Difference between revisions of "Excerpts Attributed to Immanuel Bonfils"
(→Consists of surfaces) |
(→Notes) |
||
(38 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 268: | Line 268: | ||
|- | |- | ||
|ל||ט‫'||ז‫'||ו‫'||ה‫'||ד‫'||ג‫'||ב‫'||א‫' | |ל||ט‫'||ז‫'||ו‫'||ה‫'||ד‫'||ג‫'||ב‫'||א‫' | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none; text-align:center; color:blue" | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||sixth||fifth||fourth||third||second||first | ||
+ | |- | ||
+ | |L||T||Z||W||H||D||G||B||A | ||
|} | |} | ||
|- | |- | ||
Line 301: | Line 309: | ||
== Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) == | == Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) == | ||
− | + | |style="text-align:right;"|<big>לוח כפילת המעלות ושבריהם</big> | |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
Line 319: | Line 327: | ||
|- | |- | ||
|עשיריים||תשיעיים||שמיניים||שביעיים||ששיים||חמשיים||חמישיים | |עשיריים||תשיעיים||שמיניים||שביעיים||ששיים||חמשיים||חמישיים | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none; text-align:center; color:blue" | ||
+ | |- | ||
+ | |fifths||fourths||thirds||seconds||primes||degrees|| | ||
+ | |- | ||
+ | |fifths||fourths||thirds||seconds||primes||degrees||degrees | ||
+ | |- | ||
+ | |sixths||fifths||fourths||thirds||seconds||primes||primes | ||
+ | |- | ||
+ | |sevenths||sixths||fifths||fourths||thirds||seconds||seconds | ||
+ | |- | ||
+ | |eighths||sevenths||sixths||fifths||fourths||thirds||thirds | ||
+ | |- | ||
+ | |ninths||eighths||sevenths||sixths||fifths||fourths||fourths | ||
+ | |- | ||
+ | |tenths||ninths||eighths||sevenths||sixths||fifths||fifths | ||
|} | |} | ||
|- | |- | ||
Line 325: | Line 351: | ||
== Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) == | == Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) == | ||
− | + | |style="text-align:right;"|<big>לוח חילוק השברים האחד על השני</big> | |
|- | |- | ||
| colspan="2"| | | colspan="2"| | ||
Line 345: | Line 371: | ||
|} | |} | ||
|- | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: auto; border: none; text-align:center; color:blue" | ||
+ | |- | ||
+ | |sixths||fifths||fourths||thirds||seconds||primes||degrees | ||
+ | |- | ||
+ | |fifths||fourths||thirds||seconds||primes||degrees||primes | ||
+ | |- | ||
+ | |fourths||thirds||seconds||primes||degrees||primes||seconds | ||
+ | |- | ||
+ | |thirds||seconds||primes||degrees||primes||seconds||thirds | ||
+ | |- | ||
+ | |seconds||primes||degrees||primes||seconds||thirds||fourths | ||
+ | |- | ||
+ | |primes||degrees||primes||seconds||thirds||fourths||fifths | ||
+ | |- | ||
+ | |degrees||primes||seconds||thirds||fourths||fifths||sixths | ||
|} | |} | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 363: | Line 404: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | ::{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center; | |
− | {|class="wikitable" style=" | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |1||2||7 |
|- | |- | ||
− | | | + | |3||5||5 |
|} | |} | ||
|- | |- | ||
Line 377: | Line 417: | ||
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
− | | || | + | | ||2||4||8||5 |
|- | |- | ||
− | | || | + | | ||7||1||0|| |
|- | |- | ||
− | | | + | |3||5||5|| || |
|} | |} | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |the sum |
|- | |- | ||
| | | | ||
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |4||5||0||8||5 |
|} | |} | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
− | + | | | |
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::We multiply 7 by 5; it is 35. | + | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" |
+ | |- | ||
+ | |א||ב||ז | ||
+ | |- | ||
+ | |ג||ה||ה | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||ב||ד||ח||ה | ||
+ | |- | ||
+ | | ||ז||א||0|| | ||
+ | |- | ||
+ | |ג||ה||ה|| || | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |המחובר | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |ד||ה||0||ח||ה | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::We multiply 7 by 5; it is 35. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times5=35}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times5=35}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|כפלנו ז' על ה' והוא ל"ה | |style="text-align:right;"|כפלנו ז' על ה' והוא ל"ה | ||
Line 529: | Line 599: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | ::{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center; | |
− | {|class="wikitable" style=" | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |1 |
|rowspan="2"| | |rowspan="2"| | ||
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |1||2||7 |
|- | |- | ||
− | | | + | |3||5||5 |
|} | |} | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |4 |
|- | |- | ||
|} | |} | ||
− | + | | | |
− | |- | + | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" |
+ | |- | ||
+ | |א | ||
+ | |rowspan="2"| | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |א||ב||ז | ||
+ | |- | ||
+ | |ג||ה||ה | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |ד | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | |||
+ | |- | ||
| | | | ||
::Then, we calculate the bottom row; we find the result is 13. | ::Then, we calculate the bottom row; we find the result is 13. | ||
Line 643: | Line 727: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | {|class="wikitable" style=" | + | ::{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center; |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 747: | Line 831: | ||
|- | |- | ||
|colspan="2" | | |colspan="2" | | ||
− | {|class="wikitable" style=" | + | {|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center; |
|- | |- | ||
|the remainder of division | |the remainder of division | ||
Line 2,147: | Line 2,231: | ||
|Abraham said: I have found another way: add to the square of the last number its root, then take half of the result; that is the sum. This way helps to understand the inverse question. | |Abraham said: I have found another way: add to the square of the last number its root, then take half of the result; that is the sum. This way helps to understand the inverse question. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}\left(n^2+n\right)}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^n i=\frac{1}{2}\left(n^2+n\right)}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|אמר אברהם מצאתי דרך אחר שהמוסיף על מרובע סוף החשבון שרשו ולוקח חצי בעולה שם ימצא המחובר והדרך הזה יורה להבין הפך השאלה | + | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#Abraham said|<span style=color:blue>'''אמר אברהם'''</span>]] מצאתי דרך אחר שהמוסיף על מרובע סוף החשבון שרשו ולוקח חצי בעולה שם ימצא המחובר והדרך הזה יורה להבין הפך השאלה |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 2,534: | Line 2,618: | ||
| | | | ||
− | == Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026 | + | == Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026) == |
| | | | ||
|- | |- | ||
Line 2,582: | Line 2,666: | ||
|- | |- | ||
|Sefer is the number, as "after the numbering wherewith [David his father] had numbered them [Chronicles 2, 2, 16]. | |Sefer is the number, as "after the numbering wherewith [David his father] had numbered them [Chronicles 2, 2, 16]. | ||
− | |style="text-align:right;"|'''וספר''' הוא המספר כמו ''אחר הספר אשר ספרם''‫<ref>דברי הימים ב, ב, טז</ref> | + | |style="text-align:right;"|'''וספר''' הוא המספר כמו ''אחר הספר אשר ספרם''‫<ref group=note>דברי הימים ב, ב, טז</ref> |
|- | |- | ||
|Sipur is the expression of units. | |Sipur is the expression of units. | ||
Line 2,588: | Line 2,672: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | |||
=== Higher decade === | === Higher decade === | ||
Line 2,644: | Line 2,729: | ||
| | | | ||
::Subtract the product of the two-thirds, which is 24; 216 remains and this is the product of 18 by 12. | ::Subtract the product of the two-thirds, which is 24; 216 remains and this is the product of 18 by 12. | ||
− | |style="text-align:right;"|הסיר כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב | + | |style="text-align:right;"|הסיר ‫<ref>76r</ref>כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב |
|- | |- | ||
| colspan=2| | | colspan=2| | ||
Line 2,798: | Line 2,883: | ||
|The rule is the same for any two different numbers, even if there are no decades: we add to the smaller number half the difference between the two numbers, square [the sum], subtract from the square the square of half the difference and the remainder is equal to the product of one of the two numbers by the other. | |The rule is the same for any two different numbers, even if there are no decades: we add to the smaller number half the difference between the two numbers, square [the sum], subtract from the square the square of half the difference and the remainder is equal to the product of one of the two numbers by the other. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b=\left[a+\frac{1}{2}\sdot\left(b-a\right)\right]^2-\left[\frac{1}{2}\left(b-a\right)\right]^2}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times b=\left[a+\frac{1}{2}\sdot\left(b-a\right)\right]^2-\left[\frac{1}{2}\left(b-a\right)\right]^2}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|וכן ההנהגה בכל שני מספרים מתחלפים אך כי לא יהיו כללים שנוסיף על המספר היותר קטן חצי יתרון שבין שני המספרים ונרבעהו ונחסר מהמרובע מרובע חצי היתרון והנשאר ישוה להכאת אחד משני המספרים באחר | + | |style="text-align:right;"|וכן ההנהגה בכל שני מספרים מתחלפים אך כי לא יהיו כללים שנוסיף על המספר היותר קטן חצי יתרון שבין שני המספרים ונרבעהו ונחסר מהמרובע מרובע חצי היתרון והנשאר ישוה להכאת אחד משני המספרים ‫<ref>76v</ref>באחר |
|- | |- | ||
|But this scholar wanted to make it easier, not harder, and for this reason he explained it only for the numbers whose distance from a decade is the same. | |But this scholar wanted to make it easier, not harder, and for this reason he explained it only for the numbers whose distance from a decade is the same. | ||
Line 2,904: | Line 2,989: | ||
=== Not gone completely === | === Not gone completely === | ||
− | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#not_gone_completely|<span style=color:blue>'''כי לא יצא לחוץ'''</span>]] | + | |style="text-align:right;"|‫<ref>77r</ref>[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#not_gone_completely|<span style=color:blue>'''כי לא יצא לחוץ'''</span>]] |
|- | |- | ||
|Explanation: decomposing the dividend until it reaches a number smaller than the divisor, is called completely gone [lit. exiting]. | |Explanation: decomposing the dividend until it reaches a number smaller than the divisor, is called completely gone [lit. exiting]. | ||
Line 2,980: | Line 3,065: | ||
|- | |- | ||
|If it cannot be divided, i.e. the square of the denominator is greater than the product, or it can be divided, but there is a remainder that cannot be divided, they are fractions named by the name of the square. | |If it cannot be divided, i.e. the square of the denominator is greater than the product, or it can be divided, but there is a remainder that cannot be divided, they are fractions named by the name of the square. | ||
− | |style="text-align:right;"|ואם לא יתחלק ר"ל שיהיה מרובע המורה יותר גדול מהנכפל או יתחלק וישאר שלא יתחלק יהיו שברים נקראין בשם המרובע | + | |style="text-align:right;"|ואם לא יתחלק ר"ל ‫<ref>77v</ref>שיהיה מרובע המורה יותר גדול מהנכפל או יתחלק וישאר שלא יתחלק יהיו שברים נקראין בשם המרובע |
|- | |- | ||
|If you divide the product by the denominator, the result are fractions named by the name of the denominator and what cannot be divided are fractions of fractions named by the name of the denominator. Understand. | |If you divide the product by the denominator, the result are fractions named by the name of the denominator and what cannot be divided are fractions of fractions named by the name of the denominator. Understand. | ||
Line 2,994: | Line 3,079: | ||
|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#short_method|<span style=color:blue>'''רק אלמד דרך קצרה'''</span>]] | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#short_method|<span style=color:blue>'''רק אלמד דרך קצרה'''</span>]] | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Explanation: because according to what we said above, one denominator should be produced for all of them by multiplying one by the other, because the reason for the denominator issue is to find a number that will have all of these parts. |
|style="text-align:right;"|פי' כי לפי מה שאמרנו למעלה היה צריך לעשות מורה אחד לכלן בכפל האחד על האחר כי הסבה מענין המורה הוא למצא מספר שיהיו בו כל חלקים אלו | |style="text-align:right;"|פי' כי לפי מה שאמרנו למעלה היה צריך לעשות מורה אחד לכלן בכפל האחד על האחר כי הסבה מענין המורה הוא למצא מספר שיהיו בו כל חלקים אלו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
:He did not really need to take sixths, because the thirds were enough for him: by multiplying [3] by 5; it is 15. We multiply it by 7; it is 105. We multiply it by 8; it is 840 and this is the common denominator. | :He did not really need to take sixths, because the thirds were enough for him: by multiplying [3] by 5; it is 15. We multiply it by 7; it is 105. We multiply it by 8; it is 840 and this is the common denominator. | ||
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5\sdot7\sdot8=15\sdot7\sdot8=105\sdot8=840}}</math> | |
|style="text-align:right;"|עוד באמת לא היה צריך לקחת ששיים כי די לו בשלישיות וזה נכפול על ה' יהיו ט"ו עוד נכפול זה על ז' יהיו ק"ה עו' נכפול זה בח' יהיו תק"מ והוא המורה | |style="text-align:right;"|עוד באמת לא היה צריך לקחת ששיים כי די לו בשלישיות וזה נכפול על ה' יהיו ט"ו עוד נכפול זה על ז' יהיו ק"ה עו' נכפול זה בח' יהיו תק"מ והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We look for the first number which is 2-thirds of a quarter of a fifth; it is 28. | |
|style="text-align:right;"|נבקש המספר ראשון שהוא ב' שלישית רביעית החמשית יהיו כ"ח | |style="text-align:right;"|נבקש המספר ראשון שהוא ב' שלישית רביעית החמשית יהיו כ"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Because the fifth is 168. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot840=168}}</math> | |
|style="text-align:right;"|כי החמשית הוא קס"ח | |style="text-align:right;"|כי החמשית הוא קס"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Its quarter is 42. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot168=42}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ורביעיתו מ"ב | |style="text-align:right;"|ורביעיתו מ"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Its two-thirds are 28 and this is the first number. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot42=28}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ושתי שלישיותיו כ"ח וזהו החשבון הראשון | |style="text-align:right;"|ושתי שלישיותיו כ"ח וזהו החשבון הראשון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We know that its eighth is 105. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{8}\sdot840=105}}</math> | |
|style="text-align:right;"|וידענו ששמיניתו ק"ה | |style="text-align:right;"|וידענו ששמיניתו ק"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Its seventh is 15. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot105=15}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ושביעיתו ט"ו | |style="text-align:right;"|ושביעיתו ט"ו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Its six-sevenths are 90. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{7}\sdot105=90}}</math> | |
|style="text-align:right;"|והשש שביעיות הם צ‫' | |style="text-align:right;"|והשש שביעיות הם צ‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We multiply 28 by 90; the result is two thousand and 5[2]0. | |
|style="text-align:right;"|נכפול כ"ח על צ' יעלה אלפים ת"ק | |style="text-align:right;"|נכפול כ"ח על צ' יעלה אלפים ת"ק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We divide it by 840, which is the denominator; the result is 3 and they are parts, of which 840 are one unit, which are a fifth of a seventh of an eighth, the eighth [of 840] is 105, its seventh is 15 and its fifth is 3 and this is the required. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{28\sdot90}{840}=\frac{2520}{840}=3}}</math> | |
|style="text-align:right;"|חלקנום על תת"מ שהוא המורה ויעלה ג' שהן חלקים מהתת"מ שלמים והן חמשית שביעית השמינית שהשמינית ק"ה ושביעיתו ט"ו וחמישיתו ג' והוא הדרוש | |style="text-align:right;"|חלקנום על תת"מ שהוא המורה ויעלה ג' שהן חלקים מהתת"מ שלמים והן חמשית שביעית השמינית שהשמינית ק"ה ושביעיתו ט"ו וחמישיתו ג' והוא הדרוש | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |It is necessary to examine the example that the scholar chose, because it is more appropriate to take the example with the smallest possible number. |
|style="text-align:right;"|וצ"ע בדמיון שלקח החכם כי יותר ראוי לקחת הדמיון בקטן המספר שאפשר | |style="text-align:right;"|וצ"ע בדמיון שלקח החכם כי יותר ראוי לקחת הדמיון בקטן המספר שאפשר | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |It is also necessary to examine why it was necessary to explain that since we have sixths, there is no need for a third as if the sixth had to be divided. |
|style="text-align:right;"|גם צ"ע למה הוצרך לבאר שאחר שיש לנו ששיות אין צריך לשלישית כאלו היה צריך לחלק ששית | |style="text-align:right;"|גם צ"ע למה הוצרך לבאר שאחר שיש לנו ששיות אין צריך לשלישית כאלו היה צריך לחלק ששית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | === The difference between the fifth and ninth is four === | + | |
+ | === The difference between the fifth and the ninth is four === | ||
|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#difference_between_fifth_and_ninth|<span style=color:blue>'''החמשית והתשיעית ארבע'''</span>]] | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#difference_between_fifth_and_ninth|<span style=color:blue>'''החמשית והתשיעית ארבע'''</span>]] | ||
+ | |- | ||
+ | |It is necessary to examine how he used the first method, because it does not apply to all numbers: | ||
+ | |style="text-align:right;"|צ"ע איך לקח דרך זה הראשון כי לא ימשך בכל המספרים | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *This is when we say: we take a third of the amount, plus its fifth and its seventh. How much is it from the value of the amount? | ||
+ | :<math>\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|וזה שנאמר לקחנו שלישית הממון וחמשיתו ושביעיתו<br> | ||
+ | כמה הוא מערך הממון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | :According to his way it is as follows: |
+ | |style="text-align:right;"|ולפי דרכו יהיה כן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We consider them as three sevenths, which is the smallest fraction. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נחשב כאלו הן ג' שביעיות שהוא השבר היותר פחות אחר | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We multiply what is between the seventh and the third, which is 4, by what is between the fifth and the third, which is 2; the result of the multiplication is 8. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)\sdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{3\sdot7}\sdot\frac{2}{3\sdot5}=\frac{8}{3\sdot7\sdot3\sdot5}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|נכפול מה שבין השביעית והשלישית ‫<ref>78r</ref>שהוא ד' על מה שבין החמישית והשלישית שהוא ב' ויעלה הכפל ח‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We convert five [of the 8] to a seventh; they are 4-sevenths and 3 remains [of the 8]. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{3\sdot7\sdot3\sdot5}=\frac{1}{3\sdot7\sdot3}=\frac{3}{3\sdot7\sdot3\sdot5}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונעשה מהחמשה שביעית אחת ויהיו ד' שביעיות וישאר ג‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We add it to 2, which is the difference between the third and the fifth; it is 3. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונחברם עם ב' שהוא היתרון שבין שלישית לחמישית והיה ה‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :According to this the ratio is 5-sevenths; the result is 75, since the denominator is 105. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ולפי זה יהיה הערך ה' שביעיות ויעלה ע"ה לפי שהמורה ק"ה | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" | | ||
+ | :<span style=color:green>It seems that the procedure described is as follows:</span> | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{7}&\scriptstyle=\frac{3}{7}+\left(\frac{1}{5}-\frac{1}{7}\right)+\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{7}\right)=\frac{3}{7}+\frac{\frac{2}{5}}{7}+\frac{\frac{4}{3}}{7}=\frac{3}{7}+\frac{\frac{6}{5}-\frac{4}{5}}{7}+\frac{\frac{4}{3}}{7}\\&\scriptstyle=\frac{3}{7}+\frac{\frac{6}{5}}{7}+\frac{4\sdot\left(\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)}{7}=\frac{3}{7}+\frac{1}{7}+\frac{\frac{1}{5}}{7}+\frac{\frac{4\sdot\frac{2}{3}}{5}}{7}\\\end{align}}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :According to the second way, which is the appropriate one, it is 7[1] parts of [10]5. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ולפי הדרך שני שהוא האמתי יהיו ע"ה חלקים מן ה‫' | ||
+ | |- | ||
+ | |It is also necessary to examine how he said in his example that the three are 3-fifths of a seventh of a ninth, when he initially said: we convert the 6 into a ninth. | ||
|style="text-align:right;"|עו' צ"ע איך אמ' בדמיונו שהשלשה היו ג' חמשיות שביעית התשיעית והוא אמר תחלה נעשה מן הו' תשיעית אחת | |style="text-align:right;"|עו' צ"ע איך אמ' בדמיונו שהשלשה היו ג' חמשיות שביעית התשיעית והוא אמר תחלה נעשה מן הו' תשיעית אחת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |There is another correct way to do this, only the increment between the [denominators of the] fractions is the same, such as 4, 5, 6, or 5, 7, 9, and it is to take the type of the middle fraction, instead of the three types of the three fractions, then the difference between the extremes is multiplied by the increment, and the sum is the required. |
