Difference between revisions of "ספר דיני ממונות"

Latest revision as of 19:05, 16 December 2022

1 Prologue
2 The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method
- 2.1 Addition of Coins
3 The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies
- 3.1 Subtraction of Coins
4 Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers
5 Chapter Four: Division
6 Chapter Five: Addition of Fractions
7 Chapter Six: Subtraction of Fractions
8 Chapter Seven: Multiplication of Fractions
9 Chapter Eight: Division of Fractions
10 Chapter Nine: Ratios
11 Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots
12 Chapter Eleven: Checking Methods
13 Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that
14 Guenzburg 30 - Additional Excerpt
15 London - Additional Excerpt
16 Notes
17 Apparatus
18 Appendix I: Glossary of Terms
19 Appendix: Bibliography

	‫^[1]עמי עשו
	ספר דיני ממונות
	בשם האל עלי כל חטא מכפר וגם ממציא כופר לכל עונות
	אתחיל ספר הנותן אמרי שפר אשר קראתיהו דיני ממונות
	ראו ספר מדריך כל מעיין אל היושר וגם שומרו מעלבון
	בו יודע כל ערך גם מעוקב וכל שרש אשר יושב בחשבון
Prologue
Since the divine intention and the will of God is to justify us with His holy Torah, given to us as a possession by Moses, the trusted of His house, to whom He spoke mouth to mouth, in a vision and not in riddles [Numbers 12, 8] and whom He singled out from all the prophets, as the sages said: All the prophets looked through a mirror that does not shine brightly, but Moses our master looked through a brightly shining mirror [Talmud, Yevamot 49b].	מאחר שהיתה הכוונה הרבונית וחפץ השם להצדיקנו בתורתו הקדושה הנתונה לנו למורשה על יד משה נאמן ביתו מבחר המין האנושי פה אל פה דבר עמו במראה ולא בחידות‫^{[note 1]} והבדילו משאר הנביאי כאמרם ז"ל כל הנביאים הסתכלו באספקלריאה שאינה מאירה ומרע"ה הסתכל באספקלריאה המאירה‫^{[note 2]} והמצוחצחת
This is from God's love for His people, because God does not do anything except for the sake of Israel, as Rashi wrote in his commentary of the Torah that as long as Israel were in the desert, condemned by God, blessed be He, Moses was like one of them, and He did not speak to him with bright countenance.	וזה מאהבת יי' עמו כי לא יעשה יי' דבר כי אם בשביל ישראל כמו שכתב רש"י בפי' התורה‫^{[note 3]} כי כל עוד שהיו ישראל במדבר נזופים מהש"י משה היה כאחד מהם ולא דבר לו בפנים מאירים
In giving His Torah to His people of Israel, God aimed at two reasons, in which all the affairs of this world and the next are included	והנה השם כיון בנתינת תורתו לעמו ישראל לשתי סבות אשר בם נכללו כל עניני העולם הזה והבא
The first reason is to endow us the life of this world to live in health.	הסבה הראשנה היא להנחילנו חיי העולם הזה להחיות בבריאות
As there are many commandments about this in the Holy Torah, such as the forbidden foods, by which the intention is that we should not eat anything that causes mold or sorrow, and the like, or strange diseases.	כמו שבאו הרבה מצוות על זה בתורה הקדושה כגון המאכלות אסורות אשר הכוונה היא שלא נאכל שום דבר מוליד עפוש או יגון וכיוצא בהם או חליים משונים
As the cabbalist sage R. Menahem from Recanati [1310-1250] wrote and said that the one who eats abominations and creeping creatures and species of sick torn-to-pieces animals causes himself strange diseases and transgresses [the commandment] sanctify yourselves and you shall become holy [Leviticus 11, 44]. Furthermore, he causes himself beastliness, rudeness of the brain and the confusion of good thought and shall not see the beauty of the God [Psalms 27,4] in the abode of the righteous with his companions.	כמו שכתב החכם המקובל ר' מנחם מרקאנאטי כי אמר כי האוכל שקצים ורמשים ומיני בהמות חולניות וטרפות גורם לו חליים משונים ועובר על והתקדשתם והייתם קדושים‫^{[note 4]} מצורף אל זה גורם לעצמו הבהמיות וגסות המוח ובלבול המחשבה ~~השו~~ הטובה לבל יראה ~~בעו~~ בנועם יי'‫^{[note 5]} במעון הצדיקים עב"ל
Moreover, many commandments occur in the Torah, by which we direct ourselves toward the political and subtle [commandments] concerning matters of acquiring assets, such as the laws in Portion Mishpaṭim [Exodus 21:1-24:18], which constitute the principle and the foundation of the whole Torah.	ועוד באו מצוות רבות ‫^[2]בתורה אשר באמצעותם ניישיר עצמינו אל המדיניות והדקות בענין השגת הממונות כגון הדינין שבפרשת משפטים אשר הם שרש ויסוד כל התורה בכללה
It is known to those who have eyes to see, and ears to hear, and a heart to know [Deuteronomy 29, 3], that man has no ability to make a true judgment and to pronounce truth, unless he is skilled in arithmetic.	וידוע הוא למי שיש לו עינים לראות ואזנים לשמוע ולב לדעת כי אין ביכולת שום אדם לדון דין אמת וליתן אומר באמתות אם לא יהיה בקי בחכמת החשבון
For instance, Reuven owes Shimon 5 ma‘ot, and he comes before the judge for verdict, if the judge would not know what is a ma‘ah is and how many peshuṭim or peruṭot it is, he would not be able to rule the verdict and verify it completely.	כאלו תאמר ראובן חייב לתת לשמעון ה' מעות ויבא אצל הדיין לדין הנה אם הדיין לא ידע מהו המעה וכמה פשוטים הם או כמה פרוטות לא יוכל להחליט הדין ולאמתו לגמרי
	כמו שביאר ג"כ בפרשת משפטים בענין שור נגח אמר הכתו' ומכרו את השור החי וחצו את כספו וכו‫'
If the judge does not learn the method of division, how will he be able to divide the ma‘ot between these two rivals?	ואם לא ילמד הדיין אופן החלוק איך יוכל לחלק המעות בין שני אלו המריבים
Also in Bechukotai portion regarding the sale of the lands it is said: He shall reckon with his buyer [Leviticus 25, 50] and return the surplus to the man to whom he sold it [Leviticus 25, 27]	וגם בפרשת בחקותי בענין מכירת הקרקעות אמר וחשב עם קונהו‫^{[note 6]} והשיב את העודף לאיש אשר מכר לו‫^{[note 7]}
If the judge does not know to divide fairly and correctly as his duty imposed upon him, he will be found breaking the law Thou shalt not wrest the judgment [Exodus 23, 6].	ואם לא ידע הדיין או השופט לעשות החלוק כהוגן וכשורה כמוטל עליו חובה נמצא שהוא עובר על לא תטה משפט
	וגורם הגלות והטרוד והטלטול לו ולכל ישראל כאמרם גלות בא לעולם על עוות הדין
	ומצוות אחדות עצמו מספר נכללו בזאת הסבה הראשנה ר"ל עניני העולם הזה
	ולכן ראוי לאדם שינהיג עצמו באופן ישיג תפישתו דרך כבוד ואל יחסר פת בצלו
	ואולם הסבה מהשגת המנוחה והחיים הנצחיים בעת יפרדו איש מעל אחיו ר"ל הנפש מהגוף זה מבואר בכמה מקומות בתורה אמר על כבוד אב ואם למען ייטב לך והארכת ימים וארז"ל למען יטב לך לעולם שכלו טוב והארכת ימים לעולם שכלו ארוך
R. [Ya’ako] says: there is no reward [for performance] of commandments in this world [Chullin 142a], because we find the length of days for honoring one's father and mother [Mishnah Peah 1] and for sending away the mother, as a man said to his son: "Go up to the attic and bring me chicks!" and he went up to fulfill his father's commandment and sent the mother away from the children and took the children and while he was going down, the ladder broke and he fell and died. Where is the goodness of this one? Where is the length of days of this one? Rather, “that it may be well with you” means in the world where all is good; and “that your days may be long” means in the world that is entirely long [Chullin 142a].	וגם תמצא לשון זה בגמרא אמר הכתוב בשלוח האם שלח תשלח את האם ואחר אמר למען יטב לך והארכת ימים שזה רומז אל העולם המקווה שהוא כלו ארוך כי שכר מצוות בהאי עלמא ליכא כמו שהוכיחו ז"ל בכח מרוב פלפולם וחכמתם כי לא נעלם מהם שום דבר כמו שארז"ל במסכת כתובות ‫^[3]ר' עקיבא אומר שכר מצוות בהאי עלמא ליכא כי הנה מצינו אריכות ימים על כבוד אב ואם ועל שלוח האם הרי שאמר אדם לבנו עלי לבירה והבא לי גוזלות והאם רובצת על הבנים וזה עלה לעשות מצוות אביו ושלח האם מעל הבנים ולקח הבנים ובעודו יורד נשבר הסולם ונפל ומת היכן טובתו של זה היכן אריכות ימים של זה אלא למען יטב לך לעולם שכלו טוב ולמען יאריכון ימים לעולם שכלו ארוך‫^{[note 8]}
However the first reason forced me to write a short treatise, in which to include all the matters of number in brief.	ואולם הסבה הראשנה בכריחתני לחבר חבור קטן אכלול בו כל עניני המספר בקצור דברים
I did that in order to fulfill the commandments of my friends who begged me and asked me to compose for them something on arithmetic.	ועשיתי זה כדי לעשות מצוות חבירי אשר חלו בי ובקשו ממני שאחבר להם איזה דבר על חכמת המספר
This has brought me in the path of this composition [or translation/ copying] not to brag and boast, and take a crown on my head and not to talk on things greater and wondrous than me as did the wise man R. A. [probably R. Abraham Ibn Ezra] and Maestro Leon [called R. Levi ben Gershom] in Maase Ḥoshev, for each of them ascended in the degrees of sciences, grasped the branches of ideas.	וזה הביאתני במשעול ההעתקה הזאת לא להתגדל ולהתהדר ולקחת עטרה לראשי ולא שאדבר בגדולות ובנפלאות ממני כמו שעשו רא' ומאישטרו ליאון במעשה חושב כי כל אחד מהם עלה במעלות אחז' במושכלות
I called this treatise Diney mamonot [= laws of properties], because through it the worth of every property and the value of everything relating to trade and bargaining will be known in all possible manners.	והנה קראתי החבור הזה דיני ממונות יען כי בו יודע שווי כל ממון וערך כל דבר של מסחר ומקח וממכר בכל האופנים שאפשר
	וקודם כל דבר אשאל עזר מאלהי ישעי יהיה עם פי בעת הטיפי
	ועם לבבי בעת מחשבי וישמרני משגיאות וינקני מזדונות ויחשכני
	מעוונות יהיו לרצון אמרי פי והגיון לבי לפניך יי' צורי וגואל
	והנה שקטה הסכמתי לחלק זה החבור לי"ב שערים
	השער הא' ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצת גם נדבר בו מחבור המספרים המטבעים המתחלפים
	השער הב' ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם נדבר על מגרעת הממון גם נדבר על מאזני הדינרין כי דרך אחד להם וכן ג"כ בשער החבור
	השער הג' ידבר על הכפל בכל האופנים אשר אפשר להמצא גם על מאזני הדינרין
	השער הד' ידבר על ‫^[4]השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום גם על מאזניהם
	השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו גם שלמים עם שברים
	השער הו' ידבר על מגרעת השברים זה מזה גם על מגרעת שלמים עם שברים
	השער הז' ידבר על כפל השברים זה על זה גם על כפל שברים עם שלמים
	השער הח' ידבר על חלוק השברי' זה על זה גם על חלוק שלמים עם שברים גם על חלוק שברים עם שלמים עם שברים ושלמים
	השער הט' ידבר על ענין הערכין והסחורות
	ונחלק זה השער לשלשה חלקים
	החלק הא' ידבר על ערך שלמים עם שלמי‫'
	והחלק הב' הוא ערכי השברים עם שברים
	והחלק הג' ערכי שלמים עם שברים
	השער הי' ידבר על הוצאת השרשים
	וגם נחלק זה השער לג' חלקים
	החלק הא' הוצאת שרש השלמים
	והחלק הב' הוצאת שרש השברים
	והחלק הג' הוצאת שרש שלמי' ושברים
	השער הי"א ידבר על המאזנים הן מן הכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות בין בשברים בין בשלמים בין בשברים עם שלמים
	השער הי"ב נחבר בו שאלות אשר קצתם תלויות בערכין ומקצתן בשרשים הן בכפל ומהם בחלוק ומהם מורכבות מכפל וחלוק או מערכין ושרשים
	וכדי להרגיל הקורא והמעיין בחבור זה באופן ימצא איזו שאלה שתהיה מאיזה דגל הוא אם מחלוק או ממגרעת או מכפל או מערכין או משרשים
	ויהיה קל למבין וישר ‫^[5]למוצאי דעת וצדיקים ילכו בו וזה החלי לעשות ומי שזכני להתחיל הוא יזכני להשלים אמן ואמן
	אנא אלי שמרני משגיאות כי אתה נקרא מיישיר כל עקוב
	תצרני מאנשי ריב ומדון וגם תקוב כל איש עקוב יעקב
	ומאשפות דלותי תעלני
	אני עבדך גד בר' יעקב
	אל שדי טהר רשעי
	ושמע קולי
	בעת רצון ישועתך ענני
	קדוש בך חסייה נפשי
	תמיד מרגשת פועלי און שמרני

The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method

השער הראשון ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצתם גם על חבור המטבעי' ועל מאזני הדינרין כי דרך אחרת להם

If a person says: sum three numbers, the first is 223, the second 342 and the third 422.

\scriptstyle223+342+422

אם יאמר לך אדם קבץ לי שלשה מספרים אשר הא' הוא רכ"ג והשני שמ"ב והשלישי תכ"ב

First, the units should be summed with the units; they are 3, 2, 3; the result is 7. Write it beneath.

\scriptstyle{\color{blue}{3+2+2=7}}

ראוי לקבץ תחלה האחדים עם האחדים והם גב"ב ויעלו ז' ושים אותם למטה

Then, we sum the tens, which are 2, 4, 2; it is 8. We write it in the rank of tens.

\scriptstyle{\color{blue}{2+4+2=8}}

אח"כ נקבץ העשרות שהם בד"ב ויהיו ח' ונשימם במדרגת העשרות

Then, we add up the hundreds, which are 4, 3, 2; it is 9. We write it in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{4+3+2=9}}

אח"כ נחבר המאיות שהם דג"ב ויהיו ט' ונשימם במקום המאות

Hence, the result is 987. Write it as this diagram:

הנה א"כ יעלה ט' מאות ופ"ז ותרשמם כמו זאת הצורה

2	2	3
3	4	2
4	2	2
9	8	7

If you are told: sum three numbers, all three have a zero in the rank of tens.

ואם יאמר לך קבץ לי ג' מספרים אשר יהיה ציפרא בכל שלשתם במדרגת העשרות

As if you say: sum 203 with 402 and with 809.

\scriptstyle203+402+809

כאלו תאמר קבץ לי ר"ג עם ת"ב ועם תת"ט

First, we add up the units, which are 9, 2, 3; they are 14. Write 4 in the place of the units and keep 1.

\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3=14}}

הנה נחבר תחלה האחדים שהם טב"ג ויהיו י"ד ושים ד' במקום האחדים ותחזיק א' עמך

Then, add up all the tens. You find only zeros there. So, we write the 1 we got from the units.

‫^[6]אחר כך תחבר כל העשרות ולא תמצא שם כי אם ציפרא ולכן נשים הא' שעלה לנו מן האחדים

We add up the hundreds, which are 14. We write 4 in the place of the hundreds and 1 in the fourth rank, which is the thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3=14}}

אח"כ נחבר המאות שהם י"ד ונשים ד' במקום המאיות וא' במדרגה רביעית שהם אלפים

The result is 1414, as this diagram:

ויהיה העולה אלף וד' מאות וי"ד כמו זאת הצורה

	2	0	3
	4	0	2
	8	0	9
1	4	1	4

If you wish to add up numbers: the first of which has zeros in the units and the tens and 2 in the hundreds; the second has a zero in the units, 4 in the tens and 2 in the hundreds; the third has 3 in the units, zero in the tens and 4 in the hundreds.

\scriptstyle200+240+403

ואם תרצה לחבר שום מספר אשר בראשון יהיה ציפרא באחדים ובעשרות וב' במאיות ובמספר השני יהיה ציפרא באחדים ובעשרות ד' ובמאיות ב' ובמספר השני יהיה ג' באחדים וציפרא בעשרות וד' במאיות

Do as follows:

ככה תעשה

Start from the units. You find 3 there. Write it in the place of the units.

תתחיל מהאחדים ותמצא בם ג' ושימם במקום האחדים

Then, add up the tens, which are 4. Write it in the place of the tens.

אח"כ חבר העשרות שהם ד' ושימם במקום העשרו‫'

Add up the hundreds, which are 2, 2, 4; the result is 8. Write it in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{2+2+4=8}}

אח"כ חבר המאיות שהם בב"ד ויעלו ח' ושימם במקום המאיות

Therefore, the result is 843, as this diagram:

ויהיה א"כ העולה ח' מאות ומ"ג כמו זאת הצורה

2	0	0
2	4	0
4	0	3
8	4	3

If you wish to add up four numbers: the first of which has 4 thousands, 2 hundreds and 4; the second has 2 hundreds and 12; the third has 12; and the fourth has 30.

\scriptstyle4204+212+12+30

ואם תרצה לחבר ד' מספרים אשר בראשון יש בו ד' אלפים וב' מאות וד' ובשני יש ב' מאות וי"ב ובשלישי יש י"ב וברביעי ל‫'

The units, which are 2, 2, 4, should be summed; they are 8. Write 8 in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{2+2+4=8}}

הנה ראוי לקבץ האחדים שהם בב"ד והם ח' ושים ח' במקום האחדים

Then, add up the tens, which are 3, 1, 1; they are 5. Write it in the rank of tens.

\scriptstyle{\color{blue}{3+1+1=5}}

אח"כ תחבר העשרות שהם גא"א ויהיו ה' ותשימם במדרגת העשרות

Add up the hundreds, which are 2, 2; they are 4. Write it in the rank of hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}

אח"כ חבר המאיות שהם ב"ב ויהיו ד' ושימם במקום המאיות

Sum the thousands; they are 4.

אח"כ קבץ האלפים שהם ד‫'

The result is 4458, as this diagram:

ויהיה היוצא ד' אלפים וד' מאות ונ"ח כמו זאת הצורה

4	2	0	4
	2	1	2
		1	2
		3	0
4	4	5	8

Addition of Coins

If you wish to sum any number that includes different numbers such as minyanim, carlini, gerot, dinar:

ואם תרצה לקבץ איזה חשבון יהיה בו מספרים מתחלפים כאלו ‫^[7]מנינים וקרליני וגרות ודינרין

First you should sum the dinar, then the gerot, then the carlini, or tari, and then the minyanim.

ראוי לקבץ תחלה הדינרין אח"כ הגרות ואחר כך הקרליני או הטאריני ואח"כ המנינים

Example: we wish to sum four numbers, each of which includes four different [kind of] coins:

דמיון זה נרצה לקבץ ד' מספרים כל אחד ואחד מד' מטבעי' מתחלפים

In the first number there are 2 minyanim, 3 carlini, 4 gerot, and 2 dinar.

במספר הראשון יש בו ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וב' דינרין

In the second number there are 5 minyanim, 3 carlini, 2 gerot, and 1 dinar.

ובמספר השני יש בו ה' מנינים וג' קרליני וב' גרות וא' דינר

In the third number there are 4 minyanim, 2 carlini, 1 gerah, and 3 dinar.

ובמספר השלישי ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וג' דינרין

In the fourth number there are 5 minyanim, 9 carlini, 7 gerot, and 2 dinar.

ובמספר הרביעי יש ה' מנינים וט' קרליני וז' גרות וב' דינרין

We start to sum the [dinar], which are 2, 3, 1, 2; they are 8.

\scriptstyle{\color{blue}{2+3+1+2=8}}

נתחיל לקבץ הגרות שהם ב' ג' א' ב' ויהיו ח‫'

Know that 6 dinar are worth one gerah.

ודע כי הו' דינרין שוים גרה אחת

So, we convert the 6 into a gerah; 2 remain. Write 2 in the place of the dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}

ולכן נעשה מו' מהם גרה וישארו ב' ושים ב' במקום הדינרין

Then, we add up the gerot, which are 7, 1, 2, 4; they are 14; plus the 1 we have, they are 15.

\scriptstyle{\color{blue}{7+1+2+4+1=14+1=15}}

אח"כ נחבר הגרות שהם ז' א' ב' ד' והם י"ד ועם הא' שיש לנו יהיו ט"ו

Know that ten gerot are worth one carlino.

ודע כי העשרה גרות שוות קרליני אחד

5 gerot still remain. Write 5 in the place of the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{15-10=5}}

וישארו עדין ה' גרות ושים ה' במקום הגרות

Then, add up the carlini, which are 9, 2, 3, 3; they are 17; plus the one we have, they are 18.

\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3+3+1=17+1=18}}

אח"כ חבר הקרליני שהם טבג"ג ויעלו י"ז ועם האחד שיש לנו יהיו י"ח

Know that 10 carlini are worth one ducato.

ודע כי הי' קרליני הם דוקאטו אחד

So, we write 8 carlini and keep the ten, which is one magen.

\scriptstyle{\color{blue}{18-10=8}}

ולכן נשים ח' קרליני ונעכב עמנו העשרה שהם מגן אחד

We add up the minyanim, which are 5, 4, 5, 2; they are 16. We add 1 to them; they are 17.

\scriptstyle{\color{blue}{5+4+5+2+1=16+1=17}}

כן נחבר המנינים שהם הדה"ב שהם י"ו ונחבר עמם א' ויהיו י"ז

Therefore, the result is 17 minyanim, 8 carlini, 5 gerot, and 2 dinar, as this diagram:

הנה א"כ היוצא הוא י"ז מנינים וח' קרליני וה' גרות וב' דינרין כמו זאת הצורה

minyanim

carlini

gerot

dinar

2

5

4

5

3

2

9

4

2

1

7

2

1

3

2

17

8

5

2

2 3 4 4

5 3 2 1

4 2 1 3

5 9 7 2

17 8 5 2

Check: if you want to check it, cast out all the nines from these four numbers; 1 remains.

ואם תרצה לבחון אותו השלך כל התשיעיות מכל אלו הד' מספרים וישאר אחד

Then, cast out all the nines from the resulting number.

אח"כ השלך כל הט' מהמספר היוצא

Take 5 for every gerah into which you have converted the dinar and add it to the number, i.e. the resulting amount; the remainder is one also, as this diagram.

ותקח בעד כל גרה שעשית מהדינרין ה' ותחבר אותם עם המספר ר"ל עם הסך העולה וישאר ג"כ אחד כמו זאת הצורה

If you wish to sum three numbers:

ואם תרצה לחבר ג' מספרים

In the first number there are 2 minyanim, 3 carlini, 4 gerot, and 4 dinar.

בראשון ב' מנינים ‫^[8]וג' קרליני וד' גרות וד' דינרין

In the second [number] there are 1 magen, 2 carlini, 3 gerot, and 4 dinar.

ובשני יש בו א' מגן וב' קרליני וג' גרות וד' דינרין

In the third number there are 1 magen, 5 carlini, 3 gerot, and 5 dinar.

ובמספר השלישי יש א' מגן וה' קרליני וג' גרות וה' דינרין

First, sum the dinar, which are 5, 4, 4; they are 13.

\scriptstyle{\color{blue}{5+4+4=13}}

תחבר ראשנה הדינרין שהם הד"ד ויהיו י"ג

We convert them into 4 gerot; 1 dinar remains.

\scriptstyle{\color{blue}{13-12=1}}

נעשה מהם ד' גרות נשאר א' דינר

Then, sum the gerot, which are 3, 3, 4; they are 10. Add 2 to them; they are 12. Write 2.

\scriptstyle{\color{blue}{3+3+4+2=10+2=12}}

אח"כ חבר הגרות שהם גג"ד ויהיו י' תחבר עמהם ב' ויהיו י"ב ושים ב‫'

Then, sum the carlini, which are 5, 2, 3; they are 10. Add 1 to them; they are 11.

\scriptstyle{\color{blue}{5+2+3+1=10+1=11}}

אח"כ חבר הקרליני שהם הב"ג ויהיו י' ושים עמהם א' ויהיו י"א

Then, sum the minyanim, which are 1, 1, 2; they are 4. We add [1] to them; they are 5.

\scriptstyle{\color{blue}{1+1+2+1=4+1=5}}

אח"כ חבר המנינים שהם אא"ב והם ד' נשים עמהם הד' ויהיו ה‫'

Hence, the total sum is 5 minyanim, 1 carlino, 2 gerot, and 1 dinar, as this diagram:

הנה א"כ סך העולה הוא ה' מנינים וא' קרליני וב' גרות וא' דינר כמו זאת הצורה

minyanim

carlini

gerot

dinar

2

1

3

2

5

4

3

4

5

1

2

1

2 3 4 2

1 2 3 4

1 5 3 5

5 1 2 1

Check: If you want to check it: cast out all the nines above; the remainder is 1.

ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מלמעלה הנשאר א‫'

Then, return to the result and cast out all the nines also.

אחר כן שוב אל היוצא וגם השלך כל התשיעיות

Add with them 5 for every gerah.

ותחבר עמם בעד כל גרה ה‫'

The reason for this is that the 6 dinar written above, i.e. in the numbers above and beneath, are worth 1 gerah.

והנה הטעם בזה כי הו' דינרין העומדים למעלה ר"ל במספרים העליונים ולמטה הו' אינם שוים כי אם א' גרה ר"ל א' דינר

Therefore, we take five for every [gerah] we received when summing the [gerot].

ולכן נקח בעד כל דינר שעלה לנו מחבור הדינרין חמשה

So, we take ten for the 2 gerot and add it to the result; the remainder is also 1, which is equal to the reserved 1, as this diagram.

והנה נקח בעד הב' גרות עשרה ונחבר אותם עם הסך העולה וישאר ג"כ א' והוא שוה אל האחד השמור כמו זאת הצורה

What we wanted to explain in the first chapter has been completed.

ובכאן נשלם מה שרצינו לבארו בשער הראשון

God will protect us as the apple of the eye [Psalms 17, 8].

והשם ישמרנו כאישון

The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies

‫^[9]השער השני ידבר על המגרעת גם על מגרעת הממון

Know that when you want to subtract, you should start from the units and write the greater number above and the smaller beneath.

דע כי כשתרצה לגרוע שים מספר ראוי להתחיל מן האחדים ולשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה

Start subtracting from the units: subtract the lower units from the units above and write the remainder on a third line.

ותתחיל לגרוע מהאחדים ותגרע האחדים השפלים מהאחדים אשר למעלה ותשים הנשאר בקו שלישי

Then, subtract the lower tens from the upper tens.

ואחר ‫^[10]תגרע העשרות התחתונות מהעשרות העליונות

Do the same with the thousands and so on until all the numbers are gone and what you have left is the required.

וכן תעשה מהאלפים וכן עד כלות כל המספרים ומה שישאר לך הוא המבוקש

Example: we wish to subtract 122 from 234.

דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד קכ"ב

Write them in two lines.

הורידם בב' שטות

Then, start subtracting from the units. Subtract the 2 below from the 4 above; the remainder is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

אח"כ תתחיל הגרעון מן האחדים ותגרע מן הד' אשר למעלה הב' אשר למטה הנשאר ב‫'

Subtract the 2 tens below from the 3 tens above; the remainder is 1. Write it below in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}

אח"כ תגרע מן הג' עשרות מלמעלה הב' עשרות מלמטה הנשאר א' ושים אותו למטה במקום העשרות

Subtract the hundreds: subtract the hundred below from the 2 hundreds above; the remainder is one.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

אח"כ תגרע המאיות וגרע מן הב' מאיות אשר מלמעלה א' מאה מלמטה הנשאר אחד

Hence, 112 still remains, as this diagram:

הנה א"כ נשארו עדין קי"ב כמו זאת הצורה

Check: If you want to check it, add the smaller number to the remainder and the greater number will return.

ואם תרצה לבחון אותו תחבר המספר הקטן עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול

If you wish, cast out all the nines from the greater number; the remainder is a zero.

ואם תרצה השלך כל התשיעיות מהמספר הגדול הנשאר ציפרא

Then, cast out all the nines from the smaller number and from the remainder; it is also a zero and it is equal to the reserved zero, as this diagram.

אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר ג"כ ציפרא והוא שוה אל הציפרא השמורה כמו זאת הצורה

If you wish to add up minyanim, tari, gerot, and dinar:

ואם תרצה לחבר מנינים עם טרין ועם גרות ועם דינרין יש לך לקבץ הדינרין

Example: we wish to add up 2 minyanim, 1 tarini, 8 gerot, and 5 dinar, with 2 minyanim, 2 tari, 12 gerot, and 4 dinar.

דמיון זה נרצה לחבר ב' מנינים וא' טריני וח' גרות וה' דינרין עם ב' מנינים וב' טרי וי"ב גרות וד' דינרין

First, you should add up the dinar, which are 4, [5]; they are 9.

\scriptstyle{\color{blue}{4+5=9}}

הנה יש לך לחבר ראשנה הדינרין שהם ד' ויהיו ט‫'

Write 3 in the place of the dinar and we have one gerah.

\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}

ושים ג' במקום הדינרין ויש לנו גרה אחת

Then, we add up the gerot, which are 8, 12, and 1; they are 21.

\scriptstyle{\color{blue}{8+12+1=21}}

אח"כ נחבר הגרות שהם ח' וי"ב וא' ויהיו כ"א

We convert the 20 into one tari; 1 remains. Write it in the place of the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{21-20=1}}

נעשה מהכ' טרי אחד וישאר א' ושימהו במקום הגרות

Then, add up the tari, which are 2, 1, and 1; they are 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2+1+1=4}}

אח"כ חבר הטרי שהם ב' וא' ועם הא' יהיו ד‫'

Write 4 in the place of the tari.

ושים ד' במקום הטאריני

Then, add up the minyanim, which are 2, and 2; they are 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}

אח"כ חבר המנינים שהם ב"ב ויהיו ד‫'

Therefore, the total result is 4 minyanim, 4 tari, 1 gerah, and 3 dinar, as this diagram.

הנה א"כ יהיה סך העולה ד' מניני' וד' טרי וא' גרה וג' דינרין כמו זאת הצורה

Check: If you wish to check it, cast out all the nines from all the numbers.

ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מכל ‫^[11]המספרים

Then, cast out all the nines from the result. For every gerah you received from the dinar, take 5. For every tari you received from the gerot, take 1. For every magen you received, take 4. You receive a number equal to the upper number and the answer is a zero.

אח"כ השלך כל התשיעיות מן היוצא ועל כל גרה שיצא לך מן הדינרין קח ה' ועל כל טרי שיצא לך מן הגרות קח א' ועל כל מגן שיצא לך מהטאריני קח ד' ויצא לך מספר שוה למספר העליון והתשובה בה ציפרא

Here ends the first chapter.

ובכאן נשלם השער הראשון

The Second Chapter Discusses the Subtraction of Integers from Each Other as well as the Subtraction of Currencies

‫^[12]השער השני ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם על מגרעת הממון

Know that this chapter is easy to understand with a little study and we discuss this chapter briefly, even sometimes by hinting, because a little is enough.

דע כי השער הזה הוא קל להבין במעט עיון ונדבר בזה השער בקצור גם לפעמים ברמיזה כי המעט יספיק

Know that when you want to subtract a number from another number, you must write the greater number above and the smaller below, then start subtracting from the units.

ודע כאשר תרצה לגרוע מספר מה ממספר אחר צריך שתשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים

Still, I will give proper ways to start from the last digit, i.e. from the thousands, or the tens of thousands, if it reaches the tens of thousands or more.

ועדין אתן דרכים נכונים להתחיל הגרעון מהמספר האחרון ר"ל מן האלפים או מן העשרות אלפים אם הוא מגיע אל האלף הי' או ליותר מכן

Subtract the lower units from the upper [units], then the lower tens from the upper [tens], and likewise for the hundreds and the thousands and so on until they end.

ותגרע האחדים התחתונים מן העליונים ואח"כ העשרות התחתונות מהעליונות וכן המאיות והאלפים עד תומם

Example: we wish to subtract 123 from 245.

\scriptstyle245-123

דמיון זה נרצה לגרוע מן רמה קכ"ג

Write them in two lines, then draw the third line beneath them.

הורידם בב' שטות אח"כ תמשוך קו שלישי תחתיהם

Start subtracting from the units that are 3. Take 3 from the 5; the remainder is two. Write it on the third line in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}

ותתחיל לגרוע מן האחדים שהם הג' ותקח מה' ג' הנשאר שנים ושים אותם בקו ג' במקום האחדים

Subtract the tens, i.e. 2 from 4; the remainder is 2. Write it below in the place of the [tens]

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

אח"כ תגרע העשרות ר"ל ב' מד' הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום המאיות

Subtract the hundreds: subtract 1 from 2; the remainder is 1. Write it below on the third line in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

אח"כ תגרע המאיות ותגרע א' מב' הנשאר א' ושימם למטה במקום המאיות בקו שלישי

Therefore, the remainder is 122 and this is its diagram:

הנה א"כ הנשאר הוא קכ"ב וזאת צורתם

2	4	5
1	2	3
1	2	2

Another example: we wish to subtract 207 from 349.

\scriptstyle349-207

דמיון אחר נרצה להוציא ממספר שמ"ט מספר ר"ז

Start from the units and subtract the 7 below from the 9 above; the remainder is 2. We write it below on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{9-7=2}}

תתחיל מן האחדים ותוציא ממספר ט' שלמעלה הט'ז' מלמטה הנשאר א ב' נשים אותם למטה בקו שלישי

Then, subtract the tens: you find a zero below, i.e. in the bottom number. So, you should say: subtract the zero below from the 4 tens that are above in the greater number; the remainder is 4. Write the 4 below, in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{4-0=4}}

אח"כ תגרע העשרות והנה למטה ‫^[13]ר"ל במספר התחתון תמצא ציפרא ולכן ראוי שתאמר מד' עשרות שהם למעלה במספר הגדול תגרע ציפרא שהיא למטה הנשאר ד' ושים אותם הד' במקום העשרות למטה

Subtract the hundreds, meaning, 2 from 3; the remainder is 1. Write it below in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}

אח"כ תגרע המאיות זאת לדעת ב' מג' נשאר א' ושום אותם למטה במקום המאות

Therefore, the remainder is 142, according to this diagram:

הנה א"כ הנשאר הוא קמ"ב על זאת הצורה

3	4	9
2	0	7
1	4	2

Another example: we wish to subtract 253 from 304.

\scriptstyle304-253

דמיון אחר נרצה לגרוע מג' מאות וד' רנ"ג

First, we subtract 3 from 4; 1 remains. Write it below on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

הנה נגרע ראשנה ג' מד' נשאר א' ושום אותו למטה בקו שלישי

Then, subtract the tens.

אח"כ תגרע העשרות

I will give you a rule so that you can never be wrong: when you see that the bottom number is greater than the upper, i.e. that one of the lower digits is greater than the one corresponding to it above, in whichever rank it may be, you should draw a dot beneath, next the digit that follows the greater, so that this [dot] is worth ten with the smaller digit above and in its place, i.e. below where it is, it is worth one.

והנה אתן לך כלל בדבר שלא תוכל להחטיא לעולם כי כשתראה שהמספר התחתון הוא יותר גדול מהעליון ר"ל [כשא']‫^[14] שהאותיות התחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה באיזו מדרגה שתהיה הנה יש לך לעשות נקדה למטה אצל האות הבאה אחר הגדולה ואותה האות שוה עשרה למעלה אצל האות הקטנה ובמקומה שוה אחד ר"ל למטה באשר הוא שם

Thus, we want to subtract the 5 tens below from the zero above, but we cannot, because we cannot subtract 5 from a zero. So, we draw a dot beneath, next the 200, and this dot is worth ten above int the place of the zero. Hence, subtract 5 from 10; the remainder is 5. Write it in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{10-5=5}}

והנה נרצה לגרוע אותם הה' עשרות שהם למטה מהציפרא אשר למעלה ולא נוכל כי לא נוכל להסיר ה' מציפרא לכן עשה נקדה למטה אצל הב' מאות ואותה הנקדה ישווה למעלה במקום הציפרא עשרה ולכן תגרע ה' מי' הנשאר ה' ושימם במקום העשרות

Then, subtract the hundreds, which are two, [from the hundreds] above. But we already said that the dot is worth 1. We add it to the 2; they are 3. Subtract 3 from 3; nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+1\right)=3-3=0}}

אחר כן גרע המאות שהם שנים למעלה וכבר אמרנו כי הנקדה שוה א' ונחבר אותו עם הב' ויהיו ג' גרע מג' ג' הנשאר מאומה

Therefore, 51 still remains, as this diagram:

הנה א"כ הנשאר עדין נ"א על זאת הצורה

3	0	4
2	5	3
0	5	1

Another example: we wish to subtract 1403 from 2040.

\scriptstyle2040-1403

דמיון אחר נרצה לגרוע ממספר ב אלפים ומ' מספר אלף ות"ג

Write them in two rows.

הורידם בשתי שטות

Then, start from the units and subtract from the zero written above, in the place of the units, the three below corresponding to it: we cannot. So, you must draw a dot beneath the place of the tens, next to the zero. It is worth 1 in its place, i.e. in the place of the zero below, and with the zero above, in the place of the units, it is worth ten. Now, subtract the 3 below from the ten; the remainder is 7. Write it one a third line.

\scriptstyle{\color{blue}{10-3=7}}

אח"כ התחיל מהאחדי' ותגרע מהציפרא העומדת למעלה במקום האחדים השלשה אשר הם למטה כנגדו ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום העשרות אצל הציפרא וישוה א' במקומו ר"ל במקו' ‫^[15]הציפרא של מטה ובציפרא אשר למעלה במקום האחדים היא שוה עשרה וגרע עתה מאלו העשרה הג' אשר למטה הנשאר ז' ושימם בקו שלישי

Then, subtract the 1 below, which is the dot, from the 4 above, in the place of the tens; the remainder is 3. Write it in the position of its rank.

\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}

אח"כ גרע מן הד' אשר הם למעלה במקום העשרות הא' אשר היא למטה אשר היא אצל הנקדה הנשאר ג' ושימם במקום מדרגתם

Then, subtract the hundreds: subtract the 4 below, in the place of the hundreds, from the zero above, in the place of the hundreds; we cannot. So, we draw a dot there beneath the one. This dot is worth 1 in its place, and with the zero above it is worth ten. We subtract the 4 below from the ten above; the remainder is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}

אח"כ תגרע המאיות ותגרע מהציפרא אשר למעלה במקום המאיות הד' אשר למטה במקום המאיות ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה אצל האלף הנמצאים שם ואותה הנקדה שוה אחת במקומה ולמעלה אצל הציפרא שוה עשרה ונקח מאלו הי' שהם למעלה הד' שהם למטה הנשאר ו‫'

Then, we subtract the thousands from the thousands: we subtract 2000 below, with the dot that is worth one, from 200 above; nothing remains.

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+1\right)=2-2=0}}

אח"כ נסיר האלפים מן האלפים ונסיר מן ב' אלפים שהם למעלה ב' אלפים שהם למטה עם הנקדה ששוה אחת ולא ישאר כלום

Therefore, the remainder is 637 as this diagram:

הנה א"כ מה שנשאר הוא תרל"ז על זאת הצורה

2	0	4	0
1	4	0	3
	6	3	7

However, if you want to subtract a small number from another greater number without [using] a dot, and without starting the subtraction from the units, but from the greatest [rank], i.e. from the thousands or higher, as high as it rises, do as follows:

ואולם אם תרצה לגרוע חשבון קטן מחשבון אחר גדול בזולת נקדה וזולת שתתחיל הגרעון מן האחדים כי אם מהאות הגדולה ר"ל מהאלפים או יותר אם יעלה כל כך למעלה ככה תעשה

If all the digits of the lower number are smaller than the upper digits, this matter is easy.

אם כל האותיות מהמספר השפל הם פחותות מהאותיות העליונו' הדבר הוא קל

If one of the lower digits is greater than the upper [digit], this matter is a little difficult: you must shift one backwards from the last rank [...] as you will see in the examples:

ואם אחת מהאותיות השפלות יותר גדולות מהעליונות הדבר הוא מעט קשה והוא כי תצטרך להשיב אחת מהמדרגה האחרונה אחורנית לפי שלפעמים המדרגה השלישית או האמצעית כפי מה שתראה בדמיונו‫'

Example: we wish to subtract 135 from 246.

\scriptstyle246-135

דמיון נרצה לגרוע מן רמ"ו מספר קל"ה

You should start from the hundreds, which is the last rank. Subtract from the 2, which are the hundreds written above, the 1 below that is also in the place of the hundreds; the remainder is 1. Write it below on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

ראוי להתחיל מן המאיות שהיא המדרגה אחרונה ותגרע מן ב' שהם המאיות העומדות למעלה הא' אשר למטה ג"כ במקום המאיות הנשאר א' ושים אותו למטה בקו שלישי

Then, subtract the 3, which are the tens below, from the 4, which are the tens above; the remainder is 1. Write it on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

אח"כ תגרע העשרות ותגרע הד' אשר הם העשרות שלמעלה ג' שהם העשרות של מטה הנשאר א' ושים אותה בקו שלישי

Subtract the units: subtract the 5 below, in the place of the units, from the 6 above; the remainder is 1. Write it on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{6-5=1}}

אח"כ תגרע האחדים ותגרע מן הו' אשר למעלה הה' אשר למטה במקום האחדים הנשאר א' ושים אותו בקו שלישי

Therefore, 111 still remains and this is its diagram:

הנה א"כ נשאר עדין קי"א וזאת היא ‫^[16]צורתם

2	4	6
1	3	5
1	1	1

Yet, if one of the bottom digits is greater than the one that corresponds to it above, you should shift backwards one of the upper digits to the greater one.

ואולם אם אחת מהאותיות תחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה ראוי לך להשיב אות אחת מהאותיות העליונות הקודמו' אל הגדולה אחורנית

When subtracting numbers, 1 is enough for you, but when subtracting currencies, 2 or 3 should be shifted backwards, depending on the value of the currency.

והא' יספיק לך במגרעת המספר אבל במגרעת הממון יצטרך להשיב ב' או ג' אחורנית כפי שווי הממון

You will see all this in visual examples, not in riddles.

והכל תראה בדמיונות במראה ולא בחידות

Example: we wish to subtract 382 from 468.

\scriptstyle468-382

דמיון נרצה לגרוע מתס"ח מספר שפ"ב

Start from the hundreds and subtract the 3 below from the 4 above; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

תתחיל מהמאות ותגרע מהד' שהם למעלה הג' שהם למטה והנה נשאר א‫'

It was appropriate to write it below on the third line, but since the digit above, in the place of the tens, is smaller than the one below that corresponds it, also in the place of the tens, you shift the one back to the 6 above.

והיה מן הדין לשים אותו למטה בקו שלישי אבל מאחר שהאות אשר היא למעלה במקום העשרות היא יותר קטנה מאותה שכנגדה למטה במקום העשרות ג"כ לכן תשיב זה האחד אחורנית ותחברהו אל הו' אשר הם למעלה

Know that this one that is shifted backwards always equals ten in the preceding rank.

ודע כי זה האחד אשר שב אחור הוא שוה עשרה לעולם אצל המדרגה הבאה אחריה

Hence, this one in the [rank of] hundreds equals ten with the 6 above in the place of the tens. With the 10 it is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{10+6=16}}

א"כ זה האחד אשר הוא אצל המאות ישוה עשרה אצל הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ועם הי' יהיו י"ו

Then, subtract the 8 below from 16; the remainder is 8. Write this 8 in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{16-8=8}}

אח"כ תגרע מי"ו הח' אשר למטה הנשאר ח' ושום כל אלו השמנה במקום העשרות

Subtract the units: they are 8 above and 2 below. Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Write it below on the third line in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{8-2=6}}

אח"כ תגרע האחדי' והם למעלה ח' ולמטה ב' ותגרע ב' מן ח' הנשאר ו' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום האחדים

Therefore, the remainder is 86 and this is its diagram:

הנה א"כ הנשאר הוא פ"ו וזאת היא צורתם

4	6	8
3	8	2
	8	6

Know that sometimes you have to shift one digit two ranks backwards and sometimes three or four, according to the given number and according to its largeness and smallness.

ודע כי לפעמים תצטרך להשיב אות א' בב' מדרגות מתחלפות אחורנית ולפעמים ג' או ד' כפי המספר המונח וכפי גדלו וקטנו

Example: we wish to subtract 3456 from 4321.

\scriptstyle4321-3456

דמיון נרצה לגרוע מן ד' אלפים ושכ"א ג' אלפי' ותנ"ו

You should start from the thousands: subtract the bottom 3 from the upper 4; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

הנה יש לך להתחיל מהאלפים ותגרע מן הד' העליונים הג' התחתונים הנשאר א‫'

We shift back the 1, because the bottom hundreds exceed the upper [hundreds]. The 1 that is shifted back equals a ten in the place of the hundreds above, which are 3, so they are 13.

\scriptstyle{\color{blue}{10+3=13}}

ולכן נשיב זה הא' אחורנית כי המאיות השפלות הם מיותרות על העליונות וזה הא' אשר ישוב אחור ישוה עשרה למעלה במקום המאות שהם ג' וא"כ יהיו י"ג

We subtract 4 from 13; the remainder is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{13-4=9}}

נסיר מי"ג ד' ‫^[17]הנשאר ט‫'

Yet, you do not write all of it. We write only 8 and keep 1, because the upper number in the place of the tens is less than the one corresponding to it below.

\scriptstyle{\color{blue}{9-1=8}}

ולא תשימם כלם אלא נניח ח' ונעכב א' עמנו מצד כי המספר העליון אשר הוא במקום העשרות הוא פחות מאותו שלמטה כנגדו

We already said that every one equals ten. You find 2 in the place of the tens above, and with 1 that equals 10 they are 12.

\scriptstyle{\color{blue}{10+2=12}}

וכבר אמרנו שכל אחד שוה עשרה ולמעלה תמצא במקום העשרות ב' ועם א' שוה י' הם י"ב

Subtract the 5 in the place of the tens below from 12; the remainder is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{12-5=7}}

תסיר מי"ב הה' אשר למטה במקום העשרו' הנשאר ז‫'

Yet, we write only 6 of this 7 on the third line, because we have to subtract the units below that are greater than the units above.

\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}

ולא נניח מאלו הז' כי אם ו' בקו שלישי מפני כי יש לנו לגרוע האחדים מלמטה שהם גדולים מן האחדים מלמעלה

You find one above in the place of the units and with the 1 that was shifted back they are 11.

\scriptstyle{\color{blue}{10+1=11}}

והנה למעלה במקום האחדים תמצא אחד ועם הא' ששב לאחור יהיו י"א

Subtract 6 that is below in the place of the units from 11; the remainder is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{11-6=5}}

תסיר מי"א ו' שהם למטה במקום האחדים הנשאר ה‫'

Write all of it, as you do not need to shift back any rank, since we have already returned back as much as we could.

ושימם כלם כי אין לך להשיב אחורנית שום מדרגה כי כבר שבנו לאחור כל מה שיכולנו

Therefore, the remainder after subtracting is 865, according to this diagram:

הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא תתס"ה על זאת הצורה

4	3	2	1
3	4	5	6
	8	6	5

If you wish to subtract a number that has a zero above or below, shift backwards if you need, otherwise [leave it in its place].

ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפרא או למעלה או למטה תשיב אחור אם תצטרך ואם לאו מקומך אל תנח

Example: we wish to subtract 2304 from 5060.

\scriptstyle5060-2304

דמיון זה נרצה לגרוע מן ה' אלפים וס' ב' אלפים וש"ד

Start from the thousands: subtract the bottom 2 from the upper 5; the remainder is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{5-2=3}}

הנה תתחיל מהאלפים ותגרע מן הה' העליונים הב' תחתונים הנשאר ג‫'

But, we write on the third line only 2 of these 3 and keep the 1.

\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}

והנה לא נשים בקו שלישי מאלו הג' כי אם ב' והא' נחזיק עמנו

We shift the 1 to the zero above, in the place of the hundreds; it equals 10 as mentioned above. We subtract from it the 3 below corresponding to it, i.e. in the place of the hundreds also; the remainder is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{10-3=7}}

ונשיב זה הא' אצל הציפרא אשר היא למעלה במקום המאות וישוה י' כנזכר למעלה ונסיר מהם ג' שהם למטה מכוונים אצלם ר"ל במקום המאיות ג"כ הנשאר ז‫'

Write the 7 and do not keep anything, because the upper number, i.e. the rank of tens above, is greater than the one corresponding it below. Meaning, the 6 in the place of the tens above is greater than the zero below in the place of the tens also.

ושים כל אלו הז' ולא תעכב עמך מאומה מצד כי המספר העליון ר"ל מדרגת העשרות אשר הם למעלה היא יותר גדולה מאותה השפלה שכנגדה ר"ל כי הו' שהם למעלה במקום העשרות הם יותר מהציפרא שהיא למטה במקום העשרות ג"כ

Subtract a zero from 6; the remainder is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{6-0=6}}

ותסיר ציפרא מן ו' הנשאר ו‫'

Yet, we do not write the 6, but keep 1, because the 4, which is in the place of the units below, is greater than the zero above in the place of the units also. So, write 5.

\scriptstyle{\color{blue}{6-1=5}}

ולא נשים כל אלו הו' אלא נעכב א' עמנו בעבור כי הד' שהם למטה במקום האחדים הם יותר גדולים מהציפרא שהיא למעלה במקו' האחדים ג"כ ותשים הה‫'

Shift back the 1; it equals ten. Subtract the 4, which is below, in the rank of units, from 10; 6 remains. Write it in the place of units on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}

ותשיב זה הא' אחורנית וישוה עשרה ותסיר מי' הד' שהם למטה במקום האחדים וישאר ו' ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים

Therefore, the remainder is 2756 and this is its diagram:

‫^[18]הנה א"כ הנשאר הוא ב' אלפים ותשנ"ו וזאת היא צורתם

5	0	6	0
2	3	0	4
2	7	5	6

Subtraction of Coins

Now, we want to discuss the subtraction of different coins from each other.

ועתה נרצה לדבר על מגרעת הממון ממטבעים מתחלפים זה מזה

We start subtracting from the smallest [kind of] currency, as we do in the [subtraction] of numbers, when we start subtracting from the units.

ונתחיל לגרוע מהמטבע היותר קטן כמו שעשינו במדרגת המספר שהיינו מתחילים הגרעון מן האחדים

Later, we will discuss the subtraction of currencies, in which we start with the greater [kind of] currency, as we did in the examples above, when we started the subtraction of numbers, i.e. from the highest rank.

אח"כ נדבר על מגרעת הממון ונתחיל מן המטבע הגדול כמו שעשינו בדמיונות למעלה כשהתחלנו הגרעון מהמספר ר"ל מהמדרגה היותר עליונה

Example: we wish to subtract 124 zehuvim, 4 tari, 6 gerot and 3 dinar from 233 zehuvim, 3 tari, 4 gerot and 5 dinar.

דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ג זהובים וג' טרי וד' גרות וה' דינרין סך קכ"ד זהובים וד' טרי וו' גרות וג' דינרין

You should start with the dinar, which is the smallest [type of] currency:

ראוי להתחיל מן הדינרין שהיא המטבע היותר פחותה

Subtract from the 5 dinar above the 3 below; 2 remain. Write them one a third line.

\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}

ותגרע מן הה' דינרין שלמעלה הג' מלמטה וישארו ב' ושים אותם בקו ג‫'

Subtract the gerot: the 6 below from the 4 above - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the 4 tari.

אח"כ תגרע הגרות וד' מהד' שלמעלה הו' מלמטה ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה במקום הד' טריני

This dot worth twenty gerot above in the place of the gerot.

ואותה הנקדה שוה עשרים גרות למעלה במקום הגרות

We add to them the 4 gerot above; they are 24.

ונחבר אליהם הד' גרות שהם למעלה ויהיו כ"ד

We subtract 6 from them; the remainder is 18. Write them on the third line [in the place of] the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+4\right)-6=24-6=18}}

נסיר מהם ו' הנשאר י"ח ושים אותם בקו שלישי אצל הגרות

Subtract the tari: subtract the 4 below from the 3 tari above - we cannot.

אח"כ תגרע הטריני ותגרע מהג' טריני מלמעלה הד' שלמטה ולא נוכל

The dot there is worth 1; with the 4 they are 5. We cannot subtract 5 from 3. So, we draw a dot below in the place of the units of the zehuvim.

והנקדה שבה שהיא שוה א' ועם הד' הם ה' ולא נוכל להסיר מן ג' ה' ונעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים

Know that this dot is worth 5 above, in the place of the tari, because 5 tari are worth one zahuv, and in its position it is worth only 1.

ודע כי אותה הנקדה שוה ה' למעלה במקום הטריני מצד כי הה' טריני שוים זהוב א' ובמקומו אינו שוה כי אם א‫'

We add the 5 to the 3; they 8.

והנה נחבר אלו הה' אל הג' ויהיו ח‫'

We subtract 5 from them; 3 remain. Write the 3 below in the place of the tari, on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+3\right)-\left(1+4\right)=8-5=3}}

נסיר מהם ה' וישארו ג' ושים אלו הג' למטה במקום הטרי בקו שלישי

Subtract the zehuvim: subtract the 5 in the place of the units below from the 3 in the place of the units above - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the tens and it is worth ten.

אח"כ תגרע הזהובים ותגרע מן הג' שהם במקום האחדים למעלה הה' שהם במקום האחדים למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות וישוה עשרה

Add the 3 to them; they are 13.

ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ג

Subtract [5] from them; the remainder is [8]. Write it below on the third line, in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-5=13-5=8}}

תחסר מהם ח' הנשאר ה' ותניחם למטה בקו שלישי במקום האחדים

Subtract the tens: the 3 lower with the dot there from the 3 upper. Subtract 3 from 3; the remainder is a zero. Write a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+1\right)=3-3=0}}

א"כ תגרע העשרות וזה מן הג' העליונים הג' התחתונים עם הנקודה שבה הסר ג' מג' הנשאר ציפרא ושים ציפרא ‫^[19]בקו ג‫'

Subtract the hundreds: the [lower] 1 from the [upper] 2; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

אח"כ תגרע המאיות וזה מן ב' התחתונים א' העליון הנשאר א‫'

Therefore, the remainder from the subtraction is 108 minyanim, 3 tari, 18 gerot, and 2 dinar, as this diagram:

הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא ק"ח מנינים ג' טרי י"ח גרות ב' דינרין כזאת הצורה

zehuvim

tarini

gerot

dinar

233

124

3

4

6

5

3

108

3

18

2

233 3 4 5

124 4 6 3

108 3 18 2

If you want to subtract from a number that includes zehuvim, tari, gerot and dinar, a number that consists only of zehuvim:

ואם תרצה לגרוע ממספר שיהיה בו זהובים וטארי וגרות ודינרין מספר שלא יהיה בו כי אם זהובים לבד

As if you say: we wish to subtract 145 zehuvim, without tari, gerot and dinar, from 234 zehuvim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar.

כאלו תאמר נרצה לגרוע מן רל"ד זהובים וג' טרי וב' גרות א' דינר מספר קמ"ה זהובים בלי טרי וגרות ודינרין

You should start from the lowest [type of] currency: subtract the zero below from the dinar above; the remainder is 1. We write it on the third line, in the place of the dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{1-0=1}}

הנה יש לך להתחיל מהמטבע היותר פחותה ותגרע מן הדינר אשר הוא למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר א' נשים א' בקו שלישי במקום הדינרין

Subtract the gerot: the zero below from the 2 gerot above; the remainder is 2. Write it below on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{2-0=2}}

אח"כ תגרע הגרות וזה מן הב' גרות אשר הם למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו ג‫'

Subtract the tari: the zero below from the 3 above; the remainder is 3. Write it below on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{3-0=3}}

אח"כ תגרע הטרי וזה מן הג' אשר למעלה הציפרא מלמטה הנשאר ג' ושים אותם למטה בקו שלישי

Subtract the zehuvim: subtract the 5 below in the place of the units from the 4 above in the place of the units also - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the tens.

אח"כ תגרע הזהובים וזה מן הד' אשר למעלה במקום האחדים תגרע הה' אשר למטה במקום האחדים ג"כ ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות

We add it to the upper 4; they are 14.

ונצרף אותה אל הד' העליונים ויהיו י"ד

We subtract five from them; the remainder is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-5=14-5=9}}

נסיר מהם חמשה הנשאר ט‫'

We subtract the lower five from the 3 above in the place of the tens - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the hundreds.

אח"כ נגרע מהג' אשר למעלה במקום העשרות החמשה השפלים ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום המאיות

We add it to the upper 3; they are 13.

ונחבר אותה אל הג' העליונים ויהיו י"ג

We subtract 5 from them; the remainder is 8. Write it in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-\left(1+4\right)=13-5=8}}

נחסר מהם ה' הנשאר ח' ושים אותם במקום העשרות

Subtract the hunderds, which are 2 from 2; nothing remains. Write a zero in their place.

\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+1\right)=2-2=0}}

אח"כ תגרע המאות שהם ב' מב' הנשאר מאומה ולכן שים ציפרא במקומם

Therefore, 89 zehuvim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar still remain, as this diagram:

הנה א"כ נשאר עדין הוא פ"ט זהובים ג' טרי ב' גרות א' דינר כמו זאת הצורה

zehuvim

tarini

gerot

dinar

234

145

3

0

2

0

1

0

89

3

2

1

234 3 2 1

145 0 0 0

89 3 2 1

If you wish to subtract 387 zehuvim, 2 tari, 3 gerot, and 4 dinar from 456 zehuvim without any tari, gerah, or dinar.

ואם תרצה לגרוע תנ"ו זהובים בלי שום טרי ושום גרה ובלי שום דינר מספר שפ"ז זהובים ב' טרין ג' גרות ד' דינרין

You should start from the dinar: subtract the 4 below from the zero above - we cannot. So, we draw a dot below, next to the 3 gerot that are there.

הנה יש לך להתחיל מן הדינרין ותחסר מן הציפרא אשר למעלה הד' אשר ‫^[20]אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הג' גרות הנמצאי' לשם

This dot is worth six above in the place of the dinar, because 6 dinar are one gerah.

ואותה הנקדה ישוה למעלה במקום הדינרין ששה בעבור כי הו' דינרין הם גרה אחת שלימה

We subtract 4 from 6; the remainder is 2. Write it on the third line, [in the place of] the dinar.

\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}

ונחסר מו' ד' הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו שלישי אצל הדינרין

Subtract the gerot: subtract the 4 below with the dot from the zero above - we cannot. So, we draw a dot below, next to the 2 tari.

אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה עם הנקדה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הב' טרי

This dot is worth twenty in the place of the gerot above, because twenty gerah are one shekel, i.e. tari.

וישוה אותה הנקדה למעלה במקום הגרות עשרים מצד כי עשרים גרה השקל ר"ל הטרי

We subtract the 4 from 20 above; the remainder is 16. Write it below [in the place of] the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(1+3\right)=20-4=16}}

ונחסר מכ' הד' מלמעלה הנשאר י"ו נשים אותם למטה אצל הגרות

Subtract the tari: we subtract three from zero - we cannot. So, we draw a dot below, in the place of the units of the zehuvim.

אח"כ תגרע הטרי וזה מציפרא נסיר שלשה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים

This dot is worth 5, because 1 zahuv is worth 5 tari.

ואותה הנקדה שוה ה' מצד כי זהוב א' שוה ה' טרי

We subtract 3 from 5; the remainder is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(1+2\right)=5-3=2}}

ותסיר מה' ג' הנשאר ב‫'

Subtract the zehuvim: we subtract 8 from 6 - we cannot. So, you must draw a dot below, in the place of the tens and it is worth ten.

אח"כ תגרע הזהובים וזה מו' נסיר ח' ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום עשרות וישוה עשרה

Add it to the 6; they are 16.

ותחברם אל הו' ויהיו י"ו

Subtract 8 from them; the remainder is 8. We write it in the place of the units below, on the third line.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+6\right)-\left(1+7\right)=16-8=8}}

ותגרע מהם ח' הנשאר ח' נשים אותם במקום האחדים למטה בקו שלישי

Subtract the tens: subtract 9 from 5 - we cannot. So, you must draw a dot below, in the place of the 3 hundreds and it is worth ten.

אח"כ תגרע העשרות וזה שתחסר מה' ט' ולא נוכל לכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום ג' מאות וישוה עשרה

Add it to the 5; they are 15.

ותחברם אל הה' ויהיו ט"ו

We subtract 9 from them; the remainder is 6. Write it below in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+5\right)-\left(1+8\right)=15-9=6}}

ותחסר מהם ט' הנשאר ו' ושים אותם למטה במקום העשרות

Therefore, the remainder from the subtraction is 68 minyanim, 2 tari, 16 gerot, and 2 dinar, and this is their diagram:

הנה א"כ הנשאר מהמגרעת הוא ס"ח מנינים ב' טרי י"ו גרות ב' דינרין וזאת היא צורתם

zehuvim

tarini

gerot

dinar

456

387

0

2

0

3

0

4

68

2

16

2

456 0 0 0

387 2 3 4

68 2 16 2

However, if you want to subtract in another way, i.e. if you want to start subtracting from the greatest [type of] currency, you should look if there is any digit below, in any place of any currency, that is greater than the corresponding digit above of the same currency. You should shift one backwards and apply the whole procedure with the one that is shifted backwards. If it is not greater, you do not need to shift backwards.

ואולם אם תרצה לגרוע באופן אחר ר"ל אם תרצה להתחיל הגרעון מן המטבע היותר ~~קטן~~ גדול ראוי לך לראות אם יש שום אות למטה באיזה מקום מאיזה מטבע שיהיה אם היא יותר גדולה מהאות המכוונת אשר למעלה באותו המטבע עצמו ראוי לך להשיב אחד אחורנית ולעשות כל מלאכה והמעשה עם אותו ששב לאחור ואם אינה יותר גדולה לא תצטרך לשוב לאחור

Example: we wish to subtract 123 minyanim, 2 tari, 4 gerot, and 3 dinar from 234 minyanim, 4 tari, 5 gerot, and 4 dinar.

דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד מנינים ד' טרין ‫^[21]ה' גרות ד' דינרין מספר אשר הוא קכ"ג מנינים ב' טרי ד' גרות ג' דינרין

You should start from the hundreds of the minyanim, which is the greatest [type of] currency. Subtract the 1 below, in the place of the hundreds, from the 2 above, also in the place of the hundred; the remainder is 1. Write it below, in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

הנה ראוי להתחיל מן מאיות המנינים שהוא המטבע היותר גדול וגרע מב' אשר הם למעלה במקום המאיות הא' אשר למטה במקום המאיות ג"כ הנשאר א' ושים אותו למטה במקום המאיות

Subtract the tens of the minyanim: 2 below from 3 above; the remainder is one. Write it below in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}

אח"כ תגרע עשרות מניני' וזה מג' אשר למעלה ב' שהם למטה הנשאר אחד ושים אותו למטה במקום העשרות

Subtract the units of the minyanim: the lower [3] from the upper 4; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

אח"כ תגרע אחדי המנינים וזה מד' העליונים הד' תחתוני' הנשאר א' ושים אותו ג"כ למטה במקום העשרות האחדים

We have completed the calculation of the minyanim. Now, we subtract the other [types of] currencies:

הנה עשינו כל החשבון עם המנינים ועתה נגרע המטבעים האחרים

We subtract the lower 2 tari from the upper 4 tari; the remainder is 2. Write it below in the place of the tari.

\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}

ונגרע מן הד' טרי העליונים הב' טרי התחתונים הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום הטרי

Then, the gerot: subtract the lower 4 from the upper 5; the remainder is 1. Write it below in the place of the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1}}

אח"כ הגרות וזה מהה' העליונים גרע הד' התחתונים הנשאר א' ושים אותם למטה במקום הגרות

Then, subtract the dinar: they are 4 above and 3 below. Subtract 3 from 4; the remainder is 1. Write it below, on the third line, in the place of the dinar. The procedure is completed.

\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}

אח"כ תגרע הדינרין והם למעלה ד' ולמטה ג' ותגרע ג' מד' הנשאר א' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום הדינרין ונשלם המעשה

Therefore, the remainder is 111 minyanim, 2 tari, 1 gerah, and 1 dinar, as this diagram:

הנה א"כ הנשאר הוא קי"א מנינים ב' טרי א' גרה א' דינר על זאת הצורה

minyanim

tarini

gerot

dinar

234

123

4

2

5

4

3

111

2

1

234 4 5 4

123 2 4 3

111 2 1 1

If you want to subtract and the lower digit is greater than the upper [digit], meaning one of the coins, shift 1 backwards and it will be enough for you as mentioned above.

ואם תרצה לגרוע מספר ויהיה האות התחתונה גדולה מהעליונה רצוני לומר אחד מן המטבעים תשיב א' לאחור ויספיק לך כנזכר לעיל

Example: we wish to subtract 159 minyanim, 4 tari, 5 gerot, and 3 dinar from 246 minyanim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar.

דמיון זה נרצה לגרוע מן רמ"ו מנינים ג' טרי ב' גרות א' דינר קנ"ט מנינים ד' טרי ה' גרות ג' דינרין

You should start from the hundreds of the minyanim. Subtract the 1 below from the 2 above; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}

הנה יש לך להתחיל מן המאיות ממטבע המנינים ותגרע מן ב' אשר למעלה הא' אשר למטה הנשאר א‫'

But, do not write anything on the third line, because you need to shift it backwards, since the lower digits are greater than the upper [digits].

אבל לא תשים בקו שלישי מאומה מצד כי נצטרך להשיבו אחורנית מפני האותיות התחתונות שהם יותר גדולות מהעליונות

We shift the 1 backwards to the tens above, which are 4; they are 14.

ונשים זה הא' לאחור אצל העשרות אשר הם למעלה שהם ד' ויהיו י"ד

We subtract 5 from them; the remainder is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-5=14-5=9}}

נסיר מהם ה' נשאר ‫^[22]הנשאר ט‫'

We do not write the 9 below on the third line, but keep 1 to shift it backwards. We write 8 below in the rank of tens.

\scriptstyle{\color{blue}{9-1=8}}

ולא נשים כל אלו הט' למטה בקו שלישי אלא נעכב א' בידינו להשיבו לאחור והח' נשים למטה במדרגת העשרות

Then, subtract the units of the minyanim: we subtract the lower 9 from the upper 6 - we cannot. So, we add the 1 in our hand that is worth ten to the 6; they are 16.

אח"כ תגרע האחדים מהמנינים ונגרע מהו' העליונים הט' התחתונים ולא נוכל ולכן נצרף עם הו' הא' אשר הוא בידינו ששוה עשרה ויהיו י"ו

We subtract 9 from them; the remainder is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+6\right)-9=16-9=7}}

נסיר מהם ט' הנשאר ז‫'

We do not write the 7 below, but we write 6, keep 1 in our hand and shift it backwards.

\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}

ולא נשים כל הז' למטה אלא נשים מהם ו' ונעכב א' בידינו ונשיבהו אחורנית

Then, we subtract the tari: we subtract the lower 4 from the upper 3 - we cannot. So, we shift back the magen in our hand to the 3 tari; they are 8, because the magen is worth 5 tari.

אח"כ נסיר הטרי ונסיר מן הג' העליונים הד' התחתונים ולא נוכל לכן נשיב זה המגן אשר הוא בידינו אצל הג' טרי ויהיו ח' כי המגן ישוה ה' טרי

We subtract 4 from them; the remainder is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+3\right)-4=8-4=4}}

ונסיר מהם ד' הנשאר ד‫'

We do not write the 4, but 3, and keep the 1 in our hand to shift it backwards to the gerot.

\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}

ולא נשים מאלו הד' כי אם ג' והא' נעכב להשיבו אחור מפני הגרות

Then, we subtract the gerot: 5 from 2 - we cannot. So, we shift back the tari to the 2 gerot; they are 22, because the tari is worth twenty gerah.

אח"כ נגרע הגרות וזה מב' ה' ולא נוכל לכן נשיב זה הטרי אצל הב' גרות ויהיו כ"ב יען כי הטרי הוא עשרים גרה

We subtract 5 from the 22; the remainder is 17.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+2\right)-5=22-5=17}}

ונסיר מהכ"ב ה' הנשאר י"ז

We do not write all of it, but 16, and keep the 1.

\scriptstyle{\color{blue}{17-1=16}}

ולא נשים כלם כי אם י"ו והא' נקים עמנו

Then, we subtract the dinar: we subtract the lower 3 from the upper 1 - we cannot. So, we shift back the gerah that we kept to the dinar; they are 7 with the 1 dinar, because the gerah is worth 6 dinar.

אח"כ נגרע הדינרין וזה מהא' אשר למעלה נגרע הג' השפלים ולא נוכל ולכן נשיב הגרה אשר עכבנו עמנו אצל הדינר ויהיו ז' עם אותו הדינר הא' מצד כי הגרה שוה ו' דינרין

We subtract 3 from them; the remainder is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+1\right)-3=7-3=4}}

ונסיר מהם ג' הנשאר ד‫'

The remainder is 86 minyanim, 3 tari, 16 gerot, and 4 dinar; this is their diagram:

הנה הנשאר עדין פ"ו מנינים ג' טרי י"ו גרות ד' דינרין כזו היא צורתם

minyanum

tarini

gerot

dinar

246

159

3

4

2

5

1

3

86

3

16

4

246 3 2 1

159 4 5 3

86 3 16 4

If you want to subtract [from] a number that has zeros, shift backward if you need, as you see in the example:

ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפראות תשוב לאחור אם תצטרך כמו שתראה בדמיון

Example: we wish to subtract 250 minyanim, 4 tari, no gerah, and 4 dinar from 347 minyanim, no tari, 4 gerot, and no dinar.

דמיון זה נרצה לגרוע מן שמ"ז מנינים בלי טרי ד' גרות בלי שום דינר מספר ר"נ מנינים ד' טרי בלי שום גרה ד' דינרין

You should start from the last digit of the minyanim, i.e. start from the hundreds and subtract the 2 below in the place of the hundreds from the 3 above also in the place of the hundreds; 1 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}

הנה יש לך להתחיל מן מדרגת המניני' מן האות האחרונה ר"ל להתחיל מן המאיות ולגרוע מן הג' אשר הם למעלה במקום המאות הב' אשר הם למטה במקום המאות ג"כ ישאר א‫'

[Do not] write it below on the third line, but write a wheel there, i.e. a zero, because we need this 1 very much, for the tens of the minyanim below are greater than the upper tens.

לזה תשים אותו הא' למטה בקו שלישי אלא שים בו גלגל ר"ל ציפרא כי יצטרך לנו זה הא' מאד מצד כי עשרות מנינים אשר הן למטה ק' הן ‫^[23]יותר גדולות מהעשרות העליונות

Then, subtract the tens: the bottom 5 from the upper 4. But, we cannot. So, we take the one we kept and shift it to the 4; it is 14.

אח"כ תגרע העשרות וזה מן הד' העליוני' הה' התחתונים ולא נוכל ולכן נקח אותו אשר עכבנו עמנו ונשיבהו אצל הד' ויהיו י"ד

We subtract 5 from it; the remainder is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{14-5=9}}

נסיר מהם ה' הנשאר ט‫'

We write the 9 in the place of the tens below, because we do not need it, since the upper units of the minyanim are 4 and below there is nothing but a wheel.

והנה נשים כל אלו הט' למטה במקום העשרות כי אין לנו צורך ממנו מצד כי אחדי המנינים העליוני' הם ד' ואותו שלמטה אינו מאומה כי אם גלגל הוא שחוזר

We subtract a zero from the 7; the remainder is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{7-0=7}}

ונסיר מהז' ציפרא הנשאר ז‫'

But, we do not write this 7 in the place of the units of the minyanim, because we need one of them. So, we write 6 below and keep the one.

\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}

ולא נשים כל אלו הז' במקום אחדי המנינים כי יצטרך לנו לאחד מהם ולכן נניח למטה ו' והאחד נקיים אותו עמנו

Then, we subtract the tari: the 4 below from the zero above. We cannot. So, we shift to it the one we have in our hand, it is 5, because you already know that the magen is worth 5 tari. We subtract 4 from it; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1}}

אח"כ נגרע הטרי וזה מהציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נשיב אותו האחד אשר בידינו אצלו ויהיו ה' כי כבר ידעת כי המגן שוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר א‫'

We write it below in the place of the tari and do not keep it [...] because you find four above in the place of the gerot and below you find a wheel.

ונשים אותו למטה במקום הטרי ולא נעכב אותו כי הוא מעלת הגרות משוויים כי לא תוכל לומ' כי כבר תמצא למעלה במקום הגרות ארבעה ולמטה תמצא גלגל

Then, subtract the gerot: subtract the wheel below from the upper 4; the remainder is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{4-0=4}}

אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הד' העליונים הגלגל אשר למטה הנשאר ד‫'

You do not write the four below in the place of the gerot, but write 3 and keep the 1.

\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}

ולכן לא תשים כל אלו הארבעה למטה במקום הגרות אלא תשים ג' והא' תקים עמך

Then, subtract the dinar: you find a wheel above and below you find 4. You cannot subtract from the wheel, so we add the gerah that is left in your hand to the upper wheel; they are 6, as you already know that the gerah is 6 dinar. Subtract the 4 below from the 6; the remainder is two.

\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}

אח"כ תגרע הדינרי' והנה תמצא למעלה גלגל ולמטה תמצא ד' ולכן לא תוכל לגרוע מהגלגל ר"ל כן נצר[ף] אותה הגרה אשר נשארה בידך אל הגלגל העליון ויהיו ו' כי כבר ידעת כי הגרה ו' דינרין ותסיר מאלו הו' הד' אשר למטה הנשאר שנים

Write it below in the place of the dinar.

ושי' אותם למטה במקום הדינרין

Therefore, the remainder is 96 minyanim, 1 tari, 3 gerot, and 2 dinar, as is written here:

הנה הנשאר א"כ הוא צ"ו מנינים א' טרי ג' גרות ב' דינרין כמו שהוא מצוייר בכאן

minyanim

tarini

gerot

dinar

347

250

0

4

0

4

96

1

3

2

347 0 4 0

250 4 0 4

96 1 3 2

Here the second chapter is completed.

ובכאן נשלם השער השני

Glory to God

והתהלה לאל

Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers

השער השלישי ידבר על הכפל בכל האופנים שאפשר להמצא בשלמי‫'

Know that the one who wants to multiply any number by another number must write the greater number above and the smaller below.

דע כי הרוצה לכפול שום מספר על מספר אחר יש לו לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה

He should start to multiply from the units, i.e. he has to multiply the first digit below, which are the units, by the rank of the units above, then by the rank of the tens, then by the rank of the hundreds and so on until they are complete.

ויש לו ‫^[24]להתחיל מן האחדים לכפול ר"ל האות הראשנה אשר למטה שהם האחדים יש לו לכפול על מדרגת האחדים אשר למעלה אח"כ על מדרגת העשרו' ואח"כ על מדרגת המאות וכן תמיד עד תומם

After one have made all the products that should be done with the first digit, he should do the same with the second and with the third, if the number is that great; he then should sum each type, i.e. units with units, tens with tens, hundreds with hundreds; and the result is the required.

ואחר שעשית כל ההכאו' הראויות לעשות עם האות הראשנה יעשה כן מהשניה וכן מהג' אם המספר כל כך גדול ואח"כ יחבר הכל מין עם מינו ר"ל אחדים עם אחדי' עשרות עם עשרות מאיות עם מאיות והעולה הוא המבוקש

Know that the types of multiplication are numerous and we apply multiplication in three ways, if God agrees with the livings. We will also talk a little about the fourth [type of] multiplication called in their language ishkaki or quadro.

ודע כי מיני הכפל הם רבים ואנו נעשה ההכפלה על ג' דרכים אם יסכים השם בחיים גם נדבר מעט על הכפל הרביעי הנקרא בלשונם אשקקי או קואדרו

Type one

First, we will discuss the multiplication used by most traders, then we will discuss the other ways.

ונדבר בתחלה על הכפל הנהוג אצל רוב הסוחרים ואח"כ נדבר בדרכים האחרים

Example: we wish to multiply 23 by 2[4].

\scriptstyle23\times24

דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על כ"ג

We write the 23 above and the [2]4 below. If you switch between them it does not matter, because everything leads to same result and there is one way for all.

הנה נשים הכ"ג למעלה והד' למטה ואם תהפכם לא יזיק כי הכל הולך אל מקום אחד ודרך אחד לכלם

So, first we multiply the 4 [below] by the 3 [above], which is in the rank of units. We say: 4 times 3 is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times3=12}}

והנה בתחלה נכפול הד' אשר הם למעלה עם הג' אשר הם למטה שהם במדרגת האחדים ונאמ' ד' פעמים ג' הם י"ב

We write the 2 below, on a third line, and keep the ten.

והנה נשים הב' למטה בקו שלישי ונעכב העשרה

Then, we multiply the 4 below, in the place of the units, by the 2 above, in the place of the tens; it is 8.

אח"כ נכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח‫'

Add to it the ten you got from the units; it is 9. Write it in the place of the tens.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}

ותחבר אליהם העשרה שיש לך מן האחדים ויהיו ט' ושימם במקום העשרות

Remove the first digit, i.e. do not multiply anymore by the 4 below, in the place of the units, because we have multiplied it by all the upper ranks.

אח"כ תוציא לחוץ האות הראשנה ר"ל שלא תעשה שום הכאה עוד עם הד' אשר הם למטה במקו' האחדים מאחר שהכינו אותה עם כל המדרגות העליונות

Then, multiply the second rank below by all the ranks above.

אח"כ תכה המדרגה השנית אשר למטה עם כל המדרגות אשר הם למעלה

Multiply it first by 3, i.e. the 2 below, in the place of the tens, by the 3 above, in the place of the units; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

ותכה אותה תחלה עם ג' ר"ל הב' אשר הם למטה במקום העשרות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו‫'

Write the 6 on another line, which we call the fourth line. Write it in the place of the tens.

ושים אלו הו' בקו אחרת ונקראנו קו רביעי ושים אותם במקום העשרות

Then, multiply the 2 below by the 2 above and say: 2 times 2; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}

אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה ותאמר ב' פעמים ב' הם ד‫'

Write 4 in the rank that follows the tens, i.e. the hundreds.

ושים ד' ‫^[25]אל המדרגה הבאה אחר העשרות ר"ל במקום המאיות

Then, add up all; the result is 552 and this is it diagram:

אח"כ תחבר הכל ויהיה העולה תקנ"ב וזהו צורתם

	2	3
	2	4
5	5	2

Know that if you want to multiply three digits by one [digit], three products are needed, no more.

ודע כי אם תרצה לכפול ג' מספרים על אחד יצטרך לעשו' ג' הכאות ולא יותר

If you want to multiply three digits by two digits, you must do six multiplications.

ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ב' אותיות אתה צריך לעשות ו' הכאות

If you multiply three digits by three digits, you must do nine multiplications.

ואם תכפול ג' אותיות על ג' אותיות תצטרך לעשות ט' הכאות

Example: we wish to multiply 234 by 24.

\scriptstyle234\times24

דמיון נרצה לכפול רל"ד על כ"ד

First you should multiply the 4 below, in the place of the units, by the 4 above, in the place of the units also; it is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times4=16}}

הנה יש לך לכפול תחלה הד' אשר הם למטה במקום האחדי' עם הד' אשר הם ג"כ למעלה במקום האחדים ויהיו י"ו

Write 6 in the place of the units, on a third line, and keep the 10.

ושים ו' במקום האחדים בקו שלישי והי' תקים עמך

Multiply again the 4 in the place of the units below by the 3 above, in the place of the tens; the result is 12. Add to it the ten you have; it is 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times3\right)+1=12+1=13}}

עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם במקו' האחדים למטה על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויעלו י"ב ותחבר אליהם אותה העשרה שיש לך ויהיו י"ג

Write 3 in the place of the tens, on the third line, and keep the ten.

ושים ג' במקום העשרות בקו שלישי והעשרה תחזיק עמך

Multiply again the lower 4 by the 2 above, in the place of the hundreds; it is 8. Add to it the ten you have; it is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}

עוד תשוב ותכפול הד' התחתונים נגד הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה ויהיו ט‫'

The multiplication by the first digit below has completed.

הנה כבר נשלם הכפל מהאות הראשנה אשר למטה

Now, we turn to multiply the second digit, in the rank of the tens, by all the upper digits.

ועתה נשוב לכפול האות השניה אשר במדרגת העשרות עם כל האותיות העליונות

We multiply the 2 below, in the rank of tens, by the 4 above, in the rank of units; it is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}

ונכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר למעלה במדרגת האחדים ויהיו ח‫'

Write the 8 on a fourth line corresponding to the tens.

ושים אותם הח' בשטה רביעית נגד העשרות

Multiply again the 2 below by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

אחר כן תכפול עוד הב' אשר הם למטה נגד הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו‫'

Write it on the fourth line, in the place of the hundreds.

ושים אותם בשטה רביעית במקום המאיות

Multiply again the 2 below by the 2 above, in the rank of hundreds; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}

אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאיות ויהיו ד‫'

Write the 4 on the fourth line, in the place of the thousands.

ושים אותם הד' בשטה רביעית במקום האלפים

Then, add up all these products; the result is 5616, as this diagram:

אח"כ תחבר כל אלו ההכאות ויהיה העולה ה' אלפים ותרי"ו על זאת הצורה

	2	3	4
		2	4
5	6	1	6

If you want to multiply three digits by three digits, you should do as follows:

ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ג' אותיות ראוי לעשות ככה

Example: we wish to multiply 222 by 333.

\scriptstyle222\times333

דמיון זה נרצה לכפול ‫^[26]רכ"ב על של"ג

Write them in two rows.

הורידם בשתי שטות

Start multiplying the 2 below, in the place of the units, by the 3 above, in the place of the units also; the result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

ותתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הג' אשר הם למעלה במקום האחדים גם כן ויעלו ו‫'

Write it on a third line, in the place of the units.

ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים

Multiply the same 2, i.e. which is below, in the rank of units, by the tens above; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

עוד תכפול אותם הב' ממש ר"ל אותם אשר הם למטה במדרגת האחדים נגד העשרות אשר הם למעלה ויהיו ו‫'

Write it on the third line, in the place of the tens.

ושים אותם בקו שלישי במקום העשרות

Multiply the 2 [below] also by the 3 above, in the place of the hundreds; it is also 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

עוד תכפול אותם הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום המאות ויהיו ו' ג"כ

Write it in the place of the hundreds.

ותקים אותם במקום המאות

We have completed all the multiplications by the first lower digit.

והנה עשינו עם האות הראשנה התחתונה כל ההכאות

Now, we want to multiply the second digit, which is 2, in the place of the tens, by all the upper digits.

ועתה נרצה להכות האות השנית שהיא ב' במקום העשרות עם כל האותיות העליונות

First, multiply the 2 by the 3 above, in the place of the units; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

ותכפול הב' בתחלה על הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו‫'

Write it on a fourth line, in the place of the tens.

ושים אותם בקו רביעי במקום העשרות

Multiply again the 2 [below] by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

עוד תשוב ותכפול הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו‫'

Write it on the fourth line, in the place of the hundreds.

ושים אותם בקו רביעי במקום המאיות

Multiply again the same 2 by the 3 above, in the place of the hundreds; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

עוד שוב וכפול אותם הב' עצמם על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו‫'

Write it on the fourth line, in the place of the thousands.

ושים אותם בקו רביעי במקום האלפים

We have completed all the multiplications of the second lower digit by all the upper digits.

הנה עשינו כל הכפל וההכאה מהאות השניה אשר למטה עם כל האותיות העליונות

Multiply again the third rank, i.e. the third digit below, by all the upper digits.

אח"כ שוב והכה המדרגה הג' ר"ל האות הג' אשר למטה עם כל האותיות העליונות

First, multiply the 2 below by the 3 above, in the place of the units; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

ותכה תחלה הב' אשר למטה עם הג' אשר למעלה במקום האחדים ויהיו ו‫'

Write it on a fifth line, in the place of the hundreds.

ושים אותם בקו חמישי במקום המאיות

Multiply again the 2 by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

אח"כ תשוב ותכפול הב' על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו‫'

Write it on the fifth line, in the place of the thousands.

ושים אותם בקו חמישי במקום האלפים

Multiply again the 2 below by the 3 above, in the place of the hundreds; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר למטה על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו‫'

Write it on the fifth line, in the place of the ten thousands.

ושים אותם בקו חמישי במקום עשרת אלפים

All nine multiplications have been completed.

והנה נשלמו כל הט' הכאות

Then, add up all these products, each [rank with its corresponding rank]; the result is 73926, according to this diagram:

אח"כ תחבר כל אלו ההכאות מין עם מינו ויהיה העולה ע"ג אלפים ותתקכ"ו על זאת הצורה

		3	3	3
		2	2	2
7	3	9	2	6

If you want to multiply any [number] by another, one of which has a zero, you should consider the zero and multiply by it, as if there were a digit where you find it, whether above, or below.

ואם תרצה לכפול איזה דבר שיהיה על האחר ‫^[27]ויהיה באחד משניהם ציפרא ראוי למנות הציפרא ולעשות ההכאה עמה כאלו היתה אות באיזה מקום שתמצאנו או למעלה או למטה

Example: we wish to multiply 230 by 324.

\scriptstyle230\times324

דמיון זה נרצה לכפול מספר ר"ל על מספר שכ"ד

First, you should multiply the 4 below, in the rank of units, by the zero above, in the rank of units also. Say: 4 times a zero is zero.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times0=0}}

הנה יש לך לכפול בתחלה הד' אשר הם למטה במדרגת האחדים על הציפרא אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ותאמר ד' פעמים ציפרא היא ציפרא

Write a zero in the place of the units.

ולכן תשים ציפרא במקום האחדים

Multiply again the 4 below by the 3 above, in the place of the tens; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times3=12}}

אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' מלמטה על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלה י"ב

Write 2 in the place of the tens and keep the ten.

ותשים ב' במקום העשרות ותעכב העשרה עמך

Multiply again the 4 by the 2 above, in the place of the hundreds; the result is 8.

אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' נגד הב' אשר למעלה במקו' המאיות ויעלה ח‫'

Add to it the ten you already have; the result is 9

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}

ותחבר אליהם אותה העשרה שהיה לך כבר ויעלה ט‫'

Write the 9 in the rank of hundreds, on the third line.

ושים אותם הט' במדרגת המאות בקו שלישי

Then, [multiply] the 2 below, in the place of the tens, because we have already completed the multiplication of the first lower digit by all the upper digits.

אח"כ תחבר הב' אשר הם למטה במקום העשרות כי כבר השלמנו הכפל מהאות הראשנה התחתונה עם כל האותיות העליונות

Multiply the 2 by the zero above, in the place of the units; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times0=0}}

ותכפול אותם הב' על הציפרא אשר היא למעלה במקו' האחדים ויעלה בידך ציפרא

Write a zero on a fourth line, in the place of the tens.

ולכן תשים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות

Multiply also the lower 2 by the [3] above, in the place of the tens; the result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}

אח"כ תכפול אותם הב' ג"כ השפלים נגד הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלו ו‫'

Write it corresponding to the hundreds on the fourth line.

ושים אותם נגד המאות בקו רביעי

Multiply again the lower 2 by the 2 in the place of the hundreds; the result is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}

אח"כ תשוב ותכפול אותם הב' ג"כ העליונים על הב' אשר הם במקום המאות ויעלו ד‫'

Write it on the fourth line, in the place of the thousands.

ושים אותם בקו ד' במקום האלפים

The multiplication of the digit 2 below has been completed.

והנה נשלם הכפל מהאות הב' שלמטה

Then, multiply the third digit below by all the upper digits.

אח"כ תכפול האות הג' שלמטה עם כל האותיות העליונות

First, multiply it by the zero; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}

ותכפול אותה עם הציפרא תחלה ויעלה ציפרא

Write a zero on a fifth line, in the place of the hundreds.

ולכן שים ציפרא בקו ה' במקום המאות

Multiply also the 3 below by the 3 above, in the second rank; it is 9.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}

עוד תכפול הג' ג"כ שלמטה נגד הג' אשר הם למעלה במדרגה הב' ויהיו ט‫'

Write the 9 in the rank of thousands, on the fifth line.

ושים אלו הט' במדרגת האלפים בקו ה‫'

Multiply the 3 a third time by the 2 above, in the place of the hundreds; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}

אח"כ תכפול הג' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו ו‫'

Write it in the place of the ten thousands, on the fifth line.

ושים אותם במקום עשרת אלפים בקו ה‫'

The multiplication by all three digits has been completed.

ונשלם הכפל מכל הג' אותיות

Add up all together; the total result is 74520 and this is its diagram.

אח"כ תחבר הכל זה על זה ויהיה סך העולה ע"ד אלפים תק"כ וזאת צורתם

		2	3	0
		3	2	4
7	4	5	2	0

If you want to multiply two numbers, each of which has a zero, you should multiply the zero by all the digits you find and add up each [rank with its corresponding rank]; the result is the required.

ואם תרצה לכפול ב' סכומות ‫^[28]ויהיה בכל אחד מהם ציפרא יש לך לכפול הציפרא על כל האותיות אשר תמצא ותחבר הכל מין עם מינו והעולה הוא המבוקש

Example: we wish to multiply 240 by 368.

\scriptstyle240\times368

דמיון נרצה לכפול ר"ם על שס"ח

First, multiply the 8 below by the zero above, in the place of the units; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{8\times0=0}}

הנה תכפול תחלה הח' אשר הם למטה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויעלה לך ציפרא

Multiply again the lower 8, in the rank of units, by the 4 in the rank of tens; it is 32.

\scriptstyle{\color{blue}{8\times4=32}}

עוד תשוב ותכפול הח' התחתונים שהם במדרגת האחדים על הד' אשר במדרגת העשרות ויהיו ל"ב

Write the 2 in the place of the tens and keep the 30.

ותשים הב' במקום העשרות ותקיים בידך הל‫'

Multiply the 8 by the 2 above in the rank of hundreds; it is 16.

אח"כ תכפול הח' על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ו

Add the 3 to it; it is 19.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\times2\right)+3=16+3=19}}

ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ט

Write it on the third line.

ושים אותם בקו ג‫'

We have already completed the multiplication of the 8 below, in the place of the units.

הנה עשינו כל ההכאות עם הח' אשר הם למטה במקום האחדים

Then, multiply the tens below, which is 6:

אח"כ תכפול העשרות העומדות למטה שהם ו‫'

First, multiply it by the zero above; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{6\times0=0}}

ותכפול אותם בתחלה על הציפרא העומדת למעלה ויעלה בידך ציפרא

Write a zero on a fourth line, in the place of the tens.

ושים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות

Multiply also the lower tens by the 40 above; the result is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{6\times4=24}}

אח"כ תכפול העשרות ג"כ התחתונות על המ' אשר למעלה ויעלה בידך כ"ד

Write the 2 in the place of the hundreds and keep the 20.

והנה תשים הד' במקום המאות והכ' תעכב עמך

Multiply the 6 below by the 2 above; the result is 12.

אח"כ תכפול הו' אשר למטה על הב' אשר הם למעלה ויעלה י"ב

Add the 2 to it; it is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times2\right)+2=12+2=14}}

תחבר אליהם הב' ויהיו י"ד

Then, we multiply the hundreds below by all the digits above:

אח"כ נכפול המאיות אשר הם למטה על כל האותיות שהם למעלה

First, we multiply by the zero above, in the place of the units; it is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}

והנה נכפול בתחלה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויהיה ציפרא

We multiply it by the 4 above, in the rank of tens; it is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}

אח"כ נכפול אותו על הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב

Write the 2 in the place of the thousands.

ושים הב' במקום האלפים

We multiply it by the hundreds above; the result is 6.

אח"כ תכפול אותם על המאות אשר למעלה ויעלו ו‫'

Add the one to it; it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times2\right)+1=6+1=7}}

ותחבר אליהם האחד והיו ז‫'

Therefore the result of multiplying the one by the other is 88320 as this diagram:

הנה א"כ היוצא מכפל זה על זה הוא פ"ח אלפים וש"כ על זאת הצורה

		2	4	0
		3	6	8
8	8	3	2	0

If you want to multiply a number that has two zeros or more, you should consider each of them as if it were a number and multiply by each one.

ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ב' ציפרי או יותר יש לך לחשוב כל א' מאלו כאלו היה מספר ועשות ההכאה עם כל א' וא‫'

Example: we wish to multiply 403 by 230.

\scriptstyle403\times230

דמיון נרצה לכפול מספר ת"ג על מספר ר"ל

First, you should multiply the zero below, in the rank of units, by the 3 above, in the rank of units also; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{0\times3=0}}

הנה יש לך לכפול בתחלה הציפרא אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיה העולה ציפרא

Write it below, in the rank of units, on a third line.

ושים אותם למטה במדרגת האחדים בקו ג‫'

Multiply also the zero by the zero above; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{0\times0=0}}

עוד תכפול הציפרא על הציפרא ‫^[29]אשר היא למעלה ויהיה העולה ציפרא

Write it on the third line, in the rank of tens.

ושים אותה בקו ג' במדרגת העשרות

Multiply the zero by the upper 4 in the place of the hundreds; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{0\times4=0}}

עוד כפול הציפרא על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה בידך ציפרא

Write a zero on the third line, in the rank of hundreds.

ושים ציפרא בקו ג' במדרגת המאות

We have already completed the multiplications of the zero in the lower line by all the upper ranks.

והנה כבר עשינו כל ההכאות מהציפרא אשר היא בשטה התחתונה עם כל המדרגות העליונות

Then, we multiply the 3 below, in the rank of tens, by all the upper ranks:

אח"כ נכה הג' אשר למטה במדרגת העשרות עם כל המדרגות העליונות

First, we multiply it by the 3 above, in the rank of units; the result is nine.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}

ונכה אותה תחלה עם הג' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיה העולה תשעה

Write it on a fourth line, in the rank of tens.

ושים אותם בקו רביעי במדרגת העשרות

Multiply also the 3 below by the zero above, in the place of the tens; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}

עוד תכה אותם הג' של מטה עם הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרו' ויהיה היוצא ציפרא

Write it in the rank of the hundreds.

ושים אותה במדרגת המאות

Multiply again the 3 below by the upper 4, in the place of the hundreds; the result is 12.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}

עוד תשוב ותכפול אותם הג' של מטה על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה י"ב

Write the 10 in the rank of the tens of thousands and the 2 in the place of the units of the thousands.

ושים הי' במדרגת העשרות אלפים והב' במקום אחדי האלפים

We have completed the multiplication of the 3 below, in the place of the tens, by all the upper ranks.

והנה השלמנו ההכאה מהג' אשר הם למטה במקום העשרות עם כל המדרגות העליונות

Now, we multiply the 2 below, in the place of the hundreds, by all the upper ranks:

ועתה נכה הב' אשר הם למטה במקום המאיות עם כל המדרגות העליונות

First, we multiply the 2 by the 3 above, in the place of the units; the result is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}

ונכה תחלה הב' עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו ו‫'

We write it on a fifth line, in the place of the hundreds.

נשים אותם בקו הה' במקום המאיות

Multiply the 2 by the zero above, in the place of the tens; the result is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times0=0}}

אח"כ תכה הב' נגד הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ויעלה בידך ציפרא

Write the zero in the place of the units of the thousands.

ושים אותה הציפרא במקום אחדי האלפים

Multiply the 2 a third time by the 4 above, in the place of the hundreds; the result is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}

אח"כ תכה הב' פעם ג' עם הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויעלה ח‫'

Write the 8 below on the fifth line, in the place of the tens of the thousands.

ושים אלו הח' למטה בקו ה' במקום עשרת אלפים

We have completed all 9 multiplications.

והנה השלמנו כל הט' הכאות

We add up all; the result is 92690 and this is its diagram:

ואח"כ נחבר הכל ויהיה העולה צ"ב אלפים ותר"צ וזאת היא צורתם

		4	0	3
		2	3	0
9	2	6	9	0

If you multiply four digits by four digits, you should do 16 multiplications; if five by five, 25; and so on endlessly. No need to elaborate.

ואם תכפול ד' אותיות על ד' אותיות ראוי לעשות י"ו הכאות וה' על ה' ראוי לעשות כ"ה וכן עד אין קץ ואין צורך להאריך

Type two

Now, we want to discuss the multiplication called in their language "crocita" [?]

ועתה נרצה לדבר על הכפל הנקרא בלשונם קרוציטא

We do as follows: we must write the greater number above and the smaller below, although if you do the opposite, it does not matter, but to make the multiplication easier, it is better to write the greater above and the smaller below.

והנה נעשה ככה כי נצטרך להניח המספר הגדול למעלה והקטן למטה האמנם אם תעשה ההפך לא יזיק אך להקל ההכאות מוטב להניח הגדול למעלה והקטן למטה

Start multiplying from the first lower digit by the first upper digit.

ותתחיל להכות מהאות הראשנה של מטה עם האות ‫^[30]הראשנה של מעלה

Write what exceeds the tens on a third line and keep the tens.

ומה שיעדיף על העשרות שים בקו ג' ותעכב העשרות

Multiply again the lower units by the upper tens and add to the result the tens you kept from the units.

עוד תשוב ותכפול האחדים של מטה עם העשרות שלמעלה ותחבר על העולה העשרות שיש לך מן האחדים

Do not write what exceeds the tens of the sum you got now, but [multiply] the lower tens by the upper units and add the product to what you received from the tens.

ומה שיעלה על העשרות ר"ל מהסך שיש לך עתה אל תשים מאומה אלא תשוב לחבר העשרות של מטה עם האחדים שלמעלה ותחבר העולה על מה שיש לך מן העשרות

Write what exceeds the tens in the place of the tens and keep the tens.

ומה שישאר על העשרות תשים במקום העשרות ותעכב העשרות בידך

Then, multiply again the lower tens by the upper tens, add to the result the tens you kept, and you will get the required.

אח"כ תשוב לכפול העשרות של מטה עם העשרות של מעלה ותחבר על העולה סך העשרות שיש לך ויצא לך המבוקש

Example: we wish to multiply 24 by 25.

\scriptstyle24\times25

דמיון זה נרצה לכפול כ"ד על כ"ה

[Illustration of the procedure:]

25	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times5\right)}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}$	25	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{8+2}}={\color{green}{10}}}$	25	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times5\right)}}+{\color{green}{10}}={\color{red}{10+10}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}$	25
24		24		24		24
		0		0		00

$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{4+2}}={\color{blue}{6}}}$	25
	24
	600

Write them in two rows:

תשימם בב' שטות

Start multiplying the 4 below in the place of the units by the 5 above in the place of the units also; it is twenty.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times5=20}}

ותתחיל לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו עשרים

Write a zero in the place of the units, because you have nothing left that exceeds the tens.

ותשים ציפרא במקום האחדים כי לא נשאר לך על העשרות מאומה

Multiply again the 4 below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 8.

עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח‫'

Add to it the 2 tens you kept; they are 10.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+2=8+2=10}}

ותחבר אליהם ב' עשרות שיש לך ויהיו י‫'

Do not write anything, but multiply the 2 below in the place of the tens by the 5 above in the place of the units; the result is ten.

ואל תניח מאומה אלא שוב וכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות נגד הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו עשרה

Add the 10 units to it; it is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times5\right)+10=10+10=20}}

ותחבר אליהם הי' אחדים ויהיו כ‫'

Since you have nothing left that exceeds the tens, we write a zero below in the place of the tens and keep the 2.

והנה בעבור כי לא נשאר לך מאומה על העשרות לכן נשים גלגל למטה במקום העשרות ונעכב אותם הב‫'

Multiply again the 2 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of tens; it is 4.

עוד נשוב לכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד‫'

Add to it the 2 you have; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times2\right)+2=4+2=6}}

ותחבר אליהם אותם הב' שיש לך ויהיו ו‫'

Write it in the place of the hundreds.

ושים אותם במקום המאות

Therefore, the result is 600, as this diagram:

ויהיה א"כ היוצא ו' מאות כמו זאת הצורה

	2	5
	2	4
6	0	0

If you want to multiply three digits by three digits, you need to do 9 multiplications this way:

ואם תרצה לכפול ג' מספרים על ג' מספרים תצטרך לעשות ט' הכאות על זה האופן

Example: we wish to multiply 123 by 456.

\scriptstyle123\times456

דמיון זה נרצה לכפול קכ"ג על תנ"ו

[Illustration of the procedure:]

123	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times3\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}}$	123	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{1}}+{\color{Orange}{\left(5\times3\right)}}={\color{red}{12+1+15=13+15}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{8}}}$	123
456		456		456
		8		88

First, we multiply the 6 below in the rank of units by the 3 above also in the rank of units; it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{6\times3=18}}

הנה נכפול בתחלה הו' אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו י"ח

We write 8 below on a third line and keep the one.

נשים ח' למטה בקו שלישי והאחד תקים ‫^[31]עמך

Multiply again the 6 below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 12.

אח"כ תכפול עוד הו' אשר למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ב

Add the one to it; it is 13. Do no write anything.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times2\right)+1=12+1=13}}

ותחבר אליהם האחד ויהיו י"ג ולא תשים מאומה

Multiply also the 3 above in the rank of units by the 5 below in the rank of tens; it is 15.

עוד תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים עם הה' אשר למטה במדרגת העשרות ויהיו ט"ו

Add the 13 to it; it is 28.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times5\right)+13=15+13=18}}

ותחבר אליהם הי"ג ויהיו כ"ח

Write the 8 in the place of the tens and keep the 2.

ושים הח' למטה במקום העשרות ותעכב הב‫'

123	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(5\times2\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times3\right)}}={\color{red}{6+2+10+12=8+10+12=18+12}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}}$	123
456		456
88		088

Multiply again the 6 below in the place of the units by the one above in the place of the hundreds; it is 6.

עוד תשוב ותכפול הו' אשר הם למטה במקום האחדים על האחד אשר הוא למעלה במקום המאות ויהיו ו‫'

Add to it the 2 we kept; it is 8.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times1\right)+2=6+2=8}}

ותחבר אליהם הב' שעכבנו בידינו ויהיו ח‫'

Multiply again the 5 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of tens also; it is ten.

עוד תשוב לכפול הה' אשר למטה במדרגת העשרות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ג"כ ויהיו עשרה

Add to it the 8; it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times2\right)+8=10+8=18}}

ותחבר אליהם הח' ויהיו י"ח

Multiply also the 4 below in the place of the hundreds by the 3 above in the place of the units; it is 12.

עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו י"ב

Add it to the 18; it is 30.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times3\right)+18=12+18=30}}

ותחבר אותם אל הי"ח ויהיו ל‫'

Write a zero below in the place of the hundreds.

אח"כ תשים ציפרא למטה במקום המאות

123	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{3}}+{\color{red}{\left(5\times1\right)}}={\color{red}{8+3+5=11+5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}$	123	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}$	123
456		456		456
088		6088		56088

Multiply again the 4 below in the place of the hundreds by the 2 above in the place of the tens; it is 8.

עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח‫'

Add to it the 30, that are worth 3; it is 11.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+3=8+3=11}}

ותחבר אליהם הל' ששוים ג' ויהיו י"א

Multiply again the 5 below in the place of the tens by the 1 above in the place of the hundreds; it is 5.

עוד תשוב לכפול הה' אשר הם למטה במקום העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ה‫'

Add it to the 11; it is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times1\right)+11=5+11=16}}

ותחבר אל הי"א ויהיו י"ו

Write 6 in the place of the thousands.

ושים ו' במקו' האלפי‫'

Multiply the 4 below in the place of the hundreds by the 1 above in the place of the hundreds also; it is 4.

אח"כ תכפול הד' אשר הם למטה במקום המאיות על הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ד‫'

Add to it the one you have; it is 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times1\right)+1=4+1=5}}

ותחבר אליהם האחד שיש לך ויהיו ה‫'

Write it in the place of the tens of thousands.

ושים אותם במקום עשרת אלפים

Therefore, the result is 56088 as this diagram:

ויהיה העולה א"כ נ"ו אלפים ופ"ח כמו זאת הצורה

		1	2	3
		4	5	6
5	6	0	8	8

If you want to multiply a number that has a zero, you have to multiply the zero by all the digits as well, even though the only result [of multiplying by a zero] is always a zero.

ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ציפרא יצטרך ג"כ לעשות ההכאה מהציפרא עם כל האותיות אע"פ שלא יצא לעולם כי אם ציפרא

Example: we wish to multiply 246 by 140.

\scriptstyle246\times140

דמיון זה נרצה לכפול רמ"ו על ק"מ

[Illustration of the procedure:]

246	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times6\right)}}={\color{blue}{0}}}$	246	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times6\right)}}={\color{red}{0+24}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}$	246
140		140		140
		0		40

246	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(0\times2\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(1\times6\right)}}={\color{red}{0+2+16+6=2+16+6=18+6}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}$	246
140		140
40		440

246	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(1\times4\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times2\right)}}={\color{red}{4+2+8=6+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{4}}}$	246	$\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(1\times2\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}}$	246
140		140		140
440		4440		34440

First, multiply the zero [below] in the place of the units by the 6 above in the place of the units; it is a zero.

\scriptstyle{\color{blue}{0\times6=0}}

הנה תכפול תחלה הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים והנם ציפרא

Write a zero in the place of the units.

ושים ציפרא במקום האחדים

Multiply the zero also by the 4 above in the place of the tens; it is a zero.

אח"כ תכפול הציפרא ג"כ על הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ציפרא

Multiply the 4 below in the place of the tens by the 6 above in the place of the units; it is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times6=24}}

עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במקום ‫^[32]העשרות על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו כ"ד

Write the 4 below in the place of the tens and keep the 2.

ושים הד' למטה במקום העשרות והב' תעכב עמך

Multiply again the zero by the 2 above in the place of the hundreds; it is a zero and with the 2 you have it is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(0\times2\right)+2=0+2}}

עוד תשוב ותכפול הציפרא על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ציפרא ועם ב' שיש לך ויהיו ב‫'

Multiply again the 4 below in the rank of tens by the 4 above in the rank of tens also; it is 16 and with the 2 it is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times4\right)+2=16+2=18}}

עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר הם למעלה ג"כ במדרגת העשרות ויהיו י"ו ועם הב' יהיו י"ח

Multiply the one below in the rank of hundreds by the 6 above in the rank of thousands; it is 6 and with the 18 it is 24.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times6\right)+18=6+18=24}}

עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הו' אשר הם למעלה במדרגת האלפים ויהיו ו' ועם הי"ח יהיו כ"ד

Write the 4 in the place of the hundreds and keep the 2.

ושים הד' במקום המאיות וקיים עמך הב‫'

Multiply again the one below in the rank of hundreds by the 4 above in the rank of tens; it is 4. Add 2 to it; it is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times4\right)+2=4+2=6}}

עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ד' תחבר אליהם ב' ויהיו ו‫'

Multiply again the 2 above in the rank of hundreds by the 4 below in the rank of tens; it is 8 and with the 6 it is 14.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times4\right)+6=8+6=14}}

עוד תשוב לכפול הב' אשר הם לעיל במדרגת המאות עם הד' השפלים אשר במדרגת העשרות ויהיו ח' ועם הו' והנם י"ד

Write the 4 below in the rank of thousands and keep the one.

ושים הד' למטה במדרגת האלפים והאחד תקים עמך

Multiply also the one below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of hundreds also; it is 2. Add the 1 to it; it is 3.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times2\right)+1=2+1=3}}

עוד תכפול האחד אשר למטה במדרגת המאיות על הב' אשר למעלה במדרגת המאיות ג"כ ויהיו ב' תחבר אליהם הא' ויהיו ג‫'

Write it in the place of the ten thousands.

ושים אותם במקום עשרת אלפים

Therefore, the result is 34440, as this diagram:

ויהיה א"כ היוצא ל"ד אלפים ות"מ על זאת הצורה

		2	4	6
		1	4	0
3	4	4	4	0

This is enough for you to know this [type of] multiplication, if you deduce from it.

וזה יספיק לך בידיעת זה הכפל אם תקיש על זה

Type three

The third type of multiplication is opposite two these two, because in the previous two we started multiplying from the units, then the tens, hundreds and so on, we rise upward and in this one the opposite is done, meaning going down, i.e. you start from the hundreds, or the thousands, if it is that high, then go to the tens, until you reach the units.

ואולם המין הג' מהכפל הוא בהפך אלו השנים כי בב' אשר עברו היינו מתחילים ההכאו' מן האחדים ואח"כ העשרות ואח"כ המאות וכן תמיד היינו עולים למעלה מעלה ובזה ראוי לעשות ההפך כונתי לרדת מטה מטה ר"ל שתתחיל ההכאה מהמאיות או מהאלפים אם הוא כל כך גדול ואח"כ תבא אל העשרות וכן עד שתגיע אל האחדים

We give examples for this, so that you will be skilled in all [kinds of] multiplication in all ways that can be found.

ונניח לזה דמיונות למען תהיה בקי בכל ההכפלות בכל האופנים שאפשר להמצא

Example: we wish to multiply 23 by 17.

\scriptstyle23\times17

דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על י"ז

First, we multiply the 1 below in the place of the tens by the 2 above in the place of the tens also; it is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}

הנה נכפול בתחלה הא' אשר למטה במקום העשרות על הב' אשר למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ב‫'

Know that this resulting 2 are hundreds.

ודע כי אלו הב' היוצאים הם מאות

The rule for this is that tens by tens are hundreds; hundreds by hundreds are tens of thousands; and [thousands] by hundreds are hundreds of thousands.

והכלל על זה כי עשרות על עשרות הם מאות ‫^[33]ומאות על מאות הם עשרות אלפים ועשרות אלפים על מאות הם מאות אלפים

Therefore, the 2 we received are 2 hundreds.

הנה א"כ אלו הב' שיצאו לנו הם ב' מאות

We write it one row beneath the two rows of the multiplicands in the appropriate place, i.e. in the place of the hundreds.

ונניחם בשטה אחת למטה תחת ב' שטות מהכפל במקום הראוי ר"ל במקום המאיות

Then, we multiply the one below in the place of the tens by the three above in the place of the units; it is 3 and they are tens, because units by tens are tens, so they are 3 tens.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times3=3}}

אח"כ נכפול האחד העומד למטה במקום העשרות על השלשה אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ג' והם עשרות כי אחדים על עשרות הם עשרות וא"כ יהיו ג' עשרות

Then, we multiply the seven below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 14 and they are tens.

אח"כ תכפול השבעה אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ד ויהיו עשרות

Add the 3 tens to it, which is 14; it is 17 tens, which are 170. Write it in its place.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\times2\right)+3=14+3=17}}

ותחבר אליהם הג' עשרות שהם י"ד ויהיו י"ז עשרות שהם מאה ושבעים ותשימם במקום

Then, [multiply] the units by the units, they are 7 by 3; it is 21.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times3=21}}

אחר כן תחבר האחדים עם האחדים והם ז' עם ג' ויהיו כ"א

Then, add up all, each with its type; the result is 391, as this diagram.

אח"כ חבר הכל מין עם מינו ויהיה העולה ג' מאות וצ"א על זאת הצורה

	2	3
	1	7
2	0	0
1	4	0
	3	0
	2	1
3	9	1

If you want to multiply three ranks by three ranks, you must do nine lines.

ואם תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות תצטרך לעשות ט' שורות

Example: we wish to multiply 242 by 144.

\scriptstyle242\times144

דמיון זה נרצה לכפול רמ"ב על קמ"ד

First, we multiply the 1 below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of hundreds; it is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}

והנה נכפול בתחלה הא' אשר היא למטה במדרגת המאות על הב' אשר היא למעלה במדרגת המאות ויהיו ב‫'

We already said that hundreds by hundreds are tens of thousand. We write it in one place.

וכבר אמרנו כי מאיות על מאיות הם עשרות אלפים ונניחם במקום אחד

We multiply again the 1 below in the rank of hundreds by the 4 above in the rank of tens; it is 4.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times4=4}}

עוד נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד‫'

Write it in the place of the thousands, because we said that hundreds by [tens] are thousands.

ושים אותם במקום האלפים כי כן אמרנו כי מאיות על מאיות הם אלפים

We multiply again the 1 below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of units; it is two. Write it in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}

עוד נשוב ונכפול הא' מלמטה אשר במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו שנים ושים אותם במקום המאות

We have already multiplied the lower hundreds by all the upper ranks.

הנה כבר עשינו כל ההכאות מהמאות שלמטה עם כל המדרגות של מעלה

Then, we multiply the 4, which is the tens below, by the 2 above in the place of the hundreds; it is eight and they are thousands. Write it in the place of the thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}

אח"כ נכפול הד' שהם עשרות העומדות למטה על הב' אשר היא למעלה במקום המאיות ויהיו שמונה והם אלפים ותניחם במקום האלפים

Multiply again the 4 by the 4 above in the place of the tens; it is 1600. Write it in its place.

\scriptstyle{\color{blue}{40\times40=1600}}

אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' עוד עם הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו אלף ות"ר ותניחם במקומם

Multiply the 4 a third time by the 2 above in the place of the units; [...]‫^[34].

\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}

עוד תשוב וכפול אותם הד' פעם שלישית עם הב' אשר למעלה במקום האחדים

[Multiply the 4 below in the rank of units]‫^[35] by the 2 above in the place of the hundreds; it is eight. Write it in the place of the hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}

‫^[36]עם הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו שמונה ושים אותם במקום המאות

Multiply the 4 a second time by the 4 above in the place of the tens; it is 16, which are 160. Write it in its place.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times40=160}}

עו' תכפול אותם הד' פעם שנית עם הד' העומדים למעלה במקום העשרות ויהיו י"ו שהם ק"ס ותניחם במקומם

Multiply the 4 a third time by the 2 above in the place of the units; it is 8. Write it in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}

עוד תשוב ותכפול הד' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ח' ושימם במקום האחדים

Add up all; it is 34848, as this diagram:

ותחברם כלם ויהיו ל"ד אלפים תתמ"ח על זאת הצורה

		2	4	2
		1	4	4
2	0	0	0	0
	4	0	0	0
		2	0	0
	8	0	0	0
	1	6	0	0
			8	0
		8	0	0
		1	6	0
				8
3	4	8	4	8

If you want to multiply any number that has a zero, you have to consider zero like all the other digits and multiply by zero, even though the result of the multiplication is always only a zero.

ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בם ציפרא צריך שתמנה הציפרא כמו האותיות האחרות ותעשה ההכאה עם הציפרא אע"פ שלא יצא לעולם מן המחובר כי אם ציפרא

Example: we wish to multiply 240 by 170.

\scriptstyle240\times170

דמיון זה נרצה לכפול ר"ם על ק"ע

First, multiply the 1 below in the place of the hundreds by the 2 above in the place of the hundreds also; it is 2. Write it in the place of the tens of thousands as we explained.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}

הנה תכפול תחלה הא' אשר הוא למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקו' המאות ג"כ ויהיו ב' ושים אותם במקו' עשרות האלפים כמו שביארנו

Multiply the 1 below a second time by the 4 above in the place of the tens; they are 4 thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{100\times40=4000}}

עוד תכפול פעם שנית הא' אשר הוא למטה נגד הד' אשר הם למעלה במקו' העשרו' ויהיו ד' אלפים

Multiply the 1 below a third time by the zero above in the place of the units.

\scriptstyle{\color{blue}{1\times0=0}}

עוד תכפול פעם ג' הא' אשר למטה על הציפרא אשר למעלה במקו' האחדים

Then, multiply the 7 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of hundreds; they are 14 thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{70\times200=14000}}

אח"כ תכפול הז' אשר למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ד אלפים

Multiply the 7 a second time by the 4 above in the rank of tens; they are 2 thousands and 8 hundreds.

\scriptstyle{\color{blue}{70\times40=2800}}

עוד תכפול פעם ב' אותם הז' על הד' אשר למעלה במדרגת העשרות ויהיו ב' אלפים וח' מאות

Multiply the 7 a third time by the zero above; you receive nothing.

\scriptstyle{\color{blue}{7\times0=0}}

עו' כפול הז' פעם ג' נגד הציפרא אשר למעלה ולא יעלה בידך מאומה

As for the next zero, i.e. the zero below in the place of the units, there is no need to multiply by it at all.

ומהציפרא הבאה ר"ל הציפרא אשר היא למטה במקום האחדים אין צורך לעשות עמה שום הכאה

Therefore, the result is 4800, as this diagram:

הנה א"כ היוצא הוא מ' אלפים וח' מאות על זאת הצורה

		2	4
		1	7
2	0	0	0
	4	0	0
1	4	0	0
	2	8	0
4	0	8	0

Type four

ואולם המין הד' מהכפל הוא הפך הכפל אשר כתבנו בתחלה והוא כי יש לנו להתחיל מן האלפים או יותר מכן אם הוא כל כך גדול עד אשר תגיע לאחדים ראוי לך לשוב אחורנית

Example: we wish to multiply 122 by 232.

\scriptstyle122\times232

‫^[37]דמיון זה נרצה לכפול קכ"ב על רל"ב

הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל לכפול מן המאיות ותכפול הא' אשר היא למטה במקום המאיות על ב' אשר היא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ב' ולא תשים מאומה אלא תחזיקם ואם תרצה לשים אותם לא תכתוב שום ציפרא כמו שיהיה ראוי לכתוב כי מאה על ב' מאות הוא עשרים אלף ולא תוכל לכתוב עשרים אלף בזולת הציפראות המצטרכות אבל בכאן אין ראוי לכתוב מפני כי עדין לא עשית כל ההכאות מהאותיות העליונות עם זה האחד אשר התחלת עמה לעשות הכאתו אבל כשתסיים כל ההכאות מהאותיות של מעלה עם זה האחד יש לך לראות המרחק אשר יש מזה האחד עד האות הראשנה של מטה ר"ל כי זה הא' הוא למטה במדרגת המאיות והנה עד המדרגה הראשנה שהיא מדרגת האחדים יצטרך עדין ב' מדרגות ולכן ראוי שתשים ב' ציפראות אחר שסיימת הכאת זאת המדרגה מה' מהמאיות אשר היא למטה עם כל המדרגות העליונות ושמור זה הסוד מאד כי זה יישירך שלא תטעה בשום צד שבעולם ונחזור לראשנות והנה נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו שנים ושימם לבדם בלי שום ציפרא אלא שימם כאלו הם אחדים בידך עוד כפול אותו הא' אשר הוא למטה במדרגת המאות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' וכתוב אותם אצל הב' שכבר כתבת אחורנית אח"כ כפול זה הא' פעם ג' עם הב' אשר הם למעלה במקום האחדים וכתוב אותם אחורנית אצל הג' כמו שעשית ג"כ מהג' והנה עתה השלמת הכאת המאות אשר למטה עם כל האותיות העליונות ולכן תכתוב ב' ציפרי אחורנית אצל היוצא מההכאה שעשית עם המאיות

אח"כ תכפול העשרות של מטה שהם ב' על הב' אשר הם למעלה ויהיו ד' עוד תכפול פעם שנית העשרות מלמעלה (מלמטה) עם הג' של מעלה שהם במקום העשרות ויהיו ו' וכתוב אלו הו' אחורנית אצל הד' עוד תכתוב פעם ג' העשרות של מטה עם הב' של מעלה שהם במקום ‫^[38]האחדים ויהיו ד' וכתוב אותם אצל הו' אחורנית ודע כי זה הכפל שעשית עתה היה מהעשרות של מטה עם כל האותיות העליונות ולכן יש לך לראות כמה ציפרי יצטרך מא' עד י' ותמצא א' על כן תכתוב ציפרא אחורנית אצל היוצא מההכאה מהעשרות השפלות ר"ל מהשטה התחתונה

עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ד' וכתוב אותם

אח"כ שוב וכפול אלו הב' פעם ב' על הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' וכתוב אותם אחורנית אצל הד' שכבר כתבת עוד שוב פעם ג' אלו הב' על ב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ד‫'

אח"כ תצרף הכל מין עם מינו ויעלה הכל כ"ח אלפים וג' מאות וד' וזאת היא צורתם

		2	3	2
		1	2	2
2	3	2	0	0
	4	6	4	0
		4	6	4
2	8	3	0	4

ואם תרצה לכפול מספר יהיה בו ציפרא תעשה על אופן שעשינו

Example: we wish to multiply 470 by 580.

\scriptstyle470\times580

דמיון זה נרצה לכפול ת"ע על תק"פ

הנה נכפול בתחלה הג' (הה') אשר הם למטה במקום המאיות על הד' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו עשרים ושים אותם הכ' ר"ל שנים עם ציפרא אחת ויהיו כ‫'

אח"כ תכפול הה' שלמטה פעם שנית עם הז' אשר הם למעלה ויהיו ל"ה ושים ל' על הציפרא אשר כתבת עם העשרים ושים תחת הציפרא ג' שהם ל' והה' הבאים תכתוב לאחור והנה נצטרך לעשות על זה ג' ציפרי ב' בעד המספר התחתון וא' שעומדת למעלה במקום האחדים

עוד נכפול הח' אשר הם למטה במקום העשרות אצל הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ל"ב ושים ל"ב בקו אחד תחת הל"ה אשר למעלה

עוד תכפול ח' על ז' שהם למעלה במדרגת העשרות ויהיו נ"ו ותכתוב הנ' תחת הב' מהל"ב והו' תכתוב אחורנית אח"כ תחברם ויהיו רע"ב אלפים ות"ר וזאת צורתם

			4	7
			5	8
2	0	0	0	0
	3	5	0	0
	3	2	0	0
		5	6	0
2	7	2	6	0

Type five

ואולם המין הה' מהכפל הוא אשר כתבנו הנקרא בלשונם קרוציטא

ונעשה אותו בזה האופן והוא שנחזיק לעולם המספר ממה שיעלה מהאות הראשנה עד שנראה מה יצא מהשניה כדי שלא נצטרך למחוק אותה האות ולרשום אחרת תעמוד תחתיה וזה תבין בבירור בלי שום ספק אחר שנעיין בעין פתוחה בדמיונות

Example: we wish to multiply 27 by 32.

\scriptstyle27\times32

דמיון זה נרצה לכפול כ"ז על ל"ב

הנה נכפול תחלה הג' אשר במדרגה השנית על הב' אשר הם למעלה ב' במדרגה השנית ג"כ ר"ל במדרגת העשרות ויעשה בידך י' (ו') ולא נניח אותם כמו שקדם שמא יעלה לנו משאר ההכאות שאנו עתידין להכות עם שאר האותיות

עוד נכפול אותם הג' על הז' אשר הם לעיל במדרגת האחדים ויהיו כ"א

עוד נכפול הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד‫'

נחברם אל הכ"א ויהיו כ"ה ונעשה מהכ' ב' עשרות ב' שלמים ר"ל שאותם הכ' שהם ב' עשרות ישוו ב' מאות ונחבר אלו הב' אצל הו' ויהיו ח' ותניח ח' במקום המאות וישארו בידך ה‫'

עוד תכפול הב' אשר הם למטה על הז' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו י"ד ונעשה מהעשרה אחד ונחבר זה הא' אצל הה' שיש לנו ויהיו ו' נשים אותם אצל העשרות והד' הנשארים תשיבם אחורנית אצל הנשארים ויהיו ד' הנה א"כ היוצא הוא תתס"ד על זאת הצורה

	2	7
	3	2
8	6	4

Another example: we wish to multiply 231 by 342.

\scriptstyle231\times342

דמיון אחר נרצה לכפול רל"א על שמ"ב

והנה נתחיל לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ו' ולא תניחם

אח"כ נשוב לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ה' ט' ושמור אותם

עוד כפול הב' אשר הם למעלה במקום המאיות על הד' אשר הם למטה במקו' העשרות ויהיו ח‫'

ותחברם אל הט' ויהיו י"ז ותעשה מהעשרה אחד ותחבר זה הא' עם הו' שהיו לנו ושים אותם למטה בקו שלישי והז' יהיו לאחדים בידך

אח"כ תשוב לכפול הג' אשר הם למטה במדרגת המאיות אצל הא' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ג' ושמור אותם

עוד שוב וכפול הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ד' ותחברם אל הג' השמורים ויהיו ז‫'

עוד כפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב

ותחברם אל הז' השמורים ויהיו י"ט תעשה מהי' אחד ושים זה האחד עם הז' השמורים הראשנים ויהיו ח' ושים אלו הח' אצל הז' אשר הם בקו ג' ונשארו בידך עדין ט‫'

אח"כ תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ד‫'

עו' תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ו' ושים אותם על הד' ויהיו י' ותעשה מהם א' ותחבר זה הא' עם הט' ויהיו י' ואלו הי' ישוו ג"כ א' אצל הח' המונחים בקו ג' ויהיו עתה ח' תחת הט' ותעשה ב' ציפרי א' מצד כי עלה בידך י' מצומצמים מהמספר האחרון והשניה כי היו בידך ט' ובא זה והשלים המנין באופן שהיו עשרה כי אין מנין פחות מעשרה אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה אצל האחדים עם הא' אשר הוא למעלה ויהיו ב' הנה א"כ העולה הוא ע"ח (ע"ט) אלפים וב' על זאת הצורה

		2	3	1
		3	4	2
7	9	0	0	2

ואם יצטרך לך לע[שו]ת הכפל עם ציפרי תעשה כנז' בכמה מקומות מזה החבור ולא תחטיא אם תקיש זה לזה

Type six: Gelosia

ואולם המין הו' מהכפל

הוא הפך הכפל הג' אשר כתבנו בכאן כי הכפל הג' צריך להתחיל ההכאות מן המדרגה היותר גדולה ר"ל מן האלפים אם המספר הוא כל כך גדול וזה צריך לעשות הכפל ולהתחיל מן המספר היותר קטן להתחיל מן האחדים ואל תחשוב כי זה הכפל הוא כמו הכפל הראשון כי הפרש בין זה לזה וזה הכפל נקרא בלשונם מולטיפליקארי פיראושקאקי

ודע כי צריך לעשות מרובע אחד כפי האותיות שתרצה לכפול ר"ל שאם תרצה לכפול ב' אותיות על ב' אותיות תצטרך לעשות ג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון הא' והג' קצרות והאמצעית ארוכה וצריך שתשים היוצא בין הקוים ואחר כן תחבר הכל מין עם מינו ודע כי בזה המרובע תמצא כמו בתים

ודע כי אם תמצא בבית הראשון ציפרא זה יורה כי אין במדרגת האחדים דבר כי אם ציפרא וכן תעשה מהבתים האחרים ותחבר הבתים המכוונים זה מזה והשמר לך ושמור נפשך שלא תטעה בחבור ר"ל שתחבר הבית הב' עם הב' והג' עם הג' והד' עם הד' וכן תמיד

Example: we wish to multiply 25 by 25.

\scriptstyle25\times25

דמיון זה נרצה לכפול כ"ה על כ"ה

הנה בתחלה תצטרך לעשות מרובע מג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון מצד כי המדרגות אינם כי אם ב' כמו זאת הצורה

ותתחיל לכפול בתחלה הה' אשר למטה במדרגת האחדים על הה' אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו כ"ה ושים הה' בבית הראשון והב' עשרות תעכב עמך אח"כ תכפול הה' אשר למטה פעם שניה על הב' למעלה במדרגה הב' ויהיו י' ותחבר אליהם הב' ויהיו י"ב ושים הב' בבית השני והאחד בבית הג' עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הה' אשר הם למעלה במדרגת האחדי' ויהיו י‫'

ודע כי כל אלו האותיות אשר שמנו עד עתה היו בבתים העליונים ר"ל באותם הבתים אשר בין הקו הא' והב' שהולכים ברוחב אבל מה שיצא עתה נשים בבתים אשר בין הקו הב' והג' והנה נשים זה הגלגל בבית הב‫'

אח"כ נשוב ונכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ד' ונחבר אליהם זה הא' שעלה בידינו ויהיו ה' ושים אותם בבית הג‫'

אח"כ נחבר הכל והנה תמצא למעלה בבית הראשון ה' וזה מורה שהם אחדים גם תמצא בבית הב' ב' וזה מורה כי הם עשרות גם תמצא בבית העליון ר"ל בבית השלישי א' ג"כ למטה בבית הג' וה' עם א' ויהיו ו' ומאחר שמצאנו אלו הו' בבתים השלישיים יורה על המאיות ויהיה היוצא ו' מאות וכ"ה כמו זאת הצורה

ולמען תהיה בקי לעשות זה הכפל נכתוב דמיון אחר ויהיה מג' מדרגות

Example: we wish to multiply 212 by 132.

\scriptstyle212\times132

דמיון זה נרצה לכפול רי"ב על קל"ב

הנה נצטרך לעשות מרובע מג' (ד') קוים ברוחב וד' באורך וד' באלכסון מאחר שהאותיות הם ג' וראה ועשה כתבניתו אשר אתה מראה בכאן

והנה תתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו ד' נשים אותם לעיל בבית הא‫'

אח"כ נכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' וכתו' אותם לעיל בבית הב‫'

אח"כ תשוב לכפול פעם ג' הב' מלמטה נגד הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ב' ושים אותם למעלה בבית הג‫'

אח"כ תכפול הא' אשר הוא למטה במדרגת העשרות נגד הב' אשר הוא לעיל במדרגת האחדים ויהיו ב' ושים אותם באמצע הבתים ר"ל בין הבתים אשר הם בין הקו הב' והג' ושים אותם הב' בבית הב‫'

אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' ושים אותם בבית הג‫'

אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ג' עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת המאות ויעלה א' ושים אותו בבית הד‫'

אח"כ תשוב לכפול השנים אשר הם למטה במדרגת המאות עם הב' העליונים אשר הם במדרגת האחדים ויעלו ד' ושים אותם למטה בין הבתים אשר הם בין הקו הג' והד' ושים אלו הד' בבית הג‫'

עוד שוב וכפול אלו הב' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' ושימם בבית הד‫'

עוד כפול אלו הב' פעם ג' עם הא' אשר הוא לעיל במדרגת המאות ויעלה ב' ושים אותם בבית הה‫'

אח"כ תחברם זה עם זה ולא תטעה בחבור ויצא לך כ"ז אלפים תתקפ"ד על זאת הצורה

Type seven: multiplying by tens

ואולם המין הז' מהכפל

נעשה על זה האופן והוא שאם תרצה לכפול איזה מספר על כלל אחד ר"ל כי הכלל נקרא כמו י' או ק' או אלף או י' אלפים אבל אלפים אינו נקרא כלל וזה הכלל יהיה בידיך כי כשתמצא יותר מאות א' אינו נקרא כלל

וכשתרצה לדעת זה הכפל אם תרצה לכפול על עשרה תשים ציפרא למעלה על המספר המונח ומה שיעלה הוא המבוקש

ואם תרצה לכפול אותו על ק' תוסיף בו ב' ציפרי על המספר העליון

ואם תרצה על אלף תוסיף ג' ציפרי

Example: we wish to multiply 33 by 10.

\scriptstyle33\times10

דמיון זה נרצה לכפול ל"ג על י'

הנה יש לך לשים למעלה על הל"ג ציפרא א' הנה ישוו עתה הל"ג ש"ל והוא המבוקש

ואם תרצה לכפול אותם על מאה

ראוי להוסיף על ל"ג ב' ציפרי ויגיעו למדרגת האלפים ויהיה העולה ג' אלפי' וש‫'

ואם תרצה לכפול אותם על אלף

יש לך להוסיף על הל"ג ג' ציפרי ויגיעו לעשרות אלפים ויעלה ל"ג אלפים

ואולם אם תרצה לכפול המספר המונח על עשרים

הנה יש לך לכפול המספר המונח על ב' ואח"כ תוסיף על הסך ציפרא א' ומה שיעלה הוא המבוקש

Example: we wish to multiply 45 by 20.

\scriptstyle45\times20

דמיון זה נרצה לכפול מ"ה על עשרים

הנה יש לך לכפול מ"ה על ב' והטעם למה אנו כופלי' אותו ב' פעמים מצד כי עשרים הם כפל עשרה והנה ב' פעמים מ"ה הם צ' ועתה יש לך להוסיף על הצ' ציפרא אחת ויעלה ט' מאות והוא המבוקש

ואם תרצה לכפול המספר המונח שהוא מ"ה על מאתים

יש לך ג"כ לכפול מ"ה על ב' ותוסיף עליו ב' ציפראות ויהיו ט' אלפים

ואם תרצה לכפול אותו על אלפים יש לך לכפול המספר כאשר אמרנו ותוסיף עליו ג' ציפרי ויעלה צ' אלפים והוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה

אבל אם תרצה לכפול המספר המונח על ד' יש לך לכפול המספר המונח ד' פעמים ולהוסיף עליו כפי הציפרי ר"ל אם הם ד' אלפי' תוסיף עליו ג' ציפראות

ואם ד' מאות תוסיף עליו ב' ציפרי

ואם הם ד' עשרו' תוסיף ציפרא והעולה הוא המבוקש

Example: we wish to multiply 15 by 40.

\scriptstyle15\times40

דמיון זה נרצה לדעת כפל ט"ו על מ‫'

הנה יש לך לכפול ט"ו ד' פעמים ויעלו ס‫'

ואח"כ ראוי להוסיף על הס' ציפרא א' ויהיו ו' מאות והוא המבוקש

וכן על ד' אלפים תוסיף ג' ציפרי ויעלה ס' אלפים ותקיש על זה

Type eight: subtraction and multiplication

ואולם המין הח' מהכפל הוא מעורב ממגרעת ומכפל

במקום אחד עומד הכפל ובמקום אחד הגרעון מהמספר הא' וכך ראוי לעשות מהמספר הב' ר"ל שהכפל עומד בזוית זו והגרעון בזוית זו

והנה יש לך להתחיל ההכפלה מגרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני ושמור העולה

ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר השני על תוספת המספר הראשון (ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני) ושמור העולה מאלו הב' הכפלות

אח"כ תכפול תוספת המספר הראשון על תוספת המספר השני ושמור העולה

ועוד יש לך לכפול שני החסרונות ר"ל חסרון המספר הא' על חסרון המספר הב‫'

ותחבר העולה עם התוספת ממה שעלה ב' המספרים

ותגרע מזה מה שיש לך מהתוספת והחסרון והנשאר הוא המבוקש

Example: we wish to multiply 4 minus 2 by 8 minus 3.

\scriptstyle\left(4-2\right)\times\left(8-3\right)

דמיון זה נרצה לכפול ד' פחות שנים עם ח' פחות ג'

הורידם בב' שטות כמו זאת הצורה

תוספת	תוספת
4	8
2	3
חסרון	חסרון

והנה יש לך להתחיל ההכפלה בזה האופן והוא שתכפול הב' אשר הם תחת הד' על הח' אשר הם על הג' 3 2 ויעלה בידך י"ו

אח"כ כפול עוד הג' אשר הם תחת חסרון חסרון הח' נגד הד' אשר הם על הב' ויהיו י"ב

אח"כ תחבר י"ב עם י"ו ויהיו כ"ח

עוד כפול הד' אשר הם על הב' נגד הח' אשר הם על הג' ויהיו ל"ב

עוד תכפול הב' אשר הם תחת הד' על הג' אשר הם תחת הח' ויעלו ו‫'

ותחברם אל ל"ב ויהיו ל"ח

הסר משם כ"ח נשארו עשרה והוא המבוקש

Another example: we wish to multiply 7 minus 2 by 8 minus 4.

\scriptstyle\left(7-2\right)\times\left(8-4\right)

דמיון אחר נרצה לכפול ז' פחות ב' על ח' פחות ד' הורידם בזאת הצורה

תוספת	תוספת
7	8
2	4
חסרון	חסרון

והנה בתחלה יש לך לכפול הב' אשר הם תחת הז' על הח' אשר הם על הד' ויהיו י"ו ושמור אותם

אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הז' אשר הם על הב' ויהיו כ"ח

ותחברם אל הי"ו ויהיו מ"ד

אח"כ תכפול הז' אשר הם על הב' על הח' אשר הם על הד' ויהיו נ"ו

עוד תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הב' אשר הם תחת הז' ויהיו ח‫'

ותחברם עם נ"ו ויהיו ס"ד

גרע מהם מ"ד הנשאר עשרים והוא המבוקש ותקיש על זה

ובכאן נשלם השער הג‫'

Chapter Four: Division	השער הד' ידבר על חלוק השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום
	ונחלק זה השער לב' חלקים
	החלק הראשון ידבר על חלוק המספר הקטן על הגדול
	והחלק הב' ידבר על חלוק המספר הגדול על הקטן
	דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון קטן על חשבון גדול ראוי לך לראות אם אותם המספרים הם מורכבים ר"ל הגדול והקטן ואם הם מורכבים חלקם לאותו מספר אשר ממנו הורכבו
Example: we wish to divide 36 by 48. $\scriptstyle36\div48$	דמיון זה נרצה לחלק ל"ו על מ"ח
	הנה מספר מ"ח מספר מורכב ר"ל שנוכל לחלק מ"ח על ב' ויצא לך כ"ד אח"כ תחלק ל"ו ג"כ על ב' ויצא לך י"ח א"כ היוצא הוא י"ח חלקים מכ"ד ועדין נוכל לחלקם והוא שנחלק י"ח על ב' ויצא לך ט' עוד חלק כ"ד על ב' ויצא לך י"ב א"כ היוצא הוא ט' חלקים מי"ב ועדין נוכל לחלקו והוא שתחלק ט' על ג' ויצא לך ג' עוד תחלק י"ב על ג' ויצא לך ד' א"כ היוצא הוא ג' רביעיות
	ואם המספר הגדול מורכב והקטן בלתי מורכב תחלק הגדול להרכבתו אח"כ תחלק המספר הקטן באותם המספרים והיוצא הם חלקים ממנו
Example: we wish to divide 11 by 18. $\scriptstyle11\div18$	דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ח
	הנה מספר י"ח הוא מספר מורכב מג' וו' או מב' וט' הנה נחלק י"ח על ג' ויצא לך ו' ושים במקום אחד ו' ובמקום אחר ג' ותחלק י"א שהוא המספר הקטן על ג' ויצא לך ג' ונשארו ב' ושים אלו הג' על הו' והשנים שנשארו שים על הג' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית אחד כמו זאת הצורה
Another example: we wish to divide 23 by 36. $\scriptstyle23\div36$	דמיון אחר נרצה לחלק כ"ג על ל"ו
	הנה מספר ל"ו מספר מורכב מב' וג' וו' ר"ל כי אם תכפול ו' על ג' יעלו י"ח ואם תכפול יח על ב' יעלו ל"ו ולכן נניח ב' ואח"כ ג' ואח"כ ו' ויש לנו לחלק כ"ג על המספר היותר קטן שהוא ב' ויצא לך י"א וישאר א' ותניח א' על הב' וי"א תשים על הקצה האחרון שהוא ו' ויש לך עתה לחלק י"א על ג' ויצא לך ג' וישארו ב' ותניח הב' על הג' והג' תשים על הו' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית וחצי שליש שישית וזאת צורתם
	והכלל בזה שתחלק המספר הקטן על הסכום היותר קטן אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואם נשאר כלום תניחהו על אותו הסכום הקטן והיוצא שים על הסכום הגדול אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואח"כ תחלק מה שהנחת על הסכום הגדול על הסכום האמצעי אם אותו המספר הגדול מורכב מג' מספרים ומה שישאר תניח על הסכום האמצעי והיוצא תשים על הסכום הקטן (הגדול)
	ולמען תהיה בקי אתן לך דמיון אחר
Example: we wish to divide 37 by 48. $\scriptstyle37\div48$	דמיון זה נרצה לחלק ל"ז על מ"ח
	הנה מספר מ"ח הוא מורכב מב' וד' וד' (וו') כי ו' פעמים ד' הם כ"ד וב' פעמים כ"ד הם מ"ח ולכן נשים ב' שהוא הסכום הקטן תחלה ואח"כ נשים ד' ואחר נשים ו' שהוא הסכום הגדול וכבר אמרנו כי הראשנה ראוי לנו לחלק מספרינו על הסכום הקטן ונחלק ל"ז על ב' ויצא לך י"ח וישאר א' ותניח א' על הב' כי כן אמרנו כי הנשאר נניח על הסכום הקטן והי"ח נניח על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא נניח על הסכום הגדול ועתה יש לנו י"ח על הסכום האמצעי שהוא ד' כי כן אמרנו ויצא ד' וישארו ב' ושים ב' שהוא מה שנשאר על ד' כי כן אמרנו שהנשאר ראוי להניחו על הסכום האמצעי והיוצא נשים על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא ראוי להניחו על הסכום הגדול הנה א"כ נשאר על הסכום הגדול ד' ועל הסכום האמצעי ב' ועל הסכום הקטן א' הנה א"כ היוצא הוא ד' שישיות שהוא ב' שלישיות וב' רביעיות שישית וחצי רביעית שישית וזאת היא צורתם
	ואם תרצה לבחון אותו קח ב' שלישיות מ"ח שהם ל"ב אח"כ קח ב' תשיעיות (רביעיות) שישית שהם ד' חלקים ממ"ח ועם ל"ב יהיו ל"ו ואח"כ חצי רביעית שישית שהוא חלק א ממ"ח ושים אותו על ל"ו ויהיו ל"ז כמו שהיה מספרינו וזה המעט יספיק לך
	ואם אין שום מספר מורכב ר"ל הגדול והקטן יש לך לעשות חצאין מהמספר הקטן ותראה אם המספר הגדול הוא עדין יותר גדול מסכום חצאי המספר הקטן ואם המספר הקטן הוא עתה יותר גדול הנה יצא לך חצי אחד והחלקים שנשארו הם חלקי כפל המספר הגדול
Example: we wish to divide 11 by 19. $\scriptstyle11\div19$	דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ט
	הנה נעשה מהיא חצאים ויהיו כ"ב חצאים ותחלק עתה כ"ב על י"ט ויצא לך א' שהוא חצי אחד ונשארו עדין ג' חלקים ועתה יש לך לכפול י"ט על ב' ר"ל שנעשה גם מהי"ט חצאים ויהיו ל"ח הנה א"כ יצא לך חצי אחד וג' חלקים מל"ח
Example: we wish to divide 5 into 17 parts. $\scriptstyle5\div17$	דמיון אחר נרצה לחלק ה' לי"ז חלקים
	הנה אם נעשה מהה' שהוא המספר הקטן חצאים לא יהיו כי אם עשרה ומספרינו הוא י"ז ולא יספיק לכן יש לנו למצא מספר יספיק לחלקו על י"ז ונעשה מהה' רביעיות ויהיו כ' רביעיות וחלקם על י"ז ויצא לך א' שהוא רביעית אחד ונשארו עדין ג' לחלקם על י"ז ולכן נעשה מהי"ז רביעיים ג"כ ויהיו ס"ח הנה א"כ היוצא הוא רביעית אחד וג' חלקים מס"ח
	וזה יספיק לך בחלוק המספר הקטן על הגדול
	החלק השני ידבר על חלוקת המספר הגדול על הקטן
	והוא נעשה ככה
	דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון צריך לך לדעת כי המספר המחולק יהיה לעולם יותר גדול מהמחלק ויש לך לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ואח"כ תתחיל לגרוע מן האלפים ויש לך לחשוב אותם כמו אחדים ועליו תחלק ואם נראה לך כי לא תוכל לחלק מה שהוא בשטה היותר גדולה למעלה על היותר גדולה (קטנה) שהיא למטה יש לך להשיב אותו של מעלה אחורנית אצל האות הסמוכה לה וחשוב אותם כמו אחדים והיו לאחדים בידיך ואלו האחדים תחלק על האות הגדולה אשר היא למעלה (למטה) וכן תמיד תשוב אחורנית ואח"כ תכפול מה שיצא מהחלוקה נגד האות של מטה אצל אותה האות אשר עשית החלוקה עליה ותגרע העולה מן האות של מעלה אצל הגדולה וכן תמיד עד שתגיע אצל האחדים
Example: we wish to divide 245 by 34. $\scriptstyle245\div34$	דמיון זה נרצה לחלק רמ"ה על ל"ד
	הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
	ותמשוך ב' קוים בין המחלק והמחולק כדי לשים מה שיצא ביניהם ואח"כ תתחיל לחלק האות האחרונה של מעלה שהיא ב' במקום המאות על היותר גדולה של מעלה (מטה) שהיא ג' במקום העשרות ולא תוכל לחלק ב' על ג' לכן יש לך להשיב הב' מאות אצל העשרות אשר הם ד' הנה הב' ישוו עשרים ועם הד' יהיו כ"ד ותחלקם על ג' יעלו ח' שלמים ולא תוכל לשים כל אלו הח' כי אנו צריכין לכפול הח' נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים שיגיע סך העולה ל"ב והנה למעלה לא נשאר לנו כי אם ה' ולא נוכל לגרוע מהה' של מעלה הל"ב של מטה ולכן לא נתן לו כי אם ז' ונשאר עדין ג' למעלה במקום העשרות אח"כ נכפול אלו הז' היוצאים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח ונסיר כ"ח מל"ה אשר הם עדין למעלה הנשאר ז' והיוצא הוא ז' ג"כ
	ואם תרצה לחלק מספר יהיה למעלה ד' או ה' מדרגות ובתחתונה יהיה ג' מדרגות תעשה כנז'
Example: we wish to divide 12345 by 234. $\scriptstyle12345\div234$	דמיון זה נרצה לחלק י"ב אלפים ושמ"ה על רל"ד
	הורידם בב' שטות על זאת הצורה
	אח"כ תתחיל לחלק הא אשר הוא למעלה ששוה במקום עשרת אלפים על הב' אשר הוא למטה במקום המאיות ולא תוכל כי ב' יותר גדול מא' על כן יש לך להשיב זה הא' אשר הוא למעלה במקום עשרת אלפים אצל הב' אשר הם למעלה במקום האלפים ויהיו י"ב ותחלק י"ב על ב' ויצא לנו ו' אבל לא נשיב כל הו' כי יש לנו לכפול אותם הו' היוצאים על ג' אשר הם למטה ויעלה י"ח ויש לנו לקחת אלו הי"ח מהג' אשר הם לעיל במקום המאיות ולא נוכל על כן לא נשים כי אם ה' ונשארו עדין למעלה הב' אשר הם במקום האלפים
	אח"כ תכפול הה' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ט"ו ותגרע ט"ו מן הג' אשר הם למעלה במקום המאיות ולא נוכל על כן יש לנו להשיב אותם הב' אשר הם למעלה במקום האלפים אצל הג' שהם במקום המאיות ויהיו כ"ג תגרע מהם ט"ו הנשאר ח' ושים אלו הח' למעלה במקום המאיות
	אח"כ תכפול עוד אותם הה' שיצאו בין שני הקוים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו עשרים ויש לך לגרוע אלו הכ' מהד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך לקחת ב' מאלו הח' אשר הם במקום המאיות ולהשיבם אצל הד' ויהיו כ"ד תקח מהם עשרים ונשארו ד' אצל העשרות גם נשארו ו' על המאות
	אח"כ תשוב אחורנית המספר התחתון וזה שתשיב הב' מאות ממטה אצל הו' מאות של מעלה והג' עשרות של מטה אצל הד' עשרות של מעלה והד' אחדים של מטה אצל הה' אחדים של מעלה ותתחיל לחלק הו' אשר הם למעלה במקום המאות על הב' אשר הם למטה ויעלו ג' ואל תשים כל אלו הג' כי אם תכפול אותם הג' על הג' אשר הם למטה במקום העשרות יעלו ט' והנה לא תוכל לקחת ט' מן הד' אשר הם למעלה במקום האחדים (העשרות) על כן נקח לו ב' ונשארו עדין ב' למעלה במקום המאות
	אח"כ נכפול הב' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ו' נחסר ו' מד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא נוכל על כן יש לנו לקחת אחד מאותם הב' שנשארו עדין במקום המאות ונשיב אותו אחורנית אצל הד' אשר הם בעשרות ויהיו י"ד נחסר מהם הו' ונשארו עדין ח' במקום העשרות למעלה [וא'] במקום המאות
	עוד נשוב ונכפול הב' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו ח' ותחסר אותם הח' מן הה' אשר למעלה במקום האחדים ולא נוכל ועל כן נקח אחד מהח' אשר הם למעלה במקום העשרות ונשארו עדין ז' ותשיב אלו העשרה אצל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מט"ו ח' ונשארו ז' ושים אלו הז' למעלה במקום האחדים
	הנה א"כ היוצא מן החלוקה הוא נ"ב ונשארו עדין קע"ז כמו שכתו' לעיל
	ואם תרצה לחלק מספר מה יהיה בו ציפרא גם במחלק יהיה ציפרא תעשה כמו שתראה בדמיון
Example: we wish to divide 20503 by 304. $\scriptstyle20503\div304$	דמיון זה נרצה לחלק עשרים אלף תק"ג על מספר ש"ד
	הורידם בב' שטות על זאת הצורה
	ותתחיל לחלק הב' אשר היא למעלה במקום עשרת אלפים על הג' אשר היא למטה במקום המאיות ולא תוכל על כן יש לך להשיב אותם הב' שלמעלה אצל הציפרא ויהיו כ' תחלקם על ג' אשר הם למטה ויצא לך ו' ושים אותם הו' בין שני הקוים ונשארו עדין למעלה ב' במקו' האלפים
	אח"כ תכפול אותם הו' היוצאים נגד הציפרא ויעלה בידך ציפרא ולא תשים מאומה מהה' אשר הם למעלה במקום המאות כי אלו עלה בידך איזה דבר היה לך לחסר אותם מהה' ומאחר שעלה בידך ציפרא לא תשים מאומה
	עוד תכפול היוצא שהם ו' על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ד ויש לך לקחת אלו הכ"ד מן הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך להשיב הה' אשר הם במקום המאיות אחורנית ויהיו נ' תחסר מהם כ"ד הנשאר כ"ו ושים הב' על המאיות והו' על העשרות
	אח"כ תעתיק המספר התחתון ושים הג' אשר הם במקום המאיות תחת הב' אשר הם במקום האלפים (המאיות) למעלה ושים הציפרא תחת הציפרא (הו') של מעלה אשר היא במקום העשרות ושים הד' של מטה תחת הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ותתחיל לחלק מן האלפים ותחלק הב' אלפים על הג' ולא תוכל כי ג' גדול מב' ועל כן יש לך להשיב אחורנית אלו הב' אצל הב' אשר הם במקום המאיות ויהיו כ"ב תחלקם על ג' ויצא לך ז' ושים אותם בין שני הקוים אצל הו' אחורנית וישאר עדין למעלה אחת במקום המאות
	עוד תכפול הז' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח תחסר אותם מהג' אשר למעלה במקום האחדים ולא תוכל על כן יש לך לעשות בזה האופן והוא שתשיב אותם הו' אשר הם על העשרות אחורנית ויהיו ס' תחסר מהם כ"ח הנשאר לב תחבר אליהם הג' שלמעלה ויהיו ל"ה
	הנה א"כ היוצא הוא ס"ז והנשאר קל"ה
	ואולם המין השני מן החלוק הוא על זה האופן והוא שנחלק המספר הגדול נגד הקטן בבת אחת כוונתי שלא נחלק אותו אות באות כאשר עשינו עד עתה אלא נחלק המספר העליון אצל המספר התחתון
	ולעולם נשוב אחורנית כמו שעשינו בחלוק אשר קדם זכרו וזה החלוק נקרא בלשונם דאנדא והקודם נקרא גליאה
Example: we wish to divide 4321 by 23. $\scriptstyle4321\div23$	דמיון זה נרצה לחלק ד' אלפים שכ"א על כ"ג
	הורידם בשתי שטות כמו זאת הצורה
	אח"כ תחלק מ"ג אשר הם למעלה רצוני הד' אלפים וג' מאות ונחשוב אותם כאלו היו יחידים ונחלקם על כ"ג ויצא לנו א' וישאר עדין ב' שהם ב' אלפים
	אח"כ נשיב אלו הב' אלפים אצל העשרות שהם ב' עשרות ויהיו ב' מאות וב' ונחלקם על כ"ג ונתן לו ח' ונשארו עדין י"ח שהם ק"ף
	אח"כ נשיב אלו הק"פ אצל האחדים רצוני אצל הא' אשר הם למעלה במקום האחדי' ויהיו קפ"א ותחלקם על כ"ג ויצא לך ז' ונשארו עדין כ'
	הנה א"כ היוצא הוא קפ"ז ונשארו עדין כ' לחלקם על כ"ג
Another example: we wish to divide 70213 by 136. $\scriptstyle70213\div136$	דמיון אחר נרצה לחלק שבעים אלף ורי"ג על קל"ו
	הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
	אח"כ תתחיל לחלק מן האלפים שהם ע' ותשיבם אל הב' מאות ויהיו תש"ב ותחלקם על קל"ו יצא לך ה' ונשארו עדין כ"ב שהם ב' אלפים וב' מאות
	אח"כ תשיב אלו הכ"ב אצל העשרות ויהיו רכ"א ותחלקם על קל"ו ויצא לך א' ונשארו עדין פ"ה
	אח"כ תשיב אלו הפ"ה אצל האחדים שהם ג' ויהיו תתפ"ג (תתנ"ג) ותחלקם על קל"ו ויצא לך ו' ונשארו עדין ל"ז
	הנה א"כ היוצא הוא תקי"ו ונשארו ל"ז וכן תעשה תמיד אם תקישם אל מה שקדם זכרם
	ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים אל מטבע אחד הנה יש לך להשיב כל המטבעים אל ערך אותה המטבע אשר תרצה לעשות החלוקה כנגדה
	דמיון זה נרצה לחלק כ"ג דוקטי וב' קרליני וז' גרות על י"ו טורנישי
	הורידם בב' שטות אח"כ יש לך לעשות מהכ"ג דוקטי קרליני ויהיו ר"ל ותחבר אליהם ב' קרליני ויהיו רל"ב
	אח"כ תעשה מאלו הרל"ב קרליני גרות ויהיו (שכ"ב) (ב') אלפים וש"כ גרות ותחבר אליהם הז' גרות ויהיו ב' אלפים ושכ"ז
	אח"כ תעשה מאלו הגרות טורנישי ויהיו ד' אלפים ותרנ"ד ותחלקם על המספר שהם י"ו ויצא לך ר"ץ ונשארו עדין י"ד כמו זאת הצורה
	ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים על מטבעים מתחלפים
	כגון שנרצה לחלק מ"ג דוקטי וה' קרליני וח' גרות וב' טורנישי על ה' קרליני וט' גרות וב' טורנישי הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
	אח"כ תעשה מהמ"ג דוקטי קארליני ויהיו ת"ל ותחבר אליהם הה' קרליני ויהיו תל"ה ותעשה מהם גרות ויהיו ד' אלפים ושנ"ח עשה מהם טורנישי ויהיו ח' אלפים ותשי"ח ושמור אותם
	אח"כ תשוב אל המספר המחלק ותעשה מהה' קרליני גרות ויהיו נ' ותחבר אליהם הט' גרות ויהיו נ"ט ותעשה מהם טורניש ויהיו ק"כ אח"כ תחלק הח' אלפים ותשי"ח על ק"כ ויצא לך ע"ב וישארו עדין ע"ח עז"ה
	ואולם המין הג' מהחלוק הוא שתחלק המספר הגדול נגד הרכבתו ר"ל אם הוא מורכב תחלקהו נגד המספר אשר הורכב ממנו אח"כ תחלק המספר הקטן על הרכבת הגדול ושים הגדול על הקטן והיוצא הוא המבוקש
Example: we wish to divide two hundred by 50. $\scriptstyle200\div50$	דמיון זה נרצה לחלק מאתים על נ'
	קח חומש נ' והוא עשרה גם חומש מאתים והוא מ' חלק מ' על ד' (י') ויצא לך י' (ד') והוא המבוקש
	ובכאן נשלם השער הד' והתהלה לאל אמן

Chapter Five: Addition of Fractions	השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו
	דע כי השער הזה הוא חמור מאד והוא הכרחי בכל מעשה חשבון עד מאד אבל אתן דרכים וקלים
	הנה כשתרצה לחבר שני שברים מתחלפים
	ראוי לקחת המורה ודע כי מורה נקרא הרכבת ב' שברים זה על זה והעולה מכפל שניהם או שלשתן או ארבעתם נקראהו מורה בזה המקום ואחר ראוי לקחת חלקי המספר הא' מהמורה ולשים אותו במקומו כן תעשה מן השני גם את השלישי גם מכל המספרים המונחי' ותחבר כל החלקים מכל המספרים ותחלק סך העולה על המורה ומה שיעלה הם חלקי המורה ולפעמים יעלה לך מקבוצם שלם א' או יותר או פחות
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{2}$	דמיון זה נרצה לחבר שליש אחד עם חצי אחד
	הנה בתחלה יש לך לכפול ג' על ב' אולם כונתי לומר ג' על ב' כי השליש יצא מג' והחצי יצא משנים ונכפול זה על זה ויעלו ו' ושמור אותם כי הוא המורה אח"כ קח שליש המורה שהם ב' וחציו ג' ותחברם ויהיו ה' ותחלק ה' על ו' שהוא המורה ויצא לך ה' שישיות עז"ה
$\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	דמיון אחר נרצה לחבר שלישית אחד ורביעית אחד
	תקח המורה והוא שתכפול ג' על ד' ויהיו י"ב ונקראהו מורה אח"כ תקח רביעיתו והם ג' וקח שלישיתו והם ד' ותחברם ויהיו ז' חלקים מי"ב עז"ה ואם תרצה לחבר ב' שלישיות עם ד' חמישיות קח המורה שהוא כפל ג' על ה' ויהיו ט"ו וקח שלישיתו והוא ה' וכפול אותו ב' פעמים מצד שאמר ב' שלישיות ויהיו עשרה אח"כ קח שלישיתם (חמישיתם) שהוא ג' וכפול אותם ד' פעמים כי אמר ד' חמישיות ויהיו י"ב ותחברם ויהיו כ"ב ותחלקם על ט"ו ויצא לך א' שלם וז' חלקים מט"ו על זאת הצורה
	ואם תרצה לחבר ג' מספרים
	הנה יש לך לבקש מורה א' לכלם מכפל זה על זה ולתת לכל אחד חלק הראוי לו ואחר תחלק המקובץ משלשתם על המורה והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}$	דמיון נרצה לחבר חצי עם שליש ועם רביעית
	תחלה תכפול ג' על ד' ויהיו י"ב והיה ראוי לכפול אלו הי"ב על ב' שהם החצי אכן מאחר שיש לנו רביעית אין צורך לקחת החצי והבן זה מאד כי זה כלל גדול במלאכת החשבון והנה הי"ב הם המורה אח"כ קח חצי המורה שהם ו' וקח שלישית המורה שהם ד' וקח רביעיתו שהוא ג' ותחברם ויהיו י"ג תחלקם אל י"ב שהוא מורה ויצא לך א וחלק אחד מי"ב
	ואם תרצה לחבר ג' מספרי' מתחלפים באופן אחר עשה כך והוא שתחבר ב' מן הג' ותדע כמה העולה אח"כ תחבר אליהם המספר השלישי ומה שיעלה הוא המבוקש
$\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}$	דמיון זה נרצה לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות וה' שישיות
	הנה יש לך לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות ותקח המורה שהוא עשרים וקח ג' רביעיותם שהם ט"ו וד' חמישיותם שהם י"ד (י"ו) ותחברם ויהיו ל"א ותחלקם על המורה ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מכ' אח"כ תחבר על זה ה' שישיות ותבקש המורה והנה המורה הוא ק"כ שהוא כפל כ' על ו' וקח ממנו י"א חלקים מכ' ויעלו ס"ו וקח ה' שישיותיו ויעלה ק' ותחברם ויהיו קצ"ו (קס"ו) ותחלקם על המורה שהוא ק"כ ויעלה א' שלם ונשארו עדין מ"ו חלקים מק"כ שהם כ"ג חלקים מס'
	ואם תרצה לחבר שלמים עם שברים
	הנה יש לך להשיב א שברים אצל שברם ולעשות מהם שברים ולחבר מהם מה שבאותו השבר כן תעשה מהמספר הב' אח"כ תקח המורה ותעשה כנז'
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)$	דמיון זה נרצה לחבר ב' וחצי עם ג' ורביע
	הנה יש לך לעשות מהב' שלמים חצאים ויהיו ד' חצאים ותקח החצי בעבור שאמר ב' וחצי ויהיו ה' חצאים ושמור אותם וכן תעשה מהמספר השני שהם ג' ורביע תעשה מהם (ג') רביעיות ויהיו י"ג רביעיות כי בכל שלם יש ד' רביעיות ותכפול הב' אשר הם תחת הה' על הי"ג אשר הם על הד' ויהיו כ"ו ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הי"ג על הה' אשר הם על הב' ויהיו כ' ותחברם אל כ"ו ויהיו מו ו ותקח המורה שהוא כפל ב' על ד' שהם ח' וחלק מ"ו על ח' ויצא ה' שלמים וו' חלקים מח' שהם ג' רביעיות על זאת הצורה
	ואם תרצה לחבר שנים מספרים אשר יהיה בא מהם שלמים עם שברים ובאחד שברים בלבד תשיב השלמים אשר הוא בחלק א' מהם אצל שברו שכנגדו
$\scriptstyle\left(3+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{5}$	דמיון זה נרצה לחבר ג' וחצי עם ב' חמישיות
	הנה ראוי לעשות מהג' אשר אצל החצי חצאין ויהיו ז' חצאין ותקח המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו עשרה אח"כ כפול ז' אשר הם על הב' נגד הה' אשר הם תחת הב' ויהיו ל"ה ושמרם אח"כ כפול הב' אשר על הה' נגד הב' אשר תחת הז' ויהיו ד' ותחברם אל ל"ה ויהיו ל"ט ותחלקם על המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו ג' שלמים וט' חלקים מי'

Chapter Six: Subtraction of Fractions	השער הו' ידבר על מגרעת השברים
	דע כי כשתרצה לגרוע שום חשבון תצטרך לקחת המורה ואחר ראוי לכפול מה שעל המספר הא' על מה שלמטה מהמספר האחר ומה שלמטה על מה שלמעלה מהמספר האחר ולחסר המספר הקטן מהגדול ומה שנשאר הם חלקים מן המורה
$\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}$	דמיון זה נרצה לחסר מג' רביעיות חצי א'
	הנה ראוי לקחת המורה שהוא כפל ד' על ב' שהוא ח' ואח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' על הא' אשר הוא על הב' ויעלה ד' אח"כ כפול הג' אשר הם על הד' על הב' אשר הם תחת הא' ויהיו ו' תחסר מד' ו' (ד' מו') הנשאר ב' ואלו הב' הם חלקים מהמורה שהוא ח' והוא רביעית א' הנה הנשאר הוא רביעית א'
	ואם תרצה לחסר משלמים ושברים שלמים ושברים
	יש לך לעשות מהשלמים שברים וכן מכל הב' חלוקות ואח"כ תבקש המורה ולכפול זה כנגד זה כמו שהראיתיך במה שעבר ותעשה כמשפט
$\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)$	דמיון זה נרצה לחסר מג' שלמים וג' רביעיות ב' שלמים וחצי
	והנה יש לך להשים הג' שלמים אצל הג' רביעיות ויהיו ט"ו רביעיות ושמרם ואח"כ יש לך להשיב הב' שלמים אצל החצי ויהיו ה' חצאין אח"כ יש לך לבקש המורה שהוא כפל ד' על ב' שהם ח' אח"כ כפול הב' אשר תחת הה' נגד הט"ו אשר על הד' ויהיו ל' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר תחת הט"ו נגד הה' אשר הם על הב' ויהיו עשרים הסר כ' מל' הנשאר י' וחלק אלו הי' נגד המורה שהוא ח' ויצא לך א' שלם ורביע והוא הנשאר
	ואם תרצה לגרוע מספר אחד אשר אין בו כי אם שבר ממספר אחד אשר בם שברים גם שלמים ראוי להשיב השלמים אצל השברים ואח"כ לקחת המורה ותגרע הקטן מן הגדול
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}$	דמיון זה נרצה לגרוע ג' רביעיות מב' שלמי' וחצי
	הנה יש לך לעשות מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאין ותקח המורה שהוא ח' שעלה מכפל ב' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם תחת ה' על הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' נגד הה' אשר על הב' ויעלו עשרים ותחסר מהם ו' ונשארו עדין י"ד ותחלק אלו הי"ד על ח' עלה א' שלם וג' רביעיות והוא הנשאר
	ובכאן נשלם השער הו'

Chapter Seven: Multiplication of Fractions	השער הז' ידבר על הכפל
	דע כי כשתרצה לכפול מספר על מספר הנה תחלת כל דבר יש לך לקחת המורה כאשר אתה מראה בדמיוני' שעברו ואח"כ לכפול מה שלמעלה זה כנגד זה ומה שיעלה יש לחלקו על המורה והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}$	דמיון זה נרצה לכפול ב' שלישיות על ג' רביעיות
	תקח המורה שהוא י"ב שעלה לנו מכפל ג' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם על השלשה נגד הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' וחלקם על י"ב ויהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי אחד
	ואם תרצה לכפול ב' מספרים זה על זה עם שלמים הנה תשיב השלמים אצל השברים ה[חוני]ם לנגדם וכן המספר האחר ואח"כ יש לך לבקש המורה ומה שיעלה תחלק על המורה והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(3+\frac{1}{3}\right)$	דמיון זה נרצה לכפול ב' וחצי על ג' ושליש
	הנה יש לך תחלה להעמיד המורה והוא ו' ואח"כ תעשה מהב' שלמים חצאים ויהיו ה' וכן תעשה מהג' שלמים עשה ממנו שלישיות ויהיו עשרה ותכפול (ותכפול) עשרה על הה' ויהיו נ' וחלקם על המורה שהם ו' ויעלו לך ח' שלמים ושליש
	ואם תרצה לעשות אותו באופן אחר והוא כי יש לך לכפול השלמים על השלמים רצוני ע' ג' על ב' ויהיו ו' שלמים עוד תכפול החצי על שלשה ויהיו א' וחצי ונחבר הא' עם הו' ויהיו ז' וחצי עוד תכפול הב' שלמים על שליש ויהיו ב' שלישיות ונחבר אלו הב' שלישיות עם הז' וחצי שיש לנו ויהיו ח' שלמים ושתות עוד נכפול השליש על החצי ויהיו שתות אחד ועם השתות שיש לנו יהיו ב' שתותים שהם שליש א' ועם הח' הם ח' שלמים ושליש ותקיש על זה
	ואם תרצה לכפול ב' מספרים אשר בא' מהם שברים ובאחר שלמים עם שלמים (שברים) הנה יש לך להשיב השלמים אצל השברי' ולכפול היוצא על מה שבמספר השני ולבקש המורה ולחלק היוצא נגד המורה והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}$	דמיון זה נרצה לכפול ד' וחצי על ב' שלישיות
	הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאים ויהיו ט' אח"כ ט' על ב' אשר הם על הג' ויעלו י"ח ותחלקם על המורה שהוא ו' ממה שעלה מכפל ב' על ג' ויעלה ג' שלמים בלי תוספת ומגרעת
	ואם תרצה שלמים לבדם עם שברים לבדם יש לך לכפול השלמים על מה שהוא במספר השברים והעולה תחלק על השבר השפל והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle4\times\frac{2}{3}$	דמיון זה נרצה לכפול ד' שלמים על ב' שלישיות
	הנה תכפול ד' על ב' ויעלו ח' ותחלקם על ג' ויצא לך ב' שלמים וב' שלישיות על זאת הצורה
	ובכאן נשלם השער השביעי

Chapter Eight: Division of Fractions	השער הח' מדבר על חלוק השברים
	דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון יש לך לבקש בראשנה המורה ואח"כ יש לך לכפול מה שתחת המספר הא' על מה שעל המספר האחר ומה שעל המספר הא' על מה שתחת המספר הנלוה אליו ותחלק היוצא הגדול על הקטן ומה שנשאר הוא חלק ממנו
$\scriptstyle\frac{5}{8}\div\frac{1}{4}$	דמיון זה נרצה לחלק ה' שמיניות על רביעית א'
	(תקח המורה שהוא ל"ב ושמרם אח"כ) כפול הח' אשר תחת הה' על הא' אשר על הד' ויעלו ח' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הא' על הה' אשר הם על הח' ויהיו עשרים ותחלק עשרים על ח' ויהיו ב' שלמים ונשארו עדין ד' ותחלקם על המורה שהוא ל"ב (ח') ויצא לך שמינית א' שלם (ב' שמיניות)
	או אם תרצה תאמר כי הב' שיצאו לך הם ב' פעמים א' רביע ונשאר עדין חצי שהוא ש' חצי זה הרביעית שהם שמינית א' שלם
	ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים על שלמים ושברים
	יש לך לבקש המורה ואח"כ תכפול השלמים נגד השברים מכל הב' מספרים ותחלק הגדול על הקטן והעולה הוא המבוקש
$\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\div\left(2+\frac{1}{4}\right)$	דמיון זה נרצה לחלק ד' וחצי על ב' ורביע
	הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאין ויהיו ט' חצאין אח"כ תעשה מהב' ורביע רביעיים ויהיו ט' רביעיים אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת התשעה נגד הט' אשר הם על הב' ויהיו ל"ו אח"כ תכפול הב' אשר הם תחת הט' (נגד הט' אשר הם) על הד' ויהיו י"ח וחלק ל"ו על י"ח ויעלו ב' שלמים בלי תוספת
	ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים לבדם
$\scriptstyle4\div\frac{3}{4}$	כאלו תאמר ד' על ג' רביעיות
	הנה יש לך לכפול הד' שלמים על הד' אשר הם רביעיות ויהיו י"ו ותחלקם על הג' אשר הם על הד' ויהיו ה' שלמים ושליש על זאת הצורה

Chapter Nine: Ratios	השער הט' ידבר על ענין הערכים והסחורות
	ונחלק זה השער לג' חלקים:
	החלק הא' על ערך השלמים עם השלמים
	החלק הב' ערכי שברים עם שברים
	החלק הג' ערכי שלמים עם שברים
	החלק הא' ערכי השלמים עם שלמים
	כשיאמר לך אדם קניתי ב' קנים של משי לערך ט"ו מנינים ה' קנים כמה שוים הנה תכפול הב' אשר הם הקנים מהמשי על ט"ו אשר הוא שווי דמיהם ויעלה ל' ותכפול אלו הל' על ה' ויצא לך ק"נ ותחלקם על ערך הקנים אשר ערכם ידוע שהם ב' ותכפלם ויהיו ד' ותחלק ק"נ על ד' ויצא לך ל"ז וחצי
	אמנם תוכל לעשותו יותר נקלה והוא שתכפול הה' אשר הם הקנים הבלתי נודעות על ט"ו אשר הם הדמים ויעלה ע"ה ותחלקם על ב' אשר הם הקנים הנודעות
	עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הדמים אשר הם ט"ו על ב' אשר הם הקנים אשר ערכם ידוע ויצא ז' וחצי ותכפול זה על ה' אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם ויצא לך ל"ז וחצי
	עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הקנים אשר ערכם בלתי ידוע על הב' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' וחצי וכפול אותם על ט"ו ויצא ל"ז וחצי
	ואם יאמר לך אדם קניתי ז' מדות חטה על מנת להוליכן ח' מילין לערך ט' מנינים והוא נשא י' מדות י"א מילין כמה ראוי שיקח
	הנה יש לך לכפול י"א על י' ויהיו ק"י עוד יש לך לכפול כל זה על ערך הממון שהוא ט' שהוא תתק"צ אח"כ כפול ז' על ח' ויהיו נ"ו ויש לך לחלק תתק"צ על נ"ו ויצא לך י"ז ול"ח חלקים מנ"ו הנה ראוי שינתן לו בעד משכורתו י"ז ול"ח חלקים מנ"ו כמו זאת הצורה
	ולפעמים יצטרך לעשות הערך ג' פעמים אבל נמצא דרך קל כי ערך א' יספיק
	כאלו תאמר אדם שכר ג' חמרים שישאו לו ד' מדות ה' מילין ויתן להם ו' דינרין והם היו ז' חמרים ונשאו ח' מדות מרחק ט' מילין כמה שכרן
	הנה יש לך לכפול ז' על ח' ויהיו נ"ו עוד תכפול זה על ט' ויהיו תק"ד עוד כפול זה על מספר הדינרין שהם ו' ויהיו ג' אלפים וכ"ד חלקם על ס' ויצא לך חמישים וכ"ד חלקים מס' והוא מה שיקחו
	שאל שואל ד' זהובים בב' חדשים הרויחו ו' דינרין וכפי זה הערך ח' זהובים הרויחו י"ב דינרין כמה חדשים עמדו להרויח אלו הי"ב דינרין
	התשובה ראוי שתכפול הד' זהובים על ב' חדשים ויהיו ח' עוד כפול זה על הו' שהם הדינרין ויהיו מ"ח ושמרם אח"כ כפול ח' שהם הזהובים על י"ב שהם ג"כ זהובים (דינרים) ויעלה צ"ו ותחלקם על מ"ח ויצא לך שנים שלמים והוא סך החדשים שעמדו הח' זהובים להרויח י"ב דינרין ונשלם השער הראשון מהערכין
	השער השני הם ערכי שברים עם שלמים
	אם תרצה לדעת אם אדם אחד שכר חבירו לעבוד עבודתו בערך ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין בעד ד' ימים והוא עבד כ"ד ימים כמה ראוי שיקח
	ראוי לכפול כ"ד נגד הדינרין ויהיו ע"ב עוד כפול הד' נגד הגרות ויעלו ו' עוד כפול הד' נגד הקרליני ויהיו כ' ועם א' יהיו כ"א ושים א' עוד כפול ד' נגד הו' ויהיו כ"ד ועם ב' יהיו כ"ו ושימם עוד כפול העשרות מלמטה נגד הד' ויהיו ח' עוד כפול ב' נגד ה' ויהיו עשרה עוד כפול הב' נגד הו' ויהיו י"ב אח"כ תעשה מע"ב דינרין גרות ותחברם ויעלה הכל ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות אחר שנתחלק היוצא מהכפל על ד' כמו זאת הצורה
	ואם תרצה לבחון אותו תחלק כ"ד על ד' ויצא לך ו' אח"כ כפול ו' על כל המטבעים של מעלה ונכפול ששה ראשנה על כל הדינרין אח"כ על הגרות ואח"כ על הקרליני ואח"כ על המנינים ויצא לך ג"כ ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות בלי שום דינר
	ואם תרצה לבחון אותו באופן אחר תחלק המספר של מעלה שהוא ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין על ד' והיוצא תכפול על כ"ד ויצא לך ג"כ כנז'
	ואם תרצה לדעת ערך המספר אשר בו שבר למעלה יש לך לכפול כל השלמים ואח"כ כל השברים והעולה תחלקהו על המספר הרשום במספר העליון והיוצא הוא המבוקש
	דמיון זה ערך ז' קנים מדוק הוא ז' מנינים ח' קרליני ה' גרות א דינר וחצי מ"ב קנים כמה ישוו
	כך תעשה תכפול ראשנה המ"ב נגד הדינרין השלמים של מעלה ויהיו מ"ב עוד תכפול האחדים של מטה נגד הגרות ויעלו עשרה ושים ציפרא עוד כפול האחדים נגד הקרליני שהם ח' ויהיו י"ו ועם א יהיו י"ז ושים ז' עוד כפול הב' מלמטה נגד המנינים יהיו י"ד ועם א הנם ט"ו ושימם אחר כפול העשרות של מטה נגד הגרות ויעלו כ' ושים ציפרא עוד כפול העשרו' נגד הקרליני ויהיו ל"ב ועם ב' ויהיו ל"ד ושים ד' עוד כפול העשרות נגד המניני' ויהיו כ"ח ועם ג' יהיו ל"א אח"כ כפול ראוי לקחת חצי המספר התחתון ר"ל ממ"ב והנם כ"א ויהיו דינרין ועם מ"ב ויהיו ס"ג תעשה מהם גרות ויהיו י' גרות וג' דינרין אח"כ חבר הכל ויעלה מ"ז מנינים וא' קרליני וא' גרה וג' דינרין אחר שנתחלק על ז' וזאת צורתם
	ואם תרצה לבחון אותו חלק מ"ב על ז' ויצא לך ו' וכפול ו' על המטבעים שלמעלה ויצא לך ג"כ מ"ז מנינים וכו' ואם השבר הוא למטה ראוי לך לכפול כל השלמים מלמטה נגד כל המטבעים וגם ראוי לקחת מכל המטבעים כפי השבר אם חצי מחציתו ואם שליש שלישיתו ואם ב' שלישיות ב' שלישיות
	דמיון זה אם ד' ליט' של כרכום שוות ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וא' דינר ל"ב ושליש כמה ישוו
	בתחלה תכפול הל"ב נגד הדינרין ויהיו ל"ב אח"כ כפול האחדים על הגרות ויעלו ב' ושימם במקום הגרות עוד כפול האחדים נגד הקרליני ויהיו ד' עוד תכפלם נגד המנינים ויהיו ח' אח"כ כפול העשרות נגד הגרות ויהיו ג' (... קרליני...) עוד כפול העשרות נגד המנינים ויהיו י"ב אח"כ קח שליש מכל המטבעים של מעלה ויצא א' מגן וד' קרליני בלי גרה וב' דינרין ושליש ותקבץ הכל ויעלו קל"ו מנינים וא' קרליני וז' גרות וד' דינרין ושליש וחלק על זה ד' ויצא ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב של דינר וזאת היא צורתם
	המופת תחלק המספר התחתון שהוא ל"ב ושליש על ד' ויצא לך ח' שלמים וחלק א' מי"ב וכפול כל זה נגד כל המטבעים של מעלה ויצא לך ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב
	ואם תרצה לחלק מספר יהיה בו שבר מעלה ומטה ראוי לכפול השבר התחתון על כל המטבעים של מעלה גם על השבר העליון ואח"כ כפול השלמי' התחתונים על כל המטבעים של מעלה ולחבר הכל והיוצא הוא המבוקש
	דמיון זה נרצה לדעת אם ו' קנים של משי שוות ו' מנינים וג' קרליני וג' גרות וב' דינרין וחצי כ"ד וחצי כמה ישוו
	ראוי לקחת חצי המטבעים העליונים ויהיה ג' מנינים א' קרליני (וחצי) ו(א)' (וחצי) גרות ד' (וא') דינרין ורביע אח"כ תקח חצי המספר התחתון ויהיו י"ב אח"כ תכפול כ"ד על הדינרין ויהיו מ"ח ונחברם עם י"ב ויהיו ס' אח"כ נכפול הכ"ד שלמים נגד המאיות של מעלה ותעשה כנז' אח"כ תקבץ הכל ויעלה כ"ה מנינים ה' קרליני ו' גרות ב' דינרין וי"ז חלקים מכ"ד אחר שנתחלק העולה על ששה וזאת היא צורתם
	המופת תחלק המטבעי' מלמעלה על ו' ואח"כ כפול היוצא על כ"ד (וחצי) וישוב כמו מה שיצא לנו
	או אם תרצה חלק כ"ד וחצי על ו' והיוצא תכפול על כל המטבעים והדבר יצא שוה
	ואם תרצה לדעת אם ב' קנים וחצי שוות ג' מנינים וב' קרליני וב' גרות וג' דינרין ושליש י"ב וחצי כמה שוות
	ראוי לכפול בתחלה השבר התחתון נגד כל המטבעי' העליונים ואח"כ ראוי לך לכפול הי"ב שלמים נגד השבר מלמעלה שהוא שליש ואח"כ נכפול כל השלמים התחתונים נגד כל המטבעים אשר למעלה ואח"כ קבץ הכל והעולה תחלק על ב' וחצי
	ואופן החלוק נעשה ככה והוא שנעשה מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' ואח"כ לכפול העולה על ב' והעולה תחלק על ה' והיוצא הוא המבוקש ויצא לך י"ו מנינים א קרליני ב' גרות וד' דינרין וב' שלישיות דינר כמו זאת הצורה
	המופת נחלק י"ב וחצי על ב' וחצי ויצא לך ה' שלמים ותכפלם על כל המטבעים העליונים ויצא לך הדבר שוה
	או אם תחלק כל המטבעים שלמעלה על ב' וחצי והעולה תכפול על י"ב וחצי יצא לך מספר שוה
	אם יאמר לך אדם ב' שלישיות קנה שוות מגן וחצי ג' רביעיות קנה כמה שוות
	הנה יש לך לכפול ג' רביעיות על א וחצי ויצא לך א' ושמינית וראוי עתה לחלק א' ושמין על ב' שלישיות ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מי"ו והוא המבוקש
	ואם יאמר לך קנה אחת וחצי שוה ג' זהובים ד' קנים וחצי כמה שוים
	הנה יש לך לכפול ד' וחצי על ג' (וחצי) ותחלקם על א' (וחצי) ויצא לך ט' שלמים והוא שווי ד' קנים וחצי
	ואם יאמר לך ב' קנים וחצי שוות ה' מנינים ושליש ז' קנים וחצי כמה שוות
	הנה ראוי לכפול ז' וחצי על ה' ושליש ויצא לך מ' שלמים וראוי לחלק על ב' וחצי ויצא לך י"ו שלמים והוא ערך הז' קנים וחצי
	החלק השלישי הם ערכי שברים עם שברים
	אם יאמר לך אדם חצי מגן קנה של משי שוה שליש מנין ב' שלישיות של קנה כמה ישוו
	הנה יש לך לכפול ב' שלישיות שהם המשי על שליש שהוא הממון ויצא ב' תשיעיות ויש לך לחלק אלו הב' תשיעיות על חצי ויצא לך ד' תשיעיות והוא ערך ב' שלישיות קנה
	ואם חצי ליט' של כסף שוה מחצית מגן ב' שלישיות כמה ישוו
	הנה ראוי לכפול מחצית על ב' שלישיות ויצא לך שליש א וראוי לחלק זה השליש על חצי ויצא ב' שלישיות והוא המבוקש
	ואם יאמר בעד רביעית זהוב קניתי ב' שלישיות קנה כמה אקנה בעד שלישית (שמינית) אחד
	הנה יש לך לכפול השמינית על ב' שלישיות ויהיו חלק אחד מי"ב וראוי לחלק זה על רביעית ויצא לך שליש והוא מה שיקנה בעד שמינית
	ואם יאמר לך הרוחתי ב' שלישיות מגן בג' רביעיות מחדש עם חצי מגן אחד כמה ארויח בחצי חדש עם שליש מגן
	הנה יש לך לכפול החצי על שליש ויצא לך שתות אחד גם ראוי לכפול זה על ב' שלישיות ויצא תשיעית ושמרם עוד כפול ג' רביעיות על מחצית א ויצא לך ג' שמיניות והנה עתה יש לך לחלק תשיעית אחד על ג' שמיניות ויצא לך ח' חלקים מכ"ז והוא מה שירויח שליש מגן בחצי חדש ונשלם השער התשיעי

Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots	השער העשירי ידבר על הוצאת השרשים
This chapter is divided into three parts:	וגם נחלק זה השער לג' חלקים
The first part is the extraction of roots of integers	החלק הראשון הוא הוצאת שרש השלמים
The second part is the extraction of roots of fractions	והחלק הב' הוצאת שרש השברים
The third part is the extraction of roots of integers and fractions	והחלק הג' הוצאת שרש שלמים עם שברים
Part One: Extracting the Roots of Integers
Know that when you wish to extract the root of integers, one should examine first the rank of the number whose root is required.	דע כי כשתרצה להוציא שרש השלמים ראוי להסתכל תחלה באיזה מדרגה הוא המספר אשר אתה מבקש שרשו
Know that all the squares are analogous to the squares that are in the first and the second ranks	ודע כי כל המרובעים הם נמשלים למרובעים אשר הם במדרגה הראשנה והשניה
The squares that are in the first rank are three, which are 1, 4, 9.	ואולם המרובעים אשר הם במדרגה הראשנה הם ג' והם אד"ט
Know that 1 is a compound root and square.	ודע כי א' הוא שרש מורכב ומרובע
The squares that are in the second rank are 16, 25, 36, 49, 64, 81.	והמרובעים אשר הם במדרגה השניה הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
The roots of the first rank are three: 1, 2, 3.	ואולם שרשי המעלה הראשנה הם ג' אב"ג
The roots of the second rank are 6: 4, 5, 6, 7, 8, 9.	ושרשי המעלה השניה הם ו' ד'ה'ו'ז'ח'ט'
Know that all the ranks that succeed the first and second ranks are analogous to the preceding two, i.e. every rank that is even is analogous to the second rank and every odd rank is analogous to the first rank.	ודע כי כל המדרגות הנמשכות אחר הראשנה והשניה הם הנמשלות אחר הב' הקודמות ר"ל כי כל מדרגה שהיא זוג נמשלת למדרגה שניה וכל מדרגה נפרדת נמשלת לראשנה
Know that the squares that are in third rank are analogous to the first rank and so are their roots, only that their roots should be raised by one rank, i.e. their roots are tens.	ודע כי המדרגה השלישית המרובעים שבם נמשלים למדרגה הראשנה גם שרשיהם אבל צריך שתעלה שרשיהם מדרגה אחת ר"ל כי שרשיהם יהיו עשרות
The roots and the squares of the fourth rank are analogous to the second rank, but there is no need to raise their roots by one rank, they stay in their rank.	ומספרי המדרגה הרביעית נמשלים השרשים והמרובעים למדרגה השנית ואין צורך להעלות שרשיהם מדרגה אחת אלא יעמדו במקומם
The roots and the squares of the fifth rank are analogous to the first rank, but the root should be raised to the third rank, so their roots are hundreds.	והמדרגה החמישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה הראשנה אלא שצריך שתעלה השרש עד המדרגה השלישית ושרשיהם יהיו מאיות
The roots and the squares of the sixth rank are analogous to the second rank, but the analogous root should be raised to the hundreds.	והמדרגה השישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה שניה וצריך שתעלה השרש הנמשל אל המאיות
The squares and the roots of the seventh rank are analogous to the first rank, but the root should be thousands.	והמדרגה השביעית מרובעהם גם שרשיהם נמשלים למדרגה הראשנה אלא צריך שיהיה השרש אלפים
The eighth rank is analogous to the second [rank], but the root should be also thousands.	והמדרגה שמינית נמשלת לשניה וצריך שיהיה השרש ג"כ אלפים
The ninth rank is analogous to the first rank, but the root is tens of thousands.	והמדרגה התשיעית נמשלת למדרגה הא' אלא השרש יהיה עשרות אלפים
The tenth rank is analogous to the second [rank] and the roots are tens of thousands.	והמדרגה העשירית נמשלת לשניה והשרשים יהיו עשרות אלפים
	ודע כי כשתרצה להוציא שום שרש צריך לך תחלה להוציא השרש הנמשל כוונתי אם הוא בעשרות אלפים שתוציא תחלה אותם המאות אשר הם השרש ואם נשאר לך איזה דבר צריך שתכפול אותם המאיות על ב' ותחלק הנשאר על אותו הסך ואח"כ אם נשאר לך איזה דבר כי עכ"פ יצטרך שישאר לך באופן שתוכל לקחת מהנשאר מרובע ממה שעלה בחלוק כפל השרש ומה שנשאר עדין אחר לקיחת כפל השרש תפיל מן הסך הגדול רצוני מן המספר אשר בקשת למצא שרשו ומה שנשאר הנה הוא מרובע השרש ומה שיצא לך תחלקהו על ב' זולת מה שעלה לך מכפל השרש והעולה הוא המבוקש
Example: we wish to know the root of 980. $\scriptstyle\sqrt{980}$	דמיון רצינו לדעת שרש תתק"פ
	כבר אמרנו כי המדרגה הג' נמשלת למדרגה הא' והשרשים שהם במדרגה הא' הם אב"ג והמרובעים הם אד"ט א"כ הט' מאות הם כמו הט' אחדים וידענו כי שרש ט' הם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' אחדים וידענו כי שרש ט' הוא ג' וכבר אמרנו כי יש לנו להעלות אותם ממעלה א' א"כ נעלה אלו הג' שהם שרש ט' ממדרגה א' ויהיו ל' א"כ ל' הם שרש מט' מאות ונשארו פ' כי מספרינו היה ט' מאות ופ' והנה יש לנו לכפול השרש שהוא ל' ויהיו ס' ויש לנו לחלק פ' על ס' ונתן לו א' ונשארו כ' ונקח מהם מרובע זה הא' שעלה בחלוק ונשארו עדין י"ט וכפול (הסר) אותם מן המספר שהוא תתק"פ ונשארו תתקס"א הנה א"כ שרש תתקס"א הוא ל"א
	ואם תרצה לדעת שרש המספר בדיוק יותר גדול הנה ראוי לכפול הל"א שהוא השרש ויהיו ס"ב ויש לך לחלק י"ט שנשארו עדין על ס"ב ומה שיעלה יהיה השרש יותר קרוב והוא ל"א וי"ט חלקים מס"ב
Another example: we wish to know the root of 49[3]2. $\scriptstyle\sqrt{4932}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש מ"ט אלפים וס"ב (ל"ב)
	הנה כבר ידעת כי עשרות אלפים נמשלות למאיות והנה מ' אלפים דומים כמו ד' במעלה הראשנה ושרשו ב' ויהיו ב' מאות א"כ שרש מ' אלף הם ב' מאות ונשארו עדין ט' אלפים ול"ב נכפול ב' מאות ויהיו ד' מאות נחלק ט' אלפים ול"ב על ד' מאות ויעלו עשרים נשארו עדין אלף ול"ב נסיר ממנו מרובע עשרים שהוא ד' מאות וישארו ו' מאות ול"ב ונכפול עשרים ויהיו מ' ושים אותם על ד' מאות ויהיו ת"מ ותחלק ו' מאות ול"ב עליהם ויעלה אחד שלם ונשארו עדין (מאה ו)צ"ב ותסיר מהם מרובע א' ונשאר קצ"א תסירם מל' (ממ"ט) אלפים ול"ב הנשאר מ"ח אלפים וח' מאות ומ"א והוא מרובע הקרוב ממספרינו ושרשו רכ"א
Another example: we wish to know the root of one hundred and fifty thousand. $\scriptstyle\sqrt{150000}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש מאה וחמישים אלף
	כבר ידעת כי ק' אלף היא המדרגה הו' ודומה למדרגה הב' והנה המרובע שעבר הוא ג' והם ג' מאות ונכפול אותו ויהיו ו' מאות ונשארו עדין ס' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ת"ר יעלו פ' ונשארו עדין י"ב אלפים ונחסר מהם מרובע פ' שהוא ו' אלפים וד' מאות נשארו ה' אלפים ות"ר ונכפול פ' ויהיו ק"ס ונחברם אל ו' מאות ויהיו תש"ס נחלק ה' אלפים ות"ר עליהם ויצא לך ז' ונשארו עדין רל"א אחר לקיחת מרובע ז' ותפילם מק"נ אלף הנשאר קמט אלפים ותשס"ט והוא מרובע שעבר ושרשו שפ"ז
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
	ובכאן נשלם החלק הראשון מהוצאת שרשי השלמים בלי דיוק אבל אם תרצה לעשות אותו יותר מדוקדק
	ולדעת איך הוא הדרך ולאמתו ולהגיע יותר אל הקרוב עדין נבאר זה בחלק הבא מן הוצאת שרשי השברים גם בחלק הג' מן הוצאת שרשי השברים והשלמים
Part Two: Extracting the Roots of Fractions
	ודע כי כשתרצה לדעת שרש מאיזה שבר הנה יש לך לבקש מספר שיהיה דומה לאותו השבר
I.e. if you are told: how much is the root of a quarter? $\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}$	ר"ל אם אמר לך כמה שרש רביעית
	יש לך לבקש מספר ד' כי רביעית יצא מד' ויש לך לקחת מרובע אותו המספר ולקחת שרש הרביעית (של המרובע)
	וגם יש לך לקחת שרש המרובע ולחלק שרש (רביעית) המרובע על שרש הרביעית (המרובע) ומה שיעלה בחלוק הוא שרש אותו השבר וכן תעשה תמיד
Example: we wish to know the root of one quarter. $\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}$	דמיון זה נרצה לדעת שרש רביעית א'
	הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו רביעית וגם אותו המספר יהיה מרובע ר"ל שיהיה לו שרש והנה נקח מספר י"ו שהוא מספר מרובע והולך לרביעיות בלי תוספת ומגרעת וקח הרביעית שהוא ד' וקח שרשו של ד' והוא ב' אח"כ קח שרש י"ו שהוא ד' ג"כ וחלק(הו) על(יו) שרש רביעית י"ו שהוא ד' ושרשו היה ב' ויצא לך חצי רביעית א' והוא שרש רביעית א'
Another example: we wish to know the root of one third. $\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{3}}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש שלישית א'
	הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו שלישית ויהיה מרובע וכאלו תכה אותו במספר פ"א שהוא מספר מרובע והולך לשלישיות וקח שלישית פ"א והוא כ"ז אח"כ קח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש אח"כ קח שרש פ"א שהוא ט' וחלק ה' וחומש על ט' ויצא לך כ"ו חלקים ממ"ה והוא שרש שליש בקרוב גדול
Another example: we wish to know the root of 3 fifths. $\scriptstyle\sqrt{\frac{3}{5}}$	ואם תרצה לדעת שרש ג' חומשים
	הנה יש לך לבקש מספר שיהיה לו חומש ותקח ג' חמישיותיו והנה נקח מספר כ"ה כי הוא מספר מרובע ויש לו חומש וקח ג' חמישיותיו והם ט"ו וקח שרשם שהוא ג' וז' שמיניות אח"כ קח שרש כ"ה שהוא ה' וחלק ג' וז' שמיניות על ה' ויצא לך ל"א חלקים ממ' והוא שרש ג' חמישיות
Another example: we wish to know how much is the root of 5 eighths. $\scriptstyle\sqrt{\frac{5}{8}}$	דמיון אחר נרצה לדעת כמה שרש ה' שמיניות
	הנה יש לך לבקש מספר ששרשו יהיה שמונה והוא ס"ד וקח ה' שמיניותיו והוא מ' וקח שרשם והוא ו' ושליש אח"כ תחלק ו' ושליש על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך י"ט חלקים מכ"ד וזה יהיה שרש ה' שמיניות
	ואם תרצה לדעת שרש השלמים בדקדוק יותר גדול יש לך לקחת מעוקב אותו המספר שתרצה לדעת שרשו וקח שרש מעוקבו שהוא כ"ז כי ג פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז וקח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש וחלקם על ג' שהוא המספר שתבקש למצא שרשו ויצא לך א' וי"א חלקים מט"ו והוא שרש ג'
Another example: we wish to know the root of five. $\scriptstyle\sqrt{5}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש חמשה
	תקח מעוקבו והוא שתכפול ה' פעמי' ה' והם כ"ה ותכפול כ"ה פעמים ה' והם קכ"ה וקח שרש קכ"ה שהוא י"א וב' חלקים מי"א ותחלקם על ה' שהוא המספר שתרצה לדעת שרשו ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ"ה (מנ"ה) ותקיש על זה
	ואם תרצה לדעת השרש באופן אחר יש לך לקחת שרש המרובע שעבר ולכפול השרש ולחלק מה שנשאר (על מרובע השרש) על כפל השרש (והיוצא חברו על הנשאר) והעולה הוא הנשאל
Another example: we wish to know the root of six. $\scriptstyle\sqrt{6}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש ששה
	הנה יש לך לקחת שרש המרובע שעבר שהוא ד' ושרשו ב' ויש לך לכפול השרש ויהיו ד' ותחלק מה שנשאר שהוא ב' על ד' ויצא לך חצי אחד ועם הב' שיש לנו הם ב' וחצי והוא שרש חמשה בקרוב
	ואם תרצה לבחון אותו תקח מרובע ב' וחצי ויעלה ו' ורביע הנה לא מצאת כי אם רביעית נוסף על הו' ואם תרצה לדקדק החשבון יותר הנה יש לך לכפול ב' וחצי שיצא לנו ויהיו ה' ויש לך לחלק הרביעית הנוסף על ה' ויצא לך חלק א' מעשרים ותפיל זה מן ב' וחצי ונשארו ב' וט' חלקים מעשרים והוא שרש ו'
Another example: we wish to know the root of 8. $\scriptstyle\sqrt{8}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש ח'
	הנה בעבור כי הוא יותר קרוב אל ט' ממה שהוא קרוב אל ד' שהוא מרובע שעבר נחשוב כאלו מספרינו היה ט' ונקח שרשו והוא ט' (ג') וכפול אותו ויהיו ו' והוא מצד כי חשבונינו לא היה כי אם ח' המרחק אשר בין ח' לט' הוא א' ונחלק זה הא' על כפל השרש שהוא ו' ויצא לך שתות אחד וזה השתות יש לנו להפילו מן הג' ונשארו ב' וה' שישיות והוא שרש ח' בקרוב ואין צריך לדקדקו יותר
	אכן אם תרצה לקרבו יותר אל האמת הנה אתה תקח מרובע(ו) ב' וה' שישיות ותמצא כי הוא עולה ח' שלמים ותמצא בו מתוספת חלק מל"ו ותחלק זה החלק מל"ו על כפל ב' וה' שישיות שהיה שרשינו הראשון שיהיו ה' שלמים וב' שלישיות ומה שיעלה שהוא ג' חלקים מו' מאות וי"ג (י"ב) תפיל מן ב' וה' שישיות והנשאר הוא השרש היותר קרוב אל האמת
	ואם תרצה למצא השרש באופן אחר
Example: we wish to know the root of 7. $\scriptstyle\sqrt{7}$	דמיון נרצה לדעת שרש ז'
	הנה יש לך לכפול אלו הז' על איזה מספר יהיה לו שרש והנה נכפול אותו עם ד' כי ב' הם שרש ד' ויהיו כ"ח נקח שרש כ"ח שהוא ה' וג' עשרות וחלקם על שרש ד' שהם ב' ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ'
Another example: we wish to know the root of 12. $\scriptstyle\sqrt{12}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש י"ב
	הנה יש לך לכפול אותם עם מספר שיש לו שרש והנה נכפול אותו עם ט' כי ט' הוא מספר מרובע כי שרשו ג' ויעלו ק"ח וקח שרשם שהם י' וב' חמישיות וחלקם על שרש ט' שהם ג' ויצא לך שלשה וז' חלקים מט"ו וזה יספיק לך בידיעת הוצאת שרשי השלמים גם שרשי השברים
Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers	החלק הג' הוא להוציא שרשי השברים עם השלמים
	דע כי כשתרצה להוציא שרש שום מספר שלם ושבר יש לך לבקש מספר מספר שיהיה לו אותו חלק אשר הוא בשבר אשר אתה מבקש שרשו ותכפול אותו על המספר שמצאת נגד השלמים שלך גם תקח חצי המספר שמצאת אם השבר הוא חצי או שלישיתו אם השבר הוא שליש סוף דבר תקח מן המספר חלק השבר ותוסיף הכל וקח שרש העולה ושמרהו אח"כ קח שרש המספר שמצאת ותחלק השרש מהמספר הגדול על שרש המספר הקטן ומה שיעלה הוא המבוקש
Example: we wish to know the root of 3 and a half. $\scriptstyle\sqrt{3+\frac{1}{2}}$	דמיון זה נרצה לדעת שרש ג' וחצי
	הנה מאחר שיש במספרינו חצי יש לך למצא איזה מספר מרובע אשר תוכל לחלקו על ב' ונכפול אותו על ג' מצד כי יש לנו ג' שלמים יעלו י"ב כי במספרינו יש בו חצי נקח חצי ד' שהם ב' ונוסיפם על י"ב ויהיו י"ד ונקח שרשם ויהיו ג' וג' רביעיות ותחלקם על שרש מספרינו שהוא ד' שהשרש הוא ב' ויעלה א' שלם וז' שמיניות והוא המבוקש
Another example: we wish to know the root of 4 and a fifth. $\scriptstyle\sqrt{4+\frac{1}{5}}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש ד' וחומש
	תבקש מספר מרובע שיהיה לו חומש ותמצא כ"ה ותכפול ( ) אותו על ד' מצד כי יש לנו ד' שלמים כי עלו ק' וקח חומש כ"ה שהוא ה' ותוסיפם על ק' ויהיו ק"ה וקח שרשם ויצא לך י' וחומש וחלקם על שרש כ"ה שהוא ה' ויצא לך ב' שלמים וחלק א' מכ"ה והוא שרש ד' וחומש
Another way: we wish to know the root of 6 and a fifth. $\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{5}}$	דרך אחרת נרצה לדעת שרש ו' וחומש
	הנה יש לך לקחת שרש השבר ר"ל מהחומש והנה ידענו כי הוא ב' ורביע בקרוב וא"כ יש לך לעשות מהו' שלמי' חומשים ויהיו ל"א עם החומש וקח שרשם שהוא ה' וג' חומשים בקרוב וחלקנו על שרשינו הראשון שהוא ב ורביע ויצא לך ב' שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה (ממ"ה)
Another example: we wish to know the root of 9 and 3 quarters and a quarter of a quarter. $\scriptstyle\sqrt{9+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}$	דמיון אחר נרצה לדעת שרש ט' וג' רביעיות ורביעית רביעית
	הנה ראוי לקחת רביעית הרביעית והוא יהיה חלק מי"ו וקח שרש י"ו והוא ד' ושמרם אח"כ חבר ג' רביעיות עם רביעית רביעית ויהיו י"ג חלקים מי"ו אח"כ כפול הט' שלמים על י"ו ויעלו קמ"ד ותחבר אליהם י"ג שהם חלקי הג' רביעיות גם חלק רביעית הרביעית ויעלה הכל (מ"ג) קנ"ז וקח שרשם (וקח שרשם) ויצא לך י"ב וי"ג חלקים מכ"ד וחלקם על השרש השמור שהוא ד' ויצא לך ג' שלמים וי"ג חלקים מצ"ו והוא שרש י"ו וג' רביעיות ורביעית הרביעית
	ובכאן נשלם השער העשירי וזה יספיק לך בהוצאת השרשים

Chapter Eleven: Checking Methods	השער הי"א ידבר על המאזנים הן מהכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות הן בשלמים הן בשברים הן בשברים ושלמים
	ותחלה נדבר על מאזני חבור השלמים
	דע כי כשתרצה לדעת חבור השלמים אם הוא עשו(י) כהוגן וכשורה תמנה כל המספרים המחוברים ותוציאם ט"ט אח"כ שוב אל המחובר ותוציאם ט"ט ואם הנשאר על התשיעיות הוא שוה למה שנשאר אחר הוצאת התשיעיות מן כל המספרים המחוברים דע כי חשבונך הוא אמת וכן תוכל לעשות אם תוציא כל הש(י)לישיות
	דמיון זה חברנו קי"א על רכ"ב ועם של"ג הנה העולה הוא תרצו (תרס"ו) הוציא כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים ותמצא כי הולך מצומצם כוונתי כי לא ישאר מאומה ולכן שים גלגל אח"כ שוב אל המחובר והוצא התשיעיות גם הוא הולך בצימצום ולכן שים גלגל והוא שוה אל הגלגל השמור
	וכן תוכל לעשות אם תוציא השלישיות וכן מן השביעיות
	וכן תוכל לבחון אותו עם כל מספר שתרצה ואין צורך להאריך
	ואם תרצה לדעת מאזני חבור המטבעים
	הנה ראוי למנות כל התשיעיות מכל המספרים המחוברים ולשמור היוצא אח"כ שוב אל היוצא ובעד כל גרה שעשית מחבור הדינרין תקח ה' כי הו' דינרין הוא גרה א' א"כ מה שהוא למטה (א' ש"מ שהוא) גרה א' הוא למעלה ו' שהם ו' דינרין לכן קח ה' על כל גרה ועל כל טרי שעלה לך מחבור הגרות קח (א) כי הכ' גרות הם טרי א' א"כ היה ראוי לקחת י"ט ולכן נעזוב י"ח שהולך לתשיעיות וישאר א' ועל כל מגן שעשית מן הטרי קח ד' כי הה' טרי של מעלה שוה א' למטה לכן נקח ד' ג"כ תקח על כל אוק' שעלה לך מחבור המנינים ה' כי הו' מנינים הם אוק' והשליך כל התשיעיות ויהיה שוה אל השמור
	דמיון זה חברנו ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וב' דינרין עם ג' אוק' וד' מנינים וג' טרי וי"ט גרות וג' דינרין עם ד' אוק' וא מגן וד' טרי וי"ז גרות וד' דינרין ועלה המחובר עשרה אוק' וד' מנינים וג' טרי וט"ו גרות וג' דינרין השליך כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים הנשאר א' אח"כ שוב אל העולה ותקח ה' בעד גרה אחת שעשינו מחבור הדינרין ותקח בעד ב' טרי שעלה לך מחבור הגרות ב' ויהיו ז' גם תקח ח' בעד הב' מנינים שעלו לך מחבור הטרי ויהיו ט"ו השלך מהם ט' וישארו ו' עוד קח ה' בעד אוק' אחת שעלה לך מחבור המנינים ועם הו' שיש לך יהיו י"א השלך מהם ט' נשארו ב' וחברם עם העולה והשלך כל התשיעיות וישאר עדין א' והוא שוה אל הא' השמור
	ואם תרצה לדעת מאזני המגרעת
	הנה ראוי לחבר מה שהוצאת מן המספר הגדול עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול או אם תשליך כל התשיעיות ממה שהוצאת ותחבר עם (הנשאר כל התשיעיות) מה שנשאר מן המספר אחר הגרעון ותוציא גם מזה התשיעיות והנשאר שמור אח"כ שוב אל המספר הגדול והשלך כל התשיעיות ואם מה שנשאר הוא שוה אל השמור דע כי חשבונך אמת
	דמיון זה נרצה לגרוע מן ר"נ ק"ל והנה נשאר עדין ק"כ הנה יש לך לחבר ק"כ על ק"ל וישוב ר"נ או אם תשליך כל התשיעיות מן ק"ל ישאר עדין ד' ותחברם אל ק"כ והוציא התשיעיות ונשאר ז' ושמרם אח"כ הוצא כל התשיעיות מן ר"נ הנשאר ז' והם שוים אל הז' השמורים
	ואם תרצה לדעת מאזני מגרעת המטבעים
	תעשה הפך החבור והוא שתוסיף על המספר העליון על כל דינר גרה שלקחת מהמספר הקטן ה' ועל כל טרי תוסיף א' ועל כל מגן תוסיף ד' ועל כל אוק' תוסיף ה' ותשליך מכל זה התשיעיות ומהמספר הגדול ושמור היוצא אח"כ תשליך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישוה אל השמור
	דמיון זה גרענו מב' טרי אוק' וג' מנינים וג' טרי וי"ב גרות וג' דינרין א אוק וד' מנינים וד' טרי וט"ו גרות וה' דינרין ונשארו עדין ד' מנינים וג' טרי וי"ו גרות וד' טרי (דינרין)
	ואם תרצה לדעת אותו תקח ה' בעד הגרה שלקחנו מהמספר התחתון עוד תקח א' בעד הטרי ויהיו ו' עוד תקח ד' ויהיו י' השלך מהם ט' נשאר א' עו' קח ה' בעד האוק' ויהיו ו' ותשליך כל התשיעיות מהמספר הגדול ותחבר אליהם הו' וישארו ב' אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישארו ג"כ ב' והם שוים אל הב' השמורים
	ומאזני הכפל
	נעשים ככה והוא שתחלק היוצא מן הכפל על א מהמספרים המוכים זה על (זה) וישוב כמו האחר
	דמיון זה נרצה לדעת מאזני כפל י"ז על י"ג הנה היוצא הוא רכ"א תחלק רכ"א על י"ג ויצא לך י"ז או חלק רכ"א על י"ז ויצא י"ג
	ותוכל לדעתם באופן אחר והוא שתשליך כל התשיעיו' מי"ג וגם מי"ז והנה נשאר מי"ג ד' ומי"ז נשארו ח' כפול ח' על ד' ויצא ל"ב השלך התשיעיות ונשאר ה' אח"כ שוב אל סך העולה שהוא רכ"א והשלך התשיעיות ונשאר עדין ה' והם שוים אל הה' השמורי'
	וכן תוכל לעשות מהשלישיות ומהשביעיות ומכל המספרים אך המאזנים הנהוגים היום על הרוב הם מאזני הט' והז'
	ואם תרצה לדעת מאזני כפל מהמטבעים
	יש לך לקחת על כל גרה שעלה לך מכפל הדינרין ה' ועל כל טרי שיצא מן הגרות א' ועל כל מגן שיצא לך מהטרי ד' ועל כל אוק' שיצא לך מן המגן ה' ולחבר הכל עם הסך העולה ויצטרך שמה שישאר יהיה שוה אל המספרים המוכים זה על זה
	דמיון זה אם ככר הצמר שוה ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וג' (ב') דינרין י"ב ככרים ישוו ל"א אוק' וה' מנינים וד' טרי בלי גרה ובלי דינר המאזנים נעשים ככה השלך כל התשיעיות מהמספר העליון הנשאר ב' גם תשליך התשיעיות מי"ב הנשאר ג' כפול ג' על ב' ויהיו ו' אח"כ שוב אל היוצא והשלך כל התשיעיות וקח עשרים בעד ד' גרות שיצאו מכפל הדינרין ותקח י"א בעבור יא טרין שעלו מכפל הגרות ותקח מ"ד בעבור יא מנינים שעלו מכפל הטרי ותקח ל"ה בעבור ז' אוק' שעשית מהמנינים והשלך כל התשיעיות מכל זה וגם מהסך העולה ר"ל שווי הי"ב ככרים וישארו ג"כ ו' וזאת היא צורתם
	ואולם מאזני חלוק של מטבעים
	נעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהיוצא מן החלוק ושמור הנשאר וגם תשליך כל התשיעיות מן המספר המחלק ושמור הנשאר ומה שישאר מהמחלק כפול על מה שנשאר מהיוצא ותוסיף עליהם אם נשאר מאומה שלא נתחלק ושמור היוצא על התשיעיות אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל גרה (אוק') שהשיבות אחורנית ה' ועל כל מגן שהשיבות אחור ד' ועל כל טרי א' ועל כל גרה ה' ותחבר הכל ותשליך התשיעיות ומה שישאר יהיה שוה אל השמור מלמטה
	דמיון זה נרצה לחלק לז' בני אדם ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ז גרות וב' דינרין ועלה לכל א' וא' ב' מנינים וא' טרי וח' גרות וא' דינר ונשאר עדין דינר א' הנה תשליך כל התשיעיות ומהיוצא הנשאר ג' ושמרם עוד תשליך התשיעיות מהמחלק הנשאר ז' כפול ג' על ז' ויהיו כ"א תשליכם ט"ט נשאר ג' וקח דינר א' שנשאר לחלק ויהיו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל הב' אוק' ששבו אחור י' וקח ד' בעד המגן ששב אחור וקח ב' בעד הב' טרי ששבו אחור וקח ה' בעד הגרה ששבה אחור והשלך כל התשיעיות וישארו ג"כ ד' וזאת היא צורתם
	אולם מאזני החלוק
	נעשה ככה והוא שאם תכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר המחלק ואם נשאר מאומה תחלק (תחבר) על מה שיצא מהכפל והעולה צריך שיהיה כמו המספר המחולק
	דמיון זה חלקנו ד' מאות על י"ד והנה יצא לך כ"ח ונשארו עדין ח' לחלקם על י"ד הנה ראוי לכפול כ"ח על י"ד ותחבר על העולה ח' ויצא לך ח' (ד') מאות כמו המספר המחולק או תעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהמספר המחלק שהוא י"ד הנשאר ה' גם תסיר כל התשיעיות מהיוצא שהוא כ"ח הנשאר א' וכפול אותם על ה' השמורים והנם ה' ותחברם אל הח' הנשארים לחלק והנם י"ג תסיר מהם הט' ונשארו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק שהוא ד' מאות ותוציא התשיעיות ונשארו ד' והם שוים אל הד' השמורים וכן תוכל לעשות מהז' ומכל שאר המספרים
	ואולם מאזני חבור השברים
	נעשה כך והוא שתסיר מהמחובר המספר השני וישוב כמו המספר הראשון או תסיר המספר הא' וישוב כמו המספר הב' או אם חברת א או ב או ג' או ד' תסיר א' משלשתן או מארבעתן [וי]שוב כמו חבור שני המספרים הנשארים זולת אותו שחסרת מהמחובר
	דמיון זה חברנו שליש עם רביע ועלה ז' חלקים מי"ב הוצא מהז' חלקים מי"ב שלישית אחד ונשאר עדין רביעי' אחד או הוצא מז' חלקים מי"ב רביעית אחד הנשאר שליש אחד
	דמיון מג' מספרים חברנו מחצית ושליש ורביע ועלה א' (ו)חלק (א') מי"ב הנה אם תסיר מהם החצי שהוא אחד מהג' מספרים ונשאר עדין ז' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור השליש והרביעית או אם תסיר מן העולה שהוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב השליש שהוא א מג' מספרי' הנשאר ט' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והרביעית ואם תחסר הרביעית הנשאר י' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והשליש ותקיש על זה
	ואולם מאזני המגרעת מהשברים
	נעשה ככה והוא שתחבר מה שנשאר אחר הגרעון עם המספר הקטון וישוב כמו הגדול
	דמיון זה נרצה לגרוע מן שליש אחד רביעית אחד הנה נשאר עדין חלק מי"ב הנה יש לך לחבר חלק אחד מי"ב עם רביעית אחד וישוב שליש אחד בלי תוספת ומגרעת
	ואולם מאזני כפל השברים
	נעשה באופן זה שתחלק מה שעלה מכפל שני המספרים על א' משניהם וישוב כמו האחר
	דמיון זה נרצה לכפול רביעית על חומש הנה העולה חלק מכ' תחלק זה החלק מכ' על רביעית ויצא לך חמישית כמו המספר האחר או תחלקהו על חמישית ויצא לך רביעית בלי תוספת
	וגם אמנם מאזני חלוק השברים נעשה ככה והוא שתכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר החולק וישוב כמו המחולק
	דמיון זה נרצה לחלק רביעית על חומש הנה יצא לך אחד ורביע ותכפלם על המספר המחלק שהוא חומש וישוב רביעית כמו המספר המחולק
	ואולם מאזני הערכים
	הדרך הוא כך והוא שתחלק המספר אשר ערכו נעלם על הידוע והעולה תכפול על ממון המספר הידוע וישוב כמו המספר הנעלם
	דמיון זה ג' קנים ממשי שוות ד' מנינים ו' קנים ישוו ח' מנינים והנה יש לך לחלקים אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם על הג' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' ותכפלם על ממון הג' קנים שהיה ד' מנינים ויעלה ח' והוא שוה אל הח' השמורים שהוא ערך הקנים
	ואם יש בו שברים עם שלמים תעשה על זה האופן או אם אין בו כי אם שברים לבדם כי הכל הולך בדרך אחד
	ואולם מאזני שרשי המרובעים
	הוא נעשה ככה והוא שתקח מרובע השרש אשר מצאת במספר המונח ומה שיעלה יצטרך שישוב כמו המספר אשר מצאת שרשו
	דמיון לקחנו שרש מספר קמ"ד שהוא י"ב נש' נקח מרובע י"ב ויעלה קמ"ד אב' אין בו טעות כי שב להיות על משפטו הראשון שהוא קמ"ד
	ואולם אם אין לאותו המספר המונח שרש אמיתי כי אם בקרוב ראוי לקחת מרובע אותו השרש אשר מצאת שהיה בקרוב וצריך שיעדיף על המספר המונח א' רצוני על המספר אשר לקחת שרשו
	דמיון נרצה לדעת שרש ה' ומצאנו שהוא ה' (ב') ורביע ונרצה לדעת עם המאזנים אם הוא כן והנה נקח מרובע ב' ורביע שהוא עולה פא תמצא בו ה' פעמים י"ו ונשאר א' וכן לעולם
	ואולם אמרי ה' פעמים י"ו כי מספר ה' הוא מספרינו המונח וי"ו הוא מרובע הרביעית המיותרים על הב' אשר הוא השרש והבן זה
	וכן תוכל לדעת מן השברים מעורבים עם שלמים או מן שברים זולת שברים

Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that	השער הי"ב ידבר על שאלות אשר קצתן הן מהערכין וקצתן מהחבורות ומהן מקשירת הכסף ומהם מחלופים ומהם משרשים וכן כל כיוצא בזה
Purchase Problems – Unequal Amount
1) Question: a man wants to buy a canna from four kinds of clothes, one canna from each types - red, green, black and white, and the total amount is 17 peraḥim. He said that the canna of the black [cloth] costs 12 carlini and two parts of 15 more than [the canna of] the white [cloth]. The canna of the green [cloth] costs 15 carlini and two sevenths more than the canna of the black [cloth]. The canna of the red [cloth] costs 23 carlini and two fifths more than [the canna of] the green [cloth]. We wish to know how much is the price of each, so that when all the prices are summed together the sum is 17 peraḥim.	א) שאלה אדם רוצה לקנות קנה אחד מד' מיני בגד ‫^[39]א' קנה מכל מין ומין אדום וירוק ושחור ולבן וסך הכל עולה י"ז פרחים ואמר כי הקנה מהשחור שוה יותר מהלבן י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו והקנה מהירוק שוה יותר מקנה השחור ט"ו קרליני וב' חלקים מז‫' ואמר שהקנה מהאדום שוה יותר מהירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות נרצה לדעת כמה ערך כל א' וא' באופן שכשנחבר ערך כלם יעלו י"ז פרחים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=17\\\scriptstyle c=d+12+\frac{2}{15}\\\scriptstyle b=c+15+\frac{2}{7}\\\scriptstyle a=b+23+\frac{2}{5}\end{cases}$
The answer: Take 12 and 2 parts of 15, sum them with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths, then add once more 12 and 2 parts of 15, with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths; the result is 9 peraḥim, 44 cavalli and 4-sevenths.	תשובה תקח י"ב וב' חלקים מט"ו ותחבר אותם עם ט"ו וב' שלישיות שביעיות ועם כ"ג וב' חמישיות עוד שוב לחבר פעם שניה י"ב וב' חלקים מט"ו וט"ו וב' שביעיות וכ"ג וב' חמישיות ויעלה ט' פרחים ומ"ד קאוואלי וד' שביעיות
Subtract all this from 17 peraḥim; the remainder is 7 peraḥim, 9 carlini, 75 cavalli and 3-sevenths.	תסיר כל זה מי"ז פרחים וישארו ז' פרחים וט' קרליני וע"ה קאוואלי וג' שביעיות
Divide it into 4 parts; the result is 17 carlini, 102 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the white cloth that is the cheapest.	ותחלקם לד' חלקים ויצא לך י"ז קרליני וק"ב קאוואלי וו' שביעיות וזה יהיה ערך הבגד הלבן שהיה יותר גרוע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle d&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left[{\color{red}{3}}\sdot\left(12+\frac{2}{15}\right)\right]+\left[2\sdot\left(15+\frac{2}{7}\right)\right]+\left(23+\frac{2}{5}\right)\right]}{4}=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left(9\sdot10\right)+\frac{44+\frac{4}{7}}{120}\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+9+\frac{75+\frac{3}{7}}{120}}{4}=1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\\\end{align}}}$
Then, add it to 12 carlini and 2 parts of 15; the result is 31 carlini, 118 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the black [cloth].	אח"כ תוסיף על זה י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו ויצא לך ל"א קרליני וקי"ח קאוולי ג' ו' שביעיות וזה היה ערך השחור
$\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(12+\frac{2}{15}\right)=31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}}}$
Add 15 cavalli and 2-sevenths to the price of the black [cloth]; the result is 47 carlini, 39 cavalli and one-seventh and this is [the price] of the green [cloth].	עוד תוסיף על סך השחור ט"ו קאוואלי וב' שביעיות ויצא לך מ"ז קרליני ול"ט קאוואלי ושביעית אחד וזה יהיה חלק הירוק
$\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(15+\frac{2}{7}\right)=47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}}}$
Add 23 carlini and 2-fifths to the price of the green [cloth]; the total result is 70 carlini, 87 cavalli and one-seventh. We define it as is the price of the red [cloth].	עוד תוסיף על סך הירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות ויעלה הכל ע' קרליני ופ"ז קואלי ושביעית וזה נשים ערך האדום
$\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}\right)+\left(23+\frac{2}{5}\right)=70+\frac{87+\frac{1}{7}}{120}}}$
When we sum up all, the result is 17 peraḥim no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c+d=17}}$	וכשנחבר הכל יעלה י"ז פרחים בלי פחות ויתר
Partnership Problems - for different times
2) Question: two men formed a partnership. One contributed 100 minyanim, stayed in the partnership for 6 months, and earned 40 minyanim. The other contributed unknown amount of money, stayed in the partnership for 7 months, and earned 90 minyanim. How much was his money?	ב) שאלה ב' אנשים עושים שותפות הא' שם ק' מנינים ועמדו בשותפות ו' חדשים והרויחו מ' מנינים והאחר שם ממון נעלם ועמדו בשותפות ז' חדשים והרויחו צ' מנינים כמה היה ממונו
Answer: you should multiply the amount of money that the second earned, which is 90, by 10; the result is 9 thousand.	התשובה הנה ראוי לך לכפול הממון שעשה השני שהוא צ' ולכפול על ק' ויעלה ט' אלפים
Divide it by the profit of the first, which is 40; the result is 225.	ותחלקם על ריוח הראשון שהוא מ' ויעלה רכ"ה
So, the amount of money of the second for 6 months was 225 and he stayed in the partnership for 7 months. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot100}{40}=\frac{9000}{40}=225}}$	הנה א"כ השני היה ממונו רכ"ה לערך ו' חדשים ועמדו בשותפות ז' חדשים
Rule of Three: We say: if 7 is equal to 225, how much is 6 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{7:225=6:x}}$	ונאמר אם ז' שוים רכ"ה ו' כמה שוים
The result is 192 and 6-sevenths and it is the amount of money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{x=192+\frac{6}{7}}}$	ויצא לך קצ"ב וו' שביעיות והוא ממון השני
Interest and Discount Problems - Find the time
3) Question: a man earned 5 pešuṭim for 4 minyanim in 3 months. In how many months would 6 minyanim yield 7 [pešuṭim]?	ג) שאלה אדם הרויח ‫^[40]עם ד' מנינים בג' חדשים ה' פשוטים ו' מנינים בכמה חדשים ירויחו ז‫'
Answer: multiply 3 by 4; it is 12.	התשובה כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Then, divide 12 by 6; the result is two.	אח"כ תחלק י"ב על ו' ויצאו שנים
Hence, 6 minyanim yield 5 [pešuṭim] in 2 months. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{6}=\frac{12}{6}=2}}$	הנה א"כ ו' מנינים בב' חדשים הרויחו ה‫'
Rule of Three: Our profit was 7, so we do as follows: if 5 minyanim are equal to 2 months, how many months are 7 minyanim equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{5:2=7:x}}$	והריוח שלנו היה ז' ולכן נעשה כך ונאמר אם ה' מנינים שוים ב' חדשים ז' מניני' כמה חדשים שוים
Multiply two by 7; the result is 14.	כפול שנים על ז' ויצאו י"ד
Divide 14 by 5; the result is 2 months and 4-fifths of a month.	ותחלק י"ד על ה' ויצא ב' חדשים וד' חומשי חדש
So, they yield 7 minyanim in 2 months and 4-fifths of a month. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot7}{5}=\frac{14}{5}=2+\frac{4}{5}}}$	הנה א"כ בב' חדשים וד' חומשי חדש ירויחו ז' מנינים
Find a Quantity
How Much - Money
4) Question: we summed the third and the quarter of an unknown amount of money and the result is 24. How much is the amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=24$	ד) שאלה מסך ממון בלתי נודע קבצנו השליש והרובע ועלה כ"ד כמה הממון
False Position: Answer: take the common denominator, which is 12, from the multiplication of 3 by 4. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	התשובה תקח המורה שהוא י"ב מכפל ג' על ד‫'
Then, take its third and quarter; they are 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}$	אח"כ קח מהם השליש והרובע והם ז‫'
Rule of Three: As the ratio of 7 to 12, so is the ratio of 24 to our unknown number. $\scriptstyle{\color{blue}{7:12=24:X}}$	הנה א"כ ערך אלו הז' אל י"ב כערך כ"ד אל מספרינו הנעלם
We multiply 12 by 24; the result is 288.	לכן נכפול י"ב על כ"ד ויעלה רפ"ח
We divide it by 7; you get 41 and a seventh and this is the amount of the money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot24}{7}=\frac{288}{7}=41+\frac{1}{7}}}$	נחלקם על ז' ויצא לך מ"א ושביעית והוא סכום כל הממון
Check: You can check it by taking a third of 41 and a seventh; it is 13 integers and 5-sevenths.	ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שליש מ"א ושביעית ויהיו י"ג שלמים וה' שביעיות
Take also a quarter of 41 and a seventh; you get 10 and 2-sevenths.	עוד קח הרביעית ממ"א ושביעית ויצא לך י' וב' שביעיות
Sum them with the 13; they are 24 no more and no less.	ותחברם אל י"ג ויהיו כ"ד בלי תוספת ומגרעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]=\left(13+\frac{5}{7}\right)+\left(10+\frac{2}{7}\right)=24}}$
5) Question: we took the third and the fifth of an amount of money plus a third of what remains and they are 12. How much is the total amount of money? $\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X\right)\right]=12$	ה) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו וחמישיתו ושליש מה שנשאר והיו י"ב כמה היה כל הממון
False Position: The answer: take 1 as an example and extract its third and fifth; they are 8 parts and 15.	התשובה תקח המשל על א' ותוציא ממנו השליש והחומש ויהיו ח' חלקים מט"ו
Take the remaining third, i.e. the third of 8 parts of 15 and sum them; the total sum is [6]2 parts of 90. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{8}{15}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{7}{15}\right)=\frac{62}{90}}}$	עוד תקח ~~חצי~~ שליש מהנשאר רצוני שליש ז' חלקים מט"ו ותחבר הכל עליהם הח' חלקים מט"ו ויעלה הכל צ"ב חלקים מצ‫'
Rule of Three: Then, you should multiply 12 by 62 and divide the product by 90; you get 17 integers and 13 parts of 31 and this is the whole amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot{\color{red}{90}}}{{\color{red}{62}}}=17+\frac{13}{31}}}$	אח"כ יש לך לכפול י"ב על ס"ב ותחלק העולה על צ' ויצא לך י"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א וככה היה כל הממון
Check: To check it, take a third of this number; it is 5 integers and 25 parts of 31. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=5+\frac{25}{31}}}$	ולבחון אותו קח שליש זה המספר ויהיו ה' שלמים וכ"ה חלקים מל"א
Take also a fifth of the number; it is 3 integers and 15 parts of 31. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=3+\frac{15}{31}}}$	עוד תקח חומש המספר ויהיו ג' שלמים וט"ו חלקים מל"א
Sum them together; the result is 9 integers and 9 parts of 31. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{25}{31}\right)+\left(3+\frac{15}{31}\right)=9+\frac{9}{31}}}$	אחר כן ^[41]תחברם יחד ויעלו ט' שלמים וט' חלקים מל"א
Subtract this number from 17 integers and 13 parts of 31; the remainder is 8 integers and 4 parts of 31. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{13}{31}\right)-\left(9+\frac{9}{31}\right)=8+\frac{4}{31}}}$	ותוציא זה המספר מי"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א הנשאר ח' שלמים וד' חלקים מל"א
Divide it by 3 and add the quotient to 9 integers and 9 parts of 31; the total result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{9}{31}\right)+\frac{8+\frac{4}{31}}{3}=12}}$	ותחלקם על ג' ותחבר היוצא עם ט' שלמים וט' חלקים מל"א ויעלה בין הכל י"ב
First from Last - Money
6) Question: if a man says to you: we took a third and a quarter from an amount of money and 14 still remain, how much was the total amount of money? $\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=14$	ו) שאלה אם יאמ' לך אדם מסך ממון לקחנו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עדין י"ד כמה היה כל הממון
False Position: The answer: one should multiply 3 by 4; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}$	התשובה ראוי לכפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Then, subtract the third and the quarter from it; 5 still remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}$	אח"כ תוציא מהם השליש והרביעית ונשאר עדין ה‫'
Rule of Three: The ratio of this 5 to 12 is as the ratio of 14 to the whole amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{5:12=14:X}}$	הנה אלו הה' ערכם אל י"ב כערך י"ד אל כל הממון
We relate as follows: if 5 is equal to 12, how much is 14 equal to?	ונעשה הערך כך אם ה' שוים י"ב י"ד כמה שוים
You get 33 and three-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot14}{5}=33+\frac{3}{5}}}$	ויצא לך ל"ג ושלש חומשים
Check: To check it, take a third of 33 and three-fifths; it is 11 and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=11+\frac{1}{5}}}$	ולבחון אותו תקח שליש ל"ג ושלש חומשים והנם י"א וחומש אחד
Then, take a quarter of 33 and 3-fifths; it is 8 and 2-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=8+\frac{2}{5}}}$	אח"כ נקח רביעית ל"ג וג' חומשים ויהיו ח' וב' חומשים
Add it to 11 and a fifth; the sum is 19 and three-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right)+\left(8+\frac{2}{5}\right)=19+\frac{3}{5}}}$	חברם אל י"א וחומש ויהיו י"ט ושלשה חומשים
Subtract it from 33 and 3-fifths; 14 remains no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{3}{5}\right)-\left(19+\frac{3}{5}\right)=14}}$	הפילם מהל"ג ושלש חומשים וישארו י"ד בלי תוספת ומגרעת
How Much - Money
7) Question: we added to an amount of money its quarter and its fifth and they are 12. How much was the amount of money in the beginning? $\scriptstyle X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{4}X=12$	ז) שאלה על סך ממון הוספנו ~~שלישיתו~~ רביעיתו וחמישיתו והיו י"ב כמה היה הממון בתחלה
False Position: The answer: seek the common denominator, which is 20, from the multiplication of [five by four]. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot4=20}}$	התשובה תבקש המורה שהוא כף שהוא מכפל ~~שלישיתו~~ _{חמישיתו} על רביעיתו
Take its quarter, which is 5, and its fifth, which is 4, and add them to the denominator; it is 29. $\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)=20+4+5=29}}$	וקח רביעיתו שהוא ה' וחמישיתו שהוא ד' ותוסיפם על המורה ויהיו כ"ט
Rule of Three: Then, take the denominator, which is 20, multiply it by 12 and divide the product by 29; you get 8 and 8 parts and so was the amount of money originally. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot12}{29}=8+\frac{8}{29}}}$	אח"כ קח המורה שהוא כ' וכפול אותו על י"ב והעולה חלק על כ"ט ויצא לך ח' וח' חלקי' וכך היה הממון בתחלה
Check: To check it, take a quarter of the amount of money, which is 8 [and 8 parts]; the result is 2 integers and 2 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=2+\frac{2}{29}}}$	ולבחון אותו קח רביעית הממון שהם ח' שלמים ויעלו ב' שלמים גם ב' חלקים מכ"ט
Take a fifth of the amount of money; the result is one integer and 3 remain.	אח"כ קח חומש הממון ויעלה א' שלם וישארו ג‫'
We convert each of them into 29 parts and add the 8 parts to them; they are 95.	נעשה מכל אחד מהם כ"ט חלקים וחבר אליהם הח' חלקים ויהיו צ"ה
Divide them by 5; it is 19. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{\frac{\left(3\sdot29\right)+8}{5}}{29}=1+\frac{\frac{95}{5}}{29}=1+\frac{19}{29}}}$	חלקם על ה' ויהיו י"ט
Sum up all the numbers; they are 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)\right]=12}}$	אח"כ חבר כל המספרים ויהיו י"ב
8) Question: if a man says to you: you took a fifth and a sixth of an amount of money plus 4 pešuṭim and the result is 24, how much is the total amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+4=24$	ח) שאלה אם יאמר לך אדם ממון לקחת חמישיתו ושישיתו וד' פשוטים ועלה כ"ד כמה הממון
False Position: The answer: multiply 5 by 6; it is 30. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	התשובה כפול ה' על ו' ויהיו ל‫'
Take its fifth and its sixth and sum them up; it is 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=11}}$	ותוציא מהם החומש ‫^[42]והשישית וחברם ויהיו י"א
Then, subtract 4, which is the addition, from 24; twenty remains. $\scriptstyle{\color{blue}{24-4=20}}$	אח"כ תוציא מכ"ד הד' אשר הם מתוספת ונשאר עשרים
Rule of Three: the ratio of 11 to 30 is the same as the ratio of twenty to the total amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{11:30=20:X}}$	הנה ערך אלו הי"א אל הל' כערך עשרים אל כל הממון
Multiply 20 by 30; the result is 600	וכפול כ' על ל' ויעלה ת"ר
Divide it by 11; the result is 54 integers and 6 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot30}{11}=\frac{600}{11}=54+\frac{6}{11}}}$	תחלקם על י"א ויעלו נ"ד שלמים וו' חלקים מי"א
Check: To check it, take a fifth of 54; it is ten integers and ten parts of 11.	ולבחון אותו תקח החומש מן נ"ד והם עשרה שלמים גם עשרה חלקים מי"א
Then, take a sixth of 54; it is 9 integers and one part of 11.	אח"כ קח שישית נ"ד והם ט' שלמים וחלק א' מי"א
Sum them up; they are twenty integers.	ותחברם ויהיו עשרים שלמים
Add 4 to them; they are 24 integers.	תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד שלמים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(54+\frac{6}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(54+\frac{6}{54}\right)\right]+4=\left(10+\frac{10}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+4=20+4=24}}$
First from Last - Money
9) Question: we subtracted from an amount of money its third and its fifth, then we take 2 from what remained and 4 still remain. $\scriptstyle X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X-2=4$	ט) שאלה חסרנו ממון שלישיתו וחמישיתו וממה שנשאר נקח ג"כ שנים ונשאר עדין ד‫'
False Position: The answer: look for the common denominator by multiplying 3 by 5; it is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}$	התשובה תבקש המורה והוא שתכפול ג' על ה' ויהיו ט"ו
Then, we subtract the third and the fifth; 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=7}}$	אח"כ נקח השליש והחומש הנשאר ז‫'
Since it is said that after the third and the fifth are subtracted, 2 is also subtracted from the remaining amount, we add it to 4; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{4+2=6}}$	והנה מצד כי אמר אחר שנלקח מסך המעות השליש והחומש לקח עוד מסך הנשאר ב' נוסיפם על ד' ויהיו ו‫'
Rule of Three: we take the 7 that remains from the 15, after the third and the fifth are subtracted, and say: if 7 is equal to 19, how much is 6 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{7:15=6:X}}$	והנה נקח הז' שנשארו מהט"ו אחר לקיחת השליש והחומש ונאמר אם ז' שוים ט"ו ו' כמה שוים
You receive 12 and 6-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\frac{6}{7}}}$	יצא לך י"ב וו' שביעיות
Check: To check it, take a third of 12 [and 6-sevenths]; it is 4 and 2-sevenths.	ולבחון אותו והוא שתקח שליש י"ב שהם ד' וב' שביעיות
Take a fifth of 12 and 6-sevenths; it is 2 and 4-sevenths.	וקח חומש י"ב וו' שביעיות ויהיו ב' וד' שביעיות
Subtract all this from 12 and 6-sevenths; the remainder is 6.	תסיר כל זה מי"ב וו' שביעיות הנשאר ו‫'
Subtract 2 from this 6; 4 remains.	תסיר מאלו הו' ב' נשאר ד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{6}{7}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]\right]-2=\left(12+\frac{6}{7}\right)+\left[\left(4+\frac{2}{7}\right)+\left(2+\frac{4}{7}\right)\right]-2=6-2=4}}$
How Much - Money
10) Question: we took a third of an amount of money plus 5 pešuṭim and its quarter minus 2 pešuṭim and the result is 8 pešuṭim. $\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+5\right)+\left(\frac{1}{4}X-2\right)=8$	י) שאלה מממון חסרנו שלישיתו וחמשה פשוטים ורביעיתו פחות ב' פשוטים ועולה ח' פשוטים
The answer: you should know that 5 is additive and 2 is subtractive, so you should subtract 2 from 5; 3 remains. Then, subtract these 3 from 8 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(5-2\right)=8-3=5}}$	התשובה ראוי לך לדעת כי ה' הם מתוספת וב' הם של גרעון ועל כן יש לך לקחת ב' מה' נשארו ג' תפיל אלו הג' מח' פשוטים
It is as if one says: We took a third and a quarter of an amount of money and the result is 5 pešuṭim. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5$	ויהיה כאלו אמר מממון חסרנו שלישיתו ורביעיתו ועולה ה' פשוטים
Rule of Three: you should multiply 5 by 12 and divide it by 7; the result is 8 integers and 4-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot12}{7}=8+\frac{4}{7}}}$	והנה יש לך לכפול ה' על י"ב ולחלקנו על ז' ויעלה ח' שלמים וד' שביעיות
Check: You can check it by that you take a third of 8 [and 4-sevenths]; it is 2 and 6-sevenths.	ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שלישית ח' ויהיו ב' וו' שביעיות
Add 5 to it, as it is said "its third plus 5"; it is 7 integers and 6-sevenths.	עוד תוסיף על זה ה' מצד כי אמר שלישיתו עם תוספת ה' ויהיו ז' שלמים וו' שביעיות
Take a quarter of the total amount, which is [8] and 4-sevenths; the result is 2 integers and one part of 7.	עוד תקח רביעית סך הממון שהוא ז' ‫^[43]וד' שביעיות ויעלו ב' שלמים וחלק א' מז‫'
Subtract 2 from it, as it is said "its quarter minus two"; one seventh remains.	תסיר מהם ב' כי אמר אל רביעיתו פחות שנים וישאר שביעית אחד
Add it to 7 integers and 6-sevenths; it is 8 integers no more and no less.	תוסיף אותו אל ז' שלמים וו' שביעיות ויהיו ח' שלמים בלי תוספת ומגרעת
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]+5\right]+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]-2\right]=\left[\left(2+\frac{6}{7}\right)+5\right]+\left[\left(2+\frac{1}{7}\right)-2\right]=\left(7+\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{7}=8}}$
11) Question: if an inquirer says: we summed a quarter of a munber plus 2 with its fifth minus 3 and the result is 6. $\scriptstyle\left(\frac{1}{4}X+2\right)+\left(\frac{1}{5}X-3\right)=6$	יא) שאלה אם אמור יאמר השואל חברנו רביעית מספר מה עם תוספת שנים לחמישיתו פחות ג' ועולה ו‫'
The answer: you already know that the addition is 2 and the subtraction is 3 and this is the opposite of the previous question. So, we do the opposite, that is instead of subtracting we add: we subtract 2 from 3; the remainder is 1. Then, we add the 1 to 6; it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(3-2\right)=6+1=7}}$	התשובה כבר ידעת כי התוספת הוא ב' והחסרון הוא ג' והוא הפך השאלה הקודמת ולכן נעשה בהפך והוא שבמקום הגרעון נוסיף והנה נקח ב' מג' הנשאר א' נוסיף זה הא' אל ו' ויהיו ז‫'
It is as if it is said: we take a quarter and a fifth of an amount of money and the result is 7, how much is the amount of money? $\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=7$	והוא כאלו אמר מסך ממון לקחנו רביעיתו וחמישיתו ועלה ז' כמה הממון
Rule of Three: we relate as follows: we multiply 7 by 20; it is 140.	נעשה הערך ככה והוא שנכפול ז' על כ' ויהיו ק"מ
We divide it by 9; we receive 15 integers and 5 parts of 9 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot20}{9}=\frac{140}{9}=15+\frac{5}{9}}}$	נחלקם על ט' ויצא לנו ט"ו שלמים וה' חלקים מט' וכן היה סך הממון
Check: You can know it by that you take a quarter of 15 [and 5-ninths]; it is 3 integers and 8 parts of 9.	ותוכל לדעת זה והוא שתקח רביעית ט"ו ויהיו ג' שלמים וח' חלקים מט‫'
Then, take a fifth of 15 [and 5-ninths]; it is 3 and one part of 9.	אח"כ העמד החומש מט"ו והם ג' וחלק א' מט‫'
Add 2 to it and subtract 2; 6 remains.	תוסיף על זה ב' ותגרע עמהם ג' וישארו ו‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+2-3=\left(3+\frac{8}{9}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+2-3=6}}$
12) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took the square of the result and it is the initial amount. How much is the amount of money? $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X$	יב) שאלה לקחנו מסך ממון מחציתו ושלישיתו ומהעולה לקחנו מרובעו ושב כמו שהיה בתחלה כמה היה הממון
False Position: The answer: take the half and the third from 6. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	התשובה העמד החצי והשליש מו‫'
It is said "from 6" because it has a half and a third; they are 5.	אולם אמרו מו' כי בו נמצא חצי ושליש והנם ה‫'
Take its square; it is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}$	וקח מרובעם ויהיו כ"ה
Take also the square of the common denominator, which is 6; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}$	אח"כ תקח מרובע המורה ג"כ שהוא ו' ויהיו ל"ו
Divide 36 by 25; you receive 1 integer and [1]1 parts of 25 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{36}{25}=1+\frac{{\color{red}{1}}1}{25}}}$	תחלק ל"ו על כ"ה ויצא לך א' שלם וכ"א חלקים מכ"ה וכן היה הממון
Check: Check it: take a half of 1 and 11 parts of 25; it is 18 parts of 25.	ותבחון אותו קח חצי א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ח חלקים מכ"ה
Then, take a third of 1 and 11 parts of 25; it is 12 [parts of 25].	אח"כ קח שליש א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ב
Add it to 18 [parts of 25]; it is 1 and a fifth.	ותחברם אל י"ח ויהיה א' וחומש
Take its square; the result is 1 integer and 11 parts of 25, as it was at first.	וקח מרובעם ויצא א' שלם וי"א חלקים מכ"ה ושב כאשר בתחלה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]\right]^2=\left(\frac{18}{25}+\frac{12}{25}\right)^2=\left(1+\frac{1}{5}\right)^2=1+\frac{11}{25}}}$
13) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took a square of the result and it is equal to the amount of money plus its third. $\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X+\frac{1}{3}X$	יג) שאלה מממון לקחנו ^מחציתו ושלישיתו ולקחנו מרובע מהעולה ושב כמו הממון וכמו שלישיתו
False Position: The answer: do as follows: take the common denominator, i.e. the number that consists of a half and a third; it is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	התשובה תעשה ככה תקח המורה ר"ל המספר ‫^[44]הכולל החצי והשליש והוא ו‫'
Then, take the half and the third; it is 5.	אח"כ קח החצי והשליש והנם ה‫'
Take its square; it is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}$	וקח מרובעם שהם כ"ה
Take the square of the common denominator, which is 36, and add its third to it; it is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{6^2+\left(\frac{1}{3}\sdot6^2\right)=36+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)=48}}$	אח"כ קח מרובע המורה שהוא ל"ו ותחבר אליהם שלישיתם ויהיו מ"ח
Divide 48 by 25; you receive 1 and 23 parts of 25 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{48}{25}=1+\frac{23}{25}}}$	אח"כ תחלק מ"ח על כ"ה ויצא לך א' וכ"ג חלקים מכ"ה וכך הוא הממון
Check: To check it, take a half of this number, which is 24 parts of 25.	ולבחון אותו תקח מחצית זה המספר שהם כ"ד חלקים מכ"ה
Then, take its third, which is 16.	ואח"כ קח שלישיתם שהם י"ו
Sum them up; it is 1 and 3-fifths.	ותחברם ויהיו א' וג' חומשים
Take its square; it is 2 integers and 14 parts of 25, which is the same as the amount of money plus its third.	ותקח מרובעם ויהיו ב' שלמים וי"ד חלקים מכ"ה שהם כמו סך הממון עם תוספת שלישיתו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{24}{25}+\frac{16}{25}\right)^2=\left(1+\frac{3}{5}\right)^2=2+\frac{14}{25}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\\\end{align}}}$
14) Question: we took a half and a third of an amount of money, then from their sum we took its quarter plus a fifth of the remainder from the half and the third and it is equal to 12. How much is the amount of money? $\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]=12$	יד) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו ומחציתו ומהמחובר ר"ל ממה שיעלה השליש והחצי לקחנו רביעיתו וחומש מה שנשאר מסך כל אחר שילקח החצי והשליש ושוה י"ב כמה כל הממון
False Position: The answer: find a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; it is 60.	התשובה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש יהיה זה ס‫'
We take from 60 its third and its half; it is 50. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=50}}$	והנה נקח מס' שלישיתו ומחציתו ויהיו נ‫'
10 still remains. We take a fifth of the remaining 10; it is 2 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(60-50\right)=\frac{1}{5}\sdot10=2}}$	ונשארו עדין י' אח"כ נקח חומש אלו הי' הנשארים ויהיו ב' שלמים
We take a quarter of fifty; it is 12 and a half.	אח"כ נקח רביעית חמישים והנם י"ב וחצי
We add it to the 2 we have; it is 14 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot50\right)+2=\left(12+\frac{1}{2}\right)+2=14+\frac{1}{2}}}$	נחברם אל הב' שהיו לנו ויהיו י"ד וחצי
Rule of Three: we multiply 12, which is the known number, by the common denominator, which is 60; the result is 720.	אח"כ נכפול י"ב אשר הוא המספר הנודע על המורה אשר הוא ס' ויעלה תש"כ
Divide it by 14 and a half; you receive 49 and 19 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot60}{14+\frac{1}{2}}=\frac{720}{14+\frac{1}{2}}=49+\frac{19}{29}}}$	וחלקם על י"ד וחצי ויצא לך מ"ט וי"ט חלקים מכ"ט
Check: To check it, take a half of the 49 integers and their parts; you get 24 and 24 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=24+\frac{24}{29}}}$	ולבחון אותו תקח מחצית מ"ט שלמים ומחלקיהם ויצא לך כ"ד וכ"ד חלקים מכ"ט
Then, take a third of the 49 and its parts; you get 16 and 16 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=16+\frac{16}{29}}}$	אח"כ קח שליש מ"ט ומחלקיהם ויצא לך י"ו וי"ו חלקים מכ"ט
Sum them up; it is 41 and 11 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{24}{29}\right)+\left(16+\frac{16}{29}\right)=41+\frac{11}{29}}}$	וחברם ויהיו מ"א וי"א חלקים מכ"ט
Then, take a quarter of this number, as it is said "and a quarter of the sum of a half and a third"; it is 10 integers and 10 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{11}{29}\right)=10+\frac{10}{29}}}$	אח"כ תקח רביעית זה המספר מצד כי אמר ורביעית מהמחובר מהחצי והשלישית ויהיו י' שלמים גם י' חלקים מכ"ט
We subtract 41 integers and 11 parts, which is a half and a third, from the amount of money, which is 49 integers and 19 parts of 29; the remainder is 8 and 8 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(49+\frac{19}{29}\right)-\left(41+\frac{11}{29}\right)=8+\frac{8}{29}}}$	אח"כ נסיר מ"א שלמים וי"א חלקים שהם החצי והשליש מסך הממון שהוא מ"ט שלמים וי"ט חלקים מכ"ט הנשאר ח' וח' חלקים מכ"ט
Take its fifth, as it is said "plus a fifth of the remainder"; it is 1 integer and 19 parts of 29. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{19}{29}}}$	קח מהם החומש מצד שאמר עם חומש הנשאר ויהיה א' שלם עם י"ט חלקים מכ"ט
Add it to the 10 integers and 10 parts of 29; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{10}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)=12}}$	וחברם אל הי' שלמים עם הי' ‫^[45]חלקים מכ"ט ויהיו י"ב
15) Question: we summed half of an amount of money with a third of what remained and a quarter of the remainder after subtracting the third and the total sum is equal to 14. How much is the amount of money?	טו) שאלה מממון חברנו מחציתו ושליש מה שנשאר ורביעית מה שנשאר אחר שנלקח השלישית ושוה הכל י"ד כמה הממון
$\scriptstyle\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[X-\left[\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]\right]\right]\right]=14$
The answer: a number should be found that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.	התשובה ראוי למצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע ותמצא י"ב
Subtract its half from it, which is 6; the remainder is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=12-6=6}}$	הוצא ממנו החצי שהם ו' הנשאר ו‫'
Take from the remaining 6 its third, which is 2; the remainder is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-2=4}}$	וקח מהו' הנשארים שלישיתם שהם ב' הנשאר עדין ד‫'
Take a quarter of the 4, which is 1; the remainder is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4-1=3}}$	וקח רביעית הד' שהוא א' הנשאר עדין ג‫'
False Position: all the fractions are 9. $\scriptstyle{\color{blue}{6+2+1=9}}$	והנה כל חלקי המספרים הם ט‫'
Rule of Three: multiply 14, which is the known number, by the common denominator, which is 12, then divide the product by 9; you receive 18 and 2-thirds and this is the [required] number. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{14\sdot12}{9}=18+\frac{2}{3}}}$	אח"כ תכפול י"ד שהוא סך הידוע על המורה שהוא י"ב ותחלק העולה על ט' ויצא לך י"ח וב' שלישיות וככה היה המספר
Check: To check it, take a half of 18 and 2-thirds, which is 9 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}$	ולבחון אותו תקח מחצית י"ח וב' שלישיות שהם ט' ושליש
Take a third of the remainder; it is 3 and a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left(9+\frac{1}{3}\right)\right]=3+\frac{1}{9}}}$	וקח שליש הנשאר והם ג' ותשיעית
Take a quarter of the remainder; it is 1 and 5-ninths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left[\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)\right]\right]=1+\frac{5}{9}}}$	וקח רביעית הנשאר שהם א' וה' תשיעיות
Sum up all; it is 14 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{5}{9}\right)=14}}$	ותחבר הכל ויהיו י"ד שלמים
Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money
16) Question: we summed a quarter of an amount of money with a fifth of another different amount of money and the sum is 8. How much is each amount? $\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}Y=8$	יו) שאלה חברנו שני סכומות של ממון מתחלפים זה מזה רביעית א' מן הסכומות וחומש הסכום האחד והיו ח‫' כמה סך כל א' וא‫'
The answer: you can solve it in different ways [→ it is an indeterminate problem].	התשובה תוכל להשיבה בפנים מתחלפים
It is that you define any number to be a quarter of the first amount and you subtract this number from 8; then; you define what remains from the 8 as the fifth of the second amount. This way you find them. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\frac{1}{4}X=\frac{1}{5}Y}}$	והוא כי תשים איזה מספר שיהיה רביעית הסך הראשון ואותו המספר תפיל מח' ומה שישאר מהח' תשים אותו חומש הסכום השני ועל זה האופן תמצאנו
Suppose, for example that 3 is a quarter of the first amount. $\scriptstyle\frac{1}{4}X=3$	והנה נניח דרך משל כי ג' היה רביע הסכום הראשון
Then, the first amount is 12, because 3 is a quarter of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{1}{4}\sdot12\longrightarrow X=12}}$	א"כ הסכום הראשון היה י"ב כי ג' הוא רביעית י"ב
Subtract 3 from 8; the remainder is 5. Define the 5 as a fifth of the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-3=5}}$	תפיל ג' מח' הנשאר ה' ושים אלו הה' חומש המספר השני
So, the second amount is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{Y=25}}$	א"כ הסכום הב' היה כ"ה
Or, if you wish, define 2 as the quarter of the first amount. $\scriptstyle\frac{1}{4}X=2$	או אם תרצה שים ב' סכום רביע הסך הראשון
Then, the first amount is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{X=8}}$	א"כ הסך הראשון הוא ח‫'
Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Define the 6 as a fifth of the second amount. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-2=6}}$	ותפיל ב' מח' הנשאר ו' ושים אלו הו' חומש הסכום הב‫'
So, the second amount is 30. $\scriptstyle{\color{blue}{Y=30}}$	א"כ הסך השני יהיה ל‫'
Or, if you wish, define 4 as the quarter of the first number. $\scriptstyle\frac{1}{4}X=4$	או אם תרצה שים ד' רביע המספר הראשון
Then, the first number is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{X=16}}$	א"כ המספר הא' היה י"ו
Subtract 4 from 8; the remainder is 4. Define it as a fifth of the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-4=4}}$	תפיל ד' מח' הנשאר ד' ושים אותם חומש המספר הב‫'
So, the second number is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{Y=20}}$	א"כ המספר הב' היה כ‫'
And so on endlessly - define any number you wish as a quarter of the first amount, subtract it from 8, and define what remains as a fifth of the second number.	וכן עד אין קץ שתשים איזה מספר שתרצה רביע הסכום הראשון ותפיל זה מהח' ומה שישאר תשים חומש המספר הב‫'
Sums
sum of natural numbers
17) Question: if you want to sum from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14$	יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{\left(1+n\right)\sdot n}{2}}}$
1 should be added to 14; it is 15.	ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו
Then, multiply 15 by 14; it is 210.	אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י
Divide it by 2; you receive 105 and this is the required.	תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14=\frac{\left(1+14\right)\sdot14}{2}=\frac{15\sdot14}{2}=\frac{210}{2}=105}}$
even number of terms \ last term is even
18) Question: if the number [of terms] is even take half this number and multiply it by the whole number, then add the result to half the number. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)\sdot2m\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)$	יח) שאלה הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר
Example: we want to know [the sum] from 1 to 16. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16$	דמיון ‫^[46]זה נרצה לדעת מא' עד י"ו
A half of 16 should be taken, which is 8.	ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח‫'
Multiply it by 16; the result is 128.	ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח
Add a half of 16 to it also, which is 8; it is 136 and this is the required.	עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot16\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=\left(8\sdot16\right)+8=128+8=136}}$
odd number of terms \ last term is odd
19) Question: if [the number of terms] is odd the larger part should be taken and multiplied by the whole number and the result is the required. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m-1} i=m\sdot\left(2m-1\right)$	יט) שאלה אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש
Example: we want to know the sum from 1 to 25. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25$	דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה
The greater part should be taken from 25, which is 13.	הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג
Multiply 13 by 25; the result is 325 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25=13\sdot25=325}}$	ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש
Or, if you wish, divide 25 by 2; it is 12 and a half.	או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי
Multiply it by 25; it is 312 and a half.	וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי
Then, add a half of 25 to it, which is 12 and a half; it is 325.	אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\sdot25\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)=\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)\sdot25\right]+\left(12+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(312+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)=325\\\end{align}}}$
the first term is not 1
20) Question: sum from 1 to 10 without the [first] three. $\scriptstyle\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}$	כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל
1 to 10 should be summed, which is 55 as you know.	הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת
Then, sum from 1 to 3; which is 6.	אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו‫'
Subtract 6 from 55; the remainder is 49 and this is the required.	ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}=55-6=49}}$
the number of terms \ the last term is unknown
21) Question: we sum up all the numbers until an unknown number and the sum is 120. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120$	כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow 4\sdot\frac{a}{2}=n^2+n}}$
This number should be divided by 2; it is 60; then, multiplied by 4; it is 240.	ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ
Now, you should extract the preceding root, i.e. that is closest to 240; you find it is 15 and this is the required.	והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=120\longrightarrow 4\sdot\frac{120}{2}=4\sdot60=240=n^2+n\longrightarrow n=15}}$
I.e., when you sum from 1 to 15, the result is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=120}}$	ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ
sum of odds
22) Question: sum all the odds from 1 to 9. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9$	כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים
1 should be added to the number mentioned, the resulting sum should be divided by 2, then the square of the quotient should be taken and this is the required. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=\left(\frac{\left(2n-1\right)+1}{2}\right)^2}}$	הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש
We add 1 to 9; it is 10.	והנה נשים על ט' א' ויהיו י‫'
Then, we divide it by 2; it is 5.	אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה‫'
We take its square; it is 25 and this is the sum of all the odd numbers from 1 to 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9=\left(\frac{9+1}{2}\right)^2=\left(\frac{10}{2}\right)^2=5^2=25}}$	נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט‫'
sum of evens
23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12$	כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}$
The half of 12 should be taken; it is 6; then its square, which is 36 should be [added]; it is 42.	הנה ראוי לקחת מחצית י"ב שהם ו' ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6^2+6=36+6=42}}$
sum of odds: number of terms \ last term is unknown
24) Question: we sum up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25$	כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=a\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{a}\right)-1}}$
The root of 25 should be extracted, then multiply it by 2, and subtract 1 from the product.	ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ
The root of 25 is 5. Double it; it is 10. Subtract 1 from it; 9 remains and this is the required.	והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{25}\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}$
sum of evens: number of terms \ last term is unknown
25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42$	כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=a\longrightarrow a=n^2+n}}$
The preceding root should be extracted. It is known that the preceding root is 6. Multiply it by 2; it is 12 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42\longrightarrow 42=6^2+6\longrightarrow2n=2\sdot6=12}}$	הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש
sum of squares
26) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 4. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2$	כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד‫'
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}$
All the numbers from 1 to 4 should be summed; they are ten	הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר ‫^[47]מא' עד ד' שהם עשרה
Then, take 2-thirds of 4 plus a third; it is 3.	אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג‫'
Multiply 3 by 10; it is 30.	כפול ג' על י' ויהיו ל‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2=\left(\sum_{i=1}^{4} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30}}$
27) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 25 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25$	כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה
Sum up all the numbers; they are 15.	תחבר כל המספרי' והנם ט"ו
Take 2-thirds of 5 plus a third; it is 3 and 2-thirds.	וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות
Multiply it by 15; it is 55.	וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)+\frac{1}{3}\right]=15\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)=55}}$
sum of squares: first term is not 1
28) Question: sum up [the squares] from the square of [4] to the square of 8. $\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2$	כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח‫'
All the squares [of the numbers] from 1 to 8 should be summed; they are 204.	ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד
Then, sum up the squares [of the numbers] from 1 to 3	אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג‫'
Subtract 14 from 204; the remainder is 190 and this is the required.	ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{8} i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{3} i^2\right)=204-14=190}}$
sum of the squares of even numbers
29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2$	כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' על המשך הזוגות
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2n\right)+\frac{2}{3}\right]}}$
All the even numbers from 2 to 8 should be summed; they are twenty.	הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים
Then, take 2-thirds of 8 plus 2-thirds; it is 6 integers.	אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים
Multiply it by 20; it is 120 and this is the required.	כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{4} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\sdot4\right)+\frac{2}{3}\right]=\left(2+\ldots+8\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot8\right)+\frac{2}{3}\right]=20\sdot6=120}}$
sum of the squares of odd numbers
30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2=1^2+\ldots+7^2$	ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים
Sum up all the odd numbers until 7; they are 16.	תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו
Subtract a third of 16 plus 2 parts of 12; or subtract from 15 it third.	אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב או תפיל מט"ו שלישיתם
[Subtract 15 from] 16; 1 remains.	וישאר עד י"ו א‫'
Then, subtract from this 1 its half and add it to 2-thirds of 15; it is 10 and a half.	אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי
Add 1 to 7; it is 8.	אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח‫'
Multiply is by 10 and a half; you receive 84.	והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left[\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2&\scriptstyle=1^2+\ldots+7^2=\left[\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left(7+1\right)\\&\scriptstyle=\left[16-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot8=\left[\left[15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\right]+\left[\left(16-15\right)-\frac{1}{2}\sdot\left(16-15\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)+\left[1-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\sdot8=\left(10+\frac{1}{2}\right)\sdot8=84\\\end{align}}}$
sum of cubes
31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7 $\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3$	לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב ז‫'
Know that the cubes are 1 time 1, 1 time 2, 1 time 3, 1 time 4, and so on until 7; then take 2 and multiply it by all the numbers from 1 to 7; then multiply 3 by 1 to 7; then 4, and so on until the end of the numbers.	ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז‫' ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז‫' ואח"כ תכה הג' מא' עד ז‫' וכן הד' וכן עד כלות כל המספרים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3&\scriptstyle=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=\sum_{i=1}^{7} \left(i\sdot\sum_{j=1}^{7} j\right)\\&\scriptstyle=\left(1\sdot1\right)+\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)+\left(1\sdot4\right)+\ldots+\left(1\sdot7\right)+\left(2\sdot1\right)+\ldots+\left(2\sdot7\right)+\left(3\sdot1\right)+\ldots+\left(3\sdot7\right)\\&\scriptstyle+\left(4\sdot1\right)+\ldots+\left(4\sdot7\right)+\ldots\\\end{align}}}$
If you want to know the total sum, you should sum up all the [numbers] from 1 to 7; they are 28.	אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל הנפרדים אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח
Then, take the square of 28, which is 784, and this is the sum of all the cubes from 1 to 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=28^2=784}}$	אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז‫'
square of sum of natural numbers: number of terms \ last term is unknown
32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12. $\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3$	לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב
Sum up all the cube numbers from 1 to 12; they are 6084.	תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד
Then, sum up all the cube numbers from 1 to 4; they are 100.	אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק‫'
Subtract it from 6084; the remainder is 5984 and this is the required.	תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3=\left(\sum_{i=1}^{12} i^3\right)-\left(\sum_{i=1}^{4} i^3\right)=6084-100=5984}}$
sum of cubes: number of terms \ last term is unknown
33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225. How much is the unknown number? $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225$	לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה כמה הוא המספר הנעלם
$\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^3=a\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} i=\sqrt{a}}}$
The root of the total sum should be extracted, i.e. the root of 225; its root of 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}$	ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון ‫^[48]ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו
Then, deduce this question from the sum of the numbers, meaning: we sum up all the numbers from 1 to an unknown number and the resulting sum is 15; you receive 5 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=15\longrightarrow n=5}}$	אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש
Know that if you do not find an integer root for the mentioned number, your calculation is incorrect.	ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון
square of sum of odd numbers [though the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3=1^3+\ldots+13^3$	לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים
All the odd numbers from 1 to 13 should be sum up; they are 49.	ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט
Then, the square of 49 should be taken; it is 2401 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)\right]^2=49^2=2401}}$	וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש
square of sum of odd numbers: first term is not 1 [again the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]
35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9. $\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3=5^3+\ldots+9^3$	לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים
You should sum all the odd numbers from 5 to 9; they are 21.	ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א
Take its square; the result is 441. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)\right]^2=21^2=441}}$	וקח מרובעם ויעלה תמ"א
square of sum of odd numbers: number of terms \ last term is unknown [the question deals with the sum of cubes of odd numbers, while the solution implies the square of the sum of odd numbers]
36) Question: we sum up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256$	לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו
Extract the root of 256; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)\right]^2=256}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{256}=16}}$	לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו
Then, one should deduce and say: we sum up all the odd numbers from 1 to an unknown number; the result is 16.	אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו
The way is that you multiply 16 four times; it is 64.	הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד
Extract its root; it is 8.	וקח שרשם והנם ח‫'
Subtract one from it; the remainder is 7 and this is the required.	תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=16\longrightarrow 2n-1=\sqrt{4\sdot16}-1=\sqrt{64}-1=8-1=7}}$
square of sum of even numbers [the question deals with the sum of cubes of even numbers, the solution indicates to the square of the sum of even numbers]
37) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3=2^3+\ldots+12^3$	לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
You should sum up all the [even] numbers from 2 to 12; they are 42.	והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב
Then, take its square; it is 1764. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)\right]^2=42^2=1764}}$	אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד
square of sum of even numbers: first term is not 1 [the question points to the sum of cubes of even numbers, the solution deals with the square of the sum of even numbers]
38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12. $\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3=4^3+\ldots+12^3$	לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות
All the even numbers from 4 to 12 should be summed; they are 40.	ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ‫'
Take the square of 40; it is 1600 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)\right]^2=40^2=1600}}$	וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש
square of sum of even numbers: number of terms \ last term is unknown [the question deals with the sum of cubes of even numbers, while the solution concerns the square of the sum of even numbers]
39) Question: we sum up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400$	לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות
The way is that you extract the root of 400; it is twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)^2=400}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}$	הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים
Then, say: we sum up all the even numbers from 2 to an unknown number and the resulting sum is twenty. How much is the unknown number?	ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי‫' כמה הוא המספר הנעלם
Twenty should be multiplied by 4; then 1 should be added to the product; the total is 81.	ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א
Extract its root; it is 9.	וקח שרשו והוא ט‫'
Always subtract 1 from the root; 8 remains.	ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} 2i=20\longrightarrow 2n=\sqrt{\left(4\sdot20\right)+1}-1=\sqrt{80+1}-1=\sqrt{81}-1=9-1=8}}$
sum of even-times-even numbers
40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128$	מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם ‫^[49]מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח
128 should be multiplied by 2; the result is 256.	ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו
Always subtract 1 from it; the remainder is 255 and this is the sought-after.	ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128=\left(2\sdot128\right)-1=256-1=255}}$
[41)] If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times. $\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots$	‫^[50]ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים
Sum up until the fourth, i.e. 1, 2, 4, 8; they are 15. $\scriptstyle{\color{blue}{S_4=\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}=1+2+4+8=15}}$	ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו
Add 1 to 15; they are 16.	תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו
Then, multiply 16 by itself; it is 256.	אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
Multiply 16 by 256; the result is 4096 and this is the sum of all the terms until the twelfth.	אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב
Always subtract 1; 4095 remains.	ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+\ldots=\left[\left(15+1\right)^2\sdot\left(15+1\right)\right]-1=\left(16^2\sdot16\right)-1\\&\scriptstyle=\left(256\sdot16\right)=4096-1=4095\\\end{align}}}$
You can always know it also, if you multiply what you receive, which is 4096, by 16; the result is 65536.	וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה ס"ה אלפים ותקל"ו
Subtract 1 from it; 65535 remains and this is what is in the sixteenth term.	תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{S_{16}=\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}=\left(4096\sdot16\right)-1={\color{red}{6}}5536-1=65535}}$
If you want to know the second consecutive term:	ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים
Multiply what you receive by 4; you receive the second consecutive term. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+2}=4\sdot a_n}}$	תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני
Example: now that you know the 16th term, which is 65536 with the addition of 1, multiply this number by 4; you receive 262144 and this is the 18th term.	דמיון עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{18}=\sum_{i=1}^{18} 2^{i-1}+1=4\sdot a_{16}=4\sdot65536=262144}}$
Likewise you can always know also the third consecutive term:	וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת
If you multiply the number by 8. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+3}=8\sdot a_n}}$	אם תכפול המספר על ח‫'
Also if you multiply the number by 32 you receive the fifth consecutive term. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+5}=32\sdot a_n}}$	ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה‫'
I.e. if you multiply 262144, which is the 18th term, by 32, the result is 8388608 and this is the 23rd term, since you add five [terms] to the 18th term [?].	ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה
$\scriptstyle{\color{blue}{a_{18+5}=a_{23}=32\sdot a_{18}=32\sdot262144=8388608}}$
This way you can known the squares of the chessboard, which are 64. [= the sums of the powers of two, i.e. the even-eimes-even numbers, signify the squares of the chessboard].	ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
42) Question: three men wanted to buy a fish for a price of 17 pešuṭim. The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have. The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have. The third said: I will give mine and you will give a quarter of your money. I ask: how much did each have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\end{cases}$	מב) שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם אמר השני אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו שליש שלכם אמר השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית ממונכם אשאל כמה היה לכל א' וא‫'
The answer: we look for a number, such that we can add to it and it will be a half, two-thirds and 3-quarters of the number resulting from the addition.	התשובה נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה
Since the price of the fish is 17 pešuṭim, which is greater than 12, the required number is less than 12. When we add 12, which is the denominator, to the price of the fish, which is 17, the result is 29 and this is the total amount of money of all. $\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c=17+12=29}}$	ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם
When the fish is bought, two have 12 pešuṭim, i.e. after you subtract 17 pešuṭim from 29. $\scriptstyle{\color{blue}{29-17=12}}$	‫^[51]וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט
When we add to 12 a half of twice what is left in his hand, it is 24. Its complement to 29 is 5 and this is the amount of money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\longrightarrow a+24=29\longrightarrow a=5}}$	וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון
When we add 6 to 12, it is 18, so that 12 is its two-thirds. Its complement to 29 is 11 and this is the amount of money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot\left(12+6\right)\longrightarrow b+18=29\longrightarrow b=11}}$	וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני
When we add only 4 to 12, it is 16, so that [12] is its three-quarters. Its complement to 29 is 13 and this is the amount of money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot\left(12+4\right)\longrightarrow c+16=29\longrightarrow c=13}}$	וכאשר הוספנו על על י"ב ד' בלבד בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט י"ג והוא ממון השלישי
Find a Number
43) Question: find me a number such that when multiplied by 3 then divided by 4 the ratio of the remainder to 4 is the same as the ratio of 4 to 6. $\scriptstyle\frac{3a}{4}:4=4:6$	מג) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו‫'
The answer: we take any number you want: [for instance], we take 6. We multiply it by 3; it is 18. Divide 18 by 4; the result is 4 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}$	התשובה נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי
It is known that the ratio of 4 to 6 is 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}$	וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות
Rule of Three: we look for a number that is 2-thirds of 4, then we say: if the 6 we assumed to be the number gives us 4 and a half, which number gives me 2 and 2-thirds that are 2-thirds of 4? $\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(4+\frac{1}{2}\right)=a:\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)=a:\left(2+\frac{2}{3}\right)}}$	ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד‫'
Multiply 2 and 2-thirds by 6; the result is 16.	כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו
Divide the product by 4 and a half; the result is 3 and 5 parts of 9. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}{4+\frac{1}{2}}=\frac{16}{4+\frac{1}{2}}=3+\frac{5}{9}}}$	והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט‫'
Check: So, when you multiply 3 times 3 and 5 parts of 9, then divide the product by 4, you receive 2 and 2-thirds and its ratio to 4 is as the ratio of 4 to 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot\left(3+\frac{5}{9}\right)}{4}:4=\left(2+\frac{2}{3}\right):4=4:6}}$	הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו‫'
Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish
44) Question: three men wanted to buy a fish for 20 minyanim. The first said: I will give all of my money and you will give a half of what you have. The second said: I will give all of my money and you will give a third of you money. The third said: I will give all of my money and you will give a quarter of your money. How much did each have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=20\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=20\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=20\end{cases}$	מד) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם אמר השני אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם אמר השלישי אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם כמה לכל אחד ואחד
The answer: this question should be deduce from the question above, only that in the one above the price was 17 and in the present it is 20.	התשובה ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ‫'
Rule of Three: So, we say: if 17 yields 5, which is the amount of the one that asks his friends to give him a half of their money, how much is twenty equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{17:5=20:a}}$	לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים
You receive 5 integers and 15 parts of 17. $\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\frac{15}{17}}}$	ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז
Rule of Three: Then, say: if 17 yields 11, which is the share of the one that wants his friends to give him a third of their money, how much is twenty equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{17:11=20:b}}$	אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים
You receive 12 and 16 parts of 17. $\scriptstyle{\color{blue}{b=12+\frac{16}{17}}}$	ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז
Rule of Three: Then, say: if 17 gives me 13, which is the share of the one that asks his friends to give him a quarter [of their money], how much twenty gives me? $\scriptstyle{\color{blue}{17:13=20:c}}$	‫[אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים
You receive 15 and 5 parts of 17 and this is the amount of money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{c=15+\frac{5}{17}}}$	ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז‫] והוא ‫^[52]ממון השלישי
You can check it and you will find it is correct.	ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון
Pursuit Problem
45) Question: a man sent three messengers to walk a distance of 300 miles, then return and walk again back and forth. End to end there are 300 miles. He sent them one the same day, same hour, same minute. The first walks 20 miles, the second 25, and the third 32. We wish to know: when will they reach each other?	מה) שאלה אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב ומקצה ועד קצה הם ש' מילין ושלחם ביום אחד בשעה אחת וברגע אחד ומהלך א' מהם הוא כ' מילין והשני כ"ה והשלישי ל"ב נרצה לדעת מתי ישיגו זה את זה
The answer: we have to divide the 300 by 20, which is what the first walks [a day]; the result is 15. So, he walks 300 miles in 15 days. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{20}=15}}$	התשובה יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות מילין
We also divide 300 by 25; the result is 12. So [the second] walks [300 miles] in 12 days. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{25}=12}}$	עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך
Multiply 12 by 15; the result is 180. So, the two will meet each other in 180 days. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot15=180}}$	וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה
One should find a number such that when you divide it by 32 it will be reduced, i.e. we must find a number and multiply it by 300, then divide the result by 32 and the result will be reduced. So, we multiply 180 by 300 and the result is 54000. Therefore, the three will meet each other in 54000 days. $\scriptstyle{\color{blue}{180\sdot300=54000}}$	והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים
Check: to check it, multiply 54000 by 20, which is what the first walks [a day], then divide the result by 300 and it is reduced. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot20}{300}}}$	ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
Multiply also 54000 by 25, then divide the result by 300 and it is reduced. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot25}{300}}}$	עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
Multiply also 54000 by 32, then divide the result by 300 and it is reduced. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot32}{300}}}$	ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ שוה
Questions of R. Levi Ben Gershon	שאלות מר' לוי בן גרשום‫^[53]
Find a Number Problem
46) Question: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty. We wish to know: how much is the number? $\scriptstyle\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a=\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a+20$	מו) שאלה ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ‫' רצינו לדעת כמה המספר הנעלם
The answer: the denominator is 4[20]; its 3-sevenths plus its 4-fifths is 516. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)=516}}$	התשובה הנה המורה הוא ת"ק וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו
Its 2-thirds plus its quarter is 385. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)=385}}$	וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה
The former parts exceed over the later [parts] by 131. $\scriptstyle{\color{blue}{516-385=131}}$	הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א
Rule of Three: we multiply the denominator by twenty, then divide the product by 131; the result is 64 integers and 16 parts of 131 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{420\sdot20}{131}=64+\frac{16}{131}}}$	ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש
Pursuit Problem
47) Question: the mover walks [7] parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days. We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds? $\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left({\color{red}{7}}+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a$	מז) שאלה המתנועע מתנועע בי"ג ימים י"ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
The answer: we convert the days into hours.	התשובה הנה נשיב ‫^[54]הימים שעות
The first time is 312. $\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot24=312}}$	ויהיה הזמן הראשון שי"ב
The second time is 89, 52 primes and 16 seconds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''=89+52'+16''}}$	והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
Rule of Three: we multiply 7 integer, 36 primes and 57 seconds by 89 integer, 52 primes and 16 seconds, then divide the product by 312; the result is 2 integer, 10 primes and 56 seconds and this is length of the path he walks in the second given time. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(7+36'+57''\right)\sdot\left(89+52'+16''\right)}{312}=2+10'+56''}}$	ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני
48) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days. We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road? $\scriptstyle\left(7+36'+57''\right):\left(13\sdot24\right)=3:a$	מח) שאלה המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך
Rule of Three: we multiply 3 measures by 312 integers, then divide the product by 7 integers, 36 minutes and 57 seconds; the result is 122 hours, 54 minutes and 17 seconds and this is the required, i.e. the unknown time. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{3\sdot312}{7+36'+57''}=122+54'+17''}}$	ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם
49) Question: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the slower is 29 measures and 45 minutes.	מט) שאלה ‫[מהלך] אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים
The excess of the faster walker over the slower walker in one hour is 1 measure, 30 primes and 13 [seconds]. We divide the given distance by it; the result is 19 hours, 47 minutes and 49 seconds and this is the required.	והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29+45'}{\left(2+37''\right)-\left(30'+24''\right)}=\frac{29+45'}{1+30'+13''}=19+47'+49''}}$
Purchase Problems
Equal Amount
50) Question: the merchant is selling four drugs. The price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra. The price of the second drug is 8 pešuṭim for a liṭra. The price of the third drug is 10 pešuṭim for a liṭra. The price of the fourth drug is 15 pešuṭim for a liṭra. The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar $\scriptstyle\frac{7}{12}x+\frac{8}{12}x+\frac{10}{12}x+\frac{15}{12}x=3$	נ) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט‫' וערך הסם השני ח' פשוטים הליט‫' וערך הסם השלישי י' פשוטים הליט‫' וערך הסם הרביעי ט"ו פשוטים הליט‫' ובא הקונה לקנות בג' דינרין משקל שוה מכל א' מהסמים
He buys one liṭra from each for 3 dinar and 4 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}+\frac{8}{12}+\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=3+\frac{4}{12}}}$	והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח ליט' מכל א‫'
The ratio of 3 dinar to 3 dinar and 4 pešuṭim is 9-tenths and so he buys from each [type of] drug, i.e. 9-tenths of a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{x=3:\left(3+\frac{4}{12}\right)=\frac{9}{10}}}$	והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט‫'
The total price is 3 dinar and you can check it.	ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו
51) Question: the merchant is selling four drugs - the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra, the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra, the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra, and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra. We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one $\scriptstyle2a=3b=12c=20d$	נא) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים ערך הא' ב' דינרין הליט‫' וערך האחר ג' דינרין הליט‫' ומהאחר י"ב דינרין הליט‫' והאחרת כ' דינרין הליט‫' ורצינו לדעת כמה מן הליט' יילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה
Write the prices of the 3 liṭra in the first line, it is: [2, 2, 12], 20.	והנה תכתו' בטור א' ערכי הליט' והוא א'ב'ג'כ‫'
In the line below it, it is always according to the mentioned order, meaning write [3 beneath] 2 and 2 beneath 3, also 20 beneath 12 and 12 beneath 20.	ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב' וגם כן הנה תכתוב ‫^[55]תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב
Then take the smallest numbers of these ratios, i.e. the ratio of 2 to 3, the ratio of 12 to 3, and the ratio of 20 to 12.	ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב
The ratio of 20 to 30 is the same as the ratio of 3 to 2. $\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}$	וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב‫'
The ratio of 20 to 5 is the same as the ratio of 12 to 3. $\scriptstyle{\color{blue}{20:5=12:3}}$	ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג‫'
The ratio of 5 to 3 is the same as the ratio of 20 to 12. $\scriptstyle{\color{blue}{5:3=20:12}}$	ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב
So, take 30 livre from the drug whose price is 2 dinar, and this is the number opposite to it.	ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו
From the drug whose price is 3 dinar take 20 liṭra.	ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט‫'
From the drug whose price is 20 dinar take 3 liṭra.	ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט‫'
The total price of what you take from each is the same.	ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה
If the price of one of the drugs is a number of pešuṭim, you should make sure in this mentioned way to convert the price of the remaining drugs into pešuṭim.	וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים
52) Question: the merchant is selling three drugs - the price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra, the price of the second drug is 10 pešuṭim for a liṭra, and the price of the third drug is 20 pešuṭim for a liṭra. The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others. $\scriptstyle2a=3b=12c=20d$	נב) שאלה הסוחר מוכר מג' סמים ערך הא' ז' פשוטים הליט‫' וערך הב' י' פשוטים הליט‫' וערך הג' כ' פשוטים הליט‫' ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מא' מהם כמו ערך מה שיקח מכל א' מהאחרים
The smallest numbers taken of each, so that their prices are the same, are 20, 14, and 7. Their sum is 41 and these are the parts of the liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{20+14+7=41}}$	והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט‫'
Of these parts, 20 parts are taken of the drug whose price is 7 pešuṭim for a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{41}}}$	וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים
14 parts are taken of the drug whose price is 10 pešuṭim for a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{41}}}$	ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים
7 parts are taken of the drug whose price is 2 pešuṭim for a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{41}}}$	ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים
The total is 41 parts that are 5 liṭra.	והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט‫'
As for the price of the liṭra: take the ratios of the numbers 20, 14, and 7, each to its corresponding. Sum them up; the total is 35 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot20}{12}+\frac{10\sdot14}{12}+\frac{20\sdot7}{12}=35}}$	ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין
Divide 35 by 41; the result is 10 pešuṭim and 10 parts of 41 of a pašuṭ and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{41}=\frac{10+\frac{10}{41}}{12}}}$	חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש
Unequal Amount
53) Question: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pešuṭim for a liṭra and the price of the second drug is 24 pešuṭim for a liṭra. The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pešuṭim. $\scriptstyle 17x+24y=19$	נג) שאלה הסוחר מוכר משני סמים ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט‫' וערך האחר כ"ד פשוטים הליט‫' ובא הקונה לקנות מדה משניהם ויהיה ערכה י"ט פשוטים
The excess of the expensive over the cheaper is 7 and these are the parts of the measure. $\scriptstyle{\color{blue}{24-17=7}}$	והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה
The deficit of the cheaper from 19 is two and these are the parts of the measure he takes from the drug whose price is higher [than 19]. $\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{19-17}{7}=\frac{2}{7}}}$	והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף
The excess of the expensive is 5, which are the parts he takes from the drug whose price is lower [than 19]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24-19}{7}=\frac{5}{7}}}$	והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר
The price of the measure is 19 pešuṭim.	ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים
[5]4) Question: the merchant sells 7 drugs: the price of the first drug is 3 pešuṭim for a liṭra. the price of the second drug is 5 pešuṭim. the price of the third drug is 8 pešuṭim. the price of the fourth drug is 11 pešuṭim. the price of the fifth drug is 15 pešuṭim. the price of the sixth drug is 19 pešuṭim. the price of the seventh drug is 28 pešuṭim. The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pešuṭim. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle3x_1+5x_2+8x_3+11x_4+15x_5+19x_6+28x_7=15\end{cases}$	מד) שאלה הסוחר מוכר מז' סמים ערך הא' ג' פשוטים הליט‫' וערך ‫^[56]הב' ה' פשוטים וערך הג' ח' פשוטים וערך הד' י"א פשוטים וערך הה' ט"ו פשוטים וערך הו' י"ט פשוטים וערך הז' כ"ח פשוטים ורצה אדם לקנות ליט' א' מכלם בט"ו פשוטים
[The drugs whose prices] are higher [than 15] are two: the drug whose price is 19 pešuṭim and the drug whose price is 2[8] pešuṭim.	והנה המוסיפים הם ב‫' הסם אשר ערכו י"ט והסם אשר ערכו כ"ד פשוטים
[The drugs whose prices] are lower [than 15] are four: the one whose price is 3; the one whose price is 5; the one whose price is 8; and the one whose price is 11.	והמחסירים הם ד‫' אותה אשר ערכה ג‫' ואשר ערכה ה‫' ואשר ערכה ח‫' ואשר ערכה י"א
We put the 3 pešuṭim corresponding to the 19 pešuṭim; the 5 pešuṭim corresponding to the 28 pešuṭim; and since there are still cheaper drugs left and no expensive left, we take the closest to 15, which is the required price, among the expensive, which is 19, and we attach 19 to each of the remaining cheaper [drugs] as you see in this diagram:	הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשארו במוסיפים נקח מהמוסיפים היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג י"ט עם כל א' הנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה
We already know the way to take liṭra from each of these pairs, so that its price will be 15 pešuṭim.	וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים
So, we take 4 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 3 and [1]2 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 19. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{16}\sdot3\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}2}{16}\sdot19\right)}}$	ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט‫'
We also take 13 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 5 and 10 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 28. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{13}{23}\sdot5\right)+\left(\frac{10}{23}\sdot28\right)}}$	ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט‫'
We take also 4 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 8 and 7 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 19. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{11}\sdot8\right)+\left(\frac{7}{11}\sdot19\right)}}$	ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט‫'
We take also 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 11 and [4] parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] [19]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot11\right)+\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot19\right)}}$	ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מכ"ח בליט' ומסם ד' י"ט חלקים בליט‫'
The number of all these parts is 58. $\scriptstyle{\color{blue}{16+23+11+8=58}}$	והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח
We add two parts for the 15 that has no corresponding; they are 60 and these are the parts of the liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{58+2=60}}$	ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט‫'
We take 4 parts from the drug [whose price is] 3 pešuṭim.	נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים
13 parts from the drug [whose price is] 5.	ומסם ה' י"ג חלקים
4 parts from the drug [whose price is] 8.	ומסם ח' ד' חלקים
4 parts from the drug [whose price is] 11.	ומסם י"א ד' חלקים
2 parts from the drug [whose price is] 15.	ומסם ט"ו ב' חלקים
23 parts from the drug [whose price is] [19].	ומסם ט"ו כ"ג חלקים
10 parts from the drug [whose price is] [2]8.	ומסם י"ח י' חלקים
The price of the liṭra is 15 pešuṭim and this is the required.	ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש
Payment Problem - Men and Beasts
55) Question: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.	נה) שאלה ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות
The number that consists of the numbers he agreed on, which are 9, 13, 7, 15, 6, is 73710 and it is the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot13\sdot7\sdot15\sdot6=73710}}$	והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור
The number that consists of the numbers in practice, which are 8, 17, 6, 11, 7, is 62832. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot17\sdot6\sdot11\sdot7=62832}}$	והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא תתל"ב [וס"ב]‫^[57] אלפים
The ratio of 10 liṭra to what he owes to him is the same as the ratio of the reserved to 62832. $\scriptstyle{\color{blue}{10:X=73710:62832}}$	והנה ‫^[58]יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב
If you multiply 10 liṭra, which is the first, by the fourth, which is 62832, then divide the product by the reserved, you receive 8 liṭra and a half plus 1785 parts of 62832 of a liṭra, which are 5 pešuṭim and 25850 parts of 73710 of a pašuṭ.	ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot62832}{73710}=8+\frac{1}{2}+\frac{1785}{{\color{red}{73710}}}=8+\frac{1}{2}+\frac{5}{12\sdot20}+\frac{\frac{59850}{73710}}{12\sdot20}}}$
Buy and Sell Problems
56) Question: Reuven bought 2-fifths and [2]-sevenths of a measure for 2 dinar. He sold 4-ninths of it for 5 dinar. He earned 100 dinar. We wish to know: how much was the amount of money?	נו) שאלה ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון
False position: The way is that you take the common denominator for all these fractions of the dinar as well as of the measure, if there are fractions in them. The common denominator for all the fractions in our example is 315 and this is the measure. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}$	הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלינו הוא שט"ו והוא המדה
Take its 2-fifths and its 2-sevenths; the result is 216. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{{\color{red}{2}}}{7}\sdot315\right)=216}}$	קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו
So, he buys 108 parts [of the measure] for a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{2}=108}}$	הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח
Take also its 4-ninths; the result is 140. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot315=140}}$	גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ
So, he sells 70 parts [of the measure] for a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{2}=70}}$	הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים
Therefore, he earns 33 parts [of the measure]. $\scriptstyle{\color{blue}{108-70=38}}$	ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים
But, the profit is 100 dinar, which is 7000 parts [of the measure]. $\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot70=7000}}$	וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים
Rule of Three: we should find the number whose ratio to 108 is the same as the ratio of 7000 parts to 38 [parts]. The way to find it is already explained. $\scriptstyle{\color{blue}{X:108=7000:38}}$	הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו
If you divide the result by 70, you find the amount of money plus the profit together. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}$	ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד
If you divide the result by 108, which is the total dinar of the acquisition, you find the amount of money and this is clear. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}$	ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר
Reverse problem: he lost 100 dinar by buying 4-ninths of a measure for 2 dinar and selling 2-fifths and [2]-sevenths of it for 2 dinar.	ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין
The way is the same, only that when you divide the result by 70, you receive the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}$	הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון
And if you divide it by 108, you receive what remains after the loss. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}$	ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד
If he asks how much is the commodity, divide the result by 385, which are the parts of the measure; [the result] is the measures of the commodity. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{385}}}$	ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה והם חלקי המדה והנה מדות המקח
Barter Problems
57) Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise. The price of some parts of the measure that he offered is so and so. The price of other parts of the merchandise that he received is so and so. He gave a certain number of measures. How much should he receive?	נז) שאלה איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה וערך חלקים ממה שקבל ככה ונתן מספר ככה מן המדות כמה ראוי שיקבל
Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for 3-fifths plus 2-ninths of a measure. The merchandise that he received is worth 3 dinar for 3 parts of 11 plus 2-sevenths of a measure. He gave 20 measures. We wish to know: how much should he receive?	והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' ‫^[59]חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין ונתן לו כ' מדות ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל
The way is that you take the common denominator for all these fractions of the measure and of the dinar, if there are fractions there.	הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים
Take from it the fractions that are taken for one dinar for each of these prices.	וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין
Rule of Three: as [ratio of] the parts offered for a dinar to the parts received for a dinar, so is [the ratio of] what he offered to what he received.	וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל
The common denominator of these fractions is 3465. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9\sdot11\sdot7=3465}}$	והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה
We take its 3-sevenths and [a ninth] [= parts offered for two dinar]; it is 2464. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot3465\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}}{9}\sdot3465\right)=2464}}$	לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד
So, the parts offered for one dinar are 1232. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2464}{2}=1232}}$	ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב
We take its 2-sevenths and 3 parts of 11 [= parts received for three dinar]; the result is 1935. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\sdot3465\right)+\left(\frac{3}{11}\sdot3465\right)=1935}}$	לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה
So, the parts received for one dinar are 645. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1935}{3}=645}}$	ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה
Rule of Three: As the ratio of 1232 to 645, so is the ratio of what he receive to two measures. $\scriptstyle{\color{blue}{1232:645=x:20}}$	והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ב כן יחס מה שקבל אל ב' מדות
You already know the way to extract this unknown number.	וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם
Give and Take Problem
It is clear from this that is Reuven made an agreement with Shimon to do his work and he will give him his payment 20 dinar for 7 days and a seventh of a day and Shimon will give Reuaven 4 parts of 11 of a dinar for each day he did not work. Shimon worked 2 days and 3-sevenths of a day and stopped working and he lost more than he gained. We wish to know: how long was the duration of unemployment?	ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו רצינו לדעת כמה בטל
We take the common denominator for all these fractions; the result is 385 and it is the parts of the day. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot11\sdot7=385}}$	לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום
Rule of Three: we look in how many of these parts [of the day] he earns one dinar and in how many of these parts [of the day] loses it; as the ratio of the time of gain to the time of loss so is the ratio of [2] days and 3-fifths to the time he rests.	הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
He earns a dinar in 135 parts and 12 parts of twenty of a part [of the day]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot385}{20}=138+\frac{12}{20}}}$	והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר
He loses a dinar in 1058 parts and 3 of 4 of a part [of the day]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{385}{\frac{4}{11}}=1058+\frac{3}{4}}}$	ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר
So is the ratio of 2 days and 3-fifths to the time he rests.	וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
Find a Number Problem
58) Question: when one number is added to a second number, their ratio to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh. When the first is added to the third, their ratio to the [second] is 7 integers, 2-thirds and a quarter. The second number is 30. We wish to know: how much is each of the rest?	נח) שאלה שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות והמספר הב' ל‫' רצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=30\end{cases}$
First, you extract three numbers that meet this condition in the way that was explained in the first section of our book:	הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר ‫^[60]במאמר הראשון מספרינו
So, [add 1 to] 3 integers, 2-fifths and a seventh; you have 4 integers, 2-fifths and a seventh and this is the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)+1=4+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}$	ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני
Add also 1 to 7 integers, 2-thirds and a quarter; the result is the third number, which is 8 integers, 2-thirds and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+1=8+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}$	גם תוסיף א' על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית
You already know that the number that is proportional to the second is 30.	וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל‫'
Hence, the number that is proportional to the first is 178 integers and 98 parts of 157 of a units. $\scriptstyle{\color{blue}{a=178+\frac{98}{157}}}$	ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד
The third number is 58 integers and 281 parts of 31[8] of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{c=58+\frac{281}{31{\color{red}{8}}}}}$	והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"א באחד
These three numbers are the sought-after; investigate this and you will find.	ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא
59) Question: the ratio of the first and the second summed together to the third is 3-fifths plus a sixth. The ratio of the first and the third summed together to the second is 2 integers and a third. The first number is 20. We wish to know: how much is each of the remaining numbers?	נט) שאלה יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית והמספר הראשון עשרים נרצה לדעת כמה כל א' מהמספרים הנשארים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=2+\frac{1}{3}\\\scriptstyle a=20\end{cases}$
According to what was explained, we extract the numbers that meet this condition: the first number according to what preceded is 2-fifths, a third, and a third of a sixth, the second is 1 integer, 3-fifths and a sixth.	הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית
Since the number that corresponds to the first is twenty, the number that corresponds to the second is 44 integers and 56 parts of 71 of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{a=44+\frac{56}{71}}}$	ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א בא' שלם
The number that corresponds to the third is 84 integers and 36 parts of 71 of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{c=84+\frac{36}{71}}}$	והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם
These are the required numbers.	והם המספרים המבוקשים
60) Question: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is 3 integers and a third. The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is the number 6.	‫[ס)] שאלה שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=6\end{cases}$
We extract the three numbers by the preceding way in these mentioned relations, i.e. that the ratio of the first and the second summed together to the third is 3 integers and a third; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 6 integers.	והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת ‫^[61]באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים
So, the first is 19, the second is 4 and a third, and the third is 7.	והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז‫'
Hence, the first is 19.	ולזה יהיה הראשון י"ט
Add 19 to the second; it is 23 integers and a third and this is the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{b=19+\left(4+\frac{1}{3}\right)=23+\frac{1}{3}}}$	ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני
Add 19 to the third; it is 26 and this is the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{c=19+7=26}}$	ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי
Deduce from this.	ותקיש על זה
61) Question: the ratio of the first and the second summed together to what remains from the third when the first is subtracted from it is 4 integers and a half. The ratio of the first and the third summed together to what remains from the second when the first is subtracted from it is 5 integers. We wish to know: how much is each of the numbers that meet this condition?	סא) שאלה שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=5\end{cases}$
We extract the three numbers by the preceding way in these relations, meaning that the ratio of the first and the second summed together to the third is 4 and a half; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 5.	הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה‫'
So, the first is 21 and a half, the second is [5] and a half, and the third is 6.	ולזה יהיה הראשון כ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו‫'
A half of the first is 10 and 3-[quarters] and this is the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}\sdot\left(21+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{3}{4}}}$	והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון
We add 10 and 3-[quarters] to the second; the result is 16 and a quarter and this is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}$	הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני
We add 10 and 3-[quarters] to the third; the result is 16 and 3-quarters and this is the third. $\scriptstyle{\color{blue}{c=6+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{3}{4}}}$	הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג‫'
62) Question: the first with a quarter of the rest is equal to the second with a sixth of the rest and is also equal to the third with a ninth of the rest. It has already been explained to you in the first section of this book that the order of these three numbers is according to this arrangement, meaning that the first is added to the greatest part of the rest and the [third] is added to the smallest part of the rest. I remind you this so that you will not be confused by the explanations. The second number is 20. We wish to know: how much is each of the rest?	סב) שאלה שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים והנה יהיה המספר השני מהם כ‫' ורצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle b=20\end{cases}$
We already know that the numbers that meet this condition: the first is 119, the second is 151, and the third is 169. From these we extract the corresponding numbers of this ratio:	וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס
The one that corresponds to the first is 15 integers and 115 parts of 1[5]1 of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{a=15+\frac{115}{151}}}$	ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה
The one that corresponds to the third is 22 integers and 58 parts of 151 of a unit. $\scriptstyle{\color{blue}{c=22+\frac{58}{151}}}$	ויהיה הגליי לג' כ"ב ‫^[62]שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה
These are the required numbers.	והם המספרים המבוקשי‫'
If you wish, you can check it.	ואם תרצה תוכל לבחון אותו
Partnership Problem - Three Partners - Same Time
63) Question: three men formed a partnership. The money of all three together is 25 minyanim. The share owed to the first from the profit they earned is 16 minyanim. The share owed to the second from the profit is equal to the root of the money earned by the first. The share owed to the third from the profit is equal to the root of the money [earned by] the second. How much did each contribute to the partnership?	סג) שאלה ג' אנשים עושים שותפות והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים והנה לראשון מגיע לחלקו מהריוח שעשו י"ו מנינים ולשני מגיע לחלקו מהריוח הממון שרש ריוח ממון הראשון והשלישי ראוי לו ליקח מהריוח כמו שרש ממון השני כמה שם כל אחד ואחד בשותפות
The answer: you already know that the profit of the first amount is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=16}}$	התשובה כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו
Hence, you should extract the root of 16; it is 4 and this is the profit of the second amount. $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\sqrt{16}=4}}$	על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני
You should also extract the root of 4; it is 2 and this is the profit of the third amount. $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\sqrt{4}=2}}$	עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי
We do it as follows: three formed a partnership - one contributed 2 minyanim, the second [contributed] 4 [minyanim], and the third [contributed] 25 [minyanim]. They earned 25. How much should each have?	ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד
Sum up the amounts of money of all three; it is 22. $\scriptstyle{\color{blue}{2+4+16=22}}$	תחבר ממון שלשתן והם כ"ב
Multiply the share of the first, which is 16, by 25 and divide the product by 22; you receive 18 and 2 parts of 11 and this is the amount of money the first contributed to the partnership, whose share of the profit is 16 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{16\sdot25}{22}=18+\frac{2}{11}}}$	וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים
Multiply also 6 by 25; you get 100. Divide it by 22; you receive 4 and 6 parts of 11 and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{4\sdot25}{22}=\frac{100}{22}=4+\frac{6}{11}}}$	עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני
Multiply also 2 by 25; you get 50. Divide it by 22; you receive 2 integers and 3 parts of 11 and this is the share of the third, i.e. what the one whose share of the profit is 2 contributed to the partnership. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{2\sdot25}{22}=\frac{50}{22}=2+\frac{3}{11}}}$	עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב‫'
Deduce from this.	ותקיש על זה
Guessing Problem - Four Coins
64) Question: there are here a known number of men, each has a different number of coins of different kinds. We wish to know: which kind of coins does each of them have and who are the holders of the coins among all [the men]?	סד) שאלה יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים
The answer: [the number of] the holder of the greatest coin should be doubled, then 6 is added to it, and the result is multiplied by 5. [The number of] the holder of the second coin, which is the middle coin, is added to this, the result is multiplied by 5, then 150 is subtracted from the product and the remainder is multiplied by 2. [The number of] the holder of the third coin is added to this, [the result] is multiplied by 5, then multiplied also by 2. [The number of] the holder of the fourth coin is added to this.	התשובה ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה‫' ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב‫' ולהוסיף על זה בעל מטבע הג' ולכפול אותו על ה' והעולה יכפול ג"כ על ב‫' ולהוסיף על זה בעל מטבע הד‫'
$\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a_1+6\right)\sdot5\right]+a_2\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+a_3\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+a_4$
Now, you can know, for example, who holds the gold coin, which is the greatest; who holds of the silver coin, which is the second largest; who holds the copper [coin]; and who holds the iron coin. But, you do not know the number of coins each one holds.	ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל ‫^[63]שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א‫'
Know that the thousands [of the result] is the [position of the owner] of the gold [coins] [ $\scriptstyle{\color{blue}{a_1}}$ ].	ודע כי האלפים הוא מספר הזהב
The hundreds [of the result] is the [position of the owner of the] silver [coins] [ $\scriptstyle{\color{blue}{a_2}}$ ].	והמאיות מספר הכסף
The tens [of the result] is the [position of the owner of the] copper [coins] [ $\scriptstyle{\color{blue}{a_3}}$ ].	והעשרות הנחושת
The units [of the result] is the [position of the owner of the] iron [coins] [ $\scriptstyle{\color{blue}{a_4}}$ ].	והאחדים הברזל
Now, you return to the mentioned number again and you can know the amount of the coins each one holds, because the thousands are the amount of the gold, the hundreds are the amount of the silver, the tens of the copper and the units of the iron.	ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל
I give you an example: I gave 3 minyanim of gold to the fourth man; 5 silver carlini to the sixth man; 7 copper cavalli to the eighth man; and 9 iron piccoli to the ninth man. You want to know: who has the gold coins and how many coins does he have; who are the holders of the silver, the copper, and the iron and how many coins do they have?	ואתן לך דמיון דמיון נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי וה' קרליני מכסף לאיש ו‫' וז' קאוואלי מנחושת לאיש ח‫' וט' פיצולי מברזל לאיש ט‫' ותרצה לדעת למי הם מטבעי הזהב וכמה מטבעים לו ומי מחזיק הכסף והנחושת והברזל וכמה מטבעים יש לו
Tell them that the man holding the gold should double [his position]; it is 8. Add 6 to it; it is 14. Multiply it by 5; it is 70. Add to this [the position of] the one holding the silver, which is 6; it is 76. Multiply it by 5; it is 380. Subtract 150 from it; 330 remains. Multiply it by 2; it is 460. Add to this [the position of] the one holding the copper, which is 8; it is 468. Multiply it by 5; it is 2340. Multiply it by 2; it is 4680. Add to this [the position of] the one holding the iron; it is 4689.	תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע‫' תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס תוסיף על זה בעל מטבע הנחושת שהוא הח' ויהיו תס"ח תכפלם על ה' ויהיו ב' אלפים וג' מאות ומ' וכפול זה על ב' ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ‫' ותוסיף על זה בעל מטבע הברזל ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(70+6\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(76\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(380-150\right)\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(230\sdot2\right)+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(460+8\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(468\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(2340\sdot2\right)+9=4680+9=4689\\\end{align}}}$
Hence, 4000 are 4 men, i.e. the fourth man, which is the one holding the gold, but you still do not know the number of the coins.	הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין
600 is the sixth man, who holds the silver.	וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף
80 is the eighth man, who holds the copper.	והפ' איש שמיני בעל הנחושת
9 is the ninth man, who holds the iron coins.	והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל
You still only know the men, i.e. who holds the gold and the silver, but not their amount.	ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם
If you want to know the amount of each [kind of] coin, tell him to double the 3 minyanim; it is 6. Add 6 to it; it is 12. Multiply it by 5; [it is 60]. [Add 5 to this, which is the amount of silver coins; it is 65]. Multiply it by 5; it is 325. Subtract 150 from it; 175 remains. Multiply it by 2; it is 350. Add 7 to this, which is the amount of copper coins; it is 357. Multiply it by 5; it is 1785. Multiply it by 2; it is 3570. Add the amount of iron coins to this, which is 9; the total result is 3579.	ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ תוסיף על זה ז' שהוא סך מטבעי הנחושת ויהיו שנ"ז תכפלם על ה' ויהיו אלף ותשפ"ה ותכפלם על ב' ויהיו ג' אלפים ותק"ע ותוסיף על זה סכום מטבעי הברזל שהם ט' ויעלה הכל ג' אלפים ותקע"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle \left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)+6\right]\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(6+6\right)\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot5\right)+{\color{red}{5}}\right]\sdot{\color{red}{5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(325-150\right)\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(175\sdot2\right)+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(350+7\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(357\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(1785\sdot2\right)+9=3570+9=3579\\\end{align}}}$
Hence, 3000 are the 3 gold coins.	הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב
500 are the 5 silver coins.	והה' מאות הם ה' מטבעי כסף
70 are the 7 copper coins.	והע' הם ז' מטבעי נחושת
9 are the 9 iron coins.	והט' הם ט' מטבעי ברזל
Therefore, the fourth man holds 3 minyanim of gold.	הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב
The sixth man holds 5 silver coins.	והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף
The eighth man holds 7 copper coins.	והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת
The ninth man holds 9 iron coins, which are piccoli.	והאיש הט' ‫^[64]מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי
Find a Number Problem
65) Question: if number 4 is a third of number 15 what is the fifth of 25?	סה) שאלה אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה
The answer is in two ways:	התשובה היא על ב' פנים
One: a third should be taken from 15; it is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot15=5}}$	הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה‫'
Rule of Three: Say: if 5 becomes 4, as it is said that 4 is a third of 15, how much is the number 5, which is a fifth of 25? $\scriptstyle{\color{blue}{5:4=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right):a=5:a}}$	ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים
Multiply 4 by 5, then divide by 5; you receive 4 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{4\sdot5}{5}=4}}$	תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש
The second way is as follows: we should multiply 4 by 3; the result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}$	והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב
So, the number 4 is a third of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}$	א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב
Rule of Three: We want it to be a third of 15. You should relate and say: if 15 becomes 12, how much is 25? $\scriptstyle{\color{blue}{15:12=25:a}}$	ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו
Multiply 25 by 12, then divide by 15; you receive twenty. Take its fifth; the result is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{5}\sdot\frac{25\sdot12}{15}=\frac{1}{5}\sdot20=4}}$	כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד‫'
Guessing Problem - Chosen Number
66) Question: if you want to know the number of which a man thought. Tell him to divide it by 2. Ask him if the result of division includes a half, [tell him to] consider the result as integer, and take 1 for the half. Tell him to add half the number to the whole number and divide the result by 2. If there is a half in the result take 2 for the second half and tell him to consider the result as integer. Tell him to add this to what he had before the second division. Ask him how many ninths there are in the sum and take 4 for each 9. Add the result to what you have from the two divisions and the sum is the required. $\scriptstyle\frac{x+\frac{x}{2}+\frac{x+\frac{x}{2}}{2}}{9}\sdot4=x$	סו) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיחלקהו על ב‫' אח"כ שאל לו אם יש בחלוקה חצי ותעשהו שלם ותקח אתה בעד החצי א‫' אח"כ תאמר לו שיוסיף מחצית המספר על המספר כלו ואח"כ תאמר לו שיחלק העולה על ב‫' ואם יש בו חצי ג"כ תקח שנים בעבור החצי הב' ותאמ' לו שיעשהו שלם ותאמ' לו שיוסיף זה על מה שהיה לו קודם החלוקה השניה ותשאל לו כמה תשיעיות יש בו וקח בעד כל ט' ד‫' ותוסיף העולה על מה שיש לך מהב' חלוקות והיוצא הוא המבוקש
Example: a man thought of the number 33.	דמיון אדם חשב מספר ל"ג
Tell him to divide it by 2; you receive 16 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{33}{2}=16+\frac{1}{2}}}$	תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי
Tell him to turn it into an integer; it is 17. Reserve 1 [for the half].	ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א‫'
Then, add the 17 to 33; it is 50. Divide it by 2; you receive 25. Add the 25 to 50; the result is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{33+17+\frac{33+17}{2}=50+\frac{50}{2}=50+25=75}}$	אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה
Take 4 for each 9 [in 75]; the result is 32, because there are 8-ninths in it.	תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו
Add the 1 that was in the first division; it is 33. $\scriptstyle{\color{blue}{32+1=33}}$	ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג
The signs are: 1; 2; 3; 4	וסימניך אבג"ד
I.e. take 1 for the first division, if there is a half in [the result].	ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי
Take 2 for the second division, if there is a half [in the result].	ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי
Take 3, if there is a half in both the first and second [division].	ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה
Take 4 for each 9.	ותקח ד' בעד כל ט‫'
Gaging Problems
67) Question: if you want to know how many small measures will a large container contain: Know how many thumbs of the hand are in its length from the inside, in the depth of its center and in the depth of its top because it is narrow. Take half the number of the thumbs you found in the depth of its center and its top and multiply it by itself. Then multiply the result also by the measure of the length. Divide the product by 144 and the result are the measures that the container contains	סז) שאלה אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה וקח שעור חצי האצבעות שמצאת בעמקו באמצעו ובראשו ותכפלם בעצמם והעולה תכפלם ג"כ בשעור ‫^[65]מספר האורך והעולה תחלקהו על קמ"ד והיוצא הוא המדות שיכיל הכלי
Example: we want to know: how much will be contained in a container in which there are 50 thumbs of the size of my thumb from the inside, there are 28 thumbs in the depth of its center and 20 in the depth of its top which is narrower	דמיון זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ‫'
Take their half, which is 24, and multiply it by itself; the result is 576.	קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו
Multiply it also by the measure of the length, which is 50; the result is 28800.	תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות
Divide it by 144; the result is two hundred and these are the measures that the container contains, according to the measure that it is now customary to measure the wine here, in the city of Caronia.	חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר קורוניאה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(28+20\right)\right]^2\sdot50}{144}=\frac{24^2\sdot50}{144}=\frac{576\sdot50}{144}=\frac{28800}{144}=200}}$
68) Question: if you wish to know the volume of a container that has wine in it and it is not full and you would like to know how much the empty space will contain, know the number of thumbs that are in the depth of the container in its middle. Take its half and multiply it by itself, then divide by it half the [number of the] measures that the container will hold when it is full The result is the [number of the] measures that are missing in the container.	סח) שאלה אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי
??	ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט
To know how many measures will be contained in the empty space, multiply the empty space by itself and multiply it by the first and the result are the measures that are in the empty space.	ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון
For example: we have a container that contains 200 small measures and in its depth in the middle there are 28 thumbs.	דמיון יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות
Take their half, which is 14, and multiply it by itself; the result is 196.	קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו
Divide by it half the two hundred measures that the container contains, which is 100; you receive a little less than half, no matter the excess, and this is what is missing [?]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)^2}{\frac{1}{2}\sdot200}=\frac{14^2}{100}=\frac{196}{100}<\frac{1}{2}}}$	חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה
If 6 thumbs are missing, multiply them by themselves; it is 36.	ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו
Multiply it by the half; the result is 18 and these are the measures contained in the 6 thumbs that are missing from the container. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6^2=\frac{1}{2}\sdot36=18}}$	תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי
69) Question: If you want to make a container that will contain a known [number of] measures no less and no more, first, know the length of the boards from which you want to make it. Take out of them what is needed to make a space for the base of the container. Take what is left of the length of the board and keep it. Divide by it the number of the measures that you want the container to contain multiplied by 144. Extract the root of the result and this is the volume that should be in the depth of the container, in its quarter which is between the middle and the top.	סט) שאלה אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש
For example: we want to make a container that would hold two hundred measures and we have to make them out of boards that are 54 thumbs long.	דמיון רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות
Subtract 4 from them for the lower base of the container; 50 remain.	חסר מהם ד' למושב ‫^[66]תחתית הכלי וישארו נ‫'
Multiply two hundred by 144; the result is [28]800.	תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות
Divide it by the 50 of the length; you receive 576.	חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו
Extract its root; it is 24 and this is the measure that should be in the depth between the middle and the top, which is a quarter of the length of the board, because the depth of the middle should be greater than the depth of the top. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{200\sdot144}{54-4}}=\sqrt{\frac{{\color{red}{28}}800}{50}}=\sqrt{576}=24}}$	קח גדרם שהוא כ"ד וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש
Or if you want, make the boards as they are in such a way that only their joint remains at the end of the whole container and make it so that the width of all of them is a quarter of the root multiplied by 3 and a seventh.	או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית
In this example, the resulting root is 24. Multiply it by 3 and a seventh; it is 75 and 3-sevenths. So, make the the width of all the boards at the quarter of the length of the board equal to the 75 and 3-sevenths mentioned and make the container as you wish. $\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=75+\frac{3}{7}}}$	דמיון זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך
"If You Give Me" Problems
70) Question: four men. The first said to the second: if you give me half of your money with my [money] the result will be ten. The second said to the third: if you give me a third of your money with half of the money I had before I gave to my friend its half, i.e. with what I have left, the result will be ten. The third said to the fourth: if you give me a quarter of your money with what I have left after giving the third the result will be ten and you will be left with ten. How much was the money?	ע) שאלה ד' אנשים אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם חצי הממון שהיה לי קודם שנתתי לחבירי מחציתו יעלה עשרה ר"ל עם מה שנשאר לי השיב הג' לד' אם תתן לי רביעית ממונך עם מה שנשאר לי אחר נתינת השליש יעלה עשרה גם נשארו לך עשרה כמה היה הממון
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=10\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=10\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=10\end{cases}$
Take the denominator of the last amount, meaning the 4, because it is known that after giving a quarter of the money, he is left with ten.	הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה
So, we say: ten is 3-quarters of which number? You find it is 13 and a third. Hence, the money of the last was 13 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{3}{4}d\longrightarrow d=13+\frac{1}{3}}}$	א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש
He gives a quarter and is left with 10. Hence, he gave 3 and a third to the third in order to complete his amount to ten. So, he had 6 and 2-thirds after he gave a third of his money to the second. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(13+\frac{1}{3}\right)-10\right]=10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}$	ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני
We say: 6 and 2-thirds is 2-thirds of which number? You find it is 10. Hence, the third had 10. $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}c\longrightarrow c=10}}$	ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י‫'
He gave 3 and a third of it, which is its third, and received also 3 and a third, so he gained the same as he lost. Hence, he had ten, because what one took the other gave back. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}$	ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה
We return, then, to the second. It is known that after he gave a half to his freind, the money he is left with is 6 and 2-thirds, since he should receive 3 and a third, in order that the total would be 10. $\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}$	וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י‫'
So, we say: 6 and 2-thirds is a half of which number? You find it is 13 and a third. Hence, his money was 13 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}b\longrightarrow b=13+\frac{1}{3}}}$	א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש
He gave its half, which is 6 and 2-thirds, and was left with the same, then he received 3 and a third and his money was also ten. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b+\left(3+\frac{1}{3}\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}$	ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה
We return, then, to the second. We already know that he received 6 and 2-thirds from his friend. So, he needs 3 and a third to complete the amount. $\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(6+\frac{2}{3}\right)=3+\frac{1}{3}}}$	א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל ‫^[67]מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש
Hence, his money was 3 and a third; the money of the second was 3 and a third before he gave anything; the money of the third was 10 before he gave anything; and the money of the fourth was 13 and a quarter.	א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle b={\color{red}{1}}3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c=10\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}$
If the first said to the second: give me half of your money with my [money] the result will be ten. The second said to the third: give me a third of your money with what I have left, the result will be 12. The third said to the fourth: give me a quarter of your money with what I have left, the result will be 15 and 20 will remain.	ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י‫' והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב והג' אמר לד' תן לי רביעית ממונך עם מה שיש לי ויהיו ט"ו וישארו עדין עשרים
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=12\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=15\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=20\end{cases}$
The way is exactly as mentioned above and the reason for this is explained.	הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת
71) Question: three men want to buy a property for a price of 100 minyanim. The first said to the second and the third: if you give me a third of your money with all of my money the result will be 100. The second said to the third and the first: if you give me a quarter of your money with all of my money the result will be 100. The third said to the first and the second: if you give me a fifth of your money with all of my money the result will be 100. How much did each have?	עא) שאלה הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק‫' השיב הב' לג' ולא' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם כל ממוני יעלו ק‫' אמר הג' לא' ולב' אם תתנו לי חומש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק‫' כמה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b+c\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+c\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b\right)\right]=100\end{cases}$
The answer: do as follows: take a number that has a third, a quarter, and a fifth; it is 60.	התשובה עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס‫'
Then say: 60 is 2-thirds of which [number]? You find it is 90. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}a_2\longrightarrow a_2=90}}$	אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ‫'
Say also: 60 is 3-quarters of which [number]? You find it is 80. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}b_2\longrightarrow b_2=80}}$	עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ‫'
Say also: 60 is 4-fifths of which number? You find it is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}c_2\longrightarrow c_2=75}}$	עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה
Then, sum up these three numbers; the result is 245.	אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה
Divide it by 2, because they are always doubled, i.e. the first says to the two others to give him a third, and so on; you receive 122 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90+80+75}{2}=\frac{245}{2}=122+\frac{1}{2}}}$	תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי
Subtract 30 from it, because it is the first fraction; 32 and a half remains and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-90=32+\frac{1}{2}}}$	הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא‫'
Subtract also 80 from 122 and a half; 42 and a half remains and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=42+\frac{1}{2}}}$	עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני
Subtract also 75 from 122 and a half; 47 and a half remains and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=47+\frac{1}{2}}}$	עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג‫'
Check: Then, to check the question, take a third of 42 and a half and of 47 and a half, and add them to 32 and a half; the result is 62 and a half.	אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left(32+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}$
Take also a quarter of 47 and a half and of 32 and a half, and add them to 42 and a half; it is 62 and a half.	עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left(42+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}$
Then, take a fifth of 32 and a half and of 42 and a half, and add them to 47 and a half; it is also 62 and a half.	אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{c_1+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]=\left(47+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}$
Therefore, if the price of the property was 62 and a half, we would have already solved the question, because the money of the first was 32 and a half, the money of the second was 42 and a half, and the money of the third was 47 and a half.	הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=32+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b_1=42+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c_2=47+\frac{1}{2}\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}$
Rule of Three: Since the price of the property is 100, we relate and say: if 62 and a half equals 32 and a half, how much is 100 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(32+\frac{1}{2}\right)=100:a}}$	הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים
You receive 52 and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a=52}}$	יצא לך נ"ב והוא חלק הא‫'
Rule of Three: say also: if 62 and a half equals [42 and a half], how much is [100] equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(42+\frac{1}{2}\right)=100:b}}$	עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים ‫^[68]כמה שוים
You receive 68 and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{b=68}}$	ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב‫'
Rule of Three: say also: if 62 and a half equals 4[7 and a half], how much is 100 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(4{\color{red}{7}}+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)=100:c}}$	עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים
You receive 76 and this is the share of the third etc. $\scriptstyle{\color{blue}{c=76}}$	ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו‫'
If there were four men, do as mentioned, but the result should be divided by 3, because they are always duplicated, as we divided them above by 2, because they are duplicated.	ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד
Understand this well so that you do not make a mistake in your calculation and the reason for this is explained.	והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת
I will give you an example of four:	ואתן לך דמיון מד‫'
72) Question: there are four. The first said: I will give all my money and you will give half of your money and the result will be 100. The second said to the three: I will give all my money and you will give a third of your money and the result will be 100. The third said to the remaining three: I will give all my money and you will give a quarter of your money and the result will be 100. The fourth said: give a fifth of your money with all my money and the result will be 100. How much did each have?	עב) שאלה בכאן ד‫' אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק‫' השיב הב' לג' אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם ויעלה ק‫' השיב הג' לג' הנשארים אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם ויעלה ק‫' אמר הד' תנו חומש ממונכם עם כל ממוני ויעלה ק‫' כמה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=100\\\scriptstyle d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]=100\end{cases}$
You should find a number that includes a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.	הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס‫'
Say: 60 is a half of which [number]? You find it is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{1}{2}a_2\longrightarrow a_2=120}}$	ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ
Say also: 60 is 2-thirds of which number? You find it is 90. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}b_2\longrightarrow b_2=90}}$	עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ‫'
Say also: 60 is 3-quarters of which number? You find it is 80. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}c_2\longrightarrow c_2=80}}$	עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ‫'
And 4-fifths of which [number]? You find it is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}d_2\longrightarrow d_2=75}}$	ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה
Then, sum them up; it is 365.	אח"כ חברם ויהיו שס"ה
Divide it by 3, because they are always triplicated when asking for a third, a half, a quarter, and a fifth of the money; you receive 121 and 2-thirds and this is the amount of all four. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120+90+80+75}{3}=\frac{365}{3}=121+\frac{2}{3}}}$	חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן
Then, subtract 120 from 121 and 2-thirds; 1 and 2-thirds remains and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-120=1+\frac{2}{3}}}$	אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא‫'
Subtract also 90 from it; 31 and 2-thirds remains and this is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-90=31+\frac{2}{3}}}$	עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב‫'
Subtract also 80 from it; 41 and 2-thirds remains and this is the money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=41+\frac{2}{3}}}$	עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג‫'
Subtract also 75 from it; 46 and 2-thirds remains and this is the money of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{d_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=46+\frac{2}{3}}}$	עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד‫'
The first says the the three others to give him half of their money; the result is 100.	ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק‫'
Sum up all their money and divide it by 2; the result is only 61 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b_1+c_1+d_1\right)\right]=61+\frac{2}{3}}}$	והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות
Rule of Three: So, we say: if 61 and 2-thirds gives me 1 and 2-thirds, how much will 100 give you? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(61+\frac{2}{3}\right):\left(1+\frac{2}{3}\right)=100:a}}$	על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק‫'
Do as mentioned and the reason is clear, no need to [explain].	ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים
Guessing Problems - Cards
73) Question: If you want to know which [card] in a square of cards your friend touched, put five in length and five in width Tell five people that each one touches one [card of one] row, i.e. the row that one touched the other will not touch Take them in your hand one by one, from the right side to the left side, then from the left side to the right side, and from the right to the left and so on until all five rows are completed. Then place them on the table one by one, from top to bottom and from bottom to top, and so on, until you have placed all five rows on the table. Then ask each them in which row is the card he touched.	עג) שאלה אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב ואמור לה' בני אדם שכל א' יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב‫' ותקחם בידך א'א' בצד ימין ותלך בצד שמאל ‫^[69]ומצד שמאל לצד ימין ומימין לשמאל וכן עד כלות כל הה' שורות אח"כ הניחם על השלחן אחת אחת ממעלה למטה וממטה למעלה וכן עד שהנחת כל הה' שורות על השלחן ואח"כ שאל להם באיזו שורה השטר שנגע וכן לכל א' וא‫'
You find that the first one touched the first card in front of you in the same row that he told you and the second touched the second downwards and the third touched the third downwards and so on always.	ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם
You can do the same with 6 or 7 if you make a square of 6 or 7.	וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז‫'
74) Question: If you would like to know which card your friend took from an entire deck of cards, you must do it this way: you know well that all the points of an entire deck of cards summed up to 312, so the horseman is worth ten, the knight 11 and the king 12. You count all the points and you are 245 short to 312. Turn over the cards a second time and count the missing five of whichever kind they are i.e. whether of horses or cups or sticks or swords and you will receive the required.	עד) שאלה אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שי"ב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב ותמנה כל הנקדות ויחסר לך עד תשלום שי"ב רמ'ה‫' תשוב להפך השטרות פעם שניה ותמנה הה' החסרים מאיזה מין הוא ר"ל אם מסוסים או מכוסות או ממקלות או מסייפים ותשיג המבוקש
"If You Give Me" Problems
75) Question: three men want to buy three horses - the price of one is 60 minyanim, the second 80, and the third 100. The first said to the second: give me half of your money with all of my money and we will buy the horse for 60. The second said to the third: if you give me a third of your money with all of my [money] we will buy the horse for 80. The third said to the first: if you give me a quarter of your money plus 20 with all of my money we will buy the horse that is worth 100. How much did each have?	עה) שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק‫' ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס‫' אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם כל שלי נקנה סוס הפ‫' אמר הג' לא' אם תתן לי רביעית ממונך עם תוספת עשרים ועם כל ממוני נקנה הסוס השוה ק‫' כמה היה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=60\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}c=60\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}a+20=100\end{cases}$
The answer is as follows:	התשובה היא ככה
False Position (1): We suppose the first had 48 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=48}}$	נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים
There are 12 minyanim missing until 60. $\scriptstyle{\color{blue}{60-48=12}}$	ויחסר עד ס' י"ב מנינים
So, the second had 24 and he gave him 12; it is 60. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=24}}$	א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס‫'
The third had 168, because a third of his money is 58 and with 24, it is 80. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1=168}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{3}\sdot168\right)=24+5{\color{red}{6}}=80}}$	ולג' היה לו קס"ח כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ‫'
Then, the third says to the first to give him a quarter of his money plus twenty and he gives him 32; with 166, it is two hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{16{\color{red}{8}}+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+20=16{\color{red}{8}}+32=200}}$	אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים
But, we are only asking for 100 to buy the horse, so there is a hundred left. Keep it and say: for 48 remains a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{200-100=100}}$	ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה
False Position (2): Then, we make a second relation and we assume the first had 40 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=40}}$	אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים
So, the second should have 40. $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=40}}$	א"כ יצטרך שיהיה לשני מ‫'
The third also should have 120. $\scriptstyle{\color{blue}{c_2=120}}$	ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ
With the one who asks the first for a quarter of his money plus twenty, which is 30, it is 150. $\scriptstyle{\color{blue}{120+\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)+20=120+30=150}}$	ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ
Then, say: for 40 remains 50. $\scriptstyle{\color{blue}{150-100=50}}$	אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ‫'
Double False Position: Subtract 50 from 100; 50 remains.	אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ‫'
Multiply 48 by 50; it is 2400.	אח"כ כפול ‫^[70]מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות
Multiply 100 by 40; it is 4000.	אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים
Subtract 2400 from it; 1600 remains.	הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר
Divide it by the difference between excess of one relation and the excess of the other relation, which is 50; the result is 32 and this is what the first had. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(100\sdot40\right)-\left(50\sdot48\right)}{100-50}=\frac{4000-2400}{50}=\frac{1600}{50}=32}}$	וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון
76) Question: three men are buying a property for a price of 11 minyanim and a half. The first asks from the other two for half of their money minus 2. The second asks for a third of their money minus 3. The third asks for a quarter of their money minus 4. How much did each have?	עו) שאלה ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב‫' והאחר שואל שליש ממונם פחות ג‫' והאחר שואל רביעית ממונם פחות ד‫' כמה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]-2=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]-3=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]-4=11+\frac{1}{2}\end{cases}$
The answer: find a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.	התשובה תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
12 is a half of 24. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}$	וי"ב הוא מחצית כ"ד
2-thirds of 18. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}$	וב' שלישיות י"ח
3-quarters of 16. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}$	וג' רביעיות י"ו
Subtract 2 from 24; 22 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1-2=24-2=22}}$	קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב
Subtract 3 from 18; 15 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1-3=18-3=15}}$	קח מי"ח ג' ישארו ט"ו
Subtract 4 from 16; 12 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1-4=16-4=12}}$	קח מי"ו ד' ישארו י"ב
Sum them up; the result is 49.	ותחברם ויעלו מ"ט
Divide it by 2; the result is 24 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+15+12}{2}=\frac{49}{2}=24+\frac{1}{2}}}$	ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי
Subtract 22 from it; 2 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(24+\frac{1}{2}\right)-22=2+\frac{1}{2}}}$	הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון
Subtract also 15; 9 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends minus 3. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(24+\frac{1}{2}\right)-15=9+\frac{1}{2}}}$	גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג‫'
Subtract 12 from 24 [and a half]; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends minus 4. $\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(24+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)-12=12+\frac{1}{2}}}$	קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד‫'
The rule is that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third and 4 to the one who asks for a quarter.	והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד‫'
If the one who [asks for] a half says "minus two", the one who [asks for] a third should say "minus 3", and the one who [asks for] a quarter should say "minus 4".	ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד‫'
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
77) Question: three men want to buy a property for 22 and a half minyanim. The first said to the [other] two: if you give me half of your money plus 2 with mine the result will be 22 and a half. The second said to the first and the third: if you give me a third of your money plus 3 with mine the result will be 22 and a half. The third said to the second and the first: if you give me a quarter of your money plus 4 with mine the result will be 22 and a half. How much did each have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]+2=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]+3=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]+4=22+\frac{1}{2}\end{cases}$	עז) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי אמר הב' לא' ולג' אם תתנו שליש ממונכם עם תוספת ג' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי אמר הג' לב' ולא' אם תתנו רביעית ממונכם עם תוספת ד' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי כמה לכל א' וא‫'
The answer: look for a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.	התשובה בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
Say: 12 is half of which number? You find it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}$	ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
Say also: 12 is 2-thirds of which [number]? You find it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}$	עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח
Say also: 12 is 3-quarters of which [number]? You find it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}$	עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו
Then, add to each one the addition he asks for, i.e. add 2 to 24; it is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=24+2=26}}$	אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו
3 to 18; it is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1+3=18+3=21}}$	ועל י"ח ג' ויהיו כ"א
4 to 16; it is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1+4=16+4=20}}$	ועל י"ו ד' ויהיו כ‫'
Sum them up; the result is 67.	ותחבר הכל ויעלה ס"ז
Divide it by 2; you receive 33 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26+21+20}{2}=\frac{67}{2}=33+\frac{1}{2}}}$	ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי
Subtract 27 from it; 7 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends plus 2. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(33+\frac{1}{2}\right)-2{\color{red}{6}}=7+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב‫'
Subtract also 21 from it; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends plus 3. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(33+\frac{1}{2}\right)-21=12+\frac{1}{2}}}$	עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש ‫^[71]ממונם עם תוספת ג‫'
Subtract also 20 from it; 13 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends plus 4. $\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(33+\frac{1}{2}\right)-20=13+\frac{1}{2}}}$	עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד‫'
Know that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third of the money of his friends and 4 to the one who asks for a quarter of the money.	ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד‫'
If you add 4 to the one who asks for half the money, you should add 6 to the one who asks for a third of the money and 8 to the one who asks for a quarter; and so on.	ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד
Geometrical Problems
Triangulation Problem
78) Question: here is a wall 50 cubits tall. At the foot of the wall there is a large hole 30 wide. We ask: if we want to drop a rope from the top of the wall to the hole which is 30 cubits far from the bottom of the wall. How long should it be?	עח) שאלה הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל‫' נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות כמה יהיה ארכה
The answer: we should multiply the [height of the] wall, which is 50, by itself; it is 2500.	התשובה יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות
Then, we multiply the width of the hole, which is 30, by itself; it is 900.	אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות
We add it to 2500; it is 3400.	ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות
Extract its root; it is 58 and 26 parts of 116 and this is the length of the rope. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{50^2+30^2}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}=58+\frac{26}{116}}}$	וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל
Equilateral Triangle
79) Question: a triangle such as this - if the length of the height is 30, how much is the length of each side of the triangle?	עט) שאלה אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש

The answer: you should multiply the length of the line [= the height], which is 30, by 30; it is 900.	התשובה יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות
Take its third, which is 300, and add it to 900; it is 1200.	וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות
Extract its root; it is 34 and 70 parts of 75 and this is the length of each side of the triangle.	וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2+\left(\frac{1}{3}\sdot30^2\right)}=\sqrt{900+\left(\frac{1}{3}\sdot900\right)}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=34+\frac{70}{75}}}$

Triangulation Problem
80) Question: there are here two towers - the length of one is 50 cubits and the other one is 30 cubits. The distance between them is 20 cubits. We wish to build a bridge from the top of one tower to the other. How long would it be?	פ) שאלה בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר כמה יהיה ארכו

The answer: we should multiply the distance between the two towers, which is 20, by itself; it is 400.	התשובה יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות
Then, 400 should be multiplied by 2; it is 800.	אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות
We extract its root; it is 28 integers and 16 parts of 56 and this should be the length of the bridge. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot20^2}=\sqrt{2\sdot400}=\sqrt{800}=28+\frac{16}{56}}}$	ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
Find the Perimeter - Tower
81) Question: here is a squared tower such as this, whose perimeter, i.e. its thickness is 50 cubits from the outside. The thickness of the wall from each of its corners is 2 cubits and a quarter. We wish to know: how much is the perimeter of the tower?	פא) שאלה בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' ‫^[72]אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע נרצה כמה הקף המגדל

The answer: you should multiply 4, since there are four walls, by 2 and a quarter; the result is 9.	התשובה הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט‫'
Multiply it by 2; it is 18.	וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח
Subtract it from 50; 32 remains and this is the inside perimeter of the tower. $\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[2\sdot\left[4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=50-\left(2\sdot9\right)=50-18=32}}$	ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים

Find the Side - Square
82) Question: here is a square such as this, whose inner line is 10 cubits long, i.e. its diagonal. How much is the length of each side of the square?	פב) שאלה הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון כמה אורך כל קו וקו מהמרובע

The answer: you should multiply ten by itself; it is one hundred.	התשובה יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Divide it by 2; the result is fifty.	וחלקם על ב' ויצאו חמישים
Extract its root; it is 7 and one part of 14 and this is the length of each side of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10^2}{2}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}=7+\frac{1}{14}}}$	וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע
Find the Diagonal - Square
83) Question: a square whose four sides are 10 long. We wish to know: how much is the length of its diagonal?	פג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון

Ten should be multiplied by itself; it is a hundred.	יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Multiply it by 2; it is 200.	וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות
Extract its root; it is 14 and 4 parts of 28 and this is the length of the diagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{2\sdot100}=\sqrt{200}=14+\frac{4}{28}}}$	וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון
Triangulation Problem - Broken Tree
84) Question: here is a tree 20 cubits tall. At the foot of the tree there is a stream 10 cubits wide The tree was broken and its top touched the edge of the stream, i.e. 10 cubits far from the foot of the tree. We ask: at what point did the tree break?	פד) שאלה הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות נשאל באיזה מקום נשבר האילן
The answer: you should multiply the length of the tree by itself, i.e. 20 by 20; it is 400.	התשובה הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד' מאות
Then, multiply the width of the stream by itself, i.e. ten by ten; it is 100.	אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק‫'
Subtract it from 400; 300 remains.	תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות
Divide it by 2; it is 150.	ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ
Then, divide 150 by 20; it is 7 and a half; this is what is left of the tree and the broken part is 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{20^2-10^2}{2}}{20}=\frac{\frac{400-100}{2}}{20}=\frac{\frac{300}{2}}{20}=\frac{150}{20}=7+\frac{1}{2}}}$	אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי
Find the Perimeter - Quadrangular
85) Question: here is is a quadrangular. We want to create a triangle inside it, so that the length of each of its three sides will be 20. How much is the perimeter of the quadrangular?	פה) שאלה הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים כמה יקיף כל המרובע
This is its shape:	וזה הוא צורתו

Take half the length of [each side of] the triangle, which is ten, multiply it by twenty; it is 200 and this is the perimeter of the quadrangular. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot20=10\sdot20=200}}$	קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע
Find the Height - Equilateral Triangle
86) Question: here is a triangle, the length of each of its sides is 35. How long is its height?	פו) שאלה הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים ‫^[73]ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה

You should multiply the length of each side, which is 35, by itself; the result is 1225.	הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה
Divide the result by 4; you receive 30[6] and a quarter.	ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע
Subtract this from the total, i.e. from 1225; 9[1]8 and 3-quarters still remains.	ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות
Extract its root; it is 30 integers and 18 parts of 60 plus one part of 16 and this is the length of the height.	וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{35^2-\frac{35^2}{4}}=\sqrt{1225-\frac{1225}{4}}=\sqrt{1225-\left(30{\color{red}{6}}+\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{9{\color{red}{1}}8+\frac{3}{4}}=30+\frac{18}{60}+\frac{1}{16}}}$
Transformation Problem - Square to Circle
87) Question: if you want to create a square from a circle	פז) שאלה אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה

You should know the length of one of the sides of the square, then multiply it by 3 and one seventh and this is the perimeter of the circle.	הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול
Find the Side Problem - Right-Angled Triangle
88) Question: here are two intersecting lines, one is 30 long and the second is 40 long. If we wish to create a triangle from these two lines, how long should the third line be?	פח)^[74] שאלה הנה בכאן שני קוים מחוברים אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג‫'

You should multiply each line by itself, i.e. 30 by 30; it is 900.	הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות
Multiplu also 40 by 40; it is 1600.	גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות
Sum 1600 with 900; the result is 2500.	ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות
Extract its root; it is 50, which is the length of the third line that completes the triangle and this is its shape: $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}$	וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הג' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו
Encounter Problem - Two Men
89) Question: A man walks from Naples to Rome in 5 days and on the same day and at the same time another man walks from Rome to Naples in 7 days. We would like to know in how many days they will meet each other?	פט)^[75] שאלה אדם נוסע מנפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה
You should add the walk of one to the other; it is 12.	יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב
Then, multiply 5 by 7; it is 35.	אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה
Divide it by 12; the result is 2 integers and 11 parts of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot7}{5+7}=\frac{35}{12}=2+\frac{11}{12}}}$	ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב
Gaging Problem - Barrel
90) Question: one barrel of twenty boards contains twenty measures of water. If we remove two boards, how much will it contain?	צ)^[76] שאלה חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל
Multiply 20 by itself; it is 400.	תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות
Then, multiply the boards, i.e. 18 by 18; it is 324.	אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד
Multiply 324 by 20; the result is 6480.	תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ‫'
Divide it by 400; you receive 16 and 80 parts of 400 and so the barrel of 18 boards will contain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot18^2}{20^2}=\frac{20\sdot324}{400}=\frac{6480}{400}=16+\frac{80}{400}}}$	ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים
Joint Purchase Problem
Found Purse Problem - Three Men
91) Question: three men found a purse with some dinar. The first said to the two: if you give me the purse I will have as much dinar as [both of you]. The second answered: if you give me the purse I will have two times as much dinar as both of you. The third said: if you give it to me I will have three times as much money as both of you. How much money was in the purse and how much did each have?	צא) שאלה ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין ‫^[77]השיב השני אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין ב' פעמים כמו שיש לכם אמר הג' אם תתנו אותה יהיה לי מעות ג' פעמים יותר מכם כמה ממון היה בכיס וכמה דינרין היה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+N=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+N=2\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+N=3\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}$
The answer: look for a number that has a half and a third; it is 12.	התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב
Take 6, which is a half of 12, for the first; 8, which is 2-thirds of 12, for the second; and 9, which is 3-quarters of 12, for the third.	ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב
Sum them; it is 23.	ותחברם ויהיו כ"ג
Subtract 12 from it; 11 remains and this is the amount of money in the purse.	ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס
$\scriptstyle{\color{blue}{N=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)\right]-12=\left(6+8+9\right)-12=23-12=11}}$
To know how many dinar the first has, multiply 2 times 6; it is 12.	ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב
Subtract 11 from it; 1 remains and this is what he has. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot6\right)-11=12-11=1}}$	תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו
To know how much the second has, multiply 2 by 8; it is 16.	ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו
Subtract 11 from it; 5 remains and this is what the second has. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot8\right)-11=16-11=5}}$	תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני
To know how much the third has, multiply 9 by 2; it is 18.	ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח
Subtract 11 from it; 7 remains and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot9\right)-11=18-11=7}}$	תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש
"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse
92) Question: two men want to buy a horse whose price is unknown. The first said to the second: if you give me a third and a quarter of your money, with my money I will buy the horse. The second said to the first: if you give me a quarter and a fifth of your money, with my money I will buy the horse. I ask: how much did each have and how much is the price of the horse? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\left(\frac{1}{3}a_2+\frac{1}{4}a_2\right)=N \\\scriptstyle a_2+\left(\frac{1}{4}a_1+\frac{1}{5}a_1\right)=N\end{cases}$	צב) שאלה ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס אמר הב' לא' אם תתן לי רביעית ממונך וחמישיתו עם כל ממוני אקנה הסוס אשאל כמה היה לכל א' וא' וכמה ערך הסוס
The answer: find a number that has a third and a quarter for the first; you find it is 12.	התשובה תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב
Subtract a third and a quarter from it; 5 remains. Its third and its quarter are 7. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז‫'
Then, look for a number that has a quarter and a fifth for the second; you find it is 20.	אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ‫'
Subtract a quarter and a fifth; 11 remains. The quarter and the fifth are 9. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)\right]=20-9=11}}$	תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט‫'
Multiply the 5 remaining from 12 by 20; it is a hundred and this is the money of the first, i.e. the one who asks for a third and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5\sdot20=100}}$	אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית
Multiply the 11 remaining from 20 by 12; it is 132 and this is the share of the one who asks for a quarter and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=11\sdot12=132}}$	אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש
If you wish to know the price of the horse, take a quarter and a fifth of a hundred, which is 45, and add it to 132; the result is 177. $\scriptstyle{\color{blue}{N=132+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)\right]=132+45=177}}$	ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז
Or, take a quarter and a third of 132, which is 77, and add it to 100; it is 177.	או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{N=100+\left[\left(\frac{1}{3}\sdot132\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot132\right)\right]=100+77=177}}$
Geometrical Problems
Find the Area Problem - City
93) Question: Here is a city, the walls surrounding the whole city are 3 miles [long]. We wish to know how much a city with ten walls is greater than the other.	צג) שאלה הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת
One should multiply 3 by itself; it is 9.	ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט‫'
Then, multiply ten by itself; it is one hundred.	אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
Divide one hundred by 9; you receive 11 and a ninth and this is the number of times, by which the one of ten [miles] is greater than the one of 3 [miles]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10^2}{3^2}=\frac{100}{9}=11+\frac{1}{9}}}$	תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א ‫^[78]ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג‫'
Find the Perimeter - Circle
94) Question: here is a circle whose diameter is 7. We wish to know how much is the perimeter of the circle?	צד) שאלה הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז‫' נרצה לדעת כמה ‫[הקף העגול
Multiply it by 3 and a seventh; you receive 22 and this is the perimeter of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}$	כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול
Find the Side - Cyclic Square
Question: here is a square and a circumscribed circle. The diameter of the circle is 7. How much is the length of each side of the square?	שאלה בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז‫' כמה]‫^[79] אורך כל קו וקו מהמרובע

You should multiply 7 by itself; it is 49.	יש לך לכפול ז'‫^[80] על עצמם והם מ"ט‫^[81]
Divide it by 2; it is 24 and a half.	חלקם על ב' והם כ"ד וחצי‫^[82]
Extract its root; it is approximately 5 and this is the length of each side of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{2}}=\sqrt{\frac{49}{2}}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx5}}$	וקח שרשם שהוא ה' [בקרוב]‫^[83] וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע
Find the Side - Inscribed Triangle
95) Question: here is a circle whose diameter is 16. If you want to create a triangle inside it, how much will be its perimeter and how much will be the length of each side of the triangle?	צה)‫^[84] שאלה בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש

Do as follows: subtract a quarter of 16 [from 16], which is 4; 12 remains.	תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב
Multiply 12 by itself; it is 144.	כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד
Then, add to it a third of 144; it is 192.	אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב
Extract its root; it is 13 and 23 parts of 26.	וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(16-4\right)^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-4\right)^2\right]}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144+\left(\frac{1}{3}\sdot144\right)}=\sqrt{192}=13+\frac{23}{26}\\\end{align}}}$
Find the Diagonal - Diameter of a Circle
96) Question: here is a circle whose perimeter is 30. How much is the length of the diameter?	צו) שאלה אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל‫' כמה אורך הבריח המחלקת
Take a third of 30, which is ten, and this is the length of the diameter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot30=10}}$	קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח
Similarly for anything round you can know it this way.	ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן
Find the Diagonal - Rectangle
97) Question: here is a quadrangular - the length of its two long sides is 40 and the breadth of its two short sides is 30. We wish to know: how long is the diagonal and how much is the area of the whole quadrangular?	צז) שאלה בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל‫' נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע
Multiply its wide side, which is 30, by its long side, which is 40; the result is 1200 and this is the measure of the area. $\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot40=1200}}$	תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות
If you want to know the length of the diagonal: multiply 30 by 30, which is 900; multiply 40 by 40, which is 1600; sum them up; it is 2500.	ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות
Extract its root; its is 50 and so is the length of the line. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}$	וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו
Find the Height - Wall
98) Question: Here is a city whose walls are of unknown height. If you would like to know their height	צח) שאלה הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם אם תרצה לדעת גבהם
Take a stick and stand it, i.e. so that its length is from the ground, i.e., from your feet, until its top reaches between your eyes.	קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך
Lie with your face up, i.e., stretch your hands and feet, and tell your friend to put the stick upright between your feet.	ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך
See if, according to your sight, the top of the stick is exactly as high as the wall.	וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה
If it is not as high, move away or get closer, while lying on the ground, until it seems to you that it is of the same height.	ואם ‫^[85]אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה
Then measure how much is it from [your] place to the foot of the wall and so is the height of the wall.	ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה
Find the Price - Barrel
99) Question: there is a barrel full of oil here that is 7 cubits wide from the foot below and gets shorter and shorter until the upper base that is a cubit, which is worth 8 minyanim. How much is a barrel that is 7 cubits wide at the bottom and the top base is also 7 cubits wide?	צט) שאלה יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות
You should sum up all the numbers from 1 to 7, because it gets shorter and shorter; the result is 28. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+7=28}}$	הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח
Then, multiply 7 by 7, because its two bases are 7; it is 49. $\scriptstyle{\color{blue}{7\times7=49}}$	אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט
Say: if 28 is worth 8 minyanim, how much is 49 worth? etc. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{28:8=49:X}}$	ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו‫'
Find the Side - Rectangle Formed by Walls
100) Question: We have two equal walls, far from each other by an unknown number. We know the product of the one by its corresponding, i.e. the product of the wall by the distance between the walls, which is 48. The distance plus the height of one of the walls is 11. How high is the wall and how far are they from each other?	ק) שאלה יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה
Take its half, which is 7, and its square is 49.	קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט
Subtract 48; 1 remains and its root is 1.	תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א‫'
We add it to 7, which is a half of 14, and this is the height of the tower.	נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1}}$
We subtract it from it; the distance between them remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1}}$	נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם
And so on	וכן כל כיוצא בזה
101) Question: We have two equal walls, one of which is for example line AB and the other is line GD, and their height is the same. We know that the diagonal, which is AD, is 10 cubits. We know that the height of the wall exceeds the distance between the two walls by 2 cubits. We would like to know how high each one of the walls is and how far apart they are.	קא) שאלה יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם
The way is as follows:	דרך זה הוא כך
We square the diameter, which is 10; it is 100.	נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק‫'
We subtract from it the square of 2, by which the height exceeds the distance, which is 4; 96 remains.	נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו
Take its half; it is 48.	וקח חציו והוא מ"ח
We add to it the square of half the excess, which is 1; it is 49.	נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א' ויהיו מ"ט
Extract its root; it is 7 and this is the height, i.e. the height of each of the walls.	וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2}=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)\right]+1^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)+1^2}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7}}$
We subtract 2 from it; the remainder is 5 and third is the distance between them from wall to wall. $\scriptstyle{\color{blue}{7-2=5}}$	נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל
Triangulation Problem - Broken Tree
102) Question: we have a tree fifty cubits tall. It was broken and its top touched ground. We know that the distance between its two ends is 25, for example. We ask: by how much did it break?	קב) שאלה יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו ‫^[86]שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר
The way is that we take a quarter of 25, and subtract it from it; 18 and 3-quarters remains and this is where the tree broke. $\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=18+\frac{3}{4}}}$	דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן
We add its quarter to it; the result is 31 and a quarter and this is the part that falls to the ground. $\scriptstyle{\color{blue}{25+\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=31+\frac{1}{4}}}$	נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ
Multiple Quantities - Selling Apples
103) Question: a man gives his three sons apples. He gives to one 10, to the other 30 and to another 50. He said: the money I receive from each will be the same no more and no less and the each will sell at the same price. At what price did they sell? $\scriptstyle10a_1=30a_2=50a_3$	קג) שאלה אדם נתן תפוחים לג' בניו לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ‫' ואמר כל כך ישא לי ממון הא' כמו האחר לא פחות ולא יתר ובערך שימכור הא' ימכרו האחרים באיזה ערך מכרו
You should know that the one who had 10 [apples] sold 7 [apples] for one pašuṭ.	ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט
3 [apples] remain and he sold each at one [apple] for 3 [pešuṭim] $\scriptstyle{\color{blue}{10-7=3}}$	ונשארו עד ג' ומכר כל א' מהם ג' דינרין
We find that they worth 9 and with the 1 they are 10 [pešuṭim]. $\scriptstyle{\color{blue}{1+9=10}}$	נמצא ששוים ט' ועם א' הם י‫'
The one who had 30 [apples] sold also like this, because he sold 28 [apples] for 4 pešuṭim.	ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים
He sold the remaining 2 for 6 [pešuṭim]. $\scriptstyle{\color{blue}{30-28=2}}$	והב' הנשארים מכר ו‫'
So, they are 10. $\scriptstyle{\color{blue}{4+6=10}}$	ויהיו י‫'
The one who had 50 [apples] sold 49 [apples] for 7 [pešuṭim].	ובעל הנ' מכר מ"ט ז‫'
He sold [the remaining] 1 for 3 [pešuṭim]. $\scriptstyle{\color{blue}{50-49=1}}$	וא' מכר ג‫'
They are also 10. $\scriptstyle{\color{blue}{7+3=10}}$	והם י' ג"כ
Gaging Problem - Wine and Water
104) Question: Here is a barrel that contains [10] kabin, half water and half wine. We take out one kab, and pour one kab of water in it. We take another [kab] out a second time, and fill it with water. We take another kab out a third time, and fill it with water. We take another kab out a fourth time, and fill it with water. We would like to know how many kabim of wine are left in the barrel after the fourth time.	קד) שאלה הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים עוד נוציא קו פעם שניה ונמלאנה מים עוד נוציא קב פעם ג' ונמלאנה מים עוד נוציא קב פעם ד' ונמלאנה מים נרצה לדעת כמה קבים של יין נשארו בחבית אחר הפעם הד‫'
The way is as follows:	הדרך הוא כך
It is known that there are 5 kabin of wine and 5 of water in the barrel.	ידוע הוא כי ה' קבין יין וה' של מים הם בחבית
We take out one kab; 4 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine remain.	ונוציא קב וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין
We pour one kab of water in the barrel; there are 5 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine.	ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין
We take 9-tenths of these 4 and a half; 4 and 1 part of twenty remains and this is the wine that is left in barrel [after] the second time. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{20}}}$	ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב‫'
We take again 9-tenths of it; 3 and 129 part of two hundred remains and this is [the wine] that is left [after] the third time. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{20}\right)=3+\frac{129}{200}}}$	עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג‫'
We take again 9-tenths of it; 3 and 561 part of 2000 remains and this is [the wine] that is left [after] the fourth time. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{129}{200}\right)=3+\frac{561}{2000}}}$	עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד‫'
If you take 9-tenths from 3 and 561 part of 2000 what remains is [the wine that is left after] the fifth time. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{561}{2000}\right)}}$	ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה‫'
And so on.	וכן תמיד
Find the Height - Tower
105) Question: Here is a big high tower, we do not know how much. Its shadow is 100 cubits and this shadow reaches another smaller tower that is ten cubits high and its [shadow] is 25. We would like to know how much is the unknown height of the tower.	קה) שאלה בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם
Say: if 25 gives me ten, how much will 100 give? $\scriptstyle{\color{blue}{25:10=100:X}}$	תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו
Multiply ten by 100; it is 1000.	כפול עשרה על ק' ויעלו אלף
Divide it by 25; the result is 40 and this is the height of the greater tower as in this figure: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot100}{25}=\frac{1000}{25}=40}}$	וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה
Find the Height - Wall
106) Question: Here is a high wall, its height is unknown. We drop a rope from the top of the wall to the ground. The end of the rope is 2 cubits away from the foot of the wall. The length of the rope is 120 cubits. We would like to know how high the wall is.	קו) ‫^[87]שאלה הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"כ אמות נרצה לדעת כמה גובה החומה
We measure ten cubits from the lower end of the rope and draw a line of 40 from it that reaches the wall.	הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה
We measure how many cubits of the wall correspond to those 10 cubits of rope.	ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל
We suppose that the 10 cubits of rope correspond to 8 of the wall.	ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה
We divide the length of the rope, which is 120, by 10; the result is 12.	ונחלק אורך החבל שהוא ק"כ על י' ויצאו י"ב
We multiply 12 by 8; it is 96 and this is the height of the wall, as in this figure: $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120}{10}\sdot8=12\sdot8=96}}$	ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה
Find a Number Problems
107) Question: if you want to extract the cubic root of ten. $\scriptstyle\sqrt[3]{10}$	קז) שאלה אם תרצה להוציא שרש מעוקב עשרה
First, take the preceding cube, which is 8, because 2 times 2 is 4 and 2 times 4 is 8.	תוציא תחלה המעוקב שעבר שהוא ח' כי ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח‫'
We take also the following cube, which is 27, because 3 times 3 is 9 and 3 times 9 is 27.	גם נקח המעוקב הבא שהוא כ"ז כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז
See the difference between the preceding and the following, i.e. between 8 and 27; it is 19.	וראה ההפרש שיש בין המוקדם והבא ר"ל בין ח' וכ"ז והוא י"ט
Divide [by it] the exceeding 2, which is from 8 to 10; it is approximately 2 and 2 parts of 19.	ותחלק הב' המיותרים אשר הם מח' עד י' ויהיו ב' וב' חלקים מי"ט וזהו על ידי קרוב
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{10-2^3}{3^3-2^3}=2+\frac{10-\left(2\sdot2\sdot2\right)}{\left(3\sdot3\sdot3\right)-\left(2\sdot2\sdot2\right)}=2+\frac{10-\left(2\sdot4\right)}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot4\right)}=2+\frac{10-8}{27-8}=2+\frac{2}{19}=2+\frac{2}{19}}}$
108) Question: if you want to find a perfect number	קח) שאלה אם תרצה למצא מספר שלם נקרא בלשונם נומירו פירפיטו
Definition of a perfect number: Know that a [number] is called a perfect number when you sum up all the parts and they are equal to the given number.	דע כי מספר שלם נקרא כי כשתקבץ כל החלקים ויהיו שוים אל המספר המונח
Do as follows: take 2 for the first perfect number and multiply it by 2; it is 4.	תעשה ככה תקח בעד המספר השלם הראשון ב' ותכפלם על ב' ויהיו ד‫'
Subtract 1 from it; 3 remains.	תחסר מהם א' נשאר ג‫'
Multiply it by 2; it is 6 and it is a perfect number. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot\left(4-1\right)=2\sdot3=6}}$	כפלם על ב' ויהיו ו' והוא המספר השלם
Check: check it by taking all the parts in it, which are a half, a third, and a sixth; it is 6 and this is the given number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6}}$	ותבחון אותו תקח כל החלקים אשר בו שהוא חצי ושליש ושישית ויהיו ו' והוא המספר המונח
109) If you want to find the second [perfect number]	קט)‫^[88] ואם תרצה למצא השני
Take 4 and multiply it by 2; it is 8.	תקח ד' וכפול אותו על ב' ויהיו ח‫'
Subtract 1 from it; it is 7.	תסיר ממנו א ויהיו ז‫'
Multiply it by 4; it is 28 and it is also a perfect number. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(2\sdot4\right)-1\right]=4\sdot\left(8-1\right)=4\sdot7=28}}$	וכפול אותם על ד' ויהיו כ"ח והוא ג"כ מספר שלם
You can check it.	ותוכל לבחון אותו
110) If you want to find the third [perfect number]	קי)‫^[89] ואם ואם תרצה למצא השלישי
Take 8 and multiply it by 2; it is 16.	תקח ח' וכפול אותו על ב' ויהיו י"ו
Subtract 1; it is 15.	תסיר א' ויהיו ט"ו
Multiply 8 by 15; it is 120, but it is not a perfect number. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left[\left(2\sdot8\right)-1\right]=8\sdot\left(16-1\right)=8\sdot15=120}}$	כפול ח' על ט"ו ויהיו ק"כ ואיננו מספר שלם
So, we take 16 instead of 8 and double it; it is 32.	לכן נקח מספר י"ו תחת ח' ונכפלם ויהיו ל"ב
Subtract 1; it is 31.	תסיר א' ויהיו ל"א
Multiply it by 16; it is 496 and it is a perfect number. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left[\left(2\sdot16\right)-1\right]=16\sdot\left(32-1\right)=16\sdot31=496}}$	ותכפלם על י"ו ויהיו ד' מאות וצ"ו והוא מספר שלם
Proceed according to this way.	ועל הדרך הזה תעשה
To find the fourth, double 16; it is 32.	ולמצא הד' תכפול י"ו ויהיו ל"ב
To find the fifth, take 64 and do as mentioned.	‫^[90]ולמצא הה' תקח ס"ד ויעשה כנז‫'
If it is not a perfect number, do as mentioned concerning the third number.	ואם אינו שלם תעשה כנז' במספר השלישי
111) Question: if you want to find a proportional number: For example: we have six proportional numbers, i.e. the ratio of the sixth to the fifth is the same as the ratio of the fifth to the fourth, and the same as the ratio of the fourth to the third, and the same as the ratio of the third to the second, and the same as the ratio of the second to the first. The first number is 2. The sixth is 2048. We wish to know how much is the second?	קיא)‫^[91] שאלה אם תרצה למצא מספר יחסיי הנקרא בלשונם נומירו פרופורציאונלי דמיון זה יש לנו ו' מספרים יחסיים ר"ל שיחס הו' אל הה' כיחס הה' אל הד' וכיחס הד' אל הג' וכיחס הג' אל הב' וכיחס הב' אל הא‫' והמספר הא' ב‫' והו' ב' אלפים ומ"ח ונרצה לדעת מהו השני
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_6:a_5=a_5:a_4=a_4:a_3=a_3:a_2=a_2:a_1\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_6=2048\end{cases}$
Multiply the first, which is 2, by the last, which is the sixth; the result is 4096.	כפול הראשון שהוא ב' על האחרון שהוא ו' ויעלו ד' אלפים וצ"ו
Extract its square root, "radice quadra" in their language; it is 64.	וקח שרשם המרובע בלשונם ראדיצי קואדרא ויהיו ס"ד
Extract the root of 64; it is 8 and this is the second [number].	עוד קח שרש ס"ד שהוא ח' והוא השני
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot2048}}=\sqrt{\sqrt{4096}}=\sqrt{64}=8}}$
Check: Check it: the first is 2; the second is 8; the third is 32; the fourth is 128; the fifth is 512; and the sixth is 2048.	ותבחון אותו כי הראשון ב' והב' ח' והג' ל"ב והד' קכ"ח והה' תקי"ב והו' ב' אלפים ומ"ח
They are all proportional.	והנה כלם מתיחסים
When you multiply the first by the sixth, [if] the product does not have an [integer] root, or if it has an [integer] root, but its root does not have an [integer] root, multiply the last by the first again, and see if it has an [integer] root and its root has an [integer] root, then the root of the root is the second.	ואחר שכפלת הראשון על הו' אין לסך העולה שרש או אם יש לו שרש ואין לשרשו שרש תשוב לכפול פעם ב' האחרון על הראשון ותבקש אם יש לו שרש ולשרשו שרש ושרש השרש הוא השני
If it does not have an [integer] root after you multiply it a second time, do the opposite: divide the last by the first, then extract its root and the root of its root and it is the second.	ואם אחר שכפלת אותו פעם שניה אין לו שרש תעשה בהפך תחלק האחרון על הראשון וקח שרשו ושרש שרשו והוא השני
For example: we have six proportional numbers, the first is 2 and the sixth is 64. We wish to know which is the second.	דמיון זה יש לנו ו' מספרים מתיחסים הראשון ב' והו' ס"ד נרצה לדעת מהו השני
Multiply the first by the last; it is 128 and it does not have an [integer] root. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_6=128}}$	כפול הראשון על האחרון ויהיו קכ"ח ואין לו שרש
So, we double it once again; it is 256; its root is 16; the root of 16 is 4 and this is the second; the third is 8; the fourth is 16; the fifth is 32; and the sixth is 64.	לכן נכפול אותו פעם ב' ויהיו רנ"ו ושרשם י"ו ושרש י"ו ד' והוא השני והג' ח' והד' י"ו והה' ל"ב והו' ס"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{a+2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot128}}=\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt{16}=4}}$
112) Question: find a number such that when you multiply it by itself the result is 40 and 41 parts of a fraction. $\scriptstyle a^2=40+\frac{41}{b}$	קיב)‫^[92] שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על עצמו יעלו מ' ומ"א חלקים מאיזה שבר שיזדמן
Take the square numbers, i.e. those that have an [integer] root, which are 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.	תקח המספרים המרובעים ר"ל אותם שיש להם שרש שהם ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק‫'
Start from 4: multiply it by 40 and add 41; the result is [20]1, which has no [integer] root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot40\right)+41={\color{red}{20}}1}}$	ותתחיל מד' וכפול אותו על מ' ותוסיף בהם מ"א ויעלו קי"א ואין לו שרש
So, take 9: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot40\right)+41}}$	לכן תקח ט' ותכפלם על מ' ותוסיף בם מ"א גם אין לו שרש
So, take 16: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot40\right)+41}}$	לכן קח י"ו וכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין להם שרש
So, take 25: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot40\right)+41}}$	לכן קח כ"ה ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין לו שרש
So, take 36: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(36\sdot40\right)+41}}$	לכן קח ל"ו וכפול אותו על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
So, take 49: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(49\sdot40\right)+41}}$	לכן תקח מ"ט ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
So, take 64: multiply it by 40 and add 41; the result is 2601 and its root is 51. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(64\sdot40\right)+41=2601=51^2}}$	לכן תקח ס"ד ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ויעלו ב' אלפים וו' מאות וא' ושרשם נ"א
Divide it by the root of 64, which is 8; you receive 6 and 3-eighths and this is the sought-after. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{51}{8}=6+\frac{3}{8}}}$	וחלקם על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך ו' וג' שמיניות והוא המבוקש
Check: because, if you multiply 6 and 3-eighths by 6 and 3-eighths, it is 40 integers and 41 parts of 64. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{8}\right)^2=40+\frac{41}{64}}}$	כי אם תכפול ו' וג' שמיניות ‫^[93]על ו' וג' שמיניות ויהיו מ' שלמים ומ"א חלקים מס"ד
Find the Diagonal - Rectangle
113) Question: A quadrilateral, the length of its two lines of longitude is 8 and the length of its two lines of latitude is 6. We would like to know the length of the diagonals of the quadrilateral from end to end, i.e. the ones that go diagonally.	קיג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע אשר אורך השני קוים ההולכים באורך ח' ואורך הב' קוים ההולכים ברוחב ו‫' נרצה לדעת כמה אורך כל קו וקו מהמרובע המבריחות מן הקצה אל הקצה ר"ל ההולכות באלכסון
Multiply the two widths by each other; it is 36.	כפול הב' ההולכות ברוחב זו על זו ויהיו ל"ו
Multiply also the two lengths by each other; it is 64.	עוד כפול הב' ההולכות באורך זו על זו ויהיו ס"ד
Sum them; it is 100.	ותחברם ויהיו ק‫'
Extract its root; it is ten and this is the diagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}$	וקח שרשם ויהיו עשרה והוא הבריח האלכסונית
If you wish to know how much is the area of each of the four quadrilaterals:	ואם תרצה לדעת כמה שטח כל אחד מהד' מרובעים
Take half the length, which is 4, and half [the width], which is 3, and multiply them by each other; it is 12 and this is the area of each of the four quadrilaterals. This is its figure:	קח חצי האורך שהוא ד' וחצי שהוא ג' וכפול זה על זה ויהיו י"ב והוא שטח כל מרובע מד' מרובעים וזאת היא צורתו
Find the Height - Well
114) Question: A man wants to know the depth of a well that has 12 measures of water in it; each of the four sides of the well is 5 cubits long, and if he throws a stone into the well, each of its four sides is 4 cubits long and its height is twenty, the water reaches the surface of the well We would like to know how deep the well is.	קיד) שאלה אדם רוצה לדעת עומק בור אחד אשר יש בו י"ב מדות מים ובכל א' מד' זויות הבור ארכם ה' אמות ואם השליך בתוך הבור אבן כל א' מד' זויותיה ד' אמות וארכה עשרים ואז הגיעו המים על פי הבאר נרצה לדעת כמה עמקו של בור
Do as follows: take a volume of the stone, i.e. multiply 4 by 4, then multiply the result, which is 16, by the height; it is 320.	כך תעשה תקח מרובע האבן ר"ל שתכפול ד' על ד' והעולה שהוא י"ו כפול על האורך ויהיו ש"כ
Divide it by the volume of the well, which is 25; you receive 12 integers and 4-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot4\sdot20}{25}=\frac{16\sdot20}{25}=\frac{320}{25}=12+\frac{4}{5}}}$	ותחלקם על מרובעי הבור שהוא כ"ה ויצאו לך י"ב שלמים וד' חמישיות
Add it to the 12 measures that are in the well; it is 24 and 4-fifths and this is the depth of the whole well. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{4}{5}\right)+12=24+\frac{4}{5}}}$	ותוסיפם על י"ב מדות שהיו בבור ויהיו כ"ד וד' חמישיות והוא עומק כל הבור
Deduce from this.	ותקיש על זה
Transformation of Figures
115) Question: what square can be made from a circle whose diameter is 7?	קטו) שאלה מה מרובע יוכל להעשות מעגול שאלכסונו ז‫'
We take the square of 7; it is 49.	נקח מרובע ז' והוא מ"ט
Take its half; it is 24 and a half.	קח חציים והוא כ"ד וחצי
Extract its root; it is approximately 4 integers and 16 parts of 17 and so is the [area of the] square that is made from this circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot7^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot49}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx4+\frac{16}{17}}}$	קח שרשם והוא בקרוב ד' שלמים וי"ו חלקים מי"ז וכן יהיה המרובע הנעשה מזה העגול
117) Question: How many squares of [one cubit] can be made from a circle whose circumference is 22.	קיז) שאלה כמה מרובעים ממאה כל אחד יעשה עגול שמקיפו כ"ב
Take half this circumference; it is 11.	קח חצי זה המקיף והוא י"א
It is clear that half the diameter of this circle is 3 and a half.	והוא מבואר שחצי אלכסון זה העגול הוא ג' וחצי
Multiply it by 11; the result is 38 and a half and this is the number of squares that are made of it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}$	וכפול אותם בי"א ועלה ל"ח וחצי וככה מרובעים יהיו ממנו
118) Question: A tree whose length is 10 and its perimeter is six. We want to make its length 12. How much will its perimeter be?	קיח) שאלה עץ שהוא ארכו י' והקפו ששה ונרצה לעשות ארכו י"ב כמה יהיה הקפו
We take the square of the perimeter; it is 36.	נקח מרובע ההקף והוא ל"ו
Say: If [10 is equal to 6], how much is 12 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{10:6=12:X}}$	ואמור אם י"ב כמה יהיו ל"ו
Multiply 10 by 36, then divide the product by 12; the result is 30.	וכפול י' בל"ו ונחלק העולה על י"ב ויעלה ל‫'
Extract its root; it is 5 and a half and this will be its perimeter. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10\sdot36}{12}}=\sqrt{30}=5+\frac{1}{2}}}$	וקח שרשו והוא ה וחצי וככה יהיה הקפו
Joint Purchase Problems – If You Give Me
119) Question: three men. The first said: if I had 1 I would have as much as the both of you. The second said: if I had 1 I would have half as much as the both of you. The third said: if I had 1 I would have third as much as the both of you.	קיט)‫^[94] ‫^[95]שאלה ג' אנשים אמר הא' אם היה לי א' היה לי כמו שניכם אמר השני אם היה לי אחד היה לי חצי שלכם אמר הג' אם היה לי א' היה לי שליש שלכם
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+1=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+1=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+1=\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}$
The answer: look for the common denominator; it is 6.	התשובה בקש המורה והוא ו‫'
Subtract 1; it is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6-1=5}}$	חסר א' ויהיו ה‫'
Add 1 to 6; it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=6+1=7}}$	הוסף על ו' א' ויהיו ז‫'
Multiply 2 by 5; it is 10.	וכפול ב' בה' ויהיו י‫'
Add 1; it is 11. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}$	תוסיף א' ויהיו י"א
So, the first had 5; the second 7; and the third 11.	א"כ לראשון היה לו ה' ולשני ז' ולג' י"א
120) Question: three men want to buy a fish. The first said: I will give a half of what I have and you will give all you have. The second said: I will give a third of what I have and you will give all you have. The third said: I will give a quarter of what I have and you will give all you have and we will buy the fish. We ask: how much did each have and how much is the price of the fish?	קכ)‫^[96] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות דג אחד אמר הראשון אני אתן החצי ממה שיש לי ממעות ואתם תתנו כל מה שיש לכם אמר השני אני אתן השליש ממה שיש לי ואתם תתנו כל מה שלכם השיב השלישי ואמר אני אתן הרובע ממה שיש לי ואתם תנו כל אשר לכם ונקנה הדג נשאל כמה היה לכל אחד ואחד וכמה הוא ערך הדג
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=N\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=N\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=N\end{cases}$
The answer: look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.	התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורובע ותמצא י"ב
Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24 and this is the amount of money of the one who [offers] a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1=12\longrightarrow a_1=24}}$	ותאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי תמצא כ"ד וזה היה סך הממון מבעל החצי
Then, say: 12 is 2-thirds of which [number]? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18. So, the amount of money of the one who offers a third is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}a_2=12\longrightarrow a_2=18}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא ב' שלישיות וזה בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח הנותן שליש ממונו היה י"ח
Then, say: 12 is 3-quarters of which number? Since he kept 3-quarters for himself. You find it is 16. So, [the amount of money of] the one who offers a quarter is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}a_3=12\longrightarrow a_3=16}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות בעבור שעכב לעצמו ג' רביעיות תמצא י"ו הנה הנותן הרביעית היה י"ו
Check: You can check it: because the one who has 24 gives 12, which is half the money. We add it to 16 and 18; it is 46.	ותוכל לבחון כי בעל כ"ד נתן י"ב שהוא חצי הממון נחבר אותו אל י"ו וי"ח יהיו מ"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+18+16=12+18+16=46}}$
Then, say: the one who has 18 gives 6, which is a third. Add it to 24 and 16; it is also 46.	אח"כ תאמ' בעל י"ח נותן ו' שהוא השליש וחבר אותם אל כ"ד וי"ו ויהיו מ"ו ג"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+24+16=6+24+16=46}}$
Say also: the one who has 16 gives 4, which is a quarter. Add it to 18 and 24; it is also 46.	עוד תאמר כי בעל י"ו נותן ד' שהוא הרביעית וחבר אותם אל י"ח ואל כ"ד ויהיו מ"ו ג"כ
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)+24+18=4+24+18=46}}$
The price of the fish is 46 dinar.	וערך הדג מ"ו דינרין
121) Question: there are three men who want to buy a rooster for 11 dinar. The first said: I will give half of my money and you will give all of what you have. The second said: I will give a third of my money and you will give all of what you have. The third said: I will give a quarter of my money and you will give all of what you have. We wish to know how much did each have?	קכא)^[97] שאלה יש כאן ג' בני אדם רוצים לקנות תרנגול י"א דינרין אמר הא' אני אתן חצי ממוני ותנו אתם כל אשר לכם אמר השני אני אתן שליש ממוני ותנו אתם כל אשר לכם השיב השלישי אני אתן רביעית ממוני ותנו אתם כל אשר לכם נרצה לדעת כמה לכל א' וא‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=11\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=11\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=11\end{cases}$
The answer: one should look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.	התשובה הנה ראוי לבקש מספר שיהיה לו חצי ושליש ורביעית ותמצא כ"ד
Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b_1=12\longrightarrow b_1=24}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי ותמצא כ"ד
Then, say: 12 is 2-thirds of which number? You find it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_2=12\longrightarrow b_2=18}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י"ח
Then, say: 12 is 3-quarters of which number? You find it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}b_3=12\longrightarrow b_3=16}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות תמצא י"ו
You know that if the price of the [rooster] was unknown, we have already found the answer to the question, because the price of the rooster was 46 as stated above.	וכבר ידעת כי אלו היה סך הדג נעלם [כבר מצאנו מענה לשאלה כי היה ערך התרנגול]‫^[98] מ"ו כנז' לעיל
Rule of Three: now that it is known, we say: if 46 is equal to 24, for the one who gives half of his money; how much is [11], which is the price of the [rooster], equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{46:24=11:a_1}}$	ועתה שהוא נודע נאמ' ‫^[99]אם מ"ו שוים כ"ד וזה בעבור אותו שנותן חצי ממונו שהוא סך הדג כמה שוים
You receive 5 integers and [17] parts of 2[3]. So the money of the one who gives half his money is 5 integers and [17] parts of 23. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5+\frac{{\color{red}{17}}}{23}}}$	ויצא לך ה' שלמים וה' חלקים מכ"ד והנה הנותן חצי ממונו כל ממונו ה' שלמים וה' חלקי' מכ"ג
Rule of Three: say: if 46 is equal to 18; how much is 11 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{46:18=11:a_2}}$	אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ח י"א כמה שוים
You receive [4] integers and [7] parts of 23 and so is the money of the one who [gives] a third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2={\color{red}{4}}+\frac{{\color{red}{7}}}{23}}}$	יצא לך ג' שלמים וכ"א חלקים מכ"ג וכך היה סך ממונו מבעל השליש
Rule of Three: say: if 46 is equal to 16; how much is 11 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{46:16=11:a_3}}$	אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ו י"א כמה שוים
You receive 3 integers and [19] parts of 23 and this is the money of the one who [gives] a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3+\frac{{\color{red}{19}}}{23}}}$	ויצא לך ג' שלמים וי"א חלקים מכ"ג וזה סך כל ממון בעל הרביעית
Partnership Problem – Three Partners
122) Question: there are three men who formed a partnership. The first contributed 16 minyanim and he ought to take 25 dinar from the profit. The second contributed some dinar so that he ought to take 17 dinar from the profit. The third contributed 10 canna of cloth and he ought to take 32 dinar from the profit. We ask how much are the 10 canna worth and how much did the one who earned 17 dinar contribute?	קכב)‫^[100] שאלה יש כאן ג' בני אדם עושים שותפות הא' שם י"ו מנינים וראוי לו לקחת מהריוח כ"ה דינרין והשני שם כל כך דינרין באופן שראוי לו לקחת מן הריוח י"ז דינרין והג' שם עשרה קנים מבגד וראוי לו לקחת מריוח ל"ב דינרין נשאל כמה היו שוות הי' קנים וכמה שם אותו שהרויח י"ז דינרין
Answer: you already know that the one who contributed 16 dinar should take 25.	תשובה כבר ידעת כי אותו ששם י"ו דינרין ראוי לקחת כ"ה
Rule of Three: so, say: if 25 is equal to 16; how much is 17 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{25:16=17:x}}$	לכן תאמר אם כ"ה שוים י"ו י"ז כמה שוים
You receive ten integers and 22 parts of 25. So, the one who has 17 contributed ten dinar and 22 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{22}{25}}}$	יצא לך עשרה שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה הנה בעל הי"ז שם עשרה דינרין גם כ"ב חלקים מכ"ה
Rule of Three: say also: if 25 is equal to 16; how much is 32 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{25:16=32:x}}$	עוד תאמר אם כ"ה שוים י"ו ל"ב כמה שוים
You receive twenty and 12 parts of 25 and this is the price of the [10] canna. $\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{12}{25}}}$	יצא לך עשרים וי"ב חלקים מכ"ה וזה הוא שווי הקנים
Divide this number by 10; you receive 2 integers and [6] parts of [1]25 and this is the price of one canna no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20+\frac{12}{25}}{10}=2+{\color{red}{\frac{6}{125}}}}}$	אח"כ תחלק זה המספר על י' ויצא לך ב' שלמים וי"ב חלקים מכ"ה וזה יהיה שווי הקנה בלי תוספת ומגרעת
Guess Problems
123) Question: if you want to know to which person your friend has given a ring, on which finger is it, and on which finger joint.	קכג) שאלה אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק
First, tell him the double [the number of the man] and add 6 to it.	תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו‫'
Then, multiply all this 5 times and add to it the number of the finger.	ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות
Then, multiply all this 5 times and subtract 150 from it.	ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ
Then, multiply the remainder by two and add the number of the joint to it. $\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a+6\right)\sdot5\right]+b\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+c$	ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים
The [number of the] hundreds [a] is [the number of] the man.	והנה המאיות הם האנשים
The [number of the] tens [b] is [the number of] the finger.	והעשרות האצבעות
The [number of the] units [c] is [the number of] the joint.	והאחדים הפרקים
Example: I gave the ring to the fourth man on the third finger on the second joint.	דמיון נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב‫'
Tell him the double the 4; it is 8.	תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח‫'
Tell him to add 6 to it; it is 14.	ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד
Multiply it by 5; it is 70.	וכפול אותו על ה' ויהיו ע‫'
Add 3 to it, which is the number of the finger; it is 73.	תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג
Multiply it by 5; it is 365.	כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה
Subtract 150 from it; the remainder is 215.	תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו
Multiply it by 2; it is 430	כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול‫'
Add 2 to it, which is the [number of the] joint; it is 432.	תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(70+3\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2=\left[\left[\left(73\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left(365-150\right)\sdot2\right]+2=\left(215\sdot2\right)+2=430+2=432\\\end{align}}}$
Four hundreds - the fourth man.	הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים
Three tens - the third finger.	והג' עשרות יהיו ג' אצבעות
2 [units] - the second joint.	והב' יהיו ב' ‫^[101]פרקים
Guessing a chosen number
124) Question: if you want to know the number a man thought of in his heart: Ask him if it has a remainder after casting out threes - if it has no remainder, do not take a thing, and if there is a remainder take 70 for each one that remains. For [the remainder from casting out] the fives take 21. For [the remainder from casting out] the sevens [take] 15. Then sum up all [the results] and cast out all the hundreds and for each hundred subtract 5. The remainder will be the requested [number].	קכד) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע‫' ומן החמישיות יש לך לקחת כ"א ומהשביעיות ט‫' אח"כ תחבר כל זה ותסיר כל המאות ובעד כל מאה תסיר ה‫' ומה שישאר הוא המבוקש
$\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x$
Example: I choose the number 4.	דמיון הנה לקחתי מספר ד‫'
1 remains [from casting out] the threes; so take 70.	הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע‫'
4 remains from the fives; so take 4 times 21; it is 84.	ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד
For the sevens take 60, because 4 remains and 4 times 15 is 60.	וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס‫'
Sum up all; it is 214.	אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד
Subtract the hundreds from it; 14 remains.	תסיר מזה המאות וישאר י"ד
Subtract ten for the 200; 4 remains and this is the required.	ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(4\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(4\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(4\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot70\right)+\left(4\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105=\left(70+84+60\right)mod105=214mod105=4\\\end{align}}}$
125) Question: if you want to know [the number] a man thought of in his heart in another way: Tell him to double it. Then tell him the double it a second time. Then tell him to subtract 4 from it. This is your rule: take 1 for each 4 you subtract and this is the required.	קכה) שאלה ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיכפלהו ואח"כ תאמר לו שיכפלהו פעם ב‫' ואח"כ תאמר לו שיקח ממנו ד‫' וזה לך הכלל כי בעד כל ד' שתסיר מהסך תקח א' והוא המבוקש
126) Question: if you want to know it another way: Tell him to double it and add 5 to it. Then, he should multiply it 5 times and add ten to it. Subtract 35 from the result. Take 1 form every ten that remains and this is the required. $\scriptstyle5\sdot\left(2a+5\right)+10-35$	קכו) שאלה אם תרצה לדעתו באופן אחר תאמר לו שיכפלהו ואח"כ יוסיף עליו ה‫' ואחר יכפול אותו ה' פעמי' ואחר יוסיף בו עשרה ותחסר ממה שיעלה כל זה ל"ה וקח בעד כל עשרה הנשאר א' והוא המבוקש
Ordering Problem - People on a Ship
127) Question: If you wish to know the number - once Jews and Ishmaelites were going on a ship, and a storm came upon the ship. One Jew said: come all of you here. He seated the Jews and the Ishmaelites in such a way that when he counted them he gave all the nines to the Ishmaelites and so he proved that the sorrow came upon the sea because of them. This way he threw the 15 Ishmaelites to the sea and the Jews remained. This is the procedure to do it: I cast the Ishmaelites out by nines, I cast the lots, I throw to sea, through the strength of the waves I throw them to it by tricks. Indeed, it is appropriate to start with the Jews and count them by initials.	קכז) שאלה ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים ובזה האופן השליך ט"ו הגרים בים והיהודים נשארו וזהו אופן עשייתו בם הגרים כל ט' אשפוך גורל אפיל אטיל בים בגאון גליו אשליכמו בתחבולות בדרוש אים אכן ראוי להתחיל מהיהודים ותתקנם בראשי תיבות
Guess - Stone
128) Question: If you want to know which stone your friend touched, take 16 stones and make two rows of 8 stones. Tell the man to touch one stone in these rows. Then ask him in which row the stone is; if it is on the left, turn over all the rows to the left and if on the right, do the same [to the right]. Then ask in which row [it is] and so on; turn [them] over three times. After the third reversal, ask him in which row it is. This is the rule in your hands: the third term is the one you are asking for.	קכח) שאלה אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות אח"כ שאל לו באיזו שורה היא האבן ואם היא בשמאל תהפך כל השורות בשמאל ואם בימין כן תעשה אח"כ שאל באיזו שורה וכן תהפך ג' פעמים ואחר ההפוך הג' תשאל לו באיזו שורה היא וזה הכלל ‫^[102]יהיה בידך כי לעולם האות הג' היא אותה שאתה מבקש
129) Question: a man sells a bunch of eggs. After he sold them he looked at his hand and said: I did not do well, because if I had given 1 less for a dinar, I would have had 4 times more coins. Tell him how many eggs were sold and how much was the money earned from the eggs.	קכט) שאלה איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א' פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות
Answer: do as follows: since he said that he would have had 4 times more coins, multiply 4 by itself; the result is 16.	תשובה תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו
Subtract 1 from it; 15 remains.	תחסר ממנו א' וישארו ט"ו
Then, subtract 1 from 4; 3 remains.	ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג‫'
Multiply it by the 15 mentioned; the result is 45 and this is the [number of] dinar earned from the eggs. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4^2-1\right)\sdot\left(4-1\right)=\left(16-1\right)\sdot3=15\sdot3=45}}$	ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות
To know how many eggs were there, multiply 15 by 4; the result is 60 and 60 were the eggs that were sold. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4^2-1\right)\sdot4=15\sdot4=60}}$	ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות
Too Much and Too Little Problem - Money
130) Question: one had coins and does not know how many they are. He gave them to many people and does not know how many. But he knew that if he gave 12 to each person, they would have more than 52 and if he gave 16 to each person, he would have less than 60. I would like to know how much money there was and how many people there were?	קל) שאלה אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם לאנשים רבים ואינו יודע כמה אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מה'ב' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס‫' הנה היתי רוצה לדעת כמה ממון היה לזה וכמה אנשים היו
The answer: the missing money should be added to the surplus money, i.e. 52 with 60; the result is 112.	התשובה ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב
It should be divided by the difference between the missing and the surplus money, i.e. by the difference between 52 and 60, which is 8. If you do this, the result is 28. So, the people are 28. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2\sdot}}\frac{52+60}{60-52}={\color{red}{2\sdot}}\frac{112}{8}=28}}$	וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח
Then, you should know how much was the money:	ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות
Take as much as you want - either 12 or 16	ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו
If 12, you should multiply 12 times 28; the result is 336.	אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו
To this you should add the 52 added; the result is 388. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12\sdot28\right)+52=336+52=388}}$	ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח
If you multiply [2]8 times 16, the result is [4]48.	ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח
To this you should subtract what is missing, i.e. the 60 ; the result is 388 as said. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot28\right)-60=448-60=388}}$	ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל ס' וישארו שפ"ח כאשר נאמר
In this way you can solve other [questions] similar to it.	ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו
Multiple Quantities Problem - Three Men - Money
131) Question: there are three men here who have money. The two without the first have 19. The two without the second have 23. The two without the third have 30. We say: how much money does each have?	קלא) שאלה הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל‫' נאמר כמה ממון יש לכל א' וא‫'
You should sum up all the money and divide the result by 2 and the result is the money of the three. This way is known. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19+23+30}{2}}}$	ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע
Twins
132) Question: Reuven reached his deathbed and made a will this way: from a hundred ducat that I would leave - if my wife, who is pregnant, gives birth to a male, she will have one-third of it and the rest will be for her son, and if she gives birth to a female, the third will be for her daughter and the rest for her. When he died, his wife gave birth to twins, a male and female.	קלב) שאלה הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה ‫^[103]בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה
Answer: it is clear that the son should have double the mother and the mother double the daughter.	תשובה הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת
Hence, we should do as follows: to the daughter, who gets the least, he gave 1, to the mother 2, and to the son 4.	ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד‫'
Do like this: there are three here, one contributed 1, the second 2, and the third 4. They earned 100. How much should each receive?	ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק‫' כמה יגיע לכל א' וא‫'
This is clear.	וזה מבואר
Find a Number Problems
133) Question: find me a number such that if you multiply it by 7 and divide by 9, your result will be 45. $\scriptstyle \frac{a\sdot7}{9}=45$	קלג)‫^[104] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה
False Position: do as follows: assume the number is whatever you want. To make it easy for you, suppose it does not include a fraction. We suppose this number is 18.	תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר ונניח שאותו המספר יהיה י"ח
When you multiply 18 times 7, the result is 126.	א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו
If you divide it by 9, the result is 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot18}{9}=\frac{126}{9}=14}}$	ואם תחלקהו בט' יצא י"ד
Rule of Three: we have already said that the result is 45, so it should be done like this: multiply the number you assumed, that is ,multiply 18 by 45; the product of 810.	וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י
Divide it by the resulting 14; the result is 57 and 6-sevenths and this is the sought-after. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot45}{14}=\frac{810}{14}=57+\frac{6}{7}}}$	וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל
Check: to check is you should multiply 57 and 6-sevenths by 7; the result is 405.	ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה
Divide [it] by 9; the result is 45. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(57+\frac{6}{7}\right)\sdot7}{9}=\frac{405}{9}=45}}$	ותחלק עם ט' ויצא מ"ה
134) Question: find a number such that if you divide it by 5 and multiply by 8 the result will be 23. $\scriptstyle \frac{a}{5}\sdot8=23$	קלד)‫^[105] שאלה תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג
False Position: assume this number is twenty.	שים שאותו המספר יהיה עשרים
We divide it by 5; the result is 4.	ונחלק אותו עם ה' ויצא ד‫'
Multiply it by 8; the result is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}\sdot8=4\sdot8=32}}$	ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב
Rule of Three: we want it to be 23. Therefore, you should multiply twenty times 23 in the aforementioned way; you receive 460.	ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס
Divide by 32; the result is 14 and 3-eighths and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot23}{32}=\frac{460}{32}=14+\frac{3}{8}}}$	תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש
135) Question: find me a number such that if you subtract its third and its quarter from it the remainder is 29. $\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a\right)-\left(\frac{1}{4}a\right)=29$	קלה)‫^[106] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט
False Position: keep the way and say as follows: we assume this number is 12.	תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב
Subtract its third and its quarter from it, which are 7; 5 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}$	תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה‫'
Rule of Three: we want it to be 29. So, multiply 12 times 29; the result is 348.	ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח
Divide it by 5; the result is 69 and 3-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot29}{5}=\frac{348}{5}=69+\frac{3}{5}}}$	וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות
136) Question: find me a number such that if you add to it its third and its two fifths it makes [81]. $\scriptstyle a+\left(\frac{1}{3}a\right)+\left(\frac{2}{5}a\right)=81$	קלו)‫^[107] שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח
False Position: keep the way: we assume this number is 15.	תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו
The third of 15 is 5 and its two-fifths are 6. Add them to 15; the result is 26. $\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)=15+5+6=26}}$	והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו ‫^[108]כ"ו
Rule of Three: we want it to be [81]. So, we say: if 15 gives me 26, what will [81] give us? $\scriptstyle{\color{blue}{15:26=81:x}}$	ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח
You should keep the way by multiplying the [15] you assumed by [81]; you receive 1215.	ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו
Divide the product by 26; the result is 46 and 19 parts of 26. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{15\sdot81}{26}=\frac{1215}{26}=46+\frac{19}{26}}}$	וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו
Divide a Number Problems
137) Question: if you want to divide 30 into two parts such that if you multiply the one by 4 it becomes the same as the other part if you multiply it by 3. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=30 \\\scriptstyle 4a=3b\end{cases}$	קלז)‫^[109] שאלה אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג‫'
False Position: do like this: assume the part is one and if you multiply it by 4 it is 4.	תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד‫'
Suppose the other part is a number that if you divide it by 3, the result is 4; it is the number 12.	והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1 \\\scriptstyle \frac{b_1}{3}=4\sdot1=4\longrightarrow b_1=12\end{cases}}}$
We could have said that we have solved it, but this is not true, because we did not divide the 30, as the first part is 1 and the second is 12, therefore the total is 13. So, we have to turn the calculation from the 13 we received to the 30 we are looking for. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1=1+12=13}}$	הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל‫' אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל‫'
Rule of Three: so, you should multiply 1 by 30; the result is 30.	לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל‫'
Divide it [by 13]; the result is 2 and 4 parts of 13 and this should be the first part. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot30}{13}=\frac{30}{13}=2+\frac{4}{13}}}$	וזה תחלק ויצא ב' וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא‫'
The second part should necessary be the complement to 30, which is 27 and 9 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{b=30-\left(2+\frac{4}{13}\right)=27+\frac{9}{13}}}$	א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג
Check: When you divide 27 and 9 parts of 13 by 3, you receive 9 and 3 parts of 13. So, we solved the question. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{27+\frac{9}{13}}{3}=9+\frac{3}{13}}}$	אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה
138) Question: if you want to produce three parts from 18 so that when you subtract a fifth from one part and add to the second [part] its third and multiply the third [part] by 2 and a half, all will be the same. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=b+\frac{1}{3}b=c\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\end{cases}$	קלח)‫^[110] שאלה אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה
Assume the first part is 5. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5}}$	תשים שהחלק הא' יהיה ה‫'
If you subtract its fifth from it, which is 1, 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}$	ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד‫'
Now, you should see how much the second part should be, so that if you add its third to it, it will be 4. It is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\frac{1}{3}b_1=4\longrightarrow b_1=3}}$	ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג‫'
You should also see how much the third part should be, so that if you multiply it by 2 and a half, [it will be 4]. It is 1 and [three]-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{c_1\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\longrightarrow c_1=1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}$	עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים
Sum up the first part, which is 5, the second, which is 3, and the third, which is 1 and [three]-fifths; the total is 9 and [3]-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1+c_1=5+3+\left(1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}\right)=9+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}$	א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים
Rule of Three: We want it to be 18, so we say: if for the 5 assumed the result is 9 and 3-fifths, from what will I get 18 that we want to divide? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):5=18:X}}$	ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק
According to the method you should multiply the 5 we assumed by the 18 we want; the result is 90.	ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ‫'
This should be divided by 9 and 3-fifths; the result is 9 and 3-eighths and this is the first part. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{90}{9+\frac{3}{5}}=9+\frac{3}{8}}}$	וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון
Rule of Three: Say: for the second, 9 and 3-fifths gives me 3, what will I get from 18? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):3=18:X}}$	ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מי"ח
You should multiply 3 by the 18; the result is 54.	ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד
Divide it by 9 and 3-fifths; the result is 5 and 5-eighths and this is the second part. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{54}{9+\frac{3}{5}}=9+\frac{5}{8}}}$	ותחלק אותם על ט' ‫^[111]וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני
Rule of Three: For the third say: if from 9 and 3-fifths we get 1 and 3-fifths, what will we get from 18? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):\left(1+\frac{3}{5}\right)=18:X}}$	ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א' וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח
You should multiply 1 and 3-fifths by the 18; the result is 28 and 4-fifths.	ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות
Divide it by 9 and 3-fifths; we receive 3 and this is the third part. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+\frac{3}{5}\right)\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{28+\frac{4}{5}}{9+\frac{3}{5}}=3}}$	ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג‫'
Check: to check it, subtract the fifth from the first, which is 9 and 3-eighths; 7 and a half remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{8}\right)-\frac{1}{5}\sdot\left(9+\frac{3}{8}\right)=7+\frac{1}{2}}}$	וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי
For the second, take a [third] of 5 [and] 5-eighths, which is 1 and 5-eighths, and add it to it; the result is 7 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(5+\frac{5}{8}\right)=7+\frac{1}{2}}}$	ובעד הב' תקח השנית מה' ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי
In order to check the third, multiply 3 by 2 and a half; the result is 7 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=7+\frac{1}{2}}}$	וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי
139) Question: if you want to produce two parts from 20 so that one part will be 4 times of the other part. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=20\\\scriptstyle b=4a\end{cases}$	קלט) שאלה אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר
False position: Do as follows: suppose the first part is 1.	כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א‫'
So, the second part should be 4.	א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד‫'
1 plus 4 is 5, but we want it to be 20. $\scriptstyle{\color{blue}{1+4=5}}$	והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ‫'
Rule of Three: So, say: if 5 gives [4], how much will 20 give? $\scriptstyle{\color{blue}{5:4=20:X}}$	לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו
The result is 16.	ויצא י"ו
140) Question: if you want to produce two parts from 10 so that when you divide the greater part by the smaller the result will by a hundred. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=100\end{cases}$	קמ) שאלה אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה
False position: Do as follows: suppose the first part is 1.	תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א‫'
How much should the second [part] be? It should be a hundred.	כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה
1 plus 100 is 101, but we want it to be 10. $\scriptstyle{\color{blue}{1+100=101}}$	והנה א' וק' הם ק"א ואנו רוצים י‫'
Rule of Three: So, say: if 101 gives me 1, how much will ten give me? $\scriptstyle{\color{blue}{101:1=10:X}}$	א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה
You receive ten parts of 101 and this is clear.	ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר
Shared Work Problem - Cloth
141) Question: Here are people who took it upon themselves to make one cloth. The first took it upon himself to do it in 3 weeks and the second in 4 weeks. If they both do their work, how long will they do it?	קמא) שאלה הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שבועות והב' בד' שבועות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו
False Position: Do it as follows: we suppose they do it in 12 weeks.	תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו
We already said that the first do it in 3 weeks, so alone he will do 4 tasks. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{3}=4}}$	וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שבועות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות
The second do it in [4] weeks, so alone he will do 3 tasks. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{4}=3}}$	והשני יעשהו בג' שבועות א"כ [מעצמו היה עושה ג' מלאכות
Together both do 7 tasks, but we want one task. $\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}$	ושניהם‫]‫^[112] עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א‫'
Rule of Three: So, say: if 12 gives 7, how much will 1 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{12:7=1:X}}$	א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א‫'
Divide 12 by 7; the result is 1 and 5 parts of 7. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}$	תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז‫'
Divide a Number Problems
142) Question: if you want to produce three parts from 30 so that when you multiply one [part] by 7 and divide the second [part] by 5 and the third [part] by 10 all the quotients and products will be the same amount. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=30\\\scriptstyle7a=\frac{b}{5}=\frac{c}{10}\end{cases}$	קמב) שאלה אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו
If you want to solve it, we suppose the first part is 1.	ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א‫'
If you multiply it by 7; the result is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1=7}}$	ואם תכפול אותו בז' יעשה ז‫'
To know the second, you should find a number such that if we divide it by 5, the result is 7. This number should be 35. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{5}=7}}$	ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה
The third should be 70. $\scriptstyle{\color{red}{\frac{70}{10}=7}}$	והג' ראוי שיהיה ע‫'
So, the first part is 1, the second is 35, and the third is 70; their sum is 106, but we want it to be 30.	א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל‫'
Rule of Three: You should say regarding to the first: if 1 results from [10]6, how much will result from 30? $\scriptstyle{\color{blue}{106:1=30:X}}$	ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' ‫^[113]מה יבא מל' וכו‫'
143) Question: if you want to produce two parts from 11 such that a half and a quarter of one part will be the same as a third and a fifth of the other part. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=11\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a=\frac{1}{3}b+\frac{1}{5}b\end{cases}$	קמג) שאלה אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר
Do like this: suppose the first part is 4.	תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד‫'
The half is 2, the quarter is 1; they are 3.	והחצי הוא ב' והרובע הוא א' ויהיו ג‫'
Also for the second [part], find a number such that if you subtract from it its third and its fifth, it becomes 3.	וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג‫'
Suppose this number is 15.	תשים שאותו המספר יהיה ט"ו
The third plus the fifth of 15 is 8, but we want it to be 3.	והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג‫'
Rule of Three: So, we multiply 3 by 15; the result is 45.	א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה
Divide it by 8; the result is 5 and 5-eighths and this is the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot15}{8}=\frac{45}{8}=5+\frac{5}{8}}}$	ותחלק אותו בח' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני
Hence, we say: this way the first part is 4 and the second is 5 and 5-eighths; the sum is 9 and 5-eighths, but we want it to be 11. $\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(5+\frac{5}{8}\right)=9+\frac{5}{8}}}$	א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א
Rule of Three: so, you should say: if 9 and 5-eighths gives us 4 as the first part, what will 11 give us? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{5}{8}\right):4=11:X}}$	א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א
Do the same for the second [part].	וכן תעשה מהשנית
For the first part the result is 4 and 44 parts of 77 and the second part is [6] and 33 parts of 77.	ובחלק הא' יבא ד' מ"ד חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז
Division of Roots
144) Question: if you wish to divide a number by a root or a root by a number.	קמד) שאלה אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר
First, convert the number into its square.	ראשנה תביא המספר אל מרובעו
I.e. if you divide 12 by a root of 4. $\scriptstyle12\div\sqrt{4}$	ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד‫'
Convert 12 into its square, which is 144.	תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד
Then, divide a root of 144 by a root of 4; you get a root of 36. $\scriptstyle{\color{blue}{12\div\sqrt{4}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}}=\sqrt{36}}}$	ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו
Addition of Roots
145) Question: if you want to add a root of 9 to [a root] of 4. $\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}$	קמה)‫^[114] שאלה אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד‫'
First, add 9 to 4; you receive 13.	תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג
Then, multiply 9 times 4; the result is 36.	א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו
Multiply the 36 mentioned by 4; the result is 144.	אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד
Extract the root of this number, which is 12, and add it to the former 13; it is 25.	וקח שרש מזה המספר שהם י"ב ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה
Extract the root of 25; it is 5.	וקח השרש מכ"ה והם ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\sqrt{4\sdot\left(9\sdot4\right)}}=\sqrt{13+\sqrt{4\sdot36}}=\sqrt{13+\sqrt{144}}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}$
146) Question: another method:	קמו)‫^[115] שאלה דרך אחרת
Add 9 to 4; the result is 13.	תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג
Then, multiply 9 by 4; the result is 36.	אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו
Extract its root, which is 6, and double it; it is 12.	וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב
Add it to 13; it is 25.	ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה
Extract the root; it is five.	וקח השרש והם חמשה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\left(2\sdot\sqrt{9\sdot4}\right)}=\sqrt{13+\left(\sdot2\sqrt{36}\right)}=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}$
Subtraction of Roots
147) Question: if you want to subtract a root of 9 from a root of 16. $\scriptstyle\sqrt{16}-\sqrt{9}$	קמז)‫^[116] שאלה אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו
First, add 9 to 16; it is 25.	ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה
Then, multiply 9 by 16; the result is 144, which you multiply by 4; the result is 576.	אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו
Extract its root; it is 24.	ומהם תוציא השרש והם כ"ד
Then, subtract 24 from 25; the remainder is 1.	אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א‫'
So, if you subtract a root of 9 from a root of 16, 1 remains.	א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\sqrt{4\sdot\left(16\sdot9\right)}}=\sqrt{25-\sqrt{4\sdot144}}=\sqrt{25-\sqrt{576}}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}$
148) Question: another method:	קמח)‫^[117] שאלה דרך אחרת
Multiply 9 by 16; the result is 144.	כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד
Extract its root, which is 12, and double it; it is 24.	ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד
Then, subtract 24 from 25 mentioned; the root of 1 remains.	אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\left(2\sdot\sqrt{16\sdot9}\right)}=\sqrt{25-\left(\sdot2\sqrt{144}\right)}=\sqrt{25-\left(2\sdot12\right)}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}$
Deduce from this.	ותקיש על זה
Find a Number Problems
149) Question: if you want to find a square number such that if you add to it 19 it will be a square. $\scriptstyle a^2+19=b^2$	קמט)‫^[118] שאלה אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע
Do as follows: subtract 1 from 19; 18 remains.	‫^[119]תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח
Take a half of this number; 9 remains.	וקח חצי מזה המספר וישארו ט‫'
Multiply it by itself; it is 81.	ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א
Add 19 to it and this is a square as we stated.	ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו
$\scriptstyle{\color{blue}{b^2=19+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19-1\right)\right]^2=19+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2=19+9^2=19+81}}$
150) Question: if you want to find a square number such that if you subtract 15 from it, it remains a square. $\scriptstyle a^2-15=b^2$	קנ)‫^[120] שאלה אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע
Do as follows: add 1 to 15; it is 16.	תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו
Take a half of 16, which is 8, and multiply it by itself; it is 64 and this is the number. $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2=8^2=64}}$	תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר
If you subtract 15 from 64, a square remains and it is 49. $\scriptstyle{\color{blue}{b^2=64-15}}$	ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט
151) Question: if you want to find a number such that if you add to it 4 it will be a square and if you subtract [from it 4] it will also be a square. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+4=n^2\\\scriptstyle a-4=m^2\end{cases}$	קנא)‫^[121] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע
Do as follows: add 4 to 4; it is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8}}$	תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח‫'
Then, say: find me a square number such that if you add to it 8 it will be a square.	אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע
So, do as mentioned: subtract 1 from 8; 7 remains.	לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז‫'
Take its half; it is 3 and a half.	וקח מהם חציים והם ג' וחצי
Multiply it by itself; the result is 12 and a quarter.	ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע
Add 4 to it; it is 16 and a quarter and this is the number.	תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר
$\scriptstyle{\color{blue}{a=4+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8-1\right)\right]^2=4+\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)^2=4+\left(3+\frac{1}{2}\right)^2=4+\left(12+\frac{1}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}$
152) Question: you can find it faster:	קנב)‫^[122] שאלה עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה
Take a half of 4, which is 2, multiply it by itself; it is 4.	תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד‫'
Add 1 to 4; it is 5 and this number is also as the number 9 above. $\scriptstyle{\color{blue}{a=1+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2=1+2^2=1+4}}$	תוסיף א' על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל
Multiplication of Roots
153) Question: multiplication of roots - if you want to [multiply] the root of 7 by the root of 8. $\scriptstyle\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}$	קנג)‫^[123] שאלה לכפול בשרשים אם תרצה למצא שרש ז' על שרש מח‫'
Multiply 7 by 8; it is 56. The root of 56 is the product of the root of 7 by [the root of] 8. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}=\sqrt{7\sdot8}=\sqrt{56}}}$	ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח‫'
154) Question: if you want to multiply the root of 7 by 8. $\scriptstyle\sqrt{7}\sdot8$	קנד)‫^[124] שאלה אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח‫'
First 8 should be converted to its square, which is 64. Then, [multiply] a root of 7 by a root of 64 as said above; the result is a root of 448. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot8=\sqrt{7}\sdot\sqrt{8^2}=\sqrt{7}\sdot\sqrt{64}=\sqrt{448}}}$	בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח
Know that if you multiply a root of 7 by a root of 7, the result is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{7}=7}}$	ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז‫'
Find a Number Problems
155) Question: if you want to find a number such that if you divide 3 by it, the result is 5 and 7 remain. $\scriptstyle\frac{3}{a}=5+\frac{7}{b}$	קנה)^[125] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז‫'
First, know that if 7 remains, then the divisor is greater than 7, so take 7 or greater.	תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה
Therefore, we need to find a number from 7 or higher, so that if you multiply it by 5 and add 7, it is divisible by 3 without fractions.	ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים
First, suppose this number is 8.	א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח‫'
If you multiply it by 5, the result is 40.	ואם תכפלהו בה' יעלו מ‫'
Add 7 to it; the result is 47.	יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז
Divide it by 3; you cannot. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot5\right)+7}{3}=\frac{40+7}{3}=\frac{47}{3}}}$	תחלקם בג' ולא תוכל
Add to it 1 or more; let it be 9.	א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט‫'
Multiply it by 5; the result is 45.	תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה
Add 7 to it; the result is 52.	תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב
Divide it by 3; you cannot. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot5\right)+7}{3}=\frac{45+7}{3}=\frac{52}{3}}}$	תחלקם על ג' ולא תוכל
Add to it 1 or more; let it be ten.	א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה
Multiply it by 5; the result is 50.	ותכפלם בה' ויעלו ‫^[126]נ‫'
Add 7 to it; the result is 57.	תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז
Divide it by 3; the result is 19 without any fraction, so you find what is said in this number. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(10\sdot5\right)+7}{3}=\frac{50+7}{3}=\frac{57}{3}=19}}$	ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר
Always add 1 more.	ולעולם תוסיף א' יותר
Divide the ten you found by a third of 57, which is 19; you receive ten parts of 19 and this is the required number. If you divide 3 by the stated number the result is 5 and 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{1}{3}\sdot57}=\frac{10}{19}}}$	אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז‫'
This is how questions similar to this one are resolved.	וככה יעשו השאלות הדומות לזו
156) Question: if you want to find a number such that if you subtract its root and add it to the root of the remainder it makes 3. $\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{a-\sqrt{a}}=3$	קנו)‫^[127] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג‫'
Do as follows: multiply 2 times 3; the result is 6.	תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו‫'
Always subtract 1 from it; 5 remains and this will be your divisor.	תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק
Then, multiply the number you want to get as a result, i.e. 3, by itself; it is 9.	אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט‫'
Divide it by 5; the result is 1 and 4-fifths and this number is the root of the required number, from which the root should be subtracted, then added to the root of the remainder and it makes 3. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=\frac{3^2}{\left(2\sdot3\right)-1}=\frac{9}{6-1}=\frac{9}{5}=1+\frac{4}{5}}}$	ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג‫'
So, to know the number, 1 and 4-fifths should be multiplied by itself; the result is 3 integers and 6 parts of 25 and this is the said number. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(1+\frac{4}{5}\right)^2=3+\frac{6}{25}}}$	א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר
Check: to check it, subtract the root, which is said to be 1 and 4-fifths, from 3 and 6 parts of 25; the remainder is 1 and 11 parts of 25.	ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה
The root of the [remainder] is 1 and a fifth.	ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית
If you add it to 1 and 4-fifths, which is the root of 3 and 6 parts of 25, which is the required number, it is 3. So, it makes 3 as said.	ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3+\frac{6}{25}}+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\sqrt{3+\frac{6}{25}}}&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\left(1+\frac{4}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{1+\frac{11}{25}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)=3\\\end{align}}}$
This way you can solve similar [questions] with whichever number you have: always multiply by 2 the number you want the result to be and subtract one form the product, as we did, then do as said above.	ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה
If the number resulted is less than 2, this way is not appropriate and it should be solved by the method of posizioni di alzibra [algebraic positions].	ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא
	המספר ~~הרילטו~~ הנאמר פרוביקו בלשונם
It is as if you say: 9 times 9 is 81. Then, take the root of 9, which is 3, and add it to 81; the result is 84 and the [..] root of 84 is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{9^2+\sqrt{9}=81+3=84}}$	הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט‫'
	המספר הרילטו בלשונם
It is as if you say: 9 times 9 is 81. Then, take the root of 9, which is 3, and multiply it by 81; the result is 243. So, the number 243 is a number whose [..] root is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{9^2\sdot\sqrt{9}=81\sdot3=243}}$	הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרילטו הוא ט‫'
Divide a Number Problem
157) Question: if you want to produce three parts from 27 so that each of the parts has a cubic root $\scriptstyle a^3+b^3+c^3=27$	קנז)‫^[128] שאלה אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים ‫^[129]שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב
The way is that you find three cube numbers, such that when summed together they generate a cube.	דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב
Then, each is divided by another cube number smaller than each of them.	וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם
When the sum of these numbers mentioned is divided by that smaller number, the number 27 is generated as mentioned.	וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר
The first number is 27, the second is 64, and the third is 125; when they are summed together, the sum is 216 and it is a cube number. $\scriptstyle{\color{blue}{27+64+125=216}}$	ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב
When the sum of the three [is divided] by eight, which is a cube number smaller than each of the three, the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{8}=27}}$	וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז
So, the first part is 3 and 3-eighths, when you divide 27 by eight. $\scriptstyle{\color{blue}{a^3=\frac{27}{8}=3+\frac{3}{8}}}$	ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות
The second is 8, when you divide 64 by 8. $\scriptstyle{\color{blue}{b^3=\frac{64}{8}=8}}$	והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח‫'
The third is 15 and 5-eighths, when you divide 125 by 8. $\scriptstyle{\color{blue}{c^3=\frac{125}{8}=15+\frac{5}{8}}}$	והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות
The sum of the three together is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{a^3+b^3+c^3=\left(3+\frac{3}{8}\right)+8+\left(15+\frac{5}{8}\right)=27}}$	אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז
Know that this is not true for every number.	ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה
Find a Number Problems
158) Question: if you want to find a square number such that if you subtract its five roots from it the remainder is a square and if you add it to its seven roots it will be a square. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-5a=n^2\\\scriptstyle7a+a^2=m^2\end{cases}$	קנח)‫^[130] שאלה אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מה' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע
This number is [81]. $\scriptstyle{\color{blue}{a={\color{red}{81}}}}$	הנה המספר הזה הוא י"ח
Because, its five roots are [45]. Subtract [it from 81]; 36 remains and it is a square number. $\scriptstyle{\color{blue}{a^2-5a=81-{\color{red}{45}}=36}}$	כי חמשה שרשיו הם נ"ד תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע
Its seven roots are 63. Add it to [81]; the result is [144] and it is a square number. $\scriptstyle{\color{blue}{a^2+7a={\color{red}{81}}+63={\color{red}{144}}}}$	ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע
159) Quaestion: if you want to find a number such that its two fifths are its root. $\scriptstyle\frac{2}{5}a^2=a$	קנט)‫^[131] שאלה אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו
Do as follows: reverse the question - put 5 above and 2 below like this $\scriptstyle\frac{5}{2}$ - multiply it [by itself]; it becomes $\scriptstyle\frac{25}{4}$ and this is the number you are looking for. $\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}}}$	תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל
Check: if you want to check it, take two-fifths of $\scriptstyle\frac{25}{4}$ , which is $\scriptstyle\frac{5}{2}$ , and this is the root of $\scriptstyle\frac{25}{4}$ . This is how it is done. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{25}{4}=\frac{5}{2}=\sqrt{\frac{25}{4}}}}$	ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה
Multiple Quantities Problem - Horseman, Merchant, Guest
160) Question: three were in a guesthouse, one is a horseman, the second a merchant, and the third a guest. The horseman said he wants to pay 2 times more than the merchant plus 1 dinar. The merchant said he wants to pay 3-quarters more than the guest plus 2 dinar. Their food costs 11 pešuṭim. How much should each of them pay?	קס) שאלה ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א‫' והסוחר אמר שרוצה לפרוע ג' רביעיות יותר מהאורח ויותר ב' דינרין ועולה [מאכלם] מאכלם י"א פשוטים כמה ראוי לפרוע לכל א' מהם
Answer: take 1 for the guest that [pays] the least of all.	תשובה תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם
1 and 3-quarters for the merchant plus two, so the share of the merchant is 3 and 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)+2=3+\frac{3}{4}}}$	וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות
We double it; the result is 7 and a half; plus 1, it is 8 and a half and this is the share of the horseman. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)+1=\left(7+\frac{1}{2}\right)+1=8+\frac{1}{2}}}$	ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א' ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש
So, take 1 for the guest plus the money of the merchant and the horseman; the total is 13 and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(3+\frac{3}{4}\right)+\left(8+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{4}}}$	א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע
Then, take 1 for the poor man, 1 and 3-quarters for the merchant minus the two, and 3 and a half for the horseman, which is double the money of the merchant; the total is 6 and a quarter.	אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש ‫^[132]שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע
$\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(1+\frac{3}{4}\right)+2\sdot\left(1+\frac{3}{4}\right)=1+\left(1+\frac{3}{4}\right)+\left(3+\frac{1}{2}\right)=6+\frac{1}{4}}}$
Our first number was 13 and a quarter. We subtract the smaller from the greater; 7 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{4}\right)-\left(6+\frac{1}{4}\right)=7}}$	ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע נסיר הקטון מהגדול וישארו ז‫'
Now we subtract 7 from the total amount of money, i.e. from the 11 they should pay; 4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{11-7=4}}$	הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מי"א שיש לפרוע וישארו ד‫'
Rule of Three: Take the share of the poor man, which is 1. Multiply it by 4; it is 4.	ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד‫'
Divide it by 6 and a quarter; you receive 16 parts of 25 and this is the share of the poor man. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{16}{25}}}$	חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני
Rule of Three: Multiply 1 and 3-quarters, which is the money of the merchant, by 4; it is 7.	אח"כ כפול א' וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז‫'
Divide it by 6 and a quarter; you receive 1 and 3 parts of 25 and this is the money of the merchant. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{7}{6+\frac{1}{4}}=1+\frac{3}{25}}}$	חלקם על ו' ורביע ויצא לך א' וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר
Add to it 2; it is 3 and 3 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{25}\right)+2=3+\frac{3}{25}}}$	תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה
Rule of Three: Multiply 3 and a half, which is the money of the horseman, by 4; it is 14.	אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד
Divide it by 6 and a quarter; you receive 2 and 6 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{14}{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{6}{25}}}$	חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה
Add 4 to it, which is double the 2 that the merchant adds to [the money of] the poor man, then add 1; the share of the horseman is 7 integers and 6 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{25}\right)+4+1=7+\frac{6}{25}}}$	ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם
Divide a Number Problem
161) Question: if you wish to divide a number into two parts, so that the sum of one part or more of the one plus one part or more of the other equals the first.	קסא) שאלה אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה שוה לאחד
Example: divide 24 into two parts, such that the sum of 2-thirds of the first part plus 3-quarters of the other is equal to the first part. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=24\\\scriptstyle\frac{2}{3}a+\frac{3}{4}b=a\end{cases}$	המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון
The way is that the complement of the first part, which is one third, is equal to 3-quarters of the second [part]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a=\frac{3}{4}b}}$	דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני
So, you can say: if a third of the first is 3-quarters of the second, 3-thirds of the first is to know how many quarters of the second are the whole? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a=\frac{3}{4}b\longrightarrow a:Xb}}$	אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני
If you solve this, you get 9-quarters and the whole second is $\scriptstyle\frac{4}{4}$ , so they are $\scriptstyle\frac{13}{4}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}}}$	אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא אשר יהיו
But, the sum of the two part is 24.	וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר
Rule of Three: So, to know the first part of the two, say: if $\scriptstyle\frac{13}{4}$ should be 24, how much should be $\scriptstyle\frac{4}{4}$ , which is the first? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{4}:24=\frac{4}{4}:X}}$	א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון
You receive $\scriptstyle16\frac{8}{13}$ .	ויתן לך י"ו
The second is the remainder, which is $\scriptstyle7\frac{5}{13}$ . $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(16+\frac{8}{13}\right)=7+\frac{5}{13}}}$	והשנית יתן לך הנשאר שהם
Check: 2-thirds of the first, which is $\scriptstyle16\frac{8}{13}$ , is $\scriptstyle11\frac{1}{13}$ ; and 3-quarters of the second, which is $\scriptstyle7\frac{5}{13}$ , is $\scriptstyle5\frac{7}{13}$ ; and the total is $\scriptstyle16\frac{8}{13}$ , which is the first part.	הבחינה מהראשון אשר הם י"ו הם י"א וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה' אשר הם בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(16+\frac{8}{13}\right)+\frac{3}{4}\left(7+\frac{5}{13}\right)=\left(11+\frac{1}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)=16+\frac{8}{13}}}$
Pursuit Problems
162) Question: there are two who want to walk a certain distance. The first walks 30 miles every day. The second walks a mile on the first day, on the second 2, on the third 3 miles and so on every day he adds one mile. In how many days will he reach the first one, so that they both arrive together in one place?	קסב) שאלה הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א‫' א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד
The way: you should double the [number of] miles of the one who walks at a constant speed, i.e. the one who walks 30 miles; it is 60.	הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת ‫^[133]מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס‫'
Subtract 1 from it; 59 remains, so he reaches him in 59 days. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-1=60-1=59}}$	ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו
163) Question: a man walks 30 miles and the other 14 miles on the first day, and every day he adds a mile. When will he catch up with the first one?	קסג) שאלה איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל מתי ישיג הראשון
It should be known that you should subtract the miles [that the second walks] on the first day from twice the miles [that the first walks] on the first day, i.e. we subtract 14 from 60; 46 remains, so he reaches him in 46 days. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-14=60-14=46}}$	ראוי לדעת כי מכפילת המילים מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו
164) Question: if you are told: on the first day he walks 2, on the second 4, on the third 6, and so on, every day he adds two miles?	קסד) שאלה ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין
1 mile should be subtract from the [number of miles of the one who walks at a constant speed] and the remainder is the number of days in which the one reaches the other.	ראוי לחסר מיל א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר
Encounter Problem - Two Couriers
165) Question: courier one is in Avignon and he wants to walk to Milan within 8 days. Another courier is in Milan and he wants to walk to Avignon within 5 days. Both of them will start moving together at the same time. Within how many days will they meet?	קסה) שאלה רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת במילנו בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת באוינייון בה' ימים ושניהם יחד בעת א' יתחילו להתנועע בכמה ימים יפגעו זה את זה
You should [sum] the days each walks, i.e. 5 with 8; it is 13 and this is the divisor.	ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק
Then, multiply the days of the one by the days of the other, i.e. 5 by 8; it is 40 and this is the dividend. The product is the number of days they walk along the way.	אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך
Divide 40 by 13; the result is 3 and [one part of 13], so in 3 days and [one part of 13] they reach each other. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot8}{5+8}=\frac{40}{13}=3+\frac{1}{13}}}$	אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר
Find the Height Problem - Two Towers
166) Question: Two towers have the same height and their [sides] are also the same. We know that a man subtracted double the sum of the two sides from the product of one height by the other. I ask how high is each of them?	קסו) שאלה שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים אשאל כמה היה גובה כל א' מהם
The answer: suppose the remainder is 21, for instance, i.e. what remains from the product of the height of one tower by the other, when double the sum of the [sides of] the two towers is subtracted from it.	התשובה נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים
We want to know the height of the towers:	ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים
We know that the towers are two, so 2 [multiplied] by itself is 4.	הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד‫'
We add it to 21; the result is 25 and its root is 5.	ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה‫'
We add to it 2, which is the number of the towers; the result is 7, which is the height of each one of the towers. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2}}$	והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים
The proof of this is explained in the first section of Abū Bakr [al-Haṣṣār].	ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מאבו בכר
Whole from Parts Problem - Two Purses
167) Question: we have two purses, but we do not know how much money is in them, we only know that in the greater purse there is a half and a third of what is in the two purses summed together and in the smaller purse there is 13. I ask how much money is in both purses [together]? $\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+13=X$	קסז) שאלה הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג ‫^[134]אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים
The answer: take the common denominator, which is 6; its third and its half is 5, which is 1 less than 6, by which you divide.	תשובה קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק
Multiply 6 by 13; it is 78.	ו' כפול על י"ג הם ע"ח
Divide it by 1; it is 78 and this is the amount of money in each purse, which is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot13}{\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)}=\frac{78}{5}}}$	חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש
Find a Number Problems
168) Question: find me a number, such that if you divide it by 3, by 5, and by 7, 1 remains.	קסח) שאלה בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א‫'
The answer: take 70 for the 1 that remains above 3, when we divide it by 3; take 21 for the 1 that remains when we divide by 5; take 15 for the 1 that remains when we divide by 7. Sum them; it is [...] 106. $\scriptstyle{\color{blue}{70+21+15=106}}$	תשובה קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ז' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה
169) Question: if you are told that the remainder after casting out the threes is 2 etc. Do it this way: For instance, if it is said that when we divide it by 3, 2 remains; if its is divided by 5, 4 remains; and if it is divided by 7, 6 remains.	קסט) שאלה ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג‫' עשה בדרך הזה עד"מ ואם אמר כשנחלקהו על ג' ישאר ב' ואם יחולק על ה' ישאר ד' ואם יחולק על ז' ישאר ו‫'
Take [70 for the 1 that remains above 3].	קח על כל א' מהב' והנשאר ע‫'
Multiply 70 by 2; it is 140.	וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ
Multiply 4 by 21; it is 84.	אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד
Multiply 6 by 15; it is 90.	אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ‫'
Sum them up; it is 314 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(70\sdot2\right)+\left(21\sdot4\right)+\left(15\sdot6\right)=140+84+90=314}}$	קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש
Multiple Quantities Problem - Three Purses
170) Question: a man found three purses. He know that in the first purse there is an unknown amount [of money], in the second purse there is twice of [what is] in the first, and in the third there is as much as in the both. The total is 100 minyanim. We ask how much is in each?	קע) שאלה אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא‫'
The answer: we suppose that in the first purse there is 1 dinar, in the second 2, and in the third 3. The total is 6.	תשובה נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו‫'
Divide 100 by 6; you get 16 and 2-thirds and this is what is in the small purse. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{1+2+3}=\frac{100}{6}=16+\frac{2}{3}}}$	וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן
If You Give Me Problem - Two Men, Horse
171) Question: two want to buy a horse. The first said to the second: If you give me a half and a third of your money, with what I have, we will buy the horse. The second said: If you give me a third and a quarter of your money, with what I have, we will buy the horse. I ask: how much does each have and how much is the horse worth?	קעא) שאלה ב' רוצים לקנות סוס אחד אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס אמר הב' אם תתן לי שלישית ורביעית ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס אשאל כמה לכל א' וכמה שוה הסוס
Answer: look for the common denominator; it is 12.	תשובה בקש המורה הוא י"ב
Take its half and its third; it is 10.	וקח החצי והשליש והוא י‫'
Subtract it from 12; 2 remains, so the first has 2. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]=12-10=2}}$	נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב‫'
Take a third and a quarter of the denominator; it is 7.	אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז‫'
Subtract 7 from 12; the remainder is 5, and so has the second. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}$	חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני
If you want to know the price of the horse, take a half and a third of 5; it is [4] and a sixth.	ואם תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות
Add 2 and this is the required, i.e. [6] and a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\right]+2=\left(4+\frac{1}{6}\right)+2=6+\frac{1}{6}}}$	ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות
How Much Problem - Tree
172) Question: We have a tree whose height is unknown, we just know that if we take 4 times as much as it and added it to its square, we receive a given number. How tall is the tree? $\scriptstyle4a+a^2=b$ Suppose we receive 128 and a quarter after adding to the square of the tree its four times and we wish to know the height of the tree. $\scriptstyle4a+a^2=128+\frac{1}{4}$	קעב) שאלה יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו ‫^[135]מספר מונח כמה גבהות האילן תשובה נניח שעלה בידינו אחר שהוספנו על מרובע האילן ד' פעמים כמוהו קכ"ח ורביע א' שלם ונרצה לדעת גבהות האילן
Do as follows: always add 4 integers to the resulting number; the result in our example is 132 and a quarter.	הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע
We extract its square root; it is 11 and a half.	ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי
We always subtract 2 integers; the remainder is 9 and a [half] and this is the height of the tree etc.	נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(128+\frac{1}{4}\right)+4}-2=\sqrt{132+\frac{1}{4}}-2=11+\frac{1}{2}-2=9+\frac{1}{2}}}$
Too Much and Too Little Problem - Workers - House
174) Question: a man built his house. He came to pay wages to the workers and said to them: I have an amount of money such that if I give 3 dinar to each one, I will have 15 dinar left and if I give 3 dinar and a half to each one, I will be short of ten dinar. I ask: how many are the workers and how much is his money?	קעד) שאלה אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו
The answer: subtract 3 dinar from 3 and a half; half a dinar remains, by which you divide.	תשובה חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק
Add 15 dinar to 10 dinar; it is 25.	חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה
Divide it by half; it is 50 and so are the workers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15+10}{\left(3+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{25}{\frac{1}{2}}=50}}$	חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים
If you want to know [how much is] the money: multiply 50 by 3; it is 150.	ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בג' ויהיו ק"נ
Add 15 to it; it is 165 and this is the money. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(50\sdot3\right)+15=150+15=165}}$	הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות
If you multiply 50 by 3 and a half, the result is 175 and he loses 10 dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=175}}$	ואם תכפול נ' בג' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין
Multiple Quantities Problem - Three Men - Money
175) three men have money, we do not know how much, only that the first has half the second, the second has half the third and together they all have 12. We ask: how much does each have?	קעה) שאלה ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב נשאל כמה לכל א' וא‫'
The answer: the first has 1 pašuṭ, the second has 2 pešuṭim, and the third has 4.	תשובה הא' היה לו פשוט א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד‫'
Sum them up; they are 7 pešuṭim.	קבצם והם ז' פשוטים
Divide 12 by 7; you receive 1 and 5-sevenths and this is the money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1+2+4}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}$	וחלק י"ב על ז' ויצא לך א' וה' שביעיות והוא סך הראשון
The second has double this and the third [has] double the second.	וכפל זה היה לשני וכפל השני לג‫'
Give and Take Problems
176) Question: A man hired his friend to build him a house every day, and agreed with him that he would pay him 5 dinar every day, and every day that he does not work, the hired man would pay 9 dinar to the owner of the house. He worked for a known [number of] days, and finally the owner of the house gave him 1 dinar. We would like to know how many days did he work.	קעו) שאלה אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה' דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א‫' נרצה לדעת כמה ימים עבד
You should add 5 to 9; it is 14.	הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד
We multiply 9 by 30; it is 270.	אח"כ נכפול ט' על ל' ויהיו ר"ע
We add 1 to it; it is 271.	נוסיף עליו א' ויהיו רע"א
We divide it by 14; you receive 19 and 5 parts of 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot30\right)+1}{5+9}=\frac{270+1}{14}=\frac{271}{14}=19+\frac{5}{14}}}$	נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד
We multiply 30 by 5; it is 150.	אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ
We subtract 1 from it; it is 149.	נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט
We divide it by 14; you receive ten and 9 parts of 14. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5\sdot30\right)-1}{5+9}=\frac{150-1}{14}=\frac{149}{14}=10+\frac{9}{14}}}$	נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד
So, he worked 19 days and 5 parts of 14 and he rested from his work 10 days and 9 parts of 14.	הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים ‫^[136]מי"ד
177) Question: A man goes to trade. He vows that if God doubles his money every day, he will give 3 dinars to charity and within 3 days all his money is gone.	קעז) שאלה אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג' דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו
You should do this: you already know that on the third day all his money was gone, after he gave 3 dinar, therefore what he had on the third day was 3.	יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג‫'
Divide it by 2; you receive 1 and a half.	תחלקהו על ב' יצא לך א' וחצי
Add 3 to it; it is 4 and a half and this is what he had on the second day, before giving his money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{2}+3=\left(1+\frac{1}{2}\right)+3=4+\frac{1}{2}}}$	תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו
Divide it by 2; you receive 2 and a quarter.	וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע
Add 3 to it; it is 5 and a quarter and this is what he had on the first day, before giving the money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{2}}{2}+3=\left(2+\frac{1}{4}\right)+3=5+\frac{1}{4}}}$	תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון
If you want to divide it by 2, you receive 2 and 5-eighths and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{1}{4}}{2}=2+\frac{5}{8}}}$	ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות
Deduce from this.	ותקיש על זה
178) Question: A man has money and said that if God will add 2 dinar to his money every day, he will donate 3 dinar every day. At the end of 4 days, all his money is gone. We ask how much money did he have on the first day?	קעח) שאלה אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון
We solve this question this way: you already know that what he gave on the fourth day was 3, then he has nothing left in his hand and the profit he makes each day is 2.	נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב‫'
We subtract 2, which is the profit, from 3; 1 remains and this is what he had on the fourth day, before the profit he made that day. $\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}$	נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום
We add 3 to 1; it is 4.	אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד‫'
We subtract from it the 2 of the profit; 2 remains and this is what he had on the third day, before the profit. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+3\right)-2=4-2=2}}$	נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח
We add 3 to it; it is 5.	אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה‫'
We subtract from it the profit, which is 2; the remainder is 3 and this is what he had on the second day, before the profit. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+3\right)-2=5-2=3}}$	נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח
We add 3 to it; it is 6.	א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו‫'
We subtract 2 from it for the profit; the remainder is 4 and this is what he had on the first day, before made any profit, which is the amount of money he had at the beginning. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+3\right)-2=6-2=4}}$	נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה
Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children
179) Question: Men and women and children go to a guesthouse to eat. The men pay 2 pešuṭim, the women half a pešuṭ and the children a quarter. They pay 12 pešuṭim and they are 12 also. How many are the men, the women and the children?	קעט) שאלה אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ כמה הם האנשים והנשים והטף
Answer: assume the men are as many as you wish, and so are the women and the children.	תשובה תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף
We suppose the men are 4; their cost is 8 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}$	ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים
The women are 4; [their cost is] 2 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot4=2}}$	וד' נשים מב' פשוטים
[Together] their number is 8 and the number of coins is 10. $\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8\quad8+2=10}}$	והנה מספרם ח' ומספר המעות י‫'
The children are 4; so they are 12 and the number of coins is 11, which is 12 minus 1. $\scriptstyle{\color{blue}{8+4=12\quad10+1=11\quad12-1=11}}$	והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב
Hence, we should find a number that will raise [the number of coins] by one: we turn [2] of the 4 [women] into [1] man, so there are [5 men] and we turn [one woman] into 2 children; then the numbers are the same.	לכן יש לנו למצא מספר שיעלהו אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא ‫^[137]שוה
The answer is: 5 men, one woman, and 6 children; the total is 12, and the total money is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{5+1+6=12=\left(5\sdot2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)}}$	והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב
Give and Take Problem - Earning and Spending
180) Question: A man travels from Naples with a known [number of] dinar and wants to go to Rome. For every dinar he earns 1, meaning, 1 returns 2; and he spends 4 minyanim there. Then, he goes from Rome to Florence. As long as he has 2 dinar, they return 3 and he spends 6 dinar there. Then, he goes from Florence to Venice. As long as he has 1 dinar it returns 3 and he spends in Venice 14 minyanim. After spending, there are in his hand 4 hundreds minyanim. We would like to know how many dinar he had when he left Naples.	קפ) שאלה אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א' רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין אח"כ הולך מפלורינציאה עד וינישיאה וכל עוד שיש לו דינר א' ישוב ג' ופזר ו' בויניציאה י"ד מנינים ואחר הפזור נמצא בידו ד' מאות מנינים נרצה לדעת כשנסע מנאפולי כמה דינרין היה לו
It should be done as follows [?]: it is known that he had 414 in Venice with the 14 he spent.	ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו בוינישיאה עם הי"ד שפזר
You should say: if 3 is equal to 1, how much is 414 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{3:1=414:X}}$	ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים
You receive 138 and this is the money he had in Florence.	יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו בפלורינציאה
Add to it what he spent, which is 6; it is 144. $\scriptstyle{\color{blue}{138+6=144}}$	ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד
Say: if 3 is equal to 2, how much is 144 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{3:2=144:X}}$	ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו
You receive 96 and this is the number of dinar he had in Rome.	ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ברומא
[Add to it what he spent, which is 4]; it is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{96+4=100}}$	יהיו מאה
Say: if 2 is equal to 1, how much is 100 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{2:1=100:X}}$	ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים
You find it is 50 and this is what he had when he went to Naples.	תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מנפולי
So, when he arrives in Venice, he has 414 minyanim in his hand, minus the 14 he spent on the way.	ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך
Buy and Sell Problem - Silk
181) Question: A man bought in Florence 1 cane of silk for 3 minyanim and a half of a Florentine currency and the cane is also a Florentine cane. He spends on the way to Naples 2-thirds of the Florentine money. In what way will he sell in Naples, so that he will earn 25 minyanim for every hundred?	קפא) שאלה אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה
We have two conversions from Florence to Naples, because the 8 canes in Florence are 8 canes of Naples and the 100 minyanim of Florence are 111 from Naples.	ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני
It should be done as follows: add the 2-thirds he spent to 3 and a half; it is 4 and a sixth and these are the minyanim of Florence. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\left(3+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{6}}}$	וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה
Say: if 100 is equal to 111, how much is 4 and a sixth equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{100:111=\left(4+\frac{1}{6}\right):X}}$	ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו
You find it is 4 and 4-fifths [should be 5-eighths]. So, the Florentine cane is worth in Naples 4 minyanim and 4-fifths of Naples currency.	תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי
[Say:] if 8 cane are worth 9, how much is 1 worth? $\scriptstyle{\color{blue}{8:9=1:X}}$	אם ח' קנים שוות הט' א' כמה
You receive 1 and an eighth. So, the Florentine cane is equal to 1 and an eighth of Naples.	יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין
[Say:] if 1 cane and an eighth of Naples are worth 4 and 4-fifths, how much is 1 worth? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8}\right):\left(4+\frac{4}{5}\right)=1:X}}$	וא' ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא‫'
You find it is worth 4 minyanim and 4 parts of 15. So, as long as the Florentine cane is worth 4 minyanim and a sixth of Florence, the cane of Naples is worth 4 minyanim and 4 parts of 15 of a minyan of Naples.	תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים ^[138]ושתות משל פלורינצאהקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני נאפולי
It is said that he wants to earn 25 for every 100.	נאמר שרוצה להרויח בעד כל ק' כ"ה
Say as follows: if one hundred is equal to 4 and 4 parts of 15, how much is 125 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(4+\frac{4}{15}\right)=125:X}}$	ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים
You receive 5 minyanim and 23 parts of 100 and this is the price of the cane.	יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה
So, he should sell the cane for 5 minyanim and 23 parts of 100 and in this way he will earn 25 for every hundred minyanim.	הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
Mixture and Alligation Problem
182) Question: a man has 17 ՚oqya of silver, each ՚oqya is worth 7 carlini. How much lead should be added to these 17 ՚oqya, so that each ՚oqya will be worth only 5 carlini and a half?	קפב) שאלה אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק‫'
7 should be divided by 5 and a half; the result is one and 3 parts of 11, so he should add to each ՚oqya 3 parts of 11 of lead. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{5+\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{11}}}$	הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת
In all 17 ՚oqya he should add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 of lead. $\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot\frac{3}{11}=4+\frac{7}{11}}}$	ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת
Check: If you want to check it, multiply 17 by 7; it is 119, keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot7=119}}$	ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם
Now, multiply 5 and a half by 21 and 7 parts of 11, because first there were 17 ՚oqya and then we had to add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 to this amount, so it is 21 and 7 parts of 11; the result is 119 no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[17+\left(4+\frac{7}{11}\right)\right]=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(21+\frac{7}{11}\right)=119}}$	ועתה כפול ה' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת
Find the Price Problem - Silver
183) Question: a man has 3 liter, plus 3 ՚oqya and 3-quarters of silver containing 222 pure esterlini [sterling ?] per liter that are worth 8 minyanim. How much are 1 liter plus 1 ՚oqya and 7-eighths of silver containing only 111 esterlini worth?	קפג) שאלה יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים א' ליט' וא' אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה
The liter should be converted into ՚oqya: the first number is 2 liter plus 3 ՚oqya and 3-quarters; it is [2]7 ՚oqya and 3-quarters.	הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות
Multiply them by 222; the result is 6160 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{4}\right)\sdot222=6160+\frac{1}{2}}}$	כפול אותם על רכ"ב יעלה ו' אלפים וק"ס וחצי
Then, take the second number, which is 1 ՚oqya, 1 liter and 7-eighths, convert the liter into ՚oqya and with the ՚oqya, they are 13 and 7-eighths.	אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק' וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק' ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות
Multiply them by what they contain, meaning multiply 13 and 7-eighths by 111, which is what each liter contains; the result is 1540 and one eighth and this will be the second number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{7}{8}\right)\sdot111=1540+\frac{1}{8}}}$	כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני
Say: if 6160 and a half are equal to 8 minyanim, how much is the second number, which is 1540 and an eighth, equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6160+\frac{1}{2}\right):8=\left(1540+\frac{1}{8}\right):X}}$	ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה' מאות ומ' ושמין כמה שוה
It is equal to two integers no more and no less.	הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת
Payment Problem - 100 minyanim
184) Question: There are people here who work with a master, and the master pays each of them for a whole year twenty minyanim. Some of them worked 6 months, some 6 and a half, some 7 months, etc. You find that all they earned according to the ratio of the time they worked is 109 minyanim and 7 pešuṭim. The master wants to pay them, but he has only 100 minyanim. We would like to know how much will each be paid.	קפד) שאלה יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו‫' הנה תמצא שכל מה שהרויחו בין כלם לפי יחס הזמן שעבדו עולה ק"ט מנינים וז' פשוטים ‫^[139]והאדון רוצה לפרוע אותם ואין לו כי אם ק' מנינים נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא‫'
100 should be divided by 109 minyanim and 7 pešuṭim. It is known that one pašuṭ is a tenth of one magen, so each of the two numbers should be converted into tenths: the first is 1000 and the other is 1091. Divide 1000 by 1091; you receive 1000 parts of 1091.	הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים וידוע כי הפשוט עשור המגן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א חלק אלף על אלף וצ"א ויצא לך אלף חלקים מאלף וצ"א
Rent Problem
185) Question: A man rents a house to his friend for three years at 40 minyanim a year: When he enters the house he gives him half the payment for that year and at the end of the year he gives him 40 minyanim - twenty to pay the payment of that year and twenty to pay for the next year and so on until the end of the three years. The householder said to the one who rents the house: please pay me now for all three years and I will give you twenty for every hundred of the profit for a whole year. He did the so, and gave him all the money. We would like to know how much money is required to be given to him in such a way that for every hundred of the profit he receives twenty.	קפה) שאלה אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים והנה הבעל הבית אמר לאותו ששוכר הבית בבקשה ממך תפרע לי עתה מכל הג' שנים ואתן לך עשרים מריוח על כל מאה לשנה תמימה וכן עשה נתן לו כל הממון נרצה לדעת כמה ממון מחוייב לתת לו באופן שיבא עשרים על כל מאה מריוח
The answer: say: if a hundred and twenty is equal to 100, how much is 20 equal to? and this is the twenty that he is obliged to pay him at the end of the year. $\scriptstyle{\color{blue}{120:100=20:X}}$	התשובה תאמר אם מאה ועשרים שוים ק' כ' כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה
You find it is 16 and 2-thirds.	ותמצא י"ו וב' שלישיות
Add to it the twenty that he is obliged to pay him now, when he is entering the house; it is 36 and 2-thirds and this is for the first year. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{2}{3}\right)+20=36+\frac{2}{3}}}$	תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה
Say also: [if] 120 is equal to 100, how much is 36 and 2-thirds equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(36+\frac{2}{3}\right):X}}$	עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה
You receive 30 and 5 parts of 9 and this is for the rental of the second year.	יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה
Say also: if 120 is equal to 100, how much is 30 and 5 parts of 9 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(30+\frac{5}{9}\right):X}}$	עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה
You receive 25 and 25 parts of 54 and this is for the rental of the [third] year.	יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה
Sum up all these numbers, meaning 36 and 2-thirds, 30 and 5 parts of 9, and 25 and 25 parts of 54; the total sum is 92 and 37 parts of 54 and so he should pay him all at once, no more and no less. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(36+\frac{2}{3}\right)+\left(30+\frac{5}{9}\right)+\left(25+\frac{25}{54}\right)=92+\frac{37}{54}}}$	אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת
Multiple Quantities - Stones
186) Question: In what way will we weigh with four stones 40 liters or ՚oqya?	קפו) שאלה באיזה אופן (באיזה אופן) נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק‫'
You should take 1, multiply it by 3; it is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}$	הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג‫'
Multiply 3 by 3; it is 9, because the ratio of 1 to 3 is the same as the ratio of 3 to 9, and this is the third [stone]. $\scriptstyle{\color{blue}{1:3=3:9\longrightarrow3\sdot3=9}}$	כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית
Multiply 9 by 3; it is 27, because the ratio of 9 to 27 is the same as the ratio of 3 to 9, which is the fourth [stone]. $\scriptstyle{\color{blue}{9:27=3:9\longrightarrow9\sdot3=27}}$	כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד‫'
Hence, the first weighs one liter, the second 3 liter, the third 9, and the fourth 27; the total is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}$	הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ‫'
If you want to weigh five [liter], put that of 3 liter and that of 1 [liter] on one scale. Then, put that of 9 [liter] on the second scale. Put the 5 you want to weigh on the first scale, where the two stones weighing 4 [liter] are. So, there are 9 on both the first and the second scales.	ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' ליטראות ^[140]ואותה של א' בכף אחת אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט‫' אח"כ תשים בכף ראשנה ששם הב' אבנים ששוקלות ד' ושים ה' שתרצה לשקול ויהיו ט' בכף ראשנה גם בשניה
If you want to weigh 8 [liter], put the stone that weighs 1 [liter] and the 8 [liter] on one scale; they are 9 [liter]. Then, put the one that weighs 9 [liter] on the second [scale] and they [weigh] equally.	ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט‫' אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה
This number is called "proportional number".	וזה המספר נקרא מספר יחסיי וכו‫'
Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets
186) Question: A man goes to a guesthouse and stays there for 31 days. He carries 5 goblets of silver that weigh a total of 31 ՚oqya. They agreed that he will pay the host an ՚oqya of silver every day. In what way will he pay him every night and night, so that he does not give away the goblets and he pays him a whole ՚oqya each day.	קפו) שאלה אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום
Take 1 and double it; it is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2=2}}$	הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב‫'
Multiply it by 2; it is 4, because the ratio of 1 to 2 is the same as the ratio of 2 to 4. $\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4\longrightarrow2\sdot2=4}}$	ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד‫'
Multiply 4 by 2; it is 8, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 2 to 4. $\scriptstyle{\color{blue}{4:8=2:4\longrightarrow4\sdot2=8}}$	אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד‫'
Multiply 8 by 2; it is 16, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 8 to 16. $\scriptstyle{\color{blue}{4:8=8:16\longrightarrow8\sdot2=16}}$	אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו
So, the first weighs one, the second 2, the third 4, the fourth 8, and the fifth 16; the total is 31. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16=31}}$	א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א
With [6] goblets you can pay him for 63 [days]: multiply 16 by 2; it is 32 and this is the sixth goblet; with the 31 it is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot2=32\longrightarrow31+32=63}}$	עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג
With 7 goblets you can pay him for 127 days: multiply 32 by two; it is 64; with 63 it is 127. $\scriptstyle{\color{blue}{32\sdot2=64\longrightarrow63+64=127}}$	ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז
And so on endlessly.	וכן עד אין קץ
Find the Price Problems - Three Types of Wool
187) Question: A man sells three types of wool. He sells the first one at one kikkar, which is 100 liters, for ten minyanim. He sells the second one at one kikkar for ten and a half minyanim. He sells the third one at one kikkar for 12 minyanim and a third. When you wash the first one, the kikkar becomes 80 liter of clean wool. When you wash the second one, the kikkar becomes 90 liter of clean wool. When you wash the third one, the kikkar becomes 99 liter of clean wool. We would like to know which of the three is better to buy.	קפז) שאלה אדם מוכר מג' מיני צמר הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים והב' מוכר הככר עשרה מנינים וחצי והג' מוכר הככר י"ב מנינים ושליש והנה כשתרחץ הראשנה הנה הככר ישוב פ' ליט' מצמר נקי וכשתרחץ השניה ישוב הככר צ' ליט' מצמר נקי וכשתרחץ השלישית ישוב הככר צ"ט ליט' מצמר נקי נרצה לדעת איזה מהם יותר טוב לקחת משלשתן
It is known that 80 liter of the first are worth 10 minyanim.	ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים
It is known that 90 liter of the second are worth ten minyanim and a half.	וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי
It is known that 99 liter of the third are worth 12 minyanim and a third.	וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש
We do the proportion as follows: if 80 is equal to ten, how much is 1 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{80:10=1:X}}$	ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה
You receive one eighth and this is the price of one liter of the first.	הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה
Turn to the second and say: if 90 is equal to ten and a half, how much is 1 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{90:\left(10+\frac{1}{2}\right)=1:X}}$	עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה
You receive one eighth and 4-sevenths of an eighth [this calculation is wrong - the result should be less than one eighth]; so this is one is better than the first.	יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה ‫^[141]הנה זאת יותר טובה מהראשנה
We do the same with the third and say: if 9[9] is equal to 12 and a third, how much is 1 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{99:\left(10+\frac{1}{3}\right)=1:X}}$	ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה
You receive less than one eighth, so it should not be bought, because it is worse than the others.	יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות
Payment Problem - 12 Harvesters
188) Question: 12 harvesters work in a field. If one of them works a whole year, he should take 1 ՚oqya and 2 tarini. One who worked for a year straight, asks for 1 ՚oqya and 2 tarini. The second worked a little more, so he asks for 1 ՚oqya and 3 tarini. The third worked more, so he asks for 1 ՚oqya and 1 tari. The fourth asks for one ՚oqya and 4 tarini. The fifth asks for an ՚oqya and 6 tarini. The sixth - 2 ՚oqya and 4 tari. The eighth - one ՚oqya. The tenth - 1 ՚oqya and 9 tarini. The eleventh - 1 ՚oqya and 19 tarini. The twelveth - 1 ՚oqya and 22 tarini. Now, the lord, who pays, has only 10 ՚oqya and 5 tarini, and from this money he wants to pay the harvesters according to their work. How much should he pay each?	קפח) שאלה הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק' א' וב' טריניריש אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני והב' עבד יותר מעט עד ששואל אוק' א' וג' טריני והג' עבד יותר עד ששואל אוק' א' וא' טרי והרביעי שואל אוק' אחת וד' טריני והה' שואל אוק' וו' טריני והו' ב' אוק' וד' טרי והח' אוק' אחת והעשירי אוק' א' וט' טריני והי"א אוק' א' וי"ט טריני והי"ב אוק' א' וכ"ב טריני והנה האדון העושה הפרעון אין לו כי אם י' אוק' וה' טריני ומזה הממון רוצה לחלק לגלחים כפי עבודתו כמה ראוי שיתן לכל א' וא‫'
The money of all 12 harvesters should be summed up; you find it is 15 ՚oqya and 18 tarini.	הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי
The ten ՚oqya should be divided by 15 ՚oqya and 18 tarini:	והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי
The 10 ՚oqya should be converted into tarini, and the 5 tarini should be added to them; the result is 305. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot30\right)+5=305}}$	והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה
Convert also the 15 ՚oqya and 18 tarini into tarini; the result is 468. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot30\right)+18=468}}$	עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח
Multiply 305 by 30; the result is [9]150.	עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ
Divide it by 4 hundred; you receive the tarini, which are 19 plus 15 grani and 2 dinar and so each is paid for every ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{305\sdot30}{400}=\frac{9150}{400}}}$	וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו גרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק‫'
If you want to know how much he is paid for every tarini: you already know that for one ՚oqya he should be paid 1[9] plus 15 grani and 2 dinar, so multiply 19 by 2, meaning convert the 19 tarini into grani. Then, divide the result by 30, since 30 tarini are equal to one ՚oqya and you receive the required.	ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק' ראוי לקחת י"ח וט"ו גרות וב' דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי גרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש
You can do so for any coin.	וכן תוכל לעשו' מכל מטבע
Simple Barter Problem - Silver and Cloth
189) Question: A man gave 4 liter of silver to his friend in barter and agreed with him that for 3 liters he would give him ten clothes. 2 canna of the cloth are worth 3 barrels of wine. 2 barrels of wine are worth 8 dinars. We wish to know how much 4 liter of silver are worth according to this ratio and how much 5 canna of the cloth are worth.	קפט) שאלה אדם נתן ד' ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין וב' חביות מיין שוה ח' דינרין נרצה לדעת כמה היו שוות הד' ליט' של כסף לפי זה היחס גם כמה שוות הה' קנים מהבגד
The answer: you know that 2 barrels are worth 8 dinar, so say: if 2 is equal to 8, how much is 3 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{2:8=3:X}}$	התשובה ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות
You receive 12. Hence, three barrels of [wine] are worth 12 dinar.	ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של ‫^[142]שוות י"ב דינרין
It is known that 2 canna are worth 3 barrels, so do as follows: Say: if 2 canna are equal to 12 dinar, how much are 10 canna equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{2:12=10:X}}$	וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים
You receive 60.	ויצא לך ס‫'
It is known that 10 canna are worth 3 liter of silver, so say: if 3 is equal to 60, how much is 4 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{3:60=4:X}}$	וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס' ד' כמה שוות
You receive 80, no more and no less.	ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת
Simple Division Problem
190) Question: A man said to his friend: If you want to carry all my wheat on your ship, I will give you half. A second came and said to him: If you carry mine, I will give you a third. Another came and said: If you carry mine, I will give you a quarter. This one was still speaking when another came and said [Job 1, 16]: If you carry mine I will give you a fifth. Then, he had 300 measures in his hand. I ask: how many measurements he carried [for each equally]?	קצ) שאלה אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש בא אחר ואמר אם תשא את שלי אתן לך רביעית עוד זה מדבר וזה בא ויאמר‫^{[note 9]} אם תשא את שלי אתן לך החומש ואח"כ נמצא בידו ש' מדות אשאל כמה מדות נשא
The answer: look for a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.	תשובה בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס‫'
Take its half, which is 30; its third, which is 20; its quarter, which is 15; and its fifth, which is 12; the total is 77.	קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=30+20+15+12=77}}$
Say: if 77 is equal to 60, how much is 3 hundred equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{77:60=300:X}}$	ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו
Multiply 60 by 3 hundred and divide it by 77; you receive 233 and 59 parts of 77 and this is the amount he carried for each. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot300}{77}=233+\frac{59}{77}}}$	כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב' מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא‫'
Check: If you want to check it, take half this amount, add to it also its third, its quarter, and its fifth; the result is 3 hundred.	ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]=300}}$
Mixture and Alligation Problem
191) Question: here is a man who has 6 liter of silver, in each liter there are 7 ՚oqya of pure silver. He also has 5 liter of silver, in each liter of which there are 6 ՚oqya of pure silver. He also has an unknown number of liter in each liter of which there are 11 ՚oqya of silver. He wants to melt all of them and produce goblets from them, such that each liter contains 9 ՚oqya of pure silver. We wish to know how many liter will he take of the silver that contains 11 ՚oqya per a liter.	קצא) שאלה בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב ועוד יש לו ליט' בלתי נודעות שבכל ליט' יש כסף י"א אוק‫' ורוצה לשרוף כל זה ולעשות ממנו גביעים שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף מזוקק ונרצה לדעת כמה ליט' יקח מהכסף המכיל י"א אוק' הליט‫'
Answer: you should know how many ՚oqya are included in the first number, which is 6 liter that contain 7 ՚oqya per liter; they are 42 and this is the number of pure ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}$	תשובה ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר אוקי' הטובות
Take also the second number, which is 5 liter that contain 6 ՚oqya per liter; they are 30 and this is the number of pure ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}$	ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות
Add the 30 to 42; it is 72. $\scriptstyle{\color{blue}{42+30=72}}$	וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב
Then sum up the [numbers of] liter that are 5 and 6; they are 11. $\scriptstyle{\color{blue}{5+6}}$	אח"כ חבר הליט' שהם ה'ו' ויהיו י"א
Hence, 11 liter contain 72 ՚oqya of pure silver.	א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב
Multiply 9, which is the number you want to produce, by the [number of] liter, which is 11; it is 99.	אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט
Subtract 72 from 99; the remainder is 27.	הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז
Divide the 27 by the difference between 9 and 11, which you find to be 2. Divide 27 by 2; you find it is 13 and a half, which is [the number of] liter and so he takes of the silver that contains 11 [՚oqya per a liter]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot11\right)-72}{11-9}=\frac{99-72}{2}=\frac{27}{2}=13+\frac{1}{2}}}$	וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב‫' חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' ‫^[143]וככה יקח מן הכסף המכיל י"א
Check: If you want to check it, sum up all the liter, which are 13 and a half, 6, and 5; it is 24 and a half.	ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי
Multiply each by what it contains; the result is 220 and a half and this is the reserved. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot7\right)+\left(5\sdot6\right)+\left[\left(13+\frac{1}{2}\right)\sdot11\right]=220+\frac{1}{2}}}$	וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור
Then, multiply 9 by 24 and a half; the result is also 220. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[6+5+\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot9=\left(24+\frac{1}{2}\right)\sdot9=220+\frac{1}{2}}}$	אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ
Proportional Division Problems
192) Question: There are three men here who earned 12 minyanim. One asks for half the amount plus 2, the other asks for a third of the amount plus 3, and another asks for a quarter of the amount plus 4. We ask: how much will each take?	קצב) שאלה יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים הא' שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד‫' נשאל כמה יקח כל א' וא‫'
The answer: all the additions they ask for, which are 2, 3, and 4, should be summed; it is 9.	תשובה ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם ב'ג'ד' והם ט‫'
Subtract it from 12; 3 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+3+4\right)=12-9=3}}$	תחסרם מי"ב ישארו ג‫'
Take a half of 12; it is 6; the third is 4; the quarter is 3; the total is 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}$	אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג
Multiply half the number by 3; it is 18.	אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח
Divide it by 13; the result is 1 and 5 parts of 13 and this is the share of the one who asks for half the money.	חלקם על י"ג ועלה א' וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון
Since he said "plus 2", he takes 3 and 5 parts of 13.	ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot3}{13}+2=\frac{6\sdot3}{13}+2=\frac{18}{13}+2=\left(1+\frac{5}{13}\right)+2=3+\frac{5}{13}}}$
Take the third and multiply it by 3; the result is 12.	אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב
Divide it by 13; the result is 12 parts of 13 and this is the share of the one who asks for a third of the money.	וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון
Since he said "plus 3", he takes 3 and 12 parts of 13.	ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot3}{13}+3=\frac{4\sdot3}{13}+3=\frac{12}{13}+3=3+\frac{12}{13}}}$
Take a quarter of the number and multiply it by 3; the result is 9.	אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט‫'
Divide it by [1]3; the result is 9 parts of 13.	וחלקם על ג' ויעלו ט' חלקים מי"ג
Since he said "plus 4", he takes 4 and 9 parts of 13.	ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot3}{13}+4=\frac{3\sdot3}{13}+4=\frac{9}{13}+4=4+\frac{9}{13}}}$
Check: Sum up all; the result is 12 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{5}{13}\right)+\left(3+\frac{12}{13}\right)+\left(4+\frac{9}{13}\right)=12}}$	ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים
193) Question: There are three men here who want to divide 16 minyanim. One asks for half the amount minus 3, the other asks for a quarter plus 4, and another asks for a fifth plus 5. We wish to know how much will each take.	קצג) שאלה ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה‫' נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא‫'
The answer: first, sum the additions that two of them ask for; it is 9.	תשובה ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט‫'
Subtract 3 from 9, because one of them said "minus 3"; 6 remains.	חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו‫'
Subtract 6 from the amount of money; 10 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{16-\left[\left(4+5\right)-3\right]=16-\left(9-3\right)=16-6=10}}$	הסר מסך הממון ו' הנשאר י‫'
Take a half of the money; it is 8.	אח"כ קח חצי הממון שהוא ח‫'
Take its fifth; it is 3 and a fifth.	אח"כ קח חמישיתו שהוא ג' וחומש
Its quarter is 4.	ורביעיתו שהוא ד‫'
Sum all; the result is 15 and a fifth.	ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=8+\left(3+\frac{1}{5}\right)+4=15+\frac{1}{5}}}$
Multiply its half, which is 8, by the 10 remaining after subtracting the addition of each; it is 80.	אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ‫'
Divide it by 15 and a fifth; the result is 5 [and 20 parts of 76].	חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה‫'
Subtract 3 from it, since he said "minus 3"; his share is 2 integers and 20 parts of 76.	הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וכ' חלקים מע"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{8\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{80}{15+\frac{1}{5}}-3=\left(5+\frac{20}{76}\right)-3=2+\frac{20}{76}}}$
Take a quarter of the money, multiply it by 10, then divide the product; you receive 2 integers and 48 parts of 76 and this is the share of the one who asks for a quarter of the money. We add to it 4, since he said "plus 4".	עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+4=\left(2+\frac{48}{76}\right)+4}}$
Take a fifth of the number, multiply it by 10, then divide the product by 15 and a fifth; you receive 2 integers and 8 parts of 76; and since he said "plus 5", he takes 7 integers and 8 parts of 76.	אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם ‫^[144]על עשרה וחלק העולה על ט"ו וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+5=\left(2+\frac{8}{76}\right)+5=7+\frac{8}{76}}}$
Check: the sum of the three is 16 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{20}{76}\right)+\left(6+\frac{48}{76}\right)+\left(7+\frac{8}{76}\right)=16}}$	ובין שלשתן י"ו שלמים
194) Question: There are two here who want to divide twenty minyanim. One asks for a third minus 4 and the other asks for a fifth minus 3.	קצד) שאלה יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג‫'
First, 3 and 4 should be summed; it is 7.	הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז‫'
Add it to the money, which is 20; it is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+4\right)+20=7+20=27}}$	תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז
Take a third of 20; it is 6 and 2-thirds.	אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות
Take a fifth; it is 4.	אח"כ קח החומש יהיה זה ד‫'
Sum them together; it is ten [and 2-thirds]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+4=10+\frac{2}{3}}}$	חברם יחד יהיו עשרה
Multiply 6 and 2-thirds by 27; it is 180.	אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ
Divide it by 10 and 2-thirds; the result is 16 and 28 parts of 32.	חלקם על י' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב
Since he said "minus 4", we subtract 4; 12 and 28 parts of 32 remains and this is the share of the one who asks for a third of the money.	ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(6+\frac{2}{3}\right)\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-4=\frac{180}{10+\frac{2}{3}}-4=\left(16+\frac{28}{32}\right)-4=12+\frac{28}{32}}}$
We also multiply 4 by 27; it is 108.	עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח‫'
Divide it by ten and 2-thirds; the result is ten and 4 parts of 32.	חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב
Since he said "minus three", we subtract 3 from ten; the remainder is 7 and 4 parts of 32. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-3=\frac{108}{10+\frac{2}{3}}-3=\left(10+\frac{4}{32}\right)-3=7+\frac{4}{32}}}$	מצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב
Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube
195) Question: three people are playing with a cube. The two put all of their money against the third and the third plays, loses and pays each one all the money gambled against him. Now, the third plays, the remaining two put all their money, and he loses and pays each of them. We find each has 100 minyanim in his hand. How much did each has when they started playing?	קצה) שאלה ג' אנשים מצחקים בקוביא הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו עתה מצחק הג' והב' הנשארים שמו כל ממונם והוא הפסיד ופרע לכל א' וא‫' ונמצא עתה ביד כל א' וא' ק' מנינים כשהתחילו לצחק כמה לכל א' וא‫'
Answer: take the number of the people, which is 3, add 1 to it, for the first duplication; it is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}$	תשובה תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד‫'
Double 3; it is 6. Add 1 to it; it is 7. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+1=6+1=7}}$	עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז‫'
Double 7; it is 14. Subtract 1 from it; it is 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13}}$	עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג
It is known that the amount of money is 3 hundred, so we do as follows and say: here are three people - one carried 13 dinar, the other 7, and the other 4. They earned 3 hundred. How much will each take?	וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות כמה יקח כל א' וא‫'
Sum up all their amounts of money, which are 4, 7, and 13; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{4+7+13=24}}$	תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד
Multiply 13 by 3 hundred; it is 3 thousand and 9 hundred.	כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות
Divide it by the reserved, which is 24; you receive 162 and a half and this is the money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot300}{24}=\frac{3900}{24}=162+\frac{1}{2}}}$	וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון
Multiply also 7, which is the [assumed] money of the second, by 3 hundred; the result is 2 thousand and a hundred.	עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה
Divide it by 24; you receive 87 and a half and this is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}$	וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני
You also have to multiply the [assumed] money of the third, which is 4, by 3 [hundred]; the result is 12 hundred.	עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות
Divide it by 24; you receive fifty and this is the money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}$	וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג‫'
The total is 3 hundred.	ובין הכל ג' מאות
Shared Work Problem
196) Question: There is a barrel here that has 3 openings. From the first opening, all the wine comes out in 4 hours. From the second opening, without the first, all the wine comes out in 3 hours. From the third opening, without the others, all the wine comes out in 2 hours. If we open all three of them, how long will it take for all the wine to come out?	קצו) שאלה יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין ‫^[145]בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין
The answer can be done in two ways:	תשובה תוכל לעשותה בב' פנים
One is that you take the greatest number, which is 4, and divide it by itself and also by the others.	א' והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים
First, divide it by itself; the result is 1.	ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א‫'
Then, divide 4 by 3; you receive 1 and a third.	אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש
Divide 4 by 2; you receive 2.	אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב‫'
Sum all of them; it is 4 and a third.	חברם כלם ויהיו ד' ושליש
Divide 4 by it; you receive 12 parts of 13 and this is [how long it takes for all] the wine to come out. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{\frac{4}{4}+\frac{4}{3}+\frac{4}{2}}=\frac{4}{1+\left(1+\frac{1}{3}\right)+2}=\frac{4}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{13}}}$	חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין
Check: if you want to check it, do as follows: we suppose there are 12 log in the barrel and we say: if 12 log come out in 4 hours, how much comes out in 12 parts of 13? $\scriptstyle{\color{blue}{4:12=\frac{12}{13}:X}}$	ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג
You find that 2 log and ten parts of 13 come out. $\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{10}{13}}}$	תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג
We say again: if 12 [log] come out in 2 hours, how much comes out in 12 parts of 13? $\scriptstyle{\color{blue}{2:12=\frac{12}{13}:X}}$	עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג)
You find that 5 log and [7] parts of 13 come out. $\scriptstyle{\color{blue}{X=5+\frac{7}{13}}}$	תמצא שיצא ה' לוגים וח' חלקים מי"ג
We [say] again: if 12 [log] come out in 3 hours, how much comes out in 12 parts of 13? $\scriptstyle{\color{blue}{3:12=\frac{12}{13}:X}}$	עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג
You find 3 [log] and 9 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{9}{13}}}$	תמצא ג' וט' חלקים מי"ג
Sum all; you find 12 integers. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{10}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)=12}}$	חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים
The other way is that we look for a common denominator that has all the mentioned parts, meaning, a third as he said 3 hours, a quarter for the 4 hours, and a half for the 2 hours; you find 12.	והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב
Its half is 6, its quarter is 3, its third is 4. Sum up all; it is 13.	ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד‫' חבר הכל יהיו י"ג
Divide the common denominator, which is 12, by 13; it is 12 parts of 13. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}=\frac{12}{6+4+3}=\frac{12}{13}}}$	חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג
All leads to the same solution	והכל הולך אל מקום אחד
Compound Barter Problem - Cloth and Wool
197) Question: [Two] men want to barter goods with each other, one sells cloth and the other sells wool. The one selling the cloth sells it at one cane for [4] minyanim in cash, and since he wants to barter it, he rises its price by 1 minyan for a cane and offers 5 minyanim. He wants to be given 2-fifths in cash, and for the [3]-fifths he wants the other to give him wool. The woolen cloth is worth [7] minyanim for a cloth. We wish to know by how much will the price of wool increase, as the price of cloth increases?	קצז) שאלה ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים ומזה רוצה שינתן לו ב' חמישיות במעות מנויים והב' חמישיות רוצה שיתן לו האחר מצמר והבגד מן הצמר שוה ג' מנינים הבגד נרצה לדעת כמה יעלה לו סך הצמר כאשר העלה לו סך הבגד
It should be done as follows: take 2-fifths of the money he requires, meaning of the 5 minyanim; [3] remains. $\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=3}}$	ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה‫'
Then, subtract 2 from the 4, which is the price of the cane in cash; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=4-2=2}}$	אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב‫'
Now, say: if 2 is worth 3, how much is 7 worth? $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=7:X}}$	אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז‫'
You receive 10 and a half and this is what he should offer from the wool. $\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\frac{1}{2}}}$	יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר
Check: if you want to check it: we suppose he bought 2 cane that were worth 80 minyanim in cash and now are worth 100 in their barter.	ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' ‫^[146]בחלוף שעושים
He asks for 2-fifths of the 100 in cash, which is 40 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot100=40}}$	ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים
Subtract 40 from 80; 40 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{80-40=40}}$	הסר מפ' מ' הנשאר מ‫'
He rises the 40 to 60. How much will he take from the wool?	ומאלו המ' העלה אותם עד ס‫' כמה יקח מהצמר
The 40 should be divided by 7, which is the initial price of the wool; you receive 5 and 5-sevenths. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{7}=5+\frac{5}{7}}}$	ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות
Say: how much are the 5 and 5 sevenths worth at the price of ten and a half minyanim?	ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי
You find that they are worth 60 minyanim, because he rises [the price] from 40 to 60. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{7}\right)\sdot\left(10+\frac{1}{2}\right)=60}}$	תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס‫'
Partnership Problems
198) Question: there are four [men] who formed a partnership. Three of them, without the fourth, contributed 600 minyanim. Three of them, without the third, contributed 700 minyanim. Three of them, without the first, contributed 800 minyanim. Three of them, without the second, contributed 900 minyanim. We wish to know how much did each contribute?	קצח)‫^[147] שאלה יש כאן ד' עושים שותפות הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים והג' האחרים בלתי הג' שמו ז' מאות והג' בלתי הא' שמו ח' מאות והג' בלתי השני שמו ט' מאות נרצה לדעת כמה שם כל א‫'
It should be solved this way: sum up all their money together; it is a thousand, after we divide [the total] by 3, and this is all the money they contributed together. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600+700+800+900}{3}=1000}}$	ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם
We subtract 600 from it; 400 remains and this is the share of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=1000-600=400}}$	ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי
We subtract 700 from it; 300 remains and this is what the third contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=1000-700=300}}$	עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי
We subtract 800 from it; 200 remains and this is what the second contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1000-800=200}}$	עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני
We subtract 900 from it; one hundred remains and this is what the first contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1000-900=100}}$	עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון
The total is one thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{100+200+300+400=1000}}$	ובין כלם אלף
196)[L] Question: there are four [men] who formed a partnership. Three of them, without the first, contributed 18 [minyanim]. Three of them, without the [second], contributed 20 minyanim. Three of them, without the [third], contributed 22 [minyanim]. Three of them, without the fourth, contributed 24 [minyanim]. We wish to know how much did each contribute?	קצו)‫^[148] שאלה ד' עושים שותפות הג' בלתי הראשון שמו י"ח והג' מהם בלתי האחד שמו כ' מנינים והג' האחרים זולת האחר שמו כ"ב והג' בלתי הרביעי שמו כ"ד כמה שם כל אחד ואחד
Sum up all their money together; the result is 84.	תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד
Divide it by 3; you receive 28 and this is all their money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18+20+22+24}{3}=\frac{84}{3}=28}}$	תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם
We divide 84 by 3 because they are always triplicated.	והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים
We subtract from it the 18 that the first three contributed; ten remains and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=28-18=10}}$	ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון
We subtract 20; 8 remains and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=28-20=10}}$	עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני
We subtract 22; 6 remains and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=28-22=6}}$	עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי
We subtract 24; 4 remains and this is the share of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=28-24=4}}$	עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי
197)[L] Question: there are five - four of them contributed 22, four of them contributed 24, four of them contributed 26, four of them contributed 28, and four of them contributed 30. How much did each have?	קצז)‫^[149] שאלה בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל‫' כמה לכל אחד ואחד
Sum up all their money together; the result is 130.	תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל
Divide it by 4 [...]; you receive 32 and a half, which is all their money. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+24+26+28+30}{4}=\frac{130}{4}=32+\frac{1}{2}}}$	חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם
Subtract 22 from it; ten and a half remains and this is the amount of money of the fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(32+\frac{1}{2}\right)-22=10+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי
Subtract 24 from it; 8 and a half remains and this is the amount of money of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(32+\frac{1}{2}\right)-24=8+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי
Subtract 26 from it; 6 and a half remains and this is the amount of money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(32+\frac{1}{2}\right)-26=6+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי
Subtract 28 from it; 4 and a half remains and this is the amount of money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(32+\frac{1}{2}\right)-28=4+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני
Subtract 30 from it; 2 and a half remains and this is the amount of money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(32+\frac{1}{2}\right)-30=2+\frac{1}{2}}}$	תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון
Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat
199) Question: There is a man here who sells a measure of wheat for 10 minyanim and he has another better kind of wheat that he sells a measure for 16 minyanim. A man comes and says to him: sell to me of the two kinds of wheat for a price of 14 minyanim and I will buy 20 measures. How much will he sell to him from each [kind of] wheat, so that the wheat will be worth 14 minyanim?	קצט) שאלה יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מב' מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה
The answer: do as follows: see how much is the difference between 14 and 10; you find it 4. Place it above 14 that is its counter.	תשובה כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו
See also the difference between 14 and 16, which is the second price; you find it is 2. Place it above 10.	עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י‫'
Then, sum 2 and 4, which are the excesses; it is 6. Keep it.	אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם
Take the 4 and multiply it by the amount he wants to buy, which is 20 measures; the result is 80.	אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ‫'
Divide it by 6; you receive 13 integers and a third. Relate it to the measures that are worth 16 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(14-10\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{4\sdot20}{4+2}=\frac{80}{6}=13+\frac{1}{3}}}$	חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים
Then, multiply 2, which is the second number, by 20, which is the number of the measures; the result is 40.	אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ‫'
Divide it by 6; you receive 6 integers and 2-thirds and so he will buy of the wheat that is worth 10 minyanim for one measure. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(16-14\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{2\sdot20}{4+2}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}$	חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה
So, he should buy 13 measures and a third of the wheat that is worth 16 minyanim and 6 and 2-thirds [measures] of the wheat that is worth 10 [minyanim]; the total is 20 measures.	הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות
Check: if you want to check it: it is known that he asks for 20 measures for a price of 14 minyanim for one measure. Multiply 14 by 20; you receive 280. Hence, the 20 measures are worth 180 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot20=280}}$	ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה ^[150]כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ הנה א"כ הכ' מדות שוות ר"פ מנינים
But, you say that he should buy 13 measures and a third of the kind that is worth 16 minyanim. So, multiply 16 by 13 and a third; you receive 213 and a third. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(13+\frac{1}{3}\right)=213+\frac{1}{3}}}$	ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם
Then, go back to the wheat that is worth 10 minyanim. You say that [he] should buy 6 measures and 2-thirds of [this kind]. Multiply 6 and 2-thirds by ten; you receive [6]6 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)=66+\frac{2}{3}}}$	אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו וב' שלישיות
Add 66 and 2-thirds to 213 and a third; you receive 180 integers and it is equal to the reserved 180. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{2}{3}\right)+\left(213+\frac{1}{3}\right)=280}}$	חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים
Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins
200) Question: there is one here who has one magen and he wants to be given carlini, grani, tornesi, dinar, and cavalli for this magen equally, so that he will take of the one the same as of the others.	ר) שאלה יש כאן א' שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני וגרני וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים
It should be done as follows: know how many cavalli there are in a magen; you find 12 hundred.	ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות
Then, say: how many dinar there are in a magen? You find 6 hundred.	אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות
Then, say: how many tornesi there are in a magen; you find 2 hundred; 100 grani; and 10 carlini.	אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' גרות וי' קרליני
Take the greater number of all of them, which is 12 hundred, and divide it by itself; the result is 1. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{1200}=1}}$	קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א‫'
By the dinar; the result is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{600}=2}}$	ועל הדינרין יצא ב‫'
By the tornesi - 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{200}=6}}$	ועל הטורני ו‫'
By the grani - 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{100}=12}}$	ועל הגרות י"ב
By the carlini - 120. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{10}=120}}$	ועל הקרליני ק"כ
Add up all of them; it is 141. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2+6+12+120=141}}$	חברם כלם ויהיו קמ"א
Divide 12 [hundred] by it; it is 8 and 72 parts of 141 and so he takes of each coin.	חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע
Check: if you wish to check it, convert all the coins, including the fractions, into the smallest [kind] of them, which is cavalli; the result is 12 hundred.	ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות
Payment Problem - Herdsman
201) Question: there is someone here who has bulls and he told the herdsman that if he will graze his bulls 5 years, he will give him half of all the profit and also half the bulls after paying for the 5 years, but the herdsman died at the end of 31 and a half months and the bulls are 3 hundred and 50. We want to know how much the herdsman should have been paid, given that if he had not died by the end of the 5 years he would have taken half the bulls.	רא) שאלה יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ‫' נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים
It should be done as follows: convert the years into months; they are 60. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}$	ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס‫'
Say: if 60 is equal to 350, how much is 31 and a half? $\scriptstyle{\color{blue}{60:350=\left(31+\frac{1}{2}\right):X}}$	ותאמר אם ס' שוים ש"נ ל"א וחצי כמה שוים
The result is 183 and 45 parts of 60. $\scriptstyle{\color{blue}{X=183+\frac{45}{60}}}$	ומה שיבא הוא קפ"ג ומ"ה חלקים מס‫'
Proportional Division Problems
202) Question: a man wants to go to war and takes 2 hundred horse riders and 4 hundred infantrymen. He tells them that everything they loot would be theirs and they agree that each horse rider will take 5 minyanim and the infantryman 3 minyanim and the loot is a thousand minyanim. We wish to know how much will the horse riders take and how much will the infantrymen take?	רב) שאלה אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים נרצה לדעת כמה יקחו רוכבי על סוסים וכמה יקחו הרוגליים
It should be done as follows: multiply the [number of] minyanim the infantrymen should take by 4 hundred, because they are 4 hundred. Multiply it by 3; you receive 12 hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot400=1200}}$	ראוי ‫^[151]לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות
Multiply also 5, which is what the horse riders should take, by 2 hundred, because they are 2 hundred; the result is one thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot200=1000}}$	עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף
Then, sum a thousand with 12 hundred; it is 22 hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{1000+1200=2200}}$	אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות
Take one of the numbers, meaning a thousand or 12 hundred, multiply it by a thousand, which is the [loot], and divide it by 2 thousand and 2 hundred; you receive the share of each.	אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא‫'
So, multiply a thousand by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 454 and 6 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000\sdot1000}{2200}=454+\frac{6}{11}}}$	אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א
Multiply 12 hundred by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 545 and 5 parts of 11 and this is the share of the infantryman. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200\sdot1000}{2200}=545+\frac{5}{11}}}$	אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים
203) Question: there are here three grinders: one grinds 12 measures a day, the second 9, and the third 6. One comes with 100 [measures]. He wants to grind them quickly and he wants that the measures will be divided among the three grinders, so that it will be done at once. How many measures should we assign to each?	רג) שאלה יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת כמה מדות נשים בכל א' וא‫'
All the numbers should be summed together, meaning 12, 9, and 6; the result is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{12+9+6=27}}$	הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז
Then, multiply [12 by] 100 and divide by 27; you receive 44 and [1]2 parts of 27 and this is [the number of] the measures assigned to [the first]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot100}{27}=44+\frac{{\color{red}{2}}}{27}}}$	אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו
We multiply 9 by 100 and divide by 27; the result is 33 and 9 parts of 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot100}{27}=33+\frac{9}{27}}}$	עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא ל"ג וט' חלקים מכ"ז
Multiply 6 by 100 and divide by 27; the result is 22 and 6 parts of 27. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot100}{27}=22+\frac{6}{27}}}$	עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כ"ב וו' חלקים מכ"ז
The total is [100]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(44+\frac{12}{27}\right)+\left(33+\frac{9}{27}\right)+\left(22+\frac{6}{27}\right)}}$	ובין הכל מ‫'
To know how long the wheat stays in the grinder, say: these 12 measures are grind in 12 hours, in how many hours will I grind 14 measures and 12 parts of 27?	ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז
This is clear.	וזה נודע
Ordering Problem - Eggs
204) Question: A woman was carrying eggs and a man dropped them. She asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 1; by four - 1; by five - 1; by six - 1; and by 7 - [all gone]. How many were they?	רד) שאלה אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים ב"ב נשאר א' ג"ג א' ד"ד א' ה"ה א' ו"ו א' ז"ז שוה כמה היו
Look for a number that has a half, a third, a quarter, a fifth, and a sixth; you find it is 60.	בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס‫'
[erroneous sentence]	תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א
Multiply 5 by 6[0]; the result is 300.	אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש‫'
Add 1 to it [for the addition of 2 by 2, 3 by 3, etc.; it is 61]; it is 301. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot60\right)+1=300+1=301}}$	תוסיף בו א' ויהיו ש"א
Question: A man was carrying eggs and another dropped them. He asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 2; by five - 4; by six - 5; by seven - [all gone]. How many were they?	שאלה אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א' גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו
Look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and a sixth; it is 60.	בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס‫'
Subtract 1; 59 remains.	תסיר א' נשאר נ"ט
Add 60; it is 119 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(60-1\right)+60=59+60=119}}$	תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש
Mixture and Alligation Problems
205) Question: a man has liter of two kinds of silver, one of them is 7 ՚oqya of pure silver per liter and the other is one ՚oqya [per liter]. He wants to melt the two kinds of silver, and mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya of pure silver. We ask: how much should he take of each?	רה) שאלה אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים ‫^[152]ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב נשאל כמה יקח מכל א' וא‫'
See how much is the difference between 9 and 7; you find it is 2. Put it above the 11.	ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א
Then, see how much is the difference between 9 and 11; it is 2. Put it above the 7.	ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז‫'
Hence, the same should be taken from each.	הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה
207) Question: a man has three kinds of silver, one is 5 ՚oqya of pure [silver] per liter, another is 7 [՚oqya per liter], and another is 11 [՚oqya per liter]. He wants to mixture the three, so that each liter will contain 8 ՚oqya [of pure silver].	רז) שאלה לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק‫'
Do as follows: see how much is the difference between 7 and 8; you find it is 1. Put it above the 5.	כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה‫'
Say also: how much is the difference between 5 and 8? You find it is 3. Put it above the 7.	עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז‫'
Then, multiply 1 by 5; the result is 5.	אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה‫'
Multiply also 7 by 3; the result is 21.	עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א
Add it to 5; it is 26.	חברם אל ה' ויהיו כ"ו
Take the liter that are 1 and 3; it is 4.	אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד‫'
Multiply it by 8; it is 32.	וכפלם על ח' ויהיו ל"ב
Subtract 26 from 32; 6 remains. We keep it.	הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם
Divide the 6 by the difference between 8 and 11; you find it is 3. Divide 6 by 3; the result is 2.	אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג‫' חלק ו' על ג' יצא ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(1+3\right)\sdot8\right]-\left[\left[\left(8-7\right)\sdot5\right]+\left[\left(8-5\right)\sdot7\right]\right]}{11-8}=\frac{\left(4\sdot8\right)-\left[\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)\right]}{3}=\frac{32-\left(5+21\right)}{3}=\frac{32-26}{3}=\frac{6}{3}=2}}$
Therefore, 1 liter should be taken from the silver of 5 [՚oqya per liter], 3 [liter] from the silver of 7 [՚oqya per liter], and 2 [liter] from the silver of 11 [՚oqya per liter].	הנה א"כ ראוי לקחת א' ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א
Check: If you want to check it, sum up all the liter and take the value of the three kind of silver that each contains; the result is 48.	ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח
Multiply the sum of liter, which is 6, by 8; the result is 48 and it is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)+\left(2\sdot11\right)=48=6\sdot8}}$	עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים
208) Question: if you have 3 liter of silver that contain 7 ՚oqya of pure [silver] in each liter, and you wish to mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya.	רח) שאלה אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט‫'
7 should be divided by 9; the result is 7-ninths.	ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות
Then, multiply 7-ninths by 3; the product is 21.	אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א
Divide it by 8; the result is 2 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot3=\frac{7\sdot3}{9}=\frac{21}{9}=2+\frac{1}{3}}}$	וחלקם על ט' יצא ב' ושליש
Check: Check it and you will find it is correct, because the 3 liter of 7 [՚oqya] are worth 21 and the 2 and a third [liter] of 9 [՚oqya] are worth 21.	ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א
209) Question: a man has 6 liter of silver that contain 8 [՚oqya] of pure [silver in each liter], and we wish to mixture them, so that each liter will contain only 4 ՚oqya of pure [silver].	רט) שאלה לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט
Divide 8 by 4; the result is 2.	חלק ח' על ד' יצא ב‫'
Multiply 2 by 6; the result is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{4}\sdot6=2\sdot6=12}}$	כפול ב' על ו' ויצאו י"ב
So, 6 liter that contain 8 [՚oqya] make 12 that contain 4 [՚oqya].	הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד‫'
How Many Problem - Group of People
210) A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100. $\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100$	רי) שאלה אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל
We take 1 as their number, and 1 like it; they are 2.	הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב‫'
Half and a quarter are 3-quarters.	וחצי ורביע הם ג' רבעיו‫'
We convert the 2 and 3-quarters into [quarters]; they are 11.	ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א
$\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}$
Since they said that with him they are a hundred; their number is 99.	ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט
Multiply them by 4 and divide by 11; the result is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}$	כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו
Buy and Sell Problems
211) Question: a man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at a liṭra and a quarter for one zahuv, and the other 50 at 3-quarters of a liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? $\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{\frac{3}{4}}\right)-100$	ריא) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליטרי' ‫^[153]ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב נשאל אם הרויח או הפסיד
We convert the first 50 into 200.	נשיב הנ' ראשנים ר‫'
Divide it by 5, for the 5-quarters he sold for one pašuṭ; the result is 40.	נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ‫'
We convert also the other 50 into two hundred.	גם נשיב הנ' אחרונים מאתים
Divide it by 3; the result is 66 and 2-thirds.	נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות
Add it to 40; it is 106 and 2-thirds.	חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות
Hence, he earned 6 and 2-thirds.	הנה הרויח ו' וב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}$
212) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? $\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1$	ריב) שאלה אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט כמה ממונו
Common Denominator: Look for a common denominator; it is 35, which is the product of 7 by 5. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}$	בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה‫'
Its 3-fifths is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}$	והנה ג' חמישיות כ"א
Its 4-sevenths is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}$	וד' שביעיות כ‫'
Hence, the money is 20 and it became 21, so he earned one pašuṭ and he bought 12 liṭra for 20 dinar.	והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט‫'
213) Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. $\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1$	ריג) שאלה אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט
The method is already known.	הדרך נודע
Purchase Problem – Moneychanger
214) Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive. $\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1$	ריד) שאלה יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה
Look for a number that has a third, a quarter, and a sixth; you find it is 12. [The sum of] all the fractions is 9 and it is a dinar. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}$	בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר
We examine the ratio of 12 to 9; it is 1 and a third and so he will take from each [type of] coin. $\scriptstyle{\color{blue}{x=12:9=1+\frac{1}{3}}}$	ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א' ושליש וככה יקח מכל מטבע
Payment Problem - Digging a Hole
215) Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in [width], 5 in depth, and he will pay him 11, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should he be paid?	רטו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ו' באורך וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח
This question has double proportion which is called "rule of three".	זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' ריגולא דיטרי דנפיצה
You receive 6 and 2-sevenths and so he should be paid.	ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח
Motion Problem – Pursuit
216) Question: A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? $\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)$	ריו) שאלה איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז מתי ישיגנו
Rule of Three: we multiply the [number of] miles the first walked by 10 days; it is 290.	נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם ר"ץ
We divide it by the difference between [the speeds of] the two walkers, which is 8; you receive 36 [days] and a quarter of a day. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}$	נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום
Boiling Problems
217) Question: a man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain. He started to cook [them] until eight measures remained of them. Then two measures overflow. Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must. $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	ריז) שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון
You have three known numbers:	יש לך ג' מספרים ידועים
One is a third of ten, which is 3 and a third.	א' כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש
It is known that 8 measures were boiled.	וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו
It is known the 6 remain.	וידוע כי ו' נשארו
Rule of Three: we do as follows: we multiply 6 by 3 [and a third], then divide by 2; the result is 2 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}$	ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי
218) Question: a man had 9 measures and he wanted to boil them so that one third will remain. They were cooked until 6 measures remained. Then 4 [measures] overflow and 2 remained. How much should they be boiled? $\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}$	ריח) אדם יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב‫' כמה ראוי לבשל
Rule of Three: Multiply 2 by 3; the result is 6. Divide it by 6; the result is 1 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)\sdot\left(6-4\right)}{6}=\frac{3\sdot2}{6}=\frac{6}{6}=1}}$	כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם ‫^[154]על ו' יעלה א' והוא הנדרש
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree
219) Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long. How many cubits long is the whole tree? $\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x$	ריט) שאלה אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו
False Position: the common denominator is 63.	המורה הוא ס"ג
We subtract 16 from it, which is its seventh and its ninth; 47 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}$	נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז
Rule of Three: we relate: we multiply 8 by 63; the result is 504. We divide it by 47; the result is 10 integers and 34 parts of 47. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{8\sdot63}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}$	ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז
Check: A seventh of this number is 1 integer and 25 parts of 47; its ninth is 1 integer and 9 parts [of 47]. We sum up all the parts; they are 34 and the integers are 2. We subtract is from ten; 8 remains.	ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים חברנו כל החלקים והם ל"ד והשלמים ב‫' חסרנו זה מן עשרה נשארו ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}$
Triangulation Problem
220) Question: we placed a ladder on a wall that is 10 cubits high and so is the height of the ladder. We lowered the top of the ladder by 2 cubits from the top. We would like to know: how far is the ladder from the base of the wall?	רכ) שאלה הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נרצה לדעת כמה רחוק ראש הסולם מיסוד הקיר
I give you a rule for this matter: the square of what remains from the top of the ladder to the base [of the wall] plus the square of the distance between the foot [of the ladder] and the base [of the wall] is always equal the square of the ladder.	אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם
We subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall; 8 remain. Its square is 64.	והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד
We subtract it from 100, which is the square of the ladder; 36 remains. Its root is 6 and this is the distance of the bottom of the ladder from the base [of the wall].	נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$
221) Question: a well, its length is ten, its width is 8 and its height is 5. It contains a thousand liter of water some of which spilled out. How much water was spilled?	רכא) שאלה באר ארכו עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו כמה חסרו המים
Multiply the hundred by the height and divide the result by a thousand; it is one half. So, it was lowered by half a cubit. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot5}{1000}=\frac{1}{2}}}$	ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה ירד
Payment Problem - Two Workers
222) Question: Reuven hired Shimon at 10 coins for 30 days and [...] but Shimon fell ill, so he hired another in his place at 12 coins [for 30] day[s]. The worker worked [a] known [number of] days and the other likewise. He paid him ten coins.	רכב) שאלה ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים
Rule of Three: It is known that for 30 days his payment is 12 coins, so we say: if these 12 are equal to 30, how much are 10 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{12:30=10:X}}$	ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים
Multiply 30 by 10; the result is 300. Divide it by 12; the result is 25. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot10}{12}=\frac{300}{12}=25}}$	כפול ל' על י' ועלה ר"ק חלקם על י"ב יעלו כ"ה
223) Question: If I lent you 150 minyanim for 6 months, but then I need [them] and [someone] told me that he would lend me money for 2 months that would be equal to the 150 I lent you for 6 months.	רכג) שאלה אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב' חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים
Rule of Three: 6 should be multiplied by 150; the result is 900.	ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות
Divide it by 2; you receive 450 and this is the amount he would lend him for 2 months. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot150}{2}=\frac{900}{2}=450}}$	חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים
Purchase Problem - Moneychanger
224) Question: the moneychanger has four [kinds of] coins. Of the first [kind] - 6 are worth one zahuv; of the second - 4; of another - 3; and of another - 2. [Someone] wants to be given from each [kind] for a quarter of a zahuv. How much will he take from each?	רכד) שאלה אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב כמה יקח מכל אחת
The first [kind of] coin, which is 6, should be divided by 4; the result is 1 and a half and so he will take from it. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}$	ראוי ‫^[155]לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א' וחצי וכן יקח ממנה
Divide also 4 by 4; the result is 1 and so he will take [of the second kind]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}=1}}$	עוד חלק ד' על ד' ויצא א' וכן יקח
Divide also by 3; the result is 3-quarters.	עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות
Divide also 2 by 4; the result is a half and so he will take [of the fourth kind]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}$	עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה
Multiple Quantities Problems
225) Question: A man left an unknown amount of money to his sons. He said to the first: take from my money 7 dinar and a tenth of the remainder. He said to another: take 14 of what remains and a tenth [of the remainder]. He said to another: take 21 and a tenth of the remainder. And so on, he always adds 7 for each. After this was done we find that everyone has an equal share. We would like to know how many sons he had and how much was the share of each.	רכה) שאלה אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר ואמ' לאחר ואתה קח לך י"ד מהנשאר והעשור ואמ' לאחר אתה תקח כ"א ועשור הנשאר וכן כלם לעולם מוסיף לו ז‫' ואחר העשות זה נמצא לכלם חלק שוה נרצה לדעת כמה בנים היו לו וכמה חלק כל א' וא' וכמה בנים היו לו
The common number should be taken; it is [ten], because he said a tenth for all.	ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור
Subtract 1; 9 remains.	חסר א' ישארו ט‫'
Multiply 9 by [7], which is the share of the first without the tenth; the result is 63.	כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג
Hence, the sons are 9 and the money of each is 63. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-1\right)\sdot7=9\sdot7=63}}$	א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג
Now, multiply 63 by 9; the result is 567 and this is the total amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{63\sdot9=567}}$	ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
226) Question: There are here three who want to divide 120 minyanim. There was a fight and each took what he could take, then they quarreled between them. A man came and said do not get angry. He said to one: give me half of your money; to another: a third; to another: a quarter. He divided this money into 3 equal parts, then we find that each one has 40 minyanim in his hand. We would like to know how much each one took.	רכו) שאלה יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם בא אדם ואמ' אל תרגזו ואמר לא' תן לי חצי ממונך ולאחר שליש ולאחר רביעית וחלק זה הממון לג' חלקים שווים ונמצא ביד כל אחד מ' מנינים נבקש לדעת כמה לקח כל א' וא‫'
Look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.	בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב
Say: 12 is a half of what number? You find it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot24}}$	ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
Then, say: 12 is 2-thirds of what number? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot18}}$	אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח
Say also: 12 is 3-quarters of what number? You find it is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot16}}$	עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו
Sum up all; it is 58. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16=58}}$	קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם
Multiply the first number, which is 24, by 120, then divide the product by 58; the result is 49 and 38 parts of 58. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24\sdot120}{58}=49+\frac{38}{58}}}$	אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח
Multiply also 18 by 120, then divide by 58; the result is 37 and 14 parts of 58. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot120}{58}=37+\frac{14}{58}}}$	עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא ל"ז וי"ד חלקים מנ"ח
Multiply also 16 by 120, then divide by 58; the result is 33 and 6 parts of 58. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16\sdot120}{58}=33+\frac{6}{58}}}$	עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח
Check: to check it, take half the first, a third of the second, and a quarter of the third. Divide into three equal parts and give each one part; the result is 40 for each.	ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א' חלק א' ויעלה מ' לכל א‫'
Proportional Division - Three Men Sharing Food
227) Question: there are here two who bought 5 loafs of bread. One bought two for two pešiṭim and the other one [bought] three for three pešiṭim. One came and said: if you want me to eat with you I will pay each his share. They ate together and he gave 4 to the owner of the three and 1 to the owner of the 2. I ask: why is this?	רכז)‫^[156] שאלה יש כאן ב' קנו ה' לחמים א' קנה ב' ב' פשוטים ואחר ג' ג' פשוטים בא א' ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים ואכלו ביחד ונתן לבעל הג' ד' ובעל הב' א‫' אשאל לדעת מה זה ועל מה זה
5 should be divided by 3; the result is 1 and 2-thirds and so each one ate. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}$	ראוי לחלק ה' לג' יעלה א' וב' שלישיות וכך אכל כל א' וא‫'
Hence, the first ate all his bread minus a third, so he gave him 1, and the other ate all his bread minus 4-[thirds], so he gave him 4. $\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}}}$	א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' ‫^[157]והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד‫'
Give and Take Problem - Gatekeeper
228) Question: A man goes to the garden to pick roses and when he returns he has to go through three gates: At the first he must give half of them plus 3. At the second he must give a third of what is left plus 2. At the third he must give a quarter plus 1. He is left with 2. How much did he pick?	רכח) שאלה אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג‫' ובב' יש לתת השליש מהנשאר עם תוספת ב‫' ובג' יש לתת רביעית עם תוספת א‫' ונשארו לו ב' כמה לקט
Add 1 to 2, for the added 1; it is 3 and it is known that they are 3-quarters of the whole unit, which is 4. $\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=\frac{3}{4}\sdot4}}$	שים על ב' א' בעבור א' מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד‫'
Add also 2 to 4; 6 remains and it is known that 6 is 2-thirds of the whole unit, which is 9. $\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=\frac{2}{3}\sdot9}}$	עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט‫'
Add 3 to it; it is 12 and this is half the number, which is 24 and so he picked. $\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=\frac{1}{2}\sdot24}}$	ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט
Find the Fund Problem, Find the Interest Problem
229) Question: a man lends a thousand minyanim to his friend for a year and is obligated to give him 25 for every 100. At the end of 6 [months], the owner of the money needed money, he told the debtor: give me 100 minyanim; and he did so. At the end of 4 months he gave him 4 hundred and at the end of 3 [months] he gave him 2 hundred. We would like to know how much the owner of the money should receive at the end of the year and how much the interest was.	רכט)‫^[158] שאלה אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים וכן עשה ובסוף ד' חדשים נתן לו ד' מאות עוד לסוף ג' נתן לו ב' מאות נרצה לדעת כמה ראוי שיקבל בעל הממון לסוף השנה וכמה הוא הרבית
Do as follows: say: if 100 yields 25, how much does 1000 yield? You find it is 2[50]. $\scriptstyle{\color{blue}{100:25=1000:X}}$	כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה
Then say: the first repayment at the end of 6 [months]. Multiply 100 by 6; it is 600. $\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot6=600}}$	אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר
Say: if 100 minyanim in 12 [months] yield 25, how much do 100 yield in 6 months? You find it is 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{12:25=6:X}}$	ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי
Take also the second repayment, which is 400, at the end of 4 [months]. Multiply by the months; the result is 1600. $\scriptstyle{\color{blue}{400\sdot4=1600}}$	עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר
Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, 400 give you in 4 [months] 33 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(400\sdot4\right):X}}$	ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש
Take also the third repayment, which is 200, at the end of 3 [months]. Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, how much do 200 yield in 3 [months]? The result is 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(200\sdot3\right):X}}$	עוד קח הפרעון הג' שהוא ר' בתוך ג' ותאמר אם ק' בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי
Then, sum up [12] and a half with 33 and a third and with 12 and a half; subtract [the sum] from 250; 1[9]1 and 2-thirds remains and this is the interest he should get at the end of the year.	אח"כ חבר וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה
$\scriptstyle{\color{blue}{250-\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(33+\frac{1}{3}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]=191+\frac{2}{3}}}$
He should receive 300 of the fund; so, the fund plus the profit is 4[9]1 and 2-thirds	ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות
Find the Price Problem - Oil and Wine - Double False Position
230) Question: A man bought 5 barrels of oil and 10 barrels of wine, for a total of 100 minyanim. Then, he bought 9 barrels of oil and 2 barrels of wine for 100 minyanim. At the same price he bought the first time, he bought the second time. I would like to know for how much did he buy the oil and for how much did he buy the wine.	רל)‫^[159] שאלה אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים ובאותו ערך שקנה בראשנה קנה בשניה אבקש לדעת כמה קנה השמן וכמה קנה היין
Do as follows: take whichever number you want and define it as the price of the oil or the wine.	כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין
False Position 1: We define the price of [a barrel of] oil as 8 minyanim.	ונשים ערך השמן ח' מנינים
Hence, 5 [barrels of oil] are worth 40 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}$	הנה הה' שוות מ' מנינים
60 [minyanim] remain, so the price of a barrel [of wine] is worth 6 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{100-40=60=10\sdot6}}$	ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים
We turn to the second [purchase] and say that the 9 barrels [of oil] are worth 72 and the 2 [barrels of wine] are worth 12; the sum is 84. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot8\right)+\left(2\sdot6\right)=72+12=84}}$	ונשוב אל ‫^[160]השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד
So, 16 is missing until 100; say: 16 is missing for the price of 8. $\scriptstyle{\color{blue}{100-84=16}}$	ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו
False Position 2: Then, look for another number. We say that a barrel of oil is worth 9 minyanim.	אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט‫'
Hence, 5 [barrels of oil] are worth 45 [minyanim]. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}$	והה' שוות מ"ה
A barrel of wine [is worth] 5 and a half [minyanim]; so they are 100 [minyanim]. $\scriptstyle{\color{blue}{45+\left[10\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=100}}$	וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק‫'
Turn to the second [purchase]: the 9 barrels [of oil] are worth 81 and the 2 [barrels] of wine are worth 11; [the sum] is 92. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot9\right)+\left[2\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=81+11=92}}$	שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב
So, 8 is missing until 100. $\scriptstyle{\color{blue}{100-92=8}}$	ויחסר ח' עד ק‫'
Subtract 8 from 16; 8 remains.	הוצא ח' מי"ו נשארו ח‫'
Multiply 9, which is the [second] price, by 16, which is the remainder of the first price; it is 144.	אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד
Multiply 8, which is the first price, by 8; the result is 64.	אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד
Subtract 64 from 144; 80 remains.	הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ‫'
Divide it by 8; the result is 10 and so he bought. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot16\right)-\left(8\sdot8\right)}{16-8}=\frac{144-64}{8}=\frac{80}{8}=10}}$	חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה
Pursuit Problem Problem - Dog and Rabbit
231) Question: here is a dog and a rabbit. The rabbit is 100 steps away from the dog. Each step of the dog is equal to 5 [steps] of the rabbit. Each walks the same as the other. I would like to know in how many steps they will catch up?	רלא)^[161] שאלה בכאן כלב וארנבת והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות וכל פסיעה מהכלב שוה ה' מהארנבת וכך יפסיע הא' כמו זה אתאב לדעת בכמה פסיעות ישיגנו
The way is to divide 100 by the difference, which is from 1 to 5, which is 4; the result is 25 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{5-4}=\frac{100}{4}=25}}$	הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש
Divide a Number Problem - 30 into 4 parts
232) Question: make me four parts out of 30, such that the ratio of the fourth to the third is as the third to the second and as the second to the first.	רלב) שאלה תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא‫'
False Position: We suppose the first is 1, the second is 2, the third is 4, the fourth is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1;\quad a_2=2;\quad a_3=4;\quad a_4=8}}$	נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח‫'
The total is 15. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=1+2+4+8=15}}$	ובין כלם ט"ו
Rule of Three: Multiply 1 by [30] and divide by 15; the result is 2 and this is the first [part]. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{1\sdot30}{15}=2}}$	לכן כפול א' על וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון
Multiply also 2 by 30 and divide by 15; the result is 4 and this is the second [part]. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{2\sdot30}{15}=4}}$	עוד כפול ב' על ל' וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב‫'
Likewise for the thirds; the result is 8. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8}}$	וכן מהג' ויצא ח‫'
Likewise for the fourth; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=16}}$	וכן מהד' ויצא י"ו
All of them are proportional.	וכלם מתיחסים
How Many Problem - Hours
233) Question: a man asks his friend how many hours have passed. He replied: 2-thirds of those that passed are equal to 3-quarters of those that will pass. We ask: how many hours have passed?	רלג)‫^[162] שאלה אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש נשאל כמה שעות הקישו
You already know that the hours of the day are 24.	כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד
False Position: We suppose that three [hours] have passed.	ונניח כי הקישו ג‫'
It is known that its 2-thirds are 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot3=2}}$	וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב‫'
We look for a number whose 3-quarters are 2; we find it is 2 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}}$	ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות
The total is 5 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{3+\left(2+\frac{2}{3}\right)=5+\frac{2}{3}}}$	ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות
Rule of Three: Therefore, we multiply 3 by 24, then divide by 5 and 2-thirds; the result is 12 and 12 parts of 17 and these are the hours the have passed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot24}{5+\frac{2}{3}}=12+\frac{12}{17}}}$	לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו
The remainder of 24 is 11 and 5 parts of 17. $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(12+\frac{12}{17}\right)=11+\frac{5}{17}}}$	והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז
Check: this should be checked. Take 2-thirds of 12 and 12 parts of 17; the result is 8 and 8 parts of 17. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(12+\frac{12}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}$	ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז
Take also 3-quarters of 11 and 5 parts of 17; the result is also 8 and 8 parts of 17. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(11+\frac{5}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}$	עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה ג"כ ח' וח' חלקים מי"ז
Multiple Quantities - Boys Selling Eggs
234) Question: a man gives his seven sons eggs to sell and he gives the one half the other, i.e. if he gives the first 1, he gives the second 3, the forth 4, the fifth 5, the sixth 6 and the seventh 7. All of them will sell the same way the first one sells, and each will receive the same amount of money. I wish to know: how much money will each of them receive and how will they sell [the eggs]? $\scriptstyle a_1=2a_2=3a_3=4a_4=5a_5=6a_6=7a_7$	רלד)‫^[163] שאלה אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז‫' ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' ‫^[164]כמו האחר ארצה לדעת כמה ממון נתן לכל א' וא' ובאיזה אופן מכרו
The way is that you multiply 7 by 2; it is 14. Add 1; it is 15 and this is the number of eggs of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(7\sdot2\right)=1+14=15}}$	הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון
Add 15 to it; it is 30 and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{15+15=30}}$	שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב‫'
Add 15 to it; it is 45 and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{15+30=45}}$	שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג‫'
Add 15 to it; it is 60 and this is the share of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{15+45=60}}$	שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד‫'
The other is 75. $\scriptstyle{\color{blue}{15+60=75}}$	והאחר ע"ה
The other is 90. $\scriptstyle{\color{blue}{15+75=90}}$	והאחר צ‫'
The other is 105. $\scriptstyle{\color{blue}{15+95=105}}$	והאחר ק"ה
To know how they sold take the greater part of 15, which is 8, and this is [the number of eggs] they sold for one pašuṭ.	ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט
The first had 7 left and he sold each for 2 pešuṭim. $\scriptstyle{\color{blue}{15-8=7}}$	והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא‫'
The money of one is the same as the other's, so you find that the money of each is 15.	וכך מעות נשא הא' כמו האחר [ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו
Deduce from this.	ותקיש על זה]‫^[165]
235) Question: if it is said that the sons are three and he gives the one a given number, the second - the same given number plus three times of it, the third - the given number plus 6 times the given number [etc.]. The same as one sells so does the other. How much does each have and how will he sell it?	רלה)‫^[166] שאלה ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א' מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח ובאופן שמכר הא' ימכור האחר כמה לכל א' ובאיזה אופן מכרו
The excess of the second over the first should be multiplied by the number of the sons.	ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים
It is known that the sons are three and the second exceeds the first by 3, plus the given number it is 4.	וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד‫'
Multiply 3 by 4; it is 12.	כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
Add 1 to it; it is 13.	תוסיף בו א' ויהיו י"ג
Subtract the number of the sons from 13, because the number of the sons should always be subtracted from the sum; 10 remains. So, he sold 10 for one pašuṭ. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]-3=\left(12+1\right)-3=13-3=10}}$	תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט
If you want to know for what price he sold the remaining three, you already know that the second has 4 times as much as the first has plus the given number. So, he sold each of the three for 4 pešuṭim.	ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א' מהג' מכר ד' פשוטים
If the second had 5 times as much as the first, he would sell each for 5 pešuṭim, and if 6, for 6.	ואם היה מוסיף השני על הראשון ה' פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו‫'
Find the Volume - Suit
236) Question: a man wants to make a suit from a cloth that is 5 spans wide, which will contain 14 spans, and he wants to make another suit from a cloth that is 4 spans wide. How many spans will he include in it?	רלו)‫^[167] שאלה אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות כמה זרתות ישים בו
Subtract 4 from 5; 1 remains.	תוציא ד' מה' נשאר א‫'
Divide 14 by 4; it is 3 and a half.	תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי
Add it to 14; it is 17 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{14+\frac{14}{4}=14+\left(3+\frac{1}{2}\right)=17+\frac{1}{2}}}$	תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי
Hence, 17 spans and a half should be taken from the other cloth.	הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז זרתות וחצי
Check: to check it, multiply 14 by 5; it is 70.	ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע‫'
Multiply also 4 by 17 and a half; it is 70. $\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot5=70=4\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)}}$	עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע‫'
Currency Problem - Magen - Peraḥ
237) Question: a man owes his friend 4 hundred minyanim. Each magen is worth 33 grossi; and 12 grossi are worth 1 peraḥ. The owner of the money demands his 4 hundred minyanim, but [his friend] replies that he has only peraḥim. I would like to know how many peraḥim he will receive.	רלז)‫^[168] שאלה איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים פרח א‫' ובעל הממון שואל ד' מאות מניניו והשיב כי אין לו כי אם פרחים אתאב לדעת כמה פרחים יקבל
The way is that you multiply 400 by 33; it is 13200.	הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות
Divide it by 12; you receive 1100 and this is the number of peraḥim he should receive. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400\sdot33}{12}=\frac{13200}{12}=1100}}$	וחלקם על ‫^[169]י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל
Simple Division Problem - Purse
238) Question: a number of people are walking along the road and find one purse with 100 minyanim. The first borrows 4 plus one sixth of the remainder, another 8 plus one sixth of the remainder, another 12 plus one sixth and so on. We would like to know how many boys are they, so that everyone gets the same number.	רלח)‫^[170] שאלה מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים הא' שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם נרצה לדעת כמה הם הבנים באופן שיגיע לכל א' מספר שוה
100 should be divided by 4; the result is 25.	ראוי לחלק ק' על ד' ויצא כ"ה
Extract its root; it is 5.	וקח שרשם והם ה‫'
Multiply it by 4; the result is 20 and this is what each should get. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{\frac{100}{4}}=4\sdot\sqrt{25}=4\sdot5=20}}$	כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא‫'
To know the number of boys, divide 100 by 20; you receive 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=5}}$	ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה‫'
Another way: subtract 1 from the number common to all, which is a sixth; 5 remains and this is the number of the boys. $\scriptstyle{\color{blue}{6-1=5}}$	דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א' וישאר ה' והוא סכום הבנים
To know the money of each, multiply 4 by 5, which is what the first takes without the sixth; the result is 20 and this is the amount of money. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון

Multiple Quantities Problem - Two Purses - Double False Position
239) Question: two people, each found a purse. The first said: if you give me a third of the money is your purse, I will give you a quarter of the money in my purse. So they did and we find that each one has 12. We ask: how much is in each purse? $\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{3}{4}b=12$	רלט)‫^[171] שאלה ב' בני אדם כל א' מצא כיס אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי וכן עשו ונמצא לכל א' י"ב נשאל כמה בכל כיס
False Position 1: We suppose that the one who gives a third of the money in his purse has 15.	נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו
Subtract 5, which is its third; 10 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=15-5=10}}$	חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י‫'
So, the second purse should have 8, so that he gives a quarter of 8, which is 2, to complete the 12 with the 10 that his friend has.	א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו
It is known that he received 5; with the 6 it is 11, so 1 is missing for 12.	וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א‫'
Say: 1 is missing for 15.	ותאמר בעד ט"ו חסר א‫'
False Position 2: look for another number. We suppose that there was 16 in the purse of the one who gives a third.	עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו
Subtract its third, which is 5 and a third; 10 and 2-thirds remains. $\scriptstyle{\color{blue}{16-\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)=16-\left(5+\frac{1}{3}\right)=10+\frac{2}{3}}}$	חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות
1 and a third are missing for 12. $\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(10+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}$	ויחסר עד י"ב א' ושליש
So the money of the second is 5 and a third.	א"כ ממון השני הוא ה' ושליש
Subtract the quarter, which is 1 and a third; 4 integers remain.	חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים
He received 5 [and a third]; so he has 9 and a third.	והוא קבל ה' א"כ יש לו ט' ושליש
2 and 2-thirds are missing for 12.	ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות
Say: 2 and 2-thirds are missing for the 16 we assumed.	ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות
Subtract 1, which is the deficiency of the first supposition, from 2 and 2-thirds; the remainder is 1 and 2-thirds.	א"כ הוצא א' שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א' וב' שלישיות
Multiply 16, which is the second supposition, by 1, which is the deficiency of the first supposition; it is 16.	אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א' שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו
Multiply also 15, which is the first supposition, by 2 and 2-thirds, which is the deficiency of the second supposition; the result is 40.	עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ‫'
Subtract 16 from 40; 24 remains.	הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד
Divide 24 by 1 and 2-thirds; the result is 14 and 2-fifths and this is what is in the purse of the one who gives a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[15\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)\right]-\left(16\sdot1\right)}{\left(2+\frac{2}{3}\right)-1}=\frac{40-16}{1+\frac{2}{3}}=\frac{24}{1+\frac{2}{3}}=14+\frac{2}{5}}}$	חלק כ"ד על א' וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש
In the purse of the one who gives a quarter there are 9 and 3-fifths.	וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית
Check it, because it is correct.	ותבחון אותו כי הוא צודק
Encounter Problem - Two Ants
240) Question: here is a straight cane. At its feet there is an ant that wants to go up and it walks 4 cubits and a fifth of the cane in one hour. At the top of the cane there is an ant that goes down and it goes down 6 cubits and a quarter of the cane in one hour. The length of the cane is 100 cubits. I ask: when will they meet each other?	רמ)‫^[172] שאלה בכאן מקל זקוף וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות ‫^[173]וחומש המקל בשעה אחת ובראש המקל העליון נמלה יורדת והנה תרד בשעה אחת ו' אמות ורביעית המקל ואורך המקל ק' אמות אשאל מתי ישיגו זה את זה
Divide 100 by 5; the result is twenty.	חלק ק' על ה' ויצא עשרים
Add 4 to it; it is 24.	תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד
Divide 100 by 4; the result is 2[5].	אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד
Add 6 to it; it is 3[1].	תוסיף בם ו' ויהיו ל‫'
Add 30 to 24; it is 54.	תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד
Divide 100 by 54; the result is 1 and [9] parts of [11] and this is the time they meet each other.	חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{\left(\frac{100}{5}+4\right)+\left(\frac{100}{4}+6\right)}=\frac{100}{\left(20+4\right)+\left(2{\color{red}{5}}+6\right)}=\frac{100}{24+3{\color{red}{1}}}=\frac{100}{5{\color{red}{5}}}=1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}}}$
Rule of Three: you can check it and say: if 1 is equal to 3[1], how much are 1 and [9] parts of [11] equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{1:31=\left(1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}\right):X}}$	ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה
You receive 5[6] and [4] parts of [11] and this is the distance of the one who walks 6 cubits and a quarter of the cane.	ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל
Say also: if 1 is equal to 24, how much are 1 and [9] parts of [11] equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{1:24=\left(1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}\right):X}}$	עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים
You receive 4[3] and [7] parts of [11] and this is the distance of the one who walks 4 cubits and a fifth of the cane.	ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל
The total is 100.	ובין הכל ק‫'
Simple Division Problem - Four Sons
241) Question: a man has four sons and he says that - the first will take a fifth of his money plus 20 minyanim; the second will take a fifth of what remains plus 40; the third [will take] a fifth of what remains plus 60; and the fourth [will take] a fifth of what remains plus 80. Each had the same share. We ask: how much was the amount of money of their father and how much is the share of each?	רמא)‫^[174] שאלה לאדם יש לו ד' בנים ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר והשני יקח החומש מהנשאר ומ' יותר והג' חומש הנשאר וס' יותר והד' חומש הנשאר ופ' יותר ולכלם היה חלק שוה נשאל כמה ממון אביהם וכמה חלק כל א' וא' מהם
$\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}x+20=\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)+40\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]+60\\&\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left[\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]\right]-60\right]\\&\scriptstyle+80\end{align}$
Take the addition of the last, which is 80, multiply it by 5, because each one takes a fifth; it is 400. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot80=400}}$	תקח תוספת האחרון שהוא פ' ותכפלם על ה' מצד כי כל א' שואל החומש ויהיו ד' מאות
The sons are four, so each one receives 100 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400}{4}=100}}$	והבנים ד' א"כ הגיע לכל א' ק' מנינים
Check: You can check it: subtract 20 from one hundred; 80 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{100-20=80}}$	ותוכל לבחון אותו [חסר ממאה]‫^[175] כ' נשארו פ‫'
A fifth of the remainder is 80; together they are a hundred, and this is what each one has. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+20=\left(\frac{1}{5}\sdot400\right)+20=80+20=100}}$	חומש הנשאר [הם פ' והם מאה]‫^[176] וכן לכל א' וא‫'
Partnership Problems - Three Partners
242) Question: three formed a partnership - the first contributed 2, the third 18, and the ratio of the money of the [first] to the money of the [second] is equal to the ratio of the money of the second to [the money of] the third. We wish to know how much did the second contribute?	רמב)‫^[177] שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם ב' והג' י"ח והנה יחס ממון הב' אל ממון הא' כיחס ממון הב' אל הג‫' נרצה לדעת כמה שם הב‫'
The money of the first should be multiplied by [the money of] the third. Extract its root, [which is 6], and it is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{2\sdot18}=6}}$	ראוי לכפול ממון הראשון נגד הג' וקח שרשם והוא ^ו ממון השני
Deduce from this.	ותקיש על זה
243) Question: three formed a partnership. The excess of the second over the first plus the excess of the third over the second is equal to the excess of the third over the first. The [amount of] money of the first is 3 and the [amount of] money of the third is 8. We wish to know how much is the [amount of] money of the second?	רמג)‫^[178] שאלה ג' עושים שותפות ומה שמוסיף הב' אל הא' עם מה שמוסיף הג' אל הב' הוא שוה אל מה שמוסיף הג' על הא‫' וממון הא' ג' וממון הג' ח' נרצה לדעת כמה ממון הב‫'
Multiply 3 by 8; the result is 24.	כפול ג' על ח' ויעלו כ"ד
Divide it by the sum of the money of the first and the third, which is 11; the result is 2 and 2 parts of 11.	חלקם על חבור ממון הא' והג' שהם י"א ויצאו ב' וב' חלקים מי"א
Multiply it by 2; it is 4 and 4 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=2\sdot\frac{3\sdot8}{3+8}=2\sdot\frac{24}{11}=2\sdot\left(2+\frac{2}{11}\right)=4+\frac{4}{11}}}$	וכפלם על ב' ויהיו ד' וד' חלקים מי"א
Check: you can check it.	ותוכל לבחון אותו
Because the difference between the first and the second is 1 and 4 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=\left(4+\frac{4}{11}\right)-3=1+\frac{4}{11}}}$	כי הפרש הא' אל הב' הוא א' וד' חלקים מי"א
The difference between the second and the third is 3 and 7 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=8-\left(4+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}$	וההפרש מהב' אל הג' הוא ג' וז' חלקים מי"א
Sum them up; it is 5 and so is the difference between the first and the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{11}\right)+\left(3+\frac{7}{11}\right)=5=8-3=a_3-a_1}}$	וחברם ויהיו ה' וכן הוא ההפרש מהא' אל הג‫'
244) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 8. We wish to know how much is the [amount of] money of the first?	רמד)‫^[179] שאלה ג' עושים שותפות [כנזכר לעיל]‫^[180] וממון הב' ד' וממון הג' ח‫' נרצה לדעת מהו ממון הראשון
Multiply the money of the second by [the money of] the third; it is 32.	כפול ממון הב' על הג' ויהיו ל"ב
Add the excess of the third over the second to the money of the third: the excess of the money of the [third] over the money of the [second] is 4; [together] they are 12.	ומה שמוסיף ג' על ב' תוסיף על ממון הג' ‫^[181]והנה מוסיף ממון הב' על ממון הג' ד' ויהיו י"ב
Divide 32 by 12; the result is 2 and 2-thirds and this is the money of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}=\frac{4\sdot8}{8+\left(8-4\right)}=\frac{32}{8+4}=\frac{32}{12}=2+\frac{2}{3}}}$	ותחלק ל"ב על י"ב ויצא ב' וב' שלישיות והוא ממון הא‫'
245) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the first is 6 and the [amount of] money of the second is 9. We wish to know how much is the [amount of] money of the third?	רמה)‫^[182] שאלה ג' עושים שותפות כנז' לעיל וממון הראשון ו' וממון השני ט‫' נרצה לדעת כמה ממון הג‫'
We multiply the money of the first, which is 6, by the money of the second, which is 9; it is 54.	הנה נכפול ממון הראשון שהוא ו' על ממון השני שהוא ט' ויהיו נ"ד
Then, we subtract the excess of the second number over the first number, the excess is 3, subtract it from the first number, which is 6; 3 remains.	אח"כ נסיר היתרון שיש מהמספר השני על המספר הראשון והיתרון הוא ג' ותפילם מהמספר הראשון שהוא ו' ונשארו ג‫'
Divide the 54 by 3; you receive 18 and this is the money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}=\frac{6\sdot9}{6-\left(9-6\right)}=\frac{54}{6-3}=\frac{54}{3}=18}}$	ותחלק אלו הנ"ד על ג' ויצא לך י"ח והוא ממון הג‫'
Check: you can check it.	ותוכל לבחון אותו
Because the second exceeds over the first by 3. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=9-6=3}}$	כי השני מוסיף על הראשון ג‫'
The third exceeds over the second by 9. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=18-9=9}}$	והג' מוסיף על הב' ט‫'
With 3; it is 12 and so the third, which is 18, exceeds over the first number, which is 6. $\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=18-6=a_3-a_1}}$	ועם הג' והנם י"ב וככה מוסיף השלישי שהוא י"ח על המספר הראשון שהוא ו‫'
Deduce from this.	ותקיש על זה
Multiple Quantities Problem - Four Purses
246) Question: four men found four purses. The ratio of the money of the first to [the money of] the second is the same as the ratio of the money of the third to [the money of] the fourth. The sum of the squares of the four amounts of money is 200. The money of the first is 2 and the money of the fourth is 12. We ask to know how much is the money of the second and the third.	רמו) שאלה ד' אנשים מצאו ד' כיסים וכפי יחס ממון הא' אל הב' כך יחס ממון הג' אל הד' וחבור מרובעי ממון מהד' כיסים עולה ב' מאות וממון הא' ב' וממון הד' י"ב נבקש לדעת מהו ממון הב' והג‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=200\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_4=12\end{cases}$
You must add 2 to 12; it is 14.	הנה יש לך לחבר ב' עם י"ב ויהיו י"ד
Its square is 196.	ומרובעו קצ"ו
4 is missing to 200.	ויחסר עד ב' מאות ד‫'
We extract its root; it is 2 and this is the excess of one of the two number over the other.	נקח שרשם והוא ב' והוא מה שמוסיף אחד מהב' מספרים על חבירו
$\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=\sqrt{200-\left(2+12\right)^2}=\sqrt{200-14^2}=\sqrt{200-196}=\sqrt{4}=2}}$
To know how much is each of the numbers, see how much is the difference between 2 and 12; it is ten.	ולדעת כמה הוא כל א' מהמספרים ראה ההפרש שיש בין ב' וי"ב והוא עשרה
Its square is 100.	ומרובעם ק‫'
Subtract it from 200; 100 remains.	ותפילם מב' מאות ונשארו ק‫'
Extract its root; it is 10 and this is the total money in the two purses.	וקח שרשם והוא י' והוא ממון כל הב' כיסים
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3=\sqrt{200-\left(12-2\right)^2}=\sqrt{200-10^2}=\sqrt{200-100}=\sqrt{100}=10}}$
We already said that one of the purses exceeds the other by 2. Therefore, we divide 10 into two parts, one of which exceeds the other by 2: one part is 4 and the other is 6. Thus, one purse has 4 and in the other 6.	וכבר אמרנו כי א' מהכיסים מוסיף על האחר ב' על כן נעשה מי' ב' חלקים אשר א' יעדיף על האחר ב' והנה החלק הא' הוא ד' והאחר ו' והנה בכיס א' ד' ובכיס אחר ו‫'
We still do not know if 4 is in the third purse of the fourth.	ועדין לא נדע אם ד' הוא בכיס ג' או ד‫'
Since we said that the ratio of the money of the [third] to [the money of] the [fourth] is the same as the ratio of the money of the first to [the money of] the second, the first purse has 2, the second purse has 4, the third purse has 6, and the fourth purse has 12. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1=2;\,a_2=4;\,a_3=6;\,a_4=12}}$	אך מצד שאמרנו כי יחס ממון השני אל הג' כיחס ממון הא' אל הב' הנה א"כ בכיס הא' ב' ובכיס הב' ד' ובכיס הג' ו' ובכיס הד' י"ב
Thus, the ratio of the first to the second is the same as the ratio of the third to the fourth.	וכפי יחס הא' אל הב' כן יחס הג' אל הד‫'
Partnership Problem - Four Partners
247) Question: four formed a partnership. The ratio of the [amount of] money of the first to the second is equal to the ratio of the third to the fourth. The sum of their squares is 125. The sum of the numbers is 21. The [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 6. We wish to know how much are the [amounts of] money of the first and the fourth?	רמז)‫^[183] שאלה ד' אנשים [עושים שותפות]‫^[184] ויחס ממון הראשון אל הב' כיחס הג' אל הד‫' וחבור ד' מרובעיהם עולה קכ"ה וחבור מספריהם עולה כ"א וממון הב' ד' וממון הג' ו‫' נרצה לדעת מהו ממון הא' והד‫'
We sum 4 and 6; it is 10.	הנה נחבר ד' וו' ויהיו י‫'
Its square is 100.	ומרובעם ק‫'
25 is missing to 125.	ויחסר לנו עד קכ"ה כ"ה
Its root is 5 and this is what remains from the money of the fourth after the money of the first is taken from it.	ושרשם ה' והוא מה שנשאר מממון הד' אחר שילקח ממנו סך ממון הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4-a_1&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(a_2+a_3\right)^2}=\sqrt{125-\left(4+6\right)^2}=\sqrt{125-10^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-100}=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}$
Now, sum up 6, 4, and 5; it is 15.	עתה תחבר ו' וד' וה' ויהיו ט"ו
6 is missing to 21.	ועד כ"א נחסר ו‫'
We divide it by 2; the result is 3. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{21-\left(6+4+5\right)}{2}=\frac{21-15}{2}=\frac{6}{2}=3}}$	נחלקם על ב' ויצא ג‫'
Add 3 to 5; it is 8 and this is the money of the fourth. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=5+3=8}}$	ושים ג' על ה' והנם ח' ‫^[185]והוא ממון הד‫'
The remaining 3 is the money of the first.	והג' שנשארו הוא ממון הראשון
Deduce from this.	ותקיש על זה
Find a Number Problem
248) Question: we have four numbers, such that the ratio of the first to the second is the same as the ratio of the third to the fourth, the sum of the four squares is 65, the first is 2, the second is 3, and the third is 4. I ask: how much is the fourth?	רמח) שאלה לנו ד' מספרים שיחס הא' אל הב' כיחס הג' אל הד' והד' מרובעים עולה ס"ה וממון הא' ב' וממון הב' ג' וממון הג' ד‫' אשאל כמה ממון הד‫'
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=65\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_2=3\\\scriptstyle a_3=4\end{cases}$
We take the two mean numbers, which are 3 and 4, and we sum them; they are 7.	הנה נקח הב' מספרים אמצעיים שהם ג' וד' ונחברם ויהיו ז‫'
Its square is 49.	ומרובעם מ"ט
16 is missing to 65.	ויחסר לנו עד ס"ה י"ו
We extract its root; it is 4.	נקח שרשם ויהיו ד‫'
Add the first to it, which is 2; they are 6 and this is the fourth.	תוסיף עליהם ממון הראשון שהוא ב' ויהיו ו' והוא ממון הד‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4&\scriptstyle=a_1+\sqrt{65-\left(a_2+a_3\right)^2}=2+\sqrt{65-\left(3+4\right)^2}=2+\sqrt{65-7^2}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{65-49}=2+\sqrt{16}=2+4=6\\\end{align}}}$
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
Currency Problem - Tapuaḥ-Pašuṭ - Double False Position
249) Question: if 4 tapuḥim plus 1 pašuṭ are equal to 8 pešuṭim minus 1 tapuaḥ, how much is the value of each tapuaḥ?	רמט) שאלה אם ד' תפוחים עם א' פשוט שוות ח' פשוטים פחות תפוח א‫' כמה ערך כל תפוח
We solve it by false position:	נעשה אותו עם פלצא פוסיסיאוני
False Position 1: we suppose the value of each tapuaḥ is 2 pešuṭim.	ונשים ערך כל תפוח ב' פשוטים
Plus 1, they are 9.	ועם א' ויהיו ט‫'
Subtract 2 from 8 pešuṭim; 6 remain.	תסיר מח' פשוטים ב' ונשארו ו‫'
3 are missing to 9.	ויחסר עד ט' ג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot4\right)+1\right]-\left[\left(2\sdot4\right)-\left(2\sdot1\right)\right]=\left(8+1\right)-\left(8-2\right)=9-6=3}}$
Say: 3 is missing for 2.	ותאמר בעד ב' חסר ג‫'
False Position 2: make another assumption: suppose the value of each tapuaḥ is 2 and a half.	שוב לעשות ערך אחר ושים ערך כל תפוח ב' וחצי
They are 10 plus 1; it is 11.	ויהיו י' ועם א' הנם י"א
Subtract 2 and a half from 8; 5 and a half remains.	תסיר מח' ב' וחצי וישארו ה' וחצי
Say: 5 and a half is missing for 2 and a half.	ותאמר בעד ב' וחצי יחסר ה' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]+1\right]-\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]-\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot1\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+1\right)-\left[8-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=11-\left(5+\frac{1}{2}\right)=5+\frac{1}{2}\\\end{align}}}$
Multiply the first value, which is 2, by what is missing for the second value, which is 5 and a half; it is 11.	אח"כ כפול הערך הא' שהוא ב' על מה שיחסר מהערך הב' שהוא ה' וחצי ויהיו י"א
Multiply 2 and a half, which is the second value, by 3, which is what is missing for the first value; it is 7 and a half.	אח"כ כפול ב' וחצי שהוא הערך הב' על ג' שהוא מה שחסר מהערך הא' ויהיו ז' וחצי
Subtract 7 and a half from 11; 3 and a half remains.	הוצא מי"א ז' וחצי ונשארו ג' וחצי
Subtract what is missing for the first value, which is 3, from what is missing for the second value, which is 5 and a half; 2 and a half remains.	אח"כ הוצא מה שחסר הערך הא' שהוא ג' ממה שחסר הערך הב' שהוא ה' וחצי ונשארו ב' וחצי
Divide 3 and a half by 2 and a half; you receive 1 integer and 2-fifths and this is the value of each tapuaḥ.	אח"כ חלק ג' וחצי על ב' וחצי ויצא לך א' שלם וב' חמישיות והוא ערך כל תפוח
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[2\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot3\right]}{\left(5+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{11-\left(7+\frac{1}{2}\right)}{2+\frac{1}{2}}=\frac{3+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=1+\frac{2}{5}}}$
Check: because the 4 are equal to 5 and 3-fifths; plus 1 they are 6 and 3-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(1+\frac{2}{5}\right)\right]+1=\left(5+\frac{3}{5}\right)+1=6+\frac{3}{5}}}$	כי הד' שוות ה' וג' חמישיות עם א' ויהיו ו' וג' חמישיות
Subtract the value of one tapuaḥ from 8 pešuṭim; 6 and 3-fifths remain also. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(1+\frac{2}{5}\right)=6+\frac{3}{5}}}$	אח"כ חסר מח' פשוטים ערך א' תפוח וישאר ג"כ ו' וג' חמישיות
Deduce from this.	ותקיש על זה
To and From Problem - Ant Climbing
250) Question: if an ant climbs 2-thirds every day and goes down 7 parts of 12 at night, in how many days it will climb ten units?	רנ)‫^[186] שאלה אם נמלה עולה בכל יום ב' שלישיות ובלילה יורדת ז' חלקים מי"ב בכמה ימים יעלה עשרה שלמים
Know that most arithmeticians are wrong about it and say that it climbs up in 120 days exactly.	דע כי רוב החשבנים טועים בזה ואומרי' כי לא תעלה כי אם לק"כ ימים
Because 2-thirds of 12 are 8.	מצד כי ב' שלישיות י"ב הם ח‫'
subtract 7 from it; 1 remains.	תסיר מהם ז' ישאר א‫'
Multiply [12] by ten integers; it is 120. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)-7}\sdot10=\frac{12}{8-7}\sdot10=\frac{12}{1}\sdot10=120}}$	א"כ כפול א' חלק מי"ב על עשרה שלמים ויהיו ק"כ
But, this is a great mistake, because it is known that in 112 it climbs 9 and a third and on the next day it climbs 2-thirds, so it completes 10 [units] and since it [reaches ten] it does not go down.	והוא טעות גדול כי ידוע הוא כי בקי"ב ימים יעלה ט' ושליש וביום הבא יעלה ב' שלישיות וישלים למספר י' כי כיון שעלה לא ירד
$\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{3}\sdot112\right)-\left(\frac{7}{12}\sdot112\right)\right]+\frac{2}{3}=\left(9+\frac{1}{3}\right)+\frac{2}{3}=10}}$
This is the secret of the number 10.	והוא סוד במספר י‫'
Triangulation Problem - Two Birds
[2]51) Question: Here are two walls, one is 20 cubits high and the other is 10 cubits high. At the top of each wall a bird is standing. They want to take a mustard seed. The one is flying the same as the other. The distance between this wall and this wall is 8 cubits. I would like to know where the grain is.	קנא)^[187] שאלה הנה ^[188]בכאן ב' כותלים גובה הא' כ' אמות והאחרת י' אמות ובראש כל כותל עומד עוף ורוצים לקחת גרגיר חרדל וכ"כ מעופף הא' כמו האחר ומרחק כותל זה מכותל זה ח' אמות ארצה לדעת באיזה מקום הוא הגרגיר
You should multiply the height of the lower wall, which is 10, by the [difference], i.e. multiply 10 times 10.	ראוי לכפול גובה הכותל הנמוך שהוא י' על המרחק ר"ל שתכפול י' פעמי' י‫'
Then, we multiply 8 times 8; it is 64.	אח"כ נכפול ח' פעמי' ח' ויהיו ס"ד
With 100, it is 164.	ועם ק' ויהיו קס"ד
Extract its root; it is approximately 12 and 5-sixths. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}\approx12+\frac{5}{6}}}$	וקח שרשם ויהיו י"ב וה' שישיות בקרוב
But, you cannot say that it is on the ground, because from the top of the lower wall to the top of the higher wall it is the diagonal, which is only 12 and 5-sixths and from the foot of the higher to its top it is 20, so it is not the same number.	ולא תוכל לומ' כי הוא בקרקע כי מראש הכותל הקטן עד ראש הכותל הגדול שהוא האלכסון אין בו כי אם י"ב וה' שישיות ומרגל הגדול עד ראשו הוא כ' א"כ אין המספר שוה
Therefore, we draw a line from the top of the higher wall to the top of the lower wall, it is 12 and 5-sixths long.	לכן נמשוך קו מראש הכותל העליון עד ראש הכותל הקטן ויהיו י"ב וה' שישיות באורך
We divide it by 2; the result is 6 and 5 parts of 12 and this is the place of the grain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+\frac{5}{6}}{2}=6+\frac{5}{12}}}$	ונחלקם על ב' ויצא ו' וה' חלקים מי"ב ואותו המקום הוא מקום הגרגיר
This is its shape:	וזה צורתו
Find a Number Problems
[2]52) Question: if you have 5 proportional numbers, the first is 3 and the fifth is 768, what is the second?	קנב) שאלה אם יש לך ה' מספרים מתיחסים הא' ג' והה' תשס"ח מהו השני
Multiply the first by the fifth; the result is 2304.	כפול הא' על הה' ויעלו אלפים וג' מאות וד‫'
Extract its root; it is 48 and this is the third number. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{3\sdot768}=\sqrt{2304}=48}}$	וקח שרשם והוא מ"ח ואלו הם המספר הג‫'
To know the second, multiply the first by the third; the result is 144.	ולדעת הב' כפול הא' על הג' ויעלו קמ"ד
Its root is 12 and this is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{3\sdot48}=\sqrt{144}=12}}$	ושרשם י"ב והוא הב‫'
So, the first is 3, the second is 12, the third is 48, the fourth is 192, and the fifth is 768. $\scriptstyle{\color{blue}{3;12;48;192;768}}$	א"כ הא' ג' והב' י"ב והג' מ"ח והד' קצ"ב והה' תשס"ח
253) Question: to know the second of six numbers, the first of which is a given number, and the sixth of which is a given number.	רנג) שאלה לדעת מו' מספרים שהא' הוא מספר מונח והו' הוא מספר מונח לדעת הב‫'
Divide the last by 15 and what remains is the second.	תחלק האחרון על ט"ו ומה שישאר הוא הב‫'
Example: we have six proportional numbers, the first of which is 2 and the sixth is 64.	דמיון יש לנו ו' מספרים מתיחסים שהראשון ב' והו' ס"ד
Divide 64 by 15; 4 remains and it is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_6\bmod15=64\bmod15=4}}$	חלק ס"ד על ט"ו ישארו ד' והוא הב‫'
You can find it with fractions also, by converting the last number into the fractions that are in the first, then divide the result by 15; the remainder is the second and it is the numerator of the fraction that is in the first.	גם תוכל לדעת עם שברים והוא שתעשה מהמספר האחרון השברים שיש בראשון והעולה חלק על ט"ו והנשאר הוא הב' והוא סך מהשבר שיש בראשון
Example: the first is 2-[eighths] and the sixth is 256 integers.	דמיון הראשון ב' שלישיות והו' רנ"ו שלמים
Convert 256 into eighths; it is 204[8].	תעשה מרנ"ו שמיניות ויהיו אלפים ומ"ד
Divide it by 15; 8 remains and this is the second. So, the second is 8-eighths, which is 1 integer.	חלקם על ט"ו וישארו ח' והוא השני הנה א"כ הב' הוא ח' שמיניות שהוא א' שלם
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_6\sdot8}{8}\bmod15=\frac{256\sdot8}{8}\bmod15=\frac{2048}{8}\bmod15=\frac{8}{8}=1}}$
Extraction of Cube Roots
254) Question: if you wish to know the cube number of any number you want, take the preceding [cube], take also the next [cube], and see the [difference] between the preceding and the following. See the [difference] between the preceding and the given number and add 1 always. Then, say that the result is the numerator of the [difference] between the preceding [cube] and the next [cube].	רנד) שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא ‫^[189]וראה מה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה שמן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א‫' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
Example: we wish to know the cube root of 15. $\scriptstyle\sqrt[3]{15}$	דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב ט"ו
The preceding [cube] is 8, the next [cube] is 27, and the difference is 19.	הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט
You find [the difference] between 8, which is the preceding [cube], [and] 15 is 7, add 1; it is 8.	ובין ח' שהוא הקודם הוא ט"ו ותמצא ז' תוסיף א' ויהיו ח‫'
Say that it is 8 parts of 19, i.e. the [cube] root of 15 is 2 and 8 parts of 19.	ותאמר כי הם ח' חלקים מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וח' חלקים מי"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{15}\approx2+\frac{\left(15-2^3\right)+1}{3^3-2^3}=2+\frac{\left(15-8\right)+1}{27-8}=2+\frac{7+1}{19}=2+\frac{8}{19}}}$
You can do the same with integers and fractions, by raising the integer with the fraction to the rank of thousands, i.e. by multiplying the number by a thousand, then taking the preceding [cube] and the next [cube], as we did with integers, and dividing the result by 10, which is the [cube] root [of 1000].	וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' שהוא השרש
Example: we wish to know [the cube] root of 1 and a half. $\scriptstyle\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}$	דמיון זה רצינו לדעת שרש א"נ א' וחצי
Multiply it by [a thousand]; [it is] 1500. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot1000=1500}}$	תכפלהו על א' וה' מאות
The preceding [cube] is 1331.	והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א
Its complement to 1500 is 169.	ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט
Add 1 to it; it is 170.	תוסיף בו א' ויהיו ק"ע
Then, see the next [cube], which is the cube of 12; it is 1728.	אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וז' מאות וכ"ח
You find the difference between the cube of 11 and the cube of 12 is 397.	והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שצ"ז
So, the result is 11 and 170 parts of 397.	א"כ היוצא הוא י"א וק"ע חלקים משצ"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1500}\approx11+\frac{\left(1500-11^3\right)+1}{12^3-11^3}=11+\frac{\left(1500-1331\right)+1}{1728-1331}=11+\frac{169+1}{397}=11+\frac{170}{397}}}$
Divide this number by 10 this way:	חלק זה המספר על י' בזה האופן
Multiply 397 by 10; it is 3970.	והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע‫'
Multiply also 397 by 11; it is 4[367].	גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ותק"ל
Divide it by 3970; you receive 1 and 56[7] parts of 3970, which are 56 parts of 39[7] [and 7 parts of 3970]	תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקי' מג' מאות וצ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[3]{1500}}{10}\approx\frac{11+\frac{170}{397}}{10}=\frac{\left(11\sdot397\right)+170}{397\sdot10}=\frac{4367+170}{3970}=1+\frac{567}{3970}=1+\frac{56}{397}+{\color{red}{\frac{7}{3970}}}}}$
If you wish to know [the cube root of] fractions alone, multiply the fraction by a thousand, then take the preceding and the next [cube] as mentioned.	ואם תרצה לדעת משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף אח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז‫'
Example: we wish to know the cube root of a half. $\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{2}}$	דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי
Multiply it by a thousand; it is 500. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot1000=500}}$	תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות
The preceding [cube] is 343 and its root is 7.	והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז‫'
The next [cube] is 512 and its root is 8.	והבא הוא תקי"ב ושרשם ח‫'
See [the difference] between 343 and 512; you find it is 169.	וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט
See also [the difference] between 343 and 500; you find it is 157.	עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז
Add 1 to it; it is 158	תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח
So, the result is 7 and 158 parts of 169.	א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{500}\approx7+\frac{\left(500-7^3\right)+1}{8^3-7^3}=7+\frac{\left(500-343\right)+1}{512-343}=7+\frac{157+1}{169}=7+\frac{158}{169}}}$
Divide this number by 10 and do it as follows:	תחלק זה המספר על י' ועשה כך
Multiply 169 by 10; it is 1690.	כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ‫'
Multiply also 7 times by 169; it is 1183.	גם כפול ~~אלף~~ ^ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקפ"ג
Add 158 to it; it is 1341.	תוסיף בם קנ"ח ויהיו אלף וג' מאות ומ"א
Then, say that the [cube] root of a half is 1341 parts of 1690.	א"כ תאמר כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[3]{500}}{10}\approx\frac{7+\frac{158}{169}}{10}=\frac{\left(7\sdot169\right)+158}{169\sdot10}=\frac{1183+158}{1690}=\frac{1341}{1690}}}$
Find a Number Problems - Proportional Numbers
255) Question: if you wish to know the second number among four proportional numbers, divide the fourth by the first and extract the cube root of the result, then multiply the resulting root by the first number and the product is the second [number]. $\scriptstyle a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1$	רנה) שאלה ‫^[190]אם תרצה לדעת המספר הב' מד' מספרים מתיחסים תחלק הד' על הא' ומהיוצא קח שרש מעוקבו אח"כ כפול השרש היוצא על המספר הראשון והיוצא הוא השני
Example: the first is 2 and the fourth is 16.	דמיון המספר הראשון ב' והד' י"ו
Divide 16 by 2; the result is 8.	חלק י"ו על ב' ויצא ח‫'
Extract its cube [root]; it is 2.	קח מעוקבו והוא ב‫'
Multiply 2 by 2; it is 4 and it is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}\sdot2=\sqrt[3]{8}\sdot2=2\sdot2=4}}$	כפול ב' על ב' והוא ד' והוא השני
You can also know it from the fractions, by converting the last number into fractions, as they are in the first, then proceed by the way of fractions.	כן תוכל לדעת מן השברים והוא שתעשה מהמספר האחרון שברים כמו שהם בראשון ותעשה בדרך השברים
Example: the first is 3-quarters and the last is 6 integers.	דמיון הראשון ג' רביעיות והאחרון ו' שלמים
Convert the 6 into quarters; they are 24. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=6=\frac{24}{4}}}$	תעשה מהו' רביעיות ויהיו כ"ד
Divide it by 3, because it is said that the first is 3-quarters; the result is 6 and they are quarters.	תחלקם על ג' מצד שאמר כי הראשון ג' רביעיות ויצא ו' והם רביעיות
So, the second is 6-quarters, which is 1 and a half.	הנה א"כ השני הוא ו' רביעיות והוא א' וחצי
$\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1=\sqrt[3]{\frac{\frac{24}{4}}{\frac{3}{4}}}\sdot\frac{3}{4}=\sqrt[3]{8}\sdot\frac{3}{4}=2\sdot\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}$
256) Question: if you wish to know the mean number among an odd [number of terms], multiply the first by the last and the result is the mean.	רנו) שאלה אם תרצה לדעת המספר האמצעי מהנפרדים כפול הא' על האחרון ויצא לך האמצעי
Example: we have three proportional numbers, the first is 2, and the third is 18.	דמיון יש לנו ג' מספרים מתיחסים הראשון ב' והג' י"ח
Multiply 2 by 18; the result is 36.	כפול ב' על י"ח ויעלו ל"ו
Extract its root; it is 6, which is the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{2\sdot18}=\sqrt{36}=6}}$	וקח שרשם והוא ו' שהוא הב‫'
257) Example of five numbers: the first is 3 and the last is 48.	רנז) דמיון מה' מספרים הראשון ג' והאחרון מ"ח
Multiply 3 by 48; the result is 144.	כפול ג' על מ"ח ויצא קמ"ד
Its root is 12 and this is the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{3\sdot48}=\sqrt{144}=12}}$	ושרשם י"ב והוא האמצעי
The first is 3; the second is 6; the third is 12; the fourth is 24; the fifth is 48. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=3;\,a_2=6;\,a_3=12;\,a_4=24;\,a_5=48}}$	שהא' ג' והב' ו' והג' י"ב והד' כ"ד והה' מ"ח
258) Question of seven numbers: the first is 1 and the last is 729.	רנח) שאלה מז' מספרים הראשון א' והאחרון תשכ"ט
Multiply 1 by 729; it is 729.	כפול א' על תשכ"ט ויהיו תשכ"ט
Its root is [27] and this is the mean. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\sqrt{a_1\sdot a_7}=\sqrt{1\sdot729}=\sqrt{729}=27}}$	ושרשם ו' והוא האמצעי
The first is 1; the second is 3; the third is 9; the fourth is 27; the fifth is 81; the sixth is 243; the seventh is 729.	והנה הראשון א' והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז והה' פ"א והו' רמ"ג והז' תשכ"ט
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1;\,a_2=3;\,a_3=9;\,a_4=27;\,a_5=81;\,a_6=243;\,a_7=729}}$
Likewise, you can do with nine, or eleven, or thirteen numbers and you will find the mean.	וכן תוכל לעשות מט' או י"א או י"ג מספרים לעולם תמצא האמצעי
You can do the same with fractions.	וכן תוכל לעשות בשברים
259) Question of seven numbers with fractions: the first is an eighth and the seventh is 91 integers and an eighth.	רנט) שאלה משברים מז' מספרים הראשון א' שמינית והז' צ"א שלמים ושמינית
Multiply 91 and an eighth by 8: since the first is an eighth, convert the 91 and an eighth into eighths; you receive 729-eighths.	כפול צ"א ושמינית על ח' מצד כי הראשון הוא א' שמין ר"ל תעשה מהצ"א ושמין שמיניות ויצא לך תשכ"ט שמיניות
Multiply 1, which is the first, by 729; the result is 729.	כפול א' שהוא הא' על תשכ"ט ויצא תשכ"ט
Extract its root; it is 27, and they are eighths, because we made the 729[-eighths] eighths. So, the mean is 27-eighths. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\sqrt{a_1\sdot a_7}=\sqrt{\frac{1}{8}\sdot\left(91+\frac{1}{8}\right)}=\sqrt{\frac{1}{8}\sdot\frac{729}{8}}=\frac{27}{8}}}$	וקח שרשם והם כ"ז ויהיו שמיניות מצד כי עשינו שמיניות מכל התשכ"ט א"כ האמצעי הוא כ"ז שמיניות
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
Guessing Problem - Distance
260) Question: If you wish to know a width of a river, or a land, or any distance you want, put on your head a hat called cappello and go to the river bank or the place you want to know its length.	רס) שאלה אם תרצה לדעת רוחב נהר או ארץ או איזה מרחק שתרצה שים על ראשך מגבעת נקרא קאפילו ‫^[191]ראשו ולך אצל שפת הנהר או המקום שתרצה לדעת ארכו
Take a stick, whose length is from the ground until its top reaches under your neck in such a way that you cannot sink down or rise up.	וקח המקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחר תחת צואריך באופן שלא תוכל להעמק שאולה או הגבה למעלה
Then do it in such a way that the cappello is close to your eyes and when you see your self that the cappello reaches to the other end from the distance, that is, when you look up to the end of the river and you cannot see anymore, because the cappello's shadow prevents you from seeing any further, then turn your face to the other side.	אח"כ עשה באופן שהקפילו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לפי הנראה לך שהקפילו יגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד סוף הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפילו יעיק צלו שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר
For example, if the river is on the east side, turn your face to the west side, that is, behind you and make your feet stand in the exact same place they stood when you were facing the river.	המשל אם הנהר לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו רגליו כלפי הנהר
Look again and see as far as the place you can reach with your sight.	והסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל לראות בעין ראותך
Then, go measure from your position as far as you could see and that is the distance from the river.	ואח"כ לך למדוד ממעמדך וממצבך עד המקום שיכולת לראותו כך הוא מרחק מהנהר
But, the river and the distance must be in a flat plane.	אך צריך שיעמוד הנהר בעמק שוה והמרחק ג"כ
This method is by trick, not by arithmetic and geometry.	וזה הדרך הוא על צד התחבולה לא בדרך מספר והנדסה
Proportional Division - Promissory Note
Questions by Borgoto of Venice [= Piero Borgi?]‫^[192]	שאלות בורגוטו מויניסיאה
[261]) Question: A man is indebted to four people: for one - 4 minyanim, for another - 6, for another - 8, and for another 12. The man died and only 24 minyanim were found in all his possessions. We would like to know how much will each take according to the money he had to receive in Venice.	‫[רסא]) שאלה איש אחד מחוייב לד' בני אדם לא' ד' מנינים ולאחר ו' ולאחר ח' ולאחר י"ב ומת האיש ההוא ולא נמצא בכל נכסיו כי אם כ"ד מנינים נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא' כפי הממון שהיה לו לקבל
Sum up all their money, which is 30.	תחבר כל ממונם והוא ל‫'
Then, multiply the money of the first, which is 4, by 24 and divide by 30; the result is 3 integers and 6 parts of 30. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{4\sdot24}{4+6+8+12}=\frac{4\sdot24}{30}=3+\frac{6}{30}}}$	אח"כ כפול ממון הראשון שהוא ד' על כ"ד וחלק על ל' ויצא ג' שלמים וו' חלקים מל‫'
Do the same for the second; he gets 4 and 24 parts of 30. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=4+\frac{24}{30}}}$	וכן תעשה לב' ויגיע לו ד' וכ"ד חלקים מל‫'
The third gets 6 and 12 parts of 30. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6+\frac{12}{30}}}$	ולג' יגיע ו' וי"ב חלקים מל‫'
The fourth [gets] 9 and 18 parts of 30. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=9+\frac{18}{30}}}$	ולד' ט' וי"ח חלקים מל‫'
Check: to check it sum up all their money; the result is 24.	ולבחון אותו חבר כל ממונם ויעלה כ"ד
$\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=\left(3+\frac{6}{30}\right)+\left(4+\frac{24}{30}\right)+\left(6+\frac{12}{30}\right)+\left(9+\frac{18}{30}\right)=24}}$
Partnership Problems
262) Question: 5 people made a boat and agreed that from what they would earn, one would take 3 for each hundred, the second 2, the third 4, the fourth 5 and the fifth 6; and they spent 30 to repair the ship. How much will each pay according to ratio of the profit due to each?	רסב) שאלה ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' והאחר ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו‫' ופזרו לתקן האניה ל‫' כמה יפרע כל א' לפי יחס הריוח המגיע לכל א' וא‫'
Sum up all their money; it is 20.	תחבר כל ממונם ויהיו כ‫'
Then, multiply the first by 30 and divide by 20; he pays 3. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{2\sdot30}{2+3+4+5+6}=\frac{2\sdot30}{20}=3}}$	אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג‫'
Do the same for the second; he pays 4 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=4+\frac{1}{2}}}$	וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי
The third [pays] 6. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6}}$	והג' ו‫'
The fourth [pays] 7 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{a_4=7+\frac{1}{2}}}$	והד' ז' וחצי
The fifth [pays] 9. $\scriptstyle{\color{blue}{a_5=9}}$	והה' ט‫'
263) Question: three people formed a partnership. The first contributed 3 minyanim and stayed in the partnership 2 months. The second contributed 4 minyanim and stayed in the partnership 5 months. The third contributed 2 minyanim and stayed in the partnership 9 months. They earned 25 minyanim. How much is owed to each?	רסג) שאלה ג' בני אדם עושים שותפות הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים והאחר שם ד' מנינים ועומדו בשותפות ‫^[193]ה' חדשים והאחר שם ב' מנינים ועמד בשותפות ט' חדשים והרויחו כ"ה מנינים כמה יגיע לכל א‫'
The money of each should be multiply by the [number of] months:	ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים
We multiply 2 by 3; it is 6 and it is for the first. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}$	והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון
Do the same for the second; it is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}$	כן תעשה מהב' ויהיו כ‫'
Also for the third; it is 18. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot9=18}}$	וכן מהג' ויהיו י"ח
The total is 44. $\scriptstyle{\color{blue}{6+20+18=44}}$	ובין הכל מ"ד
Then, multiply 6 by 25 and divide the product by 44; the result is 3 and 18 parts of 44 and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{6\sdot25}{44}=3+\frac{18}{44}}}$	אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון
Do the same for the second; he receives 11 and 16 parts [of] 44. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{20\sdot25}{44}=11+\frac{16}{44}}}$	כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים מ"ד
Do the same also for the third; the result is 10 and 10 parts of 44 and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{18\sdot25}{44}=10+\frac{10}{44}}}$	וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג‫'
264) Question: three people formed a partnership, they contributed 20 minyanim between the three of them and earned 30. The first is worthy of 4 minyanim from the profit and the second [is worthy of] 6. How much is owed to the third and how much was the amount of money of each?	רסד) שאלה ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל‫' ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו‫' כמה יגיע לג' וכמה היה ממון כל א' וא‫'
4 should be added to 6; it is 10.	הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י‫'
Subtract it from 300; 20 remains and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(4+6\right)=30-10=20}}$	תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג‫'
To know how much each one contributed, do as follows:	ולדעת כמה שם כל א' וא' תעשה כן
Rule of Three: say: if all 30 minyanim, which is the profit of the three, gives me 20, which is the money of the three, how much will 4, which is the profit of the first, give me? $\scriptstyle{\color{blue}{30:20=4:x_1}}$	תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון
Multiply 4 by 20 and divide by 30; the result is 2 and 2-thirds and this is what the first contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{4\sdot20}{30}=2+\frac{2}{3}}}$	כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא‫'
The money of the second was 4. $\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{6\sdot20}{30}=4}}$	וממון הב' היה ד‫'
The money of the third was 13 and a third. $\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{20\sdot20}{30}=13+\frac{1}{3}}}$	וממון הג' היה י"ג ושליש
Check: Sum them up; it is 20 and this is the total amount of money the three contributed together. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{3}\right)+4+\left(13+\frac{1}{3}\right)=20}}$	וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן
265) Question: three formed a partnership. The first contributed 117 minyanim; the second contributed 83 [minyanim]; as for the third - I do not know how much [he contributed]. They earned 319 and the share of the third is 124 minyanim [of the profit]. I ask: how much did he contribute to the partnership.	רסה) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה והרויחו שי"ט וחלק הג' הוא קכ"ד מניני‫' אשאל כמה שם בשותפות
You should subtract the profit of the third from the total profit; 195 still remains. $\scriptstyle{\color{blue}{319-124=195}}$	הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה
So, the two earned only 195 minyanim.	א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים
Now, add what the first contributed to what the second contributed; it is 200. $\scriptstyle{\color{blue}{117+83=200}}$	ועתה תחבר מה ששם הא' עם מה ששם הב' ויהיו ר‫'
Rule of Three: then, say: if two hundred is needed to earn 195 minyanim, how much should the fund be in order to earn 124? $\scriptstyle{\color{blue}{195:200=124:X}}$	אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד
Multiply 124 by two hundred and divide the result by 195; you receive 127 integers and 35 parts of 195 and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{124\sdot200}{195}=127+\frac{35}{195}}}$	כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי
266) Question: three formed a partnership. The first contributed 56 minyanim and stayed in the partnership 5 months. The second contributed an unknown amount and stayed in the partnership 8 months. The third contributed a pearl and stayed in the partnership ten months. They earned 86 minyanim. The share owed to the first is 20; to the second 12; and to the third 54. I ask: how much did the second contribute and how much is the value of pearl of the third?	רסו) שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים והשני שם סך נעלם ועמד בשותפות ח' חדשים והג' שם מרגלית אחת ועמדה בשותפות עשרה חדשים והרויחו בין כלם פ"ו מנינים והראשון מגיע לחלקו כ' ולשני י"ב ולג' נ"ד אשאל כמה שם השני וכמה סך מרגלית הג‫'
The money of the first should be multiplied by the months. $\scriptstyle{\color{blue}{56\sdot5=280}}$	הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים
Rule of Three: then, say: if 20, which is the profit of the first, returns 280, how much does 12, which is the profit of the second return? $\scriptstyle{\color{blue}{20:280=12:X}}$	‫^[194]ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב‫'
You receive 168. $\scriptstyle{\color{blue}{X=168}}$	ויצא לך קס"ח
Divide 168 by the [number of] months the money of the [second] stayed [in the partnership], which is 8; the result is 21 and this is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{168}{8}=21}}$	אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני
To know how much is the price of the pearl of the third, multiply 54 by 280 and divide by 20; you receive 756. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54\sdot280}{20}=756}}$	ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו
Divide it by the months; you receive 75 and 6 parts of 10 and this is the price of the pearl. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{756}{10}=75+\frac{6}{10}}}$	וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית
267) Question: three formed a partnership. The first contributed 135 coins; the second 97; and the third 43. They earned 734 coins and the third got 294 coins. I wish to know how much the magen is worth?	רסז) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם קל"ה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג והרויחו תשל"ד מטבעים ולג' רצ"ד מטבעים ארצה לדעת כמה שווה המגן
Subtract the profit of the third, which is 294, from 734; the remainder is 440. $\scriptstyle{\color{blue}{734-294=440}}$	הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ
Then, add the money of the first to [the money of] the second; the result is [232]. $\scriptstyle{\color{blue}{135+97=232}}$	אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ
So, these two earned 440 coins.	א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים
Rule of Three: therefore, say: if 294 returns 43, how much does 440 return? $\scriptstyle{\color{blue}{294:43=440:X}}$	ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו
You receive 63 and 104 parts of 294. $\scriptstyle{\color{blue}{X=64+\frac{104}{294}}}$	ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד
Thus, the 232 coins that the first and the second have are worth 64 coins.	א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים
Rule of Three: to know how many coins each magen is worth, say: if 64 and 104 parts of 294 are equal to 232, how much is 1 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(64+\frac{104}{294}\right):232=1:X}}$	ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה
You receive 3 and some fractions.	ויצא לך ג' וחלקים מה
268) Question: three formed a partnership. The first contributed 2 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year]. The second contributed 3 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year]. The third contributed 4 minyanim at the first of the month of Shevat [= 5th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year]. What remained for each was kept [in the prartnership] until the [next] first of the month of Tishri They earned 20 minyanim. I ask how much did each earn?	רסח) שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן והאחר שם ג' מנינים ר"ח כסלו והוציא ר"ח טבת א' מגן והאחר שם ד' מנינים ר"ח שבט והוציא ר"ח אדר ב' מנינים ומה שנשאר לכל א' עמד ביחד עד ר"ח תשרי והרויחו כ' מנינים אשאל כמה הרויח כל א‫'
First, you should multiply the 2 minyanim of the first [by] the 12 months [from] the first of the month of Tishri, at which he contributed them, until the first of the next month of Tishri; it is 24.	הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד
Multiply the 1 he withdrew at the first of the month of Marheshvan, by the 11 [months] from the first of the month of Marheshvan until the first of the month of Tishri.	א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א
Subtract 11 from 24; the remainder is 13 and it is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot12\right)-\left(1\sdot11\right)=24-11=13}}$	הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא‫'
Multiply the money of the second by the months; it is 30, because the months are 10 and the money is 3.	וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג‫'
Multiply also the 1 magen he withdrew by the months, which are 9.	גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט‫'
Subtract 9 from 30; 21 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)-\left(1\sdot9\right)=30-9=21}}$	הוצא מל' ט' וישארו כ"א
Multiply the money of the third by the months; it is 32, because the money is 4 and the months are 8.	גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח‫'
Multiply also what he withdrew by the months; it is 14.	גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד
Subtract it from 32; 18 remains and this is the money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot8\right)-\left(2\sdot7\right)=32-14=18}}$	והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג‫'
So, say: three formed partnership: one contributed 13, another 21, and another 18. They earned 20. How much should each take?	א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ‫' כמה יקח כל א וא‫'
You already know the way.	וכבר ידעת הדרך
269) Question: three formed a partnership. The first contributed 4 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year]. The second contributed 5 minyanim at the first of the month of Marheshvan and added 4 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year]. The third contributed 3 minyanim at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year]. They stayed in the partnership from the first of the month of Tishri until the next first of the month of Tishri, i.e. a whole year, and earned 30 minyanim. How much should each take?	רסט)^[195] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים והב' שם ה' מנינים ר"ח מרחשון והוסיף ד' ‫^[196]מנינים ר"ח כסליו והאחר שם ג' מנינים ר"ח טבת והוציא ב' מנינים ר"ח אדר ועמדו בשותפות מר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא ר"ל שנה תמימה והרויחו ל' מנינים כמה יקח כל א' וא‫'
The money of the first should be multiplied by the months: he contributed 4 minyanim and they stayed 12 months. Multiply them; it is 48.	ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח
What he added should also be multiplied by the months: he added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan. So, multiply them by the months from Tishri, which are 11. Multiply them by 2; it is 22.	גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב
Add it to 48; it is 70 and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot12\right)+\left(2\sdot11\right)=48+22=70}}$	הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא‫'
Do the same for the second; it is 95. $\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5\sdot11\right)+\left(4\sdot10\right)}}=95}}$	וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה
Multiply the money of the third by the months; it is 27, because his money is 3 and the months are 9.	ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט‫'
Multiply also what he withdrew, which is 2, by the months, which are 7; it is 14.	גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד
Subtract it from 27; 13 remains and it is [the share of] the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot7\right)=27-14=13}}$	הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג‫'
Then, say: Three formed partnership: one contributed 70, another 95, and another 13. They earned 30. How much should each take?	אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל‫' כמה יקח כל א' וא‫'
The way is known.	והדרך נודע
270) Question: three formed a partnership - one contributed 65 minyanim, another 53, and another 38. They agreed to keep the partnership for 5 years and after the 5 years to divide the fund and the profit into three equal parts, so that each will take one part. They kept the partnership only 3 years and earned 123 minyanim. I ask how much should each take?	רע)^[197] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד והם לא עשו השותפות כי אם ג' שנים והרויחו קכ"ג מניני‫' אשאל כמה יקח כל אחד ואחד
You should do it this way: you already know that if they stay in the partnership, and they neither gain nor lose within 5 years, their money must be divided into three equal parts.	ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים
Therefore, we sum the money of the three; it is 156.	לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו
We divide it by 3; you receive 52 for each. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{65+53+38}{3}=\frac{156}{3}=52}}$	נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד
This way, the first, who contributed 65 to the partnership, will lose 13. $\scriptstyle{\color{blue}{65-52=13}}$	ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג
The second, who contributed 53, will lose 1. $\scriptstyle{\color{blue}{53-52=1}}$	והב' שם נ"ג יפסיד א‫'
The [third], who contributed 38, will gain 14. $\scriptstyle{\color{blue}{52-38=14}}$	והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד
Rule of Three: now, you should say for the first: if in 5 years the first lost 13, how much will he lose in 3 years? $\scriptstyle{\color{blue}{5:13=3:x}}$	ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו [ב]כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים
The result is 5 and [4]-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{{\color{red}{4}}}{5}}}$	ויצא ז' וב' חמישיות
Subtract it from 65, which is his money; 57 and a fifth remain. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=65-\left(7+\frac{4}{5}\right)=57+\frac{1}{5}}}$	ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש
Rule of Three: for the second, say: if [in] 5 he lost 1, how much will he lose [in] 3? $\scriptstyle{\color{blue}{5:1=3:x}}$	ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד
The result is 3-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{5}}}$	ויצא ג' חמישיות
Subtract it from the money of the second; 52 and 2-fifths remain. $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=53-\frac{3}{5}=52+\frac{2}{5}}}$	תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות
Rule of Three: for the third, say: if 5 yields 14, how much will 3 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{5:14=3:x}}$	ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג‫'
You receive 8 and 2-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{2}{5}}}$	ויצא לך ח' וב' חמישיות
Add it to the money of the third; the result is 46 and 2-fifths. $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=38+\left(8+\frac{2}{5}\right)=46+\frac{2}{5}}}$	תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות
Now, add what is left for the first, the second, and the third; the result is 156. Divide by it. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{5}\right)+\left(52+\frac{2}{5}\right)+\left(46+\frac{2}{5}\right)=156}}$	ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק
To know how much each receives, add their profit, which is 123, to what still remains; it is 279. $\scriptstyle{\color{blue}{156+123=279}}$	ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט
Rule of Three: now, say: if 156, which is the fund of the three, gives me 279, which is the fund and the profit, what will 57 and a fifth, which is for the first, give me? $\scriptstyle{\color{blue}{156:279=\left(57+\frac{1}{5}\right):a_1}}$	עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון
You receive 102 and some fractions and this is what the first should take from the fund and the profit. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=102+{\color{red}{\frac{3}{10}}}}}$	ויצא לך ק"ב וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח
Do the same for the second; you receive 93 and some fractions from the fund and the profit. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=93+\ldots}}$	‫^[198]כן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח
Do the same for the third; you receive 8[2] and some fractions from the fund and the profit. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8{\color{red}{2}}+\ldots}}$	כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח
271) Question: two men formed a partnership - one contributed 80 minyanim and the other 20. They agreed that the owner of the 80 will take two thirds of the profit and the owner of the 20 [will take] a third of the profit. A third man came and said: if you want that I will join the partnership with you, I will contribute 120 minyanim and keep the ratio agreed by both of you. Eventually they earned 120 minyanim. I ask: how much will each take?	רעא)^[199] שאלה ב' אנשים עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ‫' והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח נזדמן שלישי ואמר אם תרצו כי אעשה שותפות עמכם אשים ק"כ מנינים ואעמוד כפי היחס המוסכם ביניכם ולבסוף הרויחו ק"כ מנינים אשאל כמה יקח כל א' וא‫'
This is the way: you already know that the money of the first was 80 and he should take 2-thirds of the profit.	הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח
Rule of Three: so, say: if 80 gives me 2-thirds, how much does 20, which is the money of the second, give? $\scriptstyle{\color{blue}{80:\frac{2}{3}=20:x}}$	ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו
You receive one-sixth. Keep it for the second. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{6}}}$	ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני
Rule of Three: say also: if 20 gives me a third, which he should take, how much does 80 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{20:\frac{1}{3}=80:x}}$	גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ‫'
You receive 1 and a third. Keep it for the first. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}$	ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון
Now, add 1 and a third to a sixth; it is 1 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(1+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{2}}}$	עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי
Add also 80 to 20; it is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{80+20=100}}$	גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק‫'
Rule of Three: then, say: if 100 gives me 1 and a half, how much will 120 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(1+\frac{1}{2}\right)=120:x}}$	אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ
You receive 1 and 4-fifths. Keep it for the third. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{4}{5}}}$	ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי
Then, look for a number that has a third, a sixth, and a fifth; the result is 90.	אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ‫'
Take 4-thirds of 90 for the first; you receive 120. Keep it for the first. $\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\frac{4}{3}\sdot90=120}}$	אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון
Take a sixth of 90; the result is 15. Keep it for the second. $\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{1}{6}\sdot90=15}}$	גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני
Take 9-fifths of 90; you receive 162. Keep it for the third. $\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\frac{9}{5}\sdot90=162}}$	גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי
Sum up these three numbers; it is 297. Divide by it. $\scriptstyle{\color{blue}{120+15+162=297}}$	אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק
Rule of Three: to know how much should each receive, say: if 297 gives me 500, which is the total profit, how much will 120, for the first, give me? $\scriptstyle{\color{blue}{297:500=120:a_1}}$	ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון
You receive [2]02 and some fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1={\color{red}{2}}02+\ldots}}$	ויצא לך ק"ב וחלקים
Rule of Three: for the second, say: if 297 gives me 500, how much will 15 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{297:500=15:a_2}}$	ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו
You receive 25 and some fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=25+\ldots}}$	ויצא לך כ"ה וחלקים
Rule of Three: for the third, say: if 297 gives me 500, how much will 162 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{297:500=162:a_3}}$	ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב
You receive 272 and some fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=272+\ldots}}$	ויצא לך רע"ב וחלקים
Examine and you will find [that it is true].	‫[ודוק ותשכח]‫^[200]
272) Question: three formed a partnership and earned a thousand golden coins - the first takes two thirds, the other takes four fifths, and the other takes five eighths. I ask: how much should each one have?	רעב)^[201] שאלה ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד
This is the way: you should look for a number that has a third, a fifth, and an eighth; you find 120.	הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ
Then, take 2-thirds, which is 80, for the first; 4-fifths, which is 96; and 5-eighths, which is 75. Sum them; the result is 251.	אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot120\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot120\right)=80+96+75=251}}$
Rule of Three: say: if 251 gives me 1000, how much will 80, for the second, give? $\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=80:a_1}}$	אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני
You receive 318 and some fractions. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=318+\ldots}}$	ויצא לך שי"ח וחלקים
Rule of Three: say also: if 251 gives me 1000, how much will 96 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=96:a_2}}$	גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו
You receive 381 [and some fractions] and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=382+\ldots}}$	ויצא לך שפ"ב והוא חלק הב‫'
Rule of Three: say also: if 251 gives 1000, how much will 75 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=75:a_3}}$	גם תאמ' ‫^[202]אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה
You receive 2[9]8 [and some fractions] and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=298+\ldots}}$	ויצא לך רס"ח וחלקים והוא חלק הג‫'
273) Question: three formed a partnership. The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year]. The second contributed 322 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first. The [third] contributed 22 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first. I wish to know how much did the second and the third contributed? They kept the partnership for a whole year and earned 600	רעג)^[203] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי והאחר שם שכ"ב ממון ר"ח מרחשון שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון והשני שם כ"ב ממון ר"ח כסליו שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון ג"כ ארצה לדעת כמה שם הב' והג‫' ועשו השותפות שנה תמימה והרויחו ו' מאות
This is the way: you already know that the money of the first was 100 and it stayed in the partnership a whole year. So, multiply 100 by the months, which are 12; it is 1200. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=100\sdot12=1200}}$	הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות
You also know that the money of the second stayed in the partnership 11 months. So, divide 1200 by 11; the result is the money of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{1200}{11}}}$	גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני
You also know that the money of the third stayed in the partnership 10 months. So, divide 1200 by 10; you receive the money of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{1200}{10}}}$	גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי
Check: to check it, if it is true, say: three formed a partnership. The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri The second contributed as owed to the second at the first of the month of Marheshvan. The third contributed as owed to the third at the first of the month of Kislev. They earned 600. How much should each take?	ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי והאחר מה שמגיע לשני ר"ח מרחשון והאחר מה שמגיע לג' ר"ח כסליו והרויחו ו' מאות כמה יקח כל א' וא‫'
You find that each one receives 200.	ותמצא כי לכל א' וא' יגיע ב' מאות
274) Question: three formed a partnership - one contributed 25 ducat, the other 17, and the [contribution] of the other is unknown, but the share owed to him is a third of what they earned. They earned 60 minyanim. We wish to know how much did the third contribute to the partnership?	רעד)^[204] שאלה ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו והרויחו ס' מנינים נרצה לדעת כמה שם השלישי בשותפות
This is the way: subtract a third from 60, which is the share of the third; the remainder is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}$	הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ‫'
Then, add 25 to [1]7; it is 42. So, 42 yields 40. $\scriptstyle{\color{blue}{25+{\color{red}{1}}7=42}}$	אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ‫'
Rule of Three: say: if to earn 40 the fund must be 42, how much must the fund be to earn 20? $\scriptstyle{\color{blue}{40:42=20:x}}$	א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ‫'
You receive 21 and this is what the third contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{x=21}}$	ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי
Check: to check it say: three formed a partnership - the first contributed 25, the second [contributed] 17, the third [contributed] 21, and they earned 60. How much should the third have?	ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס‫' כמה יגיע לשלישי
You receive 20 integers.	ויצא לך כ' שלמים
275) Question: three formed a partnership for a whole year. The first contributed 14 minyanim at the first of the month of March. The second contributed some money at the first of the month of June, so that the share owed to him is a third of what owed to the first. The third contributed some money at the first of the month of August, so that the share owed to him is a quarter of what owed to the first. I wish to know how much did the second and the third contributed?	רעה)^[205] שאלה ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרצו והאחר שם ממון ר"ח יונייו כ"כ שמגיע לחלקו שליש מה שמגיע לראשון והאחר שם ממון ר"ח אגושטו שמגיע לחלקו כמו רביעית מה שמגיע לראשון ארצה לדעת כמה שם הב' והג‫'
You already know that the money of the first is 14 and it stayed [in the partnership] 12 months. So, multiply 14 by 12; it is 168. $\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot12=168}}$	כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח
You already know that the money of the [second] stayed in the partnership 9 months.	וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים
Convert them into thirds; they are 27.	תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז
Divide 168 by 27; the result is 6 integers and 2-ninths and this is the money the second contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot168}{9}=\frac{168}{3\sdot9}=\frac{168}{27}=6+\frac{2}{9}}}$	אח"כ תחלק קס"ח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות וכך הוא ‫^[206]מה ששכם השני
To know how much the third contributed, you already know that his money stayed [in the partnership] 7 months.	ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים
Convert them into quarters, because [his share] is a quarter of the profit of the first; it is 28.	תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח
Divide 168 by 28; the result is 6 integers and this is what the third contributed. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot168}{7}=\frac{168}{4\sdot7}=\frac{168}{28}=6}}$	תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג‫'
Check: to check it say: three formed a partnership - The first contributed 14 and stayed in the partnership one year. The second contributed 6 and 2-ninths and stayed in the partnership 9 months. The third contributed 6 and stayed in the partnership 7 [months]. We suppose they earned 100.	ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה והאחר שם ו' וב' תשיעיות ועמד בשותפות ט' חדשים והאחר שם ו' ועמד בשותפות ז‫' ונניח כי הרויחו ק‫'
You find that the share of the second is exactly a third of the share of the first and the share of the third is exactly a quarter of the share of the first.	ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון
276) Question: three formed a partnership. The first took 12 of the profit for every hundered he contributed to the partnership. The second [took] 18 for every 100. The third [took] 30 for every hundred. They earned one thousand and 8 hundred. I ask: how much should each take and how much did each contribute to the partnership?	רעו) שאלה ג' עושים שותפות הא' שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח והשני עבור כל ק' י"ח והג' עבור כל מאה ל‫' והרויחו אלף וח' מאות אשאל כמה ראוי שיקח כל א' א' וכמה שם כל א' וא' בשותפות
One should sum 12, 18, and 30; it is 60. $\scriptstyle{\color{blue}{12+18+30=60}}$	הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס‫'
Then, take 100 for 12, 100 for 18, and 100 for 30; it is 300.	אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות
So, you should say that with 300 they earned 60.	א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס‫'
Rule of Three: say: if to earn 60 we need 300, how much do we need to earn 1800? $\scriptstyle{\color{blue}{60:300=1800:X}}$	א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות
The result is 900.	ויצא ט' אלפי‫'
Divide it by 3; you receive 3000 and this is what each had. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9000}{3}=3000}}$	חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא‫'
Rule of Three: to know how much each earned, say: if 100 yields 12, how much will 3000 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{100:12=3000:X}}$	ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו
You receive 360 and this is what the first earns.	יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון
Rule of Three: to know how much the second earned, say: if 100 yields 18, how much will 3000 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{100:18=3000:X}}$	ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים
You receive 540 and this is what the second earns.	ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב‫'
Rule of Three: to know how much the third earned, say: if 100 yields 30, how much will 3000 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{100:30=3000:X}}$	ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים
You receive 900.	ויצא לך ט' מאות
Check: The total is 1800. $\scriptstyle{\color{blue}{360+540+900=1800}}$	ובין הכל אלף וח' מאות
277) Question: two formed a partnership. The first cuntributed 80 minyanim and earned 25 for every hundred. The second cuntributed 60 and earned 20 for every hundred. They earned 36. I ask: how much should each take?	רעז) שאלה ב' עושים שותפות הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה והב' שם ס' ומרויח עבור כל מאה כ‫' והרויחו ל"ו אשאל כמה ראוי שיקח כל א' וא‫'
Rule of Three: do as follows: Say: if 100 yields 25, how much will 80 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{100:25=80:X}}$	כך תעשה תאמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו
You receive 20 for the first.	ויצא לך כ' והוא עבור הראשון
Rule of Three: for the second say: if 100 returns 20, how much will 60 return? $\scriptstyle{\color{blue}{100:20=60:X}}$	ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו
You receive 12.	ויצא לך י"ב
Now, sum 20 and 12; it is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{20+12=32}}$	‫[ועתה תחבר כ' וי"ב ויהיו ל"ב
Rule of Three: say: if 32 yields 36, how much will 20 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{32:36=20:X}}$	אח"כ תאמ' אם ל"ב נתנו ל"ו כמה יתן לו כ‫'
You receive 22 and a half and this is what the first earns.	ויצא לך כ"ב‫]‫^[207] וחצי והוא מה שהרויח הראשון
Rule of Three: say also: if 32 yields 36, [how much will 12 yield]? $\scriptstyle{\color{blue}{32:36=12:X}}$	עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו
You receive 13 and a half and this is what the second gets from the profit.	ויצא לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני
Check: to check it, add 22 and a half to 13 and a half; it is 36. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(22+\frac{1}{2}\right)+\left(13+\frac{1}{2}\right)=36}}$	ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג וחצי ויהיו ל"ו
Barter Problems
278) Question: Reuven has 200 liṭra of turmeric, the price of one liṭra is 9 carlini. Shimon has pepper, the price of one cargo [?] is 30 ducat in cash and he offer it for 35 in barter. I ask: if Shimon wants to buy all 200 [liṭra] of turmeric, by how much should he [= Reuven] raise the price as Shimon raised it from 30 to 35?	רעח)^[208] שאלה ראובן יש לו כרכום מאתים ליט' ‫^[209]וערך הליט' ט' קרליני ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה אשאל אם שמעון רוצה לקחת כל המאתים כרכום כמה ראוי שיעלה לו הערך כמו שהעלה לו ~~שלמ'~~ שמעון מל' עד ל"ה
The way is as follows: see how much is the cost of the 200 liṭra [of turmeric] at a price of 9 carlini; you find 180. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200\sdot9}{10}=180}}$	הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ
Rule of Three: Say: if 30 is equal to 35, how much is 180 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{30:35=180:x}}$	ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים
The result is 210; so he should raise [the price of 200 liṭra of turmeric in barter] from 180 to 210. $\scriptstyle{\color{blue}{x=210}}$	ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י
To know how many are the cargos [of pepper], I should divide 210 by 35; the result is 6 and this is the number of cargos that he should take. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{210}{35}=6}}$	ולדעת כמה משואות יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח
Check: To check it, multiply 6 by 30, which is the price in cash; the result is 180, which is the cost of the 200 liṭra at the original price, which is 9 carlini. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot30=180=\frac{200\sdot9}{10}}}$	ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני
279) Question: Reuven has wool that is worth 8 carlin for a liṭra in cash and in barter he wants 12 for a liṭra. He asks half of it in cash. The other half he wants to barter with Shimon who has pepper and sells one liṭra for 3 carlini. I ask: how much should be his price so that his friend will not cheat him? Reuven has 200 liṭra of wool. How many liṭra of pepper should he ask from Shimon?	רעט)^[210] שאלה ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני אשאל כמה ראוי שיעלה לו הערך כדי שלא ירמהו חבירו ולראובן יש לו מאתים ליט' צמר כמה ליט' פלפל ראוי שיבקש משמעון
Do as follows: take a half of 12 that he asks in cash; they are 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}$	תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו‫'
Subtract also 6 from 8, which is the price in cash; 2 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}$	גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב‫'
Rule of Three: Say: if 2 is equal to 6, how much is 3, which is the price of the pepper, equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{2:6=3:x}}$	לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה
You get 9 and for this a liṭra of pepper should be sold. $\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}$	ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל
Then, multiply 200 by 12 that he wants to sell in barter; the result is 2400. $\scriptstyle{\color{blue}{200\sdot12=2400}}$	אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות
Subtract a half of it, since he wants half in cash; it is 1200 and so he should receive in cash and 1200 he should receive from the pepper. $\scriptstyle{\color{blue}{2400-\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)=1200}}$	תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל
Rule of Three: To know how many liṭra they are, say: if 9, which is the price of a liṭra, yield one liṭra, i.e. for 9 carlin I buy one liṭra, how many would I buy for 1200? $\scriptstyle{\color{blue}{9:1=1200:x}}$	ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה
You get 133 and a third liṭra. So, the one who has wool gives 200 to the one who has pepper, and the one who has pepper gives 133 and a third liṭra to the one who has wool. $\scriptstyle{\color{blue}{x=133+\frac{1}{3}}}$	ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש
Check: To check it, multiply 133 and a third by 9; you get 1200.	ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים
Multiply also 200 by 6; the result is 1200. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(133+\frac{1}{3}\right)\sdot9=1200=200\sdot6}}$	גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים
280) Question: Reuven and Shimon want to barter. Reuven has silk that is worth 28 grossi for a liṭra in cash. Shimon has cloth that is worth 15 grossi for a canna in cash and in barter he offer it for 18. He wants to give his friend a quarter in cash. I ask: how many liṭra of silk should Reuven offer and for 234 liṭra of silk how much cloth should he receive?	רפ)^[211] שאלה ראובן ושמעון רוצים להחליף לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי ולשמעון יש ‫^[212]בגד שוה הקנה ט"ו גרושי במנוים ובחליפים משים אותם י"ח ורוצה לתת לחבירו הרביעית במעות מנויים אשאל כמה ראוי שישים ראובן הליט' מהמשי ובעבור רל"ד ליט' משי כמה בגד ראוי שיקבל
Since Shimon wants to give Reuven a quarter, you should add a number to the price of the canna of cloth this way:	הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה
You already know that he wants to give Reuven a quarter. See how much is above the line when you draw a quarter, like this:	כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה ‫ $\scriptstyle\frac{1}{4}$
You find 1 above. Subtract it from the number beneath the line, which is 4; 3 remains. Put 3 beneath the line and 1 above the line; it is a third. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}}}$	תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש
If he said he wants to give a third, subtract the 1, which is above the line, from the 3; 2 remains. Put 1 above the line; it is a half.	ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א' על הקו ויהיה חצי
When you apply this procedure, you find that when you subtract from the original price, to which you added what he wants to give in cash, the original price [remains]. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{n-1}}}$	וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון
The example in our question is that he wants 18 grossi for the canna and he wants to give a quarter in cash.	המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח גרושי מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים
You already found that the quarter returns a third. take a third of 18, which is 6, and add it to 18; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}$	וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
Subtract from it the quarter he wants in cash; 18 still remains and it is equal to the given number. $\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=18}}$	הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח
Another example: the price is 9 and he wants to give a third in cash.	דמיון אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים
You already found that the third return a half. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}}}$	וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי
Add a half to 9, which is 4 and a half; the result is 13 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=9+\left(4+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{2}}}$	הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי
Subtract from it the third he wants to give; 9 still remains, which is the same as the given number. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]=9}}$	הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח
Another example: the [price] is 9 and he wants to give 2-thirds in cash.	‫[דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות
Subtract the 2 above the line from the 3 beneath the line; only 1 remains beneath and 2 above. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3-2}=\frac{2}{1}}}$	הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב‫'
Add to the given number its double; it is 27. $\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(2\sdot9\right)=27}}$	תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז
Subtract 2-thirds from it; 9 remains and it is the given number. $\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(\frac{2}{3}\sdot27\right)=9}}$	תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח]‫^[213]
The price of the canna in our [question] is 15 [in cash] and in barter it is 18. [Its third] is 6. We add it to 15; it is 21. $\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=15+6=21}}$	והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א
We add it to 18 also; it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}$	גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
Rule of Three: now, you see that 21 returns 24, so you should say: if 21 returns 24 liṭra, how much is 28, which is the price of the silk, equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{21:24=28:x}}$	ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה
You receive 32 and this is the price of the liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{x=32}}$	ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט‫'
Rule of Three: to know how many canna of cloth he should give for 234 liṭra, say: if 24 is equal to 32, how much is 234 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{24:32=234:x}}$	ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים
You find that they are worth 312 ducat. $\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}$	ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי
Since Shimon wants to give a quarter in cash, you should take a quarter of 312, which is 78, and subtract it from 312; 2[3]4 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{312-\left(\frac{1}{4}\sdot312\right)=312-78=2{\color{red}{3}}4}}$	ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד
Rule of Three: now, say: if 18 grossi are equal to one canna, how many canna are 234 [ducat] equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{24}:1=234:x}}$	ועתה תאמר אם י"ח גסים שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים
You receive 312 that are canna of cloth and this is what Reuven should get from Shimon. $\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}$	ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון
Plus 78 minyanim in cash. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot312=78}}$	וע"ח מנינים בממון
Check: to check it, see how much are 234 liṭra of silk worth at the price of 28 in cash; the result is 273 minyanim.	ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח ‫^[214]שהיה [במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים
See also how much are 312 canna worth at the price of 15 in cash; you receive 195.	עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא]‫^[215] במעות מנויים ויצא לך קצ"ה
Add to it the 78 he paid; it is 273. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{234\sdot28}{24}=273=195+78=\frac{312\sdot15}{24}+78}}$	תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג
281) Question: two want to barter. One has [10] pieces of cloth, each piece is worth 15 minyanim in cash and 17 in barter and he wants to receive 50 ducat in cash. The other has barrels of oil, the price of a barrel is 60 in cash. I ask: how much should be the price and how many barrels should be given for 10 pieces of cloth?	רפא)^[216] שאלה שנים רוצים להחליף לאחד יש ב' חתיכות בגד ששוות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון והאחר יש לו חביות שמן ערך החבית בממון ס' דוקט‫' אשאל כמה ראוי שיעלה הערך ובעבור הי' חתיכות בגד כמה חביות ראוי שיתן
First, see how much the 10 pieces are worth in cash; you find it is 150. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150}}$	ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ
And how much they are worth in barter; it is 170. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot17=170}}$	וכמה שוות בחליפים והם ק"ע
Then, you should subtract the 50 he asks in cash from 170; 120 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{170-50=120}}$	אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ
Subtract it also from 150; the remainder is 100. $\scriptstyle{\color{blue}{150-50=100}}$	גם תוציאם מק"נ הנשאר ק‫'
So, say that 120 returns 100.	א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק‫'
Rule of Three: to know how much he should pay for a barrel of oil, say: if 100 returns 120, how much does 60 return? $\scriptstyle{\color{blue}{100:120=60:x}}$	ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס‫'
The result is 72 and this is price of a barrel of oil.	ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן
To know how much oil he will give for 10 pieces of [cloth]: you already know that they are worth 170 in barter and from this he asks for 50. Subtract 50 from 170; 120 remains and this is the [number of barrels of] oil he should [give] that is worth 120 in barter. $\scriptstyle{\color{blue}{x=170-50=120}}$	ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים
To know how [many measures] it should be, you already know that in each barrel there are one thousand measures.	ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות
Rule of Three: so, say: if 72 are equal to 1000 measures, how much are 120 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{72:1000=120:x}}$	ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות
The result is 1666 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1666+\frac{2}{3}}}$	ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות
Thus, you have already found that a barrel of oil is worth 72 in barter and for 10 pieces [of cloth] he should give 1666 and 2-thirds of a measure and the other will receive the oil as well as 50 minyanim in cash.	הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון
Check: to check it, see how much are 10 pieces [of cloth] worth in cash; it is 150 and this is what he gave to his friend.	ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו
See also how much he received, which is 1666 and 2-thirds at a price of 60, which is the original price; it is 100 and with the 50 he received in cash they are 150, which is equal to the reserved 150. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150=100+50=\frac{\left(1666+\frac{2}{3}\right)\sdot60}{1000}+50}}$	עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים
282) Question: two want to barter. One has silk. He wants to offer 10 grossi for a liṭra in barter and he wants to be given a fifth in cash. The other has cloth that worth 13 in cash and he must offer it now for 16 as his friend raised the [price of] silk. I ask: how much is the price of the silk in cash and in order to buy 100 liṭra of silk how much cloth should be given?	רפב)^[217] שאלה ב' רוצים להחליף לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון ולאחר יש בגד שוה בממון י"ג והוא מוכרח עתה לשים אותה י"ו כשם שהעלה חבירו המשי אשאל כמה ערך המשי בממון וכדי לקחת ק' ליט' משי כמה בגד ראוי שיתן
The way is as follows: you already know that the one who has cloth should raise the price from 13 to 16 and he has to give a fifth to his friend, so he should add a quarter of 16 to 16, because we have found that the fifth is a quarter according to the mentioned way; so it is 20. $\scriptstyle{\color{blue}{16+\left(\frac{1}{5-1}\sdot16\right)=16+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+4=20}}$	הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ‫'
Add also 4 to 13; it is 17. So, say that the one who has silk made 20 from 17. $\scriptstyle{\color{blue}{13+4=17}}$	גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן ‫^[218]תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ‫'
Rule of Three: to know how much a liṭra of silk is worth in cash, say: if 20 yields 17, how much does 10, which is the price of the liṭra in barter, yield? $\scriptstyle{\color{blue}{20:17=10:x}}$	ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים
The result is 8 and a half and so the liṭra [of silk] is worth in cash. $\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{1}{2}}}$	ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון
To know how much cloth he should receive for 100 liṭra [of silk]:	ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט‫'
Multiply 100 by 10; it is one thousand and since he wants a fifth in cash, subtract a fifth from a thousand; the remainder is 800 and this is what he should receive.	כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot10\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(100\sdot10\right)\right]=1000-\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=800}}$
Rule of Three: say: if 16 grossi are equal to one canna, how many canna are 800 grossi equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{16:1=800:x}}$	תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות
You receive 50.	ויצא לך נ‫'
Hence, a liṭra of silk is worth 8 grossi and a half and he should receive 50 canna of cloth for 100 liṭra of silk.	הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי
The rest, which is two hundred, he should receive [in cash]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=200}}$	והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים
Check: to check it, see how much are 100 liṭra [of silk] worth in cash; it is 850 grossi.	ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי
See also how much are 50 canna of cloth worth in cash, which is 13; the result is 650. Add 200 grossi; it is also 850. $\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(8+\frac{1}{2}\right)=850=650+200=\left(50\sdot13\right)+200}}$	עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ
283) Question: two barter. The first has cloth and he asks 8 for a canna in cash and 10 in barter. The other has silk and he asks 20 for a liṭra in cash and 24 in barter. I ask: who asks some part in cash and what part is he asking for?	רפג)^[219] שאלה שנים עושים חליפים הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י‫' והאחר יש לו משי ושואל מהליט' בממון כ' ובחלוף כ"ד אשאל מי הוא זה ששואל חלק מה מממון ואיזה חלק שואל השואל
You should do as follows: multiply 8, which is the price of the cloth in cash, by 24, which is the price of the silk in barter; it is 192. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot24=192}}$	ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב
Multiply also 10, which is the price of the cloth in barter, by 20, which is the price of the silk in cash; it is 200. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot20=200}}$	עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר‫'
Subtract 192 from 200; the remainder is 8. Keep it. $\scriptstyle{\color{blue}{200-192=8}}$	הוצא קצ"ב מר' הנשאר ח' ושמרם
Now, see who has more than his friend: the one who raises from 8 to 10, or the one who raises from 20 to 24. Do as follows:	עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד ותעשה כך
Rule of Three: say: if 8 gives me 10, how much will 20 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{8:10=20:x}}$	ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ‫'
You receive 25.	ויצא לך כ"ה
Therefore, the one who raises from 8 to 10 surpasses his friend, because according to the same ratio, his friend should receive 25.	א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה
So, you find that the one who raises from 20 to 24 asks for some part in cash, because his friend surpasses him.	א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו
To know how much he asks, see how much the one who surpasses his friend raises from cash to barter:	ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים
In cash it is 8 and in barter it is 10. So, you find that the excess of the barter over the cash is 2. $\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}$	והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב‫'
Now, divide by it the remainder from the two products we made, after we subtract the smaller from the greater. The remainder is 8 and you receive 4. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}$	עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד‫'
Divide the 4 by the price of the silk in barter, which is 24; you receive one sixth and this is the part of the cashed money that the owner of the silk asks for, i.e. he asks for a sixth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}=\frac{1}{6}}}$	וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית
Check: to check it, we suppose the owner of silk has 60 liṭra at a price of 24 grossi [for a liṭra], which is 60 ducat.	‫^[220]ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי
Since he asks for a sixth in cash, subtract a sixth from 60; the remainder is 50. So, he should receive 50 minyanim of the cloth of his friend and he should receive for these 50 minyanim 150 canna at a price of 10 grossi for a canna. $\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}$	ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה
See how much the silk and the cloth are worth in cash:	ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים
60 liṭra of silk in cash, which is 20 for every liṭra, are worth 50 minyanim.	והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים
Now, see how much are 120 canna [of cloth] worth in cash, which is 8 [for a canna]: the result is 40 minyanim. Add to them the ten minyanim he should receive in cash; they are 50 and they are equal to the other 50. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120\sdot8}{24}+10=40+10=50}}$	עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים
284) Question: two want to barter. One has ten pieces of cloth, each piece is worth 22 in cash and in barter he offer it for 30. He also has 100 liṭra of scarlet wool, each liṭra is worth 28 in cash and 34 in barter. He also wants to pay his friend 500 ducat. His friend has caryophyllus that is worth 7 grossi for a liṭra. He has also pepper that is worth 15 minyanim for 100 liṭra. He also has ginger that is worth 46 minyanim for one cargo in cash. I ask: for how much he should offer the pepper, the caryophyllus, and the ginger in barter, so that he will not be deceived by his friend, given that his friend asks for [pepper] that is worth 300, caryophyllus also 300, and from the [ginger] until it covers the price of what he wants to give to his friend.	רפד)^[221] שאלה ב' רוצים להחליף סחורה לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל‫' ועוד יש לו ק' ליט' מתולעת שני ששוה הליט' בממון כ"ח ובחלוף ל"ד גם רוצה לתת לחבירו ה' מאות דוק‫' ולחבירו יש לו גרופולי ששוה הליט' ז' גרושי וגם יש לו פלפל ששוה ט"ו מנינים הק' ליט‫' ועוד יש לו זנגביל ששוה המשוא במעות מ"ו מנינים אשאל כמה ראוי שישים ערך הפלפל והגרופולי והזנגביל לחליפים למען לא ירמהו חבירו וחבירו בעל הבגד שואל לו מהזנגביל שישוה ג' מאות ומהגרופולי ג"כ ג' מאות ומהפלפל עד תשלום מה שהוא רוצה לתת לחבירו אשאל כמה זנגביל וכמה פלפל וכמה גרופולי ראוי שיקבל
You should see how much are the 10 pieces of cloth worth in cash, which is 22 [for each piece]; you find it is 220. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot22=220}}$	ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ
See also how much they are worth in barter; you find it is 300. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot30=300}}$	גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות
See also how much are 100 liṭra of scarlet wool worth in cash, and how much they are worth in barter:	גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף
In cash, which is 28 [for each liṭra], they are worth 116 minyanim and 2-thirds, because 24 grossi are one ducat. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot28}{24}=116+\frac{2}{3}}}$	והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד
In barter, when the price is 34 grossi, they are worth 141 minyanim and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot34}{24}=141+\frac{2}{3}}}$	ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות
Now, add the price in cash of the 10 pieces [of cloth] to the price of the 100 liṭra of scarlet wool; they are 336 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{220+\left(116+\frac{2}{3}\right)=336+\frac{2}{3}}}$	עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות
Add the price in barter of the 10 pieces [of cloth] to the price of the 100 liṭra of scarlet wool; they are 441 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{300+\left(141+\frac{2}{3}\right)=441+\frac{2}{3}}}$	עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות
You see that he offers what is worth 336 and 2-thirds in cash for 441 and 2-thirds in barter.	והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות
Since he wants to give 500 in cash, we add it to 336 and 2-thirds; they are 836 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(336+\frac{2}{3}\right)=836+\frac{2}{3}}}$	ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות ‫^[222]בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות
Add it also to 441; it is 941 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(441+\frac{2}{3}\right)=941+\frac{2}{3}}}$	גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות
You see that from 836 and 2-thirds he gets 941 and 2-thirds.	והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות
To know how much should be the price of the caryophyllus in barter:	ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף
Rule of Three: say: if 836 and 2-thirds return 941 and 2-thirds, how much does 7, which is the price of a liṭra of caryophyllus return? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=7:x}}$	תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי
You receive 7 and 441 parts of 502. $\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{441}{502}}}$	ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב
To know how much should be the price of the pepper [in barter]:	ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל
Rule of Three: say: if 836 [and 2-thirds] return 941 and 2-thirds, how much do 100 liṭra return, when their price in cash is 15? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+{\color{red}{\frac{2}{3}}}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=15:x}}$	תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו
You receive 16 and 443 parts of 5[02]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}$	ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב
To know how much should be the price of the ginger [in barter]:	ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל
Rule of Three: say: if 836 and 2-thirds return 941 and 2-thirds, how much do 46 return, which is the price of one cargo in cash? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=46:x}}$	תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך המשוא במעות
You receive 51 and 388 parts of 5[0]2. $\scriptstyle{\color{blue}{x=51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}}}$	ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב
If you want to know how much caryophyllus, ginger, and pepper should be given for the cloth, the scarlet wool, and the 500 zehuvim:	ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים
You already know that the cloth is worth 300 in barter and the scarlet wool 141 and 2-thirds.	כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות
You also know that the total amount with the 500 is 941 and 2-thirds.	וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות
Since he wants caryophyllus that is worth 300 and pepper that is worth 300, add them up; they are 600.	ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות
Subtract it from 941 and 2-thirds; 341 and 2-thirds remain. So, he should receive from the ginger [an amount that] is worth 341 and 2-thirds.	תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(941+\frac{2}{3}\right)-\left(300+300\right)=\left(941+\frac{2}{3}\right)-600=341+\frac{2}{3}}}$
To know how much caryophyllus he should receive for 300 ducat:	ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק‫'
Rule of Three: say: if 7 grossi and 441 parts of 5[0]2 give me 1 liṭra, how much will 300 ducat give me? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}\right):1=24\sdot300:x}}$	תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט‫'
You get 913 and 697 parts of 791 and this is the number of liṭra he should receive. $\scriptstyle{\color{blue}{x=913+\frac{697}{791}}}$	ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל
To know how much pepper he should receive for 300 minyanim:	ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים
Rule of Three: say: if 16 minyanim [and 443 part of 502] give me 100 liṭra, how many liṭra will give me 300 ducat? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+{\color{red}{\frac{443}{502}}}\right):100=300:x}}$	תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק‫'
You get 1776 and 112 parts of 113 and this is the number of liṭra he should take. $\scriptstyle{\color{blue}{x=1776+\frac{112}{113}}}$	ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח
To know how much [ginger] he should receive for 341 and 2-thirds:	ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות
Rule of Three: say: if 51 minyanim and 388 parts of 5[02] give me one cargo, how much will 341 and 2-thirds give me?	תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}\right):\left(1\sdot400\right)=\left(341+\frac{2}{3}\right):x}}$
You get 2639 and 5717 parts of 77[9]7 and so he should take from the [ginger]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2639+\frac{5717}{7797}}}$	ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשס"ז וכך ראוי שיקבל [מהפלפל]‫^[223]
Check: to check it do as follows:	‫[ולבחון אותו תעשה ככה]‫^[224]
You already know that the caryophyllus is worth 7 and 441 [parts] of 5[0]2 for a liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}}}$	כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א ‫^[225]מתקי"ב
A liṭra of pepper should be worth 16 and 443 [parts] of 5[0]2. $\scriptstyle{\color{blue}{16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}$	וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג מתקי"ב
100 liṭra of [ginger] should be worth 51 and [3]88 parts of 502. $\scriptstyle{\color{blue}{51+\frac{{\color{red}{3}}88}{502}}}$	והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב
For 500 minyanim, ten pieces of cloth, and 100 liṭra of scarlet wool, 913 and 69[7] parts of 7[9]1 liṭra of caryophyllus are given. $\scriptstyle{\color{blue}{913+\frac{69{\color{red}{7}}}{791}}}$	ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשס"א [מהגרפולי‫]‫^[226]
As well as 1776 liṭra and 112 parts of 113 of [pepper]. $\scriptstyle{\color{blue}{1776+\frac{112}{113}}}$	ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל
And 2639 and 571[7] parts of 77[9]7 of [ginger]. $\scriptstyle{\color{blue}{2639+\frac{571{\color{red}{7}}}{77{\color{red}{9}}7}}}$	וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל
To see if this is correct, see how much caryophyllus he gave and see how much the 913 and the parts are worth in cash; you find that they are worth 266 ducat, 13 grossi and some parts.	ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים
See also for how much the 17[76] and some parts liṭra of pepper are sold in cash; you receive also 266 ducat, 13 grossi and some parts.	עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים
See also how much the 2639 and some parts [liṭra of ginger] are worth in cash; you receive 303 ducat, 1 grosso and some parts.	עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים
Add up these numbers; you receive 836 ducat and 16 grossi. Keep this number.	אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר
Then go to the other and see if [the price is the same]:	אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר
The 10 pieces of cloth are worth 22 minyanim is cash [each piece], so they are worth 220 minyanim.	והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים
Then, see how much the 100 liṭra of scarlet wool are worth in cash, at 28 grossi for a liṭra; you receive 116 ducat and 16 grossi.	אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' התולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו
Add 500 to them; the result is the same as the reserved number.	וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור
285) Question: two barter. One has 2000 liṭra of wax, 100 liṭra of which are worth [6] minyanim in cash. The other has thread, 100 liṭra of which are worth 8 minyanim in cash and 10 in barter and he asks for 500 minyanim in cash. I ask: how much should he offer for 100 liṭra of wax in barter and how much thread will he receive for the 500 minyanim and for the 2000 liṭra?	רפה)^[227] שאלה ב' עושים חלופים לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון ולאחר יש לו פתיל שהק' ליט' שוות בממון ח' מנינים ובחלוף שוה עשרה ושואל ת"ק מנינים בממון אשאל כמה ראוי שישים הק' ליט' משעוה לחלוף וכמה פתיל יקבל עבור הת"ק מנינים ובעבור האלפים ליט‫'
Do as follows: see how much the 2000 liṭra are worth at a price of 6 minyanim for a hundred [liṭra]. You find that they are worth 120 minyanim.	כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים
Since he gives 500 minyanim, add them to the 120; they are 620 minyanim and this is the fund of the owner of the wax. $\scriptstyle{\color{blue}{500+\frac{2000\sdot6}{100}=500+120=620}}$	מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה
Now, see how many liṭra of thread he should receive for the 620 minyanim according to its price in cash; you get 7750 and this is [the number of] liṭra he should receive for the 2000 liṭra of wax plus 500 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot620}{8}=7750}}$	עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים
To know how much it should be offered in barter, you already know that the 7750 are worth 620 in cash.	ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ‫'
Now, see how much these 7750 are worth at a price of 10 minyanim [for 100 liṭra], which is [the price] in barter; the result is 775. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{10}=775}}$	עתה ‫^[228]ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא חלוף ויצא תשע"ה
Since the owner of the thread asks for 500 [in cash], subtract them from 620; 120 minyanim remain. $\scriptstyle{\color{blue}{620-500=120}}$	ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים
Subtract them also from the value in barter, which is 775; the result is 275. $\scriptstyle{\color{blue}{775-500=275}}$	גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה
So, say that 120 returns 275.	ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה
To know how much is the price of the wax in barter:	ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף
Rule of Three: say: if 120 return 275, how much should 6 return, which is its price in cash? $\scriptstyle{\color{blue}{120:275=6:x}}$	תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו
You receive 13 and 3-quarters and this is the price of the wax in barter. $\scriptstyle{\color{blue}{x=13+\frac{3}{4}}}$	ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף ~~שאלה~~
You see that for 2000 liṭra of wax and 500 minyanim he should receive 7750 liṭra from his friend and it should be worth 13 and 3-quarters in barter.	והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות
Check: to check it, see how much the 7750 liṭra are worth in cash at a price of 8 [for 100 liṭra]; you receive 620. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{100}\sdot8=620}}$	ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ
Now, see how much the 2000 liṭra of wax are worth in cash at a price of 6 [for 100 liṭra]; you receive 120. Add 500 to it; it is 620 and you see that the total is the same. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2000}{100}\sdot6\right)+500=120+500=620}}$	עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד
Mixture and Alligation Problems
286) Question: a man has 100 marci, in each marco 5 ՚oqya of silver. We want it to contain 6 ՚oqya [of silver] in each marco. We wish to know: how many ՚oqya should be added to it?	רפו)^[229] שאלה לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק‫' נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו
Do as follows: you already know that each marco contains 8 ՚oqya, 3 of which are of copper, since there are 5 of silver in each marco.	כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו
Therefore, in all 100 marco there are 300 ՚oqya of copper. Divide them by the 6 of silver that you want each marco to contain; you receive 50. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{6}=50}}$	א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ‫'
Add them to 100; they are 150 and they are all of silver.	הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף
Check: to check it, see that the 150 [marco] contain 300 ՚oqya of copper and [9]00 ՚oqya of silver.	ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף
Therefore, each marco contains 6 ՚oqya of silver.	א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף
287) Question: a man has 90 marci, each marco contains 6 ՚oqya of silver. He wants to add to it copper so that each marco will contain only 5 [՚oqya of silver]. I ask: how many ՚oqya should be added to it?	רפז)^[230] שאלה לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף
Do as follows: see how many ՚oqya of silver there are in the 90 marci; you receive 540. $\scriptstyle{\color{blue}{900\sdot6=540}}$	כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' מרקי ויצא לך תק"מ
Rule of Three: say: if 5 ՚oqya yield one marco, how many marci will 540 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{5:1=540:x}}$	ותאמ' אם ה' אוק' עושה מרקו אחד תק"מ כמה מרקי יעשו
You receive 108 and this is total [number of marci that should contain 5 ՚oqya of silver in each marco].	ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל
Check: to check it, you already know that the 90 [marci] contain 540 [՚oqya of silver], so that there are 6 ՚oqya [of silver] in each marci.	ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק‫'
Now, multiply 5 times 108; the result is also 540 [՚oqya of silver] and now there are only 5 [՚oqya of silver] in each marco. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot108=540}}$	גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה ‫^[231]אין בכל מרקו כי אם ה‫'
288) Question: a man has 20 marci, each marco contains 5 ՚oqya [of silver]. He also has 16 marci, each marco contains 3 ՚oqya [of silver]. He wants to make a mixture so that each marco will contain 6 ՚oqya [of silver]. I ask: how much silver should be added and how much will be the total?	רפח)^[232] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' אוקיות עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו‫' ורוצה לעשות קשר אחד שיכיל כל מרקו ו' אוקי‫' אשאל כמה כסף ראוי להוסיף וכמה יעלה בין הכל
This is the way: see how much copper there is in these two kinds of currencies.	הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים
In the first there are 60 ՚oqya of copper in the 20 marci. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}$	והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' אוקיו' נחושת
In the 16 other [marci] there are 80 ՚oqya of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}$	והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת
Add them up; they are 140. So, there are 140 ՚oqya of copper in both kinds of coins. $\scriptstyle{\color{blue}{60+80=140}}$	וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת
He wants that each marco will contain 6 ՚oqya of silver. Therefore, it should contain only 2 [՚oqya of] copper.	והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת
Rule of Three: so, say: if 2 ՚oqya of copper give me one marco, how many marci will 140 give? $\scriptstyle{\color{blue}{2:1=140:x}}$	ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו
The result is 70 and they are the marci.	ויצא ע' והם מרקי
Subtract 20 and 16 from them; 34 remain and this is [the number of marci] that he should add. The 34 are all of [pure] silver, i.e. each marco contains 8 ՚oqya of silver. $\scriptstyle{\color{blue}{70-20-16=34}}$	תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף
Check: to check it, you already know that the 20 the 16 [marci] contain only 140 ՚oqya of copper.	ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי'
Now, these 70 marci should contain only 140 ՚oqya of copper also.	ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ [אוקי' ג"כ מנחושת]‫^[233]
289) Question: a man has 20 marci, each one contains 5 [՚oqya of silver]. He also has 16 marci, each one contains 6 [՚oqya of silver]. He wants to mix lead in them, so that each marco will contain only 4 [՚oqya of silver]. I ask: how much lead should he mix in them and how much will be the total?	רפט)^[234] שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה‫' ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי‫' ורוצה לבלול בם עופרת באופן לא יכילו כי אם ד' עבור מרקו אחד אשאל כמה עופרת ראוי לערב בם וכמה יהיה כל הסך
This is the way: you should see how much silver there is in these kinds of currencies.	הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים
In the 20 [marci], each of which contains 5 [՚oqya of silver], there are 100 ՚oqya.	והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק‫'
In the 16 [marci], each of which contains 6 [՚oqya of silver], there are 96 [՚oqya].	ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו
The total is 196. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot5\right)+\left(16\sdot6\right)=100+96=196}}$	ובין הכל קצ"ו
Rule of Three: since he wants each marco to contain only 4 [՚oqya of silver], say: if 4 are equal to one marco, how much are 196 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{4:1=196:x}}$	ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים
You receive 49 and this is the total.	ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל
To know how much he should add, subtract 20 and 16 from it; 13 remains and this is [the number of ՚oqya of lead] he should add.	ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת
Check: to check it, you already know that the two kinds of currencies contain only 196 ՚oqya of silver.	ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצ"ו אוק' כסף
Now, the 49 marci should contain the same and you see that 4 times 49 is 196. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot49=196}}$	וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו
290) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 5 and a half ՚oqya of silver. Another man wants to produce 20 marci, each of which contains 4 and a half ՚oqya [of silver]. I ask: how much will he take from the amount of money and how much copper should be added?	רצ)^[235] שאלה לא' יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי אשאל כמה יקח מאותו הכסף וכמה נחושת ראוי להוסיף
Do as follows: see how much silver there is in the 20 marci, each of which contains 4 and a half ՚oqya [of silver]; the result is 90 and so he should take of the kind of 5 and a half [՚oqya of silver in one marco]. $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=90}}$	כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
Rule of Three: to know how much he should take, say: if 5 and a half are equal to one marco, how much are 90 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right):1=90:x}}$	ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים
You receive 16 and 4 parts of 11 and so he should take from the [marci] containing 5 and a half [՚oqya of silver each]. $\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{4}{11}}}$	ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א ‫^[236]וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
To know how much copper he should add, see the difference between 16 and 4 parts of 11 and 20; you receive 3 and 7 parts of 11 and this is the amount of copper he should add. $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(16+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}$	ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף
Check: to check it, see how much copper and how much silver there is in the 16 and 4 parts of 11 marci, each of which contains 5 and a half [՚oqya of] silver; you find in them 90 ՚oqya of silver and 40 and 10 parts of 11 ՚oqya of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=90}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=40+\frac{10}{11}}}$	ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א
Add the 40 and the parts to the 3 marci and 7 parts of 11 of copper we added; you receive 70 ՚oqya [of copper]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(40+\frac{10}{11}\right)+\left[\left(3+\frac{7}{11}\right)\sdot8\right]=70}}$	תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק‫'
You get that in the 16 marci and parts you have 90 ՚oqya of silver and 40 and 10 parts of 11 ՚oqya of copper.	והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א
In the 20 marci there are 90 ՚oqya [of silver] and 70 [՚oqya] of copper.	ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת
See that if each marco contains 4 and a half ՚oqya [of silver], the 20 contain 90.	וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ‫'
See also how many ՚oqya [of copper] there are in the 20 marci; you receive 70 and this is the same number.	עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה
291) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 4 [՚oqya of silver] and 3-quarters. He has also another [amount of money], each marco of which contains 5 [՚oqya of silver]. He wants to produce 50 marci, each marco of which contains 6 ՚oqya of silver. I ask: how much how much silver should be added, so that he will take the same from both?	רצא)‫^[237] שאלה לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה‫' ורוצה לעשות נ' מרקי יכיל כל מרקי ו' אוק' כסף אשאל כמה כסף ראוי להוסיף באופן שיקח כל כך מזה כמו מזה
Do as follows: see how much copper each marco contains.	כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו
The one containing 4 and 3-quarters [՚oqya] of silver contains 3 and a quarter [՚oqya] of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(4+\frac{3}{4}\right)=3+\frac{1}{4}}}$	והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת
The one containing 5 [՚oqya] of silver contains 3 [՚oqya] of copper. $\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}$	ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת
Sum them up; they are 6 and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{4}\right)+3=6+\frac{1}{4}}}$	וחברם ויהיו ו' ורביע
Then, see how much copper there is in the 50 marci, which he wants each to contain 6 ՚oqya of silver; you receive 100. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-6\right)=100}}$	אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק‫'
Rule of Three: now, say: if 6 ՚oqya and a quarter give me 1, how much will 100 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right):1=100:x}}$	ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לי מרקי א' ק' כמה יתנו לי
You receive 16 and so he should take from each kind of currency.	ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים
To know how much silver he should add, see that if he takes 16 from each [type of] metal, the total is 32. $\scriptstyle{\color{blue}{16+16=32}}$	ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב
But, he wants to produce 50. So, see how much there is between 50 and 3[2]; you find it is 1[8] and this is the total ՚oqya of pure silver he should add. $\scriptstyle{\color{blue}{50-32=18}}$	והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
Check: to check it, see how much silver there is in the 16 marci, each of which contains 4 and 3-quarters ՚oqya [of silver]; you receive 76 ՚oqya. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(4+\frac{3}{4}\right)=76}}$	ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק‫'
See also how much silver there is in the 16 marci, each of which contains 5 ՚oqya [of silver]; you receive 80 [՚oqya]. $\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot5=80}}$	עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ‫'
Sum them; they are 156. $\scriptstyle{\color{blue}{76+80=156}}$	ותחברם ויהיו קנ"ו
Add to them the 18 marci of pure silver; you receive 300. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(18\sdot8\right)+156=300}}$	גם תחבר עמהם י"ח מרקי שהוא כלו טוב ויצא לך ג' מאות
Multiply also the 50 marci by 6; the result is 300. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot6=300}}$	וע' כפול נ' שהם מרקי על ו' ויעלה הכל ג' מאות
292) Question: a man has two kinds of money - one of 5 ՚oqya [of silver] in each marco and the other one of 6 ՚oqya [of silver] in each marco. He wants to produce 50 marci, each marco of which contains 7 ՚oqya [of silver], and he wants to take the same from both [kinds of money]. I ask: how much will he take from each and how much silver will he add?	רצב)^[238] שאלה לאדם יש לו מב' מיני כספים הא' יש ה' אוק' בכל מרקו ובאחר ‫^[239]יש ו' [אוקיו']‫^[240] בכל מרקו ורוצה לעשות נ' מרקו יכיל כל מרקו ז' אוק' ורוצה לקחת כ"כ מזה כמו מזה אשאל כמה יקח מזה ומזה וכמה כסף יוסיף
This is the way: you should see how much copper there is in the 50 marci he wants to take, according to the value he wants. Since he wants each marco to contain only 1 ՚oqya of copper, you get 50 ՚oqya [of copper]. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-7\right)=50\sdot1=50}}$	הדרך הוא כך ראוי לראות כמה נחושת יש בין הנ' מרקו שהוא רוצה לקחת כפי הערך שהוא רוצה כי הוא רוצה שלא יהיה בכל מרקו כי אם א' אוקי' נחושת ויצא לך נ' אוקי‫'
Now, you should see how much copper there is in three of the marci containing 5 ՚oqya of silver in each marco; you receive 9 [՚oqya]. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-5\right)=9}}$	ועתה יש לך לראות כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל מכסף עבור כל מרקו ה' ויצא לך ט‫'
See also how much copper there is in three of the marci containing 6 ՚oqya of silver in each marco; you receive 6 [՚oqya]. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=6}}$	גם ראה כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף כל מרקו ויצא לך ו‫'
Now, you should add what one marco containing 6 [՚oqya] of silver contains; you get 2 [՚oqya] of copper and with the 9 they are 11. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(8-6\right)+9=2+9=11}}$	עתה ראוי לחבר מה שמכיל מרקו אחד מאותו ששוה ו' מכסף ויצא לך ב' שמכיל מנחושת ועם הט' הם י"א
Rule of Three: say: if 11 ՚oqya of copper give me 1 marco, how much will 50 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{11:1=50:x}}$	ועתה תאמר אם י"א אוק' נחושת נתן לי א' מרקו כמה יתנו לי נ‫'
You receive 4 and 6 parts of 11 and so he should take from the one containing 6 ՚oqya of silver in one marco. $\scriptstyle{\color{blue}{x=4+\frac{6}{11}}}$	ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א וכך ראוי שיקח מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף עבור מרקו אחד
Since he wants to take 3 times more from the one that contains 5 [՚oqya of silver], multiply 3 times 4 and 6 parts of 11; you receive 13 and 7 parts of 11 and this is what he should take from the one containing 5 ՚oqya of pure [silver]. $\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(4+\frac{6}{11}\right)=13+\frac{7}{11}}}$	ובעבור כי הוא רוצה לקחת ג' פעמים יותר מאותו שמכיל ה' כפול ג' פ' ד' וו' חלקים מי"א ויצא לך י"ג וז' חלקים מי"א וזהו מה שיקח מאותו שמכיל ה' אוק' מטוב
To know how much pure silver he should add, add the 13 and the parts to the 4 and the parts; the result is 18 and 2 parts of 11.	ולדעת כמה כסף טוב ראוי שיוסיף תחבר י"ג והחלקים עם ד' והחלקים ויצא י"ח וב' חלקים מי"א
Subtract this number from 50; 31 and 9 parts of 11 remain and so he should add from pure silver.	והוצא זה המספר מנ' וישאר ל"א וט' חלקים מי"א וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
$\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[\left(13+\frac{7}{11}\right)+\left(4+\frac{6}{11}\right)\right]=50-\left(18+\frac{2}{11}\right)=31+\frac{9}{11}}}$
Check: to check it, see how much [silver is in] 13 marci and [7] parts of 11, each of which contains 5 ՚oqya of silver; you receive 68 and 2 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\left(13+\frac{7}{11}\right)=68+\frac{2}{11}}}$	ולבחון אותו ראה כמה שווים י"ג מרקי וט' חלקים מי"א שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך ס"ח וב' חלקים מי"א
See also how much silver is in 4 marci and [6] parts of 11, each of which contains 6 [՚oqya] of silver; you receive 27 and 3 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left(4+\frac{6}{11}\right)=27+\frac{3}{11}}}$	עו' ראה כמה כסף מכילים ד' מרקי וה' חלקים מי"א מאותו שמכיל ו' מרקו מכסף ויצא לך כ"ז וג' חלקים מי"א
Sum them and add [the silver] contained in the 31 [and 9 parts of 11 marci pure silver], which is 2[5]4; the total is 350. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(31+\frac{9}{11}\right)=254{\color{red}{+\frac{6}{11}}}}}$	ותחברם ויהיו ו' גם תוסיף עמהם מה שמכיל הל"א שעולה רצ"ד ויהיה בין הכל ג' מאות וחמישים
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(68+\frac{2}{11}\right)+\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left(254+\frac{6}{11}\right)=350}}$
You see that the 50 marci, each of which contains 7 [՚oqya of silver], [contain] 350 [՚oqya of silver]. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot50=350}}$	והנך רואה כי אותם הנ' מרקי שמכיל כל אחד ז' עולה ש"נ
293) Question: one has three kinds of money - one contains 7 ՚oqya of silver in each marco, another [contains] 5 ՚oqya of silver in each marco, and another contains 4 ՚oqya of silver in each marco. We want to take from the three [kinds], so that each marco will contain 6 ՚oqya [of silver], and we want to take 50 marci. How much should be taken from each?	רצג)^[241] שאלה לא' יש לו מג' מיני כספים הא' מכיל ז' אוקי' כסף כל מרקו והא' ה' אוקיו' כסף כל מרקו והאחר מכיל ד' אוקיו' כסף כל מרקו ונרצה לקחת משלשתן באופן יכיל כל מרקו ו' אונקיו' ונרצה לקחת נ' מרקו כמה יקח מכל אחד ואחד
Do as follow: arrange them this way:	עשה כך תסדרם בזה האופן
Then, relate them like this: take the value that is smaller than the value you want to produce and relate it to the value that is greater than the value you want to produce.	אח"כ תקשרם כך והוא שתקח הערך שהוא פחות מהערך שתרצה לעשות ותקשרהו עם הערך שהוא יותר גדול ‫^[242]מהערך שתרצה לעשות
So, relate 7, which is greater than 6, to 4, which is less than 6.	ולכן תקשור ז' שהוא יותר מו' עם הד' שהם פחות מו‫'
Do like this: you see that 6 exceeds 4 by 2, so write 2 above 7. $\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}$	וכך תעשה והנך רואה כי ו' מוסיף על ד' ב' ולכן שים ב' על ז‫'
You also see that 6 is less than 7 by 1, so write 1 above 4. $\scriptstyle{\color{blue}{7-6=1}}$	גם אתה רואה כי ו' פחות מז' א' ולכן שים א על ד‫'
Now, you related 4 to 7.	ועתה קשרת ד' עם ז‫'
It remains to relate 5. So, say 6 exceeds 5 by 1, so write 1 above 5. $\scriptstyle{\color{blue}{6-5=1}}$	נשאר לקשור ה' ותאמר ו' מוסיף א' על ה' ולכן שים א' על ה‫'
Say also: 7 exceeds 6 by 1, so add the 2 and the 1 that are above the 7; they are 3. Write 3 above it. $\scriptstyle{\color{blue}{7-6=1}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{2+1=3}}$	עוד תאמר ז' מוסיף על ו' א' ולכן תחבר הב' והא' שהם על הז' ויהיו ג' ושים ג' עליהם
Now, sum the 3 above the 7, the 1 above the 5, and the 1 above the 4; they are 5. $\scriptstyle{\color{blue}{3+1+1=5}}$	ועתה תחבר ג' שהם על הז' וא' שהוא על ה' וא' שהוא על ד' ויהיו ה‫'
Rule of Three: say: if 5 gives me 50 marci, how much should I take from the one that gives me 3? $\scriptstyle{\color{blue}{5:50=3:x}}$	ותאמר אם ה' נתנו לי נ' מרקי כמה ראוי שאקח מאותו שנתן לי ג‫'
The result is 30 and so he should take from the one that contains 7 [՚oqya of silver in each marco]	ויצא ל' וכך יקח מאותו מכיל ז‫'
Rule of Three: for the other, say: if 5 gives 50, how much will 1 give? $\scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}$	ובעבור האחר תאמר אם ה' נתן נ' כמה יתן א‫'
The result is 10. Write it above the 5. So, from the one that contains 5 ՚oqya of silver [in each marco] he should take 10.	יצא י' ושימם על ה' א"כ מאותו מכיל ה' אוקי' כסף ראוי לקחת י‫'
Rule of Three: say also: if 5 gives 50, how much will 1 give? $\scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}$	עוד תאמר אם ה' נתן נ' א' כמה יתן
The result is 10 and so he should take from the one that contains 4 [՚oqya of silver in each marco].	ויצא י' וכך ראוי לקחת מהמכיל ד‫'
Check: to check it, see how [many ՚oqya of silver are in] the 30 marco, each of which contains 7 [՚oqya of silver]; the result is 210. $\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot7=210}}$	ולבחון אותו ראה כמה מכילין ל' מרקי מאותו ששוה ז' כל מרקו ויצא ר"י
See also how [many ՚oqya of silver are in] the 10 that contain 5 [՚oqya of silver in each marco]; it is 50. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot5=50}}$	עוד ראה כמה שוים הי' שמכילים ה' ויהיו נֻ‫'
See also how [many ՚oqya of silver are in] the 10 that contain 4 [՚oqya of silver in each marco]; it is 40. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot4=40}}$	עוד ראה כמה שוים הי' שמכיל ד' ויהיו מ‫'
Add them up; they are 300. $\scriptstyle{\color{blue}{210+50+40=300}}$	ותחברם ויהיו ש‫'
See also how [many ՚oqya of silver are in] the 50 marci he wants to produce that contain 6 [՚oqya of silver in each marco]; the result is also 300. $\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot6=300}}$	עוד ראה כמה שוים הנ' מרקי מאותו שרצה לעשות שהוא ו' ויעלה ש' ג"כ
Purchase Problem - Five Types of Wheat
295) Question: a man has 5 kinds of wheat: the price of one is 44 soldi for one cargo, the price of the second is 48, the price of the third is 52, the price of the fourth is 60 and the price of the fifth is 66. A man comes and wants to take from all a total of 50 cargos, and they will cost only 56 grossi. I ask: how much will he take from each?	רצה)‫^[243] שאלה לאדם היו לו מה' מיני חטה ערך הא' מ"ד סולדי המשוא וערך הב' מ"ח וערך הג' נ"ב וערך הד' ס' וערך הה' ס"ו ובא אדם ורוצה לקחת מכלם בין כלם נ' משואות שלא יבא כי אם נ"ו גרושי אשאל כמה יקח מכל א וא‫'
First, relate as mentioned in the previous question and arrange them like this:	ראשנה תקשור כנז' בשאלה הקודמת ותסדרם כך
Now, start to relate 44, which is the smaller, to 66, which is the greater, by the value you want to produce and say: 44 is less than 56 by 12. Write 12 above 66. $\scriptstyle{\color{blue}{56-44=12}}$	ועתה תתחיל לקשור מ"ד שהם היותר פחותים עם ס"ו שהוא היותר גדול עם הערך שתרצה לעשות ותאמר מ"ד הוא פחות מנ"ו י"ב ושים י"ב על ס"ו
Say also: 66 exceeds 56 by 10, so write 10 above 44. $\scriptstyle{\color{blue}{66-56=10}}$	עוד תאמר ס"ו מוסיפים על נ"ו י' ולכן שים י' על מ"ד
Then, relate 48, which is less than 56, to 60, which is greater than 56, and say: 48 is less than 56 by 8. Write 8 above 60. $\scriptstyle{\color{blue}{56-48=8}}$	אח"כ תקשור מ"ח שהוא פחות מנ"ו עם ס' שהוא יותר מנ"ו ותאמר מ"ח הוא פחות מנ"ו ח' ושים ח' על ס‫'
Say also: 60 is greater than 56 by 4. So, write 4 above 48. $\scriptstyle{\color{blue}{60-56=4}}$	עוד תאמר ס' הם יותר מנ"ו ד' ולכן שים ד' על מ"ח
It remains for us to relate 52, which is less than 56, so you have to relate it to the value that is greater than 56. We can relate it to 60 or to 66.	וישאר לנו לקשור נ"ב שהוא פחות מנ"ו ולכן יש לך לקשור אותו עם איזה ערך שיהיה יותר מנ"ו ונוכל לקשור אותו עם ס' או ס"ו
We relate it to 66 and say that 52 is less than 56 by 4. So, write 4 above 66. $\scriptstyle{\color{blue}{52=56-4}}$	ונקשור אותו עם ס"ו ונאמר כי נ"ב ^[244]הוא פחות מנ"ו ס' ד' ולכן שים ד' על ס"ו
Say also: 66 exceeds 10 by 56. So, write 10 above 52. $\scriptstyle{\color{blue}{66-56=10}}$	עוד תאמר ס"ו הוא מוסיף י' על נ"ו ולכן שים י' על נ"ב
Now, sum the 12 and the 4, which are above the 66; they are 16. $\scriptstyle{\color{blue}{12+4=16}}$	ועתה תחבר הי"ב והד' שהם על ס"ו ויהיו י"ו
Sum 10, which is above 44; 4, which is above 48; 10, which is above 52; 8, which is above 60; and 16, which is above 66; they are 48. $\scriptstyle{\color{blue}{10+4+10+8+16=48}}$	ועתה תחבר הי' שהם על מ"ד והד' שהם על מ"ח והי' שהם על נ"ב והח' שהם על ס' והי"ו שהם על ס"ו ויהיו מ"ח
Rule of Three: Now, say: if 48 gives me 50 cargos, how much will ten give me for the first kind of wheat? $\scriptstyle{\color{blue}{48:50=10:a_1}}$	ועתה תאמר אם מ"ח נתן לי נֻ' משואות כמה יתן לי עשרה עבור החטה הראשנה
You receive 10 and 5 parts of 12 and so he will take from the one that is worth 44 grossi for a cargo. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10+\frac{5}{12}}}$	ויצא לך י' וה' חלקים מי"ב וכן יקח מאותה ששוה מ"ד גרושי המשוא
Do the same for the five prices.	כן תעשה מכל הה' ערכים
Check: to check it, multiply what you received by each price, i.e. what should be taken from each [kind] by its price and keep the result.	ולבחון אותו כפול מה שיצא לך על כל ערך ר"ל מה שראוי לקחת מכל ערך על ערכו ושמור העולה
Multiply also 50, which are the cargos he took, by 56; the result should be equal to the reserved.	גם כפול נ' שהם המשואות שעשה על נ"ו והעולה יהיה שוה אל השמור
You can relate in a different way: relate 44 to 66 and 52 to 60; you receive what should be taken, which is different than what was in the first time, but when you check it, it is also an accurate and correct way.	ותוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס"ו ונ"ב עם ס' ויצא לך מה שראוי לקחת אשר לא היה כמוהו בפעם הראשנה אך כשתבחון אותו הוא ג"כ דרך מדוקדק וצודק
We can also relate in another way: relate 44 to 60, 48 to 66, and 52 to 66; you receive a sustainable relation.	ועוד נוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס"ו ונ"ב עם ס"ו ויצא לך קשר של קיימה
In yet another way: relate 44 to 60, 48 to 60, and 52 to 66. When you check each of these relations, it is correct and it is a strong relation.	ועוד באופן אחר תקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס' ונ"ב עם ס"ו וכל אלו הקשורים כשתבחון כל א' מהם הוא נכון והוא קשר אמיץ
Buy and Sell Problems
296) Question: a man bought a pearl for 150 minyanim and sold it for 175. I ask: how much does he earn for every hundred?	רצו)‫^[245] שאלה אדם קנה מרגלית אחת עבור ק"נ מנינים ומכרה קע"ה אשאל כמה מרויח על כל מאה
The way is as follows: see the difference from 150 to 174; you find it is 24. $\scriptstyle{\color{blue}{174-150=24}}$	הדרך הוא כך ראה ההפרש שהוא מק"נ עד קע"ד ותמצא כ"ד
Rule of Three: Now, say: if 150 yields 24, how much will 100 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{150:24=100:x}}$	ועתה תאמר אם ק"נ הרויחו כ"ד ק' כמה ירויחו
You receive 16 and so he will earn for every 100. $\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}$	יצא לך י"ו וכך הרויח על כל ק‫'
297) Question: a man bought something for 45 minyanim and sold it for 3[4]. I ask: how much did he lose for every hundred?	רצז)‫^[246] שאלה אדם קנה דבר מה עבור מ"ה מנינים ומכרה ל"ה אשאל כמה הפסיד על כל ק‫'
Subtract 34 from 45; the remainder is 11. $\scriptstyle{\color{blue}{45-34=11}}$	הוצא ממ"ה ל"ד הנשאר י"א
Rule of Three: Say: if for 45 he lost 11, how much will he lose for 100? $\scriptstyle{\color{blue}{45:11=100:x}}$	ותאמר אם עבור מ"ה הפסיד י"א עבור ק' כמה יפסיד
The result is 24 and 4-ninths and so he lost for every 100. $\scriptstyle{\color{blue}{x=24+\frac{4}{9}}}$	ויצא כ"ד וד' תשיעיות וכך הפסיד על כל ק‫'
298) Question: a man sold something for 80 minyanim and earned 15 for every 100. I ask: for how much did he buy the thing?	רצח)‫^[247] שאלה אדם מוכר דבר מה עבור פ' מנינים והרויח ט"ו עבור ק‫' אשאל כמה קנה הדבר
Do as follows: add 15 to 100. $\scriptstyle{\color{blue}{100+15=115}}$	עשה כן ותוסיף ט"ו על ק‫'
Rule of Three: Say: if 115 return 100, how much will 80 return? $\scriptstyle{\color{blue}{115:100=80:x}}$	ותאמר אם קט"ו שבו ק' פ' כמה ישובו
You receive 69 and 13 parts of 23. $\scriptstyle{\color{blue}{x=69+\frac{13}{23}}}$	ויצא לך ס"ט וי"ג חלקים מכ"ג
299) Question: a man sold something for 155 and lost 12 for every hundred. I ask: how much did he buy the merchandise for?	רצט)‫^[248] שאלה אדם מכר דבר מה עבור קנ"ה והפסיד י"ב עבור כל מאה אשאל ‫^[249]כמה קנה המסחר
Subtract 12 from 100; 88 remains.	תחסר י"ב מק' וישארו פ"ח
Rule of Three: Say: if 100 returns 88, how much will 155 return? $\scriptstyle{\color{blue}{100:88=155:x}}$	ותאמר אם ק' שבו פ"ח קנ"ה כמה ישובו
You receive 1[36] and [2 parts of 5].	ויצא לך קמ"ב וחלק אחד מכ"ב
300) Question: a man bought something for 70 minyanim. I ask: for how much should he sell it in such a way that he will earn 16 out of every 100?	ש)‫^[250] שאלה אדם קנה דבר מה עבו' ע' מנינים אשאל כמה ראוי למכרה באופן שירויח י"ו על כל ק‫'
Rule of Three: You already know that 100 should return 116, so say: if 100 returns 116, how much should 70 return? $\scriptstyle{\color{blue}{100:116=70:x}}$	כבר ידעת כי הק' ראוי שישובו קי"ו ולכן תאמ' אם ק' שבו קי"ו כמה ישובו ע‫'
You receive 81 and a fifth.	ויצא לך פ"א וחומש
301) Question: for how much should I buy a liṭra of silk, so that when I sell each liṭra for 12 soldi, I will earn 15 for every hundred soldi?	שא)‫^[251] שאלה באיזה אופן ראוי לקנות ליט' המשי כי כשאמכור כל ליט' ל"ב סולדי שארויח על כל מאה סולדי ט"ו
Rule of Three: Do as follow: if 115 gives me 100, how much will 32 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{115:100=32:x}}$	כך תעשה אם קט"ו נתן לי ק' כמה יתן לי ל"ב
You receive 27 and 19 parts of 23.	ויצא לך כ"ז וי"ט חלקים מכ"ג
302) Question: a man sold a pearl for 150 minyanim and earned 20 for every 100. I ask: for how much should he sell it, if he wants to earn 25 for every 100?	שב)‫^[252] שאלה אדם מוכר מרגלית אחת ק"נ מנינים והרויח כ' עבור כל ק‫' אשאל אם רצה להרויח כ"ה על כל מאה כמה ראוי שימכרנה
Rule of Three: Do as follow, you should say: if 120 gives me 100, how much will 150 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{120:100=150:x}}$	תעשה כך ראוי שתאמר אם ק"כ נתן לי ק' ק"נ כמה יתן לי
You receive 125 and for this he bought the pearl.	ויצא לך קכ"ה וכך קנה המרגלית
Rule of Three: Now, to know for how much he will sell it, so that he will earn 25, say: if 100 gives me 125, how much will 125 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{100:125=125:x}}$	ועתה כדי לדעת כמה ימכרנה כדי שירויח כ"ה תאמר אם ק' נתן לי קכ"ה קכ"ה כמה יתנו לי
You receive 156 and a quarter. $\scriptstyle{\color{blue}{x=156+\frac{1}{4}}}$	ויצא לך קנ"ו ורביע
Exchange Problems
303) Question: if 7 liṭra of Padua are 5 of Venice, how much of Venice are 140 of Padua?	שג)‫^[253] שאלה אם ז' ליט' מפדואה הם ה' מוינישיאה ק"מ מפדואה כמה הם מוינישיאה
Rule of Three: multiply 140 by 5 and divide by 7; you receive 100. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140\sdot5}{7}=100}}$	כפול ק"מ על ה' וחלק על ז‫' יצא לך ק‫'
304) Question: if 100 liṭra of Meudon are 115 of Venice, and 180 of Venice are 150 of Corfu, and 240 of Corfu are 360 of Negroponte, I ask how much of Meudon are 850 of Negroponte?	שד)‫^[254] שאלה אם ק' ליט' של מודו הם מוינישיאה קט"ו וק"פ של וינישיאה הם מאותם של קורפו ק"נ ור"מ מקורפו הם בניגריפונטי ש"ס אשאל ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם ממודו
Do as follows: how much are 850 of Negroponte in Corfu?	כך תעשה ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם מקורפו
Rule of Three: if 360 of Negroponte are 240 of Corfu, how much are 850 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{360:240=850:x}}$	אם ג' מאות וס' מניגריפונטי הם ר"מ מקורפו כמה ישוו ח' מאות ונ‫'
You receive 566 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{x=566+\frac{2}{3}}}$	ויצא לך תקס"ו וב' שלישיות
Rule of Three: now say: if 150 of Corfu are 180 of Venice, how much are 566 and 2-thirds equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{150:180=\left(566+\frac{2}{3}\right):x}}$	ועתה תאמר אם ק"נ מקורפו הם מוינישיאה ק"פ תקס"ו וב' שלישיות כמה שוות
You receive 680 of Venice. $\scriptstyle{\color{blue}{x=680}}$	ויצא לך תר"פ מוינישיאה
Rule of Three: now say: if 115 of Venice are 100 of Meudon, how much are 680 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{115:100=680:x}}$	עתה תאמר אם קט"ו מוינישיאה הם ק' ממודו תר"פ כמה שוות
You receive 591 and 7 parts of 23. $\scriptstyle{\color{blue}{x=591+\frac{7}{23}}}$	ויצא לך תקצ"א וז' חלקים מכ"ג
305) Question: 8 marci are worth 13 of Bursa; 15 of Bursa are worth 9 bolognini; 12 bolognini are worth 16 of pisani; 24 pisani are worth 32 gienovini. I ask: how many marci are 140 gienovini?	שה)‫^[255] שאלה ח' מרקיטי שוים י"ג פרושיני וט"ו מפרושא שוים ט' מבולונייני י"ב בולוניני שוה י"ו פישאני וכ"ד פישאני שוה ל"ב גינוויני אשאל ק"מ זינוויני כמה מרקיטי הם
Rule of Three: See how many pisani are worth 1[4]0 gienovinoi and say: if 32 are equal to 24, how much are 140 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{32:24=140:x}}$	ראה כמה שוים ק"נ זינוויני מהפושאני ותאמר כן אם ל"ב ‫^[256]שוים כ"ד ק"מ כמה שוים
You receive 105 and they are pisani.	יצא לך ק"ה והם פישאני
Do the same with all of them, as you did with the gienovini and the pisani; you receive that the 140 gienovini are worth 80 and 10 parts of 13 marci.	וכך תעשה מכלם כאשר עשית מהזינוויני עם הפישאני ויצא לך כי הק"מ זינוויני שוה מהמרקיטי פ' וי' חלקים מי"ג
306) Question: if 42 canna of Bursa are worth [10] liṭra, 6 soldi, and 8 dinar of Bursa coins and one carries them to Florence, we find that the 8 canna of Bursa are equal to 9 in Florence, also the soldo of Bursa is equal to 4 of Florence and 8 dinar. I ask: how much is the canna of Florence, which is 4 cubits.	שו)‫^[257] שאלה אם מ"ב קנים מפרוש שוות ח' ליט' וו' סולדי וח' דינרין ממטבעו' של פרושי ונושא אותו בפלורינצא נמצא כי הח' קנים מפארושי שוות ט' בלורינציאה והסולדו מפרושי שוה ד' מאותם של פלורינצא גם ח' דינרין אשאל כמה שוה הקנה מפלורינצא שהם ד' אמות
You already know that the soldo of Bursa is 4 [soldi] and 8 dinar of Florence, so 12 dinar of Bursa in each soldo of Bursa are worth 56 in Florence, which are 4 soldi and 8 dinar.	כבר ידעת כי הסולדו מפרושי הם ד' וח' דינרין מפלורינצא א"כ הי"ב דינרין מפרוש שיש בכל סולדי של פריש שוה בפלורינצא נ"ו שהם ד' סולדי וח' דינרין
Now, one should examine how much are 10 liṭra, 6 soldi, and 8 dinar of Bursa in Florence.	ועתה ראוי לראות הי' ליט' והו' סולדי וח' דינרין מפארושי כמה הם מפלורינצא
Rule of Three: So, we do as follows: if 12 dinar of Bursa are equal to 56 of Florence, how much are 10 [liṭra], 6 soldi, and 8 dinar equal to?	נעשה כן אם י"ב דינרין מפרושי הם שוים נ"ו מפיאורינצא כמה ישוו י' וו' סולדי וח' דינרין
You receive 48 liṭra, [4] soldi, 5 dinar and a third of Florentine coin at a value of 20 soldi for every liṭra.	ויצא לך מ"ח ליט' וב' סולדי וה' דינרין ושליש ממטבע של פלורינצא לערך כ' סולדי בכל ליט‫'
Now, one should examine how much are 10 canna of Bursa in Florence.	ועתה ראוי לראות כמה הם הי' קנים מפרוש מאותם של פלורינצא
Rule of Three: Say: if 8 of Bursa are equal to 9 of Florence, 42 of Bursa are equal to 47 and a quarter [of Florence].	ותאמר אם ח' מפרוש שוות ט' מפלורינצא מ"ב מפרוש ישוו מ"ז ורביע
Therefore, 47 and a quarter in Florence are worth 48 liṭra, 4 soldi, 5 dinar [and a third].	א"כ מה שהוא בפלורינצא מ"ז ורביע ישוה מ"ח ליט' וד' סולדי וה' דינרין
Rule of Three: To know how much is the price of a canna, which is 4 braccia, say: if 47 and a quarter are equal to 48 liṭra, 4 soldi, 5 dinar and a third, how much are 4 equal to?	ולדעת כמה הוא ערך הקנה שהם ד' בראצי תאמר אם מ"ז ורביע שוה ליט' מ"ח וד' סולדי וה' דינרין ושליש ד' כמה שוים
You receive 4 liṭra, 1 soldo, 7 dinar and 61 parts of 81 and this is the value of a canna of Florence in a Florentine coin.	ויצא לך ד' ליט' א' סולדו וז' דינרין וס"א חלקים מפ"א וכך ישוה הקנה בפלורינצא ממטבע של פלורינצא
Bay and Sell Problems
307) Question: a man bought braccio of silk cloth in Venice for 7 grossi, then he went to Saragosa. The canna in Saragosa is 3 and a third in Venice. The Venetian magen is equal to 18 carlini of Saragosa. He sold the canna in Saragosa for 75 carlini. I ask: how much did he earn for 100?	שז)‫^[258] שאלה אדם קנה הבראצו מבגד של משי בוינישיאה בז' גרושי והולך בצאראגוסא והנה הקנה מצראגוסא הוא ג' בראצי ושליש מוינישיאה והמגן ויניציאני שוה י"ח קרליני מצאראגוסא וזה מוכר הקנה בצאראגוסא ע"ה קרלי‫' אשאל כמה הוא מרויח עבור ק‫'
First, it should be known that 3 Venetian braccia and a third, which is 1 canna of Saragosa, are worth 90 grossi at a price of 27 grossi for every braccio.	ראשנה ראוי לדעת כי הג' בראצי ושליש מוינישיאה שהם קנה א' מצרגוצא הם שוות צ' גרושי לערך כ"ז גרושי כל הבראצי
You should also know that 24 grossi are one Venetian ducat and one Venetian ducat is equal to 18 carlini.	גם ראוי לך לדעת כי כ"ד גרושי הם דוק' א' ‫^[259]ויניציאנו והדוק' ויניציאנו שוה י"ח קרליני
Rule of Three: So, say: if 24 are equal to 1 ducat, how much are 90 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{24:1=90:x}}$	ולכן תאמר אם כ"ד שוים א' דוק' צ' כמה שוים
You receive [6]7 and a half carlini. So, you find that the canna is worth 67 carlini and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{67+\frac{1}{2}}{18}}}$	ויצא לך ע' צ"ז וחצי שהם קרלי' ועתה מצאת כי הקנה שוה ס"ז קרלי וחצי
Rule of Three: To know how much he earns for a hundred, you already know that he sold the canna for 75, so say: if 67 and a half yields 75, how much will 100 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(67+\frac{1}{2}\right):75=100:x}}$	ולדעת כמה הוא מרויח עבור מאה כבר ידעת כי הוא מכר הקנה ע"ה ולכן תאמר אם מס"ז וחצי הוא עשה ע"ה כמה יעשה מק‫'
You receive 111 and a ninth. So, he earns 11 and a ninth for one hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{x=111+\frac{1}{9}}}$	ויצא לך קי"א ותשיעית הנה א"כ הוא מרויח י"א ותשיעית עבור מאה
308) Question: a man goes to Patras [city in western Greece] and buys there 100 measures of wine called metreta [Greek liquid measurement] for 70 coins called pepi [?]. He carries the wine to Venice. He finds that 52 metreta are one anphora [= amphora - measure of liquid] of Venice, which is a known measure there, and ten pepi are equal to one magen. I ask: how will he sell [the wine], so that he will earn 20 for every 100 anphora.	שח)‫^[260] שאלה איש הולך איש הולך בפיטראש וקנה לשם עבור מטבעות ע' נקראות פפי ק' מדות יין נקראות מיטרי ונושא היין בוינישיאה ומצא כי המיטרי נ"ב הם אנפורא א' מוינישיאה שהיא מדה ידועה אצלם ועשרה פפי שוים א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור כדי שירויח על כל ק' אנפורא כ‫'
This is the way:	הדרך הוא זה
See how much 52 metreta are worth this way:	ראה כמה שוות הנ"ב מיטרי בזה האופן
Rule of Three: say: if 100 metreta are worth 70 pepi, how much are 52 metreta worth? $\scriptstyle{\color{blue}{100:70=52:x}}$	ותאמר אם מיטרי ק' שוות ע' פיפי נ"ב מיטרי כמה שוה
You receive 36 and 2-fifths. So, the anphora, which is 52 [metreta], is worth 36 and 2-fifths pepi. $\scriptstyle{\color{blue}{x=36+\frac{2}{5}}}$	ויצא לך ל"ו וב' חומשים א"כ האנפורא שהם נ"ב פיפי שוות ל"ו וב' חומשי פיפי
Now, you should know how much these 36 pepi are worth in a venetian coin:	עתה ראוי לדעת כמה שוות אלו הל"ו פיפי ממטבע של וינישיאה
Rule of Three: say: if [10] are equal to 1, how much are 36 and 2-fifths equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{10:1=\left(36+\frac{2}{5}\right):x}}$	ותאמר אם ה' שוות א' ל"ו וב' חומשים כמה שוים
You receive 3 and 16 parts of 25. $\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{16}{25}}}$	ויצא לך ג' וי"ו חלקים מכ"ה
So, the Venetian anphora is worth 3 minyanim and 16 parts of 25.	א"כ האנפורא מוינישיאה שוה ג' מנינים וי"ו חלקים מכ"ה
To know in what way he will sell so that he will earn 20 for [every] 100:	ולדעת באיזה אופן ימכור כדי שירויח כ' עבור ק‫'
Rule of Three: say: if 100 yields 120, how much will 3 and 16 parts [of 25] yield? $\scriptstyle{\color{blue}{100:120=\left(3+\frac{16}{25}\right):x}}$	תאמ' אם ק' עשה ק"כ כמה יעשו ג' וי"ו חלקים
You receive 4 minyanim and some parts.	ויצא לך ד' מנינים וחלקים
[30]9) Question: one kikkar in Súria is 700 liṭra; 100 liṭra of Súria are 11[0] of Venice; fifty coins of Súria called cromi [?] are equal to one Venetian ducat. We ask: for how many cromi should I by the kikkar in Súria, so that when I sell 100 liṭra I will earn 20 for every hundred?	רט)‫^[261] שאלה הנה הככר בשוריאה הוא ז' מאות ליט' והק' ליט' משוריאה הם קי"א של וינישיאה וחמישים מטבעים של שוריא נקראים כרומי שוות א' דוק' וינישיאנו נשאל עבור כמה כרומי ראוי לקנות הככר משוריאה באופן כי כשאמכור הק' ליט' נ' דוק' שארויח כ' על כל מאה
Do as follows: since he said that he wants to earn 20 for every 100 liṭra of Venice, see how much of Venice are 100 of Súria:	כך תעשה מצד כי אמר כי רוצה להרויח עבור הק' ליט' של וינישיאה כ' ראה הק' משוריאה כמה הם מוינישיאה
Rule of Three: say: if 110 of Venice are 100 of Súria, how much are 100 of Venice? $\scriptstyle{\color{blue}{110:100=100:x}}$	ותאמר אם ק"י מוינישיאה הם ק' מן שוריאה ק' מוינישיאה כמה הם
You receive 90 and ten parts of 11. So, he should sell 90 liṭra and 10 parts of 11 for 6 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{x=90+\frac{10}{11}}}$	ויצא לך צ' ועשרה חלקים מי"א א"כ הצ' ליט' והי' חלקים מי"א ראוי למכור עבור (עבור) הו' מנינים
Rule of Three: To know how much is the price of 700 liṭra of Súria, which are one kikkar, say: if 90 and 10 parts of 11 are worth 6, how much are 700 worth? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(90+\frac{10}{11}\right):6=700:x}}$	ולדעת כמה ‫^[262]שווי הז' מאות ליט' של שוריא שהם ככר אחד תאמר כך אם צ' וי' חלקים מי"א שוה ו' כמה ישוה ז' מאות
You receive 46 and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{x=46+\frac{1}{5}}}$	ויצא לך מ"ו וחומש
Rule of Three: To know for how many cromi he should buy them, say: if one magen is worth 50 cromi, how much are [4]6 and a fifth worth? $\scriptstyle{\color{blue}{1:50=\left(46+\frac{1}{5}\right):x}}$	ולדעת כמה כרומי ראוי לקנות אותו תאמר אם מגן אחד שוה נ' כרומי נ"ו וחומש כמה שוה
You receive 2310.	ויצא לך אלפים וג' מאות ועשר
Rule of Three: Since he said he wants to earn 20 for every 100, say: if 120 returns [100], how much will 2310 return? $\scriptstyle{\color{blue}{120:100=2310:x}}$	ומצד שאמר כי רוצה להרויח עבור כל ק' כ' תאמר אם ק"כ שבו ב' אלפים וג' מאות ועשר כמה ישובו
You receive 1925 and in this way he should buy it, so that when he will sell it for 2310, he will earn [20] for every hundred, and he should sell [every] hundred for 6 minyanim in Venice.	ויצא לך אלף וט' מאות וכ"ה ובזה האופן ראוי שיקנה אותו באופן כי כשימכרהו אלפים וג' מאות ועשר ירויח ק' עבור כל מאה וראוי שימכור בוינישיאה ו' מנינים המאה
310) Question: a man bought raisins in Patras at the price of 10 pepi for one bag weighing 144 liṭra. He bought 200 of them and took them to Venice. He spent 24 minyanim on the way. 12 liṭra from Patras are 10 from Venice and 12 pepi are one magen. I ask: in what way will he sell a bag having 260 liṭra in Venice so that he will earn 20 for [every] 100?	שי)‫^[263] שאלה אדם קנה צמוקים בפיטראש לערך י' פיפי השק שוקל קמ"ד ליט' וקנה מהם ב' מאות ונשאם בוינישיאה ופזר בדרך כ"ד מנינים והנה הי"ב ליט' מפיטראש הם י' מוינישיאה וי"ב פפי הם א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור השק בוינישיאה שיש בו ר"ס ליט' שירויח כ' עבור ק‫'
Do as follows: see how much the 200 bags of Patras are worth:	כך תעשה ראה כמה שוים המאתים שקים מפיטראש
Rule of Three: say: if 1 bag is worth 10 pepi, how much are 200 worth? $\scriptstyle{\color{blue}{1:10=200:x}}$	ותאמ' אם שק א' שוה י' פפי מאתים כמה שוים
You receive two thousand.	ויצא לך אלפים
Now, divide them by 12, to convert them to minyanim; you receive 166 and 2-thirds.	ועתה תחלקם על י"ב כדי שיהיו מנינים ויצא לך קס"ו וב' שלישיות
Add the 24 he spent; they are 190 and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000}{12}+24=\left(166+\frac{2}{3}\right)+24=190+\frac{2}{3}}}$	תוסיף בם כ"ד שפזרו יהיו ק"צ וב' שלישיות
See how many liṭra of Patras there are in the 200 bags: in each one there are 144 liṭra, so, multiply 144 by 200; you receive 28800. $\scriptstyle{\color{blue}{200\times144=28800}}$	עתה ראה כמה ליט' של פיטראש יש בין המאתים שקים כי בכל א' יש קמ"ד ליט' ולכן כפול קמ"ד על ר' ויצא לך כ"ח אלפים וח' מאות
To know how many liṭra of Venice are they, you already know that 12 of Patras are 10 of Venice.	ולדעת כמה הם מליט' של וינישיאה כבר ידעת כי י"ב מפיטראש הם י' מוינישיאה
Rule of Three: so, say: if 12 are 10, how much are 28800? $\scriptstyle{\color{blue}{12:10=28800:x}}$	ולכן תאמר אם י"ב הם י' כ"ח אלפים ות"ת כמה הם
You receive 24000.	ויצא לך כ"ד אלפים
To know how much a bag, which is 260 liṭra, is worth in Venice:	ולדעת כמה שוה השק מוינישיאה שהם ר"ס ליט‫'
Rule of Three: say: if 24000 are equal to 190 minyanim and 2-thirds, how much are 260 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{24000:\left(190+\frac{2}{3}\right)=260:x}}$	תאמ' אם כ"ד אלפים שוים ק"צ מנינים וב' שלישיות ר"ס כמה שוים
You receive 2 and 59 parts of 900. $\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{59}{900}}}$	ויצא לך ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
To know in what way he will sell, so that he will earn 20 for every 100:	ולדעת באיזה אופן ימכור כדי להרויח כ' על כל ק‫'
Rule of Three: say: if 100 return 120, how much will 2 and 59 parts of 900 return? $\scriptstyle{\color{blue}{100:120=\left(2+\frac{59}{900}\right):x}}$	תאמ' אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
You receive 2 ducat, 11 grossi, 15 piccoli and some parts, and so he should sell the bag in Venice, in order to earn 20 for [every] 100.	ויצא לך ב' דוק' וי"א גרושי פיצולי ט"ו וחלקים וכך ראוי שימכור השק מוינישיאה כדי להרויח כ' בעד ק‫'
Give and Take Problems - Earning and Spending
311) Question: A man travels from Naples walking to Verona with an amount of money. He earns 20 for 100 and spends a quarter of the whole amount. He has 100 left. I ask: how much money he had when leaving Naples?	שיא)‫^[264] שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת בוירונא עם סך ממון ‫^[265]ומרויח הכ' עבור ק' ופזר רביעית כל הסך ונשארו לו ק‫' אשאל כמה ממון היה בנסעו מנאפולי
Suppose he had two hundred.	נניח שהיו לו מאתים
Add 40 to it, which is the profit of 20 for every hundred; it is 240. $\scriptstyle{\color{blue}{200+\left(2\sdot20\right)=200+40=240}}$	תוסיף בם מ' שהוא ריוח כ' על כל מאה ויהיו ר"מ
Subtract a quarter from it; 180 remains, but we ask for 100. $\scriptstyle{\color{blue}{240-\left(\frac{1}{4}\sdot240\right)=180}}$	תוציא מהם הרביעית וישארו ק"פ ואנו מבקשים ק‫'
Rule of Three: so, say: if 200 gives 180, what will give me 100? $\scriptstyle{\color{blue}{200:180=X:100}}$	ולכן תאמר אם ר' נתן ק"פ כמה יתנו לי באופן שיצא ק‫'
Yoe receive 111 and a ninth. $\scriptstyle{\color{blue}{X=111+\frac{1}{9}}}$	ויצא לך קי"א ותשיעית
You can check this.	ותוכל לבחון אותו
312) Question: A man travels from Venice walking to Naples with some dinar. He earns 20 for 100 and spends 32. Later, he discovered that he had earned 28 minyanim. I ask: how much money he had when leaving Venice?	שיב)‫^[266] שאלה אדם נוסע מוינישיאה ללכת בנאפולי עם דינרין ומרויח עבו' ק' כ' ומפזר ל"ב ואח"כ מצא שהרויח כ"ח מנינים אשאל עם כמה ממון נסע מוינישיאה
Do as follows: it is said that he spends 32, yet he has a profit of 28. If he would have not spent anything, he would have had a profit of 60 minyanim. $\scriptstyle{\color{blue}{32+28=60}}$	כך תעשה הוא אמר כי פזר ל"ב ועכ"ז נמצא עמו מריוח כ"ח אבל אם לא פזר מאומה היה עמו ס' מנינים מריוח
Rule of Three: so say: if 100 yields 20, how much is needed to earn 60? $\scriptstyle{\color{blue}{100:20=X:60}}$	ולכן תאמר אם ק' הרויח כ' כמה ראוי להיות כדי להרויח ס‫'
The result is 300 and so he has when leaving Venice. $\scriptstyle{\color{blue}{X=300}}$	ויצא ג' מאות וכך היה בנסעו מוינישיא
313) Question: A man travels from Venice walking to Súria and he carries with him an amount of money. He doubles his money there and spend 30 ducat. Then, he goes to Meudon. He earns 12 for every 10, and spends 20. Then, he goes to Candia [Heraklion]. He loses 20 for [every] 100 and spends 40. Eventually 150 remain. I ask: how much money did he leave with?	שיג)‫^[267] שאלה איש נוסע מוינישיאה ללכת בשוריאה ונושא עמו סך ממון וכפל לשם ממונו ופזר ל' דוק אח"כ הולך במודו ועבור כל י' עושה י"ב ופזר כ‫' אח"כ הולך בקאנדיאה והפסיד עבור ק' כ' ופזר מ' ואח"כ נשארו ק"נ אשאל עם כמה ממון נסע
You already know that he had 150 in Candia and he spent 40. Add it to 150; they are 190. $\scriptstyle{\color{blue}{150+40=190}}$	כבר ידעת כי היו לו ק"נ בקאנדיאה ופזר מ' הוסיפם על ק"נ ויהיו ק"צ
You receive 237 and a half and so he had before he went to Candia. $\scriptstyle{\color{blue}{190+\left(\frac{1}{4}\sdot190\right)=237+\frac{1}{2}}}$	ויצא לך רל"ז וחצי וכך היה לו קודם לכתו בקאנדיאה
Add to it the 20 he spent [in Meudon]; it is 257. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(237+\frac{1}{2}\right)+20=257+\frac{1}{2}}}$	ותוסיף על זה כ' שפזר ויהיו רנ"ז
To know how much he had before, you already know that he made 12 from [every] 10.	ולדעת כמה היה לו קודם כבר ידעת כי הוא עשה מי' י"ב
Rule of Three: so, say: if 12 are 10, how much are 257 and a half? $\scriptstyle{\color{blue}{12:10=\left(257+\frac{1}{2}\right):X}}$	ולכן תאמר אם י"ב היו י' כמה היו רנ"ז וחצי
You receive 214 and [7] parts of 12 and so he carried to Meudon. $\scriptstyle{\color{blue}{X=214+\frac{7}{12}}}$	ויצא לך רי"ד וד' חלקים מי"ב וכך נשא במודו
Add to it the [3]0 he spent [in Súria]; they are 244 and 7 parts of 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(214+\frac{7}{12}\right)+30=244+\frac{7}{12}}}$	תוסיף עליהם כ' שפזר ויהיו רמ"ד וז' חלקים מי"ב
Since it is said that he doubled his money, you should take a half of [2]44 and 7 parts [of 12]; you receive 122 and 7 parts of 24 and so he had when leaving Venice. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(244+\frac{7}{12}\right)=122+\frac{7}{24}}}$	והנה מצד שאמר כי הוא כפל ממונו ראוי לקחת חצי מקמ"ד וז' חלקים ויצא לך קכ"ב וז' חלקים מכ"ד וכך היה לו בנסעו מוינישיאה
You can check this.	ותוכל לבחון אותו
Multiple Quantities - Grinders
314) Question: if 3 grinders grind 230 tomolo in 4 days, I ask in how many days will 8 grinders grind one thousand and five hundred?	שיד)^[268] שאלה אם ג' טוחנות בד' ימים טוחנים ר"ל טומולי אשאל בכמה ימים ח' טוחנות יטחנו אלף וה' מאות
Rule of Three: say: if 3 grinders grind [230] in 4 days, how much will 8 grinders grind? $\scriptstyle{\color{blue}{3:230=8:X}}$	תאמר אם ג' טוחנות טוחני' בד' ימים כמה יטחנו ח' טוחנות
You receive the 8 grinders grind 613 and a third in 4 days. $\scriptstyle{\color{blue}{X=613+\frac{1}{3}}}$	ויצא לך כי ח' טוחנות יטחנו בד' ימים ו' מאות וי"ג ושליש
Rule of Three: then, say: if 613 and a third are equal to 4, how much are 1500 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(613+\frac{1}{3}\right):4=1500:X}}$	אח"כ תאמר אם ו' מאות וי"ג ושליש שוים ד' אלף וה' מאות כמה שוים
You receive 9 and 18 parts of 23. $\scriptstyle{\color{blue}{X=9+\frac{18}{23}}}$	ויצא לך ט' וי"ח חלקים מכ"ג
Find the Time Problem - Months, Minyanim
315) Question: if 250 minyanim yield 60 minyanim in 8 months, I ask in how much time will 400 minyanim yield 180?	שטו)‫^[269] שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ‫^[270]ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ
Rule of Three: say: if [2]50 yield 60 in 8, how much will 400 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{250:60=400:X}}$	ותאמר אם ק"נ הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות
You receive 96. So, with 400 minyanim we earn 96 in 8 months.	ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו
Rule of Three: then, say: if 96 gives me 8, how much will 180 give? $\scriptstyle{\color{blue}{96:8=180:X}}$	א"כ תאמר אם צ"ו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן
The result is 15. So, in 15 months with 400 minyanim we earn 180.	ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ
Find the Amount Problems
316) Question: if a kikkar of chestnuts is worth 2 minyanim and a half and a man sells one liṭra for 14 piccoli, I ask: if one kikkar is worth 2 minyanim, what weight should be given for one soldo?	שיו)‫^[271] שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו
Rule of Three: do as follows: say: when one kikkar is worth 2 minyanim and a half I sell 14, how much will I sell when it is worth 2? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):14=2:x}}$	תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור
You receive 11 and a fifth. $\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{5}}}$	ויצא לך י"א וחומש
Rule of Three: to know how much weight should be given for one soldi, say if for 11 and a fifth I give 12 ՚oqya that are in a liṭra, how much will I give for 12 piccoli that are 1 soldo? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right):12=12:x}}$	ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו
You receive 12 and 6-sevenths and so the liṭra should be sold. $\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{6}{7}}}$	ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט‫'
317) Question: when one tomolo of wheat is worth 80 soldi, the bread that is sold for 4 piccoli weighs 6 ՚oqya. When one tomolo is worth only 70 soldi, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?	שיז)‫^[272] שאלה כשהטומולי מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
Rule of Three: you should say: if 70 yields 6 ՚oqya, how much will 80 yield?? $\scriptstyle{\color{blue}{70:6=80:x}}$	ראוי שתאמר אם ע' נתן ו' אוק' כמה יתנו פ‫'
You receive 6 and 6 parts of 7 and so the bread that is worth 4 piccoli should weigh. $\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}$	ויצא לך ו' וו' חלקים מז' וכך ראוי שישקול הלחם השוה ד' פיצולי
318) Question: when one kikkar of wheat is worth 80 soldi, the bread that is worth 6 piccoli weighs 9 ՚oqya. When one kikkar is worth only 70, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?	שיח)‫^[273] שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו‫' כשהככר לא ישוה כי אם ע' כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
Rule of Three: do as follows: say: if 70 yields 9 ՚oqya, how much will 80 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{70:9=80:x}}$	עשה כך תאמר אם ע' נתן ט' אוק' פ' כמה יתן
You receive 10 and 2-sevenths and so the bread that is sold for 6 piccoli should weigh. $\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{2}{7}}}$	ויצא לך י' וב' שביעיות וכך ראוי שישקול הלחם הנמכר ו' פיצולי
Rule of Three: to know how much the bread that is sold for 4 [piccoli] should weigh, say: if 6 yields 10 and 2-sevenths, how much will 4 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(10+\frac{2}{7}\right)=4:x}}$	ולדעת כמה ישקול הנמכר ד' תאמ' אם ו' נתן י' וב' שביעיות מה יתן ד‫'
The result is 6 and 6-sevenths and so it should weigh. $\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}$	ויצא ו' וו' שביעיות וכן ראוי שישקול
319) Question: when one kikkar of wheat weighs 132 liṭra, and the kikkar is worth 24 grossi, the bread that is sold for 6 piccoli weighs 12 ՚oqya. I ask: when one kikkar weighs 120 and is worth 16 grossi, how much should the bread for 4 piccoli weigh?	שיט)‫^[274] כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק‫' אשאל כשהככר שוקל ק"כ ושוה י"ו גרושי כמה ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי
Rule of Three: do as follows: say: if 132 liṭra for 24 grossi yield 12 ՚oqya from 6 piccoli, how much will 120 yield? $\scriptstyle{\color{blue}{132:12=120:X}}$	תעשה כך תאמר אם קל"ב ליט' עם כ"ד גרושי נתנו לי י"ב אוק' עבור ו' פיצולי כמה יתנו ק"כ
The result is 10 and 10 parts of 11. So, the bread that is sold for 6 piccoli should weigh 10 and 10 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\frac{10}{11}}}$	ויצא י' וי' חלקים מי"א א"כ הלחם הנמכר ו' פיצולי אין ראוי לשקול כי אם י' וי' חלקים מי"א
Rule of three: to know how much should it weigh for 4 piccoli, say: if 16 grossi give me 10 and 10 parts of 11, how much will 24 give? $\scriptstyle{\color{blue}{16:\left(10+\frac{10}{11}\right)=24:x}}$	ולדעת כמה ישקול עבור ד' תאמר אם י"ו גרושי נתנו לי י' וי' חלקים מי"א כמה יתנו כ"ד
Rule of three: you receive something, then say: if 6 piccoli give me this, how much will 4 piccoli give? $\scriptstyle{\color{blue}{6:x=4:y}}$	ויצא לך איזה דבר אח"כ תאמר ‫^[275]אם ו' פיצולי נתנו לי כך כמה יתנו ד' פיצולי
You receive 10 and 10 parts of 11, and so the bread [that is sold] for 4 piccoli should weigh at the mentioned price. $\scriptstyle{\color{blue}{y=10+\frac{10}{11}}}$	ויצא לך י' וי' חלקים מי"א וכך ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי לערך הנז‫'
Proportional Division Problem - Debt between Two Brothers
320) Question: two brothers are obligated to pay off 700 minyanim. The first earns 2-thirds and spends 2-fifths. The other earns 3-quarters and spends a half each day. I ask: how long will it take them to pay off their debt? $\scriptstyle\left(\frac{2}{3}X-\frac{2}{5}X\right)+\left(\frac{3}{4}X-\frac{1}{2}X\right)=700$	שכ)‫^[276] שאלה ב' אחים מחוייבים לפרוע ז' מאות מנינים הראשון מרויח ב' שלישיות ומפזר ב' חמישיות האחר מרויח ג' רביעיות ומפזר חצי בכל יום אשאל בכמה זמן ירויחו כדי לפרוע חובם
You already know that the fractions are a half, a third, a quarter, and a fifth. Look for a number that includes these parts; it is 60.	כבר ידעת כי החלקים הם חצי ושליש ורביע וחומש בקש מספר כולל החלקי' והוא ס‫'
Since one earns 2-thirds, extract 2-thirds of 60, which is 40. So, in 60 he earns 40.	ויען כי א' מרויח ב' שלישיות הוצא ב' שלישיות ס' שהם מ' א"כ בס' ירויח מ‫'
Since he spends 2-fifths, extract 2-fifths of 60, which is 24.	ומצד כי מפזר ב' חמישיות הוצא ב' חמישיות ס' שהם כ"ד
Subtract it from 40; 16 remains. Hence, in 60 days he earns 16. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot60\right)-\left(\frac{2}{5}\sdot60\right)=40-24=16}}$	הוציאם ממ' נשאר י"ו א"כ בס' ימים הרויח י"ו
The other earns 3-quarters. Extract it from 60, it is 45.	והשני מרויח ג' רביעיות הוציאם מס' שהם מ"ה
Subtract from it the half, which is 30; [15] remain, which is what he earns in 60 [days]. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot60\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)=45-30=15}}$	הוצא מהם החצי שהם ל' נשארו ט' שמרויח בחדש בס‫'
Sum them up; it is 31. So, in 60 [days] the earn 31. $\scriptstyle{\color{blue}{16+15=31}}$	חברם ויהיו ל"א א"כ בס' מרויחים ל"א
Rule of three: say: if 31 gives 60, how much will 700 give? $\scriptstyle{\color{blue}{31:60=700:X}}$	ותאמ' אם ל"א נתנו ס' ז' מאות מה יתנו
The result is 1354 and 26 parts of 31 and in [this number of] days they will earn the required. $\scriptstyle{\color{blue}{X=1354+\frac{26}{31}}}$	ויצא אלף שנ"ד וכ"ו חלקים מל"א ובכך ימים ירויחו הנז‫'
Purchase Problem - Unequal Amount - Two Kinds of Goods
321) Question: a man buys two kinds of goods weighing together 12 liṭra and worth 16 soldi. One weighs 5 and the other weighs 7. Every liṭra of the one that weighs 5 is worth 3 piccoli more than of the one that weighs 7. I ask: how much is the price of each?	שכא)‫^[277] שאלה אדם קונה מב' מיני סחורה שוקלים בין שניהם י"ב ליט' ושוים י"ו שולדי הא' שוקל ה' והאחר ז' ואותו השוקל ה' שוה כל ליט' ג' פיצולי יותר מאותו השוקל ז‫' אשאל כמה ערך הליט' משניהם
You already know that every liṭra of the one of 5 is worth 3 piccoli more than of the other, so 5 liṭra are worth 15 piccoli more. $\scriptstyle{\color{blue}{1:3=5:15}}$	כבר ידעת כי אותה של ה' שוה הליט' ג' פיצולי יותר מהאחר א"כ הה' ליט' שוות ט"ו פיצולי יותר
Subtract them from 16 soldi; the remainder is 14 soldi and 9 piccoli. $\scriptstyle{\color{blue}{16-\frac{15}{12}=14+\frac{9}{12}}}$	הוציאם מי"ו סולדי הנשאר י"ד סולדי וט' פיצולי
Divide them by 12, which are the total liṭra; the result is 1 soldo plus 2 piccoli and 3-quarters and this is the price of the one that weighs 7, i.e. the price of every liṭra. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14+\frac{9}{12}}{12}=1+\frac{2+\frac{3}{4}}{12}}}$	וחלקם על י"ב שהם הליט' משניהם ויצא א' סולדו וב' פיצולי וג' רביעיות והוא ערך מאותו השוקל ז' ר"ל ערך כל ליט‫'
So, the price of the one that weighs 5 is 1 soldo plus 5 piccoli and 3-quarters. $\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{2+\frac{3}{4}}{12}+\frac{3}{12}=1+\frac{5+\frac{3}{4}}{12}}}$	א"כ ערך מאותו ששוקל ה' הוא א' סולדו וה' פיצולי וג' רביעיו‫'
You can check it.	ותוכל לבחון אותו
Know that in one soldo there are 12 piccoli.	ודע כי י"ב פיצולי יש בסולדו
Buy and Sell Problem - Eggs
322) Question: a man bought eggs at 3 for 5 piccoli, then he sold them at 4 for 9 piccoli, and he earned twenty soldi and 5 piccoli. I ask: how many eggs did he buy?	שכב)‫^[278] שאלה אדם קונה ביצות הג' שוים ה' פיצולי ואח"כ מכרם ד' עבור ט' פיצולי והרויח עשרים סולדי וה' פיצולי אשאל כמה ביצות קנה
Since he bought 3 and sold 4, look for a number that has a third and a quarter; it is 12.	הנה מצד כי קנה ג' ומכר ד' בקש מספר לו שליש ורביע והוא י"ב
He bought 3 for 5 piccoli, so the 12 are worth 20 piccoli. $\scriptstyle{\color{blue}{3:5=12:20}}$	וכבר קנה הג' ה' פיצולי א"כ הי"ב שוים כ' פיצולי
He sold 4 for 9 piccoli, so the 12 are worth 27 piccoli. $\scriptstyle{\color{blue}{4:9=12:27}}$	ומצד כי מכר הד' ט' פיצולי הי"ב ישוו כ"ז פיצולי
Hence, for 12 he earned 7. $\scriptstyle{\color{blue}{27-20=7}}$	א"כ עבור י"ב ירויח ז‫'
Convert 20 soldi into piccoli; they are 245 with the 5. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot12\right)+2=245}}$	עשה פיצולי מכ' סולדי ויהיו רמ"ה עם הה‫'
Rule of Three: say: if he needs 12 in order to earn 7, how much will he need in order to earn 245? $\scriptstyle{\color{blue}{7:12=245:X}}$	ותאמר אם כדי להרויח ז' יצטרך י"ב כדי להרויח רמ"ה כמה יצטרך
You receive 420 and so he bought.	ויצא לך ד' מאות וכ' וכן קנה
You can check it.	ותוכל לבחון אותו
Give and Take Problem - Building
323) Question: A man wants to build a building. He agrees with a craftsman to do his work in 40 days and he would pay the craftsman 20 soldi every day and every day that the craftsman does not work he would pay the owner 28. He rested [a certain number of] days and he worked [a certain number of] days and finally he lost more than he gained. How many days did he work and how many [days] did he rest?	שכג)^[279] ‫^[280]שאלה אדם רוצה לעשות בנין ודבר לאומן לעשות מלאכתו במ' יום ויתן אל האומן בכל יום כ' סולדי ובכל יום שהאומן לא יעשה מלאכה יתן אל הבעל כ"ח ושבת מכל מלאכתו ימים ועבד ימים ולבסוף יצא שכרו בהפסדו כמה ימים עבד וכמה שבת
You should assume what he earns each day are the days he rested and assume what he pays in the days he pays for his work as the days he worked.	יש לך לשים מה שהוא מרויח בכל יום שהם הימים ששבת ומה שהוא פורע בימים שהוא פורע ממלאכתו תשים הימים שעשה מלאכה
So, according to this way, [the] days he worked are 28 and the days he rested are 20.	א"כ ה' ימים שעשה מלאכה לפי זה הדרך הם כ"ח והימים ששבת הם כ‫'
Sum them up; they are 48. $\scriptstyle{\color{blue}{28+20=48}}$	וחברם ויהיו מ"ח
Rule of Three: But, we ask for 40, so say: if 48 gives me 28, which are the days he worked, how many days will 40 give me? $\scriptstyle{\color{blue}{48:28=40:X}}$	ואנו מבקשים מ' ולכן תאמר אם מ"ח נתן לי כ"ח והם הימים שעשה מלאכה כמה ימים יתן לי מ‫'
You receive 23 and a third and these are the days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{X=23+\frac{1}{3}}}$	ויצא לך כ"ג ושליש והם הימים שעשה מלאכה
The complement of 40 is [the days] he rested.	ועד תשלום מ' שבת
Too Much and Too Little Problem - Workers
324) Question: A man has money and comes to pay wages to the workers. He says: if I will give each one 12 liṭra, I will have 50 liṭra left and if I will give 15 to each, 70 will be missing. I ask: how many are the workers and how much is the money?	שכד)^[281] שאלה לאדם יש לו ממון ובא לתת שכר לפועלים ואומר אם אתן לכל א' י"ב ליט' ישאר לי נ' ליט' ואם אתן ט"ו לכל א' יחסר ע‫' אשאל כמה הם הפועלים וכמה הוא הממון
Add 50 to 70; it is 120.	תחבר נ' עם ע' ויהיו ק"כ
Subtract 12 from 15; 3 remains.	גם הוצא י"ב מט"ו נשארו ג‫'
Divide 120 by 3; you receive 40 and this is the number of the workers. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{50+70}{15-12}=\frac{120}{3}=40}}$	תחלק ק"כ על ג' ויצא לך מ' וכך הם הפועלים
To know how much is the money: you already know that he said that if he will give 12 to each, 50 will remain.	ולדעת כמה ממון היה לו כבר ידעת כי הוא אמר אם יתן י"ב לכל אחד ישאר נ‫'
So, multiply 40 by 12; the result is 480.	לכן כפול מ' על י"ב ויצא ת"פ
Add 50 to it; it is 530. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(40\sdot12\right)+50=480+50=530}}$	תוסיף עליהם נ' ויהיו תק"ל
Or, if you want, multiply 40 by 15 and subtract 70 from the product; the remainder is also 530. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(40\sdot15\right)-70=530}}$	או אם תרצה כפול מ' על ט"ו ומהעולה תוציא ע' וישאר ג"כ תק"ל
You can check this.	ותוכל לבחון אותו
Give and Take Problem - Craftsman - Double False Position
325) Question: A man has money and he has to do a work. He spoke with the craftsman and promised him that every day he works he will pay him twenty and on a day he does not work the craftsman will pay the employer 28. At the end there is only 30 left in the craftsman's hands. I ask: how many days he worked and how many days he rested?	שכה)‫^[282] שאלה לאדם יש לו ממון ויש לו לעשות מלאכה ודבר לאומן ונדר לו שיתן לו בכל יום שיעבוד עשרים וביום שלא יעבוד יתן האומן אל בעל המלאכה כ"ח ולבסוף לא נשאר ביד האומן כי אם ל‫' אשאל כמה ימים עבד וכמה ימים שבת
The work should have been done in 40 days.	והנה היה ראוי לעשות המלאכה במ' יום
The way is as follows: use false positions	הדרך הוא כך עשה הנחות כוזבות
False Position 1: We assume a number less than 40, because the work was done within 40 [days]. We say he did the work in 24 [days], so he earned 480 in 24, and he rested from 24 to 40, which is 16. Multiply it by 28; it is 448. Subtract it from 480; 32 remains. But, we ask that only 30 will remain. Hence, we say that 2 is an excess for 24.	ולכן נניח איזה מספר שיהיה למטה ממ' מצד כי המלאכה נעשתה תוך מ‫' ונאמר כי הוא עשה מלאכה כ"ד א"כ ירויח בכ"ד ד' מאות ופ‫' והנה שבת מכ"ד עד מ' שהם י"ו וכפלם על כ"ח ויהיו תמ"ח הוציאם מת"פ וישארו ל"ב ואנו מבקשי' שלא ישאר לו כי אם ל‫' לכן נאמ' עבור כ"ד נשארו ב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{24\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot24=480\\\scriptstyle40-24=16\\\scriptstyle28\sdot16=448\end{cases}\longrightarrow480-448=32\longrightarrow32-30=2}}$
False Position 2: Now, we assume another false position: we suppose he worked 26 days. So, he rested from 26 to 40, which is 14 and if he worked 26, he earned 520. Multiply 14 also by 28; it is 392. Subtract it from 520; it is 128. So, he earned 128 dinar. Subtract from them the 30 dinar we want him to earn; 98 remain. Hence, say: for 26 the excess is 98.	ועתה נעשה הנחה אחרת ונניח שעבד כ"ו ימים א"כ הוא שבת מכ"ו עד מ' שהם י"ד ואם עבד כ"ו ירויח תק"כ ‫^[283]גם כפול י"ד על כ"ח ויהיו ג' מאות וצ"ב הוציאם מתק"כ ויהיו קכ"ח הנה א"כ ירויח קכ"ח דינרין תוציא מהם ל' דינרין שאנו מבקשים שירויח וישארו צ"ח לכן תאמר עבור כ"ו נשארו צ"ח
$\scriptstyle{\color{blue}{26\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot26=520\\\scriptstyle40-26=14\\\scriptstyle28\sdot14=392\end{cases}\longrightarrow520-392=128\longrightarrow128-30=98}}$
Know that if there are excesses in both false positions, the smaller should be subtracted from the greater. If there are deficiencies in both false positions you assumed, the smaller deficiency should be subtracted from the greater. What remains is called a divisor ["partitore"]. If one false position exceeds and the other is deficient, the excess should be added to the deficiency and the result is called a divisor.	ודע כי אם נשאר בכל הב' הנחות ראוי להוציא הקטן מהגדול ואם יחסר בכל הב' הנחות שעשית ראוי ג"כ להוציא החסרון הקטן מהגדול ומה שנשאר נקרא פארטידוש ואם ההנחה הא' מוסיף והאחר מחסר ראוי לחבר התוספת עם החסרון ומה שיעלה נקרא פארטידור
You see that both false positions we assumed are exceeding - the first exceeds by 2 and the second exceeds by 98. So, subtract 2 from 98; 96 remains and this is the divisor.	והנך רואה כי הב' הנחות שעשינו כל א' מוסיף הראשנה מוסיף ב' והב' מוסיף צ"ח לכן הוציא ב' מצ"ח ישאר צ"ו והוא המחלק
Now, multiply crosswise, i.e. 24 by 98; it is 2352. Multiply also 26 by 2; the result is 52. Subtract it from 2352; the remainder is 2300. Divide it by 96; the result is 23 and 23 parts of 24 and this is [the number of] days he worked. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(24\sdot98\right)-\left(26\sdot2\right)}{98-2}=\frac{2352-52}{96}=\frac{2300}{96}=23+\frac{23}{24}}}$	ועתה כפול בשתי וערב ר"ל כ"ד על צ"ח ויהיו ב' אלפים וג' מאות ונ"ב גם כפול כ"ו על ב' ויצא נ"ב הוציאם מב' אלפים וג' מאות ונ"ב הנשאר ב' אלפים וג' מאות חלקם על צ"ו ויצא כ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד וכך הם הימים שעבד
To know how many days he rested, see the difference from 23 and 23 parts of 24 to 40; you receive 16 and one part of 24 and this is [the number of] days he rested. $\scriptstyle{\color{blue}{40-\left(23+\frac{23}{24}\right)=16+\frac{1}{24}}}$	ולדעת כמה ימים שבת ראה המרחק מכ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד עד מ' ויצא לך י"ו וחלק אחד מכ"ד וכן הוא הימים ששבת
You can check this.	ותוכל לבחון אותו
"If You Give Me" Problem - Three Men, Merchandise - Quadruple False Position
326) Question: three men want to buy merchandise. The first says to the two others: if you give me half of your money, with my money, it will be 20. The second answers: if you give me a third of your money, with mine, it will be 20. The third answers: if you give me a quarter of your money, with mine, it will be 20. I ask: how much does each have? $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=20\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=20\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=20\\\end{cases}$	שכו)‫^[284] שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות סחורה אמר הראשון לב' הנשארים אם תתנו לי חצי מממונכם עם שלי ויהיו כ‫' השיב השני אם תתנו לי שליש ממונכם עם שלי יהיו כ‫' השיב הג' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם שלי ויהיו כ' אשאל כמה לכל א' וא‫'
The way is as follows:	הדרך הוא כך
We suppose the first has 12, so he lacks 8 to 20.	נניח שהיה לראשון י"ב ויחסר לו עד כ' ח‫'
Since he said that if the other two will give him half their money, it will be 20, the two others should have 16, because its half is 8.	ומצד כי אמר אם הב' הנשארים יתנו לו חצי ממונם יהיו כ' יצטרך שיהיה בין השנים הנשארים י"ו כי חציים ח‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X_1=12\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-12=8=\frac{1}{2}\sdot16\longrightarrow Y_1+Z_1=16}}$
Therefore, one should know how much each of the other two has. We make another assumption:	ולכן ראוי לדעת כמה יש לכל א' מאלו הב' נשארים נעשה הנחה אחרת
We suppose the second has 7 and the third has 9. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=9\end{cases}}}$	ונניח כי היה לב' ז' ולג' ט‫'
We already said that the second said to the other two that [if] they will give him a third of their money, it will be 20.	וכבר אמרנו כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם יהיו כ‫'
We add the money of the first, which is 12, to the money of the third, which is 9; it is 21.	לכן נחבר ממון הראשון שהוא י"ב עם ממון הג' שהוא ט' יהיו כ"א
Take its third; it is 7.	הוצא מהם שלישיתם ויהיו ז‫'
Add it to the money of the second, which is 7; it is 14.	חברם עם ממון הב' שהם ז' יהיו י"ד
So, we are missing 6 to 20.	א"כ יחסר לנו עד כ' ו‫'
False Position 1: Keep in mind what you assumed for the second, which is 7, with what you assumed for the third, which is 9, as well as what we are missing for this assumption, which is 6; and this will be the first part of the second assumption.	ולכן שים לך למזכרת מה שהנחת עבור הב' שהוא ז' עם מה שהנחת עבור הג' שהוא ט' גם מה שמחסר לנו עבור זאת ההנחה שהוא ו‫' וזה יהיה החלק הראשון מן ההנחה הב‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+9\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=7+7=14}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-14=6}}$
To know the other part of the second assumption, we do as follows: we say that of the 16 ducat that the second and the third should have, the second will have 10 and the third 6. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=6\end{cases}}}$	ולדעת החלק האחר מן ההנחה הב' נעשה כך ונאמר נניח כי מאלו הי"ו דוקטי שראוי שיהיו בין הב' והג' יהיה לב' י' ולג' ו‫'
You know that the second said to the other two that if they will give him a third of their money, he will have 20.	והנה ידעת כי הב' אמר לב' הנשארים ‫^[285]אם יתנו לו שליש ממונם שיהיה לו כ‫'
So, add 12, which is [the money of] the first, to 6, which is [the money of] the third; it is 18.	לכן חבר י"ב שהוא הא' עם ו' שהוא הג' ויהיו י"ח
Take its third; it is 6.	קח שלישיתם ויהיו ו‫'
Give it to the second, who has 10; it is [16].	תנם לב' שיש לו י' ויהיו
So, 4 is missing to 20.	ויחסר עד כ' ד‫'
False Position 2: We put as the second part of the second assumption the 10 that we assumed for the money of the second, with the 6 that we assumed for the money of the third, as well as the 4 that is the complement to 20. According to this diagram:	לכן נשים החלק הב' מההנחה הב' י' ששמנו ממון הב' עם ו' ששמנו ממון הג' ועם ד' שמחסר לנו עד תשלום כ' בזאת הצורה
$\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+6\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=10+6=16}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-16=4}}$
Since each of these assumptions is insufficient, i.e. the first is missing 6 and the other 4, we subtract 4 from 6; 2 remains and this is the divisor.	והנה מצד כי כל א' מאלו ההנחות מחסרות ר"ל הא' מחסרת ו' האחרת ד' נוציא ד' מו' וישארו ב' והוא המחלק
Then, multiply 6 by 10; it is 60.	אח"כ כפול ו' על י' ויהיו ס‫'
Multiply also 4 by 7; it is 28.	גם כפול ד' על ז' ויהיו כ"ח
Subtract it from 60; 32 remains.	הוציאם מס' וישארו ל"ב
Divide it by 2; the result is 16. $\scriptstyle{\color{blue}{Y_1=\frac{\left(6\sdot10\right)-\left(4\sdot7\right)}{6-4}=\frac{60-28}{2}=\frac{32}{2}=16}}$	חלקם על ב' ויצא י"ו
Therefore, 16 is the first part of the first assumption, i.e. the the money of the [second] is 16.	א"כ י"ו החלק הראשון מההנחה הראשנה ר"ל שיהיה ממון הראשון י"ו
Multiply also the money of the third, which we assumed to be 6; say 6 times 6 is 36.	גם כפול ממון הג' שאמרנו שהוא ו' ותאמר ו' פעמים ו' הם ל"ו
Multiply also 4 by 9; it is 36.	גם כפול ד' על ט' ויהיו ל"ו
Subtract 36 from 36; nothing remains.	הוצא ל"ו מל"ו הנשאר מאומה
Divide it by 2; the result is also nothing. $\scriptstyle{\color{blue}{Z_1=\frac{\left(6\sdot6\right)-\left(4\sdot9\right)}{6-4}=\frac{36-36}{2}=\frac{0}{2}=0}}$	חלקם על ב' גם יצא מאומה
Therefore, you get in the first part of the first assumption that the first has 12, the second 16, and the third nothing.	הא"כ יש לך בחלק הא' מההנחה הא' שהא' יש לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה
To find the second part of the first assumption, we suppose the first has 9.	ולמצא החלק הב' מההנחה הא' נניח שהיה לראשון ט‫'
He said to the other two to give him half their money and it will be 20. From 9 to 20 there is 11, so 11 is [half] the money of the second and the third. Therefore the two have 22.	והוא אמ' לב' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויהיו כ' א"כ מט' עד כ' הם י"א ואלו הי"א הוא ממון הב' והג' א"כ בין שניהם יש כ"ב
$\scriptstyle{\color{blue}{X_2=9\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-9=11=\frac{1}{2}\sdot22\longrightarrow Y_2+Z_2=22}}$
Now we have to make a third assumption to know how much the second has and how much the third has out of the 22: We suppose the second has 7, so the third has 15. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=15\end{cases}}}$	ועתה יש לעשות הנחה ג' לדעת כמה יש לב' מאלו הכ"ב גם כמה יש לג' ונניח שהיה לב' ז' א"כ לג' ט"ו
Since the second said to the other two to give him a third of their money, we add the money of the first, which is 9, to 15; it is 24.	ומצד כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממון הא' שהוא ט' עם ט"ו ויהיו כ"ד
Take its third; it is 8.	קח שלישיתם שהם ח‫'
Give it to the second, who has 7; it is 15.	ותנם לב' שיש לו ז' ויהיו ט"ו
So, 5 is missing to 20.	ויחסר עד כ' ה‫'
False Position 3: Keep in mind what you assumed for the second, which is 7, with what you assumed for the third, which is [15], as well as the complement to 20, which is 5. This will be the first part of the third assumption.	ולכן שים לך למזכרת מה ששמת עבור הב' שהוא ז' ומה ששמת עבור הג' שהוא ט' ומה שחסר לך עד תשלום כ' שהוא ה‫' וזה יהיה חלק הראשון מההנחה הג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+15\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=7+8=15}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-15=5}}$
For the second part of the third assumption we suppose that the second has 10 of the 22 ducat, so the third should have 12. $\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=12\end{cases}}}$	ובעבור החלק הב' מההנחה הג' ונניח כי היה לב' מאלו הכ"ב דוקטי י' א"כ ראוי להיות לג' י"ב
Since the [second] said to the [first] and the third to give him a third their money, we add [the money of] the first, which is 9, to the money of the third, which is 12; it is 21.	ומצד כי הא' אמר לב' ולג' שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממונם הראשון שהוא ט' עם ממון הג' שהוא י"ב ויהיו כ"א
Take its third; it is 7.	קח שלישיתם והנם ז‫'
Give it to the second, who has [10]; it is 17.	תנם לשני שיש לו ויהיו י"ז
So, 3 is missing to 20.	ויחסר עד כ' ג‫'
False Position 4: We put as the second part of the third assumption the 10 that you assumed for the second, the 12 for the third, and the 3 that is the complement to 20. As you can see:	ולכן נשים החלק הב' מההנחה הג' י' שנתת ‫^[286]לב' וי"ב מן הג' וג' שחסר לנו עד כ' כמו שאתה רואה
$\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+12\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=10+7=17}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-17=3}}$
Since each [of these assumptions] is insufficient, i.e. the first part is missing 5 and the second part is missing 3, subtract 3 from 5; 2 remains and this is the divisor.	ומצד כי כל אחד מחסר ר"ל החלק הא' חסר ה' והחלק הב' חסר ג' לכן הוצא ג' מה' הנשאר ב' והוא המחלק
Multiply 5 by 10; it is 50.	אח"כ כפול ה' על י' ויהיו נ‫'
Multiply also 3 by 7; it is 21.	עוד כפול ג' על ז' ויהיו כ"א
Subtract it from 50; 29 remains.	הוציאם מנ' וישארו כ"ט
Divide it by 2; it is 14 and a half. Put this for the second in the second part of the first assumption, i.e. the second has 14 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{Y_2=\frac{\left(5\sdot10\right)-\left(3\sdot7\right)}{5-3}=\frac{50-21}{2}=\frac{29}{2}=14+\frac{1}{2}}}$	חלקם על ב' ויהיו י"ד וחצי וכך תשים בחלק הב' מההנחה הא' עבור הב' ר"ל שיהיה לב' י"ד וחצי
For the third, we multiply [5] by 12; it is 60.	ובעבור הג' נכפול ב' על י"ב ויהיו ס‫'
We multiply also 3 by 15; it is 45.	גם נכפול ג' על ט"ו ויהיו מ"ה
Subtract 45 from 60; 15 remains.	הוצא מ"ה מס' נשאר ט"ו
Divide it by 2; it is 7 and a half. Put this for the third. $\scriptstyle{\color{blue}{Z_2=\frac{\left(5\sdot12\right)-\left(3\sdot15\right)}{5-3}=\frac{60-45}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}$	חלקם על ב' ויהיו ז' וחצי וכך תשים עבור הג‫'
We already found in the first time that the first has 12, the second has 16, and the third has nothing; and in the second part we found that the first has 9, the second has 14 and a half, and the third has 7 and a half. Now, we should examine: when we give each one what we received, if each one has twenty with the parts he asks for.	וכבר מצאנו בפעם הא' כי לא' היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה ובחלק הב' מצאנו כי לא' יש לו ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי ועתה יש לראות אם נתן לכל א' מה שיצא לנו אם יהיה לכל א' וא' עשרים עם החלקים ששואל
You know that in the first assumption we found that the first has 12, the second has 16, and the third has nothing.	כבר ידעת כי בהנחה הראשנה מצאנו שהראשון היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה
Divide the share of the second, which is 16, by 2; it is 8. Give it to the first; it is 20, because he asks for half the money of the second and the third.	חלק חלק הב' שהוא י"ו על ב' ויהיו ח' ותנם לראשון ויהיו כ' מצד כי הוא שואל חצי ממון הב' והג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X_1+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=12+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+0\right)\right]=12+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12+8=20}}$
Also if you give the second a third of the money of the first and the third, he will have 20, because his money is 16 and a third of the money of the first is 4. Add it to 16; it is 20, for the third has nothing.	גם אם תתן לב' שליש ממון הא' והג' יהיו לו כ' כי ממונו הוא י"ו ושליש ממון הא' הוא ד' תוסיפם על י"ו ויהיו כ' כי אין לג' מאומה
$\scriptstyle{\color{blue}{Y_1+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_1\right)=16+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+0\right)\right]=16+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=16+4=20}}$
To see how much the third will have: he asks for a quarter of the money of his friends. Add 16 to 12; it is 28. Take its quarter; it is 7. But, we ask that he will have 20, so 13 is missing to 20.	ולראות כמה יהיה לג' הנה הוא שואל רביעית ממון חביריו ולכן חבר י"ו עם י"ב ויהיו כ"ח קח רביעיתם ויהיו ז' ואנו מבקשים שיהיה לו כ' ולכן יחסר עד כ' י"ג
$\scriptstyle{\color{blue}{Z_1+\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Y_1\right)=0+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+16\right)\right]=0+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)=0+7=7}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-7=13}}$
Put 13 beneath the first part of the assumption.	לכן שים י"ג תחת החלק הא' מההנחה
To see the second part: you know that we found that the first has 9, the second has 14 and a half, and the third has 7 and a half.	ולראות החלק הב' כבר ידעת כי מצאנו שהיה לראשון ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי
The first asks for a half of 14 and a half and 7 and a half, which is 11. Give it to the one who has 9; it is 20.	והראשון שואל חצי י"ד וחצי וז' וחצי שהם י"א ותנם לו שיש לו ט' ויהיו כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X_2+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_2+Z_2\right)=9+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=9+11=20}}$
Add also the money of the first to [the money of] the third; it is 16 and a half. Take its third, which is 5 and a half, and give it to the second who has 14 and a half; it is 20.	עוד חבר ממון הא' עם הג' ויהיו י"ו וחצי וקח שלישיתם שהם ה' וחצי ותנם לב' שיש לו י"ד וחצי ויהיו כ‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Y_2+\frac{1}{3}\sdot\left(X_2+Z_2\right)&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[9+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)=20\\\end{align}}}$
To see how much the third will have: add the money of the first to [the money of] the second and take their quarter, which is 5 and 7-eighths; it is 13 and 3-eighths. So, 6 and 5-eighths is missing to 20.	ולראות כמה יש לג' חבר ממון הא' עם הב' וקח רביעיתם שהם ה' וז' שמיניות ויהיו י"ג וג' שמיניות ויחסר עד כ' ו' וה' שמיניות
$\scriptstyle{\color{blue}{Z_2+\frac{1}{4}\sdot\left(X_2+Y_2\right)=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[9+\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{7}{8}\right)=13+\frac{3}{8}}}$ $\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(13+\frac{3}{8}\right)=6+\frac{5}{8}}}$
Put it beneath the second part of the assumption. According to this diagram:	ותשימם תחת החלק הב' מההנחה כמו זאת הצורה
You have found that in the first part 13 is missing and in the second part 6 and 5-eighths is missing.	והנה מצאת בחלק הראשון פחות י"ג ובחלק השני פחות ו' וה' שמיניות
Subtract the smaller from the greater; the remainder is 6 and 3-eighths.	הוצא ‫^[287]הקטון מהגדול הנשאר ו' וג' שמיניות
Now, multiply 13 by 9; it is 117.	ועתה כפול י"ג על ט' ויהיו קי"ז
Multiply also 12 by 6 and 5-eighths; it is 79 and a half.	עוד כפול י"ב על ו' וה' שמיניות יהיו ע"ט וחצי
Subtract it from 1[1]7; 37 and a half remains.	והוציאם מקצ"ז וישארו ל"ז וחצי
Divide it by 6 and 3-eighths; you receive 5 and 15 parts of 17 and this is the share of the first.	וחלקם על ו' וג' שמיניות ויצא לך ה' וט"ו חלקים מי"ז והוא חלק הא‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(13\sdot9\right)-\left[12\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{117-\left(79+\frac{1}{2}\right)}{6+\frac{3}{8}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=5+\frac{15}{17}}}$
To know how much the second has: multiply 13 by 14 and a half; it is 188 and a half.	ולדעת כמה יש לב' כפול עוד י"ג על י"ד וחצי ויהיו קפ"ח וחצי
Multiply also 6 and 5-eighths by 16; it is 106.	עוד כפול ו' וה' שמיניות על י"ו ויהיו ק"ו
Subtract it from 188 and a half; 82 and a half remains.	הוציאם מקפ"ח וחצי וישארו פ"ב וחצי
Divide it by [6] and 3-eighths; you receive 12 and 16 parts of 17 and this is the share of the second.	וחלקם על ה' וג' שמיניות ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז והוא חלק השני
$\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{\left[13\sdot\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[16\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(188+\frac{1}{2}\right)-106}{6+\frac{3}{8}}=\frac{82+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=12+\frac{16}{17}}}$
To know the share of the third: multiply 13 by 7 and a half; it is 97 and a half.	ולדעת חלק הג' כפול י"ג על ז' וחצי ויהיו צ"ז וחצי
Multiply also 6 and 5-eighths by nothing, for [the part of] the third; the result is nothing.	עוד כפול ו' וה' שמיניות על מאומה שהוא עבור הג' העולה מאומה
So, divide 9[7] by 6 and 3-eighths; you receive 15 and 5 parts of 17 and this is the share of the third.	א"כ חלק צ"ו וחצי על ו' וג' שמניות ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא חלק הג‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{\left[13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[0\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)-0}{6+\frac{3}{8}}=\frac{97+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=15+\frac{5}{17}}}$
You can check this.	ותוכל לבחון אותו
Tare and Tret Problem - Silk
327) Question: If you are asked: if 100 liṭra of silk are worth 6 ducat, 7 grossi, and 18 piccoli, how much are 5 thousand 4 hundred and 32 liṭra abbattendo di tara [with a tara deduction] of 7 liṭra for every hundred, i.e. for every 100 liṭra he has to pay 7 liṭra of tax. He also has to pay another tax called mishitrarea [?], for which he should pay 2 minyanim for every 100 minyanim.	שכז)‫^[288] שאלה אם נשאל לך אם ק' ליט' משי שוות ו' דוקטי וז' גרושי וח' פיצולי כמה ישוה ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט‫' אבאטאנדו דיטארא ז' ליט' עבור כל מאה ר"ל שעל כל ק' ליט' יש לו לפרוע ז' ליט' ממס ועוד יש לו לפרוע מס אחר נקרא מישיטראריאה וראוי שיפרע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים
First, you should see how much is the tara of 5432. Do as follows:	ראשנה יש לך לראות כמה שווי הטארא מהה' אלפים וד' מאות ול"ב ועשה כך
Multiply [7] times [5]432; the result is 38024.	כפול ה' פעמים ז' אלפים וד' מאות ול"ב ויעלה ל"ח אלפים וכ"ד
Divide it by 100; you receive 380 and this is the tara. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot5432}{100}=\frac{38024}{100}\approx380}}$	וחלקם על ק' ויצא לך ש"פ והוא הטארא
Subtract it from 5432; 5052 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{5432-380=5052}}$	תסירם מה' אלפים וד' מאות ול"ב וישארו ה' אלפים ונ"ב
Since you have ducat, grossi, and piccoli, convert all into piccoli, which is the smallest [type of] coin.	ויען כי יש לך דוקטי גרושי פיצולי תשיבם אצל הפיצולי שהוא המטבע הפחותה
Multiply the minyanim by 24 and they will become grossi, because 24 are equal one ducat.	ותכפול המנינים על כ"ד ויהיו גרושי כי כ"ד שוים דוק' א‫'
Multiply the result by 32 and it becomes piccoli.	והעולה כפול על ל"ב ויהיו פיצולי
The total result is 4850. $\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\left[\left[\left(6\sdot24\right)+7\right]\sdot32\right]+18=4850}}$	ויעלה הכל ד' אלפים וח' מאות ונ‫'
Rule of Three: now say: if 100 liṭra are worth 4850 piccoli, how much are 5052 liṭra worth? $\scriptstyle{\color{blue}{100:4850=5052:X}}$	ועתה תאמר אם ק' ליט' שוים ד' אלפים וח' מאות ונ' פיצולי כמה שוים ה' אלפים ונ"ב ליט‫'
You receive 245022 piccoli and this is the price.	ויצא לך ב' מאות ומ"ה אלפים וכ"ב והם פיצולי והוא השווי
Convert them into grossi; they are 7656 and 30 piccoli remain. $\scriptstyle{\color{blue}{245022=\left(7656\sdot32\right)+30}}$	תעשה מהם גרושי ויהיו ז' אלפים ותרנ"ו ונשארו ל' פיצולי
Convert all this into minyanim; you receive 319 minyanim and 30 piccoli and this is the price of 5432 free of tara. $\scriptstyle{\color{blue}{245022=\left(319\sdot24\sdot32\right)+30}}$	עשה מכל זה מנינים ויצא לך ג' מאות וי"ט מניני' ול' פיצולי והוא שווי הה' אלפים וד' מאות ול"ב נקי מטארא
Now, you should see how much he has to pay for the other tax called mishitrarea [?], for which he pays 2 minyanim for every 100 minyanim.	ועתה יש לראות כמה ראוי שיפרע עבור המס האחר הנקרא מישיטראריאה והוא שפורע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים
Rule of Three: say: if 100 are equal to 2, for how much is paid for 319 minyanim and 30 piccoli? $\scriptstyle{\color{blue}{100:2=\left(319+\frac{30}{32\sdot24}\right):X}}$	ותאמר אם ק' שוים ב' ג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי כמה ‫^[289]שיפרעו
After you multiply it by 2, you receive 638, 1 grosso, and 28 piccoli. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(319+\frac{30}{32\sdot24}\right)=638+\frac{1}{24}+\frac{28}{32\sdot24}}}$	ויצא לך ו' מאות ול"ח וא' גרושו וכ"ח פיצולי אחר שכפלת אותו על ב‫'
Divide it by 100; you receive 6 minyanim and 38 ducat remain. Convert them into grossi, then convert the result into piccoli and divide them by 100; you receive 9 grossi and 4 piccoli. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{638+\frac{1}{24}+\frac{28}{32\sdot24}}{100}\approx6+\frac{9}{24}+\frac{4}{32\sdot24}}}$	וחלק זה על ק' ויצא לך ו' מנינים ונשארו ל"ח דוקטי עשה מהם גרושי ומן העולה עשה מהם פיצולי וחלקם על ק' ויצא לך ט' גרושי וד' פיצולי
Therefore, he should pay 6 ducat, 9 grossi, 4 piccoli and some fractions for mishitrarea.	א"כ ראוי שיפרע ממישטריאה ו' דוק' וט' גרושי וד' פיצולי וחלקים
Now, subtract the payment from 319 minyanim and 30 piccoli; you are left with 312 minyanim, 1[5] grossi and 25 piccoli and this is the price of 5432 liṭra free from tara and mishitrarea.	ועתה הוצא זה הפרעון מג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי וישאר לך שי"ב מנינים וי"ו גרושי וכ"ה פיצולי והוא שווי ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' נקי מטארא וממישטריריא
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(319+\frac{30}{24\sdot32}\right)-\left(6+\frac{9}{24}+\frac{4}{32\sdot24}+\ldots\right)=312+\frac{15}{24}+\frac{25}{32\sdot24}+\ldots}}$
Find the Point Problem - Center of a Circle
328) Question: If you wish to find the center of a whole circle or a semicircle or less than or more than a semicircle.	שכח) שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יתר מן חצי
Make two chords in this part of the circle.	תעשה באותו חלק מהעגול ב' מיתרים
Then, make a kind of semi-circle from the end of one chord, and do the same from the other end.	אח"כ תעשה כמין חצי עגול מראש המיתר אצל האחד גם תעשה כן מהראש האחר
Make two semi-circles with the second chord as well.	וכן תעשה במיתר הב' שני חצי עגול
[Mark] the meeting [point] of both of them and where the two lines meet, there is the center, as it is drawn.	ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר
You can also draw three points at any place and circle a circle that meets the three points:	וכן תוכל לעשות ג' נקודות באיזה מקום שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות
Make a semi-circle, i.e. make the first point a center and circle a semi-circle.	תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול
Make the second point a center, circle a semicircle and divide it into two.	גם תשים הנקדה הב' מרכז ותעגל ג"כ חצי עגול ותחלקנה לב‫'
Make the third point a center and make a semi-circle.	וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול
Make the second point a center, circle a semi-circular and divide it into two as well.	גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לב‫'
The center is where the two lines meet, as it is drawn below.	ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה
Multiple Quantities Problem - Four Sons
329) Question: Jacob bequeathed money to his four sons, one less than the other and the three are resentful. The elder said: I will double to each his share and so he did, but it remained wrong. The second said: I will double each one's share and so he did, but it remained deceived. The third said: I will double each one's share, but [they] remain resentful. The fourth said: I will double each one's share and so he did; everyone got an equal share. How much did each have at the beginning?	שכט)‫^[290] שאלה יעקב הניח ממון לד' בניו לזה פחות מזה והג' מתרעמים אמר הגדול אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר מוטעה אמר הב' אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר מרומה אמר הג' אני אכפול לכל א' חלקו ונשאר מתרעם אמר הד' אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר לכל א' חלק שוה כמה היה לכל אחד בתחלה
Add one to the number of the sons; it is 5 and this is the share the last one took. $\scriptstyle{\color{blue}{4+1=5}}$	תוסיף על סכום הבנים א' ויהיו ה' וזה חלק מה שלקח האחרון
Double the 5 and subtract 1; it is 9 and this is the share of the third. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot5\right)-1=9}}$	עוד כפול ה' וחסר א' ויהיו ט' וזה חלק הג‫'
Double the [9] and subtract 1; it is 17 and this is the share of the second. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot9\right)-1=17}}$	עוד כפול ח' וחסר אחד שהם י"ז וזה חלק הב‫'
Double the 17 and subtract 1; it is 33 and this is the share of the first. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot17\right)-1=33}}$	עוד כפול י"ז וחסר א' ויהיו ל"ג וזה חלק הראשון
You can do so even if the sons are numerous as the stars in the sky [Deuteronomy 1, 10]	כן תוכל לעשות אם הבנים הם ככוכבי השמים לרוב‫^{[note 10]}
Ordering Problem - Jews and Ishmaelites
330) Question: If you want to line up 15 Jews and 15 Ishmaelites, or 14 and 14, or 13 and 13, or any number you want. You want to count them 7 by 7, or 8 by 8, or 3 by 3, or any number you want and you want all the Jews or all the Ishmaelites to be cast out.	של) ‫^[291]שאלה אם תרצה לתקן ט"ו יהודים וט"ו ישמעאלים או י"ד וי"ד או י"ג וי"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה למנותם ז"ז או ח"ח או ג"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה שיצאו לחוץ כל היהודים או כל הישמעאלים
Line them up according to the number mentioned, then start counting from 1 until the mentioned number and mark the one at the end. Do the same until they end.	תתקנם כפי המספר שהזכיר ותתחיל למנות מא' ותמנה עד המספר שהזכיר ותרשום על אותו שהשלים וכן תעשה עד תומם
Example: we want to line up ten Jews and ten Ishmaelites, and count them 5 by 5, so that all the Ishmaelites to be cast out	דמיון נרצה לתקן עשרה יהודים וי' ישמעאלים ולחשבם ה"ה ויכלה לעולם אל הישמעאלים
Write on a piece of paper from 1 to 20, because they are a total of 20, like this:	שים על דף מא' ועד כ' יען כי הם כ' בין הכל ככה
Start counting 1, 2, 3, to 5, then write a dot above, as you see.	ותתחיל למנות א'ב'ג' וכן עד ה' ותרשום עליו נקדה כמו שאתה רואה
Then, start counting again 1, 2, 3, to 5.	עוד תתחיל למנות אחריו אב"ג וכן עד ה‫'
Do so, until you write 10 marks, then line up the marked with the unmarked.	וכן תעשה עד שתרשום י' רשמים אח"כ תתקנם הרשומים עם הבלתי נרשמים
Write first one Ishmaelite, then two Jews, three Ishmaelites, three Jews, one Ishmaelite, one Jew, two Ishmaelites, one Jew, one Ishmaelite, two Jews, one Ishmaelite, one Jew, one Ishmaelite.	ושים תחלה א' ישמעאל וב' יהודים וג' ישמעאלים וג' יהודים וא' ישמעאל וא' יהודי וב' ישמעאלים וא' יהודי וא' ישמעאל וב' יהודים וא' ישמעאל וא' יהודי וא' ישמעאל
You can do the same for any number you wish.	וכן תוכל לעשות מכל המספרים שתרצה
Purchase Equal Amount Problem - Figs, Raisins, and Almonds
331) Question: A man asked his servant to bring a liṭra of figs, a liṭra of raisins, and a liṭra of almonds. A liṭra of raisins is worth 2 pešuṭim more than a liṭra of figs. A liṭra of almonds is worth 3 pešuṭim more than a liṭra of raisins. The 3 liṭra together are worth 30 pešuṭim. I would like to know how much is the price of each liṭra.	שלא)‫^[292] שאלה אדם אמר למשרתו להביא ליט' תאנות וליט' צמוקים וליט' שקדים והנה ליט' הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מליט' התאנים וליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' פשוטים ובין הג' ליט' שוה ל' פשוטים ארצה לדעת כמה ערך כל ליט' וליט‫'
Do as follows: you already know that the raisins are worth 2 pešuṭim more than the figs.	כך תעשה כבר ידעת כי הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מהתאנים
Subtract 2 from 30; 28 remains.	הסר ב' מל' ונשאר כ"ח
The liṭra of almonds is worth 3 [pešuṭim] more than the liṭra of raisins. Hence, the liṭra of almonds is worth 5 [pešuṭim] more than the liṭra of figs.	והנה ליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' א"כ ליט' השקדים שוה יותר מליט' התאנים ה‫'
Subtract 5 from 28; 23 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(30-2\right)-5=28-5=23}}$	הסר ה' מכ"ח נשאר כ"ג
Divide 23 by 3, because they are three kinds; you receive 7 and 2-thirds. So, the liṭra of figs is worth 7 pešuṭim and 2-thirds. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{23}{3}=7+\frac{2}{3}}}$	אח"כ חלק כ"ג על ג' יען כי הם ג' מינים ויצא לך ז' וב' שלישיות א"כ ז' פשוטי' וב' שלישיות שוה ליט' התאנים
Add 2 to them; they are 9 and 2-thirds and this is the price of the liṭra of raisins. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}\right)+2=9+\frac{2}{3}}}$	שים בם ב' ויהיו ט' וב' שלישיות והוא ערך ליט' הצמוקים
Add 3 more; they are 12 and 2-thirds and this is the price of the almonds. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{2}{3}\right)+3=12+\frac{2}{3}}}$	עוד תוסיף ג' ויהיו י"ב וב' שלישיות והוא ^ערך השקדים
The total is 30. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}\right)+\left(9+\frac{2}{3}\right)+\left(12+\frac{2}{3}\right)=30}}$	ובין הכל ל‫'
Deduce from this.	ותקיש על זה
Find a Number Problems
332) Question: find me a number such that when you add a certain number to it, it becomes a square, and if you subtract it from it, a square remains. $\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=n^2\\\scriptstyle a-b=m^2\end{cases}$	שלב) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתוסיף עליו מספר מה יהיה מרובע ‫^[293]ואם תגרע ממנו ישאר מרובע
Do as follows: take two square numbers and see the difference between them.	כך תעשה קח ב' מספרים מרובעים וראה התוספת שיש בין זה לזה
Divide the difference into two halves and add one half to the smaller square, or subtract it from the greater and this is the required.	וחלק היתרון לב' חצאים ושים חלק א' על המרובע הקטן או תגרענו מהגדול והוא המבוקש
Example: take 9, which is a square, and 16, which is a square; the difference is 7.	דמיון קח מספר ט' שהוא מרובע ומספר י"ו שהוא מרובע והיתרון הוא ז‫'
Divide it by 2; it is 3 and a half.	חלק על ב' והם ג' וחצי
Add it to 9; it is 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{9+\frac{16-9}{2}=9+\frac{7}{2}=9+\left(3+\frac{1}{2}\right)=12+\frac{1}{2}}}$	שימם על ט' והנם י"ב וחצי
Or, subtract if [from] 16; it is also 12 and a half. $\scriptstyle{\color{blue}{16-\frac{16-9}{2}=16-\frac{7}{2}=16-\left(3+\frac{1}{2}\right)=12+\frac{1}{2}}}$	או גרעם וי"ו והנם ג"כ י"ב וחצי
For, if you subtract 3 and a half from 12 and a half, 9 remains, which is a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)-\left(3+\frac{1}{2}\right)=9}}$	כי אם תסיר מי"ב וחצי ג' וחצי ישאר ט' שהוא מרובע
If you add 3 and a half to it, the result is 16 and it is also a square. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{2}\right)=16}}$	ואם תוסיף בם ג' וחצי יצא י"ו והוא מרובע ג"כ
333) Question: find me a number, such that when you count it by ones it is gone; by twos - 1 remains; by threes - 2; by fours - 3; by fives - 4; by sixes - 5; and by sevens - 1.	שלג) שאלה תמצא לי מספר כי כשתמנהו א"א שוה ב"ב ישאר א' ג"ג ב' ד"ד ג' ה"ה ד' ו"ו ה' ז"ז א‫'
Do as follows: find a number that includes all the divisors until 6; it is 60.	כך תעשה תמצא מספר יכלול החלקים עד ו' והם ס‫'
Subtract 1 from it; 59 remains. $\scriptstyle{\color{blue}{60-1=59}}$	תסיר ממנו א' נשאר נ"ט
The remainder of 59 by 2 is 1; by 3 - 2; by 4 - 3; by 5 - 4; and by 6 - 5.	א"כ נ"ט נשאר על ב' א' ועל ג' ב' ועל ד' ג' ועל ה' ד' ועל ו' ה‫'
$\scriptstyle{\color{blue}{59\bmod 2=1;\quad59\bmod 3=2;\quad59\bmod 4=3;\quad59\bmod 5=4;\quad59\bmod 6=5}}$
See if it is gone by sevens; you find that 4 remains. But, we want the 1 will remain. $\scriptstyle{\color{blue}{60\bmod 7=4}}$	אח"כ ראה אם הולך ז"ז ותמצא כי נשאר ד' ואנו מבקשים שישאר א‫'
Multiply 4 by any number, such that when you divide it by 7, 2 remains; you find it is 4, because 4 by 4 is 16 and 2 remains on the seventh. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)\bmod 7=16\bmod 7=2}}$	אח"כ כפול ד' על איזה מספר באופן כי כשתחלקהו על ז' שישאר א' שישאר ב' ותמצא ד' כי ד' על ד' הם י"ו וישאר על השביעית ב‫'
Then, multiply 4 by 60; it is 240.	אח"כ כפול ד' על ס' ויהיו ב' מאות ומ‫'
Subtract 1 from it; it is 239 and this is the required. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(60\sdot4\right)-1=240-1=239}}$	תסיר ממנו א' ויהיו ב' מאות ול"ט והוא המבוקש
I say: subtract 1 from it, because 240 is gone by ones, twos, threes, fours, fives, sixes, and 2 remains by sevens. So, if you subtract 1 from it, the required remains.	ואולם אמרי תסיר ממנו א' כי ר"מ הולך א"א ב"ב ג"ג ד"ד ה"ה ו"ו ולז"ז ישאר ב' ואם תסיר ממנו א' ישאר הדרוש
If You Give Me Problem - Four Men and a Stranger
334) Question four men want to buy one horse and none of them have the ability. The four of them have twice the price of the horse. A man came and said: If you want me to be with you, I will give what I should pay. They answered him: We do not want you to be with us. The first said to him: If you give me half of your money with mine, I would buy the horse myself. The second said to the stranger: If you give me a third of your money with mine I would buy it. The third said to the stranger: If you give me a quarter of your money with mine, I would buy the horse myself. The fourth said to the stranger: If you give me a fifth of your money with mine, I would buy it myself. We ask: how much is in the hand of each of these four, how much is in the stranger's hand and how much is the price [of the horse]?	שלד) שאלה ד' בני אדם רוצים לקנות סוס א' ואין לא' מהם יכולת בידו ויש לארבעתם ב' פעמים ערך הסוס ובא אדם ואמר אם תרצו שאהיה עמכם אתן מה שיגיע לי לפרוע השיבו לו לא נרצה שתהיה עמנו אמר לו הראשון אם תתן לי חצי ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי אמר הב' לחצון אם תתן לי שליש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו אמר הג' לחצון אם תתן לי רביעית ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי אמר הד' לחצון אם תתן לי חומש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו לבדי נשאל כמה ביד כל א' מאלו הד' וכמה ביד החצון וכמה ערכו
$\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=2X\\\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot Y=X\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot Y=X\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot Y=X\\\scriptstyle d+\frac{1}{5}\sdot Y=X\\\end{cases}$
Do as follows: find a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; it is 60.	תעשה ככה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביע וחומש והוא ס‫'
All the parts are 77. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=77}}$	וכל החלקים הם ע"ז
So, the stranger has 60 minyanim.	הנה א"כ החצון יש לו ס' מנינים
Then, divide 77 by 2, because they can buy two horses and they are four men, so subtract 2 from 4; the remainder is 2.	‫^[294]אח"כ תחלק ע"ז על ב' יען כי הם יכולין לקנות ב' סוסים והנם ד' אנשים הוצא ב' מד' הנשאר ב‫'
If they could only buy one [horse], you would subtract 1 from 4; the remainder is 3, so you would divide 77 by 3.	ואם לא היו יכולין לקנות כי אם בית א' היתה מוציא א' מד' הנשאר ג' והיית מחלק ע"ז על ג‫'
If they could buy three, you would subtract 3 from 4; the remainder is 1, so you would divide 77 by 1.	ואם יוכלו לקנות ג' היית מוציא ג' מד' נשאר א' והיית מחלק ע"ז על א‫'
In our calculation we are left with 2, so we divide 77 by 2; the result is 38 and a half and this is the price of the [horse]. $\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{77}{4-2}=\frac{77}{2}=38+\frac{1}{2}}}$	והנה במספרינו נשארו לנו ב' לכן נחלק ע"ז על ב' ויצא ל"ח וחצי והוא ערך הבית
To know how much is in the hand of each one of the four:	ולדעת כמה יש ביד כל א' מארבעתם
Subtract half 60, which is 30, from 38 and a half; the remainder is 8 and a half and this is the money of the one who asks for half the stranger's money. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-30=8+\frac{1}{2}}}$	הוצא החצי מס' שהם ל' מל"ח וחצי הנשאר ח' וחצי והוא הממון מאותו ששואל חצי ממון החצון
Subtract a third of 60, which is twenty, from 38 and a half; the remainder is 18 and a half and this is the money of the one who asks for a third of the stranger's money. $\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-20=18+\frac{1}{2}}}$	אח"כ הוצא שליש ס' שהם עשרים מל"ח וחצי הנשאר י"ח וחצי והוא ממון מאותו ששואל שליש ממון החצון
Subtract a quarter of 60, which is 15, from 38 and a half; the remainder is 23 and a half and this is the share of the one who asks for a quarter of the stranger's money. $\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-15=23+\frac{1}{2}}}$	אח"כ הוצא רביעית ס' מט"ו מל"ח וחצי נשאר כ"ג וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון רביעית ממונו
Subtract a fifth of 60, which is 12, from 38 and a half; the remainder is 26 and a half and this is the share of the one who asks for a fifth of the stranger's money. $\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-12=26+\frac{1}{2}}}$	אח"כ הוצא חומש ס' שהם י"ב מל"ח וחצי הנשאר כ"ו וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון חומש ממונו
Check: We have already said that in the hand of all four of them there is enough money to buy two [horses], so, add the money of the first, which is 8 and a half, to the money of the second, which is 16 and a half; it is 27.	וכבר אמרנו כי ביד ארבעתם כ"כ ממון יוכלו לקנות ב' בתים לכן תחבר ממון הראשון שהוא ח' וחצי עם ממון הב' שהוא י"ח וחצי ויהיו כ"ז
Add to is also the money of the third, which is 23 and a half; it is 50 and a half.	גם תוסיף בו ממון הג' שהוא כ"ג וחצי ויהיו נ' וחצי
Add to is also the money of the fourth, which is 26 and a half; it is 77.	גם תוסיף בם ממון הרביעי שהוא כ"ו וחצי ויהיו ע"ז
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a+b+c+d &\scriptstyle=\left(8+\frac{1}{2}\right)+\left(18+\frac{1}{2}\right)+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=27+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(50+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)=77\\\end{align}}}$
Divide it by 38 and a half; you receive 2. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{77}{38+\frac{1}{2}}=2}}$	תחלקם על ל"ח וחצי ויצא לך ב‫'
Examine and you will find [that it is true].	ודוק ותשכח
This is what we wanted to explain.	וזה מה שרצינו לבאר
Over and done	תם ונשלם
Glory be to God of the world	תהלה לאל עולם
The writer will not be harmed neither today nor ever	הסופר לא ינזק לא היום ולא לעולם
Until a donkey climbs the ladder	עד שיעלה חמור בסולם
Which Jacob our father dreamed of.	אשר יעקב אבינו חלם
The end.	תם
It applies the verse as it is written: This book of the Torah shall not depart out of thy mouth; but thou shalt meditate therein day and night, so that thou mayst observe to do according to all that is written in it; for only then thou shalt make thy way prosperous, and only then thou shalt be successful [Joshua 1, 8].	ויקיים בו מקרא דכתיב לא ימוש ספר התורה הזה מפיך והגית בו יומם ולילה למען תשמור לעשות ככל הכתוב בו כי אז תצליח את דרכיך ואז תשכיל‫^{[note 11]}
Amen Amen Selah forever.	אמן ואמן סלה ועד

