Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Latest revision as of 20:17, 16 December 2022

ספר האלזיברא
לרבי שמעון מטוט

Contents 1 Introduction 1.1 Definitions of algebraic terms 2 First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra 3 Second Section: Algebra 3.1 Introduction 3.2 The six canonical equations 3.3 Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree 4 Epilogue 5 Additional excerpt 6 Notes 7 Apparatus 8 Appendix I: Glossary of Terms 9 Appendix II: Bibliography Introduction
After the praise to God, the name of his praise is Glory	‫^[1]אחרי התהלה לאל אשר שם תהלתו תפארת
Illuminating beginning of any discussion and action	ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
Blessed and exalted be his name a great exaltation	יתב' ויתע' שמו עלוי רב אמן
Definitions of algebraic terms
I Start by saying that you should know that the Christians regarded one of the expressions in the equation of the algebraic calculation as having an unknown number, and made it one whole thing in their calculations, which they called cosa.	אתחיל ואומר ראוי שתדע כי הנוצרים בחשבון האלזיברא יקחו חלק אחד מן השאלה בלתי ידוע מספרו ויעשוהו בחשבונם דבר אחד שלם ויקראוהו קוֹסָא
They wanted to signify two meanings by this word: one whole thing and an unknown thing, which we do not know.	רצונם להורות בזאת התיבה שני ענינים דבר אחד שלם ודבר נעלם לא ידענוהו
Hence, I am doing the same in my translation, and call it davar [= a "thing"].	וכן ולפי כן אעשה גם אני בהעתקתי זאת ובשם אקראנו דבר
They called the product of the thing by itself çenso.	וכפל הדבר בעצמו יקראוהו צֵינְסו
I asked the grammarians of their language about the meaning of this word and they told me that it indicates a fixed number. They meant by this an unknown fixed number.	ושאלתי לחכמי דקדוק לשונם על הוראת זאת התיבה ואמרו לי כי היא מורה מספר קצוב רצונם בזה מספר קצוב לא ידענוהו
Since I did not find in our language one word that has this meaning, and I did not want to extend my speech by using two words to indicate this meaning, or to invent a new word in the language, I called it by the Hebrew word merubaʼ [= a square] as it is.	ובעבור כי לא מצאתי בלשוננו תיבה אחת תורה זאת ההוראה ולא רציתי להאריך בדבורי להורות זאת ההוראה בשתי תיבות או לחדש תיבה בלשון קראתיהו בשם מרובע כאשר הוא
They called the square that is multiplied by it self çenso di çenso, and I named it merubaʼ ha-merubaʼ [= a square of the square].	ולכפל המרובע בעצמו יקראוהו צֵינְסו דֵצֵינְסו ואני אקראנו מרובע המרובע
They called the cube number cubo.	ולמספר המעקב יקראוהו קוּבוּ
They called the cube cube cubo di cubo.	ולמעקב המעקב קוּבוּ דֵקוּבוּ
The units of the number are called numeri, as their usage in all other places.	ולאחדי המספר נוּמְרִי כמנהגם בכל שאר המקומות

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra
After my introduction, I shall discuss the teaching of some principles that should be known and precede the study of algebra.	ואחרי הקדמתי זאת אדבר בלמוד שרשים צריכים לדעתם ולהקדימם ללמודי חשבון האלזיברא
I will explain them as much as I can, starting by that:	ואבארם כפי אשר תשיג ידי וזה החלי
1) If you wish to multiply a root of a known number by a root of a number $\scriptstyle\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}$	א כאשר רצית לכפול שורש מספר ידוע בשורש מספר ידוע
Multiply one number by the other and the root of the result is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a\sdot b}}}$	כפול המספר האחד בחבירו ושורש העולה הוא מה שרצית
to bring it closer to your perception I will give an example:	ולקרבו אל ציורך אמשול לך משל
When you wish to multiply the root of 5 by the root of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\times\sqrt{12}}}$	כאשר רצית לכפול שורש מספר ה' בשורש מספר [י"ב]‫^[2]
Multiply 5 by 12; the result is 60. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}$	כפול ה' בי"ב יעלה ס‫'
The root of 60 is what you want to know. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5}\sdot\sqrt{12}=\sqrt{60}}}$	‫^[3]ושורש ס' הוא מה שרצית לדעת
2) If you wish to multiply a root of a known number by a known number. $\scriptstyle a\sdot\sqrt{b}$	ב ואם רצית לכפול שורש מספר ידוע במספר ידוע
Square the number by multiplying it by itself, then multiply one square by the other and the root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt{b}=\sqrt{a^2\sdot b}}}$	עשה מן המספר מרובע בכפול אותו בעצמו אחר תכפול המרבע הא' בחבירו ושורש העולה הוא מה שרצית לדעת
Example: you wish to multiply the root of 7 by 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3}}$	המשל רצית לכפול שורש מספר ז' במספר ג‫'
Square 3; it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה מג' מרובע והוא ט‫'
Now, multiply 7 by 9; the result is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot9=63}}$	ועתה תכפול ז' בט' יעלה ס"ג
The root of 63 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{63}}}$	ושורש ס"ג הוא המבוקש
This is because the ratio of a square to a square is the same as the ratio of its side to its side duplicate. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2:b^2=\left(a:b\right)^2}}$	וזה מפני כי יחס מרובע אל מרובע כיחס צלעו אל צלעו שנוי ר"ל כפול
Therefore, the square of 7 should be multiplied by the product of 3 by itself. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\times3=\sqrt{7\sdot3^2}}}$	על כן ראוי לכפול מרובע ז' בכפל ג' בעצמו
According to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11	מתמונת י"א מן המאמר השמיני לאקלידס
3) If you wish to multiply a known cube root by a known cube root. $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}$	ג ואם [רצית]‫^[4] לכפול שורש מעקב ידוע בשורש מעקב ידוע
Multiply one cube by the other and the cube root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a\sdot b}}}$	כפול המעקב האחד בחבירו ושורש המעקב העולה הוא מה שרצית
Example: you wish to multiply the cube root of 5 by the cube root of 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}}}$	המשל רצית לכפול שורש מעקב ה' בשורש מעקב ו‫'
Multiply 5 by 6; the result is 30. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	כפול ה' בו' יעלה ל‫'
The cube root of 30 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\sdot\sqrt[3]{6}=\sqrt[3]{30}}}$	ושורש מעקב ל' הוא המבוקש
4) You wish to multiply a known cube root by a known number. $\scriptstyle a\sdot\sqrt[3]{b}$	ד ואם רצית לכפול שורש מעקב יד^וע במספר ידוע
Cube the number, then multiply one cube by the other and the cube root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt[3]{b}=\sqrt[3]{a^3\sdot b}}}$	עשה מן המספר מעקב וכפול המעקב הא' בחבירו ושורש מעקב העולה הוא מה שרצית
Example: you wish to multiply the cube root of 5 by 3. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}}}$	המשל רצית לכפול שורש מעקב ה' במספר ג‫'
Cube 3; it is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27}}$	עשה מן ג' מעקב והוא כ"ז
Multiply 5 by 27; the result is 135. $\scriptstyle{\color{blue}{27\sdot5=135}}$	וכפול ה' בכ"ז יעלה קה"ל
The cube root of 135 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sqrt[3]{5}=\sqrt[3]{135}}}$	ושורש מעקב קה"ל הוא המבוקש
This is because the ratio of a cube to a cube is the same as the ratio of its side to its side triplicate $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^3:b^3=\left(a:b\right)^3}}$	וזה מפני כי יחס מעקב אל מעקב כיחס צלעו אל צלעו משלש
According to Euclid, Elements, Book VIII, proposition 12	מתמונת י"ב מן המאמר השמיני לאקלידס
5) If you wish to multiply a known cube root by a known square root. $\scriptstyle\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}$	ה ואם רצית לכפול שורש מעקב ידוע בשורש מרובע ידוע
Cube the square and square the cube.	‫^[5]עשה מן המרבע מעקב ומן המעקב מרבע
By this procedure you equalize [the degrees of] the roots and you make each of them a square root of a cube root.	ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שורש מרבע מן שרש מעקב
Then, you multiply one of them by the other and the square root of the cube root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{b}=\sqrt{\sqrt[3]{a^2\sdot b^3}}}}$	אחר כן תכפול אחד מהם בחבירו ושורש מרובע מן שרש מעקב העולה הוא מה שרצית
In order to teach you, I will give you an example of numbers that have roots and say: you wish to multiply the square root of 9, which is 3, by the cube root of 8, which is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=2\sdot3}}$	ולמען תשכיל אמשול לך משל במספרים בעלי שורש ואומר רצית לכפול שורש מרובע ט' שהוא ג' בשורש מעקב ח' שהוא ב‫'
It is known that the product of 3 by 2 is 6 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	וידוע כי מכפל ג' בב' יעלה ו' והוא המבקש
According to the way that we mentioned:	ולפי הדרך אשר זכרנו
9 should be cubed; it is 729. $\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729}}$	ראוי לעשות מן ט' מעקב והוא תשכ"ט
8 should be squared; it is 64. $\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}$	ומן ח' מרבע והוא ס"ד
Multiply 64 by 729; the result is 46656. $\scriptstyle{\color{blue}{64\sdot729=46656}}$	כפול ס"ד בתשכ"ט יעלה מ"ו אלפים ותרנ"ו
The square root of the cube root of 46656 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}}}$	והנה שרש מרובע מן שרש מעקב מ"ו אלפים ותרנ"ו הוא המבוקש
To add a further explanation, we reduce the required to a number; we can do this, since the numbers we took in our example have roots:	ולהוסיף באור נשיב המבקש אל מספר ונוכל עשוהו מפני כי המספרים אשר לקחנו במשלנו הם בעלי שרש
We say that the cube root of 46656 is 36 and the square root of 36 is 6. So, 6 is the required as we said at the beginning. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8}\sdot\sqrt{9}=\sqrt{\sqrt[3]{46656}}=\sqrt{36}=6}}$	ונאמר שרש מעקב מ"ו אלפים ותרנ"ו הוא ל"ו ושרש מרבע ל"ו הוא ו' והנה מספר ו' הוא המבקש כאשר אמרנו בתחלה
The proof for this is clear to the one who understands from the proofs of the previous teachings.	מופת זה מובן למבין ממופתי הלמודים הקודמי‫'
6) You wish to multiply a known square root of a square root by a known square root of a square root. $\scriptstyle\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ו ואם רצית לכפול שורש שורש מרובע ידוע בשרש שרש מרובע ידוע
Multiply one square by the other and the root of the root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt{\sqrt{a}}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{a\sdot b}}}}$	כפול המרבע האחד בחבירו ושרש שרש מרבע העולה הוא מה שרצית
Example: you wish to multiply the square root of the root of 4 by the square root of the root of 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרובע ד' בשרש שרש מרובע ז‫'
Multiply 4 by 7; the result is 28. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot7=28}}$	כפול ד' בז' יעלה כ"ח
The square root of the square root of 28 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\sqrt{4}}\sdot\sqrt{\sqrt{7}}=\sqrt{\sqrt{28}}}}$	ושרש שרש מרבע כ"ח הוא המבוקש
7) If you wish to multiply a known square root of a square root by a known number. $\scriptstyle a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ז ואם רצית לכפול שרש שרש מרבע ידוע במספר ידוע
Square the number, then square its square. Multiply one by the other and the root of the root of the product is what you want. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\left(a^2\right)^2\sdot b}}}}$	עשה מן המספר מרבע וממרבעו מרבע וכפול האחד בחבירו ושרש שרש מרבע העולה הוא מה שרצית
Example: you wish to multiply the square root of the root of 5 by 2. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}}}$	המשל רצית לכפול שרש שרש מרבע ה' במספר ב‫'
Square 2; it is 4. Square 4; it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2^2\right)^2=4^2=16}}$	עשה מן ב' מרבע והוא ד' ומן ‫^[6]ד' מרובע והוא י"ו
Multiply 5 by 16; the result is 80. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}$	כפול ה' בי"ו יעלה פ‫'
The square root of the root of 80 is what you want to know. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{\sqrt{5}}=\sqrt{\sqrt{80}}}}$	ושרש שרש מרובע פ' הוא מה שרצית לדעת
8) If you wish to multiply a known cube root by a known square root of a root. $\scriptstyle \sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}$	ח ואם רצית לכפול שרש מעקב ידוע בשרש שרש מרובע ידוע
Square the cube, then square its square.	עשה מן המעקב מרובע וממרבעו מרבע
Cube the square.	ומן המרובע עשה מעקב
By this procedure you equalize [the degrees of] the roots and made each of them a square root of a square root of a cube root.	ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
Multiply one of them by the other and the square root of the square root of the cube root of the product is what you want to know. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sqrt[3]{a}\sdot\sqrt{\sqrt{b}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{\left(a^2\right)^2\sdot b^3}}}}}$	אחר תכפול האחד מהם בחבירו ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב העולה הוא מה שרצית לדעת
Example: you wish to multiply the cube root of 3 by the square root of the square root of 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}}}$	המשל רצית לכפל שרש מעקב ג' בשרש שרש מרבע ד‫'
Square the cube, which is 3; it is 9. Square 9; it is 81. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3^2\right)^2=9^2=81}}$	עשה מן המעקב שהוא ג' מרבע והוא ט' ומן ט' מרבע והוא פ"א
Cube 4; it is 64. $\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64}}$	אחר כן תעשה מן ד' מעקב יהיה ס"ד
Multiply 81 by 64; the result is 5184. $\scriptstyle{\color{blue}{81\sdot64=5184}}$	כפול פ"א בס"ד יעלה ה' אלפים וקפ"ד
The square root of the square root of the cube root of 5184 is what you want. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{3}\sdot\sqrt{\sqrt{4}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{5184}}}}}$	ושרש שרש מרבע מן שרש מעקב ה' אלפים ופק"ד הוא מה שרצית
9) If you wish to multiply 5 plus the root of 6 by itself. $\scriptstyle\left(5+\sqrt{6}\right)^2$	ט ואם רצית לכפול מספר ה' ושרש מספר ו' בעצמו
Follow this way:	עשה על הדרך הזאת
Multiply 5 by itself; the result is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}$	כפול ה' בעצמו יעלה כ"ה
Multiply also a root of 6 by itself; the result is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}^2=6}}$	עוד תכפול שרש ו' בעצמו יעלה ו‫'
[The sum] is 31. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{25+6=31}}$	הרי ל"א שמרם
Multiply also 5 twice by a root of 6 according to this way: $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)}}$	עוד תכפול מספר ה' בשרש ו' פעמים על הדרך הזאת
First, multiply 5 by a root of 6: square 5; it is 25; multiply it by 6; the result is 150. A root of 150 is the result of multiplication of 5 by a root of 6. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\sqrt{6}=\sqrt{5^2\sdot6}=\sqrt{25\sdot6}=\sqrt{150}}}$	ראשונה תכפול מספר ה' בשרש ו' ועשה מן ה' מרובע והוא כ"ה כפלהו בו' יעלה ק"נ והנה שרש ק"נ הוא העולה מכפל מספר ה' בשרש מספר ו‫'
Multiply also a root of 150 by 2, because you want it twice: square 2; it is 4; multiply 4 by 150; the result is 600. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(5\sdot\sqrt{6}\right)=2\sdot\sqrt{150}=\sqrt{2^2\sdot150}=\sqrt{4\sdot150}=\sqrt{600}}}$	עוד תכפול שרש ק"נ במספר ב' מפני כי אתה רוצה אותו פעמים ותעשה מן ב' מרבע והוא ד' כפול ד' בק"נ יעלה ת"ר
Say that 31 that you kept summed with a root of 600 is what you wish to know. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\sqrt{6}\right)^2=31+\sqrt{600}}}$	הנה תאמר כי מספר ל"א אשר שמרת ושרש מספר ת"ר מחברים הוא מה שרצית לדעת
In order for you to learn this, I describe a multiplication diagram for you:	ולמען תשכיל אתאר לך תמונת הכפל
I draw lines from each of the numbers in the figure to the numbers by which they should be multiplied.	ואוציא מכל אחד מהמספרים אשר בתמונה קוים נמשכים בה אל המספרים אשר ראוי ‫^[7]לכפלו בהם

