Difference between revisions of "ספר המספר / אברהם אבן עזרא"

From mispar
Jump to: navigation, search
(→‎Word Problems)
(→‎Word Problems)
Line 2,744: Line 2,744:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|210||107
 
|210||107
Line 2,751: Line 2,751:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|‫0אב||ז0א
 
|‫0אב||ז0א
Line 2,828: Line 2,828:
 
|
 
|
 
|-
 
|-
−
|Question: four people - one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?
+
|{{#annot:4 partners|661|9sC4}}Question: four people - one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]?
−
|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד
+
|style="text-align:right;"|'''שאלה''' ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד{{#annotend:9sC4}}
 
|-
 
|-
 
|
 
|
Line 2,840: Line 2,840:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|56||18
 
|56||18
Line 2,847: Line 2,847:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|וה||חא
 
|וה||חא
Line 2,862: Line 2,862:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|56||13
 
|56||13
Line 2,869: Line 2,869:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|וה||גא
 
|וה||גא
Line 2,884: Line 2,884:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|56||15
 
|56||15
Line 2,891: Line 2,891:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|וה||הא
 
|וה||הא
Line 2,906: Line 2,906:
 
|-
 
|-
 
|
 
|
−
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:center;"
+
:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|56||17
 
|56||17
Line 2,913: Line 2,913:
 
|}
 
|}
 
|
 
|
−
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:right;"
 
|-
 
|-
 
|וה||זא
 
|וה||זא

Revision as of 06:46, 31 December 2018


ראה ספר מחוקק באמונה‫[1]
ותמצא בו[2] לכל מספר תכונה
אשר חבר בנו מאיר למאיר
קטן שנים וחכם בתבונה‫[3]
ספר המספר‫[4]

Prologue

Numeration
The nine heavenly spheres revolving around the earth בעבור[5] כי השם הנשגב[6] לבדו[7] ברא בעולם[8] העליון[9] תשע עגולות גדולות[10] סובבות את[11] הארץ שהוא[12] העולם[13] השפל
Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers ובעל ספר[14] יצירה[15] אמר[16] כי נתיבות החכמה[17] הם בִּסְפָר[note 1] וְסֵפֶר[18] וְסִפּוּר‫[19][note 2]

והנה הַסְּפָר[20] תשעה[21] מספרים

  • The resemblance of the ranks to the rank of units
  • units – as foundations of all numbers
 כי תשעה[22] סוף כל חשבון[23] ואלה[24] יקראו[25] האחדים[26] שהם במעלה הראשונה‫[27]
  • tens and their resemblance to the units
 כי עשרה[28] דומה לאחד

ועשרים דומים[29] לשנים[30] שהם שני[31] עשרות

the exceptional pronunciation of the number twenty
 והיה[32] ראוי שיקראוהו[33] עֶשְׂרַיִם[34] כאשר יקראו[35] ממאה[36] מאתים ומאלף[37] אַלְפַּים

רק בעבור[38] חבריו הבאים אחריו[39] שהם[40] שלשים[41] עד תשעים נהגו[42] כמנהגם‫[43]

והנה שלשים[44] מגזרת שלש[45] וככה כלם‫[46]
  • hundreds and their resemblance to the units
 והנה מאה[47] דומה[48] לאחד גם[49] לעשרה‫[50]

ומאתים[51] דומה[52] לשנים גם לעשרים‫[53]

  • thousand and upwards
 וככה אלף ורבבה שהם ראשי[54] כללים למספרים[55] הבאים אחריהם[56] שהם[57] א'י'ק' ב'כ'ר‫'[58][note 3]
  • The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle
 והאות על זה[59][note 4] כשתעשה[60] עגול[61][note 5] ותכתוב סביבו[62] תשעה מספרים
Products of nine - I.png
ותכפול תשעה[63] על[64] עצמו והטעם[65] להיותו[66] מרובע ארכו כרחבו תראה זה[67] וככה הוא‫[68]
  • \scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}
 והנה המרובע[69] אחד ושמונים[70] והנה[71] האחד[72] לשמאלו של[73] תשעה[74] שהוא ראש האחדים[75] וח' שהוא[76] כנגד שמונים[77] בכלל לימין תשעה
  • \scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}
 ואם תכפול ט' על ח' יהיה המחובר[78] ע"ב והנה ב'[79] לשמאלו[80] וז' שהוא[81] כנגד[82] ע'[83] לימינו
  • \scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}
 ואם תכפול[84] ט' על[85] ז'[86] יהיה המחובר[87] ס"ג והנה[88] ג'[89] לשמאלו וו'[90] לימינו שהוא כנגד ס'‫[91]
  • \scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}
 ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר[92] נ"ד והנה[93] ד' לשמאלו[94] וה'[95] שהוא[96] כנגד נ'[97] לימינו‫[98]
ובעבור כי חשבון[99] חמשה[100] הוא אמצעי בט' מספרים[101] על[102] כן[103] נקרא חשבון עגול[note 6] כי הוא מתגלגל[104] על עצמו כי מרובעו[105] יש בו חמשה‫[106]
  • \scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}
 וכאשר תכפול[107] ט' על ה'[108] יתגלגל הדבר בעגול[109] כי[110] האחדים יהיו[111] לימין ט'[112] והכללים[113] לשמאלו כי המחובר[114] הוא[115] מ"ה והנה הה'[116] מפאת ימין ט'[117] והכללים[118]לשמאלו שהוא[119] ד'[120] במקום המ‫'[121]
  • \scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}
 וכאשר תכפול ט' על ד'[122] יהיה המחובר ל"ו והנה ג'[123] כנגד שלשים‫[124]
  • \scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}
 וכאשר תכפול ט'[125] על ג'[126] יהיה המחובר כ"ז והנה[127] ב'[128] כנגד עשרים‫[129]
  • \scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}
 וכאשר תכפול ט'[130] על ב'[131] יהיה המחובר י"ח והנה[132] א' כנגד עשרה‫[133]
Hence the checking scales are based on modulo 9 על[134] כן[135] מאזני מספר[136] שהוא כפול[137] על עצמו או על אחר[138] הם[139] ט‫'[140]

The Positional Decimal System
  • The written numerals
 ‫[141]על כן[142] עשו[143] חכמי הודו כל מספרם[144] על תשעה[145] ועשו צורות לט' מספרים[146]

ואני כתבתי במקומם[147] א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'[148]

  • The written ranks and their writing order
  • tens
  • units and tens
 והנה לעולם אם[149] יש בידך[150] מספר[151] אחדים[152] ותחלת[153] הכללים[154] שהם עשרות[155] יכתוב בתחלה[156] מספר[157] האחדים[158] ואחר כך מספר הכלל‫[159]
  • tens
 ואם אין[160] לו[161] מספר האחדים[162] ויש לו מספר[163] במעלה השנית שהם[164] העשרות[165] ישים[166] כדמות גלגל[167][note 7] בראשונה[168] להורות[169] כי אין[170] במעלה הראשונה[171] מספר[172] ויכתוב[173] המספר[174] שיש לו בעשרות[175] אחריו‫[176]
  • hundreds
  • tens and hundreds
 ואם הכלל שלו[177] מהמאות[178] ומהעשרות[179] יכתוב גלגל[180] בראשונה ואחר כך[181] מספר העשרות[182] בשנית ומספר[183] המאות בשלישית‫[184]
  • thousands and upwards
 ואם[185] יש לו מספר[186] אלפים ברביעית[187] ומספר עשרת[188] אלפים בחמישית ומספר מאות[189] אלפים[190] בששית‫[191]
  • Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds
 כי א'י'ק'[192] יחזור[193] ברביעית לאלפים[194][note 8] ובשביעית[195] לאלף[196] אלפים ובעשירית לאלף[197] אלפי אלפים[198] וככה[199] עד אין קץ‫[200]
  • units and hundreds
 ואם יש[201] לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות[202][note 9] יכתוב[203] מספר[204] האחדים[205] בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה[206] בשלישית
  • zero – a placeholder digit
 ועל זה הדרך[207] ישים[208] שנים[209] גלגלים בראשונה[210] או כפי מה שיצטרך עד אין חקר[211] או באמצע‫[212]

Table of Contents
ואחר שהזכרתי זה אזכיר[213] שערי זה[214] הספר[215] ונאמר[216] שהם[217] שבעה‫[218]
  • Chapter One: multiplication of a number by itself or by other; multiplication of one number by two numbers or more; multiplication of multiple numbers by multiple [numbers]
 השער הא'[219][note 10] לכפול[220] חשבון על עצמו[221][note 11] או על[222] אחר[note 12] או כפל[223] חשבון אחד[224] על שנים[225] חשבונות[226][note 13] או יותר[227] או כפל[228] חשבונות[229] רבים על רבים‫[230][note 14]
  • Chapter Two: division of decades by units; two decades by units; large decades by small decades; decades and units by units; including a discussion on the checking of multiplication and division
 השער הב'[231][note 15] לחלק[232] חשבון כלל[233] על פרט[234] או שנים[235] כללים[236] על פרט אחד[237] או כללים גבוהים על כללים[238] שפלים או[239] כללים ופרטים[240] על פרטים[241] גם אדבר על המאזנים[242][note 16] של[243] שער[244] הכפל[245] והחלוק‫[246]
  • Chapter Three: addition of a number to a number; units to decades or decades to decades
 השער הג'[247][note 17] בחבור[248] מספר על[249] מספר[250][note 18] פרט[251] עם[252] כלל[253] או כלל עם[254] כלל‫[255]
  • Chapter Four: subtraction of a number from a number; units from decades or decades from decades; including a discussion on the checking of addition and subtraction
 השער הד'[256][note 19] לחסר[257] מספר[258] ממספר[note 20] פרט[259] מכלל[260] או כלל מכלל גם אדבר[261] על מאזני שער[262] החבור[263] והמגרעת‫[264]
השער הה'[265] על השברים[266] והם על[267] דרכים[268] רבים שלמים על[269] שלמים[270] ונשברים[271] עמהם או שלמים ונשברים[272] עם[273] שלמים[274] ונשברים[275] למיניהם[276] או שברים עם[277] שברים או שברים[278] על[279] שברי[280] שברים[281] או שברי שברים[282] על[283] שברי[284] שברים[285] בין לכפול בין לחלק בין לחבר[286] בין לגרוע[287] ומאזניהם‫[288]
השער הו'[289] בערכים[290] והוא שער נכבד מאד[291] כי ממנו יוכל[292] להוציא[293] רובי[294] השאלות הקשות ורוב[295] הראיות[296] מחכמת[297] המזלות יצאו מזה[298] הערך‫[299]
השער הז'[300] על שרשי[301] המרובעים והמאזנים[302] שלהם כי הם רבים[303] וחכמת המדות תלויה[304] בשער הזה[305] וזה[306] השער[307] חמור[308] מכל השערים[309] ואין[310] כח במשכיל[311] לדעת קדרות[312] המאורות אם לא ילמד[313] זה[314] השער[315] ויתרי[316] קשתי[317] העגול[318] יצאו[319] מהשער הזה‫[320]

Chapter One – Multiplication

 השער הראשון

Shortcuts
  • \scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}
 כבר הזכרתי איך הם[I 1] מעלות המספר[I 2] והנה[I 3] כשיבואו[I 4] לך שנים[I 5] מספרים לכפול[I 6] כלל על[I 7] כלל

בין שיהיה[I 8] על עצמו‫[I 9]
או[I 10] על אחר‫[I 11]
בקש[I 12] דמיונו במעלה הראשונה [I 13]וראה כמה[I 14] המחובר מכפל[I 15] זה על זה ושמור[I 16] אותו‫[I 17]
ואחר כך[I 18] ראה כמה מעלות שני[I 19] החשבונות[I 20] בין שיהיה[I 21] במעלה אחת או[I 22] בשתים[I 23] מעלות ודע כמה המחובר ממספר[I 24] שתים[I 25] מעלות[I 26] וגרע לעולם אחד[I 27] למוסד
ובקש במספר[I 28] המעלה[I 29] הנשאר[I 30] במספר[I 31] השמור‫[I 32]

ועוד אדבר על טעם[I 33] המוסד[I 34] בדברי על סוד האחד[I 35] בע"ה‫[I 36]
  • \scriptstyle30\times200
 דמיון רצינו[I 37] לכפול שלשים על מאתים
והנה[I 38] דמיון שלשים[I 39] שלשה[I 40] ודמיון[I 41] מאתים שנים‫[I 42]

כפלנו ב'[I 43] על ג' והנה[I 44] עלו[I 45] ששה וזהו[I 46] החשבון השמור‫[I 47]
ונשוב לבקש המעלות והנה שלשים מהמעלה[I 48] השנית שהם עשרות[I 49] והנה נקח לו[I 50] שנים‫[I 51]
ובעבור כי המאתים[I 52] מהמעלה[I 53] השלישית כי הם[I 54] מאות נקח לו שלשה[I 55] ונחבר עליו[I 56] השנים[I 57] ויהיה[I 58] חמשה
נחסר[I 59] אחד[I 60] למוסד ישארו[I 61] ארבעה וכבר ידענו[I 62] כי המעלה הרביעית[I 63] היא לאלף‫[I 64]
והמספר השמור[I 65] היה[I 66] ששה[I 67] והנה[I 68] העולה[I 69] ששת אלפים‫[I 70]

  • \scriptstyle200\times700
 דמיון[I 71] אחר[I 72] בקשנו[I 73] לכפול מאתים על שבע מאות
והנה כפלנו שנים על שבעה[I 74] והנה[I 75] י"ד והוא[I 76] השמור

והנה מאתים[I 77] מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן[I 78] מהמעלה השלישית[I 79] נקח[I 80] להם[I 81] ששה ונחסר[I 82] אחד[I 83] הנה[I 84] חמשה
וראש[I 85] המעלה[I 86] החמישית[I 87] עשרת[I 88] אלפים והשמור היה[I 89] י"ד
הנה נקח במספר[I 90] הזה[I 91] עשרת[I 92] אלפים[I 93] ויהיה[I 94] העולה[I 95] מאה[I 96] אלף[I 97] וארבעים אלף‫[I 98][I 99]

ועל[I 100] זה הסדר[I 101] תוכל לעשות עד אין קץ‫[I 102]
  • \scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2
 ואם היו שנים[I 103] מספרים מרחקם[I 104] מחשבון[I 105] כלל כמרחק שנים[I 106] מספרים[I 107] אחרים[I 108] רק[I 109] האחד במגרעת והשני בתוספת‫[I 110]

דע כמה[I 111] מרובע[I 112] מספר[I 113] הכלל[I 114] וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר[I 115] והנשאר הוא[I 116] החשבון[I 117] המבוקש

  • \scriptstyle29\times31
 דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א‫[I 118]
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29\times31&\scriptstyle=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)\\&\scriptstyle=30^2-1^2=900-1=899\\\end{align}}}
 והנה חשבון[I 119] הכלל הוא[I 120] שלשים ומרובעו[I 121] ט' מאות כי שלשה על שלשה[I 122] הם[I 123] תשעה [I 124]והיתרון והחסרון[I 125] הוא[I 126] אחד[I 127] ומרובעו אחד[I 128] חסרנום[I 129] ממרובע[I 130] הכלל[I 131] והנשאר הוא המבוקש והוא[I 132] תתצ"ט‫[I 133]
  • \scriptstyle66\times54
 דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד‫[I 134]
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle66\times54&\scriptstyle=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)\\&\scriptstyle=60^2-6^2=3600-36=3564\\\end{align}}}
 והנה חשבון[I 135] הכלל ס'[I 136] והחסרון והיתרון[I 137] הוא[I 138] ששה והנה מרובע הכלל[I 139] ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע[I 140] החסרון והיתרון[I 141] והנשאר[I 142] הוא המבוקש‫[I 143]
  • \scriptstyle250\times350
 ‫[I 144]דמיון אחר[I 145] המספר האחד ר"נ והמספר האחר[I 146] ש"נ
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle250\times350&\scriptstyle=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)\\&\scriptstyle=300^2-50^2=90000-2500=87500\\\end{align}}}
 והנה הכלל[I 147] הוא[I 148] ש' ומרובעו[I 149] צ'[I 150] אלף נחסר ממנו מרובע[I 151] נ' שהוא[I 152] החסרון והיתרון[I 153] ומספרו[I 154] אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫[I 155]
ועל זה הסדר[I 156] נוכל[I 157] לעשות שאר[I 158] המספרים[I 159] הדומים לאלה[I 160] שהחסרון[I 161] כמו היתרון‫[I 162]
  • \scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2
 ‫[note 21]דרך אחרת נכבדת[I 163] שהוצאתי[I 164] בדרך[I 165] השלישית[I 166] שנקח[I 167] שלישית החשבון[I 168] ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו[I 169] והנשאר הוא המבוקש
  • \scriptstyle3^2
 ‫[I 170]דמיון בקשנו[I 171] לדעת כמה מספר מרובע[I 172] ג‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1^2\right)-1^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1\right)-1=10-1=9\\\end{align}}}
 נקח[I 173] שלישיתו[I 174] שהוא[I 175] אחד ומרובעו[I 176] אחד[I 177] ועשרה[I 178] שהוא הכלל[I 179] הקרוב אליו נחסר ממנו[I 180] מרובע אחד שהוא[I 181] השלישית[I 182] וישאר[I 183] ט' והוא[I 184] המבוקש
  • \scriptstyle15^2
 דמיון אחר[I 185] בקשנו לדעת מרובע ט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle15^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot5^2\right)-5^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot25\right)-25=250-25=225\\\end{align}}}
 ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה[I 186] בכלל הקרוב אליו[I 187] ר"נ[I 188] חסר[I 189] ממנו מרובע ה' שהוא השלישית[I 190] ישאר[I 191] רכ"ה‫[I 192]
  • \scriptstyle24^2
 ‫[I 193]דמיון אחר[I 194] בקשנו לדעת כמה[I 195] מרובע כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}
 הנה[I 196] שלישיתו[I 197] ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו[I 198] במעלה הגבוהה[I 199] ממנו תר"מ[I 200] נחסר ממנו[I 201] מרובע[I 202] השלישית שהוא ס"ד ישאר[I 203] תקע"ו והוא המבוקש
  • \scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]
 ואם לא היה[I 204] למספר שלישית שלמה ויהיה בו[I 205] תוספת אחד‫[I 206]

חסר[I 207] האחד[I 208] מהמספר[I 209] והוצא[I 210] המספר[I 211] המבוקש כמשפט[I 212] שהראיתיך ומה שיעלה[I 213] הוסף[I 214] עליו המספר שיש לו[I 215] שלישית[I 216] והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש

  • \scriptstyle7^2
 דמיון בקשנו לדעת מרובע ז‫'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13\\&\scriptstyle=\left(10\sdot4\right)-4+13\\&\scriptstyle=40-4+13=36+13=49\\\end{align}}}
 והנה אין[I 217] לו[I 218] שלישית חסרנו[I 219] ממנו[I 220] אחד שהוא נוסף[I 221] והנה שלישית[I 222] הנשאר[I 223] שנים ומרובעו ארבעה והנה[I 224] בכלל הקרוב הדומה[I 225] אליו מ'[I 226] נחסר[I 227] ממנו[I 228] ד' שהוא מרובע השלישית[I 229] וישאר[I 230] ל"ו שהוא[I 231] מרובע ו' נחבר אליו[I 232] הו' שיש לו שלישית[I 233] והז' שהיה[I 234] מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר[I 235] מ"ט והוא מרובע ז‫'
  • \scriptstyle22^2
 דמיון אחר[I 236] רצינו[I 237] לדעת[I 238] כמה[I 239] מרובע כ"ב
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43\\&\scriptstyle=\left(10\sdot49\right)-49+43\\&\scriptstyle=490-49+43=441+43=484\\\end{align}}}
 והנה[I 240] חסרנו אחד ונשאר[I 241] כ"א ושלישיתו[I 242] ז' ומרובעו[I 243] מ"ט והנה[I 244] בכלל[I 245] הקרוב[I 246] אליו[I 247] ת"צ[I 248] נחסר ממנו[I 249] מ"ט שהוא מרובע השלישית[I 250] נשארו[I 251] תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם[I 252] כ"ב מחוברים[I 253] שהם[I 254] מ"ג[I 255] יעלה[I 256] המחובר[I 257] תפ"ד וזהו[I 258] מרובע כ"ב
  • \scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]
 ואם היו[I 259] שנים[I 260] בין המספר[I 261] שלנו[I 262] ובין[I 263] המספר[I 264] שיש לו שלישית‫[I 265]

נעשה להפך שנוסיף[I 266] על המספר שלנו[I 267] אחד ונדע כמה מרובע[I 268] מספר[I 269] שיש לו שלישית[I 270] ונחסר[I 271] ממנו כמספר[I 272] שיש לו שלישית[I 273] וכמספר[I 274] שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש

  • \scriptstyle23^2
 דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע[I 275] כ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64-47\\&\scriptstyle=640-64-47=576-47=529\\\end{align}}}
 והנה בעבור שאין לו[I 276] שלישית שלמה[I 277] נוסיף אחד יהיו[I 278] כ"ד ושלישיתו[I 279] ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו[I 280] תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר[I 281] תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם[I 282] נחסר[I 283] מזה המספר[I 284] מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים[I 285] ויהיה הנשאר[I 286] תקכ"ט והוא המבוקש
The number of steps required for receiving the product:
  • units by units - one step    
 ודע כי אם יהיו[I 287] שנים[I 288] מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת
  • units by two-digit number - two steps
 ואם היה[I 289] מספר אחד[I 290] על[I 291] שנים[I 292] מספרים[I 293] אתה צריך לעשות זה פעמים‫[I 294]
  • units by three-digit number - three steps
 ואם על שלשה שלשה‫[I 295]
ועל[I 296] זה המשפט הכל
  • two-digit number by two-digit number - four steps
 ואם הם שני[I 297] מספרים על שני[I 298] מספרים[I 299] אתה צריך[I 300] לעשות[I 301] זה[I 302] ד' פעמים
  • \scriptstyle13\times28
 דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times28&\scriptstyle=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)\\&\scriptstyle=200+80+60+24\\&\scriptstyle=280+84=364\\\end{align}}}
 והנה[I 303] כפלנו י' על כ' שהוא כלל[I 304] גם י'[I 305] על[I 306] ח'[I 307] עלו[I 308] ר"פ[I 309] ואחר[I 310] כפלנו ג' על כ' גם[I 311] על[I 312] ח' עלו[I 313] פ"ד[I 314] והנה[I 315] הכל[I 316] שס"ד
  • two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps
 ואם היה כלל אחד כולל[I 317] שני[I 318] המספרים[I 319] די לך[I 320] בג' פעמים
  • \scriptstyle13\times16
 דמיון בקשנו[I 321] לכפול[I 322] י"ג על י"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times16&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot19\right)+18\\&\scriptstyle=190+18=208\\\end{align}}}
 והנה[I 323] י' כולל שני[I 324] המספרים[I 325] והנה נחבר[I 326] ג' עם[I 327] ו'[I 328] עם[I 329] י'[I 330] והנה יהיה[I 331] מספרינו י"ט נכפול[I 332] אותו[I 333] בעשרה עלו[I 334] ק"צ[I 335] נכפול[I 336] שני[I 337] המספרים הקטנים[I 338] שהם[I 339] ג' על ו' יעלו[I 340] י"ח והנה הכל[I 341] ר"ח‫[I 342]
ויש[I 343] שיספיק לך שני[I 344] פעמים לבדם
  • \scriptstyle24\times26
 דמיון[I 345] בקשנו לכפול[I 346] כ"ד[I 347] על כ"ו‫[I 348]
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24\times26&\scriptstyle=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(20\sdot30\right)+24\\&\scriptstyle=600+24=624\\\end{align}}}
 הנה[I 349] כ'[I 350] כולל שני[I 351] המספרים חברנו ד' עם[I 352] כ"ו שהוא הגדול[I 353] עלה[I 354] המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו[I 355] ת"ר וכפלנו[I 356] הקטנים זה על זה עלו[I 357] כ"ד[I 358] והנה[I 359] המבוקש[I 360] תרכ"ד‫[I 361]
  • three-digit number by three-digit number - nine steps
 ואם[I 362] תכפול ג' מספרים על ג'[I 363] אתה צריך לעשות זה ט' פעמים
ועל זה הסדר[I 364] כל החשבון‫[I 365]
וראה[I 366] אם המספר אחד[I 367] או רבים‫[I 368]
Multiplication of evens and odds
  • even number by even number - the product is even \scriptstyle2a\times2b
 אם[I 369] הוא[I 370] מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫[I 371]
the digit of the units indicates if the number is even
 וטעם הזוג[I 372] הוא באחדים
every product of ten is even
 כי כל כלל הוא זוג‫[I 373]
  • even number by odd number - the product is even \scriptstyle2a\times\left(2b-1\right)
 ואם[I 374] המספר האחד[I 375] זוג[I 376] והשני נפרד[I 377] והטעם[I 378] שאינו[I 379] זוג[I 380] איזה מהם[I 381] שיהיה גם המחובר יהיה זוג
  • odd number by odd number - the product is odd \scriptstyle\left(2a-1\right)\times\left(2b-1\right)
 ואם המספר[I 382] האחד[I 383] נפרד[I 384] וגם[I 385] כן[I 386] האחר[I 387] גם[I 388] המחובר[I 389] יהיה נפרד‫[I 390]

Written calculations
ודע כי אם היו[I 391] המספרים[I 392] הנכפלים[I 393] אלה[I 394] על אלה רבים אתה צריך לכפול[I 395] אותם[I 396] במכתב[I 397] ט' אותיות שהראיתיך‫[I 398]
the multiplicand of which the highest rank is smaller is written on the top line והדרך הסלולה[I 399] שתשים טורי המספר המעט[I 400] עליונים[I 401] ופירוש[I 402] המעט[I 403] בחשבון הכלל ולא[I 404] תחוש מן[I 405] הפרטים
the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול
the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line ואם[I 406] החשבון שכללו קטן[I 407] הם[I 408] יותר מספרים מחשבון שכללו גדול[I 409] שים אותם[I 410] עליונים ולא תחוש
ואלו[I 411] היית[I 412] עושה להפך לא יזיק[I 413] רק יתבלבל מעט[I 414] על התלמיד‫[I 415]
ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון[I 416] והאחרים[I 417] בטור השפל כפול הראשון[I 418] של[I 419] הטור[I 420] העליון על הראשון[I 421] שבטור[I 422] השפל[I 423] והעולה כתוב[I 424] אותו כנגד הטור[I 425] הראשון[I 426] העליון‫[I 427]
ואחר כן[I 428] כפול המספר[I 429] הראשון[I 430] העליון על המספר[I 431] השני השפל וכתוב בטור השלישי[I 432] כנגד המספר[I 433] השני העליון
וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫[I 434]
  • The product of two digits is equal to units and tens
 ואם כאשר תכפול הראשון העליון[I 435] על שכנגדו בשפל ויתחבר[I 436] במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל[I 437] במספרו[I 438] תכתבנו בחשבון שהוא אחריו
ואחר שתשלים[I 439] לכפול החשבון הראשון של הטור[I 440] העליון על כל מספרי[I 441] הטור[I 442] השפל תחל לכפול[I 443] המספר[I 444] השני של הטור[I 445] העליון על מספר[I 446] הראשון של הטור[I 447] השפל והעולה כתבהו[I 448] בטור השלישי כנגד השני העליון
ואחר[I 449] כן תכפול השני[I 450] העליון על שני[I 451] שבטור השפל ותכתבהו[I 452] בטור השלישי[I 453] במספר השלישי[I 454][note 22] שהוא שני[I 455] למספר[I 456] שהחלות[I 457] עתה ממנו‫[I 458]
ואחר[I 459] כן תחל במספר השלישי העליון[I 460] לכפול אותו[I 461] על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו[I 462] כנגד טור[I 463] השלישי שהחילות[I 464] ממנו
וככה[I 465] המשפט[I 466] לכלם[I 467] עד[I 468] אין קץ עם משפט[I 469] הפרט[I 470] להיות התחתון[I 471] והכלל[I 472] שיבא[I 473] אחריו בטור[I 474] השני לו
ואם היה[I 475] גלגל בין בטור[I 476] העליון בין[I 477] בטור[I 478] השפל משפטו[I 479] לכתבו במקום[I 480] הראוי לו[note 23] כמשפט כל המספרים שעליו‫[I 481]
ואחר כן תחל[I 482] לחבר[I 483] מה שעלה[I 484] בטור[I 485] העליון עם השפל‫[note 24]
אם[I 486] אין בו[I 487] עשרות[I 488] תכתוב מה שהוא בחבור‫[I 489]
ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו
ואם יש בו[I 490] יותר כתוב[I 491] היותר[I 492] מבחוץ[I 493] בחבור[I 494] שיש לך[I 495] ובמקום העשרה כתוב אחד שני[I 496] לו[I 497] נוסף
וכן תעשה[I 498] לכל היוצאים[I 499] מהטור[I 500] העליון[I 501] והשפל[I 502] והוצא[I 503] הנותר[I 504] מעשרות[I 505] מבחוץ
ואחר שידעת כמה הוא[I 506] המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו[I 507] כמספר מעלות השנים[I 508] טורים העליונים[I 509] ממנו בחסרון אחד[I 510] תדע[I 511] כי חשבונך אמת‫[note 25]
ואם המספר[I 512] האחרון[I 513] בטור העליון הנכפל במספר האחרון[I 514] בטור השפל ממנו[I 515] יוצא אל כלל[I 516][note 26] יהיה[I 517] מספר[I 518] מעלות הטור[I 519] השלישי[I 520] כמספר שני טורים[I 521] העליונים[I 522] בלי[I 523] מגרעת אחד‫[I 524]
Check: casting out by 9 ‫[I 525]ובחן[I 526] באחרונה במאזנים‫[I 527]
וככה[I 528] תעשה‫[I 529]
חשוב[I 530] כל חשבון[I 531] שתמצא בטור העליון באיזו[I 532] מעלה שיהיה[I 533] כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר[I 534] ט' ט' אם[I 535] יותר[I 536] ט'[I 537] או[I 538] פחות ממנו כתוב אותו לבדו[I 539] והוא[I 540] מאזני הטור העליון
ככה[I 541] תעשה למאזני הטור[I 542] השפל עד שתדע כמה המאזנים[I 543] שלו‫[I 544]
וכפול מאזני הטור העליון[I 545] על מאזני הטור השני[I 546] והנכפל[I 547] הוציאהו[I 548] ט' ט' והנשאר[I 549] יהיה[I 550] עמך[I 551] שמור
ואם מאזני אחד מהטורים[I 552] יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫[I 553]
ואחר[I 554] בדוק מאזני[I 555] הטור השלישי וראה אם[I 556] היה שוה[I 557] לשמור חשבונך[I 558] אמת ואם לאו[I 559] הנה[I 560] טעית‫[I 561]
  • \scriptstyle127\times355
 ‫[I 562]דמיון זה[I 563] רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה
וכתבנו[I 564] קכ"ז בטור העליון[I 565] כזה[I 566] ומספר[I 567] שנ"ה תחתיו אות אות[I 568] במקומו[I 569] כזה‫[I 570]
    א ב ז
    ג ה ה
  ב ג ג ה
  א א ה  
  ו א    
ג ה ה    
המחובר
ד ה 0 ח ה
127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}} 127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}} 127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}  127
355 355 355  355
 35 335 2335
   5   15 
כפלנו[I 571] ז' על ה' עלו[I 572] ל"ה כתבנו[I 573] ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל'[I 574] במעלה השניה‫[I 575]

עוד כפלנו[I 576] ז' על ה' השני התחתון[I 577] עלו[I 578] ל"ה[I 579] כתבנו[I 580] ה'[I 581] במעלה השנית[I 582] תחת ג'[I 583] וג' בשלישית‫[I 584]
עוד כפלנו[I 585] ז' הראשון[I 586] על ג' התחתון[I 587] עלו[I 588] כ"א כתבנו[I 589] א'[I 590] בשלישית תחת ג'[I 591] וב' ברביעית[I 592]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}  127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}  127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}  127
 355  355  355
2335 2335 2335
 15  115  115 
 1    1   61  
עוד[I 593] כפלנו[I 594] ב' האמצעי העליון[I 595] על ה' הראשון[I 596] מן[I 597] התחתון[I 598] עלו[I 599] י' כתבנו[I 600] א' בשלישית[I 601] תחת הא‫'[I 602]

עוד כפלנו[I 603] ב'[I 604] העליון[I 605] על ה'[I 606] השנית[I 607] התחתון[I 608] היו[I 609] גם כן[I 610] י' כתבנו[I 611] א'[I 612] תחת ב'[I 613] ברביעית‫[I 614]
עוד כפלנו[I 615] ב'[I 616] העליון[I 617] על ג'[I 618] התחתון[I 619] והיו[I 620] ו' כתבנו אותו[I 621] תחת א'[I 622] ברביעית‫[I 623]

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}  127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}  127 \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}   127
 355  355   355
2335 2335  2335
 15  115   115 
61   61    61  
 5   55   355  
עוד כפלנו[I 624] א' העליון האחרון[I 625] על ה'[I 626] הראשון התחתון[I 627] עלו[I 628] ה'[I 629] כתבנוהו[I 630] בשלישית‫[I 631]

עוד כפלנו[I 632] א'[I 633] על ה'[I 634] השני[I 635] התחתון[I 636] עלו[I 637] ה'[I 638] כתבנוהו[I 639] ברביעית‫[I 640]
עוד כפלנו[I 641] א'[I 642] העליון על ג' התחתון[I 643] היו[I 644] ג' כתבנוהו[I 645] בחמישית[I 646] אחר ב'‫[I 647]

והנה נשלם הכפל‫[I 648]
חברנו[I 649] כל אלו[I 650] המספרים כל[I 651] מה שהוא ממעלה[I 652] אחת יחד[I 653] הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה[I 654] כתבהו[I 655] אחר המעלה ההיא
\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{45085\ the\ result}}
 ויעלה[I 656] המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫[I 657]
P1050 marg. another method דרך אחרת יותר קצרה עשויה בשליבה נק' בלשונ' ביריקוקלי ונעשית בזה הדרך שאין כותבי' רק האחדי' שבידך ושומרי' העשרו' לקבצם עם העשרו' מהמספר הבא אחריו וכן ממדרגה למדרגה עושין כן
דמ' תרצה לכפול קכ"ז על שנ"ה תכפול ז' על ה' עלה ל"ה כתו' ה' במדרגת האחדי' ושמור בפיך ובלבבך ל' שהם ג' במדרג' השנית

וכפול ז' על ה' עלו ל"ה וג' עשרו' וג' עשרו' היו בידך בין הכל עלו ל"ח כתו' ח' במדרגה השנית ושמור ג' מאות
עוד כפול ז' על ג' שהם עלו כ"א וג' שהיו בידך היו כ"ד מאו' כתו' ד' במדרגת המאות והכ' שהם ב' אלפי' כתו' במדרגת האלפי' כי עתה אין עוד אות בטור השפל לכפול האות הראשון עמו

עו' תשוב תכפול ב' עם ה' עלו י' והיה ראוי לכותבו תחת העשרות בשורה אחרת תחת הראשונה ולפי שהו' ר"ל י' עשרות שהם מאה כתו' עגול במדרגת העשרו' ושמור אחד שהוא מאה

וכפול ב' על ה' השני עלו י' וא' שהיה שמור הנה י"א כתו' א' במדרגת המאות ובידך שמור א' שהוא אלף
עו' כפול ב' על ג' הנה הם ו' וא' הנה ז' כתו' ו' במדרגת האלפי'