|style="text-align:right;"|ויש בזה דרך אחרת נכונה רק שיהיה הדלוג בשברים שוה כמו ד'ה'ו' ה'ז'ט' והוא לקחת מקום הג' מינין ג' שברים ממין האמצעי ואחר יוכפל מרחק הקצוות כמרחק הדלוגים והמחובר הוא הדרוש | |style="text-align:right;"|ויש בזה דרך אחרת נכונה רק שיהיה הדלוג בשברים שוה כמו ד'ה'ו' ה'ז'ט' והוא לקחת מקום הג' מינין ג' שברים ממין האמצעי ואחר יוכפל מרחק הקצוות כמרחק הדלוגים והמחובר הוא הדרוש | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" | | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{1}{n}+\frac{1}{n+d}+\frac{1}{n+2d}=\frac{3}{n+d}+\frac{\left(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+2d}\right)\sdot d}{n+d}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|'''דמיון ערך ד' וה'''' | + | |
+ | === Example: The ratio of 4 to [6] === | ||
+ | |||
+ | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#ratio_of_4_6_8|<span style=color:blue>'''דמיון ערך ד' וה‫''''</span>]] | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :This is clear, because the square of the entire line, which is 16, is equal to the two squares of 12 and 4 in the proposition 4 of Euclid's II. | |
|style="text-align:right;"|פי' וזה יתבאר כי מרובע הקו כלו שהוא י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' בתמונת ד' מב' לאקלידיס | |style="text-align:right;"|פי' וזה יתבאר כי מרובע הקו כלו שהוא י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' בתמונת ד' מב' לאקלידיס | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :The product of 6 by 8 is equal to the surface enclosed by 12 and 4. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\times8=12\times4}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ושטח ו' בח' שוה לשטח שיקיפו בו י"ב וד‫' | |style="text-align:right;"|ושטח ו' בח' שוה לשטח שיקיפו בו י"ב וד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Since the ratio of 4 to 6 is the same as the ratio of 8 to 12. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:6=8:12}}</math> | |
|style="text-align:right;"|לפי שיחס ד' אל ו' כיחס ח' אל י"ב | |style="text-align:right;"|לפי שיחס ד' אל ו' כיחס ח' אל י"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Therefore, the square of 16 is equal to the two squares of 12 and 4 and double the surface enclosed by 6 and 8. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{16^2=12^2+4^2+2\sdot\left(6\times8\right)}}</math> | |
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' ולכפל השטח שיקיפו בו ו' וח‫' | |style="text-align:right;"|אם כן מרובע י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' ולכפל השטח שיקיפו בו ו' וח‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :But [the sum of] the two squares of 6 and 8 is equal to the double the surface enclosed by 6 and 8, with the square of [the difference] between 6 and 8, as explained in II.5. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2+8^2=2\sdot\left(6\times8\right)+\left(8-6\right)^2}}</math> | |
|style="text-align:right;"|אבל שני מרובעי ו' ח' שוין לכפל השטח שיקיפו בו ו' ח' עם מרובע מה שבין ו' ח' כמבואר בה' מב‫' | |style="text-align:right;"|אבל שני מרובעי ו' ח' שוין לכפל השטח שיקיפו בו ו' ח' עם מרובע מה שבין ו' ח' כמבואר בה' מב‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Therefore, the square of 16 with the square of the difference between 6 and 8 is equal to the four squares of 4, 6, 8 and 12. This is explained from the second and third. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{16^2+\left(8-6\right)^2=4^2+6^2+8^2+12^2}}</math> | |
|style="text-align:right;"|אם כן מרובע י"ו עם מרובע היתרון שבין ו' לח' שוה לד' מרובעי ד' ו' ח' י"ב ובזה יתבאר מהשני והשלישי | |style="text-align:right;"|אם כן מרובע י"ו עם מרובע היתרון שבין ו' לח' שוה לד' מרובעי ד' ו' ח' י"ב ובזה יתבאר מהשני והשלישי | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | |||
+ | === Its proportions are composed === | ||
+ | |||
|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#its_proportions_are_composed|<span style=color:blue>'''כי ערכיה מורכבין'''</span>]] | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#its_proportions_are_composed|<span style=color:blue>'''כי ערכיה מורכבין'''</span>]] | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Explanation: the harmonic proportions consist of the geometric and the arithmetic proportions, as they are determined by the division of the excess of the one by the other and the ratio of one number by the other number. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a_2-a_1\right):\left(a_3-a_2\right)=a_1:a_3}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|פי' ערכי הנגונים הן מורכבים ערכי המדות וערכי המספר כי יעשה בחלק היתרון האחד על האחר וכיחס המספר האחד אל המספר האחר | |style="text-align:right;"|פי' ערכי הנגונים הן מורכבים ערכי המדות וערכי המספר כי יעשה בחלק היתרון האחד על האחר וכיחס המספר האחד אל המספר האחר | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | |||
+ | === Because the ratio is always === | ||
+ | |||
|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#ratio_between_first_and_last|<span style=color:blue>'''כי לעולם יהיה הערך'''</span>]] | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#ratio_between_first_and_last|<span style=color:blue>'''כי לעולם יהיה הערך'''</span>]] | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Because the ratio of what is between the first and the mean to what is between the mean and the last is always the same as the ratio of the first number to the last number. |
|style="text-align:right;"|כי לעולם יהיה היחס מה שבין הראשון והאמצעי אל מה שבין האמצעי והאחרון כיחס המספר הראשון אל האחרון | |style="text-align:right;"|כי לעולם יהיה היחס מה שבין הראשון והאמצעי אל מה שבין האמצעי והאחרון כיחס המספר הראשון אל האחרון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | |||
+ | === Question: Reuven hired Shimon === | ||
+ | |||
|style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#Reuven_hired_Shimon|<span style=color:blue>'''שאלה ראובן שכר שמעון'''</span>]] | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#Reuven_hired_Shimon|<span style=color:blue>'''שאלה ראובן שכר שמעון'''</span>]] | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|הכלל בכל דרכים אלו שנכפול י"א על ט' ויהיו צ"ט וחלקם על י" | + | :The rule of all these methods is that we multiply 11 by 9; it is 99. Divide it by 17; the result is 5 pešuṭim and 14 parts of 17 of one pašuṭ. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot9}{17}=\frac{99}{17}=5+\frac{14}{17}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|הכלל בכל דרכים אלו שנכפול י"א על ט' ויהיו צ"ט וחלקם על י"ז ועלה ה' פשו' וי"ד חלקים מי"ז ‫<ref>78v</ref>בפשו‫' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This rule is given to you in proportions: the number that corresponds to the unknown, which is in the place of the zero, is the denominator. If zero is one of the extremes, the other extreme is the denominator; and if zero is one of the means, the other mean is the denominator. |
− | |style="text-align:right;"|כלל זה יהיה בידך בערכין שאותו המספר שיהיה גיל הנעלם שהוא מקום הגלגל מן המורה שאם היה הגלגל אחד מהקצוות הקצה | + | |style="text-align:right;"|כלל זה יהיה בידך בערכין שאותו המספר שיהיה גיל הנעלם שהוא מקום הגלגל מן המורה שאם היה הגלגל אחד מהקצוות הקצה האחר הוא המורה ואם הגלגל הוא אחד מהאמצעיים האמצעי האחר הוא המורה |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|'''ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני''' | + | |
+ | === And you do not know the third: multiply the first by the second === | ||
+ | |||
+ | |style="text-align:right;"|[[ספר_המספר_/_אברהם_אבן_עזרא#the_third_is_unknown|<span style=color:blue>'''ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני'''</span>]] | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This is clear from 19.V: when the sum to the sum is as the ratio of the whole to the whole, then the ratio of the remainder to the remainder is as the ratio of the whole to the whole. |
− | |||
|style="text-align:right;"|זה יתבאר מי"ט מה' באמת כאשר היה המחובר אל המחובר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל | |style="text-align:right;"|זה יתבאר מי"ט מה' באמת כאשר היה המחובר אל המחובר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Therefore, in his second example, since the ratio of the unknown difference between 3 and 4 to the difference between 4 and the unknown number is as the ratio of the known 3 to the unknown 6, and the unknown is greater than its excess over 4, then 3 is greater than the difference between 3 and 4, according to Euclid's 14.V. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-3\right):\left(6-4\right)=3:6}}</math> | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{6>\left(6-4\right)}}</math> | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{3>\left(4-3\right)}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ולכן בדמיונו השני לפי שיחס היתרון שבין ג' וד' הידוע אל היתרון שבין ד' והמספר הנעלם כיחס ג' הידוע אל ו' הנעלם והנה הנעלם גדול מיתרונו על ד' הנה אם כן ג' גדול יותר מהיתרון שבין ג' לד' מי"ד מה' אקלידיס | |style="text-align:right;"|ולכן בדמיונו השני לפי שיחס היתרון שבין ג' וד' הידוע אל היתרון שבין ד' והמספר הנעלם כיחס ג' הידוע אל ו' הנעלם והנה הנעלם גדול מיתרונו על ד' הנה אם כן ג' גדול יותר מהיתרון שבין ג' לד' מי"ד מה' אקלידיס | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :The difference between 3 and 4 is known, so when we subtract it from 3, the remainder is known and it is 2. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(4-3\right)=2}}</math> | |
|style="text-align:right;"|והיתרון שבין ג' לד' ידוע אם כן כשחסרנוהו מג' יהיה הנשאר ידוע והוא ב‫' | |style="text-align:right;"|והיתרון שבין ג' לד' ידוע אם כן כשחסרנוהו מג' יהיה הנשאר ידוע והוא ב‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We also know that 4 is the remainder, when we subtract from 6 the excess of 6 over it. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(6-4\right)=4}}</math> | |
|style="text-align:right;"|וגם כן ידענו שד' הוא הנשאר כשחסרנו מו' היתרון שנוסף על ו‫' | |style="text-align:right;"|וגם כן ידענו שד' הוא הנשאר כשחסרנו מו' היתרון שנוסף על ו‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Now, we have three known numbers: | |
|style="text-align:right;"|ועתה יש לנו ג' מספרים ידועין | |style="text-align:right;"|ועתה יש לנו ג' מספרים ידועין | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :The first is 2 and it is the remainder from 3, when the difference between 3 and 4 is subtracted from it. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=3-\left(4-3\right)=2}}</math> | |
|style="text-align:right;"|האחד ב' והוא הנשאר מג' כשחוסר ממנו היתרון שבין ג' לד‫' | |style="text-align:right;"|האחד ב' והוא הנשאר מג' כשחוסר ממנו היתרון שבין ג' לד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :The second is 3, which is the known whole. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=3}}</math> | |
|style="text-align:right;"|השני ג' שהוא הכל ידוע | |style="text-align:right;"|השני ג' שהוא הכל ידוע | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :The third is 4, which is the remainder from the unknown, when its excess over 4 is subtracted from it. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=a-\left(a-4\right)=4}}</math> | |
|style="text-align:right;"|השלישי ד' שהוא הנשאר מהנעלם כשחוסר ממנו היתרון שהוא נוסף על ד‫' | |style="text-align:right;"|השלישי ד' שהוא הנשאר מהנעלם כשחוסר ממנו היתרון שהוא נוסף על ד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We know that the ratio of the subtracted from 3 to the subtracted from the unknown is as the ratio of 3, which is the whole, to the unknown. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4-3\right):\left(a-4\right)=3:a}}</math> | |
|style="text-align:right;"|וידענו שיחס המחוסר מג' אל המחוסר מהנעלם כיחס ג' שהוא הכל אל הנעלם | |style="text-align:right;"|וידענו שיחס המחוסר מג' אל המחוסר מהנעלם כיחס ג' שהוא הכל אל הנעלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Therefore, the ratio of 2, which is the remainder, to 4, which is the remainder, is as the ratio of 3 to the unknown. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[3-\left(4-3\right)\right]:\left[a-\left(a-4\right)\right]=2:4=3:a}}</math> | |
|style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' הנשאר אל ד' הנשאר כיחס ג' אל הנעלם | |style="text-align:right;"|אם כן יחס ב' הנשאר אל ד' הנשאר כיחס ג' אל הנעלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We multiply the means, which are 4 and 3; it is 12. | |
|style="text-align:right;"|ולכן נכפול האמצעיים שהן ד' וג' והיו י"ב | |style="text-align:right;"|ולכן נכפול האמצעיים שהן ד' וג' והיו י"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We divide 12 by 2; it is 6, etc. | |
− | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=a=\frac{a_2\sdot a_3}{a_1}=\frac{3\sdot4}{2}=\frac{12}{2}=6}}</math> | |
|style="text-align:right;"|ונחלק י"ב על ב' והיה ו' וכו‫' | |style="text-align:right;"|ונחלק י"ב על ב' והיה ו' וכו‫' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Understand the others from Euclid's 18.V. |
− | |||
|style="text-align:right;"|וכן תבין האחרים מי"ח מה' אקלידיס | |style="text-align:right;"|וכן תבין האחרים מי"ח מה' אקלידיס | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Proposition 16 is derived this way: the first and the seventh are taken, and they are cardinal points. One proposition is derived from both of them. From the fourth and tenth, which are cardinal points, another proposition is derived. Then, from both of them, one proposition is derived, called the 16th, and is the strongest of them all. |
− | |||
|style="text-align:right;"|צורת הי"ו מוציאין אותה בדרך זו לוקחין הראשונה והשביעית והן יתדות ומוציאין משתיהן צורה אחת ומהרביעית והעשירית והן יתדות מוציאין צורה אחרת ומשתיהן מוציאין צורה אחת והיא נקראת הי"ו והיא חזקה מכלן | |style="text-align:right;"|צורת הי"ו מוציאין אותה בדרך זו לוקחין הראשונה והשביעית והן יתדות ומוציאין משתיהן צורה אחת ומהרביעית והעשירית והן יתדות מוציאין צורה אחרת ומשתיהן מוציאין צורה אחת והיא נקראת הי"ו והיא חזקה מכלן | ||
|- | |- | ||
+ | |I have found, with the help of God, proposition 16: We take the first and seventh propositions and derive one proposition from both of them. We take proposition 15, and from these two, we derive another proposition, which is the 16th, and this is a secret. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ומצאתי בע"ה צורת הי"ו נקח הצורה הראשונה והשביעית ועושין משתיהן צורה אחת ונקח צורת הט"ו ‫<ref>79r</ref>ומשתים אלו נעשה צורה אחרת והיא הי"ו וזה סוד | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | |||
+ | == Additional Word Problems (P1026) == | ||
| | | | ||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,327: | Line 3,475: | ||
| | | | ||
::Or, Reuven has 37 and a half; Shimon has 44; Levi has 46 and a half; Yehuda has 52 | ::Or, Reuven has 37 and a half; Shimon has 44; Levi has 46 and a half; Yehuda has 52 | ||
− | |style="text-align:right;"|או ראובן ל"ז וחצי שמעון מ"ד לוי מ"ו וחצי יהודה נ"ב | + | |style="text-align:right;"|או ראובן ל"ז וחצי ‫<ref>79v</ref>שמעון מ"ד לוי מ"ו וחצי יהודה נ"ב |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,407: | Line 3,555: | ||
|style="text-align:right;"|נגרע מספר חצי וחלק אחד מי"ו יעלה י"ז וז' חלקים מי"ו והם המעות שבידו | |style="text-align:right;"|נגרע מספר חצי וחלק אחד מי"ו יעלה י"ז וז' חלקים מי"ו והם המעות שבידו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The reason the root is written in the middle rank, whether there is an odd number of ranks, or an even number, is that we shift the even rank above the preceding rank and add them together, as when we write 7 above the 9 and it becomes seventy. |
− | |style="text-align:right;"|טעם למה יוציא השרש אל אמצע המדרגות בין שיהיו המדרגות נפרדים כמו זה או זוגות שנשים המדרגה הזוגיית למעלה מהמדרגה שלפניה שנחבר הכל כמו שנשים | + | |style="text-align:right;"|‫<ref>80r</ref>טעם למה יוציא השרש אל אמצע המדרגות בין שיהיו המדרגות נפרדים כמו זה או זוגות שנשים המדרגה הזוגיית למעלה מהמדרגה שלפניה שנחבר הכל כמו שנשים <sup>ז'</sup> למעלה מט' ויהיה שבעים |
+ | |- | ||
+ | |Since in every product, the ranks are doubled. After we square it, the product has six ranks. | ||
+ | |style="text-align:right;"|לפי שלעולם בכל כפל המדרגות כפולות אחר שנעשה מהם מרובע מהכאתם עולה לששה מדרגות | ||
+ | |- | ||
+ | |If the result of multiplication has an even [number of ranks]: | ||
+ | |style="text-align:right;"|אם יש ליוצא מההכאה זוגות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | :As here, where 8 by 8 is 64. So, 64 is beneath the sixth rank. |
+ | |style="text-align:right;"|כמו זה שח' על ח' עולה לס"ד ולכן ס"ד הוא תחת המדרגה הששית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the number [of the ranks] is odd, we take the root from [...] |
|style="text-align:right;"|ואם המספר נפרד לא נקח שרש כי אם מה | |style="text-align:right;"|ואם המספר נפרד לא נקח שרש כי אם מה | ||
|- | |- | ||
|} | |} | ||
+ | |||
== Notes == | == Notes == | ||
+ | <div style="text-align: right;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | <br> | ||
+ | <references group=note/> | ||
+ | </div></div></div> | ||
+ | |||
+ | == Apparatus == | ||
+ | |||
+ | <div style="text-align: right;"><div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content"> | ||
+ | <br> | ||
<references /> | <references /> | ||
+ | </div></div></div> | ||
== Appendix: Bibliography == | == Appendix: Bibliography == |
Latest revision as of 18:46, 4 November 2024
Contents
[hide]- 1 Introduction - Decimal Fractions
- 2 Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze)
- 3 Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze)
- 4 Multiplication of integers (Firenze)
- 5 Division of integers
- 6 Extracting roots
- 7 Division of sexagesimal fractions
- 8 Extracting roots of sexagesimal fractions
- 9 Multiplication of sexagesimal fractions
- 10 A Rule for Checking the Squares
- 11 MS London 7r-v
- 11.1 Chapter on Summation
- 11.2 Word Problems
- 11.2.1 "How Many" Problem
- 11.2.2 "If You Give Me" Problem
- 11.2.3 "Find the Amount" Problem
- 11.2.4 Pursuit Problem
- 11.2.5 Encounter Problem
- 11.2.6 Payment Problem
- 11.2.7 Boiling Problems
- 11.2.8 Whole from Parts Problems - lance
- 11.2.9 Multiple Quantities Problems
- 11.2.10 Whole from Parts Problems - fish
- 12 Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026)
- 12.1 The author of the Sefer Yezira
- 12.2 Sefar
- 12.3 Sefer
- 12.4 Sipur
- 12.5 Since
- 12.6 Higher decade
- 12.7 The remainder is the required
- 12.8 The sum is the required
- 12.9 Example: we wish to multiply 29 by 31
- 12.10 Know that if there are two digits to multiply
- 12.11 You have to
- 12.12 As if they are units
- 12.13 Does not assume any change
- 12.14 Does not assume any increase
- 12.15 Does not assume any division
- 12.16 It is the cause of any change
- 12.17 According to its rank
- 12.18 Less than the number
- 12.19 Did not reach the rank of the units
- 12.20 Not gone completely
- 12.21 We always subtract backwards
- 12.22 One is like a point
- 12.23 Consists of surfaces
- 12.24 It is similar to an odd number
- 12.25 It is a half of an eighth
- 12.26 But I shall teach you a short method
- 12.27 The difference between the fifth and the ninth is four
- 12.28 Example: The ratio of 4 to [6]
- 12.29 Its proportions are composed
- 12.30 Because the ratio is always
- 12.31 Question: Reuven hired Shimon
- 12.32 And you do not know the third: multiply the first by the second
- 13 Additional Word Problems (P1026)
- 14 Notes
- 15 Apparatus
- 16 Appendix: Bibliography
Introduction - Decimal Fractions |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The division method of R. Immanuel | [1]דרך חלוק לר' עמנואל וע'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Introduction | הקדמה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that the one is divided into ten parts called primes; each prime is divided into ten parts called seconds and so on endlessly. | דע כי האחד נחלק לעשרה חלקים יקראו ראשונים וכן כל ראשון נחלק לעשרה חלקים יקראו שניים וכן לאין תכלית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Similarly I want to remind you that I call the rank of tens of integers "primes"; the hundreds of integers "seconds" and so on endlessly. | וכן אמרתי להזכירך כי הנני קורא למעלת העשרות שלימים ראאשונים ולמאות שלמים שניים וכן לאין תכלית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I call the rank of units by their name "units", since it is mean between the integers and the fractions, therefore, when the units are multiplied by units the result is units. | אמנם מעלת האחדים אני קורא אותם בשמם אחדים לפי שהוא אמצעי בין השלמים והשברים ולזה כשיכפל אחדים באחדים יצאו אחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I call the ranks whose name is greater "having a greater name", meaning I call the thirds "having a greater name than" the seconds, since the [name of] the thirds is derived from three and [the name of] the seconds [is derived] from two; likewise the fourths "having a greater name than" the thirds, and so the fifths ["having a greater name than"] the fourths. This is for the integers as well as for the fractions. | וכן אני קורא המעלות שהם גדולות השם גדול השם רצוני בזה שלישיים אני קורא יותר גדול השם משניים לפני ששלישיים נגזר משלשה ושניים משנים וכן רביעיים יותר גדול השם משלישיים וכן חמשיים מרביעיים וזה הוא בשלמים ובשברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When I say: add the name of this to the name of this, or subtract the name of this from the name of this: | וכן כשאומר חבר שם זה עם שם זה או גרע שם זה משם זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I mean add the name of the seconds to the name of the thirds and they are fifths.