Guenzburg 30 - Additional Excerpt

Pricing Problem - Find the Amount - Wheat

A man sells wheat at 13 measures for 23.

How many measures will he sell for 7 pešuṭim?

\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}

‫^[295]שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשוטים

כמה מדות יתן בז' פשוטים

Rule of Three: Multiply 7 by 13; the result is 91.

כפול ז' על י"ג יעלה צ"א

Divide it by 23; the result is 3 and 22 parts of 23.

\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}

חלקם על כ"ג יצא ג' וכ"ב חלקים מכ"ג

Purchase Problem - Unequal Amount - Three Types of Wheat

Question: a man sells three types of wheat: one of them is one measure for 12 pešuṭim; another is 18, and another is 22.

A man comes and wants to buy 24 measures of these three types of wheat at a price of 15 pešuṭim.

How much will he take of each type of wheat in such a way that the buyer will not complain and the seller as well?

שאלה‫^[296] אדם מוכר מג' מיני חטים הא' מהם המדה שוה י"ב פשוטים ומהאחרת י"ח ומהאחרת כ"ב

ובא אדם ורוצה לקנות מאותם הג' מיני חטים כ"ד מדות לערך ט"ו פשוטי‫'
כמה יקח מכל חטה וחטה באופן שרע רע לא יאמר הקונה והמוכר ג"כ

Do as follows: see the difference between 15 and 12; you find it is 3. Write it above the 18.

\scriptstyle{\color{blue}{15-12=3}}

כך תעשה תראה ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב תמצא ג' ושימם על י"ח

See the difference between 15 and 18; you find it is 3. Write it above the 12.

\scriptstyle{\color{blue}{18-15=3}}

ואח"כ ראה ההפרש שהוא בין ט"ו לי"ח תמצא ג' ושימם על י"ב

I mean that as long as he takes 3 measures of the type of 18, he takes 3 measures of the type of 12.

ורצוני בזה שכל זמן שיקח ג' מדות מאותו של י"ח יקח ג' מדות של י"ב

We have another that worth 22, so we take 1 [measure] of it.

ויש לנו אחר ששוה כ"ב על כן נקח ממנו א‫'

See the difference between 22 and 15 ; you find it is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{22-15=7}}

אח"כ ראה ההפרש שיש בין כ"ב לט"ו תמצא ז‫'

Divide the 7 by the difference between 15 and 12, which is 3; the result is 2 and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22-15}{15-12}=\frac{7}{3}=2+\frac{1}{3}}}

אח"כ חלק אלו הז' על ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב שהוא ג' יעלה ב' ושליש

Then, sum up all, meaning 2 and a third, 3, 1, and the other 3; the total is 9 integers and a third.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{3}\right)+3+1+3=9+\frac{1}{3}}}

אח"כ חבר הכל רצוני אלו הב' ושליש והג' והא' והג' האחרים הנה בין הכל עולה ט' שלמים ושליש

Then, multiply 5 and a third, which corresponds to the 12, by 24 and divide the product by [9] and a third; the result is 13 and 5-sevenths and so he will take of [the type that is worth 12].

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(2+\frac{1}{3}\right)+3\right]\sdot24}{9+\frac{1}{3}}=\frac{\left(5+\frac{1}{3}\right)\sdot24}{9+\frac{1}{3}}=13+\frac{5}{7}}}

אח"כ כפול ה' ושליש שהם י"ב נגד כ"ד וחלק היוצא על ז' ושליש יצא י"ג וה' שביעיות וככה יקח ממנו

Then, multiply 3, which is above the 18, by 24 and divide the result by 9 and a third; you receive 7 and 5-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot24}{9+\frac{1}{3}}=7+\frac{5}{7}}}

אח"כ כפול ג' שהם על י"ח נגד כ"ד וחלק היוצא על ט' ושליש יצא לך ז' וה' שביעיות

Then, multiply 1 by 24 and divide it by 9 and a third; you receive 2 and 4-sevenths and so he will take of the type that is worth 22.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot24}{9+\frac{1}{3}}=2+\frac{4}{7}}}

אח"כ כפול א' על כ"ד וחלקהו על ט' ושליש יצא לך ב' וד' שביעיות וככה יקח מאותו ששוה כ"ב

Check: if you want to check it, see how much the 2 measures and 4-sevenths are worth at a price of 22 for one measure.

ואם תרצה לבחון אותו ראה כמה שוות הב' מדות וד' שביעיות לערך כ"ב במדה וקבץ הכל

Then, see how much the [7] measures and 5-sevenths are worth at a price of 18 for one measure.

אח"כ ראה כמה שוות הה' מדות וה' שביעיות לערך י"ח במדה וקבץ הכל

Then, see how much the 13 measures and 5-sevenths are worth at a price of 12 dinar for one measure.

אח"כ ראה כמה שוות י"ג מדות וה' שביעיות לערך י"ב דינרין המדה

Sum up all; you find that the total is 360 dinar, meaning the price of all three types of wheat. Keep it.

וקבץ הכל ותמצא שיעלה בין הכל ג' מאות וס' דינרין רצוני ערך כל הג' חטים ושמור זה

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2+\frac{4}{7}\right)\sdot22\right]+\left[\left(7+\frac{5}{7}\right)\sdot18\right]+\left[\left(13+\frac{5}{7}\right)\sdot12\right]=360}}

Then, multiply 24, which is the required [amount of] measures, by 15, which is the price he asks for; you find that it worth 360 also.

\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot15=360}}

אח"כ כפול כ"ד שהם המדות המבוקשות על ט"ו שהוא הערך ששואל תמצא שהוא עולה ג' מאות וס' ג"כ

Compound Barter Problem - Wheat and Cloth

Question: a man sells an unknown amount of wheat in cash and barter he offers it 3.

Another who barters with him offers the wheat: in cash he sells it at a higher price and in barter he offers it for 3 pešuṭim, but he asks for a third of the 3 pešuṭim, which is 1, in cash and the 2-thirds he asks for wheat.

The amount of wheat is worth 4 pešuṭim in cash and in barter is now worth 8 pešuṭim.

We would like to know how much is the canna of cloth worth in cash in such a way that for the 2-thirds the owner of the wheat raised the price for him from 4 to 8.

שאלה‫^[297] אדם מוכר חטה סך נעלם במעות מנויים ובחליפי' משים אותו ג' והאחר העושה החלוף ‫^[298]עמו משים החטה במעות מנויים מוכר אותה יותר ובחלופים משים אותה ג' פשוטים ומהג' פשוטים שואל השליש שהוא א' במעות מנויים והב' שלישיות שואל מחטה

ומדת החטה שוה ד' פשוטים במעות מנויים ובחלופים שוה עתה ח' פשוטים
נרצה לדעת כמה היה שוה הקנה מהבגד במעות מנויים באופן שבעבור הב' שלישיות בעל החטה העלה אותם לו הסך מד' עד ח‫'

It should be done as follows: see the difference from 4 to 8; 4 is half of 8.

\scriptstyle{\color{blue}{8-4=4=\frac{1}{2}\sdot8}}

ראוי לעשות ככה והוא שתראה ההפרש שהוא מד' לח' והנה ד' חצי הח‫'

Then, take a half of the 2-thirds he asks in barter: the 2-thirds are 2 integers, because 2-thirds of 3 is 2. Subtract the half from it; 1 remains. Add it to the third of the money he asks in cash, which is 1; it is 2.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{2}{3}\sdot3\right)\right]+\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)+1=1+1=2}}

אח"כ קח חצי מהב' שלישיות שהוא עושה החלופים והנה הב' שלישיות הם ב' שלמים כי ב' שלישיות מג' הוא ב‫'

הסר ממנו החצי ישאר א‫'
הוסף זה על שליש המעות שהוא שואל במעות מנויים והוא א' יהיו ב‫'

Therefore, previously the canna of cloth was worth 2 pešuṭim in cash and now it is worth 3 in barter.

הנה א"כ קודם לכן הקנה מהבגד היה שוה במעות מנויים ב' פשוטים ועתה שוה ג' בחלופים

Do the same for all the similar questions.

וכך תעשה לכל השאלות שהם כזאת

Magic Square - 9 Squares, 16

Question: if you want to make 9 squares, such that [the sum of] every three squares is 16, whether lengthwise, breadthwise, or diagonally.

שאלה‫^[299] אם תרצה לתקן ט' בתים אשר כל ג' בתים מהם יעלו בין באורך בין ברוחב בין באלכסון י"ו

Do as follows: you should know that we have a table in which the sum is 15 lengthwise, breadthwise, or diagonally. You find in the first square 2; in the second 9; in the third 4; in the fourth 7; in the fifth 5; in the sixth 3; in the seventh 6; in the eighth 1; and in the ninth 8. This is the table:

כך תעשה ראוי לך לדעת כי יש לנו תמונה שעולה באורך וברוחב ובאלכסון ט"ו ותמצא בבית הראשון ב' ובב' ט' ובג' ד' ובד' ז' ובה' ה' ובו' ג' ובז' ו' ובח' א' ובט' ח' וזאת היא הצורה

2	9	4
7	5	3
6	1	8

2	9	4
7	5	3
6	1	8

You should relate this way: you should take 2-thirds of 15; it is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot15=10}}

וראוי לך לעשות הערך ככה והוא כי יש לך לקחת ב' שלישיות ט"ו והם י‫'

Take also 2-thirds of 16; it is 10 and 2-thirds.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot16=10+\frac{2}{3}}}

גם תקח ב' שלישיות י"ו שהם י' וב' שלישיות

Rule of Three: say: if 10 gives me 2, how much will [10] and 2-thirds give you? I said 2, because you find 2 in the first square.

\scriptstyle{\color{blue}{10:2=\left(10+\frac{2}{3}\right):X}}

ותאמר אם י' נתן לי ב' מה יתן לך ומה יוסיף לך ב' וב' שלישיות אמנם אמרתי ב' יען כי תמצא ב' בבית הראשון

You receive 2 and 2 parts of 15 and this is what should be in the first square.

ויצא לך ב' וב' חלקים מט"ו והוא מה שראוי להיות בבית הא‫'

Rule of Three: say also: if 10 gives me 9, which is what is in the second square, how much will 10 and 2-thirds give me?

\scriptstyle{\color{blue}{10:9=\left(10+\frac{2}{3}\right):X}}

עוד תאמר אם י' נתן לי ט' והוא מה שבבית השני מה יתן לי י' וב' שלישיות

You receive 9 and 9 parts of 15.

יצא לך ט' וט' חלקים מט"ו

An so on for all. This is the table:

וכך כלם וזאת היא צורתם

$\scriptstyle2\frac{2}{15}$	$\scriptstyle9\frac{9}{15}$	$\scriptstyle4\frac{4}{15}$
$\scriptstyle7\frac{7}{15}$	$\scriptstyle5\frac{5}{15}$	$\scriptstyle3\frac{3}{15}$
$\scriptstyle6\frac{6}{15}$	$\scriptstyle1\frac{1}{15}$	$\scriptstyle8\frac{8}{15}$

Guess - Three Coins

Question: If you want to give to three people: one gold, the other silver, and another copper, do as follows: give the first one [coin], the other two [coins], and the other three coins.

Remember to who you gave one, to who you gave two and to who you gave three.

Then, say: whoever wants to take the silver, take it; whoever wants to take the gold, take it; and whoever wants to take the copper, take it.

Say: whoever took the gold should take as much as he has.

For example, if he has [one], he should take 1; if he has two, he should take [2]; if he has three, he should take 3.

Put 18 coins on the table and tell them to take from these coins.

Tell them that whoever has silver should take twice as much as he has and whoever has copper should take 4 times as much as he has.

Know that either 7 or 6 or 5 or 3 or 2 or 1 should remain on the table, but 4 should not remain.

If 5 remain, know that the one who took 1 has the gold and the one who took 2 has the silver and the one who took 3 the copper.

שאלה‫^[300] אם תרצה לתת ‫^[301]לג' בני אדם לא' זהב לאחר כסף לאחר כסף לאחר נחושת תעשה כן תן לא' א' ולאחר ב' ולאחר ג' מטבעים וזכור למי נתת א' ולמי נתת ב' ולמי נתת ג‫'

אח"כ תאמ' מי שירצה לקחת הכסף יקחנו ומי שירצה לקחת הזהב יקחנו ומי שירצה לקחת הנחושת יקחנו
אח"כ תאמ' מי שלקח הזהב יקח כמו מה שיש לו
המשל אם יש לו ב' יקח אחד ואם יש לו ב' יקח א' ואם יש לו ג' יקח ג' אחד
ושים על השלחן י"ח מטבעים ואמור להם שיקחו מאותם המטבעים
עוד תאמ' מי שיש לו כסף יקח ב' פעמים כמוהו
ומי שיש לו הנחושת יקח ד' פעמים כמוהו
ודע כי יצטרך שישארו על השלחן או ז' או ו' או ה' או ג' או ב' או א' אבל ד' לא ישאר
ואם נשאר ה' דע כי מי שלקח א' יש לו הזהב ומי שלקח ב' יש לו הכסף ומי שלקח ג' הנחושת

Here is the sign that wherever you find "AH" it indicates the gold, wherever there is "EH" it indicates the silver, wherever there is "IE" it indicates the copper.

והא לך הסימן כי בכל מקום שתמצא אַה מורה על הזהב ובמקום א◌ֵו מורה על הכסף ובמקום אִי על הנחושת

If 1 remains, look at the first word; if 2 remains, look at the second word; if 3, look at the third.

ואם נשאר א' תעיין במלה הראשנה אם נשאר ב' תעיין במלה שניה אם ג' תעיין בג‫'

Know that the first point you find indicates the man that has 1; the second point indicates the one who has 2; the third point indicates the one who has 3.

ודע כי הנקדה שתמצא בראשה מורה על האיש שיש לו א' והנקדה השניה מורה על מי שיש לו ב' והנקדה הג' מורה על מי שיש לו ג‫'

Keep this way in order that you will not make a mistake, because "AH" indicates the gold, "EH" indicates the silver, "IE" indicates the copper.

ושמור הדרך שלא תטעה כי אַה מורה על הזהב א◌ֵי מורה על הכסף אִי מורה על הנחושת

Find a Number Problem

Question: find me a number, such that [the sum of] its half and its third exceeds [the sum of] its quarter and its fifth by 4 integers.

\scriptstyle\left(\frac{1}{2}a+\frac{1}{3}a\right)-\left(\frac{1}{4}a+\frac{1}{5}a\right)=4

שאלה‫^[302] תמצא לי מספר אשר מחציתו ושלישיתו יוסיפו ד' שלמים על רביעיתו וחמישיתו

False Position: we take 12; its half is 6; plus its third they are ten; its quarter plus its fifth is 5 and 2-[fifths].

הנה נקח י"ב ומחציתו ו' ושלישיתו הוא עשרה ורביעיתו וחמישיתו הם ה' וב' שלישיות

Therefore, the half and the third exceed the quarter and the fifth by 4 and 3-fifths.

א"כ החצי והשליש מוסיף על הרביעית והחומש ד' וג' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot12\right)\right]=10-\left(5+\frac{2}{5}\right)=4+\frac{3}{5}}}

Rule of Three: so, say: if 4 and 3-fifths gives me 12, what will 4 give?

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{3}{5}\right):12=4:X}}

ולכן תאמ' אם ד' וג' חמישיות נתן לי י"ב ד' מה יתנו

You receive ten and 10 parts of 23 and this is the required.

ויצא לך עשרה וי' חלקים מכ"ג והוא [המב]וקש

Geometrical Problems

Construction Problem - Four Houses

Question: if you want to build four houses, let's say the houses of Reuven, Shimon, Levi and Yehuda, so that their distance from each other is the same.

שאלה‫^[303] אם תרצה לתקן ד' בתים כאלו תאמר בית ראובן ושמעון ולוי ויהודה שהמרחק שיש מזה לזה יהיה שוה

You have to make four triangles and connect the three vertices of the three triangles that stand upwards.

The fourth triangle will be upside down and this is called in our language an incorporated triangle and in their language it is called "trianguli incorporato"

So, at the lower three vertices there will be [three] houses and at the upper vertex there will be the fourth house, i.e. at the top of the three triangles that stand upwards.

הנה יש לך לעשות ד' משולשים ותחבר הג' חדודים מהג' משולשי' ‫^[304]ויהיו זקופים והמשולש הד' יהיה שטוח וזה נקרא בלשונינו משולש מוגשם ובלשונם נקרא טריאנגולי אינקורפוראטו והנה בג' זויות השטוחים יהיו ד' בתים ובזוית הזקוף יהיה בית הרביעי ר"ל במקום שהג' ראשים מהמשולשים שהם זקופים

Find the Point - Center of a Circle

Question: if you want to find the lost point, i.e. if you start making a circle and do not complete it and the center is not seen.

If you want to find the center.

שאלה‫^[305] אם תרצה למצא הנקודה האבודה ר"ל אם תתחיל לעשות עגול ולא תשלים אותו ואין המרכז נרגש אם תרצה למצא המרכז

You have to connect the two ends of the circle you started to make.

הנה יש לך לחבר שני ראשי העגול שהתחלת לעשות

Take half the connecting line and make a point on it.

וקח חצי הקו המחברת ותעשה בו נקודה

Take also half the arc, i.e. of the circle you started to make; make a point on it also, so it will be seen.

גם קח חצי הקשת ר"ל מהעגול שהתחלת לעשות גם תעשה בו נקודה למען יהיה נראה

Then, divide half the chord with a compass into three or four parts, or whichever number you want.

אח"כ תחלק חצי המיתר לג' חלקים או ד' או באיזה מספר שתרצה עם מחוגה

Duplicate the parts of half the chord to the parts of the other half.

ותכפול החלקים מחצי המיתר על החלקים מהחצי האחר

For example, if you divide half the chord into three parts, the other half should necessarily be [divided] into three.

המשל אלו חלקת חצי המיתר לג' חלקים יצטרך גם שהחצי האחר יהיה ג' בהכרח

Multiply 3 by 3; it is 9.

וכפול ג' על ג' ויהיו ט‫'

Then, see how many parts of the same measures there are from the point you made of the arc to the point on the chord.

אח"כ ראה כמה חלקים יש מנקודת הקשת שעשית עד נקודת המיתר מאותם המדות שעשית כבר

[Find] a number such that you multiply by that resulting number and it yields 9.

וכפי אותו המספר שיצא תכפלהו באיזה מספר שיעשה ט‫'

The example: if there is 1 and a third from the point on the arc to the point on the chord, find a number such that when you multiply it by 1 and a third the result is 9.

המשל אם יש מנקודת הקשת עד נקודת המיתר א' ושליש תמצא איזה מספר שכאשר תכה אותו בא' ושליש יעשו ט‫'

Divide 9 by 1 and a third; the result is 6 and 3 quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{1+\frac{1}{3}}=6+\frac{3}{4}}}

חלק ט' על א' ושליש יצא ו' וג' רביעיות

Then, draw a straight line from the point on the arc to the point on the chord and the length will go a long way. The center of the circle will necessarily have to be on the same line that you drew.

אח"כ תמשוך קו באשר מנקודת הקשת אל נקודת המיתר ויעבור האורך הרבה הנה יצטרך בהכרח שבאותו הקו שמשכת באשר שיהיה מרכז העגולה

If you want to find the center, measure from the point on the chord 6 and 3-quarters on that line plus [the distance] from the point on the chord to the point on the arc, which is 1 and a third; it [8] and one part of 12.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{4}\right)+\left(1+\frac{1}{3}\right)=8+\frac{1}{12}}}

ואם תרצה למצא המרכז תמדוד מנקודת המיתר באותו הקו ו' וג' רביעיות ועם מה שיש מנקודת המיתר עד נקודת הקשת שהוא א' ושליש יהיו ז' וחלק א' מי"ב

Divide this number in half with a compass and you get the place of the center, like this shape:

חלק זה המספר עם המחוגה על חצי ויצא לך מקום המרכז כמו זאת הצורה

Transformation Problem - Quadrangular to Round Cloth

Question: If you have a piece of cloth that is [4] in length and 2 in width.

If you want to round it.

‫^[306]שאלה‫^[307] אם יש לך חתיכת בגד ארכה ב' ורחבה ב‫'

אם תרצה לעגלה

You have to multiply 4 times 2; it is 8.

הנה יש לך לכפול ד' פעמים ב' ויהיו ח‫'

Then, divide 8 by 3 and a seventh, because the perimeter of the circle always exceeds its diameter by 3 times of it and a seventh.

אח"כ תחלק ח' על ג' ושביעית מצד כי לעולם הקף העגולה עודפת על אלכסונה ג' פעמים כמוהו ושביעית

So, we divide 8 by 3 and a seventh; you receive 2 and 6 parts of 11 and this is the diameter of the circle and so the area of the circle is as the area of the quadrangle.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2\sdot4}{3+\frac{1}{7}}=\frac{8}{3+\frac{1}{7}}=2+\frac{6}{11}}}

לכן נחלק ח' על ג' ושביעית ויצא לך ב' וו' חלקים מי"א והוא יהיה האלכסון מהעגול וכ"כ יהיה שטח העגול כשטח המרובע

Find the Side - Square Containing an Octagon

Question: if you want to make a square and inside the square there are eight equal sides [= a regular octagon], the length of each side is 1 and 2-thirds.

I ask: how much is the length of each side of the square?

שאלה‫^[308] אם תרצה לעשות מרובע רבוע ובתוך המרובע יהיה שמונה צלעות שוות ויהיה אורך כל צלע א' וב' שלישיות

אשאל כמה יהיה אורך כל קו מהמרובע

The way is that: you should multiply 1 and 2-thirds by itself; the result is 2 and 7-ninths.

הדרך הוא כך יש לך לכפול א' וב' שלישיות על עצמם ויעלה ב' וז' תשיעיות

Divide it by 2; you receive 1 and 7 parts of 18.

וחלקם על ב' ויצא לך א' וז' חלקים מי"ח

Extract its root; you receive 1 and a sixth and this is the length that remains in each edge.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{\left(1+\frac{2}{3}\right)^2}{2}}=\sqrt{\frac{2+\frac{7}{9}}{2}}=\sqrt{1+\frac{7}{18}}\approx1+\frac{1}{6}}}

וקח שרשם ויצא לך א' ושתות וכך יהיה כל אורך מה שישאר בכל קצה

Check: to check it take the [square] of 1 and a sixth; you receive 1 and 13 parts of 36.

ולבחון אותו קח שרש א' ושתות ויצא לך א' י"ג חלקים מל"ו

Multiply it by [2]; you receive 2 and 26 parts of 36 and its root is 1 and 2-thirds.

כפלם על ג' ויצא לך ב' וכ"ו חלקים מל"ו ושרש א' וב' שלישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(1+\frac{1}{6}\right)^2\sdot2}=\sqrt{\left(1+\frac{13}{36}\right)\sdot2}=\sqrt{2+\frac{26}{36}}\approx1+\frac{2}{3}}}

Find the Side - Octagon Contained in a Square

Question: if you have a square, the length of each side of the square is 12 and you want to make [a regular octagon] in it.

שאלה‫^[309] אם יש לך מרובע אורך כל קו מהמרובע י"ב ותרצה לעשות בו שיהיה שמונה צלעות שוות

Rule of Three: You should deduce this question from the one above by the Rule of Three and say: if 4 gives me 1 and 2-thirds, what will give you 12?

\scriptstyle{\color{blue}{4:\left(1+\frac{2}{3}\right)=12:X}}

הנה יש לך להקיש זאת השאלה עם אותה של מעלה בדרך הערכים ותאמ' אם ד' נתן לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ‫^[310]ומה יוסיף לך י"ב

Multiply 12 by 1 and 2-thirds; the result is 20.

כפול י"ב על א' וב' שלישיות ויצא כ‫'

Divide it by 4; you receive 5 and this is the length of each of the [8] sides.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot\left(1+\frac{2}{3}\right)}{4}=\frac{20}{4}=5}}

חלקם על ד' ויצא לך ה' וזה יהיה אורך כל צלע מהה' צלעות

Check: to check it multiply 5 by itself; the result is 25.

\scriptstyle{\color{blue}{5^2=25}}

ולבחון אותו כפול ה' על עצמם ויצא כ"ה

Subtract 5 from 12, which is the length of each side of the square; you receive 7.

תסיר ה' מי"ב שהוא אורך כל קו מהמרובע ויצא לך ז‫'

Divide it by 2; you receive 3 and a half and this is what should remain in each edge.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12-5}{2}=\frac{7}{2}=3+\frac{1}{2}}}

חלקם על ב' ויצא לך ג' וחצי והוא מה שראוי שישאר בכל קצה

Multiply 3 and a half by itself; the result is 12 and a quarter.

כפול ג' וחצי על עצמם ויצא י"ב ורביע

Multiply it by 2; it is 24 and a half.

כפלם על ב' ויהיו כ"ד וחצי

Extract its root; it is approximately 5, which is equal to the [8] sides and this is its shape:

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(3+\frac{1}{2}\right)^2\sdot2}=\sqrt{\left(12+\frac{1}{4}\right)\sdot2}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx5}}

וקח שרשם ויהיו ה' בקרוב והוא שוה אל הצלע הה' וזאת היא צורתם

Rule of Three: You can apply the Rule of Three in a different way by saying: if 4 is equal to 1 and a sixth, how much is 12 equal to?

\scriptstyle{\color{blue}{4:\left(1+\frac{1}{6}\right)=12:X}}

גם תוכל לעשות הערך באופן אחר והוא שתאמ' אם ד' שוה א' ושתות מה שוה י"ב

You receive 3 and a half, which is the length of each edge and this is clear.

ויצא לך ג' וחצי והוא אורך כל זוית וזה מבואר

You can always do this, i.e. deduce from the example of the square above, which is 4 by 4.

וכן תמיד תוכל לעשות ר"ל להקיש עם הדמיון מהמרובע העליון שהוא ד' על ד‫'

Extraction of Roots

Question: if you wish to find a root of integers very quickly, you have to see if [the number of] the ranks is even or odd.

שאלה‫^[311] אם תרצה למצא שרש בשלמים במהירות גדול יש לך לראות אם המדרגות הם זוג או נפרד

If it is even, subtract 1; an odd number remains.

ואם הוא זוג תסיר א' וישאר נפרד

Take the middle digit; the root must be in the same rank.

וקח האות הממוצעת ויצטרך שהשרש יהיה באותה מדרגה

Multiply the first digit of the root [by itself] and subtract this product from the last rank.

וכפול האות הראשנה מהשרש ותסיר זה המספר מהמדרגה האחרונה

Look at the remainder and put a digit such that you can subtract the product of this digit by the given root multiplied by [2].

אח"כ ראה הנשאר ושים בו אות באופן שתוכל להסיר כפול אותה אות על השרש המונח וכפול על ג‫'

Then, multiply what you find by itself and subtract the product from the following digit to the right.

ואח"כ כפול מה שתמצא על ‫^[312]עצמו ותסיר העולה מהאות הבאה אחריה דרך ימין

And so on until you reach the first rank.

וכן לעולם עד שתגיע אל המדרגה הראשנה

Example: we wish to know the root of 456789

\scriptstyle\sqrt{456789}

דמיון זה נרצה לדעת שרש ד' מאות וחמישים אלף וו' אלפים ותשפ"ט

Since the [number of the] ranks is even, because they are 6, we subtract 1; 5 remains. The middle rank is the third, which is the hundreds.

הנה מצד כי הם מדרגות זוגיות כי הם ו' נסיר א' וישארו ה' המדרגה הממוצעת הוא ג' והם מאיות

We shift [what is in] the sixth rank to the fifth; they are 45. The preceding root is 36 and its root is 6. So, write 6. 9 remains from 45.

\scriptstyle{\color{blue}{45-6^2=45-36=9}}

ונשיב המדרגה השישית אצל החמישית ויהיו מ"ה והשרש שעבר הוא ל"ו ושרשו ו' לכן שים ו' וישארו עד מ"ה ט‫'

Find a number, such that when you multiply it by 6, then multiply the product by 2, you can subtract it from 96.

אח"כ תמצא איזה מספר שכשתכפלהו על ו' והעולה תכפול על ב' שתוכל להחסירו מצ"ו

You find 7, because 7 by 6 is 42 and 2 by 42 is 84.

ותמצא ז' כי ז' על ו' הם מ"ב וב' על מ"ב ויהיו פ"ד

Subtract it from 96; 12 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{96-\left(7\sdot6\sdot2\right)=96-\left(42\sdot2\right)=96-84=12}}

תסירם מצ"ו וישארו י"ב

Then, multiply 7 by 7 and subtract it from the 7 that is in the third rank; you cannot. So, take the 2 that remains in the fourth rank; still you cannot.

\scriptstyle{\color{blue}{7-7^2=\varnothing\quad27-7^2=\varnothing}}

אח"כ כפול ז' על ז' ותסירם מהז' אשר במדרגה הג' ולא תוכל לכן קח הב' שנשארו במדרגה הרביעית ולא תוכל

So, take the 1 that remains on the fifth rank; 7[8] still remains.

\scriptstyle{\color{blue}{127-7^2=78}}

לכן קח הא' שנשאר במדרגה הה' וישאר עדין ע"ה

Then, look for a number, such that when you multiply it by 6, then multiply the product by 2, you can subtract it from 78.

אח"כ תחפש איזה מספר כי כשתכפלהו על ו' והעולה על ב' שתוכל להחסירו מע"ח

If you take 6, the product is 36 and 2 by 36 is 72, so the remainder is 6.

\scriptstyle{\color{blue}{78-\left(6\sdot6\sdot2\right)=78-\left(36\sdot2\right)=78-72=6}}

ואם תקח מספר ו' יהיה העולה ל"ו וב' על ל"ו הוא ע"ב ויהיה הנשאר ו‫'

Then, you would have to multiply the 6 by the 7, which is the second digit of the root; the result is 42 and 2 by 42 is 84. But, you cannot subtract 84 from [7]8.

\scriptstyle{\color{blue}{78-\left(6\sdot7\sdot2\right)=78-\left(42\sdot2\right)=78-84=\varnothing}}

והיה לך לכפול אותם הו' על הז' אשר הם האות השניה מהשרש ויעלו מ"ב וב' על מ"ב הם פ"ד ולא תוכל להסיר מס"ח פ"ד

So, we give it only 5; 6 by 5 is 30 and 2 by 30 is 60. Subtract it from 78; the remainder is 18.

\scriptstyle{\color{blue}{78-\left(5\sdot6\sdot2\right)=78-\left(30\sdot2\right)=78-60=18}}

לכן לא נתן לו כי אם ה' וו' על ה' הם ל' וב' על ל' הם ס' הסירם מע"ח הנשאר י"ח

Then, multiply the 5 by 7; it is 35 and 35 by 2 is 70. Subtract it from the [8] that is in the second rank, you cannot. So, take the 8 that is in the third rank and shift it to the second rank; they are 88. Subtract 70 from it; 18 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{88-\left(5\sdot7\sdot2\right)=88-\left(35\sdot2\right)=88-70=18}}

אח"כ כפול הה' על ז' ויהיו ל"ה ול"ה על ב' ויהיו ע' תסירם מהה' שהם במדרגה השנית ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השלישית ותביאם אצל המדרגה השנית ויהיו פ"ח תסיר מהם ע' וישארו י"ח

Then, multiply 5 by 5; it is 25. Subtract it from the first rank, you cannot. So, take the 8 that is in the second rank and shift it to the first rank; they are 89. Subtract 25 from it; 64 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{89-5^2=89-25=64}}

אח"כ כפול ה' על ה' ויהיו כ"ה ותסירם מהמדרגה הראשנה ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השניה ותביאם אצל המדרגה הראשנה ויהיו פ"ט תסיר מהם כ"ה נשארו ס"ד

Hence, the root of the given number is 6[7]5 and the remainder is 1164.

הנה א"כ השרש מהמספר המונח הוא תרס"ה והנשאר אלף קס"ד

If there is a zero in the given number, do like this, i.e. if you want to know if there is a zero in the root, do this way:

ואם יש במספר המונח איזו ציפרא תעשה ככה ר"ל אם תרצה לדעת אם יש בשרש ציפרא תעשה בזה הדרך

Example: we wish to know the root of 164960.

\scriptstyle\sqrt{164960}

דמיון נרצה לדעת שרש קס"ד אלפים ותתק"ס

Do as follows: you already know that this number reaches up to the sixth rank. Subtract 1; 5 remains. Shift the sixth rank to the fifth [rank], it is 16. Its root is 4 and nothing remains, because 4 by 4 is 16.

\scriptstyle{\color{blue}{16-4^2=16-16=0}}

‫^[313]תעשה ככה כבר ידעת כי זה המספר מגיע עד המעלה הו' תסיר א' נשאר ה' ותשיב המדרגה הו' אצל הה' ויהיו י"ו ושרשו ד' ולא ישאר מאומה כי ד' על ד' הם י"ו

Find a number, such that when you multiply it by 4, then the product by 2, the result is 4. You cannot, because if you take 1, multiply it by 4, then the result by 2, it is 8, but the number [above] is only 4. So, we write a zero.

אח"כ תמצא איזה מספר כי כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' יעלה ד' ולא תוכל כי אם תקח א' ותכפלהו בד' והעולה על ב' יהיו ח' ואין המספר כי אם ד' לכן נשים כי ציפרא

Say: what number will I find, which when you multiply it by 4, then the product by 2, you can subtract it from 49?

אח"כ תאמ' איזה מספר אמצא אשר כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' שתוכל להחסירו ממ"ט

You find 6, because 6 by 4 is 24 and 2 by 24 is 48. Subtract it from 49; 1 remains on the third rank.

\scriptstyle{\color{blue}{49-\left(6\sdot4\sdot2\right)=49-\left(24\sdot2\right)=49-48=1}}

ותמצא ו' כי ו' על ד' הם כ"ד וב' על כ"ד הם מ"ח תסירם ממ"ט וישאר א' על המדרגה השלישית

Then, multiply 6 by 6; the result is 36. Subtract it from 60, which is in the second rank; 24 still remains.

\scriptstyle{\color{blue}{60-6^2=60-36=24}}

אח"כ כפול ו' על ו' ויעלו ל"ו תסירם מס' שהם במדרגה השנית וישאר עדין כ"ד

With the 100, they are 124. Subtract it from the given number; 164836 still remains, so this is the square that precedes the given number and its root is 406.

ועם הק' ויהיו קכ"ד תפילם מהמספר המונח וישאר עדין קס"ד אלפים ותתל"ו והוא המרובע שעבר מהמספר המונח והשרש הוא ד' מאות וו‫'

\scriptstyle{\color{blue}{164960-\left(100+24\right)=164960-124=164836=406^2}}

Deduce from this.

ותקיש על זה

Find a Number Problem

Question: find me a number, such that when you divide its fifth by a root of the given number, the result is 7.

\scriptstyle\frac{\frac{1}{5}a}{\sqrt{a}}=7

שאלה‫^[314] תמצא לי מספר אשר כשתחלק חמישיתו על שרש המספר המונח שיצא ז‫'

The way is that you multiply 7 by 5; it is 35 and it is the root of the given number.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=7\sdot5=35}}

הדרך הוא שתכפול ז' על ה' ויהיו ל"ה והוא יהיה שרש המספר המונח

Check: If you multiply 35 by itself, then take its fifth and divide it by 35, the result is 7.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{5}\sdot\left(35^2\right)}{35}=7}}

ואם תכה ל"ה על עצמם וקח חמישיתם ותחלקם על ל"ה יצא ז‫'

Deduce from this.

ותקיש על זה

Find the Perimeter Problem - a Square inside a Circle

If you wish to make a square inside a circle.

If you want to know by how much the [circle] exceeds the [square].

שאלה‫^[315] אם תרצה לעשות מרובע בתוך עגולה

אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע על העגולה

The square, i.e. each side of the square should be the same as the diameter of the circle [→ this is an error: the diagonal of the square should be the same as the diameter of the circle].

הנה המרובע ר"ל כל צלע המרובע ראוי שיהיה כמו אלכסון העגולה

Suppose each side of the square is 5.

ונניח שכל צלע המרובע הוא ה‫'

Multiply 5 by itself; it is 25; also 5 by itself; it is 25; and with 25; it is 50. Its root is 7 and one part of 14.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{5^2+5^2}=\sqrt{25+25}=\sqrt{50}=7+\frac{1}{14}}}

כפול ה' על עצמם ויהיו כ"ה גם ה' על עצמם ויהיו כ"ה ועם כ"ה והנם נ' ושרשם ז' וחלק אחד מי"ד

You already know that the perimeter of the circle is 3 and a seventh of the diameter.

וכבר ידעת כי הקף העגולה היא ג' ושביעית מהאלכסון

Multiply 3 and a seventh by 7 and one part of 14; the result is 22 integers and 22 parts of 98.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{1}{14}\right)\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22+\frac{22}{98}}}

כפול ג' ושביעית על ז' וחלק מי"ד ויעלה כ"ב שלמים וכ"ב חלקים מצ"ח

Divide it by 20, because each side of the square is 5 and 4 times 5 is 20; you receive 1 and 11 parts of 98. So, the circle exceeds the square by 11 parts of 98.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+\frac{22}{98}}{5\sdot4}=\frac{22+\frac{22}{98}}{20}=1+\frac{11}{98}}}

וחלקם על כ' יען כי כל צלע מהמרובע הוא ה' וד' פעמים ה' הוא כ' ויצא לך א' וי"א חלקים מצ"ח א"כ י"א חלקים מצ"ח מוסיף העגול על המרובע

Find the Perimeter Problem - a Circle inside a Square

If you wish to make a circle inside a square.

If you want to know by how much the square exceeds the circle.

שאלה‫^[316] אם תרצה לעשות עגולה בתוך מרובע

אם תרצה לדעת ‫^[317]כמה מוסיף המרובע על העגולה

Know that the diameter of the circle should be the same as the length of each side of the square.

דע כי יצטרך שאלכסון העגולה יהיה כמו אורך כל צלע המרובע

We say that if the length of each side of the square is 5, the diameter of the circle is also 5.

ואם נאמר כי אורך כל צלע המרובע הוא ה' גם אלכסון העגולה הוא ה‫'

The perimeter of the whole square is 20.

והקף כל המרובע הוא כ‫'

Multiply also 3 and a seventh by 5; the result is 15 and 5-sevenths.

\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=15+\frac{5}{7}}}

גם כפול ג' ושביעית על ה' ויצא ט"ו וה' שביעיות

Then, divide 20 by 15 and 5-sevenths; the result is 1 and 3 parts of 11. So, the square exceeds the circle by 3 parts of 11.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{15+\frac{5}{7}}=1+\frac{3}{11}}}

אח"כ תחלק כ' על ט"ו וה' שביעיות יצא א' וג' חלקים מי"א א"כ המרובע מוסיף על העגולה ג' חלקים מי"א

Find a Number Problems

Find me a number such that when I multiply it by 4, then divide it by 6, the remainder is 1.

\scriptstyle4a\bmod6=1

שאלה תמצא לי מספר שכשאכפלהו בד' ותחלקהו על ו' שישאר א‫'

Multiply 4 by 6; it is 24.

כפול ד' על ו' ויהיו כ"ד

Add 1 to it; it is 25

תוסיף בו א' ויהיו כ"ה

Divide it by 4; you receive 6 and a quarter and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(4\sdot6\right)+1}{4}=\frac{24+1}{4}=\frac{25}{4}=6+\frac{1}{4}}}

חלקם על ד' ויצא לך ו' ורביע והוא המבוקש

Check: Multiply it by 4; it is 25.

כפלהו על ד' ויהיו כ"ה

Divide it by 6; 1 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(6+\frac{1}{4}\right)\sdot4\right]\bmod6=25\bmod6=1}}

וחלקם על ו' וישאר א‫'

Deduce from this.

ותקיש על זה

Example from which you can understand all that is mentioned concerning the nativities: it is that you find me a number such that when you multiply it by 4, then divide the product by 5, the remainder is 1.

\scriptstyle4a\bmod5=1

דמיון אשר ממנו תוכל להבין כל הנזכר במולדות

והוא תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' והעולה תחלק על ה' שישאר א‫'

You should add 1 to 5; it is 6.

הנה יש לך להוסיף א' על ה' ויהיו ו‫'

Divide it by 4; 1 and a half remains and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+1}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}

וחלקם על ד' וישאר א' וחצי הוא המבוקש

But, it includes a fraction and we want it to be without a fraction.

אבל יש בו שבר ואנו מבקשי' שלא יהיה בו שבר

So, you should say: when I took the divisor, which is 5, once, it gave me 1 and a half. Add one to it; it is 2.

ולכן ראוי שתאמר מצד פעם אחת שלקחתי המחלק שהוא ה' נתן לו א' וחצי ולכן תוסיף בו אחד ויהיו ב‫'

Multiply 2 by 5; it is 10.

כפול ב' על ה' ויהיו י‫'

Add one to it; it is 11.

תוסיף בו אחד ויהיו י"א

Divide it by 4; you receive 2 and 3-quarters, so the result is still not an integer.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(2\sdot5\right)+1}{4}=\frac{10+1}{4}=\frac{11}{4}=2+\frac{3}{4}}}

חלקם על ד' ויצא לך ב' וג' רביעיות ולא יצא עדין בשלמים

Therefore, we [add] another one to the 2; it is 3.

לכן נכפול עוד אחד ר"ל על הב' ויהיו ג‫'

Multiply it by the divisor; it is 15.

כפלם על המחלק ויהיו ט"ו

With 1; it is 16.

ועם א' ויהיו י"ו

Divide it by 4; the result is 4 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3\sdot5\right)+1}{4}=\frac{15+1}{4}=\frac{16}{4}=4}}

תחלקם על א' ד' ויצא ד' והוא המבוקש

Check: because when you multiply 4 by 4; it is 16.

כי כשתכפול ד' על ד' יהיו י"ו

Divide it by 5; the remainder is 1.

\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot4\bmod5=16\bmod5=1}}

וחלקם על ה' וישאר א‫'

If you want the remainder to be 2, add 2 and so on.

ואם תרצה שישאר ב' תוסיף ב' וכך לעולם

Another question: find me a number such that when you multiply it by 4, then divide the product by 5, the result of division is 6 and the remainder is 3.

\scriptstyle\frac{4a}{5}=6+\frac{3}{5}

שאלה אחרת תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' ותחלקהו על ה' שיצא ו' בחלוק וישאר ג‫'

Multiply 5 by 6 and add 3 to it; it is 33.

כפול ה' על ו' ותוסיף בו ג' ויהיו ל"ג

Divide it by 4; you receive 8 and a quarter and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5\sdot6\right)+3}{4}=\frac{30+3}{4}=\frac{33}{4}=8+\frac{1}{4}}}

וחלקם על ד' ויצא לך ח' ורביע והוא המבוקש

Check: if you multiply 8 and a quarter by 4 and divide the product by [5]; the result is 6 and 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8+\frac{1}{4}\right)\sdot4}{5}=6+\frac{3}{5}}}

ואם תכפול ח' ורביע על ד' והעולה חלק על ח' שיצא ו' וישארו ג‫'

This is with fractions. If you want it to be without [fractions] do the above.

והוא בשברים ואם תרצה שלא שיצא בשלמים תעשה ככה למעלה

Guessing Problem - Distance

Question: If you wish to know a width, we call it a land, or any straight distance you want, put on your head a hat called cappello and go to the river bank or the place you want to know its length.

שאלה‫^[318] אם תרצה לדעת רוחב ‫^[319]נקראו ארץ או איזה מרחק שוה שתרצה שים על ראשך כובע הנקרא קפולו ראשו ולך אצל שפת הנהר או במקום שתרצה לדעת ארכו

Take a stick, whose length is from the ground until its top reaches under your neck in such a way that you cannot swim down or rise up.

וקח מקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחד תחת צואריך באופן שלא תוכל לשחות ארצה ולא להגביה למעלה

Then do it in such a way that the cappello is close to your eyes and when you see with your own eyes that the cappello reaches to the other end from the distance, that is, when you look up to the end of the river and you cannot see anymore, because the cappello's shadow prevents you from seeing any further, then turn your face to the other side.

אח"כ עשה באופן שהקפולו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לעין ראותך שהקפולו מגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד ראש הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפולו צלו מעכב שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר

For example, if the river is on the east side, turn your face to the west side, that is, behind you and make your feet stand in the exact same place they stood when you were facing the river.

המשל אם הנהר הוא לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו בהיותך כלפי הנהר

Look again and see as far as the place you can reach with your sight.

ותסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל להשיג בעין ראותך

Then go measure from the position of your foot as far as you could see and that is the distance of the river.

אח"כ לך למדוד ממעמד רגלך עד המקום שיכולת לראות וכך הוא מרחק הנהר

But, it seems to me that the river or the distance must be in a straight place.

אבל נראה לי כי יצטרך שיעמוד הנהר או המרחק במקום שוה

Find a Number

Question: if you take any number, then you take its quarter from it, then a third of the remainder, then half the remainder after taking the third, all parts are the same.

שאלה‫^[320] אם תחלק איזה מספר שיזדמן ותקח ממנו רביעיתו ומהנשאר שלישיתו ומהנשאר אחר לקיחת השליש מחציתו יש לכלם חלק שוה

\scriptstyle\frac{1}{4}\sdot a=\frac{1}{3}\sdot\left[a-\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)\right]=\frac{1}{2}\sdot\left[\left[a-\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)\right]-\frac{1}{3}\sdot\left[a-\left(\frac{1}{4}\sdot a\right)\right]\right]

For example: take a quarter of 12, which is 3; 9 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot12=3}}

\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-3=9}}

המשל תקח רביעית י"ב והוא ג' וישארו ט‫'

Take its third, which is 3; 6 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot9=3}}

\scriptstyle{\color{blue}{9-\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)=9-3=6}}

קח שלישית והוא ג' ונשארו ו‫'

Take its half, which is 3; 3 remains also.

\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)=6-3=3}}

קח מחציתם והוא ג' ונשארו ג"כ ג‫'

This is true for all numbers.

וזה יצדק בכל המספרים

Triangulation Problem - Two Towers

Question: here are two towers, the top of one touches the top of the other; the distance from foot to foot is ten and the length of each tower is also ten.

We wish to bring down a rope from the top of the two [towers] that will reach the middle between the feet [of the two towers].

How long will it be?

שאלה בכאן שני מגדלים אשר ראש האחד מגיע אצל ראש האחר והמרחק מרגל לרגל הוא עשרה ואורך כל מגדל ג"כ עשרה ונרצה להוריד חבל מבין השני ראשים שיגיע אצל אמצע הרגלים

כמה יהיה ארכה

The way of this: you should multiply ten by itself; the result is a hundred.

הדרך בזה ראוי לכפול עשרה על עצמם ויעלו מאה

Subtract from it half the distance from foot to foot, where the end of the rope reaches, which is 5; its square is 25.

תחסר מהם חצי המרחק שיש מרגל לרגל ששם מגיע ראש החבל והוא ה' ורבועם כ"ה

Subtract it from a hundred; 7[5] remains.

תחסרם ממאה וישארו ע"ו

Extract its root; 8 and 2-thirds remain and this is their shape:

קח גדרם וישארו ח' וב' שלישיות וזאת צורתם

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}\approx8+\frac{2}{3}}}

Dividing a Figure Problem - Triangle into Squares

If you want to know how many squares you can make from an equilateral triangle, the length of each of its sides is 10.

ואם תרצה לדעת כמה בתים תוכל ‫^[321]לעשות ממשולש שהוא שוה הצלעות ואורך כל צלע י‫'

You should multiply the length of the [height] by half the base, which is 5; the result is 43 and this many squares can be made of it, each of which is a cubit by a cubit, i.e. 43 each of its sides is one cubit.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{2}{3}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)=\left(8+\frac{2}{3}\right)\sdot5\approx43}}

הנה יש לך לכפול אורך השמור על חצי התושבת שהוא ה' ויעלו מ"ג וכ"כ בתים יוכל להעשות ממנו שכל אחד מהם יהיה אמה על אמה ר"ל מ"ג משולשים אשר כל אורך כל צלע אמה אחת

Find the Height Problem - Equilateral Triangle

Question: if you wish to know the length of the height in another way:

שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד באופן אחר

You should take 2 parts of 15 from the length of the side, which is 10. So, take 2 parts of 15 from ten; 8 and 2-thirds remain and this is the length of the height.

\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(\frac{2}{15}\sdot10\right)=8+\frac{2}{3}}}

ראוי לקחת מאורך הצלע שהוא י' ב' חלקים מט"ו לכן קח ב' חלקים מט"ו מעשרה וישארו ח' וב' שלישיות והוא אורך העמוד

Question: if you know the length of the height and you wish to know the length of the side.

שאלה אם תדע אורך העמוד ותרצה לדעת אורך הצלע

Take the square of height, add to it its third, then extract the root of the result and this is the length of the side.

תקח מרובע העמוד ותוסיף עליו שלישיתו ומהעולה תקח שרשו והוא אורך הצלע

Example: you know that the length of the height is 8 and 2-thirds.

דמיון אתה יודע כי אורך העמוד ח' וב' שלישיות

Take its square, which is 75.

תקח מרובעם והוא ע"ה

Add 25 to it, which is a third of 75; the result is 100.

ותוסיף עליהם כ"ה שהוא שלישית ע"ה ויעלו ק‫'

Extract its root; it is 10 and this is the length of the side.

וקח גדרם והוא י' והוא אורך הצלע

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(8+\frac{2}{3}\right)^2+\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{2}{3}\right)^2}\approx\sqrt{75+\left(\frac{1}{3}\sdot75\right)}=\sqrt{75+25}=\sqrt{100}=10}}

Find the Area Problem - Equilateral Triangle

Question: if you wish to know from the length of the height how much is the area of the triangle.

שאלה אם תרצה לדעת מתוך אורך העמוד כמה הוא תשבורת המשולש

Square the length, then take from the result its 5-ninths and a fifth of a ninth and this is the area.

תרבע האורך ומהעולה תקח ה' תשיעיות וחומש התשיעית וכך הוא התשבורת

Such as the one whose height is 8 and 2-thirds.

כגון זה שעמודו הוא ח' וב' שלישיות

Its square is 75; its 5-[ninths] is 41 and 2-thirds; a fifth of its ninth is 1 and 2-thirds. The total is 43 and a third.

הנה מרובעו ע"ה וה' שביעיתיו הוא מ"א וב' שלישיות וחומש התשיעית הוא א' וב' שלישיות ויעלה הכל מ"ג ושליש

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{9}\sdot\left(8+\frac{2}{3}\right)^2+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot\left(8+\frac{2}{3}\right)^2\approx\frac{5}{9}\sdot75+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{9}\right)\sdot75=\left(41+\frac{2}{3}\right)+\left(1+\frac{2}{3}\right)=43+\frac{1}{3}}}

Find the Side Problem, Find the Height - Isosceles Triangle

Question: if you wish to know the length of the base and the length of the height in an isosceles triangle, such that the length of each leg is 15 and the area is 108.

שאלה אם תרצה לדעת ממשולש שהוא שוה השוקים אשר אורך כל שוק ט"ו ותשבורת ק"ח

אם תרצה לדעת אורך התושבת ואורך העמוד

You should multiply 15 by 15; it is 225.

הנה ראוי לכפול ט"ו על ט"ו ויהיו רכ"ה

Also multiply the area by 2; it is 216.

גם כפול התשבורת על ב' ויהיו רי"ו

Subtract 216 from 225; 9 remains.

הוצא רי"ו מרכ"ה וישארו ט‫'

Its root is 3 and this is the excess of the height over half the base.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15^2-\left(108\sdot2\right)}=\sqrt{225-216}=\sqrt{9}=3}}

וגדרם ג' והוא מה שיעדיף העמוד על חצי התושבת

Question: if you wish to know the length of the height and the base.

שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד והתושבת

Take half 3; it is 1 and a half.

קח מחצית ג' והם א' וחצי

Square it; it is 2 and a quarter.

ותרבעם יהיו ב' ורביע

Add it to the area; it is 110 and a quarter.

ותוסיפם על התשבורת ויהיו ק"י ורביע

Its root is 10 and a half.

ושרשם י' וחצי

Add 1 and a half to it; it is 12 and this is the length of the height.

תוסיף עליהם א' וחצי ויהיו י"ב והוא אורך העמוד

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)^2+108}+\left(\frac{1}{2}\sdot3\right)&\scriptstyle=\sqrt{\left(1+\frac{1}{2}\right)^2+108}+\left(1+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{\left(2+\frac{1}{4}\right)+108}+\left(1+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\sqrt{110+\frac{1}{4}}+\left(1+\frac{1}{2}\right)=\left(10+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)=12\\\end{align}}}

If you subtract 1 and a half from 10 and a half, 9 remains and it is half the base.

ואם ‫^[322]תחסר מי' וחצי א' וחצי ישארו ט' והוא חצי התושבת

Know that this triangle is called isosceles, because the length [of the two sides] is the same, but the base is not equal to the side, as it is less or more.

ודע כי זה המשולש נקרא שוה שוקים כי ארכם שוה אבל התושבת אינו שוה אל השוק כי הוא פחות או יותר

Find the Height - Scalene Triangle

Question: if you wish to know the length of the height in a scalene triangle.

שאלה אם תרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעות אורך העמוד

First you need to know where the height falls.

ראוי לדעת תחלה אנה יפול העמוד

If you want to know where the height falls on the base, you should square the long side and square the base also, then sum them together.

ואם תרצה לדעת באיזה מקום מהתושבת יפול העמוד ראוי לרבע אורך הצלע הארוך וגם לרבע אורך התושבת ולחבר זה עם זה

We subtract the square of the length of the short side from the sum and divide the remainder by 2.

ונוציא מהם מרובע אורך הצלע הקצור והנותר נחלק על ב‫'

Divide the quotient by the base; the result is the distance of the height from the long side on the base.

והיוצא תחלק על התושבת והיוצא הוא מרחק העמוד מן התושבת אצל הצלע הארוך

The other part is the remainder on the base [from the height] to the short side.

והנשאר מהתושבת אצל הצלע הקצור הוא החלק האחר

Their sum is the length of the base.

ושניהם מחוברים אורך התושבת

Example: we wish to know [the height] of a scalene triangle, in which the length of one side is 15, the length of the other is 13, and the length of the base is 14.

דמיון זה נרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעו' אשר אורך אחת מצלעותיו ט"ו ואורך האחר י"ג ואורך התושבת י"ד

You should know the square of 15 and the square of the base, sum up these two squares; the result is 421.

ראוי לדעת מרובע ט"ו עם מרובע התושבת ותחבר אלו הב' מרובעים ויעלו תכ"א

We subtract from it the square of the short side, which is 13; 252 remains.

נוציא מהם מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג וישאר רנ"ב

We divide it by 2; the result is 126.

ונחלקם על ב' ויצא קכ"ו

We divide it by the base, which is 14; the result is 9 and this is the distance of the standing point of the height from the [long] side.

וחלקם על התושבת שהוא י"ד ויצא ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע האורך

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\left(15^2+14^2\right)-13^2}{2}}{14}=\frac{\frac{421-13^2}{2}}{14}=\frac{\frac{252}{2}}{14}=\frac{126}{14}=9}}

If you want to know [the distance of the standing point of the height from the short side]:

ואם תרצה לדעת המעמד הקצור

Take the square of the short side, which is 13, plus the square of the base, which is 14; the sum of both is 36[5]

תקח מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג עם מרובע התושבת שהוא י"ד ויעלו שניהם שס"א

We subtract from it the square of the long side, which is 225; 140 remains.

נוציא מהם מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה וישאר ק"מ

We divide it by 2; the result is 70.

נחלק על ב' ויצא ע‫'

Divide it also by 14, which is the base; the result is 5 and this is the distance of the standing point of the height from the short side.

חלק ע' על י"ד שהוא התושבת ויצא ה' והוא מרחק גבול העמוד מן הצלע הקצור

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{\left(13^2+14^2\right)-15^2}{2}}{14}=\frac{\frac{365-225}{2}}{14}=\frac{\frac{149}{2}}{14}=\frac{70}{14}=5}}

Now that we know the standing point of the height, we can know the length of the height and the way to know it is as follows:

ועתה שנדע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו הוא כך

We square the short side; it is 169.

נרבע הצלע הקצור ויהיו קס"ט

Subtract from it the square of the distance of the standing point of the height from the short side, which is 5 and its square is 25; the remainder is 144.

תסיר מהם מרובע גבול מעמד העמוד ~~נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו~~ ר"ל המעמד הקצור שהוא ה' ומרובעו כ"ה והנשאר קמ"ד

Its root is 12 and this is the length of the height.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{13^2-5^2}=\sqrt{169-25}=\sqrt{144}=12}}

וגדרם י"ב והוא אורך העמוד

Or, take the square of the long side, which is 225.

או תקח מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה

Subtract from it the square of the distance of the standing point of the height from the long side, which is 9 and its square is 81; the remainder is also 144.

ותסיר מהם מעמד הארוך שהוא ט' ומרובעם פ"א וישארו ג"כ קמ"ד

Its root is 12 and this is the length of the height.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{15^2-9^2}=\sqrt{225-81}=\sqrt{144}=12}}

ושרשם י"ב והוא אורך ‫^[323]העמוד

This is its shape:

וזאת היא צורתו

Extraction of Cube Roots

Question: if you want to know the cube root of any number you wish.

שאלה אם תרצה לדעת שרש המעוקב מאיזה מספר שתרצה

First, it should be known that the [cube] of 1 is 1, because it is a [cube] root and a cube; its analogous is a thousand, and its [cube] root is 10.

\scriptstyle{\color{blue}{1^3=1\longrightarrow\sqrt[3]{1000}=10}}

ראוי תחלה לדעת כי מרובע א' הוא מרובע א' כי הוא שרש ומרובע והנמשל לו הוא אלף אבל השרש הוא י‫'

The [cube] of 2 is [8]; its analogous is 8000 and its [cube] root is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{2^3=8\longrightarrow\sqrt[3]{8000}=20}}

ומרובע ב' הוא והנמשל לו הוא ח' אלפים ושרשם כ‫'

The [cube] of 3 is 27; its analogous is 27000 and its [cube] root is 30.

\scriptstyle{\color{blue}{3^3=27\longrightarrow\sqrt[3]{27000}=30}}

ומרובע ג' כ"ז והנמשל לו כ"ז אלפים ושרשם ל‫'

The [cube] of 4 is 64; its analogous is 64000 and its [cube] root is 40.

\scriptstyle{\color{blue}{4^3=64\longrightarrow\sqrt[3]{64000}=40}}

ומרובע ד' ס"ד והנמשל לו ס"ד אלפי' ושרשם מ‫'

The [cube] of 5 is [1]25; its analogous is 125000 and its [cube] root is 50.

\scriptstyle{\color{blue}{5^3=125\longrightarrow\sqrt[3]{125000}=50}}

ומרובע ה' כ"ה והנמשל קכ"ה אלפים ומרובעם ושרשם נ‫'

The [cube] of 6 is 216; its analogous is 216000 and its [cube] root is 60.

\scriptstyle{\color{blue}{6^3=216\longrightarrow\sqrt[3]{216000}=60}}

ומרובע ו' רי"ו והנמשל רי"ו אלפים ושרשם ס‫'

The [cube] of 7 is 343; its analogous is 343000 and its [cube] root is 70.

\scriptstyle{\color{blue}{7^3=343\longrightarrow\sqrt[3]{343000}=70}}

ומרובע ז' הוא שמ"ג והנמשל שמ"ג אלפים ושרשם ע‫'

The [cube] of 8 is 512; its analogous is 512000 and its [cube] root is 80.

\scriptstyle{\color{blue}{8^3=512\longrightarrow\sqrt[3]{512000}=80}}

ומרובע ח' הוא תקי"ב והנמשל הוא תקי"ב אלפים ושרשם פ‫'

The [cube] of 9 is 729; its analogous is 729000 and its [cube] root is 90.

\scriptstyle{\color{blue}{9^3=729\longrightarrow\sqrt[3]{729000}=90}}

ומרובע ט' הוא תשכ"ט והנמשל הוא תשכ"ט אלפים ומרובעם צ‫'

And so on always, i.e. the [cube] of a hundred is a thousand of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{100^3=1000000}}

וכן לעולם יחזור חלילה ר"ל כי מרובע מאה הוא אלף אלפים

The [cube] of 2 hundred is 8 thousands of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{200^3=8000000}}

ומרובע ב' מאות הוא ח' אלפי אלפים

The [cube] of 3 hundred is 27 thousands of thousands.

\scriptstyle{\color{blue}{300^3=27000000}}

ומרובע ג' מאות כ"ז אלפי אלפים

If you want to know the root of any [number], extract first the analogous root and divide the remainder by the root you found, but you should add 1 to the root you found, in the rank that precedes it.

ואם תרצה לדעת השרש מאיזה דבר שיזדמן תוציא תחלה השרש הנמשל והנשאר תחלק על השרש שמצאת אך ראוי שתוסיף על השרש שמצאת א' והמעלה הקודמת אליו

Then, multiply the root by itself with the addition of 1, multiply the result by 3 times the 1 you added, and divide the remainder by this.

אח"כ כפול השרש על עצמו עם תוספת א' ומה שיעלה תכפול על ג' דמיוני א' שהוספת ותחלק הנשאר עליהם

If you still have a remainder, add 1 again in the preceding rank, multiply the result by 3 times the addition, and divide the remainder by it.

ואם נשאר לך עוד שוב והוסיף א' מהמעלה הקודמת אליו והעולה כפול על ג' דמיוני התוספת והנשאר תחלק עליהם

But, be sure you have enough left to take the [cube] of the result from the remainder.

אך הזהר שישאר לך כ"כ שתוכל לקחת מהנשאר מרובע היוצא

And so on.

וכך תמיד

I give you an example:

ואתן לך דמיון

We wish to know the root of ten thousand.

\scriptstyle\sqrt[3]{10000}

נרצה לדעת שרש עשרת אלפים

You already know that the preceding root is 8 thousand and its root is 20.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{8000}=20}}

כבר ידעת כי השרש שעבר הוא ח' אלפים ושרשם כ‫'

2 thousand still remains.

ונשארו עדין ב' אלפים

Add 1 to 20 in the preceding rank, which is the rank of units; it is 21.

תוסיף א' מהמעלה הקודמת שהוא מעלת האחדים על כ' ויהיו כ"א

Multiply 20 by 21; it is 420.

כפול כ' על כ"א ויהיו ד' מאות וכ‫'

Multiply 420 by 3 times 1, which is the addition, i.e. multiply it by 3; the result is 1260.

כפול ד' מאות וכ' על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ‫^[324]ר"ל שתכפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס‫'

Divide 2000 by it; the result is 1.

ותחלק ב' אלפים עליהם ויעלה א‫'

Subtract 1260 from 2000; 740 remains.

תסיר מהב' אלפים י"ב מאות וס' ונשארו ז' מאות ומ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10000-8000}{20\sdot\left(20+1\right)\sdot\left(3\sdot1\right)}=\frac{2000}{20\sdot21\sdot3}=\frac{2000}{420\sdot3}=\frac{2000}{1260}=1+\frac{2000-1260}{1260}=1+\frac{740}{1260}}}

Subtract the 1 resulting in division from 740; 739 remains.

תסיר מז' מאות ומ' א' שעלה בחלוק וישארו ז' מאות ול"ט

Subtract it from 10000; it is 9261 and this is the [cube] of 21.

\scriptstyle{\color{blue}{10000-\left(740-1\right)=10000-739=9261=21^3}}

תפילם מעשרת אלפים ויהיו ט' אלפים וב' מאות וס"א והוא מרובע כ"א

Then, add a half to 21; it is 21 and a half.

אח"כ תוסיף חצי על כ"א ויהיו כ"א וחצי

Multiply it by 21; it is 4[5]1 and half.

תכפלם על כ"א ויהיו תכ"א וחצי

Multiply it by 3 times the addition, which is a half, i.e. take a half of 421 and a half; it is 225 and 3-quarters, then multiply it by 3; it is 677 and a quarter.

ותכפלם על ג' דמיוני התוספת שהוא חצי ר"ל שתקח חצי ד' מאות וכ"א וחצי ויהיו ב' מאות וכ"ה וג' רביעיות תכפלם על ג' ויהיו ו' מאות וע"ז ורביעי‫'

Subtract it from the remainder, which is 739; 61 and 3-quarters remain.

ותסירם מהנשאר שהם ז' מאות ול"ט וישארו ס"א וג' רביעיות

Subtract the cube of a half from it, which is an eighth; 61 and 5-eighths remain.

תסיר מהם מעוקב חצי שהוא שמינית א' וישארו ס"א וה' שמיניות

Subtract it from the given number, which is ten thousand; 9938 and 3-eighths remain and this is the [cube] of 21 and a half and its cube root is 21 and a half.

תפילם מהמספר המונח שהוא עשרת אלפים וישאר ט' אלפים וט' מאות ול"ח וג' שמיניות והוא מרובע כ"א וחצי ושרשם המעוקב כ"א וחצי

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle10000-\left[\left(10000-9261\right)-\left[21\sdot\left(21+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(3\sdot\frac{1}{2}\right)\right]-\left(\frac{1}{2}\right)^3\right]\\&\scriptstyle=10000-\left[739-\left[\left(451+\frac{1}{2}\right)\sdot\frac{1}{2}\sdot3\right]-\frac{1}{8}\right]=10000-\left[739-\left[\left(225+\frac{3}{4}\right)\sdot3\right]-\frac{1}{8}\right]\\&\scriptstyle=10000-\left[739-\left(677+\frac{1}{4}\right)-\frac{1}{8}\right]=10000-\left(61+\frac{3}{4}-\frac{1}{8}\right)=10000-\left(61+\frac{5}{8}\right)\\&\scriptstyle=9938+\frac{3}{8}=\left(21+\frac{1}{2}\right)^3\end{align}}}

Examine and you will find [that it is true].

ודוק ותשכח

If you want to examine further, add whichever fraction you want and do as mentioned above.

ואם תרצה לדקדק עוד תוסיף איזה שבר שתרצה ותעשה כנז' לעיל

If you want to know the [cube] root of any number you wish, multiply the number by a thousand, then extract the [cube] root of the product and divide the root by ten and this is the required.

\scriptstyle\sqrt[3]{a}=\frac{\sqrt{1000\sdot a}}{10}

ואם תרצה לדעת שרש איזה מספר שתרצה כפול אותו המספר על אלף והוצא אח"כ שרש מהסך העולה אח"כ חלק השרש על עשרה והוא המבוקש

Example: we wish to know the [cube] root of 2 and a half.

\scriptstyle\sqrt[3]{2+\frac{1}{2}}

דמיון נרצה לדעת שרש ב' וחצי

Multiply it by a thousand; it is 2500.

תכפלם על אלף ויהיו ב' אלפים וה' מאות

Subtract the cube [of 10], which is the first root; 1500 remains.

תוציא שרשם שהוא השרש הראשון שהוא י' וישארו אלף וה' מאות

Multiply 10 by 11, which is [10] with the addition of 1; it is 110.

כפול י' על י"א שהוא א' של תוספת ויהיו ק"י

Multiply it by 3 times 1, which is the addition; it is 330.

כפלם על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ויהיו ג' מאות ול‫'

Divide 1500 by it: give it 3.

חלק אלף וה' מאות עליהם תן להם ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[1000\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]-1000}{3\sdot10\sdot\left(10+1\right)}=\frac{2500-1000}{3\sdot10\sdot11}=\frac{1500}{3\sdot110}=\frac{1500}{330}}}

Multiply 10 times 13; it is 130.

וכפלם על י' ר"ל י' פעמים י"ג ויהיו ק"ל ק‫'

Multiply it by 3; it is 390.

כפלם על ג' דמיוני ויהיו ש"צ

Multiply it again by 3; it is 1170.

כפלם עוד על ג' ויהיו אלף וק"ע

Subtract it from 1500; the remainder is 330.

תפילם מאלף וה' מאות הנשאר ש"ל

Subtract the cube of 3, which is 27, from 330; the remainder is 303.

תפיל מש"ל מעוקב ג' שהוא כ"ז הנשאר ש"ג

Subtract if from the given number; 2197 remains and it is the [cube] if 13.

תפילם מהמספר המונח וישאר ב' אלפים וקצ"ז והוא מרובע י"ג

Divide the 13 by ten; the result is 1 integer and 3-tenths and this is the [cube] root of 2 and a half approximately.

תחלק אלו הי"ג על עשרה ויצא א' שלם וג' עשיריות והוא שרש ב' וחצי בקרוב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[3]{2+\frac{1}{2}}&\scriptstyle\approx\frac{\sqrt[3]{2500-\left[1500-\left[3\sdot3\sdot10\sdot\left(10+3\right)\right]-3^3\right]}}{10}=\frac{\sqrt[3]{2500-\left[1500-\left(3\sdot3\sdot10\sdot13\right)-27\right]}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{2500-\left[1500-\left(3\sdot3\sdot130\right)-27\right]}}{10}=\frac{\sqrt[3]{2500-\left[1500-\left(3\sdot390\right)-27\right]}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{2500-\left(1500-1170-27\right)}}{10}=\frac{\sqrt[3]{2500-\left(330-27\right)}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{2500-303}}{10}=\frac{\sqrt[3]{2197}}{10}=\frac{\sqrt[3]{13^3}}{10}=\frac{13}{10}=1+\frac{3}{10}\end{align}}}

This is because the complement to 2 and a half is 303 parts of a thousand, which is less than one third.

וזה כי ישאר עד תשלום ב' וחצי ש"ג חלקים מאלף שהוא פחות משליש אחד

If you want to approximate further, do as it seems good to you.

ואם תרצה לדקדק יותר כטוב בעיניך עשה

Another more precise way:

‫^[325]דרך אחר יותר מדוקדק

First, subtract the preceding integer [cube] root from the given number.

תוציא תחלה השרש השלם שעבר מהמספר המונח

Then, multiply the [cube] root by itself, and the product by 3.

ואח"כ כפול השרש על עצמו והעולה על ג‫'

Divide what remains from the given number by [the product].

ומה שנשאר מהמספר המונח חלק עליהם

Example: to know the root of ten.

\scriptstyle\sqrt[3]{10}

דמיון זה לדעת שרש עשרה

The preceding integer [cube] root is 2.

והנה השרש השלם שעבר הוא ב‫'

Multiply it by itself; it is 4. Multiply 4 by 3; it is 12.

כפלם על עצמם ויהיו ד' עוד כפול ד' על ג' ויהיו י"ב

Divide by it the 2 remaining from the given number; you receive one-sixth.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{10-2^3}{3\sdot2^2}=2+\frac{2}{3\sdot4}=2+\frac{2}{12}=2+\frac{1}{6}}}

חלק ב' הנשארים מהמספר המונח עליהם ויצא לך שישית אחד

But, you should be careful that you have something left from the given number, so that you can take from it the square of that fraction.

אך ראוי שתזהר שישאר לך איזה דבר מהמספר המונח כדי שתוכל לקחת ממנו מרובע אותו השבר

Therefore, we give it only 2 parts of 13.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{2}{13}}}

ולכן לא נתן לו כי אם ב' חלקים מי"ג

Deduce from this and know that something small is enough for you to take from the [cube].

ותקיש על זה ודע כי דבר מעט יספיק לך שישאר לקחת מרובע השרש

Examine and you will find [that it is true].

ודוק ותשכח

Question: if you wish to know the [cube] root of any fraction, even if it is with integers, provided that it has a true root, divide the upper root by the lower root and the result is the required.

\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt[3]{a}}{\sqrt[3]{b}}

שאלה אם תרצה לדעת שרש מאיזה שבר שיזדמן ואף אם הוא עם שלמים ובפרט שיהיה לו שרש אמיתי תחלק שרש העליון על השרש התחתון והעולה הוא המבוקש

Example: we wish to know the [cube] root of 8 parts of 27.

\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{8}{27}}

דמיון נרצה לדעת שרש מח' חלקים מכ"ז

Extract the [cube] root of 27; it is 3.

קח שרש כ"ז והוא ג‫'

Extract the [cube] root of 8; it is 2.

וקח שרש ח' שהוא ב‫'

Divide [2] by 3; it is 2-thirds and this is the required root.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{8}{27}}=\frac{\sqrt[3]{8}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2}{3}}}

חלק ח' על ג' והוא ב' שלישיות והוא השרש המבוקש

Another example of fractions with integers: we wish to know the [cube] root of 2 and 10 parts of 27.

\scriptstyle\sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}

דמיון אחר בשברים עם שלמים נבקש לדעת שרש ב' וי' חלקים מכ"ז

Convert the 2 integers into parts of 27; it is 54.

תעשה מהב' שלמים חלקים מכ"ז ויהיו נ"ד

Add to it the 10; it is 64.

תחבר אליהם הי' ויהיו ס"ד

Extract its [cube] root; it is 4.

קח שרשם והנם ד‫'

Extract the [cube] root of 27; it is 3.

וקח שרש כ"ז והנם ג‫'

Divide [4] by [3]; the result is 1 and a third and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{2+\frac{10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{54+10}{27}}=\sqrt[3]{\frac{64}{27}}=\frac{\sqrt[3]{64}}{\sqrt[3]{27}}=\frac{4}{3}=1+\frac{1}{3}}}

חלק ג' על על ד' ויצא א' ושליש והוא המבוקש

This way you can know if it is a cube number or not, i.e. when it is said: 2 integers and 10 parts of 27, if after you convert the integers into fractions and add the fractions to them, it has no cube root, then it does not have a true root.

ובזה תוכל להכיר אם הם מספר הוא מעוקב אם לא ר"ל כי כשאמ' ב' שלמים וי' חלקים מכ"ז אם אחר שעשית מהשלמים שברים וחברת עמהם השברים אם אין לו שרש מעוקב אין לו שרש אמת

Example: extract for me the [cube] root of 3 and 3 parts of 27.

\scriptstyle\sqrt[3]{3+\frac{3}{27}}

דמיון תוציא לי שרש ג' וג' חלקים מכ"ז

Convert them into parts of 27; the result is 84. With the 3 fractions, the number has no cube root, so the given number does not have a cube root.

תעשה מהם חלקים מכ"ז ויעלו פ"ד עם הג' שברים הנה אין למספר שרש מעוקב [א"כ] אין למספר המונח שרש מעוקב

You can know it in another way:

ועוד תוכל לדעתו באופן אחר

As the one who says: extract for me the [cube] root of 3 and a quarter.

\scriptstyle\sqrt[3]{3+\frac{1}{4}}

כמו האומר קח לי שרש ג' ורביע א‫'

You already know that 4, by which the quarter is denominated, does not have a cube root. Therefore, the given number does not have a cube root.

הנה כבר ידעת כי אין לד' הנמשל אל הרביע שרש מעוקב א"כ אין למספר המונח שרש ‫^[326]מעוקב

Find a Number Problem

Question: if you wish to find two numbers standing between 8 and 27, such that the ratio of the second to the first is as the ratio of the third to the second and as the ratio of the fourth to the third.

\scriptstyle a_2:a_1=a_2:8=a_3:a_2=27:a_3=a_4:a_3

שאלה אם תרצה למצא ב' מספרים יעמדו בין ח' ובין כ"ז שיהיה יחס השני אל הראשון כיחס הג' אל הב' וכיחס הד' אל הג‫'

Do as follows: take the [cube] root of [8], which is [2], and multiply it by 27; it is 54.

תעשה ככה תקח שרש ב' והוא ח' ותכפלם על כ"ז ויהיו נ"ד

Divide it by the [cube] root of 27, which is 3; the result is 18 and this is the third number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{\sqrt[3]{8}\sdot27}{\sqrt[3]{27}}=\frac{2\sdot27}{3}=\frac{54}{3}=18}}

ותחלקם על שרש כ"ז שהוא ~~ב' ויעלו י"ב~~ ג' ויעלו י"ח והוא המספר הג‫'

To find the second: take the [cube] root of 27, which is 3, and multiply it by 8; it is 24.

ולמצא הב' קח שרש כ"ז שהוא ג' ותכפלם על ח' ויהיו כ"ד

Divide it by the [cube] root of [8], which is 2; the result is 12 and this is the second number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{\sqrt[3]{27}\sdot8}{\sqrt[3]{8}}=\frac{3\sdot8}{2}=\frac{24}{2}=12}}

חלקם על שרש ד' שהוא ב' ויעלו י"ב והוא המספר השני

You can see that the ratio of [8] to [12] is the same as the ratio of 12 to 128 and as the ratio of 27 to 18.

\scriptstyle{\color{blue}{8:12=12:18=18:27}}

והנך רואה כי יחס י"ב אל ח' כיחס י"ב אל י"ח וכיחס י"ח אל כ"ז

Deduce from this.

ותקיש על זה

Interest Problem

This way you can know the questions on interest.

ובזה האופן תוכל לדעת השאלות שהם מהרבית

For instance, the one who says: a man borrowed money at ten minyanim for a barrel.

After a year he added the profit to the fund, after the second year he added the profit to the fund, and also after the third [year].

Then, at the end of three years it was found that he owed him 33 minyanim and three-quarters.

כגון האומר אדם הלוה ממון עשרה מנינים לחבית ואחר שנה הוסיף הריוח על הקרן ואחר השנה הב' ג"כ הוסיף הקרן על הריוח ואחר הג' ג"כ ואחר לסוף ג' שנים נמצא שהוא מחוייב לו ל"ג מנינים וג' רביעיות

The way is the same as the previous: you should multiply the [cube] root of 10 by 33 and 3-quarter, then divide the result by the [cube] root of 33 and 3-quarters; you receive 22 and a half and this is the third number.

\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{\sqrt[3]{10}\sdot\left(33+\frac{3}{4}\right)}{\sqrt[3]{33+\frac{3}{4}}}=22+\frac{1}{2}}}

הנה הוא הדרך כמו הקודמת והוא כי ראוי לכפול שרש י' ולכפול אותו על ל"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על שרש ל"ג וג' רביעיות ויצא לך כ"ב וחצי והוא המספר הג‫'

To find the second, multiply [the cube root of] 33 and 3-quarters by 10, then divide the result by the [cube] root of 10; you receive 15 and this is the second.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{\sqrt[3]{33+\frac{3}{4}}\sdot10}{\sqrt[3]{10}}=15}}

ולמצא השני כפול ל"ג וג' רביעיות על י' והעולה תחלק על שרש י' ויצא לך ט"ו והוא השני

So, the money was 10, at the end of the year it became 15, and we find that he earned 5 minyanim for the ten.

א"כ הממון היה י' ובסוף השנה היה ט"ו נמצא שהרויח ה' מנינים עבור העשרה

If 10 becomes 15, 15 will become 22 and a half; and if 15 becomes 22 and a half, 22 and a half will become 33 and 3-quarters.

\scriptstyle{\color{blue}{10:15=15:\left(22+\frac{1}{2}\right)=\left(22+\frac{1}{2}\right):\left(33+\frac{3}{4}\right)}}

ואם י' שבו ט"ו ט"ו ישובו כ"ב וחצי ואם ט"ו שבו כ"ב וחצי כ"ב וחצי ישובו ל"ג וג' רביעיות

Sum Problem - Triples

Question: sum for me seven numbers successively, such that each exceeds over the one that precedes it by 3.

שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג‫'

First, you should sum up all the numbers from 1 to 7; they are 28.

ראוי לחבר תחלה כל המספרים שהם מא' עד ז' ויהיו כ"ח

Multiply 28 by 3; it is 84 and this is the required.

\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\sum_{1=1}^7 i=3\sdot28=84}}

כפול כ"ח על ג' ויהיו פ"ד והוא המבוקש

Because 3, 6, 9, 12, 15, 18, and 21 are 84.

\scriptstyle{\color{blue}{3+6+9+12+15+18+21=84}}

כי ג' וו' וט' וי"ב וט"ו וי"ח כ"א הם פ"ד

Exatruction of Cube Roots

Question: know that if, after you take the first [cube] root from the given number, you cannot take a whole unit, you should add 1 from the rank that is third to the resulting root and so on always go backwards.

שאלה דע כי אם אין למספר המונח אחר שלקחת ממנו השרש הראשון והוספת אחד מהמעלה שלפניה ולא תוכל לקחת אחד שלם הנה ראוי [...] תוסיף א' מהמעלה שהיא שלישית אל השרש היוצא וכן לעולם תשוב אחורנית

Example: we wish to know the cube root of 1072000.

\scriptstyle\sqrt[3]{1072000}

דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב מאלף אלפים וע"ב אלפים ‫^[327]אלפים

The first [cube] root is a hundred and its [cube] is 1000000; 72000 still remains.

\scriptstyle{\color{blue}{1072000-100^3=1072000-1000000=72000}}

הנה השרש הראשון הוא מאה ומרובעו אלף אלפים ונשארו עדין ע"ב אלפים

If you add a ten to the root, which is the rank that precedes the hundred, it is 110.

ואם תוסיף על השרש עשרה אחת שהיא המעלה שלפניה מאה יהיו מאה ועשר

Multiply it by a hundred; [it is] 11000 and its product by 3 is 33000.

ותכפלם על מאה י"א אלפים וג' דמיוניו הוא ל"ג אלפים

The remainder from our number is 72000 and you see that you cannot give it a ten, which is one in what you added, because, if you divide 72 by 33, you get only 2 and these 2 are units, not tens.

הנשאר ממספרינו הוא ע"ב אלפים ואתה רואה כי לא תוכל לתת לו עשרה שהוא אחד ממה שהוספת כי אם תחלק ע"ב על ל"ג לא יצא לך כי אם ב' ואותם הב' הם אחדים לא עשרות

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{72000}{3\sdot100\sdot\left(100+10\right)}=\frac{72000}{3\sdot100\sdot110}=\frac{72000}{3\sdot11000}=\frac{72000}{33000}\approx2}}

Therefore, you should add to the resulting root, which is 100, 1 from the rank that is third to it, which is the rank of the units; it is 101.

לכן ראוי להוסיף על השרש שיצא שהוא ק' א' מהמעלה השלישית אליו שהוא א' ממדרגת האחדים ויהיו ק"א

Multiply it by a hundred; it is 10100.

כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפים ומאה

Multiply it by 3 times the addition; it is 30300.

כפלם על ג' דמיוני התוספת ויהיו ל' אלפים וג' מאות

Divide 72[000] by 30300; the result is 2.

חלק ע"ב על ל' אלפים וג' מאות ויצאו ב‫'

We assume 2 and with a hundred, it is 102.

ונשים ב' ועם מאה הוא ק"ב

Multiply it by a hundred; it is 10200.

כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפי' וב' מאות

Its product by 3 is 30600.

וג' דמיוניו הוא ל' אלפים וו' מאות

Multiply it by 2; it is 61200 plus the cube of 2 that you added, which is 8; it is [6]1208

כפלם על ב' ויהיו ס"א אלפים וב' מאות ומעוקב ב' שהוספת שהוא ח' ויהיו ל"א אלפים וב' מאות וח‫'

Add it to 1000000, which is the cube of a hundred that is the first [cube] root; it is 1061208 and it is the cube of 102 and its [cube] root is 102.

ותחברם עם אלף אלפים שהוא מעוקב מאה שהיה השרש הראשון ויהיו אלף אלפים וס"א אלפים וב' מאות וח' והוא מעוקב ק"ב ושרשם ק"ב

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle100^3+\left[2\sdot3\sdot\sdot100\left(100+2\right)\right]+2^3&\scriptstyle=1000000+\left(2\sdot3\sdot100\sdot102\right)+8\\&\scriptstyle=1000000+\left(2\sdot3\sdot10200+8\right)\\&\scriptstyle=1000000+\left(2\sdot30600\right)+8\\&\scriptstyle=1000000+61200+8\\&\scriptstyle=1000000+61208=1061208=102^3\\\end{align}}}

Question: if you wish to know the cube root of any number you want, take the preceding [cube] and the next [cube] and see [the difference] between the preceding [cube] and the following [cube], then see [the difference] between the preceding [cube] and the given number and always add 1. Say that the result are parts of [the difference] between the preceding [cube] and the following [cube].

שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה יש מן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר

Example: we wish to know the cube [root] of 15.

\scriptstyle\sqrt[3]{15}

דמיון זה נרצה לדעת מעוקב ט"ו

The preceding [cube] is 8, the next [cube] is 27, and the difference is 19.

הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט

You find 7 between 8, which is the preceding [root], and our number.

ובין ח' שהוא הקודם אל מספרינו שהוא ט"ו תמצא ז‫'

Add 1; it is 8 and say that they are 8 parts of 19, i.e. the [cube] root of 15 is 2 and [8] parts of 19.

תוסיף א' ויהיו ח' ותאמ' כי הם ח' חל[קים] מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וחלקים מי"ט

\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{15}=2+\frac{\left(15-2^3\right)+1}{3^3-2^3}=2+\frac{\left(15-8\right)+1}{27-8}=2+\frac{7+1}{19}=2+\frac{8}{19}}}

You can do it with integers and fractions as well, by raising the integer with the fraction to the rank of thousands, i.e. that you multiply the number by a thousand, then take the preceding [cube] and the next [cube] as we did with integers and divide the result by 10 and it is the [cube] root.

וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם ‫^[328]והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' והוא השרש

Example: we wish to know the root of 1 and a half.

\scriptstyle\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}

דמיון זה נרצה לדעת שרש א' וחצי

Multiply it by a thousand; it is 1500.

תכפלהו על אלף ויהיו אלף וה' מאות

The preceding [cube] is 1331 and its complement to 1500 is 169. Add 1 to it; it is 170.

והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א' ויהיו ק"ע

Then, look at the next [cube], which is a cube of 12, which is 1[7]28.

אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וה' מאות וכ"ח

You find that the difference between the cube of 11 and the cube of 12 is 3[97].

והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שס"ט

So, the result is 11 and 170 parts of 39[7].

א"כ היוצא הוא י"א וק"ע פ' חלקים משצ"ט

Divide this number by 10 this way:

חלק זה המספר על י' בזה האופן

Multiply 397 by 10; it is 3970.

והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע‫'

Multiply 397 also by 11; it is 4367

גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ושס"ז

Add to it 170; it is 453[7]

תוסיף עליהם ק"ע ויהיו ד' אלפים ותק"ל

Divide it by 3970; you receive 1 and 56[7] parts of 3970, which is 56 parts of 39[7].

תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקים מג' מאות וצ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{1000\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)}}{10}=\frac{\sqrt[3]{1500}}{10}=\frac{11+\frac{\left(1500-11^3\right)+1}{12^3-11^3}}{10}=\frac{11+\frac{\left(1500-1331\right)+1}{1728-1331}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{11+\frac{169+1}{397}}{10}=\frac{11+\frac{170}{397}}{10}=\frac{\left(11\sdot397\right)+170}{397\sdot10}=\frac{4367+170}{3970}=\frac{4537}{3970}=1+\frac{567}{3970}\approx1+\frac{56}{397}\\\end{align}}}

If you wish to know the [cube] root of fractions alone, multiply the fraction by a thousand, then take the preceding [cube] and the next [cube] as mentioned.

ואם תרצה לדעת שרש משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף ואח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז‫'

Example: we wish to know the cube root of a half.

\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{2}}

דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי

Multiply it by a thousand; it is 500.

תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות

The preceding [cube] is 343 and its root is 7; the next [cube] is 512 and its root is 8; see [the difference] between 343 and 512; you find it is 169.

והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט

See also the difference between 343 and 500; you find it is 157. Add 1 to it; it is 158.

עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח

So, the result is 7 and 158 parts of 169.

א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט

Divide this number by 10 and do as follows:

תחלק זה המספר על י' ותעשה כך

Multiply 169 by 10; it is 1690.

כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ‫'

Multiply also 7 times 169; it is 11[83]

גם כפול ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקס"ח

Add 15[8] to it; it is 1341.

תוסיף בם קנ"ג ויהיו אלף וג' מאות ומ"א

Therefore, say that the [cube] root of a half is 1341 parts of 1690.

א"כ תאמ' כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{2}}&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{1000\sdot\frac{1}{2}}}{10}=\frac{\sqrt[3]{500}}{10}=\frac{7+\frac{\left(500-7^3\right)+1}{8^3-7^3}}{10}=\frac{7+\frac{\left(500-343\right)+1}{512-343}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{7+\frac{157+1}{169}}{10}=\frac{7+\frac{158}{169}}{10}=\frac{\left(7\sdot169\right)+158}{169\sdot10}=\frac{1183+158}{1690}=\frac{1341}{1690}\\\end{align}}}

Another example: we wish to know the cube [root] of a fifth.

\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{5}}

דמיון אחר נרצה לדעת מעוקב חומש

We multiply it by a thousand; it is 200.

נכפול אותו על אלף ויהיו ב' מאות

Take the preceding [cube], which is 125 and its root is 5; and take the next [cube], which is 216 and its root is 6; see [the difference] between 125 and 261; you find it is 91.

וקח השרש שעבר שהוא קכ"ה ושרשו ה' וקח הבא שהוא רי"ו ושרשם ו' וראה מה בין קכ"ה לרי"ו ותמצא צ"א

Then, see the difference between 125 and 500; you find it is 75. Add 1 to it; it is 76.

אח"כ [ראה] מה בין קכ"ה לב' מאות ותמצא ע"ה תוסיף בו א' ויהיו ע"ו

Divide 76 by 91; it is 76 parts of 9[1]

חלק ע"ו על צ"א ויהיו ע"ו חלקים מצ"ה

The result is 5 and 76 parts of 91.

הנה היוצא הוא ה' וע"ו חלקים מצ"א

Divide it by 10 this way:

חלקם על י' בזה האופן

Multiply 91 by 10; it is 910.

‫^[329]כפול צ"א על י' ויהיו ט' מאות וי‫'

Multiply also 5 times 91; it is 455.

גם כפול ה' פעמים צ"א ויהיו ד' מאות ונ"ה

Add to it the parts, which are 76; it is 531.

תוסיף בם החלקים שהם ע"ו ויהיו ה' מאות ול"א

Therefore, the root of a fifth is 531 parts of 910, which is 53 parts of 91 and this is in a great approximation.

א"כ שרש החומש הוא תקל"א חלקים מתתק"י שהם נ"ג חלקים מצ"א וכל זה הוא בקרוב גדול

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{5}}&\scriptstyle=\frac{\sqrt[3]{1000\sdot\frac{1}{5}}}{10}=\frac{\sqrt[3]{200}}{10}=\frac{5+\frac{\left(200-5^3\right)+1}{6^3-5^3}}{10}=\frac{5+\frac{\left(200-125\right)+1}{216-125}}{10}\\&\scriptstyle=\frac{5+\frac{75+1}{91}}{10}=\frac{5+\frac{76}{91}}{10}=\frac{\left(5\sdot91\right)+76}{91\sdot10}=\frac{455+76}{910}=\frac{531}{910}\approx\frac{53}{91}\\\end{align}}}

Examine and you will find [that it is true].

ודוק ותשכח

How Many Problem - Horses Eating Barley

Question: If ten horses eat 20 measures of barley in 8 days, I ask: how much will 180 horses eat in 60 days?

שאלה^[330] אם עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות שעורים אשאל ק"פ סוסים בס' ימים כמה יאכלו

Rule of Three: Say as follows: [if] ten horses eat in 8 days 20 measures, how much will 180 eat in 8 days?

\scriptstyle{\color{blue}{10:20=180:X}}

תאמר כך עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות ק"פ סוסים בח' ימים כמה יאכלו

You receive 360.

ויצא לך ש"ס

Rule of Three: Then say: if they eat in 8 days 360, how much they will eat in 60 days?

\scriptstyle{\color{blue}{8:360=60:X}}

אח"כ תאמר אם בח' ימים אוכלים ש"ס בס' ימים כמה יאכלו

You receive 2700 and so they will eat.

ויצא לך אלפים וז' מאות וכך יאכלו

Find the Fund Problem - Grossi a Year

Question: if one grosso yields 4 piccoli in one month, how much will 100 grossi yield in one year?

שאלה‫^[331] אם גרוש אחד מרויח ד' פיצולי לחדש כמה ירויחו ק' גרושי בשנה אחת

Rule of Three: First, say: if 1 grosso yields 4 piccoli, how much will a hundred [grossi] yield?

\scriptstyle{\color{blue}{1:4=400:X}}

ראשנה תאמ' אם א' גרוש הרויחו ד' פיצולי מה ירויחו מאה

The result is 400.

ויצא ד' מאות

Rule of Three: Then, say: if one month yields 400 [piccoli], how much will 12, which is one year, yield?

\scriptstyle{\color{blue}{1:400=12:X}}

אח"כ תאמ' אם חדש ירויח ד' מאות י"ב שהוא שנה כמה ירויח

You receive 4800 piccoli.

ויצא לך ד' אלפים וח' מאות פיצולי

Rule of Three - Scales

Question: if you wish to do scales on the "Rule of Three", do as follows: multiply the first number by the resulting number, which is the fourth, and multiply the third by the second.

\scriptstyle a_1\sdot a_4=a_3\sdot a_2

שאלה‫^[332] אם תרצה לעשות המאזנים על הריגולא דיטרי תעשה כך כפול המספר הראשון על המספר היוצא שהוא הרביעי שיהיה כפול הג' כפול על ב‫'

If you cast out the sevens or the nines from the first and fourth numbers, what remains is equal to the third and second numbers after you cast out the sevens and the nines.

\scriptstyle\left(a_1\sdot a_4\right)_7 \equiv\left(a_3\sdot a_2\right)_7

אם תוציא השביעיות או התשיעיות מן המספר הא' והד' ומה שישאר יהיה שוה אל המספר הג' והב' אחר שהוצאת מהם השביעיות והתשיעיות

You can do the same with fractions.

וכן תוכל לעשות בשברים

I will give you an example: if 4 equals 6, 8 equal 12.

\scriptstyle4:6=8:12

ואתן לך דמיון אם ד' שוים ו' ח' שוים י"ב

So, multiply 4 by 12; it is 48.

לכן כפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח

Cast out the sevens from it; 6 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_4=4\sdot12=48_7 \equiv6}}

תסיר מהם השביעיות וישארו ו‫'

4 is the first number and 12 is the fourth.

והנה ד' הוא המספר הא' וי"ב הוא הרביעי

Then, turn to the second number, which is 6, and multiply it by 8, which is the third [number]; it is also 48.

אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא ו' וכפול אותו על ח' שהוא הג' ויהיו ג"כ מ"ח

Cast out the sevens; 6 also remains and it equals the reserved.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=6\sdot8=48_7 \equiv6}}

תסיר מהם השביעיות וישארו ג"כ ו' והם שוים אל הו' השמורים

Example with fractions: if 4 and a half is equal to 17, 8 is equal to 30 and 2 parts of 9.

\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right):17=8:\left(30+\frac{2}{9}\right)

דמיון משברים אם ד' וחצי שוים י"ז ח' ישוו ל' וב' חלקים מט‫'

The check it, take the first, which is 4 and a half, and convert it into halves,; they are 9. The remainder is 2. Write 2 halves, i.e. 2 above and 2 below, like this:

\scriptstyle\frac{2}{2}

.

לבחון אותו קח הראשון שהוא ד' וחצי ועשה מהם חציים והם ט' הנשאר ב' ושים ב' חציים ‫^[333]ר"ל ב' למעלה וב' למטה כך ‫

\scriptstyle\frac{2}{2}

Then, turn to the fourth, which is 30 and 2 parts of 9, and cast out the sevens from 30; the remainder is 2.

אח"כ שוב אל הרביעי שהוא ל' וב' חלקים מט' והוצא השביעיות מל' הנשאר ב‫'

Cast out the sevens from 9 also, which are ninths, as it is said 2-ninths; 2 remains.

גם הוצא הז' מט' שהם התשיעיות שאמ' ב' תשיעיות וישאר ב‫'

Multiply 2 by 2; it is 4. Add the 2 above the 9; it is 6.

כפול ב' על ב' ויהיו ד' וקח הב' שהם על הט' ויהיו ו‫'

Then, multiply the 6, which is above the 9, by the 2, which is above the 2, like this:

\scriptstyle\frac{2}{2}\quad\frac{6}{2}

; it is 12.

אח"כ כפול אלו הו' שהם על הט' על הב' שהם על הב' כזה ‫

\scriptstyle\frac{2}{2}\quad\frac{6}{2}

ויהיו י"ב

Divide it by the product of what is below, one by the other, which are 2 by 2, which is 4; the result is 3 integers. Keep it.

חלקם על כפל אותם שהם של מטה זה על זה שהם ב' על ב' שהם ד' ויצאו ג' שלמים ושמרם

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)=\left[\frac{9}{2}\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\right]_7 \equiv\\&\scriptstyle\equiv\frac{2}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{2}\right)=\frac{2}{2}\sdot\frac{\left(2\sdot2\right)+2}{2}=\frac{2}{2}\sdot\frac{4+2}{2}=\frac{2}{2}\sdot\frac{6}{2}=\frac{12}{4}=3\\\end{align}}}

Then, turn to the second number, which is 17, and cast out the sevens from it; 3 remains.

\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=17\sdot8_7 \equiv3\sdot1=3}}

אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא י"ז והוצא מהם השביעיות וישארו ג‫'

Turn also to the [third] and cast out the sevens; 1 remains

גם שוב אל השני והוצא השביעיות וישאר א‫'

Multiply 1 by 3; it is 3 and it is equal to the reserved 3.

כפול א' על ג' ויהיו ג' והם שוים אל הג' השמורים

Example: if 5 and a third equal 11 and a quarter, 9 and 3-fifths equals 20 and a quarter.

\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}\right):\left(11+\frac{1}{4}\right)=\left(9+\frac{3}{5}\right):\left(20+\frac{1}{4}\right)

דמיון אחר אם ה' ושליש שוים י"א ורביע ט' וג' חמישיות ישוו כ' ורביע

Check it:

תבחון אותו

Take the first, which is 5 and a third. Convert it into thirds; they are 16.

קח הראשון שהוא ה' ושליש עשה מהם שלישיות יהיו י"ו

Cast out the sevens; 2-thirds remain.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{3}\right)\bmod7=\frac{16}{3}\bmod7=\frac{2}{3}}}

קח השביעיות וישארו ב' שלישיות

Look also at the fourth, which is 20 and a quarter.

עוד ראה הרביעי שהוא כ' ורביע

Cast out the sevens from 20; 6 remains.

הוצא מכ' השביעיות וישארו ו‫'

Multiply 6 by 4, which are the quarters, [plus 1]; it is 25.

כפול ו' על ד' שהם רביעיות ויהיו כ"ה

Cast out the sevens; it is 4, i.e. 4 quarters remain.

קח השביעיות ויהיו ד' ר"ל נשארו ד' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20+\frac{1}{4}\right)\bmod7&\scriptstyle=\left[\left(20\bmod7\right)+\frac{1}{4}\right]\bmod7=\left(6+\frac{1}{4}\right)\bmod7\\&\scriptstyle=\frac{\left(6\sdot4\right)+1}{4}\bmod7=\frac{25}{4}\bmod7=\frac{4}{4}\end{align}}}

Then, multiply 4-quarters by 2-thirds; it is [8].

אח"כ כפול ד' רביעיות על ב' שלישיות ויהיו ד‫'

Multiply also the denominators, which are thirds and quarters; it is 12.

עוד כפול תחתונים שהם שלישיות רביעיות ויהיו י"ב

So, they are 8 parts of 12, which are 2-thirds. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}\sdot\frac{2}{3}=\frac{4\sdot2}{4\sdot3}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}}}

א"כ הם ח' חלקים מי"ב שהם ב' שלישיות ושמור זה

Then, turn to the second number and cast out 7 from 11; the remainder is 4.

אח"כ שוב אל המספר השני והוצא ז' מי"א הנשאר ד‫'

Multiply 4 by 4, which is the fraction, [plus 1]; it is 17.

כפול ד' על ד' שהם השבר ויהיו י"ז

Cast out the sevens; 3-quarters remain.

הוצא השביעיות וישארו ג' רביעיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(11+\frac{1}{4}\right)\bmod7&\scriptstyle=\left[\left(11\bmod7\right)+\frac{1}{4}\right]\bmod7=\left(4+\frac{1}{4}\right)\bmod7\\&\scriptstyle=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}\bmod7=\frac{17}{4}\bmod7=\frac{3}{4}\end{align}}}

Then, turn to the third [number], which is 9. Cast out the sevens; 2 remains.

אח"כ שוב אל הג' שהוא ט' הוצא השביעיות וישארו ב‫'

Multiply 2 by 5; it is 10 and with the 3-fifths, they are 13.

כפול ב' על ה' ויהיו י' ועם הג' חמישיות ויהיו י"ג

Cast out the sevens; 6-fifths remain.

הוצא השביעיות וישארו ו' חמישיות

\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(9+\frac{3}{5}\right)\bmod7&\scriptstyle=\left[\left(9\bmod7\right)+\frac{3}{5}\right]\bmod7=\left(2+\frac{3}{5}\right)\bmod7\\&\scriptstyle=\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\bmod7=\frac{10+3}{5}\bmod7=\frac{13}{5}\bmod7=\frac{6}{5}\end{align}}}

Then, multiply 6 by 3; it is 18.

אח"כ כפול ו' על ג' ויהיו י"ח

Cast out the sevens; 4 remains.

הוצא השביעיות וישארו ד‫'

Multiply also 4 by 5, which are the fractions, i.e. quarters and fifths; it is 20.

גם כפול ד' על ה' שהם השברים ר"ל רביעיות חמישיות ויהיו כ‫'

Cast out the sevens; 6 remains.

קח השביעיות וישארו ו‫'

Put the 6 above the 4; they are also 2-thirds and they are equal to the reserved.

אח"כ שים על הו' ד' והם ג"כ ב' שלישיות והם שוים אל השמורים

\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot\frac{6}{5}\right)\bmod7=\left(\frac{6\sdot3}{4\sdot5}\right)\bmod7=\frac{18\bmod7}{20\bmod7}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}}}

If there are different coins in the amount, convert all the coins into the smallest and take the scales.

ואם יש באותו הסך מטבעים מתחלפים תשיב כל המטבעים אל היותר קטנה ותקח המאזנים

Example: if 9 braccio of cloth are worth 13 liṭra and 9 [grossi 34 canna and 2-quarters are worth 51 liṭra, 11] soldi and [2] piccoli.

דמיון זה אם ט' בראצי מבגד שוים י"ג ליט' וט' שולדי ‫^[334]לב' פיצולי

Check this:

תבחון אותו

Take the second number, which is 13 liṭra and 9 grossi and take the scales this way:

קח המספר הב' שהוא י"ג ליט' וט' גרושי ותעשה המאזנים בזה האופן

Take the scales of 13, which are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{13\bmod7=6}}

תקח המאזנים מי"ג שהם ו‫'

The scales of the grossi, which are 20 soldi, are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{9\bmod7=2\longrightarrow\left(2\sdot10\right)\bmod7=20\bmod7=6}}

והמאזנים מהגרושי שהם כ' סולדי שהוא ו‫'

So, multiply 6 by 6; it is 36.

לכן כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו

Add 9 soldi to it; it is 45 and the scales are 3.

תוסיף בם ט' סולדי ויהיו מ"ה והמאזנים הם ג‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(6\sdot6\right)+9\right]\bmod7=\left(36+9\right)\bmod7=45\bmod7=3}}

In order to check the piccoli, since we have piccoli, you already know that 12 piccoli are 1 soldo. The scales of 12 are 5. Multiply 5 by 3; it is 15 and its scales are 1.

וכדי לבחון הפיצולי מצד כי יש לנו פיצולי כבר ידעת כי י"ב פיצולי הם סולדו א' והמאזנים מי"ב הם ה‫'

כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot12\right)\bmod7=\left[3\sdot\left(12\bmod7\right)\right]\bmod7=\left(3\sdot5\right)\bmod7=15\bmod7=1}}

Now, extract the scales of the third number, which is 34 canna and 2-[quarters]. Do as follows:

עתה הוצא המאזנים מן המספר הג' שהם ל"ד קנים וב' שביעיות ועשה כך

The scales of 34 are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{34\bmod7=6}}

המאזנים מל"ד הם ו‫'

To convert it into quarters, since we have 2-quarters, multiply 6 by 4; it is 24. Add 2 to it; it is 26 and its scales are 5.

ולעשות מהם רביעיות מצד כי יש לנו ב' רביעיות תכפול ו' על ד' ויהיו כ"ד תוסיף בם ב' ויהיו כ"ו והמאזנים הם ה‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(6\sdot4\right)+2\right]\bmod7=\left(24+2\right)\bmod7=26\bmod7=5}}

Multiply 1 that remains from the second number by [5], which is the remainder of the third number; it is 5. Keep it.

\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot5=5}}

ולכן כפול א' שנשאר מן המספר הב' על הא' שהוא שיור המספר הג' ויהיו ה' ושמרם

Then, turn the the first number, which is 9 braccio. The sacles are 2.

\scriptstyle{\color{blue}{9\bmod7=2}}

אח"כ שוב אל המספר הראשון שהוא ט' בראצי והמאזנים הם ב‫'

Convert it into quarters, since there are quarters in our third number, so, we multiply 2 by 4; it is 8 and its scales are 1.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot4\right)\bmod7=8\bmod7=1}}

תעשה מהם רביעיות מצד כי במספר השלישי שלנו רביעיות ולכן נכפול ב' על ד' ויהיו ח' והמאזני' הם א‫'

The, look at the fourth number that consists of 51 liṭra, 11 soldi and 2 piccoli; and say: the scales of 51 are 2.

\scriptstyle{\color{blue}{51\bmod7=2}}

אח"כ ראה המספר הרביעי שיש בו נ"א ליט' י"א סולדי וב' פיצולי ותאמ' המאזנים מנ"א הם ב‫'

Convert it to soldi: you already know that the scales of the 20 soldi are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{20\bmod7=6}}

תעשה מהם סולדי כבר ידעת כי המאזנים מכ' שהם הסולדי הם ו‫'

So, say: 2 times 6 is 12 and the scales are 5.

ולכן תאמ' ב' פעמים ו' הם י"ב והמאזנים הם ה‫'

Add 4 to it, which are the scales; it is 9 and the scales are 2.

תוסיף בם ד' שהם המאזנים ויהיו ט' והמאזנים הם ב‫'

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot6\right)+11\right]\bmod7=\left[\left(12\bmod7\right)+\left(11\bmod7\right)\right]\bmod7=\left(5+4\right)\bmod7=9\bmod7=2}}

To convert it into piccoli: you already know that the scales of 12 are 5.

\scriptstyle{\color{blue}{12\bmod7=5}}

ולעשות מהם פיצולי כבר ידעת כי המאזנים מי"ב הם ה‫'

So, multiply 2 by 5; it is 10 and the scales are three.

ולכן כפול ב' על ה' ויהיו י' והמאזנים הם שלשה

Add to it the 2 piccoli we have; it is 5 and it is the scales of the fourth [number].

תוסיף בם ב' פיצולי שיש לנו ויהיו ה' והוא המאזנים מהרביעי

\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot5\right)+2\right]\bmod7=\left[\left(10\bmod7\right)+2\right]\bmod7=\left(3+2\right)\bmod7=5}}

Multiply 5 by the scales of the first number, which is 1; it is 5 and it is the same as the scales of the second and the third numbers.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot1\right)\bmod7=5\bmod7=5}}

ולכן כפול ה' על מאזנים המספר הראשון שהיה א' ויהיו ה' וכן היה המאזנים מהמספר הב' והג‫'

Another example [...]: if 3 and a third equals 4 and a quarter, 5 and a fifth equals 6 and 63 parts of 100.

\scriptstyle\left(3+\frac{1}{3}\right):\left(4+\frac{1}{4}\right)=\left(5+\frac{1}{5}\right):\left(6+\frac{63}{100}\right)

דמיון אחר זולת מ[...]ם אם ג' ושליש שוה ד' ורביעי ה' וחומש שוה ו' וס"ג [חלקי]ם מק‫'

To check it, take the first number, which is 3 and a this, and convert it into thirds; they are ten.

\scriptstyle{\color{blue}{3+\frac{1}{3}=\frac{10}{3}}}

ולבחון אותו קח המספר הראשון שהוא ג' ושליש ועשה מהם שלישיות ויהיו עשרה

The scales are 3. Put 3 above and 3 below.

\scriptstyle{\color{blue}{10\bmod7=3}}

והמאזנים הם ג' ושים ג' למעלה וג' למטה

Take also the scales of the fourth number this way:

גם עשה מאזנים מהמספר הד' בזה האופן

The scales of 6 are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{6\bmod7=6}}

המאזנים מן הו' הם ו‫'

Say also: the scales of 100 are 2.

עוד תאמר מאזנים ק' הם ב‫'

So, multiply 6 by 2; it is 12 and the scales are 5.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot2\right)\bmod7=12\bmod7=5}}

ולכן כפול ‫^[335]ו' על ב' ויהיו י"ב והמאזנים הם ה‫'

Look also on 63 above: the scales are nothing, because it is all gone with the sevens.

עוד ראה למעלה שהוא ס"ג והמאזנים הם מאומה כי הולך ז"ז

So, write 5 above and 2 below, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{2}}}

א"כ שים ה' למעלה וב' למטה כך ‫

\scriptstyle\frac{5}{2}

So, multiply 5 by 3; it is 15 and the scales are 1.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot3\right)\bmod7=15\bmod7=1}}

ולכן כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א‫'

Multiply also those that are beneath the lines, which are 2 by 3; it is 6 so the scales are one-sixth, like this:

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}}}

.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2\sdot3}\bmod7=\frac{1}{6}\bmod7=\frac{1}{6}}}

עוד כפול אותם שתחת הקוים שהם ב' על ג' ויהיו ו' א"כ היוצא הוא א' שתות כך ‫

\scriptstyle\frac{1}{6}

Then, see the second number, which is 4 and a quarter; they are 17 and the scales are 3-quarters, like this:

\scriptstyle\frac{3}{4}

.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4+\frac{1}{4}\right)=\frac{17}{4}\bmod7=\frac{3}{4}}}

אח"כ ראה המספר השני שהוא ד' ורביעי ויהיו י"ז והמאזנים הם ג' רביעיות כך ‫

\scriptstyle\frac{3}{4}

Then, see the third number, which is 5 and a fifth; they are 26 and their scales are 5-fifths, like this:

\scriptstyle\frac{5}{5}

.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{5}\right)=\frac{26}{5}\bmod7=\frac{5}{5}}}

אח"כ ראה המספר הג' שהם ה' וחומש ויהיו כ"ו ומאזניהם הם ה' חומשים כך ‫

\scriptstyle\frac{5}{5}

Then, multiply those that are above, which are 3 by 5; it is 15 and its scales are 1.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot5\right)\bmod7=15\bmod7=1}}

אח"כ כפול העליונים שהם ג' על ה' ויהיו ט"ו ומאזניהם א‫'

Multiply also those that are beneath, which are 4 by 5; it is 20 and its scales are 6.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot5\right)\bmod7=20\bmod7=6}}

עוד כפול התחתונים שהם ד' על ה' שהם כ' ומאזניהם הם ו‫'

Write 6 below and 1 above; they are equal to the remaining sixth.

ולכן שים ו' למטה וא' למעלה והם שוים אל השתות הנשארים ‫

\scriptstyle\frac{1}{6}

Question: If you want to find the center of the whole circle or a semicircle or less than a semicircle or more than a semicircle:

שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יותר מחצי

Create two chords in this section of the circle.

תעשה באותו חלק מהעגול שתי מיתרים

Then, create a semicircle from the top of the chord to the other [end].

אח"כ עשה כמו חצי עגול מראש המיתר אצל האחר

Do the same from the top of the other [end].

גם תעשה כן מהראש האחר

Create two semicircles on the second chord.

וכן תעשה במיתר השני שני חציי עגול

Then, cut the place where both meet and the center is at the place where the two lines [meet], as it is drawn below.

ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר [יפגשו] שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה

You can draw points as you see fit, circle a circle that meet the three points and create a semicircle.

וכן תוכל לעשות נקודות כמו שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול

I.e. make one point a center, circle a semicircle, and cut it in two.

ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה לשנים

Make the third point a center and circle a semicircle.

וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול

Make the second point a center, circle a semicircle, and cut it also in two.

גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לשנים

The center is at the place where the two lines meet, as it is drawn below.

ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה

The ratio of the circle to the circle is as the ratio of the square to the square.

ויחס העגולה אל העגולה כיחס המרובע אל המרובע

I.e. if you have a square that is 4 by 4, and another that is 8 by 8, you already know that the square that is 8 by 8 is four times larger than the one that is 4 by 4.

\scriptstyle{\color{blue}{8\times8=4\sdot\left(4\times4\right)}}

ר"ל כי אם יש לך מרובע שהוא ד' על ד' ואחר שהוא ח' על ח' הנה כבר ידעת כי אותו שהוא ח' על ח' הוא ד' פעמ[…]ר גדול מאותו שהוא ד' על ד‫'

Therefore, if you have a circle whose perimeter is 12 and the other has a perimeter of 24 canna, we say that the one whose perimeter is 24 is 4 times the one of 12.

כן אם יש לך עגול מקיף י"ב ואחר שמקיף כ"ד קנה נאמ' שאותו שמקיף כ"ד הוא כמו אותו של י"ב ד' פעמי' כמוהו

Examine and you will find [that it is true].

‫^[336]דוק ותשכח

From this you can know that if you have one sack, whose circumference is 24, which contains 4 measures of wheat, then another sack, whose circumference is 48, should contains 16 measure of wheat.

ועם זה תוכל לדעת אם יש לך שק אחד שהקפו כ"ד מכיל ד' מדות חטה הנה שק אחר שמקיפו מ"ח ראוי שיכיל י"ו מדות חטה

Examine and you will find [that it is true].

ודוק ותשכח

"If You Give Me" Problem - Two Men, Money - Double False Position

Question: two people, one has coins and the other also.

The one said to the other: If you give me 1 of your coins I will have the same as you.

The second replied to the first: If you give me 1 of your coins I will have [4] times as much as you have.

We ask: How much does the first have and how much does the second have?

שאלה‫^[337] שני בני אדם לאחד יש לו מטבעים ולאחר ג"כ

אמר הא' לב' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי כמוך
השיב הב' לא' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי ב' פעמים כמוך
נשאל כמה לא' וכמה לב‫'

We solve it with [double] false positions:

והנה נעשה אותה עם הנחות שקריות

False Position 1: we suppose that the one has 3 and the other has 5.

ונניח כי היה לא' ג' ולאחר ה‫'

The one who has 5 gives 1 to the one who has 3; so he has as much as him.

והנה בעל הה' יתן א' לבעל הג' יהיה לו כמוהו

If the one who has 3 gives 1 to the one who has 5, he will have 6 and the other will have 2, but we want him to have 8, so that he will have [4] times as much as him.

ואם בעל הג' יתן א' לבעל הה' יהיה לו ו' ולאחר ב' ואנו נרצה שיהיה לו ח' למען יהיה לו ב' פעמים כמוהו

Hence, he is missing 2.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot2\right)-6=8-6=2}}

לכן יחסר לו ב‫'

False Position 2: we make another assumption: we suppose the one has 5 and the other has 7.

ולכן נעשה הנחה אחרת

נניח שלא' היה לו ה' ולאחר ז‫'

If the one who has 7 gives 1 to the one who has 5, he has as much as him.

הנה אם בעל הז' יתן א' לבעל הה' יהיה לו כמוהו

If the one who has 5 gives 1 to the one who has 7, he will have only 8, but we want him to have 16, so that he will have 4 times as much as him.

\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot4\right)-8=16-8=8}}

ואם בעל הה' יתן א' לבעל הז' לא יהיה לו כי אם ח' ואנו מבקשים שיהיה לו י"ו למען יהיה לו ד' פעמים כמוהו

Hence, he is missing 8.

לכן יחסר לו ח‫'

Subtract what is missing in the first assumption, which is 2, from what is missing in the second assumption, which is 8; 6 remains. Keep it.

אח"כ הוצא מה שחסר ההנחה הראשנה שהוא ב' ממה שחסר מההנחה שניה שהוא ח' הנשאר ו' ושמרם

Multiply crosswise: multiply 3, which is the first assumption, by 8, which is what is missing in the second assumption; it is 24.

אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' שהוא ההנחה הראשנה נגד ח' שהוא מה שחסר מהערך השני ויהיו כ"ד

Multiply also 5, which is the second assumption, by 2, which is the deficit of the first assumption; [the result] is ten.

עוד [כפול] ה' שהוא ההנחה הב' על הב' שהוא חסרון ההנחה הא' וישארו עשרה

Subtract it from 24; 14 remains.

הוציאם מכ"ד וישארו י"ד

Divide it by 6, which is what remains from the deficit of the second position after the deficit of the first position was subtracted from it.

חלקם על ו' שהוא מה שנשאר מחסרון הערך השני אחר שנלקח ממנו חסרון הערך הראשון

You receive 2 and a third and this is what the first has.

\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3\sdot8\right)-\left(5\sdot2\right)}{8-2}=\frac{24-10}{6}=\frac{14}{6}=2+\frac{1}{3}}}

ויצא לך ב' ושליש וכן יש לראשון

The other has 4 and a third.

ולאחר יש ד' ושליש

Examine and you will find [that it is true].

ודוק ותשכח

Over and done.

תם ונשלם

Glory be to God of the world.

תל"ע

Amen.

אמן

London - Additional Excerpt
Find the Area Problem - Equilateral Triangle
403) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12. I want to know: [how much is] its area?	תג) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות כל אחד מהצלעו' י"ב ארצה לדעת תשברתו
Do as follows: add up the two sides; they are 24.	כך תעשה תחבר שני הצלעות שהם כ"ד
Take its half, which is 12, and multiply it by itself; it is 144.	וקח מחציתם והם י"ב כפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
Then, take the other half of the side, which is 12 and its half is 6, and multiply it by itself; it is 36.	אח"כ קח מחצית הצלע השני שהוא י"ב ומחציתו ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
Subtract it from 144; 108 remains.	ותפילם מקמ"ד הנשאר ק"ח
Extract the root of 108; it is 10 and 8 parts of 20 and this is the height.	אח"כ קח שרש ק"ח שהם י' וח' חלקים מכ' וכך הוא העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)^2-6^2}=\sqrt{12^2-6^2}=\sqrt{144-36}\\&\scriptstyle=\sqrt{108}=10+\frac{8}{2{\color{red}{1}}}\\\end{align}}}$
Then, multiply 10 and 8 parts of 21 by half the side, which is 6; the result is 62 and 2-sevenths and this is its area. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot6=62+\frac{2}{7}}}$	אח"כ כפול י' וח' חלקי' מכ"א על מחצית הצלע שהוא ו' ויעלה ס"ב וב' שביעיות וכך הוא תשברתו
Construction Problem - Tower
404) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12. We want to build on it a tower that is 20 cubits high. How much is the volume of the tower?	תד) שאלה הנה בכאן משולש שוה הצלעות אשר כל צלע י"ב הנה נרצה לעשות מגדל על גבו גבהו עשרים אמות כמה תשבורת המגדל
You already know that the area of the triangle is 62 and 2-sevenths, because this question is similar to the previous one.	כבר ידעת כי תשבורת המשולש הוא ס"ב וב' שביעיות כי זאת השאלה דומה אל הקודמת
Therefore, multiply this number by the altitude of the tower, which is twenty; the result is 1245 canna and 5-sevenths and this is the volume of the tower. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{2}{7}\right)\sdot20=1245+\frac{5}{7}}}$	א"כ כפול זה המספר על גובה המגדל שהוא עשרים ויעלה אלף ומאתים ומ"ה קנים ‫^[338]וה' שביעיות וכך הוא תשבורת המגדל
If you want to know how much the whole tower weighs, when each canna weighs 8000 liṭra:	ואם תרצה לדעת כמה ישקול כל המגדל באופן ישקול כל קנה ח' אלפים ליט‫'
Multiply 8000 by 1245 and 5 parts of 7; the result is 9965714 and 2-sevenths and this is the weight of the whole tower. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1245+\frac{5}{7}\right)\sdot8000=9965714+\frac{2}{7}}}$	כפול אלפים על אלף ורמ"ה וה' חלקים מז' ויעלה 9965714 וב' שביעיות וכל ישקול כל המגדל
Gaging Problems
405) Question: a well is made as a triangular figure, whose one side is 16, the other two sides are 10 each, and the height of the well is 32. I ask how much is the area of the triangle and how much water the well is contain, so that each cubit contains ten idot of water.	תה) שאלה בכאן בור עשוי כדמות משולש בצלע האחת י"ו והב' צלעות אחרות כל אחת י' וגובה הבור ל"ב אשאל כמה תשבורת המשולש וכמה מים יכיל הבור מכיל כל אמה עשרה יודות מים
Do as follows: first, know how much water is in the well this way:	כך תעשה תדע תחלה כמה מים יש בבור באופן זה
First, add up the two equal sides, which are ten and ten; they are twenty.	תחלה תחבר הב' צלעות השוים שהם עשרה ועשרה הם עשרים
Take its half, which is ten, and multiply it by itself; it is a hundred.	קח מחציתם והם עשרה וכפלם על עצמם והם מאה
Then, take a half of the other side, which is 16 and its half is 8, and multiply it by itself; it is 64.	אח"כ קח מחצית הצלע האחר שהיה י"ו וחציו ח' כפלם על עצמם ויהיו ס"ד
Subtract it from 100; 36 remains.	הפילם מק' וישארו ל"ו
Extract its root; it is 6 and this is the length of the height.	וקח שרשם שהם ו' והוא אורך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+10\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)^2-8^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$
Then, multiply the height by half the side of 16, which is 8; the result is 48 and this is its area. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=6\sdot8=48}}$	אח"כ כפול העמוד על מחצית צלע י"ו שהוא ח' ויעלה מ"ח והוא תשברתו
Multiply the 48 by the altitude of the [well], which is 32; the result is 1536 and this what the well contains, i.e. 1536 spans. $\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot32=1536}}$	אח"כ כפול אלו המ"ח על גובה המגדל שהוא ל"ב ויעלה אלף ותקל"ו וכך יכיל כל הבור ר"ל כל כך זרתות שהם אלף ותקל"ו
To know how many measures of water are in the well, so as follows:	ולדעת כמה יודות מים יש בבור כך תעשה
Divide 1536 by ten, which is 153 and 6 parts of 10 and these [are the measures of] water contained in the well. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1536}{10}=153+\frac{6}{10}}}$	תחלק אלף ותקל"ו על עשרה שהוא קנ"ג וו' חלקים מי' וכך מים יכיל הבור
406) Question: a scalene triangular prism, whose one side is 30, another is 28 and another is 26. I wish to know how much is its volume. It is 9 cubits high. I ask: how many boccale of water does the triangular prism contain, so that each square cubit contains 3 boccale?	תו) שאלה בכאן צורה משולשת מתחלפת הצלעות הצלע האחד ל' והאחר כ"ח והאחרת כ"ו ארצה לדעת כמה תשברתו והיא גבוהה ט' אמות אשאל כמה בוקאל ממים יכיל המשולש באופן יכיל בכל אמה מרובעת ג' בוקאלי
Do as follows: take the long and the short sides and multiply each by itself.	כך תעשה קח הצלעות הארוך והקצר וכפול כל אחד על עצמו
The long multiplied by itself is 900.	והנה הארוך כפול על עצמו הם ט' מאות
The short is 6[7]6.	והקצר הם תרנ"ו
Subtract the smaller from the greater; 224 remains.	הסר הקטן מהגדול וישארו רכ"ד
Divide 224 by 2; it is 112.	חלק רכ"ד על ב' ויהיו קי"ב
Divide it by the other side, which is 28; it is 4.	וחלקם ‫^[339]על הצלע האחר שהם כ"ח ויהיו ד‫'
Then, take half 28, which is 14, and add 4 to it; it is 18.	אח"כ קח חצי כ"ח שהוא י"ד וחבר עמהם הד' ויהיו י"ח
Multiply it by itself; it is 324. Keep it aside.	וכפלם על עצמם ויהיו שכ"ד ושימם במקום אחר
Multiply the long side, which is 30, by itself; it is 900.	אח"כ כפול הצלע הגדול שהם ל' על עצמם ויהיו תת"ק
Subtract 324 from 900; 576 remains.	מאלו התת"ק תסיר מהם שכ"ד ונשאר תקע"ו
Extract its root; it is 24 and this is the length of the height.	תסיר מהם השרש שהם כ"ד וכך הוא אורך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{30^2-\left[\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(30^2-26^2\right)}{28}+\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{900-\left[\frac{\frac{1}{2}\sdot\left(900-676\right)}{28}+14\right]^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{900-\left(\frac{\frac{1}{2}\sdot224}{28}+14\right)^2}=\sqrt{900-\left(\frac{112}{28}+14\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{900-\left(4+14\right)^2}=\sqrt{900-18^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{900-324}=\sqrt{576}=24\end{align}}}$
You can do this for any scalene triangle, i.e. whose sides are dissimilar, to find its height.	וכך תוכל לעשות מכל משולש בלתי מתיחס ר"ל מתחלף הצלעות למצא העמוד
To know how much is the area of the surface, multiply the height by half the side of 28, which is 14; the result is 336 and this is the area of the surface. $\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)=24\sdot14=336}}$	ולדעת כמה תשבורת השטח כפול העמוד על חצי הצלע מכ"ח שהוא י"ד ויעלה של"ו וכך הוא תשבורת השטח
To know how much is the volume of the whole shape, do as follows: multiply 336 by 9, which is the altitude; the result is 3024 and this is the volume of the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{336\sdot9=3024}}$	ולדעת כמה תשבורת כל הצורה כך תעשה כפול של"ו על ט' שהוא הגובה ויעלה ג' אלפים וכ"ד וכך הוא תשבורת הצורה
To know how many boccale of water are in the whole shape, divide 3024 by 3; the result is 1008 and this is the [number of] boccale the shape contains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3024}{3}=1008}}$	ולדעת כמה בוקלי מים יש בכל הצורה תחלק כל אלו הג' וכ"ד על ג' ויצא אלף וח' וכך בוקלי מים תכיל הצורה
407) Question: a wall made as a triangle, the length of the long side is twenty, the other is 15 and the other ten, the height is 8 and at the higher end it is 12 cubits. I ask how much is the surface, how much is the volume of the entire wall and how much does the wall weigh, so that each cubit and a half weighs 100 liters?	תז) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש ארך הצלע הארוך עשרים והאחר ט"ו והאחר עשרה והעמוד הוא ח' והנה בקצה היותר גבוה הוא י"ב אמות אשאל כמה תשבורת השטח וכמה תשבורת כל החומה וכמה תשקול זאת החומה באופן ישקלו כל אמה וחצי ק' ליט‫'
Do as follows: multiply the height by half the long side. The long side is 20. Take its half, which is ten, and multiply it by 8, which is the height; it is 80 and this is the area of the surface. $\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)=8\sdot10=80}}$	כך תעשה כפול העמוד על חצי הצלע הגדול והנה הצלע הגדול הם כ' קח חצים והם עשרה וכפלם על ח' שהוא העמוד ויהיו פ' וכך הוא תשבורת השטח
To know how much is the volume of the whole wall, multiply 80 by the altitude of the wall, which is 12; it is 960 and this is the volume of the wall. $\scriptstyle{\color{blue}{80\sdot12=960}}$	ולדעת כמה תשבורת כל החומה כפול פ' על גובה החומה שהם י"ב ויהיו תתק"ס וכך הוא תשבורת כל החומה
Rule of Three: To know how many liṭra the whole wall weighs, do by the Rule of Three, as follows: say: if one span and a half weigh a hundred liṭra, how much will 560 weigh? $\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right):100=960:X}}$	ולדעת כמה ליט' תשקול כל החומה תעשה כך על דרך ערכים ותאמר אם זרת אחד וחצי שוקל מאה ליט' כמה ישקלו תתק"ס
You receive 64000 liṭra and this is [the number of] liṭra the whole wall weighs.	ויצא לך ס"ד אלפים ליט' וכך ליט' תשקול כל החומה
408) Question: here is a wall made as a triangular figure of 7 canna high; its one side is 10, another is 8 and another is 6. If you want to know how much is its area?	תח) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש גבוהה ז' קנים והנה הצלע האחד י' והאחרת ח' והאחרת ו‫' אם תרצה לדעת כמה תשברתו
Do as follows: sum up all the sides, which are 10, 8, 6; they are 24.	כך תעשה תחבר כל הצלעות שהם י'ח'ו' ויהיו כ"ד
Take its half; it is 12.	תחסר מחציתם והם י"ב
See the difference between 10 and 12; it is 2.	אח"כ ראה ההפרש שהוא ‫^[340]מי' לי"ב והוא ב‫'
Multiply it by 12; it is 24.	כפלם על אותם י"ב ויהיו כ"ד
See the difference between side 8 and 12; it is 4.	אח"כ ראה ההפרש שהוא מצלע ח' לי"ב והוא ד‫'
Multiply it by 24; it is 96. Keep it.	וכפלם על כ"ד ויהיו צ"ו ותחזיקם למשמרת
See the difference between the third side, which is 6, and 12; it is 6.	אח"כ ראה הפרש צלע ג' שהוא ו' עד י"ב ויהיו ו‫'
Multiply it by 96; the result is 576.	כפלם על צ"ו ויעלה תקע"ו
Extract its root; it is 24 and this is [the number of] the canna.	קח שרשם שהוא כ"ד וכך הם הקנים
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)\right]-10\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)\right]-8\right]\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+8+6\right)\right]-6\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)-10\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)-8\right]\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)-6\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{12\sdot\left(12-10\right)\sdot\left(12-8\right)\sdot\left(12-6\right)}=\sqrt{12\sdot2\sdot4\sdot6}=\sqrt{24\sdot4\sdot6}=\sqrt{96\sdot6}=\sqrt{576}=24\end{align}}}$
Multiply 24, which is the area, by 7, which is the altitude; the result is 16[8] canna. Like this: $\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot7=168}}$	כפול כ"ד שהוא השטח על ז' שהוא הגובה ויעלה ק"ס קנים כזה
Triangulation Problem - Ladder
409) Question: a tower is eight in height and one wants to put a ladder, whose top reaches the top of the tower and its length is ten. I wish to know how far is the bottom of the ladder from the foot of the tower.	תט) שאלה מגדל גבוהה שמונה ורוצה לשים סלם מגיע ראשו אל ראש המגדל וארכו עשרה ארצה לדעת כמה יהיה רחוק רגל הסלם מיסוד המגדל
Do as follows: multiply the altitude of the tower by itself; it is 64.	כך תעשה כפול גובה המגדל על עצמו ויהיו ס"ד
Subtract it from the product of the [length of the] ladder [by itself], which is 100; 36 remains.	הסר אותם מכפל הסלם שהם ק' ונשארו ל"ו
Extract its root; it is 6 and this is the distance from the bottom of the ladder to the foot of the tower. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$	קח שרשם שהם ו' וכך הוא המרחק שהוא מרגל הסלם עד רגל המגדל
410) Question: here is a tower. A man wants to put a ladder that is 6 cubits far from the foot of the tower. The height of the tower is 8. How much is the length of the ladder?	תי) שאלה בכאן מגדל אחד ואיש רוצה לעשות סלם רחוק מרגל המגדל ו' אמות ואורך המגדל הוא ח‫' כמה יהיה ארך הסלם
Do as follows: multiply 8 by itself; it is 64.	כך תעשה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד
Multiply also 6 by 6; it is 36	גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו
Sum them up; it is 100.	וחברם ויהיו ק‫'
Extract its root; it is 10 and this is the length of the ladder. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10}}$	וקח שרשם והם י' וכך הוא אורך הסלם ככה
411) Question: here is a ladder, whose length is ten, that is 6 cubits far from the foot of the tower. The top of the ladder reaches the top of the tower. How much is the height of the tower?	תיא) שאלה בכאן סלם ארכו עשרה ורחוקה מרגל המגדל ו' אמות וראש הסלם מגיע אל ראש המגדל כמה גובה המגדל
Multiply ten by itself; it is 100.	כפול עשרה על עצמם ויהיו ק‫'
Subtract from it the product of 6 [by itself], which is 36; 64 remains.	תסיר מהם כפל ו' שהם ל"ו ונשארו ס"ד
Extract its root; it is 8 and this is the height of the tower. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8}}$	וקח שרשם והוא ח' וכך הוא גובה המגדל
Construction Problems - Wall
412) Question: Here is a wall, [20 cubits high], the 2 parallel sides are each 8 and the other two are each 6. How much is its volume and how many mattone [bricks] are needed for the whole wall in such a way that a hundred are included in each square cubit?	‫^[341]תיב) שאלה בכאן חומה גבוהה הב' צלעות הנכוחיים כל א' ח' והב' האחרים כל אחד ו‫' כמה תשברתו וכמה מטוני יצטרכו אל כל החומה באופן יכנסו מאה בכל אמה מרובעת
Do as follows: multiply 6 by 8; it is 48 and this is its surface. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot8=48}}$	כך תעשה כפול ו' על ח' והם מ"ח וכך הוא תשברתו
The wall is twenty [cubits] high. Multiply 48 by twenty; the result is 960 and this is the [number of] square canna compounding the wall. $\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot20=960}}$	והנה החומה גבוהה עשרים כפול מ"ח על עשרים ויעלו תתק"ס וכך קנים מרובעות יש בבנין החומה
Multiply them by 100 and this is [the number] of mattone contained in the wall.	כפול אותם על ק' וכך הם המטוני שיהיו תוך החומה
To know its diagonal, multiply 8 by itself; it is 64.	ולדעת אלכסונה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד
Multiply also 6 by 6; it is 36.	גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו
Add them up; they are 100.	וחברם והם ק‫'
Extract its root; it is 10 and this is the [length of the] diagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{8^2+6^2}=\sqrt{64+36}=\sqrt{100}=10}}$	וקח שרשם והם י' והוא האלכסון
413) Question: here is a wall that is 25 and a half long, 8 cubits wide, and 2 and a half cubits thick. One pays for each square cubit 2 carlini and a third. I ask: how much he will pay for the whole wall?	תיג) שאלה בכאן חומה שהיא ארוכה כ"ה וחצי ורחבה ח' אמות ועביה ב' אמות וחצי ופרע בעד כל אמה מרובעת ב' קרלי' ושליש אשאל כמה יפרע בעד כל החומה
Do as follows: multiply 25 and a half by 2 and a half; it is 63 and 3-quarters and this is its surface. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(25+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=63+\frac{3}{4}}}$	תעשה כך כפול כ"ה וחצי בעד ב' וחצי ויהיו ס"ג וג' רביעיות וכך הוא שטחו
Then, multiply it by the breadth, which is 8; it is 510 and this is the [number of] square canna compounding the wall. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(63+\frac{3}{4}\right)\sdot8=510}}$	אח"כ כפול זה על הרוחב שהוא ח' ויעלה תק"י וכך קנים מרובעות יש בכל הכותל
Multiply all this by 2 and a third; you receive 119[0] and this is what he has to pay for the bricks of the whole wall. $\scriptstyle{\color{blue}{510\sdot\left(2+\frac{1}{3}\right)=1190}}$	כפול כל זה על ב' ושליש ויצא לך אלף קצ"ב וכך פרע לבנות כל הכותל
Gaging Problem - Square Shape
414) Question: here is a square shape filled with water, each side is 6 and its height is ten. I ask: how much water the shape contains in such a way that each square canna contains 8 barili.	תיד) שאלה בכאן תמונה מרובעת מלאה מים אשר כל צלע ו' וגבהו עשרה אשאל כמה מים תכיל הצורה באופן תכיל כל קנה מרובעת ח' בארילי
Do as follows: multiply the two sides, which are 6 by 6; it is 36 and this is its surface. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot6=36}}$	כך תעשה כפול הב' צלעות והם ו' על ו' ויהיו ל"ו וכך הוא שטחו
Multiply it by its height, which is ten; it is 360 and this is the [number of] canna compounding the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{36\sdot10=360}}$	אח"כ כפול זה על גבהו שהוא עשרה ויהיו ש"ס וכך הם הקנים מהתמונה
Then, multiply it by 8; you receive 2880 and this is the [number of] barili of water contained by the whole shape. $\scriptstyle{\color{blue}{360\sdot8=2880}}$	אח"כ כפול זה על ח' ויצא לך אלפים ותת"פ וכך הם ~~הקנים~~ הברילי ממים אשר תכיל כל התמונה
Find the Area Problems
415) Question: here is a quadrilateral shape, the length of one line is 11, the other is 4 and the two parallel [lines] are 12. I ask: how much is the area of the scalene quadrilateral?	‫^[342]תטו) שאלה בכאן תמונה מרובעת ארך הקו האחד עשרה והאחר ד' והשנים הנכוחיים י"ב אשאל כמה תשבורת המרובע הבלתי מתיחס
Do as follows: take half ten, which is 5, and half 4, which is 2. Subtract 2 from 5; 3 remains.	כך תעשה קח חצי עשרה שהם ה' וחצי ד' שהם ב' תסיר ב' מה' נשארו ג‫'
Multiply it by itself; it is 9.	כפול אותם על עצמם ויהיו ט‫'
Then, sum the two sides, which are 12 each; they are 24.	אח"כ תחבר הב' קוים שהם י"ב כל אחד ויהיו כ"ד
Take its half, which is 12 and multiply it by itself; it is 144.	וקח חצים שהם י"ב וכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
Subtract 9 from it; 135 remains.	תסיר מהם הט' וישארו קל"ה
Extract its root, which is 11 and 14 parts of 23 and this is the area of the shape.	וקח שרשם שהם י"א וי"ד חלקים מכ"ג וכך הוא תשבורת התמונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\right]^2-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)^2-\left(5-2\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{12^2-3^2}=\sqrt{144-9}=\sqrt{135}=11+\frac{14}{23}\\\end{align}}}$
To find the breadth, add 10 to 4; it is 14.	ולמצא הרחב תחבר י' עם ד' ויהיו י"ד
Take its half; it is 7 and this is the size of the breadth. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(10+4\right)=\frac{1}{2}\sdot14=7}}$	וקח חציים והם ז' והוא מדת הרוחב
Then, multiply 1[1] and 1[4] parts by 7; the result is 81 and 6 parts of 23 and so are the square canna contained in the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{14}{23}\right)\sdot7=81+\frac{6}{23}}}$	אח"כ כפול הי"ד וי"א חלקים נגד הז' ויעלו פ"א וו' חלקים מכ"ג וכך הם הקנים מרובעות שהיא בתמונה
416) Question: here is a scalene quadrilateral shape, the length of one line is 10, the other is 4, another is 12 and another is 16. We wish to know how much is its area.	תיו) שאלה בכאן תמונה מרובעת בלתי מתיחסת ארך הקו האחד י' והאחר ד' והאחר י"ב והאחר י"ו נרצה לדעת כמה תשברתו
Do as with the previous [shape] and all the shapes similar to it.	כך תעשה עשה כמו הקודמת וכל התמונות הדומות לו
The area of this shape is 95 and 2-thirds.	והוא תשבורת זאת התמונה צ"ה וב' שלישיו‫'
417) Question: here is a shape made like a triangle and a quadrilateral, whose height is 30, its width is 40 and both sides are [60] and in the middle 6. If you want to know how much is area the shape, do as follows:	תיז) שאלה הנה בכאן תמונה עשויה כדמות משולש ומרובע אשר גבהה ל' ורחבה ל' מ' ובכל שני הצלעות ח' ובאמצע ו‫' אם תרצה לדעת כמה תשבורת התמונה כך תעשה
See how much is one of the parts, because when you know one part, you will know the other part.	ראה כמה אחד מהחלקים כי כשתדע החלק האחד תדע החלק האחר
Take half 30, which is 15, and half the middle, which is three. Subtract 3 from 15; the remainder is 12.	ואח"כ תקח חצי ל' שהם ט"ו וחצי האמצע שהם שלשה והסר מט"ו ג' הנשאר י"ב
Multiply it by itself; it is 144. Keep it.	תכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד שמור אותם
Then, take half 60 of one side, which is 30, and half the other, which is 30. Sum all; it is 60.	אח"כ קח חצי ס' מהצלע האחד שהם ל' וחצי האחר שהם ל' וחבר הכל ויהיו ס‫'
Take its half, which is 30, and multiply it by itself; it is 900.	וקח חצים שהם ל' וכפול אותם על עצמם ויהיו ט' מאות
Subtract 144 from it; the remainder is 756.	הסר מהם קמ"ד הנשאר תשנ"ו
[Extract] its root; it is 27 and 27 parts of 55 and this is the height from the 30 to the middle of the shape.	תסיר מהם השרש שהם כ"ז וכ"ז חלקים מנ"ה וכך הוא העמוד מהל' עד אמצע ‫^[343]התמונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)\right]\right]^2-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+30\right)\right]^2-\left(15-3\right)^2}\\&\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)^2-\left(15-3\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{30^2-12^2}=\sqrt{900-144}\\&\scriptstyle=\sqrt{756}=27+\frac{27}{55}\\\end{align}}}$
Then, add 30 to the 6 of the middle of the shape; they are 36.	אח"כ חבר הל' עם הו' מאמצע התמונה ויהיו ל"ו
Take its half, which is 18, and this is the [width] of half the shape.	וקח חציים שהם י"ח וכך תהיה תשבורת חצי התמונה
Then, multiply the length by the width, which are 27 and 27 parts of 5[5] by 18; it is 494 and 46 parts of 55 and this is the area of [one part of] the shape.	אח"כ כפול הארך עם הרחב והם כ"ז עם כ"ז חלקים מנ"ח על י"ח ויהיו ד' מאות וצ"ד ומ"ו חלקים מנ"ה וכך הם המדות מחצי התמונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{27}{55}\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(30+6\right)\right]=\left(27+\frac{27}{55}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot36\right)=\left(27+\frac{27}{55}\right)\sdot18=494+\frac{46}{55}}}$
To know the area of the other [part], do as you did with the previous [part]. You find that it contains 568 and 3-sevenths.	ולדעת כמה המדות מהחצי האחר תעשה באופן אשר עשית בחצי הקודם ותמצא כי מכיל תק"פ תקס"ח וג' שביעיות
Then, add the area of the one to that of the other; the total result is 1063 and 102 parts of 385.	ואח"כ תחבר תשבורת זה עם זה ויעלה בין הכל אלף וס"ג וק"ב חלקים מג' מאות ופ"ה
Triangulation Problem - Bridge
418) Question: here are two towers, the height of one is 30 and the other's 50. We would like to make a bridge from the top of one tower to the top of the other. How long will it be, when the distance of the towers from each other is twenty.	תיח) שאלה בכאן שני מגדלים גובה האחד ל' והאחר נ‫' נרצה לעשות גשר מראש מגדל של זה לראש של זה כמה יהיה ארכו וארך המגדלים זה מזה עשרי‫'
Do as follows: multiply distance between the towers [by itself], which is 20; it is 400.	כך תעשה כפול ארך המגדלים זה מזה שהם כ' ויהיו ד' מאות
Subtract the the height of one wall from the other; subtract 30 from 50; the remainder is 20.	אח"כ תסיר גובה אחד מהכותלים מהאחר ותסיר ל' מנ' הנשאר כ‫'
Multiply it by itself; it is 400.	כפלם על עצמם ויהיו ד' מאות
Add the 400 to the other 400; they are 800.	קח אלו הד' מאות עם הד' מאות האחרים ויהיו ת"ת
Extract its root; it is 28 and 16 parts of 57 and this is the length of the bridge from the top of the tower to the other.	קח מהם השרש והם כ"ח וי"ו חלקים מנ"ז והוא תשבורת הגשר אשר מראש המגדל לאחר
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20^2+\left(50-30\right)^2}=\sqrt{20^2+20^2}=\sqrt{400+400}=\sqrt{800}=28+\frac{16}{57}}}$
Find the Area Problem - Rhombus
419) Question: a rhombus, one of its diagonals is 40 and the other is 30. I wish to know: how much is its area?	תיט) שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אחד מאלכסונותיו מ' והאחר ל‫' אשאל לדעת כמה תשברתו
Do as follows: take [half of] one of its diagonals and multiply it by the other.	כך תעשה קח אחד מאלכסוניו וכפלהו על כל האחר
As if you multiply half 30, which is 15, by 40; it is 600 and this is the area of the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot30\right)\sdot40=15\sdot40=600}}$	כאלו תכפול חצי ל' שהם ט"ו על מ' ויהיו ו' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
Gaging Problem - Spring
420) Question: here is a square spring, each of its sides is twenty canna, and each canna contains ten barile of water. I ask: how much is its volume and how many barili of water it contains? Also, if a man throws into the spring one stone, each of its four sides is 5 canna, how much of the spring's water will pour out?	תכ) שאלה בכאן מעיין מרובע כל אחד מצלעותיו עשרים קנים ובכל קנה יכנסו בה עשרה ברילי ממים אשאל כמה תשברתו וכמה ברילי ממים יכנסו בה ואם ישליך אדם בתוך המעיין אבן אחת אשר כל אחד מד' צלעותיה ה' קנים כמה ישפכו ממי המעיין חוצה
Do as follows: multiply the length of the spring by the width, which is twenty by twenty; it is 400.	‫^[344]כך תעשה כפול אורך המעיין עם הרוחב שהוא עשרים על עשרים ויהיו ד' מאות
Multiply it by twenty, which is the height; it is 8000 and this is [the number of] the canna. $\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot20\sdot20=400\sdot20=8000}}$	כפלם על עשרים שהוא הגובה ויהיו ח' אלפים וכך הם הקנים
Since it is said that each square canna contains ten barili, multiply them by 10; they are 80000 and so are the barili of water. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot8000=80000}}$	ויען כי אמר כי בכל קנה מרובעת יכילו עשרה ברילי כפלם על י' ויהיו פ' אלפים וכך הם הברילי מהמים
To know how much water will pour from the spring when the stone is thrown into it:	ולדעת כמה מים יצאו מהמעיין בהשלכת האבן בתוכו
Multiply the length of the stone by its width; they are 25.	כפול האבן ארך עם רוחב ויהיו כ"ה
Then, multiply it by the height; it is 125.	אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו קכ"ה
Multiply it by ten, since each canna contains ten barili; the result is 1250 and this is the [number of] barili contained in the stone, so those are the barili that are pour out from the spring when the stone falls. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot5\sdot5=25\sdot5=125}}$	וכפול זה על עשרה יען כי בכל קנה יש בה עשרה ברילי ויעלה אלף ר"נ וכך ברילי תכיל תשבורת האבן וכך הם הברילי היוצאים מהמעיין בנפילת האבן
If You want to know how many stones will the whole spring contain:	ואם תרצה לדעת כמה אבנים תכיל כל המעיין
Divide 80000 by 1[2]50; you receive 64 and this is the [number of] stones the whole spring can contain. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{80000}{1250}=64}}$	תחלק פ' אלפים על אלף ונ' ויצא לך ס"ד וכך אבנים תכיל כל המעיין
Find the Price Problem - Stone
421) Question: here are two stones, the smaller one is 2 by 2 with a height of 2 and the other is 4 by 4 with a height of 4 and the smaller one is worth 5 ducat.	תכא) שאלה בכאן שני אבנים הקטנה היא ב' על ב' ברום ב' והשנית ד' על ד' ברום ד' והקטנה שוה ה' דוקט
Take the volume of the smaller, which is 8, and take the volume of the greater, which is 64. Say: if 8 is equal to 5, how much is 64 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{8:5=64:x}}$	קח תשבורת הקטנה שהם ח' וקח תשבורת הגדולה שהיא ס"ד ותאמר אם ח' שוים ה' כמה שוים ס"ד
Rule of Three: you receive 40 and this is the price of the greater.	ויצא לך מ' וכך הוא ערך הגדולה

Find the Area Problems
422) Question: here is a quadrilateral and triangular shape, one of whose diagonals is 80. I ask: how much is its area?	תכב) שאלה הנה בכאן תמונה מרובעת ומשולשת אשר אחד מאלכסוניו הוא פ‫' אשאל כמה תשברתה
Do as follows: take a half of one diagonal whose half is 40, and of the other, whose half is 20. Multiply the one by the other; the result is 800 and this is [the area of] the triangle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot80\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)=40\sdot20=800}}$	כך תעשה קח חצי אלכסון האחד שחציו מ' ומהאחר חציו כ' כפול אלו עם אלו ויעלה ח' מאות וכך הוא המשולש
Take half the diagonal, which is twenty, and half the base, which is ten and its half is 5. Add it to five; it is 25.	כן תעשה קח חצי האלכסון שהוא עשרים וחצי התושבת שהיה עשרה וחציו ה' וחברם עם חמשה ויהיו כ"ה
Then, take half 80, which is 40, and multiply it by 25; the result is 100 and this is the area of the quadrilateral.	אח"כ קח חצי פ' שהוא מ' ותכפלם על כ"ה ויעלה אלף וכך הוא תשבורת המרובע
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot80\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot40\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]=40\sdot\left(20+5\right)=40\sdot25=1000}}$
Add the [area] of the quadrilateral to [the area of] the triangle, which is 800; it is 1800 and this is the area of the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{1000+800=1800}}$	אח"כ חבר קנה המרובע עם המשולש שהיה ח' מאות ויהיו אלף וח' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
423) Question: here is a shape with 5 sides, the length of each line on the outside is 12 cubits and on the inside is ten cubits. I would like to know its volume.	תכג) שאלה בכאן תמונה בעלת ה' צלעות ארך כל צלע ‫^[345]מבחוץ י"ב אמות ומבפנים עשר אמות ארצה לדעת תשברתה
Do as follows: multiply 10, which is the length of each side on the inside, [by itself]; it is a hundred.	כך תעשה כפול י' שהוא ארך כל צלע מבפנים ויהיו מאה
Then, take half 12, which is the outer side; it is 6 and [multiply it by itself]; it is 36.	אח"כ קח חצי י"ב שהוא הצלע החצוני שהם ו' והם ל"ו
Subtract it from a hundred; it is 64.	תסירם ממאה והם ס"ד
Extract its root; it is 8 and this is the height of each triangle.	קח שרשם שהם ח' וכך הוא העמוד מכל אחד מהמשולשים
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)}=\sqrt{10^2-6^2}=\sqrt{100-36}=\sqrt{64}=8}}$
Then, take half the outer side, which is 6, and multiply it by 8; it is 48 and this is the area of each triangle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot8=6\sdot8=48}}$	אח"כ קח חצי הצלע החצוני שהוא ו' וכפול אותו על ח' ויהיו מ"ח והוא תשבורת כל ~~מרובע~~ משולש
Since they are five, multiply 48 by five; the result is 240 and this is the area of the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot5=240}}$	ויען כי הם חמשה כפול מ"ח על חמשה ויעלה ר"מ וכך הוא תשבורת התמונה
If it has a height, it should be multiplied by the height.	ואם היה לה גובה ראוי לכפול אותה כנגד הגובה
424) Question: here is a shape with 6 sides, the length of each line on the outside and inside is 10 cubits. We would like to know the volume of the shape.	תכד) שאלה בכאן תמונה ו' צלעות ארך כל קו מבחוץ הן מבפנים הם י' אמות נרצה לדעת תשבורת התמונה
Do as follows: take one of the sides and multiply it by itself; it is 100.	כך תעשה קח אחד מהצלעו' וכפלם על עצמם ויהיו ק‫'
Then, take a half of one of the outer sides, which is 5, and multiply it by itself; it is 25.	אח"כ קח חצי אחד מהצלעות מבחוץ שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
Subtract it from 100; 75 remains.	תסירם מק' וישארו ע"ה
Extract its root; it is 8 and 11 parts of 16 and this is the length of the height.	וקח שרשם מהמרובע ויהיו ח' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא ארך העמוד
$\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2}=\sqrt{10^2-5^2}=\sqrt{100-25}=\sqrt{75}=8+\frac{11}{17}}}$
Then, take half the side, which is 5, and multiply it by the height; the result is 43 and 4 parts of 17 and this is the area of each triangle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(8+\frac{11}{17}\right)=5\sdot\left(8+\frac{11}{17}\right)=43+\frac{4}{17}}}$	אח"כ קח מחצית הצלע שהם ה' וכפול אותו על העמוד ויעלה מ"ג וד' חלקים מי"ז וכך הוא תשבורת כל משולש
Since they are 6 triangles, multiply then 6 times; the result is 259 and 7 parts of 17 and this is the area of the shape. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(43+\frac{4}{17}\right)\sdot6=259+\frac{7}{17}}}$	ויען כי הם ו' משולשים כפלם ו' פעמים ויעלה רנ"ט וז' חלקים מי"ז והוא תשבורת התמונה
425) Question: a circle, the length of its diameter is 7 cubits. How much is its perimeter and how much is its area?	תכה) שאלה בכאן עגול אורך אלכסונו ז' אמות כמה הקפו וכמה תשברתו
Multiply 7 by 3 and a seventh; it is 22 and this is its perimeter. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}$	כפול ז' על ג' ושביעית ויהיו כ"ב וכך הוא הקפו
Then, take half its perimeter; the half of its perimeter is 11.	אח"כ קח חצי הקפו וחצי אלכסונו והנה חצי הקפו י"א
The half of its diameter is 3 and a half.	וחצי אלכסונו ג' וחצי
Multiply them; the result is 38 and a half and this is the area of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}$	וכפלם ויעלה ל"ח וחצי וכך הוא תשבורת העגול
426) Question: a circle, the length of its perimeter is 44. If you wish to know the area of the circle:	תכו) שאלה בכאן עגול ארך הקפו מ"ד אם תרצה לדעת תשבורת העגול
Do as follows: divide 44 by 3 and a seventh; the result is 14 and this is the diameter. $\scriptstyle{\color{blue}{44\div\left(3+\frac{1}{7}\right)=14}}$	כך תעשה ‫^[346]חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד וכך הוא האלכסון
Then, take half its diameter, which is 7, and half its perimeter, which is 22. Multiply them; the result is 156 and this is the area of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot44\right)=7\sdot22=156}}$	אח"כ קח חצי אלכסונו שהוא ז' וחצי הקפו שהוא כ"ב וכפלם ויעלו קנ"ו וכך הוא תשבורת העגול
Gaging Problems
427) Question: here is a tent, the length of the stick that the tent is stuck on is 8 cubits and the wedge stuck in the stick that reaches the ground is ten cubits. I ask: how much space it holds on the ground around it, how many canna of wedges are attached to the tent, and how much is its diagonal?	תכז) שאלה הנה בכאן פאואלייוני אשר ארך המקל אשר הפאואלייוני תקוע בו ח' אמות והדוק התקוע במקל שהוא מגיע לארץ עשרה אמות אשאל כמה מקום מחזיק מהקרקע סביבו וכמה קנים מדוק באהל וכמה הוא אלכסונו
To know its diagonal, multiply the 8 canna of the stick by themselves; it is 64.	הנה לדעת אלכסונו הנה תכפול הח' קנים מהמקל על עצמם ויהיו ס"ד
Multiply also the ten canna, which are the length of the wedge, by themselves; it is 100.	ג"כ תכפול העשרה קנים שהוא ארך הדוק ויהיו ק‫'
Subtract 64 from 100; 36 remains.	הסר מאלו הק' ס"ד וישארו ל"ו
Extract the root of 36; it is 6, which is half the diagonal. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}$	קח שרש ל"ו שהם ו' והוא חצי האלכסון
Double it; it is 12. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot6=12}}$	כפול אותו והוא י"ב
To know its perimeter, multiply 12 by 3 and a seventh and this is its perimeter. $\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)}}$	ולדעת כמה סביבו כפול י"ב על ג' ושביעית וכך הוא סביבו
If you want to know how much is the volume of the whole tent, take half its perimeter, which is 18 and 6-sevenths, and multiply it by the height; the result is 113 and a seventh and this is the volume of the [whole tent].	ואם תרצה לדעת כמה תשבורת כל האהל קח חצי סביבו וחצי ל"ו שהם י"ח וו' שביעיות וכפלם על הגובה ויעלה קי"ג ושביעית וכך הוא תשבורת התושבת
$\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left[12\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)\right]\sdot6=\left(18+\frac{6}{7}\right)\sdot6=113+\frac{1}{7}}}$
To know how many square canna are contained in the whole tent, take a half of 37 and 5-sevenths, [which is] 18 and 6-sevenths, and multiply by 8 canna, which is the length of the stick; the result is 150 and 6-sevenths and this is the number of the canna contained in the tent. $\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(37+\frac{5}{7}\right)\right]\sdot8=150+\frac{6}{7}}}$	ולדעת כמה קנים מרובעות כל האהל קח מחצית ל"ז וה' שביעיות וכפלם על י"ח וו' שביעיות וכפלם על ח' קנים שהוא ארך המקל ויעלה ק"נ וו' שביעיות וכך קנים יש באהל
428) Question: here is a field of wheat whose area is 44 and its height is 9 canna. I would like to know how much wheat there is in the field in such a way that there is 1 cosa [?] of wheat in each square canna.	תכח) שאלה יש כאן כרי של חטה אשר סביבו מ"ד וגבהו ט' קנים ארצה לדעת כמה חטה יש בכרי באופן שיהיה בכל קנה מרובעת א' קוצא מחטה
Do as follow: take [its area], which is 44, multiply it by itself; it is 1936.	כך תעשה כך מרובע סביבו שהוא מ"ד וכפלם על עצמם ויהיו אלף ותתקל"ו
Take 7 parts of 80 of this number; it is 154 canna and they are the canna of the area.	וקח ז' חלקים מפ' מזה המספר ויהיו קנ"ד קנים וכך הם הקנים מן השטח
Then, take a third of 9, which is 3, and multiply it by 154; it is 462 canna, which is the volume of the field, and this is the number of the cosi [?] of wheat.	אח"כ קח שליש ט' שהם ג' וכפלם על קנ"ד ויהיו ד' מאות וס"ב קנים הוא תשבורת כל הכרי וזה המספר ממש הם הקוצי מהחטה
429) Question: here is a well whose circumference is 22, it is round, ten cubits high, and full with water. I would like to know how many barili of water there are in the well, in such a way that every 3 square cubits contain one barile.	תכט) שאלה בכאן בור אשר סביבו כ"ב והוא עגול וגבהו עשר אמות מלא מים ארצה לדעת כמה ברילי ממים יש בבור באופן כי כל ג' אמות מרובעות יכילו ברילי אחד
Do as follows: multiply 22, which is the diametro [diameter], by itself; it is 484.	כך תעשה כפול כ"ב שהוא ‫^[347]הדיאמיטרו על עצמם ויהיו תפ"ד
Take 11 parts of 14 of it; it is 380 and 2-sevenths and this is the [number of] cubits in the surface of the well. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{14}\sdot22^2=\frac{11}{14}\sdot484=380+\frac{2}{7}}}$	קח מהם י"א חלקים מי"ד ויהיו ש"פ וב' שביעיות וכך הם אמות משטח הבור
Then, multiply 380 by ten, which is the altitude of the well; the result is 3[8]0[2] cubits and 6-sevenths and they are the cubits of water contained in the well. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(380+\frac{2}{7}\right)=3802+\frac{6}{7}}}$	אח"כ כפול ש"פ על עשרה שהוא גובה הבור ויעלה ג' אלפים וח' אמות וו' שביעיות והם אמות המים אשר בבור
Divide them by 3; the result is 1267 and 13 parts of 21 and they are the barili of water contained in the well. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3802+\frac{6}{7}}{3}=1267+\frac{13}{21}}}$	חלקם על ג' ויעלה אלף ורס"ז וי"ג חלקים מכ"א והם הברילי ממים אשר בבור
430) Question: here is a pole whose diagonal is 2 cubits and its height is ten. How much will it weigh in such a way that each square cubit will weigh fifty liṭra?	תל) שאלה בכאן עמוד אחד אשר אלכסונו ב' אמות וגבהו עשרה כמה ישקול באופן כי כל אמה מרובעת תשקול חמישים ליט‫'
Do as follows: multiply the diagonal by itself; it is 4.	כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ד‫'
Take its 11 parts of 14; it is 3 and a seventh and this is the area of its circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{14}\sdot2^2=\frac{11}{14}\sdot4=3+\frac{1}{7}}}$	ומהם תסיר י"א חלקים מי"ד ויהיו ג' ושביעית וזהו תשבורת סבובו ר"ל שטחו
Then, multiply it by ten; the result is 31 and 3-sevenths and these are the cubits contained by the whole pole. $\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=31+\frac{3}{7}}}$	אח"כ כפול זה על עשרה ויעלה ל"א וג' שביעיות והם אמות כל העמוד
To know how many liṭra it weighs, multiply it by 50; the result is 1[5]71 liṭra and 3-sevenths and so the pole weighs. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(31+\frac{3}{7}\right)\sdot50=1571+\frac{3}{7}}}$	ולדעת כמה ליט' תשקול כפול זה על נ' ויעלה אלף ותתקע"א ליט' וג' שביעיות תשקול העמוד
431) Question: here is a sack whose diagonal is 3 spans and its length is 6 spans. I ask: how many tomoli of wheat it contains in such a way that every two spans contain 3 tomoli of wheat?	תלא) שאלה בכאן שק אשר אלכסונו הוא ג' זרתות וארכו ו' זרתות אשאל כמה טומולי מחטה תכיל באופן תכיל כל ב' זרתות ג' טומולי מחטה
Do as follows: multiply the diagonal by itself; it is 9.	כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ט‫'
Take its 11 parts of 14; the remainder is 7 and one part of 14 and this is its area. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{14}\sdot3^2=\frac{11}{14}\sdot9=7+\frac{1}{14}}}$	וקח י"א חלקים מי"ד הנשאר ז' וא' חלק מי"ד וכך הוא שטחו
Then, multiply it by the altitude; it is 42 and 6 parts of 14 and these are the spans that the sack contains. $\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left(7+\frac{1}{14}\right)=42+\frac{6}{14}}}$	אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו מ"ב וו' חלקים מי"ד וכך הם זרתות שמכיל השק
Rule of Three: To know how many tomoli of wheat each sack contains, say: if 2 equals 3, how much are 42 and 6 parts of 14 equal to? $\scriptstyle{\color{blue}{2:3=\left(42+\frac{6}{14}\right):X}}$	ולדעת כמה טומולי מחטה תכיל כל השק תאמ' אם ב' שוים ג' כמה ישוו מ"ב וו' חלקים מי"ד
You receive 63 and 9 parts of 14 and these are the tomoli contained in each sack. $\scriptstyle{\color{blue}{X=63+\frac{9}{14}}}$	ויצא לך ס"ג וט' חלקים מי"ד וכך טומולי מחזיק כל השק
432) Question: here is a sack containing 36 tomoli of wheat. We would like to make three sacks of it. How much will each contain?	תלב) שאלה בכאן שק מחזיק ל"ו טומולי מחטה ונרצה לעשות ממנו ג' שקים כמה יחזיק כל אחד
Since you want to make three sacks, multiply it by itself; it is 9.	יען כי תרצה לעשות ג' שקים כפלם על עצמם ויהיו ט‫'
Divide 36 by it; it is 4 and so each sack contains. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{36}{3^2}=\frac{36}{9}=4}}$	וחלק ל"ו עליהם ויהיו ד' וכך תחזיק כל שק ושק
433) Question: here are four sacks, each contains three. We would like to make one sack from all of them. How much will it contain?	תלג) שאלה בכאן ארבעה שקים כל אחד מכיל שלשה ‫^[348]ונרצה לעשות מארבעתם שק אחד כמה יכיל
Since they are four sacks, multiply them by themselves; it is 16.	יען כי הם ד' שקים כפלם על עצמם ויהיו י"ו
Multiply the 16 by 3; it is 48 and so the sack contains. $\scriptstyle{\color{blue}{4^2\sdot3=16\sdot3=48}}$	ואלו הי"ו כפלם על ג' ויהיו מ"ח וכך מחזיק השק
434) Question: a man has four sacks of the same height and the width of one is 2, another 4, anther 5, and another ten. We would like to make one sack from all of them. How much will it contain?	תלד) שאלה לאדם ד' שקים גבהם שוה ורחבם האחד ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר עשרה ונרצה לעשות מכלם שק אחד כמה יכיל
Multiply the widths of the sacks by each other: we multiply 2 by 4; it is 8. Multiply it by 5; it is 40. This by 10; it is 400.	כפול רוחב השקים זה על זה והנה נכפול ב' על ד' הם ח' כפול זה על ה' והם מ' גם זה על י' והם ת‫'
Extract its root; it is twenty.	וקח שרשם והם עשרים
Multiply it by 4, which is [the number of] the sacks; it is 80.	כפלם על ד' שהם השקים ויהיו פ‫'
Add to it what each sack contains, which is 2, 4, 5, 10; it is 1[01] and so each sack contains.	תוסיף בם מה שמחזיק כל שק שהם ב'ד'ה'י' ויהיו ק"י וכך תכיל השק
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle4\sdot\sqrt{2\sdot4\sdot5\sdot10}+\left(2+4+5+10\right)&\scriptstyle=4\sdot\sqrt{8\sdot5\sdot10}+\left(2+4+5+10\right)\\&\scriptstyle=4\sdot\sqrt{40\sdot10}+\left(2+4+5+10\right)\\&\scriptstyle=4\sdot\sqrt{400}+\left(2+4+5+10\right)\\&\scriptstyle=\left(4\sdot20\right)+\left(2+4+5+10\right)=80+\left(2+4+5+10\right)=101\\\end{align}}}$
435) Question: here is one sphere whose diagonal is 3 spans. I would like to know how many liṭra the whole sphere would weigh in such a way that each square span would weigh 100 liṭra?	תלה) שאלה בכאן כדור אחד אשר אלכסונו ג' זרתות ארצה לדעת כמה ליטר' תשקול כל הכדור באופן כי תשקול כל זרת מרובע ק' ליט‫'
Do as follows: cube the diagonal; it is 27.	כן תעשה כפול האלכסון על מעוקבו ויהיו כ"ז
Take its 11 parts of 21; it is 14 and a seventh and so are the square spans. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{21}\sdot3^3=\frac{11}{21}\sdot27=14+\frac{1}{7}}}$	וקח י"א חלקים מכ"א שהם י"ד ושביעית וכך הם הזרתות המרובעות
Then, multiply it by 100; you receive 1414 and 2-sevenths and so the sphere weighs. $\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=1414+\frac{2}{7}}}$	אח"כ כפול זה על ק' ויצא לך אלף ותי"ד וב' שביעיות וכך תשקול הכדור
436) Question: here are two spheres, one of which has a circumference of 5 spans and its diagonal is 2 spans, and the other has a circumference of ten and a diagonal of four. I would like to know how many times the greater one weighs more than the smaller one.	תלו) שאלה בכאן שני כדורים אשר אחד מהם הקפו כ' זרתות ואלכסונו ב' זרתות והאחרת הקפו עשרה ואלכסונו ארבעה ארצה לדעת כמה פעמים שוקלת יותר הגדולה מהקטנה
Do as follows: multiply the circumference of the smaller by itself; it is 25.	כך תעשה כפול הקף הקטנה על עצמם ויהיו כ"ה
Then, multiply it by 2, which is the diagonal; it is 50 and they are the spans of the smaller sphere. $\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot5^2=2\sdot25=50}}$	אח"כ כפלם על ב' שהוא האלכסון והם נ' וכך הם זרתות הכדור הקטן
To know the spans of the greater, do as follows: multiply the circumference of the greater by itself; it is 100. And this by the diagonal; it is 400. $\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot10^2=4\sdot100=400}}$	ולדעת זרתות הגדול כך תעשה כפול הקף הגדול על עצמו שהם ק' גם זה על האלכסון ‫^[349]ויהיו ד' מאות
Divide 400 by 50; the result is 8 and this many times the greater weighs more than the smaller. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400}{50}=8}}$	חלק ד' מאות על נ' ויצא ח' וכך פעמים תשקול הגדול מהקטן
Find the Volume Problem - Two Barrels
437) Question: two barrels, the diagonal of one is 2 and the diagonal of the other is 4. I ask: by how much the big one is bigger than the little one?	תלז) שאלה שני חביות האחת אלכסונה ב' והשנית אלכסונה ד‫' אשאל כמה גדולה הגדולה מהקטנה
Cube [the diagonal of] the smaller and take 11 parts of 21; it is 4 and 4 parts of 21 and this is the volume of the smaller. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{21}\sdot2^3=4+\frac{4}{21}}}$	קח מעוקב הקטנה וקח י"א חלקים מכ"א שהם ד' וד' חלקים מכ"א וכך הוא תשבורת הקטנה
Cube also [the diagonal of] the bigger, which is 64, and take 11 parts of 21; it is 33 and 11 parts of 21 and this is the volume of the bigger. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11}{21}\sdot4^3=\frac{11}{21}\sdot64=33+\frac{11}{21}}}$	גם קח מעוקב הגדולה שהם ס"ד וקח י"א חלקים מכ"א שהם ל"ג וי"א חלקים מכ"א והוא תשבורת הגדולה
Then, divide the greater by smaller; the result is 8 and this many smaller barrels are contained in the bigger. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{33+\frac{11}{21}}{4+\frac{4}{21}}=8}}$	אח"כ חלק הגדולה על הקטנה ויצא ח' וכך חביות קטנות תכיל הגדולה
Find the Area Problem - Arc
438) Question: here is an arc, the length of the chord is 14 and the length of the versine is 7. How much is the arc?	תלח) שאלה כאן קשת ארך המתר י"ד ואורך החץ ז‫' כמה הוא הקשת
Do as follows: multiply the versine, which is 3, by 3 and a seventh; the result is 22 and this is the arc. $\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}$	כך תעשה כפול החץ שהוא ז' על ג' ושביעית ויצא כ"ב וכך הוא הקשת
To know its area, take half the arc, which is 11 and a half, and half the chord, which is 7. Multiply them by each other; it is 77 and this is the area of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)=11\sdot7=77}}$	ולדעת תשברתו קח חצי הקשת שהוא י"א וחצי המתר שהוא ז' וכפול זה על זה ויהיו ע"ז וכך הוא תשבורת זה העגול
Find the Side Problem - Chord
439) Question: here is a semicircular, the circumference of the arc is 22. I wish to know how much is the chord.	תלט) שאלה בכאן חצי עגול הקף הקשת כ"ב ארצה לדעת כמה המתר
Do as follows: divide 22 and 3 and a seventh; you receive 7 and this is the versine. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22}{3+\frac{1}{7}}=7}}$	כך תעשה חלק כ"ב על ג' ושביעית ויצא לך ז' וכך הוא החץ
Multiply it by 14 and this is the chord.	כפול זה על י"ד והוא המיתר
Find the Area Problems
440) Question: here is a circular shape that is greater than a semicircle, the length of the versine is 9, the chord is 6, and the arc is 25. I wish to know how much is its area.	תמ) שאלה בכאן תמונה מעוגלת יותר מחצי עגול ארך החץ ט' והמתר ו' והקשת כ"ה ארצה לדעת כמה תשברתה
Do as follows:	כך תעשה
Take half the chord, which is 3, multiply it by itself; it is 9.	קח חצי המתר שהוא ג' כפלם על עצמם ויהיו ט‫'
Divide it by the length of the versine, which is 9; the result is 1.	חלקם על ארך החץ שהם ט' ויצא א‫'
Add it to the 9 of the chord; it is 10 and this is the length of the diameter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2}{9}+9=\frac{3^2}{9}+9=\frac{9}{9}+9=1+9=10}}$	תוסיף אותו על הט' מהחץ ויהיו י' וכך הוא ארך אלכסון התמונה
Then, multiply half the diameter, which is 5, by half the perimeter that is 25, which is 12 and a half; the result is 62 and a half.	אח"כ כפול חצי האלכסון שהוא ה' על חצי הקפו שהיה כ"ה והם י"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
Take half the chord, which is 3.	אח"כ קח חצי המתר שהם ג‫'
Take half the diameter, which is 5	וקח חצי האלכסון שהם ה‫'
Subtract it from the 9, which is the versine; 4 remains.	ותסירם מן הט' שהוא ‫^[350]החץ וישארו ד‫'
Multiply it by the 3; it is 12.	ותכפלם על הג' ויהיו י"ב
Add these 12 to the 62; it is 74 and a half and this is the area of the shape.	אח"כ חבר אלו הי"ב אל הס"ב ויהיו ע"ד וחצי והוא תשבורת התמונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\sdot\left[9-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left[5\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[3\sdot\left(9-5\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+\left(3\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+12\\&\scriptstyle=74+\frac{1}{2}\end{align}}}$
441) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, its perimeter is 9 and a half, the length of the versine is 2, and the chord is 8. To know how much is its area.	תמא) שאלה בכאן תמונה שהיא פחותה מחצי עגול והיא מקפת ט' וחצי והחץ ב' והמתר הוא ח‫' לדעת תשברתה
Do as follows:	כך תעשה כך
Take half 8, which is the length of the chord; it is 4.	חצי ח' שהוא ארך המתר שהם ד‫'
Multiply it by itself; it is 16.	וכפלם על עצמם ויהיו י"ו
Divide it by the versine, which is 2; the result is 8.	וחלקם על החץ שהוא ב' ויצא ח‫'
Add it to 2; it is 10 and this is the diameter. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2}{2}+2=\frac{4^2}{2}+2=\frac{16}{2}+2=8+2=10}}$	חברם עם ב' והם י' והוא האלכסון
Then, take half the diameter, which is 5, and half the perimeter, which is 4 and 3-quarters, and multiply them by each other; it is 23 and 3-quarters.	אח"כ קח חצי האלכסון שהם ה' וחצי ההקף שהם ד' וג' רביעיות וכפלם ויהיו כ"ג וג' רביעיות
Take half the diameter, which is 5, and subtract it from 2; the remainder is 3.	עוד קח חצי האלכסון שהם ה' והסר מהם ב' הנשאר ג‫'
Multiply it by half the [chord], which is 8, so it is 4; [the product] is 12.	כפלם על חצי אלכסון שהוא ח' ויהיו ד' ויהיו י"ב
Subtract it from 23 and 3-quarters; 11 and 3-quarters remain and this is the area of the shape.	תסירם מכ"ג וג' רביעיות וישארו י"א וג' רביעיות והוא תשבורת התמונה
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(9+\frac{1}{2}\right)\right]\right]-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)\sdot\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-2\right]\right]&\scriptstyle=\left[5\sdot\left(4+\frac{3}{4}\right)\right]-\left[4\sdot\left(5-2\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(23+\frac{3}{4}\right)-\left(4\sdot3\right)\\&\scriptstyle=\left(23+\frac{3}{4}\right)-12\\&\scriptstyle=11+\frac{3}{4}\end{align}}}$
Find the Side Problems
442) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the versine is 2, and its diameter is ten. I wish to know the chord.	תמב) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אורך החץ ב' ואלכסונו עשרה ארצה לדעת המתר
Take half the diameter, which is 5 and multiply it by itself; it is 25.	קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
Then, take the 2 of the versine and subtract it from 5; 3 remains.	אח"כ קח הב' מהחץ ותסירם מהה' וישארו ג‫'
Multiply it by itself; it is 9.	ותכפלם על עצמם ויהיו ט‫'
Subtract it from 25; 16 remains.	תסירם מכ"ה וישארו י"ו
Extract its root, which is 4, and double it; it is 8 and this is the size of the chord.	וקח שרשם שהם ד' וכפלם והם ח' וכך הוא תשבורת המתר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-2\right]^2}&\scriptstyle=2\sdot\sqrt{5^2-\left(5-2\right)^2}=2\sdot\sqrt{5^2-3^2}\\&\scriptstyle=2\sdot\sqrt{25-9}=2\sdot\sqrt{16}=2\sdot4=8\\\end{align}}}$
443) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the chord is 8, and its diameter is ten. If you wish to know the versine.	תמג) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אשר המתר ח' והאלכסון עשרה אם תרצה לדעת החץ
Do as follows: take half the diameter, which is 5 and multiply it by itself; it is 25.	כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
Take also half the chord, which is 4, and multiply it [by itself]; it is 16.	גם קח חצי המתר שהם ד' וכפלם ויהיו י"ו
Subtract it from 25; 9 remains.	הסר אותם מכ"ה וישארו ט‫'
Extract its root, which is 3, and subtract it from the 5, which is half the diameter; 2 remains and it is the length of the versine.	וקח שרשם שהם ג' ותסירם מהה' שהוא חצי האלכסון וישארו ב' והוא ארך החץ
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left(\frac{1}{2}\sdot8\right)^2}=5-\sqrt{5^2-4^2}=5-\sqrt{25-16}=5-\sqrt{9}=5-3=2}}$
444) Question: here is a shape that is greater than a semicircle, the length of its diameter is ten and the versine is 9. I wish to know how much is the chord.	תמד) שאלה בכאן תמונה שהיא יותר מחצי עגולה אשר אלכסונו עשרה והחץ ט‫' ארצה לדעת כמה הוא המתר
Take half the diameter, which is 5 and subtract it from the versine, which is 9; 4 remains.	כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' ותסירם מהחץ ‫^[351]שהוא ט' וישארו ד‫'
Multiply it by itself; it is 16.	וכפלם על עצמם ויהיו י"ו
Multiply half the diameter [by itself] also; it is 25.	גם כפול חצי האלכסון ויהיו כ"ה
Subtract 16 from 25; the remainder is 9.	הסר י"ו מכ"ה הנשאר ט‫'
Extract its root; it is 3.	וקח שרשם והם ג‫'
Double it; it is 6 and this is the length of the chord.	וכפלם והם ו' והוא אורך המתר
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2\sdot\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left[9-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]^2}&\scriptstyle=2\sdot\sqrt{5^2-\left(9-5\right)^2}\\&\scriptstyle=2\sdot\sqrt{5^2-4^2}=2\sdot\sqrt{25-16}=2\sdot\sqrt{9}=2\sdot3=6\\\end{align}}}$
Find the Volume Problem - Box
445) Question: here is a shape made like a box its length is 30 and its breadth is 20. I would like to know its volume.	תמה) שאלה בכאן תמונה עשויה כדמות חבילה ארכה ל' ורחבה עשרים ארצה לדעת תשברתה
Do as follows: multiply 30 by twenty; it is 600.	כך תעשה כפול ל' על עשרים ויהיו ו' מאות
Take 3 parts of 14, which is 128 and 4 parts of [7]; 471 and 3-sevenths remains and this is the volume of the box.	קח ג' חלקים מי"ד ויהיו קכ"ח וד' חלקים מט' וישארו ד' מאות וע"א וג' שביעיות והוא תשבורת החבילה
$\scriptstyle{\color{blue}{\left(30\sdot20\right)-\left[\frac{3}{14}\sdot\left(30\sdot20\right)\right]=600-\left(\frac{3}{14}\sdot600\right)=600-\left(128+\frac{4}{7}\right)=471+\frac{3}{7}}}$
Transformation Problem - Circle to Square
446) Question: a circle whose diameter is 10. We want to transform the circle into a square. I wish to know: how much is the length of each side of the square?	תמו) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו י"ו נרצה לעשות מזה העגול מרובע ארצה לדעת כמה ארך כל צלע המרובע
Multiply 11 by itself; it is 256.	כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
Take its half; it is 128.	וקח חצים והם קכ"ח
Extract its root; it is 11 and 7 parts of 23 and this is the length of each side of the square. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot16^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot256}=\sqrt{128}=11+\frac{7}{23}}}$	וקח שרשם והם י"א וז' חלקים מכ"ג וכך הוא אורך כל צלע מהמרובע
Find the Side Problem - Inscribed Triangle
447) a circle, its diameter is 10 long and we want to construct a triangle inside of it. How much is the length of each side of the triangle?	תמז) שאלה בכאן עגול ארך אלכסונו עשרה ונרצה לעשות משולש בתוכו כמה ארך כל קו מהמשולש
Do as follows: multiply the diameter by itself; it is 100.	כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ק‫'
Take its 3-quarters; it is 75.	וקח ג' רביעיותיו שהם ע"ה
Extract its root; it is 8 and 11 parts of 16 and this is the length of each side. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{3}{4}\sdot10^2}=\sqrt{\frac{3}{4}\sdot100}=\sqrt{75}=8+\frac{11}{16}}}$	וקח שרשם שהם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא ארך כל קו
To know the height, take 3-quarters of the diameter; it is 7 and a half and this is the length of the height. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot10=7+\frac{1}{2}}}$	ולדעת העמוד קח ג' רביעיו' האלכסון שהיה ויהיו ז' וחצי והוא ארך העמוד
Transformation Problems
448) Question: a square, the length of each of its sides is ten. We want to transform it into a circle. how much is its perimeter?	תמח) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע עשרה נרצה לעשות ממנו עגול כמה יהיה הקפו
Do as follows: multiply the side [by itself]; it is 100 and this is the area of the square.	כך תעשה כפול הצלע ויהיו ק' והוא תשבורת המרובע
Then, see of which number one hundred is 11 parts of 14; you find it is 127 and 3 parts of 11. $\scriptstyle{\color{blue}{10^2=100=\frac{11}{14}X\longrightarrow X=127+\frac{3}{11}}}$	אח"כ ראה מאה מאיזה מספר הם י"א חלקים מי"ד ותמצא קכ"ז וג' חלקים מי"א
Extract its root; it is 11 and 2-sevenths and this is the length of the diameter of the circle. $\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{127+\frac{3}{11}}=11+\frac{2}{7}}}$	אח"כ קח שרשם מקכ"ז והם י"א וב' שביעיות והוא ארך אלכסון העגול
Then, multiply the 11 and 2-sevenths by 3 and a seventh; the result is [3]5 and 23 parts of 49 and this is the perimeter. $\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{7}\right)\sdot\left(11+\frac{2}{7}\right)=35+\frac{23}{49}}}$	אח"כ כפול אלו הי"א וב' שביעיות על ג' ושביעית ויעלה כ"ה וכ"ג חלקים ממ"ט וכך הוא הסבוב
449) Question: a square, each of its sides is ten. One wants to transform it into a triangle and know how much is each of its sides.	תמט) שאלה בכאן מרובע ‫^[352]אשר כל צלע עשרה ורוצה לעשות ממנו משולש לדעת כל קו מהמשולש
Multiply the side of the [square by itself]; it is 100.	כפול צלע המשולש ויהיו ק‫'
Double it; it is two hundred.	וכפלם ויהיו מאתים
Then, take the sixth and the seventh of 100; it is 31.	אח"כ קח השישית והשביעית מק' ויהיו ל"א
Add it to two hundred; it is 231.	ותוסיפם על מאתים ויהיו רל"א
Extract its root; it is 15 and 6 parts of 31 and this is the length of each side of the triangle.	תסיר מהם שרש המרובע שהם ט"ו וו' חלקי' מל"א וכך הוא ארך כל צלע המשולש
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2\sdot10^2+\left[\left(\frac{1}{6}\sdot10^2\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot10^2\right)\right]}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot100+\left[\left(\frac{1}{6}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot100\right)\right]}\\&\scriptstyle=\sqrt{200+31}=\sqrt{231}=15+\frac{6}{31}\\\end{align}}}$
Gaging Problems
450) Question: a barrel, one of its base is 8 spans, the other base is 7 [spans and a half], and it is 10 [spans] high and 6 [spans] long. I wish to know: how many barili of water it contains so that 9 square spans contain one barile?	תנ) שאלה בכאן חבית אשר אחד מהקצוות ח' זרתות והקצה האחר ז' והיא גבוהה עשרה וארוכה ו‫' אשאל לדעת כמה ברילי יש בה ממים באופן יכילו ט' זרתות מרובעים א' בארילו
Do as follows: [take half] the bases, which are 8 and 7; [it is 7] and a half.	כך תעשה חבר הקצוות שהם ח' עם ז' וחצי
Add it to the altitude from the middle of the barrel, which is 10; it is 17 and a half.	ותחברם אל הגובה מאמצע החבית שהם י' ויהיו י"ז וחצי
Take its half, which is 8 and 3-quarters, and multiply it by itself; it is 76 and 9 parts of 16.	וקח חצים שהם ח' וג' רביעיות ותכפלם על עצמם ויהיו ע"ו וט' חלקים מי"ו
Take 11 parts of 14, which is 60 and 5 parts of 32.	הסר י"א חלקים מי"ד שהם ס' וה' חלקים מל"ב
Multiply it by the length of the barrel, which is 6; it is 360 and 15 parts of 16 and these are the spans contained by the barrel.	ותכפלם על ארך החבית שהם ו' ויהיו ש"ס וט"ו חלקים מי"ו וכך הם הזרתות שהם בחבית
$\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle6\sdot\frac{11}{14}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8+7\right)\right]+10\right]\right]^2&\scriptstyle=6\sdot\frac{11}{14}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(7+\frac{1}{2}\right)+10\right]\right]^2=6\sdot\frac{11}{14}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)\right]^2\\&\scriptstyle=6\sdot\frac{11}{14}\sdot\left(8+\frac{3}{4}\right)^2=6\sdot\frac{11}{14}\sdot\left(76+\frac{9}{16}\right)\\&\scriptstyle=6\sdot\left(60+\frac{5}{32}\right)=360+\frac{15}{16}\\\end{align}}}$
Divide them by 9, which are in every barili; the result is forty and 5 parts of 48 and this is the number of barili. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{360+\frac{15}{16}}{9}=40+\frac{5}{48}}}$	וחלקם על ט' שיש בכל ברילי ויצא ארבעים וה' חלקים ממ"ח והם סכום הבארילי
451) Question: half a barrel, the diagonal of one of its bases is 2 and a half zeratot long, the diagonal of the other base is 1 and a half zeratot and it is 2 zeratot high. We want to know: how much it would contain, so that 3 square zeratot contain one barile?	תנא) שאלה בכאן חצי חבית אשר ארך האלכסון מן הקצה האחד ב' זרתות וחצי והאלכסון מהקצה האחר א' וחצי והיא ארוכה ב' זרתות נרצה לדעת כמה תכיל באופן כי ג' זרתות מרובעים יכילו בריל אחד
Do as follows: sum the diagonals of the bases; they are 4.	כך תעשה תחבר אלכסונות הקצוות שהם בין שניהם ד‫'
Take its half and multiply it by itself; it is 4.	וקח חצים וכפלם על עצמם ויהיו ד‫'
Take 11 parts of 14; it is 3 and a seventh.	וקח י"א חלקי' מי"ד שהם ג' ושביעית
Multiply it by the length, which is 2; the result is 6 and 2-sevenths.	ותכפלם על הארך שהם ב' ויעלה ו' וב' שביעיות
$\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\frac{11}{14}\sdot\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(1+\frac{1}{2}\right)\right]\right]^2=2\sdot\frac{11}{14}\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2=2\sdot\frac{11}{14}\sdot4=2\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=6+\frac{2}{7}}}$
To know how much water is contained in half a barrel, divide 6 and 2-sevenths by 3 spans that are contained in one barile; the result is 2 and 2 parts of 21. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6+\frac{2}{7}}{3}=2+\frac{2}{21}}}$	ולדעת כמה מים יכיל בתוך חצי חבית חלק הו' וב' שביעיות על ג' זרתות אשר יכילו בין שלשתן ברילי אחד ויצא ב' וב' חלקים מכ"א
Three Proportional Numbers
452) Question: we have three proportional numbers such that the ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third. If we multiply the first by the second, then multiply the result by the third it will be a thousand. How much are the proportional numbers?	‫^[353]תנב) שאלה יש לנו ג' מספרים יחסיים אשר יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג‫' והנה נכפול הא' על הב' והעולה נכפול על ג' הוא אלף כמה הם המספרים היחסיים
The way is as follows:	הדרך הוא כך
Take the cube root of one thousand; it is ten, so the mean number is ten. $\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{1000}=10}}$	קח שרש מעוקב מאלף הוא עשרה הנה א"כ המספר אמצעי הוא עשרה
Then, divide one thousand by ten; the result is one hundred.	אח"כ חלק אלף על עשרה ויעלו מאה
Hence, seek to make two parts of one hundred, such that is you multiply one part by ten and multiply the product by the second part, the result is one thousand.	א"כ בקש לעשות ממאה ב' חלקים אשר אם תכפול חלק אחד על עשרה ומה שיעלה כפול על החלק השני שיעלה אלף
So, when we make two parts of one hundred, the first part will be 2 and the second 50.	הנה כשנעשה ממאה ב' חלקים יהיה החלק הא' ב' והשני חמישים
Therefore, say that the three proportional numbers are: the first is 2, the second is 10, and the third is 50.	א"כ תאמ' כי הג' מספרים יחסיים הא' ב' והשני עשרה והשלישי חמישים
The ratio of 2 to 10 is as the ratio of 10 to 50. $\scriptstyle{\color{blue}{2:10=10:50}}$	הנה יחס ב' אל י' כיחס י' אל נ‫'
Thus, the question is solved correctly.	הנה א"כ השאלה היא נעשת כהוגן
So, if we multiply the first number, which is 2, by the second number, which is 10, the result is twenty; and is you multiply twenty by the third number, which is 50, the result is one thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_2\sdot a_3=2\sdot10\sdot50=20\sdot50=1000}}$	והנה אם נכפול המספר הראשון שהוא ב' על המספר השני שהוא י' יעלו עשרים ואם תכפול עשרים על המספר השלישי שהוא נ' יעלו אלף
If you want to divide a thousand by its cube root, which is 10, in another way, do as follows:	ואם תרצה לחלק אלף על שרש מעוקבו שהוא י' באופן אחר כך תעשה
Divide a thousand by ten; the result is a hundred. $\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000}{\sqrt[3]{1000}}=\frac{1000}{10}=100}}$	תחלק אלף על עשרה ויצאו מאה
Divide a hundred into two parts so that when you multiply one part by ten, then multiply the product by the second part; the result is a thousand. $\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle100=a+b\\ \scriptstyle a\sdot10\sdot b=1000\end{cases}}}$	תחלק מאה לב' חלקים באופן כי כשתכפול החלק הראשון על עשרה והעולה כפול על החלק השני ויעלו אלף
Do as follows: one part will be five, the other part will be twenty, and the mean is ten. So, the first is 5, the second - 10, and the third - twenty. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5;\quad a_2=10;\quad a_3=20}}$	כך תעשה הנה החלק האחד יהיו חמשה והחלק האחר יהיו עשרים והאמצעי הוא עשרה והנה הראשון הוא ה' והב' י' והג' עשרים
The ratio of the first to the second is as the ratio of the second to the third. $\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_2=5:10=10:20=a_2:a_3}}$	והנה יחס הא' אל הב' כיחס הב' אל הג‫'
If you multiply 5 by 10; it is fifty. Multiply fifty by twenty; it is a thousand. And so on. $\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot10\sdot20=50\sdot20=1000}}$	ואם תכפול ה' על י' יהיו חמשים כפול חמישים על עשרים והם אלף וכן כל כיוצא בזה
Over and done.	תם ונשלם
Thanks to the Creator of the world.	תל"ע

Notes

↑ במדבר יב, ח
↑ תלמוד, יבמות מ"ט ב:י
↑ דברים ב, טז
↑ ויקרא יא, מד
↑ תהילים כז, ד
↑ ויקרא כה, נ
↑ ויקרא כה, כז
↑ חולין קמב, א
↑ איוב א, ט"ז
↑ דברים א, י
↑ יהושע, א, ח

Apparatus

↑ 191r
↑ 191v
↑ 192r
↑ 192v
↑ 193r
↑ 193v
↑ 194r
↑ 194v
↑ marg. זהו מיותר
↑ 195r
↑ 195v
↑ marg. עד כאן מיותר
↑ 196r
↑ marg.
↑ 196v
↑ 197r
↑ 197v
↑ 198r
↑ 198v
↑ 199r
↑ 199v
↑ 200r
↑ 200v
↑ 201r
↑ 201v
↑ 202r
↑ 202v
↑ 203r
↑ 203v
↑ 204r
↑ 204v
↑ 205r
↑ 205v
↑ om.
↑ om.
↑ 206r
↑ 206v
↑ 207r
↑ 227r
↑ 227v
↑ 228r
↑ 228v
↑ 229r
↑ 229v
↑ 230r
↑ 230v
↑ 231r
↑ 231v
↑ 232r
↑ MS L: מ"א
↑ 232v
↑ 233r
↑ marg.
↑ 233v
↑ 234r
↑ 234v
↑ marg.
↑ 235r
↑ 235v
↑ 236r
↑ 236v
↑ 237r
↑ 237v
↑ 238r
↑ 238v
↑ 239r
↑ 239v
↑ 240r
↑ 240v
↑ 241r
↑ 241v
↑ 242r
↑ 242v
↑ MS L: mark om.
↑ MS L: פח
↑ MS L: פח
↑ 243r
↑ 243v
↑ G om.
↑ G ז' ושביעית
↑ G ויעלה נ'
↑ G ויהיו כ"ה
↑ G om.
↑ MS L: mark om.
↑ 244r
↑ 244v
↑ 245r
↑ MS L: om.
↑ MS L: om.
↑ 245v
↑ MS L: קט
↑ MS L: קי
↑ 246r
↑ MS L: קיו
↑ 246v
↑ MS L: קיז
↑ MS L: קיח
↑ G היינו מוצאין אותו והתשובה בה
↑ 247r
↑ MS L: קיט
↑ 247v
↑ 248r
↑ 248v
↑ MS L: קל
↑ MS L: קלא
↑ MS L: קלב
↑ MS L: קלג
↑ 249r
↑ MS L: קלד
↑ MS L: קלה
↑ 249v
↑ G. om.
↑ 250r
↑ MS L: קמב
↑ MS L: קמג
↑ MS L: קמד
↑ MS L: קמה
↑ MS L: קמו
↑ 250v
↑ MS L: קמז
↑ MS L: קמח
↑ MS L: קמט
↑ MS L: קנ
↑ MS L: קנא
↑ MS L: קנב
↑ 251r
↑ MS L: קנג
↑ MS L: קנד
↑ 251v
↑ MS L: קנה
↑ MS L: קנו
↑ 252r
↑ 252v
↑ 253r
↑ 253v
↑ 254r
↑ 254v
↑ 255r
↑ 255v
↑ 256r
↑ 256v
↑ 257r
↑ 257v
↑ 258r
↑ 258v
↑ 259r
↑ MS L: קצה
↑ MS G om.
↑ MS G om.
↑ 259v
↑ 260r
↑ 260v
↑ 261r
↑ 261v
↑ 262r
↑ MS L: רמב
↑ 262v
↑ MS L: רמז
↑ MS L: רנה
↑ 263r
↑ ‫MS L: רנו
↑ MS L: רנט
↑ MS L: רסא
↑ 263v
↑ G om.
↑ MS L: רסב
↑ MS L: רסג
↑ MS L: רסד
↑ 264r
↑ MS L: רסו
↑ MS L: רסז
↑ MS L: רסח
↑ 264v
↑ MS L: רצא
↑ G. om.
↑ G. ד' מאות וחלקו ק'
↑ MS L: רצב
↑ MS L: רצג
↑ MS L: רצד
↑ G om.
↑ 265r
↑ MS L: רצה
↑ MS L: רצז
↑ G בשותפות
↑ 265v
↑ MS L שג
↑ MS L שח
↑ 266r
↑ 266v
↑ 267r
↑ 267v
↑ marg.
↑ 268r
↑ 268v
↑ MS L: שכא
↑ 269r
↑ MS L: שכב
↑ 269v
↑ MS L: שכג
↑ G om.
↑ MS L: שכד
↑ 270r
↑ MS L: שכה
↑ MS L: שכו
↑ MS L: שכח
↑ 270v
↑ marg.
↑ MS L: שלא
↑ 271r
↑ MS L: שלב
↑ MS L: שלג
↑ 271v
↑ G. om.
↑ 272r
↑ G om.
↑ MS L שלד
↑ MS L שלה
↑ 272v
↑ MS L שלו
↑ 273r
↑ MS L שלז
↑ 273v
↑ G om.
↑ G om.
↑ 274r
↑ G om.
↑ MS L שלח
↑ 274v
↑ MS L שלט
↑ MS L שמ
↑ 275r
↑ MS L שמא
↑ G om.
↑ MS L שמב
↑ MS L שמג
↑ 275v
↑ MS L שמד
↑ MS L שמה
↑ 276r
↑ G om.
↑ MS L שמו
↑ 276v
↑ MS L: שמז
↑ 277r
↑ MS L: שמח
↑ MS L: שמט
↑ MS L: שנ
↑ MS L: שנא
↑ 277v
↑ MS L: שנב
↑ MS L: שנג
↑ MS L: שנד
↑ MS L: שנו
↑ MS L: שנז
↑ MS L שנח
↑ 278r
↑ MS L שנט
↑ MS L: שס
↑ 278v
↑ MS L שסא
↑ MS L שסב
↑ 279r
↑ MS L שסג
↑ MS L שסד
↑ 279v
↑ MS L שסה
↑ MS L שסו
↑ MS L שסז
↑ MS L שע
↑ 280r
↑ MS L: שעא
↑ MS L: שעב
↑ MS L: שעג
↑ MS L: שעד
↑ 280v
↑ MS L: שעה
↑ MS L: שעו
↑ MS L: שעז
↑ MS L: שעח
↑ 281r
↑ MS L: שעט
↑ MS L: שפ
↑ 281v
↑ MS L: שפב
↑ 282r
↑ 282v
↑ 283r
↑ MS L: שפג
↑ 283v
↑ MS L: שפה
↑ 284r
↑ MS L: שפו
↑ 284v
↑ 285r
↑ 285v
↑ MS L רלט
↑ MS L רנא
↑ 286r
↑ MS L שא
↑ MS L שד
↑ 286v
↑ MS L שו
↑ MS L שט
↑ 287r
↑ MS L שי
↑ 287v
↑ MS L שיא
↑ MS L שיב
↑ MS L שיג
↑ 288r
↑ MS L שיד
↑ 288v
↑ 289r
↑ MS L שיו
↑ MS L שיז
↑ MS L שיח
↑ 289v
↑ MS L שיט
↑ 290r
↑ MS L שכ
↑ 290v
↑ 291r
↑ 291v
↑ 292r
↑ 292v
↑ 293r
↑ 293v
↑ 294r
↑ 294v
↑ MS L שסח
↑ MS L שסט
↑ MS L: שפד
↑ 295r
↑ 295v
↑ 296r
↑ 296v
↑ MS L: שצ
↑ 108v
↑ 109r
↑ 109v
↑ 110r
↑ 110v
↑ 111r
↑ 111v
↑ 112r
↑ 112v
↑ 113r
↑ 113v
↑ 114r
↑ 114v
↑ 115r
↑ 115v
↑ 116r

Appendix I: Glossary of Terms

rank

מדרגה

Appendix: Bibliography

Gad Astruk
Venice, c. 1503
Sefer Dinei Mamonot
Manuscripts:

1) Budapest, Magyar Tudományos Akadámia, MS Kaufmann A 507/1 (IMHM: f 15161), ff. 4–19; (15th-16th century)

Kaufmann A 507/1

2) London, British Library Add. 27039/1 (IMHM: f 5717), ff. 3r-116r (cat. Margo. 1014, 1) (16th century)

Add. 27039/1

3) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/2 (IMHM: f 6711), ff. 38r-39r (1503)

4) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/5-6 (IMHM: f 6711), ff. 191r-296v (1503)

Guenzburg 30

The transcript is based mainly on manuscript Guenzburg 30

Bibliography:

Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 198. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 121.

[2] במדבר יב, ח

[3] תלמוד, יבמות מ"ט ב:י

[4] דברים ב, טז

[5] ויקרא יא, מד

[6] תהילים כז, ד

[8] ויקרא כה, נ

[9] ויקרא כה, כז

[11] חולין קמב, א

[151] איוב א, ט"ז

[300] דברים א, י

[305] יהושע, א, ח

[1] 191r

[7] 191v

[10] 192r

[12] 192v

[13] 193r

[14] 193v

[15] 194r

[16] 194v

[17] rg. זהו מיותר

[18] 195r

[19] 195v

[20] rg. עד כאן מיותר

[21] 196r

[22] rg.

[23] 196v

[24] 197r

[25] 197v

[26] 198r

[27] 198v

[28] 199r

[29] 199v

[30] 200r

[31] 200v

[32] 201r

[33] 201v

[34] 202r

[35] 202v

[36] 203r

[37] 203v

[38] 204r

[39] 204v

[40] 205r

[41] 205v

[42] .

[43] .

[44] 206r

[45] 206v

[46] 207r

[47] 227r

[48] 227v

[49] 228r

[50] 228v

[51] 229r

[52] 229v

[53] 230r

[54] 230v

[55] 231r

[56] 231v

[57] 232r

[58] MS L: מ"א

[59] 232v

[60] 233r

[61] rg.

[62] 233v

[63] 234r

[64] 234v

[65] rg.

[66] 235r

[67] 235v

[68] 236r

[69] 236v

[70] 237r

[71] 237v

[72] 238r

[73] 238v

[74] 239r

[75] 239v

[76] 240r

[77] 240v

[78] 241r

[79] 241v

[80] 242r

[81] 242v

[82] MS L: mark om.

[83] MS L: פח

[84] MS L: פח

[85] 243r

[86] 243v

[87] G om.

[88] G ז' ושביעית

[89] G ויעלה נ'

[90] G ויהיו כ"ה

[91] G om.

[92] MS L: mark om.

[93] 244r

[94] 244v

[95] 245r

[96] MS L: om.

[97] MS L: om.

[98] 245v

[99] MS L: קט

[100] MS L: קי

[101] 246r

[102] MS L: קיו

[103] 246v

[104] MS L: קיז

[105] MS L: קיח

[106] G היינו מוצאין אותו והתשובה בה

[107] 247r

[108] MS L: קיט

[109] 247v

[110] 248r

[111] 248v

[112] MS L: קל

[113] MS L: קלא

[114] MS L: קלב

[115] MS L: קלג

[116] 249r

[117] MS L: קלד

[118] MS L: קלה

[119] 249v

[120] G. om.

[121] 250r

[122] MS L: קמב

[123] MS L: קמג

[124] MS L: קמד

[125] MS L: קמה

[126] MS L: קמו

[127] 250v

[128] MS L: קמז

[129] MS L: קמח

[130] MS L: קמט

[131] MS L: קנ

[132] MS L: קנא

[133] MS L: קנב

[134] 251r

[135] MS L: קנג

[136] MS L: קנד

[137] 251v

[138] MS L: קנה

[139] MS L: קנו

[140] 252r

[141] 252v

[142] 253r

[143] 253v

[144] 254r

[145] 254v

[146] 255r

[147] 255v

[148] 256r

[149] 256v

[150] 257r

[152] 257v

[153] 258r

[154] 258v

[155] 259r

[156] MS L: קצה

[157] MS G om.

[158] MS G om.

[159] 259v

[160] 260r

[161] 260v

[162] 261r

[163] 261v

[164] 262r

[165] MS L: רמב

[166] 262v

[167] MS L: רמז

[168] MS L: רנה

[169] 263r

[170] ‫MS L: רנו

[171] MS L: רנט

[172] MS L: רסא

[173] 263v

[174] G om.

[175] MS L: רסב

[176] MS L: רסג

[177] MS L: רסד

[178] 264r

[179] MS L: רסו

[180] MS L: רסז

[181] MS L: רסח

[182] 264v

[183] MS L: רצא

[184] G. om.

[185] G. ד' מאות וחלקו ק'

[186] MS L: רצב

[187] MS L: רצג

[188] MS L: רצד

[189] G om.

[190] 265r

[191] MS L: רצה

[192] MS L: רצז

[193] G בשותפות

[194] 265v

[195] MS L שג

[196] MS L שח

[197] 266r

[198] 266v

[199] 267r

[200] 267v

[201] rg.

[202] 268r

[203] 268v

[204] MS L: שכא

[205] 269r

[206] MS L: שכב

[207] 269v

[208] MS L: שכג

[209] G om.

[210] MS L: שכד

[211] 270r

[212] MS L: שכה

[213] MS L: שכו

[214] MS L: שכח

[215] 270v

[216] rg.

[217] MS L: שלא

[218] 271r

[219] MS L: שלב

[220] MS L: שלג

[221] 271v

[222] G. om.

[223] 272r

[224] G om.

[225] MS L שלד

[226] MS L שלה

[227] 272v

[228] MS L שלו

[229] 273r

[230] MS L שלז

[231] 273v

[232] G om.

[233] G om.

[234] 274r

[235] G om.

[236] MS L שלח

[237] 274v

[238] MS L שלט

[239] MS L שמ

[240] 275r

[241] MS L שמא

[242] G om.

[243] MS L שמב

[244] MS L שמג

[245] 275v

[246] MS L שמד

[247] MS L שמה

[248] 276r

[249] G om.