עוד כפול א' על ע ה' וכתו' במדרגת המאות ה'

וא' על ה' השני וכתו' במדרגת האלפי' ה'
וכפול א' על ג' וכתו' במדרגת העשרת אלפי' ג'
וראה ועשה

ואח"כ קבץ הכל בדרך קבוץ וכתו' למטה כאשר אתה רואה

Chapter Two – Division

 השער השני

Introduction - Preliminary definitions
Number = a sum of units דע כי[II 1] כל חשבון הוא חברת האחדים
One והאחד[II 2] לבדו לא יקבל שנוי[II 3] ולא[II 4] רבוי ולא חלוק
והוא סבת כל[II 5] רבוי ושנוי[II 6] וחלוק
והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו
  • Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side
 והוא יעשה[II 7] בפאה אחת[II 8] מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו
כי שנים[II 9] לחשבון שלשה[II 10] הפאה[II 11] האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה[II 12] האחרת שהיא אחריו ושתי[II 13] הפאות המחוברות[II 14] ששה שהם[II 15] כפל שלשה
וככה כל מספר
והנה האחד[II 16] אין לפניו[II 17] פאה ואחריו[II 18] פאה אחת שהיא שנים[II 19] והם כפל האחד‫[II 20]
ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי[II 21] שבר
Sexagesimal Fractions
12 zodiac signs ודע כי חכמי המזלות חלקו את[II 22] הגלגל על שנים עשר[II 23] חלקים
reason: 12 lunar months, & 12 is the smallest number that has a half, third, quarter, sixth and half sixth
 ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב[II 24] חדשי[II 25] הלבנה[II 26] ואין חשבון[II 27] קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים[II 28] כמוהו כי יש לו אחדים[II 29] שלמים[II 30] בחציו ושלישיתו[II 31] ורביעיתו[II 32] וששיתו וחצי ששיתו‫[II 33][note 27]
30 degrees in each sign וחלקו המזל לשלשים[II 34] מעלות
reason: 30 has a half, third, fifth, sixth and tenth
 כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית[II 35] ועשירית‫[note 28]
360 degrees of the zodiac והנה עלה מספר[II 36] מעלות[II 37] הגלגל[II 38] ש"ס‫[II 39]
reason: 360 is close to the number of days in one year & it has a half, third, quarter, fifth, sixth, eighth, ninth, and tenth
 וזה המספר[II 40] יש[II 41] לו חצי ושלישית[II 42] ורביעית[II 43] וחמישית[II 44] וששית ושמינית ותשיעית ועשירית[II 45] והנה לא[II 46] יחסר לו רק[II 47] השביעית‫[note 29]
וכאשר תכפול זה המספר[II 48] על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫[II 49]
  • multiplication of degrees by degrees = degrees
 והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות[II 50] על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם[II 51] אחדים[II 52] שלמים
  • division of degrees by degrees = degrees
 וככה כאשר יחלקו[II 53] מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק[II 54] מעלות שהם אחדים שלמים‫[II 55]

Written calculations
ועתה אתן לך כלל[II 56] איך תחלק[II 57] כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים
כתוב אותם[II 58] בטור אחד כל אחד כפי[II 59] מעלתו ואחר כך[II 60] כתוב[II 61] החשבון שתחלק עליו בטור[II 62] אחר[II 63] בין שיהיה[II 64] מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו[II 65] ויהיה כל חשבון[II 66] לפי מעלתו[II 67] כנגד כל[II 68] חשבון[II 69] כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור[II 70] העליון והטור[II 71] השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי[II 72] ביניהם[II 73] בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫[II 74]
וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו[II 75] וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫[II 76]
ולא[II 77] כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל
ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל[II 78] לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור[II 79] העליון
ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור[II 80] השפל[II 81]
וחשוב שנים[II 82] המספרים[II 83] אע"פ שהם כללים חשוב[II 84] אותם[II 85] כמו אחדים[note 30]
והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר[II 86] האחרון מהטור השפל[II 87] מהמספר הראשון בין שיהיו[II 88] בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב[II 89] אחורנית[note 31] ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון
ואם ישאר במספר האחרון[II 90] חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים[II 91] השב אחורנית המספר הנשאר למעלה[II 92] הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל[II 93] אחד עשרה
ואחר כך חלק על המספר[II 94] שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו[II 95] אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני[II 96] מה שעלה בחלוק בראשונה
ככה תעשה תמיד עד שתגיע[II 97] אל המספר[II 98] שהוא פחות מהמחולק עליו[II 99] ואותו הנשאר תכתבנו[II 100] למעלה מהטור[II 101] העליון כפי מעלתו ובשער החמישי[II 102] אפרש לך מה שתעשה[II 103] ממנו
דמיון[II 104] בקשנו לחלק ט' אלפים על ע' בזאת הצורה‫[II 105]
0 0    
ב ו ד  
ט 0 0 0
  א ב ח
    ז 0
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div7={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{2}}}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div7={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{6}}}}} 0    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{60\div7={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{4}}}}} 00  
2    26   264 
9000 9000 9000 9000
 1    12   128
  70   70   70   70

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle128\ the\ result\\&\scriptstyle40\ the\ remainder\\\end{align}}}
 הנה נשים ע'[II 106] בטור השפל[II 107] כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה[II 108] נתן לו[II 109] א' ונכתבנו[II 110] במעלה השנית[II 111] אחורנית מהמספר[II 112] האחרון שהוא בטור הראשון[II 113] כי ע' הוא שני לטור השפל[note 32] ונכתבנו[II 114] באמצע ונשארו לנו[II 115] שנים

נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק[II 116] על ז' והנה נתן[II 117] לו[II 118] ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה[note 33] ונשארו לנו ו‫'
נשיבהו[II 119] אחורנית יהיו[II 120] ששים נחלקנו[II 121] על ז' נתן לו[II 122] ח' תכתבהו[II 123] אחורנית[note 34]
ונשארו לנו ד'[II 124] והם במעלה השנית והם מ'[II 125] והמספר המחולק עליו[II 126] גדול ממנו[II 127]

ואם היה המספר באחדים[II 128] המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב[II 129] מאותו מקום[II 130] וכפי מרחק[II 131] המספר המחולק עליו תשיב[II 132] אחורנית[II 133] ועשה[II 134] כמשפט
דמיון בקשנו[II 135] לחלק כ' אלף על צ' בזאת הצורה‫[II 136]
  0 0    
0 ב ב ב  
ב 0 0 0 0
    ב ב ב
      ט 0
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}  0    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{20\div9={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}  00  
02    022   0222 
20000 20000 20000 20000
  2     22    222
   90    90    90    90

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle222\ the\ result\\&\scriptstyle20\ the\ remainder\\\end{align}}}
 והנה[II 137] בעבור כי מספר[II 138] ט' גדול מב' נשיבהו[II 139] אחורנית[II 140] והם[II 141] כ' נחלקם[II 142] על ט' והנה[II 143] ב' נכתבנו[II 144] במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו[II 145] ונשארו ב‫'[II 146]

נשיבם[II 147] אחורנית במעלה השלישית[II 148] והם[II 149] כ' נחלקם[II 150] על ט'[II 151] והנה[II 152] ב' ונשארו[II 153] ב‫'[II 154]
נשיבם אחורנית במעלה השנית[II 155] והם עשרים נחלק על ט'[II 156] והנם[II 157] ב'[II 158] ונשארו[II 159] ב' שהם עשרים כי הם[II 160] במעלה השנית בטור העליון[II 161] וזה המספר[II 162] פחות ממספרנו[II 163] על[II 164] כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים[II 165] כי לא יצא לחוץ

ואם היה גלגל[II 166] באחד המקומות[II 167] ולא[II 168] תוכל[II 169] לחלק על המספר המחולק[II 170] השב אחורנית מהגבוה[II 171] ממנו
דמיון בקשנו[II 172] לחלק[II 173] ד' אלפים ול"ב על שלשים‫[II 174]
0 0    
א א א  
ד 0 ג ב
  א ג ד
    ג 0
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{4\div3={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{1}}}}}   \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{10\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{1}}}}} 0    \scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{13\div3={\color{blue}{4}}+r{\color{green}{1}}}}} 00  
1    11   111 
4032 4032 4032 4032
 1    13   134
  30   30   30   30

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle134\ the\ result\\&\scriptstyle12\ the\ remainder\\\end{align}}}
 חלקנו ד' על ג'[II 175] ועלה בידינו א'[II 176] וכתבנוהו אחורנית במעלת[II 177] המאות כי הוא שני לו[II 178] נשאר[II 179] לנו[II 180] עוד[II 181] א‫'[note 35]

נשיבהו[II 182] אחורנית במעלת[II 183] המאות[note 36] והיו[II 184] י'[II 185] נחלקנו[II 186] על ג' ועלה בחלוק[II 187] ג' נשאר[II 188] לנו א‫'[II 189]
השבנוהו[II 190] אחורנית במעלת העשרות ויהיו[II 191] י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה[II 192] השנית[II 193] היו[II 194] י"ג[II 195] חלקנו אותו[II 196] על ג' ונתנו[II 197] לו[II 198] ד'[II 199] נשאר[II 200] לנו[II 201] א‫'[II 202]
השיבונוהו[II 203] אחורנית[II 204] במעלה הראשונה[II 205] היו[II 206] י"ב[II 207] שלא[II 208] יתחלקו כי הנשאר[II 209] פחות מאותו[II 210] המחולק[II 211] עליו וכבר[II 212] יצא לחוץ

וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני[II 213] מספרים או מספרים[II 214] רבים על מספר אחד או על שני[II 215] מספרים[II 216] או על[II 217] שלשה או על[II 218] רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה
תן לאחרון שבטור השפל מן הטור[II 219] העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר[II 220] האחרון שבטור העליון ותן[II 221] לראשון מן הטור[II 222] השפל שהוא ראשון לאחרון[note 37] ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר[II 223] הטור השפל שהוא לפני האחרון
ואם לא תוכל לעשות[II 224] ככה שוב וגרע ממספרך[II 225] שנתת לו בתחלה וכשאתה צריך לקחת מהטור[II 226] שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות
ככה תעשה לכל המעלות
ואם[II 227] היה באחת ממעלות[II 228] הטור העליון גלגל השב מן הגבוה[II 229] ממנו אחורנית[II 230] בעשרות וקח ממנו[II 231] מה שצריך לו
ואם היו שני[II 232] גלגלים במעלות[II 233] הטור העליון ובמעלות[II 234] הטור השפל מספרים[II 235] תשיב[II 236] אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר[II 237] הגלגל האחרון[II 238] ותקח מהם[II 239] מה שתצטרך[II 240] ומהנשאר[II 241] תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך[II 242] בכפל[II 243] המספר שהוא[II 244] בטור השפל מן המעלה[II 245] שהיא ראויה לקחת ממנה‫[II 246]
דמיון זה‫[II 247]
  0    
0 א ט  
א ב 0  
ב א ה ד
ח ב א ג
    ב ג
  ג ה ג
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{8\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{2}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{12-\left({\color{red}{2\times5}}\right)=12-10=2}} 1    \scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{2-1={\color{green}{1}}}_{11-\left({\color{red}{2\times3}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}} 1   
2    2    215 
8213 8213 8213 8213
  2    2    2 
 353  353  353  353
ד'ט'[II 248] שכתבנו הוא[II 249] הנשאר[II 250] מן החשבון[II 251] [II 252]שלא יתחלק‫[II 253]

והנה[II 254] כאשר[II 255] חלקנו ח' שהוא[II 256] אחרון בטור העליון על[II 257] ג' שהוא אחרון[II 258] בטור השפל והנה נתנו[II 259] לו שנים ובעבור שהיה[II 260] הג'[II 261] שבטור השפל שלישי[II 262] החזרנו[II 263] לשלישי[II 264] ממנו אחורנית והגיע למעלת[II 265] העשרות ונשאר לנו במספר הח'[II 266] שנים
והנה הנחנו שם אחד[II 267] כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד[II 268] אצל השנים והיו[II 269] י"ב וחסרנו[II 270] ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב‫'[II 271]
נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו[II 272] י"א נסיר ממנו ו'[II 273] לג' שהוא ראשון שבטור[II 274] השפל[II 275] נשארו ה‫'[II 276]
והנה[II 277] לכל הג' השפלים מה שראוי להם

נשוב[II 278] לחלק כי נשאר[II 279] לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫'
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{11\div3={\color{blue}{3}}+r{\color{green}{2}}}}}   \xrightarrow{25-\left({\color{red}{3\times5}}\right)=25-15={\color{green}{10}}}   \scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{10-1={\color{green}{9}}}_{13-\left({\color{red}{3\times3}}\right)=13-9={\color{green}{4}}}}  0  
0    01   019 
12   120  120 
215  215  2154
8213 8213 8213
  23   23   23
 353  353  353

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle23\ the\ result\\&\scriptstyle94\ the\ remainder\\\end{align}}}
 נשיב הא' שהוא[II 280] על הח'[II 281] אחורנית על א' אשר על הב'[II 282] יהיו[II 283] י"א נחלק אותם על ג' שהוא[II 284] בטור[II 285] השפל יהיו ג'[II 286] ונכתבנו[II 287] כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים[II 288] ונשארו[II 289] לנו ב‫'

נשיבם על הה'[II 290] אחורנית[II 291] יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי[II 292] שבטור השפל[II 293] ט"ו ונשארו[II 294] עשרה
נשיב אחד אחורנית על הג'[II 295][note 38] וישארו ט' והא' עם הג'[II 296] י"ג[II 297] ונקח[II 298] מהם[II 299] ט'[II 300] וישארו[II 301] ד‫'[II 302]
וט' על הה'[II 303] כי לא יכולנו[II 304] לקחת בראשונה[II 305] הג' מהי'[II 306] אע"פ שיספיק לו[II 307] כי אינו מעלתו עכשיו[II 308] אע"פ שלקח ממנו בראשונה[II 309] כי בראשונה[II 310] היה[II 311] שלישי[II 312] לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן[II 313] הב'[II 314] א'[II 315] ואחר שהוא שלישי צריך הוא[II 316] שיקח[II 317] ממעלתו[II 318] השלישית[II 319][II 320] והנה[II 321] הנשאר[II 322] ד' ט‫'[II 323]

דמיון אחר[II 324]
  ב    
  ג 0  
0 ה א  
ג ו 0 ה
ט ג ח א
    ג א
  ב ט ו
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{9\div3={\color{blue}{2}}+r{\color{green}{3}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle33-\left({\color{red}{3\times9}}\right)=33-27={\color{green}{6}}} 0    \scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{6-1={\color{green}{5}}}_{18-\left({\color{red}{3\times6}}\right)=18-18={\color{green}{0}}}} 05  
3    36   360 
9381 9381 9381 9381
  3    3    3 
 296  296  296  296
באנו[II 325] לחלק[II 326] ט'[II 327] על שנים[II 328] והנה לא יכולנו[II 329] לתת לו ד' כי לא ישאר[II 330] אלא א' וכאשר תשיבהו[II 331] אחורנית הנה[II 332] עם הג'[II 333] י"ג וט' ד' פעמים ל"ו[II 334] על כן[II 335] נתן לו ג' נשארו[II 336] ג‫'

נשיבם כלם[II 337] אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו[II 338] שם[II 339] ל"ג נתן לט'[II 340] ג' יהיו[II 341] כ"ז נשארו[II 342] ו' על הג‫'[II 343]
נקח[II 344] מהם א'[II 345] ונניח ה' נשיבהו[II 346] על הח' שהוא שלישי[II 347] לאחרון[II 348] שבטור העליון ועם הח' יהיו[II 349] י"ח נתן[II 350] אותם[II 351] כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב[II 352] על הח' גלגל לפי שלא נשאר[II 353] על הח'[II 354] מאומה

\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{10-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=10-9={\color{green}{1}}}}  2   \scriptstyle\xrightarrow{11-\left({\color{red}{1\times6}}\right)=11-6={\color{green}{5}}}  2  
 3    3    30 
05   051  051 
360  360  3605
9381 9381 9381
  31   31   31
 296  296  296
נשוב לחלק שעדין[II 355] לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא[II 356] אחד נכתוב[II 357] זה האחד[II 358] על הו' אחרי הג' ששמנו על הט'[II 359] בחלוק הראשון[II 360] והוא שלישי[II 361] בטור השפל וכבר יצא לחוץ

נקח מן הג'[II 362] שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור[II 363] השפל ט' נשאר על הגלגל א‫'
נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון[II 364] בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו[II 365] ה' על הא‫'

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle31\ the\ result\\&\scriptstyle205\ the\ remainder\\\end{align}}}
 הנה[II 366] הנשארים[II 367] על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה[II 368] ולא יתחלקו יותר[II 369] שהג' שבטור[II 370] השפל הם רצ"ו[II 371] והנלקח לכל אחד ל"א
דמיון אחר
  א 0    
0 ח א ח  
ב ד ד ב  
ג ה ו ד  
ה ד 0 ט ג
      א ח
  ב ט ד ה
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{5\div2={\color{blue}{1}}+r{\color{green}{3}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle^{3-1={\color{green}{2}}}_{14-\left({\color{red}{1\times9}}\right)=14-9={\color{green}{5}}}} 2     \scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{5-1={\color{green}{4}}}_{10-\left({\color{red}{1\times4}}\right)=10-4={\color{green}{6}}}} 24    \scriptstyle\xrightarrow{9-\left({\color{red}{1\times5}}\right)=9-5={\color{green}{4}}} 24   
3     35    356   3564 
54093 54093 54093 54093 54093
   1     1     1     1 
 2945  2945  2945  2945  2945
בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל[II 372] לתת לו[note 39] ב'[II 373] לא[II 374] נוכל[II 375] שלא[II 376] ישאר כי אם[II 377] א' וד'[II 378] והם[II 379] י"ד[II 380] ויש לנו[II 381] לחלק על ט'[note 40] ב' פעמים[II 382] אך נתן[II 383] לו[II 384] א' ונשים אותו[II 385] כנגד ט'[II 386] שהם[II 387] בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים[II 388] בטור[II 389] השפל[II 390] שהוא[II 391] רביעי לה' ראש[II 392] שבטור[II 393] השפל נשארו ג' על[II 394] הה‫'[II 395]

נקח מהם אחד[II 396] ישארו[II 397] ב' על הה'[II 398] נשיבהו[II 399] אחורנית על הד' יהיו י"ד[II 400] יקח[II 401] ט'[II 402] ישארו ה‫'
יש[II 403] לד'[II 404] שבטור[II 405] השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא[II 406] ולא נוכל כי השלישי[II 407] שבטור העליון גלגל הוא[II 408] נשיב[II 409] מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל[II 410] יהיו י' יקח[II 411] ד' ישארו[II 412] ו' על הגלגל
יקח הה'[II 413] שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי[II 414] יקח[II 415] מהרביעי שבטור[II 416] העליון שהוא ט' ישארו[II 417] על ט'[II 418] ד‫'

נשוב[II 419] לחלק כי עדין לא יצא[II 420] והנשארים ג' מן הטור[II 421] העליון שהוא ראשון וחמישי[II 422] ועל הט' ד'[II 423] ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'[321]
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{24\div2={\color{blue}{8}}+r{\color{green}{8}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle^{8-7={\color{green}{1}}}_{76-\left({\color{red}{8\times9}}\right)=76-72={\color{green}{4}}}}  1    \scriptstyle\xrightarrow{44-\left({\color{red}{8\times4}}\right)=44-32={\color{green}{12}}}  1    \xrightarrow{\scriptstyle^{12-4={\color{green}{8}}}_{43-\left({\color{red}{8\times5}}\right)=43-40={\color{green}{3}}}}  10  
08    08    081   0818 
24    244   2442  2442 
3516  3516  3516  3516 
54093 54093 54093 54093
   18    18    18    18
 2945  2945  2945  2945
נשיב[II 424] הב' על הד' והם כ"ד נתן[II 425] לב' שהוא רביעי שבטור[II 426] השפל ח'[II 427] נשארו[II 428] ח' על הד‫'

נשיב[II 429] מהם ז' על הו'[II 430] אחורנית[II 431] וא' נשאר על הד' ויהיו[II 432] ע"ו נקח[II 433] לט'[II 434] ע"ב נשארו[II 435] ד' במקום הו‫'
אם[II 436] נשיב מהם ג'[II 437] ואמת[II 438] כי הד' שבטור[II 439] השפל יוכלו לקחת[II 440] מהג'[II 441] עם הד' שאחריהם[II 442] שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב[II 443] אותו על הג'[II 444] יהיו כ"ג לבד[II 445] ויש לה'[II 446] שיקחו[II 447] מ‫'[II 448]
לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל[II 449] שבטור העליון והם מ"ד יקחו[II 450] הד' ל"ב[II 451] נשארו[II 452] י"ב
נקח מהם ד'[II 453] כי לא יהיה די[II 454] לנו[II 455] בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם[II 456] הג'[II 457] הם[II 458] מ"ג[II 459] יקחו[II 460] הה' מ‫'[II 461]

\scriptstyle\longrightarrow{\color{Violet}{\begin{align}&\scriptstyle18\ the\ result\\&\scriptstyle1083\ the\ remainder\\\end{align}}}
 ישארו[II 462] ג' על[II 463] הג' וח' על הט'[II 464] שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים[II 465] וא' על[II 466] הרביעי שהוא על הד'[II 467] שהוא אלף[II 468] ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫[II 469]
דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים[II 470] וט' מאות וכ"א[II 471] על ז' אלפים ונ"ג[II 472] וזהו הדמיון‫[II 473]
      ד  
0 ה ד ז ד
ו ח ט ב א
        ט
  ז 0 ה ג
\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{68\div7={\color{blue}{9}}+r{\color{green}{5}}}}}   \xrightarrow{\scriptstyle^{9-5={\color{green}{4}}}_{52-\left({\color{red}{9\times5}}\right)=52-45={\color{green}{7}}}}   \scriptstyle\xrightarrow{\scriptstyle^{7-3={\color{green}{4}}}_{31-\left({\color{red}{9\times3}}\right)=31-27={\color{green}{4}}}}    4 
05    0547  05474
68921 68921 68921 68921
    9     9     9
 7053  7053  7053  7053
ז'[II 474] שהוא רביעי[II 475] בטור השפל לא יוכל[II 476] לקחת מו'[II 477] שהוא חמישי בטור העליון ומאחר[II 478] שלא נוכל[II 479] לתת לז' כל[II 480] הצורך‫[II 481]

נשיב אותו[II 482] כלו[II 483] אחורנית[II 484] על הח' ויהיו[II 485] ס"ח הנה[II 486] חלקנו מן הח'[II 487] שהוא רביעי לטור העליון[II 488] נתן לז'[II 489] ט'[II 490] נוציאנו[II 491] לחוץ[II 492] על הג'[II 493] שהוא רביעי בטור[II 494] השפל נשארו[II 495] ה' על הח‫'[II 496]
הנה[II 497] השני לז' לא יקח מאומה[II 498] כי הוא גלגל
יש לה'[II 499] שיקח[II 500] מן ב'[II 501] הרביעי[II 502] בטור העליון שהוא שלישי לחלוק[II 503] לא[II 504] יוכל[II 505] לקחת
נקח[II 506] מן הט' שאחריו ה' נשיבם[II 507] על הב'[II 508] יהיו[II 509] נ"ב[II 510] וד' נשאר[II 511] על הט' והה' מנ"ב[II 512] יקחו מ"ה[II 513] ישארו[II 514] ז' על הב‫'[II 515]
מן[II 516] הז' נקח ג' ונשיבם[II 517] אחורנית על א'[II 518] והם[II 519] ל"א יקחו ג' כ"ז[II 520] נשאר[II 521] ד' על א‫'[II 522]

דמיון אחר[II 523] נרצה[II 524] לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט‫'[II 525]
  0   ג    
  א א ד ו  
0 ז ז ז ג 0
ו ח 0 ד 0 ב
      ג ג ח
    ב 0 0 ט
מספרים על מספרים[II 526] שיהיה[II 527] בטור העליון[II 528] ב'[II 529] גלגלים וכן בטור השפל
נתן[II 530] לב' הרביעי בטור[II 531] השפל ג' מהו' הששי[II 532] בטור[II 533] העליון
הנה[II 534] הגלגל שני[II 535] בטור השפל יש לו שיקח[II 536] מן הח' ולא יקח כלום
והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח[II 537] מן הגלגל[II 538] השלישי בטור[II 539] העליון ולא יוכל[II 540] לקחת
יש[II 541] לט' הראשון[II 542] בטור השפל לקחת[II 543] מד' שבטור העליון לא[II 544] יוכל[II 545] צריכין[II 546] אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו[II 547] נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב[II 548] על הח' ז' והא' שהשיבונו[II 549] אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד[II 550] לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג'[II 551] הם ל'[II 552] על הד‫'[II 553]
נשארו[II 554] ז' במקום ד'[II 555] וגלגל ושנים הראשונים[II 556] שבטור[II 557] העליון וז' שעל הגלגל וז'[II 558] שעל הח‫'
עוד נשוב[II 559] לחלק שהרי לא[II 560] יצא[II 561] נקח[II 562] לו[II 563] ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו[II 564] תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫'
ונשאר א' על הח‫'[II 565]
יש לגלגל שיקח מן הגלגל[II 566] לא יוכל‫[II 567]
ויש לגלגל[II 568] שאחריו[II 569] שיקח[II 570] ממעלתו שהיא[II 571] הז' שעל[II 572] הד' לא[II 573] יוכל
יש לט'[II 574] שיקח[II 575] מן הגלגל[II 576] שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי[II 577] לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא[II 578] יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם[II 579] מעלתו נשיב מן הז' שעל[II 580] הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫'
נשארו ג' על הגלגל וד' על הד'[II 581] לפניו[II 582] וז' על הגלגל שהוא לפני הח'[II 583] וא'[II 584] על הח‫'
נשוב[II 585] לחלק שעדין[II 586] לא יצא לחוץ הנה[II 587] מן הא' לא יוכל לקחת[II 588] האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם[II 589] י"ז נתן לו ח'[II 590] נוציאם לחוץ אחרי[II 591] הג' כי הוא[II 592] רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו
ושם נשאר[II 593] א‫'
הנה[II 594] יש[II 595] לגלגל שיקח[II 596] מן הד' ולא יקח
גם[II 597] יש לגלגל האחר שיקח מן הג'[II 598] שעל הגלגל שבטור[II 599] העליון ולא יקח‫[II 600]
ויש לט' שיקח[II 601] מן הב'[II 602] ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן[II 603] לב' הראשון לגלגל[II 604] אין לו מה שיספיק לו[II 605] כי אין לו אלא[II 606] ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל[II 607] עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל[II 608] בט‫'
ונכתוב[II 609] גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום[II 610] ועל הגלגל שהוא שני לב'[II 611] נשארו ו' וג'[II 612] על ד'[II 613] וא'[II 614] על הגלגל שהוא[II 615] שני[II 616] לח' ואלה נשארו[II 617] שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף[II 618] וג' מאות וס'[II 619] והמחולק עליו הוא אלפים וט‫'
דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו[II 620] מאין[II 621] גלגל
ובראשונה אפרש[II 622] כי לעולם כשיתרחק[II 623] חשבון מחשבון והטעם שיכתב[II 624] גלגל באמצע כדמיון זה[II 625] ג0ב[II 626] [II 627]לא נאמר נשיב הב'[II 628] אל הג'[II 629] או כמה[II 630] שיצטרך[II 631] לפי החשבון[II 632] שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב'[II 633] או האחד[II 634] אל[II 635] הגלגל ואז נחלק כמשפט‫[II 636]
ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫[II 637]
כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫[II 638]
דמיון בקשנו לחלק חשבון[II 639] ט' שביעיות[II 640] על ד' תשיעיות‫[II 641]
        0        
      0 א        
      א ה ה      
    0 ח ו ו      
    א ט ג 0      
    ז ה ה ה ה    
  0 ח ח ו ו ו    
  א ד ט ב ג 0    
  ז ז ה ה ה ה ו  
0 ח ח ח א א ב 0  
א ד ד ד ד ד ד ה ב
ז ז ז ז ז ז ז ז ז
        ז ז ז ח ה
          ט ט ט ט
הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ[II 642] איכה[II 643] תחלק[II 644] אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'[II 645]
First version
תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון[II 646] ותחלה כשתחל[II 647] לחלק תתן לט'[II 648] ז' ותכתבנה אחורנית[II 649] במעלת[II 650] הד' שתחלק[II 651] ממנו שהוא שני לט‫'
והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז'[II 652] ובשלישי[II 653] לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫'
נשוב לחלק נשיב[II 654] הז'[II 655] שהוא בשני אל השלישי אחורנית[II 656] ונחלק[II 657] ממנו[II 658] ונכתוב ז' תחת ז' ששי[II 659] שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז'[II 660] ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה'[II 661] ואחריו ד‫'
נשוב[II 662] לחלק נשיב ז'[II 663] על הח'[II 664] ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה[II 665] שתשאיר[II 666] ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי[II 667] לחלוק‫[II 668]
נשוב לחלק נשיב[II 669] ח' על ה' ונתן ח'[II 670] תחת השמיני[II 671] שהוא ז'[II 672] רביעי[II 673] לחלוק ישאר ה' על ה'[II 674] ואחריו[II 675] ה' ואחריו ה'[II 676] ואחריו ה‫'[II 677]
נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית[II 678] ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר[II 679] ה' ואחריו ה' ואחריו ו'[II 680] ואחריו ב‫'[II 681]
ועוד לא יתחלק כי כבר יצא[II 682] לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב[II 683] והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט[II 684] והמקובל[II 685] ע"ז אלף[II 686] וז' מאות ופ"ה‫[II 687]
וכלל חלוק החשבון ג'[II 688] זיינין וג'[II 689] חיתין וג'[II 690] דלתין[II 691] וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫[II 692]
והכלל כי עם[II 693] כל[II 694] החלוקים ד' חוץ[II 695] מן האחרון שנתמעט עד ג‫'
Second version
לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן[II 696] לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד תניח מהם ז'[II 697] לחלוק שני[II 698] והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על[II 699] הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
נמצא שנשארו[II 700] לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז‫'[II 701]
החלוק השני תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן[II 702] לו ז' כמו כן וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז‫'[II 703]
החלוק השלישי[II 704] תשיב[II 705] ז' לאחור ויהיו ע"ח חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא[II 706] יותר וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז'[II 707] שימהו לאחור אל הה'[II 708] ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו[II 709] לאחור אל ד'[II 710] ויהיו ע"ד וחלקם[II 711] על ט' שלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק הרביעי[II 712] והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד‫'
ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח‫'
חלוק הרביעי[II 713] שים ח'[II 714] אחורנית[II 715] על הה' ויהיו פ"ה תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי[II 716] והח'[II 717] שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם[II 718] על הט'[II 719] השני וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי[II 720] והח'[II 721] שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז'[II 722] ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה‫'
ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה‫'
חלוק חמישי שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה תן מהם ה' על הט' הראשון[II 723] וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'[II 724] תשלח אחורנית אל הה' השלישי[II 725] ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'[II 726] שלחהו[II 727] אל ה'[II 728] הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן[II 729] וישארו י' תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו[II 730] אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן
וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'[II 731]
Check והנה נשלים[II 732] לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫[II 733]
  • casting out by 9
 דע מאזני המספר[II 734] שחלקת עליו בין שיהיה[II 735] אחד או רבים
גם[II 736] דע מאזני המספר[II 737] שעלה בחלוק שכתבת[II 738] בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים
וכפול זה[II 739] על זה האמצעי[II 740] על התחתון ודע כמה נשאר[II 741] על ט' ט'[II 742] והוא השמור אם[II 743] לא נשאר לך מספר שנשאר[II 744] שהוא פחות מהמספר[II 745] שחלקת עליו‫[II 746]
כי[II 747] אם[II 748] נשאר קח[II 749] המאזנים שלו וחבר[II 750] אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת
וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה[II 751] בטור העליון אם[II 752] היה[II 753] שוה למאזני[II 754] השמור תדע כי חשבונך אמת
  • inverse operation - multiplication
 ואם תכפול מה[II 755] שיעלה[II 756] בחלוק על[II 757] המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק[II 758] אז יהיה המחובר שוה למספרי[II 759] הטור העליון וחלוק נכון‫[II 760]
Additional excerpts[II 761] כלל החלוק
אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון[II 762] על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל
ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה
ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות
וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה[II 763] שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו
וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר[II 764] השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים
ואם לא יספיק לך תשיב[II 765] מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף[II 766] עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם
דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג
הנה הט' שבטור השפל יותר[II 767] מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב[II 768] הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג'
והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון
והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון[II 769] כי[II 770] אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫'
ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו[II 771] במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו
נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על[II 772] הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט'[II 773] הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק
הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על[II 774] הב‫'
והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫'
ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫[II 775]
דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ[II 776] על ק"י
לקחנו א'[II 777] מן הא' האחרון העליון[II 778] וכתבנוהו[II 779] במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר[II 780] שהחלות לחלק ממנו
וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון
ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל
ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית
וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל
אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה
וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה'[II 781] והם עשרים שלא יתחלקו‫[II 782]
והנה היוצא בחלוק ק"ג
from here proceeds to the check

Chapter Three – Addition

 השער השלישי‫[III 1]

