתבו במקום^{[I 480]} הראוי לו^{[note 23]} כמשפט כל המספרים שעליו‫^{[I 481]}

ואחר כן תחל^{[I 482]} לחבר^{[I 483]} מה שעלה^{[I 484]} בטור^{[I 485]} העליון עם השפל‫^{[note 24]}

אם^{[I 486]} אין בו^{[I 487]} עשרות^{[I 488]} תכתוב מה שהוא בחבור‫^{[I 489]}

ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו

ואם יש בו^{[I 490]} יותר כתוב^{[I 491]} היותר^{[I 492]} מבחוץ^{[I 493]} בחבור^{[I 494]} שיש לך^{[I 495]} ובמקום העשרה כתוב אחד שני^{[I 496]} לו^{[I 497]} נוסף

וכן תעשה^{[I 498]} לכל היוצאים^{[I 499]} מהטור^{[I 500]} העליון^{[I 501]} והשפל^{[I 502]} והוצא^{[I 503]} הנותר^{[I 504]} מעשרות^{[I 505]} מבחוץ

ואחר שידעת כמה הוא^{[I 506]} המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו^{[I 507]} כמספר מעלות השנים^{[I 508]} טורים העליונים^{[I 509]} ממנו בחסרון אחד^{[I 510]} תדע^{[I 511]} כי חשבונך אמת‫^{[note 25]}

ואם המספר^{[I 512]} האחרון^{[I 513]} בטור העליון הנכפל במספר האחרון^{[I 514]} בטור השפל ממנו^{[I 515]} יוצא אל כלל^{[I 516]}^{[note 26]} יהיה^{[I 517]} מספר^{[I 518]} מעלות הטור^{[I 519]} השלישי^{[I 520]} כמספר שני טורים^{[I 521]} העליונים^{[I 522]} בלי^{[I 523]} מגרעת אחד‫^{[I 524]}

Check: casting out by 9

‫^{[I 525]}ובחן^{[I 526]} באחרונה במאזנים‫^{[I 527]}

וככה^{[I 528]} תעשה‫^{[I 529]}

חשוב^{[I 530]} כל חשבון^{[I 531]} שתמצא בטור העליון באיזו^{[I 532]} מעלה שיהיה^{[I 533]} כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר^{[I 534]} ט' ט' אם^{[I 535]} יותר^{[I 536]} ט'^{[I 537]} או^{[I 538]} פחות ממנו כתוב אותו לבדו^{[I 539]} והוא^{[I 540]} מאזני הטור העליון

ככה^{[I 541]} תעשה למאזני הטור^{[I 542]} השפל עד שתדע כמה המאזנים^{[I 543]} שלו‫^{[I 544]}

וכפול מאזני הטור העליון^{[I 545]} על מאזני הטור השני^{[I 546]} והנכפל^{[I 547]} הוציאהו^{[I 548]} ט' ט' והנשאר^{[I 549]} יהיה^{[I 550]} עמך^{[I 551]} שמור

ואם מאזני אחד מהטורים^{[I 552]} יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫^{[I 553]}

ואחר^{[I 554]} בדוק מאזני^{[I 555]} הטור השלישי וראה אם^{[I 556]} היה שוה^{[I 557]} לשמור חשבונך^{[I 558]} אמת ואם לאו^{[I 559]} הנה^{[I 560]} טעית‫^{[I 561]}

$\scriptstyle127\times355$

‫^{[I 562]}דמיון זה^{[I 563]} רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה

וכתבנו^{[I 564]} קכ"ז בטור העליון^{[I 565]} כזה^{[I 566]} ומספר^{[I 567]} שנ"ה תחתיו אות אות^{[I 568]} במקומו^{[I 569]} כזה‫^{[I 570]}

		א	ב	ז
		ג	ה	ה

	ב	ג	ג	ה
	א	א	ה
	ו	א
ג	ה	ה

המחובר

ד

ה

0

ח

ה

127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}$	127
355		355		355		355
		35		335		2335
				5		15

כפלנו^{[I 571]} ז' על ה' עלו^{[I 572]} ל"ה כתבנו^{[I 573]} ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל'^{[I 574]} במעלה השניה‫^{[I 575]}

עוד כפלנו^{[I 576]} ז' על ה' השני התחתון^{[I 577]} עלו^{[I 578]} ל"ה^{[I 579]} כתבנו^{[I 580]} ה'^{[I 581]} במעלה השנית^{[I 582]} תחת ג'^{[I 583]} וג' בשלישית‫^{[I 584]}
עוד כפלנו^{[I 585]} ז' הראשון^{[I 586]} על ג' התחתון^{[I 587]} עלו^{[I 588]} כ"א כתבנו^{[I 589]} א'^{[I 590]} בשלישית תחת ג'^{[I 591]} וב' ברביעית^{[I 592]}

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}$	127
	355		355		355
	2335		2335		2335
	15		115		115
	1		1		61

עוד^{[I 593]} כפלנו^{[I 594]} ב' האמצעי העליון^{[I 595]} על ה' הראשון^{[I 596]} מן^{[I 597]} התחתון^{[I 598]} עלו^{[I 599]} י' כתבנו^{[I 600]} א' בשלישית^{[I 601]} תחת הא‫'^{[I 602]}

עוד כפלנו^{[I 603]} ב'^{[I 604]} העליון^{[I 605]} על ה'^{[I 606]} השנית^{[I 607]} התחתון^{[I 608]} היו^{[I 609]} גם כן^{[I 610]} י' כתבנו^{[I 611]} א'^{[I 612]} תחת ב'^{[I 613]} ברביעית‫^{[I 614]}
עוד כפלנו^{[I 615]} ב'^{[I 616]} העליון^{[I 617]} על ג'^{[I 618]} התחתון^{[I 619]} והיו^{[I 620]} ו' כתבנו אותו^{[I 621]} תחת א'^{[I 622]} ברביעית‫^{[I 623]}

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}$	127	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}$	127
	355		355		355
	2335		2335		2335
	15		115		115
	61		61		61
	5		55		355

עוד כפלנו^{[I 624]} א' העליון האחרון^{[I 625]} על ה'^{[I 626]} הראשון התחתון^{[I 627]} עלו^{[I 628]} ה'^{[I 629]} כתבנוהו^{[I 630]} בשלישית‫^{[I 631]}

עוד כפלנו^{[I 632]} א'^{[I 633]} על ה'^{[I 634]} השני^{[I 635]} התחתון^{[I 636]} עלו^{[I 637]} ה'^{[I 638]} כתבנוהו^{[I 639]} ברביעית‫^{[I 640]}
עוד כפלנו^{[I 641]} א'^{[I 642]} העליון על ג' התחתון^{[I 643]} היו^{[I 644]} ג' כתבנוהו^{[I 645]} בחמישית^{[I 646]} אחר ב'‫^{[I 647]}

והנה נשלם הכפל‫^{[I 648]}

חברנו^{[I 649]} כל אלו^{[I 650]} המספרים כל^{[I 651]} מה שהוא ממעלה^{[I 652]} אחת יחד^{[I 653]} הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה^{[I 654]} כתבהו^{[I 655]} אחר המעלה ההיא

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{45085\ the\ result}}

ויעלה^{[I 656]} המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫^{[I 657]}

P1050 marg. another method

דרך אחרת יותר קצרה עשויה בשליבה נק' בלשונ' ביריקוקלי ונעשית בזה הדרך שאין כותבי' רק האחדי' שבידך ושומרי' העשרו' לקבצם עם העשרו' מהמספר הבא אחריו וכן ממדרגה למדרגה עושין כן

דמ' תרצה לכפול קכ"ז על שנ"ה תכפול ז' על ה' עלה ל"ה כתו' ה' במדרגת האחדי' ושמור בפיך ובלבבך ל' שהם ג' במדרג' השנית

וכפול ז' על ה' עלו ל"ה וג' עשרו' וג' עשרו' היו בידך בין הכל עלו ל"ח כתו' ח' במדרגה השנית ושמור ג' מאות
עוד כפול ז' על ג' שהם עלו כ"א וג' שהיו בידך היו כ"ד מאו' כתו' ד' במדרגת המאות והכ' שהם ב' אלפי' כתו' במדרגת האלפי' כי עתה אין עוד אות בטור השפל לכפול האות הראשון עמו

עו' תשוב תכפול ב' עם ה' עלו י' והיה ראוי לכותבו תחת העשרות בשורה אחרת תחת הראשונה ולפי שהו' ר"ל י' עשרות שהם מאה כתו' עגול במדרגת העשרו' ושמור אחד שהוא מאה

וכפול ב' על ה' השני עלו י' וא' שהיה שמור הנה י"א כתו' א' במדרגת המאות ובידך שמור א' שהוא אלף
עו' כפול ב' על ג' הנה הם ו' וא' הנה ז' כתו' ו' במדרגת האלפי'

עוד כפול א' על ע ה' וכתו' במדרגת המאות ה'

וא' על ה' השני וכתו' במדרגת האלפי' ה'
וכפול א' על ג' וכתו' במדרגת העשרת אלפי' ג'
וראה ועשה

ואח"כ קבץ הכל בדרך קבוץ וכתו' למטה כאשר אתה רואה

השער השני

Number = a sum of units

דע כי^{[II 1]} כל חשבון הוא חברת האחדים

One

והאחד^{[II 2]} לבדו לא יקבל שנוי^{[II 3]} ולא^{[II 4]} רבוי ולא חלוק

והוא סבת כל^{[II 5]} רבוי ושנוי^{[II 6]} וחלוק

והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו

Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side

והוא יעשה^{[II 7]} בפאה אחת^{[II 8]} מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו

כי שנים^{[II 9]} לחשבון שלשה^{[II 10]} הפאה^{[II 11]} האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה^{[II 12]} האחרת שהיא אחריו ושתי^{[II 13]} הפאות המחוברות^{[II 14]} ששה שהם^{[II 15]} כפל שלשה

וככה כל מספר

והנה האחד^{[II 16]} אין לפניו^{[II 17]} פאה ואחריו^{[II 18]} פאה אחת שהיא שנים^{[II 19]} והם כפל האחד‫^{[II 20]}

ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי^{[II 21]} שבר

Sexagesimal Fractions

12 zodiac signs

ודע כי חכמי המזלות חלקו את^{[II 22]} הגלגל על שנים עשר^{[II 23]} חלקים

reason: 12 lunar months, & 12 is the smallest number that has a half, third, quarter, sixth and half sixth

ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב^{[II 24]} חדשי^{[II 25]} הלבנה^{[II 26]} ואין חשבון^{[II 27]} קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים^{[II 28]} כמוהו כי יש לו אחדים^{[II 29]} שלמים^{[II 30]} בחציו ושלישיתו^{[II 31]} ורביעיתו^{[II 32]} וששיתו וחצי ששיתו‫^{[II 33]}^{[note 27]}

30 degrees in each sign

וחלקו המזל לשלשים^{[II 34]} מעלות

reason: 30 has a half, third, fifth, sixth and tenth

כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית^{[II 35]} ועשירית‫^{[note 28]}

360 degrees of the zodiac

והנה עלה מספר^{[II 36]} מעלות^{[II 37]} הגלגל^{[II 38]} ש"ס‫^{[II 39]}

reason: 360 is close to the number of days in one year & it has a half, third, quarter, fifth, sixth, eighth, ninth, and tenth

וזה המספר^{[II 40]} יש^{[II 41]} לו חצי ושלישית^{[II 42]} ורביעית^{[II 43]} וחמישית^{[II 44]} וששית ושמינית ותשיעית ועשירית^{[II 45]} והנה לא^{[II 46]} יחסר לו רק^{[II 47]} השביעית‫^{[note 29]}

וכאשר תכפול זה המספר^{[II 48]} על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫^{[II 49]}

multiplication of degrees by degrees = degrees

והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות^{[II 50]} על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם^{[II 51]} אחדים^{[II 52]} שלמים

division of degrees by degrees = degrees

וככה כאשר יחלקו^{[II 53]} מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק^{[II 54]} מעלות שהם אחדים שלמים‫^{[II 55]}

ועתה אתן לך כלל^{[II 56]} איך תחלק^{[II 57]} כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים

כתוב אותם^{[II 58]} בטור אחד כל אחד כפי^{[II 59]} מעלתו ואחר כך^{[II 60]} כתוב^{[II 61]} החשבון שתחלק עליו בטור^{[II 62]} אחר^{[II 63]} בין שיהיה^{[II 64]} מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו^{[II 65]} ויהיה כל חשבון^{[II 66]} לפי מעלתו^{[II 67]} כנגד כל^{[II 68]} חשבון^{[II 69]} כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור^{[II 70]} העליון והטור^{[II 71]} השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי^{[II 72]} ביניהם^{[II 73]} בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫^{[II 74]}

וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו^{[II 75]} וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫^{[II 76]}

ולא^{[II 77]} כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל

ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל^{[II 78]} לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור^{[II 79]} העליון

ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור^{[II 80]} השפל^{[II 81]}

וחשוב שנים^{[II 82]} המספרים^{[II 83]} אע"פ שהם כללים חשוב^{[II 84]} אותם^{[II 85]} כמו אחדים^{[note 30]}

והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר^{[II 86]} האחרון מהטור השפל^{[II 87]} מהמספר הראשון בין שיהיו^{[II 88]} בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב^{[II 89]} אחורנית^{[note 31]} ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון

ואם ישאר במספר האחרון^{[II 90]} חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים^{[II 91]} השב אחורנית המספר הנשאר למעלה^{[II 92]} הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל^{[II 93]} אחד עשרה

ואחר כך חלק על המספר^{[II 94]} שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו^{[II 95]} אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני^{[II 96]} מה שעלה בחלוק בראשונה

ככה תעשה תמיד עד שתגיע^{[II 97]} אל המספר^{[II 98]} שהוא פחות מהמחולק עליו^{[II 99]} ואותו הנשאר תכתבנו^{[II 100]} למעלה מהטור^{[II 101]} העליון כפי מעלתו ובשער החמישי^{[II 102]} אפרש לך מה שתעשה^{[II 103]} ממנו

דמיון^{[II 104]} בקשנו לחלק ט' אלפים על ע' בזאת הצורה‫^{[II 105]}

0	0
ב	ו	ד
ט	0	0	0
	א	ב	ח
		ז	0

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle128\ the\ result\\&\scriptstyle40\ the\ remainder\\\end{align}}}

הנה נשים ע'^{[II 106]} בטור השפל^{[II 107]} כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה^{[II 108]} נתן לו^{[II 109]} א' ונכתבנו^{[II 110]} במעלה השנית^{[II 111]} אחורנית מהמספר^{[II 112]} האחרון שהוא בטור הראשון^{[II 113]} כי ע' הוא שני לטור השפל^{[note 32]} ונכתבנו^{[II 114]} באמצע ונשארו לנו^{[II 115]} שנים

נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק^{[II 116]} על ז' והנה נתן^{[II 117]} לו^{[II 118]} ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה^{[note 33]} ונשארו לנו ו‫'
נשיבהו^{[II 119]} אחורנית יהיו^{[II 120]} ששים נחלקנו^{[II 121]} על ז' נתן לו^{[II 122]} ח' תכתבהו^{[II 123]} אחורנית^{[note 34]}
ונשארו לנו ד'^{[II 124]} והם במעלה השנית והם מ'^{[II 125]} והמספר המחולק עליו^{[II 126]} גדול ממנו^{[II 127]}

ואם היה המספר באחדים^{[II 128]} המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב^{[II 129]} מאותו מקום^{[II 130]} וכפי מרחק^{[II 131]} המספר המחולק עליו תשיב^{[II 132]} אחורנית^{[II 133]} ועשה^{[II 134]} כמשפט

דמיון בקשנו^{[II 135]} לחלק כ' אלף על צ' בזאת הצורה‫^{[II 136]}

	0	0
0	ב	ב	ב
ב	0	0	0	0
		ב	ב	ב
			ט	0

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle222\ the\ result\\&\scriptstyle20\ the\ remainder\\\end{align}}}

והנה^{[II 137]} בעבור כי מספר^{[II 138]} ט' גדול מב' נשיבהו^{[II 139]} אחורנית^{[II 140]} והם^{[II 141]} כ' נחלקם^{[II 142]} על ט' והנה^{[II 143]} ב' נכתבנו^{[II 144]} במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו^{[II 145]} ונשארו ב‫'^{[II 146]}

נשיבם^{[II 147]} אחורנית במעלה השלישית^{[II 148]} והם^{[II 149]} כ' נחלקם^{[II 150]} על ט'^{[II 151]} והנה^{[II 152]} ב' ונשארו^{[II 153]} ב‫'^{[II 154]}
נשיבם אחורנית במעלה השנית^{[II 155]} והם עשרים נחלק על ט'^{[II 156]} והנם^{[II 157]} ב'^{[II 158]} ונשארו^{[II 159]} ב' שהם עשרים כי הם^{[II 160]} במעלה השנית בטור העליון^{[II 161]} וזה המספר^{[II 162]} פחות ממספרנו^{[II 163]} על^{[II 164]} כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים^{[II 165]} כי לא יצא לחוץ

ואם היה גלגל^{[II 166]} באחד המקומות^{[II 167]} ולא^{[II 168]} תוכל^{[II 169]} לחלק על המספר המחולק^{[II 170]} השב אחורנית מהגבוה^{[II 171]} ממנו

דמיון בקשנו^{[II 172]} לחלק^{[II 173]} ד' אלפים ול"ב על שלשים‫^{[II 174]}

0	0
א	א	א
ד	0	ג	ב
	א	ג	ד
		ג	0

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle134\ the\ result\\&\scriptstyle12\ the\ remainder\\\end{align}}}

חלקנו ד' על ג'^{[II 175]} ועלה בידינו א'^{[II 176]} וכתבנוהו אחורנית במעלת^{[II 177]} המאות כי הוא שני לו^{[II 178]} נשאר^{[II 179]} לנו^{[II 180]} עוד^{[II 181]} א‫'^{[note 35]}

נשיבהו^{[II 182]} אחורנית במעלת^{[II 183]} המאות^{[note 36]} והיו^{[II 184]} י'^{[II 185]} נחלקנו^{[II 186]} על ג' ועלה בחלוק^{[II 187]} ג' נשאר^{[II 188]} לנו א‫'^{[II 189]}
השבנוהו^{[II 190]} אחורנית במעלת העשרות ויהיו^{[II 191]} י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה^{[II 192]} השנית^{[II 193]} היו^{[II 194]} י"ג^{[II 195]} חלקנו אותו^{[II 196]} על ג' ונתנו^{[II 197]} לו^{[II 198]} ד'^{[II 199]} נשאר^{[II 200]} לנו^{[II 201]} א‫'^{[II 202]}
השיבונוהו^{[II 203]} אחורנית^{[II 204]} במעלה הראשונה^{[II 205]} היו^{[II 206]} י"ב^{[II 207]} שלא^{[II 208]} יתחלקו כי הנשאר^{[II 209]} פחות מאותו^{[II 210]} המחולק^{[II 211]} עליו וכבר^{[II 212]} יצא לחוץ

וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני^{[II 213]} מספרים או מספרים^{[II 214]} רבים על מספר אחד או על שני^{[II 215]} מספרים^{[II 216]} או על^{[II 217]} שלשה או על^{[II 218]} רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה

תן לאחרון שבטור השפל מן הטור^{[II 219]} העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר^{[II 220]} האחרון שבטור העליון ותן^{[II 221]} לראשון מן הטור^{[II 222]} השפל שהוא ראשון לאחרון^{[note 37]} ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר^{[II 223]} הטור השפל שהוא לפני האחרון

ואם לא תוכל לעשות^{[II 224]} ככה שוב וגרע ממספרך^{[II 225]} שנתת לו בתחלה וכשאתה צריך לקחת מהטור^{[II 226]} שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות

ככה תעשה לכל המעלות

ואם^{[II 227]} היה באחת ממעלות^{[II 228]} הטור העליון גלגל השב מן הגבוה^{[II 229]} ממנו אחורנית^{[II 230]} בעשרות וקח ממנו^{[II 231]} מה שצריך לו

ואם היו שני^{[II 232]} גלגלים במעלות^{[II 233]} הטור העליון ובמעלות^{[II 234]} הטור השפל מספרים^{[II 235]} תשיב^{[II 236]} אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר^{[II 237]} הגלגל האחרון^{[II 238]} ותקח מהם^{[II 239]} מה שתצטרך^{[II 240]} ומהנשאר^{[II 241]} תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך^{[II 242]} בכפל^{[II 243]} המספר שהוא^{[II 244]} בטור השפל מן המעלה^{[II 245]} שהיא ראויה לקחת ממנה‫^{[II 246]}

דמיון זה‫^{[II 247]}

	0
0	א	ט
א	ב	0
ב	א	ה	ד
ח	ב	א	ג
		ב	ג
	ג	ה	ג

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{12-\left({\color{red}{2\times5}}\right)=12-10=2}}$	1	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{11-\left({\color{red}{2\times3}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}}$	1
		2		2		215
8213		8213		8213		8213
		2		2		2
353		353		353		353

ד'ט'^{[II 248]} שכתבנו הוא^{[II 249]} הנשאר^{[II 250]} מן החשבון^{[II 251]} ^{[II 252]}שלא יתחלק‫^{[II 253]}

והנה^{[II 254]} כאשר^{[II 255]} חלקנו ח' שהוא^{[II 256]} אחרון בטור העליון על^{[II 257]} ג' שהוא אחרון^{[II 258]} בטור השפל והנה נתנו^{[II 259]} לו שנים ובעבור שהיה^{[II 260]} הג'^{[II 261]} שבטור השפל שלישי^{[II 262]} החזרנו^{[II 263]} לשלישי^{[II 264]} ממנו אחורנית והגיע למעלת^{[II 265]} העשרות ונשאר לנו במספר הח'^{[II 266]} שנים
והנה הנחנו שם אחד^{[II 267]} כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד^{[II 268]} אצל השנים והיו^{[II 269]} י"ב וחסרנו^{[II 270]} ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב‫'^{[II 271]}
נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו^{[II 272]} י"א נסיר ממנו ו'^{[II 273]} לג' שהוא ראשון שבטור^{[II 274]} השפל^{[II 275]} נשארו ה‫'^{[II 276]}
והנה^{[II 277]} לכל הג' השפלים מה שראוי להם

נשוב^{[II 278]} לחלק כי נשאר^{[II 279]} לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫'

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{2}}}}}$		$\xrightarrow{25-\left({\color{red}{3\times5}}\right)=25-15={\color{green}{10}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{10-1={\color{green}{9}}}_{13-\left({\color{red}{3\times3}}\right)=13-9={\color{green}{4}}}}$	0
	0		01		019
	12		120		120
	215		215		2154
	8213		8213		8213
	23		23		23
	353		353		353

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle23\ the\ result\\&\scriptstyle94\ the\ remainder\\\end{align}}}

נשיב הא' שהוא^{[II 280]} על הח'^{[II 281]} אחורנית על א' אשר על הב'^{[II 282]} יהיו^{[II 283]} י"א נחלק אותם על ג' שהוא^{[II 284]} בטור^{[II 285]} השפל יהיו ג'^{[II 286]} ונכתבנו^{[II 287]} כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים^{[II 288]} ונשארו^{[II 289]} לנו ב‫'

נשיבם על הה'^{[II 290]} אחורנית^{[II 291]} יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי^{[II 292]} שבטור השפל^{[II 293]} ט"ו ונשארו^{[II 294]} עשרה
נשיב אחד אחורנית על הג'^{[II 295]}^{[note 38]} וישארו ט' והא' עם הג'^{[II 296]} י"ג^{[II 297]} ונקח^{[II 298]} מהם^{[II 299]} ט'^{[II 300]} וישארו^{[II 301]} ד‫'^{[II 302]}
וט' על הה'^{[II 303]} כי לא יכולנו^{[II 304]} לקחת בראשונה^{[II 305]} הג' מהי'^{[II 306]} אע"פ שיספיק לו^{[II 307]} כי אינו מעלתו עכשיו^{[II 308]} אע"פ שלקח ממנו בראשונה^{[II 309]} כי בראשונה^{[II 310]} היה^{[II 311]} שלישי^{[II 312]} לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן^{[II 313]} הב'^{[II 314]} א'^{[II 315]} ואחר שהוא שלישי צריך הוא^{[II 316]} שיקח^{[II 317]} ממעלתו^{[II 318]} השלישית^{[II 319]}^{[II 320]} והנה^{[II 321]} הנשאר^{[II 322]} ד' ט‫'^{[II 323]}

דמיון אחר^{[II 324]}

	ב
	ג	0
0	ה	א
ג	ו	0	ה
ט	ג	ח	א
		ג	א
	ב	ט	ו

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{3}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle33-\left({\color{red}{3\times9}}\right)=33-27={\color{green}{6}}}$	0	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{6-1={\color{green}{5}}}_{18-\left({\color{red}{3\times6}}\right)=18-18={\color{green}{0}}}}$	05
		3		36		360
9381		9381		9381		9381
		3		3		3
296		296		296		296

באנו^{[II 325]} לחלק^{[II 326]} ט'^{[II 327]} על שנים^{[II 328]} והנה לא יכולנו^{[II 329]} לתת לו ד' כי לא ישאר^{[II 330]} אלא א' וכאשר תשיבהו^{[II 331]} אחורנית הנה^{[II 332]} עם הג'^{[II 333]} י"ג וט' ד' פעמים ל"ו^{[II 334]} על כן^{[II 335]} נתן לו ג' נשארו^{[II 336]} ג‫'

נשיבם כלם^{[II 337]} אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו^{[II 338]} שם^{[II 339]} ל"ג נתן לט'^{[II 340]} ג' יהיו^{[II 341]} כ"ז נשארו^{[II 342]} ו' על הג‫'^{[II 343]}
נקח^{[II 344]} מהם א'^{[II 345]} ונניח ה' נשיבהו^{[II 346]} על הח' שהוא שלישי^{[II 347]} לאחרון^{[II 348]} שבטור העליון ועם הח' יהיו^{[II 349]} י"ח נתן^{[II 350]} אותם^{[II 351]} כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב^{[II 352]} על הח' גלגל לפי שלא נשאר^{[II 353]} על הח'^{[II 354]} מאומה

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{10-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=10-9={\color{green}{1}}}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{11-\left({\color{red}{1\times6}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}$	2
	3		3		30
	05		051		051
	360		360		3605
	9381		9381		9381
	31		31		31
	296		296		296

נשוב לחלק שעדין^{[II 355]} לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא^{[II 356]} אחד נכתוב^{[II 357]} זה האחד^{[II 358]} על הו' אחרי הג' ששמנו על הט'^{[II 359]} בחלוק הראשון^{[II 360]} והוא שלישי^{[II 361]} בטור השפל וכבר יצא לחוץ

נקח מן הג'^{[II 362]} שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור^{[II 363]} השפל ט' נשאר על הגלגל א‫'
נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון^{[II 364]} בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו^{[II 365]} ה' על הא‫'

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle31\ the\ result\\&\scriptstyle205\ the\ remainder\\\end{align}}}

הנה^{[II 366]} הנשארים^{[II 367]} על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה^{[II 368]} ולא יתחלקו יותר^{[II 369]} שהג' שבטור^{[II 370]} השפל הם רצ"ו^{[II 371]} והנלקח לכל אחד ל"א

דמיון אחר

	א	0
0	ח	א	ח
ב	ד	ד	ב
ג	ה	ו	ד
ה	ד	0	ט	ג
			א	ח
	ב	ט	ד	ה

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{14-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=14-9={\color{green}{5}}}}$	2	$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{5-1={\color{green}{4}}}_{10-\left({\color{red}{1\times4}}\right)=10-4={\color{green}{6}}}}$	24	$\scriptstyle\xrightarrow{9-\left({\color{red}{1\times5}}\right)=9-5={\color{green}{4}}}$	24
		3		35		356		3564
54093		54093		54093		54093		54093
		1		1		1		1
2945		2945		2945		2945		2945

בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל^{[II 372]} לתת לו^{[note 39]} ב'^{[II 373]} לא^{[II 374]} נוכל^{[II 375]} שלא^{[II 376]} ישאר כי אם^{[II 377]} א' וד'^{[II 378]} והם^{[II 379]} י"ד^{[II 380]} ויש לנו^{[II 381]} לחלק על ט'^{[note 40]} ב' פעמים^{[II 382]} אך נתן^{[II 383]} לו^{[II 384]} א' ונשים אותו^{[II 385]} כנגד ט'^{[II 386]} שהם^{[II 387]} בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים^{[II 388]} בטור^{[II 389]} השפל^{[II 390]} שהוא^{[II 391]} רביעי לה' ראש^{[II 392]} שבטור^{[II 393]} השפל נשארו ג' על^{[II 394]} הה‫'^{[II 395]}

נקח מהם אחד^{[II 396]} ישארו^{[II 397]} ב' על הה'^{[II 398]} נשיבהו^{[II 399]} אחורנית על הד' יהיו י"ד^{[II 400]} יקח^{[II 401]} ט'^{[II 402]} ישארו ה‫'
יש^{[II 403]} לד'^{[II 404]} שבטור^{[II 405]} השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא^{[II 406]} ולא נוכל כי השלישי^{[II 407]} שבטור העליון גלגל הוא^{[II 408]} נשיב^{[II 409]} מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל^{[II 410]} יהיו י' יקח^{[II 411]} ד' ישארו^{[II 412]} ו' על הגלגל
יקח הה'^{[II 413]} שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי^{[II 414]} יקח^{[II 415]} מהרביעי שבטור^{[II 416]} העליון שהוא ט' ישארו^{[II 417]} על ט'^{[II 418]} ד‫'

נשוב^{[II 419]} לחלק כי עדין לא יצא^{[II 420]} והנשארים ג' מן הטור^{[II 421]} העליון שהוא ראשון וחמישי^{[II 422]} ועל הט' ד'^{[II 423]} ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'^[321]

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24\div2={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{8}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{8-7={\color{green}{1}}}_{76-\left({\color{red}{8\times9}}\right)=76-72={\color{green}{4}}}}$	1	$\scriptstyle\xrightarrow{44-\left({\color{red}{8\times4}}\right)=44-32={\color{green}{12}}}$	1	$\xrightarrow{\scriptstyle^{12-4={\color{green}{8}}}_{43-\left({\color{red}{8\times5}}\right)=43-40={\color{green}{3}}}}$	10
	08		08		081		0818
	24		244		2442		2442
	3516		3516		3516		3516
	54093		54093		54093		54093
	18		18		18		18
	2945		2945		2945		2945

נשיב^{[II 424]} הב' על הד' והם כ"ד נתן^{[II 425]} לב' שהוא רביעי שבטור^{[II 426]} השפל ח'^{[II 427]} נשארו^{[II 428]} ח' על הד‫'

נשיב^{[II 429]} מהם ז' על הו'^{[II 430]} אחורנית^{[II 431]} וא' נשאר על הד' ויהיו^{[II 432]} ע"ו נקח^{[II 433]} לט'^{[II 434]} ע"ב נשארו^{[II 435]} ד' במקום הו‫'
אם^{[II 436]} נשיב מהם ג'^{[II 437]} ואמת^{[II 438]} כי הד' שבטור^{[II 439]} השפל יוכלו לקחת^{[II 440]} מהג'^{[II 441]} עם הד' שאחריהם^{[II 442]} שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב^{[II 443]} אותו על הג'^{[II 444]} יהיו כ"ג לבד^{[II 445]} ויש לה'^{[II 446]} שיקחו^{[II 447]} מ‫'^{[II 448]}
לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל^{[II 449]} שבטור העליון והם מ"ד יקחו^{[II 450]} הד' ל"ב^{[II 451]} נשארו^{[II 452]} י"ב
נקח מהם ד'^{[II 453]} כי לא יהיה די^{[II 454]} לנו^{[II 455]} בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם^{[II 456]} הג'^{[II 457]} הם^{[II 458]} מ"ג^{[II 459]} יקחו^{[II 460]} הה' מ‫'^{[II 461]}

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle18\ the\ result\\&\scriptstyle1083\ the\ remainder\\\end{align}}}

ישארו^{[II 462]} ג' על^{[II 463]} הג' וח' על הט'^{[II 464]} שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים^{[II 465]} וא' על^{[II 466]} הרביעי שהוא על הד'^{[II 467]} שהוא אלף^{[II 468]} ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫^{[II 469]}

דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים^{[II 470]} וט' מאות וכ"א^{[II 471]} על ז' אלפים ונ"ג^{[II 472]} וזהו הדמיון‫^{[II 473]}

			ד
0	ה	ד	ז	ד
ו	ח	ט	ב	א
				ט
	ז	0	ה	ג

	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{68\div7={\color{blue}{9}}+r{\color{green}{5}}}}}$		$\xrightarrow{\scriptstyle^{9-5={\color{green}{4}}}_{52-\left({\color{red}{9\times5}}\right)=52-45={\color{green}{7}}}}$		$\scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{7-3={\color{green}{4}}}_{31-\left({\color{red}{9\times3}}\right)=31-27={\color{green}{4}}}}$	4
		05		0547		05474
68921		68921		68921		68921
		9		9		9
7053		7053		7053		7053

ז'^{[II 474]} שהוא רביעי^{[II 475]} בטור השפל לא יוכל^{[II 476]} לקחת מו'^{[II 477]} שהוא חמישי בטור העליון ומאחר^{[II 478]} שלא נוכל^{[II 479]} לתת לז' כל^{[II 480]} הצורך‫^{[II 481]}

נשיב אותו^{[II 482]} כלו^{[II 483]} אחורנית^{[II 484]} על הח' ויהיו^{[II 485]} ס"ח הנה^{[II 486]} חלקנו מן הח'^{[II 487]} שהוא רביעי לטור העליון^{[II 488]} נתן לז'^{[II 489]} ט'^{[II 490]} נוציאנו^{[II 491]} לחוץ^{[II 492]} על הג'^{[II 493]} שהוא רביעי בטור^{[II 494]} השפל נשארו^{[II 495]} ה' על הח‫'^{[II 496]}
הנה^{[II 497]} השני לז' לא יקח מאומה^{[II 498]} כי הוא גלגל
יש לה'^{[II 499]} שיקח^{[II 500]} מן ב'^{[II 501]} הרביעי^{[II 502]} בטור העליון שהוא שלישי לחלוק^{[II 503]} לא^{[II 504]} יוכל^{[II 505]} לקחת
נקח^{[II 506]} מן הט' שאחריו ה' נשיבם^{[II 507]} על הב'^{[II 508]} יהיו^{[II 509]} נ"ב^{[II 510]} וד' נשאר^{[II 511]} על הט' והה' מנ"ב^{[II 512]} יקחו מ"ה^{[II 513]} ישארו^{[II 514]} ז' על הב‫'^{[II 515]}
מן^{[II 516]} הז' נקח ג' ונשיבם^{[II 517]} אחורנית על א'^{[II 518]} והם^{[II 519]} ל"א יקחו ג' כ"ז^{[II 520]} נשאר^{[II 521]} ד' על א‫'^{[II 522]}

דמיון אחר^{[II 523]} נרצה^{[II 524]} לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט‫'^{[II 525]}

	0		ג
	א	א	ד	ו
0	ז	ז	ז	ג	0
ו	ח	0	ד	0	ב
			ג	ג	ח
		ב	0	0	ט

מספרים על מספרים^{[II 526]} שיהיה^{[II 527]} בטור העליון^{[II 528]} ב'^{[II 529]} גלגלים וכן בטור השפל

נתן^{[II 530]} לב' הרביעי בטור^{[II 531]} השפל ג' מהו' הששי^{[II 532]} בטור^{[II 533]} העליון

הנה^{[II 534]} הגלגל שני^{[II 535]} בטור השפל יש לו שיקח^{[II 536]} מן הח' ולא יקח כלום

והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח^{[II 537]} מן הגלגל^{[II 538]} השלישי בטור^{[II 539]} העליון ולא יוכל^{[II 540]} לקחת

יש^{[II 541]} לט' הראשון^{[II 542]} בטור השפל לקחת^{[II 543]} מד' שבטור העליון לא^{[II 544]} יוכל^{[II 545]} צריכין^{[II 546]} אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו^{[II 547]} נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב^{[II 548]} על הח' ז' והא' שהשיבונו^{[II 549]} אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד^{[II 550]} לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג'^{[II 551]} הם ל'^{[II 552]} על הד‫'^{[II 553]}

נשארו^{[II 554]} ז' במקום ד'^{[II 555]} וגלגל ושנים הראשונים^{[II 556]} שבטור^{[II 557]} העליון וז' שעל הגלגל וז'^{[II 558]} שעל הח‫'

עוד נשוב^{[II 559]} לחלק שהרי לא^{[II 560]} יצא^{[II 561]} נקח^{[II 562]} לו^{[II 563]} ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו^{[II 564]} תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫'

ונשאר א' על הח‫'^{[II 565]}

יש לגלגל שיקח מן הגלגל^{[II 566]} לא יוכל‫^{[II 567]}

ויש לגלגל^{[II 568]} שאחריו^{[II 569]} שיקח^{[II 570]} ממעלתו שהיא^{[II 571]} הז' שעל^{[II 572]} הד' לא^{[II 573]} יוכל

יש לט'^{[II 574]} שיקח^{[II 575]} מן הגלגל^{[II 576]} שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי^{[II 577]} לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא^{[II 578]} יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם^{[II 579]} מעלתו נשיב מן הז' שעל^{[II 580]} הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫'

נשארו ג' על הגלגל וד' על הד'^{[II 581]} לפניו^{[II 582]} וז' על הגלגל שהוא לפני הח'^{[II 583]} וא'^{[II 584]} על הח‫'

נשוב^{[II 585]} לחלק שעדין^{[II 586]} לא יצא לחוץ הנה^{[II 587]} מן הא' לא יוכל לקחת^{[II 588]} האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם^{[II 589]} י"ז נתן לו ח'^{[II 590]} נוציאם לחוץ אחרי^{[II 591]} הג' כי הוא^{[II 592]} רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו

ושם נשאר^{[II 593]} א‫'

הנה^{[II 594]} יש^{[II 595]} לגלגל שיקח^{[II 596]} מן הד' ולא יקח

גם^{[II 597]} יש לגלגל האחר שיקח מן הג'^{[II 598]} שעל הגלגל שבטור^{[II 599]} העליון ולא יקח‫^{[II 600]}

ויש לט' שיקח^{[II 601]} מן הב'^{[II 602]} ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן^{[II 603]} לב' הראשון לגלגל^{[II 604]} אין לו מה שיספיק לו^{[II 605]} כי אין לו אלא^{[II 606]} ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל^{[II 607]} עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל^{[II 608]} בט‫'

ונכתוב^{[II 609]} גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום^{[II 610]} ועל הגלגל שהוא שני לב'^{[II 611]} נשארו ו' וג'^{[II 612]} על ד'^{[II 613]} וא'^{[II 614]} על הגלגל שהוא^{[II 615]} שני^{[II 616]} לח' ואלה נשארו^{[II 617]} שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף^{[II 618]} וג' מאות וס'^{[II 619]} והמחולק עליו הוא אלפים וט‫'

דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו^{[II 620]} מאין^{[II 621]} גלגל

ובראשונה אפרש^{[II 622]} כי לעולם כשיתרחק^{[II 623]} חשבון מחשבון והטעם שיכתב^{[II 624]} גלגל באמצע כדמיון זה^{[II 625]} ג0ב^{[II 626]} ^{[II 627]}לא נאמר נשיב הב'^{[II 628]} אל הג'^{[II 629]} או כמה^{[II 630]} שיצטרך^{[II 631]} לפי החשבון^{[II 632]} שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב'^{[II 633]} או האחד^{[II 634]} אל^{[II 635]} הגלגל ואז נחלק כמשפט‫^{[II 636]}

ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫^{[II 637]}

כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫^{[II 638]}

דמיון בקשנו לחלק חשבון^{[II 639]} ט' שביעיות^{[II 640]} על ד' תשיעיות‫^{[II 641]}

				0
			0	א
			א	ה	ה
		0	ח	ו	ו
		א	ט	ג	0
		ז	ה	ה	ה	ה
	0	ח	ח	ו	ו	ו
	א	ד	ט	ב	ג	0
	ז	ז	ה	ה	ה	ה	ו
0	ח	ח	ח	א	א	ב	0
א	ד	ד	ד	ד	ד	ד	ה	ב
ז	ז	ז	ז	ז	ז	ז	ז	ז
				ז	ז	ז	ח	ה
					ט	ט	ט	ט

הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ^{[II 642]} איכה^{[II 643]} תחלק^{[II 644]} אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'^{[II 645]}

First version

תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון^{[II 646]} ותחלה כשתחל^{[II 647]} לחלק תתן לט'^{[II 648]} ז' ותכתבנה אחורנית^{[II 649]} במעלת^{[II 650]} הד' שתחלק^{[II 651]} ממנו שהוא שני לט‫'

והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז'^{[II 652]} ובשלישי^{[II 653]} לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫'

נשוב לחלק נשיב^{[II 654]} הז'^{[II 655]} שהוא בשני אל השלישי אחורנית^{[II 656]} ונחלק^{[II 657]} ממנו^{[II 658]} ונכתוב ז' תחת ז' ששי^{[II 659]} שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז'^{[II 660]} ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה'^{[II 661]} ואחריו ד‫'

נשוב^{[II 662]} לחלק נשיב ז'^{[II 663]} על הח'^{[II 664]} ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה^{[II 665]} שתשאיר^{[II 666]} ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי^{[II 667]} לחלוק‫^{[II 668]}

נשוב לחלק נשיב^{[II 669]} ח' על ה' ונתן ח'^{[II 670]} תחת השמיני^{[II 671]} שהוא ז'^{[II 672]} רביעי^{[II 673]} לחלוק ישאר ה' על ה'^{[II 674]} ואחריו^{[II 675]} ה' ואחריו ה'^{[II 676]} ואחריו ה‫'^{[II 677]}

נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית^{[II 678]} ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר^{[II 679]} ה' ואחריו ה' ואחריו ו'^{[II 680]} ואחריו ב‫'^{[II 681]}

ועוד לא יתחלק כי כבר יצא^{[II 682]} לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב^{[II 683]} והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט^{[II 684]} והמקובל^{[II 685]} ע"ז אלף^{[II 686]} וז' מאות ופ"ה‫^{[II 687]}

וכלל חלוק החשבון ג'^{[II 688]} זיינין וג'^{[II 689]} חיתין וג'^{[II 690]} דלתין^{[II 691]} וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫^{[II 692]}

והכלל כי עם^{[II 693]} כל^{[II 694]} החלוקים ד' חוץ^{[II 695]} מן האחרון שנתמעט עד ג‫'

Second version

לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן^{[II 696]} לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד תניח מהם ז'^{[II 697]} לחלוק שני^{[II 698]} והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על^{[II 699]} הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'

נמצא שנשארו^{[II 700]} לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז‫'^{[II 701]}

החלוק השני תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן^{[II 702]} לו ז' כמו כן וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'

נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז‫'^{[II 703]}

החלוק השלישי^{[II 704]} תשיב^{[II 705]} ז' לאחור ויהיו ע"ח חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא^{[II 706]} יותר וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז'^{[II 707]} שימהו לאחור אל הה'^{[II 708]} ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו^{[II 709]} לאחור אל ד'^{[II 710]} ויהיו ע"ד וחלקם^{[II 711]} על ט' שלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק הרביעי^{[II 712]} והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'

ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח‫'

