Difference between revisions of "Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils"

Revision as of 17:34, 24 April 2018

וזה הכלל כל מרובע של מעלה נפרדת הו' א' . ד' . ט' ושרשם א' ב' ג' וכל מעל' זוגיי' שרש מרובעיה ו"א . ה"ב . ו"ג ט"ד . ד"ו . א"ח . ושרשם ד' . ה' . ו' . ז' . ח' . ט' ואבל אי' מעלת השרשי' לעול' הסמוכה לה וכה תדע מעלת מקו' השרש לעולם ראה במספרי' מעל' נפרדת להשיב השרש רחוק מהמרובע אחורני' מספר מעלו' כמספר מעלו' שירחק מהאחדי' והמשל מצאנו ד' במעל' תשיעי' כזה 0 0 0 0 0 0 0 0 ד הנה ידענו כי זה המספר מרובע כי הו' מעלה נפרד' ודומ' לאחדי' ובאחדי' ד' הו' מרובע . ושרשו הו' ב' א"כ גם זה שרשו ב' . ומקומה של הב' ראויה להיות ממוצעת בין מעלת האחדי' ומעלת המרובע והיינו בחמשית וכן מספרי' הזוגו' מאחר שצריך לך לעול' לחבר עם המרובע אחדי' מהמעלה שלפניו וצריך להשיב מעלת הזוג אחורנית לחשבה בעשרו' ויהיו שם במעלה נפרדת . עשה ג"כ כנ"ל ושים השרש באמצע . 0 0 0 0 0 0 ו ג כאלו תאמ' מצאנו ו' ג' . במעל' ח' והי' זוגיי' ודומה לל"ו שבעשרו' שהו' מרובע ושרשו ו ו' א"כ גם זה שרשו ו' . וצרי' להשים הו' בין תחלת המספר המרובע ובין האחדי' באמצע דהיינו במעל' ד' שהו' רחוק מהאחדי' ג' מעלו' וכן הו' רחוק מהמעל' הה' אשר שם החל מספר המרובע והילך מעשה ידיע' השרש הקדו' או האמתי . כתו' המספר הדרוש שרשו בטור אחד כפי מעלותיו המשל בזה שמטהו ה' מעלו' כזה והנה ידעת מהנ"ל שזה המספר נפרד ודומ' לאחדי' ר"ל הה' ושרש היותר קרו' בה הו' ב' שהו' שרש ד' הקרוב לה לפניו ומקו' הב' כנ"ל הו' במעל' ג' תחת הג' . ראה מעתה כמה מעלו' עברו מהאחדי' עד מקו' הב' שהי' שרשך ושם החל לכתו' גלגלי' כמספר המעלו' ההם כאלו תאמ' מהאחדי' עד הב' יש ב' מעלו' לכן נכתו' תחת הקו ב' גלגלי' מתחילי' תחת הב' בעצמ' והולכי' לשמאל אח"כ נכתו' העול' מכפל ב' על ב' שם והו' ד' . אח"כ גרע הד' מהה' של מספר הדרוש וישאר א' וכן כתו' א' ממעל לה' והעבר קו סביב הה' כי אי' בה צורך עוד . ומעתה נשאר לדעת השרש היותר קרוב מהב' . וזה יצטרך לקחת לכל מה מספר שתוסיף על השרש כפל אותו מספר על פעמים זה השרש שהו' הב' במשלינו במעל' המאות . וגם כפל המספר ההו' על עצמו . ומופת זה כי אנחנו הנחנו מספר מרובע של ד' רבואו' א"כ שרשו ב' מאו' כמ' שראית . ושרשו הוא מספר הצלע האחת מהמרובע בעצמ' כי ב' מאו' אמ' ארך על ב' מאו' אמ' רחב ימצא בם ד' [רבואו'] אמו' של אמה על אמ' ונניח שנוסיף על שרש זה המרובע ג שלשי' ויהיה צלע אחד של המרובע ר"ל נמצא שתשים ל' רצועו' כל אחת של מאתים אמ' ארך וא אמ' רחב דהיינו רצועה אחת של מאתים על ל' ותחברנה בצלע אחד מהמרובע כאלו תאמ' למזרחו ויהיה המרובע אז ארכו יתר על רחבו ארכו ר"ל ורחבו ר' . אח"כ הוספת עוד רצוע' ל של ד' על ל' אז לדרומו של המרובע ויהיה רחבו ג"כ ר"ל . וא"כ כבר הוספת על זה השרש כפל ל' על ד' פעמי' פעם א' המזרח ופעם א' הדרום . ופי והו' הו' כפל ל' על ת' . ועדיין חסרה קרן זוית בחד המרובע [..]הקרן דרומי' מזרחי' אשר לא תתמלא רק אחר שומך שם מרובע ל' על ל' ואז ישוב מרובע [.....................................................................................................] [...............................] [אח"כ על ב' פעמי] [.............................................] [....................] צריך להוסיף עליו [.............................................................] ל"ד שהו' ב' פעמי' י"ז . ונשוב לכונתינו ונאמ' אחרי שמצאת [...................................] על מקומ' גם חסר ג' מר[צו]עה של הב' מ[ה"ה] ונשאר [.] [....] מעתה [.......................] הנשאר והו' א' ב' ג' ד' א' ככל מה שתוכל וזה הדרך תלך בו . קח השרש [...........] פעמים [.]"ל כפול אותו עם ב' אם הו' ג' כתו' ו' ואם [.] ו'א' ובדמיוננו ה[...............................] ד' . וחלק מעתה המספר העליון על הד' ורא' כמ' פעמי' ימצא [.] בא' הא[.....] הד' שלפניה כשתשיבנה אחורני' ויהיו י"ד . הוי או' ג' פעמי' ימצא . וצריך לראו' אם ימצא ג"כ למלאת [הקרן] [....] והו' ט' וו שהו' כפל 0"ג על 0"ג כי אם לא היה אפשר . לא הייתי לוקח רק ב' והנה בדמיוננו נוכל לקח[ת] ג' ונכתו' מעת' ג' קדם הב' לימינ' . וז ושוב לעשו' כנ"ל והו' זה . ראה כמ' מעלו' מהאחדי' עד ה[ג'] והנה הי' אחת לכן כתו' תחת הקו במעלה ב' דהיינו תחת הג' ההי' גלגל אחד . אח"כ כפול ג' על עצמו ויצא ט' כתבהו במקומו תחת הקו לשמאל הגלגל היחיד שעשית תחת הג' [...] כפול הג' על הב' הד' שיהי' ב' פעמי' השרש ויעלה ב"א וכתבם במקומ' אחרי הט' תחת הקו כי הג' הי' ממעל' העשרו' והד' מהמאו' וכפל עשרו' במאו' יעלו אלפי' לכן תחל לכתו' הב' תחת [מעלת] האלפי' והא' תחת הרבואו' . אח"כ גרע זה מהמספר העליון כל מין ממינו דהיינו הא' מן ה[.......] ישאר והב' מהד' ישאר ב' ולפי שלא נוכל לקחת אז הט' מהג' לכן נשיב א' אחורני' ונכתו' א' ונקח הט' מהא' המושבת אחורני' על הג' שהם י"ג וישארו ד' וכן נכתו' ד' . ונכתו' זה למעלה מהטור העליון איש איש על מעלתו כמו שתראה בדמיונינו זה והעבר קו על ג"ד ועל א' כי אי' בם צרך והנה מצאת שרש הקרו' ר"ל עו' תרצה להגדיל המרובע והשרש כי יש עוד מספר רב מן המספר הראשון הדרוש כי נשאר לך עדיין א' ב' ד' א' . לכן חלקהו על הג' ותראה כמה פעמי' ימצא ג' ב . ושוב מעתה לכפול גם הג' בב' ויהיה ו' . כתבה תחת הג' . ומעתה חלק המספר הנותר מהדרוש על כפל כל השרש והו' ו' ד' . דהיינו ת"ס כי השרש הו' ר"ל . וראה כמה פעמי' ימצא ד' בי"ד והנהו ג' פעמי' . כתו' ג' לפני הג' ב' של השרש ותחת הא' . וכפול מעתה ג' על עצמו ויהיה ט' כתבה תחת הקו ותחת הג' האחדית * ולפי שהג' אינ' רחוקה * ויהי[ה] דבר ממעלת האחדי' ע"כ אין צרי' לשים שום גלגל . עוד כפול הג' בשרש ב' פעמי' שהם ו' ד' ותמצא ח' ג' א' . כתבם על מקומ' דהיינו שתתחיל אצל הט' למטה . ויהיה המספר היוצא מכפל ג' על עצמו ועל השרש פעמים . ט ח ג א . וזה המספר גרע מאשר נשאר לך מהמספר הדרוש והו' והנה חסר א' מא' לא ישאר כלום עוד חסר ג' מד' ישאר א' ולפי שלא נוכל לקחת ח' מב צריך להשיב זו הא' אחורנית ולא ישאר כלו' בזאת המעל' ג"כ חסר ח מב'א' ר"ל מי"ב ישאר ד' ועו' צרי' להשי' אחורני' א' מהד' נשאר ג' וכן תכתו' עו' חסר ט' מא"א והו' י"א וישאר ב' וכתבה במקומ' והעבר קו על א"ב ד"א כי אי' בם צורך עוד