|
רצוני בזה חבר שם שניים עם שם שלישיים ויהיו חמשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the name of the seconds to the name of the seconds, they are fourths.
|
ואם שם שניים עם שם שניים יהיו רביעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Also, subtract the name of the seconds from the name of the thirds; primes remain.
|
וכן גרע שם שניים משם שלישיים וישאר ראשונים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the name of the seconds from the name of the seconds, nothing remains, so they are in the rank of the units.
|
ואם שם שניים משם שניים לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is for integers as well as for fractions. | וזה בשלמים ובשברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you subtract a greater name from a smaller name, as if we say: we subtract fourths from seconds, whether fractions, or integers; the result is in the rank of seconds of the other type. | וכאשר תגרע שם גדול משם קטן כאמרנו נגרע רביעיים משניים הן בשברים [הן בשלמים][2] יביא במעלת השניים לצד האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As if we say: we subtract the name of the fourths that are fractions from the name of the seconds that are fractions; the result is in the rank of seconds that are integers.
|
כאמרנו נגרע שם רביעיים בשברים משם שניים גם כן בשברים יפול במעלת שלמים שניים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When we say this for integers, i.e. we wish to subtract the name of the fourths that are integers from the name of the seconds that are integers, the result is of the seconds that are fractions.
|
וכן באמרנו זה בשלמים ר"ל שנרצה לגרוע שם רביעיים שלמים משם שניים שלמים יפול בשברים שניים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you multiply a number by a number and they are both integers or both fractions: | כשתכפול מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Add the names of the ranks [one to the other] and the product is [in the rank whose name is their sum], of the integers, if both are integers, or of the fractions, if both are fractions.
|
חבר שם המדרגות האחד ושם היא הנכפל בשלמים אם שניהם שלמים ובשברים אם שניהם שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If [one is] integer and the other fraction: | ואם שלמים והאחר שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If their names are the same, the product is in the rank of units.
|
אם הם שוים בשם הנה יכפול הנכפל במעלת האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the name of one is greater than the other, subtract the smaller from the greater and the product is as the name that remains: integers, if the [name of] the integers is greater, or fractions, if the [name of] the fractions is greater.
|
ואם שם האחד רב על האחר גרע הקטן מהגדול וכמספר השם שישאר שם יפול הנכפל בשלמים אם הם שלמים היותר גדול או בשברים אם שם השברים הוא יותר גדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you divide a number by a number and they are both integers or both fractions: | כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמים או שניהם שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the names of their ranks are the same, the quotient is in the rank of units. Because, when you subtract this name from this name, nothing remains, so it is in the rank of units.
|
ושם מדרגותיהם שוה הנה יפול החלוקה במעלת האחדים לפי שכאשר תגרע שם זה משם זה לא ישאר דבר ויפול במעלת האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If [the name of] the upper is greater than the name of the lower, subtract the name of the lower from the name of the upper and the quotient is as the name that remains of the same type, i.e. integers, if [both are] integers, or fractions, if [both are] fractions.
|
ואם העליון יותר גדול השם מתחתון גרע שם התחתון משם העליון וכמספר שֵם הנשאר יפול החלוקה בצד ההוא ר"ל בשלמים אם הי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If [the name of] the lower is greater, subtract the name of the greater from the name of the lower and the quotient is as the name that remains of the opposite type: fractions, if both are integers, or integers, if both are fractions.
|
ואם התחתון יותר גדול גרע שם העליון משם התחתון וכמספר שם הנשאר יפול החלוקה בהפך הצד ר"ל בשברים אם היו שניהם שלמים או בשלמים אם היו שניהם שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If one is integer and the other is fraction and the names of their ranks are the same, or not the same, add the names of their ranks and the quotient is as the name of the sum: fraction, if the upper is a fraction, or integer, if the upper is an integer.
|
ואם האחד שלמים והשני שברים ושם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שם המדרגות וכמספר שם העולה בשברים אם העליון שברים או בשלמים אם העליון שלמים שם יפול החלוקה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Another Version - MS Paris 903 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that the one is divided into ten parts called primes; each prime [is divided] into ten parts called seconds, each second into ten thirds, each third into ten fourths and so on endlessly. | דע כי האחד נחלק לי' חלקים יקראו שלמי'שברי' ראשוני' וכל אחד מהראשוני' לי' חלקי' יקראו שלמי' שברי' שניים וכל שניי' לי' שלישיי' וכל שלישיי' לי' רביעיי' וכן עד אין קץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I call the rank of tens of integers "primes"; the hundreds of integers "seconds", the thousands of integers "thirds", the tens of thousands of integers "fourths", the [hundreds of thousands] "fifths" and so on endlessly. | וכן אני קורא מעלת העשרו' שלמים ראשונים ולמאות שלמי' שניי' ולאלפי' שלמי' שלשיי' ולרבואות שלמים רביעיי' ולרבבות חמשיי' וכן עד אין קץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I call the rank of units by their name "units", since they are mean between the integers and the fractions, therefore, when the units are multiplied by units the result is units, which does not happen in any other rank. | אך האחדי' אני קור' בשמם אחדי' כי הם כאמצעיים בין השלמי' והשברי' על כן בכפל אחדי' באחדי' יצאו אחדי' מש"כ בשום מעל' אחרת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I call the seconds "having a greater name than" the primes, the thirds ["having a greater name than"] the seconds, and so on. This is for integers as well as for fractions. | וכן אני קורא לשניי' גדולי השם מראשוני' וכן שלישיים משניי' וכן כלם בי' בשלמי' בי' בשברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When I say: add the name of the seconds to the name of the thirds, the result is fifths and so on.
|
וכן באמ' חבר שם שניי' עם שם שלישיי' יצא חמשיי' וכן כלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Also, when I say: subtract the name of the primes from the name of the seconds; primes remain.
|
וכן באמ' גרע שם ראשוני' משם שניים ישאר ראשוני' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If from the name of the primes, nothing remains, so they are in the rank of the units, for integers as well as for fractions.
|
ואם משם ראשונים לא ישאר דבר ויכפול במעל' האחדי' בי' בשלמי' בי' בשברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the subtracted has a greater name than the minuend, as if you subtract fourths from seconds, if they are fractions, the result are seconds of integers, and if they are integers, the result are seconds of fractions.
|
ואם הנגרע גדול השם מאשר גרעון ממנו כגון שתגרע רביעיי' משניי' אם הם בשברי' יצאו שניי' שלמי' ואם הם בשלמי' יצאו שברי' שניים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you multiply integers by integers or fractions by fractions: | וכשתכפל שלמי' בשלמי' או שברי' בשברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Add the names of the ranks [one to the other] and the product is [in the rank whose name is their sum].
|
חבר שם המדרגו' ושם יפול הנכפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you multiply integers by fractions: | וכשתכפל שלמי' בשברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If their names are the same, the product is in the rank of units.
|
אם הם שוים בשם יפול הנכפל באחדי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If not, subtract the names of the smaller from the name of the greater and the product is as the name that remains after the subtraction.
|
ואם לאו גרע שם הקטן מן שם הגדול ושם יפול הנכפל [..] בצד הגדול בשם הנשאר אחר הגרעון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As if you multiply 3 seconds of integers by 2 sevenths of fractions: subtract 2 from 7; the result is 5. We find that the result of the multiplication is 6 fifths of fractions.
|
כאלו תכפול ג' שלמי' שניי' בב' שברי' שביעיי' תגרע ב' מז' וישאר ה נמצ' יעלה הכפל ו' שברי' חמשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If 3 seconds of fractions by 2 sevenths of integers, the product is 6 fifths of integers.
|
ואם ג' שברי' שניי' בב' שלמי' שביעיי' יהיה הנכפל ו' שלמי' חמשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the rule: when you divide a number by a number and they are both integers or both fractions: | וזו לך צורה לזה כשתחלק מספר על מספר ושניהם שלמי' או שניה' שברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the names of their ranks are the same, the quotient is always in the rank of units.
|
אם שם מדרגותיה' שוה תפול החלוק באחדי' לעולם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the name of the upper is greater than [the name of] the lower, subtract the name of the lower from [the name of the upper] and the quotient is as [the name] that remains [of the same type], i.e. integers, if [both are] integers, or fractions, if [both are] fractions.
|
ואם שם העליון גדול מהתחתון גרע שם התחתון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוקה בצד ההו' ר"ל אם הם שלמי' שלמי' ואם שברי' שברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the name of the lower is greater, subtract [the name of] the greater from [the name of the lower] and the quotient is as [the name] that remains of the opposite type i.e.: fractions, if both the divisor and the dividend are integers, or integers, if both are fractions.
|
ואם שם התחתון גדול גרע העליון ממנו וכמספר הנשאר תפול החלוק בהפך הצד ר"ל בשברי' אם החולק והנחלק שלמי' ובשלמי' אם הם שברים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If one is integer and the other is fraction and the names of their ranks are the same, or not the same, add the names of their ranks and the quotient is as the name of the sum, of the type of the upper number, i.e. the dividend: integer, if [the upper] is an integer, or fraction, if [the upper is] a fraction,.
|
ואם האחד שלם והשני שברי' יהיה שם מדרגותיהם שוה או בלתי שוה חבר שמות המדרגו' יחד וכמספר המחובר יהיה שם הנופל בחלוק לצד שבו היה המספר העליון ר"ל המתחלק אם שלמי' בשלמי' ושברי' בשברי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MS Paris 1081 15r-16v |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Said Immanuel the son of Jacob: Since the division procedure is more difficult for the students than the multiplication procedure, and this is the way for the wise arithmeticians to extract the unknown number from the knowledge of the remaining five numbers and this is done by two multiplications and two divisions in different ways, we found it appropriate to explain how to extract the unknown from the knowledge of the remaining five and this is done by three multiplications and one division and I first give some signs for this procedure: | [3]אמר עמנואל בן יעקב לפי שמעשה החלוק יותר קשה למתלמדים ממעשה הכפל והיא הדרך לשאר החשבנים החכמים להוציא המספר האחד הנעלם איזה שיהיה מתוך ידיעת החמשה מספרים הנשארים ויעשה בזה שני כפלים ושני חלקים בדרכים שונים ראינו לבאר להוציא הנעלם מתוך ידיעת החמשה הנשארים ויעשה בזה שלשה כפלים וחלוק אחד ואומר ראשונה לתת קצת אותות אל זה המעשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Let the ratio of A to B consist of the ratio of G to D and the ratio of H to W.
|
הנה יחס א' אל ב' מחובר מיחס ג' אל ד' ומיחס ה' אל ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It has already been explained in [V].23 of Euclid that the ratio of the product of G by H to the product of D by W consists of the ratio of side G to side D and the ratio of side H to side W.
|
וכבר התבאר מתמונת כ"ג מששי אקלידיס שיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההוה מן ד' בו' מחובר מיחס צלע ג' אל צלע ד' ומיחס צלע ה' אל צלע ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
So, the ratio of A to B is the same as the ratio of the product of G by H to the product of D by W.
|
אם כן יחס [א]' אל ב' כיחס השטח ההווה מן ג' בה' אל השטח ההווה מן ד' בו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Let the product of G by H be the number Z and the product of D by W be the number T.
|
ויהיה שטח ג' בה' מספר ז' ושטח ד' בו' מספר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Hence, the ratio of A to B is the same as the ratio of Z to T.
|
אם כן יחס א' אל ב' כיחס ז' אל ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We multiply the extremes, which are A by T; let it be L.
|
אם כן נכפול הקצות שהם א' בט' ויהיה ל' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We divide L by the mean, which is B; the result is Z, which is the other mean.
|
ונחלק ל' על האמצעי והוא ב' ויעלה הז' שהוא האמצעי האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Or, we divide L by the mean, which is Z; the result is B, which is the other mean.
|
או נחלק ל' על האמצעי והוא ז' ויעלה ב' והוא האמצע האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Or, we multiply the means, which are B by Z; it is L. We divide it by one extreme, which is T; the result is A, which is the other extreme.
|
או נכפול האמצעיים שהם ב' בז' ויהיה ל' ונחלק על הקצה [4]האחד והוא ט' ויעלה א' שהוא הקצה האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is clear. | וזה מבואר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Thus, we explained [the case] when the first, which is A, is unknown, or the second, which is B, is unknown. | ובזה ביארנו אם הראשון והוא א' נעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is explained in the eighteen propositions in the Conic Section of Menelaus that when the ratio of the first, which is A, to B, which is the second, consists of the ratio of G, which is the third, to D, which is the fourth, and the ratio of H, which is the fifth, to W, which is the sixth, then also the ratio of the third, which is G, to the fourth, which is D, consists of the ratio of the first, which is A to the second, which is B, and the ratio of the sixth, which is W, to the fifth, which is H. This is the eleventh proposition in the mentioned book.
|
מבואר בתמונה החתוכית המיוחדת למילאוס בשמנה עשר פנים שכאשר היה יחס הראשון והוא א' אל ב' והוא השני מחובר מיחס ג' והוא השלישי אל ד' והוא הרביעי ומיחס ה' אל ו' והוא החמשי אל ו' והוא הששי הנה גם כן יהיה יחס השלישי והוא ג' אל הרביעי והוא ד' מחובר מיחס הראשון והוא א' אל השני והוא ב' ומיחס הששי והוא ו' אל החמשי והוא ה' וזהו בפעם האחת עשרה עשרה מהתמונה הנזכרת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore, we set the ratio as follows: third, first, fourth, second, first, third, second, fourth, sixth, fifth, fifth, sixth. | אם כן נעשה היחס כן שלישי ראשון רביעי שני ראשון שלישי שני רביעי ששי חמשי חמשי ששי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Thus, according to the method we explained first, we can know [them] when the third is unknown, or when the fourth is unknown. | אם כן על הדרך שביארנו ראשונה נוכל לדעת אם ג' שהיה שלישי נעלם או אם שהיה רביעי נעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is also explained in the seventeenth proposition in the mentioned book that when the ratio of A, which is the first, to B, which is the second, consists of the ratio of G, which is the third, to D, which is the fourth, and the ratio of H, which is the fifth, to W, which is the sixth, then also the ratio of the fifth, which is H, to the sixth, which is W, consists of the ratio of the first, which is A to the second, which is B, and the ratio of the fourth, which is D, to the third, which is G.
|
וגם כן יתבאר בפעם השבעה עשר מהתמונה הנזכרת שכאשר יחס א' והוא הראשון אל ב' והוא השני מחובר מיחס ג' והוא השלישי אל ד' והוא רביעיי ומיחס ה' והוא החמישי אל ו' והוא הששי הנה גם כן יהיה יחס החמשי והוא ה' אל הששי והוא ו' מחובר מיחס הראשון והוא א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore, we set the ratio as follows: fifth, first, sixth, second, first, third, second, fourth, fifth, third, sixth. | אם כן נעשה היחס כן חמשי ראשון ששי שני ראשון שלישי שני רביעי חמשי שלישי ששי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Thus, according to the method we explained first, we can know [them] when H, which is the fifth, is unknown, or when W, which is the sixth, is unknown. | אם כן על הדרך שביארנו ראשונה נוכל לדעת אם ה' שהיה חמשי נעלם או ו' שהוא ששי נעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The educated will understand. | והמשכיל יבין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the first, which is A, is unknown: we multiply G by H; it is Z. We also multiply B by W; it is T. We also multiply B by Z; it is L. We divide L by T; the result is A, which is the unknown first.