חלוק הרביעי^{[II 713]} שים ח'^{[II 714]} אחורנית^{[II 715]} על הה' ויהיו פ"ה תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי^{[II 716]} והח'^{[II 717]} שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם^{[II 718]} על הט'^{[II 719]} השני וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי^{[II 720]} והח'^{[II 721]} שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז'^{[II 722]} ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה‫'

ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה‫'

חלוק חמישי שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה תן מהם ה' על הט' הראשון^{[II 723]} וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'^{[II 724]} תשלח אחורנית אל הה' השלישי^{[II 725]} ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'^{[II 726]} שלחהו^{[II 727]} אל ה'^{[II 728]} הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן^{[II 729]} וישארו י' תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו^{[II 730]} אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן

וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'^{[II 731]}

Check

והנה נשלים^{[II 732]} לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫^{[II 733]}

casting out by 9

דע מאזני המספר^{[II 734]} שחלקת עליו בין שיהיה^{[II 735]} אחד או רבים

גם^{[II 736]} דע מאזני המספר^{[II 737]} שעלה בחלוק שכתבת^{[II 738]} בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים

וכפול זה^{[II 739]} על זה האמצעי^{[II 740]} על התחתון ודע כמה נשאר^{[II 741]} על ט' ט'^{[II 742]} והוא השמור אם^{[II 743]} לא נשאר לך מספר שנשאר^{[II 744]} שהוא פחות מהמספר^{[II 745]} שחלקת עליו‫^{[II 746]}

כי^{[II 747]} אם^{[II 748]} נשאר קח^{[II 749]} המאזנים שלו וחבר^{[II 750]} אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת

וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה^{[II 751]} בטור העליון אם^{[II 752]} היה^{[II 753]} שוה למאזני^{[II 754]} השמור תדע כי חשבונך אמת

inverse operation - multiplication

ואם תכפול מה^{[II 755]} שיעלה^{[II 756]} בחלוק על^{[II 757]} המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק^{[II 758]} אז יהיה המחובר שוה למספרי^{[II 759]} הטור העליון וחלוק נכון‫^{[II 760]}

Additional excerpts^{[II 761]}

כלל החלוק

אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון^{[II 762]} על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל

ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה

ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות

וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה^{[II 763]} שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו

וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר^{[II 764]} השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים

ואם לא יספיק לך תשיב^{[II 765]} מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף^{[II 766]} עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם

דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג

הנה הט' שבטור השפל יותר^{[II 767]} מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב^{[II 768]} הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג'

והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון

והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון^{[II 769]} כי^{[II 770]} אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫'

ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו^{[II 771]} במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו

נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על^{[II 772]} הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט'^{[II 773]} הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק

הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על^{[II 774]} הב‫'

והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫'

ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫^{[II 775]}

דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ^{[II 776]} על ק"י

לקחנו א'^{[II 777]} מן הא' האחרון העליון^{[II 778]} וכתבנוהו^{[II 779]} במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר^{[II 780]} שהחלות לחלק ממנו

וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון

ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל

ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית

וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל

אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה

וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה'^{[II 781]} והם עשרים שלא יתחלקו‫^{[II 782]}

והנה היוצא בחלוק ק"ג

from here proceeds to the check

השער השלישי‫^{[III 1]}

כתוב בספרי^{[III 2]} חכמי החשבון כי^{[III 3]} הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים^{[III 4]} שיעברו^{[III 5]} על הסדר עד סוף מספר ידוע יכפול^{[III 6]} אותו על חציו^{[III 7]} בתוספת^{[III 8]} חצי אחד והעולה הוא המחובר

$\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{11} k$

דמיון רצינו לדעת כמה הם^{[III 9]} המספרים^{[III 10]} המחוברים^{[III 11]} מא' עד סוף^{[III 12]} י"א

הנה ידענו^{[III 13]} כי חצי י"א ה' וחצי נוסיף חצי אחד הנה^{[III 14]} יהיו^{[III 15]} ו' והנה^{[III 16]} נכפול י"א על ו' יעלו^{[III 17]} ס"ו והוא המחובר‫^{[III 18]}

$\scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k$

דמיון אחר בזוגות כמה^{[III 19]} המחובר עד סוף^{[III 20]} י"ח

והנה^{[III 21]} לקחנו חציו והוא^{[III 22]} ט' כפלנו^{[III 23]} י"ח עליו ועלו^{[III 24]} קס"ב ועוד^{[III 25]} יש^{[III 26]} לכפול חשבון^{[III 27]} י"ח על חצי אחד יעלו^{[III 28]} ט' חבר אותו^{[III 29]} עם^{[III 30]} קס"ב יעלו קע"א והוא המחובר

ועל אלו שני^{[III 31]} הדרכים^{[III 32]} הולך^{[III 33]} כל חשבון‫^{[III 34]}

דרך אחרת הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר

$\scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{6} \left(2k-1\right)$

דמיון בנפרדים כמה המחובר עד סוף י"א

הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי כפלנו י"ב על ה' וחצי עלו ס"ו וככה המחובר

$\scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k$

ובזוגות עד סוף י"ח

הנה חציו הוא ט' הוספנו אחד על י"ח היו י"ט כפלנו י"ט על ט' עלו קע"א‫^{[III 35]}

אמר אברהם^{[III 36]} המחבר

מצאתי דרך אחרת תוסיף^{[III 37]} על מרובע^{[III 38]} סוף החשבון השרש שהוא^{[III 39]} בעצמו^{[III 40]} וראה כמה^{[III 41]} המחובר^{[III 42]} וחצי המחובר הוא המבוקש

דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר^{[III 43]} נוסיף על^{[III 44]} י"א שהוא השרש^{[III 45]} והוא סוף החשבון יעלו קל"ב וחציו ס"ו

ומזה הדרך^{[III 46]} תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה‫^{[III 47]}

$\scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=465$

דמיון שאל שואל חברתי^{[III 48]} מספרים^{[III 49]} עד שהגיעו^{[III 50]} למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון

כפול לעולם החשבון^{[III 51]} המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון^{[III 52]} אותו כי אם נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש‫^{[III 53]}

והנה כפלנו^{[III 54]} תס"ה ועלה^{[III 55]} תתק"ל וידוע^{[III 56]} כי המרובע שעבר היה^{[III 57]} תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף^{[III 58]} החשבון

דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k$

דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב

והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו כפלהו יהיו ע"ב הוסיף על זה ו' שהוא השורש עלו ע"ח והוא המבוקש‫^{[III 59]}

שאלה אחרת חברנו כל המרובעים^{[III 60]} שהם עד סוף החשבון^{[III 61]} שהוא^{[III 62]} ידוע כמה המחובר

יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו נשים^{[III 63]} שם^{[III 64]} לאותו המספר^{[III 65]} הידוע ונקראנו^{[III 66]} סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד^{[III 67]} ונכפול^{[III 68]} זה המחובר^{[III 69]} על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר

$\scriptstyle\sum_{k=1}^{7} k^2$

דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם^{[III 70]} עד סוף שבעה‫^{[III 71]}

וכבר^{[III 72]} ידענו שהמחובר^{[III 73]} כ"ח ונשוב^{[III 74]} לדעת כמה שתי שלישיות שבעה^{[III 75]} עם תוספת שלישית אחד^{[III 76]} והם חמשה כי שתי שלישיות ששה הם^{[III 77]} ארבעה ויש^{[III 78]} לנו עוד שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד^{[III 79]} והנה נכפול^{[III 80]} על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k^2$

דמיון אחר כמה המחובר^{[III 81]} מהמרובעים שהם^{[III 82]} עד סוף^{[III 83]} י"ב‫^{[III 84]}

וידוע^{[III 85]} כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיותיו ח' נכפלנו על ע"ח יעלו^{[III 86]} תרכ"ד נחבר^{[III 87]} אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו יעלו תר"נ והוא המבוקש

ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם^{[III 88]} מזה הענין

Additional excerpts

ואני^{[III 89]} מצאתי דרך נקלה לחבור^{[III 90]} המעוקבים

שאם תרצה לידע המעוקבים שהם עד מספר ידוע דע^{[III 91]} המספר המחובר עד סוף המספר ההוא וקח מרובעו והוא יהיה חבור המעוקבים עד סוף החשבון ההוא‫^{[III 92]}

דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה‫'

והנה מספר המחובר עד סוף ה' הוא ט"ו קח מרובעו יהיו רכ"ה והוא יהיה מספר המעוקבים עד ה‫'^{[III 93]}

‫^{[III 94]}ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל והוא כפל האחרון במגרעת הראשון

דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב הם כ"ד בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר

דמיון אחר א' ב' ד' הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר

וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב

כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש

תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו

אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם

ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית

דרך אחרת קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ

$\scriptstyle\sum_{k=1}^{8} k^2$

ואם יאמר כמה המחובר מהמרובעים עד ח‫'

קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k$

שאלה כמה הוא המחובר מד' עד ט‫'

אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש

$\scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k^2$

ואם עוד ישאל כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט‫'

אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש

ועל הדרך הזה^{[III 95]} תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫^{[III 96]}

ואין צורך להזכיר כל^{[III 97]} זה^{[III 98]} רק אזכיר דרך המאזנים

כשתחבר^{[III 99]} מספר אל מספר בין שיהיו^{[III 100]} רבים אלו ואלו^{[III 101]} שים המספר האחד^{[III 102]} בטור העליון^{[III 103]} כפי מעלותיו^{[III 104]} גם^{[III 105]} שים המספר^{[III 106]} השני כפי מעלותיו^{[III 107]} בטור השפל

אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי

אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל^{[III 108]} מאזני הטור התחתון‫^{[III 109]}

ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי^{[III 110]} אז תדע כי חשבונך אמת

ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫^{[III 111]}

ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות

חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות

והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים

גם כל^{[III 112]} ראשון יתחלק לששים עוד^{[III 113]} ויקראו שניים

ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה

ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים

האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫^{[III 114]}

והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים

ובספר^{[III 115]} טעמי הלוחות אפרש זה

והנה ברצותם לדעת^{[III 116]} מקום איזה משרת שיבקשו^{[III 117]} באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה^{[III 118]} בתחלת הטור

ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות ^[322]אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך

אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים^{[III 119]} אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו^{[III 120]} הטור בעצמו

אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך

ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו^{[III 121]} במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים

ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו

ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו

וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה

ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים^{[III 122]} יכתבם לבדד במקום^{[III 123]} אחר

ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות^{[III 124]} כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת^{[III 125]} שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים

ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות^{[III 126]} העולים עם כל המעלות^{[III 127]} שהיו לך ומה שישארו מן המעלות^{[III 128]} שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד

ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות^{[III 129]} שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד

אז^{[III 130]} יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו

ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה

ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם^{[III 131]} מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה^{[III 132]} הבאה

כי אם^{[III 133]} היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת^{[III 134]} י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים

השער הרביעי

לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא

רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים^{[IV 1]} על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת^{[IV 2]} יש להם

וככה תעשה

כתוב החשבון^{[IV 3]} שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ^{[IV 4]} לגרעם^{[IV 5]} בטור השפל

ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים

והנה^{[IV 6]} אם מצאת באחת^{[IV 7]} מן^{[IV 8]} המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר^{[IV 9]} שבטור^{[IV 10]} העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו^{[IV 11]} אחד^{[IV 12]} לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק

דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב‫'

וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים^{[IV 13]} כל אחד ממעלתו^{[IV 14]} ב' מה' וג' מד‫'

ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'^{[IV 15]}

ולעולם^{[IV 16]} נחל לחסר^{[IV 17]} אחורנית^[323] כדרך החלוק והנשאר נכתבנו^{[IV 18]} בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל

והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו^{[IV 19]} תחת מעלה הרביעית‫^{[IV 20]}

חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו^{[IV 21]} כי הוצרכנו להשיב אחד^{[IV 22]} אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו^{[IV 23]} גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו^{[IV 24]} ו' רק בעבור כי^{[IV 25]} החשבון הראשון שבטור השפל^{[IV 26]} גדול מן^{[IV 27]} העליון שבטור^{[IV 28]} העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב^{[IV 29]} ה' בטור השלישי והנה היו^{[IV 30]} למעלה י"ב נחסר ט'^{[IV 31]} ונשארו^{[IV 32]} ג‫'

וזו היא הצורה‫^{[IV 33]}

וכאשר תרצה^{[IV 34]} לדעת המאזנים

תגרע^{[IV 35]} מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור^{[IV 36]} הנשאר

ותראה^{[IV 37]} אם היו^{[IV 38]} מאזני הטור השלישי כמוהו דע^{[IV 39]} כי חשבונך^{[IV 40]} אמת

ואם היו^{[IV 41]} מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור^{[IV 42]} העליון הוסף^{[IV 43]} לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה^{[IV 44]} כמשפט‫^{[IV 45]}

דמיון החסרנו^{[IV 46]} א' מב' נשאר א' השיבונו^{[IV 47]} אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז'^{[IV 48]} נשארו ג‫'

והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו^{[IV 49]} י"א החסרנו^{[IV 50]} ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל

עתה נדבר על דרך חכמי^[324] המזלות כי יותר צורך יש^{[IV 51]} להם לשער הזה מחכמי החשבון

וכבר הזכרנו כי כן תכון^{[IV 52]} המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים^{[IV 53]} בשלישית^[325] והשניים ברביעית

ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים^{[IV 54]} בטור השפל^{[IV 55]} מהשניים^{[IV 56]} בטור העליון והנשאר יכתבהו^{[IV 57]} בטור השלישי כנגד השניים העליונים

ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים^{[IV 58]} אחד יחשבהו^{[IV 59]} ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט

ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם

ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי

ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם

ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות^{[IV 60]} אחד^{[IV 61]} ויחשבנו^{[IV 62]} ל'^{[IV 63]} ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה

ואחר כך יגרע^{[IV 64]} מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם

ואם היו המזלות השפלים גדולים^{[IV 65]} מהעליונים יוסיף^{[IV 66]} לעולם^{[IV 67]} על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט

לדעת המאזנים

יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני^{[IV 68]} השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת

ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט‫^{[IV 69]}

ויעשה^{[IV 70]} למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים

ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה^{[IV 71]} לס' ראשונים לחברם^{[IV 72]} עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט

גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים

ואם לקחת מן המזלות^{[IV 73]} אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות^{[IV 74]} הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט

ועשה במאזני המזלות^{[IV 75]} כמשפט שעשית בכל אלה

ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט

כלל אומר לך^{[IV 76]} דבר שהוא צורך^{[IV 77]} למגרעת

לעולם האחרון^{[IV 78]} שבסוף^{[IV 79]} הטור העליון יהיה גדול מהאחרון^{[IV 80]} שבטור^{[IV 81]} השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון

ואם אין הטורים שוים שהעליון^{[IV 82]} גדול מן התחתון^{[IV 83]} במספר אותיות^{[IV 84]} כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫^{[IV 85]}

‫^{[IV 86]}דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים

דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה

נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי

ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב' נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז‫'

ואחר כן נגרע ג' מד' שהוא ג' שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג‫'

ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫'

השער הה' הוא שער השברים

ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים

וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון

והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם

ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם

וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים

והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר

והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים

ודברים רבים אין צורך להזכירם

והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים

הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה

והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה

וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה

ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי

וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם

ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק

ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה

ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם

ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים

ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים

כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד

ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי

והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה

וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית

וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית

ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו

כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע

ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל

$\scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}$

דמיון רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות

והנה המורה ד' לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט' חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו

ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית

$\scriptstyle\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}$

דמיון בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות

והנה המורה ה' לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד' כפלנו ד' על ג' עלו י"ב והוא הנכפל והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית

ואם אמר שברים מב' מינים

$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}$

שיאמר כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]\sdot\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]}{3\sdot4}=\frac{8\sdot9}{144}=\frac{72}{144}=\frac{\frac{1}{2}\sdot144}{144}=\frac{1}{2}}}

נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה ועלה בחשבון מחצית אחד שוה

ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב

ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק

דמיון לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים

$\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{7}{9}$

שאלה כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות

נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג בכפל ז' על ט' וד' שביעיותיו הם ל"ו כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט כי התשיעית ז'

ונכפול ל"ו על מ"ט עלו אלף ותשס"ד ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט

וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית

ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה

ואם היו שברים מג' מינים

$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}$

כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות

קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד וה' ששיות ק"ה וד' שביעיות ע"ב כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ'

ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים

דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית

או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית

או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית

או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א

ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים

נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה

$\scriptstyle4\times\frac{3}{5}$

דמיון רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד

והמורה ה' ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות

ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד

נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחד על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים

או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה

$\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)$

דמיון רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות כזה

נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם והנה כ"ב שברים ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה

והדרך האחרת לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד

גם השני על הדרך הזאת כ"ח נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו

$\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)$

דמיון אחר רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין כזה

נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין ג' על ג' והם ט' וב' על ד' והם ח' ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם

דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד

$\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)$

הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות כזה

כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון

גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה

רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה

והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד

ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם

ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה

חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון

ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו

ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו

והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו

דרך אחרת מב' מורים

הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית

ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם

והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה

דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו

והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד

ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א

ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק

דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם

נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט

נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש

ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג

או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט

ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם

והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי

ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות

$\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)$

דמיון כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית

והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית

נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ'

והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד

וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ

נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו'

ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים: עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי'

ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט

$\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)$

דמיון בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד

והנה המורה ל"ה והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד

$\scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}$

דמיון לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות

והנה המורה ס"ג ושבע תשיעיותיו מ"ט וב' שביעיותיו י"ח חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית

ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים

ונשוב לדבר על חבורם

$\scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}$

חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה

הנה המורה ל"ה וב' חמישיותיו י"ד וה' שביעיותיו כ"ה נחברם והנה ל"ט נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה

How Much Problem - Money

$\scriptstyle X+\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X=50$

שאלה חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ'

\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}

נשים המורה צ' וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט

\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}

והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}

נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(36+5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(40+1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[4+\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}\right)\right]+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left(4+\frac{64}{109}\right)+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{31+14+64}{109}=41+4+4+\frac{31+78}{109}\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{109}{109}=41+4+4+1=50\\\end{align}}}

והנה נבחן אם זה אמת ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים

ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד
נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם והנה הכל נ' שלמים

שאלה אחרת לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון

תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים

האחד שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית

והדרך האחרת שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית

How Much Problem - Money

$\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40$

שאלה אחרת ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ' כמה היה הממון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}

ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}

ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}

הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+3+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left[\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}\right]\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(3+\frac{7}{11}\right)+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[36+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[39+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=39+\frac{11}{11}=39+1=40\\\end{align}}}

נבחן זה נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א

והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות
והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים היו לנו ל"ו שלמים ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות
ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים ושתי ששיות )שנים( הם שליש אחד נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם והכל מ'

How Many Problem - Group of People

A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100

$\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$

שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה

\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}

והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}

ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם

Buy and Sell Problem

A man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose?

$\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100$

שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}

נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות

Buy and Sell Problem

A man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?

$\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$

שאלה אחרת אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו

common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}

בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז'

\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}

והנה ג' חמישיותיו כ"א

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}

וד' שביעיותיו כ' והממון היה כ' והליט' י"ב

Buy and Sell Problem

Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninth of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?

\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1

שאלה אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}

ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד

common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{63}}

והנה המורה ס"ג

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}

וה' תשיעיותיו ל"ה

\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}

וד' שביעיותיו ל"ו

Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}$

ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו

If he earned two pešiṭim

\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2

ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים

\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}

כפלם על ל"ה יהיו ע'

If he earned three pešiṭim

\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3

ואם אמר ג' פשוטים

\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}

יכפול על ל"ה ג' פעמים וככה עד סוף החשבון

Buy and Sell Problem

Question: a man bought ⁹/₁₇ parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold ¹⁰/₁₉ parts of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?

\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1

שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון

common denominator:

\scriptstyle{\color{blue}{323}}

בקש המורה והוא שכ"ג

\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}

ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}

וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון והליט' צ'

וזה דבר המגרעת קל הוא כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם

$\scriptstyle\frac{5}{7}-\frac{4}{9}$

דמיון רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות

המורה ס"ג וה' שביעיותיו מ"ה וד' תשיעיותיו כ"ח חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז

עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות

ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם

ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו

והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית

והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית

וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת

ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב

וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות

ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים

וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה

ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית

ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים

ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו

כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו

כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם

וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית

ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו

ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה

ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים

והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים

והכלל כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו

וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין

וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים

וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים

וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים

והנה אתן לך שנים דרכים נכונים

הדרך האחד במכתב

שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה

וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה

ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו

ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם

ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה

הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים

וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה

חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים

והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז'

והדרך השנית במבטא

שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים

וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד'

ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז'

והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים

והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון

וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה

והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים

וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי

ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם

כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון

וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע

ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק

ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה

וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו

השער הו' הוא שער הערך

מיני הערכי' על ג' דרכים

האחד ערכי החשבון והם על הסדר

כמו א' ב' ג'

כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים

או ב' ד' ו'

או ג' ו' ט'

והטעם כי הערך בכלם שוה

פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד'

והערך השני ערכי המדות כמו ד' ו' ט' כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט'

כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו

ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד' כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחר

על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי יהיה שוה כעולה בראשונה

וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי ימצא העולה שוה לראשון

דמיון ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב

והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה

וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה

ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון

והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות

והיא חכמה מפוארת מאד כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות

כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון ^[326]לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון

דמיון ב' ג' ו'

ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו'

דמיון אחר ג' ד' ו' או אם תרצה כ' ל' ס'

והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג'

והנה אם ידעת השנים מספרי' תוכל להוציא השלישי

כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון אחר שתגרע ממנו פי' מהראשון היתרון שיש בינו ובין השני

דמיון הראשון כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי

ובדמיון השני כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב' חלקנו עליו י"ב והם ו' לכל אחד והוא השלישי

ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון

והנה בדמיון הראשון כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה חברנום אל ו' והיו ט' חלקנו י"ח עליו עלו ב' והוא הראשון

ובדמיון השני כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי עלו ג' והוא הראשון

ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי

דמיון הראשון כפלנו ב' על ו' עלו י"ב חלקנו על ח' שהוא המחובר משניהם עלה א' וחצי כפלנוהו עלו ג' וככה הוא השני

ובדמיון האחר כפלנו ג' על ו' עלו י"ח חלקנו על ט' שהוא המחובר משניהם עלו ב' כפלנוהו ועלה ד' והוא המספר השני המבוקש

וככה בערכי המדות אם לא ידענו האחד מן הד' נוכל להוציאו מן הג'

ולעולם נשים שתי הקצוות שהם הראשון והרביעי חברים והשנים האמצעיי' שהם השני והשלישי חברים

והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות איזה מהם שיהיה נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש

ואם לא ידענו אחד מהאמצעיים נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע אז ימצא המבוקש

ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל

ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך

Whole for Parts Problem - Money

Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money?

$\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10$

שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7=30\sdot7=210}}$

בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם^[327] זה על ז' והיו ר"י והוא המורה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}

וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{10:X=107:210}}$

הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה

ונעשה הדמיון כך

0	10
210	107

0	‫0א
‫0אב	ז0א

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}

כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק'

חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון

Replacing lines - the same result

ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה

210	107
0	10

‫0אב	ז0א
0	‫0א

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(14+5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{1}{5}\sdot\left(4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[3+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[2+\frac{1}{7}\sdot\left(5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(4\sdot107\right)+67}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{107+67}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{535+67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{495}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{174}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{602}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{99}{107}\right)+\left(3+\frac{29}{107}\right)+\left(2+\frac{86}{107}\right)=3+3+2+2=10\\\end{align}}}

ונבחן זה כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט

וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט
גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה נחבר אליהם ס"ז יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו
נחבר החלקים יהיו שנים שלמים נחברם אל השלמים והיו י'

An amount of money - its seventh and its ninth are 7.

$\scriptstyle \frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=7$

דמיון אחר לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=16}}$

המורה ס"ג והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה

63	16
0	7

גו	וא
‫0	ז

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{\frac{7\sdot63}{16}}}=27+\frac{9}{16}}}$

הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו

An amount of money - its seventh and its ninth are subtracted from it and 7 remain.

$\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7$

ואם הפך הדבר ואמר: חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז'

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{63-16=47}}$

גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה

63	47
0	7

גו	זד
‫0	ז

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot63}{47}=\frac{441}{47}=9+\frac{18}{47}}}$

כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{16}{47}\right)-\left(1+\frac{2}{47}\right)\right]=7\\\end{align}}}

ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי' לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי' ונשארו ז' שלמים

Partnership Problem - For the Same Time

Question: four people - one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?

שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}$

נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{a_i:56=x_i:19}}$

וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך

56	18
19	0

וה	חא
‫טא	0

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}

נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫'

עשינו כן בי"ג

56	13
19	0

וה	גא
‫טא	0

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}

עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'

עשינו כך בט"ו

56	15
19	0

וה	הא
‫טא	0

\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}

ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'

עשינו כך בי"ז

56	17
19	0

וה	זא
‫טא	0

\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}

עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים

Check: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}$

חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם

Converting the dinar to pešuṭim

דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}

שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו

כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ'

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}

והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט

\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}

גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי'

\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}

גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים

\scriptstyle{\color{blue}{x_4=17\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=68+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}}}

גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}\right]+\left[\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}\right]=19\sdot12}}

נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ'

Purchase Problem – Moneychanger

Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive

$\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12$

שאלה יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$

בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{9}=1+\frac{1}{3}}}

ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו

\scriptstyle{\color{blue}{X=12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}

והנה נוסיף על י"ב פשו' שהוא דינר ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע

Check - is easy:

ולבחון דבר זה קל הוא כי הערכי' נמצאים במהרה

והנה נשים המטבע של שלשה עקר

16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{8}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}

וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג'

together they are 24

\scriptstyle{\color{blue}{16+8=24}}

[which are two dinar]

והנה בין שניהם כ"ד

\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}}}

וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות

16 pešuṭim of coin 4 are 12 pešuṭim of coin 3 which are one dinar:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{4}=\frac{12}{3}}}

על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד

the total is 3 dinar

וג' דינ' ממטבע האחד

וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך

Purchase Problem – Moneychanger

The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brought one zahuv and wanted to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally

$\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1$

דמיון אחר קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=35\sdot9=315}}$

עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}

וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}

נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע

Check - is difficult:

ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים

והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}

נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה

converting coin 7 to coin 5:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}

ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה'

converting coin 9 to coin 5:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}

גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}

וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' ^[328]עלו ה' דינ' שוים

\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}

או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים

converting coin 7 to coin 5:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}

וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים

converting coin 9 to coin 5:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}

ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}

חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}

ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה

converting coin 5 to coin 7:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}

ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א

converting coin 9 to coin 7:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}

גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}

נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ'

\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}

ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי'

converting coin 5 to coin 9:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}

ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז

converting coin 7 to coin 9:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}

גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}

וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים

וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר

explanation - the position of the zero [= representing the unknown]

עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון

Payment Problem

Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days.

$\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}$

שאלה ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים

Rule of Four: (working days) : (total days) = (actual payment) : 11 pešuṭim

והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים

the zero is first

והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה

11	0
17	9

‫אא	0
זא	ט

the zero is second

ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה

0	11
9	17

‫0	אא
ט	זא

if the greater number of pešuṭim is placed first, then the greater number of working days should be placed second

כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים

the zero is third

ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה

17	9
11	0

זא	ט
אא	0

the zero is fourth

ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה

9	17
0	11

ט	זא
‫0	אא

all options are the same

והכל שוה

Payment Problem - Carrying Wheat

Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast [a distance of] 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his payment?

$\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}$

שאלה ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו

the rule of four should be applied twice

ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם

וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון

13	7
19	0

גא	ז
טא	0

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{13}=\frac{133}{13}=10+\frac{3}{13}}}$

הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד

ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו

17	11
10	0

זא	אא
‫0א	0

ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו

\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}

שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}

והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{11\sdot\left(10+\frac{3}{13}\right)}{17}&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(10+\frac{51}{221}\right)}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+\frac{561}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+2+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{112+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{10+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{\frac{2329}{221}}{17}=6+\frac{137}{221}\\\end{align}}}

ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א

נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים
נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א
נחלק קי"ב על י"ז שלמים יעלו ו' פשוטים שלמים ונשארו י' פשוטים שלמים
נשיבם על מנין רכ"א ונחבר אליהם קי"ט הנשארים שהם חלקים מפשוט אחד שהוא רכ"א חלקים ויהיו ט'ב'ג'ב'
נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א

Payment Problem - Digging a Hole

Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width and he will pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width

שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב

He will be paid a quarter :

\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{17\sdot5\sdot5}{10\sdot10}=17\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{17\sdot}}\frac{1}{4}}}

אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם

If he had dug a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment

כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון

Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment?

$\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}$

רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}

הנה אנחנו צריכים לערכים ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י

\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}

גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ

ועתה נעשה דמיון הערכים כזה

11	0
210	120

‫אא	0
‫0אב	‫0בא

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}$

כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט

Pricing Problem - Find the Amount

Question: a man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]?

$\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}$

שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו'

נעשה דמיון הערך כמשפט הזה

23	7
13	0

גב	ז
‫גא	0

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}$

הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת

Pricing Problem - Find the Price

How much will he get for 7 measures?

$\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}$

ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות

והנה נעשה הדמיון כזה

13	7
23	0

גא	ז
‫גב	0

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}$

נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד

Motion Problem – Pursuit

Question: a man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him?

$\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$

שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$

נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום

Give and Take Problem

Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring?

$\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2$

שאלה אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא

He had

\scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}

האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט

Motion Problem – Encounter

Question: Reuven left his city, walking to Shimon, to his city, on Sunday morning of the first of the month. Shimon left his city on that same day, walking to Reuven's city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven is walking 19 miles a day and Shimon is walking 17 [miles a day]. When will they meet?

שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}

ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום

Converting the parts of the day to hours:

ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין

12	0
9	7

‫בא	0
ט	ז

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot12}{9}=\frac{84}{9}=9+\frac{3}{9}=9+\frac{1}{3}}}$

וככה תעשה^[329] כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה

another way:

\scriptstyle{\color{blue}{12:9=1+\frac{1}{3}}}

ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו כי תשיעיות היו לנו

\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}

והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה

If we wish to know: how many miles did Reuven walk?

ואם בקשנו לדעת כמה מילין הלך ראובן

in two days he walked 38 miles

\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}

כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין

וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך

9	7
19	0

ט	ז
‫טא	0

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot19}{9}=\frac{133}{9}=14+\frac{7}{9}}}$

כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות

total miles in

\scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{7}{9}}}

days:

\scriptstyle{\color{blue}{38+\left(14+\frac{7}{9}\right)=52+\frac{7}{9}}}

והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות

Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment

A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They all worked during the 20 days and he was sitting and watching over them: how many hours and parts of hours each of them is working a day. Finally, he paid each of them an equal share. How much is the share of each of them?

$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}$

שאלה אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה

והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים
ואם שמעון ד'
ואם לוי ג'
והנה בין כלם עבדו הכ' ימים והיה יושב עליהם שומר כותב כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעה והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה
נרצה לדעת כמה החלק מכל אחד מהם שלקח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{\frac{20}{5}+\frac{20}{4}+\frac{20}{3}}&\scriptstyle=\frac{20}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}\\\end{align}}}

דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד

והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב

ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום

Levi:

והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ'

ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך

47	13
20	0

זד	גא
‫0ב	0

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}

כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות גם כ"ה חלקים ממ"ז וחלקנו אלה השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום גם נכפול כ"ה חלקים על ד' יעלו מאה נחלקם על מ"ז עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים

Shimon:

ונבקש לדעת כמה עבד שמעון והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות

ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך

47	13
15	0

זד	גא
‫הא	0

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}

נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים נחבר הד' אל הט"ו כי שלישיות הם יעלו י"ט שלישיות נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים ונקח לאחד הנשאר ד' שעות גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון

Reuven:

ונבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות

ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך

47	13
12	0

זד	גא
‫בא	0

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{12}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}

נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה עבר ה' ימים גם נכפול הט"ו חלקים על ד' עלו ס' חלקים נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\right)+\left(6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\right)+\left(5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\right)=20}}

וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת

Boiling Problem

A man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must

$\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$

שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון

Rule of Four:

והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו והנה תעשה הדמיון ככה

	8	6
3	3	0

	ח	ו
‫ג	ג	0

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}

והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי

דמיון אחר היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו

וככה הערך

6	2
3	0

ו	ב
‫ג	0

כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת

שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}$

נבקש המורה והוא שט"ו

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)=63+45+35=143}}

והחלקים הנזכרים הם קמ"ג

כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג
וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה
ועל ט' יעלו ל"ה
חברם יחד יעלו קמ"ג ונעשה הערך כך

315	143
0	10

האג	גדא
0	‫0א

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}$

נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג

נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}$

נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב ונעשה הערך כך

0	15
315	172

0	הא
האג	בזא

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}$

כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב

לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים ועל זה הדרך

Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree

A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree?

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X

שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}$

נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז' נחסרם מי"ב ישארו ה'

נעשה הערך כך

0	10
12	5

0	‫0א
בא	ה

Rule of Four: $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}$

הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}

כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר

A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water

\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X+8=X

דמיון אחר אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'

False Position: $\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}$

והנה המורה ס"ג נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז ונעשה הערך כך

0	8
56	47

0	ח
נו	זד

Rule of Four: : $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{63\sdot8}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}$

הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים

Check:

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(1+\frac{25}{47}\right)-\left(1+\frac{9}{47}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}

ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב' חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח'

Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance

Jacob died. Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him. His son Levi also issued a deed according to which a third of his property should be given to him. His son Yehudah too issued a deed according to which a quarter of his property should be granted to him. All of them are writing this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour

שאלה יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו

גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו
גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו
ג"כ הוציא יהודה שטר שינתן לו רביעית מממונו
ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות

Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:

The sages of Israel - according to the request of each

והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד

The Gentile sages - according to the ratio of each share

וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד

The arithmeticians - considering the property as a whole

וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד

The division according to the arithmeticians:

\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120

\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}

וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}

והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}

או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג

ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח

Suppose the property is 10 dinar i.e. 120 pešuṭim

והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון

ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים

Reuven's share

וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן

0	60
120	125

0	‫0ו
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}

כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן

Shimon's share

וזו צורת ערך שמעון

0	30
120	125

0	‫0ג
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot120}{125}}}

נכפול הקצוות ונחלק כמשפט

Levi's share

וזו צורת חלק לוי

0	20
120	125

0	‫0ב
‫0בא	הבא

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot120}{125}}}

נכפול ונחלק כמשפט

Yehudah's share

וזו צורת חלק יהודה

Rule of Four:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot120}{125}}}

The division according to the Gentile sages:

ענין אחר בדרך קצרה

Shimon's share = ½ Reuven

יקח שמעון חצי חלק ראובן

Levi's share = ⅓ Reuven

גם יקח לוי שליש חלק ראובן

Yehudah's share = ¼ Reuven

גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן

Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120

וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ'

The division according the sages of Israel:

ועל דרך חכמי ישראל

Yehudah's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}

יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים

Levi's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}\\\end{align}}}

ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות פי' כי החצי מן הו' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות ת'

Shimon's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}

גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו'

Reuven's share =

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}

וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד

Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120

וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ'

ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים

כי בתקון הלבנה גם בתקון ה' המשרתים טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס'

כי אם היה כתוב בטור הערך ס' יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי או הכתוב בטור השביעי מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם או ראשונים ומעלות הכל יקח וככה בתקון מקום הלבנה

ואם היתה פחותה מס' יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי או השביעי

דמיון יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו

ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה

6	15
40	0

ו	הא
‫0ד	0

כפול ט"ו על מ' עלו ו' מאות חלקם על ס' יעלו י' חלקים

ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות גם זה הערך קח מט"ו והנו י'

או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס' קח רביעית מ' והוא י'

דמיון אחר המספר האחד ל' והשני מ"ה

והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי שהם ל' שניים

או נקח הערך מן הל' שהוא חצי ס' ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי

דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג

והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים

וככה יבא בדרך הכפל כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א

ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס' נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי נכפול ג' על כ' יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון נחברם על י' והוא י"א

דמיון אחר המספר האחד כ' והשני כ"ח

והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים

ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס' כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי נכפול ב' על כ' יהיו מ' שניים נחסרם מהראשון אחד יהיו הנשארים ט' ראשונים וב' שניים

דמיון לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט

והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס' נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי נכפלנו על י"ד יהיו י"ד שניים נחסרם מחלק ראשון ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים

דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב

והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב' נכפלם על י"ח יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל

וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב' נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים

ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג' נכפול מ"ב על ג' יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים נוסיף זה על המספר הנזכר יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים

ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות היה הדבר יוצא נכון

ונוכל לעשות הערך מי"ד שנחשוב כי הוא רביעית ס' נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון נכפול כ"ט על כ"ט יהיו כ"ט שניים נחסרנו מן המספר הנזכר ישארו ו' ראשונים

וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים

ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל' הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו

ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל' הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך בין שתהיה אחר המעלה השלמה או למעלה ממנה

ואם מצאת המנה המתוקנת שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון עשה כדרך הכפל שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים

וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם

השער הז' בהוצאת השרשים

כל המספרים הם על שלשה דרכים

האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים

והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו

כמו ט' כי הוא מרובע ארכו כרחבו ושרשו ג'

ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב

כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח'

ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש

והפך הדבר במרובעי' הנשברי'

והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל

והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי'

והנה נתן בתחלה מאזנים

הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע

ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע

דמיון המרובע קמ"ד והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט' והוא מאזני השרש ת' מאזנים אחרים אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע

ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע מאזנים אחרים אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע

ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע

3) examing the digits of the number:

If one of the digits of the number is 1 — one of the digits of the root of this number is 1 or 9

מאזנים אחרים שהם מאזני צדק אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט'

ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח'

ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו'

ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז'

ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה'

the roots of perfect squares are found in two ways:

ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש

1) units - three squares: 1; 4; 9

ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט'

2) tens - :six squares: 16; 25; 36; 49; 64; 81

ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א

וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן

every odd rank functions as the units

כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה

every even rank functions as the tens

וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית

ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם

וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה

root of the first rank - units

root of its similar in the third rank - tens
root of its similar in the fifth rank - hundreds
root of its similar in the seventh rank - thousands
root of its similar in the ninth rank - tens of thousands
root of its similar in the eleventh rank - hundreds of thousands

דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג

כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף כי לעולם ידלג מזוג אל זוג

the perfect square closest to a number

\scriptstyle a^2+b

:

$\scriptstyle n<\frac{b}{2a}\longrightarrow \left(a+n\right)^2=a^2+2\sdot a\sdot n+n^2$

ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת

the perfect square closest to a number

\scriptstyle a^2-b

:

$\scriptstyle \frac{b}{2a}<n\longrightarrow \left(a-n\right)^2=a^2-2\sdot a\sdot n+n^2$

ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק

וראה אם היה המספר כמספר כפל השרש כפול אז תדע כי חשבונך אמת

כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט'

ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות

the perfect square closest to 200

דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200-10^2}{2\sdot10}=\frac{200-100}{20}=\frac{100}{20}=5>4\longrightarrow n=4}}

והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות והנה מאה הוא המרבע שעבר ושרשו י' כי כן אמרנו מה שהם במעלה הראשונה אחדי' יהיו במעלה השלישית עשרות נחסר המרבע מחשבוננו ונשארו ק' וכבר אמרנו כי השרש י' וכפלו כ' והנה אם חלקנו ק' על כ' ונתן לו ה' לא ישאר כלום שנוכל לקחת ממנו מרבע מה שעלה בחלוק

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle14^2=\left(10+4\right)&\scriptstyle={\color{red}{200-\left[200-\left(10+4\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(2\sdot10\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(20\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left(100-80-16\right)\\&\scriptstyle=200-\left(20-16\right)=200-4=196\\\end{align}}}

והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד'

נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת

והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו' והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל (שורש) מרובע הנמשל כ' כפלנוהו על ד' עלו פ' נוסיף עליו מרובע ד' שהוא י"ו יהיו צ"ו והוא דרך אמת

the perfect square closest to 300

דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20^2-300}{2\sdot20}=\frac{400-300}{40}=\frac{100}{40}=2+\frac{20}{100}<3\longrightarrow n=3}}

וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק' והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע והנה אם נתן לו ב' ישאר כ' על כן נתן לו ג'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20-3\right)^2&\scriptstyle=400-\left(2\sdot20\sdot3\right)+3^2\\&\scriptstyle=400-\left(40\sdot3\right)+9^2=400-120+9=280+9=289\\\end{align}}}

וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע

והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע

ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר

ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד

ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח'

וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו'

והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד

וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד' וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו'

והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300-10^2}{2\sdot10}=\frac{300-100}{20}=\frac{200}{20}=10>7\longrightarrow n=7}}

ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק גם לא נוכל לתת לו ט' כי מרובעו גדול ואפי' ח' כי גם מרובעו גדול והנה נתן לו ז'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+7\right)^2&\scriptstyle=100+\left(2\sdot10\sdot7\right)+7^2\\&\scriptstyle=100+\left(20\sdot7\right)+7^2=100+140+49=240+49=289\\\end{align}}}

ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע

גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז

the perfect square closest to 1200

דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200-30^2}{2\sdot30}=\frac{1200-900}{60}=\frac{300}{60}=5>4\longrightarrow n=4}}

והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל' וכפלו ס' והנה נחסר המרובע שעבר מן החשבון הנתון והנה המרחק ג' מאות נחלקם על ס' והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע העולה בחלוק נתן לו ד'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+4\right)^2&\scriptstyle=900+\left(2\sdot30\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=900+\left(60\sdot4\right)+4^2=900+240+16=1140+16=1156\\\end{align}}}

נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון

ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד והוא אמת בכל המאזנים

the perfect square closest to 7500

דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90^2-7500}{2\sdot90}=\frac{8100-7500}{180}=\frac{600}{180}<4\longrightarrow n=4}}

והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(90-4\right)^2&\scriptstyle=8100-\left(2\sdot90\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=8100-\left(180\sdot4\right)+4^2=8100-720+16=7380+16=7396\\\end{align}}}

וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו

ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת

וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה

the perfect square closest to 23000

דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{23000-100^2}{2\sdot100}=\frac{23000-10000}{200}=\frac{13000}{200}>50}}

והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע ^[330]שעבר י' אלפים נחסרנו מהמספר הנתון ישארו י"ג אלף נחלקנו על ר' שהוא כפל שרש המרובע הנמשל שעבר והנה נתן לו נ'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{23000-150^2}{2\sdot150}&\scriptstyle=\frac{23000-10000-10000-2500}{300}\\&\scriptstyle=\frac{3000-2500}{300}=\frac{500}{300}>1\longrightarrow n=1\\\end{align}}}

נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד

ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א ת' כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחרים אשר כפלת ת'

the perfect square closest to 85000

דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300^2-85000}{2\sdot300}=\frac{90000-85000}{600}=\frac{5000}{600}<9\longrightarrow n=9}}

והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(300-9\right)^2&\scriptstyle=90000-\left(2\sdot300\sdot9\right)+9^2\\&\scriptstyle=84600+81=84681\\\end{align}}}

והנה יש לו תוספת ת' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת

ושרשו רצ"א

the perfect square closest to 200000

דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200000-400^2}{2\sdot400}=\frac{200000-160000}{800}=\frac{40000}{800}>40}}

ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{200000-440^2}{2\sdot440}&\scriptstyle=\frac{200000-\left(400+40\right)^2}{2\sdot440}\\&\scriptstyle=\frac{200000-160000-\left(40\sdot800\right)-40^2}{880}\\&\scriptstyle=\frac{40000-32000-1600}{880}=\frac{8000-1600}{880}=\frac{6400}{880}>7\longrightarrow n=7\\\end{align}}}

ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle447^2=\left(440+7\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{200000-\left[200000-\left(440+7\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=200000-\left[200000-440^2-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]}}\\&\scriptstyle=200000-\left[6400-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]\\&\scriptstyle=200000-\left(240-7^2\right)=200000-191=199809\\\end{align}}}

וישארו לנו ר"מ נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א

נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע

והשרש תמ"ז

the perfect square closest to 600000

דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}}

בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle774^2=\left(800-26\right)^2&\scriptstyle=640000-\left(2\sdot800\sdot26\right)+26^2\\&\scriptstyle=600000+40000-41600+676\\&\scriptstyle=600000-1600+676\\&\scriptstyle=600000-924=599076\\\end{align}}}

ואם יחסר מעט מהאמת חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד

וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו
והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת

the perfect square closest to 5000000

דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים

ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5000000-2000^2}{2\sdot2000}=\frac{5000000-4000000}{4000}=\frac{1000000}{4000}={\color{red}{250}>200}}}

והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2200^2}{2\sdot2200}&\scriptstyle=\frac{5000000-4000000-\left(2\sdot2000\sdot200\right)-200^2}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{1000000-800000-40000}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{200000-40000}{4400}=\frac{160000}{4400}>30\\\end{align}}}

יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות' נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2230^2}{2\sdot2230}&\scriptstyle=\frac{5000000-2200^2-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{160000-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{28000-900}{4460}=\frac{27100}{4460}>6\longrightarrow n=6\\\end{align}}}

ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק' והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2236^2=\left(2230+6\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{5000000-\left[5000000-\left(2230+6\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=5000000-\left[5000000-2230^2-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]}}\\&\scriptstyle=5000000-\left[27100-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]\\&\scriptstyle=5000000-\left(340-36\right)=5000000-304=4999696\\\end{align}}}

נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו

ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4999696&\scriptstyle=4000000+999696=2000^2+999696\\&\scriptstyle=2000^2+800000+199696=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+199696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+120000+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+24000+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+\left(2\sdot2000\sdot6\right)+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+40000+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+12000+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+2400+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+\left(2\sdot200\sdot6\right)+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+900+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+360+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+6^2\\&\scriptstyle=2236\times2236\\\end{align}}}

וככה בדרך כפל השרש על עצמו כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז'

והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו
נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו
נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים^[331] יעלו כ"ד אלף נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו
וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים
עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו
והנה כפלו על עצמו מ' אלפים חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו
גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו
ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות' נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו
וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו
נחל מן ל'
והנה כפלו על עצמו תת"ק נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו
נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון

וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד

\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2

ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר

\scriptstyle{\color{blue}{5^2\times9^2=2025=45^2=\left(5\times9\right)^2}}

דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת

וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע

ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו ת' השרש הקטן אל הגדול הוא שרשו ת'

דמיון מה ערך מ"ט אל ק' הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת שרש זה המרובע חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש כי אחד על אחד אחד וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו

דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי' וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו' וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג נעשה מהם ג' שלמים והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז גם נחבר אליהם ד' שביעיות שביעית שהם ד' ממ"ט יהיה הכל שס"א וזהו מרובע י"ט

ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש

דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר

דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון נשוב לחפש היתרוני' והנה היתרון בין הו' ובין הח' ב' ומרובעו ד' והיתרון בין הו' ובין הכ' י"ד ומרובעו קצ"ו היתרון בין הח' ובין הכ' י"ב ומרובעו קמ"ד והנה מרובעי אלה הג' הם שמ"ד נחסרם מהכפול השמור ישארו אלף וקנ"ו והוא המרובע והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר

ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ' והכלל שהכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים

דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני' נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני'

עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית ואם יש שם חצי שמינית דע כי יש בשרש רביעית ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת וב' שלישיות על ב' שלישיות שלישית אחת ושלישית שלישית תשיעית וד' חומשי' על ד' חומשי ג' חומשים וחומש החומש והוא המרובע ועל זה הדרך הכל רק הקשה להוציא השרש מהמרובע

ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס'

$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}$

אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}\sdot\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}=\frac{40}{60}\sdot\frac{40}{60}=\frac{\frac{40\sdot40}{60}}{60}=\frac{\frac{1600}{60}}{60}=\frac{26}{60}+\frac{40}{60^2}=\frac{4}{9}}}

תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}

כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת

$\scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}$

ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש

הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש

$\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}$

דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות

והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו נחלקם על ז' יהיו ב' שביעיות וב' שביעיות שביעית

ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע

$\scriptstyle\sqrt{\frac{22}{70}+\frac{60}{70^2}}$

ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה

גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה

$\scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}$

דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית

עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל' כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע

$\scriptstyle\sqrt{\frac{10}{90}}$

והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע

עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש

וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך

ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת

ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים

$\scriptstyle\sqrt{11+\frac{1}{9}}$

דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש

אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים נשיבם ראשונים יהיו ק"כ נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ' והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש

$\scriptstyle\sqrt{7+\frac{50}{60}+\frac{24}{60^2}}$

דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים

הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים נחלקם על כפל השרש שהוא אחריו והוא ו' ויעלו י"ב נגרעם מג' שהוא השרש ישארו ב' שלמים ומ"ח חלקים והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת וישארו לנו לכפול ד' חמישיות על ד' חמישיות יהיו י"ו חמשיות חמישית נעשה מט"ו ג' חומשין ונחבר אליהם החומש שהיה לנו יהיו ד' חומשין גם חומש החומש והנה ד' חומשין הם מ"ח ראשונים וחומש החומש ב' ראשונים וכ"ד שניים והנה הכל נ' ראשונים וכ"ד שניים וז' שלמים

$\scriptstyle\sqrt{44+\frac{4}{9}}$

דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות

ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד' נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט'

ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות

ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו

$\scriptstyle\sqrt{20}$

דמיון המספר עשרים

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\frac{60\sdot4}{8}}{60}=\frac{30}{60}=\frac{\frac{1}{2}\sdot60}{60}}}

והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\frac{60\sdot5}{10}}{60}=\frac{30}{60}}}

ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל'

על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי

ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים

ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית

ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים

או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם

וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון

ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק

רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק

ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר

וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני

ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני

ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב

$\scriptstyle\sqrt{200}$

בקשנו לדעת שרש מאתים

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}

והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת

$\scriptstyle\sqrt{20000}$

ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}

כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות

$\scriptstyle\sqrt{2}$

ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{200}&\scriptstyle\approx\frac{1}{10}\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{10}+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}\right)\right]\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{514}{60^2}\right)\approx1+\frac{24}{60}+\frac{52}{60^2}\\\end{align}}}

נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם

ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים
ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים
נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת

נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש

או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו

ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק

$\scriptstyle\sqrt{18}$

דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{14}{60}+\frac{33}{60^2}+\frac{33}{60^3}\\\end{align}}}

והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים

$\scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}$

ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח

$\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}$

ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח

$\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=84+\frac{51}{60}+\frac{11}{60^2}\\&\scriptstyle=60\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)+\frac{11}{60^3}=60\sdot\sqrt{2}\\\end{align}$

ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים

ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{60}}{60}=1+\frac{30}{60}}}

נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים

ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\left(\frac{30}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{30}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{15}{60}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{5}{60}=1+\frac{25}{60}\\\end{align}}}

ויספיק לנו השרש הראשון והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים

ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה'
נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\left(\frac{5}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{50}{60}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{6\sdot25}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{150}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{14}{17}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot14}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{840}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}+\frac{\frac{7}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\\\end{align}}}

נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה

ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)-\frac{\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{17}{60^3}+\frac{54}{60^4}\\\end{align}}}

ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים

$\scriptstyle\sqrt{10}$

בקשנו להוציא שרש י'

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{10-3^2}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}=3+\frac{\frac{60\sdot1}{6}}{60}=3+\frac{\frac{60}{6}}{60}=3+\frac{10}{60}}}

והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י' והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\left(\frac{10}{60}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{10}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{100}{60^2}}{6+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{3\sdot100}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{300}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{15}{19}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot15}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{900}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}+\frac{\frac{7}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}\right)=3+\frac{9}{60}+\frac{44}{60^2}+\frac{13}{60^3}\\\end{align}}}

נשיב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון

ונשיב הכל מערך ג' ויש לנו לחלק ש' על י"ט ועלו ט"ו ונשארו ט"ו
נשיבם שלישיים מערך ס' יהיו תת"ק נחלקם על י"ט עלו מ"ז והנה יש לנו לחסר זה מי' חלקים שהיה לנו הנה נחסר ט"ו שניים גם ט"ו שלישיים יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים

ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים

וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף

ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים

$\scriptstyle\sqrt{18}\div\sqrt{8}$

שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק

ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק

שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר

אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד

דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד

חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו ידענו כי המרחק מי"ו הוא ג' נשימם ראשונים יהיו ק"פ נחלקם על ח' שהוא כפל השרש שעבר יעלה בחלוק כ"ב ראשונים ל' שניים והנה השרש הראשון ד' שלמים כ"ב ראשונים ל' שניים נקח מרובע החלוק ונחלקנו על ח' שלמים מ"ה ראשונים שהוא כפל שרש הראשון יעלו נ"ח שניים נחסרנו מן השרש הראשון יהיה ד' שלמים כ"א ראשונים ל"ב שניים ואין צורך לדקדקו יותר מזה

ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש

דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד

נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון

חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון

דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א חלקנוהו על החץ עלה ז' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון

דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון

הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר והנה כל היתר ו'

וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון

דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר

דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון

דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר

דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר

ואתן לך דרך כלל בדברי העגול ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג' ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ ועל זה הדרך כל החשבון

שאלה אם אמר החץ ב' חלקים זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך

600	20
100	0

‫00ו	‫0ב
‫00א	0

והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים ומספר זה הוא הכולל שני המרובעים ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' ב' ערך ג' ב' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב'

ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקה מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים דרך להוציא החץ מהיתר גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ

דמיון אמר כי היתר ו' נקח מרובע חציו שהוא ט' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד' נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ

להוציא קו העגול מן קו האלכסון

חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב

והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים

וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר

ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים

וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח

וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים

ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש בקו הסובב וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אלי' ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו

וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה

והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש

ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול

והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון

ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד

דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בששית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ

וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה

ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' והנה הנמשלים ב' וג' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו' נחסר אחד למוסד ישאר ה' ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה

אך עשו כן כדי להקל על התלמידים

תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה

ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא

Abziehen (מן), חסר (מן) גרע addieren חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) Addition חבור Arithmetik חכמת המספר, חכמת החשבון Arithmetiker חכמי המספר, חכמי החשבון Astronomen חכמי המזלות Astronomie חכמת המזלות Aufgabe שאלה ausrechnen הוציא ausziehen (z. B. Wurzel) הוציא Beispiel דמיון Bogen קשת Bruch שבר Centrum נקודה Decimen עשיריים Dekade מספר) כלל) Differenz מרחק (מן) Dividendus (מספר) המחולק dividieren חלק (על) Division חלוק Divisor (מספר) המחולק עליו Doppelbruch שבר השבר Doppelte כפל Dreieck משולש Dnrchmesser אלכסון Einer פרטים, אחדים Figur צורה Flächeninhalt שברים ganz שלם Geometrie חכמת המדות gerade Zahl מספר זוג gesucht מבוקש gleich שוה gleichschenklig שוה השוקים Grad מעלה herauskommen עלה, יצא Kreis עגול Messkunde חכמת המדות Million אלף אלפים Minuten ראשונים Mittelpunkt נקודה Multiplikation כפל multiplizieren כפל (על) Musik חכמת הנגינות Nenner מורה Null סיפרא, גלגל Oktaven שמיניים Paarzahl מספר זוג Peripherie הקו הסובב Pfeil חץ Primzahl מספר ראשון Probe מאזנים Probezahl מאזנים Produkt המחובר Proportion (s.Verhältnis) ערך Quadrat מרובע Quadratwurzel שרש מרובע Quarten רביעיים Quinten חמישיים Quotient היוצא בחלוק rechnen חשב Rechnung חשבון Rest הנשאר Resultat העולה, היוצא Schema דמיון Schenkel שוק Sehne יתר Seitenzahl פאה Sekunden שניים Septimen שביעיים Sexten ששיים Stelle מעלה Sternknnde חכמת המזלות Stufe מעלה subtrahieren חסר (מן), גרע (מן) Subtraktion חסור, מגרעת Summe סכום, מחובר Teil חלק teilen חלק (על) Terzen שלישיים Überschuss תוספת, יתרון überschüssig נוסף ungerade Zahl מספר נפרד unpaar נפרד verdoppeln כפל vervielfältigen כפל Verhältnis ערך arithmetische Verhältnisse ערכי החשבון geometrische Verhältnisse ערכי המדות harmonische (musikalische)Verhältnisse ערכי הנגינות Viereck מרובע Wurzel שרש Zahl חשבון, מספר Zahlenlehre חכמת החשבון, חכמת המספר Ziffer אות, חשבון, מספר zusammengesetzte Zahl מספר מורכב

F14649 ל"ז1

	שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים אמר אחד מהם אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם אמ' השני אני אתן מה שבידי ואתם שליש שניכם ענה השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית שניכם כמה יש ביד כל אחד ואחד
	תשובה נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב
	והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז יעלו כ"ט
	תסיר מהם הי"ז ישארו י"ב נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים
	וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים
	וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו היו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני
	וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי
	דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן
	והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים
	המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה' הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה' ר"ל ג' חמישיותיו
	והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג' הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו
	וככה ערך י' אל י"ו הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י'
	דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה או מרובע ארוך כזה
	על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים
	וכשתכפול השברים על השלמים כאמרנו כפול ד' על חצי הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה
	כפול שברים על שברים כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית
	וכאשר נכפול שלמים על שלמים כאמרנו כפול ד' על ד' יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב' יהיה מרובעו ד'
	ככה הענין בשברים על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר
	אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב כי לעולם הגדול נחלק על הקטן כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול
	ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו
	דמיון חלקנו י"ו על ב' עלה ח' הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב' אם כן יהיה ארכו ח'
	ואם חלקנו שלמים על שברים כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד
	ועל כן נחלקנו שברים על שברים ממינם יהיו שלמים
	כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי
	על כן כשנחלק מעלות על מעלות או על ראשונים או על שניים או על איזה חלקים שנרצה יצא בחלוק מעלות שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב
	ואם חלקנו ראשונים על שניים יצא בחלוק מעלות גם כן
	כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות
	ואם תחלק הקטן על הגדול ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק
	שאלה שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם נרצה לדעת כמה ביד כל אחד
	תשובה שמחיר הדג למעלה מי"ב הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג יהיה כ"ד פשוטים ומחצה
	הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון
	ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני
	ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי
	ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה מחובר עם המחיר
	וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר
	ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג או מחיר דבר קנוי
	דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד
	נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד'
	וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג
	והנה המורה ד' כמו שאמרנו נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון
	והב' שליש וד' יהיו ו' והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני
	הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך
	וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים
	ודמיון לשלשה ככה שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה
	וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי וככה מחיר הדג
	אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה
	וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר
	וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית וכן עד אין קץ
	שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד
	תשובה דע כי דמי הדג דמי הדג היו י"ז פשוטים והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג
	וכיצד הוצאת החשבון נבקש תחלה המורה וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד'
	אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה
	אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו וישאר ג' תמצא שהוא ו'
	וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב ונמצא שעולין כ"ט
	עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' וזהו ממון הראשון
	עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח תוציאם מכ"ט וישארו י"א והוא ממון השני
	עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי
	וכולם על זה הדרך
	חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר
	אלה שמות האצבעות גודל אצבע אמה קמיצה זרת
	פרק אמצעי של זרת קרוי א'
	אמצעי של קמיצה קרוי ב'
	אמצעי של אמה עמהם קרוי ג'
	כשתסיר הזרת קרוי ד'
	כשתסיר הקמיצה קרוי ה'
	כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו'
	זרת שוכב קרוי ז'
	קמיצה עמו קרוי ח'
	אמה עמהם קרוי ט'
	הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט'
	גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק'
	כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל'
	גודל על אצבע מ'
	גודל על הכף קרוי נ'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס'
	גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע'
	פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ'
	אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ'
	עד כאן ביד ימין
	וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה אלף
	כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק'
	גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר'
	שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש'
	גודל על אצבע קרוי ת'
	גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים
	כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך
	והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע
	שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס'
	תשובה נשים המורה והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה
	עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת
	וככה תעשה כפול ס' על כ' יעלו ת"ר תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו שברים וזה חלק בעל השליש
	עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט והוא חלק בעל הרביע
	עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח והוא חלק בעל החומש
	והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס'
	וכן כל כיוצא בזה
	ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו'
	שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' ונש' ונשארו עשרה כמה הוא הממון
	תשובה נאמר כי השאלה היא כ"ד
	נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י'
	נסיר ב' מי' ונשארו ח' ועדיין לא יצא אמתי
	אם כן נעשה הרביע ובתחלה נעשה המורה והוא שנכפול ג' בד' ויעלו י"ב והוא המורה
	נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים והם המורה שהוא י"ב ומה שנשאר ממנו אחר הסרת שלישיתו ורביעיתו שהם נשארים ה' והג' הידוע הוא הי"ב של השאלה והד' נעלם
	מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים
	ואם תבדוק תמצאנו אמתי
	שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות ותשאירו לי ככר לחם אחד יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות
	תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר
	שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר כמה בהמות היו לו מכל מין
	תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים הרי י"ו עמרים נתן לח' החמורים ד' עמרים הרי כ'
	שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט כמה לקח מכל מין
	תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים הרי ק' עופות וק' פשיטים
	שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח והוא השיב לו אכניסך לגן ללקוט על מנת שתתן לי מחצית התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח ולא ישאר בידך אלא אחד והאיש אמר לו כן דברת נכנס ומצא שוער שני ואמר לו הכניסיני בגן השיב השוער על מנת שתתן לי חצי התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח נכנס עוד ומצא שוער שלישי והשיב כאשר השיב השוער השני ואז נכנס בגן וליקט תפוחים ונתן לכל אחד כפי דברו ונשאר בידו תפוח אחד א"כ כמה תפוחים לקט מן הגן
	תשובה מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח מזה ידענו שליקט נפרדים
	ועתה נוציא מספרים הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני
	נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי
	נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט
	[נכפלם] ועולים ט"ו עתה נ
	כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה
	קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה
	דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות הנה הקוטר ז'
	כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת
	וכל זה בעגולה השטחית
	אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר על כל הקו המקיף ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור
	דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד והוא תשבורת הכדור
	ולדעת שטח כל הכדור נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש
	כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר
	קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך
	דמיון תרצה למצוא שורש ט'
	קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט'
	דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו
	קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו
	שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית
	ונעשה החשבון ככה נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה
	עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו
	עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות
	ז'ל'ל ש'ל'ע'

