Difference between revisions of "ספר המספר / אברהם אבן עזרא"
(→Chapter Six - Proportions) |
(→Fractions) |
||
(175 intermediate revisions by the same user not shown) | |||
Line 1: | Line 1: | ||
+ | {{#annotpage: author="Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra", country="Italy", city="Lucca", time="1142-1145", peshat_title="00000032"}} | ||
__TOC__ | __TOC__ | ||
<br> | <br> | ||
Line 42: | Line 43: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Since the sublime God alone has created in the upper world nine large heavenly spheres revolving around the earth, which is the lower world. |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|בעבור<ref>בעבור: Mu43 אמר בעבור</ref> כי השם הנשגב<ref>הנשגב: O187 om.; V171 הנה'</ref> לבדו<ref>לבדו: Lo10785 לבדו ב"ה; N2627; V171 om.</ref> ברא ב{{#annot:upper world|2075|7Vq1}}עולם<ref>בעולם: Mu43; O187; V171; W152; W194 העולם</ref> העליון<ref>העליון: P1050 om.</ref>{{#annotend:7Vq1}} תשע {{#annot:heavenly sphere|2075|dnD1}}עגולות{{#annotend:dnD1}} גדולות<ref>גדולות: P1029; P1051 om.</ref> {{#annot:term|274,2211|gOMD}}סובבות את<ref>את: B top; V171; V397 om.</ref>{{#annotend:gOMD}} {{#annot:earth|2075|hJTk}}הארץ{{#annotend:hJTk}} שהוא<ref>שהוא: Lo27153; P1050; W194 שהיא; B שהוא marg. נ' שהיא</ref> {{#annot:sublunar world|2075|Vk6W}}העולם<ref>שהוא העולם: V171 שהעולם</ref> השפל{{#annotend:Vk6W}} |
|- | |- | ||
− | |Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers | + | |<span style=color:red>Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira [the Book of Creation] – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers:</span> |
− | |style="text-align:right;"|ובעל ספר<ref>ובעל ספר: O187 וספר</ref> יצירה<ref>ספר יצירה: V171 ס"י</ref> | + | | |
+ | |- | ||
+ | |And the author of the Sefer Yezira has said that the paths of the wisdom are by Sefar and Sefer and Sipur and the Sefar is nine numbers. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ובעל ספר<ref>ובעל ספר: O187 וספר</ref> יצירה<ref>ספר יצירה: V171 ס"י</ref> אמר<ref>אמר: O187 אומר</ref> כי {{#annot:term|277|FVUG}}נתיבות החכמה<ref>החכמה: O187; P1029; P1051; V171; V397 חכמה</ref>{{#annotend:FVUG}} הם בִּסְפָר<ref group=note>Mo marg. פי' ספר כתב הלשון ספר הדבור; P1052 top במשמע' שפה</ref> וְסֵפֶר<ref>וספר: P1051 om.</ref> וְסִפּוּר‫<ref>בִּסְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: Lo10785; Mo30 בסֶפֵר וסְפַר וְסיפור</ref><ref group=note>וְסִפּוּר: P1052 top מניי'<br>סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר: B com ביאור ההקדמה הנזכרת. סְפָר וְסֵפֶר וְסִפּוּר פי' כי הדבור אצל ציור הלב והרעיון בצורה הנראת כמראה אצל עצם הדבר אשר היא צורה לו כי הציורים הם בשכלו נמצאים והציור הוא צורת עצם הדבר והדבור חקוי הציור והמכתב חקוי הדבור והם ספר וספר וספור. ובעל ספר יצירה לא זכר מציאות העצם שהוא העקר והקודם אבל השלשה הנמצאי' בנתיבות החכמה כך פי' אדונינו מאור הגולה החבר הידוע ר' משה בר' שמואל בן תבון ז"ל</ref><br> | ||
{{#annot:definition|287|tNZb}}והנה הַסְּפָר<ref>הַסְּפָר: Mu43 הַסְפַר; N2627; P1050 המספר; P1052 הספור; V171 הסופר</ref> תשעה<ref>תשעה: V171; V397 הם ט'</ref> {{#annot:term|204|1E4G}}מספרים{{#annotend:1E4G}} | {{#annot:definition|287|tNZb}}והנה הַסְּפָר<ref>הַסְּפָר: Mu43 הַסְפַר; N2627; P1050 המספר; P1052 הספור; V171 הסופר</ref> תשעה<ref>תשעה: V171; V397 הם ט'</ref> {{#annot:term|204|1E4G}}מספרים{{#annotend:1E4G}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *The resemblance of the ranks to the rank of units | + | *<span style=color:red>The resemblance of the ranks to the rank of units</span> |
− | :*units – as foundations of all numbers | + | :*<span style=color:red>units – as foundations of all numbers</span> |
− | + | | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*tens and their resemblance to the units | + | ::For nine is the end of every number and these are called units that are the first rank. |
− | |style="text-align:right;"|כי עשרה<ref>עשרה: Mu43; N2627; P1029; P1051 העשרה; V171 היוד; V386 יוד</ref> {{#annot:term| | + | |style="text-align:right;"|כי תשעה<ref>תשעה: Lo10785; Mo30 הט'</ref> סוף כל {{#annot:term|204|z6R9}}חשבון{{#annotend:z6R9}}<ref>חשבון: P1052 מספר</ref> ואלה<ref>ואלה: P1052 ואלו</ref> יקראו<ref>יקראו: P1029 יקרא</ref> {{#annot:term|287|f4NJ}}האחדים{{#annotend:f4NJ}}<ref>האחדים: Lo10785; Mo30 כאחדים; Mu43; N2627; P1029; V397 אחדים</ref> שהם ב{{#annot:term|203|dJ7O}}מעלה{{#annotend:dJ7O}} הראשונה‫<ref>הראשונה: N2627; P1029; V397; W152; W194 ראשונה; P1052 הראשו<s>ש</s>נה הראשונה marg. יקראו האחדי' שה' במע' הרא' היה הנקודה</ref>{{#annotend:tNZb}} |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*<span style=color:red>tens and their resemblance to the units</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::Because ten resembles to one and twenty resembles to two. | ||
+ | |style="text-align:right;"|כי עשרה<ref>עשרה: Mu43; N2627; P1029; P1051 העשרה; V171 היוד; V386 יוד</ref> {{#annot:term|2506|z6f9}}דומה ל{{#annotend:z6f9}}אחד<br> | ||
ועשרים דומים<ref>דומים: B; Mo30 (marg.); Mu150; P1051; V171; V397 דומה</ref> לשנים<ref>לאחד ... לשנים: Lo10785 ל</ref> שהם שני<ref>שני: P1050 שתי</ref> עשרות | ועשרים דומים<ref>דומים: B; Mo30 (marg.); Mu150; P1051; V171; V397 דומה</ref> לשנים<ref>לאחד ... לשנים: Lo10785 ל</ref> שהם שני<ref>שני: P1050 שתי</ref> עשרות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :: | + | ::<span style=color:red>The exceptional pronunciation of the number twenty</span> |
− | |style="text-align:right;"|והיה<ref>והיה: P1051 יהיה; V171 שיהיה</ref> | + | | |
− | רק בעבור<ref>רק בעבור: Lo10785 om.</ref> | + | |- |
+ | | | ||
+ | ::It would be appropriate to call it "‛esrayim", as "matayim" [= two hundred] is called from "meah" [= one hundred] and "alpayim" [= two thousand] from "eleph" [one thousand], but for the following numbers that are šelošim [thirty] to tiš‛im [ninty] it has been treated in their usage. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והיה<ref>והיה: P1051 יהיה; V171 שיהיה</ref> ראוי שיקראוהו<ref>שיקראוהו: Lo27153 <s>שיקרואו</s> שיקראוהו; Mu43; P1051 שיקראהו; O187 לקרות; P1050; P1052 שיקראו</ref> עֶשְׂרַיִם<ref>עֶשְׂרַיִם: Mu43 עשָרים; O187 עַשַרַיִם; P1052 עֲשָרָיִים; B עֲשַרָיִם marg. נ' עֱשְרַיִם</ref> כאשר יקראו<ref>יקראו: O187; V171 קראו</ref> ממאה<ref>ממאה: V171 מהמאה</ref> מאתים ומאלף<ref>ומאלף: V171 ומהאלף</ref> אַלְפַּים<br> | ||
+ | רק בעבור<ref>רק בעבור: Lo10785 om.</ref> חבריו הבאים אחריו<ref>אחריו: Mu150 לפניו marg. אחריו</ref> שהם<ref>שהם: Lo10785 om.; V171 שלהם<br>{{#annot:term|404|hWcF}}הבאים אחריו{{#annotend:hWcF}} שהם: P1051 om.</ref> שלשים<ref>שלשים: V397 משלשים</ref> עד תשעים נהגו<ref>נהגו: B; O187 נהגוהו; V171 יהגהו</ref> כמנהגם‫<ref>נהגו כמנהגם: Lo10785 נהגו ר' נהגם</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה שלשים<ref>שלשים: P1052 om.</ref> מ{{#annot: | + | ::So šelošim is derived from šaloš [= three] and so all of them. |
+ | |style="text-align:right;"|והנה שלשים<ref>שלשים: P1052 om.</ref> מ{{#annot:derivation|295|JfzZ}}גזרת{{#annotend:JfzZ}} שלש<ref>שלש: O187 שלש וארבעים מגזרת ארבע</ref> וככה כלם‫<ref>כלם: Lo10785 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*hundreds and their resemblance to the units | + | :*<span style=color:red>hundreds and their resemblance to the units</span> |
+ | ::One hundred resembles to one as well as to ten; two hundred resembles to two as well as to twenty. | ||
|style="text-align:right;"|והנה מאה<ref>מאה: III המאה</ref> דומה<ref>דומה: P1050 דומים; W194 הדומה</ref> לאחד גם<ref>גם: III; Mu43 וגם</ref> לעשרה‫<ref>לעשרה: P1029; P1050 עשרה</ref><br> | |style="text-align:right;"|והנה מאה<ref>מאה: III המאה</ref> דומה<ref>דומה: P1050 דומים; W194 הדומה</ref> לאחד גם<ref>גם: III; Mu43 וגם</ref> לעשרה‫<ref>לעשרה: P1029; P1050 עשרה</ref><br> | ||
ומאתים<ref>ומאתים: Mu43 ומתים</ref> דומה<ref>דומה: P1052 דומים; P1051 om.; B דומה marg. נ' דומים</ref> לשנים גם לעשרים‫<ref>לשנים ... לעשרים: B; Lo27153(marg.); O187; P1051; V171 לעשרים גם לשנים; Mu43 לעשרים וגם לשנים<br>דומה ... לעשרים: Lo10785; Mo30; Mu150; P1050; V386; V397 דומים לעשרים גם לשנים; W152 דומה לעשרים; W194 marg. דומים לעשרי'</ref> | ומאתים<ref>ומאתים: Mu43 ומתים</ref> דומה<ref>דומה: P1052 דומים; P1051 om.; B דומה marg. נ' דומים</ref> לשנים גם לעשרים‫<ref>לשנים ... לעשרים: B; Lo27153(marg.); O187; P1051; V171 לעשרים גם לשנים; Mu43 לעשרים וגם לשנים<br>דומה ... לעשרים: Lo10785; Mo30; Mu150; P1050; V386; V397 דומים לעשרים גם לשנים; W152 דומה לעשרים; W194 marg. דומים לעשרי'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*thousand and upwards | + | :*<span style=color:red>thousand and upwards</span> |
+ | ::likewise the thousand and the ten thousand, because they are the beginning of decades of the numbers that follow them, which are 1, 10, 100; 2, 20, 200. | ||
|style="text-align:right;"|וככה אלף ורבבה שהם ראשי<ref>ראשי: P1052 ראשים</ref> {{#annot:term|299|cKsd}}כללים{{#annotend:cKsd}} למספרים<ref>למספרים: Mu150 <sup>ל</sup>מספרים<br>כללים למספרים: V171 מספרים כלליים</ref> הבאים אחריהם<ref>אחריהם: O187 om.</ref> שהם<ref>שהם: Mu43 שמהם</ref> א'י'ק' ב'כ'ר‫'<ref>א'י'ק' ב'כ'ר': Lo10785, Mo30; Mu150; N2627 (adds in marg.); V386 איק בכר גלש דמת הנך וסם זען חפף טצץ; W152 א'ק' [marg. א'י'ק'] ב'כ'ר' ג'ל'ש' ד'מ'ת וכו'; Mu43; O187; P1052; W194 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'; P1029 אי"ק בכ"ר גל"ש דמ"ת</ref><ref group=note>P1052 marg. איק בכר גלש הא' מן איק הוא ראשו' ל[אחדים] והיו' הו' ראשו' לעשריו' והקוף הו' ראשו' למאו'</ref> | |style="text-align:right;"|וככה אלף ורבבה שהם ראשי<ref>ראשי: P1052 ראשים</ref> {{#annot:term|299|cKsd}}כללים{{#annotend:cKsd}} למספרים<ref>למספרים: Mu150 <sup>ל</sup>מספרים<br>כללים למספרים: V171 מספרים כלליים</ref> הבאים אחריהם<ref>אחריהם: O187 om.</ref> שהם<ref>שהם: Mu43 שמהם</ref> א'י'ק' ב'כ'ר‫'<ref>א'י'ק' ב'כ'ר': Lo10785, Mo30; Mu150; N2627 (adds in marg.); V386 איק בכר גלש דמת הנך וסם זען חפף טצץ; W152 א'ק' [marg. א'י'ק'] ב'כ'ר' ג'ל'ש' ד'מ'ת וכו'; Mu43; O187; P1052; W194 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'; P1029 אי"ק בכ"ר גל"ש דמ"ת</ref><ref group=note>P1052 marg. איק בכר גלש הא' מן איק הוא ראשו' ל[אחדים] והיו' הו' ראשו' לעשריו' והקוף הו' ראשו' למאו'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle | + | *<span style=color:red>The sign that the nine units are building all numbers – the presentation of the multiplication of units by nine through the arrangement of the nine units in a circle</span> |
− | |style="text-align:right;"|ו{{#annot:term| | + | | |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :The sign for this: when you draw a circle and write nine digits around it. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ו{{#annot:term|198,1332|sGKK}}האות{{#annotend:sGKK}} על זה<ref>והאות על זה: W152 כלומר על היות כל מספר סובב והאות על זה</ref><ref group=note>והאות על זה: B marg. ר"ל היות כל מספר סובב על ט'; B com. האות על זה. ר"ל האות על היות כל מספר סובב על ט'; W194 marg. כלומר על היות כל מספר סובב<br>Mu43 פי' והאות על היות כל מספר סובב על ט' והוא תכלית כל מספר כי כש[תכפ]ול ט' על כל המספרים שמא' עד ט' לעולם המחובר ט' לפי מספר האותות הצורה זל וזה א'וח' וזה ב"ז ג"ז ד'</ref> כשתעשה<ref>כשתעשה: Lo10785; Mo30 כי כשתעשה</ref> {{#annot:term|304|oaVK}}עגול{{#annotend:oaVK}}<ref>עגול: W152 top</ref><ref group=note>כשתעשה עגול: B. com כשתעשה עגול וכו'. וכן היה יכול ליתן הבדל אחר כי כשתכפול ט' על עצמו או על ח' או על ז' או על ו' תמצא האחדי' שבמקו' העשרות יתרים במספרם מן האחדי' עצמם. ומה' ולמעלה וה' בכלל הדבר בהפך ר"ל שהאחדים עצמם יתרים על העשרות וזה כי ט' על ט' הם פ"א הנה ח' שהוא עשרות יתר על א'. וט' על ח' ע"ב הנה ע' שהם עשרות יתרי' על ב' שהם אחדים. ומהחמשה ולמטה יהיו האחדים עודפי' על העשרות</ref> ותכתוב סביבו<ref>סביבו: O187 סביבותיו</ref> תשעה מספרים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 84: | Line 107: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ותכפול תשעה<ref>תשעה: P1051 התשעה</ref> על<ref>תשעה על: Mu43 שעל</ref> עצמו וה{{#annot:term|311|VD8G}}טעם{{#annotend:VD8G}}<ref>והטעם: Lo10785 ומטעם</ref> | + | :You multiply nine by itself; the reason is its being a square whose length is as its width; see it and so it is: |