[250] MS L שמו

[251] 276v

[252] MS L: שמז

[253] 277r

[254] MS L: שמח

[255] MS L: שמט

[256] MS L: שנ

[257] MS L: שנא

[258] 277v

[259] MS L: שנב

[260] MS L: שנג

[261] MS L: שנד

[262] MS L: שנו

[263] MS L: שנז

[264] MS L שנח

[265] 278r

[266] MS L שנט

[267] MS L: שס

[268] 278v

[269] MS L שסא

[270] MS L שסב

[271] 279r

[272] MS L שסג

[273] MS L שסד

[274] 279v

[275] MS L שסה

[276] MS L שסו

[277] MS L שסז

[278] MS L שע

[279] 280r

[280] MS L: שעא

[281] MS L: שעב

[282] MS L: שעג

[283] MS L: שעד

[284] 280v

[285] MS L: שעה

[286] MS L: שעו

[287] MS L: שעז

[288] MS L: שעח

[289] 281r

[290] MS L: שעט

[291] MS L: שפ

[292] 281v

[293] MS L: שפב

[294] 282r

[295] 282v

[296] 283r

[297] MS L: שפג

[298] 283v

[299] MS L: שפה

[301] 284r

[302] MS L: שפו

[303] 284v

[304] 285r

[306] 285v

[307] MS L רלט

[308] MS L רנא

[309] 286r

[310] MS L שא

[311] MS L שד

[312] 286v

[313] MS L שו

[314] MS L שט

[315] 287r

[316] MS L שי

[317] 287v

[318] MS L שיא

[319] MS L שיב

[320] MS L שיג

[321] 288r

[322] MS L שיד

[323] 288v

[324] 289r

[325] MS L שיו

[326] MS L שיז

[327] MS L שיח

[328] 289v

[329] MS L שיט

[330] 290r

[331] MS L שכ

[332] 290v

[333] 291r

[334] 291v

[335] 292r

[336] 292v

[337] 293r

[338] 293v

[339] 294r

[340] 294v

[341] MS L שסח

[342] MS L שסט

[343] MS L: שפד

[344] 295r

[345] 295v

[346] 296r

[347] 296v

[348] MS L: שצ

[349] 108v

[350] 109r

[351] 109v

[352] 110r

[353] 110v

[354] 111r

[355] 111v

[356] 112r

[357] 112v

[358] 113r

[359] 113v

[360] 114r

[361] 114v

[362] 115r

[363] 115v

[364] 116r

[1]

[note 1]

[note 2]

[note 3]

[note 4]

[note 5]

[2]

[note 6]

[note 7]

[3]

[note 8]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]

[10]

[11]

[12]

[13]

[14]

[15]

[16]

[17]

[18]

[19]

[20]

[21]

[22]

[23]

[24]

[25]

[26]

[27]

[28]

[29]

[30]

[31]

[32]

[33]

[34]

[35]

[36]

[37]

[38]

[39]

[40]

[41]

[42]

[43]

[44]

[45]

[46]

[47]

[48]

[49]

[50]

[51]

[52]

[53]

[54]

[55]

[56]

[57]

[58]

[59]

[60]

[61]

[62]

[63]

[64]

[65]

[66]

[67]

[68]

[69]

[70]

[71]

[72]

[73]

[74]

[75]

[76]

[77]

[78]

[79]

[80]

[81]

[82]

[83]

[84]

[85]

[86]

[87]

[88]

[89]

[90]

[91]

[92]