10) If you wish to multiply a root of 32 minus 3 by itself. $\scriptstyle\left(\sqrt{32}-3\right)^2$	י ואם רצית לכפול שרש ל"ב פחות מספר ג' בעצמו
First, square 3; it is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{3^2=9}}$	עשה ראשונה מן ג' מרובע והוא ט‫'
Now, multiply a root of 32 minus a root of 9 by itself this way:	ועתה תכפול שרש ל"ב פחות שרש ט' בעצמו על הדרך הזאת
First, multiply a root of 32 by itself; the result is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{32}^2=32}}$	כפול תחלה שרש ל"ב בעצמו יעלה ל"ב
Multiply also a subtractive root of 9 by itself; the result is an additive 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(-\sqrt{9}\right)^2=9}}$	עוד תכפול שרש ט' פחות בעצמו יעלה ט' יותר
Because, you should know that the result of multiplication of a subtractive by a subtractive is an additive, as I will explain. [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)}}$ ]	כי ראוי שתדע כי מכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אבאר
Therefore, add 9 to 32; the result is 41. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{9+32=41}}$	על כן תחבר ט' בל"ב יעלה מ"א שמרם
Multiply also a root of 32 twice by a subtractive root of 9 according to the above-mentioned way; you receive a subtractive root of 1152. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\sqrt{32}\sdot\left(-\sqrt{9}\right)\right]=-\sqrt{1152}}}$	עוד תכפול שרש ל"ב בשרש ט' פחות פעמים על הדרך האמור למעלה יעלה בידך שרש אלף וקנ"ב פחות
Because, the result of multiplication of any [additive] number or measure by a subtractive is a subtractive. [ $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)}}$ ]	כי לעולם מכפל איזה מספר או איזה שיעור שיהיה בחסרון יעלה חסרון
Say that 41 that you kept minus a root of 1152 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{32}-3\right)^2=41-\sqrt{1152}}}$	הנה תאמר כי מספר מ"א אשר שמרת פחות שרש אלף וקנ"ב הוא המבוקש
11) If you wish to multiply a root of 48 plus a root of 10 by a root of 48 minus a root of 10. $\scriptstyle\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\times\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)$	יא ואם רצית לכפול שרש מ"ח ושרש י' בשרש מ"ח פחות שרש י‫'
First, multiply a root of 48 by itself; the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}^2=48}}$	כפול ראשונה שרש מ"ח בעצמו יעלה מ"ח
Multiply also an additive root of 10 by a subtractive root of 10; the result is a subtractive 10. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{10}\right)\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-10}}$	עוד תכפול שרש י' יותר בשרש י' פחות יעלה י' פחות
Subtract it from 48; the remainder is 38. $\scriptstyle{\color{blue}{48-10=38}}$	חסרם ממ"ח ~~יעלה~~ ישאר ל"ח
Multiply also a root of 48 by an additive root of 10; the result is an additive root of 480. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(+\sqrt{10}\right)=+\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' יותר יעלה שרש ת"פ יותר
You have 38 plus an additive root of 480. $\scriptstyle{\color{blue}{38+\sqrt{480}}}$	הרי בידך ל"ח ושרש ת"פ יותר
Multiply also a root of 48 by a subtractive root of 10; the result is a subtractive root of 480. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{48}\sdot\left(-\sqrt{10}\right)=-\sqrt{480}}}$	עוד תכפול שרש מ"ח בשרש י' פחות יעלה שרש ת"פ פחות
Therefore, subtract it from 38 plus an additive root of 480; you are left with 38 and this is the required.	על כן תחסרנו מל"ח ושרש ת"פ יותר ישאר בידך מספר ל"ח והנה הוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{48}+\sqrt{10}\right)\sdot\left(\sqrt{48}-\sqrt{10}\right)=38+\sqrt{480}-\sqrt{480}=38}}$
Rules of multiplication for expressions of the type (a+b) and (a-b)
Now I will give you a rule:	ועתה אתן לך כלל
The result of multiplication of any [additive] number by an additive is an additive. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(+\right)=\left(+\right)}}$	מכפל איזה מספר ביתרון יעלה יתרון
The result of multiplication of any [additive] number by a subtractive is a subtractive. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a\times\left(-\right)=\left(-\right)}}$	ומכפל איזה ‫^[8]מספר בחסרון יעלה חסרון
The result of multiplication of an additive by an additive is an additive. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(+\right)=\left(+\right)}}$	ומכפל יתרון ביתרון יעלה יתרון
The result of multiplication of an additive by a subtractive is a subtractive. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(+\right)\times\left(-\right)=\left(-\right)}}$	ומכפל יתרון בחסרון יעלה חסרון
The result of multiplication of a subtractive by a subtractive is an additive, as we have said above. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)}}$	ומכפל חסרון בחסרון יעלה יתרון כאשר אמרנו למעלה
Geometric illustration
To show you a proof of it we describe a geometric illustration and present a numerical example:	ולהראותך מופת זה נתאר תמונה ונביא דמיון במספר
We wish to multiply the number 12 minus the number 4 by the number 8 minus the number 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)}}$	רצינו לכפול מספר י"ב פחות מספר ד' במספר ח' פחות מספר ב‫'
We describe a geometrical shape according to the example mentioned:	ונתאר תמונה כפי המשל הנזכר

Let there be a surface ABGD.	ויהיה שטח אבג"ד
Its side AB is 12 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{AB=12}}$	צלע א"ב ממנו י"ב מדות
Its side AG is 8 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}$	וצלע א"ג ממנו ח' מדות
We cut segment AH, which is 4 measure, from side AB. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=4}}$	ונחסר מצלע א"ב חלק א"ה ממנו ד' מדות
We cut segment AW, which is 2 measure, from side AG. $\scriptstyle{\color{blue}{AW=2}}$	ומצלע א"ג נחסר צלע א"ו ממנו ב' מדות
We draw line HZ from point H, parallel to lines AG, BD and line WC from point W, parallel to lines AB, GD. $\scriptstyle{\color{blue}{HZ\parallel AG,BD\quad WC\parallel AB,GD}}$	ונעביר מנקדת ה' קו ה"ז נכוחי לקוי א"ג וב"ד ומנקדת ו' קו ו"ח נכוחי לקוי א"ב וג"ד
These two lines intersect in surface [ABGD] at point T.	ויחתכו שני אלה הקוים בתוך השטח על נקדת ט‫'
They divide [ABGD] into four areas:	ויחלקוהו לארבעה שטחים
Surface TG, surface TA, and surface TB - we call these three together the gnomon of the shape; and the fourth surface, TD, which we call the sought-after, because its area is equal to the required number that is the product of the mentioned numbers, as you can see. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[ABGD\right]=TG+TA+TB}}$	לשטח ט"ג ושטח ט"א ושטח ט"ב שלשתם יחד נקראם רושם התמונה ושטח ט"ד הרביעי ונקראהו המבוקש כי מספרי שבריו שוה למספר המבקש העולה מכפל המספרים הנזכרים כאשר אתה רואה
There is no need to further elaborate this proof for you.	אין צורך להאריך במופת על זה אליך
Now we multiply the above mentioned numbers by each other, according to the aforementioned method:	ועתה נכפול המספרים הנז' אחד מהם בחברו כפי הדרך הנזכ‫'
We start by multiplying 12 by 8; the result is 96, as the area of the whole surface AD. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=12\times8=96}}$	ונתחיל לכפול י"ב בח' יעלה צ"ו כמספר שברי שטח א"ד כולו
We multiply 12 also by a subtractive 2; the result is a subtractive 24, as the area of TA plus the area of TB. $\scriptstyle{\color{blue}{-\left(TA+TB\right)=12\times\left(-2\right)=-24}}$	עוד נכפול י"ב במספר ב' פחות יעלה כ"ד פחות כמספר שברי שטח ט"א ושטח ט"ב
We also multiply 8 also by a subtractive 4; the result is a subtractive 32, as the area of TA plus the area of TG. $\scriptstyle{\color{blue}{-\left(TA+TG\right)=8\times\left(-4\right)=-32}}$	עוד נכפול מספר ח' במספר ד' פחות יעלה ל"ב פחות כמספר ‫^[9]שברי א' שטח ט"א ושטח ט"ג
If we sum up 24 and 32, the result is 56, as the area of the gnomon summed with the area of TA.	ואם נחבר כ"ד ול"ב יעלה נ"ו כמספר שברי הרושם ושברי שטח ט"א מחברים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[TG+TA+TB\right]+TA=\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)=24+32=56}}$
If we subtract it from the area of the whole surface AD, which is 96, the remainder is the required surface TD minus surface TA. Keep it.	ואם נחסרם משברי שטח א"ד כלו שהם צ"ו ישאר שטח ט"ד המבקש פחות שטח ט"א שמרהו
$\scriptstyle{\color{blue}{TD-TA=AD-\left[\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)\right]=96-56}}$
Finish multiplying the mentioned numbers: multiply a subtractive 2 by a subtractive 4; the result is 8, as the area of surface AT. $\scriptstyle{\color{blue}{AT=\left(-2\right)\times\left(-4\right)=8}}$	ותשלים לכפול המספרים הנזכר' ותכפול ב' פחות בד' פחות יעלה ח' כמספר שברי שטח א"ט
You should add it to the reserved in order to complete the required surface TD. $\scriptstyle{\color{blue}{TD=AD-\left[\left(TA+TB\right)+\left(TA+TG\right)\right]+TA}}$	וצריך אתה להוסיפו על השמור להשלים שטח ט"ד המבקש
[ $\scriptstyle{\color{blue}{TD=\left(12-4\right)\times\left(8-2\right)=\left(12\times8\right)-\left[\left(12\times2\right)+\left(8\times4\right)\right]+\left(2\times4\right)}}$ ]
The conclusion: therefore it is said that the result of multiplication of a subtractive by a subtractive is an additive. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(-\right)\times\left(-\right)=\left(+\right)}}$	על כן יאמר כי מכפל חסרון בחסרון יעלה תוספת
In order to bring it closer to your perception I will describe for you also a multiplication diagram in the way I drew the previous multiplication figure:	ולקרבו אל ציורך אתאר לך גם תמונת הכפל ~~הקודמת~~ באופן אשר צירתי תמונת הכפל הקודמת

12) If you wish to add a root of 12 to a root of 48, for example. $\scriptstyle\sqrt{12}+\sqrt{48}$	יב ואם רצית לחבר שורש י"ב בשרש מ"ח דרך משל
Multiply 12 by 48; the result is 576. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot48=576}}$	כפול י"ב במ"ח יעלה תקע"ו
The root of 576 is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{576}=24}}$	והנה שרש תקע"ו כ"ד
Take its double; the result is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot24=48}}$	קח שני דמיוניו יעלה מ"ח
Add to it the two squares, which are 12 and 48; the result is 108.	חבר אליו שני המרובעים שהם י"ב ומ"ח יעלה ק"ח
The root of 108 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}=\sqrt{12+48+48}=\sqrt{108}}}$	והנה שרש ק"ח הוא המבוקש
Geometric proof (no figure is given): Its proof is that we attach the side of a square of 12 with the side of a square of 48 straightly, so they are two parts of one straight line. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12}+\sqrt{48}}}$	מופת זה נחבר צלע מרבע י"ב וצלע מרבע מ"ח על יושר ויהיו שני חלקי קו אחד ישר
It was already clarified in Euclid, Elements, Book II, proposition 4 that:	וכבר נתבאר בתמונת הרביעית מן המאמר השני לאקלידס
When a straight line is cut randomly into two segments, the square on the whole line equals the sum of the two squares that are generated from the two segments plus twice the rectangle encompassed by the two segments. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a+b\right)^2=a^2+b^2+2ab}}$	כי כאשר נחלק קו ישר לב' חלקים איך שקרה הנה מרבע הקו כלו שוה לשני המרבעים ההווים משני החלקים ולכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
When we multiply the two squares by each other, the resulting root, which is 576, is equal to the right-angled surface formed by the two segments. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{12\sdot48}=\sqrt{576}}}$	ועתה הנה כאשר כפלנו שני המרובעים זה בזה הנה שרש העולה שהוא תקע"ו הוא שוה לשטח הנצב הזויות ‫^[10]ההוה משני החלקי‫'
When we take its double we get double the right-angled surface that is encompassed by both segments and when we add the two squares to it, we get the square of the whole line, whose root is the sought-after.	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידנו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים וכאשר חברנו אל זה שני המרובעים עלה בידינו מרבע הקו כלו ושרשו הוא המבקש
13) If you wish to add a root of 8 to a root of 19. $\scriptstyle\sqrt{8}+\sqrt{19}$	יג ואם רצית לחבר שרש ח' בשרש י"ט
Multiply 8 by 19; the result is 152, which has no root. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot19=152}}$	כפול ח' בי"ט יעלה קנ"ב והנה אין לו שורש
Take double a root of 152 this way: multiply a root of 152 by 2; the result is a root of 608. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\sqrt{152}=\sqrt{4\sdot152}=\sqrt{608}}}$	קח שני דמיוני שרש קנ"ב על הדרך הזאת כפול שרש קנ"ב במספר ב' יעלה שרש תר"ח שמרהו
Sum up the two squares, which are 8 and 19; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}\right)^2+\left(\sqrt{19}\right)^2=8+19=27}}$	חבר שני המרבעים שהם ח' וי"ט יעלה כ"ז
Say that the root resulting from adding a root of 27 to a root of 608 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}+\sqrt{19}=\sqrt{27+\sqrt{608}}}}$	הנה תאמר כי שרש העולה מחבור כ"ז עם שרש תר"ח הוא המבקש
The proof of this teaching is clear from the one that precedes it.	מופת זה הלמוד מובן מאשר לפניו
14) If you wish to add a cube root of 96 to a cube root of 324. $\scriptstyle\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}$	יד ואם רצית לחבר שרש מעקב צ"ו עם שרש מעקב שכ"ד
Take the greatest common divisor of these two numbers, which is 12.	קח המספר היותר גדול שימנה שני אלה המספרי' והוא י"ב
Divide 96 by it; the result of division is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{96}{12}=8}}$	חלק אליו צ"ו יגיע בחלוק ח‫'
Divide 324 also by it; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{324}{12}=27}}$	עוד תחלק אליו שכ"ד יגיע כ"ז
So, 96 is 8 parts of 27 of 324. $\scriptstyle{\color{blue}{96=324\sdot\frac{8}{27}}}$	הנה צ"ו הוא ח' חלקים מכ"ז ממספר שכ"ד
Extract the cube root of 8 parts of 27; it is 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{2}{3}}}$	קח שרש מעקב ח' חלקים מכ"ז יהיה ב' שלישי‫'
Hence, the cube root of 96 is 2 parts of 3 of a [cube] root of 324. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה כי שרש מעקב צ"ו הוא ב' חלקי' מג' משרש שכ"ד
Sum up 2 and 3; the result is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{2+3=5}}$	חבר ב' וג' יעלה ה‫'
So, we sum the two cube roots and the result is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{2}{3}\sdot\sqrt[3]{324}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	הנה חברנו שני שרשי שני המעקבים ועלה ה‫'
Convert 5 into a cube; it is 125. $\scriptstyle{\color{blue}{5=\sqrt[3]{125}}}$	אחר כן תעשה מן ה' מעקב והוא קכ"ה
We receive a cube [root] divided by a sum of two cube roots. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\frac{5}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{\sqrt[3]{125}}{3}\sdot\sqrt[3]{324}}}$	והנה עלה בידינו מעקב חלקי שני שרשי שני המעקבים כאשר חוברו שמרהו
Now, to know the measure of each of the 125 by the measure of the cube 96 and the cube 324, proceed in this way:	ועתה לדעת שעור כל אחד מאלו הקכ"ה במדה שבה המעקב האחד צ"ו והמעקב השני שכ"ד עשה על הדרך הזאת
Take one part of the five mentioned parts; it is half a cube root of 96. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\frac{1}{2}\sdot\sqrt[3]{96}}}$	קח החלק האחד מהחמשה החלקי' הנזכ' והנהו חצי שרש מעקב צ"ו
Cube the half; you get one-eighth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\right)^3=\frac{1}{8}}}$	עשה מן חצי מעקב ויעלה בידך שמינית אחד
So, the cube of one part is an eighth of 96; which is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{\frac{1}{8}\sdot96}=\sqrt[3]{12}}}$	הנה ‫^[11]מעקב החלק האחד הוא שמיני' מספר צ"ו שהוא י"ב
Multiply 12 by the 125 you kept; the result is 1500. $\scriptstyle{\color{blue}{125\sdot12=1500}}$	כפול י"ב בקכ"ה אשר שמרת יעלה אלף ות"ק
The cube root of 1500 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{96}+\sqrt[3]{324}=\sqrt[3]{125\sdot12}=\sqrt[3]{1500}}}$	והנה שרש המעקב אלף ^ות"ק הוא המבקש
According to my way, when "I have led you in paths of uprightness" to calculate this calculation, "I have taught you" the proof "in the way of wisdom" [Proverbs 4, 11].	הנה לפי דרכי בהדריכי אותך במעגלי יושר לחשוב זה החשבון בדרך חכמה הוריתיך‫^{[note 1]} המופת
15) If you wish to divide a root of 30 by a root of 6. $\scriptstyle\sqrt{30}\div\sqrt{6}$	טו ואם רצית לחלק שרש ל' על שרש ו‫'
Divide 30 by 6; the result is 5 and its root is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\sqrt{30}}{\sqrt{6}}=\sqrt{\frac{30}{6}}=\sqrt{5}}}$	חלק ל' לו' יגיע ה' ושרשו הוא המבקש
This is because the ratio of a square to a square is as the ratio of its side to its side duplicated. [ Euclid, Elements, Book VIII, proposition 11 ] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2:b^2=\left(a:b\right)^2}}$	וזה כי מפני כי יחס מרבע אל מרבע כיחס צלעו אל צלעו שנוי
16) If you wish to divide 20 by a root of 10. $\scriptstyle20\div\sqrt{10}$	יו ואם רצית לחלק מספר כ' על שרש י‫'
Square 20; it is 400. Divide 400 by 10; the result is 40 and the root of 40 is the sought-after. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{\sqrt{10}}=\sqrt{\frac{20^2}{10}}=\sqrt{\frac{400}{10}}=\sqrt{40}}}$	עשה מן כ' מרבע והוא ת' חלק ת' לי' יגיע מ' ושרש מ' הוא המבקש
I present a teaching, if you look carefully, you will understand from it the proof of the two teachings that follow it:	הנה אקדים למוד אחד אם תתבונן תבין ממנו מופתי שני הלמודים הנמשכי' אחריו
17) If you wish to multiply a root of 8 minus a root of 4 by a root of 8 plus a root of 4, for example. $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	יז אם רצית לכפול שורש ^ח' פחות שרש ד' בשרש ח' ושרש ד' יותר דרך משל
Subtract 4 from 8; 4 remains and the remaining 4 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8-4=4}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' ומספר ד' הנשאר הוא המבקש
In order that you will know that this is so, we describe a multiplication diagram, in which we multiply the numbers according to the known method:	ולמען תדע כי כן הוא נתאר תמונת הכפל ונכפול המספרי' על הדרך הנודע