|
אם הראשון והוא א' נעלם נכה ג' בה' והיה ז' עוד נכה ב' בו' והיה ט' עוד נכה ב' בז' והיה ל' ונחלק ל' על ט' ויצא א' שהוא הראשון הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the [second], which is B, is unknown: we multiply G by H; it is Z. We also multiply B by W; it is T. We also multiply A by T; it is L. We divide L by Z; the result is B, which is the unknown second.
|
אם הששי והוא ב' נעלם נכה ג' בה' והיה ז' עוד נכה ב' בו' והיה ט' עוד נכה א' בט' והיה ל' נחלק ל' על ז' ויצא ב' שהוא השני הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the third, which is G, is unknown: we multiply A by W; it is Z. We also multiply B by H; it is T. We also multiply D by Z; it is L. We divide L by T; the result is G, which is the unknown third.
|
אם השלישי והוא ג' נעלם נכה א' בו' והיה ז' עוד נכה ב' בה' והיה ט' עוד נכה ד' בז' והיה ל' נחלק ל' על ט' ויצא ג' שהוא השלישי הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the forth, which is D, is unknown: we multiply A by W; it is Z. We also multiply B by H; it is T. We also multiply G by T; it is L. We divide L by Z; the result is D, which is the unknown fourth.
|
אם הרביעי והוא ד' נעלם נכה א' בו' והיה ז' עוד נכה ב' בה' והיה ט' עוד הכה ג' בט' והיה ל' נחלק ל' על ז' ויצא ד' שהוא הרביעי הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the fifth, which is H, is unknown: we multiply A by D; it is Z. We also multiply B by G; it is T. We also multiply W by Z; it is L. We divide L by T; the result is H, which is the unknown fifth.
|
אם החמשי והוא ה' נעלם נכה א' בד' והיה ז' עוד נכה ב' בג' והיה ט' עוד נכה ו' בז' והיה ל' נחלק ל' על ט' ויצא ה' שהוא החמשי הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the sixth, which is W, is unknown: we multiply A by D; it is Z. We also multiply B by G; it is T. We also multiply H by T; it is L. We divide L by Z; the result is W, which is the unknown sixth.
|
אם הששי והוא ו' נעלם נכה א' בד' והיה ז' עוד נכה ב' בג' והיה ט' עוד נכה ה' בט' והיה ל' נחלק ל' על ז' ויצא ו' שהוא הששי הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is about the way I explained to extract the unknown from the six by the knowledge of the remaining five. Understand [this]. | זהו על דרך שבארתי להוציא הנעלם איזה שיהיה מהששה מתוך ידיעת החמשה הנשארים ובין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) |
לוח כפילת המעלות ושבריהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Table – multiplication of sexagesimal fractions (Firenze) |
לוח חילוק השברים האחד על השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplication of integers (Firenze) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון על דרכי הכפל רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכתבנו בטור העליון קכ"ז ובשני השפל שנ"ה וזה צורתו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כפלנו ז' על ה' והוא ל"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבנו ה' במעלה הראשונה כנגד ז' ושמרנו הג' כדי לצרף אותה אל המעלה השנייה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו ז' על ה' השני התחתון עלו ל"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חברנו הה' עם הג' ששמרנו ועלו ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושמנו ח' במעלה השנית תחת ב' מטור העליון והג' שמנו במעלה השלישית תחת הא' מטור העליון עם היוצא מכפל אותה המעלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו ז' הראשון על הג' התחתון עלו כ"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חברנו א' עם הג' ששמרנו והיו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכתבנו ד' תחת הא' במעלה השלישית וב' במעלה רביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו ב' האמצעי העליון על ה' הראשון מן הטור השפל עלו עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבנו ציפרא בשינית וא' בשלישית תחת הג' שבטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו ב' העליון על הה' השני התחתון עלו עשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חברנו י' עם הא' ששמרנו והיא י"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שמנו א' בשלישית וא' שמרנו ברביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו ב' על ג' והיו ששה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חברנו הו' עם הא' והיו ז' וכתבנוהו ברביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו א' על ה' הראשונ שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית עוד כפלנו א' על ה' הראשון שבטור השפל וכתבנו ה' בשלישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו א' על ה' השני וכתבנו ה' ברביעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו א' על ג' וכתבנו ג' במעלה החמישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשלם כפל החבור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נבוא לחבר היוצא מכפל שני הטורים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב ה' לכח במעלה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וח' בשנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וד' וא' וה' עולים עשרה נעשה 0' בשלישית ונשים נקודה ברביעית להיות לזיכר בעבו' העשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נחבר ב'ז'ה' והם י"ד ואחר השמור הרי ט"ו נשים ה' במעלה הרביעית ונקודה בחמישית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחבר אחד עם הג' ויהיו ד' ונכתוב ד' במעלה החמשית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשלם החבור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The scales of multiplication by [casting out] the nines | המאזניים מן הכפל על חש' ט' ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה חשבנו חשבון הטור העליון כאילו הם אחדים והיו עשרה כזה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השלכנו התשעה ונשאר א' וכתבנוהו בצד הטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר כן חשבנו הטור השפל ומצאנוהו עולה י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הפלנו הט' ונשארו ד' וכתבנום בצדו אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כפלנו א' על ד' והיה ד' ושמרנום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר חשבנו המחובר והיה זה ה ח 0 ה ד ועלה כ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השלכנו י"ח שהולך לתשיעיות ונשארו ד' והוא שווה לכפל מאזני שני הטורים ואז ידענו שחשבונינו אמתי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The rule is that when one of the multiplicands of the product is cast out by nines, whether the upper or the bottom, then the result of the multiplication should be cast out by nines; otherwise not. | והכלל הוא כי כשאחד ממדרגות הכפל הולך לתשיעיות הן העליון הן השפל היוצא מחבור הכפל ראוי ללכת בתשיעיות ואם לאו אינו צורך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If both are not removed by nines, multiply the remainders of the two rows of multiplication by each other and see the remainder from nines, whether it is 5, or 6, or 7. | ואם אינו הולך לתשיעיות כל אחד משניהם תכפול העודף משני טורי הכפל זה על זה וראה מה שיעדיף על תשיעיות אם ה' אם ו' אם ז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
That is, see the result of the upper row and multiply it by the result of the bottom row. | ר"ל תראה מה שיעלה הטור העליון ותכפלהו על מה שיעלה הטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו יהיה בעליון ד' ג' שעולה ז' ובתחתון ג' ב' שעולה ה' תכפול ז' על ה' עולה ל"ה נשאר על תשיעיות שהשלכת ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The same will be in the product no more and no less, when you examine how much is the result of the multiplication and by how much it exceeds over nine. | וכן יהיה בחבור בלי פחות ויתר כאשר תעיין כמה חבור הכפל וכמה יעדיף על תשעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the total of the upper row and of the bottom row are less than 9, multiply the upper by the bottom, see by how much [the product] exceeds over nines and the same should be for the result of the multiplication, if the multiplication is correct; otherwise, it is incorrect. | ואם בין הטור העליון והשפל לא יעלה הכל ט' תפיל העליון על השפל וראה מה שיעדיף על תשיעיות וככה יהיה החבור אם הכפל יצדק ואם לא יצדק תם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Division of integers |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Conducted by Bonfils may his soul rest in paradise. | [6]עשאו שין בונפייל נ"ע[7] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you want to divide many digits by many digits, however many there may be, write the number you wish to divide, which is the greater, in one row, each one according to its rank and call it "the upper row". | כשתרצה לחלק מספרים רבים על מספרים רבים כמה שיהיו תשים המספר שתרצה לחלקו והוא ביותר גדול בטור כל אחד ואחד כפי מעלתו וקרא טור עליון[8] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write the second number, by which you want to divide, and it is the smaller, in another row, beneath the upper row, each beneath its type, i.e.: units beneath units, tens beneath tens etc., and this row is called "the bottom row". | והמספר השני שתרצה לחלק עליו והוא היותר קטן תשים בטור אחר תחת הטור העליון כל מין תחת מינו ר"ל אחדים תחת אחדים עשרות תחת עשרות וכו' שהטור יקרא הטור השפל[9] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Leave a space between the two rows we mentioned, so that you can write the result of division between them and this row is called "the middle row". | וריוח תשים בין שני הטורים שהזכרנו כדי שתוכל לכתוב ביניהם העולה בחלוק וזה הטור יקרא טור אמצעי[10] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you start dividing your number, consider all the digits as if they were units and see how many times the last digit of the bottom row is in the last digit of the upper row. | וכאשר תחל לחלק חשבונך ותחשוב כל המספרי' כאלו הם אחדים תראה כמה פעמים יהיה המספר האחרון שבטור השפל כמספר אחרון שבטור עליון[11] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
In such way that the second to the last in the bottom row, i.e. before it, is the same number of times in the second to the last in the upper row before it. | ובאופן שיהיה מספר הפעמים ההם השני לאחרון שבטור השפל ר"ל לפניו השני לאחרון שבטור העליון לפניו[12] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Also the third to the last in the bottom row is in the third to the last in the upper row and so on successively. | וכן השלשי לאחרון שבטור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write the number you receive with the previous method, i.e. the number of times the last digit in the bottom row is in the last digit in the upper row, in the middle row, i.e. between the upper row and the bottom row. Write this number as far from the last digit of the upper row, from which you take the quotient, as the [number of] ranks that the last digit of the bottom row is far from the rank of units. | ואותו המספר אשר יעלה לך עם האופן הקודם ר"ל מספר הפעמים אשר יהיה המספר האחרון שבטור השפל כמספר האחרון שבטור העליון תכתוב בטור האמצעי ר"ל בין הטור העליון והשפל ותכתוב כמספר ההוא רחוק מהמספר האחרון שבטור העליון אשר תקח ממנו החלק כמו מדרגות אשר רחק כמספר האחרון שבטור השפל ממדרגת האחדים[14] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that if you cannot take the last digit of the bottom row even once from the last digit of the upper row, as if we say for instance that the last of the bottom row is 1 and the last of the upper row is 8 or less, like our next example: | ודע לך שאם לא תוכל לקחת שום פעם המספר האחרון שבטור השפל כמספר האחרון שבטור העליון כאלו נאמר דרך משל שהאחרון שבטור השפל הוא א' והאחרון שבטור העליון הוא ח' או פחות כמו בדמיונו זה[15] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אז תשוב כל המספר ההוא אחורנית ר"ל מספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לזה תקח ט' ותכתבנה א' בטור האמצעי רחוק מהאות שלקחת החלוק ממנו שהוא ט' בכמו המספר אשר רחק האות האחרון שבטור השפל שהוא ט' ממדרגתו והם ארבע מדרגות לכן תכתוב בט' אשר יצא לך בחלוק במדרגת העשרות שהוא תחת הב' שבטור העליון[17] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, draw a line beneath the bottom row and multiply the digit you received in the division, i.e. 9 by the whole bottom row, according to the multiplication method you know. Subtract the product from the upper row, each from its type, starting from the rank nearest to the units, or from the units, if there are units. Write the remainder from subtraction above the upper row. | אחר כן תשים קו תחת הטור השפל וכפול זאת האות שיצא לך בחלוק ר"ל ט' עם כל הטור השפל כאשר ידעת דרך הכפל והיוצא מהכפל גרע מהטור העליון כל מין ממינו ונתחיל מן המדרגה הקרובה אל האחדים או מן האחדים אם יש שם אחדים והנשאר אחר הגרעון[18] כתוב על הטור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
After that, divide again what remains above the upper row by the bottom row in the manner we explained, then multiply the digit received from the division by the entire bottom row, as at the beginning, and subtract the product from what remains on the upper row and the remainder remains above it. | אחר זה שוב לחלק הנשאר על הטור העליון על הטור השפל על הדרך שביארנו ואחר כפול האות היוצא בחלוק על כל הטור השפל כאשר בתחלה ואחר גרע העולה מהכפל מן הנשאר בטור העליון וישאר הנשאר עליו[20] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Divide it again, if there is something in it to divide, multiply and subtract as mentioned. | ואחר תשוב לחלק עוד אם יש בה לחלק ולכפול ולגרוע כדבר האמור[21] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The sign for this method is D.M.S. [in Hebrew ḥ.k.m.], i.e. division, multiplication, and subtraction. | והסימן לזה הדרך ח'כ'ם' ר"ל חלוק כפל ומגרעת[22] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Always do this until what remains in the upper row is less than what is in the bottom row. | וכן תעשה תמיד עד שישאר בטור[23] עליון פחות ממה שבטור[24] השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
After you have done this and less remains in the upper row than in the bottom row and you want to check if your calculation was performed without making any mistakes, add up all the multiplication rows you received, each with its type and also what remains in the upper row and perform the addition operation, the procedure of which you are familiar with. If the sum is equal to the number you first had in the upper row, the calculation is correct, and if you find any change between them, there is an error. | וכאשר עשית זה ונשאר בטור העליון פחות ממה שבטור השפל ותרצה לבחון אם נעשית מלאכתך בזולת נפילת בה שום טעות תחבר כל טורי הכפל אשר יצאו לך כל מין עם מינו וגם הנשאר לך בטור עליון ותנהוג מנהג החבור אשר ידעת מנהגו ואם המחובר יהיה שוה למספר שיהיה לך ראשונה בטור העליון הנה החשבון אמיתי ואם תמצא שום התחלפות ביניהם הנה טעות ודוק ותשכח[25] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Table in MS Firenze | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MS Firenze margin:
|
שלא מן המאמ' והוא תוס' ביאור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to further divide the remainder from division in the procedure we did, decompose the remainder into the preceding rank. | ואם תרצה לחלק עוד הנשאר לחלק בזה הדרך שעשינו שבר הנשאר למעלה ולמדרגה שלפניה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I.e. if the remainder are minutes, decompose them into seconds, or into thirds if the former were seconds, or to fourths, if they were thirds, and so on as long as the calculation continues. | ר"ל אם הנשאר הם מותר מדקים שברם לשניים וכן לשלישיים אם הקודמי' היו שניים וכן לרביעיים אם קדמו השלישיים וכן עד כולם כל אשר יימשך החשבון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Look at the previous division table and you will find the explanation of what the results are. | ועיין בלוח הקודם מהחילוק ותמצא ביאור העולים מה יהיו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Extracting roots |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
After I have explained to you the method of division in the easiest possible way, in addition to mentioning most of the number operations such as division, multiplication and subtraction, as well as addition and checking, I intend to clarify and inform an easy way to find the square roots of the numbers that have a real root, or the closest to the numbers that do not have a real root, whether they are integers alone, integers with fractions, or fractions alone; their rules and approximations, while mentioning the other methods of calculation also. | [26]אחר שביארתי לך דרך החלוק על הדרך היותר קל שאיפשר מצורף מה שיש בו מן ההזכרה מרוב דרכי המספר כמו חלוק כפל ומגרעת גם החיבור בבחינה אמרתי לבאר ולהודיע דרך קל למצא שרשי המרובעים מהמספרים שיש להם שורש אמיתי או היותר קרוב להם מהמספרים אשר אין להם שורש אמיתי שלמי' לבדם הן מהמספרים שיש שלמים עם נשברים או מנשברים לבדם הן וכלליהם ודקדוקהם ויהיה גם זה מן ההזכרה בשאר דרכי החשבון[27] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
From now on I will start and say: | ומעתה אתחיל ואומר[28] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that in the rank of units there are three square numbers, i.e. whose roots are known integers and they are: one, whose root is one; four, whose root is two; and nine, whose root is three.