אמר עמנואל בן יעקב לפי שמעשה החלוק יותר קשה למתלמדים ממעשה הכפל והיא הדרך לשאר החשבנים החכמים להוציא המספר האחד הנעלם איזה שיהיה מתוך ידיעת החמשה מספרים הנשארים ויעשה בזה שני כפלים ושני חלקים בדרכים שונים ראינו לבאר להוציא הנעלם מתוך ידיעת החמשה הנשארים ויעשה בזה שלשה כפלים וחלוק אחד ואומר ראשונה לתת קצת אותות אל זה המעשה הנה יחס א' אל ב' מחובר מיחס ג' אל ד' ומיחס ה' אל ו' וכבר התבאר מתמונת כ"ג מששי אקלידיס שיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההוה מן ד' בו' מחובר מיחס צלע ג' אל צלע ד' ומיחס צלע ה' אל צלע ו' אם כן יחס ו' אל ב' כיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההווה מן ד' בו' ויהיה שטח ג' בה' מספר ז' ושטח ד' בו' מספר ט' אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ט' אם כן נכפול הקצות שהם א' בט' ויהיה ל' ונחלק ל' על האמצעי והוא ב' ויעלה הז' שהוא האמצעי האחר או נחלק ל' על האמצעי והוא ז' ויעלה ב' והוא האמצע האחר או נכפול האמצעיים שהם ב' בט' ויהיה ל' ונחלק על הקצה