Sums
כתוב בספרי[III 2] חכמי החשבון כי[III 3] הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים[III 4] שיעברו[III 5] על הסדר עד סוף מספר ידוע יכפול[III 6] אותו על חציו[III 7] בתוספת[III 8] חצי אחד והעולה הוא המחובר
  • \scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{11} k
 דמיון רצינו לדעת כמה הם[III 9] המספרים[III 10] המחוברים[III 11] מא' עד סוף[III 12] י"א
הנה ידענו[III 13] כי חצי י"א ה' וחצי נוסיף חצי אחד הנה[III 14] יהיו[III 15] ו' והנה[III 16] נכפול י"א על ו' יעלו[III 17] ס"ו והוא המחובר‫[III 18]
  • \scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k
 דמיון אחר בזוגות כמה[III 19] המחובר עד סוף[III 20] י"ח
והנה[III 21] לקחנו חציו והוא[III 22] ט' כפלנו[III 23] י"ח עליו ועלו[III 24] קס"ב ועוד[III 25] יש[III 26] לכפול חשבון[III 27] י"ח על חצי אחד יעלו[III 28] ט' חבר אותו[III 29] עם[III 30] קס"ב יעלו קע"א והוא המחובר
ועל אלו שני[III 31] הדרכים[III 32] הולך[III 33] כל חשבון‫[III 34]
דרך אחרת הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר
  • \scriptstyle1+\ldots+11=\sum_{k=1}^{6} \left(2k-1\right)
 דמיון בנפרדים כמה המחובר עד סוף י"א
הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי כפלנו י"ב על ה' וחצי עלו ס"ו וככה המחובר
  • \scriptstyle2+\ldots+18=\sum_{k=1}^{9} 2k
 ובזוגות עד סוף י"ח
הנה חציו הוא ט' הוספנו אחד על י"ח היו י"ט כפלנו י"ט על ט' עלו קע"א‫[III 35]
אמר אברהם[III 36] המחבר
מצאתי דרך אחרת תוסיף[III 37] על מרובע[III 38] סוף החשבון השרש שהוא[III 39] בעצמו[III 40] וראה כמה[III 41] המחובר[III 42] וחצי המחובר הוא המבוקש
דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר[III 43] נוסיף על[III 44] י"א שהוא השרש[III 45] והוא סוף החשבון יעלו קל"ב וחציו ס"ו
ומזה הדרך[III 46] תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה‫[III 47]
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^{n} k=465
 דמיון שאל שואל חברתי[III 48] מספרים[III 49] עד שהגיעו[III 50] למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון
כפול לעולם החשבון[III 51] המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון[III 52] אותו כי אם נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש‫[III 53]
והנה כפלנו[III 54] תס"ה ועלה[III 55] תתק"ל וידוע[III 56] כי המרובע שעבר היה[III 57] תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף[III 58] החשבון
דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k
 דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב
והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו כפלהו יהיו ע"ב הוסיף על זה ו' שהוא השורש עלו ע"ח והוא המבוקש‫[III 59]
שאלה אחרת חברנו כל המרובעים[III 60] שהם עד סוף החשבון[III 61] שהוא[III 62] ידוע כמה המחובר
יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו נשים[III 63] שם[III 64] לאותו המספר[III 65] הידוע ונקראנו[III 66] סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד[III 67] ונכפול[III 68] זה המחובר[III 69] על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^{7} k^2
 דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם[III 70] עד סוף שבעה‫[III 71]
וכבר[III 72] ידענו שהמחובר[III 73] כ"ח ונשוב[III 74] לדעת כמה שתי שלישיות שבעה[III 75] עם תוספת שלישית אחד[III 76] והם חמשה כי שתי שלישיות ששה הם[III 77] ארבעה ויש[III 78] לנו עוד שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד[III 79] והנה נכפול[III 80] על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^{12} k^2
 דמיון אחר כמה המחובר[III 81] מהמרובעים שהם[III 82] עד סוף[III 83] י"ב‫[III 84]
וידוע[III 85] כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיותיו ח' נכפלנו על ע"ח יעלו[III 86] תרכ"ד נחבר[III 87] אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו יעלו תר"נ והוא המבוקש
ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם[III 88] מזה הענין
Additional excerpts
ואני[III 89] מצאתי דרך נקלה לחבור[III 90] המעוקבים
שאם תרצה לידע המעוקבים שהם עד מספר ידוע דע[III 91] המספר המחובר עד סוף המספר ההוא וקח מרובעו והוא יהיה חבור המעוקבים עד סוף החשבון ההוא‫[III 92]
דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה‫'
והנה מספר המחובר עד סוף ה' הוא ט"ו קח מרובעו יהיו רכ"ה והוא יהיה מספר המעוקבים עד ה‫'[III 93]
‫[III 94]ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל והוא כפל האחרון במגרעת הראשון
דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב הם כ"ד בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר
דמיון אחר א' ב' ד' הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר
וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב
כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש
תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו
אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם
ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית
דרך אחרת קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ
  • \scriptstyle\sum_{k=1}^{8} k^2
 ואם יאמר כמה המחובר מהמרובעים עד ח‫'
קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k
 שאלה כמה הוא המחובר מד' עד ט‫'
אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש
  • \scriptstyle\sum_{k=4}^{9} k^2
 ואם עוד ישאל כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט‫'
אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש
ועל הדרך הזה[III 95] תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫[III 96]
ואין צורך להזכיר כל[III 97] זה[III 98] רק אזכיר דרך המאזנים

Written calculations
כשתחבר[III 99] מספר אל מספר בין שיהיו[III 100] רבים אלו ואלו[III 101] שים המספר האחד[III 102] בטור העליון[III 103] כפי מעלותיו[III 104] גם[III 105] שים המספר[III 106] השני כפי מעלותיו[III 107] בטור השפל
אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי
אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל[III 108] מאזני הטור התחתון‫[III 109]
ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי[III 110] אז תדע כי חשבונך אמת
ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫[III 111]

Addition of Sexagesimal Fractions

 ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות
חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות
והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים
גם כל[III 112] ראשון יתחלק לששים עוד[III 113] ויקראו שניים
ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה
ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים
האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫[III 114]
והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים
ובספר[III 115] טעמי הלוחות אפרש זה
והנה ברצותם לדעת[III 116] מקום איזה משרת שיבקשו[III 117] באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה[III 118] בתחלת הטור
ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות [322]אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך
אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים[III 119] אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו[III 120] הטור בעצמו
אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך
ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו[III 121] במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים
ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו
ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו
וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה
ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים[III 122] יכתבם לבדד במקום[III 123] אחר
ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות[III 124] כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת[III 125] שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים
ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות[III 126] העולים עם כל המעלות[III 127] שהיו לך ומה שישארו מן המעלות[III 128] שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד
ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות[III 129] שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד
אז[III 130] יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו
ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה
ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם[III 131] מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה[III 132] הבאה
כי אם[III 133] היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת[III 134] י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים

Chapter Four – Subtraction

 השער הרביעי

Written calculations
לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא
רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים[IV 1] על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת[IV 2] יש להם
וככה תעשה
כתוב החשבון[IV 3] שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ[IV 4] לגרעם[IV 5] בטור השפל
ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים
והנה[IV 6] אם מצאת באחת[IV 7] מן[IV 8] המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר[IV 9] שבטור[IV 10] העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו[IV 11] אחד[IV 12] לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק
דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב‫'
וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים[IV 13] כל אחד ממעלתו[IV 14] ב' מה' וג' מד‫'
ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'[IV 15]
ולעולם[IV 16] נחל לחסר[IV 17] אחורנית[323] כדרך החלוק והנשאר נכתבנו[IV 18] בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל
והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו[IV 19] תחת מעלה הרביעית‫[IV 20]
חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו[IV 21] כי הוצרכנו להשיב אחד[IV 22] אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו[IV 23] גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו[IV 24] ו' רק בעבור כי[IV 25] החשבון הראשון שבטור השפל[IV 26] גדול מן[IV 27] העליון שבטור[IV 28] העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב[IV 29] ה' בטור השלישי והנה היו[IV 30] למעלה י"ב נחסר ט'[IV 31] ונשארו[IV 32] ג‫'
וזו היא הצורה‫[IV 33]
וכאשר תרצה[IV 34] לדעת המאזנים
תגרע[IV 35] מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור[IV 36] הנשאר
ותראה[IV 37] אם היו[IV 38] מאזני הטור השלישי כמוהו דע[IV 39] כי חשבונך[IV 40] אמת
ואם היו[IV 41] מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור[IV 42] העליון הוסף[IV 43] לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה[IV 44] כמשפט‫[IV 45]
דמיון החסרנו[IV 46] א' מב' נשאר א' השיבונו[IV 47] אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז'[IV 48] נשארו ג‫'
והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו[IV 49] י"א החסרנו[IV 50] ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל
עתה נדבר על דרך חכמי[324] המזלות כי יותר צורך יש[IV 51] להם לשער הזה מחכמי החשבון
וכבר הזכרנו כי כן תכון[IV 52] המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים[IV 53] בשלישית[325] והשניים ברביעית
ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים[IV 54] בטור השפל[IV 55] מהשניים[IV 56] בטור העליון והנשאר יכתבהו[IV 57] בטור השלישי כנגד השניים העליונים
ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים[IV 58] אחד יחשבהו[IV 59] ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט
ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם
ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי
ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם
ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות[IV 60] אחד[IV 61] ויחשבנו[IV 62] ל'[IV 63] ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה
ואחר כך יגרע[IV 64] מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם
ואם היו המזלות השפלים גדולים[IV 65] מהעליונים יוסיף[IV 66] לעולם[IV 67] על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט
לדעת המאזנים
יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני[IV 68] השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת
ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט‫[IV 69]
ויעשה[IV 70] למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים
ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה[IV 71] לס' ראשונים לחברם[IV 72] עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט
גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים
ואם לקחת מן המזלות[IV 73] אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות[IV 74] הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט
ועשה במאזני המזלות[IV 75] כמשפט שעשית בכל אלה
ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט
כלל אומר לך[IV 76] דבר שהוא צורך[IV 77] למגרעת
לעולם האחרון[IV 78] שבסוף[IV 79] הטור העליון יהיה גדול מהאחרון[IV 80] שבטור[IV 81] השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון
ואם אין הטורים שוים שהעליון[IV 82] גדול מן התחתון[IV 83] במספר אותיות[IV 84] כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫[IV 85]
‫[IV 86]דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים
דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה
נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי
ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב' נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז‫'
ואחר כן נגרע ג' מד' שהוא ג' שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג‫'
ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫'

Chapter Five - Fractions

 השער הה' הוא שער השברים
ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים
וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון
והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם
ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם
וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים
והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר
והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים
ודברים רבים אין צורך להזכירם
והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים
הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה
והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה
וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה
ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי
וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם
ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק
ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה
ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם
ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים
ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים
כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד
ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי
והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה
וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית
וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית
ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו
כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע
ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל
  • \scriptstyle\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}
 דמיון רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות
והנה המורה ד' לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט' חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו
ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית
  • \scriptstyle\frac{3}{5}\times\frac{4}{5}
 דמיון בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות
והנה המורה ה' לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד' כפלנו ד' על ג' עלו י"ב והוא הנכפל והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית
ואם אמר שברים מב' מינים
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}
 שיאמר כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}=\frac{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]\sdot\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\sdot4\right)\right]}{3\sdot4}=\frac{8\sdot9}{144}=\frac{72}{144}=\frac{\frac{1}{2}\sdot144}{144}=\frac{1}{2}}}
 נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה ועלה בחשבון מחצית אחד שוה
ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב
ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק
דמיון לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים
  • \scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{7}{9}
 שאלה כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות
נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג בכפל ז' על ט' וד' שביעיותיו הם ל"ו כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט כי התשיעית ז'
ונכפול ל"ו על מ"ט עלו אלף ותשס"ד ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט
וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית
ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה
ואם היו שברים מג' מינים
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}
 כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות
קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד וה' ששיות ק"ה וד' שביעיות ע"ב כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ'
ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים
דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית
או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א
ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים
נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה
  • \scriptstyle4\times\frac{3}{5}
 דמיון רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד
והמורה ה' ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות
ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד
נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחד על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים
או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה
  • \scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)
 דמיון רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות כזה
נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם והנה כ"ב שברים ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה
והדרך האחרת לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד
גם השני על הדרך הזאת כ"ח נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו
  • \scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)
 דמיון אחר רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין כזה
נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין ג' על ג' והם ט' וב' על ד' והם ח' ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם
דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד
  • \scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)
 הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות כזה
כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון
גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה
רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה
והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד
ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם
ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה
חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון
ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו
ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו
והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו
דרך אחרת מב' מורים
הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית
ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה
דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו
והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד
ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א
ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק
דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם
נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט
נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש
ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג
או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט
ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם
והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי
ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות
  • \scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)
 דמיון כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית
והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית
נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ'
והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד
וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ
נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו'
ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים: עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי'
ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט
  • \scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)
 דמיון בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד
והנה המורה ל"ה והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד
  • \scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}
 דמיון לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות
והנה המורה ס"ג ושבע תשיעיותיו מ"ט וב' שביעיותיו י"ח חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית
ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים
ונשוב לדבר על חבורם
  • \scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}
 חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה
הנה המורה ל"ה וב' חמישיותיו י"ד וה' שביעיותיו כ"ה נחברם והנה ל"ט נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה
How Much Problem - Money
  • \scriptstyle X+\frac{1}{9}X+\frac{1}{10}X=50
 שאלה חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ'
\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}
 נשים המורה צ' וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט
\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}
 והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}
 נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(41+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(36+5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(40+1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)\right]+\left[4+\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}\right)\right]+\left[4+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left[4+\left(\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}\right)\right]+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=\left(41+\frac{31}{109}\right)+\left(4+\frac{64}{109}\right)+\left(4+\frac{14}{109}\right)\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{31+14+64}{109}=41+4+4+\frac{31+78}{109}\\&\scriptstyle=41+4+4+\frac{109}{109}=41+4+4+1=50\\\end{align}}} והנה נבחן אם זה אמת ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים

ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד
נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם והנה הכל נ' שלמים

שאלה אחרת לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון
תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים
האחד שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית
והדרך האחרת שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית
How Much Problem - Money
  • \scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X=40
 שאלה אחרת ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ' כמה היה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}
 ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם
\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}
 ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}
 הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א
Check: \scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+3+\frac{2}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left[\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}\right]\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(3+\frac{7}{11}\right)+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[36+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[39+\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=39+\frac{11}{11}=39+1=40\\\end{align}}} נבחן זה נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א

והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות
והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים היו לנו ל"ו שלמים ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות
ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים ושתי ששיות )שנים( הם שליש אחד נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם והכל מ'

How Many Problem - Group of People
A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100

\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100

שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה
\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}} והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}} ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם
Buy and Sell Problem
A man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose?

\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100

שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}} נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות
Buy and Sell Problem
A man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?

\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1

שאלה אחרת אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}
 בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז'
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}
 והנה ג' חמישיותיו כ"א
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}
 וד' שביעיותיו כ' והממון היה כ' והליט' י"ב
Buy and Sell Problem
  • Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninth of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?
\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1
 שאלה אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}
 ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{63}}
 והנה המורה ס"ג
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}
 וה' תשיעיותיו ל"ה
\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}
 וד' שביעיותיו ל"ו
  • Check: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}
 ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו
  • If he earned two pešiṭim
\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2
 ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים
\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}
 כפלם על ל"ה יהיו ע'
  • If he earned three pešiṭim
\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3
 ואם אמר ג' פשוטים
\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}
 יכפול על ל"ה ג' פעמים וככה עד סוף החשבון
Buy and Sell Problem
  • Question: a man bought 9/17 parts of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10/19 parts of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally?
\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1
 שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון
common denominator: \scriptstyle{\color{blue}{323}}
 בקש המורה והוא שכ"ג
\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}
 ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}
 וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון והליט' צ'
וזה דבר המגרעת קל הוא כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם
  • \scriptstyle\frac{5}{7}-\frac{4}{9}
 דמיון רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות
המורה ס"ג וה' שביעיותיו מ"ה וד' תשיעיותיו כ"ח חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז
עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות
ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם
ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו
והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית
והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית
וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת
ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב
וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות
ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים
וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה
ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית
ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים
ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו
כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו
כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם
וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית
ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו
ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה
ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים
והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים
והכלל כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו
וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין
וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים
וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים
וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים
והנה אתן לך שנים דרכים נכונים
הדרך האחד במכתב
שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה
וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה
ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו
ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם
ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה
הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים
וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה
חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים
והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז'
והדרך השנית במבטא
שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים
וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד'
ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז'
והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים
והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון
וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה
והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים
וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי
ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם
כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון
וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע
ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק
ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה
וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו

Chapter Six - Proportions

 השער הו' הוא שער הערך
מיני הערכי' על ג' דרכים
האחד ערכי החשבון והם על הסדר
כמו א' ב' ג'
כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים
או ב' ד' ו'
או ג' ו' ט'
והטעם כי הערך בכלם שוה
פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד'
והערך השני ערכי המדות כמו ד' ו' ט' כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט'
כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו
ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד' כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחר
על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי יהיה שוה כעולה בראשונה
וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי ימצא העולה שוה לראשון
דמיון ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב
והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה
וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה
ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון
והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות
והיא חכמה מפוארת מאד כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות
כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון [326]לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון
דמיון ב' ג' ו'
ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו'
דמיון אחר ג' ד' ו' או אם תרצה כ' ל' ס'
והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג'
והנה אם ידעת השנים מספרי' תוכל להוציא השלישי
כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון אחר שתגרע ממנו פי' מהראשון היתרון שיש בינו ובין השני
דמיון הראשון כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי
ובדמיון השני כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב' חלקנו עליו י"ב והם ו' לכל אחד והוא השלישי
ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון
והנה בדמיון הראשון כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה חברנום אל ו' והיו ט' חלקנו י"ח עליו עלו ב' והוא הראשון
ובדמיון השני כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי עלו ג' והוא הראשון
ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי
דמיון הראשון כפלנו ב' על ו' עלו י"ב חלקנו על ח' שהוא המחובר משניהם עלה א' וחצי כפלנוהו עלו ג' וככה הוא השני
ובדמיון האחר כפלנו ג' על ו' עלו י"ח חלקנו על ט' שהוא המחובר משניהם עלו ב' כפלנוהו ועלה ד' והוא המספר השני המבוקש
וככה בערכי המדות אם לא ידענו האחד מן הד' נוכל להוציאו מן הג'
ולעולם נשים שתי הקצוות שהם הראשון והרביעי חברים והשנים האמצעיי' שהם השני והשלישי חברים
והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות איזה מהם שיהיה נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש
ואם לא ידענו אחד מהאמצעיים נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע אז ימצא המבוקש
ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל

Word Problems
ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך
Whole for Parts Problem - Money
Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money?

\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10

שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7=30\sdot7=210}}
 בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם[327] זה על ז' והיו ר"י והוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}
 וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{10:X=107:210}}
 הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה
ונעשה הדמיון כך
0 10
210 107
0 ‫0א
‫0אב ז0א
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}
 כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק'

חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון

  • Replacing lines - the same result
 ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה
210 107
0 10
‫0אב ז0א
0 ‫0א
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(18+1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(14+5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\frac{1}{5}\sdot\left(4+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[3+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[2+\frac{1}{7}\sdot\left(5+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(4\sdot107\right)+67}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{107+67}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{535+67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{495}{107}\right)\right]+\left[3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{174}{107}\right)\right]+\left[2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{602}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{99}{107}\right)+\left(3+\frac{29}{107}\right)+\left(2+\frac{86}{107}\right)=3+3+2+2=10\\\end{align}}}
 ונבחן זה כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט

וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט
גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה נחבר אליהם ס"ז יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו
נחבר החלקים יהיו שנים שלמים נחברם אל השלמים והיו י'

An amount of money - its seventh and its ninth are 7.

\scriptstyle \frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=7

דמיון אחר לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=16}}
 המורה ס"ג והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה
63 16
0 7
גו וא
‫0 ז
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{\frac{7\sdot63}{16}}}=27+\frac{9}{16}}}
 הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו
An amount of money - its seventh and its ninth are subtracted from it and 7 remain.

\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7

ואם הפך הדבר ואמר: חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז'
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{63-16=47}}
 גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה
63 47
0 7
גו זד
‫0 ז
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot63}{47}=\frac{441}{47}=9+\frac{18}{47}}}
 כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{16}{47}\right)-\left(1+\frac{2}{47}\right)\right]=7\\\end{align}}}
 ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי' לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי' ונשארו ז' שלמים
Partnership Problem - For the Same Time
Question: four people - one of them had 11 dinar, the second had 13 dinar, the third had 15 dinar, and the fourth had 17 dinar. They earned 19 dinar. How much should each of them take [from the profit]? שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}
 נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{a_i:56=x_i:19}}
 וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך
56 18
19 0
וה חא
‫טא 0
\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}
 נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫'
עשינו כן בי"ג
56 13
19 0
וה גא
‫טא 0
\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}
 עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫'
עשינו כך בט"ו
56 15
19 0
וה הא
‫טא 0
\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}
 ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫'
עשינו כך בי"ז
56 17
19 0
וה זא
‫טא 0
\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}
 עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים
  • Check: \scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}
 חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם
  • Converting the dinar to pešuṭim
 דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}
 שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו

כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ'

\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}
 והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט
\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}
 גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי'
\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}
 גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים
\scriptstyle{\color{blue}{x_4=17\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=68+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}}}
 גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים
  • Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}\right]+\left[\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}\right]=19\sdot12}}
 נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ'
Purchase Problem – Moneychanger
Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive

\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12

שאלה יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}
 בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{9}=1+\frac{1}{3}}}
 ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו
\scriptstyle{\color{blue}{X=12\sdot\frac{12}{9}=12\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=12+4=16}}
 והנה נוסיף על י"ב פשו' שהוא דינר ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע
  • Check - is easy:
 ולבחון דבר זה קל הוא כי הערכי' נמצאים במהרה
והנה נשים המטבע של שלשה עקר
16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{8}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}
 וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג'
together they are 24 \scriptstyle{\color{blue}{16+8=24}} [which are two dinar]
 והנה בין שניהם כ"ד
\scriptstyle{\color{blue}{3:4=\frac{3}{4}}}
 וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות
16 pešuṭim of coin 4 are 12 pešuṭim of coin 3 which are one dinar: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{4}=\frac{12}{3}}}
 על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד
the total is 3 dinar
 וג' דינ' ממטבע האחד
וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך
Purchase Problem – Moneychanger
The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brought one zahuv and wanted to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally

\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1

דמיון אחר קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=35\sdot9=315}}
 עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}
 וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ'
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}
 נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע
  • Check - is difficult:
 ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים
והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}
 נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה
converting coin 7 to coin 5: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}
 ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה'
converting coin 9 to coin 5: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}
 גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}
 וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' [328]עלו ה' דינ' שוים
\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}
 או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים
converting coin 7 to coin 5: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}
 וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים
converting coin 9 to coin 5: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}
 ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}
 חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}
 ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה
converting coin 5 to coin 7: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}
 ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א
converting coin 9 to coin 7: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}
 גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}
 נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ'
\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}
 ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי'
converting coin 5 to coin 9: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}
 ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז
converting coin 7 to coin 9: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}
 גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}
 וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים
וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר
explanation - the position of the zero [= representing the unknown] עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון
Payment Problem
Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days. שאלה ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים
  • Rule of Four: (working days) : (total days) = (actual payment) : 11 pešuṭim
 והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים
  • the zero is first
 והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה
11 0
17 9
‫אא 0
זא ט
  • the zero is second
 ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה
0 11
9 17
‫0 אא
ט זא
if the greater number of pešuṭim is placed first, then the greater number of working days should be placed second
 כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים
  • the zero is third
 ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה
17 9
11 0
זא ט
אא 0
  • the zero is fourth
 ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה
9 17
0 11
ט זא
‫0 אא
all options are the same
 והכל שוה
Payment Problem - Carrying Wheat
Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast [a distance of] 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his payment?

\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}

שאלה ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו
the rule of four should be applied twice
 ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם
וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון
13 7
19 0
גא ז
טא 0
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{13}=\frac{133}{13}=10+\frac{3}{13}}}
 הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד
ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו
17 11
10 0
זא אא
‫0א 0
ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו
\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}
 שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}
 והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א
  • Rule of Four:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{11\sdot\left(10+\frac{3}{13}\right)}{17}&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(10+\frac{51}{221}\right)}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+\frac{561}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{110+2+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{112+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{10+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=6+\frac{\frac{2329}{221}}{17}=6+\frac{137}{221}\\\end{align}}}
 ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א

נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים
נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א
נחלק קי"ב על י"ז שלמים יעלו ו' פשוטים שלמים ונשארו י' פשוטים שלמים
נשיבם על מנין רכ"א ונחבר אליהם קי"ט הנשארים שהם חלקים מפשוט אחד שהוא רכ"א חלקים ויהיו ט'ב'ג'ב'
נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א

Payment Problem - Digging a Hole
Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width and he will pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב
He will be paid a quarter :\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{17\sdot5\sdot5}{10\sdot10}=17\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{17\sdot}}\frac{1}{4}}}
 אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם
If he had dug a half of the length by the whole width or half of the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment
 כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון
Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and he will pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment?

\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}

רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}
 הנה אנחנו צריכים לערכים ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י
\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}
 גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ
ועתה נעשה דמיון הערכים כזה
11 0
210 120
‫אא 0
‫0אב ‫0בא
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}
 כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט
Pricing Problem - Find the Amount
Question: a man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]?

\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}

שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו'
נעשה דמיון הערך כמשפט הזה
23 7
13 0
גב ז
‫גא 0
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}
 הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת
Pricing Problem - Find the Price
How much will he get for 7 measures?

\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}

ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות
והנה נעשה הדמיון כזה
13 7
23 0
גא ז
‫גב 0
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}
 נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד
Motion Problem – Pursuit
Question: a man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him?

\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)

שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}
 נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום
Give and Take Problem
Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring?

\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2

שאלה אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא
He had \scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}
 האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט
Motion Problem – Encounter
Question: Reuven left his city, walking to Shimon, to his city, on Sunday morning of the first of the month. Shimon left his city on that same day, walking to Reuven's city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven is walking 19 miles a day and Shimon is walking 17 [miles a day]. When will they meet? שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}
 ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום
  • Converting the parts of the day to hours:
 ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין
12 0
9 7
‫בא 0
ט ז
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot12}{9}=\frac{84}{9}=9+\frac{3}{9}=9+\frac{1}{3}}}
 וככה תעשה[329] כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה
another way: \scriptstyle{\color{blue}{12:9=1+\frac{1}{3}}}
 ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו כי תשיעיות היו לנו
\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}
 והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה
  • If we wish to know: how many miles did Reuven walk?
 ואם בקשנו לדעת כמה מילין הלך ראובן
in two days he walked 38 miles \scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}
 כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין
וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך
9 7
19 0
ט ז
‫טא 0
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot19}{9}=\frac{133}{9}=14+\frac{7}{9}}}
 כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות
total miles in \scriptstyle{\color{blue}{2+\frac{7}{9}}} days: \scriptstyle{\color{blue}{38+\left(14+\frac{7}{9}\right)=52+\frac{7}{9}}}
 והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment
A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They all worked during the 20 days and he was sitting and watching over them: how many hours and parts of hours each of them is working a day. Finally, he paid each of them an equal share. How much is the share of each of them?

\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}

שאלה אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה

והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים
ואם שמעון ד'
ואם לוי ג'
והנה בין כלם עבדו הכ' ימים והיה יושב עליהם שומר כותב כמה שעות ביום עבד כל אחד מהם וכמה חלקי שעה והנה באחרונה נתן לכל אחד מהם חלק שוה
נרצה לדעת כמה החלק מכל אחד מהם שלקח

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{20}{\frac{20}{5}+\frac{20}{4}+\frac{20}{3}}&\scriptstyle=\frac{20}{4+5+\left(6+\frac{2}{3}\right)}\\&\scriptstyle=\frac{20}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}\\&\scriptstyle=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}\\&\scriptstyle=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}\\\end{align}}}
 דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד

והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב

ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום
  • Levi:
 והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ'
ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך
47 13
20 0
זד גא
‫0ב 0
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}\\&\scriptstyle=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}
 כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות גם כ"ה חלקים ממ"ז וחלקנו אלה השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום גם נכפול כ"ה חלקים על ד' יעלו מאה נחלקם על מ"ז עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים
  • Shimon:
 ונבקש לדעת כמה עבד שמעון והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות
ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך
47 13
15 0
זד גא
‫הא 0
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}\\&\scriptstyle=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}
 נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים נחבר הד' אל הט"ו כי שלישיות הם יעלו י"ט שלישיות נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים ונקח לאחד הנשאר ד' שעות גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון
  • Reuven:
 ונבקש לדעת כמה עבד ראובן והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות
ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך
47 13
12 0
זד גא
‫בא 0
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{12}{3}\right)\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}\\&\scriptstyle=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}
 נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה עבר ה' ימים גם נכפול הט"ו חלקים על ד' עלו ס' חלקים נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן
\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\right)+\left(6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\right)+\left(5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\right)=20}} וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת
Boiling Problem
A man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must

\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}

שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון
Rule of Four: והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו והנה תעשה הדמיון ככה
  8 6
3 3 0
  ח ו
‫ג ג 0
\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}} והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי
דמיון אחר היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו
וככה הערך
6 2
3 0
ו ב
‫ג 0
כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת
שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}
 נבקש המורה והוא שט"ו
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)=63+45+35=143}}
 והחלקים הנזכרים הם קמ"ג

כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג
וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה
ועל ט' יעלו ל"ה
חברם יחד יעלו קמ"ג ונעשה הערך כך

315 143
0 10
האג גדא
0 ‫0א
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}
 נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג
נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}
 נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב ונעשה הערך כך
0 15
315 172
0 הא
האג בזא
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}
 כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב
לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים ועל זה הדרך
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree?
\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X
 שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}
 נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז' נחסרם מי"ב ישארו ה'
נעשה הערך כך
0 10
12 5
0 ‫0א
בא ה
  • Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}
 הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן
Check: \scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}
 כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר
A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water
\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X+8=X
 דמיון אחר אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'
  • False Position: \scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}
 והנה המורה ס"ג נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז ונעשה הערך כך
0 8
56 47
0 ח
נו זד
  • Rule of Four: :\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{63\sdot8}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}
 הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים
Check:
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]-\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(1+\frac{25}{47}\right)-\left(1+\frac{9}{47}\right)\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}
 ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב' חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח'
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance
Jacob died. Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him. His son Levi also issued a deed according to which a third of his property should be given to him. His son Yehudah too issued a deed according to which a quarter of his property should be granted to him. All of them are writing this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour שאלה יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו

גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו
גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו
ג"כ הוציא יהודה שטר שינתן לו רביעית מממונו
ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות

Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:
  • The sages of Israel - according to the request of each
 והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד
  • The Gentile sages - according to the ratio of each share
 וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד
  • The arithmeticians - considering the property as a whole
 וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד
The division according to the arithmeticians:
\scriptstyle X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120
\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}
 וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית
\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}
 והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה
\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}
 או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג
ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח
Suppose the property is 10 dinar i.e. 120 pešuṭim והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון

ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים

  • Reuven's share
 וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן
0 60
120 125
0 ‫0ו
‫0בא הבא
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}
 כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן
  • Shimon's share
 וזו צורת ערך שמעון
0 30
120 125
0 ‫0ג
‫0בא הבא
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot120}{125}}}
 נכפול הקצוות ונחלק כמשפט
  • Levi's share
 וזו צורת חלק לוי
0 20
120 125
0 ‫0ב
‫0בא הבא
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot120}{125}}}
 נכפול ונחלק כמשפט
  • Yehudah's share
 וזו צורת חלק יהודה
Rule of Four: \scriptstyle{\color{blue}{\frac{15\sdot120}{125}}}
The division according to the Gentile sages: ענין אחר בדרך קצרה
  • Shimon's share = ½ Reuven
 יקח שמעון חצי חלק ראובן
  • Levi's share = ⅓ Reuven
 גם יקח לוי שליש חלק ראובן
  • Yehudah's share = ¼ Reuven
 גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן
Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120
 וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ'
The division according the sages of Israel: ועל דרך חכמי ישראל
  • Yehudah's share =
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}
 יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים
  • Levi's share =
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}\\\end{align}}}
 ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות פי' כי החצי מן הו' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות ת'
  • Shimon's share =
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}
 גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו'
  • Reuven's share =
\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}
 וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד
Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120
 וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ'

Rule of Four in Astronomical Tables
ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים
כי בתקון הלבנה גם בתקון ה' המשרתים טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס'
כי אם היה כתוב בטור הערך ס' יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי או הכתוב בטור השביעי מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם או ראשונים ומעלות הכל יקח וככה בתקון מקום הלבנה
ואם היתה פחותה מס' יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי או השביעי
דמיון יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו
ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה
6 15
40 0
ו הא
‫0ד 0
כפול ט"ו על מ' עלו ו' מאות חלקם על ס' יעלו י' חלקים
ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות גם זה הערך קח מט"ו והנו י'
או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס' קח רביעית מ' והוא י'
דמיון אחר המספר האחד ל' והשני מ"ה
והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי שהם ל' שניים
או נקח הערך מן הל' שהוא חצי ס' ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי
דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג
והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים
וככה יבא בדרך הכפל כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א
ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס' נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי נכפול ג' על כ' יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון נחברם על י' והוא י"א
דמיון אחר המספר האחד כ' והשני כ"ח
והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים
ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס' כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי נכפול ב' על כ' יהיו מ' שניים נחסרם מהראשון אחד יהיו הנשארים ט' ראשונים וב' שניים
דמיון לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט
והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס' נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי נכפלנו על י"ד יהיו י"ד שניים נחסרם מחלק ראשון ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים
דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב
והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב' נכפלם על י"ח יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל
וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב' נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים
ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג' נכפול מ"ב על ג' יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים נוסיף זה על המספר הנזכר יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים
ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות היה הדבר יוצא נכון
ונוכל לעשות הערך מי"ד שנחשוב כי הוא רביעית ס' נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון נכפול כ"ט על כ"ט יהיו כ"ט שניים נחסרנו מן המספר הנזכר ישארו ו' ראשונים
וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים
ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל' הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו
ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל' הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך בין שתהיה אחר המעלה השלמה או למעלה ממנה
ואם מצאת המנה המתוקנת שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון עשה כדרך הכפל שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים
וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם

Chapter Seven - Square Roots

 השער הז' בהוצאת השרשים
כל המספרים הם על שלשה דרכים
האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים
והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו
כמו ט' כי הוא מרובע ארכו כרחבו ושרשו ג'
ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב
כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח'
ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש
והפך הדבר במרובעי' הנשברי'
והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל
והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי'

Integers
והנה נתן בתחלה מאזנים
הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע
ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע
דמיון המרובע קמ"ד והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט' והוא מאזני השרש ת' מאזנים אחרים אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע
ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע מאזנים אחרים אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע
ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע
3) examing the digits of the number:
  • If one of the digits of the number is 1 — one of the digits of the root of this number is 1 or 9
 מאזנים אחרים שהם מאזני צדק אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט'
ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח'
ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו'
ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז'
ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה'
the roots of perfect squares are found in two ways: ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש
1) units - three squares: 1; 4; 9
 ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט'
2) tens - :six squares: 16; 25; 36; 49; 64; 81
 ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן
  • every odd rank functions as the units
 כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה
  • every even rank functions as the tens
 וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית
ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם
וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה
root of the first rank - units

root of its similar in the third rank - tens
root of its similar in the fifth rank - hundreds
root of its similar in the seventh rank - thousands
root of its similar in the ninth rank - tens of thousands
root of its similar in the eleventh rank - hundreds of thousands

 דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג
כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף כי לעולם ידלג מזוג אל זוג
the perfect square closest to a number \scriptstyle a^2+b:

\scriptstyle n<\frac{b}{2a}\longrightarrow \left(a+n\right)^2=a^2+2\sdot a\sdot n+n^2

ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת
the perfect square closest to a number \scriptstyle a^2-b:

\scriptstyle \frac{b}{2a}<n\longrightarrow \left(a-n\right)^2=a^2-2\sdot a\sdot n+n^2

ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק
וראה אם היה המספר כמספר כפל השרש כפול אז תדע כי חשבונך אמת
כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט'
ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות
  • the perfect square closest to 200
 דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200-10^2}{2\sdot10}=\frac{200-100}{20}=\frac{100}{20}=5>4\longrightarrow n=4}} והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות והנה מאה הוא המרבע שעבר ושרשו י' כי כן אמרנו מה שהם במעלה הראשונה אחדי' יהיו במעלה השלישית עשרות נחסר המרבע מחשבוננו ונשארו ק' וכבר אמרנו כי השרש י' וכפלו כ' והנה אם חלקנו ק' על כ' ונתן לו ה' לא ישאר כלום שנוכל לקחת ממנו מרבע מה שעלה בחלוק
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle14^2=\left(10+4\right)&\scriptstyle={\color{red}{200-\left[200-\left(10+4\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(2\sdot10\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(20\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left(100-80-16\right)\\&\scriptstyle=200-\left(20-16\right)=200-4=196\\\end{align}}} והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד'

נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת

והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו' והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל (שורש) מרובע הנמשל כ' כפלנוהו על ד' עלו פ' נוסיף עליו מרובע ד' שהוא י"ו יהיו צ"ו והוא דרך אמת
  • the perfect square closest to 300
 דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20^2-300}{2\sdot20}=\frac{400-300}{40}=\frac{100}{40}=2+\frac{20}{100}<3\longrightarrow n=3}} וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק' והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע והנה אם נתן לו ב' ישאר כ' על כן נתן לו ג'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20-3\right)^2&\scriptstyle=400-\left(2\sdot20\sdot3\right)+3^2\\&\scriptstyle=400-\left(40\sdot3\right)+9^2=400-120+9=280+9=289\\\end{align}}} וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע
והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע
ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר
ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד
ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח'
וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו'
והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד
וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד' וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו'
והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300-10^2}{2\sdot10}=\frac{300-100}{20}=\frac{200}{20}=10>7\longrightarrow n=7}} ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק גם לא נוכל לתת לו ט' כי מרובעו גדול ואפי' ח' כי גם מרובעו גדול והנה נתן לו ז'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+7\right)^2&\scriptstyle=100+\left(2\sdot10\sdot7\right)+7^2\\&\scriptstyle=100+\left(20\sdot7\right)+7^2=100+140+49=240+49=289\\\end{align}}} ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע
גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז
  • the perfect square closest to 1200
 דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200-30^2}{2\sdot30}=\frac{1200-900}{60}=\frac{300}{60}=5>4\longrightarrow n=4}} והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל' וכפלו ס' והנה נחסר המרובע שעבר מן החשבון הנתון והנה המרחק ג' מאות נחלקם על ס' והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע העולה בחלוק נתן לו ד'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+4\right)^2&\scriptstyle=900+\left(2\sdot30\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=900+\left(60\sdot4\right)+4^2=900+240+16=1140+16=1156\\\end{align}}} נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון
ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד והוא אמת בכל המאזנים
  • the perfect square closest to 7500
 דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90^2-7500}{2\sdot90}=\frac{8100-7500}{180}=\frac{600}{180}<4\longrightarrow n=4}} והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(90-4\right)^2&\scriptstyle=8100-\left(2\sdot90\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=8100-\left(180\sdot4\right)+4^2=8100-720+16=7380+16=7396\\\end{align}}} וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו
ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת
וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה
  • the perfect square closest to 23000
 דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{23000-100^2}{2\sdot100}=\frac{23000-10000}{200}=\frac{13000}{200}>50}} והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע [330]שעבר י' אלפים נחסרנו מהמספר הנתון ישארו י"ג אלף נחלקנו על ר' שהוא כפל שרש המרובע הנמשל שעבר והנה נתן לו נ'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{23000-150^2}{2\sdot150}&\scriptstyle=\frac{23000-10000-10000-2500}{300}\\&\scriptstyle=\frac{3000-2500}{300}=\frac{500}{300}>1\longrightarrow n=1\\\end{align}}} נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד
ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א ת' כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחרים אשר כפלת ת'
  • the perfect square closest to 85000
 דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300^2-85000}{2\sdot300}=\frac{90000-85000}{600}=\frac{5000}{600}<9\longrightarrow n=9}} והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(300-9\right)^2&\scriptstyle=90000-\left(2\sdot300\sdot9\right)+9^2\\&\scriptstyle=84600+81=84681\\\end{align}}} והנה יש לו תוספת ת' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת
ושרשו רצ"א
  • the perfect square closest to 200000
 דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200000-400^2}{2\sdot400}=\frac{200000-160000}{800}=\frac{40000}{800}>40}} ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{200000-440^2}{2\sdot440}&\scriptstyle=\frac{200000-\left(400+40\right)^2}{2\sdot440}\\&\scriptstyle=\frac{200000-160000-\left(40\sdot800\right)-40^2}{880}\\&\scriptstyle=\frac{40000-32000-1600}{880}=\frac{8000-1600}{880}=\frac{6400}{880}>7\longrightarrow n=7\\\end{align}}} ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle447^2=\left(440+7\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{200000-\left[200000-\left(440+7\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=200000-\left[200000-440^2-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]}}\\&\scriptstyle=200000-\left[6400-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]\\&\scriptstyle=200000-\left(240-7^2\right)=200000-191=199809\\\end{align}}} וישארו לנו ר"מ נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א

נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע

והשרש תמ"ז
  • the perfect square closest to 600000
 דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}} בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle774^2=\left(800-26\right)^2&\scriptstyle=640000-\left(2\sdot800\sdot26\right)+26^2\\&\scriptstyle=600000+40000-41600+676\\&\scriptstyle=600000-1600+676\\&\scriptstyle=600000-924=599076\\\end{align}}} ואם יחסר מעט מהאמת חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד

וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו
והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת

  • the perfect square closest to 5000000
 דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים
ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5000000-2000^2}{2\sdot2000}=\frac{5000000-4000000}{4000}=\frac{1000000}{4000}={\color{red}{250}>200}}} והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2200^2}{2\sdot2200}&\scriptstyle=\frac{5000000-4000000-\left(2\sdot2000\sdot200\right)-200^2}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{1000000-800000-40000}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{200000-40000}{4400}=\frac{160000}{4400}>30\\\end{align}}} יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות' נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2230^2}{2\sdot2230}&\scriptstyle=\frac{5000000-2200^2-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{160000-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{28000-900}{4460}=\frac{27100}{4460}>6\longrightarrow n=6\\\end{align}}} ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק' והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו'
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2236^2=\left(2230+6\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{5000000-\left[5000000-\left(2230+6\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=5000000-\left[5000000-2230^2-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]}}\\&\scriptstyle=5000000-\left[27100-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]\\&\scriptstyle=5000000-\left(340-36\right)=5000000-304=4999696\\\end{align}}} נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו
ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4999696&\scriptstyle=4000000+999696=2000^2+999696\\&\scriptstyle=2000^2+800000+199696=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+199696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+120000+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+79696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+24000+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot200\right)+\left(2\sdot2000\sdot30\right)+\left(2\sdot2000\sdot6\right)+55696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+40000+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+15696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+12000+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+3696\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+2400+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot30\right)+\left(2\sdot200\sdot6\right)+1296\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+900+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+396\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+360+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+36\\&\scriptstyle=2000^2+\left(2\sdot2000\sdot236\right)+200^2+\left(2\sdot200\sdot36\right)+30^2+\left(2\sdot30\sdot6\right)+6^2\\&\scriptstyle=2236\times2236\\\end{align}}} וככה בדרך כפל השרש על עצמו כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז'

והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו
נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו
נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים[331] יעלו כ"ד אלף נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו
וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים
עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו
והנה כפלו על עצמו מ' אלפים חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו
גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו
ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות' נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו
וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו
נחל מן ל'
והנה כפלו על עצמו תת"ק נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו
נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון

וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד
\scriptstyle a^2\times b^2=\left(a\times b\right)^2 ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר
\scriptstyle{\color{blue}{5^2\times9^2=2025=45^2=\left(5\times9\right)^2}} דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת
וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע
ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו ת' השרש הקטן אל הגדול הוא שרשו ת'
דמיון מה ערך מ"ט אל ק' הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת שרש זה המרובע חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש כי אחד על אחד אחד וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו
דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי' וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו' וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג נעשה מהם ג' שלמים והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז גם נחבר אליהם ד' שביעיות שביעית שהם ד' ממ"ט יהיה הכל שס"א וזהו מרובע י"ט
ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש
דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר
דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון נשוב לחפש היתרוני' והנה היתרון בין הו' ובין הח' ב' ומרובעו ד' והיתרון בין הו' ובין הכ' י"ד ומרובעו קצ"ו היתרון בין הח' ובין הכ' י"ב ומרובעו קמ"ד והנה מרובעי אלה הג' הם שמ"ד נחסרם מהכפול השמור ישארו אלף וקנ"ו והוא המרובע והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר
ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ' והכלל שהכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים
דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני' נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני'

Fractions
עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית ואם יש שם חצי שמינית דע כי יש בשרש רביעית ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת וב' שלישיות על ב' שלישיות שלישית אחת ושלישית שלישית תשיעית וד' חומשי' על ד' חומשי ג' חומשים וחומש החומש והוא המרובע ועל זה הדרך הכל רק הקשה להוציא השרש מהמרובע
ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס'
  • \scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}
 אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}\sdot\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}=\frac{40}{60}\sdot\frac{40}{60}=\frac{\frac{40\sdot40}{60}}{60}=\frac{\frac{1600}{60}}{60}=\frac{26}{60}+\frac{40}{60^2}=\frac{4}{9}}}
 תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}
 כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{4}{9}}
 ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש
הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש
  • \scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}
 דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות
והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו נחלקם על ז' יהיו ב' שביעיות וב' שביעיות שביעית
ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{22}{70}+\frac{60}{70^2}}
 ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה
גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה
  • \scriptstyle\frac{1}{3}\times\frac{1}{3}
 דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית
עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל' כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע
  • \scriptstyle\sqrt{\frac{10}{90}}
 והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע
עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש
וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך
ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת

Integers and Fractions

 ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים
  • \scriptstyle\sqrt{11+\frac{1}{9}}
 דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש
אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים נשיבם ראשונים יהיו ק"כ נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ' והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש
  • \scriptstyle\sqrt{7+\frac{50}{60}+\frac{24}{60^2}}
 דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים
הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים נחלקם על כפל השרש שהוא אחריו והוא ו' ויעלו י"ב נגרעם מג' שהוא השרש ישארו ב' שלמים ומ"ח חלקים והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת וישארו לנו לכפול ד' חמישיות על ד' חמישיות יהיו י"ו חמשיות חמישית נעשה מט"ו ג' חומשין ונחבר אליהם החומש שהיה לנו יהיו ד' חומשין גם חומש החומש והנה ד' חומשין הם מ"ח ראשונים וחומש החומש ב' ראשונים וכ"ד שניים והנה הכל נ' ראשונים וכ"ד שניים וז' שלמים
  • \scriptstyle\sqrt{44+\frac{4}{9}}
 דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות
ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד' נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט'
ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות

Approximations
ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו
  • \scriptstyle\sqrt{20}
 דמיון המספר עשרים
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\frac{60\sdot4}{8}}{60}=\frac{30}{60}=\frac{\frac{1}{2}\sdot60}{60}}}
 והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס'
\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\frac{60\sdot5}{10}}{60}=\frac{30}{60}}}
 ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל'
על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי
ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים
ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית
ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים
או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם
וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון
ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק
רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק
ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר
וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני
ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני
ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב
  • \scriptstyle\sqrt{200}
 בקשנו לדעת שרש מאתים
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}
 והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת
  • \scriptstyle\sqrt{20000}
 ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}
 כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות
  • \scriptstyle\sqrt{2}
 ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{200}&\scriptstyle\approx\frac{1}{10}\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{10}+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(\frac{8}{60}+\frac{34}{60^2}\right)\right]\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{514}{60^2}\right)\approx1+\frac{24}{60}+\frac{52}{60^2}\\\end{align}}}
 נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם

ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים
ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים
נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת

נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש
או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו
ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק
  • \scriptstyle\sqrt{18}
 דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=4+\frac{14}{60}+\frac{33}{60^2}+\frac{33}{60^3}\\\end{align}}}
 והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים
  • \scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}
 ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח
  • \scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}
 ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח
  • \scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=84+\frac{51}{60}+\frac{11}{60^2}\\&\scriptstyle=60\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}\right)+\frac{11}{60^3}=60\sdot\sqrt{2}\\\end{align}
 ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים
ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{60}}{60}=1+\frac{30}{60}}}
 נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים
ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\left(\frac{30}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{30}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{\frac{15}{60}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{30}{60}\right)-\frac{5}{60}=1+\frac{25}{60}\\\end{align}}}
 ויספיק לנו השרש הראשון והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים

ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה'
נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\left(\frac{5}{60}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{25}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{50}{60}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{25}{60^2}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{6\sdot25}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\frac{\frac{150}{17}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{14}{17}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot14}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{\frac{840}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}+\frac{\frac{7}{17}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{25}{60}\right)-\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)=1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\\\end{align}}}
 נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה

ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)-\frac{\left(\frac{8}{60^2}+\frac{49}{60^3}\right)^2}{2\sdot\left(1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{11}{60^3}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+\frac{24}{60}+\frac{51}{60^2}+\frac{17}{60^3}+\frac{54}{60^4}\\\end{align}}}
 ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים
  • \scriptstyle\sqrt{10}
 בקשנו להוציא שרש י'
\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{10-3^2}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}=3+\frac{\frac{60\sdot1}{6}}{60}=3+\frac{\frac{60}{6}}{60}=3+\frac{10}{60}}}
 והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י' והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים
\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\left(\frac{10}{60}\right)^2}{2\sdot\left(3+\frac{10}{60}\right)}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{100}{60^2}}{6+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{3\sdot100}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\frac{\frac{300}{19}}{60^2}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{15}{19}}{60^2}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{60\sdot15}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{\frac{900}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}+\frac{\frac{7}{19}}{60^3}\right)\\&\scriptstyle\approx\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{15}{60^2}+\frac{47}{60^3}\right)=3+\frac{9}{60}+\frac{44}{60^2}+\frac{13}{60^3}\\\end{align}}}
 נשיב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון

ונשיב הכל מערך ג' ויש לנו לחלק ש' על י"ט ועלו ט"ו ונשארו ט"ו
נשיבם שלישיים מערך ס' יהיו תת"ק נחלקם על י"ט עלו מ"ז והנה יש לנו לחסר זה מי' חלקים שהיה לנו הנה נחסר ט"ו שניים גם ט"ו שלישיים יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים

ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים
וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף
ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים
  • \scriptstyle\sqrt{18}\div\sqrt{8}
 שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק
ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק
שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר
אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד
דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד
חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו ידענו כי המרחק מי"ו הוא ג' נשימם ראשונים יהיו ק"פ נחלקם על ח' שהוא כפל השרש שעבר יעלה בחלוק כ"ב ראשונים ל' שניים והנה השרש הראשון ד' שלמים כ"ב ראשונים ל' שניים נקח מרובע החלוק ונחלקנו על ח' שלמים מ"ה ראשונים שהוא כפל שרש הראשון יעלו נ"ח שניים נחסרנו מן השרש הראשון יהיה ד' שלמים כ"א ראשונים ל"ב שניים ואין צורך לדקדקו יותר מזה
ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש
דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד
נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון
חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון
דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א חלקנוהו על החץ עלה ז' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון
דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון
הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר והנה כל היתר ו'
וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון
דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר
דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון
דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר
דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר
ואתן לך דרך כלל בדברי העגול ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג' ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ ועל זה הדרך כל החשבון
שאלה אם אמר החץ ב' חלקים זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך
600 20
100 0
‫00ו ‫0ב
‫00א 0
והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים ומספר זה הוא הכולל שני המרובעים ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' ב' ערך ג' ב' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב'
ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקה מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים דרך להוציא החץ מהיתר גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ
דמיון אמר כי היתר ו' נקח מרובע חציו שהוא ט' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד' נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ
להוציא קו העגול מן קו האלכסון
חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב
והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים
וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר
ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים
וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח
וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים
ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש בקו הסובב וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אלי' ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו
וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה
והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש
ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול
והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון
ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד
דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בששית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ
וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה
ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' והנה הנמשלים ב' וג' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו' נחסר אחד למוסד ישאר ה' ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה
אך עשו כן כדי להקל על התלמידים
תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה

ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא



Abziehen (מן), חסר (מן) גרע addieren חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) Addition חבור Arithmetik חכמת המספר, חכמת החשבון Arithmetiker חכמי המספר, חכמי החשבון Astronomen חכמי המזלות Astronomie חכמת המזלות Aufgabe שאלה ausrechnen הוציא ausziehen (z. B. Wurzel) הוציא Beispiel דמיון Bogen קשת Bruch שבר Centrum נקודה Decimen עשיריים Dekade מספר) כלל) Differenz מרחק (מן) Dividendus (מספר) המחולק dividieren חלק (על) Division חלוק Divisor (מספר) המחולק עליו Doppelbruch שבר השבר Doppelte כפל Dreieck משולש Dnrchmesser אלכסון Einer פרטים, אחדים Figur צורה Flächeninhalt שברים ganz שלם Geometrie חכמת המדות gerade Zahl מספר זוג gesucht מבוקש gleich שוה gleichschenklig שוה השוקים Grad מעלה herauskommen עלה, יצא Kreis עגול Messkunde חכמת המדות Million אלף אלפים Minuten ראשונים Mittelpunkt נקודה Multiplikation כפל multiplizieren כפל (על) Musik חכמת הנגינות Nenner מורה Null סיפרא, גלגל Oktaven שמיניים Paarzahl מספר זוג Peripherie הקו הסובב Pfeil חץ Primzahl מספר ראשון Probe מאזנים Probezahl מאזנים Produkt המחובר Proportion (s.Verhältnis) ערך Quadrat מרובע Quadratwurzel שרש מרובע Quarten רביעיים Quinten חמישיים Quotient היוצא בחלוק rechnen חשב Rechnung חשבון Rest הנשאר Resultat העולה, היוצא Schema דמיון Schenkel שוק Sehne יתר Seitenzahl פאה Sekunden שניים Septimen שביעיים Sexten ששיים Stelle מעלה Sternknnde חכמת המזלות Stufe מעלה subtrahieren חסר (מן), גרע (מן) Subtraktion חסור, מגרעת Summe סכום, מחובר Teil חלק teilen חלק (על) Terzen שלישיים Überschuss תוספת, יתרון überschüssig נוסף ungerade Zahl מספר נפרד unpaar נפרד verdoppeln כפל vervielfältigen כפל Verhältnis ערך arithmetische Verhältnisse ערכי החשבון geometrische Verhältnisse ערכי המדות harmonische (musikalische)Verhältnisse ערכי הנגינות Viereck מרובע Wurzel שרש Zahl חשבון, מספר Zahlenlehre חכמת החשבון, חכמת המספר Ziffer אות, חשבון, מספר zusammengesetzte Zahl מספר מורכב


Additional Excerpt

F14649 ל"ז1

שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים

אמר אחד מהם אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם
אמ' השני אני אתן מה שבידי ואתם שליש שניכם
ענה השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית שניכם
כמה יש ביד כל אחד ואחד

תשובה נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב
והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז יעלו כ"ט
תסיר מהם הי"ז ישארו י"ב נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים
וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים
וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו היו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני
וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי
דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן
והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים
המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה' הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה' ר"ל ג' חמישיותיו
והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג' הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו
וככה ערך י' אל י"ו הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י'
דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה או מרובע ארוך כזה
על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים
וכשתכפול השברים על השלמים כאמרנו כפול ד' על חצי הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה
כפול שברים על שברים כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית
וכאשר נכפול שלמים על שלמים כאמרנו כפול ד' על ד' יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב' יהיה מרובעו ד'
ככה הענין בשברים על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר
אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב כי לעולם הגדול נחלק על הקטן כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול
ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו
דמיון חלקנו י"ו על ב' עלה ח' הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב' אם כן יהיה ארכו ח'
ואם חלקנו שלמים על שברים כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד
ועל כן נחלקנו שברים על שברים ממינם יהיו שלמים
כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי
על כן כשנחלק מעלות על מעלות או על ראשונים או על שניים או על איזה חלקים שנרצה יצא בחלוק מעלות שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב
ואם חלקנו ראשונים על שניים יצא בחלוק מעלות גם כן
כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות
ואם תחלק הקטן על הגדול ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק
שאלה שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם

נרצה לדעת כמה ביד כל אחד

תשובה שמחיר הדג למעלה מי"ב הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג יהיה כ"ד פשוטים ומחצה
הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון
ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני
ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי
ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה מחובר עם המחיר
וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר
ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג או מחיר דבר קנוי
דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד
נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד'
וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג
והנה המורה ד' כמו שאמרנו נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון
והב' שליש וד' יהיו ו' והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני
הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך
וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים
ודמיון לשלשה ככה שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה
וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי וככה מחיר הדג
אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה
וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר
וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית וכן עד אין קץ
שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד
תשובה דע כי דמי הדג דמי הדג היו י"ז פשוטים והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג
וכיצד הוצאת החשבון נבקש תחלה המורה וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד'
אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה
אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו וישאר ג' תמצא שהוא ו'
וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב ונמצא שעולין כ"ט
עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' וזהו ממון הראשון
עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח תוציאם מכ"ט וישארו י"א והוא ממון השני
עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי
וכולם על זה הדרך
חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר
אלה שמות האצבעות גודל אצבע אמה קמיצה זרת
פרק אמצעי של זרת קרוי א'
אמצעי של קמיצה קרוי ב'
אמצעי של אמה עמהם קרוי ג'
כשתסיר הזרת קרוי ד'
כשתסיר הקמיצה קרוי ה'
כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו'
זרת שוכב קרוי ז'
קמיצה עמו קרוי ח'
אמה עמהם קרוי ט'
הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט'
גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק'
כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י'
גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל'
גודל על אצבע מ'
גודל על הכף קרוי נ'
פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס'
גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע'
פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ'
אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ'
עד כאן ביד ימין
וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה אלף
כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק'
גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר'
שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש'
גודל על אצבע קרוי ת'
גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים
כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך
והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע
שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס'
תשובה נשים המורה והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה
עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת
וככה תעשה כפול ס' על כ' יעלו ת"ר תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו שברים וזה חלק בעל השליש
עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט והוא חלק בעל הרביע
עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח והוא חלק בעל החומש
והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס'
וכן כל כיוצא בזה
ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו'
שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' ונש' ונשארו עשרה

כמה הוא הממון

תשובה נאמר כי השאלה היא כ"ד
נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י'
נסיר ב' מי' ונשארו ח' ועדיין לא יצא אמתי
אם כן נעשה הרביע ובתחלה נעשה המורה והוא שנכפול ג' בד' ויעלו י"ב והוא המורה
נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים והם

המורה שהוא י"ב
ומה שנשאר ממנו אחר הסרת שלישיתו ורביעיתו שהם נשארים ה'
והג' הידוע הוא הי"ב של השאלה
והד' נעלם

מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים
ואם תבדוק תמצאנו אמתי
שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות ותשאירו לי ככר לחם אחד

יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות

תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר
שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר

כמה בהמות היו לו מכל מין

תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים

נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים
הרי י"ו עמרים
נתן לח' החמורים ד' עמרים הרי כ'

שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט

כמה לקח מכל מין

תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים הרי ק' עופות וק' פשיטים
שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך

והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח
והוא השיב לו אכניסך לגן ללקוט על מנת שתתן לי מחצית התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח ולא ישאר בידך אלא אחד
והאיש אמר לו כן דברת
נכנס ומצא שוער שני ואמר לו הכניסיני בגן השיב השוער על מנת שתתן לי חצי התפוחים אשר תוציא וחצי תפוח יותר ולא יתחלק שום תפוח
נכנס עוד ומצא שוער שלישי והשיב כאשר השיב השוער השני ואז נכנס בגן וליקט תפוחים ונתן לכל אחד כפי דברו ונשאר בידו תפוח אחד
א"כ כמה תפוחים לקט מן הגן

תשובה מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח מזה ידענו שליקט נפרדים
ועתה נוציא מספרים הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו

אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני

נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי
נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט
[נכפלם] ועולים ט"ו עתה נ
כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה
קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה
דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות הנה הקוטר ז'
כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת
וכל זה בעגולה השטחית
אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר על כל הקו המקיף ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור
דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד והוא תשבורת הכדור
ולדעת שטח כל הכדור נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש
כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר
קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך
דמיון תרצה למצוא שורש ט'
קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט'
דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו
קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו
שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית
ונעשה החשבון ככה נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה
עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו
עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות
ז'ל'ל ש'ל'ע'

Notes
  1. ↑ Mo marg. פי' ספר כתב הלשון ספר הדבור; P1052 top במשמע' שפה
  2. ↑ וְסִפּוּר: P1052 top מניי'
    סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: B com ביאור ההקדמה הנזכרת. סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר פי' כי הדבור אצל ציור הלב והרעיון בצורה הנראת כמראה אצל עצם הדבר אשר היא צורה לו כי הציורים הם בשכלו נמצאים והציור הוא צורת עצם הדבר והדבור חקוי הציור והמכתב חקוי הדבור והם ספר וספר וספור. ובעל ספר יצירה לא זכר מציאות העצם שהוא העקר והקודם אבל השלשה הנמצאי' בנתיבות החכמה כך פי' אדונינו מאור הגולה החבר הידוע ר' משה בר' שמואל בן תבון ז"ל
  3. ↑ P1052 marg. איק בכר גלש הא' מן איק הוא ראשו' ל[אחדים] והיו' הו' ראשו' לעשריו' והקוף הו' ראשו' למאו'
  4. ↑ והאות על זה: B marg. ר"ל היות כל מספר סובב על ט'; B com. האות על זה. ר"ל האות על היות כל מספר סובב על ט'; W194 marg. כלומר על היות כל מספר סובב
    Mu43 פי' והאות על היות כל מספר סובב על ט' והוא תכלית כל מספר כי כש[תכפ]ול ט' על כל המספרים שמא' עד ט' לעולם המחובר ט' לפי מספר האותות הצורה זל וזה א'וח' וזה ב"ז ג"ז ד'
  5. ↑ כשתעשה עגול: B. com כשתעשה עגול וכו'. וכן היה יכול ליתן הבדל אחר כי כשתכפול ט' על עצמו או על ח' או על ז' או על ו' תמצא האחדי' שבמקו' העשרות יתרים במספרם מן האחדי' עצמם. ומה' ולמעלה וה' בכלל הדבר בהפך ר"ל שהאחדים עצמם יתרים על העשרות וזה כי ט' על ט' הם פ"א הנה ח' שהוא עשרות יתר על א'. וט' על ח' ע"ב הנה ע' שהם עשרות יתרי' על ב' שהם אחדים. ומהחמשה ולמטה יהיו האחדים עודפי' על העשרות
  6. ↑ נקרא חשבון עגול: B com נקרא ה' חשבון עגול. ר"ל שימצא במרובעו ואע"פ שבששה ימצא כן אמנם ששה לא ישמור מרובעו במעוקבו כי כשתכפול ו' על ו' יעלו ל"ו ואחר תכפול ו' על ל"ו לא ישאר הל"ו בצורתו. אך ה' פעמ' ה' שהוא כ"ה אם תכפלם על ה' ישמור צורתו עצמו ויעלה קכ"ה וזהו הכפל הגמור כי אחר שכפלנו ארכו על רחבו שהוא השטח נכפלנו בעמקו ונחלק הגבוה לה' חלקי' שוים שכל אחד ה' על ה'
  7. ↑ כדמות גלגל: W152 marg. היינו שנקרא בימינו אלה אפס או נול ותמונתו 0
  8. ↑ כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים: B com כי אי"ק יחזור באלפים. אי"ק הוא סוג לכל המספרים כי כל מספר הוא אם א' או י' או ק' כי אלף הוא באחד וי' אלפי' ישובו לי' וק' אלפי' ישובו לק'; P1050 marg. וככה נקרא כל אותיות שתמצאם כתו' זו לפני זו כתו' איק בכר גלש כי א' מורה אחדי'. י' מורה עשרו'. ק' מאות. ב' אלפי. כ' עשרת אלפי'. ר ק' אלפי'. ג' אלפי אלפי'. ל' י' אלפי' אלפי'. ש' ק' אלפי אלפי' וכן עד עולם. וראה ועשה
    א י ק ב כ ר ג ל ש
    9 8 7 6 5 4 3 2 1
    וכן אם תמצא מספר אחר תקראהו לפי זה הסדר כגון כזה
    א י ק ב כ
    1 9 7 5 3
    וכן אחר כזה
    א י ק ב כ ר ג ל
    9 7 0 5 4 0 2 0
    זהו סדר הקדימה שנלמדת ראשונה
  9. ↑ W152 היינו האפס באמצאו למשל 501 וכן הלאה
  10. ↑ הכפל: B marg. מולטיפליקארי
  11. ↑ לכפול חשבון על עצמו: B com לכפול חשבון על עצמו. כמו כ"ה על כ"ה
  12. ↑ או על אחר: B com או על אחר כמו כ"ה על כ"ד
  13. ↑ או לכפול חשבון אחד על שנים חשבונות: B com או חשבון אחד על שנים. ככפל עשרות על מאות ועשרות
  14. ↑ או רבים על רבים: B com או רבים על רבים. כמו אחדי' עשרו' ומאות עם אחדי' עשרו' ומאות
  15. ↑ החלוק: B marg. פארטירי
  16. ↑ על המאזנים: B com על המאזנים ר"ל האות המעיד המורה על אמתת הכפל או החלוק וחלופו
  17. ↑ החבור: B marg. סומארי
  18. ↑ לחבר מספר אל מספר: B com לחבר מספר על מספר. כגון שתרצה לחבר יחד מספרי' רבי' במספרי' רבי' נכתוב אלו המספרי' בשורות שורות ונחבר האותיו' ביושר כאלו היו אחדים והעולה על עשר אם אין בו אחדים נכתוב גלגל ונשמור א' ואם יש עמו אחדים נכתוב האחדי' ונניח הכלל ונשמרהו. כמו שיתבאר במקומו
  19. ↑ החסור: B marg. סוטְרַארֵי
  20. ↑ לחסר מספר ממספר: B com לחסר מספר ממספר. כלו' לגרוע מספר ממספר אחר רב ממנו ולדעת הנשאר
  21. ↑ W152 marg. לחזור על הטעם של [הטענה] דרך כזה
  22. ↑ במספר השלישי: V398 marg. פי' במעלה השלי'
  23. ↑ V398 marg. פי' להכיר מה שבא אחריו מן המספר באיזה מעלה היא
  24. ↑ P1051 marg. פי'ק' ר"ל מכפילת הטור העליון עם השפל
  25. ↑ V398 marg. בספר אחר ראיתי הדרך אחרת
  26. ↑ יוצא אל כלל: Mo30 marg. ר"ל מגיע עד מדרגת העשרות
  27. ↑ P1051 marg. אינו מן הספר; V398 marg. ו' ד' ג' ב'
  28. ↑ V398 marg. ט"ו י' ו' ה' ג'
  29. ↑ V398 marg. ק"פ ק"כ צ' ע"ב ס' מ"ה מ' ל"ו
  30. ↑ P1051 marg. פי' ק' ואחר כך תמצא אמתתם במעלתם
  31. ↑ P1051 marg. פי' ק' מהמספר האחרון שבטור העליון
  32. ↑ Mo30 marg. ר"ל כשנתחיל מהאחדים
  33. ↑ P1051 marg. פי' ק' פי' שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק
  34. ↑ P1051 marg. פי' לפני הנכתב שנית שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק
  35. ↑ P1051 marg. ק' פי' על ד'
  36. ↑ P1051 marg. פי' נחשוב אותו עשרה
  37. ↑ ראשון לאחרון: Mo30 marg. ר"ל קודם האחרון
  38. ↑ P1051 marg. פי' ק' כדי שיתחלק עליהם ג' ראשון שבטור השפל ויהיו י"ג נחלקם על הג' נתן לו ג' ואע"פ שיספיק לתת ד' לא נתן עולה כי אם בשוה מה שנתננו לאחדים בחלוק וישארו ד' על הג'
  39. ↑ לו: P1051 marg. פי' לאות האחרון מהטור העליון
  40. ↑ P1051 marg פי' ק' ולא יספיק לתת ב' לט' כאשר נתננו לב'

