Difference between revisions of "השאלות החרשות/האלמות"

|style="width:45%; text-align:right;"|בשם השם

|and commenting on words of the geometricians of our time and the ancients regarding to:

*the lines that are cutting the pentagon and decagon, each of which is circumscribed by a known circle, or both are circumscribed by a known circle.

*extracting the diameter of the circle circumscribing the known pentagon and decagon, or inscribed by known pentagon and decagon.

*extracting the measure of one of the parts of the circumference of the known circle [= arc].

*extracting the measure of the sides of the regular pentagon and decagon, when their area is known; and the sides of the triangles whose area is known, when they are in a regular pentagon or a regular decagon.

|and more, that we explained in our book.

|style="text-align:right;"|ואבאר עוד הרבה מאשר הניחום החשבנים בספריהם ועשו אותם עם האופנים מ'''{{#annot:term|132,1307|KBDv}}אלגבר ואלמוקאבלה{{#annotend:KBDv}}''' בעבור שיבינם הקורא הבנה טובה

:<math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}>\sqrt{x^2}=x</math>

:<math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x+a</math>

:<math>\scriptstyle a^2<5</math>

|style="text-align:right;"|ותגרע אלגו ודרהם אחד מאלגו וחמשה דרהמי וישאר שני דברים ישוו ארבעה דרהמי

:If you assume its root is a thing plus two dirham:

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+2=\sqrt{x^2+5}}}</math>

|style="text-align:right;"|תגרע אלגו וארבעה דרהמי מאלגו וחמשה דרהמי ישאר ארבעה דברים ישוו דרהם אחד

:If you wish, suppose the root of the square is a thing plus half a dirham;

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+5}=x+\frac{1}{2}}}</math>

:Or a thing plus one dirham and two thirds.

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+5}=x+\frac{2}{3}}}</math>

|style="text-align:right;"|ב <big>וכאשר</big> יאמרו לך אלגו המחזיק שורש אם תגרע ממנו עשרה דרהמי יחזיק מה שישאר שרש{{#annotend:mV1w}}

:<math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2-10}>x</math>

:Suppose it is a thing minus one dirham.

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-1}}</math>

:Or minus two dirham.

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-2}}</math>

:Or minus a square.

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=x-x^2}}</math>[?]

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=5+\frac{1}{2}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=30+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=20+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=4+\frac{1}{2}}}</math>

:*Defining the root of the square minus ten dirham as a thing minus two dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-2=\sqrt{x^2-10}}}</math>

:Multiply it by itself and confront it with  

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3+\frac{1}{2}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=12+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-10=2+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-10}=1+\frac{1}{2}}}</math>

:If you define the number that is subtracted from the thing as such that when multiplied by itself is greater than the dirham that are subtracted from one square: <math>\scriptstyle a^2>b</math>

:Then: <math>\scriptstyle\sqrt{x^2-b}=a-x</math>

|style="text-align:right;"|תדע כי שרש האלגו פחות אותו המספר יהיה אז אותו המספר מהדבר פחות אותו הדבר

::Since: <math>\scriptstyle\sqrt{x^2-10}=a-x</math>

::And also <math>\scriptstyle\left(a-x\right)^2=\left(x-a\right)^2</math>

|style="text-align:right;"|וכן הכאת המספר מהדבר פחות מהמספר בעצמו כמו הכאת הדבר פחות אותו המספר בעצמו

:{{#annot:x²+3x=n²|1124|L1j9}}3) <math>\scriptstyle x^2+3x=n^2</math>

::This is an indeterminate problem

:*Defining the root of the square plus three things as a thing plus one dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+1}}</math>

:*Or as a thing plus half the dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+\frac{1}{2}}}</math>

:*Or as a thing plus one dirham[?]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2+3x}=x+1}}</math>[?]