|
דע כי במעלת האחדים יש בה שלשה מספרים מרובעים ר"ל ששרשיהם שלמים וידועים והם אחד ששרשו אחד וארבעה ששרשו שנים ותשעה ששרשו שלשה[29] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The second rank, which is the rank of tens, does not have a square number at all, only together with units, because ten is not a square number, nor twenty, nor 30, nor 40, nor 50, 60, 70, 80, 90. Yet with the addition of units, it has six squares, i.e. we add to the number of tens some units: like 16, whose root is 4; 25, whose root is 5; 36, whose root is 6; 49, whose root is 7; 64 whose root is 8; 81, whose root is 9. | ובמעלה השנית שהיא מעלת עשרות אין בה מספר מרובע כלל רק עם חבור אחדים כי עשרה אינו מספר מרובע ולא עשרים ולא ל' ולא מ' ולא נ' ס' ע' פ' צ' אמנם עם חבור אחדים יש בה ששה מרובעים ר"ל שנוסיף על מספר העשרות אחדים מה כמו י"ו שרשו ד' כ"ה שרשו ה' ל"ו שרשו ו' מ"ט שרשו ז' ס"ד שרשו ח' פ"א שרשו ט'[30] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Every rank of a number, whose numerical position is odd, such as third, fifth, seventh, ninth, and the like endlessly, is analogous to the rank of units. | וכל מעלת המספר שמספר מדרגתה נפרד כמו שלישית חמישית שביעית תשיעית ודומיהן לאין תכלית דומה למעלה האחדים[31] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As, if you say, for example, the rank of hundreds, which is the third rank, also has three squares: | כאלו תאמר דרך משל במעלת המאיות שהיא מדרגת שלישית יש בה גם כן שלשה מרובעים[32] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והוא מאה שדומה לאחד שרשו עשרה שדומה לאחד[33] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וארבע מאות שדומה לארבע אחדים שרשו עשרים שדומה לשנים[34] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וט' מאות שדומה לט' אחדים שרשו שלשים שדומה לשלש[35] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Likewise every rank whose numerical position is even, like fourth, sixth, eighth, tenth, and so on endlessly, which is called an even rank, is analogous to the rank of tens, which has six squares by adding units to it as we have explained. So, the rank of thousands has six squares by adding hundreds, i.e. we shift each thousand backward as ten hundreds and add them to what is in the hundreds: | וכן כל מעלה שמספר מדרגתה זוג כמו רביעית ששית שמינית עשירית וכן לאין תכלית והיא אשר תקרא מעלה זוגיית דומה למעלה העשרות שיש בה ששה מרובעים עם חבור אחדים בה כמו שבארנו כן במעלת האלפים יש בה ששה מרובעים עם חבור המאיות ר"ל שנשים כל אלף ואלף אחורנית לעשרה מאיות ותחבר עם מה שנמצא במאיות[36] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו אלף ושש מאות הדומה לשש [37]עשרה שרשו ארבעים הדומה לארבעה[38] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואלפים ות"ק הדומה לכ"ה שרשו חמשים הדומה לחמשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושלשת אלפים ושש מאות הדומה אל ל"ו שרשו ששים הדומה לששה[39] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וארבעה אלפים ותשע מאות שדומה למ"ט שרשו שבעים שדומה לשבעה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וששת אלפים ארבע מאות הדומה לס"ד שרשו שמנים הדומה לשמנה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושמנה אלפים ומאה הדומה לפ"א שרשו תשעים הדומה לתשעה[40] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
And so on every rank whose numerical position is even, like fourth, sixth, eighth, to infinity. | וכן כל מעלה שמספר מדרגתה זוג כמו רביעית ששית שמינית לאין תכלית[41] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
You should know that the result of any number falls in the middle rank of the ranks of that number. | ולך לדעת כי היוצא מכלל איזה מספר שיהיה יפול במעלת האמצעית שבמספר המדרגות[42] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמר דרך משל יש לנו מספר ד' במעלה השביעית שהוא מעלה נפרדת כמו הענין בזאת הצורה[43] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושרשו ב' כמו שביארנו שראוי לכתוב ב' במעלה הרביעית שהיא מעלה האמצעית שיש לפניה ג' מדרגות וכהנה לאחריה[44] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Understand it for the other odd ranks. | ובין תבין בשאר המעלות הנפרדות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The same for the even rank: as we explained, there is no square in it, unless we return the last digit in the even rank backward, so each unit becomes a ten and we add everything to what is in the preceding rank. Then, the root should be extracted. The number of the ranks becomes odd, and every odd rank has a middle rank. | וגם במעלה הזוגיית כמו שבארנו אין בה שום מרובע אם לא בהשיב כל אחד מהמספר האחרון שבמעלה הזוגיית אחורנית ולעשות מכל אחד עשרה ולחבר הכל עם מה שבמעלה שלפניה ואז ראוי לקחת השרש ואז ישובו מספרי המעלות נפרד וכל נפרד יש לה מעלה אמצעית[45] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The resulting root should be written in the middle rank, i.e. as far from the last rank, from which it is extracted, as its distant from the units, because the units stand by themselves, in their rank and the root of the units is in the rank of the units. | וראוי לכתוב השרש היוצא במדרגת האמצעית ר"ל רחוק ממדרגה האחרונה אשר ילקח מהם כאשר מרחקו מן האחדים מפני שהאחדים עומדים בעצמם ובמקומם והוא שרש האחדים בטור האחדים[46] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The meaning is that the root is as far from the rank from which it is extracted as it is far from the units, i.e. the distance from the units is the same. | והענין אחר שהשרש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
After I have introduced this to you, I remind you the arrangement of the squares that are in the rank of units, which is the first: 1, 4, 9, whose roots are: 1, 2, 3 and in the rank of tens there are six squares: 16, 25, 36, 49, 64, 81 and their roots are: 4, 5, 6, 7, 8, 9. This is already known to you. | ואחר שהקדמתי לך זה אזהירך להזכירך מסורת המרובעים אשר במדרגת האחדים שהיא הראשונה שהם א' ד' ט' ושרשם א' ב' ג' ובמדרגות העשרות יש ששה מרובעים והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ושרשם ד' ה' ו' ז' ח' ט' ויהיה זה ידוע אצלך[48] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I have already informed you that the odd rank follows the rule of the units and the even [rank] follows the rule of the tens. | וכבר הודעתיך כי המעלה הנפרדת הנה דינה כדין האחדים והזוגית דינה כדין העשרות[49] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now I will teach you the procedure you apply in order to find the root of any number you want, whether it has a real root or the closest to it, if it does not have a real root: | ועתה אורה אותך דרך זו תלך בידיעת שרש איזה מספר שתרצה אם יש להם שרש [אמתי] או היותר קרוב לפניו אם אין להם שרש אמיתי[50] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write the number, whose root you want to know, in one row by its ranks as many as they may be. | הנה תכתוב המספר אשר תרצה לדעת שרשו בטור אחד איזו מדרגות שתהיינה[51] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותאמר תחלה שתהיינה ה' מדרגות דרך משל א'ב'ג'ד'ה'[52] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המעלה האחרונה היא נפרדת ודינה כדין האחדים לכן נדמה מספר ה' האחרון כאלו הוא ה' אחדים הנה שרשו היותר קרוב לו לפניו הוא ב' שהוא שרש ד'[53] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לכן נכתוב ב' באמצע שהוא תחת אות הג' ונרשום קו תחת הב' עם מעט ריוח כדי שנוכל לכפול אות השרש היוצאת[54] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפול אות הב' שהוא השרש בעצמו והנה ראו[י] לכתוב הכפולה רחוק ממנה אחריה כאשר היא רחוקה מן האחדים וראוי לכתוב גלגלים כמספר המדרגות אשר לפניה והתחלתם כנגד הב' ביושר ובמדרגתה כאשר נאמר עתה כנגד הב' נתחיל [55]לכתוב ב' גלגלים כאשר אות הב' רחוקה מן האחדים שני מדרגות ואחר השני גלגלים נכפול הב' בעצמה ויהיה ד' ובין תבין בכל התחלת הכפולה וזכור לך זה ואחר גרע העולה מהכפל מהמספר הראשון מן במינו כאשר נודע המגרעת והנשאר ישאר על הטור העליון[56] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר תכפול השרש בשנים ר"ל שאם היה ג' תכתוב תחתיה ו' ואם ד' ח' ובדמיונו זה שהיה ב' תכתוב ד' והוא השרש הכפול בשנים[57] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תחלק הנשאר מהמספר הראשון על זאת הד' ותקח כל מה שתוכל באופן שתוכל לקחת מרובע המספר אשר יצא מהחלוקה כאלו תאמר בדמיונו זה הנה נשוב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו אפי' פעם אחד ונשיבהו אחורנית עם הד' אשר לפניה ויהיה י"ד ונאמר כמה פעמים נוכל לקחת ד' מן י"ד הנה נקח ג' כי מהנשאר לפניו נוכל לקחת ג' פעמים ג' שהוא מרובע המספר היוצא מחלוקה ונכתוב ג' לפני השרש הראשון[58] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפול זאת הג על עצמה ראשונה ואחר על השרש הכפול[59] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונתחיל לכתוב זאת האות הנופלת א' בצדה ותעשה ראשונה גלגלים כאשר אות הג' רחוקה מהאחדים והוא גלגל אחד ראשונה כנגד הג'[60] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נאמר ג' פעמים ג' הם ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נאמר ג' פעמים ד' הם ב'א' ותכתוב ב'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר נגרע זה הטור הנכפל מן הנשאר למעלה מן במינו כמשפט המגרעת והנשאר ישאר למעלה בטור העליון[61] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר זאת תכפול זאת האות השנית מן השרש שהיא ג' בשנים ונכתוב ו' תחתיה[62] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונקח כל מה שנוכל באופן שנוכל לקחת באחרונה מרובע המספר היוצא מן החלוקה כאלו תאמר בדמיונו זה הנה נשוב הא' אחורנית כי לא נוכל לקחת ד' ממנו ויהיו י"ד ונקח ג"א כי מהנשאר נוכל לקחת ג' פעמים ומהנשאר אחר זה נוכל לקחת ג' פעמים ג' ונכתוב ג' לפני הו' והיא במעלת האחדים[63] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפול זאת הג' ראשונה בעצמה והוא ט' ונכתבנה כנגדה לפי שאות הג' היא במעלת האחדים[64] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אחר נכפול ג' על ו' ואחר ג' על ד' ואחר נגרע העולה מהכפל מן הנשאר למעלה והנשאר ישאר למעלה[65] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וישאר למעלה ל"ב והשרש ג'ג'ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשלם באורו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I will give you various rules, the knowledge of which is necessary for the root extraction procedure. | אך אמנם אתן לך כללים מתחלפים יש צורך בידיעתם במעשה השרשים[66] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכלל הראשון כאשר לקחת השרש הראשון מהמספר האחרון אשר בידך אם היא מדרגת נפרדת או מהקודם לאחרון אם הוא מדרגת זוגית ראוי לכתוב השרש ההוא במדרגת האמצעית כאשר הראיתיך ותקח כל מה שתוכל ואם לא תוכל לקחת דבר מהמקום ההוא האחרון הנשאר ולקחת מהשני לו גם כן תכתבהו רחוק מהמקום אשר תקח ממנו החלוק כאשר השרש הראשון רחוק מהאחדים ולכן ראוי לכתוב גלגל במקום אשר לפני השרש הראשון וקודם [67]לזה הגלגל תכתוב היוצא מן החלוקה[68] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכלל השני כאשר תשוב לחלק הנשאר מהמספר אשר בידך כפול השרש לא תקח המספר האחרון אשר לקחת ממנו ראשונה ואף כי מהמספר אשר אחריו ואף כי תראה כי האפשר לקחת בו מפני שכאשר לוקח ממנו השרש ראשונה כבר לוקח ממנו כל הראוי כמו שנראה בדמיונו זה[69] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
רצינו לדעת השרש הקרוב אל ט'ט'ג'[70] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה לקחנו השרש הקרוב והוא א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגרענו א' מהמספר האחרון שהוא ג' ונשאר ב' על הג'[71] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכפול אות הא' והיא הב'[72] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולא נאמר ולראות כמה פעמים יהיה ב' שהוא כפל השרש במספר הנשאר ממספר הראשון והוא ב' מאשר נוכל לקחת פעם אחת ב' מב' וגם נוכל לקחת מרובע א' מהנשאר זה אין ראוי לעשות מפני כי יהיה מהראוי לכתוב זה הא' היוצא רחוק מהמספר אשר לקחנו ממנו החלוק כאשר אות הא' הנכתב ראשונה נכתב כמשפט הזה וכבר לקחנו כל המצטרך במדריגה ההיא ולכן נשוב הב' אחורנית על הט' אשר לפניה ויהיה כ"ט[73] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונאמר כמה פעמים יהיה ב' שהוא כפל השרש במספר כ"ט באופן שנוכל לקחת מהמדרגה שלפניה מרובע המספר היוצא מהחלוקה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ודי בזה זה הכלל והוא נמשך עם הכלל השלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכלל השלישי כאשר שבת לחלק המספר הנשאר על השרש הכפול לא תטריח בעצמך לראות אם תוכל לקחת עשרה פעמים המחלק במחולק כמו שנאמר בדמיונו שלמעלה מזה נראה כמה פעמים יהיה ב' במספר כ"ט ונאמר שיהיה בו עשרה כי זה אי אפשר ואף כי יותר מעשרה כי לא תוכל לקחת מהמדרגה שלפנינו עשרה פעמים עשרה ואין ראוי לטרוח בזה וכן זה הדין בענין החלוק[74] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכלל הרביעי מאשר אמרנו בכלל השני כי כאשר נשוב לחלק הנשאר על [כפל] השרש שלא נשוב לקחת מהמדרגה אשר לקחנו ראשונה זהו כאשר היה כשכפל[נו] זה השרש לא הוספנו עליו מדרגה כמו אם כפלנו ב' היה ד' באותה מדרגה וכן ג' וכן ד' אמנם אם היה השורש ה' או ו' או ז' או ח' או ט' והנה כשכפלנו זה השורש כבר נתוספה בשורש מדרגה אחת כאלו תאמר היה השורש ו' עשרות הנה כפל השורש ב' עשרות ומאה הנה ותוספת השרש מדרגת אחת ולפי זה כאשר תשוב לחלק תקח מהמדרגה אשר לקחת ממנו ראשונה ותכתבנה גם כן רחוקה מהמספר האחרון כאשר ראש השרש הכפול רחוק מן האחדים וזהו מה שרצינו לבאר[75] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Another Version - MS Paris 903 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The way to extract a square root of a number that has a real root, or an approximate square root of those that do not have a real root, for integers alone, or for fractions alone, or for integers and fractions together. | [76]הדרך להוציא שרשי המרובעי' ממספר בעל שרש אמתי או שרש המרוב' הקרוב מאשר אי' להן שרש אמתי
הן משלמי' לבד או נשברי' לבד הן ממספר שלמי' ונשברי' יחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that in the rank of units there are three square numbers, i.e. their roots are integers and are known, and they are 1, 4, 9, whose roots are 1, 2, 3.
|
דע כי במעלת האחדי' יש בה ג' מספרי' מרובעי' ר"ל ששרשם שלמי' וידועי' והם א' וד' וט' ששרשם א' ב' ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The second rank, which is [the rank of] tens, does not have a square number at all, only together with units, because 10, 20, 30, 40, 50, 60, 70, 80, 90 none of them is a square number. Yet with the addition of units, it has six squares: like 16, whose root is 4; 25, whose root is 5; 36, whose root is 6; 49, whose root is 7; 64 whose root is 8; 81, whose root is 9. | ובמעלה השנית שהי' עשרות [אין בה] מספר מרובע כלל רק עם חבור אחדי' כי י'כ'ל'מ'נ'ס'ע'פ'צ' אי גם אחד מהם מרובע אך עם חבור אחדי' יש בה ו' מרובעי' כמו י"ו שרשו ד' כ"ה שרשו ה' ל"ו שרשו ו' מ"ט שרשו ז' ס"ד שרשו ח' פ"א שרשו ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Every odd rank, such as the hundreds, which is third; the tens of thousands, which is fifth; the seventh, the ninth, and the like endlessly, is analogous to the rank of units, because there are also three squares in them. | וכל מעלה נפרד' כגו' המאו' שהי' השלישי' או הרבואו' שהם חמישית ושביעי' ותשיעי' וכן כלם דומי' דומי' למעל' האחדי' בשיש בם ג"כ ג' מרובעי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כגו' במאו' יש ק' ושרשו י' ת' ושרשו כ' ת'ת'ק' ושרשו ל' וכן כלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The squares in the odd ranks are always [analogous to] 1, 4, 9 and their roots are [analogous to] 1, 2, 3 in the preceding rank to its immediate right. | ולעול' א'ד'ט' מרבעי' במעלו' נפרדו' ושרשם א'ב'ג' מהמעלה שלפניה וימינה הקרובה לה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Every even rank is analogous to the tens. | וכן כל מעלה זוגית דומ' לעשרו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כגו' האלפי' יש בה ו' מרובעי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As the squares in the tens are with addition of units, which is the closest rank to its right, so you always add to the even rank units from the preceding rank, which are added as units of the tens. | וכמו שבעשרו' המרובעי' עם חבור אחדי' מה שהיא המעל' הקרובה לימינ לפניה כן תחבר לעולם עם המעל' הזוגיי' אחדי' מהמעלה שלפניה במספר שתצטרך להוסיף אחדי' ע' העשרו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כגו' באלפי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יש אלף ות"ר הדומ' לי"ו ושרשו ת'מ' והו' דומ' לד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אלפים ות"ק הדומ' לכ"ה ושרשו נ' הדומ' לה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ג' אלפי' ות"ר הדומ' לל"ו ושרשו ס' הדומ' לו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וד' אלפים תת"ק הדומ' למ"ט ושרשו ע' הדומ' לז' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וו' אלפי' ות' הדומ' לס"ד ושרשו פ' הדומ' לח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וח' אלפי' ק' הדומ' לפ"א ושרשו צ' הדומ' לט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Likewise for every even rank. | וכן כל מעל' זוגיית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the rule: every square of an odd rank is [analogous to] 1, 4, 9, whose roots are 1, 2, 3; and the squares of every even rank are [analogous to] 16, 25, 36, 49, 64, 81, whose roots are 4, 5, 6, 7, 8, 9, but the rank of the roots is never the closest to it. | וזה הכלל כל מרובע של מעלה נפרדת הו' א' ד' ט' ושרשם א' ב' ג' וכל מעל' זוגיי' שרש מרובעיה ו"א ה"ב ו"ג ט"ד ד"ו א"ח ושרשם ד' ה' ו' ז' ח' ט' ואבל אי' מעלת השרשי' לעול' הסמוכה לה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is how you know the positional rank of the root: always look for an odd rank to shift the root from the square back to it as the number of ranks it is away from the units. | וכה תדע מעלת מקו' השרש לעולם ראה במספרי' מעל' נפרדת להשיב השרש רחוק מהמרובע אחורני' מספר מעלו' כמספר מעלו' שירחק מהאחדי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והמשל מצאנו ד' במעל' תשיעי' כזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה ידענו כי זה המספר מרובע כי הו' מעלה נפרד' ודומ' לאחדי' ובאחדי' ד' הו' מרובע ושרשו הו' ב' א"כ גם זה שרשו ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומקומה של הב' ראויה להיות ממוצעת בין מעלת האחדי' ומעלת המרובע והיינו בחמשית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Also for an even rank, since you always have to add the units of the preceding rank to the square and you have to shift the even rank back and consider it as tens in an odd rank, do as mentioned above and write the root in the middle. | וכן מספרי' הזוגו' מאחר שצריך לך לעול' לחבר עם המרובע אחדי' מהמעלה שלפניו וצריך להשיב מעלת הזוג אחורנית לחשבה בעשרו' ויהיו שם במעלה נפרדת עשה ג"כ כנ"ל ושים השרש באמצע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמ' מצאנו ו'ג' במעל' ח' והי' זוגיי' ודומה לל"ו שבעשרו' שהו' מרובע ושרשו ו' א"כ גם זה שרשו ו' וצרי' להשים הו' בין תחלת המספר המרובע ובין האחדי' באמצע דהיינו במעל' ד' שהו' רחוק מהאחדי' ג' מעלו' וכן הו' רחוק מהמעל' הה' אשר שם החל מספר המרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Here is the procedure for knowing the approximate or real root: | והילך מעשה ידיע' השרש הקרו' או האמתי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write the number whose root is required in one row, according to its ranks. | כתו' המספר הדרוש שרשו בטור אחד כפי מעלותיו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המשל בזה שמטהו ה' מעלו' כזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה ידעת מהנ"ל שזה המספר נפרד ודומ' לאחדי' ר"ל הה' ושרש היותר קרו' בה הו' ב' שהו' שרש ד' הקרוב לה לפניו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומקו' הב' כנ"ל הו' במעל' ג' תחת הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ראה מעתה כמה מעלו' עברו מהאחדי' עד מקו' הב' שהי' שרשך ושם החל לכתו' גלגלי' כמספר המעלו' ההם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמ' מהאחדי' עד הב' יש ב' מעלו' לכן נכתו' תחת הקו ב' גלגלי' מתחילי' תחת הב' בעצמ' והולכי' לשמאל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ נכתו' העול' מכפל ב' על ב' שם והו' ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ גרע הד' מהה' של מספר הדרוש וישאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן כתו' א' ממעל לה' והעבר קו סביב הה' כי אי' בה צורך עוד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומעתה נשאר לדעת השרש היותר קרוב מהב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה יצטרך לקחת לכל מה מספר שתוסיף על השרש כפל אותו מספר על פעמים זה השרש שהו' הב' במשלינו במעל' המאות וגם כפל המספר ההו' על עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומופת זה כי אנחנו הנחנו מספר מרובע של ד' רבואו' א"כ שרשו ב' מאו' כמ' שראית ושרשו הוא מספר הצלע האחת מהמרובע בעצמ' כי ב' מאו' אמ' ארך על ב' מאו' אמ' רחב ימצא בם ד' רבואו' אמו' של אמה על אמ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונניח שנוסיף על שרש זה המרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נמצא שתשים ל' רצועו' כל אחת של מאתים אמ' ארך וא' אמ' רחב דהיינו רצועה אחת של מאתים על ל' ותחברנה בצלע אחד מהמרובע כאלו תאמ' למזרחו ויהיה המרובע אז ארכו יתר על רחבו ארכו ר"ל ורחבו ר' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ הוספת עוד רצוע' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וא"כ כבר הוספת על זה השרש כפל ל' על ר' פעמי' פעם א' המזרח ופעם א' הדרום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועדיין חסרה קרן זוית בזה המרובע והי' הקרן דרומי' מזרחי' אשר לא תתמלא רק אחר שומך שם מרובע ל' על ל' ואז ישוב מרובע שוה הצלעו' שרשו ר"ל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Illegible | [...] והיוצא מזה [...] שתכפול מה שתרצה להוסיף עליו על עצמו אח"כ על ב' פעמי [...] לעשו' שיהא בא צריך להוסיף עליו כפל ד' על עצמו שהו' י"ו [...] פעמי [...] גם כפל ד' ל"ד שהו' ב' פעמי' י"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Illegible | ונשוב לכונתינו