Apparatus
  1. ↑ באמונה: Mu150 באמונה
  2. ↑ בו: Mu150 top
  3. ↑ ראה ... בתבונה: B עמ"י עש"ו בהנו"א; Lo27153 בשם השם אמן עמ"י עש"ו; Lo10785 בהנו"א עמ"י עש"ו; V397 ע"ז; Mu43; O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 om.
  4. ↑ ספר המספר: B ס' יסוד מספר; Lo27153 אתחיל לכתוב ספר המספר מאע"ז ז"ל; Mu43 לק"י אתחיל ספר המספר לר' אברהם אבן עזרא ז"ל; Lo10785 ספר המספר להחכם ר"א ן' עזרא; O187 מספר לר' אברהם בן עזרא; P1029 מספר ר' אברהם ן' עז'; P1050 ספר המספר להחכם ר' אברהם אבן עזרא נ"ע; V397 ספר המספר שחבר החכם ר' אברהם ן' עזרא ז"ל; W152 ספר המספר לא"ע נ"ע; Mu150; P1051; V171; V386; W194 om.
    ראה ... המספר: Mo30 עמי עשו
    ספר המספר לכ' אברהם ב"ע ז"ל
    ספר המספר [לכבוד הר'] אברהם ן' עזרא הספרדי ז"ל
    ראו ספר מחוקק באמונה . ובו תמצא לכל מספר תכונה
    אשר חבר בנו מאיר למאיר . קטן שנים ורב שכל תבונה
    Mo30 marg. ספר המספר להראב"ע וס' התשבורת לאבו בכר כי [...]
    N2627 ב"ה ספר חכמת המספר לראב"ע ז"ל
    ראה ספר מחוקק באמונה. ותמצא בו לכל מספר תכונה
    אשר חברו בנו מאיר למאיר. קטן שנים וחכם בתבונה
    ספר יסוד מספר ובו יתאסף. כל סוד במדות נחמד מכסף
    מכתב לאברהם בנו מאיר ז"ל. רבי שלמה בן כבוד רב יוסף
    P1052 ספר המספר
    ראו ספר. כליל שפר. יסוד מספר. שמו נקרא
    לאברהם בנו מאיר. ספרדי. אבן עזרא
  5. ↑ בעבור: Mu43 אמר בעבור
  6. ↑ הנשגב: O187 om.; V171 הנה'
  7. ↑ לבדו: Lo10785 לבדו ב"ה; N2627; V171 om.
  8. ↑ בעולם: Mu43; O187; V171; W152; W194 העולם
  9. ↑ העליון: P1050 om.
  10. ↑ גדולות: P1029; P1051 om.
  11. ↑ את: B top; V171; V397 om.
  12. ↑ שהוא: Lo27153; P1050; W194 שהיא; B שהוא marg. נ' שהיא
  13. ↑ שהוא העולם: V171 שהעולם
  14. ↑ ובעל ספר: O187 וספר
  15. ↑ ספר יצירה: V171 ס"י
  16. ↑ אמר: O187 אומר
  17. ↑ החכמה: O187; P1029; P1051; V171; V397 חכמה
  18. ↑ וספר: P1051 om.
  19. ↑ בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: Lo10785; Mo30 בסֶפֵר וסְפַר וְסיפור
  20. ↑ הַסְּפָר: Mu43 הַסְפַר; N2627; P1050 המספר; P1052 הספור; V171 הסופר
  21. ↑ תשעה: V171; V397 הם ט'
  22. ↑ תשעה: Lo10785; Mo30 הט'
  23. ↑ חשבון: P1052 מספר
  24. ↑ ואלה: P1052 ואלו
  25. ↑ יקראו: P1029 יקרא
  26. ↑ האחדים: Lo10785; Mo30 כאחדים; Mu43; N2627; P1029; V397 אחדים
  27. ↑ הראשונה: N2627; P1029; V397; W152; W194 ראשונה; P1052 הראשושנה הראשונה marg. יקראו האחדי' שה' במע' הרא' היה הנקודה
  28. ↑ עשרה: Mu43; N2627; P1029; P1051 העשרה; V171 היוד; V386 יוד
  29. ↑ דומים: B; Mo30 (marg.); Mu150; P1051; V171; V397 דומה
  30. ↑ לאחד ... לשנים: Lo10785 ל
  31. ↑ שני: P1050 שתי
  32. ↑ והיה: P1051 יהיה; V171 שיהיה
  33. ↑ שיקראוהו: Lo27153 שיקרואו שיקראוהו; Mu43; P1051 שיקראהו; O187 לקרות; P1050; P1052 שיקראו
  34. ↑ עֶשְׂרַיִם: Mu43 עשָרים; O187 עַשַרַיִם; P1052 עֲשָרָיִים; B עֲשַרָיִם marg. נ' עֱשְרַיִם
  35. ↑ יקראו: O187; V171 קראו
  36. ↑ ממאה: V171 מהמאה
  37. ↑ ומאלף: V171 ומהאלף
  38. ↑ רק בעבור: Lo10785 om.
  39. ↑ אחריו: Mu150 לפניו marg. אחריו
  40. ↑ שהם: Lo10785 om.; V171 שלהם
    הבאים אחריו שהם: P1051 om.
  41. ↑ שלשים: V397 משלשים
  42. ↑ נהגו: B; O187 נהגוהו; V171 יהגהו
  43. ↑ נהגו כמנהגם: Lo10785 נהגו ר' נהגם
  44. ↑ שלשים: P1052 om.
  45. ↑ שלש: O187 שלש וארבעים מגזרת ארבע
  46. ↑ כלם: Lo10785 om.
  47. ↑ מאה: III המאה
  48. ↑ דומה: P1050 דומים; W194 הדומה
  49. ↑ גם: III; Mu43 וגם
  50. ↑ לעשרה: P1029; P1050 עשרה
  51. ↑ ומאתים: Mu43 ומתים
  52. ↑ דומה: P1052 דומים; P1051 om.; B דומה marg. נ' דומים
  53. ↑ לשנים ... לעשרים: B; Lo27153(marg.); O187; P1051; V171 לעשרים גם לשנים; Mu43 לעשרים וגם לשנים
    דומה ... לעשרים: Lo10785; Mo30; Mu150; P1050; V386; V397 דומים לעשרים גם לשנים; W152 דומה לעשרים; W194 marg. דומים לעשרי'
  54. ↑ ראשי: P1052 ראשים
  55. ↑ למספרים: Mu150 למספרים
    כללים למספרים: V171 מספרים כלליים
  56. ↑ אחריהם: O187 om.
  57. ↑ שהם: Mu43 שמהם
  58. ↑ א'י'ק' ב'כ'ר': Lo10785, Mo30; Mu150; N2627 (adds in marg.); V386 איק בכר גלש דמת הנך וסם זען חפף טצץ; W152 א'ק' [marg. א'י'ק'] ב'כ'ר' ג'ל'ש' ד'מ'ת וכו'; Mu43; O187; P1052; W194 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'; P1029 אי"ק בכ"ר גל"ש דמ"ת
  59. ↑ והאות על זה: W152 כלומר על היות כל מספר סובב והאות על זה
  60. ↑ כשתעשה: Lo10785; Mo30 כי כשתעשה
  61. ↑ עגול: W152 top
  62. ↑ סביבו: O187 סביבותיו
  63. ↑ תשעה: P1051 התשעה
  64. ↑ תשעה על: Mu43 שעל
  65. ↑ והטעם: Lo10785 ומטעם
  66. ↑ להיותו: Mu43; N2627; O187; P1029 להיות
  67. ↑ תראה זה: P1052; V386 om.
  68. ↑ תראה ... הוא: Lo10785; Mo30; Mu150 שהוא ט' פעמים ט'; P1050 om.
  69. ↑ המרובע: Lo10785; Mo30; O187; V397 מרובע ט'; Mu150; P1029; V386 המרובע מהט'
  70. ↑ אחד ושמונים: B; Lo10785; Mo30; O187; P1029; V171 פ"א
  71. ↑ והנה: N2627 om.
  72. ↑ האחד: V386 האלף
  73. ↑ של: O187 שלם
  74. ↑ תשעה: O187 om.
  75. ↑ ראש האחדים: Lo10785; Mo30 הראש לאחדים
  76. ↑ שהוא: O187 om.
  77. ↑ שמונים: P1050 השמנים
  78. ↑ המחובר: V397 המרובע
  79. ↑ ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הב'
  80. ↑ לשמאלו: V171 של שמאלו
  81. ↑ שהוא: O187 שהיא; P1052 om.
  82. ↑ כנגד: P1029 om.
  83. ↑ ע': P1052 העין
  84. ↑ תכפול: Lo27153 marg.; W194 om.
  85. ↑ ט' על: Mu43 שעל
  86. ↑ ז': Mu43 ו'
  87. ↑ המחובר: Lo10785; Mo30 המרובע; V171 מרובע
  88. ↑ והנה: Lo27153; Mu150; P1052; V386 ויהיה
  89. ↑ והנה ג': Lo10785; Mo30 וג' הוא
  90. ↑ וו': Mu43 וז'
  91. ↑ לימינו שהוא כנגד ס': P1050; W152 שהוא כנגד ס' לימינו; B לימינו שהוא כנגד ס' לימינו
  92. ↑ המחובר: P1052 om.
  93. ↑ והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה
  94. ↑ לשמאלו: V171 משמאלו; V397 לשמאל
  95. ↑ וה': V386 והא'
  96. ↑ שהוא: V397 om.
  97. ↑ נ': V386 נון
  98. ↑ לימינו: V171 om. V397 מימינו
    שהוא ... לימינו: O187 לימינו שהיא חמשים
  99. ↑ חשבון: Mu43 החשבון
  100. ↑ חמשה: V386 הא'
  101. ↑ מספרים: B; Lo10785; Mo30 המספרים
  102. ↑ על: P1051; V397 ועל
  103. ↑ על כן: V171 ע"כ
  104. ↑ מתגלגל: Lo10785 מ' מתגלגל
  105. ↑ מרובעו: O187 om.
  106. ↑ כי מרובעו יש בו חמשה: P1050 marg.
  107. ↑ תכפול: Lo10785 om.
  108. ↑ ט' על ה': O187 חמשה על ט'
  109. ↑ בעגול: P1050 top
  110. ↑ כי: V171 om.
  111. ↑ יהיו: Lo10785; Mo30 om.
  112. ↑ ט': B; V171 om.
  113. ↑ ט' והכללים: Lo10785; Mo30 וט' הכללים
  114. ↑ המחובר: Lo10785; Mo30 מחובר ט' על ה'
  115. ↑ הוא: Lo10785; Mo30 רוא'; P1052 יהיו
  116. ↑ הה': Lo10785; Mo30 ה' הוא; Mu43; Mu150 ה'
  117. ↑ ט': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הט' הוא האחדים; P1029 ט' הוא האחדים; P1051 ט' והנה האחדים; V171 ט' האחדי'; V397 ט' והוא האחדים
    הה' מפאת ימין ט': O187 מפאת ימין ט' והה' הוא האחדים
  118. ↑ והכללים: V397 והכללים
    הוא ... והכללים: N2627 om.
  119. ↑ והכללים לשמאלו שהוא: O187; V171 om.
  120. ↑ ד': O187; V171 והד'; P1029; P1051; V397 הד'
  121. ↑ המ': Lo10785 om.; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 מ'
  122. ↑ ט' על ד': O187 ד' על ט'
  123. ↑ והנה ג': O187 והג'
  124. ↑ שלשים: V397 הל'; P1029 ל' והו' כנגד ששה
  125. ↑ ט': Mu43 om.
  126. ↑ ט' על ג': N2627 ט' לג'; O187 ג' על ט'
  127. ↑ והנה: V386 והוא
  128. ↑ ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 הב'
  129. ↑ עשרים: Lo10785; Mo30; P1050 העשרים; P1029 כ' וז' כנגד ז'; V171 כ"ד
  130. ↑ ט': Lo10785; Mo30; Mu150 הט'
  131. ↑ ט' על ב': O187 ב' על ט'
  132. ↑ והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה; Mu43 והוא
  133. ↑ עשרה: N2627 העשרה; P1029 י' וח' כנגד ח'; P1051; V397 עשרה וכאשר תכפול ט' על א' יהיו ט'; O187 עשרה וכן נעשה בדומה העשרות צ' על צ' יעלו 00אח וכן כולם וכן נעשה בדומה המאות תת"ק על תת"ק יעלו 0000אח וכך כולם
  134. ↑ על: V386 ועל
  135. ↑ על כן: V171 ע"כ
  136. ↑ מספר: Lo10785; Mo30; W152 מספר ט'; Lo27153 top.; O187; V171 כל מספר; Mu43 המספר
  137. ↑ כפול: Mu43; O187 om.
  138. ↑ אחר: O187 האחדים; P1029 אחרים
  139. ↑ הם: Lo10785; Mo30 הוא; O187 הן
  140. ↑ אחר ... ט': Mu43 אחד מהם
  141. ↑ P1052 צורה בכתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9
    marg. צורת אותיות הודו
    א ב ג ד ה ו ז ח ט
    ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩;
    V386 צורת כתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
  142. ↑ על כן: V386 om.
  143. ↑ עשו: N2627 עשו זה
  144. ↑ מספרם: Lo10785; Mo30; Mu150 המספרים
  145. ↑ על כן עשו ... על תשעה: O187 om.
  146. ↑ מספרים: Lo10785; Mo30 המספרים; Mu43 מספרם; B מספרים והם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; N2627 מספרים marg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9; O187 מספרים ואלו הם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; V171 מספרים אלה ואלה הם ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩; V397 מספרים marg. 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1
    תשעה ... מספרים: III ט' אותיות; Lo27153 marg. אילו הם 9 8 7 6 5 4 3 2 1; P1050 ט' אותיות 1 2 3 4 5 6 7 8 9; marg. ועשו צורות לט' מספרי' והם אלו
  147. ↑ במקומם: Lo10785; Mo30 תחתיהם; N2627 במקומן; P1029 למקומן
    ואני כתבתי במקומם: B ובני ישראל די להם מאותיו' התורה; P1050 marg. כי בני ישראל די להם מאותיו' התורה
  148. ↑ א' ... ט': P1029 om.; Mu43 א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' צורת אנשי הודו
    ואני ... ט': O187; V171 om.
  149. ↑ אם: V397 om.
  150. ↑ יש בידך: Mu150 marg.; P1050 top; O187 יש בידו
  151. ↑ מספר: Lo10785; Mo30 מספרי; P1051 מספרים; O187; V386 מספרים
    יש בידך מספר: III; P1029; V397 מספרם; Mu150; P1052 מספרים; N2627 המספרי'; V171 תספרם
  152. ↑ אחדים: B; P1050 באחדים
  153. ↑ ותחלת: B; V386 לפני; P1051 לפני תחלת; P1050 נ"א לפני ותחילת
  154. ↑ הכללים: P1029 הכללים ותחלת האחדים
    אם יש ... הכללים: B marg. ס"א אם מספרם אחדים ותחילת הכללים
  155. ↑ עשרות: B; P1052 העשרות
  156. ↑ בתחלה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 תחלה; V386 תחלת
  157. ↑ בתחלה מספר: N2627; P1029 בתחלת המספר
  158. ↑ האחדים: Lo10785; Mo30 הכללים Mo30 marg. האחדים; Mu43 אחדים
  159. ↑ הכלל: B; P1050; V386 הכללים
    P1050 marg. ואם יש בידך אחדי' הרבה ותרצה לכתבם בדרך שלא תטעה שיהיו כללי' כתו' אותם זה למטה מזה וכן בכללי' [..] תרצה לכתוב א' ב' ג' ד' ה' מאחדי' וכן כ' ל' מ' נ' מעשרו' וכן ממאות ואלפי' וכל המדרגות [...]
  160. ↑ ואם אין: Mu43 ואין
  161. ↑ לו: B top; O187 om.
  162. ↑ האחדים: B; Lo10785; Mo30; V171 באחדים
    מספר האחדים: O187 במספר אחדים
    ואחר כך מספר הכלל ואם אין לו מספר האחדים: P1052 om.
  163. ↑ מספר: N2627 במספר
  164. ↑ שהם: O187 שהיא
  165. ↑ העשרות: Lo27153 העשרות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1029; P1051; P1052; V386 עשרות
  166. ↑ ישים: P1029 ישים לפניו
  167. ↑ גלגל: B גלגל 0; Lo10785; Mo30; Mu150; N2627; P1052 גלגל כזה 0; P1029 גלגל זה 0 הנקרא סיפרא
  168. ↑ בראשונה: Mu150; P1029; P1052 om.; V386 בראשונה כזה 0
  169. ↑ להורות: P1029 והוא להורות
  170. ↑ כי אין: N2627; P1029 שאין
  171. ↑ הראשונה: N2627 ראשונה
  172. ↑ מספר: Mu150; V171 om.; P1052 מספר במעלה
    במעלה הראשונה מספר: Lo10785; Mo30 מאומה במעלה הראשנה; V386 מספר במעלה הראשונה
  173. ↑ ויכתוב: P1052 ויספור
  174. ↑ המספר: Mu43 מספר
  175. ↑ בעשרות: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 מן העשרות; V397 העשרות
  176. ↑ בעשרות אחריו: O187 אחריו בעשרות
  177. ↑ שלו: O187 שיש לו
  178. ↑ מהמאות: B; V171 במאות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 מן המאות; P1029 ממאות
  179. ↑ ומהעשרות: B ובעשרות; Mu43 והעשרות; P1029 ועשרות
    מהמאות ומהעשרות: V386 מן העשרות ומן המאות
  180. ↑ גלגל: V386 הגלגל
  181. ↑ כך: P1052 om.
  182. ↑ העשרות: P1052 העשרה
  183. ↑ ומספר: Lo10785; Mo30 אח"כ מספר; Mu150 ואחר כך מספר
  184. ↑ בשלישית: Mu43 בשלישי
  185. ↑ ואם: P1051 וגם marg. נ"ל ואם
  186. ↑ ואם יש לו מספר: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 ומספר
  187. ↑ ברביעית: N2627; O187 יכתבנו ברביעית
  188. ↑ עשרת: N2627 עשרה
  189. ↑ מאות: Mo30; Mu43; Mu150; N2627; P1051; P1052; V386 מאת; O187 מאה; P1029; P1050; V171 ק'
  190. ↑ אלפים: III; Mu150; O187; V386 אלף
  191. ↑ בששית: Lo27153 בשישית
    ומספר מאות אלפים בששית: Lo10785 om.
  192. ↑ א'י'ק': Lo27153; W194 א'י'ק' ב'כ'ר'; W152 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'
  193. ↑ יחזור: Lo27153 חזור marg. ר"ת חוזר
  194. ↑ לאלפים: Mu150; V386 אלפים; P1029 om.; P1051 כאלפים
    ברביעית לאלפים: B; O187 לאלפים ברביעית; P1050 באלפי' ברביעית; V171 אלפים ב' יחזור בש א'י'ק'
    כי ... לאלפים: Mo30 marg. כי אי"ק בכ"ר יחזור לאלפים ברביעית ובשביעית
  195. ↑ ובשביעית: V171 בשביעית
  196. ↑ לאלף: Mo30 אלף
  197. ↑ אלפים ובעשירית לאלף: P1050; P1051 om.; V397 [...] ובשמינית לי' אלף אלפים ובתשיעית לאלף אלף אלפי אלפים ובעשרות לאלף
  198. ↑ אלפים: Mu150 אלפים ובמעלת י"ג אלף אלפי אלפי אלפים; P1029; V386 אלפים ובמעלת י"ג לאלף אלפי אלפי אלפים
    ובעשירית לאלף אלפי אלפים: Mo30; O187; V171 om.
    כי א'י'ק' ... אלפי אלפים: Lo10785 om.
  199. ↑ וככה: Mu43 om.
  200. ↑ קץ: V386 חקר קץ
  201. ↑ יש: Mu150 אין יש
  202. ↑ עשרות: Lo10785; Mo30; V397 מספר עשרות
  203. ↑ מספר אחדים ... יכתוב: P1051 twice
  204. ↑ מספר: III; Lo10785; Mo30; P1050 om.; V386 במספר
  205. ↑ האחדים: P1051 האחד; V171 אחדים
    מספר האחדים: V397 מספר המאות מספר האחדים
  206. ↑ ומספר המאה: Lo10785; Mo30 ומאה; N2627; O187; P1029; P1050; P1051; P1052; V171; V386; V397 ומספר המאות
  207. ↑ ועל זה הדרך: Lo10785 ועז"ה; V171 וע"ז הדרך; B ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו; N2627 ועל דרך זה
  208. ↑ ישים: O187 יעשה ישים
  209. ↑ שנים: P1052 שני
  210. ↑ ישים שנים גלגלים בראשונה: B לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים; V171 תוכל להשים שנים גלגלים בראשונה
  211. ↑ או כפי ... אין חקר: B כפי מה שיצטרך לו בראש
  212. ↑ או באמצע: Lo10785; Mo30 om.; Mu150 או באמצע; O187 וכן באמצע; P1051 בראש או באמצע; B או באמצע וזה דמות הגלגל 0 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח [תהילים פג, י"ד] ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז שמו סִיפְרָא
    ישים ... או באמצע: P1050 וטעמו כגלגל כקש לפני רוח ואינו אלא לשמור המעלות ובלע' סיפרא marg. [יע]שה לשמור [מע]לו' הגלגל [לפי] מעלות [ה]גלגל שיש לו [י]שים גלגל [בר]אשונה או [שני] גלגלים [או כפי] מה אז [ש]יצטרך לו [ב]ראשו' או [ב]אמצע וזה דמות גלגל 0
    ועל זה הדרך ... או באמצע: B marg. ס"א ועל זה הדרך ישים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע
  213. ↑ אזכיר: N2627 אזכור
  214. ↑ זה: Lo10785; Mo30; P1050 om.
  215. ↑ הספר: V397 המספר marg. הספר; P1050 המספר
  216. ↑ ונאמר: P1029 om.
  217. ↑ שהם: Mu150; P1052; V386 כי הם
    ונאמר שהם: Lo10785; Mo30 והם
  218. ↑ שערי זה הספר ונאמר שהם שבעה: O187 שערי זה הספר וזה דמות גלגל 0 וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם שבעה; V171 שערי זה הספר וזה כדמות הגלגל וטעמו כגלגל לפני רוח ושערי זה הספר הם ז'
  219. ↑ הא': III; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 הראשון; Lo10785; Mo30 הראשון הוא שער הכפל; B; O187; V171 הא' שער הכפל
  220. ↑ לכפול: P1050 top כפל
  221. ↑ על עצמו: O187 בחשבון על עצמו; P1050 על חשבון על עצמו
  222. ↑ על: P1051; V397 עם
  223. ↑ כפל: B לכפול; Lo27153 כפלי חשבונות כפלי; N2627 על כפל; P1051; V397 בהכפל
  224. ↑ אחד: P1029 om.
  225. ↑ שנים: P1029 שני
  226. ↑ חשבונות: Lo10785; Mo30; O187; V171 חשבונים; P1051; V397 om.
  227. ↑ יותר: P1051 יתר
  228. ↑ כפל: B; P1051 om.
    או כפל: V397 om.
  229. ↑ חשבונות: B; Lo10785; Mo30; V171 om.
  230. ↑ על רבים: N2627 om.
  231. ↑ הב': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השני; V171 השני בחלוק; B הב' שער החלוק; O187 הב' בחילוק
  232. ↑ לחלק: Lo10785; Mo30 הוא לחלק
  233. ↑ כלל: Mu150 כפל
    חשבון כלל: P1029 כללי חשבון
  234. ↑ פרט: V386 פרט אחד
  235. ↑ שנים: III שני
    או שנים: P1029; V386 וב'; Mu43; Mu150; N2627; P1052; V397 ושנים
  236. ↑ על פרט או שנים כללים: P1051 om.
  237. ↑ פרט אחד: V397 אחד פרט
  238. ↑ כללים: III om.
  239. ↑ או: Mu43 om.
  240. ↑ ופרטים: P1050 על ופרטים
  241. ↑ פרטים: V397 הפרטים
  242. ↑ המאזנים: V171 מאזנים
  243. ↑ של: N2627; O187; V386 על
  244. ↑ שער: O187 שערי
  245. ↑ הכפל: V171 והכפל
  246. ↑ הכפל והחלוק: Mu150; P1052; V386 החלוק והכפל; P1029 כפל וחלוק
  247. ↑ הג': III; Mo30; N2627; P1050; P1051; V171; V397 השלישי; B הג' שער החבור
  248. ↑ בחבור: B; P1029 לחבר
  249. ↑ על: Lo10785; Mo30; O187; V397 עם; B; V171 אל
  250. ↑ על מספר: P1029 במספר
  251. ↑ פרט: V397 כלל עם פרט או פרט
  252. ↑ עם: Mu150; P1052; V386 על
  253. ↑ עם כלל: P1029 בכלל
  254. ↑ עם: Mu150; P1052; V386 על
  255. ↑ כלל: Mu43 פרט
    עם כלל: P1029 בכלל גם אדבר על מאזני שער החבור והמגרעת
    פרט עם כלל או כלל עם כלל: O187 כלל עם כלל ופרט עם פרט
  256. ↑ הד': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V171; V397 הרביעי; B הד' שער החסור
  257. ↑ לחסר: Mu43 להסר; P1050 בחסר; V171 לחסור
  258. ↑ מספר: Lo10785 twice; O187 ממספר
  259. ↑ פרט: Mu150; V386 פרט או
  260. ↑ מכלל: Mu43 om.
  261. ↑ אדבר: Mu150 om.
  262. ↑ שער: O187; P1051; V171; V397 שערי
    מאזני שער: Mu150 שער מאזני
  263. ↑ החבור: Lo10785; Mo30 החלוק
  264. ↑ גם אדבר ... והמגרעת: P1029 om.
  265. ↑ הה': III; Mo30; N2627; O187; P1051; V397 החמישי; Mu150 החמשה
  266. ↑ על השברים: Lo10785; Mo30 ידבר על השברים; B שער השברים
  267. ↑ על: Mu43 om.
  268. ↑ על דרכים: Lo10785; Mo30 מינים
  269. ↑ על: B עם marg. נ' על; Lo10785; Mo30; Mu150; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386; V397 עם
  270. ↑ שלמים: P1050 שלמים או שלמים
  271. ↑ ונשברים: P1050; P1051; V397 ושברים
  272. ↑ ונשברים: P1051; V397 ושברים; V171 om.
  273. ↑ עם: B עם marg. נ' על; N2627 על
  274. ↑ שלמים: V171 ונשלמים
  275. ↑ ונשברים: Mu43; N2627; W152; W194 ונשבריהם
    ונשברים עמהם או שלמים ונשברים עם שלמים ונשברים: Lo10785; Mo30 ושברים עם שלמים ושברים
  276. ↑ למיניהם: Mu150; P1052; V386 הם למיניהם; V397 עמהם למיניהם
  277. ↑ עם: B; N2627 על
  278. ↑ או שברים: Mu43 om.
  279. ↑ על: Lo10785; Mo30; P1051; P1052 עם
  280. ↑ שברי: P1051 שברים
  281. ↑ או שברים על שברי שברים: V397 marg
  282. ↑ שברים: Mu150 marg.
    שברי שברים: P1052 שברים שברים
  283. ↑ על: Lo10785; Mo30; P1052; V397 עם
  284. ↑ שברי: P1050 שברי שברי; P1052 om.
  285. ↑ או שברי שברים על שברי שברים: Lo27153; P1051 om.
  286. ↑ בין לחבר: P1051; V397 om.
  287. ↑ בין לחבר בין לגרוע: Lo10785; Mo30 בין לגרוע בין לחבר
  288. ↑ ומאזניהם: P1052 om.
  289. ↑ הו': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השישי
  290. ↑ בערכים: B שער הערכים; Lo10785; Mo30; Mu43; O187; P1029; P1051; V171; V397 בערכין
  291. ↑ מאד: Lo10785; Mo30 om.; V386 ממנו
  292. ↑ יוכל: Lo10785; Mu43; Mu150; O187; P1029; P1052; V386 נוכל; B יוכל האדם
  293. ↑ להוציא: III להוציא האדם
  294. ↑ רובי: Lo10785; Mo30; O187 רוב; V386 כל; Mu150 om.
  295. ↑ ורוב: P1029 והוא marg. ורוב
  296. ↑ ורוב הראיות: B ורוב הראיות; Lo10785; Mo30 והראיות
  297. ↑ מחכמת: Mu43 מחכמות
  298. ↑ מזה: B מן marg. נ' מזה; P1051 ממנו
  299. ↑ הערך: Mu43 השער
    מזה הערך: Lo10785; Mo30; V171 מהערך
  300. ↑ הז': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השביעי
    השער הז': V171 שער הז'
  301. ↑ על שרשי: Mu43 והוא שער נכבד מאד כי ממנו נוכל להוציא על שרשי; B שער השרשי'
  302. ↑ והמאזנים: B וכל המאזנים
  303. ↑ רבים: P1029 top
    הם רבים: B רבים הם
  304. ↑ תלויה: P1029; P1052 תלוי
  305. ↑ בשער הזה: Lo10785; Mo30; Mu43; P1050 בזה השער; Mu150; P1029; P1052 בשער זה
  306. ↑ וזה: V171 om.
  307. ↑ וזה השער: P1051; V397 וזה שער; B והוא
  308. ↑ חמור: Mu150 האמור
  309. ↑ השערים: Lo10785 השערים אשר; Mo30 השערים אשר לפניו
  310. ↑ ואין: Lo10785 om.
  311. ↑ במשכיל: P1051 להשכיל; P1052 למשכיל
    כח במשכיל: Lo10785; Mo30 בכח משכיל
  312. ↑ קדרות: P1052 סדרי קדרות; O187 קדרות
  313. ↑ ילמד: Lo10785; N2627; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386 ילמוד
  314. ↑ זה: Lo10785; Mo30 תחלה זה
  315. ↑ זה השער: P1029 שער זה; V171 השער הזה
  316. ↑ ויתרי: V386 והיתרים; Mu43 ויתר ידוע
  317. ↑ קשתי: O187 קשתות; V171 קשת; V386 וקשתי
  318. ↑ העגול: Mu43; Mu150; P1029; P1051 זה העגול
  319. ↑ יצאו: O187; P1052 יצא
  320. ↑ מהשער הזה: III; N2627; P1050 מזה השער; P1029; P1052 משער זה
    יצאו מהשער הזה: V171 om.
  321. ↑ ב': Mo30 ב' וזו הב' הנשארת על הה' בטור העליון לא נקנה על הב' בטור השפל אי אפשר אלא נשיב אותה כלה אחורנית על הד' אצלה ויהיו כ"ד נחלקם על הב' בטור השפל לא תוכל לתת לו יותר מח' בשביל הבאים אחריו ואותה הח' תכתוב אותה במקומה ממעל לה' הראשנה שבטור השפל וממעל ומתחת הג' הראשנה שבטור העליון
  322. ↑ MS St.P374 excerpt 1 begin.
  323. ↑ MS St.P374 excerpt 1 end
  324. ↑ MS N2624 end
  325. ↑ MS St.P569 excerpt 1 end
  326. ↑ MS N2561 begin.
  327. ↑ MS N2561 end
  328. ↑ MS St.P1385 begin
  329. ↑ MS St.P1385 end
  330. ↑ MS V530 begin.
  331. ↑ MS V530 end
Chapter One
  1. ↑ הם: O187 הן
  2. ↑ המספר: P1051 המעלות המספר; P1050; W194 מספר
  3. ↑ והנה: P1050; III הנה; P1051 וזה
  4. ↑ כשיבואו: P1051 כשיבהו marg. נ"ל כשיהיו; P1052; W152 כשיבא
  5. ↑ שנים: Lo27153; Mu150; O187; P1052 שני
  6. ↑ לכפול: P1052 לכלו לכפול
  7. ↑ על: V397 עם
  8. ↑ שיהיה: Mu150; P1052 om.
  9. ↑ על עצמו: P1050; III על עצמו כמו כ' על כ'
  10. ↑ או: P1052 בין
  11. ↑ על אחר: P1050; III על אחר כמו ‫(Lo כגון)‫ כ' על ל‫';
    V397 על אחר כמו כ' על ב' או כ' על ל‫'
  12. ↑ בקש: P1051 בקשנו
  13. ↑ V398 begin
  14. ↑ כמה: P1050 om.
  15. ↑ מכפל: P1052 ותכפול
  16. ↑ ושמור: P1052 ותשמור
  17. ↑ אותו: V398 om.
  18. ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ
  19. ↑ שני: P1052 שתי
  20. ↑ שני החשבונות: Mo30; O187; P1051; V397 שנים החשבונים
  21. ↑ שיהיה: Mo30; O187; P1029 שיהיו; Mu150; V397 שהיה
  22. ↑ או: Mu150 בין
  23. ↑ בשתים: Mo30 בשני; Mu150; P1052 בשתי; P1051; V397 בשנים
  24. ↑ ממספר: P1051 ממספרם
  25. ↑ שתים: O187 השתים
    ממספר שתים: III משתים; Lo27153 משנים משתים; P1050 במספר משתים
  26. ↑ מעלות: P1050 המעלות
    שתים מעלות: Mo30; P1051; P1052; V397 שתי המעלות; Mu150 שני המעלות
  27. ↑ אחד: P1050 אחת
  28. ↑ במספר: Mo30; O187 המספר
  29. ↑ המעלה: P1050 מעלת
    במספר המעלה: III מספר מעלות; O187 הנשאר המעלה
  30. ↑ הנשאר: Mu150 הנאשר הנשאר; O187; V397 הנשארת
  31. ↑ במספר: V397 מהמספר; III om.
  32. ↑ השמור: III וכפי מספר המעלות כן תכתוב השמור (W152 השמור תכתוב)
  33. ↑ על טעם: P1052 בטעמי
  34. ↑ המוסד: V398 אחר המוסד
  35. ↑ האחד: P1029 אחת האחד; P1050 האחד
    ועוד ... האחד: Mo30 marg.
  36. ↑ בע"ה: Mo30; O187 om.
  37. ↑ רצינו: P1029 מצינו
  38. ↑ והנה: Mo30; Mu150; P1052 הנה
  39. ↑ שלשים: V397 השלשים
  40. ↑ שלשים שלשה: P1052 שלשים הוא שלשה; W152 ל' הוא ג'
  41. ↑ ודמיון: V397; V398; W152; W194 דמיון
  42. ↑ מאתים שנים: P1052 מאתים הוא שנים; W152 ר' הוא ב'
  43. ↑ כפלנו ב': V398 marg.
  44. ↑ והנה: Mo30; P1052 om.
  45. ↑ עלו: Mu150; P1052 יעלו
  46. ↑ וזהו: III; Mu150 וזה
  47. ↑ החשבון השמור: P1052 חשבון שמור
  48. ↑ מהמעלה: Mu150; P1029; P1052 ממעלה
  49. ↑ עשרות: P1050; III העשרות
  50. ↑ לו: P1052 אותו
  51. ↑ שנים: Mu150 ב' מעלות
  52. ↑ המאתים: Mo30 מאתים
    כי המאתים: P1050 שהמאתים
  53. ↑ מהמעלה: P1052 ממעלה
  54. ↑ כי הם: P1029 שהם
  55. ↑ שלשה: Mu150 שלשה מעלות
  56. ↑ עליו: Mo30; O187; P1029; P1050 אליו
  57. ↑ השנים: P1052 ב'
  58. ↑ ויהיה: Mo30; Mu150; P1050; P1051; P1052; III ויהיו
  59. ↑ נחסר: Mu150 ונחסר
  60. ↑ אחד: Lo27153 om.
  61. ↑ ישארו: Mo30; P1051 וישארו; O187 ישאר; V398 נשארו
  62. ↑ ידענו: Mo30 אמרנו; Mu150 הזכרנו; O187 ידעת
  63. ↑ הרביעית: O187 הרביעית
  64. ↑ לאלף: Mu150; P1052 לאלפים
  65. ↑ השמור: O187 om.; P1051 השמורים
  66. ↑ היה: Mo30 הוא; P1029; P1051; V397 הם; P1050; III om.
  67. ↑ ששה: Lo27153 הששה
  68. ↑ והנה: Mo30 ויהיה
  69. ↑ והנה העולה: P1051 והעולה
  70. ↑ ששת אלפים: P1029 הם ו' אלפים כזה 000ו; Mu150 ו' אלפים כזו הצורה; P1052 ו' אלפים כמו הצורה
  71. ↑ דמיון: P1029 ודמיו'
  72. ↑ אחר: P1050 om.
  73. ↑ בקשנו: P1050 רצינו
  74. ↑ והנה ... ז': Mo30 marg.
  75. ↑ והנה: Mo30 עלו; mu150 והוא; O187 הם; P1029; P1051; V397 הנה; P1050; P1052; W152 והם
  76. ↑ והוא: O187 הוא; P1050 והנה
  77. ↑ מאתים: Mu150; P1052 המאתים; W152 הר'
  78. ↑ גם כן: Mo30; O187 om.; P1051 אם כן
    וז' מאות גם כן: P1052 וכן ז' מאות
  79. ↑ מהמעלה השלישית: Mu150; P1051; V398 מהשלישית
  80. ↑ נקח: Mo30 והנה נקח
  81. ↑ להם: O187; V397 לו
    נקח להם: P1051 נקרא לו; W152 ויהיו
  82. ↑ ונחסר: Mu150 ונחסר להם; W152 נחסר
  83. ↑ אחד: O187 ממנו אחד; V397 אחת; Mu150; P1052; W152 אחד למוסד
  84. ↑ הנה: Mo30; Mu150; P1052 והנה; W152 ישארו; Lo27153; W194 הרי
  85. ↑ וראש: P1051 נראה; V397 נראה ראש
  86. ↑ המעלה: O187 מעלה
    וראש המעלה: P1050; III והמעלה
  87. ↑ החמישית: Mu150 החמשית מעלת הרבבות שהם; P1052 החמישית מעלת הרבואות שהם; V397 חמישית
  88. ↑ עשרת: Mo30 הוא עשרת; P1052 עשרות; V397 הנה עשרת
  89. ↑ היה: Mo30 הוא
  90. ↑ במספר: P1052 למספר
  91. ↑ הזה: P1029 זה
  92. ↑ עשרת: P1052 עשרות
  93. ↑ עשרת אלפים: V398 ויהיה העולה עשרת אלפים
    הנה ... אלפים: Mo30 om.
    והשמור היה ... עשרת אלפים: P1050; III om.
  94. ↑ ויהיה: Mo30 א"כ יהיה; W152 ויהיו
  95. ↑ העולה: P1050; III om.
  96. ↑ מאה: Mu150; P1051; P1052; V397; III מאת
  97. ↑ אלף: P1029; P1051; V397 אלפים; P1050 om.
  98. ↑ אלף: P1050 אלף ר"ל ק"מ אלפי'
    מאה אלף וארבעים אלף: O187 ק"מ אלפים
  99. ↑ Mu150 כזו הצורה; P1052 כזאת הצורה
  100. ↑ ועל: Mu150; P1029; P1052 והנה על
  101. ↑ הסדר: Lo27153 הדרך הסדר
  102. ↑ קץ: O187 מספר
  103. ↑ שנים: P1050 שני; P1052 השנים
  104. ↑ מרחקם: Mo30 אשר מרחקם; Mu150 מחזיקים
  105. ↑ מחשבון: O187 מן חשבון
  106. ↑ שנים: P1029; P1052 שני
  107. ↑ שנים מספרים: O187 שוה מהמספרים
  108. ↑ אחרים: Mo30 om.
  109. ↑ רק: Mo30 אך
  110. ↑ האחד במגרעת והשני בתוספת: Mo30 האחד בתוספת והשני במגרעת
  111. ↑ כמה: O187 כמו
  112. ↑ מרובע: Mo30; P1029; P1050; V398; W152; W194 om.
  113. ↑ מרובע מספר: O187 מספר מרובע; P1052 מספר מרובע
  114. ↑ הכלל: Mo30 הכלל המבוקש; P1052 הכולל
  115. ↑ החשבון היתר והחסר: P1051; V397 חשבון החסר והיתר; O187 חשבון היתר והחסר
  116. ↑ והנשאר הוא: W152 והוא
  117. ↑ החשבון: Mo30; III; P1051; P1052 om.; Mu150; O187 חשבון
  118. ↑ ל"א: P1029 לא ל"א
  119. ↑ חשבון: Mo30; O187; P1050; P1051; V397 החשבון
  120. ↑ הוא: Mo30; P1052 om.
  121. ↑ ומרובעו: Mu150 ומרובע ל' פי' ל' פעמים ל' הם; P1052 ומרובע ל' פעמים ל' הם
  122. ↑ שלשה: P1051 א'
  123. ↑ הם: Mo30; P1029; P1051; V397; III om.
  124. ↑ MS N2624 begin.
  125. ↑ והחסרון: P1050 twice; W152 om.
    והיתרון והחסרון: Lo27153; Mu150; P1029; P1052; W194 והחסרון והיתרון
  126. ↑ הוא: P1029 om.
  127. ↑ אחד: V397 הא'
  128. ↑ אחד: Mu150 אחד א'; P1051 אחד ממר
  129. ↑ חסרנום: Mo30 נחסרנו; Mu150 חסר א'; O187 וחסרנו א'; P1029 וסרנוהו; P1050 נחסרנוהו; P1051 וחסרנום; P1052 חסרנו; V397 נחסרנום; W152 חסרנוהו
  130. ↑ ממרובע: Mo30 מחשבון
  131. ↑ הכלל: Mo30 כלל
  132. ↑ והוא: P1029 שהוא; P1052 והנה; V398; III; Mu150 om.
  133. ↑ תתצ"ט: Mu150 כזה טטח; V398; III om. (Lo27153 add. marg.)
    והוא תתצ"ט: P1050 marg. זהו תתצ"ט
  134. ↑ נ"ד: P1029 נ"ט נ"ד
    ס"ו על נ"ד: Mu150 נ"ד על ס"ו
  135. ↑ חשבון: Lo27153 החשבון; V397 החשבון
  136. ↑ ס': Mo30 הוא ס'
  137. ↑ והחסרון והיתרון: Mo30 והיתרון והחסרון
  138. ↑ הוא: V398 הנה
  139. ↑ הכלל: P1029 הכלל ס' על ס'; V397 הכולל; W152; W194 הכל
  140. ↑ מרובע: P1051; V397 om.
  141. ↑ החסרון והיתרון: V397 היתרון והחסרון; P1029 החסרון והיתרון שהוא ו' על ו'
    ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון: Mo30 מרובע החסרון והיתרון והוא ל"ו
  142. ↑ והנשאר: Mu150 והנשאר; V397 והשאר
  143. ↑ המבוקש: O187 המבוקש ג' אלפים ותקס"ד; P1029 המבוקש שהוא ג' אלפים ותקס"ד
  144. ↑ III example is missing (Lo27153 added marg.)
  145. ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א
  146. ↑ האחר: Mu150; O187; P1052 השני; V397 אחר
    והמספר האחר: Mo30 והשני הוא
  147. ↑ והנה הכלל: Mo30 והמספר כלל
  148. ↑ הוא: Lo27153; P1051 om.
  149. ↑ ומרובעו: Mu150 והמרובע; P1029 ומרובעו הוא; P1052 והמרובע הוא
  150. ↑ צ': P1029 ה צ'
  151. ↑ מרובע: Lo27153 om.
  152. ↑ שהוא: Mu150 והוא מרובע; O187; P1029; P1050; P1052; V398 שהוא מרובע; Lo27153 על חמשים שהוא מרובע; P1051 שהוא המרובע