ברוחב הנה [......] הזאת פחותה מחצי הכדור כגון עגולת [....] שעמקה שתי אמות ורוחב עגולת [....] שורש מ' והוא [....] ושליש [.......] ואתה יודע ש[.......................................] מפני שעמקה פח[ות] ממחצית רוח[.....] ואם אתה מוציא [..............] כאשר למדת תמצא [....] כפול שנים שהם עומק הבריכה שהוא [....] בז' שהוא קוטר הכדור יהי[ה] י"ד כפול [.....] פעמים ושביעית פעם יהיו מ"ה והוא משיח[ת] שטח הבריכה כפ[.]ל[................] והוא אחד ושתות [.....] בז' ושליש והוא תשבורת [....] הבריכה ואם היה עמק הבריכה ה' אמות ורחב[......] גדר ארבעים [....] [........] ואם אתה כופל העומק בקוטר יהיה ל"ה נכפילה בג' ושביעית יהיה ק"י והוא משיחת שטח הבריכה כפולה בש[....] הקוטר יהיה קכ"ח ושליש והוא תשבורת רבוע [....]

אמר טעם החלוק הם שניים א שנכפול בדרך הכפל מה שיצא בחלוק על הטור השפל שמחלקים עליו תחבר עם העולה מה שנשאר לחלק [.....] דבר ואם המחובר שוה למספר הטור המחולק עשינו נכונה הב' שנכפול מאזני מה שעלה בחלוק עם [.....] הטור השפל ונקח ממנו העולה ואם נשאר דבר לחלק נחבריהו עמו ואם הוא שוה למאזני הטור העליון חשבונינו אמת והטעם למאזנים הראשונים כי בחשבון המחולק [....] החשבון שמחלקים עליו כשיעור אחד מה שיעלה בחלוק הוא מספר מה שימנה המספר שמחלקים עליו למספר גדול המחולק לזה הכה זה על זה ויצא המחולק

Appendix: Bibliography

Immanuel ben Jacob Tov-Elem / Immanuel Bonfils / Immanuel of Trascon (flourished c. 1340-1377)

Manuscripts:

1) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut. 88.30/2 (IMHM: f 17853), ff. 37r-38r (15th century)

Plut. 88.30/2

2) London, British Library Or. 10878 (IMHM: f 8193), ff. 6r-7v (15th century)

Or. 10878

3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 365/11 (IMHM: f 43035), ff. 193v-196v (15th-16th century)

4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 903/7 (IMHM: f 26859), ff. 138r-140r (15th century)

heb. 903/7

5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1026/6 (IMHM: f 15025), ff. 72r-80v (16th century)

heb. 1026/6

6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1054/8 (IMHM: f 33997), ff. 31r-v (15th century)

heb. 1054/8

7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1081/3 (IMHM: f 15037), ff. 4r-15v (16th-17th century)

heb. 1081/3

Bibliography:

• Gandz, Solomon. 1936. The Invention of the Decimal Fractions and the Application of the Exponential Calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis XXIV, pp. 16–45.
• Lévy, Tony. 2003. Immanuel ben Jacob de Tarascon (XIVe s.): fractions décimales, puissances de 10 et opérations arithmétiques, Centaurus 45, pp. 284-304.
• ———. 2012. Immanuel ben Jacob of Tarascon (Fourteenth Century) and Archimedean Geometry: An Alternative Proof for the Area of a Circle, Aleph. 12.1, pp. 135-159.
• Rabinovitch, Nahum. 1974. An Archimedean Tract of Immanuel Tov-Elem (14th Cent.), Historia Mathematica 1, pp. 13–27.
• Rashed, Roshdi. 1994. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Translated by A.F.W. Armstrong. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, pp. 85-146.
• Sarton, George. 1934. Simon Stevin of Bruges (1548-1620), Isis, vol. 21, no. 2 (Jul., 1934), pp. 241-303.
• ———.1935. The First Explanation of Decimal Fractions and Measures (1585). Together with a History of the Decimal Idea and a Facsimile (No. XVII) of Stevin's Disme, Isis, vol. 23, no. 1 (Jun., 1935), pp. 153-244.
• Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 155-163 (f79-f87); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.