ונאמ' אחרי שמצאת [...] וכתבתם [..] על מקומ' גם חסרונ' מרובעה של הב' מה"ה ונשאר א' שוב מעתה הוסיף על השרש מהמספר הנשאר והו' א' ב' ג' ד' א' ככל מה שתוכל וזה הדרך תלך בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Illegible | קח השרש שמצאת ב' פעמים ר"ל כפול אותו עם ב' אם הו' ג' כתו' ו' ואם ח' ו'א' ובדמיוננו הו' ב' לכן כת'[...] במעלתו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וחלק מעתה המספר העליון על הד' וראה כמ' פעמי' ימצא ד' בא' האחרונ' עם הד' שלפניה כשתשיבנה אחורני' ויהיו י"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הוי או' ג' פעמי' ימצא וצריך לראו' אם ימצא ג"כ למלאת הקרן זוי' והו' ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי אם לא היה אפשר לא הייתי לוקח רק ב' והנה בדמיוננו נוכל לקח[ת] ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתו' מעת' ג' קדם הב' לימינ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ראה כמ' מעלו' מהאחדי' עד הג' והנה הי' אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לכן כתו' תחת הקו במעלה ב' דהיינו תחת הג' ההי' גלגל אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ כפול ג' על עצמו ויצא ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבהו במקומו תחת הקו לשמאל הגלגל היחיד שעשית תחת הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שוב כפול הג' על | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכתבם במקומ' אחרי הט' תחת הקו כי הג' הי' ממעל' העשרו' והד' מהמאו' וכפל עשרו' במאו' יעלו אלפי' לכן תחל לכתו' הב' תחת מעלת האלפי' והא' תחת הרבואו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אח"כ גרע זה מהמספר העליון כל מין ממינו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דהיינו הא' מן הא' ולא ישאר דבר והב' מהד' ישאר ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי שלא נוכל לקחת אז הט' מהג' לכן נשיב א' אחורני' ונכתו' א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונקח הט' מהא' המושבת אחורני' על הג' שהם י"ג וישארו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן נכתו' ד' ונכתו' זה למעלה מהטור העליון איש איש על מעלתו כמו שתראה בדמיונינו זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והעבר קו על ג"ד ועל א' כי אי' בם צרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה מצאת שרש הקרו' ר"ל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עו' תרצה להגדיל המרובע והשרש כי יש עוד מספר רב מן המספר הראשון הדרוש כי נשאר לך עדיין א' ב' ד' א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושוב מעתה לכפול גם הג' בב' ויהיה ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבה תחת הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ומעתה חלק המספר הנותר מהדרוש על כפל כל השרש והו' ו'ד' דהיינו ת"ס כי השרש הו' ר"ל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וראה כמה פעמי' ימצא ד' בי"ד והנהו ג' פעמי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתו' ג' לפני הג'ב' של השרש ותחת הא' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכפול מעתה ג' על עצמו ויהיה ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבה תחת הקו ותחת הג' האחדית [ויהיה למלא הקרן זוית] ולפי שהג' אינ' רחוקה דבר ממעלת האחדי' ע"כ אין צרי' לשים שום גלגל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפול הג' בשרש ב' פעמי' שהם ו'ד' ותמצא ח'ג'א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כתבם על מקומ' דהיינו שתתחיל אצל הט' למטה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה המספר היוצא מכפל ג' על עצמו ועל השרש פעמים ט ח ג א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה המספר גרע מאשר נשאר לך מהמספר הדרוש והו' א ב ד א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה חסר א' מא' לא ישאר כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד חסר ג' מד' ישאר א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי שלא נוכל לקחת ח' מב' צריך להשיב זו הא' אחורנית ולא ישאר כלו' בזאת המעל' ג"כ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חסר ח' מב'א' ר"ל מי"ב ישאר ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועו' צרי' להשי' אחורני' א' מהד' נשאר ג' וכן תכתו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עו' חסר ט' מא"א והו' י"א וישאר ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכתבה במקומ' והעבר קו על א"ב ד"א כי אי' בם צורך עוד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה השרש הקרוב למספר אבגדה בדרוש גגב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויהיה המרובע כמספר כל המרובעי' שהוצאת מהשרשי' מגגב אחרי התחברם והו' טחבדה והנשאר מהמספר הו ב"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תשוב לחבר ב"ג על המרובע יצא לך המספר הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I will give you various rules, the knowledge of which is necessary for the root extraction procedure. | אך אמנם אתן לך כללי' מתחלפי' יש צורך בידיעתם במעשה השרשים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The first rule: when you extract the first root from the last digit you have, if it is in an odd rank, or in the preceding to the last, if it is in an even rank, you should write that root in the middle rank, as I have shown you and take as much as you can. If you cannot take anything from from that rank, and you take from the [rank] that is second to it, write it as far from the place, from which you take the quotient, as the first root is far from the units. So, you should write a zero in the place that precedes the first root, and before this zero you should write the result of the division. | הכלל הא' כשלקחת השרש הראשון מהמספר האחרון שבידי אם הו' מעלה נפרדת או מהקודם לאחרון אם היא מעלה זוגיית ראוי לכתו' השרש ההו' במדרגה האמצעי' כהראיתיך ותקח כל מה שתוכל ואם לא תוכל לקחת דבר מהמקו' ההוא הראשון ולקחת מהשני לו גם כן תכתבהו רחוק מהמקו' שתקח ממנו ראש החלוק כאש[ר] השרש הראשון רחוק מהאחדי' ולכן ראוי לכתו' גלגל במקו' שלפני השרש הראשו' וק[ודם] לזה הגלגל תכתו' היוצא מהחלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The second rule: when you divide again what remains of the number you have by double the root, do not take the last number from which you took it first, even if you see that it is possible to take from it, because when you take the root from it first, you already take from it everything that should [be taken from it]. | הכלל הב' כשתשוב לחלק הנשאר מהמספר שבידך על כפל השרש לא תקח המספר האחרון שלקחת ממנו ראשונה ואף כי מהמספר [שאחריו] ואף כי תראה כי האפשר לקחת בו מפני שכשלוקח ממנו השרש ראשונה כבר לו[קח ממנו כל הראוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Division of sexagesimal fractions |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you wish to divide a number that consists of degrees, minutes and seconds by another number, smaller or greater: | [77]כאשר תרצה לחלק חשבון מעלות ודקים ושניים על חשבון אחר יותר קטן או יותר גדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Take the number of the bottom row, which is the number by which you divide the number of the upper row, and convert all into the lowest type of fractions in it. | תקח חשבון הטור התחתון והוא החשבון אשר עליו מחלק חשבון הטור העליון ותשבר הכל אל מין השבר היותר קטן אשר בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I.e. if the lowest fraction in it is seconds, convert all into seconds; if thirds, convert all into thirds and so on. | ר"ל שאם השבר היותר קטן אשר בו הוא שניים תעשה מהכל שניים ואם שלשיים תעשה מה מהכל שלשיים וכן על זה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, take the number of the top row, which is the number divided by the number of the bottom row, and convert all into the [type of] fractions, which is as far from the type of fractions, into which you converted the bottom [number], as the type you want to receive in the division is far from the degrees. | ואחר כן קח חשבון הטור העליון והוא החשבון אשר יחולק על חשבון הטור התחתון וישבר אותו אל מן השברים שיהיה רחוק ממין השברים ששברת בו התחתון כמו שיהיה מרחק המין שתרצה שיצא לך בחלוקה מן המעלות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I.e. if you converted the number of the bottom row into seconds and you want to receive thirds in division, convert the number of the top row into fifths that are three ranks away from the seconds, as the distance of the thirds from the rank of the degrees; the result of division will be thirds. | ר"ל שאם שברת חשבון הטור התחתון מן השניים ותרצה שיצא לך בחלוקה שלשיים הנה תשבר חשבון הטור העליון למין חמשיים שהוא רחוק מן השניים שלשה מדרגות כמו מרחק השלשיים מגדר המעלות וזה יצא בחלוקה שלשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to be more precise, so that the result of division will be fourths, convert the top row into sixths that are four ranks away from the seconds, as the distance of the fourths from the rank of the degrees; then you will get fourths from the division. | ואם תרצה לדקדק עוד שיצא בחלוקה רבעיים תשבר הטור העליון לששיים שהוא רחוק מהשניים ארבע מדרגות כמו מרחק הרבעיים מגדר המעלות ואז יצא לך בחלוקה רבעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
And so on this way. | וכן על זה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you covert the bottom row into thirds and you want to be more precise, so that you will get fourths from the division, convert the number of the top row into sevenths that are four ranks away from the fractions of the bottom row, as the distance of the fourths from the rank of the degrees; then you will get fourths from the division. | וכן אם שברת הטור התחתון לשלשיים ותרצה לדקדק עד שיצא לך בחלוקה רבעיים תשבר חשבון הטור העליון לשבעים שהוא רחוק משברי הטור התחתון ארבע מדרגות כמו מרחק הרביעיים מגדר המעלות ויצא לך בחלוק רביעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you want to be more precise, so that you will get fifths from the division, convert the number of the top row into eighths that are five ranks away from the fractions of the bottom row, as the distance of the fifths from the rank of the degrees; then you will get fifths from the division. | ואם תרצה לדקדק עד שיצא לך בחלוקה חמשיים תשבר חשבון הטור העליון לשמניים שהוא רחוק משברי הטור התחתון חמש מדרגות כמו מרחק החמשיים מגדר המעלות ויצא לידך בחלוקה חמשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
And so on this way. | וכן על זה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is enough for you. | ודי לך בזה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Extracting roots of sexagesimal fractions |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you wish to find a root of any number you have consisting of degrees, minutes and seconds as many as they may be. | וכן אם תרצה למצוא שרש אי זה חשבון שיהיה בידך ממעלות הראשונים ושניים כפי מה שיהיה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know up to which [type of] fractions you wish the root to be approximated, i.e. fourths, or fifths, or sixths, or which ever type of fraction you wish the approximate root to be composed of and denominate the root by it. | דע לך עד כמה שברים תרצה לדקדק שיצא בשרש ר"ל אם רבעיים או חמשיים או ששיים או אי זה מן שברים אשר תרצה לדקדק שיצא בשרש תקראהו מין השרש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, convert the whole number you have into the type of fractions, which is as far from the type [of the fractions] of the root as the [type of the fractions of the] root is far from the degrees. | ואחר זה תתיך כל החשבון אשר בידך אל מין השברים שיהיה רחוק ממין השרש כמו מרחק מן השרש מהמעלות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the type [of the fractions] of the root is fourths, convert the number into eighths and the resulting root will be fourths. | שאם מין השרש רביעיים תתיך חשבון לשמוניים ומה שיצא השרש יהיה רביעיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the type [of the fractions] of the root is fifths, convert the number into [tenths] and the resulting root will be fifths. | ואם מין השרש חמישיים תתיך החשבון לרביעיים ומה שיצא בשרש זה יהיה חמשיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
And so on this way. | וכן על זה הדרך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The rule of this method is that you multiply the type [of the fractions] of the root by its own name, one duplication: if its is seconds, convert them into fourths; if it is thirds, convert them into sixths; if it is fourths, convert them into eighths; if it is fifths, convert them into tenths. | והכלל בזה הדרך שתכפול מן השרש בשלו המראה לו כפלה פשוטה שאם יהיה שניים תתיך לרביעיים ואם יהיה שלשיים תתיך לששיים ואם יהיה רביעיים תתיך לשמוניים ואם הוא חמישיים תתיך לעשריים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiplication of sexagesimal fractions |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When multiplying a number by a number, convert the top row into its lowest [type of] fraction. | אמנם בכפילת חשבון עם חשבון תתיך הטור העליון אל מין השבר היותר קטון אשר בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Convert also the bottom row into its lowest type of fraction. | וכן הטור התחתון תתיך אל מין השבר היותר קטון אשר בו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The result of multiplication will be of the type of fraction denominated by the sum of the types of both rows. | והיוצא בכפילה יהיה מין השבר יקרא בשם המחובר המחובר משום הטורים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I.e. if you multiply seconds by seconds, the result will be fourths. | ר"ל שאם תכפול שניים על שניים יהיה היוצא רביעיי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If seconds by thirds, the result will be fifths. | [78]ואם שניים על שלשיים יהיה היוצא חמישיים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
A Rule for Checking the Squares |
כלל בבחינת המרובעים[79] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you have a number and you wish to check if it is a square, you can check it with the square that precedes it, or with the square that follows it: | כאשר יהיה בידך מספר ותרצה לבחון אותו אם הוא מרובע תוכל לבחון אותו עם המרובע הקודם לו לפניו ועם המרובע הקודם לו לאחריו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
First with the square that precedes it:
|
ראשונה עם המרובע הקודם לו לפניו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consider the difference between the preceding square and the number you have. | תחשוב המרחק שבין המרובע שעבר ובין המספר אשר בידך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Divide the difference by double the root of the preceding square, the least possible by as little as you can. | חלק המרחק ההוא על כפל שרש המרובע שעבר פחת מן האפשר על המעט שתוכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subtract the quotient [and] the square of the quotient from the difference.
|
גרע מהמרחק ההוא היוצא מחלוקה וזה מרובע המספר היוצא מחלוקה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the result of dividing the difference by double the preceding root plus the square of the quotient equals the difference you have, no more and no less, then the number is a square. Otherwise, you are wrong.
|
ואם היוצא לך מחלק המרחק על כפל השרש שעבר עם מרובע המספר היוצא מחלוקה שוה אל המרחק אשר בידך לא פחות ולא יתר הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעית[80] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
You can check it also with the square that follows it: | תוכל לבחון גם כן עם המרובע הקודם לו לאחריו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consider the difference between the number and the following square. | תחשוב המרחק שבין מספר ובין המרובע העתיד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Divide the difference by double the following square, and give it as much possible by as little as you can. | חלק המרחק ההוא על כפל שרש המרובע העתיד ונכון לו יותר על האפשר על המעט שנוכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Subtract the difference and the square of the quotient from the quotient. | גרע המרחק ומרובע המספר היוצא מחלוקה מהעולה בחלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the result of division plus the square of the quotient equals the difference, then the number is a square. Otherwise, you are wrong. | ואם העולה מהחלוקה עם מרובע המספר היוצא מחלוקה שוה למרחק הנה המספר מרובע ואם לא הנה טעות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Over and done | תם ונשלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Praise be to the Lord of the world. | תהלה לאל עולם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When the analogous square is less than the required number, we must take the greatest possible quotient so that the quotient is [equal to] the difference minus the square of the quotient.
|
כאשר יהיה המרובע הנמשל פחות מהמספר המבוקש צריך שנקח החלוק מספר היותר גדול שנוכל שיעלה בחלוקה המרחק כאשר יחוסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you add the product to the analogous square with the square of the quotient, it is the square closest to the required number.
|
וכאשר תוסיף על המרובע הנמשל כמו הכפל עם מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב על המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you add the quotient to the root of the analogous square, it is its root.
|
וכאשר תוסיף על שורש המרובע הנמשל מספר מה שיעלה בחלק הוא שרשו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When the required number is less than the analogous square, we must take the smallest possible quotient so that the quotient is [equal to] the sum of the difference and the square of the quotient.
|
וכאשר היה המספר המבוקש פחות מהמרובע הנמשל צריך שנקח החלוק מספר היותר קטן שנוכל שיעלה כמו המרחק מחובר עם מרובע מה שיעלה בחלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you subtract the product from the analogous square [and add] the square of the quotient, it is the square closest to the required number.
|
וכאשר תגרע מהמרובע הנמשל כמו הכפל כאשר יחובר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק הוא המרובע היותר קרוב אל המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you subtract the quotient from the root of the analogous square, it is its root.
|
וכאשר תגרע משרש הנמשל מספר מה שיעלה בחלוק הוא שרשו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The difference it the difference between the analogous square and the required number. | המרחק הוא המרחק שבין המרובע הנמשל ובין המספר המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The product is the product of the quotient by double the root of the analogous square.
|
הנכפל הוא מה שיעלה מכפלת מספר מה שיעלה בחלוק עם כפל שורש המרובע הנמשל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because, when there are two different squares, the ratio of the product of one root by the other to the first square is the same as the ratio of the second square to the product.
|
כי יהיו שני מרובעים מתחלפים יחס המחובר מכפלת אחד מן השרשים על האחר אל המרובע הראשון כיחס המרובע השני אל המחובר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
MS London 7r-v |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
He said: the reasons of the division are two: | אמר טעם החלוק הם שניים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
א שנכפול בדרך הכפל מה שיצא בחלוק על הטור השפל שמחלקים עליו ונחבר עם העולה מה שנשאר לחלק אם נשאר דבר ואם המחובר שוה למספר הטור המחולק עשינו נכונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הב' שנכפול מאזני מה שעלה בחלוק עם מאזני הטור השפל ונקח ממנו העולה ואם נשאר דבר לחלק נחבריהו עמו ואם הוא שוה למאזני הטור העליון חשבונינו אמת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The reason for the first scales is that the dividend number has as many times the divisor as the result of division, which is a number that counts the divisor in the greater number, which is the dividend. Therefore, [the product of] this by that is the dividend. | והטעם למאזנים הראשונים כי בחשבון המחולק מדמיוני החשבון שמחלקים עליו כשיעור אחד מה שיעלה בחלוק הוא מספר מה שימנה המספר שמחלקים עליו למספר גדול המחולק לזה ככה זה על זה ויצא המחולק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Chapter on Summation |
שער המחברת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
To know how much is the sum of numbers from a known number to the last number. | לדעת כמה המחובר מהמספרי' ממספר ידוע עד סוף מספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כאלו תאמר רצינו לדעת המחוברים מאחד עד עשרה כמו א' עם ב' הם ג' ג' עם ד' הם ז' ותרצה לדעת בקצור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם הם זוג כמו עשרה ונוסיף עליו א' ותקח חצי העשר שהם חמשה וכפול החמשה על הי"א והוא המספר האחרון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם נפרד כמו מאחד עד שבע תוסיף על ז' אחד ויהיו ח' ותקח חצי המספר והם ד' וכפול הד' על הז' והוא המכוון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Do this with any number, small of large, even or odd. | וכן תעשה בכל מספר קטן או גדול זוג א[ו] נפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם תרצה לדעת ערך נעלם כמו שתאמר ערך ד' אל ו' כערך ח' אל הנעלם ותרצה לדעת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
האמצעיים ו' על ח' יהיו מ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותחלק המספר הראשון שהוא ד' על המ"ח ויעלה לך חלק מ"ח והוא הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Abraham said: I have found another way: add to the square of the last number its root, then take half of the result; that is the sum. This way helps to understand the inverse question.