  153. ↑ החסרון והיתרון: Mo30 היתרון והחסרון
  154. ↑ ומספרו: Mo30 ומרובעו
  155. ↑ המבוקש: O187 המבוקש פ"ז אלף ות"ק; Lo27153 המבוקש שהוא פ"ז אלפי' וחמש מאות; P1052 המבוקש marg. והנה המבוקש פ"ז אלף ת"ק
  156. ↑ הסדר: O187; P1052; V398; W152 הדרך; P1051 הדרך והסדר
    זה הסדר: P1029 סדר זה
  157. ↑ נוכל: Mu150; P1052 תוכל
  158. ↑ שאר: P1051 om.
  159. ↑ המספרים: P1029; P1052 מספרים
  160. ↑ לאלה: Mo30; Mu150 לאלו
  161. ↑ שהחסרון: Mu150 כשיהיה החסרון; V397 כי יהיה האחסרון; III; P1051; P1052; V398 כי החסרון
  162. ↑ כמו היתרון: Mu150 כמו היתרון וזה צורתו; O187 והיתרון שוים
  163. ↑ נכבדת: P1052 מצאתי נכבדת
  164. ↑ שהוצאתי: Mo30 הוצאתיה; Mu150 מאצתי שהוצאתי marg. מצאתי במרובעים
  165. ↑ בדרך: O187 מן
  166. ↑ השלישית: P1050 השלישיות
  167. ↑ שנקח: Mo30 והוא שנקח; P1051 שהוא
  168. ↑ החשבון: Mo30 om.
  169. ↑ מרובע השלישית ממנו: O187 ממנו מרובע השלישית
  170. ↑ O187 example is missing
  171. ↑ בקשנו: Mo30 רצינו
  172. ↑ מספר מרובע: W152 מרובע מספר
  173. ↑ נקח: Mu150 ונקח
    ג' נקח: W152 top
  174. ↑ שלישיתו: P1051; V398; W194 שלישית; W152 השלישית
  175. ↑ שהוא: P1051 והוא
  176. ↑ ומרובעו: P1029 ומרובעו שהוא
  177. ↑ אחד: Lo27153 אחד אחד; Mu150 הוא א'
    ומרובעו אחד: P1051 om.
  178. ↑ ועשרה: Mo30; Mu150; P1029; P1050; P1051; V398; III והוא עשרה; P1029 marg. והנה
  179. ↑ הכלל: P1050 כלל
    שהוא הכלל: Mo30 בכלל
  180. ↑ ממנו: V398 om.
  181. ↑ מרובע אחד שהוא: Mo30 מרובע אחד שהוא אחד; Lo27153 מרובע אחד שהוא עשרה א'
  182. ↑ השלישית: Mo30; Lo27153 om.
  183. ↑ וישאר: Mo30 והנשאר
  184. ↑ ט' והוא: Mo30 שהוא ט' הוא
  185. ↑ אחר: O187 om.; Lo27153 אחר אחר
    דמיון אחר: P1050 ד"א
  186. ↑ והדומה: Mo30; O187 והדומה לו
  187. ↑ אליו: Mo30; V398; P1050; III om.
  188. ↑ ר"נ: Mo30; Mu150 הוא ר"נ
  189. ↑ חסר: Mu150 נחסר
  190. ↑ ה' שהוא השלישית: Mu150 שלישי שהוא כ"ה
  191. ↑ ישאר: O187 וישאר; V397; V398 נשאר
  192. ↑ רכ"ה: Mo30 רכ"ה והוא המבוקש; Mu150 רכ"ה על צורה זו ה'ב'ב' והוא המבוקש
  193. ↑ III example is missing
  194. ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א
  195. ↑ כמה: Mo30 om.
  196. ↑ הנה: P1029; P1051 om.
  197. ↑ הנה שלישיתו: Mo30 ושלישיתו
  198. ↑ ודמיונו: P1051; V397 ודמיון
  199. ↑ הגבוהה: O187; P1029; P1050 הגבוה; P1051 העליונה; V397 הגבוה
    במעלה הגבוהה: Mo30 בכלל הגבוה
  200. ↑ תר"מ: Mo30 הוא תר"מ
  201. ↑ ממנו: P1050; P1051; V398 om.
  202. ↑ מרובע: V397 om.
  203. ↑ ישאר: P1050 וישאר; V397 נשארו
  204. ↑ היה: Mo30; O187 יהיה
  205. ↑ בו: P1051; V397 om.
  206. ↑ אחד: O187 של אחד
  207. ↑ חסר: P1051 נחסר
  208. ↑ האחד: Mo30; O187; P1051 אחד
  209. ↑ מהמספר: O187 מן המספר
  210. ↑ והוצא: Mo30 ותוציא
  211. ↑ המספר: III om.
  212. ↑ כמשפט: Mo30 כמו
  213. ↑ שיעלה: O187 שיעלה לך
  214. ↑ הוסף: P1050 הוצא
  215. ↑ שיש לו: P1029 twice
  216. ↑ שלישית: Mo30 ב' שלישית
  217. ↑ אין: V398 om.
  218. ↑ לו: V398 לו marg. לו
  219. ↑ חסרנו: O187 חסר
  220. ↑ ממנו: Mo30 om.
  221. ↑ נוסף: V398 marg.
  222. ↑ שלישית: O187 שלישיתו; P1029 השלישית
    והנה שלישית: Mo30 ושלישית
  223. ↑ הנשאר: O187 om.
  224. ↑ והנה: Mo30 והוא
  225. ↑ הדומה: Mo30; III om.
  226. ↑ מ': P1029 om.
  227. ↑ נחסר: P1051 נסר נחסר
  228. ↑ ממנו: Mo30 om.
  229. ↑ השלישית: Mo30 שלישית
  230. ↑ וישאר: Mo30; P1029 ישאר; V397 ונשאר; W152 וישארו
  231. ↑ שהוא: Mo30 והוא
  232. ↑ אליו: P1029; P1050; P1051; V398 עליו
  233. ↑ שלישית: O187 השלישית
  234. ↑ שהיה: P1051 שיהיה; V397 שהוא
  235. ↑ המחובר: III המרובע
  236. ↑ דמיון אחר: P1050 ד"א
  237. ↑ רצינו: V397 בקשנו
  238. ↑ לדעת: O187 לידע
  239. ↑ כמה: Mo30 om.
  240. ↑ והנה: Mo30 om.
  241. ↑ ונשאר: P1029 נשאר
  242. ↑ ושלישיתו: O187 ושלישית כ"א
  243. ↑ ומרובעו: O187 ומרובעו ומרובעו
  244. ↑ והנה: Mo30 ויהיה; O187 והנה יהיה
  245. ↑ בכלל: Mo30; O187 הכלל
  246. ↑ הקרוב: Mo30 הגבוה הגבוה; O187 הקרוב הדומה
  247. ↑ אליו: P1050 om.
  248. ↑ ת"צ: P1029; P1050; P1051; V397; V398; Lo27153; W194 ד' מאות וצ'
  249. ↑ ממנו: P1051 om.
  250. ↑ השלישית: V397 השלישי
    שהוא מרובע השלישית: Mo30; III om.
  251. ↑ נשארו: V397 marg.; W152 ישארו
  252. ↑ גם: Mo30; O187 עם
  253. ↑ מחוברים: O187 מחבורים; P1051 מחוברין
  254. ↑ שהם: Mo30 ויעלה
  255. ↑ מחוברים שהם מ"ג: III om.
  256. ↑ יעלה: Mo30 ויעלה
  257. ↑ המחובר: Mo30 המבוקש; O187 מחבורם; P1051; V397 המספר
  258. ↑ וזהו: Mo30 והוא; O187; P1029 וזה; W152 וזה הוא
  259. ↑ היו: O187 יהיה; P1051; V397 יהיו
  260. ↑ שנים: P1051 תוספת שנים
  261. ↑ המספר: P1050 המספרים; P1029; V398 המספרים
  262. ↑ שלנו: P1051 שיש לנו
  263. ↑ ובין: P1050 top
  264. ↑ ובין המספר: P1051 למספר הנקדם; V398; Lo27153; P1029; W194 ומספר
  265. ↑ שלישית: P1051 שלישית מהמספר הנקדם בזה הדרך והוא שנקח מהכל שלישיתו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר
  266. ↑ שנוסיף: P1051 שהוסיף
  267. ↑ שלנו: O187 om.
  268. ↑ מרובע: III מחובר; P1050 המרובע
  269. ↑ מספר: P1050 המספר; P1051 ממספר זה; III מספר אחר
  270. ↑ שלישית: P1051 שלישית עתה בתוספת האחד ממנו ומרובע השלישית
    שיש לו שלישית: P1050 שיש לו שלישית שיש לו ש
    נעשה להפך ... שיש לו שלישית: Mo30 twice
  271. ↑ ונחסר: Mo30 וכמספר שהיה לנו ונחסר; P1051 עוד נחסר
  272. ↑ כמספר: Lo27153 כמספר marg. המספר
  273. ↑ ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית: V397 om.
  274. ↑ וכמספר: P1050 ג"כ כמספר; V398; III גם המספר
  275. ↑ מרובע: Lo27153 מחובר
  276. ↑ לו: Lo27153; Mo30 om.
  277. ↑ לו שלישית שלמה: P1029 שלישית שלימה לו
  278. ↑ יהיו: Lo27153 יהיה; Mo30; P1029; W152 ויהיו; P1051 ויהיה
  279. ↑ ושלישיתו: P1051 השלישיתו
  280. ↑ לו: V397 om.
  281. ↑ ישאר: P1050 וישאר; W152 ישארו
  282. ↑ גם: Mo30 om.
  283. ↑ גם נחסר: III נחסר גם
  284. ↑ המספר: O187 מספר
    מזה המספר: Mo30 ממנו; P1029 ממספר זה
  285. ↑ מחוברים: P1050; P1051; V398; III מחוברין
    מ"ז ... מחוברים: Mo30 כ"ד וכ"ג ויעלה מ"ז; O187 כ"ד עם כ"ג ויעלה מ"ז
  286. ↑ ויהיה הנשאר: Mo30 והנשאר; O187 ישאר; V397 ונשאר
  287. ↑ יהיו: Mo30; P1029 היו; O187; P1051 יהיו לך
  288. ↑ שנים: O187 שני
  289. ↑ היה: Mo30; O187 היה לך; V397 יהיה
  290. ↑ אחד: W152 אחת
  291. ↑ על: Lo27153 על על
  292. ↑ שנים: O187 שני
  293. ↑ מספרים: Mo30 om.
  294. ↑ פעמים: O187; P1029 שני פעמים
  295. ↑ על שלשה שלשה: Lo27153 ג' על ג' על ג' ג'
  296. ↑ ועל: V398; P1050; III על
  297. ↑ שני: P1050; P1051 שנים
  298. ↑ שני: Lo27153 ב' ב'; P1050 שנים
  299. ↑ על שני מספרים: P1051 om.
  300. ↑ אתה צריך: P1029 צריך אתה
  301. ↑ לעשות: P1051 om.
  302. ↑ זה: W152 top
    לעשות זה: V397 זה לעשות
  303. ↑ והנה: O187; V398; P1029; P1050; III הנה
  304. ↑ שהוא כלל: P1050 שהוא כלל עלו ר'
  305. ↑ י': Mo30; P1029; P1050; P1051; V397; III om.
    גם י': O187 om.
  306. ↑ על: O187 ועל
  307. ↑ ח': P1029 הח'
  308. ↑ עלו: Mo30 ויעלו; V398 om.
  309. ↑ ר"פ: V397 פ"ד ר"פ; V398 marg.
  310. ↑ ואחר: Mo30; P1050; III גם; O187; P1029; P1051; V398 וגם
  311. ↑ גם: O187 ג'; P1051 וגם
  312. ↑ גם על: Mo30 ועל
  313. ↑ עלו: Mo30 ויעלו
  314. ↑ ואחר ... פ"ד: V397 om.
  315. ↑ והנה: Mo30 ויהיה
  316. ↑ הכל: V397 הכלל
  317. ↑ כולל: P1029 נופל
  318. ↑ שני: P1029 בשני
  319. ↑ המספרים: Mo30; P1051; V397 מספרים; P1029 המספרים
  320. ↑ לך: O187 om.
  321. ↑ בקשנו: V398 רצינו
  322. ↑ לכפול: P1051 om.; V397 לדעת
  323. ↑ והנה: P1050 הנה
  324. ↑ שני: P1051; V397 om.; P1050 top
  325. ↑ המספרים: Mo30 מספרים
  326. ↑ נחבר: O187; P1029; P1050; P1051; V397; III חברנו
  327. ↑ עם: Mo30 על
  328. ↑ ו': P1029 ו' ועלו ט'
  329. ↑ עם: O187; P1050 ועם; V398; III על; Lo27153 גם על
  330. ↑ עם י': Mo30 ויהיו י"ט; P1029 om.
    ו' עם י': P1051 י'ו'
  331. ↑ והנה יהיה: O187 ויהיה
  332. ↑ נכפול: Mo30; P1051; III וכפול; P1029 וכפלנו
  333. ↑ אותו: V397; W152 אותה; P1050; P1051; Lo27153; W194 אותם; P1029 om.
  334. ↑ עלו: Mo30 ויעלה
  335. ↑ ק"צ: Lo27153 ק"ץ ק"צ
  336. ↑ נכפול: Lo27153 וכפול; O187 ונכפול
  337. ↑ שני: P1051; V397 שנים; P1029 לשני
  338. ↑ הקטנים: Lo27153 om.
  339. ↑ שני המספרים הקטנים שהם: Mo30 om.
  340. ↑ יעלו: Mo30 ויעלה; P1050; V398; III עלו
  341. ↑ והנה הכל: O187 והכל
  342. ↑ ר"ח: V398 כ"ח marg. ר"ח
    והנה הכל ר"ח: Mo30 ונשים אותם על ק"צ ויעלה ר"ח והוא המבוקש
  343. ↑ ויש: V398; P1050; III והנה יש; P1029 וזה
  344. ↑ שני: P1029; P1050; P1051 om.
    לך שני: O187 om.
    שיספיק לך שני: III לך פעמים שיספיק
  345. ↑ דמיון: V397 דמיון בקשנו לדעת י"ג על י"ו והנה י' כולל המספרים והנה חברנו ג' עם ו' דמיון
  346. ↑ לכפול: P1029 top
  347. ↑ כ"ד: O187; P1029; P1050; P1051; W152; W194 חשבון כ"ד
  348. ↑ כ"ו: O187; P1029; P1051 חשבון כ"ו
  349. ↑ הנה: V397 והנה
  350. ↑ כ': W152 הכ'
  351. ↑ שני: P1050; P1051; V397; V398 om.; P1029 top
  352. ↑ עם: O187; P1029; P1050; P1051; V398; III על
  353. ↑ שהוא הגדול: Mo30 om.; V397 marg. שהוא המספר הגדול
  354. ↑ עלה: P1051; V397 עולה; P1029 om.
  355. ↑ עלו: Mo30 עלה
  356. ↑ וכפלנו: Mo30 כפלנו
  357. ↑ עלו: Mo30 יהיה; O187 ועלו
  358. ↑ עלו כ"ד: P1050 marg.
  359. ↑ והנה: Mo30 והיה; O187 הנה
  360. ↑ המבוקש: III המחובר; P1029 המבוקרש
  361. ↑ ויש שיספיק לך ... תרכ"ד: Mo30 marg.
  362. ↑ ואם: W152 אם
  363. ↑ ג': O187; III ג' מספרים
  364. ↑ הסדר: P1051 הסדר החשבון
    זה הסדר: P1029 סדר זה
  365. ↑ החשבון: III חשבון
  366. ↑ וראה: V397 נראה
  367. ↑ אחד: O187 האחד
  368. ↑ רבים: O187 הרבים; P1051 הרבים
  369. ↑ אם: O187; P1050 om.; P1029 ואם
  370. ↑ אם הוא: Mo30; III והוא
  371. ↑ זוג: V397 om.
  372. ↑ הזוג: O187 הזוג והנפרד
  373. ↑ הוא זוג: O187; P1029 זוג הוא; P1051; V397 זוג זוג הוא
  374. ↑ ואם: V398 ואף אם
  375. ↑ האחד: V397 marg. אחד
  376. ↑ זוג: V398; P1050; III הוא זוג
  377. ↑ נפרד: O187 נפרד המחובר זוג; W152 הוא נפרד
  378. ↑ והטעם: III הטעם
  379. ↑ שאינו: O187 כשהוא
  380. ↑ והטעם שאינו זוג: P1050 om.
  381. ↑ מהם: P1029; V398 מהן
  382. ↑ המספר: Mo30 om.
  383. ↑ האחד: V397 אחד
  384. ↑ נפרד: P1051 יהיה נפרד
  385. ↑ וגם: V398; III גם
  386. ↑ כן: Lo27153 top
    וגם כן: O187 ג"כ
  387. ↑ האחר: P1029; P1051; V397 האחר נפרד
  388. ↑ גם: P1050 הנה גם כן; W152; W194 גם כן
  389. ↑ המחובר: Mo30 המרובע
  390. ↑ נפרד: Lo27153 זוג marg. ד"ת נפרד
  391. ↑ היו: Mo30 יהיו
  392. ↑ המספרים: Mo30; III מספרים; P1051; V397 om.
  393. ↑ הנכפלים: V398; P1050; III om.
  394. ↑ אלה: V397; P1051 top האלה
  395. ↑ לכפול: V397 לכתוב
  396. ↑ לכפול אותם: P1029 לכלם
  397. ↑ במכתב: Mo30 במספר
  398. ↑ שהראיתיך: V397 marg.
  399. ↑ הסלולה: P1050 הצל הסלולה; V398 הצלולה
  400. ↑ המעט: Mo30 marg.
  401. ↑ עליונים: P1050; P1051; V398; III העליונים
  402. ↑ ופירוש: O187 פי'
  403. ↑ המעט: P1050 המעט marg. בהם
  404. ↑ ולא: Lo27153 לא; Mo30 ואל
  405. ↑ מן: P1051 om.
  406. ↑ ואם: P1050 ואף אם
  407. ↑ קטן: P1051 קטון
  408. ↑ הם: Lo27153 הוא
  409. ↑ גדול: P1051 marg. הגדול
  410. ↑ אותם: P1029 אותה
  411. ↑ ואלו: Mo30; P1050 ואם
  412. ↑ היית: Mo30; P1029; P1051 היתה
    ואלו היית: P1029 ואלו היתה ואלו היתה
  413. ↑ יזיק: O187 היה מזיק
  414. ↑ מעט: O187 ממנו
  415. ↑ התלמיד: P1029 התלמידים
    על התלמיד: Mo30 המלמד
  416. ↑ העליון: P1051 העליון
  417. ↑ והאחרים: O187 והאחדים
  418. ↑ הראשון: P1029 העליון הראשון
  419. ↑ של: P1050; III מן
  420. ↑ הטור: Mo30; O187; P1051 טור
  421. ↑ הראשון: P1029 ראשון
  422. ↑ שבטור: O187; P1051; V397; III בטור; P1050 שבטור
  423. ↑ השפל: W152 השפל השפל; P1029 top
  424. ↑ והעולה כתוב: Mo30 והעולה כתוב marg. וכתוב העולה
    כפול הראשון ...והעולה כתוב: Mo30 marg.
  425. ↑ הטור: O187 המספר
  426. ↑ הראשון: Mo30; P1051; V397 om.
  427. ↑ העליון: W152 העליון הראשון; P1050 העליון marg. בטור השלישי
  428. ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ
  429. ↑ המספר: P1029 מספר
  430. ↑ הראשון: Mo30 om.
  431. ↑ המספר: P1029 מספר
  432. ↑ השלישי: O187; P1029 שלישי
  433. ↑ המספר: Mo30 מספר; P1051 twice
  434. ↑ העליון הראשון: W152 הראשון העליון
  435. ↑ העליון: O187 של העליון; III om.; P1050 top
  436. ↑ ויתחבר: V397 ויתחייב
  437. ↑ והכלל: P1029 והכל
  438. ↑ במספרו: V397 במספר
  439. ↑ שתשלים: P1029 שתשים
  440. ↑ הטור: Lo27153; Mo30; O187; P1050; V398 טור
  441. ↑ מספרי: P1051 מספר
  442. ↑ הטור: Mo30 om.
  443. ↑ לכפול: Lo27153 לשמור לכפול
  444. ↑ המספר: P1029 המספר המספר
  445. ↑ הטור: Mo30 טור
    של הטור: V397 מטור
  446. ↑ מספר: O187; P1051 המספר
  447. ↑ הטור: Mo30 טור; V397; P1051; V398 מספר
    של הטור: O187 מטור; P1029 om.
  448. ↑ כתבהו: P1050 כתבנו; P1051; V397 תכתבנו
  449. ↑ ואחר: P1051 ואחרי
  450. ↑ השני: P1050 השני marg. שבטור
  451. ↑ שני: P1050 השני
  452. ↑ ותכתבהו: O187 והעולה תכתבהו; P1050 וכתבנו
  453. ↑ כנגד השני ... בטור השלישי: P1029 om.
  454. ↑ במספר השלישי: P1051; V397 om.
  455. ↑ שני: P1051 שלישי
  456. ↑ למספר: O187 של מספר
  457. ↑ שהחלות: V397 שהתחלנו
  458. ↑ ממנו: O187 ממנו וכן עד השלימך מספרי הטור השפל
  459. ↑ ואחר: P1051 ואחרי
  460. ↑ העליון: Mo30 בטור העליון
  461. ↑ לכפול אותו: P1029 לכפלו
  462. ↑ תכתבהו: V397; V398 תכתבנו
  463. ↑ טור: Mo30 הטור; O187; P1051 om.
    כנגד טור: Lo27153 בטור
  464. ↑ שהחלות: Lo27153 שהחלותת
  465. ↑ ממנו וככה: V397 וככה ממנו
  466. ↑ המשפט: Mo30; O187 משפט
  467. ↑ לכלם: O187 כולם
  468. ↑ עד: Mo30 כי
  469. ↑ משפט: Mo30; P1029; P1050; P1051; III משפטי; V397 משפטי משפטי
  470. ↑ הפרט: Lo27153 הפרט הפרט; P1051 פרט
  471. ↑ התחתון: O187 תחתיו; P1029; P1050; P1051; V397; III תחתון
  472. ↑ והכלל: P1051; V397 עם הכלל
    שהחילות ... והכלל: V398 om.
  473. ↑ שיבא: Mo30 הבא; V398 ושיבא; W152 כשיבא
  474. ↑ בטור: O187 במספר
  475. ↑ היה: O187 יהיה
  476. ↑ בטור: Mo30 הטור; V397 בטור
  477. ↑ בין: Mo30; P1051; V397; V398 ובין
  478. ↑ בטור: Mo30 הטור; V397 בטור
  479. ↑ משפטו: Lo27153; P1050 משפט
  480. ↑ במקום: Mo30 בטור
  481. ↑ שעליו: P1029 שעליו ואחריו; W152 שלעליו marg. שעליו
  482. ↑ תחל: Mo30 תשוב
  483. ↑ לחבר: Lo27153 לחסר לחבר
  484. ↑ שעלה: P1051; V397 שעולה
  485. ↑ בטור: O187 מטור
  486. ↑ אם: Mo30 כי; O187 ואם
  487. ↑ בו: O187 לו; V397 om.
  488. ↑ עשרות: Mo30 עשיריות
  489. ↑ שהוא בחבור: O187 שבחבור
  490. ↑ בו: O187; V397 לו
  491. ↑ כתוב: P1029 om.
  492. ↑ היותר: O187; V397 יותר; P1050 האחד
  493. ↑ מבחוץ: Mo30 מחוץ
  494. ↑ בחבור: P1029 om.
  495. ↑ מבחוץ בחבור שיש לך: V398 בחבור שיש לך מבחוץ
  496. ↑ שני: Lo27153 שיש; Mo30 marg.
  497. ↑ לו: Lo27153 לו marg. לך; P1051 top
  498. ↑ תעשה: Mo30 עשרה
  499. ↑ היוצאים: O187 היוצא
  500. ↑ מהטור: Mo30; P1029 מן הטור; O187 מהטורים; P1051 מן הטורים
  501. ↑ העליון: P1051 העליונים
  502. ↑ והשפל: Mo30; P1050; V398 והטור השפל
  503. ↑ והוצא: P1029 והיוצא
  504. ↑ הנותר: V398 הנזכר marg. הנותר
  505. ↑ מעשרות: O187; P1029; V398; III מהעשרות
  506. ↑ הוא: P1029 om.
  507. ↑ היו: P1029 הם
  508. ↑ השנים: P1029 השני
  509. ↑ העליונים: V398 עול עליונים; O187; P1029; V397; III עליונים
  510. ↑ אחד: Mo30 האחד
  511. ↑ תדע: O187; W152 דע
  512. ↑ המספר: Mo30; P1029; P1050; P1051; V398 היה המספר; O187 יהיה מספר; V397 יהיה המספר
  513. ↑ האחרון: O187 אחרון
  514. ↑ האחרון: Mo30 העליון; O187 אחרון
  515. ↑ ממנו: V397 ממנו ממנו
  516. ↑ כלל: P1050; III הכלל
  517. ↑ יהיה: P1029 היה
  518. ↑ מספר: P1029 המספר
  519. ↑ הטור: V397 om.
    מעלות הטור: Mo30 המעלות טור; P1051 המעלות בטור
  520. ↑ הטור השלישי: P1029 טור ג'
  521. ↑ טורים: P1050; P1051; V398 הטורים
  522. ↑ העליונים: P1029; V397 עליונים
  523. ↑ בלי: III בלתי
  524. ↑ אחד: P1029; P1050 אחת
  525. ↑ P1050; III example before the check
  526. ↑ ובחן: O187; P1051; V397 ובחון
  527. ↑ במאזנים: P1029; P1051 מאזנים
  528. ↑ וככה: Mo30 וכה; V398; P1050; III ככה
  529. ↑ תעשה: V398; P1050; III om.
  530. ↑ חשוב: O187; V397 הוצא
  531. ↑ חשבון: P1029; P1051; V398 החשבון
  532. ↑ באיזו: Mo30; O187; P1051; V397 באיזה
  533. ↑ שיהיה: W152 שיהיו
  534. ↑ המחובר: P1051 marg.; P1050 המספר
  535. ↑ אם: Mo30; V398 ואם
  536. ↑ יותר: Mo30 ישאר; P1029 יוסר; P1050 הוא יותר אחד
  537. ↑ ט': P1050; W152 מט'
  538. ↑ או: Lo27153 או או
  539. ↑ לבדו: O187 לבד; V397 לבדד
  540. ↑ והוא: V397 והם
  541. ↑ ככה: Mo30 וכך; V398; P1050; III וכן
  542. ↑ למאזני הטור: P1051 לטור מאזני
  543. ↑ המאזנים: O187 מאזנים
  544. ↑ שלו: W152 שלא
  545. ↑ העליון: Mo30 השני
  546. ↑ השני: P1050; III השפל
    על מאזני הטור השני: Mo30 om.
  547. ↑ והנכפל: P1029; V397 והכפל
  548. ↑ הוציאהו: Mo30 תוציאנו; O187; P1029; P1051; V397 הוציאנו; V398 הוציאו; W152 הוציאוהו
  549. ↑ והנשאר: Mo30 om.
  550. ↑ יהיה: Mo30 ויהיה; O187 שיהיה
  551. ↑ עמך: O187; V397 בידך
  552. ↑ מהטורים: III מן הטורים
  553. ↑ לעולם: V398 om.
  554. ↑ ואחר: O187 ואחר כך; V397 ואחר כן; P1050 ואח"כ
  555. ↑ מאזני: W152 במאזני
  556. ↑ אם: Lo27153 כי אם
  557. ↑ שוה: Mo30; P1051 חשבונך שוה
  558. ↑ חשבונך: Mo30 אז תדע כי חשבונך; O187; V397 תדע כי חשבונך; P1029 יהיה חשבונך
  559. ↑ לאו: P1029; P1051 לא
  560. ↑ הנה: P1029 om.
  561. ↑ הנה טעית: Lo27153 הנה הוא טעות
    ואם לאו הנה טעית: O187; V397 om.
  562. ↑ O187; P1051; V397; V398 example om.
  563. ↑ זה: Mo30; P1029; P1050 om.
  564. ↑ וכתבנו: Mo30 כתוב; P1050; III כתבנו; P1029 וכתו'
  565. ↑ קכ"ז בטור העליון: Mo30; P1029 בטור העליון קכ"ז
  566. ↑ כזה: Lo27153; Mo30; P1029; P1050 om.
  567. ↑ ומספר: P1029 ובשני
  568. ↑ אות אות: III כל אות ואות; W194 כל אות ואות
  569. ↑ תחתיו אות אות במקומו: P1029 om.
  570. ↑ כזה: P1029 בזו הצורה; P1050; W152; W194 om.
    ומספר ...כזה: Mo30 ובשניה שנ"ה
  571. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 נכפול
  572. ↑ עלו: Mo30; P1029 ויהיו
  573. ↑ כתבנו: Mo30 כתוב; P1029 תכתוב
  574. ↑ שהוא ל': Mo30; P1029 om.
  575. ↑ השניה: P1050; III השנית
    במעלה השניה: Mo30; P1029 בשנית
  576. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; III נכפול
  577. ↑ השני התחתון: Mo30 פעם אחרת; P1029 שלו האחרת
  578. ↑ עלו: P1029 יעלו
  579. ↑ עלו ל"ה: P1050; III om.
  580. ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב; P1050; III וכתבנו
  581. ↑ ה': Mo30; P1029 הה'
  582. ↑ השנית: P1050 שנית
  583. ↑ ג': Mo30; P1029 הג'
    תחת ג': P1050; III om.
  584. ↑ בשלישית: P1050 במעלה שלישית; III במעלה השלישית
  585. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול
  586. ↑ הראשון: P1050; III om.
  587. ↑ התחתון: III התחתון השלישית; P1050 התחתון השלישי
  588. ↑ עלו: P1029 יעלו
  589. ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב
  590. ↑ א': P1029 הא'; P1050 ב א'
  591. ↑ תחת ג': P1029 הג'; P1050; III om.
  592. ↑ ברביעית: P1029 רב ברביעית
  593. ↑ עוד: W152 ועוד
  594. ↑ כפלנו: Mo30 תכפול; III נכפול; P1029 כפול
  595. ↑ העליון: P1029 מהטור העליון
  596. ↑ הראשון: W152; W194 om.
    ה' הראשון: Mo30 הראשנה; P1029 הא'
  597. ↑ מן: III om.; P1050 top
  598. ↑ התחתון: Mo30 הטור התחתון
  599. ↑ עלו: P1029 ועלו
  600. ↑ כתבנו: Mo30; P1029 כתוב
  601. ↑ כתבנו א' בשלישית: III והיה ראוי לכתבו
  602. ↑ א': Mo30 om.
  603. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול
  604. ↑ ב': Mo30; P1029 הב'
  605. ↑ העליון: Mo30 האמצעי; P1029 בעצמה
  606. ↑ ה': P1029 הה'
    ה' הראשון ... ב' העליון על ה': P1029 marg.
  607. ↑ השנית: P1029 האמצעי; P1050 השני
    ה' השנית: Mo30 הה' השניים
  608. ↑ התחתון: Mo30 של מטה; P1029 מהטור התחתון
  609. ↑ היו: P1029 יעלו; P1050; III יהיו
  610. ↑ גם כן: Mo30; P1029 om.
  611. ↑ כתבנו: P1029 כתוב; P1050; III נכתוב
  612. ↑ א': P1029 הא'
    כתבנו א': Mo30 ושים אותם; W194 אלה
  613. ↑ תחת ב': P1050; III om.
  614. ↑ ברביעית: Mo30 om.
    תחת ב' ברביעית: P1029 ברביעית תחת ב'
  615. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול
  616. ↑ ב': Mo30 הב'
  617. ↑ העליון: Mo30 האמצעי; P1029 האמצעי מהטור העליון
  618. ↑ ג': Mo30 הג'
  619. ↑ התחתון: Mo30; P1050 om.; P1029 התחתון מן הטור השפל
  620. ↑ והיו: Mo30 ויהיו; P1029 יעלו; P1050; III עלו
  621. ↑ כתבנו אותו: Mo30 ושים אותם; P1029 כתבהו; P1050; III ונכתבנו
  622. ↑ א': Lo27153 הא'
    תחת א': Mo30 om.
  623. ↑ ברביעית: Mo30 במדרגה חמישית ד'
    תחת א' ברביעית: P1029 ברביעית תחת הב'
    עוד כפלנו ב' העליון ... ברביעית: Mo30 marg.
  624. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; P1050; III נכפול
  625. ↑ האחרון: P1050 om.
    העליון האחרון: Lo27153 האחרון העליון
  626. ↑ ה': P1029 הה'
  627. ↑ התחתון: Mo30; P1029 מטור התחתון
    הראשון התחתון: P1050; III התחתון הראשון
  628. ↑ עלו: P1029 יעלו
  629. ↑ עלו ה': Mo30 om.
  630. ↑ כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו
  631. ↑ בשלישית: Mo30 בג'
  632. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול
  633. ↑ א': Mo30; P1029 א' העליון
  634. ↑ ה': P1029 הה'
  635. ↑ השני: Lo27153 השנית; Mo30; P1029 om.
  636. ↑ התחתון: Mo30; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.
  637. ↑ עלו: P1029 יעלו
  638. ↑ ה': P1050 ג"כ ה'
  639. ↑ כתבנוהו: Mo30; P1050 כתבנו; P1029 כתבהו
  640. ↑ ברביעית: Mo30; P1029 ברביעית תחת הב'
  641. ↑ כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול
  642. ↑ א': Mo30 הא'
  643. ↑ התחתון: Mo30 מהטור העליון; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.
  644. ↑ היו: Mo30; P1050; III עלו; P1029 יעלו
  645. ↑ כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו
  646. ↑ בחמישית: P1029 בה'
  647. ↑ ב': Mo30; P1029 הב'
    אחר ב': P1050; III om.
  648. ↑ והנה נשלם הכפל: Mo30; P1029 om.
  649. ↑ חברנו: Mo30; P1029 חבר
  650. ↑ אלו: Lo27153 אלה אילו; P1029; W152 אלה
  651. ↑ כל: Mo30 וכל; P1029 לכל
  652. ↑ ממעלה: Mo30; P1029 במעלה
  653. ↑ יחד: Mo30; P1029 תחבר; P1050 תחבר יחד
  654. ↑ או עשרה: P1029 om.
  655. ↑ כתבהו: Lo27153 כתבנוהו
  656. ↑ ויעלה: Mo30; P1029 ותמצא שיעלה; III ועלה
  657. ↑ ופ"ה: Mo30 ופ"ה למאזנים עשה כמו שידעת. נשלם השער הראשון; P1029 ופ"ה כזו הצורה וכלל זו הצורה כלומר המבוקש ממנה ה'ח'0'ה'ד' והמאזנים עשה כמו שידעת
Chapter Two
  1. ↑ כי: V397 om.
  2. ↑ והאחד: Mo30; P1051 רק האחד
  3. ↑ שנוי: Mo30 לא שנוי
  4. ↑ ולא: O187 לא
  5. ↑ כל: V398 om.
  6. ↑ ושנוי: P1051 om.
  7. ↑ יעשה: V398 שיעשה
  8. ↑ אחת: P1051; V398 האחת
  9. ↑ שנים: Mo30 om.; O187 שתים
  10. ↑ שלשה: P1051 השלשה
  11. ↑ הפאה: O187; V397 הוא הפאה
  12. ↑ וארבעה הפאה: Mo30 ארבעה והפאה; P1051 שהיא הפאה
  13. ↑ ושתי: Mo30 שתים וב'
  14. ↑ המחוברות: Mo30 מחוברות
  15. ↑ שהם: Mo30 והוא; P1051
  16. ↑ האחד: O187; V397 אחד
  17. ↑ לפניו: P1051 לו marg. לפניו
  18. ↑ לפניו פאה ואחריו: O187 לפניו פאה ולאחריו; V397 פאה לפניו ולאחריו
  19. ↑ שנים: Mo30 שתים
  20. ↑ האחד: Mo30 אחד
  21. ↑ בלי: Mo30 ולא
  22. ↑ את: Mo30; P1051; V398 om.
  23. ↑ על שנים עשר: O187; P1051; V397 לי"ב
  24. ↑ י"ב: O187 היא שנים עשר; V397 היא י"ב
  25. ↑ חדשי: V397 חדש
  26. ↑ הלבנה: P1051 לבנה
  27. ↑ חשבון: O187; V397 בחשבון
  28. ↑ רבים: V397 om.
  29. ↑ אחדים: P1051 חלקים רבים אחדי
  30. ↑ שלמים: Mo30; P1051 שלמים בלי שבר
  31. ↑ ושלישיתו: Mo30p; V398 ובשלישיתו
  32. ↑ ורביעיתו: Mo30 וברביעיתו
  33. ↑ וחצי ששיתו: Mo30; V398 om.
  34. ↑ לשלשים: O187 ל'
  35. ↑ וששית: Mo30 om.
    וחמישית וששית: P1051 וששית וחמישית
  36. ↑ מספר: V398 המספר
  37. ↑ מעלות: V397 om.
  38. ↑ הגלגל: V398 om.
  39. ↑ ש"ס: O187 לש"ס
  40. ↑ וזה המספר: O187 וזה המספר קרוב לימות שנת החמה וזה המספר; P1051 וזה המספר יש לו קרוב לימות החמה; V397 וזה המספר לימי שנות החמה וזה המספר
  41. ↑ יש: P1051 ויש
  42. ↑ ושלישית: Mo30 ושליש
  43. ↑ ורביעית: Mo30 ורביע
  44. ↑ וחמישית: Mo30 וחומש
  45. ↑ ועשירית: Mo30 ועשור
  46. ↑ והנה לא: Mo30 ולא
  47. ↑ רק: P1051 top
  48. ↑ המספר: V397 om.
  49. ↑ עשרה: O187 העשרה
  50. ↑ מעלות: V397 המעלות
  51. ↑ שהם: P1051; V397 שהן
  52. ↑ אחדים: O187; V397 כאחדים
  53. ↑ יחלקו: Mo30; P1051; V397 יתחלקו
  54. ↑ העולה בחלוק: Mo30; P1051 המחובר
  55. ↑ וככה ... שלמים: Mo30 marg.; V398 om.
  56. ↑ כלל: P1051 משל כלל
  57. ↑ תחלק: O187 תסלק; V398 יתחלק
  58. ↑ אותם: V397 אותן
  59. ↑ כפי: O187; V397 לפי
  60. ↑ ואחר כך: Mo30 אח"כ
  61. ↑ אותם ... כתוב: V397 marg.
  62. ↑ בטור: O187 הטור
  63. ↑ אחר: O187; V397 האחר
    בטור אחר: P1051 om.
  64. ↑ שיהיה: Mo30 שהיה
  65. ↑ ואחר כך ... מעלתו: V398 om.
  66. ↑ חשבון: Mo30 החשבון
  67. ↑ ויהיה כל חשבון לפי מעלתו: P1051 om.; V398 marg. ויהיה כל חשבון לפי מעלתו בטור השפל
  68. ↑ כל: O187 top
  69. ↑ לפי מעלתו כנגד כל חשבון: Mo30 om.
  70. ↑ הטור: O187; V397 טור
  71. ↑ והטור: O187; V397 לטור
  72. ↑ אמצעי: Mo30 האמצעי; O187; V397 אחד
  73. ↑ ביניהם: O187; V397 בין שניהם
  74. ↑ תשים כפי מעלתו: V397 כפי מעלתו תשים
  75. ↑ ממנו: Mo30; P1051; V397 om.
  76. ↑ השלמים: V397 בשלמים
  77. ↑ ולא: Mo30 לא
  78. ↑ תחל: V397 תחלק
  79. ↑ בטור: V398 om.
  80. ↑ שהוא בטור: Mo30 שבטור
  81. ↑ השפל: P1051 העליון השפל
  82. ↑ שנים: V397 שני
  83. ↑ המספרים: Mo30 מס'; P1051 המספרים
  84. ↑ חשוב: P1051 חשב
  85. ↑ אותם: V398 אותו
  86. ↑ המספר: V397 מספר
  87. ↑ העליון ותחלק ... מהטור השפל: Mo30 marg.
  88. ↑ שיהיו: V397 שיהיה
  89. ↑ תשיב: Mo30; P1051; V398 תשוב
  90. ↑ האחרון: V397 אחרון
  91. ↑ האחדים: P1051; V398 אחדים
  92. ↑ למעלה: Mo30 ולמעלה
  93. ↑ כל: Mo30 ככל
  94. ↑ המספר: V398 מספר
  95. ↑ תכתוב אותו: Mo30 תכתבהו
  96. ↑ לפני: Mo30; V397 om.
  97. ↑ שתגיע: V397 שישיג; V398 שיגיע
  98. ↑ המספר: Mo30; P1051; V398 מספר
  99. ↑ מהמחולק עליו: Mo30 מהמחלק
  100. ↑ תכתבנו: Mo30 תכתבהו
  101. ↑ מהטור: Mo30; P1051 מן הטור
  102. ↑ החמישי: P1051 השלישי
  103. ↑ שתעשה: Mo30; P1051 תעשה
  104. ↑ דמיון: Mo30 דמיון זה
  105. ↑ בזאת הצורה: Mo30 om.; V397 בצורה הזאת
  106. ↑ ע': Mo30 ז'; P1051 ט'
  107. ↑ השפל: Mo30 שפל כפי מעלתו וט' בטור עליון; P1051 העליון; V398 שפל
  108. ↑ והנה: P1051 הנה
  109. ↑ נתן לו: P1051 נתתי לך
  110. ↑ ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו; V397 וכתבנו ונכתבנו
  111. ↑ השנית: V397 שנית
  112. ↑ מהמספר: Mo30 ממספר
  113. ↑ הראשון: Mo30; P1051; V398 העליון
  114. ↑ ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו
  115. ↑ לנו: P1051 om.
  116. ↑ נחלק: Mo30 נחלקם
  117. ↑ והנה נתן: Mo30 ונתן
  118. ↑ לו: P1051 לנו
  119. ↑ נשיבהו: V397 נשיבם
  120. ↑ יהיו: Mo30 ויהיו
  121. ↑ נחלקנו: Mo30 נחלקהו; V398 נחלקם
  122. ↑ לו: P1051 לנו
    נתן לו: Mo30 ויהיו
  123. ↑ תכתבהו: Mo30 ונכתבהו; P1051; V398 ונכתבנו
  124. ↑ ד': V397 ה'
  125. ↑ מ': V397 מ' נ'
  126. ↑ עליו: V398 om.
    המחולק עליו: Mo30 החולק
  127. ↑ והמספר המחולק עליו גדול ממנו: P1051 om.
  128. ↑ באחדים: Mo30 מאחדים
    היה המספר באחדים: P1051 om.
  129. ↑ ותחשוב: V397 om.
  130. ↑ מאותו מקום: Mo30 אותו המקום
  131. ↑ מרחק: P1051 המרחק
  132. ↑ תשיב: Mo30 תשוב
  133. ↑ אחורנית: P1051 אחורנית marg. וחשוב כל אחד עשרה
  134. ↑ ועשה: V397 ותעשה
  135. ↑ בקשנו: V397 רצינו
  136. ↑ בזאת הצורה: Mo30 om.
  137. ↑ והנה: Mo30; V398 הנה
  138. ↑ מספר: V397 משפט
  139. ↑ נשיבהו: Mo30 נשיבם
  140. ↑ אחורנית: V397 אחורנית במעלה הרביעית
  141. ↑ והם: V397 והנה
  142. ↑ נחלקם: Mo30 ונחלקם; P1051; V397 נחלק
  143. ↑ והנה: Mo30 ונתן לו marg. והנה; P1051 והנם; V398 ויהיו
  144. ↑ נכתבנו: Mo30; V397 ונכתבנו
  145. ↑ ב' ... ממנו: Mo30 marg.
  146. ↑ ב': V397 עשרים נחלק ב'
  147. ↑ נשיבם: Mo30 עוד נשיבם; P1051 ונשיבם; V398 נשיב ב'
  148. ↑ במעלה השלישית: Mo30 om.
    אחורנית שהיא שנית ... במעלה השלישית: P1051 marg.
  149. ↑ והם: P1051 הם
  150. ↑ נחלקם: P1051 נחלק
  151. ↑ נחלקם על ט': Mo30 om.
  152. ↑ והנה: Mo30 ונתן לו; P1051; V398 והנם
  153. ↑ ונשארו: Mo30 נשארו עוד; P1051 נשארו
  154. ↑ נשיבם ... ב': V397 om.
  155. ↑ השנית: Mo30 השנית הג'
  156. ↑ נחלק על ט': Mo30 om.
  157. ↑ והנם: Mo30 ונתן לו
  158. ↑ והנם ב': V397 om.
  159. ↑ ונשארו: Mo30; P1051 נשארו
  160. ↑ כי הם: V397 שהם
  161. ↑ כי הם ... העליון: Mo30 om.
  162. ↑ וזה המספר: Mo30 והוא
  163. ↑ ממספרנו: Mo30 מהחולק; P1051 ממספר ט'
  164. ↑ על: Mo30 ועל
  165. ↑ עלו אחדים: V398 אחדים הם
  166. ↑ גלגל: Mo30 הגלגל
  167. ↑ המקומות: V397 מהמקומות
  168. ↑ ולא: Mo30 לא
  169. ↑ תוכל: P1051 נוכל
  170. ↑ המחולק: Mo30 om.
  171. ↑ מהגבוה: P1051 מגבוה
  172. ↑ בקשנו: Mo30 נרצה
  173. ↑ בקשנו לחלק: P1051 חלקנו; V398 om.