+ | |style="text-align:right;"|ותכפול תשעה<ref>תשעה: P1051 התשעה</ref> על<ref>תשעה על: Mu43 שעל</ref> עצמו וה{{#annot:term|311|VD8G}}טעם{{#annotend:VD8G}}<ref>והטעם: Lo10785 ומטעם</ref> להיותו<ref>להיותו: Mu43; N2627; O187; P1029 להיות</ref> {{#annot:term|305|IbQn}}מרובע {{#annot:term|316|tTbn}}ארכו{{#annotend:tTbn}} כ{{#annot:term|317|FXNE}}רחבו{{#annotend:FXNE}}{{#annotend:IbQn}} תראה זה<ref>תראה זה: P1052; V386 om.</ref> וככה הוא‫<ref>תראה ... הוא: Lo10785; Mo30; Mu150 שהוא ט' פעמים ט'; P1050 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}</math> | + | ::*The square is eighty-one, so the one is on the left of the nine, which is the beginning of the units; and the 8, which corresponds to eighty in the decade, is on the right of the nine. |
− | |style="text-align:right;"|והנה המרובע<ref>המרובע: Lo10785; Mo30; O187; V397 מרובע ט'; Mu150; P1029; V386 המרובע מהט'</ref> אחד ושמונים<ref>אחד ושמונים: B; Lo10785; Mo30; O187; P1029; V171 פ"א</ref> והנה<ref>והנה: N2627 om.</ref> האחד<ref>האחד: V386 האלף</ref> | + | :::<math>\scriptstyle9\times9={\color{blue}{8}}{\color{green}{1}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|והנה המרובע<ref>המרובע: Lo10785; Mo30; O187; V397 מרובע ט'; Mu150; P1029; V386 המרובע מהט'</ref> אחד ושמונים<ref>אחד ושמונים: B; Lo10785; Mo30; O187; P1029; V171 פ"א</ref> והנה<ref>והנה: N2627 om.</ref> האחד<ref>האחד: V386 האלף</ref> לשמאלו של<ref>של: O187 שלם</ref> תשעה<ref>תשעה: O187 om.</ref> שהוא ראש האחדים<ref>ראש האחדים: Lo10785; Mo30 הראש לאחדים</ref> וח' שהוא<ref>שהוא: O187 om.</ref> כנגד שמונים<ref>שמונים: P1050 השמנים</ref> בכלל לימין תשעה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}</math> | + | ::*If you multiply 9 by 8, the product is 72; 2 is on its left and 7, which corresponds to 70, is on its right. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times8={\color{blue}{7}}{\color{green}{2}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|185|acHE}}תכפול{{#annotend:acHE}} ט' על ח' יהיה ה{{#annot:term|241|LewN}}מחובר{{#annotend:LewN}}<ref>המחובר: V397 המרובע</ref> ע"ב והנה ב'<ref>ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הב'</ref> לשמאלו<ref>לשמאלו: V171 של שמאלו</ref> וז' שהוא<ref>שהוא: O187 שהיא; P1052 om.</ref> כנגד<ref>כנגד: P1029 om.</ref> ע'<ref>ע': P1052 העין</ref> לימינו | |style="text-align:right;"|ואם {{#annot:term|185|acHE}}תכפול{{#annotend:acHE}} ט' על ח' יהיה ה{{#annot:term|241|LewN}}מחובר{{#annotend:LewN}}<ref>המחובר: V397 המרובע</ref> ע"ב והנה ב'<ref>ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הב'</ref> לשמאלו<ref>לשמאלו: V171 של שמאלו</ref> וז' שהוא<ref>שהוא: O187 שהיא; P1052 om.</ref> כנגד<ref>כנגד: P1029 om.</ref> ע'<ref>ע': P1052 העין</ref> לימינו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}</math> | + | ::*If you multiply 9 by 7, the product is 63; 3 is on its left and 6, which corresponds to 60, is on its right. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times7={\color{blue}{6}}{\color{green}{3}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם תכפול<ref>תכפול: Lo27153 marg.; W194 om.</ref> ט' על<ref>ט' על: Mu43 שעל</ref> ז'<ref>ז': Mu43 ו'</ref> יהיה המחובר<ref>המחובר: Lo10785; Mo30 המרובע; V171 מרובע</ref> ס"ג והנה<ref>והנה: Lo27153; Mu150; P1052; V386 ויהיה</ref> ג'<ref>והנה ג': Lo10785; Mo30 וג' הוא</ref> לשמאלו וו'<ref>וו': Mu43 וז'</ref> לימינו שהוא כנגד ס'‫<ref>לימינו שהוא כנגד ס': P1050; W152 שהוא כנגד ס' לימינו; B <s>לימינו</s> שהוא כנגד ס' <sup>לימינו</sup></ref> | |style="text-align:right;"|ואם תכפול<ref>תכפול: Lo27153 marg.; W194 om.</ref> ט' על<ref>ט' על: Mu43 שעל</ref> ז'<ref>ז': Mu43 ו'</ref> יהיה המחובר<ref>המחובר: Lo10785; Mo30 המרובע; V171 מרובע</ref> ס"ג והנה<ref>והנה: Lo27153; Mu150; P1052; V386 ויהיה</ref> ג'<ref>והנה ג': Lo10785; Mo30 וג' הוא</ref> לשמאלו וו'<ref>וו': Mu43 וז'</ref> לימינו שהוא כנגד ס'‫<ref>לימינו שהוא כנגד ס': P1050; W152 שהוא כנגד ס' לימינו; B <s>לימינו</s> שהוא כנגד ס' <sup>לימינו</sup></ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}</math> | + | ::*If you multiply 9 by 6, the product is 54, 4 is on its left and 5, which corresponds to 50, is on its right. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times6={\color{blue}{5}}{\color{green}{4}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר<ref>המחובר: P1052 om.</ref> נ"ד והנה<ref>והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה</ref> ד' לשמאלו<ref>לשמאלו: V171 משמאלו; V397 לשמאל</ref> וה'<ref>וה': V386 והא'</ref> שהוא<ref>שהוא: V397 om.</ref> כנגד נ'<ref>נ': V386 נון</ref> לימינו‫<ref>לימינו: V171 om. V397 מימינו<br>שהוא ... לימינו: O187 לימינו שהיא חמשים</ref> | |style="text-align:right;"|ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר<ref>המחובר: P1052 om.</ref> נ"ד והנה<ref>והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה</ref> ד' לשמאלו<ref>לשמאלו: V171 משמאלו; V397 לשמאל</ref> וה'<ref>וה': V386 והא'</ref> שהוא<ref>שהוא: V397 om.</ref> כנגד נ'<ref>נ': V386 נון</ref> לימינו‫<ref>לימינו: V171 om. V397 מימינו<br>שהוא ... לימינו: O187 לימינו שהיא חמשים</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ובעבור כי חשבון<ref>חשבון: Mu43 החשבון</ref> חמשה<ref>חמשה: V386 הא'</ref> הוא אמצעי בט' מספרים<ref>מספרים: B; Lo10785; Mo30 המספרים</ref> על<ref>על: P1051; V397 ועל</ref> כן<ref>על כן: V171 ע"כ</ref> נקרא {{#annot:term|345|1acb}}חשבון עגול{{#annotend:1acb}}<ref group=note>נקרא חשבון עגול: B com נקרא ה' חשבון עגול. ר"ל שימצא במרובעו ואע"פ שבששה ימצא כן אמנם ששה לא ישמור מרובעו במעוקבו כי כשתכפול ו' על ו' יעלו ל"ו ואחר תכפול ו' על ל"ו לא ישאר הל"ו בצורתו. אך ה' פעמ' ה' שהוא כ"ה אם תכפלם על ה' ישמור צורתו עצמו ויעלה קכ"ה וזהו הכפל הגמור כי אחר שכפלנו ארכו על רחבו שהוא השטח נכפלנו בעמקו ונחלק הגבוה לה' חלקי' שוים שכל אחד ה' על ה'</ref> כי הוא {{#annot:term| | + | :::Since the number five is mean between the 9 digits, therefore it is called round number, for it circles around itself as its square contains five. |
+ | |style="text-align:right;"|ובעבור כי חשבון<ref>חשבון: Mu43 החשבון</ref> חמשה<ref>חמשה: V386 הא'</ref> הוא אמצעי בט' מספרים<ref>מספרים: B; Lo10785; Mo30 המספרים</ref> על<ref>על: P1051; V397 ועל</ref> כן<ref>על כן: V171 ע"כ</ref> נקרא {{#annot:term|345|1acb}}חשבון עגול{{#annotend:1acb}}<ref group=note>נקרא חשבון עגול: B com נקרא ה' חשבון עגול. ר"ל שימצא במרובעו ואע"פ שבששה ימצא כן אמנם ששה לא ישמור מרובעו במעוקבו כי כשתכפול ו' על ו' יעלו ל"ו ואחר תכפול ו' על ל"ו לא ישאר הל"ו בצורתו. אך ה' פעמ' ה' שהוא כ"ה אם תכפלם על ה' ישמור צורתו עצמו ויעלה קכ"ה וזהו הכפל הגמור כי אחר שכפלנו ארכו על רחבו שהוא השטח נכפלנו בעמקו ונחלק הגבוה לה' חלקי' שוים שכל אחד ה' על ה'</ref> כי הוא {{#annot:term|345|ED58}}מתגלגל<ref>מתגלגל: Lo10785 מ' מתגלגל</ref> על עצמו{{#annotend:ED58}} כי מרובעו<ref>מרובעו: O187 om.</ref> יש בו חמשה‫<ref>כי מרובעו יש בו חמשה: P1050 marg.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}</math> | + | ::*When you multiply 9 by 5, the matter rotates in a circle, for the units are to the right of 9 and the decades to its left; because the product is 45; 5 is on the right side of 9 and the decades are on its left, which is 4 for the 40. |
− | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול<ref>תכפול: Lo10785 om.</ref> ט' על ה'<ref>ט' על ה': O187 חמשה על ט'</ref> | + | :::<math>\scriptstyle9\times5={\color{green}{4}}{\color{blue}{5}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול<ref>תכפול: Lo10785 om.</ref> ט' על ה'<ref>ט' על ה': O187 חמשה על ט'</ref> יתגלגל הדבר בעגול<ref>בעגול: P1050 top</ref> כי<ref>כי: V171 om.</ref> האחדים יהיו<ref>יהיו: Lo10785; Mo30 om.</ref> לימין ט'<ref>ט': B; V171 om.</ref> והכללים<ref>ט' והכללים: Lo10785; Mo30 וט' הכללים</ref> לשמאלו כי המחובר<ref>המחובר: Lo10785; Mo30 מחובר ט' על ה'</ref> הוא<ref>הוא: Lo10785; Mo30 רוא'; P1052 יהיו</ref> מ"ה והנה הה'<ref>הה': Lo10785; Mo30 ה' הוא; Mu43; Mu150 ה'</ref> מ{{#annot:term|325|ZJhZ}}פאת{{#annotend:ZJhZ}} ימין ט'<ref>ט': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 הט' הוא האחדים; P1029 ט' הוא האחדים; P1051 ט' והנה האחדים; V171 ט' האחדי'; V397 ט' והוא האחדים<br>הה' מפאת ימין ט': O187 מפאת ימין ט' והה' הוא האחדים</ref> והכללים<ref>והכללים: V397 ו<sup>ה</sup>כללים<br>הוא ... והכללים: N2627 om.</ref>לשמאלו שהוא<ref>והכללים לשמאלו שהוא: O187; V171 om.</ref> ד'<ref>ד': O187; V171 והד'; P1029; P1051; V397 הד'</ref> במקום המ‫'<ref>המ': Lo10785 om.; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 מ'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}</math> | + | ::*When you multiply 9 by 4, the product is 36; 3 corresponds to thirty. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times4={\color{green}{3}}{\color{blue}{6}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט' על ד'<ref>ט' על ד': O187 ד' על ט'</ref> יהיה המחובר ל"ו והנה ג'<ref>והנה ג': O187 והג'</ref> כנגד שלשים‫<ref>שלשים: V397 הל'; P1029 ל' והו' כנגד ששה</ref> | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט' על ד'<ref>ט' על ד': O187 ד' על ט'</ref> יהיה המחובר ל"ו והנה ג'<ref>והנה ג': O187 והג'</ref> כנגד שלשים‫<ref>שלשים: V397 הל'; P1029 ל' והו' כנגד ששה</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}</math> | + | ::*When you multiply 9 by 3, the product is 27; 2 corresponds to twenty. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times3={\color{green}{2}}{\color{blue}{7}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט'<ref>ט': Mu43 om.</ref> על ג'<ref>ט' על ג': N2627 ט' לג'; O187 ג' על ט'</ref> יהיה המחובר כ"ז והנה<ref>והנה: V386 והוא</ref> ב'<ref>ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 הב'</ref> כנגד עשרים‫<ref>עשרים: Lo10785; Mo30; P1050 העשרים; P1029 כ' וז' כנגד ז'; V171 כ"ד</ref> | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט'<ref>ט': Mu43 om.</ref> על ג'<ref>ט' על ג': N2627 ט' לג'; O187 ג' על ט'</ref> יהיה המחובר כ"ז והנה<ref>והנה: V386 והוא</ref> ב'<ref>ב': Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V171; V386 הב'</ref> כנגד עשרים‫<ref>עשרים: Lo10785; Mo30; P1050 העשרים; P1029 כ' וז' כנגד ז'; V171 כ"ד</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}</math> | + | ::*When you multiply 9 by 2, the product is 18; 1 corresponds to ten. |
+ | :::<math>\scriptstyle9\times2={\color{green}{1}}{\color{blue}{8}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט'<ref>ט': Lo10785; Mo30; Mu150 הט'</ref> על ב'<ref>ט' על ב': O187 ב' על ט'</ref> יהיה המחובר י"ח והנה<ref>והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה; Mu43 והוא</ref> א' כנגד עשרה‫<ref>עשרה: N2627 העשרה; P1029 י' וח' כנגד ח'; P1051; V397 עשרה וכאשר תכפול ט' על א' יהיו ט'; O187 עשרה וכן נעשה בדומה העשרות צ' על צ' יעלו 00אח וכן כולם וכן נעשה בדומה המאות תת"ק על תת"ק יעלו 0000אח וכך כולם</ref> | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול ט'<ref>ט': Lo10785; Mo30; Mu150 הט'</ref> על ב'<ref>ט' על ב': O187 ב' על ט'</ref> יהיה המחובר י"ח והנה<ref>והנה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052; V386 ויהיה; Mu43 והוא</ref> א' כנגד עשרה‫<ref>עשרה: N2627 העשרה; P1029 י' וח' כנגד ח'; P1051; V397 עשרה וכאשר תכפול ט' על א' יהיו ט'; O187 עשרה וכן נעשה בדומה העשרות צ' על צ' יעלו 00אח וכן כולם וכן נעשה בדומה המאות תת"ק על תת"ק יעלו 0000אח וכך כולם</ref> | ||
|- | |- | ||
− | |Hence the checking scales are based on modulo 9 | + | |<span style=color:red>Hence the checking scales are based on modulo 9</span> |
− | |style="text-align:right;"|על<ref>על: V386 ועל</ref> כן<ref>על כן: V171 ע"כ</ref> {{#annot:term|354|DwmZ}}מאזני מספר{{#annotend:DwmZ}}<ref>מספר: Lo10785; Mo30; W152 מספר ט'; Lo27153 top.; O187; V171 כל מספר; Mu43 המספר</ref> שהוא {{#annot:term| | + | | |
+ | |- | ||
+ | |Therefore, the scales of a number that is multiplied by itself or by another is 9. | ||
+ | |style="text-align:right;"|על<ref>על: V386 ועל</ref> כן<ref>על כן: V171 ע"כ</ref> {{#annot:term|354|DwmZ}}מאזני מספר{{#annotend:DwmZ}}<ref>מספר: Lo10785; Mo30; W152 מספר ט'; Lo27153 top.; O187; V171 כל מספר; Mu43 המספר</ref> שהוא {{#annot:term|358|oO4Y}}כפול<ref>כפול: Mu43; O187 om.</ref> על עצמו{{#annotend:oO4Y}} או על אחר<ref>אחר: O187 האחדים; P1029 אחרים</ref> הם<ref>הם: Lo10785; Mo30 הוא; O187 הן</ref> ט‫'<ref>אחר ... ט': Mu43 אחד מהם</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 131: | Line 167: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *The written numerals | + | *<span style=color:red>The written numerals</span> |