We start by multiplying a root of 8 by a root of 8; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\sqrt{8}=8}}$	ונתחיל לכפול שרש ח' בשרש ח' יעלה מספר ח‫'
We multiply also a root of 8 by an additive root of 4; the result is an additive root of 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(+\sqrt{4}\right)=+\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' יותר יעלה שרש ל"ב יותר
We have 8 plus a root of 32. We keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{8+\sqrt{32}}}$	הנה בידינו מספר ח' ושרש ל"ב שמרהו
We finish our calculation by multiplying an additive root of 4 by a subtractive root of 4; the result is a subtractive 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(+\sqrt{4}\right)\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-4}}$	ונשלים חשבוננו ונכפול שרש ד' יותר בשרש ד' פחות יעלה מספר ד' פחות
We multiply also a root of 8 by a subtractive root of 4; the result is subtractive root of 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8}\sdot\left(-\sqrt{4}\right)=-\sqrt{32}}}$	עוד נכפול שרש ח' בשרש ד' פחות יעלה שרש ל"ב פחות
Now, we subtract 4 plus a root of 32 that should be subtracted from the reserved 8 plus a root of 32; the remainder is 4 as we have said and this is the sought-after, or we can say that a root of 16 is the required.	ועתה ‫^[12]נפחות ממספר ח' ושרש ל"ב השמור מספר ד' ושרש ל"ב שראוי לפחות נשאר מספר ד' כאשר אמרנו והוא המבוקש או נאמר כי שרש י"ו הוא המבקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=8+\sqrt{32}-4-\sqrt{32}=4=\sqrt{16}}}$
18) If you wish to multiply a root of 8 minus a root of 4 by two other roots, so that the result is a root of 64, not a root of 16. $\scriptstyle\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)\times\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)=\sqrt{64}$	יח ואם רצית לכפול שרש ח' פחות שרש ד' בשני שרשים אחרים יהיה העלה שרש ס"ד לא שרש י"ו
Divide 64 by 16; the result of division is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע בחלוק ד‫'
Now, multiply 4 by 8; the result is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' בח' יעלה ל"ב
Multiply it also by 4; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
Hence, it should be multiplied by a root of 32 plus a root of 16, so the result is a root of 64 and this is self-explanatory. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}+\sqrt{b}=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	והנה בשרש ל"ב ושרש י"ו ראוי לכופלם ויהיה העולה שרש ס"ד וזה מובן בעצמו
19) If you wish to divide a root of 64 by a root of 8 minus a root of 4. $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)$	יט ואם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' פחות שרש ד‫'
Subtract 4 from 8; 4 remains. Multiply the remaining 4 by itself; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
Divide 64 by 16; the result is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יגיע ד‫'
Now, multiply the quotient by 8; the result is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
Multiply it also by 4, whose root you want to subtract from a root of 8; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו ~~בל'~~ בד' אשר אמרת לפחות שרשו משרש ח' יעלה י"ו
So, a root of 32 plus a root of 16 summed together is the sought-after. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}-\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}+\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים הוא המבוקש
This teaching follows the way of the previous teaching, because the dividend is always equal to the result of multiplication of the number resulting from division by the divisor [lit. the number by which the dividend is divided]. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{a}{b}\sdot b=a}}$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לו מפני כי לעולם המספר המתחלק הוא שוה למספר העולה מכפל המספר המגיע בחלוק במספר אשר אליו יתחלק המתחלק
20) If you wish to divide the root of 64 by the root of 8 plus the root of 4. $\scriptstyle\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)$	כ וכן אם רצית לחלק שרש ס"ד על שרש ח' ושרש ד' יותר
Subtract 4 from 8; 4 remains. Multiply the remaining 4 by itself; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-4\right)^2=4^2=16}}$	חסר ד' מח' ישאר ד' כפול ד' הנשאר בעצמו יעלה י"ו
Divide 64 by 16; the result is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{16}=4}}$	חלק ס"ד לי"ו יעלה ד‫'
Now, multiply the quotient by 8; the result is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot8=32}}$	ועתה כפול ד' המגיע בחלוק בח' יעלה ל"ב
Multiply it also by 4; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4=16}}$	עוד תכפלהו בד' יעלה י"ו
So, a root of 32 minus a root of 16 is the result of division. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{64}\div\left(\sqrt{8}+\sqrt{4}\right)=\sqrt{32}-\sqrt{16}}}$	והנה שרש ל"ב פחות שרש י"ו הוא המגיע בחלק
You can see that this teaching follows the technique of the previous teaching exactly.	הנך רואה בעיניך כי זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הקודם לו לא פחות ולא יתר
Only that instead of your saying in the previous teaching that the sought-after is a root of 32 plus a root of 16 summed together, in the present teaching you say that it is a root of 32 minus a root of 16.	רק תחת אמרך בלמוד הקודם לו שהמבוקש הוא שרש ל"ב ושרש י"ו מחברים בזה הלמוד אמרת ‫^[13]שהוא שרש ל"ב פחות שרש י"ו
21) If you wish to divide 8 by the root of 8 plus 2, or by the root minus 2. $\scriptstyle8\div\left(\sqrt{8}+2\right)\quad8\div\left(\sqrt{8}-2\right)$	כא ואם רצית לחלק מספר ח' על שרש ח' ומספר ב' יותר או על שרש פחות מספר ב‫'
Square 8; it is 64. $\scriptstyle{\color{blue}{8^2=64}}$	עשה ממספר ח' מרבע יהיה ס"ד
Square 2; it is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{2^2=4}}$	וממספר ב' מרבע יהיה ד‫'
Now, you return to the two teachings that precede this one. Deduce from this.	והנה אתה עתה שבת אל שני הלמודים הקודמים לזה והקש על זה
22) If you wish to divide the square root of 6 by the cube root of 10. $\scriptstyle\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}$	כב ואם רצית לחלק שרש מרבע ו' בשרש מעקב י‫'
Cube 6; it is 216. $\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216}}$	עשה מן ו' מעקב [יעלה]‫^[14] רי"ו
Square 10; it is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100}}$	ומן י' מרבע יהיה ק‫'
By this procedure you equalized [the degrees of] the roots and you made each of them a square root of a cube root.	ובזה המעשה השוית השרשים ועשית כל אחד מהם שרש מרבע מן שרש מעקב
Now, divide 216 by 100; the result is 2 and 4 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{100}=2+\frac{4}{25}}}$	ועתה חלק רי"ו על ק' ויגיע ב' וד' חלקי' מכ"ה
The square root of the cube root of 2 and 4 parts of 25 is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6}\div\sqrt[3]{10}=\sqrt{\sqrt[3]{2+\frac{4}{25}}}}}$	ושרש מרבע מן שרש מעקב ב' וד' חלקי' מכ"ה הוא המבוקש
23) If you wish to divide the cube root of 5 by the square root of 8. $\scriptstyle\sqrt[3]{5}\div\sqrt{\sqrt{8}}$	כג ואם רצית לחלק שרש מעקב ה' בשרש שרש מרבע ח‫'
Square 5 twice; it is 625. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5^2\right)^2=625}}$	עשה מן ה' מרבע מרובע ויהיה תרכ"ה
Cube 8; it is 51[2]. $\scriptstyle{\color{blue}{8^3=51{\color{red}{2}}}}$	גם תעשה מן ח' מעקב יהיה תקי"ג
By this you equalized [the degrees of] the roots.	והנה השוית השרשים
Divide 625 by 51[2]; the result is one and 113 parts of 51[2]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{625}{51{\color{red}{2}}}=1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}$	חלק תרכ"ה בתקי"ג ויגיע א' וקי"ג חלקים מתקי"ג
The square root of the square root of the cube root of 1 and 113 parts of 51[2] is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{5}\div\sqrt{\sqrt{8}}=\sqrt{\sqrt{\sqrt[3]{1+\frac{113}{51{\color{red}{2}}}}}}}}$	והנה שרש שרש מרבע מן שרש מעקב א' וקי"ג חלקים מתקי"ג הוא המבוקש
24) If you wish to subtract the root of 8 from the root of 18, for instance. $\scriptstyle\sqrt{18}-\sqrt{8}$	כד ואם רצית לגרוע שרש ח' משרש י"ח דרך משל
Multiply 8 by 18; the result is 144. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot18=144}}$	כפול ח' בי"ח יעלה קמ"ד
Exatract its root; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{144}=12}}$	הוצא שרשו והוא י"ב
Take its double; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot12=24}}$	קח שני דמיוניו ויהיו כ"ד
Sum up 8 and 18; it is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{8+18=26}}$	חבר ח' וי"ח יהיו כ"ו
Subtract 24 from 26; 2 remains and the root of 2 is what you want. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{18}-\sqrt{8}=\sqrt{26-24}=\sqrt{2}}}$	חסר כ"ד מכ"ו ישאר ב' ושורש ב' הוא מה שרצית
To show you the proof for this it I should teach you that:	ולהראותך מופת על זה צריך אני להשכילך
When a straight line is cut randomly into two segments, the sum of the squares on both segments equals twice the rectangle encompassed by both segments plus the square that is generated from the excess of the larger segment over the smaller segment. [ Euclid, Elements, Book II, proposition 7 ] $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a^2+b^2=2ab+\left(a-b\right)^2}}$	כי כאשר נחלק קו ישר ‫^[15]לשני חלקים איך שקרה הנה מרבעי שני החלקים שוים לכפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים ולמרבע ההוה ממותר החלק הגדול על הקטן
Geometric illustration
Let line AB be cut randomly at point G.	ויהיה קו ישר עליו על א"ב ויחולק איך שקרה על נקדת ג‫'
We also cut segment AZ from line AG, so that it equals the smaller segment GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=GB}}$	עוד נחלק מן קו א"ג חלק א"ז ממנו שוה לקו ~~א"ב~~ ג"ב שהוא החלק הקטן
Line ZG remains, which is the excess of the larger segment over the smaller segment. $\scriptstyle{\color{blue}{ZG=AG-AZ}}$	וישאר קו ז"ג הוא מותר החלק הגדול על הקטן
Supposition: I say that double the right-angled surface encompassed by lines AG and GB, summed with the square that is formed by ZG, equals the two squares that are formed by AG and GB, when they are summed together. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[2\sdot\left(AG\times GB\right)\right]+ZG^2=AG^2+GB^2}}$	הנה אומר כי כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב עם המרבע ההוה מן ז"ג מחברים יהיו שוים לשני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב כאשר יחברו
Proof: We construct square AGDH from line AG, and square GBKW from line GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AGDH=AG^2\quad GBKW=GB^2}}$	ונעשה מן קו א"ג מרבע אגד"ה ומן קו ג"ב מרבע גבח"ו
We draw line ZI from point Z, parallel to AD and GH. $\scriptstyle{\color{blue}{ZI\parallel AD,\;GH}}$	ומנקדת ז' נמשיך קו ז"י נכחי לשני קוי א"ד ג"ה
We extend line WK straight until it meets line ZI at point C.	ונמשיך קו ו"ח על יושר עד אשר יפגוש קו ז"י על נקדת כ‫'
Now, since GB is equal to line AZ, line ZB is equal to line AG, which is the larger segment, and line BW to line GB, which is the smaller segment. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=AZ\longrightarrow ZB=AG,\;BW=GB}}$	ועתה מפני כי ג"ב שוה לקו א"ז יהיה קו ז"ב שוה לקו א"ג שהוא החלק הגדול וקו ב"ו לקו ג"ב שהוא החלק הקטן
Therefore, surface BC is equal to the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB that are the two parts of the whole line. $\scriptstyle{\color{blue}{BC=\left[ZB\times BW\right]=\left(AG\times GB\right)}}$	אם כן שטח ב"כ שוה לשטח נצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב אשר הם שני חלקי הקו כלו
Since line AD is equal to line AG and line AZ is equal to line GB, surface ZD is also equal to the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB. $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AG,\;AZ=GB\longrightarrow ZD=\left[AD\times AZ\right]=\left(AG\times GB\right)}}$	וגם כן מפני כי קו א"ד שוה לקו א"ג וקו א"ז שוה לקו ג"ב יהיה שטח ז"ד גם כן שוה לשטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
So, the two surfaces CB and ZD are equal to double the right-angled surface encompassed by the two lines AG and GB. $\scriptstyle{\color{blue}{CB+ZD=2\sdot\left(AG\times GB\right)}}$	אם כן שני שטחי כ"ב וז"ד שוים לכפל השטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו שני קוי א"ג ג"ב
Surface CH remaining from [the subtraction of] the squares of the two segments is a square that equals the square formed by ZG, which is the excess of the larger segment over the smaller. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=2\sdot\left(AG\times GB\right)-\left(AG^2+GB^2\right)=ZG^2}}$	ושטח כ"ה הנשאר מן שני מרבעי שני החלקים הוא מרבע שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן
Because, line CK is equal to line ZG; and line HK, which is its other side is equal to line ZG. $\scriptstyle{\color{blue}{CK=ZG,\;HK=ZG}}$	מפני ‫^[16]כי קו כ"ח שוה לקו ז"ג וקו ה"ח שהוא צלעו השני שוה לקו ז"ג
Also, because it is the excess of line GH, which is equal to the larger segment, over line GK, which is equal to the smaller segment. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=GH-GK}}$	גם כן מפני כי הוא מותר קו ג"ה שהוא שוה לחלק הגדול על קו ג"ח שהוא שוה לחלק הקטן
Therefore, the two squares formed by AG and GB summed together are equal to the two surfaces BC and ZD, each of which equals the surface encompassed by lines AG and GB that are the two segments of the line, summed with CH that is equal to the square formed by ZG, which is the excess of the larger segment over the smaller segment.	הנה שני המרבעים ההוים מן א"ג וג"ב מחברים שוים לשני שטחי ב"כ וז"ד אשר כל אחד מהם שוה לשטח אשר יקיפו בו קוי א"ג ג"ב שהם שני חלקי הקו ולמרבע כ"ה שהוא שוה למרבע ההוה מן ז"ג שהוא מותר החלק הגדול על הקטן כאשר יחברו
$\scriptstyle{\color{blue}{AG^2+GB^2=BK+ZD+KH=\left(AG\times GB\right)+\left(AG\times GB\right)+ZG^2}}$
Q.E.D.	וזה מה שרצינו לבאר
We give a numerical example:	ונעשה דמיון במספר
Let line A[B] the side of a square whose area is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{AB^2=18}}$ .	ויהיה קו א"ג צלע מרבע שבריו י"ח
Its segment AG is the side of a square whose area is 8.	וחלק א"ג ממנו צלע מרבע שבריו ח‫'
Which is the square AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=AG^2=8}}$	והוא מרבע א"ה
When we multiply 8 by 18, the root of the product is equal to the area of the rectangle encompassed by the two segments. $\scriptstyle{\color{blue}{AB\times AG=\sqrt{8\times18}}}$	והנה כאשר כפלנו ח' בי"ח הנה שרש העולה שוה לשטח נצב הזויו' אשר יקיפו בו שני החלקים
When we take its double, we receive double the area of the rectangle encompassed by the two segments. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(AB\times AG\right)=2\sqrt{8\times18}}}$	וכאשר לקחנו שני דמיוניו עלה בידינו כפל השטח הנצב הזויות אשר יקיפו בו שני החלקים
When we subtract it from 26, which is [the sum of] the areas of the two square, we are left with the square of the excess of the greater [segment] over the smaller [segment].	וכאשר חסרנו מכ"ו שהוא שברי שני המרובעים נשאר בידינו מרבע מותר החלק הגדול על הקטן
$\scriptstyle{\color{blue}{AB^2+AG^2-2\sdot\left(AB\times AG\right)=26-2\sqrt{8\times18}=\left(AB-AG\right)^2}}$
Its root is the sought.	ושרשו הוא המבקש