:*Defining it as a thing plus one dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\sqrt{x^2+3x}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x+1\right)^2=\left(\sqrt{x^2+3x}\right)^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+1+2x=x^2+3x}}</math>

|style="text-align:right;"|יהיה אלגו ודרהם אחד ושני דברים ישוה אלגו ושלשה דברים

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x-\left(x^2+2x\right)}}</math>

|style="text-align:right;"|ותגרע אלגו ושני דברים מאלגו ושלשה דברים

|

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+3x=4}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+3x}=2}}</math>

:{{#annot:x²-6x=n²|1124|LfMV}}4) <math>\scriptstyle x^2-6x=n^2</math>

::this is an indeterminate problem

::Defining the square as a [perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x}}</math>

::<math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2-6x}>x</math>

|style="text-align:right;"|ושרשו<ref>marg.: ר"ל שרש הנשאר</ref> פחות מהדבר

:*Defining it as a thing minus four dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-4}}</math>

:*Or minus five [dirham]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-5}}</math>

:*Or minus three and a half [dirham]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+5}=x-\left(3+\frac{1}{2}\right)}}</math>

:*Or any number greater than half the six roots

::<math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2+5}=x-a</math> such that <math>\scriptstyle a>\frac{1}{2}\sdot6</math>

|style="text-align:right;"|או פחות מהמספר שתרצה אחר שיהיה יותר מהחצי מהששה דברים הנמשכים אל האלגו

:*Defining it as a thing minus four dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-4=\sqrt{x^2-6x}}}</math>

|style="text-align:right;"|ונניחיהו דבר פחות ארבעה דרהמי

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-4\right)^2=\left(\sqrt{x^2-6x}\right)^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+16-8x=x^2-6x}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה אלגו וי"ו דרהמי פחות שמנה דברי' ישוה אלגו פחות ששה דברים

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=64}}</math>

|style="text-align:right;"|והאלגו הוא ששים וארבעה

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-6x=64-48=16}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-6x}=4}}</math>

:{{#annot:x²+10x+20=n²|1124|x5bu}}5) <math>\scriptstyle x^2+10x+20=n^2</math>

::This is an indeterminate problem

::Defining the square as [a perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20}}</math>

|style="text-align:right;"|ותוסיף עליו שרשו עשרה פעמי' ועשרי' דרהמי אחד

::The root of it is a thing plus a number <math>\scriptstyle n=\sqrt{x^2+10x+20}=x+a</math>

::Such that for <math>\scriptstyle\left(x+a\right)^2</math>

::it is impossible that the product by <math>\scriptstyle x</math> will be less or more than 10

::and it is impossible that <math>\scriptstyle a^2</math> will be less or more than 20

|style="text-align:right;"|שכאשר הוכה בעצמו יהיה המתקבץ מן ההכאה בדברי' פחות מהעשרה ובדרהמי יהיה יותר מהעשרים דרהמי

ולא יעבור שיהיה פחות משניהם רצוני מהעשרה ומהעשרים ולא יותר משניהם

:*<span style="color:Green>Confrontation:</span>

|

:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+10x+20=\left(x+a\right)^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=x}}</math>[?]

|style="text-align:right;"|ישאר דבר ודרהמי אחד ישוה הדבר

:*Defining it as a thing plus four and a half dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-\left(4+\frac{1}{2}\right)=\sqrt{x^2+10x+20}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[x+\left(4+\frac{1}{2}\right)\right]^2=\left(\sqrt{x^2+10x+20}\right)^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+9x+\left(20+\frac{1}{4}\right)=x^2+10x+20}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה אלגו ותשעה דברים ועשרים דרהמי ורביע ישוה אלגו ועשרה דברים ועשרים דרהמי

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+10x+20=22+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2+10x+20}=4+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}}}</math>

:{{#annot:x²-8x-30=n²|1124|67aP}}6) <math>\scriptstyle x^2-8x-30=n^2</math>

::This is an indeterminate problem

::Defining the square as a [perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30}}</math>

::It root is less than a thing <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}<x}}</math>

::Defining it as a thing minus five dirham:

:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-8x-30}=x-5}}</math>

:*Or minus six <math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{x^2-8x-30}=x-6}}</math>