@@ Line 5: / Line 5: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עמי עשו ספר
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>191r</ref>עמי עשו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בשם האל עלי כל חטא מכפר וגם ממציא כופר לכל עונות דיני ממונות
+|style="text-align:right;"|<big>ספר דיני ממונות</big>
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|בשם האל עלי כל חטא מכפר וגם ממציא כופר לכל עונות
 |-
 |
@@ Line 23: / Line 26: @@
 |
 |-
-|
+|Since the divine intention and the will of God is to justify us with His holy Torah, given to us as a possession by Moses, the trusted of His house, to whom He spoke ''mouth to mouth, in a vision and not in riddles'' [Numbers 12, 8] and whom He singled out from all the prophets, as the sages said: ''All the prophets looked through a mirror that does not shine brightly, but Moses our master looked through a brightly shining mirror'' [Talmud, Yevamot 49b].
-|style="text-align:right;"|מאחר שהיתה הכוונה הרביעית וחפץ השם להצדיקנו בתורתו הקדושה הנתונה לנו למורשה על יד משה נאמן ביתו מבחר המין האנושי פה אל פה דבר עמו במראה ולא בחידות והבדילו משאר הנביאי באמרם ז"ל כל הנביאים הסתכלו באספקלריאה שאינה מאירה ומרע"ה הסתכל באספקלריאה המאירה והמצוחצחת
+|style="width:45%; text-align:right;"|<big>מאחר</big> שהיתה הכוונה הרבונית וחפץ השם להצדיקנו בתורתו הקדושה הנתונה לנו למורשה על יד משה נאמן ביתו מבחר המין האנושי ''פה אל פה דבר עמו במראה ולא בחידות''&#x202B;<ref group=note>במדבר יב, ח</ref> והבדילו משאר הנביאי כאמרם ז"ל ''כל הנביאים הסתכלו באספקלריאה שאינה מאירה ומרע"ה הסתכל באספקלריאה המאירה''&#x202B;<ref group=note>תלמוד, יבמות מ"ט ב:י</ref> והמצוחצחת
 |-
-|
+|This is from God's love for His people, because God does not do anything except for the sake of Israel, as Rashi wrote in his commentary of the Torah that as long as Israel were in the desert, condemned by God, blessed be He, Moses was like one of them, and He did not speak to him with bright countenance.
-|style="text-align:right;"|וזה מאהבת יי' עמו כי לא יעשה יי' דבר כי אם בשביל ישראל כמו שכתב רש"י בפי' התורה כי כל עוד שהיו ישראל במדבר נזופים מהש"י משה היה כאחד מהם ולא דבר לו בפנים מאירים
+|style="text-align:right;"|וזה מאהבת יי' עמו כי לא יעשה יי' דבר כי אם בשביל ישראל כמו שכתב רש"י בפי' התורה&#x202B;<ref group=note>דברים ב, טז</ref> כי כל עוד שהיו ישראל במדבר נזופים מהש"י משה היה כאחד מהם ולא דבר לו בפנים מאירים
 |-
-|
+|In giving His Torah to His people of Israel, God aimed at two reasons, in which all the affairs of this world and the next are included
-|style="text-align:right;"|והנה השם כיון בנתינת תורתו לעמו ישראל לשתי סבות אשר בם נכללו כל עניני העולם הזה והבא
+|style="text-align:right;"|<big>והנה</big> השם כיון בנתינת תורתו לעמו ישראל לשתי סבות אשר בם נכללו כל עניני העולם הזה והבא
 |-
-|
+|The first reason is to endow us the life of this world to live in health.
-|style="text-align:right;"|הסבה הראשנה היא להנחילנו חיי העולם הזה להחיות בבריאות
+|style="text-align:right;"|<big>הסבה</big> הראשנה היא להנחילנו חיי העולם הזה להחיות בבריאות
 |-
-|
+|As there are many commandments about this in the Holy Torah, such as the forbidden foods, by which the intention is that we should not eat anything that causes mold or sorrow, and the like, or strange diseases.
 |style="text-align:right;"|כמו שבאו הרבה מצוות על זה בתורה הקדושה כגון המאכלות אסורות אשר הכוונה היא שלא נאכל שום דבר מוליד עפוש או יגון וכיוצא בהם או חליים משונים
 |-
-|
+|As the cabbalist sage R. Menahem from Recanati [1310-1250] wrote and said that the one who eats abominations and creeping creatures and species of sick torn-to-pieces animals causes himself strange diseases and transgresses [the commandment] ''sanctify yourselves and you shall become holy'' [Leviticus 11, 44]. Furthermore, he causes himself beastliness, rudeness of the brain and the confusion of good thought and shall not ''see the beauty of the God'' [Psalms 27,4] in the abode of the righteous with his companions.
-|style="text-align:right;"|כמו שכתב החכם המקובל ר' מנחם מרקאנאטי (1310-1250) כי אמר כי האוכל שקצים ורמשים ומיני בהמות חולניות וטרפות גורם לו חליים משונים ועובר על והתקדשתם והייתם קדושים מצורף אל זה גורם לעצמו הבהמיות וגסות המוח ובלבול המחשבה הש"י הטובה לבל יראה כעור בנועם יי' במעון הצדיקים עב"ל
+|style="text-align:right;"|כמו שכתב החכם המקובל ר' מנחם מרקאנאטי כי אמר כי האוכל שקצים ורמשים ומיני בהמות חולניות וטרפות גורם לו חליים משונים ועובר על ''והתקדשתם והייתם קדושים''&#x202B;<ref group=note>ויקרא יא, מד</ref> מצורף אל זה גורם לעצמו הבהמיות וגסות המוח ובלבול המחשבה <s>השו</s> הטובה לבל יראה <s>בעו</s> ''בנועם יי'''&#x202B;<ref group=note>תהילים כז, ד</ref> במעון הצדיקים עב"ל
 |-
-|Furthermore many commandments occur in the Torah, by which we direct ourselves toward the political and subtle [commandments] concerning matters of acquiring assets, such as the laws in Portion Mishpaṭim [Exodus 21:1-24:18] which constitute the principle and the foundation of the whole Torah.
+|Moreover, many commandments occur in the Torah, by which we direct ourselves toward the political and subtle [commandments] concerning matters of acquiring assets, such as the laws in Portion Mishpaṭim [Exodus 21:1-24:18], which constitute the principle and the foundation of the whole Torah.
-|style="text-align:right;"|ועוד באו מצוות רבות בתורה אשר באמצעותם ניישיר עצמינו אל המדיניות והדקות בענין השגת הממונות כגון הדינין שבפרשת משפטים אשר הם שרש ויסוד כל התורה בכללה
+|style="text-align:right;"|ועוד באו מצוות רבות &#x202B;<ref>191v</ref>בתורה אשר באמצעותם ניישיר עצמינו אל המדיניות והדקות בענין השגת הממונות כגון הדינין שבפרשת משפטים אשר הם שרש ויסוד כל התורה בכללה
 |-
 |It is known to those who have eyes to see, and ears to hear, and a heart to know [Deuteronomy 29, 3], that man has no ability to make a true judgment and to pronounce truth, unless he is skilled in arithmetic.
@@ Line 48: / Line 51: @@
 |-
 |For instance, Reuven owes Shimon 5 ma‘ot, and he comes before the judge for verdict, if the judge would not know what is a ma‘ah is and how many peshuṭim or peruṭot it is, he would not be able to rule the verdict and verify it completely.
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמר ראובן חייב לתת לשמעון ה' מעות ויבא אצל הדיין לדין הנה אם הדיין לא ידע מהו המעה וכמה פשוטים הם או כמה פרוטות לא יוכל להחליט הדין ולאמתו לגמרי
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמר ראובן חייב לתת לשמעון ה' מעות ויבא אצל הדיין לדין הנה אם הדיין לא ידע מהו המעה וכמה פשוטים הם או כמה {{#annot:pruṭah|2643|rAN8}}פרוטות{{#annotend:rAN8}} לא יוכל להחליט הדין ולאמתו לגמרי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כמו שביאר ג"כ בפרשת משפטים בענין שור נגח אמר הכתו' ומכרו את השור החי וחצו את כספו וכו'
+|style="text-align:right;"|כמו שביאר ג"כ בפרשת משפטים בענין שור נגח אמר הכתו' ומכרו את השור החי וחצו את כספו וכו&#x202B;'
 |-
 |If the judge does not learn the method of division, how will he be able to divide the ma‘ot between these two rivals?
 |style="text-align:right;"|ואם לא ילמד הדיין אופן החלוק איך יוכל לחלק המעות בין שני אלו המריבים
 |-
-|
+|Also in Bechukotai portion regarding the sale of the lands it is said: ''He shall reckon with his buyer'' [Leviticus 25, 50] ''and return the surplus to the man to whom he sold it'' [Leviticus 25, 27]
-|style="text-align:right;"|וגם בפרשת בחקותי בענין מכירת ה' הקרקעות אמר וחשב עם קונהו והשיב את העודף לאיש אשר מכר לו
+|style="text-align:right;"|וגם בפרשת בחקותי בענין מכירת הקרקעות אמר ''וחשב עם קונהו''&#x202B;<ref group=note>ויקרא כה, נ</ref> ''והשיב את העודף לאיש אשר מכר לו''&#x202B;<ref group=note>ויקרא כה, כז</ref>
 |-
 |If the judge does not know to divide fairly and correctly as his duty imposed upon him, he will be found breaking the law Thou shalt not wrest the judgment [Exodus 23, 6].
@@ Line 69: / Line 72: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן ראוי לאדם שינהיג עצמו באופן ישיג תפישתו דרך כבוד ואל יחסר פת בצלו ואולם הסבה מהשגת המנוחה והחיים הנצחיים בעת יפרדו איש מעל אחיו ר"ל הנפש מהגוף זה מבואר בכמה מקומות בתורה אמר על כבוד אב ואם למען ייטב לך והארכת ימים וארז"ל למען יטב לך לעולם שכלו טוב והארכת ימים לעולם שכלו ארוך
+|style="text-align:right;"|ולכן ראוי לאדם שינהיג עצמו באופן ישיג תפישתו דרך כבוד ואל יחסר פת בצלו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וגם תמצא לשון זה בגמרא אמר הכתוב בשלוח האם שלח תשלח את האם ואחר אמר למען יטב לך והארכת ימים שזה רומז אל העולם המקווה שהוא כלו ארוך כי שכר מצוות בהאי עלמא ליבא כמו שהוכיחו ז"ל בכח מרוב פלפולם וחכמתם כי לא נעלם מהם שום דבר כמו שארז"ל במסכת כתובות ר' עקיבא אומר שכר מצוות בהאי עלמא ליבא כי הנה מצינו אריכות ימים על כבוד אב ואם ועל שלוח האם הרי שאמר אדם לבנו עלי לבירה והבא לי גוזלות והאם רובצת על הבנים וזה עלה לעשות מצוות אביו ושלח האם מעל הבנים ולקח הבנים ובעודו יורד נשבר הסולם ונפל ומת היכן טובתו של זה היכן אריכות ימים של זה אלא למען יטב לך לעולם שכלו טוב ולמען יאריכון ימים לעולם שכלו ארוך
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הסבה מהשגת המנוחה והחיים הנצחיים בעת יפרדו איש מעל אחיו ר"ל הנפש מהגוף זה מבואר בכמה מקומות בתורה אמר על כבוד אב ואם למען ייטב לך והארכת ימים וארז"ל למען יטב לך לעולם שכלו טוב והארכת ימים לעולם שכלו ארוך
+|-
+|R. [Ya’ako] says: ''there is no reward [for performance] of commandments in this world'' [Chullin 142a], because we find the length of days for ''honoring one's father and mother'' [Mishnah Peah 1] and for sending away the mother, as a man said to his son: "Go up to the attic and bring me chicks!" and he went up to fulfill his father's commandment and sent the mother away from the children and took the children and while he was going down, the ladder broke and he fell and died. Where is the goodness of this one? Where is the length of days of this one? Rather, “that it may be well with you” means in the world where all is good; and “that your days may be long” means in the world that is entirely long [Chullin 142a].
+|style="text-align:right;"|וגם תמצא לשון זה בגמרא אמר הכתוב בשלוח האם שלח תשלח את האם ואחר אמר למען יטב לך והארכת ימים שזה רומז אל העולם המקווה שהוא כלו ארוך כי שכר מצוות בהאי עלמא ליכא כמו שהוכיחו ז"ל בכח מרוב פלפולם וחכמתם כי לא נעלם מהם שום דבר כמו שארז"ל במסכת כתובות &#x202B;<ref>192r</ref>ר' עקיבא אומר ''שכר מצוות בהאי עלמא ליכא'' כי הנה מצינו אריכות ימים על כבוד אב ואם ועל שלוח האם הרי שאמר אדם לבנו ''עלי לבירה והבא לי גוזלות'' והאם רובצת על הבנים וזה עלה לעשות מצוות אביו ושלח האם מעל הבנים ולקח הבנים ובעודו יורד נשבר הסולם ונפל ומת היכן טובתו של זה היכן אריכות ימים של זה אלא ''למען יטב לך'' לעולם שכלו טוב ''ולמען יאריכון ימים'' לעולם שכלו ארוך&#x202B;<ref group=note>חולין קמב, א</ref>
 |-
 |However the first reason forced me to write a short treatise, in which to include all the matters of number in brief.
-|style="text-align:right;"|ואולם הסבה הראשנה בכריחתני לחבר חבור קטן אכלול בו כל עניני המספר בקצור דברים
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> הסבה הראשנה בכריחתני לחבר חבור קטן אכלול בו כל עניני המספר בקצור דברים
 |-
 |I did that in order to fulfill the commandments of my friends who begged me and asked me to compose for them something on arithmetic.
@@ Line 87: / Line 93: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וקודם כל דבר אשאל עזר מאלהי ישעי יהיה עם פי בעת הטיפי
+|style="text-align:right;"|<big>וקודם</big> כל דבר אשאל עזר מאלהי ישעי יהיה עם פי בעת הטיפי
 |-
 |
@@ Line 96: / Line 102: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה שקטה הסכמתי לחלק זה החבור לי"ב שערים
+|style="text-align:right;"|<big>והנה</big> שקטה הסכמתי לחלק זה החבור לי"ב שערים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הא' ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצת גם נדבר בו מחבור המספרים המטבעים המתחלפים
+|style="text-align:right;"|<big>השער</big> הא' ידבר על חבור השלמים קצתם עם קצת גם נדבר בו מחבור המספרים המטבעים המתחלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הב' ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם נדבר על מגרעת הממון גם נדבר על מאזני הדינרין כי דרך אחד להם וכן ג"כ בשער החבור
+|style="text-align:right;"|<big>השער הב'</big> ידבר על מגרעת השלמים קצתם מקצתם גם נדבר על מגרעת הממון גם נדבר על מאזני הדינרין כי דרך אחד להם וכן ג"כ בשער החבור
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הג' ידבר על הכפל בכל האופנים אשר אפשר להמצא גם על מאזני הדינרין
+|style="text-align:right;"|<big>השער הג'</big> ידבר על הכפל בכל האופנים אשר אפשר להמצא גם על מאזני הדינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הד' ידבר על השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום גם על מאזניהם
+|style="text-align:right;"|<big>השער הד'</big> ידבר על &#x202B;<ref>192v</ref>השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום גם על מאזניהם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו גם שלמים עם שברים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הה'</big> ידבר על חבור השברים מין עם מינו גם שלמים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הו' ידבר על מגרעת השברים זה מזה גם על מגרעת שלמים עם שברים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הו'</big> ידבר על מגרעת השברים זה מזה גם על מגרעת שלמים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הז' ידבר על כפל השברים זה על זה גם על כפל שברים עם שלמים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הז'</big> ידבר על כפל השברים זה על זה גם על כפל שברים עם שלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הח' ידבר על חלוק השברי' זה על זה גם על חלוק שלמים עם שברים גם על חלוק שברים עם שלמים עם שברים ושלמים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הח'</big> ידבר על חלוק השברי' זה על זה גם על חלוק שלמים עם שברים גם על חלוק שברים עם שלמים עם שברים ושלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הט' ידבר על ענין הערכין והסחורות
+|style="text-align:right;"|<big>השער הט'</big> ידבר על ענין הערכין והסחורות
 |-
 |
@@ Line 129: / Line 135: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הא' ידבר על ערך שלמים עם שלמי'
+|style="text-align:right;"|<big>החלק הא'</big> ידבר על ערך שלמים עם שלמי&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והחלק הב' הוא ערכי השברים עם שברים
+|style="text-align:right;"|<big>והחלק הב'</big> הוא ערכי השברים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והחלק הג' ערכי שלמים עם שברים
+|style="text-align:right;"|<big>והחלק הג'</big> ערכי שלמים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הי' ידבר על הוצאת השרשים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הי'</big> ידבר על הוצאת השרשים
 |-
 |
@@ Line 144: / Line 150: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הא' הוצאת שרש השלמים
+|style="text-align:right;"|<big>החלק הא'</big> הוצאת שרש השלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והחלק הב' הוצאת שרש השברים
+|style="text-align:right;"|<big>והחלק הב'</big> הוצאת שרש השברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והחלק הג' הוצאת שרש שלמי' ושברים
+|style="text-align:right;"|<big>והחלק הג'</big> הוצאת שרש שלמי' ושברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הי"א ידבר על המאזנים הן מן הכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות בין בשברים בין בשלמים בין בשברים עם שלמים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הי"א</big> ידבר על המאזנים הן מן הכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות בין בשברים בין בשלמים בין בשברים עם שלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|השער הי"ב נחבר בו שאלות אשר קצתם תלויות בערכין ומקצתן בשרשים הן בכפל ומהם בחלוק ומהם מורכבות מכפל וחלוק או מערכין ושרשים
+|style="text-align:right;"|<big>השער הי"ב</big> נחבר בו שאלות אשר קצתם תלויות בערכין ומקצתן בשרשים הן בכפל ומהם בחלוק ומהם מורכבות מכפל וחלוק או מערכין ושרשים
 |-
 |
@@ Line 162: / Line 168: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויהיה קל למבין וישר למוצאי דעת וצדיקים ילכו בו וזה החלי לעשות ומי שזכני להתחיל הוא יזכני להשלים אמן ואמן
+|style="text-align:right;"|ויהיה קל למבין וישר &#x202B;<ref>193r</ref>למוצאי דעת וצדיקים ילכו בו וזה החלי לעשות ומי שזכני להתחיל הוא יזכני להשלים אמן ואמן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אנא אלי שמרני משגיאות כי אתה נקרא מיישיר כל עקוב
+|style="text-align:right;"|<big>אנא</big> אלי שמרני משגיאות כי אתה נקרא מיישיר כל עקוב
 |-
 |
@@ Line 196: / Line 202: @@
 |
-== Chapter One: Addition ==
+== The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method ==
-!style="text-align:right;"|השער הראשון ידבר על {{#annot:term|154,1208|PQOr}}חבור{{#annotend:PQOr}} השלמים קצתם עם קצתם גם על חבור המטבעי' ועל מאזני הדינרין כי דרך אחרת להם
+|style="width:45%; text-align:right;"|<big>השער הראשון</big> ידבר על {{#annot:term|154,1208|PQOr}}חבור{{#annotend:PQOr}} השלמים קצתם עם קצתם גם על חבור המטבעי' ועל מאזני הדינרין כי דרך אחרת להם
 |-
 |
 *{{#annot:223+342+422|154|1c0M}}If a person says: sum three numbers, the first is 223, the second 342 and the third 422.
 :<math>\scriptstyle223+342+422</math>
-|style="text-align:right;"|אם יאמר לך אדם קבץ לי שלשה מספרים אשר הא' הוא רכ"ג והשני שמ"ב והשלישי תכ"ב{{#annotend:1c0M}}
+|style="text-align:right;"|<big>אם</big> יאמר לך אדם קבץ לי שלשה מספרים אשר הא' הוא רכ"ג והשני שמ"ב והשלישי תכ"ב{{#annotend:1c0M}}
 |-
 |
+:First, the units should be summed with the units; they are 3, 2, 3; the result is 7. Write it beneath.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+2+2=7}}</math>
 |style="text-align:right;"|ראוי לקבץ תחלה האחדים עם האחדים והם גב"ב ויעלו ז' ושים אותם למטה
 |-
 |
+:Then, we sum the tens, which are 2, 4, 2; it is 8. We write it in the rank of tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+4+2=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ {{#annot:term|178,1210|ZDXA}}נקבץ{{#annotend:ZDXA}} העשרות שהם בד"ב ויהיו ח' ונשימם במדרגת העשרות
 |-
 |
+:Then, we add up the hundreds, which are 4, 3, 2; it is 9. We write it in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+3+2=9}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ {{#annot:term|178,1165|aITu}}נחבר{{#annotend:aITu}} המאיות שהם דג"ב ויהיו ט' ונשימם במקום המאות
 |-
 |
+:Hence, the result is 987. Write it as this diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ יעלה ט' מאות ופ"ז ותרשמם כמו זאת הצורה
 |-
@@ Line 235: / Line 248: @@
 |}
 |-
-|
+|If you are told: sum three numbers, all three have a zero in the rank of tens.
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך קבץ לי ג' {{#annot:term|35,1174|5p60}}מספרים{{#annotend:5p60}} אשר יהיה ציפרא בכל שלשתם במדרגת העשרות
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> יאמר לך קבץ לי ג' {{#annot:term|35,1174|5p60}}מספרים{{#annotend:5p60}} אשר יהיה ציפרא בכל שלשתם במדרגת העשרות
 |-
 |
@@ Line 244: / Line 257: @@
 |-
 |
+:First, we add up the units, which are 9, 2, 3; they are 14. Write 4 in the place of the units and keep 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3=14}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה נחבר תחלה האחדים שהם טב"ג ויהיו י"ד ושים ד' במקום האחדים ותחזיק א' עמך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אחר כך תחבר כל העשרות ולא תמצא שם כי אם {{#annot:term|205,1813|bGEQ}}ציפרא{{#annotend:bGEQ}} ולכן נשים הא' שעלה לנו מן האחדים
+:Then, add up all the tens. You find only zeros there. So, we write the 1 we got from the units.
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>193v</ref>אחר כך תחבר כל העשרות ולא תמצא שם כי אם {{#annot:term|205,1813|bGEQ}}ציפרא{{#annotend:bGEQ}} ולכן נשים הא' שעלה לנו מן האחדים
 |-
 |
+:We add up the hundreds, which are 14. We write 4 in the place of the hundreds and 1 in the fourth rank, which is the thousands.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3=14}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ נחבר המאות שהם י"ד ונשים ד' במקום המאיות וא' ב{{#annot:term|203,1344|L5l8}}מדרגה{{#annotend:L5l8}} רביעית שהם אלפים
 |-
 |
+:The result is 1414, as this diagram:
 |style="text-align:right;"|ויהיה העולה אלף וד' מאות וי"ד כמו זאת הצורה
 |-
@@ Line 274: / Line 293: @@
 |-
 |
-*{{#annot:200+240+403|154|Kmhn}}If you wish to sum numbers: in the first of which there are zeros in the units and the tens and 2 in the hundreds; in the second there is a zero in the units, 4 in the tens and 2 in the hundreds; in the third there is 3 in the units, zero in the tens and 4 in the hundreds.
+*{{#annot:200+240+403|154|Kmhn}}If you wish to add up numbers: the first of which has zeros in the units and the tens and 2 in the hundreds; the second has a zero in the units, 4 in the tens and 2 in the hundreds; the third has 3 in the units, zero in the tens and 4 in the hundreds.
 :<math>\scriptstyle200+240+403</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר שום מספר אשר בראשון יהיה ציפרא באחדים ובעשרות וב' במאיות ובמספר השני יהיה ציפרא באחדים ובעשרות ד' ובמאיות ב' ובמספר השני יהיה ג' באחדים וציפרא בעשרות וד' במאיות{{#annotend:Kmhn}}
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לחבר שום מספר אשר בראשון יהיה ציפרא באחדים ובעשרות וב' במאיות ובמספר השני יהיה ציפרא באחדים ובעשרות ד' ובמאיות ב' ובמספר השני יהיה ג' באחדים וציפרא בעשרות וד' במאיות{{#annotend:Kmhn}}
+|-
+|
+:Do as follows:
+|style="text-align:right;"|ככה תעשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ככה תעשה תתחיל מהאחדים ותמצא בם ג' ושימם במקום האחדים
+:Start from the units. You find 3 there. Write it in the place of the units.
+|style="text-align:right;"|תתחיל מהאחדים ותמצא בם ג' ושימם במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר העשרות שהם ד' ושימם במקום העשרו'
+:Then, add up the tens, which are 4. Write it in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר העשרות שהם ד' ושימם במקום העשרו&#x202B;'
 |-
 |
+:Add up the hundreds, which are 2, 2, 4; the result is 8. Write it in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2+4=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ חבר המאיות שהם בב"ד ויעלו ח' ושימם במקום המאיות
 |-
 |
+:Therefore, the result is 843, as this diagram:
 |style="text-align:right;"|ויהיה א"כ העולה ח' מאות ומ"ג כמו זאת הצורה
 |-
@@ Line 309: / Line 337: @@
 |-
 |
-*{{#annot:4204+212+12+30|154|06Fy}}If you wish to sum 4 numbers: in the first of which there are 4 thousands, 2 hundreds and 4; in the second there are 2 hundreds and 12; in the third there is 12; and in the fourth 30.
+*{{#annot:4204+212+12+30|154|06Fy}}If you wish to add up four numbers: the first of which has 4 thousands, 2 hundreds and 4; the second has 2 hundreds and 12; the third has 12; and the fourth has 30.
 :<math>\scriptstyle4204+212+12+30</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ד' מספרים אשר בראשון יש בו ד' אלפים וב' מאות וד' ובשני יש ב' מאות וי"ב ובשלישי יש י"ב וברביעי ל'{{#annotend:06Fy}}
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לחבר ד' מספרים אשר בראשון יש בו ד' אלפים וב' מאות וד' ובשני יש ב' מאות וי"ב ובשלישי יש י"ב וברביעי ל&#x202B;'{{#annotend:06Fy}}
 |-
 |
+:The units, which are 2, 2, 4, should be summed; they are 8. Write 8 in the place of the units.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2+4=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|הנה ראוי לקבץ האחדים שהם בב"ד והם ח' ושים ח' במקום האחדים
 |-
 |
+:Then, add up the tens, which are 3, 1, 1; they are 5. Write it in the rank of tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+1+1=5}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ תחבר העשרות שהם גא"א ויהיו ה' ותשימם במדרגת העשרות
 |-
 |
+:Add up the hundreds, which are 2, 2; they are 4. Write it in the rank of hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ חבר המאיות שהם ב"ב ויהיו ד' ושימם במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ קבץ האלפים שהם ד'
+:Sum the thousands; they are 4.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קבץ האלפים שהם ד&#x202B;'
 |-
 |
+:The result is 4458, as this diagram:
 |style="text-align:right;"|ויהיה היוצא ד' אלפים וד' מאות ונ"ח כמו זאת הצורה
 |-
@@ Line 349: / Line 385: @@
 |-
 |
-=== Addition of Coins ===
+=== <span style=color:Green>Addition of Coins</span> ===
 |
+|-
+|If you wish to sum any number that includes different numbers such as minyanim, carlini, gerot, dinar:
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לקבץ איזה חשבון יהיה בו מספרים מתחלפים כאלו &#x202B;<ref>194r</ref>{{#annot:minyan|2643|E36S}}מנינים{{#annotend:E36S}} ו{{#annot:carlino|2643|rtjc}}קרליני{{#annotend:rtjc}} ו{{#annot:gerah|2643|BBKu}}גרות{{#annotend:BBKu}} ו{{#annot:dinar|2643|4GmU}}דינרין{{#annotend:4GmU}}
+|-
+|First you should sum the dinar, then the gerot, then the carlini, or tari, and then the minyanim.
+|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ תחלה הדינרין אח"כ הגרות ואחר כך הקרליני או ה{{#annot:tari|2643|H7Eg}}טאריני{{#annotend:H7Eg}} ואח"כ המנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לקבץ איזה חשבון יהיה בו מספרים מתחלפים כאלו {{#annot:ducat|2643|E36S}}מנינים{{#annotend:E36S}} ו{{#annot:carlino|2643|rtjc}}קרליני{{#annotend:rtjc}} ו{{#annot:grano|2643|BBKu}}גרות{{#annotend:BBKu}} ו{{#annot:dinar|2643|4GmU}}דינרין{{#annotend:4GmU}}
+*Example: we wish to sum four numbers, each of which includes four different [kind of] coins:
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לקבץ ד' מספרים כל אחד ואחד מד' מטבעי' מתחלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ תחלה הדינרין אח"כ הגרות ואחר כך הקרליניאו ה{{#annot:tari|2643|H7Eg}}טאריני{{#annotend:H7Eg}} ואח"כ המנינים
+:In the first number there are 2 minyanim, 3 carlini, 4 gerot, and 2 dinar.
+|style="text-align:right;"|במספר הראשון יש בו ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וב' דינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לקבץ ד' מספרים כל אחד ואחד מד' מטבעי' מתחלפים במספר הראשון יש בו ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וב' דינרין ובמספר השני יש בו ה' מנינים וג' קרליני וב' גרות וא' דינר ובמספר השלישי ד' מנינים וב' קרליני וא {{#annot:grano|2643|6pnW}}גרה{{#annotend:6pnW}} וג' דינרין ובמספר הרביעי יש ה מנינים וט' קרליני וז' גרות וב' דינרין
+:In the second number there are 5 minyanim, 3 carlini, 2 gerot, and 1 dinar.
+|style="text-align:right;"|ובמספר השני יש בו ה' מנינים וג' קרליני וב' גרות וא' דינר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נתחיל לקבץ הגרות (הדינרין) שהם ב' ג' א' ב' ויהיו ח' ודע כי הו' דינרין שוים גרה אחת ולכן נעשה מו' מהם גרה וישארו ב' ושים ב' במקום הדינרין אח"כ נחבר הגרות שהם ז' א' ב' ד' והם י"ד ועם הא' שיש לנו יהיו ט"ו ודע כי העשרה גרות שוות קרליני אחד וישארו עדין ה' גרות ושים ה' במקום הגרות אח"כ חבר הקרליני שהם טבג"ג ויעלו י"ז ועם האחד שיש לנו יהיו י"ח ודע כי הי' קרליני הם {{#annot:ducat|2643|5WIe}}דוקאטו{{#annotend:5WIe}} אחד ולכן נשים ח' קרליני ונעכב עמנו העשרה שהם מגן אחד כן נחבר המנינים שהם הדה"ב שהם י"ו ונחבר עמם א' ויהיו י"ז הנה א"כ היוצא הוא יז מנינים וח' קרליני וה' גרות וב' דינרין כמו זאת הצורה
+:In the third number there are 4 minyanim, 2 carlini, 1 gerah, and 3 dinar.
+|style="text-align:right;"|ובמספר השלישי ד' מנינים וב' קרליני וא' {{#annot:gerah|2643|6pnW}}גרה{{#annotend:6pnW}} וג' דינרין
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:In the fourth number there are 5 minyanim, 9 carlini, 7 gerot, and 2 dinar.
+|style="text-align:right;"|ובמספר הרביעי יש ה' מנינים וט' קרליני וז' גרות וב' דינרין
 |-
-|ducati||carlini||grani||dinar
+|
+::We start to sum the [dinar], which are 2, 3, 1, 2; they are 8.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+3+1+2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|נתחיל לקבץ הגרות שהם ב' ג' א' ב' ויהיו ח&#x202B;'
+|-
+|
+::Know that 6 dinar are worth one gerah.
+|style="text-align:right;"|ודע כי הו' דינרין שוים גרה אחת
+|-
+|
+::So, we convert the 6 into a gerah; 2 remain. Write 2 in the place of the dinar.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן נעשה מו' מהם גרה וישארו ב' ושים ב' במקום הדינרין
+|-
+|
+::Then, we add up the gerot, which are 7, 1, 2, 4; they are 14; plus the 1 we have, they are 15.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7+1+2+4+1=14+1=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נחבר הגרות שהם ז' א' ב' ד' והם י"ד ועם הא' שיש לנו יהיו ט"ו
+|-
+|
+::Know that ten gerot are worth one carlino.
+|style="text-align:right;"|ודע כי העשרה גרות שוות קרליני אחד
+|-
+|
+::5 gerot still remain. Write 5 in the place of the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15-10=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וישארו עדין ה' גרות ושים ה' במקום הגרות
+|-
+|
+::Then, add up the carlini, which are 9, 2, 3, 3; they are 17; plus the one we have, they are 18.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+2+3+3+1=17+1=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הקרליני שהם טבג"ג ויעלו י"ז ועם האחד שיש לנו יהיו י"ח
+|-
+|
+::Know that 10 carlini are worth one ducato.
+|style="text-align:right;"|ודע כי הי' קרליני הם {{#annot:ducat|2643|5WIe}}דוקאטו{{#annotend:5WIe}} אחד
+|-
+|
+::So, we write 8 carlini and keep the ten, which is one magen.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18-10=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן נשים ח' קרליני ונעכב עמנו העשרה שהם {{#annot:magen|2643|mnGB}}מגן{{#annotend:mnGB}} אחד
+|-
+|
+::We add up the minyanim, which are 5, 4, 5, 2; they are 16. We add 1 to them; they are 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+4+5+2+1=16+1=17}}</math>
+|style="text-align:right;"|כן נחבר המנינים שהם הדה"ב שהם י"ו ונחבר עמם א' ויהיו י"ז
+|-
+|
+::Therefore, the result is 17 minyanim, 8 carlini, 5 gerot, and 2 dinar, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא י"ז מנינים וח' קרליני וה' גרות וב' דינרין כמו זאת הצורה
+|-
+|
+::{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+|-
+|minyanim||carlini||gerot||dinar
 |-
 |
@@ Line 456: / Line 557: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו {{#annot:term|1560,1265|KfA4}}השלך כל התשיעיות{{#annotend:KfA4}} מכל אלו הד' מספרים וישאר אחד אח"כ השלך כל הט' מהמספר היוצא ותקח בעד כל גרה שעשית מהדינרין ה' ותחבר אותם עם המספר ר"ל עם הסך העולה וישאר ג"כ אחד כמו זאת הצורה
+:<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it, cast out all the nines from these four numbers; 1 remains.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לבחון אותו {{#annot:term|1560,1265|KfA4}}השלך כל התשיעיות{{#annotend:KfA4}} מכל אלו הד' מספרים וישאר אחד
+|-
+|
+:Then, cast out all the nines from the resulting number.
+|style="text-align:right;"|אח"כ השלך כל הט' מהמספר היוצא
+|-
+|
+:Take 5 for every gerah into which you have converted the dinar and add it to the number, i.e. the resulting amount; the remainder is one also, as this diagram.
+|style="text-align:right;"|ותקח בעד כל גרה שעשית מהדינרין ה' ותחבר אותם עם המספר ר"ל עם הסך העולה וישאר ג"כ אחד כמו זאת הצורה
+|-
+|
+*If you wish to sum three numbers:
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לחבר ג' מספרים
+|-
+|
+:In the first number there are 2 minyanim, 3 carlini, 4 gerot, and 4 dinar.
+|style="text-align:right;"|בראשון ב' מנינים &#x202B;<ref>194v</ref>וג' קרליני וד' גרות וד' דינרין
+|-
+|
+:In the second [number] there are 1 magen, 2 carlini, 3 gerot, and 4 dinar.
+|style="text-align:right;"|ובשני יש בו א' מגן וב' קרליני וג' גרות וד' דינרין
+|-
+|
+:In the third number there are 1 magen, 5 carlini, 3 gerot, and 5 dinar.
+|style="text-align:right;"|ובמספר השלישי יש א' מגן וה' קרליני וג' גרות וה' דינרין
+|-
+|
+::First, sum the dinar, which are 5, 4, 4; they are 13.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+4+4=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר ראשנה הדינרין שהם הד"ד ויהיו י"ג
+|-
+|
+::We convert them into 4 gerot; 1 dinar remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13-12=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה מהם ד' גרות נשאר א' דינר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ג' מספרים בראשון ב' מנינים וג' קרליני וד' גרות וד' דינרין ובשני יש בו א מגן וב' קרליני וג' גרות וד' דינרין ובמספר השלישי יש א מגן וה' קרליני וג' גרות וה דינרין
+::Then, sum the gerot, which are 3, 3, 4; they are 10. Add 2 to them; they are 12. Write 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+3+4+2=10+2=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הגרות שהם גג"ד ויהיו י' תחבר עמהם ב' ויהיו י"ב ושים ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר ראשנה הדינרין שהם הד"ד ויהיו י"ג נעשה מהם ד' גרות נשאר א דינר אח"כ חבר הגרות שהם גג"ד ויהיו י' תחבר עמהם ב' ויהיו י"ב ושים ב' אח"כ חבר הקרליני שהם הב"ג ויהיו י' ושים עמהם א ויהיו י"א אח"כ חבר המנינים שהם אא"ב והם ד' נשים עמהם הד' (הא') ויהיו ה' הנה א"כ סך העולה הוא ה' מנינים וא' קרליני וב' גרות וא דינר כמו זאת הצורה
+::Then, sum the carlini, which are 5, 2, 3; they are 10. Add 1 to them; they are 11.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+2+3+1=10+1=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הקרליני שהם הב"ג ויהיו י' ושים עמהם א' ויהיו י"א
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+::Then, sum the minyanim, which are 1, 1, 2; they are 4. We add [1] to them; they are 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+2+1=4+1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר המנינים שהם אא"ב והם ד' נשים עמהם הד' ויהיו ה&#x202B;'
 |-
-|ducati||carlini||grani||dinar
+|
+::Hence, the total sum is 5 minyanim, 1 carlino, 2 gerot, and 1 dinar, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ סך העולה הוא ה' מנינים וא' קרליני וב' גרות וא' דינר כמו זאת הצורה
+|-
+|
+::{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+|-
+|minyanim||carlini||gerot||dinar
 |-
 |
@@ Line 546: / Line 695: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מלמעלה הנשאר א אחר כן שוב אל היוצא וגם השלך כל התשיעיות ותחבר עמם בעד כל גרה ה' והנה הטעם בזה כי הו' דינרין העומדים למעלה ר"ל במספרים העליונים ולמטה הו' אינם שוים כי אם א' גרה ר"ל א דינר ולכן נקח בעד כל דינר שעלה לנו מחבור הדינרין חמשה והנה נקח בעד הב' גרות עשרה ונחבר אותם עם הסך העולה וישאר ג"כ א' והוא שוה אל האחד השמור כמו זאת הצורה
+:<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it: cast out all the nines above; the remainder is 1.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מלמעלה הנשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם מה שרצינו לבארו בשער הראשון והשם ישמרנו
+:Then, return to the result and cast out all the nines also.
+|style="text-align:right;"|אחר כן שוב אל היוצא וגם השלך כל התשיעיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|באישון * השער השני ידבר על המגרעת גם על *נ"ר מגרעת הממון
+:Add with them 5 for every gerah.
+|style="text-align:right;"|ותחבר עמם בעד כל גרה ה&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לגרוע שים מספר ראוי להתחיל מן האחדים ולשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים ותגרע האחדים השפלים מהאחדים אשר למעלה ותשים הנשאר בקו שלישי ואחר תגרע העשרות התחתונות מהעשרות העליונות וכן תעשה מהאלפים וכן עד כלות כל המספרים ומה שישאר לך הוא המבוקש
+:The reason for this is that the 6 dinar written above, i.e. in the numbers above and beneath, are worth 1 gerah.
+|style="text-align:right;"|והנה הטעם בזה כי הו' דינרין העומדים למעלה ר"ל במספרים העליונים ולמטה הו' אינם שוים כי אם א' גרה ר"ל א' דינר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד קכ"ב
+:Therefore, we take five for every [gerah] we received when summing the [gerot].
+|style="text-align:right;"|ולכן נקח בעד כל דינר שעלה לנו מחבור הדינרין חמשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל הגרעון מן האחדים ותגרע מן הד' אשר למעלה הב' אשר למטה הנשאר ב' אח"כ תגרע מן הג' עשרות מלמעלה הב' עשרות מלמטה הנשאר א' ושים אותו למטה במקום העשרות אח"כ תגרע המאיות וגרע מן הב' מאיות אשר מלמעלה א' מאה מלמטה הנשאר אחד הנה א"כ נשארו עדין קי"ב כמו זאת הצורה
+:So, we take ten for the 2 gerot and add it to the result; the remainder is also 1, which is equal to the reserved 1, as this diagram.
+|style="text-align:right;"|והנה נקח בעד הב' גרות עשרה ונחבר אותם עם הסך העולה וישאר ג"כ א' והוא שוה אל האחד השמור כמו זאת הצורה
+|-
+|What we wanted to explain in the first chapter has been completed.
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם מה שרצינו לבארו בשער הראשון
+|-
+|God will protect us as the apple of the eye [Psalms 17, 8].
+|style="text-align:right;"|והשם ישמרנו כאישון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תחבר המספר הקטן עם מה שנשאר עדין  וישוב כמו המספר הגדול
+== The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies ==
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>marg. זהו מיותר</ref><big>השער השני</big> ידבר על המגרעת גם על מגרעת הממון
+|-
+|Know that when you want to subtract, you should start from the units and write the greater number above and the smaller beneath.
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לגרוע שים מספר ראוי להתחיל מן האחדים ולשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה
+|-
+|Start subtracting from the units: subtract the lower units from the units above and write the remainder on a third line.
+|style="text-align:right;"|ותתחיל לגרוע מהאחדים ותגרע האחדים השפלים מהאחדים אשר למעלה ותשים הנשאר בקו שלישי
+|-
+|Then, subtract the lower tens from the upper tens.
+|style="text-align:right;"|ואחר &#x202B;<ref>195r</ref>תגרע העשרות התחתונות מהעשרות העליונות
+|-
+|Do the same with the thousands and so on until all the numbers are gone and what you have left is the required.
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהאלפים וכן עד כלות כל המספרים ומה שישאר לך הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה השלך כל התשיעיות מהמספר הגדול הנשאר ציפרא אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר ג"כ ציפרא והוא שוה אל הציפרא השמורה כמו זאת הצורה
+*{{#annot:234-122|155|L1oj}}Example: we wish to subtract 122 from 234.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן רל"ד קכ"ב{{#annotend:L1oj}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר מנינים עם טרין ועם גרות ועם דינרין יש לך לקבץ הדינרין
+:Write them in two lines.
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ב' מנינים וא' טריני וח' גרות וה' דינרין עם ב' מנינים וב' טרי וי"ב גרות וד' דינרין
+:Then, start subtracting from the units. Subtract the 2 below from the 4 above; the remainder is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תתחיל הגרעון מן האחדים ותגרע מן הד' אשר למעלה הב' אשר למטה הנשאר ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ראשנה הדינרין שהם ד'(ה) ויהיו ט' ושים ג' במקום הדינרין ויש לנו גרה אחת אח"כ נחבר הגרות שהם ח' וי"ב וא' ויהיו כ"א נעשה מהכ' טרי אחד וישאר א' ושימהו במקום הגרות אח"כ חבר הטרי שהם ב'וא' ועם הא' יהיו ד' ושים ד' במקום הטאריני אח"כ חבר המנינים שהם ב"ב ויהיו ד' הנה א"כ יהיה סך העולה ד' מניני' וד' טרי וא' גרה וג' דינרין כמו זאת הצורה
+:Subtract the 2 tens below from the 3 tens above; the remainder is 1. Write it below in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע מן הג' עשרות מלמעלה הב' עשרות מלמטה הנשאר א' ושים אותו למטה במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מכל המספרים אח"כ השלך כל התשיעיות מן היוצא ועל כל גרה שיצא לך מן הדינרין קח ה' ועל כל טרי שיצא לך מן הגרות קח א' ועל כל מגן שיצא לך מהטאריני קח ד' ויצא לך מספר שוה למספר העליון והתשובה בה ציפרא
+:Subtract the hundreds: subtract the hundred below from the 2 hundreds above; the remainder is one.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות וגרע מן הב' מאיות אשר מלמעלה א' מאה מלמטה הנשאר אחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הראשון
+:Hence, 112 still remains, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ נשארו עדין קי"ב כמו זאת הצורה
 |-
-|}
+|
+:<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, add the smaller number to the remainder and the greater number will return.
-{|
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לבחון אותו תחבר המספר הקטן עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול
 |-
 |
+:If you wish, cast out all the nines from the greater number; the remainder is a zero.
-== Chapter Two: Subtraction ==
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה השלך כל התשיעיות מהמספר הגדול הנשאר ציפרא
+|-
-|style="text-align:right;"|* השער השני ידבר על {{#annot:term|155,1193|CJai}}מגרעת {{#annotend:CJai}}השלמים קצתם מקצתם * עד כאן מיותר גם על מגרעת הממון
+|
+:Then, cast out all the nines from the smaller number and from the remainder; it is also a zero and it is equal to the reserved zero, as this diagram.
+|style="text-align:right;"|אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר ג"כ ציפרא והוא שוה אל הציפרא השמורה כמו זאת הצורה
+|-
+|If you wish to add up minyanim, tari, gerot, and dinar:
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לחבר מנינים עם {{#annot:tari|2643|NLqL}}טרין{{#annotend:NLqL}} ועם גרות ועם דינרין יש לך לקבץ הדינרין
+|-
+|
+*Example: we wish to add up 2 minyanim, 1 tarini, 8 gerot, and 5 dinar, with 2 minyanim, 2 tari, 12 gerot, and 4 dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לחבר ב' מנינים וא' טריני וח' גרות וה' דינרין עם ב' מנינים וב' טרי וי"ב גרות וד' דינרין
+|-
+|
+:First, you should add up the dinar, which are 4, [5]; they are 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+5=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ראשנה הדינרין שהם ד' ויהיו ט&#x202B;'
+|-
+|
+:Write 3 in the place of the dinar and we have one gerah.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9-6=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושים ג' במקום הדינרין ויש לנו גרה אחת
+|-
+|
+:Then, we add up the gerot, which are 8, 12, and 1; they are 21.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+12+1=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נחבר הגרות שהם ח' וי"ב וא' ויהיו כ"א
+|-
+|
+:We convert the 20 into one tari; 1 remains. Write it in the place of the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{21-20=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה מהכ' טרי אחד וישאר א' ושימהו במקום הגרות
+|-
+|
+:Then, add up the tari, which are 2, 1, and 1; they are 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+1+1=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הטרי שהם ב' וא' ועם הא' יהיו ד&#x202B;'
+|-
+|
+:Write 4 in the place of the tari.
+|style="text-align:right;"|ושים ד' במקום הטאריני
+|-
+|
+:Then, add up the minyanim, which are 2, and 2; they are 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר המנינים שהם ב"ב ויהיו ד&#x202B;'
+|-
+|
+:Therefore, the total result is 4 minyanim, 4 tari, 1 gerah, and 3 dinar, as this diagram.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ יהיה סך העולה ד' מניני' וד' טרי וא' גרה וג' דינרין כמו זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי השער הזה הוא קל להבין במעט עיון ונדבר בזה השער בקצור גם לפעמים ברמיזה כי המעט יספיק
+:<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you wish to check it, cast out all the nines from all the numbers.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לבחון אותו השלך כל הט' מכל &#x202B;<ref>195v</ref>המספרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כאשר תרצה לגרוע מספר מה ממספר אחר צריך שתשים המספר הגדול למעלה והקטן ל' למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים ועדין אתן דרכים נכונים להתחיל ה{{#annot:term|155,1248|5cEI}}גרעון {{#annotend:5cEI}}מהמספר האחרון ר"ל מן האלפים או מן העשרות אלפים אם הוא מגיע אל האלף הי' או ליותר מכן ותגרע האחדים התחתונים מן העליונים ואח"כ העשרות התחתונות מהעליונות וכן המאיות והאלפים עד תומם
+:Then, cast out all the nines from the result. For every gerah you received from the dinar, take 5. For every tari you received from the gerot, take 1. For every magen you received, take 4. You receive a number equal to the upper number and the answer is a zero.
+|style="text-align:right;"|אח"כ השלך כל התשיעיות מן היוצא ועל כל גרה שיצא לך מן הדינרין קח ה' ועל כל טרי שיצא לך מן הגרות קח א' ועל כל מגן שיצא לך מהטאריני קח ד' ויצא לך מספר שוה למספר העליון והתשובה בה ציפרא
+|-
+|Here ends the first chapter.
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הראשון
+|-
+|<big>The Second Chapter Discusses the Subtraction of Integers from Each Other as well as the Subtraction of Currencies</big>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>marg. עד כאן מיותר</ref><big>השער השני</big> ידבר על {{#annot:term|155,1193|CJai}}מגרעת {{#annotend:CJai}}השלמים קצתם מקצתם גם על מגרעת הממון
+|-
+|Know that this chapter is easy to understand with a little study and we discuss this chapter briefly, even sometimes by hinting, because a little is enough.
+|style="text-align:right;"|<big>דע</big> כי השער הזה הוא קל להבין במעט עיון ונדבר בזה השער בקצור גם לפעמים ברמיזה כי המעט יספיק
+|-
+|Know that when you want to subtract a number from another number, you must write the greater number above and the smaller below, then start subtracting from the units.
+|style="text-align:right;"|ודע כאשר תרצה לגרוע מספר מה ממספר אחר צריך שתשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל לגרוע מהאחדים
+|-
+|Still, I will give proper ways to start from the last digit, i.e. from the thousands, or the tens of thousands, if it reaches the tens of thousands or more.
+|style="text-align:right;"|ועדין אתן דרכים נכונים להתחיל ה{{#annot:term|155,1248|5cEI}}גרעון {{#annotend:5cEI}}מהמספר האחרון ר"ל מן האלפים או מן העשרות אלפים אם הוא מגיע אל האלף הי' או ליותר מכן
+|-
+|Subtract the lower units from the upper [units], then the lower tens from the upper [tens], and likewise for the hundreds and the thousands and so on until they end.
+|style="text-align:right;"|ותגרע האחדים התחתונים מן העליונים ואח"כ העשרות התחתונות מהעליונות וכן המאיות והאלפים עד תומם
 |-
 |
 *{{#annot:245-123|155|8i9G}}Example: we wish to subtract 123 from 245.
 :<math>\scriptstyle245-123</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן רמה קכ"ג{{#annotend:8i9G}}
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן רמה קכ"ג{{#annotend:8i9G}}
 |-
 |
+:Write them in two lines, then draw the third line beneath them.
 |style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ תמשוך קו שלישי תחתיהם
 |-
 |
+:Start subtracting from the units that are 3. Take 3 from the 5; the remainder is two. Write it on the third line in the place of the units.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}</math>
 |style="text-align:right;"|ותתחיל לגרוע מן האחדים שהם הג' ותקח מה' ג' הנשאר שנים ושים אותם בקו ג' במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ {{#annot:term|181,1192|W1y1}}תגרע{{#annotend:W1y1}} העשרות ר"ל ב' מד' הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום המאיות (העשרות)
+:Subtract the tens, i.e. 2 from 4; the remainder is 2. Write it below in the place of the [tens]
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ {{#annot:term|181,1192|W1y1}}תגרע{{#annotend:W1y1}} העשרות ר"ל ב' מד' הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות ותגרע א מב' הנשאר א ושימם למטה במקום המאיות בקו שלישי
+:Subtract the hundreds: subtract 1 from 2; the remainder is 1. Write it below on the third line in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות ותגרע א' מב' הנשאר א' ושימם למטה במקום המאיות בקו שלישי
 |-
 |
+:Therefore, the remainder is 122 and this is its diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר הוא קכ"ב וזאת צורתם
 |-
@@ Line 639: / Line 899: @@
 *{{#annot:349-207|155|Re2v}}Another example: we wish to subtract 207 from 349.
 :<math>\scriptstyle349-207</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה להוציא ממספר שמ"ט מספר ר"ז{{#annotend:Re2v}}
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אחר נרצה להוציא ממספר שמ"ט מספר ר"ז{{#annotend:Re2v}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תתחיל מן האחדים ו{{#annot:term|181,1232|PpWo}}תוציא{{#annotend:PpWo}} ממספר ט' שלמעלה הט' ז' מלמטה הנשאר א ב' נשים אותם למטה בקו שלישי
+:Start from the units and subtract the 7 below from the 9 above; the remainder is 2. We write it below on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9-7=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תתחיל מן האחדים ו{{#annot:term|181,1232|PpWo}}תוציא{{#annotend:PpWo}} ממספר ט' שלמעלה ה<s>ט'</s>ז' מלמטה הנשאר א ב' נשים אותם למטה בקו שלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות והנה למטה ר"ל במספר התחתון תמצא ציפרא ולכן ראוי שתאמר מד' עשרות שהם למעלה במספר הגדול תגרע ציפרא שהיא למטה הנשאר ד' ושים אותם הד' במקום העשרות למטה
+:Then, subtract the tens: you find a zero below, i.e. in the bottom number. So, you should say: subtract the zero below from the 4 tens that are above in the greater number; the remainder is 4. Write the 4 below, in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-0=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות והנה למטה &#x202B;<ref>196r</ref>ר"ל במספר התחתון תמצא ציפרא ולכן ראוי שתאמר מד' עשרות שהם למעלה במספר הגדול תגרע ציפרא שהיא למטה הנשאר ד' ושים אותם הד' במקום העשרות למטה
 |-
 |
+:Subtract the hundreds, meaning, 2 from 3; the remainder is 1. Write it below in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות זאת לדעת ב' מג' נשאר א' ושום אותם למטה במקום המאות
 |-
 |
+:Therefore, the remainder is 142, according to this diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ {{#annot:term|184,1236|9ifm}}הנשאר{{#annotend:9ifm}} הוא קמ"ב על זאת הצורה
 |-
@@ Line 672: / Line 939: @@
 *{{#annot:304-253|155|3Vjd}}Another example: we wish to subtract 253 from 304.
 :<math>\scriptstyle304-253</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לגרוע מג' מאות וד' רנ"ג{{#annotend:3Vjd}}
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אחר נרצה לגרוע מג' מאות וד' רנ"ג{{#annotend:3Vjd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נגרע ראשנה ג מד' נשאר א ושום אותו למטה בקו שלישי אח"כ תגרע העשרות
+:First, we subtract 3 from 4; 1 remains. Write it below on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נגרע ראשנה ג' מד' נשאר א' ושום אותו למטה בקו שלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה אתן לך כלל בדבר שלא תוכל להחטיא לעולם כי כשתראה שהמספר התחתון הוא יותר גדול מהעליון ר"ל *שהאותיות *כשא התחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה באיזו מדרגה שתהיה הנה יש לך לעשות נקדה למטה אצל האות הבאה אחר הגדולה ואותה האות שוה עשרה למעלה אצל האות הקטנה ובמקומה שוה אחד ר"ל למטה באשר הוא שם
+:Then, subtract the tens.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות
+|-
+|I will give you a rule so that you can never be wrong: when you see that the bottom number is greater than the upper, i.e. that one of the lower digits is greater than the one corresponding to it above, in whichever rank it may be, you should draw a dot beneath, next the digit that follows the greater, so that this [dot] is worth ten with the smaller digit above and in its place, i.e. below where it is, it is worth one.
+|style="text-align:right;"|והנה אתן לך כלל בדבר שלא תוכל להחטיא לעולם כי כשתראה שהמספר התחתון הוא יותר גדול מהעליון ר"ל [כשא']&#x202B;<ref>marg.</ref> שהאותיות התחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה באיזו מדרגה שתהיה הנה יש לך לעשות נקדה למטה אצל האות הבאה אחר הגדולה ואותה האות שוה עשרה למעלה אצל האות הקטנה ובמקומה שוה אחד ר"ל למטה באשר הוא שם
 |-
 |
+:Thus, we want to subtract the 5 tens below from the zero above, but we cannot, because we cannot subtract 5 from a zero. So, we draw a dot beneath, next the 200, and this dot is worth ten above int the place of the zero. Hence, subtract 5 from 10; the remainder is 5. Write it in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-5=5}}</math>
 |style="text-align:right;"|והנה נרצה לגרוע אותם הה' עשרות שהם למטה מהציפרא אשר למעלה ולא נוכל כי לא נוכל להסיר ה' מציפרא לכן עשה נקדה למטה אצל הב' מאות ואותה הנקדה ישווה למעלה במקום הציפרא עשרה ולכן תגרע ה' מי' הנשאר ה' ושימם במקום העשרות
 |-
 |
+:Then, subtract the hundreds, which are two, [from the hundreds] above. But we already said that the dot is worth 1. We add it to the 2; they are 3. Subtract 3 from 3; nothing remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+1\right)=3-3=0}}</math>
 |style="text-align:right;"|אחר כן גרע המאות שהם שנים למעלה וכבר אמרנו כי הנקדה שוה א' ונחבר אותו עם הב' ויהיו ג' גרע מג' ג' הנשאר מאומה
 |-
 |
+:Therefore, 51 still remains, as this diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר עדין נ"א על זאת הצורה
 |-
@@ Line 708: / Line 986: @@
 *{{#annot:2040-1403|155|olKE}}Another example: we wish to subtract 1403 from 2040.
 :<math>\scriptstyle2040-1403</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לגרוע ממספר ב אלפים ומ' מספר אלף ות"ג{{#annotend:olKE}}
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אחר נרצה לגרוע ממספר ב אלפים ומ' מספר אלף ות"ג{{#annotend:olKE}}
 |-
 |
+:Write them in two rows.
 |style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ התחיל מהאחדי' ותגרע מהציפרא העומדת למעלה במקום האחדים השלשה אשר הם למטה כנגדו ולא נוכל ולהקיש לך לעשות נקדה למטה במקום העשרות אצל הציפרא וישוה א' במקומו ר"ל במקו' הציפרא של מטה ובציפרא אשר למעלה במקום האחדים היא שוה עשרה וגרע עתה מאלו העשרה הג' אשר למטה הנשאר ז' ושימם בקו שלישי
+:Then, start from the units and subtract from the zero written above, in the place of the units, the three below corresponding to it: we cannot. So, you must draw a dot beneath the place of the tens, next to the zero. It is worth 1 in its place, i.e. in the place of the zero below, and with the zero above, in the place of the units, it is worth ten. Now, subtract the 3 below from the ten; the remainder is 7. Write it one a third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-3=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ התחיל מהאחדי' ותגרע מהציפרא העומדת למעלה במקום האחדים השלשה אשר הם למטה כנגדו ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום העשרות אצל הציפרא וישוה א' במקומו ר"ל במקו' &#x202B;<ref>196v</ref>הציפרא של מטה ובציפרא אשר למעלה במקום האחדים היא שוה עשרה וגרע עתה מאלו העשרה הג' אשר למטה הנשאר ז' ושימם בקו שלישי
 |-
 |
+:Then, subtract the 1 below, which is the dot, from the 4 above, in the place of the tens; the remainder is 3. Write it in the position of its rank.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ גרע מן הד' אשר הם למעלה במקום העשרות הא' אשר היא למטה אשר היא אצל הנקדה הנשאר ג' ושימם במקום מדרגתם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות ותגרע מהציפרא אשר למעלה במקום המאיות הד' אשר למטה במקום המאיות ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה אצל האלף הנמצאים שם ואותה הנקדה שוה אחת במקומה ולמעלה אצל הציפרא שוה עשרה ונקח מאלו הי' שהם למעלה הד' שהם למטה הנשאר ו'
+:Then, subtract the hundreds: subtract the 4 below, in the place of the hundreds, from the zero above, in the place of the hundreds; we cannot. So, we draw a dot there beneath the one. This dot is worth 1 in its place, and with the zero above it is worth ten. We subtract the 4 below from the ten above; the remainder is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות ותגרע מהציפרא אשר למעלה במקום המאיות הד' אשר למטה במקום המאיות ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה אצל האלף הנמצאים שם ואותה הנקדה שוה אחת במקומה ולמעלה אצל הציפרא שוה עשרה ונקח מאלו הי' שהם למעלה הד' שהם למטה הנשאר ו&#x202B;'
 |-
 |
+:Then, we subtract the thousands from the thousands: we subtract 2000 below, with the dot that is worth one, from 200 above; nothing remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+1\right)=2-2=0}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ {{#annot:term|181,1252|dA53}}נסיר{{#annotend:dA53}} האלפים מן האלפים ונסיר מן ב' אלפים שהם למעלה ב' אלפים שהם למטה עם הנקדה ששוה אחת ולא ישאר כלום
 |-
 |
+:Therefore, the remainder is 637 as this diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ מה שנשאר הוא תרל"ז על זאת הצורה
 |-
@@ Line 744: / Line 1,032: @@
 |}
 |-
-|
+|However, if you want to subtract a small number from another greater number without [using] a dot, and without starting the subtraction from the units, but from the greatest [rank], i.e. from the thousands or higher, as high as it rises, do as follows:
-|style="text-align:right;"|ואולם אם תרצה לגרוע חשבון קטן מחשבון אחר גדול בזולת נקדה וזולת שתתחיל הגרעון מן האחדים כי אם מהאות הגדולה ר"ל מהאלפים או יותר אם יעלה כל כך למעלה ככה תעשה אם כל האותיות מהמספר השפל הם פחותות מהאותיות העליונו' הדבר הוא קל ואם אחת מהאותיות השפלות יותר גדולות מהעליונות הדבר הוא מעט קשה והוא כי תצטרך להשיב אחת מהמדרגה האחרונה אחורנית לפי שלפעמים המדרגה השלישית או האמצעית כפי מה שתראה בדמיונו'
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם תרצה לגרוע חשבון קטן מחשבון אחר גדול בזולת נקדה וזולת שתתחיל הגרעון מן האחדים כי אם מהאות הגדולה ר"ל מהאלפים או יותר אם יעלה כל כך למעלה ככה תעשה
+|-
+|If all the digits of the lower number are smaller than the upper digits, this matter is easy.
+|style="text-align:right;"|אם כל האותיות מהמספר השפל הם פחותות מהאותיות העליונו' הדבר הוא קל
+|-
+|If one of the lower digits is greater than the upper [digit], this matter is a little difficult: you must shift one backwards from the last rank [...] as you will see in the examples:
+|style="text-align:right;"|ואם אחת מהאותיות השפלות יותר גדולות מהעליונות הדבר הוא מעט קשה והוא כי תצטרך להשיב אחת מהמדרגה האחרונה אחורנית לפי שלפעמים המדרגה השלישית או האמצעית כפי מה שתראה בדמיונו&#x202B;'
 |-
 |
@@ Line 753: / Line 1,047: @@
 |-
 |
+:You should start from the hundreds, which is the last rank. Subtract from the 2, which are the hundreds written above, the 1 below that is also in the place of the hundreds; the remainder is 1. Write it below on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
 |style="text-align:right;"|ראוי להתחיל מן המאיות שהיא המדרגה אחרונה ותגרע מן ב' שהם המאיות העומדות למעלה הא' אשר למטה ג"כ במקום המאיות הנשאר א' ושים אותו למטה בקו שלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות ותגרע (מ)הד' אשר הם העשרות שלמעלה (מ)ג' שהם העשרות של מטה הנשאר א' ושים אותה בקו שלישי
+:Then, subtract the 3, which are the tens below, from the 4, which are the tens above; the remainder is 1. Write it on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות ותגרע הד' אשר הם העשרות שלמעלה ג' שהם העשרות של מטה הנשאר א' ושים אותה בקו שלישי
 |-
 |
+:Subtract the units: subtract the 5 below, in the place of the units, from the 6 above; the remainder is 1. Write it on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-5=1}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ תגרע האחדים ותגרע מן הו' אשר למעלה הה' אשר למטה במקום האחדים הנשאר א' ושים אותו בקו שלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ נשאר עדין קי"א וזאת היא צורתם
+:Therefore, 111 still remains and this is its diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ נשאר עדין קי"א וזאת היא &#x202B;<ref>197r</ref>צורתם
 |-
 |
@@ Line 779: / Line 1,080: @@
 |-
 |}
+|-
+|Yet, if one of the bottom digits is greater than the one that corresponds to it above, you should shift backwards one of the upper digits to the greater one.
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם אחת מהאותיות תחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה ראוי לך להשיב אות אחת מהאותיות העליונות הקודמו' אל הגדולה אחורנית
+|-
+|When subtracting numbers, 1 is enough for you, but when subtracting currencies, 2 or 3 should be shifted backwards, depending on the value of the currency.
+|style="text-align:right;"|והא' יספיק לך במגרעת המספר אבל במגרעת הממון יצטרך להשיב ב' או ג' אחורנית כפי שווי הממון
+|-
+|You will see all this in visual examples, not in riddles.
+|style="text-align:right;"|והכל תראה בדמיונות במראה ולא בחידות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם אם אחת מהאותיות תחתונות היא יותר גדולה מאותה שכנגדה למעלה ראוי לך להשיב אות אחת מהאותיות העליונות הקודמו' אל הגדולה אחורנית והא' יספיק לך במגרעת המספר
+*{{#annot:468-382|155|7rnd}}Example: we wish to subtract 382 from 468.
+:<math>\scriptstyle468-382</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נרצה לגרוע מתס"ח מספר שפ"ב{{#annotend:7rnd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אבל במגרעת הממון יצטרך להשיב ב' או ג' אחורנית כפי שווי הממון והכל תראה בדמיונות במראה ולא בחידות
+:Start from the hundreds and subtract the 3 below from the 4 above; the remainder is 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|תתחיל מהמאות ותגרע מהד' שהם למעלה הג' שהם למטה והנה נשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:468-382|155|7rnd}}Example: we wish to subtract 382 from 468.
+:It was appropriate to write it below on the third line, but since the digit above, in the place of the tens, is smaller than the one below that corresponds it, also in the place of the tens, you shift the one back to the 6 above.
-:<math>\scriptstyle468-382</math>
+|style="text-align:right;"|והיה מן הדין לשים אותו למטה בקו שלישי אבל מאחר שהאות אשר היא למעלה במקום העשרות היא יותר קטנה מאותה שכנגדה למטה במקום העשרות ג"כ לכן תשיב זה האחד אחורנית ותחברהו אל הו' אשר הם למעלה
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לגרוע מתס"ח מספר שפ"ב{{#annotend:7rnd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תתחיל מהמאות ותגרע מהד' שהם למעלה הג' שהם למטה והנה נשאר א' והיה מן הדין לשים אותו למטה בקו שלישי אבל מאחר שהאות אשר היא למעלה במקום העשרות היא יותר קטנה מאותה שכנגדה למטה במקום העשרות ג"כ לכן תשיב זה האחד אחורנית ותחברהו אל הו' אשר הם למעלה
+:Know that this one that is shifted backwards always equals ten in the preceding rank.
+|style="text-align:right;"|ודע כי זה האחד אשר שב אחור הוא שוה עשרה לעולם אצל המדרגה הבאה אחריה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי זה האחד אשר שב אחור הוא שוה עשרה לעולם אצל המדרגה הבאה אחריה א"כ זה האחד אשר הוא אצל המאות ישוה עשרה אצל הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ועם הי' יהיו י"ו
+:Hence, this one in the [rank of] hundreds equals ten with the 6 above in the place of the tens. With the 10 it is 16.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10+6=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ זה האחד אשר הוא אצל המאות ישוה עשרה אצל הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ועם הי' יהיו י"ו
 |-
 |
+:Then, subtract the 8 below from 16; the remainder is 8. Write this 8 in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16-8=8}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ תגרע מי"ו הח' אשר למטה הנשאר ח' ושום כל אלו השמנה במקום העשרות
 |-
 |
+:Subtract the units: they are 8 above and 2 below. Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Write it below on the third line in the place of the units.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-2=6}}</math>
 |style="text-align:right;"|אח"כ תגרע האחדי' והם למעלה ח' ולמטה ב' ותגרע ב' מן ח' הנשאר ו' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום האחדים
 |-
 |
+:Therefore, the remainder is 86 and this is its diagram:
 |style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר הוא פ"ו וזאת היא צורתם
 |-
@@ Line 822: / Line 1,143: @@
 |}
 |-
-|
+|Know that sometimes you have to shift one digit two ranks backwards and sometimes three or four, according to the given number and according to its largeness and smallness.
-|style="text-align:right;"|ודע כי לפעמים תצטרך להשיב אות א' בב' מדרגות מתחלפות אחורנית ולפעמים ג' או ד' כפי המספר המונח וכפי גדלו וקטנו
+|style="text-align:right;"|<big>ודע</big> כי לפעמים תצטרך להשיב אות א' בב' מדרגות מתחלפות אחורנית ולפעמים ג' או ד' כפי המספר המונח וכפי גדלו וקטנו
 |-
 |
 *{{#annot:4321-3456|155|MMZ6}}Example: we wish to subtract 3456 from 4321.
 :<math>\scriptstyle4321-3456</math>
-|style="text-align:right;"| דמיון נרצה לגרוע מן ד אלפים ושכ"א ג' אלפי' ותנ"ו{{#annotend:MMZ6}}
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נרצה לגרוע מן ד' אלפים ושכ"א ג' אלפי' ותנ"ו{{#annotend:MMZ6}}
+|-
+|
+:You should start from the thousands: subtract the bottom 3 from the upper 4; the remainder is 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מהאלפים ותגרע מן הד' העליונים הג' התחתונים הנשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מהאלפים ותגרע מן הד' העליונים הג' התחתונים הנשאר א ולכן נשיב זה הא' אחורנית כי המאיות השפלות הם מיותרות על העליונות וזה הא' אשר ישוב אחור ישוה עשרה למעלה במקום המאות שהם ג' וא"כ יהיו י"ג נסיר מי"ג ד' הנשאר ט' ולא תשימם כלם אלא נניח ח' ונעכב א' עמנו מצד כי המספר העליון אשר הוא במקום העשרות הוא פחות מאותו שלמטה כנגדו וכבר אמרנו שכל אחד שוה עשרה ולמעלה תמצא במקום העשרות ב' ועם א שוה י' הם י"ב תסיר מי"ב הה' אשר למטה במקום העשרו' הנשאר ז' ולא נניח מאלו הז' כי אם ו' בקו שלישי מפני כי יש לנו לגרוע האחדים מלמטה שהם גדולים מן האחדים מלמעלה והנה למעלה במקום האחדים תמצא אחד ועם הא' ששב לאחור יהיו י"א תסיר מי"א ו' שהם למטה במקום האחדים הנשאר ה' ושימם כלם כי אין לך להשיב אחורנית שום מדרגה כי כבר שבנו לאחור כל מה שיכולנו הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא תתס"ה על זאת הצורה
+:We shift back the 1, because the bottom hundreds exceed the upper [hundreds]. The 1 that is shifted back equals a ten in the place of the hundreds above, which are 3, so they are 13.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10+3=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן נשיב זה הא' אחורנית כי המאיות השפלות הם מיותרות על העליונות וזה הא' אשר ישוב אחור ישוה עשרה למעלה במקום המאות שהם ג' וא"כ יהיו י"ג
 |-
 |
+:We subtract 4 from 13; the remainder is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13-4=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|נסיר מי"ג ד' &#x202B;<ref>197v</ref>הנשאר ט&#x202B;'
+|-
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+:Yet, you do not write all of it. We write only 8 and keep 1, because the upper number in the place of the tens is less than the one corresponding to it below.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9-1=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא תשימם כלם אלא נניח ח' ונעכב א' עמנו מצד כי המספר העליון אשר הוא במקום העשרות הוא פחות מאותו שלמטה כנגדו
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+:We already said that every one equals ten. You find 2 in the place of the tens above, and with 1 that equals 10 they are 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10+2=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו שכל אחד שוה עשרה ולמעלה תמצא במקום העשרות ב' ועם א' שוה י' הם י"ב
 |-
-|4||3||2||1
+|
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+:Subtract the 5 in the place of the tens below from 12; the remainder is 7.
-|3||4||5||6
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-5=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מי"ב הה' אשר למטה במקום העשרו' הנשאר ז&#x202B;'
 |-
-|&nbsp;||8||6||5
+|
-|}
+:Yet, we write only 6 of this 7 on the third line, because we have to subtract the units below that are greater than the units above.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נניח מאלו הז' כי אם ו' בקו שלישי מפני כי יש לנו לגרוע האחדים מלמטה שהם גדולים מן האחדים מלמעלה
 |-
-|}
+|
+:You find one above in the place of the units and with the 1 that was shifted back they are 11.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10+1=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה למעלה במקום האחדים תמצא אחד ועם הא' ששב לאחור יהיו י"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפרא או למעלה או למטה תשיב אחור אם תצטרך ואם לאו מקומך אל תנח
+:Subtract 6 that is below in the place of the units from 11; the remainder is 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11-6=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מי"א ו' שהם למטה במקום האחדים הנשאר ה&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:5060-2304|155|vy0Q}}Example: we wish to subtract 2304 from 5060.
+:Write all of it, as you do not need to shift back any rank, since we have already returned back as much as we could.
-:<math>\scriptstyle5060-2304</math>
+|style="text-align:right;"|ושימם כלם כי אין לך להשיב אחורנית שום מדרגה כי כבר שבנו לאחור כל מה שיכולנו
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן ה' אלפים וס' ב' אלפים וש"ד{{#annotend:vy0Q}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה תתחיל מהאלפים ותגרע מן הה' העליונים הב' תחתונים הנשאר ג' והנה לא נשים בקו שלישי מאלו הג' כי אם ב' והא' נחזיק עמנו ונשיב זה הא' אצל הציפרא אשר היא למעלה במקום המאות וישוה י' כנזכר למעלה ונסיר מהם ג' שהם למטה מכוונים אצלם ר"ל במקום המאיות ג"כ הנשאר ז' ושים כל אלו הז' ולא תעכב עמך מאומה מצד כי המספר העליון ר"ל מדרגת העשרות אשר הם למעלה היא יותר גדולה מאותה השפלה שכנגדה ר"ל כי הו' שהם למעלה במקום העשרות הם יותר מהציפרא שהיא למטה במקום העשרות ג"כ ותסיר ציפרא מן ו' הנשאר ו' ולא נשים כל אלו הו' אלא נעכב א עמנו בעבור כי הד' שהם למטה במקום האחדים הם יותר גדולים מהציפרא שהיא למעלה במקו' האחדים ג"כ ותשים הה' ותשיב זה הא' אחורנית וישוה עשרה ותסיר מי' הד' שהם למטה במקום האחדים וישאר ו' ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים הנה א"כ הנשאר הוא ב' אלפים ותשנ"ו וזאת היא צורתם
+:Therefore, the remainder after subtracting is 865, according to this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא תתס"ה על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 867: / Line 1,211: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|5||0||6||0
+|4||3||2||1
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|2||3||0||4
+|3||4||5||6
 |-
-|2||7||5||6
+|&nbsp;||8||6||5
 |}
 |-
 |}
+|-
+|If you wish to subtract a number that has a zero above or below, shift backwards if you need, otherwise [leave it in its place].
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפרא או למעלה או למטה תשיב אחור אם תצטרך ואם לאו מקומך אל תנח
 |-
 |
-=== Subtraction of Coins ===
+*{{#annot:5060-2304|155|vy0Q}}Example: we wish to subtract 2304 from 5060.
+:<math>\scriptstyle5060-2304</math>
-|style="text-align:right;"|ועתה נרצה לדבר על מגרעת הממון ממטבעים מתחלפים זה מזה
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן ה' אלפים וס' ב' אלפים וש"ד{{#annotend:vy0Q}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונתחיל לגרוע מהמטבע היותר קטן כמו שעשינו במדרגת המספר שהיינו מתחילים הגרעון מן האחדים אח"כ נדבר על מגרעת הממון ונתחיל מן המטבע הגדול כמו שעשינו בדמיונות למעלה כשהתחלנו הגרעון מהמספר ר"ל מהמדרגה היותר עליונה
+:Start from the thousands: subtract the bottom 2 from the upper 5; the remainder is 3.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-2=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תתחיל מהאלפים ותגרע מן הה' העליונים הב' תחתונים הנשאר ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ג זהובים וג' טרי וד' גרות וה' דינרין סך קכ"ד זהובים וד' {{#annot:tari|2643|Ggm3}}טרי{{#annotend:Ggm3}} וו' גרות וג' דינרין
+:But, we write on the third line only 2 of these 3 and keep the 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-1=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה לא נשים בקו שלישי מאלו הג' כי אם ב' והא' נחזיק עמנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי להתחיל מן הדינרין שהיא המטבע היותר פחותה ותגרע מן הה' דינרין שלמעלה הג' מלמטה וישארו ב' ושים אותם בקו ג' אח"כ תגרע הגרות וד' מהד' שלמעלה הו' מלמטה ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה במקום הד' טרוני ואותה הנקדה שוה עשרים גרות למעלה במקום הגרות ונחבר אליהם הד' גרות שהם למעלה ויהיו כ"ד נסיר מהם ו' הנשאר י"ח ושים אותם בקו שלישי אצל הגרות אח"כ תגרע הטרוני ותגרע מהג' טריני מלמעלה הד' שלמטה ולא נוכל והנקדה שבה שהיא שוה א ועם הד' הם ה' ולא נוכל להסיר מן ג' ה' ונעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים
+:We shift the 1 to the zero above, in the place of the hundreds; it equals 10 as mentioned above. We subtract from it the 3 below corresponding to it, i.e. in the place of the hundreds also; the remainder is 7.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-3=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשיב זה הא' אצל הציפרא אשר היא למעלה במקום המאות וישוה י' כנזכר למעלה ונסיר מהם ג' שהם למטה מכוונים אצלם ר"ל במקום המאיות ג"כ הנשאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי אותה הנקדה שוה ה' למעלה במקום הטריני מצד כי הה' טריני שוים זהוב א' ובמקומו אינו שוה כי אם א'
+:Write the 7 and do not keep anything, because the upper number, i.e. the rank of tens above, is greater than the one corresponding it below. Meaning, the 6 in the place of the tens above is greater than the zero below in the place of the tens also.
+|style="text-align:right;"|ושים כל אלו הז' ולא תעכב עמך מאומה מצד כי המספר העליון ר"ל מדרגת העשרות אשר הם למעלה היא יותר גדולה מאותה השפלה שכנגדה ר"ל כי הו' שהם למעלה במקום העשרות הם יותר מהציפרא שהיא למטה במקום העשרות ג"כ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נחבר אלו הה' אל הג' ויהיו ח' נסיר מהם ה' וישארו ג' ושים אלו הג' למטה במקום הטרי בקו שלישי אח"כ תגרע הזהובים ותגרע מן הג' שהם במקום האחדים למעלה הה' שהם במקום האחדים למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות וישוה עשרה ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ג {{#annot:term|181,1362|RD85}}תחסר מהם{{#annotend:RD85}} ח' (ה') הנשאר ה' (ח') ותניחם למטה בקו שלישי במקום האחדים א"כ תגרע העשרות וזה מן הג' העליונים הג' התחתונים עם הנקודה שבה הסר ג' מג' הנשאר ציפרא ושים ציפרא בקו ג' אח"כ תגרע המאיות וזה מן ב' התחתונים (העליונים) א' העליון (התחתון) הנשאר א' הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא ק"ח מנינים ג' טרי י"ח גרות ב' דינרין כזאת הצורה
+:Subtract a zero from 6; the remainder is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-0=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותסיר ציפרא מן ו' הנשאר ו&#x202B;'
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:Yet, we do not write the 6, but keep 1, because the 4, which is in the place of the units below, is greater than the zero above in the place of the units also. So, write 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נשים כל אלו הו' אלא נעכב א' עמנו בעבור כי הד' שהם למטה במקום האחדים הם יותר גדולים מהציפרא שהיא למעלה במקו' האחדים ג"כ ותשים הה&#x202B;'
 |-
-|ducati||tarini||grani||dinar
+|
+:Shift back the 1; it equals ten. Subtract the 4, which is below, in the rank of units, from 10; 6 remains. Write it in the place of units on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-4=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותשיב זה הא' אחורנית וישוה עשרה ותסיר מי' הד' שהם למטה במקום האחדים וישאר ו' ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים
 |-
 |
-{|style="float:right;"
+:Therefore, the remainder is 2756 and this is its diagram:
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>198r</ref>הנה א"כ הנשאר הוא ב' אלפים ותשנ"ו וזאת היא צורתם
 |-
-|style="text-align:right;"|233
-|-
-|style="text-align:right;"|124
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+|-
+|
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+|-
+|5||0||6||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|2||3||0||4
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|2||7||5||6
+|}
 |-
-|style="text-align:right;"|4
 |}
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Subtraction of Coins</span> ===
 |
-{|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|Now, we want to discuss the subtraction of different coins from each other.
+|style="text-align:right;"|<big>ועתה</big> נרצה לדבר על מגרעת הממון ממטבעים מתחלפים זה מזה
+|-
+|We start subtracting from the smallest [kind of] currency, as we do in the [subtraction] of numbers, when we start subtracting from the units.
+|style="text-align:right;"|ונתחיל לגרוע מהמטבע היותר קטן כמו שעשינו במדרגת המספר שהיינו מתחילים הגרעון מן האחדים
+|-
+|Later, we will discuss the subtraction of currencies, in which we start with the greater [kind of] currency, as we did in the examples above, when we started the subtraction of numbers, i.e. from the highest rank.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נדבר על מגרעת הממון ונתחיל מן המטבע הגדול כמו שעשינו בדמיונות למעלה כשהתחלנו הגרעון מהמספר ר"ל מהמדרגה היותר עליונה
+|-
+|
+*Example: we wish to subtract 124 zehuvim, 4 tari, 6 gerot and 3 dinar from 233 zehuvim, 3 tari, 4 gerot and 5 dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן רל"ג זהובים וג' טרי וד' גרות וה' דינרין סך קכ"ד זהובים וד' {{#annot:tari|2643|Ggm3}}טרי{{#annotend:Ggm3}} וו' גרות וג' דינרין
 |-
-|style="text-align:right;"|6
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:You should start with the dinar, which is the smallest [type of] currency:
+|style="text-align:right;"|ראוי להתחיל מן הדינרין שהיא המטבע היותר פחותה
 |-
-|style="text-align:right;"|5
+|
+:Subtract from the 5 dinar above the 3 below; 2 remain. Write them one a third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-3=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע מן הה' דינרין שלמעלה הג' מלמטה וישארו ב' ושים אותם בקו ג&#x202B;'
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|
-|}
+:Subtract the gerot: the 6 below from the 4 above - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the 4 tari.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הגרות וד' מהד' שלמעלה הו' מלמטה ולא נוכל לכן נעשה נקדה למטה במקום הד' טריני
 |-
 |
-{|style="float:right;"
+:This dot worth twenty gerot above in the place of the gerot.
+|style="text-align:right;"|ואותה הנקדה שוה עשרים גרות למעלה במקום הגרות
 |-
-|style="text-align:right;"|108
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:We add to them the 4 gerot above; they are 24.
+|style="text-align:right;"|ונחבר אליהם הד' גרות שהם למעלה ויהיו כ"ד
 |-
-|style="text-align:right;"|3
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:We subtract 6 from them; the remainder is 18. Write them on the third line [in the place of] the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+4\right)-6=24-6=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ו' הנשאר י"ח ושים אותם בקו שלישי אצל הגרות
 |-
-|style="text-align:right;"|18
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:Subtract the tari: subtract the 4 below from the 3 tari above - we cannot.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הטריני ותגרע מהג' {{#annot:tari|2643|SP2a}}טריני{{#annotend:SP2a}} מלמעלה הד' שלמטה ולא נוכל
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|
-|}
+:The dot there is worth 1; with the 4 they are 5. We cannot subtract 5 from 3. So, we draw a dot below in the place of the units of the zehuvim.
+|style="text-align:right;"|והנקדה שבה שהיא שוה א' ועם הד' הם ה' ולא נוכל להסיר מן ג' ה' ונעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים
 |-
-|}
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+:Know that this dot is worth 5 above, in the place of the tari, because 5 tari are worth one zahuv, and in its position it is worth only 1.
+|style="text-align:right;"|ודע כי אותה הנקדה שוה ה' למעלה במקום הטריני מצד כי הה' טריני שוים {{#annot:zahuv|2643|QxgL}}זהוב{{#annotend:QxgL}} א' ובמקומו אינו שוה כי אם א&#x202B;'
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
+:We add the 5 to the 3; they 8.
+|style="text-align:right;"|והנה נחבר אלו הה' אל הג' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
-|style="text-align:right;"|233&#8199;3&#8199;&#8199;4&#8199;5
+|
+:We subtract 5 from them; 3 remain. Write the 3 below in the place of the tari, on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+3\right)-\left(1+4\right)=8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ה' וישארו ג' ושים אלו הג' למטה במקום הטרי בקו שלישי
 |-
-|style="text-align:right;"|<u>124&#8199;4&#8199;&#8199;6&#8199;3</u>
+|
+:Subtract the zehuvim: subtract the 5 in the place of the units below from the 3 in the place of the units above - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the tens and it is worth ten.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע ה{{#annot:zahuv|2643|90Js}}זהובים{{#annotend:90Js}} ותגרע מן הג' שהם במקום האחדים למעלה הה' שהם במקום האחדים למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות וישוה עשרה
 |-
-|style="text-align:right;"|108&#8199;3&#8199;18&#8199;2
+|
-|}
+:Add the 3 to them; they are 13.
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ג
 |-
-|}
+|
+:Subtract [5] from them; the remainder is [8]. Write it below on the third line, in the place of the units.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-5=13-5=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|{{#annot:term|181,1362|RD85}}תחסר מהם{{#annotend:RD85}} ח' הנשאר ה' ותניחם למטה בקו שלישי במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע ממספר שיהיה בו זהובים וטארי וגרות ודינרין מספר שלא יהיה בו כי אם זהובים לבד
+:Subtract the tens: the 3 lower with the dot there from the 3 upper. Subtract 3 from 3; the remainder is a zero. Write a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(2+1\right)=3-3=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תגרע העשרות וזה מן הג' העליונים הג' התחתונים עם הנקודה שבה הסר ג' מג' הנשאר ציפרא ושים ציפרא &#x202B;<ref>198v</ref>בקו ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמר נרצה לגרוע מן רל"ד זהובים וג' טרי וב' גרות א דינר מספר קמ"ה זהובים בלי טרי וגרות ודינרין
+:Subtract the hundreds: the [lower] 1 from the [upper] 2; the remainder is 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאיות וזה מן ב' התחתונים א' העליון הנשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מהמטבע היותר פחותה ותגרע מן הדינר אשר הוא למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר א' נשים א בקו שלישי במקום הדינרין אח"כ תגרע הגרות וזה מן הב' גרות אשר הם למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו ג' אח"כ תגרע הטרי וזה מן הג' אשר למעלה הציפרא מלמטה הנשאר ג' ושים אותם למטה בקו שלישי אח"כ תגרע הזהובים וזה מן הד' אשר למעלה במקום האחדים תגרע הה' אשר למטה במקום האחדים ג"כ ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות ונצרף אותה אל הד' העליונים ויהיו י"ד נסיר מהם חמשה הנשאר ט' אח"כ נגרע מהג' אשר למעלה במקום העשרות החמשה השפלים ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום המאיות ונחבר אותה אל הג' העליונים ויהיו י"ג נחסר מהם ה' הנשאר ח' ושים אותם במקום העשרות אח"כ תגרע המאות שהם ב' מב' הנשאר מאומה ולכן שים ציפרא במקומם הנה א"כ נשאר עדין הוא פ"ט זהובים ג טרי ב גרות א דינר כמו זאת הצורה
+:Therefore, the remainder from the subtraction is 108 minyanim, 3 tari, 18 gerot, and 2 dinar, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר אחר הגרעון הוא ק"ח מנינים ג' טרי י"ח גרות ב' דינרין כזאת הצורה
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
-|ducati||tarini||grani||dinar
+|zehuvim||tarini||gerot||dinar
 |-
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|234
+|style="text-align:right;"|233
 |-
-|style="text-align:right;"|145
+|style="text-align:right;"|124
 |}
 |
@@ Line 994: / Line 1,390: @@
 |style="text-align:right;"|3
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|style="text-align:right;"|4
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|4
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|style="text-align:right;"|6
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|1
+|style="text-align:right;"|5
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|style="text-align:right;"|3
 |}
 |-
@@ Line 1,014: / Line 1,410: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|89
+|style="text-align:right;"|108
 |}
 |
@@ Line 1,024: / Line 1,420: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|18
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|1
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |-
@@ Line 1,040: / Line 1,436: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|style="text-align:right;"|234&#8199;3&#8199;2&#8199;1
+|style="text-align:right;"|233&#8199;3&#8199;&#8199;4&#8199;5
 |-
-|style="text-align:right;"|<u>145&#8199;0&#8199;0&#8199;0</u>
+|style="text-align:right;"|<u>124&#8199;4&#8199;&#8199;6&#8199;3</u>
 |-
-|style="text-align:right;"|89&#8199;3&#8199;2&#8199;1
+|style="text-align:right;"|108&#8199;3&#8199;18&#8199;2
 |}
 |-
 |}
+|-
+|If you want to subtract from a number that includes zehuvim, tari, gerot and dinar, a number that consists only of zehuvim:
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לגרוע ממספר שיהיה בו זהובים ו{{#annot:tari|2643|RYOW}}טארי{{#annotend:RYOW}} וגרות ודינרין מספר שלא יהיה בו כי אם זהובים לבד
+|-
+|
+*As if you say: we wish to subtract 145 zehuvim, without tari, gerot and dinar, from 234 zehuvim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar.
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמר נרצה לגרוע מן רל"ד זהובים וג' טרי וב' גרות א' דינר מספר קמ"ה זהובים בלי טרי וגרות ודינרין
+|-
+|
+:You should start from the lowest [type of] currency: subtract the zero below from the dinar above; the remainder is 1. We write it on the third line, in the place of the dinar.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1-0=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מהמטבע היותר פחותה ותגרע מן ה{{#annot:dinar|2643|ULsO}}דינר{{#annotend:ULsO}} אשר הוא למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר א' נשים א' בקו שלישי במקום הדינרין
+|-
+|
+:Subtract the gerot: the zero below from the 2 gerot above; the remainder is 2. Write it below on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-0=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הגרות וזה מן הב' גרות אשר הם למעלה הציפרא אשר היא למטה הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו ג&#x202B;'
+|-
+|
+:Subtract the tari: the zero below from the 3 above; the remainder is 3. Write it below on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-0=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הטרי וזה מן הג' אשר למעלה הציפרא מלמטה הנשאר ג' ושים אותם למטה בקו שלישי
+|-
+|
+:Subtract the zehuvim: subtract the 5 below in the place of the units from the 4 above in the place of the units also - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הזהובים וזה מן הד' אשר למעלה במקום האחדים תגרע הה' אשר למטה במקום האחדים ג"כ ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע תנ"ו זהובים בלי שום טרי ושום גרה ובלי שום דינר מספר שפ"ז זהובים ב' טרין ג' גרות ד' דינרין
+:We add it to the upper 4; they are 14.
+|style="text-align:right;"|ונצרף אותה אל הד' העליונים ויהיו י"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן הדינרין ותחסר מן הציפרא אשר למעלה הד' אשר אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הג' גרות הנמצאי' לשם ואותה הנקדה ישוה למעלה במקום הדינרין ששה בעבור כי הו' דינרין הם גרה אחת שלימה ונחסר מו' ד' הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו שלישי אצל הדינרין אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה עם הנקדה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הב' טרי וישוה אותה הנקדה למעלה במקום הגרות עשרים מצד כי עשרים גרה השקל ר"ל הטרי ונחסר מב' הד' מלמעלה הנשאר י"ו נשים אותם למטה אצל הגרות אח"כ תגרע הטרי וזה מציפרא נסיר שלשה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים ואותה הנקדה שוה ה' מצד כי זהוב א' שוה ה' טרי ותסיר מה' ג' הנשאר ב' אח"כ תגרע הזהובים וזה מו' נסיר ח' ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה [במ]קום עשרות וישוה עשרה ותחברם אל הו' ויהיו י"ו ותגרע מהם ח' הנשאר ח' נשים אותם במקום האחדים למטה בקו שלישי אח"כ תגרע העשרות וזה שתחסר מה' ט' ולא נוכל לכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום ג' מאות וישוה עשרה ותחברם אל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מהם ט' הנשאר ו' ושים אותם למטה במקום העשרות הנה א"כ הנשאר מהמגרעת הוא ס"ח מנינים ב' טרי י"ו גרות ב' דינרין וזאת היא צורתם
+:We subtract five from them; the remainder is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-5=14-5=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם חמשה הנשאר ט&#x202B;'
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:We subtract the lower five from the 3 above in the place of the tens - we cannot. So, we draw a dot below in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נגרע מהג' אשר למעלה במקום העשרות החמשה השפלים ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום המאיות
 |-
-|ducati||tarini||grani||dinar
+|
+:We add it to the upper 3; they are 13.
+|style="text-align:right;"|ונחבר אותה אל הג' העליונים ויהיו י"ג
+|-
+|
+:We subtract 5 from them; the remainder is 8. Write it in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+3\right)-\left(1+4\right)=13-5=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחסר מהם ה' הנשאר ח' ושים אותם במקום העשרות
+|-
+|
+:Subtract the hunderds, which are 2 from 2; nothing remains. Write a zero in their place.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+1\right)=2-2=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע המאות שהם ב' מב' הנשאר מאומה ולכן שים ציפרא במקומם
+|-
+|
+:Therefore, 89 zehuvim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar still remain, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ נשאר עדין הוא פ"ט זהובים ג' טרי ב' גרות א' דינר כמו זאת הצורה
+|-
+|
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+|-
+|zehuvim||tarini||gerot||dinar
 |-
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|456
+|style="text-align:right;"|234
 |-
-|style="text-align:right;"|387
+|style="text-align:right;"|145
 |}
 |
 {|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|3
 |-
 |style="text-align:right;"|0
-|-
-|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
 {|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|2
 |-
 |style="text-align:right;"|0
-|-
-|style="text-align:right;"|3
 |}
 |
 {|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|1
 |-
 |style="text-align:right;"|0
-|-
-|style="text-align:right;"|4
 |}
 |-
@@ Line 1,092: / Line 1,539: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|68
+|style="text-align:right;"|89
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|3
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|16
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|1
 |}
 |-
@@ Line 1,118: / Line 1,565: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|style="text-align:right;"|456&#8199;0&#8199;&#8199;0&#8199;0
+|style="text-align:right;"|234&#8199;3&#8199;2&#8199;1
 |-
-|style="text-align:right;"|<u>387&#8199;2&#8199;&#8199;3&#8199;4</u>
+|style="text-align:right;"|<u>145&#8199;0&#8199;0&#8199;0</u>
 |-
-|style="text-align:right;"|68&#8199;2&#8199;16&#8199;2
+|style="text-align:right;"|89&#8199;3&#8199;2&#8199;1
 |}
 |-
@@ Line 1,128: / Line 1,575: @@
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם אם תרצה לגרוע באופן אחר ר"ל אם תרצה להתחיל הגרעון מן המטבע היותר קטן גדול ראוי לך לראות אם יש שום אות למטה באיזה מקום מאיזה מטבע שיהיה אם היא יותר גדולה מהאות המכוונת אשר למעלה באותו המטבע עצמו ראוי לך להשיב אחד אחורנית ולעשות כל מלאכה והמעשה עם אותו ששב לאחור ואם אינה יותר גדולה לא תצטרך לשוב לאחור
+*If you wish to subtract 387 zehuvim, 2 tari, 3 gerot, and 4 dinar from 456 zehuvim without any tari, gerah, or dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לגרוע תנ"ו זהובים בלי שום טרי ושום גרה ובלי שום דינר מספר שפ"ז זהובים ב' טרין ג' גרות ד' דינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן רל"ד מנינים ד' טרין ה' גרות ד' דינרין מספר אשר הוא קכ"ג מנינים ב' טרי ד' גרות ג דינרין
+:You should start from the dinar: subtract the 4 below from the zero above - we cannot. So, we draw a dot below, next to the 3 gerot that are there.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן הדינרין ותחסר מן הציפרא אשר למעלה הד' אשר &#x202B;<ref>199r</ref>אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הג' גרות הנמצאי' לשם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי להתחיל מן מאיות המנינים שהוא המטבע היותר גדול וגרע מב' אשר הם למעלה במקום המאיות הא' אשר למטה במקום המאיות ג"כ הנשאר א' ושים אותו למטה במקום המאיות אח"כ תגרע עשרות מניני' וזה מג' אשר למעלה ב' שהם למטה הנשאר אחד ושים אותו למטה במקום העשרות אח"כ תגרע אחדי המנינים וזה מד' העליונים הד' (ג') תחתוני' הנשאר א' ושים אותו ג"כ למטה במקום (העשרות) האחדים הנה עשינו כל החשבון עם המנינים ועתה נגרע המטבעים האחדים ונגרע מן הד' טרי העליונים הב' טרי התחתונים הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום הטרי אח"כ הגרות וזה מהה' העליונים גרע הד' התחתונים הנשאר א' ושים אותם למטה במקום הגרות אח"כ תגרע הדינרין והם למעלה ד' ולמטה ג' ותגרע ג' מד' הנשאר א ושים אותם למטה בקו שלישי במקום הדינרין ונשלם המעשה הנה א"כ הנשאר הוא קי"א מנינים ב' טרי א' גרה א דינר על זאת הצורה
+:This dot is worth six above in the place of the dinar, because 6 dinar are one gerah.
+|style="text-align:right;"|ואותה הנקדה ישוה למעלה במקום הדינרין ששה בעבור כי הו' דינרין הם גרה אחת שלימה
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:We subtract 4 from 6; the remainder is 2. Write it on the third line, [in the place of] the dinar.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחסר מו' ד' הנשאר ב' ושים אותם למטה בקו שלישי אצל הדינרין
 |-
-|ducati||tarini||grani||dinar
+|
+:Subtract the gerot: subtract the 4 below with the dot from the zero above - we cannot. So, we draw a dot below, next to the 2 tari.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה עם הנקדה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה אצל הב' טרי
 |-
 |
-{|style="float:right;"
+:This dot is worth twenty in the place of the gerot above, because twenty gerah are one shekel, i.e. tari.
+|style="text-align:right;"|וישוה אותה הנקדה למעלה במקום הגרות עשרים מצד כי עשרים גרה ה{{#annot:shekel|2643|Sx46}}שקל{{#annotend:Sx46}} ר"ל הטרי
 |-
-|style="text-align:right;"|234
+|
+:We subtract the 4 from 20 above; the remainder is 16. Write it below [in the place of] the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(1+3\right)=20-4=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחסר מכ' הד' מלמעלה הנשאר י"ו נשים אותם למטה אצל הגרות
 |-
-|style="text-align:right;"|123
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:Subtract the tari: we subtract three from zero - we cannot. So, we draw a dot below, in the place of the units of the zehuvim.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הטרי וזה מציפרא נסיר שלשה ולא נוכל ולכן נעשה נקדה למטה במקום אחדי הזהובים
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|
+:This dot is worth 5, because 1 zahuv is worth 5 tari.
+|style="text-align:right;"|ואותה הנקדה שוה ה' מצד כי זהוב א' שוה ה' טרי
 |-
-|style="text-align:right;"|2
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:We subtract 3 from 5; the remainder is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(1+2\right)=5-3=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותסיר מה' ג' הנשאר ב&#x202B;'
 |-
-|style="text-align:right;"|5
+|
+:Subtract the zehuvim: we subtract 8 from 6 - we cannot. So, you must draw a dot below, in the place of the tens and it is worth ten.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הזהובים וזה מו' נסיר ח' ולא נוכל ולכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום עשרות וישוה עשרה
 |-
-|style="text-align:right;"|4
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:Add it to the 6; they are 16.
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל הו' ויהיו י"ו
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|
+:Subtract 8 from them; the remainder is 8. We write it in the place of the units below, on the third line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+6\right)-\left(1+7\right)=16-8=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע מהם ח' הנשאר ח' נשים אותם במקום האחדים למטה בקו שלישי
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|
-|}
+:Subtract the tens: subtract 9 from 5 - we cannot. So, you must draw a dot below, in the place of the 3 hundreds and it is worth ten.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות וזה שתחסר מה' ט' ולא נוכל לכן יש לך לעשות נקדה למטה במקום ג' מאות וישוה עשרה
 |-
 |
-{|style="float:right;"
+:Add it to the 5; they are 15.
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל הה' ויהיו ט"ו
 |-
-|style="text-align:right;"|111
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:We subtract 9 from them; the remainder is 6. Write it below in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+5\right)-\left(1+8\right)=15-9=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחסר מהם ט' הנשאר ו' ושים אותם למטה במקום העשרות
 |-
-|style="text-align:right;"|2
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:Therefore, the remainder from the subtraction is 68 minyanim, 2 tari, 16 gerot, and 2 dinar, and this is their diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר מהמגרעת הוא ס"ח מנינים ב' טרי י"ו גרות ב' דינרין וזאת היא צורתם
 |-
-|style="text-align:right;"|1
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|1
+|zehuvim||tarini||gerot||dinar
-|}
-|-
-|}
-|
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
-|-
-|
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
-|-
-|style="text-align:right;"|234&#8199;4&#8199;5&#8199;4
-|-
-|style="text-align:right;"|<u>123&#8199;2&#8199;4&#8199;3</u>
-|-
-|style="text-align:right;"|111&#8199;2&#8199;1&#8199;1
-|}
-|-
-|}
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר ויהיה האות התחתונה גדולה מהעליונה רצוני לומר אחד מן המטבעים תשיב א לאחור ויספיק לך כנזכר לעיל
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן רמ"ו מנינים ג' טרי ב גרות א' דינר קנט מנינים ד' טרי ה' גרות ג דינרין
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן המאיות ממטבע המנינים ותגרע מן ב' אשר למעלה הא' אשר למטה הנשאר א אבל לא תשים בקו שלישי מאומה מצד כי נצטרך להשיבו אחורנית מפני האותיות התחתונות שהם יותר גדולות מהעליונות ונשים זה הא' לאחור אצל העשרות אשר הם למעלה שהם ד' ויהיו י"ד נסיר מהם ה' נשאר הנשאר ט' ולא נשים כל אלו הט' למטה בקו שלישי אלא נעכב א בידינו להשיבו לאחור והח' נשים למטה במדרגת העשרות אח"כ תגרע [.]אחדים מהמנינים ונגרע מהו' העליונים הט' התחתונים ולא נוכל ולכן נצרף עם הו' הא' אשר הוא בידינו ששוה עשרה ויהיו י"ו נסיר מהם ט' הנשאר ז' ולא נשים כל הז' למטה אלא נשים מהם ו' ונעכב א' בידינו ונשיבהו אחורנית אח"כ נסיר הטרי ונסיר מן הג' העליונים הד' התחתונים ולא נוכל לכן נשיב זה המגן אשר הוא בידינו אצל הג' טרי ויהיו ח' כי המגן ישוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר ד' ולא נשים מאלו הד' כי אם ג' והא' נעכב להשיבו אחור מפני הגרות אח"כ נגרע הגרות וזה מב' ה' ולא נוכל לכן נשיב זה הטרי אצל הב' גרות ויהיו כ"ב יען כי הטרי הוא עשרים גרה ונסיר מהכ"ב ה' הנשאר י"ז ולא נשים כלם כי אם י"ו והא' נקים עמנו אח"כ נגרע הדינרין וזה מהא' אשר למעלה נגרע הג' השפלים ולא נוכל ולכן נשיב הגרה אשר עכבנו עמנו אצל הדינר ויהיו ז' עם אותו הדינר הא' מצד כי הגרה שוה ו' דינרין ונסיר מהם ג' הנשאר ד' הנה הנשאר עדין פ"ו מנינים ג' טרי י"ו גרות ד' דינרין כזו היא צורתם
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפראות תשוב לאחור אם תצטרך כמו שתראה בדמיון
-|-
-|
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
-|-
-|ducati||tarini||grani||dinar
 |-
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|246
+|style="text-align:right;"|456
 |-
-|style="text-align:right;"|159
+|style="text-align:right;"|387
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|style="text-align:right;"|0
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|0
 |-
-|style="text-align:right;"|5
+|style="text-align:right;"|3
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|1
+|style="text-align:right;"|0
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|style="text-align:right;"|4
 |}
 |-
@@ Line 1,257: / Line 1,684: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|86
+|style="text-align:right;"|68
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
@@ Line 1,272: / Line 1,699: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |-
@@ Line 1,283: / Line 1,710: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|style="text-align:right;"|246&#8199;3&#8199;&#8199;2&#8199;1
+|style="text-align:right;"|456&#8199;0&#8199;&#8199;0&#8199;0
 |-
-|style="text-align:right;"|<u>159&#8199;4&#8199;&#8199;5&#8199;3</u>
+|style="text-align:right;"|<u>387&#8199;2&#8199;&#8199;3&#8199;4</u>
 |-
-|style="text-align:right;"|86&#8199;3&#8199;16&#8199;4
+|style="text-align:right;"|68&#8199;2&#8199;16&#8199;2
 |}
 |-
 |}
+|-
+|However, if you want to subtract in another way, i.e. if you want to start subtracting from the greatest [type of] currency, you should look if there is any digit below, in any place of any currency, that is greater than the corresponding digit above of the same currency. You should shift one backwards and apply the whole procedure with the one that is shifted backwards. If it is not greater, you do not need to shift backwards.
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> אם תרצה לגרוע באופן אחר ר"ל אם תרצה להתחיל הגרעון מן המטבע היותר <s>קטן</s> גדול ראוי לך לראות אם יש שום אות למטה באיזה מקום מאיזה מטבע שיהיה אם היא יותר גדולה מהאות המכוונת אשר למעלה באותו המטבע עצמו ראוי לך להשיב אחד אחורנית ולעשות כל מלאכה והמעשה עם אותו ששב לאחור ואם אינה יותר גדולה לא תצטרך לשוב לאחור
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן שמ"ז מנינים בלי טרי ד' גרות בלי שום דינר מספר ר"נ מנינים ד' טרי בלי שום גרה ד' דינרין
+*Example: we wish to subtract 123 minyanim, 2 tari, 4 gerot, and 3 dinar from 234 minyanim, 4 tari, 5 gerot, and 4 dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן רל"ד מנינים ד' טרין &#x202B;<ref>199v</ref>ה' גרות ד' דינרין מספר אשר הוא קכ"ג מנינים ב' טרי ד' גרות ג' דינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן מדרגת המניני' מן האות האחרונה ר"ל להתחיל מן המאיות ולגרוע מן הג' אשר הם למעלה במקום המאות הב' אשר הם למטה במקום המאות ג"כ ישאר א' לזה תשים אותו הא' למטה בקו שלישי אלא שים בו גלגל ר"ל ציפרא כי יצטרך לנו זה הא' מאד מצד כי עשרות מנינים אשר הן למטה (ק') הן יותר גדולות מהעשרות העליונות אח"כ תגרע העשרות וזה מן הד' העליוני' [הה'] התחתונים ולא נוכל ולכן נקח אותו אשר עכבנו עמנו ונשיבהו [אל ה]ד' ויהיו י"ד נסיר מהם ה' הנשאר ט' והנה נשים כל אלו הט' למטה במקום העשרות כי אין לנו צורך ממנו מצד כי אחדי המנינים העליוני' הם ד' ואותו שלמטה אינו מאומה כי אם גלגל הוא שחוזר ונסיר מהז' ציפרא הנשאר ז' ולא נשים כל אלו הז' במקום אחדי המנינים כי יצטרך לנו לאחד מהם ולכן נניח למטה ו' והאחד נקיים אותו עמנו אח"כ נגרע הטרי וזה מהציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נשיב אותו האחד אשר בידינו אצלו ויהיו ה' כי כבר ידעת כי המגן שוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר א' ונשים אותו למטה במקום הטרי ולא נעכב אותו כי הוא מעלת הגרות משוויים כי לא תוכל לומ' כי כבר תמצא למעלה במקום הגרות ארבעה ולמטה תמצא גלגל אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הד' העליונים הגלגל אשר למטה הנשאר ד' ולכן לא תשים כל אלו הארבעה למטה במקום הגרות אלא תשים ג' והא' תקים עמך אח"כ תגרע הדינרי' והנה תמצא למעלה גלגל ולמטה תמצא ד' ולכן לא תוכל לגרוע מהגלגל ר"ל כן נצר[ף] אותה הגרה אשר נשארה בידך אל הגלגל העליון ויהיו ו' כי כבר ידעת כי הגרה ו' דינרין ותסיר מאלו הו' הד' אשר למטה הנשאר שנים ושי' אותם למטה במקום הדינרין הנה הנשאר א"כ הוא צ"ו מנינים א טרי ג' גרות ב' דינרין כמו שהוא מצוייר בכאן
+:You should start from the hundreds of the minyanim, which is the greatest [type of] currency. Subtract the 1 below, in the place of the hundreds, from the 2 above, also in the place of the hundred; the remainder is 1. Write it below, in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי להתחיל מן מאיות המנינים שהוא המטבע היותר גדול וגרע מב' אשר הם למעלה במקום המאיות הא' אשר למטה במקום המאיות ג"כ הנשאר א' ושים אותו למטה במקום המאיות
 |-
 |
-{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+:Subtract the tens of the minyanim: 2 below from 3 above; the remainder is one. Write it below in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע עשרות מניני' וזה מג' אשר למעלה ב' שהם למטה הנשאר אחד ושים אותו למטה במקום העשרות
 |-
-|ducati||tarini||grani||dinar
+|
+:Subtract the units of the minyanim: the lower [3] from the upper 4; the remainder is 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע אחדי המנינים וזה מד' העליונים הד' תחתוני' הנשאר א' ושים אותו ג"כ למטה במקום העשרות האחדים
 |-
 |
-{|style="float:right;"
+:We have completed the calculation of the minyanim. Now, we subtract the other [types of] currencies:
+|style="text-align:right;"|הנה עשינו כל החשבון עם המנינים ועתה נגרע המטבעים האחרים
 |-
-|style="text-align:right;"|347
+|
+:We subtract the lower 2 tari from the upper 4 tari; the remainder is 2. Write it below in the place of the tari.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונגרע מן הד' טרי העליונים הב' טרי התחתונים הנשאר ב' ושים אותם למטה במקום הטרי
 |-
-|style="text-align:right;"|250
-|}
 |
-{|style="float:right;"
+:Then, the gerot: subtract the lower 4 from the upper 5; the remainder is 1. Write it below in the place of the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ הגרות וזה מהה' העליונים גרע הד' התחתונים הנשאר א' ושים אותם למטה במקום הגרות
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|
+:Then, subtract the dinar: they are 4 above and 3 below. Subtract 3 from 4; the remainder is 1. Write it below, on the third line, in the place of the dinar. The procedure is completed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-3=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הדינרין והם למעלה ד' ולמטה ג' ותגרע ג' מד' הנשאר א' ושים אותם למטה בקו שלישי במקום הדינרין ונשלם המעשה
+|-
+|
+:Therefore, the remainder is 111 minyanim, 2 tari, 1 gerah, and 1 dinar, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הנשאר הוא קי"א מנינים ב' טרי א' גרה א' דינר על זאת הצורה
+|-
+|
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
+|-
+|minyanim||tarini||gerot||dinar
+|-
+|
+{|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|234
 |-
-|style="text-align:right;"|4
+|style="text-align:right;"|123
 |}
 |
@@ Line 1,322: / Line 1,781: @@
 |style="text-align:right;"|4
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|0
+|style="text-align:right;"|5
+|-
+|style="text-align:right;"|4
+|}
+|
+{|style="float:right;"
 |-
 |style="text-align:right;"|4
+|-
+|style="text-align:right;"|3
 |}
 |-
@@ Line 1,335: / Line 1,801: @@
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|96
+|style="text-align:right;"|111
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|1
+|style="text-align:right;"|2
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|3
+|style="text-align:right;"|1
 |}
 |
 {|style="float:right;"
 |-
-|style="text-align:right;"|2
+|style="text-align:right;"|1
 |}
 |-
@@ Line 1,361: / Line 1,827: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|style="text-align:right;"|347&#8199;0&#8199;4&#8199;0
+|style="text-align:right;"|234&#8199;4&#8199;5&#8199;4
 |-
-|style="text-align:right;"|<u>250&#8199;4&#8199;0&#8199;4</u>
+|style="text-align:right;"|<u>123&#8199;2&#8199;4&#8199;3</u>
 |-
-|style="text-align:right;"|96&#8199;1&#8199;3&#8199;2
+|style="text-align:right;"|111&#8199;2&#8199;1&#8199;1
 |}
 |-
 |}
+|-
+|If you want to subtract and the lower digit is greater than the upper [digit], meaning one of the coins, shift 1 backwards and it will be enough for you as mentioned above.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לגרוע מספר ויהיה האות התחתונה גדולה מהעליונה רצוני לומר אחד מן המטבעים תשיב א' לאחור ויספיק לך כנזכר לעיל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער השני והתהלה לאל
+*Example: we wish to subtract 159 minyanim, 4 tari, 5 gerot, and 3 dinar from 246 minyanim, 3 tari, 2 gerot, and 1 dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן רמ"ו מנינים ג' טרי ב' גרות א' דינר קנ"ט מנינים ד' טרי ה' גרות ג' דינרין
 |-
-|}
+|
+:You should start from the hundreds of the minyanim. Subtract the 1 below from the 2 above; the remainder is 1.
-{|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-1=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן המאיות ממטבע המנינים ותגרע מן ב' אשר למעלה הא' אשר למטה הנשאר א&#x202B;'
 |-
 |
+:But, do not write anything on the third line, because you need to shift it backwards, since the lower digits are greater than the upper [digits].
-== Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers ==
+|style="text-align:right;"|אבל לא תשים בקו שלישי מאומה מצד כי נצטרך להשיבו אחורנית מפני האותיות התחתונות שהם יותר גדולות מהעליונות
-|style="text-align:right;"|השער השלישי ידבר על ה{{#annot:term|156,1230|ykbd}}כפל{{#annotend:ykbd}} בכל האופנים שאפשר להמצא בשלמי'
 |-
-|Know that the one who wants to multiply any number by another number has to put the greater number above and the smaller below.
+|
-|style="text-align:right;"|דע כי הרוצה לכפול שום מספר על מספר אחר יש לו לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה
+:We shift the 1 backwards to the tens above, which are 4; they are 14.
+|style="text-align:right;"|ונשים זה הא' לאחור אצל העשרות אשר הם למעלה שהם ד' ויהיו י"ד
 |-
-|He should start to multiply from the units, i.e. he has to multiply the first digit below, which are the units, by the rank of the units above, then by the rank of the tens, then by the rank of the hundreds and so on until they are complete.
+|
-|style="text-align:right;"|ויש לו להתחיל מן האחדים לכפול ר"ל האות הראשנה אשר למטה שהם האחדים יש לו לכפול על מדרגת האחדים אשר למעלה אח"כ על מדרגת העשרו' ואח"כ על מדרגת המאות וכן תמיד עד תומם
+:We subtract 5 from them; the remainder is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+4\right)-5=14-5=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ה' נשאר &#x202B;<ref>200r</ref>הנשאר ט&#x202B;'
 |-
-|After one have made all the products that should be done with the first digit, he should do the same with the second and with the third, if the number is that great; he then should sum each type, i.e. units with units, tens with tens, hundreds with hundreds; and the result is the required.
+|
-|style="text-align:right;"|ואחר שעשית כל ההכאו' הראויות לעשות עם האות הראשנה יעשה כן מהשניה וכן מהג' אם המספר כל כך גדול ואח"כ יחבר הכל מין עם מינו ר"ל אחדים עם אחדי' עשרות עם עשרות מאיות עם מאיות והעולה הוא המבוקש
+:We do not write the 9 below on the third line, but keep 1 to shift it backwards. We write 8 below in the rank of tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9-1=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נשים כל אלו הט' למטה בקו שלישי אלא נעכב א' בידינו להשיבו לאחור והח' נשים למטה במדרגת העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי מיני הכפל הם רבים ואנו נעשה ה{{#annot:term|156,1229|9MRl}}הכפלה{{#annotend:9MRl}} על ג' דרכים אם יסכים השם בחיים גם נדבר מעט על הכפל הרביעי הנקרא בלשונם אשקקי או קואדרו
+:Then, subtract the units of the minyanim: we subtract the lower 9 from the upper 6 - we cannot. So, we add the 1 in our hand that is worth ten to the 6; they are 16.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע האחדים מהמנינים ונגרע מהו' העליונים הט' התחתונים ולא נוכל ולכן נצרף עם הו' הא' אשר הוא בידינו ששוה עשרה ויהיו י"ו
 |-
 |
-=== Type one ===
+:We subtract 9 from them; the remainder is 7.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+6\right)-9=16-9=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונדבר בתחלה על הכפל הנהוג אצל רוב הסוחרים ואח"כ נדבר בדרכים האחרים
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ט' הנשאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:23×24|156|w4Hh}}Example: we wish to multiply 23 by 2[4].
+:We do not write the 7 below, but we write 6, keep 1 in our hand and shift it backwards.
-:<math>\scriptstyle23\times24</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על כ"ג{{#annotend:w4Hh}}
+|style="text-align:right;"|ולא נשים כל הז' למטה אלא נשים מהם ו' ונעכב א' בידינו ונשיבהו אחורנית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נשים הכ"ג למעלה והד' (כ"ד) למטה ואם תהפכם לא יזיק כי הכל הולך אל מקום אחד ודרך אחד לכלם
+:Then, we subtract the tari: we subtract the lower 4 from the upper 3 - we cannot. So, we shift back the magen in our hand to the 3 tari; they are 8, because the magen is worth 5 tari.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נסיר הטרי ונסיר מן הג' העליונים הד' התחתונים ולא נוכל לכן נשיב זה המגן אשר הוא בידינו אצל הג' טרי ויהיו ח' כי המגן ישוה ה' טרי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה בתחלה נכפול הד' אשר הם למעלה (למטה) עם הג' אשר הם למטה (למעלה) שהם במדרגת האחדים ונאמ' ד' פעמים ג' הם י"ב
+:We subtract 4 from them; the remainder is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+3\right)-4=8-4=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מהם ד' הנשאר ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נשים הב' למטה בקו שלישי ונעכב העשרה
+:We do not write the 4, but 3, and keep the 1 in our hand to shift it backwards to the gerot.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נשים מאלו הד' כי אם ג' והא' נעכב להשיבו אחור מפני הגרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה שיש לך מן האחדים ויהיו ט'
+:Then, we subtract the gerot: 5 from 2 - we cannot. So, we shift back the tari to the 2 gerot; they are 22, because the tari is worth twenty gerah.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נגרע הגרות וזה מב' ה' ולא נוכל לכן נשיב זה הטרי אצל הב' גרות ויהיו כ"ב יען כי הטרי הוא עשרים גרה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושימם במקום העשרות אח"כ תוציא לחוץ האות הראשנה ר"ל שלא תעשה שום {{#annot:term|156,1256|L9nW}}הכאה{{#annotend:L9nW}} עוד עם הד' אשר הם למטה במקו' האחדים מאחר שהכינו אותה עם כל המדרגות העליונות
+:We subtract 5 from the 22; the remainder is 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(20+2\right)-5=22-5=17}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מהכ"ב ה' הנשאר י"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכה המדרגה השנית אשר למטה עם כל המדרגות אשר הם למעלה
+:We do not write all of it, but 16, and keep the 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17-1=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נשים כלם כי אם י"ו והא' נקים עמנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותכה אותה תחלה עם ג' ר"ל הב' אשר הם למטה במקום העשרות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
+:Then, we subtract the dinar: we subtract the lower 3 from the upper 1 - we cannot. So, we shift back the gerah that we kept to the dinar; they are 7 with the 1 dinar, because the gerah is worth 6 dinar.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נגרע הדינרין וזה מהא' אשר למעלה נגרע הג' השפלים ולא נוכל ולכן נשיב הגרה אשר עכבנו עמנו אצל הדינר ויהיו ז' עם אותו הדינר הא' מצד כי הגרה שוה ו' דינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אלו הו' בקו אחרת ונקראנו קו רביעי ושים אותם במקום העשרות
+:We subtract 3 from them; the remainder is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+1\right)-3=7-3=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מהם ג' הנשאר ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה ותאמר ב' פעמים ב' הם ד'
+:The remainder is 86 minyanim, 3 tari, 16 gerot, and 4 dinar; this is their diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה הנשאר עדין פ"ו מנינים ג' טרי י"ו גרות ד' דינרין כזו היא צורתם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ד' אל המדרגה הבאה אחר העשרות ר"ל במקום המאיות אח"כ תחבר הכל ויהיה העולה תקנ"ב וזהו צורתם
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
-|
+|minyanum||tarini||gerot||dinar
-|
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+{|style="float:right;"
 |-
-|&nbsp;||2||3
+|style="text-align:right;"|246
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||2||4
 |-
-|5||5||2
+|style="text-align:right;"|159
 |}
+|
+{|style="float:right;"
 |-
-|}
+|style="text-align:right;"|3
 |-
+|style="text-align:right;"|4
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי אם תרצה לכפול ג' מספרים על אחד יצטרך לעשו' ג' {{#annot:term|156,1256|HLMy}}הכאות{{#annotend:HLMy}} ולא יותר
+{|style="float:right;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|2
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ב' אותיות אתה צריך לעשות ו' הכאות
 |-
+|style="text-align:right;"|5
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תכפול ג' אותיות על ג' אותיות תצטרך לעשות ט' הכאות
+{|style="float:right;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|1
-*{{#annot:234×24|156|rKP4}}Example: we wish to multiply 234 by 24.
-:<math>\scriptstyle234\times24</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לכפול רל"ד על כ"ד{{#annotend:rKP4}}
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|3
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול תחלה הד' אשר הם למטה במקום האחדי' עם הד' אשר הם ג"כ למעלה במקום האחדים ויהיו י"ו
+|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ו' במקום האחדים בקו שלישי והי' תקים עמך
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|86
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם במקו' האחדים למטה על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויעלו י"ב ותחבר אליהם אותה העשרה שיש לך ויהיו י"ג
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|3
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ג' במקום העשרות בקו שלישי והעשרה תחזיק עמך
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|16
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' התחתונים נגד הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה ויהיו ט'
+{|style="float:right;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|4
-|style="text-align:right;"|הנה כבר נשלם הכפל מהאות הראשנה אשר למטה
+|}
 |-
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה נשוב לכפול האות השניה אשר במדרגת העשרות עם כל האותיות העליונות
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר למעלה במדרגת האחדים ויהיו ח'
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|246&#8199;3&#8199;&#8199;2&#8199;1
-|style="text-align:right;"|ושים אותם הח' בשטה רביעית נגד העשרות
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|<u>159&#8199;4&#8199;&#8199;5&#8199;3</u>
-|style="text-align:right;"|אחר כן תכפול עוד הב' אשר הם למטה נגד הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|86&#8199;3&#8199;16&#8199;4
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בשטה רביעית במקום המאיות
+|}
 |-
-|
+|}
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאיות ויהיו ד'
 |-
-|
+|If you want to subtract [from] a number that has zeros, shift backward if you need, as you see in the example:
-|style="text-align:right;"|ושים אותם הד' בשטה רביעית במקום האלפים
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לגרוע מספר יהיה בו ציפראות תשוב לאחור אם תצטרך כמו שתראה בדמיון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כל אלו ה{{#annot:term|241,1256|FRJf}}הכאות{{#annotend:FRJf}} ויהיה העולה ה' אלפים ותרי"ו על זאת הצורה
+*Example: we wish to subtract 250 minyanim, 4 tari, no gerah, and 4 dinar from 347 minyanim, no tari, 4 gerot, and no dinar.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לגרוע מן שמ"ז מנינים בלי טרי ד' גרות בלי שום דינר מספר ר"נ מנינים ד' טרי בלי שום גרה ד' דינרין
 |-
 |
-|
+:You should start from the last digit of the minyanim, i.e. start from the hundreds and subtract the 2 below in the place of the hundreds from the 3 above also in the place of the hundreds; 1 remains.
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להתחיל מן מדרגת המניני' מן האות האחרונה ר"ל להתחיל מן המאיות ולגרוע מן הג' אשר הם למעלה במקום המאות הב' אשר הם למטה במקום המאות ג"כ ישאר א&#x202B;'
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+:[Do not] write it below on the third line, but write a wheel there, i.e. a zero, because we need this 1 very much, for the tens of the minyanim below are greater than the upper tens.
-|-
+|style="text-align:right;"|לזה תשים אותו הא' למטה בקו שלישי אלא שים בו {{#annot:term|205,1472|jTVW}}גלגל{{#annotend:jTVW}} ר"ל ציפרא כי יצטרך לנו זה הא' מאד מצד כי עשרות מנינים אשר הן למטה ק' הן &#x202B;<ref>200v</ref>יותר גדולות מהעשרות העליונות
-|&nbsp;||2||3||4
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||2||4
-|-
-|5||6||1||6
-|}
-|-
-|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ג' אותיות ראוי לעשות ככה
+:Then, subtract the tens: the bottom 5 from the upper 4. But, we cannot. So, we take the one we kept and shift it to the 4; it is 14.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע העשרות וזה מן הד' העליוני' הה' התחתונים ולא נוכל ולכן נקח אותו אשר עכבנו עמנו ונשיבהו אצל הד' ויהיו י"ד
 |-
 |
-*{{#annot:222×333|156|79NX}}Example: we wish to multiply 222 by 333.
+:We subtract 5 from it; the remainder is 9.
-:<math>\scriptstyle222\times333</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14-5=9}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רכ"ב על של"ג{{#annotend:79NX}}
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ה' הנשאר ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות ותתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הג' אשר הם למעלה במקום האחדים גם כן ויעלו ו'
+:We write the 9 in the place of the tens below, because we do not need it, since the upper units of the minyanim are 4 and below there is nothing but a wheel.
+|style="text-align:right;"|והנה נשים כל אלו הט' למטה במקום העשרות כי אין לנו צורך ממנו מצד כי אחדי המנינים העליוני' הם ד' ואותו שלמטה אינו מאומה כי אם גלגל הוא שחוזר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים
+:We subtract a zero from the 7; the remainder is 7.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-0=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מהז' ציפרא הנשאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול אותם הב' ממש ר"ל אותם אשר הם למטה במדרגת האחדים נגד העשרות אשר הם למעלה ויהיו ו'
+:But, we do not write this 7 in the place of the units of the minyanim, because we need one of them. So, we write 6 below and keep the one.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-1=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולא נשים כל אלו הז' במקום אחדי המנינים כי יצטרך לנו לאחד מהם ולכן נניח למטה ו' והאחד נקיים אותו עמנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו שלישי במקום העשרות
+:Then, we subtract the tari: the 4 below from the zero above. We cannot. So, we shift to it the one we have in our hand, it is 5, because you already know that the magen is worth 5 tari. We subtract 4 from it; the remainder is 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נגרע הטרי וזה מהציפרא אשר היא למעלה הד' אשר הם למטה ולא נוכל ולכן נשיב אותו האחד אשר בידינו אצלו ויהיו ה' כי כבר ידעת כי המגן שוה ה' טרי ונסיר מהם ד' הנשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול אותם הב' אשר (הם למטה) על הג' אשר למעלה במקום המאות ויהיו ו' ג"כ
+:We write it below in the place of the tari and do not keep it [...] because you find four above in the place of the gerot and below you find a wheel.
+|style="text-align:right;"|ונשים אותו למטה במקום הטרי ולא נעכב אותו כי הוא מעלת הגרות משוויים כי לא תוכל לומ' כי כבר תמצא למעלה במקום הגרות ארבעה ולמטה תמצא גלגל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותקים אותם במקום המאות
+:Then, subtract the gerot: subtract the wheel below from the upper 4; the remainder is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-0=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הגרות ותגרע מן הד' העליונים הגלגל אשר למטה הנשאר ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה עשינו עם האות הראשנה התחתונה כל ההכאות
+:You do not write the four below in the place of the gerot, but write 3 and keep the 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-1=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן לא תשים כל אלו הארבעה למטה במקום הגרות אלא תשים ג' והא' תקים עמך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה נרצה להכות האות השנית שהיא ב' במקום העשרות עם כל האותיות העליונות
+:Then, subtract the dinar: you find a wheel above and below you find 4. You cannot subtract from the wheel, so we add the gerah that is left in your hand to the upper wheel; they are 6, as you already know that the gerah is 6 dinar. Subtract the 4 below from the 6; the remainder is two.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-4=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תגרע הדינרי' והנה תמצא למעלה גלגל ולמטה תמצא ד' ולכן לא תוכל לגרוע מהגלגל ר"ל כן נצר[ף] אותה הגרה אשר נשארה בידך אל הגלגל העליון ויהיו ו' כי כבר ידעת כי הגרה ו' דינרין ותסיר מאלו הו' הד' אשר למטה הנשאר שנים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותכפול הב' בתחלה על הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
+:Write it below in the place of the dinar.
+|style="text-align:right;"|ושי' אותם למטה במקום הדינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום העשרות
+:Therefore, the remainder is 96 minyanim, 1 tari, 3 gerot, and 2 dinar, as is written here:
+|style="text-align:right;"|הנה הנשאר א"כ הוא צ"ו מנינים א' טרי ג' גרות ב' דינרין כמו שהוא מצוייר בכאן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הב' אשר (הם למטה) על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
+:{|class="wikitable" style="color: blue; text-align:right;"
 |-
-|
+|minyanim||tarini||gerot||dinar
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול אותם הב' עצמם על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו'
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|347
+|-
+|style="text-align:right;"|250
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום האלפים
+{|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|0
 |-
+|style="text-align:right;"|4
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|הנה עשינו כל הכפל וההכאה מהאות השניה אשר למטה עם כל האותיות העליונות
+{|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|4
 |-
+|style="text-align:right;"|0
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב והכה המדרגה הג' ר"ל האות הג' אשר למטה עם כל האותיות העליונות
+{|style="float:right;"
+|-
+|style="text-align:right;"|0
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|4
-|style="text-align:right;"|ותכה תחלה הב' אשר למטה עם הג' אשר למעלה במקום האחדים ויהיו ו'
+|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום המאיות אח"כ תשוב ותכפול הב' על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו'
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|96
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום האלפים
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|1
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר למטה על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו'
+{|style="float:right;"
 |-
+|style="text-align:right;"|3
+|}
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום עשרת אלפים
+{|style="float:right;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|2
-|style="text-align:right;"|והנה נשלמו כל הט' הכאות אח"כ תחבר כל אלו ההכאות מין עם מינו ויהיה העולה ע"ג אלפים ותתקכ"ו על זאת הצורה
+|}
 |-
-|
+|}
 |
 {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
+|-
+|style="text-align:right;"|347&#8199;0&#8199;4&#8199;0
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||3||3||3
+|style="text-align:right;"|<u>250&#8199;4&#8199;0&#8199;4</u>
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||2||2||2
 |-
-|7||3||9||2||6
+|style="text-align:right;"|96&#8199;1&#8199;3&#8199;2
 |}
 |-
 |}
 |-
-|
+|Here the second chapter is completed.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול איזה דבר שיהיה על האחר ויהיה באחד משניהם ציפרא ראוי למנות הציפרא ולעשות ההכאה עמה כאלו היתה אות באיזה מקום שתמצאנו או למעלה או למטה
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער השני
+|-
+|Glory to God
+|style="text-align:right;"|והתהלה לאל
 |-
-|
+|}
-*{{#annot:230×324|156|HEIx}}Example: we wish to multiply 230 by 324.
-:<math>\scriptstyle230\times324</math>
+{|
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול מספר ר"ל על מספר שכ"ד{{#annotend:HEIx}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול בתחלה הד' אשר הם למטה במדרגת האחדים על הציפרא אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ותאמר ד' פעמים ציפרא היא ציפרא
+== Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers ==
+|style="width:45%; text-align:right;"|<big>השער השלישי</big> ידבר על ה{{#annot:term|156,1230|ykbd}}כפל{{#annotend:ykbd}} בכל האופנים שאפשר להמצא בשלמי&#x202B;'
 |-
-|
+|Know that the one who wants to multiply any number by another number must write the greater number above and the smaller below.
-|style="text-align:right;"|ולכן תשים ציפרא במקום האחדים
+|style="text-align:right;"|דע כי הרוצה לכפול שום מספר על מספר אחר יש לו לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה
 |-
-|
+|He should start to multiply from the units, i.e. he has to multiply the first digit below, which are the units, by the rank of the units above, then by the rank of the tens, then by the rank of the hundreds and so on until they are complete.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' מלמטה על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלה י"ב
+|style="text-align:right;"|ויש לו &#x202B;<ref>201r</ref>להתחיל מן האחדים לכפול ר"ל האות הראשנה אשר למטה שהם האחדים יש לו לכפול על מדרגת האחדים אשר למעלה אח"כ על מדרגת העשרו' ואח"כ על מדרגת המאות וכן תמיד עד תומם
 |-
-|
+|After one have made all the products that should be done with the first digit, he should do the same with the second and with the third, if the number is that great; he then should sum each type, i.e. units with units, tens with tens, hundreds with hundreds; and the result is the required.
-|style="text-align:right;"|ותשים ב' במקום העשרות ותעכב העשרה עמך
+|style="text-align:right;"|ואחר שעשית כל ההכאו' הראויות לעשות עם האות הראשנה יעשה כן מהשניה וכן מהג' אם המספר כל כך גדול ואח"כ יחבר הכל מין עם מינו ר"ל אחדים עם אחדי' עשרות עם עשרות מאיות עם מאיות והעולה הוא המבוקש
 |-
-|
+|Know that the types of multiplication are numerous and we apply multiplication in three ways, if God agrees with the livings. We will also talk a little about the fourth [type of] multiplication called in their language ishkaki or quadro.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' נגד הב' אשר למעלה במקו' המאיות ויעלה ח' ותחבר אליהם אותה העשרה שהיה לך כבר ויעלה ט'
+|style="text-align:right;"|ודע כי מיני הכפל הם רבים ואנו נעשה ה{{#annot:term|156,1229|9MRl}}הכפלה{{#annotend:9MRl}} על ג' דרכים אם יסכים השם בחיים גם נדבר מעט על הכפל הרביעי הנקרא בלשונם אשקקי או קואדרו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם הט' במדרגת המאות בקו שלישי אח"כ תחבר הב' אשר הם למטה במקום העשרות כי כבר השלמנו הכפל מהאות הראשנה התחתונה עם כל האותיות העליונות
+=== <span style=color:Green>Type one</span> ===
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|ותכפול אותם הב' על הציפרא אשר היא למעלה במקו' האחדים ויעלה בידך ציפרא
 |-
-|
+|First, we will discuss the multiplication used by most traders, then we will discuss the other ways.
-|style="text-align:right;"|ולכן תשים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
+|style="text-align:right;"|ונדבר בתחלה על הכפל הנהוג אצל רוב הסוחרים ואח"כ נדבר בדרכים האחרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם הב' ג"כ השפלים נגד הו' (הג') אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלו ו'
+*{{#annot:23×24|156|w4Hh}}Example: we wish to multiply 23 by 2[4].
+:<math>\scriptstyle23\times24</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול כ"ג על כ"ג{{#annotend:w4Hh}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם נגד המאות בקו רביעי
+:We write the 23 above and the [2]4 below. If you switch between them it does not matter, because everything leads to same result and there is one way for all.
+|style="text-align:right;"|הנה נשים הכ"ג למעלה והד' למטה ואם תהפכם לא יזיק כי הכל הולך אל מקום אחד ודרך אחד לכלם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הב' ג"כ העליונים על הב' אשר הם במקום המאות ויעלו ד'
+:So, first we multiply the 4 [below] by the 3 [above], which is in the rank of units. We say: 4 times 3 is 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times3=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בתחלה נכפול הד' אשר הם למעלה עם הג' אשר הם למטה  שהם במדרגת האחדים ונאמ' ד' פעמים ג' הם י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו ד' במקום האלפים
+:We write the 2 below, on a third line, and keep the ten.
+|style="text-align:right;"|והנה נשים הב' למטה בקו שלישי ונעכב העשרה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נשלם הכפל מהאות הב' שלמטה
+:Then, we multiply the 4 below, in the place of the units, by the 2 above, in the place of the tens; it is 8.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול האות הג' שלמטה עם כל האותיות העליונות
+:Add to it the ten you got from the units; it is 9. Write it in the place of the tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם העשרה שיש לך מן האחדים ויהיו ט' ושימם במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותכפול אותה עם הציפרא תחלה ויעלה ציפרא
+:Remove the first digit, i.e. do not multiply anymore by the 4 below, in the place of the units, because we have multiplied it by all the upper ranks.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא לחוץ האות הראשנה ר"ל שלא תעשה שום {{#annot:term|156,1256|L9nW}}הכאה{{#annotend:L9nW}} עוד עם הד' אשר הם למטה במקו' האחדים מאחר שהכינו אותה עם כל המדרגות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן שים ציפרא בקו ה' במקום המאות
+:Then, multiply the second rank below by all the ranks above.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכה המדרגה השנית אשר למטה עם כל המדרגות אשר הם למעלה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הג' ג"כ שלמטה נגד הג' אשר הם למעלה במדרגה הב' ויהיו ט'
+:Multiply it first by 3, i.e. the 2 below, in the place of the tens, by the 3 above, in the place of the units; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה אותה תחלה עם ג' ר"ל הב' אשר הם למטה במקום העשרות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אלו הט' במדרגת האלפים בקו ה'
+:Write the 6 on another line, which we call the fourth line. Write it in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|ושים אלו הו' בקו אחרת ונקראנו קו רביעי ושים אותם במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הג' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו ו'
+:Then, multiply the 2 below by the 2 above and say: 2 times 2; it is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה ותאמר ב' פעמים ב' הם ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים בקו ה'
+:Write 4 in the rank that follows the tens, i.e. the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים ד' &#x202B;<ref>201v</ref>אל המדרגה הבאה אחר העשרות ר"ל במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונשלם הכפל מכל הג' אותיות אח"כ תחבר הכל זה על זה ויהיה סך העולה ע"ד אלפים תק"כ וזאת צורתם
+:Then, add up all; the result is 552 and this is it diagram:
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר הכל ויהיה העולה תקנ"ב וזהו צורתם
 |-
 |
@@ Line 1,691: / Line 2,235: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||3||0
+|&nbsp;||2||3
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||3||2||4
+|&nbsp;||2||4
 |-
-|7||4||5||2||0
+|5||5||2
 |}
 |-
 |}
 |-
-|
+|Know that if you want to multiply three digits by one [digit], three products are needed, no more.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' סכומות ויהיה בכל אחד מהם ציפרא יש לך לכפול הציפרא על כל האותיות אשר תמצא ותחבר הכל מין עם מינו והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|<big>ודע</big> כי אם תרצה לכפול ג' מספרים על אחד יצטרך לעשו' ג' {{#annot:term|156,1256|HLMy}}הכאות{{#annotend:HLMy}} ולא יותר
 |-
-|
+|If you want to multiply three digits by two digits, you must do six multiplications.
-*{{#annot:240×368|156|V6r3}}Example: we wish to multiply 240 by 368.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ג' אותיות על ב' אותיות אתה צריך לעשות ו' הכאות
-:<math>\scriptstyle240\times368</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לכפול ר"ם על שס"ח{{#annotend:V6r3}}
 |-
-|
+|If you multiply three digits by three digits, you must do nine multiplications.
-|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הח' אשר הם למטה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויעלה לך ציפרא
+|style="text-align:right;"|ואם תכפול ג' אותיות על ג' אותיות תצטרך לעשות ט' הכאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הח' התחתונים שהם במדרגת האחדים על הד' אשר במדרגת העשרות ויהיו ל"ב
+*{{#annot:234×24|156|rKP4}}Example: we wish to multiply 234 by 24.
+:<math>\scriptstyle234\times24</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נרצה לכפול רל"ד על כ"ד{{#annotend:rKP4}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותשים הב' במקום העשרות ותקיים בידך הל'
+:First you should multiply the 4 below, in the place of the units, by the 4 above, in the place of the units also; it is 16.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times4=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול תחלה הד' אשר הם למטה במקום האחדי' עם הד' אשר הם ג"כ למעלה במקום האחדים ויהיו י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הח' על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ו ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ט
+:Write 6 in the place of the units, on a third line, and keep the 10.
+|style="text-align:right;"|ושים ו' במקום האחדים בקו שלישי והי' תקים עמך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו ג'
+:Multiply again the 4 in the place of the units below by the 3 above, in the place of the tens; the result is 12. Add to it the ten you have; it is 13.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times3\right)+1=12+1=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם במקו' האחדים למטה על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויעלו י"ב ותחבר אליהם אותה העשרה שיש לך ויהיו י"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה עשינו כל ההכאות עם הח' אשר הם למטה במקום האחדים
+:Write 3 in the place of the tens, on the third line, and keep the ten.
+|style="text-align:right;"|ושים ג' במקום העשרות בקו שלישי והעשרה תחזיק עמך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות העומדות למטה שהם ו'
+:Multiply again the lower 4 by the 2 above, in the place of the hundreds; it is 8. Add to it the ten you have; it is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' התחתונים נגד הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ח' ותחבר אליהם העשרה ויהיו ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותכפול אותם בתחלה על הציפרא העומדת למעלה ויעלה בידך ציפרא
+:The multiplication by the first digit below has completed.
+|style="text-align:right;"|הנה כבר נשלם הכפל מהאות הראשנה אשר למטה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
+:Now, we turn to multiply the second digit, in the rank of the tens, by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|ועתה נשוב לכפול האות השניה אשר במדרגת העשרות עם כל האותיות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות ג"כ התחתונות על המ' אשר למעלה ויעלה בידך כ"ד
+:We multiply the 2 below, in the rank of tens, by the 4 above, in the rank of units; it is 8.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר למעלה במדרגת האחדים ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה תשים הד' במקום המאות והב' תעכב עמך
+:Write the 8 on a fourth line corresponding to the tens.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם הח' בשטה רביעית נגד העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הו' אשר למטה על הב' אשר הם למעלה ויעלה י"ב תחבר אליהם הב' ויהיו י"ד
+:Multiply again the 2 below by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אחר כן תכפול עוד הב' אשר הם למטה נגד הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול המאיות אשר הם למטה על כל האותיות שהם למעלה
+:Write it on the fourth line, in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בשטה רביעית במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נכפול בתחלה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויהיה ציפרא
+:Multiply again the 2 below by the 2 above, in the rank of hundreds; it is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאיות ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול אותו על הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
+:Write the 4 on the fourth line, in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם הד' בשטה רביעית במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הב' במקום האלפים
+:Then, add up all these products; the result is 5616, as this diagram:
-|-
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כל אלו ה{{#annot:term|241,1256|FRJf}}הכאות{{#annotend:FRJf}} ויהיה העולה ה' אלפים ותרי"ו על זאת הצורה
-|
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם על המאות אשר למעלה ויעלו ו' ותחבר אליהם האחד והיו ז'
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא מכפל זה על זה הוא פ"ח אלפים וש"כ על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 1,769: / Line 2,327: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||4||0
+|&nbsp;||2||3||4
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||3||6||8
+|&nbsp;||&nbsp;||2||4
 |-
-|8||8||3||2||0
+|5||6||1||6
 |}
 |-
 |}
 |-
-|
+|If you want to multiply three digits by three digits, you should do as follows:
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ב' ציפרי או יותר יש לך לחשוב כל א' מאלו כאלו היה מספר ועשות ההכאה עם כל א' וא'
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול ג' אותיות על ג' אותיות ראוי לעשות ככה
 |-
 |
-*{{#annot:403×230|156|AjXB}}Example: we wish to multiply 403 by 230.
+*{{#annot:222×333|156|79NX}}Example: we wish to multiply 222 by 333.
-:<math>\scriptstyle403\times230</math>
+:<math>\scriptstyle222\times333</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לכפול מספר ת"ג על מספר ר"ל{{#annotend:AjXB}}
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול &#x202B;<ref>202r</ref>רכ"ב על של"ג{{#annotend:79NX}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול בתחלה הציפרא אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיה העולה ציפרא
+:Write them in two rows.
+|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם למטה במדרגת האחדים בקו ג'
+:Start multiplying the 2 below, in the place of the units, by the 3 above, in the place of the units also; the result is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הג' אשר הם למעלה במקום האחדים גם כן ויעלו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הציפרא על הציפרא אשר היא למעלה ויהיה העולה ציפרא
+:Write it on a third line, in the place of the units.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו שלישי במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותה בקו ג' במדרגת העשרות
+:Multiply the same 2, i.e. which is below, in the rank of units, by the tens above; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול אותם הב' ממש ר"ל אותם אשר הם למטה במדרגת האחדים נגד העשרות אשר הם למעלה ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד כפול הציפרא על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה בידך ציפרא
+:Write it on the third line, in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו שלישי במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ציפרא בקו ג' במדרגת המאות
+:Multiply the 2 [below] also by the 3 above, in the place of the hundreds; it is also 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול אותם הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום המאות ויהיו ו' ג"כ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה כבר עשינו כל ההכאות מהציפרא אשר היא בשטה התחתונה עם כל המדרגות העליונות
+:Write it in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ותקים אותם במקום המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכה הג' אשר למטה במדרגת העשרות עם כל המדרגות העליונות
+:We have completed all the multiplications by the first lower digit.
+|style="text-align:right;"|והנה עשינו עם האות הראשנה התחתונה כל ההכאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונכה אותה תחלה עם הג' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיה העולה תשעה
+:Now, we want to multiply the second digit, which is 2, in the place of the tens, by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|ועתה נרצה להכות האות השנית שהיא ב' במקום העשרות עם כל האותיות העליונות
+|-
+|
+:First, multiply the 2 by the 3 above, in the place of the units; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפול הב' בתחלה על הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ו&#x202B;'
+|-
+|
+:Write it on a fourth line, in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במדרגת העשרות
+:Multiply again the 2 [below] by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הב' אשר על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכה אותם הג' של מטה עם הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרו' ויהיה היוצא ציפרא
+:Write it on the fourth line, in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותה במדרגת המאות
+:Multiply again the same 2 by the 3 above, in the place of the hundreds; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול אותם הב' עצמם על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול אותם הג' של מטה על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה י"ב
+:Write it on the fourth line, in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הי' במדרגת העשרות אלפים והב' במקום אחדי האלפים
+:We have completed all the multiplications of the second lower digit by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|הנה עשינו כל הכפל וההכאה מהאות השניה אשר למטה עם כל האותיות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה השלמנו ההכאה מהג' אשר הם למטה במקום העשרות עם כל המדרגות העליונות
+:Multiply again the third rank, i.e. the third digit below, by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב והכה המדרגה הג' ר"ל האות הג' אשר למטה עם כל האותיות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה נכה הב' אשר הם למטה במקום המאיות עם כל המדרגות העליונות
+:First, multiply the 2 below by the 3 above, in the place of the units; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה תחלה הב' אשר למטה עם הג' אשר למעלה במקום האחדים ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונכה תחלה הב' עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו ו'
+:Write it on a fifth line, in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נשים אותם בקו הה' במקום המאיות
+:Multiply again the 2 by the 3 above, in the place of the tens; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול הב' על הג' אשר למעלה במקום העשרות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הב' נגד הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ויעלה בידך ציפרא
+:Write it on the fifth line, in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותה הציפרא במ[דרגת ה]אלפים
+:Multiply again the 2 below by the 3 above, in the place of the hundreds; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול הב' אשר למטה על הג' אשר למעלה במקום המאיות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הב' פעם ג' עם הד' אשר הם למעלה במקום המ[או]ת [ויעלה] ח'
+:Write it on the fifth line, in the place of the ten thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו חמישי במקום עשרת אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אלו הח' למטה בקו ה' במקום עשרת אלפים
+:All nine multiplications have been completed.
+|style="text-align:right;"|והנה נשלמו כל הט' הכאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה השלמנו כל הט' הכאות ואח"כ נחבר הכל ויהיה העולה צ"ב אלפים ותר"צ וזאת היא צורתם
+:Then, add up all these products, each [rank with its corresponding rank]; the result is 73926, according to this diagram:
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כל אלו ההכאות מין עם מינו ויהיה העולה ע"ג אלפים ותתקכ"ו על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 1,862: / Line 2,460: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||4||0||3
+|&nbsp;||&nbsp;||3||3||3
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||2||3||0
+|&nbsp;||&nbsp;||2||2||2
 |-
-|9||2||6||9||0
+|7||3||9||2||6
 |}
 |-
 |}
+|-
+|If you want to multiply any [number] by another, one of which has a zero, you should consider the zero and multiply by it, as if there were a digit where you find it, whether above, or below.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול איזה דבר שיהיה על האחר &#x202B;<ref>202v</ref>ויהיה באחד משניהם ציפרא ראוי למנות הציפרא ולעשות ההכאה עמה כאלו היתה אות באיזה מקום שתמצאנו או למעלה או למטה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תכפול ד' אותיות על ד' אותיות ראוי לעשות י"ו הכאות
+*{{#annot:230×324|156|HEIx}}Example: we wish to multiply 230 by 324.
+:<math>\scriptstyle230\times324</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול מספר ר"ל על מספר שכ"ד{{#annotend:HEIx}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וה' על ה' ראוי לעשות כ"ה וכן עד אין קץ ואין צורך להאריך
+:First, you should multiply the 4 below, in the rank of units, by the zero above, in the rank of units also. Say: 4 times a zero is zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול בתחלה הד' אשר הם למטה במדרגת האחדים על הציפרא אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ותאמר ד' פעמים ציפרא היא ציפרא
 |-
 |
+:Write a zero in the place of the units.
-=== Type two ===
+|style="text-align:right;"|ולכן תשים ציפרא במקום האחדים
-|style="text-align:right;"|ועתה נרצה לדבר על הכפל הנקרא בלשונם קרוציטא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נעשה ככה כי נצטרך להניח המספר הגדול למעלה והקטן למטה האמנם אם תעשה ההפך לא יזיק אך להקל ההכאות מוטב להניח הגדול למעלה והקטן למטה ותתחיל להכות מהאות הראשנה של מטה עם האות הראשנה של מעלה ומה שיעדיף על העשרות שים בקו ג' ותעכב העשרות עוד תשוב ותכפול האחדים של מטה עם העשרות שלמעלה ותחבר על העולה העשרות שיש לך מן האחדים ומה שיעלה על העשרות ר"ל מהסך שיש לך עתה אל תשים מאומה אלא תשוב לחבר העשרות של מטה עם האחדים שלמעלה ותחבר העולה על מה שיש לך מן העשרות ומה שישאר על העשרות תשים במקום העשרות ותעכב העשרות בידך אח"כ תשוב לכפול העשרות של מטה עם העשרות של מעלה ותחבר על העולה סך העשרות שיש לך ויצא לך המבוקש
+:Multiply again the 4 below by the 3 above, in the place of the tens; the result is 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times3=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' מלמטה על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלה י"ב
 |-
 |
-*{{#annot:24×25|156|wgpZ}}Example: we wish to multiply 24 by 25.
+:Write 2 in the place of the tens and keep the ten.
-:<math>\scriptstyle24\times25</math>
+|style="text-align:right;"|ותשים ב' במקום העשרות ותעכב העשרה עמך
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ד על כ"ה{{#annotend:wgpZ}}
-|}
-::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span>
-::{|
 |-
-|2<span style="color:red>5</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times5\right)}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}</math>||<span style="color:red>2</span>5||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{8+2}}={\color{green}{10}}}</math>||2<span style="color:red>5</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times5\right)}}+{\color{green}{10}}={\color{red}{10+10}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}</math>||<span style="color:red>2</span>5||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{4+2}}={\color{blue}{6}}}</math>||&#8199;25
+|
+:Multiply again the 4 by the 2 above, in the place of the hundreds; the result is 8.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' נגד הב' אשר למעלה במקו' המאיות ויעלה ח&#x202B;'
 |-
-|2<span style="color:red">4</span>||<u>2<span style="color:red">4</span></u>||<u><span style="color:red">2</span>4</u>||<u><span style="color:red">2</span>4</u>||&#8199;24
+|
+:Add to it the ten you already have; the result is 9
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+1=8+1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם אותה העשרה שהיה לך כבר ויעלה ט&#x202B;'
 |-
-| ||&#8199;<span style="color:#0000FF>0</span>||&#8199;0||<span style="color:#0000FF>0</span>0||<span style="color:#0000FF>6</span>00
+|
-|}
+:Write the 9 in the rank of hundreds, on the third line.
-{|
+|style="text-align:right;"|ושים אותם הט' במדרגת המאות בקו שלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תשימם בב' שטות
+:Then, [multiply] the 2 below, in the place of the tens, because we have already completed the multiplication of the first lower digit by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר הב' אשר הם למטה במקום העשרות כי כבר השלמנו הכפל מהאות הראשנה התחתונה עם כל האותיות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותתחיל לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו עשרים
+:Multiply the 2 by the zero above, in the place of the units; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפול אותם הב' על הציפרא אשר היא למעלה במקו' האחדים ויעלה בידך ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותשים ציפרא במקום האחדים כי לא נשאר לך על העשרות מאומה
+:Write a zero on a fourth line, in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|ולכן תשים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם ב' עשרות שיש לך ויהיו י'
+:Multiply also the lower 2 by the [3] above, in the place of the tens; the result is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם הב' ג"כ השפלים נגד הו' אשר הם למעלה במקום העשרות ויעלו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואל תניח מאומה
+:Write it corresponding to the hundreds on the fourth line.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם נגד המאות בקו רביעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אלא שוב וכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות נגד הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו עשרה ותחבר אליהם הי' אחדים ויהיו כ'
+:Multiply again the lower 2 by the 2 in the place of the hundreds; the result is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הב' ג"כ העליונים על הב' אשר הם במקום המאות ויעלו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה בעבור כי לא נשאר לך מאומה על העשרות לכן נשים גלגל למטה במקום העשרות ונעכב אותם הב'
+:Write it on the fourth line, in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו ד' במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נשוב לכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' ותחבר אליהם אותם הב' שיש לך ויהיו ו'
+:The multiplication of the digit 2 below has been completed.
+|style="text-align:right;"|והנה נשלם הכפל מהאות הב' שלמטה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום המאות ויהיה א"כ היוצא ו' מאות כמו זאת הצורה
+:Then, multiply the third digit below by all the upper digits.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול האות הג' שלמטה עם כל האותיות העליונות
 |-
 |
+:First, multiply it by the zero; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפול אותה עם הציפרא תחלה ויעלה ציפרא
+|-
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+:Write a zero on a fifth line, in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ולכן שים ציפרא בקו ה' במקום המאות
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+:Multiply also the 3 below by the 3 above, in the second rank; it is 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הג' ג"כ שלמטה נגד הג' אשר הם למעלה במדרגה הב' ויהיו ט&#x202B;'
 |-
-|&nbsp;||2||5
+|
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+:Write the 9 in the rank of thousands, on the fifth line.
-|&nbsp;||2||4
+|style="text-align:right;"|ושים אלו הט' במדרגת האלפים בקו ה&#x202B;'
 |-
-|6||0||0
+|
-|}
+:Multiply the 3 a third time by the 2 above, in the place of the hundreds; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הג' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
-|}
+|
+:Write it in the place of the ten thousands, on the fifth line.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים בקו ה&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ג' מספרים על ג' מספרים תצטרך לעשות ט' הכאות על זה האופן
+:The multiplication by all three digits has been completed.
+|style="text-align:right;"|ונשלם הכפל מכל הג' אותיות
 |-
 |
-*{{#annot:123×456|156|4PSP}}Example: we wish to multiply 123 by 456.
+:Add up all together; the total result is 74520 and this is its diagram.
-:<math>\scriptstyle123\times456</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר הכל זה על זה ויהיה סך העולה ע"ד אלפים תק"כ וזאת צורתם
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול קכ"ג על תנ"ו{{#annotend:4PSP}}
-|}
-::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span>
-::{|
 |-
-|12<span style="color:red>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times3\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}}</math>||1<span style="color:red>2</span><span style="color:orange>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{1}}+{\color{Orange}{\left(5\times3\right)}}={\color{red}{12+1+15=13+15}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{8}}}</math>||123
+|
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+|-
+|
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+|-
+|&nbsp;||&nbsp;||2||3||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||3||2||4
 |-
-|45<span style="color:red">6</span>||<u>4<span style="color:orange>5</span><span style="color:red">6</span></u>||<u>456</u>
+|7||4||5||2||0
+|}
 |-
-| ||&#8199;&#8199;<span style="color:#0000FF>8</span>||&#8199;<span style="color:#0000FF>8</span>8
 |}
-{|
+|-
+|If you want to multiply two numbers, each of which has a zero, you should multiply the zero by all the digits you find and add up each [rank with its corresponding rank]; the result is the required.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' סכומות &#x202B;<ref>203r</ref>ויהיה בכל אחד מהם ציפרא יש לך לכפול הציפרא על כל האותיות אשר תמצא ותחבר הכל מין עם מינו והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הו' אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו י"ח
+*{{#annot:240×368|156|V6r3}}Example: we wish to multiply 240 by 368.
+:<math>\scriptstyle240\times368</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נרצה לכפול ר"ם על שס"ח{{#annotend:V6r3}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נשים ח' למטה בקו שלישי והאחד תקים עמך
+:First, multiply the 8 below by the zero above, in the place of the units; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הח' אשר הם למטה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויעלה לך ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול עוד הו' אשר למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ב ותחבר אליהם האחד ויהיו י"ג ולא תשים מאומה
+:Multiply again the lower 8, in the rank of units, by the 4 in the rank of tens; it is 32.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\times4=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הח' התחתונים שהם במדרגת האחדים על הד' אשר במדרגת העשרות ויהיו ל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים עם הה' אשר למטה במדרגת העשרות ויהיו ט"ו ותחבר אליהם הי"ג ויהיו כ"ח
+:Write the 2 in the place of the tens and keep the 30.
+|style="text-align:right;"|ותשים הב' במקום העשרות ותקיים בידך הל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הח' למטה במקום העשרות ותעכב הב'
+:Multiply the 8 by the 2 above in the rank of hundreds; it is 16.
-|}
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הח' על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ו
-::{|
+|-
+|
+:Add the 3 to it; it is 19.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(8\times2\right)+3=16+3=19}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הג' ויהיו י"ט
 |-
-|<span style="color:brown>1</span><span style="color:red>2</span><span style="color:orange>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(5\times2\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times3\right)}}={\color{red}{6+2+10+12=8+10+12=18+12}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}}</math>||123
+|
+:Write it on the third line.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו ג&#x202B;'
 |-
-|<u><span style="color:orange>4</span><span style="color:red">5</span><span style="color:brown>6</span></u>||<u>456</u>
+|
+:We have already completed the multiplication of the 8 below, in the place of the units.
+|style="text-align:right;"|הנה עשינו כל ההכאות עם הח' אשר הם למטה במקום האחדים
 |-
-|&#8199;88||<span style="color:#0000FF>0</span>88
+|
-|}
+:Then, multiply the tens below, which is 6:
-{|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות העומדות למטה שהם ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הו' אשר הם למטה במקום האחדים על האחד אשר הוא למעלה במקום המאות ויהיו ו' ותחבר אליהם הב' שעכבנו בידינו ויהיו ח'
+:First, multiply it by the zero above; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפול אותם בתחלה על הציפרא העומדת למעלה ויעלה בידך ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הה' אשר למטה במדרגת העשרות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ג"כ ויהיו עשרה ותחבר אליהם הח' ויהיו י"ח
+:Write a zero on a fourth line, in the place of the tens.
+|style="text-align:right;"|ושים ציפרא בקו רביעי במקום העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו י"ב ותחבר אותם אל הי"ח ויהיו ל'
+:Multiply also the lower tens by the 40 above; the result is 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\times4=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות ג"כ התחתונות על המ' אשר למעלה ויעלה בידך כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשים ציפרא למטה במקום ה' המאות
+:Write the 2 in the place of the hundreds and keep the 20.
-|}
+|style="text-align:right;"|והנה תשים הד' במקום המאות והכ' תעכב עמך
-::{|
 |-
-|<span style="color:red>1</span><span style="color:orange>2</span>3||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{3}}+{\color{red}{\left(5\times1\right)}}={\color{red}{8+3+5=11+5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}</math>||&#8199;<span style="color:red>1</span>23||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}</math>||&#8199;&#8199;123
+|
+:Multiply the 6 below by the 2 above; the result is 12.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הו' אשר למטה על הב' אשר הם למעלה ויעלה י"ב
 |-
-|<u><span style="color:orange>4</span><span style="color:red">5</span>6</u>||<u>&#8199;<span style="color:red>4</span>56</u>||&#8199;&#8199;456
+|
+:Add the 2 to it; it is 14.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times2\right)+2=12+2=14}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר אליהם הב' ויהיו י"ד
 |-
-|088||<span style="color:#0000FF>6</span>088||<span style="color:#0000FF>5</span>6088
+|
-|}
+:Then, we multiply the hundreds below by all the digits above:
-{|
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול המאיות אשר הם למטה על כל האותיות שהם למעלה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח' ותחבר אליהם הל' ששוים ג' ויהיו י"א
+:First, we multiply by the zero above, in the place of the units; it is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נכפול בתחלה על הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים ויהיה ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הה' אשר הם למטה במקום העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ה' ותחבר אל הי"א ויהיו י"ו
+:We multiply it by the 4 above, in the rank of tens; it is 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול אותו על הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ו' במקו' האלפי'
+:Write the 2 in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים הב' במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הד' אשר הם למטה במקום המאיות על הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ד' ותחבר אליהם האחד שיש לך ויהיו ה'
+:We multiply it by the hundreds above; the result is 6.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם על המאות אשר למעלה ויעלו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים
+:Add the one to it; it is 7.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times2\right)+1=6+1=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם האחד והיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויהיה העולה א"כ נ"ו אלפים ופ"ח כמו זאת הצורה
+:Therefore the result of multiplying the one by the other is 88320 as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא מכפל זה על זה הוא פ"ח אלפים וש"כ על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 2,036: / Line 2,706: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||1||2||3
+|&nbsp;||&nbsp;||2||4||0
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||4||5||6
+|&nbsp;||&nbsp;||3||6||8
 |-
-|5||6||0||8||8
+|8||8||3||2||0
 |}
 |-
 |}
+|-
+|If you want to multiply a number that has two zeros or more, you should consider each of them as if it were a number and multiply by each one.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ב' ציפרי או יותר יש לך לחשוב כל א' מאלו כאלו היה מספר ועשות ההכאה עם כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ציפרא יצטרך ג"כ לעשות ההכאה מהציפרא עם כל האותיות אע"פ שלא יצא לעולם כי אם ציפרא
+*{{#annot:403×230|156|AjXB}}Example: we wish to multiply 403 by 230.
+:<math>\scriptstyle403\times230</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נרצה לכפול מספר ת"ג על מספר ר"ל{{#annotend:AjXB}}
 |-
 |
-*{{#annot:246×140|156|KISe}}Example: we wish to multiply 246 by 140.
+:First, you should multiply the zero below, in the rank of units, by the 3 above, in the rank of units also; the result is a zero.
-:<math>\scriptstyle246\times140</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{0\times3=0}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רמ"ו על ק"מ{{#annotend:KISe}}
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול בתחלה הציפרא אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיה העולה ציפרא
-|}
-::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span>
-::{|
 |-
-|24<span style="color:red>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times6\right)}}={\color{blue}{0}}}</math>||2<span style="color:red>4</span><span style="color:orange>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times6\right)}}={\color{red}{0+24}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}</math>||246
+|
+:Write it below, in the rank of units, on a third line.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם למטה במדרגת האחדים בקו ג&#x202B;'
 |-
-|14<span style="color:red">0</span>||<u>1<span style="color:orange>4</span><span style="color:red">0</span></u>||<u>140</u>
+|
+:Multiply also the zero by the zero above; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{0\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הציפרא על הציפרא &#x202B;<ref>203v</ref>אשר היא למעלה ויהיה העולה ציפרא
 |-
-| ||&#8199;&#8199;<span style="color:#0000FF>0</span>||&#8199;<span style="color:#0000FF>4</span>0
+|
-|}
+:Write it on the third line, in the rank of tens.
-::{|
+|style="text-align:right;"|ושים אותה בקו ג' במדרגת העשרות
 |-
-|<span style="color:brown>2</span><span style="color:red>4</span><span style="color:orange>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(0\times2\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(1\times6\right)}}={\color{red}{0+2+16+6=2+16+6=18+6}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}</math>||246
+|
+:Multiply the zero by the upper 4 in the place of the hundreds; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{0\times4=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול הציפרא על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה בידך ציפרא
 |-
-|<u><span style="color:orange>1</span><span style="color:red">4</span><span style="color:brown>0</span></u>||<u>140</u>
+|
+:Write a zero on the third line, in the rank of hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים ציפרא בקו ג' במדרגת המאות
 |-
-|&#8199;40||<span style="color:#0000FF>4</span>40
+|
-|}
+:We have already completed the multiplications of the zero in the lower line by all the upper ranks.
-::{|
+|style="text-align:right;"|והנה כבר עשינו כל ההכאות מהציפרא אשר היא בשטה התחתונה עם כל המדרגות העליונות
 |-
-|<span style="color:red>2</span><span style="color:orange>4</span>6||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(1\times4\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times2\right)}}={\color{red}{4+2+8=6+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{4}}}</math>||&#8199;<span style="color:red>2</span>46||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(1\times2\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}}</math>||&#8199;&#8199;246
+|
+:Then, we multiply the 3 below, in the rank of tens, by all the upper ranks:
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכה הג' אשר למטה במדרגת העשרות עם כל המדרגות העליונות
 |-
-|<u><span style="color:orange>1</span><span style="color:red">4</span>0</u>||<u>&#8199;<span style="color:red>1</span>40</u>||&#8199;&#8199;140
+|
-|-
+:First, we multiply it by the 3 above, in the rank of units; the result is nine.
-|440||<span style="color:#0000FF>4</span>440||<span style="color:#0000FF>3</span>4440
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times3=9}}</math>
-|}
+|style="text-align:right;"|ונכה אותה תחלה עם הג' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיה העולה תשעה
-{|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הציפרא אשר היא למעלה (למטה) במקום האחדים על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים והנם ציפרא
+:Write it on a fourth line, in the rank of tens.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם בקו רביעי במדרגת העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים ציפרא במקום האחדים
+:Multiply also the 3 below by the zero above, in the place of the tens; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכה אותם הג' של מטה עם הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרו' ויהיה היוצא ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הציפרא ג"כ על הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ציפרא
+:Write it in the rank of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים אותה במדרגת המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במקום העשרות על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו כ"ד
+:Multiply again the 3 below by the upper 4, in the place of the hundreds; the result is 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times4=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול אותם הג' של מטה על הד' העליונים אשר הם במקום המאיות ויעלה י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הד' למטה במקום העשרות והב' תעכב עמך
+:Write the 10 in the rank of the tens of thousands and the 2 in the place of the units of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים הי' במדרגת העשרות אלפים והב' במקום אחדי האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הציפרא על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ציפרא ועם ב' שיש לך ויהיו ב'
+:We have completed the multiplication of the 3 below, in the place of the tens, by all the upper ranks.
+|style="text-align:right;"|והנה השלמנו ההכאה מהג' אשר הם למטה במקום העשרות עם כל המדרגות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר הם למעלה ג"כ במדרגת העשרות ויהיו י"ו ועם הב' יהיו י"ח
+:Now, we multiply the 2 below, in the place of the hundreds, by all the upper ranks:
+|style="text-align:right;"|ועתה נכה הב' אשר הם למטה במקום המאיות עם כל המדרגות העליונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הו' אשר הם למעלה במדרגת האלפים ויהיו ו' ועם הי"ח יהיו כ"ד
+:First, we multiply the 2 by the 3 above, in the place of the units; the result is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times2=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכה תחלה הב' עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הד' במקום המאיות וקיים עמך הב'
+:We write it on a fifth line, in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|נשים אותם בקו הה' במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ד' תחבר אליהם ב' ויהיו ו'
+:Multiply the 2 by the zero above, in the place of the tens; the result is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הב' נגד הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ויעלה בידך ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הב' אשר הם לעיל במדרגת המאות עם הד' השפלים אשר במדרגת העשרות ויהיו ח' ועם הו' והנם י"ד
+:Write the zero in the place of the units of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותה הציפרא במקום אחדי האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים הד' למטה במדרגת האלפים והאחד תקים עמך
+:Multiply the 2 a third time by the 4 above, in the place of the hundreds; the result is 8.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\times4=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הב' פעם ג' עם הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויעלה ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול האחד אשר למטה במדרגת המאיות על הב' אשר למעלה במדרגת המאיות ג"כ ויהיו ב' תחבר אליהם הא' ויהיו ג'
+:Write the 8 below on the fifth line, in the place of the tens of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אלו הח' למטה בקו ה' במקום עשרת אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים
+:We have completed all 9 multiplications.
+|style="text-align:right;"|והנה השלמנו כל הט' הכאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויהיה א"כ היוצא ל"ד אלפים ות"מ על זאת הצורה
+:We add up all; the result is 92690 and this is its diagram:
+|style="text-align:right;"|ואח"כ נחבר הכל ויהיה העולה צ"ב אלפים ותר"צ וזאת היא צורתם
 |-
 |
@@ Line 2,132: / Line 2,835: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||4||6
+|&nbsp;||&nbsp;||4||0||3
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||1||4||0
+|&nbsp;||&nbsp;||2||3||0
 |-
-|3||4||4||4||0
+|9||2||6||9||0
 |}
 |-
 |}
 |-
-|
+|If you multiply four digits by four digits, you should do 16 multiplications; if five by five, 25; and so on endlessly. No need to elaborate.
-|style="text-align:right;"|וזה יספיק לך בידיעת זה הכפל אם תקיש על זה
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תכפול ד' אותיות על ד' אותיות ראוי לעשות י"ו הכאות וה' על ה' ראוי לעשות כ"ה וכן עד אין קץ ואין צורך להאריך
-|}
-{|
 |-
 |
-=== Type three ===
+=== <span style=color:Green>Type two</span> ===
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הג' מהכפל
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|הוא בהפך אלו השנים כי בב' אשר עברו היינו מתחילים ההכאו' מן האחדים ואח"כ העשרות ואח"כ המאות וכן תמיד היינו עולים למעלה מעלה ובזה ראוי לעשות ההפך כונתי לרדת מטה מטה ר"ל שתתחיל ההכאה מהמאיות או מהאלפים אם הוא כל כך גדול ואח"כ תבא אל העשרות וכן עד שתגיע אל האחדים
 |-
-|
+|Now, we want to discuss the multiplication called in their language "crocita" [?]
-|style="text-align:right;"|ונניח לזה דמיונות למען תהיה בקי בכל ההכפלות בכל האופנים שאפשר להמצא
+|style="text-align:right;"|<big>ועתה</big> נרצה לדבר על הכפל הנקרא בלשונם קרוציטא
 |-
-|
+|We do as follows: we must write the greater number above and the smaller below, although if you do the opposite, it does not matter, but to make the multiplication easier, it is better to write the greater above and the smaller below.
-*{{#annot:23×17|156|niLJ}}Example: we wish to multiply 23 by 17.
+|style="text-align:right;"|והנה נעשה ככה כי נצטרך להניח המספר הגדול למעלה והקטן למטה האמנם אם תעשה ההפך לא יזיק אך להקל ההכאות מוטב להניח הגדול למעלה והקטן למטה
-:<math>\scriptstyle23\times17</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ג על י"ז{{#annotend:niLJ}}
 |-
-|
+|Start multiplying from the first lower digit by the first upper digit.
-|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הא' אשר למטה במקום העשרות על הב' אשר למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ב' ודע כי אלו הב' היוצאים הם מאות והכלל על זה כי עשרות על עשרות הם מאות ומאות על מאות הם עשרות אלפים ו(עשרות) אלפים על מאות הם מאות אלפים הנה א"כ אלו הב' שיצאו לנו הם ב' מאות ונניחם בשטה אחת למטה תחת ב' שטות מהכפל במקום הראוי ר"ל במקום המאיות
+|style="text-align:right;"|ותתחיל להכות מהאות הראשנה של מטה עם האות &#x202B;<ref>204r</ref>הראשנה של מעלה
 |-
-|
+|Write what exceeds the tens on a third line and keep the tens.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול האחד העומד למטה במקום העשרות על השלשה אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ג' והם עשרות כי אחדים על עשרות הם עשרות וא"כ יהיו ג' עשרות
+|style="text-align:right;"|ומה שיעדיף על העשרות שים בקו ג' ותעכב העשרות
 |-
-|
+|Multiply again the lower units by the upper tens and add to the result the tens you kept from the units.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול השבעה אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ד ויהיו עשרות ותחבר אליהם הג' עשרות שהם י"ד ויהיו י"ז עשרות שהם מאה ושבעים ותשימם במקום
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול האחדים של מטה עם העשרות שלמעלה ותחבר על העולה העשרות שיש לך מן האחדים
 |-
-|
+|Do not write what exceeds the tens of the sum you got now, but [multiply] the lower tens by the upper units and add the product to what you received from the tens.
-|style="text-align:right;"|אחר כן תחבר (תכפול) האחדים עם האחדים והם ז' עם ג' ויהיו כ"א
+|style="text-align:right;"|ומה שיעלה על העשרות ר"ל מהסך שיש לך עתה אל תשים מאומה אלא תשוב לחבר העשרות של מטה עם האחדים שלמעלה ותחבר העולה על מה שיש לך מן העשרות
 |-
-|
+|Write what exceeds the tens in the place of the tens and keep the tens.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הכל מין עם מינו ויהיה העולה ג' מאות וצ"א על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|ומה שישאר על העשרות תשים במקום העשרות ותעכב העשרות בידך
 |-
-|
+|Then, multiply again the lower tens by the upper tens, add to the result the tens you kept, and you will get the required.
-|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול העשרות של מטה עם העשרות של מעלה ותחבר על העולה סך העשרות שיש לך ויצא לך המבוקש
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+*{{#annot:24×25|156|wgpZ}}Example: we wish to multiply 24 by 25.
+:<math>\scriptstyle24\times25</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול כ"ד על כ"ה{{#annotend:wgpZ}}
 |-
-|&nbsp;||2||3
+|colspan=2|
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+::<span style=color:green>[Illustration of the procedure:]</span>
-|&nbsp;||1||7
+::{|
 |-
-|2||0||0
+|2<span style="color:red>5</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times5\right)}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}</math>||<span style="color:red>2</span>5||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{8+2}}={\color{green}{10}}}</math>||2<span style="color:red>5</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times5\right)}}+{\color{green}{10}}={\color{red}{10+10}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{0}}}</math>||<span style="color:red>2</span>5
 |-
-|1||4||0
+|2<span style="color:red">4</span>||<u>2<span style="color:red">4</span></u>||<u><span style="color:red">2</span>4</u>||<u><span style="color:red">2</span>4</u>
 |-
-|&nbsp;||3||0
+| ||&#8199;<span style="color:#0000FF>0</span>||&#8199;0||<span style="color:#0000FF>0</span>0
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|}
-|&nbsp;||2||1
+::{|
+|-
+|rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(2\times2\right)}}+{\color{green}{2}}={\color{red}{4+2}}={\color{blue}{6}}}</math>||&#8199;25
+|-
+|&#8199;24
 |-
-|3||9||1
+|<span style="color:#0000FF>6</span>00
 |}
 |-
-|}
+|
+:Write them in two rows:
+|style="text-align:right;"|תשימם בב' שטות
+|-
+|
+:Start multiplying the 4 below in the place of the units by the 5 above in the place of the units also; it is twenty.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times5=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותתחיל לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים עם הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו עשרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות תצטרך לעשות ט' שורות
+:Write a zero in the place of the units, because you have nothing left that exceeds the tens.
+|style="text-align:right;"|ותשים ציפרא במקום האחדים כי לא נשאר לך על העשרות מאומה
 |-
 |
-*{{#annot:242×144|156|RZyL}}Example: we wish to multiply 242 by 144.
+:Multiply again the 4 below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 8.
-:<math>\scriptstyle242\times144</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רמ"ב על קמ"ד{{#annotend:RZyL}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נכפול בתחלה הא' אשר היא למטה במדרגת המאות על הב' אשר היא למעלה במדרגת המאות ויהיו ב' וכבר אמרנו כי מאיות על מאיות הם עשרות אלפים ונניחם במקום אחד
+:Add to it the 2 tens you kept; they are 10.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+2=8+2=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם ב' עשרות שיש לך ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד' ושים אותם במקום האלפים כי כן אמרנו כי מאיות על מאיות (עשרות) הם אלפים
+:Do not write anything, but multiply the 2 below in the place of the tens by the 5 above in the place of the units; the result is ten.
+|style="text-align:right;"|ואל תניח מאומה אלא שוב וכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות נגד הה' אשר הם למעלה במקום האחדים ויעלו עשרה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול הא' מלמטה אשר במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו שנים ושים אותם במקום המאות הנה כבר עשינו כל ההכאות מהמאות שלמטה עם כל המדרגות של מעלה
+:Add the 10 units to it; it is 20.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times5\right)+10=10+10=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הי' אחדים ויהיו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הד' שהם עשרות העומדות למטה על הב' אשר היא למעלה במקום המאיות ויהיו שמונה והם אלפים ותניחם במקום האלפים
+:Since you have nothing left that exceeds the tens, we write a zero below in the place of the tens and keep the 2.
+|style="text-align:right;"|והנה בעבור כי לא נשאר לך מאומה על העשרות לכן נשים גלגל למטה במקום העשרות ונעכב אותם הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' עוד עם הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו אלף ות"ר ותניחם במקומם
+:Multiply again the 2 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of tens; it is 4.
+|style="text-align:right;"|עוד נשוב לכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב וכפול אותם הד' פעם שלישית עם הב' אשר למעלה במקום האחדים עם הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו שמונה ושים אותם במקום המאות
+:Add to it the 2 you have; it is 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times2\right)+2=4+2=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם אותם הב' שיש לך ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עו' תכפול אותם הד' פעם שנית עם הד' העומדים למעלה במקום העשרות ויהיו י"ו שהם ק"ס ותניחם במקומם
+:Write it in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ח' ושימם במקום האחדים ותחברם כלם ויהיו ל"ד אלפים תתמח על זאת הצורה
+:Therefore, the result is 600, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|ויהיה א"כ היוצא ו' מאות כמו זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 2,241: / Line 2,959: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||4||2
+|&nbsp;||2||5
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||1||4||4
+|&nbsp;||2||4
 |-
-|2||0||0||0||0
+|6||0||0
+|}
 |-
-|&nbsp;||4||0||0||0
+|}
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||0||0
+|If you want to multiply three digits by three digits, you need to do 9 multiplications this way:
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול ג' מספרים על ג' מספרים תצטרך לעשות ט' הכאות על זה האופן
 |-
-|&nbsp;||8||0||0||0
+|
+*{{#annot:123×456|156|4PSP}}Example: we wish to multiply 123 by 456.
+:<math>\scriptstyle123\times456</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול קכ"ג על תנ"ו{{#annotend:4PSP}}
 |-
-|&nbsp;||1||6||0||0
+|colspan=2|
+::<span style=color:green>[Illustration of the procedure:]</span>
+::{|
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||8||0
+|12<span style="color:red>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times3\right)}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}}</math>||1<span style="color:red>2</span><span style="color:orange>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(6\times2\right)}}+{\color{green}{1}}+{\color{Orange}{\left(5\times3\right)}}={\color{red}{12+1+15=13+15}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{8}}}</math>||123
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||8||0||0
+|45<span style="color:red">6</span>||<u>4<span style="color:orange>5</span><span style="color:red">6</span></u>||<u>456</u>
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||1||6||0
+| ||&#8199;&#8199;<span style="color:#0000FF>8</span>||&#8199;<span style="color:#0000FF>8</span>8
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||8
-|-
-|3||4||8||4||8
 |}
 |-
-|}
+|
+:First, we multiply the 6 below in the rank of units by the 3 above also in the rank of units; it is 18.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\times3=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הו' אשר למטה במדרגת האחדים על הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו י"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול איזה מספר יהיה בם ציפרא צריך שתמנה הציפרא כמו האותיות האחרות ותעשה ההכאה עם הציפרא אע"פ שלא יצא לעולם מן {{#annot:term|241,1220|LUum}}המחובר{{#annotend:LUum}} כי אם ציפרא
+:We write 8 below on a third line and keep the one.
+|style="text-align:right;"|נשים ח' למטה בקו שלישי והאחד תקים &#x202B;<ref>204v</ref>עמך
 |-
 |
-*{{#annot:240×170|156|szcC}}Example: we wish to multiply 240 by 170.
+:Multiply again the 6 below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 12.
-:<math>\scriptstyle240\times170</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול עוד הו' אשר למטה במקום האחדים נגד הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ב
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ר"ם על ק"ע{{#annotend:szcC}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הא' אשר הוא למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקו' המאות ג"כ ויהיו ב' ושים אותם במקו' עשרות האלפים כמו שביארנו
+:Add the one to it; it is 13. Do no write anything.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times2\right)+1=12+1=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם האחד ויהיו י"ג ולא תשים מאומה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם שנית הא' אשר הוא למטה נגד הד' אשר הם למעלה במקו' העשרו' ויהיו ד' אלפים
+:Multiply also the 3 above in the rank of units by the 5 below in the rank of tens; it is 15.
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת האחדים עם הה' אשר למטה במדרגת העשרות ויהיו ט"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם ג' הא' אשר למטה על הציפרא אשר למעלה במקו' האחדים
+:Add the 13 to it; it is 28.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\times5\right)+13=15+13=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הי"ג ויהיו כ"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הז' אשר למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ד אלפים
+:Write the 8 in the place of the tens and keep the 2.
+|style="text-align:right;"|ושים הח' למטה במקום העשרות ותעכב הב&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::{|
+|-
+|<span style="color:brown>1</span><span style="color:red>2</span><span style="color:orange>3</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(6\times1\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(5\times2\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times3\right)}}={\color{red}{6+2+10+12=8+10+12=18+12}}={\color{green}{3}}{\color{blue}{0}}}</math>||123
+|-
+|<u><span style="color:orange>4</span><span style="color:red">5</span><span style="color:brown>6</span></u>||<u>456</u>
+|-
+|&#8199;88||<span style="color:#0000FF>0</span>88
+|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם ב' אותם הז' על הד' אשר למעלה במדרגת העשרות ויהיו ב' אלפים וח' מאות
+:Multiply again the 6 below in the place of the units by the one above in the place of the hundreds; it is 6.
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הו' אשר הם למטה במקום האחדים על האחד אשר הוא למעלה במקום המאות ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עו' כפול הז' פעם ג' נגד הציפרא אשר למעלה ולא יעלה בידך מאומה ומהציפרא הבאה ר"ל הציפרא אשר היא למטה במקום האחדים אין צורך לעשות עמה שום הכאה
+:Add to it the 2 we kept; it is 8.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\times1\right)+2=6+2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הב' שעכבנו בידינו ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא מ' אלפים וח' מאות על זאת הצורה
+:Multiply again the 5 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of tens also; it is ten.
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הה' אשר למטה במדרגת העשרות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ג"כ ויהיו עשרה
 |-
 |
+:Add to it the 8; it is 18.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times2\right)+8=10+8=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הח' ויהיו י"ח
+|-
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+:Multiply also the 4 below in the place of the hundreds by the 3 above in the place of the units; it is 12.
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו י"ב
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+:Add it to the 18; it is 30.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times3\right)+18=12+18=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אותם אל הי"ח ויהיו ל&#x202B;'
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||4||0
+|
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+:Write a zero below in the place of the hundreds.
-|&nbsp;||&nbsp;||1||7||0
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשים ציפרא למטה במקום המאות
 |-
-|2||0||0||0||0
+|colspan=2|
+::{|
 |-
-|&nbsp;||4||0||0||0
+|<span style="color:red>1</span><span style="color:orange>2</span>3||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(4\times2\right)}}+{\color{green}{3}}+{\color{red}{\left(5\times1\right)}}={\color{red}{8+3+5=11+5}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{6}}}</math>||&#8199;<span style="color:red>1</span>23||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(4\times1\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{4+1}}={\color{blue}{5}}}</math>||&#8199;&#8199;123
 |-
-|1||4||0||0||0
+|<u><span style="color:orange>4</span><span style="color:red">5</span>6</u>||<u>&#8199;<span style="color:red>4</span>56</u>||&#8199;&#8199;456
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||2||8||0||0
 |-
-|4||0||8||0||0
+|088||<span style="color:#0000FF>6</span>088||<span style="color:#0000FF>5</span>6088
 |}
 |-
-|}
+|
+:Multiply again the 4 below in the place of the hundreds by the 2 above in the place of the tens; it is 8.
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במקום המאות עם הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
+:Add to it the 30, that are worth 3; it is 11.
-=== Type four ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times2\right)+3=8+3=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הל' ששוים ג' ויהיו י"א
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הד' מהכפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הוא הפך הכפל אשר כתבנו בתחלה והוא כי יש לנו להתחיל מן האלפים או יותר מכן אם הוא כל כך גדול עד אשר תגיע לאחדים ראוי לך לשוב אחורנית
+:Multiply again the 5 below in the place of the tens by the 1 above in the place of the hundreds; it is 5.
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הה' אשר הם למטה במקום העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ה&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:122×232|156|XFc5}}Example: we wish to multiply 122 by 232.
+:Add it to the 11; it is 16.
-:<math>\scriptstyle122\times232</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\times1\right)+11=5+11=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול קכ"ב על רל"ב{{#annotend:XFc5}}
+|style="text-align:right;"|ותחבר אל הי"א ויהיו י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל לכפול מן המאיות ותכפול הא' אשר היא למטה במקום המאיות על ב' אשר היא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ב' ולא תשים מאומה אלא תחזיקם ואם תרצה לשים אותם לא תכתוב שום ציפרא כמו שיהיה ראוי לכתוב כי מאה על ב' מאות הוא עשרים אלף ולא תוכל לכתוב עשרים אלף בזולת הציפראות המצטרכות אבל בכאן אין ראוי לכתוב מפני כי עדין לא עשית כל ההכאות מהאותיות העליונות עם זה האחד אשר התחלת עמה לעשות הכאתו אבל כשתסיים כל ההכאות מהאותיות של מעלה עם זה האחד יש לך לראות המרחק אשר יש מזה האחד עד האות הראשנה של מטה ר"ל כי זה הא' הוא למטה במדרגת המאיות והנה עד המדרגה הראשנה שהיא מדרגת האחדים יצטרך עדין ב' מדרגות ולכן ראוי שתשים ב' ציפראות אחר שסיימת הכאת זאת המדרגה מה' מהמאיות אשר היא למטה עם כל המדרגות העליונות ושמור זה הסוד מאד כי זה יישירך שלא תטעה בשום צד שבעולם ונחזור לראשנות והנה נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו שנים ושימם לבדם בלי שום ציפרא אלא שימם כאלו הם אחדים בידך עוד כפול אותו הא' אשר הוא למטה במדרגת המאות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' וכתוב אותם אצל הב' שכבר כתבת אחורנית אח"כ כפול זה הא' פעם ג' עם הב' אשר הם למעלה במקום האחדים וכתוב אותם אחורנית אצל הג' כמו שעשית ג"כ מהג' והנה עתה השלמת הכאת המאות אשר למטה עם כל האותיות העליונות ולכן תכתוב ב' ציפרי אחורנית אצל היוצא מההכאה שעשית עם המאיות
+:Write 6 in the place of the thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים ו' במקו' האלפי&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות של מטה שהם ב' על הב' אשר הם למעלה ויהיו ד' עוד תכפול פעם שנית העשרות מלמעלה (מלמטה) עם הג' של מעלה שהם במקום העשרות ויהיו ו' וכתוב אלו הו' אחורנית אצל הד' עוד תכתוב פעם ג' העשרות של מטה עם הב' של מעלה שהם במקום האחדים ויהיו ד' וכתוב אותם אצל הו' אחורנית ודע כי זה הכפל שעשית עתה היה מהעשרות של מטה עם כל האותיות העליונות ולכן יש לך לראות כמה ציפרי יצטרך מא' עד י' ותמצא א' על כן תכתוב ציפרא אחורנית אצל היוצא מההכאה מהעשרות השפלות ר"ל מהשטה התחתונה
+:Multiply the 4 below in the place of the hundreds by the 1 above in the place of the hundreds also; it is 4.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הד' אשר הם למטה במקום המאיות על הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ד' וכתוב אותם
+:Add to it the one you have; it is 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times1\right)+1=4+1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם האחד שיש לך ויהיו ה&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אלו הב' פעם ב' על הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' וכתוב אותם אחורנית אצל הד' שכבר כתבת עוד שוב פעם ג' אלו הב' על ב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ד'
+:Write it in the place of the tens of thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תצרף הכל מין עם מינו ויעלה הכל כ"ח אלפים וג' מאות וד' וזאת היא צורתם
+:Therefore, the result is 56088 as this diagram:
+|style="text-align:right;"|ויהיה העולה א"כ נ"ו אלפים ופ"ח כמו זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 2,358: / Line 3,115: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||3||2
+|&nbsp;||&nbsp;||1||2||3
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||1||2||2
+|&nbsp;||&nbsp;||4||5||6
+|-
+|5||6||0||8||8
+|}
+|-
+|}
+|-
+|If you want to multiply a number that has a zero, you have to multiply the zero by all the digits as well, even though the only result [of multiplying by a zero] is always a zero.
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול איזה מספר יהיה בו ציפרא יצטרך ג"כ לעשות ההכאה מהציפרא עם כל האותיות אע"פ שלא יצא לעולם כי אם ציפרא
+|-
+|
+*{{#annot:246×140|156|KISe}}Example: we wish to multiply 246 by 140.
+:<math>\scriptstyle246\times140</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול רמ"ו על ק"מ{{#annotend:KISe}}
+|-
+|colspan=2|
+::<span style=color:green>[Illustration of the procedure:]</span>
+::{|
+|-
+|24<span style="color:red>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times6\right)}}={\color{blue}{0}}}</math>||2<span style="color:red>4</span><span style="color:orange>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(0\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(4\times6\right)}}={\color{red}{0+24}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}</math>||246
+|-
+|14<span style="color:red">0</span>||<u>1<span style="color:orange>4</span><span style="color:red">0</span></u>||<u>140</u>
+|-
+| ||&#8199;&#8199;<span style="color:#0000FF>0</span>||&#8199;<span style="color:#0000FF>4</span>0
+|}
+::{|
 |-
-|2||3||2||0||0
+|<span style="color:brown>2</span><span style="color:red>4</span><span style="color:orange>6</span>||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Brown}{\left(0\times2\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times4\right)}}+{\color{Orange}{\left(1\times6\right)}}={\color{red}{0+2+16+6=2+16+6=18+6}}={\color{green}{2}}{\color{blue}{4}}}</math>||246
 |-
-|&nbsp;||4||6||4||0
+|<u><span style="color:orange>1</span><span style="color:red">4</span><span style="color:brown>0</span></u>||<u>140</u>
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||4||6||4
 |-
-|2||8||3||0||4
+|&#8199;40||<span style="color:#0000FF>4</span>40
 |}
+::{|
+|-
+|<span style="color:red>2</span><span style="color:orange>4</span>6||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{Orange}{\left(1\times4\right)}}+{\color{green}{2}}+{\color{red}{\left(4\times2\right)}}={\color{red}{4+2+8=6+8}}={\color{green}{1}}{\color{blue}{4}}}</math>||&#8199;<span style="color:red>2</span>46||rowspan="3"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{\left(1\times2\right)}}+{\color{green}{1}}={\color{red}{2+1}}={\color{blue}{3}}}</math>||&#8199;&#8199;246
+|-
+|<u><span style="color:orange>1</span><span style="color:red">4</span>0</u>||<u>&#8199;<span style="color:red>1</span>40</u>||&#8199;&#8199;140
 |-
+|440||<span style="color:#0000FF>4</span>440||<span style="color:#0000FF>3</span>4440
 |}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול מספר יהיה בו ציפרא תעשה על אופן שעשינו
+:First, multiply the zero [below] in the place of the units by the 6 above in the place of the units; it is a zero.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{0\times6=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הציפרא אשר היא למעלה במקום האחדים על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים והנם ציפרא
 |-
 |
-*{{#annot:470×580|156|6FQI}}Example: we wish to multiply 470 by 580.
+:Write a zero in the place of the units.
-:<math>\scriptstyle470\times580</math>
+|style="text-align:right;"|ושים ציפרא במקום האחדים
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ת"ע על תק"פ{{#annotend:6FQI}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הג' (הה') אשר הם למטה במקום המאיות על הד' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו עשרים ושים אותם הכ' ר"ל שנים עם ציפרא אחת ויהיו כ'
+:Multiply the zero also by the 4 above in the place of the tens; it is a zero.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הציפרא ג"כ על הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הה' שלמטה פעם שנית עם הז' אשר הם למעלה ויהיו ל"ה ושים ל' על הציפרא אשר כתבת עם העשרים ושים תחת הציפרא ג' שהם ל' והה' הבאים תכתוב לאחור והנה נצטרך לעשות על זה ג' ציפרי ב' בעד המספר התחתון וא' שעומדת למעלה במקום האחדים
+:Multiply the 4 below in the place of the tens by the 6 above in the place of the units; it is 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times6=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במקום &#x202B;<ref>205r</ref>העשרות על הו' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול הח' אשר הם למטה במקום העשרות אצל הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ל"ב ושים ל"ב בקו אחד תחת הל"ה אשר למעלה
+:Write the 4 below in the place of the tens and keep the 2.
+|style="text-align:right;"|ושים הד' למטה במקום העשרות והב' תעכב עמך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול ח' על ז' שהם למעלה במדרגת העשרות ויהיו נ"ו ותכתוב הנ' תחת הב' מהל"ב והו' תכתוב אחורנית אח"כ תחברם ויהיו רע"ב אלפים ות"ר וזאת צורתם
+:Multiply again the zero by the 2 above in the place of the hundreds; it is a zero and with the 2 you have it is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(0\times2\right)+2=0+2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הציפרא על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ציפרא ועם ב' שיש לך ויהיו ב&#x202B;'
 |-
 |
+:Multiply again the 4 below in the rank of tens by the 4 above in the rank of tens also; it is 16 and with the 2 it is 18.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\times4\right)+2=16+2=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הד' אשר הם למעלה ג"כ במדרגת העשרות ויהיו י"ו ועם הב' יהיו י"ח
+|-
 |
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
+:Multiply the one below in the rank of hundreds by the 6 above in the rank of thousands; it is 6 and with the 18 it is 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times6\right)+18=6+18=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הו' אשר הם למעלה במדרגת האלפים ויהיו ו' ועם הי"ח יהיו כ"ד
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+:Write the 4 in the place of the hundreds and keep the 2.
+|style="text-align:right;"|ושים הד' במקום המאיות וקיים עמך הב&#x202B;'
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||4||7||0
+|
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+:Multiply again the one below in the rank of hundreds by the 4 above in the rank of tens; it is 4. Add 2 to it; it is 6.
-|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||5||8||0
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times4\right)+2=4+2=6}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול האחד אשר הוא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ד' תחבר אליהם ב' ויהיו ו&#x202B;'
-|2||0||0||0||0||0
-|-
-|&nbsp;||3||5||0||0||0
-|-
-|&nbsp;||3||2||0||0||0
-|-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||5||6||0||0
-|-
-|2||7||2||6||0||0
-|}
-|-
-|}
 |-
 |
+:Multiply again the 2 above in the rank of hundreds by the 4 below in the rank of tens; it is 8 and with the 6 it is 14.
-=== Type five ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\times4\right)+6=8+6=14}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב לכפול הב' אשר הם לעיל במדרגת המאות עם הד' השפלים אשר במדרגת העשרות ויהיו ח' ועם הו' והנם י"ד
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הה' מהכפל הוא אשר כתבנו הנקרא בלשונם קרוציטא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונעשה אותו בזה האופן והוא שנחזיק לעולם המספר ממה שיעלה מהאות הראשנה עד שנראה מה יצא מהשניה כדי שלא נצטרך למחוק אותה האות ולרשום אחרת תעמוד תחתיה וזה תבין בבירור בלי שום ספק אחר שנעיין בעין פתוחה בדמיונות
+:Write the 4 below in the rank of thousands and keep the one.
+|style="text-align:right;"|ושים הד' למטה במדרגת האלפים והאחד תקים עמך
 |-
 |
-*{{#annot:27×32|156|gchY}}Example: we wish to multiply 27 by 32.
+:Multiply also the one below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of hundreds also; it is 2. Add the 1 to it; it is 3.
-:<math>\scriptstyle27\times32</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\times2\right)+1=2+1=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ז על ל"ב{{#annotend:gchY}}
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול האחד אשר למטה במדרגת המאיות על הב' אשר למעלה במדרגת המאיות ג"כ ויהיו ב' תחבר אליהם הא' ויהיו ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נכפול תחלה הג' אשר במדרגה השנית על הב' אשר הם למעלה ב' במדרגה השנית ג"כ ר"ל במדרגת העשרות ויעשה בידך י' (ו') ולא נניח אותם כמו שקדם שמא יעלה לנו משאר ההכאות שאנו עתידין להכות עם שאר האותיות
+:Write it in the place of the ten thousands.
+|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום עשרת אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול אותם הג' על הז' אשר הם לעיל במדרגת האחדים ויהיו כ"א
+:Therefore, the result is 34440, as this diagram:
-|-
+|style="text-align:right;"|ויהיה א"כ היוצא ל"ד אלפים ות"מ על זאת הצורה
-|
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד'
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|נחברם אל הכ"א ויהיו כ"ה ונעשה מהכ' ב' עשרות ב' שלמים ר"ל שאותם הכ' שהם ב' עשרות ישוו ב' מאות ונחבר אלו הב' אצל הו' ויהיו ח' ותניח ח' במקום המאות וישארו בידך ה'
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הב' אשר הם למטה על הז' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו י"ד ונעשה מהעשרה אחד ונחבר זה הא' אצל הה' שיש לנו ויהיו ו' נשים אותם אצל העשרות והד' הנשארים תשיבם אחורנית אצל הנשארים ויהיו ד' הנה א"כ היוצא הוא תתס"ד על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 2,455: / Line 3,234: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||2||7
+|&nbsp;||&nbsp;||2||4||6
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||3||2
+|&nbsp;||&nbsp;||1||4||0
 |-
-|8||6||4
+|3||4||4||4||0
 |}
 |-
 |}
 |-
+|This is enough for you to know this [type of] multiplication, if you deduce from it.
+|style="text-align:right;"|וזה יספיק לך בידיעת זה הכפל אם תקיש על זה
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Type three</span> ===
 |
-*{{#annot:231×342|156|5Cep}}Another example: we wish to multiply 231 by 342.
+|-
-:<math>\scriptstyle231\times342</math>
+|The third type of multiplication is opposite two these two, because in the previous two we started multiplying from the units, then the tens, hundreds and so on, we rise upward and in this one the opposite is done, meaning going down, i.e. you start from the hundreds, or the thousands, if it is that high, then go to the tens, until you reach the units.
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לכפול רל"א על שמ"ב{{#annotend:5Cep}}
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> המין הג' מהכפל הוא בהפך אלו השנים כי בב' אשר עברו היינו מתחילים ההכאו' מן האחדים ואח"כ העשרות ואח"כ המאות וכן תמיד היינו עולים למעלה מעלה ובזה ראוי לעשות ההפך כונתי לרדת מטה מטה ר"ל שתתחיל ההכאה מהמאיות או מהאלפים אם הוא כל כך גדול ואח"כ תבא אל העשרות וכן עד שתגיע אל האחדים
+|-
+|We give examples for this, so that you will be skilled in all [kinds of] multiplication in all ways that can be found.
+|style="text-align:right;"|ונניח לזה דמיונות למען תהיה בקי בכל ההכפלות בכל האופנים שאפשר להמצא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה נתחיל לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ו' ולא תניחם
+*{{#annot:23×17|156|niLJ}}Example: we wish to multiply 23 by 17.
+:<math>\scriptstyle23\times17</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול כ"ג על י"ז{{#annotend:niLJ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נשוב לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ה' ט' ושמור אותם
+:First, we multiply the 1 below in the place of the tens by the 2 above in the place of the tens also; it is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הא' אשר למטה במקום העשרות על הב' אשר למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד כפול הב' אשר הם למעלה במקום המאיות על הד' אשר הם למטה במקו' העשרות ויהיו ח'
+:Know that this resulting 2 are hundreds.
+|style="text-align:right;"|ודע כי אלו הב' היוצאים הם מאות
+|-
+|The rule for this is that tens by tens are hundreds; hundreds by hundreds are tens of thousands; and [thousands] by hundreds are hundreds of thousands.
+|style="text-align:right;"|והכלל על זה כי עשרות על עשרות הם מאות &#x202B;<ref>205v</ref>ומאות על מאות הם עשרות אלפים ועשרות אלפים על מאות הם מאות אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל הט' ויהיו י"ז ותעשה מהעשרה אחד ותחבר זה הא' עם הו' שהיו לנו ושים אותם למטה בקו שלישי והז' יהיו לאחדים בידך
+:Therefore, the 2 we received are 2 hundreds.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ אלו הב' שיצאו לנו הם ב' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול הג' אשר הם למטה במדרגת המאיות אצל הא' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ג' ושמור אותם
+:We write it one row beneath the two rows of the multiplicands in the appropriate place, i.e. in the place of the hundreds.
+|style="text-align:right;"|ונניחם בשטה אחת למטה תחת ב' שטות מהכפל במקום הראוי ר"ל במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ד' ותחברם אל הג' השמורים ויהיו ז'
+:Then, we multiply the one below in the place of the tens by the three above in the place of the units; it is 3 and they are tens, because units by tens are tens, so they are 3 tens.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times3=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול האחד העומד למטה במקום העשרות על השלשה אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ג' והם עשרות כי אחדים על עשרות הם עשרות וא"כ יהיו ג' עשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד כפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
+:Then, we multiply the seven below in the place of the units by the 2 above in the place of the tens; it is 14 and they are tens.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול השבעה אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו י"ד ויהיו עשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל הז' השמורים ויהיו י"ט תעשה מהי' אחד ושים זה האחד עם הז' השמורים הראשנים ויהיו ח' ושים אלו הח' אצל הז' אשר הם בקו ג' ונשארו בידך עדין ט'
+:Add the 3 tens to it, which is 14; it is 17 tens, which are 170. Write it in its place.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(7\times2\right)+3=14+3=17}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר אליהם הג' עשרות שהם י"ד ויהיו י"ז עשרות שהם מאה ושבעים ותשימם במקום
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ד'
+:Then, [multiply] the units by the units, they are 7 by 3; it is 21.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times3=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|אחר כן תחבר האחדים עם האחדים והם ז' עם ג' ויהיו כ"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עו' תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ו' ושים אותם על הד' ויהיו י' ותעשה מהם א' ותחבר זה הא' עם הט' ויהיו י' ואלו הי' ישוו ג"כ א' אצל הח' המונחים בקו ג' ויהיו עתה ח' תחת הט' ותעשה ב' ציפרי א' מצד כי עלה בידך י' מצומצמים מהמספר האחרון והשניה כי היו בידך ט' ובא זה והשלים המנין באופן שהיו עשרה כי אין מנין פחות מעשרה אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה אצל האחדים עם הא' אשר הוא למעלה ויהיו ב' הנה א"כ העולה הוא ע"ח (ע"ט) אלפים וב' על זאת הצורה
+:Then, add up all, each with its type; the result is 391, as this diagram.
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הכל מין עם מינו ויהיה העולה ג' מאות וצ"א על זאת הצורה
 |-
 |
@@ Line 2,506: / Line 3,312: @@
 {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|&nbsp;||&nbsp;||2||3||1
+|&nbsp;||2||3
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||1||7
+|-
+|2||0||0
+|-
+|1||4||0
+|-
+|&nbsp;||3||0
 |-style="border-bottom: 1px solid black;"
-|&nbsp;||&nbsp;||3||4||2
+|&nbsp;||2||1
 |-
-|7||9||0||0||2
+|3||9||1
 |}
 |-
 |}
 |-
-|
+|If you want to multiply three ranks by three ranks, you must do nine lines.
-|style="text-align:right;"|ואם יצטרך לך לע[שו]ת הכפל עם ציפרי תעשה כנז' בכמה מקומות מזה החבור ולא תחטיא אם תקיש זה לזה
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול ג' מדרגות על ג' מדרגות תצטרך לעשות ט' שורות
 |-
 |
+*{{#annot:242×144|156|RZyL}}Example: we wish to multiply 242 by 144.
-=== Type six: Gelosia ===
+:<math>\scriptstyle242\times144</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רמ"ב על קמ"ד{{#annotend:RZyL}}
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הו' מהכפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הוא הפך הכפל הג' אשר כתבנו בכאן כי הכפל הג' צריך להתחיל ההכאות מן המדרגה היותר גדולה ר"ל מן האלפים אם המספר הוא כל כך גדול וזה צריך לעשות הכפל ולהתחיל מן המספר היותר קטן להתחיל מן האחדים ואל תחשוב כי זה הכפל הוא כמו הכפל הראשון כי הפרש בין זה לזה וזה הכפל נקרא בלשונם מולטיפליקארי פיראושקאקי
+:First, we multiply the 1 below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of hundreds; it is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נכפול בתחלה הא' אשר היא למטה במדרגת המאות על הב' אשר היא למעלה במדרגת המאות ויהיו ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי צריך לעשות מרובע אחד כפי האותיות שתרצה לכפול ר"ל שאם תרצה לכפול ב' אותיות על ב' אותיות תצטרך לעשות ג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון הא' והג' קצרות והאמצעית ארוכה וצריך שתשים היוצא בין הקוים ואחר כן תחבר הכל מין עם מינו ודע כי בזה המרובע תמצא כמו בתים
+:We already said that hundreds by hundreds are tens of thousand. We write it in one place.
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי מאיות על מאיות הם עשרות אלפים ונניחם במקום אחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי אם תמצא בבית הראשון ציפרא זה יורה כי אין במדרגת האחדים דבר כי אם ציפרא וכן תעשה מהבתים האחרים ותחבר הבתים המכוונים זה מזה והשמר לך ושמור נפשך שלא תטעה בחבור ר"ל שתחבר הבית הב' עם הב' והג' עם הג' והד' עם הד' וכן תמיד
+:We multiply again the 1 below in the rank of hundreds by the 4 above in the rank of tens; it is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times4=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות נגד הד' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:25×25|156|daU2}}Example: we wish to multiply 25 by 25.
+:Write it in the place of the thousands, because we said that hundreds by [tens] are thousands.
-:<math>\scriptstyle25\times25</math>
+|style="text-align:right;"|ושים אותם במקום האלפים כי כן אמרנו כי מאיות על מאיות הם אלפים
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ה על כ"ה{{#annotend:daU2}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה בתחלה תצטרך לעשות מרובע מג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון מצד כי המדרגות אינם כי אם ב' כמו זאת הצורה
+:We multiply again the 1 below in the rank of hundreds by the 2 above in the rank of units; it is two. Write it in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול הא' מלמטה אשר במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו שנים ושים אותם במקום המאות
 |-
 |
-|[[File:Astruk - Gelosia - I.png|thumb|250px]]
+:We have already multiplied the lower hundreds by all the upper ranks.
+|style="text-align:right;"|הנה כבר עשינו כל ההכאות מהמאות שלמטה עם כל המדרגות של מעלה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותתחיל לכפול בתחלה הה' אשר למטה במדרגת האחדים על הה' אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו כ"ה ושים הה' בבית הראשון והב' עשרות תעכב עמך אח"כ תכפול הה' אשר למטה פעם שניה על הב' למעלה במדרגה הב' ויהיו י' ותחבר אליהם הב' ויהיו י"ב ושים הב' בבית השני והאחד בבית הג' עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הה' אשר הם למעלה במדרגת האחדי' ויהיו י'
+:Then, we multiply the 4, which is the tens below, by the 2 above in the place of the hundreds; it is eight and they are thousands. Write it in the place of the thousands.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הד' שהם עשרות העומדות למטה על הב' אשר היא למעלה במקום המאיות ויהיו שמונה והם אלפים ותניחם במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי כל אלו האותיות אשר שמנו עד עתה היו בבתים העליונים ר"ל באותם הבתים אשר בין הקו הא' והב' שהולכים ברוחב אבל מה שיצא עתה נשים בבתים אשר בין הקו הב' והג' והנה נשים זה הגלגל בבית הב'
+:Multiply again the 4 by the 4 above in the place of the tens; it is 1600. Write it in its place.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40\times40=1600}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב ותכפול אותם הד' עוד עם הד' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו אלף ות"ר ותניחם במקומם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נשוב ונכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ד' ונחבר אליהם זה הא' שעלה בידינו ויהיו ה' ושים אותם בבית הג'
+:Multiply the 4 a third time by the 2 above in the place of the units; [...]&#x202B;<ref>om.</ref>.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב וכפול אותם הד' פעם שלישית עם הב' אשר למעלה במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נחבר הכל והנה תמצא למעלה בבית הראשון ה' וזה מורה שהם אחדים גם תמצא בבית הב' ב' וזה מורה כי הם עשרות גם תמצא בבית העליון ר"ל בבית השלישי א' ג"כ למטה בבית הג' וה' עם א' ויהיו ו' ומאחר שמצאנו אלו הו' בבתים השלישיים יורה על המאיות ויהיה היוצא ו' מאות וכ"ה כמו זאת הצורה
+:[Multiply the 4 below in the rank of units]&#x202B;<ref>om.</ref> by the 2 above in the place of the hundreds; it is eight. Write it in the place of the hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>206r</ref>עם הב' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו שמונה ושים אותם במקום המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולמען תהיה בקי לעשות זה הכפל נכתוב דמיון אחר ויהיה מג' מדרגות
+:Multiply the 4 a second time by the 4 above in the place of the tens; it is 16, which are 160. Write it in its place.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times40=160}}</math>
+|style="text-align:right;"|עו' תכפול אותם הד' פעם שנית עם הד' העומדים למעלה במקום העשרות ויהיו י"ו שהם ק"ס ותניחם במקומם
 |-
 |
-*{{#annot:212×132|156|fM0G}}Example: we wish to multiply 212 by 132.
+:Multiply the 4 a third time by the 2 above in the place of the units; it is 8. Write it in the place of the units.
-:<math>\scriptstyle212\times132</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times2=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רי"ב על קל"ב{{#annotend:fM0G}}
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הד' פעם ג' על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ח' ושימם במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נצטרך לעשות מרובע מג' (ד') קוים ברוחב וד' באורך וד' באלכסון מאחר שהאותיות הם ג' וראה ועשה כתבניתו אשר אתה מראה בכאן
+:Add up all; it is 34848, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|ותחברם כלם ויהיו ל"ד אלפים תתמ"ח על זאת הצורה
 |-
 |
-|[[File:Astruk - Gelosia - II.png|thumb|300px]]
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה תתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו ד' נשים אותם לעיל בבית הא'
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||2||4||2
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' וכתו' אותם לעיל בבית הב'
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||1||4||4
 |-
-|
+|2||0||0||0||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול פעם ג' הב' מלמטה נגד הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ב' ושים אותם למעלה בבית הג'
 |-
-|
+|&nbsp;||4||0||0||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הא' אשר הוא למטה במדרגת העשרות נגד הב' אשר הוא לעיל במדרגת האחדים ויהיו ב' ושים אותם באמצע הבתים ר"ל בין הבתים אשר הם בין הקו הב' והג' ושים אותם הב' בבית הב'
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||2||0||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' ושים אותם בבית הג'
 |-
-|
+|&nbsp;||8||0||0||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ג' עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת המאות ויעלה א' ושים אותו בבית הד'
 |-
-|
+|&nbsp;||1||6||0||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול השנים אשר הם למטה במדרגת המאות עם הב' העליונים אשר הם במדרגת האחדים ויעלו ד' ושים אותם למטה בין הבתים אשר הם בין הקו הג' והד' ושים אלו הד' בבית הג'
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||8||0
-|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול אלו הב' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' ושימם בבית הד'
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||8||0||0
-|style="text-align:right;"|עוד כפול אלו הב' פעם ג' עם הא' אשר הוא לעיל במדרגת המאות ויעלה ב' ושים אותם בבית הה'
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||1||6||0
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחברם זה עם זה ולא תטעה בחבור ויצא לך כ"ז אלפים תתקפ"ד על זאת הצורה
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||8
 |-
-|
+|3||4||8||4||8
+|}
-=== Type seven: multiplying by tens ===
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הז' מהכפל
 |-
-|
+|}
-|style="text-align:right;"|נעשה על זה האופן והוא שאם תרצה לכפול איזה מספר על כלל אחד ר"ל כי הכלל נקרא כמו י' או ק' או אלף או י' אלפים אבל אלפים אינו נקרא כלל וזה הכלל יהיה בידיך כי כשתמצא יותר מאות א' אינו נקרא כלל
 |-
-|
+|If you want to multiply any number that has a zero, you have to consider zero like all the other digits and multiply by zero, even though the result of the multiplication is always only a zero.
-|style="text-align:right;"|וכשתרצה לדעת זה הכפל אם תרצה לכפול על עשרה תשים ציפרא למעלה על המספר המונח ומה שיעלה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול איזה מספר יהיה בם ציפרא צריך שתמנה הציפרא כמו האותיות האחרות ותעשה ההכאה עם הציפרא אע"פ שלא יצא לעולם מן {{#annot:term|241,1220|LUum}}המחובר{{#annotend:LUum}} כי אם ציפרא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותו על ק' תוסיף בו ב' ציפרי על המספר העליון
+*{{#annot:240×170|156|szcC}}Example: we wish to multiply 240 by 170.
+:<math>\scriptstyle240\times170</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול ר"ם על ק"ע{{#annotend:szcC}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה על אלף תוסיף ג' ציפרי
+:First, multiply the 1 below in the place of the hundreds by the 2 above in the place of the hundreds also; it is 2. Write it in the place of the tens of thousands as we explained.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תכפול תחלה הא' אשר הוא למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקו' המאות ג"כ ויהיו ב' ושים אותם במקו' עשרות האלפים כמו שביארנו
 |-
 |
-*{{#annot:33×10|156|pgpm}}Example: we wish to multiply 33 by 10.
+:Multiply the 1 below a second time by the 4 above in the place of the tens; they are 4 thousands.
-:<math>\scriptstyle33\times10</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100\times40=4000}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ל"ג על י'{{#annotend:pgpm}}
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם שנית הא' אשר הוא למטה נגד הד' אשר הם למעלה במקו' העשרו' ויהיו ד' אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לשים למעלה על הל"ג ציפרא א' הנה ישוו עתה הל"ג ש"ל והוא המבוקש
+:Multiply the 1 below a third time by the zero above in the place of the units.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם ג' הא' אשר למטה על הציפרא אשר למעלה במקו' האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותם על מאה
+:Then, multiply the 7 below in the rank of tens by the 2 above in the rank of hundreds; they are 14 thousands.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70\times200=14000}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הז' אשר למטה במדרגת העשרות על הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו י"ד אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי להוסיף על ל"ג ב' ציפרי ויגיעו למדרגת האלפים ויהיה העולה ג' אלפי' וש'
+:Multiply the 7 a second time by the 4 above in the rank of tens; they are 2 thousands and 8 hundreds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70\times40=2800}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול פעם ב' אותם הז' על הד' אשר למעלה במדרגת העשרות ויהיו ב' אלפים וח' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותם על אלף
+:Multiply the 7 a third time by the zero above; you receive nothing.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times0=0}}</math>
+|style="text-align:right;"|עו' כפול הז' פעם ג' נגד הציפרא אשר למעלה ולא יעלה בידך מאומה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך להוסיף על הל"ג ג' ציפרי ויגיעו לעשרות אלפים ויעלה ל"ג אלפים
+:As for the next zero, i.e. the zero below in the place of the units, there is no need to multiply by it at all.
+|style="text-align:right;"|ומהציפרא הבאה ר"ל הציפרא אשר היא למטה במקום האחדים אין צורך לעשות עמה שום הכאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם אם תרצה לכפול המספר המונח על עשרים
+:Therefore, the result is 4800, as this diagram:
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא מ' אלפים וח' מאות על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול המספר המונח על ב' ואח"כ תוסיף על הסך ציפרא א' ומה שיעלה הוא המבוקש
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-*{{#annot:45×20|156|vUC8}}Example: we wish to multiply 45 by 20.
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
-:<math>\scriptstyle45\times20</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול מ"ה על עשרים{{#annotend:vUC8}}
+|&nbsp;||&nbsp;||2||4||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||1||7||0
+|-
+|2||0||0||0||0
+|-
+|&nbsp;||4||0||0||0
+|-
+|1||4||0||0||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||2||8||0||0
+|-
+|4||0||8||0||0
+|}
+|-
+|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול מ"ה על ב' והטעם למה אנו כופלי' אותו ב' פעמים מצד כי עשרים הם כפל עשרה והנה ב' פעמים מ"ה הם צ' ועתה יש לך להוסיף על הצ' ציפרא אחת ויעלה ט' מאות והוא המבוקש
+=== <span style=color:Green>Type four</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול המספר המונח שהוא מ"ה על מאתים
+|style="text-align:right;"|<big>ואולם</big> המין הד' מהכפל הוא הפך הכפל אשר כתבנו בתחלה והוא כי יש לנו להתחיל מן האלפים או יותר מכן אם הוא כל כך גדול עד אשר תגיע לאחדים ראוי לך לשוב אחורנית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך ג"כ לכפול מ"ה על ב' ותוסיף עליו ב' ציפראות ויהיו ט' אלפים
+*{{#annot:122×232|156|XFc5}}Example: we wish to multiply 122 by 232.
+:<math>\scriptstyle122\times232</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>206v</ref><big>דמיון</big> זה נרצה לכפול קכ"ב על רל"ב{{#annotend:XFc5}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותו על אלפים יש לך לכפול המספר כאשר אמרנו ותוסיף עליו ג' ציפרי ויעלה צ' אלפים והוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ תתחיל לכפול מן המאיות ותכפול הא' אשר היא למטה במקום המאיות על ב' אשר היא למעלה במקום המאיות ג"כ ויהיו ב' ולא תשים מאומה אלא תחזיקם ואם תרצה לשים אותם לא תכתוב שום ציפרא כמו שיהיה ראוי לכתוב כי מאה על ב' מאות הוא עשרים אלף ולא תוכל לכתוב עשרים אלף בזולת הציפראות המצטרכות אבל בכאן אין ראוי לכתוב מפני כי עדין לא עשית כל ההכאות מהאותיות העליונות עם זה האחד אשר התחלת עמה לעשות הכאתו אבל כשתסיים כל ההכאות מהאותיות של מעלה עם זה האחד יש לך לראות המרחק אשר יש מזה האחד עד האות הראשנה של מטה ר"ל כי זה הא' הוא למטה במדרגת המאיות והנה עד המדרגה הראשנה שהיא מדרגת האחדים יצטרך עדין ב' מדרגות ולכן ראוי שתשים ב' ציפראות אחר שסיימת הכאת זאת המדרגה מה' מהמאיות אשר היא למטה עם כל המדרגות העליונות ושמור זה הסוד מאד כי זה יישירך שלא תטעה בשום צד שבעולם ונחזור לראשנות והנה נכפול הא' אשר היא למטה במדרגת המאות עם הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות ויהיו שנים ושימם לבדם בלי שום ציפרא אלא שימם כאלו הם אחדים בידך עוד כפול אותו הא' אשר הוא למטה במדרגת המאות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' וכתוב אותם אצל הב' שכבר כתבת אחורנית אח"כ כפול זה הא' פעם ג' עם הב' אשר הם למעלה במקום האחדים וכתוב אותם אחורנית אצל הג' כמו שעשית ג"כ מהג' והנה עתה השלמת הכאת המאות אשר למטה עם כל האותיות העליונות ולכן תכתוב ב' ציפרי אחורנית אצל היוצא מההכאה שעשית עם המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אבל אם תרצה לכפול המספר המונח על ד' יש לך לכפול המספר המונח ד' פעמים ולהוסיף עליו כפי הציפרי ר"ל אם הם ד' אלפי' תוסיף עליו ג' ציפראות
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול העשרות של מטה שהם ב' על הב' אשר הם למעלה ויהיו ד' עוד תכפול פעם שנית העשרות מלמעלה (מלמטה) עם הג' של מעלה שהם במקום העשרות ויהיו ו' וכתוב אלו הו' אחורנית אצל הד' עוד תכתוב פעם ג' העשרות של מטה עם הב' של מעלה שהם במקום &#x202B;<ref>207r</ref>האחדים ויהיו ד' וכתוב אותם אצל הו' אחורנית ודע כי זה הכפל שעשית עתה היה מהעשרות של מטה עם כל האותיות העליונות ולכן יש לך לראות כמה ציפרי יצטרך מא' עד י' ותמצא א' על כן תכתוב ציפרא אחורנית אצל היוצא מההכאה מהעשרות השפלות ר"ל מהשטה התחתונה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם ד' מאות תוסיף עליו ב' ציפרי
+|style="text-align:right;"|עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ד' וכתוב אותם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם הם ד' עשרו' תוסיף ציפרא והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אלו הב' פעם ב' על הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' וכתוב אותם אחורנית אצל הד' שכבר כתבת עוד שוב פעם ג' אלו הב' על ב' אשר הם למעלה במקום האחדים ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:15×40|156|46Gd}}Example: we wish to multiply 15 by 40.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תצרף הכל מין עם מינו ויעלה הכל כ"ח אלפים וג' מאות וד' וזאת היא צורתם
-:<math>\scriptstyle15\times40</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת כפל ט"ו על מ'{{#annotend:46Gd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ט"ו ד' פעמים ויעלו ס'
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואח"כ ראוי להוסיף על הס' ציפרא א' ויהיו ו' מאות והוא המבוקש
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+|-
+|&nbsp;||&nbsp;||2||3||2
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||1||2||2
+|-
+|2||3||2||0||0
+|-
+|&nbsp;||4||6||4||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||4||6||4
 |-
-|
+|2||8||3||0||4
-|style="text-align:right;"|וכן על ד' אלפים תוסיף ג' ציפרי ויעלה ס' אלפים ותקיש על זה
+|}
 |-
-|
+|}
-=== Type eight: subtraction and multiplication ===
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הח' מהכפל הוא מעורב ממגרעת ומכפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|במקום אחד עומד הכפל ובמקום אחד הגרעון מהמספר הא' וכך ראוי לעשות מהמספר הב' ר"ל שהכפל עומד בזוית זו והגרעון בזוית זו
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לכפול מספר יהיה בו ציפרא תעשה על אופן שעשינו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך להתחיל ההכפלה מגרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני ושמור העולה
+*{{#annot:470×580|156|6FQI}}Example: we wish to multiply 470 by 580.
+:<math>\scriptstyle470\times580</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לכפול ת"ע על תק"פ{{#annotend:6FQI}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר השני על תוספת המספר הראשון (ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני) ושמור העולה מאלו הב' הכפלות
+|style="text-align:right;"|הנה נכפול בתחלה הג' (הה') אשר הם למטה במקום המאיות על הד' אשר הם למעלה במקום המאות ויהיו עשרים ושים אותם הכ' ר"ל שנים עם ציפרא אחת ויהיו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול תוספת המספר הראשון על תוספת המספר השני ושמור העולה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הה' שלמטה פעם שנית עם הז' אשר הם למעלה ויהיו ל"ה ושים ל' על הציפרא אשר כתבת עם העשרים ושים תחת הציפרא ג' שהם ל' והה' הבאים תכתוב לאחור והנה נצטרך לעשות על זה ג' ציפרי ב' בעד המספר התחתון וא' שעומדת למעלה במקום האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועוד יש לך לכפול שני החסרונות ר"ל חסרון המספר הא' על חסרון המספר הב'
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול הח' אשר הם למטה במקום העשרות אצל הד' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ל"ב ושים ל"ב בקו אחד תחת הל"ה אשר למעלה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחבר העולה עם התוספת ממה שעלה ב' המספרים
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול ח' על ז' שהם למעלה במדרגת העשרות ויהיו נ"ו ותכתוב הנ' תחת הב' מהל"ב והו' תכתוב אחורנית אח"כ תחברם ויהיו רע"ב אלפים ות"ר וזאת צורתם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותגרע מזה מה שיש לך מהתוספת והחסרון והנשאר הוא המבוקש
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-*{{#annot:(4-2)×(8-3)|156|MzgG}}Example: we wish to multiply 4 minus 2 by 8 minus 3.
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
-:<math>\scriptstyle\left(4-2\right)\times\left(8-3\right)</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' פחות שנים עם ח' פחות ג'{{#annotend:MzgG}}
 |-
-|
+|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||4||7||0
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות כמו זאת הצורה
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||&nbsp;||5||8||0
 |-
-|
+|2||0||0||0||0||0
-|
-{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
-|
+|&nbsp;||3||5||0||0||0
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|style="text-align:right;"|תוספת||תוספת
+|&nbsp;||3||2||0||0||0
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||5||6||0||0
 |-
-|style="text-align:center;"|4||8
+|2||7||2||6||0||0
+|}
 |-
-|style="text-align:center;"|2||3
-|-
-|style="text-align:right;"|חסרון||חסרון
 |}
 |-
-|}
+|
+=== <span style=color:Green>Type five</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך להתחיל ההכפלה בזה האופן והוא שתכפול הב' אשר הם תחת הד' על הח' אשר הם על הג' 3 2 ויעלה בידך י"ו
+|style="text-align:right;"|ואולם המין הה' מהכפל הוא אשר כתבנו הנקרא בלשונם קרוציטא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול עוד הג' אשר הם תחת חסרון חסרון הח' נגד הד' אשר הם על הב' ויהיו י"ב
+|style="text-align:right;"|ונעשה אותו בזה האופן והוא שנחזיק לעולם המספר ממה שיעלה מהאות הראשנה עד שנראה מה יצא מהשניה כדי שלא נצטרך למחוק אותה האות ולרשום אחרת תעמוד תחתיה וזה תבין בבירור בלי שום ספק אחר שנעיין בעין פתוחה בדמיונות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר י"ב עם י"ו ויהיו כ"ח
+*{{#annot:27×32|156|gchY}}Example: we wish to multiply 27 by 32.
+:<math>\scriptstyle27\times32</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ז על ל"ב{{#annotend:gchY}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד כפול הד' אשר הם על הב' נגד הח' אשר הם על הג' ויהיו ל"ב
+|style="text-align:right;"|הנה נכפול תחלה הג' אשר במדרגה השנית על הב' אשר הם למעלה ב' במדרגה השנית ג"כ ר"ל במדרגת העשרות ויעשה בידך י' (ו') ולא נניח אותם כמו שקדם שמא יעלה לנו משאר ההכאות שאנו עתידין להכות עם שאר האותיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הב' אשר הם תחת הד' על הג' אשר הם תחת הח' ויעלו ו'
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול אותם הג' על הז' אשר הם לעיל במדרגת האחדים ויהיו כ"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל ל"ב ויהיו ל"ח
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים עם הב' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הסר משם כ"ח נשארו עשרה והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|נחברם אל הכ"א ויהיו כ"ה ונעשה מהכ' ב' עשרות ב' שלמים ר"ל שאותם הכ' שהם ב' עשרות ישוו ב' מאות ונחבר אלו הב' אצל הו' ויהיו ח' ותניח ח' במקום המאות וישארו בידך ה&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:(7-2)×(8-4)|156|VBTJ}}Another example: we wish to multiply 7 minus 2 by 8 minus 4.
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הב' אשר הם למטה על הז' אשר הם למעלה במדרגת האחדים ויהיו י"ד ונעשה מהעשרה אחד ונחבר זה הא' אצל הה' שיש לנו ויהיו ו' נשים אותם אצל העשרות והד' הנשארים תשיבם אחורנית אצל הנשארים ויהיו ד' הנה א"כ היוצא הוא תתס"ד על זאת הצורה
-:<math>\scriptstyle\left(7-2\right)\times\left(8-4\right)</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לכפול ז' פחות ב' על ח' פחות ד' הורידם בזאת הצורה{{#annotend:VBTJ}}
 |-
 |
@@ Line 2,768: / Line 3,635: @@
 |-
 |
-{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
 |-
-|style="text-align:right;"|תוספת||תוספת
+|&nbsp;||2||7
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||3||2
 |-
-|style="text-align:center;"|7||8
+|8||6||4
-|-
+|}
-|style="text-align:center;"|2||4
 |-
-|style="text-align:right;"|חסרון||חסרון
 |}
 |-
-|}
+|
+*{{#annot:231×342|156|5Cep}}Another example: we wish to multiply 231 by 342.
+:<math>\scriptstyle231\times342</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לכפול רל"א על שמ"ב{{#annotend:5Cep}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה בתחלה יש לך לכפול הב' אשר הם תחת הז' על הח' אשר הם על הד' ויהיו י"ו ושמור אותם
+|style="text-align:right;"|והנה נתחיל לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הב' אשר הם למעלה במקום המאיות ויהיו ו' ולא תניחם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הז' אשר הם על הב' ויהיו כ"ח
+|style="text-align:right;"|אח"כ נשוב לכפול הג' אשר הם למטה במקום המאיות על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ה' ט' ושמור אותם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל הי"ו ויהיו מ"ד
+|style="text-align:right;"|עוד כפול הב' אשר הם למעלה במקום המאיות על הד' אשר הם למטה במקו' העשרות ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הז' אשר הם על הב' על הח' אשר הם על הד' ויהיו נ"ו
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל הט' ויהיו י"ז ותעשה מהעשרה אחד ותחבר זה הא' עם הו' שהיו לנו ושים אותם למטה בקו שלישי והז' יהיו לאחדים בידך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הב' אשר הם תחת הז' ויהיו ח'
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול הג' אשר הם למטה במדרגת המאיות אצל הא' אשר היא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ג' ושמור אותם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחברם עם נ"ו ויהיו ס"ד
+|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול הב' אשר הם למעלה במדרגת המאות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ד' ותחברם אל הג' השמורים ויהיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גרע מהם מ"ד הנשאר עשרים והוא המבוקש ותקיש על זה
+|style="text-align:right;"|עוד כפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הג'
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל הז' השמורים ויהיו י"ט תעשה מהי' אחד ושים זה האחד עם הז' השמורים הראשנים ויהיו ח' ושים אלו הח' אצל הז' אשר הם בקו ג' ונשארו בידך עדין ט&#x202B;'
 |-
-|}
+|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול הד' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת האחדים ויהיו ד&#x202B;'
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|עו' תכפול הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות אצל הב' אשר הם למטה במדרגת האחדים ויהיו ו' ושים אותם על הד' ויהיו י' ותעשה מהם א' ותחבר זה הא' עם הט' ויהיו י' ואלו הי' ישוו ג"כ א' אצל הח' המונחים בקו ג' ויהיו עתה ח' תחת הט' ותעשה ב' ציפרי א' מצד כי עלה בידך י' מצומצמים מהמספר האחרון והשניה כי היו בידך ט' ובא זה והשלים המנין באופן שהיו עשרה כי אין מנין פחות מעשרה אח"כ תכפול הב' אשר הם למטה אצל האחדים עם הא' אשר הוא למעלה ויהיו ב' הנה א"כ העולה הוא ע"ח (ע"ט) אלפים וב' על זאת הצורה
-== Chapter Four: Division ==
-|style="text-align:right;"|השער הד' ידבר על חלוק השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונחלק זה השער לב' חלקים
+|
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הראשון ידבר על חלוק המספר הקטן על הגדול
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px; border-collapse: collapse;"
+|-
+|&nbsp;||&nbsp;||2||3||1
+|-style="border-bottom: 1px solid black;"
+|&nbsp;||&nbsp;||3||4||2
+|-
+|7||9||0||0||2
+|}
+|-
+|}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והחלק הב' ידבר על חלוק המספר הגדול על הקטן
+|style="text-align:right;"|ואם יצטרך לך לע[שו]ת הכפל עם ציפרי תעשה כנז' בכמה מקומות מזה החבור ולא תחטיא אם תקיש זה לזה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון קטן על חשבון גדול ראוי לך לראות אם אותם המספרים הם מורכבים ר"ל הגדול והקטן ואם הם מורכבים חלקם לאותו מספר אשר ממנו הורכבו
+=== <span style=color:Green>Type six: Gelosia</span> ===
+|
 |-
 |
-*{{#annot:36÷48|157|ZGyk}}Example: we wish to divide 36 by 48.
+|style="text-align:right;"|ואולם המין הו' מהכפל
-:<math>\scriptstyle36\div48</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ל"ו על מ"ח{{#annotend:ZGyk}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מספר מ"ח מספר מורכב ר"ל שנוכל לחלק מ"ח על ב' ויצא לך כ"ד אח"כ תחלק ל"ו ג"כ על ב' ויצא לך י"ח א"כ היוצא הוא י"ח חלקים מכ"ד ועדין נוכל לחלקם והוא שנחלק י"ח על ב' ויצא לך ט' עוד חלק כ"ד על ב' ויצא לך י"ב א"כ היוצא הוא ט' חלקים מי"ב ועדין נוכל לחלקו והוא שתחלק ט' על ג' ויצא לך ג' עוד תחלק י"ב על ג' ויצא לך ד' א"כ היוצא הוא ג' רביעיות
+|style="text-align:right;"|הוא הפך הכפל הג' אשר כתבנו בכאן כי הכפל הג' צריך להתחיל ההכאות מן המדרגה היותר גדולה ר"ל מן האלפים אם המספר הוא כל כך גדול וזה צריך לעשות הכפל ולהתחיל מן המספר היותר קטן להתחיל מן האחדים ואל תחשוב כי זה הכפל הוא כמו הכפל הראשון כי הפרש בין זה לזה וזה הכפל נקרא בלשונם מולטיפליקארי פיראושקאקי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם המספר הגדול מורכב והקטן בלתי מורכב תחלק הגדול להרכבתו אח"כ תחלק המספר הקטן באותם המספרים והיוצא הם חלקים ממנו
+|style="text-align:right;"|ודע כי צריך לעשות מרובע אחד כפי האותיות שתרצה לכפול ר"ל שאם תרצה לכפול ב' אותיות על ב' אותיות תצטרך לעשות ג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון הא' והג' קצרות והאמצעית ארוכה וצריך שתשים היוצא בין הקוים ואחר כן תחבר הכל מין עם מינו ודע כי בזה המרובע תמצא כמו בתים
 |-
 |
-*{{#annot:11÷18|157|XYtI}}Example: we wish to divide 11 by 18.
+|style="text-align:right;"|ודע כי אם תמצא בבית הראשון ציפרא זה יורה כי אין במדרגת האחדים דבר כי אם ציפרא וכן תעשה מהבתים האחרים ותחבר הבתים המכוונים זה מזה והשמר לך ושמור נפשך שלא תטעה בחבור ר"ל שתחבר הבית הב' עם הב' והג' עם הג' והד' עם הד' וכן תמיד
-:<math>\scriptstyle11\div18</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ח{{#annotend:XYtI}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מספר י"ח הוא מספר מורכב מג' וו' או מב' וט' הנה נחלק י"ח על ג' ויצא לך ו' ושים במקום אחד ו' ובמקום אחר ג' ותחלק י"א שהוא המספר הקטן על ג' ויצא לך ג' ונשארו ב' ושים אלו הג' על הו' והשנים שנשארו שים על הג' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית אחד כמו זאת הצורה
+*{{#annot:25×25|156|daU2}}Example: we wish to multiply 25 by 25.
+:<math>\scriptstyle25\times25</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול כ"ה על כ"ה{{#annotend:daU2}}
 |-
 |
-*{{#annot:23÷36|157|AkSQ}}Another example: we wish to divide 23 by 36.
+|style="text-align:right;"|הנה בתחלה תצטרך לעשות מרובע מג' קוים באורך וג' ברוחב וג' באלכסון מצד כי המדרגות אינם כי אם ב' כמו זאת הצורה
-:<math>\scriptstyle23\div36</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק כ"ג על ל"ו{{#annotend:AkSQ}}
+|colspan=2 style="text-align: right;" |
+[[File:Astruk - Gelosia - I.png|thumb|250px]]
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מספר ל"ו מספר מורכב מב' וג' וו' ר"ל כי אם תכפול ו' על ג' יעלו י"ח ואם תכפול יח על ב' יעלו ל"ו ולכן נניח ב' ואח"כ ג' ואח"כ ו' ויש לנו לחלק כ"ג על המספר היותר קטן שהוא ב' ויצא לך י"א וישאר א' ותניח א' על הב' וי"א תשים על הקצה האחרון שהוא ו' ויש לך עתה לחלק י"א על ג' ויצא לך ג' וישארו ב' ותניח הב' על הג' והג' תשים על הו' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית וחצי שליש שישית וזאת צורתם
+|style="text-align:right;"|ותתחיל לכפול בתחלה הה' אשר למטה במדרגת האחדים על הה' אשר למעלה במדרגת האחדים ג"כ ויהיו כ"ה ושים הה' בבית הראשון והב' עשרות תעכב עמך אח"כ תכפול הה' אשר למטה פעם שניה על הב' למעלה במדרגה הב' ויהיו י' ותחבר אליהם הב' ויהיו י"ב ושים הב' בבית השני והאחד בבית הג' עוד תשוב ותכפול הב' אשר הם למטה במדרגת העשרות עם הה' אשר הם למעלה במדרגת האחדי' ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והכלל בזה שתחלק המספר הקטן על הסכום היותר קטן אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואם נשאר כלום תניחהו על אותו הסכום הקטן והיוצא שים על הסכום הגדול אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואח"כ תחלק מה שהנחת על הסכום הגדול על הסכום האמצעי אם אותו המספר הגדול מורכב מג' מספרים ומה שישאר תניח על הסכום האמצעי והיוצא תשים על הסכום הקטן (הגדול)
+|style="text-align:right;"|ודע כי כל אלו האותיות אשר שמנו עד עתה היו בבתים העליונים ר"ל באותם הבתים אשר בין הקו הא' והב' שהולכים ברוחב אבל מה שיצא עתה נשים בבתים אשר בין הקו הב' והג' והנה נשים זה הגלגל בבית הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולמען תהיה בקי אתן לך דמיון אחר
+|style="text-align:right;"|אח"כ נשוב ונכפול הב' אשר הם למטה במקום העשרות על הב' אשר הם למעלה במקום העשרות ג"כ ויהיו ד' ונחבר אליהם זה הא' שעלה בידינו ויהיו ה' ושים אותם בבית הג&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:37÷48|157|aycb}}Example: we wish to divide 37 by 48.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נחבר הכל והנה תמצא למעלה בבית הראשון ה' וזה מורה שהם אחדים גם תמצא בבית הב' ב' וזה מורה כי הם עשרות גם תמצא בבית העליון ר"ל בבית השלישי א' ג"כ למטה בבית הג' וה' עם א' ויהיו ו' ומאחר שמצאנו אלו הו' בבתים השלישיים יורה על המאיות ויהיה היוצא ו' מאות וכ"ה כמו זאת הצורה
-:<math>\scriptstyle37\div48</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ל"ז על מ"ח{{#annotend:aycb}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מספר מ"ח הוא מורכב מב' וד' וד' (וו') כי ו' פעמים ד' הם כ"ד וב' פעמים כ"ד הם מ"ח ולכן נשים ב' שהוא הסכום הקטן תחלה ואח"כ נשים ד' ואחר נשים ו' שהוא הסכום הגדול וכבר אמרנו כי הראשנה ראוי לנו לחלק מספרינו על הסכום הקטן ונחלק ל"ז על ב' ויצא לך י"ח וישאר א' ותניח א' על הב' כי כן אמרנו כי הנשאר נניח על הסכום הקטן והי"ח נניח על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא נניח על הסכום הגדול ועתה יש לנו י"ח על הסכום האמצעי שהוא ד' כי כן אמרנו ויצא ד' וישארו ב' ושים ב' שהוא מה שנשאר על ד' כי כן אמרנו שהנשאר ראוי להניחו על הסכום האמצעי והיוצא נשים על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא ראוי להניחו על הסכום הגדול הנה א"כ נשאר על הסכום הגדול ד' ועל הסכום האמצעי ב' ועל הסכום הקטן א' הנה א"כ היוצא הוא ד' שישיות שהוא ב' שלישיות וב' רביעיות שישית וחצי רביעית שישית וזאת היא צורתם
+|style="text-align:right;"|ולמען תהיה בקי לעשות זה הכפל נכתוב דמיון אחר ויהיה מג' מדרגות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו קח ב' שלישיות מ"ח שהם ל"ב אח"כ קח ב' תשיעיות (רביעיות) שישית שהם ד' חלקים ממ"ח ועם ל"ב יהיו ל"ו ואח"כ חצי רביעית שישית שהוא חלק א ממ"ח ושים אותו על ל"ו ויהיו ל"ז כמו שהיה מספרינו וזה המעט יספיק לך
+*{{#annot:212×132|156|fM0G}}Example: we wish to multiply 212 by 132.
+:<math>\scriptstyle212\times132</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רי"ב על קל"ב{{#annotend:fM0G}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם אין שום מספר מורכב ר"ל הגדול והקטן יש לך לעשות חצאין מהמספר הקטן ותראה אם המספר הגדול הוא עדין יותר גדול מסכום חצאי המספר הקטן ואם המספר הקטן הוא עתה יותר גדול הנה יצא לך חצי אחד והחלקים שנשארו הם חלקי כפל המספר הגדול
+|style="text-align:right;"|הנה נצטרך לעשות מרובע מג' (ד') קוים ברוחב וד' באורך וד' באלכסון מאחר שהאותיות הם ג' וראה ועשה כתבניתו אשר אתה מראה בכאן
+|-
+|colspan=2 style="text-align: right;" |
+[[File:Astruk - Gelosia - II.png|thumb|300px]]
 |-
 |
-*{{#annot:11÷19|157|B3RV}}Example: we wish to divide 11 by 19.
+|style="text-align:right;"|והנה תתחיל לכפול הב' אשר הם למטה במקום האחדים על הב' אשר הם למעלה במקום האחדים ג"כ ויהיו ד' נשים אותם לעיל בבית הא&#x202B;'
-:<math>\scriptstyle11\div19</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ט{{#annotend:B3RV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נעשה מהיא חצאים ויהיו כ"ב חצאים ותחלק עתה כ"ב על י"ט ויצא לך א' שהוא חצי אחד ונשארו עדין ג' חלקים ועתה יש לך לכפול י"ט על ב' ר"ל שנעשה גם מהי"ט חצאים ויהיו ל"ח הנה א"כ יצא לך חצי אחד וג' חלקים מל"ח
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הב' אשר הם למטה במקו' האחדים על הג' אשר הם למעלה במקום העשרות ויהיו ו' וכתו' אותם לעיל בבית הב&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:5÷17|157|TGzh}}Example: we wish to divide 5 into 17 parts.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול פעם ג' הב' מלמטה נגד הא' אשר הוא למעלה במקום המאיות ויהיו ב' ושים אותם למעלה בבית הג&#x202B;'
-:<math>\scriptstyle5\div17</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק ה' לי"ז חלקים{{#annotend:TGzh}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה אם נעשה מהה' שהוא המספר הקטן חצאים לא יהיו כי אם עשרה ומספרינו הוא י"ז ולא יספיק לכן יש לנו למצא מספר יספיק לחלקו על י"ז ונעשה מהה' רביעיות ויהיו כ' רביעיות וחלקם על י"ז ויצא לך א' שהוא רביעית אחד ונשארו עדין ג' לחלקם על י"ז ולכן נעשה מהי"ז רביעיים ג"כ ויהיו ס"ח הנה א"כ היוצא הוא רביעית אחד וג' חלקים מס"ח
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הא' אשר הוא למטה במדרגת העשרות נגד הב' אשר הוא לעיל במדרגת האחדים ויהיו ב' ושים אותם באמצע הבתים ר"ל בין הבתים אשר הם בין הקו הב' והג' ושים אותם הב' בבית הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וזה יספיק לך בחלוק המספר הקטן על הגדול
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ג' ושים אותם בבית הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק השני ידבר על חלוקת המספר הגדול על הקטן
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב וכפול אותו הא' פעם ג' עם הא' אשר הוא למעלה במדרגת המאות ויעלה א' ושים אותו בבית הד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והוא נעשה ככה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב לכפול השנים אשר הם למטה במדרגת המאות עם הב' העליונים אשר הם במדרגת האחדים ויעלו ד' ושים אותם למטה בין הבתים אשר הם בין הקו הג' והד' ושים אלו הד' בבית הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון צריך לך לדעת כי המספר המחולק יהיה לעולם יותר גדול מהמחלק ויש לך לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ואח"כ תתחיל לגרוע מן האלפים ויש לך לחשוב אותם כמו אחדים ועליו תחלק ואם נראה לך כי לא תוכל לחלק מה שהוא בשטה היותר גדולה למעלה על היותר גדולה (קטנה) שהיא למטה יש לך להשיב אותו של מעלה אחורנית אצל האות הסמוכה לה וחשוב אותם כמו אחדים והיו לאחדים בידיך ואלו האחדים תחלק על האות הגדולה אשר היא למעלה (למטה) וכן תמיד תשוב אחורנית ואח"כ תכפול מה שיצא מהחלוקה נגד האות של מטה אצל אותה האות אשר עשית החלוקה עליה ותגרע העולה מן האות של מעלה אצל הגדולה וכן תמיד עד שתגיע אצל האחדים
+|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול אלו הב' פעם ב' עם הג' אשר הם למעלה במדרגת העשרות ויהיו ו' ושימם בבית הד&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:245÷34|157|iYfX}}Example: we wish to divide 245 by 34.
+|style="text-align:right;"|עוד כפול אלו הב' פעם ג' עם הא' אשר הוא לעיל במדרגת המאות ויעלה ב' ושים אותם בבית הה&#x202B;'
-:<math>\scriptstyle245\div34</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק רמ"ה על ל"ד{{#annotend:iYfX}}
+|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחברם זה עם זה ולא תטעה בחבור ויצא לך כ"ז אלפים תתקפ"ד על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
+=== <span style=color:Green>Type seven: multiplying by tens</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותמשוך ב' קוים בין המחלק והמחולק כדי לשים מה שיצא ביניהם ואח"כ תתחיל לחלק האות האחרונה של מעלה שהיא ב' במקום המאות על היותר גדולה של מעלה (מטה) שהיא ג' במקום העשרות ולא תוכל לחלק ב' על ג' לכן יש לך להשיב הב' מאות אצל העשרות אשר הם ד' הנה הב' ישוו עשרים ועם הד' יהיו כ"ד ותחלקם על ג' יעלו ח' שלמים ולא תוכל לשים כל אלו הח' כי אנו צריכין לכפול הח' נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים שיגיע סך העולה ל"ב והנה למעלה לא נשאר לנו כי אם ה' ולא נוכל לגרוע מהה' של מעלה הל"ב של מטה ולכן לא נתן לו כי אם ז' ונשאר עדין ג' למעלה במקום העשרות אח"כ נכפול אלו הז' היוצאים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח ונסיר כ"ח מל"ה אשר הם עדין למעלה הנשאר ז' והיוצא הוא ז' ג"כ
+|style="text-align:right;"|ואולם המין הז' מהכפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר יהיה למעלה ד' או ה' מדרגות ובתחתונה יהיה ג' מדרגות תעשה כנז'
+|style="text-align:right;"|נעשה על זה האופן והוא שאם תרצה לכפול איזה מספר על כלל אחד ר"ל כי הכלל נקרא כמו י' או ק' או אלף או י' אלפים אבל אלפים אינו נקרא כלל וזה הכלל יהיה בידיך כי כשתמצא יותר מאות א' אינו נקרא כלל
 |-
 |
-*{{#annot:12345÷234|157|omXn}}Example: we wish to divide 12345 by 234.
+|style="text-align:right;"|וכשתרצה לדעת זה הכפל אם תרצה לכפול על עשרה תשים ציפרא למעלה על המספר המונח ומה שיעלה הוא המבוקש
-:<math>\scriptstyle12345\div234</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"ב אלפים ושמ"ה על רל"ד{{#annotend:omXn}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותו על ק' תוסיף בו ב' ציפרי על המספר העליון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תתחיל לחלק הא אשר הוא למעלה ששוה במקום עשרת אלפים על הב' אשר הוא למטה במקום המאיות ולא תוכל כי ב' יותר גדול מא' על כן יש לך להשיב זה הא' אשר הוא למעלה במקום עשרת אלפים אצל הב' אשר הם למעלה במקום האלפים ויהיו י"ב ותחלק י"ב על ב' ויצא לנו ו' אבל לא נשיב כל הו' כי יש לנו לכפול אותם הו' היוצאים על ג' אשר הם למטה ויעלה י"ח ויש לנו לקחת אלו הי"ח מהג' אשר הם לעיל במקום המאיות ולא נוכל על כן לא נשים כי אם ה' ונשארו עדין למעלה הב' אשר הם במקום האלפים
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה על אלף תוסיף ג' ציפרי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הה' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ט"ו ותגרע ט"ו מן הג' אשר הם למעלה במקום המאיות ולא נוכל על כן יש לנו להשיב אותם הב' אשר הם למעלה במקום האלפים אצל הג' שהם במקום המאיות ויהיו כ"ג תגרע מהם ט"ו הנשאר ח' ושים אלו הח' למעלה במקום המאיות
+*{{#annot:33×10|156|pgpm}}Example: we wish to multiply 33 by 10.
+:<math>\scriptstyle33\times10</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ל"ג על י'{{#annotend:pgpm}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול עוד אותם הה' שיצאו בין שני הקוים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו עשרים ויש לך לגרוע אלו הכ' מהד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך לקחת ב' מאלו הח' אשר הם במקום המאיות ולהשיבם אצל הד' ויהיו כ"ד תקח מהם עשרים ונשארו ד' אצל העשרות גם נשארו ו' על המאות
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לשים למעלה על הל"ג ציפרא א' הנה ישוו עתה הל"ג ש"ל והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב אחורנית המספר התחתון וזה שתשיב הב' מאות ממטה אצל הו' מאות של מעלה והג' עשרות של מטה אצל הד' עשרות של מעלה והד' אחדים של מטה אצל הה' אחדים של מעלה ותתחיל לחלק הו' אשר הם למעלה במקום המאות על הב' אשר הם למטה ויעלו ג' ואל תשים כל אלו הג' כי אם תכפול אותם הג' על הג' אשר הם למטה במקום העשרות יעלו ט' והנה לא תוכל לקחת ט' מן הד' אשר הם למעלה במקום האחדים (העשרות) על כן נקח לו ב' ונשארו עדין ב' למעלה במקום המאות
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותם על מאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הב' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ו' נחסר ו' מד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא נוכל על כן יש לנו לקחת אחד מאותם הב' שנשארו עדין במקום המאות ונשיב אותו אחורנית אצל הד' אשר הם בעשרות ויהיו י"ד נחסר מהם הו' ונשארו עדין ח' במקום העשרות למעלה [וא'] במקום המאות
+|style="text-align:right;"|ראוי להוסיף על ל"ג ב' ציפרי ויגיעו למדרגת האלפים ויהיה העולה ג' אלפי' וש&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול הב' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו ח' ותחסר אותם הח' מן הה' אשר למעלה במקום האחדים ולא נוכל ועל כן נקח אחד מהח' אשר הם למעלה במקום העשרות ונשארו עדין ז' ותשיב אלו העשרה אצל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מט"ו ח' ונשארו ז' ושים אלו הז' למעלה במקום האחדים
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותם על אלף
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא מן החלוקה הוא נ"ב ונשארו עדין קע"ז כמו שכתו' לעיל
+|style="text-align:right;"|יש לך להוסיף על הל"ג ג' ציפרי ויגיעו לעשרות אלפים ויעלה ל"ג אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר מה יהיה בו ציפרא גם במחלק יהיה ציפרא תעשה כמו שתראה בדמיון
+|style="text-align:right;"|ואולם אם תרצה לכפול המספר המונח על עשרים
 |-
 |
-*{{#annot:20503÷304|157|G2dY}}Example: we wish to divide 20503 by 304.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול המספר המונח על ב' ואח"כ תוסיף על הסך ציפרא א' ומה שיעלה הוא המבוקש
-:<math>\scriptstyle20503\div304</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק עשרים אלף תק"ג על מספר ש"ד{{#annotend:G2dY}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות על זאת הצורה
+*{{#annot:45×20|156|vUC8}}Example: we wish to multiply 45 by 20.
+:<math>\scriptstyle45\times20</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול מ"ה על עשרים{{#annotend:vUC8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותתחיל לחלק הב' אשר היא למעלה במקום עשרת אלפים על הג' אשר היא למטה במקום המאיות ולא תוכל על כן יש לך להשיב אותם הב' שלמעלה אצל הציפרא ויהיו כ' תחלקם על ג' אשר הם למטה ויצא לך ו' ושים אותם הו' בין שני הקוים ונשארו עדין למעלה ב' במקו' האלפים
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול מ"ה על ב' והטעם למה אנו כופלי' אותו ב' פעמים מצד כי עשרים הם כפל עשרה והנה ב' פעמים מ"ה הם צ' ועתה יש לך להוסיף על הצ' ציפרא אחת ויעלה ט' מאות והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם הו' היוצאים נגד הציפרא ויעלה בידך ציפרא ולא תשים מאומה מהה' אשר הם למעלה במקום המאות כי אלו עלה בידך איזה דבר היה לך לחסר אותם מהה' ומאחר שעלה בידך ציפרא לא תשים מאומה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול המספר המונח שהוא מ"ה על מאתים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול היוצא שהם ו' על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ד ויש לך לקחת אלו הכ"ד מן הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך להשיב הה' אשר הם במקום המאיות אחורנית ויהיו נ' תחסר מהם כ"ד הנשאר כ"ו ושים הב' על המאיות והו' על העשרות
+|style="text-align:right;"|יש לך ג"כ לכפול מ"ה על ב' ותוסיף עליו ב' ציפראות ויהיו ט' אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תעתיק המספר התחתון ושים הג' אשר הם במקום המאיות תחת הב' אשר הם במקום האלפים (המאיות) למעלה ושים הציפרא תחת הציפרא (הו') של מעלה אשר היא במקום העשרות ושים הד' של מטה תחת הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ותתחיל לחלק מן האלפים ותחלק הב' אלפים על הג' ולא תוכל כי ג' גדול מב' ועל כן יש לך להשיב אחורנית אלו הב' אצל הב' אשר הם במקום המאיות ויהיו כ"ב תחלקם על ג' ויצא לך ז' ושים אותם בין שני הקוים אצל הו' אחורנית וישאר עדין למעלה אחת במקום המאות
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול אותו על אלפים יש לך לכפול המספר כאשר אמרנו ותוסיף עליו ג' ציפרי ויעלה צ' אלפים והוא המבוקש וכן כל כיוצא בזה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול הז' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח תחסר אותם מהג' אשר למעלה במקום האחדים ולא תוכל על כן יש לך לעשות בזה האופן והוא שתשיב אותם הו' אשר הם על העשרות אחורנית ויהיו ס' תחסר מהם כ"ח הנשאר לב תחבר אליהם הג' שלמעלה ויהיו ל"ה
+|style="text-align:right;"|אבל אם תרצה לכפול המספר המונח על ד' יש לך לכפול המספר המונח ד' פעמים ולהוסיף עליו כפי הציפרי ר"ל אם הם ד' אלפי' תוסיף עליו ג' ציפראות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא ס"ז והנשאר קל"ה
+|style="text-align:right;"|ואם ד' מאות תוסיף עליו ב' ציפרי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם המין השני מן החלוק הוא על זה האופן והוא שנחלק המספר הגדול נגד הקטן בבת אחת כוונתי שלא נחלק אותו אות באות כאשר עשינו עד עתה אלא נחלק המספר העליון אצל המספר התחתון
+|style="text-align:right;"|ואם הם ד' עשרו' תוסיף ציפרא והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולעולם נשוב אחורנית כמו שעשינו בחלוק אשר קדם זכרו וזה החלוק נקרא בלשונם דאנדא והקודם נקרא גליאה
+*{{#annot:15×40|156|46Gd}}Example: we wish to multiply 15 by 40.
+:<math>\scriptstyle15\times40</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת כפל ט"ו על מ&#x202B;'{{#annotend:46Gd}}
 |-
 |
-*{{#annot:4321÷23|157|VgnQ}}Example: we wish to divide 4321 by 23.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ט"ו ד' פעמים ויעלו ס&#x202B;'
-:<math>\scriptstyle4321\div23</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ד' אלפים שכ"א על כ"ג{{#annotend:VgnQ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות כמו זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|ואח"כ ראוי להוסיף על הס' ציפרא א' ויהיו ו' מאות והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ"ג אשר הם למעלה רצוני הד' אלפים וג' מאות ונחשוב אותם כאלו היו יחידים ונחלקם על כ"ג ויצא לנו א' וישאר עדין ב' שהם ב' אלפים
+|style="text-align:right;"|וכן על ד' אלפים תוסיף ג' ציפרי ויעלה ס' אלפים ותקיש על זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נשיב אלו הב' אלפים אצל העשרות שהם ב' עשרות ויהיו ב' מאות וב' ונחלקם על כ"ג ונתן לו ח' ונשארו עדין י"ח שהם ק"ף
-|-
+=== <span style=color:Green>Type eight: subtraction and multiplication</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ נשיב אלו הק"פ אצל האחדים רצוני אצל הא' אשר הם למעלה במקום האחדי' ויהיו קפ"א ותחלקם על כ"ג ויצא לך ז' ונשארו עדין כ'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא קפ"ז ונשארו עדין כ' לחלקם על כ"ג
+|style="text-align:right;"|ואולם המין הח' מהכפל הוא מעורב ממגרעת ומכפל
 |-
 |
-*{{#annot:70213÷136|157|K0QH}}Another example: we wish to divide 70213 by 136.
+|style="text-align:right;"|במקום אחד עומד הכפל ובמקום אחד הגרעון מהמספר הא' וכך ראוי לעשות מהמספר הב' ר"ל שהכפל עומד בזוית זו והגרעון בזוית זו
-:<math>\scriptstyle70213\div136</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק שבעים אלף ורי"ג על קל"ו{{#annotend:K0QH}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך להתחיל ההכפלה מגרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני ושמור העולה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תתחיל לחלק מן האלפים שהם ע' ותשיבם אל הב' מאות ויהיו תש"ב ותחלקם על קל"ו יצא לך ה' ונשארו עדין כ"ב שהם ב' אלפים וב' מאות
+|style="text-align:right;"|ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר השני על תוספת המספר הראשון (ואח"כ יש לך לכפול גרעון המספר הראשון עם תוספת המספר השני) ושמור העולה מאלו הב' הכפלות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשיב אלו הכ"ב אצל העשרות ויהיו רכ"א ותחלקם על קל"ו ויצא לך א' ונשארו עדין פ"ה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול תוספת המספר הראשון על תוספת המספר השני ושמור העולה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשיב אלו הפ"ה אצל האחדים שהם ג' ויהיו תתפ"ג (תתנ"ג) ותחלקם על קל"ו ויצא לך ו' ונשארו עדין ל"ז
+|style="text-align:right;"|ועוד יש לך לכפול שני החסרונות ר"ל חסרון המספר הא' על חסרון המספר הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא תקי"ו ונשארו ל"ז וכן תעשה תמיד אם תקישם אל מה שקדם זכרם
+|style="text-align:right;"|ותחבר העולה עם התוספת ממה שעלה ב' המספרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים אל מטבע אחד הנה יש לך להשיב כל המטבעים אל ערך אותה המטבע אשר תרצה לעשות החלוקה כנגדה
+|style="text-align:right;"|ותגרע מזה מה שיש לך מהתוספת והחסרון והנשאר הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק כ"ג דוקטי וב' קרליני וז' גרות על י"ו טורנישי
+*{{#annot:(4-2)×(8-3)|156|MzgG}}Example: we wish to multiply 4 minus 2 by 8 minus 3.
+:<math>\scriptstyle\left(4-2\right)\times\left(8-3\right)</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' פחות שנים עם ח' פחות ג'{{#annotend:MzgG}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ יש לך לעשות מהכ"ג דוקטי קרליני ויהיו ר"ל ותחבר אליהם ב' קרליני ויהיו רל"ב
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות כמו זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מאלו הרל"ב קרליני גרות ויהיו (שכ"ב) (ב') אלפים וש"כ גרות ותחבר אליהם הז' גרות ויהיו ב' אלפים ושכ"ז
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מאלו הגרות {{#annot:tornesi|2643|Tp9V}}טורנישי{{#annotend:Tp9V}} ויהיו ד' אלפים ותרנ"ד ותחלקם על המספר שהם י"ו ויצא לך ר"ץ ונשארו עדין י"ד כמו זאת הצורה
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים על מטבעים מתחלפים
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|תוספת||תוספת
-|style="text-align:right;"|כגון שנרצה לחלק מ"ג דוקטי וה' קרליני וח' גרות וב' טורנישי על ה' קרליני וט' גרות וב' טורנישי הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
 |-
-|
+|style="text-align:center;"|4||8
-|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מהמ"ג דוקטי קארליני ויהיו ת"ל ותחבר אליהם הה' קרליני ויהיו תל"ה ותעשה מהם גרות ויהיו ד' אלפים ושנ"ח עשה מהם טורנישי ויהיו ח' אלפים ותשי"ח ושמור אותם
 |-
-|
+|style="text-align:center;"|2||3
-|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב אל המספר המחלק ותעשה מהה' קרליני גרות ויהיו נ' ותחבר אליהם הט' גרות ויהיו נ"ט ותעשה מהם טורניש ויהיו ק"כ אח"כ תחלק הח' אלפים ותשי"ח על ק"כ ויצא לך ע"ב וישארו עדין ע"ח עז"ה
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|חסרון||חסרון
-|style="text-align:right;"|ואולם המין הג' מהחלוק הוא שתחלק המספר הגדול נגד הרכבתו ר"ל אם הוא מורכב תחלקהו נגד המספר אשר הורכב ממנו אח"כ תחלק המספר הקטן על הרכבת הגדול ושים הגדול על הקטן והיוצא הוא המבוקש
+|}
 |-
-|
+|}
-*{{#annot:200÷50|157|kQox}}Example: we wish to divide two hundred by 50.
-:<math>\scriptstyle200\div50</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק מאתים על נ'{{#annotend:kQox}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח חומש נ' והוא עשרה גם חומש מאתים והוא מ' חלק מ' על ד' (י') ויצא לך י' (ד') והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך להתחיל ההכפלה בזה האופן והוא שתכפול הב' אשר הם תחת הד' על הח' אשר הם על הג' 3 2 ויעלה בידך י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הד' והתהלה לאל אמן
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול עוד הג' אשר הם תחת חסרון חסרון הח' נגד הד' אשר הם על הב' ויהיו י"ב
-|-
-|}
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר י"ב עם י"ו ויהיו כ"ח
-== Chapter Five: Addition of Fractions ==
-|style="text-align:right;"|השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי השער הזה הוא חמור מאד והוא הכרחי בכל מעשה חשבון עד מאד אבל אתן דרכים וקלים
+|style="text-align:right;"|עוד כפול הד' אשר הם על הב' נגד הח' אשר הם על הג' ויהיו ל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה כשתרצה לחבר שני שברים מתחלפים
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הב' אשר הם תחת הד' על הג' אשר הם תחת הח' ויעלו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת המורה ודע כי מורה נקרא הרכבת ב' שברים זה על זה והעולה מכפל שניהם או שלשתן או ארבעתם נקראהו מורה בזה המקום ואחר ראוי לקחת חלקי המספר הא' מהמורה ולשים אותו במקומו כן תעשה מן השני גם את השלישי גם מכל המספרים המונחי' ותחבר כל החלקים מכל המספרים ותחלק סך העולה על המורה ומה שיעלה הם חלקי המורה ולפעמים יעלה לך מקבוצם שלם א' או יותר או פחות
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל ל"ב ויהיו ל"ח
 |-
 |
-*{{#annot:⅓+½|677|HbM4}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{2}</math>
+|style="text-align:right;"|הסר משם כ"ח נשארו עשרה והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר שליש אחד עם חצי אחד{{#annotend:HbM4}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה בתחלה יש לך לכפול ג' על ב' אולם כונתי לומר ג' על ב' כי השליש יצא מג' והחצי יצא משנים ונכפול זה על זה ויעלו ו' ושמור אותם כי הוא המורה אח"כ קח שליש המורה שהם ב' וחציו ג' ותחברם ויהיו ה' ותחלק ה' על ו' שהוא המורה ויצא לך ה' שישיות עז"ה
+*{{#annot:(7-2)×(8-4)|156|VBTJ}}Another example: we wish to multiply 7 minus 2 by 8 minus 4.
+:<math>\scriptstyle\left(7-2\right)\times\left(8-4\right)</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לכפול ז' פחות ב' על ח' פחות ד' הורידם בזאת הצורה{{#annotend:VBTJ}}
 |-
 |
-*{{#annot:⅓+¼|677|8So2}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחבר שלישית אחד ורביעית אחד{{#annotend:8So2}}
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח המורה והוא שתכפול ג' על ד' ויהיו י"ב ונקראהו מורה אח"כ תקח רביעיתו והם ג' וקח שלישיתו והם ד' ותחברם ויהיו ז' חלקים מי"ב עז"ה ואם תרצה לחבר ב' שלישיות עם ד' חמישיות קח המורה שהוא כפל ג' על ה' ויהיו ט"ו וקח שלישיתו והוא ה' וכפול אותו ב' פעמים מצד שאמר ב' שלישיות ויהיו עשרה אח"כ קח שלישיתם (חמישיתם) שהוא ג' וכפול אותם ד' פעמים כי אמר ד' חמישיות ויהיו י"ב ותחברם ויהיו כ"ב ותחלקם על ט"ו ויצא לך א' שלם וז' חלקים מט"ו על זאת הצורה
+{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;"
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ג' מספרים
+{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;"
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|תוספת||תוספת
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מורה א' לכלם מכפל זה על זה ולתת לכל אחד חלק הראוי לו ואחר תחלק המקובץ משלשתם על המורה והעולה הוא המבוקש
 |-
-|
+|style="text-align:center;"|7||8
-*{{#annot:½+⅓+¼|677|StZc}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לחבר חצי עם שליש ועם רביעית{{#annotend:StZc}}
 |-
-|
+|style="text-align:center;"|2||4
-|style="text-align:right;"|תחלה תכפול ג' על ד' ויהיו י"ב והיה ראוי לכפול אלו הי"ב על ב' שהם החצי אכן מאחר שיש לנו רביעית אין צורך לקחת החצי והבן זה מאד כי זה כלל גדול במלאכת החשבון והנה הי"ב הם המורה אח"כ קח חצי המורה שהם ו' וקח שלישית המורה שהם ד' וקח רביעיתו שהוא ג' ותחברם ויהיו י"ג תחלקם אל י"ב שהוא מורה ויצא לך א וחלק אחד מי"ב
 |-
-|
+|style="text-align:right;"|חסרון||חסרון
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ג' מספרי' מתחלפים באופן אחר עשה כך והוא שתחבר ב' מן הג' ותדע כמה העולה אח"כ תחבר אליהם המספר השלישי ומה שיעלה הוא המבוקש
+|}
 |-
-|
+|}
-*{{#annot:¾+⅘+⅚|677|InZ8}}<math>\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות וה' שישיות{{#annotend:InZ8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות ותקח המורה שהוא עשרים וקח ג' רביעיותם שהם ט"ו וד' חמישיותם שהם י"ד (י"ו) ותחברם ויהיו ל"א ותחלקם על המורה ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מכ' אח"כ תחבר על זה ה' שישיות ותבקש המורה והנה המורה הוא ק"כ שהוא כפל כ' על ו' וקח ממנו י"א חלקים מכ' ויעלו ס"ו וקח ה' שישיותיו ויעלה ק' ותחברם ויהיו קצ"ו (קס"ו) ותחלקם על המורה שהוא ק"כ ויעלה א' שלם ונשארו עדין מ"ו חלקים מק"כ שהם כ"ג חלקים מס'
+|style="text-align:right;"|והנה בתחלה יש לך לכפול הב' אשר הם תחת הז' על הח' אשר הם על הד' ויהיו י"ו ושמור אותם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר שלמים עם שברים
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הז' אשר הם על הב' ויהיו כ"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להשיב א שברים אצל שברם ולעשות מהם שברים ולחבר מהם מה שבאותו השבר כן תעשה מהמספר הב' אח"כ תקח המורה ותעשה כנז'
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל הי"ו ויהיו מ"ד
 |-
 |
-*{{#annot:(2+½)+(3+¼)|677|maWV}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הז' אשר הם על הב' על הח' אשר הם על הד' ויהיו נ"ו
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ב' וחצי עם ג' ורביע{{#annotend:maWV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהב' שלמים חצאים ויהיו ד' חצאים ותקח החצי בעבור שאמר ב' וחצי ויהיו ה' חצאים ושמור אותם וכן תעשה מהמספר השני שהם ג' ורביע תעשה מהם (ג') רביעיות ויהיו י"ג רביעיות כי בכל שלם יש ד' רביעיות ותכפול הב' אשר הם תחת הה' על הי"ג אשר הם על הד' ויהיו כ"ו ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הי"ג על הה' אשר הם על הב' ויהיו כ' ותחברם אל כ"ו ויהיו מו ו ותקח המורה שהוא כפל ב' על ד' שהם ח' וחלק מ"ו על ח' ויצא ה' שלמים וו' חלקים מח' שהם ג' רביעיות על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הד' אשר הם תחת הח' על הב' אשר הם תחת הז' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר שנים מספרים אשר יהיה בא מהם שלמים עם שברים ובאחד שברים בלבד תשיב השלמים אשר הוא בחלק א' מהם אצל שברו שכנגדו
+|style="text-align:right;"|ותחברם עם נ"ו ויהיו ס"ד
 |-
 |
-*{{#annot:(3+½)+⅖|677|nfiA}}<math>\scriptstyle\left(3+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{5}</math>
+|style="text-align:right;"|גרע מהם מ"ד הנשאר עשרים והוא המבוקש ותקיש על זה
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ג' וחצי עם ב' חמישיות{{#annotend:nfiA}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לעשות מהג' אשר אצל החצי חצאין ויהיו ז' חצאין ותקח המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו עשרה אח"כ כפול ז' אשר הם על הב' נגד הה' אשר הם תחת הב' ויהיו ל"ה ושמרם אח"כ כפול הב' אשר על הה' נגד הב' אשר תחת הז' ויהיו ד' ותחברם אל ל"ה ויהיו ל"ט ותחלקם על המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו ג' שלמים וט' חלקים מי'
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הג&#x202B;'
 |-
 |}
@@ Line 3,147: / Line 4,000: @@
 |
-== Chapter Six: Subtraction of Fractions ==
+== Chapter Four: Division ==
-|style="text-align:right;"|השער הו' ידבר על מגרעת השברים
+|style="text-align:right;"|השער הד' ידבר על חלוק השלמים בכל הדרכים הנהוגים היום
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לגרוע שום חשבון תצטרך לקחת המורה ואחר ראוי לכפול מה שעל המספר הא' על מה שלמטה מהמספר האחר ומה שלמטה על מה שלמעלה מהמספר האחר ולחסר המספר הקטן מהגדול ומה שנשאר הם חלקים מן המורה
+|style="text-align:right;"|ונחלק זה השער לב' חלקים
 |-
 |
-*{{#annot:¾-½|678|aoCt}}<math>\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}</math>
+|style="text-align:right;"|החלק הראשון ידבר על חלוק המספר הקטן על הגדול
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחסר מג' רביעיות חצי א'{{#annotend:aoCt}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת המורה שהוא כפל ד' על ב' שהוא ח' ואח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' על הא' אשר הוא על הב' ויעלה ד' אח"כ כפול הג' אשר הם על הד' על הב' אשר הם תחת הא' ויהיו ו' תחסר מד' ו' (ד' מו') הנשאר ב' ואלו הב' הם חלקים מהמורה שהוא ח' והוא רביעית א' הנה הנשאר הוא רביעית א'
+|style="text-align:right;"|והחלק הב' ידבר על חלוק המספר הגדול על הקטן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחסר משלמים ושברים שלמים ושברים
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון קטן על חשבון גדול ראוי לך לראות אם אותם המספרים הם מורכבים ר"ל הגדול והקטן ואם הם מורכבים חלקם לאותו מספר אשר ממנו הורכבו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך לעשות מהשלמים שברים וכן מכל הב' חלוקות ואח"כ תבקש המורה ולכפול זה כנגד זה כמו שהראיתיך במה שעבר ותעשה כמשפט
+*{{#annot:36÷48|157|ZGyk}}Example: we wish to divide 36 by 48.
+:<math>\scriptstyle36\div48</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ל"ו על מ"ח{{#annotend:ZGyk}}
 |-
 |
-*{{#annot:(3+¾)-(2+½)|678|a71P}}<math>\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|הנה מספר מ"ח מספר מורכב ר"ל שנוכל לחלק מ"ח על ב' ויצא לך כ"ד אח"כ תחלק ל"ו ג"כ על ב' ויצא לך י"ח א"כ היוצא הוא י"ח חלקים מכ"ד ועדין נוכל לחלקם והוא שנחלק י"ח על ב' ויצא לך ט' עוד חלק כ"ד על ב' ויצא לך י"ב א"כ היוצא הוא ט' חלקים מי"ב ועדין נוכל לחלקו והוא שתחלק ט' על ג' ויצא לך ג' עוד תחלק י"ב על ג' ויצא לך ד' א"כ היוצא הוא ג' רביעיות
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחסר מג' שלמים וג' רביעיות ב' שלמים וחצי{{#annotend:a71P}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך להשים הג' שלמים אצל הג' רביעיות ויהיו ט"ו רביעיות ושמרם ואח"כ יש לך להשיב הב' שלמים אצל החצי ויהיו ה' חצאין אח"כ יש לך לבקש המורה שהוא כפל ד' על ב' שהם ח' אח"כ כפול הב' אשר תחת הה' נגד הט"ו אשר על הד' ויהיו ל' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר תחת הט"ו נגד הה' אשר הם על הב' ויהיו עשרים הסר כ' מל' הנשאר י' וחלק אלו הי' נגד המורה שהוא ח' ויצא לך א' שלם ורביע והוא הנשאר
+|style="text-align:right;"|ואם המספר הגדול מורכב והקטן בלתי מורכב תחלק הגדול להרכבתו אח"כ תחלק המספר הקטן באותם המספרים והיוצא הם חלקים ממנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר אחד אשר אין בו כי אם שבר ממספר אחד אשר בם שברים גם שלמים ראוי להשיב השלמים אצל השברים ואח"כ לקחת המורה ותגרע הקטן מן הגדול
+*{{#annot:11÷18|157|XYtI}}Example: we wish to divide 11 by 18.
+:<math>\scriptstyle11\div18</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ח{{#annotend:XYtI}}
 |-
 |
-*{{#annot:(2+½)-¾|678|aBIR}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה מספר י"ח הוא מספר מורכב מג' וו' או מב' וט' הנה נחלק י"ח על ג' ויצא לך ו' ושים במקום אחד ו' ובמקום אחר ג' ותחלק י"א שהוא המספר הקטן על ג' ויצא לך ג' ונשארו ב' ושים אלו הג' על הו' והשנים שנשארו שים על הג' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית אחד כמו זאת הצורה
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע ג' רביעיות מב' שלמי' וחצי{{#annotend:aBIR}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאין ותקח המורה שהוא ח' שעלה מכפל ב' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם תחת ה' על הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' נגד הה' אשר על הב' ויעלו עשרים ותחסר מהם ו' ונשארו עדין י"ד ותחלק אלו הי"ד על ח' עלה א' שלם וג' רביעיות והוא הנשאר
+*{{#annot:23÷36|157|AkSQ}}Another example: we wish to divide 23 by 36.
+:<math>\scriptstyle23\div36</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק כ"ג על ל"ו{{#annotend:AkSQ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הו'
+|style="text-align:right;"|הנה מספר ל"ו מספר מורכב מב' וג' וו' ר"ל כי אם תכפול ו' על ג' יעלו י"ח ואם תכפול יח על ב' יעלו ל"ו ולכן נניח ב' ואח"כ ג' ואח"כ ו' ויש לנו לחלק כ"ג על המספר היותר קטן שהוא ב' ויצא לך י"א וישאר א' ותניח א' על הב' וי"א תשים על הקצה האחרון שהוא ו' ויש לך עתה לחלק י"א על ג' ויצא לך ג' וישארו ב' ותניח הב' על הג' והג' תשים על הו' הנה א"כ היוצא הוא ג' שישיות וב' שלישיות שישית וחצי שליש שישית וזאת צורתם
-|-
-|}
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|והכלל בזה שתחלק המספר הקטן על הסכום היותר קטן אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואם נשאר כלום תניחהו על אותו הסכום הקטן והיוצא שים על הסכום הגדול אשר המספר הגדול מורכב ממנו ואח"כ תחלק מה שהנחת על הסכום הגדול על הסכום האמצעי אם אותו המספר הגדול מורכב מג' מספרים ומה שישאר תניח על הסכום האמצעי והיוצא תשים על הסכום הקטן (הגדול)
-== Chapter Seven: Multiplication of Fractions ==
-!style="text-align:right;"|השער הז' ידבר על הכפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לכפול מספר על מספר הנה תחלת כל דבר יש לך לקחת המורה כאשר אתה מראה בדמיוני' שעברו ואח"כ לכפול מה שלמעלה זה כנגד זה ומה שיעלה יש לחלקו על המורה והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ולמען תהיה בקי אתן לך דמיון אחר
 |-
 |
-*{{#annot:⅔×¾|17|ilbx}}<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}</math>
+*{{#annot:37÷48|157|aycb}}Example: we wish to divide 37 by 48.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ב' שלישיות על ג' רביעיות{{#annotend:ilbx}}
+:<math>\scriptstyle37\div48</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ל"ז על מ"ח{{#annotend:aycb}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח המורה שהוא י"ב שעלה לנו מכפל ג' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם על השלשה נגד הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' וחלקם על י"ב ויהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי אחד
+|style="text-align:right;"|הנה מספר מ"ח הוא מורכב מב' וד' וד' (וו') כי ו' פעמים ד' הם כ"ד וב' פעמים כ"ד הם מ"ח ולכן נשים ב' שהוא הסכום הקטן תחלה ואח"כ נשים ד' ואחר נשים ו' שהוא הסכום הגדול וכבר אמרנו כי הראשנה ראוי לנו לחלק מספרינו על הסכום הקטן ונחלק ל"ז על ב' ויצא לך י"ח וישאר א' ותניח א' על הב' כי כן אמרנו כי הנשאר נניח על הסכום הקטן והי"ח נניח על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא נניח על הסכום הגדול ועתה יש לנו י"ח על הסכום האמצעי שהוא ד' כי כן אמרנו ויצא ד' וישארו ב' ושים ב' שהוא מה שנשאר על ד' כי כן אמרנו שהנשאר ראוי להניחו על הסכום האמצעי והיוצא נשים על הסכום הגדול כי כן אמרנו כי היוצא ראוי להניחו על הסכום הגדול הנה א"כ נשאר על הסכום הגדול ד' ועל הסכום האמצעי ב' ועל הסכום הקטן א' הנה א"כ היוצא הוא ד' שישיות שהוא ב' שלישיות וב' רביעיות שישית וחצי רביעית שישית וזאת היא צורתם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' מספרים זה על זה עם שלמים הנה תשיב השלמים אצל השברים ה[חוני]ם לנגדם וכן המספר האחר ואח"כ יש לך לבקש המורה ומה שיעלה תחלק על המורה והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו קח ב' שלישיות מ"ח שהם ל"ב אח"כ קח ב' תשיעיות (רביעיות) שישית שהם ד' חלקים ממ"ח ועם ל"ב יהיו ל"ו ואח"כ חצי רביעית שישית שהוא חלק א ממ"ח ושים אותו על ל"ו ויהיו ל"ז כמו שהיה מספרינו וזה המעט יספיק לך
 |-
 |
-*{{#annot:(2+½)×(3+⅓)|17|v1HK}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(3+\frac{1}{3}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אין שום מספר מורכב ר"ל הגדול והקטן יש לך לעשות חצאין מהמספר הקטן ותראה אם המספר הגדול הוא עדין יותר גדול מסכום חצאי המספר הקטן ואם המספר הקטן הוא עתה יותר גדול הנה יצא לך חצי אחד והחלקים שנשארו הם חלקי כפל המספר הגדול
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ב' וחצי על ג' ושליש{{#annotend:v1HK}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך תחלה להעמיד המורה והוא ו' ואח"כ תעשה מהב' שלמים חצאים ויהיו ה' וכן תעשה מהג' שלמים עשה ממנו שלישיות ויהיו עשרה ותכפול (ותכפול) עשרה על הה' ויהיו נ' וחלקם על המורה שהם ו' ויעלו לך ח' שלמים ושליש
+*{{#annot:11÷19|157|B3RV}}Example: we wish to divide 11 by 19.
+:<math>\scriptstyle11\div19</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"א על י"ט{{#annotend:B3RV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לעשות אותו באופן אחר והוא כי יש לך לכפול השלמים על השלמים רצוני ע' ג' על ב' ויהיו ו' שלמים עוד תכפול החצי על שלשה ויהיו א' וחצי ונחבר הא' עם הו' ויהיו ז' וחצי עוד תכפול הב' שלמים על שליש ויהיו ב' שלישיות ונחבר אלו הב' שלישיות עם הז' וחצי שיש לנו ויהיו ח' שלמים ושתות עוד נכפול השליש על החצי ויהיו שתות אחד ועם השתות שיש לנו יהיו ב' שתותים שהם שליש א' ועם הח' הם ח' שלמים ושליש ותקיש על זה
+|style="text-align:right;"|הנה נעשה מהיא חצאים ויהיו כ"ב חצאים ותחלק עתה כ"ב על י"ט ויצא לך א' שהוא חצי אחד ונשארו עדין ג' חלקים ועתה יש לך לכפול י"ט על ב' ר"ל שנעשה גם מהי"ט חצאים ויהיו ל"ח הנה א"כ יצא לך חצי אחד וג' חלקים מל"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' מספרים אשר בא' מהם שברים ובאחר שלמים עם שלמים (שברים) הנה יש לך להשיב השלמים אצל השברי' ולכפול היוצא על מה שבמספר השני ולבקש המורה ולחלק היוצא נגד המורה והעולה הוא המבוקש
+*{{#annot:5÷17|157|TGzh}}Example: we wish to divide 5 into 17 parts.
+:<math>\scriptstyle5\div17</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק ה' לי"ז חלקים{{#annotend:TGzh}}
 |-
 |
-*{{#annot:4½×⅔|17|zVQ8}}<math>\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה אם נעשה מהה' שהוא המספר הקטן חצאים לא יהיו כי אם עשרה ומספרינו הוא י"ז ולא יספיק לכן יש לנו למצא מספר יספיק לחלקו על י"ז ונעשה מהה' רביעיות ויהיו כ' רביעיות וחלקם על י"ז ויצא לך א' שהוא רביעית אחד ונשארו עדין ג' לחלקם על י"ז ולכן נעשה מהי"ז רביעיים ג"כ ויהיו ס"ח הנה א"כ היוצא הוא רביעית אחד וג' חלקים מס"ח
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' וחצי על ב' שלישיות{{#annotend:zVQ8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאים ויהיו ט' אח"כ ט' על ב' אשר הם על הג' ויעלו י"ח ותחלקם על המורה שהוא ו' ממה שעלה מכפל ב' על ג' ויעלה ג' שלמים בלי תוספת ומגרעת
+|style="text-align:right;"|וזה יספיק לך בחלוק המספר הקטן על הגדול
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלמים לבדם עם שברים לבדם יש לך לכפול השלמים על מה שהוא במספר השברים והעולה תחלק על השבר השפל והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|החלק השני ידבר על חלוקת המספר הגדול על הקטן
 |-
 |
-*{{#annot:4×⅔|17|at7F}}<math>\scriptstyle4\times\frac{2}{3}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא נעשה ככה
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' שלמים על ב' שלישיות{{#annotend:at7F}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה תכפול ד' על ב' ויעלו ח' ותחלקם על ג' ויצא לך ב' שלמים וב' שלישיות על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון צריך לך לדעת כי המספר המחולק יהיה לעולם יותר גדול מהמחלק ויש לך לשים המספר הגדול למעלה והקטן למטה ואח"כ תתחיל לגרוע מן האלפים ויש לך לחשוב אותם כמו אחדים ועליו תחלק ואם נראה לך כי לא תוכל לחלק מה שהוא בשטה היותר גדולה למעלה על היותר גדולה (קטנה) שהיא למטה יש לך להשיב אותו של מעלה אחורנית אצל האות הסמוכה לה וחשוב אותם כמו אחדים והיו לאחדים בידיך ואלו האחדים תחלק על האות הגדולה אשר היא למעלה (למטה) וכן תמיד תשוב אחורנית ואח"כ תכפול מה שיצא מהחלוקה נגד האות של מטה אצל אותה האות אשר עשית החלוקה עליה ותגרע העולה מן האות של מעלה אצל הגדולה וכן תמיד עד שתגיע אצל האחדים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער השביעי
+*{{#annot:245÷34|157|iYfX}}Example: we wish to divide 245 by 34.
+:<math>\scriptstyle245\div34</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק רמ"ה על ל"ד{{#annotend:iYfX}}
 |-
-|}
+|
+|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|ותמשוך ב' קוים בין המחלק והמחולק כדי לשים מה שיצא ביניהם ואח"כ תתחיל לחלק האות האחרונה של מעלה שהיא ב' במקום המאות על היותר גדולה של מעלה (מטה) שהיא ג' במקום העשרות ולא תוכל לחלק ב' על ג' לכן יש לך להשיב הב' מאות אצל העשרות אשר הם ד' הנה הב' ישוו עשרים ועם הד' יהיו כ"ד ותחלקם על ג' יעלו ח' שלמים ולא תוכל לשים כל אלו הח' כי אנו צריכין לכפול הח' נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים שיגיע סך העולה ל"ב והנה למעלה לא נשאר לנו כי אם ה' ולא נוכל לגרוע מהה' של מעלה הל"ב של מטה ולכן לא נתן לו כי אם ז' ונשאר עדין ג' למעלה במקום העשרות אח"כ נכפול אלו הז' היוצאים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח ונסיר כ"ח מל"ה אשר הם עדין למעלה הנשאר ז' והיוצא הוא ז' ג"כ
-== Chapter Eight: Division of Fractions ==
-!style="text-align:right;"|השער הח' מדבר על חלוק השברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון יש לך לבקש בראשנה המורה ואח"כ יש לך לכפול מה שתחת המספר הא' על מה שעל המספר האחר ומה שעל המספר הא' על מה שתחת המספר הנלוה אליו ותחלק היוצא הגדול על הקטן ומה שנשאר הוא חלק ממנו
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר יהיה למעלה ד' או ה' מדרגות ובתחתונה יהיה ג' מדרגות תעשה כנז'
 |-
 |
-*{{#annot:⅝÷¼|552|urwn}}<math>\scriptstyle\frac{5}{8}\div\frac{1}{4}</math>
+*{{#annot:12345÷234|157|omXn}}Example: we wish to divide 12345 by 234.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ה' שמיניות על רביעית א'{{#annotend:urwn}}
+:<math>\scriptstyle12345\div234</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק י"ב אלפים ושמ"ה על רל"ד{{#annotend:omXn}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|(תקח המורה שהוא ל"ב ושמרם אח"כ) כפול הח' אשר תחת הה' על הא' אשר על הד' ויעלו ח' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הא' על הה' אשר הם על הח' ויהיו עשרים ותחלק עשרים על ח' ויהיו ב' שלמים ונשארו עדין ד' ותחלקם על המורה שהוא ל"ב (ח') ויצא לך שמינית א' שלם (ב' שמיניות)
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה תאמר כי הב' שיצאו לך הם ב' פעמים א' רביע ונשאר עדין חצי שהוא ש' חצי זה הרביעית שהם שמינית א' שלם
+|style="text-align:right;"|אח"כ תתחיל לחלק הא אשר הוא למעלה ששוה במקום עשרת אלפים על הב' אשר הוא למטה במקום המאיות ולא תוכל כי ב' יותר גדול מא' על כן יש לך להשיב זה הא' אשר הוא למעלה במקום עשרת אלפים אצל הב' אשר הם למעלה במקום האלפים ויהיו י"ב ותחלק י"ב על ב' ויצא לנו ו' אבל לא נשיב כל הו' כי יש לנו לכפול אותם הו' היוצאים על ג' אשר הם למטה ויעלה י"ח ויש לנו לקחת אלו הי"ח מהג' אשר הם לעיל במקום המאיות ולא נוכל על כן לא נשים כי אם ה' ונשארו עדין למעלה הב' אשר הם במקום האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים על שלמים ושברים
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הה' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ט"ו ותגרע ט"ו מן הג' אשר הם למעלה במקום המאיות ולא נוכל על כן יש לנו להשיב אותם הב' אשר הם למעלה במקום האלפים אצל הג' שהם במקום המאיות ויהיו כ"ג תגרע מהם ט"ו הנשאר ח' ושים אלו הח' למעלה במקום המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך לבקש המורה ואח"כ תכפול השלמים נגד השברים מכל הב' מספרים ותחלק הגדול על הקטן והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול עוד אותם הה' שיצאו בין שני הקוים נגד הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו עשרים ויש לך לגרוע אלו הכ' מהד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך לקחת ב' מאלו הח' אשר הם במקום המאיות ולהשיבם אצל הד' ויהיו כ"ד תקח מהם עשרים ונשארו ד' אצל העשרות גם נשארו ו' על המאות
 |-
 |
-*{{#annot:(4+½)÷(2+¼)|552|3ekG}}<math>\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\div\left(2+\frac{1}{4}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב אחורנית המספר התחתון וזה שתשיב הב' מאות ממטה אצל הו' מאות של מעלה והג' עשרות של מטה אצל הד' עשרות של מעלה והד' אחדים של מטה אצל הה' אחדים של מעלה ותתחיל לחלק הו' אשר הם למעלה במקום המאות על הב' אשר הם למטה ויעלו ג' ואל תשים כל אלו הג' כי אם תכפול אותם הג' על הג' אשר הם למטה במקום העשרות יעלו ט' והנה לא תוכל לקחת ט' מן הד' אשר הם למעלה במקום האחדים (העשרות) על כן נקח לו ב' ונשארו עדין ב' למעלה במקום המאות
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ד' וחצי על ב' ורביע{{#annotend:3ekG}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאין ויהיו ט' חצאין אח"כ תעשה מהב' ורביע רביעיים ויהיו ט' רביעיים אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת התשעה נגד הט' אשר הם על הב' ויהיו ל"ו אח"כ תכפול הב' אשר הם תחת הט' (נגד הט' אשר הם) על הד' ויהיו י"ח וחלק ל"ו על י"ח ויעלו ב' שלמים בלי תוספת
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול הב' היוצאים על הג' אשר הם למטה במקום העשרות ויהיו ו' נחסר ו' מד' אשר הם למעלה במקום העשרות ולא נוכל על כן יש לנו לקחת אחד מאותם הב' שנשארו עדין במקום המאות ונשיב אותו אחורנית אצל הד' אשר הם בעשרות ויהיו י"ד נחסר מהם הו' ונשארו עדין ח' במקום העשרות למעלה [וא'] במקום המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים לבדם
+|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול הב' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו ח' ותחסר אותם הח' מן הה' אשר למעלה במקום האחדים ולא נוכל ועל כן נקח אחד מהח' אשר הם למעלה במקום העשרות ונשארו עדין ז' ותשיב אלו העשרה אצל הה' ויהיו ט"ו ותחסר מט"ו ח' ונשארו ז' ושים אלו הז' למעלה במקום האחדים
 |-
 |
-*{{#annot:4÷¾|552|p5E8}}<math>\scriptstyle4\div\frac{3}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא מן החלוקה הוא נ"ב ונשארו עדין קע"ז כמו שכתו' לעיל
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמר ד' על ג' רביעיות{{#annotend:p5E8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול הד' שלמים על הד' אשר הם רביעיות ויהיו י"ו ותחלקם על הג' אשר הם על הד' ויהיו ה' שלמים ושליש על זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר מה יהיה בו ציפרא גם במחלק יהיה ציפרא תעשה כמו שתראה בדמיון
 |-
-|}
+|
-{|
+*{{#annot:20503÷304|157|G2dY}}Example: we wish to divide 20503 by 304.
+:<math>\scriptstyle20503\div304</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק עשרים אלף תק"ג על מספר ש"ד{{#annotend:G2dY}}
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות על זאת הצורה
-== Chapter Nine: Ratios ==
-!style="text-align:right;"|השער הט' ידבר על ענין הערכים והסחורות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ונחלק זה השער לג' חלקים:
+|style="text-align:right;"|ותתחיל לחלק הב' אשר היא למעלה במקום עשרת אלפים על הג' אשר היא למטה במקום המאיות ולא תוכל על כן יש לך להשיב אותם הב' שלמעלה אצל הציפרא ויהיו כ' תחלקם על ג' אשר הם למטה ויצא לך ו' ושים אותם הו' בין שני הקוים ונשארו עדין למעלה ב' במקו' האלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הא' על ערך השלמים עם השלמים
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותם הו' היוצאים נגד הציפרא ויעלה בידך ציפרא ולא תשים מאומה מהה' אשר הם למעלה במקום המאות כי אלו עלה בידך איזה דבר היה לך לחסר אותם מהה' ומאחר שעלה בידך ציפרא לא תשים מאומה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הב' ערכי שברים עם שברים
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול היוצא שהם ו' על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ד ויש לך לקחת אלו הכ"ד מן הציפרא אשר היא למעלה במקום העשרות ולא תוכל על כן יש לך להשיב הה' אשר הם במקום המאיות אחורנית ויהיו נ' תחסר מהם כ"ד הנשאר כ"ו ושים הב' על המאיות והו' על העשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הג' ערכי שלמים עם שברים
+|style="text-align:right;"|אח"כ תעתיק המספר התחתון ושים הג' אשר הם במקום המאיות תחת הב' אשר הם במקום האלפים (המאיות) למעלה ושים הציפרא תחת הציפרא (הו') של מעלה אשר היא במקום העשרות ושים הד' של מטה תחת הג' אשר הם למעלה במקום האחדים ותתחיל לחלק מן האלפים ותחלק הב' אלפים על הג' ולא תוכל כי ג' גדול מב' ועל כן יש לך להשיב אחורנית אלו הב' אצל הב' אשר הם במקום המאיות ויהיו כ"ב תחלקם על ג' ויצא לך ז' ושים אותם בין שני הקוים אצל הו' אחורנית וישאר עדין למעלה אחת במקום המאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|החלק הא' ערכי השלמים עם שלמים
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול הז' היוצאים על הד' אשר הם למטה במקום האחדים ויהיו כ"ח תחסר אותם מהג' אשר למעלה במקום האחדים ולא תוכל על כן יש לך לעשות בזה האופן והוא שתשיב אותם הו' אשר הם על העשרות אחורנית ויהיו ס' תחסר מהם כ"ח הנשאר לב תחבר אליהם הג' שלמעלה ויהיו ל"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כשיאמר לך אדם קניתי ב' {{#annot:canna|1068|K2PI}}קנים{{#annotend:K2PI}} של משי לערך ט"ו מנינים ה' קנים כמה שוים הנה תכפול הב' אשר הם הקנים מהמשי על ט"ו אשר הוא שווי דמיהם ויעלה ל' ותכפול אלו הל' על ה' ויצא לך ק"נ ותחלקם על ערך הקנים אשר ערכם ידוע שהם ב' ותכפלם ויהיו ד' ותחלק ק"נ על ד' ויצא לך ל"ז וחצי
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא ס"ז והנשאר קל"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אמנם תוכל לעשותו יותר נקלה והוא שתכפול הה' אשר הם הקנים הבלתי נודעות על ט"ו אשר הם הדמים ויעלה ע"ה ותחלקם על ב' אשר הם הקנים הנודעות
+|style="text-align:right;"|ואולם המין השני מן החלוק הוא על זה האופן והוא שנחלק המספר הגדול נגד הקטן בבת אחת כוונתי שלא נחלק אותו אות באות כאשר עשינו עד עתה אלא נחלק המספר העליון אצל המספר התחתון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הדמים אשר הם ט"ו על ב' אשר הם הקנים אשר ערכם ידוע ויצא ז' וחצי ותכפול זה על ה' אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם ויצא לך ל"ז וחצי
+|style="text-align:right;"|ולעולם נשוב אחורנית כמו שעשינו בחלוק אשר קדם זכרו וזה החלוק נקרא בלשונם דאנדא והקודם נקרא גליאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הקנים אשר ערכם בלתי ידוע על הב' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' וחצי וכפול אותם על ט"ו ויצא ל"ז וחצי
+*{{#annot:4321÷23|157|VgnQ}}Example: we wish to divide 4321 by 23.
+:<math>\scriptstyle4321\div23</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ד' אלפים שכ"א על כ"ג{{#annotend:VgnQ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך אדם קניתי ז' מדות חטה על מנת להוליכן ח' מילין לערך ט' מנינים והוא נשא י' מדות י"א מילין כמה ראוי שיקח
+|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות כמו זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול י"א על י' ויהיו ק"י עוד יש לך לכפול כל זה על ערך הממון שהוא ט' שהוא תתק"צ אח"כ כפול ז' על ח' ויהיו נ"ו ויש לך לחלק תתק"צ על נ"ו ויצא לך י"ז ול"ח חלקים מנ"ו הנה ראוי שינתן לו בעד משכורתו י"ז ול"ח חלקים מנ"ו כמו זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ"ג אשר הם למעלה רצוני הד' אלפים וג' מאות ונחשוב אותם כאלו היו יחידים ונחלקם על כ"ג ויצא לנו א' וישאר עדין ב' שהם ב' אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולפעמים יצטרך לעשות הערך ג' פעמים אבל נמצא דרך קל כי ערך א' יספיק
+|style="text-align:right;"|אח"כ נשיב אלו הב' אלפים אצל העשרות שהם ב' עשרות ויהיו ב' מאות וב' ונחלקם על כ"ג ונתן לו ח' ונשארו עדין י"ח שהם ק"ף
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כאלו תאמר אדם שכר ג' חמרים שישאו לו ד' מדות ה' מילין ויתן להם ו' דינרין והם היו ז' חמרים ונשאו ח' מדות מרחק ט' מילין כמה שכרן
+|style="text-align:right;"|אח"כ נשיב אלו הק"פ אצל האחדים רצוני אצל הא' אשר הם למעלה במקום האחדי' ויהיו קפ"א ותחלקם על כ"ג ויצא לך ז' ונשארו עדין כ'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ז' על ח' ויהיו נ"ו עוד תכפול זה על ט' ויהיו תק"ד עוד כפול זה על מספר הדינרין שהם ו' ויהיו ג' אלפים וכ"ד חלקם על ס' ויצא לך חמישים וכ"ד חלקים מס' והוא מה שיקחו
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא קפ"ז ונשארו עדין כ' לחלקם על כ"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאל שואל ד' זהובים בב' חדשים הרויחו ו' דינרין וכפי זה הערך ח' זהובים הרויחו י"ב דינרין כמה חדשים עמדו להרויח אלו הי"ב דינרין
+*{{#annot:70213÷136|157|K0QH}}Another example: we wish to divide 70213 by 136.
+:<math>\scriptstyle70213\div136</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחלק שבעים אלף ורי"ג על קל"ו{{#annotend:K0QH}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי שתכפול הד' זהובים על ב' חדשים ויהיו ח' עוד כפול זה על הו' שהם הדינרין ויהיו מ"ח ושמרם אח"כ כפול ח' שהם הזהובים על י"ב שהם ג"כ זהובים (דינרים) ויעלה צ"ו ותחלקם על מ"ח ויצא לך שנים שלמים והוא סך החדשים שעמדו הח' זהובים להרויח י"ב דינרין ונשלם השער הראשון מהערכין
+|style="text-align:right;"|הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
 |-
 |
-!style="text-align:right;"|השער השני הם ערכי שברים עם שלמים
+|style="text-align:right;"|אח"כ תתחיל לחלק מן האלפים שהם ע' ותשיבם אל הב' מאות ויהיו תש"ב ותחלקם על קל"ו יצא לך ה' ונשארו עדין כ"ב שהם ב' אלפים וב' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת אם אדם אחד שכר חבירו לעבוד עבודתו בערך ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין בעד ד' ימים והוא עבד כ"ד ימים כמה ראוי שיקח
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשיב אלו הכ"ב אצל העשרות ויהיו רכ"א ותחלקם על קל"ו ויצא לך א' ונשארו עדין פ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול כ"ד נגד הדינרין ויהיו ע"ב עוד כפול הד' נגד הגרות ויעלו ו' עוד כפול הד' נגד הקרליני ויהיו כ' ועם א' יהיו כ"א ושים א' עוד כפול ד' נגד הו' ויהיו כ"ד ועם ב' יהיו כ"ו ושימם עוד כפול העשרות מלמטה נגד הד' ויהיו ח' עוד כפול ב' נגד ה' ויהיו עשרה עוד כפול הב' נגד הו' ויהיו י"ב אח"כ תעשה מע"ב דינרין גרות ותחברם ויעלה הכל ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות אחר שנתחלק היוצא מהכפל על ד' כמו זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשיב אלו הפ"ה אצל האחדים שהם ג' ויהיו תתפ"ג (תתנ"ג) ותחלקם על קל"ו ויצא לך ו' ונשארו עדין ל"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תחלק כ"ד על ד' ויצא לך ו' אח"כ כפול ו' על כל המטבעים של מעלה ונכפול ששה ראשנה על כל הדינרין אח"כ על הגרות ואח"כ על הקרליני ואח"כ על המנינים ויצא לך ג"כ ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות בלי שום דינר
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ היוצא הוא תקי"ו ונשארו ל"ז וכן תעשה תמיד אם תקישם אל מה שקדם זכרם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו באופן אחר תחלק המספר של מעלה שהוא ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין על ד' והיוצא תכפול על כ"ד ויצא לך ג"כ כנז'
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים אל מטבע אחד הנה יש לך להשיב כל המטבעים אל ערך אותה המטבע אשר תרצה לעשות החלוקה כנגדה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת ערך המספר אשר בו שבר למעלה יש לך לכפול כל השלמים ואח"כ כל השברים והעולה תחלקהו על המספר הרשום במספר העליון והיוצא הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק כ"ג דוקטי וב' קרליני וז' גרות על י"ו טורנישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה ערך ז' קנים מדוק הוא ז' מנינים ח' קרליני ה' גרות א דינר וחצי מ"ב קנים כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|הורידם בב' שטות אח"כ יש לך לעשות מהכ"ג {{#annot:ducat|2643|PVdK}}דוקטי{{#annotend:PVdK}} קרליני ויהיו ר"ל ותחבר אליהם ב' קרליני ויהיו רל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תכפול ראשנה המ"ב נגד הדינרין השלמים של מעלה ויהיו מ"ב עוד תכפול האחדים של מטה נגד הגרות ויעלו עשרה ושים ציפרא עוד כפול האחדים נגד הקרליני שהם ח' ויהיו י"ו ועם א יהיו י"ז ושים ז' עוד כפול הב' מלמטה נגד המנינים יהיו י"ד ועם א הנם ט"ו ושימם אחר כפול העשרות של מטה נגד הגרות ויעלו כ' ושים ציפרא עוד כפול העשרו' נגד הקרליני ויהיו ל"ב ועם ב' ויהיו ל"ד ושים ד' עוד כפול העשרות נגד המניני' ויהיו כ"ח ועם ג' יהיו ל"א אח"כ כפול ראוי לקחת חצי המספר התחתון ר"ל ממ"ב והנם כ"א ויהיו דינרין ועם מ"ב ויהיו ס"ג תעשה מהם גרות ויהיו י' גרות וג' דינרין אח"כ חבר הכל ויעלה מ"ז מנינים וא' קרליני וא' גרה וג' דינרין אחר שנתחלק על ז' וזאת צורתם
+|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מאלו הרל"ב קרליני גרות ויהיו (שכ"ב) (ב') אלפים וש"כ גרות ותחבר אליהם הז' גרות ויהיו ב' אלפים ושכ"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חלק מ"ב על ז' ויצא לך ו' וכפול ו' על המטבעים שלמעלה ויצא לך ג"כ מ"ז מנינים וכו'
+|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מאלו הגרות {{#annot:tornesi|2643|Tp9V}}טורנישי{{#annotend:Tp9V}} ויהיו ד' אלפים ותרנ"ד ותחלקם על המספר שהם י"ו ויצא לך ר"ץ ונשארו עדין י"ד כמו זאת הצורה
-ואם השבר הוא למטה ראוי לך לכפול כל השלמים מלמטה נגד כל המטבעים וגם ראוי לקחת מכל המטבעים כפי השבר אם חצי מחציתו ואם שליש שלישיתו ואם ב' שלישיות ב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ד' ליט' של כרכום שוות ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וא' דינר ל"ב ושליש כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מטבעים מתחלפים על מטבעים מתחלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בתחלה תכפול הל"ב נגד הדינרין ויהיו ל"ב אח"כ כפול האחדים על הגרות ויעלו ב' ושימם במקום הגרות עוד כפול האחדים נגד הקרליני ויהיו ד' עוד תכפלם נגד המנינים ויהיו ח' אח"כ כפול העשרות נגד הגרות ויהיו ג' (... קרליני...) עוד כפול העשרות נגד המנינים ויהיו י"ב אח"כ קח שליש מכל המטבעים של מעלה ויצא א' מגן וד' קרליני בלי גרה וב' דינרין ושליש ותקבץ הכל ויעלו קל"ו מנינים וא' קרליני וז' גרות וד' דינרין ושליש וחלק על זה ד' ויצא ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב של דינר וזאת היא צורתם
+|style="text-align:right;"|כגון שנרצה לחלק מ"ג דוקטי וה' קרליני וח' גרות וב' טורנישי על ה' קרליני וט' גרות וב' טורנישי הורידם בשתי שטות על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המופת תחלק המספר התחתון שהוא ל"ב ושליש על ד' ויצא לך ח' שלמים וחלק א' מי"ב וכפול כל זה נגד כל המטבעים של מעלה ויצא לך ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב
+|style="text-align:right;"|אח"כ תעשה מהמ"ג דוקטי קארליני ויהיו ת"ל ותחבר אליהם הה' קרליני ויהיו תל"ה ותעשה מהם גרות ויהיו ד' אלפים ושנ"ח עשה מהם טורנישי ויהיו ח' אלפים ותשי"ח ושמור אותם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר יהיה בו שבר מעלה ומטה ראוי לכפול השבר התחתון על כל המטבעים של מעלה גם על השבר העליון ואח"כ כפול השלמי' התחתונים על כל המטבעים של מעלה ולחבר הכל והיוצא הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|אח"כ תשוב אל המספר המחלק ותעשה מהה' קרליני גרות ויהיו נ' ותחבר אליהם הט' גרות ויהיו נ"ט ותעשה מהם {{#annot:tornesi|2643|c5l1}}טורניש{{#annotend:c5l1}} ויהיו ק"כ אח"כ תחלק הח' אלפים ותשי"ח על ק"כ ויצא לך ע"ב וישארו עדין ע"ח עז"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת אם ו' קנים של משי שוות ו' מנינים וג' קרליני וג' גרות וב' דינרין וחצי כ"ד וחצי כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|ואולם המין הג' מהחלוק הוא שתחלק המספר הגדול נגד הרכבתו ר"ל אם הוא מורכב תחלקהו נגד המספר אשר הורכב ממנו אח"כ תחלק המספר הקטן על הרכבת הגדול ושים הגדול על הקטן והיוצא הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת חצי המטבעים העליונים ויהיה ג' מנינים א' קרליני (וחצי) ו(א)' (וחצי) גרות ד' (וא') דינרין ורביע אח"כ תקח חצי המספר התחתון ויהיו י"ב אח"כ תכפול כ"ד על הדינרין ויהיו מ"ח ונחברם עם י"ב ויהיו ס' אח"כ נכפול הכ"ד שלמים נגד המאיות של מעלה ותעשה כנז' אח"כ תקבץ הכל ויעלה כ"ה מנינים ה' קרליני ו' גרות ב' דינרין וי"ז חלקים מכ"ד אחר שנתחלק העולה על ששה וזאת היא צורתם
+*{{#annot:200÷50|157|kQox}}Example: we wish to divide two hundred by 50.
+:<math>\scriptstyle200\div50</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק מאתים על נ'{{#annotend:kQox}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המופת תחלק המטבעי' מלמעלה על ו' ואח"כ כפול היוצא על כ"ד (וחצי) וישוב כמו מה שיצא לנו
+|style="text-align:right;"|קח חומש נ' והוא עשרה גם חומש מאתים והוא מ' חלק מ' על ד' (י') ויצא לך י' (ד') והוא המבוקש
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הד' והתהלה לאל אמן
+|-
+|}
+{|
+|-
+|
+== Chapter Five: Addition of Fractions ==
+|style="text-align:right;"|השער הה' ידבר על חבור השברים מין עם מינו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה חלק כ"ד וחצי על ו' והיוצא תכפול על כל המטבעים והדבר יצא שוה
+|style="text-align:right;"|דע כי השער הזה הוא חמור מאד והוא הכרחי בכל מעשה חשבון עד מאד אבל אתן דרכים וקלים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אם ב' קנים וחצי שוות ג' מנינים וב' קרליני וב' גרות וג' דינרין ושליש י"ב וחצי כמה שוות
+|style="text-align:right;"|הנה כשתרצה לחבר שני שברים מתחלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול בתחלה השבר התחתון נגד כל המטבעי' העליונים ואח"כ ראוי לך לכפול הי"ב שלמים נגד השבר מלמעלה שהוא שליש ואח"כ נכפול כל השלמים התחתונים נגד כל המטבעים אשר למעלה ואח"כ קבץ הכל והעולה תחלק על ב' וחצי
+|style="text-align:right;"|ראוי לקחת המורה ודע כי מורה נקרא הרכבת ב' שברים זה על זה והעולה מכפל שניהם או שלשתן או ארבעתם נקראהו מורה בזה המקום ואחר ראוי לקחת חלקי המספר הא' מהמורה ולשים אותו במקומו כן תעשה מן השני גם את השלישי גם מכל המספרים המונחי' ותחבר כל החלקים מכל המספרים ותחלק סך העולה על המורה ומה שיעלה הם חלקי המורה ולפעמים יעלה לך מקבוצם שלם א' או יותר או פחות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואופן החלוק נעשה ככה והוא שנעשה מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' ואח"כ לכפול העולה על ב' והעולה תחלק על ה' והיוצא הוא המבוקש ויצא לך י"ו מנינים א קרליני ב' גרות וד' דינרין וב' שלישיות דינר כמו זאת הצורה
+*{{#annot:⅓+½|677|HbM4}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{2}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר שליש אחד עם חצי אחד{{#annotend:HbM4}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המופת נחלק י"ב וחצי על ב' וחצי ויצא לך ה' שלמים ותכפלם על כל המטבעים העליונים ויצא לך הדבר שוה
+|style="text-align:right;"|הנה בתחלה יש לך לכפול ג' על ב' אולם כונתי לומר ג' על ב' כי השליש יצא מג' והחצי יצא משנים ונכפול זה על זה ויעלו ו' ושמור אותם כי הוא המורה אח"כ קח שליש המורה שהם ב' וחציו ג' ותחברם ויהיו ה' ותחלק ה' על ו' שהוא המורה ויצא לך ה' שישיות עז"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|או אם תחלק כל המטבעים שלמעלה על ב' וחצי והעולה תכפול על י"ב וחצי יצא לך מספר שוה
+*{{#annot:⅓+¼|677|8So2}}<math>\scriptstyle\frac{1}{3}+\frac{1}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לחבר שלישית אחד ורביעית אחד{{#annotend:8So2}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם יאמר לך אדם ב' שלישיות קנה שוות מגן וחצי ג' רביעיות קנה כמה שוות
+|style="text-align:right;"|תקח המורה והוא שתכפול ג' על ד' ויהיו י"ב ונקראהו מורה אח"כ תקח רביעיתו והם ג' וקח שלישיתו והם ד' ותחברם ויהיו ז' חלקים מי"ב עז"ה ואם תרצה לחבר ב' שלישיות עם ד' חמישיות קח המורה שהוא כפל ג' על ה' ויהיו ט"ו וקח שלישיתו והוא ה' וכפול אותו ב' פעמים מצד שאמר ב' שלישיות ויהיו עשרה אח"כ קח שלישיתם (חמישיתם) שהוא ג' וכפול אותם ד' פעמים כי אמר ד' חמישיות ויהיו י"ב ותחברם ויהיו כ"ב ותחלקם על ט"ו ויצא לך א' שלם וז' חלקים מט"ו על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ג' רביעיות על א וחצי ויצא לך א' ושמינית וראוי עתה לחלק א' ושמין על ב' שלישיות ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מי"ו והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ג' מספרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך {{#annot:canna|1068|UDHK}}קנה{{#annotend:UDHK}} אחת וחצי שוה ג' זהובים ד' קנים וחצי כמה שוים
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מורה א' לכלם מכפל זה על זה ולתת לכל אחד חלק הראוי לו ואחר תחלק המקובץ משלשתם על המורה והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ד' וחצי על ג' (וחצי) ותחלקם על א' (וחצי) ויצא לך ט' שלמים והוא שווי ד' קנים וחצי
+*{{#annot:½+⅓+¼|677|StZc}}<math>\scriptstyle\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לחבר חצי עם שליש ועם רביעית{{#annotend:StZc}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך ב' קנים וחצי שוות ה' מנינים ושליש ז' קנים וחצי כמה שוות
+|style="text-align:right;"|תחלה תכפול ג' על ד' ויהיו י"ב והיה ראוי לכפול אלו הי"ב על ב' שהם החצי אכן מאחר שיש לנו רביעית אין צורך לקחת החצי והבן זה מאד כי זה כלל גדול במלאכת החשבון והנה הי"ב הם המורה אח"כ קח חצי המורה שהם ו' וקח שלישית המורה שהם ד' וקח רביעיתו שהוא ג' ותחברם ויהיו י"ג תחלקם אל י"ב שהוא מורה ויצא לך א וחלק אחד מי"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול ז' וחצי על ה' ושליש ויצא לך מ' שלמים וראוי לחלק על ב' וחצי ויצא לך י"ו שלמים והוא ערך הז' קנים וחצי
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר ג' מספרי' מתחלפים באופן אחר עשה כך והוא שתחבר ב' מן הג' ותדע כמה העולה אח"כ תחבר אליהם המספר השלישי ומה שיעלה הוא המבוקש
 |-
 |
-!style="text-align:right;"|החלק השלישי הם ערכי שברים עם שברים
+*{{#annot:¾+⅘+⅚|677|InZ8}}<math>\scriptstyle\frac{3}{4}+\frac{4}{5}+\frac{5}{6}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות וה' שישיות{{#annotend:InZ8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם יאמר לך אדם חצי מגן קנה של משי שוה שליש מנין ב' שלישיות של קנה כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ג' רביעיות וד' חמישיות ותקח המורה שהוא עשרים וקח ג' רביעיותם שהם ט"ו וד' חמישיותם שהם י"ד (י"ו) ותחברם ויהיו ל"א ותחלקם על המורה ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מכ' אח"כ תחבר על זה ה' שישיות ותבקש המורה והנה המורה הוא ק"כ שהוא כפל כ' על ו' וקח ממנו י"א חלקים מכ' ויעלו ס"ו וקח ה' שישיותיו ויעלה ק' ותחברם ויהיו קצ"ו (קס"ו) ותחלקם על המורה שהוא ק"כ ויעלה א' שלם ונשארו עדין מ"ו חלקים מק"כ שהם כ"ג חלקים מס'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ב' שלישיות שהם המשי על שליש שהוא הממון ויצא ב' תשיעיות ויש לך לחלק אלו הב' תשיעיות על חצי ויצא לך ד' תשיעיות והוא ערך ב' שלישיות קנה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר שלמים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם חצי ליט' של כסף שוה מחצית מגן ב' שלישיות כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להשיב א שברים אצל שברם ולעשות מהם שברים ולחבר מהם מה שבאותו השבר כן תעשה מהמספר הב' אח"כ תקח המורה ותעשה כנז'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול מחצית על ב' שלישיות ויצא לך שליש א וראוי לחלק זה השליש על חצי ויצא ב' שלישיות והוא המבוקש
+*{{#annot:(2+½)+(3+¼)|677|maWV}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)+\left(3+\frac{1}{4}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ב' וחצי עם ג' ורביע{{#annotend:maWV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר בעד רביעית זהוב קניתי ב' שלישיות קנה כמה אקנה בעד שלישית (שמינית) אחד
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהב' שלמים חצאים ויהיו ד' חצאים ותקח החצי בעבור שאמר ב' וחצי ויהיו ה' חצאים ושמור אותם וכן תעשה מהמספר השני שהם ג' ורביע תעשה מהם (ג') רביעיות ויהיו י"ג רביעיות כי בכל שלם יש ד' רביעיות ותכפול הב' אשר הם תחת הה' על הי"ג אשר הם על הד' ויהיו כ"ו ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הי"ג על הה' אשר הם על הב' ויהיו כ' ותחברם אל כ"ו ויהיו מו ו ותקח המורה שהוא כפל ב' על ד' שהם ח' וחלק מ"ו על ח' ויצא ה' שלמים וו' חלקים מח' שהם ג' רביעיות על זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול השמינית על ב' שלישיות ויהיו חלק אחד מי"ב וראוי לחלק זה על רביעית ויצא לך שליש והוא מה שיקנה בעד שמינית
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחבר שנים מספרים אשר יהיה בא מהם שלמים עם שברים ובאחד שברים בלבד תשיב השלמים אשר הוא בחלק א' מהם אצל שברו שכנגדו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך הרוחתי ב' שלישיות מגן בג' רביעיות מחדש עם חצי מגן אחד כמה ארויח בחצי חדש עם שליש מגן
+*{{#annot:(3+½)+⅖|677|nfiA}}<math>\scriptstyle\left(3+\frac{1}{2}\right)+\frac{2}{5}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחבר ג' וחצי עם ב' חמישיות{{#annotend:nfiA}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול החצי על שליש ויצא לך שתות אחד גם ראוי לכפול זה על ב' שלישיות ויצא תשיעית ושמרם עוד כפול ג' רביעיות על מחצית א ויצא לך ג' שמיניות והנה עתה יש לך לחלק תשיעית אחד על ג' שמיניות ויצא לך ח' חלקים מכ"ז והוא מה שירויח שליש מגן בחצי חדש ונשלם השער התשיעי
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לעשות מהג' אשר אצל החצי חצאין ויהיו ז' חצאין ותקח המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו עשרה אח"כ כפול ז' אשר הם על הב' נגד הה' אשר הם תחת הב' ויהיו ל"ה ושמרם אח"כ כפול הב' אשר על הה' נגד הב' אשר תחת הז' ויהיו ד' ותחברם אל ל"ה ויהיו ל"ט ותחלקם על המורה שהוא כפל ב' על ה' ויהיו ג' שלמים וט' חלקים מי'
 |-
 |}
@@ Line 3,464: / Line 4,335: @@
 |
-== Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots ==
+== Chapter Six: Subtraction of Fractions ==
-|style="text-align:right;"|<big>השער העשירי</big> ידבר על הוצאת השרשים
+|style="text-align:right;"|השער הו' ידבר על מגרעת השברים
 |-
-|This chapter is divided into three parts:
+|
-|style="text-align:right;"|וגם נחלק זה השער לג' חלקים
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לגרוע שום חשבון תצטרך לקחת המורה ואחר ראוי לכפול מה שעל המספר הא' על מה שלמטה מהמספר האחר ומה שלמטה על מה שלמעלה מהמספר האחר ולחסר המספר הקטן מהגדול ומה שנשאר הם חלקים מן המורה
 |-
 |
-*The first part is the extraction of roots of integers
+*{{#annot:¾-½|678|aoCt}}<math>\scriptstyle\frac{3}{4}-\frac{1}{2}</math>
-|style="text-align:right;"|החלק הראשון הוא הוצאת שרש השלמים
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחסר מג' רביעיות חצי א'{{#annotend:aoCt}}
 |-
 |
-*The second part is the extraction of roots of fractions
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת המורה שהוא כפל ד' על ב' שהוא ח' ואח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' על הא' אשר הוא על הב' ויעלה ד' אח"כ כפול הג' אשר הם על הד' על הב' אשר הם תחת הא' ויהיו ו' תחסר מד' ו' (ד' מו') הנשאר ב' ואלו הב' הם חלקים מהמורה שהוא ח' והוא רביעית א' הנה הנשאר הוא רביעית א'
-|style="text-align:right;"|והחלק הב' הוצאת שרש השברים
 |-
 |
-*The third part is the extraction of roots of integers and fractions
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחסר משלמים ושברים שלמים ושברים
-|style="text-align:right;"|והחלק הג' הוצאת שרש שלמים עם שברים
 |-
 |
-=== Part One: Extracting the Roots of Integers ===
+|style="text-align:right;"|יש לך לעשות מהשלמים שברים וכן מכל הב' חלוקות ואח"כ תבקש המורה ולכפול זה כנגד זה כמו שהראיתיך במה שעבר ותעשה כמשפט
+|-
 |
+*{{#annot:(3+¾)-(2+½)|678|a71P}}<math>\scriptstyle\left(3+\frac{3}{4}\right)-\left(2+\frac{1}{2}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחסר מג' שלמים וג' רביעיות ב' שלמים וחצי{{#annotend:a71P}}
 |-
-|Know that when you wish to extract the root of integers, one should examine first the rank of the number whose root is required.
+|
-|style="text-align:right;"|<big>דע</big> כי כשתרצה להוציא שרש השלמים ראוי להסתכל תחלה באיזה מדרגה הוא המספר אשר אתה מבקש שרשו
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך להשים הג' שלמים אצל הג' רביעיות ויהיו ט"ו רביעיות ושמרם ואח"כ יש לך להשיב הב' שלמים אצל החצי ויהיו ה' חצאין אח"כ יש לך לבקש המורה שהוא כפל ד' על ב' שהם ח' אח"כ כפול הב' אשר תחת הה' נגד הט"ו אשר על הד' ויהיו ל' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר תחת הט"ו נגד הה' אשר הם על הב' ויהיו עשרים הסר כ' מל' הנשאר י' וחלק אלו הי' נגד המורה שהוא ח' ויצא לך א' שלם ורביע והוא הנשאר
 |-
-|Know that all the squares are analogous to the squares that are in the first and the second ranks
+|
-|style="text-align:right;"|ודע כי כל המרובעים הם נמשלים למרובעים אשר הם במדרגה הראשנה והשניה
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לגרוע מספר אחד אשר אין בו כי אם שבר ממספר אחד אשר בם שברים גם שלמים ראוי להשיב השלמים אצל השברים ואח"כ לקחת המורה ותגרע הקטן מן הגדול
 |-
-|The squares that are in the first rank are three, which are 1, 4, 9.
+|
-|style="text-align:right;"|ואולם המרובעים אשר הם במדרגה הראשנה הם ג' והם אד"ט
+*{{#annot:(2+½)-¾|678|aBIR}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)-\frac{3}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע ג' רביעיות מב' שלמי' וחצי{{#annotend:aBIR}}
 |-
 |
-:Know that 1 is a compound root and square.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' חצאין ותקח המורה שהוא ח' שעלה מכפל ב' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם תחת ה' על הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הג' נגד הה' אשר על הב' ויעלו עשרים ותחסר מהם ו' ונשארו עדין י"ד ותחלק אלו הי"ד על ח' עלה א' שלם וג' רביעיות והוא הנשאר
-|style="text-align:right;"|ודע כי א' הוא שרש מורכב ומרובע
 |-
-|The squares that are in the second rank are 16, 25, 36, 49, 64, 81.
+|
-|style="text-align:right;"|והמרובעים אשר הם במדרגה השניה הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער הו'
 |-
-|The roots of the first rank are three: 1, 2, 3.
+|}
-|style="text-align:right;"|ואולם שרשי המעלה הראשנה הם ג' אב"ג
-|-
+{|
-|The roots of the second rank are 6:  4, 5, 6, 7, 8, 9.
-|style="text-align:right;"|ושרשי המעלה השניה הם ו' ד'ה'ו'ז'ח'ט'
-|-
-|Know that all the ranks that succeed the first and second ranks are analogous to the preceding two, i.e. every rank that is even is analogous to the second rank and every odd rank is analogous to the first rank.
-|style="text-align:right;"|ודע כי כל המדרגות הנמשכות אחר הראשנה והשניה הם הנמשלות אחר הב' הקודמות ר"ל כי כל מדרגה שהיא זוג נמשלת למדרגה שניה וכל מדרגה נפרדת נמשלת לראשנה
 |-
 |
-*Know that the squares that are in third rank are analogous to the first rank and so are their roots, only that their roots should be raised by one rank, i.e. their roots are tens.
-|style="text-align:right;"|ודע כי המדרגה השלישית המרובעים שבם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
+== Chapter Seven: Multiplication of Fractions ==
-גם שרשיהם אבל צריך שתעלה שרשיהם מדרגה אחת ר"ל כי שרשיהם יהיו עשרות
+!style="text-align:right;"|השער הז' ידבר על הכפל
 |-
 |
-*The roots and the squares of the fourth rank are analogous to the second rank, but there is no need to raise their roots by one rank, they stay in their rank.
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לכפול מספר על מספר הנה תחלת כל דבר יש לך לקחת המורה כאשר אתה מראה בדמיוני' שעברו ואח"כ לכפול מה שלמעלה זה כנגד זה ומה שיעלה יש לחלקו על המורה והעולה הוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|ומספרי המדרגה הרביעית נמשלים השרשים והמרובעים למדרגה השנית<br>
-ואין צורך להעלות שרשיהם מדרגה אחת אלא יעמדו במקומם
 |-
 |
-*The roots and the squares of the fifth rank are analogous to the first rank, but the root should be raised to the third rank, so their roots are hundreds.
+*{{#annot:⅔×¾|17|ilbx}}<math>\scriptstyle\frac{2}{3}\times\frac{3}{4}</math>
-|style="text-align:right;"|והמדרגה החמישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ב' שלישיות על ג' רביעיות{{#annotend:ilbx}}
-אלא שצריך שתעלה השרש עד המדרגה השלישית ושרשיהם יהיו מאיות
 |-
 |
-*The roots and the squares of the sixth rank are analogous to the second rank, but the analogous root should be raised to the hundreds.
+|style="text-align:right;"|תקח המורה שהוא י"ב שעלה לנו מכפל ג' על ד' ואח"כ יש לך לכפול הב' אשר הם על השלשה נגד הג' אשר הם על הד' ויהיו ו' וחלקם על י"ב ויהיו ו' חלקים מי"ב שהוא חצי אחד
-|style="text-align:right;"|והמדרגה השישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה שניה<br>
-וצריך שתעלה השרש הנמשל אל המאיות
 |-
 |
-*The squares and the roots of the seventh rank are analogous to the first rank, but the root should be thousands.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' מספרים זה על זה עם שלמים הנה תשיב השלמים אצל השברים ה[חוני]ם לנגדם וכן המספר האחר ואח"כ יש לך לבקש המורה ומה שיעלה תחלק על המורה והעולה הוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|והמדרגה השביעית מרובעהם גם שרשיהם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
-אלא צריך שיהיה השרש אלפים
 |-
 |
-*The eighth rank is analogous to the second [rank], but the root should be also thousands.
+*{{#annot:(2+½)×(3+⅓)|17|v1HK}}<math>\scriptstyle\left(2+\frac{1}{2}\right)\times\left(3+\frac{1}{3}\right)</math>
-|style="text-align:right;"|והמדרגה שמינית נמשלת לשניה<br>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ב' וחצי על ג' ושליש{{#annotend:v1HK}}
-וצריך שיהיה השרש ג"כ אלפים
 |-
 |
-*The ninth rank is analogous to the first rank, but the root is tens of thousands.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך תחלה להעמיד המורה והוא ו' ואח"כ תעשה מהב' שלמים חצאים ויהיו ה' וכן תעשה מהג' שלמים עשה ממנו שלישיות ויהיו עשרה ותכפול (ותכפול) עשרה על הה' ויהיו נ' וחלקם על המורה שהם ו' ויעלו לך ח' שלמים ושליש
-|style="text-align:right;"|והמדרגה התשיעית נמשלת למדרגה הא'<br>
-אלא השרש יהיה עשרות אלפים
 |-
 |
-*The tenth rank is analogous to the second [rank] and the roots are tens of thousands.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לעשות אותו באופן אחר והוא כי יש לך לכפול השלמים על השלמים רצוני ע' ג' על ב' ויהיו ו' שלמים עוד תכפול החצי על שלשה ויהיו א' וחצי ונחבר הא' עם הו' ויהיו ז' וחצי עוד תכפול הב' שלמים על שליש ויהיו ב' שלישיות ונחבר אלו הב' שלישיות עם הז' וחצי שיש לנו ויהיו ח' שלמים ושתות עוד נכפול השליש על החצי ויהיו שתות אחד ועם השתות שיש לנו יהיו ב' שתותים שהם שליש א' ועם הח' הם ח' שלמים ושליש ותקיש על זה
-|style="text-align:right;"|והמדרגה העשירית נמשלת לשניה והשרשים יהיו עשרות אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|<big>ודע</big> כי כשתרצה להוציא שום שרש צריך לך תחלה להוציא השרש הנמשל כוונתי אם הוא בעשרות אלפים שתוציא תחלה אותם המאות אשר הם השרש ואם נשאר לך איזה דבר צריך שתכפול אותם המאיות על ב' ותחלק הנשאר על אותו הסך ואח"כ אם נשאר לך איזה דבר כי עכ"פ יצטרך שישאר לך באופן שתוכל לקחת מהנשאר מרובע ממה שעלה בחלוק כפל השרש ומה שנשאר עדין אחר לקיחת כפל השרש {{#annot:term|181,1251|EYy0}}תפיל מן ה{{#annotend:EYy0}}סך הגדול רצוני מן המספר אשר בקשת למצא שרשו ומה שנשאר הנה הוא מרובע השרש ומה שיצא לך תחלקהו על ב' זולת מה שעלה לך מכפל השרש והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לכפול ב' מספרים אשר בא' מהם שברים ובאחר שלמים עם שלמים (שברים) הנה יש לך להשיב השלמים אצל השברי' ולכפול היוצא על מה שבמספר השני ולבקש המורה ולחלק היוצא נגד המורה והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-*Example: we wish to know the root of 980.
+*{{#annot:4½×⅔|17|zVQ8}}<math>\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\times\frac{2}{3}</math>
-:<math>\scriptstyle\sqrt{980}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' וחצי על ב' שלישיות{{#annotend:zVQ8}}
-|style="text-align:right;"|דמיון רצינו לדעת שרש תתק"פ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר אמרנו כי המדרגה הג' נמשלת למדרגה הא' והשרשים שהם במדרגה הא' הם אב"ג והמרובעים הם אד"ט א"כ הט' מאות הם כמו הט' אחדים וידענו כי שרש ט' הם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' אחדים וידענו כי שרש ט' הוא ג' וכבר אמרנו כי יש לנו להעלות אותם ממעלה א' א"כ נעלה אלו הג' שהם שרש ט' ממדרגה א' ויהיו ל' א"כ ל' הם שרש מט' מאות ונשארו פ' כי מספרינו היה ט' מאות ופ' והנה יש לנו לכפול השרש שהוא ל' ויהיו ס' ויש לנו לחלק פ' על ס' ונתן לו א' ונשארו כ' ונקח מהם מרובע זה הא' שעלה בחלוק ונשארו עדין י"ט וכפול (הסר) אותם מן המספר שהוא תתק"פ ונשארו תתקס"א הנה א"כ שרש תתקס"א הוא ל"א
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאים ויהיו ט' אח"כ ט' על ב' אשר הם על הג' ויעלו י"ח ותחלקם על המורה שהוא ו' ממה שעלה מכפל ב' על ג' ויעלה ג' שלמים בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש המספר בדיוק יותר גדול הנה ראוי לכפול הל"א שהוא השרש ויהיו ס"ב ויש לך לחלק י"ט שנשארו עדין על ס"ב ומה שיעלה יהיה השרש יותר קרוב והוא ל"א וי"ט חלקים מס"ב
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה שלמים לבדם עם שברים לבדם יש לך לכפול השלמים על מה שהוא במספר השברים והעולה תחלק על השבר השפל והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 49[3]2.
+*{{#annot:4×⅔|17|at7F}}<math>\scriptstyle4\times\frac{2}{3}</math>
-:<math>\scriptstyle\sqrt{4932}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול ד' שלמים על ב' שלישיות{{#annotend:at7F}}
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש מ"ט אלפים וס"ב (ל"ב)
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה כבר ידעת כי עשרות אלפים נמשלות למאיות והנה מ' אלפים דומים כמו ד' במעלה הראשנה ושרשו ב' ויהיו ב' מאות א"כ שרש מ' אלף הם ב' מאות ונשארו עדין ט' אלפים ול"ב נכפול ב' מאות ויהיו ד' מאות נחלק ט' אלפים ול"ב על ד' מאות ויעלו עשרים נשארו עדין אלף ול"ב נסיר ממנו מרובע עשרים שהוא ד' מאות וישארו ו' מאות ול"ב ונכפול עשרים ויהיו מ' ושים אותם על ד' מאות ויהיו ת"מ ותחלק ו' מאות ול"ב עליהם ויעלה אחד שלם ונשארו עדין (מאה ו)צ"ב ותסיר מהם מרובע א' ונשאר קצ"א תסירם מל' (ממ"ט) אלפים ול"ב הנשאר מ"ח אלפים וח' מאות ומ"א והוא מרובע הקרוב ממספרינו ושרשו רכ"א
+|style="text-align:right;"|הנה תכפול ד' על ב' ויעלו ח' ותחלקם על ג' ויצא לך ב' שלמים וב' שלישיות על זאת הצורה
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of one hundred and fifty thousand.
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער השביעי
-:<math>\scriptstyle\sqrt{150000}</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש מאה וחמישים אלף
+|}
+{|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי ק' אלף היא המדרגה הו' ודומה למדרגה הב' והנה המרובע שעבר הוא ג' והם ג' מאות ונכפול אותו ויהיו ו' מאות ונשארו עדין ס' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ת"ר יעלו פ' ונשארו עדין י"ב אלפים ונחסר מהם מרובע פ' שהוא ו' אלפים וד' מאות נשארו ה' אלפים ות"ר ונכפול פ' ויהיו ק"ס ונחברם אל ו' מאות ויהיו תש"ס נחלק ה' אלפים ות"ר עליהם ויצא לך ז' ונשארו עדין רל"א אחר לקיחת מרובע ז' ותפילם מק"נ אלף הנשאר קמט אלפים ותשס"ט והוא מרובע שעבר ושרשו שפ"ז ודוק ותשכח
+== Chapter Eight: Division of Fractions ==
+!style="text-align:right;"|השער הח' מדבר על חלוק השברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם החלק הראשון מהוצאת שרשי השלמים בלי דיוק אבל אם תרצה לעשות אותו יותר מדוקדק
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לחלק שום חשבון יש לך לבקש בראשנה המורה ואח"כ יש לך לכפול מה שתחת המספר הא' על מה שעל המספר האחר ומה שעל המספר הא' על מה שתחת המספר הנלוה אליו ותחלק היוצא הגדול על הקטן ומה שנשאר הוא חלק ממנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת איך הוא הדרך ולאמתו ולהגיע יותר אל הקרוב עדין נבאר זה בחלק הבא מן הוצאת שרשי השברים גם בחלק הג' מן הוצאת שרשי השברים והשלמים
+*{{#annot:⅝÷¼|552|urwn}}<math>\scriptstyle\frac{5}{8}\div\frac{1}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ה' שמיניות על רביעית א'{{#annotend:urwn}}
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|(תקח המורה שהוא ל"ב ושמרם אח"כ) כפול הח' אשר תחת הה' על הא' אשר על הד' ויעלו ח' ושמרם אח"כ כפול הד' אשר הם תחת הא' על הה' אשר הם על הח' ויהיו עשרים ותחלק עשרים על ח' ויהיו ב' שלמים ונשארו עדין ד' ותחלקם על המורה שהוא ל"ב (ח') ויצא לך שמינית א' שלם (ב' שמיניות)
-=== Part Two: Extracting the Roots of Fractions ===
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה תאמר כי הב' שיצאו לך הם ב' פעמים א' רביע ונשאר עדין חצי שהוא ש' חצי זה הרביעית שהם שמינית א' שלם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי כשתרצה לדעת שרש מאיזה שבר הנה יש לך לבקש מספר שיהיה דומה לאותו השבר
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים על שלמים ושברים
 |-
 |
-*I.e. if you are told: how much is the root of a quarter?
+|style="text-align:right;"|יש לך לבקש המורה ואח"כ תכפול השלמים נגד השברים מכל הב' מספרים ותחלק הגדול על הקטן והעולה הוא המבוקש
-:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ר"ל אם אמר לך כמה שרש רביעית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך לבקש מספר ד' כי רביעית יצא מד' ויש לך לקחת מרובע אותו המספר ולקחת שרש הרביעית (של המרובע)
+*{{#annot:(4+½)÷(2+¼)|552|3ekG}}<math>\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right)\div\left(2+\frac{1}{4}\right)</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק ד' וחצי על ב' ורביע{{#annotend:3ekG}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וגם יש לך לקחת שרש המרובע ולחלק שרש (רביעית) המרובע על שרש הרביעית (המרובע) ומה שיעלה בחלוק הוא שרש אותו השבר וכן תעשה תמיד
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות מהד' וחצי חצאין ויהיו ט' חצאין אח"כ תעשה מהב' ורביע רביעיים ויהיו ט' רביעיים אח"כ תכפול הד' אשר הם תחת התשעה נגד הט' אשר הם על הב' ויהיו ל"ו אח"כ תכפול הב' אשר הם תחת הט' (נגד הט' אשר הם) על הד' ויהיו י"ח וחלק ל"ו על י"ח ויעלו ב' שלמים בלי תוספת
 |-
 |
-*Example: we wish to know the root of one quarter.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק שלמים עם שברים לבדם
-:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש רביעית א'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו רביעית וגם אותו המספר יהיה מרובע ר"ל שיהיה לו שרש והנה נקח מספר י"ו שהוא מספר מרובע והולך לרביעיות בלי תוספת ומגרעת וקח הרביעית שהוא ד' וקח שרשו של ד' והוא ב' אח"כ קח שרש י"ו שהוא ד' ג"כ וחלק(הו) על(יו) שרש רביעית י"ו שהוא ד' ושרשו היה ב' ויצא לך חצי רביעית א' והוא שרש רביעית א'
+*{{#annot:4÷¾|552|p5E8}}<math>\scriptstyle4\div\frac{3}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמר ד' על ג' רביעיות{{#annotend:p5E8}}
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of one third.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול הד' שלמים על הד' אשר הם רביעיות ויהיו י"ו ותחלקם על הג' אשר הם על הד' ויהיו ה' שלמים ושליש על זאת הצורה
-:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{3}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש שלישית א'
 |-
-|
+|}
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו שלישית ויהיה מרובע וכאלו תכה אותו במספר פ"א שהוא מספר מרובע והולך לשלישיות וקח שלישית פ"א והוא כ"ז אח"כ קח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש אח"כ קח שרש פ"א שהוא ט' וחלק ה' וחומש על ט' ויצא לך כ"ו חלקים ממ"ה והוא שרש שליש בקרוב גדול
+{|
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 3 fifths.
-:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{3}{5}}</math>
+== Chapter Nine: Ratios ==
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש ג' חומשים
+!style="text-align:right;"|השער הט' ידבר על ענין הערכים והסחורות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר שיהיה לו חומש ותקח ג' חמישיותיו והנה נקח מספר כ"ה כי הוא מספר מרובע ויש לו חומש וקח ג' חמישיותיו והם ט"ו וקח שרשם שהוא ג' וז' שמיניות אח"כ קח שרש כ"ה שהוא ה' וחלק ג' וז' שמיניות על ה' ויצא לך ל"א חלקים ממ' והוא שרש ג' חמישיות
+|style="text-align:right;"|ונחלק זה השער לג' חלקים:
 |-
 |
-*Another example: we wish to know how much is the root of 5 eighths.
+|style="text-align:right;"|החלק הא' על ערך השלמים עם השלמים
-:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{5}{8}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת כמה שרש ה' שמיניות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר ששרשו יהיה שמונה והוא ס"ד וקח ה' שמיניותיו והוא מ' וקח שרשם והוא ו' ושליש אח"כ תחלק ו' ושליש על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך י"ט חלקים מכ"ד וזה יהיה שרש ה' שמיניות
+|style="text-align:right;"|החלק הב' ערכי שברים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש השלמים בדקדוק יותר גדול יש לך לקחת מעוקב אותו המספר שתרצה לדעת שרשו וקח שרש מעוקבו שהוא כ"ז כי ג פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז וקח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש וחלקם על ג' שהוא המספר שתבקש למצא שרשו ויצא לך א' וי"א חלקים מט"ו והוא שרש ג'
+|style="text-align:right;"|החלק הג' ערכי שלמים עם שברים
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of five.
+|style="text-align:right;"|החלק הא' ערכי השלמים עם שלמים
-:<math>\scriptstyle\sqrt{5}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש חמשה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח מעוקבו והוא שתכפול ה' פעמי' ה' והם כ"ה ותכפול כ"ה פעמים ה' והם קכ"ה וקח שרש קכ"ה שהוא י"א וב' חלקים מי"א ותחלקם על ה' שהוא המספר שתרצה לדעת שרשו ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ"ה (מנ"ה) ותקיש על זה
+|style="text-align:right;"|כשיאמר לך אדם קניתי ב' {{#annot:canna|1068|K2PI}}קנים{{#annotend:K2PI}} של משי לערך ט"ו מנינים ה' קנים כמה שוים הנה תכפול הב' אשר הם הקנים מהמשי על ט"ו אשר הוא שווי דמיהם ויעלה ל' ותכפול אלו הל' על ה' ויצא לך ק"נ ותחלקם על ערך הקנים אשר ערכם ידוע שהם ב' ותכפלם ויהיו ד' ותחלק ק"נ על ד' ויצא לך ל"ז וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת השרש באופן אחר יש לך לקחת שרש המרובע שעבר ולכפול השרש ולחלק מה שנשאר (על מרובע השרש) על כפל השרש (והיוצא חברו על הנשאר) והעולה הוא הנשאל
+|style="text-align:right;"|אמנם תוכל לעשותו יותר נקלה והוא שתכפול הה' אשר הם הקנים הבלתי נודעות על ט"ו אשר הם הדמים ויעלה ע"ה ותחלקם על ב' אשר הם הקנים הנודעות
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of six.
+|style="text-align:right;"|עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הדמים אשר הם ט"ו על ב' אשר הם הקנים אשר ערכם ידוע ויצא ז' וחצי ותכפול זה על ה' אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם ויצא לך ל"ז וחצי
-:<math>\scriptstyle\sqrt{6}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ששה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת שרש המרובע שעבר שהוא ד' ושרשו ב' ויש לך לכפול השרש ויהיו ד' ותחלק מה שנשאר שהוא ב' על ד' ויצא לך חצי אחד ועם הב' שיש לנו הם ב' וחצי והוא שרש חמשה בקרוב
+|style="text-align:right;"|עוד בדרך אחרת והוא שתחלק הקנים אשר ערכם בלתי ידוע על הב' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' וחצי וכפול אותם על ט"ו ויצא ל"ז וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תקח מרובע ב' וחצי ויעלה ו' ורביע הנה לא מצאת כי אם רביעית נוסף על הו' ואם תרצה לדקדק החשבון יותר הנה יש לך לכפול ב' וחצי שיצא לנו ויהיו ה' ויש לך לחלק הרביעית הנוסף על ה' ויצא לך חלק א' מעשרים ותפיל זה מן ב' וחצי ונשארו ב' וט' חלקים מעשרים והוא שרש ו'
+|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך אדם קניתי ז' מדות חטה על מנת להוליכן ח' מילין לערך ט' מנינים והוא נשא י' מדות י"א מילין כמה ראוי שיקח
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 8.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול י"א על י' ויהיו ק"י עוד יש לך לכפול כל זה על ערך הממון שהוא ט' שהוא תתק"צ אח"כ כפול ז' על ח' ויהיו נ"ו ויש לך לחלק תתק"צ על נ"ו ויצא לך י"ז ול"ח חלקים מנ"ו הנה ראוי שינתן לו בעד משכורתו י"ז ול"ח חלקים מנ"ו כמו זאת הצורה
-:<math>\scriptstyle\sqrt{8}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ח'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה בעבור כי הוא יותר קרוב אל ט' ממה שהוא קרוב אל ד' שהוא מרובע שעבר נחשוב כאלו מספרינו היה ט' ונקח שרשו והוא ט' (ג') וכפול אותו ויהיו ו' והוא מצד כי חשבונינו לא היה כי אם ח' המרחק אשר בין ח' לט' הוא א' ונחלק זה הא' על כפל השרש שהוא ו' ויצא לך שתות אחד וזה השתות יש לנו להפילו מן הג' ונשארו ב' וה' שישיות והוא שרש ח' בקרוב ואין צריך לדקדקו יותר
+|style="text-align:right;"|ולפעמים יצטרך לעשות הערך ג' פעמים אבל נמצא דרך קל כי ערך א' יספיק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אכן אם תרצה לקרבו יותר אל האמת הנה אתה תקח מרובע(ו) ב' וה' שישיות ותמצא כי הוא עולה ח' שלמים ותמצא בו מתוספת חלק מל"ו ותחלק זה החלק מל"ו על כפל ב' וה' שישיות שהיה שרשינו הראשון שיהיו ה' שלמים וב' שלישיות ומה שיעלה שהוא ג' חלקים מו' מאות וי"ג (י"ב) תפיל מן ב' וה' שישיות והנשאר הוא השרש היותר קרוב אל האמת
+|style="text-align:right;"|כאלו תאמר אדם שכר ג' חמרים שישאו לו ד' מדות ה' מילין ויתן להם ו' דינרין והם היו ז' חמרים ונשאו ח' מדות מרחק ט' מילין כמה שכרן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה למצא השרש באופן אחר
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ז' על ח' ויהיו נ"ו עוד תכפול זה על ט' ויהיו תק"ד עוד כפול זה על מספר הדינרין שהם ו' ויהיו ג' אלפים וכ"ד חלקם על ס' ויצא לך חמישים וכ"ד חלקים מס' והוא מה שיקחו
 |-
 |
-*Example: we wish to know the root of 7.
+|style="text-align:right;"|שאל שואל ד' זהובים בב' חדשים הרויחו ו' דינרין וכפי זה הערך ח' זהובים הרויחו י"ב דינרין כמה חדשים עמדו להרויח אלו הי"ב דינרין
-:<math>\scriptstyle\sqrt{7}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש ז'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אלו הז' על איזה מספר יהיה לו שרש והנה נכפול אותו עם ד' כי ב' הם שרש ד' ויהיו כ"ח נקח שרש כ"ח שהוא ה' וג' עשרות וחלקם על שרש ד' שהם ב' ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ'
+|style="text-align:right;"|התשובה ראוי שתכפול הד' זהובים על ב' חדשים ויהיו ח' עוד כפול זה על הו' שהם הדינרין ויהיו מ"ח ושמרם אח"כ כפול ח' שהם הזהובים על י"ב שהם ג"כ זהובים (דינרים) ויעלה צ"ו ותחלקם על מ"ח ויצא לך שנים שלמים והוא סך החדשים שעמדו הח' זהובים להרויח י"ב דינרין ונשלם השער הראשון מהערכין
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 12.
+!style="text-align:right;"|השער השני הם ערכי שברים עם שלמים
-:<math>\scriptstyle\sqrt{12}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אותם עם מספר שיש לו שרש והנה נכפול אותו עם ט' כי ט' הוא מספר מרובע כי שרשו ג' ויעלו ק"ח וקח שרשם שהם י' וב' חמישיות וחלקם על שרש ט' שהם ג' ויצא לך שלשה וז' חלקים מט"ו וזה יספיק לך בידיעת הוצאת שרשי השלמים גם שרשי השברים
+|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת אם אדם אחד שכר חבירו לעבוד עבודתו בערך ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין בעד ד' ימים והוא עבד כ"ד ימים כמה ראוי שיקח
 |-
 |
-=== Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers ===
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול כ"ד נגד הדינרין ויהיו ע"ב עוד כפול הד' נגד הגרות ויעלו ו' עוד כפול הד' נגד הקרליני ויהיו כ' ועם א' יהיו כ"א ושים א' עוד כפול ד' נגד הו' ויהיו כ"ד ועם ב' יהיו כ"ו ושימם עוד כפול העשרות מלמטה נגד הד' ויהיו ח' עוד כפול ב' נגד ה' ויהיו עשרה עוד כפול הב' נגד הו' ויהיו י"ב אח"כ תעשה מע"ב דינרין גרות ותחברם ויעלה הכל ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות אחר שנתחלק היוצא מהכפל על ד' כמו זאת הצורה
-|style="text-align:right;"|החלק הג' הוא להוציא שרשי השברים עם השלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה להוציא שרש שום {{#annot:term|20,1268|9JzT}}מספר שלם{{#annotend:9JzT}} ושבר יש לך לבקש מספר מספר שיהיה לו אותו חלק אשר הוא בשבר אשר אתה מבקש שרשו ותכפול אותו על המספר שמצאת נגד השלמים שלך גם תקח חצי המספר שמצאת אם השבר הוא חצי או שלישיתו אם השבר הוא שליש סוף דבר תקח מן המספר חלק השבר ותוסיף הכל וקח שרש העולה ושמרהו אח"כ קח שרש המספר שמצאת ותחלק השרש מהמספר הגדול על שרש המספר הקטן ומה שיעלה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תחלק כ"ד על ד' ויצא לך ו' אח"כ כפול ו' על כל המטבעים של מעלה ונכפול ששה ראשנה על כל הדינרין אח"כ על הגרות ואח"כ על הקרליני ואח"כ על המנינים ויצא לך ג"כ ל"ט מנינים וב' קרליני וז' גרות בלי שום דינר
 |-
 |
-*Example: we wish to know the root of 3 and a half.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו באופן אחר תחלק המספר של מעלה שהוא ו' מנינים וה' קרליני וד' גרות וג' דינרין על ד' והיוצא תכפול על כ"ד ויצא לך ג"כ כנז'
-:<math>\scriptstyle\sqrt{3+\frac{1}{2}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש ג' וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מאחר שיש במספרינו חצי יש לך למצא איזה מספר מרובע אשר תוכל לחלקו על ב' ונכפול אותו על ג' מצד כי יש לנו ג' שלמים יעלו י"ב כי במספרינו יש בו חצי נקח חצי ד' שהם ב' ונוסיפם על י"ב ויהיו י"ד ונקח שרשם ויהיו ג' וג' רביעיות ותחלקם על שרש מספרינו שהוא ד' שהשרש הוא ב' ויעלה א' שלם וז' שמיניות והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת ערך המספר אשר בו שבר למעלה יש לך לכפול כל השלמים ואח"כ כל השברים והעולה תחלקהו על המספר הרשום במספר העליון והיוצא הוא המבוקש
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 4 and a fifth.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה ערך ז' קנים מדוק הוא ז' מנינים ח' קרליני ה' גרות א דינר וחצי מ"ב קנים כמה ישוו
-:<math>\scriptstyle\sqrt{4+\frac{1}{5}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ד' וחומש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תבקש מספר מרובע שיהיה לו חומש ותמצא כ"ה ותכפול ( ) אותו על ד' מצד כי יש לנו ד' שלמים כי עלו ק' וקח חומש כ"ה שהוא ה' ותוסיפם על ק' ויהיו ק"ה וקח שרשם ויצא לך י' וחומש וחלקם על שרש כ"ה שהוא ה' ויצא לך ב' שלמים וחלק א' מכ"ה והוא שרש ד' וחומש
+|style="text-align:right;"|כך תעשה תכפול ראשנה המ"ב נגד הדינרין השלמים של מעלה ויהיו מ"ב עוד תכפול האחדים של מטה נגד הגרות ויעלו עשרה ושים ציפרא עוד כפול האחדים נגד הקרליני שהם ח' ויהיו י"ו ועם א יהיו י"ז ושים ז' עוד כפול הב' מלמטה נגד המנינים יהיו י"ד ועם א הנם ט"ו ושימם אחר כפול העשרות של מטה נגד הגרות ויעלו כ' ושים ציפרא עוד כפול העשרו' נגד הקרליני ויהיו ל"ב ועם ב' ויהיו ל"ד ושים ד' עוד כפול העשרות נגד המניני' ויהיו כ"ח ועם ג' יהיו ל"א אח"כ כפול ראוי לקחת חצי המספר התחתון ר"ל ממ"ב והנם כ"א ויהיו דינרין ועם מ"ב ויהיו ס"ג תעשה מהם גרות ויהיו י' גרות וג' דינרין אח"כ חבר הכל ויעלה מ"ז מנינים וא' קרליני וא' גרה וג' דינרין אחר שנתחלק על ז' וזאת צורתם
 |-
 |
-*Another way: we wish to know the root of 6 and a fifth.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חלק מ"ב על ז' ויצא לך ו' וכפול ו' על המטבעים שלמעלה ויצא לך ג"כ מ"ז מנינים וכו'
-:<math>\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{5}}</math>
+ואם השבר הוא למטה ראוי לך לכפול כל השלמים מלמטה נגד כל המטבעים וגם ראוי לקחת מכל המטבעים כפי השבר אם חצי מחציתו ואם שליש שלישיתו ואם ב' שלישיות ב' שלישיות
-|style="text-align:right;"|דרך אחרת נרצה לדעת שרש ו' וחומש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת שרש השבר ר"ל מהחומש והנה ידענו כי הוא ב' ורביע בקרוב וא"כ יש לך לעשות מהו' שלמי' חומשים ויהיו ל"א עם החומש וקח שרשם שהוא ה' וג' חומשים בקרוב וחלקנו על שרשינו הראשון שהוא ב ורביע ויצא לך ב' שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה (ממ"ה)
+|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ד' ליט' של כרכום שוות ד' מנינים וב' קרליני וא' גרה וא' דינר ל"ב ושליש כמה ישוו
 |-
 |
-*Another example: we wish to know the root of 9 and 3 quarters and a quarter of a quarter.
+|style="text-align:right;"|בתחלה תכפול הל"ב נגד הדינרין ויהיו ל"ב אח"כ כפול האחדים על הגרות ויעלו ב' ושימם במקום הגרות עוד כפול האחדים נגד הקרליני ויהיו ד' עוד תכפלם נגד המנינים ויהיו ח' אח"כ כפול העשרות נגד הגרות ויהיו ג' (... קרליני...) עוד כפול העשרות נגד המנינים ויהיו י"ב אח"כ קח שליש מכל המטבעים של מעלה ויצא א' מגן וד' קרליני בלי גרה וב' דינרין ושליש ותקבץ הכל ויעלו קל"ו מנינים וא' קרליני וז' גרות וד' דינרין ושליש וחלק על זה ד' ויצא ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב של דינר וזאת היא צורתם
-:<math>\scriptstyle\sqrt{9+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ט' וג' רביעיות ורביעית רביעית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת רביעית הרביעית והוא יהיה חלק מי"ו וקח שרש י"ו והוא ד' ושמרם אח"כ חבר ג' רביעיות עם רביעית רביעית ויהיו י"ג חלקים מי"ו אח"כ כפול הט' שלמים על י"ו ויעלו קמ"ד ותחבר אליהם י"ג שהם חלקי הג' רביעיות גם חלק רביעית הרביעית ויעלה הכל (מ"ג) קנ"ז וקח שרשם (וקח שרשם) ויצא לך י"ב וי"ג חלקים מכ"ד וחלקם על השרש השמור שהוא ד' ויצא לך ג' שלמים וי"ג חלקים מצ"ו והוא שרש י"ו וג' רביעיות ורביעית הרביעית
+|style="text-align:right;"|המופת תחלק המספר התחתון שהוא ל"ב ושליש על ד' ויצא לך ח' שלמים וחלק א' מי"ב וכפול כל זה נגד כל המטבעים של מעלה ויצא לך ל"ד מנינים בלי קרליני וד' גרות וב' דינרין וז' (א') חלקים מי"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער העשירי וזה יספיק לך בהוצאת השרשים
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק מספר יהיה בו שבר מעלה ומטה ראוי לכפול השבר התחתון על כל המטבעים של מעלה גם על השבר העליון ואח"כ כפול השלמי' התחתונים על כל המטבעים של מעלה ולחבר הכל והיוצא הוא המבוקש
 |-
-|}
+|
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת אם ו' קנים של משי שוות ו' מנינים וג' קרליני וג' גרות וב' דינרין וחצי כ"ד וחצי כמה ישוו
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|ראוי לקחת חצי המטבעים העליונים ויהיה ג' מנינים א' קרליני (וחצי) ו(א)' (וחצי) גרות ד' (וא') דינרין ורביע אח"כ תקח חצי המספר התחתון ויהיו י"ב אח"כ תכפול כ"ד על הדינרין ויהיו מ"ח ונחברם עם י"ב ויהיו ס' אח"כ נכפול הכ"ד שלמים נגד המאיות של מעלה ותעשה כנז' אח"כ תקבץ הכל ויעלה כ"ה מנינים ה' קרליני ו' גרות ב' דינרין וי"ז חלקים מכ"ד אחר שנתחלק העולה על ששה וזאת היא צורתם
-== Chapter Eleven: Checking Methods ==
-|style="text-align:right;"|השער הי"א ידבר על המאזנים הן מהכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות הן בשלמים הן בשברים הן בשברים ושלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותחלה נדבר על מאזני חבור השלמים
+|style="text-align:right;"|המופת תחלק המטבעי' מלמעלה על ו' ואח"כ כפול היוצא על כ"ד (וחצי) וישוב כמו מה שיצא לנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לדעת חבור השלמים אם הוא עשו(י) כהוגן וכשורה תמנה כל {{#annot:term|787,1220|eqSv}}המספרים המחוברים{{#annotend:eqSv}} ותוציאם ט"ט אח"כ שוב אל {{#annot:term|388,1220|Y7WR}}המחובר{{#annotend:Y7WR}} ותוציאם ט"ט ואם הנשאר על התשיעיות הוא שוה למה שנשאר אחר {{#annot:term|456,1462|nLMb}}הוצאת התשיעיות{{#annotend:nLMb}} מן כל המספרים המחוברים דע כי חשבונך הוא אמת וכן תוכל לעשות אם תוציא כל הש(י)לישיות
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה חלק כ"ד וחצי על ו' והיוצא תכפול על כל המטבעים והדבר יצא שוה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו קי"א על רכ"ב ועם של"ג הנה העולה הוא תרצו (תרס"ו) הוציא כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים ותמצא כי הולך מצומצם כוונתי כי לא ישאר מאומה ולכן שים גלגל אח"כ שוב אל המחובר והוצא התשיעיות גם הוא הולך בצימצום ולכן שים גלגל והוא שוה אל הגלגל השמור
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אם ב' קנים וחצי שוות ג' מנינים וב' קרליני וב' גרות וג' דינרין ושליש י"ב וחצי כמה שוות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות אם תוציא השלישיות וכן מן השביעיות
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול בתחלה השבר התחתון נגד כל המטבעי' העליונים ואח"כ ראוי לך לכפול הי"ב שלמים נגד השבר מלמעלה שהוא שליש ואח"כ נכפול כל השלמים התחתונים נגד כל המטבעים אשר למעלה ואח"כ קבץ הכל והעולה תחלק על ב' וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לבחון אותו עם כל מספר שתרצה ואין צורך להאריך
+|style="text-align:right;"|ואופן החלוק נעשה ככה והוא שנעשה מהב' וחצי חצאין ויהיו ה' ואח"כ לכפול העולה על ב' והעולה תחלק על ה' והיוצא הוא המבוקש ויצא לך י"ו מנינים א קרליני ב' גרות וד' דינרין וב' שלישיות דינר כמו זאת הצורה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני חבור המטבעים
+|style="text-align:right;"|המופת נחלק י"ב וחצי על ב' וחצי ויצא לך ה' שלמים ותכפלם על כל המטבעים העליונים ויצא לך הדבר שוה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי למנות כל התשיעיות מכל המספרים המחוברים ולשמור היוצא אח"כ שוב אל היוצא ובעד כל גרה שעשית מחבור הדינרין תקח ה' כי הו' דינרין הוא גרה א' א"כ מה שהוא למטה (א' ש"מ שהוא) גרה א' הוא למעלה ו' שהם ו' דינרין לכן קח ה' על כל גרה ועל כל טרי שעלה לך מחבור הגרות קח (א) כי הכ' גרות הם טרי א' א"כ היה ראוי לקחת י"ט ולכן נעזוב י"ח שהולך לתשיעיות וישאר א' ועל כל מגן שעשית מן הטרי קח ד' כי הה' טרי של מעלה שוה א' למטה לכן נקח ד' ג"כ תקח על כל אוק' שעלה לך מחבור המנינים ה' כי הו' מנינים הם אוק' והשליך כל התשיעיות ויהיה שוה אל השמור
+|style="text-align:right;"|או אם תחלק כל המטבעים שלמעלה על ב' וחצי והעולה תכפול על י"ב וחצי יצא לך מספר שוה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וב' דינרין עם ג' אוק' וד' מנינים וג' טרי וי"ט גרות וג' דינרין עם ד' אוק' וא מגן וד' טרי וי"ז גרות וד' דינרין ועלה המחובר עשרה אוק' וד' מנינים וג' טרי וט"ו גרות וג' דינרין השליך כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים הנשאר א' אח"כ שוב אל העולה ותקח ה' בעד גרה אחת שעשינו מחבור הדינרין ותקח בעד ב' טרי שעלה לך מחבור הגרות ב' ויהיו ז' גם תקח ח' בעד הב' מנינים שעלו לך מחבור הטרי ויהיו ט"ו השלך מהם ט' וישארו ו' עוד קח ה' בעד אוק' אחת שעלה לך מחבור המנינים ועם הו' שיש לך יהיו י"א השלך מהם ט' נשארו ב' וחברם עם העולה והשלך כל התשיעיות וישאר עדין א' והוא שוה אל הא' השמור
+|style="text-align:right;"|אם יאמר לך אדם ב' שלישיות קנה שוות מגן וחצי ג' רביעיות קנה כמה שוות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני המגרעת
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ג' רביעיות על א וחצי ויצא לך א' ושמינית וראוי עתה לחלק א' ושמין על ב' שלישיות ויצא לך א' שלם וי"א חלקים מי"ו והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר מה שהוצאת מן המספר הגדול עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול או אם תשליך כל התשיעיות ממה שהוצאת ותחבר עם (הנשאר כל התשיעיות) מה שנשאר מן המספר אחר הגרעון ותוציא גם מזה התשיעיות והנשאר שמור אח"כ שוב אל המספר הגדול והשלך כל התשיעיות ואם מה שנשאר הוא שוה אל השמור דע כי חשבונך אמת
+|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך {{#annot:canna|1068|UDHK}}קנה{{#annotend:UDHK}} אחת וחצי שוה ג' זהובים ד' קנים וחצי כמה שוים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן ר"נ ק"ל והנה נשאר עדין ק"כ הנה יש לך לחבר ק"כ על ק"ל וישוב ר"נ או אם תשליך כל התשיעיות מן ק"ל ישאר עדין ד' ותחברם אל ק"כ והוציא התשיעיות ונשאר ז' ושמרם אח"כ הוצא כל התשיעיות מן ר"נ הנשאר ז' והם שוים אל הז' השמורים
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ד' וחצי על ג' (וחצי) ותחלקם על א' (וחצי) ויצא לך ט' שלמים והוא שווי ד' קנים וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני מגרעת המטבעים
+|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך ב' קנים וחצי שוות ה' מנינים ושליש ז' קנים וחצי כמה שוות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה הפך החבור והוא שתוסיף על המספר העליון על כל דינר גרה שלקחת מהמספר הקטן ה' ועל כל טרי תוסיף א' ועל כל מגן תוסיף ד' ועל כל אוק' תוסיף ה' ותשליך מכל זה התשיעיות ומהמספר הגדול ושמור היוצא אח"כ תשליך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישוה אל השמור
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול ז' וחצי על ה' ושליש ויצא לך מ' שלמים וראוי לחלק על ב' וחצי ויצא לך י"ו שלמים והוא ערך הז' קנים וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה גרענו מב' טרי אוק' וג' מנינים וג' טרי וי"ב גרות וג' דינרין א אוק וד' מנינים וד' טרי וט"ו גרות וה' דינרין ונשארו עדין ד' מנינים וג' טרי וי"ו גרות וד' טרי (דינרין)
+!style="text-align:right;"|החלק השלישי הם ערכי שברים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אותו תקח ה' בעד הגרה שלקחנו מהמספר התחתון עוד תקח א' בעד הטרי ויהיו ו' עוד תקח ד' ויהיו י' השלך מהם ט' נשאר א' עו' קח ה' בעד האוק' ויהיו ו' ותשליך כל התשיעיות מהמספר הגדול ותחבר אליהם הו' וישארו ב' אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישארו ג"כ ב' והם שוים אל הב' השמורים
+|style="text-align:right;"|אם יאמר לך אדם חצי מגן קנה של משי שוה שליש {{#annot:minyan|2643|UP9z}}מנין{{#annotend:UP9z}} ב' שלישיות של קנה כמה ישוו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ומאזני הכפל
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ב' שלישיות שהם המשי על שליש שהוא הממון ויצא ב' תשיעיות ויש לך לחלק אלו הב' תשיעיות על חצי ויצא לך ד' תשיעיות והוא ערך ב' שלישיות קנה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נעשים ככה והוא שתחלק היוצא מן הכפל על א מהמספרים המוכים זה על (זה) וישוב כמו האחר
+|style="text-align:right;"|ואם חצי ליט' של כסף שוה מחצית מגן ב' שלישיות כמה ישוו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת מאזני כפל י"ז על י"ג הנה היוצא הוא רכ"א תחלק רכ"א על י"ג ויצא לך י"ז או חלק רכ"א על י"ז ויצא י"ג
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול מחצית על ב' שלישיות ויצא לך שליש א וראוי לחלק זה השליש על חצי ויצא ב' שלישיות והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותוכל לדעתם באופן אחר והוא שתשליך כל התשיעיו' מי"ג וגם מי"ז והנה נשאר מי"ג ד' ומי"ז נשארו ח' כפול ח' על ד' ויצא ל"ב השלך התשיעיות ונשאר ה' אח"כ שוב אל סך העולה שהוא רכ"א והשלך התשיעיות ונשאר עדין ה' והם שוים אל הה' השמורי'
+|style="text-align:right;"|ואם יאמר בעד רביעית זהוב קניתי ב' שלישיות קנה כמה אקנה בעד שלישית (שמינית) אחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מהשלישיות ומהשביעיות ומכל המספרים אך המאזנים הנהוגים היום על הרוב הם מאזני הט' והז'
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול השמינית על ב' שלישיות ויהיו חלק אחד מי"ב וראוי לחלק זה על רביעית ויצא לך שליש והוא מה שיקנה בעד שמינית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני כפל מהמטבעים
+|style="text-align:right;"|ואם יאמר לך הרוחתי ב' שלישיות מגן בג' רביעיות מחדש עם חצי מגן אחד כמה ארויח בחצי חדש עם שליש מגן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך לקחת על כל גרה שעלה לך מכפל הדינרין ה' ועל כל טרי שיצא מן הגרות א' ועל כל מגן שיצא לך מהטרי ד' ועל כל אוק' שיצא לך מן המגן ה' ולחבר הכל עם הסך העולה ויצטרך שמה שישאר יהיה שוה אל המספרים המוכים זה על זה
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול החצי על שליש ויצא לך שתות אחד גם ראוי לכפול זה על ב' שלישיות ויצא תשיעית ושמרם עוד כפול ג' רביעיות על מחצית א ויצא לך ג' שמיניות והנה עתה יש לך לחלק תשיעית אחד על ג' שמיניות ויצא לך ח' חלקים מכ"ז והוא מה שירויח שליש מגן בחצי חדש ונשלם השער התשיעי
 |-
-|
+|}
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ככר הצמר שוה ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וג' (ב') דינרין י"ב ככרים ישוו ל"א אוק' וה' מנינים וד' טרי בלי גרה ובלי דינר המאזנים נעשים ככה השלך כל התשיעיות מהמספר העליון הנשאר ב' גם תשליך התשיעיות מי"ב הנשאר ג' כפול ג' על ב' ויהיו ו' אח"כ שוב אל היוצא והשלך כל התשיעיות וקח עשרים בעד ד' גרות שיצאו מכפל הדינרין ותקח י"א בעבור יא טרין שעלו מכפל הגרות ותקח מ"ד בעבור יא מנינים שעלו מכפל הטרי ותקח ל"ה בעבור ז' אוק' שעשית מהמנינים והשלך כל התשיעיות מכל זה וגם מהסך העולה ר"ל שווי הי"ב ככרים וישארו ג"כ ו' וזאת היא צורתם
+{|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני חלוק של מטבעים
+== Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots ==
+|style="text-align:right;"|<big>השער העשירי</big> ידבר על הוצאת השרשים
 |-
-|
+|This chapter is divided into three parts:
-|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהיוצא מן החלוק ושמור הנשאר וגם תשליך כל התשיעיות מן המספר המחלק ושמור הנשאר ומה שישאר מהמחלק כפול על מה שנשאר מהיוצא ותוסיף עליהם אם נשאר מאומה שלא נתחלק ושמור היוצא על התשיעיות אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל גרה (אוק') שהשיבות אחורנית ה' ועל כל מגן שהשיבות אחור ד' ועל כל טרי א' ועל כל גרה ה' ותחבר הכל ותשליך התשיעיות ומה שישאר יהיה שוה אל השמור מלמטה
+|style="text-align:right;"|וגם נחלק זה השער לג' חלקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק לז' בני אדם ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ז גרות וב' דינרין ועלה לכל א' וא' ב' מנינים וא' טרי וח' גרות וא' דינר ונשאר עדין דינר א' הנה תשליך כל התשיעיות ומהיוצא הנשאר ג' ושמרם עוד תשליך התשיעיות מהמחלק הנשאר ז' כפול ג' על ז' ויהיו כ"א תשליכם ט"ט נשאר ג' וקח דינר א' שנשאר לחלק ויהיו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל הב' אוק' ששבו אחור י' וקח ד' בעד המגן ששב אחור וקח ב' בעד הב' טרי ששבו אחור וקח ה' בעד הגרה ששבה אחור והשלך כל התשיעיות וישארו ג"כ ד' וזאת היא צורתם
+*The first part is the extraction of roots of integers
+|style="text-align:right;"|החלק הראשון הוא הוצאת שרש השלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אולם מאזני החלוק
+*The second part is the extraction of roots of fractions
+|style="text-align:right;"|והחלק הב' הוצאת שרש השברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שאם תכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר המחלק ואם נשאר מאומה תחלק (תחבר) על מה שיצא מהכפל והעולה צריך שיהיה כמו המספר המחולק
+*The third part is the extraction of roots of integers and fractions
+|style="text-align:right;"|והחלק הג' הוצאת שרש שלמים עם שברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה חלקנו ד' מאות על י"ד והנה יצא לך כ"ח ונשארו עדין ח' לחלקם על י"ד הנה ראוי לכפול כ"ח על י"ד ותחבר על העולה ח' ויצא לך ח' (ד') מאות כמו המספר המחולק או תעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהמספר המחלק שהוא י"ד הנשאר ה' גם תסיר כל התשיעיות מהיוצא שהוא כ"ח הנשאר א' וכפול אותם על ה' השמורים והנם ה' ותחברם אל הח' הנשארים לחלק והנם י"ג תסיר מהם הט' ונשארו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק שהוא ד' מאות ותוציא התשיעיות ונשארו ד' והם שוים אל הד' השמורים וכן תוכל לעשות מהז' ומכל שאר המספרים
+=== Part One: Extracting the Roots of Integers ===
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני חבור השברים
 |-
-|
+|Know that when you wish to extract the root of integers, one should examine first the rank of the number whose root is required.
-|style="text-align:right;"|נעשה כך והוא שתסיר מהמחובר המספר השני וישוב כמו המספר הראשון או תסיר המספר הא' וישוב כמו המספר הב' או אם חברת א או ב או ג' או ד' תסיר א' משלשתן או מארבעתן [וי]שוב כמו חבור שני המספרים הנשארים זולת אותו שחסרת מהמחובר
+|style="text-align:right;"|<big>דע</big> כי כשתרצה להוציא שרש השלמים ראוי להסתכל תחלה באיזה מדרגה הוא המספר אשר אתה מבקש שרשו
+|-
+|Know that all the squares are analogous to the squares that are in the first and the second ranks
+|style="text-align:right;"|ודע כי כל המרובעים הם נמשלים למרובעים אשר הם במדרגה הראשנה והשניה
 |-
-|
+|The squares that are in the first rank are three, which are 1, 4, 9.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו שליש עם רביע ועלה ז' חלקים מי"ב הוצא מהז' חלקים מי"ב שלישית אחד ונשאר עדין רביעי' אחד או הוצא מז' חלקים מי"ב רביעית אחד הנשאר שליש אחד
+|style="text-align:right;"|ואולם המרובעים אשר הם במדרגה הראשנה הם ג' והם אד"ט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון מג' מספרים חברנו מחצית ושליש ורביע ועלה א' (ו)חלק (א') מי"ב הנה אם תסיר מהם החצי שהוא אחד מהג' מספרים ונשאר עדין ז' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור השליש והרביעית או אם תסיר מן העולה שהוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב השליש שהוא א מג' מספרי' הנשאר ט' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והרביעית ואם תחסר הרביעית הנשאר י' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והשליש ותקיש על זה
+:Know that 1 is a compound root and square.
+|style="text-align:right;"|ודע כי א' הוא שרש מורכב ומרובע
 |-
-|
+|The squares that are in the second rank are 16, 25, 36, 49, 64, 81.
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני המגרעת מהשברים
+|style="text-align:right;"|והמרובעים אשר הם במדרגה השניה הם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א
 |-
-|
+|The roots of the first rank are three: 1, 2, 3.
-|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שתחבר מה שנשאר אחר הגרעון עם המספר הקטון וישוב כמו הגדול
+|style="text-align:right;"|ואולם שרשי המעלה הראשנה הם ג' אב"ג
 |-
-|
+|The roots of the second rank are 6:  4, 5, 6, 7, 8, 9.
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן שליש אחד רביעית אחד הנה נשאר עדין חלק מי"ב הנה יש לך לחבר חלק אחד מי"ב עם רביעית אחד וישוב שליש אחד בלי תוספת ומגרעת
+|style="text-align:right;"|ושרשי המעלה השניה הם ו' ד'ה'ו'ז'ח'ט'
 |-
-|
+|Know that all the ranks that succeed the first and second ranks are analogous to the preceding two, i.e. every rank that is even is analogous to the second rank and every odd rank is analogous to the first rank.
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני כפל השברים
+|style="text-align:right;"|ודע כי כל המדרגות הנמשכות אחר הראשנה והשניה הם הנמשלות אחר הב' הקודמות ר"ל כי כל מדרגה שהיא זוג נמשלת למדרגה שניה וכל מדרגה נפרדת נמשלת לראשנה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נעשה באופן זה שתחלק מה שעלה מכפל שני המספרים על א' משניהם וישוב כמו האחר
+*Know that the squares that are in third rank are analogous to the first rank and so are their roots, only that their roots should be raised by one rank, i.e. their roots are tens.
+|style="text-align:right;"|ודע כי המדרגה השלישית המרובעים שבם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
+גם שרשיהם אבל צריך שתעלה שרשיהם מדרגה אחת ר"ל כי שרשיהם יהיו עשרות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רביעית על חומש הנה העולה חלק מכ' תחלק זה החלק מכ' על רביעית ויצא לך חמישית כמו המספר האחר או תחלקהו על חמישית ויצא לך רביעית בלי תוספת
+*The roots and the squares of the fourth rank are analogous to the second rank, but there is no need to raise their roots by one rank, they stay in their rank.
+|style="text-align:right;"|ומספרי המדרגה הרביעית נמשלים השרשים והמרובעים למדרגה השנית<br>
+ואין צורך להעלות שרשיהם מדרגה אחת אלא יעמדו במקומם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וגם אמנם מאזני חלוק השברים נעשה ככה והוא שתכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר החולק וישוב כמו המחולק
+*The roots and the squares of the fifth rank are analogous to the first rank, but the root should be raised to the third rank, so their roots are hundreds.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה החמישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
+אלא שצריך שתעלה השרש עד המדרגה השלישית ושרשיהם יהיו מאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק רביעית על חומש הנה יצא לך אחד ורביע ותכפלם על המספר המחלק שהוא חומש וישוב רביעית כמו המספר המחולק
+*The roots and the squares of the sixth rank are analogous to the second rank, but the analogous root should be raised to the hundreds.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה השישית שרשיהם ומרובעיהם נמשלים למדרגה שניה<br>
+וצריך שתעלה השרש הנמשל אל המאיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני הערכים
+*The squares and the roots of the seventh rank are analogous to the first rank, but the root should be thousands.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה השביעית מרובעהם גם שרשיהם נמשלים למדרגה הראשנה<br>
+אלא צריך שיהיה השרש אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך והוא שתחלק המספר אשר ערכו נעלם על הידוע והעולה תכפול על ממון המספר הידוע וישוב כמו המספר הנעלם
+*The eighth rank is analogous to the second [rank], but the root should be also thousands.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה שמינית נמשלת לשניה<br>
+וצריך שיהיה השרש ג"כ אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה ג' קנים ממשי שוות ד' מנינים ו' קנים ישוו ח' מנינים והנה יש לך לחלקים אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם על הג' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' ותכפלם על ממון הג' קנים שהיה ד' מנינים ויעלה ח' והוא שוה אל הח' השמורים שהוא ערך הקנים
+*The ninth rank is analogous to the first rank, but the root is tens of thousands.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה התשיעית נמשלת למדרגה הא'<br>
+אלא השרש יהיה עשרות אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יש בו שברים עם שלמים תעשה על זה האופן או אם אין בו כי אם שברים לבדם כי הכל הולך בדרך אחד
+*The tenth rank is analogous to the second [rank] and the roots are tens of thousands.
+|style="text-align:right;"|והמדרגה העשירית נמשלת לשניה והשרשים יהיו עשרות אלפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם מאזני שרשי המרובעים
+|style="text-align:right;"|<big>ודע</big> כי כשתרצה להוציא שום שרש צריך לך תחלה להוציא השרש הנמשל כוונתי אם הוא בעשרות אלפים שתוציא תחלה אותם המאות אשר הם השרש ואם נשאר לך איזה דבר צריך שתכפול אותם המאיות על ב' ותחלק הנשאר על אותו הסך ואח"כ אם נשאר לך איזה דבר כי עכ"פ יצטרך שישאר לך באופן שתוכל לקחת מהנשאר מרובע ממה שעלה בחלוק כפל השרש ומה שנשאר עדין אחר לקיחת כפל השרש {{#annot:term|181,1251|EYy0}}תפיל מן ה{{#annotend:EYy0}}סך הגדול רצוני מן המספר אשר בקשת למצא שרשו ומה שנשאר הנה הוא מרובע השרש ומה שיצא לך תחלקהו על ב' זולת מה שעלה לך מכפל השרש והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הוא נעשה ככה והוא שתקח מרובע השרש אשר מצאת במספר המונח ומה שיעלה יצטרך שישוב כמו המספר אשר מצאת שרשו
+*Example: we wish to know the root of 980.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{980}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון רצינו לדעת שרש תתק"פ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון לקחנו שרש מספר קמ"ד שהוא י"ב נש' נקח מרובע י"ב ויעלה קמ"ד אב' אין בו טעות כי שב להיות על משפטו הראשון שהוא קמ"ד
+|style="text-align:right;"|כבר אמרנו כי המדרגה הג' נמשלת למדרגה הא' והשרשים שהם במדרגה הא' הם אב"ג והמרובעים הם אד"ט א"כ הט' מאות הם כמו הט' אחדים וידענו כי שרש ט' הם ג' כי ג' פעמים ג' הם ט' אחדים וידענו כי שרש ט' הוא ג' וכבר אמרנו כי יש לנו להעלות אותם ממעלה א' א"כ נעלה אלו הג' שהם שרש ט' ממדרגה א' ויהיו ל' א"כ ל' הם שרש מט' מאות ונשארו פ' כי מספרינו היה ט' מאות ופ' והנה יש לנו לכפול השרש שהוא ל' ויהיו ס' ויש לנו לחלק פ' על ס' ונתן לו א' ונשארו כ' ונקח מהם מרובע זה הא' שעלה בחלוק ונשארו עדין י"ט וכפול (הסר) אותם מן המספר שהוא תתק"פ ונשארו תתקס"א הנה א"כ שרש תתקס"א הוא ל"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם אם אין לאותו המספר המונח שרש אמיתי כי אם בקרוב ראוי לקחת מרובע אותו השרש אשר מצאת שהיה בקרוב וצריך שיעדיף על המספר המונח א' רצוני על המספר אשר לקחת שרשו
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש המספר בדיוק יותר גדול הנה ראוי לכפול הל"א שהוא השרש ויהיו ס"ב ויש לך לחלק י"ט שנשארו עדין על ס"ב ומה שיעלה יהיה השרש יותר קרוב והוא ל"א וי"ט חלקים מס"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש ה' ומצאנו שהוא ה' (ב') ורביע ונרצה לדעת עם המאזנים אם הוא כן והנה נקח מרובע ב' ורביע שהוא עולה פא תמצא בו ה' פעמים י"ו ונשאר א' וכן לעולם
+*Another example: we wish to know the root of 49[3]2.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{4932}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש מ"ט אלפים וס"ב (ל"ב)
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואולם אמרי ה' פעמים י"ו כי מספר ה' הוא מספרינו המונח וי"ו הוא מרובע הרביעית המיותרים על הב' אשר הוא השרש והבן זה
+|style="text-align:right;"|הנה כבר ידעת כי עשרות אלפים נמשלות למאיות והנה מ' אלפים דומים כמו ד' במעלה הראשנה ושרשו ב' ויהיו ב' מאות א"כ שרש מ' אלף הם ב' מאות ונשארו עדין ט' אלפים ול"ב נכפול ב' מאות ויהיו ד' מאות נחלק ט' אלפים ול"ב על ד' מאות ויעלו עשרים נשארו עדין אלף ול"ב נסיר ממנו מרובע עשרים שהוא ד' מאות וישארו ו' מאות ול"ב ונכפול עשרים ויהיו מ' ושים אותם על ד' מאות ויהיו ת"מ ותחלק ו' מאות ול"ב עליהם ויעלה אחד שלם ונשארו עדין (מאה ו)צ"ב ותסיר מהם מרובע א' ונשאר קצ"א תסירם מל' (ממ"ט) אלפים ול"ב הנשאר מ"ח אלפים וח' מאות ומ"א והוא מרובע הקרוב ממספרינו ושרשו רכ"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת מן השברים מעורבים עם שלמים או מן שברים זולת שברים
+*Another example: we wish to know the root of one hundred and fifty thousand.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{150000}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש מאה וחמישים אלף
+|-
+|
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי ק' אלף היא המדרגה הו' ודומה למדרגה הב' והנה המרובע שעבר הוא ג' והם ג' מאות ונכפול אותו ויהיו ו' מאות ונשארו עדין ס' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ת"ר יעלו פ' ונשארו עדין י"ב אלפים ונחסר מהם מרובע פ' שהוא ו' אלפים וד' מאות נשארו ה' אלפים ות"ר ונכפול פ' ויהיו ק"ס ונחברם אל ו' מאות ויהיו תש"ס נחלק ה' אלפים ות"ר עליהם ויצא לך ז' ונשארו עדין רל"א אחר לקיחת מרובע ז' ותפילם מק"נ אלף הנשאר קמט אלפים ותשס"ט והוא מרובע שעבר ושרשו שפ"ז
+|-
+|Examine and you will find [that it is true].
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
 |-
-|}
+|
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם החלק הראשון מהוצאת שרשי השלמים בלי דיוק אבל אם תרצה לעשות אותו יותר מדוקדק
-{|
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|ולדעת איך הוא הדרך ולאמתו ולהגיע יותר אל הקרוב עדין נבאר זה בחלק הבא מן הוצאת שרשי השברים גם בחלק הג' מן הוצאת שרשי השברים והשלמים
-== Chapter Twelve: Word Problems ==
-!style="width:45%;text-align:right;"|השער הי"ב ידבר על שאלות אשר קצתן הן מהערכין וקצתן מהחבורות ומהן מקשירת הכסף ומהם מחלופים ומהם משרשים וכן כל כיוצא בזה
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Purchase Problems – Unequal Amount</span> ===
+=== Part Two: Extracting the Roots of Fractions ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:cloth|643|tk1C}}1) Question: a man wants to buy a canna from four kinds of clothes, one canna from each types - red, green, black and white, and the total amount is 17 peraḥim.
+|style="text-align:right;"|ודע כי כשתרצה לדעת שרש מאיזה שבר הנה יש לך לבקש מספר שיהיה דומה לאותו השבר
-:He said that the canna of the black [cloth] costs 12 carlini and two parts of 15 more than [the canna of] the white [cloth].
-:The canna of the green [cloth] costs 15 carlini and two sevenths more than the canna of the black [cloth].
-:The canna of the red [cloth] costs 23 carlini and two fifths more than [the canna of] the green [cloth].
-:We wish to know how much is the price of each, so that when all the prices are summed together the sum is 17 peraḥim.
-|style="text-align:right;"|א) שאלה אדם רוצה לקנות קנה אחד מד' מיני בגד א' קנה מכל מין ומין אדום וירוק ושחור ולבן וסך הכל עולה י"ז פרחים<br>
-ואמר כי הקנה מהשחור שוה יותר מהלבן י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו<br>
-והקנה מהירוק שוה יותר מקנה השחור ט"ו קרליני וב' חלקים מז&#x202B;'<br>
-ואמר שהקנה מהאדום שוה יותר מהירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות<br>
-נרצה לדעת כמה ערך כל א' וא' באופן שכשנחבר ערך כלם יעלו י"ז פרחים{{#annotend:tk1C}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=17\\\scriptstyle c=d+12+\frac{2}{15}\\\scriptstyle b=c+15+\frac{2}{7}\\\scriptstyle a=b+23+\frac{2}{5}\end{cases}</math>
+*I.e. if you are told: how much is the root of a quarter?
+:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ר"ל אם אמר לך כמה שרש רביעית
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|יש לך לבקש מספר ד' כי רביעית יצא מד' ויש לך לקחת מרובע אותו המספר ולקחת שרש הרביעית (של המרובע)
 |-
 |
-::The answer: Take 12 and 2 parts of 15, sum them with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths, then add once more 12 and 2 parts of 15, with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths; the result is 9 peraḥim, 44 cavalli and 4-sevenths.
+|style="text-align:right;"|וגם יש לך לקחת שרש המרובע ולחלק שרש (רביעית) המרובע על שרש הרביעית (המרובע) ומה שיעלה בחלוק הוא שרש אותו השבר וכן תעשה תמיד
-|style="text-align:right;"|תשובה תקח י"ב וב' חלקים מט"ו ותחבר אותם עם ט"ו וב' שלישיות שביעיות ועם כ"ג וב' חמישיות עוד שוב לחבר פעם שניה י"ב וב' חלקים מט"ו וט"ו וב' שביעיות וכ"ג וב' חמישיות ויעלה ט' {{#annot:florin|2643|ql0g}}פרחים{{#annotend:ql0g}} ומ"ד {{#annot:cavalli|2643|srq8}}קאוואלי{{#annotend:srq8}} וד' שביעיות
 |-
 |
-::Subtract all this from 17 peraḥim; the remainder is 7 peraḥim, 9 carlini, 75 cavalli and 3-sevenths.
+*Example: we wish to know the root of one quarter.
-|style="text-align:right;"|תסיר כל זה מי"ז פרחים וישארו ז' פרחים וט' קרליני וע"ה קאוואלי וג' שביעיות
+:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{4}}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש רביעית א'
 |-
 |
-::Divide it into 4 parts; the result is 17 carlini, 102 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the white cloth that is the cheapest.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו רביעית וגם אותו המספר יהיה מרובע ר"ל שיהיה לו שרש והנה נקח מספר י"ו שהוא מספר מרובע והולך לרביעיות בלי תוספת ומגרעת וקח הרביעית שהוא ד' וקח שרשו של ד' והוא ב' אח"כ קח שרש י"ו שהוא ד' ג"כ וחלק(הו) על(יו) שרש רביעית י"ו שהוא ד' ושרשו היה ב' ויצא לך חצי רביעית א' והוא שרש רביעית א'
-|style="text-align:right;"|ותחלקם לד' חלקים ויצא לך י"ז קרליני וק"ב קאוואלי וו' שביעיות וזה יהיה ערך הבגד הלבן שהיה יותר גרוע
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle d&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left[{\color{red}{3}}\sdot\left(12+\frac{2}{15}\right)\right]+\left[2\sdot\left(15+\frac{2}{7}\right)\right]+\left(23+\frac{2}{5}\right)\right]}{4}=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left(9\sdot10\right)+\frac{44+\frac{4}{7}}{120}\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+9+\frac{75+\frac{3}{7}}{120}}{4}=1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\\\end{align}}}</math>
+*Another example: we wish to know the root of one third.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{1}{3}}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש שלישית א'
 |-
 |
-::Then, add it to 12 carlini and 2 parts of 15; the result is 31 carlini, 118 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the black [cloth].
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר יהיה לו שלישית ויהיה מרובע וכאלו תכה אותו במספר פ"א שהוא מספר מרובע והולך לשלישיות וקח שלישית פ"א והוא כ"ז אח"כ קח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש אח"כ קח שרש פ"א שהוא ט' וחלק ה' וחומש על ט' ויצא לך כ"ו חלקים ממ"ה והוא שרש שליש בקרוב גדול
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף על זה י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו ויצא לך ל"א קרליני וקי"ח {{#annot:cavalli|2643|jB0D}}קאוולי{{#annotend:jB0D}} ג' ו' שביעיות וזה היה ערך השחור
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(12+\frac{2}{15}\right)=31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}}}</math>
+*Another example: we wish to know the root of 3 fifths.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{3}{5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש ג' חומשים
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר שיהיה לו חומש ותקח ג' חמישיותיו והנה נקח מספר כ"ה כי הוא מספר מרובע ויש לו חומש וקח ג' חמישיותיו והם ט"ו וקח שרשם שהוא ג' וז' שמיניות אח"כ קח שרש כ"ה שהוא ה' וחלק ג' וז' שמיניות על ה' ויצא לך ל"א חלקים ממ' והוא שרש ג' חמישיות
 |-
 |
-::Add 15 cavalli and 2-sevenths to the price of the black [cloth]; the result is 47 carlini, 39 cavalli and one-seventh and this is [the price] of the green [cloth].
+*Another example: we wish to know how much is the root of 5 eighths.
-|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על סך השחור ט"ו קאוואלי וב' שביעיות ויצא לך מ"ז קרליני ול"ט קאוואלי ושביעית אחד וזה יהיה חלק הירוק
+:<math>\scriptstyle\sqrt{\frac{5}{8}}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת כמה שרש ה' שמיניות
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(15+\frac{2}{7}\right)=47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לבקש מספר ששרשו יהיה שמונה והוא ס"ד וקח ה' שמיניותיו והוא מ' וקח שרשם והוא ו' ושליש אח"כ תחלק ו' ושליש על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך י"ט חלקים מכ"ד וזה יהיה שרש ה' שמיניות
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש השלמים בדקדוק יותר גדול יש לך לקחת מעוקב אותו המספר שתרצה לדעת שרשו וקח שרש מעוקבו שהוא כ"ז כי ג פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז וקח שרש כ"ז שהוא ה' וחומש וחלקם על ג' שהוא המספר שתבקש למצא שרשו ויצא לך א' וי"א חלקים מט"ו והוא שרש ג'
 |-
 |
-::Add 23 carlini and 2-fifths to the price of the green [cloth]; the total result is 70 carlini, 87 cavalli and one-seventh. We define it as is the price of the red [cloth].
+*Another example: we wish to know the root of five.
-|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על סך הירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות ויעלה הכל ע' קרליני ופ"ז קואלי ושביעית וזה נשים ערך האדום
+:<math>\scriptstyle\sqrt{5}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש חמשה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}\right)+\left(23+\frac{2}{5}\right)=70+\frac{87+\frac{1}{7}}{120}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח מעוקבו והוא שתכפול ה' פעמי' ה' והם כ"ה ותכפול כ"ה פעמים ה' והם קכ"ה וקח שרש קכ"ה שהוא י"א וב' חלקים מי"א ותחלקם על ה' שהוא המספר שתרצה לדעת שרשו ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ"ה (מנ"ה) ותקיש על זה
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת השרש באופן אחר יש לך לקחת שרש המרובע שעבר ולכפול השרש ולחלק מה שנשאר (על מרובע השרש) על כפל השרש (והיוצא חברו על הנשאר) והעולה הוא הנשאל
 |-
 |
-::When we sum up all, the result is 17 peraḥim no more and no less.
+*Another example: we wish to know the root of six.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c+d=17}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{6}</math>
-|style="text-align:right;"|וכשנחבר הכל יעלה י"ז פרחים בלי פחות ויתר
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ששה
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת שרש המרובע שעבר שהוא ד' ושרשו ב' ויש לך לכפול השרש ויהיו ד' ותחלק מה שנשאר שהוא ב' על ד' ויצא לך חצי אחד ועם הב' שיש לנו הם ב' וחצי והוא שרש חמשה בקרוב
-=== <span style=color:Green>Partnership Problems - for different times</span> ===
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תקח מרובע ב' וחצי ויעלה ו' ורביע הנה לא מצאת כי אם רביעית נוסף על הו' ואם תרצה לדקדק החשבון יותר הנה יש לך לכפול ב' וחצי שיצא לנו ויהיו ה' ויש לך לחלק הרביעית הנוסף על ה' ויצא לך חלק א' מעשרים ותפיל זה מן ב' וחצי ונשארו ב' וט' חלקים מעשרים והוא שרש ו'
 |-
 |
-:{{#annot:two partners|662|7z4d}}2) Question: two men formed a partnership.
+*Another example: we wish to know the root of 8.
-:One contributed 100 minyanim, stayed in the partnership for 6 months, and earned 40 minyanim.
+:<math>\scriptstyle\sqrt{8}</math>
-:The other contributed unknown amount of money, stayed in the partnership for 7 months, and earned 90 minyanim.
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ח'
-:How much was his money?
-|style="text-align:right;"|ב) שאלה ב' אנשים עושים שותפות<br>
-הא' שם ק' מנינים ועמדו בשותפות ו' חדשים והרויחו מ' מנינים<br>
-והאחר שם ממון נעלם ועמדו בשותפות ז' חדשים והרויחו צ' מנינים<br>
-כמה היה ממונו{{#annotend:7z4d}}
 |-
 |
-::Answer: you should multiply the amount of money that the second earned, which is 90, by 10; the result is 9 thousand.
+|style="text-align:right;"|הנה בעבור כי הוא יותר קרוב אל ט' ממה שהוא קרוב אל ד' שהוא מרובע שעבר נחשוב כאלו מספרינו היה ט' ונקח שרשו והוא ט' (ג') וכפול אותו ויהיו ו' והוא מצד כי חשבונינו לא היה כי אם ח' המרחק אשר בין ח' לט' הוא א' ונחלק זה הא' על כפל השרש שהוא ו' ויצא לך שתות אחד וזה השתות יש לנו להפילו מן הג' ונשארו ב' וה' שישיות והוא שרש ח' בקרוב ואין צריך לדקדקו יותר
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה ראוי לך לכפול הממון שעשה השני שהוא צ' ולכפול על ק' ויעלה ט' אלפים
 |-
 |
-::Divide it by the profit of the first, which is 40; the result is 225.
+|style="text-align:right;"|אכן אם תרצה לקרבו יותר אל האמת הנה אתה תקח מרובע(ו) ב' וה' שישיות ותמצא כי הוא עולה ח' שלמים ותמצא בו מתוספת חלק מל"ו ותחלק זה החלק מל"ו על כפל ב' וה' שישיות שהיה שרשינו הראשון שיהיו ה' שלמים וב' שלישיות ומה שיעלה שהוא ג' חלקים מו' מאות וי"ג (י"ב) תפיל מן ב' וה' שישיות והנשאר הוא השרש היותר קרוב אל האמת
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ריוח הראשון שהוא מ' ויעלה רכ"ה
 |-
 |
-::So, the amount of money of the second for 6 months was 225 and he stayed in the partnership for 7 months.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה למצא השרש באופן אחר
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot100}{40}=\frac{9000}{40}=225}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ השני היה ממונו רכ"ה לערך ו' חדשים ועמדו בשותפות ז' חדשים
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: We say: if 7 is equal to 225, how much is 6 equal to?
+*Example: we wish to know the root of 7.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:225=6:x}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{7}</math>
-|style="text-align:right;"|ונאמר אם ז' שוים רכ"ה ו' כמה שוים
+|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש ז'
 |-
 |
-::The result is 192 and 6-sevenths and it is the amount of money of the second.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אלו הז' על איזה מספר יהיה לו שרש והנה נכפול אותו עם ד' כי ב' הם שרש ד' ויהיו כ"ח נקח שרש כ"ח שהוא ה' וג' עשרות וחלקם על שרש ד' שהם ב' ויצא לך ב' שלמים וי"ג חלקים מכ'
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=192+\frac{6}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך קצ"ב וו' שביעיות והוא ממון השני
 |-
 |
+*Another example: we wish to know the root of 12.
-=== <span style=color:Green>Interest and Discount Problems - Find the time</span> ===
+:<math>\scriptstyle\sqrt{12}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש י"ב
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אותם עם מספר שיש לו שרש והנה נכפול אותו עם ט' כי ט' הוא מספר מרובע כי שרשו ג' ויעלו ק"ח וקח שרשם שהם י' וב' חמישיות וחלקם על שרש ט' שהם ג' ויצא לך שלשה וז' חלקים מט"ו וזה יספיק לך בידיעת הוצאת שרשי השלמים גם שרשי השברים
 |-
 |
-:{{#annot:months|660|aYE8}}3) Question: a man earned 5 pešuṭim for 4 minyanim in 3 months. In how many months would 6 minyanim yield 7 [pešuṭim]?
+=== Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers ===
-|style="text-align:right;"|ג) שאלה אדם הרויח עם ד' מנינים בג' חדשים ה' פשוטים<br>
+|style="text-align:right;"|החלק הג' הוא להוציא שרשי השברים עם השלמים
-ו' מנינים בכמה חדשים ירויחו ז&#x202B;'{{#annotend:aYE8}}
 |-
 |
-::Answer: multiply 3 by 4; it is 12.
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה להוציא שרש שום {{#annot:term|20,1268|9JzT}}מספר שלם{{#annotend:9JzT}} ושבר יש לך לבקש מספר מספר שיהיה לו אותו חלק אשר הוא בשבר אשר אתה מבקש שרשו ותכפול אותו על המספר שמצאת נגד השלמים שלך גם תקח חצי המספר שמצאת אם השבר הוא חצי או שלישיתו אם השבר הוא שליש סוף דבר תקח מן המספר חלק השבר ותוסיף הכל וקח שרש העולה ושמרהו אח"כ קח שרש המספר שמצאת ותחלק השרש מהמספר הגדול על שרש המספר הקטן ומה שיעלה הוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|התשובה כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-::Then, divide 12 by 6; the result is two.
+*Example: we wish to know the root of 3 and a half.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק י"ב על ו' ויצאו שנים
+:<math>\scriptstyle\sqrt{3+\frac{1}{2}}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש ג' וחצי
 |-
 |
-::Hence, 6 minyanim yield 5 [pešuṭim] in 2 months.
+|style="text-align:right;"|הנה מאחר שיש במספרינו חצי יש לך למצא איזה מספר מרובע אשר תוכל לחלקו על ב' ונכפול אותו על ג' מצד כי יש לנו ג' שלמים יעלו י"ב כי במספרינו יש בו חצי נקח חצי ד' שהם ב' ונוסיפם על י"ב ויהיו י"ד ונקח שרשם ויהיו ג' וג' רביעיות ותחלקם על שרש מספרינו שהוא ד' שהשרש הוא ב' ויעלה א' שלם וז' שמיניות והוא המבוקש
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{6}=\frac{12}{6}=2}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ ו' מנינים בב' חדשים הרויחו ה&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Our profit was 7, so we do as follows: if 5 minyanim are equal to 2 months, how many months are 7 minyanim equal to?
+*Another example: we wish to know the root of 4 and a fifth.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:2=7:x}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{4+\frac{1}{5}}</math>
-|style="text-align:right;"|והריוח שלנו היה ז' ולכן נעשה כך ונאמר אם ה' מנינים שוים ב' חדשים ז' מניני' כמה חדשים שוים
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ד' וחומש
 |-
 |
-::Multiply two by 7; the result is 14.
+|style="text-align:right;"|תבקש מספר מרובע שיהיה לו חומש ותמצא כ"ה ותכפול ( ) אותו על ד' מצד כי יש לנו ד' שלמים כי עלו ק' וקח חומש כ"ה שהוא ה' ותוסיפם על ק' ויהיו ק"ה וקח שרשם ויצא לך י' וחומש וחלקם על שרש כ"ה שהוא ה' ויצא לך ב' שלמים וחלק א' מכ"ה והוא שרש ד' וחומש
-|style="text-align:right;"|כפול שנים על ז' ויצאו י"ד
 |-
 |
-::Divide 14 by 5; the result is 2 months and 4-fifths of a month.
+*Another way: we wish to know the root of 6 and a fifth.
-|style="text-align:right;"|ותחלק י"ד על ה' ויצא ב' חדשים וד' חומשי חדש
+:<math>\scriptstyle\sqrt{6+\frac{1}{5}}</math>
+|style="text-align:right;"|דרך אחרת נרצה לדעת שרש ו' וחומש
 |-
 |
-::So, they yield 7 minyanim in 2 months and 4-fifths of a month.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת שרש השבר ר"ל מהחומש והנה ידענו כי הוא ב' ורביע בקרוב וא"כ יש לך לעשות מהו' שלמי' חומשים ויהיו ל"א עם החומש וקח שרשם שהוא ה' וג' חומשים בקרוב וחלקנו על שרשינו הראשון שהוא ב ורביע ויצא לך ב' שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה (ממ"ה)
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot7}{5}=\frac{14}{5}=2+\frac{4}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ בב' חדשים וד' חומשי חדש ירויחו ז' מנינים
 |-
 |
+*Another example: we wish to know the root of 9 and 3 quarters and a quarter of a quarter.
-=== <span style=color:Green>Find a Quantity</span> ===
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9+\frac{1}{4}+\left(\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{4}\right)}</math>
+|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת שרש ט' וג' רביעיות ורביעית רביעית
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת רביעית הרביעית והוא יהיה חלק מי"ו וקח שרש י"ו והוא ד' ושמרם אח"כ חבר ג' רביעיות עם רביעית רביעית ויהיו י"ג חלקים מי"ו אח"כ כפול הט' שלמים על י"ו ויעלו קמ"ד ותחבר אליהם י"ג שהם חלקי הג' רביעיות גם חלק רביעית הרביעית ויעלה הכל (מ"ג) קנ"ז וקח שרשם (וקח שרשם) ויצא לך י"ב וי"ג חלקים מכ"ד וחלקם על השרש השמור שהוא ד' ויצא לך ג' שלמים וי"ג חלקים מצ"ו והוא שרש י"ו וג' רביעיות ורביעית הרביעית
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
+|style="text-align:right;"|ובכאן נשלם השער העשירי וזה יספיק לך בהוצאת השרשים
+|-
+|}
+{|
+|-
 |
+== Chapter Eleven: Checking Methods ==
+|style="text-align:right;"|השער הי"א ידבר על המאזנים הן מהכפל הן מהחלוק וכן לשאר המלאכות הן בשלמים הן בשברים הן בשברים ושלמים
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|v6Ou}}4) Question: we summed the third and the quarter of an unknown amount of money and the result is 24.
+|style="text-align:right;"|ותחלה נדבר על מאזני חבור השלמים
-:How much is the amount of money?
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=24</math>
-|style="text-align:right;"|ד) שאלה מסך ממון בלתי נודע קבצנו השליש והרובע ועלה כ"ד<br>
-כמה הממון{{#annotend:v6Ou}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: Answer: take the common denominator, which is 12, from the multiplication of 3 by 4.
+|style="text-align:right;"|דע כי כשתרצה לדעת חבור השלמים אם הוא עשו(י) כהוגן וכשורה תמנה כל {{#annot:term|787,1220|eqSv}}המספרים המחוברים{{#annotend:eqSv}} ותוציאם ט"ט אח"כ שוב אל {{#annot:term|388,1220|Y7WR}}המחובר{{#annotend:Y7WR}} ותוציאם ט"ט ואם הנשאר על התשיעיות הוא שוה למה שנשאר אחר {{#annot:term|456,1462|nLMb}}הוצאת התשיעיות{{#annotend:nLMb}} מן כל המספרים המחוברים דע כי חשבונך הוא אמת וכן תוכל לעשות אם תוציא כל הש(י)לישיות
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה תקח המורה שהוא י"ב מכפל ג' על ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, take its third and quarter; they are 7.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו קי"א על רכ"ב ועם של"ג הנה העולה הוא תרצו (תרס"ו) הוציא כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים ותמצא כי הולך מצומצם כוונתי כי לא ישאר מאומה ולכן שים גלגל אח"כ שוב אל המחובר והוצא התשיעיות גם הוא הולך בצימצום ולכן שים גלגל והוא שוה אל הגלגל השמור
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח מהם השליש והרובע והם ז&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: As the ratio of 7 to 12, so is the ratio of 24 to our unknown number.
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות אם תוציא השלישיות וכן מן השביעיות
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:12=24:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ ערך אלו הז' אל י"ב כערך כ"ד אל מספרינו הנעלם
 |-
 |
-::We multiply 12 by 24; the result is 288.
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לבחון אותו עם כל מספר שתרצה ואין צורך להאריך
-|style="text-align:right;"|לכן נכפול י"ב על כ"ד ויעלה רפ"ח
 |-
 |
-::We divide it by 7; you get 41 and a seventh and this is the amount of the money.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני חבור המטבעים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot24}{7}=\frac{288}{7}=41+\frac{1}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחלקם על ז' ויצא לך מ"א ושביעית והוא סכום כל הממון
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it by taking a third of 41 and a seventh; it is 13 integers and 5-sevenths.
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי למנות כל התשיעיות מכל המספרים המחוברים ולשמור היוצא אח"כ שוב אל היוצא ובעד כל גרה שעשית מחבור הדינרין תקח ה' כי הו' דינרין הוא גרה א' א"כ מה שהוא למטה (א' ש"מ שהוא) גרה א' הוא למעלה ו' שהם ו' דינרין לכן קח ה' על כל גרה ועל כל טרי שעלה לך מחבור הגרות קח (א) כי הכ' גרות הם טרי א' א"כ היה ראוי לקחת י"ט ולכן נעזוב י"ח שהולך לתשיעיות וישאר א' ועל כל מגן שעשית מן הטרי קח ד' כי הה' טרי של מעלה שוה א' למטה לכן נקח ד' ג"כ תקח על כל {{#annot:՚oqya|1068|s01p}}אוק'{{#annotend:s01p}} שעלה לך מחבור המנינים ה' כי הו' מנינים הם אוק' והשליך כל התשיעיות ויהיה שוה אל השמור
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שליש מ"א ושביעית ויהיו י"ג שלמים וה' שביעיות
 |-
 |
-::Take also a quarter of 41 and a seventh; you get 10 and 2-sevenths.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וב' דינרין עם ג' אוק' וד' מנינים וג' טרי וי"ט גרות וג' דינרין עם ד' אוק' וא מגן וד' טרי וי"ז גרות וד' דינרין ועלה המחובר עשרה אוק' וד' מנינים וג' טרי וט"ו גרות וג' דינרין השליך כל התשיעיות מהג' מספרים המחוברים הנשאר א' אח"כ שוב אל העולה ותקח ה' בעד גרה אחת שעשינו מחבור הדינרין ותקח בעד ב' טרי שעלה לך מחבור הגרות ב' ויהיו ז' גם תקח ח' בעד הב' מנינים שעלו לך מחבור הטרי ויהיו ט"ו השלך מהם ט' וישארו ו' עוד קח ה' בעד אוק' אחת שעלה לך מחבור המנינים ועם הו' שיש לך יהיו י"א השלך מהם ט' נשארו ב' וחברם עם העולה והשלך כל התשיעיות וישאר עדין א' והוא שוה אל הא' השמור
-|style="text-align:right;"|עוד קח הרביעית ממ"א ושביעית ויצא לך י' וב' שביעיות
 |-
 |
-::Sum them with the 13; they are 24 no more and no less.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני המגרעת
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל י"ג ויהיו כ"ד בלי תוספת ומגרעת
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]=\left(13+\frac{5}{7}\right)+\left(10+\frac{2}{7}\right)=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר מה שהוצאת מן המספר הגדול עם מה שנשאר עדין וישוב כמו המספר הגדול או אם תשליך כל התשיעיות ממה שהוצאת ותחבר עם (הנשאר כל התשיעיות) מה שנשאר מן המספר אחר הגרעון ותוציא גם מזה התשיעיות והנשאר שמור אח"כ שוב אל המספר הגדול והשלך כל התשיעיות ואם מה שנשאר הוא שוה אל השמור דע כי חשבונך אמת
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|vmoH}}5) Question: we took the third and the fifth of an amount of money plus a third of what remains and they are 12.<br>
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן ר"נ ק"ל והנה נשאר עדין ק"כ הנה יש לך לחבר ק"כ על ק"ל וישוב ר"נ או אם תשליך כל התשיעיות מן ק"ל ישאר עדין ד' ותחברם אל ק"כ והוציא התשיעיות ונשאר ז' ושמרם אח"כ הוצא כל התשיעיות מן ר"נ הנשאר ז' והם שוים אל הז' השמורים
-:How much is the total amount of money?
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X\right)\right]=12</math>
-|style="text-align:right;"|ה) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו וחמישיתו ושליש מה שנשאר והיו י"ב<br>
-כמה היה כל הממון{{#annotend:vmoH}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: take 1 as an example and extract its third and fifth; they are 8 parts and 15.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני מגרעת המטבעים
-|style="text-align:right;"|התשובה תקח המשל על א' ותוציא ממנו השליש והחומש ויהיו ח' חלקים מט"ו
 |-
 |
-::Take the remaining third, i.e. the third of 8 parts of 15 and sum them; the total sum is 62 parts of 90.
+|style="text-align:right;"|תעשה הפך החבור והוא שתוסיף על המספר העליון על כל דינר גרה שלקחת מהמספר הקטן ה' ועל כל טרי תוסיף א' ועל כל מגן תוסיף ד' ועל כל אוק' תוסיף ה' ותשליך מכל זה התשיעיות ומהמספר הגדול ושמור היוצא אח"כ תשליך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישוה אל השמור
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{8}{15}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{7}{15}\right)=\frac{62}{90}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד קח שליש הנשאר רצוני שליש הח' חלקים מט"ו ותחברם ויעלה הכל ס"ב חלקים מצ&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, you should multiply 12 by 62 and divide the product by 90; you get 17 integers and 13 parts of 31 and this is the whole amount of money.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה גרענו מב' טרי אוק' וג' מנינים וג' טרי וי"ב גרות וג' דינרין א אוק וד' מנינים וד' טרי וט"ו גרות וה' דינרין ונשארו עדין ד' מנינים וג' טרי וי"ו גרות וד' טרי (דינרין)
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot{\color{red}{90}}}{{\color{red}{62}}}=17+\frac{13}{31}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ יש לך לכפול י"ב על ס"ב ותחלק העולה על צ' ויצא לך י"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א וככה היה כל הממון
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of this number; it is 5 integers and 25 parts of 31.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אותו תקח ה' בעד הגרה שלקחנו מהמספר התחתון עוד תקח א' בעד הטרי ויהיו ו' עוד תקח ד' ויהיו י' השלך מהם ט' נשאר א' עו' קח ה' בעד האוק' ויהיו ו' ותשליך כל התשיעיות מהמספר הגדול ותחבר אליהם הו' וישארו ב' אח"כ השלך כל התשיעיות מהמספר הקטן ומהנשאר וישארו ג"כ ב' והם שוים אל הב' השמורים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=5+\frac{25}{31}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח שליש זה המספר ויהיו ה' שלמים וכ"ה חלקים מל"א
 |-
 |
-::Take also a fifth of the number; it is 3 integers and 15 parts of 31.
+|style="text-align:right;"|ומאזני הכפל
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=3+\frac{15}{31}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תקח חומש המספר ויהיו ג' שלמים וט"ו חלקים מל"א
 |-
 |
-::Sum them together; the result is 9 integers and 9 parts of 31.
+|style="text-align:right;"|נעשים ככה והוא שתחלק היוצא מן הכפל על א מהמספרים המוכים זה על (זה) וישוב כמו האחר
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{25}{31}\right)+\left(3+\frac{15}{31}\right)=9+\frac{9}{31}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אחר כן תחברם יחד ויעלו ט' שלמים וט' חלקים מל"א
 |-
 |
-::Subtract this number from 17 integers and 13 parts of 31; the remainder is 8 integers and 4 parts of 31.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת מאזני כפל י"ז על י"ג הנה היוצא הוא רכ"א תחלק רכ"א על י"ג ויצא לך י"ז או חלק רכ"א על י"ז ויצא י"ג
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{13}{31}\right)-\left(9+\frac{9}{31}\right)=8+\frac{4}{31}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוציא זה המספר מי"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א הנשאר ח' שלמים וד' חלקים מל"א
 |-
 |
-::Divide it by 3 and add the quotient to 9 integers and 9 parts of 31; the total result is 12.
+|style="text-align:right;"|ותוכל לדעתם באופן אחר והוא שתשליך כל התשיעיו' מי"ג וגם מי"ז והנה נשאר מי"ג ד' ומי"ז נשארו ח' כפול ח' על ד' ויצא ל"ב השלך התשיעיות ונשאר ה' אח"כ שוב אל סך העולה שהוא רכ"א והשלך התשיעיות ונשאר עדין ה' והם שוים אל הה' השמורי'
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{9}{31}\right)+\frac{8+\frac{4}{31}}{3}=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ג' ותחבר היוצא עם ט' שלמים וט' חלקים מל"א ויעלה בין הכל י"ב
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>First from Last - Money</span> ====
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מהשלישיות ומהשביעיות ומכל המספרים אך המאזנים הנהוגים היום על הרוב הם מאזני הט' והז'
+|-
 |
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מאזני כפל מהמטבעים
 |-
 |
-:{{#annot:money|651|gP55}}6) Question: if a man says to you: we took a third and a quarter from an amount of money and 14 still remain, how much was the total amount of money?<br>
+|style="text-align:right;"|יש לך לקחת על כל גרה שעלה לך מכפל הדינרין ה' ועל כל טרי שיצא מן הגרות א' ועל כל מגן שיצא לך מהטרי ד' ועל כל אוק' שיצא לך מן המגן ה' ולחבר הכל עם הסך העולה ויצטרך שמה שישאר יהיה שוה אל המספרים המוכים זה על זה
-:<math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=14</math>
-|style="text-align:right;"|ו) שאלה אם יאמ' לך אדם מסך ממון לקחנו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עדין י"ד כמה היה כל הממון{{#annotend:gP55}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: one should multiply 3 by 4; it is 12.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ככר הצמר שוה ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ח גרות וג' (ב') דינרין י"ב ככרים ישוו ל"א אוק' וה' מנינים וד' טרי בלי גרה ובלי דינר המאזנים נעשים ככה השלך כל התשיעיות מהמספר העליון הנשאר ב' גם תשליך התשיעיות מי"ב הנשאר ג' כפול ג' על ב' ויהיו ו' אח"כ שוב אל היוצא והשלך כל התשיעיות וקח עשרים בעד ד' גרות שיצאו מכפל הדינרין ותקח י"א בעבור יא טרין שעלו מכפל הגרות ותקח מ"ד בעבור יא מנינים שעלו מכפל הטרי ותקח ל"ה בעבור ז' אוק' שעשית מהמנינים והשלך כל התשיעיות מכל זה וגם מהסך העולה ר"ל שווי הי"ב {{#annot:kikkar|1068|VO4G}}ככרים{{#annotend:VO4G}} וישארו ג"כ ו' וזאת היא צורתם
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לכפול ג' על ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-::Then, subtract the third and the quarter from it; 5 still remains.
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני חלוק של מטבעים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מהם השליש והרביעית ונשאר עדין ה&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: The ratio of this 5 to 12 is as the ratio of 14 to the whole amount of money.
+|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהיוצא מן החלוק ושמור הנשאר וגם תשליך כל התשיעיות מן המספר המחלק ושמור הנשאר ומה שישאר מהמחלק כפול על מה שנשאר מהיוצא ותוסיף עליהם אם נשאר מאומה שלא נתחלק ושמור היוצא על התשיעיות אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל גרה (אוק') שהשיבות אחורנית ה' ועל כל מגן שהשיבות אחור ד' ועל כל טרי א' ועל כל גרה ה' ותחבר הכל ותשליך התשיעיות ומה שישאר יהיה שוה אל השמור מלמטה
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:12=14:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה אלו הה' ערכם אל י"ב כערך י"ד אל כל הממון
 |-
 |
-::We relate as follows: if 5 is equal to 12, how much is 14 equal to?
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק לז' בני אדם ב' אוק' וג' מנינים וד' טרי וי"ז גרות וב' דינרין ועלה לכל א' וא' ב' מנינים וא' טרי וח' גרות וא' דינר ונשאר עדין דינר א' הנה תשליך כל התשיעיות ומהיוצא הנשאר ג' ושמרם עוד תשליך התשיעיות מהמחלק הנשאר ז' כפול ג' על ז' ויהיו כ"א תשליכם ט"ט נשאר ג' וקח דינר א' שנשאר לחלק ויהיו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק והשלך כל התשיעיות ותקח בעד כל הב' אוק' ששבו אחור י' וקח ד' בעד המגן ששב אחור וקח ב' בעד הב' טרי ששבו אחור וקח ה' בעד הגרה ששבה אחור והשלך כל התשיעיות וישארו ג"כ ד' וזאת היא צורתם
-|style="text-align:right;"|ונעשה הערך כך אם ה' שוים י"ב י"ד כמה שוים
 |-
 |
-::You get 33 and three-fifths.
+|style="text-align:right;"|אולם מאזני החלוק
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot14}{5}=33+\frac{3}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ל"ג ושלש חומשים
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of 33 and three-fifths; it is 11 and a fifth.
+|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שאם תכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר המחלק ואם נשאר מאומה תחלק (תחבר) על מה שיצא מהכפל והעולה צריך שיהיה כמו המספר המחולק
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=11+\frac{1}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח שליש ל"ג ושלש חומשים והנם י"א וחומש אחד
 |-
 |
-::Then, take a quarter of 33 and 3-fifths; it is 8 and 2-fifths.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה חלקנו ד' מאות על י"ד והנה יצא לך כ"ח ונשארו עדין ח' לחלקם על י"ד הנה ראוי לכפול כ"ח על י"ד ותחבר על העולה ח' ויצא לך ח' (ד') מאות כמו המספר המחולק או תעשה ככה והוא שתשליך כל התשיעיות מהמספר המחלק שהוא י"ד הנשאר ה' גם תסיר כל התשיעיות מהיוצא שהוא כ"ח הנשאר א' וכפול אותם על ה' השמורים והנם ה' ותחברם אל הח' הנשארים לחלק והנם י"ג תסיר מהם הט' ונשארו ד' ושמרם אח"כ שוב אל המספר המחולק שהוא ד' מאות ותוציא התשיעיות ונשארו ד' והם שוים אל הד' השמורים וכן תוכל לעשות מהז' ומכל שאר המספרים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=8+\frac{2}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ נקח רביעית ל"ג וג' חומשים ויהיו ח' וב' חומשים
 |-
 |
-::Add it to 11 and a fifth; the sum is 19 and three-fifths.
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני חבור השברים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right)+\left(8+\frac{2}{5}\right)=19+\frac{3}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|חברם אל י"א וחומש ויהיו י"ט ושלשה חומשים
 |-
 |
-::Subtract it from 33 and 3-fifths; 14 remains no more and no less.
+|style="text-align:right;"|נעשה כך והוא שתסיר מהמחובר המספר השני וישוב כמו המספר הראשון או תסיר המספר הא' וישוב כמו המספר הב' או אם חברת א או ב או ג' או ד' תסיר א' משלשתן או מארבעתן [וי]שוב כמו חבור שני המספרים הנשארים זולת אותו שחסרת מהמחובר
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{3}{5}\right)-\left(19+\frac{3}{5}\right)=14}}</math>
-|style="text-align:right;"|הפילם מהל"ג ושלש חומשים וישארו י"ד בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |
+|style="text-align:right;"|דמיון זה חברנו שליש עם רביע ועלה ז' חלקים מי"ב הוצא מהז' חלקים מי"ב שלישית אחד ונשאר עדין רביעי' אחד או הוצא מז' חלקים מי"ב רביעית אחד הנשאר שליש אחד
-==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
-|
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|iZfe}}7) Question: we added to an amount of money its quarter and its fifth and they are 12.
+|style="text-align:right;"|דמיון מג' מספרים חברנו מחצית ושליש ורביע ועלה א' (ו)חלק (א') מי"ב הנה אם תסיר מהם החצי שהוא אחד מהג' מספרים ונשאר עדין ז' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור השליש והרביעית או אם תסיר מן העולה שהוא אחד שלם וחלק אחד מי"ב השליש שהוא א מג' מספרי' הנשאר ט' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והרביעית ואם תחסר הרביעית הנשאר י' חלקים מי"ב שהוא כמו חבור החצי והשליש ותקיש על זה
-:How much was the amount of money in the beginning?
-:<math>\scriptstyle X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{4}X=12</math>
-|style="text-align:right;"|ז) שאלה על סך ממון הוספנו רביעיתו וחמישיתו והיו י"ב<br>
-כמה היה הממון בתחלה{{#annotend:iZfe}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: seek the common denominator, which is 20, from the multiplication of [five by four].
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני המגרעת מהשברים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot4=20}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה תבקש המורה שהוא כף שהוא מכפל חמישיתו על רביעיתו
 |-
 |
-::Take its quarter, which is 5, and its fifth, which is 4, and add them to the denominator; it is 29.
+|style="text-align:right;"|נעשה ככה והוא שתחבר מה שנשאר אחר הגרעון עם המספר הקטון וישוב כמו הגדול
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)=20+4+5=29}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח רביעיתו שהוא ה' וחמישיתו שהוא ד' ותוסיפם על המורה ויהיו כ"ט
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, take the denominator, which is 20, multiply it by 12 and divide the product by 29; you get 8 and 8 parts and so was the amount of money originally.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לגרוע מן שליש אחד רביעית אחד הנה נשאר עדין חלק מי"ב הנה יש לך לחבר חלק אחד מי"ב עם רביעית אחד וישוב שליש אחד בלי תוספת ומגרעת
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot12}{29}=8+\frac{8}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח המורה שהוא כ' וכפול אותו על י"ב והעולה חלק על כ"ט ויצא לך ח' וח' חלקי' וכך היה הממון בתחלה
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a quarter of the amount of money, which is 8 [and 8 parts]; the result is 2 integers and 2 parts of 29.
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני כפל השברים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=2+\frac{2}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח רביעית הממון שהם ח' שלמים ויעלו ב' שלמים גם ב' חלקים מכ"ט
 |-
 |
-::Take a fifth of the amount of money; the result is one integer and 3 remain.
+|style="text-align:right;"|נעשה באופן זה שתחלק מה שעלה מכפל שני המספרים על א' משניהם וישוב כמו האחר
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש הממון ויעלה א' שלם וישארו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::We convert each of them into 29 parts and add the 8 parts to them; they are 95.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לכפול רביעית על חומש הנה העולה חלק מכ' תחלק זה החלק מכ' על רביעית ויצא לך חמישית כמו המספר האחר או תחלקהו על חמישית ויצא לך רביעית בלי תוספת
-|style="text-align:right;"|נעשה מכל אחד מהם כ"ט חלקים וחבר אליהם הח' חלקים ויהיו צ"ה
 |-
 |
-::Divide them by 5; it is 19.
+|style="text-align:right;"|וגם אמנם מאזני חלוק השברים נעשה ככה והוא שתכפול מה שיצא מן החלוקה על המספר החולק וישוב כמו המחולק
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{\frac{\left(3\sdot29\right)+8}{5}}{29}=1+\frac{\frac{95}{5}}{29}=1+\frac{19}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלקם על ה' ויהיו י"ט
 |-
 |
-::Sum up all the numbers; they are 12.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לחלק רביעית על חומש הנה יצא לך אחד ורביע ותכפלם על המספר המחלק שהוא חומש וישוב רביעית כמו המספר המחולק
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)\right]=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר כל המספרים ויהיו י"ב
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|9Nti}}8) Question: if a man says to you: you took a fifth and a sixth of an amount of money plus 4 pešuṭim and the result is 24, how much is the total amount of money?
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני הערכים
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+4=24</math>
-|style="text-align:right;"|ח) שאלה אם יאמר לך אדם ממון לקחת חמישיתו ושישיתו וד' פשוטים ועלה כ"ד כמה הממון{{#annotend:9Nti}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: multiply 5 by 6; it is 30.
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך והוא שתחלק המספר אשר ערכו נעלם על הידוע והעולה תכפול על ממון המספר הידוע וישוב כמו המספר הנעלם
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה כפול ה' על ו' ויהיו ל&#x202B;'
 |-
 |
-::Take its fifth and its sixth and sum them up; it is 11.
+|style="text-align:right;"|דמיון זה ג' קנים ממשי שוות ד' מנינים ו' קנים ישוו ח' מנינים והנה יש לך לחלקים אשר הם הקנים אשר ערכם נעלם על הג' אשר ערכם ידוע ויצא לך ב' ותכפלם על ממון הג' קנים שהיה ד' מנינים ויעלה ח' והוא שוה אל הח' השמורים שהוא ערך הקנים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=11}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוציא מהם החומש והשישית וחברם ויהיו י"א
 |-
 |
-::Then, subtract 4, which is the addition, from 24; twenty remains.
+|style="text-align:right;"|ואם יש בו שברים עם שלמים תעשה על זה האופן או אם אין בו כי אם שברים לבדם כי הכל הולך בדרך אחד
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-4=20}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מכ"ד הד' אשר הם מתוספת ונשאר עשרים
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: the ratio of 11 to 30 is the same as the ratio of twenty to the total amount of money.
+|style="text-align:right;"|ואולם מאזני שרשי המרובעים
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11:30=20:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה ערך אלו הי"א אל הל' כערך עשרים אל כל הממון
 |-
 |
-::Multiply 20 by 30; the result is 600
+|style="text-align:right;"|הוא נעשה ככה והוא שתקח מרובע השרש אשר מצאת במספר המונח ומה שיעלה יצטרך שישוב כמו המספר אשר מצאת שרשו
-|style="text-align:right;"|וכפול כ' על ל' ויעלה ת"ר
 |-
 |
-::Divide it by 11; the result is 54 integers and 6 parts of 11.
+|style="text-align:right;"|דמיון לקחנו שרש מספר קמ"ד שהוא י"ב נש' נקח מרובע י"ב ויעלה קמ"ד אב' אין בו טעות כי שב להיות על משפטו הראשון שהוא קמ"ד
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot30}{11}=\frac{600}{11}=54+\frac{6}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תחלקם על י"א ויעלו נ"ד שלמים וו' חלקים מי"א
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a fifth of 54; it is ten integers and ten parts of 11.
+|style="text-align:right;"|ואולם אם אין לאותו המספר המונח שרש אמיתי כי אם בקרוב ראוי לקחת מרובע אותו השרש אשר מצאת שהיה בקרוב וצריך שיעדיף על המספר המונח א' רצוני על המספר אשר לקחת שרשו
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח החומש מן נ"ד והם עשרה שלמים גם עשרה חלקים מי"א
 |-
 |
-::Then, take a sixth of 54; it is 9 integers and one part of 11.
+|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש ה' ומצאנו שהוא ה' (ב') ורביע ונרצה לדעת עם המאזנים אם הוא כן והנה נקח מרובע ב' ורביע שהוא עולה פא תמצא בו ה' פעמים י"ו ונשאר א' וכן לעולם
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שישית נ"ד והם ט' שלמים וחלק א' מי"א
 |-
 |
-::Sum them up; they are twenty integers.
+|style="text-align:right;"|ואולם אמרי ה' פעמים י"ו כי מספר ה' הוא מספרינו המונח וי"ו הוא מרובע הרביעית המיותרים על הב' אשר הוא השרש והבן זה
-|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו עשרים שלמים
 |-
 |
-::Add 4 to them; they are 24 integers.
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת מן השברים מעורבים עם שלמים או מן שברים זולת שברים
-|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד שלמים
+|-
+|}
+{|
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(54+\frac{6}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(54+\frac{6}{54}\right)\right]+4=\left(10+\frac{10}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+4=20+4=24}}</math>
+== Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that ==
+|style="width:45%;text-align:right;"|<big>השער הי"ב</big> ידבר על שאלות אשר קצתן הן מהערכין וקצתן מהחבורות ומהן מקשירת הכסף ומהם מחלופים ומהם משרשים וכן כל כיוצא בזה
 |-
 |
+=== <span style=color:Green>Purchase Problems – Unequal Amount</span> ===
-==== <span style=color:Green>First from Last - Money</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:money|651|8Le2}}9) Question: we subtracted from an amount of money its third and its fifth, then we take 2 from what remained and 4 still remain.
+:{{#annot:cloth|643|tk1C}}1) Question: a man wants to buy a canna from four kinds of clothes, one canna from each types - red, green, black and white, and the total amount is 17 peraḥim.
-:<math>\scriptstyle X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X-2=4</math>
+:He said that the canna of the black [cloth] costs 12 carlini and two parts of 15 more than [the canna of] the white [cloth].
-|style="text-align:right;"|ט) שאלה חסרנו ממון שלישיתו וחמישיתו וממה שנשאר נקח ג"כ שנים ונשאר עדין ד&#x202B;'{{#annotend:8Le2}}
+:The canna of the green [cloth] costs 15 carlini and two sevenths more than the canna of the black [cloth].
+:The canna of the red [cloth] costs 23 carlini and two fifths more than [the canna of] the green [cloth].
+:We wish to know how much is the price of each, so that when all the prices are summed together the sum is 17 peraḥim.
+|style="text-align:right;"|א) <big>שאלה</big> אדם רוצה לקנות קנה אחד מד' מיני בגד &#x202B;<ref>227r</ref>א' קנה מכל מין ומין אדום וירוק ושחור ולבן וסך הכל עולה י"ז פרחים<br>
+ואמר כי הקנה מהשחור שוה יותר מהלבן י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו<br>
+והקנה מהירוק שוה יותר מקנה השחור ט"ו קרליני וב' חלקים מז&#x202B;'<br>
+ואמר שהקנה מהאדום שוה יותר מהירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות<br>
+נרצה לדעת כמה ערך כל א' וא' באופן שכשנחבר ערך כלם יעלו י"ז פרחים{{#annotend:tk1C}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: look for the common denominator by multiplying 3 by 5; it is 15.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=17\\\scriptstyle c=d+12+\frac{2}{15}\\\scriptstyle b=c+15+\frac{2}{7}\\\scriptstyle a=b+23+\frac{2}{5}\end{cases}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|התשובה תבקש המורה והוא שתכפול ג' על ה' ויהיו ט"ו
 |-
 |
-::Then, we subtract the third and the fifth; 7 remains.
+::The answer: Take 12 and 2 parts of 15, sum them with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths, then add once more 12 and 2 parts of 15, with 15 and 2-sevenths and with 23 and 2-fifths; the result is 9 peraḥim, 44 cavalli and 4-sevenths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תקח י"ב וב' חלקים מט"ו ותחבר אותם עם ט"ו וב' שלישיות שביעיות ועם כ"ג וב' חמישיות עוד שוב לחבר פעם שניה י"ב וב' חלקים מט"ו וט"ו וב' שביעיות וכ"ג וב' חמישיות ויעלה ט' {{#annot:peraḥ|2643|ql0g}}פרחים{{#annotend:ql0g}} ומ"ד {{#annot:cavalli|2643|srq8}}קאוואלי{{#annotend:srq8}} וד' שביעיות
-|style="text-align:right;"|אח"כ נקח השליש והחומש הנשאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Since it is said that after the third and the fifth are subtracted, 2 is also subtracted from the remaining amount, we add it to 4; it is 6.
+::Subtract all this from 17 peraḥim; the remainder is 7 peraḥim, 9 carlini, 75 cavalli and 3-sevenths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+2=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר כל זה מי"ז פרחים וישארו ז' פרחים וט' קרליני וע"ה קאוואלי וג' שביעיות
-|style="text-align:right;"|והנה מצד כי אמר אחר שנלקח מסך המעות השליש והחומש לקח עוד מסך הנשאר ב' נוסיפם על ד' ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we take the 7 that remains from the 15, after the third and the fifth are subtracted, and say: if 7 is equal to 19, how much is 6 equal to?
+::Divide it into 4 parts; the result is 17 carlini, 102 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the white cloth that is the cheapest.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:15=6:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם לד' חלקים ויצא לך י"ז קרליני וק"ב קאוואלי וו' שביעיות וזה יהיה ערך הבגד הלבן שהיה יותר גרוע
-|style="text-align:right;"|והנה נקח הז' שנשארו מהט"ו אחר לקיחת השליש והחומש ונאמר אם ז' שוים ט"ו ו' כמה שוים
 |-
-|
+|colspan=2|
-::You receive 12 and 6-sevenths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle d&\scriptstyle=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left[{\color{red}{3}}\sdot\left(12+\frac{2}{15}\right)\right]+\left[2\sdot\left(15+\frac{2}{7}\right)\right]+\left(23+\frac{2}{5}\right)\right]}{4}=\frac{\left(17\sdot10\right)-\left[\left(9\sdot10\right)+\frac{44+\frac{4}{7}}{120}\right]}{4}\\&\scriptstyle=\frac{\left(7\sdot10\right)+9+\frac{75+\frac{3}{7}}{120}}{4}=1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\\\end{align}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\frac{6}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|יצא לך י"ב וו' שביעיות
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of 12 [and 6-sevenths]; it is 4 and 2-sevenths.
+::Then, add it to 12 carlini and 2 parts of 15; the result is 31 carlini, 118 cavalli and 6-sevenths and this is the price of the black [cloth].
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו והוא שתקח שליש י"ב שהם ד' וב' שביעיות
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף על זה י"ב קרליני וב' חלקים מט"ו ויצא לך ל"א קרליני וקי"ח {{#annot:cavalli|2643|jB0D}}קאוולי{{#annotend:jB0D}} ג' ו' שביעיות וזה היה ערך השחור
 |-
 |
-::Take a fifth of 12 and 6-sevenths; it is 2 and 4-sevenths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(1{\color{red}{9}}+\frac{10{\color{red}{8}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(12+\frac{2}{15}\right)=31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח חומש י"ב וו' שביעיות ויהיו ב' וד' שביעיות
-|-
 |
-::Subtract all this from 12 and 6-sevenths; the remainder is 6.
-|style="text-align:right;"|תסיר כל זה מי"ב וו' שביעיות הנשאר ו&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 2 from this 6; 4 remains.
+::Add 15 cavalli and 2-sevenths to the price of the black [cloth]; the result is 47 carlini, 39 cavalli and one-seventh and this is [the price] of the green [cloth].
-|style="text-align:right;"|תסיר מאלו הו' ב' נשאר ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על סך השחור ט"ו קאוואלי וב' שביעיות ויצא לך מ"ז קרליני ול"ט קאוואלי ושביעית אחד וזה יהיה חלק הירוק
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{6}{7}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]\right]-2=\left(12+\frac{6}{7}\right)+\left[\left(4+\frac{2}{7}\right)+\left(2+\frac{4}{7}\right)\right]-2=6-2=4}}</math>
 |-
 |
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(31+\frac{1{\color{red}{24}}+\frac{6}{7}}{120}\right)+\left(15+\frac{2}{7}\right)=47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}}}</math>
-==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|3aA8}}10) Question: we took a third of an amount of money plus 5 pešuṭim and its quarter minus 2 pešuṭim and the result is 8 pešuṭim.
+::Add 23 carlini and 2-fifths to the price of the green [cloth]; the total result is 70 carlini, 87 cavalli and one-seventh. We define it as is the price of the red [cloth].
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+5\right)+\left(\frac{1}{4}X-2\right)=8</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על סך הירוק כ"ג קרליני וב' חמישיות ויעלה הכל ע' קרליני ופ"ז קואלי ושביעית וזה נשים ערך האדום
-|style="text-align:right;"|י) שאלה מממון חסרנו שלישיתו וחמשה פשוטים ורביעיתו פחות ב' פשוטים ועולה ח' פשוטים{{#annotend:3aA8}}
 |-
 |
-::The answer: you should know that 5 is additive and 2 is subtractive, so you should subtract 2 from 5; 3 remains. Then, subtract these 3 from 8 pešuṭim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(47+\frac{39+\frac{1}{7}}{120}\right)+\left(23+\frac{2}{5}\right)=70+\frac{87+\frac{1}{7}}{120}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(5-2\right)=8-3=5}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לך לדעת כי ה' הם מתוספת וב' הם של גרעון ועל כן יש לך לקחת ב' מה' נשארו ג' תפיל אלו הג' מח' פשוטים
 |-
 |
-::It is as if one says: We took a third and a quarter of an amount of money and the result is 5 pešuṭim.
+::When we sum up all, the result is 17 peraḥim no more and no less.
-::<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c+d=17}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו אמר מממון חסרנו שלישיתו ורביעיתו ועולה ה' פשוטים
+|style="text-align:right;"|וכשנחבר הכל יעלה י"ז פרחים בלי פחות ויתר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: you should multiply 5 by 12 and divide it by 7; the result is 8 integers and 4-sevenths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot12}{7}=8+\frac{4}{7}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Partnership Problems - for different times</span> ===
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך לכפול ה' על י"ב ולחלקנו על ז' ויעלה ח' שלמים וד' שביעיות
-|-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it by that you take a third of 8 [and 4-sevenths]; it is 2 and 6-sevenths.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שלישית ח' ויהיו ב' וו' שביעיות
 |-
 |
-::Add 5 to it, as it is said "its third plus 5"; it is 7 integers and 6-sevenths.
+:{{#annot:two partners|662|7z4d}}2) Question: two men formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על זה ה' מצד כי אמר שלישיתו עם תוספת ה' ויהיו ז' שלמים וו' שביעיות
+:One contributed 100 minyanim, stayed in the partnership for 6 months, and earned 40 minyanim.
+:The other contributed unknown amount of money, stayed in the partnership for 7 months, and earned 90 minyanim.
+:How much was his money?
+|style="text-align:right;"|ב) <big>שאלה</big> ב' אנשים עושים שותפות<br>
+הא' שם ק' מנינים ועמדו בשותפות ו' חדשים והרויחו מ' מנינים<br>
+והאחר שם ממון נעלם ועמדו בשותפות ז' חדשים והרויחו צ' מנינים<br>
+כמה היה ממונו{{#annotend:7z4d}}
 |-
 |
-::Take a quarter of the total amount, which is 8 and 4-sevenths; the result is 2 integers and one part of 7.
+::Answer: you should multiply the amount of money that the second earned, which is 90, by 10; the result is 9 thousand.
-|style="text-align:right;"|עוד תקח רביעית סך הממון שהוא ח' וד' שביעיות ויעלו ב' שלמים וחלק א' מז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה ראוי לך לכפול הממון שעשה השני שהוא צ' ולכפול על ק' ויעלה ט' אלפים
 |-
 |
-::Subtract 2 from it, as it is said "its quarter minus two"; one seventh remains.
+::Divide it by the profit of the first, which is 40; the result is 225.
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם ב' כי אמר אל רביעיתו פחות שנים וישאר שביעית אחד
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ריוח הראשון שהוא מ' ויעלה רכ"ה
 |-
 |
-::Add it to 7 integers and 6-sevenths; it is 8 integers no more and no less.
+::So, the amount of money of the second for 6 months was 225 and he stayed in the partnership for 7 months.
-|style="text-align:right;"|תוסיף אותו אל ז' שלמים וו' שביעיות ויהיו ח' שלמים בלי תוספת ומגרעת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90\sdot100}{40}=\frac{9000}{40}=225}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ השני היה ממונו רכ"ה לערך ו' חדשים ועמדו בשותפות ז' חדשים
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]+5\right]+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]-2\right]=\left[\left(2+\frac{6}{7}\right)+5\right]+\left[\left(2+\frac{1}{7}\right)-2\right]=\left(7+\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{7}=8}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: We say: if 7 is equal to 225, how much is 6 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:225=6:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר אם ז' שוים רכ"ה ו' כמה שוים
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|7ySa}}11) Question: if an inquirer says: we summed a quarter of a munber plus 2 with its fifth minus 3 and the result is 6.
+::The result is 192 and 6-sevenths and it is the amount of money of the second.
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{4}X+2\right)+\left(\frac{1}{5}X-3\right)=6</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=192+\frac{6}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|יא) שאלה אם אמור יאמר השואל חברנו רביעית מספר מה עם תוספת שנים לחמישיתו פחות ג' ועולה ו&#x202B;'{{#annotend:7ySa}}
+|style="text-align:right;"|ויצא לך קצ"ב וו' שביעיות והוא ממון השני
 |-
 |
-::The answer: you already know that the addition is 2 and the subtraction is 3 and this is the opposite of the previous question. So, we do the opposite, that is instead of subtracting we add: we subtract 2 from 3; the remainder is 1. Then, we add the 1 to 6; it is 7.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(3-2\right)=6+1=7}}</math>
+=== <span style=color:Green>Interest and Discount Problems - Find the time</span> ===
-|style="text-align:right;"|התשובה כבר ידעת כי התוספת הוא ב' והחסרון הוא ג' והוא הפך השאלה הקודמת ולכן נעשה בהפך והוא שבמקום הגרעון נוסיף והנה נקח ב' מג' הנשאר א' נוסיף זה הא' אל ו' ויהיו ז&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::It is as if it is said: we take a quarter and a fifth of an amount of money and the result is 7, how much is the amount of money?
+:{{#annot:months|660|aYE8}}3) Question: a man earned 5 pešuṭim for 4 minyanim in 3 months. In how many months would 6 minyanim yield 7 [pešuṭim]?
-::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=7</math>
+|style="text-align:right;"|ג) <big>שאלה</big> אדם הרויח &#x202B;<ref>227v</ref>עם ד' מנינים בג' חדשים ה' פשוטים<br>
-|style="text-align:right;"|והוא כאלו אמר מסך ממון לקחנו רביעיתו וחמישיתו ועלה ז' כמה הממון
+ו' מנינים בכמה חדשים ירויחו ז&#x202B;'{{#annotend:aYE8}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we relate as follows: we multiply 7 by 20; it is 140.
+::Answer: multiply 3 by 4; it is 12.
-|style="text-align:right;"|נעשה הערך ככה והוא שנכפול ז' על כ' ויהיו ק"מ
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-::We divide it by 9; we receive 15 integers and 5 parts of 9 and this is the amount of money.
+::Then, divide 12 by 6; the result is two.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot20}{9}=\frac{140}{9}=15+\frac{5}{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק י"ב על ו' ויצאו שנים
-|style="text-align:right;"|נחלקם על ט' ויצא לנו ט"ו שלמים וה' חלקים מט' וכן היה סך הממון
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can know it by that you take a quarter of 15 [and 5-ninths]; it is 3 integers and 8 parts of 9.
+::Hence, 6 minyanim yield 5 [pešuṭim] in 2 months.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לדעת זה והוא שתקח רביעית ט"ו ויהיו ג' שלמים וח' חלקים מט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot4}{6}=\frac{12}{6}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ ו' מנינים בב' חדשים הרויחו ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, take a fifth of 15 [and 5-ninths]; it is 3 and one part of 9.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Our profit was 7, so we do as follows: if 5 minyanim are equal to 2 months, how many months are 7 minyanim equal to?
-|style="text-align:right;"|אח"כ העמד החומש מט"ו והם ג' וחלק א' מט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:2=7:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|והריוח שלנו היה ז' ולכן נעשה כך ונאמר אם ה' מנינים שוים ב' חדשים ז' מניני' כמה חדשים שוים
 |-
 |
-::Add 2 to it and subtract 2; 6 remains.
+::Multiply two by 7; the result is 14.
-|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ב' ותגרע עמהם ג' וישארו ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|כפול שנים על ז' ויצאו י"ד
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+2-3=\left(3+\frac{8}{9}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+2-3=6}}</math>
+::Divide 14 by 5; the result is 2 months and 4-fifths of a month.
+|style="text-align:right;"|ותחלק י"ד על ה' ויצא ב' חדשים וד' חומשי חדש
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|ALNs}}12) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took the square of the result and it is the initial amount.
+::So, they yield 7 minyanim in 2 months and 4-fifths of a month.
-:How much is the amount of money?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{2\sdot7}{5}=\frac{14}{5}=2+\frac{4}{5}}}</math>
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ בב' חדשים וד' חומשי חדש ירויחו ז' מנינים
-|style="text-align:right;"|יב) שאלה לקחנו מסך ממון מחציתו ושלישיתו ומהעולה לקחנו מרובעו ושב כמו שהיה בתחלה כמה היה הממון{{#annotend:ALNs}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: take the half and the third from 6.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find a Quantity</span> ===
-|style="text-align:right;"|התשובה העמד החצי והשליש מו&#x202B;'
-|-
 |
-::It is said "from 6" because it has a half and a third; they are 5.
-|style="text-align:right;"|אולם אמרו מו' כי בו נמצא חצי ושליש והנם ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Take its square; it is 25.
+==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויהיו כ"ה
-|-
 |
-::Take also the square of the common denominator, which is 6; it is 36.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקח מרובע המורה ג"כ שהוא ו' ויהיו ל"ו
 |-
 |
-::Divide 36 by 25; you receive 1 integer and [1]1 parts of 25 and this is the amount of money.
+:{{#annot:money|648|v6Ou}}4) Question: we summed the third and the quarter of an unknown amount of money and the result is 24.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{36}{25}=1+\frac{{\color{red}{1}}1}{25}}}</math>
+:How much is the amount of money?
-|style="text-align:right;"|תחלק ל"ו על כ"ה ויצא לך א' שלם ו'''כ"א''' חלקים מכ"ה וכן היה הממון
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=24</math>
+|style="text-align:right;"|ד) <big>שאלה</big> מסך ממון בלתי נודע קבצנו השליש והרובע ועלה כ"ד<br>
+כמה הממון{{#annotend:v6Ou}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it: take a half of 1 and 11 parts of 25; it is 18 parts of 25.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: Answer: take the common denominator, which is 12, from the multiplication of 3 by 4.
-|style="text-align:right;"|ותבחון אותו קח חצי א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ח חלקים מכ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תקח המורה שהוא י"ב מכפל ג' על ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, take a third of 1 and 11 parts of 25; it is 12 [parts of 25].
+::Then, take its third and quarter; they are 7.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח מהם השליש והרובע והם ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Add it to 18 [parts of 25]; it is 1 and a fifth.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: As the ratio of 7 to 12, so is the ratio of 24 to our unknown number.
-|style="text-align:right;"|ותחברם אל י"ח ויהיה א' וחומש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:12=24:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ ערך אלו הז' אל י"ב כערך כ"ד אל מספרינו הנעלם
 |-
 |
-::Take its square; the result is 1 integer and 11 parts of 25, as it was at first.
+::We multiply 12 by 24; the result is 288.
-|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויצא א' שלם וי"א חלקים מכ"ה ושב כאשר בתחלה
+|style="text-align:right;"|לכן נכפול י"ב על כ"ד ויעלה רפ"ח
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]\right]^2=\left(\frac{18}{25}+\frac{12}{25}\right)^2=\left(1+\frac{1}{5}\right)^2=1+\frac{11}{25}}}</math>
+::We divide it by 7; you get 41 and a seventh and this is the amount of the money.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot24}{7}=\frac{288}{7}=41+\frac{1}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ז' ויצא לך מ"א ושביעית והוא סכום כל הממון
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|F61t}}13) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took a square of the result and it is equal to the amount of money plus its third.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it by taking a third of 41 and a seventh; it is 13 integers and 5-sevenths.
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X+\frac{1}{3}X</math>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שליש מ"א ושביעית ויהיו י"ג שלמים וה' שביעיות
-|style="text-align:right;"|יג) שאלה מממון לקחנו מחציתו ושלישיתו ולקחנו מרובע מהעולה ושב כמו הממון וכמו שלישיתו{{#annotend:F61t}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: do as follows: take the common denominator, i.e. the number that consists of a half and a third; it is 6.
+::Take also a quarter of 41 and a seventh; you get 10 and 2-sevenths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד קח הרביעית ממ"א ושביעית ויצא לך י' וב' שביעיות
-|style="text-align:right;"|התשובה תעשה ככה תקח המורה ר"ל המספר הכולל החצי והשליש והוא ו&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, take the half and the third; it is 5.
+::Sum them with the 13; they are 24 no more and no less.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח החצי והשליש והנם ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל י"ג ויהיו כ"ד בלי תוספת ומגרעת
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{3}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{1}{7}\right)\right]=\left(13+\frac{5}{7}\right)+\left(10+\frac{2}{7}\right)=24}}</math>
 |-
 |
-::Take its square; it is 25.
+:{{#annot:money|648|vmoH}}5) Question: we took the third and the fifth of an amount of money plus a third of what remains and they are 12.<br>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}</math>
+:How much is the total amount of money?
-|style="text-align:right;"|וקח מרובעם שהם כ"ה
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{5}X\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X\right)\right]=12</math>
+|style="text-align:right;"|ה) <big>שאלה</big> מסך ממון לקחנו שלישיתו וחמישיתו ושליש מה שנשאר והיו י"ב<br>
+כמה היה כל הממון{{#annotend:vmoH}}
 |-
 |
-::Take the square of the common denominator, which is 36, and add its third to it; it is 48.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: take 1 as an example and extract its third and fifth; they are 8 parts and 15.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2+\left(\frac{1}{3}\sdot6^2\right)=36+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)=48}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תקח המשל על א' ותוציא ממנו השליש והחומש ויהיו ח' חלקים מט"ו
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח מרובע המורה שהוא ל"ו ותחבר אליהם שלישיתם ויהיו מ"ח
 |-
 |
-::Divide 48 by 25; you receive 1 and 23 parts of 25 and this is the amount of money.
+::Take the remaining third, i.e. the third of 8 parts of 15 and sum them; the total sum is [6]2 parts of 90.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{48}{25}=1+\frac{23}{25}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}+\frac{1}{5}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1-\frac{1}{3}-\frac{1}{5}\right)\right]=\frac{8}{15}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{7}{15}\right)=\frac{62}{90}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ"ח על כ"ה ויצא לך א' וכ"ג חלקים מכ"ה וכך הוא הממון
+|style="text-align:right;"|עוד תקח <s>חצי</s> שליש מהנשאר רצוני שליש ז' חלקים מט"ו ותחבר הכל עליהם הח' חלקים מט"ו ויעלה הכל צ"ב חלקים מצ&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of this number, which is 24 parts of 25.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, you should multiply 12 by 62 and divide the product by 90; you get 17 integers and 13 parts of 31 and this is the whole amount of money.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית זה המספר שהם כ"ד חלקים מכ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot{\color{red}{90}}}{{\color{red}{62}}}=17+\frac{13}{31}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ יש לך לכפול י"ב על ס"ב ותחלק העולה על צ' ויצא לך י"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א וככה היה כל הממון
 |-
 |
-::Then, take its third, which is 16.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of this number; it is 5 integers and 25 parts of 31.
-|style="text-align:right;"|ואח"כ קח שלישיתם שהם י"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=5+\frac{25}{31}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח שליש זה המספר ויהיו ה' שלמים וכ"ה חלקים מל"א
 |-
 |
-::Sum them up; it is 1 and 3-fifths.
+::Take also a fifth of the number; it is 3 integers and 15 parts of 31.
-|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו א' וג' חומשים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(17+\frac{13}{31}\right)=3+\frac{15}{31}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תקח חומש המספר ויהיו ג' שלמים וט"ו חלקים מל"א
 |-
 |
-::Take its square; it is 2 integers and 14 parts of 25, which is the same as the amount of money plus its third.
+::Sum them together; the result is 9 integers and 9 parts of 31.
-|style="text-align:right;"|ותקח מרובעם ויהיו ב' שלמים וי"ד חלקים מכ"ה שהם כמו סך הממון עם תוספת שלישיתו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{25}{31}\right)+\left(3+\frac{15}{31}\right)=9+\frac{9}{31}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|אחר כן <ref>228r</ref>תחברם יחד ויעלו ט' שלמים וט' חלקים מל"א
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{24}{25}+\frac{16}{25}\right)^2=\left(1+\frac{3}{5}\right)^2=2+\frac{14}{25}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|NSGr}}14) Question: we took a half and a third of an amount of money, then from their sum we took its quarter plus a fifth of the remainder from the half and the third and it is equal to 12.
+::Subtract this number from 17 integers and 13 parts of 31; the remainder is 8 integers and 4 parts of 31.
-:How much is the amount of money?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(17+\frac{13}{31}\right)-\left(9+\frac{9}{31}\right)=8+\frac{4}{31}}}</math>
-:<math>\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]=12</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציא זה המספר מי"ז שלמים וי"ג חלקים מל"א הנשאר ח' שלמים וד' חלקים מל"א
-|style="text-align:right;"|יד) שאלה מסך ממון לקחנו שלישיתו ומחציתו ומהמחובר ר"ל ממה שיעלה השליש והחצי לקחנו רביעיתו וחומש מה שנשאר מסך כל אחר שילקח החצי והשליש ושוה י"ב כמה כל הממון{{#annotend:NSGr}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: find a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
+::Divide it by 3 and add the quotient to 9 integers and 9 parts of 31; the total result is 12.
-|style="text-align:right;"|התשובה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש יהיה זה ס&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{9}{31}\right)+\frac{8+\frac{4}{31}}{3}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ג' ותחבר היוצא עם ט' שלמים וט' חלקים מל"א ויעלה בין הכל י"ב
 |-
 |
-::We take from 60 its third and its half; it is 50.
+==== <span style=color:Green>First from Last - Money</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=50}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה נקח מס' שלישיתו ומחציתו ויהיו נ&#x202B;'
-|-
 |
-::10 still remains. We take a fifth of the remaining 10; it is 2 integers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(60-50\right)=\frac{1}{5}\sdot10=2}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונשארו עדין י' אח"כ נקח חומש אלו הי' הנשארים ויהיו ב' שלמים
 |-
 |
-::We take a quarter of fifty; it is 12 and a half.
+:{{#annot:money|651|gP55}}6) Question: if a man says to you: we took a third and a quarter from an amount of money and 14 still remain, how much was the total amount of money?<br>
-|style="text-align:right;"|אח"כ נקח רביעית חמישים והנם י"ב וחצי
+:<math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X\right)=14</math>
+|style="text-align:right;"|ו) <big>שאלה</big> אם יאמ' לך אדם מסך ממון לקחנו שלישיתו ורביעיתו ונשאר עדין י"ד כמה היה כל הממון{{#annotend:gP55}}
 |-
 |
-::We add it to the 2 we have; it is 14 and a half.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: one should multiply 3 by 4; it is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot50\right)+2=\left(12+\frac{1}{2}\right)+2=14+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot4=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחברם אל הב' שהיו לנו ויהיו י"ד וחצי
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לכפול ג' על ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we multiply 12, which is the known number, by the common denominator, which is 60; the result is 720.
+::Then, subtract the third and the quarter from it; 5 still remains.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול י"ב אשר הוא המספר הנודע על המורה אשר הוא ס' ויעלה תש"כ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מהם השליש והרביעית ונשאר עדין ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 14 and a half; you receive 49 and 19 parts of 29.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: The ratio of this 5 to 12 is as the ratio of 14 to the whole amount of money.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot60}{14+\frac{1}{2}}=\frac{720}{14+\frac{1}{2}}=49+\frac{19}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:12=14:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחלקם על י"ד וחצי ויצא לך מ"ט וי"ט חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|הנה אלו הה' ערכם אל י"ב כערך י"ד אל כל הממון
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of the 49 integers and their parts; you get 24 and 24 parts of 29.
+::We relate as follows: if 5 is equal to 12, how much is 14 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=24+\frac{24}{29}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה הערך כך אם ה' שוים י"ב י"ד כמה שוים
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית מ"ט שלמים ומחלקיהם ויצא לך כ"ד וכ"ד חלקים מכ"ט
 |-
 |
-::Then, take a third of the 49 and its parts; you get 16 and 16 parts of 29.
+::You get 33 and three-fifths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=16+\frac{16}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot14}{5}=33+\frac{3}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש מ"ט ומחלקיהם ויצא לך י"ו וי"ו חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ל"ג ושלש חומשים
 |-
 |
-::Sum them up; it is 41 and 11 parts of 29.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of 33 and three-fifths; it is 11 and a fifth.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{24}{29}\right)+\left(16+\frac{16}{29}\right)=41+\frac{11}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=11+\frac{1}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו מ"א וי"א חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח שליש ל"ג ושלש חומשים והנם י"א וחומש אחד
 |-
 |
-::Then, take a quarter of this number, as it is said "and a quarter of the sum of a half and a third"; it is 10 integers and 10 parts of 29.
+::Then, take a quarter of 33 and 3-fifths; it is 8 and 2-fifths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{11}{29}\right)=10+\frac{10}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(33+\frac{3}{5}\right)=8+\frac{2}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקח רביעית זה המספר מצד כי אמר ורביעית מהמחובר מהחצי והשלישית ויהיו י' שלמים גם י' חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|אח"כ נקח רביעית ל"ג וג' חומשים ויהיו ח' וב' חומשים
 |-
 |
-::We subtract 41 integers and 11 parts, which is a half and a third, from the amount of money, which is 49 integers and 19 parts of 29; the remainder is 8 and 8 parts of 29.
+::Add it to 11 and a fifth; the sum is 19 and three-fifths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(49+\frac{19}{29}\right)-\left(41+\frac{11}{29}\right)=8+\frac{8}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right)+\left(8+\frac{2}{5}\right)=19+\frac{3}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ נסיר מ"א שלמים וי"א חלקים שהם החצי והשליש מסך הממון שהוא מ"ט שלמים וי"ט חלקים מכ"ט הנשאר ח' וח' חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|חברם אל י"א וחומש ויהיו י"ט ושלשה חומשים
 |-
 |
-::Take its fifth, as it is said "plus a fifth of the remainder"; it is 1 integer and 19 parts of 29.
+::Subtract it from 33 and 3-fifths; 14 remains no more and no less.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{19}{29}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(33+\frac{3}{5}\right)-\left(19+\frac{3}{5}\right)=14}}</math>
-|style="text-align:right;"|קח מהם החומש מצד שאמר עם חומש הנשאר ויהיה א' שלם עם י"ט חלקים מכ"ט
+|style="text-align:right;"|הפילם מהל"ג ושלש חומשים וישארו י"ד בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |
-::Add it to the 10 integers and 10 parts of 29; it is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{10}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)=12}}</math>
+==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
-|style="text-align:right;"|וחברם אל הי' שלמים עם הי' חלקים מכ"ט ויהיו י"ב
+|
 |-
 |
-:{{#annot:money|648|ikRz}}15) Question: we summed half of an amount of money with a third of what remained and a quarter of the remainder after subtracting the third and the total sum is equal to 14.
+:{{#annot:money|648|iZfe}}7) Question: we added to an amount of money its quarter and its fifth and they are 12.
-:How much is the amount of money?
+:How much was the amount of money in the beginning?
-|style="text-align:right;"|טו) שאלה מממון חברנו מחציתו ושליש מה שנשאר ורביעית מה שנשאר אחר שנלקח השלישית ושוה הכל י"ד<br>
+:<math>\scriptstyle X+\frac{1}{5}X+\frac{1}{4}X=12</math>
-כמה הממון{{#annotend:ikRz}}
+|style="text-align:right;"|ז) <big>שאלה</big> על סך ממון הוספנו <s>שלישיתו</s> רביעיתו וחמישיתו והיו י"ב<br>
+כמה היה הממון בתחלה{{#annotend:iZfe}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[X-\left[\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]\right]\right]\right]=14</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: seek the common denominator, which is 20, from the multiplication of [five by four].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot4=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תבקש המורה שהוא כף שהוא מכפל <s>שלישיתו</s> <sub>חמישיתו</sub> על רביעיתו
 |-
 |
-::The answer: a number should be found that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
+::Take its quarter, which is 5, and its fifth, which is 4, and add them to the denominator; it is 29.
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי למצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע ותמצא י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)=20+4+5=29}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח רביעיתו שהוא ה' וחמישיתו שהוא ד' ותוסיפם על המורה ויהיו כ"ט
 |-
 |
-::Subtract its half from it, which is 6; the remainder is 6.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, take the denominator, which is 20, multiply it by 12 and divide the product by 29; you get 8 and 8 parts and so was the amount of money originally.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=12-6=6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot12}{29}=8+\frac{8}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הוצא ממנו החצי שהם ו' הנשאר ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח המורה שהוא כ' וכפול אותו על י"ב והעולה חלק על כ"ט ויצא לך ח' וח' חלקי' וכך היה הממון בתחלה
 |-
 |
-::Take from the remaining 6 its third, which is 2; the remainder is 4.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a quarter of the amount of money, which is 8 [and 8 parts]; the result is 2 integers and 2 parts of 29.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-2=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=2+\frac{2}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח מהו' הנשארים שלישיתם שהם ב' הנשאר עדין ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח רביעית הממון שהם ח' שלמים ויעלו ב' שלמים גם ב' חלקים מכ"ט
 |-
 |
-::Take a quarter of the 4, which is 1; the remainder is 3.
+::Take a fifth of the amount of money; the result is one integer and 3 remain.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4-1=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש הממון ויעלה א' שלם וישארו ג&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וקח רביעית הד' שהוא א' הנשאר עדין ג&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: all the fractions are 9.
+::We convert each of them into 29 parts and add the 8 parts to them; they are 95.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+2+1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה מכל אחד מהם כ"ט חלקים וחבר אליהם הח' חלקים ויהיו צ"ה
-|style="text-align:right;"|והנה כל חלקי המספרים הם ט&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: multiply 14, which is the known number, by the common denominator, which is 12, then divide the product by 9; you receive 18 and 2-thirds and this is the [required] number.
+::Divide them by 5; it is 19.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{14\sdot12}{9}=18+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{\frac{\left(3\sdot29\right)+8}{5}}{29}=1+\frac{\frac{95}{5}}{29}=1+\frac{19}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול י"ד שהוא סך הידוע על המורה שהוא י"ב ותחלק העולה על ט' ויצא לך י"ח וב' שלישיות וככה היה המספר
+|style="text-align:right;"|חלקם על ה' ויהיו י"ט
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of 18 and 2-thirds, which is 9 and a third.
+::Sum up all the numbers; they are 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(8+\frac{8}{29}\right)+\left[\left(2+\frac{2}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)\right]=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית י"ח וב' שלישיות שהם ט' ושליש
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר כל המספרים ויהיו י"ב
 |-
 |
-::Take a third of the remainder; it is 3 and a ninth.
+:{{#annot:money|648|9Nti}}8) Question: if a man says to you: you took a fifth and a sixth of an amount of money plus 4 pešuṭim and the result is 24, how much is the total amount of money?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left(9+\frac{1}{3}\right)\right]=3+\frac{1}{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+4=24</math>
-|style="text-align:right;"|וקח שליש הנשאר והם ג' ותשיעית
+|style="text-align:right;"|ח) <big>שאלה</big> אם יאמר לך אדם ממון לקחת חמישיתו ושישיתו וד' פשוטים ועלה כ"ד כמה הממון{{#annotend:9Nti}}
 |-
 |
-::Take a quarter of the remainder; it is 1 and 5-ninths.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: multiply 5 by 6; it is 30.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left[\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)\right]\right]=1+\frac{5}{9}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח רביעית הנשאר שהם א' וה' תשיעיות
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> כפול ה' על ו' ויהיו ל&#x202B;'
 |-
 |
-::Sum up all; it is 14 integers.
+::Take its fifth and its sixth and sum them up; it is 11.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{5}{9}\right)=14}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot30\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot30\right)=11}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויהיו י"ד שלמים
+|style="text-align:right;"|ותוציא מהם החומש &#x202B;<ref>228v</ref>והשישית וחברם ויהיו י"א
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money</span> ===
+::Then, subtract 4, which is the addition, from 24; twenty remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-4=20}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מכ"ד הד' אשר הם מתוספת ונשאר עשרים
 |-
 |
-:{{#annot:two amounts of money|652|ZtSX}}16) Question: we summed a quarter of an amount of money with a fifth of another different amount of money and the sum is 8.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: the ratio of 11 to 30 is the same as the ratio of twenty to the total amount of money.
-:How much is each amount?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11:30=20:X}}</math>
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}Y=8</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ערך אלו הי"א אל הל' כערך עשרים אל כל הממון
-|style="text-align:right;"|יו) שאלה חברנו שני סכומות של ממון מתחלפים זה מזה רביעית א' מן הסכומות וחומש הסכום האחד והיו ח&#x202B;'<br>
-כמה סך כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:ZtSX}}
 |-
 |
-::The answer: you can solve it in different ways <span style=color:Green>[→ it is an indeterminate problem]</span>.
+::Multiply 20 by 30; the result is 600
-|style="text-align:right;"|התשובה תוכל להשיבה בפנים מתחלפים
+|style="text-align:right;"|וכפול כ' על ל' ויעלה ת"ר
 |-
 |
-::It is that you define any number to be a quarter of the first amount and you subtract this number from 8; then; you define what remains from the 8 as the fifth of the second amount. This way you find them.
+::Divide it by 11; the result is 54 integers and 6 parts of 11.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\frac{1}{4}X=\frac{1}{5}Y}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{20\sdot30}{11}=\frac{600}{11}=54+\frac{6}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והוא כי תשים איזה מספר שיהיה רביעית הסך הראשון ואותו המספר תפיל מח' ומה שישאר מהח' תשים אותו חומש הסכום השני ועל זה האופן תמצאנו
+|style="text-align:right;"|תחלקם על י"א ויעלו נ"ד שלמים וו' חלקים מי"א
 |-
 |
-:*Suppose, for example that 3 is a quarter of the first amount.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a fifth of 54; it is ten integers and ten parts of 11.
-::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=3</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח החומש מן נ"ד והם עשרה שלמים גם עשרה חלקים מי"א
-|style="text-align:right;"|והנה נניח דרך משל כי ג' היה רביע הסכום הראשון
 |-
 |
-::Then, the first amount is 12, because 3 is a quarter of 12.
+::Then, take a sixth of 54; it is 9 integers and one part of 11.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{1}{4}\sdot12\longrightarrow X=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שישית נ"ד והם ט' שלמים וחלק א' מי"א
-|style="text-align:right;"|א"כ הסכום הראשון היה י"ב כי ג' הוא רביעית י"ב
 |-
 |
-::Subtract 3 from 8; the remainder is 5. Define the 5 as a fifth of the second number.
+::Sum them up; they are twenty integers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-3=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו עשרים שלמים
-|style="text-align:right;"|תפיל ג' מח' הנשאר ה' ושים אלו הה' חומש המספר השני
 |-
 |
-::So, the second amount is 25.
+::Add 4 to them; they are 24 integers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד שלמים
-|style="text-align:right;"|א"כ הסכום הב' היה כ"ה
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{5}\sdot\left(54+\frac{6}{11}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(54+\frac{6}{54}\right)\right]+4=\left(10+\frac{10}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)+4=20+4=24}}</math>
 |-
 |
-:*Or, if you wish, define 2 as the quarter of the first amount.
-::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=2</math>
+==== <span style=color:Green>First from Last - Money</span> ====
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה שים ב' סכום רביע הסך הראשון
-|-
 |
-::Then, the first amount is 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ הסך הראשון הוא ח&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Define the 6 as a fifth of the second amount.
+:{{#annot:money|651|8Le2}}9) Question: we subtracted from an amount of money its third and its fifth, then we take 2 from what remained and 4 still remain.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-2=6}}</math>
+:<math>\scriptstyle X-\frac{1}{3}X-\frac{1}{5}X-2=4</math>
-|style="text-align:right;"|ותפיל ב' מח' הנשאר ו' ושים אלו הו' חומש הסכום הב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ט) <big>שאלה</big> חסרנו ממון שלישיתו וחמישיתו וממה שנשאר נקח ג"כ שנים ונשאר עדין ד&#x202B;'{{#annotend:8Le2}}
 |-
 |
-::So, the second amount is 30.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: look for the common denominator by multiplying 3 by 5; it is 15.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=30}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot5=15}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ הסך השני יהיה ל&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תבקש המורה והוא שתכפול ג' על ה' ויהיו ט"ו
 |-
 |
-:*Or, if you wish, define 4 as the quarter of the first number.
+::Then, we subtract the third and the fifth; 7 remains.
-::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=4</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה שים ד' רביע המספר הראשון
+|style="text-align:right;"|אח"כ נקח השליש והחומש הנשאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, the first number is 16.
+::Since it is said that after the third and the fifth are subtracted, 2 is also subtracted from the remaining amount, we add it to 4; it is 6.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=16}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+2=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ המספר הא' היה י"ו
+|style="text-align:right;"|והנה מצד כי אמר אחר שנלקח מסך המעות השליש והחומש לקח עוד מסך הנשאר ב' נוסיפם על ד' ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 4 from 8; the remainder is 4. Define it as a fifth of the second number.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we take the 7 that remains from the 15, after the third and the fifth are subtracted, and say: if 7 is equal to 19, how much is 6 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-4=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7:15=6:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|תפיל ד' מח' הנשאר ד' ושים אותם חומש המספר הב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והנה נקח הז' שנשארו מהט"ו אחר לקיחת השליש והחומש ונאמר אם ז' שוים ט"ו ו' כמה שוים
 |-
 |
-::So, the second number is 20.
+::You receive 12 and 6-sevenths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=20}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=12+\frac{6}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ המספר הב' היה כ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|יצא לך י"ב וו' שביעיות
 |-
 |
-::And so on endlessly - define any number you wish as a quarter of the first amount, subtract it from 8, and define what remains as a fifth of the second number.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a third of 12 [and 6-sevenths]; it is 4 and 2-sevenths.
-|style="text-align:right;"|וכן עד אין קץ שתשים איזה מספר שתרצה רביע הסכום הראשון ותפיל זה מהח' ומה שישאר תשים חומש המספר הב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו והוא שתקח שליש י"ב שהם ד' וב' שביעיות
 |-
 |
+::Take a fifth of 12 and 6-sevenths; it is 2 and 4-sevenths.
-=== <span style=color:Green>Sums</span> ===
+|style="text-align:right;"|וקח חומש י"ב וו' שביעיות ויהיו ב' וד' שביעיות
+|-
 |
+::Subtract all this from 12 and 6-sevenths; the remainder is 6.
+|style="text-align:right;"|תסיר כל זה מי"ב וו' שביעיות הנשאר ו&#x202B;'
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of natural numbers'''</span>
+::Subtract 2 from this 6; 4 remains.
-|
+|style="text-align:right;"|תסיר מאלו הו' ב' נשאר ד&#x202B;'
 |-
-|
+|colspan=2|
-:{{#annot:1-14|669|EW6C}}17) Question: if you want to sum from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{6}{7}\right)-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(12+\frac{6}{7}\right)\right]\right]-2=\left(12+\frac{6}{7}\right)+\left[\left(4+\frac{2}{7}\right)+\left(2+\frac{4}{7}\right)\right]-2=6-2=4}}</math>
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14</math>
-|style="text-align:right;"|יז) שאלה אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד{{#annotend:EW6C}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{\left(1+n\right)\sdot n}{2}}}</math>
+==== <span style=color:Green>How Much - Money</span> ====
 |
 |-
 |
-::1 should be added to 14; it is 15.
+:{{#annot:money|648|3aA8}}10) Question: we took a third of an amount of money plus 5 pešuṭim and its quarter minus 2 pešuṭim and the result is 8 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{3}X+5\right)+\left(\frac{1}{4}X-2\right)=8</math>
+|style="text-align:right;"|י) <big>שאלה</big> מממון חסרנו שלישיתו וחמשה פשוטים ורביעיתו פחות ב' פשוטים ועולה ח' פשוטים{{#annotend:3aA8}}
 |-
 |
-::Then, multiply 15 by 14; it is 210.
+::The answer: you should know that 5 is additive and 2 is subtractive, so you should subtract 2 from 5; 3 remains. Then, subtract these 3 from 8 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(5-2\right)=8-3=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לך לדעת כי ה' הם מתוספת וב' הם של גרעון ועל כן יש לך לקחת ב' מה' נשארו ג' תפיל אלו הג' מח' {{#annot:pašuṭ|2643|eFg5}}פשוטים{{#annotend:eFg5}}
 |-
 |
-::Divide it by 2; you receive 105 and this is the required.
+::It is as if one says: We took a third and a quarter of an amount of money and the result is 5 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש
+::<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=5</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ויהיה כאלו אמר מממון חסרנו שלישיתו ורביעיתו ועולה ה' פשוטים
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14=\frac{\left(1+14\right)\sdot14}{2}=\frac{15\sdot14}{2}=\frac{210}{2}=105}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''even number of terms \ last term is even'''</span>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: you should multiply 5 by 12 and divide it by 7; the result is 8 integers and 4-sevenths.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{5\sdot12}{7}=8+\frac{4}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך לכפול ה' על י"ב ולחלקנו על ז' ויעלה ח' שלמים וד' שביעיות
 |-
 |
-:18) Question: if the number [of terms] is even take half this number and multiply it by the whole number, then add the result to half the number.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it by that you take a third of 8 [and 4-sevenths]; it is 2 and 6-sevenths.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)\sdot2m\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)</math>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו והוא שתקח שלישית ח' ויהיו ב' וו' שביעיות
-|style="text-align:right;"|יח) שאלה הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר
 |-
 |
-*{{#annot:1-16|669|afC8}}Example: we want to know [the sum] from 1 to 16.
+::Add 5 to it, as it is said "its third plus 5"; it is 7 integers and 6-sevenths.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על זה ה' מצד כי אמר שלישיתו עם תוספת ה' ויהיו ז' שלמים וו' שביעיות
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת מא' עד י"ו{{#annotend:afC8}}
 |-
 |
-::A half of 16 should be taken, which is 8.
+::Take a quarter of the total amount, which is [8] and 4-sevenths; the result is 2 integers and one part of 7.
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|עוד תקח רביעית סך הממון שהוא ז' &#x202B;<ref>229r</ref>וד' שביעיות ויעלו ב' שלמים וחלק א' מז&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 16; the result is 128.
+::Subtract 2 from it, as it is said "its quarter minus two"; one seventh remains.
-|style="text-align:right;"|ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם ב' כי אמר אל רביעיתו פחות שנים וישאר שביעית אחד
 |-
 |
-::Add a half of 16 to it also, which is 8; it is 136 and this is the required.
+::Add it to 7 integers and 6-sevenths; it is 8 integers no more and no less.
-|style="text-align:right;"|עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|תוסיף אותו אל ז' שלמים וו' שביעיות ויהיו ח' שלמים בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot16\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=\left(8\sdot16\right)+8=128+8=136}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]+5\right]+\left[\left[\frac{1}{4}\sdot\left(8+\frac{4}{7}\right)\right]-2\right]=\left[\left(2+\frac{6}{7}\right)+5\right]+\left[\left(2+\frac{1}{7}\right)-2\right]=\left(7+\frac{6}{7}\right)+\frac{1}{7}=8}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''odd number of terms \ last term is odd'''</span>
+:{{#annot:money|648|7ySa}}11) Question: if an inquirer says: we summed a quarter of a munber plus 2 with its fifth minus 3 and the result is 6.
-|
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{4}X+2\right)+\left(\frac{1}{5}X-3\right)=6</math>
+|style="text-align:right;"|יא) <big>שאלה</big> אם אמור יאמר השואל חברנו רביעית מספר מה עם תוספת שנים לחמישיתו פחות ג' ועולה ו&#x202B;'{{#annotend:7ySa}}
 |-
 |
-:19) Question: if [the number of terms] is odd the larger part should be taken and multiplied by the whole number and the result is the required.
+::The answer: you already know that the addition is 2 and the subtraction is 3 and this is the opposite of the previous question. So, we do the opposite, that is instead of subtracting we add: we subtract 2 from 3; the remainder is 1. Then, we add the 1 to 6; it is 7.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m-1} i=m\sdot\left(2m-1\right)</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\left(3-2\right)=6+1=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|יט) שאלה אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> כבר ידעת כי התוספת הוא ב' והחסרון הוא ג' והוא הפך השאלה הקודמת ולכן נעשה בהפך והוא שבמקום הגרעון נוסיף והנה נקח ב' מג' הנשאר א' נוסיף זה הא' אל ו' ויהיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-*{{#annot:1-25|669|uz7F}}Example: we want to know the sum from 1 to 25.
+::It is as if it is said: we take a quarter and a fifth of an amount of money and the result is 7, how much is the amount of money?
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25</math>
+::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}X=7</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה{{#annotend:uz7F}}
+|style="text-align:right;"|והוא כאלו אמר מסך ממון לקחנו רביעיתו וחמישיתו ועלה ז' כמה הממון
 |-
 |
-::The greater part should be taken from 25, which is 13.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we relate as follows: we multiply 7 by 20; it is 140.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג
+|style="text-align:right;"|נעשה הערך ככה והוא שנכפול ז' על כ' ויהיו ק"מ
 |-
 |
-::Multiply 13 by 25; the result is 325 and this is the required.
+::We divide it by 9; we receive 15 integers and 5 parts of 9 and this is the amount of money.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25=13\sdot25=325}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{7\sdot20}{9}=\frac{140}{9}=15+\frac{5}{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ט' ויצא לנו ט"ו שלמים וה' חלקים מט' וכן היה סך הממון
 |-
 |
-::Or, if you wish, divide 25 by 2; it is 12 and a half.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can know it by that you take a quarter of 15 [and 5-ninths]; it is 3 integers and 8 parts of 9.
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי
+|style="text-align:right;"|ותוכל לדעת זה והוא שתקח רביעית ט"ו ויהיו ג' שלמים וח' חלקים מט&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 25; it is 312 and a half.
+::Then, take a fifth of 15 [and 5-ninths]; it is 3 and one part of 9.
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי
+|style="text-align:right;"|אח"כ העמד החומש מט"ו והם ג' וחלק א' מט&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, add a half of 25 to it, which is 12 and a half; it is 325.
+::Add 2 to it and subtract 2; 6 remains.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה
+|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ב' ותגרע עמהם ג' וישארו ו&#x202B;'
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\sdot25\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)=\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)\sdot25\right]+\left(12+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(312+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)=325\\\end{align}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{4}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(15+\frac{5}{9}\right)\right]+2-3=\left(3+\frac{8}{9}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+2-3=6}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''the first term is not 1'''</span>
+:{{#annot:money|648|ALNs}}12) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took the square of the result and it is the initial amount.
-|
+:How much is the amount of money?
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X</math>
+|style="text-align:right;"|יב) <big>שאלה</big> לקחנו מסך ממון מחציתו ושלישיתו ומהעולה לקחנו מרובעו ושב כמו שהיה בתחלה כמה היה הממון{{#annotend:ALNs}}
 |-
 |
-:{{#annot:4-10|669|mA7A}}20) Question: sum from 1 to 10 without the [first] three.
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: take the half and the third from 6.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|כ) שאלה קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל{{#annotend:mA7A}}
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> העמד החצי והשליש מו&#x202B;'
 |-
 |
-::1 to 10 should be summed, which is 55 as you know.
+::It is said "from 6" because it has a half and a third; they are 5.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת
+|style="text-align:right;"|אולם אמרו מו' כי בו נמצא חצי ושליש והנם ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, sum from 1 to 3; which is 6.
+::Take its square; it is 25.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויהיו כ"ה
 |-
 |
-::Subtract 6 from 55; the remainder is 49 and this is the required.
+::Take also the square of the common denominator, which is 6; it is 36.
-|style="text-align:right;"|ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2=36}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקח מרובע המורה ג"כ שהוא ו' ויהיו ל"ו
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}=55-6=49}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''the number of terms \ the last term is unknown'''</span>
+::Divide 36 by 25; you receive 1 integer and [1]1 parts of 25 and this is the amount of money.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{36}{25}=1+\frac{{\color{red}{1}}1}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלק ל"ו על כ"ה ויצא לך א' שלם ו'''כ"א''' חלקים מכ"ה וכן היה הממון
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 1, 120|669|ZASk}}21) Question: we sum up all the numbers until an unknown number and the sum is 120.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it: take a half of 1 and 11 parts of 25; it is 18 parts of 25.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120</math>
+|style="text-align:right;"|ותבחון אותו קח חצי א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ח חלקים מכ"ה
-|style="text-align:right;"|כא) שאלה חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ{{#annotend:ZASk}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow 4\sdot\frac{a}{2}=n^2+n}}</math>
+::Then, take a third of 1 and 11 parts of 25; it is 12 [parts of 25].
-|
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש א' וי"א חלקים מכ"ה ויהיו י"ב
 |-
 |
-::This number should be divided by 2; it is 60; then, multiplied by 4; it is 240.
+::Add it to 18 [parts of 25]; it is 1 and a fifth.
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ
+|style="text-align:right;"|ותחברם אל י"ח ויהיה א' וחומש
 |-
 |
-::Now, you should extract the preceding root, i.e. that is closest to 240; you find it is 15 and this is the required.
+::Take its square; the result is 1 integer and 11 parts of 25, as it was at first.
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויצא א' שלם וי"א חלקים מכ"ה ושב כאשר בתחלה
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=120\longrightarrow 4\sdot\frac{120}{2}=4\sdot60=240=n^2+n\longrightarrow n=15}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{11}{25}\right)\right]\right]^2=\left(\frac{18}{25}+\frac{12}{25}\right)^2=\left(1+\frac{1}{5}\right)^2=1+\frac{11}{25}}}</math>
 |-
 |
-::I.e., when you sum from 1 to 15, the result is 120.
+:{{#annot:money|648|F61t}}13) Question: we took a half and a third of an amount of money then we took a square of the result and it is equal to the amount of money plus its third.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=120}}</math>
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)^2=X+\frac{1}{3}X</math>
-|style="text-align:right;"|ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ
+|style="text-align:right;"|יג) <big>שאלה</big> מממון לקחנו <sup>מחציתו</sup> ושלישיתו ולקחנו מרובע מהעולה ושב כמו הממון וכמו שלישיתו{{#annotend:F61t}}
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of odds'''</span>
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: do as follows: take the common denominator, i.e. the number that consists of a half and a third; it is 6.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תעשה ככה תקח המורה ר"ל המספר &#x202B;<ref>229v</ref>הכולל החצי והשליש והוא ו&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:1-9|670|2PiX}}22) Question: sum all the odds from 1 to 9.
+::Then, take the half and the third; it is 5.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח החצי והשליש והנם ה&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|כב) שאלה קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים{{#annotend:2PiX}}
 |-
 |
-:1 should be added to the number mentioned, the resulting sum should be divided by 2, then the square of the quotient should be taken and this is the required.
+::Take its square; it is 25.
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=\left(\frac{\left(2n-1\right)+1}{2}\right)^2}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)\right]^2=5^2=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|וקח מרובעם שהם כ"ה
 |-
 |
-::We add 1 to 9; it is 10.
+::Take the square of the common denominator, which is 36, and add its third to it; it is 48.
-|style="text-align:right;"|והנה נשים על ט' א' ויהיו י&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6^2+\left(\frac{1}{3}\sdot6^2\right)=36+\left(\frac{1}{3}\sdot36\right)=48}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח מרובע המורה שהוא ל"ו ותחבר אליהם שלישיתם ויהיו מ"ח
 |-
 |
-::Then, we divide it by 2; it is 5.
+::Divide 48 by 25; you receive 1 and 23 parts of 25 and this is the amount of money.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{48}{25}=1+\frac{23}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ"ח על כ"ה ויצא לך א' וכ"ג חלקים מכ"ה וכך הוא הממון
 |-
 |
-::We take its square; it is 25 and this is the sum of all the odd numbers from 1 to 9.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of this number, which is 24 parts of 25.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9=\left(\frac{9+1}{2}\right)^2=\left(\frac{10}{2}\right)^2=5^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית זה המספר שהם כ"ד חלקים מכ"ה
-|style="text-align:right;"|נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט&#x202B;'
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of evens'''</span>
+::Then, take its third, which is 16.
-|
+|style="text-align:right;"|ואח"כ קח שלישיתם שהם י"ו
 |-
 |
-:{{#annot:2-12|671|WfgD}}23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12.
+::Sum them up; it is 1 and 3-fifths.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12</math>
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו א' וג' חומשים
-|style="text-align:right;"|כג) שאלה אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב{{#annotend:WfgD}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}</math>
+::Take its square; it is 2 integers and 14 parts of 25, which is the same as the amount of money plus its third.
-|
+|style="text-align:right;"|ותקח מרובעם ויהיו ב' שלמים וי"ד חלקים מכ"ה שהם כמו סך הממון עם תוספת שלישיתו
-|-
-|
-::The half of 12 should be taken; it is 6; then its square, which is 36 should be [added]; it is 42.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מחצית י"ב [והוא ו'] ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6^2+6=36+6=42}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\frac{1}{2}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\right]^2&\scriptstyle=\left(\frac{24}{25}+\frac{16}{25}\right)^2=\left(1+\frac{3}{5}\right)^2=2+\frac{14}{25}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{23}{25}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(1+\frac{23}{25}\right)\right]\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of odds: number of terms \ last term is unknown'''</span>
+:{{#annot:money|648|NSGr}}14) Question: we took a half and a third of an amount of money, then from their sum we took its quarter plus a fifth of the remainder from the half and the third and it is equal to 12.
+:How much is the amount of money?
+:<math>\scriptstyle\left[\frac{1}{4}\sdot\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left[X-\left(\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X\right)\right]\right]=12</math>
+|style="text-align:right;"|יד) <big>שאלה</big> מסך ממון לקחנו שלישיתו ומחציתו ומהמחובר ר"ל ממה שיעלה השליש והחצי לקחנו רביעיתו וחומש מה שנשאר מסך כל אחר שילקח החצי והשליש ושוה י"ב כמה כל הממון{{#annotend:NSGr}}
+|-
 |
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: The answer: find a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש יהיה זה ס&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 1, 25|670|nd14}}24) Question: we sum up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25.
+::We take from 60 its third and its half; it is 50.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=50}}</math>
-|style="text-align:right;"|כד) שאלה חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה{{#annotend:nd14}}
+|style="text-align:right;"|והנה נקח מס' שלישיתו ומחציתו ויהיו נ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=a\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{a}\right)-1}}</math>
+::10 still remains. We take a fifth of the remaining 10; it is 2 integers.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(60-50\right)=\frac{1}{5}\sdot10=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשארו עדין י' אח"כ נקח חומש אלו הי' הנשארים ויהיו ב' שלמים
+|-
 |
+::We take a quarter of fifty; it is 12 and a half.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נקח רביעית חמישים והנם י"ב וחצי
 |-
 |
-::The root of 25 should be extracted, then multiply it by 2, and subtract 1 from the product.
+::We add it to the 2 we have; it is 14 and a half.
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot50\right)+2=\left(12+\frac{1}{2}\right)+2=14+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחברם אל הב' שהיו לנו ויהיו י"ד וחצי
 |-
 |
-::The root of 25 is 5. Double it; it is 10. Subtract 1 from it; 9 remains and this is the required.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we multiply 12, which is the known number, by the common denominator, which is 60; the result is 720.
-|style="text-align:right;"|והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול י"ב אשר הוא המספר הנודע על המורה אשר הוא ס' ויעלה תש"כ
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{25}\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of evens: number of terms \ last term is unknown'''</span>
+::Divide it by 14 and a half; you receive 49 and 19 parts of 29.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot60}{14+\frac{1}{2}}=\frac{720}{14+\frac{1}{2}}=49+\frac{19}{29}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על י"ד וחצי ויצא לך מ"ט וי"ט חלקים מכ"ט
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 2, 42|671|U8Ey}}25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of the 49 integers and their parts; you get 24 and 24 parts of 29.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=24+\frac{24}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כה) שאלה חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב{{#annotend:U8Ey}}
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית מ"ט שלמים ומחלקיהם ויצא לך כ"ד וכ"ד חלקים מכ"ט
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=a\longrightarrow a=n^2+n}}</math>
+::Then, take a third of the 49 and its parts; you get 16 and 16 parts of 29.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(49+\frac{19}{29}\right)=16+\frac{16}{29}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש מ"ט ומחלקיהם ויצא לך י"ו וי"ו חלקים מכ"ט
 |-
 |
-::The preceding root should be extracted. It is known that the preceding root is 6. Multiply it by 2; it is 12 and this is the required.
+::Sum them up; it is 41 and 11 parts of 29.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42\longrightarrow 42=6^2+6\longrightarrow2n=2\sdot6=12}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(24+\frac{24}{29}\right)+\left(16+\frac{16}{29}\right)=41+\frac{11}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו מ"א וי"א חלקים מכ"ט
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of squares'''</span>
+::Then, take a quarter of this number, as it is said "and a quarter of the sum of a half and a third"; it is 10 integers and 10 parts of 29.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left(41+\frac{11}{29}\right)=10+\frac{10}{29}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקח רביעית זה המספר מצד כי אמר ורביעית מהמחובר מהחצי והשלישית ויהיו י' שלמים גם י' חלקים מכ"ט
 |-
 |
-:{{#annot:1-4|672|JRLl}}26) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 4.
+::We subtract 41 integers and 11 parts, which is a half and a third, from the amount of money, which is 49 integers and 19 parts of 29; the remainder is 8 and 8 parts of 29.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(49+\frac{19}{29}\right)-\left(41+\frac{11}{29}\right)=8+\frac{8}{29}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כו) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד&#x202B;'{{#annotend:JRLl}}
+|style="text-align:right;"|אח"כ נסיר מ"א שלמים וי"א חלקים שהם החצי והשליש מסך הממון שהוא מ"ט שלמים וי"ט חלקים מכ"ט הנשאר ח' וח' חלקים מכ"ט
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}</math>
+::Take its fifth, as it is said "plus a fifth of the remainder"; it is 1 integer and 19 parts of 29.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(8+\frac{8}{29}\right)=1+\frac{19}{29}}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח מהם החומש מצד שאמר עם חומש הנשאר ויהיה א' שלם עם י"ט חלקים מכ"ט
 |-
 |
-::All the numbers from 1 to 4 should be summed; they are ten
+::Add it to the 10 integers and 10 parts of 29; it is 12.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר מא' עד ד' שהם עשרה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{10}{29}\right)+\left(1+\frac{19}{29}\right)=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחברם אל הי' שלמים עם הי' &#x202B;<ref>230r</ref>חלקים מכ"ט ויהיו י"ב
 |-
 |
-::Then, take 2-thirds of 4 plus a third; it is 3.
+:{{#annot:money|648|ikRz}}15) Question: we summed half of an amount of money with a third of what remained and a quarter of the remainder after subtracting the third and the total sum is equal to 14.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג&#x202B;'
+:How much is the amount of money?
-|-
+|style="text-align:right;"|טו) <big>שאלה</big> מממון חברנו מחציתו ושליש מה שנשאר ורביעית מה שנשאר אחר שנלקח השלישית ושוה הכל י"ד<br>
-|
+כמה הממון{{#annotend:ikRz}}
-::Multiply 3 by 10; it is 30.
-|style="text-align:right;"|כפול ג' על י' ויהיו ל&#x202B;'
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2=\left(\sum_{i=1}^{4} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30}}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[X-\left[\frac{1}{2}X+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(X-\frac{1}{2}X\right)\right]\right]\right]\right]=14</math>
 |-
 |
-:{{#annot:1-5|672|HKRB}}27) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 25
+::The answer: a number should be found that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי למצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע ותמצא י"ב
-|style="text-align:right;"|כז) שאלה אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה{{#annotend:HKRB}}
 |-
 |
-::Sum up all the numbers; they are 15.
+::Subtract its half from it, which is 6; the remainder is 6.
-|style="text-align:right;"|תחבר כל המספרי' והנם ט"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=12-6=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא ממנו החצי שהם ו' הנשאר ו&#x202B;'
 |-
 |
-::Take 2-thirds of 5 plus a third; it is 3 and 2-thirds.
+::Take from the remaining 6 its third, which is 2; the remainder is 4.
-|style="text-align:right;"|וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)=6-2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח מהו' הנשארים שלישיתם שהם ב' הנשאר עדין ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 15; it is 55.
+::Take a quarter of the 4, which is 1; the remainder is 3.
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{1}{4}\sdot4\right)=4-1=3}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וקח רביעית הד' שהוא א' הנשאר עדין ג&#x202B;'
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)+\frac{1}{3}\right]=15\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)=55}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of squares: first term is not 1'''</span>
+::<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: all the fractions are 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+2+1=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה כל חלקי המספרים הם ט&#x202B;'
+|-
 |
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: multiply 14, which is the known number, by the common denominator, which is 12, then divide the product by 9; you receive 18 and 2-thirds and this is the [required] number.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{14\sdot12}{9}=18+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול י"ד שהוא סך הידוע על המורה שהוא י"ב ותחלק העולה על ט' ויצא לך י"ח וב' שלישיות וככה היה המספר
 |-
 |
-:{{#annot:4-8|672|VWnE}}28) Question: sum up [the squares] from the square of 4 to the square of 8.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, take a half of 18 and 2-thirds, which is 9 and a third.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כח) שאלה ואלו אמר קבץ ממרובע '''ג'''' עד מרובע ח&#x202B;'{{#annotend:VWnE}}
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תקח מחצית י"ח וב' שלישיות שהם ט' ושליש
 |-
 |
-::All the squares [of the numbers] from 1 to 8 should be summed; they are 204.
+::Take a third of the remainder; it is 3 and a ninth.
-|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left(9+\frac{1}{3}\right)\right]=3+\frac{1}{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שליש הנשאר והם ג' ותשיעית
 |-
 |
-::Then, sum up the squares [of the numbers] from 1 to 3
+::Take a quarter of the remainder; it is 1 and 5-ninths.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot\left[\left(18+\frac{2}{3}\right)-\left[\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)\right]\right]=1+\frac{5}{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח רביעית הנשאר שהם א' וה' תשיעיות
 |-
 |
-::Subtract 14 from 204; the remainder is 190 and this is the required.
+::Sum up all; it is 14 integers.
-|style="text-align:right;"|ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{1}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{9}\right)+\left(1+\frac{5}{9}\right)=14}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויהיו י"ד שלמים
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{8} i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{3} i^2\right)=204-14=190}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of the squares of even numbers'''</span>
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:2-8|1125|FdKc}}29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8.
+:{{#annot:two amounts of money|652|ZtSX}}16) Question: we summed a quarter of an amount of money with a fifth of another different amount of money and the sum is 8.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2</math>
+:How much is each amount?
-|style="text-align:right;"|כט) שאלה אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' {{#annot:term|2494,1976|hVPL}}על המשך{{#annotend:hVPL}} הזוגות{{#annotend:FdKc}}
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X+\frac{1}{5}Y=8</math>
+|style="text-align:right;"|יו) <big>שאלה</big> חברנו שני סכומות של ממון מתחלפים זה מזה רביעית א' מן הסכומות וחומש הסכום האחד והיו ח&#x202B;'<br>
+כמה סך כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:ZtSX}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2n\right)+\frac{2}{3}\right]}}</math>
+::The answer: you can solve it in different ways <span style=color:Green>[→ it is an indeterminate problem]</span>.
-|
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תוכל להשיבה בפנים מתחלפים
 |-
 |
-::All the even numbers from 2 to 8 should be summed; they are twenty.
+::It is that you define any number to be a quarter of the first amount and you subtract this number from 8; then; you define what remains from the 8 as the fifth of the second amount. This way you find them.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\frac{1}{4}X=\frac{1}{5}Y}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא כי תשים איזה מספר שיהיה רביעית הסך הראשון ואותו המספר תפיל מח' ומה שישאר מהח' תשים אותו חומש הסכום השני ועל זה האופן תמצאנו
 |-
 |
-::Then, take 2-thirds of 8 plus 2-thirds; it is 6 integers.
+:*Suppose, for example that 3 is a quarter of the first amount.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים
+::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=3</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נניח דרך משל כי ג' היה רביע הסכום הראשון
 |-
 |
-::Multiply it by 20; it is 120 and this is the required.
+::Then, the first amount is 12, because 3 is a quarter of 12.
-|style="text-align:right;"|כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3=\frac{1}{4}\sdot12\longrightarrow X=12}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|א"כ הסכום הראשון היה י"ב כי ג' הוא רביעית י"ב
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{4} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\sdot4\right)+\frac{2}{3}\right]=\left(2+\ldots+8\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot8\right)+\frac{2}{3}\right]=20\sdot6=120}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of the squares of odd numbers'''</span>
+::Subtract 3 from 8; the remainder is 5. Define the 5 as a fifth of the second number.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-3=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|תפיל ג' מח' הנשאר ה' ושים אלו הה' חומש המספר השני
 |-
 |
-:{{#annot:1-7|1126|sUpB}}30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7
+::So, the second amount is 25.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2=1^2+\ldots+7^2</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=25}}</math>
-|style="text-align:right;"|ל) שאלה קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים{{#annotend:sUpB}}
+|style="text-align:right;"|א"כ הסכום הב' היה כ"ה
 |-
 |
-::Sum up all the odd numbers until 7; they are 16.
+:*Or, if you wish, define 2 as the quarter of the first amount.
-|style="text-align:right;"|תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו
+::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=2</math>
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה שים ב' סכום רביע הסך הראשון
 |-
 |
-::Subtract a third of 16 plus 2 parts of 12; or subtract from 15 it third.
+::Then, the first amount is 8.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=8}}</math>
-או תפיל מט"ו שלישיתם
+|style="text-align:right;"|א"כ הסך הראשון הוא ח&#x202B;'
 |-
 |
-::[Subtract 15 from] 16; 1 remains.
+::Subtract 2 from 8; the remainder is 6. Define the 6 as a fifth of the second amount.
-|style="text-align:right;"|וישאר עד י"ו א&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-2=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותפיל ב' מח' הנשאר ו' ושים אלו הו' חומש הסכום הב&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, subtract from this 1 its half and add it to 2-thirds of 15; it is 10 and a half.
+::So, the second amount is 30.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ הסך השני יהיה ל&#x202B;'
 |-
 |
-::Add 1 to 7; it is 8.
+:*Or, if you wish, define 4 as the quarter of the first number.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle\frac{1}{4}X=4</math>
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה שים ד' רביע המספר הראשון
 |-
 |
-::Multiply is by 10 and a half; you receive 84.
+::Then, the first number is 16.
-|style="text-align:right;"|והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ המספר הא' היה י"ו
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left[\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]}}</math>
+::Subtract 4 from 8; the remainder is 4. Define it as a fifth of the second number.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2&\scriptstyle=1^2+\ldots+7^2=\left[\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left(7+1\right)\\&\scriptstyle=\left[16-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot8=\left[\left[15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\right]+\left[\left(16-15\right)-\frac{1}{2}\sdot\left(16-15\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)+\left[1-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\sdot8=\left(10+\frac{1}{2}\right)\sdot8=84\\\end{align}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}Y=8-4=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|תפיל ד' מח' הנשאר ד' ושים אותם חומש המספר הב&#x202B;'
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of cubes'''</span>
+::So, the second number is 20.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ המספר הב' היה כ&#x202B;'
+|-
 |
+::And so on endlessly - define any number you wish as a quarter of the first amount, subtract it from 8, and define what remains as a fifth of the second number.
+|style="text-align:right;"|וכן עד אין קץ שתשים איזה מספר שתרצה רביע הסכום הראשון ותפיל זה מהח' ומה שישאר תשים חומש המספר הב&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:1-7|673|nV2h}}31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3</math>
+=== <span style=color:Green>Sums</span> ===
-|style="text-align:right;"|לא) שאלה קבץ לי ממעוקב א עד מעוקב ז&#x202B;'{{#annotend:nV2h}}
+|
 |-
 |
-::Know that the cubes are 1 time 1, 1 time 2, 1 time 3, 1 time 4, and so on until 7; then take 2 and multiply it by all the numbers from 1 to 7; then multiply 3 by 1 to 7; then 4, and so on until the end of the numbers.
+*<span style=color:Green>'''sum of natural numbers'''</span>
-|style="text-align:right;"|ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז&#x202B;'<br>
-ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז&#x202B;'<br>
-ואח"כ תכה הג' מא' עד ז&#x202B;'<br>
-וכן הד' וכן עד כלות כל המספרים
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3&\scriptstyle=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=\sum_{i=1}^{7} \left(i\sdot\sum_{j=1}^{7} j\right)\\&\scriptstyle=\left(1\sdot1\right)+\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)+\left(1\sdot4\right)+\ldots+\left(1\sdot7\right)+\left(2\sdot1\right)+\ldots+\left(2\sdot7\right)+\left(3\sdot1\right)+\ldots+\left(3\sdot7\right)\\&\scriptstyle+\left(4\sdot1\right)+\ldots+\left(4\sdot7\right)+\ldots\\\end{align}}}</math>
-|-
 |
-::If you want to know the total sum, you should sum up all the [numbers] from 1 to 7; they are 28.
-|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל '''הנפרדים''' אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח
 |-
 |
-::Then, take the square of 28, which is 784, and this is the sum of all the cubes from 1 to 7.
+:{{#annot:1-14|669|EW6C}}17) Question: if you want to sum from 1 to 14, i.e. 1 with 2, with 3, and so on until 14.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=28^2=784}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|יז) <big>שאלה</big> אם תרצה לקבץ מא' עד י"ד ר"ל א' עם ב' ועם ג' וכן עד י"ד{{#annotend:EW6C}}
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''square of sum of natural numbers: number of terms \ last term is unknown'''</span>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=\frac{\left(1+n\right)\sdot n}{2}}}</math>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:5-12|673|SUpM}}32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12.
+::1 should be added to 14; it is 15.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי להוסיף א' על י"ד ויהיו ט"ו
-|style="text-align:right;"|לב) שאלה קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב{{#annotend:SUpM}}
 |-
 |
-::Sum up all the cube numbers from 1 to 12; they are 6084.
+::Then, multiply 15 by 14; it is 210.
-|style="text-align:right;"|תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט"ו על י"ד והם ר"י
 |-
 |
-::Then, sum up all the cube numbers from 1 to 4; they are 100.
+::Divide it by 2; you receive 105 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ב' ויצא לך ק"ה והוא המבוקש
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{14} i=1+2+3+\ldots+14=\frac{\left(1+14\right)\sdot14}{2}=\frac{15\sdot14}{2}=\frac{210}{2}=105}}</math>
 |-
 |
-::Subtract it from 6084; the remainder is 5984 and this is the required.
+*<span style=color:Green>'''even number of terms \ last term is even'''</span>
-|style="text-align:right;"|תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש
+|
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3=\left(\sum_{i=1}^{12} i^3\right)-\left(\sum_{i=1}^{4} i^3\right)=6084-100=5984}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of cubes: number of terms \ last term is unknown'''</span>
+:18) Question: if the number [of terms] is even take half this number and multiply it by the whole number, then add the result to half the number.
-|
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m} i=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)\sdot2m\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2m\right)</math>
+|style="text-align:right;"|יח) <big>שאלה</big> הנה תוכל לעשותה באופן אחר והוא אם המספר הוא זוג ראוי לקחת מחצית אותו המספר ולכפול אותו על כל המספר ולחבר על סך העולה מחצית המספר
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 1, 225|673|mrIH}}33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225.
+*{{#annot:1-16|669|afC8}}Example: we want to know [the sum] from 1 to 16.
-:How much is the unknown number?
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16</math>
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> &#x202B;<ref>230v</ref>זה נרצה לדעת מא' עד י"ו{{#annotend:afC8}}
-|style="text-align:right;"|לג) שאלה אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה<br>
-כמה הוא המספר הנעלם{{#annotend:mrIH}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^3=a\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} i=\sqrt{a}}}</math>
+::A half of 16 should be taken, which is 8.
-|
+|style="text-align:right;"|ראוי לקחת מחצית י"ו שהם ח&#x202B;'
 |-
 |
-::The root of the total sum should be extracted, i.e. the root of 225; its root of 15.
+::Multiply it by 16; the result is 128.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפלם על י"ו ויהיה העולה קכ"ח
-|style="text-align:right;"|ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו
 |-
 |
-::Then, deduce this question from the sum of the numbers, meaning: we sum up all the numbers from 1 to an unknown number and the resulting sum is 15; you receive 5 and this is the required.
+::Add a half of 16 to it also, which is 8; it is 136 and this is the required.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=15\longrightarrow n=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|עו' תוסיף על זה מחצית י"ו שהם ח' ויהיו קל"ו והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש
 |-
-|
+|colspan=2|
-:Know that if you do not find an integer root for the mentioned number, your calculation is incorrect.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{16} i=1+\ldots+16=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot16\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=\left(8\sdot16\right)+8=128+8=136}}</math>
-|style="text-align:right;"|ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers</span>'''
+*<span style=color:Green>'''odd number of terms \ last term is odd'''</span>
-:<span style=color:Green>[though the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:1-13|1128|kjWM}}34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13.
+:19) Question: if [the number of terms] is odd the larger part should be taken and multiplied by the whole number and the result is the required.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3=1^3+\ldots+13^3</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{2m-1} i=m\sdot\left(2m-1\right)</math>
-|style="text-align:right;"|לד) שאלה אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים{{#annotend:kjWM}}
+|style="text-align:right;"|יט) <big>שאלה</big> אולם אם הוא נפרד ראוי לקחת החלק היותר גדול ולכפול אותו על כל המספר והעולה הוא המבוקש
 |-
 |
-::All the odd numbers from 1 to 13 should be sum up; they are 49.
+*{{#annot:1-25|669|uz7F}}Example: we want to know the sum from 1 to 25.
-|style="text-align:right;"|ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לדעת המחובר מא' עד כ"ה{{#annotend:uz7F}}
 |-
 |
-::Then, the square of 49 should be taken; it is 2401 and this is the required.
+::The greater part should be taken from 25, which is 13.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)\right]^2=49^2=2401}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מכ"ה החלק היותר גדול שהוא י"ג
-|style="text-align:right;"|וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers: first term is not 1</span>'''
+::Multiply 13 by 25; the result is 325 and this is the required.
-:<span style=color:Green>[again the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]</span>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25=13\sdot25=325}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותכפול י"ג על כ"ה והעולה הוא שכ"ה והוא המבוקש
+|-
 |
+::Or, if you wish, divide 25 by 2; it is 12 and a half.
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה תחלק כ"ה על ב' ויהיו י"ב וחצי
 |-
 |
-:{{#annot:5-9|1128|79pn}}35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9.
+::Multiply it by 25; it is 312 and a half.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3=5^3+\ldots+9^3</math>
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם על כ"ה ויהיו ג' מאות וי"ב וחצי
-|style="text-align:right;"|לה) שאלה אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים{{#annotend:79pn}}
 |-
 |
-::You should sum all the odd numbers from 5 to 9; they are 21.
+::Then, add a half of 25 to it, which is 12 and a half; it is 325.
-|style="text-align:right;"|ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף על זה מחצית כ"ה שהם י"ב וחצי ויהיו שכ"ה
 |-
-|
+|colspan=2|
-::Take its square; the result is 441.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{25} i=1+\ldots+25&\scriptstyle=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\sdot25\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)=\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)\sdot25\right]+\left(12+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(312+\frac{1}{2}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)=325\\\end{align}}}</math>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)\right]^2=21^2=441}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויעלה תמ"א
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers: number of terms \ last term is unknown</span>'''
+*<span style=color:Green>'''the first term is not 1'''</span>
-:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of odd numbers, while the solution implies the square of the sum of odd numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 1, 256|1128|3zw4}}36) Question: we sum up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256.
+:{{#annot:4-10|669|mA7A}}20) Question: sum from 1 to 10 without the [first] three.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}</math>
-|style="text-align:right;"|לו) שאלה קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו{{#annotend:3zw4}}
+|style="text-align:right;"|כ) <big>שאלה</big> קבץ מא' עד י' ולא יהיו הג' בכלל{{#annotend:mA7A}}
 |-
 |
-::Extract the root of 256; the result is 16.
+::1 to 10 should be summed, which is 55 as you know.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)\right]^2=256}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקבץ מא' עד י' שהם נ"ה כאשר ידעת
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{256}=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו
 |-
 |
-::Then, one should deduce and say: we sum up all the odd numbers from 1 to an unknown number; the result is 16.
+::Then, sum from 1 to 3; which is 6.
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו
+|style="text-align:right;"|אח"כ קבץ מא' עד ג' שהם ו&#x202B;'
 |-
 |
-::The way is that you multiply 16 four times; it is 64.
+::Subtract 6 from 55; the remainder is 49 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד
+|style="text-align:right;"|ותפיל ו' מנ"ה הנשאר מ"ט והוא המבוקש
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=3+1}^{10} i=\left(3+1\right)+\ldots+10=\sum_{i=1}^{10}-\sum_{i=1}^{3}=55-6=49}}</math>
 |-
 |
-::Extract its root; it is 8.
+*<span style=color:Green>'''the number of terms \ the last term is unknown'''</span>
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם והנם ח&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::Subtract one from it; the remainder is 7 and this is the required.
+:{{#annot:aₙ, 1, 120|669|ZASk}}21) Question: we sum up all the numbers until an unknown number and the sum is 120.
-|style="text-align:right;"|תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i=120</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|כא) <big>שאלה</big> חברנו כל המספרים עד מספר נעלם ועלה המחובר ק"כ{{#annotend:ZASk}}
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=16\longrightarrow 2n-1=\sqrt{4\sdot16}-1=\sqrt{64}-1=8-1=7}}</math>
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers</span>'''
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i=a\longrightarrow 4\sdot\frac{a}{2}=n^2+n}}</math>
-:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of even numbers, the solution indicates to the square of the sum of even numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:2-12|1127|jOk3}}37) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12.
+::This number should be divided by 2; it is 60; then, multiplied by 4; it is 240.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3=2^3+\ldots+12^3</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לחלק זה המספר על ב' ויהיו ס' ולכפול אותו על ד' ויהיו ר"מ
-|style="text-align:right;"|לז) שאלה קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות{{#annotend:jOk3}}
 |-
 |
-::You should sum up all the [even] numbers from 2 to 12; they are 42.
+::Now, you should extract the preceding root, i.e. that is closest to 240; you find it is 15 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך עתה לקחת השרש שעבר ר"ל שהוא קרוב אל ר"מ ותמצא ט"ו והוא המבוקש
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=120\longrightarrow 4\sdot\frac{120}{2}=4\sdot60=240=n^2+n\longrightarrow n=15}}</math>
 |-
 |
-::Then, take its square; it is 1764.
+::I.e., when you sum from 1 to 15, the result is 120.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)\right]^2=42^2=1764}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{15} i=120}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד
+|style="text-align:right;"|ר"ל כי כשתקבץ מא' עד ט"ו יעלה ק"כ
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers: first term is not 1</span>'''
+*<span style=color:Green>'''sum of odds'''</span>
-:<span style=color:Green>[the question points to the sum of cubes of even numbers, the solution deals with the square of the sum of even numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:4-12|1127|mv1u}}38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12.
+:{{#annot:1-9|670|2PiX}}22) Question: sum all the odds from 1 to 9.
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3=4^3+\ldots+12^3</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9</math>
-|style="text-align:right;"|לח) שאלה קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות{{#annotend:mv1u}}
+|style="text-align:right;"|כב) <big>שאלה</big> קבץ מא' עד ט' כל הנפרדים{{#annotend:2PiX}}
 |-
 |
-::All the even numbers from 4 to 12 should be summed; they are 40.
+:1 should be added to the number mentioned, the resulting sum should be divided by 2, then the square of the quotient should be taken and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=\left(\frac{\left(2n-1\right)+1}{2}\right)^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לשים א' על אותו המספר שהזכיר ולחלק סך העולה על ב' אח"כ ראוי לקחת מרובע העולה מהחלוקה והוא המבוקש
 |-
 |
-::Take the square of 40; it is 1600 and this is the required.
+::We add 1 to 9; it is 10.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)\right]^2=40^2=1600}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה נשים על ט' א' ויהיו י&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש
 |-
 |
-*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers: number of terms \ last term is unknown</span>'''
+::Then, we divide it by 2; it is 5.
-:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of even numbers, while the solution concerns the square of the sum of even numbers]</span>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נחלק אותו על ב' ויהיו ה&#x202B;'
+|-
 |
+::We take its square; it is 25 and this is the sum of all the odd numbers from 1 to 9.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} \left(2i-1\right)=1+\ldots+9=\left(\frac{9+1}{2}\right)^2=\left(\frac{10}{2}\right)^2=5^2=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|נקח מרובעו והוא כ"ה והוא חבור כל נפרדים מא' עד ט&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:aₙ, 2, 400|1127|aCf5}}39) Question: we sum up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400.
+*<span style=color:Green>'''sum of evens'''</span>
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400</math>
-|style="text-align:right;"|לט) שאלה אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות{{#annotend:aCf5}}
-|-
 |
-::The way is that you extract the root of 400; it is twenty.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)^2=400}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים
 |-
 |
-::Then, say: we sum up all the even numbers from 2 to an unknown number and the resulting sum is twenty. How much is the unknown number?
+:{{#annot:2-12|671|WfgD}}23) Question: if you want to know the sum of all the evens from 2 to 12.
-|style="text-align:right;"|ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי&#x202B;'<br>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12</math>
-כמה הוא המספר הנעלם
+|style="text-align:right;"|כג) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת חבור כל הזוגות אשר הם מב' עד י"ב{{#annotend:WfgD}}
 |-
 |
-::Twenty should be multiplied by 4; then 1 should be added to the product; the total is 81.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot2n\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א
-|-
 |
-::Extract its root; it is 9.
-|style="text-align:right;"|וקח שרשו והוא ט&#x202B;'
 |-
 |
-::Always subtract 1 from the root; 8 remains.
+::The half of 12 should be taken; it is 6; then its square, which is 36 should be [added]; it is 42.
-|style="text-align:right;"|ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מחצית י"ב שהם ו' ולקחת מרובעם שהם ל"ו ויהיו מ"ב
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} 2i=20\longrightarrow 2n=\sqrt{\left(4\sdot20\right)+1}-1=\sqrt{80+1}-1=\sqrt{81}-1=9-1=8}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)=2+\ldots+12=\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2+\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=6^2+6=36+6=42}}</math>
 |-
 |
-*<span style=color:Green>'''sum of even-times-even numbers'''</span>
+*<span style=color:Green>'''sum of odds: number of terms \ last term is unknown'''</span>
+|
+|-
 |
+:{{#annot:aₙ, 1, 25|670|nd14}}24) Question: we sum up all the odds until an unknown numbers and the sum is 25.
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25</math>
+|style="text-align:right;"|כד) <big>שאלה</big> חברנו כל הנפרדים עד מספר נעלם ועלה כ"ה{{#annotend:nd14}}
 |-
 |
-:{{#annot:1-128|674|29bw}}40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=a\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{a}\right)-1}}</math>
-:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128</math>
+|
-|style="text-align:right;"|מ) שאלה אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח{{#annotend:29bw}}
 |-
 |
-::128 should be multiplied by 2; the result is 256.
+::The root of 25 should be extracted, then multiply it by 2, and subtract 1 from the product.
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו
+|style="text-align:right;"|ראוי לקחת שרש כ"ה ואח"כ כפול אותו על ב' ותפיל א' מהמקובץ
 |-
 |
-::Always subtract 1 from it; the remainder is 255 and this is the sought-after.
+::The root of 25 is 5. Double it; it is 10. Subtract 1 from it; 9 remains and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|והנה שרש כ"ה הוא ה' וכפול אותו והוא י' ותפיל ממנו א' ונשאר ט' והוא המבוקש
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128=\left(2\sdot128\right)-1=256-1=255}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=25\longrightarrow 2n-1=\left(2\sdot\sqrt{25}\right)-1=\left(2\sdot5\right)-1=10-1=9}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:1-4095|674|GokE}}[41)] If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times.
+*<span style=color:Green>'''sum of evens: number of terms \ last term is unknown'''</span>
-::<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots</math>
+|
-|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>MS L: מ"א</ref>ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים{{#annotend:GokE}}
 |-
 |
-::Sum up until the fourth, i.e. 1, 2, 4, 8; they are 15.
+:{{#annot:aₙ, 2, 42|671|U8Ey}}25) Question: we summed up all the evens from 1 to an unknown number and the sum is 42.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S_4=\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}=1+2+4+8=15}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42</math>
-|style="text-align:right;"|ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו
+|style="text-align:right;"|כה) <big>שאלה</big> חברנו כל הזוגות מא' עד מספר בלתי ידוע ועלה המחובר מ"ב{{#annotend:U8Ey}}
 |-
 |
-::Add 1 to 15; they are 16.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} 2i=a\longrightarrow a=n^2+n}}</math>
-|style="text-align:right;"|תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו
+|
 |-
 |
-::Then, multiply 16 by itself; it is 256.
+::The preceding root should be extracted. It is known that the preceding root is 6. Multiply it by 2; it is 12 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)=42\longrightarrow 42=6^2+6\longrightarrow2n=2\sdot6=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת השרש שעבר וידוע כי השרש שעבר היה ו' כפול אותו על ב' ויהיו י"ב והוא המבוקש
 |-
 |
-::Multiply 16 by 256; the result is 4096 and this is the sum of all the terms until the twelfth.
+*<span style=color:Green>'''sum of squares'''</span>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב
+|
 |-
 |
-::Always subtract 1; 4095 remains.
+:{{#annot:1-4|672|JRLl}}26) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 4.
-|style="text-align:right;"|ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|כו) <big>שאלה</big> אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' ועד ד&#x202B;'{{#annotend:JRLl}}
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+\ldots=\left[\left(15+1\right)^2\sdot\left(15+1\right)\right]-1=\left(16^2\sdot16\right)-1\\&\scriptstyle=\left(256\sdot16\right)=4096-1=4095\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::You can always know it also, if you multiply what you receive, which is 4096, by 16; the result is 65536.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^2=\left(\sum_{i=1}^{n} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot n\right)+\frac{1}{3}\right]}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה ס"ה אלפים ותקל"ו
+|
 |-
 |
-::Subtract 1 from it; 65535 remains and this is what is in the sixteenth term.
+::All the numbers from 1 to 4 should be summed; they are ten
-|style="text-align:right;"|תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל המספרים אשר &#x202B;<ref>231r</ref>מא' עד ד' שהם עשרה
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S_{16}=\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}=\left(4096\sdot16\right)-1={\color{red}{6}}5536-1=65535}}</math>
 |-
 |
-:If you want to know the second consecutive term:
+::Then, take 2-thirds of 4 plus a third; it is 3.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח ב' שלישיות ד' עם תוספת שליש שהם ג&#x202B;'
 |-
 |
-:Multiply what you receive by 4; you receive the second consecutive term.
+::Multiply 3 by 10; it is 30.
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+2}=4\sdot a_n}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ג' על י' ויהיו ל&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני
-|-
-|
-:*Example: now that you know the 16th term, which is 65536 with the addition of 1, multiply this number by 4; you receive 262144 and this is the 18th term.
-|style="text-align:right;"|דמיון עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח
 |-
 |colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{18}=\sum_{i=1}^{18} 2^{i-1}+1=4\sdot a_{16}=4\sdot65536=262144}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} i^2=1^2+\ldots+4^2=\left(\sum_{i=1}^{4} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)+\frac{1}{3}\right]=10\sdot3=30}}</math>
 |-
 |
-:Likewise you can always know also the third consecutive term:
+:{{#annot:1-5|672|HKRB}}27) Question: if you want to sum up all the squares [of the numbers] from 1 to 25
-|style="text-align:right;"|וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25</math>
+|style="text-align:right;"|כז) <big>שאלה</big> אם תרצה לחבר כל המרובעים אשר הם מא' עד כ"ה{{#annotend:HKRB}}
 |-
 |
-:If you multiply the number by 8.
+::Sum up all the numbers; they are 15.
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+3}=8\sdot a_n}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר כל המספרי' והנם ט"ו
-|style="text-align:right;"|אם תכפול המספר על ח&#x202B;'
 |-
 |
-:Also if you multiply the number by 32 you receive the fifth consecutive term.
+::Take 2-thirds of 5 plus a third; it is 3 and 2-thirds.
-:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+5}=32\sdot a_n}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח ב' שלישיות ה' עם תוספת שלישית ויהיו ג' וב' שלישיות
-|style="text-align:right;"|ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה&#x202B;'
 |-
 |
-::I.e. if you multiply 262144, which is the 18th term, by 32, the result is 8388608 and this is the 23rd term, since you add five [terms] to the 18th term [?].
+::Multiply it by 15; it is 55.
-|style="text-align:right;"|ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ט"ו ויעלה נ"ה
 |-
 |colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{18+5}=a_{23}=32\sdot a_{18}=32\sdot262144=8388608}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{5} i^2=1+\ldots+25=\left(\sum_{i=1}^{5} i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot5\right)+\frac{1}{3}\right]=15\sdot\left(3+\frac{2}{3}\right)=55}}</math>
 |-
 |
-:This way you can known the squares of the chessboard, which are 64.
+*<span style=color:Green>'''sum of squares: first term is not 1'''</span>
-:<span style=color:Green>[= the sums of the powers of two, i.e. the even-eimes-even numbers, signify the squares of the chessboard].</span>
+|
-|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד
 |-
 |
+:{{#annot:4-8|672|VWnE}}28) Question: sum up [the squares] from the square of [4] to the square of 8.
-=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish</span> ===
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2</math>
+|style="text-align:right;"|כח) <big>שאלה</big> ואלו אמר קבץ ממרובע ג' עד מרובע ח&#x202B;'{{#annotend:VWnE}}
+|-
 |
+::All the squares [of the numbers] from 1 to 8 should be summed; they are 204.
+|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ כל המרובעים אשר הם מא' עד ח' שהם ר"ד
 |-
 |
-:{{#annot:fish|664|G5kX}}42) Question: three men wanted to buy a fish for a price of 17 pešuṭim.
+::Then, sum up the squares [of the numbers] from 1 to 3
-:The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקבץ המרובעים מא' עד ג&#x202B;'
-:The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have.
-:The third said: I will give mine and you will give a quarter of your money.
-:I ask: how much did each have?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|מב) שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים<br>
-אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם<br>
-אמר השני אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו שליש שלכם<br>
-אמר השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית ממונכם<br>
-אשאל כמה היה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:G5kX}}
 |-
 |
-::The answer: we look for a number, such that we can add to it and it will be a half, two-thirds and 3-quarters of the number resulting from the addition.
+::Subtract 14 from 204; the remainder is 190 and this is the required.
-|style="width:45%; text-align:right;"|התשובה נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה
+|style="text-align:right;"|ותפיל י"ד מן ר"ד הנשאר ק"ץ והוא המבוקש
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=4}^{8} i^2=4^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{8} i^2\right)-\left(\sum_{i=1}^{3} i^2\right)=204-14=190}}</math>
 |-
 |
-::Since the price of the fish is 17 pešuṭim, which is greater than 12, the required number is less than 12. When we add 12, which is the denominator, to the price of the fish, which is 17, the result is 29 and this is the total amount of money of all.
+*<span style=color:Green>'''sum of the squares of even numbers'''</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c=17+12=29}}</math>
-|style="text-align:right;"|ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם
-|-
 |
-::When the fish is bought, two have 12 pešuṭim, i.e. after you subtract 17 pešuṭim from 29.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{29-17=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט
 |-
 |
-::When we add to 12 a half of twice what is left in his hand, it is 24. Its complement to 29 is 5 and this is the amount of money of the first.
+:{{#annot:2-8|1125|FdKc}}29) Question: if you want to sum up all the squares of the even numbers from 2 to 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\longrightarrow a+24=29\longrightarrow a=5}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2</math>
-|style="text-align:right;"|וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון
+|style="text-align:right;"|כט) <big>שאלה</big> אם תרצה לקבץ כל המרובעים אשר הם מב' עד ח' {{#annot:term|2494,1976|hVPL}}על המשך{{#annotend:hVPL}} הזוגות{{#annotend:FdKc}}
 |-
 |
-::When we add 6 to 12, it is 18, so that 12 is its two-thirds. Its complement to 29 is 11 and this is the amount of money of the second.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^2=\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2n\right)+\frac{2}{3}\right]}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot\left(12+6\right)\longrightarrow b+18=29\longrightarrow b=11}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני
-|-
 |
-::When we add only 4 to 12, it is 16, so that [12] is its three-quarters. Its complement to 29 is 13 and this is the amount of money of the third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot\left(12+4\right)\longrightarrow c+16=29\longrightarrow c=13}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט י"ג והוא ממון השלישי
 |-
 |
+::All the even numbers from 2 to 8 should be summed; they are twenty.
-=== <span style=color:Green>Find a Number</span> ===
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל הזוגות אשר הם מב' עד ח' שהם עשרים
-|
 |-
 |
-:{{#annot:(3a/4)/4=4/6|728|mnbD}}43) Question: find me a number such that when multiplied by 3 then divided by 4 the ratio of the remainder to 4 is the same as the ratio of 4 to 6.
+::Then, take 2-thirds of 8 plus 2-thirds; it is 6 integers.
-:<math>\scriptstyle\frac{3a}{4}:4=4:6</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שני שלישי ח' עם תוספת ב' שלישיות א' ויהיו ו' שלמים
-|style="text-align:right;"|מג) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו&#x202B;'{{#annotend:mnbD}}
 |-
 |
-::The answer: we take any number you want: [for instance], we take 6. We multiply it by 3; it is 18. Divide 18 by 4; the result is 4 and a half.
+::Multiply it by 20; it is 120 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול אותם על כ' ויהיו ק"כ והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|התשובה נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי
 |-
-|
+|colspan=2|
-::It is known that the ratio of 4 to 6 is 2-thirds.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{4} \left(2i\right)^2=2^2+\ldots+8^2=\left(\sum_{i=1}^{4} 2i\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot2\sdot4\right)+\frac{2}{3}\right]=\left(2+\ldots+8\right)\sdot\left[\left(\frac{2}{3}\sdot8\right)+\frac{2}{3}\right]=20\sdot6=120}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we look for a number that is 2-thirds of 4, then we say: if the 6 we assumed to be the number gives us 4 and a half, which number gives me 2 and 2-thirds that are 2-thirds of 4?
+*<span style=color:Green>'''sum of the squares of odd numbers'''</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(4+\frac{1}{2}\right)=a:\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)=a:\left(2+\frac{2}{3}\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד&#x202B;'
-|-
 |
-::Multiply 2 and 2-thirds by 6; the result is 16.
-|style="text-align:right;"|כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו
 |-
 |
-::Divide the product by 4 and a half; the result is 3 and 5 parts of 9.
+:{{#annot:1-7|1126|sUpB}}30) Question: sum up the squares of the odd numbers from 1 to 7
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}{4+\frac{1}{2}}=\frac{16}{4+\frac{1}{2}}=3+\frac{5}{9}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2=1^2+\ldots+7^2</math>
-|style="text-align:right;"|והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ל) <big>שאלה</big> קבץ ממרובע א' עד מרובע ז' על המשך הנפרדים{{#annotend:sUpB}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> So, when you multiply 3 times 3 and 5 parts of 9, then divide the product by 4, you receive 2 and 2-thirds and its ratio to 4 is as the ratio of 4 to 6.
+::Sum up all the odd numbers until 7; they are 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot\left(3+\frac{5}{9}\right)}{4}:4=\left(2+\frac{2}{3}\right):4=4:6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר כל הנפרדים אשר הם עד ז' והנם י"ו
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות<br>
-ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו&#x202B;'
 |-
 |
+::Subtract a third of 16 plus 2 parts of 12; or subtract from 15 it third.
-=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish</span> ===
+|style="text-align:right;"|אח"כ תפיל שלישית י"ו עם תוספת ב' חלקים מי"ב<br>
+או תפיל מט"ו שלישיתם
-|
 |-
 |
-:{{#annot:fish|664|sOav}}44) Question: three men wanted to buy a fish for 20 minyanim.
+::[Subtract 15 from] 16; 1 remains.
-:The first said: I will give all of my money and you will give a half of what you have.
+|style="text-align:right;"|וישאר עד י"ו א&#x202B;'
-:The second said: I will give all of my money and you will give a third of you money.
-:The third said: I will give all of my money and you will give a quarter of your money.
-:How much did each have?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=20\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=20\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=20\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|מד) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים<br>
-אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם<br>
-אמר השני אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם<br>
-אמר השלישי אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם<br>
-כמה לכל אחד ואחד{{#annotend:sOav}}
 |-
 |
-::The answer: this question should be deduce from the question above, only that in the one above the price was 17 and in the present it is 20.
+::Then, subtract from this 1 its half and add it to 2-thirds of 15; it is 10 and a half.
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|אח"כ תפיל מזה הא' מחציתו וחבר אותו עם ב' שלישיות ט"ו ויהיו י' וחצי
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, we say: if 17 yields 5, which is the amount of the one that asks his friends to give him a half of their money, how much is twenty equal to?
+::Add 1 to 7; it is 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:5=20:a}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף א' על ז' ויהיו ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים
 |-
 |
-::You receive 5 integers and 15 parts of 17.
+::Multiply is by 10 and a half; you receive 84.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\frac{15}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והכם בי' וחצי ויצא לך פ"ד
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^2=\left[\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^n \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left[\left(2n-1\right)+1\right]}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{4} \left(2i-1\right)^2&\scriptstyle=1^2+\ldots+7^2=\left[\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]-\left[\left[\frac{1}{3}\sdot\left[\sum_{i=1}^4 \left(2i-1\right)\right]\right]+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot\left(7+1\right)\\&\scriptstyle=\left[16-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)+\frac{2}{12}\right]\right]\sdot8=\left[\left[15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)\right]+\left[\left(16-15\right)-\frac{1}{2}\sdot\left(16-15\right)\right]\right]\sdot8\\&\scriptstyle=\left[\left(\frac{2}{3}\sdot15\right)+\left[1-\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)\right]\right]\sdot8=\left(10+\frac{1}{2}\right)\sdot8=84\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, say: if 17 yields 11, which is the share of the one that wants his friends to give him a third of their money, how much is twenty equal to?
+*<span style=color:Green>'''sum of cubes'''</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:11=20:b}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים
 |-
 |
-::You receive 12 and 16 parts of 17.
+:{{#annot:1-7|673|nV2h}}31) Question: sum up from the cube of 1 to the cube of 7
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=12+\frac{16}{17}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז
+|style="text-align:right;"|לא) <big>שאלה</big> קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב ז&#x202B;'{{#annotend:nV2h}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, say: if 17 gives me 13, which is the share of the one that asks his friends to give him a quarter [of their money], how much twenty gives me?
+::Know that the cubes are 1 time 1, 1 time 2, 1 time 3, 1 time 4, and so on until 7; then take 2 and multiply it by all the numbers from 1 to 7; then multiply 3 by 1 to 7; then 4, and so on until the end of the numbers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:13=20:c}}</math>
+|style="text-align:right;"|ודע כי מעוקב ר"ל א' פעם א' א' פעם ב' א' פעם ג' א' פעם ד' וכן עד ז&#x202B;'<br>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים
+ואח"כ תקח הב' ותכה אותו עם כל המספרים מא' עד ז&#x202B;'<br>
+ואח"כ תכה הג' מא' עד ז&#x202B;'<br>
+וכן הד' וכן עד כלות כל המספרים
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} i^3&\scriptstyle=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=\sum_{i=1}^{7} \left(i\sdot\sum_{j=1}^{7} j\right)\\&\scriptstyle=\left(1\sdot1\right)+\left(1\sdot2\right)+\left(1\sdot3\right)+\left(1\sdot4\right)+\ldots+\left(1\sdot7\right)+\left(2\sdot1\right)+\ldots+\left(2\sdot7\right)+\left(3\sdot1\right)+\ldots+\left(3\sdot7\right)\\&\scriptstyle+\left(4\sdot1\right)+\ldots+\left(4\sdot7\right)+\ldots\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::You receive 15 and 5 parts of 17 and this is the amount of money of the third.
+::If you want to know the total sum, you should sum up all the [numbers] from 1 to 7; they are 28.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=15+\frac{5}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת סך העולה ראוי לחבר כל הנפרדים אשר הם מא' עד ז' והם כ"ח
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא ממון השלישי
 |-
 |
-::You can check it and you will find it is correct.
+::Then, take the square of 28, which is 784, and this is the sum of all the cubes from 1 to 7.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{7} i^3=1^3+\ldots+7^3=\left(\sum_{i=1}^{7} i\right)^2=28^2=784}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח מרובע כ"ח שהם תשפ"ד וכן הוא חבור כל המעוקבים מא' עד ז&#x202B;'
 |-
 |
+*<span style=color:Green>'''square of sum of natural numbers: number of terms \ last term is unknown'''</span>
-=== <span style=color:Green>Pursuit Problem</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three men|657|IgaH}}45) Question: a man sent three messengers to walk a distance of 300 miles, then return and walk again back and forth.
+:{{#annot:5-12|673|SUpM}}32) Question: sum up from the cube of 5 to the cube of 12.
-:End to end there are 300 miles.
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3</math>
-:He sent them one the same day, same hour, same minute.
+|style="text-align:right;"|לב) <big>שאלה</big> קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב י"ב{{#annotend:SUpM}}
-:The first walks 20 miles, the second 25, and the third 32.
-:We wish to know: when will they reach each other?
-|style="text-align:right;"|מה) שאלה אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב<br>
-ומקצה ועד קצה הם ש' מילין<br>
-ושלחם ביום אחד בשעה אחת וברגע אחד<br>
-ומהלך א' מהם הוא כ' מילין והשני כ"ה והשלישי ל"ב<br>
-נרצה לדעת מתי ישיגו זה את זה{{#annotend:IgaH}}
 |-
 |
-::The answer: we have to divide the 300 by 20, which is what the first walks [a day]; the result is 15. So, he walks 300 miles in 15 days.
+::Sum up all the cube numbers from 1 to 12; they are 6084.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{20}=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקבץ כל המעוקבים מא' עד י"ב שהם ו' אלפים ופ"ד
-|style="text-align:right;"|התשובה יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות מילין
 |-
 |
-::We also divide 300 by 25; the result is 12. So [the second] walks [300 miles] in 12 days.
+::Then, sum up all the cube numbers from 1 to 4; they are 100.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{25}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקבץ כל המעוקבים אשר הם מא' עד ד' שהם ק&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך
 |-
 |
-::Multiply 12 by 15; the result is 180. So, the two will meet each other in 180 days.
+::Subtract it from 6084; the remainder is 5984 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot15=180}}</math>
+|style="text-align:right;"|תפילם מו' אלפים ופ"ד הנשאר ה' אלפים וט' מאות ופ"ד והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=5}^{12} i^3=5^3+\ldots+12^3=\left(\sum_{i=1}^{12} i^3\right)-\left(\sum_{i=1}^{4} i^3\right)=6084-100=5984}}</math>
 |-
 |
-::One should find a number such that when you divide it by 32 it will be reduced, i.e. we must find a number and multiply it by 300, then divide the result by 32 and the result will be reduced.
+*<span style=color:Green>'''sum of cubes: number of terms \ last term is unknown'''</span>
-::So, we multiply 180 by 300 and the result is 54000.
+|
-::Therefore, the three will meet each other in 54000 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{180\sdot300=54000}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם<br>
-על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, multiply 54000 by 20, which is what the first walks [a day], then divide the result by 300 and it is reduced.
+:{{#annot:aₙ, 1, 225|673|mrIH}}33) Question: we summed up all the cubes from 1 to an unknown number and the sum is 225.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot20}{300}}}</math>
+:How much is the unknown number?
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} i^3=225</math>
+|style="text-align:right;"|לג) <big>שאלה</big> אם אמר קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר רכ"ה<br>
+כמה הוא המספר הנעלם{{#annotend:mrIH}}
 |-
 |
-::Multiply also 54000 by 25, then divide the result by 300 and it is reduced.
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\sum_{i=1}^{n} i^3=a\longrightarrow\sum_{i=1}^{n} i=\sqrt{a}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot25}{300}}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
 |-
 |
-::Multiply also 54000 by 32, then divide the result by 300 and it is reduced.
+::The root of the total sum should be extracted, i.e. the root of 225; its root of 15.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot32}{300}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{225}=15}}</math>
-|style="text-align:right;"|ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ מצומצם
+|style="text-align:right;"|ראוי הוא לקחת שרש סך החשבון &#x202B;<ref>231v</ref>ר"ל שרש רכ"ה והנה שרשו ט"ו
 |-
 |
+::Then, deduce this question from the sum of the numbers, meaning: we sum up all the numbers from 1 to an unknown number and the resulting sum is 15; you receive 5 and this is the required.
-=== Questions of R. Levi Ben Gershon ===
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} i=15\longrightarrow n=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקיש זאת השאלה אל קבוץ המספרים ולומר קבצנו כל המספרים אשר הם מא' עד מספר נעלם ועלה המחובר ט"ו יצא לך ה' והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|שאלות מר' ל[וי] בן גרשו[ם]
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ====
+:Know that if you do not find an integer root for the mentioned number, your calculation is incorrect.
-|
+|style="text-align:right;"|ודע שאם לא תמצא שרש שלם כמספר שהזכיר דע כי טעית בחשבון
 |-
 |
-:{{#annot:³/₇a+⁴/₅a=⅔a+¼a+20|618|SkQW}}46) Question: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty.
+*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers</span>'''
-:We wish to know: how much is the number?
+:<span style=color:Green>[though the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]</span>
-:<math>\scriptstyle\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a=\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a+20</math>
-|style="text-align:right;"|מו) שאלה ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ&#x202B;'<br>
-רצינו לדעת כמה המספר הנעלם{{#annotend:SkQW}}
-|-
 |
-::The answer: the denominator is 420; its 3-sevenths plus its 4-fifths is 516.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)=516}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה המורה הוא ת"כ וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו
 |-
 |
-::Its 2-thirds plus its quarter is 385.
+:{{#annot:1-13|1128|kjWM}}34) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 1 to 13.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)=385}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)^3=1^3+\ldots+13^3</math>
-|style="text-align:right;"|וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה
+|style="text-align:right;"|לד) <big>שאלה</big> אם נשאל לך קבץ לי ממעוקב א' עד מעוקב י"ג כדרך הנפרדים{{#annotend:kjWM}}
 |-
 |
-::The former parts exceed over the later [parts] by 131.
+::All the odd numbers from 1 to 13 should be sum up; they are 49.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{516-385=131}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לחבר כל הנפרדים מא' עד י"ג ויהיו מ"ט
-|style="text-align:right;"|הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply the denominator by twenty, then divide the product by 131; the result is 64 integers and 16 parts of 131 and this is the required.
+::Then, the square of 49 should be taken; it is 2401 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{420\sdot20}{131}=64+\frac{16}{131}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{7} \left(2i-1\right)\right]^2=49^2=2401}}</math>
-|style="text-align:right;"|ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|וראוי לקחת מרובע מ"ט ויהיו ב' אלפים וד' מאות וא' והוא המבוקש
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Pursuit Problem</span> ====
+*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers: first term is not 1</span>'''
+:<span style=color:Green>[again the question points to the sum of cubes of odd numbers, the solution actually indicates the square of the sum of odd numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:one walker - distance|657|Late}}47) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
+:{{#annot:5-9|1128|79pn}}35) Question: sum up the cubes of the odd numbers from 5 to 9.
-:We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)^3=5^3+\ldots+9^3</math>
-:<math>\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left({\color{red}{7}}+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a</math>
+|style="text-align:right;"|לה) <big>שאלה</big> אם ישאל לך אדם קבץ לי ממעוקב ה' עד מעוקב ט' על המשך הנפרדים{{#annotend:79pn}}
-|style="text-align:right;"|מז) שאלה המתנועע מתנועע בי"ג ימים '''י"'''ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים{{#annotend:Late}}
 |-
 |
-::The answer: we convert the days into hours.
+::You should sum all the odd numbers from 5 to 9; they are 21.
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה נשיב הימים שעות
+|style="text-align:right;"|ראוי לך לקבץ כל המספרים הנפרדים שהם מה' עד ט' והנם כ"א
 |-
 |
-::The first time is 312.
+::Take its square; the result is 441.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot24=312}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=3}^{5} \left(2i-1\right)\right]^2=21^2=441}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה הזמן הראשון שי"ב
+|style="text-align:right;"|וקח מרובעם ויעלה תמ"א
 |-
 |
-::The second time is 89, 52 primes and 16 seconds.
+*'''<span style=color:Green>square of sum of odd numbers: number of terms \ last term is unknown</span>'''
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''=89+52'+16''}}</math>
+:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of odd numbers, while the solution implies the square of the sum of odd numbers]</span>
-|style="text-align:right;"|והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
+|
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply 7 integer, 36 primes and 57 seconds by 89 integer, 52 primes and 16 seconds, then divide the product by 312; the result is 2 integer, 10 primes and 56 seconds and this is length of the path he walks in the second given time.
+:{{#annot:aₙ, 1, 256|1128|3zw4}}36) Question: we sum up all the cubes of the odds from 1 until an unknown number and the result is 256.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(7+36'+57''\right)\sdot\left(89+52'+16''\right)}{312}=2+10'+56''}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)^3=256</math>
-|style="text-align:right;"|ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני
+|style="text-align:right;"|לו) <big>שאלה</big> קבצנו כל המעוקבים מא' עד מספר נעלם על דרך הנפרדים ועלה רנ"ו{{#annotend:3zw4}}
 |-
 |
-:{{#annot:one walker - time|657|q7J0}}48) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
+::Extract the root of 256; the result is 16.
-:We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)\right]^2=256}}</math>
-:<math>\scriptstyle\left(7+36'+57''\right):\left(13\sdot24\right)=3:a</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{256}=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|מח) שאלה המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך{{#annotend:q7J0}}
+|style="text-align:right;"|לקחת שרש רנ"ו ויעלו י"ו
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply 3 measures by 312 integers, then divide the product by 7 integers, 36 minutes and 57 seconds; the result is 122 hours, 54 minutes and 17 seconds and this is the required, i.e. the unknown time.
+::Then, one should deduce and say: we sum up all the odd numbers from 1 to an unknown number; the result is 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{3\sdot312}{7+36'+57''}=122+54'+17''}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי להקיש ולומ' חברנו כל הנפרדים מא' עד מספר נעלם ועלה י"ו
-|style="text-align:right;"|ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם
 |-
 |
-:{{#annot:two walkers|657|bcfB}}49) Question: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the slower is 29 measures and 45 minutes.
+::The way is that you multiply 16 four times; it is 64.
-|style="text-align:right;"|מט) שאלה מהלך אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים
+|style="text-align:right;"|הנה הדרך שתכפול י"ו ד' פעמים ויהיו ס"ד
 |-
 |
-::The excess of the faster walker over the slower walker in one hour is 1 measure, 30 primes and 13 [seconds]. We divide the given distance by it; the result is 19 hours, 47 minutes and 49 seconds and this is the required.
+::Extract its root; it is 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29+45'}{\left(2+37''\right)-\left(30'+24''\right)}=\frac{29+45'}{1+30'+13''}=19+47'+49''}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והנם ח&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש{{#annotend:bcfB}}
 |-
 |
+::Subtract one from it; the remainder is 7 and this is the required.
-==== <span style=color:Green>Purchase Problems</span> ====
+|style="text-align:right;"|תגרע ממנו אחד הנשאר ז' והוא המבוקש
-|
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} \left(2i-1\right)=16\longrightarrow 2n-1=\sqrt{4\sdot16}-1=\sqrt{64}-1=8-1=7}}</math>
 |-
 |
+*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers</span>'''
-===== <span style=color:Green>Equal Amount</span> =====
+:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of even numbers, the solution indicates to the square of the sum of even numbers]</span>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:four drugs|642|VvMq}}50) Question: the merchant is selling four drugs.
+:{{#annot:2-12|1127|jOk3}}37) Question: sum up the cubes of the even numbers from 2 to 12.
-:The price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra.
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)^3=2^3+\ldots+12^3</math>
-:The price of the second drug is 8 pešuṭim for a liṭra.
+|style="text-align:right;"|לז) <big>שאלה</big> קבץ ממעוקב ב' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות{{#annotend:jOk3}}
-:The price of the third drug is 10 pešuṭim for a liṭra.
-:The price of the fourth drug is 15 pešuṭim for a liṭra.
-:The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar
-:<math>\scriptstyle\frac{7}{12}x+\frac{8}{12}x+\frac{10}{12}x+\frac{15}{12}x=3</math>
-|style="text-align:right;"|נ) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים<br>
-ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הסם השני ח' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הסם השלישי י' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הסם הרביעי ט"ו פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-ובא הקונה לקנות בג' דינרין משקל שוה מכל א' מהסמים{{#annotend:VvMq}}
 |-
 |
-::He buys one liṭra from each for 3 dinar and 4 pešuṭim.
+::You should sum up all the [even] numbers from 2 to 12; they are 42.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}+\frac{8}{12}+\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=3+\frac{4}{12}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך לחבר כל המספרים מב' עד י"ב ויהיו מ"ב
-|style="text-align:right;"|והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח ליט' מכל א&#x202B;'
 |-
 |
-::The ratio of 3 dinar to 3 dinar and 4 pešuṭim is 9-tenths and so he buys from each [type of] drug, i.e. 9-tenths of a liṭra.
+::Then, take its square; it is 1764.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3:\left(3+\frac{4}{12}\right)=\frac{9}{10}}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=1}^{6} \left(2i\right)\right]^2=42^2=1764}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקח מרובעם שהם אלף תשס"ד
 |-
 |
-::The total price is 3 dinar and you can check it.
+*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers: first term is not 1</span>'''
-|style="text-align:right;"|ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו
+:<span style=color:Green>[the question points to the sum of cubes of even numbers, the solution deals with the square of the sum of even numbers]</span>
-|-
 |
-:{{#annot:four drugs|642|CRbs}}51) Question: the merchant is selling four drugs -
-:the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra,
-:the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra,
-:the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra,
-:and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.
-:We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one
-:<math>\scriptstyle2a=3b=12c=20d</math>
-|style="text-align:right;"|נא) שאלה הסוחר מוכר מד' סמים<br>
-ערך הא' ב' דינרין הליט&#x202B;'<br>
-וערך האחר ג' דינרין הליט&#x202B;'<br>
-ומהאחר י"ב דינרין הליט&#x202B;'<br>
-והאחרת כ' דינרין הליט&#x202B;'<br>
-ורצינו לדעת כמה מן הליט' יילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה{{#annotend:CRbs}}
 |-
 |
-::Write the prices of the 3 liṭra in the first line, it is: [2], 2, 12, 20.
+:{{#annot:4-12|1127|mv1u}}38) Question: sum up the cubes of the even numbers from 4 to 12.
-|style="text-align:right;"|והנה תכתוב בטור א' ערכי הליט' והוא '''א''''ג'י"ב כ&#x202B;'
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)^3=4^3+\ldots+12^3</math>
+|style="text-align:right;"|לח) <big>שאלה</big> קבץ ממעוקב ד' עד מעוקב י"ב על המשך הזוגות{{#annotend:mv1u}}
 |-
 |
-::In the line below it, it is always according to the mentioned order, meaning write [3 beneath] 2 and 2 beneath 3, also 20 beneath 12 and 12 beneath 20.
+::All the even numbers from 4 to 12 should be summed; they are 40.
-|style="text-align:right;"|ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב&#x202B;' וגם כן הנה תכתוב תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב
+|style="text-align:right;"|ראוי לקבץ כל המספרים מהזוגות שהם מד' עד י"ב שהם מ&#x202B;'
 |-
 |
-::Then take the smallest numbers of these ratios, i.e. the ratio of 2 to 3, the ratio of 12 to 3, and the ratio of 20 to 12.
+::Take the square of 40; it is 1600 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\sum_{i=2}^{6} \left(2i\right)\right]^2=40^2=1600}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח מרובע מ' שהוא אלף ות"ר והוא המבוקש
 |-
 |
-::The ratio of 20 to 30 is the same as the ratio of 3 to 2.
+*'''<span style=color:Green>square of sum of even numbers: number of terms \ last term is unknown</span>'''
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}</math>
+:<span style=color:Green>[the question deals with the sum of cubes of even numbers, while the solution concerns the square of the sum of even numbers]</span>
-|style="text-align:right;"|וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב&#x202B;'
-|-
 |
-::The ratio of 20 to 5 is the same as the ratio of 12 to 3.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:5=12:3}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג&#x202B;'
 |-
 |
-::The ratio of 5 to 3 is the same as the ratio of 20 to 12.
+:{{#annot:aₙ, 2, 400|1127|aCf5}}39) Question: we sum up all the cubes of the evens from 2 until an unknown number and the sum is 400.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:3=20:12}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{n} \left(2i\right)^3=400</math>
-|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב
+|style="text-align:right;"|לט) <big>שאלה</big> אם יאמר לך קבצנו כל המעוקבים מב' עד מספר נעלם על דרך הזוגות ועלה המחובר ד' מאות{{#annotend:aCf5}}
 |-
 |
-::So, take 30 livre from the drug whose price is 2 dinar, and this is the number opposite to it.
+::The way is that you extract the root of 400; it is twenty.
-|style="text-align:right;"|ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\sum_{i=1}^{n} 2i\right)^2=400}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{400}=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה הדרך בזה שתקח שרש ד' מאות והוא עשרים
 |-
 |
-::From the drug whose price is 3 dinar take 20 liṭra.
+::Then, say: we sum up all the even numbers from 2 to an unknown number and the resulting sum is twenty. How much is the unknown number?
-|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואח"כ תאמר חברנו כל הזוגות שהם מב' עד מספר נעלם ועלה המחובר עשרי&#x202B;'<br>
+כמה הוא המספר הנעלם
 |-
 |
-::From the drug whose price is 20 dinar take 3 liṭra.
+::Twenty should be multiplied by 4; then 1 should be added to the product; the total is 81.
-|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול עשרים על ד' ולהוסיף על המחובר א' ויהיה בין הכל פ"א
 |-
 |
-::The total price of what you take from each is the same.
+::Extract its root; it is 9.
-|style="text-align:right;"|ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה
+|style="text-align:right;"|וקח שרשו והוא ט&#x202B;'
 |-
 |
-::If the price of one of the drugs is a number of pešuṭim, you should make sure in this mentioned way to convert the price of the remaining drugs into pešuṭim.
+::Always subtract 1 from the root; 8 remains.
-|style="text-align:right;"|וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים
+|style="text-align:right;"|ולעולם תפיל מן השרש א' וישאר ח&#x202B;'
 |-
-|
+|colspan=2|
-:{{#annot:three drugs|642|2QXZ}}52) Question: the merchant is selling three drugs -
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{n} 2i=20\longrightarrow 2n=\sqrt{\left(4\sdot20\right)+1}-1=\sqrt{80+1}-1=\sqrt{81}-1=9-1=8}}</math>
-:the price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra,
-:the price of the second drug is 10 pešuṭim for a liṭra,
-:and the price of the third drug is 20 pešuṭim for a liṭra.
-:The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others.
-:<math>\scriptstyle2a=3b=12c=20d</math>
-|style="text-align:right;"|נב) שאלה הסוחר מוכר מג' סמים<br>
-ערך הא' ז' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הב' י' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הג' כ' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מא' מהם כמו ערך מה שיקח מכל א' מהאחרים{{#annotend:2QXZ}}
 |-
 |
-::The smallest numbers taken of each, so that their prices are the same, are 20, 14, and 7. Their sum is 41 and these are the parts of the liṭra.
+*<span style=color:Green>'''sum of even-times-even numbers'''</span>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20+14+7=41}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט&#x202B;'
-|-
 |
-::Of these parts, 20 parts are taken of the drug whose price is 7 pešuṭim for a liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{41}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים
 |-
 |
-::14 parts are taken of the drug whose price is 10 pešuṭim for a liṭra.
+:{{#annot:1-128|674|29bw}}40) Question: if you want to know the sum of 1, 2, 4, 8, 16, and so on, each consecutive number is double the preceding number, and the last number is 128.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{41}}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128</math>
-|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים
+|style="text-align:right;"|מ) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת המחובר מא' עם ב' עם ד' עם ח' ועם י"ו וכן לעולם &#x202B;<ref>232r</ref>מוסיף המספר הבא על המספר העבר ב' פעמים כמוהו והמספר האחרון עולה קכ"ח{{#annotend:29bw}}
 |-
 |
-::7 parts are taken of the drug whose price is 2 pešuṭim for a liṭra.
+::128 should be multiplied by 2; the result is 256.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{41}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול קכ"ח על ב' ויעלה רנ"ו
-|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים
 |-
 |
-::The total is 41 parts that are 5 liṭra.
+::Always subtract 1 from it; the remainder is 255 and this is the sought-after.
-|style="text-align:right;"|והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותגרע ממנו לעולם א' והנשאר רנ"ה והוא המבוקש
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{8} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots+128=\left(2\sdot128\right)-1=256-1=255}}</math>
 |-
 |
-::As for the price of the liṭra: take the ratios of the numbers 20, 14, and 7, each to its corresponding. Sum them up; the total is 35 dinar.
+:{{#annot:1-4095|674|GokE}}[41)] If you want to sum 1 with 2, 4, 8, 16, and so on double 12 times.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot20}{12}+\frac{10\sdot14}{12}+\frac{20\sdot7}{12}=35}}</math>
+::<math>\scriptstyle\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}=1+2+4+8+16+\ldots</math>
-|style="text-align:right;"|ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>MS L: מ"א</ref>ואם תרצה לחבר א' עם ב' ועם ד' ועם ח' ועם י"ו וכן תמיד תכפול עד י"ב פעמים{{#annotend:GokE}}
 |-
 |
-::Divide 35 by 41; the result is 10 pešuṭim and 10 parts of 41 of a pašuṭ and this is the required.
+::Sum up until the fourth, i.e. 1, 2, 4, 8; they are 15.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{41}=\frac{10+\frac{10}{41}}{12}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S_4=\sum_{i=1}^{4} 2^{i-1}=1+2+4+8=15}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ראוי לחבר עד ד' ר"ל א' עם ב' ועם ד' ועם ח' והנם ט"ו
 |-
 |
+::Add 1 to 15; they are 16.
-===== <span style=color:Green>Unequal Amount</span> =====
+|style="text-align:right;"|תוסיף על ט"ו א' ויהיו י"ו
+|-
 |
+::Then, multiply 16 by itself; it is 256.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו
 |-
 |
-:{{#annot:two drugs|643|glST}}53) Question: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pešuṭim for a liṭra and the price of the second drug is 24 pešuṭim for a liṭra.
+::Multiply 16 by 256; the result is 4096 and this is the sum of all the terms until the twelfth.
-:The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pešuṭim.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ו על רנ"ו ויצא ד' אלפים וצ"ו והוא מה שבכל הבתים עד י"ב
-:<math>\scriptstyle 17x+24y=19</math>
-|style="text-align:right;"|נג) שאלה הסוחר מוכר משני סמים<br>
-ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך האחר כ"ד פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-ובא הקונה לקנות מדה משניהם ויהיה ערכה י"ט פשוטים{{#annotend:glST}}
 |-
 |
-::The excess of the expensive over the cheaper is 7 and these are the parts of the measure.
+::Always subtract 1; 4095 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-17=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותגרע א' לעולם וישארו ד' אלפים וצ"ה
-|style="text-align:right;"|והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle S_{12}=\sum_{i=1}^{12} 2^{i-1}&\scriptstyle=1+2+4+8+16+\ldots=\left[\left(15+1\right)^2\sdot\left(15+1\right)\right]-1=\left(16^2\sdot16\right)-1\\&\scriptstyle=\left(256\sdot16\right)=4096-1=4095\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::The deficit of the cheaper from 19 is two and these are the parts of the measure he takes from the drug whose price is higher [than 19].
+::You can always know it also, if you multiply what you receive, which is 4096, by 16; the result is 65536.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{19-17}{7}=\frac{2}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לדעת לעולם אם תכפול מה שיצא לך על י"ו שהוא ד' אלפים וצ"ו עלה ס"ה אלפים ותקל"ו
-|style="text-align:right;"|והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף
 |-
 |