|
אמר אברהם מצאתי דרך אחר שהמוסיף על מרובע סוף החשבון שרשו ולוקח חצי בעולה שם ימצא המחובר והדרך הזה יורה להבין הפך השאלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון שאל שואל חברתי מספרים עלו תס"ה כמה יהיה סוף החשבון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the rule: take the sum, always double the sum, then take the root of the square, i.e. the preceding square, and check it: if between the square and the double remains the root no more and no less, know that the root is the required.
|
כלל זה תקח בידך היוצא [...] כפול לעולם החשבון המחובר והשורש תקח מן המרובע כלו' פי' הנכפל שעבר ובחן אותו כ"א נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו שורש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון והשורש הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כפלנו תס"ה על(ה) תתק"ל ידענו כי מרובע שעבר הוא ט מאות ושרשו ל' שהם המספרי' המרובעי' ואין בין המרובע והנכפל כ"א ל' ועל כן תבין כי נכון מה שחשב והמבוקש ל' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Word Problems |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"How Many" Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם עבר על | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח להם אחד נוסיף להם עוד אחד הנה נוסיף להם מחציתו הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתו יהיה ג רביעי' ובעבור שהם רביעיות נוספות על השלמי' נשים גם השלמי' לרביעיות ויהיו ה וג' רביעיות הנה י"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעבו' כי אמר שיהיו יהיה מספרם עם התוספת ט"ט לבד אותו שדבר עמהם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחלק הט"ט שברים לרביעי' ויהיו שצ"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"If You Give Me" Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה ארבעה קונים חפץ אחד אחד אמר לחבירו כל אחד יתן החצי אשר בכיסו ואני אתן כל מה שיש בכיסי ואקנה החפץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ערך החפץ מ"ו דינרי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לראשון ט"ו פשוטי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולשיני כ"ג דינרי' וט' פשיטי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לשלישי ל"א דינרי' ג פשיטי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לרביעי ל"ה דינרי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ע"א להגיע עד חצי שליש ורביע החפץ י"ז פשיטי' לאחד ה' לשנים י"א לשלישי י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"Find the Amount" Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם מכר י"ג מדות בכ"ג פשי' כמה מדות יתן בז' פש' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ערך ז' אל כ"ג כן ערך הנעלם אל י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחלקם על כ"ג יעלו ג' מדות וכ"ב חלקי' מכ"ג במדה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
"Find the Price" Problem | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
ועוד נהפך הענין שנרצה לדעת בכמה יתן לו ז' מדות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נעשה הדמיון הזה נכפול הקצוות יהיו קס"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחלקם על י"א והיו י"ב פשיטי' וה' חלקי' מי"ג בפשיט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם שאל בכמה יתן ז' מדות יהיה ערך הנעלם בכ"ג אל כ"ג כערך ז' אל י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Pursuit Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם הולך בכל יום כ"ט מילין אחר י' ימים נסע השני ההולך בכל יום ל"ז מילין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כפול המילין שהולך בי' ימים יהיו ר"צ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחלקם על היתרון שיש בין שני המהלכים שהוא ח' והנה ל"ו ימים ורבע יום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה כערך י' ימים אל הנעלם כן ערך היתרון שהוא ח' אל כ"ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Encounter Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה בכמה ימים יכלה מהלך ק' על ידי שני מהלכים של י"ט ושל י"ז זה לקראת זה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וקל לדעת כי הוא כערך מחובר שניהם אל קו וחלקם עליו יהיה ב' וכ"ח מל"ו כמו כן בב' ימים וכ"ח מל"ו ביום יכל ישהו לכלות וכ"ח מל"ו הם ז' תשיעיות היום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תרצה לדעת כמה שעות הם ידוע הוא כי שעות היום י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה ז' אל ט' כן ערך הנעלם אל י"ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Payment Problem |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם עם ג' שיתן לראשון ה' זהובים ויעבוד לו כ' ימי' ולא רצה לגמור כל העבודה ואמר לשיני שיתן לו ד' ולא רצה לגמור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה זה דומה לשאלת המחליף אך נשים הזהובים המחולקי' לפועלי' במטבעות והעבודה הנשכרת היא הזהוב והמורה הוא ס' ומחובר החלקי' מ"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כערך מ"ז אל ס' כן ערך הזהוב אל הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה החלק השוה זהו' אחד וי"ג ממ"ז בזהוב אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נבקש ערך כל אחד ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה בעל הג' הם ו' ימי' וב' שלישיות היום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעל הד' בזהו' אחד ה' ימים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעל הה' בזהוב אחד ד' ימי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה של ג' עובד בשביל ח חלק העולה לו במ"ז כערך י"ג אל מ"ז כן ערך הנעלם אל כ' שהוא מספר שעות עבודתו בזהו' אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושל ד' כערך י"ג אל מ"ז כן ערך הנעלם אל מ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תחבר כל העולה בזה יעלה המחובר כ ימים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Boiling Problems |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם אמר לבשל עשרה מדות מתירוש עד השאיר שליש לאחר שנתמעטו ב והיו ח נשפך ב והיו ו ושאל השואל כמה יהיה ראוי לישאר מן העומד לכ' לפנינו אם יבא לבשלו עד שיהיה כמשפט הראשון לפי מה שהתחיל כי ידוע שנתמעטו מג' ושליש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כערך ו' אל ח' כן ערך הנעלם אל ג' ושליש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Whole from Parts Problems - lance |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה רומח מחציתו שלישיתו במים רביעיתו בעפר וגלוי ז אמות כמה גבהות כלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המורה י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכסה ממנו חלקיו אלה יהיה הגלוי ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה כערך ה' אל י"ב כן ערך ז' אל הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiple Quantities Problems |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם צוה לתת כ' פשוט לכ' בני אדם אנשים ונשים ובנים לאיש נתן ב' פשיט ולאישה מחצה ולבנים [...] כמה לאיש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לח' אנשי' יו פשיטי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לח' בני' ב' פשיטי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לד' נשי' ב' פשי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה אדם אמר לעבדו קח ל' פשיטי' וקנה לי ל' עופות אווז ב' פשיטי' שליו מחצה פרגיות פשיט כמה יהיו מכל מין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ו' פרגיות ח' אווזות י"ו שלוים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Whole from Parts Problems - fish |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה דג יש לו טו אצבעות בגודל גופו לבד ראשו וזנבו וראשו מחזיק שלישית כל הדג והזנב מחזיק רביעיתו כמה מחזיק כלו עם הראש והזנב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ל"ו אצבעות שלישיתו י"ב והרביעית ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כפל החשבון שלישי' ורביעי' ותמצא כך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה גנב הולך סכום אחד והרודף יום ראשון א ויום שיני ב וכן ויוסיף כל הימי' ב' כאשר יגדלו הסכום כפל הגנב ובתוך כך תפל אחד ובתוך כך סכום ימים ישיג הגנב בכל סכום שילך כמה בכל יום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה שמעון הרויח שביעית ממנו היום ולמחר הרויח מן הכל חמישית ויום שלישי מן הכל שלישית והתחבר י' דינרי' ונשאל כמה הממון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המורה ק"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה לשקול ביא אבני' ס' [..] גם בי"ח טבעות לשכירות לד שנים וב חדשי' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יצא בכפל למשקל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן תעשה בטבעות א ב ד ח י"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכפול עד שיעלה החשבון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובאבנים יצא בשלישות א ג ט כז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Glosses on Abraham Ibn Ezra’s Book of the number (P1026) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The author of the Sefer Yezira |
ובעל ספר יצירה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: The intention of the author of Sefer Yezira [= the Book of Creation] is to inform how man was created by one act from the creatures. | פי' בעל כוונת ספר יצירה להודיע איך נברא האדם בתחבולה אחת מין הנבראים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
He said that three matters were needed for this: | ואמ' שיצטרכו בו ג' עניני' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SefarThe writing: through the faculties of the letters that are indicating him, the creation is done by the letters. |
הספר הוא הכתיבה כי בכחות האותיות יורו בו באותיות יעשה היצירה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SeferIt is the number, because composition and merging are only done by that one number is the duplication of the other. |
וספר הוא המנין כי ההרכבה והמזגה לא תעשה רק במספר שבאחד מהם יהיה בו מיסוד האחד כפל האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
SipurBecause the scholars of this science assumed that they were leading down a spiritual force that gave power to that composition, so that the action of this power is not through anything, but not through anything is possible only through God. |
וספור כי חכמי חכמה זו הניחו שהם יורידו כח אשר נתן כח בהרכבה ההיא עד שיעשה פעל הכח בלתי מדבר אבל לא מדבר כי זה לא יתכן אלא לאל ית' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Since |
בעבור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The word "since" is applied until his saying below, "Therefore, the scales of every number". | מלת בעבור נמשכת עד אמרו למטה על כן כל מאזני כל מספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sefar is the composite. | ספר הוא המרוכב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sefer is the number, as "after the numbering wherewith [David his father] had numbered them [Chronicles 2, 2, 16]. | וספר הוא המספר כמו אחר הספר אשר ספרם[note 1] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sipur is the expression of units. | וספור הוא הדבור באחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Higher decade |
בכלל הגבוה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Meaning: the closest to it [above] it. | פי' הקרוב לו לפניו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The remainder is the required |
והנשאר הוא המבוקש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: a third multiplied by a third is a ninth.
|
פי' שהשלישית הנכפל על השלישית יצא תשיעית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore, when we multiply a third of a number by its third, we receive a ninth of the required square.
|
אם כן בכפלנו שליש המספר על שלישו יצא לנו תשיעית מרובע הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When we take the same in the higher rank, we receive ten times the ninth of the square. | וכאשר לקחנו כמוהו בכלל הגבוה ממנו יצא לנו עשרה דמיוני תשיעית המרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Therefore, when we subtract from it the square of the third, which is a ninth of the square, the remainder equals the required square. | אם כן כשחסרנו מזה מרובע השליש שהוא תשיעית המרובע ישאר שוה למרובע הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The sum is the required |
והמחובר הוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
פי' אעפ"י שלא זכר המחבר דרך זו רק בהוצאת המרובעים יתכן זה בכפל כל שני מספרים בעלי שליש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו י"ב וי"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אנו נכפול שליש האחד והוא ד' בשליש השני והוא ו' ויעלה כ"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נגביההו מעלה אחת ויהיה ר"מ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הסיר [81]כפל השני שלישיות שהוא כ"ד ישארו רי"ו והוא כפל י"ח על י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם שהם נעדרי השליש ומוסיפין אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו י"ג י"ט נעש[ה] כן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נוציא סך החשבון לי"ב וי"ח ויעלה רי"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי שכל אחד מהמספרים מוסיף אחד על השליש נוסיף י"ב וי"ח ואחד ועלה רמ"ז וזהו כפל י"ג בי"ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו שני המספרים חסרין אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי"א וי"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעד חסרון האחד נגרע י"א וי"ז ואחד מן רי"ו וישאר קפ"ז והוא כפל י"א בי"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם האחד מוסיף אחד והשני חוסר אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי"א וי"ט או י"ג וי"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נעשה החשבון בי"ב וי"ח ויעלה רי"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה אם היו י"א וי"ט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
התוספת הוא י"א והחסרון הוא י"ח אם כן החסרון רב על התוספת ז' חסרם מן רי"ו וישאר ר"ט והוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם היו י"ג וי"ז | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה התוספת הוא י"ז והחסרון י"ג אם כן התוספת רב ה' נוסיפם על רי"ו והיה רכ"א והוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם הן כמו י"ח וי"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נוסיף על רי"ו י"ח והיה רל"ב והוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם הן י"ח וי"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נגרע י"ח מן רי"ו וישאר קצ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Example: we wish to multiply 29 by 31 |
דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
פי' דמיון אחר ברצותנו לכפול כמשל ח' על י"ב שמרחקם מי' שהוא כלל מספר שוה והוא ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול י' על עצמו והיה ק' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחסר ממנו ד' שהוא מרובע ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובאור זה שכפל ח' על י"ב הוא כפל ח' על י' ועל ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכפל י' על י' הוא כולל כפל י' על ח' ועל ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכפל י' על ב' הוא כולל כפל ח' על ב' וב' על ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נמצא יתרון י' על י' מן ח' על י"ב הוא ב' על ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
From this you understand all the other examples, and this is according to proposition 6 of Euclid's Book II. | ומזה תבין לכל המשלים האחרים וזה מתמונת ו' ממאמר ב' לאיקלידיס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The rule is the same for any two different numbers, even if there are no decades: we add to the smaller number half the difference between the two numbers, square [the sum], subtract from the square the square of half the difference and the remainder is equal to the product of one of the two numbers by the other.
|
וכן ההנהגה בכל שני מספרים מתחלפים אך כי לא יהיו כללים שנוסיף על המספר היותר קטן חצי יתרון שבין שני המספרים ונרבעהו ונחסר מהמרובע מרובע חצי היתרון והנשאר ישוה להכאת אחד משני המספרים [82]באחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
But this scholar wanted to make it easier, not harder, and for this reason he explained it only for the numbers whose distance from a decade is the same. | אך זה החכם בא להקל ולא להחמיר ולזה לא באר במספרים שמרחקן מחשבון כלל מספר שוה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that if there are two digits to multiply |
ודע כי אם יהיו שני מספרים לכפול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: if you wish to multiply 2 by 40, it is just a multiplication of one rank by another, but if we have one digit by two digits, or two by two, the ranks must be multiplied by each other according to the numerical value of the digits. | פי' כי אם תרצה להכות ב' על מ' אין כאן הכאה רק ממדרגה האחת על האחרת אך אם יהיה לנו מספר על שני מספרים או שנים על שנים אז צריך לכפול המעלות זו על זו כפי מנין המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
You have to |
אתה צריך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: he said it in actu, although sometimes it can be done with less, because he said above: if they are two by two, it should be done 4 times, and then he explained that it can be done with less, so here too it can be done with less. Understand. | פי' אמ' זה בשלוח אעפי שלפעמים יתכן בפחות מזה כי כן אמר למעלה ואם הם שנים על שנים צריך לעשות זה ד' פעמים ואחר כן באר שאפשר בפחות וגם בזה אפשר בפחות ובין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
As if they are units |
כאלו הם אחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: the reason for this is that every decade exceeds by one over the ninths, therefore we have to consider each decade as one. | פי' וסבת זה כי כל כלל יוסיף אחד על תשיעיות וכן שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The reason for this is that the foundation of number are 9 numbers and here their units are inclusive. This is his statement at the beginning of the book: "therefore the scales of the number are 9". | וסבת זה היות ט' מספרים יסוד החשבון והכא אחדיהם הוא כולל והוא אמרו בראש הספר על כן היו מאזני המספר ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Does not assume any change |
לא יקבל שנוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: because change comes from composition, and the one is simple from being one. | פי' כי השנוי יבא מצד ההרכבה והאחד פשוט כי מהיותו אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Does not assume any increase |
לא יקבל רבוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because 1 [multiplied] by 1 is 1. | כי א' על א' הוא א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Does not assume any division |
ולא חלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because, if you divide it, there are two. | כי אם תחלקהו יהיו שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is the cause of any change |
והוא סבת כל שנוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because the change results from the combination of two matters and the same for the number. | כי בהרכבת שני ענינים יבא השנוי וכן במספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
According to its rank |
כפי מעלתו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: units corresponding to units and tens corresponding to tens. | פי' אחדים כנגד אחדים ועשרות כנגד עשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Less than the number |
ופחות מהמספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: the dividend number should be greater than the divisor number, because it is like the measure and the measured. | פי' שהמספר המחולק ראוי להיות יותר גדול מהמספר המחלק כי זה כמו המדה עם הנמדד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
More precisely, this is not mandatory, as will be explained regarding the division of fractions, when we divide five-ninths by a whole number. | וזה ביותר נכון לא מחויב כמו שיתבאר בחלוק השברים שנחלק חמש תשיעיות על שלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Did not reach the rank of the units |
ולא הגיע למעלת האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: the result of division has not yet reached the rank of the units, because, if it had, it would have already been completely gone and would no longer be subject to division, since the dividend has already been divided into a number smaller than the divisor. | פי' שהיוצא בחלוק לא הגיע למעלת האחדים שאם היה כן כבר יצא לחוץ ולא יקבל עוד החלוקה שכבר נתך המחולק אל מספר יותר קטן מהמחולק עליו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
By saying: not subject to division, i.e. for integers, but for fractions, it is subject to division. Understand. | ובאמרנו לא יקבל החלוקה ר"ל בשלמים אך בשברים יקבל החלוק ובין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Not gone completely |
[83]כי לא יצא לחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: decomposing the dividend until it reaches a number smaller than the divisor, is called completely gone [lit. exiting]. | פי' התכת המחולק עד שיגיע למספר יותר קטן מהמחולק עליו יקרא יציאה לחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If it is divided [..], it reaches outside the rank of units, therefore it becomes fractions, ten of which is one whole, and they are called primes. Every prime is divided into 10 seconds. He did not aim only to the division of integers by integers. | שאם נחלק [..]יצא לחוץ ממעלת האחדים ויהיו שברים אשר העשרה מהם הוא אחד שלם יקראו ראשוניים וכן כל ראשון יחלק לי' שניים והוא לא כיון רק בחלוק שלמים על שלמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We always subtract backwards |
ולעולם נחזור אחורנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is necessary to investigate what brought him to this, because it is more correct and easier to subtract directly. | צ"ע מה הביאו לזה כי יותר נכון ונקל לחסר ביושר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One is like a point |
האחד כנקדה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: because the point is like the foundation of the circle because the one who draws a circle, before drawing it, draws a center, on which he establishes the circumference of the circle. | פי' כי הנקדה כיסוד לעגול כי המקוה לעגול טרם הקוותו יניח מוצק עליה יכונן רחב העגול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The one is the foundation of the number, and therefore it cannot be divided like the point, since it is one. | וכן האחד הוא יסוד המספר ולכן לא יתכן לחלק כמו הנקדה מצד שהוא אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
But since every sum has the name of one, being composed of many individuals, like the body, which is composed of four phlegms and other organs, which have homogeneous parts, and the hand and the arm, and the rest of the organs, hence it is undoubtedly possible for it to be decomposed into parts, except for the intellect, in which the speech is created, for this reason it was decided that the simple division is done in the intellect, because without the intellect it is impossible in any way. | ואולם מצד ההוה כל כלל בשם אחד עם היותו מורכב מאישים רבים כמו הגוף המורכב מד' ליחות ומשאר אברים מתדמי החלקים ומהיד והזרוע ושאר אברים הכליים והנה הוא בלי ספק יתכן בו התפרקו לחלקו חוץ לשכל יתחדש בו הדבור בעבור זה החליטו החלוק הפשוט להעשותו בו בשכל כי חוץ לשכל אי אפשר בשום פנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Another explanation: all this is an explanation for dividing the one into fractions, and just as the point is an indivisible thing and all lines are drawn from it, so is the one, and for this reason it cannot be divided. | עוד פי' כל זה הצעה לחלוקת האחד לשברים וכמו שהנקדה היא דבר בלתי מתחלק וכל הקוים יוצאים ממנה כן האחד ולזה לא היה ראוי לחלק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consists of surfaces |
מורכב משטחים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: he did not mean that the body is a chemical composition of surfaces and not of lines and points, as explained in the physics books, but in his statement he meant the surfaces of the encompassing objects and many in the human body, such as the skull that is encompassed by one surface, and so are many organs, and the body is called one. | פי' אין כונתו שהגוף הרכבה מזגיית משטחים ולא מקוים ונקדות כמבואר בספרי הטבע אך כונתו באמרו שטחים התכליות המקיפות ורבים בגוף האדם כמו הגלגלת יקיפהו שטח אחד וכן אברים רבים והגוף יקרא אחד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is similar to an odd number |
והוא דומה לנפרד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: when you sum up the odds in sequence the squares of the number of the odds are generated. | פי' שכשתחבר הנפרדים על הסדר יולידו מרובעי מספר הנפרדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because 1 is the square of 1.