− | |style="text-align:right;"|‫<ref>P1052 צורה בכתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br>marg. צורת אותיות הודו<br>א ב ג ד ה ו ז ח ט<br> ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩;<br>V386 צורת כתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</ref>על כן<ref>על כן: V386 om.</ref> עשו<ref>עשו: N2627 עשו <s>זה</s></ref> {{#annot: | + | | |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :Therefore, the wise men of India have denoted all their numbers by nine and they make forms for the 9 digits. I wrote instead of them: א ב ג ד ה ו ז ח ט [the first nine Hebrew letters] | ||
+ | |style="text-align:right;"|‫<ref>P1052 צורה בכתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9<br>marg. צורת אותיות הודו<br>א ב ג ד ה ו ז ח ט<br> ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩;<br>V386 צורת כתיבת הודו 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10</ref>על כן<ref>על כן: V386 om.</ref> עשו<ref>עשו: N2627 עשו <s>זה</s></ref> {{#annot:Indian scholars|355|OKOk}}חכמי הודו{{#annotend:OKOk}} כל מספרם<ref>מספרם: Lo10785; Mo30; Mu150 המספרים</ref> על תשעה<ref>על כן עשו ... על תשעה: O187 om.</ref> ועשו {{#annot:term|303|6zsx}}צורות{{#annotend:6zsx}} לט' מספרים<ref>מספרים: Lo10785; Mo30 המספרים; Mu43 מספרם; B מספרים והם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; N2627 מספרים marg. 1 2 3 4 5 6 7 8 9; O187 מספרים ואלו הם 1 2 3 4 5 6 7 8 9; V171 מספרים אלה ואלה הם ١ ٢ ٣ ٤ ٥ ٦ ٧ ٨ ٩; V397 מספרים marg. 0 9 8 7 6 5 4 3 2 1<br>תשעה ... מספרים: III ט' אותיות; Lo27153 marg. אילו הם 9 8 7 6 5 4 3 2 1; P1050 ט' אותיות 1 2 3 4 5 6 7 8 9; marg. ועשו צורות לט' מספרי' והם אלו</ref><br> | ||
ואני כתבתי במקומם<ref>במקומם: Lo10785; Mo30 תחתיהם; N2627 במקומן; P1029 למקומן<br>ואני כתבתי במקומם: B ובני ישראל די להם מאותיו' התורה; P1050 marg. כי בני ישראל די להם מאותיו' התורה</ref> א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'<ref>א' ... ט': P1029 om.; Mu43 א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' צורת אנשי הודו<br>ואני ... ט': O187; V171 om.</ref> | ואני כתבתי במקומם<ref>במקומם: Lo10785; Mo30 תחתיהם; N2627 במקומן; P1029 למקומן<br>ואני כתבתי במקומם: B ובני ישראל די להם מאותיו' התורה; P1050 marg. כי בני ישראל די להם מאותיו' התורה</ref> א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט‫'<ref>א' ... ט': P1029 om.; Mu43 א' ב' ג' ד' ה' ו' ז' ח' ט' צורת אנשי הודו<br>ואני ... ט': O187; V171 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *The written ranks and their writing order | + | *<span style=color:red>The written ranks and their writing order</span> |
− | :* | + | :*<span style=color:red>tens</span> |
− | + | ::*<span style=color:red>units and tens</span> | |
− | + | | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :: | + | :::If you have a number of units and the beginning of the decades, which are tens, always write first the number of the units, then the number of the decades. |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|והנה לעולם אם<ref>אם: V397 om.</ref> יש בידך<ref>יש בידך: Mu150 marg.; P1050 top; O187 יש בידו</ref> מספר<ref>מספר: Lo10785; Mo30 מספרי; P1051 מספר<sup>י</sup>ם; O187; V386 מספרים<br>יש בידך מספר: III; P1029; V397 מספרם; Mu150; P1052 מספרים; N2627 המספרי'; V171 תספרם</ref> אחדים<ref>אחדים: B; P1050 באחדים</ref> ותחלת<ref>ותחלת: B; V386 לפני; P1051 לפני תחלת; P1050 <sup>נ"א לפני</sup> ותחילת</ref> הכללים<ref>הכללים: P1029 הכללים ותחלת האחדים<br>אם יש ... הכללים: B marg. ס"א אם מספרם אחדים ותחילת הכללים</ref> שהם עשרות<ref>עשרות: B; P1052 העשרות</ref> יכתוב בתחלה<ref>בתחלה: Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 תחלה; V386 תחלת</ref> מספר<ref>בתחלה מספר: N2627; P1029 בתחלת המספר</ref> האחדים<ref>האחדים: Lo10785; Mo30 הכללים Mo30 marg. האחדים; Mu43 אחדים</ref> ואחר כך מספר הכלל‫<ref>הכלל: B; P1050; V386 הכללים<br>P1050 marg. ואם יש בידך אחדי' הרבה ותרצה לכתבם בדרך שלא תטעה שיהיו כללי' כתו' אותם זה למטה מזה וכן בכללי' [..] תרצה לכתוב א' ב' ג' ד' ה' מאחדי' וכן כ' ל' מ' נ' מעשרו' וכן ממאות ואלפי' וכל המדרגות [...]</ref> |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :* | + | ::*<span style=color:red>tens</span> |
− | :: | + | | |
− | |style="text-align:right;"|ואם | + | |- |
+ | | | ||
+ | :::If there is no number in the units, but it has a number in the second rank, which is the tens, one puts a shape of a wheel first to indicate that there is no number in the first rank and then write the number that he has in the tens afterwards. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואם אין<ref>ואם אין: Mu43 ואין</ref> לו<ref>לו: B top; O187 om.</ref> מספר האחדים<ref>האחדים: B; Lo10785; Mo30; V171 באחדים<br>מספר האחדים: O187 במספר אחדים<br>ואחר כך מספר הכלל ואם אין לו מספר האחדים: P1052 om.</ref> ויש לו מספר<ref>מספר: N2627 במספר</ref> במעלה השנית שהם<ref>שהם: O187 שהיא</ref> {{#annot:term|288|vPba}}העשרות{{#annotend:vPba}}<ref>העשרות: Lo27153 הע<sup>ש</sup>רות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1029; P1051; P1052; V386 עשרות</ref> ישים<ref>ישים: P1029 ישים לפניו</ref> כ{{#annot:term|303|kCK2}}דמות{{#annotend:kCK2}} גלגל<ref>גלגל: B גלגל 0; Lo10785; Mo30; Mu150; N2627; P1052 גלגל כזה 0; P1029 גלגל זה 0 הנקרא סיפרא</ref><ref group=note>כדמות גלגל: W152 marg. היינו שנקרא בימינו אלה אפס או נול ותמונתו 0</ref> בראשונה<ref>בראשונה: Mu150; P1029; P1052 om.; V386 בראשונה כזה 0</ref> להורות<ref>להורות: P1029 והוא להורות</ref> כי אין<ref>כי אין: N2627; P1029 שאין</ref> במעלה הראשונה<ref>הראשונה: N2627 ראשונה</ref> מספר<ref>מספר: Mu150; V171 om.; P1052 מספר <s>במעלה</s><br>במעלה הראשונה מספר: Lo10785; Mo30 מאומה במעלה הראשנה; V386 מספר במעלה הראשונה</ref> ויכתוב<ref>ויכתוב: P1052 ויספור</ref> המספר<ref>המספר: Mu43 מספר</ref> שיש לו בעשרות<ref>בעשרות: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 מן העשרות; V397 העשרות</ref> אחריו‫<ref>בעשרות אחריו: O187 אחריו בעשרות</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*thousands and upwards | + | :*<span style=color:red>hundreds</span> |
+ | ::*<span style=color:red>tens and hundreds</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::If his decade consists of the hundreds and the tens, one writes a wheel in the first [rank], then the number of the tens in the second [rank] and the number of hundreds in third [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואם הכלל שלו<ref>שלו: O187 שיש לו</ref> מהמאות<ref>מהמאות: B; V171 במאות; Lo10785; Mo30; Mu150; P1052 מן המאות; P1029 <sup>מ</sup>מאות</ref> ומהעשרות<ref>ומהעשרות: B ובעשרות; Mu43 והעשרות; P1029 ועשרות<br>מהמאות ומהעשרות: V386 מן העשרות ומן המאות</ref> יכתוב {{#annot:term|205|Ul6o}}גלגל{{#annotend:Ul6o}}<ref>גלגל: V386 הגלגל</ref> בראשונה ואחר כך<ref>כך: P1052 om.</ref> מספר העשרות<ref>העשרות: P1052 העשרה</ref> בשנית ומספר<ref>ומספר: Lo10785; Mo30 אח"כ מספר; Mu150 ואחר כך מספר</ref> המאות בשלישית‫<ref>בשלישית: Mu43 בשלישי</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*<span style=color:red>thousands and upwards</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::If one has a number of thousands [he writes it] in the fourth [rank], the number of tens of thousands in the fifth and the number of the hundreds of thousands in the sixth. | ||
|style="text-align:right;"|ואם<ref>ואם: P1051 וגם marg. נ"ל ואם</ref> יש לו מספר<ref>ואם יש לו מספר: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 ומספר</ref> אלפים ברביעית<ref>ברביעית: N2627; O187 יכתבנו ברביעית</ref> ומספר עשרת<ref>עשרת: N2627 עשרה</ref> אלפים בחמישית ומספר מאות<ref>מאות: Mo30; Mu43; Mu150; N2627; P1051; P1052; V386 מאת; O187 מאה; P1029; P1050; V171 ק'</ref> אלפים<ref>אלפים: III; Mu150; O187; V386 אלף</ref> בששית‫<ref>בששית: Lo27153 <sup>ב</sup>שישית<br>ומספר מאות אלפים בששית: Lo10785 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואם<ref>ואם: P1051 וגם marg. נ"ל ואם</ref> יש לו מספר<ref>ואם יש לו מספר: Lo10785; Mo30; Mu150; V386 ומספר</ref> אלפים ברביעית<ref>ברביעית: N2627; O187 יכתבנו ברביעית</ref> ומספר עשרת<ref>עשרת: N2627 עשרה</ref> אלפים בחמישית ומספר מאות<ref>מאות: Mo30; Mu43; Mu150; N2627; P1051; P1052; V386 מאת; O187 מאה; P1029; P1050; V171 ק'</ref> אלפים<ref>אלפים: III; Mu150; O187; V386 אלף</ref> בששית‫<ref>בששית: Lo27153 <sup>ב</sup>שישית<br>ומספר מאות אלפים בששית: Lo10785 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds | + | *<span style=color:red>Threefold cycle of the decimal ranks – units, tens, hundreds</span> |
− | + | | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*units and hundreds | + | :For 1, 10, 100 repeat as thousands in the fourth, as thousands of thousands in the seventh and as thousands of thousands of thousands in the tenth and so on endlessly. |
+ | |style="text-align:right;"|כי א'י'ק'<ref>א'י'ק': Lo27153; W194 א'י'ק' ב'כ'ר'; W152 א'י'ק' ב'כ'ר' ג'ל'ש'</ref> יחזור<ref>יחזור: Lo27153 חזור marg. ר"ת חוזר</ref> ברביעית לאלפים<ref>לאלפים: Mu150; V386 אלפים; P1029 om.; P1051 כאלפים<br>ברביעית לאלפים: B; O187 לאלפים ברביעית; P1050 באלפי' ברביעית; V171 אלפים ב' יחזור <s>בש</s> א'י'ק'<br>כי ... לאלפים: Mo30 marg. כי אי"ק בכ"ר יחזור לאלפים ברביעית ובשביעית</ref><ref group=note>כי א'י'ק' יחזור ברביעית לאלפים: B com כי אי"ק יחזור באלפים. אי"ק הוא סוג לכל המספרים כי כל מספר הוא אם א' או י' או ק' כי אלף הוא באחד וי' אלפי' ישובו לי' וק' אלפי' ישובו לק'; P1050 marg. וככה נקרא כל אותיות שתמצאם כתו' זו לפני זו כתו' איק בכר גלש כי א' מורה אחדי'. י' מורה עשרו'. ק' מאות. ב' אלפי. כ' עשרת אלפי'. ר'' ק' אלפי'. ג' אלפי אלפי'. ל' י' אלפי' אלפי'. ש' ק' אלפי אלפי' וכן עד עולם. וראה ועשה<br>א י ק ב כ ר ג ל ש<br>9 8 7 6 5 4 3 2 1<br>וכן אם תמצא מספר אחר תקראהו לפי זה הסדר כגון כזה<br>א י ק ב כ<br>1 9 7 5 3<br>וכן אחר כזה<br>א י ק ב כ ר ג ל<br>9 7 0 5 4 0 2 0<br>זהו סדר הקדימה שנלמדת ראשונה</ref> ובשביעית<ref>ובשביעית: V171 בשביעית</ref> לאלף<ref>לאלף: Mo30 אלף</ref> אלפים ובעשירית לאלף<ref>אלפים ובעשירית לאלף: P1050; P1051 om.; V397 <s>[...]</s> ובשמינית לי' אלף אלפים ובתשיעית לאלף אלף אלפי אלפים ובעשרות לאלף</ref> אלפי אלפים<ref>אלפים: Mu150 אלפים ובמעלת י"ג אלף אלפי אלפי אלפים; P1029; V386 אלפים ובמעלת י"ג לאלף אלפי אלפי אלפים<br>ובעשירית לאלף אלפי אלפים: Mo30; O187; V171 om.<br>כי א'י'ק' ... אלפי אלפים: Lo10785 om.</ref> וככה<ref>וככה: Mu43 om.</ref> עד אין קץ‫<ref>קץ: V386 חקר קץ</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::*<span style=color:red>units and hundreds</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :::If there is a number of units and hundreds, but no tens, one writes the number of the units in the first [rank], a wheel in the second [rank] and the number of hundreds in third [rank]. | ||
|style="text-align:right;"|ואם יש<ref>יש: Mu150 <s>אין</s> יש</ref> לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות<ref>עשרות: Lo10785; Mo30; V397 מספר עשרות</ref><ref group=note>W152 היינו האפס באמצאו למשל 501 וכן הלאה</ref> יכתוב<ref>מספר אחדים ... יכתוב: P1051 twice</ref> מספר<ref>מספר: III; Lo10785; Mo30; P1050 om.; V386 במספר</ref> האחדים<ref>האחדים: P1051 האחד; V171 אחדים<br>מספר האחדים: V397 <s>מספר המאות</s> מספר האחדים</ref> בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה<ref>ומספר המאה: Lo10785; Mo30 ומאה; N2627; O187; P1029; P1050; P1051; P1052; V171; V386; V397 ומספר המאות</ref> בשלישית | |style="text-align:right;"|ואם יש<ref>יש: Mu150 <s>אין</s> יש</ref> לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות<ref>עשרות: Lo10785; Mo30; V397 מספר עשרות</ref><ref group=note>W152 היינו האפס באמצאו למשל 501 וכן הלאה</ref> יכתוב<ref>מספר אחדים ... יכתוב: P1051 twice</ref> מספר<ref>מספר: III; Lo10785; Mo30; P1050 om.; V386 במספר</ref> האחדים<ref>האחדים: P1051 האחד; V171 אחדים<br>מספר האחדים: V397 <s>מספר המאות</s> מספר האחדים</ref> בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה<ref>ומספר המאה: Lo10785; Mo30 ומאה; N2627; O187; P1029; P1050; P1051; P1052; V171; V386; V397 ומספר המאות</ref> בשלישית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *zero – a placeholder digit | + | *<span style=color:red>zero – a placeholder digit</span> |
− | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך<ref>ועל זה הדרך: Lo10785 ועז"ה; V171 וע"ז הדרך; B ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו; N2627 ועל דרך זה</ref> ישים<ref>ישים: O187 יעשה ישים</ref> שנים<ref>שנים: P1052 שני</ref> גלגלים בראשונה<ref>ישים שנים גלגלים בראשונה: B לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים; V171 תוכל להשים שנים גלגלים בראשונה</ref> או כפי מה שיצטרך | + | | |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :In this way one puts at first or in the middle two wheels or as much as needed endlessly. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך<ref>ועל זה הדרך: Lo10785 ועז"ה; V171 וע"ז הדרך; B ועל זה הדרך יעשה לשמור מעלות הגלגל לפי מעלות החשבון שיש לו; N2627 ועל דרך זה</ref> ישים<ref>ישים: O187 יעשה ישים</ref> שנים<ref>שנים: P1052 שני</ref> גלגלים בראשונה<ref>ישים שנים גלגלים בראשונה: B לשום גלגל בראשונה או שני גלגלים; V171 תוכל להשים שנים גלגלים בראשונה</ref> או כפי מה שיצטרך עד אין חקר<ref>או כפי ... אין חקר: B כפי מה שיצטרך לו בראש</ref> או באמצע‫<ref>או באמצע: Lo10785; Mo30 om.; Mu150 או ב<sup>א</sup>מצע; O187 וכן באמצע; P1051 בראש או באמצע; B או באמצע וזה דמות הגלגל 0 וטעמו ''כגלגל כקש לפני רוח'' [תהילים פג, י"ד] ואינו אלא לשמור המעלות ובלשון לעז שמו סִיפְרָא<br>ישים ... או באמצע: P1050 וטעמו ''כגלגל כקש לפני רוח'' ואינו אלא לשמור המעלות ובלע' סיפרא marg. [יע]שה לשמור [מע]לו' הגלגל [לפי] מעלות [ה]גלגל שיש לו [י]שים גלגל [בר]אשונה או [שני] גלגלים [או כפי] מה אז [ש]יצטרך לו [ב]ראשו' או [ב]אמצע וזה דמות גלגל 0<br>ועל זה הדרך ... או באמצע: B marg. ס"א ועל זה הדרך ישים גלגלים בראשונה או כפי מה שיצטרך עד אין חקר או באמצע</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 177: | Line 245: | ||
| | | | ||
*Chapter One: multiplication of a number by itself or by other; multiplication of one number by two numbers or more; multiplication of multiple numbers by multiple [numbers] | *Chapter One: multiplication of a number by itself or by other; multiplication of one number by two numbers or more; multiplication of multiple numbers by multiple [numbers] | ||
− | |style="text-align:right;"|'''השער הא''''<ref>הא': III; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 הראשון; Lo10785; Mo30 הראשון הוא שער הכפל; B; O187; V171 הא' שער הכפל</ref><ref group=note>הכפל: B marg. מולטיפליקארי</ref> {{#annot:term| | + | |style="text-align:right;"|'''השער הא''''<ref>הא': III; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 הראשון; Lo10785; Mo30 הראשון הוא שער הכפל; B; O187; V171 הא' שער הכפל</ref><ref group=note>הכפל: B marg. מולטיפליקארי</ref> {{#annot:term|156|gpNl}}לכפול<ref>לכפול: P1050 top כפל</ref> חשבון על עצמו{{#annotend:gpNl}}<ref>על עצמו: O187 בחשבון על עצמו; P1050 על חשבון על עצמו</ref><ref group=note>לכפול חשבון על עצמו: B com לכפול חשבון על עצמו. כמו כ"ה על כ"ה</ref> או על<ref>על: P1051; V397 עם</ref> אחר<ref group=note>או על אחר: B com או על אחר כמו כ"ה על כ"ד</ref> או כפל<ref>כפל: B לכפול; Lo27153 <s>כפלי חשבונות</s> <sup>כפלי</sup>; N2627 על כפל; P1051; V397 בהכפל</ref> חשבון אחד<ref>אחד: P1029 om.</ref> על שנים<ref>שנים: P1029 שני</ref> חשבונות<ref>חשבונות: Lo10785; Mo30; O187; V171 חשבונים; P1051; V397 om.</ref><ref group=note>או לכפול חשבון אחד על שנים חשבונות: B com או חשבון אחד על שנים. ככפל עשרות על מאות ועשרות</ref> או יותר<ref>יותר: P1051 יתר</ref> או כפל<ref>כפל: B; P1051 om.<br>או כפל: V397 om.</ref> חשבונות<ref>חשבונות: B; Lo10785; Mo30; V171 om.</ref> רבים על רבים‫<ref>על רבים: N2627 om.</ref><ref group=note>או רבים על רבים: B com או רבים על רבים. כמו אחדי' עשרו' ומאות עם אחדי' עשרו' ומאות</ref> |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 199: | Line 267: | ||
| | | | ||
|style="text-align:right;"|'''השער הז''''<ref>הז': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השביעי<br>השער הז': V171 שער הז'</ref> על שרשי<ref>על שרשי: Mu43 והוא שער נכבד מאד כי ממנו נוכל להוציא על שרשי; B שער השרשי'</ref> המרובעים והמאזנים<ref>והמאזנים: B וכל המאזנים</ref> שלהם כי הם רבים<ref>רבים: P1029 top<br>הם רבים: B רבים הם</ref> וחכמת המדות תלויה<ref>תלויה: P1029; P1052 תלוי</ref> בשער הזה<ref>בשער הזה: Lo10785; Mo30; Mu43; P1050 בזה השער; Mu150; P1029; P1052 בשער זה</ref> וזה<ref>וזה: V171 om.</ref> השער<ref>וזה השער: P1051; V397 וזה שער; B והוא</ref> חמור<ref>חמור: Mu150 האמור</ref> מכל השערים<ref>השערים: Lo10785 השערים אשר; Mo30 השערים אשר לפניו</ref> ואין<ref>ואין: Lo10785 om.</ref> כח במשכיל<ref>במשכיל: P1051 להשכיל; P1052 למשכיל<br>כח במשכיל: Lo10785; Mo30 בכח משכיל</ref> לדעת קדרות<ref>קדרות: P1052 סדרי קדרות; O187 קדר<sup>ו</sup>ת</ref> המאורות אם לא ילמד<ref>ילמד: Lo10785; N2627; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386 ילמוד</ref> זה<ref>זה: Lo10785; Mo30 תחלה זה</ref> השער<ref>זה השער: P1029 שער זה; V171 השער הזה</ref> ויתרי<ref>ויתרי: V386 והיתרים; Mu43 ויתר ידוע</ref> קשתי<ref>קשתי: O187 קשתות; V171 קשת; V386 וקשתי</ref> העגול<ref>העגול: Mu43; Mu150; P1029; P1051 זה העגול</ref> יצאו<ref>יצאו: O187; P1052 יצא</ref> מהשער הזה‫<ref>מהשער הזה: III; N2627; P1050 מזה השער; P1029; P1052 משער זה<br>יצאו מהשער הזה: V171 om.</ref> | |style="text-align:right;"|'''השער הז''''<ref>הז': III; Mo30; Mu150; N2627; P1050; P1051; V397 השביעי<br>השער הז': V171 שער הז'</ref> על שרשי<ref>על שרשי: Mu43 והוא שער נכבד מאד כי ממנו נוכל להוציא על שרשי; B שער השרשי'</ref> המרובעים והמאזנים<ref>והמאזנים: B וכל המאזנים</ref> שלהם כי הם רבים<ref>רבים: P1029 top<br>הם רבים: B רבים הם</ref> וחכמת המדות תלויה<ref>תלויה: P1029; P1052 תלוי</ref> בשער הזה<ref>בשער הזה: Lo10785; Mo30; Mu43; P1050 בזה השער; Mu150; P1029; P1052 בשער זה</ref> וזה<ref>וזה: V171 om.</ref> השער<ref>וזה השער: P1051; V397 וזה שער; B והוא</ref> חמור<ref>חמור: Mu150 האמור</ref> מכל השערים<ref>השערים: Lo10785 השערים אשר; Mo30 השערים אשר לפניו</ref> ואין<ref>ואין: Lo10785 om.</ref> כח במשכיל<ref>במשכיל: P1051 להשכיל; P1052 למשכיל<br>כח במשכיל: Lo10785; Mo30 בכח משכיל</ref> לדעת קדרות<ref>קדרות: P1052 סדרי קדרות; O187 קדר<sup>ו</sup>ת</ref> המאורות אם לא ילמד<ref>ילמד: Lo10785; N2627; O187; P1029; P1051; P1052; V171; V386 ילמוד</ref> זה<ref>זה: Lo10785; Mo30 תחלה זה</ref> השער<ref>זה השער: P1029 שער זה; V171 השער הזה</ref> ויתרי<ref>ויתרי: V386 והיתרים; Mu43 ויתר ידוע</ref> קשתי<ref>קשתי: O187 קשתות; V171 קשת; V386 וקשתי</ref> העגול<ref>העגול: Mu43; Mu150; P1029; P1051 זה העגול</ref> יצאו<ref>יצאו: O187; P1052 יצא</ref> מהשער הזה‫<ref>מהשער הזה: III; N2627; P1050 מזה השער; P1029; P1052 משער זה<br>יצאו מהשער הזה: V171 om.</ref> | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | == Chapter One – Multiplication == | + | == Chapter One – [Multiplication] == |
− | !style="text-align:right;"|השער הראשון | + | !style="text-align:right;"|<big>השער הראשון</big> |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 212: | Line 282: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}</math> | + | *<math>\scriptstyle{\color{red}{\left(a\sdot10^n\right)\times\left(b\sdot10^m\right)=\left(a\sdot b\right)\sdot10^{n+m}}}</math> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :I have already mentioned what the ranks of the number are. When you have two numbers to multiply a decade by a decade, be it by itself, or by another, look for their analogous in the first rank, see how much is the product of the multiplication of one by the other and keep it. Then, see how many ranks the two numbers are, whether they are in the same rank or two [different] ranks, and know what the sum of the numbers of the two ranks is. Always subtract one for the foundation and put the reserved number in the remaining number of the ranks. | ||
|style="text-align:right;"|כבר הזכרתי איך הם<ref group=I>הם: O187 הן</ref> מעלות המספר<ref group=I>המספר: P1051 <s>המעלות</s> המספר; P1050; W194 מספר</ref> והנה<ref group=I>והנה: P1050; III הנה; P1051 וזה</ref> כשיבואו<ref group=I>כשיבואו: P1051 כשיבהו marg. נ"ל כשיהיו; P1052; W152 כשיבא</ref> לך שנים<ref group=I>שנים: Lo27153; Mu150; O187; P1052 שני</ref> מספרים לכפול<ref group=I>לכפול: P1052 <s>לכלו</s> לכפ<sup>ו</sup>ל</ref> כלל על<ref group=I>על: V397 עם</ref> כלל<br> | |style="text-align:right;"|כבר הזכרתי איך הם<ref group=I>הם: O187 הן</ref> מעלות המספר<ref group=I>המספר: P1051 <s>המעלות</s> המספר; P1050; W194 מספר</ref> והנה<ref group=I>והנה: P1050; III הנה; P1051 וזה</ref> כשיבואו<ref group=I>כשיבואו: P1051 כשיבהו marg. נ"ל כשיהיו; P1052; W152 כשיבא</ref> לך שנים<ref group=I>שנים: Lo27153; Mu150; O187; P1052 שני</ref> מספרים לכפול<ref group=I>לכפול: P1052 <s>לכלו</s> לכפ<sup>ו</sup>ל</ref> כלל על<ref group=I>על: V397 עם</ref> כלל<br> | ||
בין שיהיה<ref group=I>שיהיה: Mu150; P1052 om.</ref> על עצמו‫<ref group=I>על עצמו: P1050; III על עצמו כמו כ' על כ'</ref><br> | בין שיהיה<ref group=I>שיהיה: Mu150; P1052 om.</ref> על עצמו‫<ref group=I>על עצמו: P1050; III על עצמו כמו כ' על כ'</ref><br> | ||
Line 220: | Line 294: | ||
ובקש במספר<ref group=I>במספר: Mo30; O187 המספר</ref> המעלה<ref group=I>המעלה: P1050 מעלת<br>במספר המעלה: III מספר מעלות; O187 הנשאר המעלה</ref> הנשאר<ref group=I>הנשאר: Mu150 הנ<sup>א</sup>שר הנשאר; O187; V397 הנשארת</ref> במספר<ref group=I>במספר: V397 מהמספר; III om.</ref> השמור‫<ref group=I> השמור: III וכפי מספר המעלות כן תכתוב השמור (W152 השמור תכתוב)</ref> | ובקש במספר<ref group=I>במספר: Mo30; O187 המספר</ref> המעלה<ref group=I>המעלה: P1050 מעלת<br>במספר המעלה: III מספר מעלות; O187 הנשאר המעלה</ref> הנשאר<ref group=I>הנשאר: Mu150 הנ<sup>א</sup>שר הנשאר; O187; V397 הנשארת</ref> במספר<ref group=I>במספר: V397 מהמספר; III om.</ref> השמור‫<ref group=I> השמור: III וכפי מספר המעלות כן תכתוב השמור (W152 השמור תכתוב)</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I will discuss the meaning of the foundation in my discussion about the secret of the one, with the help of God. |
|style="text-align:right;"|ועוד אדבר על טעם<ref group=I>על טעם: P1052 בטעמי</ref> המוסד<ref group=I>המוסד: V398 <s>אחר</s> המוסד</ref> בדברי על סוד האחד<ref group=I>האחד: P1029 אחת האחד; P1050 <sup>ה</sup>אחד<br>ועוד ... האחד: Mo30 marg.</ref> בע"ה‫<ref group=I>בע"ה: Mo30; O187 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ועוד אדבר על טעם<ref group=I>על טעם: P1052 בטעמי</ref> המוסד<ref group=I>המוסד: V398 <s>אחר</s> המוסד</ref> בדברי על סוד האחד<ref group=I>האחד: P1029 אחת האחד; P1050 <sup>ה</sup>אחד<br>ועוד ... האחד: Mo30 marg.</ref> בע"ה‫<ref group=I>בע"ה: Mo30; O187 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 229: | Line 303: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The number that is analogous to thirty is three and the number that is analogous to two hundred is two. We multiply 2 by 3, the result is six and this is the reserved number. We seek the ranks: thirty is of the second rank, which are the tens; we take two for it. Since the two hundred is of the third rank, for they are the hundreds, we take three for it and add the two to them; they are five. We subtract one to the foundation; four remain. As we already know that the fourth rank is for the thousand and the reserved number is six, the result is six thousand. | ||
|style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: Mo30; Mu150; P1052 הנה</ref> דמיון שלשים<ref group=I>שלשים: V397 השלשים</ref> שלשה<ref group=I>שלשים שלשה: P1052 שלשים הוא שלשה; W152 ל' <sup>הוא</sup> ג'</ref> ודמיון<ref group=I>ודמיון: V397; V398; W152; W194 דמיון</ref> מאתים שנים‫<ref group=I>מאתים שנים: P1052 מאתים הוא שנים; W152 ר' <sup>הוא</sup> ב'</ref><br> | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: Mo30; Mu150; P1052 הנה</ref> דמיון שלשים<ref group=I>שלשים: V397 השלשים</ref> שלשה<ref group=I>שלשים שלשה: P1052 שלשים הוא שלשה; W152 ל' <sup>הוא</sup> ג'</ref> ודמיון<ref group=I>ודמיון: V397; V398; W152; W194 דמיון</ref> מאתים שנים‫<ref group=I>מאתים שנים: P1052 מאתים הוא שנים; W152 ר' <sup>הוא</sup> ב'</ref><br> | ||
כפלנו ב'<ref group=I>כפלנו ב': V398 marg.</ref> על ג' והנה<ref group=I>והנה: Mo30; P1052 om.</ref> עלו<ref group=I>עלו: Mu150; P1052 יעלו</ref> ששה וזהו<ref group=I>וזהו: III; Mu150 וזה</ref> החשבון השמור‫<ref group=I>החשבון השמור: P1052 חשבון שמור</ref><br> | כפלנו ב'<ref group=I>כפלנו ב': V398 marg.</ref> על ג' והנה<ref group=I>והנה: Mo30; P1052 om.</ref> עלו<ref group=I>עלו: Mu150; P1052 יעלו</ref> ששה וזהו<ref group=I>וזהו: III; Mu150 וזה</ref> החשבון השמור‫<ref group=I>החשבון השמור: P1052 חשבון שמור</ref><br> | ||