:*Or <math>\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=x-a</math> for any number greater than half the eight roots of the square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}</math>

:*<math>\scriptstyle\sqrt{x^2-8x-30}=a-x</math> for any number greater than half the eight roots of the square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{a>\frac{1}{2}\sdot8}}</math>

:*Defining it as a thing minus five dirham: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x-5=\sqrt{x^2-8x-30}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(x-5\right)^2=\left(\sqrt{x^2-8x-30}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ותכה אותו בעצמו

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+25-10x=x^2-8x-30}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה אלגו וכ"ה דרהמיש פחות עשרה דברים ישוה אלגו פחות שמנה דברים ושְלֹשִים דרהמי

::Reduction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2{\color{red}{7}}+\frac{1}{2}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=756+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2-8x-30=506+\frac{1}{4}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x^2-8x-30}=2{\color{red}{2}}+\frac{1}{4}}}</math>

:7) <math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+2x=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|ז <big>ואם</big> יאמרו לך אלגו שיחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו אלגו שני שרשיו יחזיק שרש

::This is an indeterminate problem

::The solving procedure:

|

::Seeking a number that has a root <math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}</math>, such that:

:*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}}}</math>

|

::Then: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}</math>

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=24\\\scriptstyle 2b=48\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמספר המחזיק שרש אחד<br>

והמספר הנוסף כ"ד ומ"ח

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+48=49=7^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+24=25=5^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{24}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{576}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{5}{24}\right)^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{m^2=x^2+2x=\frac{1}{576}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)=\left(\frac{7}{24}\right)^2}}</math>

::[?]

::*Defining:

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=49\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 2b=240\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תרצה תניח המספר המושג או המחופש שמחזיק שרש מ"ט<br>

והחלק הנוסף ק"כ ור"מ

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{49+120=169=13^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{49+240=289=17^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{49}{120}=\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{2401}{14400}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{n^2=x^2+x=\frac{2401}{14400}+\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{2401}{14400}+\frac{5880}{14400}=\frac{8281}{14400}=\left(\frac{91}{120}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תוסיף על האלגו שני שרשיו והוא י"א אלפים ותש"ס מי"ד אלפים ות' יהיה י"ד אלפים ות' ויחזיק שרש ושרשו קי"ט מק"כ

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{m^2=x^2+2x=\frac{2401}{14400}+2\sdot\left[\frac{1}{5}+\frac{1}{8}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]=\frac{2401}{14400}+\frac{11760}{14400}=\frac{14161}{14400}=\left(\frac{119}{120}\right)^2}}</math>

:8) <math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2+x=n^2\\\scriptstyle x^2+3x=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|ח <big>וכן</big> אם יאמרו לך אלגו אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תוסיף עליו שלשה שרשיו יחזיק שרש

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=1\\\scriptstyle b=8\\\scriptstyle 3b=24\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמספר הנשאל אשר מחזיק שרש אחד<br>

והמספר הנוסף עליו שמנה וכ"ד

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{1}{8}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{1}{8}=\left(\frac{3}{8}\right)^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\left(3\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)+\frac{3}{8}=\left(\frac{5}{8}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תוסיף עליו שלשה שרשים והוא שלשה שמיניות יהיה שלשה שמיניות ושמינית השמינית ויחזיק שרש ושרשו חמשה שמיניות

::*Defining:

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=169\\\scriptstyle b=120\\\scriptstyle 3b=360\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תרצה תניח המספר המחזיק שרש קס"ט<br>

והמספר הנוסף עליו ק"כ וש"ס

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2+b=169+120=289=17^2}}</math>

|style="text-align:right;"|וזה כי כשתוסיף על קס"ט ק"כ יהיה רפ"ט ומחזיק שרשו ושרשו הוא שבעה עשר

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2+3b=169+360=529=23^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}=\frac{169}{120}=1+\frac{49}{120}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=1+\frac{14161}{14400}}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תוסיף עליו שרשו יעלה שלשה שלמים ותרע"ו אלפים ותתק"כ חלקים מאלף אלפים ותשכ"ח אלפים באחד ומחזיק שרש<br>