Second Section: Algebra
Now, by his awful name among the nations	ועתה בשם שמו בגוים נורא
I begin to discuss the study of the algebraic calculation	אחל לדבר בלמודי חשבון האלזיברא
I will explain it to the best of my narrow intellectual ability	ואבארם ביד שכלי הקצרה
Before I begin, I offer a clarified introduction:	וטרם החלי אציע הצעה מבוארה
Introduction
I say that you must learn and know that the ratio of a square of a square to the cube is the same as the ratio of the cube to the square; and as the ratio of the square to the thing; and as the ratio of the thing to the unit $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x^2\right)^2:x^3=x^3:x^2=x^2:x=x:1}}$	ואומר ראוי שתשכיל ותדע כי יחס מרבע המרבע אל המעקב כיחס המעקב אל המרבע וכיחס המרבע אל הדבר וכיחס הדבר אל האחד
This is because the number of units in the thing is the same as the number of things in the square; and as the number of squares in the cube; and as the number of cubes in the square of the square	וזה מפני כי מספר האחדים אשר בדבר כמספר הדברים אשר במרבע וכמספר המרובעים אשר במעקב וכמספר המעקבים אשר במרבע המרבע
You should keep this introduction in mind, because you will need it for the proofs of the teachings below.	וזאת ההצעה שמרה כי תצטרך אליה במופתי הלמודים הבאים אחריה
Here I start:	‫^[17]וזה החלי
The six canonical equations
1) When things are equal to numbers [lit. units]. $\scriptstyle bx=c$	א כאשר הדברים שוים לאחדים
Divide the numbers by [the number of] the things; the quotient is the thing and this is obvious. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{c}{b}}}$	חלק האחדים לדברי' והמגיע בחלוק הוא הדבר זה מובן בעצמו
Question: I want to divide the number ten into two parts, so that when the one part is divided by the other part the quotient is five. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{b}{a}=5\end{cases}$	שאלה רציתי לחלק מספר עשרה לשני חלקים כאשר חלק החלק האחד בחבירו הגיע בחלוק ה‫'
Do it according to the following procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: the divisor by which it is divided is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור החלק אשר אליו יתחלק הוא דבר אחד
The dividend is necessarily five things, as a number resulting from the division [ $\scriptstyle{\color{blue}{5x}}$ ].	והחלק המתחלק הוא בהכרח חמשה דברים כמספר אשר ה' הגיע בחלוק
The sum of the two parts is six things and they are equal to ten. $\scriptstyle{\color{blue}{6x=10}}$	הנה שני החלקים מחברים הם ששה דברים והם שוים למספר עשרה
According to the method mentioned in this teaching:	וכפי הדרך הנזכ' בזה הלמוד
One should divide the number ten by 6; the quotient is 1 and 2-thirds and so is the thing. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{6}=1+\frac{2}{3}}}$	ראוי לחלק מספר עשרה לו' ויגיע בחלוק א' וב' שלישי' וככה הדבר
2) When squares are equal to numbers. $\scriptstyle ax^2=c$	ב כאשר המרבעים ^צינסי שוים לאחדים
Divide the numbers by [the number of] the squares; the root of the quotient is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\frac{c}{a}}}}$	חלק האחדים למרבעים ושרש המגיע בחלוק הוא הדבר
Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it, the square of the remainder is 20. $\scriptstyle\left(a-\frac{1}{3}a\right)^2=20$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישיתו מרבע הנשאר הוא מספר כ‫'
Do it according to the following procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: this number whose two-thirds are the root of twenty is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור זה המספר אשר שני שלישיו הם שרש כ' הוא דבר אחד
Multiply its 2-thirds by themselves; it is 4-ninths of the square of the whole number you wish to find. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-\frac{1}{3}x\right)^2=\left(\frac{2}{3}x\right)^2=\frac{4}{9}x^2=20}}$	כפול ב' שלישיו בעצמם יהיו ד' תשיעיות מרבע המספר כלו אשר רציתי למצא
According to the method mentioned in this teaching:	ולפי הדרך הנזכ' בזה הלמוד
One should divide the number 20 by 4-ninths; the quotient is 45 and so is the square of the whole number. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{20}{\frac{4}{9}}=45}}$	ראוי לחלק מספר כ' לד' תשיעיות והמגיע בחלוק הוא מ"ה וככה מרבע כל המספר
Its root is what you want. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\sqrt{45}}}$	ושרשו הוא מה שרצית
3) Squares that are equal to things $\scriptstyle ax^2=bx$	ג כאשר המרבעים שוים לדברים
Divide [the number of] the things by [the number of] the squares; the result of division is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{b}{a}}}$	חלק הדברים למרבעים והמגיע בחלוק הוא הדבר
This teaching follows the way of the first teaching, because the ratio of the square to the thing is as the ratio of the thing to one, as we said in the introduction. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2:x=x:1}}$	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון מפני כי יחס המרבע אל הדבר כיחס הדבר אל האחד כאשר אמרנו בהצעה
So, if one square equals 3 things, for instance, one square necessarily equals 3 units. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=3x\longrightarrow x=3}}$	ועל ‫^[18]כן אם מרבע אחד ישוה לג' דברים דרך משל דבר אחד ישוה לג' אחדים בהכרח
Question: I want to find a number such that when its third is subtracted from it the remainder is the root of the original number $\scriptstyle a-\frac{1}{3}a=\sqrt{a}$	שאלה רציתי למצא מספר כאשר חסר ממנו שלישית הנשאר הוא שרש המספר כלו
Follow this procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: 2-thirds of this number is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור ב' שלישי זה המספר הוא דבר אחד
The whole number then is one thing and a half, so one thing and a half equals one square. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)x}}$	אם כן המספר אחד כלו הוא דבר אחד וחצי הנה דבר אחד וחצי הוא שוה למרבע אחד
According to the mentioned way, 1 and a half should be divided by one; the result is 1 and a half and this is the thing that is two-thirds of the number [you] wish to find. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1+\frac{1}{2}}{1}=1+\frac{1}{2}}}$	וכפי הדרך הנזכ' ראוי לחלק א' וחצי לאחד יגיע א' וחצי וככה הדבר שהוא שני שלישי המספר אשר רציתי למצא
Therefore, the whole number is 2 and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(1+\frac{1}{2}\right)^2=2+\frac{1}{4}}}$	אם כן המספר כלו הוא ב' ורביע
4) Things and numbers that are equal to squares $\scriptstyle bx+c=ax^2$	ד כאשר הדברים והאחדים שוים למרובעים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=x^2}}$	חלק הדברים והאחדים למרבעים
Halve the result of division of the things.	והדברים המגיעי' בחלוק תחצה
Multiply the half by itself.	וכפול המחצית בעצמו
Add the result to the result of division of the numbers.	והעולה הוסיפהו על האחדים המגיעים בחלוק
Extract the root of the result.	והעולה קח שרשו
Add it to half [the number of] the things resulting from the division; the sum is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}}}$	והוסיפהו על מחצית הדברים המגיעים בחלוק והעולה הוא הדבר
Geometric illustration
To prove it to you, we describe a geometric illustration and present a numerical example:	ולהראותך זה לעין השכל נתאר תמונה ונביא דמיון במספר

Let line AB be ten measures. $\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=10}}$	ויהיה קו א"ב עשר מדות
Cut it randomly at point Z, so segment AZ is 8 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}$	וחלק איך שקרה על נקדת ז'‫^[19] ויהיה חלק א"ז ממנו ח' מדות
We construct square ABGD on AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABGD=AB^2}}$	ונעשה מן א"ב מרבע אבג"ד
We draw line ZC from point Z, parallel to AG and BD. $\scriptstyle{\color{blue}{ZC\parallel AG,\;BD}}$	ונעביר בו מנקודת ז' קו ז"ח נכחי לקו א"ג וב"ד
We receive surface AC that is eight things by the measures of line AZ. $\scriptstyle{\color{blue}{AC=8x}}$	הנה בידינו שטח א"ח שהוא שמונה דברים במספר מדות קו א"ז
Because, each measure of line AZ occupies one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ] in surface AC.	כי כל מדה ממדו' קו א"ז מחזקת בשטח א"ח דבר אחד
With surface ZD, whose area is 20 measures, both together are equal to square AD. $\scriptstyle{\color{blue}{ZD=20}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{AD=AC+ZD=AB^2=x^2=8x+20}}$	ושטח ז"ד אשר שבריו כ' מדות שניהם יחד שוים למרבע א"ד
We have line AZ, whose length is 8 measures, as the number of the things. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=8}}$	ועתה הנה לפנינו קו א"ז ארכו ח' מדות כמספר הדברים
We cut it in half at point T.	ונחלקהו ‫^[20]לחצאין על נקדת ט‫'
Add line ZB to it.	והוסף עליו קו ז"ב
It is already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 6 that the right-angled surface encompassed by the whole line with the addition and the addition, which is equal to surface ZD, whose area is 2 in our example, with the square formed by half the line, which is 16 in our example, both together are 36, equals the square of the line formed by half the line with the addition, which is line TB in our illustration. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}$	וכבר נתבאר בתמונה הששית מן המאמר השני לאקלידס כי השטח [הנצב הזויות]‫^[21] אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספ' אשר הוא שוה לשטח ז"ד אשר תשבורתו מספר ב' במשלנו עם המרבע ההוה מחצי הקו אשר הוא י"ו במשלנו שניהם יחד שהם ל"ו שוים למרבע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו ט"ב בתמונתנו
$\scriptstyle{\color{blue}{ZD+TZ^2=\left[\left(x-8\right)\sdot x\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=20+16=36=\left[x-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\right]^2=TB^2}}$
So, extract the root of 36, which is 6; you get the size of the line that consists of half the line and the addition, which is TB. $\scriptstyle{\color{blue}{TB=\sqrt{36}=6}}$	על כן אם תקח שרש ל"ו שהוא ו' יעלה בידך מדת הקו המורכב מחצי הקו והתוספת שהוא קו ט"ב
Add half [the number of] the things to it, which is 4, as the number of measures of line AT; the result is 10, as the size of the whole line AB that is the side of the square, which is the thing. $\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=TB+AT=6+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)=6+4=10}}$	הוסף עליו מחצית הדברים שהוא מספר ד' כמספר מדות קו א"ט יעלה י' כמדת כל קו א"ב צלע המרבע והוא הדבר
Question: we want to find a number such that when we add to it 28 the sum is twice its square $\scriptstyle a+28=2a^2$	שאלה רצינו למצא מספר כאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה שוה לשני דמיוני מרבעו
Follow this procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: the number is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור זה המספר הוא דבר אחד
When we add 28 to it, it is one thing plus 28 units equals two squares. $\scriptstyle{\color{blue}{x+28=2x^2}}$	וכאשר הוספנו עליו כ"ח יהיה דבר אחד וכ"ח אחדים והם שוים לשני מרבעים
According to the method mentioned in this teaching:	והנה כפי הדרך הנזכ' בזה הלמוד
Normalization: One thing plus 28 units should be divided by two, which is the number of the squares; the result of division is half a thing plus 14 units. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}x+\frac{28}{2}=\frac{1}{2}x+14=x^2}}$	ראוי לחלק דבר אחד וכ"ח אחדים לשנים מספר המרבעים ~~ויג~~ ויגיע בחלוק חצי דבר וי"ד אחדים
Take half [the number of] the things resulting from division; it is a quarter of a thing.	קח מחצית חצי דבר שהגיע בחלוק יהיה רביע דבר
Multiply it by itself; it is one part of 16.	כפלהו בעצמו יהיה חלק אחד מי"ו
Add it to the number of units resulting from division, which is 14; the result is 14 and one part of 16.	הוסיפהו על י"ד מספר האחדים המגיעי' בחלוק יעלה י"ד וחלק אחד מי"ו
Extract its root; it is 3 and 3-quarters.	קח שרשו והוא ג' וג' רביעי‫'
Add it to half [the number of] the things resulting from division, which is a quarter of a thing; the result is 4 and this is the thing.	הוסיפהו על מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק שהוא רביע דבר יעלה ד' וככה הדבר
$\scriptstyle{\color{blue}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}\right)^2+14}=\frac{1}{4}+\sqrt{\left(\frac{1}{4}\right)^2+14}=\frac{1}{4}+\sqrt{\frac{1}{16}+14}=\frac{1}{4}+\left(3+\frac{3}{4}\right)=4}}$
5) Squares and numbers that are equal to things $\scriptstyle ax^2+c=bx$	ה כאשר המרובעים והאחדים שוים לדברים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+\frac{c}{a}=\frac{b}{a}x}}$	חלק הדברי' והאחדי' למרבעי‫'
Halve the result of division of the things.	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה
Multiply the half by itself.	ותכפול המחצית בעצמו
Subtract the result of division of the numbers from the product.	והעולה תגרע ממנו המספר היוצא בחלוק האחדים
Extract the root of the remainder.	והנשאר קח שרשו
Add it to half [the number] resulting from the division of the things; the sum is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}}}$	והוסיפהו על מחצית היוצא בחלוק הדברים והעולה הוא הדבר
Geometric illustration
To show you a proof of it we describe a geometric illustration and present a numerical example:	ולהראותך מופת זה נתאר ‫^[22]תמונה ונביא דמיון במספר