-::The excess of the expensive is 5, which are the parts he takes from the drug whose price is lower [than 19].
+::Subtract 1 from it; 65535 remains and this is what is in the sixteenth term.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24-19}{7}=\frac{5}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תגרע מהם א' וישארו ס"ה האלפים ותקל"ה והוא מה שבבית הי"ו
-|style="text-align:right;"|והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר
 |-
-|
+|colspan=2|
-::The price of the measure is 19 pešuṭim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{S_{16}=\sum_{i=1}^{16} 2^{i-1}=\left(4096\sdot16\right)-1={\color{red}{6}}5536-1=65535}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים
 |-
 |
-:{{#annot:seven drugs|643|gS7o}}54) Question: the merchant sells 7 drugs:
+:If you want to know the second consecutive term:
-:the price of the first drug is 3 pešuṭim for a liṭra.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת מכל ב' בתים
-:the price of the second drug is 5 pešuṭim.
-:the price of the third drug is 8 pešuṭim.
-:the price of the fourth drug is 11 pešuṭim.
-:the price of the fifth drug is 15 pešuṭim.
-:the price of the sixth drug is 19 pešuṭim.
-:the price of the seventh drug is 28 pešuṭim.
-:The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pešuṭim.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle3x_1+5x_2+8x_3+11x_4+15x_5+19x_6+28x_7=15\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|נד) שאלה הסוחר מוכר מז' סמים<br>
-ערך הא' ג' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
-וערך הב' ה' פשוטים<br>
-וערך הג' ח' פשוטים<br>
-וערך הד' י"א פשוטים<br>
-וערך הה' ט"ו פשוטים<br>
-וערך הו' י"ט פשוטים<br>
-וערך הז' כ"ח פשוטים<br>
-ורצה אדם לקנות ליט' א' מכלם בט"ו פשוטים{{#annotend:gS7o}}
 |-
 |
-::[The drugs whose prices] are higher [than 15] are two: the drug whose price is 19 pešuṭim and the drug whose price is 2[8] pešuṭim.
+:Multiply what you receive by 4; you receive the second consecutive term.
-|style="text-align:right;"|והנה המוסיפים הם ב&#x202B;'<br>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+2}=4\sdot a_n}}</math>
-הסם אשר ערכו י"ט פשוטי&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|תכפול מה שיצא לך על ד' ויצא לך מה שבבית השני
-והסם אשר ערכו '''כ"ד''' פשוטים
 |-
 |
-::[The drugs whose prices] are lower [than 15] are four: the one whose price is 3; the one whose price is 5; the one whose price is 8; and the one whose price is 11.
+:*Example: now that you know the 16th term, which is 65536 with the addition of 1, multiply this number by 4; you receive 262144 and this is the 18th term.
-|style="text-align:right;"|והמחסירים הם ד&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> עתה שידעת מה שבבית הי"ו שהוא ס"ה אלפים ותקל"ו עם תוספת א' תכפול אותו המספר על ד' ויצא לך רס"ב אלפים וקמ"ד והוא מה שבבית הי"ח
-אותה אשר ערכה ג&#x202B;'<br>
+|-
-ואשר ערכה ה&#x202B;'<br>
+|colspan=2|
-ואשר ערכה ח&#x202B;'<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{18}=\sum_{i=1}^{18} 2^{i-1}+1=4\sdot a_{16}=4\sdot65536=262144}}</math>
-ואשר ערכה י"א
 |-
 |
-::We put the 3 pešuṭim corresponding to the 19 pešuṭim; the 5 pešuṭim corresponding to the 28 pešuṭim; and since there are still cheaper drugs left and no expensive left, we take the closest to 15, which is the required price, among the expensive, which is 19, and we attach 19 to each of the remaining cheaper [drugs] as you see in this diagram:
+:Likewise you can always know also the third consecutive term:
-|style="text-align:right;"|הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים<br>
+|style="text-align:right;"|וכן תמיד גם מה שבבית הג' תוכל לדעת
-וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים<br>
-ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשארו במוסיפים נקח מהמוסיפים היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג י"ט עם כל א' הנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה
 |-
 |
-::We already know the way to take liṭra from each of these pairs, so that its price will be 15 pešuṭim.
+:If you multiply the number by 8.
-|style="text-align:right;"|וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+3}=8\sdot a_n}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם תכפול המספר על ח&#x202B;'
 |-
 |
-::So, we take 4 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 3 and [1]2 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
+:Also if you multiply the number by 32 you receive the fifth consecutive term.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{16}\sdot3\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}2}{16}\sdot19\right)}}</math>
+:<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{a_{n+5}=32\sdot a_n}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואם תכפול המספר על ל"ב יצא לך מה שבבית הה&#x202B;'
 |-
 |
-::We also take 13 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 5 and 10 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 28.
+::I.e. if you multiply 262144, which is the 18th term, by 32, the result is 8388608 and this is the 23rd term, since you add five [terms] to the 18th term [?].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{13}{23}\sdot5\right)+\left(\frac{10}{23}\sdot28\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ר"ל שאם תכפול רס"ב אלפים וקמ"ד שהוא מה שבבית הי"ח על ל"ב יצא ח' אלפי אלפים וג' מאות ופ"ח אלף וו' מאות וח' והוא מה שבבית הכ"ג מאחר שתוסיף על הבית הי"ח ה' ותגרע א' לעולם מן הסך העולה
-|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט&#x202B;'
 |-
-|
+|colspan=2|
-::We take also 4 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 8 and 7 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_{18+5}=a_{23}=32\sdot a_{18}=32\sdot262144=8388608}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{11}\sdot8\right)+\left(\frac{7}{11}\sdot19\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט&#x202B;'
 |-
 |
-::We take also 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 11 and 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
+:This way you can known the squares of the chessboard, which are 64.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot11\right)+\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot19\right)}}</math>
+:<span style=color:Green>[= the sums of the powers of two, i.e. the even-eimes-even numbers, signify the squares of the chessboard].</span>
-|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מ'''כ'''"ח בליט' ומסם י"ט ד' חלקים מ'''כ"'''ח בליט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תוכל לדעת בתי האשקאקי שהם ס"ד
 |-
 |
-::The number of all these parts is 58.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+23+11+8=58}}</math>
+=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish</span> ===
-|style="text-align:right;"|והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח
-|-
 |
-::We add two parts for the 15 that has no corresponding; they are 60 and these are the parts of the liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{58+2=60}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט&#x202B;'
 |-
 |
-::We take 4 parts from the drug [whose price is] 3 pešuṭim.
+:{{#annot:fish|664|G5kX}}42) Question: three men wanted to buy a fish for a price of 17 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים
+:The first said: I will give all of what I have and you will give a half of what you have.
+:The second said: I will give all of what I have and you will give a third of what you have.
+:The third said: I will give mine and you will give a quarter of your money.
+:I ask: how much did each have?
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=17\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=17\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=17\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|מב) <big>שאלה</big> ג' אנשים רצו לקנות דג אחד במחיר י"ז פשוטים<br>
+אמר הא' אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו חצי מה שבידכם<br>
+אמר השני אני אתן כל מה שבידי ואתם תנו שליש שלכם<br>
+אמר השלישי אני אתן את שלי ואתם תנו רביעית ממונכם<br>
+אשאל כמה היה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:G5kX}}
 |-
 |
-::13 parts from the drug [whose price is] 5.
+::The answer: we look for a number, such that we can add to it and it will be a half, two-thirds and 3-quarters of the number resulting from the addition.
-|style="text-align:right;"|ומסם ה' י"ג חלקים
+|style="width:45%; text-align:right;"|<big>התשובה</big> נבקש מספר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו וג' רביעיותיו והוא המורה
 |-
 |
-::4 parts from the drug [whose price is] 8.
+::Since the price of the fish is 17 pešuṭim, which is greater than 12, the required number is less than 12. When we add 12, which is the denominator, to the price of the fish, which is 17, the result is 29 and this is the total amount of money of all.
-|style="text-align:right;"|ומסם ח' ד' חלקים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+b+c=17+12=29}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור שמחיר הדג י"ז פשוטים והוא יותר מי"ב הנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג והוא י"ז יעלו כ"ט והוא ממון כלם
 |-
 |
-::4 parts from the drug [whose price is] 11.
+::When the fish is bought, two have 12 pešuṭim, i.e. after you subtract 17 pešuṭim from 29.
-|style="text-align:right;"|ומסם י"א ד' חלקים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{29-17=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>232v</ref>וכאשר נקנה הדג הנה ביד שנים מהם י"ב פשוטים ר"ל אחר שתסיר י"ז פשוטים מכ"ט
 |-
 |
-::2 parts from the drug [whose price is] 15.
+::When we add to 12 a half of twice what is left in his hand, it is 24. Its complement to 29 is 5 and this is the amount of money of the first.
-|style="text-align:right;"|ומסם ט"ו ב' חלקים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\longrightarrow a+24=29\longrightarrow a=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר בידו יהיו כ"ד ויש להשלים עד כ"ט ה' וככה ממון הראשון
 |-
 |
-::23 parts from the drug [whose price is] [19].
+::When we add 6 to 12, it is 18, so that 12 is its two-thirds. Its complement to 29 is 11 and this is the amount of money of the second.
-|style="text-align:right;"|ומסם ט"ו כ"ג חלקים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot\left(12+6\right)\longrightarrow b+18=29\longrightarrow b=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר הוספנו על י"ב ו' ויהיו י"ב שתי שלישיותיו ויהיו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"א והוא ממון השני
 |-
 |
-::10 parts from the drug [whose price is] [2]8.
+::When we add only 4 to 12, it is 16, so that [12] is its three-quarters. Its complement to 29 is 13 and this is the amount of money of the third.
-|style="text-align:right;"|ומסם י"ח י' חלקים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot\left(12+4\right)\longrightarrow c+16=29\longrightarrow c=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכאשר הוספנו על על י"ב ד' בלבד בלבד יהיו י"ו עד שיהיו שלש רביעיותיו ממונו עד כ"ט י"ג והוא ממון השלישי
 |-
 |
-::The price of the liṭra is 15 pešuṭim and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש
+=== <span style=color:Green>Find a Number</span> ===
+|
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Payment Problem - Men and Beasts</span> ====
+:{{#annot:(3a/4)/4=4/6|618|mnbD}}43) Question: find me a number such that when multiplied by 3 then divided by 4 the ratio of the remainder to 4 is the same as the ratio of 4 to 6.
+:<math>\scriptstyle\frac{3a}{4}:4=4:6</math>
+|style="text-align:right;"|מג) <big>שאלה</big> תמצא לי מספר אשר כשתכפול על ג' ותחלק על ד' ומה שישאר יהיה יחסו אל ד' כיחס ד אל ו&#x202B;'{{#annotend:mnbD}}
+|-
 |
+::The answer: we take any number you want: [for instance], we take 6. We multiply it by 3; it is 18. Divide 18 by 4; the result is 4 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot6}{4}=\frac{18}{4}=4+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> נבקש איזה מספר שתרצה והנה נבקש מספר ו' נכפול אותו על ג' ויהיו י"ח ותחלק י"ח על ד' ויצאו ד' וחצי
 |-
 |
-:{{#annot:men and beasts|612|IawN}}55) Question: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.
+::It is known that the ratio of 4 to 6 is 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|נה) שאלה ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' פרסאות והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות{{#annotend:IawN}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:6=\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וידוע כי יחס ד' אל ו' ב' שלישיות
 |-
 |
-::The number that consists of the numbers he agreed on, which are 9, 13, 7, 15, 6, is 73710 and it is the reserved.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: we look for a number that is 2-thirds of 4, then we say: if the 6 we assumed to be the number gives us 4 and a half, which number gives me 2 and 2-thirds that are 2-thirds of 4?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot13\sdot7\sdot15\sdot6=73710}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(4+\frac{1}{2}\right)=a:\left(\frac{2}{3}\sdot4\right)=a:\left(2+\frac{2}{3}\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור
+|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים מספר שיהיה ב' שלישיותיו מד' והנה נאמר ככה אם בעד ו' ששמנו המספר שנתן לנו ד' וחצי איזה מספר יתן לי באופן שיבא ב' וב' שלישיות שהם ב' שלישיות ד&#x202B;'
 |-
 |
-::The number that consists of the numbers in practice, which are 8, 17, 6, 11, 7, is 62832.
+::Multiply 2 and 2-thirds by 6; the result is 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot17\sdot6\sdot11\sdot7=62832}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ב' וב' שלישיות על ו' ויעלו י"ו
-|style="text-align:right;"|והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא ס"ב אלפים ותתל"ב
 |-
 |
-::The ratio of 10 liṭra to what he owes to him is the same as the ratio of the reserved to 62832.
+::Divide the product by 4 and a half; the result is 3 and 5 parts of 9.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10:X=73710:62832}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{6\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}{4+\frac{1}{2}}=\frac{16}{4+\frac{1}{2}}=3+\frac{5}{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב
+|style="text-align:right;"|והעולה תחלק על ד' וחצי הנה א"כ העולה ג' וה' חלקים מט&#x202B;'
 |-
 |
-::If you multiply 10 liṭra, which is the first, by the fourth, which is 62832, then divide the product by the reserved, you receive 8 liṭra and a half plus 1785 parts of 62832 of a liṭra, which are 5 pešuṭim and 25850 parts of 73710 of a pašuṭ.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> So, when you multiply 3 times 3 and 5 parts of 9, then divide the product by 4, you receive 2 and 2-thirds and its ratio to 4 is as the ratio of 4 to 6.
-|style="text-align:right;"|ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot\left(3+\frac{5}{9}\right)}{4}:4=\left(2+\frac{2}{3}\right):4=4:6}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ כשתכפול ג' פעמים ג' וה' חלקים מט' והעולה תחלק על ד' יצא לך ב' וב' שלישיות<br>
-|colspan=2|
+ויחסו אל ד' כיחס ד' אל ו&#x202B;'
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot62832}{73710}=8+\frac{1}{2}+\frac{1785}{{\color{red}{73710}}}=8+\frac{1}{2}+\frac{5}{12\sdot20}+\frac{\frac{59850}{73710}}{12\sdot20}}}</math>
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Buy and Sell Problems</span> ====
+=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:parts of a measure|641|hzpB}}56) Question: Reuven bought 2-fifths and [2]-sevenths of a measure for 2 dinar.
+:{{#annot:fish|664|sOav}}44) Question: three men wanted to buy a fish for 20 minyanim.
-::He sold 4-ninths of it for 5 dinar.
+:The first said: I will give all of my money and you will give a half of what you have.
-::He earned 100 dinar.
+:The second said: I will give all of my money and you will give a third of you money.
-::We wish to know: how much was the amount of money?
+:The third said: I will give all of my money and you will give a quarter of your money.
-|style="text-align:right;"|נו) שאלה ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון{{#annotend:hzpB}}
+:How much did each have?
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)=20\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)=20\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)=20\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|מד) <big>שאלה</big> ג' אנשים רוצים לקנות דג אחד כ' מנינים<br>
+אמר הא' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי כל אשר לכם<br>
+אמר השני אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם<br>
+אמר השלישי אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם<br>
+כמה לכל אחד ואחד{{#annotend:sOav}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False position:'''</span> The way is that you take the common denominator for all these fractions of the dinar as well as of the measure, if there are fractions in them. The common denominator for all the fractions in our example is 315 and this is the measure.
+::The answer: this question should be deduce from the question above, only that in the one above the price was 17 and in the present it is 20.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לדמות זאת השאלה לאותה של מעלה אבל אותה של מעלה הנה היה הערך י"ז וזאת הוא כ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלינו הוא שט"ו והוא המדה
 |-
 |
-::Take its 2-fifths and its 2-sevenths; the result is 216.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, we say: if 17 yields 5, which is the amount of the one that asks his friends to give him a half of their money, how much is twenty equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{{\color{red}{2}}}{7}\sdot315\right)=216}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:5=20:a}}</math>
-|style="text-align:right;"|קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו
+|style="text-align:right;"|לכן נאמר אם י"ז יתנו לו ה' שהוא סך מאותו שיבקש שיתנו חבריו חצי ממונם כמה ישוו עשרים
 |-
 |
-::So, he buys 108 parts [of the measure] for a dinar.
+::You receive 5 integers and 15 parts of 17.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{2}=108}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=5+\frac{15}{17}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ה' שלמים וט"ו חלקים מי"ז
 |-
 |
-::Take also its 4-ninths; the result is 140.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, say: if 17 yields 11, which is the share of the one that wants his friends to give him a third of their money, how much is twenty equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot315=140}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:11=20:b}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם י"ז יתנו י"א וזה הוא חלק מאותו שרוצה שיתנו חביריו שליש ממונם כמה ישוו עשרים
 |-
 |
-::So, he sells 70 parts [of the measure] for a dinar.
+::You receive 12 and 16 parts of 17.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{2}=70}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=12+\frac{16}{17}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז
 |-
 |
-::Therefore, he earns 33 parts [of the measure].
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three'''</span>: Then, say: if 17 gives me 13, which is the share of the one that asks his friends to give him a quarter [of their money], how much twenty gives me?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108-70=38}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17:13=20:c}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[אח"כ תאמר אם י"ז יתנו לי י"ג והוא חלק מאותו שמבקש שיתנו חבריו הרביעית כמה יתן לי עשרים
 |-
 |
-::But, the profit is 100 dinar, which is 7000 parts [of the measure].
+::You receive 15 and 5 parts of 17 and this is the amount of money of the third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot70=7000}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=15+\frac{5}{17}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז&#x202B;] והוא &#x202B;<ref>233r</ref>ממון השלישי
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we should find the number whose ratio to 108 is the same as the ratio of 7000 parts to 38 [parts]. The way to find it is already explained.
+::You can check it and you will find it is correct.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X:108=7000:38}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו ותמצאהו נכון
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו
 |-
 |
-::If you divide the result by 70, you find the amount of money plus the profit together.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Pursuit Problem</span> ===
-|style="text-align:right;"|ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד
-|-
 |
-::If you divide the result by 108, which is the total dinar of the acquisition, you find the amount of money and this is clear.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר
 |-
 |
-*{{#annot:parts of a measure|641|5Obf}}Reverse problem: he lost 100 dinar by buying 4-ninths of a measure for 2 dinar and selling 2-fifths and [2]-sevenths of it for 2 dinar.
+:{{#annot:three men|657|IgaH}}45) Question: a man sent three messengers to walk a distance of 300 miles, then return and walk again back and forth.
-|style="text-align:right;"|ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין{{#annotend:5Obf}}
+:End to end there are 300 miles.
+:He sent them one the same day, same hour, same minute.
+:The first walks 20 miles, the second 25, and the third 32.
+:We wish to know: when will they reach each other?
+|style="text-align:right;"|מה) <big>שאלה</big> אדם שלח ג' רצים שילכו מהלך ג' מאות מילין ואח"כ ישובו לאחור וכשיגיעו לאדניהם ילכו גם כן לדרכם וכן תמיד הלוך ושוב<br>
+ומקצה ועד קצה הם ש' מילין<br>
+ושלחם ביום אחד בשעה אחת וברגע אחד<br>
+ומהלך א' מהם הוא כ' מילין והשני כ"ה והשלישי ל"ב<br>
+נרצה לדעת מתי ישיגו זה את זה{{#annotend:IgaH}}
 |-
 |
-::The way is the same, only that when you divide the result by 70, you receive the amount of money.
+::The answer: we have to divide the 300 by 20, which is what the first walks [a day]; the result is 15. So, he walks 300 miles in 15 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{20}=15}}</math>
-|style="text-align:right;"|הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> יש לנו לחלק אלו הג' מאות על כ' שהוא מהלך הראשון ויצא ט"ו א"כ בט"ו ימים ילך ג' מאות {{#annot:mil|1068|ixW6}}מילין{{#annotend:ixW6}}
 |-
 |
-::And if you divide it by 108, you receive what remains after the loss.
+::We also divide 300 by 25; the result is 12. So [the second] walks [300 miles] in 12 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{25}=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד
+|style="text-align:right;"|עוד נחלק ש' על כ"ה ויצא י"ב א"כ בי"ב ימים ילך
 |-
 |
-::If he asks how much is the commodity, divide the result by 385, which are the parts of the measure; [the result] is the measures of the commodity.
+::Multiply 12 by 15; the result is 180. So, the two will meet each other in 180 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{385}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\sdot15=180}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה והם חלקי המדה והנה מדות המקח
+|style="text-align:right;"|וכפול י"ב על ט"ו ויעלו ק"פ א"כ בק"פ ימים יהיו אלו הב' זה אצל זה
 |-
 |
+::One should find a number such that when you divide it by 32 it will be reduced, i.e. we must find a number and multiply it by 300, then divide the result by 32 and the result will be reduced.
-==== <span style=color:Green>Barter Problems</span> ====
+::So, we multiply 180 by 300 and the result is 54000.
+::Therefore, the three will meet each other in 54000 days.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{180\sdot300=54000}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה ראוי למצא חשבון שכשתחלקהו על ל"ב יהיו מצומצם ר"ל שיש לנו למצא מספר ולכפלו נגד ג' מאות ולחלק העולה על ל"ב ויצא מצומצם<br>
+על כן נכפול ק"פ על ג' מאות ויעלה נ"ד אלפים א"כ בנ"ד אלפי' ימים יהיו מחוברים
+|-
 |
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, multiply 54000 by 20, which is what the first walks [a day], then divide the result by 300 and it is reduced.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot20}{300}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול נ"ד אלפים על כ' שהוא מהלך הראשון ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
 |-
 |
-:{{#annot:one commodity for another|634|8U4N}}57) Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.
+::Multiply also 54000 by 25, then divide the result by 300 and it is reduced.
-:The price of some parts of the measure that he offered is so and so.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot25}{300}}}</math>
-:The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול נ"ד אלפים נגד כ"ה ותחלק העולה על ש' ויצא בצימצום
-:He gave a certain number of measures.
-:How much should he receive?
-|style="text-align:right;"|נז) שאלה איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר<br>
-וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה<br>
-וערך חלקים ממה שקבל ככה<br>
-ונתן מספר ככה מן המדות<br>
-כמה ראוי שיקבל{{#annotend:8U4N}}
 |-
 |
-:*{{#annot:one commodity for another|634|b8Ty}}Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for 3-fifths plus 2-ninths of a measure.
+::Multiply also 54000 by 32, then divide the result by 300 and it is reduced.
-::The merchandise that he received is worth 3 dinar for 3 parts of 11 plus 2-sevenths of a measure.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54000\sdot32}{300}}}</math>
-::He gave 20 measures.
+|style="text-align:right;"|ג"כ עוד כפול נ"ד אלפים על ל"ב וחלק העולה על ש' ויצא ג"כ שוה
-::We wish to know: how much should he receive?
-|style="text-align:right;"|והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין<br>
-והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין<br>
-ונתן לו כ' מדות<br>
-ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל{{#annotend:b8Ty}}
 |-
 |
-::The way is that you take the common denominator for all these fractions of the measure and of the dinar, if there are fractions there.
-|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים
+=== Questions of R. Levi Ben Gershon ===
+|style="text-align:right;"|שאלות מר' לוי בן גרשום&#x202B;<ref>marg.</ref>
 |-
 |
-::Take from it the fractions that are taken for one dinar for each of these prices.
+==== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ====
-|style="text-align:right;"|וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין
+|
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> as [ratio of] the parts offered for a dinar to the parts received for a dinar, so is [the ratio of] what he offered to what he received.
+:{{#annot:³/₇a+⁴/₅a=⅔a+¼a+20|618|SkQW}}46) Question: three sevenths and four fifths of the unknown number exceed two thirds and a quarter of the unknown number by twenty.
-|style="text-align:right;"|וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל
+:We wish to know: how much is the number?
+:<math>\scriptstyle\frac{3}{7}a+\frac{4}{5}a=\frac{2}{3}a+\frac{1}{4}a+20</math>
+|style="text-align:right;"|מו) <big>שאלה</big> ג' שביעיות וד' חמישיות המספר הנעלם מוסיפים על ב' שלישיות ורביעית המספר הנעלם כ&#x202B;'<br>
+רצינו לדעת כמה המספר הנעלם{{#annotend:SkQW}}
 |-
 |
-::The common denominator of these fractions is 3465.
+::The answer: the denominator is 4[20]; its 3-sevenths plus its 4-fifths is 516.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9\sdot11\sdot7=3465}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{7}\sdot420\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot420\right)=516}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה המורה הוא ת"ק וג' שביעיותיו עם ד' חמישיותיו הוא תקי"ו
 |-
 |
-::We take its 3-sevenths and [a ninth] [= parts offered for two dinar]; it is 2464.
+::Its 2-thirds plus its quarter is 385.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot3465\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}}{9}\sdot3465\right)=2464}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot420\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot420\right)=385}}</math>
-|style="text-align:right;"|לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד
+|style="text-align:right;"|וב' שלישיותיו הוא ת"ק ורביעיתו הוא שפ"ה
 |-
 |
-::So, the parts offered for one dinar are 1232.
+::The former parts exceed over the later [parts] by 131.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2464}{2}=1232}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{516-385=131}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב
+|style="text-align:right;"|הנה החלקים הראשנים מוסיפים על השניים מספר קל"א
 |-
 |
-::We take its 2-sevenths and 3 parts of 11 [= parts received for three dinar]; the result is 1935.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply the denominator by twenty, then divide the product by 131; the result is 64 integers and 16 parts of 131 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\sdot3465\right)+\left(\frac{3}{11}\sdot3465\right)=1935}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{420\sdot20}{131}=64+\frac{16}{131}}}</math>
-|style="text-align:right;"|לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה
+|style="text-align:right;"|ערכנו המורה על עשרים וחלקנו העולה על קל"א ועלה ס"ד שלמים וי"ו חלקים מקל"א והוא המבוקש
 |-
 |
-::So, the parts received for one dinar are 645.
+==== <span style=color:Green>Pursuit Problem</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1935}{3}=645}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of 1232 to 645, so is the ratio of what he receive to two measures.
+:{{#annot:one walker - distance|657|Late}}47) Question: the mover walks [7] parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1232:645=x:20}}</math>
+:We wish to know how far will he walk on the road in 3 days, 17 hours, 52 minutes and 16 seconds?
-|style="text-align:right;"|והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ב כן יחס מה שקבל אל ב' מדות
+:<math>\scriptstyle\left(13\sdot24\right):\left({\color{red}{7}}+36'+57''\right)=\left[\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''\right]:a</math>
+|style="text-align:right;"|מז) <big>שאלה</big> המתנועע מתנועע בי"ג ימים י"ז שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ורצינו לדעת כמה מן הדרך ילך בג' ימים וי"ז שעות ונ"ב ראשנים וי"ו שניים{{#annotend:Late}}
 |-
 |
-:You already know the way to extract this unknown number.
+::The answer: we convert the days into hours.
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה נשיב &#x202B;<ref>233v</ref>הימים שעות
 |-
 |
+::The first time is 312.
-==== <span style=color:Green>Give and Take Problem</span> ====
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot24=312}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה הזמן הראשון שי"ב
+|-
 |
+::The second time is 89, 52 primes and 16 seconds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot24\right)+17+52'+16''=89+52'+16''}}</math>
+|style="text-align:right;"|והזמן השני בפ"ט ונ"ב ראשנים וי"ו שניים
 |-
 |
-:{{#annot:one worker|627|4kWk}}It is clear from this that is Reuven made an agreement with Shimon to do his work and he will give him his payment 20 dinar for 7 days and a seventh of a day and Shimon will give Reuaven 4 parts of 11 of a dinar for each day he did not work.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply 7 integer, 36 primes and 57 seconds by 89 integer, 52 primes and 16 seconds, then divide the product by 312; the result is 2 integer, 10 primes and 56 seconds and this is length of the path he walks in the second given time.
-:Shimon worked 2 days and 3-sevenths of a day and stopped working and he lost more than he gained.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(7+36'+57''\right)\sdot\left(89+52'+16''\right)}{312}=2+10'+56''}}</math>
-:We wish to know: how long was the duration of unemployment?
+|style="text-align:right;"|ערכנו ז' שלמים ל"ו ראשנים נ"ז שניים על פ"ט שלמים נ"ב ראשנים י"ו וחלקנו העולה על שי"ב ועלה ב' שלמים י' ראשנים נ"ו שניים והוא מספר השעורים שהלך מן הדרך בזמן המונח השני
-|style="text-align:right;"|ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר<br>
-ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו<br>
-רצינו לדעת כמה בטל{{#annotend:4kWk}}
 |-
 |
-::We take the common denominator for all these fractions; the result is 385 and it is the parts of the day.
+:{{#annot:one walker - time|657|q7J0}}48) Question: the mover walks 7 parts, 36 minutes and 57 seconds of the road in 13 days.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot11\sdot7=385}}</math>
+:We wish to know in how much time will he walk 3 parts of the road?
-|style="text-align:right;"|לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום
+:<math>\scriptstyle\left(7+36'+57''\right):\left(13\sdot24\right)=3:a</math>
+|style="text-align:right;"|מח) <big>שאלה</big> המתנועע הולך ז' שעורים מן הדרך ול"ו ראשנים נ"ז שניים בי"ג ימים ורצינו לדעת בכמה מן הזמן ילך ג' שעורים מן הדרך{{#annotend:q7J0}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we look in how many of these parts [of the day] he earns one dinar and in how many of these parts [of the day] loses it; as the ratio of the time of gain to the time of loss so is the ratio of [2] days and 3-fifths to the time he rests.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply 3 measures by 312 integers, then divide the product by 7 integers, 36 minutes and 57 seconds; the result is 122 hours, 54 minutes and 17 seconds and this is the required, i.e. the unknown time.
-|style="text-align:right;"|הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{3\sdot312}{7+36'+57''}=122+54'+17''}}</math>
+|style="text-align:right;"|ערכנו ג' שעורים על שי"ב שלמים וחלקנו העולה על ז' שלמים ול"ו ראשנים ונ"ז שניים ועלה קכ"ב שעות ונ"ד ראשנים וי"ז שניים והוא המבוקש ר"ל הזמן הנעלם
 |-
 |
-::He earns a dinar in 135 parts and 12 parts of twenty of a part [of the day].
+:{{#annot:two walkers|657|bcfB}}49) Question: the faster walks 2 measures and 37 seconds in one hour, the slower walks 30 minutes and 24 seconds in one hour, and the distance between the slower, who is in front, and the slower is 29 measures and 45 minutes.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot385}{20}=138+\frac{12}{20}}}</math>
+|style="text-align:right;"|מט) <big>שאלה</big> &#x202B;[מהלך] אדם מהיר בשעה א' ב' שעורים ול"ז שניים ויהיה מהלך המתוני לשעה א' ל' ראשנים כ"ד שניים והיה מרחק המתוני מהמהיר לפניו כ"ט שעורים ומ"ה ראשנים
-|style="text-align:right;"|והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר
 |-
 |
-::He loses a dinar in 1058 parts and 3 of 4 of a part [of the day].
+::The excess of the faster walker over the slower walker in one hour is 1 measure, 30 primes and 13 [seconds]. We divide the given distance by it; the result is 19 hours, 47 minutes and 49 seconds and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{385}{\frac{4}{11}}=1058+\frac{3}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והיה יתרון מהלך המהיר על מהלך המתוני לשעה הוא שעור א' ול' ראשנים וי"ג חלקנו עליו המרחק המונח ועלה י"ט שעות מ"ז ראשנים מ"ט שניים והוא המבוקש{{#annotend:bcfB}}
-|style="text-align:right;"|ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר
 |-
-|
+|colspan=2|
-::So is the ratio of 2 days and 3-fifths to the time he rests.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29+45'}{\left(2+37''\right)-\left(30'+24''\right)}=\frac{29+45'}{1+30'+13''}=19+47'+49''}}</math>
-|style="text-align:right;"|וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ====
+==== <span style=color:Green>Purchase Problems</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:(a+b)\c=3⅖⅐;(a+c)\b=7⅔¼;b=30|731|OJ9R}}58) Question: when one number is added to a second number, their ratio to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh.
-:When the first is added to the third, their ratio to the [second] is 7 integers, 2-thirds and a quarter.
+===== <span style=color:Green>Equal Amount</span> =====
-:The second number is 30.
-:We wish to know: how much is each of the rest?
+|
-|style="text-align:right;"|נח) שאלה שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות<br>
-וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות<br>
-והמספר הב' ל&#x202B;'<br>
-רצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים{{#annotend:OJ9R}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=30\end{cases}</math>
+:{{#annot:four drugs|642|VvMq}}50) Question: the merchant is selling four drugs.
-|
+:The price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra.
+:The price of the second drug is 8 pešuṭim for a liṭra.
+:The price of the third drug is 10 pešuṭim for a liṭra.
+:The price of the fourth drug is 15 pešuṭim for a liṭra.
+:The buyer comes to buy the same weight of each for 3 dinar
+:<math>\scriptstyle\frac{7}{12}x+\frac{8}{12}x+\frac{10}{12}x+\frac{15}{12}x=3</math>
+|style="text-align:right;"|נ) <big>שאלה</big> הסוחר מוכר מד' סמים<br>
+ערך הסם הראשון ז' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך הסם השני ח' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך הסם השלישי י' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך הסם הרביעי ט"ו פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+ובא הקונה לקנות בג' דינרין משקל שוה מכל א' מהסמים{{#annotend:VvMq}}
 |-
 |
-::First, you extract three numbers that meet this condition in the way that was explained in the first section of our book:
+::He buys one liṭra from each for 3 dinar and 4 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר במאמר הראשון מספרינו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{12}+\frac{8}{12}+\frac{10}{12}+\frac{15}{12}=3+\frac{4}{12}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בג' דינרין וד' פשוטים יקח {{#annot:liṭra|1068|5qpw}}ליט'{{#annotend:5qpw}} מכל א&#x202B;'
 |-
 |
-::So, [add 1 to] 3 integers, 2-fifths and a seventh; you have 4 integers, 2-fifths and a seventh and this is the second number.
+::The ratio of 3 dinar to 3 dinar and 4 pešuṭim is 9-tenths and so he buys from each [type of] drug, i.e. 9-tenths of a liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)+1=4+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3:\left(3+\frac{4}{12}\right)=\frac{9}{10}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני
+|style="text-align:right;"|והנה יחס ג' דינרין אל ג' דינרין וד' פשוטים הוא ט' עשיריות וככה יקח מכל סם וסם ר"ל ט' עשיריות ליט&#x202B;'
 |-
 |
-::Add also 1 to 7 integers, 2-thirds and a quarter; the result is the third number, which is 8 integers, 2-thirds and a quarter.
+::The total price is 3 dinar and you can check it.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+1=8+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה ערך הכל ג' דינרין ותוכל לבחון אותו
-|style="text-align:right;"|גם תוסיף א' על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית
 |-
 |
-::You already know that the number that is proportional to the second is 30.
+:{{#annot:four drugs|642|CRbs}}51) Question: the merchant is selling four drugs -
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל&#x202B;'
+:the price of the first drug is 2 dinar for a liṭra,
+:the price of the other drug is 3 dinar for a liṭra,
+:the price of the another drug is 12 dinar for a liṭra,
+:and the price of the other drug is 20 dinar for a liṭra.
+:We wish to know how many liṭra should be taken from each of the drugs so that the price of what is taken from this one is the same as the price of what is taken from that one
+:<math>\scriptstyle2a=3b=12c=20d</math>
+|style="text-align:right;"|נא) <big>שאלה</big> הסוחר מוכר מד' סמים<br>
+ערך הא' ב' דינרין הליט&#x202B;'<br>
+וערך האחר ג' דינרין הליט&#x202B;'<br>
+ומהאחר י"ב דינרין הליט&#x202B;'<br>
+והאחרת כ' דינרין הליט&#x202B;'<br>
+ורצינו לדעת כמה מן הליט' יילקח מאחד אחד מהסמים ויהיה ערך מה שילקח מזה כמו ערך מה שילקח מזה{{#annotend:CRbs}}
 |-
 |
-::Hence, the number that is proportional to the first is 178 integers and 98 parts of 157 of a units.
+::Write the prices of the 3 liṭra in the first line, it is: [2, 2, 12], 20.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=178+\frac{98}{157}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה תכתו' בטור א' ערכי הליט' והוא א'ב'ג'כ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד
 |-
 |
-::The third number is 58 integers and 281 parts of 31[8] of a unit.
+::In the line below it, it is always according to the mentioned order, meaning write [3 beneath] 2 and 2 beneath 3, also 20 beneath 12 and 12 beneath 20.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=58+\frac{281}{31{\color{red}{8}}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובטור תחתיו תמיד הענין על זה הסדור הנז' רצוני שתכתוב ב' ג' ותחת ג' ב' וגם כן הנה תכתוב &#x202B;<ref>234r</ref>תחת י"ב כ' ותחת כ' י"ב
-|style="text-align:right;"|והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"א באחד
 |-
 |
-::These three numbers are the sought-after; investigate this and you will find.
+::Then take the smallest numbers of these ratios, i.e. the ratio of 2 to 3, the ratio of 12 to 3, and the ratio of 20 to 12.
-|style="text-align:right;"|ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא
+|style="text-align:right;"|ואחר תקח קטני המספרים המתיחסים בכמה זה היחס ר"ל מיחס ב' אל ג' ומיחס י"ב אל ג' ומיחס כ' אל י"ב
 |-
 |
-:{{#annot:(a+b)/c=⅗+⅙;(a+c)/b=2⅓;a=20|731|gfLj}}59) Question: the ratio of the first and the second summed together to the third is 3-fifths plus a sixth.
+::The ratio of 20 to 30 is the same as the ratio of 3 to 2.
-:The ratio of the first and the third summed together to the second is 2 integers and a third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30:20=3:2}}</math>
-:The first number is 20.
+|style="text-align:right;"|וזה שיחס כ' אל ל' כיחס ג' אל ב&#x202B;'
-:We wish to know: how much is each of the remaining numbers?
-|style="text-align:right;"|נט) שאלה יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית<br>
-ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית<br>
-והמספר הראשון עשרים<br>
-נרצה לדעת כמה כל א' מהמספרים הנשארים{{#annotend:gfLj}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=2+\frac{1}{3}\\\scriptstyle a=20\end{cases}</math>
+::The ratio of 20 to 5 is the same as the ratio of 12 to 3.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:5=12:3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס כ' אל ה' כיחס י"ב אל ג&#x202B;'
 |-
 |
-::According to what was explained, we extract the numbers that meet this condition: the first number according to what preceded is 2-fifths, a third, and a third of a sixth, the second is 1 integer, 3-fifths and a sixth.
+::The ratio of 5 to 3 is the same as the ratio of 20 to 12.
-|style="text-align:right;"|הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:3=20:12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחס ה' אל ג' כיחס כ' אל י"ב
 |-
 |
-::Since the number that corresponds to the first is twenty, the number that corresponds to the second is 44 integers and 56 parts of 71 of a unit.
+::So, take 30 livre from the drug whose price is 2 dinar, and this is the number opposite to it.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=44+\frac{56}{71}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה תקח מן הסם אשר ערכו ב' דינרין ל' ליט' והוא המספר הנכחי לו
-|style="text-align:right;"|ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א בא' שלם
 |-
 |
-::The number that corresponds to the third is 84 integers and 36 parts of 71 of a unit.
+::From the drug whose price is 3 dinar take 20 liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=84+\frac{36}{71}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערכו ג' דינרין הליט' תקח כ' ליט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם
 |-
 |
-::These are the required numbers.
+::From the drug whose price is 20 dinar take 3 liṭra.
-|style="text-align:right;"|והם המספרים המבוקשים
+|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערכו כ' דינרין תקח ג' ליט&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:b/(c-a)=3⅓;c/(b-a)=6|731|73tk}}60) Question: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is 3 integers and a third.
+::The total price of what you take from each is the same.
-:The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is the number 6.
+|style="text-align:right;"|ויהיה ערך מה שתקח מכל א' מהם שוה
-|style="text-align:right;"|ס) שאלה שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש<br>
-ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו&#x202B;'{{#annotend:73tk}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=6\end{cases}</math>
+::If the price of one of the drugs is a number of pešuṭim, you should make sure in this mentioned way to convert the price of the remaining drugs into pešuṭim.
-|
+|style="text-align:right;"|וראוי שתשמור בזה הדרך הנזכר אם היה ערך אחד הסמים מספר הפשוטים שתשיב ערך הסמים הנשארים לפשוטים
 |-
 |
-::We extract the three numbers by the preceding way in these mentioned relations, i.e. that the ratio of the first and the second summed together to the third is 3 integers and a third; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 6 integers.
+:{{#annot:three drugs|642|2QXZ}}52) Question: the merchant is selling three drugs -
-|style="text-align:right;"|והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים
+:the price of the first drug is 7 pešuṭim for a liṭra,
+:the price of the second drug is 10 pešuṭim for a liṭra,
+:and the price of the third drug is 20 pešuṭim for a liṭra.
+:The buyer comes to buy one liṭra from all so that the price of what he takes from one of them is the same as the price of what he takes from each of the others.
+:<math>\scriptstyle2a=3b=12c=20d</math>
+|style="text-align:right;"|נב) <big>שאלה</big> הסוחר מוכר מג' סמים<br>
+ערך הא' ז' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך הב' י' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך הג' כ' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+ובא הקונה לקנות ליט' מכלם ויהיה ערך מה שיקח מא' מהם כמו ערך מה שיקח מכל א' מהאחרים{{#annotend:2QXZ}}
+|-
+|
+::The smallest numbers taken of each, so that their prices are the same, are 20, 14, and 7. Their sum is 41 and these are the parts of the liṭra.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20+14+7=41}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה קטני המספרים שילקחו מאחד אחד מהם ויהיה הערך שוה הם מספרי כ' י"ד ז' והנה מקובצם הוא מ"א והם חלקי הליט&#x202B;'
 |-
 |
-::So, the first is 19, the second is 4 and a third, and the third is 7.
+::Of these parts, 20 parts are taken of the drug whose price is 7 pešuṭim for a liṭra.
-|style="text-align:right;"|והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{41}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וילקחו מאלו החלקים מהסם אשר ערכו ז' פשוטים הליט' כ' חלקים
 |-
 |
-::Hence, the first is 19.
+::14 parts are taken of the drug whose price is 10 pešuṭim for a liṭra.
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הראשון י"ט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{14}{41}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערך הליט' ממנו י' פשוטים ילקחו י"ד חלקים
 |-
 |
-::Add 19 to the second; it is 23 integers and a third and this is the second number.
+::7 parts are taken of the drug whose price is 2 pešuṭim for a liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=19+\left(4+\frac{1}{3}\right)=23+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{41}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני
+|style="text-align:right;"|ומהסם אשר ערך הליט' ממנו ב' פשוטים ילקחו ז' חלקים
 |-
 |
-::Add 19 to the third; it is 26 and this is the third number.
+::The total is 41 parts that are 5 liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=19+7=26}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה הכל מ"א חלקים שהוא ה' ליט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי
 |-
 |
-::Deduce from this.
+::As for the price of the liṭra: take the ratios of the numbers 20, 14, and 7, each to its corresponding. Sum them up; the total is 35 dinar.
-|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot20}{12}+\frac{10\sdot14}{12}+\frac{20\sdot7}{12}=35}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואולם ערך הליט' הנה תקח ערך מספרי כ' י"ד ז' כל אחד מהנכחי לו ותקבץ הכל והנה הכל ל"ה דינרין
 |-
 |
-:{{#annot:(a+b)/(c-a)=4½;(a+c)/(b-a)=5|731|UcvZ}}61) Question: the ratio of the first and the second summed together to what remains from the third when the first is subtracted from it is 4 integers and a half.
+::Divide 35 by 41; the result is 10 pešuṭim and 10 parts of 41 of a pašuṭ and this is the required.
-:The ratio of the first and the third summed together to what remains from the second when the first is subtracted from it is 5 integers.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{41}=\frac{10+\frac{10}{41}}{12}}}</math>
-:We wish to know: how much is each of the numbers that meet this condition?
+|style="text-align:right;"|חלק ל"ה על מ"א ועלה י' פשוטים וי' חלקים ממ"א בפשוט והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|סא) שאלה שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי<br>
-ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים<br>
-ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג{{#annotend:UcvZ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=5\end{cases}</math>
+===== <span style=color:Green>Unequal Amount</span> =====
 |
 |-
 |
-::We extract the three numbers by the preceding way in these relations, meaning that the ratio of the first and the second summed together to the third is 4 and a half; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 5.
+:{{#annot:two drugs|643|glST}}53) Question: the merchant sells two drugs: the price of one drug is 17 pešuṭim for a liṭra and the price of the second drug is 24 pešuṭim for a liṭra.
-|style="text-align:right;"|הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה&#x202B;'
+:The buyer comes to buy one measure of both so that its price is 19 pešuṭim.
+:<math>\scriptstyle 17x+24y=19</math>
+|style="text-align:right;"|נג) <big>שאלה</big> הסוחר מוכר משני סמים<br>
+ערך הסם הא' י"ז פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך האחר כ"ד פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+ובא הקונה לקנות מדה משניהם ויהיה ערכה י"ט פשוטים{{#annotend:glST}}
 |-
 |
-::So, the first is 21 and a half, the second is [5] and a half, and the third is 6.
+::The excess of the expensive over the cheaper is 7 and these are the parts of the measure.
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הראשון כ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-17=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה יתרון המוסיף על המחסיר הוא ז' והם חלקי המדה
 |-
 |
-::A half of the first is 10 and 3-[quarters] and this is the first.
+::The deficit of the cheaper from 19 is two and these are the parts of the measure he takes from the drug whose price is higher [than 19].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}\sdot\left(21+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{3}{4}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{y=\frac{19-17}{7}=\frac{2}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון
+|style="text-align:right;"|והנה חסרון המחסיר מי"ט הוא שנים והם החלקים מחלקי המדה שיקח מהסם אשר ערכו מוסיף
 |-
 |
-::We add 10 and 3-[quarters] to the second; the result is 16 and a quarter and this is the second.
+::The excess of the expensive is 5, which are the parts he takes from the drug whose price is lower [than 19].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{24-19}{7}=\frac{5}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני
+|style="text-align:right;"|והנה יתרון המוסיף הוא ה' והם חלקים שיקח מהסם אשר ערכו מחסיר
 |-
 |
-::We add 10 and 3-[quarters] to the third; the result is 16 and 3-quarters and this is the third.
+::The price of the measure is 19 pešuṭim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=6+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{3}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה ערך המדה י"ט פשוטים
-|style="text-align:right;"|הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:a+¼(b+c)=b+⅙(a+c)=c+⅑(a+b);b=20|731|HxDL}}62) Question: the first with a quarter of the rest is equal to the second with a sixth of the rest and is also equal to the third with a ninth of the rest.
+:{{#annot:seven drugs|643|gS7o}}[5]4) Question: the merchant sells 7 drugs:
-:It has already been explained to you in the first section of this book that the order of these three numbers is according to this arrangement, meaning that the first is added to the greatest part of the rest and the [third] is added to the smallest part of the rest. I remind you this so that you will not be confused by the explanations.
+:the price of the first drug is 3 pešuṭim for a liṭra.
-:The second number is 20.
+:the price of the second drug is 5 pešuṭim.
-:We wish to know: how much is each of the rest?
+:the price of the third drug is 8 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|סב) שאלה שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים<br>
+:the price of the fourth drug is 11 pešuṭim.
-כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים<br>
+:the price of the fifth drug is 15 pešuṭim.
-והנה יהיה המספר השני מהם כ&#x202B;'<br>
+:the price of the sixth drug is 19 pešuṭim.
-ורצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים{{#annotend:HxDL}}
+:the price of the seventh drug is 28 pešuṭim.
+:The buyer wants to buy one liṭra from all of them for 15 pešuṭim.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle \sum_{i=1}^n x_i=1\\\scriptstyle3x_1+5x_2+8x_3+11x_4+15x_5+19x_6+28x_7=15\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|מד) <big>שאלה</big> הסוחר מוכר מז' סמים<br>
+ערך הא' ג' פשוטים הליט&#x202B;'<br>
+וערך &#x202B;<ref>234v</ref>הב' ה' פשוטים<br>
+וערך הג' ח' פשוטים<br>
+וערך הד' י"א פשוטים<br>
+וערך הה' ט"ו פשוטים<br>
+וערך הו' י"ט פשוטים<br>
+וערך הז' כ"ח פשוטים<br>
+ורצה אדם לקנות ליט' א' מכלם בט"ו פשוטים{{#annotend:gS7o}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle b=20\end{cases}</math>
+::[The drugs whose prices] are higher [than 15] are two: the drug whose price is 19 pešuṭim and the drug whose price is 2[8] pešuṭim.
+|style="text-align:right;"|והנה המוסיפים הם ב&#x202B;'<br>
+הסם אשר ערכו י"ט והסם אשר ערכו כ"ד פשוטים
+|-
 |
+::[The drugs whose prices] are lower [than 15] are four: the one whose price is 3; the one whose price is 5; the one whose price is 8; and the one whose price is 11.
+|style="text-align:right;"|והמחסירים הם ד&#x202B;'<br>
+אותה אשר ערכה ג&#x202B;'<br>
+ואשר ערכה ה&#x202B;'<br>
+ואשר ערכה ח&#x202B;'<br>
+ואשר ערכה י"א
 |-
 |
-::We already know that the numbers that meet this condition: the first is 119, the second is 151, and the third is 169. From these we extract the corresponding numbers of this ratio:
+::We put the 3 pešuṭim corresponding to the 19 pešuṭim; the 5 pešuṭim corresponding to the 28 pešuṭim; and since there are still cheaper drugs left and no expensive left, we take the closest to 15, which is the required price, among the expensive, which is 19, and we attach 19 to each of the remaining cheaper [drugs] as you see in this diagram:
-|style="text-align:right;"|וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס
+|style="text-align:right;"|הנה נשים ג' פשוטים גליי לי"ט פשוטים<br>
+וה' פשוטים גליי לכ"ח פשוטים<br>
+ומפני שנשארו עוד סמים במחסירים ולא נשארו במוסיפים נקח מהמוסיפים היותר קרוב אל ט"ו שהוא הערך המבוקש והוא י"ט ונזווג י"ט עם כל א' הנשארים מהמחסירים כמו שתראה בזאת הצורה
 |-
 |
-::The one that corresponds to the first is 15 integers and 115 parts of 1[5]1 of a unit.
+::We already know the way to take liṭra from each of these pairs, so that its price will be 15 pešuṭim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=15+\frac{115}{151}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר ידענו דרך נקח ליט' מכל זוג וזוג מאלו יהיה ערכה ט"ו פשוטים
-|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה
 |-
 |
-::The one that corresponds to the third is 22 integers and 58 parts of 151 of a unit.
+::So, we take 4 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 3 and [1]2 parts of 16 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=22+\frac{58}{151}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{16}\sdot3\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}2}{16}\sdot19\right)}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיה הגליי לג' כ"ב שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה
+|style="text-align:right;"|ולזה נקח מסם ג' ד' חלקים מי"ו בליט' ומסם י"ט ב' חלקים מי"ו בליט&#x202B;'
 |-
 |
-::These are the required numbers.
+::We also take 13 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 5 and 10 parts of 23 of a liṭra from the drug [whose price is] 28.
-|style="text-align:right;"|והם המספרים המבוקשי&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{13}{23}\sdot5\right)+\left(\frac{10}{23}\sdot28\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם ה' י"ג חלקים מכ"ג בליט' ומסם כ"ח י' חלקים מכ"ג בליט&#x202B;'
 |-
 |
-::If you wish, you can check it.
+::We take also 4 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 8 and 7 parts of 11 of a liṭra from the drug [whose price is] 19.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה תוכל לבחון אותו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{11}\sdot8\right)+\left(\frac{7}{11}\sdot19\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם ח' ד' חלקים מי"א בליט' ומסם י"ט ז' חלקים מי"א בליט&#x202B;'
 |-
 |
+::We take also 4 parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] 11 and [4] parts of [8] of a liṭra from the drug [whose price is] [19].
-=== <span style=color:Green>Partnership Problem - Three Partners - Same Time</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot11\right)+\left(\frac{4}{{\color{red}{8}}}\sdot19\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקח ג"כ מסם י"א ד' חלקים מכ"ח בליט' ומסם ד' י"ט  חלקים בליט&#x202B;'
+|-
 |
+::The number of all these parts is 58.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+23+11+8=58}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה מספר כל אלו החלקים הוא נ"ח
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|WxAc}}63) Question: three men formed a partnership.
+::We add two parts for the 15 that has no corresponding; they are 60 and these are the parts of the liṭra.
-:The money of all three together is 25 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{58+2=60}}</math>
-:The share owed to the first from the profit they earned is 16 minyanim.
+|style="text-align:right;"|ונוסיף שני חלקים בעבור ט"ו שאין לו גלוי והנם ס' והם חלקי הליט&#x202B;'
-:The share owed to the second from the profit is equal to the root of the money earned by the first.
+|-
-:The share owed to the third from the profit is equal to the root of the money [earned by] the second.
-:How much did each contribute to the partnership?
-|style="text-align:right;"|סג) שאלה ג' אנשים עושים שותפות<br>
-והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים<br>
-והנה לראשון מגיע לחלקו מהריוח שעשו י"ו מנינים<br>
-ולשני מגיע לחלקו מהריוח הממון שרש ריוח ממון הראשון<br>
-והשלישי ראוי לו ליקח מהריוח כמו שרש ממון השני<br>
-כמה שם כל אחד ואחד בשותפות{{#annotend:WxAc}}
-|-
 |
-::The answer: you already know that the profit of the first amount is 16.
+::We take 4 parts from the drug [whose price is] 3 pešuṭim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|נקח מהם מסם ג' פשוטים ד' חלקים
-|style="text-align:right;"|התשובה כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו
 |-
 |
-::Hence, you should extract the root of 16; it is 4 and this is the profit of the second amount.
+::13 parts from the drug [whose price is] 5.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\sqrt{16}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומסם ה' י"ג חלקים
-|style="text-align:right;"|על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני
 |-
 |
-::You should also extract the root of 4; it is 2 and this is the profit of the third amount.
+::4 parts from the drug [whose price is] 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומסם ח' ד' חלקים
-|style="text-align:right;"|עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי
 |-
 |
-::{{#annot:three partners|661|yqVD}}We do it as follows: three formed a partnership - one contributed 2 minyanim, the second [contributed] 4 [minyanim], and the third [contributed] 25 [minyanim]. They earned 25. How much should each have?
+::4 parts from the drug [whose price is] 11.
-|style="text-align:right;"|ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד{{#annotend:yqVD}}
+|style="text-align:right;"|ומסם י"א ד' חלקים
 |-
 |
-::Sum up the amounts of money of all three; it is 22.
+::2 parts from the drug [whose price is] 15.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+4+16=22}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומסם ט"ו ב' חלקים
-|style="text-align:right;"|תחבר ממון שלשתן והם כ"ב
 |-
 |
-::Multiply the share of the first, which is 16, by 25 and divide the product by 22; you receive 18 and 2 parts of 11 and this is the amount of money the first contributed to the partnership, whose share of the profit is 16 minyanim.
+::23 parts from the drug [whose price is] [19].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{16\sdot25}{22}=18+\frac{2}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומסם ט"ו כ"ג חלקים
-|style="text-align:right;"|וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים
 |-
 |
-::Multiply also 6 by 25; you get 100. Divide it by 22; you receive 4 and 6 parts of 11 and this is the share of the second.
+::10 parts from the drug [whose price is] [2]8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{4\sdot25}{22}=\frac{100}{22}=4+\frac{6}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומסם י"ח י' חלקים
-|style="text-align:right;"|עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני
 |-
 |
-::Multiply also 2 by 25; you get 50. Divide it by 22; you receive 2 integers and 3 parts of 11 and this is the share of the third, i.e. what the one whose share of the profit is 2 contributed to the partnership.
+::The price of the liṭra is 15 pešuṭim and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{2\sdot25}{22}=\frac{50}{22}=2+\frac{3}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה ערך הליט' ט"ו פשוטים והוא המבוקש
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב&#x202B;'
-|-
-|
-::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
+==== <span style=color:Green>Payment Problem - Men and Beasts</span> ====
-=== <span style=color:Green>Guessing Problem - Four Coins</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:four coins|667|VyzS}}64) Question: there are here a known number of men, each has a different number of coins of different kinds.
+:{{#annot:men and beasts|612|IawN}}55) Question: Reuven hired Shimon to do his work 9 days for 10 liṭra. The work is to hire for him each day 13 men, each of whom should lead seven beasts, each of which should carry 15 measure and walk 6 parsa. He hired for him for 8 days 17 men, each of whom led 6 beasts, each of which carried 11 measures and walked 7 parsa.
-:We wish to know: which kind of coins does each of them have and who are the holders of the coins among all [the men]?
+|style="text-align:right;"|נה) <big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון י' ליט' שיעשה מלאכתו ט' ימים ובזאת המלאכה ישכור לו בכל יום י"ג מן האנשים ינהוג כל אחד מהם ז' בהמות תשא כל בהמה ט"ו מדות ותלך ו' {{#annot:parsa|1068|5rkE}}פרסאות{{#annotend:5rkE}} והוא שכר לו ח' ימים י"ז מן האנשים והנהיג כל אחד מהם ו' בהמות ונשאה כל א' מהם י"א מדות והלכה ז' פרסאות{{#annotend:IawN}}
-|style="text-align:right;"|סד) שאלה יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים{{#annotend:VyzS}}
 |-
 |
-::The answer: [the number of] the holder of the greatest coin should be doubled, then 6 is added to it, and the result is multiplied by 5.
+::The number that consists of the numbers he agreed on, which are 9, 13, 7, 15, 6, is 73710 and it is the reserved.
-::[The number of] the holder of the second coin, which is the middle coin, is added to this, the result is multiplied by 5, then 150 is subtracted from the product and the remainder is multiplied by 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\sdot13\sdot7\sdot15\sdot6=73710}}</math>
-::[The number of] the holder of the third coin is added to this, [the result] is multiplied by 5, then multiplied also by 2.
+|style="text-align:right;"|והנה המספר המורכב מהמספרים שהתנה הם ט' י"ג ז' ט"ו ו' והוא ע"ג אלפים ותש"י והוא השמור
-::[The number of] the holder of the fourth coin is added to this.
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה&#x202B;'<br>
-ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב&#x202B;'<br>
-ולהוסיף על זה בעל מטבע הג' ולכפול אותו על ה' והעולה יכפול ג"כ על ב&#x202B;'<br>
-ולהוסיף על זה בעל מטבע הד&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a_1+6\right)\sdot5\right]+a_2\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+a_3\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+a_4</math>
+::The number that consists of the numbers in practice, which are 8, 17, 6, 11, 7, is 62832.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot17\sdot6\sdot11\sdot7=62832}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמספר המורכב מהמספרים שהשלים ח' י"ז ו' י"א ז' והוא תתל"ב [וס"ב]&#x202B;<ref>marg.</ref> אלפים
 |-
 |
-::Now, you can know, for example, who holds the gold coin, which is the greatest; who holds of the silver coin, which is the second largest; who holds the copper [coin]; and who holds the iron coin. But, you do not know the number of coins each one holds.
+::The ratio of 10 liṭra to what he owes to him is the same as the ratio of the reserved to 62832.
-|style="text-align:right;"|ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10:X=73710:62832}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה &#x202B;<ref>235r</ref>יחס י' ליט' אל מה שהוא חייב לו כיחס השמור אל ס"ב אלפים ותתל"ב
 |-
 |
-::Know that the thousands [of the result] is the [position of the owner] of the gold [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1}}</math>].
+::If you multiply 10 liṭra, which is the first, by the fourth, which is 62832, then divide the product by the reserved, you receive 8 liṭra and a half plus 1785 parts of 62832 of a liṭra, which are 5 pešuṭim and 25850 parts of 73710 of a pašuṭ.
-|style="text-align:right;"|ודע כי האלפים הוא מספר הזהב
+|style="text-align:right;"|ואם תערוך י' ליט' שהוא הא' על הד' שהוא ס"ב אלפים ותתל"ב והעולה תחלק על השמור יצא לך ח' ליט' וחצי ואלף וז' מאות ופ"ה חלקים מס"ב אלפים ותתל"ב בליט' שהם ה' פשוטים וכ"ה אלפים תת"נ חלקים מע"ג אלפים תש"י בפשוט
 |-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{10\sdot62832}{73710}=8+\frac{1}{2}+\frac{1785}{{\color{red}{73710}}}=8+\frac{1}{2}+\frac{5}{12\sdot20}+\frac{\frac{59850}{73710}}{12\sdot20}}}</math>
+|-
+|
+==== <span style=color:Green>Buy and Sell Problems</span> ====
 |
-::The hundreds [of the result] is the [position of the owner of the] silver [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2}}</math>].
-|style="text-align:right;"|והמאיות מספר הכסף
 |-
 |
-::The tens [of the result] is the [position of the owner of the] copper [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3}}</math>].
+:{{#annot:parts of a measure|641|hzpB}}56) Question: Reuven bought 2-fifths and [2]-sevenths of a measure for 2 dinar.
-|style="text-align:right;"|והעשרות הנחושת
+::He sold 4-ninths of it for 5 dinar.
+::He earned 100 dinar.
+::We wish to know: how much was the amount of money?
+|style="text-align:right;"|נו) <big>שאלה</big> ראובן קנה ב' חמישיות המדה וג' שביעיות ב' דינרין ומכר ד' תשיעיותיה ה' דינרין והרויח ק' דינרין נרצה לדעת כמה הממון{{#annotend:hzpB}}
 |-
 |
-::The units [of the result] is the [position of the owner of the] iron [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4}}</math>].
+::<span style=color:Green>'''False position:'''</span> The way is that you take the common denominator for all these fractions of the dinar as well as of the measure, if there are fractions in them. The common denominator for all the fractions in our example is 315 and this is the measure.
-|style="text-align:right;"|והאחדים הברזל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין ואם קרה שיהיו בהם חלקים והנה המורה לכל אלו החלקים במשלינו הוא שט"ו והוא המדה
 |-
 |
-::Now, you return to the mentioned number again and you can know the amount of the coins each one holds, because the thousands are the amount of the gold, the hundreds are the amount of the silver, the tens of the copper and the units of the iron.
+::Take its 2-fifths and its 2-sevenths; the result is 216.
-|style="text-align:right;"|ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{{\color{red}{2}}}{7}\sdot315\right)=216}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח ממנו ב' חמישיותיו וג' שביעיותיו ויעלה רי"ו
 |-
 |
-:*I give you an example: I gave 3 minyanim of gold to the fourth man; 5 silver carlini to the sixth man; 7 copper cavalli to the eighth man; and 9 iron piccoli to the ninth man.
+::So, he buys 108 parts [of the measure] for a dinar.
-::You want to know: who has the gold coins and how many coins does he have; who are the holders of the silver, the copper, and the iron and how many coins do they have?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{2}=108}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואתן לך דמיון<br>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ בדינר יקנה מאלו החלקים ק"ח
-דמיון נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי<br>
-וה' קרליני מכסף לאיש ו&#x202B;'<br>
-וז' קאוואלי מנחושת לאיש ח&#x202B;'<br>
-וט' פיצולי מברזל לאיש ט&#x202B;'<br>
-ותרצה לדעת למי הם מטבעי הזהב וכמה מטבעים לו ומי מחזיק הכסף והנחושת והברזל וכמה מטבעים יש לו
 |-
 |
-::Tell them that the man holding the gold should double [his position]; it is 8. Add 6 to it; it is 14. Multiply it by 5; it is 70.
+::Take also its 4-ninths; the result is 140.
-::Add to this [the position of] the one holding the silver, which is 6; it is 76. Multiply it by 5; it is 380. Subtract 150 from it; 330 remains. Multiply it by 2; it is 460.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot315=140}}</math>
-::Add to this [the position of] the one holding the copper, which is 8; it is 468. Multiply it by 5; it is 2340. Multiply it by 2; it is 4680.
+|style="text-align:right;"|גם קח ממנו ד' תשיעיות ויעלה ק"מ
-::Add to this [the position of] the one holding the iron; it is 4689.
-|style="text-align:right;"|תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע&#x202B;'<br>
-תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס<br>
-תוסיף על זה בעל מטבע הנחושת שהוא הח' ויהיו תס"ח תכפלם על ה' ויהיו ב' אלפים וג' מאות ומ' וכפול זה על ב' ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ&#x202B;'<br>
-ותוסיף על זה בעל מטבע הברזל ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ"ט
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
+::So, he sells 70 parts [of the measure] for a dinar.
-\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(70+6\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(76\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(380-150\right)\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(230\sdot2\right)+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(460+8\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(468\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(2340\sdot2\right)+9=4680+9=4689\\\end{align}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140}{2}=70}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ בדינר יתן ע' מאלו החלקים
 |-
 |
-::Hence, 4000 are 4 men, i.e. the fourth man, which is the one holding the gold, but you still do not know the number of the coins.
+::Therefore, he earns 33 parts [of the measure].
-|style="text-align:right;"|הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{108-70=38}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה ירויח בדינר ל"ג חלקים
 |-
 |
-::600 is the sixth man, who holds the silver.
+::But, the profit is 100 dinar, which is 7000 parts [of the measure].
-|style="text-align:right;"|וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot70=7000}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר היה הריוח ק' דינרין שהוא ז' אלפים מאלו החלקים
 |-
 |
-::80 is the eighth man, who holds the copper.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we should find the number whose ratio to 108 is the same as the ratio of 7000 parts to 38 [parts]. The way to find it is already explained.
-|style="text-align:right;"|והפ' איש שמיני בעל הנחושת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X:108=7000:38}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי שנקח מספר יהיה יחסו אל ק"ח כיחס ז' אלפים מאלו החלקים אל ל"ח אלפים וכבר התבאר דרך לקיחתו
 |-
 |
-::9 is the ninth man, who holds the iron coins.
+::If you divide the result by 70, you find the amount of money plus the profit together.
-|style="text-align:right;"|והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם חלקת העולה על ע' הנה תמצא מספר הממון עם מה שהרויח יחד
 |-
 |
-::You still only know the men, i.e. who holds the gold and the silver, but not their amount.
+::If you divide the result by 108, which is the total dinar of the acquisition, you find the amount of money and this is clear.
-|style="text-align:right;"|ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם חלקת העולה על ק"ח שהוא סך ערכי הדינר לפי מה שקנה תמצא מספר הממון וזה מבואר
 |-
 |
-::If you want to know the amount of each [kind of] coin, tell him to double the 3 minyanim; it is 6. Add 6 to it; it is 12. Multiply it by 5; [it is 60].
+*{{#annot:parts of a measure|641|5Obf}}Reverse problem: he lost 100 dinar by buying 4-ninths of a measure for 2 dinar and selling 2-fifths and [2]-sevenths of it for 2 dinar.
-::[Add 5 to this, which is the amount of silver coins; it is 65]. Multiply it by 5; it is 325. Subtract 150 from it; 175 remains. Multiply it by 2; it is 350.
+|style="text-align:right;"|ואם היתה השאלה בהפך ר"ל שהפסיד ק' דינרין כשקנה ד' תשיעיות המדה ב' דינרין ומכר ב' חמישיותיה עם ג' שביעיותיה ב' דינרין{{#annotend:5Obf}}
-::Add 7 to this, which is the amount of copper coins; it is 357. Multiply it by 5; it is 1785. Multiply it by 2; it is 3570.
-::Add the amount of iron coins to this, which is 9; the total result is 3579.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב<br>
-ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ<br>
-תוסיף על זה ז' שהוא סך מטבעי הנחושת ויהיו שנ"ז תכפלם על ה' ויהיו אלף ותשפ"ה ותכפלם על ב' ויהיו ג' אלפים ותק"ע<br>
-ותוסיף על זה סכום מטבעי הברזל שהם ט' ויעלה הכל ג' אלפים ותקע"ט
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
+::The way is the same, only that when you divide the result by 70, you receive the amount of money.
-\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)+6\right]\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(6+6\right)\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot5\right)+{\color{red}{5}}\right]\sdot{\color{red}{5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(325-150\right)\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(175\sdot2\right)+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(350+7\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(357\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(1785\sdot2\right)+9=3570+9=3579\\\end{align}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{70}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך אחד אלא שכאשר תחלק העולה על ע' יהיה לך מספר הממון
+|-
 |
+::And if you divide it by 108, you receive what remains after the loss.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{108}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תחלקהו על ק"ח יהיה לך הנשאר לו אחר ההפסד
 |-
 |
-::Hence, 3000 are the 3 gold coins.
+::If he asks how much is the commodity, divide the result by 385, which are the parts of the measure; [the result] is the measures of the commodity.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{X}{385}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם שאל כמה המקח חלק העולה על שפ"ה והם חלקי המדה והנה מדות המקח
 |-
 |
-::500 are the 5 silver coins.
-|style="text-align:right;"|והה' מאות הם ה' מטבעי כסף
+==== <span style=color:Green>Barter Problems</span> ====
-|-
 |
-::70 are the 7 copper coins.
-|style="text-align:right;"|והע' הם ז' מטבעי נחושת
 |-
 |
-::9 are the 9 iron coins.
+:{{#annot:one commodity for another|634|8U4N}}57) Question: a man bartered a certain merchandise for another merchandise.
-|style="text-align:right;"|והט' הם ט' מטבעי ברזל
+:The price of some parts of the measure that he offered is so and so.
+:The price of other parts of the merchandise that he received is so and so.
+:He gave a certain number of measures.
+:How much should he receive?
+|style="text-align:right;"|נז) <big>שאלה</big> איש אחד מחליף מסחר מה במסחר אחר<br>
+וערך חלקים מה מן המדה ממה שנתן ככה<br>
+וערך חלקים ממה שקבל ככה<br>
+ונתן מספר ככה מן המדות<br>
+כמה ראוי שיקבל{{#annotend:8U4N}}
 |-
 |
-::Therefore, the fourth man holds 3 minyanim of gold.
+:*{{#annot:one commodity for another|634|b8Ty}}Example: the merchandise that he offered is worth 2 dinar for 3-fifths plus 2-ninths of a measure.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב
+::The merchandise that he received is worth 3 dinar for 3 parts of 11 plus 2-sevenths of a measure.
+::He gave 20 measures.
+::We wish to know: how much should he receive?
+|style="text-align:right;"|והמשל שהמסחר שנתן ישוו ג' &#x202B;<ref>235v</ref>חמישיות המדה עם ב' תשיעיותיה ב' דינרין<br>
+והמסחר שקבל ישוו ג' דינרין מי"א במדה עם ב' שביעיותיה ג' דינרין<br>
+ונתן לו כ' מדות<br>
+ורצינו לדעת כמה ראוי שיקבל{{#annotend:b8Ty}}
 |-
 |
-::The sixth man holds 5 silver coins.
+::The way is that you take the common denominator for all these fractions of the measure and of the dinar, if there are fractions there.
-|style="text-align:right;"|והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף
+|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתקח המורה לכל אלו החלקים הן מהמדה הן מהדינרין אם קרה שיהיו שם חלקים
 |-
 |
-::The eighth man holds 7 copper coins.
+::Take from it the fractions that are taken for one dinar for each of these prices.
-|style="text-align:right;"|והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת
+|style="text-align:right;"|וממנו תקח החלקים שילקחו בדינר לכל א' מאלו הערכין
 |-
 |
-::The ninth man holds 9 iron coins, which are piccoli.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> as [ratio of] the parts offered for a dinar to the parts received for a dinar, so is [the ratio of] what he offered to what he received.
-|style="text-align:right;"|והאיש הט' מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי
+|style="text-align:right;"|וכמו ערכי הדינר ממה שנתן אל חלקי הדינר ממה שקבל כן יחס מה שנתן אל מה שקבל
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ===
+::The common denominator of these fractions is 3465.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9\sdot11\sdot7=3465}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה המורה לכל אלו החלקים הם ג' אלפים ותס"ה
 |-
 |
-:{{#annot:4=⅓·15→a=⅕·25|728|RldY}}65) Question: if number 4 is a third of number 15 what is the fifth of 25?
+::We take its 3-sevenths and [a ninth] [= parts offered for two dinar]; it is 2464.
-|style="text-align:right;"|סה) שאלה אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה{{#annotend:RldY}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{5}\sdot3465\right)+\left(\frac{{\color{red}{1}}}{9}\sdot3465\right)=2464}}</math>
+|style="text-align:right;"|לקחנו ג' שביעיותיו וב' תשיעיותיו והם אלפים תס"ד
 |-
 |
-::The answer is in two ways:
+::So, the parts offered for one dinar are 1232.
-|style="text-align:right;"|התשובה היא על ב' פנים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2464}{2}=1232}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שנתן אלף רל"ב
 |-
 |
-:*One: a third should be taken from 15; it is 5.
+::We take its 2-sevenths and 3 parts of 11 [= parts received for three dinar]; the result is 1935.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot15=5}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{7}\sdot3465\right)+\left(\frac{3}{11}\sdot3465\right)=1935}}</math>
-|style="text-align:right;"|הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|לקחנו ב' שביעיותיו וג' חלקים מי"א במדה בו ועלה אלף תתקל"ה
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Say: if 5 becomes 4, as it is said that 4 is a third of 15, how much is the number 5, which is a fifth of 25?
+::So, the parts received for one dinar are 645.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:4=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right):a=5:a}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1935}{3}=645}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיו החלקים שילקחו בדינר ממה שקבל תרמ"ה
 |-
 |
-::Multiply 4 by 5, then divide by 5; you receive 4 and this is the required.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of 1232 to 645, so is the ratio of what he receive to two measures.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{4\sdot5}{5}=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1232:645=x:20}}</math>
-|style="text-align:right;"|תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|והנה כיחס אלף רל"ה אל תרמ"ב כן יחס מה שקבל אל ב' מדות
 |-
 |
-:*The second way is as follows: we should multiply 4 by 3; the result is 12.
+:You already know the way to extract this unknown number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת דרך לקיחת זה המספר הנעלם
-|style="text-align:right;"|והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב
 |-
 |
-::So, the number 4 is a third of 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}</math>
+==== <span style=color:Green>Give and Take Problem</span> ====
-|style="text-align:right;"|א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב
+|
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> We want it to be a third of 15. You should relate and say: if 15 becomes 12, how much is 25?
+:{{#annot:one worker|627|4kWk}}It is clear from this that is Reuven made an agreement with Shimon to do his work and he will give him his payment 20 dinar for 7 days and a seventh of a day and Shimon will give Reuaven 4 parts of 11 of a dinar for each day he did not work.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15:12=25:a}}</math>
+:Shimon worked 2 days and 3-sevenths of a day and stopped working and he lost more than he gained.
-|style="text-align:right;"|ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו
+:We wish to know: how long was the duration of unemployment?
+|style="text-align:right;"|ומזה התבאר אם התנה ראובן עם שמעון לעשות מלאכתו ויתן לו בשכירותו בז' ימים וחומש יום כ' דינרין ושמעון יתן לראובן בכל יום שיבטל ד' חלקים מי"א בדינר<br>
+ועשה שמעון ב' ימים וג' שביעיות יום ובטל ויצא שכרו בהפסדו<br>
+רצינו לדעת כמה בטל{{#annotend:4kWk}}
 |-
 |
-::Multiply 25 by 12, then divide by 15; you receive twenty. Take its fifth; the result is 4.
+::We take the common denominator for all these fractions; the result is 385 and it is the parts of the day.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{5}\sdot\frac{25\sdot12}{15}=\frac{1}{5}\sdot20=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot11\sdot7=385}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|לקחנו המורה לכל אלו החלקים בכללם ועלה שפ"ה והוא חלקי היום
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Guessing Problem - Chosen Number</span> ===
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we look in how many of these parts [of the day] he earns one dinar and in how many of these parts [of the day] loses it; as the ratio of the time of gain to the time of loss so is the ratio of [2] days and 3-fifths to the time he rests.
+|style="text-align:right;"|הנה נראה בכמה חלקים מאלו ירויח דינר ובכמה חלקים מאלו יפסידהו וכיחס מספר הריוח אל יחס ההפסד כן יחס ג' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
+|-
 |
+::He earns a dinar in 135 parts and 12 parts of twenty of a part [of the day].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(7+\frac{1}{5}\right)\sdot385}{20}=138+\frac{12}{20}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בקל"ה חלקי' וי"ב חלקים מעשרים בחלק ירויח דינר
 |-
 |
-:{{#annot:chosen number|667|TNd8}}66) Question: if you want to know the number of which a man thought.
+::He loses a dinar in 1058 parts and 3 of 4 of a part [of the day].
-:Tell him to divide it by 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{385}{\frac{4}{11}}=1058+\frac{3}{4}}}</math>
-:Ask him if the result of division includes a half, [tell him to] consider the result as integer, and take 1 for the half.
+|style="text-align:right;"|ובאלף ונ"ח חלקים ובג' מד' בחלק יפסיד דינר
-:Tell him to add half the number to the whole number and divide the result by 2.
-:If there is a half in the result take 2 for the second half and tell him to consider the result as integer.
-:Tell him to add this to what he had before the second division.
-:Ask him how many ninths there are in the sum and take 4 for each 9.
-:Add the result to what you have from the two divisions and the sum is the required.
-:<math>\scriptstyle\frac{x+\frac{x}{2}+\frac{x+\frac{x}{2}}{2}}{9}\sdot4=x</math>
-|style="text-align:right;"|סו) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו<br>
-תאמר לו שיחלקהו על ב&#x202B;'<br>
-אח"כ שאל לו אם יש בחלוקה חצי ותעשהו שלם ותקח אתה בעד החצי א&#x202B;'<br>
-אח"כ תאמר לו שיוסיף מחצית המספר על המספר כלו<br>
-ואח"כ תאמר לו שיחלק העולה על ב&#x202B;'<br>
-ואם יש בו חצי ג"כ תקח שנים בעבור החצי הב' ותאמ' לו שיעשהו שלם<br>
-ותאמ' לו שיוסיף זה על מה שהיה לו קודם החלוקה השניה<br>
-ותשאל לו כמה תשיעיות יש בו וקח בעד כל ט' ד&#x202B;'<br>
-ותוסיף העולה על מה שיש לך מהב' חלוקות והיוצא הוא המבוקש{{#annotend:TNd8}}
 |-
 |
-:*Example: a man thought of the number 33.
+::So is the ratio of 2 days and 3-fifths to the time he rests.
-|style="text-align:right;"|דמיון אדם חשב מספר ל"ג
+|style="text-align:right;"|וככה יחס ב' ימים וג' חמישיות אל הזמן שבטל
 |-
 |
-::Tell him to divide it by 2; you receive 16 and a half.
+==== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{33}{2}=16+\frac{1}{2}}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי
 |-
 |
-::Tell him to turn it into an integer; it is 17. Reserve 1 [for the half].
+:{{#annot:(a+b)\c=3⅖⅐;(a+c)\b=7⅔¼;b=30|618|OJ9R}}58) Question: when one number is added to a second number, their ratio to the third is 3 integers, 2-fifths and a seventh.
-|style="text-align:right;"|ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א&#x202B;'
+:When the first is added to the third, their ratio to the [second] is 7 integers, 2-thirds and a quarter.
+:The second number is 30.
+:We wish to know: how much is each of the rest?
+|style="text-align:right;"|נח) <big>שאלה</big> שיהיה מספר ראשון כשחובר אל מספר שני היה יחסו אל הג' ג' שלמים וב' חמישיות ושביעיות<br>
+וכשחובר הראשון אל הג' היה יחסו הראשון ז' שלמים וב' שלישיות ורביעיות<br>
+והמספר הב' ל&#x202B;'<br>
+רצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים{{#annotend:OJ9R}}
 |-
 |
-::Then, add the 17 to 33; it is 50. Divide it by 2; you receive 25. Add the 25 to 50; the result is 75.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\\\scriptstyle b=30\end{cases}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{33+17+\frac{33+17}{2}=50+\frac{50}{2}=50+25=75}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה<br>
-תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה
 |-
 |
-::Take 4 for each 9 [in 75]; the result is 32, because there are 8-ninths in it.
+::First, you extract three numbers that meet this condition in the way that was explained in the first section of our book:
-|style="text-align:right;"|תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו
+|style="text-align:right;"|הנה תוציא תחלה ג' מספרים יונהגו זה המנהג על הדרך שהתבאר &#x202B;<ref>236r</ref>במאמר הראשון מספרינו
 |-
 |
-::Add the 1 that was in the first division; it is 33.
+::So, [add 1 to] 3 integers, 2-fifths and a seventh; you have 4 integers, 2-fifths and a seventh and this is the second number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32+1=33}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}\right)+1=4+\frac{2}{5}+\frac{1}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג
+|style="text-align:right;"|ולזה תדע משטח מג' שלמים וב' חמישיות ושביעית ויהיו בידך ד' שלמים וב' חמישיות ושביעית והוא המספר השני
 |-
 |
-::The signs are: 1; 2; 3; 4
+::Add also 1 to 7 integers, 2-thirds and a quarter; the result is the third number, which is 8 integers, 2-thirds and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וסימניך אבג"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}\right)+1=8+\frac{2}{3}+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תוסיף א' על ז' שלמים וב' שלישיות ורביעית והעולה בידך הוא המספר השלישי והוא ח' שלמים וב' שלישיות ורביעית
 |-
 |
-::I.e. take 1 for the first division, if there is a half in [the result].
+::You already know that the number that is proportional to the second is 30.
-|style="text-align:right;"|ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת שהמספר הגלוי לשניים הוא ל&#x202B;'
 |-
 |
-::Take 2 for the second division, if there is a half [in the result].
+::Hence, the number that is proportional to the first is 178 integers and 98 parts of 157 of a units.
-|style="text-align:right;"|ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=178+\frac{98}{157}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיה המספר הגלוי לראשון קע"ח שלמים וצ"ח שלמים ק' חלקים מקנ"ז באחד
 |-
 |
-::Take 3, if there is a half in both the first and second [division].
+::The third number is 58 integers and 281 parts of 31[8] of a unit.
-|style="text-align:right;"|ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=58+\frac{281}{31{\color{red}{8}}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמספר השלישי נ"ח שלמים ורפ"א חלקים משי"א באחד
 |-
 |
-::Take 4 for each 9.
+::These three numbers are the sought-after; investigate this and you will find.
-|style="text-align:right;"|ותקח ד' בעד כל ט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואלו המספרים הם המבוקשים ואלו תחקור תמצא
 |-
 |
+:{{#annot:(a+b)/c=⅗+⅙;(a+c)/b=2⅓;a=20|618|gfLj}}59) Question: the ratio of the first and the second summed together to the third is 3-fifths plus a sixth.
-=== <span style=color:Green>Gaging Problems</span> ===
+:The ratio of the first and the third summed together to the second is 2 integers and a third.
+:The first number is 20.
-|
+:We wish to know: how much is each of the remaining numbers?
+|style="text-align:right;"|נט) <big>שאלה</big> יהיה יחס הראשון עם השני מקובצים אל השלישי ג' חמישיות ושישית<br>
+ויחס הראשון והג' מקובצים אל השני ב' שלמים ושלישית<br>
+והמספר הראשון עשרים<br>
+נרצה לדעת כמה כל א' מהמספרים הנשארים{{#annotend:gfLj}}
 |-
 |
-:{{#annot:container|2582|j94W}}67) Question: if you want to know how many small measures will a large container contain:
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):c=\frac{3}{5}+\frac{1}{6}\\\scriptstyle\left(a+c\right):b=2+\frac{1}{3}\\\scriptstyle a=20\end{cases}</math>
-:Know how many thumbs of the hand are in its length from the inside, in the depth of its center and in the depth of its top because it is narrow.
-:Take half the number of the thumbs you found in the depth of its center and its top and multiply it by itself.
-:Then multiply the result also by the measure of the length.
-:Divide the product by 144 and the result are the measures that the container contains
-|style="text-align:right;"|סז) שאלה אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול<br>
-דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה<br>
-וקח שעור חצי האצבעות שמצאת בעמקו באמצעו ובראשו ותכפלם בעצמם<br>
-והעולה תכפלם ג"כ בשעור מספר האורך<br>
-והעולה תחלקהו על קמ"ד והיוצא הוא המדות שיכיל הכלי{{#annotend:j94W}}
-|-
 |
-:*{{#annot:container|2582|GaHs}}Example: we want to know: how much will be contained in a container in which there are 50 thumbs of the size of my thumb from the inside, there are 28 thumbs in the depth of its center and 20 in the depth of its top which is narrower
-|style="text-align:right;"|דמיון זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ&#x202B;'{{#annotend:GaHs}}
 |-
 |
-::Take their half, which is 24, and multiply it by itself; the result is 576.
+::According to what was explained, we extract the numbers that meet this condition: the first number according to what preceded is 2-fifths, a third, and a third of a sixth, the second is 1 integer, 3-fifths and a sixth.
-|style="text-align:right;"|קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו
+|style="text-align:right;"|הנה לפי מה שהתבאר נוציא המספרים אשר מנהגם זה המנהג ויהיה המספר הראשון לפי מה שקדם ב' חמישיות ושלישית ושליש שישית ויהיה השני אחד ול' שלם וג' חמישיות ושישית
 |-
 |
-::Multiply it also by the measure of the length, which is 50; the result is 28800.
+::Since the number that corresponds to the first is twenty, the number that corresponds to the second is 44 integers and 56 parts of 71 of a unit.
-|style="text-align:right;"|תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=44+\frac{56}{71}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולפי שהיה המספר הגלוי לראשון עשרים יהיה המספר הגלוי לשני מ"ד שלמים ונ"ו חלקים מע"א בא' שלם
 |-
 |
-::Divide it by 144; the result is two hundred and these are the measures that the container contains, according to the measure that it is now customary to measure the wine here, in the city of Caronia.
+::The number that corresponds to the third is 84 integers and 36 parts of 71 of a unit.
-|style="text-align:right;"|חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר קורוניאה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=84+\frac{36}{71}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|והמספר הגלוי לשלישי פ"ד שלמים ול"ו חלקים מע"א בא' שלם
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(28+20\right)\right]^2\sdot50}{144}=\frac{24^2\sdot50}{144}=\frac{576\sdot50}{144}=\frac{28800}{144}=200}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:container|2582|02il}}68) Question: if you wish to know the volume of a container that has wine in it and it is not full and you would like to know how much the empty space will contain, know the number of thumbs that are in the depth of the container in its middle.
+::These are the required numbers.
-:Take its half and multiply it by itself, then divide by it half the [number of the] measures that the container will hold when it is full
+|style="text-align:right;"|והם המספרים המבוקשים
-:The result is the [number of the] measures that are missing in the container.
-|style="text-align:right;"|סח) שאלה אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי{{#annotend:02il}}
 |-
 |
-::??
+:{{#annot:b/(c-a)=3⅓;c/(b-a)=6|618|73tk}}60) Question: the ratio of the second to what remains from the third when the first is subtracted from it is 3 integers and a third.
-|style="text-align:right;"|ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט
+:The ratio of the third to what remains from the second when the first is subtracted from it is the number 6.
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[ס)] <big>שאלה</big> שיהיה יחס הב' אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הא' ג' שלמים ושליש<br>
+ויחס הג' אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הא' מספר ו&#x202B;'{{#annotend:73tk}}
 |-
 |
-:To know how many measures will be contained in the empty space, multiply the empty space by itself and multiply it by the first and the result are the measures that are in the empty space.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle b:\left(c-a\right)=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c:\left(b-a\right)=6\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון
-|-
 |
-:*{{#annot:container|2582|0X2x}}For example: we have a container that contains 200 small measures and in its depth in the middle there are 28 thumbs.
-|style="text-align:right;"|דמיון יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות{{#annotend:0X2x}}
 |-
 |
-::Take their half, which is 14, and multiply it by itself; the result is 196.
+::We extract the three numbers by the preceding way in these mentioned relations, i.e. that the ratio of the first and the second summed together to the third is 3 integers and a third; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 6 integers.
-|style="text-align:right;"|קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו
+|style="text-align:right;"|והנה נוציא ג' מספרים על הדרך הקודמת &#x202B;<ref>236v</ref>באלו היחסים הנזכרים הנה ר"ל שיהיה יחס מקובץ הראשון והשני אל השלישי ג' שלמים ושליש ויחס מקובץ הראשון והג' מקובצים אל הב' ו' שלמים
 |-
 |
-::Divide by it half the two hundred measures that the container contains, which is 100; you receive a little less than half, no matter the excess, and this is what is missing [?].
+::So, the first is 19, the second is 4 and a third, and the third is 7.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)^2}{\frac{1}{2}\sdot200}=\frac{14^2}{100}=\frac{196}{100}<\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה הראשון י"ט והשני ד' ושליש והג' ז&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה
 |-
 |
-::If 6 thumbs are missing, multiply them by themselves; it is 36.
+::Hence, the first is 19.
-|style="text-align:right;"|ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הראשון י"ט
 |-
 |
-::Multiply it by the half; the result is 18 and these are the measures contained in the 6 thumbs that are missing from the container.
+::Add 19 to the second; it is 23 integers and a third and this is the second number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6^2=\frac{1}{2}\sdot36=18}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=19+\left(4+\frac{1}{3}\right)=23+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי
+|style="text-align:right;"|ותחבר עם השני י"ט ויהיו כ"ג שלמים ושליש והוא המספר השני
 |-
 |
-:{{#annot:container|2582|G2Z7}}69) Question: If you want to make a container that will contain a known [number of] measures no less and no more, first, know the length of the boards from which you want to make it.
+::Add 19 to the third; it is 26 and this is the third number.
-:Take out of them what is needed to make a space for the base of the container.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=19+7=26}}</math>
-:Take what is left of the length of the board and keep it.
+|style="text-align:right;"|ותחבר עם השלישי י"ט ויהיו כ"ו והוא המספר השלישי
-:Divide by it the number of the measures that you want the container to contain multiplied by 144.
-:Extract the root of the result and this is the volume that should be in the depth of the container, in its quarter which is between the middle and the top.
-|style="text-align:right;"|סט) שאלה אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר<br>
-דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש{{#annotend:G2Z7}}
 |-
 |
-:*{{#annot:container|2582|pVZR}}For example: we want to make a container that would hold two hundred measures and we have to make them out of boards that are 54 thumbs long.
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|דמיון רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות{{#annotend:pVZR}}
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-::Subtract 4 from them for the lower base of the container; 50 remain.
+:{{#annot:(a+b)/(c-a)=4½;(a+c)/(b-a)=5|618|UcvZ}}61) Question: the ratio of the first and the second summed together to what remains from the third when the first is subtracted from it is 4 integers and a half.
-|style="text-align:right;"|חסר מהם ד' למושב תחתית הכלי וישארו נ&#x202B;'
+:The ratio of the first and the third summed together to what remains from the second when the first is subtracted from it is 5 integers.
+:We wish to know: how much is each of the numbers that meet this condition?
+|style="text-align:right;"|סא) <big>שאלה</big> שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הנשאר מהג' כשחוסר ממנו הראשון ד' שלמים וחצי<br>
+ויחס הראשון והג' מקובצים אל הנשאר מהב' כשחוסר ממנו הראשון הוא ה' שלמים<br>
+ונרצה לדעת כמה כל המספרים שינהגו זה המנהג{{#annotend:UcvZ}}
 |-
 |
-::Multiply two hundred by 144; the result is [28]800.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\left(a+b\right):\left(c-a\right)=4+\frac{1}{2}\\\scriptstyle\left(a+c\right):\left(b-a\right)=5\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות
-|-
 |
-::Divide it by the 50 of the length; you receive 576.
-|style="text-align:right;"|חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו
 |-
 |
-::Extract its root; it is 24 and this is the measure that should be in the depth between the middle and the top, which is a quarter of the length of the board, because the depth of the middle should be greater than the depth of the top.
+::We extract the three numbers by the preceding way in these relations, meaning that the ratio of the first and the second summed together to the third is 4 and a half; and the ratio of the first and the third summed together to the second is 5.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{200\sdot144}{54-4}}=\sqrt{\frac{{\color{red}{28}}800}{50}}=\sqrt{576}=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נוציא המספרים הג' על הדרך הקודמת לפי אלו היחסים רצוני שיהיה יחס הראשון והשני מקובצים אל הג' ד' וחצי ויהיה יחס הא' והג' מקובצים אל הב' מספר ה&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|קח גדרם שהוא כ"ד וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש
 |-
 |
-::Or if you want, make the boards as they are in such a way that only their joint remains at the end of the whole container and make it so that the width of all of them is a quarter of the root multiplied by 3 and a seventh.
+::So, the first is 21 and a half, the second is [5] and a half, and the third is 6.
-|style="text-align:right;"|או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הראשון כ"א וחצי והשני ו' וחצי והג' ו&#x202B;'
 |-
 |
-::In this example, the resulting root is 24. Multiply it by 3 and a seventh; it is 75 and 3-sevenths. So, make the the width of all the boards at the quarter of the length of the board equal to the 75 and 3-sevenths mentioned and make the container as you wish.
+::A half of the first is 10 and 3-[quarters] and this is the first.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=75+\frac{3}{7}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{2}\sdot\left(21+\frac{1}{2}\right)=10+\frac{3}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|דמיון זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך
+|style="text-align:right;"|והנה חצי הא' הוא י' וג' שביעיות והוא הראשון
 |-
 |
+::We add 10 and 3-[quarters] to the second; the result is 16 and a quarter and this is the second.
-=== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(5+\frac{1}{2}\right)+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה חברנו י' וג' שביעיות אל השני ועלה י"ו ורביע והוא השני
+|-
 |
+::We add 10 and 3-[quarters] to the third; the result is 16 and 3-quarters and this is the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=6+\left(10+\frac{3}{4}\right)=16+\frac{3}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה חברנו י' וג' שביעיות עם השלישי ועלה י"ו וג' רביעיות והוא הג&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:four men, money|664|UFFL}}70) Question: four men.
+:{{#annot:a+¼(b+c)=b+⅙(a+c)=c+⅑(a+b);b=20|618|HxDL}}62) Question: the first with a quarter of the rest is equal to the second with a sixth of the rest and is also equal to the third with a ninth of the rest.
-:The first said to the second: if you give me half of your money with my [money] the result will be ten.
+:It has already been explained to you in the first section of this book that the order of these three numbers is according to this arrangement, meaning that the first is added to the greatest part of the rest and the [third] is added to the smallest part of the rest. I remind you this so that you will not be confused by the explanations.
-:The second said to the third: if you give me a third of your money with half of the money I had before I gave to my friend its half, i.e. with what I have left, the result will be ten.
+:The second number is 20.
-:The third said to the fourth: if you give me a quarter of your money with what I have left after giving the third the result will be ten and you will be left with ten.
+:We wish to know: how much is each of the rest?
-:How much was the money?
+|style="text-align:right;"|סב) <big>שאלה</big> שיהיה הראשון עם רביעית הנשארים שוה אל השני עם שישית הנשארי' והוא ג"כ שוה אל השלישי עם תשיעית הנשארים<br>
-|style="text-align:right;"|ע) שאלה ד' אנשים<br>
+כבר התבאר לך במאמ' הראשון מזה הספר שסדור אלו המספרים הג' הוא על זה הסדר אשר סדרוה רצוני שהראשון הוא אשר יתחבר המתחלק יותר גדול מן הנשארים והל' הוא אשר יתחבר עמו יותר קטן והנשארים והזכרתי זה לך למען לא תבלבל בביאורים<br>
-אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה<br>
+והנה יהיה המספר השני מהם כ&#x202B;'<br>
-אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם חצי הממון שהיה לי קודם שנתתי לחבירי מחציתו יעלה עשרה ר"ל עם מה שנשאר לי<br>
+ורצינו לדעת כמה כל א' מהנשארים{{#annotend:HxDL}}
-השיב הג' לד' אם תתן לי רביעית ממונך עם מה שנשאר לי אחר נתינת השליש יעלה עשרה גם נשארו לך עשרה<br>
-כמה היה הממון{{#annotend:UFFL}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=10\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=10\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=10\end{cases}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{4}\sdot\left(b+c\right)=b+\frac{1}{6}\sdot\left(a+c\right)=c+\frac{1}{9}\sdot\left(a+b\right)\\\scriptstyle b=20\end{cases}</math>
 |
 |-
 |
-::Take the denominator of the last amount, meaning the 4, because it is known that after giving a quarter of the money, he is left with ten.
+::We already know that the numbers that meet this condition: the first is 119, the second is 151, and the third is 169. From these we extract the corresponding numbers of this ratio:
-|style="text-align:right;"|הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה
+|style="text-align:right;"|וכבר ידענו שהמספרים שינהגו כמו זה המנהג הראשון מהם קי"ט והשני קנ"א והג' קס"ט מזה הגליים ונוציא שאר הגליים על היחס
 |-
 |
-::So, we say: ten is 3-quarters of which number? You find it is 13 and a third. Hence, the money of the last was 13 and a third.
+::The one that corresponds to the first is 15 integers and 115 parts of 1[5]1 of a unit.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{3}{4}d\longrightarrow d=13+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=15+\frac{115}{151}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש
+|style="text-align:right;"|ולזה יהיה הגליים לראשון ט"ו שלמים וקט"ו חלקים מק"א בא' שלם והוא הראשון הנה
 |-
 |
-::He gives a quarter and is left with 10. Hence, he gave 3 and a third to the third in order to complete his amount to ten.
+::The one that corresponds to the third is 22 integers and 58 parts of 151 of a unit.
-::So, he had 6 and 2-thirds after he gave a third of his money to the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=22+\frac{58}{151}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(13+\frac{1}{3}\right)-10\right]=10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיה הגליי לג' כ"ב &#x202B;<ref>237r</ref>שלמים ונ"ח חלקים מקנ"א בא' והוא השלישי הנה
-|style="text-align:right;"|ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה<br>
-א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני
 |-
 |
-::We say: 6 and 2-thirds is 2-thirds of which number? You find it is 10. Hence, the third had 10.
+::These are the required numbers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}c\longrightarrow c=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והם המספרים המבוקשי&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י&#x202B;'
 |-
 |
-::He gave 3 and a third of it, which is its third, and received also 3 and a third, so he gained the same as he lost. Hence, he had ten, because what one took the other gave back.
+::If you wish, you can check it.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה תוכל לבחון אותו
-|style="text-align:right;"|ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה
 |-
 |
-::We return, then, to the second. It is known that after he gave a half to his freind, the money he is left with is 6 and 2-thirds, since he should receive 3 and a third, in order that the total would be 10.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Partnership Problem - Three Partners - Same Time</span> ===
-|style="text-align:right;"|וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י&#x202B;'
-|-
 |
-::So, we say: 6 and 2-thirds is a half of which number? You find it is 13 and a third. Hence, his money was 13 and a third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}b\longrightarrow b=13+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש
 |-
 |
-::He gave its half, which is 6 and 2-thirds, and was left with the same, then he received 3 and a third and his money was also ten.
+:{{#annot:three partners|661|WxAc}}63) Question: three men formed a partnership.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b+\left(3+\frac{1}{3}\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}</math>
+:The money of all three together is 25 minyanim.
-|style="text-align:right;"|ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה
+:The share owed to the first from the profit they earned is 16 minyanim.
+:The share owed to the second from the profit is equal to the root of the money earned by the first.
+:The share owed to the third from the profit is equal to the root of the money [earned by] the second.
+:How much did each contribute to the partnership?
+|style="text-align:right;"|סג) <big>שאלה</big> ג' אנשים עושים שותפות<br>
+והנה ממון שלשתן עולה כ"ה מניינים<br>
+והנה לראשון מגיע לחלקו מהריוח שעשו י"ו מנינים<br>
+ולשני מגיע לחלקו מהריוח הממון שרש ריוח ממון הראשון<br>
+והשלישי ראוי לו ליקח מהריוח כמו שרש ממון השני<br>
+כמה שם כל אחד ואחד בשותפות{{#annotend:WxAc}}
 |-
 |
-::We return, then, to the second. We already know that he received 6 and 2-thirds from his friend. So, he needs 3 and a third to complete the amount.
+::The answer: you already know that the profit of the first amount is 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(6+\frac{2}{3}\right)=3+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> כבר ידעת כי ריוח ממון הראשון הוא י"ו
 |-
 |
-::Hence, his money was 3 and a third; the money of the second was 3 and a third before he gave anything; the money of the third was 10 before he gave anything; and the money of the fourth was 13 and a quarter.
+::Hence, you should extract the root of 16; it is 4 and this is the profit of the second amount.
-|style="text-align:right;"|א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\sqrt{16}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|על כן יש לך לקחת שרש י"ו והם ד' וזה יהיה ריוח ממון מהשני
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle b={\color{red}{1}}3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c=10\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}</math>
+::You should also extract the root of 4; it is 2 and this is the profit of the third amount.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\sqrt{4}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד יש לך לקחת שרש ד' והם ב' וזה סך ריוח ממון השלישי
+|-
 |
+::{{#annot:three partners|661|yqVD}}We do it as follows: three formed a partnership - one contributed 2 minyanim, the second [contributed] 4 [minyanim], and the third [contributed] 25 [minyanim]. They earned 25. How much should each have?
+|style="text-align:right;"|ונעשה ככה בכאן ג' עושים שותפות הא' שם ב' מנינים והב' ד' והג' י"ו והרויחו כ"ה כמה היה לכל אחד ואחד{{#annotend:yqVD}}
 |-
 |
-:*{{#annot:four men, money|664|0Qsg}}If the first said to the second: give me half of your money with my [money] the result will be ten.
+::Sum up the amounts of money of all three; it is 22.
-::The second said to the third: give me a third of your money with what I have left, the result will be 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+4+16=22}}</math>
-::The third said to the fourth: give me a quarter of your money with what I have left, the result will be 15 and 20 will remain.
+|style="text-align:right;"|תחבר ממון שלשתן והם כ"ב
-|style="text-align:right;"|ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י&#x202B;'<br>
-והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב<br>
-והג' אמר לד' תן לי רביעית ממונך עם מה שיש לי ויהיו ט"ו וישארו עדין עשרים{{#annotend:0Qsg}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=12\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=15\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=20\end{cases}</math>
+::Multiply the share of the first, which is 16, by 25 and divide the product by 22; you receive 18 and 2 parts of 11 and this is the amount of money the first contributed to the partnership, whose share of the profit is 16 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{16\sdot25}{22}=18+\frac{2}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכפול חלק הראשון שהוא י"ו על כ"ה ותחלק מה שיעלה על כ"ב ויצא לך י"ח וב' חלקים מי"א והוא סך ממון מה ששם הראשון בחבורה שהגיע לחלקו מהריוח י"ו מנינים
+|-
 |
+::Multiply also 6 by 25; you get 100. Divide it by 22; you receive 4 and 6 parts of 11 and this is the share of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{4\sdot25}{22}=\frac{100}{22}=4+\frac{6}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תכפול ד' על כ"ה ויצא לך ק' וחלקם על כ"ב ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א והוא חלק השני
 |-
 |
-::The way is exactly as mentioned above and the reason for this is explained.
+::Multiply also 2 by 25; you get 50. Divide it by 22; you receive 2 integers and 3 parts of 11 and this is the share of the third, i.e. what the one whose share of the profit is 2 contributed to the partnership.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{2\sdot25}{22}=\frac{50}{22}=2+\frac{3}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ב' על כ"ה ויצא לך נ' וחלקם על כ"ב ויצא לך ב' שלמים וג' חלקים מי"א והוא חלק הג' ר"ל מה ששם בחבורה מי שהגיע לו מריוח הממון ב&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three men, property|664|1E5D}}71) Question: three men want to buy a property for a price of 100 minyanim.
+::Deduce from this.
-:The first said to the second and the third: if you give me a third of your money with all of my money the result will be 100.
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
-:The second said to the third and the first: if you give me a quarter of your money with all of my money the result will be 100.
-:The third said to the first and the second: if you give me a fifth of your money with all of my money the result will be 100.
-:How much did each have?
-|style="text-align:right;"|עא) שאלה הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים<br>
-אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק&#x202B;'<br>
-השיב הב' לג' ולא' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם כל ממוני יעלו ק&#x202B;'<br>
-אמר הג' לא' ולב' אם תתנו לי חומש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק&#x202B;'<br>
-כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:1E5D}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b+c\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+c\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b\right)\right]=100\end{cases}</math>
+=== <span style=color:Green>Guessing Problem - Four Coins</span> ===
 |
 |-
 |
-::The answer: do as follows: take a number that has a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
+:{{#annot:four coins|667|VyzS}}64) Question: there are here a known number of men, each has a different number of coins of different kinds.
-|style="text-align:right;"|התשובה עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס&#x202B;'
+:We wish to know: which kind of coins does each of them have and who are the holders of the coins among all [the men]?
+|style="text-align:right;"|סד) <big>שאלה</big> יש כאן אנשים ידועים לכל אחד יש סכום מטבעים מתחלפים מהסכום גם מהמטבעים ונרצה לדעת איזה מטבע יש לכל א' וא' וכמה מטבעים יש לו ומי מכלם הם ד' בעלי המטבעים ר"ל מחזיקי המטבעים{{#annotend:VyzS}}
 |-
 |
-::Then say: 60 is 2-thirds of which [number]? You find it is 90.
+::The answer: [the number of] the holder of the greatest coin should be doubled, then 6 is added to it, and the result is multiplied by 5.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}a_2\longrightarrow a_2=90}}</math>
+::[The number of] the holder of the second coin, which is the middle coin, is added to this, the result is multiplied by 5, then 150 is subtracted from the product and the remainder is multiplied by 2.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ&#x202B;'
+::[The number of] the holder of the third coin is added to this, [the result] is multiplied by 5, then multiplied also by 2.
+::[The number of] the holder of the fourth coin is added to this.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לכפול בעל המטבע הגדול ולהוסיף על זה ו' ולכפול העולה על ה&#x202B;'<br>
+ולהוסיף על הסכום בעל המטבע הב' שהוא המטבע התיכונה ולכפול העולה על ה' ולחסר מהסך ק"נ ולכפול הנשאר על ב&#x202B;'<br>
+ולהוסיף על זה בעל מטבע הג' ולכפול אותו על ה' והעולה יכפול ג"כ על ב&#x202B;'<br>
+ולהוסיף על זה בעל מטבע הד&#x202B;'
 |-
 |
-::Say also: 60 is 3-quarters of which [number]? You find it is 80.
+::<math>\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a_1+6\right)\sdot5\right]+a_2\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+a_3\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+a_4</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}b_2\longrightarrow b_2=80}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ&#x202B;'
 |-
 |
-::Say also: 60 is 4-fifths of which number? You find it is 75.
+::Now, you can know, for example, who holds the gold coin, which is the greatest; who holds of the silver coin, which is the second largest; who holds the copper [coin]; and who holds the iron coin. But, you do not know the number of coins each one holds.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}c_2\longrightarrow c_2=75}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תוכל לדעת מי הוא מחזיק מטבע הזהב על דרך משל &#x202B;<ref>237v</ref>שהוא היותר גדול ומי הוא מחזיק הכסף הבא אחריו ומי מחזיק הנחושת ומי מחזיק הברזל אך לא תדע סכום המטבעים המחזיקים כל א&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה
 |-
 |
-::Then, sum up these three numbers; the result is 245.
+::Know that the thousands [of the result] is the [position of the owner] of the gold [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1}}</math>].
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה
+|style="text-align:right;"|ודע כי האלפים הוא מספר הזהב
 |-
 |
-::Divide it by 2, because they are always doubled, i.e. the first says to the two others to give him a third, and so on; you receive 122 and a half.
+::The hundreds [of the result] is the [position of the owner of the] silver [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2}}</math>].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90+80+75}{2}=\frac{245}{2}=122+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והמאיות מספר הכסף
-|style="text-align:right;"|תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי
 |-
 |
-::Subtract 30 from it, because it is the first fraction; 32 and a half remains and this is the share of the first.
+::The tens [of the result] is the [position of the owner of the] copper [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3}}</math>].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-90=32+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והעשרות הנחושת
-|style="text-align:right;"|הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract also 80 from 122 and a half; 42 and a half remains and this is the share of the second.
+::The units [of the result] is the [position of the owner of the] iron [coins] [<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4}}</math>].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=42+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאחדים הברזל
-|style="text-align:right;"|עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני
 |-
 |
-::Subtract also 75 from 122 and a half; 47 and a half remains and this is the share of the third.
+::Now, you return to the mentioned number again and you can know the amount of the coins each one holds, because the thousands are the amount of the gold, the hundreds are the amount of the silver, the tens of the copper and the units of the iron.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=47+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תשוב לעשות המספר הנזכר פעם אחרת ותוכל לדעת סכום המטבעים המחזיק כל א וא' כי האלפים סכום הזהב והמאיות סכום הכסף והעשרות הנחושת והאחדים הברזל
-|style="text-align:right;"|עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Then, to check the question, take a third of 42 and a half and of 47 and a half, and add them to 32 and a half; the result is 62 and a half.
+:*I give you an example: I gave 3 minyanim of gold to the fourth man; 5 silver carlini to the sixth man; 7 copper cavalli to the eighth man; and 9 iron piccoli to the ninth man.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
+::You want to know: who has the gold coins and how many coins does he have; who are the holders of the silver, the copper, and the iron and how many coins do they have?
-|-
+|style="text-align:right;"|ואתן לך דמיון<br>
-|colspan=2|
+<big>דמיון</big> נתתי ג' מניני זהב לאיש רביעי<br>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left(32+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
+וה' קרליני מכסף לאיש ו&#x202B;'<br>
+וז' קאוואלי מנחושת לאיש ח&#x202B;'<br>
+וט' פיצולי מברזל לאיש ט&#x202B;'<br>
+ותרצה לדעת למי הם מטבעי הזהב וכמה מטבעים לו ומי מחזיק הכסף והנחושת והברזל וכמה מטבעים יש לו
 |-
 |
-::Take also a quarter of 47 and a half and of 32 and a half, and add them to 42 and a half; it is 62 and a half.
+::Tell them that the man holding the gold should double [his position]; it is 8. Add 6 to it; it is 14. Multiply it by 5; it is 70.
-|style="text-align:right;"|עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי
+::Add to this [the position of] the one holding the silver, which is 6; it is 76. Multiply it by 5; it is 380. Subtract 150 from it; 330 remains. Multiply it by 2; it is 460.
-|-
+::Add to this [the position of] the one holding the copper, which is 8; it is 468. Multiply it by 5; it is 2340. Multiply it by 2; it is 4680.
-|colspan=2|
+::Add to this [the position of] the one holding the iron; it is 4689.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left(42+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר לו שיכפול האיש מחזיק הזהב ויהיו ח' ותוסיף עליו ו' ויהיו י"ד כפול אותם על ה' ויהיו ע&#x202B;'<br>
+תוסיף על זה בעל מטבע הכסף שהוא הו' ויהיו ע"ו תכפלם על ה' ויהיו ש"פ תסיר מהם ק"נ נשארו ר"ל תכפלם על ב' ויהיו ת"ס<br>
+תוסיף על זה בעל מטבע הנחושת שהוא הח' ויהיו תס"ח תכפלם על ה' ויהיו ב' אלפים וג' מאות ומ' וכפול זה על ב' ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ&#x202B;'<br>
+ותוסיף על זה בעל מטבע הברזל ויהיו ד' אלפים וו' מאות ופ"ט
 |-
 |
-::Then, take a fifth of 32 and a half and of 42 and a half, and add them to 47 and a half; it is also 62 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי
+\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+6\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(70+6\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(76\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(380-150\right)\sdot2\right]+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(230\sdot2\right)+8\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(460+8\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(468\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(2340\sdot2\right)+9=4680+9=4689\\\end{align}}}</math>
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]=\left(47+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
-|-
 |
-::Therefore, if the price of the property was 62 and a half, we would have already solved the question, because the money of the first was 32 and a half, the money of the second was 42 and a half, and the money of the third was 47 and a half.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=32+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b_1=42+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c_2=47+\frac{1}{2}\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}</math>
+::Hence, 4000 are 4 men, i.e. the fourth man, which is the one holding the gold, but you still do not know the number of the coins.
-|
+|style="text-align:right;"|הנה ד' אלפים הם ד' אנשים ר"ל איש רביעי והוא מחזיק הזהב אך לא תדע סך המטבעים עדין
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Since the price of the property is 100, we relate and say: if 62 and a half equals 32 and a half, how much is 100 equal to?
+::600 is the sixth man, who holds the silver.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(32+\frac{1}{2}\right)=100:a}}</math>
+|style="text-align:right;"|וו' מאות הם איש שישי מחזיק הכסף
-|style="text-align:right;"|הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים
 |-
 |
-::You receive 52 and this is the share of the first.
+::80 is the eighth man, who holds the copper.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=52}}</math>
+|style="text-align:right;"|והפ' איש שמיני בעל הנחושת
-|style="text-align:right;"|יצא לך נ"ב והוא חלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 62 and a half equals 42 and a half, how much is 100 equal to?
+::9 is the ninth man, who holds the iron coins.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(42+\frac{1}{2}\right)=100:b}}</math>
+|style="text-align:right;"|והט' איש תשיעי בעל מטבע הברזל
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"ב וחצי כמה שוים ק&#x202B;'
 |-
 |
-::You receive 68 and this is the share of the second.
+::You still only know the men, i.e. who holds the gold and the silver, but not their amount.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=68}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועדין לא תדע כי אם האנשים ר"ל מי מחזיק הזהב וכן הכסף אך לא תדע סך מנינם
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 62 and a half equals 4[7 and a half], how much is 100 equal to?
+::If you want to know the amount of each [kind of] coin, tell him to double the 3 minyanim; it is 6. Add 6 to it; it is 12. Multiply it by 5; [it is 60].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(4{\color{red}{7}}+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)=100:c}}</math>
+::[Add 5 to this, which is the amount of silver coins; it is 65]. Multiply it by 5; it is 325. Subtract 150 from it; 175 remains. Multiply it by 2; it is 350.
-|style="text-align:right;"|עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים
+::Add 7 to this, which is the amount of copper coins; it is 357. Multiply it by 5; it is 1785. Multiply it by 2; it is 3570.
+::Add the amount of iron coins to this, which is 9; the total result is 3579.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת סך כל מטבע ומטבע תאמר לו שיכפול הג' מנינים ויהיו ו' תוסיף עליו ו' ויהיו י"ב<br>
+ותכפלם על ה' ויהיו שכ"ה תסיר מהם ק"נ נשארו קע"ה תכפלם על ב' ויהיו ש"נ<br>
+תוסיף על זה ז' שהוא סך מטבעי הנחושת ויהיו שנ"ז תכפלם על ה' ויהיו אלף ותשפ"ה ותכפלם על ב' ויהיו ג' אלפים ותק"ע<br>
+ותוסיף על זה סכום מטבעי הברזל שהם ט' ויעלה הכל ג' אלפים ותקע"ט
 |-
 |
-::You receive 76 and this is the share of the third etc.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=76}}</math>
+\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot3\right)+6\right]\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(6+6\right)\sdot5\right]+{\color{red}{5}}\right]{\color{red}{\sdot5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(12\sdot5\right)+{\color{red}{5}}\right]\sdot{\color{red}{5}}\right]-150\right]\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(325-150\right)\sdot2\right]+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(175\sdot2\right)+7\right]\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left[\left(350+7\right)\sdot5\right]\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left[\left(357\sdot5\right)\sdot2\right]+9\\&\scriptstyle=\left(1785\sdot2\right)+9=3570+9=3579\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו&#x202B;'
+|
 |-
 |
-:If there were four men, do as mentioned, but the result should be divided by 3, because they are always duplicated, as we divided them above by 2, because they are duplicated.
+::Hence, 3000 are the 3 gold coins.
-|style="text-align:right;"|ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הג' אלפים הם ג' מטבעי זהב
 |-
 |
-:Understand this well so that you do not make a mistake in your calculation and the reason for this is explained.
+::500 are the 5 silver coins.
-|style="text-align:right;"|והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת
+|style="text-align:right;"|והה' מאות הם ה' מטבעי כסף
 |-
 |
-:I will give you an example of four:
+::70 are the 7 copper coins.
-|style="text-align:right;"|ואתן לך דמיון מד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והע' הם ז' מטבעי נחושת
 |-
 |
-:{{#annot:four men, money|664|iwP0}}72) Question: there are four.
+::9 are the 9 iron coins.
-:The first said: I will give all my money and you will give half of your money and the result will be 100.
+|style="text-align:right;"|והט' הם ט' מטבעי ברזל
-:The second said to the three: I will give all my money and you will give a third of your money and the result will be 100.
-:The third said to the remaining three: I will give all my money and you will give a quarter of your money and the result will be 100.
-:The fourth said: give a fifth of your money with all my money and the result will be 100.
-:How much did each have?
-|style="text-align:right;"|עב) שאלה בכאן ד&#x202B;'<br>
-אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק&#x202B;'<br>
-השיב הב' לג' אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם ויעלה ק&#x202B;'<br>
-השיב הג' לג' הנשארים אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם ויעלה ק&#x202B;'<br>
-אמר הד' תנו חומש ממונכם עם כל ממוני ויעלה ק&#x202B;'<br>
-כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:iwP0}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=100\\\scriptstyle d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]=100\end{cases}</math>
+::Therefore, the fourth man holds 3 minyanim of gold.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ האיש הד' מחזיק ג' מניני זהב
+|-
 |
+::The sixth man holds 5 silver coins.
+|style="text-align:right;"|והאיש הו' מחזיק ה' מטבעי כסף
 |-
 |
-::You should find a number that includes a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
+::The eighth man holds 7 copper coins.
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והאיש הח' מחזיק ז' מטבעי נחושת
 |-
 |
-::Say: 60 is a half of which [number]? You find it is 120.
+::The ninth man holds 9 iron coins, which are piccoli.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{1}{2}a_2\longrightarrow a_2=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאיש הט' &#x202B;<ref>238r</ref>מחזיק ט' מטבעי ברזל שהם פיצולי
-|style="text-align:right;"|ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ
 |-
 |
-::Say also: 60 is 2-thirds of which number? You find it is 90.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}b_2\longrightarrow b_2=90}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ===
-|style="text-align:right;"|עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ&#x202B;'
-|-
 |
-::Say also: 60 is 3-quarters of which number? You find it is 80.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}c_2\longrightarrow c_2=80}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ&#x202B;'
 |-
 |
-::And 4-fifths of which [number]? You find it is 75.
+:{{#annot:4=⅓·15→a=⅕·25|618|RldY}}65) Question: if number 4 is a third of number 15 what is the fifth of 25?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}d_2\longrightarrow d_2=75}}</math>
+|style="text-align:right;"|סה) <big>שאלה</big> אם מספר ד' הוא שליש מספר ט"ו מהו חומש כ"ה{{#annotend:RldY}}
-|style="text-align:right;"|ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה
 |-
 |
-::Then, sum them up; it is 365.
+::The answer is in two ways:
-|style="text-align:right;"|אח"כ חברם ויהיו שס"ה
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> היא על ב' פנים
 |-
 |
-::Divide it by 3, because they are always triplicated when asking for a third, a half, a quarter, and a fifth of the money; you receive 121 and 2-thirds and this is the amount of all four.
+:*One: a third should be taken from 15; it is 5.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120+90+80+75}{3}=\frac{365}{3}=121+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot15=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן
+|style="text-align:right;"|הא' ראוי להעמיד שליש ט"ו שהוא ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, subtract 120 from 121 and 2-thirds; 1 and 2-thirds remains and this is the share of the first.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Say: if 5 becomes 4, as it is said that 4 is a third of 15, how much is the number 5, which is a fifth of 25?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-120=1+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:4=\left(\frac{1}{5}\sdot25\right):a=5:a}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ה' שבו ד' מצד כי אמר כי ד' הם שליש ט"ו מספר ה' שהוא חומש כ"ה כמה שוים
 |-
 |
-::Subtract also 90 from it; 31 and 2-thirds remains and this is the money of the second.
+::Multiply 4 by 5, then divide by 5; you receive 4 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-90=31+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{4\sdot5}{5}=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תכפול ד' על ה' וחלק על ה' ויצא לך ד' והוא המבוקש
 |-
 |
-::Subtract also 80 from it; 41 and 2-thirds remains and this is the money of the third.
+:*The second way is as follows: we should multiply 4 by 3; the result is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=41+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot3=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והדרך הב' הוא כן והוא כי יש לנו לכפול מספר ד' על ג' ויעלו י"ב
 |-
 |
-::Subtract also 75 from it; 46 and 2-thirds remains and this is the money of the fourth.
+::So, the number 4 is a third of 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{d_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=46+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot12=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|א"כ מספר ד' הוא שליש י"ב
 |-
 |
-::The first says the the three others to give him half of their money; the result is 100.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> We want it to be a third of 15. You should relate and say: if 15 becomes 12, how much is 25?
-|style="text-align:right;"|ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15:12=25:a}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונרצה שיהיה שליש ממספר ט"ו ויש לך לעשות הערך כך ולומ' אם ט"ו שבו י"ב כ"ה כמה ישוו
 |-
 |
-::Sum up all their money and divide it by 2; the result is only 61 and 2-thirds.
+::Multiply 25 by 12, then divide by 15; you receive twenty. Take its fifth; the result is 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b_1+c_1+d_1\right)\right]=61+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1}{5}\sdot\frac{25\sdot12}{15}=\frac{1}{5}\sdot20=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|כפול כ"ה על י"ב וחלקם על ט"ו ויצא לך עשרים תקח חמישיתם ויצא ד&#x202B;'
-|-
-|
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, we say: if 61 and 2-thirds gives me 1 and 2-thirds, how much will 100 give you?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(61+\frac{2}{3}\right):\left(1+\frac{2}{3}\right)=100:a}}</math>
-|style="text-align:right;"|על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק&#x202B;'
-|-
-|
-::Do as mentioned and the reason is clear, no need to [explain].
-|style="text-align:right;"|ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Guessing Problems - Cards</span> ===
+=== <span style=color:Green>Guessing Problem - Chosen Number</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:cards|667|dqeR}}73) Question: If you want to know which [card] in a square of cards your friend touched, put five in length and five in width
+:{{#annot:chosen number|667|TNd8}}66) Question: if you want to know the number of which a man thought.
-:Tell five people that each one touches one [card of one] row, i.e. the row that one touched the other will not touch
+:Tell him to divide it by 2.
-:Take them in your hand one by one, from the right side to the left side, then from the left side to the right side, and from the right to the left and so on until all five rows are completed.
+:Ask him if the result of division includes a half, [tell him to] consider the result as integer, and take 1 for the half.
-:Then place them on the table one by one, from top to bottom and from bottom to top, and so on, until you have placed all five rows on the table.
+:Tell him to add half the number to the whole number and divide the result by 2.
-:Then ask each them in which row is the card he touched.
+:If there is a half in the result take 2 for the second half and tell him to consider the result as integer.
-|style="text-align:right;"|עג) שאלה אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב<br>
+:Tell him to add this to what he had before the second division.
-ואמור לה' בני אדם שכל א' יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב&#x202B;'<br>
+:Ask him how many ninths there are in the sum and take 4 for each 9.
-ותקחם בידך א'א' בצד ימין ותלך בצד שמאל ומצד שמאל לצד ימין ומן ימין לשמאל וכן עד כלות כל הה' שורות<br>
+:Add the result to what you have from the two divisions and the sum is the required.
-אח"כ הניחם על השלחן אחת אחת ממעלה למטה וממטה למעלה וכן עד שהנחת כל הה' שורות על השלחן<br>
+:<math>\scriptstyle\frac{x+\frac{x}{2}+\frac{x+\frac{x}{2}}{2}}{9}\sdot4=x</math>
-ואח"כ שאל להם באיזו שורה השטר שנגע וכן לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:dqeR}}
+|style="text-align:right;"|סו) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו<br>
+תאמר לו שיחלקהו על ב&#x202B;'<br>
+אח"כ שאל לו אם יש בחלוקה חצי ותעשהו שלם ותקח אתה בעד החצי א&#x202B;'<br>
+אח"כ תאמר לו שיוסיף מחצית המספר על המספר כלו<br>
+ואח"כ תאמר לו שיחלק העולה על ב&#x202B;'<br>
+ואם יש בו חצי ג"כ תקח שנים בעבור החצי הב' ותאמ' לו שיעשהו שלם<br>
+ותאמ' לו שיוסיף זה על מה שהיה לו קודם החלוקה השניה<br>
+ותשאל לו כמה תשיעיות יש בו וקח בעד כל ט' ד&#x202B;'<br>
+ותוסיף העולה על מה שיש לך מהב' חלוקות והיוצא הוא המבוקש{{#annotend:TNd8}}
 |-
 |
-::You find that the first one touched the first card in front of you in the same row that he told you and the second touched the second downwards and the third touched the third downwards and so on always.
+:*Example: a man thought of the number 33.
-|style="text-align:right;"|ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אדם חשב מספר ל"ג
 |-
 |
-::You can do the same with 6 or 7 if you make a square of 6 or 7.
+::Tell him to divide it by 2; you receive 16 and a half.
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{33}{2}=16+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר לו שיחלקהו על ב' ויצא לך י"ו וחצי
 |-
 |
-:{{#annot:cards|667|P3Ym}}74) Question: If you would like to know which card your friend took from an entire deck of cards, you must do it this way: you know well that all the points of an entire deck of cards summed up to 312, so the horseman is worth ten, the knight 11 and the king 12.
+::Tell him to turn it into an integer; it is 17. Reserve 1 [for the half].
-:You count all the points and you are 245 short to 312.
+|style="text-align:right;"|ותאמ' לו שיעשהו שלם ויהיו י"ז ותקח א&#x202B;'
-:Turn over the cards a second time and count the missing five of whichever kind they are i.e. whether of horses or cups or sticks or swords and you will receive the required.
-|style="text-align:right;"|עד) שאלה אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה<br>
-ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שי"ב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב<br>
-ותמנה כל הנקדות ויחסר לך עד תשלום שי"ב רמ'ה&#x202B;'<br>
-תשוב להפך השטרות פעם שניה ותמנה הה' החסרים מאיזה מין הוא ר"ל אם מסוסים או מכוסות או ממקלות או מסייפים ותשיג המבוקש{{#annotend:P3Ym}}
 |-
 |
+::Then, add the 17 to 33; it is 50. Divide it by 2; you receive 25. Add the 25 to 50; the result is 75.
-=== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{33+17+\frac{33+17}{2}=50+\frac{50}{2}=50+25=75}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף אלו הי"ז על ל"ג ויהיו נ' ותחלקם על ב' ויצא לך כ"ה<br>
+תוסיף אלו הכ"ה על נ' ויעלה ע"ה
+|-
 |
+::Take 4 for each 9 [in 75]; the result is 32, because there are 8-ninths in it.
+|style="text-align:right;"|תקח בעד כל ט' ד' ויעלו ל"ב כי ח' תשיעיות שלמות יש בו
 |-
 |
-:{{#annot:three horses|664|D39Q}}75) Question: three men want to buy three horses - the price of one is 60 minyanim, the second 80, and the third 100.
+::Add the 1 that was in the first division; it is 33.
-:The first said to the second: give me half of your money with all of my money and we will buy the horse for 60.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32+1=33}}</math>
-:The second said to the third: if you give me a third of your money with all of my [money] we will buy the horse for 80.
+|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו א' שהיה מן החלוקה הראשנה ויהיו ל"ג
-:The third said to the first: if you give me a quarter of your money plus 20 with all of my money we will buy the horse that is worth 100.
-:How much did each have?
-|style="text-align:right;"|עה) שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק&#x202B;'<br>
-ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס&#x202B;'<br>
-אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם כל שלי נקנה סוס הפ&#x202B;'<br>
-אמר הג' לא' אם תתן לי רביעית ממונך עם תוספת עשרים ועם כל ממוני נקנה הסוס השוה ק&#x202B;'<br>
-כמה היה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:D39Q}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=60\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}c=60\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}a+20=100\end{cases}</math>
+::The signs are: 1; 2; 3; 4
+|style="text-align:right;"|וסימניך אבג"ד
+|-
 |
+::I.e. take 1 for the first division, if there is a half in [the result].
+|style="text-align:right;"|ר"ל תקח א' בעד החלוקה הראשנה אם יש בו חצי
 |-
 |
-::The answer is as follows:
+::Take 2 for the second division, if there is a half [in the result].
-|style="text-align:right;"|התשובה היא ככה
+|style="text-align:right;"|ותקח ב' בעד החלוקה השניה אם יש בו חצי
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position (1):'''</span> We suppose the first had 48 minyanim.
+::Take 3, if there is a half in both the first and second [division].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=48}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח ג' אם יש חצי בראשנה גם בשניה
-|style="text-align:right;"|נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים
 |-
 |
-::There are 12 minyanim missing until 60.
+::Take 4 for each 9.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-48=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותקח ד' בעד כל ט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ויחסר עד ס' י"ב מנינים
 |-
 |
-::So, the second had 24 and he gave him 12; it is 60.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=24}}</math>
+=== <span style=color:Green>Gaging Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס&#x202B;'
-|-
 |
-::The third had 168, because a third of his money is 58 and with 24, it is 80.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=168}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{3}\sdot168\right)=24+5{\color{red}{6}}=80}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולג' היה לו קס"ח כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, the third says to the first to give him a quarter of his money plus twenty and he gives him 32; with 166, it is two hundred.
+:{{#annot:container|2582|j94W}}67) Question: if you want to know how many small measures will a large container contain:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16{\color{red}{8}}+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+20=16{\color{red}{8}}+32=200}}</math>
+:Know how many thumbs of the hand are in its length from the inside, in the depth of its center and in the depth of its top because it is narrow.
-|style="text-align:right;"|אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים
+:Take half the number of the thumbs you found in the depth of its center and its top and multiply it by itself.
+:Then multiply the result also by the measure of the length.
+:Divide the product by 144 and the result are the measures that the container contains
+|style="text-align:right;"|סז) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת כמה מדות קטנות יכיל כלי גדול<br>
+דע כמה אצבעות מבוהן היד יש בארכו מבפנים ובעמקו באמצע ג"כ בעומק ראשו מפני שהוא צנה<br>
+וקח שעור חצי האצבעות שמצאת בעמקו באמצעו ובראשו ותכפלם בעצמם<br>
+והעולה תכפלם ג"כ בשעור &#x202B;<ref>238v</ref>מספר האורך<br>
+והעולה תחלקהו על קמ"ד והיוצא הוא המדות שיכיל הכלי{{#annotend:j94W}}
 |-
 |
-::But, we are only asking for 100 to buy the horse, so there is a hundred left. Keep it and say: for 48 remains a hundred.
+:*{{#annot:container|2582|GaHs}}Example: we want to know: how much will be contained in a container in which there are 50 thumbs of the size of my thumb from the inside, there are 28 thumbs in the depth of its center and 20 in the depth of its top which is narrower
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200-100=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה רצינו לדעת כמה יכיל כלי שהיה בארכו מבפנים נ' אצבעות באצבע הגודל שלי שהוא בזה השעור ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות ובעומק הראש שהוא יותר צרה כ&#x202B;'{{#annotend:GaHs}}
-|style="text-align:right;"|ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position (2):'''</span> Then, we make a second relation and we assume the first had 40 minyanim.
+::Take their half, which is 24, and multiply it by itself; the result is 576.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח מחציתם שהם כ"ד ותכפלם על עצמם ויעלו ה' מאות וע"ו
-|style="text-align:right;"|אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים
 |-
 |
-::So, the second should have 40.
+::Multiply it also by the measure of the length, which is 50; the result is 28800.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכפלם ג"כ על שעור האורך שהם נ' ויעלו כ"ח אלפים וח' מאות
-|style="text-align:right;"|א"כ יצטרך שיהיה לשני מ&#x202B;'
 |-
 |
-::The third also should have 120.
+::Divide it by 144; the result is two hundred and these are the measures that the container contains, according to the measure that it is now customary to measure the wine here, in the city of Caronia.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_2=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על קמ"ד ויצאו מאתים ואלו הם המדות שיכיל הכלי במדה שנוהגים עכשו למדוד היין פה עיר {{#annot:Caronia|2593|w4PT}}קורוניאה{{#annotend:w4PT}}
-|style="text-align:right;"|ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(28+20\right)\right]^2\sdot50}{144}=\frac{24^2\sdot50}{144}=\frac{576\sdot50}{144}=\frac{28800}{144}=200}}</math>
 |-
 |
-::With the one who asks the first for a quarter of his money plus twenty, which is 30, it is 150.
+:{{#annot:container|2582|02il}}68) Question: if you wish to know the volume of a container that has wine in it and it is not full and you would like to know how much the empty space will contain, know the number of thumbs that are in the depth of the container in its middle.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120+\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)+20=120+30=150}}</math>
+:Take its half and multiply it by itself, then divide by it half the [number of the] measures that the container will hold when it is full
-|style="text-align:right;"|ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ
+:The result is the [number of the] measures that are missing in the container.
+|style="text-align:right;"|סח) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מכלי שיש בו יין ואינו מלא ותרצה לדעת כמה יכיל החסרון דע שעור האצבעות שיש בעומק הכלי באמצעו וקח מחציתם ותכפלהו בעצמו וחלק עליו חצי המדות שיכיל הכלי בהיותו מלא והיוצא הם המדות שיחסר מהכלי{{#annotend:02il}}
 |-
 |
-::Then, say: for 40 remains 50.
+::??
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{150-100=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאצבע הראשון ובשנית כמות הראשון ובכפלו ובשלישית כמות השנית וכפל הראשון וברביעית כמות השלישי וכפל הראשון וכן כלם בין רב למעט
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Double False Position:'''</span> Subtract 50 from 100; 50 remains.
+:To know how many measures will be contained in the empty space, multiply the empty space by itself and multiply it by the first and the result are the measures that are in the empty space.
-|style="text-align:right;"|אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה מדות יכיל בחסרון כלי תכפול החסרון כלי בעצמו ותכפלהו בראשון והעולה הם המדות שיש בחסרון
 |-
 |
-::Multiply 48 by 50; it is 2400.
+:*{{#annot:container|2582|0X2x}}For example: we have a container that contains 200 small measures and in its depth in the middle there are 28 thumbs.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> יש לנו כלי שיכיל ר' מדות קטנות ויש בעמקו באמצע כ"ח אצבעות{{#annotend:0X2x}}
 |-
 |
-::Multiply 100 by 40; it is 4000.
+::Take their half, which is 14, and multiply it by itself; the result is 196.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים
+|style="text-align:right;"|קח חצים שהם י"ד ותכפלם בעצמם ויעלו קצ"ו
 |-
 |
-::Subtract 2400 from it; 1600 remains.
+::Divide by it half the two hundred measures that the container contains, which is 100; you receive a little less than half, no matter the excess, and this is what is missing [?].
-|style="text-align:right;"|הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot28\right)^2}{\frac{1}{2}\sdot200}=\frac{14^2}{100}=\frac{196}{100}<\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלק עליהם חצי מאתים מדות שיכיל הכלי שהם ק' ויצא לך חצי יותר מעט ואין לחוש על השאר והוא מה שיחסר בשעור האצבע הראשנה
 |-
 |
-::Divide it by the difference between excess of one relation and the excess of the other relation, which is 50; the result is 32 and this is what the first had.
+::If 6 thumbs are missing, multiply them by themselves; it is 36.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(100\sdot40\right)-\left(50\sdot48\right)}{100-50}=\frac{4000-2400}{50}=\frac{1600}{50}=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם יחסר ו' אצבעות תכפלם בעצמם ויהיו ל"ו
-|style="text-align:right;"|וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון
 |-
 |
-:{{#annot:three men, property|664|kbfr}}76) Question: three men are buying a property for a price of 11 minyanim and a half.
+::Multiply it by the half; the result is 18 and these are the measures contained in the 6 thumbs that are missing from the container.
-:The first asks from the other two for half of their money minus 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot6^2=\frac{1}{2}\sdot36=18}}</math>
-:The second asks for a third of their money minus 3.
+|style="text-align:right;"|תכפלם על החצי ויעלו לי"ח והם המדות שיכיל שעור הו' אצבעות שיחסר הכלי
-:The third asks for a quarter of their money minus 4.
-:How much did each have?
-|style="text-align:right;"|עו) שאלה ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי<br>
-א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב&#x202B;'<br>
-והאחר שואל שליש ממונם פחות ג&#x202B;'<br>
-והאחר שואל רביעית ממונם פחות ד&#x202B;'<br>
-כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:kbfr}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]-2=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]-3=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]-4=11+\frac{1}{2}\end{cases}</math>
+:{{#annot:container|2582|G2Z7}}69) Question: If you want to make a container that will contain a known [number of] measures no less and no more, first, know the length of the boards from which you want to make it.
+:Take out of them what is needed to make a space for the base of the container.
+:Take what is left of the length of the board and keep it.
+:Divide by it the number of the measures that you want the container to contain multiplied by 144.
+:Extract the root of the result and this is the volume that should be in the depth of the container, in its quarter which is between the middle and the top.
+|style="text-align:right;"|סט) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות כלי שיכיל מדה ידועה לא פחות לא יתר<br>
+דע תחלה אורך הלוחות שתרצה לעשותו והוצא מהם הנצרך לשייר לעשות מקום לישיבת תחתיות הכלי וקח הנשאר מאורך הלוח ושמרהו וחלק עליהם שעור המדות שרצונך שיכיל הכלי מוכפלים על קמ"ד ומהיוצא קח שרשו והוא השעור שצריך להיות בעומק הכלי ברביעיתו שהוא בין האמצע ובין הראש{{#annotend:G2Z7}}
+|-
 |
+:*{{#annot:container|2582|pVZR}}For example: we want to make a container that would hold two hundred measures and we have to make them out of boards that are 54 thumbs long.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לעשות כלי שיכיל מאתים מדות ויש לנו לעשותן מלוחות שיש בארכן נ"ד אצבעות{{#annotend:pVZR}}
 |-
 |
-::The answer: find a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
+::Subtract 4 from them for the lower base of the container; 50 remain.
-|style="text-align:right;"|התשובה תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
+|style="text-align:right;"|חסר מהם ד' למושב &#x202B;<ref>239r</ref>תחתית הכלי וישארו נ&#x202B;'
 |-
 |
-::12 is a half of 24.
+::Multiply two hundred by 144; the result is [28]800.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכפול מאתים על קמ"ד ויעלו י"ד וח' מאות
-|style="text-align:right;"|וי"ב הוא מחצית כ"ד
 |-
 |
-::2-thirds of 18.
+::Divide it by the 50 of the length; you receive 576.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על נ' שבאורך ויצא לך תקע"ו
-|style="text-align:right;"|וב' שלישיות י"ח
 |-
 |
-::3-quarters of 16.
+::Extract its root; it is 24 and this is the measure that should be in the depth between the middle and the top, which is a quarter of the length of the board, because the depth of the middle should be greater than the depth of the top.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{200\sdot144}{54-4}}=\sqrt{\frac{{\color{red}{28}}800}{50}}=\sqrt{576}=24}}</math>
-|style="text-align:right;"|וג' רביעיות י"ו
+|style="text-align:right;"|קח גדרם שהוא כ"ד וזה השעור צריך להיות בעומק שבין האמצע ובין הראש שהוא ברביעית אורך הלוח מפני שצריך להיות עומק האמצע גדול מעומק הראש
 |-
 |
-::Subtract 2 from 24; 22 remains.
+::Or if you want, make the boards as they are in such a way that only their joint remains at the end of the whole container and make it so that the width of all of them is a quarter of the root multiplied by 3 and a seventh.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1-2=24-2=22}}</math>
+|style="text-align:right;"|או אם תרצה עשה הלוחות כתקנן באופן שלא ישאר לגמר מלא כל הכלי אלא חבורם ותעשה בענין שיהיה רוחב כלם ברביעיתן הגדר מוכפל על ג' ושביעית
-|style="text-align:right;"|קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב
 |-
 |
-::Subtract 3 from 18; 15 remains.
+::In this example, the resulting root is 24. Multiply it by 3 and a seventh; it is 75 and 3-sevenths. So, make the the width of all the boards at the quarter of the length of the board equal to the 75 and 3-sevenths mentioned and make the container as you wish.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1-3=18-3=15}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=75+\frac{3}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קח מי"ח ג' ישארו ט"ו
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה יצא בגדר כ"ד תכפלהו בג' ושביעית ויהיו ע"ה וג' שביעיות תעשה רוחב כל הלוחות ברביעית אורך הלוח שתהיו שוות לע"ה וג' שביעיות הנז' ותעשה כלי כרצונך
 |-
 |
-::Subtract 4 from 16; 12 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1-4=16-4=12}}</math>
+=== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|קח מי"ו ד' ישארו י"ב
+|
 |-
 |
-::Sum them up; the result is 49.
+:{{#annot:four men, money|664|UFFL}}70) Question: four men.
-|style="text-align:right;"|ותחברם ויעלו מ"ט
+:The first said to the second: if you give me half of your money with my [money] the result will be ten.
+:The second said to the third: if you give me a third of your money with half of the money I had before I gave to my friend its half, i.e. with what I have left, the result will be ten.
+:The third said to the fourth: if you give me a quarter of your money with what I have left after giving the third the result will be ten and you will be left with ten.
+:How much was the money?
+|style="text-align:right;"|ע) <big>שאלה</big> ד' אנשים<br>
+אמר הא' לב' אם תתן לי חצי ממונך עם שלי יעלה עשרה<br>
+אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם חצי הממון שהיה לי קודם שנתתי לחבירי מחציתו יעלה עשרה ר"ל עם מה שנשאר לי<br>
+השיב הג' לד' אם תתן לי רביעית ממונך עם מה שנשאר לי אחר נתינת השליש יעלה עשרה גם נשארו לך עשרה<br>
+כמה היה הממון{{#annotend:UFFL}}
 |-
 |
-::Divide it by 2; the result is 24 and a half.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=10\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=10\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=10\end{cases}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+15+12}{2}=\frac{49}{2}=24+\frac{1}{2}}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי
 |-
 |
-::Subtract 22 from it; 2 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends.
+::Take the denominator of the last amount, meaning the 4, because it is known that after giving a quarter of the money, he is left with ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(24+\frac{1}{2}\right)-22=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תקח המורה על ממון האחרון רצוני הד' כי ידוע הוא כי אחר שנתן רביעית הממון נשארו לו עשרה
-|style="text-align:right;"|הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון
 |-
 |
-::Subtract also 15; 9 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends minus 3.
+::So, we say: ten is 3-quarters of which number? You find it is 13 and a third. Hence, the money of the last was 13 and a third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(24+\frac{1}{2}\right)-15=9+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10=\frac{3}{4}d\longrightarrow d=13+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|א"כ נאמר עשרה מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא י"ג ושליש א"כ ממון האחרון היה י"ג ושליש
 |-
 |
-::Subtract 12 from 24 [and a half]; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends minus 4.
+::He gives a quarter and is left with 10. Hence, he gave 3 and a third to the third in order to complete his amount to ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(24+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)-12=12+\frac{1}{2}}}</math>
+::So, he had 6 and 2-thirds after he gave a third of his money to the second.
-|style="text-align:right;"|קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left[\left(13+\frac{1}{3}\right)-10\right]=10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונתן הרובע ונשארו לו י' א"כ אלו הג' ושליש נתן לשלישי כדי שישלים לו מנין עשרה<br>
+א"כ היה לו ו' וב' שלישיות אחר שנתן שליש ממונו לשני
 |-
 |
-::The rule is that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third and 4 to the one who asks for a quarter.
+::We say: 6 and 2-thirds is 2-thirds of which number? You find it is 10. Hence, the third had 10.
-|style="text-align:right;"|והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{2}{3}c\longrightarrow c=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י' א"כ לג' היה לו י&#x202B;'
 |-
 |
-::If the one who [asks for] a half says "minus two", the one who [asks for] a third should say "minus 3", and the one who [asks for] a quarter should say "minus 4".
+::He gave 3 and a third of it, which is its third, and received also 3 and a third, so he gained the same as he lost. Hence, he had ten, because what one took the other gave back.
-|style="text-align:right;"|ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot10=3+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונתן מהם ג' ושליש שהם שלישיתם וקבל ג"כ ג' ושליש ויצא שכרו בהפסדו הנה א"כ היה לו עשרה כי מה שחסר זה מלא זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
+::We return, then, to the second. It is known that after he gave a half to his freind, the money he is left with is 6 and 2-thirds, since he should receive 3 and a third, in order that the total would be 10.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-\left(3+\frac{1}{3}\right)=6+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא"כ נשוב לשני וידוע כי ממון שנשאר לו אחר שנתן החצי לחבירו הוא ו' וב' שלישיות בעבור כי יש לו לקבל ג' ושליש ויעלה י&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three men, property|664|Ej25}}77) Question: three men want to buy a property for 22 and a half minyanim.
+::So, we say: 6 and 2-thirds is a half of which number? You find it is 13 and a third. Hence, his money was 13 and a third.
-:The first said to the [other] two: if you give me half of your money plus 2 with mine the result will be 22 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+\frac{2}{3}=\frac{1}{2}b\longrightarrow b=13+\frac{1}{3}}}</math>
-:The second said to the first and the third: if you give me a third of your money plus 3 with mine the result will be 22 and a half.
+|style="text-align:right;"|א"כ נאמר ו' וב' שלישיות מאיזה מספר הוא חציו נמצא י"ג ושליש א"כ ממונו היה י"ג ושליש
-:The third said to the second and the first: if you give me a quarter of your money plus 4 with mine the result will be 22 and a half.
-:How much did each have?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]+2=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]+3=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]+4=22+\frac{1}{2}\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|עז) שאלה ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי<br>
-אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
-אמר הב' לא' ולג' אם תתנו שליש ממונכם עם תוספת ג' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
-אמר הג' לב' ולא' אם תתנו רביעית ממונכם עם תוספת ד' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
-כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:Ej25}}
 |-
 |
-::The answer: look for a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
+::He gave its half, which is 6 and 2-thirds, and was left with the same, then he received 3 and a third and his money was also ten.
-|style="text-align:right;"|התשובה בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b+\left(3+\frac{1}{3}\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+\left(3+\frac{1}{3}\right)=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונתן מהם מחציתם שהם ו' וב' שלישיות וככה נשאר לו וקבל ג' ושליש וממונו ג"כ עשרה
 |-
 |
-::Say: 12 is half of which number? You find it is 24.
+::We return, then, to the second. We already know that he received 6 and 2-thirds from his friend. So, he needs 3 and a third to complete the amount.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=10-\left(6+\frac{2}{3}\right)=3+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
+|style="text-align:right;"|א"כ נשוב אל הא' וכבר ידענו כי קבל &#x202B;<ref>239v</ref>מחבירו ו' וב' שלישיות א"כ יחסר לו להשלים המנין ג' ושליש
 |-
 |
-::Say also: 12 is 2-thirds of which [number]? You find it is 18.
+::Hence, his money was 3 and a third; the money of the second was 3 and a third before he gave anything; the money of the third was 10 before he gave anything; and the money of the fourth was 13 and a quarter.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ ממונו היה ג' ושליש וממון הב' ג' ושליש קודם שיתן מאומה וממון הג' י' קודם שנתן דבר וממון הד' י"ג ורביע
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח
 |-
 |
-::Say also: 12 is 3-quarters of which [number]? You find it is 16.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a=3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle b={\color{red}{1}}3+\frac{1}{3}\\\scriptstyle c=10\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו
-|-
 |
-::Then, add to each one the addition he asks for, i.e. add 2 to 24; it is 26.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=24+2=26}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו
 |-
 |
-::3 to 18; it is 21.
+:*{{#annot:four men, money|664|0Qsg}}If the first said to the second: give me half of your money with my [money] the result will be ten.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+3=18+3=21}}</math>
+::The second said to the third: give me a third of your money with what I have left, the result will be 12.
-|style="text-align:right;"|ועל י"ח ג' ויהיו כ"א
+::The third said to the fourth: give me a quarter of your money with what I have left, the result will be 15 and 20 will remain.
+|style="text-align:right;"|ואם אמר הראשון לשני תן לי חצי ממונך ועם שלי ויעלה י&#x202B;'<br>
+והב' אמר לג' תן לי שליש ממונך עם מה שנשאר לו יעלה י"ב<br>
+והג' אמר לד' תן לי רביעית ממונך עם מה שיש לי ויהיו ט"ו וישארו עדין עשרים{{#annotend:0Qsg}}
 |-
 |
-::4 to 16; it is 20.
+::<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=10\\\scriptstyle\frac{1}{2}b+\frac{1}{3}c=12\\\scriptstyle\frac{2}{3}c+\frac{1}{4}d=15\\\scriptstyle\frac{3}{4}d=20\end{cases}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1+4=16+4=20}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועל י"ו ד' ויהיו כ&#x202B;'
-|-
 |
-::Sum them up; the result is 67.
-|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלה ס"ז
 |-
 |
-::Divide it by 2; you receive 33 and a half.
+::The way is exactly as mentioned above and the reason for this is explained.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26+21+20}{2}=\frac{67}{2}=33+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא ממש כנז' לעיל וסבת זה מבוארת
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי
 |-
 |
-::Subtract 27 from it; 7 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends plus 2.
+:{{#annot:three men, property|664|1E5D}}71) Question: three men want to buy a property for a price of 100 minyanim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(33+\frac{1}{2}\right)-2{\color{red}{6}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+:The first said to the second and the third: if you give me a third of your money with all of my money the result will be 100.
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב&#x202B;'
+:The second said to the third and the first: if you give me a quarter of your money with all of my money the result will be 100.
+:The third said to the first and the second: if you give me a fifth of your money with all of my money the result will be 100.
+:How much did each have?
+|style="text-align:right;"|עא) <big>שאלה</big> הנה ג' אנשים רוצים לקנות קנין בערך ק' מנינים<br>
+אמ' הא' לב' ולג' אם תתנו לי שליש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק&#x202B;'<br>
+השיב הב' לג' ולא' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם כל ממוני יעלו ק&#x202B;'<br>
+אמר הג' לא' ולב' אם תתנו לי חומש ממונכם עם כל ממוני יעלה ק&#x202B;'<br>
+כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:1E5D}}
 |-
 |
-::Subtract also 21 from it; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends plus 3.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b+c\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+c\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b\right)\right]=100\end{cases}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(33+\frac{1}{2}\right)-21=12+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש ממונם עם תוספת ג&#x202B;'
-|-
 |
-::Subtract also 20 from it; 13 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends plus 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(33+\frac{1}{2}\right)-20=13+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Know that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third of the money of his friends and 4 to the one who asks for a quarter of the money.
+::The answer: do as follows: take a number that has a third, a quarter, and a fifth; it is 60.
-|style="text-align:right;"|ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> עשה כך והוא שתקח איזה מספר יהיה לו שליש ורביע וחומש והוא ס&#x202B;'
 |-
 |
-::If you add 4 to the one who asks for half the money, you should add 6 to the one who asks for a third of the money and 8 to the one who asks for a quarter; and so on.
+::Then say: 60 is 2-thirds of which [number]? You find it is 90.
-|style="text-align:right;"|ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}a_2\longrightarrow a_2=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר ס' מאיזה דבר הוא ב' שלישיות תמצא צ&#x202B;'
 |-
 |
+::Say also: 60 is 3-quarters of which [number]? You find it is 80.
-=== <span style=color:Green>Geometrical Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}b_2\longrightarrow b_2=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס' מאיזה דבר הוא ג' רביעיות תמצא פ&#x202B;'
-|
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ====
+::Say also: 60 is 4-fifths of which number? You find it is 75.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}c_2\longrightarrow c_2=75}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|עו' תאמר ס' מאיזה מספר ד' חומשים תמצא ע"ה
 |-
 |
-:{{#annot:rope|655|x5y8}}78) Question: here is a wall 50 cubits tall.
+::Then, sum up these three numbers; the result is 245.
-:At the foot of the wall there is a large hole 30 wide.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויעלו רמ"ה
-:We ask: if we want to drop a rope from the top of the wall to the hole which is 30 cubits far from the bottom of the wall.
-:How long should it be?
-|style="text-align:right;"|עח) שאלה הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל&#x202B;'<br>
-נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות<br>
-כמה יהיה ארכה{{#annotend:x5y8}}
 |-
 |
-::The answer: we should multiply the [height of the] wall, which is 50, by itself; it is 2500.
+::Divide it by 2, because they are always doubled, i.e. the first says to the two others to give him a third, and so on; you receive 122 and a half.
-|style="text-align:right;"|התשובה יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{90+80+75}{2}=\frac{245}{2}=122+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ב' מצד כי לעולם הם ב' מחוברים ר"ל כי הא' אומ' לב' הנשארים שיתנו לו שליש וכן כלם ויצא לך קכ"ב וחצי
 |-
 |
-::Then, we multiply the width of the hole, which is 30, by itself; it is 900.
+::Subtract 30 from it, because it is the first fraction; 32 and a half remains and this is the share of the first.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-90=32+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא מהם צ' כי הוא חלק הראשון נשארו ל"ב וחצי והוא חלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-::We add it to 2500; it is 3400.
+::Subtract also 80 from 122 and a half; 42 and a half remains and this is the share of the second.
-|style="text-align:right;"|ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=42+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עו' הוצא מקכ"ב וחצי פ' ישארו מ"ב וחצי והוא חלק השני
 |-
 |
-::Extract its root; it is 58 and 26 parts of 116 and this is the length of the rope.
+::Subtract also 75 from 122 and a half; 47 and a half remains and this is the share of the third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{50^2+30^2}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}=58+\frac{26}{116}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=47+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל
+|style="text-align:right;"|עוד הוצא מקכ"ב וחצי ע"ה נשארו מ"ז וחצי והוא חלק הג&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Equilateral Triangle</span> ====
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Then, to check the question, take a third of 42 and a half and of 47 and a half, and add them to 32 and a half; the result is 62 and a half.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש ממ"ב וחצי לבחון השאלה וממ"ז וחצי ותחברם אל ל"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
-|
 |-
-|
+|colspan=2|
-:{{#annot:equilateral triangle|679|ZIN2}}79) Question: a triangle such as this - if the length of the height is 30, how much is the length of each side of the triangle?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(b_1+c_1\right)\right]=\left(32+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עט) שאלה אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש{{#annotend:ZIN2}}
 |-
 |
-|[[File:עט.png|thumb|150px]]
+::Take also a quarter of 47 and a half and of 32 and a half, and add them to 42 and a half; it is 62 and a half.
+|style="text-align:right;"|עו' קח רביעית מ"ז וחצי ול"ב וחצי ותחברם אל מ"ב וחצי ויהיו ס"ב וחצי
 |-
-|
+|colspan=2|
-::The answer: you should multiply the length of the line [= the height], which is 30, by 30; it is 900.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a_1+c_1\right)\right]=\left(42+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(47+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות
 |-
 |
-::Take its third, which is 300, and add it to 900; it is 1200.
+::Then, take a fifth of 32 and a half and of 42 and a half, and add them to 47 and a half; it is also 62 and a half.
-|style="text-align:right;"|וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש ל"ב וחצי וממ"ב וחצי וחברם אל מ"ז וחצי ויהיו ג"כ ס"ב וחצי
-|-
-|
-::Extract its root; it is 34 and 70 parts of 75 and this is the length of each side of the triangle.
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש
 |-
 |colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2+\left(\frac{1}{3}\sdot30^2\right)}=\sqrt{900+\left(\frac{1}{3}\sdot900\right)}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=34+\frac{70}{75}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a_1+b_1\right)\right]=\left(47+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(32+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(42+\frac{1}{2}\right)\right]=62+\frac{1}{2}}}</math>
 |-
 |
+::Therefore, if the price of the property was 62 and a half, we would have already solved the question, because the money of the first was 32 and a half, the money of the second was 42 and a half, and the money of the third was 47 and a half.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ אלו היה ערך הקנין ס"ב וחצי כבר עשינו השאלה כי ממון הא' היה ל"ב וחצי וממון הב' מ"ב וחצי וממון הג' מ"ז וחצי
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ====
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=32+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b_1=42+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c_2=47+\frac{1}{2}\\\scriptstyle d=13+\frac{1}{{\color{red}{3}}}\end{cases}}}</math>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:bridge|655|fq24}}80) Question: there are here two towers - the length of one is 50 cubits and the other one is 30 cubits.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Since the price of the property is 100, we relate and say: if 62 and a half equals 32 and a half, how much is 100 equal to?
-:The distance between them is 20 cubits.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(32+\frac{1}{2}\right)=100:a}}</math>
-:We wish to build a bridge from the top of one tower to the other.
+|style="text-align:right;"|הנה ערך הקנין הוא ק' על כן נעשה הערך כך ונאמר אלו ס"ב וחצי שוים ל"ב וחצי ק' כמה שוים
-:How long would it be?
-|style="text-align:right;"|פ) שאלה בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות  ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר<br>
-כמה יהיה ארכו{{#annotend:fq24}}
 |-
 |
-|[[File:פ.png|thumb|150px]]
+::You receive 52 and this is the share of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=52}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך נ"ב והוא חלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-::The answer: we should multiply the distance between the two towers, which is 20, by itself; it is 400.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 62 and a half equals [42 and a half], how much is [100] equal to?
-|style="text-align:right;"|התשובה יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(42+\frac{1}{2}\right)=100:b}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר אלו ס"ב וחצי שוים &#x202B;<ref>240r</ref>כמה שוים
 |-
 |
-::Then, 400 should be multiplied by 2; it is 800.
+::You receive 68 and this is the share of the second.
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=68}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ס"ח והוא החלק מהב&#x202B;'
 |-
 |
-::We extract its root; it is 28 integers and 16 parts of 56 and this should be the length of the bridge.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 62 and a half equals 4[7 and a half], how much is 100 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot20^2}=\sqrt{2\sdot400}=\sqrt{800}=28+\frac{16}{56}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(62+\frac{1}{2}\right):\left(4{\color{red}{7}}+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)=100:c}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר
+|style="text-align:right;"|עו' תאמר אלו ס"ב וחצי שוים מ"א ק' כמה שוים
 |-
 |
-::Deduce from this.
+::You receive 76 and this is the share of the third etc.
-|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=76}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ע"ו והוא החלק מהג' וכו&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Tower</span> ====
+:If there were four men, do as mentioned, but the result should be divided by 3, because they are always duplicated, as we divided them above by 2, because they are duplicated.
+|style="text-align:right;"|ואלו היו ד' אנשים תעשה כנז' אך ראוי לחלק העולה על ג' מצד כי הם קשורים לעולם ביחד כמו שחלקנו אותם שלמעלה על ב' כי הם קשורים ביחד
+|-
 |
+:Understand this well so that you do not make a mistake in your calculation and the reason for this is explained.
+|style="text-align:right;"|והבן זה מאד כדי שלא תטעה בחשבונך וסבת זה מבוארת
 |-
 |
-:{{#annot:tower|682|ekBH}}81) Question: here is a squared tower such as this, whose perimeter, i.e. its thickness is 50 cubits from the outside.
+:I will give you an example of four:
-:The thickness of the wall from each of its corners is 2 cubits and a quarter.
+|style="text-align:right;"|ואתן לך דמיון מד&#x202B;'
-:We wish to know: how much is the perimeter of the tower?
-|style="text-align:right;"|פא) שאלה בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע<br>
-נרצה כמה הקף המגדל{{#annotend:ekBH}}
 |-
 |
-|[[File:פא.png|thumb|100px]]
+:{{#annot:four men, money|664|iwP0}}72) Question: there are four.
+:The first said: I will give all my money and you will give half of your money and the result will be 100.
+:The second said to the three: I will give all my money and you will give a third of your money and the result will be 100.
+:The third said to the remaining three: I will give all my money and you will give a quarter of your money and the result will be 100.
+:The fourth said: give a fifth of your money with all my money and the result will be 100.
+:How much did each have?
+|style="text-align:right;"|עב) <big>שאלה</big> בכאן ד&#x202B;'<br>
+אמר א' אני אתן כל ממוני ותנו אתם חצי ממונכם ויהיו ק&#x202B;'<br>
+השיב הב' לג' אני אתן כל ממוני ותנו אתם שליש ממונכם ויעלה ק&#x202B;'<br>
+השיב הג' לג' הנשארים אני אתן כל ממוני ותנו אתם רביעית ממונכם ויעלה ק&#x202B;'<br>
+אמר הד' תנו חומש ממונכם עם כל ממוני ויעלה ק&#x202B;'<br>
+כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:iwP0}}
 |-
 |
-::The answer: you should multiply 4, since there are four walls, by 2 and a quarter; the result is 9.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c+d\right)\right]=100\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b+d\right)\right]=100\\\scriptstyle d+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(a+b+c\right)\right]=100\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט&#x202B;'
-|-
 |
-::Multiply it by 2; it is 18.
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח
 |-
 |
-::Subtract it from 50; 32 remains and this is the inside perimeter of the tower.
+::You should find a number that includes a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[2\sdot\left[4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=50-\left(2\sdot9\right)=50-18=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך למצא חשבון יכלול חצי ושליש ורביע וחומש ותמצא ס&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים
 |-
 |
+::Say: 60 is a half of which [number]? You find it is 120.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{1}{2}a_2\longrightarrow a_2=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר ס' מאיזה דבר הוא מחציתו תמצא ק"כ
 |-
 |
+::Say also: 60 is 2-thirds of which number? You find it is 90.
-==== <span style=color:Green>Find the Side - Square</span> ====
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{2}{3}b_2\longrightarrow b_2=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|עו' תאמ' ס' מאיזה מספר הוא ב' שלישיותיו תמצא צ&#x202B;'
-|
 |-
 |
-:{{#annot:square|679|ZZDk}}82) Question: here is a square such as this, whose inner line is 10 cubits long, i.e. its diagonal.
+::Say also: 60 is 3-quarters of which number? You find it is 80.
-:How much is the length of each side of the square?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{3}{4}c_2\longrightarrow c_2=80}}</math>
-|style="text-align:right;"|פב) שאלה הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון<br>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס' מאיזה מספר הוא ג' רביעיותיו תמצא פ&#x202B;'
-כמה אורך כל קו וקו מהמרובע{{#annotend:ZZDk}}
 |-
 |
-|[[File:פב.png|thumb|100px]]
+::And 4-fifths of which [number]? You find it is 75.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=\frac{4}{5}d_2\longrightarrow d_2=75}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומאיזה דבר ד' חמישיותיו תמצא ע"ה
 |-
 |
-::The answer: you should multiply ten by itself; it is one hundred.
+::Then, sum them up; it is 365.
-|style="text-align:right;"|התשובה יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
+|style="text-align:right;"|אח"כ חברם ויהיו שס"ה
 |-
 |
-::Divide it by 2; the result is fifty.
+::Divide it by 3, because they are always triplicated when asking for a third, a half, a quarter, and a fifth of the money; you receive 121 and 2-thirds and this is the amount of all four.
-|style="text-align:right;"|וחלקם על ב' ויצאו חמישים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120+90+80+75}{3}=\frac{365}{3}=121+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ג' כי לעולם הם דבוקי ביחד בבקשת שליש הממון וחצי ורביעית וחומש יצא לך קכ"א וב' שלישיות והוא ממון ארבעתן
 |-
 |
-::Extract its root; it is 7 and one part of 14 and this is the length of each side of the square.
+::Then, subtract 120 from 121 and 2-thirds; 1 and 2-thirds remains and this is the share of the first.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10^2}{2}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}=7+\frac{1}{14}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-120=1+\frac{2}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא מקכ"א וב' שלישיות ק"כ נשאר א' וב' שלישיות והוא חלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Square</span> ====
+::Subtract also 90 from it; 31 and 2-thirds remains and this is the money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\left(121+\frac{2}{3}\right)-90=31+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו צ' ונשארו ל"א וב' שלישיות והוא ממון הב&#x202B;'
+|-
 |
+::Subtract also 80 from it; 41 and 2-thirds remains and this is the money of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-80=41+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו פ' וישארו מ"א וב' שלישיות והוא ממון הג&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:square|683|X7Nc}}83) Question: a square whose four sides are 10 long.
+::Subtract also 75 from it; 46 and 2-thirds remains and this is the money of the fourth.
-:We wish to know: how much is the length of its diagonal?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{d_1=\left(122+\frac{1}{2}\right)-75=46+\frac{2}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|פג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה<br>
+|style="text-align:right;"|עוד תוציא ממנו ע"ה ונשארו ממנו מ"ו וב' שלישיות והוא ממון הד&#x202B;'
-נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון{{#annotend:X7Nc}}
 |-
 |
-|[[File:פג.png|thumb|100px]]
+::The first says the the three others to give him half of their money; the result is 100.
+|style="text-align:right;"|ואמר בעל הא' לג' הנשארים שיתנו לו חצי ממונם ויעלה ק&#x202B;'
 |-
 |
-::Ten should be multiplied by itself; it is a hundred.
+::Sum up all their money and divide it by 2; the result is only 61 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b_1+c_1+d_1\right)\right]=61+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה כשתחבר כל ממונם ותחלקהו על ב' לא יצא כי אם ס"א וב' שלישיות
 |-
 |
-::Multiply it by 2; it is 200.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, we say: if 61 and 2-thirds gives me 1 and 2-thirds, how much will 100 give you?
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(61+\frac{2}{3}\right):\left(1+\frac{2}{3}\right)=100:a}}</math>
+|style="text-align:right;"|על כן נאמר אם ס"א וב' שלישיות יתנו לי א' וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך ק&#x202B;'
 |-
 |
-::Extract its root; it is 14 and 4 parts of 28 and this is the length of the diagonal.
+::Do as mentioned and the reason is clear, no need to [explain].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{2\sdot100}=\sqrt{200}=14+\frac{4}{28}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותעשה כנז' והטעם מבואר ואין צריך לפנים
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Broken Tree</span> ====
+=== <span style=color:Green>Guessing Problems - Cards</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:broken tree|655|36n4}}84) Question: here is a tree 20 cubits tall.
+:{{#annot:cards|667|dqeR}}73) Question: If you want to know which [card] in a square of cards your friend touched, put five in length and five in width
-:At the foot of the tree there is a stream 10 cubits wide
+:Tell five people that each one touches one [card of one] row, i.e. the row that one touched the other will not touch
-:The tree was broken and its top touched the edge of the stream, i.e. 10 cubits far from the foot of the tree.
+:Take them in your hand one by one, from the right side to the left side, then from the left side to the right side, and from the right to the left and so on until all five rows are completed.
-:We ask: at what point did the tree break?
+:Then place them on the table one by one, from top to bottom and from bottom to top, and so on, until you have placed all five rows on the table.
-|style="text-align:right;"|פד) שאלה הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות<br>
+:Then ask each them in which row is the card he touched.
-נשאל באיזה מקום נשבר האילן{{#annotend:36n4}}
+|style="text-align:right;"|עג) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מרובע משטרות איזה מהם נגע חבירך תשים ה' באורך וה' ברוחב<br>
+ואמור לה' בני אדם שכל א' יגע א' בשורה א' ר"ל שבשורה שיגע הא' לא יגע הב&#x202B;'<br>
+ותקחם בידך א'א' בצד ימין ותלך בצד שמאל &#x202B;<ref>240v</ref>ומצד שמאל לצד ימין ומימין לשמאל וכן עד כלות כל הה' שורות<br>
+אח"כ הניחם על השלחן אחת אחת ממעלה למטה וממטה למעלה וכן עד שהנחת כל הה' שורות על השלחן<br>
+ואח"כ שאל להם באיזו שורה השטר שנגע וכן לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:dqeR}}
 |-
 |
-::The answer: you should multiply the length of the tree by itself, i.e. 20 by 20; it is 400.
+::You find that the first one touched the first card in front of you in the same row that he told you and the second touched the second downwards and the third touched the third downwards and so on always.
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד' מאות
+|style="text-align:right;"|ותמצא שהראשון שנגע בראשנה היא השטר שלפניך באותה שורה שאמ' לך והשניה ר"ל אותה שנגע השני היא השניה דרך ירידה ואותה שנגע הג' היא הג' דרך ירידה וכן לעולם
 |-
 |
-::Then, multiply the width of the stream by itself, i.e. ten by ten; it is 100.
+::You can do the same with 6 or 7 if you make a square of 6 or 7.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מו' או מז' אם תעשה מרובע מו' או מז&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract it from 400; 300 remains.
+:{{#annot:cards|667|P3Ym}}74) Question: If you would like to know which card your friend took from an entire deck of cards, you must do it this way: you know well that all the points of an entire deck of cards summed up to 312, so the horseman is worth ten, the knight 11 and the king 12.
-|style="text-align:right;"|תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות
+:You count all the points and you are 245 short to 312.
+:Turn over the cards a second time and count the missing five of whichever kind they are i.e. whether of horses or cups or sticks or swords and you will receive the required.
+|style="text-align:right;"|עד) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת איזה שטר לקח חבירך מצחוק שלם משטרות יש לך לעשות ככה<br>
+ידוע תדע כי כל הנקדות מצחוק שלם משטרות עולים שי"ב וכל כך שישוה הפרש עשרה ורוכב הסוס י"א והמלך י"ב<br>
+ותמנה כל הנקדות ויחסר לך עד תשלום שי"ב רמ'ה&#x202B;'<br>
+תשוב להפך השטרות פעם שניה ותמנה הה' החסרים מאיזה מין הוא ר"ל אם מסוסים או מכוסות או ממקלות או מסייפים ותשיג המבוקש{{#annotend:P3Ym}}
 |-
 |
-::Divide it by 2; it is 150.
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ
+=== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problems</span> ===
+|
 |-
 |
-::Then, divide 150 by 20; it is 7 and a half; this is what is left of the tree and the broken part is 12 and a half.
+:{{#annot:three horses|664|D39Q}}75) Question: three men want to buy three horses - the price of one is 60 minyanim, the second 80, and the third 100.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{20^2-10^2}{2}}{20}=\frac{\frac{400-100}{2}}{20}=\frac{\frac{300}{2}}{20}=\frac{150}{20}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+:The first said to the second: give me half of your money with all of my money and we will buy the horse for 60.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי
+:The second said to the third: if you give me a third of your money with all of my [money] we will buy the horse for 80.
+:The third said to the first: if you give me a quarter of your money plus 20 with all of my money we will buy the horse that is worth 100.
+:How much did each have?
+|style="text-align:right;"|עה) <big>שאלה</big> ג' בני אדם רוצים לקנות ג' סוסים ערך הא' ס' מנינים והב' פ' והג' ק&#x202B;'<br>
+ואמר הא' לב' תן לי חצי ממונך עם כל ממוני ונקנה סוס הס&#x202B;'<br>
+אמר הב' לג' אם תתן לי שליש ממונך עם כל שלי נקנה סוס הפ&#x202B;'<br>
+אמר הג' לא' אם תתן לי רביעית ממונך עם תוספת עשרים ועם כל ממוני נקנה הסוס השוה ק&#x202B;'<br>
+כמה היה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:D39Q}}
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Quadrangular</span> ====
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\frac{1}{2}b=60\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}c=60\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}a+20=100\end{cases}</math>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:quadrangular|682|Z82J}}85) Question: here is is a quadrangular.
+::The answer is as follows:
-:We want to create a triangle inside it, so that the length of each of its three sides will be 20.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> היא ככה
-:How much is the perimeter of the quadrangular?
-|style="text-align:right;"|פה) שאלה הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים<br>
-כמה יקיף כל המרובע{{#annotend:Z82J}}
 |-
 |
-::This is its shape:
+::<span style=color:Green>'''False Position (1):'''</span> We suppose the first had 48 minyanim.
-|style="text-align:right;"|וזה הוא צורתו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=48}}</math>
+|style="text-align:right;"|נניח שלראשון היה לו מ"ח מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|[[File:פה.png|thumb|100px]]
+::There are 12 minyanim missing until 60.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-48=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד ס' י"ב מנינים
 |-
 |
-::Take half the length of [each side of] the triangle, which is ten, multiply it by twenty; it is 200 and this is the perimeter of the quadrangular.
+::So, the second had 24 and he gave him 12; it is 60.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot20=10\sdot20=200}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=24}}</math>
-|style="text-align:right;"|קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע
+|style="text-align:right;"|א"כ לשני היה לו כ"ד ונתן לו י"ב והם ס&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Height - Equilateral Triangle</span> ====
+::The third had 168, because a third of his money is 58 and with 24, it is 80.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1=168}}</math>
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24+\left(\frac{1}{3}\sdot168\right)=24+5{\color{red}{6}}=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולג' היה לו קס"ח כי שליש ממונו הוא נ"ח ועם כ"ד הם פ&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:equilateral triangle|685|DSFq}}86) Question: here is a triangle, the length of each of its sides is 35.
+::Then, the third says to the first to give him a quarter of his money plus twenty and he gives him 32; with 166, it is two hundred.
-:How long is its height?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16{\color{red}{8}}+\left(\frac{1}{4}\sdot48\right)+20=16{\color{red}{8}}+32=200}}</math>
-|style="text-align:right;"|פו) שאלה הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה{{#annotend:DSFq}}
+|style="text-align:right;"|אח"כ אמר הג' לא' שיתן לו רביעית ממונו עם תוספת עשרים ויתן לו ל"ב ועם קס"ו ויהיו מאתים
 |-
 |
-|[[File:פו.png|thumb|100px]]
+::But, we are only asking for 100 to buy the horse, so there is a hundred left. Keep it and say: for 48 remains a hundred.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200-100=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואין אנו מבקשים כי אם ק' כדי לקנות הסוס א"כ יותירו מאה ושמרם ותאמר בעד מ"ח נשארו מאה
 |-
 |
-::You should multiply the length of each side, which is 35, by itself; the result is 1225.
+::<span style=color:Green>'''False Position (2):'''</span> Then, we make a second relation and we assume the first had 40 minyanim.
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נעשה ערך ב' ונניח שלראשון היו לו מ' מנינים
 |-
 |
-::Divide the result by 4; you receive 30[6] and a quarter.
+::So, the second should have 40.
-|style="text-align:right;"|ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ יצטרך שיהיה לשני מ&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract this from the total, i.e. from 1225; 9[1]8 and 3-quarters still remains.
+::The third also should have 120.
-|style="text-align:right;"|ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_2=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|ג"כ גם יצטרך שיהיה לג' ק"כ
 |-
 |
-::Extract its root; it is 30 integers and 18 parts of 60 plus one part of 16 and this is the length of the height.
+::With the one who asks the first for a quarter of his money plus twenty, which is 30, it is 150.
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120+\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)+20=120+30=150}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועם שואל לראשון רביעית ממונו עם תוספת עשרים שהם ל' ויהיו ק"נ
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{35^2-\frac{35^2}{4}}=\sqrt{1225-\frac{1225}{4}}=\sqrt{1225-\left(30{\color{red}{6}}+\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{9{\color{red}{1}}8+\frac{3}{4}}=30+\frac{18}{60}+\frac{1}{16}}}</math>
+::Then, say: for 40 remains 50.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{150-100=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר בעד מ' נשארו נ&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Transformation Problem - Square to Circle</span> ====
+::<span style=color:Green>'''Double False Position:'''</span> Subtract 50 from 100; 50 remains.
+|style="text-align:right;"|אח"כ הוצא נ' מק' נשארו נ&#x202B;'
+|-
 |
+::Multiply 48 by 50; it is 2400.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול &#x202B;<ref>241r</ref>מ"ח על נ' ויהיו אלפים וד' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:square to circle|2583|sy3G}}87) Question: if you want to create a square from a circle
+::Multiply 100 by 40; it is 4000.
-|style="text-align:right;"|פז) שאלה אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה{{#annotend:sy3G}}
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ק' על מ' ויהיו ד' אלפים
 |-
 |
-|[[File:פז.png|thumb|100px]]
+::Subtract 2400 from it; 1600 remains.
+|style="text-align:right;"|הוצא מהם אלפים וד' מאות הנשאר אלף ת"ר
 |-
 |
-::You should know the length of one of the sides of the square, then multiply it by 3 and one seventh and this is the perimeter of the circle.
+::Divide it by the difference between excess of one relation and the excess of the other relation, which is 50; the result is 32 and this is what the first had.
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{\left(100\sdot40\right)-\left(50\sdot48\right)}{100-50}=\frac{4000-2400}{50}=\frac{1600}{50}=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על תוספת ערך האחד על תוספת ערך האחד שהוא נ' ויעלו ל"ב וכן היה לראשון
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Side Problem - Right-Angled Triangle</span> ====
+:{{#annot:three men, property|664|kbfr}}76) Question: three men are buying a property for a price of 11 minyanim and a half.
-|
+:The first asks from the other two for half of their money minus 2.
+:The second asks for a third of their money minus 3.
+:The third asks for a quarter of their money minus 4.
+:How much did each have?
+|style="text-align:right;"|עו) <big>שאלה</big> ג' אנשים קונים דבר ערך י"א מנינים וחצי<br>
+א' שואל לב' הנשארים מחצית ממונם פחות ב&#x202B;'<br>
+והאחר שואל שליש ממונם פחות ג&#x202B;'<br>
+והאחר שואל רביעית ממונם פחות ד&#x202B;'<br>
+כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:kbfr}}
 |-
 |
-:{{#annot:right-angled triangle|679|T2On}}88) Question: here are two intersecting lines, one is 30 long and the second is 40 long.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]-2=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]-3=11+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]-4=11+\frac{1}{2}\end{cases}</math>
-:If we wish to create a triangle from these two lines, how long should the third line be?
-|style="text-align:right;"|פח)<ref>MS L: mark om.</ref> שאלה הנה בכאן שני {{#annot:term|824,1220|tuwl}}קוים מחוברים{{#annotend:tuwl}} אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג&#x202B;'{{#annotend:T2On}}
-|-
 |
-|[[File:פח.png|thumb|100px]]
 |-
 |
-::You should multiply each line by itself, i.e. 30 by 30; it is 900.
+::The answer: find a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תמצא מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
 |-
 |
-::Multiplu also 40 by 40; it is 1600.
+::12 is a half of 24.
-|style="text-align:right;"|גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|וי"ב הוא מחצית כ"ד
 |-
 |
-::Sum 1600 with 900; the result is 2500.
+::2-thirds of 18.
-|style="text-align:right;"|ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|וב' שלישיות י"ח
 |-
 |
-::Extract its root; it is 50, which is the length of the third line that completes the triangle and this is its shape:
+::3-quarters of 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הג' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו
+|style="text-align:right;"|וג' רביעיות י"ו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Encounter Problem - Two Men</span> ===
+::Subtract 2 from 24; 22 remains.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1-2=24-2=22}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח מכ"ד ב' ישארו כ"ב
 |-
 |
-:{{#annot:two men|658|dgk5}}89) Question: A man walks from Naples to Rome in 5 days and on the same day and at the same time another man walks from Rome to Naples in 7 days.
+::Subtract 3 from 18; 15 remains.
-:We would like to know in how many days they will meet each other?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1-3=18-3=15}}</math>
-|style="text-align:right;"|פט)<ref>MS L: פח</ref> שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים<br>
+|style="text-align:right;"|קח מי"ח ג' ישארו ט"ו
-נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה{{#annotend:dgk5}}
 |-
 |
-::You should add the walk of one to the other; it is 12.
+::Subtract 4 from 16; 12 remains.
-|style="text-align:right;"|יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1-4=16-4=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח מי"ו ד' ישארו י"ב
 |-
 |
-::Then, multiply 5 by 7; it is 35.
+::Sum them up; the result is 49.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויעלו מ"ט
 |-
 |
-::Divide it by 12; the result is 2 integers and 11 parts of 12.
+::Divide it by 2; the result is 24 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot7}{5+7}=\frac{35}{12}=2+\frac{11}{12}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+15+12}{2}=\frac{49}{2}=24+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויעלו כ"ד וחצי
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Gaging Problem - Barrel</span> ===
+::Subtract 22 from it; 2 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(24+\frac{1}{2}\right)-22=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הסר מהם כ"ב ישארו ב' וחצי והוא חלק משואל לחבירו מחצית הממון
 |-
 |
-:{{#annot:barrel|2582|ZrkJ}}90) Question: one barrel of twenty boards contains twenty measures of water.
+::Subtract also 15; 9 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends minus 3.
-:If we remove two boards, how much will it contain?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(24+\frac{1}{2}\right)-15=9+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|צ)<ref>MS L: פח</ref> שאלה חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים<br>
+|style="text-align:right;"|גם הסר ט"ו ישארו ט' וחצי והוא חלק משואל שליש ממון חבירו פחות ג&#x202B;'
-אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל{{#annotend:ZrkJ}}
 |-
 |
-::Multiply 20 by itself; it is 400.
+::Subtract 12 from 24 [and a half]; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends minus 4.
-|style="text-align:right;"|תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(24+{\color{red}{\frac{1}{2}}}\right)-12=12+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח י"ב מכ"ד ישארו י"ב וחצי והוא חלק משואל רביעית הממון פחות ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, multiply the boards, i.e. 18 by 18; it is 324.
+::The rule is that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third and 4 to the one who asks for a quarter.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד
+|style="text-align:right;"|והכלל בזה כי אם תוסיף לשואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל השליש ג' ולשואל הרובע ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply 324 by 20; the result is 6480.
+::If the one who [asks for] a half says "minus two", the one who [asks for] a third should say "minus 3", and the one who [asks for] a quarter should say "minus 4".
-|style="text-align:right;"|תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואם בעל החצי אמר פחות שנים צריך שבעל השליש יאמר פחות ג' ובעל הרובע יאמר פחות ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 400; you receive 16 and 80 parts of 400 and so the barrel of 18 boards will contain.
+:Examine and you will find [that it is true].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot18^2}{20^2}=\frac{20\sdot324}{400}=\frac{6480}{400}=16+\frac{80}{400}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים
 |-
 |
+:{{#annot:three men, property|664|Ej25}}77) Question: three men want to buy a property for 22 and a half minyanim.
-=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem</span> ===
+:The first said to the [other] two: if you give me half of your money plus 2 with mine the result will be 22 and a half.
+:The second said to the first and the third: if you give me a third of your money plus 3 with mine the result will be 22 and a half.
-|
+:The third said to the second and the first: if you give me a quarter of your money plus 4 with mine the result will be 22 and a half.
+:How much did each have?
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(b+c\right)\right]+2=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle b+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+c\right)\right]+3=22+\frac{1}{2}\\\scriptstyle c+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(a+b\right)\right]+4=22+\frac{1}{2}\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|עז) <big>שאלה</big> ג' אנשים רוצים לקנות קנין כ"ב מנינים וחצי<br>
+אמר הא' לב' אם תתנו לי חצי ממונכם עם תוספת שנים ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
+אמר הב' לא' ולג' אם תתנו שליש ממונכם עם תוספת ג' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
+אמר הג' לב' ולא' אם תתנו רביעית ממונכם עם תוספת ד' ועם שלי יהיו כ"ב וחצי<br>
+כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:Ej25}}
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Found Purse Problem - Three Men</span> ====
+::The answer: look for a number that includes a half, a third, and a quarter; it is 12.
-|
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> בקש מספר יכלול חצי ושליש ורביע והוא י"ב
 |-
 |
-:{{#annot:three men|2644|qbn3}}91) Question: three men found a purse with some dinar.
+::Say: 12 is half of which number? You find it is 24.
-:The first said to the two: if you give me the purse I will have as much dinar as both of you.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}a_1\longrightarrow a_1=24}}</math>
-:The second answered: if you give me the purse I will have two times as much dinar as both of you.
+|style="text-align:right;"|ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
-:The third said: if you give it to me I will have three times as much money as both of you.
-:How much money was in the purse and how much did each have?
-|style="text-align:right;"|צא) שאלה ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין<br>
-אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין שניכם<br>
-השיב השני אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין ב' פעמים כמו שיש לכם<br>
-אמר הג' אם תתנו אותה יהיה לי מעות ג' פעמים כמו בין שניכם<br>
-כמה ממון היה בכיס וכמה דינרין היה לכל א וא&#x202B;'{{#annotend:qbn3}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+N=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+N=2\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+N=3\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}</math>
+::Say also: 12 is 2-thirds of which [number]? You find it is 18.
-|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}b_1\longrightarrow b_1=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ב' שלישיות תמצא י"ח
 |-
 |
-::The answer: look for a number that has a half and a third; it is 12.
+::Say also: 12 is 3-quarters of which [number]? You find it is 16.
-|style="text-align:right;"|התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}c_1\longrightarrow c_1=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר י"ב מאיזה דבר ג' רביעיות תמצא י"ו
 |-
 |
-::Take 6, which is a half of 12, for the first; 8, which is 2-thirds of 12, for the second; and 9, which is 3-quarters of 12, for the third.
+::Then, add to each one the addition he asks for, i.e. add 2 to 24; it is 26.
-|style="text-align:right;"|ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+2=24+2=26}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף לכל א' מה ששואל מהתוספת ר"ל שתוסיף על כ"ד ב' ויהיו כ"ו
 |-
 |
-::Sum them; it is 23.
+::3 to 18; it is 21.
-|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו כ"ג
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+3=18+3=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועל י"ח ג' ויהיו כ"א
 |-
 |
-::Subtract 12 from it; 11 remains and this is the amount of money in the purse.
+::4 to 16; it is 20.
-|style="text-align:right;"|ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1+4=16+4=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועל י"ו ד' ויהיו כ&#x202B;'
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)\right]-12=\left(6+8+9\right)-12=23-12=11}}</math>
+::Sum them up; the result is 67.
+|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלה ס"ז
 |-
 |
-::To know how many dinar the first has, multiply 2 times 6; it is 12.
+::Divide it by 2; you receive 33 and a half.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{26+21+20}{2}=\frac{67}{2}=33+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויצא לך ל"ג וחצי
 |-
 |
-::Subtract 11 from it; 1 remains and this is what he has.
+::Subtract 27 from it; 7 and a half remains and this is the share of the one who asks for half the money of his friends plus 2.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot6\right)-11=12-11=1}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(33+\frac{1}{2}\right)-2{\color{red}{6}}=7+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ז וישארו ז' וחצי והוא חלק משואל חצי ממון חביריו עם תוספת ב&#x202B;'
 |-
 |
-::To know how much the second has, multiply 2 by 8; it is 16.
+::Subtract also 21 from it; 12 and a half remains and this is the share of the one who asks for a third of the money of his friends plus 3.
-|style="text-align:right;"|ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(33+\frac{1}{2}\right)-21=12+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תסיר מהם כ"א וישארו י"ב וחצי והוא ממון שואל לחביריו שליש &#x202B;<ref>241v</ref>ממונם עם תוספת ג&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 11 from it; 5 remains and this is what the second has.
+::Subtract also 20 from it; 13 and a half remains and this is the share of the one who asks for a quarter of the money of his friends plus 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot8\right)-11=16-11=5}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(33+\frac{1}{2}\right)-20=13+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני
+|style="text-align:right;"|עוד תסיר מהם כ' וישארו י"ג וחצי והוא ממון משואל לחביריו רביעית ממונם עם תוספת ד&#x202B;'
 |-
 |
-::To know how much the third has, multiply 9 by 2; it is 18.
+::Know that if you add 2 to the one who asks for half the money of his friends, you should add 3 to the one who asks for a third of the money of his friends and 4 to the one who asks for a quarter of the money.
-|style="text-align:right;"|ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח
+|style="text-align:right;"|ודע כי אם תוסיף על שואל חצי ממון חביריו ב' יצטרך שתוסיף לשואל שליש ממון חביריו ג' ולשואל רביעית ממון ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 11 from it; 7 remains and this is the required.
+::If you add 4 to the one who asks for half the money, you should add 6 to the one who asks for a third of the money and 8 to the one who asks for a quarter; and so on.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot9\right)-11=18-11=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תוסיף ד' לשואל חצי הממון תוסיף לשואל שליש ממון ו' ולשואל הרביעית ח' וכן תמיד
-|style="text-align:right;"|תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse</span> ====
+=== <span style=color:Green>Geometrical Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:two men, horse|664|cJvX}}92) Question: two men want to buy a horse whose price is unknown.
+==== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ====
-:The first said to the second: if you give me a third and a quarter of your money, with my money I will buy the horse.
-:The second said to the first: if you give me a quarter and a fifth of your money, with my money I will buy the horse.
-:I ask: how much did each have and how much is the price of the horse?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\left(\frac{1}{3}a_2+\frac{1}{4}a_2\right)=N \\\scriptstyle a_2+\left(\frac{1}{4}a_1+\frac{1}{5}a_1\right)=N\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|צב) שאלה ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם<br>
-אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס<br>
-אמר הב' לא' אם תתן לי רביעית ממונך וחמישיתו עם כל ממוני אקנה הסוס<br>
-אשאל כמה היה לכל א' וא' וכמה ערך הסוס{{#annotend:cJvX}}
-|-
 |
-::The answer: find a number that has a third and a quarter for the first; you find it is 12.
-|style="text-align:right;"|התשובה תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב
 |-
 |
-::Subtract a third and a quarter from it; 5 remains. Its third and its quarter are 7.
+:{{#annot:rope|655|x5y8}}78) Question: here is a wall 50 cubits tall.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}</math>
+:At the foot of the wall there is a large hole 30 wide.
-|style="text-align:right;"|תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז&#x202B;'
+:We ask: if we want to drop a rope from the top of the wall to the hole which is 30 cubits far from the bottom of the wall.
+:How long should it be?
+|style="text-align:right;"|עח) <big>שאלה</big> הנה בכאן חומה אחת גבוהה חמישים אמות וברגל החומה יש גומה רחבה ל&#x202B;'<br>
+נשאל אם נרצה להוריד חבל אחד מראש החומה עד סוף הגומא הרחוקה מרגל החומה ל' אמות<br>
+כמה יהיה ארכה{{#annotend:x5y8}}
 |-
 |
-::Then, look for a number that has a quarter and a fifth for the second; you find it is 20.
+::The answer: we should multiply the [height of the] wall, which is 50, by itself; it is 2500.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> יש לנו לכפול החומה שהוא נ' על עצמם ויהיו אלפים וה' מאות
 |-
 |
-::Subtract a quarter and a fifth; 11 remains. The quarter and the fifth are 9.
+::Then, we multiply the width of the hole, which is 30, by itself; it is 900.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)\right]=20-9=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול רוחב הגומה על עצמם שהם ל' ויהיו ט' מאות
-|style="text-align:right;"|תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply the 5 remaining from 12 by 20; it is a hundred and this is the money of the first, i.e. the one who asks for a third and a quarter.
+::We add it to 2500; it is 3400.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5\sdot20=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחברם עם אלפים וה' מאות ויהיו ג' אלפים וד' מאות
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית
 |-
 |
-::Multiply the 11 remaining from 20 by 12; it is 132 and this is the share of the one who asks for a quarter and a fifth.
+::Extract its root; it is 58 and 26 parts of 116 and this is the length of the rope.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=11\sdot12=132}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{50^2+30^2}=\sqrt{2500+900}=\sqrt{3400}=58+\frac{26}{116}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו נ"ח וכ"ו חלקים מקי"ו והוא אורך החבל
 |-
 |
-::If you wish to know the price of the horse, take a quarter and a fifth of a hundred, which is 45, and add it to 132; the result is 177.
+==== <span style=color:Green>Equilateral Triangle</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=132+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)\right]=132+45=177}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז
+|
 |-
 |
-::Or, take a quarter and a third of 132, which is 77, and add it to 100; it is 177.
+:{{#annot:equilateral triangle|679|ZIN2}}79) Question: a triangle such as this - if the length of the height is 30, how much is the length of each side of the triangle?
-|style="text-align:right;"|או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז
+|style="text-align:right;"|עט) <big>שאלה</big> אם משולש כזה אם אורך העמוד הוא ל' כמה אורך כל צלע מהמשולש{{#annotend:ZIN2}}
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=100+\left[\left(\frac{1}{3}\sdot132\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot132\right)\right]=100+77=177}}</math>
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Geometrical Problems</span> ===
+|[[File:עט.png|thumb|150px]]
-|
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Area Problem - City</span> ====
+::The answer: you should multiply the length of the line [= the height], which is 30, by 30; it is 900.
-|
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> יש לך לכפול אורך הקו על עצמו שהוא ל' על ל' ויהיו ט' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:square city|680|xXVE}}93) Question: Here is a city, the walls surrounding the whole city are 3 miles [long].
+::Take its third, which is 300, and add it to 900; it is 1200.
-:We wish to know how much a city with ten walls is greater than the other.
+|style="text-align:right;"|וקח שלישיתם שהם ג' מאות ותוסיפם על ט' מאות ויהיו י"ב מאות
-|style="text-align:right;"|צג) שאלה הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין<br>
-נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת{{#annotend:xXVE}}
 |-
 |
-::One should multiply 3 by itself; it is 9.
+::Extract its root; it is 34 and 70 parts of 75 and this is the length of each side of the triangle.
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא ל"ד וע' חלקים מע"ה וזה יהיה אורך כל קו מהמשולש
 |-
-|
+|colspan=2|
-::Then, multiply ten by itself; it is one hundred.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{30^2+\left(\frac{1}{3}\sdot30^2\right)}=\sqrt{900+\left(\frac{1}{3}\sdot900\right)}=\sqrt{900+300}=\sqrt{1200}=34+\frac{70}{75}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
 |-
 |
-::Divide one hundred by 9; you receive 11 and a ninth and this is the number of times, by which the one of ten [miles] is greater than the one of 3 [miles].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10^2}{3^2}=\frac{100}{9}=11+\frac{1}{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג&#x202B;'
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Circle</span> ====
+==== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:circle|682|XJvI}}94) Question: here is a circle whose diameter is 7.
+:{{#annot:bridge|655|fq24}}80) Question: there are here two towers - the length of one is 50 cubits and the other one is 30 cubits.
-:We wish to know how much is the perimeter of the circle?
+:The distance between them is 20 cubits.
-|style="text-align:right;"|צד) שאלה הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז&#x202B;'<br>
+:We wish to build a bridge from the top of one tower to the other.
-נרצה לדעת כמה הקף העגול{{#annotend:XJvI}}
+:How long would it be?
+|style="text-align:right;"|פ) <big>שאלה</big> בכאן שני מגדלים אורך האחד נ' אמות והאחרת ל' אמות ומרחק שבין שניהם עשרים אמות  ונרצה לעשות גשר מראש המגדל האחד על האחר<br>
+כמה יהיה ארכו{{#annotend:fq24}}
 |-
 |
-::Multiply it by 3 and a seventh; you receive 22 and this is the perimeter of the circle.
+|[[File:פ.png|thumb|150px]]
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Side - Cyclic Square</span> ====
+::The answer: we should multiply the distance between the two towers, which is 20, by itself; it is 400.
-|
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> יש לנו לכפול המרחק שבין שני המגדלים שהוא כ' על עצמם ויעלו ד' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:cyclic square|679|nMoz}}Question: here is a square and a circumscribed circle.
+::Then, 400 should be multiplied by 2; it is 800.
-:The diameter of the circle is 7.
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי לכפול ד' מאות על ב' ויהיו ח' מאות כ אמות
-:How much is the length of each side of the square?
-|style="text-align:right;"|שאלה בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז&#x202B;'<br>
-כמה אורך כל קו וקו מהמרובע{{#annotend:nMoz}}
 |-
 |
-|[[File:צד.png|thumb|100px]]
+::We extract its root; it is 28 integers and 16 parts of 56 and this should be the length of the bridge.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot20^2}=\sqrt{2\sdot400}=\sqrt{800}=28+\frac{16}{56}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונקח שרשם ויהיו כ"ח שלמים וי"ו חלקים מנ"ו וכן יצטרך שיהיה אורך הגשר
 |-
 |
-::You should multiply 7 by itself; it is 49.
+:Examine and you will find [that it is true].
-|style="text-align:right;"|יש לך לכפול ז' על עצמם והם מ"ט
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
 |-
 |
-::Divide it by 2; it is 24 and a half.
-|style="text-align:right;"|חלקם על ב' והם כ"ד וחצי
+==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Tower</span> ====
+|
 |-
 |
-::Extract its root; it is approximately 5 and this is the length of each side of the square.
+:{{#annot:tower|682|ekBH}}81) Question: here is a squared tower such as this, whose perimeter, i.e. its thickness is 50 cubits from the outside.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{2}}=\sqrt{\frac{49}{2}}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx5}}</math>
+:The thickness of the wall from each of its corners is 2 cubits and a quarter.
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהם ה' בקרוב וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע
+:We wish to know: how much is the perimeter of the tower?
+|style="text-align:right;"|פא) <big>שאלה</big> בכאן מגדל מרובע כזה שכל הקפו ר"ל עביו נ' &#x202B;<ref>242r</ref>אמות מבחוץ והעובי מהקיר מכל ד' זויותיו ב' אמות ורביע<br>
+נרצה כמה הקף המגדל{{#annotend:ekBH}}
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Side - Inscribed Triangle</span> ====
+|[[File:פא.png|thumb|100px]]
+|-
 |
+::The answer: you should multiply 4, since there are four walls, by 2 and a quarter; the result is 9.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה יש לך לכפול ד' מצד כי הם ד' קירות על ב' ורביע ויעלו ט&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:inscribed triangle|679|obt9}}95) Question: here is a circle whose diameter is 16.
+::Multiply it by 2; it is 18.
-:If you want to create a triangle inside it, how much will be its perimeter and how much will be the length of each side of the triangle?
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ב' ויהיו י"ח
-|style="text-align:right;"|צה)&#x202B;<ref>MS L: mark om.</ref> שאלה בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו<br>
-אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש{{#annotend:obt9}}
 |-
 |
-|[[File:צה.png|thumb|100px]]
+::Subtract it from 50; 32 remains and this is the inside perimeter of the tower.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50-\left[2\sdot\left[4\sdot\left(2+\frac{1}{4}\right)\right]\right]=50-\left(2\sdot9\right)=50-18=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחסרם מנ' וישארו ל"ב וכן יהיה הקף המגדל מבפנים
 |-
 |
-::Do as follows: subtract a quarter of 16 [from 16], which is 4; 12 remains.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב
 |-
 |
-::Multiply 12 by itself; it is 144.
-|style="text-align:right;"|כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד
+==== <span style=color:Green>Find the Side - Square</span> ====
-|-
 |
-::Then, add to it a third of 144; it is 192.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב
 |-
 |
-::Extract its root; it is 13 and 23 parts of 26.
+:{{#annot:square|679|ZZDk}}82) Question: here is a square such as this, whose inner line is 10 cubits long, i.e. its diagonal.
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו
+:How much is the length of each side of the square?
-|-
+|style="text-align:right;"|פב) <big>שאלה</big> הנה בכאן מרובע כזה שהקו שהוא מבפנים ארכה עשרה אמות ר"ל הקו ההולך באלכסון<br>
-|colspan=2|
+כמה אורך כל קו וקו מהמרובע{{#annotend:ZZDk}}
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(16-4\right)^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-4\right)^2\right]}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144+\left(\frac{1}{3}\sdot144\right)}=\sqrt{192}=13+\frac{23}{26}\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Diameter of a Circle</span> ====
+|[[File:פב.png|thumb|100px]]
-|
 |-
 |
-:{{#annot:circle|683|MVIQ}}96) Question: here is a circle whose perimeter is 30.
+::The answer: you should multiply ten by itself; it is one hundred.
-:How much is the length of the diameter?
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> יש לך לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
-|style="text-align:right;"|צו) שאלה אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל&#x202B;'<br>
-כמה אורך הבריח המחלקת{{#annotend:MVIQ}}
 |-
 |
-::Take a third of 30, which is ten, and this is the length of the diameter.
+::Divide it by 2; the result is fifty.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot30=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על ב' ויצאו חמישים
-|style="text-align:right;"|קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח
 |-
 |
-::Similarly for anything round you can know it this way.
+::Extract its root; it is 7 and one part of 14 and this is the length of each side of the square.
-|style="text-align:right;"|ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10^2}{2}}=\sqrt{\frac{100}{2}}=\sqrt{50}=7+\frac{1}{14}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והוא ז' וחלק מי"ד והוא יהיה אורך כל קו וקו מהמרובע
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Rectangle</span> ====
+==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Square</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:rectangle|683,680|ikHf}}97) Question: here is a quadrangular - the length of its two long sides is 40 and the breadth of its two short sides is 30.
+:{{#annot:square|683|X7Nc}}83) Question: a square whose four sides are 10 long.
-:We wish to know: how long is the diagonal and how much is the area of the whole quadrangular?
+:We wish to know: how much is the length of its diagonal?
-|style="text-align:right;"|צז) שאלה בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|פג) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת ממרובע שכל ד' קוים ארכם עשרה<br>
-נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע{{#annotend:ikHf}}
+נרצה לדעת כמה אורך הקו ההולכת באלכסון{{#annotend:X7Nc}}
 |-
 |
-::Multiply its wide side, which is 30, by its long side, which is 40; the result is 1200 and this is the measure of the area.
+|[[File:פג.png|thumb|100px]]
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot40=1200}}</math>
-|style="text-align:right;"|תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות
 |-
 |
-::If you want to know the length of the diagonal: multiply 30 by 30, which is 900; multiply 40 by 40, which is 1600; sum them up; it is 2500.
+::Ten should be multiplied by itself; it is a hundred.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות
+|style="text-align:right;"|יש לכפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
+|-
+|
+::Multiply it by 2; it is 200.
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ב' ויהיו ב' מאות
 |-
 |
-::Extract its root; its is 50 and so is the length of the line.
+::Extract its root; it is 14 and 4 parts of 28 and this is the length of the diagonal.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2\sdot10^2}=\sqrt{2\sdot100}=\sqrt{200}=14+\frac{4}{28}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו י"ד וד' חלקים מכ"ח וזה יהיה אורך האלכסון
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Find the Height - Wall</span> ====
+==== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Broken Tree</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:wall|685|WhQX}}98) Question: Here is a city whose walls are of unknown height.
+:{{#annot:broken tree|655|36n4}}84) Question: here is a tree 20 cubits tall.
-:If you would like to know their height
+:At the foot of the tree there is a stream 10 cubits wide
-|style="text-align:right;"|צח) שאלה הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם<br>
+:The tree was broken and its top touched the edge of the stream, i.e. 10 cubits far from the foot of the tree.
-אם תרצה לדעת גבהם{{#annotend:WhQX}}
+:We ask: at what point did the tree break?
+|style="text-align:right;"|פד) <big>שאלה</big> הנה בכאן אילן גבוה עשרים אמות וברגל האילן יש נהר רחבו עשרה אמות ונשבר האילן ונגע הראש בסוף רוחב הנהר ר"ל רחוק מרגל האילן עשרה אמות<br>
+נשאל באיזה מקום נשבר האילן{{#annotend:36n4}}
 |-
 |
-::Take a stick and stand it, i.e. so that its length is from the ground, i.e., from your feet, until its top reaches between your eyes.
+::The answer: you should multiply the length of the tree by itself, i.e. 20 by 20; it is 400.
-|style="text-align:right;"|קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה יש לך לכפול אורך האילן על עצמם ר"ל כ' על כ' ויהיו ד' מאות
 |-
 |
-::Lie with your face up, i.e., stretch your hands and feet, and tell your friend to put the stick upright between your feet.
+::Then, multiply the width of the stream by itself, i.e. ten by ten; it is 100.
-|style="text-align:right;"|ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול רוחב הנהר על עצמם ר"ל עשרה על עשרה ויהיו ק&#x202B;'
 |-
 |
-::See if, according to your sight, the top of the stick is exactly as high as the wall.
+::Subtract it from 400; 300 remains.
-|style="text-align:right;"|וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה
+|style="text-align:right;"|תוציאם מד' מאות וישארו ג' מאות
 |-
 |
-::If it is not as high, move away or get closer, while lying on the ground, until it seems to you that it is of the same height.
+::Divide it by 2; it is 150.
-|style="text-align:right;"|ואם אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ב' ויהיו ק"נ
 |-
 |
-::Then measure how much is it from [your] place to the foot of the wall and so is the height of the wall.
+::Then, divide 150 by 20; it is 7 and a half; this is what is left of the tree and the broken part is 12 and a half.
-|style="text-align:right;"|ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{20^2-10^2}{2}}{20}=\frac{\frac{400-100}{2}}{20}=\frac{\frac{300}{2}}{20}=\frac{150}{20}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק ק"נ על כ' ויהיו ז' וחצי והוא הקיים מהאילן והנשבר י"ב וחצי
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find the Price - Barrel</span> ===
+==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Quadrangular</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:barrel|629|yvCf}}99) Question: there is a barrel full of oil here that is 7 cubits wide from the foot below and gets shorter and shorter until the upper base that is a cubit, which is worth 8 minyanim.
+:{{#annot:quadrangular|682|Z82J}}85) Question: here is is a quadrangular.
-:How much is a barrel that is 7 cubits wide at the bottom and the top base is also 7 cubits wide?
+:We want to create a triangle inside it, so that the length of each of its three sides will be 20.
-|style="text-align:right;"|צט) שאלה יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים<br>
+:How much is the perimeter of the quadrangular?
-כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות{{#annotend:yvCf}}
+|style="text-align:right;"|פה) <big>שאלה</big> הנה בכאן מרובע ונרצה לעשות משולש בתוכו שכל א' מג' קוים ארכה עשרים<br>
+כמה יקיף כל המרובע{{#annotend:Z82J}}
 |-
 |
-::You should sum up all the numbers from 1 to 7, because it gets shorter and shorter; the result is 28.
+::This is its shape:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+7=28}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזה הוא צורתו
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח
 |-
 |
-::Then, multiply 7 by 7, because its two bases are 7; it is 49.
+|style="text-align:right;"|[[File:פה.png|thumb|100px]]
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times7=49}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט
 |-
 |
-::Say: if 28 is worth 8 minyanim, how much is 49 worth? etc.
+::Take half the length of [each side of] the triangle, which is ten, multiply it by twenty; it is 200 and this is the perimeter of the quadrangular.
-::<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{28:8=49:X}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot20=10\sdot20=200}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|קח חצי אורך המשולש שהוא עשרה וכפול אותם על עשרים ויהיו ב' מאות וככה יקיף כל המרובע
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find the Side - Rectangle Formed by Walls</span> ===
+==== <span style=color:Green>Find the Height - Equilateral Triangle</span> ====
 |
 |-
 |
-:{{#annot:rectangle, walls|679|7pu2}}100) Question: We have two equal walls, far from each other by an unknown number.
+:{{#annot:equilateral triangle|685|DSFq}}86) Question: here is a triangle, the length of each of its sides is 35.
-:We know the product of the one by its corresponding, i.e. the product of the wall by the distance between the walls, which is 48.
+:How long is its height?
-:The distance plus the height of one of the walls is 11.
+|style="text-align:right;"|פו) <big>שאלה</big> הנה בכאן משולש כל א' מהג' קוים &#x202B;<ref>242v</ref>ארכה ל"ה כמה אורך הקו הנמשכת כזה{{#annotend:DSFq}}
-:How high is the wall and how far are they from each other?
-|style="text-align:right;"|ק) שאלה יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה{{#annotend:7pu2}}
 |-
 |
-::Take its half, which is 7, and its square is 49.
+|[[File:פו.png|thumb|100px]]
-|style="text-align:right;"|קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט
+|-
+|
+::You should multiply the length of each side, which is 35, by itself; the result is 1225.
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אורך כל קו על עצמם שהם ל"ה ויעלו אלף ורכ"ה
+|-
+|
+::Divide the result by 4; you receive 30[6] and a quarter.
+|style="text-align:right;"|ותחלק העולה על ד' ויצא לך ג' מאות ורביע
 |-
 |
-::Subtract 48; 1 remains and its root is 1.
+::Subtract this from the total, i.e. from 1225; 9[1]8 and 3-quarters still remains.
-|style="text-align:right;"|תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותחסר זה מכל הסך ר"ל מאלף ורכ"ה וישאר עדין ט' מאות וח' וג' רביעיות
 |-
 |
-::We add it to 7, which is a half of 14, and this is the height of the tower.
+::Extract its root; it is 30 integers and 18 parts of 60 plus one part of 16 and this is the length of the height.
-|style="text-align:right;"|נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא ל' שלמים וי"ח חלקים מס' וחלק מי"ו וככה יהיה אורך הקו הנמשכת
 |-
 |colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{35^2-\frac{35^2}{4}}=\sqrt{1225-\frac{1225}{4}}=\sqrt{1225-\left(30{\color{red}{6}}+\frac{1}{4}\right)}=\sqrt{9{\color{red}{1}}8+\frac{3}{4}}=30+\frac{18}{60}+\frac{1}{16}}}</math>
 |-
 |
-::We subtract it from it; the distance between them remains.
+==== <span style=color:Green>Transformation Problem - Square to Circle</span> ====
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם
+|
 |-
 |
-::And so on
+:{{#annot:square to circle|2583|sy3G}}87) Question: if you want to create a square from a circle
-|style="text-align:right;"|וכן כל כיוצא בזה
+|style="text-align:right;"|פז) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות ממרובע א' עגול א' כזה{{#annotend:sy3G}}
 |-
 |
-:{{#annot:rectangle, walls|679|Yiqs}}101) Question: We have two equal walls, one of which is for example line AB and the other is line GD, and their height is the same.
+|[[File:פז.png|thumb|100px]]
-:We know that the diagonal, which is AD, is 10 cubits.
-:We know that the height of the wall exceeds the distance between the two walls by 2 cubits.
-:We would like to know how high each one of the walls is and how far apart they are.
-|style="text-align:right;"|קא) שאלה יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם{{#annotend:Yiqs}}
 |-
 |
-::The way is as follows:
+::You should know the length of one of the sides of the square, then multiply it by 3 and one seventh and this is the perimeter of the circle.
-|style="text-align:right;"|דרך זה הוא כך
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לדעת אורך מקוי אחד המרובע ותכפול העולה על ג' ושביעית אחד וכן יהיה הקף כל העגול
 |-
 |
-::We square the diameter, which is 10; it is 100.
+==== <span style=color:Green>Find the Side Problem - Right-Angled Triangle</span> ====
-|style="text-align:right;"|נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::We subtract from it the square of 2, by which the height exceeds the distance, which is 4; 96 remains.
+:{{#annot:right-angled triangle|679|T2On}}88) Question: here are two intersecting lines, one is 30 long and the second is 40 long.
-|style="text-align:right;"|נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו
+:If we wish to create a triangle from these two lines, how long should the third line be?
+|style="text-align:right;"|פח)<ref>MS L: mark om.</ref> <big>שאלה</big> הנה בכאן שני {{#annot:term|824,1220|tuwl}}קוים מחוברים{{#annotend:tuwl}} אורך הא' ל' ואורך הב' מ' אם נרצה לעשות מאלו הב' קוים משולש כמה אורך הקו הג&#x202B;'{{#annotend:T2On}}
 |-
 |
-::Take its half; it is 48.
+|[[File:פח.png|thumb|100px]]
-|style="text-align:right;"|וקח חציו והוא מ"ח
 |-
 |
-::We add to it the square of half the excess, which is 1; it is 49.
+::You should multiply each line by itself, i.e. 30 by 30; it is 900.
-|style="text-align:right;"|נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א' ויהיו מ"ט
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול כל קו על עצמו ר"ל ל' על ל' ויהיו ט' מאות
 |-
 |
-::Extract its root; it is 7 and this is the height, i.e. the height of each of the walls.
+::Multiplu also 40 by 40; it is 1600.
-|style="text-align:right;"|וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים
+|style="text-align:right;"|גם כפול מ' על מ' ויהיו אלף וו' מאות
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2}=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)\right]+1^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)+1^2}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7}}</math>
+::Sum 1600 with 900; the result is 2500.
+|style="text-align:right;"|ותחבר אלף וו' מאות עם ט' מאות ויעלו אלפים וה' מאות
 |-
 |
-::We subtract 2 from it; the remainder is 5 and third is the distance between them from wall to wall.
+::Extract its root; it is 50, which is the length of the third line that completes the triangle and this is its shape:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-2=5}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא נ' וזה יהיה אורך הקו הג' כדי להשלים המשולש וזאת היא צורתו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Broken Tree</span> ===
+=== <span style=color:Green>Encounter Problem - Two Men</span> ===
 |
 |-
-|{{#annot:broken tree|655|EE3n}}102) Question: we have a tree fifty cubits tall.
+|
-:It was broken and its top touched ground.
+:{{#annot:two men|658|dgk5}}89) Question: A man walks from Naples to Rome in 5 days and on the same day and at the same time another man walks from Rome to Naples in 7 days.
-:We know that the distance between its two ends is 25, for example.
+:We would like to know in how many days they will meet each other?
-:We ask: by how much did it break?
+|style="text-align:right;"|פט)<ref>MS L: פח</ref> <big>שאלה</big> אדם נוסע מנפולי ללכת עד רומא בה' ימים ובאותו יום ובאותה שעה נוסע איש אחר מרומא ללכת בנאפולי בז' ימים<br>
-|style="text-align:right;"|קב) שאלה יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר{{#annotend:EE3n}}
+נרצה לדעת בכמה ימים יפגשו זה את זה{{#annotend:dgk5}}
 |-
 |
-::The way is that we take a quarter of 25, and subtract it from it; 18 and 3-quarters remains and this is where the tree broke.
+::You should add the walk of one to the other; it is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=18+\frac{3}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|יש לך לחבר מהלך האחד עם האחר ויהיו י"ב
-|style="text-align:right;"|דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן
+|-
+|
+::Then, multiply 5 by 7; it is 35.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ה' על ז' ויהיו ל"ה
 |-
 |
-::We add its quarter to it; the result is 31 and a quarter and this is the part that falls to the ground.
+::Divide it by 12; the result is 2 integers and 11 parts of 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25+\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=31+\frac{1}{4}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot7}{5+7}=\frac{35}{12}=2+\frac{11}{12}}}</math>
-|style="text-align:right;"|נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על י"ב ויעלה ב' שלמים וי"א חלקים מי"ב
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Selling Apples</span> ===
+=== <span style=color:Green>Gaging Problem - Barrel</span> ===
 |
 |-
 |
-{{#annot:selling apples|652|49AZ}}103) Question: a man gives his three sons apples.
+:{{#annot:barrel|2582|ZrkJ}}90) Question: one barrel of twenty boards contains twenty measures of water.
-:He gives to one 10, to the other 30 and to another 50.
+:If we remove two boards, how much will it contain?
-:He said: the money I receive from each will be the same no more and no less and the each will sell at the same price.
+|style="text-align:right;"|צ)<ref>MS L: פח</ref> <big>שאלה</big> חבית א' מעשרים קרשים מכילה עשרים מדות מים<br>
-:At what price did they sell?
+אם נחסר ב' קרשים כמה יכיל{{#annotend:ZrkJ}}
-:<math>\scriptstyle10a_1=30a_2=50a_3</math>
-|style="text-align:right;"|קג) שאלה אדם נתן תפוחים לג' בניו<br>
-לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ&#x202B;'<br>
-ואמר כל כך ישא לי ממון הא' כמו האחר לא פחות ולא יתר ובערך שימכור הא' ימכרו האחרים<br>
-באיזה ערך מכרו{{#annotend:49AZ}}
 |-
 |
-::You should know that the one who had 10 [apples] sold 7 [apples] for one pašuṭ.
+::Multiply 20 by itself; it is 400.
-|style="text-align:right;"|ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט
+|style="text-align:right;"|תכפול כ' על עצמם ויהיו ד' מאות
 |-
 |
-::3 [apples] remain and he sold each at one [apple] for 3 [pešuṭim]
+::Then, multiply the boards, i.e. 18 by 18; it is 324.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-7=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הקרשים ר"ל י"ח על י"ח ויהיו ג' מאות וכ"ד
-|style="text-align:right;"|ונשארו עד ג' ומכר כל א' מהם ג' דינרין
 |-
 |
-::We find that they worth 9 and with the 1 they are 10 [pešuṭim].
+::Multiply 324 by 20; the result is 6480.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+9=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכפול ג' מאות וכ"ד על כ' ויעלה ו' אלפים וד' מאות ופ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|נמצא ששוים ט' ועם א' הם י&#x202B;'
 |-
 |
-::The one who had 30 [apples] sold also like this, because he sold 28 [apples] for 4 pešuṭim.
+::Divide it by 400; you receive 16 and 80 parts of 400 and so the barrel of 18 boards will contain.
-|style="text-align:right;"|ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot18^2}{20^2}=\frac{20\sdot324}{400}=\frac{6480}{400}=16+\frac{80}{400}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על ד' מאות ויצא לך י"ו ופ' חלקים מד' מאות וכך יכיל החבית מי"ח קרשים
 |-
 |
-::He sold the remaining 2 for 6 [pešuṭim].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30-28=2}}</math>
+=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problem</span> ===
-|style="text-align:right;"|והב' הנשארים מכר ו&#x202B;'
-|-
 |
-::So, they are 10.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+6=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-::The one who had 50 [apples] sold 49 [apples] for 7 [pešuṭim].
+==== <span style=color:Green>Found Purse Problem - Three Men</span> ====
-|style="text-align:right;"|ובעל הנ' מכר מ"ט ז&#x202B;'
-|-
 |
-::He sold [the remaining] 1 for 3 [pešuṭim].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50-49=1}}</math>
-|style="text-align:right;"|וא' מכר ג&#x202B;'
 |-
 |
-::They are also 10.
+:{{#annot:three men|2644|qbn3}}91) Question: three men found a purse with some dinar.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7+3=10}}</math>
+:The first said to the two: if you give me the purse I will have as much dinar as [both of you].
-|style="text-align:right;"|והם י' ג"כ
+:The second answered: if you give me the purse I will have two times as much dinar as both of you.
+:The third said: if you give it to me I will have three times as much money as both of you.
+:How much money was in the purse and how much did each have?
+|style="text-align:right;"|צא) <big>שאלה</big> ג' אנשים מצאו כיס אחד עם סך דינרין<br>
+אמר הראשון נגד הב' אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין כל כך כמו שיש בין<br>
+&#x202B;<ref>243r</ref>השיב השני אם תתנו לי הכיס יהיה לי דינרין ב' פעמים כמו שיש לכם<br>
+אמר הג' אם תתנו אותה יהיה לי מעות ג' פעמים יותר מכם<br>
+כמה ממון היה בכיס וכמה דינרין היה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:qbn3}}
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Gaging Problem - Wine and Water</span> ===
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+N=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+N=2\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+N=3\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}</math>
 |
 |-
 |
-:{{#annot:wine and water|2582|rzGP}}104) Question: Here is a barrel that contains [10] kabin, half water and half wine.
+::The answer: look for a number that has a half and a third; it is 12.
-:We take out one kab, and pour one kab of water in it.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש והוא י"ב
-:We take another kab out a second time, and fill it with water.
+|-
-:We take another kab out a third time, and fill it with water.
+|
-:We take another kab out a fourth time, and fill it with water.
+::Take 6, which is a half of 12, for the first; 8, which is 2-thirds of 12, for the second; and 9, which is 3-quarters of 12, for the third.
-:We would like to know how many kabim of wine are left in the barrel after the fourth time.
+|style="text-align:right;"|ותקח בעד הראשון ו' שהוא חצי י"ב ובעד השני ח' שהוא ב' שלישיות י"ב ובעד השלישי ט' שהוא ג' רביעיות י"ב
-|style="text-align:right;"|קד) שאלה הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין<br>
-ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים<br>
-עוד נוציא קו (קב) פעם שניה ונמלאנה מים<br>
-עוד נוציא קב פעם ג' ונמלאנה מים<br>
-עוד נוציא קב פעם ד' ונמלאנה מים<br>
-נרצה לדעת כמה קבים של יין נשארו בחבית אחר הפעם הד&#x202B;'{{#annotend:rzGP}}
 |-
 |
-::The way is as follows:
+::Sum them; it is 23.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו כ"ג
 |-
 |
-::It is known that there are 5 kabin of wine and 5 of water in the barrel.
+::Subtract 12 from it; 11 remains and this is the amount of money in the purse.
-|style="text-align:right;"|ידוע הוא כי ה' {{#annot:kab|1068|WKZT}}קבין{{#annotend:WKZT}} יין וה' של מים הם בחבית
+|style="text-align:right;"|ותחסר מהם י"ב ישארו י"א והוא סך דינרי הכיס
 |-
-|
+|colspan=2|
-::We take out one kab; 4 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine remain.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{3}{4}\sdot12\right)\right]-12=\left(6+8+9\right)-12=23-12=11}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונוציא {{#annot:kab|1068|HIOw}}קב{{#annotend:HIOw}} וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין
 |-
 |
-::We pour one kab of water in the barrel; there are 5 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine.
+::To know how many dinar the first has, multiply 2 times 6; it is 12.
-|style="text-align:right;"|ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה דינרין היה לראשון כפול ב' פעמים ו' ויהיו י"ב
 |-
 |
-::We take 9-tenths of these 4 and a half; 4 and 1 part of twenty remains and this is the wine that is left in barrel [after] the second time.
+::Subtract 11 from it; 1 remains and this is what he has.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{20}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot6\right)-11=12-11=1}}</math>
-|style="text-align:right;"|ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תוציא מהם י"א וישאר א' וכן היה לו
 |-
 |
-::We take again 9-tenths of it; 3 and 129 part of two hundred remains and this is [the wine] that is left [after] the third time.
+::To know how much the second has, multiply 2 by 8; it is 16.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{20}\right)=3+\frac{129}{200}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת מה שיש לשני כפול ח' על ב' ויהיו י"ו
-|style="text-align:right;"|עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג&#x202B;'
 |-
 |
-::We take again 9-tenths of it; 3 and 561 part of 2000 remains and this is [the wine] that is left [after] the fourth time.
+::Subtract 11 from it; 5 remains and this is what the second has.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{129}{200}\right)=3+\frac{561}{2000}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(2\sdot8\right)-11=16-11=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תחסר מהם י"א ונשארו ה' והוא מה שיש לשני
 |-
 |
-::If you take 9-tenths from 3 and 561 part of 2000 what remains is [the wine that is left after] the fifth time.
+::To know how much the third has, multiply 9 by 2; it is 18.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{561}{2000}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת מה שיש לג' כפול ט' על ב' ויהיו י"ח
-|style="text-align:right;"|ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה&#x202B;'
 |-
 |
-::And so on.
+::Subtract 11 from it; 7 remains and this is the required.
-|style="text-align:right;"|וכן תמיד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(2\sdot9\right)-11=18-11=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוציא מהם י"א וישארו ז' והוא המבוקש
 |-
 |
+==== <span style=color:Green>"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse</span> ====
-=== <span style=color:Green>Find the Height - Tower</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:tower|685|foOl}}105) Question: Here is a big high tower, we do not know how much.
+:{{#annot:two men, horse|664|cJvX}}92) Question: two men want to buy a horse whose price is unknown.
-:Its shadow is 100 cubits and this shadow reaches another smaller tower that is ten cubits high and its [shadow] is 25.
+:The first said to the second: if you give me a third and a quarter of your money, with my money I will buy the horse.
-:We would like to know how much is the unknown height of the tower.
+:The second said to the first: if you give me a quarter and a fifth of your money, with my money I will buy the horse.
-|style="text-align:right;"|קה) שאלה בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה<br>
+:I ask: how much did each have and how much is the price of the horse?
-נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם{{#annotend:foOl}}
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+\left(\frac{1}{3}a_2+\frac{1}{4}a_2\right)=N \\\scriptstyle a_2+\left(\frac{1}{4}a_1+\frac{1}{5}a_1\right)=N\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|צב) <big>שאלה</big> ב' בני אדם רוצים לקנות סוס אחד ערכו נעלם<br>
+אמר הא' לב' אם תתן לי שליש ממונך ורביעיתו עם כל ממוני אקנה הסוס<br>
+אמר הב' לא' אם תתן לי רביעית ממונך וחמישיתו עם כל ממוני אקנה הסוס<br>
+אשאל כמה היה לכל א' וא' וכמה ערך הסוס{{#annotend:cJvX}}
 |-
 |
-::Say: if 25 gives me ten, how much will 100 give?
+::The answer: find a number that has a third and a quarter for the first; you find it is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:10=100:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תמצא מספר יהיה לו שלישית ורביעית בעד הראשון ותמצא י"ב
-|style="text-align:right;"|תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו
 |-
 |
-::Multiply ten by 100; it is 1000.
+::Subtract a third and a quarter from it; 5 remains. Its third and its quarter are 7.
-|style="text-align:right;"|כפול עשרה על ק' ויעלו אלף
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסר מהם השליש והרביעית וישארו ה' ושלישיתו ורביעיתו הוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 25; the result is 40 and this is the height of the greater tower as in this figure:
+::Then, look for a number that has a quarter and a fifth for the second; you find it is 20.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot100}{25}=\frac{1000}{25}=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תבקש מספר יהיה לו רביעית וחומש בעד השני ותמצא כ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה
 |-
 |
+::Subtract a quarter and a fifth; 11 remains. The quarter and the fifth are 9.
-=== <span style=color:Green>Find the Height - Wall</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left[\left(\frac{1}{4}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)\right]=20-9=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסר הרביעית והחומש וישארו י"א והרביעית והחומש הם ט&#x202B;'
+|-
 |
+::Multiply the 5 remaining from 12 by 20; it is a hundred and this is the money of the first, i.e. the one who asks for a third and a quarter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5\sdot20=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הה' שנשארו מי"ב על הכ' ויהיו מאה והוא סך הממון מהראשון ר"ל ממבקש השליש והרביעית
 |-
 |
-:{{#annot:wall|685|h3py}}106) Question: Here is a high wall, its height is unknown.
+::Multiply the 11 remaining from 20 by 12; it is 132 and this is the share of the one who asks for a quarter and a fifth.
-:We drop a rope from the top of the wall to the ground.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=11\sdot12=132}}</math>
-:The end of the rope is 2 cubits away from the foot of the wall.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הי"א שנשארו מהכ' על י"ב ויהיו קל"ב והוא חלק מהשואל הרביעית והחומש
-:The length of the rope is 120 cubits.
-:We would like to know how high the wall is.
-|style="text-align:right;"|קו) שאלה הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"כ אמות נרצה לדעת כמה גובה החומה{{#annotend:h3py}}
 |-
 |
-::We measure ten cubits from the lower end of the rope and draw a line of 40 from it that reaches the wall.
+::If you wish to know the price of the horse, take a quarter and a fifth of a hundred, which is 45, and add it to 132; the result is 177.
-|style="text-align:right;"|הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=132+\left[\left(\frac{1}{4}\sdot100\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot100\right)\right]=132+45=177}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת ערך הסוס הוצא הרביעית והחומש ממאה שהם מ"ה ותוסיפם על קל"ב ויעלו קע"ז
 |-
 |
-::We measure how many cubits of the wall correspond to those 10 cubits of rope.
+::Or, take a quarter and a third of 132, which is 77, and add it to 100; it is 177.
-|style="text-align:right;"|ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל
+|style="text-align:right;"|או תקח הרביעית והשלישית מקל"ב שהם ע"ז ותוסיפם על ק' ויהיו קע"ז
 |-
-|
+|colspan=2|
-::We suppose that the 10 cubits of rope correspond to 8 of the wall.
+:<math>\scriptstyle{\color{blue}{N=100+\left[\left(\frac{1}{3}\sdot132\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot132\right)\right]=100+77=177}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה
 |-
 |
-::We divide the length of the rope, which is 120, by 10; the result is 12.
-|style="text-align:right;"|ונחלק אורך החבל שהוא ק"כ על י' ויצאו י"ב
+=== <span style=color:Green>Geometrical Problems</span> ===
-|-
 |
-::We multiply 12 by 8; it is 96 and this is the height of the wall, as in this figure:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120}{10}\sdot8=12\sdot8=96}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה
 |-
 |
+==== <span style=color:Green>Find the Area Problem - City</span> ====
-=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:³√10|439|WS2D}}107) Question: if you want to extract the cubic root of ten.
+:{{#annot:square city|680|xXVE}}93) Question: Here is a city, the walls surrounding the whole city are 3 miles [long].
-:<math>\scriptstyle\sqrt[3]{10}</math>
+:We wish to know how much a city with ten walls is greater than the other.
-|style="text-align:right;"|קז) שאלה אם תרצה להוציא שרש מעוקב עשרה{{#annotend:WS2D}}
+|style="text-align:right;"|צג) <big>שאלה</big> הנה בכאן עיר שהחומות הסובבות כל העיר ג' מילין<br>
+נרצה לדעת עיר שחומותיה עשרה כמה היא יותר גדולה מהאחרת{{#annotend:xXVE}}
 |-
 |
-::First, take the preceding cube, which is 8, because 2 times 2 is 4 and 2 times 4 is 8.
+::One should multiply 3 by itself; it is 9.
-|style="text-align:right;"|תוציא תחלה המעוקב שעבר שהוא ח' כי ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ג' על עצמם ויהיו ט&#x202B;'
 |-
 |
-::We take also the following cube, which is 27, because 3 times 3 is 9 and 3 times 9 is 27.
+::Then, multiply ten by itself; it is one hundred.
-|style="text-align:right;"|גם נקח המעוקב הבא שהוא כ"ז כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול עשרה על עצמם ויהיו מאה
 |-
 |
-::See the difference between the preceding and the following, i.e. between 8 and 27; it is 19.
+::Divide one hundred by 9; you receive 11 and a ninth and this is the number of times, by which the one of ten [miles] is greater than the one of 3 [miles].
-|style="text-align:right;"|וראה ההפרש שיש בין המוקדם והבא ר"ל בין ח' וכ"ז והוא י"ט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10^2}{3^2}=\frac{100}{9}=11+\frac{1}{9}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלק מאה על ט' ויצא לך י"א &#x202B;<ref>243v</ref>ותשיעית והוא סך הפעמים שהיא יותר גדולה אותה של עשרה מאותה של ג&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide [by it] the exceeding 2, which is from 8 to 10; it is approximately 2 and 2 parts of 19.
+==== <span style=color:Green>Find the Perimeter - Circle</span> ====
-|style="text-align:right;"|ותחלק הב' המיותרים אשר הם מח' עד י' ויהיו ב' וב' חלקים מי"ט וזהו על ידי קרוב
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{10-2^3}{3^3-2^3}=2+\frac{10-\left(2\sdot2\sdot2\right)}{\left(3\sdot3\sdot3\right)-\left(2\sdot2\sdot2\right)}=2+\frac{10-\left(2\sdot4\right)}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot4\right)}=2+\frac{10-8}{27-8}=2+\frac{2}{19}=2+\frac{2}{19}}}</math>
-|-
 |
-:{{#annot:perfect number|618|IXt8}}108) Question: if you want to find a perfect number
-|style="text-align:right;"|קח) שאלה אם תרצה למצא {{#annot:term|75|xt6c}}מספר שלם {{#annotend:xt6c}}נקרא בלשונם {{#annot:term|75|aiWm}}נומירו פירפיטו{{#annotend:aiWm}}{{#annotend:IXt8}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Definition of a perfect number:'''</span> {{#annot:definition|75,1268|ZJl7}}Know that a [number] is called a perfect number when you sum up all the parts and they are equal to the given number.
+:{{#annot:circle|682|XJvI}}94) Question: here is a circle whose diameter is 7.
-|style="text-align:right;"|דע כי מספר שלם נקרא כי כשתקבץ כל החלקים ויהיו שוים אל המספר המונח{{#annotend:ZJl7}}
+:We wish to know how much is the perimeter of the circle?
+|style="text-align:right;"|צד) <big>שאלה</big> הנה בכאן עגול אחד כזה שהבריח האלכסונית הוא ז&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה &#x202B;[הקף העגול{{#annotend:XJvI}}
 |-
 |
-::Do as follows: take 2 for the first perfect number and multiply it by 2; it is 4.
+::Multiply it by 3 and a seventh; you receive 22 and this is the perimeter of the circle.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תקח בעד המספר השלם הראשון ב' ותכפלם על ב' ויהיו ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפולם על ג' ושביעית ויצא לך כ"ב וכך הוא סבוב העגול
 |-
 |
-::Subtract 1 from it; 3 remains.
+==== <span style=color:Green>Find the Side - Cyclic Square</span> ====
-|style="text-align:right;"|תחסר מהם א' נשאר ג&#x202B;'
-|-
 |
-::Multiply it by 2; it is 6 and it is a perfect number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot\left(4-1\right)=2\sdot3=6}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפלם על ב' ויהיו ו' והוא המספר השלם
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> check it by taking all the parts in it, which are a half, a third, and a sixth; it is 6 and this is the given number.
+:{{#annot:cyclic square|679|nMoz}}Question: here is a square and a circumscribed circle.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6}}</math>
+:The diameter of the circle is 7.
-|style="text-align:right;"|ותבחון אותו תקח כל החלקים אשר בו שהוא חצי ושליש ושישית ויהיו ו' והוא המספר המונח
+:How much is the length of each side of the square?
+|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> בכאן מרובע ועגול חוצה לו שאלכסון העגול הוא ז&#x202B;'<br>
+כמה]&#x202B;<ref>G om.</ref> אורך כל קו וקו מהמרובע{{#annotend:nMoz}}
 |-
 |
-:{{#annot:perfect number|618|x3Is}}109) If you want to find the second [perfect number]
+|[[File:צד.png|thumb|100px]]
-|style="text-align:right;"|קט)&#x202B;<ref>MS L: om.</ref> ואם תרצה למצא השני{{#annotend:x3Is}}
 |-
 |
-::Take 4 and multiply it by 2; it is 8.
+::You should multiply 7 by itself; it is 49.
-|style="text-align:right;"|תקח ד' וכפול אותו על ב' ויהיו ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|יש לך לכפול ז'&#x202B;<ref>G ז' ושביעית</ref> על עצמם והם מ"ט&#x202B;<ref>G ויעלה נ'</ref>
 |-
 |
-::Subtract 1 from it; it is 7.
+::Divide it by 2; it is 24 and a half.
-|style="text-align:right;"|תסיר ממנו א ויהיו ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|חלקם על ב' והם כ"ד וחצי&#x202B;<ref>G ויהיו כ"ה</ref>
 |-
 |
-::Multiply it by 4; it is 28 and it is also a perfect number.
+::Extract its root; it is approximately 5 and this is the length of each side of the square.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(2\sdot4\right)-1\right]=4\sdot\left(8-1\right)=4\sdot7=28}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{7^2}{2}}=\sqrt{\frac{49}{2}}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx5}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ד' ויהיו כ"ח והוא ג"כ מספר שלם
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהוא ה' [בקרוב]&#x202B;<ref>G om.</ref> וכן יהיה אורך כל קו מהמרובע
 |-
 |
-::You can check it.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
+==== <span style=color:Green>Find the Side - Inscribed Triangle</span> ====
-|-
 |
-:{{#annot:perfect number|618|CaJp}}110) If you want to find the third [perfect number]
-|style="text-align:right;"|קי)&#x202B;<ref>MS L: om.</ref> ואם תרצה למצא השלישי{{#annotend:CaJp}}
 |-
 |
-::Take 8 and multiply it by 2; it is 16.
+:{{#annot:inscribed triangle|679|obt9}}95) Question: here is a circle whose diameter is 16.
-|style="text-align:right;"|תקח ח' וכפול אותו על ב' ויהיו י"ו
+:If you want to create a triangle inside it, how much will be its perimeter and how much will be the length of each side of the triangle?
+|style="text-align:right;"|צה)&#x202B;<ref>MS L: mark om.</ref> <big>שאלה</big> בכאן עגול שהבריח האלכסונית י"ו<br>
+אם תרצה לעשות משולש בתוכו כמה יהיה הקפו וכמה יהיה אורך כל קו וקו מהמשולש{{#annotend:obt9}}
 |-
 |
-::Subtract 1; it is 15.
+|[[File:צה.png|thumb|100px]]
-|style="text-align:right;"|תסיר א' ויהיו ט"ו
 |-
 |
-::Multiply 8 by 15; it is 120, but it is not a perfect number.
+::Do as follows: subtract a quarter of 16 [from 16], which is 4; 12 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left[\left(2\sdot8\right)-1\right]=8\sdot\left(16-1\right)=8\sdot15=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תעשה תסיר רביעית י"ו שהוא ד' וישארו י"ב
-|style="text-align:right;"|כפול ח' על ט"ו ויהיו ק"כ ואיננו מספר שלם
 |-
 |
-::So, we take 16 instead of 8 and double it; it is 32.
+::Multiply 12 by itself; it is 144.
-|style="text-align:right;"|לכן נקח מספר י"ו תחת ח' ונכפלם ויהיו ל"ב
+|style="text-align:right;"|כפול י"ב על עצמם שהם קמ"ד
 |-
 |
-::Subtract 1; it is 31.
+::Then, add to it a third of 144; it is 192.
-|style="text-align:right;"|תסיר א' ויהיו ל"א
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוסיף בו שליש קמ"ד ויהיו קצ"ב
 |-
 |
-::Multiply it by 16; it is 496 and it is a perfect number.
+::Extract its root; it is 13 and 23 parts of 26.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left[\left(2\sdot16\right)-1\right]=16\sdot\left(32-1\right)=16\sdot31=496}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהם י"ג וכ"ג חלקים מכ"ו
-|style="text-align:right;"|ותכפלם על י"ו ויהיו ד' מאות וצ"ו והוא מספר שלם
 |-
-|
+|colspan=2|
-::Proceed according to this way.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2+\frac{1}{3}\sdot\left[16-\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(16-4\right)^2+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16-4\right)^2\right]}=\sqrt{12^2+\left(\frac{1}{3}\sdot12^2\right)}\\&\scriptstyle=\sqrt{144+\left(\frac{1}{3}\sdot144\right)}=\sqrt{192}=13+\frac{23}{26}\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה תעשה
 |-
 |
-::To find the fourth, double 16; it is 32.
+==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Diameter of a Circle</span> ====
-|style="text-align:right;"|ולמצא הד' תכפול י"ו ויהיו ל"ב
-|-
 |
-::To find the fifth, take 64 and do as mentioned.
-|style="text-align:right;"|ולמצא הה' תקח ס"ד ויעשה כנז&#x202B;'
 |-
 |
-::If it is not a perfect number, do as mentioned concerning the third number.
+:{{#annot:circle|683|MVIQ}}96) Question: here is a circle whose perimeter is 30.
-|style="text-align:right;"|ואם אינו שלם תעשה כנז' במספר השלישי
+:How much is the length of the diameter?
+|style="text-align:right;"|צו) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מעגול שמקיפו ל&#x202B;'<br>
+כמה אורך הבריח המחלקת{{#annotend:MVIQ}}
+|-
+|
+::Take a third of 30, which is ten, and this is the length of the diameter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot30=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח שליש ל' שהם עשרה וכן יהיה אורך הבריח
 |-
 |
-:{{#annot:six proportional numbers|618|Yfpk}}111) Question: if you want to find a proportional number:
+::Similarly for anything round you can know it this way.
-:For example: we have six proportional numbers, i.e. the ratio of the sixth to the fifth is the same as the ratio of the fifth to the fourth, and the same as the ratio of the fourth to the third, and the same as the ratio of the third to the second, and the same as the ratio of the second to the first.
+|style="text-align:right;"|ובכל דבר עגול תוכל לדעת בזה האופן
-:The first number is 2.
-:The sixth is 2048.
-:We wish to know how much is the second?
-|style="text-align:right;"|קיא)&#x202B;<ref>MS L: קט</ref> שאלה אם תרצה למצא {{#annot:term|994,2263|2xtB}}מספר יחסיי{{#annotend:2xtB}} הנקרא בלשונם {{#annot:term|994|DhLM}}נומירו פרופורציאונלי{{#annotend:DhLM}}<br>
-דמיון זה יש לנו ו' {{#annot:term|994,2263|jjwV}}מספרים יחסיים{{#annotend:jjwV}} ר"ל שיחס הו' אל הה' כיחס הה' אל הד' וכיחס הד' אל הג' וכיחס הג' אל הב' וכיחס הב' אל הא&#x202B;'<br>
-והמספר הא' ב&#x202B;'<br>
-והו' ב' אלפים ומ"ח<br>
-ונרצה לדעת מהו השני{{#annotend:Yfpk}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_6:a_5=a_5:a_4=a_4:a_3=a_3:a_2=a_2:a_1\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_6=2048\end{cases}</math>
+==== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Rectangle</span> ====
 |
 |-
 |
-::Multiply the first, which is 2, by the last, which is the sixth; the result is 4096.
+:{{#annot:rectangle|683,680|ikHf}}97) Question: here is a quadrangular - the length of its two long sides is 40 and the breadth of its two short sides is 30.
-|style="text-align:right;"|כפול הראשון שהוא ב' על האחרון שהוא ו' ויעלו ד' אלפים וצ"ו
+:We wish to know: how long is the diagonal and how much is the area of the whole quadrangular?
+|style="text-align:right;"|צז) <big>שאלה</big> בכאן מרובע אורך השני קוים הארוכים מ' ורוחב השני קוים הקצרים ל&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה אורך הבריח האלכסונית וריקות כל המרובע{{#annotend:ikHf}}
 |-
 |
-::Extract its square root, "radice quadra" in their language; it is 64.
+::Multiply its wide side, which is 30, by its long side, which is 40; the result is 1200 and this is the measure of the area.
-|style="text-align:right;"|וקח {{#annot:term|559|JY2L}}שרשם המרובע{{#annotend:JY2L}} בלשונם {{#annot:term|559|M1Ii}}ראדיצי קואדרא{{#annotend:M1Ii}} ויהיו ס"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30\sdot40=1200}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכפול הבריח הרחבה שהוא ל' על הבריח הארוכה שהוא מ' ויעלה אלף וב' מאות וכן הוא שעור הריקות
 |-
 |
-::Extract the root of 64; it is 8 and this is the second [number].
+::If you want to know the length of the diagonal: multiply 30 by 30, which is 900; multiply 40 by 40, which is 1600; sum them up; it is 2500.
-|style="text-align:right;"|עוד קח שרש ס"ד שהוא ח' והוא השני
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת אורך הבריח האלכסונית כפול ל' על ל' שהם ט' מאות וכפול מ' על מ' שהם אלף וו' מאות ותחברם ויהיו אלפים וה' מאות
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot2048}}=\sqrt{\sqrt{4096}}=\sqrt{64}=8}}</math>
+::Extract its root; its is 50 and so is the length of the line.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{40^2+30^2}=\sqrt{1600+900}=\sqrt{2500}=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם שהם נ' וכן אורך הקו
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it: the first is 2; the second is 8; the third is 32; the fourth is 128; the fifth is 512; and the sixth is 2048.
+==== <span style=color:Green>Find the Height - Wall</span> ====
-|style="text-align:right;"|ותבחון אותו כי הראשון ב' והב' ח' והג' ל"ב והד' קכ"ח והה' תקי"ב והו' ב' אלפים ומ"ח
-|-
 |
-::They are all proportional.
-|style="text-align:right;"|והנה כלם {{#annot:term|994,1277|Qn93}}מתיחסים{{#annotend:Qn93}}
 |-
 |
-::When you multiply the first by the sixth, [if] the product does not have an [integer] root, or if it has an [integer] root, but its root does not have an [integer] root, multiply the last by the first again, and see if it has an [integer] root and its root has an [integer] root, then the root of the root is the second.
+:{{#annot:wall|685|WhQX}}98) Question: Here is a city whose walls are of unknown height.
-|style="text-align:right;"|ואחר שכפלת הראשון על הו' אין לסך העולה שרש או אם יש לו שרש ואין לשרשו שרש תשוב לכפול פעם ב' האחרון על הראשון ותבקש אם יש לו שרש ולשרשו שרש ושרש השרש הוא השני
+:If you would like to know their height
+|style="text-align:right;"|צח) <big>שאלה</big> הנה בכאן עיר שחומותיה גובה נעלם<br>
+אם תרצה לדעת גבהם{{#annotend:WhQX}}
 |-
 |
-::If it does not have an [integer] root after you multiply it a second time, do the opposite: divide the last by the first, then extract its root and the root of its root and it is the second.
+::Take a stick and stand it, i.e. so that its length is from the ground, i.e., from your feet, until its top reaches between your eyes.
-|style="text-align:right;"|ואם אחר שכפלת אותו פעם שניה אין לו שרש תעשה בהפך תחלק האחרון על הראשון וקח שרשו ושרש שרשו והוא השני
+|style="text-align:right;"|קח מקל וזקוף אותו ר"ל שיהיה ארכו מהארץ ר"ל מרגליך עד שיגיע ראשו בין עיניך
 |-
 |
-:*{{#annot:six proportional numbers|618|Wrir}}For example: we have six proportional numbers, the first is 2 and the sixth is 64.
+::Lie with your face up, i.e., stretch your hands and feet, and tell your friend to put the stick upright between your feet.
-::We wish to know which is the second.
+|style="text-align:right;"|ותשכב על פניך למעלה ר"ל פשוט ידים ורגלים ותאמר לחבירך שישים המקל זקוף בין כפות רגליך
-|style="text-align:right;"|דמיון זה יש לנו ו' {{#annot:term|994,1277|VUeX}}מספרים מתיחסים{{#annotend:VUeX}} הראשון ב' והו' ס"ד<br>
-נרצה לדעת מהו השני{{#annotend:Wrir}}
 |-
 |
-::Multiply the first by the last; it is 128 and it does not have an [integer] root.
+::See if, according to your sight, the top of the stick is exactly as high as the wall.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_6=128}}</math>
+|style="text-align:right;"|וראה אם לפי ראות עיניך ראש המקל הוא כל כך גבוה כמו החומה שוה בשוה
-|style="text-align:right;"|כפול הראשון על האחרון ויהיו קכ"ח ואין לו שרש
 |-
 |
-::So, we double it once again; it is 256; its root is 16; the root of 16 is 4 and this is the second; the third is 8; the fourth is 16; the fifth is 32; and the sixth is 64.
+::If it is not as high, move away or get closer, while lying on the ground, until it seems to you that it is of the same height.
-|style="text-align:right;"|לכן נכפול אותו פעם ב' ויהיו רנ"ו ושרשם י"ו ושרש י"ו ד' והוא השני והג' ח' והד' י"ו והה' ל"ב והו' ס"ד
+|style="text-align:right;"|ואם &#x202B;<ref>244r</ref>אינו שוה התרחק או התקרב בעודך שוכב בארץ עד שיהיה נראה לך שהוא שוה
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot128}}=\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt{16}=4}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:a²=40+41\b|728|aiR7}}112) Question: find a number such that when you multiply it by itself the result is 40 and 41 parts of a fraction.
+::Then measure how much is it from [your] place to the foot of the wall and so is the height of the wall.
-:<math>\scriptstyle a^2=40+\frac{41}{b}</math>
+|style="text-align:right;"|ואח"כ תמדוד ממקום המקום עד רגל החומה (עד רגל החומה) כמה הוא וכן יהיה גובה החומה
-|style="text-align:right;"|קיב)&#x202B;<ref>MS L: קי</ref> שאלה תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על עצמו יעלו מ' ומ"א חלקים מאיזה שבר שיזדמן{{#annotend:aiR7}}
 |-
 |
-::Take the square numbers, i.e. those that have an [integer] root, which are 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
-|style="text-align:right;"|תקח המספרים המרובעים ר"ל אותם שיש להם שרש שהם ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק&#x202B;'
+=== <span style=color:Green>Find the Price - Barrel</span> ===
+|
 |-
 |
-::Start from 4: multiply it by 40 and add 41; the result is [20]1, which has no [integer] root.
+:{{#annot:barrel|629|yvCf}}99) Question: there is a barrel full of oil here that is 7 cubits wide from the foot below and gets shorter and shorter until the upper base that is a cubit, which is worth 8 minyanim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot40\right)+41={\color{red}{20}}1}}</math>
+:How much is a barrel that is 7 cubits wide at the bottom and the top base is also 7 cubits wide?
-|style="text-align:right;"|ותתחיל מד' וכפול אותו על מ' ותוסיף בהם מ"א ויעלו קי"א ואין לו שרש
+|style="text-align:right;"|צט) <big>שאלה</big> יש בכאן חבית מלאה שמן שהיא רחבה מהרגל שלמטה ז' אמות והולכת ומקצרת עד שהראש העליון עומד על אמה ושוה ח' מנינים<br>
+כמה ישוה חבית שרחבה למטה ז' אמות גם הראש העליון רחבו ז' אמות{{#annotend:yvCf}}
 |-
 |
-::So, take 9: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
+::You should sum up all the numbers from 1 to 7, because it gets shorter and shorter; the result is 28.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot40\right)+41}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\ldots+7=28}}</math>
-|style="text-align:right;"|לכן תקח ט' ותכפלם על מ' ותוסיף בם מ"א גם אין לו שרש
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר כל המספרים שהם מא' עד ז' מצד כי הולכת ומקצרת ויעלו כ"ח
 |-
 |
-::So, take 16: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
+::Then, multiply 7 by 7, because its two bases are 7; it is 49.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot40\right)+41}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\times7=49}}</math>
-|style="text-align:right;"|לכן קח י"ו וכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין להם שרש
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ז' על ז' מצד כי כל שני ראשיה הם ז' ויהיו מ"ט
 |-
 |
-::So, take 25: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
+::Say: if 28 is worth 8 minyanim, how much is 49 worth? etc.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot40\right)+41}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{28:8=49:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|לכן קח כ"ה ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין לו שרש
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם כ"ח שוים ח' מנינים כמה ישוו מ"ט וכו&#x202B;'
 |-
 |
-::So, take 36: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(36\sdot40\right)+41}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find the Side - Rectangle Formed by Walls</span> ===
-|style="text-align:right;"|לכן קח ל"ו וכפול אותו על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
+|
 |-
 |
-::So, take 49: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
+:{{#annot:rectangle, walls|679|7pu2}}100) Question: We have two equal walls, far from each other by an unknown number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(49\sdot40\right)+41}}</math>
+:We know the product of the one by its corresponding, i.e. the product of the wall by the distance between the walls, which is 48.
-|style="text-align:right;"|לכן תקח מ"ט ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
+:The distance plus the height of one of the walls is 11.
+:How high is the wall and how far are they from each other?
+|style="text-align:right;"|ק) <big>שאלה</big> יש לנו שני כותלים שווים רחוקים זה מזה מספר נעלם וידענו הכאת הא' בגילו ר"ל הכאת הכותל במרחק שבין הכותלים והוא מ"ח והנה המרחק עם גובה א' הכותלים הוא י"א כמה הוא גובה הכותל וכמה מרחק זה מזה{{#annotend:7pu2}}
 |-
 |
-::So, take 64: multiply it by 40 and add 41; the result is 2601 and its root is 51.
+::Take its half, which is 7, and its square is 49.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(64\sdot40\right)+41=2601=51^2}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח חציו והוא ז' ומרובעו מ"ט
-|style="text-align:right;"|לכן תקח ס"ד ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ויעלו ב' אלפים וו' מאות וא' ושרשם נ"א
 |-
 |
-::Divide it by the root of 64, which is 8; you receive 6 and 3-eighths and this is the sought-after.
+::Subtract 48; 1 remains and its root is 1.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{51}{8}=6+\frac{3}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסר מ"ח ישאר א' ושרשו א&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וחלקם על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך ו' וג' שמיניות והוא המבוקש
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> because, if you multiply 6 and 3-eighths by 6 and 3-eighths, it is 40 integers and 41 parts of 64.
+::We add it to 7, which is a half of 14, and this is the height of the tower.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{8}\right)^2=40+\frac{41}{64}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נוסיפהו על ז' שהוא חצי י"ד והוא גובה המגדל
-|style="text-align:right;"|כי אם תכפול ו' וג' שמיניות על ו' וג' שמיניות ויהיו מ' שלמים ומ"א חלקים מס"ד
 |-
-|
+|colspan=2|
-=== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Rectangle</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)+\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7+\sqrt{7^2-48}=7+\sqrt{49-48}=7+\sqrt{1}=7+1}}</math>
-|
 |-
 |
-:{{#annot:rectangle|683|TX4D}}113) Question: A quadrilateral, the length of its two lines of longitude is 8 and the length of its two lines of latitude is 6.
+::We subtract it from it; the distance between them remains.
-:We would like to know the length of the diagonals of the quadrilateral from end to end, i.e. the ones that go diagonally.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)-\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)^2-48}=7-1}}</math>
-|style="text-align:right;"|קיג) שאלה אם תרצה לדעת ממרובע אשר אורך השני קוים ההולכים באורך ח' ואורך הב' קוים ההולכים ברוחב ו&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|נחסרנו ממנו וישאר המרחק שביניהם
-נרצה לדעת כמה אורך כל קו וקו מהמרובע המבריחות מן הקצה אל הקצה ר"ל ההולכות באלכסון{{#annotend:TX4D}}
 |-
 |
-::Multiply the two widths by each other; it is 36.
+::And so on
-|style="text-align:right;"|כפול הב' ההולכות ברוחב זו על זו ויהיו ל"ו
+|style="text-align:right;"|וכן כל כיוצא בזה
 |-
 |
-::Multiply also the two lengths by each other; it is 64.
+:{{#annot:rectangle, walls|679|Yiqs}}101) Question: We have two equal walls, one of which is for example line AB and the other is line GD, and their height is the same.
-|style="text-align:right;"|עוד כפול הב' ההולכות באורך זו על זו ויהיו ס"ד
+:We know that the diagonal, which is AD, is 10 cubits.
+:We know that the height of the wall exceeds the distance between the two walls by 2 cubits.
+:We would like to know how high each one of the walls is and how far apart they are.
+|style="text-align:right;"|קא) <big>שאלה</big> יש לנו שני כותלים שוים שהאחד הוא עד"מ קו א"ב והשני הוא קו ג"ד וגבהם אחד וידענו שהאלכסון הוא א"ד י' אמות וידענו שגובה הכותל הוא מוסיף על המרחק שיש בין שני הכותלים ב' אמות ונרצה לדעת כמה הוא גובה כל א' מהכותלים וכמה מרחקם{{#annotend:Yiqs}}
 |-
 |
-::Sum them; it is 100.
+::The way is as follows:
-|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו ק&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>דרך</big> זה הוא כך
 |-
 |
-::Extract its root; it is ten and this is the diagonal.
+::We square the diameter, which is 10; it is 100.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|נרבע האלכסון שהוא י' והנה הוא ק&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו עשרה והוא הבריח האלכסונית
 |-
 |
-::If you wish to know how much is the area of each of the four quadrilaterals:
+::We subtract from it the square of 2, by which the height exceeds the distance, which is 4; 96 remains.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה שטח כל אחד מהד' מרובעים
+|style="text-align:right;"|נחסר ממנו מרובע ב' שהוא ד' שבו יעדיף הגובה על המרחק וישאר צ"ו
 |-
 |
-::Take half the length, which is 4, and half [the width], which is 3, and multiply them by each other; it is 12 and this is the area of each of the four quadrilaterals. This is its figure:
+::Take its half; it is 48.
-|style="text-align:right;"|קח חצי האורך שהוא ד' וחצי (הרוחב) שהוא ג' וכפול זה על זה ויהיו י"ב והוא שטח כל מרובע מד' מרובעים וזאת היא צורתו
+|style="text-align:right;"|וקח חציו והוא מ"ח
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find the Height - Well</span> ===
+::We add to it the square of half the excess, which is 1; it is 49.
+|style="text-align:right;"|נוסיף עליו מרובע חצי העודף שהוא א' ויהיו מ"ט
+|-
 |
+::Extract its root; it is 7 and this is the height, i.e. the height of each of the walls.
+|style="text-align:right;"|וקח גדרו והוא ז' וככה הוא הגובה ר"ל גובה כל א' מהכותלים
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10^2-2^2\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot2\right)^2}=\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(100-4\right)\right]+1^2}=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot96\right)+1^2}=\sqrt{48+1}=\sqrt{49}=7}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:well|685|Snqi}}114) Question: A man wants to know the depth of a well that has 12 measures of water in it; each of the four sides of the well is 5 cubits long, and if he throws a stone into the well, each of its four sides is 4 cubits long and its height is twenty, the water reaches the surface of the well
+::We subtract 2 from it; the remainder is 5 and third is the distance between them from wall to wall.
-:We would like to know how deep the well is.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7-2=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|קיד) שאלה אדם רוצה לדעת עומק בור אחד אשר יש בו י"ב מדות מים ובכל א' מד' זויות הבור ארכם ה' אמות ואם השליך בתוך הבור אבן כל א' מד' זויותיה ד' אמות וארכה עשרים ואז הגיעו המים על פי הבאר<br>
+|style="text-align:right;"|נחסר ממנו ב' והנשאר ה' והוא המרחק שביניהם מכותל לכותל
-נרצה לדעת כמה עמקו של בור{{#annotend:Snqi}}
 |-
 |
-::Do as follows: take a volume of the stone, i.e. multiply 4 by 4, then multiply the result, which is 16, by the height; it is 320.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תקח מרובע האבן ר"ל שתכפול ד' על ד' והעולה שהוא י"ו כפול על האורך ויהיו ש"כ
+=== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Broken Tree</span> ===
+|
+|-
+|{{#annot:broken tree|655|EE3n}}102) Question: we have a tree fifty cubits tall.
+:It was broken and its top touched ground.
+:We know that the distance between its two ends is 25, for example.
+:We ask: by how much did it break?
+|style="text-align:right;"|קב) <big>שאלה</big> יש לנו אילן גבוה חמישים אמה ונשבר ונגע הראש בקרקע וידענו שמרחק שבין שני קצותיו &#x202B;<ref>244v</ref>שהם על דרך משל כ"ה נשאלה בכמה נשבר{{#annotend:EE3n}}
 |-
 |
-::Divide it by the volume of the well, which is 25; you receive 12 integers and 4-fifths.
+::The way is that we take a quarter of 25, and subtract it from it; 18 and 3-quarters remains and this is where the tree broke.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot4\sdot20}{25}=\frac{16\sdot20}{25}=\frac{320}{25}=12+\frac{4}{5}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25-\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=18+\frac{3}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחלקם על מרובעי הבור שהוא כ"ה ויצאו לך י"ב שלמים וד' חמישיות
+|style="text-align:right;"|דרך זה נקח רביעית כ"ה ונחסרנו ממנו ונשאר י"ח וג' רביעיות ובזה המספר נשבר האילן
 |-
 |
-::Add it to the 12 measures that are in the well; it is 24 and 4-fifths and this is the depth of the whole well.
+::We add its quarter to it; the result is 31 and a quarter and this is the part that falls to the ground.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{4}{5}\right)+12=24+\frac{4}{5}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25+\left(\frac{1}{4}\sdot25\right)=31+\frac{1}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוסיפם על י"ב מדות שהיו בבור ויהיו כ"ד וד' חמישיות והוא עומק כל הבור ותן יש על זה
+|style="text-align:right;"|נוסיף עליו רביעו ויצא ל"א ורביע והוא החלק הנופל בארץ
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Transformation of Figures</span> ===
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Selling Apples</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:circle to square|2583|NFMC}}115) Question: what square can be made from a circle whose diameter is 7?
+{{#annot:selling apples|652|49AZ}}103) Question: a man gives his three sons apples.
-|style="text-align:right;"|קטו) שאלה מה מרובע יוכל להעשות מעגול שאלכסונו ז&#x202B;'{{#annotend:NFMC}}
+:He gives to one 10, to the other 30 and to another 50.
+:He said: the money I receive from each will be the same no more and no less and the each will sell at the same price.
+:At what price did they sell?
+:<math>\scriptstyle10a_1=30a_2=50a_3</math>
+|style="text-align:right;"|קג) <big>שאלה</big> אדם נתן תפוחים לג' בניו<br>
+לא' נתן י' ולאחר נתן ל' ולאחר נתן נ&#x202B;'<br>
+ואמר כל כך ישא לי ממון הא' כמו האחר לא פחות ולא יתר ובערך שימכור הא' ימכרו האחרים<br>
+באיזה ערך מכרו{{#annotend:49AZ}}
 |-
 |
-::We take the square of 7; it is 49.
+::You should know that the one who had 10 [apples] sold 7 [apples] for one pašuṭ.
-|style="text-align:right;"|נקח מרובע ז' והוא מ"ט
+|style="text-align:right;"|ראוי לך לדעת כי בעל הי' מכר ז' לפשוט
 |-
 |
-::Take its half; it is 24 and a half.
+::3 [apples] remain and he sold each at one [apple] for 3 [pešuṭim]
-|style="text-align:right;"|קח חציים והוא כ"ד וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-7=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשארו עד ג' ומכר כל א' מהם ג' דינרין
 |-
 |
-::Extract its root; it is approximately 4 integers and 16 parts of 17 and so is the [area of the] square that is made from this circle.
+::We find that they worth 9 and with the 1 they are 10 [pešuṭim].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot7^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot49}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx4+\frac{16}{17}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+9=10}}</math>
-|style="text-align:right;"|קח שרשם והוא בקרוב ד' שלמים וי"ו חלקים מי"ז וכן יהיה המרובע הנעשה מזה העגול
+|style="text-align:right;"|נמצא ששוים ט' ועם א' הם י&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:circle to squares|2583|Ozqb}}117) Question: How many squares of [one cubit] can be made from a circle whose circumference is 22.
+::The one who had 30 [apples] sold also like this, because he sold 28 [apples] for 4 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|קיז) שאלה כמה מרובעים ממאה כל אחד יעשה עגול שמקיפו כ"ב{{#annotend:Ozqb}}
+|style="text-align:right;"|ובעל הל' מכר ג"כ ככה כי הכ"ח מכר ד' פשוטים
 |-
 |
-::Take half this circumference; it is 11.
+::He sold the remaining 2 for 6 [pešuṭim].
-|style="text-align:right;"|קח חצי זה המקיף והוא י"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30-28=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והב' הנשארים מכר ו&#x202B;'
 |-
 |
-::It is clear that half the diameter of this circle is 3 and a half.
+::So, they are 10.
-|style="text-align:right;"|והוא מבואר שחצי אלכסון זה העגול הוא ג' וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+6=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 11; the result is 38 and a half and this is the number of squares that are made of it.
+::The one who had 50 [apples] sold 49 [apples] for 7 [pešuṭim].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעל הנ' מכר מ"ט ז&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וכפול אותם בי"א ועלה ל"ח וחצי וככה מרובעים יהיו ממנו
 |-
 |
-:{{#annot:tree|682|BMZA}}118) Question: A tree whose length is 10 and its perimeter is six.
+::He sold [the remaining] 1 for 3 [pešuṭim].
-:We want to make its length 12.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50-49=1}}</math>
-:How much will its perimeter be?
+|style="text-align:right;"|וא' מכר ג&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|קיח) שאלה עץ שהוא ארכו י' והקפו ששה ונרצה לעשות ארכו י"ב כמה יהיה הקפו{{#annotend:BMZA}}
 |-
 |
-::We take the square of the perimeter; it is 36.
+::They are also 10.
-|style="text-align:right;"|נקח מרובע ההקף והוא ל"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7+3=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והם י' ג"כ
 |-
 |
-::Say: If [10 is equal to 6], how much is 12 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10:6=12:X}}</math>
+=== <span style=color:Green>Gaging Problem - Wine and Water</span> ===
-|style="text-align:right;"|ואמור אם י"ב כמה יהיו ל"ו
+|
 |-
 |
-::Multiply 10 by 36, then divide the product by 12; the result is 30.
+:{{#annot:wine and water|2582|rzGP}}104) Question: Here is a barrel that contains [10] kabin, half water and half wine.
-|style="text-align:right;"|וכפול י' בל"ו ונחלק העולה על י"ב ויעלה ל&#x202B;'
+:We take out one kab, and pour one kab of water in it.
+:We take another [kab] out a second time, and fill it with water.
+:We take another kab out a third time, and fill it with water.
+:We take another kab out a fourth time, and fill it with water.
+:We would like to know how many kabim of wine are left in the barrel after the fourth time.
+|style="text-align:right;"|קד) <big>שאלה</big> הנה בכאן חבית מכילה ק' קבין חציה מים וחציה יין<br>
+ונוציא קב אחד ואח"כ נשים בו קב מים<br>
+עוד נוציא קו פעם שניה ונמלאנה מים<br>
+עוד נוציא קב פעם ג' ונמלאנה מים<br>
+עוד נוציא קב פעם ד' ונמלאנה מים<br>
+נרצה לדעת כמה קבים של יין נשארו בחבית אחר הפעם הד&#x202B;'{{#annotend:rzGP}}
 |-
 |
-::Extract its root; it is 5 and a half and this will be its perimeter.
+::The way is as follows:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10\sdot36}{12}}=\sqrt{30}=5+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>הדרך</big> הוא כך
-|style="text-align:right;"|וקח שרשו והוא ה וחצי וככה יהיה הקפו
 |-
 |
+::It is known that there are 5 kabin of wine and 5 of water in the barrel.
-=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problems – If You Give Me</span> ===
+|style="text-align:right;"|ידוע הוא כי ה' {{#annot:kab|1068|WKZT}}קבין{{#annotend:WKZT}} יין וה' של מים הם בחבית
-|
 |-
 |
-:{{#annot:three men|664|SNCJ}}119) Question: three men.
+::We take out one kab; 4 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine remain.
-:The first said: if I had 1 I would have as much as the both of you.
+|style="text-align:right;"|ונוציא {{#annot:kab|1068|HIOw}}קב{{#annotend:HIOw}} וישארו ד' וחצי מים וד' וחצי יין
-:The second said: if I had 1 I would have half as much as the both of you.
-:The third said: if I had 1 I would have third as much as the both of you.
-|style="text-align:right;"|קיט)&#x202B;<ref>MS L: קיו</ref> שאלה ג' אנשים<br>
-אמר הא' אם היה לי א' היה לי כמו שניכם<br>
-אמר השני אם היה לי אחד היה לי חצי שלכם<br>
-אמר הג' אם היה לי א' היה לי שליש שלכם{{#annotend:SNCJ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+1=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+1=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+1=\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}</math>
+::We pour one kab of water in the barrel; there are 5 and a half [kabin] of water and 4 and a half [kabin] of wine.
-|
+|style="text-align:right;"|ונשים קב של מים בחבית ויהיו ה' וחצי מים וד' וחצי יין
 |-
 |
-::The answer: look for the common denominator; it is 6.
+::We take 9-tenths of these 4 and a half; 4 and 1 part of twenty remains and this is the wine that is left in barrel [after] the second time.
-|style="text-align:right;"|התשובה בקש המורה והוא ו&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{20}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומאלו הד' וחצי נקח ט' עשיריות וישארו ד' וא' חלק מעשרים והוא היין שנשאר בחבית בפעם הב&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract 1; it is 5.
+::We take again 9-tenths of it; 3 and 129 part of two hundred remains and this is [the wine] that is left [after] the third time.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6-1=5}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(4+\frac{1}{20}\right)=3+\frac{129}{200}}}</math>
-|style="text-align:right;"|חסר א' ויהיו ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|עוד נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' וקכ"ט חלקים ממאתים והוא מה שנשאר בפעם הג&#x202B;'
 |-
 |
-::Add 1 to 6; it is 7.
+::We take again 9-tenths of it; 3 and 561 part of 2000 remains and this is [the wine] that is left [after] the fourth time.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=6+1=7}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{129}{200}\right)=3+\frac{561}{2000}}}</math>
-|style="text-align:right;"|הוסף על ו' א' ויהיו ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|עו' נקח מזה ט' עשיריות וישארו ג' ותקס"א חלקים מב' אלפים והוא מה שנשאר בפעם הד&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply 2 by 5; it is 10.
+::If you take 9-tenths from 3 and 561 part of 2000 what remains is [the wine that is left after] the fifth time.
-|style="text-align:right;"|וכפול ב' בה' ויהיו י&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9}{10}\sdot\left(3+\frac{561}{2000}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תקח מג' ותקס"א חלקים מב' אלפים ט' עשיריות מה שישאר הוא הפעם הה&#x202B;'
 |-
 |
-::Add 1; it is 11.
+::And so on.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תמיד
-|style="text-align:right;"|תוסיף א' ויהיו י"א
 |-
 |
-::So, the first had 5; the second 7; and the third 11.
-|style="text-align:right;"|א"כ לראשון היה לו ה' ולשני ז' ולג' י"א
+=== <span style=color:Green>Find the Height - Tower</span> ===
+|
 |-
 |
-:{{#annot:fish|664|pzTQ}}120) Question: three men want to buy a fish.
+:{{#annot:tower|685|foOl}}105) Question: Here is a big high tower, we do not know how much.
-:The first said: I will give a half of what I have and you will give all you have.
+:Its shadow is 100 cubits and this shadow reaches another smaller tower that is ten cubits high and its [shadow] is 25.
-:The second said: I will give a third of what I have and you will give all you have.
+:We would like to know how much is the unknown height of the tower.
-:The third said: I will give a quarter of what I have and you will give all you have and we will buy the fish.
+|style="text-align:right;"|קה) <big>שאלה</big> בכאן מגדל גדול גבוה ולא ידענו כמה וצלו ק' אמות וצלו מגיע אצל מגדל אחר קטן גבהו עשרה אמות וגבהו כ"ה<br>
-:We ask: how much did each have and how much is the price of the fish?
+נרצה לדעת כמה גובה המגדל הנעלם{{#annotend:foOl}}
-|style="text-align:right;"|קכ)&#x202B;<ref>MS L: קיז</ref> שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות דג אחד<br>
-אמר הראשון אני אתן החצי ממה שיש לי ממעות ואתם תתנו כל מה שיש לכם<br>
-אמר השני אני אתן השליש ממה שיש לי ואתם תתנו כל מה שלכם<br>
-השיב השלישי ואמר אני אתן הרובע ממה שיש לי ואתם תנו כל אשר לכם ונקנה הדג<br>
-נשאל כמה היה לכל אחד ואחד וכמה הוא ערך הדג{{#annotend:pzTQ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=N\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=N\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=N\end{cases}</math>
+::Say: if 25 gives me ten, how much will 100 give?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:10=100:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר אם כ"ה נתנו לי עשרה ק' כמה יתנו
+|-
 |
+::Multiply ten by 100; it is 1000.
+|style="text-align:right;"|כפול עשרה על ק' ויעלו אלף
 |-
 |
-::The answer: look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
+::Divide it by 25; the result is 40 and this is the height of the greater tower as in this figure:
-|style="text-align:right;"|התשובה תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורובע ותמצא י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{10\sdot100}{25}=\frac{1000}{25}=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ה ויצאו מ' והוא גובה המגדל הגדול כמו זאת הצורה
 |-
 |
-::Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24 and this is the amount of money of the one who [offers] a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1=12\longrightarrow a_1=24}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find the Height - Wall</span> ===
-|style="text-align:right;"|ותאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי תמצא כ"ד וזה היה סך הממון מבעל החצי
+|
 |-
 |
-::Then, say: 12 is 2-thirds of which [number]? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18. So, the amount of money of the one who offers a third is 18.
+:{{#annot:wall|685|h3py}}106) Question: Here is a high wall, its height is unknown.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}a_2=12\longrightarrow a_2=18}}</math>
+:We drop a rope from the top of the wall to the ground.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא ב' שלישיות וזה בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח הנותן שליש ממונו היה י"ח
+:The end of the rope is 2 cubits away from the foot of the wall.
+:The length of the rope is 120 cubits.
+:We would like to know how high the wall is.
+|style="text-align:right;"|קו) &#x202B;<ref>245r</ref><big>שאלה</big> הנה בכאן חומה גבוהה והגובה נעלם והורדנו חבל חבל מראש החומה עד הארץ וראש החבל רחוק מרגל החומה ב' אמות ואורך החבל הוא ק"כ אמות<br>
+נרצה לדעת כמה גובה החומה{{#annotend:h3py}}
 |-
 |
-::Then, say: 12 is 3-quarters of which number? Since he kept 3-quarters for himself. You find it is 16. So, [the amount of money of] the one who offers a quarter is 16.
+::We measure ten cubits from the lower end of the rope and draw a line of 40 from it that reaches the wall.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}a_3=12\longrightarrow a_3=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נמדוד עשרה אמות מראש החבל התחתון ונבריח מ' בריח כנגדו יגיע אל החומה
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות בעבור שעכב לעצמו ג' רביעיות תמצא י"ו הנה הנותן הרביעית היה י"ו
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it: because the one who has 24 gives 12, which is half the money. We add it to 16 and 18; it is 46.
+::We measure how many cubits of the wall correspond to those 10 cubits of rope.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון כי בעל כ"ד נתן י"ב שהוא חצי הממון נחבר אותו אל י"ו וי"ח יהיו מ"ו
+|style="text-align:right;"|ונמדוד כמה אמות נבלעו מהחומה באותם הי' אמות של חבל
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+18+16=12+18+16=46}}</math>
+::We suppose that the 10 cubits of rope correspond to 8 of the wall.
+|style="text-align:right;"|ונניח כי באותם הי' מדות מהחבל נכנסו ח' מהחומה
 |-
 |
-::Then, say: the one who has 18 gives 6, which is a third. Add it to 24 and 16; it is also 46.
+::We divide the length of the rope, which is 120, by 10; the result is 12.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' בעל י"ח נותן ו' שהוא השליש וחבר אותם אל כ"ד וי"ו ויהיו מ"ו ג"כ
+|style="text-align:right;"|ונחלק אורך החבל שהוא ק"כ על י' ויצאו י"ב
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+24+16=6+24+16=46}}</math>
+::We multiply 12 by 8; it is 96 and this is the height of the wall, as in this figure:
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120}{10}\sdot8=12\sdot8=96}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונכפול י"ב על ח' ויהיו צ"ו והוא גובה החומה כמו זאת הצורה
 |-
 |
-::Say also: the one who has 16 gives 4, which is a quarter. Add it to 18 and 24; it is also 46.
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר כי בעל י"ו נותן ד' שהוא הרביעית וחבר אותם אל י"ח ואל כ"ד ויהיו מ"ו ג"כ
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
+|
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)+24+18=4+24+18=46}}</math>
+:{{#annot:³√10|439|WS2D}}107) Question: if you want to extract the cubic root of ten.
+:<math>\scriptstyle\sqrt[3]{10}</math>
+|style="text-align:right;"|קז) <big>שאלה</big> אם תרצה להוציא שרש מעוקב עשרה{{#annotend:WS2D}}
 |-
 |
-::The price of the fish is 46 dinar.
+::First, take the preceding cube, which is 8, because 2 times 2 is 4 and 2 times 4 is 8.
-|style="text-align:right;"|וערך הדג מ"ו דינרין
+|style="text-align:right;"|תוציא תחלה המעוקב שעבר שהוא ח' כי ב' פעמי' ב' הם ד' וב' פעמים ד' הם ח&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:rooster|664|TjYV}}121) Question: there are three men who want to buy a rooster for 11 dinar.
+::We take also the following cube, which is 27, because 3 times 3 is 9 and 3 times 9 is 27.
-:The first said: I will give half of my money and you will give all of what you have.
+|style="text-align:right;"|גם נקח המעוקב הבא שהוא כ"ז כי ג' פעמים ג' הם ט' וג' פעמים ט' הם כ"ז
-:The second said: I will give a third of my money and you will give all of what you have.
-:The third said: I will give a quarter of my money and you will give all of what you have.
-:We wish to know how much did each have?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=11\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=11\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=11\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|קכא)<ref>MS L: קיח</ref> שאלה יש כאן ג' בני אדם רוצים לקנות תרנגול י"א דינרין<br>
-אמר הא' אני אתן חצי ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
-אמר השני אני אתן שליש ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
-השיב השלישי אני אתן רביעית ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
-נרצה לדעת כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:TjYV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|התשובה הנה ראוי לבקש מספר שיהיה לו חצי ושליש ורביעית ותמצא כ"ד
+::See the difference between the preceding and the following, i.e. between 8 and 27; it is 19.
+|style="text-align:right;"|וראה ההפרש שיש בין המוקדם והבא ר"ל בין ח' וכ"ז והוא י"ט
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b_1=12\longrightarrow b_1=24}}</math>
+::Divide [by it] the exceeding 2, which is from 8 to 10; it is approximately 2 and 2 parts of 19.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי ותמצא כ"ד
+|style="text-align:right;"|ותחלק הב' המיותרים אשר הם מח' עד י' ויהיו ב' וב' חלקים מי"ט וזהו על ידי קרוב
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{10}=2+\frac{10-2^3}{3^3-2^3}=2+\frac{10-\left(2\sdot2\sdot2\right)}{\left(3\sdot3\sdot3\right)-\left(2\sdot2\sdot2\right)}=2+\frac{10-\left(2\sdot4\right)}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot4\right)}=2+\frac{10-8}{27-8}=2+\frac{2}{19}=2+\frac{2}{19}}}</math>
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_2=12\longrightarrow b_2=18}}</math>
+:{{#annot:perfect number|618|IXt8}}108) Question: if you want to find a perfect number
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י"ח
+|style="text-align:right;"|קח) <big>שאלה</big> אם תרצה למצא {{#annot:term|75|xt6c}}מספר שלם{{#annotend:xt6c}} נקרא בלשונם {{#annot:term|75|aiWm}}נומירו פירפיטו{{#annotend:aiWm}}{{#annotend:IXt8}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}b_3=12\longrightarrow b_3=16}}</math>
+:<span style=color:Green>'''Definition of a perfect number:'''</span> {{#annot:definition|75,1268|ZJl7}}Know that a [number] is called a perfect number when you sum up all the parts and they are equal to the given number.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג רביעיות תמצא י"ו
+|style="text-align:right;"|דע כי מספר שלם נקרא כי כשתקבץ כל החלקים ויהיו שוים אל המספר המונח{{#annotend:ZJl7}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:24=11:a_1}}</math>
+::Do as follows: take 2 for the first perfect number and multiply it by 2; it is 4.
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי אלו היה סך הדג נעלם כבר מצאנו מענה לשאלה כי היה ערך התרנגול מ"ו כנז' לעיל ועתה שהוא נודע נאמ' אם מ"ו שוים כ"ד וזה בעבור אותו שנותן חצי ממונו י"א שהוא סך הדג כמה שוים
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תקח בעד המספר השלם הראשון ב' ותכפלם על ב' ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5+\frac{{\color{red}{17}}}{23}}}</math>
+::Subtract 1 from it; 3 remains.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ה' שלמים וה' חלקים מכ"ד והנה הנותן חצי ממונו כל ממונו ה' שלמים וה' חלקי' מכ"ג
+|style="text-align:right;"|תחסר מהם א' נשאר ג&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:18=11:a_2}}</math>
+::Multiply it by 2; it is 6 and it is a perfect number.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ח י"א כמה שוים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left[\left(2\sdot2\right)-1\right]=2\sdot\left(4-1\right)=2\sdot3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפלם על ב' ויהיו ו' והוא המספר השלם
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2={\color{red}{4}}+\frac{{\color{red}{7}}}{23}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> check it by taking all the parts in it, which are a half, a third, and a sixth; it is 6 and this is the given number.
-|style="text-align:right;"|יצא לך ג' שלמים וכ"א חלקים מכ"ג וכך היה סך ממונו מבעל השליש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot6\right)=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותבחון אותו תקח כל החלקים אשר בו שהוא חצי ושליש ושישית ויהיו ו' והוא המספר המונח
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:16=11:a_3}}</math>
+:{{#annot:perfect number|618|x3Is}}109) If you want to find the second [perfect number]
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ו י"א כמה שוים
+|style="text-align:right;"|קט)&#x202B;<ref>MS L: om.</ref> <big>ואם</big> תרצה למצא השני{{#annotend:x3Is}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3+\frac{{\color{red}{19}}}{23}}}</math>
+::Take 4 and multiply it by 2; it is 8.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ג' שלמים וי"א חלקים מכ"ג וזה סך כל ממון בעל הרביעית
+|style="text-align:right;"|תקח ד' וכפול אותו על ב' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|NVrZ}}122) Question: there are three men who formed a partnership.
+::Subtract 1 from it; it is 7.
-:The first contributed 16 minyanim and he ought to take 25 dinar from the profit.
+|style="text-align:right;"|תסיר ממנו א ויהיו ז&#x202B;'
-:The second contributed some dinar so that he ought to take 17 dinar from the profit.
-:The third contributed 10 canna of cloth and he ought to take 32 dinar from the profit.
-:We ask how much are the 10 canna worth and how much did the one who earned 17 dinar contribute?
-|style="text-align:right;"|קכב)&#x202B;<ref>MS L: קיט</ref> שאלה יש כאן ג' בני אדם עושים שותפות<br>
-הא' שם י"ו מנינים וראוי לו לקחת מהריוח כ"ה דינרין<br>
-והשני שם כל כך דינרין באופן שראוי לו לקחת מן הריוח י"ז דינרין<br>
-והג' שם עשרה קנים מבגד וראוי לו לקחת מריוח ל"ב דינרין<br>
-נשאל כמה היו שוות הי' קנים וכמה שם אותו שהרויח י"ז דינרין{{#annotend:NVrZ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:16=17:x}}</math>
+::Multiply it by 4; it is 28 and it is also a perfect number.
-|style="text-align:right;"|תשובה כבר ידעת כי אותו ששם י"ו דינרין ראוי לקחת כ"ה לכן תאמר אם כ"ה שוים י"ו י"ז כמה שוים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\left[\left(2\sdot4\right)-1\right]=4\sdot\left(8-1\right)=4\sdot7=28}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם על ד' ויהיו כ"ח והוא ג"כ מספר שלם
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{22}{25}}}</math>
+::You can check it.
-|style="text-align:right;"|יצא לך עשרה שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה הנה בעל הי"ז שם עשרה דינרין גם כ"ב חלקים מכ"ה
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:16=32:x}}</math>
+:{{#annot:perfect number|618|CaJp}}110) If you want to find the third [perfect number]
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם כ"ה שוים י"ו ל"ב כמה שוים
+|style="text-align:right;"|קי)&#x202B;<ref>MS L: om.</ref> <big>ואם</big> ואם תרצה למצא השלישי{{#annotend:CaJp}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{12}{25}}}</math>
+::Take 8 and multiply it by 2; it is 16.
-|style="text-align:right;"|יצא לך עשרים וי"ב חלקים מכ"ה וזה הוא שווי הקנים
+|style="text-align:right;"|תקח ח' וכפול אותו על ב' ויהיו י"ו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20+\frac{12}{25}}{10}=2+{\color{red}{\frac{6}{125}}}}}</math>
+::Subtract 1; it is 15.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק זה המספר על י' ויצא לך ב' שלמים וי"ב חלקים מכ"ה וזה יהיה שווי הקנה בלי תוספת ומגרעת
+|style="text-align:right;"|תסיר א' ויהיו ט"ו
 |-
 |
+::Multiply 8 by 15; it is 120, but it is not a perfect number.
-=== <span style=color:Green>Guess</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot\left[\left(2\sdot8\right)-1\right]=8\sdot\left(16-1\right)=8\sdot15=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ח' על ט"ו ויהיו ק"כ ואיננו מספר שלם
+|-
 |
+::So, we take 16 instead of 8 and double it; it is 32.
+|style="text-align:right;"|לכן נקח מספר י"ו תחת ח' ונכפלם ויהיו ל"ב
 |-
 |
-:123) Question: if you want to know to which person your friend has given a ring, on which finger is it, and on which finger joint
+::Subtract 1; it is 31.
-|style="text-align:right;"|קכג) שאלה אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק
+|style="text-align:right;"|תסיר א' ויהיו ל"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a+6\right)\sdot5\right]+b\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+c</math>
+::Multiply it by 16; it is 496 and it is a perfect number.
-|style="width:45%;text-align:right;"|תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו'<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left[\left(2\sdot16\right)-1\right]=16\sdot\left(32-1\right)=16\sdot31=496}}</math>
-ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות<br>
+|style="text-align:right;"|ותכפלם על י"ו ויהיו ד' מאות וצ"ו והוא מספר שלם
-ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ<br>
-ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים
 |-
 |
-:*hundreds = a = man number
+::Proceed according to this way.
-|style="text-align:right;"|והנה המאיות הם האנשים
+|style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה תעשה
 |-
 |
-:*tens = b = finger number
+::To find the fourth, double 16; it is 32.
-|style="text-align:right;"|והעשרות האצבעות
+|style="text-align:right;"|ולמצא הד' תכפול י"ו ויהיו ל"ב
 |-
 |
-:*units = c = joint number
+::To find the fifth, take 64 and do as mentioned.
-|style="text-align:right;"|והאחדים הפרקים
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>245v</ref>ולמצא הה' תקח ס"ד ויעשה כנז&#x202B;'
 |-
 |
-:*Example: I gave the ring to the fourth man on the third finger on the second joint
+::If it is not a perfect number, do as mentioned concerning the third number.
-|style="text-align:right;"|דמיון נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב'
+|style="text-align:right;"|ואם אינו שלם תעשה כנז' במספר השלישי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left[\left(70+3\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left[\left(73\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left[\left(365-150\right)\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle\left(215\sdot2\right)+2=430+2=432\\\end{align}}}</math>
+:{{#annot:six proportional numbers|618|Yfpk}}111) Question: if you want to find a proportional number:
-|style="text-align:right;"|תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח'<br>
+:For example: we have six proportional numbers, i.e. the ratio of the sixth to the fifth is the same as the ratio of the fifth to the fourth, and the same as the ratio of the fourth to the third, and the same as the ratio of the third to the second, and the same as the ratio of the second to the first.
-ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד<br>
+:The first number is 2.
-וכפול אותו על ה' ויהיו ע'<br>
+:The sixth is 2048.
-תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג<br>
+:We wish to know how much is the second?
-כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה<br>
+|style="text-align:right;"|קיא)&#x202B;<ref>MS L: קט</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא {{#annot:term|994,2263|2xtB}}מספר יחסיי{{#annotend:2xtB}} הנקרא בלשונם {{#annot:term|994|DhLM}}נומירו פרופורציאונלי{{#annotend:DhLM}}<br>
-תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו<br>
+דמיון זה יש לנו ו' {{#annot:term|994,2263|jjwV}}מספרים יחסיים{{#annotend:jjwV}} ר"ל שיחס הו' אל הה' כיחס הה' אל הד' וכיחס הד' אל הג' וכיחס הג' אל הב' וכיחס הב' אל הא&#x202B;'<br>
-כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול'<br>
+והמספר הא' ב&#x202B;'<br>
-תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב
+והו' ב' אלפים ומ"ח<br>
+ונרצה לדעת מהו השני{{#annotend:Yfpk}}
 |-
 |
-::four hundreds = 400 = fourth man
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_6:a_5=a_5:a_4=a_4:a_3=a_3:a_2=a_2:a_1\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_6=2048\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים
-|-
 |
-::three tens = 30 = third finger
-|style="text-align:right;"|והג' עשרות יהיו ג' אצבעות
 |-
 |
-::two units = 2 = second joint
+::Multiply the first, which is 2, by the last, which is the sixth; the result is 4096.
-|style="text-align:right;"|והב' יהיו ב' פרקים
+|style="text-align:right;"|כפול הראשון שהוא ב' על האחרון שהוא ו' ויעלו ד' אלפים וצ"ו
 |-
-|'''Guessing a chosen number'''
 |
+::Extract its square root, "radice quadra" in their language; it is 64.
+|style="text-align:right;"|וקח {{#annot:term|559|JY2L}}שרשם המרובע{{#annotend:JY2L}} בלשונם {{#annot:term|559|M1Ii}}ראדיצי קואדרא{{#annotend:M1Ii}} ויהיו ס"ד
 |-
 |
-:124) Question: if you want to know the number a man thought of in his heart -
+::Extract the root of 64; it is 8 and this is the second [number].
-:Ask him if it has a remainder after casting out threes - if it has no remainder, do not take a thing, and if there is a remainder take 70 for each one that remains.
+|style="text-align:right;"|עוד קח שרש ס"ד שהוא ח' והוא השני
-:For [the remainder from casting out] the fives take 21.
-:For [the remainder from casting out] the sevens [take] 15.
-:Then sum up all [the results] and cast out all the hundreds and for each hundred subtract 5.
-:The remainder will be the requested [number].
-|style="text-align:right;"|קכד) שאלה אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו<br>
-תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע'<br>
-ומן החמישיות יש לך לקחת כ"א<br>
-ומהשביעיות ט'<br>
-אח"כ תחבר כל זה ותסיר כל המאות ובעד כל מאה תסיר ה'<br>
-ומה שישאר הוא המבוקש
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot2048}}=\sqrt{\sqrt{4096}}=\sqrt{64}=8}}</math>
 |-
 |
-:*Example: I choose the number 4
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it: the first is 2; the second is 8; the third is 32; the fourth is 128; the fifth is 512; and the sixth is 2048.
-|style="text-align:right;"|דמיון הנה לקחתי מספר ד'
+|style="text-align:right;"|ותבחון אותו כי הראשון ב' והב' ח' והג' ל"ב והד' קכ"ח והה' תקי"ב והו' ב' אלפים ומ"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע'<br>
+::They are all proportional.
-ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד<br>
+|style="text-align:right;"|והנה כלם {{#annot:term|994,1277|Qn93}}מתיחסים{{#annotend:Qn93}}
-וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס'<br>
-אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד<br>
-תסיר מזה המאות וישאר י"ד ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(4\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(4\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(4\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot70\right)+\left(4\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105\\&\scriptstyle=\left(70+84+60\right)mod105\\&\scriptstyle=214mod105=4\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קכה) שאלה ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו תאמר לו שיכפלהו ואח"כ תאמר לו שיכפלהו פעם ב' ואח"כ תאמר לו שיקח ממנו ד' וזה לך הכלל כי בעד כל ד' שתסיר מהסך תקח א' והוא המבוקש
+::When you multiply the first by the sixth, [if] the product does not have an [integer] root, or if it has an [integer] root, but its root does not have an [integer] root, multiply the last by the first again, and see if it has an [integer] root and its root has an [integer] root, then the root of the root is the second.
+|style="text-align:right;"|ואחר שכפלת הראשון על הו' אין לסך העולה שרש או אם יש לו שרש ואין לשרשו שרש תשוב לכפול פעם ב' האחרון על הראשון ותבקש אם יש לו שרש ולשרשו שרש ושרש השרש הוא השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קכו) שאלה אם תרצה לדעתו באופן אחר תאמר לו שיכפלהו ואחכ יוסיף עליו ה' ואחר יכפול אותו ה' פעמי' ואחר יוסיף בו עשרה ותחסר ממה שיעלה כל זה ל"ה וקח בעד כל עשרה הנשאר א' והוא המבוקש
+::If it does not have an [integer] root after you multiply it a second time, do the opposite: divide the last by the first, then extract its root and the root of its root and it is the second.
+|style="text-align:right;"|ואם אחר שכפלת אותו פעם שניה אין לו שרש תעשה בהפך תחלק האחרון על הראשון וקח שרשו ושרש שרשו והוא השני
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Ordering Problem - People on a Ship</span> ===
+:*{{#annot:six proportional numbers|618|Wrir}}For example: we have six proportional numbers, the first is 2 and the sixth is 64.
+::We wish to know which is the second.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה יש לנו ו' {{#annot:term|994,1277|VUeX}}מספרים מתיחסים{{#annotend:VUeX}} הראשון ב' והו' ס"ד<br>
+נרצה לדעת מהו השני{{#annotend:Wrir}}
+|-
 |
+::Multiply the first by the last; it is 128 and it does not have an [integer] root.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_6=128}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול הראשון על האחרון ויהיו קכ"ח ואין לו שרש
 |-
 |
-:{{#annot:people on a ship|628|Sfj6}}127) Question: If you wish to know the number - once Jews and Ishmaelites were going on a ship, and a storm came upon the ship.
+::So, we double it once again; it is 256; its root is 16; the root of 16 is 4 and this is the second; the third is 8; the fourth is 16; the fifth is 32; and the sixth is 64.
-:One Jew said: come all of you here.
+|style="text-align:right;"|לכן נכפול אותו פעם ב' ויהיו רנ"ו ושרשם י"ו ושרש י"ו ד' והוא השני והג' ח' והד' י"ו והה' ל"ב והו' ס"ד
-:He seated the Jews and the Ishmaelites in such a way that when he counted them he gave all the nines to the Ishmaelites and so he proved that the sorrow came upon the sea because of them.
-:This way he threw the 15 Ishmaelites to the sea and the Jews remained.
-:This is the procedure to do it: I cast the Ishmaelites out by nines, I cast the lots, I throw to sea, through the strength of the waves I throw them to it by tricks.
-:Indeed, it is appropriate to start with the Jews and count them by initials.
-|style="text-align:right;"|קכז) שאלה ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה<br>
-אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים<br>
-ובזה האופן השליך ט"ו הגרים בים והיהודים נשארו<br>
-וזהו אופן עשייתו בם הגרים כל ט' אשפוך גורל אפיל אטיל בים בגאון גליו אשליכמו בתחבולות בדרוש אים<br>
-אכן ראוי להתחיל מהיהודים ותתקנם בראשי תיבות{{#annotend:Sfj6}}
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|קכח) שאלה אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות אח"כ שאל לו באיזו שורה היא האבן ואם היא בשמאל תהפך כל השורות בשמאל ואם בימין כן תעשה אח"כ שאל באיזו שורה וכן תהפך ג' פעמים ואחר ההפוך הג' תשאל לו באיזו שורה היא וזה הכלל יהיה בידך כי לעולם האות הג' היא אותה שאתה מבקש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a+2=\sqrt{\sqrt{a_1\sdot a_1\sdot a_6}}=\sqrt{\sqrt{2\sdot128}}=\sqrt{\sqrt{256}}=\sqrt{16}=4}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קכט) שאלה איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות
+:{{#annot:a²=40+41\b|618|aiR7}}112) Question: find a number such that when you multiply it by itself the result is 40 and 41 parts of a fraction.
+:<math>\scriptstyle a^2=40+\frac{41}{b}</math>
+|style="text-align:right;"|קיב)&#x202B;<ref>MS L: קי</ref> <big>שאלה</big> תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על עצמו יעלו מ' ומ"א חלקים מאיזה שבר שיזדמן{{#annotend:aiR7}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תשובה תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו תחסר ממנו א' וישארו ט"ו ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג' ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות
+::Take the square numbers, i.e. those that have an [integer] root, which are 4, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.
+|style="text-align:right;"|תקח המספרים המרובעים ר"ל אותם שיש להם שרש שהם ד' ט' י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות
+::Start from 4: multiply it by 40 and add 41; the result is [20]1, which has no [integer] root.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot40\right)+41={\color{red}{20}}1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותתחיל מד' וכפול אותו על מ' ותוסיף בהם מ"א ויעלו קי"א ואין לו שרש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קל) שאלה אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם קל לאנשים רבים ואינו יודע כמה אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מהכ' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס' הנה היתי רוצה לדעת כמה ממון היה לזה וכמה אנשים היו
+::So, take 9: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot40\right)+41}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן תקח ט' ותכפלם על מ' ותוסיף בם מ"א גם אין לו שרש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח
+::So, take 16: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot40\right)+41}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן קח י"ו וכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין להם שרש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל פ' וישארו שפ"ח כאשר נאמר ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו
+::So, take 25: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(25\sdot40\right)+41}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן קח כ"ה ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ואין לו שרש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קלא) שאלה הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל' נאמר כמה ממון יש לכל א' וא'
+::So, take 36: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(36\sdot40\right)+41}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן קח ל"ו וכפול אותו על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע
+::So, take 49: multiply it by 40 and add 41; it has no [integer] root also.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(49\sdot40\right)+41}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן תקח מ"ט ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א גם אין לו שרש
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Twins</span> ===
+::So, take 64: multiply it by 40 and add 41; the result is 2601 and its root is 51.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(64\sdot40\right)+41=2601=51^2}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|לכן תקח ס"ד ותכפלם על מ' ותוסיף מ"א ויעלו ב' אלפים וו' מאות וא' ושרשם נ"א
 |-
 |
-:{{#annot:male and female|647|l10Y}}132) Question: Reuven reached his deathbed and made a will this way: from a hundred ducat that I would leave - if my wife, who is pregnant, gives birth to a male, she will have one-third of it and the rest will be for her son, and if she gives birth to a female, the third will be for her daughter and the rest for her.
+::Divide it by the root of 64, which is 8; you receive 6 and 3-eighths and this is the sought-after.
-:When he died, his wife gave birth to twins, a male and female.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{51}{8}=6+\frac{3}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קלב) שאלה הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה{{#annotend:l10Y}}
+|style="text-align:right;"|וחלקם על שרש ס"ד שהוא ח' ויצא לך ו' וג' שמיניות והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תשובה הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד' ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק' כמה יגיע לכל א' וזה מבואר
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> because, if you multiply 6 and 3-eighths by 6 and 3-eighths, it is 40 integers and 41 parts of 64.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{3}{8}\right)^2=40+\frac{41}{64}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי אם תכפול ו' וג' שמיניות &#x202B;<ref>246r</ref>על ו' וג' שמיניות ויהיו מ' שלמים ומ"א חלקים מס"ד
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
+=== <span style=color:Green>Find the Diagonal - Rectangle</span> ===
 |
 |-
 |
-:133) Question: find me a number such that if you multiply it by 7 and divide by 9 your result will be 45<br>
+:{{#annot:rectangle|683|TX4D}}113) Question: A quadrilateral, the length of its two lines of longitude is 8 and the length of its two lines of latitude is 6.
-:<math>\scriptstyle \frac{a\sdot7}{9}=45</math>
+:We would like to know the length of the diagonals of the quadrilateral from end to end, i.e. the ones that go diagonally.
-|style="text-align:right;"|קלג)<ref>MS L: קל</ref> שאלה תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה
+|style="text-align:right;"|קיג) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת ממרובע אשר אורך השני קוים ההולכים באורך ח' ואורך הב' קוים ההולכים ברוחב ו&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה אורך כל קו וקו מהמרובע המבריחות מן הקצה אל הקצה ר"ל ההולכות באלכסון{{#annotend:TX4D}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot18}{9}=\frac{126}{9}=14}}</math>
+::Multiply the two widths by each other; it is 36.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר ונניח שאותו המספר יהיה י"ח א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו ואם תחלקהו בט' יצא י"ד
+|style="text-align:right;"|כפול הב' ההולכות ברוחב זו על זו ויהיו ל"ו
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot45}{14}=\frac{810}{14}=57+\frac{6}{7}}}</math>
+::Multiply also the two lengths by each other; it is 64.
-|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל
+|style="text-align:right;"|עוד כפול הב' ההולכות באורך זו על זו ויהיו ס"ד
-|-
-|Check: <math>\scriptstyle \frac{\left(57+\frac{6}{7}\right)\sdot7}{9}=\frac{405}{9}=45</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה ותחלק עם ט' ויצא מ"ה
 |-
 |
-:134) Question: find a number such that if you divide it by 5 and multiply by 8 the result will be 23<br>
+::Sum them; it is 100.
-:<math>\scriptstyle \frac{a}{5}\sdot8=23</math>
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו ק&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|קלד)&#x202B;<ref>MS L: קלא</ref> שאלה תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}\sdot8=4\sdot8=32}}</math>
+::Extract its root; it is ten and this is the diagonal.
-|style="text-align:right;"|שים שאותו המספר יהיה עשרים ונחלק אותו עם ה' ויצא ד' ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{6^2+8^2}=\sqrt{36+64}=\sqrt{100}=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו עשרה והוא הבריח האלכסונית
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot23}{32}=\frac{460}{32}=14+\frac{3}{8}}}</math>
+::If you wish to know how much is the area of each of the four quadrilaterals:
-|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה שטח כל אחד מהד' מרובעים
 |-
 |
-:135) Question: find me a number such that if you subtract its third and its quarter from it the remainder is 29<br>
+::Take half the length, which is 4, and half [the width], which is 3, and multiply them by each other; it is 12 and this is the area of each of the four quadrilaterals. This is its figure:
-:<math>\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a\right)-\left(\frac{1}{4}a\right)=29</math>
+|style="text-align:right;"|קח חצי האורך שהוא ד' וחצי שהוא ג' וכפול זה על זה ויהיו י"ב והוא שטח כל מרובע מד' מרובעים וזאת היא צורתו
-|style="text-align:right;"|קלה)&#x202B;<ref>MS L: קלב</ref> שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}</math>
-|style="text-align:right;"|תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה&#x202B;'
+=== <span style=color:Green>Find the Height - Well</span> ===
+|
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot29}{5}=\frac{348}{5}=69+\frac{3}{5}}}</math>
+:{{#annot:well|685|Snqi}}114) Question: A man wants to know the depth of a well that has 12 measures of water in it; each of the four sides of the well is 5 cubits long, and if he throws a stone into the well, each of its four sides is 4 cubits long and its height is twenty, the water reaches the surface of the well
-|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות
+:We would like to know how deep the well is.
+|style="text-align:right;"|קיד) <big>שאלה</big> אדם רוצה לדעת עומק בור אחד אשר יש בו י"ב מדות מים ובכל א' מד' זויות הבור ארכם ה' אמות ואם השליך בתוך הבור אבן כל א' מד' זויותיה ד' אמות וארכה עשרים ואז הגיעו המים על פי הבאר<br>
+נרצה לדעת כמה עמקו של בור{{#annotend:Snqi}}
 |-
 |
-:136) Question: find me a number such that if you add to it its third and its two fifths it makes 18<br>
+::Do as follows: take a volume of the stone, i.e. multiply 4 by 4, then multiply the result, which is 16, by the height; it is 320.
-:<math>\scriptstyle a+\left(\frac{1}{3}a\right)+\left(\frac{2}{5}a\right)=18</math>
+|style="text-align:right;"|כך תעשה תקח מרובע האבן ר"ל שתכפול ד' על ד' והעולה שהוא י"ו כפול על האורך ויהיו ש"כ
-|style="text-align:right;"|קלו)&#x202B;<ref>MS L: קלג</ref> שאלה תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)=15+5+6=26}}</math>
+::Divide it by the volume of the well, which is 25; you receive 12 integers and 4-fifths.
-|style="text-align:right;"|תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו כ"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot4\sdot20}{25}=\frac{16\sdot20}{25}=\frac{320}{25}=12+\frac{4}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם על מרובעי הבור שהוא כ"ה ויצאו לך י"ב שלמים וד' חמישיות
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{15:26=18:x}}</math>
+::Add it to the 12 measures that are in the well; it is 24 and 4-fifths and this is the depth of the whole well.
-|style="text-align:right;"|ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12+\frac{4}{5}\right)+12=24+\frac{4}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוסיפם על י"ב מדות שהיו בבור ויהיו כ"ד וד' חמישיות והוא עומק כל הבור
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{red}{\frac{15\sdot81}{26}=\frac{1215}{26}=46+\frac{19}{26}}}</math>
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-:137) Question: if you want to divide 30 into two parts such that if you multiply the one by 4 it becomes the same as the other part if you multiply it by 3<br>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=30 \\\scriptstyle 4a=3b\end{cases}</math>
+=== <span style=color:Green>Transformation of Figures</span> ===
-|style="text-align:right;"|קלז)&#x202B;<ref>MS L: קלד</ref> שאלה אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג'
-|-
 |
-:<span style=color:Green>'''False Position'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1 \\\scriptstyle \frac{b_1}{3}=4\sdot1=4\longrightarrow b_1=12\end{cases}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד' והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1=1+12=13}}</math>
+:{{#annot:circle to square|2583|NFMC}}115) Question: what square can be made from a circle whose diameter is 7?
-|style="text-align:right;"|הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|קטו) <big>שאלה</big> מה מרובע יוכל להעשות מעגול שאלכסונו ז&#x202B;'{{#annotend:NFMC}}
-אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot30}{13}=\frac{30}{13}=2+\frac{4}{13}}}</math>
+::We take the square of 7; it is 49.
-|style="text-align:right;"|לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל' וזה תחלק ויצא ב וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|נקח מרובע ז' והוא מ"ט
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=30-\left(2+\frac{4}{13}\right)=27+\frac{9}{13}}}</math>
+::Take its half; it is 24 and a half.
-|style="text-align:right;"|א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג
+|style="text-align:right;"|קח חציים והוא כ"ד וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{27+\frac{9}{13}}{3}=9+\frac{3}{19}}}</math>
+::Extract its root; it is approximately 4 integers and 16 parts of 17 and so is the [area of the] square that is made from this circle.
-|style="text-align:right;"|אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{1}{2}\sdot7^2}=\sqrt{\frac{1}{2}\sdot49}=\sqrt{24+\frac{1}{2}}\approx4+\frac{16}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח שרשם והוא בקרוב ד' שלמים וי"ו חלקים מי"ז וכן יהיה המרובע הנעשה מזה העגול
 |-
 |
-:138) Question: if you want to produce three parts from 18 so that when you subtract a fifth from one part and add to the second [part] its third and multiply the third [part] by 2½ all will be the same.<br>
+:{{#annot:circle to squares|2583|Ozqb}}117) Question: How many squares of [one cubit] can be made from a circle whose circumference is 22.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=b+\frac{1}{3}b=c\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|קיז) <big>שאלה</big> כמה מרובעים ממאה כל אחד יעשה עגול שמקיפו כ"ב{{#annotend:Ozqb}}
-|style="text-align:right;"|קלח)&#x202B;<ref>MS L: קלה</ref> שאלה אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5}}</math>
+::Take half this circumference; it is 11.
-|style="text-align:right;"|תשים שהחלק הא' יהיה ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|קח חצי זה המקיף והוא י"א
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}</math>
+::It is clear that half the diameter of this circle is 3 and a half.
-|style="text-align:right;"|ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והוא מבואר שחצי אלכסון זה העגול הוא ג' וחצי
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\frac{1}{3}b_1=4\longrightarrow b_1=3}}</math>
+::Multiply it by 11; the result is 38 and a half and this is the number of squares that are made of it.
-|style="text-align:right;"|ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכפול אותם בי"א ועלה ל"ח וחצי וככה מרובעים יהיו ממנו
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\longrightarrow c_1=1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}</math>
+:{{#annot:tree|682|BMZA}}118) Question: A tree whose length is 10 and its perimeter is six.
-|style="text-align:right;"|עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים
+:We want to make its length 12.
+:How much will its perimeter be?
+|style="text-align:right;"|קיח) <big>שאלה</big> עץ שהוא ארכו י' והקפו ששה ונרצה לעשות ארכו י"ב כמה יהיה הקפו{{#annotend:BMZA}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1+c_1=5+3+\left(1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}\right)=9+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}</math>
+::We take the square of the perimeter; it is 36.
-|style="text-align:right;"|א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים
+|style="text-align:right;"|נקח מרובע ההקף והוא ל"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ' וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון
+::Say: If [10 is equal to 6], how much is 12 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10:6=12:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואמור אם י"ב כמה יהיו ל"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מיח ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד ותחלק אותם על ט' וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני
+::Multiply 10 by 36, then divide the product by 12; the result is 30.
+|style="text-align:right;"|וכפול י' בל"ו ונחלק העולה על י"ב ויעלה ל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג&#x202B;'
+::Extract its root; it is 5 and a half and this will be its perimeter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\frac{10\sdot36}{12}}=\sqrt{30}=5+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשו והוא ה וחצי וככה יהיה הקפו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי ובעד הב' תקח השנית מה' (ו)ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי
-|-
+=== <span style=color:Green>Joint Purchase Problems – If You Give Me</span> ===
 |
-:139) Question: if you want to produce two parts from 20 so that one part will be 4 times of the other part.<br>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=20\\\scriptstyle b=4a\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|קלט) שאלה אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א' א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד' והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ' לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו ויצא י"ו
+:{{#annot:three men|664|SNCJ}}119) Question: three men.
+:The first said: if I had 1 I would have as much as the both of you.
+:The second said: if I had 1 I would have half as much as the both of you.
+:The third said: if I had 1 I would have third as much as the both of you.
+|style="text-align:right;"|קיט)&#x202B;<ref>MS L: קיו</ref> &#x202B;<ref>246v</ref><big>שאלה</big> ג' אנשים<br>
+אמר הא' אם היה לי א' היה לי כמו שניכם<br>
+אמר השני אם היה לי אחד היה לי חצי שלכם<br>
+אמר הג' אם היה לי א' היה לי שליש שלכם{{#annotend:SNCJ}}
 |-
 |
-:140) Question: if you want to produce two parts from 10 so that when you divide the greater part by the smaller the result will by a hundred.<br>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1+1=a_2+a_3 \\\scriptstyle a_2+1=\frac{1}{2}\sdot\left(a_1+a_3\right)\\\scriptstyle a_3+1=\frac{1}{3}\sdot\left(a_1+a_2\right)\end{cases}</math>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=100\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|קמ) שאלה אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א' כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה והנה א וק' הם ק"א ואנו רוצים י' א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קמא) שאלה הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שביעיות והב' בד' שביעיות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו
+::The answer: look for the common denominator; it is 6.
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> בקש המורה והוא ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שביעיות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות והשני יעשהו בג' שביעיות א"כ עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א' תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז&#x202B;'
+::Subtract 1; it is 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6-1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|חסר א' ויהיו ה&#x202B;'
 |-
 |
-:142) Question: if you want to produce three parts from 30 so that when you multiply one [part] by 7 and divide the second [part] by 5 and the third [part] by 10 all the quotients and products will be the same amount.
+::Add 1 to 6; it is 7.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle7a=\frac{b}{5}=\frac{c}{10}\end{cases}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=6+1=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|קמב) שאלה אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו
+|style="text-align:right;"|הוסף על ו' א' ויהיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א' ואם תכפול אותו בז' יעשה ז' ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה והג' ראוי שיהיה ע' א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל' ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' מה יבא מל' וכו&#x202B;'
+::Multiply 2 by 5; it is 10.
+|style="text-align:right;"|וכפול ב' בה' ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-:143) Question: if you want to produce two parts from 11 such that a half and a quarter of one part will be the same as a third and a fifth of the other part.<br>
+::Add 1; it is 11.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=11\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a=\frac{1}{3}b+\frac{1}{5}b\end{cases}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(2\sdot5\right)+1=10+1=11}}</math>
-|style="text-align:right;"|קמג) שאלה אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר
+|style="text-align:right;"|תוסיף א' ויהיו י"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד' והחצי הוא ב' והרובע הוא א ויהיו ג' וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג' תשים שאותו המספר יהיה ט"ו והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג' א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה ותחלק אותו בה' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א וכן תעשה מהשנית ובחלק הא' יבא ד' מד' חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז
+::So, the first had 5; the second 7; and the third 11.
+|style="text-align:right;"|א"כ לראשון היה לו ה' ולשני ז' ולג' י"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קמד) שאלה אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר ראשנה תביא המספר אל מרובעו
+:{{#annot:fish|664|pzTQ}}120) Question: three men want to buy a fish.
+:The first said: I will give a half of what I have and you will give all you have.
+:The second said: I will give a third of what I have and you will give all you have.
+:The third said: I will give a quarter of what I have and you will give all you have and we will buy the fish.
+:We ask: how much did each have and how much is the price of the fish?
+|style="text-align:right;"|קכ)&#x202B;<ref>MS L: קיז</ref> <big>שאלה</big> ג' בני אדם רוצים לקנות דג אחד<br>
+אמר הראשון אני אתן החצי ממה שיש לי ממעות ואתם תתנו כל מה שיש לכם<br>
+אמר השני אני אתן השליש ממה שיש לי ואתם תתנו כל מה שלכם<br>
+השיב השלישי ואמר אני אתן הרובע ממה שיש לי ואתם תנו כל אשר לכם ונקנה הדג<br>
+נשאל כמה היה לכל אחד ואחד וכמה הוא ערך הדג{{#annotend:pzTQ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד' תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=N\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=N\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=N\end{cases}</math>
-|-
 |
-:145) Question: if you want to add the square of 9 to [the square] of 4.<br>
-:<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
-|style="text-align:right;"|קמה)&#x202B;<ref>MS L: קמב</ref> שאלה אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג<br>
+::The answer: look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
-א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד וקח שרש מזה המספר שהם י"ב<br>
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תבקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורובע ותמצא י"ב
-ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה וקח השרש מכ"ה והם ה&#x202B;'
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\sqrt{4\sdot\left(9\sdot4\right)}}=\sqrt{13+\sqrt{4\sdot36}}=\sqrt{13+\sqrt{144}}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
 |-
 |
-:146) another method
+::Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24 and this is the amount of money of the one who [offers] a half.
-|style="text-align:right;"|קמו)&#x202B;<ref>MS L: קמג</ref> שאלה דרך אחרת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1=12\longrightarrow a_1=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי תמצא כ"ד וזה היה סך הממון מבעל החצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג<br>
+::Then, say: 12 is 2-thirds of which [number]? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18. So, the amount of money of the one who offers a third is 18.
-אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}a_2=12\longrightarrow a_2=18}}</math>
-ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה וקח השרש והם חמשה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא ב' שלישיות וזה בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח הנותן שליש ממונו היה י"ח
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\left(2\sdot\sqrt{9\sdot4}\right)}=\sqrt{13+\left(\sdot2\sqrt{36}\right)}=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
 |-
 |
-:145) Question: if you want to subtract the square of 9 from the square of 16.<br>
+::Then, say: 12 is 3-quarters of which number? Since he kept 3-quarters for himself. You find it is 16. So, [the amount of money of] the one who offers a quarter is 16.
-:<math>\scriptstyle\sqrt{16}-\sqrt{9}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}a_3=12\longrightarrow a_3=16}}</math>
-|style="text-align:right;"|קמז)&#x202B;<ref>MS L: קמד</ref> שאלה אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות בעבור שעכב לעצמו ג' רביעיות תמצא י"ו הנה הנותן הרביעית היה י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה<br>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it: because the one who has 24 gives 12, which is half the money. We add it to 16 and 18; it is 46.
-אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו ומהם תוציא השרש והם כ"ד<br>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון כי בעל כ"ד נתן י"ב שהוא חצי הממון נחבר אותו אל י"ו וי"ח יהיו מ"ו
-אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א' א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א&#x202B;'
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\sqrt{4\sdot\left(16\sdot9\right)}}=\sqrt{25-\sqrt{4\sdot144}}=\sqrt{25-\sqrt{576}}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)+18+16=12+18+16=46}}</math>
 |-
 |
-:148) another method
+::Then, say: the one who has 18 gives 6, which is a third. Add it to 24 and 16; it is also 46.
-|style="text-align:right;"|קמח)&#x202B;<ref>MS L: קמה</ref> שאלה דרך אחרת
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' בעל י"ח נותן ו' שהוא השליש וחבר אותם אל כ"ד וי"ו ויהיו מ"ו ג"כ
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד<br>
-אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא ותקיש על זה
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\left(2\sdot\sqrt{16\sdot9}\right)}=\sqrt{25-\left(\sdot2\sqrt{144}\right)}=\sqrt{25-\left(2\sdot12\right)}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)+24+16=6+24+16=46}}</math>
 |-
 |
-:149) Question: if you want to find a square number such that if you add to it 19 it will be a square.<br>
+::Say also: the one who has 16 gives 4, which is a quarter. Add it to 18 and 24; it is also 46.
-:<math>\scriptstyle a^2+19=b^2</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר כי בעל י"ו נותן ד' שהוא הרביעית וחבר אותם אל י"ח ואל כ"ד ויהיו מ"ו ג"כ
-|style="text-align:right;"|קמט)<ref>MS L: קמו</ref> שאלה אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח וקח חצי מזה המספר וישארו ט' ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^2=19+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19-1\right)\right]^2=19+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2=19+9^2=19+81}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)+24+18=4+24+18=46}}</math>
 |-
 |
-:150) Question: if you want to find a square number such that if you subtract 15 from it it remains a square.<br>
+::The price of the fish is 46 dinar.
-:<math>\scriptstyle a^2-15=b^2</math>
+|style="text-align:right;"|וערך הדג מ"ו דינרין
-|style="text-align:right;"|קנ)&#x202B;<ref>MS L: קמז</ref> שאלה אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2=8^2=64}}</math>
+:{{#annot:rooster|664|TjYV}}121) Question: there are three men who want to buy a rooster for 11 dinar.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר
+:The first said: I will give half of my money and you will give all of what you have.
+:The second said: I will give a third of my money and you will give all of what you have.
+:The third said: I will give a quarter of my money and you will give all of what you have.
+:We wish to know how much did each have?
+|style="text-align:right;"|קכא)<ref>MS L: קיח</ref> <big>שאלה</big> יש כאן ג' בני אדם רוצים לקנות תרנגול י"א דינרין<br>
+אמר הא' אני אתן חצי ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
+אמר השני אני אתן שליש ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
+השיב השלישי אני אתן רביעית ממוני ותנו אתם כל אשר לכם<br>
+נרצה לדעת כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:TjYV}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^2=64-15}}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{1}{2}a_1+a_2+a_3=11\\\scriptstyle \frac{1}{3}a_2+a_1+a_3=11\\\scriptstyle\frac{1}{4}a_3+a_1+a_2=11\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט
-|-
 |
-:151) Question: if you want to find a number such that if you add to it 4 it will be a square and if you subtract [from it 4] it will also be a square.<br>
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+4=n^2\\\scriptstyle a-4=m^2\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|קנא)&#x202B;<ref>MS L: קמח</ref> שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8}}</math>
+::The answer: one should look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> הנה ראוי לבקש מספר שיהיה לו חצי ושליש ורביעית ותמצא כ"ד
 |-
 |
-:*find a square number such that if you add to it 8 it will be a square
+::Say: 12 is a half of which [number]? You find it is 24.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}b_1=12\longrightarrow b_1=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה דבר הוא חצי ותמצא כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז' וקח מהם חציים והם ג' וחצי ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר
+::Then, say: 12 is 2-thirds of which number? You find it is 18.
-|-
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}b_2=12\longrightarrow b_2=18}}</math>
-|colspan=2|
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות תמצא י"ח
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=4+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8-1\right)\right]^2=4+\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)^2=4+\left(3+\frac{1}{2}\right)^2=4+\left(12+\frac{1}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}</math>
 |-
 |
-:152) quicker method
+::Then, say: 12 is 3-quarters of which number? You find it is 16.
-|style="text-align:right;"|קנב)&#x202B;<ref>MS L: קמט</ref> שאלה עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}b_3=12\longrightarrow b_3=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ג' רביעיות תמצא י"ו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=1+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2=1+2^2=1+4}}</math>
+::You know that if the price of the [rooster] was unknown, we have already found the answer to the question, because the price of the rooster was 46 as stated above.
-|style="text-align:right;"|תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד' תוסיף א על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי אלו היה סך הדג נעלם [כבר מצאנו מענה לשאלה כי היה ערך התרנגול]&#x202B;<ref>G היינו מוצאין אותו והתשובה בה</ref> מ"ו כנז' לעיל
 |-
 |
-:153) Question: multiplication of roots - if you want to multiply the root of 7 by the root of 8.<br>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now that it is known, we say: if 46 is equal to 24, for the one who gives half of his money; how much is [11], which is the price of the [rooster], equal to?
-:<math>\scriptstyle\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:24=11:a_1}}</math>
-|style="text-align:right;"|קנג)&#x202B;<ref>MS L: קנ</ref> שאלה לכפול בשרשים אם תרצה לכפול שרש ז' על שרש מח'
+|style="text-align:right;"|ועתה שהוא נודע נאמ' &#x202B;<ref>247r</ref>אם מ"ו שוים כ"ד וזה בעבור אותו שנותן חצי ממונו שהוא סך הדג כמה שוים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}=\sqrt{7\sdot8}=\sqrt{56}}}</math>
+::You receive 5 integers and [17] parts of 2[3]. So the money of the one who gives half his money is 5 integers and [17] parts of 23.
-|style="text-align:right;"|ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5+\frac{{\color{red}{17}}}{23}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ה' שלמים וה' חלקים מכ"ד והנה הנותן חצי ממונו כל ממונו ה' שלמים וה' חלקי' מכ"ג
 |-
 |
-:154) Question: if you want to multiply the root of 7 by 8.<br>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 46 is equal to 18; how much is 11 equal to?
-:<math>\scriptstyle\sqrt{7}\sdot8</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:18=11:a_2}}</math>
-|style="text-align:right;"|קנד)&#x202B;<ref>MS L: קנא</ref> שאלה אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח'
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ח י"א כמה שוים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot8=\sqrt{7}\sdot\sqrt{8^2}=\sqrt{7}\sdot\sqrt{64}=\sqrt{448}}}</math>
+::You receive [4] integers and [7] parts of 23 and so is the money of the one who [gives] a third.
-|style="text-align:right;"|בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2={\color{red}{4}}+\frac{{\color{red}{7}}}{23}}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך ג' שלמים וכ"א חלקים מכ"ג וכך היה סך ממונו מבעל השליש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{7}=7}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 46 is equal to 16; how much is 11 equal to?
-|style="text-align:right;"|ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{46:16=11:a_3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם מ"ו שוים י"ו י"א כמה שוים
 |-
 |
-:155) Question: if you want to find a number such that if you divide 3 by it the result is 5 and 7 remain.<br>
+::You receive 3 integers and [19] parts of 23 and this is the money of the one who [gives] a quarter.
-:<math>\scriptstyle\frac{3}{a}=5+\frac{7}{b}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=3+\frac{{\color{red}{19}}}{23}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קנה)<ref>MS L: קנב</ref> שאלה אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ג' שלמים וי"א חלקים מכ"ג וזה סך כל ממון בעל הרביעית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה<br>
-ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים
+=== <span style=color:Green>Partnership Problem – Three Partners</span> ===
-|-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot5\right)+7}{3}=\frac{40+7}{3}=\frac{47}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח' ואם תכפלהו בה' יעלו מ' יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז תחלקם בג' ולא תוכל
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot5\right)+7}{3}=\frac{45+7}{3}=\frac{52}{3}}}</math>
+:{{#annot:three partners|661|NVrZ}}122) Question: there are three men who formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט' תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב תחלקם על ג' ולא תוכל
+:The first contributed 16 minyanim and he ought to take 25 dinar from the profit.
+:The second contributed some dinar so that he ought to take 17 dinar from the profit.
+:The third contributed 10 canna of cloth and he ought to take 32 dinar from the profit.
+:We ask how much are the 10 canna worth and how much did the one who earned 17 dinar contribute?
+|style="text-align:right;"|קכב)&#x202B;<ref>MS L: קיט</ref> <big>שאלה</big> יש כאן ג' בני אדם עושים שותפות<br>
+הא' שם י"ו מנינים וראוי לו לקחת מהריוח כ"ה דינרין<br>
+והשני שם כל כך דינרין באופן שראוי לו לקחת מן הריוח י"ז דינרין<br>
+והג' שם עשרה קנים מבגד וראוי לו לקחת מריוח ל"ב דינרין<br>
+נשאל כמה היו שוות הי' קנים וכמה שם אותו שהרויח י"ז דינרין{{#annotend:NVrZ}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(10\sdot5\right)+7}{3}=\frac{50+7}{3}=\frac{57}{3}=19}}</math>
+::Answer: you already know that the one who contributed 16 dinar should take 25.
-|style="text-align:right;"|א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה ותכפלם בה' ויעלו נ' תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> כבר ידעת כי אותו ששם י"ו דינרין ראוי לקחת כ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולעולם תוסיף א' יותר
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, say: if 25 is equal to 16; how much is 17 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:16=17:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן תאמר אם כ"ה שוים י"ו י"ז כמה שוים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{1}{3}\sdot57}=\frac{10}{19}}}</math>
+::You receive ten integers and 22 parts of 25. So, the one who has 17 contributed ten dinar and 22 parts of 25.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{22}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך עשרה שלמים וכ"ב חלקים מכ"ה הנה בעל הי"ז שם עשרה דינרין גם כ"ב חלקים מכ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וככה יעשו השאלות הדומות לזו
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 25 is equal to 16; how much is 32 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25:16=32:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם כ"ה שוים י"ו ל"ב כמה שוים
 |-
 |
-:156) Question: if you want to find a number such that if you extract its root and add it to the root of the remainder it makes 3.<br>
+::You receive twenty and 12 parts of 25 and this is the price of the [10] canna.
-:<math>\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{a-\sqrt{a}}=3</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=20+\frac{12}{25}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קנו)&#x202B;<ref>MS L: קנג</ref> שאלה ואם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|יצא לך עשרים וי"ב חלקים מכ"ה וזה הוא שווי הקנים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=\frac{3^2}{\left(2\sdot3\right)-1}=\frac{9}{6-1}=\frac{9}{5}=1+\frac{4}{5}}}</math>
+::Divide this number by 10; you receive 2 integers and [6] parts of [1]25 and this is the price of one canna no more and no less.
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו' תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20+\frac{12}{25}}{10}=2+{\color{red}{\frac{6}{125}}}}}</math>
-אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק זה המספר על י' ויצא לך ב' שלמים וי"ב חלקים מכ"ה וזה יהיה שווי הקנה בלי תוספת ומגרעת
-ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(1+\frac{4}{5}\right)^2=3+\frac{6}{25}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר
+=== <span style=color:Green>Guess Problems</span> ===
-|-
-|Check:<br>
-|style="text-align:right;"|ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות<br>
-ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה<br>
-ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית<br>
-ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3+\frac{6}{25}}+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\sqrt{3+\frac{6}{25}}}&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\left(1+\frac{4}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{1+\frac{11}{25}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)=3\\\end{align}}}</math>
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המספר הנאמר '''פרוביקו''' בלשונם
+:{{#annot:ring|667|dQMu}}123) Question: if you want to know to which person your friend has given a ring, on which finger is it, and on which finger joint.
+|style="text-align:right;"|קכג) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת לאיזה אדם נתן חבירך הטבעת ובאיזה אצבע ובאיזה פרק{{#annotend:dQMu}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9^2+\sqrt{9}=81+3=84}}</math>
+::First, tell him the double [the number of the man] and add 6 to it.
-|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תחלה תאמר לו שיכפול אותו ואחר שישים עליו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|'''המספר הרולטו''' בלשונם
+::Then, multiply all this 5 times and add to it the number of the finger.
+|style="text-align:right;"|ואחר שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיוסיף על זה המספר האצבעות
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9^2\sdot\sqrt{9}=81\sdot3=243}}</math>
+::Then, multiply all this 5 times and subtract 150 from it.
-|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרולטו הוא ט&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואח"כ שיכפול כל זה ה' פעמים ואחר שיסיר מזה ק"נ
 |-
 |
-:157) Question: if you want to produce three parts from 27 so that each of the parts has a cubic root<br>
+::Then, multiply the remainder by two and add the number of the joint to it.
-:<math>\scriptstyle a^3+b^3+c^3=27</math>
+::<math>\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left(2a+6\right)\sdot5\right]+b\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+c</math>
-|style="text-align:right;"|קנז)&#x202B;<ref>MS L: קנד</ref> שאלה אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב
+|style="text-align:right;"|ואח"כ יכפול על שנים מה שנשאר ואחר זה יוסיף על זה מספר הפרקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר
+::The [number of the] hundreds <span style=color:Green>[a]</span> is [the number of] the man.
+|style="text-align:right;"|והנה המאיות הם האנשים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{27+64+125=216}}</math>
+::The [number of the] tens <span style=color:Green>[b]</span> is [the number of] the finger.
-|style="text-align:right;"|ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב
+|style="text-align:right;"|והעשרות האצבעות
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{8}=27}}</math>
+::The [number of the] units <span style=color:Green>[c]</span> is [the number of] the joint.
-|style="text-align:right;"|וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז
+|style="text-align:right;"|והאחדים הפרקים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^3=\frac{27}{8}=3+\frac{3}{8}}}</math>
+::Example: I gave the ring to the fourth man on the third finger on the second joint.
-|style="text-align:right;"|ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> נתתי הטבעת לאיש רביעי באצבע הג' ובפרק ב&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^3=\frac{64}{8}=8}}</math>
+::Tell him the double the 4; it is 8.
-|style="text-align:right;"|והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תאמר לו שיכפול ד' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{c^3=\frac{125}{8}=15+\frac{5}{8}}}</math>
+::Tell him to add 6 to it; it is 14.
-|style="text-align:right;"|והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות
+|style="text-align:right;"|ואמור שיוסיף על זה ו' ויהיו י"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^3+b^3+c^3=27}}</math>
+::Multiply it by 5; it is 70.
-|style="text-align:right;"|אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז
+|style="text-align:right;"|וכפול אותו על ה' ויהיו ע&#x202B;'
-|-
-|not correct for every number
-|style="text-align:right;"|ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה
 |-
 |
-:158) Question: if you want to find a square number such that if you subtract its five roots from it the remainder is a square and if you add it to its seven roots it will be a square.<br>
+::Add 3 to it, which is the number of the finger; it is 73.
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-5a=n^2\\\scriptstyle7a+a^2=m^2\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ג' שהוא מספר האצבעות ויהיו ע"ג
-|style="text-align:right;"|קנח)&#x202B;<ref>MS L: קנה</ref> שאלה אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מז' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a={\color{red}{81}}}}</math>
+::Multiply it by 5; it is 365.
-|style="text-align:right;"|הנה המספר הזה הוא י"ח
+|style="text-align:right;"|כפול אותם על ה' ויהיו שס"ה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2-5a=81-{\color{red}{45}}=36}}</math>
+::Subtract 150 from it; the remainder is 215.
-|style="text-align:right;"|כי חמשה שרשיו הם '''נ"ו''' תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם ק"נ הנשאר רט"ו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2+7a={\color{red}{81}}+63={\color{red}{144}}}}</math>
+::Multiply it by 2; it is 430
-|style="text-align:right;"|ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע
+|style="text-align:right;"|כפול אותם על ב' ויהיו ד' מאות ול&#x202B;'
 |-
 |
-:159) Quaestion: if you want to find a number such that its two fifths are its root.<br>
+::Add 2 to it, which is the [number of the] joint; it is 432.
-:<math>\scriptstyle\frac{2}{5}a^2=a</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ב' שהם הפרקים ויהיו תל"ב
-|style="text-align:right;"|קנט)&#x202B;<ref>MS L: קנו</ref> שאלה אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left[\left[\left[\left[\left(2\sdot4\right)+6\right]\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left[\left(8+6\right)\sdot5\right]+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left[\left(14\sdot5\right)+3\right]\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left[\left[\left(70+3\right)\sdot5\right]-150\right]\sdot2\right]+2=\left[\left[\left(73\sdot5\right)-150\right]\sdot2\right]+2\\&\scriptstyle=\left[\left(365-150\right)\sdot2\right]+2=\left(215\sdot2\right)+2=430+2=432\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה
+::Four hundreds - the fourth man.
+|style="text-align:right;"|הנה הד' מאות יהיו ד' אנשים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קס) שאלה ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א' והסוחר אמר שרוצה לפרוע ג' רביעיות יותר מהאורח ויותר ב' דינרין ועולה [.....] מאכלם י"א פשוטים כמה ראוי לפרוע לכל א' מהם
+::Three tens - the third finger.
+|style="text-align:right;"|והג' עשרות יהיו ג' אצבעות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תשובה תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע נסיר הקטון מהגדול וישארו ז' הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מיא שיש לפרוע וישארו ד' ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד' חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני אח"כ כפול א וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז' חלקם על ו' ורביע ויצא לך א וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר
+::2 [units] - the second joint.
+|style="text-align:right;"|והב' יהיו ב' &#x202B;<ref>247v</ref>פרקים
 |-
+!<span style=color:Green>Guessing a chosen number</span>
 |
-|style="text-align:right;"|תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קסא) שאלה אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה (יהיה) שוה לאחד
+:{{#annot:chosen number|667|Vapl}}124) Question: if you want to know the number a man thought of in his heart:
+:Ask him if it has a remainder after casting out threes - if it has no remainder, do not take a thing, and if there is a remainder take 70 for each one that remains.
+:For [the remainder from casting out] the fives take 21.
+:For [the remainder from casting out] the sevens [take] 15.
+:Then sum up all [the results] and cast out all the hundreds and for each hundred subtract 5.
+:The remainder will be the requested [number].
+|style="text-align:right;"|קכד) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מה שחשב אדם בלבו<br>
+תאמר לו אם הולך ג"ג ואם הולך לא תקח כלום ואם אינו הולך קח בעד כל א' שישאר ע&#x202B;'<br>
+ומן החמישיות יש לך לקחת כ"א<br>
+ומהשביעיות ט&#x202B;'<br>
+אח"כ תחבר כל זה ותסיר כל המאות ובעד כל מאה תסיר ה&#x202B;'<br>
+ומה שישאר הוא המבוקש{{#annotend:Vapl}}
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא  אשר יהיו וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון ויתן לך י"ו והשנית יתן לך הנשאר שהם הבחינה מהראשון אשר הם י"ו  הם יא וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה אשר הם  בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון
+:<math>\scriptstyle\left[\left[\left(x\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(x\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(x\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105=x</math>
 |-
 |
+::Example: I choose the number 4.
-=== <span style=color:Green>Pursuit Problems</span> ===
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> הנה לקחתי מספר ד&#x202B;'
-|
 |-
 |
-:{{#annot:two men|657|cZiZ}}162) Question: there are two who want to walk a certain distance.
+::1 remains [from casting out] the threes; so take 70.
-:The first walks 30 miles every day.
+|style="text-align:right;"|הנה ישאר על השלישיות א' וקח ע&#x202B;'
-:The second walks a mile on the first day, on the second 2, on the third 3 miles and so on every day he adds one mile.
-:In how many days will he reach the first one, so that they both arrive together in one place?
-|style="text-align:right;"|קסב) שאלה הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א&#x202B;'<br>
-א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד{{#annotend:cZiZ}}
 |-
 |
-::The way: you should double the [number of] miles of the one who walks at a constant speed, i.e. the one who walks 30 miles; it is 60.
+::4 remains from the fives; so take 4 times 21; it is 84.
-|style="text-align:right;"|הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ועל ה' ישאר ד' וקח ד' פעמים כ"א ויהיו פ"ד
 |-
 |
-::Subtract 1 from it; 59 remains, so he reaches him in 59 days.
+::For the sevens take 60, because 4 remains and 4 times 15 is 60.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-1=60-1=59}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח בעד השביעיות ס' כי ישאר ד' וד' פעמים ט"ו הם ס&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו
 |-
 |
-:{{#annot:two men|657|33N2}}163) Question: a man walks 30 miles and the other 14 miles on the first day, and every day he adds a mile.
+::Sum up all; it is 214.
-:When will he catch up with the first one?
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הכל ויהיו רי"ד
-|style="text-align:right;"|קסג) שאלה איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל<br>
-מתי ישיג הראשון{{#annotend:33N2}}
 |-
 |
-::It should be known that you should subtract the miles [that the second walks] on the first day from twice the miles [that the first walks] on the first day, i.e. we subtract 14 from 60; 46 remains, so he reaches him in 46 days.
+::Subtract the hundreds from it; 14 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-14=60-14=46}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מזה המאות וישאר י"ד
-|style="text-align:right;"|ראוי לדעת כי מכפילת המילים מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו
 |-
 |
-:{{#annot:two men|657|8dlz}}164) Question: if you are told: on the first day he walks 2, on the second 4, on the third 6, and so on, every day he adds two miles?
+::Subtract ten for the 200; 4 remains and this is the required.
-|style="text-align:right;"|קסד) שאלה ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין{{#annotend:8dlz}}
+|style="text-align:right;"|ותסיר בעד הב' מאות עשרה וישאר ד' והוא המבוקש
 |-
-|
+|colspan=2|
-::1 mile should be subtract from the [number of miles of the one who walks at a constant speed] and the remainder is the number of days in which the one reaches the other.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle x&\scriptstyle=\left[\left[\left(4\, mod3\right)\sdot70\right]+\left[\left(4\, mod5\right)\sdot21\right]+\left[\left(4\, mod7\right)\sdot15\right]\right]mod105\\&\scriptstyle=\left[\left(1\sdot70\right)+\left(4\sdot21\right)+\left(4\sdot15\right)\right]mod105=\left(70+84+60\right)mod105=214mod105=4\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ראוי לחסר מיל א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Encounter Problem - Two Couriers</span> ===
+:{{#annot:chosen number|667|Aqbz}}125) Question: if you want to know [the number] a man thought of in his heart in another way:
-|
+:Tell him to double it.
+:Then tell him the double it a second time.
+:Then tell him to subtract 4 from it.
+:This is your rule: take 1 for each 4 you subtract and this is the required.
+|style="text-align:right;"|קכה) <big>שאלה</big> ואם תרצה לדעת באופן אחר מה שחשב אדם בלבו<br>
+תאמר לו שיכפלהו<br>
+ואח"כ תאמר לו שיכפלהו פעם ב&#x202B;'<br>
+ואח"כ תאמר לו שיקח ממנו ד&#x202B;'<br>
+וזה לך הכלל כי בעד כל ד' שתסיר מהסך תקח א' והוא המבוקש{{#annotend:Aqbz}}
 |-
 |
-:{{#annot:two couriers|658|WiQX}}165) Question: courier one is in Avignon and he wants to walk to Milan within 8 days.
+:{{#annot:chosen number|667|p6mA}}126) Question: if you want to know it another way:
-:Another courier is in Milan and he wants to walk to Avignon within 5 days.
+:Tell him to double it and add 5 to it.
-:Both of them will start moving together at the same time.
+:Then, he should multiply it 5 times and add ten to it.
-:Within how many days will they meet?
+:Subtract 35 from the result.
-|style="text-align:right;"|קסה) שאלה רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת ב{{#annot:Milan|2593|2eSQ}}מילנו{{#annotend:2eSQ}} בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת ב{{#annot:Avignon|2593|IqeJ}}אוינייון{{#annotend:IqeJ}} בה' ימים ושניהם יחד בעת א' יתחילו להתנועע<br>
+:Take 1 form every ten that remains and this is the required.
-בכמה ימים יפגעו זה את זה{{#annotend:WiQX}}
+:<math>\scriptstyle5\sdot\left(2a+5\right)+10-35</math>
+|style="text-align:right;"|קכו) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעתו באופן אחר<br>
+תאמר לו שיכפלהו ואח"כ יוסיף עליו ה&#x202B;'<br>
+ואחר יכפול אותו ה' פעמי' ואחר יוסיף בו עשרה<br>
+ותחסר ממה שיעלה כל זה ל"ה<br>
+וקח בעד כל עשרה הנשאר א' והוא המבוקש{{#annotend:p6mA}}
 |-
 |
-::You should [sum] the days each walks, i.e. 5 with 8; it is 13 and this is the divisor.
-|style="text-align:right;"|ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק
+=== <span style=color:Green>Ordering Problem - People on a Ship</span> ===
-|-
 |
-::Then, multiply the days of the one by the days of the other, i.e. 5 by 8; it is 40 and this is the dividend. The product is the number of days they walk along the way.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך
 |-
 |
-::Divide 40 by 13; the result is 3 and [one part of 13], so in 3 days and [one part of 13] they reach each other.
+:{{#annot:people on a ship|628|Sfj6}}127) Question: If you wish to know the number - once Jews and Ishmaelites were going on a ship, and a storm came upon the ship.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot8}{5+8}=\frac{40}{13}=3+\frac{1}{13}}}</math>
+:One Jew said: come all of you here.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר
+:He seated the Jews and the Ishmaelites in such a way that when he counted them he gave all the nines to the Ishmaelites and so he proved that the sorrow came upon the sea because of them.
+:This way he threw the 15 Ishmaelites to the sea and the Jews remained.
+:This is the procedure to do it: I cast the Ishmaelites out by nines, I cast the lots, I throw to sea, through the strength of the waves I throw them to it by tricks.
+:Indeed, it is appropriate to start with the Jews and count them by initials.
+|style="text-align:right;"|קכז) <big>שאלה</big> ואם תרצה לדעת המספר והוא כי פעם א' היו הולכים בספינה יהודים וישמעאלים ובא סער בספינה<br>
+אמר יהודי אחד בואו כלכם בכאן והושיבם היהודים וההגרים באופן כי כשהיה מונה אותם לעולם היה כלה כל התשיעיות אל ההגרים והוכיח כי בעבורם בא הצער בים<br>
+ובזה האופן השליך ט"ו הגרים בים והיהודים נשארו<br>
+וזהו אופן עשייתו בם הגרים כל ט' אשפוך גורל אפיל אטיל בים בגאון גליו אשליכמו בתחבולות בדרוש אים<br>
+אכן ראוי להתחיל מהיהודים ותתקנם בראשי תיבות{{#annotend:Sfj6}}
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find the Height Problem - Two Towers</span> ===
+=== <span style=color:Green>Guess - Stone</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:two towers|685|kriv}}166) Question: Two towers have the same height and their [sides] are also the same.
+:{{#annot:stone|667|xViq}}128) Question: If you want to know which stone your friend touched, take 16 stones and make two rows of 8 stones.
-:We know that a man subtracted double the sum of the two sides from the product of one height by the other.
+:Tell the man to touch one stone in these rows.
-:I ask how high is each of them?
+:Then ask him in which row the stone is; if it is on the left, turn over all the rows to the left and if on the right, do the same [to the right].
-|style="text-align:right;"|קסו) שאלה שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם<br>
+:Then ask in which row [it is] and so on; turn [them] over three times.
-והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים<br>
+:After the third reversal, ask him in which row it is.
-אשאל כמה היה גובה כל א' מהם{{#annotend:kriv}}
+:This is the rule in your hands: the third term is the one you are asking for.
+|style="text-align:right;"|קכח) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת איזה אבן נגע חבירך<br>
+קח י"ו אבנים ועשה ב' שורות מח' אבנים ותאמר לאיש שיגע אבן אחת מאלו השורות<br>
+אח"כ שאל לו באיזו שורה היא האבן ואם היא בשמאל תהפך כל השורות בשמאל ואם בימין כן תעשה<br>
+אח"כ שאל באיזו שורה וכן תהפך ג' פעמים<br>
+ואחר ההפוך הג' תשאל לו באיזו שורה היא<br>
+וזה הכלל &#x202B;<ref>248r</ref>יהיה בידך כי לעולם האות הג' היא אותה שאתה מבקש{{#annotend:xViq}}
 |-
 |
-::The answer: suppose the remainder is 21, for instance, i.e. what remains from the product of the height of one tower by the other, when double the sum of the [sides of] the two towers is subtracted from it.
+:129) Question: a man sells a bunch of eggs.
-|style="text-align:right;"|התשובה נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים
+:After he sold them he looked at his hand and said: I did not do well, because if I had given 1 less for a dinar, I would have had 4 times more coins.
+:Tell him how many eggs were sold and how much was the money earned from the eggs.
+|style="text-align:right;"|קכט) <big>שאלה</big> איש מוכר קופה של ביצות וכאשר מכר אותם הביט בידו ואמר לא עשיתי בטוב כי אלו הייתי נותן א' פחות בדינר היה לי ד' פעמים יותר ממעות<br>
+תאמ' לו כמה היו הביצות הנמכרות וכמה הוא הממון שיצאו מהביצות
 |-
 |
-::We want to know the height of the towers:
+::Answer: do as follows: since he said that he would have had 4 times more coins, multiply 4 by itself; the result is 16.
-|style="text-align:right;"|ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תעשה ככה לפי שאמר שהיו לו ד' פעמים ממעות יותר לכן תכפול ד' לעצמו ויעלו י"ו
 |-
 |
-::We know that the towers are two, so 2 [multiplied] by itself is 4.
+::Subtract 1 from it; 15 remains.
-|style="text-align:right;"|הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תחסר ממנו א' וישארו ט"ו
 |-
 |
-::We add it to 21; the result is 25 and its root is 5.
+::Then, subtract 1 from 4; 3 remains.
-|style="text-align:right;"|ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואח"כ תחסר מהד' א' וישארו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::We add to it 2, which is the number of the towers; the result is 7, which is the height of each one of the towers.
+::Multiply it by the 15 mentioned; the result is 45 and this is the [number of] dinar earned from the eggs.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4^2-1\right)\sdot\left(4-1\right)=\left(16-1\right)\sdot3=15\sdot3=45}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים
+|style="text-align:right;"|ותכפול אותם על ט"ו הנזכרים ויעלו מ"ה וככה דינרין יצאו מן הביצות
 |-
 |
-::The proof of this is explained in the first section of Abū Bakr [al-Haṣṣār].
+::To know how many eggs were there, multiply 15 by 4; the result is 60 and 60 were the eggs that were sold.
-|style="text-align:right;"|ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מ{{#annot:al-Haṣṣār|509|FSkZ}}אבו בכר{{#annotend:FSkZ}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4^2-1\right)\sdot4=15\sdot4=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה היו הביצות כפול ט"ו על ד' ויעלו ס' וס' ביצות היו הביצות הנמכרות
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Whole from Parts Problem - Two Purses</span> ===
+=== <span style=color:Green>Too Much and Too Little Problem - Money</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:two purses|650|ofZw}}167) Question: we have two purses, but we do not know how much money is in them, we only know that in the greater purse there is a half and a third of what is in the two purses summed together and in the smaller purse there is 13.
+:{{#annot:money|2645|v4xY}}130) Question: one had coins and does not know how many they are.
-:I ask how much money is in both purses [together]?
+:He gave them to many people and does not know how many.
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+13=X</math>
+:But he knew that if he gave 12 to each person, they would have more than 52 and if he gave 16 to each person, he would have less than 60.
-|style="text-align:right;"|קסז) שאלה הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג<br>
+:I would like to know how much money there was and how many people there were?
-אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים{{#annotend:ofZw}}
+|style="text-align:right;"|קל) <big>שאלה</big> אחד היו לו מעות ואינו יודע כמה הם ונתן אותם לאנשים רבים ואינו יודע כמה<br>
+אבל ידע שאם נתן י"ב לכל איש יהיו יותר מה'ב' ואם יתן י"ו לאיש יחסר מס&#x202B;'<br>
+הנה היתי רוצה לדעת כמה ממון היה לזה וכמה אנשים היו{{#annotend:v4xY}}
 |-
 |
-::The answer: take the common denominator, which is 6; its third and its half is 5, which is 1 less than 6, by which you divide.
+::The answer: the missing money should be added to the surplus money, i.e. 52 with 60; the result is 112.
-|style="text-align:right;"|תשובה קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לחבר המעות שהיו חסרים עם המעות שהיו יתרים ר"ל נ"ב עם ס' ויעלו קי"ב
 |-
 |
-::Multiply 6 by 13; it is 78.
+::It should be divided by the difference between the missing and the surplus money, i.e. by the difference between 52 and 60, which is 8. If you do this, the result is 28. So, the people are 28.
-|style="text-align:right;"|ו' כפול על י"ג הם ע"ח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{2\sdot}}\frac{52+60}{60-52}={\color{red}{2\sdot}}\frac{112}{8}=28}}</math>
+|style="text-align:right;"|וראוי לחלק אותם עם ההפרש מהמעות החסרים עם היתרים ר"ל עם ההפרש שיש מנ"ב לס' שהוא ח' אשר אם תעשהו יצא כ"ח והאנשים היו כ"ח
 |-
 |
-::Divide it by 1; it is 78 and this is the amount of money in each purse, which is the required.
+::Then, you should know how much was the money:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot13}{\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)}=\frac{78}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואחר זה כדי שתדע כמה היו המעות
-|style="text-align:right;"|חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש
 |-
 |
+::Take as much as you want - either 12 or 16
-=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
+|style="text-align:right;"|ואחר שתחזיק כמה שתרצה אם אל י"ב ואם אל י"ו
+|-
 |
+::If 12, you should multiply 12 times 28; the result is 336.
+|style="text-align:right;"|אם אל י"ב ראוי שתכפול י"ב פעמים כ"ח ויעלו של"ו
 |-
 |
-:{{#annot:a(mod)3=a(mod5)=a(mod7)=1|618|lQns}}168) Question: find me a number, such that if you divide it by 3, by 5, and by 7, 1 remains.
+::To this you should add the 52 added; the result is 388.
-|style="text-align:right;"|קסח) שאלה בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א&#x202B;'{{#annotend:lQns}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(12\sdot28\right)+52=336+52=388}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובאלו ראוי שתוסיף מה שיתוסף נ"ב ובאלו יעלו שפ"ח
 |-
 |
-::The answer: take 70 for the 1 that remains above 3, when we divide it by 3; take 21 for the 1 that remains when we divide by 5; take 15 for the 1 that remains when we divide by 7. Sum them; it is [...] 106.
+::If you multiply [2]8 times 16, the result is [4]48.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70+21+15=106}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם אתה כפלת י"ח פעמים י"ו יעלו שמ"ח
-|style="text-align:right;"|תשובה קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ז' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה
 |-
 |
-:{{#annot:a(mod)3=2,a(mod5)=4,a(mod7)=6|618|hx8d}}169) Question: if you are told that the remainder after casting out the threes is 2 etc.
+::To this you should subtract what is missing, i.e. the 60 ; the result is 388 as said.
-:Do it this way:
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16\sdot28\right)-60=448-60=388}}</math>
-:For instance, if it is said that when we divide it by 3, 2 remains; if its is divided by 5, 4 remains; and if it is divided by 7, 6 remains.
+|style="text-align:right;"|ומאלו ראוי שתחסר מה שחסר ר"ל ס' וישארו שפ"ח כאשר נאמר
-|style="text-align:right;"|קסט) שאלה ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג&#x202B;'<br>
-עשה בדרך הזה<br>
-עד"מ ואם אמר כשנחלקהו על ג' ישאר ב' ואם יחולק על ה' ישאר ד' ואם יחולק על ז' ישאר ו&#x202B;'{{#annotend:hx8d}}
 |-
 |
-::Take [70 for the 1 that remains above 3].
+::In this way you can solve other [questions] similar to it.
-|style="text-align:right;"|קח על כל א' מהב' והנשאר ע&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ובזה הדרך תוכל לעשות הדומות לזו
 |-
 |
-::Multiply 70 by 2; it is 140.
-|style="text-align:right;"|וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Three Men - Money</span> ===
-|-
 |
-::Multiply 4 by 21; it is 84.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד
 |-
 |
-::Multiply 6 by 15; it is 90.
+:{{#annot:three men - money|652|5Y4D}}131) Question: there are three men here who have money.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ&#x202B;'
+:The two without the first have 19.
+:The two without the second have 23.
+:The two without the third have 30.
+:We say: how much money does each have?
+|style="text-align:right;"|קלא) <big>שאלה</big> הנה בכאן ג' אנשים שיש להם מעות אשר הב' מבלי הא' יש להם י"ט והב' מבלי הב' יש להם כ"ג והב' מבלי הג' יש להם ל&#x202B;'<br>
+נאמר כמה ממון יש לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:5Y4D}}
 |-
 |
-::Sum them up; it is 314 and this is the required.
+::You should sum up all the money and divide the result by 2 and the result is the money of the three. This way is known.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(70\sdot2\right)+\left(21\sdot4\right)+\left(15\sdot6\right)=140+84+90=314}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19+23+30}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש
+|style="text-align:right;"|ראוי לך לחבר ממון שלשתן ולחלק העולה על ב' ומה שיעלה הוא ממון שלשתן והדרך הוא נודע
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Three Purses</span> ===
+=== <span style=color:Green>Twins</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three purses|652|P3hi}}170) Question: a man found three purses.
+:{{#annot:male and female|647|l10Y}}132) Question: Reuven reached his deathbed and made a will this way: from a hundred ducat that I would leave - if my wife, who is pregnant, gives birth to a male, she will have one-third of it and the rest will be for her son, and if she gives birth to a female, the third will be for her daughter and the rest for her.
-:He know that in the first purse there is an unknown amount [of money], in the second purse there is twice of [what is] in the first, and in the third there is as much as in the both.
+:When he died, his wife gave birth to twins, a male and female.
-:The total is 100 minyanim.
+|style="text-align:right;"|קלב) <big>שאלה</big> הנה במקרה ראובן הגיע אל המות ועשה צוואה &#x202B;<ref>248v</ref>בזה האופן ממאה דוקטי שאניח אם אשתי אשר היא הרה תלד זכר תהיה לה השליש והשאר תהיה לבנה ואם נקבה תלד שהשליש מבתה והשאר ממנה וכאשר מת ילדה אשתו תאומים זכר ונקבה{{#annotend:l10Y}}
-:We ask how much is in each?
+|-
-|style="text-align:right;"|קע) שאלה אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:P3hi}}
+|
+::Answer: it is clear that the son should have double the mother and the mother double the daughter.
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> הנה יראה שהבן ראוי לו כפל מהאם והאם הכפל מהבת
+|-
+|
+::Hence, we should do as follows: to the daughter, who gets the least, he gave 1, to the mother 2, and to the son 4.
+|style="text-align:right;"|ולכן ראוי לנו לעשות ככה שהבת שהיא הפחותה שם א' והאם ב' והבן ד&#x202B;'
 |-
 |
-::The answer: we suppose that in the first purse there is 1 dinar, in the second 2, and in the third 3. The total is 6.
+::Do like this: there are three here, one contributed 1, the second 2, and the third 4.
-|style="text-align:right;"|תשובה נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו&#x202B;'
+::They earned 100.
+::How much should each receive?
+|style="text-align:right;"|ותעשה ככה הנה בכאן ג' הא' שם א' והב' ב' והג' ד' והרויחו ק&#x202B;'<br>
+כמה יגיע לכל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide 100 by 6; you get 16 and 2-thirds and this is what is in the small purse.
+::This is clear.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{1+2+3}=\frac{100}{6}=16+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזה מבואר
-|style="text-align:right;"|וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>If You Give Me Problem - Two Men, Horse</span> ===
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:two men, horse|664|EQjk}}171) Question: two want to buy a horse.
+:{{#annot:7a/9=45|618|d4nh}}133) Question: find me a number such that if you multiply it by 7 and divide by 9, your result will be 45.
-:The first said to the second: If you give me a half and a third of your money, with what I have, we will buy the horse.
+:<math>\scriptstyle \frac{a\sdot7}{9}=45</math>
-:The second said: If you give me a third and a quarter of your money, with what I have, we will buy the horse.
+|style="text-align:right;"|קלג)&#x202B;<ref>MS L: קל</ref> <big>שאלה</big> תמצא לי מספר אשר אם תכה אותו בז' ותחלק אותו על ט' שיצא לך מ"ה{{#annotend:d4nh}}
-:I ask: how much does each have and how much is the horse worth?
-|style="text-align:right;"|קעא) שאלה ב' רוצים לקנות סוס אחד<br>
-אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס<br>
-אמר הב' אם תתן לי שלישית ורביעית ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס<br>
-אשאל כמה לכל א' וכמה שוה הסוס{{#annotend:EQjk}}
 |-
 |
-::Answer: look for the common denominator; it is 12.
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> do as follows: assume the number is whatever you want.
-|style="text-align:right;"|תשובה בקש המורה הוא י"ב
+::To make it easy for you, suppose it does not include a fraction.
+::We suppose this number is 18.
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תסכים שאותו המספר יהיה מה שתרצה ולהקל מעליך עשה שבאותו מספר לא יהיה בו שבר<br>
+ונניח שאותו המספר יהיה י"ח
 |-
 |
-::Take its half and its third; it is 10.
+::When you multiply 18 times 7, the result is 126.
-|style="text-align:right;"|וקח החצי והשליש והוא י&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|א"כ כאשר תכה ז' פעמים י"ח יעלו קכ"ו
 |-
 |
-::Subtract it from 12; 2 remains, so the first has 2.
+::If you divide it by 9, the result is 14.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]=12-10=2}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot18}{9}=\frac{126}{9}=14}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ואם תחלקהו בט' יצא י"ד
 |-
 |
-::Take a third and a quarter of the denominator; it is 7.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we have already said that the result is 45, so it should be done like this: multiply the number you assumed, that is ,multiply 18 by 45; the product of 810.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו שיצא מ"ה לכן ראוי לעשות ככה שתכה המספר אשר שמת אותו כבר שתכפול י"ח על מ"ה אשר יצא תת"י
 |-
 |
-::Subtract 7 from 12; the remainder is 5, and so has the second.
+::Divide it by the resulting 14; the result is 57 and 6-sevenths and this is the sought-after.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot45}{14}=\frac{810}{14}=57+\frac{6}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני
+|style="text-align:right;"|וזה תחלק עם אותו שיצא עם י"ד ויצא נ"ז וו' שביעיות והוא הנשאל
 |-
 |
-::If you want to know the price of the horse, take a half and a third of 5; it is [4] and a sixth.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check is you should multiply 57 and 6-sevenths by 7; the result is 405.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראוי שתכה נ"ז וו' שביעיות עם ז' ויצא ת"ה
+|-
+|
+::Divide [it] by 9; the result is 45.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(57+\frac{6}{7}\right)\sdot7}{9}=\frac{405}{9}=45}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלק עם ט' ויצא מ"ה
 |-
 |
-::Add 2 and this is the required, i.e. [6] and a sixth.
+:{{#annot:(5/a)·8=23|618|km4W}}134) Question: find a number such that if you divide it by 5 and multiply by 8 the result will be 23.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\right]+2=\left(4+\frac{1}{6}\right)+2=6+\frac{1}{6}}}</math>
+:<math>\scriptstyle \frac{a}{5}\sdot8=23</math>
-|style="text-align:right;"|ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות
+|style="text-align:right;"|קלד)&#x202B;<ref>MS L: קלא</ref> <big>שאלה</big> תמצא מספר אשר אם תחלק אותו עם ה' ותכה אותו עם ח' יעלה כ"ג{{#annotend:km4W}}
 |-
 |
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> assume this number is twenty.
-=== <span style=color:Green>How Much Problem - Tree</span> ===
+|style="text-align:right;"|שים שאותו המספר יהיה עשרים
+|-
 |
+::We divide it by 5; the result is 4.
+|style="text-align:right;"|ונחלק אותו עם ה' ויצא ד&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:tree|648|57wS}}172) Question: We have a tree whose height is unknown, we just know that if we take 4 times as much as it and added it to its square, we receive a given number.
+::Multiply it by 8; the result is 32.
-:How tall is the tree?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{5}\sdot8=4\sdot8=32}}</math>
-:<math>\scriptstyle4a+a^2=b</math>
+|style="text-align:right;"|ותכה אותו עם ח' ויצא ל"ב
-:Suppose we receive 128 and a quarter after adding to the square of the tree its four times and we wish to know the height of the tree.
-:<math>\scriptstyle4a+a^2=128+\frac{1}{4}</math>
-|style="text-align:right;"|קעב) שאלה יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו מספר מונח<br>
-כמה גבהות האילן<br>
-תשובה נניח שעלה בידינו אחר שהוספנו על מרובע האילן ד' פעמים כמוהו קכ"ח ורביע א' שלם<br>
-ונרצה לדעת גבהות האילן{{#annotend:57wS}}
 |-
 |
-::Do as follows: always add 4 integers to the resulting number; the result in our example is 132 and a quarter.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we want it to be 23. Therefore, you should multiply twenty times 23 in the aforementioned way; you receive 460.
-|style="text-align:right;"|הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע
+|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים כ"ג ראוי שתכה לפי הדרך הנאמר עשרים פעמים כ"ג ויצא לך ת"ס
 |-
 |
-::We extract its square root; it is 11 and a half.
+::Divide by 32; the result is 14 and 3-eighths and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20\sdot23}{32}=\frac{460}{32}=14+\frac{3}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלק עם ל"ב ויצא י"ד וג' שמיניות והוא המבוקש
 |-
 |
-::We always subtract 2 integers; the remainder is 9 and a [half] and this is the height of the tree etc.
+:{{#annot:a-⅓a-¼a=29|618|3Zd3}}135) Question: find me a number such that if you subtract its third and its quarter from it the remainder is 29.
-|style="text-align:right;"|נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה
+:<math>\scriptstyle a-\left(\frac{1}{3}a\right)-\left(\frac{1}{4}a\right)=29</math>
+|style="text-align:right;"|קלה)&#x202B;<ref>MS L: קלב</ref> <big>שאלה</big> תמצא לי מספר אשר אם תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו הנשאר כ"ט{{#annotend:3Zd3}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(128+\frac{1}{4}\right)+4}-2=\sqrt{132+\frac{1}{4}}-2=11+\frac{1}{2}-2=9+\frac{1}{2}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> keep the way and say as follows: we assume this number is 12.
+|style="text-align:right;"|תשמור הדרך ותאמר ככה נניח שאותו המספר הוא י"ב
 |-
 |
+::Subtract its third and its quarter from it, which are 7; 5 remains.
-=== <span style=color:Green>Too Much and Too Little Problem - Workers - House</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוציא ממנו שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישאר ה&#x202B;'
+|-
 |
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we want it to be 29. So, multiply 12 times 29; the result is 348.
+|style="text-align:right;"|ואנו מבקשים כ"ט א"כ תכה י"ב פעמים כ"ט ויצא שמ"ח
 |-
 |
-:{{#annot:workers - house|2645|dD6m}}174) Question: a man built his house. He came to pay wages to the workers and said to them: I have an amount of money such that if I give 3 dinar to each one, I will have 15 dinar left and if I give 3 dinar and a half to each one, I will be short of ten dinar.
+::Divide it by 5; the result is 69 and 3-fifths.
-:I ask: how many are the workers and how much is his money?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot29}{5}=\frac{348}{5}=69+\frac{3}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קעד) שאלה אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין<br>
+|style="text-align:right;"|וחלק אותו על ה' ויצא ס"ט וג' חמישיות
-אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו{{#annotend:dD6m}}
 |-
 |
-::The answer: subtract 3 dinar from 3 and a half; half a dinar remains, by which you divide.
+:{{#annot:a+⅓a+⅖a=81|618|khzV}}136) Question: find me a number such that if you add to it its third and its two fifths it makes [81].
-|style="text-align:right;"|תשובה חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק
+:<math>\scriptstyle a+\left(\frac{1}{3}a\right)+\left(\frac{2}{5}a\right)=81</math>
+|style="text-align:right;"|קלו)&#x202B;<ref>MS L: קלג</ref> <big>שאלה</big> תמצא לי מספר אשר אם תוסיף עליו שלישיתו ושני חמישיותיו יעשה י"ח{{#annotend:khzV}}
 |-
 |
-::Add 15 dinar to 10 dinar; it is 25.
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> keep the way: we assume this number is 15.
-|style="text-align:right;"|חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה
+|style="text-align:right;"|תשמור הדרך נניח שאותו המספר יהיה ט"ו
 |-
 |
-::Divide it by half; it is 50 and so are the workers.
+::The third of 15 is 5 and its two-fifths are 6. Add them to 15; the result is 26.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15+10}{\left(3+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{25}{\frac{1}{2}}=50}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)+\left(\frac{2}{5}\sdot15\right)=15+5+6=26}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים
+|style="text-align:right;"|והשליש מט"ו הוא ה' ושני חמישיותיו הם ו' שים אותם על ט"ו ויעלו &#x202B;<ref>249r</ref>כ"ו
 |-
 |
-::If you want to know [how much is] the money: multiply 50 by 3; it is 150.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we want it to be [81]. So, we say: if 15 gives me 26, what will [81] give us?
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בג' ויהיו ק"נ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15:26=81:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואנו נרצה י"ח א"כ נאמר אם ט"ו יתנו לי כ"ו מה יתן לנו י"ח
 |-
 |
-::Add 15 to it; it is 165 and this is the money.
+::You should keep the way by multiplying the [15] you assumed by [81]; you receive 1215.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(50\sdot3\right)+15=150+15=165}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן ראוי שתשמור הדרך שתכה הו' ששמת עם י"ח ויצא לך אלף ומאתים וט"ו
-|style="text-align:right;"|הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות
 |-
 |
-::If you multiply 50 by 3 and a half, the result is 175 and he loses 10 dinar.
+::Divide the product by 26; the result is 46 and 19 parts of 26.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=175}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{red}{\frac{15\sdot81}{26}=\frac{1215}{26}=46+\frac{19}{26}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תכפול נ' בג' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין
+|style="text-align:right;"|וזה תחלק על מה שייצא עם כ"ו ויצא מ"ו וי"ט חלקים מכ"ו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Three Men - Money</span> ===
+=== <span style=color:Green>Divide a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three men - money|652|WUTT}}175) three men have money, we do not know how much, only that the first has half the second, the second has half the third and together they all have 12.
+:{{#annot:a+b=30, 4a=3b|619|ahVb}}137) Question: if you want to divide 30 into two parts such that if you multiply the one by 4 it becomes the same as the other part if you multiply it by 3.
-:We ask: how much does each have?
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=30 \\\scriptstyle 4a=3b\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|קעה) שאלה ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב<br>
+|style="text-align:right;"|קלז)&#x202B;<ref>MS L: קלד</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מל' ב' חלקים אשר אם תכה הא' בד' יעשה כמו החלק האחר אם תכה אותו בג&#x202B;'{{#annotend:ahVb}}
-נשאל כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:WUTT}}
 |-
 |
-::The answer: the first has 1 pašuṭ, the second has 2 pešuṭim, and the third has 4.
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> do like this: assume the part is one and if you multiply it by 4 it is 4.
-|style="text-align:right;"|תשובה הא' היה לו פשוט א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שאותו החלק יהיה אחד ואם תכה אותו בד' יהיה ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Sum them up; they are 7 pešuṭim.
+::Suppose the other part is a number that if you divide it by 3, the result is 4; it is the number 12.
-|style="text-align:right;"|קבצם והם ז' פשוטים
+|style="text-align:right;"|והחלק השני תעשה שיהיה מספר שאם תחלק אותו בג' יצא ד' והוא מספר י"ב
 |-
 |
-::Divide 12 by 7; you receive 1 and 5-sevenths and this is the money of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a_1=1 \\\scriptstyle \frac{b_1}{3}=4\sdot1=4\longrightarrow b_1=12\end{cases}}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1+2+4}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}</math>
+|
-|style="text-align:right;"|וחלק י"ב על ז' ויצא לך א' וה' שביעיות והוא סך הראשון
 |-
 |
-::The second has double this and the third [has] double the second.
+::We could have said that we have solved it, but this is not true, because we did not divide the 30, as the first part is 1 and the second is 12, therefore the total is 13. So, we have to turn the calculation from the 13 we received to the 30 we are looking for.
-|style="text-align:right;"|וכפל זה היה לשני וכפל השני לג&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1=1+12=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה כבר היינו יכולין לומ' שנעשינו הדרך אבל אינו אמת כי אנחנו לא חלקנו ל&#x202B;'<br>
+אבל היה החלק הראשון א' והשנית י"ב אשר יעלה הכל י"ג אשר כדי להביא החשבון אל מקומו מהאחר אשר שם בא לנו י"ג ואנו מבקשים ל&#x202B;'
 |-
 |
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, you should multiply 1 by 30; the result is 30.
-=== <span style=color:Green>Give and Take Problems</span> ===
+|style="text-align:right;"|לכן ראוי שתכה א' עם ל' ויצא ל&#x202B;'
+|-
 |
+::Divide it [by 13]; the result is 2 and 4 parts of 13 and this should be the first part.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{1\sdot30}{13}=\frac{30}{13}=2+\frac{4}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וזה תחלק ויצא ב' וד' חלקים מי"ג וככה ראוי להיות החלק הא&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:building|627|JLEa}}176) Question: A man hired his friend to build him a house every day, and agreed with him that he would pay him 5 dinar every day, and every day that he does not work, the hired man would pay 9 dinar to the owner of the house.
+::The second part should necessary be the complement to 30, which is 27 and 9 parts of 13.
-:He worked for a known [number of] days, and finally the owner of the house gave him 1 dinar.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=30-\left(2+\frac{4}{13}\right)=27+\frac{9}{13}}}</math>
-:We would like to know how many days did he work.
+|style="text-align:right;"|א"כ בהכרח החלק השני ראוי להיות עד הל' אשר יהיה כ"ז וט' חלקים מי"ג
-|style="text-align:right;"|קעו) שאלה אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה' דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א&#x202B;'<br>
-נרצה לדעת כמה ימים עבד{{#annotend:JLEa}}
 |-
 |
-::You should add 5 to 9; it is 14.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> When you divide 27 and 9 parts of 13 by 3, you receive 9 and 3 parts of 13. So, we solved the question.
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{27+\frac{9}{13}}{3}=9+\frac{3}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אשר תחלק כ"ז וט' חלקים מי"ג עם ג' ויצא לך ט' וג' חלקים מי"ג א"כ עשינו השאלה
+|-
+|
+:{{#annot:a+b+c=18, a-⅕a=b+⅓b=2½c|619|Slvf}}138) Question: if you want to produce three parts from 18 so that when you subtract a fifth from one part and add to the second [part] its third and multiply the third [part] by 2 and a half, all will be the same.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=18\\\scriptstyle a-\frac{1}{5}a=b+\frac{1}{3}b=c\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|קלח)&#x202B;<ref>MS L: קלה</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מי"ח ג' חלקים בזה האופן אשר אחר שהוצאת החומש מהחלק הראשון וחברת אל השני שלישיתו והג' מוכה עם ב' וחצי כל א' יהיה שוה{{#annotend:Slvf}}
 |-
 |
-::We multiply 9 by 30; it is 270.
+::Assume the first part is 5.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ט' על ל' ויהיו ר"ע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|תשים שהחלק הא' יהיה ה&#x202B;'
 |-
 |
-::We add 1 to it; it is 271.
+::If you subtract its fifth from it, which is 1, 4 remains.
-|style="text-align:right;"|נוסיף עליו א' ויהיו רע"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{1}{5}\sdot5\right)=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תוציא ממנו החומש שהוא א' ישאר ד&#x202B;'
 |-
 |
-::We divide it by 14; you receive 19 and 5 parts of 14.
+::Now, you should see how much the second part should be, so that if you add its third to it, it will be 4. It is 3.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot30\right)+1}{5+9}=\frac{270+1}{14}=\frac{271}{14}=19+\frac{5}{14}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1+\frac{1}{3}b_1=4\longrightarrow b_1=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד
+|style="text-align:right;"|ועתה ראוי לראות אל החלק השני כמה ראוי להיות כדי שאם תוסיף עליו שלישיתו יהיה ד' ויהיה ג&#x202B;'
 |-
 |
-::We multiply 30 by 5; it is 150.
+::You should also see how much the third part should be, so that if you multiply it by 2 and a half, [it will be 4]. It is 1 and [three]-fifths.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c_1\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=4\longrightarrow c_1=1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד ראוי לראות כמה ראוי להיות החלק הג' אשר כאשר תכה אותו בב' וחצי ראוי להיות א' ושני חומשים
 |-
 |
-::We subtract 1 from it; it is 149.
+::Sum up the first part, which is 5, the second, which is 3, and the third, which is 1 and [three]-fifths; the total is 9 and [3]-fifths.
-|style="text-align:right;"|נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+b_1+c_1=5+3+\left(1+\frac{{\color{red}{3}}}{5}\right)=9+\frac{{\color{red}{3}}}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ עתה ראוי לך להוסיף החלק הראשון שהוא ה' והשני שהוא ג' והשלישי שהוא א' ושני חומשים ויעלו כלם ט' וב' חומשים
 |-
 |
-::We divide it by 14; you receive ten and 9 parts of 14.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> We want it to be 18, so we say: if for the 5 assumed the result is 9 and 3-fifths, from what will I get 18 that we want to divide?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5\sdot30\right)-1}{5+9}=\frac{150-1}{14}=\frac{149}{14}=10+\frac{9}{14}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):5=18:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד
+|style="text-align:right;"|ואנו נרצה שיהיו י"ח והנה נאמר אם בעד ה' ששם אלו יצא ט' וג' חומשים ממה יצא לי י"ח שהיינו רוצים לחלוק
 |-
 |
-::So, he worked 19 days and 5 parts of 14 and he rested from his work 10 days and 9 parts of 14.
+::According to the method you should multiply the 5 we assumed by the 18 we want; the result is 90.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים מי"ד
+|style="text-align:right;"|ראוי שתכה כפי הדרך ה' ששמנו כנגד י"ח שרצינו ויצא צ&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:donation|627|FPlr}}177) Question: A man goes to trade.
+::This should be divided by 9 and 3-fifths; the result is 9 and 3-eighths and this is the first part.
-:He vows that if God doubles his money every day, he will give 3 dinars to charity and within 3 days all his money is gone.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{90}{9+\frac{3}{5}}=9+\frac{3}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|קעז) שאלה אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג' דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו{{#annotend:FPlr}}
+|style="text-align:right;"|וזה ראוי לחלק עם ט' וג' חומשים ויצא ט' וג' שמיניות וככה היה החלק הראשון
 |-
 |
-::You should do this: you already know that on the third day all his money was gone, after he gave 3 dinar, therefore what he had on the third day was 3.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Say: for the second, 9 and 3-fifths gives me 3, what will I get from 18?
-|style="text-align:right;"|יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):3=18:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר ככה בעד השנית נתן לי ט' וג' של חמישיות ובא אלי ג' מה שיצא אלי מי"ח
 |-
 |
-::Divide it by 2; you receive 1 and a half.
+::You should multiply 3 by the 18; the result is 54.
-|style="text-align:right;"|תחלקהו על ב' יצא לך א' וחצי
+|style="text-align:right;"|ראוי שתכה ג' עם י"ח ויעלה נ"ד
 |-
 |
-::Add 3 to it; it is 4 and a half and this is what he had on the second day, before giving his money.
+::Divide it by 9 and 3-fifths; the result is 5 and 5-eighths and this is the second part.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{2}+3=\left(1+\frac{1}{2}\right)+3=4+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{54}{9+\frac{3}{5}}=9+\frac{5}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו
+|style="text-align:right;"|ותחלק אותם על ט' &#x202B;<ref>249v</ref>וג' חמישיות ויצא ה' וה' שמיניות וכך היה החלק השני
 |-
 |
-::Divide it by 2; you receive 2 and a quarter.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> For the third say: if from 9 and 3-fifths we get 1 and 3-fifths, what will we get from 18?
-|style="text-align:right;"|וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{5}\right):\left(1+\frac{3}{5}\right)=18:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעד הג' ראוי שתאמר אם מט' וג' חמישיות שהיה לנו א' וג' חמישיות מה יצא לנו מי"ח
 |-
 |
-::Add 3 to it; it is 5 and a quarter and this is what he had on the first day, before giving the money.
+::You should multiply 1 and 3-fifths by the 18; the result is 28 and 4-fifths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{2}}{2}+3=\left(2+\frac{1}{4}\right)+3=5+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי שתכה א' וג' חמישיות עם י"ח ויעלו כ"ח וד' חמישיות
-|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון
 |-
 |
-::If you want to divide it by 2, you receive 2 and 5-eighths and this is the amount of money.
+::Divide it by 9 and 3-fifths; we receive 3 and this is the third part.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{1}{4}}{2}=2+\frac{5}{8}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+\frac{3}{5}\right)\sdot18}{9+\frac{3}{5}}=\frac{28+\frac{4}{5}}{9+\frac{3}{5}}=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות
+|style="text-align:right;"|ותחלק על ט' וג' חמישיות ויצא לנו ג' וכך היה החלק הג&#x202B;'
 |-
 |
-::Deduce from this.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, subtract the fifth from the first, which is 9 and 3-eighths; 7 and a half remains.
-|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{3}{8}\right)-\frac{1}{5}\sdot\left(9+\frac{3}{8}\right)=7+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכדי לאמת זה תוציא החומש מהראשון שהוא ט' וג' שמיניות וישארו ז' וחצי
 |-
 |
-:{{#annot:donation|627|0zsJ}}178) Question: A man has money and said that if God will add 2 dinar to his money every day, he will donate 3 dinar every day.
+::For the second, take a [third] of 5 [and] 5-eighths, which is 1 and 5-eighths, and add it to it; the result is 7 and a half.
-:At the end of 4 days, all his money is gone.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{8}\right)+\frac{1}{3}\sdot\left(5+\frac{5}{8}\right)=7+\frac{1}{2}}}</math>
-:We ask how much money did he have on the first day?
+|style="text-align:right;"|ובעד הב' תקח השנית מה' ה' שמיניות שהוא א' וה' שמיניות וזה תוסיף עליו ויעלה ז' וחצי
-|style="text-align:right;"|קעח) שאלה אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו<br>
-נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון{{#annotend:0zsJ}}
 |-
 |
-::We solve this question this way: you already know that what he gave on the fourth day was 3, then he has nothing left in his hand and the profit he makes each day is 2.
+::In order to check the third, multiply 3 by 2 and a half; the result is 7 and a half.
-|style="text-align:right;"|נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=7+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכדי לאמת הג' תכה ג' על ב' וחצי ויעלה ז' וחצי
 |-
 |
-::We subtract 2, which is the profit, from 3; 1 remains and this is what he had on the fourth day, before the profit he made that day.
+:{{#annot:a+b=20, b=4a|619|IrC7}}139) Question: if you want to produce two parts from 20 so that one part will be 4 times of the other part.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=20\\\scriptstyle b=4a\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום
+|style="text-align:right;"|קלט) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מכ' ב' חלקים שהחלק הא' יהיה ד' פעמים מהחלק האחר{{#annotend:IrC7}}
 |-
 |
-::We add 3 to 1; it is 4.
+::<span style=color:Green>'''False position:'''</span> Do as follows: suppose the first part is 1.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|כך תעשה תשים שהחלק הא' היה א&#x202B;'
 |-
 |
-::We subtract from it the 2 of the profit; 2 remains and this is what he had on the third day, before the profit.
+::So, the second part should be 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+3\right)-2=4-2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ החלק הב' ראוי שיהיה ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח
 |-
 |
-::We add 3 to it; it is 5.
+::1 plus 4 is 5, but we want it to be 20.
-|style="text-align:right;"|אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+4=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה א' עם ד' הם ה' ואנו נרצה כ&#x202B;'
 |-
 |
-::We subtract from it the profit, which is 2; the remainder is 3 and this is what he had on the second day, before the profit.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, say: if 5 gives [4], how much will 20 give?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+3\right)-2=5-2=3}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:4=20:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח
+|style="text-align:right;"|לכן תאמר אם ה' נתנו א' כ' מה יתנו
 |-
 |
-::We add 3 to it; it is 6.
+::The result is 16.
-|style="text-align:right;"|א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ויצא י"ו
 |-
 |
-::We subtract 2 from it for the profit; the remainder is 4 and this is what he had on the first day, before made any profit, which is the amount of money he had at the beginning.
+:{{#annot:a+b=10, a/b=100|619|kZMG}}140) Question: if you want to produce two parts from 10 so that when you divide the greater part by the smaller the result will by a hundred.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+3\right)-2=6-2=4}}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=10\\\scriptstyle\frac{a}{b}=100\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה
+|style="text-align:right;"|קמ) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מי' ב' חלקים אשר אם תחלק החלק יותר גדול על הקטן יצאו מאה{{#annotend:kZMG}}
 |-
 |
+::<span style=color:Green>'''False position:'''</span> Do as follows: suppose the first part is 1.
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children</span> ===
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שהחלק הראשון יהיה א&#x202B;'
+|-
 |
+::How much should the second [part] be? It should be a hundred.
+|style="text-align:right;"|כמה ראוי שתהיה השנית ראוי שיהיה מאה
 |-
 |
-:{{#annot:men, women, children|652|VPgv}}179) Question: Men and women and children go to a guesthouse to eat.
+::1 plus 100 is 101, but we want it to be 10.
-:The men pay 2 pešuṭim, the women half a pešuṭ and the children a quarter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+100=101}}</math>
-:They pay 12 pešuṭim and they are 12 also.
+|style="text-align:right;"|והנה א' וק' הם ק"א ואנו רוצים י&#x202B;'
-:How many are the men, the women and the children?
+|-
-|style="text-align:right;"|קעט) שאלה אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול<br>
+|
-האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ<br>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, say: if 101 gives me 1, how much will ten give me?
-כמה הם האנשים והנשים והטף{{#annotend:VPgv}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{101:1=10:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תאמ' אם ק"א נתן לי א' מה יתן לי עשרה
+|-
+|
+::You receive ten parts of 101 and this is clear.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך עשרה חלקים מק"א וזה מבואר
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Shared Work Problem - Cloth</span> ===
+|
 |-
 |
-::Answer: assume the men are as many as you wish, and so are the women and the children.
+:{{#annot:cloth|625|fIHh}}141) Question: Here are people who took it upon themselves to make one cloth.
-|style="text-align:right;"|תשובה תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף
+:The first took it upon himself to do it in 3 weeks and the second in 4 weeks.
+:If they both do their work, how long will they do it?
+|style="text-align:right;"|קמא) <big>שאלה</big> הנה בכאן אנשים שלקחו לעשות בגד א' הא' לקחו לעשות בג' שבועות והב' בד' שבועות ואם שניהם יעשו מלאכתם בכמה זמן יעשוהו{{#annotend:fIHh}}
 |-
 |
-::We suppose the men are 4; their cost is 8 pešuṭim.
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> Do it as follows: we suppose they do it in 12 weeks.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה נניח שבי"ב שביעית יעשוהו
-|style="text-align:right;"|ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים
 |-
 |
-::The women are 4; [their cost is] 2 pešuṭim.
+::We already said that the first do it in 3 weeks, so alone he will do 4 tasks.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot4=2}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{3}=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|וד' נשים מב' פשוטים
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו שהא' יעשהו בג' שבועות א"כ מעצמו היה עושה ד' מלאכות
 |-
 |
-::[Together] their number is 8 and the number of coins is 10.
+::The second do it in [4] weeks, so alone he will do 3 tasks.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8\quad8+2=10}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{4}=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה מספרם ח' ומספר המעות י&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והשני יעשהו בג' שבועות א"כ [מעצמו היה עושה ג' מלאכות
 |-
 |
-::The children are 4; so they are 12 and the number of coins is 11, which is 12 minus 1.
+::Together both do 7 tasks, but we want one task.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+4=12\quad10+1=11\quad12-1=11}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+3=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב
+|style="text-align:right;"|ושניהם&#x202B;]&#x202B;<ref>G. om.</ref> עושים ז' מלאכות ואנו מבקשים מלאכה א&#x202B;'
 |-
 |
-::Hence, we should find a number that will raise [the number of coins] by one: we turn [2] of the 4 [women] into [1] man, so there are [5 men] and we turn [one woman] into 2 children; then the numbers are the same.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, say: if 12 gives 7, how much will 1 give me?
-|style="text-align:right;"|לכן יש לנו למצא מספר שיעלהו אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא שוה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12:7=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמ' אם י"ב יתנו ז' מה יתן לי א&#x202B;'
 |-
 |
-::The answer is: 5 men, one woman, and 6 children; the total is 12, and the total money is 12.
+::Divide 12 by 7; the result is 1 and 5 parts of 7.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+1+6=12=\left(5\sdot2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב
+|style="text-align:right;"|תחלק י"ב על ז' ויצא א' וה' חלקים מי"ב מז&#x202B;'
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Give and Take Problem - Earning and Spending</span> ===
+=== <span style=color:Green>Divide a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:earning and spending|627|rOlq}}180) Question: A man travels from Naples with a known [number of] dinar and wants to go to Rome.
+:{{#annot:a+b+c=30, 7a=b/5=c/10|619|AhlV}}142) Question: if you want to produce three parts from 30 so that when you multiply one [part] by 7 and divide the second [part] by 5 and the third [part] by 10 all the quotients and products will be the same amount.
-:For every dinar he earns 1, meaning, 1 returns 2; and he spends 4 minyanim there.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c=30\\\scriptstyle7a=\frac{b}{5}=\frac{c}{10}\end{cases}</math>
-:Then, he goes from Rome to Florence. As long as he has 2 dinar, they return 3 and he spends 6 dinar there.
+|style="text-align:right;"|קמב) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מל' ג' חלקים שאם תכה הא' בז' ותחלק הב' בה' והג' בי' והחלקים וההכאות יהיו מאותו הכמות עצמו{{#annotend:AhlV}}
-:Then, he goes from Florence to Venice. As long as he has 1 dinar it returns 3 and he spends in Venice 14 minyanim.
-:After spending, there are in his hand 4 hundreds minyanim.
-:We would like to know how many dinar he had when he left Naples.
-|style="text-align:right;"|קפ) שאלה אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א' רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים<br>
-ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין<br>
-אח"כ הולך מפלורינציאה עד וינישיאה וכל עוד שיש לו דינר א' ישוב ג' ופזר ו' בויניציאה י"ד מנינים<br>
-ואחר הפזור נמצא בידו ד' מאות מנינים<br>
-נרצה לדעת כשנסע מנאפולי כמה דינרין היה לו{{#annotend:rOlq}}
 |-
 |
-::It should be done as follows [?]: it is known that he had 414 in Venice with the 14 he spent.
+::If you want to solve it, we suppose the first part is 1.
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו ב{{#annot:Venice|2593|6vp7}}וינישיאה{{#annotend:6vp7}} עם הי"ד שפזר
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לעשות זה נניח שהחלק הא' היה א&#x202B;'
 |-
 |
-::You should say: if 3 is equal to 1, how much is 414 equal to?
+::If you multiply it by 7; the result is 7.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:1=414:X}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot1=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים
+|style="text-align:right;"|ואם תכפול אותו בז' יעשה ז&#x202B;'
 |-
 |
-::You receive 138 and this is the money he had in Florence.
+::To know the second, you should find a number such that if we divide it by 5, the result is 7. This number should be 35.
-|style="text-align:right;"|יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו ב{{#annot:Florence|2593|m3DY}}פלורינציאה{{#annotend:m3DY}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{35}{5}=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת הב' ראוי שתמצא מספר שאם נחלק אותו בה' יצא ז' ראוי שאותו המספר יהיה ל"ה
 |-
 |
-::Add to it what he spent, which is 6; it is 144.
+::The third should be 70.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{138+6=144}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{red}{\frac{70}{10}=7}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד
+|style="text-align:right;"|והג' ראוי שיהיה ע&#x202B;'
 |-
 |
-::Say: if 3 is equal to 2, how much is 144 equal to?
+::So, the first part is 1, the second is 35, and the third is 70; their sum is 106, but we want it to be 30.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:2=144:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ החלק הא' הוא א' והב' ל"ה והג' ע' אשר הם ק"ו ואנו מבקשים ל&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו
 |-
 |
-::You receive 96 and this is the number of dinar he had in Rome.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> You should say regarding to the first: if 1 results from [10]6, how much will result from 30?
-|style="text-align:right;"|ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ב{{#annot:Rome|2593|qEZt}}רומא{{#annotend:qEZt}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{106:1=30:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי שתאמר אל הא' אם מן ו' יבא א' &#x202B;<ref>250r</ref>מה יבא מל' וכו&#x202B;'
 |-
 |
-::[Add to it what he spent, which is 4]; it is a hundred.
+:{{#annot:a+b=11, ½a+¼a=⅓b+⅕b|619|3zr2}}143) Question: if you want to produce two parts from 11 such that a half and a quarter of one part will be the same as a third and a fifth of the other part.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{96+4=100}}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=11\\\scriptstyle\frac{1}{2}a+\frac{1}{4}a=\frac{1}{3}b+\frac{1}{5}b\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|יהיו מאה
+|style="text-align:right;"|קמג) <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות מי"א ב' חלקים אשר החצי והרובע מהחלק הא' יהיה כמו השליש והחומש מהחלק האחר{{#annotend:3zr2}}
 |-
 |
-::Say: if 2 is equal to 1, how much is 100 equal to?
+::Do like this: suppose the first part is 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:1=100:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תשים שהחלק הא' יהיה ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים
 |-
 |
-::You find it is 50 and this is what he had when he went to Naples.
+::The half is 2, the quarter is 1; they are 3.
-|style="text-align:right;"|תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מ{{#annot:Naples|2593|7GNy}}נפולי{{#annotend:7GNy}}
+|style="text-align:right;"|והחצי הוא ב' והרובע הוא א' ויהיו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::So, when he arrives in Venice, he has 414 minyanim in his hand, minus the 14 he spent on the way.
+::Also for the second [part], find a number such that if you subtract from it its third and its fifth, it becomes 3.
-|style="text-align:right;"|ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך
+|style="text-align:right;"|וגם ראוי למצא מהב' מספר שאם תחסר ממנו השליש והחומש שיהיה ג&#x202B;'
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Buy and Sell Problem - Silk</span> ===
+::Suppose this number is 15.
+|style="text-align:right;"|תשים שאותו המספר יהיה ט"ו
+|-
 |
+::The third plus the fifth of 15 is 8, but we want it to be 3.
+|style="text-align:right;"|והשליש והחומש מט"ו הוא ח' ואנו רוצים ג&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:silk|641|7zn3}}181) Question: A man bought in Florence 1 cane of silk for 3 minyanim and a half of a Florentine currency and the cane is also a Florentine cane.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, we multiply 3 by 15; the result is 45.
-:He spends on the way to Naples 2-thirds of the Florentine money.
+|style="text-align:right;"|א"כ נכה ג' על ט"ו ויעלו מ"ה
-:In what way will he sell in Naples, so that he will earn 25 minyanim for every hundred?
-|style="text-align:right;"|קפא) שאלה אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא<br>
-באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה{{#annotend:7zn3}}
 |-
 |
-::We have two conversions from Florence to Naples, because the 8 canes in Florence are 8 canes of Naples and the 100 minyanim of Florence are 111 from Naples.
+::Divide it by 8; the result is 5 and 5-eighths and this is the second number.
-|style="text-align:right;"|ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot15}{8}=\frac{45}{8}=5+\frac{5}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלק אותו בח' ויצא ה' וה' שמיניות וככה היה המספר השני
 |-
 |
-::It should be done as follows: add the 2-thirds he spent to 3 and a half; it is 4 and a sixth and these are the minyanim of Florence.
+::Hence, we say: this way the first part is 4 and the second is 5 and 5-eighths; the sum is 9 and 5-eighths, but we want it to be 11.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\left(3+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{6}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+\left(5+\frac{5}{8}\right)=9+\frac{5}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה
+|style="text-align:right;"|א"כ נאמר ככה החלק ראשון היה ד' והב' היה ה' וה' שמיניות אשר יעלו ט' וה' שמיניות ואנו מבקשים י"א
 |-
 |
-::Say: if 100 is equal to 111, how much is 4 and a sixth equal to?
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, you should say: if 9 and 5-eighths gives us 4 as the first part, what will 11 give us?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:111=\left(4+\frac{1}{6}\right):X}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{5}{8}\right):4=11:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו
+|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמר אם ט' וה' שמיניות נותן לנו החלק הראשון ד' מה יתן לנו י"א
 |-
 |
-::You find it is 4 and 4-fifths <span style=color:red>[should be 5-eighths]</span>. So, the Florentine cane is worth in Naples 4 minyanim and 4-fifths of Naples currency.
+::Do the same for the second [part].
-|style="text-align:right;"|תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהשנית
 |-
 |
-::[Say:] if 8 cane are worth 9, how much is 1 worth?
+::For the first part the result is 4 and 44 parts of 77 and the second part is [6] and 33 parts of 77.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8:9=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובחלק הא' יבא ד' מ"ד חלקים מע"ז והב' יהיה ג' ול"ג חלקים מע"ז
-|style="text-align:right;"|אם ח' קנים שוות הט' א' כמה
 |-
 |
-::You receive 1 and an eighth. So, the Florentine cane is equal to 1 and an eighth of Naples.
-|style="text-align:right;"|יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין
+=== <span style=color:Green>Division of Roots</span> ===
-|-
 |
-::[Say:] if 1 cane and an eighth of Naples are worth 4 and 4-fifths, how much is 1 worth?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8}\right):\left(4+\frac{4}{5}\right)=1:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|וא' ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא&#x202B;'
 |-
 |
-::You find it is worth 4 minyanim and 4 parts of 15. So, as long as the Florentine cane is worth 4 minyanim and a sixth of Florence, the cane of Naples is worth 4 minyanim and 4 parts of 15 of a minyan of Naples.
+:144) Question: if you wish to divide a number by a root or a root by a number.
-|style="text-align:right;"|תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים ושתות משל {{#annot:Florence|2593|rYMo}}פלורינצא {{#annotend:rYMo}}הקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני {{#annot:Naples|2593|4TDd}}נאפולי{{#annotend:4TDd}}
+|style="text-align:right;"|קמד) <big>שאלה</big> אם תרצה לחלק מספר עם שרש או שרש עם מספר
 |-
 |
-::It is said that he wants to earn 25 for every 100.
+::First, convert the number into its square.
-|style="text-align:right;"|נאמר שרוצה להרויח בעד כל ק' כ"ה
+|style="text-align:right;"|ראשנה תביא המספר אל מרובעו
 |-
 |
-::Say as follows: if one hundred is equal to 4 and 4 parts of 15, how much is 125 equal to?
+:*{{#annot:12÷√4|740|RTqg}}I.e. if you divide 12 by a root of 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(4+\frac{4}{15}\right)=125:X}}</math>
+::<math>\scriptstyle12\div\sqrt{4}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים
+|style="text-align:right;"|ר"ל אם תחלק י"ב עם שרש ד&#x202B;'{{#annotend:RTqg}}
 |-
 |
-::You receive 5 minyanim and 23 parts of 100 and this is the price of the cane.
+::Convert 12 into its square, which is 144.
-|style="text-align:right;"|יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה
+|style="text-align:right;"|תביא י"ב למרובעו שהוא קמ"ד
 |-
 |
-::So, he should sell the cane for 5 minyanim and 23 parts of 100 and in this way he will earn 25 for every hundred minyanim.
+::Then, divide a root of 144 by a root of 4; you get a root of 36.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים ודוק ותשכח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12\div\sqrt{4}=\frac{\sqrt{144}}{\sqrt{4}}=\sqrt{36}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואח"כ תחלק שרש מקמ"ד עם שרש ד' ויבא לך שרש מל"ו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problem - Silver and Lead</span> ===
+=== <span style=color:Green>Addition of Roots</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:silver and lead|617|AZ2k}}182) Question: a man has 17 ՚oqya of silver, each ՚oqya is worth 7 carlini.
+:{{#annot:√9+√4|738|CvCx}}145) Question: if you want to add a root of 9 to [a root] of 4.
-:How much lead should be added to these 17 ՚oqya, so that each ՚oqya will be worth only 5 carlini and a half?
+:<math>\scriptstyle\sqrt{9}+\sqrt{4}</math>
-|style="text-align:right;"|קפב) שאלה אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני<br>
+|style="text-align:right;"|קמה)&#x202B;<ref>MS L: קמב</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה להוסיף שרש מט' עם מד&#x202B;'{{#annotend:CvCx}}
-לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק&#x202B;'{{#annotend:AZ2k}}
 |-
 |
-::7 should be divided by 5 and a half; the result is one and 3 parts of 11, so he should add to each ՚oqya 3 parts of 11 of lead.
+::First, add 9 to 4; you receive 13.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{5+\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר תחלה ט' עם ד' ויצא לך י"ג
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת
 |-
 |
-::In all 17 ՚oqya he should add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 of lead.
+::Then, multiply 9 times 4; the result is 36.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot\frac{3}{11}=4+\frac{7}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תכפול ט' פעמים ד' ויעלו ל"ו
-|style="text-align:right;"|ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, multiply 17 by 7; it is 119, keep it.
+::Multiply the 36 mentioned by 4; the result is 144.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot7=119}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הל"ו הנז' עם ד' ויעלו קמ"ד
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם
 |-
 |
-::Now, multiply 5 and a half by 21 and 7 parts of 11, because first there were 17 ՚oqya and then we had to add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 to this amount, so it is 21 and 7 parts of 11; the result is 119 no more and no less.
+::Extract the root of this number, which is 12, and add it to the former 13; it is 25.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[17+\left(4+\frac{7}{11}\right)\right]=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(21+\frac{7}{11}\right)=119}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרש מזה המספר שהם י"ב ותחבר עם י"ג הראשנים ויהיו כ"ה
-|style="text-align:right;"|ועתה כפול ה' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |
+::Extract the root of 25; it is 5.
-=== <span style=color:Green>Find the Price Problem - Silver</span> ===
+|style="text-align:right;"|וקח השרש מכ"ה והם ה&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\sqrt{4\sdot\left(9\sdot4\right)}}=\sqrt{13+\sqrt{4\sdot36}}=\sqrt{13+\sqrt{144}}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
+|-
 |
+:146) Question: another method:
+|style="text-align:right;"|קמו)&#x202B;<ref>MS L: קמג</ref> <big>שאלה</big> דרך אחרת
 |-
 |
-:{{#annot:silver|629|RsiE}}183) Question: a man has 3 liter, plus 3 ՚oqya and 3-quarters of silver containing 222 pure esterlini [sterling ?] per liter that are worth 8 minyanim.
+::Add 9 to 4; the result is 13.
-:How much are 1 liter plus 1 ՚oqya and 7-eighths of silver containing only 111 esterlini worth?
+|style="text-align:right;"|תחבר ט' עם ד' ויעלו י"ג
-|style="text-align:right;"|קפג) שאלה יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים<br>
-א' ליט' וא' אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה{{#annotend:RsiE}}
 |-
 |
-::The liter should be converted into ՚oqya: the first number is 2 liter plus 3 ՚oqya and 3-quarters; it is [2]7 ՚oqya and 3-quarters.
+::Then, multiply 9 by 4; the result is 36.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול ט' על ד' ויעלו ל"ו
 |-
 |
-::Multiply them by 222; the result is 6160 and a half.
+::Extract its root, which is 6, and double it; it is 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{4}\right)\sdot222=6160+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח השרש שהם ו' ותכפול אותם והם י"ב
-|style="text-align:right;"|כפול אותם על רכ"ב יעלה ו' אלפים וק"ס וחצי
 |-
 |
-::Then, take the second number, which is 1 ՚oqya, 1 liter and 7-eighths, convert the liter into ՚oqya and with the ՚oqya, they are 13 and 7-eighths.
+::Add it to 13; it is 25.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק' וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק' ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות
+|style="text-align:right;"|ותחברם עם י"ג ויהיו כ"ה
 |-
 |
-::Multiply them by what they contain, meaning multiply 13 and 7-eighths by 111, which is what each liter contains; the result is 1540 and one eighth and this will be the second number.
+::Extract the root; it is five.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{7}{8}\right)\sdot111=1540+\frac{1}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח השרש והם חמשה
-|style="text-align:right;"|כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{9}+\sqrt{4}=\sqrt{\left(9+4\right)+\left(2\sdot\sqrt{9\sdot4}\right)}=\sqrt{13+\left(\sdot2\sqrt{36}\right)}=\sqrt{13+\left(2\sdot6\right)}=\sqrt{13+12}=\sqrt{25}=5}}</math>
 |-
 |
-::Say: if 6160 and a half are equal to 8 minyanim, how much is the second number, which is 1540 and an eighth, equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6160+\frac{1}{2}\right):8=\left(1540+\frac{1}{8}\right):X}}</math>
+=== <span style=color:Green>Subtraction of Roots</span> ===
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה' מאות ומ' ושמין כמה שוה
+|
 |-
 |
-::It is equal to two integers no more and no less.
+:{{#annot:√16-√9|739|Otry}}147) Question: if you want to subtract a root of 9 from a root of 16.
-|style="text-align:right;"|הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת
+:<math>\scriptstyle\sqrt{16}-\sqrt{9}</math>
+|style="text-align:right;"|קמז)&#x202B;<ref>MS L: קמד</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה להוציא שרש ט' משרש י"ו{{#annotend:Otry}}
 |-
 |
+::First, add 9 to 16; it is 25.
-=== <span style=color:Green>Payment Problem - 100 minyanim</span> ===
+|style="text-align:right;"|ראשנה תחבר ט' עם י"ו ויהיו כ"ה
+|-
 |
+::Then, multiply 9 by 16; the result is 144, which you multiply by 4; the result is 576.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד אשר אלו תכפול ד' יעלו תקע"ו
 |-
 |
-:{{#annot:100 minyanim|612|zgAa}}184) Question: There are people here who work with a master, and the master pays each of them for a whole year twenty minyanim.
+::Extract its root; it is 24.
-:Some of them worked 6 months, some 6 and a half, some 7 months, etc.
+|style="text-align:right;"|ומהם תוציא השרש והם כ"ד
-:You find that all they earned according to the ratio of the time they worked is 109 minyanim and 7 pešuṭim.
+|-
-:The master wants to pay them, but he has only 100 minyanim.
+|
-:We would like to know how much will each be paid.
+::Then, subtract 24 from 25; the remainder is 1.
-|style="text-align:right;"|קפד) שאלה יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים<br>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחסר הכ"ד מהכ"ה הנשאר א&#x202B;'
-ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו&#x202B;'<br>
-הנה תמצא שכל מה שהרויחו בין כלם לפי יחס הזמן שעבדו עולה ק"ט מנינים וז' פשוטים<br>
-והאדון רוצה לפרוע אותם ואין לו כי אם ק' מנינים<br>
-נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:zgAa}}
 |-
 |
-::100 should be divided by 109 minyanim and 7 pešuṭim.
+::So, if you subtract a root of 9 from a root of 16, 1 remains.
-::It is known that one pašuṭ is a tenth of one minyan, so each of the two numbers should be converted into tenths: the first is 1000 and the other is 1091.
+|style="text-align:right;"|א"כ אם תחסר משרש י"ו שרש ט' ישאר א&#x202B;'
-::Divide 1000 by 1091; you receive 1000 parts of 1091.
+|-
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים<br>
+|colspan=2|
-וידוע כי הפשוט עשור המנ(י)ן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\sqrt{4\sdot\left(16\sdot9\right)}}=\sqrt{25-\sqrt{4\sdot144}}=\sqrt{25-\sqrt{576}}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}</math>
-חלק אלף על אלף וצ"א ויצא לך אלף חלקים מאלף וצ"א
 |-
 |
+:148) Question: another method:
-=== <span style=color:Green>Rent Problem</span> ===
+|style="text-align:right;"|קמח)&#x202B;<ref>MS L: קמה</ref> <big>שאלה</big> דרך אחרת
+|-
 |
+::Multiply 9 by 16; the result is 144.
+|style="text-align:right;"|כפול ט' על י"ו ויעלו קמ"ד
 |-
 |
-:{{#annot:three years|615|G2eV}}185) Question: A man rents a house to his friend for three years at 40 minyanim a year:
+::Extract its root, which is 12, and double it; it is 24.
-:When he enters the house he gives him half the payment for that year and at the end of the year he gives him 40 minyanim - twenty to pay the payment of that year and twenty to pay for the next year and so on until the end of the three years.
+|style="text-align:right;"|ומזה תוציא השרש שהוא י"ב וכפלם ויהיו כ"ד
-:The householder said to the one who rents the house: please pay me now for all three years and I will give you twenty for every hundred of the profit for a whole year.
-:He did the so, and gave him all the money.
-:We would like to know how much money is required to be given to him in such a way that for every hundred of the profit he receives twenty.
-|style="text-align:right;"|קפה) שאלה אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה<br>
-ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים<br>
-והנה הבעל הבית אמר לאותו ששוכר הבית בבקשה ממך תפרע לי עתה מכל הג' שנים ואתן לך עשרים מריוח על כל מאה לשנה תמימה<br>
-וכן עשה נתן לו כל הממון<br>
-נרצה לדעת כמה ממון מחוייב לתת לו באופן שיבא עשרים על כל מאה מריוח{{#annotend:G2eV}}
 |-
 |
-::The answer: say: if a hundred and twenty is equal to 100, how much is 20 equal to? and this is the twenty that he is obliged to pay him at the end of the year.
+::Then, subtract 24 from 25 mentioned; the root of 1 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=20:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תוציא כ"ד מהכ"ה הנז' וישאר השרש מא&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|התשובה תאמר אם מאה ועשרים שוים ק' כ' כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{16}-\sqrt{9}=\sqrt{\left(16+9\right)-\left(2\sdot\sqrt{16\sdot9}\right)}=\sqrt{25-\left(\sdot2\sqrt{144}\right)}=\sqrt{25-\left(2\sdot12\right)}=\sqrt{25-24}=\sqrt{1}=1}}</math>
 |-
 |
-::You find it is 16 and 2-thirds.
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|ותמצא י"ו וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-::Add to it the twenty that he is obliged to pay him now, when he is entering the house; it is 36 and 2-thirds and this is for the first year.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{2}{3}\right)+20=36+\frac{2}{3}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה
+|
 |-
 |
-::Say also: [if] 120 is equal to 100, how much is 36 and 2-thirds equal to?
+:{{#annot:a²+19=b²|618|DmeO}}149) Question: if you want to find a square number such that if you add to it 19 it will be a square.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(36+\frac{2}{3}\right):X}}</math>
+:<math>\scriptstyle a^2+19=b^2</math>
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה
+|style="text-align:right;"|קמט)&#x202B;<ref>MS L: קמו</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מספר מרובע אשר אם תשים עליו י"ט יהיה מרובע{{#annotend:DmeO}}
 |-
 |
-::You receive 30 and 5 parts of 9 and this is for the rental of the second year.
+::Do as follows: subtract 1 from 19; 18 remains.
-|style="text-align:right;"|יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>250v</ref>תעשה ככה תוציא א' מי"ט וישאר י"ח
 |-
 |
-::Say also: if 120 is equal to 100, how much is 30 and 5 parts of 9 equal to?
+::Take a half of this number; 9 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(30+\frac{5}{9}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח חצי מזה המספר וישארו ט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה
 |-
 |
-::You receive 25 and 25 parts of 54 and this is for the rental of the [third] year.
+::Multiply it by itself; it is 81.
-|style="text-align:right;"|יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה
+|style="text-align:right;"|ותכפלם על עצמם ויהיו פ"א
 |-
 |
-::Sum up all these numbers, meaning 36 and 2-thirds, 30 and 5 parts of 9, and 25 and 25 parts of 54; the total sum is 92 and 37 parts of 54 and so he should pay him all at once, no more and no less.
+::Add 19 to it and this is a square as we stated.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(36+\frac{2}{3}\right)+\left(30+\frac{5}{9}\right)+\left(25+\frac{25}{54}\right)=92+\frac{37}{54}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו י"ט והוא מרובע כאשר אמרנו
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^2=19+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(19-1\right)\right]^2=19+\left(\frac{1}{2}\sdot18\right)^2=19+9^2=19+81}}</math>
 |-
 |
+:{{#annot:a²-15=b²|618|eiGo}}150) Question: if you want to find a square number such that if you subtract 15 from it, it remains a square.
-=== <span style=color:Green>Ordering Problem - Stones</span> ===
+:<math>\scriptstyle a^2-15=b^2</math>
+|style="text-align:right;"|קנ)&#x202B;<ref>MS L: קמז</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מרובע שאם תוציא ממנו ט"ו ישאר מרובע{{#annotend:eiGo}}
-|
 |-
 |
-:{{#annot:four stones|628|zGfu}}186) Question: In what way will we weigh with four stones 40 liters or ՚oqya?
+::Do as follows: add 1 to 15; it is 16.
-|style="text-align:right;"|קפו) שאלה באיזה אופן באיזה אופן נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק&#x202B;'{{#annotend:zGfu}}
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תוסיף א' על ט"ו ויהיו י"ו
 |-
 |
-::You should take 1, multiply it by 3; it is 3.
+::Take a half of 16, which is 8, and multiply it by itself; it is 64 and this is the number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left[\frac{1}{2}\sdot\left(15+1\right)\right]^2=\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2=8^2=64}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תקח החצי מי"ו שהם ח' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ס"ד וזהו המספר
 |-
 |
-::Multiply 3 by 3; it is 9, because the ratio of 1 to 3 is the same as the ratio of 3 to 9, and this is the third [stone].
+::If you subtract 15 from 64, a square remains and it is 49.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:3=3:9\longrightarrow3\sdot3=9}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^2=64-15}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית
+|style="text-align:right;"|ואם תוציא ט"ו מס"ד ישאר מרובע והוא מ"ט
 |-
 |
-::Multiply 9 by 3; it is 27, because the ratio of 9 to 27 is the same as the ratio of 3 to 9, which is the fourth [stone].
+:{{#annot:a+4=n², a-4=m²|618|bQqS}}151) Question: if you want to find a number such that if you add to it 4 it will be a square and if you subtract [from it 4] it will also be a square.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9:27=3:9\longrightarrow9\sdot3=27}}</math>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+4=n^2\\\scriptstyle a-4=m^2\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|קנא)&#x202B;<ref>MS L: קמח</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מספר אשר אם תוסיף עליו ד' יהיה מרובע ואם תחסר ג"כ יהיה מרובע{{#annotend:bQqS}}
 |-
 |
-::Hence, the first weighs one liter, the second 3 liter, the third 9, and the fourth 27; the total is 40.
+::Do as follows: add 4 to 4; it is 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תחבר ד' עם ד' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
-::If you want to weigh five [liter], put that of 3 liter and that of 1 [liter] on one scale. Then, put that of 9 [liter] on the second scale. Put the 5 you want to weigh on the first scale, where the two stones weighing 4 [liter] are. So, there are 9 on both the first and the second scales.
+::Then, say: find me a square number such that if you add to it 8 it will be a square.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' ליטראות ואותה של א' בכף אחת<br>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר תמצא לי מספר מרובע אשר אם תוסיף עליו ח' יהיה מרובע
-אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט&#x202B;'<br>
-אח"כ תשים בכף ראשנה ששם הב' אבנים ששוקלות ד' ושים ה' שתרצה לשקול ויהיו ט' בכף ראשנה גם בשניה
 |-
 |
-::If you want to weigh 8 [liter], put the stone that weighs 1 [liter] and the 8 [liter] on one scale; they are 9 [liter]. Then, put the one that weighs 9 [liter] on the second [scale] and they [weigh] equally.
+::So, do as mentioned: subtract 1 from 8; 7 remains.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|לכן תעשה כנז' תוציא א' מח' ישארו ז&#x202B;'
-אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה
 |-
 |
-::This number is called "proportional number".
+::Take its half; it is 3 and a half.
-|style="text-align:right;"|וזה המספר נקרא {{#annot:term|994,2263|UDM7}}מספר יחסיי{{#annotend:UDM7}} וכו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וקח מהם חציים והם ג' וחצי
 |-
 |
+::Multiply it by itself; the result is 12 and a quarter.
-=== <span style=color:Green>Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets</span> ===
+|style="text-align:right;"|ותכפלם על עצמם ויעלו י"ב ורביע
+|-
 |
+::Add 4 to it; it is 16 and a quarter and this is the number.
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ד' יהיו י"ו ורביע וזהו המספר
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=4+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(8-1\right)\right]^2=4+\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)^2=4+\left(3+\frac{1}{2}\right)^2=4+\left(12+\frac{1}{4}\right)=16+\frac{1}{4}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:guesthouse, goblets|624|IY0T}}186) Question: A man goes to a guesthouse and stays there for 31 days.
+:152) Question: you can find it faster:
-:He carries 5 goblets of silver that weigh a total of 31 ՚oqya.
+|style="text-align:right;"|קנב)&#x202B;<ref>MS L: קמט</ref> <big>שאלה</big> עוד תוכל למצא אותה יותר מהרה
-:They agreed that he will pay the host an ՚oqya of silver every day.
-:In what way will he pay him every night and night, so that he does not give away the goblets and he pays him a whole ՚oqya each day.
-|style="text-align:right;"|קפו) שאלה אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף<br>
-באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום{{#annotend:IY0T}}
 |-
 |
-::Take 1 and double it; it is 2.
+::Take a half of 4, which is 2, multiply it by itself; it is 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח החצי מד' שהם ב' ותכפול אותם על עצמם ויהיו ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 2; it is 4, because the ratio of 1 to 2 is the same as the ratio of 2 to 4.
+::Add 1 to 4; it is 5 and this number is also as the number 9 above.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4\longrightarrow2\sdot2=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=1+\left(\frac{1}{2}\sdot4\right)^2=1+2^2=1+4}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|תוסיף א' על ד' ויהיו ה' וזה המספר ג"כ הוא כמו המספר הט' לעיל
 |-
 |
-::Multiply 4 by 2; it is 8, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 2 to 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:8=2:4\longrightarrow4\sdot2=8}}</math>
+=== <span style=color:Green>Multiplication of Roots</span> ===
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::Multiply 8 by 2; it is 16, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 8 to 16.
+:{{#annot:√7×√8|737|LgsC}}153) Question: multiplication of roots - if you want to [multiply] the root of 7 by the root of 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:8=8:16\longrightarrow8\sdot2=16}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו
+|style="text-align:right;"|קנג)&#x202B;<ref>MS L: קנ</ref> <big>שאלה</big> לכפול בשרשים אם תרצה למצא שרש ז' על שרש מח&#x202B;'{{#annotend:LgsC}}
 |-
 |
-::So, the first weighs one, the second 2, the third 4, the fourth 8, and the fifth 16; the total is 31.
+::Multiply 7 by 8; it is 56. The root of 56 is the product of the root of 7 by [the root of] 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16=31}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{8}=\sqrt{7\sdot8}=\sqrt{56}}}</math>
-|style="text-align:right;"|א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א
+|style="text-align:right;"|ראוי שתכפול ז' עם ח' ויהיו נ"ו והשרש מנ"ו הוא מה שיעלה השרש מז' עם מח&#x202B;'
 |-
 |
-::With [6] goblets you can pay him for 63 [days]: multiply 16 by 2; it is 32 and this is the sixth goblet; with the 31 it is 63.
+:{{#annot:√7×8|737|m2AG}}154) Question: if you want to multiply the root of 7 by 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot2=32\longrightarrow31+32=63}}</math>
+:<math>\scriptstyle\sqrt{7}\sdot8</math>
-|style="text-align:right;"|עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג
+|style="text-align:right;"|קנד)&#x202B;<ref>MS L: קנא</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה לכפול השרש מכפילת ז' עם ח&#x202B;'{{#annotend:m2AG}}
 |-
 |
-::With 7 goblets you can pay him for 127 days: multiply 32 by two; it is 64; with 63 it is 127.
+::First 8 should be converted to its square, which is 64. Then, [multiply] a root of 7 by a root of 64 as said above; the result is a root of 448.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32\sdot2=64\longrightarrow63+64=127}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot8=\sqrt{7}\sdot\sqrt{8^2}=\sqrt{7}\sdot\sqrt{64}=\sqrt{448}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז
+|style="text-align:right;"|בראשנה ראוי להביא ח' אל מרובעו שהם ס"ד אח"כ שרש ז' עם שרש ס"ד כאשר נאמר למעלה ויעלה שרש ד' מאות ומ"ח
 |-
 |
-::And so on endlessly.
+::Know that if you multiply a root of 7 by a root of 7, the result is 7.
-|style="text-align:right;"|וכן עד אין קץ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{7}\sdot\sqrt{7}=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|ודע שאם תכפול שרש מז' עם שרש מז' ויעשה ז&#x202B;'
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Find the Price Problems - Three Types of Wool</span> ===
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three types of wool|629|8wzo}}187) Question: A man sells three types of wool.
+:{{#annot:3/a=5+7/b|618|iyBa}}155) Question: if you want to find a number such that if you divide 3 by it, the result is 5 and 7 remain.
-:He sells the first one at one kikkar, which is 100 liters, for ten minyanim.
+:<math>\scriptstyle\frac{3}{a}=5+\frac{7}{b}</math>
-:He sells the second one at one kikkar for ten and a half minyanim.
+|style="text-align:right;"|קנה)<ref>MS L: קנב</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מספר אשר אם תחלק ג' מאותו המספר יבא ה' וישאר ז&#x202B;'{{#annotend:iyBa}}
-:He sells the third one at one kikkar for 12 minyanim and a third.
-:When you wash the first one, the kikkar becomes 80 liter of clean wool.
-:When you wash the second one, the kikkar becomes 90 liter of clean wool.
-:When you wash the third one, the kikkar becomes 99 liter of clean wool.
-:We would like to know which of the three is better to buy.
-|style="text-align:right;"|קפז) שאלה אדם מוכר מג' מיני צמר<br>
-הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים<br>
-והב' מוכר הככר עשרה מנינים וחצי<br>
-והג' מוכר הככר י"ב מנינים ושליש<br>
-והנה כשתרחץ הראשנה הנה הככר ישוב פ' ליט' מצמר נקי<br>
-וכשתרחץ השניה ישוב הככר צ' ליט' מצמר נקי<br>
-וכשתרחץ השלישית ישוב הככר צ"ט ליט' מצמר נקי<br>
-נרצה לדעת איזה מהם יותר טוב לקחת משלשתן{{#annotend:8wzo}}
 |-
 |
-::It is known that 80 liter of the first are worth 10 minyanim.
+::First, know that if 7 remains, then the divisor is greater than 7, so take 7 or greater.
-|style="text-align:right;"|ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים
+|style="text-align:right;"|תדע תחלה שאם ישאר ז' מהמחלק היה יותר גדול מז' א"כ תשים מז' ולמעלה
 |-
 |
-::It is known that 90 liter of the second are worth ten minyanim and a half.
+::Therefore, we need to find a number from 7 or higher, so that if you multiply it by 5 and add 7, it is divisible by 3 without fractions.
-|style="text-align:right;"|וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי
+|style="text-align:right;"|ואח"כ ראוי לנו למצא מספר שיהיה מז' ומעלה אשר אם תכפלהו עם ה' מה יצא וכשנוסיף עליו ז' מה יתוסף ושיתחלק בג' חלקים שלמים מבלי שברים
 |-
 |
-::It is known that 99 liter of the third are worth 12 minyanim and a third.
+::First, suppose this number is 8.
-|style="text-align:right;"|וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש
+|style="text-align:right;"|א"כ בתחלה תשים שאותו המספר היה ח&#x202B;'
 |-
 |
-::We do the proportion as follows: if 80 is equal to ten, how much is 1 equal to?
+::If you multiply it by 5, the result is 40.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80:10=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תכפלהו בה' יעלו מ&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה
+|-
+|
+::Add 7 to it; the result is 47.
+|style="text-align:right;"|יתוסף עליו ז' ויעלו מ"ז
 |-
 |
-::You receive one eighth and this is the price of one liter of the first.
+::Divide it by 3; you cannot.
-|style="text-align:right;"|הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(8\sdot5\right)+7}{3}=\frac{40+7}{3}=\frac{47}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלקם בג' ולא תוכל
 |-
 |
-::Turn to the second and say: if 90 is equal to ten and a half, how much is 1 equal to?
+::Add to it 1 or more; let it be 9.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{90:\left(10+\frac{1}{2}\right)=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו ט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה
 |-
 |
-::You receive one eighth and 4-sevenths of an eighth <span style=color:red>[this calculation is wrong - the result should be less than one eighth]</span>; so this is one is better than the first.
+::Multiply it by 5; the result is 45.
-|style="text-align:right;"|יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה הנה זאת יותר טובה מהראשנה
+|style="text-align:right;"|תכפלהו על ה' ויעלו מ"ה
 |-
 |
-::We do the same with the third and say: if 9[9] is equal to 12 and a third, how much is 1 equal to?
+::Add 7 to it; the result is 52.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{99:\left(10+\frac{1}{3}\right)=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליו ז' יעלו נ"ב
-|style="text-align:right;"|ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה
 |-
 |
-::You receive less than one eighth, so it should not be bought, because it is worse than the others.
+::Divide it by 3; you cannot.
-|style="text-align:right;"|יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot5\right)+7}{3}=\frac{45+7}{3}=\frac{52}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ג' ולא תוכל
 |-
 |
+::Add to it 1 or more; let it be ten.
-=== <span style=color:Green>Payment Problem - 12 Harvesters</span> ===
+|style="text-align:right;"|א"כ תוסיף עליו א' יותר ויהיו עשרה
+|-
 |
+::Multiply it by 5; the result is 50.
+|style="text-align:right;"|ותכפלם בה' ויעלו &#x202B;<ref>251r</ref>נ&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:12 harvesters|612|kcGN}}188) Question: 12 harvesters work in a field.
+::Add 7 to it; the result is 57.
-:If one of them works a whole year, he should take 1 ՚oqya and 2 tarini.
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליו ז' ויעלו נ"ז
-:One who worked for a year straight, asks for 1 ՚oqya and 2 tarini.
-:The second worked a little more, so he asks for 1 ՚oqya and 3 tarini.
-:The third worked more, so he asks for 1 ՚oqya and 1 tari.
-:The fourth asks for one ՚oqya and 4 tarini.
-:The fifth asks for an ՚oqya and 6 tarini.
-:The sixth - 2 ՚oqya and 4 tari.
-:The eighth - one ՚oqya.
-:The tenth - 1 ՚oqya and 9 tarini.
-:The eleventh - 1 ՚oqya and 19 tarini.
-:The twelveth - 1 ՚oqya and 22 tarini.
-:Now, the lord, who pays, has only 10 ՚oqya and 5 tarini, and from this money he wants to pay the harvesters according to their work.
-:How much should he pay each?
-|style="text-align:right;"|קפח) שאלה הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק' א' וב' טריניריש<br>
-אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני<br>
-והב' עבד יותר מעט עד ששואל אוק' א' וג' טריני<br>
-והג' עבד יותר עד ששואל אוק' א' וא' טרי<br>
-והרביעי שואל אוק' אחת וד' טריני<br>
-והה' שואל אוק' וו' טריני<br>
-והו' ב' אוק' וד' טרי<br>
-והח' אוק' אחת<br>
-והעשירי אוק' א' וט' טריני<br>
-והי"א אוק' א' וי"ט טריני<br>
-והי"ב אוק' א' וכ"ב טריני<br>
-והנה האדון העושה הפרעון אין לו כי אם י' אוק' וה' טריני ומזה הממון רוצה לחלק לגלחים כפי עבודתו <br>
-כמה ראוי שיתן לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:kcGN}}
 |-
 |
-::The money of all 12 harvesters should be summed up; you find it is 15 ՚oqya and 18 tarini.
+::Divide it by 3; the result is 19 without any fraction, so you find what is said in this number.
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(10\sdot5\right)+7}{3}=\frac{50+7}{3}=\frac{57}{3}=19}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלקם בג' ויעלו י"ט מבלי שום שבר א"כ בזה המספר תמצא הנאמר
 |-
 |
-::The ten ՚oqya should be divided by 15 ՚oqya and 18 tarini:
+::Always add 1 more.
-|style="text-align:right;"|והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי
+|style="text-align:right;"|ולעולם תוסיף א' יותר
 |-
 |
-::The 10 ՚oqya should be converted into tarini, and the 5 tarini should be added to them; the result is 305.
+::Divide the ten you found by a third of 57, which is 19; you receive ten parts of 19 and this is the required number. If you divide 3 by the stated number the result is 5 and 7 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot30\right)+5=305}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\frac{10}{\frac{1}{3}\sdot57}=\frac{10}{19}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק העשרה אשר מצאת עם שליש מנ"ז שהוא י"ט ויצא לך עשרה חלקים מי"ט וזהו המספר הנשאל אשר אם תחלק ג' עם המספר הנאמר יצא ה' וישאר ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Convert also the 15 ՚oqya and 18 tarini into tarini; the result is 468.
+::This is how questions similar to this one are resolved.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot30\right)+18=468}}</math>
+|style="text-align:right;"|וככה יעשו השאלות הדומות לזו
-|style="text-align:right;"|עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח
 |-
 |
-::Multiply 305 by 30; the result is [9]150.
+:{{#annot:√a+√(a-√a)=3|618|e6ph}}156) Question: if you want to find a number such that if you subtract its root and add it to the root of the remainder it makes 3.
-|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ
+:<math>\scriptstyle\sqrt{a}+\sqrt{a-\sqrt{a}}=3</math>
+|style="text-align:right;"|קנו)&#x202B;<ref>MS L: קנג</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מספר אשר אם תוציא ממנו השרש ותחבר אותו עם השרש מהנשאר יעשה ג&#x202B;'{{#annotend:e6ph}}
 |-
 |
-::Divide it by 4 hundred; you receive the tarini, which are 19 plus 15 grani and 2 dinar and so each is paid for every ՚oqya.
+::Do as follows: multiply 2 times 3; the result is 6.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{305\sdot30}{400}=\frac{9150}{400}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תכפול ב' פעמים ג' ויעלו ו&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו גרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק&#x202B;'
 |-
 |
-::If you want to know how much he is paid for every tarini: you already know that for one ՚oqya he should be paid 1[9] plus 15 grani and 2 dinar, so multiply 19 by 2, meaning convert the 19 tarini into grani. Then, divide the result by 30, since 30 tarini are equal to one ՚oqya and you receive the required.
+::Always subtract 1 from it; 5 remains and this will be your divisor.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק' ראוי לקחת י"ח וט"ו גרות וב' דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי גרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש
+|style="text-align:right;"|תוציא ממנו לעולם א' וישארו ה' וזה יהיה לך המחלק
 |-
 |
-::You can do so for any coin.
+::Then, multiply the number you want to get as a result, i.e. 3, by itself; it is 9.
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשו' מכל מטבע
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול אותו המספר אשר תרצה שיבא לך ר"ל ג' על עצמו ויהיו ט&#x202B;'
 |-
 |
+::Divide it by 5; the result is 1 and 4-fifths and this number is the root of the required number, from which the root should be subtracted, then added to the root of the remainder and it makes 3.
-=== <span style=color:Green>Simple Barter Problem - Silver and Cloth</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{a}=\frac{3^2}{\left(2\sdot3\right)-1}=\frac{9}{6-1}=\frac{9}{5}=1+\frac{4}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואותו תחלק על ה' ויעלה א' וד' חומשים אשר זה המספר הוא השרש מהמספר הנשאל אשר ראוי להוציא ממנו שרש ולהוסיף עם השרש מהנשאר ויעשה ג&#x202B;'
+|-
 |
+::So, to know the number, 1 and 4-fifths should be multiplied by itself; the result is 3 integers and 6 parts of 25 and this is the said number.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(1+\frac{4}{5}\right)^2=3+\frac{6}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ לדעת המספר ראוי לכפול א' וד' חמישיות בעצמו ויעלה ג' שלמים וו' חלקים מכ"ה וזהו המספר הנאמר
 |-
 |
-:{{#annot:silver and cloth|636|aEn7}}189) Question: A man gave liter of silver to his friend in barter and agreed with him that for 3 liters he would give him ten clothes.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, subtract the root, which is said to be 1 and 4-fifths, from 3 and 6 parts of 25; the remainder is 1 and 11 parts of 25.
-:2 canna of the cloth are worth 3 barrels of wine.
+|style="text-align:right;"|ולאמתה תקח שרש מג' וו' חלקים מכ"ה אשר נאמר שהוא א' וד' חמישיות ומהנשאר עד ג' וו' חלקים מכ"ה ישאר א' וי"א חלקים מכ"ה
-:2 barrels of wine are worth 8 dinars.
+|-
-:We wish to know how much 4 liter of silver are worth according to this ratio and how much 5 canna of the cloth are worth.
+|
-|style="text-align:right;"|קפט) שאלה אדם נתן ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד<br>
+::The root of the [remainder] is 1 and a fifth.
-וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין<br>
+|style="text-align:right;"|ושרש מהמרובע הוא א' וחמישית
-וב' חביות מיין שוה ח' דינרין<br>
+|-
-נרצה לדעת כמה היו שוות הד' ליט' של כסף לפי זה היחס גם כמה שוות הה' קנים מהבגד{{#annotend:aEn7}}
+|
+::If you add it to 1 and 4-fifths, which is the root of 3 and 6 parts of 25, which is the required number, it is 3. So, it makes 3 as said.
+|style="text-align:right;"|ואם תוסיף אותו עם א' וד' חמישיות יהיו ג' והוא שרש ג' וו' חלקים מכ"ה שהוא המספר הנשאל ועשה ג' כאשר נאמר
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{3+\frac{6}{25}}+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\sqrt{3+\frac{6}{25}}}&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{\left(3+\frac{6}{25}\right)-\left(1+\frac{4}{5}\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\sqrt{1+\frac{11}{25}}\\&\scriptstyle=\left(1+\frac{4}{5}\right)+\left(1+\frac{1}{5}\right)=3\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::The answer: you know that 2 barrels are worth 8 dinar, so say: if 2 is equal to 8, how much is 3 equal to?
+::This way you can solve similar [questions] with whichever number you have: always multiply by 2 the number you want the result to be and subtract one form the product, as we did, then do as said above.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:8=3:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובזה האופן תוכל לעשות הדומות לאלו ומאיזה מספר שיהיה לך לעולם שתכפול המספר שתרצה שיבא עם ב' וממנו יבא להוציא אחד כאשר כבר עשינו אח"כ יש לך לעשות כאשר נאמר למעלה
-|style="text-align:right;"|התשובה ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות
 |-
 |
-::You receive 12. Hence, three barrels of [wine] are worth 12 dinar.
+::If the number resulted is less than 2, this way is not appropriate and it should be solved by the method of ''posizioni di alzibra'' [algebraic positions].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של (יין) שוות י"ב דינרין
+|style="text-align:right;"|ואם המספר השאל היה פחות מב' אז זאת הדרך לא יהיה נאותה ומסכמת ואז ראוי שיעשה על דרך הפוזיציאוני דלאלזיברא
 |-
 |
-::It is known that 2 canna are worth 3 barrels, so do as follows:
+|style="text-align:right;"|<big>המספר</big> <s>הרילטו</s> הנאמר פרוביקו בלשונם
-::Say: if 2 canna are equal to 12 dinar, how much are 10 canna equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:12=10:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים
 |-
 |
-::You receive 60.
+::It is as if you say: 9 times 9 is 81. Then, take the root of 9, which is 3, and add it to 81; the result is 84 and the [..] root of 84 is 9.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ס&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9^2+\sqrt{9}=81+3=84}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' הם פ"א ואח"כ תקח שרש ט' שהוא ג' ותוסיף אותו על פ"א ויעלו פ"ד ומספר פרוביקו מפ"ד הוא ט&#x202B;'
 |-
 |
-::It is known that 10 canna are worth 3 liter of silver, so say: if 3 is equal to 60, how much is 4 equal to?
+|style="text-align:right;"|<big>המספר</big> הרילטו בלשונם
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:60=4:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס' ד' כמה שוות
 |-
 |
-::You receive 80, no more and no less.
+::It is as if you say: 9 times 9 is 81. Then, take the root of 9, which is 3, and multiply it by 81; the result is 243. So, the number 243 is a number whose [..] root is 9.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9^2\sdot\sqrt{9}=81\sdot3=243}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוא כאלו תאמר ט' פעמים ט' יעלו פ"א אח"כ תקח השרש מט' שהם ג' ותכפלם על פ"א ויעלו רמ"ג א"כ מספר רמ"ג הוא מספר אשר שרשו הרילטו הוא ט&#x202B;'
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Simple Division Problem</span> ===
+=== <span style=color:Green>Divide a Number Problem</span> ===
+|
+|-
+|
+:{{#annot:a³+b³+c³=27|619|Iw3S}}157) Question: if you want to produce three parts from 27 so that each of the parts has a cubic root<br>
+:<math>\scriptstyle a^3+b^3+c^3=27</math>
+|style="text-align:right;"|קנז)&#x202B;<ref>MS L: קנד</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה לעשות לי מכ"ז ג' חלקים &#x202B;<ref>251v</ref>שכל חלק ממנו יהיה לו שרש מעוקב{{#annotend:Iw3S}}
+|-
+|
+::The way is that you find three cube numbers, such that when summed together they generate a cube.
+|style="text-align:right;"|דרך הוא שיש לך למצא ג' מספרים מעוקבים מקובצים יחד יעשו מעוקב
+|-
 |
+::Then, each is divided by another cube number smaller than each of them.
+|style="text-align:right;"|וכל אחד מהם שיחולק במספר אחד מעוקב קטן מכלם
 |-
 |
-:{{#annot:four men - measures of wheat|644|8uum}}190) Question: A man said to his friend: If you want to carry all my wheat on your ship, I will give you half.
+::When the sum of these numbers mentioned is divided by that smaller number, the number 27 is generated as mentioned.
-:A second came and said to him: If you carry mine, I will give you a third.
+|style="text-align:right;"|וכאשר יחולק הסכום מאותם המספרים הנזכרים עם אותו המספר הקטן יעשה מהם מספר כ"ז כנזכר
-:Another came and said: If you carry mine, I will give you a quarter.
-:''This one was still speaking when another came and said'' [Job 1, 16]: If you carry mine I will give you a fifth.
-:Then, he had 300 measures in his hand.
-:I ask: how many measurements he carried [for each equally]?
-|style="text-align:right;"|קצ) שאלה אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי<br>
-בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש<br>
-בא אחר ואמר אם תשא את שלי אתן לך רביעית<br>
-''עוד זה מדבר וזה בא ויאמר''&#x202B;<ref>איוב א, ט"ז</ref> אם תשא את שלי אתן לך החומש<br>
-ואח"כ נמצא בידו ש' מדות<br>
-אשאל כמה מדות נשא{{#annotend:8uum}}
 |-
 |
-::The answer: look for a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
+::The first number is 27, the second is 64, and the third is 125; when they are summed together, the sum is 216 and it is a cube number.
-|style="text-align:right;"|תשובה בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{27+64+125=216}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובזה המספר הא' הוא כ"ז והב' ס"ד והג' קכ"ה וכאשר יקובצו יחד הם רי"ו והוא מספר מעוקב
 |-
 |
-::Take its half, which is 30; its third, which is 20; its quarter, which is 15; and its fifth, which is 12; the total is 77.
+::When the sum of the three [is divided] by eight, which is a cube number smaller than each of the three, the result is 27.
-|style="text-align:right;"|קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{216}{8}=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכשיקובצו שלשתן בשמונה שהוא מעוקב קטן מכל א' מהג' יבא כ"ז
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=30+20+15+12=77}}</math>
+::So, the first part is 3 and 3-eighths, when you divide 27 by eight.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^3=\frac{27}{8}=3+\frac{3}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן החלק הא' יהיה אם תחלק כ"ז בשמונה ג' וג' שמיניות
 |-
 |
-::Say: if 77 is equal to 60, how much is 3 hundred equal to?
+::The second is 8, when you divide 64 by 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{77:60=300:X}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b^3=\frac{64}{8}=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו
+|style="text-align:right;"|והב' אם תחלק ס"ד בח' שיבא ח&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply 60 by 3 hundred and divide it by 77; you receive 233 and 59 parts of 77 and this is the amount he carried for each.
+::The third is 15 and 5-eighths, when you divide 125 by 8.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot300}{77}=233+\frac{59}{77}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{c^3=\frac{125}{8}=15+\frac{5}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב' מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והג' אם תחלק קכ"ה בח' שיבא ט"ו וה' שמיניות
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, take half this amount, add to it also its third, its quarter, and its fifth; the result is 3 hundred.
+::The sum of the three together is 27.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^3+b^3+c^3=\left(3+\frac{3}{8}\right)+8+\left(15+\frac{5}{8}\right)=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|אשר שלשתן יחד מקובצים יעלה כ"ז
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]=300}}</math>
+::Know that this is not true for every number.
+|style="text-align:right;"|ותדע כי לא בכל מספר יצדק זה
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problem</span> ===
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
+|
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three kinds|617|IvmV}}191) Question: here is a man who has 6 liter of silver, in each liter there are 7 ՚oqya of pure silver.
+:{{#annot:a²-5a=n², a²+7a=m²|618|3YCC}}158) Question: if you want to find a square number such that if you subtract its five roots from it the remainder is a square and if you add it to its seven roots it will be a square.
-:He also has 5 liter of silver, in each liter of which there are 6 ՚oqya of pure silver.
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-5a=n^2\\\scriptstyle7a+a^2=m^2\end{cases}</math>
-:He also has an unknown number of liter in each liter of which there are 11 ՚oqya of silver.
+|style="text-align:right;"|קנח)&#x202B;<ref>MS L: קנה</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת מספר אחד מרובע אשר אם תוציא אותו מה' שרשיו וישאר מרובע ואם תוסיף עליו שבעה שורשיו יהיה מרובע{{#annotend:3YCC}}
-:He wants to melt all of them and produce goblets from them, such that each liter contains 9 ՚oqya of pure silver.
-:We wish to know how many liter will he take of the silver that contains 11 ՚oqya per a liter.
-|style="text-align:right;"|קצא) שאלה בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק<br>
-עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב<br>
-ועוד יש לו ליט' בלתי נודעות שבכל ליט' יש כסף י"א אוק&#x202B;'<br>
-ורוצה לשרוף כל זה ולעשות ממנו גביעים שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף מזוקק<br>
-ונרצה לדעת כמה ליט' יקח מהכסף המכיל י"א אוק' הליט&#x202B;'{{#annotend:IvmV}}
 |-
 |
-::Answer: you should know how many ՚oqya are included in the first number, which is 6 liter that contain 7 ՚oqya per liter; they are 42 and this is the number of pure ՚oqya.
+::This number is [81].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a={\color{red}{81}}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תשובה ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר אוקי' הטובות
+|style="text-align:right;"|הנה המספר הזה הוא י"ח
 |-
 |
-::Take also the second number, which is 5 liter that contain 6 ՚oqya per liter; they are 30 and this is the number of pure ՚oqya.
+::Because, its five roots are [45]. Subtract [it from 81]; 36 remains and it is a square number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2-5a=81-{\color{red}{45}}=36}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות
+|style="text-align:right;"|כי חמשה שרשיו הם נ"ד תוציא ממנו י"ח ישארו ל"ו והוא מספר מרובע
 |-
 |
-::Add the 30 to 42; it is 72.
+::Its seven roots are 63. Add it to [81]; the result is [144] and it is a square number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{42+30=72}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2+7a={\color{red}{81}}+63={\color{red}{144}}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב
+|style="text-align:right;"|ושבעה שרשיו הם ס"ג ותחברם עם י"ח יעשה פ"א והוא מספר מרובע
 |-
 |
-::Then sum up the [numbers of] liter that are 5 and 6; they are 11.
+:{{#annot:⅖a²=a|618|LWXU}}159) Quaestion: if you want to find a number such that its two fifths are its root.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+6}}</math>
+:<math>\scriptstyle\frac{2}{5}a^2=a</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הליט' שהם ה'ו' ויהיו י"א
+|style="text-align:right;"|קנט)&#x202B;<ref>MS L: קנו</ref> <big>שאלה</big> אם תרצה למצא מספר אשר ב' חמישיות שלו יהיה שרשו{{#annotend:LWXU}}
 |-
 |
-::Hence, 11 liter contain 72 ՚oqya of pure silver.
+::Do as follows: reverse the question - put 5 above and 2 below like this <math>\scriptstyle\frac{5}{2}</math> - multiply it [by itself]; it becomes <math>\scriptstyle\frac{25}{4}</math> and this is the number you are looking for.
-|style="text-align:right;"|א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2=\left(\frac{5}{2}\right)^2=\frac{25}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה ככה תהפך השאלה זאת לדעת תשים ה' למעלה וב' למטה ככה ותכפול אותו ויעשה וזהו המספר אשר תשאל
 |-
 |
-::Multiply 9, which is the number you want to produce, by the [number of] liter, which is 11; it is 99.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it, take two-fifths of <math>\scriptstyle\frac{25}{4}</math>, which is <math>\scriptstyle\frac{5}{2}</math>, and this is the root of <math>\scriptstyle\frac{25}{4}</math>. This is how it is done.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot\frac{25}{4}=\frac{5}{2}=\sqrt{\frac{25}{4}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תקח שני חמישיות מ שהם א"כ והוא השרש וכן יעשה
 |-
 |
-::Subtract 72 from 99; the remainder is 27.
-|style="text-align:right;"|הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Horseman, Merchant, Guest </span> ===
+|
 |-
 |
-::Divide the 27 by the difference between 9 and 11, which you find to be 2. Divide 27 by 2; you find it is 13 and a half, which is [the number of] liter and so he takes of the silver that contains 11 [՚oqya per a liter].
+:{{#annot:horseman, merchant, guest|652|s6HV}}160) Question: three were in a guesthouse, one is a horseman, the second a merchant, and the third a guest.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot11\right)-72}{11-9}=\frac{99-72}{2}=\frac{27}{2}=13+\frac{1}{2}}}</math>
+:The horseman said he wants to pay 2 times more than the merchant plus 1 dinar.
-|style="text-align:right;"|וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב&#x202B;'<br>
+:The merchant said he wants to pay 3-quarters more than the guest plus 2 dinar.
-חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' וככה יקח מן הכסף המכיל י"א
+:Their food costs 11 pešuṭim.
+:How much should each of them pay?
+|style="text-align:right;"|קס) <big>שאלה</big> ג' נמצאו באכסניא א' פרש והב' סוחר והג' אורח<br>
+הפרש אמר שרוצה לפרוע ב' פעמים יותר מהסוחר ויותר דינר א&#x202B;'<br>
+והסוחר אמר שרוצה לפרוע ג' רביעיות יותר מהאורח ויותר ב' דינרין<br>
+ועולה [מאכלם] מאכלם י"א פשוטים<br>
+כמה ראוי לפרוע לכל א' מהם{{#annotend:s6HV}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, sum up all the liter, which are 13 and a half, 6, and 5; it is 24 and a half.
+::Answer: take 1 for the guest that [pays] the least of all.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תקח א' בעד האורח שהוא הפחות מכלם
 |-
 |
-::Multiply each by what it contains; the result is 220 and a half and this is the reserved.
+::1 and 3-quarters for the merchant plus two, so the share of the merchant is 3 and 3-quarters.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot7\right)+\left(5\sdot6\right)+\left[\left(13+\frac{1}{2}\right)\sdot11\right]=220+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{4}\right)+2=3+\frac{3}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור
+|style="text-align:right;"|וא' וג' רביעיות בעד הסוחר עם תוספת שנים ויהיה א"כ חלק הסוחר ג' וג' רביעיות
 |-
 |
-::Then, multiply 9 by 24 and a half; the result is also 220.
+::We double it; the result is 7 and a half; plus 1, it is 8 and a half and this is the share of the horseman.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[6+5+\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot9=\left(24+\frac{1}{2}\right)\sdot9=220+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot\left(3+\frac{3}{4}\right)+1=\left(7+\frac{1}{2}\right)+1=8+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ
+|style="text-align:right;"|ונכפול זה ויעלה ז' וחצי ועם תוספת א' ויהיו ח' וחצי וזה יהיה חלק הפרש
 |-
 |
+::So, take 1 for the guest plus the money of the merchant and the horseman; the total is 13 and a quarter.
-=== <span style=color:Green>Proportional Division Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(3+\frac{3}{4}\right)+\left(8+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תקח א' בעד האורח ומעות הסוחר והפרש ובין הכל הם י"ג ורביע
+|-
 |
+::Then, take 1 for the poor man, 1 and 3-quarters for the merchant minus the two, and 3 and a half for the horseman, which is double the money of the merchant; the total is 6 and a quarter.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקח א' בעד העני וא' וג' רביעיות בעד הסוחר בזולת השנים וג' וחצי בעד הפרש &#x202B;<ref>252r</ref>שהוא כפל ממון הסוחר ויעלה הכל ו' ורביע
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(1+\frac{3}{4}\right)+2\sdot\left(1+\frac{3}{4}\right)=1+\left(1+\frac{3}{4}\right)+\left(3+\frac{1}{2}\right)=6+\frac{1}{4}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:three men sharing money|645|jm00}}192) Question: There are three men here who earned 12 minyanim.
+::Our first number was 13 and a quarter. We subtract the smaller from the greater; 7 remains.
-:One asks for half the amount plus 2, the other asks for a third of the amount plus 3, and another asks for a quarter of the amount plus 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{4}\right)-\left(6+\frac{1}{4}\right)=7}}</math>
-:We ask: how much will each take?
+|style="text-align:right;"|ומספרינו הראשון היה י"ג ורביע<br>
-|style="text-align:right;"|קצב) שאלה יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים<br>
+נסיר הקטון מהגדול וישארו ז&#x202B;'
-הא' שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד&#x202B;'<br>
-נשאל כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:jm00}}
 |-
 |
-::The answer: all the additions they ask for, which are 2, 3, and 4, should be summed; it is 9.
+::Now we subtract 7 from the total amount of money, i.e. from the 11 they should pay; 4 remains.
-|style="text-align:right;"|תשובה ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם ב'ג'ד' והם ט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{11-7=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה נסיר עתה ז' מסך המעות ר"ל מי"א שיש לפרוע וישארו ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Subtract it from 12; 3 remains.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Take the share of the poor man, which is 1. Multiply it by 4; it is 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+3+4\right)=12-9=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויש לך עתה לקחת חלק העני שהוא א' וכפול אותו על ד' ויהיו ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|תחסרם מי"ב ישארו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::Take a half of 12; it is 6; the third is 4; the quarter is 3; the total is 13.
+::Divide it by 6 and a quarter; you receive 16 parts of 25 and this is the share of the poor man.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{16}{25}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג
+|style="text-align:right;"|חלקם על ו' ורביע ויצא לך י"ו חלקים מכ"ה וזה חלק העני
 |-
 |
-::Multiply half the number by 3; it is 18.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Multiply 1 and 3-quarters, which is the money of the merchant, by 4; it is 7.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול א' וג' רביעיות שהוא ממון הסוחר על ד' ויהיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 13; the result is 1 and 5 parts of 13 and this is the share of the one who asks for half the money.
+::Divide it by 6 and a quarter; you receive 1 and 3 parts of 25 and this is the money of the merchant.
-|style="text-align:right;"|חלקם על י"ג ועלה א' וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(1+\frac{3}{4}\right)\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{7}{6+\frac{1}{4}}=1+\frac{3}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ו' ורביע ויצא לך א' וג' חלקים מכ"ה והוא ממון הסוחר
 |-
 |
-::Since he said "plus 2", he takes 3 and 5 parts of 13.
+::Add to it 2; it is 3 and 3 parts of 25.
-|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{3}{25}\right)+2=3+\frac{3}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליו ב' ויהיו ג' וג' חלקים מכ"ה
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot3}{13}+2=\frac{6\sdot3}{13}+2=\frac{18}{13}+2=\left(1+\frac{5}{13}\right)+2=3+\frac{5}{13}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Multiply 3 and a half, which is the money of the horseman, by 4; it is 14.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ג' וחצי שהוא ממון הפרש על ד' ויעלה י"ד
 |-
 |
-::Take the third and multiply it by 3; the result is 12.
+::Divide it by 6 and a quarter; you receive 2 and 6 parts of 25.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(3+\frac{1}{2}\right)\sdot4}{6+\frac{1}{4}}=\frac{14}{6+\frac{1}{4}}=2+\frac{6}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ו' ורביע ויצא לך ב' וו' חלקים מכ"ה
 |-
 |
-::Divide it by 13; the result is 12 parts of 13 and this is the share of the one who asks for a third of the money.
+::Add 4 to it, which is double the 2 that the merchant adds to [the money of] the poor man, then add 1; the share of the horseman is 7 integers and 6 parts of 25.
-|style="text-align:right;"|וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{6}{25}\right)+4+1=7+\frac{6}{25}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוסיף על זה ד' שהוא כפל ב' שנותן הסוחר על העני ותוסיף עליו א' ויהיה חלקו של פרש ז' שלמים וו' חלקים מכ"ה וכן כלם
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Divide a Number Problem</span> ===
+|
 |-
 |
-::Since he said "plus 3", he takes 3 and 12 parts of 13.
+:161) Question: if you wish to divide a number into two parts, so that the sum of one part or more of the one plus one part or more of the other equals the first.
-|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג
+|style="text-align:right;"|קסא) <big>שאלה</big> אם תרצה לחלק מספר לב' חלקים אשר החלק או החלקים מהאחד מקובץ עם החלק או החלקים מהאחר ישוה שוה לאחד
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot3}{13}+3=\frac{4\sdot3}{13}+3=\frac{12}{13}+3=3+\frac{12}{13}}}</math>
+:*{{#annot:a+b=24, ⅔a+¾b=a|619|iK8n}}Example: divide 24 into two parts, such that the sum of 2-thirds of the first part plus 3-quarters of the other is equal to the first part.
+::<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b=24\\\scriptstyle\frac{2}{3}a+\frac{3}{4}b=a\end{cases}</math>
+|style="text-align:right;"|המשל תחלק כ"ד לב' חלקים אשר ב' שלישיות מהחלק הראשון וגם ג' רביעיות מהשני מקובצים יחד יהיו שוים אל החלק הראשון{{#annotend:iK8n}}
 |-
 |
-::Take a quarter of the number and multiply it by 3; the result is 9.
+::The way is that the complement of the first part, which is one third, is equal to 3-quarters of the second [part].
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a=\frac{3}{4}b}}</math>
+|style="text-align:right;"|דרך בו התשלום מהחלק הראשון אם יהיה א' שליש אשר יהיה שוה אל ג' רביעיות מהשני
 |-
 |
-::Divide it by [1]3; the result is 9 parts of 13.
+::So, you can say: if a third of the first is 3-quarters of the second, 3-thirds of the first is to know how many quarters of the second are the whole?
-|style="text-align:right;"|וחלקם על (י)"ג ויעלו ט' חלקים מי"ג
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}a=\frac{3}{4}b\longrightarrow a:Xb}}</math>
+|style="text-align:right;"|אם כן תוכל לומר אם שליש מהראשון הם ג' רביעיות מהב' ג' שלישיות מן הראשון זה לדעת הכל כמה רביעיות יהיו מהשני
 |-
 |
-::Since he said "plus 4", he takes 4 and 9 parts of 13.
+::If you solve this, you get 9-quarters and the whole second is <math>\scriptstyle\frac{4}{4}</math>, so they are <math>\scriptstyle\frac{13}{4}</math>
-|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}+\frac{9}{4}=\frac{13}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אשר אם תעשה יצא לך ט' רביעיות וכל השני הוא אשר יהיו
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot3}{13}+4=\frac{3\sdot3}{13}+4=\frac{9}{13}+4=4+\frac{9}{13}}}</math>
+::But, the sum of the two part is 24.
+|style="text-align:right;"|וכל שני החלקים אשר הם כ"ד במספר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Sum up all; the result is 12 integers.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> So, to know the first part of the two, say: if <math>\scriptstyle\frac{13}{4}</math> should be 24, how much should be <math>\scriptstyle\frac{4}{4}</math>, which is the first?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{5}{13}\right)+\left(3+\frac{12}{13}\right)+\left(4+\frac{9}{13}\right)=12}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13}{4}:24=\frac{4}{4}:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים
+|style="text-align:right;"|א"כ לדעת החלק הראשון מהשנים ראוי שתאמר אם ראוי שיהיה כ"ד מה ראוי להיות אשר הוא הראשון
 |-
 |
-:{{#annot:three men sharing money|645|9mWf}}193) Question: There are three men here who want to divide 16 minyanim.
+::You receive <math>\scriptstyle16\frac{8}{13}</math>.
-:One asks for half the amount minus 3, the other asks for a quarter plus 4, and another asks for a fifth plus 5.
+|style="text-align:right;"|ויתן לך י"ו
-:We wish to know how much will each take.
-|style="text-align:right;"|קצג) שאלה ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים<br>
-הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה&#x202B;'<br>
-נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:9mWf}}
 |-
 |
-::The answer: first, sum the additions that two of them ask for; it is 9.
+::The second is the remainder, which is <math>\scriptstyle7\frac{5}{13}</math>.
-|style="text-align:right;"|תשובה ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(16+\frac{8}{13}\right)=7+\frac{5}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשנית יתן לך הנשאר שהם
 |-
 |
-::Subtract 3 from 9, because one of them said "minus 3"; 6 remains.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> 2-thirds of the first, which is <math>\scriptstyle16\frac{8}{13}</math>, is <math>\scriptstyle11\frac{1}{13}</math>; and 3-quarters of the second, which is <math>\scriptstyle7\frac{5}{13}</math>, is <math>\scriptstyle5\frac{7}{13}</math>; and the total is <math>\scriptstyle16\frac{8}{13}</math>, which is the first part.
-|style="text-align:right;"|חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הבחינה מהראשון אשר הם י"ו הם י"א וג' רביעי מן השנית אשר הם ז' הם ה' אשר הם בכלל י"ו אשר הם החלק הראשון
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(16+\frac{8}{13}\right)+\frac{3}{4}\left(7+\frac{5}{13}\right)=\left(11+\frac{1}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)=16+\frac{8}{13}}}</math>
 |-
 |
-::Subtract 6 from the amount of money; 10 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16-\left[\left(4+5\right)-3\right]=16-\left(9-3\right)=16-6=10}}</math>
+=== <span style=color:Green>Pursuit Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|הסר מסך הממון ו' הנשאר י&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::Take a half of the money; it is 8.
+:{{#annot:two men|657|cZiZ}}162) Question: there are two who want to walk a certain distance.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי הממון שהוא ח&#x202B;'
+:The first walks 30 miles every day.
+:The second walks a mile on the first day, on the second 2, on the third 3 miles and so on every day he adds one mile.
+:In how many days will he reach the first one, so that they both arrive together in one place?
+|style="text-align:right;"|קסב) <big>שאלה</big> הנה בכאן ב' רוצים ללכת מרחק הא' הולך בכל יום ל' מילין והאחר הולך מיל ביום הא' ובב' ב' ובג' ג' מילים וכן בכל יום מוסיף מיל א&#x202B;'<br>
+א"כ בכמה ימים יגיע אל הראשון כדי שיגיעו שניהם יחד במקום אחד{{#annotend:cZiZ}}
 |-
 |
-::Take its fifth; it is 3 and a fifth.
+::The way: you should double the [number of] miles of the one who walks at a constant speed, i.e. the one who walks 30 miles; it is 60.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חמישיתו שהוא ג' וחומש
+|style="text-align:right;"|הדרך ראוי לך לכפול המילין מאותו שמתמיד ללכת &#x202B;<ref>252v</ref>מהלך שוה ר"ל אותו מהל' מילין ויהיו ס&#x202B;'
 |-
 |
-::Its quarter is 4.
+::Subtract 1 from it; 59 remains, so he reaches him in 59 days.
-|style="text-align:right;"|ורביעיתו שהוא ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-1=60-1=59}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומאלו תגרע א וישארו נ"ט א"כ בנ"ט ימים ישיגנו
 |-
 |
-::Sum all; the result is 15 and a fifth.
+:{{#annot:two men|657|33N2}}163) Question: a man walks 30 miles and the other 14 miles on the first day, and every day he adds a mile.
-|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש
+:When will he catch up with the first one?
+|style="text-align:right;"|קסג) <big>שאלה</big> איש הולך ל' מילין והאחר ביום א י"ד מילין ובכל יום מוסיף מיל<br>
+מתי ישיג הראשון{{#annotend:33N2}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=8+\left(3+\frac{1}{5}\right)+4=15+\frac{1}{5}}}</math>
+::It should be known that you should subtract the miles [that the second walks] on the first day from twice the miles [that the first walks] on the first day, i.e. we subtract 14 from 60; 46 remains, so he reaches him in 46 days.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot30\right)-14=60-14=46}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לדעת כי מכפילת ה{{#annot:mil|1068|GvJM}}מילים{{#annotend:GvJM}} מהיום הראשון ראוי לך לגרוע לעולם המילים מהיום הראשון ר"ל מס' נקח י"ד וישארו מ"ו ובמ"ו ימים ישיגנו
 |-
 |
-::Multiply its half, which is 8, by the 10 remaining after subtracting the addition of each; it is 80.
+:{{#annot:two men|657|8dlz}}164) Question: if you are told: on the first day he walks 2, on the second 4, on the third 6, and so on, every day he adds two miles?
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|קסד) <big>שאלה</big> ואם אמר לך היום הא' הולך ב' והב' הולך ד' והג' ו' וכן בכל יום מוסיף ב' מילין{{#annotend:8dlz}}
 |-
 |
-::Divide it by 15 and a fifth; the result is 5 [and 20 parts of 76].
+::1 mile should be subtract from the [number of miles of the one who walks at a constant speed] and the remainder is the number of days in which the one reaches the other.
-|style="text-align:right;"|חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ראוי לחסר {{#annot:mil|1068|wyL5}}מיל{{#annotend:wyL5}} א' בכל יום מאותו ההולך תחלה ואותו הנשאר בכמה ימים יגיעו הא' לאחר
 |-
 |
-::Subtract 3 from it, since he said "minus 3"; his share is 2 integers and 20 parts of 76.
-|style="text-align:right;"|הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וכ' חלקים מע"ו
+=== <span style=color:Green>Encounter Problem - Two Couriers</span> ===
-|-
+|
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{8\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{80}{15+\frac{1}{5}}-3=\left(5+\frac{20}{76}\right)-3=2+\frac{20}{76}}}</math>
 |-
 |
-::Take a quarter of the money, multiply it by 10, then divide the product; you receive 2 integers and 48 parts of 76 and this is the share of the one who asks for a quarter of the money. We add to it 4, since he said "plus 4".
+:{{#annot:two couriers|658|WiQX}}165) Question: courier one is in Avignon and he wants to walk to Milan within 8 days.
-|style="text-align:right;"|עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת
+:Another courier is in Milan and he wants to walk to Avignon within 5 days.
+:Both of them will start moving together at the same time.
+:Within how many days will they meet?
+|style="text-align:right;"|קסה) <big>שאלה</big> רץ א' הוא באוינייון ורוצה ללכת ב{{#annot:Milan|2593|2eSQ}}מילנו{{#annotend:2eSQ}} בח' ימים ורץ אחר הוא במילנו ורוצה ללכת ב{{#annot:Avignon|2593|IqeJ}}אוינייון{{#annotend:IqeJ}} בה' ימים ושניהם יחד בעת א' יתחילו להתנועע<br>
+בכמה ימים יפגעו זה את זה{{#annotend:WiQX}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+4=\left(2+\frac{48}{76}\right)+4}}</math>
+::You should [sum] the days each walks, i.e. 5 with 8; it is 13 and this is the divisor.
+|style="text-align:right;"|ראוי לך שתחסר הימים הראוים לכל א' במהלכם ר"ל ה' עם ח' והנם י"ג וזהו המחלק
 |-
 |
-::Take a fifth of the number, multiply it by 10, then divide the product by 15 and a fifth; you receive 2 integers and 8 parts of 76; and since he said "plus 5", he takes 7 integers and 8 parts of 76.
+::Then, multiply the days of the one by the days of the other, i.e. 5 by 8; it is 40 and this is the dividend. The product is the number of days they walk along the way.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם על עשרה וחלק העולה על ט"ו
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכה הימים מהא' עם הימים מהאחר ר"ל ה' עם ח' ויהיו מ' וזהו הנחלק ומה שיצא הוא בכמה ימים יתנועעו בדרך
-וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+5=\left(2+\frac{8}{76}\right)+5=7+\frac{8}{76}}}</math>
+::Divide 40 by 13; the result is 3 and [one part of 13], so in 3 days and [one part of 13] they reach each other.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5\sdot8}{5+8}=\frac{40}{13}=3+\frac{1}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק מ' על י"ג ויעלו ג' ושליש ובאלו הג' ימים ושליש יגיעו הא' לאחר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> the sum of the three is 16 integers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{20}{76}\right)+\left(6+\frac{48}{76}\right)+\left(7+\frac{8}{76}\right)=16}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find the Height Problem - Two Towers</span> ===
-|style="text-align:right;"|ובין שלשתן י"ו שלמים
+|
 |-
 |
-:{{#annot:two men sharing money|645|N0LR}}194) Question: There are two here who want to divide twenty minyanim.
+:{{#annot:two towers|685|kriv}}166) Question: Two towers have the same height and their [sides] are also the same.
-:One asks for a third minus 4 and the other asks for a fifth minus 3.
+:We know that a man subtracted double the sum of the two sides from the product of one height by the other.
-|style="text-align:right;"|קצד) שאלה יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים<br>
+:I ask how high is each of them?
-הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג&#x202B;'{{#annotend:N0LR}}
+|style="text-align:right;"|קסו) <big>שאלה</big> שני מגדלים גבהם שוה והמרחק שבין שניהם ג"כ הוא שוה לכל אחד מהם<br>
+והנה ידענו שאדם חסר מהכאת האחת בחבירו כפל מקובץ שני הצלעים<br>
+אשאל כמה היה גובה כל א' מהם{{#annotend:kriv}}
 |-
 |
-::First, 3 and 4 should be summed; it is 7.
+::The answer: suppose the remainder is 21, for instance, i.e. what remains from the product of the height of one tower by the other, when double the sum of the [sides of] the two towers is subtracted from it.
-|style="text-align:right;"|הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> נניח שהנשאר על דמ' הוא כ"א ר"ל הנשאר מהכאת גובה המגדל הא' בחבירו כשחוסר ממנו כפל מקובץ שני המגדלים שהם שנים
 |-
 |
-::Add it to the money, which is 20; it is 27.
+::We want to know the height of the towers:
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+4\right)+20=7+20=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונרצה לדעת כמה היה גבהות המגדלים
-|style="text-align:right;"|תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז
 |-
 |
-::Take a third of 20; it is 6 and 2-thirds.
+::We know that the towers are two, so 2 [multiplied] by itself is 4.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|הנה ידענו שהמגדלים הם ב' ולזה ב' בעצמו יעלו ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Take a fifth; it is 4.
+::We add it to 21; the result is 25 and its root is 5.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח החומש יהיה זה ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ונוסיפם על כ"א ויעלו כ"ה ושרשם ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Sum them together; it is ten [and 2-thirds].
+::We add to it 2, which is the number of the towers; the result is 7, which is the height of each one of the towers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+4=10+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2^2+21}+2=\sqrt{4+21}+2=\sqrt{25}+2=5+2}}</math>
-|style="text-align:right;"|חברם יחד יהיו עשרה
+|style="text-align:right;"|והנה נוסיף עליו ב' שהוא מנין המגדלים העולה שהוא ז' הוא גבהות כל א' מהמגדלים
 |-
 |
-::Multiply 6 and 2-thirds by 27; it is 180.
+::The proof of this is explained in the first section of Abū Bakr [al-Haṣṣār].
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ
+|style="text-align:right;"|ומופת זה נתבאר במאמר הראשון מ{{#annot:al-Haṣṣār|509|FSkZ}}אבו בכר{{#annotend:FSkZ}}
 |-
 |
-::Divide it by 10 and 2-thirds; the result is 16 and 28 parts of 32.
-|style="text-align:right;"|חלקם על י' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב
+=== <span style=color:Green>Whole from Parts Problem - Two Purses</span> ===
+|
 |-
 |
-::Since he said "minus 4", we subtract 4; 12 and 28 parts of 32 remains and this is the share of the one who asks for a third of the money.
+:{{#annot:two purses|650|ofZw}}167) Question: we have two purses, but we do not know how much money is in them, we only know that in the greater purse there is a half and a third of what is in the two purses summed together and in the smaller purse there is 13.
-|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון
+:I ask how much money is in both purses [together]?
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+13=X</math>
+|style="text-align:right;"|קסז) <big>שאלה</big> הנה בידינו ב' כיסים ולא ידענו כמה מעות היו בהם רק ידענו שבכיס הגדול היה החצי והשליש ממה שהיה בב' הכיסים מקובצים ובכיס הקטנה היה י"ג<br>
+&#x202B;<ref>253r</ref>אשאל כמה ממון היו בב' הכיסים{{#annotend:ofZw}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(6+\frac{2}{3}\right)\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-4=\frac{180}{10+\frac{2}{3}}-4=\left(16+\frac{28}{32}\right)-4=12+\frac{28}{32}}}</math>
+::The answer: take the common denominator, which is 6; its third and its half is 5, which is 1 less than 6, by which you divide.
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> קח המורה שהוא ו' ושלישיתו ומחציתו הם ה' והנה עד ו' יחסר א' ועליו תחלק
 |-
 |
-::We also multiply 4 by 27; it is 108.
+::Multiply 6 by 13; it is 78.
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ו' כפול על י"ג הם ע"ח
 |-
 |
-::Divide it by ten and 2-thirds; the result is ten and 4 parts of 32.
+::Divide it by 1; it is 78 and this is the amount of money in each purse, which is the required.
-|style="text-align:right;"|חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot13}{\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)}=\frac{78}{5}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|חלק על א' והוא ע"ח וכך מעות היו בכל כיס והוא המבוקש
-|
-::Since he said "minus three", we subtract 3 from ten; the remainder is 7 and 4 parts of 32.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-3=\frac{108}{10+\frac{2}{3}}-3=\left(10+\frac{4}{32}\right)-3=7+\frac{4}{32}}}</math>
-|style="text-align:right;"|מצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube</span> ===
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:three men - cube game|652|0LU2}}195) Question: three people are playing with a cube.
+:{{#annot:a(mod)3=a(mod5)=a(mod7)=1|618|lQns}}168) Question: find me a number, such that if you divide it by 3, by 5, and by 7, 1 remains.
-:The two put all of their money against the third and the third plays, loses and pays each one all the money gambled against him.
+|style="text-align:right;"|קסח) <big>שאלה</big> בקש לי מספר שאם תחלקהו על ג' ועל ה ועל ז' ישאר א&#x202B;'{{#annotend:lQns}}
-:Now, the third plays, the remaining two put all their money, and he loses and pays each of them.
-:We find each has 100 minyanim in his hand.
-:How much did each has when they started playing?
-|style="text-align:right;"|קצה) שאלה ג' אנשים מצחקים בקוביא<br>
-הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו<br>
-עתה מצחק הג' והב' הנשארים שמו כל ממונם והוא הפסיד ופרע לכל א' וא&#x202B;'<br>
-ונמצא עתה ביד כל א' וא' ק' מנינים<br>
-כשהתחילו לצחק כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:0LU2}}
 |-
 |
-::Answer: take the number of the people, which is 3, add 1 to it, for the first duplication; it is 4.
+::The answer: take 70 for the 1 that remains above 3, when we divide it by 3; take 21 for the 1 that remains when we divide by 5; take 15 for the 1 that remains when we divide by 7. Sum them; it is [...] 106.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70+21+15=106}}</math>
-|style="text-align:right;"|תשובה תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> קח א' שנשאר על הג' בחלקנו אותו על הג' קח ע' ועל א' שנשאר בחלקנו על ה' קח כ"א ועל א' שנשאר בחלקנו על ז' קח ט"ו וקבצם ויהיו ק"ה תוסיף אחד ויהיו ק"ו וכן תעשה
 |-
 |
-::Double 3; it is 6. Add 1 to it; it is 7.
+:{{#annot:a(mod)3=2,a(mod5)=4,a(mod7)=6|618|hx8d}}169) Question: if you are told that the remainder after casting out the threes is 2 etc.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+1=6+1=7}}</math>
+:Do it this way:
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז&#x202B;'
+:For instance, if it is said that when we divide it by 3, 2 remains; if its is divided by 5, 4 remains; and if it is divided by 7, 6 remains.
+|style="text-align:right;"|קסט) <big>שאלה</big> ואם אמר לך שנשאר בהשליכך ג"ג ב' או ג&#x202B;'<br>
+עשה בדרך הזה<br>
+עד"מ ואם אמר כשנחלקהו על ג' ישאר ב' ואם יחולק על ה' ישאר ד' ואם יחולק על ז' ישאר ו&#x202B;'{{#annotend:hx8d}}
 |-
 |
-::Double 7; it is 14. Subtract 1 from it; it is 13.
+::Take [70 for the 1 that remains above 3].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|קח על כל א' מהב' והנשאר ע&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג
 |-
 |
-::It is known that the amount of money is 3 hundred, so we do as follows and say: here are three people - one carried 13 dinar, the other 7, and the other 4. They earned 3 hundred. How much will each take?
+::Multiply 70 by 2; it is 140.
-|style="text-align:right;"|וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות<br>
+|style="text-align:right;"|וכפול ע' על ב' ויהיו ק"מ
-כמה יקח כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-::Sum up all their amounts of money, which are 4, 7, and 13; it is 24.
+::Multiply 4 by 21; it is 84.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+7+13=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ד' על כ"א ויהיו פ"ד
-|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד
 |-
 |
-::Multiply 13 by 3 hundred; it is 3 thousand and 9 hundred.
+::Multiply 6 by 15; it is 90.
-|style="text-align:right;"|כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ו' על ט"ו ויהיו צ&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by the reserved, which is 24; you receive 162 and a half and this is the money of the first.
+::Sum them up; it is 314 and this is the required.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot300}{24}=\frac{3900}{24}=162+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(70\sdot2\right)+\left(21\sdot4\right)+\left(15\sdot6\right)=140+84+90=314}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון
+|style="text-align:right;"|קבצם ויהיו שי"ד והוא המבוקש
 |-
 |
-::Multiply also 7, which is the [assumed] money of the second, by 3 hundred; the result is 2 thousand and a hundred.
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Three Purses</span> ===
+|
 |-
 |
-::Divide it by 24; you receive 87 and a half and this is the money of the second.
+:{{#annot:three purses|652|P3hi}}170) Question: a man found three purses.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}</math>
+:He know that in the first purse there is an unknown amount [of money], in the second purse there is twice of [what is] in the first, and in the third there is as much as in the both.
-|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני
+:The total is 100 minyanim.
+:We ask how much is in each?
+|style="text-align:right;"|קע) <big>שאלה</big> אדם מצא ג' כיסות וידע שבכיס הראשון יש בו מספר נעלם ובכיס הב' יש בו ב' כפלים מהא' ובג' יש בו כמו שיש בשנים ובין כלם ק' מנינים נשאל כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:P3hi}}
 |-
 |
-::You also have to multiply the [assumed] money of the third, which is 4, by 3 [hundred]; the result is 12 hundred.
+::The answer: we suppose that in the first purse there is 1 dinar, in the second 2, and in the third 3. The total is 6.
-|style="text-align:right;"|עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> נניח שבכיס הא' היה שם דינר א' ובב' ב' ובג' ג' ובין כלם ו&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 24; you receive fifty and this is the money of the third.
+::Divide 100 by 6; you get 16 and 2-thirds and this is what is in the small purse.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{1+2+3}=\frac{100}{6}=16+\frac{2}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וחלק ק' על ו' ויצא לך י"ו וב' שלישיות והוא מה שבכיס הקטן
-|-
-|
-::The total is 3 hundred.
-|style="text-align:right;"|ובין הכל ג' מאות
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Shared Work Problem</span> ===
+=== <span style=color:Green>If You Give Me Problem - Two Men, Horse</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:barrel|625|xzby}}196) Question: There is a barrel here that has 3 openings. From the first opening, all the wine comes out in 4 hours. From the second opening, without the first, all the wine comes out in 3 hours. From the third opening, without the others, all the wine comes out in 2 hours. If we open all three of them, how long will it take for all the wine to come out?
+:{{#annot:two men, horse|664|EQjk}}171) Question: two want to buy a horse.
-|style="text-align:right;"|קצו) שאלה יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין{{#annotend:xzby}}
+:The first said to the second: If you give me a half and a third of your money, with what I have, we will buy the horse.
+:The second said: If you give me a third and a quarter of your money, with what I have, we will buy the horse.
+:I ask: how much does each have and how much is the horse worth?
+|style="text-align:right;"|קעא) <big>שאלה</big> ב' רוצים לקנות סוס אחד<br>
+אמר הראשון לשני אם תתן לי החצי ושליש ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס<br>
+אמר הב' אם תתן לי שלישית ורביעית ממעותיך עם מה שיש לי נקנה הסוס<br>
+אשאל כמה לכל א' וכמה שוה הסוס{{#annotend:EQjk}}
 |-
 |
-::The answer can be done in two ways:
+::Answer: look for the common denominator; it is 12.
-|style="text-align:right;"|תשובה תוכל לעשותה בב' פנים
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> בקש המורה הוא י"ב
 |-
 |
-::One is that you take the greatest number, which is 4, and divide it by itself and also by the others.
+::Take its half and its third; it is 10.
-|style="text-align:right;"|א' והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים
+|style="text-align:right;"|וקח החצי והשליש והוא י&#x202B;'
 |-
 |
-::First, divide it by itself; the result is 1.
+::Subtract it from 12; 2 remains, so the first has 2.
-|style="text-align:right;"|ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\right]=12-10=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחסרם מי"ב נשארו ב' א"כ הראשון היה לו ב&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, divide 4 by 3; you receive 1 and a third.
+::Take a third and a quarter of the denominator; it is 7.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש ורביעית המורה שהוא ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide 4 by 2; you receive 2.
+::Subtract 7 from 12; the remainder is 5, and so has the second.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left[\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\right]=12-7=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|חסר ז' מי"ב הנשאר ה' וכך היה לשני
 |-
 |
-::Sum all of them; it is 4 and a third.
+::If you want to know the price of the horse, take a half and a third of 5; it is [4] and a sixth.
-|style="text-align:right;"|חברם כלם ויהיו ד' ושליש
+|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> תרצה לדעת ערך הסוס קח חצי ושליש ה' יהיו ב' ושתות
 |-
 |
-::Divide 4 by it; you receive 12 parts of 13 and this is [how long it takes for all] the wine to come out.
+::Add 2 and this is the required, i.e. [6] and a sixth.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{\frac{4}{4}+\frac{4}{3}+\frac{4}{2}}=\frac{4}{1+\left(1+\frac{1}{3}\right)+2}=\frac{4}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{13}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{1}{2}\sdot5\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot5\right)\right]+2=\left(4+\frac{1}{6}\right)+2=6+\frac{1}{6}}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין
+|style="text-align:right;"|ושים בו ב' שהוא ו' מעות והוא המבוקש ר"ל ח' ושתות
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it, do as follows: we suppose there are 12 log in the barrel and we say: if 12 log come out in 4 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
+=== <span style=color:Green>How Much Problem - Tree</span> ===
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה<br>
-נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג
-|-
 |
-::You find that 2 log and ten parts of 13 come out.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{10}{13}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג
 |-
 |
-::We say again: if 12 [log] come out in 2 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
+:{{#annot:tree|648|57wS}}172) Question: We have a tree whose height is unknown, we just know that if we take 4 times as much as it and added it to its square, we receive a given number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
+:How tall is the tree?
-|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג)
+:<math>\scriptstyle4a+a^2=b</math>
+:Suppose we receive 128 and a quarter after adding to the square of the tree its four times and we wish to know the height of the tree.
+:<math>\scriptstyle4a+a^2=128+\frac{1}{4}</math>
+|style="text-align:right;"|קעב) <big>שאלה</big> יש לנו אילן גבהותו נעלם רק ידענו שאם נקח ד' פעמים כמוהו ונוסיפנו על מרובעינו יצא לנו &#x202B;<ref>253v</ref>מספר מונח<br>
+כמה גבהות האילן<br>
+<big>תשובה</big> נניח שעלה בידינו אחר שהוספנו על מרובע האילן ד' פעמים כמוהו קכ"ח ורביע א' שלם<br>
+ונרצה לדעת גבהות האילן{{#annotend:57wS}}
 |-
 |
-::You find that 5 log and [7] parts of 13 come out.
+::Do as follows: always add 4 integers to the resulting number; the result in our example is 132 and a quarter.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=5+\frac{7}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה תעשה כן הוסף לעולם על המספר העולה ד' שלמים ויהיה העולה במשלינו קל"ב ורביע
-|style="text-align:right;"|תמצא שיצא ה' לוגים וח' (ז) חלקים מי"ג
 |-
 |
-::We [say] again: if 12 [log] come out in 3 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
+::We extract its square root; it is 11 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונוציא שרשו הרביעי והוא י"א וחצי
-|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג
 |-
 |
-::You find 3 [log] and 9 parts of 13.
+::We always subtract 2 integers; the remainder is 9 and a [half] and this is the height of the tree etc.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{9}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחסר ממנו לעולם ב' שלמים והנשאר הוא ט' ורביע והוא גבהות האילן וכן כל היוצא בזה
-|style="text-align:right;"|תמצא ג' וט' חלקים מי"ג
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{\left(128+\frac{1}{4}\right)+4}-2=\sqrt{132+\frac{1}{4}}-2=11+\frac{1}{2}-2=9+\frac{1}{2}}}</math>
 |-
 |
-::Sum all; you find 12 integers.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{10}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)=12}}</math>
+=== <span style=color:Green>Too Much and Too Little Problem - Workers - House</span> ===
-|style="text-align:right;"|חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים
+|
 |-
 |
-::The other way is that we look for a common denominator that has all the mentioned parts, meaning, a third as he said 3 hours, a quarter for the 4 hours, and a half for the 2 hours; you find 12.
+:{{#annot:workers - house|2645|dD6m}}174) Question: a man built his house. He came to pay wages to the workers and said to them: I have an amount of money such that if I give 3 dinar to each one, I will have 15 dinar left and if I give 3 dinar and a half to each one, I will be short of ten dinar.
-|style="text-align:right;"|והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב
+:I ask: how many are the workers and how much is his money?
+|style="text-align:right;"|קעד) <big>שאלה</big> אדם בנה ביתו ובא לתת שכר לפועלים ואמ' להם אני יש לי מעות שאם אתן ג' דינרין לכל א' ישאר בידי ט"ו דינרין ואם אתן ג' דינרין וחצי לכל אחד יחסר לי עשרה דינרין<br>
+אשאל כמה היו הפועלים וכמה הם מעותיו{{#annotend:dD6m}}
 |-
 |
-::Its half is 6, its quarter is 3, its third is 4. Sum up all; it is 13.
+::The answer: subtract 3 dinar from 3 and a half; half a dinar remains, by which you divide.
-|style="text-align:right;"|ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> חסר ג' דינרין מג' וחצי וישאר חצי דינר ועליו תחלק
-חבר הכל יהיו י"ג
 |-
 |
-::Divide the common denominator, which is 12, by 13; it is 12 parts of 13.
+::Add 15 dinar to 10 dinar; it is 25.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}=\frac{12}{6+4+3}=\frac{12}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חבר ט"ו דינרין עם י' דינרין ויהיו כ"ה
-|style="text-align:right;"|חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג
 |-
 |
-::All leads to the same solution
+::Divide it by half; it is 50 and so are the workers.
-|style="text-align:right;"|והכל הולך אל מקום אחד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{15+10}{\left(3+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{25}{\frac{1}{2}}=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על חצי ויהיו נ' וככה היו הפועלים
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Compound Barter Problem - Cloth and Wool</span> ===
+::If you want to know [how much is] the money: multiply 50 by 3; it is 150.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת המעות כפול נ' בג' ויהיו ק"נ
+|-
 |
+::Add 15 to it; it is 165 and this is the money.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(50\sdot3\right)+15=150+15=165}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוסף עליהם ט"ו ויהיו קס"ה והוא המעות
 |-
 |
-:{{#annot:cloth and wool|635|0dbY}}197) Question: [Two] men want to barter goods with each other, one sells cloth and the other sells wool.
+::If you multiply 50 by 3 and a half, the result is 175 and he loses 10 dinar.
-:The one selling the cloth sells it at one cane for [4] minyanim in cash, and since he wants to barter it, he rises its price by 1 minyan for a cane and offers 5 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=175}}</math>
-:He wants to be given 2-fifths in cash, and for the [3]-fifths he wants the other to give him wool.
+|style="text-align:right;"|ואם תכפול נ' בג' וחצי יהיה העולה קע"ה ויפסיד י' דינרין
-:The woolen cloth is worth [7] minyanim for a cloth.
-:We wish to know by how much will the price of wool increase, as the price of cloth increases?
-|style="text-align:right;"|קצז) שאלה ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר<br>
-מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים<br>
-ומזה רוצה שינתן לו ב' חמישיות במעות מנויים והב' חמישיות רוצה שיתן לו האחר מצמר<br>
-והבגד מן הצמר שוה ג' מנינים הבגד<br>
-נרצה לדעת כמה יעלה לו סך הצמר כאשר העלה לו סך הבגד{{#annotend:0dbY}}
 |-
 |
-::It should be done as follows: take 2-fifths of the money he requires, meaning of the 5 minyanim; [3] remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=3}}</math>
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Three Men - Money</span> ===
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::Then, subtract 2 from the 4, which is the price of the cane in cash; 2 remains.
+:{{#annot:three men - money|652|WUTT}}175) three men have money, we do not know how much, only that the first has half the second, the second has half the third and together they all have 12.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=4-2=2}}</math>
+:We ask: how much does each have?
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|קעה) <big>שאלה</big> ג' אנשים יש להם ממון ולא ידענו כמה רק הראשון יש לו חצי השני והב' יש לו חצי הג' ובין כלם י"ב<br>
+נשאל כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:WUTT}}
 |-
 |
-::Now, say: if 2 is worth 3, how much is 7 worth?
+::The answer: the first has 1 pašuṭ, the second has 2 pešuṭim, and the third has 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:3=7:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> הא' היה לו {{#annot:pašuṭ|2643|S2GO}}פשוט{{#annotend:S2GO}} א' והב' היו לו ב' פשוטים והג' ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז&#x202B;'
 |-
 |
-::You receive 10 and a half and this is what he should offer from the wool.
+::Sum them up; they are 7 pešuṭim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|קבצם והם ז' פשוטים
-|style="text-align:right;"|יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it: we suppose he bought 2 cane that were worth 80 minyanim in cash and now are worth 100 in their barter.
+::Divide 12 by 7; you receive 1 and 5-sevenths and this is the money of the first.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' נחליף שעושים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{1+2+4}=\frac{12}{7}=1+\frac{5}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלק י"ב על ז' ויצא לך א' וה' שביעיות והוא סך הראשון
 |-
 |
-::He asks for 2-fifths of the 100 in cash, which is 40 minyanim.
+::The second has double this and the third [has] double the second.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot100=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכפל זה היה לשני וכפל השני לג&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים
 |-
 |
-::Subtract 40 from 80; 40 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80-40=40}}</math>
+=== <span style=color:Green>Give and Take Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|הסר מפ' מ' הנשאר מ&#x202B;'
+|
 |-
 |
-::He rises the 40 to 60. How much will he take from the wool?
+:{{#annot:building|627|JLEa}}176) Question: A man hired his friend to build him a house every day, and agreed with him that he would pay him 5 dinar every day, and every day that he does not work, the hired man would pay 9 dinar to the owner of the house.
-|style="text-align:right;"|ומאלו המ' העלה אותם עד ס&#x202B;'<br>
+:He worked for a known [number of] days, and finally the owner of the house gave him 1 dinar.
-כמה יקח מהצמר
+:We would like to know how many days did he work.
+|style="text-align:right;"|קעו) <big>שאלה</big> אדם שכר חבירו לבנות לו בית כל יום והתנה עמו שיתן לו בכל יום ה' דינרין ובכל יום שלא יעשה מלאכה יתן הנשכר אל בעל הבית ט' דינרין והוא עבד ימים ידועים ולבסוף הבעל הבית נתן לו דינר א&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה ימים עבד{{#annotend:JLEa}}
 |-
 |
-::The 40 should be divided by 7, which is the initial price of the wool; you receive 5 and 5-sevenths.
+::You should add 5 to 9; it is 14.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{7}=5+\frac{5}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ה' עם ט' ויהיו י"ד
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות
 |-
 |
-::Say: how much are the 5 and 5 sevenths worth at the price of ten and a half minyanim?
+::We multiply 9 by 30; it is 270.
-|style="text-align:right;"|ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ט' על ל' ויהיו ר"ע
 |-
 |
-::You find that they are worth 60 minyanim, because he rises [the price] from 40 to 60.
+::We add 1 to it; it is 271.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{7}\right)\sdot\left(10+\frac{1}{2}\right)=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|נוסיף עליו א' ויהיו רע"א
-|style="text-align:right;"|תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס&#x202B;'
 |-
 |
+::We divide it by 14; you receive 19 and 5 parts of 14.
-=== <span style=color:Green>Partnership Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot30\right)+1}{5+9}=\frac{270+1}{14}=\frac{271}{14}=19+\frac{5}{14}}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחלקם על י"ד ויצא לך י"ט וה' חלקים מי"ד
+|-
 |
+::We multiply 30 by 5; it is 150.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ל' על ה' ויהיו ק"נ
 |-
 |
-:{{#annot:four partners|661|vbnI}}198) Question: there are four [men] who formed a partnership.
+::We subtract 1 from it; it is 149.
-:Three of them, without the fourth, contributed 600 minyanim.
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם א' ויהיו קמ"ט
-:Three of them, without the third, contributed 700 minyanim.
-:Three of them, without the first, contributed 800 minyanim.
-:Three of them, without the second, contributed 900 minyanim.
-:We wish to know how much did each contribute?
-|style="text-align:right;"|קצח)&#x202B;<ref>MS L: קצה</ref> שאלה יש כאן ד' עושים שותפות<br>
-הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים<br>
-והג' האחרים בלתי הג' שמו ז' מאות<br>
-והג' בלתי הא' שמו ח' מאות<br>
-והג' בלתי השני שמו ט' מאות<br>
-נרצה לדעת כמה שם כל א&#x202B;'{{#annotend:vbnI}}
 |-
 |
-::It should be solved this way: sum up all their money together; it is a thousand, after we divide [the total] by 3, and this is all the money they contributed together.
+::We divide it by 14; you receive ten and 9 parts of 14.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600+700+800+900}{3}=1000}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(5\sdot30\right)-1}{5+9}=\frac{150-1}{14}=\frac{149}{14}=10+\frac{9}{14}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם
+|style="text-align:right;"|נחלקם על י"ד יצא לך עשרה וט' חלקים מי"ד
 |-
 |
-::We subtract 600 from it; 400 remains and this is the share of the fourth.
+::So, he worked 19 days and 5 parts of 14 and he rested from his work 10 days and 9 parts of 14.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=1000-600=400}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ הוא עבד י"ט ימים וה' חלקים מי"ד ושבת מכל מלאכתו י' ימים וט' חלקים &#x202B;<ref>254r</ref>מי"ד
-|style="text-align:right;"|ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי
 |-
 |
-::We subtract 700 from it; 300 remains and this is what the third contributed.
+:{{#annot:donation|627|FPlr}}177) Question: A man goes to trade.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=1000-700=300}}</math>
+:He vows that if God doubles his money every day, he will give 3 dinars to charity and within 3 days all his money is gone.
-|style="text-align:right;"|עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי
+|style="text-align:right;"|קעז) <big>שאלה</big> אדם הולך לסחורה נדר אם המקום יכפול ממונו בכל יום יתן ג' דינרין לצדקה ובתוך ג' ימים הלך ממונו{{#annotend:FPlr}}
 |-
 |
-::We subtract 800 from it; 200 remains and this is what the second contributed.
+::You should do this: you already know that on the third day all his money was gone, after he gave 3 dinar, therefore what he had on the third day was 3.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1000-800=200}}</math>
+|style="text-align:right;"|יש לך לעשות ככה והוא שכבר ידעת כי ביום ג' הלך כל ממונו אחר שנתן ג' דינרין א"כ מה שהיה לו ביום הג' היה ג&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני
 |-
 |
-::We subtract 900 from it; one hundred remains and this is what the first contributed.
+::Divide it by 2; you receive 1 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1000-900=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלקהו על ב' יצא לך א' וחצי
-|style="text-align:right;"|עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון
 |-
 |
-::The total is one thousand.
+::Add 3 to it; it is 4 and a half and this is what he had on the second day, before giving his money.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+200+300+400=1000}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{2}+3=\left(1+\frac{1}{2}\right)+3=4+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ובין כלם אלף
+|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ג' ויהיו ד' וחצי והוא מה שהיה לו ביום השני קודם נתינת ממונו
 |-
 |
-*{{#annot:four partners|661|nMq8}}196)[L] Question: there are four [men] who formed a partnership.
+::Divide it by 2; you receive 2 and a quarter.
-:Three of them, without the first, contributed 18 [minyanim].
+|style="text-align:right;"|וחלק זה על ב' ויצא לך ב' ורביע
-:Three of them, without the [second], contributed 20 minyanim.
-:Three of them, without the [third], contributed 22 [minyanim].
-:Three of them, without the fourth, contributed 24 [minyanim].
-:We wish to know how much did each contribute?
-|style="text-align:right;"|קצו)&#x202B;<ref>MS M om.</ref> שאלה ד' עושים שותפות<br>
-הג' בלתי הראשון שמו י"ח<br>
-והג' מהם בלתי האחד שמו כ' מנינים<br>
-והג' האחרים זולת האחר שמו כ"ב<br>
-והג' בלתי הרביעי שמו כ"ד<br>
-כמה שם כל אחד ואחד{{#annotend:nMq8}}
 |-
 |
-::Sum up all their money together; the result is 84.
+::Add 3 to it; it is 5 and a quarter and this is what he had on the first day, before giving the money.
-|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4+\frac{1}{2}}{2}+3=\left(2+\frac{1}{4}\right)+3=5+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף על זה ג' ויהיו ה' ורביע וזה היה לו ביום הראשון קודם נתינת הממון
 |-
 |
-::Divide it by 3; you receive 28 and this is all their money.
+::If you want to divide it by 2, you receive 2 and 5-eighths and this is the amount of money.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18+20+22+24}{3}=\frac{84}{3}=28}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5+\frac{1}{4}}{2}=2+\frac{5}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לחלק זה על ב' יצא לך ב' וה' שמיניות והוא המעות
 |-
 |
-::We divide 84 by 3 because they are always triplicated.
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-::We subtract from it the 18 that the first three contributed; ten remains and this is the share of the first.
+:{{#annot:donation|627|0zsJ}}178) Question: A man has money and said that if God will add 2 dinar to his money every day, he will donate 3 dinar every day.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=28-18=10}}</math>
+:At the end of 4 days, all his money is gone.
-|style="text-align:right;"|ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון
+:We ask how much money did he have on the first day?
+|style="text-align:right;"|קעח) <big>שאלה</big> אדם יש לו מעות ואמר אם השם יוסיף על ממונו ב' דינרין בכל יום יתן ג' דינרין בכל יום ובסוף ד' ימים הלך כל ממונו<br>
+נשאל כמה ממון היה לו ביום הראשון{{#annotend:0zsJ}}
 |-
 |
-::We subtract 20; 8 remains and this is the share of the second.
+::We solve this question this way: you already know that what he gave on the fourth day was 3, then he has nothing left in his hand and the profit he makes each day is 2.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=28-20=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|נעשה זאת השאלה על זה הדרך והוא כי כבר ידעת כי מה שנתן ביום הד' היה ג' ולא נשאר מאומה בידו והריוח שהיה עושה בכל יום היה ב&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני
 |-
 |
-::We subtract 22; 6 remains and this is the share of the third.
+::We subtract 2, which is the profit, from 3; 1 remains and this is what he had on the fourth day, before the profit he made that day.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=28-22=6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-2=1}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי
+|style="text-align:right;"|נסיר מג' ב' שהם הריוח ישאר א' והוא מה שהיה לו ביום הרביעי קודם הריוח שעשה באותו יום
 |-
 |
-::We subtract 24; 4 remains and this is the share of the fourth.
+::We add 3 to 1; it is 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=28-24=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ נוסיף על א' ג' ויהיו ד&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי
 |-
 |
-:{{#annot:five partners|661|oLL3}}197)[L] Question: there are five - four of them contributed 22, four of them contributed 24, four of them contributed 26, four of them contributed 28, and four of them contributed 30.
+::We subtract from it the 2 of the profit; 2 remains and this is what he had on the third day, before the profit.
-:How much did each have?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+3\right)-2=4-2=2}}</math>
-|style="text-align:right;"|קצז)&#x202B;<ref>MS M om.</ref> שאלה בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם הב' מהריוח וישארו ב' וזה היה לו ביום הג' קודם הריוח
-כמה לכל אחד ואחד{{#annotend:oLL3}}
 |-
 |
-::Sum up all their money together; the result is 130.
+::We add 3 to it; it is 5.
-|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל
+|style="text-align:right;"|אח"כ נשים על זה ג' ויהיו ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 4 [...]; you receive 32 and a half, which is all their money.
+::We subtract from it the profit, which is 2; the remainder is 3 and this is what he had on the second day, before the profit.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+24+26+28+30}{4}=\frac{130}{4}=32+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+3\right)-2=5-2=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם הריוח שהוא ב' הנשאר ג' וזה היה לו ביום השני קודם הריוח
 |-
 |
-::Subtract 22 from it; ten and a half remains and this is the amount of money of the fifth.
+::We add 3 to it; it is 6.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(32+\frac{1}{2}\right)-22=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ נוסיף על זה ג' ויהיו ו&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי
 |-
 |
-::Subtract 24 from it; 8 and a half remains and this is the amount of money of the fourth.
+::We subtract 2 from it for the profit; the remainder is 4 and this is what he had on the first day, before made any profit, which is the amount of money he had at the beginning.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(32+\frac{1}{2}\right)-24=8+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+3\right)-2=6-2=4}}</math>
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי
+|style="text-align:right;"|נסיר מהם ב' בעד הריוח הנשאר ד' וזה היה לו ביום הראשון קודם שהרויח מאומה והוא סך הממון הנמצא עמו בתחלה
 |-
 |
-::Subtract 26 from it; 6 and a half remains and this is the amount of money of the third.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(32+\frac{1}{2}\right)-26=6+\frac{1}{2}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Men, Women, Children</span> ===
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי
-|-
 |
-::Subtract 28 from it; 4 and a half remains and this is the amount of money of the second.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(32+\frac{1}{2}\right)-28=4+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני
 |-
 |
-::Subtract 30 from it; 2 and a half remains and this is the amount of money of the first.
+:{{#annot:men, women, children|652|VPgv}}179) Question: Men and women and children go to a guesthouse to eat.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(32+\frac{1}{2}\right)-30=2+\frac{1}{2}}}</math>
+:The men pay 2 pešuṭim, the women half a pešuṭ and the children a quarter.
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון
+:They pay 12 pešuṭim and they are 12 also.
+:How many are the men, the women and the children?
+|style="text-align:right;"|קעט) <big>שאלה</big> אנשים ונשים וטף הולכין לאושפיזה לאכול<br>
+האנשים נותנים ב' פשוטי' והנשים חצי פשוט והטף רביעית ופרעו י"ב פשוטים ובין כלם י"ב ג"כ<br>
+כמה הם האנשים והנשים והטף{{#annotend:VPgv}}
 |-
 |
-|
+::Answer: assume the men are as many as you wish, and so are the women and the children.
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תשים האנשים כפי מה שתרצה וכן הנשים והטף
 |-
 |
+::We suppose the men are 4; their cost is 8 pešuṭim.
-=== <span style=color:Green>Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot2=8}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|ונניח שהאנשים היו ד' ששוים ח' פשוטים
 |-
 |
-:{{#annot:two types of wheat|643|LZP3}}199) Question: There is a man here who sells a measure of wheat for 10 minyanim and he has another better kind of wheat that he sells a measure for 16 minyanim.
+::The women are 4; [their cost is] 2 pešuṭim.
-:A man comes and says to him: sell to me of the two kinds of wheat for a price of 14 minyanim and I will buy 20 measures.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot4=2}}</math>
-:How much will he sell to him from each [kind of] wheat, so that the wheat will be worth 14 minyanim?
+|style="text-align:right;"|וד' נשים מב' פשוטים
-|style="text-align:right;"|קצט) שאלה יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מ[ב'] מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות<br>
-כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה{{#annotend:LZP3}}
 |-
 |
-::The answer: do as follows: see how much is the difference between 14 and 10; you find it 4. Place it above 14 that is its counter.
+::[Together] their number is 8 and the number of coins is 10.
-|style="text-align:right;"|תשובה כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+4=8\quad8+2=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה מספרם ח' ומספר המעות י&#x202B;'
 |-
 |
-::See also the difference between 14 and 16, which is the second price; you find it is 2. Place it above 10.
+::The children are 4; so they are 12 and the number of coins is 11, which is 12 minus 1.
-|style="text-align:right;"|עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+4=12\quad10+1=11\quad12-1=11}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנערים ד' והנם י"ב והמעות י"א ויחסר א' עד י"ב
 |-
 |
-::Then, sum 2 and 4, which are the excesses; it is 6. Keep it.
+::Hence, we should find a number that will raise [the number of coins] by one: we turn [2] of the 4 [women] into [1] man, so there are [5 men] and we turn [one woman] into 2 children; then the numbers are the same.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם
+|style="text-align:right;"|לכן יש לנו למצא מספר שיעלהו אחד ונעשה ג' מהד' אנשים ויהיו ו' נשים ומהאנשים נעשה מהם ב' נערים והמספר יצא &#x202B;<ref>254v</ref>שוה
 |-
 |
-::Take the 4 and multiply it by the amount he wants to buy, which is 20 measures; the result is 80.
+::The answer is: 5 men, one woman, and 6 children; the total is 12, and the total money is 12.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+1+6=12=\left(5\sdot2\right)+\left(\frac{1}{2}\sdot1\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot6\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|והתשובה היא ה' אנשים ואשה אחת ובו' נערים ובין כלם י"ב גם כל הממון עולה י"ב
 |-
 |
-::Divide it by 6; you receive 13 integers and a third. Relate it to the measures that are worth 16 minyanim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(14-10\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{4\sdot20}{4+2}=\frac{80}{6}=13+\frac{1}{3}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Give and Take Problem - Earning and Spending</span> ===
-|style="text-align:right;"|חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים
-|-
 |
-::Then, multiply 2, which is the second number, by 20, which is the number of the measures; the result is 40.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by 6; you receive 6 integers and 2-thirds and so he will buy of the wheat that is worth 10 minyanim for one measure.
+:{{#annot:earning and spending|627|rOlq}}180) Question: A man travels from Naples with a known [number of] dinar and wants to go to Rome.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(16-14\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{2\sdot20}{4+2}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}</math>
+:For every dinar he earns 1, meaning, 1 returns 2; and he spends 4 minyanim there.
-|style="text-align:right;"|חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה
+:Then, he goes from Rome to Florence. As long as he has 2 dinar, they return 3 and he spends 6 dinar there.
+:Then, he goes from Florence to Venice. As long as he has 1 dinar it returns 3 and he spends in Venice 14 minyanim.
+:After spending, there are in his hand 4 hundreds minyanim.
+:We would like to know how many dinar he had when he left Naples.
+|style="text-align:right;"|קפ) <big>שאלה</big> אדם נוסע מנפולי עם דינרין ידועים ורוצה ללכת עד רומא ובעד כל דינר ירויח א' רצוני א' ישוב ב' ופזר לשם ד' מנינים<br>
+ואח"כ הולך מרומא עד פלורינצא וכל עוד שיש לו ב' דינרין ישובו ג' ופזר לשם ו' דינרין<br>
+אח"כ הולך מפלורינציאה עד וינישיאה וכל עוד שיש לו דינר א' ישוב ג' ופזר ו' בויניציאה י"ד מנינים<br>
+ואחר הפזור נמצא בידו ד' מאות מנינים<br>
+נרצה לדעת כשנסע מנאפולי כמה דינרין היה לו{{#annotend:rOlq}}
 |-
 |
-::So, he should buy 13 measures and a third of the wheat that is worth 16 minyanim and 6 and 2-thirds [measures] of the wheat that is worth 10 [minyanim]; the total is 20 measures.
+::It should be done as follows [?]: it is known that he had 414 in Venice with the 14 he spent.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה תהפך כל המספר וידוע כי ד' מאות וי"ד היו לו ב{{#annot:Venice|2593|6vp7}}וינישיאה{{#annotend:6vp7}} עם הי"ד שפזר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it: it is known that he asks for 20 measures for a price of 14 minyanim for one measure. Multiply 14 by 20; you receive 280. Hence, the 20 measures are worth 180 minyanim.
+::You should say: if 3 is equal to 1, how much is 414 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot20=280}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:1=414:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה<br>
+|style="text-align:right;"|ויש לך לומר ככה אם ג' שוים א' ד' מאות וי"ד כמה שוים
-כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ<br>
-הנה א"כ הכ' מדות שוות ר"פ מנינים
 |-
 |
-::But, you say that he should buy 13 measures and a third of the kind that is worth 16 minyanim. So, multiply 16 by 13 and a third; you receive 213 and a third. Keep it.
+::You receive 138 and this is the money he had in Florence.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(13+\frac{1}{3}\right)=213+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך קל"ח וזה המעות היה לו ב{{#annot:Florence|2593|m3DY}}פלורינציאה{{#annotend:m3DY}}
-|style="text-align:right;"|ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים<br>
-כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם
 |-
 |
-::Then, go back to the wheat that is worth 10 minyanim. You say that [he] should buy 6 measures and 2-thirds of [this kind]. Multiply 6 and 2-thirds by ten; you receive [6]6 and 2-thirds.