  174. ↑ בקשנו ... שלשים: V397 om.
    ד' אלפים ול"ב על שלשים: V398 marg.
  175. ↑ חלקנו ד' על ג': P1051 om.
  176. ↑ א': V398 אחד marg. ונשאר אחד
  177. ↑ במעלת: V397 במעלה
  178. ↑ וכתבנוהו ... שני לו: Mo30 om.
  179. ↑ נשאר: Mo30 ונשארו
  180. ↑ לנו: Mo30 om.
  181. ↑ עוד: Mo30; V398 om.
  182. ↑ נשיבהו: V397 נשיבהו נשיבהו
  183. ↑ במעלת: Mo30 ונכתבנו במעלת; V397; V398 במעלה
  184. ↑ והיו: Mo30 ויהיו; V397 היו; V398 והוא
  185. ↑ והיו י': P1051 om.
  186. ↑ נחלקנו: Mo30 ואותם העשרה נחלק
  187. ↑ בחלוק: V397 בחלק
    ויעלה בחלוק: Mo30 ויצאו
  188. ↑ נשאר: Mo30 ונשאר
  189. ↑ א': Mo30 א' במקום המאות
  190. ↑ השבנוהו: Mo30 ונשיבהו; P1051; V398 השיבנו אותו
  191. ↑ ויהיו: V397 היה
  192. ↑ במעלה: P1051 למעלה
  193. ↑ ויהיו ... השנית: V398 om.
    במעלת העשרות ... במעלה השנית: Mo30 ונחבר אליו הג' אשר בעשרות
  194. ↑ היו: Mo30 ויהיו
  195. ↑ י"ג: V398 י"ג עם הג' שעל המעלה ההיא
  196. ↑ חלקנו אותו: Mo30 נחלקם; V398 חלק
  197. ↑ ונתנו: P1051; V397 נתנו
  198. ↑ לו: P1051; V397 להם
    ונתנו לו: Mo30 ויצאו
  199. ↑ ונתנו לו ד': V398 יהיו ד'
  200. ↑ נשאר: Mo30 ונשאר; P1051 נשארו
  201. ↑ לנו: Mo30 om.
  202. ↑ א': Mo30 אחד במקום העשרה והוא פחות מהמספר החולק
  203. ↑ השיבונוהו: Mo30 ונשיבם; P1051 השיבונו אותו
  204. ↑ נשאר לנו א' השיבונוהו אחורנית: V398 כתוב; marg. ד' במעלה הראשונה והנה נשאר לנו אחד תשיבהו אחורנית
  205. ↑ במעלה הראשונה: Mo30 ר"ל אל האחדים ועם הב' אשר באחדים
  206. ↑ היו: Mo30 יהיו; P1051; V398 והיו
  207. ↑ י"ב: V398 י"ב marg. עם ב' שעל המעלה הר' שלא'
  208. ↑ שלא: Mo30 ולא
  209. ↑ הנשאר: Mo30 הם
  210. ↑ מאותו: Mo30 מהמספר
  211. ↑ המחולק: V397 המחובר
  212. ↑ וכבר: P1051 וככה
  213. ↑ שני: Mo30 שנים
  214. ↑ מספרים: P1051 ג' מספרים
  215. ↑ שני: P1051 om.
  216. ↑ שני מספרים: V397 שנים
  217. ↑ על: Mo30 om.
  218. ↑ על: Mo30; V398 om.
    או על שלשה או על: P1051 om.
  219. ↑ מן הטור: Mo30; P1051; V398 מהטור
  220. ↑ מהמספר: V398 מן המספר
  221. ↑ ותן: Mo30; P1051; V397 ותתן
  222. ↑ מן הטור: Mo30 מהטור
  223. ↑ על מספר: V398 על ממספר
  224. ↑ תוכל לעשות: V397 illegible
  225. ↑ ממספרך: P1051 עד ע' ממספרך
  226. ↑ מהטור: P1051 top
  227. ↑ ואם: V398 אם
  228. ↑ ממעלות: V397 מהמעלות
  229. ↑ מן הגבוה: V397 מהגבוה
  230. ↑ אחורנית: V398 om.
  231. ↑ ממנו: V397 מהם
  232. ↑ שני: Mo30; P1051; V398 שנים
  233. ↑ במעלות: Mo30 למעלות; P1051; V397 במעלת
  234. ↑ ובמעלות: Mo30; V397 ובמעלת
  235. ↑ מספרים: V397 om.
  236. ↑ תשיב: Mo30 השב
  237. ↑ אחר: Mo30 אחרון
  238. ↑ האחרון: V397 om.
  239. ↑ מהם: V398 מהם ממנו
  240. ↑ שתצטרך: Mo30 שצריך; V397 שיצטרך
  241. ↑ ומהנשאר: Mo30 ומה שנשאר; P1051 ומהשאר
  242. ↑ ומהנשאר ... שתצטרך: V397 marg.
  243. ↑ בכפל: V397 בכל
  244. ↑ שהוא: V397 שהוא אחר הגלגל ותקח מהם
  245. ↑ מן המעלה: V397 מהמעלה
  246. ↑ ממנה: V397 ממנו
  247. ↑ זה: Mo30 כזו הצורה marg. רצינו לחלק ח' אלפים ורי"ג על שנ"ג; P1051; V397 וזה; V398 om.
  248. ↑ ד'ט': P1051 om.
  249. ↑ הוא: V397 והוא
  250. ↑ הנשאר: V397 הנשמר
  251. ↑ מן החשבון: P1051; V397 מחשבון
  252. ↑ MS St.P569 excerpt 2 begin.
  253. ↑ יתחלק: P1051 נתחלק כזאת הצורה; V397 נתחלק
    ד'ט' ... יתחלק: Mo30; V398 om.
  254. ↑ והנה: Mo30 הנה
  255. ↑ והנה כאשר: V398 וכאשר והנה כאשר
  256. ↑ שהוא: Mo30 ששהוא
  257. ↑ על: Mo30 עם
  258. ↑ אחרון: V397 האחרון
  259. ↑ נתנו: Mo30 נתן
  260. ↑ שהיה: P1051; V397 כי היה
  261. ↑ הג': Mo30 בג'
  262. ↑ שלישי: Mo30 במעלה השלישית
  263. ↑ החזרנו: P1051 החזירהו
  264. ↑ לשלישי: Mo30 לשלישית
  265. ↑ למעלת: P1051 למעלות
  266. ↑ הח': P1051 ח'
  267. ↑ אחד: V398 top
  268. ↑ האחד: Mo30 הא' לאחור
  269. ↑ והיו: Mo30 והוא; P1051 יהיו
  270. ↑ וחסרנו: P1051 חסרנו
  271. ↑ הב': V397 ב'
  272. ↑ ויהיו: Mo30 יהיו
  273. ↑ ו': V398 ב' marg. ב' פעמי' שהוא ו'
  274. ↑ שבטור: P1051 לטור
  275. ↑ ממנו ו' ... שבטור השפל: Mo30 לג' שהוא ראשון שבטור השפל כפל ב' פעמים ג' והם ו' והסירם
  276. ↑ נשארו ה': V397 illegible
  277. ↑ והנה: Mo30 והנה נתת; P1051 ת הנה; V398 הנה
  278. ↑ נשוב: V398 נשיב
  279. ↑ נשאר: Mo30 נשארו; V397 illegible
  280. ↑ שהוא: Mo30 om.
    הא' שהוא: V397 om.
  281. ↑ הח': Mo30 הא'; V398 ח'
  282. ↑ על א' אשר על הב': Mo30; P1051; V397 om.
  283. ↑ יהיו: Mo30 ויהיו
  284. ↑ שהוא: P1051 om.
  285. ↑ שהוא בטור: Mo30 שבטור
  286. ↑ שהוא בטור השפל יהיו ג': V397 om.
  287. ↑ ונכתבנו: Mo30 וכתבנו
  288. ↑ השנים: V397 ב'
  289. ↑ ונשארו: Mo30 נשארו
  290. ↑ על הה': P1051; V397 om.
  291. ↑ על הה' אחורנית: Mo30 אחורנית על הה'
  292. ↑ האמצעי: Mo30 האמצעית; P1051 האמצעים
  293. ↑ נתן ... השפל: V398 נסיר
  294. ↑ ונשארו: Mo30; P1051 נשארו; V397 ונשארו לנו
  295. ↑ הג': Mo30 ג'
  296. ↑ הג': Mo30 ג'
  297. ↑ י"ג: Mo30 יהיו י"ג
  298. ↑ ונקח: P1051 נקח; V397 ויקח
  299. ↑ מהם: Mo30 ממנו
  300. ↑ ט': Mo30 ט' מי"ג
  301. ↑ וישארו: P1051; V397 ישארו
  302. ↑ ד': Mo30 ד' על ג'
  303. ↑ הה': P1051 האחד
  304. ↑ יכולנו: Mo30 יוכלו; V397 יכול
  305. ↑ בראשונה: P1051 כבראשונה; V398 עתה marg. בראשונה
  306. ↑ מהי': Mo30 מהט'
  307. ↑ לו: Mo30 לנו
  308. ↑ מעלתו עכשיו: Mo30 עתה מעלתו
  309. ↑ הג' מהי' ... ממנו בראשונה: P1051 om.
  310. ↑ בראשונה: V398 הראשונה
  311. ↑ היה: V397 היו
  312. ↑ שלישי: Mo30 שלישית
  313. ↑ הח' אבל עתה לקח מן: Mo30 om.
  314. ↑ הב': Mo30 ב'
  315. ↑ א': Mo30; P1051; V398 om.
  316. ↑ הוא: Mo30; P1051; V397 om.
  317. ↑ שיקח: Mo30; V398 שנקח
  318. ↑ ממעלתו: Mo30 מן מעלתו
  319. ↑ השלישית: Mo30 הג' השלישי; P1051; V398 השלישי
  320. ↑ MS St.P569 excerpt 2 end
  321. ↑ והנה: Mo30 והיה; V397 הנה
  322. ↑ הנשאר: Mo30 הנשאר בלתי מחולק בט'; V397 נשאר
  323. ↑ ד'ט': Mo30 marg. והנשאר ד'ט'; P1051; V398 ט'ד'
  324. ↑ אחר: P1051 באחר
  325. ↑ באנו: V397 בקשנו
  326. ↑ לחלק: Mo30 לחלק מספר כמו שהוא לפניך הנה אנו צריכין לחלק
  327. ↑ ט': Mo30 ט' אחרונה שבטור העליון
  328. ↑ שנים: Mo30 ב' אחרונה שבטור השפל
  329. ↑ יכולנו: V397 יכול
  330. ↑ ישאר: Mo30 נשאר
  331. ↑ תשיבהו: V397 נשיבהו
  332. ↑ הנה: Mo30 הנה עלו; V397 om.
  333. ↑ עם הג': Mo30 om.
  334. ↑ ל"ו: Mo30 עלו ל"ו
  335. ↑ על כן: P1051; V397 om.
  336. ↑ נשארו: Mo30 ונשארו
  337. ↑ נשיבם כלם: Mo30 כלם נשיבם
  338. ↑ ויהיו: P1051 יהיו
  339. ↑ ויהיו שם: V397 ...הוא
  340. ↑ לט': V398 לו לט'
  341. ↑ יהיו: Mo30 ויהיו; P1051 יהיה
  342. ↑ נשארו: Mo30 ונשארו
  343. ↑ הג': Mo30 ג'
  344. ↑ נקח: Mo30 ונקח
  345. ↑ מהם א': Mo30 א' מהם
  346. ↑ נשיבהו: P1051 נשימהו; V397 נשימהו נשימהו
  347. ↑ שלישי: Mo30 שלישית
  348. ↑ לאחרון: Mo30; P1051; V398 לאחריו
  349. ↑ יהיו: V397 שהוא; Mo30; V398 הוא
  350. ↑ נתן: Mo30 ונתן
  351. ↑ אותם: V398 לו
  352. ↑ נכתוב: Mo30 ונכתוב
  353. ↑ נשאר: Mo30 נשאר ממנו
  354. ↑ על הח': Mo30 om.
  355. ↑ שעדין: P1051 שעדין
  356. ↑ שהוא: Mo30 בטור שהם; P1051; V397 שהם; V398 שהם marg. שהוא
  357. ↑ נכתוב: V397 ונכתוב
  358. ↑ זה האחד: Mo30 האחד הזה
  359. ↑ אחרי הג' ששמנו על הט': P1051 om.
  360. ↑ הראשון: P1051 ראשון
  361. ↑ שלישי: Mo30 ג' שלישי
  362. ↑ מן הג': Mo30; V397 מהג'
  363. ↑ שבטור: V398 שהוא בטור
  364. ↑ וראשון: P1051 והראשון
  365. ↑ נשארו: Mo30 ונשארו
  366. ↑ הנה: Mo30 והנה
  367. ↑ הנשארים: Mo30 נשארו
  368. ↑ ר"ה: Mo30 ר"א ר"ה
  369. ↑ יותר: V397 נותר
  370. ↑ שבטור: V397 שהם בתור
  371. ↑ ולא ... רצ"ו: Mo30; P1051; V398 om.
  372. ↑ השפל: P1051 השפל כמו שכתוב ומצוייר לפניך בזאת הצורה marg. והנה
  373. ↑ ב': P1051 ב' פעמים ב'
  374. ↑ לא: V397 ולא
  375. ↑ לא נוכל: Mo30; V398 אי אפשר
  376. ↑ שלא: Mo30 כי לא
  377. ↑ אם: V398 top
  378. ↑ וד': V397 ועם ד'
  379. ↑ והם: V397 om.; Mo30; V398 הם
  380. ↑ והם י"ד: P1051 om.
  381. ↑ ויש לנו: Mo30 וישארו
  382. ↑ ב' פעמים: Mo30; P1051; V397; V398 om.
  383. ↑ אך נתן: V398 ונתן
  384. ↑ אך נתן לו: Mo30 ולכן לא נתן רק
  385. ↑ ונשים אותו: V397 om.
  386. ↑ ט': Mo30; P1051 הט'
  387. ↑ שהם: Mo30 om.
  388. ↑ כשנים: P1051 om.; V398 כמו הב'
  389. ↑ בטור: P1051 שבטור; V397 שהוא בטור
  390. ↑ השפל: P1051 העליון
  391. ↑ שהוא: P1051 כי ב' שבטור השפל הוא
  392. ↑ ראש: P1051 ראשונה
  393. ↑ שבטור: V397 שהוא בטור
  394. ↑ על: V397 והם ג' על
  395. ↑ הה': Mo30 ה'
  396. ↑ מהם אחד: V398 אחד מהם
  397. ↑ ישארו: Mo30 נשארו
  398. ↑ ישארו ב' על הה': V398 om.
  399. ↑ נשיבהו: Mo30 ונשיבהו
  400. ↑ יהיו י"ד: Mo30; V397; V398 om.
  401. ↑ יקח: Mo30 נקח
  402. ↑ יקח ט': V397 om.
  403. ↑ יש: Mo30 ויש
  404. ↑ לד': Mo30 לך
  405. ↑ שבטור: Mo30 בטור
  406. ↑ למען כי שלישי הוא: Mo30; V398 om.
  407. ↑ השלישי: V397 השלישי הוא
  408. ↑ גלגל הוא: Mo30 הוא גלגל
  409. ↑ נשיב: V397 נשוב
  410. ↑ על הד' אחד על הגלגל: Mo30 על הד' על הגלגל על הד' על הגלגל marg. אחד
  411. ↑ יקח: Mo30 נקח
  412. ↑ ישארו: Mo30 וישארו
  413. ↑ הה': V397 ה'
  414. ↑ רביעי: V397 רביעית
  415. ↑ יקח: V397 om.
  416. ↑ שבטור: V397 שהוא בטור
  417. ↑ ישארו: Mo30; V397 marg. ישאר
  418. ↑ ט': Mo30 הט'
  419. ↑ נשוב: V397 שוב
  420. ↑ יצא: Mo30 יצא לחוץ
  421. ↑ מן הטור: Mo30; V397 מהטור
  422. ↑ וחמישי: Mo30 marg.
  423. ↑ ועל הט' ד': Mo30 וד' על הט'
  424. ↑ נשיב: V397 ונשים
  425. ↑ נתן: V397 וכן
  426. ↑ שבטור: Mo30 בטור
  427. ↑ ח': V397 ה'
    נשיב הב' ... ח': Mo30 marg.
  428. ↑ נשארו: Mo30 וישארו
  429. ↑ נשיב: V397 אם נאמר נשב
  430. ↑ הו': Mo30; V398 ו'
  431. ↑ על הו' אחורנית: Mo30 marg. אחורנית על הו'
  432. ↑ ויהיו: V397 ויהיה
  433. ↑ נקח: V397 יקחו
  434. ↑ לט': V397 הט'
  435. ↑ נשארו: Mo30 ונשארו; V397 ישארו
  436. ↑ אם: Mo30 ואם
  437. ↑ ג': Mo30 om.
  438. ↑ ואמת: Mo30 באמת; V397 האמת
  439. ↑ שבטור: Mo30 בטור
  440. ↑ לקחת: V397 לקח
  441. ↑ מהג': Mo30 marg. מן הג'
  442. ↑ נשארו ח' על הד' ... שאחריהם: Mo30 twice - once on marg. and on the next page
  443. ↑ וכשנשיב: Mo30; V398 ואם נשיב
  444. ↑ הג': Mo30 ג'
  445. ↑ יהיו כ"ג לבד: V397 לא יהיו בם כ"ד
  446. ↑ לה': Mo30 לה' שבטור השפל
  447. ↑ שיקחו: Mo30 ליקח
  448. ↑ מ': Mo30 ד'
  449. ↑ הגלגל: Mo30 הג'; V397 גלגל
  450. ↑ יקחו: Mo30 נקח
  451. ↑ הד' ל"ב: Mo30 לד' שבטור השפל
  452. ↑ נשארו: Mo30 וישארו; V397 ישארו
  453. ↑ ד': Mo30 ד' ונשיבם אחורנית על הג' הראשנה שבטור הראשנה כדי לחלקו על ה' הראשנה שבטור השפל וישאר ח' במעלה השניה
  454. ↑ די: Mo30 om.
  455. ↑ די לנו: V398 לנו די
  456. ↑ ועם: Mo30 והד' עם
  457. ↑ כי לא יהיה ... הג': Mo30 marg.
  458. ↑ הם: Mo30 ויהיה
  459. ↑ מ"ג: Mo30 מ"ג בראשנה שבטור העליון
  460. ↑ יקחו: Mo30 תן
  461. ↑ הה' מ': Mo30 המ' על הה' שבטור השפל
  462. ↑ ישארו: Mo30 ישאר
  463. ↑ על: V398 ועל
  464. ↑ הט': V397 ט'
  465. ↑ לאלפים: V397 באלפים
  466. ↑ וא' על: V397 ואחר
  467. ↑ הד': V397 ד'
  468. ↑ ג' ...אלף: Mo30 ג' במעלה הראשנה בטור העליון וח' במעלה שניה וא' במעלה רביעית
  469. ↑ וט' מאות: V397 ותתקמ"ה
  470. ↑ ס"ח אלפים: V398 ששים אלף וח' אלפים
  471. ↑ וט' מאות וכ"א: V397 ותתקכ"א
  472. ↑ ונ"ג: V397 נ"ג
  473. ↑ וזהו הדמיון: Mo30; V397 om.
  474. ↑ ז': Mo30 והנה ז'; V397 ... illegible
  475. ↑ רביעי: V397 marg. הרביעי
  476. ↑ יוכל: Mo30; V397 נוכל
  477. ↑ מו': Mo30 מן הו'
  478. ↑ ומאחר: Mo30 ואח"כ אחר marg. וא"כ; V397 ... illegible; V398 אחר
  479. ↑ נוכל: Mo30 תוכל; V398 יוכל
  480. ↑ כל: V397; V398 om.
  481. ↑ הצורך: Mo30 צרכה
  482. ↑ אותו: Mo30 הו'
  483. ↑ כלו: Mo30 אלו
  484. ↑ כלו אחורנית: V397 אחורנית כלו
  485. ↑ ויהיו: V397 שהוא
  486. ↑ הנה: Mo30 והנה
  487. ↑ מן הח': V397 מהח'
  488. ↑ חלקנו ... העליון: Mo30 om.
  489. ↑ לז': Mo30 לה
  490. ↑ ט': Mo30 ט' והנה ז' פעמים ט' הם ס"ג וזו הט'
  491. ↑ נוציאנו: Mo30 נכתוב אותה; V398 נוציא לו
  492. ↑ לחוץ: Mo30 בחוץ
  493. ↑ הג': V398 ג'
  494. ↑ שהוא רביעי בטור: Mo30 שבטור
  495. ↑ נשארו: Mo30 נמצא שהיא עומדת במעלה ראשנה וישאר
  496. ↑ ה' על הח': Mo30 על הח' ה'
  497. ↑ הנה: Mo30 והנה
  498. ↑ מאומה: Mo30 מה' מאומה
  499. ↑ יש לה': Mo30 והנה הה' בטור השפל יש לנו
  500. ↑ שיקח: Mo30 ליקח
  501. ↑ ב': V398 הב'
  502. ↑ מן ב' הרביעי: V397 מהרביעי ... illegible
  503. ↑ לחלוק: Mo30 בחלוק
  504. ↑ לא: Mo30; V397 ולא
  505. ↑ יוכל: Mo30; V398 נוכל
  506. ↑ לקחת נקח: Mo30 אלא ליקח
  507. ↑ נשיבם: Mo30 ונשיבם אחור; V397 נשיבהו; V398 נשיב אותם
  508. ↑ הב': V398 ב'
  509. ↑ יהיו: Mo30 ויהיו
  510. ↑ נ"ב: V397 om.
  511. ↑ נשאר: V398 שנשאר
    וד' נשאר: V397 נשאר ד'
  512. ↑ מנ"ב: V398 מהנ"ב
  513. ↑ והה' מנ"ב יקחו מ"ה: Mo30 ומאלה ג"כ ‫[marg. נ"ב]‫ תתן מ"ה לה' שבטור השפל
  514. ↑ ישארו: Mo30 וישארו
  515. ↑ על הב': V397 om.
  516. ↑ מן: Mo30 ומזו; V398 ומן
  517. ↑ ונשיבם: V398 נשיבם
  518. ↑ א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון
  519. ↑ והם: Mo30 ויהיו
  520. ↑ כ"ז: V397 ט' marg. כ"ז
    יקחו ג' כ"ז: Mo30 מהם תתן כ"ז לג' שבטור השפל
  521. ↑ נשאר: Mo30 וישאר
  522. ↑ א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון וד' במעלה שניה וד' וא' במעלה שלישית וה' במעלה רביעית בלי חלוק כי טור השפל יותר ממנו
  523. ↑ אחר: V398 om.
  524. ↑ נרצה: V397 רצינו
  525. ↑ תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט': Mo30; V397; V398 om.
  526. ↑ על מספרים: Mo30 om.
  527. ↑ שיהיה: Mo30 שיהיו
  528. ↑ וד' במעלה שניה ... בטור העליון: Mo30 twice
  529. ↑ ב': Mo30 om.
  530. ↑ נתן: Mo30 תן
  531. ↑ בטור: Mo30 שבטור
  532. ↑ הששי: V397 om.
  533. ↑ בטור: V397 שבטור
  534. ↑ הנה: Mo30 והנה
  535. ↑ שני: Mo30 השני
  536. ↑ שיקח: Mo30 ליקח
  537. ↑ שיקח: Mo30 ליקח
  538. ↑ הגלגל: Mo30; V398 om.
  539. ↑ בטור: Mo30 שבטור
  540. ↑ יוכל: Mo30 יון יוכל
  541. ↑ יש: Mo30 ויש
  542. ↑ הראשון: Mo30 הראשנה
  543. ↑ יש ... לקחת: V398 om.; marg. וט'
  544. ↑ לא: Mo30 ולא
  545. ↑ יוכל: V397 נוכל
  546. ↑ צריכין: V398 צריכים
  547. ↑ לו: Mo30 ולא
  548. ↑ ונכתוב: V397 וכתוב
  549. ↑ שהשיבונו: V397 שהשבנו
  550. ↑ V398 marg. נ"ל שחסר מכאן
  551. ↑ והג': Mo30 וג'
  552. ↑ הם ל': Mo30 om.
  553. ↑ הד': Mo30 הד' והם ל"ד נקח כ"א marg. כ"ז; V398 הד' והם ל"ד נקח כ"ז
  554. ↑ נשארו: Mo30 שנשארו
  555. ↑ ד': Mo30 הד'
  556. ↑ הראשונים: Mo30 ראשנים
  557. ↑ שבטור: Mo30 בטור
  558. ↑ שעל הגלגל וז': V397 om.
  559. ↑ נשוב: V398 נשיב
  560. ↑ לא: Mo30 עדין לא
  561. ↑ יצא: Mo30 יצא לחוץ
  562. ↑ נקח: Mo30 נתן
  563. ↑ לו: Mo30 לב'
  564. ↑ מן ... ונשימהו: V397 om.
  565. ↑ הח': Mo30 ח'
  566. ↑ הגלגל: V397 שעל הגלגל
  567. ↑ יש לגלגל ... לא יוכל: Mo30 om.
  568. ↑ ויש לגלגל: Mo30 וגלגל
  569. ↑ שאחריו: Mo30 om.; V397 שלאחריו
  570. ↑ שיקח: Mo30 יקח
  571. ↑ שהיא: Mo30; V397 שהוא
  572. ↑ שעל: Mo30; V398 על
  573. ↑ לא: Mo30 ולא
  574. ↑ יש לט': Mo30 om.
  575. ↑ שיקח: Mo30 ליקח
  576. ↑ מן הגלגל: V397 מהגלגל
  577. ↑ רביעי: Mo30 רביעית
  578. ↑ וגם לא: Mo30 ולא
  579. ↑ כי השנים אינם: Mo30 שאינם
    השנים כי השנים אינם: V397 illegible
  580. ↑ שעל: Mo30 על
  581. ↑ הד': V398 ד'
  582. ↑ ג' נשימם ... הד' לפניו: Mo30 om.
  583. ↑ הח': Mo30 א'
  584. ↑ וא': Mo30 והא'
  585. ↑ נשוב: V398 נשיב
  586. ↑ שעדין: V397 שעוד
  587. ↑ הנה: Mo30 והנה
  588. ↑ לקחת: V397 ליקח
  589. ↑ והם: Mo30 שהוא
  590. ↑ ח': Mo30 ב' פעמים ח' marg. יהיו י"ו
  591. ↑ אחרי: Mo30; V398 אחר
  592. ↑ הוא: Mo30 om.
  593. ↑ נשאר: V397 נשאר לנו
  594. ↑ הנה: Mo30 והנה
  595. ↑ הנה יש: V397 ויש
  596. ↑ שיקח: Mo30 ליקח
  597. ↑ גם: V397 וגם
  598. ↑ מן הג': V397 מהג'
  599. ↑ שבטור: Mo30; V398 בטור
  600. ↑ יקח: V397 יקח ט'
  601. ↑ שיקח: V398 שיקחו
  602. ↑ מן הב': V397 מהב'
  603. ↑ שיתן: Mo30; V398 om.
  604. ↑ לגלגל: Mo30; V398 om.
    שיתן ... לגלגל: V397 om.
  605. ↑ לו: Mo30 marg.
  606. ↑ אלא: V398 אלה
  607. ↑ על הגלגל: V398 לגלגל
    כי אין לו ... ויהיה על הגלגל: Mo30 om.
  608. ↑ הכל: V397 על הכל
  609. ↑ ונכתוב: Mo30 ותכתוב
  610. ↑ כלום: V397 כלל
  611. ↑ לב': Mo30 marg.
  612. ↑ נשארו ו' וג': Mo30 om.
  613. ↑ ד': Mo30 הז'; V397 הד'
  614. ↑ וא': Mo30 ואם
  615. ↑ שהוא: Mo30; V398 om.
  616. ↑ שני: Mo30 om.
  617. ↑ נשארו: Mo30 ישאר
  618. ↑ אלף: Mo30 הוא אלף; V398 הוא א' marg. אלף
  619. ↑ וג' מאות וס': V397 וש"ס
  620. ↑ שתחתיו: Mo30 om.
  621. ↑ מאין: V397 מעין
  622. ↑ אפרש: V397 נפרש
  623. ↑ כשיתרחק: V397 שיתרחק
  624. ↑ שיכתב: Mo30 שיכתוב; V397 כי שיכתוב
  625. ↑ כדמיון זה: Mo30 כזה הדמיון
  626. ↑ ג0ב: Mo30 om.
  627. ↑ MS St.P374 excerpt 2 begin.
  628. ↑ הב': V397 om; Mo30 ב'; V398 שנים
  629. ↑ הג': Mo30 ג'
  630. ↑ כמה: Mo30; V397 כמו
  631. ↑ שיצטרך: Mo30; V398 שנצטרך
  632. ↑ החשבון: V398 חשבון
  633. ↑ הב': V397 ב'
  634. ↑ האחד: V397 א'
  635. ↑ אל: V397 על
  636. ↑ ואז נחלק כמשפט: Mo30; V397; V398 om.
  637. ↑ ואומר ... עוד: Mo30; V397; V398 om.
  638. ↑ כמו ...והקשה: Mo30; V397; V398 om.
  639. ↑ חשבון: Mo30 marg.; V397 om.
  640. ↑ שביעיות: V397 marg.
  641. ↑ MS St.P569 excerpt 1 begin.
  642. ↑ אורך: Mo30 אלמדך
  643. ↑ איכה: Mo30 איך
  644. ↑ תחלק: V397 תחלה
  645. ↑ מהט': V397 התשעה
  646. ↑ הדמיון: V397 הדמיון שאראה לך
  647. ↑ כשתחל: V397 תחלה שתחלק
  648. ↑ לט': V397 om.
  649. ↑ ותכתבנה אחורנית: V397 om.
  650. ↑ במעלת: V397 במעלה
  651. ↑ שתחלק: V397 שתחלוק; V398 שהחלוק
  652. ↑ וכן תעשה ...לחלוק ז': V397 om.
  653. ↑ ובשלישי: V397 ומהנשאר בשלישי
  654. ↑ נשיב: V397 נשוב
  655. ↑ הז': V397 om.; V398 ז'
  656. ↑ אחורנית: V397 om.
  657. ↑ ונחלק: V398 ומה ^ נחלק marg. ואשר
  658. ↑ ממנו: V398 om.
    ונחלק ממנו: V397 ומהג' נחלק
  659. ↑ ששי: V398 om.
  660. ↑ וכן תעשה עד שישאר ז': V397 om.
  661. ↑ ואחריו ה': V397 om.
  662. ↑ נשוב: V398 נשיב
  663. ↑ ז': V398 om.
  664. ↑ הח': V398 הז'
  665. ↑ ומה: V398 נשיב ז' אחורנית מה
  666. ↑ שתשאיר: V398 שנשאיר
  667. ↑ הרביעי: V398 השביעי
  668. ↑ לחלוק: V398 om.
    נשוב לחלק ... הרביעי לחלוק: V397 om.
  669. ↑ נשיב: V397 נשוב
  670. ↑ ח': V397 ה'
  671. ↑ השמיני: V397 שמיני; V398 השמינית
  672. ↑ ז': V398 om.
  673. ↑ רביעי: V397 השביעי
  674. ↑ ה' על ה': V397 על ה' י"ב; V398 על ה' ה'
  675. ↑ ואחריו: V397 ומה שתשאר
  676. ↑ ה': V397 י"ד
  677. ↑ ה': V397 ד'
  678. ↑ אחורנית: V397 om.
  679. ↑ שתשאיר: V397 שתשאר; V398 שנשאיר
  680. ↑ ו': V397 ה'
  681. ↑ ב': V397 ג'
  682. ↑ יצא: V397 יצאנו
  683. ↑ וה' מאות וס"ב: V397 ותקס"ב
  684. ↑ והמחולק ... וצ"ט: V397 om.
  685. ↑ והמקובל: V397 והמקובל הוא
  686. ↑ אלף: V397 אלפים
  687. ↑ וז' מאות ופ"ה: V397 ותשפ"ה
  688. ↑ ג': V397 ד'
  689. ↑ וג': V397 וד'
  690. ↑ וג': V397 וד'
  691. ↑ דלתין: V397 דלתין וב' זתין כמספר דלתין
  692. ↑ וו' אחת וב' אחת: V397 om.
  693. ↑ עם: V397 על
  694. ↑ כל: V398 om.
  695. ↑ חוץ: V398 om.
  696. ↑ ליתן: Mo30 לתת
  697. ↑ ז': Mo30 ט' marg. ז'
  698. ↑ שני: Mo30 השני
  699. ↑ על: Mo30 אל
  700. ↑ שנשארו: Mo30 שישארו
  701. ↑ ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז': Mo30 om.
  702. ↑ ותן: Mo30 וישארו י"ד ויתן
  703. ↑ ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז': Mo30 om.
  704. ↑ השלישי: Mo30 בשלישי
  705. ↑ תשיב: Mo30 תשים
  706. ↑ ולא: Mo30 לא
  707. ↑ והז': Mo30 וז'
  708. ↑ הה': Mo30 הב'
  709. ↑ שימהו: Mo30 שימם
  710. ↑ ד': Mo30 הד'
  711. ↑ וחלקם: Mo30 וחלק
  712. ↑ הרביעי: Mo30 רביעי
  713. ↑ הרביעי: Mo30 רביעי
  714. ↑ ח': Mo30 om.
  715. ↑ אחורנית: Mo30 אחרונים
  716. ↑ חמישי: Mo30 החמישי
  717. ↑ והח': Mo30 וח'
  718. ↑ וחלקם: Mo30 וחלקם ח"ח ג"כ
  719. ↑ הט': Mo30 הטור
  720. ↑ חמישי: Mo30 שישי marg. ה'
  721. ↑ והח': Mo30 וח'
  722. ↑ הז': Mo30 הע'
  723. ↑ ה' על הט' הראשון: Mo30 על הט' הראשון ה'
  724. ↑ והה': Mo30 וה'
  725. ↑ השלישי: Mo30 השלישית
  726. ↑ והה': Mo30 וה'
  727. ↑ שלחהו: Mo30 שלחם
  728. ↑ ה': Mo30 הה'
  729. ↑ כן: Mo30 ה'
  730. ↑ שלחהו: Mo30 שלחם
  731. ↑ ב' ו' ה' ה': Mo30 marg.
  732. ↑ נשלים: Mo30 נשלם
  733. ↑ אם חלקת נכונה: Mo30; V397; V398 om.
  734. ↑ המספר: V397 מספר
  735. ↑ שיהיה: Mo30 שהיה
  736. ↑ גם: Mo30 ג"כ
  737. ↑ המספר: V397; V398 מספר
  738. ↑ שכתבת: Mo30; V397 שהוא
  739. ↑ זה: V397 marg.
  740. ↑ האמצעי: V397 אמצעי; V398 ר"ל אמצעי
  741. ↑ נשאר: Mo30; V398 הנשאר
  742. ↑ ט'ט': Mo30 התשיעיות; V397 התשיעית; V398 תשיעית
  743. ↑ אם: Mo30 ואם
  744. ↑ שנשאר: V397 ששוי לחלק; Mo30; V398 שנשאר לחלק
  745. ↑ מהמספר: Mo30 המספר
  746. ↑ עליו: Mo30 עליו marg. לא תקח מאומה
  747. ↑ כי: Mo30 אבל
  748. ↑ כי אם: V398 ואם
  749. ↑ קח: Mo30 מן
  750. ↑ וחבר: Mo30 תחבר
  751. ↑ שהיה: V397 שיהיה
  752. ↑ אם: Mo30 ואם
  753. ↑ MS St.P374 excerpt 2 end
  754. ↑ שוה למאזני: Mo30 כמאזני
  755. ↑ מה: V398 כל מה
  756. ↑ שיעלה: V397 שתעלה; Mo30; V398 שעלה
  757. ↑ על: V398 על כל
  758. ↑ לחלק: V398 לחלוק
  759. ↑ למספרי: Mo30; V397 למספר
  760. ↑ וחלוק נכון: Mo30; V397; V398 om.
  761. ↑ Mo30; V397 om.
  762. ↑ העליון: V398 om.
  763. ↑ וכתוב מה: V398 ובתנאי
  764. ↑ ומהמספר: V398 והמספר
  765. ↑ תשיב: V398 השיב
  766. ↑ ותצרף: V398 ותצטרף
  767. ↑ יותר: V398 יתר
  768. ↑ תשיב: V398 השיב
  769. ↑ והג' ... העליון: V398 om.
  770. ↑ כי: V398 כי marg. אע"פ שהוא
  771. ↑ נכתבנו: V398 תכתבהו
  772. ↑ על: V398 אל
  773. ↑ כי ט': V398 כי ט' כי ט'
  774. ↑ אשר על: V398 שעל
  775. ↑ יתחלקו: V398 נתחלקו
  776. ↑ וש"נ: V398 ש"ה marg. ש"נ
  777. ↑ א': V398 א' האחרון בטור השפל
  778. ↑ העליון: V398 בטור העליון
  779. ↑ וכתבנוהו: V398 והנה א' וכתבנוהו
  780. ↑ המספר: V398 העליון
  781. ↑ הה': V398 ה'
  782. ↑ יתחלקו: V398 נתחלקו
Chapter Three
  1. ↑ השלישי: Mo30 החמשלישי
  2. ↑ בספרי: V397 בשערי
  3. ↑ כי: Mo30; V397 om.
  4. ↑ מן המספרים: Mo30 מהמספרי'
  5. ↑ שיעברו: Mo30; V397 שעברו
  6. ↑ יכפול: Mo30 כפול
  7. ↑ על חציו: Mo30 בחציו
  8. ↑ בתוספת: Mo30 גם בתוספת
  9. ↑ כמה הם: Mo30 om.
  10. ↑ המספרים: V397 מספרים
  11. ↑ המחוברים: Mo30 שהם; V397 marg.
  12. ↑ סוף: Mo30 om.
  13. ↑ ידענו: V397 ידע
  14. ↑ הנה: V397 om.
  15. ↑ הנה יהיו: Mo30 ויהיו
  16. ↑ והנה: Mo30 om.
  17. ↑ יעלו: Mo30; V397 עלו
  18. ↑ המחובר: Mo30 המבוקש
  19. ↑ כמה: Mo30 רצינו לדעת כמה
  20. ↑ סוף: Mo30; V397 om.
  21. ↑ והנה: V397 הנה
  22. ↑ והוא: V397 הם
  23. ↑ כפלנו: V397 כפלו
  24. ↑ ועלו: Mo30 עלו
  25. ↑ ועוד: V397 עוד
  26. ↑ יש: Mo30 יש לו; V397 יש לנו
  27. ↑ חשבון: Mo30; V397 om.
  28. ↑ יעלו: Mo30 יעלה
  29. ↑ חבר אותו: Mo30 חברם
  30. ↑ עם: Mo30 אל
  31. ↑ אלו שני: Mo30 שני אלו
  32. ↑ הדרכים: V397 דרכים
  33. ↑ הולך: Mo30; V397 om.
  34. ↑ חשבון: Mo30 החשבון
  35. ↑ דרך אחרת ... קע"א: Mo30; V397 om.
  36. ↑ אברהם: Mo30 אברהם אבן עזרא; V397 אברהם ן' עזרא
  37. ↑ תוסיף: Mo30 שתוסיף; V397 שאוסיף
  38. ↑ מרובע: V397 המחובר marg. המרובע
  39. ↑ שהוא: Mo30 הוא
  40. ↑ בעצמו: Mo30; V397 בעצמו סוף החשבון
  41. ↑ כמה: Mo30 מה שיגיע
  42. ↑ וראה כמה המחובר: V397 om.
  43. ↑ ואחר: Mo30 om.; V397 ואחר כן
  44. ↑ על: Mo30; V397 עליו
  45. ↑ השרש: Mo30 שרש
  46. ↑ הדרך: V397 om.
  47. ↑ הזה: Mo30 זה
  48. ↑ חברתי: Mo30 חברנו
  49. ↑ מספרים: Mo30 כל המספרים; V397 המספרים
  50. ↑ שהגיעו: V397 שהגיע
  51. ↑ החשבון: Mo30; V397 חשבון
  52. ↑ ובחון: Mo30 ובחן
  53. ↑ השרש: Mo30; V397 הוא השרש
  54. ↑ כפלנו: Mo30 כפל
  55. ↑ ועלה: Mo30 הוא; V397 ועלו
  56. ↑ וידוע: Mo30 וידענו
  57. ↑ היה: Mo30 om.; V397 היו
  58. ↑ המספרים ... סוף: Mo30 twice
  59. ↑ דרך אחרת ... המבוקש: Mo30; V397 om.
  60. ↑ המרובעים: Mo30 המספרים marg. המרובעים
  61. ↑ החשבון: Mo30 מספר
  62. ↑ שהוא: Mo30 om.
  63. ↑ נשים: Mo30 תשים
  64. ↑ שם: V397 om.
  65. ↑ המספר: V397 מספר
  66. ↑ ונקראנו: Mo30 ותקראהו
  67. ↑ שלישית אחד: V397 שלישית אחד marg. כי הלויתי מהאחד
  68. ↑ ונכפול: Mo30 וכפול
  69. ↑ המחובר: Mo30 המספר
  70. ↑ המרובעים שהם: V397 הם המרובעים
  71. ↑ שבעה: Mo30 שבעה והוא מספר שאין לו שלישית
  72. ↑ וכבר: Mo30 כבר
  73. ↑ שהמחובר: Mo30 כי המחובר
  74. ↑ ונשוב: V397 תשוב marg. ונשוב
  75. ↑ שבעה: V397 שלז'
  76. ↑ אחד: Mo30; V397 om.
  77. ↑ הם: V397 om.
  78. ↑ ויש: V397 יש
  79. ↑ אחד: Mo30 יהיה אחד
  80. ↑ והנה נכפול: Mo30 ונכפול
  81. ↑ המחובר: Mo30 הוא המחובר
  82. ↑ שהם: Mo30 שהוא
  83. ↑ עד סוף: Mo30 מספר
  84. ↑ י"ב: Mo30 י"ב והוא מספר שיש לו שלישית
  85. ↑ וידוע: Mo30 וידענו
  86. ↑ יעלו: Mo30 ועלה
  87. ↑ נחבר: Mo30 ונחבר
  88. ↑ שהם: V397 om.
  89. ↑ ואני: V397 om.
  90. ↑ לחבור: V397 לדעת
  91. ↑ שאם ... דע: V397 illegible
  92. ↑ מצאתי ... ההוא: V397 marg
  93. ↑ דמיון ... ה': V397 om.
  94. ↑ Mo30; V397 om.
  95. ↑ הדרך הזה: Mo30 זה הדרך
  96. ↑ כל השאלות מזה הענין: Mo30 השאר
    ועל הדרך ... מזה הענין: V397 om.
  97. ↑ כל: V397 om.
  98. ↑ כל זה: Mo30 om.
  99. ↑ כשתחבר: V397 בשחבר
  100. ↑ שיהיו: Mo30 שיהיה
  101. ↑ אלו ואלו: V397 אלה על אלה
  102. ↑ האחד: V397 om.
  103. ↑ העליון: V397 אחד
  104. ↑ מעלותיו: V397 מעלתו
  105. ↑ גם: V397 וגם
  106. ↑ המספר: V397 מספר
  107. ↑ מעלותיו: V397 מעלתו
  108. ↑ אל: V397 עם
  109. ↑ התחתון: V397 השפל
  110. ↑ השלישי: V397 השפל
  111. ↑ ועתה ... למזלות: V397 om.
  112. ↑ כל: V397 על
  113. ↑ עוד: V397 ועוד
  114. ↑ עשרים עשרים: V397 כ' על כ'
  115. ↑ ובספר: V397 ובמספר
  116. ↑ לדעת: V397 om.
  117. ↑ שיבקשו: V397 יבקשו
  118. ↑ זה: V397 שם זה
  119. ↑ מן הראשונים: V397 מהראשונים
  120. ↑ באותו: V397 המעלות והמזלות ויש באותו
  121. ↑ שימצאו: V397 שנמצאות
  122. ↑ מן הששים: V397 משישים
  123. ↑ במקום: V397 במקום במקום
  124. ↑ מן המעלות: V397 מהמעלות
  125. ↑ שכתבת: V397 כמו שכתבת
  126. ↑ המעלות: V397 המעלות marg. המזלות
  127. ↑ המעלות: V397 המזלות
  128. ↑ מן המעלות: V397 מהמעלות
  129. ↑ מזלות: V397 om.
  130. ↑ אז: V397 אז marg. אז
  131. ↑ שם: V397 om.
  132. ↑ מן המעלה: V397 מהמעלה
  133. ↑ כי אם: V397 כי אם כי אם
  134. ↑ ממעלת: V397 ממעלות
Chapter Four
  1. ↑ מחשבונים רבים: V397 marg.
  2. ↑ אחרת: V397 אמת
  3. ↑ החשבון: V397 המספר
  4. ↑ שתחפוץ: V397 שתרצה
  5. ↑ לגרעם: V397 לגרוע אותם
  6. ↑ והנה: V397 וכן
  7. ↑ באחת: V397 באחדות
  8. ↑ מן: V397 om.
  9. ↑ מהמספר: V397 ממספר
  10. ↑ שבטור: V397 הטור
  11. ↑ שאחריו: V397 שהוא אחריו
  12. ↑ אחד: V397 ואחד
  13. ↑ מן העליונים: V397 מהעליונים
  14. ↑ ממעלתו: V397 ממעלותו
  15. ↑ ולא נוכל ... מב': V397 om.
  16. ↑ ולעולם: V397 וככה הכל ולעולם
  17. ↑ לחסר: V397 ולהסר
  18. ↑ נכתבנו: V397 נכתוב אותו
  19. ↑ כתבנו אותו: V397 כתבנוהו
  20. ↑ תחת מעלה הרביעית: V397 om.
  21. ↑ שמנו גלגל במקומו: V397 כתבנו במקומו גלגל
  22. ↑ אחד: V397 top
  23. ↑ שבטור השפל לפניו: V397 שהוא לפניו בטור השפל
  24. ↑ ונשארו: V397 נשאר
  25. ↑ כי: V397 שהוא
  26. ↑ שבטור השפל: V397 בשפל
  27. ↑ מן: V397 משל
  28. ↑ שבטור: V397 בטור
  29. ↑ ונכתוב: V397 וכתבנו
  30. ↑ היו: V397 היה לנו
  31. ↑ נחסר ט': V397 om.
  32. ↑ ונשארו: V397 נשארו
  33. ↑ וזו היא הצורה: V397 om.
  34. ↑ תרצה: V397 נרצה
  35. ↑ תגרע: V397 נגרע
  36. ↑ ותשמור: V397 ונשמור
  37. ↑ ותראה: V397 ונראה
  38. ↑ היו: V397 om.
  39. ↑ דע: V397 נדע
  40. ↑ חשבונך: V397 חשבוננו
  41. ↑ היו: V397 היה
  42. ↑ הטור: V397 om.
  43. ↑ הוסף: V397 הוסף
  44. ↑ ותעשה: V397 ונעשה
  45. ↑ כמשפט: V397 השפל marg. כמשפט
  46. ↑ החסרנו: V397 חסרנו
  47. ↑ השיבונו: V397 השיבונו אותו
  48. ↑ והיו י' חסרנו ז': V397 om.
  49. ↑ והיו: V397 היו
  50. ↑ החסרנו: V397 חסרנו
  51. ↑ יש: V397 om.
  52. ↑ כן תכון: V397 om.
  53. ↑ והראשונים: V397 והחלקים הראשונים
  54. ↑ השניים: V397 כי השניים
  55. ↑ השפל: V397 שפל
  56. ↑ מהשניים: V397 יחלו לגרוע מהשניים
  57. ↑ יכתבהו: V397 יכתבנו
  58. ↑ העליונים: V397 om.
  59. ↑ יחשבהו: V397 ויחשוב אותו
  60. ↑ מהמזלות: V397 מהמעלות marg. מהמזלות
  61. ↑ אחד: V397 om.
  62. ↑ ויחשבנו: V397 ויתחשבנו
  63. ↑ ל': V397 למעלה marg. למעלות
  64. ↑ וישמר ... יגרע: V397 marg.
  65. ↑ גדולים: V397 הגדולים
  66. ↑ יוסיף: V397 נוסיף
  67. ↑ לעולם: V397 om.
  68. ↑ ממאזני: V397 ומאזני
  69. ↑ יגרע כמשפט: V397 om.
  70. ↑ ויעשה: V397 יעשה
  71. ↑ והשיבה: V397 והשיב אותו
  72. ↑ לחברם: V397 לחבר אותו
  73. ↑ מן המזלות: V397 מהמזלות
  74. ↑ הוסף על מאזני המעלות: V397 marg.
  75. ↑ המזלות: V397 המעלות
  76. ↑ כלל אומר לך: V397 om.
  77. ↑ צורך: V397 צריך
  78. ↑ האחרון: V397 אותו
  79. ↑ שבסוף: V397 בסוף
  80. ↑ מהאחרון: V397 מאותו האחרון
  81. ↑ שבטור: V397 בטור
  82. ↑ שהעליון: V397 העליון
  83. ↑ מן התחתון: V397 מהתחתון
  84. ↑ אותיות: V397 אותיות סימנים
  85. ↑ ודי לו: V397 ודי לו לכתוב בחלוק והוא צרך לעולם יש לנו לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבון יצא לחשבון אם גלגל עליו עוד לא יתחלק דמיון
    ב ג ד ה ו ז
    ‫0 ב ט ח
  86. ↑ V397 om.