Let the straight line AG be 8 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{AG=8}}$	ויהיה קו א"ג הישר ח' מדות
We cut into two equal segments at point Z, so line GZ is 4 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{GZ=\frac{1}{2}\sdot AG=4}}$	ונחלקהו לב' חלקי' שוים על נקדת ז' ויהיה אם כן קו ג"ז ד' מדות
We cut into two unequal segments at point B, so line GB is 2 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}$	עוד נחלקה לשני חלקים בלתי שוים על נקדת ב' ויהיה קו ג"ב ב' מדות
We construct square ABHW on line AB. $\scriptstyle{\color{blue}{ABHW=AB^2}}$	ונעשה מן קו א"ב מרבע אבה"ו‫'
We extend line CW to H, so that line CH is equal to line CG. $\scriptstyle{\color{blue}{CH=CG}}$	ונמשיך קו ח"ו עד ה' ויהיה קו ח"ה שוה לקו ח"ג
We also draw line GH.	גם נעביר קו ג"ה
According to this, the area of surface GW is 12 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{GW=12}}$	ולפי זה יהיה שברי שטח ג"ו י"ב מדות
We have square AW with surface GW, whose area is 12 measures, both together are equal to surface AH, whose area is eight things, because each measure of the measures of line AG occupies one thing in surface AH. $\scriptstyle{\color{blue}{AH=ABHW+GW=x^2+12=8x}}$	ועתה הנה לפנ^ינו מרובע א"ו ושטח ג"ו שבריו י"ב מדות שניהם יחד שוים לשטח א"ה שכ שבריו שמנה דברים כי כל מדה ממדות קו א"ג מחזקת בשטח א"ה דבר אחד
As already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 5: the square formed by AZ, which is four measures, and is as the square of half [the number of] the things that is known to be 16, is equal to surface BH, which is equal to the right-angled surface encompassed by the two unequal segments, whose area is known to be 12, plus the square formed by ZB that is the difference between the two parts. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(a\sdot b\right)+\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]-b\right]^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(a+b\right)\right]^2}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{AZ^2=BH+ZB^2=\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2=4^2=16}}$	והנה כפי מה שנתבאר בתמו' החמישית מן המאמר השני לאקלידס יהיה המרובע ההוה מן א"ז שהוא ארבע מדות כמספר מחצית הדברים ומרבעו אם כן ידוע שהוא י"ו שוה לשטח ב"ה שהוא שוה לשטח הנצב הזויו' אשר יקיפו בו שני החלקי' הבלתי שוים ושבריו ידועים שהם י"ב ולמרבע ההוה מן ז"ב אשר הוא מה שבין שני החלקי‫'
We subtract surface BH, which is 12, from the square formed by AZ, which is 16; the remaining square formed by ZB is known. $\scriptstyle{\color{blue}{ZB^2=AZ^2-BH=16-12=4}}$	והנה נחסר שטח ב"ה שהוא י"ב מן המרבע ההוה מן א"ז שהוא י"ו ישאר המרבע ההוה מן ז"ב ידוע
Extract its root and add it to line AZ, which is half [the number of] the things; line AB, which is the side of the square, is known. $\scriptstyle{\color{blue}{x=AB=ZB+AZ=\sqrt{4}+\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)}}$	קח שרשו והוסיפהו על קו א"ז שהוא מחצית הדברי' יהיה קו א"ב ידוע שהוא צלע המרבע
Q.E.D.	וזהו מה שרצינו
Question: a trader went trading with a certain amount in his hand and he earned six. Then he returned with the amount and the profit and earned again in the same ratio as he earned the first time, and it turned out that he had 27. You want to know: how much the original amount was?	שאלה סוחר אחד הלך לסחור ובידו קצבת מה והרויח ו' עוד חזר עם הקצבה והריו' והרויח כפי הערך שהרויח בפעם הראשונה ונמצא בידו כ"ז רציתי לדעת מספר הקצבה הראשונ^ה
Follow this procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: the first amount is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור הקצבה הו' הראשונה היא דבר אחד
From this thing he earned one thing plus 6 and from this value of one thing plus 6 he earned 27. $\scriptstyle\frac{x+6}{x}\sdot\left(x+6\right)=27$	ומזה הדבר הצליח ועשה דבר אחד וו' וכפי זה הערך מדבר אחד וו' עשה כ"ז
The ratio of one thing to one thing plus 6 is as the ratio of one thing plus 6 to 27 units. $\scriptstyle{\color{blue}{x:\left(x+6\right)=\left(x+6\right):27}}$	הנה יחס דבר אחד עם דבר אחד וו' ‫^[23]כיחס דבר אחד וו' עם כ"ז ~~אחד~~ אחדים
We have three proportional measures.	הנה לפנינו ג' שעורים מתיחסים
It is already explained in Euclid, Elements, Book VI, proposition 17 that the product of the first by the last is as the product of the mean by its similar. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_1:a_2=a_2:a_3\longrightarrow a_1\sdot a_3=\left(a_2\right)^2}}$	וכבר נתבאר מתמונת י"ז מן המאמר הששי לאקלידס כי הכאת הראשו' באחרון כמו הכאת האמצעי בדומה לו
Now, multiply one thing, which is the first, by 27 units, which is the last; the result is 27 things.	ועתה כפול דבר אחד שהוא הראשון בכ"ז אחדים שהוא האחרון יעלה כ"ז דברים
Multiply also one thing plus 6, which is the mean, by itself; the result is one square, 12 things, and 36 units. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36}}$	עוד תכפול דבר אחד וו' שהוא האמצעי בעצמו יעלה מרבע אחד וי"ב דברים ול"ו אחדים
Restoration: Now, subtract 12 things from these two equal measures. $\scriptstyle{\color{blue}{x\sdot27=\left(x+6\right)^2=x^2+12x+36 /-12x}}$	ועתה חסר הי"ב דברים משני אלה השיעורי' השוים
15 remains equal to one square and 36 units. $\scriptstyle{\color{blue}{15x=x^2+36}}$	ישארו ט"ו שוים למרבע אחד ול"ו אחדים
Normalization: According to the way we stated in this teaching, 15, which is the number of the things, and 36, which is the number of the units, should be divided by one, which is the number of the squares; the result is 15 things and 36 units. $\scriptstyle{\color{blue}{15x=\frac{15}{1}x=x^2+\frac{36}{1}=x^2+36}}$	וכפי הדרך אשר אמרנו בזה הלמוד ראוי לחלק ט"ו מספר הדברים ול"ו מספר האחדים לאחד שהוא מספר המרבע ויגיע ט"ו דברים ול"ו אחדים
Then, halve [the number of] the things; it is 7 and a half.	אחר תחכ^צה הדברים יהיה ז' וחצי
Multiply it by itself; the result is 56 and a quarter.	כפלם בעצמם יעלה נ"ו ורבי‫'
Subtract 36 units from it; 20 and a quarter remains.	תגרע מהם ל"ו אחדים ישאר כ' ורביע
Extract its root; it is 4 and a half.	קח שרשו והוא ד' וחצי
Add it to half [the number of] the things, which is 7 and a half; the result is 12 and this is the thing, which is the original amount.	הוסיפהו על מחצית הדברים שהוא ז' וחצי יעלה י"ב וככה הדבר שהוא הקצבה הראשונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot15\right)^2-36}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(7+\frac{1}{2}\right)^2-36}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{\left(56+\frac{1}{4}\right)-36}\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\sqrt{20+\frac{1}{4}}=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(4+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}$
6) Squares and things that are equal to numbers $\scriptstyle ax^2+bx=c$	ו כאשר המרבעים והדברי' שוים לאחדים
Normalization: Divide the things and the numbers by [the number of] the squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^2+\frac{b}{a}x=\frac{c}{a}}}$	תחלק הדברים והאחדים למרבעי‫'
Halve the result of division of the things.	והיוצא בחלוק הדברי' תחצה
Multiply the half by itself.	וכפלת את המחצית בעצמו
Add the result to the result of division of the numbers.	והעולה הוסיפהו על היוצא בחלוק האחדי‫'
The root of the sum minus half [the number of] the things resulting from the division is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)}}$	ושרש העולה פחות מחצית הדברי' המגיעי' בחלוק הוא הדבר
Geometric illustration
To show you a proof of it:	ולהראותך מופת זה