+::Add to it what he spent, which is 6; it is 144.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)=66+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{138+6=144}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו (ס"ו) וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו מה שפזר שהוא ו' יהיו קמ"ד
 |-
 |
-::Add 66 and 2-thirds to 213 and a third; you receive 180 integers and it is equal to the reserved 180.
+::Say: if 3 is equal to 2, how much is 144 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{2}{3}\right)+\left(213+\frac{1}{3}\right)=280}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:2=144:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ג' שוים ב' קמ"ד מה ישוו
 |-
 |
+::You receive 96 and this is the number of dinar he had in Rome.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך צ"ו והוא סך הדינרין שהיו לו ב{{#annot:Rome|2593|qEZt}}רומא{{#annotend:qEZt}}
 |-
 |
+::[Add to it what he spent, which is 4]; it is a hundred.
-=== <span style=color:Green>Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{96+4=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|יהיו מאה
+|-
 |
+::Say: if 2 is equal to 1, how much is 100 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:1=100:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ב' שוים א' ק' כמה שוים
 |-
 |
-:{{#annot:five coins|642|cQoZ}}200) Question: there is one here who has one magen and he wants to be given carlini, grani, tornesi, dinar, and cavalli for this magen equally, so that he will take of the one the same as of the others.
+::You find it is 50 and this is what he had when he went to Naples.
-|style="text-align:right;"|ר) שאלה יש כאן א' שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני וגרני וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים{{#annotend:cQoZ}}
+|style="text-align:right;"|תמצא נ' והוא מה שהיה לו כשנסע מ{{#annot:Naples|2593|7GNy}}נפולי{{#annotend:7GNy}}
 |-
 |
-::It should be done as follows: know how many cavalli there are in a magen; you find 12 hundred.
+::So, when he arrives in Venice, he has 414 minyanim in his hand, minus the 14 he spent on the way.
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות
+|style="text-align:right;"|ובהגיעו בוינישיאה נמצא בידו י"ד ד' מאות מנינים זולת י"ד שפזר בדרך
 |-
 |
-::Then, say: how many dinar there are in a magen? You find 6 hundred.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות
+=== <span style=color:Green>Buy and Sell Problem - Silk</span> ===
+|
 |-
 |
-::Then, say: how many tornesi there are in a magen; you find 2 hundred; 100 grani; and 10 carlini.
+:{{#annot:silk|641|7zn3}}181) Question: A man bought in Florence 1 cane of silk for 3 minyanim and a half of a Florentine currency and the cane is also a Florentine cane.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' גרות וי' קרליני
+:He spends on the way to Naples 2-thirds of the Florentine money.
+:In what way will he sell in Naples, so that he will earn 25 minyanim for every hundred?
+|style="text-align:right;"|קפא) <big>שאלה</big> אדם קנה בפלורינציאה קנה א' ממשי ג' מנינים וחצי ממטבע של פלורינצא והקנה ג"כ הוא קנה של פלורינצא ופזר בדרך בלכתו בנאפולי ב' שלישיות ממון של פלורינצא<br>
+באיזה אופן ימכור לנאפולי באופן שירויח כ"ה מנינים בעד כל מאה ומאה{{#annotend:7zn3}}
 |-
 |
-::Take the greater number of all of them, which is 12 hundred, and divide it by itself; the result is 1.
+::We have two conversions from Florence to Naples, because the 8 canes in Florence are 8 canes of Naples and the 100 minyanim of Florence are 111 from Naples.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{1200}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויש לנו ב' הפרשות מפלורינצא לנאפולי כי הח' קנים מפלורינצא הם ט' קנים של נאפולי והק' מנינים של פלורינציני הם קי"א מנאפוליטאני
-|style="text-align:right;"|קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א&#x202B;'
 |-
 |
-::By the dinar; the result is 2.
+::It should be done as follows: add the 2-thirds he spent to 3 and a half; it is 4 and a sixth and these are the minyanim of Florence.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{600}=2}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}+\left(3+\frac{1}{2}\right)=4+\frac{1}{6}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועל הדינרין יצא ב&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וראוי לעשות ככה שתוסיף הב' שלישיות שפזר על ג' וחצי ויהיו ד' ושתות והם מנינים של פלורינציאה
 |-
 |
-::By the tornesi - 6.
+::Say: if 100 is equal to 111, how much is 4 and a sixth equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{200}=6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:111=\left(4+\frac{1}{6}\right):X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועל הטורני ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק' שוים קי"א הד' ושתות מה ישוו
 |-
 |
-::By the grani - 12.
+::You find it is 4 and 4-fifths <span style=color:red>[should be 5-eighths]</span>. So, the Florentine cane is worth in Naples 4 minyanim and 4-fifths of Naples currency.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{100}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|תמצא ד' וד' חומשים הנה א"כ הקנה של פלורינצא שוה בנפולי ד' מנינים וד' חומשים ממטבע של נאפולי
-|style="text-align:right;"|ועל הגרות י"ב
 |-
 |
-::By the carlini - 120.
+::[Say:] if 8 cane are worth 9, how much is 1 worth?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{10}=120}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8:9=1:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועל הקרליני ק"כ
+|style="text-align:right;"|אם ח' קנים שוות הט' א' כמה
 |-
 |
-::Add up all of them; it is 141.
+::You receive 1 and an eighth. So, the Florentine cane is equal to 1 and an eighth of Naples.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2+6+12+120=141}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך א' ושמין הנה הקנה של פלורינצא שוה של נאפולי א' ושמין
-|style="text-align:right;"|חברם כלם ויהיו קמ"א
 |-
 |
-::Divide 12 [hundred] by it; it is 8 and 72 parts of 141 and so he takes of each coin.
+::[Say:] if 1 cane and an eighth of Naples are worth 4 and 4-fifths, how much is 1 worth?
-|style="text-align:right;"|חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{8}\right):\left(4+\frac{4}{5}\right)=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|וא' ושמין מקנה של נאפולי שוה ד' וד' חומשים מה ישוה הא&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you wish to check it, convert all the coins, including the fractions, into the smallest [kind] of them, which is cavalli; the result is 12 hundred.
+::You find it is worth 4 minyanim and 4 parts of 15. So, as long as the Florentine cane is worth 4 minyanim and a sixth of Florence, the cane of Naples is worth 4 minyanim and 4 parts of 15 of a minyan of Naples.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות
+|style="text-align:right;"|תמצא ששוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו הנה א"כ כל עוד שהקנה של פלורינצא שוה ד' מנינים <ref>255r</ref>ושתות משל {{#annot:Florence|2593|rYMo}}פלורינצא{{#annotend:rYMo}}הקנה מנאפולי שוה ד' מנינים וד' חלקים מט"ו ממניני {{#annot:Naples|2593|4TDd}}נאפולי{{#annotend:4TDd}}
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Payment Problem - Herdsman</span> ===
+::It is said that he wants to earn 25 for every 100.
-|
+|style="text-align:right;"|נאמר שרוצה להרויח בעד כל ק' כ"ה
 |-
 |
-:{{#annot:herdsman and bulls|612|SD1R}}201) Question: there is someone here who has bulls and he told the herdsman that if he will graze his bulls 5 years, he will give him half of all the profit and also half the bulls after paying for the 5 years, but the herdsman died at the end of 31 and a half months and the bulls are 3 hundred and 50.
+::Say as follows: if one hundred is equal to 4 and 4 parts of 15, how much is 125 equal to?
-:We want to know how much the herdsman should have been paid, given that if he had not died by the end of the 5 years he would have taken half the bulls.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(4+\frac{4}{15}\right)=125:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|רא) שאלה יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|ותאמר ככה אם מאה שוים ד' וד' חלקים מט"ו קכ"ה כמה שוים
-נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים{{#annotend:SD1R}}
 |-
 |
-::It should be done as follows: convert the years into months; they are 60.
+::You receive 5 minyanim and 23 parts of 100 and this is the price of the cane.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' והוא שווי הקנה
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס&#x202B;'
 |-
 |
-::Say: if 60 is equal to 350, how much is 31 and a half?
+::So, he should sell the cane for 5 minyanim and 23 parts of 100 and in this way he will earn 25 for every hundred minyanim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60:350=\left(31+\frac{1}{2}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי למכור הקנה ה' מנינים וכ"ג חלקים מק' ובזה האופן ירויח כ"ה בעד כל מאה מנינים
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ס' שוים ש"נ ל"א וחצי כמה שוים
 |-
 |
-::The result is 183 and 45 parts of 60.
+:Examine and you will find [that it is true].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=183+\frac{45}{60}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
-|style="text-align:right;"|ומה שיבא הוא קפ"ג ומ"ה חלקים מס&#x202B;'
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Proportional Division Problems</span> ===
+=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problem</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:soldiers|645|0n0a}}202) Question: a man wants to go to war and takes 2 hundred horse riders and 4 hundred infantrymen.
+:{{#annot:one kind|617|AZ2k}}182) Question: a man has 17 ՚oqya of silver, each ՚oqya is worth 7 carlini.
-:He tells them that everything they loot would be theirs and they agree that each horse rider will take 5 minyanim and the infantryman 3 minyanim and the loot is a thousand minyanim.
+:How much lead should be added to these 17 ՚oqya, so that each ՚oqya will be worth only 5 carlini and a half?
-:We wish to know how much will the horse riders take and how much will the infantrymen take?
+|style="text-align:right;"|קפב) <big>שאלה</big> אדם יש לו י"ז אוק' מכסף שוה כל אוק' ז' קרליני<br>
-|style="text-align:right;"|רב) שאלה אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים<br>
+לכלול בו עופרת באופן לא ישוה כל אוק' כי אם ה' קרליני וחצי כמה עופרת יכלול באלו הי"ז אוק&#x202B;'{{#annotend:AZ2k}}
-אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים<br>
-נרצה לדעת כמה יקחו רוכבי על סוסים וכמה יקחו הרוגליים{{#annotend:0n0a}}
 |-
 |
-::It should be done as follows: multiply the [number of] minyanim the infantrymen should take by 4 hundred, because they are 4 hundred. Multiply it by 3; you receive 12 hundred.
+::7 should be divided by 5 and a half; the result is one and 3 parts of 11, so he should add to each ՚oqya 3 parts of 11 of lead.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot400=1200}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{5+\frac{1}{2}}=1+\frac{3}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחלק ז' על ה' וחצי ויצא אחד וג' חלקים מי"א הנה יש לו לשים בכל אוק' ג' חלקים מי"א מעופרת
 |-
 |
-::Multiply also 5, which is what the horse riders should take, by 2 hundred, because they are 2 hundred; the result is one thousand.
+::In all 17 ՚oqya he should add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 of lead.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot200=1000}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot\frac{3}{11}=4+\frac{7}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף
+|style="text-align:right;"|ובין כל הי"ז אוק' יש לו לשים ד' אוק' וז' חלקים מי"א מעופרת
 |-
 |
-::Then, sum a thousand with 12 hundred; it is 22 hundred.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, multiply 17 by 7; it is 119, keep it.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1000+1200=2200}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\sdot7=119}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו כפול י"ז על ז' יהיה קי"ט ושמור אותם
 |-
 |
-::Take one of the numbers, meaning a thousand or 12 hundred, multiply it by a thousand, which is the [loot], and divide it by 2 thousand and 2 hundred; you receive the share of each.
+::Now, multiply 5 and a half by 21 and 7 parts of 11, because first there were 17 ՚oqya and then we had to add 4 ՚oqya and 7 parts of 11 to this amount, so it is 21 and 7 parts of 11; the result is 119 no more and no less.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left[17+\left(4+\frac{7}{11}\right)\right]=\left(5+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(21+\frac{7}{11}\right)=119}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה כפול ה' וחצי על כ"א וז' חלקים מי"א כי בראשנה היו י"ז אוק' ויש לנו להוסיף הד' אוק' וז' חלקי' מי"א על אותו הסך ויהיה כ"א וז' חלקים מי"א ויעלה קי"ט בלי תוספת ומגרעת
 |-
 |
-::So, multiply a thousand by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 454 and 6 parts of 11.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000\sdot1000}{2200}=454+\frac{6}{11}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Find the Price Problem - Silver</span> ===
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א
-|-
 |
-::Multiply 12 hundred by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 545 and 5 parts of 11 and this is the share of the infantryman.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200\sdot1000}{2200}=545+\frac{5}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים
 |-
 |
-:{{#annot:grinders|645|r6u8}}203) Question: there are here three grinders: one grinds 12 measures a day, the second 9, and the third 6.
+:{{#annot:silver|629|RsiE}}183) Question: a man has 3 liter, plus 3 ՚oqya and 3-quarters of silver containing 222 pure esterlini [sterling ?] per liter that are worth 8 minyanim.
-:One comes with 100 [measures]. He wants to grind them quickly and he wants that the measures will be divided among the three grinders, so that it will be done at once.
+:How much are 1 liter plus 1 ՚oqya and 7-eighths of silver containing only 111 esterlini worth?
-:How many measures should we assign to each?
+|style="text-align:right;"|קפג) <big>שאלה</big> יש לו לאדם ג' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות מכסף שמכיל רכ"ב איצטרליני מטוב לליט' ושוה ח' מנינים<br>
-|style="text-align:right;"|רג) שאלה יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת<br>
+א' ליט' וא' אוק' וז' שמיניות אוק' מכסף שאינו מכיל הליט' כי אם קי"א איצטרליני כמה שוה{{#annotend:RsiE}}
-כמה מדות נשים בכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:r6u8}}
 |-
 |
-::All the numbers should be summed together, meaning 12, 9, and 6; the result is 27.
+::The liter should be converted into ՚oqya: the first number is 2 liter plus 3 ՚oqya and 3-quarters; it is [2]7 ՚oqya and 3-quarters.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12+9+6=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לעשות מהליט' אוק' והמספר הראשון הוא ב' ליט' וג' אוק' וג' רביעיות יהיה י"ז אוק' וג' רביעיות
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז
 |-
 |
-::Then, multiply [12 by] 100 and divide by 27; you receive 44 and [1]2 parts of 27 and this is [the number of] the measures assigned to [the first].
+::Multiply them by 222; the result is 6160 and a half.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot100}{27}=44+\frac{{\color{red}{2}}}{27}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{4}\right)\sdot222=6160+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו
+|style="text-align:right;"|כפול אותם על רכ"ב יעלה ו' אלפים וק"ס וחצי
 |-
 |
-::We multiply 9 by 100 and divide by 27; the result is 33 and 9 parts of 27.
+::Then, take the second number, which is 1 ՚oqya, 1 liter and 7-eighths, convert the liter into ՚oqya and with the ՚oqya, they are 13 and 7-eighths.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot100}{27}=33+\frac{9}{27}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח המספר השני שהוא א' אוק' וא' ליט' וז' שמיניות ותעשה מהליט' אוק' ועם האוק' יהיו י"ג וז' שמיניות
-|style="text-align:right;"|עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא ל"ג וט' חלקים מכ"ז
 |-
 |
-::Multiply 6 by 100 and divide by 27; the result is 22 and 6 parts of 27.
+::Multiply them by what they contain, meaning multiply 13 and 7-eighths by 111, which is what each liter contains; the result is 1540 and one eighth and this will be the second number.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot100}{27}=22+\frac{6}{27}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{7}{8}\right)\sdot111=1540+\frac{1}{8}}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כ"ב וו' חלקים מכ"ז
+|style="text-align:right;"|כפול אותם על מה שמכיל רצוני שתכפול י"ג וז' שמניות על קי"א שהוא מה שמכיל כל ליט' ועלה אלף וה' מאות ומ' ושמין א' וזה יהיה המספר השני
 |-
 |
-::The total is [100].
+::Say: if 6160 and a half are equal to 8 minyanim, how much is the second number, which is 1540 and an eighth, equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(44+\frac{12}{27}\right)+\left(33+\frac{9}{27}\right)+\left(22+\frac{6}{27}\right)}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6160+\frac{1}{2}\right):8=\left(1540+\frac{1}{8}\right):X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ובין הכל מ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ו' אלפים וק"ס וחצי שוה ח' מנינים המספר השני שהוא אלף וה' מאות ומ' ושמין כמה שוה
 |-
 |
-::To know how long the wheat stays in the grinder, say: these 12 measures are grind in 12 hours, in how many hours will I grind 14 measures and 12 parts of 27?
+::It is equal to two integers no more and no less.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז
+|style="text-align:right;"|הנה יהיה שווי שנים שלמים בלי תוספת ומגרעת
-|-
-|
-::This is clear.
-|style="text-align:right;"|וזה נודע
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Ordering Problem - Eggs</span> ===
+=== <span style=color:Green>Payment Problem - 100 minyanim</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:eggs|628|eNHB}}204) Question: A woman was carrying eggs and a man dropped them.
+:{{#annot:100 minyanim|612|zgAa}}184) Question: There are people here who work with a master, and the master pays each of them for a whole year twenty minyanim.
-:She asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 1; by four - 1; by five - 1; by six - 1; and by 7 - [all gone].
+:Some of them worked 6 months, some 6 and a half, some 7 months, etc.
-:How many were they?
+:You find that all they earned according to the ratio of the time they worked is 109 minyanim and 7 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|רד) שאלה אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים ב"ב נשאר א' ג"ג א' ד"ד א' ה"ה א' ו"ו א' ז"ז שוה כמה היו{{#annotend:eNHB}}
+:The master wants to pay them, but he has only 100 minyanim.
-|-
+:We would like to know how much will each be paid.
+|style="text-align:right;"|קפד) <big>שאלה</big> יש בכאן אנשים שעומדי שעומדים עם אדון והאדון נותן לכל א' וא' בעד שנה תמימה עשרים מנינים<br>
+ויש מהם שעבדו ו' חדשים ויש ו' וחצי ויש ז' חדשים וכו&#x202B;'<br>
+הנה תמצא שכל מה שהרויחו בין כלם לפי יחס הזמן שעבדו עולה ק"ט מנינים וז' פשוטים<br>
+&#x202B;<ref>255v</ref>והאדון רוצה לפרוע אותם ואין לו כי אם ק' מנינים<br>
+נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:zgAa}}
+|-
 |
-::Look for a number that has a half, a third, a quarter, a fifth, and a sixth; you find it is 60.
+::100 should be divided by 109 minyanim and 7 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס&#x202B;'
+::It is known that one pašuṭ is a tenth of one magen, so each of the two numbers should be converted into tenths: the first is 1000 and the other is 1091.
+::Divide 1000 by 1091; you receive 1000 parts of 1091.
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחלק ק' על ק"ט מנינים וז' פשוטים<br>
+וידוע כי הפשוט עשור המגן על כן ראוי לעשות מכל הב' מספרים עשיריות הא' אלף והאחר אלף וצ"א<br>
+חלק אלף על אלף וצ"א ויצא לך אלף חלקים מאלף וצ"א
 |-
 |
-::<span style=color:red>[erroneous sentence]</span>
-|style="text-align:right;"|תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א
+=== <span style=color:Green>Rent Problem</span> ===
+|
 |-
 |
-::Multiply 5 by 6[0]; the result is 300.
+:{{#annot:three years|615|G2eV}}185) Question: A man rents a house to his friend for three years at 40 minyanim a year:
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש&#x202B;'
+:When he enters the house he gives him half the payment for that year and at the end of the year he gives him 40 minyanim - twenty to pay the payment of that year and twenty to pay for the next year and so on until the end of the three years.
+:The householder said to the one who rents the house: please pay me now for all three years and I will give you twenty for every hundred of the profit for a whole year.
+:He did the so, and gave him all the money.
+:We would like to know how much money is required to be given to him in such a way that for every hundred of the profit he receives twenty.
+|style="text-align:right;"|קפה) <big>שאלה</big> אדם שכר בית לחבירו בעד ג' שנים לערך מ' מנינים לשנה<br>
+ובכניסתו לבית נותן לו חצי השכר מאותה השנה ובסוף השנה נותן לו מ' מנינים עשרים בעד תשלום פרעון אותה שנה ועשרים בעד תשלום השנה האחרת וכן עד כלות הג' שנים<br>
+והנה הבעל הבית אמר לאותו ששוכר הבית בבקשה ממך תפרע לי עתה מכל הג' שנים ואתן לך עשרים מריוח על כל מאה לשנה תמימה<br>
+וכן עשה נתן לו כל הממון<br>
+נרצה לדעת כמה ממון מחוייב לתת לו באופן שיבא עשרים על כל מאה מריוח{{#annotend:G2eV}}
 |-
 |
-::Add 1 to it [for the addition of 2 by 2, 3 by 3, etc.; it is 61]; it is 301.
+::The answer: say: if a hundred and twenty is equal to 100, how much is 20 equal to? and this is the twenty that he is obliged to pay him at the end of the year.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot60\right)+1=300+1=301}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=20:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|תוסיף בו א' ויהיו ש"א
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> תאמר אם מאה ועשרים שוים ק' כ' כמה שוים והם העשרים שהוא מחוייב לו לתת בסוף השנה
 |-
 |
-:{{#annot:eggs|628|MNFg}}Question: A man was carrying eggs and another dropped them.
+::You find it is 16 and 2-thirds.
-:He asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 2; by five - 4; by six - 5; by seven - [all gone].
+|style="text-align:right;"|ותמצא י"ו וב' שלישיות
-:How many were they?
-|style="text-align:right;"|שאלה אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א' גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו{{#annotend:MNFg}}
 |-
 |
-::Look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and a sixth; it is 60.
+::Add to it the twenty that he is obliged to pay him now, when he is entering the house; it is 36 and 2-thirds and this is for the first year.
-|style="text-align:right;"|בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{2}{3}\right)+20=36+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליו העשרים שהוא מחוייב לתת לו עתה בכניסתו בבית יהיו ל"ו וב' שלישיות וזה יהיה בעד שנה ראשנה
 |-
 |
-::Subtract 1; 59 remains.
+::Say also: [if] 120 is equal to 100, how much is 36 and 2-thirds equal to?
-|style="text-align:right;"|תסיר א' נשאר נ"ט
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(36+\frac{2}{3}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר ק"כ שוים ק' ל"ו וב' שלישיות כמה שוה
 |-
 |
-::Add 60; it is 119 and this is the required.
+::You receive 30 and 5 parts of 9 and this is for the rental of the second year.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(60-1\right)+60=59+60=119}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך ל' וה' חלקים מט' וזה בעד שכירת שנה שניה
-|style="text-align:right;"|תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש
 |-
 |
+::Say also: if 120 is equal to 100, how much is 30 and 5 parts of 9 equal to?
-=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=\left(30+\frac{5}{9}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוסיף ותאמר אם ק"כ שוים ק' ל' וה' חלקים מט' כמה שוה
+|-
 |
+::You receive 25 and 25 parts of 54 and this is for the rental of the [third] year.
+|style="text-align:right;"|יצא לך כ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד וזה הוא בעד שכירות שנה שניה
 |-
 |
-:{{#annot:two kinds|617|qdWs}}205) Question: a man has liter of two kinds of silver, one of them is 7 ՚oqya of pure silver per liter and the other is one ՚oqya [per liter].
+::Sum up all these numbers, meaning 36 and 2-thirds, 30 and 5 parts of 9, and 25 and 25 parts of 54; the total sum is 92 and 37 parts of 54 and so he should pay him all at once, no more and no less.
-:He wants to melt the two kinds of silver, and mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya of pure silver.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(36+\frac{2}{3}\right)+\left(30+\frac{5}{9}\right)+\left(25+\frac{25}{54}\right)=92+\frac{37}{54}}}</math>
-:We ask: how much should he take of each?
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כל אלו הג' מספרים רצוני ל"ו וב' שלישיות ול' וה' חלקים מט' וכ"ה וכ"ה חלקים מנ"ד ויעלה בין הכל צ"ב ול"ז חלקים מנ"ד וכן ראוי לתת לו בבת אחת בלי תוספת ומגרעת
-|style="text-align:right;"|רה) שאלה אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב<br>
-נשאל כמה יקח מכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:qdWs}}
 |-
 |
-::See how much is the difference between 9 and 7; you find it is 2. Put it above the 11.
-|style="text-align:right;"|ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Stones</span> ===
-|-
 |
-::Then, see how much is the difference between 9 and 11; it is 2. Put it above the 7.
-|style="text-align:right;"|ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז&#x202B;'
 |-
 |
-::Hence, the same should be taken from each.
+:{{#annot:four stones|652|zGfu}}186) Question: In what way will we weigh with four stones 40 liters or ՚oqya?
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה
+|style="text-align:right;"|קפו) <big>שאלה</big> באיזה אופן (באיזה אופן) נשקול עם ד' אבנים מ' ליט' או אוק&#x202B;'{{#annotend:zGfu}}
 |-
 |
-:{{#annot:three kinds|617|KpV9}}207) Question: a man has three kinds of silver, one is 5 ՚oqya of pure [silver] per liter, another is 7 [՚oqya per liter], and another is 11 [՚oqya per liter].
+::You should take 1, multiply it by 3; it is 3.
-:He wants to mixture the three, so that each liter will contain 8 ՚oqya [of pure silver].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot3=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|רז) שאלה לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק&#x202B;'{{#annotend:KpV9}}
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לקחת א' כפול אותם על ג' ויהיו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::Do as follows: see how much is the difference between 7 and 8; you find it is 1. Put it above the 5.
+::Multiply 3 by 3; it is 9, because the ratio of 1 to 3 is the same as the ratio of 3 to 9, and this is the third [stone].
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:3=3:9\longrightarrow3\sdot3=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ג' על ג' ויהיו ט' כי כיחס א' א' ג' כן יחס ג' אל ט' והוא השלישית
 |-
 |
-::Say also: how much is the difference between 5 and 8? You find it is 3. Put it above the 7.
+::Multiply 9 by 3; it is 27, because the ratio of 9 to 27 is the same as the ratio of 3 to 9, which is the fourth [stone].
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9:27=3:9\longrightarrow9\sdot3=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ט' על ג' ויהיו כ"ז כי יחס ט' אל כ"ז כיחס ג' אל ט' והוא הד&#x202B;'
 |-
 |
-::Then, multiply 1 by 5; the result is 5.
+::Hence, the first weighs one liter, the second 3 liter, the third 9, and the fourth 27; the total is 40.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+3+9+27=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראשנה ישקול ליט' אחת והשניה ג' ליט' והשלישית ט' והרביעית כ"ז ובין הכל מ&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply also 7 by 3; the result is 21.
+::If you want to weigh five [liter], put that of 3 liter and that of 1 [liter] on one scale. Then, put that of 9 [liter] on the second scale. Put the 5 you want to weigh on the first scale, where the two stones weighing 4 [liter] are. So, there are 9 on both the first and the second scales.
-|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לשקול ה' הנה תשים אותה של ג' {{#annot:liṭra|1068|0GFK}}ליטראות{{#annotend:0GFK}} <ref>256r</ref>ואותה של א' בכף אחת<br>
+אח"כ תשים בכף שניה אותה של ט&#x202B;'<br>
+אח"כ תשים בכף ראשנה ששם הב' אבנים ששוקלות ד' ושים ה' שתרצה לשקול ויהיו ט' בכף ראשנה גם בשניה
 |-
 |
-::Add it to 5; it is 26.
+::If you want to weigh 8 [liter], put the stone that weighs 1 [liter] and the 8 [liter] on one scale; they are 9 [liter]. Then, put the one that weighs 9 [liter] on the second [scale] and they [weigh] equally.
-|style="text-align:right;"|חברם אל ה' ויהיו כ"ו
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לשקול ח' הנה תשים בכף הראשנה האבן ששוקלת א' ועם הח' יהיו ט&#x202B;'<br>
+אח"כ תשים בשניה השוקלת ט' ויהיה שוה בשוה
 |-
 |
-::Take the liter that are 1 and 3; it is 4.
+::This number is called "proportional number".
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וזה המספר נקרא {{#annot:term|994,2263|UDM7}}מספר יחסיי{{#annotend:UDM7}} וכו&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply it by 8; it is 32.
-|style="text-align:right;"|וכפלם על ח' ויהיו ל"ב
+=== <span style=color:Green>Partial Payment Problem - Guesthouse, Goblets</span> ===
-|-
 |
-::Subtract 26 from 32; 6 remains. We keep it.
-|style="text-align:right;"|הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם
 |-
 |
-::Divide the 6 by the difference between 8 and 11; you find it is 3. Divide 6 by 3; the result is 2.
+:{{#annot:guesthouse, goblets|624|IY0T}}186) Question: A man goes to a guesthouse and stays there for 31 days.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג&#x202B;'<br>
+:He carries 5 goblets of silver that weigh a total of 31 ՚oqya.
-חלק ו' על ג' יצא ב&#x202B;'
+:They agreed that he will pay the host an ՚oqya of silver every day.
-|-
+:In what way will he pay him every night and night, so that he does not give away the goblets and he pays him a whole ՚oqya each day.
-|colspan=2|
+|style="text-align:right;"|קפו) <big>שאלה</big> אדם הולך לאושפיזא ועמד לשם ל"א יום ונושא ה' גביעים של כסף ששוקלים בין כלם ל"א אוק' והתנו שיתן לאושפיז בכל יום אוק' של כסף<br>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(1+3\right)\sdot8\right]-\left[\left[\left(8-7\right)\sdot5\right]+\left[\left(8-5\right)\sdot7\right]\right]}{11-8}=\frac{\left(4\sdot8\right)-\left[\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)\right]}{3}=\frac{32-\left(5+21\right)}{3}=\frac{32-26}{3}=\frac{6}{3}=2}}</math>
+באיזה אופן יפרענו בכל לילה ולילה שלא יתן הגביעים ויתן לו אוק' שלימה בכל יום{{#annotend:IY0T}}
 |-
 |
-::Therefore, 1 liter should be taken from the silver of 5 [՚oqya per liter], 3 [liter] from the silver of 7 [՚oqya per liter], and 2 [liter] from the silver of 11 [՚oqya per liter].
+::Take 1 and double it; it is 2.
-|style="text-align:right;"|הנה א"כ ראוי לקחת א' ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1\sdot2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת א' ואח"כ לכפול אותו ויהיו ב&#x202B;'
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, sum up all the liter and take the value of the three kind of silver that each contains; the result is 48.
+::Multiply it by 2; it is 4, because the ratio of 1 to 2 is the same as the ratio of 2 to 4.
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:2=2:4\longrightarrow2\sdot2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואח"כ כפול על ב' ויהיו ד' כי יחס א' אל ב' כיחס ב' אל ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Multiply the sum of liter, which is 6, by 8; the result is 48 and it is the same.
+::Multiply 4 by 2; it is 8, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 2 to 4.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)+\left(2\sdot11\right)=48=6\sdot8}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:8=2:4\longrightarrow4\sdot2=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ד' על ב' ויהיו ח' כי יחס ד' אל ח' כיחס ב' אל ד&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three kinds|617|SbRx}}208) Question: if you have 3 liter of silver that contain 7 ՚oqya of pure [silver] in each liter, and you wish to mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya.
+::Multiply 8 by 2; it is 16, because the ratio of 4 to 8 is the same as the ratio of 8 to 16.
-|style="text-align:right;"|רח) שאלה אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט&#x202B;'{{#annotend:SbRx}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:8=8:16\longrightarrow8\sdot2=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ח' על ב' ויהיו י"ו כי יחס ד' אל ח' כיחס ח' אל י"ו
 |-
 |
-::7 should be divided by 9; the result is 7-ninths.
+::So, the first weighs one, the second 2, the third 4, the fourth 8, and the fifth 16; the total is 31.
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2+4+8+16=31}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ הנה הא' שוקל אוק' והב' ב' והג' ד' והד' ח' והה' י"ו וכן עולה ל"א
 |-
 |
-::Then, multiply 7-ninths by 3; the product is 21.
+::With [6] goblets you can pay him for 63 [days]: multiply 16 by 2; it is 32 and this is the sixth goblet; with the 31 it is 63.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot2=32\longrightarrow31+32=63}}</math>
+|style="text-align:right;"|עם ב' כוסות תוכל לפרעו עד ס"ג והוא שתכפול י"ו על ב' ויהיו ל"ב והוא הגביע הו' ועם הל"א הם ס"ג
 |-
 |
-::Divide it by 8; the result is 2 and a third.
+::With 7 goblets you can pay him for 127 days: multiply 32 by two; it is 64; with 63 it is 127.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot3=\frac{7\sdot3}{9}=\frac{21}{9}=2+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32\sdot2=64\longrightarrow63+64=127}}</math>
-|style="text-align:right;"|וחלקם על ט' יצא ב' ושליש
+|style="text-align:right;"|ועם ז' כוסות תוכל לפרעו עד קכ"ז ימים והוא שתכפול ל"ב על שנים ויהיו ס"ד ועם ס"ג והם קכ"ז
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it and you will find it is correct, because the 3 liter of 7 [՚oqya] are worth 21 and the 2 and a third [liter] of 9 [՚oqya] are worth 21.
+::And so on endlessly.
-|style="text-align:right;"|ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א
+|style="text-align:right;"|וכן עד אין קץ
 |-
 |
-:{{#annot:one kind|617|wP40}}209) Question: a man has 6 liter of silver that contain 8 [՚oqya] of pure [silver in each liter], and we wish to mixture them, so that each liter will contain only 4 ՚oqya of pure [silver].
-|style="text-align:right;"|רט) שאלה לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט{{#annotend:wP40}}
+=== <span style=color:Green>Find the Price Problems - Three Types of Wool</span> ===
+|
 |-
 |
-::Divide 8 by 4; the result is 2.
+:{{#annot:three types of wool|629|8wzo}}187) Question: A man sells three types of wool.
-|style="text-align:right;"|חלק ח' על ד' יצא ב&#x202B;'
+:He sells the first one at one kikkar, which is 100 liters, for ten minyanim.
+:He sells the second one at one kikkar for ten and a half minyanim.
+:He sells the third one at one kikkar for 12 minyanim and a third.
+:When you wash the first one, the kikkar becomes 80 liter of clean wool.
+:When you wash the second one, the kikkar becomes 90 liter of clean wool.
+:When you wash the third one, the kikkar becomes 99 liter of clean wool.
+:We would like to know which of the three is better to buy.
+|style="text-align:right;"|קפז) <big>שאלה</big> אדם מוכר מג' מיני צמר<br>
+הראשנה מוכרה ככר שהם ק' ליט' עשרה מנינים<br>
+והב' מוכר הככר עשרה מנינים וחצי<br>
+והג' מוכר הככר י"ב מנינים ושליש<br>
+והנה כשתרחץ הראשנה הנה הככר ישוב פ' ליט' מצמר נקי<br>
+וכשתרחץ השניה ישוב הככר צ' ליט' מצמר נקי<br>
+וכשתרחץ השלישית ישוב הככר צ"ט ליט' מצמר נקי<br>
+נרצה לדעת איזה מהם יותר טוב לקחת משלשתן{{#annotend:8wzo}}
 |-
 |
-::Multiply 2 by 6; the result is 12.
+::It is known that 80 liter of the first are worth 10 minyanim.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{4}\sdot6=2\sdot6=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ידוע כי הראשנה הפ' ליט' שוות י' מנינים
-|style="text-align:right;"|כפול ב' על ו' ויצאו י"ב
 |-
 |
-::So, 6 liter that contain 8 [՚oqya] make 12 that contain 4 [՚oqya].
+::It is known that 90 liter of the second are worth ten minyanim and a half.
-|style="text-align:right;"|הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|וידוע כי השניה הצ' ליט' שוות עשרה מנינים וחצי
 |-
 |
+::It is known that 99 liter of the third are worth 12 minyanim and a third.
-=== <span style=color:Green>How Many Problem - Group of People</span> ===
+|style="text-align:right;"|וידוע כי השלישית הצ"ט ליט' שוות י"ב מנינים ושליש
+|-
 |
+::We do the proportion as follows: if 80 is equal to ten, how much is 1 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80:10=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה הערך ככה אם הפ' שוה עשרה א' כמה שוה
 |-
 |
-:{{#annot:group of people|649|ab3M}}210) A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100.
+::You receive one eighth and this is the price of one liter of the first.
-:<math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יצא לך שמין א' והוא שווי הליט' מהראשנה
-|style="text-align:right;"|רי) שאלה אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל{{#annotend:ab3M}}
 |-
 |
-::We take 1 as their number, and 1 like it; they are 2.
+::Turn to the second and say: if 90 is equal to ten and a half, how much is 1 equal to?
-|style="text-align:right;"|הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{90:\left(10+\frac{1}{2}\right)=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד שוב אל הב' ותאמר אם צ' שוות עשרה וחצי א' כמה שוה
 |-
 |
-::Half and a quarter are 3-quarters.
+::You receive one eighth and 4-sevenths of an eighth <span style=color:red>[this calculation is wrong - the result should be less than one eighth]</span>; so this is one is better than the first.
-|style="text-align:right;"|וחצי ורביע הם ג' רבעיו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|יצא לך שמין א' וד' שביעיות השמין הנה &#x202B;<ref>256v</ref>הנה זאת יותר טובה מהראשנה
 |-
 |
-::We convert the 2 and 3-quarters into [quarters]; they are 11.
+::We do the same with the third and say: if 9[9] is equal to 12 and a third, how much is 1 equal to?
-|style="text-align:right;"|ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{99:\left(10+\frac{1}{3}\right)=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה כן מהג' ונאמר אלו צ' שוות י"ב ושליש א' כמה שוה
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}</math>
+::You receive less than one eighth, so it should not be bought, because it is worse than the others.
-|-
+|style="text-align:right;"|יצא לך פחות משמין ואין ראוי לקחת ממנה כי היא יותר גרועה מהאחרות
-|
-::Since they said that with him they are a hundred; their number is 99.
-|style="text-align:right;"|ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט
-|-
-|
-::Multiply them by 4 and divide by 11; the result is 36.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Buy and Sell Problems</span> ===
+=== <span style=color:Green>Payment Problem - 12 Harvesters</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:WP|641|nbpd}}211) Question: a man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at a liṭra and a quarter for one zahuv, and the other 50 at 3-quarters of a liṭra for one zahuv.
+:{{#annot:12 harvesters|612|kcGN}}188) Question: 12 harvesters work in a field.
-:We want to know: did he earn or lose?
+:If one of them works a whole year, he should take 1 ՚oqya and 2 tarini.
-:<math>\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{\frac{3}{4}}\right)-100</math>
+:One who worked for a year straight, asks for 1 ՚oqya and 2 tarini.
-|style="text-align:right;"|ריא) שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליטרי' ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב<br>
+:The second worked a little more, so he asks for 1 ՚oqya and 3 tarini.
-נשאל אם הרויח או הפסיד{{#annotend:nbpd}}
+:The third worked more, so he asks for 1 ՚oqya and 1 tari.
+:The fourth asks for one ՚oqya and 4 tarini.
+:The fifth asks for an ՚oqya and 6 tarini.
+:The sixth - 2 ՚oqya and 4 tari.
+:The eighth - one ՚oqya.
+:The tenth - 1 ՚oqya and 9 tarini.
+:The eleventh - 1 ՚oqya and 19 tarini.
+:The twelveth - 1 ՚oqya and 22 tarini.
+:Now, the lord, who pays, has only 10 ՚oqya and 5 tarini, and from this money he wants to pay the harvesters according to their work.
+:How much should he pay each?
+|style="text-align:right;"|קפח) <big>שאלה</big> הנה בכמה עומדים י"ב גלחים והנה אם יעבוד א' מהם שנה תמימה ראוי לקחת אוק' א' וב' טריניריש<br>
+אחר שעבד שנה רצופה בצימצום ושואל אוק' וב' טריני<br>
+והב' עבד יותר מעט עד ששואל אוק' א' וג' טריני<br>
+והג' עבד יותר עד ששואל אוק' א' וא' טרי<br>
+והרביעי שואל אוק' אחת וד' טריני<br>
+והה' שואל אוק' וו' טריני<br>
+והו' ב' אוק' וד' טרי<br>
+והח' אוק' אחת<br>
+והעשירי אוק' א' וט' טריני<br>
+והי"א אוק' א' וי"ט טריני<br>
+והי"ב אוק' א' וכ"ב טריני<br>
+והנה האדון העושה הפרעון אין לו כי אם י' אוק' וה' טריני ומזה הממון רוצה לחלק לגלחים כפי עבודתו <br>
+כמה ראוי שיתן לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:kcGN}}
 |-
 |
-::We convert the first 50 into 200.
+::The money of all 12 harvesters should be summed up; you find it is 15 ՚oqya and 18 tarini.
-|style="text-align:right;"|נשיב הנ' ראשנים ר&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר כל הסך מאלו הי"ב גלחים ותמצא שעולה ט"ו אוק' וי"ח טרי
 |-
 |
-::Divide it by 5, for the 5-quarters he sold for one pašuṭ; the result is 40.
+::The ten ՚oqya should be divided by 15 ՚oqya and 18 tarini:
-|style="text-align:right;"|נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והנה ראוי לחלק העשרה אוק' על ט"ו אוק' וי"ח טרי
 |-
 |
-::We convert also the other 50 into two hundred.
+::The 10 ՚oqya should be converted into tarini, and the 5 tarini should be added to them; the result is 305.
-|style="text-align:right;"|גם נשיב הנ' אחרונים מאתים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10\sdot30\right)+5=305}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה ראוי לעשות מהי' אוק' טרי ולחבר עמהם הה' טרי ויעלה ש"ה
 |-
 |
-::Divide it by 3; the result is 66 and 2-thirds.
+::Convert also the 15 ՚oqya and 18 tarini into tarini; the result is 468.
-|style="text-align:right;"|נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(15\sdot30\right)+18=468}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תעשה מהט"ו אוק וי"ח טרי טרי ויעלה ד' מאות וס"ח
 |-
 |
-::Add it to 40; it is 106 and 2-thirds.
+::Multiply 305 by 30; the result is [9]150.
-|style="text-align:right;"|חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|עוד שוב וכפול ש"ה על ל' ויעלה ק"נ
 |-
 |
-::Hence, he earned 6 and 2-thirds.
+::Divide it by 4 hundred; you receive the tarini, which are 19 plus 15 grani and 2 dinar and so each is paid for every ՚oqya.
-|style="text-align:right;"|הנה הרויח ו' וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{305\sdot30}{400}=\frac{9150}{400}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|וחלקם על ד' מאות ויצא לך טרי והם י"ט וט"ו גרות וב' דינרין וככה יקח בעד כל אוק' ואוק&#x202B;'
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:WP|641|eErQ}}212) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
+::If you want to know how much he is paid for every tarini: you already know that for one ՚oqya he should be paid 1[9] plus 15 grani and 2 dinar, so multiply 19 by 2, meaning convert the 19 tarini into grani. Then, divide the result by 30, since 30 tarini are equal to one ՚oqya and you receive the required.
-:How much money did he have originally?
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה יקח בעד כל טרי הנה כבר ידעת כי בעד אוק' ראוי לקחת י"ח וט"ו גרות וב' דינרין כפול י"ט על ב' רצוני שתעשה מהי"ט טרי גרות והעולה חלק על ל' בעבור כי הל' טרי שוים אוק' ויצא לך המבוקש
-:<math>\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1</math>
-|style="text-align:right;"|ריב) שאלה אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט<br>
-כמה ממונו{{#annotend:eErQ}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Common Denominator:'''</span> Look for a common denominator; it is 35, which is the product of 7 by 5.
+::You can do so for any coin.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשו' מכל מטבע
-|style="text-align:right;"|בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה&#x202B;'
 |-
 |
-::Its 3-fifths is 21.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}</math>
+=== <span style=color:Green>Simple Barter Problem - Silver and Cloth</span> ===
-|style="text-align:right;"|והנה ג' חמישיות כ"א
-|-
 |
-::Its 4-sevenths is 20.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}</math>
-|style="text-align:right;"|וד' שביעיות כ&#x202B;'
 |-
 |
-::Hence, the money is 20 and it became 21, so he earned one pašuṭ and he bought 12 liṭra for 20 dinar.
+:{{#annot:silver and cloth|636|aEn7}}189) Question: A man gave 4 liter of silver to his friend in barter and agreed with him that for 3 liters he would give him ten clothes.
-|style="text-align:right;"|והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט&#x202B;'
+:2 canna of the cloth are worth 3 barrels of wine.
+:2 barrels of wine are worth 8 dinars.
+:We wish to know how much 4 liter of silver are worth according to this ratio and how much 5 canna of the cloth are worth.
+|style="text-align:right;"|קפט) <big>שאלה</big> אדם נתן ד' ליט' של כסף לחבירו לחלופי' והתנה עמו שיתן לו מהג' ליט' עשרה מבגד<br>
+וב' קנים מהבגד שוה ג' חביות של יין<br>
+וב' חביות מיין שוה ח' דינרין<br>
+נרצה לדעת כמה היו שוות הד' ליט' של כסף לפי זה היחס גם כמה שוות הה' קנים מהבגד{{#annotend:aEn7}}
 |-
 |
-:{{#annot:WP|641|8u66}}213) Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
+::The answer: you know that 2 barrels are worth 8 dinar, so say: if 2 is equal to 8, how much is 3 equal to?
-:<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:8=3:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|ריג) שאלה אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט{{#annotend:8u66}}
+|style="text-align:right;"|<big>התשובה</big> ראוי לך לדעת כי הב' חביות הם שוות ח' דינרין ותאמר אם ב' שוות ח' ג' כמה שוות
 |-
 |
-::The method is already known.
+::You receive 12. Hence, three barrels of [wine] are worth 12 dinar.
-|style="text-align:right;"|הדרך נודע
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב הנה הג' חביות של &#x202B;<ref>257r</ref>שוות י"ב דינרין
 |-
 |
+::It is known that 2 canna are worth 3 barrels, so do as follows:
-=== <span style=color:Green>Purchase Problem – Moneychanger</span> ===
+::Say: if 2 canna are equal to 12 dinar, how much are 10 canna equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:12=10:X}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|וידוע הוא כי ב' קנים היו שוות אלו הג' חביות הנה יש לך לעשות ככה והוא שתאמר אלו ב' קנים שוות י"ב דינרין הי' קנים כמה שווים
 |-
 |
-:{{#annot:moneychanger|642|ofKp}}214) Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind].
+::You receive 60.
-:A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ס&#x202B;'
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1</math>
-|style="text-align:right;"|ריד) שאלה יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה{{#annotend:ofKp}}
 |-
 |
-::Look for a number that has a third, a quarter, and a sixth; you find it is 12. [The sum of] all the fractions is 9 and it is a dinar.
+::It is known that 10 canna are worth 3 liter of silver, so say: if 3 is equal to 60, how much is 4 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:60=4:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר
+|style="text-align:right;"|וידוע כי הי' קנים היה שווי ג' ליט' של כסף ותאמר אלו ג' שוות ס' ד' כמה שוות
 |-
 |
-::We examine the ratio of 12 to 9; it is 1 and a third and so he will take from each [type of] coin.
+::You receive 80, no more and no less.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12:9=1+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך פ' בלי תוספת ומגרעת
-|style="text-align:right;"|ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א' ושליש וככה יקח מכל מטבע
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Payment Problem - Digging a Hole</span> ===
+=== <span style=color:Green>Simple Division Problem</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:digging a hole|612|Y6hX}}215) Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, [6 in width], 5 in depth, and he will pay him 11, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth.
+:{{#annot:four men - measures of wheat|644|8uum}}190) Question: A man said to his friend: If you want to carry all my wheat on your ship, I will give you half.
-:How much should he be paid?
+:A second came and said to him: If you carry mine, I will give you a third.
-|style="text-align:right;"|רטו) שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ובאורך (ו' ברוחב) וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח{{#annotend:Y6hX}}
+:Another came and said: If you carry mine, I will give you a quarter.
+:''This one was still speaking when another came and said'' [Job 1, 16]: If you carry mine I will give you a fifth.
+:Then, he had 300 measures in his hand.
+:I ask: how many measurements he carried [for each equally]?
+|style="text-align:right;"|קצ) <big>שאלה</big> אדם אמר לחבירו אם תרצה לשאת על ספינתך כל החטה שלי אתן לך החצי<br>
+בא שני ואמר לו אם תשא את שלי אתן לך השליש<br>
+בא אחר ואמר אם תשא את שלי אתן לך רביעית<br>
+''עוד זה מדבר וזה בא ויאמר''&#x202B;<ref group=note>איוב א, ט"ז</ref> אם תשא את שלי אתן לך החומש<br>
+ואח"כ נמצא בידו ש' מדות<br>
+אשאל כמה מדות נשא{{#annotend:8uum}}
 |-
 |
-::This question has double proportion which is called "rule of three".
+::The answer: look for a number that has a half, a third, a quarter, and a fifth; you find it is 60.
-|style="text-align:right;"|זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' {{#annot:term|567|A8te}}ריגולא דיטרי דנפיצה{{#annotend:A8te}}
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> בקש מספר יהיה לו חצי ושליש ורביעית וחומש ותמצא ס&#x202B;'
 |-
 |
-::You receive 6 and 2-sevenths and so he should be paid.
+::Take its half, which is 30; its third, which is 20; its quarter, which is 15; and its fifth, which is 12; the total is 77.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח
+|style="text-align:right;"|קח חציו והוא ל' ושלישיתו והוא כ' ורביעיתו והוא ט"ו והחומש והוא י"ב ובין הכל ע"ז
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=30+20+15+12=77}}</math>
 |-
 |
+::Say: if 77 is equal to 60, how much is 3 hundred equal to?
-=== <span style=color:Green>Motion Problem – Pursuit</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{77:60=300:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ע"ז שוים ס' ג' מאות כמה ישוו
-|
 |-
 |
-:{{#annot:messenger|657|GEab}}216) Question: A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day.
+::Multiply 60 by 3 hundred and divide it by 77; you receive 233 and 59 parts of 77 and this is the amount he carried for each.
-:When will he catch up with him?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot300}{77}=233+\frac{59}{77}}}</math>
-:<math>\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ס' על ג' מאות וחלקם על ע"ז ויצא לך ב' מאות ול"ג ונ"ט חלק מע"ז והוא סך מה שנשא לכל א' וא&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|ריו) שאלה איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז<br>
-מתי ישיגנו{{#annotend:GEab}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply the [number of] miles the first walked by 10 days; it is 290.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, take half this amount, add to it also its third, its quarter, and its fifth; the result is 3 hundred.
-|style="text-align:right;"|נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם ר"ץ
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו קח חצי זה הסכום גם שלישיתו ורביעיתו וחמישיתו יוסף עליו ויעלה ג' מאות
 |-
-|
+|colspan=2|
-::We divide it by the difference between [the speeds of] the two walkers, which is 8; you receive 36 [days] and a quarter of a day.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]+\left[\frac{1}{5}\sdot\left(233+\frac{59}{77}\right)\right]=300}}</math>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Boiling Problems</span> ===
+=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problem</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:WP|663|VyfC}}217) Question: a man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain.
+:{{#annot:three kinds|617|IvmV}}191) Question: here is a man who has 6 liter of silver, in each liter there are 7 ՚oqya of pure silver.
-:He started to cook [them] until eight measures remained of them.
+:He also has 5 liter of silver, in each liter of which there are 6 ՚oqya of pure silver.
-:Then two measures overflow.
+:He also has an unknown number of liter in each liter of which there are 11 ՚oqya of silver.
-:Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must.
+:He wants to melt all of them and produce goblets from them, such that each liter contains 9 ՚oqya of pure silver.
-:<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}</math>
+:We wish to know how many liter will he take of the silver that contains 11 ՚oqya per a liter.
-|style="text-align:right;"|ריז) שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון{{#annotend:VyfC}}
+|style="text-align:right;"|קצא) <big>שאלה</big> בכאן אדם שיש לו ו' ליט' של כסף ובכל ליט' יש ז' אוק' מכסף מזוקק<br>
+עוד יש לו ה' ליט' מכסף שיש לו בכל ליט' ו' אוק' מכסף טוב<br>
+ועוד יש לו ליט' בלתי נודעות שבכל ליט' יש כסף י"א אוק&#x202B;'<br>
+ורוצה לשרוף כל זה ולעשות ממנו גביעים שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף מזוקק<br>
+ונרצה לדעת כמה ליט' יקח מהכסף המכיל י"א אוק' הליט&#x202B;'{{#annotend:IvmV}}
 |-
 |
-::You have three known numbers:
+::Answer: you should know how many ՚oqya are included in the first number, which is 6 liter that contain 7 ՚oqya per liter; they are 42 and this is the number of pure ՚oqya.
-|style="text-align:right;"|יש לך ג' מספרים ידועים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot7=42}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> ראוי שתדע כמה אוק' יכיל המספר הראשון שהוא ו' ליט' המכיל ז' אוק' לליט' יהיו מ"ב והוא מספר {{#annot:՚oqya|1068|7iGK}}אוקי'{{#annotend:7iGK}} הטובות
 |-
 |
-::One is a third of ten, which is 3 and a third.
+::Take also the second number, which is 5 liter that contain 6 ՚oqya per liter; they are 30 and this is the number of pure ՚oqya.
-|style="text-align:right;"|א' כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועוד קח המספר השני שהוא ה' ליט' המכיל ו' אוק' לליט' ויהיו ל' והוא מספר אוק' הטובות
 |-
 |
-::It is known that 8 measures were boiled.
+::Add the 30 to 42; it is 72.
-|style="text-align:right;"|וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{42+30=72}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחבר אלו הל' אל מ"ב ויהיו ע"ב
 |-
 |
-::It is known the 6 remain.
+::Then sum up the [numbers of] liter that are 5 and 6; they are 11.
-|style="text-align:right;"|וידוע כי ו' נשארו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5+6}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הליט' שהם ה'ו' ויהיו י"א
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we do as follows: we multiply 6 by 3 [and a third], then divide by 2; the result is 2 and a half.
+::Hence, 11 liter contain 72 ՚oqya of pure silver.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ י"א ליט' יכיל ע"ב אוק' מכסף טוב
-|style="text-align:right;"|ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי
 |-
 |
-:{{#annot:WP|663|1PBL}}218) Question: a man had 9 measures and he wanted to boil them so that one third will remain.
+::Multiply 9, which is the number you want to produce, by the [number of] liter, which is 11; it is 99.
-:They were cooked until 6 measures remained.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' שהוא הסך שתרצה לעשות על הליט' שהם י"א יהיה זה צ"ט
-:Then 4 [measures] overflow and 2 remained.
-:How much should they be boiled?
-:<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}</math>
-|style="text-align:right;"|ריח) אדם יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב&#x202B;'<br>
-כמה ראוי לבשל{{#annotend:1PBL}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Multiply 2 by 3; the result is 6. Divide it by 6; the result is 1 and this is the required.
+::Subtract 72 from 99; the remainder is 27.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)\sdot\left(6-4\right)}{6}=\frac{3\sdot2}{6}=\frac{6}{6}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא ע"ב מצ"ט הנשאר כ"ז
-|style="text-align:right;"|כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם על ו' יעלה א' והוא הנדרש
 |-
 |
+::Divide the 27 by the difference between 9 and 11, which you find to be 2. Divide 27 by 2; you find it is 13 and a half, which is [the number of] liter and so he takes of the silver that contains 11 [՚oqya per a liter].
-=== <span style=color:Green>Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot11\right)-72}{11-9}=\frac{99-72}{2}=\frac{27}{2}=13+\frac{1}{2}}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|וחלק אלו הכ"ז על היתרון שיש בין ט' לי"א ותמצא ב&#x202B;'<br>
-|-
+חלק כ"ז על ב' ותמצא י"ג וחצי שהם ליט' &#x202B;<ref>257v</ref>וככה יקח מן הכסף המכיל י"א
-|
-:{{#annot:tree|650|il3W}}219) Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long.
-:How many cubits long is the whole tree?
-:<math>\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x</math>
-|style="text-align:right;"|ריט) שאלה אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו{{#annotend:il3W}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> the common denominator is 63.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, sum up all the liter, which are 13 and a half, 6, and 5; it is 24 and a half.
-|style="text-align:right;"|המורה הוא ס"ג
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' שהם י"ג וחצי וו' וה' ויהיו כ"ד וחצי
 |-
 |
-::We subtract 16 from it, which is its seventh and its ninth; 47 remains.
+::Multiply each by what it contains; the result is 220 and a half and this is the reserved.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6\sdot7\right)+\left(5\sdot6\right)+\left[\left(13+\frac{1}{2}\right)\sdot11\right]=220+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז
+|style="text-align:right;"|וכפול כל אחד על מה שמכיל ויעלה ר"כ וחצי והוא השמור
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we relate: we multiply 8 by 63; the result is 504. We divide it by 47; the result is 10 integers and 34 parts of 47.
+::Then, multiply 9 by 24 and a half; the result is also 220.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{8\sdot63}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[6+5+\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]\sdot9=\left(24+\frac{1}{2}\right)\sdot9=220+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד<br>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' על כ"ד וחצי ויעלו ר"כ ג"כ
-חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז
-|-
-|
-::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> A seventh of this number is 1 integer and 25 parts of 47; its ninth is 1 integer and 9 parts [of 47].
-::We sum up all the parts; they are 34 and the integers are 2.
-::We subtract is from ten; 8 remains.
-|style="text-align:right;"|ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז<br>
-ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים<br>
-חברנו כל החלקים והם ל"ד והשלמים ב&#x202B;'<br>
-חסרנו זה מן עשרה נשארו ח&#x202B;'
-|-
-|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ===
+=== <span style=color:Green>Proportional Division Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:ladder|655|GG8y}}220) Question: we placed a ladder on a wall that is 10 cubits high and so is the height of the ladder.
+:{{#annot:three men sharing money|645|jm00}}192) Question: There are three men here who earned 12 minyanim.
-:We lowered the top of the ladder by 2 cubits from the top.
+:One asks for half the amount plus 2, the other asks for a third of the amount plus 3, and another asks for a quarter of the amount plus 4.
-:We would like to know: how far is the ladder from the base of the wall?
+:We ask: how much will each take?
-|style="text-align:right;"|רכ) שאלה הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם<br>
+|style="text-align:right;"|קצב) <big>שאלה</big> יש כאן ג' בני אדם כי הרויחו י"ב מנינים<br>
-הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות<br>
+הא' שואל חצי הממון עם תוספת ב' והאחר שואל שלישית הממון עם תוספת ג' והאחר שואל רביעית הממון עם תוספת ד&#x202B;'<br>
-נרצה לדעת כמה רחוק ראש הסולם מיסוד הקיר{{#annotend:GG8y}}
+נשאל כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:jm00}}
 |-
 |
-::I give you a rule for this matter: the square of what remains from the top of the ladder to the base [of the wall] plus the square of the distance between the foot [of the ladder] and the base [of the wall] is always equal the square of the ladder.
+::The answer: all the additions they ask for, which are 2, 3, and 4, should be summed; it is 9.
-|style="text-align:right;"|אתן לך כלל בדבר זה<br>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> ראוי לחבר כל מה ששואלים מתוספת והם ב'ג'ד' והם ט&#x202B;'
-לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם
 |-
 |
-::We subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall; 8 remain. Its square is 64.
+::Subtract it from 12; 3 remains.
-|style="text-align:right;"|והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(2+3+4\right)=12-9=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסרם מי"ב ישארו ג&#x202B;'
 |-
 |
-::We subtract it from 100, which is the square of the ladder; 36 remains. Its root is 6 and this is the distance of the bottom of the ladder from the base [of the wall].
+::Take a half of 12; it is 6; the third is 4; the quarter is 3; the total is 13.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=6+4+3=13}}</math>
-|style="text-align:right;"|נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי י"ב יהיו ו' והשליש ד' והרביעית ג' וכלם י"ג
 |-
 |
-::221) Question: a well is fourteen, its width is 8 and its height is 5. It contains a thousand liter of water some of which spilled out.
+::Multiply half the number by 3; it is 18.
-:How much water was spilled?
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול חצי המספר על ג' והנם י"ח
-|style="text-align:right;"|רכא) שאלה באר ארבע עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו<br>
-כמה חסרו המים
-|-
-|??
-|style="text-align:right;"|ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה [....]
 |-
 |
+::Divide it by 13; the result is 1 and 5 parts of 13 and this is the share of the one who asks for half the money.
-=== <span style=color:Green>Payment Problem - Two Workers</span> ===
+|style="text-align:right;"|חלקם על י"ג ועלה א' וה' חלקים מי"ג וזה חלק משואל חצי הממון
-|
 |-
 |
-:{{#annot:two workers|612|wEz5}}222) Question: Reuven hired Shimon at 10 coins for 30 days and [...] but Shimon fell ill, so he hired another in his place at 12 coins a day.
+::Since he said "plus 2", he takes 3 and 5 parts of 13.
-:The worker worked [a] known [number of] days and the other likewise.
+|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר יותר ב' וקח ג' וה' חלקים מי"ג
-:He paid him ten coins.
+|-
-|style="text-align:right;"|רכב) שאלה ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים{{#annotend:wEz5}}
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)\sdot3}{13}+2=\frac{6\sdot3}{13}+2=\frac{18}{13}+2=\left(1+\frac{5}{13}\right)+2=3+\frac{5}{13}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים כפול ל על י' ועלה רק חלקם על י"ב יעלו כ"ה
+::Take the third and multiply it by 3; the result is 12.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח השליש וכפול אותם על ג' ויעלו י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רכג) שאלה אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים
+::Divide it by 13; the result is 12 parts of 13 and this is the share of the one who asks for a third of the money.
+|style="text-align:right;"|וחלקם על י"ג ויעלו י"ב חלקים מי"ג וזה חלק ממבקש שליש הממון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים
+::Since he said "plus 3", he takes 3 and 12 parts of 13.
+|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר ג' מתוספת וקח ג' וי"ב חלקים מי"ג
 |-
-|
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)\sdot3}{13}+3=\frac{4\sdot3}{13}+3=\frac{12}{13}+3=3+\frac{12}{13}}}</math>
-=== <span style=color:Green>Purchase Problem - Moneychanger</span> ===
-|
 |-
 |
-:{{#annot:moneychanger|642|ljzv}}224) Question: the moneychanger has four [kinds of] coins. Of the first [kind] - 6 are worth one zahuv; of the second - 4; of another - 3; and of another - 2. [Someone] wants to be given from each [kind] for a quarter of a zahuv.
+::Take a quarter of the number and multiply it by 3; the result is 9.
-:How much will he take from each?
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח רביעית המספר וכפול אותם על ג' ויעלו ט&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|רכד) שאלה אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב כמה יקח מכל אחת{{#annotend:ljzv}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א וחצי וכן יקח ממנה עוד חלק ד' על ד' ויצא א וכן יקח עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה
+::Divide it by [1]3; the result is 9 parts of 13.
+|style="text-align:right;"|וחלקם על ג' ויעלו ט' חלקים מי"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רכה) שאלה אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר ואמ' לאחר ואתה קח לך י"ד מהנשאר והעשור ואמ' לאחר אתה תקח כ"א ועשור הנשאר וכן כלם לעולם מוסיף לו ז' ואחר העשות זה נמצא לכלם חלק שוה נרצה לדעת כמה בנים היו לו וכמה חלק כל א' וא' וכמה בנים היו לו
+::Since he said "plus 4", he takes 4 and 9 parts of 13.
+|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר עם תוספת ד' וקח ד' וט' חלקים מי"ג
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור חסר א' ישארו ט' כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון ודוק ותשכח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)\sdot3}{13}+4=\frac{3\sdot3}{13}+4=\frac{9}{13}+4=4+\frac{9}{13}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רכו) שאלה יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם בא אדם ואמ' אל תרגזו ואמר לא' תן לי חצי ממונך ולאחר שליש ולאחר רביעית וחלק זה הממון לג' חלקים שווים ונמצא ביד כל אחד מ' מנינים נבקש לדעת כמה לקח כל א' וא&#x202B;'
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Sum up all; the result is 12 integers.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{5}{13}\right)+\left(3+\frac{12}{13}\right)+\left(4+\frac{9}{13}\right)=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלה י"ב שלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא לז וי"ד חלקים מנ"ח עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח
+:{{#annot:three men sharing money|645|9mWf}}193) Question: There are three men here who want to divide 16 minyanim.
+:One asks for half the amount minus 3, the other asks for a quarter plus 4, and another asks for a fifth plus 5.
+:We wish to know how much will each take.
+|style="text-align:right;"|קצג) <big>שאלה</big> ג' אנשים רוצים לחלק י"ו מנינים<br>
+הא' שואל חצי הממון פחות ג' והאחר שואל הרביעית עם תוספת ד' והאחר שואל החומש עם תוספת ה&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:9mWf}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א חלק א' ויעלה מ' לכל א&#x202B;'
+::The answer: first, sum the additions that two of them ask for; it is 9.
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> ראשנה תחבר התוספת ששואלים הב' מהם והוא ט&#x202B;'
 |-
 |
+::Subtract 3 from 9, because one of them said "minus 3"; 6 remains.
-=== <span style=color:Green>Proportional Division - Three Men Sharing Food</span> ===
+|style="text-align:right;"|חסר מהט' ג' כי א' מהם אמר פחות ג' וישארו ו&#x202B;'
-|
 |-
 |
-:{{#annot:three men sharing food|645|5tNg}}227) Question: there are here two who bought 5 loafs of bread.
+::Subtract 6 from the amount of money; 10 remains.
-:One bought two for two pešiṭim and the other one [bought] three for three pešiṭim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16-\left[\left(4+5\right)-3\right]=16-\left(9-3\right)=16-6=10}}</math>
-:One came and said: if you want me to eat with you I will pay each his share.
+|style="text-align:right;"|הסר מסך הממון ו' הנשאר י&#x202B;'
-:They ate together and he gave 4 to the owner of the three and 1 to the owner of the 2.
-:I ask: why is this?
-|style="text-align:right;"|רכז)<ref>MS L: רמב</ref> שאלה יש כאן ב' קנו ה' לחמים א קנה ב ב פשוטים ואחר ג ג פשוטים<br>
-בא א ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים<br>
-ואכלו ביחד ונתן לבעל הג' ד' ובעל הב' א'<br>
-אשאל לדעת מה זה ועל מה זה{{#annotend:5tNg}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ה' לג' יעלה א וב' שלישיות וכך אכל כל א וא א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד'
+::Take a half of the money; it is 8.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי הממון שהוא ח&#x202B;'
 |-
 |
+::Take its fifth; it is 3 and a fifth.
-=== <span style=color:Green>Give and Take Problem - Gatekeeper</span> ===
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חמישיתו שהוא ג' וחומש
-|
 |-
 |
-:{{#annot:gatekeeper|651|YS4U}}228) Question: A man goes to the garden to pick roses and when he returns he has to go through three gates:
+::Its quarter is 4.
-:At the first he must give half of them plus 3.
+|style="text-align:right;"|ורביעיתו שהוא ד&#x202B;'
-:At the second he must give a third of what is left plus 2.
-:At the third he must give a quarter plus 1.
-:He is left with 2.
-:How much did he pick?
-|style="text-align:right;"|רכח) שאלה אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים<br>
-ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג'<br>
-ובב' יש לתת השליש מהנשאר עם תוספת ב'<br>
-ובג' יש לתת רביעית עם תוספת א'<br>
-ונשארו לו ב' כמה לקט{{#annotend:YS4U}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שים על ב' א' בעבור א מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד' עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט' ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט
+::Sum all; the result is 15 and a fifth.
+|style="text-align:right;"|ותחבר הכל ויעלו ט"ו וחומש
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|רכט)<ref>MS L: רמז</ref> שאלה אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים וכן עשה ובסוף ד' חדשים נתן לו ד' מאות עוד לסוף ו' נתן לו ב' מאות נרצה לדעת כמה ראוי שיקבל בעל הממון לסוף השנה וכמה הוא הרבית
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=8+\left(3+\frac{1}{5}\right)+4=15+\frac{1}{5}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש עוד קח הפרעון הג' שהוא ד' בתוך ג' ותאמר אם ק בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי אח"כ חבר (י"ב) וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א (קצ"א ?) וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות
+::Multiply its half, which is 8, by the 10 remaining after subtracting the addition of each; it is 80.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול מחציתו שהם ח' על הי' שנשארו אחר לקיחת התוספת של כל אחד והיו פ&#x202B;'
 |-
 |
-:230) Question: A man bought 5 barrels of oil and 10 barrels of wine, for a total of 100 minyanim.
+::Divide it by 15 and a fifth; the result is 5 [and 20 parts of 76].
-:Then, he bought 9 barrels of oil and 2 barrels of wine for 100 minyanim.
+|style="text-align:right;"|חלקם על ט"ו וחומש ויעלו ה&#x202B;'
-:At the same price he bought the first time, he bought the second time.
-:I would like to know for how much did he buy the oil and for how much did he buy the wine.
-|style="text-align:right;"|רל)<ref>MS L: רנה</ref> שאלה אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים<br>
-אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים<br>
-ובאותו ערך שקנה בראשנה קנה בשניה<br>
-אבקש לדעת כמה קנה השמן וכמה קנה היין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין ונשים ערך השמן ח' מנינים הנה הה' שוות מ' מנינים ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים ונשוב אל השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט' והה' שוות מ"ה וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק' שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב ויחסר ח' עד ק' הוצא ח' מי"ו נשארו ח' אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ' חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה
+::Subtract 3 from it, since he said "minus 3"; his share is 2 integers and 20 parts of 76.
+|style="text-align:right;"|הסר מהם ג' מצד שאמר פחות ג' יהיה חלקו ב' שלמים וכ' חלקים מע"ו
 |-
-|
+|colspan=2|
-:231) Question: here is a dog and a rabbit.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{8\sdot10}{15+\frac{1}{5}}-3=\frac{80}{15+\frac{1}{5}}-3=\left(5+\frac{20}{76}\right)-3=2+\frac{20}{76}}}</math>
-:The rabbit is 100 steps away from the dog.
-:Each step of the dog is equal to 5 [steps] of the rabbit.
-:Each walks the same as the other.
-:I would like to know in how many steps they will catch up?
-|style="text-align:right;"|רלא)<ref>MS L: רנו</ref> שאלה בכאן כלב וארנבת<br>
-והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות<br>
-וכל פסיעה מהכלב שוה ה' מהארנבת<br>
-וכך יפסיע הא' כמו זה<br>
-אתאב לדעת בכמה פסיעות ישיגנו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש
+::Take a quarter of the money, multiply it by 10, then divide the product; you receive 2 integers and 48 parts of 76 and this is the share of the one who asks for a quarter of the money. We add to it 4, since he said "plus 4".
+|style="text-align:right;"|עוד קח רביעית הממון וכפול אותם על י' והעולה תחלק ויצא לך ב' שלמים ומ"ח חלקים מע"ו וזה יהיה חלקו משואל רביעית הממון ונתן לו ד' מצד שאמר ד' מתוספת
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|רלב) שאלה תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+4=\left(2+\frac{48}{76}\right)+4}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח' ובין כלם ט"ו לכן כפול א' על (ל) וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון עוד כפול ב' על ל וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב' וכן מהג' ויצא ח' וכן מהד' ויצא י"ו וכלם מתיחסים
+::Take a fifth of the number, multiply it by 10, then divide the product by 15 and a fifth; you receive 2 integers and 8 parts of 76; and since he said "plus 5", he takes 7 integers and 8 parts of 76.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח חומש המספר וכפול אותם &#x202B;<ref>258r</ref>על עשרה וחלק העולה על ט"ו וחומש ויצא לך שנים שלמים וח' חלקים מע"ו ובעבור שאמ' ה' מתוספת יקח ז' שלמים וח' חלקים מע"ו
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|רלג)<ref>MS L: רנט</ref> שאלה אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש נשאל כמה שעות הקישו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{5}\sdot16\right)\sdot10}{15+\frac{1}{5}}+5=\left(2+\frac{8}{76}\right)+5=7+\frac{8}{76}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד ונניח כי הקישו ג' וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב' ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> the sum of the three is 16 integers.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{20}{76}\right)+\left(6+\frac{48}{76}\right)+\left(7+\frac{8}{76}\right)=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין שלשתן י"ו שלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה גכ ח' וח' חלקים מי"ז
+:{{#annot:two men sharing money|645|N0LR}}194) Question: There are two here who want to divide twenty minyanim.
+:One asks for a third minus 4 and the other asks for a fifth minus 3.
+|style="text-align:right;"|קצד) <big>שאלה</big> יש כאן ב' שרוצים לחלק עשרים מנינים<br>
+הא' שואל השליש פחות ד' והאחר שואל החומש פחות ג&#x202B;'{{#annotend:N0LR}}
 |-
 |
+::First, 3 and 4 should be summed; it is 7.
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Boys Selling Eggs</span> ===
+|style="text-align:right;"|הנה ראשנה ראוי לחבר ג וד' והנם ז&#x202B;'
-|
 |-
 |
-:{{#annot:selling eggs|652|5vBy}}234) Question: a man gives his seven sons eggs to sell and he gives the one half the other, i.e. if he gives the first 1, he gives the second 3, the forth 4, the fifth 5, the sixth 6 and the seventh 7.
+::Add it to the money, which is 20; it is 27.
-:All of them will sell the same way the first one sells, and each will receive the same amount of money.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+4\right)+20=7+20=27}}</math>
-:I wish to know: how much money will each of them receive and how will they sell [the eggs]?
+|style="text-align:right;"|תוסיפם על הממון שהוא כ' יהיו כ"ז
-:<math>\scriptstyle a_1=2a_2=3a_3=4a_4=5a_5=6a_6=7a_7</math>
-|style="text-align:right;"|רלד)<ref>MS L: רסא</ref> שאלה אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז'<br>
-ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' כמו האחר<br>
-ארצה לדעת כמה ממון נתן לכל א' וא' ובאיזה אופן מכרו{{#annotend:5vBy}}
 |-
 |
-:*The first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(7\sdot2\right)=1+14=15}}</math>
+::Take a third of 20; it is 6 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח שלישית כ' יהיו ו' וב' שלישיות
 |-
 |
-:*The second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{15+15=30}}</math>
+::Take a fifth; it is 4.
-|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב'
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח החומש יהיה זה ד&#x202B;'
 |-
 |
-:*The third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{15+30=45}}</math>
+::Sum them together; it is ten [and 2-thirds].
-|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot20\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot20\right)=\left(6+\frac{2}{3}\right)+4=10+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חברם יחד יהיו עשרה
 |-
 |
-:*The fourth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{15+45=60}}</math>
+::Multiply 6 and 2-thirds by 27; it is 180.
-|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד'
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ו' וב' שלישיות על כ"ז יהיה זה ק"פ
 |-
 |
-:*The fifth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{75}}</math>
+::Divide it by 10 and 2-thirds; the result is 16 and 28 parts of 32.
-|style="text-align:right;"|והאחר ע"ה
+|style="text-align:right;"|חלקם על י' וב' שלישיות ויהיה העולה י"ו וכ"ח חלקים מל"ב
 |-
 |
-:*The sixth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{90}}</math>
+::Since he said "minus 4", we subtract 4; 12 and 28 parts of 32 remains and this is the share of the one who asks for a third of the money.
-|style="text-align:right;"|והאחר צ'
+|style="text-align:right;"|ובעבור שאמר פחות ד' נחסר ד' וישאר י"ב וכ"ח חלקים מל"ב וזה חלק השואל שלישית הממון
 |-
-|
+|colspan=2|
-:*The seventh: <math>\scriptstyle{\color{blue}{105}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(6+\frac{2}{3}\right)\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-4=\frac{180}{10+\frac{2}{3}}-4=\left(16+\frac{28}{32}\right)-4=12+\frac{28}{32}}}</math>
-|style="text-align:right;"|והאחר ק"ה
 |-
 |
-:Each will sell 8 for one pašuṭ
+::We also multiply 4 by 27; it is 108.
-|style="text-align:right;"|ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול ד' על כ"ז יהיה זה מאה וח&#x202B;'
 |-
 |
-:*The first will sell the remaining <math>\scriptstyle{\color{blue}{15-8=7}}</math> each one for 2 pešuṭim
+::Divide it by ten and 2-thirds; the result is ten and 4 parts of 32.
-|style="text-align:right;"|והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא'
+|style="text-align:right;"|חלקם על עשרה וב' שלישיות יעלו עשרה וד' חלקים מל"ב
 |-
 |
-:Each will receive 15
+::Since he said "minus three", we subtract 3 from ten; the remainder is 7 and 4 parts of 32.
-|style="text-align:right;"|וכך מעות נשא הא' כמו האחר ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו ותקיש על זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4\sdot27}{10+\frac{2}{3}}-3=\frac{108}{10+\frac{2}{3}}-3=\left(10+\frac{4}{32}\right)-3=7+\frac{4}{32}}}</math>
+|style="text-align:right;"|מצד שאמר פחות שלשה נקח מעשרה ג' הנשאר ז' וד' חלקים מל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רלה)<ref>MS L: רסב</ref> שאלה ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח ובאופן שמכר הא' ימכור האחר כמה לכל א ובאיזה אופן מכרו
-|-
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - three men playing with a cube</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד' כפול ג' על ד' ויהיו י"ב תוסיף בו א ויהיו י"ג תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א מהג' מכר ד' פשוטים
+:{{#annot:three men - cube game|652|0LU2}}195) Question: three people are playing with a cube.
+:The two put all of their money against the third and the third plays, loses and pays each one all the money gambled against him.
+:Now, the third plays, the remaining two put all their money, and he loses and pays each of them.
+:We find each has 100 minyanim in his hand.
+:How much did each has when they started playing?
+|style="text-align:right;"|קצה) <big>שאלה</big> ג' אנשים מצחקים בקוביא<br>
+הב' משימים כל ממונם נגד הג' והג' המצחק הפסיד ופרע לכל א' סך כל ממונם נגדו והוא הפסיד ופרע לכל א' ממונו<br>
+עתה מצחק הג' והב' הנשארים שמו כל ממונם והוא הפסיד ופרע לכל א' וא&#x202B;'<br>
+ונמצא עתה ביד כל א' וא' ק' מנינים<br>
+כשהתחילו לצחק כמה לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:0LU2}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם היה מוסיף השני על הראשון ה פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו'
+::Answer: take the number of the people, which is 3, add 1 to it, for the first duplication; it is 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+1=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תקח סך האנשים שהם ג' תוסיף עליו א' בעבור הכפל הראשון ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רלו)<ref>MS L: רסג</ref> שאלה אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות כמה זרתות ישים בו
+::Double 3; it is 6. Add 1 to it; it is 7.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot3\right)+1=6+1=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ג' ויהיו ו' תוסיף עליו א' ויהיו ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תוציא ד' מה' נשאר א' תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז זרתות וחצי ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע' עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע'
+::Double 7; it is 14. Subtract 1 from it; it is 13.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot7\right)-1=14-1=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' ויהיו י"ד תסיר ממנו א' ויהיו י"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רלז)<ref>MS L: רסד</ref> שאלה איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים פרח א' ובעל הממון שואל ד' מאות מניניו והשיב כי אין לו כי אם פרחים אתאב לדעת כמה פרחים יקבל
+::It is known that the amount of money is 3 hundred, so we do as follows and say: here are three people - one carried 13 dinar, the other 7, and the other 4. They earned 3 hundred. How much will each take?
+|style="text-align:right;"|וידוע כי הממון היה ג' מאות על כן נעשה ככה ונאמ' בכאן ג' אנשים הא' נשא י"ג דינרין והאחר ז' והאחר ד' והרויחו ג' מאות<br>
+כמה יקח כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות וחלקם על י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל
+::Sum up all their amounts of money, which are 4, 7, and 13; it is 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+7+13=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם שהם ד' ז' וי"ג הנם כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רלח)<ref>MS L: רסו</ref> שאלה מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים הא שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם נרצה לדעת כמה הם הבנים באופן שיגיע לכל א מספר שוה
+::Multiply 13 by 3 hundred; it is 3 thousand and 9 hundred.
+|style="text-align:right;"|כפול י"ג על ג' מאות יהיה זה ג' אלפים וט' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ק על ד' ויצא כ"ה וקח שרשם והם ה' כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא'
+::Divide it by the reserved, which is 24; you receive 162 and a half and this is the money of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{13\sdot300}{24}=\frac{3900}{24}=162+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על השמור שהוא כ"ד ויצא לך קס"ב וחצי והוא ממון הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה'
+::Multiply also 7, which is the [assumed] money of the second, by 3 hundred; the result is 2 thousand and a hundred.
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' שהוא ממון השני עם ג' מאות ויעלו ב' אלפים ומאה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א וישאר ה' והוא סכום הבנים
+::Divide it by 24; you receive 87 and a half and this is the money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ד ויצא לך פ"ז וחצי והוא ממון השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון
+::You also have to multiply the [assumed] money of the third, which is 4, by 3 [hundred]; the result is 12 hundred.
+|style="text-align:right;"|עוד יש לך לכפול ממון השלישי שהוא ד' על ג' ויעלו י"ב מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רלט)<ref>MS L: רסז</ref> שאלה ב' בני אדם כל א מצא כיס אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי וכן עשו ונמצא לכל א י"ב נשאל כמה בכל כיס
+::Divide it by 24; you receive fifty and this is the money of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot300}{24}=\frac{2100}{24}=87+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על כ"ד ויצא לך חמישים שלמים והוא ממון הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י' א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א' ותאמר בעד ט"ו חסר א' עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות ויחסר עד י"ב א' ושליש א"כ ממון השני הוא ה ושליש חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים והוא קבל ה' (ושליש) א"כ יש לו ט' ושליש ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות א"כ הוצא א שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א וב' שלישיות אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ' הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד חלק כ"ד על א וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית ותבחון אותו כי הוא צודק
+::The total is 3 hundred.
+|style="text-align:right;"|ובין הכל ג' מאות
 |-
 |
-:240) Question: here is a straight cane.
-:At its feet there is an ant that wants to go up and it walks 4⅕ cubits of the cane in one hour.
+=== <span style=color:Green>Shared Work Problem</span> ===
-:At the top of the cane there is an ant that goes down and it goes down 6¼ cubits of the cane in one hour.
-:The length of the cane is 100 cubits.
-:I ask: when will the meet each other?
-|style="text-align:right;"|רמ)<ref>MS L: רסח</ref> שאלה בכאן מקל זקוף<br>
-וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות וחומש המקל בשעה אחת<br>
-ובראש המקל העליון נמלה יורדת והנה תרד בשעה אחת ו' אמות ורביעית המקל<br>
-ואורך המקל ק' אמות<br>
-אשאל מתי ישיגו זה את זה
-|-
 |
-<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{100}{5}+4\right)+\left(\frac{100}{4}+6\right)=\left(20+4\right)+\left(24+4\right)=24}}</math>
-|style="text-align:right;"|חלק ק' על ה' ויצא עשרים תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד<br>
-אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד תוסיף בם ו' ויהיו ל'<br>
-תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה
+:{{#annot:barrel|625|xzby}}196) Question: There is a barrel here that has 3 openings. From the first opening, all the wine comes out in 4 hours. From the second opening, without the first, all the wine comes out in 3 hours. From the third opening, without the others, all the wine comes out in 2 hours. If we open all three of them, how long will it take for all the wine to come out?
+|style="text-align:right;"|קצו) <big>שאלה</big> יש כאן חבית שיש לה ג' פתחים מהפתח הראשון יצא כל היין &#x202B;<ref>258v</ref>בד' שעות ומהפתח השני בלתי הראשון יצא כל היין בג' שעות ומהפתח הג' זולת האחרים יצא כל היין בב' שעות ואם נפתחם שלשתם בכמה יצא כל היין{{#annotend:xzby}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל
+::The answer can be done in two ways:
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> תוכל לעשותה בב' פנים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים
+::One is that you take the greatest number, which is 4, and divide it by itself and also by the others.
+|style="text-align:right;"|א' והוא שתקח החשבון היותר גדול מכלם שהוא ד' ותחלק אותו על עצמו גם על האחרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל
+::First, divide it by itself; the result is 1.
+|style="text-align:right;"|ראשנה תחלקהו על עצמו יצא א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובין הכל ק'
+::Then, divide 4 by 3; you receive 1 and a third.
+|style="text-align:right;"|אח"כ חלק ד' על ג' ויצא לך א' ושליש
 |-
 |
-:241) Question: a man has four sons and he says that -
+::Divide 4 by 2; you receive 2.
-:the first will take a fifth of his money plus 20 minyanim;
+|style="text-align:right;"|אח"כ חלק ד' על ב' ויצא לך ב&#x202B;'
-:the second will take a fifth of what remains plus 40;
-:the third [will take] a fifth of what remains plus 60;
-:and the fourth [will take] a fifth of what remains plus 80.
-:Each had the same share.
-:We ask: how much was the amount of money of their father and how much is the share of each?
-|style="text-align:right;"|רמא)<ref>MS L: רצא</ref> שאלה לאדם יש לו ד' בנים ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר והשני יקח החומש מהנשאר ומ' יותר והג' חומש הנשאר וס' יותר והד' חומש הנשאר ופ' יותר<br>
-ולכלם היה חלק שוה<br>
-נשאל כמה ממון אביהם וכמה חלק כל א וא' מהם
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}x+20=\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)+40\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]+60\\&\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left[\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]\right]-60\right]\\&\scriptstyle+80\end{align}</math>
 |-
 |
-:[the amount of money of the father: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot80=400}}</math>
+::Sum all of them; it is 4 and a third.
-|style="width:45%;text-align:right;"|תקח תוספת האחרון שהוא פ' ותכפלם על ה' מצד כי כל א' שואל החומש ויהיו ד' מאות
+|style="text-align:right;"|חברם כלם ויהיו ד' ושליש
 |-
 |
-:the share of each: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400}{4}=100}}</math>
+::Divide 4 by it; you receive 12 parts of 13 and this is [how long it takes for all] the wine to come out.
-|style="text-align:right;"|והבנים ד' א"כ הגיע לכל א' ק' מנינים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{\frac{4}{4}+\frac{4}{3}+\frac{4}{2}}=\frac{4}{1+\left(1+\frac{1}{3}\right)+2}=\frac{4}{4+\frac{1}{3}}=\frac{12}{13}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|חלק ד' עליהם ויצא לך י"ב חלקים מי"ג והוא השעור מיציאת היין
-|Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{100-20=80}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו חסר ממאה כ' נשארו פ'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+20=\left(\frac{1}{5}\sdot400\right)+20=80+20=100}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it, do as follows: we suppose there are 12 log in the barrel and we say: if 12 log come out in 4 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
-|style="text-align:right;"|וחומש הנשאר הם פ' והם מאה וכן לכל א' וא'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו תעשה ככה<br>
+נניח שהיו י"ב לוגים יין בחבית ונאמ' אלו הד' שעות יצאו י"ב לוגים כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג
 |-
 |
+::You find that 2 log and ten parts of 13 come out.
-=== <span style=color:Green>Partnership Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{10}{13}}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|תמצא שיצאו ב' לוגים ועשרה חלקים מי"ג
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|IGEn}}242) Question: three formed a partnership - the first contributed 2, the third 18, and the ratio of the money of the [first] to the money of the [second] is equal to the ratio of the money of the second to [the money of] the third.
+::We say again: if 12 [log] come out in 2 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
-:We wish to know how much did the second contribute?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|רמב)<ref>MS L: רצב</ref> שאלה ג' עושים שותפות הראשון שם ב' והג' י"ח והנה יחס ממון הב' אל ממון הא' כיחס ממון הב' אל הג'<br>
+|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונאמר אלו בב' שעות יוצאים י"ב כמה יצאו בי"ב חלקים מי"ג (חלקים מי"ג)
-נרצה לדעת כמה שם הב'{{#annotend:IGEn}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{2\sdot18}=6}}</math>
+::You find that 5 log and [7] parts of 13 come out.
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון הראשון נגד הג' וקח שרשם והוא ו ממון השני ותקיש על זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=5+\frac{7}{13}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תמצא שיצא ה' לוגים וח' חלקים מי"ג
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|LTQF}}243) Question: three formed a partnership.
+::We [say] again: if 12 [log] come out in 3 hours, how much comes out in 12 parts of 13?
-:the excess of the second over the first plus the excess of the third over the second is equal to the excess of the third over the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3:12=\frac{12}{13}:X}}</math>
-:The [amount of] money of the first is 3 and the [amount of] money of the third is 8.<br>
+|style="text-align:right;"|עוד נשוב ונכפול אלו הג' שעות יצאו י"ב כמה יצא בי"ב חלקים מי"ג
-:We wish to know how much is the [amount of] money of the second?
-|style="text-align:right;"|רמג)<ref>MS L: רצג</ref> שאלה ג' עושים שותפות<br>
-ומה שמוסיף הב' אל הא' עם מה שמוסיף הג' אל הב' הוא שוה אל מה שמוסיף הג' על הא'<br>
-וממון הא' ג' וממון הג' ח' נרצה לדעת כמה ממון הב'{{#annotend:LTQF}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=2\sdot\frac{3\sdot8}{3+8}=2\sdot\frac{24}{11}=2\sdot\left(2+\frac{2}{11}\right)=4+\frac{4}{11}}}</math>
+::You find 3 [log] and 9 parts of 13.
-|style="text-align:right;"|כפול ג' על ח' ויעלו כ"ד חלקם על חבור ממון הא' והג' שהם י"א ויצאו ב' וב' חלקים מי"א וכפלם על ב' ויהיו ד' וד' חלקים מי"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=3+\frac{9}{13}}}</math>
-|-
+|style="text-align:right;"|תמצא ג' וט' חלקים מי"ג
-|Check:
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=\left(4+\frac{4}{11}\right)-3=1+\frac{4}{11}}}</math><br>
+::Sum all; you find 12 integers.
-|style="text-align:right;"|כי הפרש הא' אל הב' הוא א וד' חלקים מי"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{10}{13}\right)+\left(5+\frac{7}{13}\right)+\left(3+\frac{9}{13}\right)=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|חבר הכל ותמצא שהם י"ב שלמים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=8-\left(4+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}</math>
+::The other way is that we look for a common denominator that has all the mentioned parts, meaning, a third as he said 3 hours, a quarter for the 4 hours, and a half for the 2 hours; you find 12.
-|style="text-align:right;"|וההפרש מהב' אל הג' הוא ג' וז' חלקים מי"א
+|style="text-align:right;"|והדרך האחר הוא שנבקש המורה יהיו בו כל החלקים הנז' רצוני שלישית בעבור שאמר ג' שעות ורביעית בעבור ד' שעות ומחצית בעבו' ב' שעות תמצא י"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{11}\right)+\left(3+\frac{7}{11}\right)=5=8-3=a_3-a_1}}</math>
+::Its half is 6, its quarter is 3, its third is 4. Sum up all; it is 13.
-|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו ה' וכן הוא ההפרש מהא' אל הג'
+|style="text-align:right;"|ומחציתו ו' ורביעיתו ג' ושלישיתו ד&#x202B;'<br>
+חבר הכל יהיו י"ג
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|VotJ}}244) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 8.
+::Divide the common denominator, which is 12, by 13; it is 12 parts of 13.
-:We wish to know how much is the [amount of] money of the first?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)}=\frac{12}{6+4+3}=\frac{12}{13}}}</math>
-|style="text-align:right;"|רמד)<ref>MS L: רצד</ref> שאלה ג' עושים שותפות כנזכר לעיל וממון השני ד' וממון השלישי ח'<br>
+|style="text-align:right;"|חלק המורה שהוא י"ב על י"ג יהיו י"ב חלקים מי"ג
-נרצה לדעת מהו ממון הראשון{{#annotend:VotJ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}=\frac{4\sdot8}{8+\left(8-4\right)}=\frac{32}{8+4}=\frac{32}{12}=2+\frac{2}{3}}}</math>
+::All leads to the same solution
-|style="text-align:right;"|כפול ממון הב' על הג' ויהיו ל"ב<br>
+|style="text-align:right;"|והכל הולך אל מקום אחד
-ומה שמוסיף ג' על ב' תוסיף על ממון הג' והנה מוסיף ממון הב' על ממון הג' ד' ויהיו י"ב<br>
-ותחלק ל"ב על י"ב ויצא ב' וב' שלישיות והוא ממון הא'
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|Nw0O}}245) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the first is 6 and the [amount of] money of the second is 9.<br>
-:We wish to know how much is the [amount of] money of the third?
+=== <span style=color:Green>Compound Barter Problem - Cloth and Wool</span> ===
-|style="text-align:right;"|רמה)<ref>MS L: רצה</ref> שאלה ג' עושים שותפות כנז' לעיל וממון הראשון ו' וממון השני ט'<br>
-נרצה לדעת כמה ממון הג'{{#annotend:Nw0O}}
-|-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}=\frac{6\sdot9}{6-\left(9-6\right)}=\frac{54}{6-3}=\frac{54}{3}=18}}</math>
-|style="text-align:right;"|הנה נכפול ממון הראשון שהוא ו' על ממון השני שהוא ט' ויהיו נ"ד<br>
-אח"כ נסיר היתרון שיש מהמספר השני על המספר הראשון והיתרון הוא ג' ותפילם מהמספר הראשון שהוא ו' ונשארו ג'<br>
-ותחלק אלו הנ"ד על ג' ויצא לך י"ח והוא ממון הג'
-|-
-|Check:
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=9-6=3}}</math>
+:{{#annot:cloth and wool|635|0dbY}}197) Question: [Two] men want to barter goods with each other, one sells cloth and the other sells wool.
-|style="text-align:right;"|כי השני מוסיף על הראשון ג'
+:The one selling the cloth sells it at one cane for [4] minyanim in cash, and since he wants to barter it, he rises its price by 1 minyan for a cane and offers 5 minyanim.
+:He wants to be given 2-fifths in cash, and for the [3]-fifths he wants the other to give him wool.
+:The woolen cloth is worth [7] minyanim for a cloth.
+:We wish to know by how much will the price of wool increase, as the price of cloth increases?
+|style="text-align:right;"|קצז) <big>שאלה</big> ג' בני אדם רוצים להחליף סחורה זה עם זה הא' מוכר בגד והאחר מוכר צמר<br>
+מי שמוכר הבגד מוכר אותה הקנה שוה ג' מנינים במעות מנויים ומצד שהוא רוצה להחליף העלה אותו מנין א' לקנה ושם אותו ה' מנינים<br>
+ומזה רוצה שינתן לו ב' חמישיות במעות מנויים והב' חמישיות רוצה שיתן לו האחר מצמר<br>
+והבגד מן הצמר שוה ג' מנינים הבגד<br>
+נרצה לדעת כמה יעלה לו סך הצמר כאשר העלה לו סך הבגד{{#annotend:0dbY}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=18-9=9}}</math>
+::It should be done as follows: take 2-fifths of the money he requires, meaning of the 5 minyanim; [3] remains.
-|style="text-align:right;"|והג' מוסיף על הב' ט'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתקח ב' חמישיות מהממון שהוא שואל רצוני מהה' מנינים ישארו ה&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=18-6=a_3-a_1}}</math>
+::Then, subtract 2 from the 4, which is the price of the cane in cash; 2 remains.
-|style="text-align:right;"|ועם הג' והנם י"ב וככה מוסיף השלישי שהוא י"ח על המספר הראשון שהוא ו' ותקיש על זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4-\left(\frac{2}{5}\sdot5\right)=4-2=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח ב' מהד' שהיה שווי הקנה במעות מנויים ישאר ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רמו) שאלה ד' אנשים מצאו ד' כיסים וכפי יחס ממון הא אל הב' כך יחס ממון הג' אל הד' וחבור מרובעו ממון מהד' כיסים עולה ב' מאות וממון הא' ב' וממון הד' י"ב נבקש לדעת מהו ממון הב' והג'
+::Now, say: if 2 is worth 3, how much is 7 worth?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:3=7:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם ב' שוים ג' כמה שוים ז&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ב' עם י"ב ויהיו י"ד ומרובעו קצ"ו ויחסר עד ב' מאות ד' נקח שרשם והוא ב' והוא מה שמוסיף אחד מהב' מספרים על חבירו
+::You receive 10 and a half and this is what he should offer from the wool.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|יצא לך י' וחצי וככה ישים הצמר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוא כל א' מהמספרים ראה ההפרש שיש בין ב' וי"ב והוא עשרה ומרובעם ק' ותפילם מב' מאות ונשארו ק' וקח שרשם והוא י' והוא ממון כל הב' כיסים וכבר אמרנו כי א' מהכיסים מוסיף על האחר ב' על כן נעשה מי' ב' חלקים אשר א יעדיף על האחר ב' והנה החלק הא' הוא ד' והאחר ו' והנה בכיס א' ד' ובכיס אחר ו' ועדין לא נדע אם ד' הוא בכיס ג' או ד' אך מצד שאמרנו כי יחס ממון השני אל הג' כיחס ממון הא' אל הב' הנה א"כ בכיס הא' ב' ובכיס הב' ד' ובכיס הג' ו' ובכיס הד' י"ב וכפי יחס הא אל הב' כן יחס הג' אל הד'
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it: we suppose he bought 2 cane that were worth 80 minyanim in cash and now are worth 100 in their barter.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון נניח שקנה ב' קנה שהיו שוות פ' מנינים במעות מנויים ועתה שוות ק' &#x202B;<ref>259r</ref>בחלוף שעושים
 |-
 |
-:{{#annot:four partners|661|pyiw}}247) Question: four formed a partnership.<br>
+::He asks for 2-fifths of the 100 in cash, which is 40 minyanim.
-:The ratio of the [amount of] money of the first to the second is equal to the ratio of the third to the fourth.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot100=40}}</math>
-:The sum of their squares is 125.
+|style="text-align:right;"|ומהק' הוא שואל ב' חמישיות במעות מנויים שהם מ' מנינים
-:The sum of the numbers is 21.
-:The [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 6.
-:We wish to know how much are the [amounts of] money of the first and the fourth?
-|style="text-align:right;"|רמז)<ref>MS L: רצז</ref> שאלה ד' אנשים עושים שותפות<br>
-ויחס ממון הראשון אל השני כיחס הג' אל הד'<br>
-וחבור ד' רבועיהם עולה קכ"ה<br>
-וחבור מספריהם עולה כ"א<br>
-וממון השני ד' וממון הג' ו'<br>
-נרצה לדעת מהו ממון הא' והד'{{#annotend:pyiw}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4-a_1&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(a_2+a_3\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(4+6\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-10^2}=\sqrt{125-100}=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}</math>
+::Subtract 40 from 80; 40 remains.
-|style="text-align:right;"|הנה נחבר ד' וו' ויהיו י' ומרובעם ק' ויחסר לנו עד קכ"ה כ"ה ושרשם ה' והוא מה שנשאר מממון הד' אחר שילקח ממנו סך ממון הא'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80-40=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|הסר מפ' מ' הנשאר מ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{21-\left(6+4+5\right)}{2}=\frac{21-15}{2}=\frac{6}{2}=3}}</math><br>
+::He rises the 40 to 60. How much will he take from the wool?
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=5+3=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומאלו המ' העלה אותם עד ס&#x202B;'<br>
-|style="text-align:right;"|עתה תחבר ו' וד' וה' ויהיו ט"ו ועד כ"א נחסר ו' נחלקם על ב' ויצא ג'<br>
+כמה יקח מהצמר
-ושים ג' על ה' והנם ח' והוא ממון הד'<br>
-והג' שנשארו הוא ממון הראשון ותקיש על זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רמח) שאלה לנו ד' מספרים שיחס הא' אל הב' כיחס הג' אל הד' והד' מרובעים עולה ס"ה וממון הא' ב' וממון הב' ג' וממון הג' ד' אשאל כמה ממון הד'
+::The 40 should be divided by 7, which is the initial price of the wool; you receive 5 and 5-sevenths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{40}{7}=5+\frac{5}{7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לחלק מ' על ז' שהוא שווי הצמר התחלה יעלה לך ה' וה' שביעיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נקח הב' מספרים אמצעיים שהם ג' וד' ונחברם ויהיו ז' ומרובעם מ"ט ויחסר לנו עד סה י"ו נקח שרשם ויהיו ד' תוסיף עליהם ממון הראשון שהוא ב' ויהיו ו' והוא ממון הד' ודוק ותשכח
+::Say: how much are the 5 and 5 sevenths worth at the price of ten and a half minyanim?
+|style="text-align:right;"|ואמר אלו הה' וה' שביעיות כמה שוים לערך עשרה מנינים וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רמט) שאלה אם ד' תפוחים עם א פשוט שוות ח' פשוטים פחות תפוח א כמה ערך כל תפוח
+::You find that they are worth 60 minyanim, because he rises [the price] from 40 to 60.
-|-
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{5}{7}\right)\sdot\left(10+\frac{1}{2}\right)=60}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|תמצא שישוו ס' מנינים כי העלה אותם ממ' עד ס&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|נעשה אותו עם {{#annot:term|1914|uMkU}}פלצא פוסיסיאוני{{#annotend:uMkU}} ונשים ערך כל תפוח ב' פשוטים ועם א' ויהיו ט' תסיר מח' פשוטים ב' ונשארו ו' ויחסר עד ט ג' ותאמר בעד ב' חסר ג' שוב לעשות ערך אחר ושים ערך כל תפוח ב' וחצי ויהיו י' ועם א הנם י"א תסיר מח' ב' וחצי וישארו ה' וחצי ותאמר בעד ב' וחצי יחסר ה' וחצי אח"כ כפול הערך הא' שהוא ב' על מה שיחסר מהערך הב' שהוא ה' וחצי ויהיו י"א אח"כ כפול ב' וחצי שהוא הערך הב' על ג' שהוא מה שחסר מהערך הא' ויהיו ז' וחצי הוצא מיא ז' וחצי ונשארו ג' וחצי אח"כ הוצא מה שחסר הערך הא' שהוא ג' ממה שחסר הערך הב' שהוא ה' וחצי ונשארו ב וחצי אח"כ חלק ג' וחצי על ב' וחצי ויצא לך א' שלם וב' חמישיות והוא ערך כל תפוח כי הד' שוות ה' וג' חמישיות עם א' ויהיו ו' וג' חמישיות אח"כ חסר מח' פשוטים ערך א' תפוח וישאר ג"כ ו וג' חמישיות ותקיש על זה
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>To and From Problem</span> ===
+=== <span style=color:Green>Partnership Problems</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:ant climbing|659|fIKA}}250) Question: if an ant climbs 2-thirds every day and goes down 6 parts of 12 at night,  in how many days it will climb ten units?
+:{{#annot:four partners|661|vbnI}}198) Question: there are four [men] who formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|רנ)<ref>MS L שג</ref> שאלה אם נמלה עולה בכל יום ב' שלישיות ובלילה יורדת ו' (ז') חלקים מי"ב בכמה ימים יעלה עשרה שלמים{{#annotend:fIKA}}
+:Three of them, without the fourth, contributed 600 minyanim.
+:Three of them, without the third, contributed 700 minyanim.
+:Three of them, without the first, contributed 800 minyanim.
+:Three of them, without the second, contributed 900 minyanim.
+:We wish to know how much did each contribute?
+|style="text-align:right;"|קצח)&#x202B;<ref>MS L: קצה</ref> <big>שאלה</big> יש כאן ד' עושים שותפות<br>
+הג' בלתי הרביעי שמו ו' מאות מנינים<br>
+והג' האחרים בלתי הג' שמו ז' מאות<br>
+והג' בלתי הא' שמו ח' מאות<br>
+והג' בלתי השני שמו ט' מאות<br>
+נרצה לדעת כמה שם כל א&#x202B;'{{#annotend:vbnI}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי רוב החשבנים טועים בזה ואומרי' כי לא תעלה כי אם לק"כ ימים מצד כי ב' שלישיות י"ב הם ח' תסיר מהם ז' ישאר א א"כ כפול א' חלק מי"ב על עשרה שלמים ויהיו ק"כ והוא טעות גדול כי ידוע הוא כי בק["כ] (קי"ח?) ימים יעלה ט' ושליש (חמש שישיות?) וביום הבא יעלה ב' שלישיות וישלים למספר י' כי כיון שעלה לא ירד והוא סוד במספר י'
+::It should be solved this way: sum up all their money together; it is a thousand, after we divide [the total] by 3, and this is all the money they contributed together.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{600+700+800+900}{3}=1000}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות כן תחבר כל ממונם יהיה זה אלף אחר שנחלקם על ג' והוא כל הממון ששמו בין כלם
 |-
 |
+::We subtract 600 from it; 400 remains and this is the share of the fourth.
-=== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Two Birds</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=1000-600=400}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מזה ת"ר ישאר ת' והוא חלק הרביעי
-|
 |-
 |
-:{{#annot:two birds|655|BS6C}}151) Question: Here are two walls, one is 20 cubits high and the other is 10 cubits high.
+::We subtract 700 from it; 300 remains and this is what the third contributed.
-:At the top of each wall a bird is standing.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=1000-700=300}}</math>
-:They want to take a mustard seed.
+|style="text-align:right;"|עו' נסיר מזה ז' מאות וישארו ג' מאות והוא מה ששם השלישי
-:The one is flying the same as the other.
-:The distance between this wall and this wall is 8 cubits.
-:I would like to know where the grain is.
-|style="text-align:right;"|קנא)<ref>MS L שח</ref> שאלה הנה בכאן ב' כותלים גובה הא כ' אמות והאחרת י' אמות<br>
-ובראש כל כותל עומד עוף ורוצים לקחת גרגיר חרדל<br>
-וכ"כ מעופף הא' כמו האחר<br>
-ומרחק כותל זה מכותל זה ח' אמות<br>
-ארצה לדעת באיזה מקום הוא הגרגיר{{#annotend:BS6C}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול גובה הכותל הנמוך שהוא י' על המרחק ר"ל שתכפול י' פעמי' י' אח"כ נכפול ח' פעמי' ח' ויהיו ס"ד ועם ק' ויהיו קס"ד וקח שרשם ויהיו י"ב וה' שישיות בקרוב
+::We subtract 800 from it; 200 remains and this is what the second contributed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=1000-800=200}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נסיר מזה ח' מאות ישארו ב' מאות והוא מה ששם השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולא תוכל לומ' כי הוא בקרקע כי מראש הכותל הקטן עד ראש הכותל הגדול שהוא האלכסון אין בו כי אם י"ב וה' שישיות ומרגל הגדול עד ראשו הוא כ' א"כ אין המספר שוה לכן נמשוך קו מראש הכותל העליון עד ראש הכותל הקטן ויהיו י"ב וה' שישיות באורך ונחלקם על ב' ויצא ו' וה' חלקים מי"ב ואותו המקום הוא מקום הגרגיר וזה צורתו
+::We subtract 900 from it; one hundred remains and this is what the first contributed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1000-900=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נסיר מזה ט' מאות ישארו מאה והוא מה ששם הראשון
 |-
 |
+::The total is one thousand.
-=== Find a Number Problems ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+200+300+400=1000}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|ובין כלם אלף
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קנב) שאלה אם יש לך ה' מספרים מתיחסים הא' ג' י"ב וה' והה' תשס"ח מהו השני
+*{{#annot:four partners|661|nMq8}}196)[L] Question: there are four [men] who formed a partnership.
-|-
+:Three of them, without the first, contributed 18 [minyanim].
-|
+:Three of them, without the [second], contributed 20 minyanim.
-|style="text-align:right;"|כפול הא' על הה' שישיות ויעלו אלפים וג' מאות וד' וקח שרשם והוא מ"ח ואלו מקום גרגיר הם המספר הג'
+:Three of them, without the [third], contributed 22 [minyanim].
-|-
+:Three of them, without the fourth, contributed 24 [minyanim].
-|
+:We wish to know how much did each contribute?
-|style="text-align:right;"|ולדעת הב' כפול הא' על הג' ויעלו קמ"ד ושרשם י"ב והוא הב' א"כ הא' ג' והב' י"ב והג' מ"ח והד' קצ"ב ח והה' תשס"ח
+|style="text-align:right;"|קצו)&#x202B;<ref>MS G om.</ref> <big>שאלה</big> ד' עושים שותפות<br>
+הג' בלתי הראשון שמו י"ח<br>
+והג' מהם בלתי האחד שמו כ' מנינים<br>
+והג' האחרים זולת האחר שמו כ"ב<br>
+והג' בלתי הרביעי שמו כ"ד<br>
+כמה שם כל אחד ואחד{{#annotend:nMq8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנג) שאלה לדעת מו' מספרים שהא הוא מספר מונח והו' הוא מספר מונח לדעת הב' תחלק האחרון על ט"ו ומה שישאר הוא הב'
+::Sum up all their money together; the result is 84.
+|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויעלה פ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון יש לנו ו' מספרים מתיחסים שהראשון ב' והו' ס"ד חלק ס"ד על ט"ו ישארו ד' והוא הב'
+::Divide it by 3; you receive 28 and this is all their money.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18+20+22+24}{3}=\frac{84}{3}=28}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ג' ויצא לך כ"ח וכן כל ממונם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גם תוכל לדעת עם שברים והוא שתעשה מהמספר האחרון השברים שיש בראשון והעולה חלק על ט"ו והנשאר הוא הב' והוא סך מהשבר שיש בראשון
+::We divide 84 by 3 because they are always triplicated.
+|style="text-align:right;"|והנה חלקנו פ"ד על ג' כי לעולם הם מחוברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון הראשון ב' שלישיות והו' רנ"ו שלמים תעשה מרנ"ו שמיניות ויהיו אלפים ומ"ד (מ"ח) חלקם על ט"ו וישארו ח' והוא השני הנה א"כ הב' הוא ח' שמיניות שהוא א שלם
+::We subtract from it the 18 that the first three contributed; ten remains and this is the share of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=28-18=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונסיר מהם י"ח ששמו הג' הראשנים וישארו עשרה והוא חלק הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנד) שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה מה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה שמן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
+::We subtract 20; 8 remains and this is the share of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=28-20=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ' וישארו ח' והוא חלק השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב ט"ו
+::We subtract 22; 6 remains and this is the share of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=28-22=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ"ב וישארו ו' והוא חלק השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט ובין ח' שהוא הקודם הוא ט"ו ותמצא ז' תוסיף א ויהיו ח' ותאמר כי הם ח' חלקים מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וח' חלקים מי"ט
+::We subtract 24; 4 remains and this is the share of the fourth.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=28-24=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נסיר כ"ד ונשאר ד' והוא חלק הרביעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' שהוא השרש
+:{{#annot:five partners|661|oLL3}}197)[L] Question: there are five - four of them contributed 22, four of them contributed 24, four of them contributed 26, four of them contributed 28, and four of them contributed 30.
+:How much did each have?
+|style="text-align:right;"|קצז)&#x202B;<ref>MS G om.</ref> <big>שאלה</big> בכאן חמשה שד' שמו כ"ב וד' מהם שמו כ"ד וד' מהם שמו כ"ו וד' מהם שמו כ"ח וד' מהם שמו ל&#x202B;'<br>
+כמה לכל אחד ואחד{{#annotend:oLL3}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה רצינו לדעת שרש א"נ א וחצי תכפלהו על א' (א') וה' מאות והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א ויהיו ק"ע אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וז' מאות וכ"ח והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שצ"ז א"כ היוצא הוא י"א וק"ע חלקים משצ"ז חלק זה המספר על י' בזה האופן והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ותק"ל (שס"ז) תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס(ז) חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' (שהם נ"ו חלקי' מג' מאות וצ')
+::Sum up all their money together; the result is 130.
+|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויעלה ק"ל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף אח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז'
+::Divide it by 4 [...]; you receive 32 and a half, which is all their money.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{22+24+26+28+30}{4}=\frac{130}{4}=32+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ד' שהם קשורים לעולם ויצא לך ל"ב וחצי והוא כל ממונם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט תחלק זה המספר על י' ועשה כך כפול קסט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' גם כפול (אלף) ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקפ"ג תוסיף בם קנ"ח ויהיו אלף וג' מאות ומ"א א"כ תאמר כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ'
+::Subtract 22 from it; ten and a half remains and this is the amount of money of the fifth.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=\left(32+\frac{1}{2}\right)-22=10+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ב הנשאר עשרה וחצי והוא ממון החמישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנה) שאלה אם תרצה לדעת המספר הב' מד' מספרים מתיחסים
+::Subtract 24 from it; 8 and a half remains and this is the amount of money of the fourth.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\left(32+\frac{1}{2}\right)-24=8+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ד הנשאר ח' וחצי והוא ממון הרביעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחלק הד' על הא' ומהיוצא קח שרש מעוקבו אח"כ כפול השרש היוצא על המספר הראשון והיוצא הוא השני
+::Subtract 26 from it; 6 and a half remains and this is the amount of money of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\left(32+\frac{1}{2}\right)-26=6+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ו וישארו ו' וחצי והוא ממון השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון המספר הראשון ב' והד' י"ו חלק י"ו על ב' ויצא ח' קח מעוקבו והוא ב' כפול ב' על ב' והוא ד' והוא השני
+::Subtract 28 from it; 4 and a half remains and this is the amount of money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\left(32+\frac{1}{2}\right)-28=4+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם כ"ח וישארו ד' וחצי והוא ממון השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כן תוכל לדעת מן השברים והוא שתעשה מהמספר האחרון שברים כמו שהם בראשון ותעשה בדרך השברים
+::Subtract 30 from it; 2 and a half remains and this is the amount of money of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\left(32+\frac{1}{2}\right)-30=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם ל' וישארו ב' וחצי הוא ממון הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון הראשון ג' רביעיות והאחרון ו' שלמים תעשה מהו' רביעיות ויהיו כ"ד תחלקם על ג' מצד שאמר כי הראשון ג' רביעיות ויצא ו' והם רביעיות הנה א"כ השני הוא ו' רביעיות והוא א וחצי
-|-
+=== <span style=color:Green>Purchase - Unequal Amount Problem - Two Types of Wheat</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|רנו) שאלה אם תרצה לדעת המספר האמצעי מהנפרדים כפול הא' על האחרון ויצא לך האמצעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון יש לנו ג' מספרים מתיחסים הראשון ב' והג' י"ח כפול ב' על י"ח ויעלו ל"ו וקח שרשם והוא ו' שהוא הב'
+:{{#annot:two types of wheat|643|LZP3}}199) Question: There is a man here who sells a measure of wheat for 10 minyanim and he has another better kind of wheat that he sells a measure for 16 minyanim.
+:A man comes and says to him: sell to me of the two kinds of wheat for a price of 14 minyanim and I will buy 20 measures.
+:How much will he sell to him from each [kind of] wheat, so that the wheat will be worth 14 minyanim?
+|style="text-align:right;"|קצט) <big>שאלה</big> יש כאן אדם שמוכר מדת החטה י' מנינים ויש לו חטה אחרת יותר טובה שמוכר המדה י"ו מנינים ובא אדם ואמר לו מכור לי מב' מיני חטה לערך י"ד מנינים ואקנה כ' מדות<br>
+כמה יתן לו מכל חטה וחטה באופן שיבא י"ד מנינים החטה{{#annotend:LZP3}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנז) דמיון מה' מספרים הראשון ג' והאחרון מ"ח כפול ג' על מ"ח ויצא קמ"ד ושרשם י"ב והוא האמצעי שהא ג' והב' ו' והג' י"ב והד' כ"ד והה' מ"ח
+::The answer: do as follows: see how much is the difference between 14 and 10; you find it 4. Place it above 14 that is its counter.
+|style="text-align:right;"|<big>תשובה</big> כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין י"ד לי' תמצא ד' ותשימם על י"ו שהוא הפכו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנח) שאלה מז' מספרים הראשון א' והאחרון תשכ"ט כפול א על תשכ"ט ויהיו תשכ"ט ושרשם (כ"ז) ו' והוא האמצעי
+::See also the difference between 14 and 16, which is the second price; you find it is 2. Place it above 10.
+|style="text-align:right;"|עוד תראה איזה תוספת יש בין י"ד לי"ו שהוא הערך השני תמצא ב' ותשים אותם על י&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה הראשון א והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז והה' פ"א והו' רמ"ג והז' תשכ"ט
+::Then, sum 2 and 4, which are the excesses; it is 6. Keep it.
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר ב' וד' שהם הנוספים ויהיו ו' ושמרם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מט' או י"א או י"ג מספרים לעולם תמצא האמצעי וכן תוכל לעשות בשברים
+::Take the 4 and multiply it by the amount he wants to buy, which is 20 measures; the result is 80.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח הד' וכפול אותם על הסך שהוא רוצה לקחת שהם כ' מדות יעלה פ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רנט) שאלה משברים מז' מספרים הראשון א' שמינית והז' צ"א שלמים ושמינית כפול צ"א ושמינית על ח' מצד כי הראשון הוא א שמין ר"ל תעשה מהצ"א ושמין שמינית ויצא לך תשכ"ט שמיניות כפול א' שהוא הא' על תשכ"ט ויצא תשכ"ט וקח שרשם והם כ"ז ויהיו שמיניות מצד כי עשינו שמיניות מכל התשכ"ט א"כ האמצעי הוא כ"ז שמיניות ודוק ותשכח
+::Divide it by 6; you receive 13 integers and a third. Relate it to the measures that are worth 16 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(14-10\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{4\sdot20}{4+2}=\frac{80}{6}=13+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ו' יעלה לך י"ג שלמים ושליש ושים אותם אצל המדות ששוות י"ו מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רס) שאלה אם תרצה לדעת רוחב נהר או ארץ או איזה מרחק שתרצה
+::Then, multiply 2, which is the second number, by 20, which is the number of the measures; the result is 40.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הב' שהוא המספר השני על כ' שהוא סך המדות יעלה מ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שים על ראשך מגבעת נקרא קאפילו ראשו ולך אצל שפת הנהר או המקום שתרצה לדעת ארכו וקח המקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחר תחת צואריך באופן שלא תוכל להעמק שאולה או הגבה למעלה אח"כ עשה באופן שהקפילו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לפי הנראה לך שהקפילו יגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד סוף הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפילו יעיק צלו שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר
+::Divide it by 6; you receive 6 integers and 2-thirds and so he will buy of the wheat that is worth 10 minyanim for one measure.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(16-14\right)\sdot20}{\left(14-10\right)+\left(16-14\right)}=\frac{2\sdot20}{4+2}=\frac{40}{6}=6+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ו' יצא לך ו' שלמים וב' שלישיות וככה יקח מהחטה ששוה י' מנינים המדה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המשל אם הנהר לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו רגליו כלפי הנהר והסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל לראות בעין ראותך ואח"כ לך למדוד ממעמדך וממצבך עד המקום שיכולת לראותו כך הוא מרחק מהנהר אך צריך שיעמוד הנהר בעמק שוה והמרחק ג"כ וזה הדרך הוא על צד התחבולה לא בדרך מספר והנדסה
+::So, he should buy 13 measures and a third of the wheat that is worth 16 minyanim and 6 and 2-thirds [measures] of the wheat that is worth 10 [minyanim]; the total is 20 measures.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ יש לו לקחת מהחטה ששוה י"ו מנינים י"ג מדות ושליש ומהחטה ששוה י' יקח ו' וב' שלישיות ובין הכל כ' מדות
 |-
 |
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you want to check it: it is known that he asks for 20 measures for a price of 14 minyanim for one measure. Multiply 14 by 20; you receive 280. Hence, the 20 measures are worth 180 minyanim.
-=== Proportional Division - Promissory Note ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot20=280}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו ידוע הוא כי הוא שאל כ' מדות לערך י"ד מנינים במדה<br>
+<ref>259v</ref>כפול י"ד על כ' יצא לך ר"פ<br>
+הנה א"כ הכ' מדות שוות ר"פ מנינים
+|-
 |
+::But, you say that he should buy 13 measures and a third of the kind that is worth 16 minyanim. So, multiply 16 by 13 and a third; you receive 213 and a third. Keep it.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(13+\frac{1}{3}\right)=213+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואתה אמרת שראוי לקחת י"ג מדות ושליש מאותו ששוה י"ו מנינים<br>
+כפול י"ו על י"ג ושליש ויצא לך רי"ג ושליש ושמור אותם
 |-
 |
-:{{#annot:promissory note|645|oD82}}[261]) Question: A man is indebted to four people: for one - 4 minyanim, for another - 6, for another - 8, and for another 12.
+::Then, go back to the wheat that is worth 10 minyanim. You say that [he] should buy 6 measures and 2-thirds of [this kind]. Multiply 6 and 2-thirds by ten; you receive [6]6 and 2-thirds.
-:The man died and only 24 minyanim were found in all his possessions.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)=66+\frac{2}{3}}}</math>
-:We would like to know how much will each take according to the money he had to receive in Venice.
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל החטה ששוה י' מנינים המדה ואתה אמרת שראוי לקחת ממנה ו' מדות וב' שלישיות כפול ו' וב' שלישיות על עשרה יצא לך צ"ו וב' שלישיות
-|style="text-align:right;"|[רסא]) שאלה איש אחד מחוייב לד' בני אדם לא' ד' מנינים ולאחר ו' ולאחר ח' ולאחר י"ב<br>
-ומת האיש ההוא ולא נמצא בכל נכסיו כי אם בורגוטו כ"ד מנינים<br>
-נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא' כפי הממון שהיה לו לקבל מויניסיאה{{#annotend:oD82}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם והוא ל אח"כ כפול ממון הראשון שהוא ד' על כ"ד וחלק על ל' ויצא ג' שלמים וו' חלקים מל' וכן תעשה לב' ויגיע לו ד' וכ"ד חלקים מל' ולג' יגיע ו' וי"ב חלקים מל ולד' ט' וי"ח חלקים מל ולבחון אותו חבר כל ממונם ויעלה כ"ד
+::Add 66 and 2-thirds to 213 and a third; you receive 180 integers and it is equal to the reserved 180.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(66+\frac{2}{3}\right)+\left(213+\frac{1}{3}\right)=280}}</math>
+|style="text-align:right;"|חבר ס"ו וב' שלישיות אל רי"ג ושליש ויצא לך ר"פ שלמים והוא שוה אל הר"פ השמורים
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Partnership Problems</span> ===
+=== <span style=color:Green>Purchase - Equal Amount Problem - Five Coins</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:five partners|661|qrNE}}262) Question: 5 people made a boat and agreed that from what they would earn, one would take 3 for each hundred, the second 2, the third 4, the fourth 5 and the fifth 6; and they spent 30 to repair the ship. How much will each earn according to ratio of the profit due to each?
+:{{#annot:five coins|642|cQoZ}}200) Question: there is one here who has one magen and he wants to be given carlini, grani, tornesi, dinar, and cavalli for this magen equally, so that he will take of the one the same as of the others.
-|style="text-align:right;"|רסב) שאלה ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' והאחר ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו'<br>
+|style="text-align:right;"|ר) <big>שאלה</big> יש כאן א' שיש לו מגן א' ורוצה שינתן לו בעד זה מגן קרליני ו{{#annot:grano|2643|QJnE}}גרני{{#annotend:QJnE}} וטורנישי ודינר וקאוואלי שוה בשוה שיקח מהא' כמו מהנשארים{{#annotend:cQoZ}}
-ופזרו לתקן האניה ל'<br>
-כמה יפרע כל א' לפי יחס הריוח המגיע לכל א' וא'{{#annotend:qrNE}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויהיו כ' אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג' וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי והג' ו' והד' ז' וחצי והה' ט'
+::It should be done as follows: know how many cavalli there are in a magen; you find 12 hundred.
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתדע כמה קאוואלי יש במגן תמצא י"ב מאות
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|662|npak}}263) Question: three people formed a partnership.
+::Then, say: how many dinar there are in a magen? You find 6 hundred.
-:The first contributed 3 minyanim and stayed in the partnership 2 months.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר כמה דינרין יש במגן תמצא ו' מאות
-:The second contributed 4 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
-:The third contributed 2 minyanim and stayed in the partnership 9 months.
-:They earned 25 minyanim.
-:How much is owed to each?
-|style="text-align:right;"|רסג) שאלה ג' בני אדם עושים שותפות<br>
-הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים<br>
-והאחר שם ד' מנינים ועומדו בשותפות ה' חדשים<br>
-והאחר שם ב' מנינים ועמד בשותפות ט' חדשים<br>
-והרויחו כ"ה מנינים<br>
-כמה יגיע לכל א'{{#annotend:npak}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון כן תעשה מהב' ויהיו כ' וכן מהג' ויהיו י"ח ובין הכל מ"ד אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים (מ)מ"ד וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג'
+::Then, say: how many tornesi there are in a magen; you find 2 hundred; 100 grani; and 10 carlini.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' כמה טורני יש במגן תמצא ב' מאות וק' גרות וי' קרליני
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|WqJ0}}264) Question: three people formed a partnership, they contributed 20 minyanim between the three of them and earned 30.
+::Take the greater number of all of them, which is 12 hundred, and divide it by itself; the result is 1.
-:The first is worthy of 4 minyanim from the profit and the second [is worthy of] 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{1200}=1}}</math>
-:How much is owed to the third and how much was the amount of money of each?
+|style="text-align:right;"|קח המספר הגדול שבכלם והוא י"ב מאות וחלקהו על עצמו יצא א&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|רסד) שאלה ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל'<br>
-ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו'<br>
-כמה יגיע לג' וכמה היה ממון כל א' וא'{{#annotend:WqJ0}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י' תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג' ולדעת כמה שם כל א' וא'
+::By the dinar; the result is 2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{600}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועל הדינרין יצא ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה כן תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא' וממון הב' היה ד' וממון הג' היה י"ג ושליש וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן
+::By the tornesi - 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{200}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועל הטורני ו&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|7Ojk}}265) Question: three formed a partnership.
+::By the grani - 12.
-:The first contributed 117 minyanim; the second contributed 83 [minyanim]; as for the third - I do not know how much [he contributed].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{100}=12}}</math>
-:They earned 319 and the share of the third is 124 minyanim [of the profit].
+|style="text-align:right;"|ועל הגרות י"ב
-:I ask: how much did he contribute to the partnership.
-|style="text-align:right;"|רסה) שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה<br>
-והרויחו שי"ט וחלק הג' הוא קכ"ד מניני'<br>
-אשאל כמה שם בשותפות{{#annotend:7Ojk}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים ועתה תחבר מה ששם הא עם מה ששם הב' ויהיו ר' אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי
+::By the carlini - 120.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200}{10}=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועל הקרליני ק"כ
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|662|PyYY}}266) Question: three formed a partnership.
+::Add up all of them; it is 141.
-:The first contributed 56 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2+6+12+120=141}}</math>
-:The second contributed an unknown amount and stayed in the partnership 8 months.
+|style="text-align:right;"|חברם כלם ויהיו קמ"א
-:The third contributed a pearl and stayed in the partnership ten months.
-:They earned 86 minyanim.
-:The share owed to the first is 20; to the second 12; and to the third 54.
-:I ask: how much did the second contribute and how much is the value of pearl of the third?
-|style="text-align:right;"|רסו) שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים<br>
-והשני שם סך נעלם ועמד בשותפות ח' חדשים<br>
-והג' שם מרגלית אחת ועמדה בשותפות עשרה חדשים<br>
-והרויחו בין כלם פ"ו מנינים<br>
-והראשון מגיע לחלקו כ' ולשני י"ב ולג' נ"ד<br>
-אשאל כמה שם השני וכמה סך מרגלית הג'{{#annotend:PyYY}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב' ויצא לך קס"ח אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון (השני) שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית
+::Divide 12 [hundred] by it; it is 8 and 72 parts of 141 and so he takes of each coin.
+|style="text-align:right;"|חלק י"ב עליהם ויהיו ח' וע"ב חלקים קמ"א וכך יקח מכל מטבע
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|ozWw}}267) Question: three formed a partnership.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> if you wish to check it, convert all the coins, including the fractions, into the smallest [kind] of them, which is cavalli; the result is 12 hundred.
-:The first contributed 135 coins; the second 97; and the third 43.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון השב כל המטבעים אל המטבע היותר דקה שהם קאוואלי וגם החלקים ויעלה י"ב מאות
-:They earned 734 coins and the third got 294 coins.
-:I wish to know how much the magen is worth?
-|style="text-align:right;"|רסז) שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הא' שם קל"ה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג<br>
-והרויחו תשל"ד מטבעים ולג' רצ"ד מטבעים<br>
-ארצה לדעת כמה שווה המגן{{#annotend:ozWw}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ (רל"ב) א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה ויצא לך ג' וחלקים מה
-|-
+=== <span style=color:Green>Payment Problem - Herdsman</span> ===
 |
-:{{#annot:three partners|662|gkUG}}268) Question: three formed a partnership.
-:The first contributed 2 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
-:The second contributed 3 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year].
-:The third contributed 4 minyanim at the first of the month of Shevat [= 5th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
-:What remained for each was kept [in the prartnership] until the [next] first of the month of Tishri
-:They earned 20 minyanim.
-:I ask how much did each earn?
-|style="text-align:right;"|רסח) שאלה ג עושים שותפות<br>
-הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן<br>
-והאחר שם ג' מנינים ר"ח כסלו והוציא ר"ח טבת א' מגן<br>
-והאחר שם ד' מנינים ר"ח שבט והוציא ר"ח אדר ב' מנינים<br>
-ומה שנשאר לכל א' עמד ביחד עד ר"ח תשרי<br>
-והרויחו כ' מנינים<br>
-אשאל כמה הרויח כל א'{{#annotend:gkUG}}
 |-
 |
-:the share of the first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot12\right)-\left(1\sdot11\right)=24-11=13}}</math>
+:{{#annot:herdsman and bulls|612|SD1R}}201) Question: there is someone here who has bulls and he told the herdsman that if he will graze his bulls 5 years, he will give him half of all the profit and also half the bulls after paying for the 5 years, but the herdsman died at the end of 31 and a half months and the bulls are 3 hundred and 50.
-|style="text-align:right;"|הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא'
+:We want to know how much the herdsman should have been paid, given that if he had not died by the end of the 5 years he would have taken half the bulls.
+|style="text-align:right;"|רא) <big>שאלה</big> יש כאן מי שיש לו שורים ואמר לרועה אלו ירעה שוריו ה' שנים יתן לו חצי כל הריוח וגם חצי השורים אחר תשלום הה' שנים והרועה מת לסוף ל"א חדשים וחצי והשורים הם ג' מאות ונ&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה יקח הרועה שאלו לא מת עד סוף ה' שנים לקח חצי השורים{{#annotend:SD1R}}
 |-
 |
-:the share of the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)-\left(1\sdot9\right)=30-9=21}}</math>
+::It should be done as follows: convert the years into months; they are 60.
-|style="text-align:right;"|וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג' גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט' הוצא מל' ט' וישארו כ"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot12=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתשיב ה' שנים חדשים ויהיו ס&#x202B;'
 |-
 |
-:the share of the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot8\right)-\left(2\sdot7\right)=32-14=18}}</math>
+::Say: if 60 is equal to 350, how much is 31 and a half?
-|style="text-align:right;"|גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח' גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60:350=\left(31+\frac{1}{2}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ס' שוים ש"נ ל"א וחצי כמה שוים
 |-
 |
-:*{{#annot:three partners|661|UULr}}Three formed partnership: one contributed 13, another 21, and another 18. They earned 20. How much should each take?
+::The result is 183 and 45 parts of 60.
-|style="text-align:right;"|א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ' כמה יקח כל א וא'{{#annotend:UULr}}
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=183+\frac{45}{60}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומה שיבא הוא קפ"ג ומ"ה חלקים מס&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת הדרך
-|-
+=== <span style=color:Green>Proportional Division Problems</span> ===
 |
-:{{#annot:three partners|662|lf2n}}269) Question: three formed a partnership.
-:The first contributed 4 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
-:The second contributed 5 minyanim at the first of the month of Marheshvan and added 4 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year].
-:The third contributed 3 minyanim at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
-:They stayed in the partnership from the first of the month of Tishri until the next first of the month of Tishri, i.e. a whole year, and earned 30 minyanim.
-:How much should each take?
-|style="text-align:right;"|רסט)<ref>MS L: שכא</ref> שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים<br>
-והב' שם ה' מנינים ר"ח מרחשון והוסיף ד' מנינים ר"ח כסלו<br>
-והאחר שם ג' מנינים ר"ח טבת והוציא ב' מנינים ר"ח אדר<br>
-ועמדו בשותפות מר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא ר"ל שנה תמימה והרויחו ל' מנינים<br>
-כמה יקח כל א' וא'{{#annotend:lf2n}}
 |-
 |
-:the share of the first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot12\right)+\left(2\sdot11\right)=48+22=70}}</math>
+:{{#annot:soldiers|645|0n0a}}202) Question: a man wants to go to war and takes 2 hundred horse riders and 4 hundred infantrymen.
-|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא'
+:He tells them that everything they loot would be theirs and they agree that each horse rider will take 5 minyanim and the infantryman 3 minyanim and the loot is a thousand minyanim.
+:We wish to know how much will the horse riders take and how much will the infantrymen take?
+|style="text-align:right;"|רב) <big>שאלה</big> אדם רוצה לעשות מלחמה ועשה ב' מאות אנשים רוכבים על סוסים וד' מאות רגליים<br>
+אמר להם כל מה שיבוזו יהיה שלהם והתנו ביניהם כי רוכב הסוס יקח כל א' ה' מנינים והרגליים ג' מנינים והשלל הוא אלף מנינים<br>
+נרצה לדעת כמה יקחו רוכבי על סוסים וכמה יקחו הרוגליים{{#annotend:0n0a}}
 |-
 |
-:the share of the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5\sdot11\right)+\left(4\sdot10\right)}}=95}}</math>
+::It should be done as follows: multiply the [number of] minyanim the infantrymen should take by 4 hundred, because they are 4 hundred. Multiply it by 3; you receive 12 hundred.
-|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot400=1200}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי &#x202B;<ref>260r</ref>לעשות ככה והוא שתכפול המנינים הראוים לקחת הרגליים על ד' מאות מצד כי הם ד' מאות תכפלם על ג' ויצא לך י"ב מאות
 |-
 |
-:the share of the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot7\right)=27-14=13}}</math>
+::Multiply also 5, which is what the horse riders should take, by 2 hundred, because they are 2 hundred; the result is one thousand.
-|style="text-align:right;"|ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט' גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot200=1000}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ה' שהוא מה שראוי לקחת רוכבי הסוסים על ב' מאות מצד שהם ב' מאות ויצא אלף
 |-
 |
-:*Three formed partnership: one contributed 70, another 95, and another 13. They earned 30. How much should each take?
+::Then, sum a thousand with 12 hundred; it is 22 hundred.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל' כמה יקח כל א' וא' והדרך נודע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1000+1200=2200}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר אלף עם י"ב מאות ויהיו כ"ב מאות
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|8AEg}}270) Question: three formed a partnership - one contributed 65 minyanim, another 53, and another 38.
+::Take one of the numbers, meaning a thousand or 12 hundred, multiply it by a thousand, which is the [loot], and divide it by 2 thousand and 2 hundred; you receive the share of each.
-:They agreed to keep the partnership for 5 years and after the 5 years to divide the fund and the profit into three equal parts, so that each will take one part.
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח א' מהמספרים רצוני או אלף או י"ב מאות ותכפלם על אלף שהוא הכזה ותחלקם על ב' אלפים וב' מאות ויצא לך חלק כל א וא&#x202B;'
-:They kept the partnership only 3 years and earned 123 minyanim.
-:I ask how much should each take?
-|style="text-align:right;"|רע)<ref>MS L: שכב</ref> שאלה ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח<br>
-והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד<br>
-והם לא עשו השותפות כי אם ג' שנים והרויחו קכ"ג מניני'<br>
-אשאל כמה יקח כל אחד ואחד{{#annotend:8AEg}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{65+53+38}{3}=\frac{156}{3}=52}}</math>
+::So, multiply a thousand by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 454 and 6 parts of 11.
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1000\sdot1000}{2200}=454+\frac{6}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול אלף על אלף וחלקם על כ"ב מאות יצא לך תנ"ד וו' חלקים מי"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{65-52=13}}</math>
+::Multiply 12 hundred by a thousand and divide it by 22 hundred; you receive 545 and 5 parts of 11 and this is the share of the infantryman.
-|style="text-align:right;"|ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1200\sdot1000}{2200}=545+\frac{5}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ב מאות על אלף וחלקם על כ"ב מאות ויצא לך תקמ"ה וה' חלקים מי"א והוא חלק הרגליים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{53-52=1}}</math>
+:{{#annot:grinders|645|r6u8}}203) Question: there are here three grinders: one grinds 12 measures a day, the second 9, and the third 6.
-|style="text-align:right;"|והב' שם נ"ג יפסיד א'
+:One comes with 100 [measures]. He wants to grind them quickly and he wants that the measures will be divided among the three grinders, so that it will be done at once.
+:How many measures should we assign to each?
+|style="text-align:right;"|רג) <big>שאלה</big> יש כאן ג' טוחנות הא' טוחנת י"ב מדות ביום והב' ט' והג' ו' ובא א' עם ק' ורוצה לטחנם מהרה ורוצה שיחלקו המדה לג' טוחנות ויהיה עשוי הכל בבת אחת<br>
+כמה מדות נשים בכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:r6u8}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{52-38=14}}</math>
+::All the numbers should be summed together, meaning 12, 9, and 6; the result is 27.
-|style="text-align:right;"|והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12+9+6=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר מספר כלם רצוני י"ב וט' וו' יעלה כ"ז
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:13=3:x}}</math>
+::Then, multiply [12 by] 100 and divide by 27; you receive 44 and [1]2 parts of 27 and this is [the number of] the measures assigned to [the first].
-|style="text-align:right;"|ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו ג כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12\sdot100}{27}=44+\frac{{\color{red}{2}}}{27}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ק' וחלקם על כ"ז יצא לך מ"ד וכ"ב חלקים מכ"ז והוא המדות שנתן לו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{{\color{red}{4}}}{5}}}</math>
+::We multiply 9 by 100 and divide by 27; the result is 33 and 9 parts of 27.
-|style="text-align:right;"|ויצא ז' וב' חמישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9\sdot100}{27}=33+\frac{9}{27}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד נכפול ט' על ק' וחלק על כ"ז ויצא ל"ג וט' חלקים מכ"ז
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=65-\left(7+\frac{4}{5}\right)=57+\frac{1}{5}}}</math>
+::Multiply 6 by 100 and divide by 27; the result is 22 and 6 parts of 27.
-|style="text-align:right;"|ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot100}{27}=22+\frac{6}{27}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ו' על ק וחלק על כ"ז ויצא כ"ב וו' חלקים מכ"ז
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:1=3:x}}</math>
+::The total is [100].
-|style="text-align:right;"|ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(44+\frac{12}{27}\right)+\left(33+\frac{9}{27}\right)+\left(22+\frac{6}{27}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין הכל מ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{5}}}</math>
+::To know how long the wheat stays in the grinder, say: these 12 measures are grind in 12 hours, in how many hours will I grind 14 measures and 12 parts of 27?
-|style="text-align:right;"|ויצא ג' חמישיות
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה זמן תעמוד החטה על הטוחנת תאמר אלו י"ב מדות נעשות י"ב שעות בכמה שעות אעשה מ"ד מדות וי"ב חלקים מכ"ז
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=53-\frac{3}{5}=52+\frac{2}{5}}}</math>
+::This is clear.
-|style="text-align:right;"|תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות
+|style="text-align:right;"|וזה נודע
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:14=3:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג'
+=== <span style=color:Green>Ordering Problem - Eggs</span> ===
-|-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{2}{5}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ח' וב' חמישיות
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=38+\left(8+\frac{2}{5}\right)=46+\frac{2}{5}}}</math>
+:{{#annot:eggs|628|eNHB}}204) Question: A woman was carrying eggs and a man dropped them.
-|style="text-align:right;"|תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות
+:She asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 1; by four - 1; by five - 1; by six - 1; and by 7 - [all gone].
+:How many were they?
+|style="text-align:right;"|רד) <big>שאלה</big> אשה נושאת ביצות והפילם אדם ואמרה שיפרעם ואמרה כשמניתים ב"ב נשאר א' ג"ג א' ד"ד א' ה"ה א' ו"ו א' ז"ז שוה כמה היו{{#annotend:eNHB}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{5}\right)+\left(52+\frac{2}{5}\right)+\left(46+\frac{2}{5}\right)=156}}</math>
+::Look for a number that has a half, a third, a quarter, a fifth, and a sixth; you find it is 60.
-|style="text-align:right;"|ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק
+|style="text-align:right;"|בקש מספר אשר לו חצי ושליש ורביעית וחומש ושתות ותמצא ס&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{156+123=279}}</math>
+::<span style=color:red>[erroneous sentence]</span>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט
+|style="text-align:right;"|תוסיף א' בעבור התוספת על בב' גג' וכו' יהיו ס"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{156:279=\left(57+\frac{1}{5}\right):a_1}}</math>
+::Multiply 5 by 6[0]; the result is 300.
-|style="text-align:right;"|עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ה' על ס"א ויעלה ש&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=120+{\color{red}{\frac{3}{10}}}}}</math>
+::Add 1 to it [for the addition of 2 by 2, 3 by 3, etc.; it is 61]; it is 301.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ב דוקט' וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5\sdot60\right)+1=300+1=301}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף בו א' ויהיו ש"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=93+\ldots}}</math>
+:{{#annot:eggs|628|MNFg}}Question: A man was carrying eggs and another dropped them.
-|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח
+:He asked that he would pay for them and said: when I counted them by two - 1 was left; by three - 2; by five - 4; by six - 5; by seven - [all gone].
+:How many were they?
+|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם נושא ביצות ואחר הפילם ואמר שיפרעם ואמר כשמניתים א' בב' נשאר א' גג' ב' הה' ד' וו' ה' זז' שוה כמה היו{{#annotend:MNFg}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8{\color{red}{2}}+\ldots}}</math>
+::Look for a number that has a third, a quarter, a fifth, and a sixth; it is 60.
-|style="text-align:right;"|כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח
+|style="text-align:right;"|בקש מספר לו שליש ורביע וחומש ושתות והוא ס&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|rNPX}}271) Question: two men formed a partnership - one contributed 80 minyanim and the other 20.
+::Subtract 1; 59 remains.
-:They agreed that the owner of the 80 will take two thirds of the profit and the owner of the 20 [will take] a third of the profit.
+|style="text-align:right;"|תסיר א' נשאר נ"ט
-:A third man came and said: if you want that I will join the partnership with you, I will contribute 120 minyanim and keep the ratio agreed by both of you.
-:Eventually they earned 120 minyanim.
-:I ask: how much will each take?
-|style="text-align:right;"|רעא)<ref>MS L: שכג</ref> שאלה שני בני אדם עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ'<br>
-והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח<br>
-נזדמן שלישי ואמר אם תרצו כי אעשה שותפות עמכם אשים ק"כ מנינים ואעמוד כפי היחס המוסכם ביניכם<br>
-ולבסוף הרויחו ק"כ מנינים<br>
-אשאל כמה יקח כל א' וא'{{#annotend:rNPX}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{80:\frac{2}{3}=20:x}}</math>
+::Add 60; it is 119 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(60-1\right)+60=59+60=119}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף ס' ויהיו קי"ט והוא המבוקש
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{6}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני
+=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problems</span> ===
-|-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:\frac{1}{3}=80:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}</math>
+:{{#annot:two kinds|617|qdWs}}205) Question: a man has liter of two kinds of silver, one of them is 7 ՚oqya of pure silver per liter and the other is one ՚oqya [per liter].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון
+:He wants to melt the two kinds of silver, and mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya of pure silver.
+:We ask: how much should he take of each?
+|style="text-align:right;"|רה) <big>שאלה</big> אדם יש לו ליט' מב' מיני כספים שא' מהם יש לליט' ז' אוק' מכסף טוב ובאחר אוק' ורוצה להתיך מהב' כספים &#x202B;<ref>260v</ref>ולהשיבם שיכיל כל ליט' ט' אוק' מכסף טוב<br>
+נשאל כמה יקח מכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:qdWs}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(1+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{2}}}</math>
+::See how much is the difference between 9 and 7; you find it is 2. Put it above the 11.
-|style="text-align:right;"|עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי
+|style="text-align:right;"|ראה איזה הפרש מט' לז' תמצא ב' ושימם על י"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{80+20=100}}</math>
+::Then, see how much is the difference between 9 and 11; it is 2. Put it above the 7.
-|style="text-align:right;"|גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק'
+|style="text-align:right;"|ואח"כ ראה ההפרש מט' לי"א והוא ב' ושימם על ז&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(1+\frac{1}{2}\right)=120:x}}</math>
+::Hence, the same should be taken from each.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקחת מזה כמו מזה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{4}{5}}}</math>
+:{{#annot:three kinds|617|KpV9}}207) Question: a man has three kinds of silver, one is 5 ՚oqya of pure [silver] per liter, another is 7 [՚oqya per liter], and another is 11 [՚oqya per liter].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי
+:He wants to mixture the three, so that each liter will contain 8 ՚oqya [of pure silver].
+|style="text-align:right;"|רז) <big>שאלה</big> לאדם מג' מיני כסף בא' ה' אוק' לליט' מטוב ובאחר ז' ובאחר י"א ורוצה לקחת משלשתן באופן שיכיל לליט' ח' אוק&#x202B;'{{#annotend:KpV9}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\frac{4}{3}\sdot90=120}}</math>
+::Do as follows: see how much is the difference between 7 and 8; you find it is 1. Put it above the 5.
-|style="text-align:right;"|אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ' אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון
+|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה איזה הפרש יש בין ז' לח' תמצא א' ושים אותו על ה&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{1}{6}\sdot90=15}}</math>
+::Say also: how much is the difference between 5 and 8? You find it is 3. Put it above the 7.
-|style="text-align:right;"|גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר איזה הפרש מה' לח' תמצא ג' ושימם על ז&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\frac{9}{5}\sdot90=162}}</math>
+::Then, multiply 1 by 5; the result is 5.
-|style="text-align:right;"|גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול א' על ה' ויצא ה&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{120+15+162=297}}</math>
+::Multiply also 7 by 3; the result is 21.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ז' על ג' ויצא כ"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=120:a_1}}</math>
+::Add it to 5; it is 26.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון
+|style="text-align:right;"|חברם אל ה' ויהיו כ"ו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1={\color{red}{2}}02+\ldots}}</math>
+::Take the liter that are 1 and 3; it is 4.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ב וחלקים
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח הליט' שהם א' וג' יהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=15:a_2}}</math>
+::Multiply it by 8; it is 32.
-|style="text-align:right;"|ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו
+|style="text-align:right;"|וכפלם על ח' ויהיו ל"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=25+\ldots}}</math>
+::Subtract 26 from 32; 6 remains. We keep it.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"ה וחלקים
+|style="text-align:right;"|הוצא מל"ב כ"ו נשארו ו' ושמרם
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=162:a_3}}</math>
+::Divide the 6 by the difference between 8 and 11; you find it is 3. Divide 6 by 3; the result is 2.
-|style="text-align:right;"|ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב
+|style="text-align:right;"|אח"כ חלק אלו הו' בין ההפרש שיש בין ח' לי"א תמצא ג&#x202B;'<br>
+חלק ו' על ג' יצא ב&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[\left(1+3\right)\sdot8\right]-\left[\left[\left(8-7\right)\sdot5\right]+\left[\left(8-5\right)\sdot7\right]\right]}{11-8}=\frac{\left(4\sdot8\right)-\left[\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)\right]}{3}=\frac{32-\left(5+21\right)}{3}=\frac{32-26}{3}=\frac{6}{3}=2}}</math>
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=272+\ldots}}</math>
+::Therefore, 1 liter should be taken from the silver of 5 [՚oqya per liter], 3 [liter] from the silver of 7 [՚oqya per liter], and 2 [liter] from the silver of 11 [՚oqya per liter].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך רע"ב וחלקים ודוק ותשכח
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ ראוי לקחת א' ליט' מכסף ה' וג' מכסף ז' וב' מכסף י"א
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|Ft2q}}272) Question: three formed a partnership and earned a thousand golden coins - the first takes two thirds, the other takes four fifths, and the other takes five eighths.<br>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> If you want to check it, sum up all the liter and take the value of the three kind of silver that each contains; the result is 48.
-:I ask: how much should each one have?
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו חבר כל הליט' וקח שוויים מהג' כספים ממה שמכיל ויעלו מ"ח
-|style="text-align:right;"|רעב)<ref>MS L: שכד</ref> שאלה ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות<br>
-אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד{{#annotend:Ft2q}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot120\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot120\right)=80+96+75=251}}</math>
+::Multiply the sum of liter, which is 6, by 8; the result is 48 and it is the same.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1\sdot5\right)+\left(3\sdot7\right)+\left(2\sdot11\right)=48=6\sdot8}}</math>
-אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א
+|style="text-align:right;"|עוד כפול סך הליט' שהם ו' על ח' ויעלו מ"ח והם שוים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:100=80:a_1}}</math>
+:{{#annot:three kinds|617|SbRx}}208) Question: if you have 3 liter of silver that contain 7 ՚oqya of pure [silver] in each liter, and you wish to mixture them, so that each liter will contain 9 ՚oqya.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני
+|style="text-align:right;"|רח) <big>שאלה</big> אם יש לך ג' ליט' מכסף שמכיל ז' אוק' מטוב בכל ליט' ותרצה להשיב באופן שיכיל ט' אוק' כל ליט&#x202B;'{{#annotend:SbRx}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=318+\ldots}}</math>
+::7 should be divided by 9; the result is 7-ninths.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך שי"ח וחלקים
+|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ז' על ט' יצא ז' תשיעיות
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:100=96:a_2}}</math>
+::Then, multiply 7-ninths by 3; the product is 21.
-|style="text-align:right;"|גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הז' תשיעיות על ג' ויצא כ"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=382+\ldots}}</math>
+::Divide it by 8; the result is 2 and a third.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך שפ"ב והוא חלק השני
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot3=\frac{7\sdot3}{9}=\frac{21}{9}=2+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על ט' יצא ב' ושליש
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:100=75:a_3}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Check it and you will find it is correct, because the 3 liter of 7 [՚oqya] are worth 21 and the 2 and a third [liter] of 9 [՚oqya] are worth 21.
-|style="text-align:right;"|גם תאמר אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה
+|style="text-align:right;"|ותבחון אותו ותמצאנו נכון כי הג' ליט' מז' שוות כ"א והב' ושליש מט' שוות כ"א
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=298+\ldots}}</math>
+:{{#annot:one kind|617|wP40}}209) Question: a man has 6 liter of silver that contain 8 [՚oqya] of pure [silver in each liter], and we wish to mixture them, so that each liter will contain only 4 ՚oqya of pure [silver].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך רצ"ח וחלקים והוא חלק הג'
+|style="text-align:right;"|רט) <big>שאלה</big> לאדם ו' ליט' מכסף שמכיל ח' מטוב ונרצה להשיבם באופן שלא יכילו כי אם ד אוק' מטוב לליט{{#annotend:wP40}}
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|662|PoNK}}273) Question: three formed a partnership.
+::Divide 8 by 4; the result is 2.
-:The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year].
+|style="text-align:right;"|חלק ח' על ד' יצא ב&#x202B;'
-:The second contributed 322 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
-:The third contributed 22 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
-:I wish to know how much did the second and the third contributed?
-:They kept the partnership for a whole year and earned 600
-|style="text-align:right;"|רעג)<ref>MS L: שכה</ref> שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הראשון שם ק' מנינים ר"ח תשרי<br>
-והאחר שם שכ"ב ממון ר"ח מרחשון שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון<br>
-והשלישי שם כ"ב ממון ר"ח כסלו שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון ג"כ<br>
-ארצה לדעת כמה שם הב' והג'<br>
-ועשו השותפות שנה תמימה והרויחו ו' מאות{{#annotend:PoNK}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=100\sdot12=1200}}</math>
+::Multiply 2 by 6; the result is 12.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{4}\sdot6=2\sdot6=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ב' על ו' ויצאו י"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{1200}{11}}}</math>
+::So, 6 liter that contain 8 [՚oqya] make 12 that contain 4 [՚oqya].
-|style="text-align:right;"|גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני
+|style="text-align:right;"|הנה הו' ליט' המכילות ח' יעשו י"ב מכילות ד&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{1200}{10}}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי
+=== <span style=color:Green>How Many Problem - Group of People</span> ===
-|-
-|Check: Three formed a partnership.
-:The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri
-:The second contributed as owed to the second at the first of the month of Marheshvan.
-:The third contributed as owed to the third at the first of the month of Kislev.
-:They earned 600.
-:How much should each take?
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות<br>
-הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי<br>
-והאחר מה שמגיע לשני ר"ח מרחשון<br>
-והאחר מה שמגיע לג' ר"ח כסלו<br>
-והרויחו ו' מאות<br>
-כמה יקח כל א' וא'
-|-
 |
-:Answer: 200 each
-|style="text-align:right;"|ותמצא כי לכל א וא' יגיע ב' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|j5U5}}274) Question: three formed a partnership - one contributed 25 ducat, the other 17, and the [contribution] of the other is unknown, but the share owed to him is a third of what they earned.
+:{{#annot:group of people|649|ab3M}}210) A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us plus one will make 100.
-:They earned 60 minyanim.
+:<math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math>
-:We wish to know how much did the third contribute to the partnership?
+|style="text-align:right;"|רי) <big>שאלה</big> אדם עבר על אנשים אמר שלום עליכם מאה איש אמרו אין אנחנו ק' רק אנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעתנו ועמך נהיה מאה שאל שואל כמה היו אל{{#annotend:ab3M}}
-|style="text-align:right;"|רעד)<ref>MS L: שכו</ref> שאלה ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו<br>
-והרויחו ס' מנינים<br>
-נרצה לדעת כמה שם השלישי בשותפות{{#annotend:j5U5}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}</math>
+::We take 1 as their number, and 1 like it; they are 2.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ'
+|style="text-align:right;"|הנה נקח למספרם א' וא' כמוהו והם ב&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{25+{\color{red}{1}}7=42}}</math>
+::Half and a quarter are 3-quarters.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ'
+|style="text-align:right;"|וחצי ורביע הם ג' רבעיו&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{40:42=20:x}}</math>
+::We convert the 2 and 3-quarters into [quarters]; they are 11.
-|style="text-align:right;"|א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ'
+|style="text-align:right;"|ונעשה מב' ג' רביעיות ויהיו י"א
 |-
-|
+|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=21}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי
-|-
-|Check: Three formed a partnership - the first contributed 25, the second [contributed] 17, the third [contributed] 21, and they earned 60<br>
-:How much should the third have?
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס'<br>
-כמה יגיע לשלישי
 |-
 |
-:Answer: 20
+::Since they said that with him they are a hundred; their number is 99.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך כ' שלמים
+|style="text-align:right;"|ויען כי אמרנו עמו היו מאה מספרם צ"ט
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|662|RC2G}}275) Question: three formed a partnership for a whole year.
+::Multiply them by 4 and divide by 11; the result is 36.
-:The first contributed 14 minyanim at the first of the month of March.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}</math>
-:The second contributed some money at the first of the month of June, so that the share owed to him is a third of what owed to the first.
+|style="text-align:right;"|כפלם על ד' וחלק על י"א ויצאו ל"ו
-:The third contributed some money at the first of the month of August, so that the share owed to him is a quarter of what owed to the first.
-:I wish to know how much did the second and the third contributed?
-|style="text-align:right;"|רעה)<ref>MS L: שכח</ref> שאלה ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה<br>
-הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרסו<br>
-והאחר שם ממון ר"ח יונייו כ"כ שמגיע לחלקו שליש מה שמגיע לראשון<br>
-והאחר שם ממון ר"ח אגוסטו שמגיע לחלקו כמו רביעית מה שמגיע לראשון<br>
-ארצה לדעת כמה שם הב' והג'{{#annotend:RC2G}}
 |-
 |
-:the share of the first: <math>\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot12=168}}</math>
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח
+=== <span style=color:Green>Buy and Sell Problems</span> ===
-|-
 |
-:the share of the second: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot168}{9}=\frac{168}{3\sdot9}=\frac{168}{27}=6+\frac{2}{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז אח"כ תחלק קסח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות והוא ממון השני
 |-
 |
-:the share of the third: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot168}{7}=\frac{168}{4\sdot7}=\frac{168}{28}=6}}</math>
+:{{#annot:WP|641|nbpd}}211) Question: a man bought 100 liṭra for 100 zehuvim. He sold 50 [of them] at a liṭra and a quarter for one zahuv, and the other 50 at 3-quarters of a liṭra for one zahuv.
-|style="text-align:right;"|ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג'
+:We want to know: did he earn or lose?
+:<math>\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{\frac{3}{4}}\right)-100</math>
+|style="text-align:right;"|ריא) <big>שאלה</big> אדם קנה בק' זהובים ק' {{#annot:liṭra|1068|AP7H}}ליטרי'{{#annotend:AP7H}} &#x202B;<ref>261r</ref>ומכר החמישים ראשנים ליט' ורביעית ליט' בזהוב והנ' אחרונים ג' רביעיות בזהוב<br>
+נשאל אם הרויח או הפסיד{{#annotend:nbpd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה והאחר שם ו' וב' תשיעיות ועמד בשותפות ט' חדשים והאחר שם ו' ועמד בשותפות ז' ונניח כי הרויחו ק' ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון
+::We convert the first 50 into 200.
+|style="text-align:right;"|נשיב הנ' ראשנים ר&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:three partners|661|quNK}}276) Question: three formed a partnership.
+::Divide it by 5, for the 5-quarters he sold for one pašuṭ; the result is 40.
-:The first took 12 of the profit for every hundered he contributed to the partnership.
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ה' בעבור ה' רביעיות שנתן בפשוט יעלה מ&#x202B;'
-:The second [took] 18 for every 100.
-:The third [took] 30 for every hundred.
-:They earned one thousand and 8 hundred.
-:I ask: how much should each take and how much did each contribute to the partnership?
-|style="text-align:right;"|רעו) שאלה ג' עושים שותפות<br>
-הא' שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח<br>
-והשני עבור כל ק' י"ח<br>
-והג' עבור כל מאה ל'<br>
-והרויחו אלף וח' מאות<br>
-אשאל כמה ראוי שיקח כל א' א' וכמה שם כל א' וא' בשותפות{{#annotend:quNK}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס' אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס' א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות ויצא ט' אלפי' חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא'
+::We convert also the other 50 into two hundred.
+|style="text-align:right;"|גם נשיב הנ' אחרונים מאתים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון
+::Divide it by 3; the result is 66 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ג' ויעלו ס"ו וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב'
+::Add it to 40; it is 106 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|חברם אל מ' ויהיו ק"ו וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים ויצא לך ט' מאות ובין הכל אלף וח' מאות
+::Hence, he earned 6 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|הנה הרויח ו' וב' שלישיות
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:two partners|661|8RWX}}277) Question: two formed a partnership.
+:{{#annot:WP|641|eErQ}}212) Question: a man bought three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
-:The first cuntributed 80 minyanim and earned 25 for every hundred.
+:How much money did he have originally?
-:The second cuntributed 60 and earned 20 for every hundred.
+:<math>\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1</math>
-:They earned 36.
+|style="text-align:right;"|ריב) <big>שאלה</big> אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות בפשוט והרויח פשוט<br>
-:I ask: how much should each take?
+כמה ממונו{{#annotend:eErQ}}
-|style="text-align:right;"|רעז) שאלה ב' עושים שותפות<br>
-הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה<br>
-והב' שם ס' ומרויח עבור כל מאה כ'<br>
-והרויחו ל"ו<br>
-אשאל כמה ראוי שיקח כל א' וא'{{#annotend:8RWX}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תואמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו ויצא לך כ' והוא עבור הראשון ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו ויצא לך י"ב * וחצי והוא מה שהרויח הראשון עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו ויצא *[ה]נה תחבר כ' וי"ב לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני
+::<span style=color:Green>'''Common Denominator:'''</span> Look for a common denominator; it is 35, which is the product of 7 by 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}</math>
+|style="text-align:right;"|בקש המורה שהוא ל"ה שהוא כפל ז' על ה&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג [י]היו ל"ב אח"כ תאמ' וחצי ויהיו ל"ו
+::Its 3-fifths is 21.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה ג' חמישיות כ"א
 |-
 |
+::Its 4-sevenths is 20.
-=== <span style=color:Green>Barter Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|וד' שביעיות כ&#x202B;'
+|-
 |
+::Hence, the money is 20 and it became 21, so he earned one pašuṭ and he bought 12 liṭra for 20 dinar.
+|style="text-align:right;"|והממון היה כ' ושב כ"א והרויח פשוט ומהכ' דינרין קנה י"ב ליט&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:turmeric and pepper|636|uatn}}278) Question: Reuven has 200 liṭra of turmeric, the price of one liṭra is 9 carlini.
+:{{#annot:WP|641|8u66}}213) Question: a man bought four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sold five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ.
-:Shimon has pepper, the price of one ??? is 30 ducat in cash and he offer it for 35 in barter.
+:<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1</math>
-:I ask: if Shimon wants to buy all 200 liṭra of turmeric, by how much should he [= Reuven] raise the price as Shimon raised it from 30 to 35?
+|style="text-align:right;"|ריג) <big>שאלה</big> אדם קנה ד' שביעיות בפשוט ומכר ה' תשיעיות בפשוט והרויח פשוט{{#annotend:8u66}}
-|style="text-align:right;"|רעח)<ref>MS L: שלא</ref> שאלה ראובן יש לו כרכום מאתים ליטר' וערך הליט' ט' קרליני<br>
-ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה<br>
-אשאל אם שמעון רוצה לקחת כל המאתים ליט' כרכום כמה ראוי שיעלה לו הערך כמו שהעלה לו שמעון מל' עד ל"ה{{#annotend:uatn}}
 |-
 |
-::The way is as follows: see how much is the cost of the 200 liṭra [of turmeric] at a price of 9 carlini; you find 180.
+::The method is already known.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200\sdot9}{10}=180}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך נודע
-|style="width:45%; text-align:right;"|הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: Say: if 30 is equal to 35, how much is 180 equal to?
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30:35=180:x}}</math>
+=== <span style=color:Green>Purchase Problem – Moneychanger</span> ===
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים
+|
 |-
 |
-::The result is 210; so he should raise [the price of 200 liṭra of turmeric in barter] from 180 to 210.
+:{{#annot:moneychanger|642|ofKp}}214) Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind].
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=210}}</math>
+:A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive.
-|style="text-align:right;"|ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=1</math>
+|style="text-align:right;"|ריד) <big>שאלה</big> יש אצל המחליף מג' מטבעים שוה בזהוב מהא' ג' בזהוב ומהאחרת ד' ומהאחרת ו' ובא אדם אמר למחליף יחליף לו זהוב יתן לו מג' המטבעי' מספר שוה{{#annotend:ofKp}}
 |-
 |
-::To know how many are the ??? [of pepper], I should divide 210 by 35; the result is 6 and this is the number of ??? that he should take.
+::Look for a number that has a third, a quarter, and a sixth; you find it is 12. [The sum of] all the fractions is 9 and it is a dinar.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{210}{35}=6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה משואות יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח
+|style="text-align:right;"|בקש מספר לו שליש ורביע ושישית תמצא י"ב וכל החלקים הם ט' והוא דינר
 |-
 |
-::<span style=color:Green>Check:</span> To check it, multiply 6 by 30, which is the price in cash; the result is 180, which is the cost of the 200 liṭra at the original price, which is 9 carlini.
+::We examine the ratio of 12 to 9; it is 1 and a third and so he will take from each [type of] coin.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot30=180=\frac{200\sdot9}{10}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12:9=1+\frac{1}{3}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני
+|style="text-align:right;"|ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והוא א' ושליש וככה יקח מכל מטבע
 |-
 |
-:{{#annot:wool and pepper|635|mhkS}}279) Question: Reuven has wool that is worth 8 carlin for a liṭra in cash and in barter he wants 12 for a liṭra.
-:He asks half of it in cash.
+=== <span style=color:Green>Payment Problem - Digging a Hole</span> ===
-:The other half he wants to barter with Shimon who has pepper and sells one liṭra for 3 carlini.
-:I ask: how much should be his price so that his friend will not cheat him?
+|
-:Reuven has 200 liṭra of wool.
-:How many liṭra of pepper should he ask from Shimon?
-|style="text-align:right;"|רעט)<ref>MS L: שלב</ref> שאלה ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים<br>
-והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני<br>
-אשאל כמה ראוי שיעלה לו הערך כדי שלא ירמהו חבירו<br>
-ולראובן יש לו מאתים ליט' צמר<br>
-כמה ליט' פלפל ראוי שיבקש משמעון{{#annotend:mhkS}}
 |-
 |
-::Do as follows: take a half of 12 that he asks in cash; they are 6.
+:{{#annot:digging a hole|612|Y6hX}}215) Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 7 in length, 6 in [width], 5 in depth, and he will pay him 11, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}</math>
+:How much should he be paid?
-|style="text-align:right;"|תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|רטו) <big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקעו ז' באורך ו' באורך וה' בעומק ויתן לו י"א והוא חפר ו' באורך וה' בעומק וד' ברוחב כמה ראוי שיקח{{#annotend:Y6hX}}
 |-
 |
-::Subtract also 6 from 8, which is the price in cash; 2 remains.
+::This question has double proportion which is called "rule of three".
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|זאת השאלה הוא מערכים כפולים נקר' {{#annot:term|567|A8te}}ריגולא דיטרי דנפיצה{{#annotend:A8te}}
-|style="text-align:right;"|גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: Say: if 2 is equal to 6, how much is 3, which is the price of the pepper, equal to?
+::You receive 6 and 2-sevenths and so he should be paid.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:6=3:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ו' וב' שביעיות וכך ראוי שיקח
-|style="text-align:right;"|לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה
 |-
 |
-::You get 9 and for this a liṭra of pepper should be sold.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}</math>
+=== <span style=color:Green>Motion Problem – Pursuit</span> ===
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל
-|-
 |
-::Then, multiply 200 by 12 that he wants to sell in barter; the result is 2400.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200\sdot12=2400}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות
 |-
 |
-::Subtract a half of it, since he wants half in cash; it is 1200 and so he should receive in cash and 1200 he should receive from the pepper.
+:{{#annot:messenger|657|GEab}}216) Question: A man sent a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days of walking, he sent another messenger to walk after him 37 miles a day.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2400-\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)=1200}}</math>
+:When will he catch up with him?
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל
+:<math>\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)</math>
+|style="text-align:right;"|ריו) <big>שאלה</big> איש שלח רץ ילך בכל יום כ"ט מילין ובסוף י' ימים שלח אחר ילך בכל יום ל"ז<br>
+מתי ישיגנו{{#annotend:GEab}}
 |-
 |
-::<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: To know how many liṭra they are, say: if 9, which is the price of a liṭra, yield one liṭra, i.e. for 9 carlin I buy one liṭra, how many would I buy for 1200?
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we multiply the [number of] miles the first walked by 10 days; it is 290.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9:1=1200:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|נכפול המילין שהלך הראשון בי' ימים והם ר"ץ
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה
 |-
 |
-::You get 133⅓ liṭra. So, the one who has wool gives 200 to the one who has pepper, and the one who has pepper gives 133⅓ liṭra to the one who has wool.
+::We divide it by the difference between [the speeds of] the two walkers, which is 8; you receive 36 [days] and a quarter of a day.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=133+\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש
+|style="text-align:right;"|נחלקם על היתרון שהוא בין ב' המהלכים שהוא ח' ויצא לך ל"ו ורביעית יום
 |-
 |
-::<span style=color:Green>Check:</span> To check it, multiply 133⅓ by 9; you get 1200.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים
+=== <span style=color:Green>Boiling Problems</span> ===
-|-
 |
-::Multiply also 200 by 6; the result is 1200.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(133+\frac{1}{3}\right)\sdot9=1200=200\sdot6}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים
 |-
 |
-:{{#annot:silk and cloth|635|0Aft}}280) Question: Reuven and Shimon want to barter.
+:{{#annot:WP|663|VyfC}}217) Question: a man had 10 measures of must and he wanted to boil them so that only one third will remain.
-:Reuven has silk that is worth 28 grossi for a liṭra in cash.
+:He started to cook [them] until eight measures remained of them.
-:Shimon has cloth that is worth 15 grossi for a canna in cash and in barter he offer it for 18.
+:Then two measures overflow.
-:He wants to give his friend a quarter in cash.
+:Now he wants to boil [the remainder] until it will be reduced [as planned for] the original [amount] of must.
-:I ask: how many liṭra of silk should Reuven offer and for 234 liṭra of silk how much cloth should he receive?
+:<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}</math>
-|style="text-align:right;"|רפ)<ref>MS L: שלג</ref> שאלה ראובן ושמעון רוצים להחליף<br>
+|style="text-align:right;"|ריז) <big>שאלה</big> אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד לא ישאר כי אם שליש והחל לבשל עד שנשארו ח' ונשפכו ב' ורוצה לבשלם כמשפט הראשון{{#annotend:VyfC}}
-לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי<br>
-ולשמעון יש בגד שוה הקנה ט"ו גרושי במנוים ובחליפים משים אותם י"ח<br>
-ורוצה לתת לחבירו הרביעית במעות מנויים<br>
-אשאל כמה ראוי שישים ראובן הליט' מהמשי ובעבור רל"ד ליט' משי כמה בגד ראוי שיקבל{{#annotend:0Aft}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}}}</math>
+::You have three known numbers:
-|style="text-align:right;"|הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה<br>
+|style="text-align:right;"|יש לך ג' מספרים ידועים
-כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה <math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math><br>
-תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א על הקו ויהיה חצי
+::One is a third of ten, which is 3 and a third.
+|style="text-align:right;"|א' כמה שליש עשרה והוא ג' ושליש
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{n-1}}}</math>
+::It is known that 8 measures were boiled.
-|style="text-align:right;"|וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון
+|style="text-align:right;"|וידוע כי ח' היו המדות שנתבשלו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח גרושי מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים
+::It is known the 6 remain.
+|style="text-align:right;"|וידוע כי ו' נשארו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we do as follows: we multiply 6 by 3 [and a third], then divide by 2; the result is 2 and a half.
-|style="text-align:right;"|וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה כך נכפול ו' על ג' וחלק על ב' ויצא ב' וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=18}}</math>
+:{{#annot:WP|663|1PBL}}218) Question: a man had 9 measures and he wanted to boil them so that one third will remain.
-|style="text-align:right;"|הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח
+:They were cooked until 6 measures remained.
+:Then 4 [measures] overflow and 2 remained.
+:How much should they be boiled?
+:<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}</math>
+|style="text-align:right;"|ריח) <big>אדם</big> יש לו ט' מדות ורצה לבשלם עד ישובו לשליש ונתבשל עד נשארו ו' מדות ונשפך ד' נשארו ב&#x202B;'<br>
+כמה ראוי לבשל{{#annotend:1PBL}}
 |-
 |
-:*If the price is 9 and he wants to sell a third in cash
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Multiply 2 by 3; the result is 6. Divide it by 6; the result is 1 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot9\right)\sdot\left(6-4\right)}{6}=\frac{3\sdot2}{6}=\frac{6}{6}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ב' על ג' יעלו ו' חלקם &#x202B;<ref>261v</ref>על ו' יעלה א' והוא הנדרש
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי
+=== <span style=color:Green>Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree</span> ===
+|
+|-
+|
+:{{#annot:tree|650|il3W}}219) Question: a tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and up above the water it is 8 cubits long.
+:How many cubits long is the whole tree?
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{7}x+\frac{1}{9}x+8=x</math>
+|style="text-align:right;"|ריט) <big>שאלה</big> אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה ח' כמה ארכו{{#annotend:il3W}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=9+\left(4+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{2}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> the common denominator is 63.
-|style="text-align:right;"|הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי
+|style="text-align:right;"|המורה הוא ס"ג
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]=9}}</math>
+::We subtract 16 from it, which is its seventh and its ninth; 47 remains.
-|style="text-align:right;"|הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית ישארו מ"ז
 |-
 |
-:*If the price is 9 and he wants to sell two thirds in cash
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> we relate: we multiply 8 by 63; the result is 504. We divide it by 47; the result is 10 integers and 34 parts of 47.
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{8\sdot63}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונעשה הערך כפלנו ח' על ס"ג עלו תק"ד<br>
+חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים ממ"ז
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3-2}=\frac{2}{1}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> A seventh of this number is 1 integer and 25 parts of 47; its ninth is 1 integer and 9 parts [of 47].
-|style="text-align:right;"|הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב&#x202B;'
+::We sum up all the parts; they are 34 and the integers are 2.
+::We subtract is from ten; 8 remains.
+|style="text-align:right;"|ושביעית זה המספר א' שלם גם כ"ה חלקים ממ"ז<br>
+ותשיעיתו א' שלם גם ט' חלקים<br>
+חברנו כל החלקים והם ל"ד והשלמים ב&#x202B;'<br>
+חסרנו זה מן עשרה נשארו ח&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left[\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]+\left[\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(2\sdot9\right)=27}}</math>
-|style="text-align:right;"|תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז
+=== <span style=color:Green>Triangulation Problem</span> ===
+|
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(\frac{2}{3}\sdot27\right)=9}}</math>
+:{{#annot:ladder|655|GG8y}}220) Question: we placed a ladder on a wall that is 10 cubits high and so is the height of the ladder.
-|style="text-align:right;"|תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח
+:We lowered the top of the ladder by 2 cubits from the top.
+:We would like to know: how far is the ladder from the base of the wall?
+|style="text-align:right;"|רכ) <big>שאלה</big> הצבנו סולם אל קיר עשר אמות גבהותו וככה גובה הסולם<br>
+הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות<br>
+נרצה לדעת כמה רחוק ראש הסולם מיסוד הקיר{{#annotend:GG8y}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=15+6=21}}</math>
+::I give you a rule for this matter: the square of what remains from the top of the ladder to the base [of the wall] plus the square of the distance between the foot [of the ladder] and the base [of the wall] is always equal the square of the ladder.
-|style="text-align:right;"|והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א
+|style="text-align:right;"|אתן לך כלל בדבר זה<br>
+לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם אל היסוד עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים למרובע הסולם
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}</math>
+::We subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall; 8 remain. Its square is 64.
-|style="text-align:right;"|גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
+|style="text-align:right;"|והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ויהיה מרובעו ס"ד
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{21:24=28:x}}</math>
+::We subtract it from 100, which is the square of the ladder; 36 remains. Its root is 6 and this is the distance of the bottom of the ladder from the base [of the wall].
-|style="text-align:right;"|ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה
+|style="text-align:right;"|נחסרם מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה מרחק הסולם למטה מן היסוד
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2-8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}</math>
 |-
 |
-:price of 24 liṭra of silk: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=32}}</math>
+:221) Question: a well, its length is ten, its width is 8 and its height is 5. It contains a thousand liter of water some of which spilled out.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט&#x202B;'
+:How much water was spilled?
+|style="text-align:right;"|רכא) <big>שאלה</big> באר ארכו עשרה ורחבו ח' גבהו ה' יכיל אלף ליט' מים ונשפכו<br>
+כמה חסרו המים
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{24:32=234:x}}</math>
+::Multiply the hundred by the height and divide the result by a thousand; it is one half. So, it was lowered by half a cubit.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot5}{1000}=\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ערוך המאה על הגובה והעולה חלק על אלף והוא חצי א' וחצי אמה ירד
 |-
 |
-:cash in return for 234 liṭra of silk: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}</math> ducat
-|style="text-align:right;"|ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי
+=== <span style=color:Green>Payment Problem - Two Workers</span> ===
+|
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{312-\left(\frac{1}{4}\sdot312\right)=312-78=2{\color{red}{3}}4}}</math>
+:{{#annot:two workers|612|wEz5}}222) Question: Reuven hired Shimon at 10 coins for 30 days and [...] but Shimon fell ill, so he hired another in his place at 12 coins [for 30] day[s].
-|style="text-align:right;"|ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד
+:The worker worked [a] known [number of] days and the other likewise.
+:He paid him ten coins.
+|style="text-align:right;"|רכב) <big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון בי' כספים לל' יום ונתנ[.]לו ושמעון חלה והשכיר אחר במקומו י"ב כספים ביום ועשה השכיר ימים ידועים והאחר כמו כן ונתן לו עשרה כספים{{#annotend:wEz5}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{24}:1=234:x}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> It is known that for 30 days his payment is 12 coins, so we say: if these 12 are equal to 30, how much are 10 equal to?
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם י"ח גסים שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12:30=10:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ידוע כי לל' יום היה שכרו י"ב כספים ונאמר אלו י"ב שוים ל' י' כמה שוים
 |-
 |
-:canna of cloth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}</math> ducat
+::Multiply 30 by 10; the result is 300.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון
+::Divide it by 12; the result is 25.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{30\sdot10}{12}=\frac{300}{12}=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ל' על י' ועלה ר"ק<br>
+חלקם על י"ב יעלו כ"ה
 |-
 |
-::cash in return for cloth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot312=78}}</math>
+:223) Question: If I lent you 150 minyanim for 6 months, but then I need [them] and [someone] told me that he would lend me money for 2 months that would be equal to the 150 I lent you for 6 months.
-|style="text-align:right;"|וע"ח מנינים בממון
+|style="text-align:right;"|רכג) <big>שאלה</big> אם הלויתי לך ק"נ מנינים בעד ו' חדשים ואח"כ אני מצטרך ואמר לי הלוה לי מעות בעד ב' חדשים שיהיה שוה לק"נ שהלויתי לך בעד ו' חדשים
 |-
 |
-:Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{234\sdot28}{24}=273=195+78=\frac{312\sdot15}{24}+78}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> 6 should be multiplied by 150; the result is 900.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח שהיה במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים<br>
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ו' על ק"נ ויעלו ט' מאות
-עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא במעות מנוים ויצא לך קצ"ה תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג
 |-
 |
-:{{#annot:WP|635|NjfK}}281) Question: two want to barter.<br>
+::Divide it by 2; you receive 450 and this is the amount he would lend him for 2 months.
-:One has 10 pieces of cloth, each piece is worth 15 minyanim in cash and 17 in barter and he wants to receive 50 ducat in cash.<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6\sdot150}{2}=\frac{900}{2}=450}}</math>
-:The other has barrels of oil, the price of a barrel is 60 in cash.<br>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ב' ויצא ד' מאות ונ' וכן ילוה לו בעד ב' חדשים
-:I ask: how much should be the price and how many barrels should be given for 10 pieces of cloth?
+|-
-|style="text-align:right;"|רפא)<ref>MS L שלד</ref> שאלה שנים רוצים להחליף<br>
+|
-לאחד יש י' חתיכות בגד ששות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון<br>
-והאחר יש לו חביות שמן ערך החבית בממון ס' דוקט&#x202B;'<br>
+=== <span style=color:Green>Purchase Problem - Moneychanger</span> ===
-אשאל כמה ראוי שיעלה הערך ובעבור הי' חתיכות בגד כמה חביות ראוי שיתן{{#annotend:NjfK}}
+|
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150}}</math>
+:{{#annot:moneychanger|642|ljzv}}224) Question: the moneychanger has four [kinds of] coins. Of the first [kind] - 6 are worth one zahuv; of the second - 4; of another - 3; and of another - 2. [Someone] wants to be given from each [kind] for a quarter of a zahuv.
-|style="text-align:right;"|ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ
+:How much will he take from each?
+|style="text-align:right;"|רכד) <big>שאלה</big> אצל המחליף מד' מטבעים הא' ו' שוות זהוב והב' ד' והאחר ג' ואחר ב' ורוצה שיתן לו מכל א' רביעית זהוב<br>
+כמה יקח מכל אחת{{#annotend:ljzv}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot17=170}}</math>
+::The first [kind of] coin, which is 6, should be divided by 4; the result is 1 and a half and so he will take from it.
-|style="text-align:right;"|וכמה שוות בחליפים והם ק"ע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי &#x202B;<ref>262r</ref>לחלק המטבע הא' שהוא ו' על ד' ויצא א' וחצי וכן יקח ממנה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{170-50=120}}</math>
+::Divide also 4 by 4; the result is 1 and so he will take [of the second kind].
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{4}=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד חלק ד' על ד' ויצא א' וכן יקח
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{150-50=100}}</math>
+::Divide also by 3; the result is 3-quarters.
-|style="text-align:right;"|גם תוציאם מק"נ הנשאר ק&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|עוד חלק על ג' ויצא ג' רביעיות
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{100:120=60:x}}</math>
+::Divide also 2 by 4; the result is a half and so he will take [of the fourth kind].
-|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק' ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{4}=\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד חלק ב' על ד' ויצא חצי וכן יקח ממנה
 |-
 |
-:the price of a barrel of oil: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=72}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problems</span> ===
+|
 |-
 |
-:number of barrels: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=170-50=120}}</math>
+:{{#annot:sons|652|BflS}}225) Question: A man left an unknown amount of money to his sons.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים
+:He said to the first: take from my money 7 dinar and a tenth of the remainder.
+:He said to another: take 14 of what remains and a tenth [of the remainder].
+:He said to another: take 21 and a tenth of the remainder.
+:And so on, he always adds 7 for each.
+:After this was done we find that everyone has an equal share.
+:We would like to know how many sons he had and how much was the share of each.
+|style="text-align:right;"|רכה) <big>שאלה</big> אדם עזב ממון לבניו בלתי נודע<br>
+ואמר לראשון אתה תקח מממוני ז' דינרין ועשור הנשאר<br>
+ואמ' לאחר ואתה קח לך י"ד מהנשאר והעשור<br>
+ואמ' לאחר אתה תקח כ"א ועשור הנשאר<br>
+וכן כלם לעולם מוסיף לו ז&#x202B;'<br>
+ואחר העשות זה נמצא לכלם חלק שוה<br>
+נרצה לדעת כמה בנים היו לו וכמה חלק כל א' וא' וכמה בנים היו לו{{#annotend:BflS}}
 |-
 |
-:in each barrel there are one thousand measures
+::The common number should be taken; it is [ten], because he said a tenth for all.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות
+|style="text-align:right;"|ראוי לקחת המספר השוה והוא העשור כי לכלם אמר עשור
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{72:1000=120:x}}</math>
+::Subtract 1; 9 remains.
-|style="text-align:right;"|ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות
+|style="text-align:right;"|חסר א' ישארו ט&#x202B;'
 |-
 |
-:the measures of oil to be given for 10 pieces of cloth: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1666+\frac{2}{3}}}</math>
+::Multiply 9 by [7], which is the share of the first without the tenth; the result is 63.
-|style="text-align:right;"|ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון
+|style="text-align:right;"|כפול ט' על זה שהוא חלק הראשון זולת העשור יעלה ס"ג
 |-
 |
-:Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150=100+50=\frac{\left(1666+\frac{2}{3}\right)\sdot60}{1000}+50}}</math>
+::Hence, the sons are 9 and the money of each is 63.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10-1\right)\sdot7=9\sdot7=63}}</math>
-עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים
+|style="text-align:right;"|א"כ הבנים היו ט' וממונו היה ס"ג
 |-
 |
-:{{#annot:silk and cloth|635|cuCD}}282) Question: two want to barter.<br>
+::Now, multiply 63 by 9; the result is 567 and this is the total amount of money.
-:One has silk and he wants to offer 10 grossi for a liṭra in barter and he wants to be given a fifth in cash.<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{63\sdot9=567}}</math>
-:The other has cloth that worth 13 in cash and he must offer it now for 16 as his friend raised the [price of] silk.<br>
+|style="text-align:right;"|ועתה כפול ס"ג על ט' ויעלה תקס"ז והוא כל הממון
-:I ask: how much is the price of the silk in cash and in order to buy 100 liṭra of silk how much cloth should be given?
-|style="text-align:right;"|רפב)<ref>MS L שלה</ref> שאלה ב' רוצים להחליף<br>
-לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון<br>
-ולאחר יש בגד שוה בממון י"ג והוא מוכרח עתה לשים אותה י"ו כשם שהעלה חבירו המשי<br>
-אשאל כמה ערך המשי בממון וכדי לקחת ק' ליט' משי כמה בגד ראוי שיתן{{#annotend:cuCD}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+\left(\frac{1}{5-1}\sdot16\right)=16+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+4=20}}</math>
+:Examine and you will find [that it is true].
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13+4=17}}</math>
+:{{#annot:three men - money|652|dgva}}226) Question: There are here three who want to divide 120 minyanim.
-|style="text-align:right;"|גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ&#x202B;'
+:There was a fight and each took what he could take, then they quarreled between them.
+:A man came and said do not get angry.
+:He said to one: give me half of your money; to another: a third; to another: a quarter.
+:He divided this money into 3 equal parts, then we find that each one has 40 minyanim in his hand.
+:We would like to know how much each one took.
+|style="text-align:right;"|רכו) <big>שאלה</big> יש כאן ג' שרוצים לחלק ק"כ מנינים<br>
+ויהי ריב וה[.]לו ממונם וכל א' וא' לקח מה שיכול לקחת ויתקוטטו ביניהם<br>
+בא אדם ואמ' אל תרגזו<br>
+ואמר לא' תן לי חצי ממונך ולאחר שליש ולאחר רביעית<br>
+וחלק זה הממון לג' חלקים שווים ונמצא ביד כל אחד מ' מנינים<br>
+נבקש לדעת כמה לקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:dgva}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון
+::Look for a number that has a half, a third, and a quarter; you find it is 12.
+|style="text-align:right;"|בקש מספר לו חצי ושליש ורביע תמצא י"ב
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{20:17=10:x}}</math>
+::Say: 12 is a half of what number? You find it is 24.
-|style="text-align:right;"|תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{1}{2}\sdot24}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר י"ב מאיזה מספר חציו תמצא כ"ד
 |-
 |
-:the price of a liṭra of silk in cash: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{1}{2}}}</math>
+::Then, say: 12 is 2-thirds of what number? Since he kept 2-thirds for himself. You find it is 18.
-|style="text-align:right;"|ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{2}{3}\sdot18}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר י"ב מאיזה מספר הוא ב' שלישיות בעבור שעכב לעצמו ב' שלישיות תמצא י"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט&#x202B;'
+::Say also: 12 is 3-quarters of what number? You find it is 16.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12=\frac{3}{4}\sdot16}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר י"ב מאיזה מספר ג' רביעיות תמצא י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל
+::Sum up all; it is 58. Keep it.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24+18+16=58}}</math>
+|style="text-align:right;"|קבץ הכל ויהיו נ"ח ושמרם
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot10\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(100\sdot10\right)\right]=1000-\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=800}}</math>
+::Multiply the first number, which is 24, by 120, then divide the product by 58; the result is 49 and 38 parts of 58.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24\sdot120}{58}=49+\frac{38}{58}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול המספר הראשון שהוא כ"ד על ק"כ והעולה חלק על נ"ח ויצא מ"ט ול"ח חלקים מנ"ח
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{16:1=800:x}}</math>
+::Multiply also 18 by 120, then divide by 58; the result is 37 and 14 parts of 58.
-|style="text-align:right;"|תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18\sdot120}{58}=37+\frac{14}{58}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול י"ח על ק"כ וחלק על נ"ח יצא ל"ז וי"ד חלקים מנ"ח
 |-
 |
-:canna of cloth for 100 liṭra of silk: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=50}}</math>
+::Multiply also 16 by 120, then divide by 58; the result is 33 and 6 parts of 58.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך נ' הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16\sdot120}{58}=33+\frac{6}{58}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול י"ו על ק"כ וחלק על נ"ח ויצא ל"ג וו' חלקים מנ"ח
 |-
 |
-:in cash: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=200}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, take half the first, a third of the second, and a quarter of the third. Divide into three equal parts and give each one part; the result is 40 for each.
-|style="text-align:right;"|והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח חצי הראשון ושליש השני ורביעית הג' ועשה ג' חלקים שוים ותן לכל א' חלק א' ויעלה מ' לכל א&#x202B;'
 |-
 |
-:Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(8+\frac{1}{2}\right)=850=650+200=\left(50\sdot13\right)+200}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי<br>
+=== <span style=color:Green>Proportional Division - Three Men Sharing Food</span> ===
-עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ
+|
 |-
 |
-:{{#annot:silk and cloth|636|jvQ3}}283) Question: two barter.
+:{{#annot:three men sharing food|645|5tNg}}227) Question: there are here two who bought 5 loafs of bread.
-:The first has cloth and he asks 8 for a canna in cash and 10 in barter.
+:One bought two for two pešiṭim and the other one [bought] three for three pešiṭim.
-:The other has silk and he asks 20 for a liṭra in cash and 24 in barter.
+:One came and said: if you want me to eat with you I will pay each his share.
-:I ask: who asks which part of the money and what part is he asking for?
+:They ate together and he gave 4 to the owner of the three and 1 to the owner of the 2.
-|style="text-align:right;"|רפג)<ref>MS L שלו</ref> שאלה שנים עושים חליפים<br>
+:I ask: why is this?
-הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|רכז)&#x202B;<ref>MS L: רמב</ref> <big>שאלה</big> יש כאן ב' קנו ה' לחמים א' קנה ב' ב' פשוטים ואחר ג' ג' פשוטים<br>
-והאחר יש לו משי ושואל מהליט' בממון כ' ובחלוף כ"ד<br>
+בא א' ואמר אם תרצו שאוכל עמכם אפרע כלם שווים<br>
-אשאל מי הוא זה ששואל חלק מה מממון ואיזה חלק שואל השואל{{#annotend:jvQ3}}
+ואכלו ביחד ונתן לבעל הג' ד' ובעל הב' א&#x202B;'<br>
+אשאל לדעת מה זה ועל מה זה{{#annotend:5tNg}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot24=192}}</math>
+::5 should be divided by 3; the result is 1 and 2-thirds and so each one ate.
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{3}=1+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ה' לג' יעלה א' וב' שלישיות וכך אכל כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot20=200}}</math>
+::Hence, the first ate all his bread minus a third, so he gave him 1, and the other ate all his bread minus 4-[thirds], so he gave him 4.
-|style="text-align:right;"|עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{1}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3-\left(1+\frac{2}{3}\right)=\frac{4}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ הראשון אכל כל לחמו פחות שליש לכן נתן לו א' &#x202B;<ref>262v</ref>והאחר אכל כל לחמו פחות ד' רביעיות לכן נתן לו ד&#x202B;'
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200-192=8}}</math>
-|style="text-align:right;"|הוצא קצב מר' הנשאר ח' ושמרם
+=== <span style=color:Green>Give and Take Problem - Gatekeeper</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד
+:{{#annot:gatekeeper|651|YS4U}}228) Question: A man goes to the garden to pick roses and when he returns he has to go through three gates:
+:At the first he must give half of them plus 3.
+:At the second he must give a third of what is left plus 2.
+:At the third he must give a quarter plus 1.
+:He is left with 2.
+:How much did he pick?
+|style="text-align:right;"|רכח) <big>שאלה</big> אדם הולך לגן ללקוט שושנים ובבואו יש לו לעבור בג' פתחים<br>
+ראשון יש לו לתת חצים עם תוספת ג&#x202B;'<br>
+ובב' יש לתת השליש מהנשאר עם תוספת ב&#x202B;'<br>
+ובג' יש לתת רביעית עם תוספת א&#x202B;'<br>
+ונשארו לו ב' כמה לקט{{#annotend:YS4U}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{8:10=20:x}}</math>
+::Add 1 to 2, for the added 1; it is 3 and it is known that they are 3-quarters of the whole unit, which is 4.
-|style="text-align:right;"|ותעשה כך ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+2=3=\frac{3}{4}\sdot4}}</math>
+|style="text-align:right;"|שים על ב' א' בעבור א' מתוספת ויהיו ג' וידוע כי ג' הם ג' רביעיות והשלם הוא ד&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=25}}</math>
+::Add also 2 to 4; 6 remains and it is known that 6 is 2-thirds of the whole unit, which is 9.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2+4=6=\frac{2}{3}\sdot9}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תוסיף על ד' ב' נשארו ו' וידוע הוא כי ו' ב' שלישיות והשלם ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה
+::Add 3 to it; it is 12 and this is half the number, which is 24 and so he picked.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=\frac{1}{2}\sdot24}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושים עליו ג' והנם י"ב והוא חצי המספר ויהיו כ"ד וכך לקט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו
+=== <span style=color:Green>Find the Fund Problem, Find the Interest Problem</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים
+:{{#annot:a year|666,638|5obN}}229) Question: a man lends a thousand minyanim to his friend for a year and is obligated to give him 25 for every 100.
+:At the end of 6 [months], the owner of the money needed money, he told the debtor: give me 100 minyanim; and he did so.
+:At the end of 4 months he gave him 4 hundred and at the end of 3 [months] he gave him 2 hundred.
+:We would like to know how much the owner of the money should receive at the end of the year and how much the interest was.
+|style="text-align:right;"|רכט)&#x202B;<ref>MS L: רמז</ref> <big>שאלה</big> אדם מלוה לחבירו אלף מנינים בעד שנה ומחוייב לתת לו על כל ק' כ"ה<br>
+ובסוף ו' בעל הממון נצטרך למעות ואמר למחוייב לו תן לי ק' מנינים<br>
+וכן עשה ובסוף ד' חדשים נתן לו ד' מאות עוד לסוף ג' נתן לו ב' מאות<br>
+נרצה לדעת כמה ראוי שיקבל בעל הממון לסוף השנה וכמה הוא הרבית{{#annotend:5obN}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}</math>
+::Do as follows: say: if 100 yields 25, how much does 1000 yield? You find it is 2[50].
-|style="text-align:right;"|והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:25=1000:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|כך תעשה תאמר אם ק' מרויחים כ"ה אלף כמה ירויחו תמצא רכ"ה
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}</math>
+::Then say: the first repayment at the end of 6 [months]. Multiply 100 by 6; it is 600.
-|style="text-align:right;"|עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot6=600}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר הפרעון הראשון שהוא ק' בסוף ו' כפול ק' על ו' ויהיו ת"ר
 |-
 |
-:the part of the cashed money of the owner of silk: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}=\frac{1}{6}}}</math>
+::Say: if 100 minyanim in 12 [months] yield 25, how much do 100 yield in 6 months? You find it is 12 and a half.
-|style="text-align:right;"|וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12:25=6:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק' מנינים בי"ב מרויחים כ"ה ק' בו' חדשים מה ירויחו תמצא י"ב וחצי
 |-
 |
-:Check: if the owner of silk has 60 liṭra the price of which is 24 grossi [for a liṭra], this is 60 ducat
+::Take also the second repayment, which is 400, at the end of 4 [months]. Multiply by the months; the result is 1600.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{400\sdot4=1600}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד קח הפרעון הב' שהוא ת' לסוף ד' וכפול על החדשים ויעלו אלף ות"ר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}</math>
+::Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, 400 give you in 4 [months] 33 and a third.
-|style="text-align:right;"|ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(400\sdot4\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק' בי"ב מרויחים כ"ה ת' בד' יתנו לך ל"ג ושליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים
+::Take also the third repayment, which is 200, at the end of 3 [months]. Say: if 100 [minyanim] in 12 [months] yield 25, how much do 200 yield in 3 [months]? The result is 12 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot12\right):25=\left(200\sdot3\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד קח הפרעון הג' שהוא ר' בתוך ג' ותאמר אם ק' בי"ב יתנו כ"ה ב' מאות בג' מה יתנו ויצא י"ב וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120\sdot8}{24}+10=40+10=50}}</math>
+::Then, sum up [12] and a half with 33 and a third and with 12 and a half; subtract [the sum] from 250; 1[9]1 and 2-thirds remains and this is the interest he should get at the end of the year.
-|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר וחצי עם ל"ג ושליש ועם י"ב וחצי ותוציאם מר"נ וישאר קמ"א וב' שלישיות והוא הרבית שראוי שיקבל בסוף השנה
 |-
-|
+|colspan=2|
-:{{#annot:WP|635|rtgG}}284) Question: two want to barter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{250-\left[\left(12+\frac{1}{2}\right)+\left(33+\frac{1}{3}\right)+\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]=191+\frac{2}{3}}}</math>
-:One has ten pieces of cloth, each piece worth 22 in cash and in barter he offer it for 30.
-:He also has 100 liṭra of scarlet wool, each liṭra is worth 28 in cash and 34 in barter.
-:He wants to pay his friend 500 ducat.
-:His friend has caryophyllus that is worth 7 grossi for a liṭra.
-:He has also pepper that is worth 15 minyanim for 100 liṭra.
-:He also has ginger that is worth
-|style="text-align:right;"|רפד)<ref>MS L שלז</ref> שאלה ב' רוצים להחליף סחורה<br>
-לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל&#x202B;'<br>
-ועוד יש לו ק' ליט' מתולעת שני ששוה הליט' בממון כ"ח ובחלוף ל"ד<br>
-גם רוצה לתת לחבירו ה' מאות דוק&#x202B;'<br>
-ולחבירו יש לו גרופולי ששוה הליט' ז' גרושי<br>
-וגם יש לו פלפל ששוה ט"ו מנינים הק' ליט&#x202B;'<br>
-ועוד יש לו זנגביל ששוה המשוא במעות מ"ו מנינים<br>
-אשאל כמה ראוי שישים ערך הפלפל והגרופולי והזנגביל לחליפים למען לא ירמהו חבירו<br>
-וחבירו בעל הבגד שואל לו מהזנגביל (פלפל) שישוה ג' מאות ומהגרופולי ג"כ ג' מאות ומהפלפל (זנגביל) עד תשלום מה שהוא רוצה לתת לחבירו<br>
-אשאל כמה זנגביל וכמה פלפל וכמה גרופולי ראוי שיקבל{{#annotend:rtgG}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot22=220}}</math>
+::He should receive 300 of the fund; so, the fund plus the profit is 4[9]1 and 2-thirds
-|style="text-align:right;"|ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ
+|style="text-align:right;"|ויש לו לקבל מהקרן ג' מאות ויעלה עם הקרן והריוח תמ"א וב' שלישיות
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot30=300}}</math>
-|style="text-align:right;"|גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות
+=== <span style=color:Green>Find the Price Problem - Oil and Wine - Double False Position</span> ===
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot28}{24}=116+\frac{2}{3}}}</math>
+:{{#annot:oil and wine|629|UPD9}}230) Question: A man bought 5 barrels of oil and 10 barrels of wine, for a total of 100 minyanim.
-|style="text-align:right;"|והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד
+:Then, he bought 9 barrels of oil and 2 barrels of wine for 100 minyanim.
+:At the same price he bought the first time, he bought the second time.
+:I would like to know for how much did he buy the oil and for how much did he buy the wine.
+|style="text-align:right;"|רל)&#x202B;<ref>MS L: רנה</ref> <big>שאלה</big> אדם קנה ה' חביות שמן וי' חביות יין ובין הכל שוה ק' מנינים<br>
+אח"כ קנה ט' חביות שמן וב' חביות יין ק' מנינים<br>
+ובאותו ערך שקנה בראשנה קנה בשניה<br>
+אבקש לדעת כמה קנה השמן וכמה קנה היין{{#annotend:UPD9}}
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot34}{24}=141+\frac{2}{3}}}</math>
+::Do as follows: take whichever number you want and define it as the price of the oil or the wine.
-|style="text-align:right;"|ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|כך תעשה קח איזה מספר שתרצה ושימהו ערך השמן או היין
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{220+\left(116+\frac{2}{3}\right)=336+\frac{2}{3}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position 1:'''</span> We define the price of [a barrel of] oil as 8 minyanim.
-|style="text-align:right;"|עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|ונשים ערך השמן ח' מנינים
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{300+\left(141+\frac{2}{3}\right)=441+\frac{2}{3}}}</math>
+::Hence, 5 [barrels of oil] are worth 40 minyanim.
-|style="text-align:right;"|עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot8=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה הה' שוות מ' מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות
+::60 [minyanim] remain, so the price of a barrel [of wine] is worth 6 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100-40=60=10\sdot6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשארו ס' א"כ ערך החבית ישווה ו' מנינים
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(336+\frac{2}{3}\right)=836+\frac{2}{3}}}</math>
+::We turn to the second [purchase] and say that the 9 barrels [of oil] are worth 72 and the 2 [barrels of wine] are worth 12; the sum is 84.
-|style="text-align:right;"|ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot8\right)+\left(2\sdot6\right)=72+12=84}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונשוב אל &#x202B;<ref>263r</ref>השני ונאמר שהט' חביות שוות ע"ב והב' שוות י"ב ויעלה פ"ד
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(441+\frac{2}{3}\right)=941+\frac{2}{3}}}</math>
+::So, 16 is missing until 100; say: 16 is missing for the price of 8.
-|style="text-align:right;"|גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100-84=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד ק' י"ו ותאמר בעד הערך שהוא ח' יחסר י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות
+::<span style=color:Green>'''False Position 2:'''</span> Then, look for another number. We say that a barrel of oil is worth 9 minyanim.
+|style="text-align:right;"|אח"כ בקש מספר אחר ונאמר כי חבית השמן שוה ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף
+::Hence, 5 [barrels of oil] are worth 45 [minyanim].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot9=45}}</math>
+|style="text-align:right;"|והה' שוות מ"ה
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=7:x}}</math>
+::A barrel of wine [is worth] 5 and a half [minyanim]; so they are 100 [minyanim].
-|style="text-align:right;"|תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{45+\left[10\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחבית היין ה' וחצי ויהיו ק&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{441}{502}}}</math>
+::Turn to the second [purchase]: the 9 barrels [of oil] are worth 81 and the 2 [barrels] of wine are worth 11; [the sum] is 92.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9\sdot9\right)+\left[2\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]=81+11=92}}</math>
+|style="text-align:right;"|שוב אל הב' והט' חביות שוות פ"א והב' יין י"א ויהיו צ"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל
+::So, 8 is missing until 100.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100-92=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחסר ח' עד ק&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+{\color{red}{\frac{2}{3}}}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=15:x}}</math>
+::Subtract 8 from 16; 8 remains.
-|style="text-align:right;"|תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו
+|style="text-align:right;"|הוצא ח' מי"ו נשארו ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+::Multiply 9, which is the [second] price, by 16, which is the remainder of the first price; it is 144.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ט' שהוא הערך על י"ו שהוא השיור מהערך הא' ויהיו קמ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל
+::Multiply 8, which is the first price, by 8; the result is 64.
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ח' שהוא הערך הראשון על ח' יעלה ס"ד
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=46:x}}</math>
+::Subtract 64 from 144; 80 remains.
-|style="text-align:right;"|תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך המשוא במעות
+|style="text-align:right;"|הוצא ס"ד מקנ"ד נשארו פ&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+::Divide it by 8; the result is 10 and so he bought.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(9\sdot16\right)-\left(8\sdot8\right)}{16-8}=\frac{144-64}{8}=\frac{80}{8}=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ח' ויצא י' וכן קנה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים
-|-
+=== <span style=color:Green>Pursuit Problem Problem - Dog and Rabbit</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות
+:{{#annot:dog and rabbit|657|ASyF}}231) Question: here is a dog and a rabbit.
+:The rabbit is 100 steps away from the dog.
+:Each step of the dog is equal to 5 [steps] of the rabbit.
+:Each walks the same as the other.
+:I would like to know in how many steps they will catch up?
+|style="text-align:right;"|רלא)<ref>&#x202B;MS L: רנו</ref> <big>שאלה</big> בכאן כלב וארנבת<br>
+והארנבת רחוקה מהכלב ק' פסיעות<br>
+וכל פסיעה מהכלב שוה ה' מהארנבת<br>
+וכך יפסיע הא' כמו זה<br>
+אתאב לדעת בכמה פסיעות ישיגנו{{#annotend:ASyF}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(941+\frac{2}{3}\right)-\left(300+300\right)=\left(941+\frac{2}{3}\right)-600=341+\frac{2}{3}}}</math>
+::The way is to divide 100 by the difference, which is from 1 to 5, which is 4; the result is 25 and this is the required.
-|style="text-align:right;"|ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{5-4}=\frac{100}{4}=25}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך ראוי לחלק ק' על היתרון שהוא מא' עד ה' שהוא ד' ויעלה כ"ה והוא המבוקש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק'
-|-
+=== <span style=color:Green>Divide a Number Problem - 30 into 4 parts</span> ===
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}\right):1=24\sdot300:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=913+\frac{697}{791}}}</math>
+:{{#annot:30 into 4 parts|619|7fd8}}232) Question: make me four parts out of 30, such that the ratio of the fourth to the third is as the third to the second and as the second to the first.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל
+|style="text-align:right;"|רלב) <big>שאלה</big> תעשה לי מל' ד' חלקים שיהיה יחס הד' אל הג' כג' לב' וכב' לא&#x202B;'{{#annotend:7fd8}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> We suppose the first is 1, the second is 2, the third is 4, the fourth is 8.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1;\quad a_2=2;\quad a_3=4;\quad a_4=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|נניח שהא' א' והב' ב' והג' ד' והד' ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+{\color{red}{\frac{443}{502}}}\right):100=300:x}}</math>
+::The total is 15.
-|style="text-align:right;"|תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=1+2+4+8=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין כלם ט"ו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1776+\frac{112}{113}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח
+::Multiply 1 by [30] and divide by 15; the result is 2 and this is the first [part].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{1\sdot30}{15}=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן כפול א' על וחלק על ט"ו ויצא ב' והוא הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות
+::Multiply also 2 by 30 and divide by 15; the result is 4 and this is the second [part].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{2\sdot30}{15}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ב' על ל' וחלק על ט"ו ויצא ד' והוא הב&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}\right):\left(1\sdot400\right)=\left(341+\frac{2}{3}\right):x}}</math>
+::Likewise for the thirds; the result is 8.
-|style="text-align:right;"|תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן מהג' ויצא ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2639+\frac{5717}{7797}}}</math>
+::Likewise for the fourth; the result is 16.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשצ"ז וכך ראוי שיקבל מהפלפל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=16}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן מהד' ויצא י"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תעשה ככה
+::All of them are proportional.
+|style="text-align:right;"|וכלם מתיחסים
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א מתקי"ב
+=== <span style=color:Green>How Many Problem - Hours</span> ===
-|-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג חלקי' מתקי"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{51+\frac{{\color{red}{3}}88}{502}}}</math>
+:{{#annot:hours|649|wo4B}}233) Question: a man asks his friend how many hours have passed.
-|style="text-align:right;"|והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב
+:He replied: 2-thirds of those that passed are equal to 3-quarters of those that will pass.
+:We ask: how many hours have passed?
+|style="text-align:right;"|רלג)&#x202B;<ref>MS L: רנט</ref> <big>שאלה</big> אדם שואל לחבירו כמה שעות הקישו<br>
+השיב הב' שלישיות מהמוקשות שוות לג' שרביעיות לאותם שראוי להקיש<br>
+נשאל כמה שעות הקישו{{#annotend:wo4B}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני
+::You already know that the hours of the day are 24.
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי שעות היום הם כ"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{913+\frac{69{\color{red}{7}}}{791}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position:'''</span> We suppose that three [hours] have passed.
-|style="text-align:right;"|יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשצ"א מהגרפולי
+|style="text-align:right;"|ונניח כי הקישו ג&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1776+\frac{112}{113}}}</math>
+::It is known that its 2-thirds are 2.
-|style="text-align:right;"|ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot3=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|וידוע כי ב' שלישיותיו הם ב&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{2639+\frac{571{\color{red}{7}}}{77{\color{red}{9}}7}}}</math>
+::We look for a number whose 3-quarters are 2; we find it is 2 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2=\frac{3}{4}\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונבקש מספר אשר ב' יהיו ג' רביעיותיו ונמצא ב' וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים
+::The total is 5 and 2-thirds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+\left(2+\frac{2}{3}\right)=5+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין הכל עולה ה' וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Therefore, we multiply 3 by 24, then divide by 5 and 2-thirds; the result is 12 and 12 parts of 17 and these are the hours the have passed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3\sdot24}{5+\frac{2}{3}}=12+\frac{12}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|לכן נכפול ג' על כ"ד וחלק על ה' וב' שלישיות ויצא י"ב וי"ב חלקים מי"ז והם השעות שהקישו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג"כ ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים
+::The remainder of 24 is 11 and 5 parts of 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(12+\frac{12}{17}\right)=11+\frac{5}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנשאר עד כ"ד שהם י"א וה' חלקים מי"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> this should be checked.
+::Take 2-thirds of 12 and 12 parts of 17; the result is 8 and 8 parts of 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot\left(12+\frac{12}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי להקיש ולבחון אותו קח ב' שלישיות מי"ב ומי"ב חלקים מי"ז ויעלה ח' וח' חלקים מי"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים
+::Take also 3-quarters of 11 and 5 parts of 17; the result is also 8 and 8 parts of 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\sdot\left(11+\frac{5}{17}\right)=8+\frac{8}{17}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד קח ג' רביעיות י"א וה' חלקים מי"ז ויעלה ג"כ ח' וח' חלקים מי"ז
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור
-|-
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Boys Selling Eggs</span> ===
 |
-:{{#annot:WP|635|6O52}}285) Question: two barter.
-:One has 2000 liṭra of wax, 100 liṭra of which are worth 5 minyanim in cash.
-:The other has thread, 100 liṭra of which are worth 8 minyanim in cash and 10 in barter and he asks for 500 minyanim in cash.
-:I ask: how much should he offer for 100 liṭra of wax in barter and how much thread will he receive for the 500 minyanim and for the 2000 liṭra?
-|style="text-align:right;"|רפה)<ref>MS L שלח</ref> שאלה ב' עושים חלופים<br>
-לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון<br>
-ולאחר יש לו פתיל שהק' ליט' שוות בממון ח' מנינים ובחלוף שוה עשרה ושואל ת"ק מנינים בממון<br>
-אשאל כמה ראוי שישים הק' ליט' משעוה לחלוף וכמה פתיל יקבל עבור הת"ק מנינים ובעבור האלפים ליט'{{#annotend:6O52}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\frac{2000\sdot6}{100}=500+120=620}}</math>
+:{{#annot:selling eggs|652|5vBy}}234) Question: a man gives his seven sons eggs to sell and he gives the one half the other, i.e. if he gives the first 1, he gives the second 3, the forth 4, the fifth 5, the sixth 6 and the seventh 7.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה
+:All of them will sell the same way the first one sells, and each will receive the same amount of money.
+:I wish to know: how much money will each of them receive and how will they sell [the eggs]?
+:<math>\scriptstyle a_1=2a_2=3a_3=4a_4=5a_5=6a_6=7a_7</math>
+|style="text-align:right;"|רלד)&#x202B;<ref>MS L: רסא</ref> <big>שאלה</big> אדם נותן ביצות לז' בניו למכור ונותן לא' מחצית השני ר"ל שאם יתן א' לראשון יתן ב' לשני וג' לג' וד' לד' וה' לה' וו' לו' וז' לז&#x202B;'<br>
+ובאופן שימכור הא' ימכרו כלם וכל כך ממון ישא הא' &#x202B;<ref>263v</ref>כמו האחר<br>
+ארצה לדעת כמה ממון נתן לכל א' וא' ובאיזה אופן מכרו{{#annotend:5vBy}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot620}{8}=7750}}</math>
+::The way is that you multiply 7 by 2; it is 14. Add 1; it is 15 and this is the number of eggs of the first.
-|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\left(7\sdot2\right)=1+14=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך בזה שתכפול ז' על ב' הנם י"ד תוסיף א' ויהיו ט"ו והוא סך הביצות מהראשון
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{10}=775}}</math>
+::Add 15 to it; it is 30 and this is the share of the second.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ' עתה ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא החלוף ויצא תשע"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+15=30}}</math>
+|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו ויהיו ל' והוא חלק הב&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{620-500=120}}</math>
+::Add 15 to it; it is 45 and this is the share of the third.
-|style="text-align:right;"|ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+30=45}}</math>
+|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו והוא מ"ה והוא חלק הג&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{775-500=275}}</math>
+::Add 15 to it; it is 60 and this is the share of the fourth.
-|style="text-align:right;"|גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+45=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|שים בו ט"ו ויהיו ס' והוא חלק הד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה
+::The other is 75.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+60=75}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאחר ע"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף
+::The other is 90.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+75=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאחר צ&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{120:275=6:x}}</math>
+::The other is 105.
-|style="text-align:right;"|תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+95=105}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאחר ק"ה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=13+\frac{3}{4}}}</math>
+::To know how they sold take the greater part of 15, which is 8, and this is [the number of eggs] they sold for one pašuṭ.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף שאלה
+|style="text-align:right;"|ולדעת איך מכרו תחסר החלק היותר גדול מט"ו שהוא ח' והוא מה שנתנו בפשוט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות
+::The first had 7 left and he sold each for 2 pešuṭim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15-8=7}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה לראשון נשארו ז' ומכרם ב' פשוטים כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד
+::The money of one is the same as the other's, so you find that the money of each is 15.
-|-
+|style="text-align:right;"|וכך מעות נשא הא' כמו האחר [ותמצא כי ממון כל אחד ט"ו
-|}
-{|
 |-
 |
+::Deduce from this.
-=== Mixture and Alligation Problems ===
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה]&#x202B;<ref>G om.</ref>
-|
 |-
 |
-:286) Question: a man has 100 marco, in each marco 5 ounces of silver.<br>
+:{{#annot:selling eggs|652|0z25}}235) Question: if it is said that the sons are three and he gives the one a given number, the second - the same given number plus three times of it, the third - the given number plus 6 times the given number [etc.].
-:We want it to contain 6 ounces [of silver] in each marco.<br>
+:The same as one sells so does the other.
-:We wish to know: how many ounces should be added to it?
+:How much does each have and how will he sell it?
-|style="text-align:right;"|רפו)<ref>MS L שלט</ref> שאלה לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק'<br>
+|style="text-align:right;"|רלה)&#x202B;<ref>MS L: רסב</ref> <big>שאלה</big> ואלו אמר כי הבנים ג' ונתן לכל א' מספר מונח ולב' אותו המספר מונח וג' פעמים כמוהו ולג' המספר המונח וו' פעמים מספר מונח<br>
-נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו
+ובאופן שמכר הא' ימכור האחר<br>
+כמה לכל א' ובאיזה אופן מכרו{{#annotend:0z25}}
 |-
 |
-::1 marco contains 8 ounces = 5 silver + 3 copper
+::The excess of the second over the first should be multiplied by the number of the sons.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול מה שמוסיף הב' על הא' על סך הבנים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{6}=50}}</math>
+::It is known that the sons are three and the second exceeds the first by 3, plus the given number it is 4.
-|style="text-align:right;"|א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ'
+|style="text-align:right;"|וידוע כי הבנים ג' והשני מוסיף במספר עם הראשון ג' ועם המספר המונח הם ד&#x202B;'
 |-
 |
-:50 marco of pure silver should be added to the 100 mixed marco
+::Multiply 3 by 4; it is 12.
-|style="text-align:right;"|הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף
+|style="text-align:right;"|כפול ג' על ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-:Check: the 150 marco contain 300 ounces of copper and <math>\scriptstyle{\color{red}{900}}</math> ounces of silver
+::Add 1 to it; it is 13.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף
+|style="text-align:right;"|תוסיף בו א' ויהיו י"ג
 |-
 |
-:each marco contains 6 ounces of silver
+::Subtract the number of the sons from 13, because the number of the sons should always be subtracted from the sum; 10 remains. So, he sold 10 for one pašuṭ.
-|style="text-align:right;"|א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot4\right)+1\right]-3=\left(12+1\right)-3=13-3=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסר מי"ג סכום הבנים וישאר י' כי לעולם ראוי לחסר מהמקובץ סכום הבנים הנה י' נתן בפשוט
 |-
 |
-:287) Question: a man has 90 marco, each marco contains 6 ounces of silver.<br>
+::If you want to know for what price he sold the remaining three, you already know that the second has 4 times as much as the first has plus the given number. So, he sold each of the three for 4 pešuṭim.
-:He wants to add to it copper so that each marco will contain only 5 [ounces of silver].<br>
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת באיזה ערך מכר הג' שנשארו כבר ידעת כי השני מוסיף על הראשון ד' פעמים כמוהו ועם המספר המונח הנה א"כ כל א' מהג' מכר ד' פשוטים
-:I ask: how many ounces should be added to it?
-|style="text-align:right;"|רפז)<ref>MS L שמ</ref> שאלה לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו<br>
-אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף
 |-
 |
-:total number of ounces of silver in the 90 marco: <math>\scriptstyle{\color{blue}{900\sdot6=540}}</math>
+::If the second had 5 times as much as the first, he would sell each for 5 pešuṭim, and if 6, for 6.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' מרקי ויצא לך תק"מ
+|style="text-align:right;"|ואם היה מוסיף השני על הראשון ה' פעמים כמוהו היה מוכר כל א' ה' פשוטי' ואם ו' ו&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5:1=540:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמ' אם ה' אוק' עושה מרקו אחד תק"מ כמה מרקי יעשו
+=== <span style=color:Green>Find the Volume - Suit</span> ===
-|-
 |
-:total number of marco that should contain 5 ounces of silver in each marco: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=108}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל
 |-
 |
-:Check: the 90 marco contain 540 ounces of silver, 6 ounces of silver in each
+:{{#annot:suit|681|UCK9}}236) Question: a man wants to make a suit from a cloth that is 5 spans wide, which will contain 14 spans, and he wants to make another suit from a cloth that is 4 spans wide.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק'
+:How many spans will he include in it?
+|style="text-align:right;"|רלו)&#x202B;<ref>MS L: רסג</ref> <big>שאלה</big> אדם רוצה לעשות סרבל מבגד שרחבו ה' זרתות ונכנס בו י"ד זרתות ורוצה לעשות סרבל אחר מבגד שרחבו ד' זרתות<br>
+כמה זרתות ישים בו{{#annotend:UCK9}}
 |-
 |
-:the 108 marco contain 540 ounces of silver, 5 ounces of silver in each <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot108=540}}</math>
+::Subtract 4 from 5; 1 remains.
-|style="text-align:right;"|גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה אין בכל מרקו כי אם ה'
+|style="text-align:right;"|תוציא ד' מה' נשאר א&#x202B;'
 |-
 |
-:288) Question: a man has 20 marco, each marco contains 5 ounces [of silver].<br>
+::Divide 14 by 4; it is 3 and a half.
-:He also has 16 marco, each marco contains 3 ounces [of silver].<br>
+|style="text-align:right;"|תחלק י"ד על ד' ויהיו ג' וחצי
-:He wants to make a mixture so that each marco will contain 6 ounces [of silver].<br>
-:I ask: how much silver should be added and how much will be the total?
-|style="text-align:right;"|רפח)<ref>MS L שמא</ref> שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' אוקיות<br>
-עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו'<br>
-ורוצה לעשות קשר אחד שיכיל כל מרקו ו' אוקי'<br>
-אשאל כמה כסף ראוי להוסיף וכמה יעלה בין הכל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים
+::Add it to 14; it is 17 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14+\frac{14}{4}=14+\left(3+\frac{1}{2}\right)=17+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיפם על י"ד ויהיו י"ז וחצי
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in the 20 marco [of 5 ounces of silver]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}</math>
+::Hence, 17 spans and a half should be taken from the other cloth.
-|style="text-align:right;"|והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' אוקיו' נחושת
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ ראוי לקחת מבגד אחד י"ז {{#annot:zeret|1068|RUj0}}זרתות{{#annotend:RUj0}} וחצי
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in the 16 marco [of 3 ounces of silver]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, multiply 14 by 5; it is 70.
-|style="text-align:right;"|והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול י"ד על ה' ויהיו ע&#x202B;'
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in both kinds of coins: <math>\scriptstyle{\color{blue}{60+80=140}}</math>
+::Multiply also 4 by 17 and a half; it is 70.
-|style="text-align:right;"|וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot5=70=4\sdot\left(17+\frac{1}{2}\right)}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ד' על י"ז וחצי ויהיו ע&#x202B;'
 |-
 |
-:if each marco should contain 6 ounces of silver, then is should contain 2 ounces of copper
-|style="text-align:right;"|והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת
+=== <span style=color:Green>Currency Problem - Magen - Peraḥ</span> ===
-|-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{2:1=140:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו
 |-
 |
-:total number of marco in the mixture:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=70}}</math>
+:{{#annot:magen-peraḥ|632|QSzc}}237) Question: a man owes his friend 4 hundred minyanim.
-|style="text-align:right;"|ויצא ע' והם מרקי
+:Each magen is worth 33 grossi; and 12 grossi are worth 1 peraḥ.
+:The owner of the money demands his 4 hundred minyanim, but [his friend] replies that he has only peraḥim.
+:I would like to know how many peraḥim he will receive.
+|style="text-align:right;"|רלז)&#x202B;<ref>MS L: רסד</ref> <big>שאלה</big> איש מחוייב לחבירו ד' מאות מנינים<br>
+וכל מגן שוה ל"ג גרושי וי"ב גרושי שוים {{#annot:peraḥ|2643|KGVd}}פרח{{#annotend:KGVd}} א&#x202B;'<br>
+ובעל הממון שואל ד' מאות מניניו והשיב כי אין לו כי אם פרחים<br>
+אתאב לדעת כמה פרחים יקבל{{#annotend:QSzc}}
 |-
 |
-:the number of marco of pure silver (= each contains 8 ounces of silver) that should be added:<math>\scriptstyle{\color{blue}{70-20-16=34}}</math>
+::The way is that you multiply 400 by 33; it is 13200.
-|style="text-align:right;"|תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף
+|style="text-align:right;"|הנה הדרך שתכפול ד' מאות על ל"ג ויהיו י"ג אלפים וב' מאות
 |-
 |
-:Check: total number of ounces of copper in both kinds of coins (the 20 marco and the 16 marco) = 140
+::Divide it by 12; you receive 1100 and this is the number of peraḥim he should receive.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400\sdot33}{12}=\frac{13200}{12}=1100}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלקם על &#x202B;<ref>264r</ref>י"ב ויצא לך אלף ומאה והוא סך הפרחים שראוי שיקבל
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in the 70 marco = 140
-|style="text-align:right;"|ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ אוקי' ג"כ מנחושת
+=== <span style=color:Green>Simple Division Problem - Purse</span> ===
-|-
 |
-|style="text-align:right;"|רפט)<ref>MS L שמב</ref> שאלה לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה' ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי' ורוצה לבלול בם עופרת באופן לא יכילו כי אם ד' עבור מרקו אחד אשאל כמה עופרת ראוי לערב בם וכמה יהיה כל הסך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק' ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו ובין הכל קצ"ו
+:{{#annot:purse|644|GRes}}238) Question: a number of people are walking along the road and find one purse with 100 minyanim.
+:The first borrows 4 plus one sixth of the remainder, another 8 plus one sixth of the remainder, another 12 plus one sixth and so on.
+:We would like to know how many boys are they, so that everyone gets the same number.
+|style="text-align:right;"|רלח)&#x202B;<ref>MS L: רסו</ref> <big>שאלה</big> מספר אנשים הולכים בדרך וימצאו כיס א' עם ק' מנינים<br>
+הא' שואל ד' עם שתות הנשאר והאחר ח' עם שתות הנשאר והאחר י"ב עם שישית וכן עד תומם<br>
+נרצה לדעת כמה הם הבנים באופן שיגיע לכל א' מספר שוה{{#annotend:GRes}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{4:1=194:x}}</math>
+::100 should be divided by 4; the result is 25.
-|style="text-align:right;"|ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים
+|style="text-align:right;"|ראוי לחלק ק' על ד' ויצא כ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל
+::Extract its root; it is 5.
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והם ה&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת
+::Multiply it by 4; the result is 20 and this is what each should get.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot\sqrt{\frac{100}{4}}=4\sdot\sqrt{25}=4\sdot5=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפלם על ד' ויצא כ' והוא המגיע לכל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצו אוק' כסף וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו
+::To know the number of boys, divide 100 by 20; you receive 5.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=5}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת סכום הבנים חלק ק' על כ' ויצא לך ה&#x202B;'
 |-
 |
-:290) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 5½ ounces of silver.<br>
+::Another way: subtract 1 from the number common to all, which is a sixth; 5 remains and this is the number of the boys.
-:Another man wants to produce 20 marco, each of which contains 4½ ounces [of silver].<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6-1=5}}</math>
-:I ask: how much will he take from the amount of money and how much copper should be added?
+|style="text-align:right;"|דרך אחרת חסר מהסך השוה לכלם שהוא השתות א' וישאר ה' והוא סכום הבנים
-|style="text-align:right;"|רצ)<ref>MS L שמג</ref> שאלה לאדם יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף<br>
-ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי<br>
-אשאל כמה יקח מאותו הכסף וכמה נחושת ראוי להוסיף
 |-
 |
-:total number of ounces of silver in the 20 marco each of which contains 4½ ounces [of silver]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=90}}</math>
+::To know the money of each, multiply 4 by 5, which is what the first takes without the sixth; the result is 20 and this is the amount of money.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת ממון כל א' כפול ד' על ה' שהוא מה שיקח הראשון זולת השתות ויעלה כ' והוא הממון
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right):1=90:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים
 |-
 |
-:the number of marco that should be taken from those containing 5½ ounces [of silver] each: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{4}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Two Purses - Double False Position</span> ===
-|-
 |
-:the copper that should be added: <math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(16+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף
 |-
 |
-:Check: total number of ounces of silver in the marco containing 5½ ounces [of silver] each = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=90}}</math><br>
+:{{#annot:two purses|652|dVUW}}239) Question: two people, each found a purse.
-:total number of ounces of copper in the marco containing 5½ ounces [of silver] each = <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=40+\frac{10}{11}}}</math>
+:The first said: if you give me a third of the money is your purse, I will give you a quarter of the money in my purse.
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א
+:So they did and we find that each one has 12.
+:We ask: how much is in each purse?
+:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}a+\frac{3}{4}b=12</math>
+|style="text-align:right;"|רלט)&#x202B;<ref>MS L: רסז</ref> <big>שאלה</big> ב' בני אדם כל א' מצא כיס<br>
+אמ' הראשון אם תתן לי שליש ממון כיסך אני אתן לך רביעית ממון כיסי<br>
+וכן עשו ונמצא לכל א' י"ב<br>
+נשאל כמה בכל כיס{{#annotend:dVUW}}
 |-
 |
-:number of ounces of copper with the added copper: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(40+\frac{10}{11}\right)+\left[\left(3+\frac{7}{11}\right)\sdot8\right]=70}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position 1:'''</span> We suppose that the one who gives a third of the money in his purse has 15.
-|style="text-align:right;"|תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק'
+|style="text-align:right;"|נניח מנותן שליש ממון כיסו היה לו ט"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ' עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה
+::Subtract 5, which is its third; 10 remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)=15-5=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|חסר ה' שהוא שלישיתו וישארו י&#x202B;'
 |-
 |
-:291) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 4¾ [ounces of silver].<br>
+::So, the second purse should have 8, so that he gives a quarter of 8, which is 2, to complete the 12 with the 10 that his friend has.
-:He has also another [amount of money], each marco of which contains 5 [ounces of silver].<br>
+|style="text-align:right;"|א"כ יצטרך בכיס השני יהיה ח' באופן כשיתן מח' רביעיתם שהם ב' ישלימו י"ב עם י' שיש לחבירו
-:He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 6 ounces of silver.<br>
-:I ask: how much how much silver should be added, so that he will take the same from both?
-|style="text-align:right;"|רצא)<ref>MS L שמד</ref> שאלה לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות<br>
-עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה'<br>
-ורוצה לעשות נ' מרקי יכיל כל מרקי ו' אוק' כסף<br>
-אשאל כמה כסף ראוי להוסיף באופן שיקח כל כך מזה כמו מזה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו
+::It is known that he received 5; with the 6 it is 11, so 1 is missing for 12.
+|style="text-align:right;"|וידוע כי קבל ה' עם ו' הנם י"א ויחסר עד י"ב א&#x202B;'
 |-
 |
-:the ounces of copper in the marco containing 4¾ ounces of silver = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(4+\frac{3}{4}\right)=3+\frac{1}{4}}}</math>
+::Say: 1 is missing for 15.
-|style="text-align:right;"|והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת
+|style="text-align:right;"|ותאמר בעד ט"ו חסר א&#x202B;'
 |-
 |
-:the ounces of copper in the marco containing 5 ounces of silver = <math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position 2:'''</span> look for another number. We suppose that there was 16 in the purse of the one who gives a third.
-|style="text-align:right;"|ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת
+|style="text-align:right;"|עוד בקש מספר אחר נניח כי בכיס נותן שליש היה י"ו
 |-
 |
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{4}\right)+3=6+\frac{1}{4}}}</math>
+::Subtract its third, which is 5 and a third; 10 and 2-thirds remains.
-|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו ו' ורביע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16-\left(\frac{1}{3}\sdot16\right)=16-\left(5+\frac{1}{3}\right)=10+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חסר שלישיתם שהוא ה' ושליש ישארו י' וב' שלישיות
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 6 ounces [of silver] each: <math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-6\right)=100}}</math>
+::1 and a third are missing for 12.
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(10+\frac{2}{3}\right)=1+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד י"ב א' ושליש
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right):1=100:x}}</math>
+::So the money of the second is 5 and a third.
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לו מרקי א' ק' כמה יתנו לי
+|style="text-align:right;"|א"כ ממון השני הוא ה' ושליש
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}</math>
+::Subtract the quarter, which is 1 and a third; 4 integers remain.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים
+|style="text-align:right;"|חסר הרביעית שהוא א' ושליש ישארו ד' שלמים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
+::He received 5 [and a third]; so he has 9 and a third.
+|style="text-align:right;"|והוא קבל ה' א"כ יש לו ט' ושליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק' עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ' ותחברם ויהיו קנ"ו גם תחבר עמהם י"ח מרקו שהוא כלו טוב ויצא לך ג' מאות וע' כפול נ' שהם מרקי על ו' ויעלה הכל ג' מאות
+::2 and 2-thirds are missing for 12.
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד י"ב ב' וב' שלישיות
 |-
 |
-:292) Question: a man has two kinds of money - one of 5 ounces [of silver] in each marco and the other one of 6 ounces [of silver] in each marco.<br>
+::Say: 2 and 2-thirds are missing for the 16 we assumed.
-:He wants to produce 50 marco, each marco of which contains 7 ounces [of silver], and he wants to take the same from both [kinds of money].<br>
+|style="text-align:right;"|ותאמר בעד י"ו ששמנו חסר ב' וב' שלישיות
-:I ask: how much will he take from each and how much silver will he add?
-|style="text-align:right;"|רצב)<ref>MS L שמה</ref> שאלה לאדם יש לו מב' מיני כספים הא' יש ה' אוקיו' בכל מרקו ובאחר יש ו' אוקיו' בכל מרקו<br>
-ורוצה לעשות נ' מרקו יכיל כל מרקו ז' אוקיו' ורוצה לקחת כ"כ מזה כמו מזה<br>
-אשאל כמה יקח מזה ומזה וכמה כסף יוסיף
 |-
 |
-:total number of ounces of copper in the 50 marco that will contain 7 ounces [of silver] each: <math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-7\right)=50\sdot1=50}}</math>
+::Subtract 1, which is the deficiency of the first supposition, from 2 and 2-thirds; the remainder is 1 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראוי לראות כמה נחושת יש בין הנ' מרקו שהוא רוצה לקחת כפי הערך שהוא רוצה כי הוא רוצה שלא יהיה בכל מרקו כי אם א' אוקי' נחושת ויצא לך נ' אוקי'
+|style="text-align:right;"|א"כ הוצא א' שהוא חסרון הערך הא' מב' וב' שלישיות הנשאר א' וב' שלישיות
 |-
 |
-:the ounces of copper in three of the marco containing 5 ounces of silver = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-5\right)=9}}</math>
+::Multiply 16, which is the second supposition, by 1, which is the deficiency of the first supposition; it is 16.
-|style="text-align:right;"|ועתה יש לך לראות כמה נחושת יש בג' מרקו מאותו שמכיל מכסף עבור כל מרקו ה' ויצא לך ט'
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י"ו שהוא הערך הב' על א' שהוא חסרון הערך הא' ויהיו י"ו
 |-
 |
-:the ounces of copper in three of the marco containing 6 ounces of silver = <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot\left(8-6\right)=6}}</math>
+::Multiply also 15, which is the first supposition, by 2 and 2-thirds, which is the deficiency of the second supposition; the result is 40.
-|style="text-align:right;"|גם ראה כמה נחושת יש בג' מרקי מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף כל מרקו ויצא לך ו'
+|style="text-align:right;"|עוד כפול ט"ו שהוא הערך הא' על ב' וב' שלישיות שהוא חסרון הערך הב' ויעלו מ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עתה ראוי לחבר מה שמכיל מרקו אחד מאותו ששוה ו' מכסף ויצא לך ב' שמכיל מנחושת ועם הט' הם י"א
+::Subtract 16 from 40; 24 remains.
+|style="text-align:right;"|הוצא י"ו ממ' נשאר כ"ד
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{11:1=50:x}}</math>
+::Divide 24 by 1 and 2-thirds; the result is 14 and 2-fifths and this is what is in the purse of the one who gives a third.
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם י"א אוק' נחושת נתן לי א' מרקו כמה יתנו לי נ'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[15\sdot\left(2+\frac{2}{3}\right)\right]-\left(16\sdot1\right)}{\left(2+\frac{2}{3}\right)-1}=\frac{40-16}{1+\frac{2}{3}}=\frac{24}{1+\frac{2}{3}}=14+\frac{2}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלק כ"ד על א' וב' שלישיות יצא י"ד וב' חמישיות והוא מה שבכיס מנותן השליש
 |-
 |
-<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=4+\frac{6}{11}}}</math>
+::In the purse of the one who gives a quarter there are 9 and 3-fifths.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ד' וו' חלקים מי"א וכך ראוי שיקח מאותו שמכיל ו' אוק' מכסף עבור מרקו אחד
+|style="text-align:right;"|וט' וג' חמישיות יש בכיס נותן רביעית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובעבור כי הוא רוצה לקחת ג' פעמים יותר מאותו שמכיל ה' כפול ג' פ' ד' וו' חלקים מיא ויצא לך י"ג וז' חלקים מי"א וזהו מה שיקח מאותו שמכיל ה אוק' מטוב ולדעת כמה כסף טוב ראוי שיוסיף תחבר י"ג והחלקים עם ד' והחלקים ויצא י"ח וב' חלקים מי"א והוצא זה המספר מנ' וישאר ל"א וט' חלקים מי"א וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
+::Check it, because it is correct.
+|style="text-align:right;"|ותבחון אותו כי הוא צודק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שווים י"ג מרקו וט' חלקים מי"א שמכיל כל מרקו ה אוק' מכסף ויצא לך ס"ח וב' חלקים מי"א עו' ראה כמה כסף מכילים ד' מרקי וה' (וו') חלקים מי"א מאותו שמכיל ו' מרקו מכסף ויצא לך כ"ז וג' חלקים מי"א ותחברם ויהיו ו' גם תוסיף עמהם מה שמכיל הל"א שעולה רצ"ד (רנ"ד) ויהיה בין הכל ג' מאות וחמישים והנך רואה כי אותם הנ' מרקי שמכיל כל אחד ז' עולה ש"נ
+=== <span style=color:Green>Encounter Problem - Two Ants</span> ===
+|
 |-
 |
-:293) Question: one has three kinds of money - one contains 7 ounces of silver in each marco, another [contains] 5 ounces of silver in each marco, and another contains 4 ounces of silver in each marco.<br>
+:{{#annot:two ants|658|oARZ}}240) Question: here is a straight cane.
-:We want to take from the three [kinds], so that each marco will contain 6 ounces [of silver], and we want to take 50 marco.<br>
+:At its feet there is an ant that wants to go up and it walks 4 cubits and a fifth of the cane in one hour.
-:How much should be taken from each?
+:At the top of the cane there is an ant that goes down and it goes down 6 cubits and a quarter of the cane in one hour.
-|style="text-align:right;"|רצג)<ref>MS L שמו</ref> שאלה לאחד יש לו מג' מיני כספים הא' מכיל ז' אוקי' כסף כל מרקו והא' ה' אוקיו' כסף כל מרקו והאחר מכיל ד' אוקיו' כסף כל מרקו<br>
+:The length of the cane is 100 cubits.
-ונרצה לקחת משלשתן באופן יכיל כל מרקו ו' אונקיו' ונרצה לקחת נ' מרקו<br>
+:I ask: when will they meet each other?
-כמה יקח מכל אחד ואחד
+|style="text-align:right;"|רמ)&#x202B;<ref>MS L: רסח</ref> <big>שאלה</big> בכאן מקל זקוף<br>
+וברגל המקל התחתון יש בו נמלה ורוצה לעלות והולכת ד' אמות &#x202B;<ref>264v</ref>וחומש המקל בשעה אחת<br>
+ובראש המקל העליון נמלה יורדת והנה תרד בשעה אחת ו' אמות ורביעית המקל<br>
+ואורך המקל ק' אמות<br>
+אשאל מתי ישיגו זה את זה{{#annotend:oARZ}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עשה כך תסדרם בזה האופן
+::Divide 100 by 5; the result is twenty.
+|style="text-align:right;"|חלק ק' על ה' ויצא עשרים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקשרם כך והוא שתקח הערך שהוא פחות מהערך שתרצה לעשות ותקשרהו עם הערך שהוא יותר גדול מהערך שתרצה לעשות
+::Add 4 to it; it is 24.
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ד' ויהיו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולכן תקשור ז' שהוא יותר מו' עם הד' שהם פחות מו'
+::Divide 100 by 4; the result is 2[5].
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק ק' על ד' ויצא כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכך תעשה והנך רואה כי ו' מוסיף על ד' ב' ולכן שים ב' על ז'
+::Add 6 to it; it is 3[1].
+|style="text-align:right;"|תוסיף בם ו' ויהיו ל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גם אתה רואה כי ו' פחות מז' א' ולכן שים א על ד'
+::Add 30 to 24; it is 54.
+|style="text-align:right;"|תחבר ל' עם כ"ד ויהיו נ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה קשרת ד' עם ז'
+::Divide 100 by 54; the result is 1 and [9] parts of [11] and this is the time they meet each other.
+|style="text-align:right;"|חלק ק' על נ"ד ויצא א' וכ"ג חלקים מכ"ז והוא הזמן שישיגו זה את זה
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{\left(\frac{100}{5}+4\right)+\left(\frac{100}{4}+6\right)}=\frac{100}{\left(20+4\right)+\left(2{\color{red}{5}}+6\right)}=\frac{100}{24+3{\color{red}{1}}}=\frac{100}{5{\color{red}{5}}}=1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|נשאר לקשור ה' ותאמר ו' מוסיף א' על ה' ולכן שים א' על ה'
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> you can check it and say: if 1 is equal to 3[1], how much are 1 and [9] parts of [11] equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:31=\left(1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו ואמור אם א' שוה ל' א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה ישוה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ז' מוסיף על ו' א' ולכן תחבר הב' והא' שהם על הז' ויהיו ג' ושים ג' עליהם
+::You receive 5[6] and [4] parts of [11] and this is the distance of the one who walks 6 cubits and a quarter of the cane.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך נ"ה וט' חלקים מכ"ז והוא מהלך מהולך ו' אמות ורביעית המקל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה תחבר ג' שהם על הז' וא' שהוא על ה' וא' שהוא על ד' ויהיו ה'
+::Say also: if 1 is equal to 24, how much are 1 and [9] parts of [11] equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:24=\left(1+{\color{red}{\frac{9}{11}}}\right):X}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם א' שוה כ"ד א' וכ"ג חלקים מכ"ז כמה שוים
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5:50=3:x}}</math>
+::You receive 4[3] and [7] parts of [11] and this is the distance of the one who walks 4 cubits and a fifth of the cane.
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ה' נתנו לי נ' מרקי כמה ראוי שאקח מאותו שנתן לי ג'
+|style="text-align:right;"|ויצא לך מ"ד וי"ב חלקים מכ"ז והוא השעור ממי שהולך ד' אמות וחומש המקל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויצא ל' וכך יקח מאותו מכיל ז'
+::The total is 100.
+|style="text-align:right;"|ובין הכל ק&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ובעבור האחר תאמר אם ה' נתן נ' כמה יתן א'
+=== <span style=color:Green>Simple Division Problem - Four Sons</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יצא י' ושימם על ה' א"כ מאותו מכיל ה' אוקי' כסף ראוי לקחת י'
+:{{#annot:four sons|644|cZap}}241) Question: a man has four sons and he says that -
+:the first will take a fifth of his money plus 20 minyanim;
+:the second will take a fifth of what remains plus 40;
+:the third [will take] a fifth of what remains plus 60;
+:and the fourth [will take] a fifth of what remains plus 80.
+:Each had the same share.
+:We ask: how much was the amount of money of their father and how much is the share of each?
+|style="text-align:right;"|רמא)&#x202B;<ref>MS L: רצא</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו ד' בנים<br>
+ואמר שהא' יקח מממונו החומש ועשרים מנינים יותר<br>
+והשני יקח החומש מהנשאר ומ' יותר<br>
+והג' חומש הנשאר וס' יותר והד' חומש הנשאר ופ' יותר<br>
+ולכלם היה חלק שוה<br>
+נשאל כמה ממון אביהם וכמה חלק כל א' וא' מהם{{#annotend:cZap}}
+|-
+|colspan=2|
+:<math>\scriptstyle\begin{align}&\scriptstyle\frac{1}{5}x+20=\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)+40\\&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]+60\\&\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left[\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]-\left[\frac{1}{5}\sdot\left[\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(x-\frac{1}{5}x-20\right)\right]-40\right]\right]-60\right]\\&\scriptstyle+80\end{align}</math>
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{5:50=1:x}}</math>
+::Take the addition of the last, which is 80, multiply it by 5, because each one takes a fifth; it is 400.
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם ה' נתן נ' א' כמה יתן
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot80=400}}</math>
+|style="text-align:right;"|תקח תוספת האחרון שהוא פ' ותכפלם על ה' מצד כי כל א' שואל החומש ויהיו ד' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויצא י' וכך ראוי לקחת מהמכיל ד'
+::The sons are four, so each one receives 100 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{400}{4}=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|והבנים ד' א"כ הגיע לכל א' ק' מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה מכילין ל מרקי מאותו ששוה ז' כל מרקו ויצא ר"י עוד ראה כמה שוים הי' שמכילים ה' ויהיו נֻ' עוד ראה כמה שוים הי' שמכיל ד' ויהיו מ' ותחברם ויהיו ש' עוד ראה כמה שוים הנ' מרקי מאותו שרצה לעשות שהוא ו' ויעלה ש' ג"כ
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> You can check it: subtract 20 from one hundred; 80 remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100-20=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו [חסר ממאה]&#x202B;<ref>G. om.</ref> כ' נשארו פ&#x202B;'
 |-
-|}
+|
-{|
+::A fifth of the remainder is 80; together they are a hundred, and this is what each one has.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}X+20=\left(\frac{1}{5}\sdot400\right)+20=80+20=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|חומש הנשאר [הם פ' והם מאה]&#x202B;<ref>G. ד' מאות וחלקו ק'</ref> וכן לכל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-=== Purchase Problems ===
+=== <span style=color:Green>Partnership Problems - Three Partners</span> ===
 |
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רצה)<ref>MS L: שמז</ref> שאלה לאדם היו לו מה' מיני חטה ערך הא' מ"ד סולדי המשוא וערך הב' מ"ח וערך הג' נ"ב וערך הד' ס' וערך הה' ס"ו ובא אדם ורוצה לקחת מכלם בין כלם נ' משואות שלא יבא כי אם נ"ו גרושי אשאל כמה יקח מכל א וא'
+:{{#annot:three partners|661|IGEn}}242) Question: three formed a partnership - the first contributed 2, the third 18, and the ratio of the money of the [first] to the money of the [second] is equal to the ratio of the money of the second to [the money of] the third.
+:We wish to know how much did the second contribute?
+|style="text-align:right;"|רמב)&#x202B;<ref>MS L: רצב</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות הראשון שם ב' והג' י"ח והנה יחס ממון הב' אל ממון הא' כיחס ממון הב' אל הג&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה שם הב&#x202B;'{{#annotend:IGEn}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראשנה תקשור כנז' בשאלה הקודמת ותסדרם כך
+::The money of the first should be multiplied by [the money of] the third. Extract its root, [which is 6], and it is the money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{2\sdot18}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון הראשון נגד הג' וקח שרשם והוא <sup>ו</sup> ממון השני
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{44=56-12}}</math>
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|ועתה תתחיל לקשור מ"ד שהם היותר פחותים עם ס"ו שהוא היותר גדול עם הערך שתרצה לעשות ותאמר מ"ד הוא פחות מנ"ו י"ב ושים י"ב על ס"ו
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{66=56+10}}</math>
+:{{#annot:three partners|661|LTQF}}243) Question: three formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס"ו מוסיפים על נ"ו י' ולכן שים י' על מד
+:The excess of the second over the first plus the excess of the third over the second is equal to the excess of the third over the first.
+:The [amount of] money of the first is 3 and the [amount of] money of the third is 8.
+:We wish to know how much is the [amount of] money of the second?
+|style="text-align:right;"|רמג)&#x202B;<ref>MS L: רצג</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+ומה שמוסיף הב' אל הא' עם מה שמוסיף הג' אל הב' הוא שוה אל מה שמוסיף הג' על הא&#x202B;'<br>
+וממון הא' ג' וממון הג' ח' נרצה לדעת כמה ממון הב&#x202B;'{{#annotend:LTQF}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{48=56-8}}</math>
+::Multiply 3 by 8; the result is 24.
-|style="text-align:right;"|אח"כ תקשור מ"ח שהוא פחות מנ"ו עם ס' שהוא יותר מנ"ו ותאמר מ"ח הוא נו פחות מנ"ו ח' ושים ח' על ס'
+|style="text-align:right;"|כפול ג' על ח' ויעלו כ"ד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60=56+4}}</math>
+::Divide it by the sum of the money of the first and the third, which is 11; the result is 2 and 2 parts of 11.
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס' הם יותר מנ"ו ד' ולכן שים ד' על מ"ח
+|style="text-align:right;"|חלקם על חבור ממון הא' והג' שהם י"א ויצאו ב' וב' חלקים מי"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וישאר לנו לקשור נ"ב שהוא פחות מנ"ו ולכן יש לך לקשור אותו עם איזה ערך שיהיה יותר מנ"ו ונוכל לקשור אותו עם ס' או ס"ו
+::Multiply it by 2; it is 4 and 4 parts of 11.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=2\sdot\frac{3\sdot8}{3+8}=2\sdot\frac{24}{11}=2\sdot\left(2+\frac{2}{11}\right)=4+\frac{4}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכפלם על ב' ויהיו ד' וד' חלקים מי"א
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{52=56-4}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> you can check it.
-|style="text-align:right;"|ונקשור אותו עם ס"ו ונאמר כי נ"ב הוא פחות מנ"ו ס' ד' ולכן שים ד' על ס"ו
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{66=56+10}}</math>
+::Because the difference between the first and the second is 1 and 4 parts of 11.
-|style="text-align:right;"|עוד תאמר ס"ו הוא מוסיף י' על נ"ו ולכן שים י' על נ"ב
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=\left(4+\frac{4}{11}\right)-3=1+\frac{4}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי הפרש הא' אל הב' הוא א' וד' חלקים מי"א
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12+4=16}}</math>
+::The difference between the second and the third is 3 and 7 parts of 11.
-|style="text-align:right;"|ועתה תחבר הי"ב והד' שהם על ס"ו ויהיו י"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=8-\left(4+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וההפרש מהב' אל הג' הוא ג' וז' חלקים מי"א
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10+4+10+8+16=48}}</math>
+::Sum them up; it is 5 and so is the difference between the first and the third.
-|style="text-align:right;"|ועתה תחבר הי' שהם על מ"ד והד' שהם על מ"ח והי' שהם על נ"ב והח' שהם על ס' והי"ו שהם על ס"ו ויהיו מ"ח
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{4}{11}\right)+\left(3+\frac{7}{11}\right)=5=8-3=a_3-a_1}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו ה' וכן הוא ההפרש מהא' אל הג&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{48:50=10:a_1}}</math>
+:{{#annot:three partners|661|VotJ}}244) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 8.
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם מ"ח נתן לי נֻ' משואות כמה יתן לי עשרה עבור החטה הראשנה
+:We wish to know how much is the [amount of] money of the first?
+|style="text-align:right;"|רמד)&#x202B;<ref>MS L: רצד</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות [כנזכר לעיל]&#x202B;<ref>G om.</ref> וממון הב' ד' וממון הג' ח&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת מהו ממון הראשון{{#annotend:VotJ}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=10+\frac{5}{12}}}</math>
+::Multiply the money of the second by [the money of] the third; it is 32.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י' וה' חלקים מי"ב וכן יקח מאותה ששוה מ"ד גרושי המשוא
+|style="text-align:right;"|כפול ממון הב' על הג' ויהיו ל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כן תעשה מכל הה' ערכים
+::Add the excess of the third over the second to the money of the third: the excess of the money of the [third] over the money of the [second] is 4; [together] they are 12.
+|style="text-align:right;"|ומה שמוסיף ג' על ב' תוסיף על ממון הג' &#x202B;<ref>265r</ref>והנה מוסיף ממון הב' על ממון הג' ד' ויהיו י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול מה שיצא לך על כל ערך ר"ל מה שראוי לקחת מכל ערך על ערכו ושמור העולה גם כפול נ' שהם המשואות שעשה על נ"ו והעולה יהיה שוה אל השמור
+::Divide 32 by 12; the result is 2 and 2-thirds and this is the money of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{a_2\sdot a_3}{a_3+\left(a_3-a_2\right)}=\frac{4\sdot8}{8+\left(8-4\right)}=\frac{32}{8+4}=\frac{32}{12}=2+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחלק ל"ב על י"ב ויצא ב' וב' שלישיות והוא ממון הא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס"ו ונ"ב עם ס' ויצא לך מה שראוי לקחת אשר לא היה כמוהו בפעם הראשנה אך כשתבחון אותו הוא ג"כ דרך מדוקדק וצודק
+:{{#annot:three partners|661|Nw0O}}245) Question: three formed a partnership as aforementioned - the [amount of] money of the first is 6 and the [amount of] money of the second is 9.
+:We wish to know how much is the [amount of] money of the third?
+|style="text-align:right;"|רמה)&#x202B;<ref>MS L: רצה</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות כנז' לעיל וממון הראשון ו' וממון השני ט&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה ממון הג&#x202B;'{{#annotend:Nw0O}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועוד נוכל לקשור באופן אחר והוא שתקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס"ו ונ"ב עם ס"ו ויצא לך קשר של קיימה
+::We multiply the money of the first, which is 6, by the money of the second, which is 9; it is 54.
+|style="text-align:right;"|הנה נכפול ממון הראשון שהוא ו' על ממון השני שהוא ט' ויהיו נ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועוד באופן אחר תקשור מ"ד עם ס' ומ"ח עם ס' ונ"ב עם ס"ו וכל אלו הקשורים כשתבחון כל א מהם הוא נכון והוא קשר אמיץ
+::Then, we subtract the excess of the second number over the first number, the excess is 3, subtract it from the first number, which is 6; 3 remains.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נסיר היתרון שיש מהמספר השני על המספר הראשון והיתרון הוא ג' ותפילם מהמספר הראשון שהוא ו' ונשארו ג&#x202B;'
 |-
 |
-:296) Question: a man bought a pearl for 150 minyanim and sold it for 175.<br>
+::Divide the 54 by 3; you receive 18 and this is the money of the third.
-:I ask: how much does he earn for every hundred?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{a_1\sdot a_2}{a_1-\left(a_2-a_1\right)}=\frac{6\sdot9}{6-\left(9-6\right)}=\frac{54}{6-3}=\frac{54}{3}=18}}</math>
-|style="text-align:right;"|רצו)<ref>MS L: שמח</ref> שאלה אדם קנה מרגלית אחת עבור ק"נ מנינים ומכרה קע"ה<br>
+|style="text-align:right;"|ותחלק אלו הנ"ד על ג' ויצא לך י"ח והוא ממון הג&#x202B;'
-אשאל כמה מרויח על כל מאה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{174-150=24}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> you can check it.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראה ההפרש שהוא מק"נ עד קע"ד ותמצא כ"ד
+|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{150:24=100:x}}</math>
+::Because the second exceeds over the first by 3.
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם ק"נ הרויחו כ"ד ק' כמה ירויחו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2-a_1=9-6=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|כי השני מוסיף על הראשון ג&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16}}</math>
+::The third exceeds over the second by 9.
-|style="text-align:right;"|יצא לך י"ו וכך הרויח על כל ק'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=18-9=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והג' מוסיף על הב' ט&#x202B;'
 |-
 |
-:297) Question: a man bought something for 45 minyanim and sold it for 34.<br>
+::With 3; it is 12 and so the third, which is 18, exceeds over the first number, which is 6.
-:I ask: how much did he lose for every hundred?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3+9=12=18-6=a_3-a_1}}</math>
-|style="text-align:right;"|רצז)<ref>MS L: שמט</ref> שאלה אדם קנה דבר מה עבור מ"ה מנינים ומכרה ל"ה (ל"ד)<br>
+|style="text-align:right;"|ועם הג' והנם י"ב וככה מוסיף השלישי שהוא י"ח על המספר הראשון שהוא ו&#x202B;'
-אשאל כמה הפסיד על כל ק'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{45-34=11}}</math>
+::Deduce from this.
-|style="text-align:right;"|הוצא ממ"ה ל"ד הנשאר י"א
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{45:11=100:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם עבור מ"ה הפסיד י"א עבור ק' כמה יפסיד
+=== <span style=color:Green>Multiple Quantities Problem - Four Purses</span> ===
+|
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=24+\frac{4}{9}}}</math>
+:{{#annot:four purses|652|OQwb}}246) Question: four men found four purses.
-|style="text-align:right;"|ויצא כ"ד וד' תשיעיות וכך הפסיד על כל ק'
+:The ratio of the money of the first to [the money of] the second is the same as the ratio of the money of the third to [the money of] the fourth.
+:The sum of the squares of the four amounts of money is 200.
+:The money of the first is 2 and the money of the fourth is 12.
+:We ask to know how much is the money of the second and the third.
+|style="text-align:right;"|רמו) <big>שאלה</big> ד' אנשים מצאו ד' כיסים וכפי יחס ממון הא' אל הב' כך יחס ממון הג' אל הד' וחבור מרובעי ממון מהד' כיסים עולה ב' מאות וממון הא' ב' וממון הד' י"ב<br>
+נבקש לדעת מהו ממון הב' והג&#x202B;'{{#annotend:OQwb}}
 |-
 |
-:298) Question: a man sold something for 80 minyanim and earned 15 for every 100.<br>
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=200\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_4=12\end{cases}</math>
-:I ask: for how much did he buy the thing?
+|
-|style="text-align:right;"|רצח)<ref>MS L: שנ</ref> שאלה אדם מוכר דבר מה עבור פ' מנינים והרויח ט"ו עבור ק'<br>
-אשאל כמה קנה הדבר
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100+15=115}}</math>
+::You must add 2 to 12; it is 14.
-|style="text-align:right;"|עשה כן ותוסיף ט"ו על ק'
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר ב' עם י"ב ויהיו י"ד
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{115:100=80:x}}</math>
+::Its square is 196.
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם קט"ו שבו ק' פ' כמה ישובו
+|style="text-align:right;"|ומרובעו קצ"ו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=69+\frac{13}{23}}}</math>
+::4 is missing to 200.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ס"ט וי"ג חלקים מכ"ג
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד ב' מאות ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רצט)<ref>MS L: שנא</ref> שאלה אדם מכר דבר מה עבור קנ"ה והפסיד י"ב עבור כל מאה אשאל כמה קנה המסחר
+::We extract its root; it is 2 and this is the excess of one of the two number over the other.
+|style="text-align:right;"|נקח שרשם והוא ב' והוא מה שמוסיף אחד מהב' מספרים על חבירו
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|תחסר י"ב מק' וישארו פ"ח ותאמר אם ק' שבו פ"ח קנ"ה כמה ישובו ויצא לך קמ"ב (קל"ו) וחלק אחד מכ"ב (ב' חלקים מה')
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3-a_2=\sqrt{200-\left(2+12\right)^2}=\sqrt{200-14^2}=\sqrt{200-196}=\sqrt{4}=2}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ש)<ref>MS L: שנב</ref> שאלה אדם קנה דבר מה עבו' ע' מנינים אשאל כמה ראוי למכרה באופן שירויח י"ו על כל ק'
+::To know how much is each of the numbers, see how much is the difference between 2 and 12; it is ten.
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוא כל א' מהמספרים ראה ההפרש שיש בין ב' וי"ב והוא עשרה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הק' ראוי שישובו קי"ו ולכן תאמ' אם ק' שבו קי"ו כמה ישובו ע' ויצא לך פא וחומש
+::Its square is 100.
+|style="text-align:right;"|ומרובעם ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שא)<ref>MS L: שנג</ref> שאלה באיזה אופן ראוי לקנות ליט' המשי כי כשאמכור כל ליט' ל"ב סולדי שארויח על כל מאה סולדי ט"ו
+::Subtract it from 200; 100 remains.
+|style="text-align:right;"|ותפילם מב' מאות ונשארו ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה אם קט"ו נתן לי ק' כמה יתן לי ל"ב ויצא לך כ"ז וי"ט חלקים מכ"ג
+::Extract its root; it is 10 and this is the total money in the two purses.
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והוא י' והוא ממון כל הב' כיסים
 |-
-|
+|colspan=2|
-:302) Question: a man sold a pearl for 150 minyanim and earned 20 for every 100.<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2+a_3=\sqrt{200-\left(12-2\right)^2}=\sqrt{200-10^2}=\sqrt{200-100}=\sqrt{100}=10}}</math>
-:I ask: for how much should he sell it, if he wanted to earn 25 for every 100?
-|style="text-align:right;"|שב)<ref>MS L: שנד</ref> שאלה אדם מוכר מרגלית אחת ק"נ מנינים והרויח כ' עבור כל ק'<br>
-אשאל אם רצה להרויח כ"ה על כל מאה כמה ראוי שימכרנה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=150:x}}</math>
+::We already said that one of the purses exceeds the other by 2. Therefore, we divide 10 into two parts, one of which exceeds the other by 2: one part is 4 and the other is 6. Thus, one purse has 4 and in the other 6.
-|style="text-align:right;"|תעשה כך ראוי שתאמר אם ק"כ נתן לי ק' ק"נ כמה יתן לי
+|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי א' מהכיסים מוסיף על האחר ב' על כן נעשה מי' ב' חלקים אשר א' יעדיף על האחר ב' והנה החלק הא' הוא ד' והאחר ו' והנה בכיס א' ד' ובכיס אחר ו&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=125}}</math>
+::We still do not know if 4 is in the third purse of the fourth.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך קכ"ה וכך קנה המרגלית
+|style="text-align:right;"|ועדין לא נדע אם ד' הוא בכיס ג' או ד&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:125=125:x}}</math>
+::Since we said that the ratio of the money of the [third] to [the money of] the [fourth] is the same as the ratio of the money of the first to [the money of] the second, the first purse has 2, the second purse has 4, the third purse has 6, and the fourth purse has 12.
-|style="text-align:right;"|ועתה כדי לדעת כמה ימכרנה כדי שירויח כ"ה תאמר אם ק' נתן לי קכ"ה קכ"ה כמה יתנו לי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1:a_2=a_3:a_4\longrightarrow a_1=2;\,a_2=4;\,a_3=6;\,a_4=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|אך מצד שאמרנו כי יחס ממון השני אל הג' כיחס ממון הא' אל הב' הנה א"כ בכיס הא' ב' ובכיס הב' ד' ובכיס הג' ו' ובכיס הד' י"ב
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=156+\frac{1}{4}}}</math>
+::Thus, the ratio of the first to the second is the same as the ratio of the third to the fourth.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך קנ"ו ורביע
+|style="text-align:right;"|וכפי יחס הא' אל הב' כן יחס הג' אל הד&#x202B;'
-|-
-|}
-{|
 |-
 |
-=== Exchange Problems ===
+=== <span style=color:Green>Partnership Problem - Four Partners</span> ===
 |
 |-
 |
-:303) Question: if 7 liṭra of Padua are 5 of Venice, how much of Venice are 140 of Padua?
+:{{#annot:four partners|661|pyiw}}247) Question: four formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|שג)<ref>MS L: שנו</ref> שאלה אם ז' ליט' מ{{#annot:Padua|2593|IOLW}}פדואה{{#annotend:IOLW}} הם ה' מוינישיאה<br>
+:The ratio of the [amount of] money of the first to the second is equal to the ratio of the third to the fourth.
-ק"מ מפדואה כמה הם מוינישיאה
+:The sum of their squares is 125.
+:The sum of the numbers is 21.
+:The [amount of] money of the second is 4 and the [amount of] money of the third is 6.
+:We wish to know how much are the [amounts of] money of the first and the fourth?
+|style="text-align:right;"|רמז)&#x202B;<ref>MS L: רצז</ref> <big>שאלה</big> ד' אנשים [עושים שותפות]&#x202B;<ref>G בשותפות</ref><br>
+ויחס ממון הראשון אל הב' כיחס הג' אל הד&#x202B;'<br>
+וחבור ד' מרובעיהם עולה קכ"ה<br>
+וחבור מספריהם עולה כ"א<br>
+וממון הב' ד' וממון הג' ו&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת מהו ממון הא' והד&#x202B;'{{#annotend:pyiw}}
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{140\sdot5}{7}=100}}</math>
+::We sum 4 and 6; it is 10.
-|style="text-align:right;"|כפול ק"מ על ה' וחלק על ז'<br>
+|style="text-align:right;"|הנה נחבר ד' וו' ויהיו י&#x202B;'
-יצא לך ק'
 |-
 |
-:304) Question: if 100 liṭra of Meudon are 115 of Venice, and 180 of Venice are 150 of Corfu, and 240 of Corfu are 360 of Negroponte, I ask how much of Meudon are 850 of Negroponte?
+::Its square is 100.
-|style="text-align:right;"|שד)<ref>MS L: שנז</ref> שאלה אם ק' ליט' של מודו הם מוינישיאה קט"ו וק"פ של וינישיאה הם מאותם של קורפו ק"נ ור"מ מקורפו הם בניגריפונטי ש"ס<br>
+|style="text-align:right;"|ומרובעם ק&#x202B;'
-אשאל ח' מאות ונ' מניגריפונטי כמה הם ממודו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ח' מאות ונ' מ{{#annot:Negroponte|2593|dIVb}}ניגריפונטי{{#annotend:dIVb}} כמה הם מ{{#annot:Corfu|2593|R3zg}}קורפו{{#annotend:R3zg}}
+::25 is missing to 125.
+|style="text-align:right;"|ויחסר לנו עד קכ"ה כ"ה
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{360:240=850:x}}</math>
+::Its root is 5 and this is what remains from the money of the fourth after the money of the first is taken from it.
-|style="text-align:right;"|אם ג' מאות וס' מניגריפונטי הם ר"מ מקורפו כמה ישוו ח' מאות ונ'
+|style="text-align:right;"|ושרשם ה' והוא מה שנשאר מממון הד' אחר שילקח ממנו סך ממון הא&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4-a_1&\scriptstyle=\sqrt{125-\left(a_2+a_3\right)^2}=\sqrt{125-\left(4+6\right)^2}=\sqrt{125-10^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{125-100}=\sqrt{25}=5\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=566+\frac{2}{3}}}</math>
+::Now, sum up 6, 4, and 5; it is 15.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך תקס"ו וב' שלישיות
+|style="text-align:right;"|עתה תחבר ו' וד' וה' ויהיו ט"ו
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{150:180=\left(566+\frac{2}{3}\right):x}}</math>
+::6 is missing to 21.
-|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם ק"נ מקורפו הם מוינישיאה ק"פ תקס"ו וב' שלישיות כמה שוות
+|style="text-align:right;"|ועד כ"א נחסר ו&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=680}}</math>
+::We divide it by 2; the result is 3.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך תר"פ מוינישיאה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{21-\left(6+4+5\right)}{2}=\frac{21-15}{2}=\frac{6}{2}=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ב' ויצא ג&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{115:100=680:x}}</math>
+::Add 3 to 5; it is 8 and this is the money of the fourth.
-|style="text-align:right;"|עתה תאמר אם קט"ו מוינישיאה הם ק' מ{{#annot:Meudon|2593|OHTf}}מודו{{#annotend:OHTf}} תר"פ כמה שוות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=5+3=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושים ג' על ה' והנם ח' &#x202B;<ref>265v</ref>והוא ממון הד&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=591+\frac{7}{23}}}</math>
+::The remaining 3 is the money of the first.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך תקצ"א וז' חלקים מכ"ג
+|style="text-align:right;"|והג' שנשארו הוא ממון הראשון
-|-
-|Bolognino
-|style="text-align:right;"|שה)<ref>MS L שנח</ref> שאלה ח' מרקיטי שוים י"ג פרושיני וט"ו מפרושא שוים ט' מבולונייני י"ב בולוניני שוה י"ו פישאני וכ"ד פישאני שוה ל"ב גינוויני אשאל ק"מ זינוויני כמה מרקיטי הם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראה כמה שוים ק"נ (ק"מ) זינוויני מהפושאני ותאמר כן אם ל"ב שוים כ"ד ק"מ כמה שוים יצא לך ק"ה והם פישאני וכך תעשה מכלם כאשר עשית מהזינוויני עם הפישאני ויצא לך כי הק"מ זינוויני שוה מהמרקיטי פ' וי' חלקים מי"ג
+::Deduce from this.
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שו)<ref>MS L שנט</ref> שאלה אם מ"ב קנים מפריש שוות ח' (י) ליט' וו' סולדי וח' דינרין ממטבעו' של פרושי ונושא אותו בפלורינצא נמצא כי הח' קנים מפארושי שוות ט' בלורינציאה והסולדי מפרושי שוה ד' מאותם של פלורינצא גם ח' דינרין אשאל כמה שוה הקנה מפלורינציא שהם ד' אמות
-|-
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problem</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הסולדי מפרושי הם ד' וח' דינרין מפלורינצא א"כ הי"ב דינרין מפרוש שיש בכל סולדי של פריש שוה בפלורינצא נ"ו שהם ד' סולדי וח' דינרין ועתה ראוי לראות הי' ליט' והו' סולדי וח' דינרין מפארושי כמה הם מפלורינצא נעשה כן אם י"ב דינרין מפרושי הם שוים נ"ו מפיאורינצא כמה ישוו י' וו' סולדי וח' דינרין ויצא לך מ"ח ליט' וב' (ד') סולדי וה' דינרין ושליש ממטבע של פלורינצא לערך כ' סולדי בכל ליט' ועתה ראוי לראות כמה הם הי' קנים מפרוש מאותם של פלורינצא ותאמר אם ח' מפרוש שוות ט' מפלורינצא מ"ב מפרוש ישוו מ"ז ורביע א"כ מה שהוא בפלורינצא מ"ז ורביע ישוה מ"ח ליט' וד' סולדי וה' דינרין
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוא ערך הקנה שהם ד' בראצי תאמר אם מ"ז ורביע שוה ליט' מ"ח וד' סולדי וה' דינרין ושליש ד' כמה שוים ויצא לך ד' ליט' א סולדו וז' דינרין וסא חלקים מפ"א וכך ישוה הקנה בפלורינצא ממטבע של פלורינצא
+:{{#annot:2/3=4/a|618|PZIU}}248) Question: we have four numbers, such that the ratio of the first to the second is the same as the ratio of the third to the fourth, the sum of the four squares is 65, the first is 2, the second is 3, and the third is 4.
-|-
+:I ask: how much is the fourth?
-|}
+|style="text-align:right;"|רמח) <big>שאלה</big> לנו ד' מספרים שיחס הא' אל הב' כיחס הג' אל הד' והד' מרובעים עולה ס"ה וממון הא' ב' וממון הב' ג' וממון הג' ד&#x202B;'<br>
-{|
+אשאל כמה ממון הד&#x202B;'{{#annotend:PZIU}}
 |-
 |
+:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a_1:a_2=a_3:a_4\\\scriptstyle a_1^2+a_2^2+a_3^2+a_4^2=65\\\scriptstyle a_1=2\\\scriptstyle a_2=3\\\scriptstyle a_3=4\end{cases}</math>
-=== Bay and Sell Problems ===
 |
 |-
 |
-:307) Question: a man bought braccio of silk cloth in Venice for 7 grossi, then he went to Saragosa.<br>
+::We take the two mean numbers, which are 3 and 4, and we sum them; they are 7.
-:The canna in Saragosa is 3⅓ in Venice.<br>
+|style="text-align:right;"|הנה נקח הב' מספרים אמצעיים שהם ג' וד' ונחברם ויהיו ז&#x202B;'
-:The Venetian magen is equal to 18 carlini of Saragosa.<br>
-:He sold the canna in Saragosa for 75 carlini.<br>
-:I ask: how much did he earn for 100?
-|style="text-align:right;"|שז)<ref>MS L: שס</ref> שאלה אדם קנה הבראצו מבגד של משי בוינישיאה בז' גרושי והולך בצאראגוסא<br>
-והנה הקנה מצראגוסא הוא ג' בראצי ושליש מוינישיאה<br>
-והמגן ויניציאני שוה י"ח קרליני מצאראגוסא<br>
-וזה מוכר הקנה בצאראגוסא ע"ה קרלי'<br>
-אשאל כמה הוא מרויח עבור ק'
 |-
 |
-::for a price of 27 grossi for each braccio: 3⅓ Venetian braccio = 1 canna of Saragosa are worth 90 grossi
+::Its square is 49.
-|style="text-align:right;"|ראשנה ראוי לדעת כי הג' בראצי ושליש מוינישיאה שהם קנה א מצרגוצא הם שוות צ' גרושי לערך כ"ז גרושי כל הבראצי
+|style="text-align:right;"|ומרובעם מ"ט
 |-
 |
-::24 grossi = 1 Venetian ducat = 18 carlini
+::16 is missing to 65.
-|style="text-align:right;"|גם ראוי לך לדעת כי כ"ד גרושי הם דוקט' אחד ויניציאנו והדוקאטו ויניציאנו שוה י"ח קרליני
+|style="text-align:right;"|ויחסר לנו עד ס"ה י"ו
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24:1=90:x}}</math>
+::We extract its root; it is 4.
-|style="text-align:right;"|ולכן תאמר אם כ"ד שוים א' דוק' צ' כמה שוים
+|style="text-align:right;"|נקח שרשם ויהיו ד&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{67+\frac{1}{2}}{18}}}</math> = 67½ carlini
+::Add the first to it, which is 2; they are 6 and this is the fourth.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ע' ס"ז וחצי שהם קרלי' ועתה מצאת כי הקנה שוה ס"ז קרלי וחצי
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ממון הראשון שהוא ב' ויהיו ו' והוא ממון הד&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_4&\scriptstyle=a_1+\sqrt{65-\left(a_2+a_3\right)^2}=2+\sqrt{65-\left(3+4\right)^2}=2+\sqrt{65-7^2}\\&\scriptstyle=2+\sqrt{65-49}=2+\sqrt{16}=2+4=6\\\end{align}}}</math>
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(67+\frac{1}{2}\right):75=100:x}}</math>
+:Examine and you will find [that it is true].
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוא מרויח עבור מאה כבר ידעת כי הוא מכר הקנה ע"ה ולכן תאמר אם מס"ז וחצי הוא עשה ע"ה כמה יעשה מק'
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=111+\frac{1}{9}}}</math>
+=== <span style=color:Green>Currency Problem - Tapuaḥ-Pašuṭ - Double False Position</span> ===
-|style="text-align:right;"|ויצא לך קי"א ותשיעית הנה א"כ הוא מרויח י"א ותשיעית עבור מאה
+|
 |-
 |
-:308) Question: a man went to Patras [city in western Greece] and bought there 100 measures of wine called metreta [Greek liquid measurement] for 70 coins called
+:{{#annot:tapuaḥ, pašuṭ|632|2pNu}}249) Question: if 4 tapuḥim plus 1 pašuṭ are equal to 8 pešuṭim minus 1 tapuaḥ, how much is the value of each tapuaḥ?
-|style="text-align:right;"|שח)<ref>MS L שסא</ref> שאלה איש הולך איש הולך בפיטראש וקנה לשם עבור מטבעות ע' נקראות פפי ק' מדות יין נקראות מיטרי ונושא היין בוינישיאה ומצא כי המיטרי נ"ב הם אנפורא א מוינישיאה שהיא מדה ידועה אצלם ועשרה פפי שוים א' מגן אשאל באיזה אופן ימכור כדי שירויח על כל ק' אנפורא כ'
+|style="text-align:right;"|רמט) <big>שאלה</big> אם ד' תפוחים עם א' פשוט שוות ח' פשוטים פחות תפוח א&#x202B;'<br>
-|-
+כמה ערך כל תפוח{{#annotend:2pNu}}
-| anphora [=amphora - measure of liquid]
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא זה ראה כמה שוות הנ"ב מיטרי בזה האופן ותאמר אם מיטרי ק' שוות ע' פיפי נ"ב מיטרי כמה שוה ויצא לך ל"ו וב' חומשים א"כ האנפורא שהם נ"ב פיפי (מיטרי) שוות ל"ו וב' חומשי פיפי עתה ראוי לדעת כמה שוות אלו הל"ו פיפי ממטבע של וינישיאה ותאמר אם ה' (י') שוות א ל"ו וב' חומשים כמה שוים ויצא לך ג' וי"ו חלקים מכ"ה א"כ האנפורא מוינישיאה שוה ג' מנינים וי"ו חלקים מכ"ה ולדעת באיזה אופן ימכור כדי שירויח כ' עבור ק' תאמ' אם ק' עשה [ק]כ' כמה יעשו ג' וי"ו חלקים ויצא לך ד' מנינים וחלקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|רט)<ref>MS L שסב</ref> שאלה הנה הככר בשוריאה הוא ז' מאות ליט' והק' ליט' משוריאה הם קי"(א) של וינישיאה וחמישים מטבעים של שוריא נקראים כרומי שוות א דוק' וינישיאנו נשאל עבור כמה כרומי ראוי לקנות הככר משוריאה באופן כי כשאמכור הק' ליט' נ' דוק' שארויח כ' על כל מאה
+::We solve it by false position:
+|style="text-align:right;"|נעשה אותו עם {{#annot:term|1914|uMkU}}פלצא פוסיסיאוני{{#annotend:uMkU}}
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{110:100=100:x}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position 1:'''</span> we suppose the value of each tapuaḥ is 2 pešuṭim.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה מצד כי אמר כי רוצה להרויח עבור הק' ליט' של וינישיאה כ' ראה הק' משוריאה כמה הם מוינישיאה ותאמר אם ק"י מוינישיאה הם ק' מן שוריאה ק' מוינישיאה כמה הם
+|style="text-align:right;"|ונשים ערך כל {{#annot:tapuaḥ|2643|XQxG}}תפוח{{#annotend:XQxG}} ב' פשוטים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=90+\frac{10}{11}}}</math>
+::Plus 1, they are 9.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך צ' ועשרה חלקים מי"א א"כ הצ' ליט' והי' חלקים מי"א ראוי למכור עבור (עבור) הו' מנינים
+|style="text-align:right;"|ועם א' ויהיו ט&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(90+\frac{10}{11}\right):6=700:x}}</math>
+::Subtract 2 from 8 pešuṭim; 6 remain.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה שווי הז' מאות ליט' של שוריא שהם ככר אחד תאמר כך אם צ' וי' חלקים מי"א שוה ו' כמה ישוה ז' מאות
+|style="text-align:right;"|תסיר מח' פשוטים ב' ונשארו ו&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=46+\frac{1}{5}}}</math>
+::3 are missing to 9.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך מ"ו וחומש
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד ט' ג&#x202B;'
 |-
-|
+|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1:50=\left(46+\frac{1}{5}\right):x}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(2\sdot4\right)+1\right]-\left[\left(2\sdot4\right)-\left(2\sdot1\right)\right]=\left(8+1\right)-\left(8-2\right)=9-6=3}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה כרומי ראוי לקנות אותו תאמר אם מגן אחד שוה נ כרומי נ"ו (מ"ו) וחומש כמה שוה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2310}}</math>
+::Say: 3 is missing for 2.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך אלפים וג' מאות ועשר
+|style="text-align:right;"|ותאמר בעד ב' חסר ג&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:100=2310:x}}</math>
+::<span style=color:Green>'''False Position 2:'''</span> make another assumption: suppose the value of each tapuaḥ is 2 and a half.
-|style="text-align:right;"|ומצד שאמר כי רוצה להרויח עבור כל ק' כ' תאמר אם ק"כ שבו (ק') ב' אלפים וג' מאות ועשר כמה ישובו
+|style="text-align:right;"|שוב לעשות ערך אחר ושים ערך כל תפוח ב' וחצי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1925}}</math>
+::They are 10 plus 1; it is 11.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך אלף וט' מאות וכ"ה ובזה האופן ראוי שיקנה אותו באופן כי כשימכרהו אלפים וג' מאות ועשר ירויח ק' עבור כל מאה וראוי שימכור בוינישיאה ו' מנינים המאה
+|style="text-align:right;"|ויהיו י' ועם א' הנם י"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שי)<ref>MS L שסג</ref> שאלה אדם קנה צמוקים בפיטראש לערך י' פיפי השק שוק לקמ"ד ליט' וקנה מהם ב' מאות ונשאם בוינישיאה ופזר בדרך כ"ד מנינים והנה הי"ב ליט' מפיטראש הם י' מוינישיאה וי"ב פפי הם א מגן אשאל באיזה אופן ימכור השק בוינישיאה שיש בו ר"ס ליט' שירויח כ' עבור ק'
+::Subtract 2 and a half from 8; 5 and a half remains.
+|style="text-align:right;"|תסיר מח' ב' וחצי וישארו ה' וחצי
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}=\frac{200}{X}\longrightarrow X=2000}}</math>
+::Say: 5 and a half is missing for 2 and a half.
-|style="text-align:right;"|תעשה ראה כמה שוים המאתים שקים מפיטראש ותאמ' אם שק א' שוה י' פפי מאתים כמה שוים ויצא לך אלפים
+|style="text-align:right;"|ותאמר בעד ב' וחצי יחסר ה' וחצי
 |-
-|
+|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2000}{12}+24=\left(166+\frac{2}{3}\right)+24=190+\frac{2}{3}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]+1\right]-\left[\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot4\right]-\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot1\right]\right]&\scriptstyle=\left(10+1\right)-\left[8-\left(2+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=11-\left(5+\frac{1}{2}\right)=5+\frac{1}{2}\\\end{align}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועתה תחלקם על י"ב כדי שיהיו מנינים ויצא לך קסו וב' שלישיות תוסיף בם כ"ד שפזרו יהיו ק"צ וב' שלישיות
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{200\times144=28800}}</math>
+::Multiply the first value, which is 2, by what is missing for the second value, which is 5 and a half; it is 11.
-|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה ליט' של פיטראש יש בין המאתים שקים כי בכל א' יש קמ"ד ליט' ולכן כפול קמ"ד על ר' ויצא לך כ"ח אלפים וח' מאות
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הערך הא' שהוא ב' על מה שיחסר מהערך הב' שהוא ה' וחצי ויהיו י"א
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{10}=\frac{28800}{Y}\longrightarrow Y=24000}}</math>
+::Multiply 2 and a half, which is the second value, by 3, which is what is missing for the first value; it is 7 and a half.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הם מליט' של וינישיאה כבר ידעת כי י"ב מפיטראש הם י' מוינישיאה ולכן תאמר אם י"ב הם י' כ"ח אלפים ות"ת כמה הם ויצא לך כ"ד אלפים
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ב' וחצי שהוא הערך הב' על ג' שהוא מה שחסר מהערך הא' ויהיו ז' וחצי
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{24000}{190+\frac{2}{3}}=\frac{260}{Z}\longrightarrow Z=2+\frac{59}{900}}}</math>
+::Subtract 7 and a half from 11; 3 and a half remains.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה שוה השק מוינישיאה שהם ר"ס ליט' תאמ' אם כ"ד אלפים שוים ק"צ מנינים וב' שלישיות ר"ס כמה שוים ויצא לך ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
+|style="text-align:right;"|הוצא מי"א ז' וחצי ונשארו ג' וחצי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:120=\left(2+\frac{59}{900}\right):x}}</math>
+::Subtract  what is missing for the first value, which is 3, from what is missing for the second value, which is 5 and a half; 2 and a half remains.
-|style="text-align:right;"|ולדעת באיזה אופן ימכור כדי להרויח כ' על כל ק' תאמ' אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ב' ונ"ט חלקים מט' מאות
+|style="text-align:right;"|אח"כ הוצא מה שחסר הערך הא' שהוא ג' ממה שחסר הערך הב' שהוא ה' וחצי ונשארו ב' וחצי
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+}}</math>
+::Divide 3 and a half by 2 and a half; you receive 1 integer and 2-fifths and this is the value of each tapuaḥ.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ב' דוק' וי"א גרושי פיצולי ט"ו וחלקים וכך ראוי שימכור השק מוינישיאה כדי להרויח כ' בעד ק'
+|style="text-align:right;"|אח"כ חלק ג' וחצי על ב' וחצי ויצא לך א' שלם וב' חמישיות והוא ערך כל תפוח
 |-
-|}
+|colspan=2|
-{|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left[2\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[\left(2+\frac{1}{2}\right)\sdot3\right]}{\left(5+\frac{1}{2}\right)-3}=\frac{11-\left(7+\frac{1}{2}\right)}{2+\frac{1}{2}}=\frac{3+\frac{1}{2}}{2+\frac{1}{2}}=1+\frac{2}{5}}}</math>
 |-
 |
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> because the 4 are equal to 5 and 3-fifths; plus 1 they are 6 and 3-fifths.
-=== <span style=color:Green>Give and Take Problems</span> ===
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[4\sdot\left(1+\frac{2}{5}\right)\right]+1=\left(5+\frac{3}{5}\right)+1=6+\frac{3}{5}}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|כי הד' שוות ה' וג' חמישיות עם א' ויהיו ו' וג' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שיא)<ref>MS L שסד</ref> שאלה אדם נוסע מנאפולי ללכת בוירונא עם סך ממון ומרויח הכ' עבור ק' ופזר רביעית כל הסך ונשארו לו ק' אשאל כמה ממון היה בנסעו מנאפולי
+::Subtract the value of one tapuaḥ from 8 pešuṭim; 6 and 3-fifths remain also.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(1+\frac{2}{5}\right)=6+\frac{3}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חסר מח' פשוטים ערך א' תפוח וישאר ג"כ ו' וג' חמישיות
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{200+\left(2\sdot20\right)=200+40=240}}</math><br>
+::Deduce from this.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{240-\left(\frac{1}{4}\sdot240\right)=180}}</math><br>
+|style="text-align:right;"|ותקיש על זה
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200}{180}=\frac{X}{100}\longrightarrow X=111+\frac{1}{9}}}</math>
+|-
-|style="text-align:right;"|נניח שהיו לו מאתים תוסיף בם מ' שהוא ריוח כ' על כל מאה ויהיו ר"מ<br>
+|
-תוציא מהם הרביעית וישארו ק"פ<br>
-ואנו מבקשים ק' ולכן תאמר אם ר' נתן ק"פ כמה יתנו לי באופן שיצא ק' ויצא לך קי"א ותשיעית ותוכל לבחון אותו
+=== <span style=color:Green>To and From Problem - Ant Climbing</span> ===
+|
+|-
+|
+:{{#annot:ant climbing|659|fIKA}}250) Question: if an ant climbs 2-thirds every day and goes down 7 parts of 12 at night,  in how many days it will climb ten units?
+|style="text-align:right;"|רנ)&#x202B;<ref>MS L שג</ref> <big>שאלה</big> אם נמלה עולה בכל יום ב' שלישיות ובלילה יורדת ז' חלקים מי"ב בכמה ימים יעלה עשרה שלמים{{#annotend:fIKA}}
+|-
+|
+::Know that most arithmeticians are wrong about it and say that it climbs up in 120 days exactly.
+|style="text-align:right;"|דע כי רוב החשבנים טועים בזה ואומרי' כי לא תעלה כי אם לק"כ ימים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שיב)<ref>MS L שסה</ref> שאלה אדם נוסע מוינישיאה ללכת בנאפולי עם דינרין ומרויח עבו' ק' כ' ומפזר ל"ב ואח"כ מצא שהרויח כ"ח מנינים אשאל עם כמה ממון נסע מוינישיאה
+::Because 2-thirds of 12 are 8.
+|style="text-align:right;"|מצד כי ב' שלישיות י"ב הם ח&#x202B;'
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{32+28=60}}</math><br>
+::subtract 7 from it; 1 remains.
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100}{20}=\frac{X}{60}\longrightarrow X=300}}</math>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם ז' ישאר א&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|כך תעשה הוא אמר כי פזר ל"ב ועכ"ז נמצא עמו מריוח כ"ח אבל אם לא פזר מאומה היה עמו ס' מנינים מריוח<br>
-ולכן תאמר אם ק' הרויח כ' כמה ראוי להיות כדי להרויח ס' ויצא ג' מאות וכך היה בנסעו מוינישיא
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שיג)<ref>MS L שסו</ref> שאלה איש נוסע מוינישיאה ללכת בשוריאה ונושא עמו סך ממון וכפל לשם ממונו ופזר ל' דוק אח"כ הולך במודו ועבור כל י' עושה י"ב ופזר כ אח"כ הולך בקאנדיאה והפסיד עבור ק' כ' ופזר מ' ואח"כ נשארו ק"נ אשאל עם כמה ממון נסע
+::Multiply [12] by ten integers; it is 120.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{\left(\frac{2}{3}\sdot12\right)-7}\sdot10=\frac{12}{8-7}\sdot10=\frac{12}{1}\sdot10=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ כפול א' חלק מי"ב על עשרה שלמים ויהיו ק"כ
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{150+40=190}}</math><br>
+::But, this is a great mistake, because it is known that in 112 it climbs 9 and a third and on the next day it climbs 2-thirds, so it completes 10 [units] and since it [reaches ten] it does not go down.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{190+\left(\frac{1}{4}\sdot190\right)=237+\frac{1}{2}}}</math><br>
+|style="text-align:right;"|והוא טעות גדול כי ידוע הוא כי בקי"ב ימים יעלה ט' ושליש וביום הבא יעלה ב' שלישיות וישלים למספר י' כי כיון שעלה לא ירד
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(237+\frac{1}{2}\right)+20=257+\frac{1}{2}}}</math><br>
+|-
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12}{10}=\frac{257+\frac{1}{2}}{X}\longrightarrow X=214+\frac{7}{12}}}</math><br>
+|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(214+\frac{7}{12}\right)+20=234+\frac{7}{12}}}</math><br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(\frac{2}{3}\sdot112\right)-\left(\frac{7}{12}\sdot112\right)\right]+\frac{2}{3}=\left(9+\frac{1}{3}\right)+\frac{2}{3}=10}}</math>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(234+\frac{7}{12}\right)=117+\frac{7}{24}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי היו לו ק"נ בקאנדיאה ופזר מ' הוסיפם על ק"נ ויהיו ק"צ<br>
-ויצא לך רל"ז וחצי וכך היה לו קודם לכתו בקאנדיאה<br>
-ותוסיף על זה כ' שפזר ויהיו רנ"ז<br>
-ולדעת כמה היה לו קודם כבר ידעת כי הוא עשה מי' י"ב ולכן תאמר אם י"ב היו י' כמה היו רנ"ז וחצי ויצא לך רי"ד וד' (ז') חלקים מי"ב וכך נשא במודו<br>
-תוסיף עליהם כ' שפזר ויהיו '''רמ"ד''' וז' חלקים מי"ב<br>
-והנה מצד שאמר כי הוא כפל ממונו ראוי לקחת חצי מ'''קמ"ד''' וז' חלקים ויצא לך '''קכב''' וז' חלקים מכ"ד וכך היה לו בנסעו מוינישיאה ותוכל לבחון אותו
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Multiple Quantities - Grinders</span> ===
+::This is the secret of the number 10.
+|style="text-align:right;"|והוא סוד במספר י&#x202B;'
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Triangulation Problem - Two Birds</span> ===
 |
 |-
 |
-:{{#annot:grinders|652|HwFH}}314) Question: if 3 grinders grind 230 tomolo in 4 days, I ask in how many days will 8 grinders grind one thousand and five hundred?
+:{{#annot:two birds|655|BS6C}}[2]51) Question: Here are two walls, one is 20 cubits high and the other is 10 cubits high.
-|style="text-align:right;"|שיד)<ref>MS L שסז</ref> שאלה אם ג' טוחנות בד' ימים טוחנים ר"ל טומולי אשאל בכמה ימים ח' טוחנות יטחנו אלף וה' מאות{{#annotend:HwFH}}
+:At the top of each wall a bird is standing.
+:They want to take a mustard seed.
+:The one is flying the same as the other.
+:The distance between this wall and this wall is 8 cubits.
+:I would like to know where the grain is.
+|style="text-align:right;"|קנא)<ref>MS L שח</ref> <big>שאלה</big> הנה <ref>266r</ref>בכאן ב' כותלים גובה הא' כ' אמות והאחרת י' אמות<br>
+ובראש כל כותל עומד עוף ורוצים לקחת גרגיר חרדל<br>
+וכ"כ מעופף הא' כמו האחר<br>
+ומרחק כותל זה מכותל זה ח' אמות<br>
+ארצה לדעת באיזה מקום הוא הגרגיר{{#annotend:BS6C}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תאמר אם ג' טוחנות טוחני' בד' ימים (ר"ל) כמה יטחנו ח' טוחנות ויצא לך כי ח' טוחנות יטחנו בד' ימים ו' מאות וי"ג ושליש אח"כ תאמר אם ו' מאות וי"ג ושליש שוים ד' אלף וה' מאות כמה שוים ויצא לך ט' וי"ח חלקים מכ"ג
+::You should multiply the height of the lower wall, which is 10, by the [difference], i.e. multiply 10 times 10.
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול גובה הכותל הנמוך שהוא י' על המרחק ר"ל שתכפול י' פעמי' י&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שטו)<ref>MS L שע</ref> שאלה אם ר"נ מנינים הרויחו בח' חדשים ס' מנינים אשאל ד' מאות מנינים בכמה זמן ירויחו ק"פ
+::Then, we multiply 8 times 8; it is 64.
+|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ח' פעמי' ח' ויהיו ס"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותאמר אם ק"נ (ר"נ) הרויחו בח' ס' כמה ירויחו ד' מאות ויצא לך צ"ו הנה א"כ עם ד' מאות מנינים בח' חדשים נרויח צ"ו א"כ תאמר אם צו נתן לי ח' ק"פ כמה יתן ויצא ט"ו א"כ בט"ו חדשים עם ד' מאות מנינים נרויח ק"פ
+::With 100, it is 164.
+|style="text-align:right;"|ועם ק' ויהיו קס"ד
 |-
 |
-:316) Question: if a kikkar of chestnuts is worth 2½ minyanim and a man sells one liṭra for 14 piccoli, I ask: if one kikkar is worth 2 minyanim, what weight should be given for one soldi?
+::Extract its root; it is approximately 12 and 5-sixths.
-|style="text-align:right;"|שיו)<ref>MS L: שעא</ref> שאלה אם ככר הערמונים שוה ב' מנינים וחצי ואדם מוכר הליט' י"ד פיצולי אשאל אם הככר שוה ב' מנינים איזה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2+8^2}=\sqrt{100+64}=\sqrt{164}\approx12+\frac{5}{6}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם ויהיו י"ב וה' שישיות בקרוב
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{1}{2}\right):14=2:x}}</math>
+::But, you cannot say that it is on the ground, because from the top of the lower wall to the top of the higher wall it is the diagonal, which is only 12 and 5-sixths and from the foot of the higher to its top it is 20, so it is not the same number.
-|style="text-align:right;"|תעשה כך תאמר שהככר שוה ב' וחצי אני מוכר י"ד כשהוא שוה ב' כמה אמכור
+|style="text-align:right;"|ולא תוכל לומ' כי הוא בקרקע כי מראש הכותל הקטן עד ראש הכותל הגדול שהוא האלכסון אין בו כי אם י"ב וה' שישיות ומרגל הגדול עד ראשו הוא כ' א"כ אין המספר שוה
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=11+\frac{1}{5}}}</math>
+::Therefore, we draw a line from the top of the higher wall to the top of the lower wall, it is 12 and 5-sixths long.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"א וחומש
+|style="text-align:right;"|לכן נמשוך קו מראש הכותל העליון עד ראש הכותל הקטן ויהיו י"ב וה' שישיות באורך
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(11+\frac{1}{5}\right):12=12:x}}</math>
+::We divide it by 2; the result is 6 and 5 parts of 12 and this is the place of the grain.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה משקל ראוי לתת עבור א' סולדו תאמר אם עבור י"א וחומש אני נותן י"ב אוקיו' שיש בליט' כמה אתן עבור י"ב פיצולי שהם א' סולדו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{12+\frac{5}{6}}{2}=6+\frac{5}{12}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ונחלקם על ב' ויצא ו' וה' חלקים מי"ב ואותו המקום הוא מקום הגרגיר
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=12+\frac{6}{7}}}</math>
+::This is its shape:
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב וו' שביעיות וכך ראוי למכור הליט'
+|style="text-align:right;"|וזה צורתו
 |-
 |
-:317) Question: when one tomolo of wheat is worth 80 soldi, the bread that is sold for 4 piccoli weighs 6 ounces.<br>
-:When one tomolo is worth only 70 soldi, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems</span> ===
-|style="text-align:right;"|שיז)<ref>MS L: שעב</ref> שאלה כשהטומולי מהחטה שוה פ' סולדי הלחם הנמכר ד' פיצולי שוקל ו' אוק' כשהטומולי לא ישוה כי אם ע' סולדי כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
+|
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{70:6=80:x}}</math>
+:{{#annot:five proportional numbers|618|BxZ9}}[2]52) Question: if you have 5 proportional numbers, the first is 3 and the fifth is 768, what is the second?
-|style="text-align:right;"|ראוי שתאמר אם ע' נתן ו' אוק' כמה יתנו פ'
+|style="text-align:right;"|קנב) <big>שאלה</big> אם יש לך ה' מספרים מתיחסים הא' ג' והה' תשס"ח<br>
+מהו השני{{#annotend:BxZ9}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}</math>
+::Multiply the first by the fifth; the result is 2304.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך ו' וו' חלקים מז' וכך ראוי שישקול הלחם השוה ד' פיצולי
+|style="text-align:right;"|כפול הא' על הה' ויעלו אלפים וג' מאות וד&#x202B;'
 |-
 |
-:318) Question: when one kikkar of wheat is worth 80 soldi, the bread that is worth 6 piccoli weighs 9 ounces.<br>
+::Extract its root; it is 48 and this is the third number.
-:When one kikkar is worth only 70, how much should the bread that is sold for 4 piccoli weigh?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{3\sdot768}=\sqrt{2304}=48}}</math>
-|style="text-align:right;"|שיח)<ref>MS L: שעג</ref> שאלה בעוד שככר החטה שוה פ' סולדי הלחם השוה ו' פיצולי שוקל ט' אוקיו'<br>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והוא מ"ח ואלו הם המספר הג&#x202B;'
-כשהככר לא ישוה כי אם ע' כמה ראוי שישקול הלחם הנמכר ד' פיצולי
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{70:9=80:x}}</math>
+::To know the second, multiply the first by the third; the result is 144.
-|style="text-align:right;"|עשה כך תאמר אם ע' נתן ט' אוק' פ' כמה יתן
+|style="text-align:right;"|ולדעת הב' כפול הא' על הג' ויעלו קמ"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{2}{7}}}</math>
+::Its root is 12 and this is the second.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י' וב' שביעיות וכך ראוי שישקול הלחם הנמכר ו' פיצולי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{3\sdot48}=\sqrt{144}=12}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם י"ב והוא הב&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6:\left(10+\frac{2}{7}\right)=4:x}}</math>
+::So, the first is 3, the second is 12, the third is 48, the fourth is 192, and the fifth is 768.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ישקול הנמכר ד' תאמ' אם ו' נתן י' וב' שביעיות מה יתן ד'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3;12;48;192;768}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ הא' ג' והב' י"ב והג' מ"ח והד' קצ"ב והה' תשס"ח
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=6+\frac{6}{7}}}</math>
+:253) Question: to know the second of six numbers, the first of which is a given number, and the sixth of which is a given number.
-|style="text-align:right;"|ויצא ו' וו' שביעיות וכן ראוי שישקול
+|style="text-align:right;"|רנג) <big>שאלה</big> לדעת מו' מספרים שהא' הוא מספר מונח והו' הוא מספר מונח לדעת הב&#x202B;'
 |-
 |
-:319) Question: when one kikkar of wheat weighs 132 liṭra, and the kikkar is worth 24 grossi, the bread that is sold for 6 piccoli weighs 12 ounces.<br>
+::Divide the last by 15 and what remains is the second.
-:I ask: when one kikkar weighs 120 and is worth 16 grossi, how much should the bread for 4 piccoli weigh?
+|style="text-align:right;"|תחלק האחרון על ט"ו ומה שישאר הוא הב&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|שיט)<ref>MS L: שעד</ref> כשככר החטה שוקלת קל"ב ליט' ושוה הככר כ"ד גרושי הלחם הנמכר מו' פיצולי שוקל י"ב אוק'<br>
-אשאל כשהככר שוקל ק"כ ושוה י"ו גרושי כמה ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{132:12=120:x}}</math>
+:*{{#annot:six proportional numbers|618|fNcE}}Example: we have six proportional numbers, the first of which is 2 and the sixth is 64.
-|style="text-align:right;"|תעשה כך תאמר אם קל"ב ליט' עם כ"ד גרושי נתנו לי י"ב אוק' עבור ו' פיצולי כמה יתנו ק"כ
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> יש לנו ו' מספרים מתיחסים שהראשון ב' והו' ס"ד{{#annotend:fNcE}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=10+\frac{10}{11}}}</math>
+::Divide 64 by 15; 4 remains and it is the second.
-|style="text-align:right;"|ויצא י' וי' חלקים מי"א א"כ הלחם הנמכר ו' פיצולי אין ראוי לשקול כי אם י' וי' חלקים מי"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=a_6\bmod15=64\bmod15=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלק ס"ד על ט"ו ישארו ד' והוא הב&#x202B;'
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{16:\left(10+\frac{10}{11}\right)=24:x}}</math>
+::You can find it with fractions also, by converting the last number into the fractions that are in the first, then divide the result by 15; the remainder is the second and it is the numerator of the fraction that is in the first.
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ישקול עבור ד' תאמר אם י"ו גרושי נתנו לי י' וי' חלקים מי"א כמה יתנו כ"ד
+|style="text-align:right;"|גם תוכל לדעת עם שברים והוא שתעשה מהמספר האחרון השברים שיש בראשון והעולה חלק על ט"ו והנשאר הוא הב' והוא סך מהשבר שיש בראשון
 |-
 |
-:<span style=color:Green>'''Rule of Four'''</span>: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6:x=4:y}}</math>
+:*{{#annot:six proportional numbers|618|FvyI}}Example: the first is 2-[eighths] and the sixth is 256 integers.
-|style="text-align:right;"|ויצא לך איזה דבר אח"כ תאמר אם ו' פיצולי נתנו לי כך כמה יתנו ד' פיצולי
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> הראשון ב' שלישיות והו' רנ"ו שלמים{{#annotend:FvyI}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{y=10+\frac{10}{11}}}</math>
+::Convert 256 into eighths; it is 204[8].
-|style="text-align:right;"|ויצא לך י' וי' חלקים מי"א וכך ראוי שישקול הלחם מד' פיצולי לערך הנז'
+|style="text-align:right;"|תעשה מרנ"ו שמיניות ויהיו אלפים ומ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכ)<ref>MS L: שעה</ref> שאלה ב' אחים מחוייבים לפרוע ז' מאות מנינים הראשון מרויח ב' שלישיות ומפזר ב' חמישיות האחר מרויח ג' רביעיות ומפזר חצי בכל יום אשאל בכמה זמן ירויחו כדי לפרוע חובם
+::Divide it by 15; 8 remains and this is the second. So, the second is 8-eighths, which is 1 integer.
+|style="text-align:right;"|חלקם על ט"ו וישארו ח' והוא השני הנה א"כ הב' הוא ח' שמיניות שהוא א' שלם
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{a_6\sdot8}{8}\bmod15=\frac{256\sdot8}{8}\bmod15=\frac{2048}{8}\bmod15=\frac{8}{8}=1}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי החלקים הם חצי ושליש ורביע וחומש בקש מספר כולל החלקי' והוא ס' ויען כי א מרויח ב' שלישיות הוצא ב' שלישיות ס' שהם מ' א"כ בס' ירויח מ' ומצד כי מפזר ב' חמישיות הוצא ב' חמישיות ס' שהם כ"ד הוציאם ממ' נשאר י"ו א"כ בס' ימים הרויח י"ו והשני מרויח ג' רביעיות הוציאם מס' שהם מ"ה הוצא מהם החצי שהם ל' נשארו ט'(ו) שמרויח בחדש בס' חברם ויהיו לא א"כ בס' מרויחים ל"א ותאמ' אם ל"א נתנו ס' ז' מאות מה יתנו ויצא אלף שנ"ד וכ"ו חלקים מל"א ובכך ימים ירויחו הנז'
+=== <span style=color:Green>Extraction of Cube Roots</span> ===
+|
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכא)<ref>MS L: שעו</ref> שאלה אדם קונה מב' מיני סחורה שוקלים בין שניהם י"ב ליט' ושוים י"ו שולדי הא' שוקל ה' והאחר ז' ואותו השוקל ה' שוה כל ליט' ג' פיצולי יותר מאותו השוקל ז' אשאל כמה ערך הליט' משניהם
+:254) Question: if you wish to know the cube number of any number you want, take the preceding [cube], take also the next [cube], and see the [difference] between the preceding and the following.
+:See the [difference] between the preceding and the given number and add 1 always.
+:Then, say that the result is the numerator of the [difference] between the preceding [cube] and the next [cube].
+|style="text-align:right;"|רנד) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה קח השרש שעבר גם קח השרש הבא &#x202B;<ref>266v</ref>וראה מה בין המוקדם והמאוחר<br>
+אח"כ ראה מה שמן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א&#x202B;'<br>
+ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי אותה של ה' שוה הליט' ג' פיצולי יותר מהאחר א"כ הה' ליט' שוות ט"ו פיצולי יותר הוציאם מי"ו סולדי הנשאר י"ד סולדי וט' פיצולי וחלקם על י"ב שהם הליט' משניהם ויצא א' סולדו וב' פיצולי וג' רביעיות והוא ערך מאותו השוקל ז' ר"ל ערך כל ליט' א"כ ערך מאותו ששוקל ה' הוא א' סולדו וה' פיצולי וג' רביעיו' ותוכל לבחון אותו ודע כי י"ב פיצולי יש בסולדו
+:*{{#annot:³√15|439|ZCaV}}Example: we wish to know the cube root of 15.
+::<math>\scriptstyle\sqrt[3]{15}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לדעת שרש מעוקב ט"ו{{#annotend:ZCaV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכב)<ref>MS L: שעז</ref> שאלה אדם קונה ביצות הג' שוים ה' פיצולי ואח"כ מכרם ד' עבור ט' פיצולי והרויח עשרים סולדי וה' פיצולי אשאל כמה ביצות קנה
+::The preceding [cube] is 8, the next [cube] is 27, and the difference is 19.
+|style="text-align:right;"|הנה הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מצד כי קנה ג' ומכר ד' בקש מספר לו שליש ורביע והוא י"ב וכבר קנה הג' ה' פיצולי א"כ היב שוים כ' פיצולי ומצד כי מכר הד' ט' פיצולי הי"ב ישוו כ"ז פיצולי א"כ עבור יב ירויח ז' עשה פיצולי מכ' סולדי ויהיו רמ"ה עם הה' ותאמר אם כדי להרויח ז' יצטרך י"ב כדי להרויח רמ"ה כמה יצטרך ויצא לך ד' מאות וכ' וכן קנה ותוכל לבחון אותו
+::You find [the difference] between 8, which is the preceding [cube], [and] 15 is 7, add 1; it is 8.
+|style="text-align:right;"|ובין ח' שהוא הקודם הוא ט"ו ותמצא ז' תוסיף א' ויהיו ח&#x202B;'
 |-
 |
+::Say that it is 8 parts of 19, i.e. the [cube] root of 15 is 2 and 8 parts of 19.
-=== Give and Take Problem - Building ===
+|style="text-align:right;"|ותאמר כי הם ח' חלקים מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וח' חלקים מי"ט
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{15}\approx2+\frac{\left(15-2^3\right)+1}{3^3-2^3}=2+\frac{\left(15-8\right)+1}{27-8}=2+\frac{7+1}{19}=2+\frac{8}{19}}}</math>
+|-
 |
+:You can do the same with integers and fractions, by raising the integer with the fraction to the rank of thousands, i.e. by multiplying the number by a thousand, then taking the preceding [cube] and the next [cube], as we did with integers, and dividing the result by 10, which is the [cube] root [of 1000].
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' שהוא השרש
 |-
 |
-:{{#annot:building|627|mvrz}}323) Question: A man wants to build a building and he agreed with a craftsman to do his work in 40 days and he would pay the craftsman 20 soldi every day and every day that the craftsman does not work he would pay the owner 28.
+:*{{#annot:³√(1+½)|439|6gdU}}Example: we wish to know [the cube] root of 1 and a half.
-:He rested [a certain number of] days and he worked [a certain number of] days and finally he lost more than he gained.
+::<math>\scriptstyle\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}</math>
-:How many days did he work and how many [days] did he rest?
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה רצינו לדעת שרש א"נ א' וחצי{{#annotend:6gdU}}
-|style="text-align:right;"|שכג)<ref>MS L: שעח</ref> שאלה אדם רוצה לעשות בנין ודבר לאומן לעשות מלאכתו במ' יום ויתן אל האומן בכל יום כ' סולדי ובכל יום שהאומן לא יעשה מלאכה יתן אל הבעל כ"ח ושבת מכל מלאכתו ימים ועבד ימים ולבסוף יצא שכרו בהפסדו כמה ימים עבד וכמה שבת{{#annotend:mvrz}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יש לך לשים מה שהוא מרויח בכל יום שהם הימים ששבת ומה שהוא פורע בימים שהוא פורע ממלאכתו תשים הימים שעשה מלאכה א"כ ה' ימים (הימים) שעשה מלאכה לפי זה הדרך הם כ"ח והימים ששבת הם כ' וחברם ויהיו מ"ח ואנו מבקשים מ' ולכן תאמר אם מ"ח נתן לי כ"ח והם הימים שעשה מלאכה כמה ימים יתן לי מ' ויצא לך כ"ג ושליש והם הימים שעשה מלאכה ועד תשלום מ' שבת
+::Multiply it by [a thousand]; [it is] 1500.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot1000=1500}}</math>
+|style="text-align:right;"|תכפלהו על א' וה' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכד)<ref>MS L: שעט</ref> שאלה לאדם יש לו ממון ובא לתת שכר לפועלים ואומר אם אתן לכל א' יב ליט' ישאר לי נ' ליט' ואם אתן ט"ו לכל א יחסר ע' אשאל כמה הם הפועלים וכמה הוא הממון
+::The preceding [cube] is 1331.
+|style="text-align:right;"|והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחבר נ' עם ע' ויהיו ק"כ גם הוצא י"ב מט"ו נשארו ג' תחלק ק"כ על ג' ויצא לך מ' וכך הם הפועלים ולדעת כמה ממון היה לו כבר ידעת כי הוא אמר אם יתן י"ב לכל אחד ישאר נ' לכן כפול מ' על י"ב ויצא ת"פ תוסיף עליהם נ' ויהיו תק"ל או אם תרצה כפול מ' על ט"ו ומהעולה תוציא ע' וישאר ג"כ תק"ל ותוכל לבחון אותו
+::Its complement to 1500 is 169.
+|style="text-align:right;"|ויחסר עד תשלום אלף וה' מאות קס"ט
 |-
-|}
+|
-{|
+::Add 1 to it; it is 170.
+|style="text-align:right;"|תוסיף בו א' ויהיו ק"ע
 |-
 |
+::Then, see the next [cube], which is the cube of 12; it is 1728.
-=== <span style=color:Green>Double False Position</span> ===
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וז' מאות וכ"ח
+|-
 |
+::You find the difference between the cube of 11 and the cube of 12 is 397.
+|style="text-align:right;"|והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שצ"ז
 |-
 |
-==== <span style=color:Green>Give and Take Problem - Craftsman</span> ====
+::So, the result is 11 and 170 parts of 397.
+|style="text-align:right;"|א"כ היוצא הוא י"א וק"ע חלקים משצ"ז
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1500}\approx11+\frac{\left(1500-11^3\right)+1}{12^3-11^3}=11+\frac{\left(1500-1331\right)+1}{1728-1331}=11+\frac{169+1}{397}=11+\frac{170}{397}}}</math>
+|-
 |
+::Divide this number by 10 this way:
+|style="text-align:right;"|חלק זה המספר על י' בזה האופן
 |-
 |
-:{{#annot:craftsman|627|3W9e}}325) Question: A man has money and he has to do a work.
+::Multiply 397 by 10; it is 3970.
-:He spoke with the craftsman and promised him that every day he works he will pay him twenty and on a day he does not work the craftsman will pay the employer 28.
+|style="text-align:right;"|והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע&#x202B;'
-:At the end there is only 30 left in the craftsman's hands.
-:I ask: how many days he worked and how many days he rested?
-|style="text-align:right;"|שכה)&#x202B;<ref>MS L: שפ</ref> שאלה לאדם יש לו ממון ויש לו לעשות מלאכה ודבר לאומן ונדר לו שיתן לו בכל יום שיעבוד עשרים וביום שלא יעבוד יתן האומן אל בעל המלאכה כ"ח ולבסוף לא נשאר ביד האומן כי אם ל&#x202B;'<br>
-אשאל כמה ימים עבד וכמה ימים שבת{{#annotend:3W9e}}
 |-
 |
-::The work should have been done in 40 days.
+::Multiply also 397 by 11; it is 4[367].
-|style="text-align:right;"|והנה היה ראוי לעשות המלאכה במ' יום
+|style="text-align:right;"|גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ותק"ל
 |-
 |
-::The way is as follows: use false positions
+::Divide it by 3970; you receive 1 and 56[7] parts of 3970, which are 56 parts of 39[7] [and 7 parts of 3970]
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך עשה הנחות כוזבות
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ג' אלפים וט' מאות וע' ויצא לך א' ותק"ס חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקי' מג' מאות וצ&#x202B;'
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{1+\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[3]{1500}}{10}\approx\frac{11+\frac{170}{397}}{10}=\frac{\left(11\sdot397\right)+170}{397\sdot10}=\frac{4367+170}{3970}=1+\frac{567}{3970}=1+\frac{56}{397}+{\color{red}{\frac{7}{3970}}}}}</math>
 |-
 |
-:*We assume a number less than 40, because the work was done within 40 [days].
+:If you wish to know [the cube root of] fractions alone, multiply the fraction by a thousand, then take the preceding and the next [cube] as mentioned.
-::We say he did the work in 24 [days], so he earned 480 in 24, and he rested from 24 to 40, which is 16.
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף אח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז&#x202B;'
-::Multiply it by 28; it is 448.
+|-
-::Subtract it from 480; 32 remains.
-::But, we ask that only 30 will remain.
-::Hence, we say that 2 is an excess for 24.
-|style="text-align:right;"|ולכן נניח איזה מספר שיהיה למטה ממ' מצד כי המלאכה נעשתה תוך מ&#x202B;'<br>
-ונאמר כי הוא עשה מלאכה כ"ד<br>
-א"כ ירויח בכ"ד ד' מאות ופ&#x202B;'<br>
-והנה שבת מכ"ד עד מ' שהם י"ו<br>
-וכפלם על כ"ח ויהיו תמ"ח<br>
-הוציאם מת"פ וישארו ל"ב ואנו מבקשי' שלא ישאר לו כי אם ל&#x202B;'<br>
-לכן נאמ' עבור כ"ד נשארו ב&#x202B;'
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{24\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot24=480\\\scriptstyle40-24=16\\\scriptstyle28\sdot16=448\end{cases}\longrightarrow480-448=32\longrightarrow32-30=2}}</math>
-|-
 |
-:*Now, we assume another false position: we suppose he worked 26 days.
+:*{{#annot:³√(½)|439|IldO}}Example: we wish to know the cube root of a half.
-::So, he rested from 26 to 40, which is 14 and if he worked 26, he earned 520.
+::<math>\scriptstyle\sqrt[3]{\frac{1}{2}}</math>
-::Multiply 14 also by 28; it is 392.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי{{#annotend:IldO}}
-::Subtract it from 520; it is 128. So, he earned 128 dinar.
-::Subtract from them the 30 dinar we want him to earn; 98 remain.
-::Hence, say: for 26 the excess is 98.
-|style="text-align:right;"|ועתה נעשה הנחה אחרת ונניח שעבד כ"ו ימים<br>
-א"כ הוא שבת מכ"ו עד מ' שהם י"ד ואם עבד כ"ו ירויח תק"כ<br>
-גם כפול י"ד על כ"ח ויהיו ג' מאות וצ"ב<br>
-הוציאם מתק"כ ויהיו קכ"ח הנה א"כ ירויח קכ"ח דינרין<br>
-תוציא מהם ל' דינרין שאנו מבקשים שירויח וישארו צ"ח<br>
-לכן תאמר עבור כ"ו נשארו צ"ח
-|-
-|colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{26\longrightarrow\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle20\sdot26=520\\\scriptstyle40-26=14\\\scriptstyle28\sdot14=392\end{cases}\longrightarrow520-392=128\longrightarrow128-30=98}}</math>
 |-
 |
-:Know that if there are excesses in both false positions, the smaller should be subtracted from the greater.
+::Multiply it by a thousand; it is 500.
-:If there are deficiencies in both false positions you assumed, the smaller deficiency should be subtracted from the greater.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot1000=500}}</math>
-:What remains is called a divisor ["partitore"].
+|style="text-align:right;"|תכפלהו על אלף ויהיו ה' מאות
-:If one false position exceeds and the other is deficient, the excess should be added to the deficiency and the result is called a divisor.
-|style="text-align:right;"|ודע כי אם נשאר בכל הב' הנחות ראוי להוציא הקטן מהגדול<br>
-ואם יחסר בכל הב' הנחות שעשית ראוי ג"כ להוציא החסרון הקטן מהגדול<br>
-ומה שנשאר נקרא פארטידוש<br>
-ואם ההנחה הא' מוסיף והאחר מחסר ראוי לחבר התוספת עם החסרון ומה שיעלה נקרא פארטידור
 |-
 |
-::You see that both false positions we assumed are exceeding - the first exceeds by 2 and the second exceeds by 98.
+::The preceding [cube] is 343 and its root is 7.
-::So, subtract 2 from 98; 96 remains and this is the divisor.
+|style="text-align:right;"|והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|והנך רואה כי הב' הנחות שעשינו כל א' מוסיף הראשנה מוסיף ב' והב' מוסיף צ"ח<br>
-לכן הוציא ב' מצ"ח ישאר צ"ו והוא המחלק
 |-
 |
-::Now, multiply crosswise, i.e. 24 by 98; it is 2352.
+::The next [cube] is 512 and its root is 8.
-::Multiply also 26 by 2; the result is 52.
+|style="text-align:right;"|והבא הוא תקי"ב ושרשם ח&#x202B;'
-::Subtract it from 2352; the remainder is 2300.
-::Divide it by 96; the result is 23 and 23 parts of 24 and this is [the number of] days he worked.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(24\sdot98\right)-\left(26\sdot2\right)}{98-2}=\frac{2352-52}{96}=\frac{2300}{96}=23+\frac{23}{24}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועתה כפול בשתי וערב ר"ל כ"ד על צ"ח ויהיו ב' אלפים וג' מאות ונ"ב<br>
-גם כפול כ"ו על ב' ויצא נ"ב<br>
-הוציאם מב' אלפים וג' מאות ונ"ב הנשאר ב' אלפים וג' מאות<br>
-חלקם על צ"ו ויצא כ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד וכך הם הימים שעבד
 |-
 |
-::To know how many days he rested, see the difference from 23 and 23 parts of 24 to 40; you receive 16 and one part of 24 and this is [the number of] days he rested.
+::See [the difference] between 343 and 512; you find it is 169.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40-\left(23+\frac{23}{24}\right)=16+\frac{1}{24}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ימים שבת ראה המרחק מכ"ג וכ"ג חלקים מכ"ד עד מ' ויצא לך י"ו וחלק אחד מכ"ד וכן הוא הימים ששבת
 |-
 |
-::You can check this.
+::See also [the difference] between 343 and 500; you find it is 157.
-|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון אותו
+|style="text-align:right;"|עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז
 |-
 |
-:326) Question: three men want to buy merchandise.
+::Add 1 to it; it is 158
-:The first says to the two others: if you give me half of your money, with my money, it will be 20.
+|style="text-align:right;"|תוסיף בו א' ויהיו קנ"ח
-:The second answers: if you give me a third of your money, with mine, it will be 20.
-:The third answers: if you give me a quarter of your money, with mine, it will be 20.
-:I ask: how much does each have?
-:<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle X+\frac{1}{2}\sdot\left(Y+Z\right)=20\\\scriptstyle Y+\frac{1}{3}\sdot\left(X+Z\right)=20\\\scriptstyle Z+\frac{1}{4}\sdot\left(X+Y\right)=20\\\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|שכו)&#x202B;<ref>MS L: שפב</ref> שאלה ג' בני אדם רוצים לקנות סחורה<br>
-אמר הראשון לב' הנשארים אם תתנו לי חצי מממונכם עם שלי ויהיו כ&#x202B;'<br>
-השיב השני אם תתנו לי שליש ממונכם עם שלי יהיו כ&#x202B;'<br>
-השיב הג' אם תתנו לי רביעית ממונכם עם שלי ויהיו כ' אשאל כמה לכל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-:1)
+::So, the result is 7 and 158 parts of 169.
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך נניח שהיה לראשון י"ב ויחסר לו עד כ' ח' ומצד כי אמר אם הב' הנשארים יתנו לו חצי ממונם יהיו כ' יצטרך שיהיה בין השנים הנשארים י"ו כי חציים ח&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X_1=12\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-12=8=\frac{1}{2}\sdot16\longrightarrow Y_1+Z_1=16}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{500}\approx7+\frac{\left(500-7^3\right)+1}{8^3-7^3}=7+\frac{\left(500-343\right)+1}{512-343}=7+\frac{157+1}{169}=7+\frac{158}{169}}}</math>
 |-
 |
-::I) <math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=9\end{cases}}}</math>
+::Divide this number by 10 and do it as follows:
-|style="text-align:right;"|ולכן ראוי לדעת כמה יש לכל א' מאלו הב' נשארים נעשה הנחה אחרת ונניח כי היה לב' ז' ולג' ט' וכבר אמרנו כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם יהיו כ' לכן נחבר ממון הראשון שהוא י"ב עם ממון הג' שהוא ט' יהיו כ"א הוצא מהם שלישיתם ויהיו ז' חברם עם ממון הב' שהם ז' יהיו י"ד א"כ יחסר לנו עד כ' ו' ולכן שים לך למזכרת מה שהנחת עבור הב' שהוא ז' עם מה שהנחת עבור הג' שהוא ט' גם מה שמחסר לנו עבור זאת ההנחה שהוא ו'
+|style="text-align:right;"|תחלק זה המספר על י' ועשה כך
-|-
-|colspan=2|
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+9\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=7+7=14}}</math>
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-14=6}}</math>
 |-
 |
-::II) <math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=6\end{cases}}}</math>
+::Multiply 169 by 10; it is 1690.
-|style="text-align:right;"|וזה יהיה החלק הראשון מן ההנחה הב' ולדעת החלק האחר מן ההנחה הב' נעשה כך ונאמר נניח כי מאלו הי"ו דוקטי שראוי שיהיו בין הב והג' יהיה לב' י' ולג' ו' והנה ידעת כי הב' אמר לב' הנשארים אם יתנו לי שליש ממונם שיהיה לי כ' לכן חבר י"ב שהוא הא' עם ו' שהוא הג' ויהיו י"ח קח שלישיתם ויהיו ו' תנם לב' שיש לו י' ויהיו (י"ו) ויחסר עד כ' ד' לכן נשים החלק הב' מההנחה הב' י' ששמנו ממון הב' עם ו' ששמנו ממון הג' ועם ד' שמחסר לנו עד תשלום כ בזאת הצורה
+|style="text-align:right;"|כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ&#x202B;'
-|-
-|colspan=2|
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+6\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=10+6=16}}</math>
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-16=4}}</math>
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_1=\frac{\left(6\sdot10\right)-\left(4\sdot7\right)}{6-4}=\frac{60-28}{2}=\frac{32}{2}=16}}</math>
+::Multiply also 7 times by 169; it is 1183.
-|style="text-align:right;"|והנה מצד כי כל א' מאלו ההנחות מחסרות ר"ל הא' מחסרת והאחרת ד' נוציא ד' מו' וישארו ב' והוא המחלק אח"כ כפול ו' על י' ויהיו ס' גם כפול ד' על ז' ויהיו כ"ח הוציאם מס' וישארו ל"ב חלקם על ב' ויצא י"ו א"כ י"ו החלק הראשון מההנחה הראשנה ר"ל שיהיה ממון הראשון (השני) י"ו
+|style="text-align:right;"|גם כפול <s>אלף</s> <sup>ז'</sup> פעמים קס"ט ויהיו אלף וקפ"ג
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z_1=\frac{\left(6\sdot6\right)-\left(4\sdot9\right)}{6-4}=\frac{36-36}{2}=\frac{0}{2}=0}}</math>
+::Add 158 to it; it is 1341.
-|style="text-align:right;"|גם כפול ממון הג' שאמרנו שהוא ו' ותאמר ו' פעמים ו' הם ל"ו גם כפול ד' על ט' ויהיו ל"ו הוצא ל"ו מל"ו הנשאר מאומה חלקם על ב' גם יצא מאומה הא"כ יש לך בחלק הא' מההנחה הא' שהא' יש לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה
+|style="text-align:right;"|תוסיף בם קנ"ח ויהיו אלף וג' מאות ומ"א
 |-
 |
-:2)
+::Then, say that the [cube] root of a half is 1341 parts of 1690.
-|style="text-align:right;"|ולמצא החלק הב' מההנחה הא' נניח שהיה לראשון ט' והוא אמ' לב' הנשארים שיתנו לו חצי [מ]ממונם ויהיו כ' א"כ מט' עד כ' הם י"א ואלו הי"א הוא ממון הב' והג' א"כ בין שניהם יש כ"ב
+|style="text-align:right;"|א"כ תאמר כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ&#x202B;'
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X_2=9\longrightarrow\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=20-9=11=\frac{1}{2}\sdot22\longrightarrow Y_2+Z_2=22}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt[3]{\frac{1}{2}}=\frac{\sqrt[3]{500}}{10}\approx\frac{7+\frac{158}{169}}{10}=\frac{\left(7\sdot169\right)+158}{169\sdot10}=\frac{1183+158}{1690}=\frac{1341}{1690}}}</math>
 |-
 |
-::I) <math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_I=7\\\scriptstyle Z_I=15\end{cases}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ועתה יש לעשות הנחה ג' לדעת כמה יש לב' מאלו הכ"ב גם כמה יש לג' ונניח שהיה לב' ז' א"כ לג' ט"ו ומצד כי הב' אמר לב' הנשארים שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממון הא' שהוא ט' עם ט"ו ויהיו כ"ד קח שלישיתם שהם ח' ותנם לב' שיש לו ז' ויהיו ט"ו ויחסר עד כ' ה' ולכן שים לך למזכרת מה ששמת עבור הב' שהוא ז' ומה ששמת עבור הג' שהוא ט'(ו) ומה שחסר לך עד תשלום כ' שהוא ה&#x202B;'
+=== <span style=color:Green>Find a Number Problems - Proportional Numbers</span> ===
+|
 |-
-|colspan=2|
+|
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_I+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_I\right)=7+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+15\right)\right]=7+\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)=7+8=15}}</math>
+:255) Question: if you wish to know the second number among four proportional numbers, divide the fourth by the first and extract the cube root of the result, then multiply the resulting root by the first number and the product is the second [number].
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-15=5}}</math>
+:<math>\scriptstyle a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1</math>
+|style="text-align:right;"|רנה) <big>שאלה</big> &#x202B;<ref>267r</ref>אם תרצה לדעת המספר הב' מד' מספרים מתיחסים<br>
+תחלק הד' על הא' ומהיוצא קח שרש מעוקבו<br>
+אח"כ כפול השרש היוצא על המספר הראשון והיוצא הוא השני
 |-
 |
-::II) <math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle Y_{II}=10\\\scriptstyle Z_{II}=12\end{cases}}}</math>
+:*{{#annot:four proportional numbers|618|Z5m3}}Example: the first is 2 and the fourth is 16.
-|style="text-align:right;"|וזה יהיה חלק הראשון מההנחה הג' ובעבור החלק הב' מההנחה הג' (ו)נניח כי היה לב' מאלו הכ"ב דוקטי י' א"כ ראוי להיות לג' י"ב ומצד כי הא' אמר לב' ולג' שיתנו לו שליש ממונם נחבר ממונם (ממון) הראשון שהוא ט' עם ממון הג' שהוא י"ב ויהיו כא קח שלישיתם והנם ז' תנם לשני שיש לו (י) ויהיו י"ז ויחסר עד כ' ג' ולכן נשים החלק הב' מההנחה הג' י' שנתת לב' וי"ב מן הג' וג' שחסר לנו עד כ' כמו שאתה רואה
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> המספר הראשון ב' והד' י"ו{{#annotend:Z5m3}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_{II}+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_{II}\right)=10+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(9+12\right)\right]=10+\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)=10+7=17}}</math>
+::Divide 16 by 2; the result is 8.
-:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-17=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלק י"ו על ב' ויצא ח&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_2=\frac{\left(5\sdot10\right)-\left(3\sdot7\right)}{5-3}=\frac{50-21}{2}=\frac{29}{2}=14+\frac{1}{2}}}</math>
+::Extract its cube [root]; it is 2.
-|style="text-align:right;"|ומצד כי כל אחד מחסר ר"ל החלק הא' חסר ה' והחלק הב' חסר ג' לכן הוצא ג' מה' הנשאר ב' והוא המחלק אח"כ כפול ה' על י' ויהיו נ' עוד כפול ג' על ז' ויהיו כ"א הוציאם מנ' וישארו כ"ט חלקם על ב' ויהיו י"ד וחצי וכך תשים בחלק הב' מההנחה הא' עבור הב' ר"ל שיהיה לב' י"ד וחצי
+|style="text-align:right;"|קח מעוקבו והוא ב&#x202B;'
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z_2=\frac{\left(5\sdot12\right)-\left(3\sdot15\right)}{5-3}=\frac{60-45}{2}=\frac{15}{2}=7+\frac{1}{2}}}</math>
+::Multiply 2 by 2; it is 4 and it is the second.
-|style="text-align:right;"|ובעבור הג' נכפול ב' (ה') על י"ב ויהיו ס' גם נכפול ג' על ט"ו ויהיו מ"ה הוצא מ"ה מס' נשאר ט"ו חלקם על ב' ויהיו ז' וחצי וכך תשים עבור הג&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1=\sqrt[3]{\frac{16}{2}}\sdot2=\sqrt[3]{8}\sdot2=2\sdot2=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ב' על ב' והוא ד' והוא השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכבר מצאנו בפעם הא' כי לא' היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה ובחלק הב' מצאנו כי לא' יש לו ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי ועתה יש לראות אם נתן לכל א מה שיצא לנו אם יהיה לכל א וא' עשרים עם החלקים ששואל
+:You can also know it from the fractions, by converting the last number into fractions, as they are in the first, then proceed by the way of fractions.
+|style="text-align:right;"|כן תוכל לדעת מן השברים והוא שתעשה מהמספר האחרון שברים כמו שהם בראשון ותעשה בדרך השברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי בהנחה הראשנה מצאנו שהראשון היה לו י"ב ולב' י"ו ולג' מאומה חלק חלק הב' שהוא י"ו על ב' ויהיו ח' ותנם לראשון ויהיו כ' מצד כי הוא שואל חצי ממון הב' והג&#x202B;'
+:*{{#annot:four proportional numbers|618|VcKa}}Example: the first is 3-quarters and the last is 6 integers.
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> הראשון ג' רביעיות והאחרון ו' שלמים{{#annotend:VcKa}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X_1+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_1+Z_1\right)=12+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(16+0\right)\right]=12+\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=12+8=20}}</math>
+::Convert the 6 into quarters; they are 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=6=\frac{24}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה מהו' רביעיות ויהיו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גם אם תתן לב' שליש ממון הא' והג' יהיו לו כ כי ממונו הוא י"ו ושליש ממון הא' הוא ד' תוסיפם על י"ו ויהיו כ' כי אין לג' מאומה
+::Divide it by 3, because it is said that the first is 3-quarters; the result is 6 and they are quarters.
+|style="text-align:right;"|תחלקם על ג' מצד שאמר כי הראשון ג' רביעיות ויצא ו' והם רביעיות
+|-
+|
+::So, the second is 6-quarters, which is 1 and a half.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ השני הוא ו' רביעיות והוא א' וחצי
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y_1+\frac{1}{3}\sdot\left(X_1+Z_1\right)=16+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(12+0\right)\right]=16+\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)=16+4=20}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt[3]{\frac{a_4}{a_1}}\sdot a_1=\sqrt[3]{\frac{\frac{24}{4}}{\frac{3}{4}}}\sdot\frac{3}{4}=\sqrt[3]{8}\sdot\frac{3}{4}=2\sdot\frac{3}{4}=\frac{6}{4}=1+\frac{1}{2}}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולראות כמה יהיה לג' הנה הוא שואל רביעית ממון חביריו ולכן חבר י"ו עם י"ב ויהיו כ"ח קח רביעיתם ויהיו ז' ואנו מבקשים שיהיה לו כ' ולכן יחסר עד כ' י"ג לכן שים י"ג תחת החלק הא' מההנחה
+:256) Question: if you wish to know the mean number among an odd [number of terms], multiply the first by the last and the result is the mean.
+|style="text-align:right;"|רנו) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת המספר האמצעי מהנפרדים כפול הא' על האחרון ויצא לך האמצעי
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z_1+\frac{1}{4}\sdot\left(X_1+Y_1\right)=0+\left[\frac{1}{4}\sdot\left(12+16\right)\right]=0+\left(\frac{1}{4}\sdot28\right)=0+7=7}}</math>
+:*{{#annot:three proportional numbers|618|qdnU}}Example: we have three proportional numbers, the first is 2, and the third is 18.
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-7=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> יש לנו ג' מספרים מתיחסים הראשון ב' והג' י"ח{{#annotend:qdnU}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולראות החלק הב' כבר ידעת כי מצאנו שהיה לראשון ט' ולב' י"ד וחצי ולג' ז' וחצי והראשון שואל חצי י"ד וחצי וז' וחצי שהם יא ותנם לו שיש לו ט' ויהיו כ&#x202B;'
+::Multiply 2 by 18; the result is 36.
+|style="text-align:right;"|כפול ב' על י"ח ויעלו ל"ו
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X_2+\frac{1}{2}\sdot\left(Y_2+Z_2\right)=9+\left[\frac{1}{2}\sdot\left[\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]=9+11=20}}</math>
+::Extract its root; it is 6, which is the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\sqrt{a_1\sdot a_3}=\sqrt{2\sdot18}=\sqrt{36}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והוא ו' שהוא הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עוד חבר ממון הא עם הג' ויהיו י"ו וחצי וקח שלישיתם שהם ה' וחצי ותנם לב' שיש לו י"ד וחצי ויהיו כ&#x202B;'
+:{{#annot:five proportional numbers|618|lGXB}}257) Example of five numbers: the first is 3 and the last is 48.
+|style="text-align:right;"|רנז) <big>דמיון</big> מה' מספרים הראשון ג' והאחרון מ"ח{{#annotend:lGXB}}
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Y_2+\frac{1}{3}\sdot\left(X_2+Z_2\right)&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left[9+\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(16+\frac{1}{2}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(14+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{1}{2}\right)=20\\\end{align}}}</math>
+::Multiply 3 by 48; the result is 144.
+|style="text-align:right;"|כפול ג' על מ"ח ויצא קמ"ד
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle Z_2+\frac{1}{4}\sdot\left(X_2+Y_2\right)&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left[\frac{1}{4}\sdot\left[9+\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]\right]\\&\scriptstyle=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(5+\frac{7}{8}\right)=13+\frac{3}{8}\\\end{align}}}</math><br>
+::Its root is 12 and this is the mean.
-:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(13+\frac{3}{8}\right)=6+\frac{5}{8}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\sqrt{a_1\sdot a_5}=\sqrt{3\sdot48}=\sqrt{144}=12}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולראות כמה יש לג' חבר ממון הא' עם הב' וקח רביעיתם שהם ה' וז' שמיניות ויהיו י"ג וג' שמיניות ויחסר עד כ' ו' וה' שמיניות ותשימם תחת החלק הב' מההנחה כמו זאת הצורה
+|style="text-align:right;"|ושרשם י"ב והוא האמצעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה מצאת בחלק הראשון פחות י"ג ובחלק השני פחות ו' וה' שמיניות הוצא הקטון מהגדול הנשאר ו' וג' שמיניות ועתה כפול י"ג על ט' ויהיו קי"ז עוד כפול י"ב על ו וה' שמיניות יהיו ע"ט וחצי והוציאם מקצ"ז (קי"ז) וישארו ל"ז וחצי וחלקם על ו' וג' שמיניות ויצא לך ה' וט"ו חלקים מי"ז והוא חלק הא&#x202B;'
+::The first is 3; the second is 6; the third is 12; the fourth is 24; the fifth is 48.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=3;\,a_2=6;\,a_3=12;\,a_4=24;\,a_5=48}}</math>
+|style="text-align:right;"|שהא' ג' והב' ו' והג' י"ב והד' כ"ד והה' מ"ח
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{\left(13\sdot9\right)-\left[12\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{117-\left(79+\frac{1}{2}\right)}{6+\frac{3}{8}}=\frac{37+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=5+\frac{15}{17}}}</math>
+:{{#annot:seven proportional numbers|618|nCKV}}258) Question of seven numbers: the first is 1 and the last is 729.
+|style="text-align:right;"|רנח) <big>שאלה</big> מז' מספרים הראשון א' והאחרון תשכ"ט{{#annotend:nCKV}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יש לב' כפול עוד י"ג על י"ד וחצי ויהיו קפ"ח וחצי עוד כפול ו' וה' שמיניות על י"ו ויהיו ק"ו הוציאם מקפ"ח וחצי וישארו פ"ב וחצי וחלקם על ה (ו) וג' שמיניות ויצא לך י"ב וי"ו חלקים מי"ז והוא חלק השני
+::Multiply 1 by 729; it is 729.
+|style="text-align:right;"|כפול א' על תשכ"ט ויהיו תשכ"ט
 |-
-|colspan=2|
+|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=\frac{\left[13\sdot\left(14+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[16\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(188+\frac{1}{2}\right)-106}{6+\frac{3}{8}}=\frac{82+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=12+\frac{16}{17}}}</math>
+::Its root is [27] and this is the mean.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\sqrt{a_1\sdot a_7}=\sqrt{1\sdot729}=\sqrt{729}=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|ושרשם ו' והוא האמצעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת חלק הג' כפול י"ג על ז' וחצי ויהיו צ"ז וחצי עוד כפול ו' וה' שמיניות על מאומה שהוא עבור הג' העולה מאומה א"כ חלק צ"ו (צ"ז) וחצי על ו' וג' שמניות ויצא לך ט"ו וה' חלקים מי"ז והוא חלק הג' ותוכל לבחון אותו
+::The first is 1; the second is 3; the third is 9; the fourth is 27; the fifth is 81; the sixth is 243; the seventh is 729.
+|style="text-align:right;"|והנה הראשון א' והב' ג' והג' ט' והד' כ"ז והה' פ"א והו' רמ"ג והז' תשכ"ט
 |-
 |colspan=2|
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Z=\frac{\left[13\sdot\left(7+\frac{1}{2}\right)\right]-\left[0\sdot\left(6+\frac{5}{8}\right)\right]}{13-\left(6+\frac{5}{8}\right)}=\frac{\left(97+\frac{1}{2}\right)-0}{6+\frac{3}{8}}=\frac{97+\frac{1}{2}}{6+\frac{3}{8}}=15+\frac{5}{17}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=1;\,a_2=3;\,a_3=9;\,a_4=27;\,a_5=81;\,a_6=243;\,a_7=729}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכז)<ref>MS L: שפג</ref> שאלה אם נשאל לך אם ק' ליט' משי שוות ו' דוקטי וז' גרושי וח' (י"ח) פיצולי כמה ישוה ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' אבאטאנדו דיטארא ז' ליט' עבור כל מאה ר"ל שעל כל ק' ליט' יש לו לפרוע ז' ליט' ממס' ועוד יש לו לפרוע מס אחר נקרא מישיטראריאה וראוי שיפרע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים
+:Likewise, you can do with nine, or eleven, or thirteen numbers and you will find the mean.
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות מט' או י"א או י"ג מספרים לעולם תמצא האמצעי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראשנה יש לך לראות כמה שווי הטארא מהה' אלפים וד' מאות ול"ב ועשה כך כפול ה' (ז') פעמים ז' (ה') אלפים וד' מאות ול"ב ויעלה ל"ח אלפים וכ"ד וחלקם על ק' ויצא לך ש"פ והוא הטארא תסירם מה אלפים וד' מאות ול"ב וישארו ה' אלפים ונ"ב ויען כי יש לך דוקטי גרושי פיצולי תשיבם אצל הפיצולי שהוא המטבע הפחותה ותכפול המנינים על כ"ד ויהיו גרושי כי כ"ד שוים דוק' א' והעולה כפול על ל"ב ויהיו פיצולי ויעלה הכל ד' אלפים וח' מאות ונ' ועתה תאמר אם ק' ליט' שוים ד' אלפים וח' מאות ונ' פיצולי כמה שוים ה' אלפים ונ"ב ליט' ויצא לך ב' מאות ומ"ה אלפים וכ"ב והם פיצולי והוא השווי תעשה מהם גרושי ויהיו ז' אלפים ותרנ"ו ונשארו ל' פיצולי עשה מכל זה מנינים ויצא לך ג' מאות ויט מניני ול פיצולי והוא שווי הה' אלפים וד' מאות ול"ב נקי מטארא
+:You can do the same with fractions.
+|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות בשברים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועתה יש לראות כמה ראוי שיפרע עבור המס האחר הנקרא מישיטראריאה והוא שפורע עבור כל ק' מנינים ב' מנינים ותאמר אם ק שוים ב' ג' מאות ויט מנינים ול' פיצולי כמה שיפרעו ויצא לך ו' מאות ול"ח וא' גרושו וכ"ח פיצולי אחר שכפלת אותו על ב' וחלק זה על ק' ויצא לך ו' מנינים ונשארו ל"ח דוקטי עשה מהם גרושי ומן העולה עשה מהם פיצולי וחלקם על ק' ויצא לך ט' גרושי וד' פיצולי (וחלקים) א"כ ראוי שיפרע ממישטריאה ו' דוק' וט' גרושי וד' פיצולי וחלקים ועתה הוצא זה הפרעון מג' מאות וי"ט מנינים ול' פיצולי וישאר לך שי"ב מנינים וי"ו (ט"ו) גרושי וכ"ה פיצולי והוא שווי ה' אלפים וד' מאות ול"ב ליט' נקי מטארא וממישטריריא
+:{{#annot:seven proportional numbers|618|By9s}}259) Question of seven numbers with fractions: the first is an eighth and the seventh is 91 integers and an eighth.
+|style="text-align:right;"|רנט) <big>שאלה</big> משברים מז' מספרים הראשון א' שמינית והז' צ"א שלמים ושמינית{{#annotend:By9s}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכח) שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יתר מן חצי
+::Multiply 91 and an eighth by 8: since the first is an eighth, convert the 91 and an eighth into eighths; you receive 729-eighths.
+|style="text-align:right;"|כפול צ"א ושמינית על ח' מצד כי הראשון הוא א' שמין ר"ל תעשה מהצ"א ושמין שמיניות ויצא לך תשכ"ט שמיניות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה באותו חלק מהעגול ב' מיתרים אח"כ תעשה כמין חצי עגול מראש המיתר אצל האחד גם תעשה כן מהראש האחר וכן תעשה במיתר הב' שני חצי עגול ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר וכן תוכל לעשות ג' נקודות באיזה מקום שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול גם תשים הנקדה הב' מרכז ותעגל ג"כ חצי עגול ותחלקנה לב' וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לב' ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה
+::Multiply 1, which is the first, by 729; the result is 729.
+|style="text-align:right;"|כפול א' שהוא הא' על תשכ"ט ויצא תשכ"ט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שכט)&#x202B;<ref>MS L: שפה</ref> שאלה יעקב הניח ממון לד' בניו לזה פחות מזה והג' מתרעמים אמר הגדול אני אכפול לכל א חלקו וכן עשה ונשאר מוטעה אמר הב' אני אכפול לכל א' חלקו וכן עשה ונשאר מרומה אמר הג' אני אכפול לכל א' חלקו ונשאר מתרעם אמר הד' אני אכפול לכל א חלקו וכן עשה ונשאר לכל א' חלק שוה כמה היה לכל אחד בתחלה
+::Extract its root; it is 27, and they are eighths, because we made the 729[-eighths] eighths. So, the mean is 27-eighths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=\sqrt{a_1\sdot a_7}=\sqrt{\frac{1}{8}\sdot\left(91+\frac{1}{8}\right)}=\sqrt{\frac{1}{8}\sdot\frac{729}{8}}=\frac{27}{8}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וקח שרשם והם כ"ז ויהיו שמיניות מצד כי עשינו שמיניות מכל התשכ"ט א"כ האמצעי הוא כ"ז שמיניות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תוסיף על סכום הבנים א' ויהיו ה' וזה חלק מה שלקח האחרון עוד כפול ה' וחסר א ויהיו ט' וזה חלק הג' עוד כפול ח' (ט') וחסר אחד שהם י"ז וזה חלק הב' עוד כפול י"ז וחסר א' ויהיו ל"ג וזה חלק הראשון כן תוכל לעשות אם הבנים הם ככוכבי השמים לרוב
+:Examine and you will find [that it is true].
+|style="text-align:right;"|ודוק ותשכח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|של) שאלה אם תרצה לתקן ט"ו יהודים וט"ו ישמעאלים או י"ד וי"ד או י"ג וי"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה למנותם ז"ז או ח"ח או ג"ג או איזה מספר שתרצה ותרצה שיצאו לחוץ כל היהודים או כל הישמעאלים
-|-
+=== <span style=color:Green>Guessing Problem - Distance</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|תתקנם כפי המספר שהזכיר ותתחיל למנות מא' ותמנה עד המספר שהזכיר ותרשום על אותו שהשלים וכן תעשה עד תומם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לתקן עשרה יהודים וי' ישמעאלים ולחשבם ה"ה ויכלה לעולם אל הישמעאלים
+:{{#annot:distance|667|9KtC}}260) Question: If you wish to know a width of a river, or a land, or any distance you want, put on your head a hat called cappello and go to the river bank or the place you want to know its length.
+|style="text-align:right;"|רס) <big>שאלה</big> אם תרצה לדעת רוחב נהר או ארץ או איזה מרחק שתרצה<br>
+שים על ראשך מגבעת נקרא קאפילו &#x202B;<ref>267v</ref>ראשו ולך אצל שפת הנהר או המקום שתרצה לדעת ארכו{{#annotend:9KtC}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שים על דף מא' ועד כ' יען כי הם כ' בין הכל ככה ותתחיל למנות א'ב'ג' וכן עד ה' ותרשום עליו נקדה כמו שאתה רואה עוד תתחיל למנות אחריו אב"ג וכן עד ה' וכן תעשה עד שתרשום י' רשמים אח"כ תתקנם הרשומים עם הבלתי נרשמים ושים תחלה א' ישמעאל וב' יהודים וג' ישמעאלים וג' יהודים וא ישמעאל וא' יהודי וב' ישמעאלים וא יהודי וא' ישמעאל וב' יהודים וא ישמעאל וא' יהודי וא' ישמעאל וכן תוכל לעשות מכל המספרים שתרצה
+::Take a stick, whose length is from the ground until its top reaches under your neck in such a way that you cannot sink down or rise up.
+|style="text-align:right;"|וקח המקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחר תחת צואריך באופן שלא תוכל להעמק שאולה או הגבה למעלה
 |-
 |
-:386) Question: A man asked his servant to bring a liṭra of figs, a liṭra of raisins, and a liṭra of almonds.
+::Then do it in such a way that the cappello is close to your eyes and when you see your self that the cappello reaches to the other end from the distance, that is, when you look up to the end of the river and you cannot see anymore, because the cappello's shadow prevents you from seeing any further, then turn your face to the other side.
-:A liṭra of raisins is worth 2 pešuṭim more than a liṭra of figs.
+|style="text-align:right;"|אח"כ עשה באופן שהקפילו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לפי הנראה לך שהקפילו יגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד סוף הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפילו יעיק צלו שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר
-:A liṭra of almonds is worth 3 pešuṭim more than a liṭra of raisins.
-:The 3 liṭra together are worth 30 pešuṭim.
-:I would like to know how much is the price of each liṭra.
-|style="text-align:right;"|שלא)&#x202B;<ref>MS L: שפו</ref> שאלה אדם אמר למשרתו להביא ליט' תאנות וליט' צמוקים וליט' שקדים<br>
-והנה ליט' הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מליט' התאנים<br>
-וליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' פשוטים<br>
-ובין הג' ליט' שוה ל' פשוטים<br>
-ארצה לדעת כמה ערך כל ליט' וליט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כבר ידעת כי הצמוקים שוה ב' פשוטים יותר מהתאנים הסר ב' מל' ונשאר כ"ח והנה ליט' השקדים שוה יותר מליט' הצמוקים ג' א"כ ליט' השקדים שוה יותר מליט' התאנים ה' הסר ה' מכ"ח נשאר כ"ג אח"כ חלק כ"ג על ג' יען כי הם ג' מינים ויצא לך ז' וב' שלישיות א"כ ז' פשוטי' וב' שלישיות שוה ליט' התאנים שים בם ב' ויהיו ט' וב' שלישיות והוא ערך ליט' הצמוקים עוד תוסיף ג' ויהיו י"ב וב' שלישיות והוא ערך השקדים ובין הכל ל' ותקיש על זה
+::For example, if the river is on the east side, turn your face to the west side, that is, behind you and make your feet stand in the exact same place they stood when you were facing the river.
+|style="text-align:right;"|המשל אם הנהר לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו רגליו כלפי הנהר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שלב) שאלה תמצא לי מספר אשר כשתוסיף עליו מספר מה יהיה מרובע ואם תגרע ממנו ישאר מרובע
+::Look again and see as far as the place you can reach with your sight.
+|style="text-align:right;"|והסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל לראות בעין ראותך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח ב' מספרים מרובעים וראה התוספת שיש בין זה לזה וחלק היתרון לב' חצאים ושים חלק א' על המרובע הקטן או תגרענו מהגדול והוא המבוקש
+::Then, go measure from your position as far as you could see and that is the distance from the river.
+|style="text-align:right;"|ואח"כ לך למדוד ממעמדך וממצבך עד המקום שיכולת לראותו כך הוא מרחק מהנהר
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון קח מספר ט' שהוא מרובע ומספר י"ו שהוא מרובע והיתרון הוא ז' חלק על ב' והם ג' וחצי שימם על ט' והנם י"ב וחצי או גרעם וי"ו (מי"ו) והנם ג"כ י"ב וחצי כי אם תסיר מי"ב וחצי ג' וחצי ישאר ט' שהוא מרובע ואם תוסיף בם ג' וחצי יצא י"ו והוא מרובע ג"כ
+::But, the river and the distance must be in a flat plane.
+|style="text-align:right;"|אך צריך שיעמוד הנהר בעמק שוה והמרחק ג"כ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שלג) שאלה תמצא לי מספר כי כשתמנהו א"א שוה ב"ב ישאר א' ג"ג ב' ד"ד ג' ה"ה ד' ו"ו ה' ז"ז א&#x202B;'
+::This method is by trick, not by arithmetic and geometry.
+|style="text-align:right;"|וזה הדרך הוא על צד התחבולה לא בדרך מספר והנדסה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תמצא מספר יכלול החלקים עד ו' והם ס' תסיר ממנו א נשאר נ"ט א"כ נ"ט נשאר על ב' א ועל ג ב' ועל ד' ג ועל ה' ד' ועל ו' ה' אח"כ ראה אם הולך ז"ז ותמצא כי נשאר ד' ואנו מבקשים שישאר א' אח"כ כפול ד' על איזה מספר באופן כי כשתחלקהו על ז' שישאר א' שישאר ב' ותמצא ד' כי ד' על ד' הם י"ו וישאר על השביעית ב' אח"כ כפול ד' על ס' ויהיו ב' מאות ומ' תסיר ממנו א ויהיו ב מאות ול"ט והוא המבוקש ואולם אמרי תסיר ממנו א כי ר"מ הולך אא בב גג דד הה ו"ו ולז"ז ישאר ב' ואם תסיר ממנו א' ישאר הדרוש
-|-
+=== <span style=color:Green>Proportional Division - Promissory Note</span> ===
-|<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a+b+c+d=2X\\\scriptstyle a+\frac{1}{2}\sdot Y=X\\\scriptstyle b+\frac{1}{3}\sdot Y=X\\\scriptstyle c+\frac{1}{4}\sdot Y=X\\\scriptstyle d+\frac{1}{5}\sdot Y=X\\\end{cases}</math>
-|style="text-align:right;"|שלד) שאלה ד' בני אדם רוצים לקנות סוס א' ואין לא' מהם יכולת בידו<br>
-ויש לארבעתם ב' פעמים ערך הסוס<br>
-ובא אדם ואמר אם תרצו שאהיה עמכם אתן מה שיגיע לי לפרוע השיבו לו לא נרצה שתהיה עמנו<br>
-אמר לו הראשון אם תתן לי חצי ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי<br>
-אמר הב' לחצון אם תתן לי שליש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו<br>
-אמר הג' לחצון אם תתן לי רביעית ממונך עם שלי הייתי קונה הסוס לבדי<br>
-אמר הד' לחצון אם תתן לי חומש ממונך עם שלי הייתי קונה אותו לבדי<br>
-נשאל כמה ביד כל א' מאלו הד' וכמה ביד החצון וכמה ערכו
-|-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{Y=60}}</math><br>
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)+\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=77}}</math><br>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{77}{4-2}=\frac{77}{2}=38+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תמצא מספר יהיה לו חצי ושליש ורביע וחומש והוא ס' וכל החלקים הם ע"ז הנה א"כ החצון יש לו ס' מנינים<br>
-אח"כ תחלק ע"ז על ב' יען כי הם יכולין לקנות ב' סוסים והנם ד' אנשים הוצא ב' מד' הנשאר ב&#x202B;'<br>
-ואם לא היו יכולין לקנות כי אם בית א' היתה מוציא א' מד' הנשאר ג' והיית מחלק ע"ז על ג&#x202B;'<br>
-ואם יוכלו לקנות ג' היית מוציא ג' מד' נשאר א' והיית מחלק ע"ז על א&#x202B;'<br>
-והנה במספרינו נשארו לנו ב' לכן נחלק ע"ז על ב' ויצא ל"ח וחצי והוא ערך הבית
 |-
-|
+|Questions by Borgoto of Venice [= Piero Borgi?]&#x202B;<ref>marg.</ref>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-30=8+\frac{1}{2}}}</math><br>
+|style="text-align:right;"|שאלות {{#annot:Piero Borgi|509|7uQJ}}בורגוטו מויניסיאה{{#annotend:7uQJ}}
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-20=18+\frac{1}{2}}}</math><br>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{c=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-15=23+\frac{1}{2}}}</math><br>
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=\left(38+\frac{1}{2}\right)-\left(\frac{1}{5}\sdot60\right)=\left(38+\frac{1}{2}\right)-12=26+\frac{1}{2}}}</math>
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יש ביד כל א' מארבעתם הוצא החצי מס' שהם ל' מל"ח וחצי הנשאר ח' וחצי והוא הממון מאותו ששואל חצי ממון החצון<br>
-אח"כ הוצא שליש ס' שהם עשרים מל"ח וחצי הנשאר י"ח וחצי והוא ממון מאותו ששואל שליש ממון החצון<br>
-אח"כ הוצא רביעית ס' מט"ו מל"ח וחצי נשאר כ"ג וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון רביעית ממונו<br>
-אח"כ הוצא חומש ס' שהם י"ב מל"ח וחצי הנשאר כ"ו וחצי והוא חלק מאותו ששואל לחצון חומש ממונו
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a+b+c+d &\scriptstyle=\left(8+\frac{1}{2}\right)+\left(18+\frac{1}{2}\right)+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=27+\left(23+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)\\&\scriptstyle=\left(50+\frac{1}{2}\right)+\left(26+\frac{1}{2}\right)=77\\\end{align}}}</math>
+:{{#annot:promissory note|645|oD82}}[261]) Question: A man is indebted to four people: for one - 4 minyanim, for another - 6, for another - 8, and for another 12.
-|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי ביד ארבעתם כ"כ ממון יוכלו לקנות ב' בתים לכן תחבר ממון הראשון שהוא ח' וחצי עם ממון הב' שהוא י"ח וחצי ויהיו כ"ז גם תוסיף בו ממון הג' שהוא כ"ג וחצי ויהיו נ' וחצי גם תוסיף בם ממון הרביעי שהוא כ"ו וחצי ויהיו ע"ז
+:The man died and only 24 minyanim were found in all his possessions.
+:We would like to know how much will each take according to the money he had to receive in Venice.
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[רסא]) <big>שאלה</big> איש אחד מחוייב לד' בני אדם לא' ד' מנינים ולאחר ו' ולאחר ח' ולאחר י"ב<br>
+ומת האיש ההוא ולא נמצא בכל נכסיו כי אם כ"ד מנינים<br>
+נרצה לדעת כמה יקח כל א' וא' כפי הממון שהיה לו לקבל{{#annotend:oD82}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{77}{38+\frac{1}{2}}=2}}</math>
+::Sum up all their money, which is 30.
-|style="text-align:right;"|תחלקם על ל"ח וחצי ויצא לך ב' ודוק ותשכח וזה מה שרצינו לבאר
+|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם והוא ל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תם ונשלם
+::Then, multiply the money of the first, which is 4, by 24 and divide by 30; the result is 3 integers and 6 parts of 30.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{4\sdot24}{4+6+8+12}=\frac{4\sdot24}{30}=3+\frac{6}{30}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ממון הראשון שהוא ד' על כ"ד וחלק על ל' ויצא ג' שלמים וו' חלקים מל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תהלה לאל עולם
+::Do the same for the second; he gets 4 and 24 parts of 30.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=4+\frac{24}{30}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה לב' ויגיע לו ד' וכ"ד חלקים מל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הסופר לא ינזק לא היום ולא לעולם
+::The third gets 6 and 12 parts of 30.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6+\frac{12}{30}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולג' יגיע ו' וי"ב חלקים מל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|עד שיעלה חמור בסולם
+::The fourth [gets] 9 and 18 parts of 30.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=9+\frac{18}{30}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולד' ט' וי"ח חלקים מל&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אשר יעקב אבינו חלם
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it sum up all their money; the result is 24.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו חבר כל ממונם ויעלה כ"ד
 |-
-|
+|colspan=2|
-|style="text-align:right;"|תם
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1+a_2+a_3+a_4=\left(3+\frac{6}{30}\right)+\left(4+\frac{24}{30}\right)+\left(6+\frac{12}{30}\right)+\left(9+\frac{18}{30}\right)=24}}</math>
-|-
-|
-|style="text-align:right;"|ויקיים בו מקרא דכתיב לא ימוש ספר התורה הזה מפיך והגית בו יומם ולילה למען תשמור לעשות ככל הכתוב בו כי אז תצליח את דרכיך ואז תשכיל אמן (יהושע, א, ח) ואמן סלה ועד
-|-
-|}
-{|
 |-
 |
-== Kaufmann - Additional Excerpt ==
+=== <span style=color:Green>Partnership Problems</span> ===
 |
 |-
-|'''Pricing Problem - Find the Amount'''
 |
-|-
+:{{#annot:five partners|661|qrNE}}262) Question: 5 people made a boat and agreed that from what they would earn, one would take 3 for each hundred, the second 2, the third 4, the fourth 5 and the fifth 6; and they spent 30 to repair the ship.
-|A man sells 13 measures for 23. How many measures will he sell for 7 [pešiṭim]?<br>
+:How much will each pay according to ratio of the profit due to each?
-<math>\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}</math>
+|style="text-align:right;"|רסב) <big>שאלה</big> ה' בני אדם עשו ספינה והתנו ביניהם כי ממה שירויחו הא' יקח עבור כל מאה ג' והאחר ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר ו&#x202B;'<br>
-|style="text-align:right;"|שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשוטים כמה מדות יתן בז' פשוטים
+ופזרו לתקן האניה ל&#x202B;'<br>
-|-
+כמה יפרע כל א' לפי יחס הריוח המגיע לכל א' וא&#x202B;'{{#annotend:qrNE}}
-|<span style=color:red>Rule of Four:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול ז' על י"ג יעלה צ"א חלקם על כ"ג יצא ג' וכ"ב חלקים מכ"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L רלט</ref> אדם מוכר מג' מיני חטים הא' מהם המדה שוה י"ב פשוטים ומהאחרת י"ח ומהאחרת כ"ב ובא אדם ורוצה לקנות מאותם הג' מיני חטים כ"ד מדות לערך ט"ו פשוטי כמה יקח מכל חטה וחטה באופן שרע רע לא יאמר הקונה והמוכר ג"כ
+::Sum up all their money; it is 20.
+|style="text-align:right;"|תחבר כל ממונם ויהיו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תראה ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב תמצא ג' ושימם על י"ח ואח"כ ראה ההפרש שהוא בין ט"ו לי"ח תמצא ג' ושימם על י"ב ורצוני בזה שכל ז' זמן שיקח ג' מדות מאותו של י"ח יקח ג' מדות של י"ב ויש לנו אחר ששוה כ"ב על כן נקח ממנו א אח"כ ראה ההפרש שיש בין כ"ב לט"ו תמצא ז' אח"כ חלק אלו הז' על ההפרש שיש בין ט"ו לי"ב שהוא ג' יעלה ב' ושליש אח"כ חבר הכל רצוני אלו הב' ושליש והג' והא' והג' האחרים הנה בין הכל עולה ט' שלמים ושליש אח"כ כפול ה' ושליש שהם י"ב נגד כ"ד וחלק היוצא על ז' (ט') ושליש יצא י"ג וה' שביעיות וככה יקח ממנו אח"כ כפול ג' שהם על י"ח נגד כ"ד וחלק היוצא על ט' ושליש יצא לך ז' וה' שביעיות א' אח"כ כפול א על כ"ד וחלקהו על ט' ושליש יצא לך ב' וד' שביעיות וככה יקח מאותו ששוה כ"ב
+::Then, multiply the first by 30 and divide by 20; he pays 3.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{2\sdot30}{2+3+4+5+6}=\frac{2\sdot30}{20}=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תכפול הראשון על ל' ותחלק לכ' ויגיע לחלקו לפרוע ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לבחון אותו ראה כמה שוות הב' מדות וד' שביעיות לערך כ"ב במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות הה (ז) מדות וה' שביעיות לערך י"ח במדה וקבץ הכל אח"כ ראה כמה שוות י"ג מדות וה' שביעיות לערך י"ב דינרין המדה וקבץ הכל ותמצא שיעלה בין הכל ג' מאות וס' דינרין רצוני ערך כל הג' חטים ושמור זה אח"כ כפול כ"ד שהם המדות המבוקשות על ט"ו שהוא הערך ששואל תמצא שהוא עולה ג' מאות וס' ג"כ
+::Do the same for the second; he pays 4 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=4+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהב' ויפרע ד' וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L רנא</ref> אדם מוכר חטה סך נעלם במעות מנויים ובחלופי' משים אותו ג' והאחר העושה החלוף עמו משים החטה במעות מנויים מוכר אותה יותר ובחליפים משים אותה ג' פשוטים ומהג' פשוטים שואל השליש שהוא א' במעות מנויים והב' שלישיות שואל מחטה ומדת החטה שוה ד' פשוטים במעות מנויים ובחלופים שוה עתה ח' פשוטים נרצה לדעת כמה היה שוה הקנה מהבגד במעות מנויים באופן שבעבור הב' שלישיות בעל החטה העלה אותם לו הסך מד' עד ח'
+::The third [pays] 6.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|והג' ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה והוא שתראה ההפרש שהוא מד' לח' והנה ד' חצי הח' אח"כ קח חצי מהב' שלישיות שהוא עושה החלופים והנה הב' שלישיות הם ב' שלמים כי ב' שלישיות מג' הוא ב' הסר ממנו החצי ישאר א' הוסף זה על שליש המעות שהוא שואל במעות מנויים והוא א' יהיו ב' הנה א"כ קודם לכן הקנה מהבגד היה שוה במעות מנויים ב' פשוטים ועתה שוה ג' בחלופים וכך תעשה לכל השאלות שהם כזאת
+::The fourth [pays] 7 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_4=7+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והד' ז' וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שא</ref> אם תרצה לתקן ט' בתים אשר כל ג' בתים מהם יעלו בין באורך בין ברוחב בין באלכסון י"ו
+::The fifth [pays] 9.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_5=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|והה' ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה ראוי לך לדעת כי יש לנו תמונה שעולה באורך וברוחב ובאלכסון ט"ו ותמצא בבית הראשון ב' ובב' ט' ובג' ד' ובד' ז' ובה' ה' ובו' ג' ובז' ו' ובח' א' ובט' ח' וזאת היא הצורה
+:{{#annot:three partners|662|npak}}263) Question: three people formed a partnership.
+:The first contributed 3 minyanim and stayed in the partnership 2 months.
+:The second contributed 4 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
+:The third contributed 2 minyanim and stayed in the partnership 9 months.
+:They earned 25 minyanim.
+:How much is owed to each?
+|style="text-align:right;"|רסג) <big>שאלה</big> ג' בני אדם עושים שותפות<br>
+הא' שם ג' מנינים ועמדו בשותפות ב' חדשים<br>
+והאחר שם ד' מנינים ועומדו בשותפות &#x202B;<ref>268r</ref>ה' חדשים<br>
+והאחר שם ב' מנינים ועמד בשותפות ט' חדשים<br>
+והרויחו כ"ה מנינים<br>
+כמה יגיע לכל א&#x202B;'{{#annotend:npak}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וראוי לך לעשות הערך ככה והוא כי יש לך לקחת ב' שלישיות ט"ו והם י' גם תקח ב' שלישיות י"ו שהם י' וב' שלישיות ותאמר אם י' נתן לי ב' מה יתן לך ומה יוסיף לך ב' (י') וב' שלישיות אמנם אמרתי ב' יען כי תמצא ב' בבית הראשון ויצא לך ב' וב' חלקים מט"ו והוא מה שראוי להיות בבית הא' עוד תאמר אם י' נתן לי ט' והוא מה שבבית השני מה יתן לי י' וב' שלישיות יצא לך ט' וט' חלקים מט"ו וכך כלם וזאת היא צורתם
+::The money of each should be multiply by the [number of] months:
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון כל א' על החדשים
 |-
 |
-:{{#annot:three coins|667|P9Rd}}Question: If you want to give to three people: one gold, the other silver, and another copper, do as follows: give the first one [coin], the other two [coins], and the other three coins.
+::We multiply 2 by 3; it is 6 and it is for the first.
-:Remember to who you gave one, to who you gave two and to who you gave three.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot3=6}}</math>
-:Then, say: whoever wants to take the silver, take it; whoever wants to take the gold, take it; and whoever wants to take the copper, take it.
+|style="text-align:right;"|והנה נכפול ב' על ג' ויהיו ו' והוא הראשון
-:Say: whoever took the gold should take as much as he has.
-:For example, if he has [one], he should take 1; if he has two, he should take 2; if he has three, he should take 3.
-:Put 18 coins on the table and tell them to take from these coins.
-:Tell them that whoever has silver should take twice as much as he has and whoever has copper should take 4 times as much as he has.
-:Know that either 7 or 6 or 5 or 3 or 2 or 1 should remain on the table, but 4 should not remain.
-:If 5 remain, know that the one who took 1 has the gold and the one who took 2 has the silver and the one who took 3 the copper.
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שד</ref> אם תרצה לתת לג' בני אדם לא' זהב לאחר כסף (לאחר כסף) לאחר נחושת תעשה כן תן לא' א' ולאחר ב' ולאחר ג' מטבעים וזכור למי נתת א' ולמי נתת ב' ולמי נתת ג'<br>
-אח"כ תאמ' מי שירצה לקחת הכסף יקחנו ומי שירצה לקחת הזהב יקחנו ומי שירצה לקחת הנחושת יקחנו<br>
-אח"כ תאמ' מי שלקח הזהב יקח כמו מה שיש לו<br>
-המשל אם יש לו ב' (א') יקח אחד ואם יש לו ב' יקח א' (ב') ואם יש לו ג' יקח ג' אחד<br>
-ושים על השלחן י"ח מטבעים ואמור להם שיקחו מאותם המטבעים<br>
-עוד תאמ' מי שיש לו כסף יקח ב' פעמים כמוהו<br>
-ומי שיש לו הנחושת יקח ד' פעמים כמוהו<br>
-ודע כי יצטרך שישארו על השלחן או ז' או ו' או ה' או ג' או ב' או א' אבל ד' לא ישאר<br>
-ואם נשאר ה' דע כי מי שלקח א' יש לו הזהב ומי שלקח ב' יש לו הכסף ומי שלקח ג' הנחושת{{#annotend:P9Rd}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והא לך הסימן כי בכל מקום שתמצא אה מורה על הזהב ובמקום או מורה על הכסף ובמקום אי על הנחושת ואם נשאר א' תעיין במלה הראשנה אם נשאר ב' תעיין במלה שניה אם ג' תעיין בג' ודע כי הנקדה שתמצא בראשה מורה על האיש שיש לו א והנקדה השניה מורה על מי שיש לו ב' והנקדה הג' מורה על מי שיש לו ג' ושמור הדרך שלא תטעה כי אה מורה על הזהב אי (או) מורה על הכסף אי מורה על הנחושת
+::Do the same for the second; it is 20.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot5=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|כן תעשה מהב' ויהיו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שו</ref> תמצא לי מספר אשר מחציתו ושלישיתו יוסיפו ד' שלמים על רביעיתו וחמישיתו
+::Also for the third; it is 18.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot9=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן מהג' ויהיו י"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה נקח י"ב ומחציתו ו' ושלישיתו הוא עשרה ורביעיתו וחמישיתו הם ה' וב' שלישיות א"כ החצי והשליש מוסיף על הרביעית והחומש ד' וג' חמישיות ולכן תאמ' אם ד' ו[ג'] חמישיות נתן לי י"ב ד' מה יתנו ויצא לך עשרה וי' חלקים מכ"ג והוא [המב]וקש
+::The total is 44.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6+20+18=44}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין הכל מ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שט</ref> אם תרצה לתקן ד' בתים כאלו תאמר בית ראובן ושמעון ולוי ויהודה שהמרחק שיש מזה לזה יהיה שוה
+::Then, multiply 6 by 25 and divide the product by 44; the result is 3 and 18 parts of 44 and this is the share of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=\frac{6\sdot25}{44}=3+\frac{18}{44}}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ו' על כ"ה והעולה חלק על מ"ד ויצא ג' וי"ח חלקים ממ"ד והוא חלק הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לעשות ד' משולשים ותחבר הג' חדודים מהג' משולשי' ויהיו זקופים והמשולש הד' יהיה שטוח וזה נקרא בלשונינו משולש מוגשם ובלשונם נקרא טריאנגולי אינקורפוראטו והנה בג' זויות השטוחים יהיו ד' בתים ובזוית הזקוף יהיה בית הרביעי ר"ל במקום שהג' ראשים מהמשולשים שהם זקופים
+::Do the same for the second; he receives 11 and 16 parts [of] 44.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{20\sdot25}{44}=11+\frac{16}{44}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כן תעשה מהב' ויגיע לו י"א וי"ו חלקים מ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שי</ref> אם תרצה למצא הנקודה האבודה ר"ל אם תתחיל לעשות עגול ולא תשלים אותו ואין המרכז נרגש אם תרצה למצא המרכז
+::Do the same also for the third; the result is 10 and 10 parts of 44 and this is the share of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{18\sdot25}{44}=10+\frac{10}{44}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהג' ויצא י' וי' חלקים ממ"ד והוא חלק הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לחבר שני ראשי העגול שהתחלת לעשות וקח חצי הקו המחברת ותעשה בו נקודה גם קח חצי הקשת ר"ל מהעגול שהתחלת לעשות גם תעשה בו נקודה למען יהיה נראה אח"כ תחלק חצי המיתר לג' חלקים או ד' או באיזה מספר שתרצה עם מחוגה ותכפול החלקים מחצי המיתר על החלקים מהחצי האחר המשל אלו חלקת חצי המיתר לג' חלקים יצטרך גם שהחצי האחר יהיה ג' בהכרח וכפול ג' על ג' ויהיו ט' אח"כ ראה כמה חלקים יש מנקודת הקשת שעשית עד נקודת המיתר מאותם המדות שעשית כבר וכפי אותו המספר שיצא תכפלהו באיזה מספר שיעשה ט'
+:{{#annot:three partners|661|WqJ0}}264) Question: three people formed a partnership, they contributed 20 minyanim between the three of them and earned 30.
+:The first is worthy of 4 minyanim from the profit and the second [is worthy of] 6.
+:How much is owed to the third and how much was the amount of money of each?
+|style="text-align:right;"|רסד) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות ושמו בין שלשתן כ' מנינים והרויחו ל&#x202B;'<br>
+ולראשון מגיע מהריוח ד' מנינים ולשני ו&#x202B;'<br>
+כמה יגיע לג' וכמה היה ממון כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:WqJ0}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המשל אם יש מנקודת הקשת עד נקודת המיתר א' ושליש תמצא איזה מספר שכאשר תכה אותו בא' ושליש יעשו ט' חלק ט' על א' ושליש יצא ו' וג' רביעיות אח"כ תמשוך קו באשר מנקודת הקשת אל נקודת המיתר ויעבור האורך הרבה הנה יצטרך בהכרח שבאותו הקו שמשכת באשר שיהיה מרכז העגולה
+::4 should be added to 6; it is 10.
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לחבר ד' עם ו' ויהיו י&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה למצא המרכז תמדוד מנקודת המיתר באותו הקו ו' וג' רביעיות ועם מה שיש מנקודת המיתר עד נקודת הקשת שהוא א' ושליש יהיו ז' (ח') וחלק א מי"ב [וח]לק זה המספר עם המחוגה על חצי ויצא לך מקום המרכז כמו זאת הצורה
+::Subtract it from 300; 20 remains and this is the share of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30-\left(4+6\right)=30-10=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחסרם מל' וישארו כ' והוא החלק מה שמגיע לחלקו ריוח הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיא</ref> אם יש לך חתיכת בגד ארכה ב' ורחבה ב' אם תרצה לעגלה
+::To know how much each one contributed, do as follows:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה שם כל א' וא' תעשה כן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול ד' פעמים ב' ויהיו ח' אח"כ תחלק ח' על ג' ושביעית מצד כי לעולם הקף העגולה עודפת על אלכסונה ג' פעמים כמוהו ושביעית לכן נחלק ח' על ג' ושביעית ויצא לך ב' וו' חלקים מי"א והוא יהיה האלכסון מהעגול וכ"כ יהיה שטח העגול בשטח המרובע
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if all 30 minyanim, which is the profit of the three, gives me 20, which is the money of the three, how much will 4, which is the profit of the first, give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30:20=4:x_1}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' אם כל הל' מנינים שהוא ריוח שלשתן נתן לי כ' שהוא ממון שלשתן מה יתן לי ד' שהוא ריוח הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיב</ref> אם תרצה לעשות מרובע רבוע ובתוך המרובע יהיה שמונה צלעות שוות ויהיה אורך כל צלע א' וב' שלישיות אשאל כמה יהיה אורך כל קו מהמרובע
+::Multiply 4 by 20 and divide by 30; the result is 2 and 2-thirds and this is what the first contributed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{4\sdot20}{30}=2+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול ד' על כ' וחלק על ל' ויצא ב' וב' שלישיות והוא מה ששם הא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך יש לך לכפול א וב' שלישיות על עצמם ויעלה ב' וז' תשיעיות וחלקם על ב' ויצא לך א וז' חלקים מי"ח וקח שרשם ויצא לך א ושתות וכך יהיה כל אורך מה שישאר בכל קצה ולבחון אותו קח שרש (כפל) א ושתות ויצא לך א י"ג חלקים מל"ו כפלם על ג' (ב') ויצא לך ב' וכ"ו חלקים מל"ו ושרש א וב' שלישיות
+::The money of the second was 4.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{6\sdot20}{30}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|וממון הב' היה ד&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיג</ref> אם יש לך מרובע אורך כל קו מהמרובע י"ב ותרצה לעשות בו שיהיה שמונה צלעות שוות
+::The money of the third was 13 and a third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{20\sdot20}{30}=13+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וממון הג' היה י"ג ושליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להקיש זאת השאלה עם אותה של מעלה בדרך הערכים ותאמ' אם ד' נתן לי א וב' שלישיות מה יתן לך ומה יוסיף לך י"ב כפול י"ב על א' וב' שלישיות ויצא כ' חלקם על ד' ויצא לך ה' וזה יהיה אורך כל צלע מהה' (ח') צלעות ולבחון אותו כפול ה' על [ה'] ויצא כ"ה תסיר ה' מי"ב שהוא אורך כל קו מהמרובע ויצא לך ז' חלקם על ב' ויצא לך ג' וחצי והוא מה שראוי שישאר בכל קצה כפול ג' וחצי על עצמם ויצא י"ב ורביע כפלם על ב' ויהיו כ"ד וחצי וקח שרשם ויהיו ה' בקרוב והוא שוה אל הצלע הה' וזאת היא צורתם
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> Sum them up; it is 20 and this is the total amount of money the three contributed together.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2+\frac{2}{3}\right)+4+\left(13+\frac{1}{3}\right)=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו כ' והוא סך הממון ששמו בין שלשתן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גם תוכל לעשות הערך באופן אחר והוא שתאמ' אם ד' שוה א' ושתות מה שוה י"ב ויצא לך ג' וחצי והוא אורך כל זוית וזה מבואר וכן תמיד תוכל לעשות ר"ל להקיש עם הדמיון מהמרובע העליון שהוא ד' על ד'
+:{{#annot:three partners|661|7Ojk}}265) Question: three formed a partnership.
+:The first contributed 117 minyanim; the second contributed 83 [minyanim]; as for the third - I do not know how much [he contributed].
+:They earned 319 and the share of the third is 124 minyanim [of the profit].
+:I ask: how much did he contribute to the partnership.
+|style="text-align:right;"|רסה) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם קי"ז מנינים והב' שם פ"ג והג' לא ידעתי כמה<br>
+והרויחו שי"ט וחלק הג' הוא קכ"ד מניני&#x202B;'<br>
+אשאל כמה שם בשותפות{{#annotend:7Ojk}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיד</ref> אם תרצה למצא שרש בשלמים במהירות גדול יש לך לראות אם המדרגות הם זוג או נפרד ואם הוא זוג תסיר א וישאר נפרד וקח האות הממוצעת ויצטרך שהשרש יהיה באותה מדרגה וכפול האות הראשנה מהשרש ותסיר זה המספר מהמדרגה האחרונה אח"כ ראה הנשאר ושים בו אות באופן שתוכל להסיר כפול אותה אות על השרש המונח וכפול על ג' (ב') ואח"כ כפול מה שתמצא על [......]תסיר העולה מהאות הבאה אחריה דרך ימין וכן לעולם עד [....ת]גיע אל המדרגה הראשנה
+::You should subtract the profit of the third from the total profit; 195 still remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{319-124=195}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה יש לך להוציא ריוח השלישי מסך כל הריוח וישארו עדין קצ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש ד' מאות וחמישים אלף וו' אלפים ותשפ"ט
+::So, the two earned only 195 minyanim.
+|style="text-align:right;"|א"כ בין הב' לא הרויחו כי אם קצ"ה מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה מצד כי הם מדרגות זוגיות כי הם ו' נסיר א' וישארו ה' המדרגה הממוצעת הוא ג' והם מאיות ונשיב המדרגה השישית אצל החמישית ויהיו מ"ה והשרש שעבר הוא ל"ו ושרשו ו' לכן שים ו' וישארו עד מ"ה ט' אח"כ תמצא איזה מספר שכשתכפלהו על ו' והעולה תכפול על ב' שתוכל להחסירו מצ"ו ותמצא ז' כי ז' על ו' הם מ"ב וב' על מ"ב ויהיו פ"ד תסירם מצ"ו וישארו י"ב אח"כ כפול ז' על ז' ותסירם מהז' אשר במדרגה הג' ולא תוכל לכן קח הב' שנשארו במדרגה הרביעית ולא תוכל לכן קח הא' שנשאר במדרגה הה' וישאר עדין ע"ה (ע"ח) אח"כ תחפש איזה מספר כי כשתכפלהו על ו' והעולה על ב' שתוכל להחסירו מע"ח ואם תקח מספר ו' יהיה העולה ל"ו וב' על ל"ו הוא ע"ב ויהיה הנשאר ו' והיה לך לכפול אותם הו' על הז' אשר הם האות השניה מהשרש ויעלו מ"ב וב' על מ"ב הם פ"ד ולא תוכל להסיר מס"ח (ע"ח) פ"ד לכן לא נתן לו כי אם ה' וו' על ה' הם ל' וב' על ל' הם ס' הסירם מע"ח הנשאר י"ח אח"כ כפול הה' על ז' ויהיו ל"ה ול"ה על ב' ויהיו ע' תסירם מהה' (ח') שהם במדרגה השנית ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השלישית ותביאם אצל המדרגה השנית ויהיו פ"ח תסיר מהם ע' וישארו י"ח אח"כ כפול ה' על ה' ויהיו כ"ה ותסירם מהמדרגה הראשנה ולא תוכל לכן קח הח' שהם במדרגה השניה ותביאם אצל המדרגה הראשנה ויהיו פ"ט תסיר מהם כ"ה נשארו ס"ד הנה א"כ השרש מהמספר המונח הוא תרס"ה (תרע"ה) והנשאר אלף קס"ד
+::Now, add what the first contributed to what the second contributed; it is 200.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{117+83=200}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תחבר מה ששם הא' עם מה ששם הב' ויהיו ר&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יש במספר המונח איזו ציפרא תעשה ככה ר"ל אם תרצה לדעת אם יש בשרש ציפרא תעשה בזה הדרך
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> then, say: if two hundred is needed to earn 195 minyanim, how much should the fund be in order to earn 124?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{195:200=124:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם כדי להרויח קצ"ה מנינים הוצרך להיות מאתים כמה יצטרך להיות הקרן כדי להרויח קכ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש קס"ד אלפים ותתק"ס
+::Multiply 124 by two hundred and divide the result by 195; you receive 127 integers and 35 parts of 195 and this is the share of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{124\sdot200}{195}=127+\frac{35}{195}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כפול קכ"ד על מאתים והעולה תחלק על קצ"ה ויצא לך קכ"ז שלמים ול"ה חלקים מקצ"ה והוא חלק השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה כבר ידעת כי זה המספר מגיע עד המעלה [....................] ה' ותשיב המדרגה הו' אצל הה' ויהיו י"ו ושרשו ד' ולא ישאר מא[.....] ד' על ד' הם י"ו אח"כ תמצא איזה מספר כי כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' יעלה ד' ולא תוכל כי אם תקח א ותכפלהו בד' והעולה על ב' יהיו ח' ואין המספר כי אם ד' לכן נשים כי ציפרא אח"כ תאמ' איזה מספר אמצא אשר כשתכפלהו על ד' והעולה על ב' שתוכל להחסירו ממ"ט ותמצא ו' כי ו' על ד' הם כ"ד וב' על כ"ד הם מ"ח תסירם ממ"ט וישאר א על המדרגה השלישית אח"כ כפול ו' על ו' ויעלו ל"ו תסירם מס' שהם במדרגה השנית וישאר עדין כ"ד ועם הק' ויהיו קכ"ד תפילם מהמספר המונח וישאר עדין קס"ד אלפים ותתל"ו והוא המרובע שעבר מהמספר המונח והשרש הוא ד' מאות וו' ותקיש על זה
+:{{#annot:three partners|662|PyYY}}266) Question: three formed a partnership.
+:The first contributed 56 minyanim and stayed in the partnership 5 months.
+:The second contributed an unknown amount and stayed in the partnership 8 months.
+:The third contributed a pearl and stayed in the partnership ten months.
+:They earned 86 minyanim.
+:The share owed to the first is 20; to the second 12; and to the third 54.
+:I ask: how much did the second contribute and how much is the value of pearl of the third?
+|style="text-align:right;"|רסו) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הראשון שם נ"ו מנינים ועמדו בשותפות ה' חדשים<br>
+והשני שם סך נעלם ועמד בשותפות ח' חדשים<br>
+והג' שם מרגלית אחת ועמדה בשותפות עשרה חדשים<br>
+והרויחו בין כלם פ"ו מנינים<br>
+והראשון מגיע לחלקו כ' ולשני י"ב ולג' נ"ד<br>
+אשאל כמה שם השני וכמה סך מרגלית הג&#x202B;'{{#annotend:PyYY}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיו</ref> תמצא לי מספר אשר כשתחלק חמישיתו על שרש המספר המונח שיצא ז'
+::The money of the first should be multiplied by the months.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{56\sdot5=280}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לכפול ממון הראשון על החדשים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך הוא שתכפול ז' על ה' ויהיו ל"ה והוא יהיה שרש המספר המונח ואם תכה ל"ה על עצמם וקח חמישיתם ותחלקם על ל"ה יצא ז' ותקיש על זה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> then, say: if 20, which is the profit of the first, returns 280, how much does 12, which is the profit of the second return?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:280=12:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>268v</ref>ואחר כן תאמר אם כ' שהוא ריוח ממון הא' שבו ר"פ כמה ישובו י"ב שהוא ריוח הב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיז</ref> אם תרצה לעשות מרובע בתוך עגולה
+::You receive 168.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=168}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך קס"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע (העגול) על העגולה (מרובע) הנה המרובע ר"ל כל צלע המרובע ראוי שיהיה כמו אלכסון העגולה ונניח שכל צלע המרובע הוא ה' כפול ה' על עצמם ויהיו כ"ה גם ה' על עצמם ויהיו כ"ה ועם כ"ה והנם נ' ושרשם ז' וחלק אחד מי"ד וכבר ידעת כי הקף העגולה היא ג' ושביעית מהאלכסון כפול ג' ושביעית על ז' וחלק מי"ד ויעלה כ"ב שלמים וכ"ב חלקים מצ"ח וחלקם על כ' יען כי כל צלע מהמרובע הוא ה' וד' פעמים ה' הוא כ' ויצא לך א ויא חלקים מצ"ח א"כ י"א חלקים מצ"ח מוסיף העגול על המרובע
+::Divide 168 by the [number of] months the money of the [second] stayed [in the partnership], which is 8; the result is 21 and this is the money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{168}{8}=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ חלק קס"ח על החדשים שעמד ממון הראשון שהוא ח' ויצא כ"א וזהו ממון השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיח</ref> אם תרצה לעשות עגולה בתוך מרובע אם תרצה לדעת כמה מוסיף המרובע על העגולה
+::To know how much is the price of the pearl of the third, multiply 54 by 280 and divide by 20; you receive 756.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{54\sdot280}{20}=756}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה סך מרגלית הג' כפול נ"ד על ר"פ וחלק על כ' ויצא לך ז' מאות נ"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דע כי יצטרך שאלכסון העגולה יהיה כמו אורך כל צלע המרובע
+::Divide it by the months; you receive 75 and 6 parts of 10 and this is the price of the pearl.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{756}{10}=75+\frac{6}{10}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלק זה על החדשים ויצא לך ע"ה וו' חלקים מי' והוא סך המרגלית
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם נאמר כי אורך כל צלע המרובע הוא ה' גם אלכסון העגולה הוא ה' והקף כל המרובע הוא כ' גם כפול ג' ושביעית על ה' ויצא ט"ו וה' שביעיות אח"כ תחלק כ' על ט"ו וה' שביעיות יצא א וג' חלקים מי"א א"כ המרובע מוסיף על העגולה ג' חלקים מי"א
+:{{#annot:three partners|661|ozWw}}267) Question: three formed a partnership.
+:The first contributed 135 coins; the second 97; and the third 43.
+:They earned 734 coins and the third got 294 coins.
+:I wish to know how much the magen is worth?
+|style="text-align:right;"|רסז) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם קל"ה מטבעים והב' צ"ז והג' מ"ג<br>
+והרויחו תשל"ד מטבעים ולג' רצ"ד מטבעים<br>
+ארצה לדעת כמה שווה המגן{{#annotend:ozWw}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה תמצא לי מספר שכשאכפלהו בד' ותחלקהו על ו' שישאר א'
+::Subtract the profit of the third, which is 294, from 734; the remainder is 440.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{734-294=440}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא ריוח הג' שהוא רצ"ד מתשל"ד הנשאר ת"מ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול ד' על ו' ויהיו כ"ד תוסיף בו א ויהיו כ"ה חלקם על ד' ויצא לך ו' ורביע והוא המבוקש כפלהו על ד' ויהיו כ"ה וחלקם על ו' וישאר א'
+::Then, add the money of the first to [the money of] the second; the result is [232].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{135+97=232}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר ממון הא' והב' ויעלה ר"מ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ותקיש על זה דמיון אשר ממנו תוכל להבין כל הנזכר במולדות
+::So, these two earned 440 coins.
+|style="text-align:right;"|א"כ אלו הב' הרויחו ת"מ מטבעים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והוא תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' והעולה תחלק על ה' שישאר א'
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> therefore, say: if 294 returns 43, how much does 440 return?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{294:43=440:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תאמר אם רצ"ד שבו מ"ג ת"מ כמה ישובו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך להוסיף א' על ה' ויהיו ו' וחלקם על ד' וישאר א וחצי הוא המבוקש אבל יש בו שבר ואנו מבקשי' שלא יהיה בו שבר ולכן ראוי שתאמר מצד פעם אחת שלקחתי המחלק שהוא ה' נתן לו א' וחצי ולכן תוסיף בו אחד ויהיו ב' כפול ב' על ה' ויהיו י' תוסיף בו אחד ויהיו י"א חלקם על ד' ויצא לך ב' וג' רביעיות ולא יצא עדין בשלמים לכן נכפול (נוסיף) עוד אחד ר"ל על הב' ויהיו ג' כפלם על המחלק ויהיו ט"ו ועם א ויהיו י"ו תחלקם על א' ד' ויצא ד' והוא המבוקש כי כשתכפול ד' על ד' יהיו י"ו וחלקם על ה' וישאר א' ואם תרצה שישאר ב' תוסיף ב' וכך לעולם
+::You receive 63 and 104 parts of 294.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=64+\frac{104}{294}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אחרת תמצא לי מספר אשר כשתכפלהו על ד' ותחלקהו על ה' שיצא ו' בחלוק וישאר ג'
+::Thus, the 232 coins that the first and the second have are worth 64 coins.
+|style="text-align:right;"|א"כ רל"ב מטבעים שיש בין הא' והב' שוים ס"ד מטבעים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול ה על ו' ותוסיף בו ג' ויהיו ל"ג וחלקם על ד' ויצא לך ח' ורביע והוא המבוקש ואם תכפול ח' ורביע על ד' והעולה חלק על ח' (ה') שיצא ו' וישארו ג' והוא בשברים ואם תרצה שלא שיצא בשלמים תעשה ככה למעלה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how many coins each magen is worth, say: if 64 and 104 parts of 294 are equal to 232, how much is 1 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(64+\frac{104}{294}\right):232=1:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה מטבעים שוה כל מגן תאמ' אם ס"ד וק"ד חלקים מרצ"ד שוים רל"ב א' כמה שוה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שיט</ref> אם תרצה לדעת רוחב נקראו ארץ או איזה מרחק שוה שתרצה שים על ראשך כובע הנקרא [קפולו] ראשו ולך אצל שפת הנהר או במקום שתרצה לדעת ארכו וקח מקל שיהיה ארכו מהארץ עד שיגיע ראשו האחד תחת צואריך באופן שלא תוכל לשחות ארצה ולא להגביה למעלה אח"כ עשה באופן שהקפולו יהיה סמוך לעיניך וכשתראה לעין ראותך שהקפולו מגיע עד הקצה האחר מהמרחק ר"ל כשתסתכל עד ראש הנהר ולא תוכל לראות יותר מצד כי הקפולו צלו מעכב שלא לראות יותר רחוק אז תהפוך פניך לצד אחר המשל אם הנהר הוא לצד מזרח תהפוך פניך לצד מערב היינו לאחוריך ותעשה שהרגלים יעמדו באותו מקום ממש שעמדו בהיותך כלפי הנהר ותסתכל ג"כ וראה עד המקום אשר תוכל להשיג בעין ראותך אח"כ לך למכור ממעמד רגלך עד המקום שיכולת לראות וכך הוא מרחק הנהר אבל נראה לי כי יצטרך שיעמוד הנהר או המרחק במקום שוה
+::You receive 3 and some fractions.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ג' וחלקים מה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שכ</ref> אם תחלק איזה מספר שיזדמן ותקח ממנו רביעיתו ומהנשאר שלישיתו ומהנשאר אחר לקיחת השליש מחציתו יש לכלם חלק שוה
+:{{#annot:three partners|662|gkUG}}268) Question: three formed a partnership.
+:The first contributed 2 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
+:The second contributed 3 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and withdrew one magen at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year].
+:The third contributed 4 minyanim at the first of the month of Shevat [= 5th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
+:What remained for each was kept [in the prartnership] until the [next] first of the month of Tishri
+:They earned 20 minyanim.
+:I ask how much did each earn?
+|style="text-align:right;"|רסח) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם ב' מנינים ר"ח תשרי והוציא ר"ח מרחשון א' מגן<br>
+והאחר שם ג' מנינים ר"ח כסלו והוציא ר"ח טבת א' מגן<br>
+והאחר שם ד' מנינים ר"ח שבט והוציא ר"ח אדר ב' מנינים<br>
+ומה שנשאר לכל א' עמד ביחד עד ר"ח תשרי<br>
+והרויחו כ' מנינים<br>
+אשאל כמה הרויח כל א&#x202B;'{{#annotend:gkUG}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|המשל תקח רביעית י"ב והוא ג' וישארו ט' קח שלישית והוא ג' ונשארו ו' קח מחציתם והוא ג' ונשארו ג"כ ג' וזה יצדק בכל המספרים
+::First, you should multiply the 2 minyanim of the first [by] the 12 months  [from] the first of the month of Tishri, at which he contributed them, until the first of the next month of Tishri; it is 24.
+|style="text-align:right;"|הנה ראשו' ראוי שתכפול ב' מנינים מהראשון ששם אותו בר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא שהם י"ב חדשים ויהיו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה בכאן שני מגדלים אשר ראש האחד מגיע אצל ראש האחר והמרחק מרגל לרגל הוא עשרה ואורך כל מגדל ג"כ עשרה ונרצה להוריד חבל מבין השני ראשים שיגיע אצל אמצע הרגלים כמה יהיה ארכה
+::Multiply the 1 he withdrew at the first of the month of Marheshvan, by the 11 [months] from the first of the month of Marheshvan until the first of the month of Tishri.
+|style="text-align:right;"|א"כ כפול א' שהוציא מהשותפות בר"ח מרחשון והנה מר"ח מרחשון עד ר"ח תשרי י"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הדרך בזה ראוי לכפול עשרה על עצמם ויעלו מאה תחסר מהם חצי המרחק שיש מרגל לרגל ששם מגיע ראש החבל והוא ה' ורבועם כ"ה תחסרם ממאה וישארו ע"ו (ע"ה) קח גדרם וישארו ח וב' שלישיות וזאת צורתם
+::Subtract 11 from 24; the remainder is 13 and it is the share of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(2\sdot12\right)-\left(1\sdot11\right)=24-11=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא מכ"ד י"א הנשאר י"ג והוא עבור הא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה בתים תוכל לעשות ממשולש שהוא שוה הצלעות ואורך כל צלע י'
+::Multiply the money of the second by the months; it is 30, because the months are 10 and the money is 3.
+|style="text-align:right;"|וכן כפול ממון הב' על החדשים ויהיו ל' כי החדשים הם י' והממון ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה יש לך לכפול אורך השמור על חצי התושבת שהוא ה' ויעלו מ"ג וכ"כ בתים יוכל להעשות ממנו שכל אחד מהם יהיה אמה על אמה ר"ל מ"ג משולשים אשר כל אורך כל צלע אמה אחת
+::Multiply also the 1 magen he withdrew by the months, which are 9.
+|style="text-align:right;"|גם כפול א' מגן שהוציא על החדשים שהם ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד באופן אחר
+::Subtract 9 from 30; 21 remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot10\right)-\left(1\sdot9\right)=30-9=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא מל' ט' וישארו כ"א
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לקחת מאורך הצלע שהוא י' ב' חלקים מט"ו לכן קח ב' חלקים מט"ו מעשרה וישארו ח' וב' שלישיות והוא אורך העמוד
+::Multiply the money of the third by the months; it is 32, because the money is 4 and the months are 8.
+|style="text-align:right;"|גם כפול ממון הג' על החדשים ויעלו ל"ב כי הממון ד' והחדשים ח&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תדע אורך העמוד ותרצה לדעת אורך הצלע
+::Multiply also what he withdrew by the months; it is 14.
+|style="text-align:right;"|גם כפול מה שהוציא על החדשים ויהיו י"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח מרובע העמוד ותוסיף עליו שלישיתו ומהעולה תקח שרשו והוא אורך הצלע
+::Subtract it from 32; 18 remains and this is the money of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot8\right)-\left(2\sdot7\right)=32-14=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוציאם מל"ב וישארו י"ח והוא ממון הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון אתה יודע כי אורך העמוד ח' וב' שלישיות
+::So, say: three formed partnership: one contributed 13, another 21, and another 18. They earned 20.
+::How much should each take?
+|style="text-align:right;"|א"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם י"ג והאחר כ"א והאחר י"ח והרויחו כ&#x202B;'<br>
+כמה יקח כל א וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח מרובעם והוא ע"ה ותוסיף עליהם כ"ה שהוא שלישית ע"ה ויעלו ק' וקח גדרם והוא י' והוא אורך הצלע
+::You already know the way.
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת הדרך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת מתוך אורך העמוד כמה הוא תשבורת המשולש
+:{{#annot:three partners|662|lf2n}}269) Question: three formed a partnership.
+:The first contributed 4 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year] and added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year].
+:The second contributed 5 minyanim at the first of the month of Marheshvan and added 4 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year].
+:The third contributed 3 minyanim at the first of the month of Teveth [= 4th month in Heb. year] and withdrew 2 minyanim at the first of the month of Adar [= 6th month in Heb. year].
+:They stayed in the partnership from the first of the month of Tishri until the next first of the month of Tishri, i.e. a whole year, and earned 30 minyanim.
+:How much should each take?
+|style="text-align:right;"|רסט)<ref>MS L: שכא</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם ד' מנינים ר"ח תשרי והוסיף ר"ח מרחשון ב' מנינים<br>
+והב' שם ה' מנינים ר"ח מרחשון והוסיף ד' &#x202B;<ref>269r</ref>מנינים ר"ח כסליו<br>
+והאחר שם ג' מנינים ר"ח טבת והוציא ב' מנינים ר"ח אדר<br>
+ועמדו בשותפות מר"ח תשרי עד ר"ח תשרי הבא ר"ל שנה תמימה והרויחו ל' מנינים<br>
+כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:lf2n}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תרבע האורך ומהעולה תקח ה' תשיעיות וחומש התשיעית וכך הוא התשבורת כגון זה שעמודו הוא ח' וב' שלישיות הנה מרובעו ע"ה וה' שביעיתיו (תשיעיותיו) הוא מא וב' שלישיות וחומש התשיעית הוא א' וב' שלישיות ויעלה הכל מ"ג ושליש
+::The money of the first should be multiplied by the months: he contributed 4 minyanim and they stayed 12 months. Multiply them; it is 48.
+|style="text-align:right;"|ראוי לכפול ממון הא' על החדשים והנה שם בראשנה ד' מנינים ועמדו י"ב חדשים וכפלם ויהיו מ"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת ממשולש שהוא שוה השוקים אשר אורך כל שוק ט"ו ותשבורת ק"ח
+::What he added should also be multiplied by the months: he added 2 minyanim at the first of the month of Marheshvan. So, multiply them by the months from Tishri, which are 11. Multiply them by 2; it is 22.
+|style="text-align:right;"|גם ראוי לכפול מה שהוסיף על החדשים והנה הוסיף בר"ח מרחשון ב' מנינים ולכן כפלם על החדשים שהם עד תשרי והנם י"א וכפלם על ב' ויהיו כ"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אם תרצה לדעת אורך התושבת ואורך העמוד הנה ראוי לכפול ט"ו על ט"ו ויהיו רכ"ה גם כפול התשבורת על ב' ויהיו רי"ו הוצא רי"ו מרכ"ה וישארו ט' וגדרם ג' והוא מה שיעדיף העמוד על חצי התושבת
+::Add it to 48; it is 70 and this is the share of the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(4\sdot12\right)+\left(2\sdot11\right)=48+22=70}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוסיפם על מ"ח ויהיו ע' והוא ממון הא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת אורך העמוד והתושבת
+::Do the same for the second; it is 95.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\left(5\sdot11\right)+\left(4\sdot10\right)}}=95}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכן תעשה מהב' ויהיו צ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח מחצית ג' והם א וחצי ותרבעם יהיו ב' ורביע ותוסיפם על התשבורת ויהיו קי ורביע ושרשם י' וחצי תוסיף עליהם א וחצי ויהיו י"ב והוא אורך העמוד ואם תחסר מי' וחצי א וחצי ישארו ט' והוא חצי התושבת
+::Multiply the money of the third by the months; it is 27, because his money is 3 and the months are 9.
+|style="text-align:right;"|ומהג' כפול ממונו על החדשים ויהיו כ"ז כי ממונו ג' והחדשים ט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ודע כי זה המשולש נקרא שוה שוקים כי ארכם שוה אבל התושבת אינו שוה אל השוק כי הוא פחות או יותר
+::Multiply also what he withdrew, which is 2, by the months, which are 7; it is 14.
+|style="text-align:right;"|גם כפול מה שהוציא שהם ב' על החדשים שהם ז' ויהיו י"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעות אורך העמוד ראוי לדעת תחלה אנה יפול העמוד
+::Subtract it from 27; 13 remains and it is [the share of] the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3\sdot9\right)-\left(2\sdot7\right)=27-14=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוציאם מכ"ז וישארו י"ג והוא הג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת באיזה מקום מהתושבת יפול העמוד ראוי לרבע אורך הצלע הארוך וגם לרבע אורך התושבת ולחבר זה עם זה
+::Then, say: Three formed partnership: one contributed 70, another 95, and another 13. They earned 30.
-ונוציא מהם מרובע אורך הצלע הקצור והנותר נחלק על ב' והיוצא תחלק על התושבת והיוצא הוא מרחק העמוד מן התושבת אצל הצלע הארוך והנשאר מהתושבת אצל הצלע הקצור הוא החלק האחר ושניהם מחוברים אורך התושבת
+::How much should each take?
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' ג' עושים שותפות הא' שם ע' והאחר צ"ה והאחר י"ג והרויחו ל&#x202B;'<br>
+כמה יקח כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת ממשולש מתחלף הצלעו' אשר אורך אחת מצלעותיו ט"ו ואורך האחר י"ג ואורך התושבת י"ד
+::The way is known.
+|style="text-align:right;"|והדרך נודע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לדעת מרובע ט"ו עם מרובע התושבת ותחבר אלו הב' מרובעים ויעלו תכ"א נוציא מהם מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג וישאר רנ"ב ונחלקם על ב' ויצא קכ"ו וחלקם על התושבת שהוא י"ד ויצא ט' והוא מרחק גבול מעמד העמוד מן הצלע האורך (הארוך)
+:{{#annot:three partners|661|8AEg}}270) Question: three formed a partnership - one contributed 65 minyanim, another 53, and another 38.
+:They agreed to keep the partnership for 5 years and after the 5 years to divide the fund and the profit into three equal parts, so that each will take one part.
+:They kept the partnership only 3 years and earned 123 minyanim.
+:I ask how much should each take?
+|style="text-align:right;"|רע)<ref>MS L: שכב</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות הא' שם ס"ה מנינים והאחר נ"ג והאחר ל"ח<br>
+והסכימו לעשות שותפות ה' שנים ואחר הה' שנים רוצים לחלק הקרן עם הריוח לג' חלקים שוים וכל א' וא' יטול חלק אחד<br>
+והם לא עשו השותפות כי אם ג' שנים והרויחו קכ"ג מניני&#x202B;'<br>
+אשאל כמה יקח כל אחד ואחד{{#annotend:8AEg}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת המעמד הקצור
+::You should do it this way: you already know that if they stay in the partnership, and they neither gain nor lose within 5 years, their money must be divided into three equal parts.
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה כבר ידעת כי אלו עמדו בשותפות ולא הרויחו ולא הפסידו בה' שנים היה ראוי לחלק ממונם לג' חלקים שוים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תקח מרובע הצלע הקצור שהוא י"ג עם מרובע התושבת שהוא י"ד ויעלו שניהם שס"א (שס"ה) נוציא מהם מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה וישאר ק"מ נחלק על ב' ויצא ע' חלק ע' על י"ד שהוא התושבת ויצא ה' והוא מרחק גבול העמוד מן הצלע הקצור
+::Therefore, we sum the money of the three; it is 156.
-ועתה שנדע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו הוא כך נרבע הצלע הקצור ויהיו קס"ט תסיר מהם מרובע גבול מעמד העמוד נדע אורך העמוד ודרך ידיעתו ר"ל המעמד הקצור שהוא ה' ומרובעו כ"ה והנשאר קמ"ד וגדרם י"ב והוא אורך העמוד או תקח מרובע הצלע הארוך שהוא רכ"ה ותסיר מהם מעמד הארוך שהוא ט' ומרובעם פ"א וישארו ג"כ קמד ושרשם יב והוא אורך העמוד וזאת היא צורתו
+|style="text-align:right;"|לכן נחבר ממון שלשתן ויהיו קנ"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת שרש המעוקב מאיזה מספר שתרצה
+::We divide it by 3; you receive 52 for each.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{65+53+38}{3}=\frac{156}{3}=52}}</math>
+|style="text-align:right;"|נחלקם על ג' ויצא לך נ"ב לכל אחד ואחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי תחלה לדעת כי מרובע א הוא מרובע א כי הוא שרש ומרובע והנמשל לו הוא אלף אבל השרש הוא י' ומרובע ב' הוא (ח') והנמשל לו הוא ח' אלפים ושרשם כ' ומרובע ג' כ"ז והנמשל לו כ"ז אלפים ושרשם ל' ומרובע ד' ס"ד והנמשל לו ס"ד אלפי' ושרשם מ' ומרובע ה' (ק)כ"ה והנמשל קכ"ה אלפים ומרובעם ושרשם נ' ומרובע ו' רי"ו והנמשל רי"ו אלפים ושרשם ס' ומרובע ז' הוא שמ"ג והנמשל שמ"ג אלפים ושרשם ע' ומרובע ח' הוא תקי"ב והנמשל הוא תקי"ב אלפים ושרשם פ' ומרובע ט' הוא תשכ"ט והנמשל הוא תשכ"ט אלפים ומרובעם צ' וכן לעולם יחזור חלילה ר"ל כי מרובע מאה הוא אלף אלפים ומרובע ב' מאות הוא ח' אלפי אלפים ומרובע ג' מאות כ"ז אלפי אלפים
+::This way, the first, who contributed 65 to the partnership, will lose 13.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{65-52=13}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובזה האופן הראשון ששם בשותפות ס"ה יפסיד י"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת השרש מאיזה דבר שיזדמן תוציא תחלה השרש הנמשל והנשאר תחלק על השרש שמצאת אך ראוי שתוסיף על השרש שמצאת א' והמעלה הקודמת אליו אח"כ כפול השרש על עצמו עם תוספת א' ומה שיעלה תכפול על ג' דמיוני א' שהוספת ותחלק הנשאר עליהם ואם נשאר לך עוד שוב והוסיף א' מהמעלה הקודמת אליו והעולה כפול על ג' דמיוני התוספת והנשאר תחלק עליהם אך הזהר שישאר לך כ"כ שתוכל לקחת מהנשאר מרובע היוצא וכך תמיד
+::The second, who contributed 53, will lose 1.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{53-52=1}}</math>
+|style="text-align:right;"|והב' שם נ"ג יפסיד א&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואתן לך דמיון נרצה לדעת שרש עשרת אלפים
+::The [third], who contributed 38, will gain 14.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{52-38=14}}</math>
+|style="text-align:right;"|והאחר ששם ל"ח ירויח י"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי השרש שעבר הוא ח' אלפים ושרשם כ' ונשארו עדין ב' אלפים תוסיף א' מהמעלה הקודמת שהוא מעלת האחדים על כ' ויהיו כ"א כפול כ' על כ"א ויהיו ד' מאות וכ' כפול ד' מאות וכ' על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ר"ל שתכפלם על ג' ויעלו י"ב מאות וס' ותחלק ב' אלפים עליהם ויעלה א' תסיר מהב' אלפים י"ב מאות וס' ונשארו ז' מאות ומ' תסיר מז' מאות ומ' א' שעלה בחלוק וישארו ז' מאות ול"ט תפילם מעשרת אלפים ויהיו ט' אלפים וב' מאות וסא והוא מרובע כ"א אח"כ תוסיף חצי על כא ויהיו כ"א וחצי תכפלם על כא ויהיו תנ"א וחצי ותכפלם על ג' דמיוני התוספת שהוא חצי ר"ל שתקח חצי ד' מאות וכ"א וחצי ויהיו ב' מאות וכ"ה וג' רביעיות תכפלם על ג' ויהיו ו' מאות וע"ז ורביעי' ותסירם מהנשאר שהם ז' מאות ול"ט וישארו ס"א וג' רביעיות תסיר מהם מעוקב חצי שהוא שמינית א' וישארו סא וה' שמיניות תפילם מהמספר המונח שהוא עשרת אלפים וישאר ט' אלפים וט' מאות ול"ח וג' שמיניות והוא מרובע כ"א וחצי ושרשם המעוקב כ"א וחצי ודוק ותשכח ואם תרצה לדקדק עוד תוסיף איזה שבר שתרצה ותעשה ככה לעיל
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now, you should say for the first: if in 5 years the first lost 13, how much will he lose in 3 years?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:13=3:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה ראוי שתאמר בעבור הראשון אם ה' שנים היו [ב]כמה שהפסיד הראשון י"ג כמה יפסיד בעבור ג' שנים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש איזה מספר שתרצה כפול אותו המספר על אלף והוצא אח"כ שרש מהסך העולה אח"כ חלק השרש על עשרה והוא המבוקש
+::The result is 5 and [4]-fifths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{{\color{red}{4}}}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא ז' וב' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש ב' וחצי
+::Subtract it from 65, which is his money; 57 and a fifth remain.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=65-\left(7+\frac{4}{5}\right)=57+\frac{1}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותוציאם מס"ה שהיה ממונו ונשארו נ"ז וחומש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכפלם על אלף ויהיו ב' אלפים וה' מאות תוציא שרשם שהוא השרש הראשון שהוא י' וישארו אלף וה' מאות כפול י' על י"א שהוא א' של תוספת ויהיו ק"י כפלם על ג' דמיוני א' שהוא התוספת ויהיו ג' מאות ול' חלק אלף וה' מאות עליהם תן להם ג' וכפלם על י' ר"ל י' פעמים י"ג ויהיו ק"ל ק'(ל) כפלם על ג' דמיוני ויהיו ש"צ כפלם עוד על ג' ויהיו אלף וק"ע תפילם מאלף וה' מאות הנשאר ש"ל תפיל משל מעוקב ג' שהוא כ"ז הנשאר ש"ג תפילם מהמספר המונח וישאר ב' אלפים וקצ"ז והוא מרובע י"ג תחלק אלו הי"ג על עשרה ויצא א' שלם וג' עשיריות והוא שרש ב' וחצי בקרוב וזה כי ישאר עד תשלום ב' וחצי ש"ג חלקים מאלף שהוא פחות משליש אחד ואם תרצה לדקדק יותר כטוב בעיניך עשה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> for the second, say: if [in] 5 he lost 1, how much will he lose [in] 3?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:1=3:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור הב' תאמר אם ה' הפסידו א' ג' כמה יפסיד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דרך אחר יותר מדוקדק תוציא תחלה השרש השלם שעבר מהמספר המונח ואח"כ כפול השרש על עצמו והעולה על ג' ומה שנשאר מהמספר המונח חלק עליהם
+::The result is 3-fifths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{3}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא ג' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה לדעת שרש עשרה
+::Subtract it from the money of the second; 52 and 2-fifths remain.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=53-\frac{3}{5}=52+\frac{2}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוציאם מממון הב' וישאר נ"ב וב' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה השרש השלם שעבר הוא ב' כפלם על עצמם ויהיו ד' עוד כפול ד על ג' ויהיו י"ב חלק ב' הנשארים מהמספר המונח עליהם ויצא לך שישית אחד אך ראוי שתזהר שישאר לך איזה דבר מהמספר המונח כדי שתוכל לקחת ממנו מרובע אותו השבר ולכן לא נתן לו כי אם ב' חלקים מי"ג ותקיש על זה ודע כי דבר מעט יספיק לך שישאר לקחת מרובע השרש ודוק ותשכח
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> for the third, say: if 5 yields 14, how much will 3 yield?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:14=3:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור הג' תאמר אם ה' הרויחו י"ד כמה ירויחו ג&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת שרש מאיזה שבר שיזדמן ואף אם הוא עם שלמים ובפרט שיהיה לו שרש אמיתי תחלק שרש העליון על השרש התחתון והעולה הוא המבוקש
+::You receive 8 and 2-fifths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{2}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ח' וב' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון נרצה לדעת שרש מח' חלקים מכ"ז
+::Add it to the money of the third; the result is 46 and 2-fifths.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=38+\left(8+\frac{2}{5}\right)=46+\frac{2}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיפם על ממון הג' ויצא מ"ו וב' חמישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח שרש כ"ז והוא ג' וקח שרש ח' שהוא ב' חלק ח' (ב') על ג' והוא ב' שלישיות והוא השרש המבוקש
+::Now, add what is left for the first, the second, and the third; the result is 156. Divide by it.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(57+\frac{1}{5}\right)+\left(52+\frac{2}{5}\right)+\left(46+\frac{2}{5}\right)=156}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תחבר מה שנשאר לא' ולב' ולג' ויעלה קנ"ו ועליהם תחלק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר בשברים עם שלמים נבקש לדעת שרש ב' וי' חלקים מכ"ז
+::To know how much each receives, add their profit, which is 123, to what still remains; it is 279.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{156+123=279}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תחבר הריוח שעשו שהוא קכ"ג עם מה שנשאר עדין ויהיו רע"ט
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה מהב' שלמים חלקים מכ"ז ויהיו נ"ד תחבר אליהם הי' ויהיו ס"ד קח שרשם והנם ד' וקח שרש כ"ז והנם ג' חלק ג' (ד') על על ד' (ג') ויצא א' ושליש והוא המבוקש
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now, say: if 156, which is the fund of the three, gives me 279, which is the fund and the profit, what will 57 and a fifth, which is for the first, give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{156:279=\left(57+\frac{1}{5}\right):a_1}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה תאמר אם קנ"ו שהוא הקרן שמשלשתן נתן לי רע"ט שהוא עם הקרן והריוח מה יתן לי נ"ז וחומש בעבור הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובזה תוכל להכיר אם מספר הוא מעוקב אם לא ר"ל כי כשאמ' ב' שלמים וי' חלקים מכ"ז אם אחר שעשית מהשלמים שברים וחברת עמהם השברים אם אין לו שרש מעוקב אין לו שרש אמת
+::You receive 102 and some fractions and this is what the first should take from the fund and the profit.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=102+{\color{red}{\frac{3}{10}}}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ב וחלקים והוא מה שראוי לקחת הראשון עם הקרן והריוח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון תוציא לי שרש ג' וג' חלקים מכ"ז
+::Do the same for the second; you receive 93 and some fractions from the fund and the profit.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=93+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>269v</ref>כן תעשה מהב' ויצא לך צ"ג וחלקים בין הקרן והריוח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה מהם חלקים מכ"ז ויעלו פ"ד עם הג' שברים הנה אין למספר שרש מעוקב [א"כ] אין למספר המונח שרש מעוקב
+::Do the same for the third; you receive 8[2] and some fractions from the fund and the profit.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=8{\color{red}{2}}+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|כן תעשה מהג' ויצא לך פ"א וחלקים בין הקרן והריוח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ועוד תוכל לדעתו באופן אחר כמו האומר קח לי שרש ג' ורביע א' הנה כבר ידעת כי אין לד' הנמשל אל הרביע שרש מעוקב א"כ אין למספר המונח שרש מעוקב
+:{{#annot:three partners|661|rNPX}}271) Question: two men formed a partnership - one contributed 80 minyanim and the other 20.
+:They agreed that the owner of the 80 will take two thirds of the profit and the owner of the 20 [will take] a third of the profit.
+:A third man came and said: if you want that I will join the partnership with you, I will contribute 120 minyanim and keep the ratio agreed by both of you.
+:Eventually they earned 120 minyanim.
+:I ask: how much will each take?
+|style="text-align:right;"|רעא)<ref>MS L: שכג</ref> <big>שאלה</big> ב' אנשים עושים שותפות הא' שם פ' מנינים והאחר כ&#x202B;'<br>
+והסכימו ביניהם שבעל הפ' יקח ב' שלישיות מן הריוח ובעל הכ' שליש הריוח<br>
+נזדמן שלישי ואמר אם תרצו כי אעשה שותפות עמכם אשים ק"כ מנינים ואעמוד כפי היחס המוסכם ביניכם<br>
+ולבסוף הרויחו ק"כ מנינים<br>
+אשאל כמה יקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:rNPX}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה למצא ב' מספרים [.....] בין ח' ובין כ"ז שיהיה יחס השני אל הראשון כיחס הג' אל הב' [וכיחס] הד' אל הג'
+::This is the way: you already know that the money of the first was 80 and he should take 2-thirds of the profit.
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה פ' והיה ראוי לקחת ב' שלישיות הריוח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה ככה תקח שרש ב' (ח') והוא ח' (ב') ותכפלם על כ"ז ויהיו נ"ד ותחלקם על שרש כ"ז שהוא ג' ויעלו י"ב ג' ויעלו י"ח והוא המספר הג' ולמצא הב' קח שרש כ"ז שהוא ג' ותכפלם על ח' ויהיו כ"ד חלקם על שרש ד' שהוא ב' ויעלו י"ב והוא המספר השני והנך רואה כי יחס י"ב אל ח' כיחס י"ב (י"ח) אל י"ח (י"ב) וכיחס יח (כ"ז) אל כ"ז (י"ח) ותקיש על זה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, say: if 80 gives me 2-thirds, how much does 20, which is the money of the second, give?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80:\frac{2}{3}=20:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תאמר אם פ' נתן לי ב' שלישיות כ' שהוא ממון השני כמה ישוו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ובזה האופן תוכל לדעת השאלות שהם מהרבית
+::You receive one-sixth. Keep it for the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{6}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך שישית אחד וזה תשים בעד השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כגון האומר אדם הלוה ממון עשרה מנינים לחבית ואחר שנה הוסיף הריוח על הקרן ואחר השנה הב' ג"כ הוסיף הקרן על הריוח ואחר הג' ג"כ ואחר לסוף ג' שנים נמצא שהוא מחוייב לו ל"ג מנינים וג' רביעיות
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 20 gives me a third, which he should take, how much does 80 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:\frac{1}{3}=80:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תאמר אם כ' נתן לי שליש שהיה ראוי לקחת מה יתן לי פ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה הוא הדרך כמו הקודמת והוא כי ראוי לכפול שרש י' ולכפול אותו על ל"ג וג' רביעיות והעולה תחלק על שרש ל"ג וג' רביעיות ויצא לך כ"ב וחצי והוא המספר הג' ולמצא השני כפול (שרש) ל"ג וג' רביעיות על י' והעולה תחלק על שרש י' ויצא לך ט"ו והוא השני א"כ הממון היה י' ובסוף השנה היה ט"ו נמצא שהרויח ה' מנינים עבור העשרה ואם י' שבו ט"ו ט"ו ישובו כ"ב וחצי ואם ט"ו שבו כ"ב וחצי כ"ב וחצי ישובו ל"ג וג' רביעיות
+::You receive 1 and a third. Keep it for the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך א' ושליש וזה תשים חלק הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה תחבר לי ז' מספרים על דרך ההמשך שכל אחד יוסיף על חבירו ג'
+::Now, add 1 and a third to a sixth; it is 1 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}+\left(1+\frac{1}{3}\right)=1+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה תחבר א' ושליש עם שישית ויהיו א' וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראוי לחבר תחלה כל המספרים שהם מא' עד ז' ויהיו כ"ח כפול כ"ח על ג' ויהיו פ"ד והוא המבוקש כי ג' וו' וט' וי"ב וט"ו וי"ח כ"א הם פ"ד
+::Add also 80 to 20; it is 100.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{80+20=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תחבר פ' עם כ' ויהיו ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה דע כי אם אין למספר המונח אחר שלקחת ממנו השרש הראשון והוספת אחד מהמעלה שלפניה ולא תוכל לקחת אחד שלם הנה ראוי [...] תוסיף א' מהמעלה שהיא שלישית אל השרש היוצא וכן לעולם תשוב אחורנית [................] לדעת שרש מעוקב מאלף אלפים וע"ב אלפים אלפים [.......]שרש הראשון הוא מאה ומרובעו אלף אלפים ונשארו עדין ע"ב אלפים ואם תוסיף על השרש עשרה אחת שהיא המעלה שלפניה  [....] יהיו מאה ועשר ותכפלם על מאה י"א אלפים וג' דמיוניו הוא ל"ג אלפים הנשאר ממספרינו הוא ע"ב אלפים ואתה רואה כי לא תוכל לתת לו עשרה שהוא אחד ממה שהוספת כי אם תחלק ע"ב על ל"ג לא יצא לך כי אם ב' ואותם הב' הם אחדים לא עשרות לכן ראוי להוסיף על השרש שיצא שהוא ק' א' מהמעלה השלישית אליו שהוא א' ממדרגת האחדים ויהיו ק"א כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפים ומאה כפלם על ג' דמיוני התוספת ויהיו ל' אלפים וג' מאות חלק ע"ב על ל' אלפים וג' מאות ויצאו ב' ונשים ב' ועם מאה הוא ק"ב כפלם על מאה ויהיו עשרת אלפי' וב' מאות וג' דמיוניו הוא ל' אלפים וו' מאות כפלם על ב' ויהיו ס"א אלפים וב' מאות ומעוקב ב' שהוספת שהוא ח' ויהיו ל"א (ס"א) אלפים וב' מאות וח' ותחברם עם אלף אלפים שהוא מעוקב מאה שהיה השרש הראשון ויהיו אלף אלפים וס"א אלפים וב' מאות וח' והוא מעוקב ק"ב ושרשם ק"ב
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> then, say: if 100 gives me 1 and a half, how much will 120 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:\left(1+\frac{1}{2}\right)=120:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם ק' נתן לי א' וחצי מה יתן לי ק"כ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה לדעת שרש מעוקב מאיזה מספר שתרצה
+::You receive 1 and 4-fifths. Keep it for the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{4}{5}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך א' וד' חומשים וזה תשים עבור השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח השרש שעבר גם קח השרש הבא וראה בין המוקדם והמאוחר אח"כ ראה מה יש מן המוקדם אל המספר המונח ותוסיף לעולם א' ואז תאמר כי העולה הם חלקים מהמספר אשר בין הקודם והמתאחר
+::Then, look for a number that has a third, a sixth, and a fifth; the result is 90.
+|style="text-align:right;"|אח"כ בקש מספר יהיה לו שלישית ושישית וחומש ויצא צ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת (שרש) מעוקב ט"ו
+::Take 4-thirds of 90 for the first; you receive 120. Keep it for the first.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_1=\frac{4}{3}\sdot90=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח ד' שלישיות מצ' עבור הראשון ויצא לך ק"כ וזה תשים עבור הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ה[נה] הקודם הוא ח' והמאוחר כ"ז וההפרש הוא י"ט ובין ח' שהוא הקודם אל מספרינו שהוא ט"ו תמצא ז' תוסיף א ויהיו ח' ותאמ' כי הם ח' חל[קים] מי"ט ר"ל כי שרש ט"ו הם ב' וחלקים מי"ט וכן תוכל לעשות משלמים עם שברים והוא שתעלה אותו השלם עם השבר עד מעלת האלפים ר"ל שתכפול המספר על אלף וקח השרש המוקדם והמאוחר כמו שעשינו בשלמים והיוצא תחלק על י' [.........]
+::Take a sixth of 90; the result is 15. Keep it for the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_2=\frac{1}{6}\sdot90=15}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם קח שישית צ' ויצא ט"ו וזה תשים עבור השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זהו רצה לדעת שרש א וחצי תכפלהו על אלף ויהיו אלף [וה']  מאות והשרש שעבר הוא אלף וג' מאות ול"א ויספר על [....] אלף וה' מאות קס"ט תוסיף בו א' ויהיו ק"ע אח"כ ראה המאוחר שהוא מעוקב י"ב שהוא אלף וה' (ז') מאות וכ"ח והנה בין מעוקב י"א למעוקב י"ב תמצא ההפרש שס"ט (שצ"ז) א"כ היוצא הוא יא וק"ע פ' חלקים משצ"ט (שצ"ז) חלק זה המספר על י' בזה האופן והוא שתכפול שצ"ז על י' ויהיו ג' אלפים וט' מאות וע' גם תכפול שצ"ז על י"א ויהיו ד' אלפים ושס"ז תוסיף עליהם ק"ע ויהיו ד' אלפים ותקל("ז) תחלקם על ג' אלפים וט מאות וע' ויצא לך א ותק"ס (תקס"ז) חלקים מג' אלפים וט' מאות וע' שהם נ"ו חלקים מג' מאות וצ'(ז)
+::Take 9-fifths of 90; you receive 162. Keep it for the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b_3=\frac{9}{5}\sdot90=162}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תקח ט' חמישיות מצ' ויצא לך קס"ב וזה תשים חלק השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת שרש משברים לבדם כפול אותו השבר על אלף ואח"כ קח השרש המוקדם והמאוחר כנז'
+::Sum up these three numbers; it is 297. Divide by it.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120+15+162=297}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר אלו הג' מספרים ויהיו רצ"ז ועליהם תחלק
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה נרצה לדעת שרש מעוקב חצי תכפלהו על אלף ויהיו ה מאות והשרש שעבר הוא שמ"ג ושרשו ז' והבא הוא תקי"ב ושרשם ח' וראה מה בין שמ"ג לתקי"ב ותמצא קס"ט עוד ראה מה בין שמ"ג לה' מאות ותמצא קנ"ז תוסיף בו א ויהיו קנ"ח א"כ היוצא הוא ז' וקנ"ח חלקים מקס"ט תחלק זה המספר על י' ותעשה כך כפול קס"ט על י' ויהיו אלף וו' מאות וצ' גם כפול ז' פעמים קס"ט ויהיו אלף וקס"ח (קפ"ג) תוסיף בם קנ"ג (קנ"ח) ויהיו אלף וג' מאות ומא א"כ תאמ' כי שרש חצי הוא אלף וג' מאות ומ"א חלקים מאלף וו' מאות וצ'
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much should each receive, say: if 297 gives me 500, which is the total profit, how much will 120, for the first, give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=120:a_1}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יגיע לכל אחד ואחד תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות שהוא סך הריוח מה יתן לי ק"כ עבור הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר נרצה לדעת מעוקב חומש נכפול אותו על אלף ויהיו ב' מאות וקח השרש שעבר שהוא קכ"ה ושרשו ה' וקח הבא שהוא רי"ו ושרשם ו' וראה מה בין קנ"ה לרי"ו ותמצא צ"א אח"כ [ראה] מה בין קכ"ה לב' מאות ותמצא ע"ה תוסיף בו א ויהיו ע"ו חלק ע"ו על צ"א ויהיו ע"ו חלקים מצ"א הנה היוצא הוא ה' וע"ו חלקים מצ"א חלקם על י' בזה האופן כפול צ"א על י' ויהיו ט' מאות וי' כפול ה' פעמים צ"א ויהיו ד' מאות ונ"ה תוסיף בם החלקים שהם ע"ו ויהיו ה' מאות ול"א א"כ שרש החומש הוא תקל"א חלקים מתתק"י שהם נ"ג חלקים מצ"א וכל זה הוא בקרוב גדול ודוק ותשכח
+::You receive [2]02 and some fractions.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1={\color{red}{2}}02+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ב וחלקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שסח</ref> אם עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות שעורים אשאל ק"פ סוסים בס' ימים כמה יאכלו
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> for the second, say: if 297 gives me 500, how much will 15 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=15:a_2}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור השני תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי ט"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תאמר כך עשרה סוסים בח' ימים אוכלים כ' מדות ק"פ סוסים בח' ימים כמה יאכלו ויצא לך ש"ס אח"כ תאמר אם בח' ימים אוכלים ש"ס בס' ימים כמה יאכלו ויצא לך אלפים וז' מאות וכך יאכלו
+::You receive 25 and some fractions.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=25+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"ה וחלקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L שסט</ref> אם גרוש אחד מרויח ד' פיצולי לחדש כמה ירויחו ק' גרושי בשנה אחת
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> for the third, say: if 297 gives me 500, how much will 162 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{297:500=162:a_3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור הג' תאמר אם רצ"ז נתן לי ה' מאות מה יתן לי קס"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראשנה תאמ' אם א גרוש הרויחו ד' פיצולי מה ירויחו מאה ויצא ד' מאות אח"כ תאמ' אם חדש ירויח ד' מאות י"ב שהוא שנה כמה ירויח ויצא לך ד' אלפים וח' מאות פיצולי
+::You receive 272 and some fractions.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=272+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך רע"ב וחלקים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L: שפד</ref> אם תרצה לעשות המאזנים על ה{{#annot:term|567|fJ3e}}ריגולא דיטרי{{#annotend:fJ3e}}
+:Examine and you will find [that it is true].
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[ודוק ותשכח]&#x202B;<ref>G om.</ref>
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle a_1\sdot a_4=a_3\sdot a_2</math>
+:{{#annot:three partners|661|Ft2q}}272) Question: three formed a partnership and earned a thousand golden coins - the first takes two thirds, the other takes four fifths, and the other takes five eighths.
-|style="text-align:right;"|תעשה כך כפול המספר הראשון על המספר היוצא שהוא הרביעי ראוי שיהיה כפול הג' כפול על ב'
+:I ask: how much should each one have?
+|style="text-align:right;"|רעב)<ref>MS L: שכד</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות והרויחו אלף זהובים הא' שואל ב' שלישיות והאחר שואל ד' חומשים והאחר שואל ה' שמיניות<br>
+אשאל כמה יגיע לכל אחד ואחד{{#annotend:Ft2q}}
 |-
 |
-:<math>\scriptstyle\left(a_1\sdot a_4\right)_7 \equiv\left(a_3\sdot a_2\right)_7</math>
+::This is the way: you should look for a number that has a third, a fifth, and an eighth; you find 120.
-|style="text-align:right;"|ואם תוציא השביעיות או התשיעיות מן המספר הא' והד' ומה שישאר יהיה שוה אל המספר הג' והב' אחר שהוצאת מהם השביעיות והתשיעיות
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראוי לבקש מספר ימצאו בו שליש וחומש ושמינית ותמצא ק"כ
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle4:6=8:12</math>
+::Then, take 2-thirds, which is 80, for the first; 4-fifths, which is 96; and 5-eighths, which is 75. Sum them; the result is 251.
-|style="text-align:right;"|וכן תוכל לעשות בשברים ואתן לך דמיון אם ד' שוים ו' ח שוים י"ב
+|style="text-align:right;"|אח"כ קח ב' שלישיות עבור הראשון שהוא פ' וד' חמישיות שהוא צ"ו וה' שמיניות שהוא ע"ה וחברם ויעלו רנ"א
 |-
-|
+|colspan=2|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1\sdot a_4=4\sdot12=48_7 \equiv6}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2}{3}\sdot120\right)+\left(\frac{4}{5}\sdot120\right)+\left(\frac{5}{8}\sdot120\right)=80+96+75=251}}</math>
-|style="text-align:right;"|לכן כפול ד' על י"ב ויהיו מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ו' והנה ד' הוא המספר הא' וי"ב הוא הרביעי
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=6\sdot8=48_7 \equiv6}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 251 gives me 1000, how much will 80, for the second, give?
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא ו' וכפול אותו על ח' שהוא הג' ויהיו ג"כ מ"ח תסיר מהם השביעיות וישארו ג"כ ו' והם שוים אל הו' השמורים
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=80:a_1}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמר אם רנ"א נתן לי אלף פ' מה יתן בעד השני
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle\left(4+\frac{1}{2}\right):17=8:\left(30+\frac{2}{9}\right)</math>
+::You receive 318 and some fractions.
-|style="text-align:right;"|דמיון משברים אם ד' וחצי שוים י"ז ח' ישוו ל' וב' חלקים מט'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=318+\ldots}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך שי"ח וחלקים
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(4+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{9}{2}\sdot\left(30+\frac{2}{9}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{2}\sdot\left(2+\frac{2}{2}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{\left(2\sdot2\right)+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{4+2}{2}\\&\scriptstyle=\frac{2}{2}\sdot\frac{6}{2}=\frac{12}{4}=3\\\end{align}}}</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 251 gives me 1000, how much will 96 give me?
-|style="text-align:right;"|לבחון אותו קח הראשון שהוא ד' וחצי ועשה מהם חציים והם ט' הנשאר ב' ושים ב' חציים ר"ל ב' למעלה וב' למטה כך<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=96:a_2}}</math>
-אח"כ שוב אל הרביעי שהוא ל' וב' חלקים מט' והוצא השביעיות מל' הנשאר ב' גם הוצא הז' מט' שהם התשיעיות שאמר ב' תשיעיות וישאר ב'<br>
+|style="text-align:right;"|גם תאמר אם רנ"א נתן לי אלף מה יתן לי צ"ו
-כפול ב' על ב' ויהיו ד' וקח הב' שהם על הט' ויהיו ו'<br>
-אח"כ כפול אלו הו' שהם על הט' על הב' שהם על הב' כזה ויהיו י"ב<br>
-חלקם על כפל אותם שהם של מטה זה על זה שהם ב' על ב' שהם ד' ויצאו ג' שלמים ושמרם
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2\sdot a_3=17\sdot8_7 \equiv3\sdot1=3}}</math>
+::You receive 381 [and some fractions] and this is the share of the second.
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל המספר הב' שהוא י"ז והוצא מהם השביעיות וישארו ג'<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=382+\ldots}}</math>
-גם שוב אל השני והוצא השביעיות וישאר א'<br>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך שפ"ב והוא חלק הב&#x202B;'
-כפול א' על ג' ויהיו ג' והם שוים אל הג' השמורים
 |-
 |
-:*<math>\scriptstyle\left(5+\frac{1}{3}\right):\left(11+\frac{1}{4}\right)=\left(9+\frac{3}{5}\right):\left(20+\frac{1}{4}\right)</math>
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 251 gives 1000, how much will 75 give me?
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר אם ה' ושליש שוים י"א ורביע ט' וג' חמישיות ישוו כ' ורביע
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{251:1000=75:a_3}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תאמ' &#x202B;<ref>270r</ref>אם רנ"א נתן אלף מה יתן לי ע"ה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_1\sdot a_4&\scriptstyle=\left(5+\frac{1}{3}\right)\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\left[\frac{16}{3}\sdot\left(20+\frac{1}{4}\right)\right]_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\left(6+\frac{1}{4}\right)\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{\left(6\sdot4\right)+1}{4}\\&\scriptstyle=\frac{2}{3}\sdot\frac{25}{4}_7 \equiv\frac{2}{3}\sdot\frac{4}{4}=\frac{{\color{red}{8}}}{12}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math>
+::You receive 2[9]8 [and some fractions] and this is the share of the third.
-|style="text-align:right;"|תבחון אותו קח הראשון שהוא ה' ושליש עשה מהם שלישיות יהיו י"ו קח השביעיות וישארו ב' שלישיות<br>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=298+\ldots}}</math>
-עוד ראה הרביעי שהוא כ' ורביע הוצא מכ' השביעיות וישארו ו'<br>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך רס"ח וחלקים והוא חלק הג&#x202B;'
-כפול ו' על ד' שהם רביעיות ויהיו כ"ה קח השביעיות ויהיו ד' ר"ל נשארו ד' רביעיות<br>
-אח"כ כפול ד' רביעיות על ב' שלישיות ויהיו ד' עוד כפול תחתונים שהם שלישיות רביעיות ויהיו י"ב א"כ הם ח' חלקים מי"ב שהם ב' שלישיות ושמור זה
 |-
 |
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle a_2\sdot a_3&\scriptstyle=\left[\left(11+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(9+\frac{3}{5}\right)\right]_7 \equiv\left(4+\frac{1}{4}\right)\sdot\left(2+\frac{3}{5}\right)\\&\scriptstyle=\frac{\left(4\sdot4\right)+1}{4}\sdot\frac{\left(2\sdot5\right)+3}{5}\\&\scriptstyle=\left(\frac{17}{4}\sdot\frac{13}{5}\right)_7 \equiv\frac{3}{4}\sdot\frac{6}{5}=\frac{18}{20}_7 \equiv\frac{4}{6}=\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math>
+:{{#annot:three partners|662|PoNK}}273) Question: three formed a partnership.
-|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל המספר השני והוצא ז' מי"א הנשאר ד'<br>
+:The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri [= first month in Heb. year].
-כפול ד' על ד' שהם השבר ויהיו י"ז הוצא השביעיות וישארו ג' רביעיות<br>
+:The second contributed 322 minyanim at the first of the month of Marheshvan [= 2nd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
-אח"כ שוב אל הג' שהוא ט' הוצא השביעיות וישארו ב'<br>
+:The [third] contributed 22 minyanim at the first of the month of Kislev [= 3rd month in Heb. year] and the share owed to him in the profit is the same as the first.
-כפול ב' על ה' ויהיו י' ועם הג' חמישיות ויהיו י"ג הוצא השביעיות וישארו ו' חמישיות<br>
+:I wish to know how much did the second and the third contributed?
-אח"כ כפול ו' על ג' ויהיו י"ח הוצא השביעיות וישארו ד'<br>
+:They kept the partnership for a whole year and earned 600
-גם כפול ד' על ה' שהם השברים ר"ל רביעיות חמישיות ויהיו כ' קח השביעיות וישארו ו'<br>
+|style="text-align:right;"|רעג)<ref>MS L: שכה</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
-אח"כ שים על הו' ד' והם ג"כ ב' שלישיות והם שוים אל השמורים
+הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי<br>
+והאחר שם שכ"ב ממון ר"ח מרחשון שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון<br>
+והשני שם כ"ב ממון ר"ח כסליו שמגיע לחלקו מהריוח כמו לראשון ג"כ<br>
+ארצה לדעת כמה שם הב' והג&#x202B;'<br>
+ועשו השותפות שנה תמימה והרויחו ו' מאות{{#annotend:PoNK}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם יש באותו הסך מטבעים מתחלפים תשיב כל המטבעים אל היותר קטנה ותקח המאזנים
+::This is the way: you already know that the money of the first was 100 and it stayed in the partnership a whole year. So, multiply 100 by the months, which are 12; it is 1200.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_1=100\sdot12=1200}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך כבר ידעת כי ממון הראשון היה ק' ועמדו בשותפות שנה תמימה ולכן כפול ק' על החדשים והם י"ב ויהיו י"ב מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון זה אם ט' בראצי מבגד שוים י"ג ליט' וט' סולדי ל"ד קנים וב' רביעיות שוים נ"א ליט' יא סולדי) לב' (וב') פיצולי
+::You also know that the money of the second stayed in the partnership 11 months. So, divide 1200 by 11; the result is the money of the second.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_2=\frac{1200}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם ידעת כי ממון השני עמד בשותפות י"א חדשים לכן חלק י"ב מאות על י"א והיוצא יהיה ממון השני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תבחון אותו קח המספר הב' שהוא י"ג ליט' וט' גרושי ותעשה המאזנים בזה האופן תקח המאזנים מי"ג שהם ו' והמאזנים מהגרושי שהם כ' סולדי שהוא ו' לכן כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו תוסיף בם ט' סולדי ויהיו מ"ה והמאזנים הם ג' וכדי לבחון הפיצולי מצד כי יש לנו פיצולי כבר ידעת כי י"ב פיצולי הם סולדו א' והמאזנים מי"ב הם ה' כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עתה הוצא המאזנים מן המספר הג' שהם ל"ד קנים וב' שביעיות (רביעיות) ועשה כך המאזנים מל"ד הם ו' ולעשות מהם רביעיות מצד כי יש לנו ב' רביעיות תכפול ו' על ד' ויהיו כ"ד תוסיף בם ב' ויהיו כ"ו והמאזנים הם ה' ולכן כפול א' שנשאר מן המספר הב' על הא' (הה') שהוא שער המספר הג' ויהיו ה' ושמרם אח"כ שוב אל המספר הראשון שהוא ט' בראצי והמאזנים הם ב' תעשה מהם רביעיות מצד כי במספר השלישי שלנו רביעיות ולכן נכפול ב' על ד' ויהיו ח' והמאזני' הם א' אח"כ ראה המספר הרביעי שיש בו נ"א ליט' יא סולדי וב' פיצולי ותאמ' המאזנים מנ"א הם ב' תעשה מהם סולדי כבר ידעת כי המאזנים מכ' שהם הסולדי הם ו' ולכן תאמ' ב' פעמים ו' הם יב והמאזנים הם ה' תוסיף בם ד' שהם המאזנים ויהיו ט' והמאזנים הם ב' ולעשות מהם פיצולי כבר ידעת כי המאזנים מי"ב הם ה' ולכן כפול ב' על ה' ויהיו י והמאזנים הם שלשה תוסיף בם ב' פיצולי שיש לנו ויהיו ה' והוא המאזנים מהרביעי ולכן כפול ה' על מאזנים המספר הראשון שהיה א ויהיו ה' וכן היה המאזנים מהמספר הב' והג'
+::You also know that the money of the third stayed in the partnership 10 months. So, divide 1200 by 10; you receive the money of the third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_3=\frac{1200}{10}}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם ידעת כי ממון השלישי עמד בשותפות י' חדשי' לכן תחלק י"ב מאות על י' ויצא לך ממון השלישי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|דמיון אחר זולת מטבעים אם ג' ושליש שוה ד' ורביעית ה' וחומש שוה ו' וס"ג חלקים מק'
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, if it is true, say: three formed a partnership.
+::The first contributed 100 minyanim at the first of the month of Tishri
+::The second contributed as owed to the second at the first of the month of Marheshvan.
+::The third contributed as owed to the third at the first of the month of Kislev.
+::They earned 600.
+::How much should each take?
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו אם הוא אמת תאמר ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם ק' מנינים ר"ח תשרי<br>
+והאחר מה שמגיע לשני ר"ח מרחשון<br>
+והאחר מה שמגיע לג' ר"ח כסליו<br>
+והרויחו ו' מאות<br>
+כמה יקח כל א' וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולבחון אותו קח המספר הראשון שהוא ג' ושליש ועשה מהם שלישיות ויהיו עשרה והמאזנים הם ג' ושים ג' למעלה וג' למטה גם עשה מאזנים מהמספר הד' בזה האופן המאזנים מן הו' הם ו' עוד תאמר מאזנים ק' הם ב' ולכן כפול ו' על ב' ויהיו י"ב והמאזנים הם ה' עוד ראה למעלה שהוא ס"ג והמאזנים הם מאומה כי הולך ז"ז א"כ שים ה' למעלה וב' למטה כך ולכן כפול ה' על ג' ויהיו ט"ו והמאזנים הם א' עוד כפול אותם שתחת הקוים שהם ב' על ג' ויהיו ו' א"כ היוצא הוא א שתות כך אח"כ ראה המספר השני שהוא ד' ורביעי ויהיו י"ז והמאזנים הם ג' רביעיות כך אח"כ ראה המספר הג' שהם ה' וחומש ויהיו כ"ו ומאזניהם הם ה' חומשים כך אח"כ כפול העליונים שהם ג' על ה' ויהיו ט"ו ומאזניהם א עוד כפול התחתונים שהם ד' על ה' שהם כ' ומאזניהם הם ו' ולכן שים ו' למטה וא למעלה והם שוים אל השתות הנשארים
+::You find that each one receives 200.
+|style="text-align:right;"|ותמצא כי לכל א' וא' יגיע ב' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה אם תרצה למצא מרכז העגול השלם או החצי או פחות או יותר מחצי
+:{{#annot:three partners|661|j5U5}}274) Question: three formed a partnership - one contributed 25 ducat, the other 17, and the [contribution] of the other is unknown, but the share owed to him is a third of what they earned.
+:They earned 60 minyanim.
+:We wish to know how much did the third contribute to the partnership?
+|style="text-align:right;"|רעד)<ref>MS L: שכו</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה דוקטי והאחר י"ז והאחר לא ידענו אך מגיע לחלקו שליש ממה שהרויחו<br>
+והרויחו ס' מנינים<br>
+נרצה לדעת כמה שם השלישי בשותפות{{#annotend:j5U5}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה באותו חלק מהעגול שתי מיתרים אח"כ עשה כמו חצי עגול מראש המיתר אצל האחר גם תעשה כן מהראש האחר וכן תעשה במיתרהשני שני חציי עגול ואח"כ תחתוך מקום פגישתן משניהם ובמקום אשר [….]שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה וכן תוכל לעשות נקודות כמו שיזדמן ולעגל עגול יפגוש הג' נקודות תעשה חצי עגול ר"ל שתשים הנקדה הא' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה לשנים וכן תשים הנקדה הג' מרכז ותעשה חצי עגול גם שים הנקדה הב' מרכז ותעגל חצי עגול ותחלקנה ג"כ לשנים ובמקום אשר יפגשו שני הקוים שם המרכז כמו שהוא מצוייר למטה ויחס העגולה אל העגולה כיחס המרובע אל המרובע ר"ל כי אם יש לך מרובע שהוא ד' על ד' ואחר שהוא ח' על ח' הנה כבר ידעת כי אותו שהוא ח' על ח' הוא ד' פעמ[…]ר גדול מאותו שהוא ד' על ד' כן אם יש לך עגול מקיף י"ב ואחר שמקיף כ"ד קנה נאמ' שאותו שמקיף כ"ד הוא כמו אותו של י"ב ד' פעמי' כמוהו דוק ותשכח ועם זה תוכל לדעת אם יש לך שק אחד שהקפו כ"ד מכייל ד' מדות חטה הנה שק אחר שמקיפו מ"[ח] ראוי שיכיל י"ו מדות חטה ודוק ותשכח
+::This is the way: subtract a third from 60, which is the share of the third; the remainder is 40.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)=40}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך הוצא השליש מס' שהוא חלק השלישי הנשאר מ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|שאלה<ref>MS L: שצ</ref> שני בני אדם לאחד יש לו מטבעים ולאחר ג"כ אמר הא' לב' אם תתן לי א' ממטבעות[י]ך יהיה לי כמוך השיב הב' לא' אם תתן לי א' ממטבעותיך יהיה לי ב' פעמים כמוך נשאל כמה לא' וכמה לב'
+::Then, add 25 to [1]7; it is 42. So, 42 yields 40.
-והנה נעשה אותה עם הנחות שקריות ונניח כי היה לא' ג' ולאחר ה' והנה בעל הה' יתן א' לבעל הג' יהיה לו כמוהו ואם בעל הג' יתן א' לבעל הה' יהיה לו ו' ולאחר ב' ואנו נרצה שיהיה לו [ד'] למען יהיה לו ב' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ב' ולכן נעשה הנחה אחרת נניח שלא היה לו ה' ולאחר ז' הנה אם בעל הז' יתן א לבעל הה' יהיה לו כמוהו ואם בעל הה' יתן א' לבעל הז' לא יהיה לו כי אם ח' ואנו מבקשים שיהיה לו י"ו למען יהיה לו ד' פעמים כמוהו לכן יחסר לו ח' אח"כ הוצא מה שחסר ההנחה הראשנה שהוא ב' ממה שחסר מההנחה שניה שהוא ח' הנשאר ו' ושמרם אח"כ כפול שתי וערב וכפול ג' שה[...] ההנחה הראשנה נגד ח' שהוא מה שחסר מהערך השני ויהיו כ"ד [........] ה' שהוא ההנחה הב' על הב' שהוא חסרון ההנחה הא' וישארו עשרה הוציאם מכ"ד וישארו י"ד חלקם על ו' שהוא מה שנשאר מחסרון הערך השני אחר שנלקח ממנו חסרון הערך הראשון ויצא לך ב' ושליש וכן
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25+{\color{red}{1}}7=42}}</math>
-יש לראשון ולאחר יש ד' ושליש ודוק ותשכח
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחבר כ"ה עם כ"ז ויהיו מ"ב א"כ מ"ב הרויחו מ&#x202B;'
-תם ונשלם [...] אמן
 |-
-|}
-{|
-|-
-|
-== <span style=color:Green>London - Additional Excerpt</span> ==
 |
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if to earn 40 the fund must be 42, how much must the fund be to earn 20?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{40:42=20:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ תאמר אם כדי להרויח מ' הוכרח להיות הקרן מ"ב כמה ראוי להיות הקרן כדי להרויח כ&#x202B;'
 |-
-!<span style=color:Green>Find the Area Problem - Equilateral Triangle</span>
 |
+::You receive 21 and this is what the third contributed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=21}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"א והוא מה ששם השלישי
 |-
 |
-:{{#annot:equilateral triangle|680|hDI0}}403) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it say: three formed a partnership - the first contributed 25, the second [contributed] 17, the third [contributed] 21, and they earned 60.
-:I want to know: [how much is] its area?
+::How much should the third have?
-|style="width:45%; text-align:right;"|תג) שאלה בכאן משולש שוה הצלעות כל אחד מהצלעו' י"ב<br>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות הא' שם כ"ה והב' י"ז והג' כ"א והרויחו ס&#x202B;'<br>
-ארצה לדעת תשברתו{{#annotend:hDI0}}
+כמה יגיע לשלישי
 |-
 |
-:altitude:
+::You receive 20 integers.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(12+12\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot24\right)^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{12^2-6^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{144-36}\\&\scriptstyle=\sqrt{108}=10+\frac{8}{2{\color{red}{1}}}\\\end{align}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ' שלמים
-|style="width:40%; text-align:right;"|כך תעשה תחבר שני הצלעות שהם כ"ד וקח מחציתם והם י"ב כפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
-אח"כ קח מחצית הצלע השני שהוא י"ב ומחציתו ו' וכפלם על עצמם ויהיו ל"ו
-ותפילם מקמ"ד הנשאר ק"ח
-אח"כ קח שרש ק"ח שהם י' וח' חלקים מכ' וכך הוא העמוד
 |-
 |
-:area: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot12\right)=\left(10+\frac{8}{21}\right)\sdot6=62+\frac{2}{7}}}</math>
+:{{#annot:three partners|662|RC2G}}275) Question: three formed a partnership for a whole year.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול י' וח' חלקי' מכ"א על מחצית הצלע שהוא ו' ויעלה ס"ב וב' שביעיות וכך הוא תשברתו
+:The first contributed 14 minyanim at the first of the month of March.
-|-
+:The second contributed some money at the first of the month of June, so that the share owed to him is a third of what owed to the first.
-|
+:The third contributed some money at the first of the month of August, so that the share owed to him is a quarter of what owed to the first.
-:{{#annot:tower|656|Nn8w}}404) Question: an equilateral triangle - each of its sides is 12.
+:I wish to know how much did the second and the third contributed?
-:We want to build on it a tower that is 20 cubits high.
+|style="text-align:right;"|רעה)<ref>MS L: שכח</ref> <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות עבור שנה תמימה<br>
-:How much is the volume of the tower?
+הראשון שם י"ד מנינים קליני ר"ח מרצו<br>
-|style="text-align:right;"|תד) שאלה הנה בכאן משולש שוה הצלעות אשר כל צלע י"ב<br>
+והאחר שם ממון ר"ח יונייו כ"כ שמגיע לחלקו שליש מה שמגיע לראשון<br>
-הנה נרצה לעשות מגדל על גבו גבהו עשרים אמות<br>
+והאחר שם ממון ר"ח אגושטו שמגיע לחלקו כמו רביעית מה שמגיע לראשון<br>
-כמה תשבורת המגדל{{#annotend:Nn8w}}
+ארצה לדעת כמה שם הב' והג&#x202B;'{{#annotend:RC2G}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי תשבורת המשולש הוא ס"ב וב' שביעיות כי זאת השאלה דומה אל הקודמת
+::You already know that the money of the first is 14 and it stayed [in the partnership] 12 months. So, multiply 14 by 12; it is 168.
-א"כ כפול זה המספר על גובה המגדל שהוא עשרים ויעלה אלף ומאתים ומ"ה קנים וה' שביעיות וכך הוא תשבורת המגדל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{14\sdot12=168}}</math>
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי ממון הראשון היו י"ד ועמדו י"ב חדשים<br>
+לכן כפול י"ד על י"ב ויהיו קס"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה ישקול כל המגדל באופן ישקול כל קנה ח' אלפים ליט&#x202B;'
+::You already know that the money of the [second] stayed in the partnership 9 months.
-כפול אלפים על אלף ורמ"ה וה' חלקים מז' ויעלה 9965714 וב' שביעיות וכל ישקול כל המגדל
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי ממון הראשון עמדו בשותפות ט' חדשים
 |-
 |
-:{{#annot:well|2582|5Plv}}405) Question: a well is made as a triangular figure, whose one side is 16, the other two sides are 10 each, and the height of the well is 32.
+::Convert them into thirds; they are 27.
-:I ask how much is the area of the triangle and how much water the well is contain, so that each cubit contains ten idot of water.
+|style="text-align:right;"|תעשה מהם שלישיות ויהיו כ"ז
-|style="text-align:right;"|תה) שאלה בכאן בור עשוי כדמות משולש בצלע האחת י"ו והב' צלעות אחרות כל אחת י' וגובה הבור ל"ב
-אשאל כמה תשבורת המשולש וכמה מים יכיל הבור מכיל כל אמה עשרה יודות מים{{#annotend:5Plv}}
 |-
 |
-:altitude:<br>
+::Divide 168 by 27; the result is 6 integers and 2-ninths and this is the money the second contributed.
-:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left[\frac{1}{2}\sdot\left(10+10\right)\right]^2-\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)^2}&\scriptstyle=\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot20\right)^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{10^2-8^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{100-64}\\&\scriptstyle=\sqrt{36}=6\\\end{align}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{3}\sdot168}{9}=\frac{168}{3\sdot9}=\frac{168}{27}=6+\frac{2}{9}}}</math>
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תדע תחלה כמה מים יש בבור באופן זה תחלה תחבר הב' צלעות השוים שהם עשרה ועשרה הם עשרים קח מחציתם והם עשרה וכפלם על עצמם והם מאה
+|style="text-align:right;"|אח"כ תחלק קס"ח על כ"ז ויצא ו' שלמים וב' תשיעיות וכך הוא &#x202B;<ref>270v</ref>מה ששכם השני
-אח"כ קח מחצית הצלע האחר שהיה י"ו וחציו ח' כפלם על עצמם ויהיו ס"ד
-הפילם מק' וישארו ל"ו וקח שרשם שהם ו' והוא אורך העמוד
 |-
 |
-:area: <math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot16\right)=6\sdot8=48}}</math>
+::To know how much the third contributed, you already know that his money stayed [in the partnership] 7 months.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול העמוד על מחצית צלע י"ו שהוא ח' ויעלה מ"ח והוא תשברתו
+|style="text-align:right;"|ולדעת מה ששם הג' הנה כבר ידעת כי ממונו עמד ז' חדשים
 |-
 |
-:volume: <math>\scriptstyle{\color{blue}{48\sdot32=1536}}</math>
+::Convert them into quarters, because [his share] is a quarter of the profit of the first; it is 28.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול אלו המ"ח על גובה המגדל שהוא ל"ב ויעלה אלף ותקל"ו וכך יכיל כל הבור ר"ל כל כך זרתות שהם אלף ותקל"ו
+|style="text-align:right;"|תעשה מהם רביעיות מצד כי היה רביעית ריוח הראשון ויהיו כ"ח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יודות מים יש בבור כך תעשה תחלק אלף ותקל"ו על עשרה שהוא קנ"ג וו' חלקים מי' וכך מים יכיל הבור
+::Divide 168 by 28; the result is 6 integers and this is what the third contributed.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{1}{4}\sdot168}{7}=\frac{168}{4\sdot7}=\frac{168}{28}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תחלק קס"ח על כ"ח ויצא ו' שלמים והוא מה ששם הג&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:scalene triangular prism|2582|7WW5}}406) Question: a scalene triangular prism, whose one side is 30, another is 28 and another is 26. I wish to know how much is its volume. It is 9 cubits high. I ask: how many bucali of water does the triangular prism contain, so that each square cubit contains 3 bucali?
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it say: three formed a partnership -
-|style="text-align:right;"|תו) שאלה בכאן צורה משולשת מתחלפת הצלעות הצלע האחד ל' והאחר כ"ח והאחרת כ"ו ארצה לדעת כמה תשברתו והיא גבוהה ט' אמות אשאל כמה בוקאל ממים יכיל המשולש באופן יכיל בכל אמה מרובעת ג' בוקאלי{{#annotend:7WW5}}
+::The first contributed 14 and stayed in the partnership one year.
+::The second contributed 6 and 2-ninths and stayed in the partnership 9 months.
+::The third contributed 6 and stayed in the partnership 7 [months].
+::We suppose they earned 100.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תאמר ג' עושים שותפות<br>
+הא' שם י"ד ועמד בשותפות שנה<br>
+והאחר שם ו' וב' תשיעיות ועמד בשותפות ט' חדשים<br>
+והאחר שם ו' ועמד בשותפות ז&#x202B;'<br>
+ונניח כי הרויחו ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח הצלעות הארוך והקצר וכפול כל אחד על עצמו
+::You find that the share of the second is exactly a third of the share of the first and the share of the third is exactly a quarter of the share of the first.
-והנה הארוך כפול על עצמו הם ט' מאות
+|style="text-align:right;"|ותמצא כי מה שמגיע לשני אינו כי אם שליש ממה שמגיע לראשון ומה שמגיע לשלישי אינו כי אם רביעית ממה שמגיע לראשון
-והקצר הם תרנ"ו
-הסר הקטן מהגדול וישארו רכ"ד חלק רכ"ד על ב' ויהיו קי"ב וחלקם על הצלע האחר שהם כ"ח ויהיו ד'
-אח"כ קח חצי כ"ח שהוא י"ד וחבר עמהם הד' ויהיו י"ח וכפלם על עצמם ויהיו שכ"ד ושימם במקום אחר
-אח"כ כפול הצלע הגדול שהם ל' על עצמם ויהיו תת"ק מאלו התת"ק תסיר מהם שכ"ד ונשאר תקע"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ד וכך הוא אורך העמוד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|וכך תוכל לעשות מכל משולש בלתי מתיחס ר"ל מתחלף הצלעות למצא העמוד
+:{{#annot:three partners|661|quNK}}276) Question: three formed a partnership.
+:The first took 12 of the profit for every hundered he contributed to the partnership.
+:The second [took] 18 for every 100.
+:The third [took] 30 for every hundred.
+:They earned one thousand and 8 hundred.
+:I ask: how much should each take and how much did each contribute to the partnership?
+|style="text-align:right;"|רעו) <big>שאלה</big> ג' עושים שותפות<br>
+הא' שואל עבור כל מאה ששם בשותפות י"ב מריוח<br>
+והשני עבור כל ק' י"ח<br>
+והג' עבור כל מאה ל&#x202B;'<br>
+והרויחו אלף וח' מאות<br>
+אשאל כמה ראוי שיקח כל א' א' וכמה שם כל א' וא' בשותפות{{#annotend:quNK}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה תשבורת השטח כפול העמוד על חצי הצלע מכ"ח שהוא י"ד ויעלה של"ו וכך הוא תשבורת השטח
+::One should sum 12, 18, and 30; it is 60.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{12+18+30=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|הנה ראוי לקבץ י"ב וי"ח ול' ויהיו ס&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה תשבורת כל הצורה כך תעשה כפול של"ו על ט' שהוא הגובה ויעלה ג' אלפים וכ"ד וכך הוא תשבורת הצורה
+::Then, take 100 for 12, 100 for 18, and 100 for 30; it is 300.
+|style="text-align:right;"|אח"כ תקח עבור י"ב ק' ועבור י"ח ק' ועבור ל' ק' ויהיו ג' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה בוקלי מים יש בכל הצורה תחלק כל אלו הג' וכ"ד על ג' ויצא אלף וח' וכך בוקלי מים תכיל הצורה
+::So, you should say that with 300 they earned 60.
+|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמר כי עם ג' מאות הרויחו ס&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:wall|2582|dikS}}407) Question: a wall made as a triangle, the length of the long side is twenty, the other is 15 and the other ten, the height is 8 and at the higher end it is 12 cubits.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if to earn 60 we need 300, how much do we need to earn 1800?
-:I ask how much is the surface, how much is the volume of the entire wall and how much does the wall weigh, so that each cubit and a half weighs 100 liters?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60:300=1800:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|תז) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש ארך הצלע הארוך עשרים והאחר ט"ו והאחר עשרה והעמוד הוא ח' והנה בקצה היותר גבוה הוא י"ב אמות<br>
+|style="text-align:right;"|א"כ תאמר אם כדי להרויח ס' נצטרך לג' מאות כמה נצטרך להרויח אלף וח' מאות
-אשאל כמה תשבורת השטח וכמה תשבורת כל החומה וכמה תשקול זאת החומה באופן ישקלו כל אמה וחצי ק' ליט&#x202B;'{{#annotend:dikS}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול העמוד על חצי הצלע הגדול והנה הצלע הגדול הם כ' קח חצים והם עשרה וכפלם על ח' שהוא העמוד ויהיו פ' וכך הוא תשבורת השטח
+::The result is 900.
+|style="text-align:right;"|ויצא ט' אלפי&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה תשבורת כל החומה כפול פ' על גובה החומה שהם י"ב ויהיו תתק"פ וכך הוא תשבורת כל החומה
+::Divide it by 3; you receive 3000 and this is what each had.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{9000}{3}=3000}}</math>
+|style="text-align:right;"|חלקם על ג' ויצא לך ג' אלפים והוא מה שהיה לכל א וא&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ליט' תשקול כל החומה תעשה כך על דרך ערכים ותאמר אם זרת אחד וחצי שוקל מאה ליט' כמה ישקלו תתק"פ ויצא לך ס"ד אלפים ליט' וכך ליט' תשקול כל החומה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much each earned, say: if 100 yields 12, how much will 3000 yield?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:12=3000:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח כל א' וא' תאמר אם ק' הרויחו י"ב ג' אלפים כמה ירויחו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תח) שאלה בכאן חומה עשויה כדמות משולש גבוהה ז' קנים והנה הצלע האחד י' והאחרת ח' והאחרת ו&#x202B;'
+::You receive 360 and this is what the first earns.
-אם תרצה לדעת כמה תשברתו
+|style="text-align:right;"|יצא לך ג' מאות וס' והוא מה שהרויח הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה תחבר כל הצלעות שהם י'ח'ו' ויהיו כ"ד תחסר מחציתם והם י"ב
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much the second earned, say: if 100 yields 18, how much will 3000 yield?
-אח"כ ראה ההפרש שהוא מי' לי"ב והוא ב' כפלם על אותם י"ב ויהיו כ"ד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:18=3000:X}}</math>
-אח"כ ראה ההפרש שהוא מצלע ח' לי"ב והוא ד' וכפלם על כ"ד ויהיו צ"ו ותחזיקם למשמרת
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח השני תאמר אם ק' הרויחו י"ח כמה ירויחו ג' אלפים
-אח"כ ראה הפרש צלע ג' שהוא ו' עד י"ב ויהיו ו' כפלם על צ"ו ויעלה תקע"ו קח שרשם שהוא כ"ד וכך הם הקנים כפול כ"ד שהוא השטח על ז' שהוא הגובה ויעלה ק"ס קנים כזה
 |-
-!<span style=color:Green>Triangulation Problem - Ladder</span>
 |
+::You receive 540 and this is what the second earns.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך תק"מ והוא מה שהרויח הב&#x202B;'
 |-
 |
-:{{#annot:ladder|655|ZEPE}}409) Question: a tower is eight in height and one wants to put a ladder, whose top reaches the top of the tower and its length is ten.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much the third earned, say: if 100 yields 30, how much will 3000 yield?
-:I wish to know how far is the bottom of the ladder from the foot of the tower.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:30=3000:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|תט) שאלה מגדל גבוה שמונה ורוצה לשים סלם מגיע ראשו אל ראש המגדל וארכו עשרה
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הרויח הג' תאמר אם ק' הרויחו ל' כמה ירויחו ל' ג' אלפים
-ארצה לדעת כמה יהיה רחוק רגל הסלם מיסוד המגדל{{#annotend:ZEPE}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול גובה המגדל על עצמו ויהיו ס"ד הסר אותם מכפל הסלם שהם ק' ונשארו ל"ו קח שרשם שהם ו' וכך הוא המרחק שהוא מרגל הסלם עד רגל המגדל
+::You receive 900.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ט' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:ladder|655|neMU}}410) Question: here is a tower. A man wants to put a ladder that is 6 cubits far from the foot of the tower. The height of the tower is 8.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> The total is 1800.
-:How much is the length of the ladder?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{360+540+900=1800}}</math>
-|style="text-align:right;"|תי) שאלה בכאן מגדל אחד ואיש רוצה לעשות סלם רחוק מרגל המגדל ו' אמות ואורך המגדל הוא ח&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|ובין הכל אלף וח' מאות
-כמה יהיה ארך הסלם{{#annotend:neMU}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כל תעשה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם ויהיו ק' וקח שרשם והם י' וכך הוא אורך הסלם ככה
+:{{#annot:two partners|661|8RWX}}277) Question: two formed a partnership.
+:The first cuntributed 80 minyanim and earned 25 for every hundred.
+:The second cuntributed 60 and earned 20 for every hundred.
+:They earned 36.
+:I ask: how much should each take?
+|style="text-align:right;"|רעז) <big>שאלה</big> ב' עושים שותפות<br>
+הראשון שם פ' מנינים ומרויח עבור כל מאה כ"ה<br>
+והב' שם ס' ומרויח עבור כל מאה כ&#x202B;'<br>
+והרויחו ל"ו<br>
+אשאל כמה ראוי שיקח כל א' וא&#x202B;'{{#annotend:8RWX}}
 |-
 |
-:{{#annot:ladder|655|mDe9}}411) Question: here is a ladder, whose length is ten, that is 6 cubits far from the foot of the tower. The top of the ladder reaches the top of the tower.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> do as follows: Say: if 100 yields 25, how much will 80 yield?
-:How much is the height of the tower?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:25=80:X}}</math>
-|style="text-align:right;"|תיא) שאלה בכאן סלם ארכו עשרה ורחוקה מרגל המגדל ו' אמות וראש הסלם מגיע אל ראש המגדל<br>
+|style="text-align:right;"|כך תעשה תאמר אם ק' הרויחו כ"ה פ' כמה ירויחו
-כמה גובה המגדל{{#annotend:mDe9}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול עשרה על עצמם ויהיו ק' תסיר מהם כפל ו' שהם ל"ו ונשארו ס"ד וקח שרשם והוא ח' וכך הוא גובה המגדל
+::You receive 20 for the first.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ' והוא עבור הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיב) שאלה בכאן חומה גבוהה הב' צלעות הנכוחיים ר"ל א' ח' והב' האחרים כל אחד ו'
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> for the second say: if 100 returns 20, how much will 60 return?
-כמה תשברתו וכמה מטוני יצטרכו אל כל החומה באופן יכנסו מאה בכל אמה מרובעת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:20=60:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועבור השני תאמר אם ק' שבו כ' ס' כמה ישובו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול ו' על ח' והם מ"ח וכך הוא תשברתו
+::You receive 12.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|והנה החומה גבוהה עשרים כפול מ"ח על עשרים ויעלו תתק"ס וכך קנים מרובעות יש בבנין החומה
+::Now, sum 20 and 12; it is 32.
-כפול אותם על ק' וכך הם המטוני שיהיו תוך החומה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20+12=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[ועתה תחבר כ' וי"ב ויהיו ל"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת אלכסונה כפול ח' על עצמם ויהיו ס"ד גם כפול ו' על ו' ויהיו ל"ו וחברם והם ק' וקח שרשם והם י' והוא האלכסון
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 32 yields 36, how much will 20 yield?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32:36=20:X}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ תאמ' אם ל"ב נתנו ל"ו כמה יתן לו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיג) שאלה בכאן חומה שהיא ארוכה כ"ה וחצי ורחבה ח' אמות ועביה ב' אמות וחצי ופרע בעד כל אמה מרובעת ב' קרלי' ושליש
+::You receive 22 and a half and this is what the first earns.
-אשאל כמה יפרע בעד כל החומה
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"ב&#x202B;]&#x202B;<ref>marg.</ref> וחצי והוא מה שהרויח הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תעשה כך כפול כ"ה וחצי בעד ב' וחצי ויהיו ס"ג וג' רביעיות וכך הוא שטחו
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say also: if 32 yields 36, [how much will 12 yield]?
-אח"כ כפול זה על הרוחב שהוא ח' ויעלה תק"י וכך קנים מרובעות יש בכל הכותל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{32:36=12:X}}</math>
-כפול כל זה על ב' ושליש ויצא לך אלף קצ"ב וכך פרע לבנות כל הכותל
+|style="text-align:right;"|עוד תאמר אם ל"ב הרויחו ל"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיד) שאלה בכאן תמונה מרובעת מלאה מים אשר כל צלע ו' וגבהו עשרה
+::You receive 13 and a half and this is what the second gets from the profit.
-אשאל כמה מים תכיל הצורה באופן תכיל כל קנה מרובעת ח' בארילי
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ג וחצי והוא מה שמגיע מהריוח לשני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול הב' צלעות והם ו' על ו' ויהיו ל"ו וכך הוא שטחו
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, add 22 and a half to 13 and a half; it is 36.
-אח"כ כפול זה על גבהו שהוא עשרה ויהיו ש"ס וכך הם הקנים מהתמונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(22+\frac{1}{2}\right)+\left(13+\frac{1}{2}\right)=36}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו תחבר כ"ב וחצי וי"ג וחצי ויהיו ל"ו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול זה על ח' ויצא לך אלפים ותת"פ וכך הם הקנים הברילי ממים אשר תכיל כל התמונה
-|-
+=== <span style=color:Green>Barter Problems</span> ===
 |
-|style="text-align:right;"|תטו) שאלה בכאן תמונה מרובעת ארך הקו האחד עשרה והאחר ד' והשנים הנכוחיים י"ב
-אשאל כמה תשבורת המרובע הבלתי מתיחס
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח חצי עשרה שהם ה' וחצי ד' שהם ב' תסיר ב' מה' נשארו ג' כפול אותם על עצמם ויהיו ט'
+:{{#annot:turmeric and pepper|636|uatn}}278) Question: Reuven has 200 liṭra of turmeric, the price of one liṭra is 9 carlini.
-אח"כ תחבר הב' קוים שהם י"ב כל אחד ויהיו כ"ד וקח חצים שהם י"ב וכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד
+:Shimon has pepper, the price of one cargo [?] is 30 ducat in cash and he offer it for 35 in barter.
-תסיר מהם הט' וישארו קל"ה וקח שרשם שהם י"א וי"ד חלקים מכ"ג וכך הוא תשבורת התמונה
+:I ask: if Shimon wants to buy all 200 [liṭra] of turmeric, by how much should he [= Reuven] raise the price as Shimon raised it from 30 to 35?
+|style="text-align:right;"|רעח)<ref>MS L: שלא</ref> <big>שאלה</big> ראובן יש לו כרכום מאתים ליט' &#x202B;<ref>271r</ref>וערך הליט' ט' קרליני<br>
+ושמעון יש לו פלפל וערך המשוא ל' דוקטי במעות מנויים ובחליפים משים אותו ל"ה<br>
+אשאל אם שמעון רוצה לקחת כל המאתים כרכום כמה ראוי שיעלה לו הערך כמו שהעלה לו <s>שלמ'</s> שמעון מל' עד ל"ה{{#annotend:uatn}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולמצא הרחב תחבר י' עם ד' ויהיו י"ד וקח חציים והם ז' והוא מדת הרוחב
+::The way is as follows: see how much is the cost of the 200 liṭra [of turmeric] at a price of 9 carlini; you find 180.
-אח"כ כפול הי"ד וי"א חלקים נגד הז' ויעלו פ"א וו' חלקים מכ"ג וכך הם הקנים מרובעות שהיא בתמונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{200\sdot9}{10}=180}}</math>
+|style="width:45%; text-align:right;"|הדרך הוא כך ראה כמה שוים מאתים ליט' לערך ט' קרליני ותמצא ק"פ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיו) שאלה בכאן תמונה מרובעת בלתי מתיחסת ארך הקו האחד י' והאחר ד' והאחר י"ב והאחר י"ו
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Say: if 30 is equal to 35, how much is 180 equal to?
-נרצה לדעת כמה תשברתו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{30:35=180:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ל' שוים ל"ה ק"פ כמה שוים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה עשה כמו הקודמת וכל התמונות הדומות לו והוא תשבורת זאת התמונה צ"ה וב' שלישיו'
+::The result is 210; so he should raise [the price of 200 liṭra of turmeric in barter] from 180 to 210.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=210}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא ר"י וכן ראוי שיעלה מק"פ עד ר"י
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיז) שאלה הנה בכאן תמונה עשויה כדמות משולש ומרובע אשר גבהה ל' ורחבה מ' ובכל שני הצלעות ח' ובאמצע ו'
+::To know how many are the cargos [of pepper], I should divide 210 by 35; the result is 6 and this is the number of cargos that he should take.
-אם תרצה לדעת כמה תשבורת התמונה כך תעשה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{210}{35}=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה {{#annot:masoa|1068|d496}}משואות{{#annotend:d496}} יש לי לחלק ר"י על ל"ה ויצא ו' וכך משואות יקח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ראה כמה אחד מהחלקים כי כשתדע החלק האחד תדע החלק האחר ואח"כ תקח חצי ל' שהם ט"ו וחצי האמצע שהם שלשה והסר מט"ו ג' הנשאר י"ב תכפלם על עצמם ויהיו קמ"ד שמור אותם
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, multiply 6 by 30, which is the price in cash; the result is 180, which is the cost of the 200 liṭra at the original price, which is 9 carlini.
-אח"כ קח חצי ס' מהצלע האחר שהם ל' וחצי האחר שהם ל' וחבר הכל ויהיו ס' וקח חצים שהם ל' וכפול אותם על עצמם ויהיו ט' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot30=180=\frac{200\sdot9}{10}}}</math>
-הסר מהם קמ"ד הנשאר תשנ"ו תסיר מהם השרש שהם כ"ז וכ"ז חלקים מנ"ה וכך הוא העמוד מהל' עד אמצע התמונה
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול ו' על ל' שהיה הערך במעות מנויים ויצא ק"פ כמו שהוא שווי המאתים ליט' לערך הראשון שהוא ט' קרליני
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר הל' עם הו' מאמצע התמונה ויהיו ל"ו וקח חציים שהם י"ח וכך תהיה תשבורת חצי התמונה
+:{{#annot:wool and pepper|635|mhkS}}279) Question: Reuven has wool that is worth 8 carlin for a liṭra in cash and in barter he wants 12 for a liṭra.
-|-
+:He asks half of it in cash.
-|
+:The other half he wants to barter with Shimon who has pepper and sells one liṭra for 3 carlini.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול הארך עם הרחב והם כ"ז עם כ"ז חלקים מנ"ח על י"ח ויהיו ד' מאות וצ"ד ומ"ו חלקים מנ"ה וכך הם המדות מחצי התמונה
+:I ask: how much should be his price so that his friend will not cheat him?
+:Reuven has 200 liṭra of wool.
+:How many liṭra of pepper should he ask from Shimon?
+|style="text-align:right;"|רעט)<ref>MS L: שלב</ref> <big>שאלה</big> ראובן יש לו צמר שוה הליט' ח' קרליני במעות מנויים ולחליפים רוצה י"ב בכל ליט' ומבקש החצי במעות מנויים<br>
+והחצי האחר רוצה להחליף עם שמעון שיש לו פלפל ומוכר הליט' ג' קרליני<br>
+אשאל כמה ראוי שיעלה לו הערך כדי שלא ירמהו חבירו<br>
+ולראובן יש לו מאתים ליט' צמר<br>
+כמה ליט' פלפל ראוי שיבקש משמעון{{#annotend:mhkS}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה המדות מהחצי האחר תעשה באופן אשר עשית בחצי הקודם ותמצא כי מכיל תק"פ תקס"ח וג' שביעיות
+::Do as follows: take a half of 12 that he asks in cash; they are 6.
-ואח"כ תחבר תשבורת זה עם זה ויעלה בין הכל אלף וס"ג וק"ב חלקים מג' מאות ופ"ה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot12=6}}</math>
+|style="text-align:right;"|תעשה כך הוצא החצי מי"ב שהוא שואל במעות מנוים ויהיו ו&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תיח) שאלה בכאן שני מגדלים גובה האחד ל' והאחר נ'
+::Subtract also 6 from 8, which is the price in cash; 2 remains.
-נרצה לעשות גשר מראש מגדל של זה לראש של זה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-6=2}}</math>
-כמה יהיה ארכו וארך המגדלים זה מזה עשרי'
+|style="text-align:right;"|גם הוצא ו' מח' שהוא הערך במעות מנויים ישארו ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול ארך המגדלים זה מזה שהם כ' ויהיו ד' מאות
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> Say: if 2 is equal to 6, how much is 3, which is the price of the pepper, equal to?
-אח"כ תסיר גובה אחד מהכותלים מהאחר ותסיר ל' מנ' הנשאר כ' כפלם על עצמם ויהיו ד' מאות
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:6=3:x}}</math>
-קח אלו הד' מאות עם הד' מאות האחרים ויהיו ת"ת קח מהם השרש והם כ"ח וי"ו חלקים מנ"ז והוא תשבורת הגשר אשר מראש המגדל לאחר
+|style="text-align:right;"|לכן תאמר אם ב' שבו ו' ג' שהוא ערך הפלפל כמה שוה
 |-
 |
-:419) Question: a rhombus, one of its diagonals is 40 and the other is 30.
+::You get 9 and for this a liṭra of pepper should be sold.
-:I wish to know: how much is its area?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=9}}</math>
-|style="text-align:right;"|תיט) שאלה בכאן מרובע מעויין אשר אחד מאלכסונותיו מ' והאחר ל'
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ט' וכן ראוי שימכור ליט' הפלפל
-אשאל לדעת כמה תשברתו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח אחד מאלכסוניו וכפלהו על כל האחר כאלו תכפול חצי ל' שהם ט"ו על מ' ויהיו ו' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
+::Then, multiply 200 by 12 that he wants to sell in barter; the result is 2400.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200\sdot12=2400}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ כפול מאתים על י"ב שהוא רוצה למכור לחליפים ויעלה ב' אלפים וד' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכ) שאלה בכאן מעיין מרובע כל אחד מצלעותיו עשרים קנים ובכל קנה יכנסו בה עשרה ברילי ממים
+::Subtract a half of it, since he wants half in cash; it is 1200 and so he should receive in cash and 1200 he should receive from the pepper.
-אשאל כמה תשברתו וכמה ברילי ממים יכנסו בה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2400-\left(\frac{1}{2}\sdot2400\right)=1200}}</math>
-ואם ישליך אדם בתוך המעיין אבן אחת אשר כל אחד מד' צלעותיה ה' קנים כמה ישפכו ממי המעיין חוצה
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם החצי מצד כי הוא רוצה החצי במעות מנויים ויהיו אלף וב' מאות וכך יקבל במעות מנויים ואלף ומאתים יש לו לקבל מפלפל
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול אורך המעיין עם הרוחב שהוא עשרים על עשרים ויהיו ד' מאות כפלם על עשרים שהוא הגובה ויהיו ח' אלפים וכך הם הקנים
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> To know how many liṭra they are, say: if 9, which is the price of a liṭra, yield one liṭra, i.e. for 9 carlin I buy one liṭra, how many would I buy for 1200?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9:1=1200:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ליט' הם תאמר אם ט' שהוא ערך הליט' נתן לי א' ליט' ר"ל אם עבור ט' קרליני אקנה ליט' אחת עבור אלף ומאתים כמה אקנה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויען כי אמר כי בכל קנה מרובעת יכילו עשרה ברילי כפלם על י' ויהיו פ' אלפים וכך הם הברילי מהמים
+::You get 133 and a third liṭra. So, the one who has wool gives 200 to the one who has pepper, and the one who has pepper gives 133 and a third liṭra to the one who has wool.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=133+\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך קל"ג ליט' ושליש א"כ בעל הצמר יתן לבעל הפלפל מאתים ובעל הפלפל יתן לבעל הצמר קל"ג ליט' ושליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה מים יצאו מהמעיין בהשלכת האבן בתוכו
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> To check it, multiply 133 and a third by 9; you get 1200.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כפול קל"ג ושליש על ט' ויצא לך אלף ומאתים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול האבן ארך עם רוחב ויהיו כ"ה אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו קכ"ה וכפול זה על עשרה יען כי בכל קנה יש בה עשרה ברילי ויעלה אלף ר"נ וכך ברילי תכיל תשבורת האבן וכך הם הברילי היוצאים מהמעיין בנפילת האבן
+::Multiply also 200 by 6; the result is 1200.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(133+\frac{1}{3}\right)\sdot9=1200=200\sdot6}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם כפול מאתים על ו' ויצא אלף ומאתים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה אבנים תכיל כל המעיין
+:{{#annot:silk and cloth|635|0Aft}}280) Question: Reuven and Shimon want to barter.
+:Reuven has silk that is worth 28 grossi for a liṭra in cash.
+:Shimon has cloth that is worth 15 grossi for a canna in cash and in barter he offer it for 18.
+:He wants to give his friend a quarter in cash.
+:I ask: how many liṭra of silk should Reuven offer and for 234 liṭra of silk how much cloth should he receive?
+|style="text-align:right;"|רפ)<ref>MS L: שלג</ref> <big>שאלה</big> ראובן ושמעון רוצים להחליף<br>
+לראובן יש משי ששוה הליט' במעות מנויים כ"ח גרושי<br>
+ולשמעון יש &#x202B;<ref>271v</ref>בגד שוה הקנה ט"ו גרושי במנוים ובחליפים משים אותם י"ח<br>
+ורוצה לתת לחבירו הרביעית במעות מנויים<br>
+אשאל כמה ראוי שישים ראובן הליט' מהמשי ובעבור רל"ד ליט' משי כמה בגד ראוי שיקבל{{#annotend:0Aft}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תחלק פ' אלפים על אלף ונ' ויצא לך ס"ד וכך אבנים תכיל כל המעיין
+::Since Shimon wants to give Reuven a quarter, you should add a number to the price of the canna of cloth this way:
+|style="text-align:right;"|הנה מאחר ששמעון רוצה לתת לראובן הרביע ראוי שתוסיף על ערך הקנה מהבגד מספר באופן זה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכא) שאלה בכאן שני אבנים הקטנה היא ב' על ב' ברום ב' והשנית ד' על ד' ברום ד' והקטנה שוה ה' דוקט
+::You already know that he wants to give Reuven a quarter. See how much is above the line when you draw a quarter, like this:
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הוא רוצה לתת לראובן הרביעית ראה כמה יש על השורה כשאתה מצייר רביע כזה &#x202B;<math>\scriptstyle\frac{1}{4}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח תשבורת הקטנה שהם ח' וקח תשבורת הגדולה שהיא ס"ד ותאמר אם ח' שוים ה' כמה שוים ס"ד ויצא לך מ' וכך הוא ערך הגדולה
+::You find 1 above. Subtract it from the number beneath the line, which is 4; 3 remains. Put 3 beneath the line and 1 above the line; it is a third.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4-1}=\frac{1}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|תמצא למעלה א' תסיר אותו מהמספר אשר הוא תחת הקו שהוא ד' וישארו ג' ושים ג' תחת הקו וא' על הקו ויהיה א' שליש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכב) שאלה הנה בכאן תמונה מרובעת ומשולשת אשר אחד מאלכסוניו הוא פ'
+::If he said he wants to give a third, subtract the 1, which is above the line, from the 3; 2 remains. Put 1 above the line; it is a half.
-אשאל כמה תשברתה
+|style="text-align:right;"|ואם אמר רוצה לתת א' שליש תסיר א' שהוא על הקו מהג' וישארו ב' ושים א' על הקו ויהיה חצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח חצי אלכסון האחד שחציו מ' ומהאחר חציו כ' כפול אלו עם אלו ויעלה ח' מאות וכך הוא המשולש
+::When you apply this procedure, you find that when you subtract from the original price, to which you added what he wants to give in cash, the original price [remains].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{n-1}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכשתנהג זה המנהג תמצא כי כשתסיר מהערך הראשון מה שהוספת שהוא מה שרוצה לתת במעות מנויים ישאל הערך הראשון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא עשרים וחצי התושבת שהיה עשרה וחציו ה' וחברם עם חמשה ויהיו כ"ה
+::The example in our question is that he wants 18 grossi for the canna and he wants to give a quarter in cash.
-אח"כ קח חצי פ' שהוא מ' ותכפלם על כ"ה ויעלה אלף וכך הוא תשבורת המרובע
+|style="text-align:right;"|המשל לשאלתינו כי רוצה י"ח {{#annot:grosso|2643|0JdN}}גרושי{{#annotend:0JdN}} מן הקנה ורוצה לתת הרביעית במעות מנויים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר קנה המרובע עם המשולש שהיה ח' מאות ויהיו אלף וח' מאות וכך הוא תשבורת התמונה
+::You already found that the quarter returns a third. take a third of 18, which is 6, and add it to 18; it is 24.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר מצאת כי הרביעית ישוב שליש וקח שליש י"ח שהם ו' תוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכג) שאלה בכאן תמונה בעלת ה' צלעות ארך כל צלע מבחוץ י"ב אמות ומבפנים עשר אמות
+::Subtract from it the quarter he wants in cash; 18 still remains and it is equal to the given number.
-ארצה לדעת תשברתה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא מהם הרביעית שהוא רוצה במעות מנויים וישארו עדין י"ח והוא שוה אל המספר המונח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול י' שהוא ארך כל צלע מבפנים ויהיו מאה
+:*Another example: the price is 9 and he wants to give a third in cash.
-אח"כ קח חצי י"ב שהוא הצלע החצוני שהם ו' והם ל"ו
+|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אחר הערך הוא ט' ורוצה לתת שליש במעות מנויים
-תסירם ממאה והם ס"ד קח שרשם שהם ח' וכך הוא העמוד מכל אחד מהמשולשים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי הצלע החצוני שהוא ו' וכפול אותו על ח' ויהיו מ"ח והוא תשבורת כל מרובע משולש
+::You already found that the third return a half.
-ויען כי הם חמשה כפול מ"ח על חמשה ויעלה ר"מ וכך הוא תשבורת התמונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3-1}=\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכבר מצאת כי השליש ישוב חצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם היה לה גובה ראוי לכפול אותה כנגד הגובה
+::Add a half to 9, which is 4 and a half; the result is 13 and a half.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(\frac{1}{2}\sdot9\right)=9+\left(4+\frac{1}{2}\right)=13+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוסיף חצי על ט' שהם ד' וחצי ויעלו י"ג וחצי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכד) שאלה בכאן תמונה ו' צלעות ארך כל קו מבחוץ הן מבפנים הם י' אמות
+::Subtract from it the third he wants to give; 9 still remains, which is the same as the given number.
-נרצה לדעת תשבורת התמונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(13+\frac{1}{2}\right)-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(13+\frac{1}{2}\right)\right]=9}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא מהם השליש שרוצה לתת וישארו עדין ט' שהוא כמו המספר המונח
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח אחד מהצלעו' וכפלם על עצמם ויהיו ק'
+:*Another example: the [price] is 9 and he wants to give 2-thirds in cash.
-אח"כ קח חצי אחד מהצלעות מבחוץ שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[דמיון אחר המספר הוא ט' ורוצה לתת ב' שלישיות
-תסירם מק' וישארו ע"ה וקח שרשם מהמרובע ויהיו ח' וי"א חלקים מי"ו וכך הוא ארך העמוד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח מחצית הצלע שהם ה' וכפול אותו על העמוד ויעלה מ"ג וד' חלקים מי"ז וכך הוא תשבורת כל משולש
+::Subtract the 2 above the line from the 3 beneath the line; only 1 remains beneath and 2 above.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3-2}=\frac{2}{1}}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא הב' שהם על הקו מהג' שהם תחת הקו ולא ישאר למטה כי אם א' ולמעלה ב&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ויען כי הם ו' משולשים כפלם ו' פעמים ויעלה רנ"ט וז' חלקים מי"ז והוא תשבורת התמונה
+::Add to the given number its double; it is 27.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{9+\left(2\sdot9\right)=27}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף על המספר המונח ב' פעמים כמוהו ויהיו כ"ז
 |-
 |
-:425) Question: a circle, the length of its diameter is 7 cubits.
+::Subtract 2-thirds from it; 9 remains and it is the given number.
-:how much is its perimeter and how much is its area?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{27-\left(\frac{2}{3}\sdot27\right)=9}}</math>
-|style="text-align:right;"|תכה) שאלה בכאן עגול אורך אלכסונו ז' אמות<br>
+|style="text-align:right;"|תסיר מהם ב' שלישיות וישארו ט' והוא המספר המונח]&#x202B;<ref>G. om.</ref>
-כמה הקפו וכמה תשברתו
 |-
 |
-::Multiply 7 by 3 and a seventh; it is 22 and this is its perimeter.
+::The price of the canna in our [question] is 15 [in cash] and in barter it is 18. [Its third] is 6. We add it to 15; it is 21.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\left(3+\frac{1}{7}\right)=22}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{15+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=15+6=21}}</math>
-|style="text-align:right;"|כפול ז' על ג' ושביעית ויהיו כ"ב וכך הוא הקפו
+|style="text-align:right;"|והנה ערך הקנה ממספרינו הוא ט"ו ובחלופים י"ח שהם ו' ונוסיפם על ט"ו ויהיו כ"א
 |-
 |
-::Then, take half its perimeter; the half of its perimeter is 11.
+::We add it to 18 also; it is 24.
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי הקפו וחצי אלכסונו והנה חצי הקפו י"א
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{18+\left(\frac{1}{3}\sdot18\right)=18+6=24}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם נוסיפם על י"ח ויהיו כ"ד
 |-
 |
-::The half of its diameter is 3 and a half.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now, you see that 21 returns 24, so you should say: if 21 returns 24 liṭra, how much is 28, which is the price of the silk, equal to?
-|style="text-align:right;"|וחצי אלכסונו ג' וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{21:24=28:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה אתה רואה כי כ"א שבו כ"ד ועתה ראוי שתאמר אם כ"א שבו כ"ד ליט' כ"ח שהוא ערך המשי כמה שוה
 |-
 |
-::Multiply them; the result is 38 and a half and this is the area of the circle.
+::You receive 32 and this is the price of the liṭra.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot22\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot7\right)=11\sdot\left(3+\frac{1}{2}\right)=38+\frac{1}{2}}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=32}}</math>
-|style="text-align:right;"|וכפלם ויעלה ל"ח וחצי וכך הוא תשבורת העגול
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ל"ב והוא ערך הליט&#x202B;'
 |-
 |
-:426) Question: a circle, the length of its perimeter is 44.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how many canna of cloth he should give for 234 liṭra, say: if 24 is equal to 32, how much is 234 equal to?
-:If you wish to know the area of the circle:
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{24:32=234:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|תכו) שאלה בכאן עגול ארך הקפו מ"ד
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה קנים מבגד ראוי שיתן עבור רל"ד ליט' תאמר אם כ"ד שוים ל"ב רל"ד כמה שוים
-אם תרצה לדעת תשבורת העגול
 |-
 |
-::Do as follows: divide 44 by 3 and a seventh; the result is 14 and this is the diameter.
+::You find that they are worth 312 ducat.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{44\div\left(3+\frac{1}{7}\right)=14}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}</math>
-|style="text-align:right;"|כך תעשה חלק מ"ד על ג' ושביעית ויצא י"ד וכך הוא האלכסון
+|style="text-align:right;"|ותמצא כי ישוו ג' מאות וי"ב דוקטי
 |-
 |
-::Then, take half its diameter, which is 7, and half its perimeter, which is 22. Multiply them; the result is 156 and this is the area of the circle.
+::Since Shimon wants to give a quarter in cash, you should take a quarter of 312, which is 78, and subtract it from 312; 2[3]4 remains.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{2}\sdot14\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot44\right)=7\sdot22=156}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{312-\left(\frac{1}{4}\sdot312\right)=312-78=2{\color{red}{3}}4}}</math>
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי אלכסונו שהוא ז' וחצי הקפו שהוא כ"ב וכפלם ויעלו קנ"ו וכך הוא תשבורת העגול
+|style="text-align:right;"|ומצד כי שמעון רוצה לתת רביעית במעות ראוי לקחת רביעית ג' מאות י"ב שהם ע"ח ותוציאם מג' מאות וי"ב וישארו רכ"ד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכז) שאלה הנה בכאן פאואלייוני אשר ארך המקל אשר הפאואלייוני תקוע בו ה' אמות והדוק התקוע במקל שהוא מגיע לארץ עשרה אמות
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now, say: if 18 grossi are equal to one canna, how many canna are 234 [ducat] equal to?
-אשאל כמה מקום מחזיק מהקרקע סביבו וכמה קנים מדוק באהל וכמה הוא אלכסונו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{18}{24}:1=234:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם י"ח {{#annot:grosso|2643|5jyx}}גסים {{#annotend:5jyx}}שוים קנה אחת רל"ד כמה קנים שוים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|הנה לדעת אלכסונו הנה תכפול הח' קנים מהמקל על עצמם ויהיו ס"ד
+::You receive 312 that are canna of cloth and this is what Reuven should get from Shimon.
-ג"כ תכפול העשרה קנים שהוא ארך הדוק ויהיו ק'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=312}}</math>
-הסר מאלו הק' ס"ד וישארו ל"ו קח שרש ל"ו שהם ו' והוא חצי האלכסון כפול אותו והוא י"ב
+|style="text-align:right;"|ויצא לך שי"ב והם קנים מבגד וכך ראוי שיקבל ראובן משמעון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה סביבו כפול י"ב על ג' ושביעית וכך הוא סביבו
+::Plus 78 minyanim in cash.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot312=78}}</math>
+|style="text-align:right;"|וע"ח מנינים בממון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה תשבורת כל האהל קח חצי סביבו וחצי ל"ו שהם י"ח וו' שביעיות וכפלם על הגובה ויעלה קי"ג ושביעית וכך הוא תשבורת התושבת
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much are 234 liṭra of silk worth at the price of 28 in cash; the result is 273 minyanim.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות רל"ד ליט' של משי לערך כ"ח &#x202B;<ref>272r</ref>שהיה [במעות מנויים ויעלה רע"ג מנינים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה קנים מרובעות כל האהל קח מחצית ל"ז וה' שביעיות וכפלם על י"ח וו' שביעיות וכפלם על ח' קנים שהוא ארך המקל ויעלה ק"נ וו' שביעיות וכך קנים יש באהל
+::See also how much are 312 canna worth at the price of 15 in cash; you receive 195.
+|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה שוות ג' מאות וי"ב קנים לערך ט"ו שהוא]&#x202B;<ref>G om.</ref> במעות מנויים ויצא לך קצ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכח) שאלה יש כאן כרי של חטה אשר סביבו מ"ד וגבהו ט' קנים
+::Add to it the 78 he paid; it is 273.
-ארצה לדעת כמה חטה יש בכרי באופן שיהיה בכל קנה מרובעת א' קוצא מחטה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{234\sdot28}{24}=273=195+78=\frac{312\sdot15}{24}+78}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף עליהם ע"ח שנתן ויהיו רע"ג
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כך מרובע סביבו שהוא מ"ד וכפלם על עצמם ויהיו אלף ותתקל"ו וקח ז' חלקים מפ' מזה המספר ויהיו קנ"ד קנים וכך הם הקנים מן השטח
+:{{#annot:cloth and oil|635|NjfK}}281) Question: two want to barter.
+:One has [10] pieces of cloth, each piece is worth 15 minyanim in cash and 17 in barter and he wants to receive 50 ducat in cash.
+:The other has barrels of oil, the price of a barrel is 60 in cash.
+:I ask: how much should be the price and how many barrels should be given for 10 pieces of cloth?
+|style="text-align:right;"|רפא)<ref>MS L שלד</ref> <big>שאלה</big> שנים רוצים להחליף<br>
+לאחד יש ב' חתיכות בגד ששוות כל חתיכה בממון ט"ו מנינים ובחליפים י"ז ורוצה שינתן לו חמישים דוק' בממון<br>
+והאחר יש לו חביות שמן ערך החבית בממון ס' דוקט&#x202B;'<br>
+אשאל כמה ראוי שיעלה הערך ובעבור הי' חתיכות בגד כמה חביות ראוי שיתן{{#annotend:NjfK}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח שליש ט' שהם ג' וכפלם על קנ"ד ויהיו ד' מאות וס"ב קנים הוא תשבורת כל הכרי
+::First, see how much the 10 pieces are worth in cash; you find it is 150.
-וזה המספר ממש הם הקוצי מהחטה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראשנה ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון ותמצא ק"נ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תכט) שאלה בכאן בור אשר סביבו כ"ב והוא עגול וגבהו עשר אמות מלא מים
+::And how much they are worth in barter; it is 170.
-ארצה לדעת כמה ברילי ממים יש בבור באופן כי כל ג' אמות מרובעות יכילו ברילי אחד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot17=170}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכמה שוות בחליפים והם ק"ע
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול כ"ב שהוא הדיאמיטרו על עצמם ויהיו תפ"ד קח מהם י"א חלקים מי"ד ויהיו ש"פ וב' שביעיות וכך הם אמות משטח הבור
+::Then, you should subtract the 50 he asks in cash from 170; 120 remains.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{170-50=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראוי להוציא הנ' ששואל בממון מק"ע וישארו ק"כ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול ש"פ על עשרה שהוא גובה הבור ויעלה ג' אלפים וח' אמות וו' שביעיות והם אמות המים אשר בבור
+::Subtract it also from 150; the remainder is 100.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{150-50=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תוציאם מק"נ הנשאר ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|חלקם על ג' ויעלה אלף ורס"ז וי"ג חלקים מכ"א והם הברילי ממים אשר בבור
+::So, say that 120 returns 100.
+|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמ' כי ק"כ שבו ק&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תל) שאלה בכאן עמוד אחד אשר אלכסונו ב' אמות וגבהו עשרה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much he should pay for a barrel of oil, say: if 100 returns 120, how much does 60 return?
-כמה ישקול באופן כי כל אמה מרובעת תשקול חמישים ליט'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100:120=60:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שישים חבית השמן תאמר אם ק' שבו ק"כ כמה ישובו ס&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ד' ומהם תסיר י"א חלקים מי"ד ויהיו ג' ושביעית וזהו תשבורת סבובו ר"ל שטחו
+::The result is 72 and this is price of a barrel of oil.
+|style="text-align:right;"|ויצא ע"ב והוא שווי חבית השמן
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול זה על עשרה ויעלה ל"א וג' שביעיות והם אמות כל העמוד
+::To know how much oil he will give for 10 pieces of [cloth]: you already know that they are worth 170 in barter and from this he asks for 50. Subtract 50 from 170; 120 remains and this is the [number of barrels of] oil he should [give] that is worth 120 in barter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=170-50=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה שמן יתן עבור י' חתיכות כבר ידעת כי שוים ק"ע לחילוף ומזה שואל נ' הוצא נ' מק"ע ישארו ק"כ וכ"כ שמן ראוי שיקבל שישוה ק"כ לחלופים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ליט' תשקול כפול זה על נ' ויעלה אלף ותתקע"א ליט' וג' שביעיות תשקול העמוד
+::To know how [many measures] it should be, you already know that in each barrel there are one thousand measures.
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה כבר ידעת כי בחבית יש אלף מדות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלא) שאלה בכאן שק אשר אלכסונו הוא ג' זרתות וארכו ו' זרתות
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, say: if 72 are equal to 1000 measures, how much are 120 equal to?
-אשאל כמה טומולי מחטה תכיל באופן תכיל כל ב' זרתות ג' טומולי מחטה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{72:1000=120:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תאמ' אם ע"ב שוים אלף מדות ק"כ כמה שוות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ט' וקח י"א חלקים מי"ד הנשאר ז' וא' חלק מי"ד וכך הוא שטחו
+::The result is 1666 and 2-thirds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1666+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא אלף תרס"ו וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול זה על הגובה ויהיו מ"ב וו' חלקים מי"ד וכך הם זרתות שמכיל השק
+::Thus, you have already found that a barrel of oil is worth 72 in barter and for 10 pieces [of cloth] he should give 1666 and 2-thirds of a measure and the other will receive the oil as well as 50 minyanim in cash.
+|style="text-align:right;"|הנה כבר מצאת כי חבית השמן ראוי שישוה לחלופים ע"ב ובעבור הי' חתיכות ראוי שיתן אלף תרס"ו וב' שלישיות מדה והאחר יקבל השמן גם חמישי' מנינים בממון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת כמה טומולי מחטה תכיל כל השק תאמ' אם ב' שוים ג' כמה ישוו מ"ב וו' חלקים מי"ד ויצא לך ס"ג וט' חלקים מי"ד וכך טומולי מחזיק כל השק
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much are 10 pieces [of cloth] worth in cash; it is 150 and this is what he gave to his friend.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות הי' חתיכות בממון והנה הוא ק"נ וכך נתן לחבירו
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלב) שאלה בכאן שק מחזיק ל"ו טומולי מחטה ונרצה לעשות ממנו ג' שקים
+::See also how much he received, which is 1666 and 2-thirds at a price of 60, which is the original price; it is 100 and with the 50 he received in cash they are 150, which is equal to the reserved 150.
-כמה יחזיק כל אחד
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot15=150=100+50=\frac{\left(1666+\frac{2}{3}\right)\sdot60}{1000}+50}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד ראה מה שקבל שהוא אלף תרס"ו וב' שלישיות לערך ס' שהוא הערך הראשון והנה הוא ק' ועם הנ' שקבל בממון הנם ק"נ והם שוים אל הק"נ השמורים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יען כי תרצה לעשות ג' שקים כפלם על עצמם ויהיו ט' וחלק ל"ו עליהם ויהיו ד' וכך תחזיק כל שק ושק
+:{{#annot:silk and cloth|635|cuCD}}282) Question: two want to barter.
+:One has silk. He wants to offer 10 grossi for a liṭra in barter and he wants to be given a fifth in cash.
+:The other has cloth that worth 13 in cash and he must offer it now for 16 as his friend raised the [price of] silk.
+:I ask: how much is the price of the silk in cash and in order to buy 100 liṭra of silk how much cloth should be given?
+|style="text-align:right;"|רפב)<ref>MS L שלה</ref> <big>שאלה</big> ב' רוצים להחליף<br>
+לא' יש משי שרוצה לשים הליט' י' גרושי לחלופים ורוצה שינתן לו החומש בממון<br>
+ולאחר יש בגד שוה בממון י"ג והוא מוכרח עתה לשים אותה י"ו כשם שהעלה חבירו המשי<br>
+אשאל כמה ערך המשי בממון וכדי לקחת ק' ליט' משי כמה בגד ראוי שיתן{{#annotend:cuCD}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלג) שאלה בכאן ארבעה שקים כל אחד מכיל שלשה ונרצה לעשות מארבעתם שק אחד
+::The way is as follows: you already know that the one who has cloth should raise the price from 13 to 16 and he has to give a fifth to his friend, so he should add a quarter of 16 to 16, because we have found that the fifth is a quarter according to the mentioned way; so it is 20.
-כמה יכיל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+\left(\frac{1}{5-1}\sdot16\right)=16+\left(\frac{1}{4}\sdot16\right)=16+4=20}}</math>
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא זה כבר ידעת כי מי שיש לו בגד ראוי שיעלה הערך מי"ג עד י"ו גם הוא מוכרח לתת חומש לחבירו לכן ראוי להוסיף רביעית י"ו על י"ו כי החמישית מצאנו שהוא רביעית על הדרך הנז' לעיל ויהיו כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|יען כי הם ד' שקים כפלם על עצמם ויהיו י"ו ואלו הי"ו כפלם על ג' ויהיו מ"ח וכך מחזיק השק
+::Add also 4 to 13; it is 17. So, say that the one who has silk made 20 from 17.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{13+4=17}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם תוסיף ד' על י"ג ויהיו י"ז ולכן &#x202B;<ref>272v</ref>תאמר כי בעל המשי עשה מי"ז כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלד) שאלה לאדם ד' שקים גבהם שוה ורחבם האחד ב' והאחר ד' והאחר ה' והאחר עשרה ונרצה לעשות מכלם שק אחד
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much a liṭra of silk is worth in cash, say: if 20 yields 17, how much does 10, which is the price of the liṭra in barter, yield?
-כמה יכיל
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20:17=10:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה היתה שוה ליט' המשי בממון תאמר אם כ' עשו י"ז כמה עשו י' שהוא ערך הליט' לחליפים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול רוחב השקים זה על זה והנה נכפול ב' על ד' הם ח' כפול זה על ה' והם מ' גם זה על י' והם ת' וקח שרשם והם עשרים כפלם על ד' שהם השקים ויהיו פ' תוסיף בם מה שמחזיק כל שק שהם ב'ד'ה'י' ויהיו ק"י וכך תכיל השק
+::The result is 8 and a half and so the liṭra [of silk] is worth in cash. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=8+\frac{1}{2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא ח' וחצי כך היתה שוה הליט' בממון
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלה) שאלה בכאן כדור אחד אשר אלכסונו ג' זרתות
+::To know how much cloth he should receive for 100 liṭra [of silk]:
-ארצה לדעת כמה ליטר' תשקול כל הכדור באופן כי תשקול כל זרת מרובע ק' ליט'
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה בגד ראוי שיקבל עבור ק' ליט&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כן תעשה כפול האלכסון על מעוקבו ויהיו כ"ז וקח י"א חלקים מכ"א שהם י"ד ושביעית וכך הם הזרתות המרובעות
+::Multiply 100 by 10; it is one thousand and since he wants a fifth in cash, subtract a fifth from a thousand; the remainder is 800 and this is what he should receive.
+|style="text-align:right;"|כפול ק' על י' ויהיו אלף ומצד כי הוא רוצה החומש בממון הוצא החומש מאלף הנשאר ת"ת והוא מה שראוי שיקבל
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(100\sdot10\right)-\left[\frac{1}{5}\sdot\left(100\sdot10\right)\right]=1000-\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=800}}</math>
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול זה על ק' ויצא לך אלף ותי"ד וב' שביעיות וכך תשקול הכדור
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 16 grossi are equal to one canna, how many canna are 800 grossi equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16:1=800:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר אם י"ו גסים שוים קנה אחת ת"ת גסים כמה קנים שוות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלו) שאלה בכאן שני כדורים אשר אחד מהם הקפו כ' זרתות וא' ואלכסונו ב' זרתות והאחרת הקפו עשרה ואלכסונו ארבעה
+::You receive 50.
-ארצה לדעת כמה פעמים שוקלת יותר הגדולה מהקטנה
+|style="text-align:right;"|ויצא לך נ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול הקף הקטנה על עצמם ויהיו כ"ה אח"כ כפלם על ב' שהוא האלכסון והם נ' וכך הם זרתות הכדור הקטן
+::Hence, a liṭra of silk is worth 8 grossi and a half and he should receive 50 canna of cloth for 100 liṭra of silk.
+|style="text-align:right;"|הנה א"כ ליט' המשי היתה שוה ח' גרושי וחצי וראוי שיקבל נ' קנים מבגד עבור ק' ליט' של משי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת זרתות הגדול כך תעשה כפול הקף הגדול על עצמו שהם ק' גם זה על האלכסון ויהיו ד' מאות
+::The rest, which is two hundred, he should receive [in cash].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot1000\right)=200}}</math>
+|style="text-align:right;"|והשיור ראוי שיקבל שהוא מאתים
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|חלק ד' מאות על נ' ויצא ח' וכך פעמים תשקול הגדול מהקטן
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much are 100 liṭra [of silk] worth in cash; it is 850 grossi.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות ק' ליט' במעות מנויים שהוא תת"נ גרושי
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלז) שאלה שני חביות האחת אלכסונה ב' והשנית אלכסונה ד'
+::See also how much are 50 canna of cloth worth in cash, which is 13; the result is 650. Add 200 grossi; it is also 850.
-אשאל כמה גדולה הגדולה מהקטנה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{100\sdot\left(8+\frac{1}{2}\right)=850=650+200=\left(50\sdot13\right)+200}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה שוות נ' קנים מבגד במעות מנויים שהוא י"ג ויצא ו' מאות ונ' תוסיף ב' מאות גרושי ויהיו ג"כ תת"נ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח מעוקב הקטנה וקח י"א חלקים מכ"א שהם ד' וד' חלקים מכ"א וכך הוא תשבורת הקטנה
+:{{#annot:silk and cloth|635|jvQ3}}283) Question: two barter.
+:The first has cloth and he asks 8 for a canna in cash and 10 in barter.
+:The other has silk and he asks 20 for a liṭra in cash and 24 in barter.
+:I ask: who asks some part in cash and what part is he asking for?
+|style="text-align:right;"|רפג)<ref>MS L שלו</ref> <big>שאלה</big> שנים עושים חליפים<br>
+הראשון יש לו בגד ושואל מהקנה בממון ח' ובחליפים י&#x202B;'<br>
+והאחר יש לו משי ושואל מהליט' בממון כ' ובחלוף כ"ד<br>
+אשאל מי הוא זה ששואל חלק מה מממון ואיזה חלק שואל השואל{{#annotend:jvQ3}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|גם קח מעוקב הגדולה שהם ס"ד וקח י"א חלקים מכ"א שהם ל"ג וי"א חלקים מכ"א והוא תשבורת הגדולה
+::You should do as follows: multiply 8, which is the price of the cloth in cash, by 24, which is the price of the silk in barter; it is 192.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8\sdot24=192}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לעשות ככה כפול ח' שהוא ממון הבגד על כ"ד שהוא חלוף המשי ויהיו קצ"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ חלק הגדולה על הקטנה ויצא ח' וכך חביות קטנות תכיל הגדולה
+::Multiply also 10, which is the price of the cloth in barter, by 20, which is the price of the silk in cash; it is 200.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot20=200}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד כפול י' שהוא חלוף הבגד על כ' שהוא ממון המשי ויהיו ר&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלח) בכאן קשת ארך המתר י"ד ואורך החץ ז'
+::Subtract 192 from 200; the remainder is 8. Keep it.
-כמה הוא הקשת
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{200-192=8}}</math>
+|style="text-align:right;"|הוצא קצ"ב מר' הנשאר ח' ושמרם
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול החץ שהוא ז' על ג' ושביעית ויצא כ"ב וכך הוא הקשת
+::Now, see who has more than his friend: the one who raises from 8 to 10, or the one who raises from 20 to 24. Do as follows:
+|style="text-align:right;"|עתה ראה למי יש יתר שאת על חבירו או זה שעושה מח' י' או מי שעושה מכ' כ"ד ותעשה כך
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת תשברתו קח חצי הקשת שהוא י"א וחצי המתר שהוא ז' וכפול זה על זה ויהיו ע"ז וכך הוא תשבורת זה העגול
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 8 gives me 10, how much will 20 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8:10=20:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמר אם ח' נתן לי י' כמה יתן לי כ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תלט) שאלה בכאן חצי עגול הקף הקשת כ"ב
+::You receive 25.
-ארצה לדעת כמה המתר
+|style="text-align:right;"|ויצא לך כ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה חלק כ"ב על ג' ושביעית ויצא לך ז' וכך הוא החץ
+::Therefore, the one who raises from 8 to 10 surpasses his friend, because according to the same ratio, his friend should receive 25.
+|style="text-align:right;"|א"כ מי שעשה מח' י' יש לו יתרון על חבירו כי לפי אותו היחס היה ראוי לחברו כ"ה
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול זה על י"ד והוא המיתר
+::So, you find that the one who raises from 20 to 24 asks for some part in cash, because his friend surpasses him.
+|style="text-align:right;"|א"כ ראוי שתאמר כי מי ששואל מכ' כ"ד שואל חלק מה מממון יען כי יש לחבירו יתרון עליו
 |-
 |
-:{{#annot:shape greater than half a circle|680|vj5A}}440) Question: here is a circular shape that is greater than a semicircle, the length of the versine is 9, the chord is 6, and the arc is 25. I wish to know how much is its area.
+::To know how much he asks, see how much the one who surpasses his friend raises from cash to barter:
-|style="text-align:right;"|תמ) שאלה בכאן תמונה מעוגלת יותר מחצי עגול ארך החץ ט' והמתר ו' והקשת כ"ה
+|style="text-align:right;"|ולדעת איזה חלק הוא שואל ראה כמה מוסיף מי שיש לו יתרון על חבירו מהממון לחליפים
-ארצה לדעת כמה תשברתה{{#annotend:vj5A}}
 |-
 |
-:Do as follows:
+::In cash it is 8 and in barter it is 10. So, you find that the excess of the barter over the cash is 2.
-|style="text-align:right;"|כך תעשה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10-8=2}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בממון הוא ח' ובחליפים הוא י' לכן תמצא כי היתרון שיש מהממון לחליפים הוא ב&#x202B;'
 |-
 |
-::Take half the chord, which is 3, multiply it by itsalf; it is 9.
+::Now, divide by it the remainder from the two products we made, after we subtract the smaller from the greater. The remainder is 8 and you receive 4.
-|style="text-align:right;"|קח חצי המתר שהוא ג' כפלם על עצמם ויהיו ט&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{8}{2}=4}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה תחלק מה שנשאר מהב' הכפלות שעשינו אחר שהוצאנו הקטן מהגדול הנשאר ח' ויצא לך ד&#x202B;'
 |-
 |
-::Divide it by the length of the versine, which is 9; the result is 1.
+::Divide the 4 by the price of the silk in barter, which is 24; you receive one sixth and this is the part of the cashed money that the owner of the silk asks for, i.e. he asks for a sixth.
-|style="text-align:right;"|חלקם על ארך החץ שהם ט' ויצא א&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{24}=\frac{1}{6}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחלק אלו הד' על מה שהיה ערך המשי לחליפים שהיו כ"ד ויצא לך שישית אחד וכך הוא חלק הממון ששואל בעל המשי ר"ל ששואל שישית
 |-
 |
-::Add it to the 9 of the chord; it is 10 and this is the length of the diameter.
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, we suppose the owner of silk has 60 liṭra at a price of 24 grossi [for a liṭra], which is 60 ducat.
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)^2}{9}+9=\frac{3^2}{9}+9=\frac{9}{9}+9=1+9=10}}</math>
+|style="text-align:right;"|&#x202B;<ref>273r</ref>ולבחון אותו נניח כי לבעל המשי היו לו ס' ליט' לערך כ"ד גרושי ויהיו ס' דוקטי
-|style="text-align:right;"|תוסיף אותו על הט' מהחץ ויהיו י' וכך הוא ארך אלכסון התמונה
 |-
 |
-::Then, multiply half the diameter, which is 5, by half the perimeter that is 25, which is 12½; the result is 62½.
+::Since he asks for a sixth in cash, subtract a sixth from 60; the remainder is 50. So, he should receive 50 minyanim of the cloth of his friend and he should receive for these 50 minyanim 150 canna at a price of 10 grossi for a canna.
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול חצי האלכסון שהוא ה' על חצי הקפו שהיה כ"ה והם י"ב וחצי ויעלה ס"ב וחצי
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60-\left(\frac{1}{6}\sdot60\right)=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומצד כי הוא שואל שישית הממון הוצא השישית מס' הנשאר נ' א"כ ראוי לו לקבל נ' מנינים מבגד חבירו וראוי לו לקבל עבור אלו הנ' מנינים ק"נ קנים לערך י' גרושי הקנה
 |-
 |
-::Take half the chord, which is 3.
+::See how much the silk and the cloth are worth in cash:
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי המתר שהם ג&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|ועתה ראה כמה שוה המשי והבגד במעות מנוים
 |-
 |
-::Take half the diameter, which is 5
+::60 liṭra of silk in cash, which is 20 for every liṭra, are worth 50 minyanim.
-|style="text-align:right;"|וקח חצי האלכסון שהם ה&#x202B;'
+|style="text-align:right;"|והנה הס' ליט' של משי במעות שהוא כ' בכל ליט' יהיו נ' מנינים
 |-
 |
-::Subtract it from the 9, which is the versine; 4 remains.
+::Now, see how much are 120 canna [of cloth] worth in cash, which is 8 [for a canna]: the result is 40 minyanim. Add to them the ten minyanim he should receive in cash; they are 50 and they are equal to the other 50.
-|style="text-align:right;"|ותסירם מן הט' שהוא החץ וישארו ד&#x202B;'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{120\sdot8}{24}+10=40+10=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה שוות ק"כ קנים לערך מעות מנויים שהוא ח' ויצא מ' מנינים תוסיף עליהם עשרה מנינים שיש לו לקבל במעות מנויים ויהיו נ' והם שוים אל הנ' האחרים
 |-
 |
-::Multiply it by the 3; it is 12.
+:{{#annot:cloth and scarlet wool|635|rtgG}}284) Question: two want to barter.
-|style="text-align:right;"|ותכפלם על הג' ויהיו י"ב
+:One has ten pieces of cloth, each piece is worth 22 in cash and in barter he offer it for 30.
+:He also has 100 liṭra of scarlet wool, each liṭra is worth 28 in cash and 34 in barter.
+:He also wants to pay his friend 500 ducat.
+:His friend has caryophyllus that is worth 7 grossi for a liṭra.
+:He has also pepper that is worth 15 minyanim for 100 liṭra.
+:He also has ginger that is worth 46 minyanim for one cargo in cash.
+:I ask: for how much he should offer the pepper, the caryophyllus, and the ginger in barter, so that he will not be deceived by his friend, given that his friend asks for [pepper] that is worth 300, caryophyllus also 300, and from the [ginger] until it covers the price of what he wants to give to his friend.
+|style="text-align:right;"|רפד)<ref>MS L שלז</ref> <big>שאלה</big> ב' רוצים להחליף סחורה<br>
+לא' יש עשרה חתיכות של בגד ששוה במעות כ"ב כל חתיכה ובחליפים משים אותה ל&#x202B;'<br>
+ועוד יש לו ק' ליט' מתולעת שני ששוה הליט' בממון כ"ח ובחלוף ל"ד<br>
+גם רוצה לתת לחבירו ה' מאות דוק&#x202B;'<br>
+ולחבירו יש לו גרופולי ששוה הליט' ז' גרושי<br>
+וגם יש לו פלפל ששוה ט"ו מנינים הק' ליט&#x202B;'<br>
+ועוד יש לו זנגביל ששוה המשוא במעות מ"ו מנינים<br>
+אשאל כמה ראוי שישים ערך הפלפל והגרופולי והזנגביל לחליפים למען לא ירמהו חבירו<br>
+וחבירו בעל הבגד שואל לו מהזנגביל שישוה ג' מאות ומהגרופולי ג"כ ג' מאות ומהפלפל עד תשלום מה שהוא רוצה לתת לחבירו<br>
+אשאל כמה זנגביל וכמה פלפל וכמה גרופולי ראוי שיקבל{{#annotend:rtgG}}
 |-
 |
-::Add these 12 to the 62; it is 74½ and this is the area of the shape.
+::You should see how much are the 10 pieces of cloth worth in cash, which is 22 [for each piece]; you find it is 220.
-|style="text-align:right;"|אח"כ חבר אלו הי"ב אל הס"ב ויהיו ע"ד וחצי והוא תשבורת התמונה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot22=220}}</math>
+|style="text-align:right;"|ראוי לראות כמה שוות הי' חתיכות בגד בממון שהוא כ"ב ותמצא ר"כ
 |-
-|colspan=2|
+|
-::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\sdot\left(\frac{1}{2}\sdot25\right)\right]+\left[\left(\frac{1}{2}\sdot6\right)\sdot\left[9-\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)\right]\right]&\scriptstyle=\left[5\sdot\left(12+\frac{1}{2}\right)\right]+\left[3\sdot\left(9-5\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+\left(3\sdot4\right)\\&\scriptstyle=\left(62+\frac{1}{2}\right)+12\\&\scriptstyle=74+\frac{1}{2}\end{align}}}</math>
+::See also how much they are worth in barter; you find it is 300.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{10\sdot30=300}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם ראה כמה שוות החלוף ותמצא ג' מאות
 |-
 |
-:{{#annot:shape smaller than half a circle|680|ZU2r}}441) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, its perimeter is 9 and a half, the length of the versine is 2, and the chord is 8. To know how much is its area.
+::See also how much are 100 liṭra of scarlet wool worth in cash, and how much they are worth in barter:
-|style="text-align:right;"|תמא) שאלה בכאן תמונה שהיא פחותה מחצי עגול והיא מקפת ט' וחצי והחץ ב' והמתר הוא ח&#x202B;'<br>
+|style="text-align:right;"|גם ראה כמה שוות הק' ליט' מתולעת שני בממון וכמה שוות בחלוף
-לדעת תשברתה{{#annotend:ZU2r}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כך חצי ח' שהוא ארך המתר שהם ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו וחלקם על החץ שהוא ב' ויצא ח' חברם עם ב' והם י' והוא האלכסון
+::In cash, which is 28 [for each liṭra], they are worth 116 minyanim and 2-thirds, because 24 grossi are one ducat.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot28}{24}=116+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בממון שהיה כ"ח ישוו קי"ו מנינים וב' שלישיות כי כ"ד גסים הם דוק' אחד
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ קח חצי האלכסון שהם ה' וחצי ההקף שהם ד' וג' רביעיות וכפלם ויהיו כ"ג וג' רביעיות עוד קח חצי האלכסון שהם ה' והסר מהם ב' הנשאר ג' כפלם על חצי אלכסון שהוא ח' ויהיו ד' ויהיו י"ב תסירם מכ"ג וג' רביעיות וישארו י"א וג' רביעיות והוא תשבורת התמונה
+::In barter, when the price is 34 grossi, they are worth 141 minyanim and 2-thirds.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot34}{24}=141+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובחלוף שהיה הערך ל"ד גסים ישוו קמ"א מנינים וב' שלישיות
 |-
 |
-:442) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the versine is 2, and its diameter is ten. I wish to know the chord.
+::Now, add the price in cash of the 10 pieces [of cloth] to the price of the 100 liṭra of scarlet wool; they are 336 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|תמב) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אורך החץ ב' ואלכסונו עשרה
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{220+\left(116+\frac{2}{3}\right)=336+\frac{2}{3}}}</math>
-ארצה לדעת המתר
+|style="text-align:right;"|עתה תחבר מה שעלה בממון הי' חתיכות עם מה שעלו הק' ליט' מתולעת ויהיו של"ו וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
+::Add the price in barter of the 10 pieces [of cloth] to the price of the 100 liṭra of scarlet wool; they are 441 and 2-thirds.
-אח"כ קח הב' מהחץ ותסירם מהה' וישארו ג' ותכפלם על עצמם ויהיו ט' תסירם מכ"ה וישארו י"ו וקח שרשם שהם ד' וכפלם והם ח' וכך הוא תשבורת המתר
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{300+\left(141+\frac{2}{3}\right)=441+\frac{2}{3}}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה תחבר מה שעלו הי' חתיכות בחלוף עם מה שעלו הק' ליט' ויהיו תמ"א וב' שלישיות
 |-
 |
-:443) Question: here is a shape that is smaller than a semicircle, the length of the chord is 8, and its diameter is ten. If you wish to know the versine.
+::You see that he offers what is worth 336 and 2-thirds in cash for 441 and 2-thirds in barter.
-|style="text-align:right;"|תמג) שאלה בכאן תמונה פחותה מחצי עגול אשר המתר ח' והאלכסון עשרה
+|style="text-align:right;"|והנך רואה כי מה שהיה שוה בממון של"ו וב' שלישיות שם אותו בחלוף תמ"א וב' שלישיות
-אם תרצה לדעת החץ
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' וכפלם על עצמם ויהיו כ"ה
+::Since he wants to give 500 in cash, we add it to 336 and 2-thirds; they are 836 and 2-thirds.
-גם קח חצי המתר שהם ד' וכפלם ויהיו י"ו
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(336+\frac{2}{3}\right)=836+\frac{2}{3}}}</math>
-הסר אותם מכ"ה וישארו ט' וקח שרשם שהם ג' ותסירם מהה' שהוא חצי האלכסון וישארו ב' והוא ארך החץ
+|style="text-align:right;"|ובעבור שהוא רוצה לתת ה' מאות &#x202B;<ref>273v</ref>בממון נחברם עם של"ו וב' שלישיות ויהיו תתל"ו וב' שלישיות
 |-
 |
-:442) Question: here is a shape that is greater than a semicircle, the length of its diameter is ten and the versine is 9. I wish to know how much is the chord.
+::Add it also to 441; it is 941 and 2-thirds.
-|style="text-align:right;"|תמד) שאלה בכאן תמונה שהיא יותר מחצי עגולה אשר אלכסונו עשרה והחץ ט'
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\left(441+\frac{2}{3}\right)=941+\frac{2}{3}}}</math>
-ארצה לדעת כמה הוא המתר
+|style="text-align:right;"|גם תחברם עם תמ"א ויהיו תתקמ"א וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה קח חצי האלכסון שהוא ה' ותסירם מהחץ שהוא ט' וישארו ד' וכפלם על עצמם ויהיו י"ו גם כפול חצי האלכסון ויהיו כ"ה הסר י"ו מכ"ה הנשאר ט' וקח שרשם והם ג' וכפלם והם ו' והוא אורך המתר
+::You see that from 836 and 2-thirds he gets 941 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|והנך רואה כי מתתל"ו וב' שלישיות הוא עושה תתקמ"א וב' שלישיות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|תמה) שאלה בכאן תמונה עשויה כדמות חבילה ארכה ל' ורחבה עשרים
+::To know how much should be the price of the caryophyllus in barter:
-ארצה לדעת תשברתה
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הגרופולי בחלוף
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול ל' על עשרים ויהיו ו' מאות קח ג' חלקים מי"ד ויהיו קכ"ח וד' חלקים מט' וישארו ד' מאות וע"א וג' שביעיות והוא תשבורת החבילה
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 836 and 2-thirds return 941 and 2-thirds, how much does 7, which is the price of a liṭra of caryophyllus return?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=7:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו ז' שהוא ערך ליט' הגרופולי
 |-
 |
-=== <span style=color:Green>Transformation Problems</span> ===
+::You receive 7 and 441 parts of 502.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=7+\frac{441}{502}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ז' ותמ"א חלקים מתק"ב
+|-
 |
+::To know how much should be the price of the pepper [in barter]:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שיהיה ערך הפלפל
 |-
 |
-:{{#annot:circle to square|2583|6c6T}}446) Question: a circle whose diameter is 10.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 836 [and 2-thirds] return 941 and 2-thirds, how much do 100 liṭra return, when their price in cash is 15?
-:We want to transform the circle into a square.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+{\color{red}{\frac{2}{3}}}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=15:x}}</math>
-:I wish to know: how much is the length of each side of the square?
+|style="text-align:right;"|תאמר אם תתל"ו שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו הק' ליט' מהפלפל שהיה ערכם בממון ט"ו
-|style="text-align:right;"|תמו) שאלה בכאן עגול אשר אלכסונו י"ו<br>
-נרצה לעשות מזה העגול מרובע<br>
-ארצה לדעת כמה ארך כל צלע המרובע{{#annotend:6c6T}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול י"ו על עצמם ויהיו רנ"ו וקח חצים והם קכ"ח וקח שרשם והם י"א וז' חלקים מכ"ג וכך הוא אורך כל צלע מהמרובע
+::You receive 16 and 443 parts of 5[02].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו ותמ"ג חלקים מתקי"ב
 |-
-|Circumscribed circle
 |
+::To know how much should be the price of the ginger [in barter]:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שישוה הזנגביל
 |-
 |
-:447) a circle, its diameter is 10 long and we want to construct a triangle inside of it.
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 836 and 2-thirds return 941 and 2-thirds, how much do 46 return, which is the price of one cargo in cash?
-:How much is the length of each side of the triangle?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(836+\frac{2}{3}\right):\left(941+\frac{2}{3}\right)=46:x}}</math>
-|style="text-align:right;"|תמז) שאלה בכאן עגול ארך אלכסונו עשרה ונרצה לעשות משולש בתוכו<br>
+|style="text-align:right;"|תאמ' אם תתל"ו וב' שלישיות שבו תתקמ"א וב' שלישיות כמה ישובו מ"ו שהיה ערך ה{{#annot:masoa|1068|YoWg}}משוא{{#annotend:YoWg}} במעות
-כמה ארך כל קו מהמשולש
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול האלכסון על עצמו ויהיו ק' וקח ג' רביעיותיו שהם ע"ה וקח שרשם שהם ח' וי"א חלקים מי"ו והוא ארך כל קו
+::You receive 51 and 388 parts of 5[0]2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך נ"א וג' מאות ופ"ח מתקי"ב
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|ולדעת העמוד קח ג' רביעיו' האלכסון שהיה ויהיו ז' וחצי והוא ארך העמוד
+::If you want to know how much caryophyllus, ginger, and pepper should be given for the cloth, the scarlet wool, and the 500 zehuvim:
+|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדעת כמה גרופולי וכמה זנגביל וכמה פלפל ראוי שינתן עבור הבגד והתולעת והת"ק זהובים
 |-
 |
-:{{#annot:square to circle|2583|Y0yx}}448) Question: a square, the length of each of its sides is ten.
+::You already know that the cloth is worth 300 in barter and the scarlet wool 141 and 2-thirds.
-:We want to transform it into a circle.
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הבגד שוות ג' מאות בחלוף והתולעת קמ"א וב' שלישיות
-:how much is its perimeter?
-|style="text-align:right;"|תמח) שאלה בכאן מרובע ארך כל צלע עשרה נרצה לעשות ממנו עגול
-כמה יהיה הקפו{{#annotend:Y0yx}}
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כך תעשה כפול הצלע ויהיו ק' והוא תשבורת המרובע
+::You also know that the total amount with the 500 is 941 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|וכבר ידעת כי הסך העולה הוא תתקמ"א וב' שלישיות עם הה' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ ראה מאה מאיזה מספר הם י"א חלקים מי"ד ותמצא קכ"ז וג' חלקים מי"א אח"כ קח שרשם מקכ"ז והם י"א וב' שביעיות והוא ארך אלכסון העגול
+::Since he wants caryophyllus that is worth 300 and pepper that is worth 300, add them up; they are 600.
+|style="text-align:right;"|ומצד כי הוא רוצה גרופולי שישוו ג' מאות ופלפל שישוו ג' מאות תחברם ויהיו ו' מאות
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|אח"כ כפול אלו הי"א וב' שביעיות על ג' ושביעית ויעלה כ"ה וכ"ג חלקים ממ"ט וכך הוא הסבוב
+::Subtract it from 941 and 2-thirds; 341 and 2-thirds remain. So, he should receive from the ginger [an amount that] is worth 341 and 2-thirds.
+|style="text-align:right;"|תוציאם מתתקמ"א וב' שלישיות וישארו שמ"א וב' שלישיות א"כ ראוי שיקבל מהפלפל שישוה שמ"א וב' שלישיות
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(941+\frac{2}{3}\right)-\left(300+300\right)=\left(941+\frac{2}{3}\right)-600=341+\frac{2}{3}}}</math>
 |-
 |
-:{{#annot:square to triangle|2583|Zy1n}}449) Question: a square, each of its sides is ten.
+::To know how much caryophyllus he should receive for 300 ducat:
-:One wants to transform it into a triangle and know how much is each of its sides.
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה גרפולי ראוי שיקבל עבור ג' מאות דוק&#x202B;'
-|style="text-align:right;"|תמט) שאלה בכאן מרובע אשר כל צלע עשרה ורוצה לעשות ממנו משולש
+|-
-לדעת כל קו מהמשולש{{#annotend:Zy1n}}
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 7 grossi and 441 parts of 5[0]2 give me 1 liṭra, how much will 300 ducat give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}\right):1=24\sdot300:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמ' אם ז' גרושי תמ"א חלקים מתקי"ב נתן לי ליט' א' כמה יתן לי ג' מאות דוקט&#x202B;'
+|-
+|
+::You get 913 and 697 parts of 791 and this is the number of liṭra he should receive.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=913+\frac{697}{791}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ט' מאות וי"ג ותרצ"ז חלקים מתשצ"א וכך ליט' ראוי שיקבל
+|-
+|
+::To know how much pepper he should receive for 300 minyanim:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור ג' מאות מנינים
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 16 minyanim [and 443 part of 502] give me 100 liṭra, how many liṭra will give me 300 ducat?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+{\color{red}{\frac{443}{502}}}\right):100=300:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר אם י"ו מנינים נתן לי מאה ליט' כמה ליט' יתן לי ג' מאות דוק&#x202B;'
+|-
+|
+::You get 1776 and 112 parts of 113 and this is the number of liṭra he should take.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1776+\frac{112}{113}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך אלף וז' מאות וע"ו וקי"ב חלקים מקי"ג וכך ליט' יקח
+|-
+|
+::To know how much [ginger] he should receive for 341 and 2-thirds:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה פלפל ראוי שיקבל עבור שמ"א וב' שלישיות
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 51 minyanim and 388 parts of 5[02] give me one cargo, how much will 341 and 2-thirds give me?
+|style="text-align:right;"|תאמ' אם נ"א מנינים וג' מאות ופ"ח חלקים מתקי"ב נתן לי משוא אחת מה יתן לי שמ"א וב' שלישיות
+|-
+|colspan=2|
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(51+\frac{388}{5{\color{red}{0}}2}\right):\left(1\sdot400\right)=\left(341+\frac{2}{3}\right):x}}</math>
+|-
+|
+::You get 2639 and 5717 parts of 77[9]7 and so he should take from the [ginger].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2639+\frac{5717}{7797}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך אלפים ותרל"ט וה' אלפים וז' מאות וי"ז חלקים מז' אלפים ותשס"ז וכך ראוי שיקבל [מהפלפל]&#x202B;<ref>G om.</ref>
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it do as follows:
+|style="text-align:right;"|&#x202B;[ולבחון אותו תעשה ככה]&#x202B;<ref>G om.</ref>
+|-
+|
+::You already know that the caryophyllus is worth 7 and 441 [parts] of 5[0]2 for a liṭra.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{7+\frac{441}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|כבר ידעת כי הגרופולי ראוי שישוה הליט' ז' ותמ"א &#x202B;<ref>274r</ref>מתקי"ב
+|-
+|
+::A liṭra of pepper should be worth 16 and 443 [parts] of 5[0]2.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+\frac{443}{5{\color{red}{0}}2}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וליט' הפלפל ראוי שיהיה י"ו ותמ"ג מתקי"ב
+|-
+|
+::100 liṭra of [ginger] should be worth 51 and [3]88 parts of 502.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{51+\frac{{\color{red}{3}}88}{502}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והק' ליט' מהפלפל ראוי שישוו נ"א וג' ופ"ח חלקים מתק"ב
+|-
+|
+::For 500 minyanim, ten pieces of cloth, and 100 liṭra of scarlet wool, 913 and 69[7] parts of 7[9]1 liṭra of caryophyllus are given.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{913+\frac{69{\color{red}{7}}}{791}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובעבור ת"ק מנינים ועשרה חתיכות בגד וק' ליט' תולעת שני יתנו ט' מאות וי"ג ליט' וו' מאות וצ"ו חלקים מתשס"א [מהגרפולי&#x202B;]&#x202B;<ref>G om.</ref>
+|-
+|
+::As well as 1776 liṭra and 112 parts of 113 of [pepper].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1776+\frac{112}{113}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואלף וז' מאות וע"ו ליט' וקי"ב חלקים מקי"ג מזנגביל
+|-
+|
+::And 2639 and 571[7] parts of 77[9]7 of [ginger].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2639+\frac{571{\color{red}{7}}}{77{\color{red}{9}}7}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וב' אלפים וו' מאות ול"ט ותקע"א חלקי' מז' אלפים וז' מאות וז' מפלפל
+|-
+|
+::To see if this is correct, see how much caryophyllus he gave and see how much the 913 and the parts are worth in cash; you find that they are worth 266 ducat, 13 grossi and some parts.
+|style="text-align:right;"|ולראות אם הוא אמת ראה כמה נתן מהגרופולי וראה כמה יעלו הט' מאות וי"ג והחלקים במעות מנויים ותמצא כי ישוו ב' מאות וס"ו דוק' וי"ג גרושי והחלקים
+|-
+|
+::See also for how much the 17[76] and some parts liṭra of pepper are sold in cash; you receive also 266 ducat, 13 grossi and some parts.
+|style="text-align:right;"|עו' ראה הליט' מהפלפל שהם אלף וז' מאות והחלקים כמו שהיה נמכר בממון ויצא לך ג"כ רס"ו דוקט' וי"ג גרושי וחלקים
+|-
+|
+::See also how much the 2639 and some parts [liṭra of ginger] are worth in cash; you receive 303 ducat, 1 grosso and some parts.
+|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה שוות הב' אלפים ותרל"ט והחלקים בממון ויצא לך ג' מאות וג' דוקט' וא' גרושו והחלקים
+|-
+|
+::Add up these numbers; you receive 836 ducat and 16 grossi. Keep this number.
+|style="text-align:right;"|אח"כ חבר אלו הג' מספרים ויצא לך תתל"ו דוקט' וי"ו גרושי ושמור זה המספר
+|-
+|
+::Then go to the other and see if [the price is the same]:
+|style="text-align:right;"|אח"כ שוב אל השני וראה אם הוא שוה אל המספר
+|-
+|
+::The 10 pieces of cloth are worth 22 minyanim is cash [each piece], so they are worth 220 minyanim.
+|style="text-align:right;"|והנה הי' חתיכות בגד היו שוות בממון כ"ב מנינים א"כ יהיו ר"כ מנינים
+|-
+|
+::Then, see how much the 100 liṭra of scarlet wool are worth in cash, at 28 grossi for a liṭra; you receive 116 ducat and 16 grossi.
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראה כמה שוות הק' ליט' התולעת לערך הממון מחושב שהיה כ"ח גרושי הליט' ויצא לך קי"ו דוקטי וגרושי י"ו
+|-
+|
+::Add 500 to them; the result is the same as the reserved number.
+|style="text-align:right;"|וחבר עמהם ה' מאות ויעלה כמו המספר השמור
+|-
+|
+:{{#annot:wax and thread|635|6O52}}285) Question: two barter.
+:One has 2000 liṭra of wax, 100 liṭra of which are worth [6] minyanim in cash.
+:The other has thread, 100 liṭra of which are worth 8 minyanim in cash and 10 in barter and he asks for 500 minyanim in cash.
+:I ask: how much should he offer for 100 liṭra of wax in barter and how much thread will he receive for the 500 minyanim and for the 2000 liṭra?
+|style="text-align:right;"|רפה)<ref>MS L שלח</ref> <big>שאלה</big> ב' עושים חלופים<br>
+לא' יש לו ב' אלפים ליט' של שעוה שהליט' הק' שוות ה' מנינים בממון<br>
+ולאחר יש לו פתיל שהק' ליט' שוות בממון ח' מנינים ובחלוף שוה עשרה ושואל ת"ק מנינים בממון<br>
+אשאל כמה ראוי שישים הק' ליט' משעוה לחלוף וכמה פתיל יקבל עבור הת"ק מנינים ובעבור האלפים ליט&#x202B;'{{#annotend:6O52}}
+|-
+|
+::Do as follows: see how much the 2000 liṭra are worth at a price of 6 minyanim for a hundred [liṭra]. You find that they are worth 120 minyanim.
+|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה שוות האלפים ליט' לערך ו' מנינים המאה ותמצא ששוות ק"כ מנינים
+|-
+|
+::Since he gives 500 minyanim, add them to the 120; they are 620 minyanim and this is the fund of the owner of the wax.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{500+\frac{2000\sdot6}{100}=500+120=620}}</math>
+|style="text-align:right;"|מצד כי הוא נותן ת"ק מנינים תחברם עם ק"כ ויהיו תר"כ מנינים וכך הוא קרן בעל השעוה
+|-
+|
+::Now, see how many liṭra of thread he should receive for the 620 minyanim according to its price in cash; you get 7750 and this is [the number of] liṭra he should receive for the 2000 liṭra of wax plus 500 minyanim.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{100\sdot620}{8}=7750}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה ליט' יש לו לקבל מהפתיל עבור אלו התר"כ מנינים כפי הערך שהוא שוה בממון ויצא לך ז' אלפים וז' מאות ונ' ואלו הליט' ראוי שיקבל עבור הב' אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים
+|-
+|
+::To know how much it should be offered in barter, you already know that the 7750 are worth 620 in cash.
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי שישים אותו בחלוף כבר ידעת כי הז' אלפים וז' מאות ונ' ששוות בממון ו' מאות וכ&#x202B;'
 |-
 |
-|style="text-align:right;"|כפול צלע המשולש ויהיו ק' וכפלם ויהיו מאתים אח"כ קח השישית והשביעית מק' ויהיו ל"א ותוסיפם על מאתים ויהיו רל"א תסיר מהם שרש המרובע שהם ט"ו וו' חלקי' מל"א וכך הוא ארך כל צלע המשולש
+::Now, see how much these 7750 are worth at a price of 10 minyanim [for 100 liṭra], which is [the price] in barter; the result is 775.
-|-
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{10}=775}}</math>
-|
+|style="text-align:right;"|עתה &#x202B;<ref>274v</ref>ראה כמה ראוי שישוו אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' לערך י' מנינים שהוא חלוף ויצא תשע"ה
+|-
-=== <span style=color:Green>Gaging Problems</span>
+|
+::Since the owner of the thread asks for 500 [in cash], subtract them from 620; 120 minyanim remain.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{620-500=120}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומצד כי בעל הפתיל שואל ה' מאות הוצא אותם מתר"כ וישאר ק"כ מנינים
+|-
+|
+::Subtract them also from the value in barter, which is 775; the result is 275.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{775-500=275}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם הוציאם ממה ששוה בחלוף שהוא תשע"ה ויצא ב' מאות וע"ה
+|-
+|
+::So, say that 120 returns 275.
+|style="text-align:right;"|ולכן תאמר כי ק"כ שבו ב' מאות וע"ה
+|-
+|
+::To know how much is the price of the wax in barter:
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה ראוי להיות ערך השעוה בחלוף
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 120 return 275, how much should 6 return, which is its price in cash?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{120:275=6:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|תאמר אם ק"כ שבו רע"ה כמה ראוי שישובו ו' שהוא הערך בממונו
+|-
+|
+::You receive 13 and 3-quarters and this is the price of the wax in barter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=13+\frac{3}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ג וג' רביעיות והוא שווי השעוה בחלוף <s>שאלה</s>
+|-
+|
+::You see that for 2000 liṭra of wax and 500 minyanim he should receive 7750 liṭra from his friend and it should be worth 13 and 3-quarters in barter.
+|style="text-align:right;"|והנך רואה כי עבור אלפים ליט' שעוה וה' מאות מנינים ראוי שיקבל ז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' מחבירו וראוי שישוה בחלוף י"ג וג' רביעיות
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much the 7750 liṭra are worth in cash at a price of 8 [for 100 liṭra]; you receive 620.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7750}{100}\sdot8=620}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה שוות אלו הז' אלפים וז' מאות ונ' ליט' בממון שהיה הערך ח' ויצא לך תר"כ
+|-
+|
+::Now, see how much the 2000 liṭra of wax are worth in cash at a price of 6 [for 100 liṭra]; you receive 120. Add 500 to it; it is 620 and you see that the total is the same.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{2000}{100}\sdot6\right)+500=120+500=620}}</math>
+|style="text-align:right;"|עתה ראה כמה שות האלפים ליט' של שעוה בממון שהיה הערך ו' ויצא לך ק"כ תחבר עמהם ה' מאות ויהיו תר"כ והנך רואה כי הכל אחד
+|-
+|
+=== <span style=color:Green>Mixture and Alligation Problems</span> ===
+|
+|-
+|
+:{{#annot:one kind|617|NO5u}}286) Question: a man has 100 marci, in each marco 5 ՚oqya of silver.
+:We want it to contain 6 ՚oqya [of silver] in each marco.
+:We wish to know: how many ՚oqya should be added to it?
+|style="text-align:right;"|רפו)<ref>MS L שלט</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו ק' מרקי שיש בכל מרקו ה' אוק' מכסף ונרצה לעשות אותו שיכיל כל מרקו ו' אוק&#x202B;'<br>
+נרצה לדעת כמה אוק' ראוי להוסיף בו{{#annotend:NO5u}}
+|-
+|
+::Do as follows: you already know that each marco contains 8 ՚oqya, 3 of which are of copper, since there are 5 of silver in each marco.
+|style="text-align:right;"|כך תעשה כבר ידעת כי בכל מרקו יש ח' אוק' והג' הם של נחושת מאחר שהיא מכילה ה' מכסף בכל מרקו
+|-
+|
+::Therefore, in all 100 marco there are 300 ՚oqya of copper. Divide them by the 6 of silver that you want each marco to contain; you receive 50.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{300}{6}=50}}</math>
+|style="text-align:right;"|א"כ בכל הק' מרקו יש ג' מאות מאוק' נחושת חלקם על ו' שתרצה שיכיל כל מרקו מכסף ויצא לך נ&#x202B;'
+|-
+|
+::Add them to 100; they are 150 and they are all of silver.
+|style="text-align:right;"|הוסיפם על ק' ויהיו ק"נ ואלו הנ' הם כלם שוות של כסף
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see that the 150 [marco] contain 300 ՚oqya of copper and [9]00 ՚oqya of silver.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כי בכל אלו הק"נ אין בם כי אם ג' מאות אוק' נחושת ויש בם ו' מאות אוק' כסף
+|-
+|
+::Therefore, each marco contains 6 ՚oqya of silver.
+|style="text-align:right;"|א"כ כל מרקו מכיל ו' אוק' מכסף
+|-
+|
+:{{#annot:one kind|617|GINP}}287) Question: a man has 90 marci, each marco contains 6 ՚oqya of silver.
+:He wants to add to it copper so that each marco will contain only 5 [՚oqya of silver].
+:I ask: how many ՚oqya should be added to it?
+|style="text-align:right;"|רפז)<ref>MS L שמ</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו צ' מרקי מכיל כל מרקו ו' אוק' של כסף ורוצה להוסיף בו נחושת שלא יכיל כל מרקו כי אם ה' בכל מרקו<br>
+אשאל כמה אוק' ראוי להוסיף{{#annotend:GINP}}
+|-
+|
+::Do as follows: see how many ՚oqya of silver there are in the 90 marci; you receive 540.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{900\sdot6=540}}</math>
+|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה אוקי' כסף יש בין אלו הצ' {{#annot:marco|1068|UExv}}מרקי{{#annotend:UExv}} ויצא לך תק"מ
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> say: if 5 ՚oqya yield one marco, how many marci will 540 yield?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5:1=540:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותאמ' אם ה' אוק' עושה {{#annot:marco|1068|eLKX}}מרקו{{#annotend:eLKX}} אחד תק"מ כמה מרקי יעשו
+|-
+|
+::You receive 108 and this is total [number of marci that should contain 5 ՚oqya of silver in each marco].
+|style="text-align:right;"|ויצא לך ק"ח וכן ראוי שיהיה בין הכל
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, you already know that the 90 [marci] contain 540 [՚oqya of silver], so that there are 6 ՚oqya [of silver] in each marci.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי הצ' היו שוים תק"מ שהיה בכל מרקי ו' אוק&#x202B;'
+|-
+|
+::Now, multiply 5 times 108; the result is also 540 [՚oqya of silver] and now there are only 5 [՚oqya of silver] in each marco.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot108=540}}</math>
+|style="text-align:right;"|גם כפול עתה ה' פעמים ק"ח ויצא ג"כ תק"מ ועתה &#x202B;<ref>275r</ref>אין בכל מרקו כי אם ה&#x202B;'
+|-
+|
+:{{#annot:two kinds|617|2QDT}}288) Question: a man has 20 marci, each marco contains 5 ՚oqya [of silver].
+:He also has 16 marci, each marco contains 3 ՚oqya [of silver].
+:He wants to make a mixture so that each marco will contain 6 ՚oqya [of silver].
+:I ask: how much silver should be added and how much will be the total?
+|style="text-align:right;"|רפח)<ref>MS L שמא</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל מרקו ה' {{#annot:՚oqya|1068|XJyZ}}אוקיות{{#annotend:XJyZ}}<br>
+עוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל מרקו ג' אוקיו&#x202B;'<br>
+ורוצה לעשות קשר אחד שיכיל כל מרקו ו' אוקי&#x202B;'<br>
+אשאל כמה כסף ראוי להוסיף וכמה יעלה בין הכל{{#annotend:2QDT}}
+|-
+|
+::This is the way: see how much copper there is in these two kinds of currencies.
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך ראה כמה נחושת יש בין כל אלו הב' מיני כספים
+|-
+|
+::In the first there are 60 ՚oqya of copper in the 20 marci.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3\sdot20=60}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה בראשנה בכ' מרקי תמצא ס' {{#annot:՚oqya|1068|PJw5}}אוקיו'{{#annotend:PJw5}} נחושת
+|-
+|
+::In the 16 other [marci] there are 80 ՚oqya of copper.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot16=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|והי"ו אחרים יש בם פ' אוקי' נחושת
+|-
+|
+::Add them up; they are 140. So, there are 140 ՚oqya of copper in both kinds of coins.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{60+80=140}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחברם והיו ק"מ א"כ באלו הב' מיני כספים יש בם ק"מ אוק' נחושת
+|-
+|
+::He wants that each marco will contain 6 ՚oqya of silver. Therefore, it should contain only 2 [՚oqya of] copper.
+|style="text-align:right;"|והוא מבקש שיכיל כל מרקו ו' אוקיו' כסף א"כ לא יכיל כי אם ב' מנחושת
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> so, say: if 2 ՚oqya of copper give me one marco, how many marci will 140 give?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2:1=140:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולכן תאמר אם ב' אוקיו' מנחושת נתן לי א' מרקו ק"מ כמה מרקי יתנו
+|-
+|
+::The result is 70 and they are the marci.
+|style="text-align:right;"|ויצא ע' והם מרקי
+|-
+|
+::Subtract 20 and 16 from them; 34 remain and this is [the number of marci] that he should add. The 34 are all of [pure] silver, i.e. each marco contains 8 ՚oqya of silver.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{70-20-16=34}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוציא מהם הכ' והי"ו וישארו ל"ד וכך ראוי שיוסיף ואלו הל"ד הם כלם של כסף ר"ל כל מרקו מכיל ח' אוקי' מכסף
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, you already know that the 20 the 16 [marci] contain only 140 ՚oqya of copper.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הכ' והי"ו לא היו מכילים מנחושת כי אם ק"מ אוקי'
+|-
+|
+::Now, these 70 marci should contain only 140 ՚oqya of copper also.
+|style="text-align:right;"|ועתה ראוי ג"כ כי בין אלו הע' מרקי לא יכילו כי אם ק"מ [אוקי' ג"כ מנחושת]&#x202B;<ref>G om.</ref>
+|-
+|
+:{{#annot:two kinds|617|LAes}}289) Question: a man has 20 marci, each one contains 5 [՚oqya of silver].
+:He also has 16 marci, each one contains 6 [՚oqya of silver].
+:He wants to mix lead in them, so that each marco will contain only 4 [՚oqya of silver].
+:I ask: how much lead should he mix in them and how much will be the total?
+|style="text-align:right;"|רפט)<ref>MS L שמב</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו כ' מרקי מכיל כל א' וא' ה&#x202B;'<br>
+ועוד יש לו י"ו מרקי מכיל כל א' ו' אוקי&#x202B;'<br>
+ורוצה לבלול בם עופרת באופן לא יכילו כי אם ד' עבור מרקו אחד<br>
+אשאל כמה עופרת ראוי לערב בם וכמה יהיה כל הסך{{#annotend:LAes}}
+|-
+|
+::This is the way: you should see how much silver there is in these kinds of currencies.
+|style="text-align:right;"|הדרך הוא כך יש לך לראות כמה הוא כל הכסף מכל אלו הכספים
+|-
+|
+::In the 20 [marci], each of which contains 5 [՚oqya of silver], there are 100 ՚oqya.
+|style="text-align:right;"|והנה אותם הכ' שמכיל ה' יהיו ק' אוק&#x202B;'
+|-
+|
+::In the 16 [marci], each of which contains 6 [՚oqya of silver], there are 96 [՚oqya].
+|style="text-align:right;"|ואותם י"ו שמכיל ו' יהיו צ"ו
+|-
+|
+::The total is 196.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(20\sdot5\right)+\left(16\sdot6\right)=100+96=196}}</math>
+|style="text-align:right;"|ובין הכל קצ"ו
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> since he wants each marco to contain only 4 [՚oqya of silver], say: if 4 are equal to one marco, how much are 196 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4:1=196:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ומצד שרוצה שלא יכיל כל מרקו כי אם ד' תאמר אם ד' שוים מרקו א' קצ"ו כמה שוים
+|-
+|
+::You receive 49 and this is the total.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך מ"ט וכן הוא סך הכל
+|-
+|
+::To know how much he should add, subtract 20 and 16 from it; 13 remains and this is [the number of ՚oqya of lead] he should add.
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה הוסיף הוצא ממנו כ' וי"ו וישארו י"ג וכן ראוי להוסיף מנחושת
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, you already know that the two kinds of currencies contain only 196 ՚oqya of silver.
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו כבר ידעת כי בין הב' כספים לא היה כי אם קצ"ו אוק' כסף
+|-
+|
+::Now, the 49 marci should contain the same and you see that 4 times 49 is 196.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\sdot49=196}}</math>
+|style="text-align:right;"|וכך ראוי שיהיה עתה בין אלו המ"ט מרקי והנך רואה כי ד' פעמים מ"ט הם קצ"ו
+|-
+|
+:{{#annot:one kind|617|6Duh}}290) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 5 and a half ՚oqya of silver.
+:Another man wants to produce 20 marci, each of which contains 4 and a half ՚oqya [of silver].
+:I ask: how much will he take from the amount of money and how much copper should be added?
+|style="text-align:right;"|רצ)<ref>MS L שמג</ref> <big>שאלה</big> לא' יש לו סך כסף מכיל כל מרקו ה' אוקי' וחצי מכסף<br>
+ואחר רוצה לעשות כ' מרקי יכיל כל מרקו ד' אוקיו' וחצי<br>
+אשאל כמה יקח מאותו הכסף וכמה נחושת ראוי להוסיף{{#annotend:6Duh}}
+|-
+|
+::Do as follows: see how much silver there is in the 20 marci, each of which contains 4 and a half ՚oqya [of silver]; the result is 90 and so he should take of the kind of 5 and a half [՚oqya of silver in one marco].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20\sdot\left(4+\frac{1}{2}\right)=90}}</math>
+|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה כסף יש בכ' מרקי לערך ד' אוקיו' וחצי בכל מרקו ויצא צ' וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> to know how much he should take, say: if 5 and a half are equal to one marco, how much are 90 equal to?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(5+\frac{1}{2}\right):1=90:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה יקח תאמר אם ה' וחצי שוים מרקו אחד צ' כמה שוים
+|-
+|
+::You receive 16 and 4 parts of 11 and so he should take from the [marci] containing 5 and a half [՚oqya of silver each].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=16+\frac{4}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו וד' חלקים מי"א &#x202B;<ref>275v</ref>וכך ראוי לקחת מאותו שמכיל ה' וחצי
+|-
+|
+::To know how much copper he should add, see the difference between 16 and 4 parts of 11 and 20; you receive 3 and 7 parts of 11 and this is the amount of copper he should add.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{20-\left(16+\frac{4}{11}\right)=3+\frac{7}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה נחושת ראוי להוסיף ראה ההפרש מי"ו וד' חלקים מי"א עד כ' ויצא לך ג' וז' חלקים מי"א וכך נחושת ראוי להוסיף
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much copper and how much silver there is in the 16 and 4 parts of 11 marci, each of which contains 5 and a half [՚oqya of] silver; you find in them 90 ՚oqya of silver and 40 and 10 parts of 11 ՚oqya of copper.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(5+\frac{1}{2}\right)=90}}</math>
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(16+\frac{4}{11}\right)\sdot\left(2+\frac{1}{2}\right)=40+\frac{10}{11}}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה נחושת וכמה כסף יש באותם י"ו וד' חלק' מי"א מאותו הכסף שמכיל ה' וחצי בכל מרקו ותמצא בם מכסף צ' אוק' ומנחושת מ' אוק' וי' חלקים מי"א
+|-
+|
+::Add the 40 and the parts to the 3 marci and 7 parts of 11 of copper we added; you receive 70 ՚oqya [of copper].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(40+\frac{10}{11}\right)+\left[\left(3+\frac{7}{11}\right)\sdot8\right]=70}}</math>
+|style="text-align:right;"|תוסיף אלו המ' והחלקים על ג' מרקו וז' חלקים מי"א שהוספנו מנחושת ויצא לך ע' אוק&#x202B;'
+|-
+|
+::You get that in the 16 marci and parts you have 90 ՚oqya of silver and 40 and 10 parts of 11 ՚oqya of copper.
+|style="text-align:right;"|והנה יש לך כי באלו הי"ו מרקי והחלקים יש לך צ' אוק' כסף ומ' אוק' נחושת וי' חלקים מי"א
+|-
+|
+::In the 20 marci there are 90 ՚oqya [of silver] and 70 [՚oqya] of copper.
+|style="text-align:right;"|ובין הכ' מרקי יש צ' אוק' וע' מנחושת
+|-
+|
+::See that if each marco contains 4 and a half ՚oqya [of silver], the 20 contain 90.
+|style="text-align:right;"|וראה כי אם כל מרקו מכיל ד' וחצי אלו הכ' יכילו צ&#x202B;'
+|-
+|
+::See also how many ՚oqya [of copper] there are in the 20 marci; you receive 70 and this is the same number.
+|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה אוק' נחושת יש באלו הכ' מרקי ויצא לך ע' והמספר הוא שוה
+|-
+|
+:{{#annot:two kinds|617|2PPj}}291) Question: a man has an amount of money, each marco of which contains 4 [՚oqya of silver] and 3-quarters.
+:He has also another [amount of money], each marco of which contains 5 [՚oqya of silver].
+:He wants to produce 50 marci, each marco of which contains 6 ՚oqya of silver.
+:I ask: how much how much silver should be added, so that he will take the same from both?
+|style="text-align:right;"|רצא)&#x202B;<ref>MS L שמד</ref> <big>שאלה</big> לאדם יש לו כסף מכיל כל מרקו ד' וג' רביעיות<br>
+עוד יש לו אחר מכיל כל מרקו ה&#x202B;'<br>
+ורוצה לעשות נ' מרקי יכיל כל מרקי ו' אוק' כסף<br>
+אשאל כמה כסף ראוי להוסיף באופן שיקח כל כך מזה כמו מזה{{#annotend:2PPj}}
+|-
+|
+::Do as follows: see how much copper each marco contains.
+|style="text-align:right;"|כך תעשה ראה כמה נחושת מכיל המרקו
+|-
+|
+::The one containing 4 and 3-quarters [՚oqya] of silver contains 3 and a quarter [՚oqya] of copper.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-\left(4+\frac{3}{4}\right)=3+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|והנה אותו שמכיל ד' וג' רביעיות כסף יכיל ג' ורביע נחושת
+|-
+|
+::The one containing 5 [՚oqya] of silver contains 3 [՚oqya] of copper.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{8-5=3}}</math>
+|style="text-align:right;"|ואותו המכיל ה' מכסף יכיל ג' מנחושת
+|-
+|
+::Sum them up; they are 6 and a quarter.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{1}{4}\right)+3=6+\frac{1}{4}}}</math>
+|style="text-align:right;"|וחברם ויהיו ו' ורביע
+|-
+|
+::Then, see how much copper there is in the 50 marci, which he wants each to contain 6 ՚oqya of silver; you receive 100.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot\left(8-6\right)=100}}</math>
+|style="text-align:right;"|אח"כ ראה כמה נחושת יכילו הנ' מרקי שרוצה שיכיל כל מרקו ו' מכסף ויצא לך ק&#x202B;'
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Rule of Three:'''</span> now, say: if 6 ՚oqya and a quarter give me 1, how much will 100 give me?
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(6+\frac{1}{4}\right):1=100:x}}</math>
+|style="text-align:right;"|ועתה תאמר אם ו' אוק' ורביע נתנו לי מרקי א' ק' כמה יתנו לי
+|-
+|
+::You receive 16 and so he should take from each kind of currency.
+|style="text-align:right;"|ויצא לך י"ו וכך ראוי שיקח מכל מיני הכספים
+|-
+|
+::To know how much silver he should add, see that if he takes 16 from each [type of] metal, the total is 32.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16+16=32}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולדעת כמה כסף ראוי להוסיף ראה כי אם יקח י"ו מכל מתכת לא יהיו בין הכל כי אם ל"ב
+|-
+|
+::But, he wants to produce 50. So, see how much there is between 50 and 3[2]; you find it is 1[8] and this is the total ՚oqya of pure silver he should add.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{50-32=18}}</math>
+|style="text-align:right;"|והוא מבקש לעשות נ' א"כ ראה מה בין נ' לל"ח ותמצא י"ב וכך ראוי להוסיף מכסף טוב
+|-
+|
+::<span style=color:Green>'''Check:'''</span> to check it, see how much silver there is in the 16 marci, each of which contains 4 and 3-quarters ՚oqya [of silver]; you receive 76 ՚oqya.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot\left(4+\frac{3}{4}\right)=76}}</math>
+|style="text-align:right;"|ולבחון אותו ראה כמה כסף מכיל אותם הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ד' אוק' וג' רביעיות ויצא לך ע"ו אוק&#x202B;'
+|-
+|
+::See also how much silver there is in the 16 marci, each of which contains 5 ՚oqya [of silver]; you receive 80 [՚oqya].
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{16\sdot5=80}}</math>
+|style="text-align:right;"|עוד ראה כמה כסף מכילים הי"ו מרקי שמכיל כל מרקו ה' אוק' מכסף ויצא לך פ&#x202B;'
+|-
+|
+::Sum them; they are 156.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{76+80=156}}</math>
+|style="text-align:right;"|ותחברם ויהיו קנ"ו
+|-
+|
+::Add to them the 18 marci of pure silver; you receive 300.
+::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(18
 == Appendix I: Glossary of Terms ==
@@ Line 16,237: / Line 24,582: @@
 '''<u>Bibliography</u>:'''<br>
 *Steinschneider, Moritz. 1906. Mathematik bei den Juden, Band II: 1551-1840. Monatsschrift für die Geschichte und Wissenschaft des Judenthums 50, p. 198. repr.: ed. Gad Freudenthal, Hildesheim, Zürich, New York: Olms, 2014, p. 121.
-== Notes ==
-<div class="mw-collapsible mw-collapsed"><div class="mw-collapsible-content">
-<references />
-</div></div>