Notes
	↑ Mo marg. פי' ספר כתב הלשון ספר הדבור; P1052 top במשמע' שפה ↑ וְסִפּוּר: P1052 top מניי' סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: B com ביאור ההקדמה הנזכרת. סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר פי' כי הדבור אצל ציור הלב והרעיון בצורה הנראת כמראה אצל עצם הדבר אשר היא צורה לו כי הציורים הם בשכלו נמצאים והציור הוא צורת עצם הדבר והדבור חקוי הציור והמכתב חקוי הדבור והם ספר וספר וספור. ובעל ספר יצירה לא זכר מציאות העצם שהוא העקר והקודם אבל השלשה הנמצאי' בנתיבות החכמה כך פי' אדונינו מאור הגולה החבר הידוע ר' משה בר' שמואל בן תבון ז"ל ↑ P1052 marg. איק בכר גלש הא' מן איק הוא ראשו' ל[אחדים] והיו' הו' ראשו' לעשריו' והקוף הו' ראשו' למאו' ↑ והאות על זה: B marg. ר"ל היות כל מספר סובב על ט'; B com. האות על זה. ר"ל האות על היות כל מספר סובב על ט'; W194 marg. כלומר על היות כל מספר סובב Mu43 פי' והאות על היות כל מספר סובב על ט' והוא תכלית כל מספר כי כש[תכפ]ול ט' על כל המספרים שמא' עד ט' לעולם המחובר ט' לפי מספר האותות הצורה זל וזה א'וח' וזה ב"ז ג"ז ד' ↑ כשתעשה עגול: B. com כשתעשה עגול וכו'. וכן היה יכול ליתן הבדל אחר כי כשתכפול ט' על עצמו או על ח' או על ז' או על ו' תמצא האחדי' שבמקו' העשרות יתרים במספרם מן האחדי' עצמם. ומה' ולמעלה וה' בכלל הדבר בהפך ר"ל שהאחדים עצמם יתרים על העשרות וזה כי ט' על ט' הם פ"א הנה ח' שהוא עשרות יתר על א'. וט' על ח' ע"ב הנה ע' שהם עשרות יתרי' על ב' שהם אחדים. ומהחמשה ולמטה יהיו האחדים עודפי' על העשרות ↑ נקרא חשבון עגול: B com נקרא ה' חשבון עגול. ר"ל שימצא במרובעו ואע"פ שבששה ימצא כן אמנם ששה לא ישמור מרובעו במעוקבו כי כשתכפול ו' על ו' יעלו ל"ו ואחר תכפול ו' על ל"ו לא ישאר הל"ו בצורתו. אך ה' פעמ' ה' שהוא כ"ה אם תכפלם על ה' ישמור צורתו עצמו ויעלה קכ"ה וזהו הכפל הגמור כי אחר שכפלנו ארכו על רחבו שהוא השטח נכפלנו בעמקו ונחלק הגבוה לה' חלקי' שוים שכל אחד ה' על ה' ↑ כדמות גלגל: W152 marg. היינו שנקרא בימינו אלה אפס או נול ותמונתו 0 ↑ כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים: B com כי אי"ק יחזור באלפים. אי"ק הוא סוג לכל המספרים כי כל מספר הוא אם א' או י' או ק' כי אלף הוא באחד וי' אלפי' ישובו לי' וק' אלפי' ישובו לק'; P1050 marg. וככה נקרא כל אותיות שתמצאם כתו' זו לפני זו כתו' איק בכר גלש כי א' מורה אחדי'. י' מורה עשרו'. ק' מאות. ב' אלפי. כ' עשרת אלפי'. ר ק' אלפי'. ג' אלפי אלפי'. ל' י' אלפי' אלפי'. ש' ק' אלפי אלפי' וכן עד עולם. וראה ועשה א י ק ב כ ר ג ל ש 9 8 7 6 5 4 3 2 1 וכן אם תמצא מספר אחר תקראהו לפי זה הסדר כגון כזה א י ק ב כ 1 9 7 5 3 וכן אחר כזה א י ק ב כ ר ג ל 9 7 0 5 4 0 2 0 זהו סדר הקדימה שנלמדת ראשונה ↑ W152 היינו האפס באמצאו למשל 501 וכן הלאה ↑ הכפל: B marg. מולטיפליקארי ↑ לכפול חשבון על עצמו: B com לכפול חשבון על עצמו. כמו כ"ה על כ"ה ↑ או על אחר: B com או על אחר כמו כ"ה על כ"ד ↑ או לכפול חשבון אחד על שנים חשבונות: B com או חשבון אחד על שנים. ככפל עשרות על מאות ועשרות ↑ או רבים על רבים: B com או רבים על רבים. כמו אחדי' עשרו' ומאות עם אחדי' עשרו' ומאות ↑ החלוק: B marg. פארטירי ↑ על המאזנים: B com על המאזנים ר"ל האות המעיד המורה על אמתת הכפל או החלוק וחלופו ↑ החבור: B marg. סומארי ↑ לחבר מספר אל מספר: B com לחבר מספר על מספר. כגון שתרצה לחבר יחד מספרי' רבי' במספרי' רבי' נכתוב אלו המספרי' בשורות שורות ונחבר האותיו' ביושר כאלו היו אחדים והעולה על עשר אם אין בו אחדים נכתוב גלגל ונשמור א' ואם יש עמו אחדים נכתוב האחדי' ונניח הכלל ונשמרהו. כמו שיתבאר במקומו ↑ החסור: B marg. סוטְרַארֵי ↑ לחסר מספר ממספר: B com לחסר מספר ממספר. כלו' לגרוע מספר ממספר אחר רב ממנו ולדעת הנשאר ↑ W152 marg. לחזור על הטעם של [הטענה] דרך כזה ↑ במספר השלישי: V398 marg. פי' במעלה השלי' ↑ V398 marg. פי' להכיר מה שבא אחריו מן המספר באיזה מעלה היא ↑ P1051 marg. פי'ק' ר"ל מכפילת הטור העליון עם השפל ↑ V398 marg. בספר אחר ראיתי הדרך אחרת ↑ יוצא אל כלל: Mo30 marg. ר"ל מגיע עד מדרגת העשרות ↑ P1051 marg. אינו מן הספר; V398 marg. ו' ד' ג' ב' ↑ V398 marg. ט"ו י' ו' ה' ג' ↑ V398 marg. ק"פ ק"כ צ' ע"ב ס' מ"ה מ' ל"ו ↑ P1051 marg. פי' ק' ואחר כך תמצא אמתתם במעלתם ↑ P1051 marg. פי' ק' מהמספר האחרון שבטור העליון ↑ Mo30 marg. ר"ל כשנתחיל מהאחדים ↑ P1051 marg. פי' ק' פי' שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק ↑ P1051 marg. פי' לפני הנכתב שנית שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק ↑ P1051 marg. ק' פי' על ד' ↑ P1051 marg. פי' נחשוב אותו עשרה ↑ ראשון לאחרון: Mo30 marg. ר"ל קודם האחרון ↑ P1051 marg. פי' ק' כדי שיתחלק עליהם ג' ראשון שבטור השפל ויהיו י"ג נחלקם על הג' נתן לו ג' ואע"פ שיספיק לתת ד' לא נתן עולה כי אם בשוה מה שנתננו לאחדים בחלוק וישארו ד' על הג' ↑ לו: P1051 marg. פי' לאות האחרון מהטור העליון ↑ P1051 marg פי' ק' ולא יספיק לתת ב' לט' כאשר נתננו לב'
Apparatus
	↑ באמונה: Mu150 ב^אמונה ↑ בו: Mu150 top ↑ ראה ... בתבונה: B עמ"י עש"ו בהנו"א; Lo27153 בשם השם אמן עמ"י עש"ו; Lo10785 בהנו"א עמ"י עש"ו; V397 ע"ז; Mu43; O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 om. ↑ ספר המספר: B ס' יסוד מספר; Lo27153 אתחיל לכתוב ספר המספר מאע"ז ז"ל; Mu43 לק"י אתחיל ספר המספר לר' אברהם אבן עזרא ז"ל; Lo10785 ספר המספר להחכם ר"א ן' עזרא; O187 מספר לר' אברהם בן עזרא; P1029 מספר ר' אברהם ן' עז'; P1050 ספר המספר להחכם ר' אברהם אבן עזרא נ"ע; V397 ספר המספר שחבר החכם ר' אברהם ן' עזרא ז"ל; W152 ספר המספר לא"ע נ"ע; Mu150; P1051; V171; V386; W194 om. ראה ... המספר: Mo30 עמי עשו ספר המספר לכ' אברהם ב"ע ז"ל ספר המספר [לכבוד הר'] אברהם ן' עזרא הספרדי ז"ל ראו ספר מחוקק באמונה . ובו תמצא לכל מספר תכונה אשר חבר בנו מאיר למאיר . קטן שנים ורב שכל תבונה Mo30 marg. ספר המספר להראב"ע וס' התשבורת לאבו בכר כי [...] N2627 ב"ה ספר חכמת המספר לראב"ע ז"ל ראה ספר מחוקק באמונה. ותמצא בו לכל מספר תכונה אשר חברו בנו מאיר למאיר. קטן שנים וחכם בתבונה ספר יסוד מספר ובו יתאסף. כל סוד במדות נחמד מכסף מכתב לאברהם בנו מאיר ז"ל. רבי שלמה בן כבוד רב יוסף P1052 ספר המספר ראו ספר. כליל שפר. יסוד מספר. שמו נקרא לאברהם בנו מאיר. ספרדי. אבן עזרא ↑ בעבור: Mu43 אמר בעבור ↑ הנשגב: O187 om.; V171 הנה' ↑ לבדו: Lo10785 לבדו ב"ה; N2627; V171 om. ↑ בעולם: Mu43; O187; V171; W152; W194 העולם ↑ העליון: P1050 om. ↑ גדולות: P1029; P1051 om. ↑ את: B top; V171; V397 om. ↑ שהוא: Lo27153; P1050; W194 שהיא; B שהוא marg. נ' שהיא ↑ שהוא העולם: V171 שהעולם ↑ ובעל ספר: O187 וספר ↑ ספר יצירה: V171 ס"י ↑ אמר: O187 אומר ↑ החכמה: O187; P1029; P1051; V171; V397 חכמה ↑ וספר: P1051 om. ↑ בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: Lo10785; Mo30 בסֶפֵר וסְפַר וְסיפור ↑ הַסְּפָר: Mu43 הַסְפַר; N2627; P1050 המספר; P1052 הספור; V171 הסופר ↑ תשעה: V171; V397 הם ט' ↑ תשעה: Lo10785; Mo30 הט' ↑ חשבון: P1052 מספר ↑ ואלה: P1052 ואלו ↑ יקראו: P1029 יקרא ↑ האחדים: Lo10785; Mo30 כאחדים; Mu43; N2627; P1029; V397 אחדים ↑ הראשונה: N2627; P1029; V397; W152; W194 ראשונה; P1052 הראשושנה הראשונה marg. יקראו האחדי' שה' במע' הרא' היה הנקודה ↑ עשרה: Mu43; N2627; P1029; P1051 העשרה; V171 היוד; V386 יוד ↑ דומים: B; Mo30 (marg.); Mu150; P1051; V171; V397 דומה ↑ לאחד ... לשנים: Lo10785 ל ↑ שני: P1050 שתי ↑ והיה: P1051 יהיה; V171 שיהיה ↑ שיקראוהו: Lo27153 ~~שיקרואו~~ שיקראוהו; Mu43; P1051 שיקראהו; O187 לקרות; P1050; P1052 שיקראו ↑ עֶשְׂרַיִם: Mu43 עשָרים; O187 עַשַרַיִם; P1052 עֲשָרָיִים; B עֲשַרָיִם marg. נ' עֱשְרַיִם ↑ יקראו: O187; V171 קראו ↑ ממאה: V171 מהמאה ↑ ומאלף: V171 ומהאלף ↑ רק בעבור: Lo10785 om. ↑ אחריו: Mu150 לפניו marg. אחריו ↑ שהם: Lo10785 om.; V171 שלהם הבאים אחריו שהם: P1051 om. ↑ שלשים: V397 משלשים ↑ נהגו: B; O187 נהגוהו; V171 יהגהו ↑ נהגו כמנהגם: Lo10785 נהגו ר' נהגם ↑ שלשים: P1052 om. ↑ שלש: O187 שלש וארבעים מגזרת ארבע ↑ כלם: Lo10785 om. ↑ מאה: III המאה ↑ דומה: P1050 דומים; W194 הדומה ↑ גם: III; Mu43 וגם ↑ לעשרה: P1029; P1050 עשרה ↑ ומאתים: Mu43 ומתים ↑ דומה: P1052 דומים; P1051 om.; B דומה marg. נ' דומים ↑ לשנים ... לעשרים: B; Lo27153(marg.); O187; P1051; V171 לעשרים גם לשנים; Mu43 לעשרים וגם לשנים דומה ... לעשרים: Lo10785; Mo30; Mu150; P1050; V386; V397 דומים לעשרים גם לשנים; W152 דומה לעשרים; W194 marg. דומים לעשרי' ↑ ראשי: P1052 ראשים ↑ למספרים: Mu150 ^למספרים כללים למספרים: V171 מספרים כלליים ↑ אחריהם: O187 om. ↑ שהם: Mu43 שמהם ↑ א'י'ק' ב'כ'ר': Lo10785, Mo30; Mu150; N2627 (adds in marg.); V386 איק בכר גלש דמת הנך וסם זען חפף טצץ; W152 א'ק' [marg. א'י'ק'] ב'כ'ר' ג'ל'ש' ד'מ'ת וכו'; Mu43; O187; P1052; W194 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'; P1029 אי"ק בכ"ר גל"ש דמ"ת ↑ והאות על זה: W152 כלומר על היות כל מספר סובב והאות על זה ↑ כשתעשה: Lo10785; Mo30 כי כשתעשה ↑ עגול: W152 top ↑ סביבו: O187 סביבותיו ↑ תשעה: P1051 התשעה ↑ תשעה על: Mu43 שעל ↑ והטעם: Lo10785 ומטעם ↑ להיותו: Mu43; N2627; O187; P1029 להיות ↑ תראה זה: P1052; V386 om. ↑ תראה ... הוא: Lo10785; Mo30; Mu150 שהוא ט' פעמים ט'; P1050 om. ↑ המרובע: Lo10785; Mo30; O187; V397 מרובע ט'; Mu150; P1029; V386 המרובע מהט' ↑ אחד ושמונים: B; Lo10785; Mo30; O187; P1029; V171 פ"א ↑ והנה: N2627 om. ↑ האחד: V386 האלף ↑ של: O187 שלם ↑ תשעה: O187 om. ↑ ראש האחדים: Lo10785; Mo30 הראש לאחדים ↑ שהוא: O187 om. ↑ שמונים: P1050 השמנים ↑ המחובר: V397 המרובע ↑ ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הב' ↑ לשמאלו: V171 של שמאלו ↑ שהוא: O187 שהיא; P1052 om. ↑ כנגד: P1029 om. ↑ ע': P1052 העין ↑ תכפול: Lo27153 marg.; W194 om. ↑ ט' על: Mu43 שעל ↑ ז': Mu43 ו' ↑ המחובר: Lo10785; Mo30 המרובע; V171 מרובע ↑ והנה: Lo27153; Mu150; P1052; V386 ויהיה ↑ והנה ג': Lo10785; Mo30 וג' הוא ↑ וו': Mu43 וז' ↑ לימינו שהוא כנגד ס': P1050; W152 שהוא כנגד ס' לימינו; B ~~לימינו~~ שהוא כנגד ס' ^לימינו ↑ המחובר: P1052 om. ↑ והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה ↑ לשמאלו: V171 משמאלו; V397 לשמאל ↑ וה': V386 והא' ↑ שהוא: V397 om. ↑ נ': V386 נון ↑ לימינו: V171 om. V397 מימינו שהוא ... לימינו: O187 לימינו שהיא חמשים ↑ חשבון: Mu43 החשבון ↑ חמשה: V386 הא' ↑ מספרים: B; Lo10785; Mo30 המספרים ↑ על: P1051; V397 ועל ↑ על כן: V171 ע"כ ↑ מתגלגל: Lo10785 מ' מתגלגל ↑ מרובעו: O187 om. ↑ כי מרובעו יש בו חמשה: P1050 marg. ↑ תכפול: Lo10785 om. ↑ ט' על ה': O187 חמשה על ט' ↑ בעגול: P1050 top ↑ כי: V171 om. ↑ יהיו: Lo10785; Mo30 om. ↑ ט': B; V171 om. ↑ ט' והכללים: Lo10785; Mo30 וט' הכללים ↑ המחובר: Lo10785; Mo30 מחובר ט' על ה' ↑ הוא: Lo10785; Mo30 רוא'; P1052 יהיו ↑ הה': Lo10785; Mo30 ה' הוא; Mu43; Mu150 ה' ↑ ט': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הט' הוא האחדים; P1029 ט' הוא האחדים; P1051 ט' והנה האחדים; V171 ט' האחדי'; V397 ט' והוא האחדים הה' מפאת ימין ט': O187 מפאת ימין ט' והה' הוא האחדים ↑ והכללים: V397 ו^הכללים הוא ... והכללים: N2627 om. ↑ והכללים לשמאלו שהוא: O187; V171 om. ↑ ד': O187; V171 והד'; P1029; P1051; V397 הד' ↑ המ': Lo10785 om.; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 מ' ↑ ט' על ד': O187 ד' על ט' ↑ והנה ג': O187 והג' ↑ שלשים: V397 הל'; P1029 ל' והו' כנגד ששה ↑ ט': Mu43 om. ↑ ט' על ג': N2627 ט' לג'; O187 ג' על ט' ↑ והנה: V386 והוא ↑ ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 הב' ↑ עשרים: Lo10785; Mo30; P1050 העשרים; P1029 כ' וז' כנגד ז'; V171 כ"ד ↑ ט': Lo10785; Mo30; Mu150 הט' ↑ ט' על ב': O187 ב' על ט' ↑ והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה; Mu43 והוא ↑ עשרה: N2627 העשרה; P1029 י' וח' כנגד ח'; P1051; V397 עשרה וכאשר תכפול ט' על א' יהיו ט'; O187 עשרה וכן נעשה בדומה העשרות צ' על צ' יעלו 00אח וכן כולם וכן נעשה בדומה המאות תת"ק על תת"ק יעלו 0000אח וכך כולם ↑ על: V386 ועל ↑ על כן: V171 ע"כ ↑ מספר: Lo10785; Mo30; W152 מספר ט'; Lo27153 top.; O187; V171 כל מספר; Mu43 המספר ↑ כפול: Mu43; O187 om. ↑ אחר: O187 האחדים; P1029 אחרים ↑ הם: Lo10785; Mo30 הוא; O187 הן ↑ אחר ... ט': Mu43 אחד מהם ↑ P1052 צורה בכתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 marg. צורת אותיות הודו א ב ג ד ה ו ז ח ט ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩; V386 צורת כתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 ↑ על כן: V386 om. ↑ עשו: N2627 עשו זה ↑ מספרם: Lo10785; Mo30; Mu150 המספרים ↑ על כן עשו ... על תשעה: O187 om. ↑ מספרים: Lo10785; Mo30 המספרים; Mu43 מספרם; B מספרים והם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; N2627 מספרים marg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9; O187 מספרים ואלו הם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; V171 מספרים אלה ואלה הם ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩; V397 מספרים marg. 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1 תשעה ... מספרים: III ט' אותיות; Lo27153 marg. אילו הם 9 8 7 6 5 4 3 2 1; P1050 ט' אותיות 1 2 3 4 5 6 7 8 9; marg. ועשו צורות לט' מספרי' והם אלו ↑ במקומם: Lo10785; Mo30 תחתיהם; N2627 במקומן; P1029 למקומן ואני כתבתי במקומם: B ובני ישראל די להם מאותיו' התורה; P1050 marg. כי בני ישראל די להם מאותיו' התורה ↑ א' ... ט': P1029 om.; Mu43 א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' צורת אנשי הודו ואני ... ט': O187; V171 om. ↑ אם: V397 om. ↑ יש בידך: Mu150 marg.; P1050 top; O187 יש בידו ↑ מספר: Lo10785; Mo30 מספרי; P1051 מספר^ים; O187; V386 מספרים יש בידך מספר: III; P1029; V397 מספרם; Mu150; P1052 מספרים; N2627 המספרי'; V171 תספרם ↑ אחדים: B; P1050 באחדים ↑ ותחלת: B; V386 לפני; P1051 לפני תחלת; P1050 ^{נ"א לפני} ותחילת ↑ הכללים: P1029 הכללים ותחלת האחדים אם יש ... הכללים: B marg. ס"א אם מספרם אחדים ותחילת הכללים ↑ עשרות: B; P1052 העשרות ↑ בתחלה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 תחלה; V386 תחלת ↑ בתחלה מספר: N2627; P1029 בתחלת המספר ↑ האחדים: Lo10785; Mo30 הכללים Mo30 marg. האחדים; Mu43 אחדים ↑ הכלל: B; P1050; V386 הכללים P1050 marg. ואם יש בידך אחדי' הרבה ותרצה לכתבם בדרך שלא תטעה שיהיו כללי' כתו' אותם זה למטה מזה וכן בכללי' [..] תרצה לכתוב א' ב' ג' ד' ה' מאחדי' וכן כ' ל' מ' נ' מעשרו' וכן ממאות ואלפי' וכל המדרגות [...] ↑ ואם אין: Mu43 ואין ↑ לו: B top; O187 om. ↑ האחדים: B; Lo10785; Mo30; V171 באחדים מספר האחדים: O187 במספר אחדים ואחר כך מספר הכלל ואם אין לו מספר האחדים: P1052 om. ↑ מספר: N2627 במספר ↑ שהם: O187 שהיא ↑ העשרות: Lo27153 הע^שרות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1029; P1051; P1052; V386 עשרות ↑ ישים: P1029 ישים לפניו ↑ גלגל: B גלגל 0; Lo10785; Mo30; Mu150; N2627; P1052 גלגל כזה 0; P1029 גלגל זה 0 הנקרא סיפרא ↑ בראשונה: Mu150; P1029; P1052 om.; V386 בראשונה כזה 0 ↑ להורות: P1029 והוא להורות ↑ כי אין: N2627; P1029 שאין ↑ הראשונה: N2627 ראשונה ↑ מספר: Mu150; V171 om.; P1052 מספר ~~במעלה~~ במעלה הראשונה מספר: Lo10785; Mo30 מאומה במעלה הראשנה; V386 מספר במעלה הראשונה ↑ ויכתוב: P1052 ויספור ↑ המספר: Mu43 מספר ↑ בעשרות: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 מן העשרות; V397 העשרות ↑ בעשרות אחריו: O187 אחריו בעשרות ↑ שלו: O187 שיש לו ↑ מהמאות: B; V171 במאות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 מן המאות; P1029 ^ממאות ↑ ומהעשרות: B ובעשרות; Mu43 והעשרות; P1029 ועשרות מהמאות ומהעשרות: V386 מן העשרות ומן המאות ↑ גלגל: V386 הגלגל ↑ כך: P1052 om. ↑ העשרות: P1052 העשרה ↑ ומספר: Lo10785; Mo30 אח"כ מספר; Mu150 ואחר כך מספר ↑ בשלישית: Mu43 בשלישי ↑ ואם: P1051 וגם marg. נ"ל ואם ↑ ואם יש לו מספר: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 ומספר ↑ ברביעית: N2627; O187 יכתבנו ברביעית ↑ עשרת: N2627 עשרה ↑ מאות: Mo30; Mu43; Mu150; N2627; P1051; P1052; V386 מאת; O187 מאה; P1029; P1050; V171 ק' ↑ אלפים: III; Mu150; O187; V386 אלף ↑ בששית: Lo27153 ^בשישית ומספר מאות אלפים בששית: Lo10785 om. ↑ א'י'ק': Lo27153; W194 א'י'ק' ב'כ'ר'; W152 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש' ↑ יחזור: Lo27153 חזור marg. ר"ת חוזר ↑ לאלפים: Mu150; V386 אלפים; P1029 om.; P1051 כאלפים ברביעית לאלפים: B; O187 לאלפים ברביעית; P1050 באלפי' ברביעית; V171 אלפים ב' יחזור בש א'י'ק' כי ... לאלפים: Mo30 marg. כי אי"ק בכ"ר יחזור לאלפים ברביעית ובשביעית ↑ ובשביעית: V171 בשביעית ↑ לאלף: Mo30 אלף ↑ אלפים ובעשירית לאלף: P1050; P1051 om.; V397 ~~[...]~~ ובשמינית לי' אלף אלפים ובתשיעית לאלף אלף אלפי אלפים ובעשרות לאלף ↑ אלפים: Mu150 אלפים ובמעלת י"ג אלף אלפי אלפי אלפים; P1029; V386 אלפים ובמעלת י"ג לאלף אלפי אלפי אלפים ובעשירית לאלף אלפי אלפים: Mo30; O187; V171 om. כי א'י'ק' ... אלפי אלפים: Lo10785 om. ↑ וככה: Mu43 om. ↑ קץ: V386 חקר קץ ↑ יש: Mu150 ~~אין~~ יש ↑ עשרות: Lo10785; Mo30; V397 מספר עשרות ↑ מספר אחדים ... יכתוב: P1051 twice ↑ מספר: III; Lo10785; Mo30; P1050 om.; V386 במספר ↑ האחדים: P1051 האחד; V171 אחדים מספר האחדים: V397 ~~מספר המאות~~ מספר האחדים ↑ ומספר המאה: Lo10785; Mo30 ומאה; N2627; O187; P1029; P1050; P1051; P1052; V171; V386; V397 ומספר המאות ↑ ועל זה הדרך: Lo10785 ועז"ה; V171 וע"ז הדרך; B ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו; N2627 ועל דרך זה ↑ ישים: O187 יעשה ישים ↑ שנים: P1052 שני ↑ ישים שנים גלגלים בראשונה: B לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים; V171 תוכל להשים שנים גלגלים בראשונה ↑ או כפי ... אין חקר: B כפי מה שיצטרך לו בראש ↑ או באמצע: Lo10785; Mo30 om.; Mu150 או ב^אמצע; O187 וכן באמצע; P1051 בראש או באמצע; B או באמצע וזה דמות הגלגל 0 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח [תהילים פג, י"ד] ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז שמו סִיפְרָא ישים ... או באמצע: P1050 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח ואינו אלא לשמור המעלות ובלע' סיפרא marg. [יע]שה לשמור [מע]לו' הגלגל [לפי] מעלות [ה]גלגל שיש לו [י]שים גלגל [בר]אשונה או [שני] גלגלים [או כפי] מה אז [ש]יצטרך לו [ב]ראשו' או [ב]אמצע וזה דמות גלגל 0 ועל זה הדרך ... או באמצע: B marg. ס"א ועל זה הדרך ישים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע ↑ אזכיר: N2627 אזכור ↑ זה: Lo10785; Mo30; P1050 om. ↑ הספר: V397 ~~המספר~~ marg. הספר; P1050 המספר ↑ ונאמר: P1029 om. ↑ שהם: Mu150; P1052; V386 כי הם ונאמר שהם: Lo10785; Mo30 והם ↑ שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה: O187 שערי זה הספר וזה דמות גלגל 0 וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם שבעה; V171 שערי זה הספר וזה כדמות הגלגל וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם ז' ↑ הא': III; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 הראשון; Lo10785; Mo30 הראשון הוא שער הכפל; B; O187; V171 הא' שער הכפל ↑ לכפול: P1050 top כפל ↑ על עצמו: O187 בחשבון על עצמו; P1050 על חשבון על עצמו ↑ על: P1051; V397 עם ↑ כפל: B לכפול; Lo27153 ~~כפלי חשבונות~~ ^כפלי; N2627 על כפל; P1051; V397 בהכפל ↑ אחד: P1029 om. ↑ שנים: P1029 שני ↑ חשבונות: Lo10785; Mo30; O187; V171 חשבונים; P1051; V397 om. ↑ יותר: P1051 יתר ↑ כפל: B; P1051 om. או כפל: V397 om. ↑ חשבונות: B; Lo10785; Mo30; V171 om. ↑ על רבים: N2627 om. ↑ הב': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השני; V171 השני בחלוק; B הב' שער החלוק; O187 הב' בחילוק ↑ לחלק: Lo10785; Mo30 הוא לחלק ↑ כלל: Mu150 כפל חשבון כלל: P1029 כללי חשבון ↑ פרט: V386 פרט אחד ↑ שנים: III שני או שנים: P1029; V386 וב'; Mu43; Mu150; N2627; P1052; V397 ושנים ↑ על פרט או שנים כללים: P1051 om. ↑ פרט אחד: V397 אחד פרט ↑ כללים: III om. ↑ או: Mu43 om. ↑ ופרטים: P1050 על ופרטים ↑ פרטים: V397 הפרטים ↑ המאזנים: V171 מאזנים ↑ של: N2627; O187; V386 על ↑ שער: O187 שערי ↑ הכפל: V171 והכפל ↑ הכפל והחלוק: Mu150; P1052; V386 החלוק והכפל; P1029 כפל וחלוק ↑ הג': III; Mo30; N2627; P1050; P1051; V171; V397 השלישי; B הג' שער החבור ↑ בחבור: B; P1029 לחבר ↑ על: Lo10785; Mo30; O187; V397 עם; B; V171 אל ↑ על מספר: P1029 במספר ↑ פרט: V397 כלל עם פרט או פרט ↑ עם: Mu150; P1052; V386 על ↑ עם כלל: P1029 בכלל ↑ עם: Mu150; P1052; V386 על ↑ כלל: Mu43 פרט עם כלל: P1029 בכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת פרט עם כלל או כלל עם כלל: O187 כלל עם כלל ופרט עם פרט ↑ הד': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V171; V397 הרביעי; B הד' שער החסור ↑ לחסר: Mu43 להסר; P1050 בחסר; V171 לחסור ↑ מספר: Lo10785 twice; O187 ממספר ↑ פרט: Mu150; V386 פרט או ↑ מכלל: Mu43 om. ↑ אדבר: Mu150 om. ↑ שער: O187; P1051; V171; V397 שערי מאזני שער: Mu150 שער מאזני ↑ החבור: Lo10785; Mo30 החלוק ↑ גם אדבר ... והמגרעת: P1029 om. ↑ הה': III; Mo30; N2627; O187; P1051; V397 החמישי; Mu150 החמשה ↑ על השברים: Lo10785; Mo30 ידבר על השברים; B שער השברים ↑ על: Mu43 om. ↑ על דרכים: Lo10785; Mo30 מינים ↑ על: B עם marg. נ' על; Lo10785; Mo30; Mu150; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386; V397 עם ↑ שלמים: P1050 שלמים או שלמים ↑ ונשברים: P1050; P1051; V397 ושברים ↑ ונשברים: P1051; V397 ושברים; V171 om. ↑ עם: B עם marg. נ' על; N2627 על ↑ שלמים: V171 ונשלמים ↑ ונשברים: Mu43; N2627; W152; W194 ונשבריהם ונשברים עמהם או שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים: Lo10785; Mo30 ושברים עם שלמים ושברים ↑ למיניהם: Mu150; P1052; V386 הם למיניהם; V397 עמהם למיניהם ↑ עם: B; N2627 על ↑ או שברים: Mu43 om. ↑ על: Lo10785; Mo30; P1051; P1052 עם ↑ שברי: P1051 שברים ↑ או שברים על שברי שברים: V397 marg ↑ שברים: Mu150 marg. שברי שברים: P1052 שברים שברים ↑ על: Lo10785; Mo30; P1052; V397 עם ↑ שברי: P1050 שברי ~~שברי~~; P1052 om. ↑ או שברי שברים על שברי שברים: Lo27153; P1051 om. ↑ בין לחבר: P1051; V397 om. ↑ בין לחבר בין לגרוע: Lo10785; Mo30 בין לגרוע בין לחבר ↑ ומאזניהם: P1052 om. ↑ הו': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השישי ↑ בערכים: B שער הערכים; Lo10785; Mo30; Mu43; O187; P1029; P1051; V171; V397 בערכין ↑ מאד: Lo10785; Mo30 om.; V386 ממנו ↑ יוכל: Lo10785; Mu43; Mu150; O187; P1029; P1052; V386 נוכל; B יוכל האדם ↑ להוציא: III להוציא האדם ↑ רובי: Lo10785; Mo30; O187 רוב; V386 כל; Mu150 om. ↑ ורוב: P1029 והוא marg. ורוב ↑ ורוב הראיות: B ורוב ^הראיות; Lo10785; Mo30 והראיות ↑ מחכמת: Mu43 מחכמות ↑ מזה: B מן marg. נ' מזה; P1051 ממנו ↑ הערך: Mu43 השער מזה הערך: Lo10785; Mo30; V171 מהערך ↑ הז': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השביעי השער הז': V171 שער הז' ↑ על שרשי: Mu43 והוא שער נכבד מאד כי ממנו נוכל להוציא על שרשי; B שער השרשי' ↑ והמאזנים: B וכל המאזנים ↑ רבים: P1029 top הם רבים: B רבים הם ↑ תלויה: P1029; P1052 תלוי ↑ בשער הזה: Lo10785; Mo30; Mu43; P1050 בזה השער; Mu150; P1029; P1052 בשער זה ↑ וזה: V171 om. ↑ וזה השער: P1051; V397 וזה שער; B והוא ↑ חמור: Mu150 האמור ↑ השערים: Lo10785 השערים אשר; Mo30 השערים אשר לפניו ↑ ואין: Lo10785 om. ↑ במשכיל: P1051 להשכיל; P1052 למשכיל כח במשכיל: Lo10785; Mo30 בכח משכיל ↑ קדרות: P1052 סדרי קדרות; O187 קדר^ות ↑ ילמד: Lo10785; N2627; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386 ילמוד ↑ זה: Lo10785; Mo30 תחלה זה ↑ זה השער: P1029 שער זה; V171 השער הזה ↑ ויתרי: V386 והיתרים; Mu43 ויתר ידוע ↑ קשתי: O187 קשתות; V171 קשת; V386 וקשתי ↑ העגול: Mu43; Mu150; P1029; P1051 זה העגול ↑ יצאו: O187; P1052 יצא ↑ מהשער הזה: III; N2627; P1050 מזה השער; P1029; P1052 משער זה יצאו מהשער הזה: V171 om. ↑ ב': Mo30 ב' וזו הב' הנשארת על הה' בטור העליון לא נקנה על הב' בטור השפל אי אפשר אלא נשיב אותה כלה אחורנית על הד' אצלה ויהיו כ"ד נחלקם על הב' בטור השפל לא תוכל לתת לו יותר מח' בשביל הבאים אחריו ואותה הח' תכתוב אותה במקומה ממעל לה' הראשנה שבטור השפל ~~וממעל~~ ומתחת הג' הראשנה שבטור העליון ↑ MS St.P374 excerpt 1 begin. ↑ MS St.P374 excerpt 1 end ↑ MS N2624 end ↑ MS St.P569 excerpt 1 end ↑ MS N2561 begin. ↑ MS N2561 end ↑ MS St.P1385 begin ↑ MS St.P1385 end ↑ MS V530 begin. ↑ MS V530 end
Chapter One
	↑ הם: O187 הן ↑ המספר: P1051 ~~המעלות~~ המספר; P1050; W194 מספר ↑ והנה: P1050; III הנה; P1051 וזה ↑ כשיבואו: P1051 כשיבהו marg. נ"ל כשיהיו; P1052; W152 כשיבא ↑ שנים: Lo27153; Mu150; O187; P1052 שני ↑ לכפול: P1052 ~~לכלו~~ לכפ^ול ↑ על: V397 עם ↑ שיהיה: Mu150; P1052 om. ↑ על עצמו: P1050; III על עצמו כמו כ' על כ' ↑ או: P1052 בין ↑ על אחר: P1050; III על אחר כמו ‫(Lo כגון)‫ כ' על ל‫'; V397 על אחר כמו כ' על ב' או כ' על ל‫' ↑ בקש: P1051 בקשנו ↑ V398 begin ↑ כמה: P1050 om. ↑ מכפל: P1052 ותכפול ↑ ושמור: P1052 ותשמור ↑ אותו: V398 om. ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ ↑ שני: P1052 שתי ↑ שני החשבונות: Mo30; O187; P1051; V397 שנים החשבונים ↑ שיהיה: Mo30; O187; P1029 שיהיו; Mu150; V397 שהיה ↑ או: Mu150 בין ↑ בשתים: Mo30 בשני; Mu150; P1052 בשתי; P1051; V397 בשנים ↑ ממספר: P1051 ממספרם ↑ שתים: O187 השתים ממספר שתים: III משתים; Lo27153 ~~משנים~~ ^משתים; P1050 ^במספר משתים ↑ מעלות: P1050 ^המעלות שתים מעלות: Mo30; P1051; P1052; V397 שתי המעלות; Mu150 שני המעלות ↑ אחד: P1050 אחת ↑ במספר: Mo30; O187 המספר ↑ המעלה: P1050 מעלת במספר המעלה: III מספר מעלות; O187 הנשאר המעלה ↑ הנשאר: Mu150 הנ^אשר הנשאר; O187; V397 הנשארת ↑ במספר: V397 מהמספר; III om. ↑ השמור: III וכפי מספר המעלות כן תכתוב השמור (W152 השמור תכתוב) ↑ על טעם: P1052 בטעמי ↑ המוסד: V398 ~~אחר~~ המוסד ↑ האחד: P1029 אחת האחד; P1050 ^האחד ועוד ... האחד: Mo30 marg. ↑ בע"ה: Mo30; O187 om. ↑ רצינו: P1029 מצינו ↑ והנה: Mo30; Mu150; P1052 הנה ↑ שלשים: V397 השלשים ↑ שלשים שלשה: P1052 שלשים הוא שלשה; W152 ל' ^הוא ג' ↑ ודמיון: V397; V398; W152; W194 דמיון ↑ מאתים שנים: P1052 מאתים הוא שנים; W152 ר' ^הוא ב' ↑ כפלנו ב': V398 marg. ↑ והנה: Mo30; P1052 om. ↑ עלו: Mu150; P1052 יעלו ↑ וזהו: III; Mu150 וזה ↑ החשבון השמור: P1052 חשבון שמור ↑ מהמעלה: Mu150; P1029; P1052 ממעלה ↑ עשרות: P1050; III העשרות ↑ לו: P1052 אותו ↑ שנים: Mu150 ב' מעלות ↑ המאתים: Mo30 מאתים כי המאתים: P1050 שהמאתים ↑ מהמעלה: P1052 ממעלה ↑ כי הם: P1029 שהם ↑ שלשה: Mu150 שלשה מעלות ↑ עליו: Mo30; O187; P1029; P1050 אליו ↑ השנים: P1052 ב' ↑ ויהיה: Mo30; Mu150; P1050; P1051; P1052; III ויהיו ↑ נחסר: Mu150 ונחסר ↑ אחד: Lo27153 om. ↑ ישארו: Mo30; P1051 וישארו; O187 ישאר; V398 נשארו ↑ ידענו: Mo30 אמרנו; Mu150 הזכרנו; O187 ידעת ↑ הרביעית: O187 ^הרביעית ↑ לאלף: Mu150; P1052 לאלפים ↑ השמור: O187 om.; P1051 השמורי^ם ↑ היה: Mo30 הוא; P1029; P1051; V397 הם; P1050; III om. ↑ ששה: Lo27153 הששה ↑ והנה: Mo30 ויהיה ↑ והנה העולה: P1051 והעולה ↑ ששת אלפים: P1029 הם ו' אלפים כזה 000ו; Mu150 ו' אלפים כזו הצורה; P1052 ו' אלפים כמו הצורה ↑ דמיון: P1029 ודמיו' ↑ אחר: P1050 om. ↑ בקשנו: P1050 רצינו ↑ והנה ... ז': Mo30 marg. ↑ והנה: Mo30 עלו; mu150 והוא; O187 הם; P1029; P1051; V397 הנה; P1050; P1052; W152 והם ↑ והוא: O187 הוא; P1050 והנה ↑ מאתים: Mu150; P1052 המאתים; W152 הר' ↑ גם כן: Mo30; O187 om.; P1051 אם כן וז' מאות גם כן: P1052 וכן ז' מאות ↑ מהמעלה השלישית: Mu150; P1051; V398 מהשלישית ↑ נקח: Mo30 והנה נקח ↑ להם: O187; V397 לו נקח להם: P1051 נקרא לו; W152 ויהיו ↑ ונחסר: Mu150 ונחסר להם; W152 נחסר ↑ אחד: O187 ממנו אחד; V397 אחת; Mu150; P1052; W152 אחד למוסד ↑ הנה: Mo30; Mu150; P1052 והנה; W152 ישארו; Lo27153; W194 הרי ↑ וראש: P1051 נראה; V397 נראה ראש ↑ המעלה: O187 מעלה וראש המעלה: P1050; III והמעלה ↑ החמישית: Mu150 החמשית מעלת הרבבות שהם; P1052 החמישית מעלת הרבואות שהם; V397 חמישית ↑ עשרת: Mo30 הוא עשרת; P1052 עשר^ות; V397 הנה עשרת ↑ היה: Mo30 הוא ↑ במספר: P1052 למספר ↑ הזה: P1029 זה ↑ עשרת: P1052 עשרות ↑ עשרת אלפים: V398 ויהיה העולה עשרת אלפים הנה ... אלפים: Mo30 om. והשמור היה ... עשרת אלפים: P1050; III om. ↑ ויהיה: Mo30 א"כ יהיה; W152 ויהיו ↑ העולה: P1050; III om. ↑ מאה: Mu150; P1051; P1052; V397; III מאת ↑ אלף: P1029; P1051; V397 אלפים; P1050 om. ↑ אלף: P1050 אלף ר"ל ק"מ אלפי' מאה אלף וארבעים אלף: O187 ק"מ אלפים ↑ Mu150 כזו הצורה; P1052 כזאת הצורה ↑ ועל: Mu150; P1029; P1052 והנה על ↑ הסדר: Lo27153 ~~הדרך~~ הסדר ↑ קץ: O187 מספר ↑ שנים: P1050 שני; P1052 השנים ↑ מרחקם: Mo30 אשר מרחקם; Mu150 מחזיקים ↑ מחשבון: O187 מן חשבון ↑ שנים: P1029; P1052 שני ↑ שנים מספרים: O187 שוה מהמספרים ↑ אחרים: Mo30 om. ↑ רק: Mo30 אך ↑ האחד במגרעת והשני בתוספת: Mo30 האחד בתוספת והשני במגרעת ↑ כמה: O187 כמו ↑ מרובע: Mo30; P1029; P1050; V398; W152; W194 om. ↑ מרובע מספר: O187 מספר מרובע; P1052 מספר ^מרובע ↑ הכלל: Mo30 הכלל המבוקש; P1052 הכולל ↑ החשבון היתר והחסר: P1051; V397 חשבון החסר והיתר; O187 חשבון היתר והחסר ↑ והנשאר הוא: W152 והוא ↑ החשבון: Mo30; III; P1051; P1052 om.; Mu150; O187 חשבון ↑ ל"א: P1029 לא ל"א ↑ חשבון: Mo30; O187; P1050; P1051; V397 החשבון ↑ הוא: Mo30; P1052 om. ↑ ומרובעו: Mu150 ומרובע ל' פי' ל' פעמים ל' הם; P1052 ומרובע ל' פעמים ל' הם ↑ שלשה: P1051 א' ↑ הם: Mo30; P1029; P1051; V397; III om. ↑ MS N2624 begin. ↑ והחסרון: P1050 twice; W152 om. והיתרון והחסרון: Lo27153; Mu150; P1029; P1052; W194 והחסרון והיתרון ↑ הוא: P1029 om. ↑ אחד: V397 הא' ↑ אחד: Mu150 ~~אחד~~ א'; P1051 אחד ~~ממר~~ ↑ חסרנום: Mo30 נחסרנו; Mu150 חסר א'; O187 וחסרנו א'; P1029 וסרנוהו; P1050 ^נחסרנוהו; P1051 וחסרנום; P1052 חסרנו; V397 נחסרנום; W152 חסרנוהו ↑ ממרובע: Mo30 מחשבון ↑ הכלל: Mo30 כלל ↑ והוא: P1029 שהוא; P1052 והנה; V398; III; Mu150 om. ↑ תתצ"ט: Mu150 כזה טטח; V398; III om. (Lo27153 add. marg.) והוא תתצ"ט: P1050 marg. זהו תתצ"ט ↑ נ"ד: P1029 ~~נ"ט~~ ^נ"ד ס"ו על נ"ד: Mu150 נ"ד על ס"ו ↑ חשבון: Lo27153 החשבון; V397 החשבון ↑ ס': Mo30 הוא ס' ↑ והחסרון והיתרון: Mo30 והיתרון והחסרון ↑ הוא: V398 הנה ↑ הכלל: P1029 הכלל ס' על ס'; V397 הכולל; W152; W194 הכל ↑ מרובע: P1051; V397 om. ↑ החסרון והיתרון: V397 היתרון והחסרון; P1029 החסרון והיתרון שהוא ו' על ו' ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון: Mo30 מרובע החסרון והיתרון והוא ל"ו ↑ והנשאר: Mu150 והנש^אר; V397 והשאר ↑ המבוקש: O187 המבוקש ג' אלפים ותקס"ד; P1029 המבוקש שהוא ג' אלפים ותקס"ד ↑ III example is missing (Lo27153 added marg.) ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א ↑ האחר: Mu150; O187; P1052 השני; V397 אחר והמספר האחר: Mo30 והשני הוא ↑ והנה הכלל: Mo30 והמספר כלל ↑ הוא: Lo27153; P1051 om. ↑ ומרובעו: Mu150 והמרובע; P1029 ומרובעו הוא; P1052 והמרובע הוא ↑ צ': P1029 ה צ' ↑ מרובע: Lo27153 om. ↑ שהוא: Mu150 והוא מרובע; O187; P1029; P1050; P1052; V398 שהוא מרובע; Lo27153 על חמשים שהוא מרובע; P1051 שהוא המרובע ↑ החסרון והיתרון: Mo30 היתרון והחסרון ↑ ומספרו: Mo30 ומרובעו ↑ המבוקש: O187 המבוקש פ"ז אלף ות"ק; Lo27153 המבוקש שהוא פ"ז אלפי' וחמש מאות; P1052 המבוקש marg. והנה המבוקש פ"ז אלף ת"ק ↑ הסדר: O187; P1052; V398; W152 הדרך; P1051 הדרך והסדר זה הסדר: P1029 סדר זה ↑ נוכל: Mu150; P1052 תוכל ↑ שאר: P1051 om. ↑ המספרים: P1029; P1052 מספרים ↑ לאלה: Mo30; Mu150 לאלו ↑ שהחסרון: Mu150 כשיהיה החסרון; V397 כי יהיה הא^חסרון; III; P1051; P1052; V398 כי החסרון ↑ כמו היתרון: Mu150 כמו היתרון וזה צורתו; O187 והיתרון שוים ↑ נכבדת: P1052 מצאתי נכבדת ↑ שהוצאתי: Mo30 הוצאתיה; Mu150 מאצתי שהוצאתי marg. מצאתי במרובעים ↑ בדרך: O187 מן ↑ השלישית: P1050 השלישיות ↑ שנקח: Mo30 והוא שנקח; P1051 שהוא ↑ החשבון: Mo30 om. ↑ מרובע השלישית ממנו: O187 ממנו מרובע השלישית ↑ O187 example is missing ↑ בקשנו: Mo30 רצינו ↑ מספר מרובע: W152 מרובע מספר ↑ נקח: Mu150 ונקח ג' נקח: W152 top ↑ שלישיתו: P1051; V398; W194 שלישית; W152 השלישית ↑ שהוא: P1051 והוא ↑ ומרובעו: P1029 ומרובעו שהוא ↑ אחד: Lo27153 ~~אחד~~ אחד; Mu150 הוא א' ומרובעו אחד: P1051 om. ↑ ועשרה: Mo30; Mu150; P1029; P1050; P1051; V398; III והוא עשרה; P1029 marg. והנה ↑ הכלל: P1050 כלל שהוא הכלל: Mo30 בכלל ↑ ממנו: V398 om. ↑ מרובע אחד שהוא: Mo30 מרובע אחד שהוא אחד; Lo27153 מרובע אחד שהוא ~~עשרה~~ א' ↑ השלישית: Mo30; Lo27153 om. ↑ וישאר: Mo30 והנשאר ↑ ט' והוא: Mo30 שהוא ט' הוא ↑ אחר: O187 om.; Lo27153 ~~אחר~~ אחר דמיון אחר: P1050 ד"א ↑ והדומה: Mo30; O187 והדומה לו ↑ אליו: Mo30; V398; P1050; III om. ↑ ר"נ: Mo30; Mu150 הוא ר"נ ↑ חסר: Mu150 נחסר ↑ ה' שהוא השלישית: Mu150 שלישי שהוא כ"ה ↑ ישאר: O187 וישאר; V397; V398 נשאר ↑ רכ"ה: Mo30 רכ"ה והוא המבוקש; Mu150 רכ"ה על צורה זו ה'ב'ב' והוא המבוקש ↑ III example is missing ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א ↑ כמה: Mo30 om. ↑ הנה: P1029; P1051 om. ↑ הנה שלישיתו: Mo30 ושלישיתו ↑ ודמיונו: P1051; V397 ודמיון ↑ הגבוהה: O187; P1029; P1050 הגבוה; P1051 העליונה; V397 ^הגבוה במעלה הגבוהה: Mo30 בכלל הגבוה ↑ תר"מ: Mo30 הוא תר"מ ↑ ממנו: P1050; P1051; V398 om. ↑ מרובע: V397 om. ↑ ישאר: P1050 וישאר; V397 נשארו ↑ היה: Mo30; O187 יהיה ↑ בו: P1051; V397 om. ↑ אחד: O187 של אחד ↑ חסר: P1051 נחסר ↑ האחד: Mo30; O187; P1051 אחד ↑ מהמספר: O187 מן המספר ↑ והוצא: Mo30 ותוציא ↑ המספר: III om. ↑ כמשפט: Mo30 כמו ↑ שיעלה: O187 שיעלה לך ↑ הוסף: P1050 הוצא ↑ שיש לו: P1029 twice ↑ שלישית: Mo30 ב' שלישית ↑ אין: V398 om. ↑ לו: V398 לו marg. לו ↑ חסרנו: O187 חסר ↑ ממנו: Mo30 om. ↑ נוסף: V398 marg. ↑ שלישית: O187 שלישיתו; P1029 השלישית והנה שלישית: Mo30 ושלישית ↑ הנשאר: O187 om. ↑ והנה: Mo30 והוא ↑ הדומה: Mo30; III om. ↑ מ': P1029 om. ↑ נחסר: P1051 ~~נסר~~ נחסר ↑ ממנו: Mo30 om. ↑ השלישית: Mo30 שלישית ↑ וישאר: Mo30; P1029 ישאר; V397 ונשאר; W152 וישארו ↑ שהוא: Mo30 והוא ↑ אליו: P1029; P1050; P1051; V398 עליו ↑ שלישית: O187 השלישית ↑ שהיה: P1051 שיהיה; V397 שהוא ↑ המחובר: III המרובע ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א ↑ רצינו: V397 בקשנו ↑ לדעת: O187 לידע ↑ כמה: Mo30 om. ↑ והנה: Mo30 om. ↑ ונשאר: P1029 נשאר ↑ ושלישיתו: O187 ושלישית כ"א ↑ ומרובעו: O187 ~~ומרובעו~~ ומרובעו ↑ והנה: Mo30 ויהיה; O187 והנה יהיה ↑ בכלל: Mo30; O187 הכלל ↑ הקרוב: Mo30 הגבוה הגבוה; O187 הקרוב הדומה ↑ אליו: P1050 om. ↑ ת"צ: P1029; P1050; P1051; V397; V398; Lo27153; W194 ד' מאות וצ' ↑ ממנו: P1051 om. ↑ השלישית: V397 השלישי שהוא מרובע השלישית: Mo30; III om. ↑ נשארו: V397 marg.; W152 ישארו ↑ גם: Mo30; O187 עם ↑ מחוברים: O187 מחבורים; P1051 מחוברין ↑ שהם: Mo30 ויעלה ↑ מחוברים שהם מ"ג: III om. ↑ יעלה: Mo30 ויעלה ↑ המחובר: Mo30 המבוקש; O187 מחבורם; P1051; V397 המספר ↑ וזהו: Mo30 והוא; O187; P1029 וזה; W152 וזה הוא ↑ היו: O187 יהיה; P1051; V397 יהיו ↑ שנים: P1051 תוספת שנים ↑ המספר: P1050 המספרים; P1029; V398 המספרים ↑ שלנו: P1051 שיש לנו ↑ ובין: P1050 top ↑ ובין המספר: P1051 למספר הנקדם; V398; Lo27153; P1029; W194 ומספר ↑ שלישית: P1051 שלישית מהמספר הנקדם בזה הדרך והוא שנקח מהכל שלישיתו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר ↑ שנוסיף: P1051 שהוסיף ↑ שלנו: O187 om. ↑ מרובע: III מחובר; P1050 המרובע ↑ מספר: P1050 ^המספר; P1051 ממספר זה; III מספר אחר ↑ שלישית: P1051 שלישית עתה בתוספת האחד ממנו ומרובע השלישית שיש לו שלישית: P1050 שיש ^לו שלישית ~~שיש לו ש~~ נעשה להפך ... שיש לו שלישית: Mo30 twice ↑ ונחסר: Mo30 וכמספר שהיה לנו ונחסר; P1051 עוד נחסר ↑ כמספר: Lo27153 כמספר marg. המספר ↑ ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית: V397 om. ↑ וכמספר: P1050 ג"כ כמספר; V398; III גם המספר ↑ מרובע: Lo27153 מחובר ↑ לו: Lo27153; Mo30 om. ↑ לו שלישית שלמה: P1029 שלישית שלימה לו ↑ יהיו: Lo27153 יהיה; Mo30; P1029; W152 ויהיו; P1051 ויהיה ↑ ושלישיתו: P1051 השלישיתו ↑ לו: V397 om. ↑ ישאר: P1050 וישאר; W152 ישארו ↑ גם: Mo30 om. ↑ גם נחסר: III נחסר גם ↑ המספר: O187 מספר מזה המספר: Mo30 ממנו; P1029 ממספר זה ↑ מחוברים: P1050; P1051; V398; III מחוברין מ"ז ... מחוברים: Mo30 כ"ד וכ"ג ויעלה מ"ז; O187 כ"ד עם כ"ג ויעלה מ"ז ↑ ויהיה הנשאר: Mo30 והנשאר; O187 ישאר; V397 ונשאר ↑ יהיו: Mo30; P1029 היו; O187; P1051 יהיו לך ↑ שנים: O187 שני ↑ היה: Mo30; O187 היה לך; V397 יהיה ↑ אחד: W152 אחת ↑ על: Lo27153 ^על על ↑ שנים: O187 שני ↑ מספרים: Mo30 om. ↑ פעמים: O187; P1029 שני פעמים ↑ על שלשה שלשה: Lo27153 ~~ג' על ג'~~ על ג' ג' ↑ ועל: V398; P1050; III על ↑ שני: P1050; P1051 שנים ↑ שני: Lo27153 ב' ב'; P1050 שנים ↑ על שני מספרים: P1051 om. ↑ אתה צריך: P1029 צריך אתה ↑ לעשות: P1051 om. ↑ זה: W152 top לעשות זה: V397 זה לעשות ↑ והנה: O187; V398; P1029; P1050; III הנה ↑ שהוא כלל: P1050 שהוא כלל ^{עלו ר'} ↑ י': Mo30; P1029; P1050; P1051; V397; III om. גם י': O187 om. ↑ על: O187 ועל ↑ ח': P1029 הח' ↑ עלו: Mo30 ויעלו; V398 om. ↑ ר"פ: V397 ~~פ"ד~~ ^ר"פ; V398 marg. ↑ ואחר: Mo30; P1050; III גם; O187; P1029; P1051; V398 וגם ↑ גם: O187 ג'; P1051 וגם ↑ גם על: Mo30 ועל ↑ עלו: Mo30 ויעלו ↑ ואחר ... פ"ד: V397 om. ↑ והנה: Mo30 ויהיה ↑ הכל: V397 הכלל ↑ כולל: P1029 נופל ↑ שני: P1029 בשני ↑ המספרים: Mo30; P1051; V397 מספרים; P1029 ^המספרים ↑ לך: O187 om. ↑ בקשנו: V398 רצינו ↑ לכפול: P1051 om.; V397 לדעת ↑ והנה: P1050 הנה ↑ שני: P1051; V397 om.; P1050 top ↑ המספרים: Mo30 מספרים ↑ נחבר: O187; P1029; P1050; P1051; V397; III חברנו ↑ עם: Mo30 על ↑ ו': P1029 ו' ועלו ט' ↑ עם: O187; P1050 ועם; V398; III על; Lo27153 ^גם על ↑ עם י': Mo30 ויהיו י"ט; P1029 om. ו' עם י': P1051 י'ו' ↑ והנה יהיה: O187 ויהיה ↑ נכפול: Mo30; P1051; III וכפול; P1029 וכפלנו ↑ אותו: V397; W152 אותה; P1050; P1051; Lo27153; W194 אותם; P1029 om. ↑ עלו: Mo30 ויעלה ↑ ק"צ: Lo27153 ~~ק"ץ~~ ק"צ ↑ נכפול: Lo27153 וכפול; O187 ונכפול ↑ שני: P1051; V397 שנים; P1029 לשני ↑ הקטנים: Lo27153 om. ↑ שני המספרים הקטנים שהם: Mo30 om. ↑ יעלו: Mo30 ויעלה; P1050; V398; III עלו ↑ והנה הכל: O187 והכל ↑ ר"ח: V398 כ"ח marg. ר"ח והנה הכל ר"ח: Mo30 ונשים אותם על ק"צ ^{ויעלה ר"ח} והוא המבוקש ↑ ויש: V398; P1050; III והנה יש; P1029 וזה ↑ שני: P1029; P1050; P1051 om. לך שני: O187 om. שיספיק לך שני: III לך פעמים שיספיק ↑ דמיון: V397 דמיון בקשנו לדעת י"ג על י"ו והנה י' כולל המספרים והנה חברנו ג' עם ו' דמיון ↑ לכפול: P1029 top ↑ כ"ד: O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 חשבון כ"ד ↑ כ"ו: O187; P1029; P1051 חשבון כ"ו ↑ הנה: V397 והנה ↑ כ': W152 הכ' ↑ שני: P1050; P1051; V397; V398 om.; P1029 top ↑ עם: O187; P1029; P1050; P1051; V398; III על ↑ שהוא הגדול: Mo30 om.; V397 marg. שהוא המספר הגדול ↑ עלה: P1051; V397 עולה; P1029 om. ↑ עלו: Mo30 עלה ↑ וכפלנו: Mo30 כפלנו ↑ עלו: Mo30 יהיה; O187 ועלו ↑ עלו כ"ד: P1050 marg. ↑ והנה: Mo30 והיה; O187 הנה ↑ המבוקש: III המחובר; P1029 המבוקר^ש ↑ ויש שיספיק לך ... תרכ"ד: Mo30 marg. ↑ ואם: W152 אם ↑ ג': O187; III ג' מספרים ↑ הסדר: P1051 הסדר החשבון זה הסדר: P1029 סדר זה ↑ החשבון: III חשבון ↑ וראה: V397 נראה ↑ אחד: O187 האחד ↑ רבים: O187 הרבים; P1051 ^הרבים ↑ אם: O187; P1050 om.; P1029 ואם ↑ אם הוא: Mo30; III והוא ↑ זוג: V397 om. ↑ הזוג: O187 הזוג והנפרד ↑ הוא זוג: O187; P1029 זוג הוא; P1051; V397 זוג זוג הוא ↑ ואם: V398 ואף אם ↑ האחד: V397 marg. אחד ↑ זוג: V398; P1050; III הוא זוג ↑ נפרד: O187 נפרד המחובר זוג; W152 הוא נפרד ↑ והטעם: III הטעם ↑ שאינו: O187 כשהוא ↑ והטעם שאינו זוג: P1050 om. ↑ מהם: P1029; V398 מהן ↑ המספר: Mo30 om. ↑ האחד: V397 אחד ↑ נפרד: P1051 יהיה נפרד ↑ וגם: V398; III גם ↑ כן: Lo27153 top וגם כן: O187 ג"כ ↑ האחר: P1029; P1051; V397 האחר נפרד ↑ גם: P1050 הנה גם כן; W152; W194 גם כן ↑ המחובר: Mo30 המרובע ↑ נפרד: Lo27153 זוג marg. ד"ת נפרד ↑ היו: Mo30 יהיו ↑ המספרים: Mo30; III מספרים; P1051; V397 om. ↑ הנכפלים: V398; P1050; III om. ↑ אלה: V397; P1051 top האלה ↑ לכפול: V397 לכתוב ↑ לכפול אותם: P1029 לכלם ↑ במכתב: Mo30 במספר ↑ שהראיתיך: V397 marg. ↑ הסלולה: P1050 הצל הסלולה; V398 הצלולה ↑ המעט: Mo30 marg. ↑ עליונים: P1050; P1051; V398; III העליונים ↑ ופירוש: O187 פי' ↑ המעט: P1050 המעט marg. בהם ↑ ולא: Lo27153 לא; Mo30 ואל ↑ מן: P1051 om. ↑ ואם: P1050 ואף ^אם ↑ קטן: P1051 קטון ↑ הם: Lo27153 הוא ↑ גדול: P1051 marg. הגדול ↑ אותם: P1029 אותה ↑ ואלו: Mo30; P1050 ואם ↑ היית: Mo30; P1029; P1051 היתה ואלו היית: P1029 ואלו היתה ואלו היתה ↑ יזיק: O187 היה מזיק ↑ מעט: O187 ממנו ↑ התלמיד: P1029 התלמידים על התלמיד: Mo30 המלמד ↑ העליון: P1051 ^העליון ↑ והאחרים: O187 והא^חדים ↑ הראשון: P1029 ~~העליון~~ הראשון ↑ של: P1050; III מן ↑ הטור: Mo30; O187; P1051 טור ↑ הראשון: P1029 ראשון ↑ שבטור: O187; P1051; V397; III בטור; P1050 ^שבטור ↑ השפל: W152 ~~השפל~~ ^השפל; P1029 top ↑ והעולה כתוב: Mo30 והעולה כתוב marg. וכתוב העולה כפול הראשון ...