Line 242: | Line 317: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We multiply two by seven; it is 14 and this is the reserved. two hundred is of the third rank and 7 hundred is also of to the third rank; we take for them 6 and subtract one, it is 5. The beginning of the fifth rank is ten thousand and the reserved number is 14, so we take ten thousand of this number, the result is one hundred thousand and forty thousand. | ||
|style="text-align:right;"|והנה כפלנו שנים על שבעה<ref group=I>והנה ... ז': Mo30 marg.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 עלו; mu150 והוא; O187 הם; P1029; P1051; V397 הנה; P1050; P1052; W152 והם</ref> י"ד והוא<ref group=I>והוא: O187 הוא; P1050 והנה</ref> השמור<br> | |style="text-align:right;"|והנה כפלנו שנים על שבעה<ref group=I>והנה ... ז': Mo30 marg.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 עלו; mu150 והוא; O187 הם; P1029; P1051; V397 הנה; P1050; P1052; W152 והם</ref> י"ד והוא<ref group=I>והוא: O187 הוא; P1050 והנה</ref> השמור<br> | ||
והנה מאתים<ref group=I>מאתים: Mu150; P1052 המאתים; W152 הר'</ref> מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן<ref group=I>גם כן: Mo30; O187 om.; P1051 אם כן<br>וז' מאות גם כן: P1052 וכן ז' מאות</ref> מהמעלה השלישית<ref group=I>מהמעלה השלישית: Mu150; P1051; V398 מהשלישית</ref> נקח<ref group=I>נקח: Mo30 והנה נקח</ref> להם<ref group=I>להם: O187; V397 לו<br>נקח להם: P1051 נקרא לו; W152 ויהיו</ref> ששה ונחסר<ref group=I>ונחסר: Mu150 ונחסר להם; W152 נחסר</ref> אחד<ref group=I>אחד: O187 ממנו אחד; V397 אחת; Mu150; P1052; W152 אחד למוסד</ref> הנה<ref group=I>הנה: Mo30; Mu150; P1052 והנה; W152 ישארו; Lo27153; W194 הרי</ref> חמשה<br> | והנה מאתים<ref group=I>מאתים: Mu150; P1052 המאתים; W152 הר'</ref> מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן<ref group=I>גם כן: Mo30; O187 om.; P1051 אם כן<br>וז' מאות גם כן: P1052 וכן ז' מאות</ref> מהמעלה השלישית<ref group=I>מהמעלה השלישית: Mu150; P1051; V398 מהשלישית</ref> נקח<ref group=I>נקח: Mo30 והנה נקח</ref> להם<ref group=I>להם: O187; V397 לו<br>נקח להם: P1051 נקרא לו; W152 ויהיו</ref> ששה ונחסר<ref group=I>ונחסר: Mu150 ונחסר להם; W152 נחסר</ref> אחד<ref group=I>אחד: O187 ממנו אחד; V397 אחת; Mu150; P1052; W152 אחד למוסד</ref> הנה<ref group=I>הנה: Mo30; Mu150; P1052 והנה; W152 ישארו; Lo27153; W194 הרי</ref> חמשה<br> | ||
Line 248: | Line 324: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :You can proceed endlessly according to this procedure. | ||
|style="text-align:right;"|ועל<ref group=I>ועל: Mu150; P1029; P1052 והנה על</ref> זה הסדר<ref group=I>הסדר: Lo27153 <s>הדרך</s> הסדר</ref> תוכל לעשות עד אין קץ‫<ref group=I>קץ: O187 מספר</ref> | |style="text-align:right;"|ועל<ref group=I>ועל: Mu150; P1029; P1052 והנה על</ref> זה הסדר<ref group=I>הסדר: Lo27153 <s>הדרך</s> הסדר</ref> תוכל לעשות עד אין קץ‫<ref group=I>קץ: O187 מספר</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2</math> | + | *<math>\scriptstyle{\color{red}{\left[\left(a\sdot10^n\right)-b\right]\times\left[\left(a\sdot10^n\right)+b\right]=\left(a\sdot10^n\right)^2-b^2}}</math> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If there are two numbers whose distance from a decade is as much as the distance of two other numbers, only that the one is deficient and the other exceeding, know how much the square of the decade, always subtract from it the square of the excess and the deficit and the remainder is the sought number. | ||
|style="text-align:right;"|ואם היו שנים<ref group=I>שנים: P1050 שני; P1052 השנים</ref> מספרים מרחקם<ref group=I>מרחקם: Mo30 אשר מרחקם; Mu150 מחזיקים</ref> מחשבון<ref group=I>מחשבון: O187 מן חשבון</ref> כלל כמרחק שנים<ref group=I>שנים: P1029; P1052 שני</ref> מספרים<ref group=I>שנים מספרים: O187 שוה מהמספרים</ref> אחרים<ref group=I>אחרים: Mo30 om.</ref> רק<ref group=I>רק: Mo30 אך</ref> האחד במגרעת והשני בתוספת‫<ref group=I>האחד במגרעת והשני בתוספת: Mo30 האחד בתוספת והשני במגרעת</ref><br> | |style="text-align:right;"|ואם היו שנים<ref group=I>שנים: P1050 שני; P1052 השנים</ref> מספרים מרחקם<ref group=I>מרחקם: Mo30 אשר מרחקם; Mu150 מחזיקים</ref> מחשבון<ref group=I>מחשבון: O187 מן חשבון</ref> כלל כמרחק שנים<ref group=I>שנים: P1029; P1052 שני</ref> מספרים<ref group=I>שנים מספרים: O187 שוה מהמספרים</ref> אחרים<ref group=I>אחרים: Mo30 om.</ref> רק<ref group=I>רק: Mo30 אך</ref> האחד במגרעת והשני בתוספת‫<ref group=I>האחד במגרעת והשני בתוספת: Mo30 האחד בתוספת והשני במגרעת</ref><br> | ||
דע כמה<ref group=I>כמה: O187 כמו</ref> מרובע<ref group=I>מרובע: Mo30; P1029; P1050; V398; W152; W194 om.</ref> מספר<ref group=I>מרובע מספר: O187 מספר מרובע; P1052 מספר <sup>מרובע</sup></ref> הכלל<ref group=I>הכלל: Mo30 הכלל המבוקש; P1052 הכולל</ref> וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר<ref group=I>החשבון היתר והחסר: P1051; V397 חשבון החסר והיתר; O187 חשבון היתר והחסר</ref> והנשאר הוא<ref group=I>והנשאר הוא: W152 והוא</ref> החשבון<ref group=I>החשבון: Mo30; III; P1051; P1052 om.; Mu150; O187 חשבון</ref> המבוקש | דע כמה<ref group=I>כמה: O187 כמו</ref> מרובע<ref group=I>מרובע: Mo30; P1029; P1050; V398; W152; W194 om.</ref> מספר<ref group=I>מרובע מספר: O187 מספר מרובע; P1052 מספר <sup>מרובע</sup></ref> הכלל<ref group=I>הכלל: Mo30 הכלל המבוקש; P1052 הכולל</ref> וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר<ref group=I>החשבון היתר והחסר: P1051; V397 חשבון החסר והיתר; O187 חשבון היתר והחסר</ref> והנשאר הוא<ref group=I>והנשאר הוא: W152 והוא</ref> החשבון<ref group=I>החשבון: Mo30; III; P1051; P1052 om.; Mu150; O187 חשבון</ref> המבוקש | ||
Line 261: | Line 342: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The decade is thirty, its square is 9 hundred, because three by three are nine; the excess and the deficit is one, its square one; we subtract it from the square of the decade, the remainder is the sought after, which is 899. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29\times31&\scriptstyle=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)\\&\scriptstyle=30^2-1^2=900-1=899\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle29\times31&\scriptstyle=\left(30-1\right)\sdot\left(30+1\right)\\&\scriptstyle=30^2-1^2=900-1=899\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה חשבון<ref group=I>חשבון: Mo30; O187; P1050; P1051; V397 החשבון</ref> הכלל הוא<ref group=I>הוא: Mo30; P1052 om.</ref> שלשים ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: Mu150 ומרובע ל' פי' ל' פעמים ל' הם; P1052 ומרובע ל' פעמים ל' הם</ref> ט' מאות כי שלשה על שלשה<ref group=I>שלשה: P1051 א'</ref> הם<ref group=I>הם: Mo30; P1029; P1051; V397; III om.</ref> תשעה <ref group=I>MS N2624 begin.</ref>והיתרון והחסרון<ref group=I>והחסרון: P1050 twice; W152 om.<br>והיתרון והחסרון: Lo27153; Mu150; P1029; P1052; W194 והחסרון והיתרון</ref> הוא<ref group=I>הוא: P1029 om.</ref> אחד<ref group=I>אחד: V397 הא'</ref> ומרובעו אחד<ref group=I>אחד: Mu150 <s>אחד</s> א'; P1051 אחד <s>ממר</s></ref> חסרנום<ref group=I>חסרנום: Mo30 נחסרנו; Mu150 חסר א'; O187 וחסרנו א'; P1029 וסרנוהו; P1050 <sup>נ</sup>חסרנו<s>הו</s>; P1051 וחסרנום; P1052 חסרנו; V397 נחסרנום; W152 חסרנוהו</ref> ממרובע<ref group=I>ממרובע: Mo30 מחשבון</ref> הכלל<ref group=I>הכלל: Mo30 כלל</ref> והנשאר הוא המבוקש והוא<ref group=I>והוא: P1029 שהוא; P1052 והנה; V398; III; Mu150 om.</ref> תתצ"ט‫<ref group=I>תתצ"ט: Mu150 כזה טטח; V398; III om. (Lo27153 add. marg.)<br>והוא תתצ"ט: P1050 marg. זהו תתצ"ט</ref> | |style="text-align:right;"|והנה חשבון<ref group=I>חשבון: Mo30; O187; P1050; P1051; V397 החשבון</ref> הכלל הוא<ref group=I>הוא: Mo30; P1052 om.</ref> שלשים ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: Mu150 ומרובע ל' פי' ל' פעמים ל' הם; P1052 ומרובע ל' פעמים ל' הם</ref> ט' מאות כי שלשה על שלשה<ref group=I>שלשה: P1051 א'</ref> הם<ref group=I>הם: Mo30; P1029; P1051; V397; III om.</ref> תשעה <ref group=I>MS N2624 begin.</ref>והיתרון והחסרון<ref group=I>והחסרון: P1050 twice; W152 om.<br>והיתרון והחסרון: Lo27153; Mu150; P1029; P1052; W194 והחסרון והיתרון</ref> הוא<ref group=I>הוא: P1029 om.</ref> אחד<ref group=I>אחד: V397 הא'</ref> ומרובעו אחד<ref group=I>אחד: Mu150 <s>אחד</s> א'; P1051 אחד <s>ממר</s></ref> חסרנום<ref group=I>חסרנום: Mo30 נחסרנו; Mu150 חסר א'; O187 וחסרנו א'; P1029 וסרנוהו; P1050 <sup>נ</sup>חסרנו<s>הו</s>; P1051 וחסרנום; P1052 חסרנו; V397 נחסרנום; W152 חסרנוהו</ref> ממרובע<ref group=I>ממרובע: Mo30 מחשבון</ref> הכלל<ref group=I>הכלל: Mo30 כלל</ref> והנשאר הוא המבוקש והוא<ref group=I>והוא: P1029 שהוא; P1052 והנה; V398; III; Mu150 om.</ref> תתצ"ט‫<ref group=I>תתצ"ט: Mu150 כזה טטח; V398; III om. (Lo27153 add. marg.)<br>והוא תתצ"ט: P1050 marg. זהו תתצ"ט</ref> | ||
Line 270: | Line 352: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The decade is 60, the deficit and the excess is 6, the square of the decade is 3 thousand and 600. We subtract from it 36, which is the square of the deficit and the excess, the remainder is the sought after. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle66\times54&\scriptstyle=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)\\&\scriptstyle=60^2-6^2=3600-36=3564\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle66\times54&\scriptstyle=\left(60+6\right)\sdot\left(60-6\right)\\&\scriptstyle=60^2-6^2=3600-36=3564\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה חשבון<ref group=I>חשבון: Lo27153 <s>ה</s>חשבון; V397 החשבון</ref> הכלל ס'<ref group=I>ס': Mo30 הוא ס'</ref> והחסרון והיתרון<ref group=I>והחסרון והיתרון: Mo30 והיתרון והחסרון</ref> הוא<ref group=I>הוא: V398 הנה</ref> ששה והנה מרובע הכלל<ref group=I>הכלל: P1029 הכלל ס' על ס'; V397 הכולל; W152; W194 הכל</ref> ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע<ref group=I>מרובע: P1051; V397 om.</ref> החסרון והיתרון<ref group=I>החסרון והיתרון: V397 היתרון והחסרון; P1029 החסרון והיתרון שהוא ו' על ו'<br>ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון: Mo30 מרובע החסרון והיתרון והוא ל"ו</ref> והנשאר<ref group=I>והנשאר: Mu150 והנש<sup>א</sup>ר; V397 והשאר</ref> הוא המבוקש‫<ref group=I>המבוקש: O187 המבוקש ג' אלפים ותקס"ד; P1029 המבוקש שהוא ג' אלפים ותקס"ד</ref> | |style="text-align:right;"|והנה חשבון<ref group=I>חשבון: Lo27153 <s>ה</s>חשבון; V397 החשבון</ref> הכלל ס'<ref group=I>ס': Mo30 הוא ס'</ref> והחסרון והיתרון<ref group=I>והחסרון והיתרון: Mo30 והיתרון והחסרון</ref> הוא<ref group=I>הוא: V398 הנה</ref> ששה והנה מרובע הכלל<ref group=I>הכלל: P1029 הכלל ס' על ס'; V397 הכולל; W152; W194 הכל</ref> ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע<ref group=I>מרובע: P1051; V397 om.</ref> החסרון והיתרון<ref group=I>החסרון והיתרון: V397 היתרון והחסרון; P1029 החסרון והיתרון שהוא ו' על ו'<br>ל"ו שהוא מרובע החסרון והיתרון: Mo30 מרובע החסרון והיתרון והוא ל"ו</ref> והנשאר<ref group=I>והנשאר: Mu150 והנש<sup>א</sup>ר; V397 והשאר</ref> הוא המבוקש‫<ref group=I>המבוקש: O187 המבוקש ג' אלפים ותקס"ד; P1029 המבוקש שהוא ג' אלפים ותקס"ד</ref> | ||