|
כי א' הוא מרובע א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 and [3] is the square of 2.
|
וא' עם הוא מרובע ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1, 3 and 5 is the square of 3.
|
וא' עם ג' וה' הוא מרובע ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is one of the properties of the number. | וזה אחד מסגלת המספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is a half of an eighth |
הוא חצי שמינית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you divide the product by the square of the denominator, the result of division is an integer. | אם תחלק הנכפל על מרובע המורה יהיה היוצא מהחלוקה שלמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If it cannot be divided, i.e. the square of the denominator is greater than the product, or it can be divided, but there is a remainder that cannot be divided, they are fractions named by the name of the square. | ואם לא יתחלק ר"ל [84]שיהיה מרובע המורה יותר גדול מהנכפל או יתחלק וישאר שלא יתחלק יהיו שברים נקראין בשם המרובע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you divide the product by the denominator, the result are fractions named by the name of the denominator and what cannot be divided are fractions of fractions named by the name of the denominator. Understand. | ואם תחלק הנכפל על המורה יהיה היוצא שברים נקראין בשם המורה ומה שלא יתחלק יהיו שברי שברים נקראין בשם המורה ובין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Let this rule be handed down to you: after you know the denominator, its square, and the product, divide the square by the product, or divide the product by the denominator. | ויהיה כלל זה מסור בידך אחר שתדע המורה ומרובעו והנכפל תחלק המרובע על הנכפל או תחלק הנכפל על המורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
But I shall teach you a short method |
רק אלמד דרך קצרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: because according to what we said above, one denominator should be produced for all of them by multiplying one by the other, because the reason for the denominator issue is to find a number that will have all of these parts. | פי' כי לפי מה שאמרנו למעלה היה צריך לעשות מורה אחד לכלן בכפל האחד על האחר כי הסבה מענין המורה הוא למצא מספר שיהיו בו כל חלקים אלו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד באמת לא היה צריך לקחת ששיים כי די לו בשלישיות וזה נכפול על ה' יהיו ט"ו עוד נכפול זה על ז' יהיו ק"ה עו' נכפול זה בח' יהיו תק"מ והוא המורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נבקש המספר ראשון שהוא ב' שלישית רביעית החמשית יהיו כ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי החמשית הוא קס"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ורביעיתו מ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושתי שלישיותיו כ"ח וזהו החשבון הראשון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וידענו ששמיניתו ק"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושביעיתו ט"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והשש שביעיות הם צ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול כ"ח על צ' יעלה אלפים ת"ק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חלקנום על תת"מ שהוא המורה ויעלה ג' שהן חלקים מהתת"מ שלמים והן חמשית שביעית השמינית שהשמינית ק"ה ושביעיתו ט"ו וחמישיתו ג' והוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is necessary to examine the example that the scholar chose, because it is more appropriate to take the example with the smallest possible number. | וצ"ע בדמיון שלקח החכם כי יותר ראוי לקחת הדמיון בקטן המספר שאפשר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is also necessary to examine why it was necessary to explain that since we have sixths, there is no need for a third as if the sixth had to be divided. | גם צ"ע למה הוצרך לבאר שאחר שיש לנו ששיות אין צריך לשלישית כאלו היה צריך לחלק ששית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The difference between the fifth and the ninth is four |
החמשית והתשיעית ארבע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is necessary to examine how he used the first method, because it does not apply to all numbers: | צ"ע איך לקח דרך זה הראשון כי לא ימשך בכל המספרים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה שנאמר לקחנו שלישית הממון וחמשיתו ושביעיתו כמה הוא מערך הממון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי דרכו יהיה כן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נחשב כאלו הן ג' שביעיות שהוא השבר היותר פחות אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נכפול מה שבין השביעית והשלישית [85]שהוא ד' על מה שבין החמישית והשלישית שהוא ב' ויעלה הכפל ח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונעשה מהחמשה שביעית אחת ויהיו ד' שביעיות וישאר ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחברם עם ב' שהוא היתרון שבין שלישית לחמישית והיה ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי זה יהיה הערך ה' שביעיות ויעלה ע"ה לפי שהמורה ק"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולפי הדרך שני שהוא האמתי יהיו ע"ה חלקים מן ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is also necessary to examine how he said in his example that the three are 3-fifths of a seventh of a ninth, when he initially said: we convert the 6 into a ninth. | עו' צ"ע איך אמ' בדמיונו שהשלשה היו ג' חמשיות שביעית התשיעית והוא אמר תחלה נעשה מן הו' תשיעית אחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
There is another correct way to do this, only the increment between the [denominators of the] fractions is the same, such as 4, 5, 6, or 5, 7, 9, and it is to take the type of the middle fraction, instead of the three types of the three fractions, then the difference between the extremes is multiplied by the increment, and the sum is the required. | ויש בזה דרך אחרת נכונה רק שיהיה הדלוג בשברים שוה כמו ד'ה'ו' ה'ז'ט' והוא לקחת מקום הג' מינין ג' שברים ממין האמצעי ואחר יוכפל מרחק הקצוות כמרחק הדלוגים והמחובר הוא הדרוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Example: The ratio of 4 to [6] |
דמיון ערך ד' וה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
פי' וזה יתבאר כי מרובע הקו כלו שהוא י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' בתמונת ד' מב' לאקלידיס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושטח ו' בח' שוה לשטח שיקיפו בו י"ב וד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לפי שיחס ד' אל ו' כיחס ח' אל י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן מרובע י"ו שוה לשני מרובעי י"ב וד' ולכפל השטח שיקיפו בו ו' וח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אבל שני מרובעי ו' ח' שוין לכפל השטח שיקיפו בו ו' ח' עם מרובע מה שבין ו' ח' כמבואר בה' מב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן מרובע י"ו עם מרובע היתרון שבין ו' לח' שוה לד' מרובעי ד' ו' ח' י"ב ובזה יתבאר מהשני והשלישי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Its proportions are composed |
כי ערכיה מורכבין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Explanation: the harmonic proportions consist of the geometric and the arithmetic proportions, as they are determined by the division of the excess of the one by the other and the ratio of one number by the other number.
|
פי' ערכי הנגונים הן מורכבים ערכי המדות וערכי המספר כי יעשה בחלק היתרון האחד על האחר וכיחס המספר האחד אל המספר האחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because the ratio is always |
כי לעולם יהיה הערך | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Because the ratio of what is between the first and the mean to what is between the mean and the last is always the same as the ratio of the first number to the last number. | כי לעולם יהיה היחס מה שבין הראשון והאמצעי אל מה שבין האמצעי והאחרון כיחס המספר הראשון אל האחרון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Question: Reuven hired Shimon |
שאלה ראובן שכר שמעון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הכלל בכל דרכים אלו שנכפול י"א על ט' ויהיו צ"ט וחלקם על י"ז ועלה ה' פשו' וי"ד חלקים מי"ז [86]בפשו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This rule is given to you in proportions: the number that corresponds to the unknown, which is in the place of the zero, is the denominator. If zero is one of the extremes, the other extreme is the denominator; and if zero is one of the means, the other mean is the denominator. | כלל זה יהיה בידך בערכין שאותו המספר שיהיה גיל הנעלם שהוא מקום הגלגל מן המורה שאם היה הגלגל אחד מהקצוות הקצה האחר הוא המורה ואם הגלגל הוא אחד מהאמצעיים האמצעי האחר הוא המורה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
And you do not know the third: multiply the first by the second |
ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is clear from 19.V: when the sum to the sum is as the ratio of the whole to the whole, then the ratio of the remainder to the remainder is as the ratio of the whole to the whole. | זה יתבאר מי"ט מה' באמת כאשר היה המחובר אל המחובר כיחס הכל אל הכל הנה יחס הנשאר אל הנשאר כיחס הכל אל הכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן בדמיונו השני לפי שיחס היתרון שבין ג' וד' הידוע אל היתרון שבין ד' והמספר הנעלם כיחס ג' הידוע אל ו' הנעלם והנה הנעלם גדול מיתרונו על ד' הנה אם כן ג' גדול יותר מהיתרון שבין ג' לד' מי"ד מה' אקלידיס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והיתרון שבין ג' לד' ידוע אם כן כשחסרנוהו מג' יהיה הנשאר ידוע והוא ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וגם כן ידענו שד' הוא הנשאר כשחסרנו מו' היתרון שנוסף על ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועתה יש לנו ג' מספרים ידועין | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
האחד ב' והוא הנשאר מג' כשחוסר ממנו היתרון שבין ג' לד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השני ג' שהוא הכל ידוע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השלישי ד' שהוא הנשאר מהנעלם כשחוסר ממנו היתרון שהוא נוסף על ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וידענו שיחס המחוסר מג' אל המחוסר מהנעלם כיחס ג' שהוא הכל אל הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן יחס ב' הנשאר אל ד' הנשאר כיחס ג' אל הנעלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ולכן נכפול האמצעיים שהן ד' וג' והיו י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונחלק י"ב על ב' והיה ו' וכו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Understand the others from Euclid's 18.V. | וכן תבין האחרים מי"ח מה' אקלידיס | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Proposition 16 is derived this way: the first and the seventh are taken, and they are cardinal points. One proposition is derived from both of them. From the fourth and tenth, which are cardinal points, another proposition is derived. Then, from both of them, one proposition is derived, called the 16th, and is the strongest of them all. | צורת הי"ו מוציאין אותה בדרך זו לוקחין הראשונה והשביעית והן יתדות ומוציאין משתיהן צורה אחת ומהרביעית והעשירית והן יתדות מוציאין צורה אחרת ומשתיהן מוציאין צורה אחת והיא נקראת הי"ו והיא חזקה מכלן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I have found, with the help of God, proposition 16: We take the first and seventh propositions and derive one proposition from both of them. We take proposition 15, and from these two, we derive another proposition, which is the 16th, and this is a secret. | ומצאתי בע"ה צורת הי"ו נקח הצורה הראשונה והשביעית ועושין משתיהן צורה אחת ונקח צורת הט"ו [87]ומשתים אלו נעשה צורה אחרת והיא הי"ו וזה סוד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Additional Word Problems (P1026) |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה שלשה הלכו לקנות דג בשוק ערכו ה' פשו' אמר אחד אני אתן כל מה שבכיסי ואתם לא תתנו רק החצי שבכיסכם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נבקש המורה והוא י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כ"ט כי ממנו נוכל לעשות ג' מספרים שישתוו שלשתן למספר אחד והן ה' י"א י"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בעל ה' ישאל החצי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בעל י"א ישאל השליש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בעל י"ג ישאל הרביע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שאלה ראובן שמעון לוי ויהודה אמ' ראובן לשמעון כל מה שבכיסי עם חצי שבכיסך הוא ה' די' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
תשובה ראובן ל"ז פשו' צ"ז חלקי' מקי"ו בפשו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
שמעון מ"ד פשי' מ"ד חלקים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לוי מ"ו פשו' ק"ו חלקים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יהודה נ"ב פשי' נב חלקים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובזה נמצא כל ראובן עם חצי שמעון ה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן שמעון עם שליש לוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן לוי עם רביע יהודה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן יהודה עם חומש ראובן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נסיר חצי שמעון המשותף וישאר ראובן שוה לחצי שמעון עם שליש לוי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושמעון שוה לשני שלישי לוי עם רביע יהודה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן ראובן שוה לשני שלישי לוי עם שמינית יהודה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן לוי שוה לג' רבעי יהודה עם חומש ראובן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם כן ראובן שוה לה' שמיניות יהודה וב' חלקי' מט"ו מראובן עצמו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
| |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
א'פ'ד' ראובן ע"ה שמעון פ"ח לוי צ"ג יהודה ק"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
או ראובן ל"ז וחצי [88]שמעון מ"ד לוי מ"ו וחצי יהודה נ"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן לחציין וכן וכן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Question: a man arrived to a country and took an oath that if he will double his money every day, he will would spend a certain amount of it each day. After a few days he had nothing left.
|
שאלה אדם נכנס [בע]יר ונודר שאם יכפול ממונו בכל יום יוציא ממנו בכל יום סך מוגבל ולימים לא נשאר בידו מאומה כמה הוא הממון שבידו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The method: we look for a number, such that, when doubled in a double ratio as many times as the number of days, at the end of which he has nothing left, the result is the amount he spends every day. We subtract this required number from the amount he spends each day and the remainder is the amount of money he has. | הדרך בזה שנבקש מספר שבהכפלו פעמים כמספר הימים על יחס הכפל שאחריהם לא נשאר לו מאומה יעלה לסך שיוציא מהם בכל יום והמספר ההוא המבוקש נגרע מהסך שיוציא בכל יום והנשאר הוא הממון שבידו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
המשל שיוציא בכל יום מ"ח פשי' ולסוף ג' ימים לא נשאר לו מאומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל כמספר הימים שהם ג' יעלה מ"ח הוא ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי כשנכפול ו' יעלה י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול י"ב עלה כ"ד | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול כ"ד עלה מ"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נגרע מספר ו' ממ"ח וישאר מ"ב והם המעות שבידו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
או שיוציא בכל יום י"ח פשי' ולסוף ה' ימים לא נשאר לו מאומה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה המספר שבהכפלו על יחס הכפל פעמים כמספר הימים שהוא ה' יעלה י"ח הוא חצי וחלק אחד מי"ו שהן ט' חלקים מי"ו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי כשנכפול חצי וחלק אחד מי"ו יעלה א' ושמינית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול א' ושמינית יעלה ב' ורביע | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול ב' ורביע יעלה ד' וחצי | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול ד' וחצי יעלה ט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכשנכפול חמשית ט' יעלה י"ח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נגרע מספר חצי וחלק אחד מי"ו יעלה י"ז וז' חלקים מי"ו והם המעות שבידו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The reason the root is written in the middle rank, whether there is an odd number of ranks, or an even number, is that we shift the even rank above the preceding rank and add them together, as when we write 7 above the 9 and it becomes seventy. | [89]טעם למה יוציא השרש אל אמצע המדרגות בין שיהיו המדרגות נפרדים כמו זה או זוגות שנשים המדרגה הזוגיית למעלה מהמדרגה שלפניה שנחבר הכל כמו שנשים ז' למעלה מט' ויהיה שבעים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Since in every product, the ranks are doubled. After we square it, the product has six ranks. | לפי שלעולם בכל כפל המדרגות כפולות אחר שנעשה מהם מרובע מהכאתם עולה לששה מדרגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the result of multiplication has an even [number of ranks]: | אם יש ליוצא מההכאה זוגות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו זה שח' על ח' עולה לס"ד ולכן ס"ד הוא תחת המדרגה הששית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the number [of the ranks] is odd, we take the root from [...] | ואם המספר נפרד לא נקח שרש כי אם מה |
Notes
Apparatus
Appendix: Bibliography
Immanuel ben Jacob Tov-Elem / Immanuel Bonfils / Immanuel of Trascon (flourished c. 1340-1377)
Manuscripts:
- 1) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut. 88.30/2 (IMHM: f 17853), ff. 37r-38r (15th century)
- Plut. 88.30/2
- 2) London, British Library Or. 10878 (IMHM: f 8193), ff. 6r-7v (15th century)
- Or. 10878
- 3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 365/11 (IMHM: f 43035), ff. 193v-196v (15th-16th century)
- Guenzburg 365
- 4) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 903/7 (IMHM: f 26859), ff. 138r-140r (15th century)
- heb. 903/7
- 5) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1026/6 (IMHM: f 15025), ff. 72r-80v (16th century)
- heb. 1026/6
- 6) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1054/8 (IMHM: f 33997), ff. 31r-v (15th century)
- heb. 1054/8
- 7) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1081/3 (IMHM: f 15037), ff. 4r-15v (16th-17th century)
- heb. 1081/3
Bibliography:
- Gandz, Solomon. 1936. The Invention of the Decimal Fractions and the Application of the Exponential Calculus by Immanuel Bonfils of Tarascon (c. 1350), Isis XXIV, pp. 16–45.
- Lévy, Tony. 2003. Immanuel ben Jacob de Tarascon (XIVe s.): fractions décimales, puissances de 10 et opérations arithmétiques, Centaurus 45, pp. 284-304.
- ———. 2012. Immanuel ben Jacob of Tarascon (Fourteenth Century) and Archimedean Geometry: An Alternative Proof for the Area of a Circle, Aleph. 12.1, pp. 135-159.
- Rabinovitch, Nahum. 1974. An Archimedean Tract of Immanuel Tov-Elem (14th Cent.), Historia Mathematica 1, pp. 13–27.
- Rashed, Roshdi. 1994. The development of Arabic mathematics: between arithmetic and algebra. Translated by A.F.W. Armstrong. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publishers, pp. 85-146.
- Sarton, George. 1934. Simon Stevin of Bruges (1548-1620), Isis, vol. 21, no. 2 (Jul., 1934), pp. 241-303.
- ———.1935. The First Explanation of Decimal Fractions and Measures (1585). Together with a History of the Decimal Idea and a Facsimile (No. XVII) of Stevin's Disme, Isis, vol. 23, no. 1 (Jun., 1935), pp. 153-244.
- Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 155-163 (f79-f87); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.