והעולה כתוב: Mo30 marg. ↑ הטור: O187 המספר ↑ הראשון: Mo30; P1051; V397 om. ↑ העליון: W152 העליון הראשון; P1050 העליון marg. בטור השלישי ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ ↑ המספר: P1029 מספר ↑ הראשון: Mo30 om. ↑ המספר: P1029 מספר ↑ השלישי: O187; P1029 שלישי ↑ המספר: Mo30 מספר; P1051 twice ↑ העליון הראשון: W152 הראשון העליון ↑ העליון: O187 של העליון; III om.; P1050 top ↑ ויתחבר: V397 ויתחייב ↑ והכלל: P1029 והכל ↑ במספרו: V397 במספר ↑ שתשלים: P1029 שתשים ↑ הטור: Lo27153; Mo30; O187; P1050; V398 טור ↑ מספרי: P1051 מספר ↑ הטור: Mo30 om. ↑ לכפול: Lo27153 ~~לשמור~~ לכפול ↑ המספר: P1029 ~~המספר~~ המספר ↑ הטור: Mo30 טור של הטור: V397 מטור ↑ מספר: O187; P1051 המספר ↑ הטור: Mo30 טור; V397; P1051; V398 מספר של הטור: O187 מטור; P1029 om. ↑ כתבהו: P1050 כתבנו; P1051; V397 תכתבנו ↑ ואחר: P1051 ואחרי ↑ השני: P1050 השני marg. שבטור ↑ שני: P1050 השני ↑ ותכתבהו: O187 והעולה תכתבהו; P1050 וכתבנו ↑ כנגד השני ... בטור השלישי: P1029 om. ↑ במספר השלישי: P1051; V397 om. ↑ שני: P1051 שלישי ↑ למספר: O187 של מספר ↑ שהחלות: V397 שהתחלנו ↑ ממנו: O187 ממנו וכן עד השלימך מספרי הטור השפל ↑ ואחר: P1051 ואחרי ↑ העליון: Mo30 בטור העליון ↑ לכפול אותו: P1029 לכפלו ↑ תכתבהו: V397; V398 תכתבנו ↑ טור: Mo30 הטור; O187; P1051 om. כנגד טור: Lo27153 בטור ↑ שהחלות: Lo27153 שהחלות^ת ↑ ממנו וככה: V397 וככה ממנו ↑ המשפט: Mo30; O187 משפט ↑ לכלם: O187 כולם ↑ עד: Mo30 כי ↑ משפט: Mo30; P1029; P1050; P1051; III משפטי; V397 משפטי משפטי ↑ הפרט: Lo27153 ~~הפרט~~ הפרט; P1051 פרט ↑ התחתון: O187 תחתיו; P1029; P1050; P1051; V397; III תחתון ↑ והכלל: P1051; V397 עם הכלל שהחילות ... והכלל: V398 om. ↑ שיבא: Mo30 הבא; V398 ושיבא; W152 כשיבא ↑ בטור: O187 במספר ↑ היה: O187 יהיה ↑ בטור: Mo30 הטור; V397 ^בטור ↑ בין: Mo30; P1051; V397; V398 ובין ↑ בטור: Mo30 הטור; V397 ^בטור ↑ משפטו: Lo27153; P1050 משפט ↑ במקום: Mo30 בטור ↑ שעליו: P1029 שעליו ואחריו; W152 שלעליו marg. שעליו ↑ תחל: Mo30 תשוב ↑ לחבר: Lo27153 ~~לחסר~~ לחבר ↑ שעלה: P1051; V397 שעולה ↑ בטור: O187 מטור ↑ אם: Mo30 כי; O187 ואם ↑ בו: O187 לו; V397 om. ↑ עשרות: Mo30 עשיריות ↑ שהוא בחבור: O187 שבחבור ↑ בו: O187; V397 לו ↑ כתוב: P1029 om. ↑ היותר: O187; V397 יותר; P1050 האחד ↑ מבחוץ: Mo30 מחוץ ↑ בחבור: P1029 om. ↑ מבחוץ בחבור שיש לך: V398 בחבור שיש לך מבחוץ ↑ שני: Lo27153 שיש; Mo30 marg. ↑ לו: Lo27153 לו marg. לך; P1051 top ↑ תעשה: Mo30 עשרה ↑ היוצאים: O187 היוצא ↑ מהטור: Mo30; P1029 מן הטור; O187 מהטורים; P1051 מן הטורים ↑ העליון: P1051 העליונים ↑ והשפל: Mo30; P1050; V398 והטור השפל ↑ והוצא: P1029 והיוצא ↑ הנותר: V398 הנזכר marg. הנותר ↑ מעשרות: O187; P1029; V398; III מהעשרות ↑ הוא: P1029 om. ↑ היו: P1029 הם ↑ השנים: P1029 השני ↑ העליונים: V398 ~~עול~~ עליונים; O187; P1029; V397; III עליונים ↑ אחד: Mo30 האחד ↑ תדע: O187; W152 דע ↑ המספר: Mo30; P1029; P1050; P1051; V398 היה המספר; O187 יהיה מספר; V397 יהיה המספר ↑ האחרון: O187 אחרון ↑ האחרון: Mo30 העליון; O187 אחרון ↑ ממנו: V397 ~~ממנו~~ ממנו ↑ כלל: P1050; III הכלל ↑ יהיה: P1029 היה ↑ מספר: P1029 המספר ↑ הטור: V397 om. מעלות הטור: Mo30 המעלות טור; P1051 המעלות בטור ↑ הטור השלישי: P1029 טור ג' ↑ טורים: P1050; P1051; V398 הטורים ↑ העליונים: P1029; V397 עליונים ↑ בלי: III בלתי ↑ אחד: P1029; P1050 אחת ↑ P1050; III example before the check ↑ ובחן: O187; P1051; V397 ובחון ↑ במאזנים: P1029; P1051 מאזנים ↑ וככה: Mo30 וכה; V398; P1050; III ככה ↑ תעשה: V398; P1050; III om. ↑ חשוב: O187; V397 הוצא ↑ חשבון: P1029; P1051; V398 החשבון ↑ באיזו: Mo30; O187; P1051; V397 באיזה ↑ שיהיה: W152 שיהיו ↑ המחובר: P1051 marg.; P1050 המספר ↑ אם: Mo30; V398 ואם ↑ יותר: Mo30 ישאר; P1029 יוסר; P1050 הוא יותר אחד ↑ ט': P1050; W152 מט' ↑ או: Lo27153 או או ↑ לבדו: O187 לבד; V397 לבדד ↑ והוא: V397 והם ↑ ככה: Mo30 וכך; V398; P1050; III וכן ↑ למאזני הטור: P1051 לטור מאזני ↑ המאזנים: O187 מאזנים ↑ שלו: W152 שלא ↑ העליון: Mo30 השני ↑ השני: P1050; III השפל על מאזני הטור השני: Mo30 om. ↑ והנכפל: P1029; V397 והכפל ↑ הוציאהו: Mo30 תוציאנו; O187; P1029; P1051; V397 הוציאנו; V398 הוציאו; W152 הוציאוהו ↑ והנשאר: Mo30 om. ↑ יהיה: Mo30 ויהיה; O187 שיהיה ↑ עמך: O187; V397 בידך ↑ מהטורים: III מן הטורים ↑ לעולם: V398 om. ↑ ואחר: O187 ואחר כך; V397 ואחר כן; P1050 ואח"כ ↑ מאזני: W152 במאזני ↑ אם: Lo27153 כי אם ↑ שוה: Mo30; P1051 חשבונך שוה ↑ חשבונך: Mo30 אז תדע כי חשבונך; O187; V397 תדע כי חשבונך; P1029 יהיה חשבונך ↑ לאו: P1029; P1051 לא ↑ הנה: P1029 om. ↑ הנה טעית: Lo27153 ^הנה הוא טעות ואם לאו הנה טעית: O187; V397 om. ↑ O187; P1051; V397; V398 example om. ↑ זה: Mo30; P1029; P1050 om. ↑ וכתבנו: Mo30 כתוב; P1050; III כתבנו; P1029 וכתו' ↑ קכ"ז בטור העליון: Mo30; P1029 בטור העליון קכ"ז ↑ כזה: Lo27153; Mo30; P1029; P1050 om. ↑ ומספר: P1029 ובשני ↑ אות אות: III כל אות ואות; W194 ^כל אות ^ואות ↑ תחתיו אות אות במקומו: P1029 om. ↑ כזה: P1029 בזו הצורה; P1050; W152; W194 om. ומספר ...כזה: Mo30 ובשניה שנ"ה ↑ כפלנו: Mo30; P1029 נכפול ↑ עלו: Mo30; P1029 ויהיו ↑ כתבנו: Mo30 כתוב; P1029 תכתוב ↑ שהוא ל': Mo30; P1029 om. ↑ השניה: P1050; III השנית במעלה השניה: Mo30; P1029 בשנית ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; III נכפול ↑ השני התחתון: Mo30 פעם אחרת; P1029 שלו האחרת ↑ עלו: P1029 יעלו ↑ עלו ל"ה: P1050; III om. ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב; P1050; III וכתבנו ↑ ה': Mo30; P1029 הה' ↑ השנית: P1050 שנית ↑ ג': Mo30; P1029 הג' תחת ג': P1050; III om. ↑ בשלישית: P1050 במעלה שלישית; III במעלה השלישית ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול ↑ הראשון: P1050; III om. ↑ התחתון: III התחתון השלישית; P1050 התחתון השלישי ↑ עלו: P1029 יעלו ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב ↑ א': P1029 הא'; P1050 ב א' ↑ תחת ג': P1029 הג'; P1050; III om. ↑ ברביעית: P1029 רב ברביעית ↑ עוד: W152 ועוד ↑ כפלנו: Mo30 תכפול; III נכפול; P1029 כפול ↑ העליון: P1029 מהטור העליון ↑ הראשון: W152; W194 om. ה' הראשון: Mo30 הראשנה; P1029 הא' ↑ מן: III om.; P1050 top ↑ התחתון: Mo30 הטור התחתון ↑ עלו: P1029 ועלו ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב ↑ כתבנו א' בשלישית: III והיה ראוי לכתבו ↑ א': Mo30 om. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול ↑ ב': Mo30; P1029 הב' ↑ העליון: Mo30 האמצעי; P1029 בעצמה ↑ ה': P1029 הה' ה' הראשון ... ב' העליון על ה': P1029 marg. ↑ השנית: P1029 האמצעי; P1050 השני ה' השנית: Mo30 הה' השניים ↑ התחתון: Mo30 של מטה; P1029 מהטור התחתון ↑ היו: P1029 יעלו; P1050; III יהיו ↑ גם כן: Mo30; P1029 om. ↑ כתבנו: P1029 כתוב; P1050; III נכתוב ↑ א': P1029 הא' כתבנו א': Mo30 ושים אותם; W194 אלה ↑ תחת ב': P1050; III om. ↑ ברביעית: Mo30 om. תחת ב' ברביעית: P1029 ברביעית תחת ב' ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול ↑ ב': Mo30 הב' ↑ העליון: Mo30 האמצעי; P1029 האמצעי מהטור העליון ↑ ג': Mo30 הג' ↑ התחתון: Mo30; P1050 om.; P1029 התחתון מן הטור השפל ↑ והיו: Mo30 ויהיו; P1029 יעלו; P1050; III עלו ↑ כתבנו אותו: Mo30 ושים אותם; P1029 כתבהו; P1050; III ונכתבנו ↑ א': Lo27153 הא' תחת א': Mo30 om. ↑ ברביעית: Mo30 במדרגה ~~חמישית~~ ^ד' תחת א' ברביעית: P1029 ברביעית תחת הב' עוד כפלנו ב' העליון ... ברביעית: Mo30 marg. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; P1050; III נכפול ↑ האחרון: P1050 om. העליון האחרון: Lo27153 האחרון העליון ↑ ה': P1029 הה' ↑ התחתון: Mo30; P1029 מטור התחתון הראשון התחתון: P1050; III התחתון הראשון ↑ עלו: P1029 יעלו ↑ עלו ה': Mo30 om. ↑ כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו ↑ בשלישית: Mo30 בג' ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול ↑ א': Mo30; P1029 א' העליון ↑ ה': P1029 הה' ↑ השני: Lo27153 השנית; Mo30; P1029 om. ↑ התחתון: Mo30; P1029 מהטור התחתון; P1050 om. ↑ עלו: P1029 יעלו ↑ ה': P1050 ג"כ ה' ↑ כתבנוהו: Mo30; P1050 כתבנו; P1029 כתבהו ↑ ברביעית: Mo30; P1029 ברביעית תחת הב' ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול ↑ א': Mo30 הא' ↑ התחתון: Mo30 מהטור העליון; P1029 מהטור התחתון; P1050 om. ↑ היו: Mo30; P1050; III עלו; P1029 יעלו ↑ כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו ↑ בחמישית: P1029 בה' ↑ ב': Mo30; P1029 הב' אחר ב': P1050; III om. ↑ והנה נשלם הכפל: Mo30; P1029 om. ↑ חברנו: Mo30; P1029 חבר ↑ אלו: Lo27153 ~~אלה~~ אילו; P1029; W152 אלה ↑ כל: Mo30 וכל; P1029 לכל ↑ ממעלה: Mo30; P1029 במעלה ↑ יחד: Mo30; P1029 תחבר; P1050 ^תחבר יחד ↑ או עשרה: P1029 om. ↑ כתבהו: Lo27153 כתבנוהו ↑ ויעלה: Mo30; P1029 ותמצא שיעלה; III ועלה ↑ ופ"ה: Mo30 ופ"ה למאזנים עשה כמו שידעת. נשלם השער הראשון; P1029 ופ"ה כזו הצורה וכלל זו הצורה כלומר המבוקש ממנה ה'ח'0'ה'ד' והמאזנים עשה כמו שידעת
Chapter Two
	↑ כי: V397 om. ↑ והאחד: Mo30; P1051 רק האחד ↑ שנוי: Mo30 לא שנוי ↑ ולא: O187 לא ↑ כל: V398 om. ↑ ושנוי: P1051 om. ↑ יעשה: V398 שיעשה ↑ אחת: P1051; V398 האחת ↑ שנים: Mo30 om.; O187 שתים ↑ שלשה: P1051 השלשה ↑ הפאה: O187; V397 הוא הפאה ↑ וארבעה הפאה: Mo30 ארבעה והפאה; P1051 שהיא הפאה ↑ ושתי: Mo30 שתים וב' ↑ המחוברות: Mo30 מחוברות ↑ שהם: Mo30 והוא; P1051 ↑ האחד: O187; V397 אחד ↑ לפניו: P1051 לו marg. לפניו ↑ לפניו פאה ואחריו: O187 לפניו פאה ולאחריו; V397 פאה לפניו ולאחריו ↑ שנים: Mo30 שתים ↑ האחד: Mo30 אחד ↑ בלי: Mo30 ולא ↑ את: Mo30; P1051; V398 om. ↑ על שנים עשר: O187; P1051; V397 לי"ב ↑ י"ב: O187 היא שנים עשר; V397 היא י"ב ↑ חדשי: V397 חדש ↑ הלבנה: P1051 לבנה ↑ חשבון: O187; V397 בחשבון ↑ רבים: V397 om. ↑ אחדים: P1051 ~~חלקים רבים אחדי~~ ↑ שלמים: Mo30; P1051 שלמים בלי שבר ↑ ושלישיתו: Mo30p; V398 ובשלישיתו ↑ ורביעיתו: Mo30 וברביעיתו ↑ וחצי ששיתו: Mo30; V398 om. ↑ לשלשים: O187 ל' ↑ וששית: Mo30 om. וחמישית וששית: P1051 וששית וחמישית ↑ מספר: V398 המספר ↑ מעלות: V397 om. ↑ הגלגל: V398 om. ↑ ש"ס: O187 לש"ס ↑ וזה המספר: O187 וזה המספר קרוב לימות שנת החמה וזה המספר; P1051 וזה המספר יש לו קרוב לימות החמה; V397 וזה המספר לימי שנות החמה וזה המספר ↑ יש: P1051 ויש ↑ ושלישית: Mo30 ושליש ↑ ורביעית: Mo30 ורביע ↑ וחמישית: Mo30 וחומש ↑ ועשירית: Mo30 ועשור ↑ והנה לא: Mo30 ולא ↑ רק: P1051 top ↑ המספר: V397 om. ↑ עשרה: O187 העשרה ↑ מעלות: V397 המעלות ↑ שהם: P1051; V397 שהן ↑ אחדים: O187; V397 כאחדים ↑ יחלקו: Mo30; P1051; V397 יתחלקו ↑ העולה בחלוק: Mo30; P1051 המחובר ↑ וככה ... שלמים: Mo30 marg.; V398 om. ↑ כלל: P1051 ~~משל~~ כלל ↑ תחלק: O187 תסלק; V398 יתחלק ↑ אותם: V397 אותן ↑ כפי: O187; V397 לפי ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ ↑ אותם ... כתוב: V397 marg. ↑ בטור: O187 הטור ↑ אחר: O187; V397 האחר בטור אחר: P1051 om. ↑ שיהיה: Mo30 שהיה ↑ ואחר כך ... מעלתו: V398 om. ↑ חשבון: Mo30 החשבון ↑ ויהיה כל חשבון לפי מעלתו: P1051 om.; V398 marg. ויהיה כל חשבון לפי מעלתו בטור השפל ↑ כל: O187 top ↑ לפי מעלתו כנגד כל חשבון: Mo30 om. ↑ הטור: O187; V397 טור ↑ והטור: O187; V397 לטור ↑ אמצעי: Mo30 האמצעי; O187; V397 אחד ↑ ביניהם: O187; V397 בין שניהם ↑ תשים כפי מעלתו: V397 כפי מעלתו תשים ↑ ממנו: Mo30; P1051; V397 om. ↑ השלמים: V397 בשלמים ↑ ולא: Mo30 לא ↑ תחל: V397 תחלק ↑ בטור: V398 om. ↑ שהוא בטור: Mo30 שבטור ↑ השפל: P1051 ~~העליון~~ השפל ↑ שנים: V397 שני ↑ המספרים: Mo30 מס'; P1051 ^המספרים ↑ חשוב: P1051 חשב ↑ אותם: V398 אותו ↑ המספר: V397 מספר ↑ העליון ותחלק ... מהטור השפל: Mo30 marg. ↑ שיהיו: V397 שיהיה ↑ תשיב: Mo30; P1051; V398 תשוב ↑ האחרון: V397 אחרון ↑ האחדים: P1051; V398 אחדים ↑ למעלה: Mo30 ולמעלה ↑ כל: Mo30 ככל ↑ המספר: V398 מספר ↑ תכתוב אותו: Mo30 תכתבהו ↑ לפני: Mo30; V397 om. ↑ שתגיע: V397 שישיג; V398 שיגיע ↑ המספר: Mo30; P1051; V398 מספר ↑ מהמחולק עליו: Mo30 מהמחלק ↑ תכתבנו: Mo30 תכתבהו ↑ מהטור: Mo30; P1051 מן הטור ↑ החמישי: P1051 השלישי ↑ שתעשה: Mo30; P1051 תעשה ↑ דמיון: Mo30 דמיון זה ↑ בזאת הצורה: Mo30 om.; V397 בצורה הזאת ↑ ע': Mo30 ז'; P1051 ט' ↑ השפל: Mo30 שפל כפי מעלתו וט' בטור עליון; P1051 העליון; V398 שפל ↑ והנה: P1051 הנה ↑ נתן לו: P1051 נתתי לך ↑ ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו; V397 וכתבנו ונכתבנו ↑ השנית: V397 שנית ↑ מהמספר: Mo30 ממספר ↑ הראשון: Mo30; P1051; V398 העליון ↑ ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו ↑ לנו: P1051 om. ↑ נחלק: Mo30 נחלקם ↑ והנה נתן: Mo30 ונתן ↑ לו: P1051 לנו ↑ נשיבהו: V397 נשיבם ↑ יהיו: Mo30 ויהיו ↑ נחלקנו: Mo30 נחלקהו; V398 נחלקם ↑ לו: P1051 לנו נתן לו: Mo30 ויהיו ↑ תכתבהו: Mo30 ונכתבהו; P1051; V398 ונכתבנו ↑ ד': V397 ה' ↑ מ': V397 מ' ^נ' ↑ עליו: V398 om. המחולק עליו: Mo30 החולק ↑ והמספר המחולק עליו גדול ממנו: P1051 om. ↑ באחדים: Mo30 מאחדים היה המספר באחדים: P1051 om. ↑ ותחשוב: V397 om. ↑ מאותו מקום: Mo30 אותו המקום ↑ מרחק: P1051 המרחק ↑ תשיב: Mo30 תשוב ↑ אחורנית: P1051 אחורנית marg. וחשוב כל אחד עשרה ↑ ועשה: V397 ותעשה ↑ בקשנו: V397 רצינו ↑ בזאת הצורה: Mo30 om. ↑ והנה: Mo30; V398 הנה ↑ מספר: V397 משפט ↑ נשיבהו: Mo30 נשיבם ↑ אחורנית: V397 אחורנית במעלה הרביעית ↑ והם: V397 והנה ↑ נחלקם: Mo30 ונחלקם; P1051; V397 נחלק ↑ והנה: Mo30 ונתן לו marg. והנה; P1051 והנם; V398 ויהיו ↑ נכתבנו: Mo30; V397 ונכתבנו ↑ ב' ... ממנו: Mo30 marg. ↑ ב': V397 ~~עשרים נחלק~~ ^ב' ↑ נשיבם: Mo30 עוד נשיבם; P1051 ונשיבם; V398 נשיב ב' ↑ במעלה השלישית: Mo30 om. אחורנית שהיא שנית ... במעלה השלישית: P1051 marg. ↑ והם: P1051 הם ↑ נחלקם: P1051 נחלק ↑ נחלקם על ט': Mo30 om. ↑ והנה: Mo30 ונתן לו; P1051; V398 והנם ↑ ונשארו: Mo30 נשארו עוד; P1051 נשארו ↑ נשיבם ... ב': V397 om. ↑ השנית: Mo30 השנית ^הג' ↑ נחלק על ט': Mo30 om. ↑ והנם: Mo30 ונתן לו ↑ והנם ב': V397 om. ↑ ונשארו: Mo30; P1051 נשארו ↑ כי הם: V397 שהם ↑ כי הם ... העליון: Mo30 om. ↑ וזה המספר: Mo30 והוא ↑ ממספרנו: Mo30 מהחולק; P1051 ממספר ט' ↑ על: Mo30 ועל ↑ עלו אחדים: V398 אחדים הם ↑ גלגל: Mo30 הגלגל ↑ המקומות: V397 ^מהמקומות ↑ ולא: Mo30 לא ↑ תוכל: P1051 נוכל ↑ המחולק: Mo30 om. ↑ מהגבוה: P1051 מגבוה ↑ בקשנו: Mo30 נרצה ↑ בקשנו לחלק: P1051 חלקנו; V398 om. ↑ בקשנו ... שלשים: V397 om. ד' אלפים ול"ב על שלשים: V398 marg. ↑ חלקנו ד' על ג': P1051 om. ↑ א': V398 אחד marg. ונשאר אחד ↑ במעלת: V397 במעלה ↑ וכתבנוהו ... שני לו: Mo30 om. ↑ נשאר: Mo30 ונשארו ↑ לנו: Mo30 om. ↑ עוד: Mo30; V398 om. ↑ נשיבהו: V397 נשיבהו נשיבהו ↑ במעלת: Mo30 ונכתבנו במעלת; V397; V398 במעלה ↑ והיו: Mo30 ויהיו; V397 היו; V398 והוא ↑ והיו י': P1051 om. ↑ נחלקנו: Mo30 ואותם העשרה נחלק ↑ בחלוק: V397 בחלק ויעלה בחלוק: Mo30 ויצאו ↑ נשאר: Mo30 ונשאר ↑ א': Mo30 א' במקום המאות ↑ השבנוהו: Mo30 ונשיבהו; P1051; V398 השיבנו אותו ↑ ויהיו: V397 היה ↑ במעלה: P1051 למעלה ↑ ויהיו ... השנית: V398 om. במעלת העשרות ... במעלה השנית: Mo30 ונחבר אליו הג' אשר בעשרות ↑ היו: Mo30 ויהיו ↑ י"ג: V398 י"ג עם הג' שעל המעלה ההיא ↑ חלקנו אותו: Mo30 נחלקם; V398 חלק ↑ ונתנו: P1051; V397 נתנו ↑ לו: P1051; V397 להם ונתנו לו: Mo30 ויצאו ↑ ונתנו לו ד': V398 יהיו ד' ↑ נשאר: Mo30 ונשאר; P1051 נשארו ↑ לנו: Mo30 om. ↑ א': Mo30 אחד במקום העשרה והוא פחות מהמספר החולק ↑ השיבונוהו: Mo30 ונשיבם; P1051 השיבונו אותו ↑ נשאר לנו א' השיבונוהו אחורנית: V398 כתוב; marg. ד' במעלה הראשונה והנה נשאר לנו אחד תשיבהו אחורנית ↑ במעלה הראשונה: Mo30 ר"ל אל האחדים ועם הב' אשר באחדים ↑ היו: Mo30 יהיו; P1051; V398 והיו ↑ י"ב: V398 י"ב marg. עם ב' שעל המעלה הר' שלא' ↑ שלא: Mo30 ולא ↑ הנשאר: Mo30 הם ↑ מאותו: Mo30 מהמספר ↑ המחולק: V397 המחובר ↑ וכבר: P1051 וככה ↑ שני: Mo30 שנים ↑ מספרים: P1051 ג' מספרים ↑ שני: P1051 om. ↑ שני מספרים: V397 שנים ↑ על: Mo30 om. ↑ על: Mo30; V398 om. או על שלשה או על: P1051 om. ↑ מן הטור: Mo30; P1051; V398 מהטור ↑ מהמספר: V398 מן המספר ↑ ותן: Mo30; P1051; V397 ותתן ↑ מן הטור: Mo30 מהטור ↑ על מספר: V398 על ^ממספר ↑ תוכל לעשות: V397 illegible ↑ ממספרך: P1051 עד ע' ממספרך ↑ מהטור: P1051 top ↑ ואם: V398 אם ↑ ממעלות: V397 מהמעלות ↑ מן הגבוה: V397 מהגבוה ↑ אחורנית: V398 om. ↑ ממנו: V397 מהם ↑ שני: Mo30; P1051; V398 שנים ↑ במעלות: Mo30 למעלות; P1051; V397 במעלת ↑ ובמעלות: Mo30; V397 ובמעלת ↑ מספרים: V397 om. ↑ תשיב: Mo30 השב ↑ אחר: Mo30 אחרון ↑ האחרון: V397 om. ↑ מהם: V398 ~~מהם~~ ^ממנו ↑ שתצטרך: Mo30 שצריך; V397 שיצטרך ↑ ומהנשאר: Mo30 ומה שנשאר; P1051 ומהשאר ↑ ומהנשאר ... שתצטרך: V397 marg. ↑ בכפל: V397 בכל ↑ שהוא: V397 שהוא אחר הגלגל ותקח מהם ↑ מן המעלה: V397 מהמעלה ↑ ממנה: V397 ממנו ↑ זה: Mo30 כזו הצורה marg. רצינו לחלק ח' אלפים ורי"ג על שנ"ג; P1051; V397 וזה; V398 om. ↑ ד'ט': P1051 om. ↑ הוא: V397 והוא ↑ הנשאר: V397 הנשמר ↑ מן החשבון: P1051; V397 מחשבון ↑ MS St.P569 excerpt 2 begin. ↑ יתחלק: P1051 נתחלק כזאת הצורה; V397 נתחלק ד'ט' ... יתחלק: Mo30; V398 om. ↑ והנה: Mo30 הנה ↑ והנה כאשר: V398 ~~וכאשר~~ והנה כאשר ↑ שהוא: Mo30 ^ששהוא ↑ על: Mo30 עם ↑ אחרון: V397 האחרון ↑ נתנו: Mo30 נתן ↑ שהיה: P1051; V397 כי היה ↑ הג': Mo30 בג' ↑ שלישי: Mo30 במעלה השלישית ↑ החזרנו: P1051 החזירהו ↑ לשלישי: Mo30 לשלישית ↑ למעלת: P1051 למעלות ↑ הח': P1051 ח' ↑ אחד: V398 top ↑ האחד: Mo30 הא' לאחור ↑ והיו: Mo30 והוא; P1051 יהיו ↑ וחסרנו: P1051 חסרנו ↑ הב': V397 ב' ↑ ויהיו: Mo30 יהיו ↑ ו': V398 ב' marg. ב' פעמי' שהוא ו' ↑ שבטור: P1051 לטור ↑ ממנו ו' ... שבטור השפל: Mo30 לג' שהוא ראשון שבטור השפל כפל ב' פעמים ג' והם ו' והסירם ↑ נשארו ה': V397 illegible ↑ והנה: Mo30 והנה נתת; P1051 ת הנה; V398 הנה ↑ נשוב: V398 נשיב ↑ נשאר: Mo30 נשארו; V397 illegible ↑ שהוא: Mo30 om. הא' שהוא: V397 om. ↑ הח': Mo30 הא'; V398 ח' ↑ על א' אשר על הב': Mo30; P1051; V397 om. ↑ יהיו: Mo30 ויהיו ↑ שהוא: P1051 om. ↑ שהוא בטור: Mo30 שבטור ↑ שהוא בטור השפל יהיו ג': V397 om. ↑ ונכתבנו: Mo30 וכתבנו ↑ השנים: V397 ב' ↑ ונשארו: Mo30 נשארו ↑ על הה': P1051; V397 om. ↑ על הה' אחורנית: Mo30 אחורנית על הה' ↑ האמצעי: Mo30 האמצעית; P1051 האמצעים ↑ נתן ... השפל: V398 נסיר ↑ ונשארו: Mo30; P1051 נשארו; V397 ונשארו לנו ↑ הג': Mo30 ג' ↑ הג': Mo30 ג' ↑ י"ג: Mo30 יהיו י"ג ↑ ונקח: P1051 נקח; V397 ויקח ↑ מהם: Mo30 ממנו ↑ ט': Mo30 ט' מי"ג ↑ וישארו: P1051; V397 ישארו ↑ ד': Mo30 ד' על ג' ↑ הה': P1051 האחד ↑ יכולנו: Mo30 יוכלו; V397 יכול ↑ בראשונה: P1051 כבראשונה; V398 עתה marg. ~~בראשונה~~ ↑ מהי': Mo30 מהט' ↑ לו: Mo30 לנו ↑ מעלתו עכשיו: Mo30 עתה מעלתו ↑ הג' מהי' ... ממנו בראשונה: P1051 om. ↑ בראשונה: V398 הראשונה ↑ היה: V397 היו ↑ שלישי: Mo30 שלישית ↑ הח' אבל עתה לקח מן: Mo30 om. ↑ הב': Mo30 ב' ↑ א': Mo30; P1051; V398 om. ↑ הוא: Mo30; P1051; V397 om. ↑ שיקח: Mo30; V398 שנקח ↑ ממעלתו: Mo30 מן מעלתו ↑ השלישית: Mo30 הג' השלישי; P1051; V398 השלישי ↑ MS St.P569 excerpt 2 end ↑ והנה: Mo30 והיה; V397 הנה ↑ הנשאר: Mo30 הנשאר בלתי מחולק בט'; V397 נשאר ↑ ד'ט': Mo30 marg. והנשאר ד'ט'; P1051; V398 ט'ד' ↑ אחר: P1051 באחר ↑ באנו: V397 בקשנו ↑ לחלק: Mo30 לחלק מספר כמו שהוא לפניך הנה אנו צריכין לחלק ↑ ט': Mo30 ט' אחרונה שבטור העליון ↑ שנים: Mo30 ב' אחרונה שבטור השפל ↑ יכולנו: V397 יכול ↑ ישאר: Mo30 נשאר ↑ תשיבהו: V397 נשיבהו ↑ הנה: Mo30 הנה עלו; V397 om. ↑ עם הג': Mo30 om. ↑ ל"ו: Mo30 עלו ל"ו ↑ על כן: P1051; V397 om. ↑ נשארו: Mo30 ונשארו ↑ נשיבם כלם: Mo30 כלם נשיבם ↑ ויהיו: P1051 יהיו ↑ ויהיו שם: V397 ...הוא ↑ לט': V398 לו לט' ↑ יהיו: Mo30 ויהיו; P1051 יהיה ↑ נשארו: Mo30 ונשארו ↑ הג': Mo30 ג' ↑ נקח: Mo30 ונקח ↑ מהם א': Mo30 ^א' מהם ↑ נשיבהו: P1051 נשימהו; V397 נשימהו נשימהו ↑ שלישי: Mo30 שלישית ↑ לאחרון: Mo30; P1051; V398 לאחריו ↑ יהיו: V397 שהוא; Mo30; V398 הוא ↑ נתן: Mo30 ונתן ↑ אותם: V398 לו ↑ נכתוב: Mo30 ונכתוב ↑ נשאר: Mo30 נשאר ממנו ↑ על הח': Mo30 om. ↑ שעדין: P1051 ^שעדין ↑ שהוא: Mo30 בטור שהם; P1051; V397 שהם; V398 שהם marg. שהוא ↑ נכתוב: V397 ונכתוב ↑ זה האחד: Mo30 האחד הזה ↑ אחרי הג' ששמנו על הט': P1051 om. ↑ הראשון: P1051 ראשון ↑ שלישי: Mo30 ג' שלישי ↑ מן הג': Mo30; V397 מהג' ↑ שבטור: V398 שהוא בטור ↑ וראשון: P1051 והראשון ↑ נשארו: Mo30 ונשארו ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ הנשארים: Mo30 נשארו ↑ ר"ה: Mo30 ~~ר"א~~ ^ר"ה ↑ יותר: V397 נותר ↑ שבטור: V397 שהם בתור ↑ ולא ... רצ"ו: Mo30; P1051; V398 om. ↑ השפל: P1051 השפל כמו שכתוב ומצוייר לפניך בזאת הצורה marg. והנה ↑ ב': P1051 ב' פעמים ^ב' ↑ לא: V397 ולא ↑ לא נוכל: Mo30; V398 אי אפשר ↑ שלא: Mo30 כי לא ↑ אם: V398 top ↑ וד': V397 ועם ד' ↑ והם: V397 om.; Mo30; V398 הם ↑ והם י"ד: P1051 om. ↑ ויש לנו: Mo30 וישארו ↑ ב' פעמים: Mo30; P1051; V397; V398 om. ↑ אך נתן: V398 ונתן ↑ אך נתן לו: Mo30 ולכן לא נתן רק ↑ ונשים אותו: V397 om. ↑ ט': Mo30; P1051 הט' ↑ שהם: Mo30 om. ↑ כשנים: P1051 om.; V398 כמו הב' ↑ בטור: P1051 שבטור; V397 שהוא בטור ↑ השפל: P1051 העליון ↑ שהוא: P1051 כי ב' שבטור השפל הוא ↑ ראש: P1051 ראשונה ↑ שבטור: V397 שהוא בטור ↑ על: V397 והם ג' על ↑ הה': Mo30 ה' ↑ מהם אחד: V398 אחד מהם ↑ ישארו: Mo30 נשארו ↑ ישארו ב' על הה': V398 om. ↑ נשיבהו: Mo30 ונשיבהו ↑ יהיו י"ד: Mo30; V397; V398 om. ↑ יקח: Mo30 נקח ↑ יקח ט': V397 om. ↑ יש: Mo30 ויש ↑ לד': Mo30 לך ↑ שבטור: Mo30 בטור ↑ למען כי שלישי הוא: Mo30; V398 om. ↑ השלישי: V397 ^השלישי ~~הוא~~ ↑ גלגל הוא: Mo30 הוא גלגל ↑ נשיב: V397 נשוב ↑ על הד' אחד על הגלגל: Mo30 על הד' על הגלגל על הד' על הגלגל marg. אחד ↑ יקח: Mo30 נקח ↑ ישארו: Mo30 וישארו ↑ הה': V397 ה' ↑ רביעי: V397 רביעית ↑ יקח: V397 om. ↑ שבטור: V397 שהוא בטור ↑ ישארו: Mo30; V397 marg. ישאר ↑ ט': Mo30 הט' ↑ נשוב: V397 שוב ↑ יצא: Mo30 יצא לחוץ ↑ מן הטור: Mo30; V397 מהטור ↑ וחמישי: Mo30 marg. ↑ ועל הט' ד': Mo30 וד' על הט' ↑ נשיב: V397 ונשים ↑ נתן: V397 וכן ↑ שבטור: Mo30 בטור ↑ ח': V397 ה' נשיב הב' ... ח': Mo30 marg. ↑ נשארו: Mo30 וישארו ↑ נשיב: V397 אם נאמר נשב ↑ הו': Mo30; V398 ו' ↑ על הו' אחורנית: Mo30 marg. אחורנית על הו' ↑ ויהיו: V397 ויהיה ↑ נקח: V397 יקחו ↑ לט': V397 הט' ↑ נשארו: Mo30 ונשארו; V397 ישארו ↑ אם: Mo30 ואם ↑ ג': Mo30 om. ↑ ואמת: Mo30 באמת; V397 האמת ↑ שבטור: Mo30 בטור ↑ לקחת: V397 לקח ↑ מהג': Mo30 marg. מן הג' ↑ נשארו ח' על הד' ... שאחריהם: Mo30 twice - once on marg. and on the next page ↑ וכשנשיב: Mo30; V398 ואם נשיב ↑ הג': Mo30 ג' ↑ יהיו כ"ג לבד: V397 לא יהיו בם כ"ד ↑ לה': Mo30 לה' שבטור השפל ↑ שיקחו: Mo30 ליקח ↑ מ': Mo30 ד' ↑ הגלגל: Mo30 הג'; V397 גלגל ↑ יקחו: Mo30 נקח ↑ הד' ל"ב: Mo30 לד' שבטור השפל ↑ נשארו: Mo30 וישארו; V397 ישארו ↑ ד': Mo30 ^ד' ונשיבם אחורנית על הג' הראשנה שבטור הראשנה כדי לחלקו על ה' הראשנה שבטור השפל וישאר ח' במעלה השניה ↑ די: Mo30 om. ↑ די לנו: V398 לנו די ↑ ועם: Mo30 והד' עם ↑ כי לא יהיה ... הג': Mo30 marg. ↑ הם: Mo30 ויהיה ↑ מ"ג: Mo30 מ"ג בראשנה שבטור העליון ↑ יקחו: Mo30 תן ↑ הה' מ': Mo30 המ' על הה' שבטור השפל ↑ ישארו: Mo30 ישאר ↑ על: V398 ועל ↑ הט': V397 ט' ↑ לאלפים: V397 באלפים ↑ וא' על: V397 ואחר ↑ הד': V397 ד' ↑ ג' ...אלף: Mo30 ג' במעלה הראשנה בטור העליון וח' במעלה שניה וא' במעלה רביעית ↑ וט' מאות: V397 ותתקמ"ה ↑ ס"ח אלפים: V398 ששים אלף וח' אלפים ↑ וט' מאות וכ"א: V397 ותתקכ"א ↑ ונ"ג: V397 נ"ג ↑ וזהו הדמיון: Mo30; V397 om. ↑ ז': Mo30 והנה ז'; V397 ... illegible ↑ רביעי: V397 marg. הרביעי ↑ יוכל: Mo30; V397 נוכל ↑ מו': Mo30 מן הו' ↑ ומאחר: Mo30 ואח"כ אחר marg. וא"כ; V397 ... illegible; V398 אחר ↑ נוכל: Mo30 תוכל; V398 יוכל ↑ כל: V397; V398 om. ↑ הצורך: Mo30 צרכה ↑ אותו: Mo30 הו' ↑ כלו: Mo30 אלו ↑ כלו אחורנית: V397 אחורנית כלו ↑ ויהיו: V397 שהוא ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ מן הח': V397 מהח' ↑ חלקנו ... העליון: Mo30 om. ↑ לז': Mo30 לה ↑ ט': Mo30 ט' והנה ז' פעמים ט' הם ס"ג וזו הט' ↑ נוציאנו: Mo30 נכתוב אותה; V398 נוציא לו ↑ לחוץ: Mo30 בחוץ ↑ הג': V398 ג' ↑ שהוא רביעי בטור: Mo30 שבטור ↑ נשארו: Mo30 נמצא שהיא עומדת במעלה ראשנה וישאר ↑ ה' על הח': Mo30 על הח' ה' ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ מאומה: Mo30 מה' מאומה ↑ יש לה': Mo30 והנה הה' בטור השפל יש לנו ↑ שיקח: Mo30 ליקח ↑ ב': V398 הב' ↑ מן ב' הרביעי: V397 מהרביעי ... illegible ↑ לחלוק: Mo30 בחלוק ↑ לא: Mo30; V397 ולא ↑ יוכל: Mo30; V398 נוכל ↑ לקחת נקח: Mo30 אלא ליקח ↑ נשיבם: Mo30 ונשיבם אחור; V397 נשיבהו; V398 נשיב אותם ↑ הב': V398 ב' ↑ יהיו: Mo30 ויהיו ↑ נ"ב: V397 om. ↑ נשאר: V398 שנשאר וד' נשאר: V397 נשאר ד' ↑ מנ"ב: V398 מהנ"ב ↑ והה' מנ"ב יקחו מ"ה: Mo30 ומאלה ג"כ ‫[marg. נ"ב]‫ תתן מ"ה לה' שבטור השפל ↑ ישארו: Mo30 וישארו ↑ על הב': V397 om. ↑ מן: Mo30 ומזו; V398 ומן ↑ ונשיבם: V398 נשיבם ↑ א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון ↑ והם: Mo30 ויהיו ↑ כ"ז: V397 ט' marg. כ"ז יקחו ג' כ"ז: Mo30 מהם תתן כ"ז לג' שבטור השפל ↑ נשאר: Mo30 וישאר ↑ א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון וד' במעלה שניה וד' ~~וא'~~ במעלה שלישית וה' במעלה רביעית בלי חלוק כי טור השפל יותר ממנו ↑ אחר: V398 om. ↑ נרצה: V397 רצינו ↑ תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט': Mo30; V397; V398 om. ↑ על מספרים: Mo30 om. ↑ שיהיה: Mo30 שיהיו ↑ וד' במעלה שניה ... בטור העליון: Mo30 twice ↑ ב': Mo30 om. ↑ נתן: Mo30 תן ↑ בטור: Mo30 שבטור ↑ הששי: V397 om. ↑ בטור: V397 שבטור ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ שני: Mo30 השני ↑ שיקח: Mo30 ליקח ↑ שיקח: Mo30 ליקח ↑ הגלגל: Mo30; V398 om. ↑ בטור: Mo30 שבטור ↑ יוכל: Mo30 ~~יון~~ יוכל ↑ יש: Mo30 ויש ↑ הראשון: Mo30 הראשנה ↑ יש ... לקחת: V398 om.; marg. וט' ↑ לא: Mo30 ולא ↑ יוכל: V397 נוכל ↑ צריכין: V398 צריכים ↑ לו: Mo30 ~~ולא~~ ↑ ונכתוב: V397 וכתוב ↑ שהשיבונו: V397 שהשבנו ↑ V398 marg. נ"ל שחסר מכאן ↑ והג': Mo30 וג' ↑ הם ל': Mo30 om. ↑ הד': Mo30 הד' והם ל"ד נקח ~~כ"א~~ marg. כ"ז; V398 הד' והם ל"ד נקח כ"ז ↑ נשארו: Mo30 שנשארו ↑ ד': Mo30 הד' ↑ הראשונים: Mo30 ראשנים ↑ שבטור: Mo30 בטור ↑ שעל הגלגל וז': V397 om. ↑ נשוב: V398 נשיב ↑ לא: Mo30 עדין לא ↑ יצא: Mo30 יצא לחוץ ↑ נקח: Mo30 נתן ↑ לו: Mo30 לב' ↑ מן ... ונשימהו: V397 om. ↑ הח': Mo30 ח' ↑ הגלגל: V397 שעל הגלגל ↑ יש לגלגל ... לא יוכל: Mo30 om. ↑ ויש לגלגל: Mo30 וגלגל ↑ שאחריו: Mo30 om.; V397 שלאחריו ↑ שיקח: Mo30 יקח ↑ שהיא: Mo30; V397 שהוא ↑ שעל: Mo30; V398 על ↑ לא: Mo30 ולא ↑ יש לט': Mo30 om. ↑ שיקח: Mo30 ליקח ↑ מן הגלגל: V397 מהגלגל ↑ רביעי: Mo30 רביעית ↑ וגם לא: Mo30 ולא ↑ כי השנים אינם: Mo30 שאינם השנים כי השנים אינם: V397 illegible ↑ שעל: Mo30 על ↑ הד': V398 ד' ↑ ג' נשימם ... הד' לפניו: Mo30 om. ↑ הח': Mo30 א' ↑ וא': Mo30 והא' ↑ נשוב: V398 נשיב ↑ שעדין: V397 שעוד ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ לקחת: V397 ליקח ↑ והם: Mo30 שהוא ↑ ח': Mo30 ב' פעמים ח' marg. יהיו י"ו ↑ אחרי: Mo30; V398 אחר ↑ הוא: Mo30 om. ↑ נשאר: V397 נשאר לנו ↑ הנה: Mo30 והנה ↑ הנה יש: V397 ויש ↑ שיקח: Mo30 ליקח ↑ גם: V397 וגם ↑ מן הג': V397 מהג' ↑ שבטור: Mo30; V398 בטור ↑ יקח: V397 יקח ט' ↑ שיקח: V398 שיקחו ↑ מן הב': V397 מהב' ↑ שיתן: Mo30; V398 om. ↑ לגלגל: Mo30; V398 om. שיתן ... לגלגל: V397 om. ↑ לו: Mo30 marg. ↑ אלא: V398 אלה ↑ על הגלגל: V398 לגלגל כי אין לו ... ויהיה על הגלגל: Mo30 om. ↑ הכל: V397 על הכל ↑ ונכתוב: Mo30 ותכתוב ↑ כלום: V397 כלל ↑ לב': Mo30 marg. ↑ נשארו ו' וג': Mo30 om. ↑ ד': Mo30 הז'; V397 הד' ↑ וא': Mo30 ואם ↑ שהוא: Mo30; V398 om. ↑ שני: Mo30 om. ↑ נשארו: Mo30 ישאר ↑ אלף: Mo30 הוא אלף; V398 הוא א' marg. אלף ↑ וג' מאות וס': V397 וש"ס ↑ שתחתיו: Mo30 om. ↑ מאין: V397 מעין ↑ אפרש: V397 נפרש ↑ כשיתרחק: V397 שיתרחק ↑ שיכתב: Mo30 שיכתוב; V397 כי שיכתוב ↑ כדמיון זה: Mo30 כזה הדמיון ↑ ג0ב: Mo30 om. ↑ MS St.P374 excerpt 2 begin. ↑ הב': V397 om; Mo30 ב'; V398 שנים ↑ הג': Mo30 ג' ↑ כמה: Mo30; V397 כמו ↑ שיצטרך: Mo30; V398 שנצטרך ↑ החשבון: V398 חשבון ↑ הב': V397 ב' ↑ האחד: V397 א' ↑ אל: V397 על ↑ ואז נחלק כמשפט: Mo30; V397; V398 om. ↑ ואומר ... עוד: Mo30; V397; V398 om. ↑ כמו ...והקשה: Mo30; V397; V398 om. ↑ חשבון: Mo30 marg.; V397 om. ↑ שביעיות: V397 marg. ↑ MS St.P569 excerpt 1 begin. ↑ אורך: Mo30 אלמדך ↑ איכה: Mo30 איך ↑ תחלק: V397 תחלה ↑ מהט': V397 התשעה ↑ הדמיון: V397 הדמיון שאראה לך ↑ כשתחל: V397 תחלה שתחלק ↑ לט': V397 om. ↑ ותכתבנה אחורנית: V397 om. ↑ במעלת: V397 במעלה ↑ שתחלק: V397 שתחלוק; V398 שהחלוק ↑ וכן תעשה ...לחלוק ז': V397 om. ↑ ובשלישי: V397 ומהנשאר בשלישי ↑ נשיב: V397 נשוב ↑ הז': V397 om.; V398 ז' ↑ אחורנית: V397 om. ↑ ונחלק: V398 ומה ^ נחלק marg. ואשר ↑ ממנו: V398 om. ונחלק ממנו: V397 ומהג' נחלק ↑ ששי: V398 om. ↑ וכן תעשה עד שישאר ז': V397 om. ↑ ואחריו ה': V397 om. ↑ נשוב: V398 נשיב ↑ ז': V398 om. ↑ הח': V398 הז' ↑ ומה: V398 נשיב ז' אחורנית מה ↑ שתשאיר: V398 שנשאיר ↑ הרביעי: V398 השביעי ↑ לחלוק: V398 om. נשוב לחלק ... הרביעי לחלוק: V397 om. ↑ נשיב: V397 נשוב ↑ ח': V397 ה' ↑ השמיני: V397 שמיני; V398 השמינית ↑ ז': V398 om. ↑ רביעי: V397 השביעי ↑ ה' על ה': V397 על ה' י"ב; V398 על ה' ה' ↑ ואחריו: V397 ומה שתשאר ↑ ה': V397 י"ד ↑ ה': V397 ד' ↑ אחורנית: V397 om. ↑ שתשאיר: V397 שתשאר; V398 שנשאיר ↑ ו': V397 ה' ↑ ב': V397 ג' ↑ יצא: V397 יצאנו ↑ וה' מאות וס"ב: V397 ותקס"ב ↑ והמחולק ... וצ"ט: V397 om. ↑ והמקובל: V397 והמקובל הוא ↑ אלף: V397 אלפים ↑ וז' מאות ופ"ה: V397 ותשפ"ה ↑ ג': V397 ד' ↑ וג': V397 וד' ↑ וג': V397 וד' ↑ דלתין: V397 דלתין וב' זתין כמספר דלתין ↑ וו' אחת וב' אחת: V397 om. ↑ עם: V397 על ↑ כל: V398 om. ↑ חוץ: V398 om. ↑ ליתן: Mo30 לתת ↑ ז': Mo30 ט' marg. ז' ↑ שני: Mo30 השני ↑ על: Mo30 אל ↑ שנשארו: Mo30 שישארו ↑ ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז': Mo30 om. ↑ ותן: Mo30 וישארו י"ד ויתן ↑ ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז': Mo30 om. ↑ השלישי: Mo30 בשלישי ↑ תשיב: Mo30 תשים ↑ ולא: Mo30 לא ↑ והז': Mo30 וז' ↑ הה': Mo30 הב' ↑ שימהו: Mo30 שימם ↑ ד': Mo30 הד' ↑ וחלקם: Mo30 וחלק ↑ הרביעי: Mo30 רביעי ↑ הרביעי: Mo30 רביעי ↑ ח': Mo30 om. ↑ אחורנית: Mo30 אחרונים ↑ חמישי: Mo30 החמישי ↑ והח': Mo30 וח' ↑ וחלקם: Mo30 וחלקם ח"ח ג"כ ↑ הט': Mo30 הטור ↑ חמישי: Mo30 ~~שישי~~ marg. ה' ↑ והח': Mo30 וח' ↑ הז': Mo30 הע' ↑ ה' על הט' הראשון: Mo30 על הט' הראשון ^ה' ↑ והה': Mo30 וה' ↑ השלישי: Mo30 השלישית ↑ והה': Mo30 וה' ↑ שלחהו: Mo30 שלחם ↑ ה': Mo30 הה' ↑ כן: Mo30 ה' ↑ שלחהו: Mo30 שלחם ↑ ב' ו' ה' ה': Mo30 marg. ↑ נשלים: Mo30 נשלם ↑ אם חלקת נכונה: Mo30; V397; V398 om. ↑ המספר: V397 מספר ↑ שיהיה: Mo30 שהיה ↑ גם: Mo30 ג"כ ↑ המספר: V397; V398 מספר ↑ שכתבת: Mo30; V397 שהוא ↑ זה: V397 marg. ↑ האמצעי: V397 אמצעי; V398 ר"ל אמצעי ↑ נשאר: Mo30; V398 הנשאר ↑ ט'ט': Mo30 התשיעיות; V397 התשיעית; V398 תשיעית ↑ אם: Mo30 ואם ↑ שנשאר: V397 ששוי לחלק; Mo30; V398 שנשאר לחלק ↑ מהמספר: Mo30 המספר ↑ עליו: Mo30 עליו marg. לא תקח מאומה ↑ כי: Mo30 אבל ↑ כי אם: V398 ואם ↑ קח: Mo30 מן ↑ וחבר: Mo30 תחבר ↑ שהיה: V397 שיהיה ↑ אם: Mo30 ואם ↑ MS St.P374 excerpt 2 end ↑ שוה למאזני: Mo30 כמאזני ↑ מה: V398 כל מה ↑ שיעלה: V397 שתעלה; Mo30; V398 שעלה ↑ על: V398 על כל ↑ לחלק: V398 לחלוק ↑ למספרי: Mo30; V397 למספר ↑ וחלוק נכון: Mo30; V397; V398 om. ↑ Mo30; V397 om. ↑ העליון: V398 om. ↑ וכתוב מה: V398 ובתנאי ↑ ומהמספר: V398 והמספר ↑ תשיב: V398 השיב ↑ ותצרף: V398 ותצטרף ↑ יותר: V398 יתר ↑ תשיב: V398 השיב ↑ והג' ... העליון: V398 om. ↑ כי: V398 כי marg. אע"פ שהוא ↑ נכתבנו: V398 תכתבהו ↑ על: V398 אל ↑ כי ט': V398 ~~כי ט'~~ כי ט' ↑ אשר על: V398 שעל ↑ יתחלקו: V398 נתחלקו ↑ וש"נ: V398 ~~ש"ה~~ marg. ש"נ ↑ א': V398 א' האחרון בטור השפל ↑ העליון: V398 ~~בטור~~ העליון ↑ וכתבנוהו: V398 והנה א' וכתבנוהו ↑ המספר: V398 העליון ↑ הה': V398 ה' ↑ יתחלקו: V398 נתחלקו
Chapter Three
	↑ השלישי: Mo30 החמ^שלישי ↑ בספרי: V397 בשערי ↑ כי: Mo30; V397 om. ↑ מן המספרים: Mo30 מהמספרי' ↑ שיעברו: Mo30; V397 שעברו ↑ יכפול: Mo30 כפול ↑ על חציו: Mo30 בחציו ↑ בתוספת: Mo30 גם בתוספת ↑ כמה הם: Mo30 om. ↑ המספרים: V397 מספרים ↑ המחוברים: Mo30 שהם; V397 marg. ↑ סוף: Mo30 om. ↑ ידענו: V397 ידע ↑ הנה: V397 om. ↑ הנה יהיו: Mo30 ויהיו ↑ והנה: Mo30 om. ↑ יעלו: Mo30; V397 עלו ↑ המחובר: Mo30 המבוקש ↑ כמה: Mo30 רצינו לדעת כמה ↑ סוף: Mo30; V397 om. ↑ והנה: V397 הנה ↑ והוא: V397 הם ↑ כפלנו: V397 כפלו ↑ ועלו: Mo30 עלו ↑ ועוד: V397 עוד ↑ יש: Mo30 יש לו; V397 יש לנו ↑ חשבון: Mo30; V397 om. ↑ יעלו: Mo30 יעלה ↑ חבר אותו: Mo30 חברם ↑ עם: Mo30 אל ↑ אלו שני: Mo30 שני אלו ↑ הדרכים: V397 דרכים ↑ הולך: Mo30; V397 om. ↑ חשבון: Mo30 החשבון ↑ דרך אחרת ... קע"א: Mo30; V397 om. ↑ אברהם: Mo30 אברהם אבן עזרא; V397 אברהם ן' עזרא ↑ תוסיף: Mo30 שתוסיף; V397 שאוסיף ↑ מרובע: V397 המחובר marg. המרובע ↑ שהוא: Mo30 הוא ↑ בעצמו: Mo30; V397 בעצמו סוף החשבון ↑ כמה: Mo30 מה שיגיע ↑ וראה כמה המחובר: V397 om. ↑ ואחר: Mo30 om.; V397 ואחר כן ↑ על: Mo30; V397 עליו ↑ השרש: Mo30 שרש ↑ הדרך: V397 om. ↑ הזה: Mo30 זה ↑ חברתי: Mo30 חברנו ↑ מספרים: Mo30 כל המספרים; V397 המספרים ↑ שהגיעו: V397 שהגיע ↑ החשבון: Mo30; V397 חשבון ↑ ובחון: Mo30 ובחן ↑ השרש: Mo30; V397 הוא השרש ↑ כפלנו: Mo30 כפל ↑ ועלה: Mo30 הוא; V397 ועלו ↑ וידוע: Mo30 וידענו ↑ היה: Mo30 om.; V397 היו ↑ המספרים ... סוף: Mo30 twice ↑ דרך אחרת ... המבוקש: Mo30; V397 om. ↑ המרובעים: Mo30 המספרים marg. המרובעים ↑ החשבון: Mo30 מספר ↑ שהוא: Mo30 om. ↑ נשים: Mo30 תשים ↑ שם: V397 om. ↑ המספר: V397 מספר ↑ ונקראנו: Mo30 ותקראהו ↑ שלישית אחד: V397 שלישית אחד marg. כי הלויתי מהאחד ↑ ונכפול: Mo30 וכפול ↑ המחובר: Mo30 המספר ↑ המרובעים שהם: V397 הם המרובעים ↑ שבעה: Mo30 שבעה והוא מספר שאין לו שלישית ↑ וכבר: Mo30 כבר ↑ שהמחובר: Mo30 כי המחובר ↑ ונשוב: V397 תשוב marg. ונשוב ↑ שבעה: V397 שלז' ↑ אחד: Mo30; V397 om. ↑ הם: V397 om. ↑ ויש: V397 יש ↑ אחד: Mo30 יהיה אחד ↑ והנה נכפול: Mo30 ונכפול ↑ המחובר: Mo30 הוא המחובר ↑ שהם: Mo30 שהוא ↑ עד סוף: Mo30 מספר ↑ י"ב: Mo30 י"ב והוא מספר שיש לו שלישית ↑ וידוע: Mo30 וידענו ↑ יעלו: Mo30 ועלה ↑ נחבר: Mo30 ונחבר ↑ שהם: V397 om. ↑ ואני: V397 om. ↑ לחבור: V397 לדעת ↑ שאם ... דע: V397 illegible ↑ מצאתי ... ההוא: V397 marg ↑ דמיון ... ה': V397 om. ↑ Mo30; V397 om. ↑ הדרך הזה: Mo30 זה הדרך ↑ כל השאלות מזה הענין: Mo30 השאר ועל הדרך ... מזה הענין: V397 om. ↑ כל: V397 om. ↑ כל זה: Mo30 om. ↑ כשתחבר: V397 בשחבר ↑ שיהיו: Mo30 שיהיה ↑ אלו ואלו: V397 אלה על אלה ↑ האחד: V397 om. ↑ העליון: V397 אחד ↑ מעלותיו: V397 מעלתו ↑ גם: V397 וגם ↑ המספר: V397 מספר ↑ מעלותיו: V397 מעלתו ↑ אל: V397 עם ↑ התחתון: V397 השפל ↑ השלישי: V397 השפל ↑ ועתה ... למזלות: V397 om. ↑ כל: V397 על ↑ עוד: V397 ועוד ↑ עשרים עשרים: V397 כ' על כ' ↑ ובספר: V397 ובמספר ↑ לדעת: V397 om. ↑ שיבקשו: V397 יבקשו ↑ זה: V397 שם ^זה ↑ מן הראשונים: V397 מהראשונים ↑ באותו: V397 ~~המעלות והמזלות ויש~~ באותו ↑ שימצאו: V397 שנמצאות ↑ מן הששים: V397 משישים ↑ במקום: V397 במקום ~~במקום~~ ↑ מן המעלות: V397 מהמעלות ↑ שכתבת: V397 ~~כמו~~ שכתבת ↑ המעלות: V397 ~~המעלות~~ marg. המזלות ↑ המעלות: V397 המזלות ↑ מן המעלות: V397 מהמעלות ↑ מזלות: V397 om. ↑ אז: V397 אז marg. אז ↑ שם: V397 om. ↑ מן המעלה: V397 מהמעלה ↑ כי אם: V397 ~~כי אם~~ כי אם ↑ ממעלת: V397 ממעלות
Chapter Four
	↑ מחשבונים רבים: V397 marg. ↑ אחרת: V397 אמת ↑ החשבון: V397 המספר ↑ שתחפוץ: V397 שתרצה ↑ לגרעם: V397 לגרוע אותם ↑ והנה: V397 וכן ↑ באחת: V397 באחדות ↑ מן: V397 om. ↑ מהמספר: V397 ממספר ↑ שבטור: V397 הטור ↑ שאחריו: V397 שהוא אחריו ↑ אחד: V397 ואחד ↑ מן העליונים: V397 מהעליונים ↑ ממעלתו: V397 ממעלותו ↑ ולא נוכל ... מב': V397 om. ↑ ולעולם: V397 וככה הכל ולעולם ↑ לחסר: V397 ולהסר ↑ נכתבנו: V397 נכתוב אותו ↑ כתבנו אותו: V397 כתבנוהו ↑ תחת מעלה הרביעית: V397 om. ↑ שמנו גלגל במקומו: V397 כתבנו במקומו גלגל ↑ אחד: V397 top ↑ שבטור השפל לפניו: V397 שהוא לפניו בטור השפל ↑ ונשארו: V397 נשאר ↑ כי: V397 שהוא ↑ שבטור השפל: V397 בשפל ↑ מן: V397 משל ↑ שבטור: V397 בטור ↑ ונכתוב: V397 וכתבנו ↑ היו: V397 היה לנו ↑ נחסר ט': V397 om. ↑ ונשארו: V397 נשארו ↑ וזו היא הצורה: V397 om. ↑ תרצה: V397 נרצה ↑ תגרע: V397 נגרע ↑ ותשמור: V397 ונשמור ↑ ותראה: V397 ונראה ↑ היו: V397 om. ↑ דע: V397 נדע ↑ חשבונך: V397 חשבוננו ↑ היו: V397 היה ↑ הטור: V397 om. ↑ הוסף: V397 ה^וסף ↑ ותעשה: V397 ונעשה ↑ כמשפט: V397 ~~השפל~~ marg. כמשפט ↑ החסרנו: V397 חסרנו ↑ השיבונו: V397 השיבונו אותו ↑ והיו י' חסרנו ז': V397 om. ↑ והיו: V397 היו ↑ החסרנו: V397 חסרנו ↑ יש: V397 om. ↑ כן תכון: V397 om. ↑ והראשונים: V397 והחלקים הראשונים ↑ השניים: V397 כי השניים ↑ השפל: V397 שפל ↑ מהשניים: V397 יחלו לגרוע מהשניים ↑ יכתבהו: V397 יכתבנו ↑ העליונים: V397 om. ↑ יחשבהו: V397 ויחשוב אותו ↑ מהמזלות: V397 מהמעלות marg. מהמזלות ↑ אחד: V397 om. ↑ ויחשבנו: V397 וית^חשבנו ↑ ל': V397 למעלה marg. למעלות ↑ וישמר ... יגרע: V397 marg. ↑ גדולים: V397 הגדולים ↑ יוסיף: V397 נוסיף ↑ לעולם: V397 om. ↑ ממאזני: V397 ומאזני ↑ יגרע כמשפט: V397 om. ↑ ויעשה: V397 יעשה ↑ והשיבה: V397 והשיב אותו ↑ לחברם: V397 לחבר אותו ↑ מן המזלות: V397 מהמזלות ↑ הוסף על מאזני המעלות: V397 marg. ↑ המזלות: V397 המעלות ↑ כלל אומר לך: V397 om. ↑ צורך: V397 צריך ↑ האחרון: V397 אותו ↑ שבסוף: V397 בסוף ↑ מהאחרון: V397 מאותו האחרון ↑ שבטור: V397 בטור ↑ שהעליון: V397 העליון ↑ מן התחתון: V397 מ^התחתון ↑ אותיות: V397 אותיות סימנים ↑ ודי לו: V397 ודי לו לכתוב בחלוק והוא צרך לעולם יש לנו לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבון יצא לחשבון אם גלגל עליו עוד לא יתחלק דמיון ב ג ד ה ו ז ‫0 ב ט ח ↑ V397 om.

Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra
b. 1089, Tudela, Spain – d. 1167
Sefer ha-Mispar (The Book of Number)
Lucca, Italy, between 1142 and 1145

Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/13 (IMHM: f 1996), ff. 60r-112r (15th-16th century)

[B244]

2) Cambridge, University Library Add. 670, 2 (IMHM: f 16999) (15th-16th century)

3) Cambridge, University Library Add. 1015, 2 (IMHM: f 15886; f 17024), f. 92v (14th-15th century)

4) Cambridge, University Library Add. 1527, 2 (IMHM: f 17464) (15th century)

5) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Or. 489/5 (IMHM: f 19164), ff. 137r-147v (1443)

6) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.28/1 (IMHM: f 17849), ff. 1r-48v (14th-15th century)

[F88.28]

7) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/1 (IMHM: f 17970), ff. 1r-45v (14th century)

[F88.46]

8) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 88r-92v (15th century)

9) Jerusalem, Museum of Italian Jewish Art 30 (IMHM: f 5069; f 45045) (16th century)

10) Leeuwarden, Tresoar, the Frisian Historical and Literary Centre B.A. Fr. 21/1 (IMHM: f 3481), ff. 1r-51r (14th-15th century)

11) London, British Library Add. 27153/7 (IMHM: f 5826), ff. 13v-37r (cat. Margo. 1085, 7) (Siena, 1431)

[Lo27153]

12) London, British Library Or. 10785 (IMHM: f 8100) (Verona, 1647)

[Lo10785]

13) London, Montefiore Library 419 (IMHM: f 5352) (15th century)

14) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/1 (IMHM: f 6711), ff. 1r-38r (1503)

[Mo30]

15) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1383 (IMHM: f 48474) (Paris, 18th-19th century)

16) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 43/8 (IMHM: f 1150), ff. 103v-146r (16th century)

[Mu43]

17) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 150/5 (IMHM: f 1168), ff. 83v-108v (15th century)

[Mu150]

18) New York, Columbia University X 893 Sh 4 (IMHM: f 16483) (16th-17th century)

19) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2561, (IMHM: f 28814) (17th century)

short excerpt from Chapter VI - Proportions

[N2561]

20) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/1 (IMHM: f 28877), ff. 1r-10v (16th century)

partial: mid. Chapter I - mid. Chapter IV

[N2624]

21) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2627/1 (IMHM: f 28880), ff. 1r-48v (17th century)

[N2627]

22) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/1 (IMHM: f 19304), ff. 1r-9v (cat. Neub. 2019, 1) (15th century)

23) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/2 (IMHM: f 19304), ff. 14r-66r (cat. Neub. 2019, 2) (16th century)

24) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 319/1 (IMHM: f 19303), ff. 1r-64v (cat. Neub. 2018, 1) (14th century)

25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428)

26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503)

[O187]

27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century)

[P1029]

28) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/1 (IMHM: f 27767), ff. 1r-34v (14th century)

starts from Chapter IV - Subtraction

[P1049]

29) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1050/2 (IMHM: f 14646), ff. 1v-29v (15th century)

[P1050]

30) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1051/2 (IMHM: f 14656), ff. 2r-40v (1482)

[P1051]

31) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/1 (IMHM: f 14649), ff. 1r-41v (15th century)

[P1052-1]

32) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/4 (IMHM: f 14649), ff. 55r-58r (15th century)

[P1052-4]

33) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 13/5 (IMHM: f 52914), ff. 155r-163r (18th-19th century)

34) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 454 (IMHM: f 53740) (17th -18th century)

35) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 374/1 (IMHM: f 50951), ff. 1r-2v (18th century)

two short excerpts: (1) from Chapters III-IV; (2) from Chapter II

[St.P374]

36) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 569 (IMHM: f 70777) (14th-15th century)

two short excerpts: (1) from Chapters II-IV (ff. 10, 2-9, 1v); (2) from Chapter II (f. 11r-v)

[St. Petersburg569]

37) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 1385 (IMHM: f 66722) (17th century)

short excerpt from Chapter VI - Proportions

[St.P1385]

38) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), ff. 98r-101r (Canea, 1493)

[V171]

39) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 386/3 (IMHM: f 468), ff. 137v-206v (14th century)

[V386]

40) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/2 (IMHM: f 475), ff. 3r-49r (Murcia, 1384/1385)

[V397]

41) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 398/1 (IMHM: f 476), ff. 1r-2v; 9r-30v; 118r-123v (14th century)

[V398]

42) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 530/11 (IMHM: f 2707; f 18511), ff. 101r-v (26.fs.0000) (14th century)

short excerpt from Chapter VII - Square Roots

[V530]

43) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/2 (IMHM: f 12013), ff. 24r-64v (15th century)

44) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 152/2 (IMHM: f 1422), ff. 4r-34v (18th-19th century)

[W152]

45) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/7 (IMHM: f 1456), ff. 90v-99v (16th century)

[W194]

Edition:

Ibn ‛Ezra, Abraham. Sefer ha-Mispar, Das Buch der Zahl: ein hebräisch-arithmetisches Werk. Ed. Moritz Silberberg. Frankfurt a. M.: J. Kauffmann, 1895.

Bibliography:

Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188.
Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 130-155.
Sela, Shlomo. 2000. Encyclopedic Aspects of Abraham Ibn Ezra’s Scientific Corpus. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp.154-170
Sela, Shlomo, and Gad Freudenthal. 2006. Abraham Ibn Ezra’s scholarly writings: a chronological listing, Aleph 6, pp. 13-55.
Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 87-91 (d38-d42); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.

– Commentary on Sefer ha-Mispar–
Anonymous

Manuscript:

Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/2 (IMHM: f 2320), ff. 39r-65r (14th-15th century)

[18] Mo marg. פי' ספר כתב הלשון ספר הדבור; P1052 top במשמע' שפה

[21] וְסִפּוּר: P1052 top מניי'
סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: B com ביאור ההקדמה הנזכרת. סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר פי' כי הדבור אצל ציור הלב והרעיון בצורה הנראת כמראה אצל עצם הדבר אשר היא צורה לו כי הציורים הם בשכלו נמצאים והציור הוא צורת עצם הדבר והדבור חקוי הציור והמכתב חקוי הדבור והם ספר וספר וספור. ובעל ספר יצירה לא זכר מציאות העצם שהוא העקר והקודם אבל השלשה הנמצאי' בנתיבות החכמה כך פי' אדונינו מאור הגולה החבר הידוע ר' משה בר' שמואל בן תבון ז"ל

[61] P1052 marg. איק בכר גלש הא' מן איק הוא ראשו' ל[אחדים] והיו' הו' ראשו' לעשריו' והקוף הו' ראשו' למאו'

[63] והאות על זה: B marg. ר"ל היות כל מספר סובב על ט'; B com. האות על זה. ר"ל האות על היות כל מספר סובב על ט'; W194 marg. כלומר על היות כל מספר סובב
Mu43 פי' והאות על היות כל מספר סובב על ט' והוא תכלית כל מספר כי כש[תכפ]ול ט' על כל המספרים שמא' עד ט' לעולם המחובר ט' לפי מספר האותות הצורה זל וזה א'וח' וזה ב"ז ג"ז ד'

[66] כשתעשה עגול: B. com כשתעשה עגול וכו'. וכן היה יכול ליתן הבדל אחר כי כשתכפול ט' על עצמו או על ח' או על ז' או על ו' תמצא האחדי' שבמקו' העשרות יתרים במספרם מן האחדי' עצמם. ומה' ולמעלה וה' בכלל הדבר בהפך ר"ל שהאחדים עצמם יתרים על העשרות וזה כי ט' על ט' הם פ"א הנה ח' שהוא עשרות יתר על א'. וט' על ח' ע"ב הנה ע' שהם עשרות יתרי' על ב' שהם אחדים. ומהחמשה ולמטה יהיו האחדים עודפי' על העשרות

[109] נקרא חשבון עגול: B com נקרא ה' חשבון עגול. ר"ל שימצא במרובעו ואע"פ שבששה ימצא כן אמנם ששה לא ישמור מרובעו במעוקבו כי כשתכפול ו' על ו' יעלו ל"ו ואחר תכפול ו' על ל"ו לא ישאר הל"ו בצורתו. אך ה' פעמ' ה' שהוא כ"ה אם תכפלם על ה' ישמור צורתו עצמו ויעלה קכ"ה וזהו הכפל הגמור כי אחר שכפלנו ארכו על רחבו שהוא השטח נכפלנו בעמקו ונחלק הגבוה לה' חלקי' שוים שכל אחד ה' על ה'

[174] כדמות גלגל: W152 marg. היינו שנקרא בימינו אלה אפס או נול ותמונתו 0

[202] כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים: B com כי אי"ק יחזור באלפים. אי"ק הוא סוג לכל המספרים כי כל מספר הוא אם א' או י' או ק' כי אלף הוא באחד וי' אלפי' ישובו לי' וק' אלפי' ישובו לק'; P1050 marg. וככה נקרא כל אותיות שתמצאם כתו' זו לפני זו כתו' איק בכר גלש כי א' מורה אחדי'. י' מורה עשרו'. ק' מאות. ב' אלפי. כ' עשרת אלפי'. ר ק' אלפי'. ג' אלפי אלפי'. ל' י' אלפי' אלפי'. ש' ק' אלפי אלפי' וכן עד עולם. וראה ועשה
א י ק ב כ ר ג ל ש
9 8 7 6 5 4 3 2 1
וכן אם תמצא מספר אחר תקראהו לפי זה הסדר כגון כזה
א י ק ב כ
1 9 7 5 3
וכן אחר כזה
א י ק ב כ ר ג ל
9 7 0 5 4 0 2 0
זהו סדר הקדימה שנלמדת ראשונה

[211] W152 היינו האפס באמצאו למשל 501 וכן הלאה

[229] הכפל: B marg. מולטיפליקארי

[232] לכפול חשבון על עצמו: B com לכפול חשבון על עצמו. כמו כ"ה על כ"ה

[234] או על אחר: B com או על אחר כמו כ"ה על כ"ד

[239] או לכפול חשבון אחד על שנים חשבונות: B com או חשבון אחד על שנים. ככפל עשרות על מאות ועשרות

[244] או רבים על רבים: B com או רבים על רבים. כמו אחדי' עשרו' ומאות עם אחדי' עשרו' ומאות

[246] החלוק: B marg. פארטירי

[258] על המאזנים: B com על המאזנים ר"ל האות המעיד המורה על אמתת הכפל או החלוק וחלופו

[264] החבור: B marg. סומארי

[268] לחבר מספר אל מספר: B com לחבר מספר על מספר. כגון שתרצה לחבר יחד מספרי' רבי' במספרי' רבי' נכתוב אלו המספרי' בשורות שורות ונחבר האותיו' ביושר כאלו היו אחדים והעולה על עשר אם אין בו אחדים נכתוב גלגל ונשמור א' ואם יש עמו אחדים נכתוב האחדי' ונניח הכלל ונשמרהו. כמו שיתבאר במקומו

[275] החסור: B marg. סוטְרַארֵי

[278] לחסר מספר ממספר: B com לחסר מספר ממספר. כלו' לגרוע מספר ממספר אחר רב ממנו ולדעת הנשאר

[503] W152 marg. לחזור על הטעם של [הטענה] דרך כזה

[796] במספר השלישי: V398 marg. פי' במעלה השלי'

[823] V398 marg. פי' להכיר מה שבא אחריו מן המספר באיזה מעלה היא

[829] P1051 marg. פי'ק' ר"ל מכפילת הטור העליון עם השפל

[856] V398 marg. בספר אחר ראיתי הדרך אחרת

[862] יוצא אל כלל: Mo30 marg. ר"ל מגיע עד מדרגת העשרות

[1037] P1051 marg. אינו מן הספר; V398 marg. ו' ד' ג' ב'

[1040] V398 marg. ט"ו י' ו' ה' ג'

[1053] V398 marg. ק"פ ק"כ צ' ע"ב ס' מ"ה מ' ל"ו

[1092] P1051 marg. פי' ק' ואחר כך תמצא אמתתם במעלתם

[1097] P1051 marg. פי' ק' מהמספר האחרון שבטור העליון

[1122] Mo30 marg. ר"ל כשנתחיל מהאחדים

[1128] P1051 marg. פי' ק' פי' שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק

[1134] P1051 marg. פי' לפני הנכתב שנית שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק

[1193] P1051 marg. ק' פי' על ד'

[1196] P1051 marg. פי' נחשוב אותו עשרה

[1236] ראשון לאחרון: Mo30 marg. ר"ל קודם האחרון

[1310] P1051 marg. פי' ק' כדי שיתחלק עליהם ג' ראשון שבטור השפל ויהיו י"ג נחלקם על הג' נתן לו ג' ואע"פ שיספיק לתת ד' לא נתן עולה כי אם בשוה מה שנתננו לאחדים בחלוק וישארו ד' על הג'

[1388] לו: P1051 marg. פי' לאות האחרון מהטור העליון

[1398] P1051 marg פי' ק' ולא יספיק לתת ב' לט' כאשר נתננו לב'

[1] באמונה: Mu150 ב^אמונה

[2] בו: Mu150 top

[3] ראה ... בתבונה: B עמ"י עש"ו בהנו"א; Lo27153 בשם השם אמן עמ"י עש"ו; Lo10785 בהנו"א עמ"י עש"ו; V397 ע"ז; Mu43; O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 om.

[4] ספר המספר: B ס' יסוד מספר; Lo27153 אתחיל לכתוב ספר המספר מאע"ז ז"ל; Mu43 לק"י אתחיל ספר המספר לר' אברהם אבן עזרא ז"ל; Lo10785 ספר המספר להחכם ר"א ן' עזרא; O187 מספר לר' אברהם בן עזרא; P1029 מספר ר' אברהם ן' עז'; P1050 ספר המספר להחכם ר' אברהם אבן עזרא נ"ע; V397 ספר המספר שחבר החכם ר' אברהם ן' עזרא ז"ל; W152 ספר המספר לא"ע נ"ע; Mu150; P1051; V171; V386; W194 om.
ראה ... המספר: Mo30 עמי עשו
ספר המספר לכ' אברהם ב"ע ז"ל
ספר המספר [לכבוד הר'] אברהם ן' עזרא הספרדי ז"ל
ראו ספר מחוקק באמונה . ובו תמצא לכל מספר תכונה
אשר חבר בנו מאיר למאיר . קטן שנים ורב שכל תבונה
Mo30 marg. ספר המספר להראב"ע וס' התשבורת לאבו בכר כי [...]
N2627 ב"ה ספר חכמת המספר לראב"ע ז"ל
ראה ספר מחוקק באמונה. ותמצא בו לכל מספר תכונה
אשר חברו בנו מאיר למאיר. קטן שנים וחכם בתבונה
ספר יסוד מספר ובו יתאסף. כל סוד במדות נחמד מכסף
מכתב לאברהם בנו מאיר ז"ל. רבי שלמה בן כבוד רב יוסף
P1052 ספר המספר
ראו ספר. כליל שפר. יסוד מספר. שמו נקרא
לאברהם בנו מאיר. ספרדי. אבן עזרא

[5] בעבור: Mu43 אמר בעבור

[6] הנשגב: O187 om.; V171 הנה'

[7] לבדו: Lo10785 לבדו ב"ה; N2627; V171 om.

[8] בעולם: Mu43; O187; V171; W152; W194 העולם

[9] העליון: P1050 om.

[10] גדולות: P1029; P1051 om.

[11] את: B top; V171; V397 om.

[12] שהוא: Lo27153; P1050; W194 שהיא; B שהוא marg. נ' שהיא

[13] שהוא העולם: V171 שהעולם

[14] ובעל ספר: O187 וספר

[15] ספר יצירה: V171 ס"י

[16] אמר: O187 אומר

[17] החכמה: O187; P1029; P1051; V171; V397 חכמה

[19] וספר: P1051 om.

[20] בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: Lo10785; Mo30 בסֶפֵר וסְפַר וְסיפור

[22] הַסְּפָר: Mu43 הַסְפַר; N2627; P1050 המספר; P1052 הספור; V171 הסופר

[23] תשעה: V171; V397 הם ט'

[24] תשעה: Lo10785; Mo30 הט'

[25] חשבון: P1052 מספר

[26] ואלה: P1052 ואלו

[27] יקראו: P1029 יקרא

[28] האחדים: Lo10785; Mo30 כאחדים; Mu43; N2627; P1029; V397 אחדים

[29] הראשונה: N2627; P1029; V397; W152; W194 ראשונה; P1052 הראשושנה הראשונה marg. יקראו האחדי' שה' במע' הרא' היה הנקודה

[30] עשרה: Mu43; N2627; P1029; P1051 העשרה; V171 היוד; V386 יוד

[31] דומים: B; Mo30 (marg.); Mu150; P1051; V171; V397 דומה

[32] לאחד ... לשנים: Lo10785 ל

[33] שני: P1050 שתי

[34] והיה: P1051 יהיה; V171 שיהיה

[35] שיקראוהו: Lo27153 ~~שיקרואו~~ שיקראוהו; Mu43; P1051 שיקראהו; O187 לקרות; P1050; P1052 שיקראו

[36] עֶשְׂרַיִם: Mu43 עשָרים; O187 עַשַרַיִם; P1052 עֲשָרָיִים; B עֲשַרָיִם marg. נ' עֱשְרַיִם

[37] יקראו: O187; V171 קראו

[38] ממאה: V171 מהמאה

[39] ומאלף: V171 ומהאלף

[40] רק בעבור: Lo10785 om.

[41] אחריו: Mu150 לפניו marg. אחריו

[42] שהם: Lo10785 om.; V171 שלהם
הבאים אחריו שהם: P1051 om.

[43] שלשים: V397 משלשים

[44] נהגו: B; O187 נהגוהו; V171 יהגהו

[45] נהגו כמנהגם: Lo10785 נהגו ר' נהגם

[46] שלשים: P1052 om.

[47] שלש: O187 שלש וארבעים מגזרת ארבע

[48] כלם: Lo10785 om.

[49] מאה: III המאה

[50] דומה: P1050 דומים; W194 הדומה

[51] גם: III; Mu43 וגם

[52] לעשרה: P1029; P1050 עשרה

[53] ומאתים: Mu43 ומתים

[54] דומה: P1052 דומים; P1051 om.; B דומה marg. נ' דומים

[55] לשנים ... לעשרים: B; Lo27153(marg.); O187; P1051; V171 לעשרים גם לשנים; Mu43 לעשרים וגם לשנים
דומה ... לעשרים: Lo10785; Mo30; Mu150; P1050; V386; V397 דומים לעשרים גם לשנים; W152 דומה לעשרים; W194 marg. דומים לעשרי'

[56] ראשי: P1052 ראשים

[57] למספרים: Mu150 ^למספרים
כללים למספרים: V171 מספרים כלליים

[58] אחריהם: O187 om.

[59] שהם: Mu43 שמהם

[60] א'י'ק' ב'כ'ר': Lo10785, Mo30; Mu150; N2627 (adds in marg.); V386 איק בכר גלש דמת הנך וסם זען חפף טצץ; W152 א'ק' [marg. א'י'ק'] ב'כ'ר' ג'ל'ש' ד'מ'ת וכו'; Mu43; O187; P1052; W194 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'; P1029 אי"ק בכ"ר גל"ש דמ"ת

[62] והאות על זה: W152 כלומר על היות כל מספר סובב והאות על זה

[64] כשתעשה: Lo10785; Mo30 כי כשתעשה

[65] עגול: W152 top

[67] סביבו: O187 סביבותיו

[68] תשעה: P1051 התשעה

[69] תשעה על: Mu43 שעל

[70] והטעם: Lo10785 ומטעם

[71] להיותו: Mu43; N2627; O187; P1029 להיות

[72] תראה זה: P1052; V386 om.

[73] תראה ... הוא: Lo10785; Mo30; Mu150 שהוא ט' פעמים ט'; P1050 om.

[74] המרובע: Lo10785; Mo30; O187; V397 מרובע ט'; Mu150; P1029; V386 המרובע מהט'

[75] אחד ושמונים: B; Lo10785; Mo30; O187; P1029; V171 פ"א

[76] והנה: N2627 om.

[77] האחד: V386 האלף

[78] של: O187 שלם

[79] תשעה: O187 om.

[80] ראש האחדים: Lo10785; Mo30 הראש לאחדים

[81] שהוא: O187 om.

[82] שמונים: P1050 השמנים

[83] המחובר: V397 המרובע

[84] ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הב'

[85] לשמאלו: V171 של שמאלו

[86] שהוא: O187 שהיא; P1052 om.

[87] כנגד: P1029 om.

[88] ע': P1052 העין

[89] תכפול: Lo27153 marg.; W194 om.

[90] ט' על: Mu43 שעל

[91] ז': Mu43 ו'

[92] המחובר: Lo10785; Mo30 המרובע; V171 מרובע

[93] והנה: Lo27153; Mu150; P1052; V386 ויהיה

[94] והנה ג': Lo10785; Mo30 וג' הוא

[95] וו': Mu43 וז'

[96] לימינו שהוא כנגד ס': P1050; W152 שהוא כנגד ס' לימינו; B ~~לימינו~~ שהוא כנגד ס' ^לימינו

[97] המחובר: P1052 om.

[98] והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה

[99] לשמאלו: V171 משמאלו; V397 לשמאל

[100] וה': V386 והא'

[101] שהוא: V397 om.

[102] נ': V386 נון

[103] לימינו: V171 om. V397 מימינו
שהוא ... לימינו: O187 לימינו שהיא חמשים

[104] חשבון: Mu43 החשבון

[105] חמשה: V386 הא'

[106] מספרים: B; Lo10785; Mo30 המספרים

[107] על: P1051; V397 ועל

[108] על כן: V171 ע"כ

[110] מתגלגל: Lo10785 מ' מתגלגל

[111] מרובעו: O187 om.

[112] כי מרובעו יש בו חמשה: P1050 marg.

[113] תכפול: Lo10785 om.

[114] ט' על ה': O187 חמשה על ט'

[115] בעגול: P1050 top

[116] כי: V171 om.

[117] יהיו: Lo10785; Mo30 om.

[118] ט': B; V171 om.

[119] ט' והכללים: Lo10785; Mo30 וט' הכללים

[120] המחובר: Lo10785; Mo30 מחובר ט' על ה'

[121] הוא: Lo10785; Mo30 רוא'; P1052 יהיו

[122] הה': Lo10785; Mo30 ה' הוא; Mu43; Mu150 ה'

[123] ט': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הט' הוא האחדים; P1029 ט' הוא האחדים; P1051 ט' והנה האחדים; V171 ט' האחדי'; V397 ט' והוא האחדים
הה' מפאת ימין ט': O187 מפאת ימין ט' והה' הוא האחדים

[124] והכללים: V397 ו^הכללים
הוא ... והכללים: N2627 om.

[125] והכללים לשמאלו שהוא: O187; V171 om.

[126] ד': O187; V171 והד'; P1029; P1051; V397 הד'

[127] המ': Lo10785 om.; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 מ'

[128] ט' על ד': O187 ד' על ט'

[129] והנה ג': O187 והג'

[130] שלשים: V397 הל'; P1029 ל' והו' כנגד ששה

[131] ט': Mu43 om.

[132] ט' על ג': N2627 ט' לג'; O187 ג' על ט'

[133] והנה: V386 והוא

[134] ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 הב'

[135] עשרים: Lo10785; Mo30; P1050 העשרים; P1029 כ' וז' כנגד ז'; V171 כ"ד

[136] ט': Lo10785; Mo30; Mu150 הט'

[137] ט' על ב': O187 ב' על ט'

[138] והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה; Mu43 והוא

[139] עשרה: N2627 העשרה; P1029 י' וח' כנגד ח'; P1051; V397 עשרה וכאשר תכפול ט' על א' יהיו ט'; O187 עשרה וכן נעשה בדומה העשרות צ' על צ' יעלו 00אח וכן כולם וכן נעשה בדומה המאות תת"ק על תת"ק יעלו 0000אח וכך כולם

[140] על: V386 ועל

[141] על כן: V171 ע"כ

[142] מספר: Lo10785; Mo30; W152 מספר ט'; Lo27153 top.; O187; V171 כל מספר; Mu43 המספר

[143] כפול: Mu43; O187 om.

[144] אחר: O187 האחדים; P1029 אחרים

[145] הם: Lo10785; Mo30 הוא; O187 הן

[146] אחר ... ט': Mu43 אחד מהם

[147] P1052 צורה בכתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9
marg. צורת אותיות הודו
א ב ג ד ה ו ז ח ט
١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩;
V386 צורת כתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

[148] על כן: V386 om.

[149] עשו: N2627 עשו זה

[150] מספרם: Lo10785; Mo30; Mu150 המספרים

[151] על כן עשו ... על תשעה: O187 om.

[152] מספרים: Lo10785; Mo30 המספרים; Mu43 מספרם; B מספרים והם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; N2627 מספרים marg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9; O187 מספרים ואלו הם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; V171 מספרים אלה ואלה הם ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩; V397 מספרים marg. 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
תשעה ... מספרים: III ט' אותיות; Lo27153 marg. אילו הם 9 8 7 6 5 4 3 2 1; P1050 ט' אותיות 1 2 3 4 5 6 7 8 9; marg. ועשו צורות לט' מספרי' והם אלו

[153] במקומם: Lo10785; Mo30 תחתיהם; N2627 במקומן; P1029 למקומן
ואני כתבתי במקומם: B ובני ישראל די להם מאותיו' התורה; P1050 marg. כי בני ישראל די להם מאותיו' התורה

[154] א' ... ט': P1029 om.; Mu43 א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' צורת אנשי הודו
ואני ... ט': O187; V171 om.

[155] אם: V397 om.

[156] יש בידך: Mu150 marg.; P1050 top; O187 יש בידו

[157] מספר: Lo10785; Mo30 מספרי; P1051 מספר^ים; O187; V386 מספרים
יש בידך מספר: III; P1029; V397 מספרם; Mu150; P1052 מספרים; N2627 המספרי'; V171 תספרם

[158] אחדים: B; P1050 באחדים

[159] ותחלת: B; V386 לפני; P1051 לפני תחלת; P1050 ^{נ"א לפני} ותחילת

[160] הכללים: P1029 הכללים ותחלת האחדים
אם יש ... הכללים: B marg. ס"א אם מספרם אחדים ותחילת הכללים

[161] עשרות: B; P1052 העשרות

[162] בתחלה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 תחלה; V386 תחלת

[163] בתחלה מספר: N2627; P1029 בתחלת המספר

[164] האחדים: Lo10785; Mo30 הכללים Mo30 marg. האחדים; Mu43 אחדים

[165] הכלל: B; P1050; V386 הכללים
P1050 marg. ואם יש בידך אחדי' הרבה ותרצה לכתבם בדרך שלא תטעה שיהיו כללי' כתו' אותם זה למטה מזה וכן בכללי' [..] תרצה לכתוב א' ב' ג' ד' ה' מאחדי' וכן כ' ל' מ' נ' מעשרו' וכן ממאות ואלפי' וכל המדרגות [...]