Line 279: | Line 362: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The decade is 300, its square is 90 thousand. We subtract from it the square of 50, which is the deficit and the excess, and it is 2500. The remainder is the sought after. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle250\times350&\scriptstyle=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)\\&\scriptstyle=300^2-50^2=90000-2500=87500\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle250\times350&\scriptstyle=\left(300-50\right)\sdot\left(300+50\right)\\&\scriptstyle=300^2-50^2=90000-2500=87500\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה הכלל<ref group=I>והנה הכלל: Mo30 והמספר כלל</ref> הוא<ref group=I>הוא: Lo27153; P1051 om.</ref> ש' ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: Mu150 והמרובע; P1029 ומרובעו הוא; P1052 והמרובע הוא</ref> צ'<ref group=I>צ': P1029 <s>ה</s> צ'</ref> אלף נחסר ממנו מרובע<ref group=I>מרובע: Lo27153 om.</ref> נ' שהוא<ref group=I>שהוא: Mu150 והוא מרובע; O187; P1029; P1050; P1052; V398 שהוא מרובע; Lo27153 על חמשים שהוא מרובע; P1051 שהוא המרובע</ref> החסרון והיתרון<ref group=I>החסרון והיתרון: Mo30 היתרון והחסרון</ref> ומספרו<ref group=I>ומספרו: Mo30 ומרובעו</ref> אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫<ref group=I>המבוקש: O187 המבוקש פ"ז אלף ות"ק; Lo27153 המבוקש שהוא פ"ז אלפי' וחמש מאות; P1052 המבוקש marg. והנה המבוקש פ"ז אלף ת"ק</ref> | |style="text-align:right;"|והנה הכלל<ref group=I>והנה הכלל: Mo30 והמספר כלל</ref> הוא<ref group=I>הוא: Lo27153; P1051 om.</ref> ש' ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: Mu150 והמרובע; P1029 ומרובעו הוא; P1052 והמרובע הוא</ref> צ'<ref group=I>צ': P1029 <s>ה</s> צ'</ref> אלף נחסר ממנו מרובע<ref group=I>מרובע: Lo27153 om.</ref> נ' שהוא<ref group=I>שהוא: Mu150 והוא מרובע; O187; P1029; P1050; P1052; V398 שהוא מרובע; Lo27153 על חמשים שהוא מרובע; P1051 שהוא המרובע</ref> החסרון והיתרון<ref group=I>החסרון והיתרון: Mo30 היתרון והחסרון</ref> ומספרו<ref group=I>ומספרו: Mo30 ומרובעו</ref> אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש‫<ref group=I>המבוקש: O187 המבוקש פ"ז אלף ות"ק; Lo27153 המבוקש שהוא פ"ז אלפי' וחמש מאות; P1052 המבוקש marg. והנה המבוקש פ"ז אלף ת"ק</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :According to this procedure we can proceed with other numbers that are similar to these, such that the deficit is the same as the excess. | ||
|style="text-align:right;"|ועל זה הסדר<ref group=I>הסדר: O187; P1052; V398; W152 הדרך; P1051 הדרך והסדר<br>זה הסדר: P1029 סדר זה</ref> נוכל<ref group=I>נוכל: Mu150; P1052 תוכל</ref> לעשות שאר<ref group=I>שאר: P1051 om.</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: P1029; P1052 מספרים</ref> הדומים לאלה<ref group=I>לאלה: Mo30; Mu150 לאלו</ref> שהחסרון<ref group=I>שהחסרון: Mu150 כשיהיה החסרון; V397 כי יהיה ה<s>א</s><sup>ח</sup>סרון; III; P1051; P1052; V398 כי החסרון</ref> כמו היתרון‫<ref group=I>כמו היתרון: Mu150 כמו היתרון וזה צורתו; O187 והיתרון שוים</ref> | |style="text-align:right;"|ועל זה הסדר<ref group=I>הסדר: O187; P1052; V398; W152 הדרך; P1051 הדרך והסדר<br>זה הסדר: P1029 סדר זה</ref> נוכל<ref group=I>נוכל: Mu150; P1052 תוכל</ref> לעשות שאר<ref group=I>שאר: P1051 om.</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: P1029; P1052 מספרים</ref> הדומים לאלה<ref group=I>לאלה: Mo30; Mu150 לאלו</ref> שהחסרון<ref group=I>שהחסרון: Mu150 כשיהיה החסרון; V397 כי יהיה ה<s>א</s><sup>ח</sup>סרון; III; P1051; P1052; V398 כי החסרון</ref> כמו היתרון‫<ref group=I>כמו היתרון: Mu150 כמו היתרון וזה צורתו; O187 והיתרון שוים</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2</math> | + | *<math>\scriptstyle{\color{red}{a^2=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}a\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}a\right)^2}}</math> |
− | |style="text-align:right;"|[[Search_Page#MpWL | ‫<ref group=note>W152 marg. לחזור על הטעם של [הטענה] דרך כזה</ref>'''דרך אחרת''' נכבדת<ref group=I>נכבדת: P1052 מצאתי נכבדת</ref> שהוצאתי<ref group=I>שהוצאתי: Mo30 הוצאתיה; Mu150 מאצתי שהוצאתי marg. מצאתי במרובעים</ref> בדרך<ref group=I>בדרך: O187 מן</ref> השלישית<ref group=I>השלישית: P1050 השלישיות</ref> שנקח<ref group=I>שנקח: Mo30 והוא שנקח; P1051 שהוא</ref> שלישית החשבון<ref group=I>החשבון: Mo30 om.</ref> ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו<ref group=I>מרובע השלישית ממנו: O187 ממנו מרובע השלישית</ref> והנשאר הוא המבוקש]] | + | | |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :Another important method that I have found is with thirds: We take one-third of the number and we know how much its square is. We take its closest higher decade and subtract from it the square of the third; the remainder is the sought after. | ||
+ | |style="text-align:right;"|[[Search_Page#MpWL | ‫<ref group=note>W152 marg. לחזור על הטעם של [הטענה] דרך כזה</ref>'''דרך אחרת''' נכבדת<ref group=I>נכבדת: P1052 מצאתי נכבדת</ref> שהוצאתי<ref group=I>שהוצאתי: Mo30 הוצאתיה; Mu150 מאצתי שהוצאתי marg. מצאתי במרובעים</ref> בדרך<ref group=I>בדרך: O187 מן</ref> השלישית<ref group=I>השלישית: P1050 השלישיות</ref> שנקח<ref group=I>שנקח: Mo30 והוא שנקח; P1051 שהוא</ref> שלישית החשבון<ref group=I>החשבון: Mo30 om.</ref> ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו<ref group=I>מרובע השלישית ממנו: O187 ממנו מרובע השלישית</ref> והנשאר הוא המבוקש]] | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 295: | Line 384: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2 | + | ::We take its third, which is one; its square is one; ten is its closest decade. We subtract from it the square of one, which is the third; 9 remain and this is the sought after. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle3^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot3\right)^2=\left(10\sdot1^2\right)-1^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot1\right)-1=10-1=9\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נקח<ref group=I>נקח: Mu150 ונקח<br>ג' נקח: W152 top</ref> שלישיתו<ref group=I>שלישיתו: P1051; V398; W194 שלישית; W152 השלישית</ref> שהוא<ref group=I>שהוא: P1051 והוא</ref> אחד ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: P1029 ומרובעו שהוא</ref> אחד<ref group=I>אחד: Lo27153 <s>אחד</s> אחד; Mu150 הוא א'<br>ומרובעו אחד: P1051 om.</ref> ועשרה<ref group=I>ועשרה: Mo30; Mu150; P1029; P1050; P1051; V398; III והוא עשרה; P1029 marg. והנה</ref> שהוא הכלל<ref group=I>הכלל: P1050 כלל<br>שהוא הכלל: Mo30 בכלל</ref> הקרוב אליו נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: V398 om.</ref> מרובע אחד שהוא<ref group=I>מרובע אחד שהוא: Mo30 מרובע אחד שהוא אחד; Lo27153 מרובע אחד שהוא <s>עשרה</s> א'</ref> השלישית<ref group=I>השלישית: Mo30; Lo27153 om.</ref> וישאר<ref group=I>וישאר: Mo30 והנשאר</ref> ט' והוא<ref group=I>ט' והוא: Mo30 שהוא ט' הוא</ref> המבוקש | |style="text-align:right;"|נקח<ref group=I>נקח: Mu150 ונקח<br>ג' נקח: W152 top</ref> שלישיתו<ref group=I>שלישיתו: P1051; V398; W194 שלישית; W152 השלישית</ref> שהוא<ref group=I>שהוא: P1051 והוא</ref> אחד ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: P1029 ומרובעו שהוא</ref> אחד<ref group=I>אחד: Lo27153 <s>אחד</s> אחד; Mu150 הוא א'<br>ומרובעו אחד: P1051 om.</ref> ועשרה<ref group=I>ועשרה: Mo30; Mu150; P1029; P1050; P1051; V398; III והוא עשרה; P1029 marg. והנה</ref> שהוא הכלל<ref group=I>הכלל: P1050 כלל<br>שהוא הכלל: Mo30 בכלל</ref> הקרוב אליו נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: V398 om.</ref> מרובע אחד שהוא<ref group=I>מרובע אחד שהוא: Mo30 מרובע אחד שהוא אחד; Lo27153 מרובע אחד שהוא <s>עשרה</s> א'</ref> השלישית<ref group=I>השלישית: Mo30; Lo27153 om.</ref> וישאר<ref group=I>וישאר: Mo30 והנשאר</ref> ט' והוא<ref group=I>ט' והוא: Mo30 שהוא ט' הוא</ref> המבוקש | ||
|- | |- | ||
Line 304: | Line 394: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle15^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2 | + | ::Its one-third is 5, the square of which is 25, the analogous number in the closest decade is 250. Subtract from it the square of 5, which is the third; 225 remain. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle15^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot15\right)^2=\left(10\sdot5^2\right)-5^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot25\right)-25=250-25=225\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה<ref group=I>והדומה: Mo30; O187 והדומה לו</ref> בכלל הקרוב אליו<ref group=I>אליו: Mo30; V398; P1050; III om.</ref> ר"נ<ref group=I>ר"נ: Mo30; Mu150 הוא ר"נ</ref> חסר<ref group=I>חסר: Mu150 נחסר</ref> ממנו מרובע ה' שהוא השלישית<ref group=I>ה' שהוא השלישית: Mu150 שלישי שהוא כ"ה</ref> ישאר<ref group=I>ישאר: O187 וישאר; V397; V398 נשאר</ref> רכ"ה‫<ref group=I>רכ"ה: Mo30 רכ"ה והוא המבוקש; Mu150 רכ"ה על צורה זו ה'ב'ב' והוא המבוקש</ref> | |style="text-align:right;"|ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה<ref group=I>והדומה: Mo30; O187 והדומה לו</ref> בכלל הקרוב אליו<ref group=I>אליו: Mo30; V398; P1050; III om.</ref> ר"נ<ref group=I>ר"נ: Mo30; Mu150 הוא ר"נ</ref> חסר<ref group=I>חסר: Mu150 נחסר</ref> ממנו מרובע ה' שהוא השלישית<ref group=I>ה' שהוא השלישית: Mu150 שלישי שהוא כ"ה</ref> ישאר<ref group=I>ישאר: O187 וישאר; V397; V398 נשאר</ref> רכ"ה‫<ref group=I>רכ"ה: Mo30 רכ"ה והוא המבוקש; Mu150 רכ"ה על צורה זו ה'ב'ב' והוא המבוקש</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 313: | Line 404: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2 | + | ::Its one-third is 8, the square of which is 64 and its analogous number in the closest higher rank is 640. We subtract from it the square of the third, which is 64; 576 remain and this is the sought after. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2=\left(10\sdot8^2\right)-8^2\\&\scriptstyle=\left(10\sdot64\right)-64=640-64=576\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הנה<ref group=I>הנה: P1029; P1051 om.</ref> שלישיתו<ref group=I>הנה שלישיתו: Mo30 ושלישיתו</ref> ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו<ref group=I>ודמיונו: P1051; V397 ודמיון</ref> במעלה הגבוהה<ref group=I>הגבוהה: O187; P1029; P1050 הגבוה; P1051 העליונה; V397 <sup>ה</sup>גבוה<br>במעלה הגבוהה: Mo30 בכלל הגבוה</ref> ממנו תר"מ<ref group=I>תר"מ: Mo30 הוא תר"מ</ref> נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: P1050; P1051; V398 om.</ref> מרובע<ref group=I>מרובע: V397 om.</ref> השלישית שהוא ס"ד ישאר<ref group=I>ישאר: P1050 וישאר; V397 נשארו</ref> תקע"ו והוא המבוקש | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=I>הנה: P1029; P1051 om.</ref> שלישיתו<ref group=I>הנה שלישיתו: Mo30 ושלישיתו</ref> ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו<ref group=I>ודמיונו: P1051; V397 ודמיון</ref> במעלה הגבוהה<ref group=I>הגבוהה: O187; P1029; P1050 הגבוה; P1051 העליונה; V397 <sup>ה</sup>גבוה<br>במעלה הגבוהה: Mo30 בכלל הגבוה</ref> ממנו תר"מ<ref group=I>תר"מ: Mo30 הוא תר"מ</ref> נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: P1050; P1051; V398 om.</ref> מרובע<ref group=I>מרובע: V397 om.</ref> השלישית שהוא ס"ד ישאר<ref group=I>ישאר: P1050 וישאר; V397 נשארו</ref> תקע"ו והוא המבוקש | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]</math> | + | *<math>\scriptstyle{\color{red}{a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a-1\right)\right]^2+\left[a+\left(a-1\right)\right]}}</math> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If the number does not have a whole third and there is an excess of one, subtract the one from the number and calculate the sought number in the procedure that I have shown you. Add to the result the number that has a [whole] third and the [original] number itself, so the sum is the sought after. | ||
|style="text-align:right;"|ואם לא היה<ref group=I>היה: Mo30; O187 יהיה</ref> למספר שלישית שלמה ויהיה בו<ref group=I>בו: P1051; V397 om.</ref> תוספת אחד‫<ref group=I>אחד: O187 של אחד</ref><br> | |style="text-align:right;"|ואם לא היה<ref group=I>היה: Mo30; O187 יהיה</ref> למספר שלישית שלמה ויהיה בו<ref group=I>בו: P1051; V397 om.</ref> תוספת אחד‫<ref group=I>אחד: O187 של אחד</ref><br> | ||
חסר<ref group=I>חסר: P1051 נחסר</ref> האחד<ref group=I>האחד: Mo30; O187; P1051 אחד</ref> מהמספר<ref group=I>מהמספר: O187 מן המספר</ref> והוצא<ref group=I>והוצא: Mo30 ותוציא</ref> המספר<ref group=I>המספר: III om.</ref> המבוקש כמשפט<ref group=I>כמשפט: Mo30 כמו</ref> שהראיתיך ומה שיעלה<ref group=I>שיעלה: O187 שיעלה לך</ref> הוסף<ref group=I>הוסף: P1050 הוצא</ref> עליו המספר שיש לו<ref group=I>שיש לו: P1029 twice</ref> שלישית<ref group=I>שלישית: Mo30 ב' שלישית</ref> והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש | חסר<ref group=I>חסר: P1051 נחסר</ref> האחד<ref group=I>האחד: Mo30; O187; P1051 אחד</ref> מהמספר<ref group=I>מהמספר: O187 מן המספר</ref> והוצא<ref group=I>והוצא: Mo30 ותוציא</ref> המספר<ref group=I>המספר: III om.</ref> המבוקש כמשפט<ref group=I>כמשפט: Mo30 כמו</ref> שהראיתיך ומה שיעלה<ref group=I>שיעלה: O187 שיעלה לך</ref> הוסף<ref group=I>הוסף: P1050 הוצא</ref> עליו המספר שיש לו<ref group=I>שיש לו: P1029 twice</ref> שלישית<ref group=I>שלישית: Mo30 ב' שלישית</ref> והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש | ||