We describe square AGHD.	‫[נתאר]‫^[24] מרבע אגה"ד‫'
We add surface BGHW to it, whose area is known as equal to two things, for example. $\scriptstyle{\color{blue}{BGHW=2x}}$	ונחבר אליו שטח בגה"ו שבריו ידועים שוים למספר שני דברים דרך משל
Both together, i.e. the square plus the area, are equal to 48. $\scriptstyle{\color{blue}{AGHD+BGHW=48}}$	שניהם יחד ר"ל המרבע ^והשטח שוים למספר מ"ח
The size of side GB of surface GBHW is known and it is 2 measures, as the number of the things. $\scriptstyle{\color{blue}{GB=2}}$	וצלע ג"ב משטח גבה"ו שיעורו ידוע והוא ב' מדות כמספר הדברים
Now, to know [the size of] line AG, which is the side of the square [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ]:	ועתה לדעת קו א"ג צלע המרבע
We cut line BG in half at point Z [= Z midpoint of GB].	נחלק קו ב"ג לחצאין על נקדת ז‫'
So we have line GB is cut in half at point Z and line GA is added to it.	והנה לפנינו קו ג"ב נחלק לחצאין על נקדת ז' ונוסף עליו קו ג"א
It is already explained in Euclid, Elements, Book II, proposition 6 that the right-angled surface encompassed by the whole line with the addition and the addition, which is equal to surface AW, whose area is known as 48, plus the square of half the line, whose area is known, which is 1, both together are 49, equals the square of the line formed by half the line with the addition, which is line AZ. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left(a+b\right)\sdot b\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)^2=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot a\right)+b\right]^2}}$	וכבר נתבאר בתמונה הששית ‫^[25]מן המאמר השני לאקלידס כי השטח הנצב הזויות אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת אשר הוא שוה לשטח א"וֹ אשר שבריו ידועים שהם מ"ח ומרבע חצי הקו אשר תשבורתו ידוע שהוא א' שניהם יחד שהם מ"ט שוים למרבע הקו המורכב מחצי הקו והתוספת אשר הוא קו א"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{AZ^2=AW+GZ^2=\left[x+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)\right]^2=48+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2=48+1=49}}$
So, extract the root of 49, which is 7, and this is line AZ. $\scriptstyle{\color{blue}{AZ=\sqrt{49}=7}}$	על כן אם תקח שרש מ"ט שהוא ז' ככה יהיה קו א"ז
Subtract half the line from it, which is GZ that is one measure; the remaining line AG is known and it is 6 measures. $\scriptstyle{\color{blue}{x=AG=AZ-\frac{1}{2}\sdot GB=AZ-GZ=7-1=6}}$	חסר ממנו חצי הקו שהוא ג"ז אשר הוא מדה אחת נשאר קו א"ג ידוע והוא ו' מדות
Q.E.D.	וזהו מה שרצינו
Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree
7) When cubes are equal to numbers: $\scriptstyle ax^3=c$	ז כאשר המעקבים שוים‫^[26] לאחדי‫'
Divide the numbers by [the number of] the cubes and this is the number of the cube. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^3=\frac{c}{a}}}$	תחלק האחדים למעקבים וככה מספר אחדי המעקב
Its cube root is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt[3]{\frac{c}{a}}}}$	ושרשו המעקבי' הוא הדבר
This is self-evident.	זה מובן בעצמו
8) When cubes are equal to things: $\scriptstyle ax^3=bx$	ח כאשר המעקבי' שוים לדברים
Normalization: Divide [the number of] the things by [the number of] the cubes. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^3=\frac{b}{a}x}}$	תחלק הדברים למעקבי‫'
Extract the square root of the result and this is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\frac{b}{a}}}}$	והיוצא קח שרשו המרבעי' וככה הדבר
This teaching follows the way of the second teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני
Since the ratio of the cube to the thing is the same as the ratio of the square to the unit. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^3:x=x^2:1}}$	מפני כי יחס המעקב אל הדבר הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the introduction.	וזה יובן מן ההצעה
Therefore, if one cube equals 9 things, for example, one square necessarily equals 9 units. $\scriptstyle{\color{blue}{x^3=9x\longrightarrow x^2=9}}$	ועל כן אם היה מעקב אחד שוה לט' דברי' דרך משל יהיה בהכרח מרבע אחד שוה לט' אחדים גם כן
9) When squares of squares are equal to numbers: $\scriptstyle ax^4=c$	ט כאשר מרבעי המרבעי' שוים לאחדים
Normalization: Divide the numbers by [the number of] the squares of squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^4=\frac{c}{a}}}$	תחלק האחדי' למרבעי המרבעים
Extract the root of the root of the result and this is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\sqrt{\frac{c}{a}}}}}$	והיוצא קח שרש שרשו וככה הדבר
This is also self-evident.	גם זה מובן מעצמו
10) When squares of squares are equal to things: $\scriptstyle ax^4=bx$	י כאשר מרבעי המרבעים שוים לדברי‫'
Normalization: Divide [the number of] the things by [the number of] the squares of squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^4=\frac{b}{a}x}}$	תחלק הדברי' ‫^[27]למרבעי המרבעי‫'
Extract the cube root of the result and this is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt[3]{\frac{b}{a}}}}$	והיוצא קח שרשו המעקבי' וככה הדבר
This teaching follows the way of the seventh teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השביעי
Since the ratio of the square of the square to the thing is the same as the ratio of the cube to the unit. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x^2\right)^2:x=x^3:1}}$	מפני כי יחס מרבע המרבע אל הדבר כיחס המעקב אל האחד
This is clear from the introduction.	וזה יובן מן ההצעה
Therefore, if one square of a square equals 27 things, one cube necessarily equals 27 units. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=27x\longrightarrow x^3=27}}$	‫[ועל כן אם מרובע מרובע אחד ישוה לכ"ז דברי‫' מעוקב אחד ישוה לכ"ז אחדי' בהכרח]‫^[28]
11) When squares of squares are equal to squares: $\scriptstyle ax^4=bx^2$	יא כאשר מרבעי המרבעי' שוים למרבעי‫</ref>'
Normalization: Divide [the number of] the square by [the number of] the squares of squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^4=\frac{b}{a}x^2}}$	תחלק המרבעי' למרבעי המרבעים
The root of the result is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\frac{b}{a}}}}$	ושרש היוצא הוא הדבר
This teaching follows the way of the second teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד השני
Since the ratio of the square of the square to the square is the same as the ratio of the square to the unit. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x^2\right)^2:x^2=x^2:1}}$	מפני כי יחס‫^[29] מרבע המרבע אל המרבע הוא כיחס המרבע אל האחד
This is clear from the introduction.	וזה יובן מן ההצעה
Therefore, if a square of a square equals 9 squares, one square equals 9 units. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(x^2\right)^2=9x^2\longrightarrow x^2=9}}$	‫[ועל כן אם מרובע מרובע ישוה לט' מרובעי‫' מרובע א' ישוה לט' אחדי‫']‫^[30]
12) When squares of squares are equal to cubes: $\scriptstyle ax^4=bx^3$	יב כאשר מרבעי המרבעים שוים למעקבי‫'
Normalization: Divide [the number of] the cubes by [the number of] the squares of squares. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^4=\frac{b}{a}x^3}}$	תחלק המעקבי' למרובעי המרבעים
The result is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\frac{b}{a}}}$	והיוצא הוא הדבר
This teaching follows the way of the first teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הראשון
Since the ratio of the square of the square to the cube is the same as the ratio of the thing to the unit $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left(x^2\right)^2:x^3=x:1}}$	מפני כי יחס מרבע המרבע אל המעקב הוא כיחס הדבר אל האחד
As we have introduced in the introduction.	כאשר הקדמנו בהצעה
13) When cubes and squares are equal to things: $\scriptstyle ax^3+bx^2=cx$	יג כאשר המעקבי' והמרבעי' שוים לדברי‫'
Normalization: Divide [the number of] the squares and the things by [the number of] the cubes. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^3+\frac{b}{a}x^2=\frac{c}{a}x}}$	תחלק המרבעים והדברי' למעקבי‫'
Halve [the number of] the [squares] resulting from division.	והמעקבי' המגיעי' בחלוק תחצה
Multiply the half by itself and	וכפלת את המחצית בעצמו
Add it to [the number of] the things resulting from division.	והוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק
The root of the result minus half [the number of] the [squares] resulting from division is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}-\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)}}$	ושרש העולה פחות מחצית הדברים המגיעי' בחלוק הוא הדבר
This teaching follows the way of the sixth teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הששי
Since the ratio of the cube and the square each of them to the thing is the same as the ratio of the square and the thing each of them to the unit. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle x^3:x=x^2:1\\\scriptstyle x^2:x=x:1\end{cases}}}$	מפני כי יחס המעקב והמרבע כל אחד מהם אל הדבר כיחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל האחד
As clarified in the introduction.	כמבואר בהצעה
14) Cubes and things that are equal to squares $\scriptstyle ax^3+cx=bx^2$	יד כאשר המעקבי' והדברי' שוים למרבעי‫'
Normalization: Divide [the number of] the things and the squares by [the number of] the cubes. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x^3+\frac{c}{a}x=\frac{b}{a}x^2}}$	תחלק הדברי' והמרבעי' למעקבים
Halve [the number] resulting from the division of the squares.	והיוצא בחלוק המרבעים תחצה
Multiply the half by itself.	וכפלת את המחצית בעצמו
Subtract [the number of] the things resulting from division from the product.	והעולה תחסר ממנו הדברים המגיעי' בחלוק
Extract the root of the remainder and add it to half [the number of] the squares resulting from division and this is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2-\frac{c}{a}}}}$	והנשאר קח שרשו והוסיפהו על מחצית המרבעים המגיעי' בחלוק וככה הדבר
This teaching follows the way of the fifth teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד החמישי
Since the ratio of the cube and the thing each of them to the square is the same as the ratio of the square and the unit each of them to the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle x^3:x^2=x^2:x\\\scriptstyle x:x^2=1:x\end{cases}}}$	מפני כי יחס המעקב והדבר כל אחד מהם אל המרבע כיחס המרבע והאחד כל אחד מהם אל הדבר
This is clear from the introduction.	זה יובן מן ‫^[31]ההצעה
15) Squares and things that are equal to cubes $\scriptstyle bx^2+cx=ax^3$	‫[טו כאשר]‫^[32] המרבעים והדברי' שוים למעקבי‫'
Normalization: Divide [the number of] the squares and the things by [the number of] the cubes. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{b}{a}x^2+\frac{c}{a}x=x^3}}$	תחלק המרובעי' והדברי' למעקבי‫'
Halve [the number] resulting from the division of the squares.	והיוצא בחלוק המרבעי' תחצה
Multiply the half by itself and	וכפלת את המחצית בעצמו
Add the product to [the number of] the things resulting from division.	והעולה תוסיפהו על הדברי' המגיעי' בחלוק
Extract the root of the result and add it to half [the number of] the squares resulting from division and this is the thing. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{x=\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{b}{a}\right)^2+\frac{c}{a}}}}$	והעולה קח שרשו ותוסיפהו על מחצית המרבעי' המגיעי' בחלוק וככה הדבר
This teaching follows the way of the fourth teaching [above]:	זה הלמוד הולך בדרך הלמוד הרביעי
Since the ratio of the square and the thing each of them to the cube is the same as the ratio of the thing and the unit each of them to the square. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\begin{cases}\scriptstyle x^2:x^3=x:x^2\\\scriptstyle x:x^3=1:x^2\end{cases}}}$	מפני כי יחס המרבע והדבר כל אחד מהם אל המעקב כיחס הדבר והאחד כל אחד מהם אל המרבע

Epilogue
The end.	‫[תם]‫^[33]
This is the lesson of the algebraic calculations that I sought and found in the Christian books a little here, a little there.	זה הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' זעיר שם זעיר שם‫^{[note 2]}
I have made up much of these teachings from my heart.	ורבים מן הלמודי' האלה בדיתים אני מלבי
You should know, my brother, the precious thing, about R. Mordecai Yazyya, and the purpose of God shall prosper in his hand [Isaiah 53, 10], son of the honorable R. Abraham Finzi, may his memory live in the world to come, that the author of the book brought all these teachings without proofs in his book and no one among those who study it knows the method of the wise man, or from where did he derive them	וראוי שתדע אחי הדבק היקר כמ"ר מרדכי יזיי' וחפץ ה' ביי"א‫^{[note 3]} בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה כי מחבר הספר כל הלמודי' האלה בלי ראיות בספרו הביאם ואין אחד מני אלף‫^{[note 4]} מן המעינים בו יודע דרך החכם ומאין הוציאם
I, your brother, when I saw you and the most precious of my fellows and friends, R. Yehudah, son of the honorable R. Joseph, may God save him, son of the honorable R. Avigdor, may his memory live in the world to come, eager to know it. And the knower ‒ when we call him “a knower” ‒ should know [the object of knowledge] through the methods of demonstrative reasoning. In order to fulfill your wish I needed to study the proofs and write them for you.	ואני אחיך בראותי אותך ואת היקר מידעי ורעי ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה נכספי' לדעתו והיודע בקראנו אליו יודע צריך שיהיה יודע הדבר ~~בהקש~~ בדרכי ההקש המופתי למלאת רצונכם הוצרכתי להתבונן במופתי' ולכותבם אליכם
I abbreviate them for two reasons:	אמנם קצרתי בהם לשתי סבות
One is due to my reliance on your good spirit, the spirit of God hovering over the face of [Genesis 1, 2] all wisdom.	האחת להשעני ברוחכם הטובה רוח אלהי' מרחפת על פני‫^{[note 5]} כל חכמה
The second reason is the trouble of my heart and body in all these events that have happened [Bavli, Rosh ha-Shanah, 16, 1] and in the many calculations of worldly affairs.	הסבה השנית לרוב טרדת לבי ובשרי בהרפתקי דעדו עלי ‫^{[note 6]} ובחשבונות רבים בעסקי העולם
In any case, if something is hidden from one of you, because of my brevity and the exhaustion of my spirit due to the lengthening of the proofs, I am willing to add an explanation.	מכל מקום אם דבר מה יעלם לאחד מכם לקצורי וליאות רוחי בהאריך במופתים אמרתי הנני הנני מוכן להוסיף בו באור
No lengthiness should be done only in pleading with God, May God fulfill all your wishes [Psalms 20, 6], Let your springs be dispersed [Proverbs 5, 16], the wells of salvation [Isaiah 12, 3], Amen.	ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא כל משאלותיך‫^{[note 7]} יפוצו מעינותיך‫^{[note 8]} מעיני הישועה‫^{[note 9]} ‫^[34]אמן
As you wish and as your brother who bows to your bidding [Samuel 1 22,14] wishes.	כרצונך וכרצון אחיך הדבק הסר אל משמעתך‫^{[note 10]}
Simon, son of the honorable R. Moses, may God save him, son of the honorable R. Simon Moṭoṭ, may his memory live in the world to come.	שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה
Over and done.	‫[תם ונשלם]‫^[35]

Additional excerpt
Additional word problem (appears in a few of the manuscripts containing the work): Question: a man exchanged 23 peraḥim – some for liṭra of Rome and some for liṭra of Marciana. One peraḥ is worth of liṭra of Marciana twice as much as of liṭra of Rome minus a quarter of a liṭra. It turned out that he had 30 liṭra of Rome and 30 liṭra of Marciana. How many peraḥim did he exchange for liṭra of Rome; how many peraḥim did he exchange for liṭra of Marciana; how many liṭra of Rome and how many liṭra of Marciana is one peraḥ worth?	שאלה אדם אחד החליף כ"ג פרחי' קצתם בליטרי' רומנייולי וקצתם בליט' מרקיאני והפרח שוה מהליט' מרקיאני הכפל ממה ששוה מהליט' רומניולי פחות רביע ליט' ונמצא בידו ל' ליט' רומניולי ול' ליט' מרקיאני רציתי לדעת כמה פרחי' החליף בליט' רומניולי וכמה [פרחי' החליף]‫^[36] בליט' מרקיאני וכמה שוה הפרח מהליט' רומניולי וכמה מהליט' מרקיאני
Follow this procedure:	עשה על הדרך הזאת
Say: the amount of peraḥim exchanged for liṭra of Rome is one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{x}}$ ].	אמור סכום הפרחי' אשר נחלפו בליט' רומניולי הוא דבר אחד
Each of them is exchanged for an unknown number of liṭra.	כל אחד מהם נחלף במספר ליט' נעלם
They are 30 liṭra. $\scriptstyle x\sdot y=30$	והיו ל' ליט‫'
The remaining amount exchanged for liṭra of Marciana is 23 minus one thing [ $\scriptstyle{\color{blue}{23-x}}$ ].	נשאר הסכום אשר נחלף בליט' מרקיאני הוא כ"ג פחות דבר אחד
Each is exchanged for twice the unknown number minus one quarter.	נחלפו בשני דמיוני המספר הנעלם הנזכ' פחות רביע אחד
They are also 30 liṭra. $\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)=30$	והיו גם כן [ל']‫^[37] ליט‫'
Do as follows: multiply 23 minus one thing by twice the unknown number minus one quarter.	וכן תעשה תכפול כ"ג פחות דבר אחד בב' דמיוני המספר הנעלם פחות רביע אחד
You already know that the result of multiplication of one thing by one unknown number is 30 units.	וכבר ידעת כי מכפל דבר אחד במספר נעלם אחד יעלה ל' אחדים
Also if you double 23 the result is 46 times the unknown number and one quarter of a thing minus 65 units and 3-quarters of a unit.	ואם‫^[38] [כפלת מספר כ"ג]‫^[39] יעלה מ"ו דמיוני המספר הנעלם ורביע דבר פחות ס"ה אחדים וג' רביעי אחד
According to the problem, this result equals 30 units.	וכפי השאלה זה העולה הוא שוה לל' אחדים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(23-x\right)\sdot\left(2y-\frac{1}{4}\right)&\scriptstyle=\left(23\sdot2y\right)+\left(x\sdot\frac{1}{4}\right)-\left(x\sdot2y\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)=46y+\frac{1}{4}x-\left(2\sdot30\right)-\left(23\sdot\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=46y+\frac{1}{4}x-\left(65+\frac{3}{4}\right)=30\\\end{align}}}$
Restoration and Reduction: now, restore each of these parts, equate them, and say: 46 unknown numbers and a quarter of a thing without subtraction are equal to 95 units and 3-quarters of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{46y+\frac{1}{4}x=95+\frac{3}{4}}}$	ועתה תשלים כל אחד מהחלקים ותשוה אותם ותאמ' מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר שלימי' בלי חסרון שוים לצ"ה אחדי' וג' רביעי אחד
Now, multiply 46 unknown numbers and a quarter of a thing by a thing; the result is 1380 units and a quarter of a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(46\sdot\frac{30}{x}\right)+\frac{1}{4}x\right]\sdot x=1380+\frac{1}{4}x^2}}$	ועתה תכפול מ"ו מספרי' נעלמי' ורביע דבר בדבר יעלה אלף וש"פ אחדים ורביע מרבע
Multiply 95 units and 3-quarters of a unit by a thing; the result is 95 things and 3-quarters of a thing. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(95+\frac{3}{4}\right)x=95x+\frac{3}{4}x}}$	וגם כן תכפל צ"ה אחדי' וג' רביעי אחד בדבר יעלה צ"ה דברי' וג' רביעי דבר
You already know, when the units and squares equal things, how to find the number of the thing and from the knowledge of the thing you know everything. $\scriptstyle c+ax^2=bx$	וכבר ידעת כאשר היו האחדים והמרובעים שוים לדברי' איך תדע מספר הדבר ומידיעת הדבר תדע הכל

Notes

↑ משלי ד, יא
↑ ישעיהו כח, י
↑ ישעיהו נג, י
↑ איוב לג, כג
↑ בראשית א, ב
↑ ראש השנה טז, א
↑ תהילים כ, ו
↑ משלי ה, טז
↑ ישעיה יב, ג
↑ שמואל א כב, יד

Apparatus

↑ 122v
↑ Mantova: ב'
↑ 123r
↑ Mantova om.
↑ 123v
↑ 124r
↑ 124v
↑ 125r
↑ 125v
↑ 126r
↑ 126v
↑ 127r
↑ 127v
↑ marg.
↑ 128r
↑ 128v
↑ 129r
↑ 129v
↑ Mantova ד'
↑ 130r
↑ marg.
↑ 130v
↑ 131r
↑ Mantova נבאר
↑ 131v
↑ Mantova שים
↑ 132r
↑ Mantova om.
↑ Mantova יחד
↑ Mantova om.
↑ 132v
↑ Mantova om.
↑ Mantove om.
↑ 133r
↑ Mantova om.
↑ Mantova om.
↑ Mantova om.
↑ Mantova ואם כן
↑ Mantova om.