Appendix: Bibliography

Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra
b. 1089, Tudela, Spain – d. 1167
Sefer ha-Mispar (The Book of Number)
Lucca, Italy, between 1142 and 1145


Manuscripts:

1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/13 (IMHM: f 1996), ff. 60r-112r (15th-16th century)
[B244]
2) Cambridge, University Library Add. 670, 2 (IMHM: f 16999) (15th-16th century)
3) Cambridge, University Library Add. 1015, 2 (IMHM: f 15886; f 17024), f. 92v (14th-15th century)
4) Cambridge, University Library Add. 1527, 2 (IMHM: f 17464) (15th century)
5) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Or. 489/5 (IMHM: f 19164), ff. 137r-147v (1443)
6) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.28/1 (IMHM: f 17849), ff. 1r-48v (14th-15th century)
[F88.28]
7) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/1 (IMHM: f 17970), ff. 1r-45v (14th century)
[F88.46]
8) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 88r-92v (15th century)
9) Jerusalem, Museum of Italian Jewish Art 30 (IMHM: f 5069; f 45045) (16th century)
10) Leeuwarden, Tresoar, the Frisian Historical and Literary Centre B.A. Fr. 21/1 (IMHM: f 3481), ff. 1r-51r (14th-15th century)
11) London, British Library Add. 27153/7 (IMHM: f 5826), ff. 13v-37r (cat. Margo. 1085, 7) (Siena, 1431)
[Lo27153]
12) London, British Library Or. 10785 (IMHM: f 8100) (Verona, 1647)
[Lo10785]
13) London, Montefiore Library 419 (IMHM: f 5352) (15th century)
14) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/1 (IMHM: f 6711), ff. 1r-38r (1503)
[Mo30]
15) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1383 (IMHM: f 48474) (Paris, 18th-19th century)
16) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 43/8 (IMHM: f 1150), ff. 103v-146r (16th century)
[Mu43]
17) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 150/5 (IMHM: f 1168), ff. 83v-108v (15th century)
[Mu150]
18) New York, Columbia University X 893 Sh 4 (IMHM: f 16483) (16th-17th century)
19) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2561, (IMHM: f 28814) (17th century)
short excerpt from Chapter VI - Proportions
[N2561]
20) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/1 (IMHM: f 28877), ff. 1r-10v (16th century)
partial: mid. Chapter I - mid. Chapter IV
[N2624]
21) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2627/1 (IMHM: f 28880), ff. 1r-48v (17th century)
[N2627]
22) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/1 (IMHM: f 19304), ff. 1r-9v (cat. Neub. 2019, 1) (15th century)
23) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/2 (IMHM: f 19304), ff. 14r-66r (cat. Neub. 2019, 2) (16th century)
24) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 319/1 (IMHM: f 19303), ff. 1r-64v (cat. Neub. 2018, 1) (14th century)
25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428)
26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503)
[O187]
27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century)
[P1029]
28) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/1 (IMHM: f 27767), ff. 1r-34v (14th century)
starts from Chapter IV - Subtraction
[P1049]
29) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1050/2 (IMHM: f 14646), ff. 1v-29v (15th century)
[P1050]
30) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1051/2 (IMHM: f 14656), ff. 2r-40v (1482)
[P1051]
31) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/1 (IMHM: f 14649), ff. 1r-41v (15th century)
[P1052-1]
32) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/4 (IMHM: f 14649), ff. 55r-58r (15th century)
[P1052-4]
33) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 13/5 (IMHM: f 52914), ff. 155r-163r (18th-19th century)
34) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 454 (IMHM: f 53740) (17th -18th century)
35) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 374/1 (IMHM: f 50951), ff. 1r-2v (18th century)
two short excerpts: (1) from Chapters III-IV; (2) from Chapter II
[St.P374]
36) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 569 (IMHM: f 70777) (14th-15th century)
two short excerpts: (1) from Chapters II-IV (ff. 10, 2-9, 1v); (2) from Chapter II (f. 11r-v)
[St. Petersburg569]
37) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 1385 (IMHM: f 66722) (17th century)
short excerpt from Chapter VI - Proportions
[St.P1385]
38) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), ff. 98r-101r (Canea, 1493)
[V171]
39) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 386/3 (IMHM: f 468), ff. 137v-206v (14th century)
[V386]
40) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/2 (IMHM: f 475), ff. 3r-49r (Murcia, 1384/1385)
[V397]
41) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 398/1 (IMHM: f 476), ff. 1r-2v; 9r-30v; 118r-123v (14th century)
[V398]
42) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 530/11 (IMHM: f 2707; f 18511), ff. 101r-v (26.fs.0000) (14th century)
short excerpt from Chapter VII - Square Roots
[V530]
43) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/2 (IMHM: f 12013), ff. 24r-64v (15th century)
44) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 152/2 (IMHM: f 1422), ff. 4r-34v (18th-19th century)
[W152]
45) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/7 (IMHM: f 1456), ff. 90v-99v (16th century)
[W194]


Edition:

  • Ibn ‛Ezra, Abraham. Sefer ha-Mispar, Das Buch der Zahl: ein hebräisch-arithmetisches Werk. Ed. Moritz Silberberg. Frankfurt a. M.: J. Kauffmann, 1895.


Bibliography:

  • Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188.
  • Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 130-155.
  • Sela, Shlomo. 2000. Encyclopedic Aspects of Abraham Ibn Ezra’s Scientific Corpus. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp.154-170
  • Sela, Shlomo, and Gad Freudenthal. 2006. Abraham Ibn Ezra’s scholarly writings: a chronological listing, Aleph 6, pp. 13-55.
  • Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 87-91 (d38-d42); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.


– Commentary on Sefer ha-Mispar–
Anonymous


Manuscript:

  • Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/2 (IMHM: f 2320), ff. 39r-65r (14th-15th century)
Retrieved from "http://mispar.ethz.ch/mediawiki/index.php?title=ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא&oldid=34327"