ושרשו הוא אחד וק"א חלקי' מק"כ באחד

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+x=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(1+\frac{49}{120}\right)=3+\frac{676920}{1728000}=\left(1+\frac{101}{120}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תוסיף עליו שלשת שרשיו והם ארבעה דרהמי ועשרים ושבעה חלקים מק"כ באחד יהיה ששה דרהמי ושלשת אלפי' חלקי' מי"ד אלפים ות' ומחזיק שרש<br>

ושרשו אחד ונ"ט מק"כ

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+3x=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+3\sdot\left(1+\frac{49}{120}\right)=\left(1+\frac{14161}{14400}\right)+\left(4+\frac{27}{120}\right)=6+\frac{300{\color{red}{1}}}{14400}=\left({\color{red}{2}}+\frac{59}{120}\right)^2}}</math>

|There are many ways to solve this problem and its similar

|Explanation: the reason for the extraction of these numbers  

|style="text-align:right;"|ועתה אבאר לך הסבה בהוצאת אלו המספרים

|

:For testing all these solutions.

|style="text-align:right;"|למען תהיה לך למאזנים לכל אלו האופנים

|Know that for any square that has a root, if you add to it its two roots plus one dirham, [the sum] has a root and its root is as the root of the original square plus one. <math>\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2</math>

|style="text-align:right;"|<big>דע</big> כי כל מרובע המחזיק שרש אם תקבץ עמו שני שרשיו ואדרהם אחד יחזיק שרש ושרשו הוא כמו שרש המרובע הראשון עם תוספת אחד

|And when you wish to find a number that has a root, such that when you add to it another number, [their sum] has a root, and when you add to it twice the number that you added at the first time, or thrice, or four times, or as many times as you wish, the sum has a root:

*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+2b=m^2\end{cases}</math>

*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+3b=m^2\end{cases}</math>

*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle a^2+4b=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|וכאשר תבקש למצוא מספר מהמספרים שיחזיק שרש וכאשר תוסיף עליו מספר מה אחר יחזיק שרש<br>

:*Define the square as a [perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

::<math>\scriptstyle x^2+2x+1=\left(x+1\right)^2</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+2\sdot\left(2x+1\right)=x^2+4x+2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם לקחת כשעור המספר יהיה מרובע וארבעה שרשים ושנים דרהמי ותכונהו עמהם

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{4}}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה דבר ישוה רביעית אדרהם והוא שרש המרובע

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x+1=1+\frac{1}{2}}}</math>

|style="text-align:right;"|ונהיה כאלו הנחנו המספר הנוסף עליו שני דברים ודרהם אחד ויהיה אדרהם אחד וחצי בעבור כי הדבר הוא רביע דרהם

::[Defining]: one dirham = 16

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=16\sdot\left(1+\frac{1}{2}\right)=24}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה מפני זה האדרהם וחצי עשרים וארבעה חלקים

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+24=n^2}}</math>

|style="text-align:right;"|והוא המספר שכאשר תוסיף אותו על האחד יחזיק שרש

|style="text-align:right;"|ואם תוסיפהו שני פעמים והוא מ"ח יחזיק גם כן שרש ותשוה אחר זה כאשר בארתי לך

|Another method

:*Defining: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1+\frac{2}{3}=\sqrt{x^2+4x+2}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=\left(x+1+\frac{2}{3}\right)^2}}</math>

::Reduction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2+4x+2=x^2+\left(3+\frac{1}{3}\right)x+\left(2+\frac{7}{9}\right)}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה מרובע ושני דרהמי ושבע תשיעיות מדרהם ושלשה דברים ושליש דבר ישוו מרובע וארבעה דברים ושני דרהמי ותכונם יחד

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=1+\frac{1}{6}}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה הדבר דרהם אחד ושתות והוא שרש המרובע