Appendix I: Glossary of Terms

Arithmetic Operations

addition, additional segment	תוספת
to add	לחבר (ב), תחבר, נחבר, נחבר אליו, חבר אליו, חבר, חברנו אל, חברנו
to add	להוסיפו על, הוסיפהו על (ה), הוסף עליו, הוספנו עליו
to be added to	נוסף עליו
sum, result of addition	העולה מחבור
to be summed	חוברו, יחברו
summed	מחוברים, מחברים
additive	יתרון, יותר
additive	תוספת
division
to divide	לחלק, חלק (ה), חלק אליו, תחלק (אליו / ה‫)
to be divided	חולק
dividend	המתחלק, המספר המתחלק
divisor	מספר אשר אליו יתחלק, החלק אשר אליו יתחלק
quotient, result of division	המספר העולה בחלוק, מספר אשר הגיע בחלוק
quotient, result of division	יגיע, יגיע בחלוק, המגיע בחלוק, הגיע בחלוק, המגיעים בחלוק, שהגיע בחלוק, היוצא בחלוק (ה), המספר היוצא בחלוק, היוצא
greatest common divisor	המספר היותר גדול שימנה
doubling
to double	כפלת
to double, to take twice	קח שני דמיוני, קח שני דמיוניו, לקחנו שני דמיוניו
twice	שני דמיוני, ב' דמיוני ה
twice	פעמי‫'
twice as much as	הכפל מ
to extract a root	קח שרשו, תקח שרש, הוצא שרשו
to extract a square root	קח שרשו המרבעי‫'
to extract a cube root	קח שרש מעקב, קח שרשו המעקבים
to extract a root of a root, to extract a root of fourth degree	קח שרש שרשו
root	שרש (ה), שרש מספר, שרש המספר
square root	שרש מרבע, שרש מרובע
cube root	שרש מעוקב, שרש המעוקב, שרש מעקב, שרשו המעקבי‫'
	שרש שרש מרבע
	שרש שרש מעקב
√√³√x	שרש שרש מרבע מן שרש מעקב
√³√x	שרש מרבע מן שרש מעוקב, שרש מרבע מן שרש מעקב
having a root	מספרי' בעלי שרש, בעלי שרש
not having a root	אין לו שרש
halving
to halve	תחצה (ה), קח מחצית
half of	מחצית ה, חצי ה
multiplication	הכאת (ה), כפל, כפל... בעצמו
to multiply	לכפלו ב, לכפלם, לכפול, לכפול המספרים, כפלנו, כפול, תכפול, תכפל, כפול ב, נכפול, כפלהו, תכפלהו
duplicate	שנוי
multiplied	כפול
product, result of multiplication	מספר העולה מכפל, העולה מכפל
product, result of multiplication	העולה, יעלה
	בכפול אותו בעצמו, כפול... בעצמם/בעצמו, כפלהו בעצמו, כפלם בעצמם, כפלת את ה... בעצמו, כפלת ה... בעצמו
times	דמיוני (ה‫)
subtraction
to subtract	לגרוע, תגרע (ממנו ה / מהם‫)
to subtract	חסר ממנו, חסרה מ, חסרם מ, תחסרנו מ, נחסר, נחסר מ, נחסרם מ, חסרנו מ, תחסר מ
to subtract	נפחות מ, לפחות
to be subtracted	חסר ממנו
subtractive	חסרון
subtractive	פחות
minus	פחות
plus	יותר
to square	עשה מן המספר מרבע
a²	מרבע המספר, מרבע
a⁴	מרבע מרבע
to cube	עשה מן המספר מעוקב, עשה מעקב
triplicate	משלש

Arithmetic Terms

part	חלק, חלקים
parts of, fractions	חלקים מ, חלקי, חלק אחד מ
number	מספר
number of	מספר, מספר ה
value	מספר ה, מספרו
one	האחד
units	אחדים
units of the number	אחדי המספר
number of units in	מספר האחדים אשר ב, מספר אחדי ה
ratio	יחס, יחס ה... אל
proportional measures	שעורים מתיחסים

Calculation Terms

calculation	חשבונם, חשבוננו, החשבון, חשבונות
to calculate	לחשוב
measure, quantity, value	שעור, שעורים, שעורו
the sought	הוא מה שרצית, אשר רציתי למצא, המספר אשר רצית למצא
the sought	הוא המבוקש, המבוקש, מספר המבוקש, המבקש, הוא המבקש
excess	מותר
to result	יהיה, יהיו, ויהיו
to result	יעלה, עלה בידנו, יעלה בידך, עלה, יהיה העולה
result	העולה
procedure	המעשה
to use, to make	יעשוהו
to do, to operate, to proceed	עשוהו, תעשה, אעשה
to transform	לעשות מן, תעשה מן, עשית, עשה (מ / מן‫)
to remain	ישאר, ישארו, נשאר
remainder	הנשאר, הנשאר מן
to be left with	ישאר בידך, נשאר בידנו
to have in one's hand	בידך, הנה בידינו
to equalize	השוית ה, תשוה אותם
equal to	שוה ל, שוים ל, השוים, ישוה ל, יהיה שוה ל
to keep	שמרם, שמרת, שמרהו, שמרה
reserved	השמור
to give a numerical example	נביא דמיון במספר, נעשה דמיון במספר

Algebraic Terms

algebra	חשבון האלזיברא
algebraic calculations	חשבונות ספר האלזיברא
number, constant	נוּמְרִי, מספר
thing, root	דבר, דברים, קוֹסָא
square	צֵינְסו, מרובע, מרבע
square square x⁴	צֵינְסו דיצֵינְסו, מרובע המרובע, מרבע המרבע, מרובע מרובע, מרבעי המרבעים
cube x³	מספר המעוקב, מעוקב, המעקבים, קוּבוּ
cube cube, x⁶	מעוקב המעוקב, קוּבוּ דֵיקוּבוּ
unknown number	המספר הנעלם, מספר נעלם, מספר ... נעלם, מספרי' נעלמי‫'
unknown	דבר נעלם
fixed number	מספר קצוב
terms of the equation	החלקים
part of an equation, algebraic expression	חלק אחד מן השאלה
to restore	תשלים

Geometric Terms

figure, geometric illustration	תמונת, תמונה, תמונתנו
multiplication diagram	תמונת הכפל
segment	חלק, החלקים, חלקי', החלק
segment of a line	חלקי קו אחד, חלקי הקו
segment… of it	חלק... ממנו
point	נקודה, נקודת
at point	על נקודת
line	קו, קוים
the whole line	הקו כלו
straight line	קו ישר
straight (line)	ישר
side	צלעו, צלע, צלע מרבע, צלע המרבע
length	ארכו
measure	מדה, מדת ה, מדות
surface	שטח, שטחים
gnomon	רושם התמונה
area	שברי, שבריו, מספרי שבריו, מספר שברי, שברי שטח, מספר שברי שטח, שברי הרושם, מספר שברי הרושם, תשבורתו
square	מרובע, מרבע, מרבעים, מרובע הקו
square on the whole line	מרבע הקו כלו
quadrilateral surface, rectangle	שטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזויות, השטח הנצב הזוית, שטח נצב הזויות
encompassed by the two segments	אשר יקיפו בו שני החלקים
	אשר יקיף בו הקו כלו עם התוספת והתוספת
encompassed by the (two) lines	אשר יקיפו בו שני קוי, אשר יקיפו בו קוי
the difference between the two segments	מה שבין שני החלקי‫'‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
straight	על יושר
parallel to	נכוחי ל, נכחי ל, נכחי לקו
to draw	נעביר מ
to draw a line	נעביר קו
to draw a line from point	נעביר בו מנקודת ... קו
to intersect	יחתכו
to divide (surface)	יחלקוהו ל
to cut from line	נחלק מן קו
to construct a square from a line	נעשה מן קו... מרבע, נעשה מן ... מרבע
to extend a line	נמשיך קו
to meet a line	עד אשר יפגיש קו
line is cut into	נחלק קו ישר ל
to cut randomly at point	חלק איך שקרה על נקודת
to be cut randomly at point	יחולק איך שקרה על נקודה
to halve it at point	נחלקהו לחצאין על נקודת, נחלקהו לב' חלקי' שוים על נקודת, נחלק קו ... לחצאין על נקודת
to be halved at point	נחלק לחצאין על נקדת
to cut into two unequal segments at point	נחלקה לשני חלקי' בלתי שוים על נקודת
unequal segments	החלקים הבלתי שוים
to draw	צירתי

Logical Terms

to say, to state	אומר (כי), אומ', אמור, נאמר, אמרנו (ב), נאמר כי, תאמר כי, אמרת ש, ותאמ', יאמ' כי, אמרתי
to say, to tell	ואמ' לי
saying	אמרך
	אשר אמרת ל
to explain, to demonstrate	אבארם, אבאר
to be explained, to be clarified	נתבאר (ב / מ ... כי‫)
as clarified	כמבואר ב
clear, clarified	מבוארה
Q.E.D; this is what we wanted to explain	וזה מה שרצינו לבאר, וזה מה שרצינו
	להוסיף באור, להוסיף בו באור
to know (that)	לדעתם, לדעת, לדעתו, תדע (כי / ש‫)
knowing	מידיעת ה
	לא ידענוהו
	וכבר ידעת כי, וכבר ידעת
	יודע, יהיה יודע ה
the Knower	היודע
it is known that	ידוע (כי / ש‫)
to understand	תבין ממנו
to be clear from	יובן (מ / מן‫)
clear, understandable	מובן ל
	מובן מאשר לפניו
clear by itself, understandable by itself	זה מובן בעצמו, זה מובן מעצמו
one who understands	מבין
to give an example	אמשול
example	משל, המשל, דרך משל, משלנו
to learn, to become wise	תשכיל
to teach	להשכילך כי
to deduce, to conclude	הקש על זה
by analogy	בדרכי ההיקש
way, method, technique	דרך (ה), דרכי
to operate according to this way	עשה על הדרך הזאת, נעשה על הדרך הזאת
according to the known way	על הדרך הנודע‬‬‬‬
	על דרך האמור למעלה, כאשר אמרנו למעלה, כאשר אמרנו, על דרך
according to the abovementioned method	כפי הדרך הנזכר, ולפי הדרך הנז', וכפי הדרך אשר אמרנו
teaching	למוד, הלמודים, זה הלמוד, למודי, בזה הלמוד
studying	ללימודי
proof, argument	מופת, מופת זה, מופתי (ה), במופתים
to demonstrate, to show	להראותך זה, להראותך מופת זה, הורתיך המופת, ולהראותך מופת על זה
demonstrative	המופתי
manner, way	באופן אשר
speech, discussion	דבורי
to discuss, to speak	לדבר ב, אדבר ב
reason	הדבר
reason	סבה, סבות
meaning, sense	עניני‫'
conception, perception	ציורך
evidence, proof	ראיות
principles	שרשיה
question	שאלה
to ask	שאלתי ל
rule	כלל

Philosophical Terms

wisdom	חכמה
path of wisdom	בדרך חכמה
wise	החכם

Economic Terms

trader	סוחר
to trade	לסחור
to have, at his disposal	בידו, נמצא בידו
amount	הסכום, סכום ה
amount	קצבה, קצבת
to earn	הרויח
ratio	הערך (מ‫)
a man	אדם אחד
to exchange	החליף (ב‫)
peraḥim	פרח, פרחי‫'
liṭra	ליטרי', ליט‫'
of Rome	רומנייולי, רומניולי
of Marciana	מרקיאני
to be worth of	שוה מ, שוה ה... מה‫...
to be exchanged	נחלפו ב, נחלף ב

Literary Terms

chapter	מאמר, מאמ‫'
book	ספרי ה, ספרו
author	מחבר הספר
introduction	הקדמתי
translation	בהעתקתו

Linguistic terms

grammarians	חכמי דקדוק
language	לשונם, לשוננו, בלשון
word	תיבה, תיבות

General Terminology

	.א.ר.כ •
to elaborate, treat at length, lengthen	להאריך (ב), בהאריך ב, להאריך
	.ב.ו.א •
to bring, to present	הביאם
	.ב.ק.ש •
to seek	בקשתי
	.ה.י.ה •
let there be	ויהיה, יהיה
generated from	ההוה מ, ההוה מן, ההוים מ, ההוים מן
	.ה.ל.כ •
to go	הלך ל
following, in accordance with	הולך ב
	.ז.כ.ר •
to note, to mention	זכרנו
	לפי הדרך אשר זכרנו, על הדרך הזאת, כפי הדרך הנז‫'‬‬
	.ח.ד.ש •
to invent	לחדש
	.ח.ז.ק •
to occupy, tohold	מחזקת ב
	.ח.ל.ל •
to start, to begin	אחל, החילי, החלי
	.י.כ.ל •
to be able	נוכל
	.י.צ.א •
to draw	אוציא מ
to derive, to draw	הוציאם‬‬‬‬‬‬‬
	.י.צ.ע •
to propose, to offer	אציע
introduction	הצעה
	.י.ר.ה •
to signify, to mean	להורות
meaning	הוראת, ההוראה
to indicate	מורה, תורה
	.ל.ק.ח •
to take	קח, לקחנו, יקחו
	.מ.צ.א •
to find	למצא, מצאנו ב, מצאתי
	.צ.ר.כ •
to need	צריכי', צריך אתה ל, צריך אני ל, צריך ש
to have to	הוצרכתי ל
to need it	תצטרך אליה ב
no need	אין צורך
	.ק.ד.מ •
to precede	להקדימם, אקדים, הקדמנו (ב‫)
	.ק.ר.א •
to name, to denote	יקראוהו, אקראנו, בשם אקראנו, קראתיהו, נקראם, נקראהו
	.ר.א.ה •
to see	רואה (כי), בראותי אותך
	.ר.צ.ה •
meaning	רצונם
to wish	רציתי (ל), רצית ל, רצינו ל, רוצה
as one wishes	כרצונך, כרצון
	.ש.ו.ב •
to return	שבת אל
to convert, to transform	נשיב
	.ש.ל.מ •
to finish	תשלים, נשלים
to complete	להשלים
complete	שלימי‫'
whole	שלם
	.ת.ח.ל •
to start, to begin	אתחיל, נתחיל

should	ראוי ש, ראוי ל
Christians	הנוצרי‫'
usage, custom	כמנהגם
place	מקומות
as much as one can	כפי אשר תשיג ידי
to bring closer	לקרבו אל
it is, the result is	הרי
to describe	נתאר, אתאר לך, אתאר
drawn	נמשכים
subsequent, following	הנמשכי' אחריו
to give	אתן לך
intellectual vision	לעין השכל
by the measure that	במדה שבה
guidance	בהדריכי
to observe, to look	להתבונן, תתבונן
exactly, no more and no less	לא פחות ולא יותר
to return	חזר
to succeed, to make profit	הצליח
its similar	דומה לו
to be finished, to end	תם
lesson	שעור
a little here, a little there	זעיר שם זעיר שם
to devise	בדיתים
of one's own heart	מלבי
to cleave	הדבק
to longed for	נכספים ל
precious	היקר
reader	מעיינים בו
companion, corresponding	חברו
brother	אחי, אחיך
friend	מיודעי
friend	רעי
to call upon	בקראנו אליו
to write	לכתבם אליכם
to abbreviate	קצרתי בהם
brevity	קצורי
relying on	להשעני ב
in any case	מכל מקום
unknown, hidden	יעלם
prepared, ready	מוכן ל
should not	אין ל