Line 327: | Line 423: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13 | + | ::It has no third, so we subtract from it one, which is the excess, one-third of the remainder is two, the square of which is four and the closest analogous decade is 40. We subtract from it 4, which is the square of the third; 36 remain; which is the square of 6. We add to it the 6, which has a third, and the 7 that was our number originally, both together are 13, the sum is 49, and this is the square of 7. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle7^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(7-1\right)\right]^2+\left[7+\left(7-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot6\right)^2+\left(7+6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot2^2\right)-2^2+13=\left(10\sdot4\right)-4+13\\&\scriptstyle=40-4+13=36+13=49\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה אין<ref group=I>אין: V398 om.</ref> לו<ref group=I>לו: V398 <s>לו</s> marg. לו</ref> שלישית חסרנו<ref group=I>חסרנו: O187 חסר</ref> ממנו<ref group=I>ממנו: Mo30 om.</ref> אחד שהוא נוסף<ref group=I>נוסף: V398 marg.</ref> והנה שלישית<ref group=I>שלישית: O187 שלישיתו; P1029 השלישית<br>והנה שלישית: Mo30 ושלישית</ref> הנשאר<ref group=I>הנשאר: O187 om.</ref> שנים ומרובעו ארבעה והנה<ref group=I>והנה: Mo30 והוא</ref> בכלל הקרוב הדומה<ref group=I>הדומה: Mo30; III om.</ref> אליו מ'<ref group=I>מ': P1029 om.</ref> נחסר<ref group=I>נחסר: P1051 <s>נסר</s> נחסר</ref> ממנו<ref group=I>ממנו: Mo30 om.</ref> ד' שהוא מרובע השלישית<ref group=I>השלישית: Mo30 שלישית</ref> וישאר<ref group=I>וישאר: Mo30; P1029 ישאר; V397 ונשאר; W152 וישארו</ref> ל"ו שהוא<ref group=I>שהוא: Mo30 והוא</ref> מרובע ו' נחבר אליו<ref group=I>אליו: P1029; P1050; P1051; V398 עליו</ref> הו' שיש לו שלישית<ref group=I>שלישית: O187 השלישית</ref> והז' שהיה<ref group=I>שהיה: P1051 שיהיה; V397 שהוא</ref> מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר<ref group=I>המחובר: III המרובע</ref> מ"ט והוא מרובע ז‫' | |style="text-align:right;"|והנה אין<ref group=I>אין: V398 om.</ref> לו<ref group=I>לו: V398 <s>לו</s> marg. לו</ref> שלישית חסרנו<ref group=I>חסרנו: O187 חסר</ref> ממנו<ref group=I>ממנו: Mo30 om.</ref> אחד שהוא נוסף<ref group=I>נוסף: V398 marg.</ref> והנה שלישית<ref group=I>שלישית: O187 שלישיתו; P1029 השלישית<br>והנה שלישית: Mo30 ושלישית</ref> הנשאר<ref group=I>הנשאר: O187 om.</ref> שנים ומרובעו ארבעה והנה<ref group=I>והנה: Mo30 והוא</ref> בכלל הקרוב הדומה<ref group=I>הדומה: Mo30; III om.</ref> אליו מ'<ref group=I>מ': P1029 om.</ref> נחסר<ref group=I>נחסר: P1051 <s>נסר</s> נחסר</ref> ממנו<ref group=I>ממנו: Mo30 om.</ref> ד' שהוא מרובע השלישית<ref group=I>השלישית: Mo30 שלישית</ref> וישאר<ref group=I>וישאר: Mo30; P1029 ישאר; V397 ונשאר; W152 וישארו</ref> ל"ו שהוא<ref group=I>שהוא: Mo30 והוא</ref> מרובע ו' נחבר אליו<ref group=I>אליו: P1029; P1050; P1051; V398 עליו</ref> הו' שיש לו שלישית<ref group=I>שלישית: O187 השלישית</ref> והז' שהיה<ref group=I>שהיה: P1051 שיהיה; V397 שהוא</ref> מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר<ref group=I>המחובר: III המרובע</ref> מ"ט והוא מרובע ז‫' | ||
|- | |- | ||
Line 336: | Line 433: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43 | + | ::We subtract one; 21 remain, its third is 7, the square of which is 49 and its closest decade is 490. We subtract from it 49, which is the square of the third; 441 remain, which is the square of 21. We add 21 as well as 22 together, which are 43; the sum is 484 and this is the square of 22. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle22^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(22-1\right)\right]^2+\left[22+\left(22-1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot21\right)^2+\left(22+21\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot7^2\right)-7^2+43=\left(10\sdot49\right)-49+43\\&\scriptstyle=490-49+43=441+43=484\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: Mo30 om.</ref> חסרנו אחד ונשאר<ref group=I>ונשאר: P1029 נשאר</ref> כ"א ושלישיתו<ref group=I>ושלישיתו: O187 ושלישית כ"א</ref> ז' ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: O187 <s>ומרובעו</s> ומרובעו</ref> מ"ט והנה<ref group=I>והנה: Mo30 ויהיה; O187 והנה יהיה</ref> בכלל<ref group=I>בכלל: Mo30; O187 הכלל</ref> הקרוב<ref group=I>הקרוב: Mo30 הגבוה הגבוה; O187 הקרוב הדומה</ref> אליו<ref group=I>אליו: P1050 om.</ref> ת"צ<ref group=I>ת"צ: P1029; P1050; P1051; V397; V398; Lo27153; W194 ד' מאות וצ'</ref> נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: P1051 om.</ref> מ"ט שהוא מרובע השלישית<ref group=I>השלישית: V397 השלישי<br>שהוא מרובע השלישית: Mo30; III om.</ref> נשארו<ref group=I>נשארו: V397 marg.; W152 ישארו</ref> תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם<ref group=I>גם: Mo30; O187 עם</ref> כ"ב מחוברים<ref group=I>מחוברים: O187 מחבורים; P1051 מחוברין</ref> שהם<ref group=I>שהם: Mo30 ויעלה</ref> מ"ג<ref group=I>מחוברים שהם מ"ג: III om.</ref> יעלה<ref group=I>יעלה: Mo30 ויעלה</ref> המחובר<ref group=I>המחובר: Mo30 המבוקש; O187 מחבורם; P1051; V397 המספר</ref> תפ"ד וזהו<ref group=I>וזהו: Mo30 והוא; O187; P1029 וזה; W152 וזה הוא</ref> מרובע כ"ב | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: Mo30 om.</ref> חסרנו אחד ונשאר<ref group=I>ונשאר: P1029 נשאר</ref> כ"א ושלישיתו<ref group=I>ושלישיתו: O187 ושלישית כ"א</ref> ז' ומרובעו<ref group=I>ומרובעו: O187 <s>ומרובעו</s> ומרובעו</ref> מ"ט והנה<ref group=I>והנה: Mo30 ויהיה; O187 והנה יהיה</ref> בכלל<ref group=I>בכלל: Mo30; O187 הכלל</ref> הקרוב<ref group=I>הקרוב: Mo30 הגבוה הגבוה; O187 הקרוב הדומה</ref> אליו<ref group=I>אליו: P1050 om.</ref> ת"צ<ref group=I>ת"צ: P1029; P1050; P1051; V397; V398; Lo27153; W194 ד' מאות וצ'</ref> נחסר ממנו<ref group=I>ממנו: P1051 om.</ref> מ"ט שהוא מרובע השלישית<ref group=I>השלישית: V397 השלישי<br>שהוא מרובע השלישית: Mo30; III om.</ref> נשארו<ref group=I>נשארו: V397 marg.; W152 ישארו</ref> תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם<ref group=I>גם: Mo30; O187 עם</ref> כ"ב מחוברים<ref group=I>מחוברים: O187 מחבורים; P1051 מחוברין</ref> שהם<ref group=I>שהם: Mo30 ויעלה</ref> מ"ג<ref group=I>מחוברים שהם מ"ג: III om.</ref> יעלה<ref group=I>יעלה: Mo30 ויעלה</ref> המחובר<ref group=I>המחובר: Mo30 המבוקש; O187 מחבורם; P1051; V397 המספר</ref> תפ"ד וזהו<ref group=I>וזהו: Mo30 והוא; O187; P1029 וזה; W152 וזה הוא</ref> מרובע כ"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]</math> | + | *<math>\scriptstyle{\color{red}{a^2=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(a+1\right)\right]^2-\left[a+\left(a+1\right)\right]}}</math> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If there are 2 between our number and the number that has a third, we do the opposite by adding one to our number and know how much is the square of the number that has a third. We subtract from it the number that has a third and the number that we had, and the remainder is the sought after. | ||
|style="text-align:right;"|ואם היו<ref group=I>היו: O187 יהיה; P1051; V397 יהיו</ref> שנים<ref group=I>שנים: P1051 תוספת שנים</ref> בין המספר<ref group=I>המספר: P1050 המספר<s>ים</s>; P1029; V398 המספרים</ref> שלנו<ref group=I>שלנו: P1051 שיש לנו</ref> ובין<ref group=I>ובין: P1050 top</ref> המספר<ref group=I>ובין המספר: P1051 למספר הנקדם; V398; Lo27153; P1029; W194 ומספר</ref> שיש לו שלישית‫<ref group=I>שלישית: P1051 שלישית מהמספר הנקדם בזה הדרך והוא שנקח מהכל שלישיתו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר</ref><br> | |style="text-align:right;"|ואם היו<ref group=I>היו: O187 יהיה; P1051; V397 יהיו</ref> שנים<ref group=I>שנים: P1051 תוספת שנים</ref> בין המספר<ref group=I>המספר: P1050 המספר<s>ים</s>; P1029; V398 המספרים</ref> שלנו<ref group=I>שלנו: P1051 שיש לנו</ref> ובין<ref group=I>ובין: P1050 top</ref> המספר<ref group=I>ובין המספר: P1051 למספר הנקדם; V398; Lo27153; P1029; W194 ומספר</ref> שיש לו שלישית‫<ref group=I>שלישית: P1051 שלישית מהמספר הנקדם בזה הדרך והוא שנקח מהכל שלישיתו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר</ref><br> | ||
נעשה להפך שנוסיף<ref group=I>שנוסיף: P1051 שהוסיף</ref> על המספר שלנו<ref group=I>שלנו: O187 om.</ref> אחד ונדע כמה מרובע<ref group=I>מרובע: III מחובר; P1050 <s>ה</s>מרובע</ref> מספר<ref group=I>מספר: P1050 <sup>ה</sup>מספר; P1051 ממספר זה; III מספר אחר</ref> שיש לו שלישית<ref group=I>שלישית: P1051 שלישית עתה בתוספת האחד ממנו ומרובע השלישית<br>שיש לו שלישית: P1050 שיש <sup>לו</sup> שלישית <s>שיש לו ש</s><br>נעשה להפך ... שיש לו שלישית: Mo30 twice</ref> ונחסר<ref group=I>ונחסר: Mo30 וכמספר שהיה לנו ונחסר; P1051 עוד נחסר</ref> ממנו כמספר<ref group=I>כמספר: Lo27153 כמספר marg. המספר</ref> שיש לו שלישית<ref group=I>ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית: V397 om.</ref> וכמספר<ref group=I>וכמספר: P1050 ג"כ כמספר; V398; III גם המספר</ref> שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש | נעשה להפך שנוסיף<ref group=I>שנוסיף: P1051 שהוסיף</ref> על המספר שלנו<ref group=I>שלנו: O187 om.</ref> אחד ונדע כמה מרובע<ref group=I>מרובע: III מחובר; P1050 <s>ה</s>מרובע</ref> מספר<ref group=I>מספר: P1050 <sup>ה</sup>מספר; P1051 ממספר זה; III מספר אחר</ref> שיש לו שלישית<ref group=I>שלישית: P1051 שלישית עתה בתוספת האחד ממנו ומרובע השלישית<br>שיש לו שלישית: P1050 שיש <sup>לו</sup> שלישית <s>שיש לו ש</s><br>נעשה להפך ... שיש לו שלישית: Mo30 twice</ref> ונחסר<ref group=I>ונחסר: Mo30 וכמספר שהיה לנו ונחסר; P1051 עוד נחסר</ref> ממנו כמספר<ref group=I>כמספר: Lo27153 כמספר marg. המספר</ref> שיש לו שלישית<ref group=I>ונחסר ממנו כמספר שיש לו שלישית: V397 om.</ref> וכמספר<ref group=I>וכמספר: P1050 ג"כ כמספר; V398; III גם המספר</ref> שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש | ||
Line 350: | Line 452: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47 | + | ::Since it does not have a whole third, we add one; it is 24, its third is 8, the square of which is 64 and the analogous number is 640. We subtract from it 64, which is the square of the third; 576 remain, which is the square of 24. We subtract from this number 47, which is the sum of 24 with 23; 529 remain and this is the sought after. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle23^2&\scriptstyle=\left[10\sdot\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2\right]-\left[\frac{1}{3}\sdot\left(23+1\right)\right]^2-\left[23+\left(23+1\right)\right]\\&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2\right]-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)^2-\left(23+24\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot8^2\right)-8^2-47=\left(10\sdot64\right)-64-47\\&\scriptstyle=640-64-47=576-47=529\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה בעבור שאין לו<ref group=I>לו: Lo27153; Mo30 om.</ref> שלישית שלמה<ref group=I>לו שלישית שלמה: P1029 שלישית שלימה לו</ref> נוסיף אחד יהיו<ref group=I>יהיו: Lo27153 יהיה; Mo30; P1029; W152 ויהיו; P1051 ויהיה</ref> כ"ד ושלישיתו<ref group=I>ושלישיתו: P1051 השלישיתו</ref> ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו<ref group=I>לו: V397 om.</ref> תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר<ref group=I>ישאר: P1050 וישאר; W152 ישארו</ref> תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם<ref group=I>גם: Mo30 om.</ref> נחסר<ref group=I>גם נחסר: III נחסר גם</ref> מזה המספר<ref group=I>המספר: O187 מספר<br>מזה המספר: Mo30 ממנו; P1029 ממספר זה</ref> מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים<ref group=I>מחוברים: P1050; P1051; V398; III מחוברין<br>מ"ז ... מחוברים: Mo30 כ"ד וכ"ג ויעלה מ"ז; O187 כ"ד עם כ"ג ויעלה מ"ז</ref> ויהיה הנשאר<ref group=I>ויהיה הנשאר: Mo30 והנשאר; O187 ישאר; V397 ונשאר</ref> תקכ"ט והוא המבוקש | |style="text-align:right;"|והנה בעבור שאין לו<ref group=I>לו: Lo27153; Mo30 om.</ref> שלישית שלמה<ref group=I>לו שלישית שלמה: P1029 שלישית שלימה לו</ref> נוסיף אחד יהיו<ref group=I>יהיו: Lo27153 יהיה; Mo30; P1029; W152 ויהיו; P1051 ויהיה</ref> כ"ד ושלישיתו<ref group=I>ושלישיתו: P1051 השלישיתו</ref> ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו<ref group=I>לו: V397 om.</ref> תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר<ref group=I>ישאר: P1050 וישאר; W152 ישארו</ref> תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם<ref group=I>גם: Mo30 om.</ref> נחסר<ref group=I>גם נחסר: III נחסר גם</ref> מזה המספר<ref group=I>המספר: O187 מספר<br>מזה המספר: Mo30 ממנו; P1029 ממספר זה</ref> מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים<ref group=I>מחוברים: P1050; P1051; V398; III מחוברין<br>מ"ז ... מחוברים: Mo30 כ"ד וכ"ג ויעלה מ"ז; O187 כ"ד עם כ"ג ויעלה מ"ז</ref> ויהיה הנשאר<ref group=I>ויהיה הנשאר: Mo30 והנשאר; O187 ישאר; V397 ונשאר</ref> תקכ"ט והוא המבוקש | ||