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{49}{36}}}</math>

*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle49+a=n^2\\\scriptstyle49+2a=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|<big>ואם</big> רצית לדעת המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש ואם תוסיפהו עליו שני פעמים יחזיק שרש

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=2x+1=2\sdot\left(1+\frac{1}{6}\right)+1=3+\frac{1}{3}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{a=36\sdot\left(3+\frac{1}{3}\right)=120}}</math>

|style="text-align:right;"|ותכה שלשה ושליש בל"ו ויהיה ק"כ

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{49+120=n^2}}</math>

|style="text-align:right;"|והוא המספר שכאשר תוסיפהו על מ"ט יחזיק שרש

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{49+\left(2\sdot120\right)=49+240=m^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ואם תוסיף על מ"ט שני פעמים ק"כ והוא ר"מ יחזיק שרש ותעשה כאשר בארתי

:9) <math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x^2-2x=n^2\\\scriptstyle x^2-3x=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|ט <big>וכן</big> אם יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרע ממנו שני שרשים יחזיק הנשאר שרש ואם תגרע מהמרובע שלשה שרשים יחזיק הנשאר שרש

::this is an indeterminate problem

|style="text-align:right;"|וזאת השאלה חרשת<ref>top: נ' אלמת</ref>

::the solving procedure:

::seeking a number <math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}</math>, such that:

:*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(b+\frac{1}{2}b\right)=m^2\end{cases}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{3x=2x+\left(\frac{1}{2}\sdot2x\right)}}</math>

|

::then: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{\frac{1}{2}b}}}</math>

|style="text-align:right;"|וכאשר תמצא אותו המספר תחלקהו על ^חצי המספר הנגרע והעולה לחלק יהיה שרש המרובע

|

::dividing by half the subtracted number, since the subtracted number represents the two roots of the square, and its half represents the root of the square

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=2x=16\\\scriptstyle\frac{1}{2}b=x=8\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמספר הנגרע שיחזיק שרש כ"ה<br>

והמספר הנגרע ממנו הוא י"ו<br>

והוא צמח ועלה משני שרשים כל שרש שמנה<br>

והמספר האחר שהוא שלשה שרשים כ"ד

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25-16=9=3^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{25-24=1=1^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{25}{8}=3+\frac{1}{8}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-2x=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(6+\frac{1}{4}\right)=3+\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(1+\frac{7}{8}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ותגרע מהמרובע שלשת שרשיו שהם תשעה ושלשה שמיניות ישאר שלשה שמיניו' ושמינית השמינית ויחזיק שרש והוא חמשה שמיניות

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-3x=\left[9+\frac{6}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)\right]-\left(9+\frac{3}{8}\right)=\frac{3}{8}+\left(\frac{1}{8}\sdot\frac{1}{8}\right)=\left(\frac{5}{8}\right)^2}}</math>

|The extraction of these numbers is already obvious from what was shown,

|but, it will be further taught in order that it will be memorized properly.

|Know that for any number that has a root, if you subtract from it its two roots minus one dirham, the remainder has a root and its root is as the root of the original square minus one dirham.<math>\scriptstyle n^2-\left(2n-1\right)=\left(n-1\right)^2</math>

|And when you wish to find a number that has a root, such that when you subtract from it another number, the remainder has a root, and if you subtract from it again the other number and its half, the remainder has a root:

*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2-b=n^2\\\scriptstyle a^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)b=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה למצוא מספר המחזיק שרש שכאשר תגרע ממנו מספר אחר יהיה לנשאר שרש ואם תגרע עוד ממנו כמו המספר האחר וכמו חציו יהיה לנשאר שרש

:*Define the square as a [perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>  

::<math>\scriptstyle x^2-\left(2x-1\right)=x^2+1-2x=\left(x-1\right)^2</math>

|style="text-align:right;"|ותגרע ממנו שני שרשיו פחות דרהם אחד וישאר מרובע ודרהם אחד פחות שני שרשים ושרשו הוא דבר פחות דרהם אחד

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2-\left(1+\frac{1}{2}\right)\sdot\left(2x-1\right)=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x}}</math>