[166] ואם אין: Mu43 ואין

[167] לו: B top; O187 om.

[168] האחדים: B; Lo10785; Mo30; V171 באחדים
מספר האחדים: O187 במספר אחדים
ואחר כך מספר הכלל ואם אין לו מספר האחדים: P1052 om.

[169] מספר: N2627 במספר

[170] שהם: O187 שהיא

[171] העשרות: Lo27153 הע^שרות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1029; P1051; P1052; V386 עשרות

[172] ישים: P1029 ישים לפניו

[173] גלגל: B גלגל 0; Lo10785; Mo30; Mu150; N2627; P1052 גלגל כזה 0; P1029 גלגל זה 0 הנקרא סיפרא

[175] בראשונה: Mu150; P1029; P1052 om.; V386 בראשונה כזה 0

[176] להורות: P1029 והוא להורות

[177] כי אין: N2627; P1029 שאין

[178] הראשונה: N2627 ראשונה

[179] מספר: Mu150; V171 om.; P1052 מספר ~~במעלה~~
במעלה הראשונה מספר: Lo10785; Mo30 מאומה במעלה הראשנה; V386 מספר במעלה הראשונה

[180] ויכתוב: P1052 ויספור

[181] המספר: Mu43 מספר

[182] בעשרות: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 מן העשרות; V397 העשרות

[183] בעשרות אחריו: O187 אחריו בעשרות

[184] שלו: O187 שיש לו

[185] מהמאות: B; V171 במאות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 מן המאות; P1029 ^ממאות

[186] ומהעשרות: B ובעשרות; Mu43 והעשרות; P1029 ועשרות
מהמאות ומהעשרות: V386 מן העשרות ומן המאות

[187] גלגל: V386 הגלגל

[188] כך: P1052 om.

[189] העשרות: P1052 העשרה

[190] ומספר: Lo10785; Mo30 אח"כ מספר; Mu150 ואחר כך מספר

[191] בשלישית: Mu43 בשלישי

[192] ואם: P1051 וגם marg. נ"ל ואם

[193] ואם יש לו מספר: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 ומספר

[194] ברביעית: N2627; O187 יכתבנו ברביעית

[195] עשרת: N2627 עשרה

[196] מאות: Mo30; Mu43; Mu150; N2627; P1051; P1052; V386 מאת; O187 מאה; P1029; P1050; V171 ק'

[197] אלפים: III; Mu150; O187; V386 אלף

[198] בששית: Lo27153 ^בשישית
ומספר מאות אלפים בששית: Lo10785 om.

[199] א'י'ק': Lo27153; W194 א'י'ק' ב'כ'ר'; W152 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'

[200] יחזור: Lo27153 חזור marg. ר"ת חוזר

[201] לאלפים: Mu150; V386 אלפים; P1029 om.; P1051 כאלפים
ברביעית לאלפים: B; O187 לאלפים ברביעית; P1050 באלפי' ברביעית; V171 אלפים ב' יחזור בש א'י'ק'
כי ... לאלפים: Mo30 marg. כי אי"ק בכ"ר יחזור לאלפים ברביעית ובשביעית

[203] ובשביעית: V171 בשביעית

[204] לאלף: Mo30 אלף

[205] אלפים ובעשירית לאלף: P1050; P1051 om.; V397 ~~[...]~~ ובשמינית לי' אלף אלפים ובתשיעית לאלף אלף אלפי אלפים ובעשרות לאלף

[206] אלפים: Mu150 אלפים ובמעלת י"ג אלף אלפי אלפי אלפים; P1029; V386 אלפים ובמעלת י"ג לאלף אלפי אלפי אלפים
ובעשירית לאלף אלפי אלפים: Mo30; O187; V171 om.
כי א'י'ק' ... אלפי אלפים: Lo10785 om.

[207] וככה: Mu43 om.

[208] קץ: V386 חקר קץ

[209] יש: Mu150 ~~אין~~ יש

[210] עשרות: Lo10785; Mo30; V397 מספר עשרות

[212] מספר אחדים ... יכתוב: P1051 twice

[213] מספר: III; Lo10785; Mo30; P1050 om.; V386 במספר

[214] האחדים: P1051 האחד; V171 אחדים
מספר האחדים: V397 ~~מספר המאות~~ מספר האחדים

[215] ומספר המאה: Lo10785; Mo30 ומאה; N2627; O187; P1029; P1050; P1051; P1052; V171; V386; V397 ומספר המאות

[216] ועל זה הדרך: Lo10785 ועז"ה; V171 וע"ז הדרך; B ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו; N2627 ועל דרך זה

[217] ישים: O187 יעשה ישים

[218] שנים: P1052 שני

[219] ישים שנים גלגלים בראשונה: B לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים; V171 תוכל להשים שנים גלגלים בראשונה

[220] או כפי ... אין חקר: B כפי מה שיצטרך לו בראש

[221] או באמצע: Lo10785; Mo30 om.; Mu150 או ב^אמצע; O187 וכן באמצע; P1051 בראש או באמצע; B או באמצע וזה דמות הגלגל 0 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח [תהילים פג, י"ד] ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז שמו סִיפְרָא
ישים ... או באמצע: P1050 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח ואינו אלא לשמור המעלות ובלע' סיפרא marg. [יע]שה לשמור [מע]לו' הגלגל [לפי] מעלות [ה]גלגל שיש לו [י]שים גלגל [בר]אשונה או [שני] גלגלים [או כפי] מה אז [ש]יצטרך לו [ב]ראשו' או [ב]אמצע וזה דמות גלגל 0
ועל זה הדרך ... או באמצע: B marg. ס"א ועל זה הדרך ישים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע

[222] אזכיר: N2627 אזכור

[223] זה: Lo10785; Mo30; P1050 om.

[224] הספר: V397 ~~המספר~~ marg. הספר; P1050 המספר

[225] ונאמר: P1029 om.

[226] שהם: Mu150; P1052; V386 כי הם
ונאמר שהם: Lo10785; Mo30 והם

[227] שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה: O187 שערי זה הספר וזה דמות גלגל 0 וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם שבעה; V171 שערי זה הספר וזה כדמות הגלגל וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם ז'

[228] הא': III; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 הראשון; Lo10785; Mo30 הראשון הוא שער הכפל; B; O187; V171 הא' שער הכפל

[230] לכפול: P1050 top כפל

[231] על עצמו: O187 בחשבון על עצמו; P1050 על חשבון על עצמו

[233] על: P1051; V397 עם

[235] כפל: B לכפול; Lo27153 ~~כפלי חשבונות~~ ^כפלי; N2627 על כפל; P1051; V397 בהכפל

[236] אחד: P1029 om.

[237] שנים: P1029 שני

[238] חשבונות: Lo10785; Mo30; O187; V171 חשבונים; P1051; V397 om.

[240] יותר: P1051 יתר

[241] כפל: B; P1051 om.
או כפל: V397 om.

[242] חשבונות: B; Lo10785; Mo30; V171 om.

[243] על רבים: N2627 om.

[245] הב': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השני; V171 השני בחלוק; B הב' שער החלוק; O187 הב' בחילוק

[247] לחלק: Lo10785; Mo30 הוא לחלק

[248] כלל: Mu150 כפל
חשבון כלל: P1029 כללי חשבון

[249] פרט: V386 פרט אחד

[250] שנים: III שני
או שנים: P1029; V386 וב'; Mu43; Mu150; N2627; P1052; V397 ושנים

[251] על פרט או שנים כללים: P1051 om.

[252] פרט אחד: V397 אחד פרט

[253] כללים: III om.

[254] או: Mu43 om.

[255] ופרטים: P1050 על ופרטים

[256] פרטים: V397 הפרטים

[257] המאזנים: V171 מאזנים

[259] של: N2627; O187; V386 על

[260] שער: O187 שערי

[261] הכפל: V171 והכפל

[262] הכפל והחלוק: Mu150; P1052; V386 החלוק והכפל; P1029 כפל וחלוק

[263] הג': III; Mo30; N2627; P1050; P1051; V171; V397 השלישי; B הג' שער החבור

[265] בחבור: B; P1029 לחבר

[266] על: Lo10785; Mo30; O187; V397 עם; B; V171 אל

[267] על מספר: P1029 במספר

[269] פרט: V397 כלל עם פרט או פרט

[270] עם: Mu150; P1052; V386 על

[271] עם כלל: P1029 בכלל

[272] עם: Mu150; P1052; V386 על

[273] כלל: Mu43 פרט
עם כלל: P1029 בכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת
פרט עם כלל או כלל עם כלל: O187 כלל עם כלל ופרט עם פרט

[274] הד': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V171; V397 הרביעי; B הד' שער החסור

[276] לחסר: Mu43 להסר; P1050 בחסר; V171 לחסור

[277] מספר: Lo10785 twice; O187 ממספר

[279] פרט: Mu150; V386 פרט או

[280] מכלל: Mu43 om.

[281] אדבר: Mu150 om.

[282] שער: O187; P1051; V171; V397 שערי
מאזני שער: Mu150 שער מאזני

[283] החבור: Lo10785; Mo30 החלוק

[284] גם אדבר ... והמגרעת: P1029 om.

[285] הה': III; Mo30; N2627; O187; P1051; V397 החמישי; Mu150 החמשה

[286] על השברים: Lo10785; Mo30 ידבר על השברים; B שער השברים

[287] על: Mu43 om.

[288] על דרכים: Lo10785; Mo30 מינים

[289] על: B עם marg. נ' על; Lo10785; Mo30; Mu150; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386; V397 עם

[290] שלמים: P1050 שלמים או שלמים

[291] ונשברים: P1050; P1051; V397 ושברים

[292] ונשברים: P1051; V397 ושברים; V171 om.

[293] עם: B עם marg. נ' על; N2627 על

[294] שלמים: V171 ונשלמים

[295] ונשברים: Mu43; N2627; W152; W194 ונשבריהם
ונשברים עמהם או שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים: Lo10785; Mo30 ושברים עם שלמים ושברים

[296] למיניהם: Mu150; P1052; V386 הם למיניהם; V397 עמהם למיניהם

[297] עם: B; N2627 על

[298] או שברים: Mu43 om.

[299] על: Lo10785; Mo30; P1051; P1052 עם

[300] שברי: P1051 שברים

[301] או שברים על שברי שברים: V397 marg

[302] שברים: Mu150 marg.
שברי שברים: P1052 שברים שברים

[303] על: Lo10785; Mo30; P1052; V397 עם

[304] שברי: P1050 שברי ~~שברי~~; P1052 om.

[305] או שברי שברים על שברי שברים: Lo27153; P1051 om.

[306] בין לחבר: P1051; V397 om.

[307] בין לחבר בין לגרוע: Lo10785; Mo30 בין לגרוע בין לחבר

[308] ומאזניהם: P1052 om.

[309] הו': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השישי

[310] בערכים: B שער הערכים; Lo10785; Mo30; Mu43; O187; P1029; P1051; V171; V397 בערכין

[311] מאד: Lo10785; Mo30 om.; V386 ממנו

[312] יוכל: Lo10785; Mu43; Mu150; O187; P1029; P1052; V386 נוכל; B יוכל האדם

[313] להוציא: III להוציא האדם

[314] רובי: Lo10785; Mo30; O187 רוב; V386 כל; Mu150 om.

[315] ורוב: P1029 והוא marg. ורוב

[316] ורוב הראיות: B ורוב ^הראיות; Lo10785; Mo30 והראיות

[317] מחכמת: Mu43 מחכמות

[318] מזה: B מן marg. נ' מזה; P1051 ממנו

[319] הערך: Mu43 השער
מזה הערך: Lo10785; Mo30; V171 מהערך

[320] הז': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השביעי
השער הז': V171 שער הז'

[321] על שרשי: Mu43 והוא שער נכבד מאד כי ממנו נוכל להוציא על שרשי; B שער השרשי'

[322] והמאזנים: B וכל המאזנים

[323] רבים: P1029 top
הם רבים: B רבים הם

[324] תלויה: P1029; P1052 תלוי

[325] בשער הזה: Lo10785; Mo30; Mu43; P1050 בזה השער; Mu150; P1029; P1052 בשער זה

[326] וזה: V171 om.

[327] וזה השער: P1051; V397 וזה שער; B והוא

[328] חמור: Mu150 האמור

[329] השערים: Lo10785 השערים אשר; Mo30 השערים אשר לפניו

[330] ואין: Lo10785 om.

[331] במשכיל: P1051 להשכיל; P1052 למשכיל
כח במשכיל: Lo10785; Mo30 בכח משכיל

[332] קדרות: P1052 סדרי קדרות; O187 קדר^ות

[333] ילמד: Lo10785; N2627; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386 ילמוד

[334] זה: Lo10785; Mo30 תחלה זה

[335] זה השער: P1029 שער זה; V171 השער הזה

[336] ויתרי: V386 והיתרים; Mu43 ויתר ידוע

[337] קשתי: O187 קשתות; V171 קשת; V386 וקשתי

[338] העגול: Mu43; Mu150; P1029; P1051 זה העגול

[339] יצאו: O187; P1052 יצא

[340] מהשער הזה: III; N2627; P1050 מזה השער; P1029; P1052 משער זה
יצאו מהשער הזה: V171 om.

[1441] ב': Mo30 ב' וזו הב' הנשארת על הה' בטור העליון לא נקנה על הב' בטור השפל אי אפשר אלא נשיב אותה כלה אחורנית על הד' אצלה ויהיו כ"ד נחלקם על הב' בטור השפל לא תוכל לתת לו יותר מח' בשביל הבאים אחריו ואותה הח' תכתוב אותה במקומה ממעל לה' הראשנה שבטור השפל ~~וממעל~~ ומתחת הג' הראשנה שבטור העליון

[1919] MS St.P374 excerpt 1 begin.

[1953] MS St.P374 excerpt 1 end

[1987] MS N2624 end

[1991] MS St.P569 excerpt 1 end

[2025] MS N2561 begin.

[2026] MS N2561 end

[2027] MS St.P1385 begin

[2028] MS St.P1385 end

[2029] MS V530 begin.

[2030] MS V530 end

[341] הם: O187 הן

[342] המספר: P1051 ~~המעלות~~ המספר; P1050; W194 מספר

[343] והנה: P1050; III הנה; P1051 וזה

[344] כשיבואו: P1051 כשיבהו marg. נ"ל כשיהיו; P1052; W152 כשיבא

[345] שנים: Lo27153; Mu150; O187; P1052 שני

[346] לכפול: P1052 ~~לכלו~~ לכפ^ול

[347] על: V397 עם

[348] שיהיה: Mu150; P1052 om.

[349] על עצמו: P1050; III על עצמו כמו כ' על כ'

[350] או: P1052 בין

[351] על אחר: P1050; III על אחר כמו ‫(Lo כגון)‫ כ' על ל‫';
V397 על אחר כמו כ' על ב' או כ' על ל‫'

[352] בקש: P1051 בקשנו

[353] V398 begin

[354] כמה: P1050 om.

[355] מכפל: P1052 ותכפול

[356] ושמור: P1052 ותשמור

[357] אותו: V398 om.

[358] ואחר כך: Mo30 אח"כ

[359] שני: P1052 שתי

[360] שני החשבונות: Mo30; O187; P1051; V397 שנים החשבונים

[361] שיהיה: Mo30; O187; P1029 שיהיו; Mu150; V397 שהיה

[362] או: Mu150 בין

[363] בשתים: Mo30 בשני; Mu150; P1052 בשתי; P1051; V397 בשנים

[364] ממספר: P1051 ממספרם

[365] שתים: O187 השתים
ממספר שתים: III משתים; Lo27153 ~~משנים~~ ^משתים; P1050 ^במספר משתים

[366] מעלות: P1050 ^המעלות
שתים מעלות: Mo30; P1051; P1052; V397 שתי המעלות; Mu150 שני המעלות

[367] אחד: P1050 אחת

[368] במספר: Mo30; O187 המספר

[369] המעלה: P1050 מעלת
במספר המעלה: III מספר מעלות; O187 הנשאר המעלה

[370] הנשאר: Mu150 הנ^אשר הנשאר; O187; V397 הנשארת

[371] במספר: V397 מהמספר; III om.

[372] השמור: III וכפי מספר המעלות כן תכתוב השמור (W152 השמור תכתוב)

[373] על טעם: P1052 בטעמי

[374] המוסד: V398 ~~אחר~~ המוסד

[375] האחד: P1029 אחת האחד; P1050 ^האחד
ועוד ... האחד: Mo30 marg.

[376] בע"ה: Mo30; O187 om.

[377] רצינו: P1029 מצינו

[378] והנה: Mo30; Mu150; P1052 הנה

[379] שלשים: V397 השלשים

[380] שלשים שלשה: P1052 שלשים הוא שלשה; W152 ל' ^הוא ג'

[381] ודמיון: V397; V398; W152; W194 דמיון

[382] מאתים שנים: P1052 מאתים הוא שנים; W152 ר' ^הוא ב'

[383] כפלנו ב': V398 marg.

[384] והנה: Mo30; P1052 om.

[385] עלו: Mu150; P1052 יעלו

[386] וזהו: III; Mu150 וזה

[387] החשבון השמור: P1052 חשבון שמור

[388] מהמעלה: Mu150; P1029; P1052 ממעלה

[389] עשרות: P1050; III העשרות

[390] לו: P1052 אותו

[391] שנים: Mu150 ב' מעלות

[392] המאתים: Mo30 מאתים
כי המאתים: P1050 שהמאתים

[393] מהמעלה: P1052 ממעלה

[394] כי הם: P1029 שהם

[395] שלשה: Mu150 שלשה מעלות

[396] עליו: Mo30; O187; P1029; P1050 אליו

[397] השנים: P1052 ב'

[398] ויהיה: Mo30; Mu150; P1050; P1051; P1052; III ויהיו

[399] נחסר: Mu150 ונחסר

[400] אחד: Lo27153 om.

[401] ישארו: Mo30; P1051 וישארו; O187 ישאר; V398 נשארו

[402] ידענו: Mo30 אמרנו; Mu150 הזכרנו; O187 ידעת

[403] הרביעית: O187 ^הרביעית

[404] לאלף: Mu150; P1052 לאלפים

[405] השמור: O187 om.; P1051 השמורי^ם

[406] היה: Mo30 הוא; P1029; P1051; V397 הם; P1050; III om.

[407] ששה: Lo27153 הששה

[408] והנה: Mo30 ויהיה

[409] והנה העולה: P1051 והעולה

[410] ששת אלפים: P1029 הם ו' אלפים כזה 000ו; Mu150 ו' אלפים כזו הצורה; P1052 ו' אלפים כמו הצורה

[411] דמיון: P1029 ודמיו'

[412] אחר: P1050 om.

[413] בקשנו: P1050 רצינו

[414] והנה ... ז': Mo30 marg.

[415] והנה: Mo30 עלו; mu150 והוא; O187 הם; P1029; P1051; V397 הנה; P1050; P1052; W152 והם

[416] והוא: O187 הוא; P1050 והנה

[417] מאתים: Mu150; P1052 המאתים; W152 הר'

[418] גם כן: Mo30; O187 om.; P1051 אם כן
וז' מאות גם כן: P1052 וכן ז' מאות

[419] מהמעלה השלישית: Mu150; P1051; V398 מהשלישית

[420] נקח: Mo30 והנה נקח

[421] להם: O187; V397 לו
נקח להם: P1051 נקרא לו; W152 ויהיו

[422] ונחסר: Mu150 ונחסר להם; W152 נחסר

[423] אחד: O187 ממנו אחד; V397 אחת; Mu150; P1052; W152 אחד למוסד

[424] הנה: Mo30; Mu150; P1052 והנה; W152 ישארו; Lo27153; W194 הרי

[425] וראש: P1051 נראה; V397 נראה ראש

[426] המעלה: O187 מעלה
וראש המעלה: P1050; III והמעלה

[427] החמישית: Mu150 החמשית מעלת הרבבות שהם; P1052 החמישית מעלת הרבואות שהם; V397 חמישית

[428] עשרת: Mo30 הוא עשרת; P1052 עשר^ות; V397 הנה עשרת

[429] היה: Mo30 הוא

[430] במספר: P1052 למספר

[431] הזה: P1029 זה

[432] עשרת: P1052 עשרות

[433] עשרת אלפים: V398 ויהיה העולה עשרת אלפים
הנה ... אלפים: Mo30 om.
והשמור היה ... עשרת אלפים: P1050; III om.

[434] ויהיה: Mo30 א"כ יהיה; W152 ויהיו

[435] העולה: P1050; III om.

[436] מאה: Mu150; P1051; P1052; V397; III מאת

[437] אלף: P1029; P1051; V397 אלפים; P1050 om.

[438] אלף: P1050 אלף ר"ל ק"מ אלפי'
מאה אלף וארבעים אלף: O187 ק"מ אלפים

[439] Mu150 כזו הצורה; P1052 כזאת הצורה

[440] ועל: Mu150; P1029; P1052 והנה על

[441] הסדר: Lo27153 ~~הדרך~~ הסדר

[442] קץ: O187 מספר

[443] שנים: P1050 שני; P1052 השנים

[444] מרחקם: Mo30 אשר מרחקם; Mu150 מחזיקים

[445] מחשבון: O187 מן חשבון

[446] שנים: P1029; P1052 שני

[447] שנים מספרים: O187 שוה מהמספרים

[448] אחרים: Mo30 om.

[449] רק: Mo30 אך

[450] האחד במגרעת והשני בתוספת: Mo30 האחד בתוספת והשני במגרעת

[451] כמה: O187 כמו

[452] מרובע: Mo30; P1029; P1050; V398; W152; W194 om.

[453] מרובע מספר: O187 מספר מרובע; P1052 מספר ^מרובע

[454] הכלל: Mo30 הכלל המבוקש; P1052 הכולל

[455] החשבון היתר והחסר: P1051; V397 חשבון החסר והיתר; O187 חשבון היתר והחסר

[456] והנשאר הוא: W152 והוא

[457] החשבון: Mo30; III; P1051; P1052 om.; Mu150; O187 חשבון

[458] ל"א: P1029 לא ל"א

[459] חשבון: Mo30; O187; P1050; P1051; V397 החשבון

[460] הוא: Mo30; P1052 om.

[461] ומרובעו: Mu150 ומרובע ל' פי' ל' פעמים ל' הם; P1052 ומרובע ל' פעמים ל' הם

[462] שלשה: P1051 א'

[463] הם: Mo30; P1029; P1051; V397; III om.

[464] MS N2624 begin.

[465] והחסרון: P1050 twice; W152 om.
והיתרון והחסרון: Lo27153; Mu150; P1029; P1052; W194 והחסרון והיתרון

[466] הוא: P1029 om.

[467] אחד: V397 הא'

[468] אחד: Mu150 ~~אחד~~ א'; P1051 אחד ~~ממר~~

[469] חסרנום: Mo30 נחסרנו; Mu150 חסר א'; O187 וחסרנו א'; P1029 וסרנוהו; P1050 ^נחסרנוהו; P1051 וחסרנום; P1052 חסרנו; V397 נחסרנום; W152 חסרנוהו

[470] ממרובע: Mo30 מחשבון

[471] הכלל: Mo30 כלל

[472] והוא: P1029 שהוא; P1052 והנה; V398; III; Mu150 om.

[473] תתצ"ט: Mu150 כזה טטח; V398; III om. (Lo27153 add. marg.)
והוא תתצ"ט: P1050 marg. זהו תתצ"ט

[474] נ"ד: P1029 ~~נ"ט~~ ^נ"ד
ס"ו על נ"ד: Mu150 נ"ד על ס"ו

[475] חשבון: Lo27153 החשבון; V397 החשבון

[476] ס': Mo30 הוא ס'

[477] והחסרון והיתרון: Mo30 והיתרון והחסרון

[478] הוא: V398 הנה

[479] הכלל: P1029 הכלל ס' על ס'; V397 הכולל; W152; W194 הכל

[480] מרובע: P1051; V397 om.

[481] החסרון והיתרון: V397 היתרון והחסרון; P1029 החסרון והיתרון שהוא ו' על ו'
ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון: Mo30 מרובע החסרון והיתרון והוא ל"ו

[482] והנשאר: Mu150 והנש^אר; V397 והשאר

[483] המבוקש: O187 המבוקש ג' אלפים ותקס"ד; P1029 המבוקש שהוא ג' אלפים ותקס"ד

[484] III example is missing (Lo27153 added marg.)

[485] דמיון אחר: P1050 ד"א

[486] האחר: Mu150; O187; P1052 השני; V397 אחר
והמספר האחר: Mo30 והשני הוא

[487] והנה הכלל: Mo30 והמספר כלל

[488] הוא: Lo27153; P1051 om.

[489] ומרובעו: Mu150 והמרובע; P1029 ומרובעו הוא; P1052 והמרובע הוא

[490] צ': P1029 ה צ'

[491] מרובע: Lo27153 om.

[492] שהוא: Mu150 והוא מרובע; O187; P1029; P1050; P1052; V398 שהוא מרובע; Lo27153 על חמשים שהוא מרובע; P1051 שהוא המרובע

[493] החסרון והיתרון: Mo30 היתרון והחסרון

[494] ומספרו: Mo30 ומרובעו

[495] המבוקש: O187 המבוקש פ"ז אלף ות"ק; Lo27153 המבוקש שהוא פ"ז אלפי' וחמש מאות; P1052 המבוקש marg. והנה המבוקש פ"ז אלף ת"ק

[496] הסדר: O187; P1052; V398; W152 הדרך; P1051 הדרך והסדר
זה הסדר: P1029 סדר זה

[497] נוכל: Mu150; P1052 תוכל

[498] שאר: P1051 om.

[499] המספרים: P1029; P1052 מספרים

[500] לאלה: Mo30; Mu150 לאלו

[501] שהחסרון: Mu150 כשיהיה החסרון; V397 כי יהיה הא^חסרון; III; P1051; P1052; V398 כי החסרון

[502] כמו היתרון: Mu150 כמו היתרון וזה צורתו; O187 והיתרון שוים

[504] נכבדת: P1052 מצאתי נכבדת

[505] שהוצאתי: Mo30 הוצאתיה; Mu150 מאצתי שהוצאתי marg. מצאתי במרובעים

[506] בדרך: O187 מן

[507] השלישית: P1050 השלישיות

[508] שנקח: Mo30 והוא שנקח; P1051 שהוא

[509] החשבון: Mo30 om.

[510] מרובע השלישית ממנו: O187 ממנו מרובע השלישית

[511] O187 example is missing

[512] בקשנו: Mo30 רצינו

[513] מספר מרובע: W152 מרובע מספר

[514] נקח: Mu150 ונקח
ג' נקח: W152 top

[515] שלישיתו: P1051; V398; W194 שלישית; W152 השלישית

[516] שהוא: P1051 והוא

[517] ומרובעו: P1029 ומרובעו שהוא

[518] אחד: Lo27153 ~~אחד~~ אחד; Mu150 הוא א'
ומרובעו אחד: P1051 om.

[519] ועשרה: Mo30; Mu150; P1029; P1050; P1051; V398; III והוא עשרה; P1029 marg. והנה

[520] הכלל: P1050 כלל
שהוא הכלל: Mo30 בכלל

[521] ממנו: V398 om.

[522] מרובע אחד שהוא: Mo30 מרובע אחד שהוא אחד; Lo27153 מרובע אחד שהוא ~~עשרה~~ א'

[523] השלישית: Mo30; Lo27153 om.

[524] וישאר: Mo30 והנשאר

[525] ט' והוא: Mo30 שהוא ט' הוא

[526] אחר: O187 om.; Lo27153 ~~אחר~~ אחר
דמיון אחר: P1050 ד"א

[527] והדומה: Mo30; O187 והדומה לו

[528] אליו: Mo30; V398; P1050; III om.

[529] ר"נ: Mo30; Mu150 הוא ר"נ

[530] חסר: Mu150 נחסר

[531] ה' שהוא השלישית: Mu150 שלישי שהוא כ"ה

[532] ישאר: O187 וישאר; V397; V398 נשאר

[533] רכ"ה: Mo30 רכ"ה והוא המבוקש; Mu150 רכ"ה על צורה זו ה'ב'ב' והוא המבוקש

[534] III example is missing

[535] דמיון אחר: P1050 ד"א

[536] כמה: Mo30 om.

[537] הנה: P1029; P1051 om.

[538] הנה שלישיתו: Mo30 ושלישיתו

[539] ודמיונו: P1051; V397 ודמיון

[540] הגבוהה: O187; P1029; P1050 הגבוה; P1051 העליונה; V397 ^הגבוה
במעלה הגבוהה: Mo30 בכלל הגבוה

[541] תר"מ: Mo30 הוא תר"מ

[542] ממנו: P1050; P1051; V398 om.

[543] מרובע: V397 om.

[544] ישאר: P1050 וישאר; V397 נשארו

[545] היה: Mo30; O187 יהיה

[546] בו: P1051; V397 om.

[547] אחד: O187 של אחד

[548] חסר: P1051 נחסר

[549] האחד: Mo30; O187; P1051 אחד

[550] מהמספר: O187 מן המספר

[551] והוצא: Mo30 ותוציא

[552] המספר: III om.

[553] כמשפט: Mo30 כמו

[554] שיעלה: O187 שיעלה לך

[555] הוסף: P1050 הוצא

[556] שיש לו: P1029 twice

[557] שלישית: Mo30 ב' שלישית

[558] אין: V398 om.

[559] לו: V398 לו marg. לו

[560] חסרנו: O187 חסר

[561] ממנו: Mo30 om.

[562] נוסף: V398 marg.

[563] שלישית: O187 שלישיתו; P1029 השלישית
והנה שלישית: Mo30 ושלישית

[564] הנשאר: O187 om.

[565] והנה: Mo30 והוא

[566] הדומה: Mo30; III om.

[567] מ': P1029 om.

[568] נחסר: P1051 ~~נסר~~ נחסר

[569] ממנו: Mo30 om.

[570] השלישית: Mo30 שלישית

[571] וישאר: Mo30; P1029 ישאר; V397 ונשאר; W152 וישארו

[572] שהוא: Mo30 והוא

[573] אליו: P1029; P1050; P1051; V398 עליו

[574] שלישית: O187 השלישית

[575] שהיה: P1051 שיהיה; V397 שהוא

[576] המחובר: III המרובע

[577] דמיון אחר: P1050 ד"א

[578] רצינו: V397 בקשנו

[579] לדעת: O187 לידע

[580] כמה: Mo30 om.

[581] והנה: Mo30 om.

[582] ונשאר: P1029 נשאר

[583] ושלישיתו: O187 ושלישית כ"א

[584] ומרובעו: O187 ~~ומרובעו~~ ומרובעו

[585] והנה: Mo30 ויהיה; O187 והנה יהיה

[586] בכלל: Mo30; O187 הכלל

[587] הקרוב: Mo30 הגבוה הגבוה; O187 הקרוב הדומה

[588] אליו: P1050 om.

[589] ת"צ: P1029; P1050; P1051; V397; V398; Lo27153; W194 ד' מאות וצ'

[590] ממנו: P1051 om.

[591] השלישית: V397 השלישי
שהוא מרובע השלישית: Mo30; III om.

[592] נשארו: V397 marg.; W152 ישארו

[593] גם: Mo30; O187 עם

[594] מחוברים: O187 מחבורים; P1051 מחוברין

[595] שהם: Mo30 ויעלה

[596] מחוברים שהם מ"ג: III om.

[597] יעלה: Mo30 ויעלה

[598] המחובר: Mo30 המבוקש; O187 מחבורם; P1051; V397 המספר

[599] וזהו: Mo30 והוא; O187; P1029 וזה; W152 וזה הוא

[600] היו: O187 יהיה; P1051; V397 יהיו

[601] שנים: P1051 תוספת שנים

[602] המספר: P1050 המספרים; P1029; V398 המספרים

[603] שלנו: P1051 שיש לנו

[604] ובין: P1050 top

[605] ובין המספר: P1051 למספר הנקדם; V398; Lo27153; P1029; W194 ומספר

[606] שלישית: P1051 שלישית מהמספר הנקדם בזה הדרך והוא שנקח מהכל שלישיתו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר

[607] שנוסיף: P1051 שהוסיף

[608] שלנו: O187 om.

[609] מרובע: III מחובר; P1050 המרובע

[610] מספר: P1050 ^המספר; P1051 ממספר זה; III מספר אחר

[611] שלישית: P1051 שלישית עתה בתוספת האחד ממנו ומרובע השלישית
שיש לו שלישית: P1050 שיש ^לו שלישית ~~שיש לו ש~~
נעשה להפך ... שיש לו שלישית: Mo30 twice

[612] ונחסר: Mo30 וכמספר שהיה לנו ונחסר; P1051 עוד נחסר

[613] כמספר: Lo27153 כמספר marg. המספר

[614] ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית: V397 om.

[615] וכמספר: P1050 ג"כ כמספר; V398; III גם המספר

[616] מרובע: Lo27153 מחובר

[617] לו: Lo27153; Mo30 om.

[618] לו שלישית שלמה: P1029 שלישית שלימה לו

[619] יהיו: Lo27153 יהיה; Mo30; P1029; W152 ויהיו; P1051 ויהיה

[620] ושלישיתו: P1051 השלישיתו

[621] לו: V397 om.

[622] ישאר: P1050 וישאר; W152 ישארו

[623] גם: Mo30 om.

[624] גם נחסר: III נחסר גם

[625] המספר: O187 מספר
מזה המספר: Mo30 ממנו; P1029 ממספר זה

[626] מחוברים: P1050; P1051; V398; III מחוברין
מ"ז ... מחוברים: Mo30 כ"ד וכ"ג ויעלה מ"ז; O187 כ"ד עם כ"ג ויעלה מ"ז

[627] ויהיה הנשאר: Mo30 והנשאר; O187 ישאר; V397 ונשאר

[628] יהיו: Mo30; P1029 היו; O187; P1051 יהיו לך

[629] שנים: O187 שני

[630] היה: Mo30; O187 היה לך; V397 יהיה

[631] אחד: W152 אחת

[632] על: Lo27153 ^על על

[633] שנים: O187 שני

[634] מספרים: Mo30 om.

[635] פעמים: O187; P1029 שני פעמים

[636] על שלשה שלשה: Lo27153 ~~ג' על ג'~~ על ג' ג'

[637] ועל: V398; P1050; III על

[638] שני: P1050; P1051 שנים

[639] שני: Lo27153 ב' ב'; P1050 שנים

[640] על שני מספרים: P1051 om.

[641] אתה צריך: P1029 צריך אתה

[642] לעשות: P1051 om.

[643] זה: W152 top
לעשות זה: V397 זה לעשות

[644] והנה: O187; V398; P1029; P1050; III הנה

[645] שהוא כלל: P1050 שהוא כלל ^{עלו ר'}

[646] י': Mo30; P1029; P1050; P1051; V397; III om.
גם י': O187 om.

[647] על: O187 ועל

[648] ח': P1029 הח'

[649] עלו: Mo30 ויעלו; V398 om.

[650] ר"פ: V397 ~~פ"ד~~ ^ר"פ; V398 marg.

[651] ואחר: Mo30; P1050; III גם; O187; P1029; P1051; V398 וגם

[652] גם: O187 ג'; P1051 וגם

[653] גם על: Mo30 ועל

[654] עלו: Mo30 ויעלו

[655] ואחר ... פ"ד: V397 om.

[656] והנה: Mo30 ויהיה

[657] הכל: V397 הכלל

[658] כולל: P1029 נופל

[659] שני: P1029 בשני

[660] המספרים: Mo30; P1051; V397 מספרים; P1029 ^המספרים

[661] לך: O187 om.

[662] בקשנו: V398 רצינו

[663] לכפול: P1051 om.; V397 לדעת

[664] והנה: P1050 הנה

[665] שני: P1051; V397 om.; P1050 top

[666] המספרים: Mo30 מספרים

[667] נחבר: O187; P1029; P1050; P1051; V397; III חברנו

[668] עם: Mo30 על

[669] ו': P1029 ו' ועלו ט'

[670] עם: O187; P1050 ועם; V398; III על; Lo27153 ^גם על

[671] עם י': Mo30 ויהיו י"ט; P1029 om.
ו' עם י': P1051 י'ו'

[672] והנה יהיה: O187 ויהיה

[673] נכפול: Mo30; P1051; III וכפול; P1029 וכפלנו

[674] אותו: V397; W152 אותה; P1050; P1051; Lo27153; W194 אותם; P1029 om.

[675] עלו: Mo30 ויעלה

[676] ק"צ: Lo27153 ~~ק"ץ~~ ק"צ

[677] נכפול: Lo27153 וכפול; O187 ונכפול

[678] שני: P1051; V397 שנים; P1029 לשני

[679] הקטנים: Lo27153 om.

[680] שני המספרים הקטנים שהם: Mo30 om.

[681] יעלו: Mo30 ויעלה; P1050; V398; III עלו

[682] והנה הכל: O187 והכל

[683] ר"ח: V398 כ"ח marg. ר"ח
והנה הכל ר"ח: Mo30 ונשים אותם על ק"צ ^{ויעלה ר"ח} והוא המבוקש

[684] ויש: V398; P1050; III והנה יש; P1029 וזה

[685] שני: P1029; P1050; P1051 om.
לך שני: O187 om.
שיספיק לך שני: III לך פעמים שיספיק

[686] דמיון: V397 דמיון בקשנו לדעת י"ג על י"ו והנה י' כולל המספרים והנה חברנו ג' עם ו' דמיון

[687] לכפול: P1029 top

[688] כ"ד: O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 חשבון כ"ד

[689] כ"ו: O187; P1029; P1051 חשבון כ"ו

[690] הנה: V397 והנה

[691] כ': W152 הכ'

[692] שני: P1050; P1051; V397; V398 om.; P1029 top

[693] עם: O187; P1029; P1050; P1051; V398; III על

[694] שהוא הגדול: Mo30 om.; V397 marg. שהוא המספר הגדול

[695] עלה: P1051; V397 עולה; P1029 om.

[696] עלו: Mo30 עלה

[697] וכפלנו: Mo30 כפלנו

[698] עלו: Mo30 יהיה; O187 ועלו

[699] עלו כ"ד: P1050 marg.

[700] והנה: Mo30 והיה; O187 הנה

[701] המבוקש: III המחובר; P1029 המבוקר^ש

[702] ויש שיספיק לך ... תרכ"ד: Mo30 marg.

[703] ואם: W152 אם

[704] ג': O187; III ג' מספרים

[705] הסדר: P1051 הסדר החשבון
זה הסדר: P1029 סדר זה

[706] החשבון: III חשבון

[707] וראה: V397 נראה

[708] אחד: O187 האחד

[709] רבים: O187 הרבים; P1051 ^הרבים

[710] אם: O187; P1050 om.; P1029 ואם

[711] אם הוא: Mo30; III והוא

[712] זוג: V397 om.

[713] הזוג: O187 הזוג והנפרד

[714] הוא זוג: O187; P1029 זוג הוא; P1051; V397 זוג זוג הוא

[715] ואם: V398 ואף אם

[716] האחד: V397 marg. אחד

[717] זוג: V398; P1050; III הוא זוג

[718] נפרד: O187 נפרד המחובר זוג; W152 הוא נפרד

[719] והטעם: III הטעם

[720] שאינו: O187 כשהוא

[721] והטעם שאינו זוג: P1050 om.

[722] מהם: P1029; V398 מהן

[723] המספר: Mo30 om.

[724] האחד: V397 אחד

[725] נפרד: P1051 יהיה נפרד

[726] וגם: V398; III גם

[727] כן: Lo27153 top
וגם כן: O187 ג"כ

[728] האחר: P1029; P1051; V397 האחר נפרד

[729] גם: P1050 הנה גם כן; W152; W194 גם כן

[730] המחובר: Mo30 המרובע

[731] נפרד: Lo27153 זוג marg. ד"ת נפרד

[732] היו: Mo30 יהיו

[733] המספרים: Mo30; III מספרים; P1051; V397 om.

[734] הנכפלים: V398; P1050; III om.

[735] אלה: V397; P1051 top האלה

[736] לכפול: V397 לכתוב

[737] לכפול אותם: P1029 לכלם

[738] במכתב: Mo30 במספר

[739] שהראיתיך: V397 marg.

[740] הסלולה: P1050 הצל הסלולה; V398 הצלולה

[741] המעט: Mo30 marg.

[742] עליונים: P1050; P1051; V398; III העליונים

[743] ופירוש: O187 פי'

[744] המעט: P1050 המעט marg. בהם

[745] ולא: Lo27153 לא; Mo30 ואל

[746] מן: P1051 om.

[747] ואם: P1050 ואף ^אם

[748] קטן: P1051 קטון

[749] הם: Lo27153 הוא

[750] גדול: P1051 marg. הגדול

[751] אותם: P1029 אותה

[752] ואלו: Mo30; P1050 ואם

[753] היית: Mo30; P1029; P1051 היתה
ואלו היית: P1029 ואלו היתה ואלו היתה

[754] יזיק: O187 היה מזיק

[755] מעט: O187 ממנו

[756] התלמיד: P1029 התלמידים
על התלמיד: Mo30 המלמד

[757] העליון: P1051 ^העליון

[758] והאחרים: O187 והא^חדים

[759] הראשון: P1029 ~~העליון~~ הראשון

[760] של: P1050; III מן

[761] הטור: Mo30; O187; P1051 טור

[762] הראשון: P1029 ראשון

[763] שבטור: O187; P1051; V397; III בטור; P1050 ^שבטור

[764] השפל: W152 ~~השפל~~ ^השפל; P1029 top

[765] והעולה כתוב: Mo30 והעולה כתוב marg. וכתוב העולה
כפול הראשון ...והעולה כתוב: Mo30 marg.

[766] הטור: O187 המספר

[767] הראשון: Mo30; P1051; V397 om.

[768] העליון: W152 העליון הראשון; P1050 העליון marg. בטור השלישי

[769] ואחר כך: Mo30 אח"כ

[770] המספר: P1029 מספר

[771] הראשון: Mo30 om.

[772] המספר: P1029 מספר

[773] השלישי: O187; P1029 שלישי

[774] המספר: Mo30 מספר; P1051 twice

[775] העליון הראשון: W152 הראשון העליון

[776] העליון: O187 של העליון; III om.; P1050 top

[777] ויתחבר: V397 ויתחייב

[778] והכלל: P1029 והכל

[779] במספרו: V397 במספר

[780] שתשלים: P1029 שתשים

[781] הטור: Lo27153; Mo30; O187; P1050; V398 טור

[782] מספרי: P1051 מספר

[783] הטור: Mo30 om.

[784] לכפול: Lo27153 ~~לשמור~~ לכפול

[785] המספר: P1029 ~~המספר~~ המספר

[786] הטור: Mo30 טור
של הטור: V397 מטור

[787] מספר: O187; P1051 המספר

[788] הטור: Mo30 טור; V397; P1051; V398 מספר
של הטור: O187 מטור; P1029 om.

[789] כתבהו: P1050 כתבנו; P1051; V397 תכתבנו

[790] ואחר: P1051 ואחרי

[791] השני: P1050 השני marg. שבטור

[792] שני: P1050 השני

[793] ותכתבהו: O187 והעולה תכתבהו; P1050 וכתבנו

[794] כנגד השני ... בטור השלישי: P1029 om.

[795] במספר השלישי: P1051; V397 om.