Euclid	איקלידיש, איקלידס
Elements II.4	תמונה הרביעית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements II.6	תמונה הששית מן המאמר השני לאיקלידש
Elements VI.17	תמונת יז מן המאמר הששי לאיקלידש
Elements II.5	תמונה החמישית מן המאמר השני לאיקלידש

Mordecai Yaḥya the son of Abraham Finzi	כמ"ר מרדכי יזייא בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה
R. Yehudah b. R. Yoseph b. Avigdor	ר' יהודה בכמ"ר יוסף יצו"א בכמ"ר אביגדור זלה"ה
Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ	שמעון בכמה"ר משה יצ"ו בכמה"ר שמעון מטוט זלה"ה

helplessness of the mind	ביד שכלי הקצרה
paths of uprightness	במעגלי יושר
one out of a thousand	אחד מני אלף
to fulfill desires	למלאת רצוניכם
good spirit	רוחכם הטובה
worldly affairs	עסקי העולם
trouble of the heart and body	טרדת לבי ובשרי
the adventures that came upon me	בהרפתקי דעדו עלי
spiritual exhaustion	לאות רוחי
	שם תהלתו תפארת
praising God	התהלה לאל, תהלתו
	ופתח מאיר כל מאמר ומעשה
	יתב' ויתע' שמו עלוי רב
by his awful name among the nations	בשם שמו בגוים נורא
spirit of God hovered over the face of	רוח אלקים מרחפת על פני
God's purpose shall prosper in his hand	וחפץ ה' בייא‫‬‬‬‬‬‬
entreat the Lord	בהעתיר אל ה‫'
may the Lord fulfill all your requests	ימלא כל משאלותיך
Let thy springs be dispersed	יפוצו מעיינותיך
the fountains of salvation	מעייני הישועה
giveth heed unto thy bidding	הסר אל משמעתך
over and done	תם ונשלם
Amen	אמן

Titles - Acronyms

our honorable teacher Rabbi	כמ"ר
the son of our honorable teacher Rabbi	בכמ"ר, בכמה"ר
may his memory live in the world to come	זלה"ה
rabbi	ר‫'
may God preserve him, and keep him alive	יצ"ו

Demonstratives

it	אותו
these	אלו (ה), אלה (ה), האלה
	זה הוא
this	הזאת, זה (ה), זאת (ה‫)
	וזה, זה
by this, from this	מזה (ה), בזה
in this, for this	בזה ה
thereby, in this regard, relating to this	בזה
by each other	זה בזה
	מאלו (ה‫)

Pronouns

a certain, whichever	איזה, איזה... שיהיה
I am	אני, הנני
you	אתה, הנך, אותך
which is	שהוא, אשר הוא
it is, which is (result)	והוא (ה), הוא ה, היא
which are	שהם
something	דבר מה
certain	מה
what	מה ש
by itself	בעצמו

Adjectives

one of	אחד מ, אחד מכם
each of	כל אחד מהם, אחד מהם, כל אחד מ
other	אחר, אחרים
last	אחרון
middle	האמצעי
aforementioned	האמור
following, consequent	הבאי' אחריה
larger	הגדול
known	ידוע, ידועים, נודע
unknown	בלתי ידוע
whole	כלו, כל (ה‫)
all	כל ה
every	כל
everything, all	הכל
mentioned	הנזכר, הנז', הנזכ‫'
previous	הקודמי‫', הקודמת, הקודם‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬‬
prior to	הקודמים לזה
smaller	הקטן
some	קצתם
first, firstly	ראשונה, ראשנה
first	ראשון, ראשונה
much	רב
many	רבים
many of	רבים מן ה
composed of	המורכב מ, המרכב מ
other, rest of	שאר ה
equal	שוים
unequal	בלתי שוים

Adverbs

then, afterwards	אח"כ, אחר
after	אחרי
how	איך
randomly	איך שקרה
there is no	אין
indeed	אמנם
without	בלי
before	טרם
together	יחד, שניהם יחד
above	למעלה, למעלה מ
already	כבר
is so, indeed	כי כן הוא
in all	בכל
how many	כמה, כמה מה‫...
as, the same as	כמו
so is	וככה ה
also	וכן
and so, thus	וכן
according to this, accordingly	לפי זה
therefore	לפי כן
from where	מאין
also	גם, גם כן
always	לעולם
therefore	על כן, ע"כ
now	עתה
also, further, likewise	עוד
hither	והנה, הנה, הנה כי
here	הנה לפנינו, לפנינו
necessarily	בהכרח
on the first time	בפעם הראשונה
namely, i.e.	ר"ל
but	רק
first, at the beginning	בתחלה
instead	תחת

Conjunction

or	או
then, if so	א"כ, אם כן
what, that, which	אשר, ש
because (of), since	מפני כי, כי, ל
because, since	בעבור כי
if	ואם, אם
when	כאשר
that	כי
according to, as, like	כפי, כפי מה ש
as, like, the same as	כ, כפי ה
in order that	למען
until	עד אשר

Preposition

as it is	כאשר הוא
as	כ, כאשר
according	לפי
of it	ממנו
of	מן (ה‫)
by, according	על
on it	עליו
with	עם ה
inside	בתוך ה

Appendix II: Bibliography

Simon b. Moses b. Simon Moṭoṭ
Ḥeshbon ha-Alzibra (Calculation of Algebra)
Italy, 1460s
Manuscripts:

1) Amsterdam, Portugees Israelitisch Seminarium Ets Haim 47 D 20/42 (IMHM: f 3576), ff. 223r-226r (15th century)

Ets Haim 47 D 20/42

2) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/14 (IMHM: f 1996), ff. 113r-120r (15th-16th century)

Or. Oct. 244/14

3) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/2 (IMHM: f 17970), ff. 46r-53v (16th century)

Plut.88.46/2

4) Mantova, Comunita Israelitica MS ebr. 10/6 (IMHM: f 790), ff. 122v-133r (15th century)

ebr. 10/6

5) Parma, Biblioteca Palatina Cod. Parm. 2196/3 (IMHM: f 13362), ff. [117r]-[119v] (15th-16th century)

Parm. 2196/3

The transcript of the text is based on manuscript Mantova 10.

Bibliography:

Lévy, Tony. 2007. L’algèbre arabe dans les textes hébraïques (II). Dans l’Italie des XVe et XVIe siècles, sources arabes et sources vernaculaires, Arabic Sciences and Philosophy 17, pp. 81-107.
Steinschneider, Moritz. 1893–1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann; repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001. p.193 (h59).

[12] משלי ד, יא

[35] ישעיהו כח, י

[36] ישעיהו נג, י

[37] איוב לג, כג

[38] בראשית א, ב

[39] ראש השנה טז, א

[40] תהילים כ, ו

[41] משלי ה, טז

[42] ישעיה יב, ג

[44] שמואל א כב, יד

[1] 122v

[2] Mantova: ב'

[3] 123r

[4] Mantova om.

[5] 123v

[6] 124r

[7] 124v

[8] 125r

[9] 125v

[10] 126r

[11] 126v

[13] 127r

[14] 127v

[15] rg.

[16] 128r

[17] 128v

[18] 129r

[19] 129v

[20] Mantova ד'

[21] 130r

[22] rg.

[23] 130v

[24] 131r

[25] Mantova נבאר

[26] 131v

[27] Mantova שים

[28] 132r

[29] Mantova om.

[30] Mantova יחד

[31] Mantova om.

[32] 132v

[33] Mantova om.

[34] Mantove om.

[43] 133r

[45] Mantova om.

[46] Mantova om.

[47] Mantova om.

[48] Mantova ואם כן

[49] Mantova om.

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[note 1]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

[note 5]

[note 6]

[note 7]

[note 8]

[note 9]

[34]

[note 10]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

@@ Line 847: / Line 847: @@
 |
 :According to my way, when "I have led you in paths of uprightness" to calculate this calculation, "I have taught you" the proof "in the way of wisdom" [Proverbs 4, 11].
-|style="text-align:right;"|הנה לפי דרכי בהדריכי אותך ''במעגלי יושר'' {{#annot:term|229,1269|NOzT}}לחשוב{{#annotend:NOzT}} זה {{#annot:term|228,1200|TLWR}}החשבון{{#annotend:TLWR}} ''בדרך חכמה הוריתיך''&#x202B;<ref group=note>משלי ד, יא</ref> המופת
+|style="text-align:right;"|הנה לפי דרכי בהדריכי אותך ''{{#annot:Pr4-11|494|s5Kc}}במעגלי יושר{{#annotend:s5Kc}}'' {{#annot:term|229,1269|NOzT}}לחשוב{{#annotend:NOzT}} זה {{#annot:term|228,1200|TLWR}}החשבון{{#annotend:TLWR}} ''{{#annot:Pr4-11|494|OOqD}}בדרך חכמה הוריתיך{{#annotend:OOqD}}''&#x202B;<ref group=note>משלי ד, יא</ref> המופת
 |-
 |
@@ Line 2,174: / Line 2,174: @@
 |-
 |This is the lesson of the algebraic calculations that I sought and found in the Christian books a little here, a little there.
-|style="text-align:right;"|<big>זה</big> הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' ''זעיר שם זעיר שם''&#x202B;<ref group=note>ישעיהו כח, י</ref>
+|style="text-align:right;"|<big>זה</big> הוא שעור מה שבקשתי ומצאתי מחשבונות ספר האלזיברא בספרי הנוצרי' ''{{#annot:Isa28-10|494|AY0r}}זעיר שם זעיר שם{{#annotend:AY0r}}''&#x202B;<ref group=note>ישעיהו כח, י</ref>
 |-
 |I have made up much of these teachings from my heart.
@@ Line 2,180: / Line 2,180: @@
 |-
 |You should know, my brother, the precious thing, about R. Mordecai Yazyya, and the purpose of God shall prosper in his hand [Isaiah 53, 10], son of the honorable R. Abraham Finzi, may his memory live in the world to come, that the author of the book brought all these teachings without proofs in his book and no one among those who study it knows the method of the wise man, or from where did he derive them
-|style="text-align:right;"|וראוי שתדע אחי הדבק היקר '''כמ"ר מרדכי יזיי'''' ''וחפץ ה' ביי"א''&#x202B;<ref group=note>ישעיהו נג, י</ref> '''בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה''' כי מחבר הספר כל הלמודי' האלה בלי {{#annot:term|198|vj06}}ראיות{{#annotend:vj06}} בספרו הביאם ואין ''אחד מני אלף''&#x202B;<ref group=note>איוב לג, כג</ref> מן המעינים בו יודע דרך {{#annot:term|355|dtOQ}}החכם{{#annotend:dtOQ}} ומאין הוציאם
+|style="text-align:right;"|וראוי שתדע אחי הדבק היקר '''כמ"ר מרדכי יזיי'''' ''{{#annot:Isa53-10|494|CYZR}}וחפץ ה' ביי"א{{#annotend:CYZR}}''&#x202B;<ref group=note>ישעיהו נג, י</ref> '''בכמ"ר אברהם פינצי זלה"ה''' כי מחבר הספר כל הלמודי' האלה בלי {{#annot:term|198|vj06}}ראיות{{#annotend:vj06}} בספרו הביאם ואין ''{{#annot:Job33-23|494|q747}}אחד מני אלף{{#annotend:q747}}''&#x202B;<ref group=note>איוב לג, כג</ref> מן המעינים בו יודע דרך {{#annot:term|355|dtOQ}}החכם{{#annotend:dtOQ}} ומאין הוציאם
 |-
 |I, your brother, when I saw you and the most precious of my fellows and friends, R. Yehudah, son of the honorable R. Joseph, may God save him, son of the honorable R. Avigdor, may his memory live in the world to come, eager to know it. And the knower ‒ when we call him “a knower” ‒ should know [the object of knowledge] through the methods of demonstrative reasoning. In order to fulfill your wish I needed to study the proofs and write them for you.
@@ Line 2,189: / Line 2,189: @@
 |-
 |One is due to my reliance on your good spirit, ''the spirit of God hovering over the face of'' [Genesis 1, 2] all wisdom.
-|style="text-align:right;"|האחת להשעני ברוחכם הטובה ''רוח אלהי' מרחפת על פני''&#x202B;<ref group=note>בראשית א, ב</ref> כל {{#annot:term|277,1589|A1Q6}}חכמה{{#annotend:A1Q6}}
+|style="text-align:right;"|האחת להשעני ברוחכם הטובה ''{{#annot:Gen1-2|494|w9s2}}רוח אלהי' מרחפת על פני{{#annotend:w9s2}}''&#x202B;<ref group=note>בראשית א, ב</ref> כל {{#annot:term|277,1589|A1Q6}}חכמה{{#annotend:A1Q6}}
 |-
 |The second reason is the trouble of my heart and body in ''all these events that have happened'' [Bavli, Rosh ha-Shanah, 16, 1] and in the many calculations of worldly affairs.
@@ Line 2,198: / Line 2,198: @@
 |-
 |No lengthiness should be done only in pleading with God, ''May God fulfill all your wishes'' [Psalms 20, 6], ''Let your springs be dispersed'' [Proverbs 5, 16], ''the wells of salvation'' [Isaiah 12, 3], Amen.
-|style="text-align:right;"|ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא ''כל משאלותיך''&#x202B;<ref group=note>תהילים כ, ו</ref> ''יפוצו מעינותיך''&#x202B;<ref group=note>משלי ה, טז</ref> ''מעיני הישועה''&#x202B;<ref group=note>ישעיה יב, ג</ref> &#x202B;<ref>133r</ref>אמן
+|style="text-align:right;"|ואין להאריך רק בהעתיר אל ה' ימלא ''{{#annot:Ps20-6|494|gJwt}}כל משאלותיך{{#annotend:gJwt}}''&#x202B;<ref group=note>תהילים כ, ו</ref> ''{{#annot:Pr5-16|494|LERD}}יפוצו מעינותיך{{#annotend:LERD}}''&#x202B;<ref group=note>משלי ה, טז</ref> ''{{#annot:Isa12-3|494|VC6I}}מעיני הישועה{{#annotend:VC6I}}''&#x202B;<ref group=note>ישעיה יב, ג</ref> &#x202B;<ref>133r</ref>אמן
 |-
 |As you wish and as your brother ''who bows to your bidding'' [Samuel 1 22,14] wishes.
-|style="text-align:right;"|כרצונך וכרצון אחיך הדבק ה''סר אל משמעתך''&#x202B;<ref group=note>שמואל א כב, יד</ref>
+|style="text-align:right;"|כרצונך וכרצון אחיך הדבק ה''{{#annot:Sam-I-22-14|494|a2tV}}סר אל משמעתך{{#annotend:a2tV}}''&#x202B;<ref group=note>שמואל א כב, יד</ref>
 |-
 |Simon, son of the honorable R. Moses, may God save him, son of the honorable R. Simon Moṭoṭ, may his memory live in the world to come.

Difference between revisions of "ספר האלזיברא"

Latest revision as of 20:17, 16 December 2022

Contents

Introduction

Definitions of algebraic terms

First Section: Preliminary Study of the Foundation of Algebra

Second Section: Algebra

Introduction

The six canonical equations

Equations of the higher degrees that can be reduced to the canonical equations of the second degree

Epilogue

Additional excerpt

Notes

Apparatus

Appendix I: Glossary of Terms

Appendix II: Bibliography

Navigation menu

Personal tools

Namespaces

Variants

Views

More

Search

Navigation

Tools