:*[Defining: <math>\scriptstyle{\color{red}{\left(3-x\right)^2}}=x^2+\left(1+\frac{1}{2}\right)-3x</math>]

::Reduction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2+\frac{1}{2}}}</math>

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=6+\frac{1}{4}=\frac{25}{4}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{2x-1=4}}</math>

|style="text-align:right;"|ונניח המספר הנגרע ממנו שני שרשים פחות דרהם אחד והוא ארבעה דרהמי

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{b=4\sdot4=16}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיו שש עשרה

::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=25\\\scriptstyle b=16\\\scriptstyle\left(1+\frac{1}{2}\right)b=24\\\scriptstyle3x=24\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והנה יהיה המספר המבוקש אשר יחזיק שרש כ"ה<br>

והמספר הנגרע ממנו י"ו

והמספר השני הנגרע כ"ד

::proceeding as shown for the rest of the problem

:This problem and similar can be solved by other methods, as one wishes.

:10) <math>\scriptstyle x-x^2=n^2</math>

|style="text-align:right;"|י <big>ואם</big> יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תגרעהו מן שרשו יהיה לנשאר שרש

::This is an indeterminate problem

:*Defining the square as a [perfect] square: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ונניח המרובע מרובע

::<math>\scriptstyle n^2=x-x^2</math> should have a root

|style="text-align:right;"|ונגרעהו משרשו והוא דבר וישאר דבר פחות מרובע וצריך שיחזיק שרש

::Its root can be <math>\scriptstyle{\color{blue}{x}}</math> or more or less

::*Defining it as a thing: <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x-x^2}=x}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\left(\sqrt{x-x^2}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ותכהו בעצמו

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=x-x^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ויהיה מרובע ישוה דבר פחות מרובע

:::Reduction: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{2}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{4}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמרובע רביעי דרהם

::*Defining its root as two things: <math>\scriptstyle{\color{blue}{n=\sqrt{x-x^2}=2x}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{1}{5}}}</math>

|style="text-align:right;"|יעלה הדבר ישוה חמישית דרהם

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x-x^2=\frac{1}{5}-\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)=\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{5}=\left(\frac{2}{5}\right)^2}}</math>

|style="text-align:right;"|ותגרעהו משרשו והוא חמישית דרהם וישאר ארבעה חֳמשים מחמישית דרהם ויחזיק שרש והוא שני חומשים מחמישית דרהם

:11) <math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle x+x^2=n^2\\\scriptstyle x-x^2=m^2\end{cases}</math>

|style="text-align:right;"|יא <big>ואם</big> יאמרו לך מרובע המחזיק שרש אם תוסיף עליו שרשו יחזיק שרש ואם תגרע המרובע משרשו יהיה לנשאר שרש

::this is an indeterminate problem

::the solving procedure:

::seeking a number <math>\scriptstyle{\color{blue}{a^2}}</math>, such that:

:*<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle a^2+b=n^2\\\scriptstyle b-a^2=m^2\end{cases}</math>

|

::then: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{a^2}{b}}}</math>

::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{cases}\scriptstyle a^2=4\\\scriptstyle b=5\end{cases}}}</math>

|style="text-align:right;"|והמספר המחזיק שרש ארבעה<br>

והמספר הנוסף חמשה

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+5=9=3^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{5-4=1=1^2}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{5}}}</math>

:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2=\frac{3}{5}+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{1}{5}\right)}}</math>

|

:The procedure of extracting these numbers was explained here.

|

:As explained hitherto:

|style="text-align:right;"|וכבר בארתי במה שעבר עד הנה

:*Defining the square as having a root [= perfect square]: <math>\scriptstyle{\color{blue}{x^2}}</math>

|style="text-align:right;"|שאם נניח מרובע שיחזיק שרש

::<math>\scriptstyle n^2=2x+1-x^2</math>

|style="text-align:right;"|ואם תגרעהו משני שרשיו ואדרהם אחד ישאר שני שרשים ואדרהם אחד פחות מרובע