[797] שני: P1051 שלישי

[798] למספר: O187 של מספר

[799] שהחלות: V397 שהתחלנו

[800] ממנו: O187 ממנו וכן עד השלימך מספרי הטור השפל

[801] ואחר: P1051 ואחרי

[802] העליון: Mo30 בטור העליון

[803] לכפול אותו: P1029 לכפלו

[804] תכתבהו: V397; V398 תכתבנו

[805] טור: Mo30 הטור; O187; P1051 om.
כנגד טור: Lo27153 בטור

[806] שהחלות: Lo27153 שהחלות^ת

[807] ממנו וככה: V397 וככה ממנו

[808] המשפט: Mo30; O187 משפט

[809] לכלם: O187 כולם

[810] עד: Mo30 כי

[811] משפט: Mo30; P1029; P1050; P1051; III משפטי; V397 משפטי משפטי

[812] הפרט: Lo27153 ~~הפרט~~ הפרט; P1051 פרט

[813] התחתון: O187 תחתיו; P1029; P1050; P1051; V397; III תחתון

[814] והכלל: P1051; V397 עם הכלל
שהחילות ... והכלל: V398 om.

[815] שיבא: Mo30 הבא; V398 ושיבא; W152 כשיבא

[816] בטור: O187 במספר

[817] היה: O187 יהיה

[818] בטור: Mo30 הטור; V397 ^בטור

[819] בין: Mo30; P1051; V397; V398 ובין

[820] בטור: Mo30 הטור; V397 ^בטור

[821] משפטו: Lo27153; P1050 משפט

[822] במקום: Mo30 בטור

[824] שעליו: P1029 שעליו ואחריו; W152 שלעליו marg. שעליו

[825] תחל: Mo30 תשוב

[826] לחבר: Lo27153 ~~לחסר~~ לחבר

[827] שעלה: P1051; V397 שעולה

[828] בטור: O187 מטור

[830] אם: Mo30 כי; O187 ואם

[831] בו: O187 לו; V397 om.

[832] עשרות: Mo30 עשיריות

[833] שהוא בחבור: O187 שבחבור

[834] בו: O187; V397 לו

[835] כתוב: P1029 om.

[836] היותר: O187; V397 יותר; P1050 האחד

[837] מבחוץ: Mo30 מחוץ

[838] בחבור: P1029 om.

[839] מבחוץ בחבור שיש לך: V398 בחבור שיש לך מבחוץ

[840] שני: Lo27153 שיש; Mo30 marg.

[841] לו: Lo27153 לו marg. לך; P1051 top

[842] תעשה: Mo30 עשרה

[843] היוצאים: O187 היוצא

[844] מהטור: Mo30; P1029 מן הטור; O187 מהטורים; P1051 מן הטורים

[1004] כי: V397 om.

[1005] והאחד: Mo30; P1051 רק האחד

[1006] שנוי: Mo30 לא שנוי

[1007] ולא: O187 לא

[1008] כל: V398 om.

[1009] ושנוי: P1051 om.

[1010] יעשה: V398 שיעשה

[1011] אחת: P1051; V398 האחת

[1012] שנים: Mo30 om.; O187 שתים

[1013] שלשה: P1051 השלשה

[1014] הפאה: O187; V397 הוא הפאה

[1015] וארבעה הפאה: Mo30 ארבעה והפאה; P1051 שהיא הפאה

[1016] ושתי: Mo30 שתים וב'

[1017] המחוברות: Mo30 מחוברות

[1018] שהם: Mo30 והוא; P1051

[1019] האחד: O187; V397 אחד

[1020] לפניו: P1051 לו marg. לפניו

[1021] לפניו פאה ואחריו: O187 לפניו פאה ולאחריו; V397 פאה לפניו ולאחריו

[1022] שנים: Mo30 שתים

[1023] האחד: Mo30 אחד

[1024] בלי: Mo30 ולא

[1025] את: Mo30; P1051; V398 om.

[1026] על שנים עשר: O187; P1051; V397 לי"ב

[1027] י"ב: O187 היא שנים עשר; V397 היא י"ב

[1028] חדשי: V397 חדש

[1029] הלבנה: P1051 לבנה

[1030] חשבון: O187; V397 בחשבון

[1031] רבים: V397 om.

[1032] אחדים: P1051 ~~חלקים רבים אחדי~~

[1033] שלמים: Mo30; P1051 שלמים בלי שבר

[1034] ושלישיתו: Mo30p; V398 ובשלישיתו

[1035] ורביעיתו: Mo30 וברביעיתו

[1036] וחצי ששיתו: Mo30; V398 om.

[1038] לשלשים: O187 ל'

[1039] וששית: Mo30 om.
וחמישית וששית: P1051 וששית וחמישית

[1041] מספר: V398 המספר

[1042] מעלות: V397 om.

[1043] הגלגל: V398 om.

[1044] ש"ס: O187 לש"ס

[1045] וזה המספר: O187 וזה המספר קרוב לימות שנת החמה וזה המספר; P1051 וזה המספר יש לו קרוב לימות החמה; V397 וזה המספר לימי שנות החמה וזה המספר

[1046] יש: P1051 ויש

[1047] ושלישית: Mo30 ושליש

[1048] ורביעית: Mo30 ורביע

[1049] וחמישית: Mo30 וחומש

[1050] ועשירית: Mo30 ועשור

[1051] והנה לא: Mo30 ולא

[1052] רק: P1051 top

[1054] המספר: V397 om.

[1055] עשרה: O187 העשרה

[1056] מעלות: V397 המעלות

[1057] שהם: P1051; V397 שהן

[1058] אחדים: O187; V397 כאחדים

[1059] יחלקו: Mo30; P1051; V397 יתחלקו

[1060] העולה בחלוק: Mo30; P1051 המחובר

[1061] וככה ... שלמים: Mo30 marg.; V398 om.

[1062] כלל: P1051 ~~משל~~ כלל

[1063] תחלק: O187 תסלק; V398 יתחלק

[1064] אותם: V397 אותן

[1065] כפי: O187; V397 לפי

[1066] ואחר כך: Mo30 אח"כ

[1067] אותם ... כתוב: V397 marg.

[1068] בטור: O187 הטור

[1069] אחר: O187; V397 האחר
בטור אחר: P1051 om.

[1070] שיהיה: Mo30 שהיה

[1071] ואחר כך ... מעלתו: V398 om.

[1072] חשבון: Mo30 החשבון

[1073] ויהיה כל חשבון לפי מעלתו: P1051 om.; V398 marg. ויהיה כל חשבון לפי מעלתו בטור השפל

[1074] כל: O187 top

[1075] לפי מעלתו כנגד כל חשבון: Mo30 om.

[1076] הטור: O187; V397 טור

[1077] והטור: O187; V397 לטור

[1078] אמצעי: Mo30 האמצעי; O187; V397 אחד

[1079] ביניהם: O187; V397 בין שניהם

[1080] תשים כפי מעלתו: V397 כפי מעלתו תשים

[1081] ממנו: Mo30; P1051; V397 om.

[1082] השלמים: V397 בשלמים

[1083] ולא: Mo30 לא

[1084] תחל: V397 תחלק

[1085] בטור: V398 om.

[1086] שהוא בטור: Mo30 שבטור

[1087] השפל: P1051 ~~העליון~~ השפל

[1088] שנים: V397 שני

[1089] המספרים: Mo30 מס'; P1051 ^המספרים

[1090] חשוב: P1051 חשב

[1091] אותם: V398 אותו

[1093] המספר: V397 מספר

[1094] העליון ותחלק ... מהטור השפל: Mo30 marg.

[1095] שיהיו: V397 שיהיה

[1096] תשיב: Mo30; P1051; V398 תשוב

[1098] האחרון: V397 אחרון

[1099] האחדים: P1051; V398 אחדים

[1100] למעלה: Mo30 ולמעלה

[1101] כל: Mo30 ככל

[1102] המספר: V398 מספר

[1103] תכתוב אותו: Mo30 תכתבהו

[1104] לפני: Mo30; V397 om.

[1105] שתגיע: V397 שישיג; V398 שיגיע

[1106] המספר: Mo30; P1051; V398 מספר

[1107] מהמחולק עליו: Mo30 מהמחלק

[1108] תכתבנו: Mo30 תכתבהו

[1109] מהטור: Mo30; P1051 מן הטור

[1110] החמישי: P1051 השלישי

[1111] שתעשה: Mo30; P1051 תעשה

[1112] דמיון: Mo30 דמיון זה

[1113] בזאת הצורה: Mo30 om.; V397 בצורה הזאת

[1114] ע': Mo30 ז'; P1051 ט'

[1115] השפל: Mo30 שפל כפי מעלתו וט' בטור עליון; P1051 העליון; V398 שפל

[1116] והנה: P1051 הנה

[1117] נתן לו: P1051 נתתי לך

[1118] ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו; V397 וכתבנו ונכתבנו

[1119] השנית: V397 שנית

[1120] מהמספר: Mo30 ממספר

[1121] הראשון: Mo30; P1051; V398 העליון

[1123] ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו

[1124] לנו: P1051 om.

[1125] נחלק: Mo30 נחלקם

[1126] והנה נתן: Mo30 ונתן

[1127] לו: P1051 לנו

[1129] נשיבהו: V397 נשיבם

[1130] יהיו: Mo30 ויהיו

[1131] נחלקנו: Mo30 נחלקהו; V398 נחלקם

[1132] לו: P1051 לנו
נתן לו: Mo30 ויהיו

[1133] תכתבהו: Mo30 ונכתבהו; P1051; V398 ונכתבנו

[1135] ד': V397 ה'

[1136] מ': V397 מ' ^נ'

[1137] עליו: V398 om.
המחולק עליו: Mo30 החולק

[1138] והמספר המחולק עליו גדול ממנו: P1051 om.

[1139] באחדים: Mo30 מאחדים
היה המספר באחדים: P1051 om.

[1140] ותחשוב: V397 om.

[1141] מאותו מקום: Mo30 אותו המקום

[1142] מרחק: P1051 המרחק

[1143] תשיב: Mo30 תשוב

[1144] אחורנית: P1051 אחורנית marg. וחשוב כל אחד עשרה

[1145] ועשה: V397 ותעשה

[1146] בקשנו: V397 רצינו

[1147] בזאת הצורה: Mo30 om.

[1148] והנה: Mo30; V398 הנה

[1149] מספר: V397 משפט

[1150] נשיבהו: Mo30 נשיבם

[1151] אחורנית: V397 אחורנית במעלה הרביעית

[1152] והם: V397 והנה

[1153] נחלקם: Mo30 ונחלקם; P1051; V397 נחלק

[1154] והנה: Mo30 ונתן לו marg. והנה; P1051 והנם; V398 ויהיו

[1155] נכתבנו: Mo30; V397 ונכתבנו

[1156] ב' ... ממנו: Mo30 marg.

[1157] ב': V397 ~~עשרים נחלק~~ ^ב'

[1158] נשיבם: Mo30 עוד נשיבם; P1051 ונשיבם; V398 נשיב ב'

[1159] במעלה השלישית: Mo30 om.
אחורנית שהיא שנית ... במעלה השלישית: P1051 marg.

[1160] והם: P1051 הם

[1161] נחלקם: P1051 נחלק

[1162] נחלקם על ט': Mo30 om.

[1163] והנה: Mo30 ונתן לו; P1051; V398 והנם

[1164] ונשארו: Mo30 נשארו עוד; P1051 נשארו

[1165] נשיבם ... ב': V397 om.

[1166] השנית: Mo30 השנית ^הג'

[1167] נחלק על ט': Mo30 om.

[1168] והנם: Mo30 ונתן לו

[1169] והנם ב': V397 om.

[1170] ונשארו: Mo30; P1051 נשארו

[1171] כי הם: V397 שהם

[1172] כי הם ... העליון: Mo30 om.

[1173] וזה המספר: Mo30 והוא

[1174] ממספרנו: Mo30 מהחולק; P1051 ממספר ט'

[1175] על: Mo30 ועל

[1176] עלו אחדים: V398 אחדים הם

[1177] גלגל: Mo30 הגלגל

[1178] המקומות: V397 ^מהמקומות

[1179] ולא: Mo30 לא

[1180] תוכל: P1051 נוכל

[1181] המחולק: Mo30 om.

[1182] מהגבוה: P1051 מגבוה

[1183] בקשנו: Mo30 נרצה

[1184] בקשנו לחלק: P1051 חלקנו; V398 om.

[1185] בקשנו ... שלשים: V397 om.
ד' אלפים ול"ב על שלשים: V398 marg.

[1186] חלקנו ד' על ג': P1051 om.

[1187] א': V398 אחד marg. ונשאר אחד

[1188] במעלת: V397 במעלה

[1189] וכתבנוהו ... שני לו: Mo30 om.

[1190] נשאר: Mo30 ונשארו

[1191] לנו: Mo30 om.

[1192] עוד: Mo30; V398 om.

[1194] נשיבהו: V397 נשיבהו נשיבהו

[1195] במעלת: Mo30 ונכתבנו במעלת; V397; V398 במעלה

[1197] והיו: Mo30 ויהיו; V397 היו; V398 והוא

[1198] והיו י': P1051 om.

[1199] נחלקנו: Mo30 ואותם העשרה נחלק

[1200] בחלוק: V397 בחלק
ויעלה בחלוק: Mo30 ויצאו

[1201] נשאר: Mo30 ונשאר

[1202] א': Mo30 א' במקום המאות

[1203] השבנוהו: Mo30 ונשיבהו; P1051; V398 השיבנו אותו

[1204] ויהיו: V397 היה

[1205] במעלה: P1051 למעלה

[1206] ויהיו ... השנית: V398 om.
במעלת העשרות ... במעלה השנית: Mo30 ונחבר אליו הג' אשר בעשרות

[1207] היו: Mo30 ויהיו

[1208] י"ג: V398 י"ג עם הג' שעל המעלה ההיא

[1209] חלקנו אותו: Mo30 נחלקם; V398 חלק

[1210] ונתנו: P1051; V397 נתנו

[1211] לו: P1051; V397 להם
ונתנו לו: Mo30 ויצאו

[1212] ונתנו לו ד': V398 יהיו ד'

[1213] נשאר: Mo30 ונשאר; P1051 נשארו

[1214] לנו: Mo30 om.

[1215] א': Mo30 אחד במקום העשרה והוא פחות מהמספר החולק

[1216] השיבונוהו: Mo30 ונשיבם; P1051 השיבונו אותו

[1217] נשאר לנו א' השיבונוהו אחורנית: V398 כתוב; marg. ד' במעלה הראשונה והנה נשאר לנו אחד תשיבהו אחורנית

[1218] במעלה הראשונה: Mo30 ר"ל אל האחדים ועם הב' אשר באחדים

[1219] היו: Mo30 יהיו; P1051; V398 והיו

[1220] י"ב: V398 י"ב marg. עם ב' שעל המעלה הר' שלא'

[1221] שלא: Mo30 ולא

[1222] הנשאר: Mo30 הם

[1223] מאותו: Mo30 מהמספר

[1224] המחולק: V397 המחובר

[1225] וכבר: P1051 וככה

[1226] שני: Mo30 שנים

[1227] מספרים: P1051 ג' מספרים

[1228] שני: P1051 om.

[1229] שני מספרים: V397 שנים

[1230] על: Mo30 om.

[1231] על: Mo30; V398 om.
או על שלשה או על: P1051 om.

[1232] מן הטור: Mo30; P1051; V398 מהטור

[1233] מהמספר: V398 מן המספר

[1234] ותן: Mo30; P1051; V397 ותתן

[1235] מן הטור: Mo30 מהטור

[1237] על מספר: V398 על ^ממספר

[1238] תוכל לעשות: V397 illegible

[1239] ממספרך: P1051 עד ע' ממספרך

[1240] מהטור: P1051 top

[1241] ואם: V398 אם

[1242] ממעלות: V397 מהמעלות

[1243] מן הגבוה: V397 מהגבוה

[1244] אחורנית: V398 om.

[1245] ממנו: V397 מהם

[1246] שני: Mo30; P1051; V398 שנים

[1247] במעלות: Mo30 למעלות; P1051; V397 במעלת

[1248] ובמעלות: Mo30; V397 ובמעלת

[1249] מספרים: V397 om.

[1250] תשיב: Mo30 השב

[1251] אחר: Mo30 אחרון

[1252] האחרון: V397 om.

[1253] מהם: V398 ~~מהם~~ ^ממנו

[1254] שתצטרך: Mo30 שצריך; V397 שיצטרך

[1255] ומהנשאר: Mo30 ומה שנשאר; P1051 ומהשאר

[1256] ומהנשאר ... שתצטרך: V397 marg.

[1257] בכפל: V397 בכל

[1258] שהוא: V397 שהוא אחר הגלגל ותקח מהם

[1259] מן המעלה: V397 מהמעלה

[1260] ממנה: V397 ממנו

[1261] זה: Mo30 כזו הצורה marg. רצינו לחלק ח' אלפים ורי"ג על שנ"ג; P1051; V397 וזה; V398 om.

[1262] ד'ט': P1051 om.

[1263] הוא: V397 והוא

[1264] הנשאר: V397 הנשמר

[1265] מן החשבון: P1051; V397 מחשבון

[1266] MS St.P569 excerpt 2 begin.

[1267] יתחלק: P1051 נתחלק כזאת הצורה; V397 נתחלק
ד'ט' ... יתחלק: Mo30; V398 om.

[1268] והנה: Mo30 הנה

[1269] והנה כאשר: V398 ~~וכאשר~~ והנה כאשר

[1270] שהוא: Mo30 ^ששהוא

[1271] על: Mo30 עם

[1272] אחרון: V397 האחרון

[1273] נתנו: Mo30 נתן

[1274] שהיה: P1051; V397 כי היה

[1275] הג': Mo30 בג'

[1276] שלישי: Mo30 במעלה השלישית

[1277] החזרנו: P1051 החזירהו

[1278] לשלישי: Mo30 לשלישית

[1279] למעלת: P1051 למעלות

[1280] הח': P1051 ח'

[1281] אחד: V398 top

[1282] האחד: Mo30 הא' לאחור

[1283] והיו: Mo30 והוא; P1051 יהיו

[1284] וחסרנו: P1051 חסרנו

[1285] הב': V397 ב'

[1286] ויהיו: Mo30 יהיו

[1287] ו': V398 ב' marg. ב' פעמי' שהוא ו'

[1288] שבטור: P1051 לטור

[1289] ממנו ו' ... שבטור השפל: Mo30 לג' שהוא ראשון שבטור השפל כפל ב' פעמים ג' והם ו' והסירם

[1290] נשארו ה': V397 illegible

[1291] והנה: Mo30 והנה נתת; P1051 ת הנה; V398 הנה

[1292] נשוב: V398 נשיב

[1293] נשאר: Mo30 נשארו; V397 illegible

[1294] שהוא: Mo30 om.
הא' שהוא: V397 om.

[1295] הח': Mo30 הא'; V398 ח'

[1296] על א' אשר על הב': Mo30; P1051; V397 om.

[1297] יהיו: Mo30 ויהיו

[1298] שהוא: P1051 om.

[1299] שהוא בטור: Mo30 שבטור

[1300] שהוא בטור השפל יהיו ג': V397 om.

[1301] ונכתבנו: Mo30 וכתבנו

[1302] השנים: V397 ב'

[1303] ונשארו: Mo30 נשארו

[1304] על הה': P1051; V397 om.

[1305] על הה' אחורנית: Mo30 אחורנית על הה'

[1306] האמצעי: Mo30 האמצעית; P1051 האמצעים

[1307] נתן ... השפל: V398 נסיר

[1308] ונשארו: Mo30; P1051 נשארו; V397 ונשארו לנו

[1309] הג': Mo30 ג'

[1311] הג': Mo30 ג'

[1312] י"ג: Mo30 יהיו י"ג

[1313] ונקח: P1051 נקח; V397 ויקח

[1314] מהם: Mo30 ממנו

[1315] ט': Mo30 ט' מי"ג

[1316] וישארו: P1051; V397 ישארו

[1317] ד': Mo30 ד' על ג'

[1318] הה': P1051 האחד

[1319] יכולנו: Mo30 יוכלו; V397 יכול

[1320] בראשונה: P1051 כבראשונה; V398 עתה marg. ~~בראשונה~~

[1321] מהי': Mo30 מהט'

[1322] לו: Mo30 לנו

[1323] מעלתו עכשיו: Mo30 עתה מעלתו

[1324] הג' מהי' ... ממנו בראשונה: P1051 om.

[1325] בראשונה: V398 הראשונה

[1326] היה: V397 היו

[1327] שלישי: Mo30 שלישית

[1328] הח' אבל עתה לקח מן: Mo30 om.

[1329] הב': Mo30 ב'

[1330] א': Mo30; P1051; V398 om.

[1331] הוא: Mo30; P1051; V397 om.

[1332] שיקח: Mo30; V398 שנקח

[1333] ממעלתו: Mo30 מן מעלתו

[1334] השלישית: Mo30 הג' השלישי; P1051; V398 השלישי

[1335] MS St.P569 excerpt 2 end

[1336] והנה: Mo30 והיה; V397 הנה

[1337] הנשאר: Mo30 הנשאר בלתי מחולק בט'; V397 נשאר

[1338] ד'ט': Mo30 marg. והנשאר ד'ט'; P1051; V398 ט'ד'

[1339] אחר: P1051 באחר

[1340] באנו: V397 בקשנו

[1341] לחלק: Mo30 לחלק מספר כמו שהוא לפניך הנה אנו צריכין לחלק

[1342] ט': Mo30 ט' אחרונה שבטור העליון

[1343] שנים: Mo30 ב' אחרונה שבטור השפל

[1344] יכולנו: V397 יכול

[1345] ישאר: Mo30 נשאר

[1346] תשיבהו: V397 נשיבהו

[1347] הנה: Mo30 הנה עלו; V397 om.

[1348] עם הג': Mo30 om.

[1349] ל"ו: Mo30 עלו ל"ו

[1350] על כן: P1051; V397 om.

[1351] נשארו: Mo30 ונשארו

[1352] נשיבם כלם: Mo30 כלם נשיבם

[1353] ויהיו: P1051 יהיו

[1354] ויהיו שם: V397 ...הוא

[1355] לט': V398 לו לט'

[1356] יהיו: Mo30 ויהיו; P1051 יהיה

[1357] נשארו: Mo30 ונשארו

[1358] הג': Mo30 ג'

[1359] נקח: Mo30 ונקח

[1360] מהם א': Mo30 ^א' מהם

[1361] נשיבהו: P1051 נשימהו; V397 נשימהו נשימהו

[1362] שלישי: Mo30 שלישית

[1363] לאחרון: Mo30; P1051; V398 לאחריו

[1364] יהיו: V397 שהוא; Mo30; V398 הוא

[1365] נתן: Mo30 ונתן

[1366] אותם: V398 לו

[1367] נכתוב: Mo30 ונכתוב

[1368] נשאר: Mo30 נשאר ממנו

[1369] על הח': Mo30 om.

[1370] שעדין: P1051 ^שעדין

[1371] שהוא: Mo30 בטור שהם; P1051; V397 שהם; V398 שהם marg. שהוא

[1372] נכתוב: V397 ונכתוב

[1373] זה האחד: Mo30 האחד הזה

[1374] אחרי הג' ששמנו על הט': P1051 om.

[1375] הראשון: P1051 ראשון

[1376] שלישי: Mo30 ג' שלישי

[1377] מן הג': Mo30; V397 מהג'

[1378] שבטור: V398 שהוא בטור

[1379] וראשון: P1051 והראשון

[1380] נשארו: Mo30 ונשארו

[1381] הנה: Mo30 והנה

[1382] הנשארים: Mo30 נשארו

[1383] ר"ה: Mo30 ~~ר"א~~ ^ר"ה

[1384] יותר: V397 נותר

[1385] שבטור: V397 שהם בתור

[1386] ולא ... רצ"ו: Mo30; P1051; V398 om.

[1387] השפל: P1051 השפל כמו שכתוב ומצוייר לפניך בזאת הצורה marg. והנה

[1389] ב': P1051 ב' פעמים ^ב'

[1390] לא: V397 ולא

[1391] לא נוכל: Mo30; V398 אי אפשר

[1392] שלא: Mo30 כי לא

[1393] אם: V398 top

[1394] וד': V397 ועם ד'

[1395] והם: V397 om.; Mo30; V398 הם

[1396] והם י"ד: P1051 om.

[1397] ויש לנו: Mo30 וישארו

[1399] ב' פעמים: Mo30; P1051; V397; V398 om.

[1400] אך נתן: V398 ונתן

[1401] אך נתן לו: Mo30 ולכן לא נתן רק

[1402] ונשים אותו: V397 om.

[1403] ט': Mo30; P1051 הט'

[1404] שהם: Mo30 om.

[1405] כשנים: P1051 om.; V398 כמו הב'

[1406] בטור: P1051 שבטור; V397 שהוא בטור

[1407] השפל: P1051 העליון

[1408] שהוא: P1051 כי ב' שבטור השפל הוא

[1409] ראש: P1051 ראשונה

[1410] שבטור: V397 שהוא בטור

[1411] על: V397 והם ג' על

[1412] הה': Mo30 ה'

[1413] מהם אחד: V398 אחד מהם

[1414] ישארו: Mo30 נשארו

[1415] ישארו ב' על הה': V398 om.

[1416] נשיבהו: Mo30 ונשיבהו

[1417] יהיו י"ד: Mo30; V397; V398 om.

[1418] יקח: Mo30 נקח

[1419] יקח ט': V397 om.

[1420] יש: Mo30 ויש

[1421] לד': Mo30 לך

[1422] שבטור: Mo30 בטור

[1423] למען כי שלישי הוא: Mo30; V398 om.

[1424] השלישי: V397 ^השלישי ~~הוא~~

[1425] גלגל הוא: Mo30 הוא גלגל

[1426] נשיב: V397 נשוב

[1427] על הד' אחד על הגלגל: Mo30 על הד' על הגלגל על הד' על הגלגל marg. אחד

[1428] יקח: Mo30 נקח

[1429] ישארו: Mo30 וישארו

[1430] הה': V397 ה'

[1431] רביעי: V397 רביעית

[1432] יקח: V397 om.

[1433] שבטור: V397 שהוא בטור

[1434] ישארו: Mo30; V397 marg. ישאר

[1435] ט': Mo30 הט'

[1436] נשוב: V397 שוב

[1437] יצא: Mo30 יצא לחוץ

[1438] מן הטור: Mo30; V397 מהטור

[1439] וחמישי: Mo30 marg.

[1440] ועל הט' ד': Mo30 וד' על הט'

[1442] נשיב: V397 ונשים

[1443] נתן: V397 וכן

[1444] שבטור: Mo30 בטור

[1445] ח': V397 ה'
נשיב הב' ... ח': Mo30 marg.

[1446] נשארו: Mo30 וישארו

[1447] נשיב: V397 אם נאמר נשב

[1448] הו': Mo30; V398 ו'

[1449] על הו' אחורנית: Mo30 marg. אחורנית על הו'

[1450] ויהיו: V397 ויהיה

[1451] נקח: V397 יקחו

[1452] לט': V397 הט'

[1453] נשארו: Mo30 ונשארו; V397 ישארו

[1454] אם: Mo30 ואם

[1455] ג': Mo30 om.

[1456] ואמת: Mo30 באמת; V397 האמת

[1457] שבטור: Mo30 בטור

[1458] לקחת: V397 לקח

[1459] מהג': Mo30 marg. מן הג'

[1460] נשארו ח' על הד' ... שאחריהם: Mo30 twice - once on marg. and on the next page

[1461] וכשנשיב: Mo30; V398 ואם נשיב

[1462] הג': Mo30 ג'

[1463] יהיו כ"ג לבד: V397 לא יהיו בם כ"ד

[1464] לה': Mo30 לה' שבטור השפל

[1465] שיקחו: Mo30 ליקח

[1466] מ': Mo30 ד'

[1467] הגלגל: Mo30 הג'; V397 גלגל

[1468] יקחו: Mo30 נקח

[1469] הד' ל"ב: Mo30 לד' שבטור השפל

[1470] נשארו: Mo30 וישארו; V397 ישארו

[1471] ד': Mo30 ^ד' ונשיבם אחורנית על הג' הראשנה שבטור הראשנה כדי לחלקו על ה' הראשנה שבטור השפל וישאר ח' במעלה השניה

[1472] די: Mo30 om.

[1473] די לנו: V398 לנו די

[1474] ועם: Mo30 והד' עם

[1475] כי לא יהיה ... הג': Mo30 marg.

[1476] הם: Mo30 ויהיה

[1477] מ"ג: Mo30 מ"ג בראשנה שבטור העליון

[1478] יקחו: Mo30 תן

[1479] הה' מ': Mo30 המ' על הה' שבטור השפל

[1480] ישארו: Mo30 ישאר

[1481] על: V398 ועל

[1482] הט': V397 ט'

[1483] לאלפים: V397 באלפים

[1484] וא' על: V397 ואחר

[1485] הד': V397 ד'

[1486] ג' ...אלף: Mo30 ג' במעלה הראשנה בטור העליון וח' במעלה שניה וא' במעלה רביעית

[1487] וט' מאות: V397 ותתקמ"ה

[1488] ס"ח אלפים: V398 ששים אלף וח' אלפים

[1489] וט' מאות וכ"א: V397 ותתקכ"א

[1490] ונ"ג: V397 נ"ג

[1491] וזהו הדמיון: Mo30; V397 om.

[1492] ז': Mo30 והנה ז'; V397 ... illegible

[1493] רביעי: V397 marg. הרביעי

[1494] יוכל: Mo30; V397 נוכל

[1495] מו': Mo30 מן הו'

[1496] ומאחר: Mo30 ואח"כ אחר marg. וא"כ; V397 ... illegible; V398 אחר

[1497] נוכל: Mo30 תוכל; V398 יוכל

[1498] כל: V397; V398 om.

[1499] הצורך: Mo30 צרכה

[1500] אותו: Mo30 הו'

[1501] כלו: Mo30 אלו

[1502] כלו אחורנית: V397 אחורנית כלו

[1503] ויהיו: V397 שהוא

[1504] הנה: Mo30 והנה

[1505] מן הח': V397 מהח'

[1506] חלקנו ... העליון: Mo30 om.

[1507] לז': Mo30 לה

[1508] ט': Mo30 ט' והנה ז' פעמים ט' הם ס"ג וזו הט'

[1509] נוציאנו: Mo30 נכתוב אותה; V398 נוציא לו

[1510] לחוץ: Mo30 בחוץ

[1511] הג': V398 ג'

[1512] שהוא רביעי בטור: Mo30 שבטור

[1513] נשארו: Mo30 נמצא שהיא עומדת במעלה ראשנה וישאר

[1514] ה' על הח': Mo30 על הח' ה'

[1515] הנה: Mo30 והנה

[1516] מאומה: Mo30 מה' מאומה

[1517] יש לה': Mo30 והנה הה' בטור השפל יש לנו

[1518] שיקח: Mo30 ליקח

[1801] השלישי: Mo30 החמ^שלישי

[1802] בספרי: V397 בשערי

[1803] כי: Mo30; V397 om.

[1804] מן המספרים: Mo30 מהמספרי'

[1805] שיעברו: Mo30; V397 שעברו

[1806] יכפול: Mo30 כפול

[1807] על חציו: Mo30 בחציו

[1808] בתוספת: Mo30 גם בתוספת

[1809] כמה הם: Mo30 om.

[1810] המספרים: V397 מספרים

[1811] המחוברים: Mo30 שהם; V397 marg.

[1812] סוף: Mo30 om.

[1813] ידענו: V397 ידע

[1814] הנה: V397 om.

[1815] הנה יהיו: Mo30 ויהיו

[1816] והנה: Mo30 om.

[1817] יעלו: Mo30; V397 עלו

[1818] המחובר: Mo30 המבוקש

[1819] כמה: Mo30 רצינו לדעת כמה

[1820] סוף: Mo30; V397 om.

[1821] והנה: V397 הנה

[1822] והוא: V397 הם

[1823] כפלנו: V397 כפלו

[1824] ועלו: Mo30 עלו

[1825] ועוד: V397 עוד

[1826] יש: Mo30 יש לו; V397 יש לנו

[1827] חשבון: Mo30; V397 om.

[1828] יעלו: Mo30 יעלה

[1829] חבר אותו: Mo30 חברם

[1830] עם: Mo30 אל

[1831] אלו שני: Mo30 שני אלו

[1832] הדרכים: V397 דרכים

[1833] הולך: Mo30; V397 om.

[1834] חשבון: Mo30 החשבון

[1835] דרך אחרת ... קע"א: Mo30; V397 om.

[1836] אברהם: Mo30 אברהם אבן עזרא; V397 אברהם ן' עזרא

[1837] תוסיף: Mo30 שתוסיף; V397 שאוסיף

[1838] מרובע: V397 המחובר marg. המרובע

[1839] שהוא: Mo30 הוא

[1840] בעצמו: Mo30; V397 בעצמו סוף החשבון

[1841] כמה: Mo30 מה שיגיע

[1842] וראה כמה המחובר: V397 om.

[1843] ואחר: Mo30 om.; V397 ואחר כן

[1844] על: Mo30; V397 עליו

[1845] השרש: Mo30 שרש

[1846] הדרך: V397 om.

[1847] הזה: Mo30 זה

[1848] חברתי: Mo30 חברנו

[1849] מספרים: Mo30 כל המספרים; V397 המספרים

[1850] שהגיעו: V397 שהגיע

[1851] החשבון: Mo30; V397 חשבון

[1852] ובחון: Mo30 ובחן

[1853] השרש: Mo30; V397 הוא השרש

[1854] כפלנו: Mo30 כפל

[1855] ועלה: Mo30 הוא; V397 ועלו

[1856] וידוע: Mo30 וידענו

[1857] היה: Mo30 om.; V397 היו

[1858] המספרים ... סוף: Mo30 twice

[1859] דרך אחרת ... המבוקש: Mo30; V397 om.

[1860] המרובעים: Mo30 המספרים marg. המרובעים

[1861] החשבון: Mo30 מספר

[1862] שהוא: Mo30 om.

[1863] נשים: Mo30 תשים

[1864] שם: V397 om.

[1865] המספר: V397 מספר

[1866] ונקראנו: Mo30 ותקראהו

[1867] שלישית אחד: V397 שלישית אחד marg. כי הלויתי מהאחד

[1868] ונכפול: Mo30 וכפול

[1869] המחובר: Mo30 המספר

[1870] המרובעים שהם: V397 הם המרובעים

[1871] שבעה: Mo30 שבעה והוא מספר שאין לו שלישית

[1872] וכבר: Mo30 כבר

[1873] שהמחובר: Mo30 כי המחובר

[1874] ונשוב: V397 תשוב marg. ונשוב

[1875] שבעה: V397 שלז'

[1876] אחד: Mo30; V397 om.

[1877] הם: V397 om.

[1878] ויש: V397 יש

[1879] אחד: Mo30 יהיה אחד

[1880] והנה נכפול: Mo30 ונכפול

[1881] המחובר: Mo30 הוא המחובר

[1882] שהם: Mo30 שהוא

[1883] עד סוף: Mo30 מספר

[1884] י"ב: Mo30 י"ב והוא מספר שיש לו שלישית

[1885] וידוע: Mo30 וידענו

[1886] יעלו: Mo30 ועלה

[1887] נחבר: Mo30 ונחבר

[1888] שהם: V397 om.

[1889] ואני: V397 om.

[1890] לחבור: V397 לדעת

[1891] שאם ... דע: V397 illegible

[1892] מצאתי ... ההוא: V397 marg

[1893] דמיון ... ה': V397 om.

[1894] Mo30; V397 om.

[1895] הדרך הזה: Mo30 זה הדרך

[1896] כל השאלות מזה הענין: Mo30 השאר
ועל הדרך ... מזה הענין: V397 om.

[1897] כל: V397 om.

[1898] כל זה: Mo30 om.

[1899] כשתחבר: V397 בשחבר

[1900] שיהיו: Mo30 שיהיה

[1901] אלו ואלו: V397 אלה על אלה

[1902] האחד: V397 om.

[1903] העליון: V397 אחד

[1904] מעלותיו: V397 מעלתו

[1905] גם: V397 וגם

[1906] המספר: V397 מספר

[1907] מעלותיו: V397 מעלתו

[1908] אל: V397 עם

[1909] התחתון: V397 השפל

[1910] השלישי: V397 השפל

[1911] ועתה ... למזלות: V397 om.

[1912] כל: V397 על

[1913] עוד: V397 ועוד

[1914] עשרים עשרים: V397 כ' על כ'

[1915] ובספר: V397 ובמספר

[1916] לדעת: V397 om.

[1917] שיבקשו: V397 יבקשו

[1918] זה: V397 שם ^זה

[1920] מן הראשונים: V397 מהראשונים

[1921] באותו: V397 ~~המעלות והמזלות ויש~~ באותו

[1922] שימצאו: V397 שנמצאות

[1923] מן הששים: V397 משישים

[1924] במקום: V397 במקום ~~במקום~~

[1925] מן המעלות: V397 מהמעלות

[1926] שכתבת: V397 ~~כמו~~ שכתבת

[1927] המעלות: V397 ~~המעלות~~ marg. המזלות

[1928] המעלות: V397 המזלות

[1929] מן המעלות: V397 מהמעלות

[1930] מזלות: V397 om.

[1931] אז: V397 אז marg. אז

[1932] שם: V397 om.

[1933] מן המעלה: V397 מהמעלה

[1934] כי אם: V397 ~~כי אם~~ כי אם

[1935] ממעלת: V397 ממעלות

[1936] מחשבונים רבים: V397 marg.

[1937] אחרת: V397 אמת

[1938] החשבון: V397 המספר

[1939] שתחפוץ: V397 שתרצה

[1940] לגרעם: V397 לגרוע אותם

[1941] והנה: V397 וכן

[1942] באחת: V397 באחדות

[1943] מן: V397 om.

[1944] מהמספר: V397 ממספר

[1945] שבטור: V397 הטור

[1946] שאחריו: V397 שהוא אחריו

[1947] אחד: V397 ואחד

[1948] מן העליונים: V397 מהעליונים

[1949] ממעלתו: V397 ממעלותו

[1950] ולא נוכל ... מב': V397 om.

[1951] ולעולם: V397 וככה הכל ולעולם

[1952] לחסר: V397 ולהסר

[1954] נכתבנו: V397 נכתוב אותו

[1955] כתבנו אותו: V397 כתבנוהו

[1956] תחת מעלה הרביעית: V397 om.

[1957] שמנו גלגל במקומו: V397 כתבנו במקומו גלגל

[1958] אחד: V397 top

[1959] שבטור השפל לפניו: V397 שהוא לפניו בטור השפל

[1960] ונשארו: V397 נשאר

[1961] כי: V397 שהוא

[1962] שבטור השפל: V397 בשפל

[1963] מן: V397 משל

[1964] שבטור: V397 בטור

[1965] ונכתוב: V397 וכתבנו

[1966] היו: V397 היה לנו

[1967] נחסר ט': V397 om.

[1968] ונשארו: V397 נשארו

[1969] וזו היא הצורה: V397 om.

[1970] תרצה: V397 נרצה

[1971] תגרע: V397 נגרע

[1972] ותשמור: V397 ונשמור

[1973] ותראה: V397 ונראה

[1974] היו: V397 om.

[1975] דע: V397 נדע

[1976] חשבונך: V397 חשבוננו

[1977] היו: V397 היה

[1978] הטור: V397 om.

[1979] הוסף: V397 ה^וסף

[1980] ותעשה: V397 ונעשה

[1981] כמשפט: V397 ~~השפל~~ marg. כמשפט

[1982] החסרנו: V397 חסרנו

[1983] השיבונו: V397 השיבונו אותו

[1984] והיו י' חסרנו ז': V397 om.

[1985] והיו: V397 היו

[1986] החסרנו: V397 חסרנו

[1988] יש: V397 om.

[1989] כן תכון: V397 om.

[1990] והראשונים: V397 והחלקים הראשונים

[1992] השניים: V397 כי השניים

[1993] השפל: V397 שפל

[1994] מהשניים: V397 יחלו לגרוע מהשניים

[1995] יכתבהו: V397 יכתבנו

[1996] העליונים: V397 om.

[1997] יחשבהו: V397 ויחשוב אותו

[1998] מהמזלות: V397 מהמעלות marg. מהמזלות

[1999] אחד: V397 om.

[2000] ויחשבנו: V397 וית^חשבנו

[2001] ל': V397 למעלה marg. למעלות

[2002] וישמר ... יגרע: V397 marg.

[2003] גדולים: V397 הגדולים

[2004] יוסיף: V397 נוסיף

[2005] לעולם: V397 om.

[2006] ממאזני: V397 ומאזני

[2007] יגרע כמשפט: V397 om.

[2008] ויעשה: V397 יעשה

[2009] והשיבה: V397 והשיב אותו

[2010] לחברם: V397 לחבר אותו

[2011] מן המזלות: V397 מהמזלות

[2012] הוסף על מאזני המעלות: V397 marg.

[2013] המזלות: V397 המעלות

[2014] כלל אומר לך: V397 om.

[2015] צורך: V397 צריך

[2016] האחרון: V397 אותו

[2017] שבסוף: V397 בסוף

[2018] מהאחרון: V397 מאותו האחרון

[2019] שבטור: V397 בטור

[2020] שהעליון: V397 העליון

[2021] מן התחתון: V397 מ^התחתון

[2022] אותיות: V397 אותיות סימנים

[2023] ודי לו: V397 ודי לו לכתוב בחלוק והוא צרך לעולם יש לנו לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבון יצא לחשבון אם גלגל עליו עוד לא יתחלק דמיון
ב ג ד ה ו ז
‫0 ב ט ח

[2024] V397 om.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[note 1]

[18]

[19]

[note 2]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[note 3]

[59]

[note 4]

[60]

[61]

[note 5]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

[93]

[94]

[95]

@@ Line 3,112: / Line 3,112: @@
 |
 |-
-|Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days.
+|{{#annot:general|612|UtpS}}Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days.<br>
-|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים
+<math>\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}</math>
+|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים{{#annotend:UtpS}}
 |-
 |
@@ Line 3,124: / Line 3,125: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |11||0
@@ Line 3,131: / Line 3,132: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |&#x202B;אא||0
@@ Line 3,143: / Line 3,144: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |0||11
@@ Line 3,150: / Line 3,151: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |&#x202B;0||אא
@@ Line 3,166: / Line 3,167: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |17||9
@@ Line 3,173: / Line 3,174: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |זא||ט
@@ Line 3,185: / Line 3,186: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |9||17
@@ Line 3,192: / Line 3,193: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |ט||זא
@@ Line 3,206: / Line 3,207: @@
 |
 |-
-|Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast [a distance of] 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his payment?<br>
+|{{#annot:carrying wheat|612|P6Wa}}Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast [a distance of] 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his payment?<br>
 <math>\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}</math>
-|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו
+|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו{{#annotend:P6Wa}}
 |-
 |
@@ Line 3,218: / Line 3,219: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |13||7
@@ Line 3,225: / Line 3,226: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |גא||ז
@@ Line 3,240: / Line 3,241: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |17||11
@@ Line 3,247: / Line 3,248: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |זא||אא
@@ Line 3,278: / Line 3,279: @@
 |
 |-
-|Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width and he will pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width
+|{{#annot:digging a hole|612|4BkY}}Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width and he will pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width
-|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב
+|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב{{#annotend:4BkY}}
 |-
 |
@@ Line 3,289: / Line 3,290: @@
 |style="text-align:right;"|כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון
 |-
-|Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment?<br>
+|{{#annot:digging a hole|612|fhB1}}Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment?<br>
 <math>\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}</math>
-|style="text-align:right;"|רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו
+|style="text-align:right;"|רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו{{#annotend:fhB1}}
 |-
 |
@@ Line 3,305: / Line 3,306: @@
 |-
 |
-:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
 |11||0
@@ Line 3,312: / Line 3,313: @@
 |}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 |-
 |&#x202B;אא||0

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div7={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{2}}}}}$

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div7={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{6}}}}}$

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{60\div7={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{4}}}}}$