Difference between revisions of "ספר דיני ממונות"

Latest revision as of 19:05, 16 December 2022

Contents

Prologue

The First Chapter Discusses the Addition of Integers to Each Other, as well as the Addition of Coins and the Scales of the Dinar, Since They Have Another Method

Addition of Coins

The Second Chapter Discusses Subtraction as well as Subtraction of Currencies

Subtraction of Coins

Chapter Three: Discusses the Multiplication in all Possible Ways Found in Integers

Type one

Type two

Type three

Type four

Type five

Type six: Gelosia

Type seven: multiplying by tens

Type eight: subtraction and multiplication

Chapter Four: Division

Chapter Five: Addition of Fractions

Chapter Six: Subtraction of Fractions

Chapter Seven: Multiplication of Fractions

Chapter Eight: Division of Fractions

Chapter Nine: Ratios

Chapter Ten: Discusses the Extraction of Roots

Part One: Extracting the Roots of Integers

Part Two: Extracting the Roots of Fractions

Part Three: Extracting the Roots of Fractions and integers

Chapter Eleven: Checking Methods

Chapter Twelve: Discusses Problems, some of which are of Proportions, some of Partnerships, some of Currencies, some of Barter, some of Roots, and everything like that

Purchase Problems – Unequal Amount

Partnership Problems - for different times

Interest and Discount Problems - Find the time

Find a Quantity

How Much - Money

First from Last - Money

How Much - Money

First from Last - Money

How Much - Money

Multiple Quantities Problem - Two Amounts of Money

Sums

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish

Find a Number

Joint Purchase Problem - If You Give Me - Fish

Pursuit Problem

Questions of R. Levi Ben Gershon

Find a Number Problem

Pursuit Problem

Purchase Problems

Equal Amount

Unequal Amount

Payment Problem - Men and Beasts

Buy and Sell Problems

Barter Problems

Give and Take Problem

Find a Number Problem

Partnership Problem - Three Partners - Same Time

Guessing Problem - Four Coins

Find a Number Problem

Guessing Problem - Chosen Number

Gaging Problems

"If You Give Me" Problems

Guessing Problems - Cards

"If You Give Me" Problems

Geometrical Problems

Triangulation Problem

Equilateral Triangle

Triangulation Problem

Find the Perimeter - Tower

Find the Side - Square

Find the Diagonal - Square

Triangulation Problem - Broken Tree

Find the Perimeter - Quadrangular

Find the Height - Equilateral Triangle

Transformation Problem - Square to Circle

Find the Side Problem - Right-Angled Triangle

Encounter Problem - Two Men

Gaging Problem - Barrel

Joint Purchase Problem

Found Purse Problem - Three Men

"If You Give Me" Problem - Two Men, Horse