|- | |- | ||
− | !The number of steps required for receiving the product: | + | !<span style="color:red">The number of steps required for receiving the product:</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *<span style="color:red">units by units - one step</span> | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :Know that if there are two digits to multiply by one another, once will be enough for you. | |
|style="text-align:right;"|ודע כי אם יהיו<ref group=I>יהיו: Mo30; P1029 היו; O187; P1051 יהיו לך</ref> שנים<ref group=I>שנים: O187 שני</ref> מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת | |style="text-align:right;"|ודע כי אם יהיו<ref group=I>יהיו: Mo30; P1029 היו; O187; P1051 יהיו לך</ref> שנים<ref group=I>שנים: O187 שני</ref> מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *units by two-digit number - two steps | + | *<span style="color:red">units by two-digit number - two steps</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If one digit by two digits, you have to do this twice. | ||
|style="text-align:right;"|ואם היה<ref group=I>היה: Mo30; O187 היה לך; V397 יהיה</ref> מספר אחד<ref group=I>אחד: W152 אחת</ref> על<ref group=I>על: Lo27153 <sup>על</sup> <s>על</s></ref> שנים<ref group=I>שנים: O187 שני</ref> מספרים<ref group=I>מספרים: Mo30 om.</ref> אתה צריך לעשות זה פעמים‫<ref group=I>פעמים: O187; P1029 שני פעמים</ref> | |style="text-align:right;"|ואם היה<ref group=I>היה: Mo30; O187 היה לך; V397 יהיה</ref> מספר אחד<ref group=I>אחד: W152 אחת</ref> על<ref group=I>על: Lo27153 <sup>על</sup> <s>על</s></ref> שנים<ref group=I>שנים: O187 שני</ref> מספרים<ref group=I>מספרים: Mo30 om.</ref> אתה צריך לעשות זה פעמים‫<ref group=I>פעמים: O187; P1029 שני פעמים</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *units by three-digit number - three steps | + | *<span style="color:red">units by three-digit number - three steps</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If by three [digits], three times. | ||
|style="text-align:right;"|ואם על שלשה שלשה‫<ref group=I>על שלשה שלשה: Lo27153 <s>ג' על ג'</s> על ג' ג'</ref> | |style="text-align:right;"|ואם על שלשה שלשה‫<ref group=I>על שלשה שלשה: Lo27153 <s>ג' על ג'</s> על ג' ג'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | |And so on according to this rule. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ועל<ref group=I>ועל: V398; P1050; III על</ref> זה המשפט הכל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | *<span style="color:red">two-digit number by two-digit number - four steps</span> | |
+ | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :If they are two numbers by two numbers, you have to do this 4 times. | |
|style="text-align:right;"|ואם הם שני<ref group=I>שני: P1050; P1051 שנים</ref> מספרים על שני<ref group=I>שני: Lo27153 <s>ב'</s> ב'; P1050 שנים</ref> מספרים<ref group=I>על שני מספרים: P1051 om.</ref> אתה צריך<ref group=I>אתה צריך: P1029 צריך אתה</ref> לעשות<ref group=I>לעשות: P1051 om.</ref> זה<ref group=I>זה: W152 top<br>לעשות זה: V397 זה לעשות</ref> ד' פעמים | |style="text-align:right;"|ואם הם שני<ref group=I>שני: P1050; P1051 שנים</ref> מספרים על שני<ref group=I>שני: Lo27153 <s>ב'</s> ב'; P1050 שנים</ref> מספרים<ref group=I>על שני מספרים: P1051 om.</ref> אתה צריך<ref group=I>אתה צריך: P1029 צריך אתה</ref> לעשות<ref group=I>לעשות: P1051 om.</ref> זה<ref group=I>זה: W152 top<br>לעשות זה: V397 זה לעשות</ref> ד' פעמים | ||
|- | |- | ||
Line 381: | Line 500: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We multiply 10 by 20, which is a decade, also 10 by 8; the result is 280. Then we multiply 3 by 20 and by 8; the result is 84. So the total is 364. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times28&\scriptstyle=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)\\&\scriptstyle=200+80+60+24\\&\scriptstyle=280+84=364\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times28&\scriptstyle=\left(10\sdot20\right)+\left(10\sdot8\right)+\left(3\sdot20\right)+\left(3\sdot8\right)\\&\scriptstyle=200+80+60+24\\&\scriptstyle=280+84=364\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: O187; V398; P1029; P1050; III הנה</ref> כפלנו י' על כ' שהוא כלל<ref group=I>שהוא כלל: P1050 שהוא כלל <sup>עלו ר'</sup></ref> גם י'<ref group=I>י': Mo30; P1029; P1050; P1051; V397; III om.<br>גם י': O187 om.</ref> על<ref group=I>על: O187 ועל</ref> ח'<ref group=I>ח': P1029 הח'</ref> עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלו; V398 om.</ref> ר"פ<ref group=I>ר"פ: V397 <s>פ"ד</s> <sup>ר"פ</sup>; V398 marg.</ref> ואחר<ref group=I>ואחר: Mo30; P1050; III גם; O187; P1029; P1051; V398 וגם</ref> כפלנו ג' על כ' גם<ref group=I>גם: O187 ג'; P1051 וגם</ref> על<ref group=I>גם על: Mo30 ועל</ref> ח' עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלו</ref> פ"ד<ref group=I>ואחר ... פ"ד: V397 om.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 ויהיה</ref> הכל<ref group=I>הכל: V397 הכלל</ref> שס"ד | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: O187; V398; P1029; P1050; III הנה</ref> כפלנו י' על כ' שהוא כלל<ref group=I>שהוא כלל: P1050 שהוא כלל <sup>עלו ר'</sup></ref> גם י'<ref group=I>י': Mo30; P1029; P1050; P1051; V397; III om.<br>גם י': O187 om.</ref> על<ref group=I>על: O187 ועל</ref> ח'<ref group=I>ח': P1029 הח'</ref> עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלו; V398 om.</ref> ר"פ<ref group=I>ר"פ: V397 <s>פ"ד</s> <sup>ר"פ</sup>; V398 marg.</ref> ואחר<ref group=I>ואחר: Mo30; P1050; III גם; O187; P1029; P1051; V398 וגם</ref> כפלנו ג' על כ' גם<ref group=I>גם: O187 ג'; P1051 וגם</ref> על<ref group=I>גם על: Mo30 ועל</ref> ח' עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלו</ref> פ"ד<ref group=I>ואחר ... פ"ד: V397 om.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 ויהיה</ref> הכל<ref group=I>הכל: V397 הכלל</ref> שס"ד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps | + | *<span style="color:red">two-digit number by two-digit number with the same digit of tens - three steps</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If there is one decade shared by the two numbers, three times are enough for you. | ||
|style="text-align:right;"|ואם היה כלל אחד כולל<ref group=I>כולל: P1029 נופל</ref> שני<ref group=I>שני: P1029 בשני</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: Mo30; P1051; V397 מספרים; P1029 <sup>ה</sup>מספרים</ref> די לך<ref group=I>לך: O187 om.</ref> בג' פעמים | |style="text-align:right;"|ואם היה כלל אחד כולל<ref group=I>כולל: P1029 נופל</ref> שני<ref group=I>שני: P1029 בשני</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: Mo30; P1051; V397 מספרים; P1029 <sup>ה</sup>מספרים</ref> די לך<ref group=I>לך: O187 om.</ref> בג' פעמים | ||
|- | |- | ||
Line 394: | Line 518: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::10 is shared by the two numbers. We add 3 with 6 and with 10, so our number is 19. We multiply it by ten; the result is 190. We multiply the two small numbers, which are 3 by 6; the result is 18. So the total is 208. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times16&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot19\right)+18\\&\scriptstyle=190+18=208\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle13\times16&\scriptstyle=\left[10\sdot\left(3+16\right)\right]+\left(3\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(10\sdot19\right)+18\\&\scriptstyle=190+18=208\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: P1050 הנה</ref> י' כולל שני<ref group=I>שני: P1051; V397 om.; P1050 top</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: Mo30 מספרים</ref> והנה נחבר<ref group=I>נחבר: O187; P1029; P1050; P1051; V397; III חברנו</ref> ג' עם<ref group=I>עם: Mo30 על</ref> ו'<ref group=I>ו': P1029 ו' ועלו ט'</ref> עם<ref group=I>עם: O187; P1050 ועם; V398; III על; Lo27153 <sup>גם</sup> על</ref> י'<ref group=I>עם י': Mo30 ויהיו י"ט; P1029 om.<br>ו' עם י': P1051 י'ו'</ref> והנה יהיה<ref group=I>והנה יהיה: O187 ויהיה</ref> מספרינו י"ט נכפול<ref group=I>נכפול: Mo30; P1051; III וכפול; P1029 וכפלנו</ref> אותו<ref group=I>אותו: V397; W152 אותה; P1050; P1051; Lo27153; W194 אותם; P1029 om.</ref> בעשרה עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלה</ref> ק"צ<ref group=I>ק"צ: Lo27153 <s>ק"ץ</s> ק"צ</ref> נכפול<ref group=I>נכפול: Lo27153 וכפול; O187 ונכפול</ref> שני<ref group=I>שני: P1051; V397 שנים; P1029 לשני</ref> המספרים הקטנים<ref group=I>הקטנים: Lo27153 om.</ref> שהם<ref group=I>שני המספרים הקטנים שהם: Mo30 om.</ref> ג' על ו' יעלו<ref group=I>יעלו: Mo30 ויעלה; P1050; V398; III עלו</ref> י"ח והנה הכל<ref group=I>והנה הכל: O187 והכל</ref> ר"ח‫<ref group=I>ר"ח: V398 כ"ח marg. ר"ח<br>והנה הכל ר"ח: Mo30 ונשים אותם על ק"צ <sup>ויעלה ר"ח</sup> והוא המבוקש</ref> | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=I>והנה: P1050 הנה</ref> י' כולל שני<ref group=I>שני: P1051; V397 om.; P1050 top</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: Mo30 מספרים</ref> והנה נחבר<ref group=I>נחבר: O187; P1029; P1050; P1051; V397; III חברנו</ref> ג' עם<ref group=I>עם: Mo30 על</ref> ו'<ref group=I>ו': P1029 ו' ועלו ט'</ref> עם<ref group=I>עם: O187; P1050 ועם; V398; III על; Lo27153 <sup>גם</sup> על</ref> י'<ref group=I>עם י': Mo30 ויהיו י"ט; P1029 om.<br>ו' עם י': P1051 י'ו'</ref> והנה יהיה<ref group=I>והנה יהיה: O187 ויהיה</ref> מספרינו י"ט נכפול<ref group=I>נכפול: Mo30; P1051; III וכפול; P1029 וכפלנו</ref> אותו<ref group=I>אותו: V397; W152 אותה; P1050; P1051; Lo27153; W194 אותם; P1029 om.</ref> בעשרה עלו<ref group=I>עלו: Mo30 ויעלה</ref> ק"צ<ref group=I>ק"צ: Lo27153 <s>ק"ץ</s> ק"צ</ref> נכפול<ref group=I>נכפול: Lo27153 וכפול; O187 ונכפול</ref> שני<ref group=I>שני: P1051; V397 שנים; P1029 לשני</ref> המספרים הקטנים<ref group=I>הקטנים: Lo27153 om.</ref> שהם<ref group=I>שני המספרים הקטנים שהם: Mo30 om.</ref> ג' על ו' יעלו<ref group=I>יעלו: Mo30 ויעלה; P1050; V398; III עלו</ref> י"ח והנה הכל<ref group=I>והנה הכל: O187 והכל</ref> ר"ח‫<ref group=I>ר"ח: V398 כ"ח marg. ר"ח<br>והנה הכל ר"ח: Mo30 ונשים אותם על ק"צ <sup>ויעלה ר"ח</sup> והוא המבוקש</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Sometimes twice alone are enough for you. | ||
|style="text-align:right;"|ויש<ref group=I>ויש: V398; P1050; III והנה יש; P1029 וזה</ref> שיספיק לך שני<ref group=I>שני: P1029; P1050; P1051 om.<br>לך שני: O187 om.<br>שיספיק לך שני: III לך פעמים שיספיק</ref> פעמים לבדם | |style="text-align:right;"|ויש<ref group=I>ויש: V398; P1050; III והנה יש; P1029 וזה</ref> שיספיק לך שני<ref group=I>שני: P1029; P1050; P1051 om.<br>לך שני: O187 om.<br>שיספיק לך שני: III לך פעמים שיספיק</ref> פעמים לבדם | ||
|- | |- | ||
Line 406: | Line 532: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::20 is shared by the two numbers. We add 4 with 26, which is the greater number; the sum is 30. We multiply 20 by 30; the result is 600. We multiply the smaller [numbers] by each other; the result is 24. So the sought for is 624. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24\times26&\scriptstyle=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(20\sdot30\right)+24\\&\scriptstyle=600+24=624\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle24\times26&\scriptstyle=\left[20\sdot\left(4+26\right)\right]+\left(4\sdot6\right)\\&\scriptstyle=\left(20\sdot30\right)+24\\&\scriptstyle=600+24=624\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הנה<ref group=I>הנה: V397 והנה</ref> כ'<ref group=I>כ': W152 הכ'</ref> כולל שני<ref group=I>שני: P1050; P1051; V397; V398 om.; P1029 top</ref> המספרים חברנו ד' עם<ref group=I>עם: O187; P1029; P1050; P1051; V398; III על</ref> כ"ו שהוא הגדול<ref group=I>שהוא הגדול: Mo30 om.; V397 marg. שהוא המספר הגדול</ref> עלה<ref group=I>עלה: P1051; V397 עולה; P1029 om.</ref> המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו<ref group=I>עלו: Mo30 עלה</ref> ת"ר וכפלנו<ref group=I>וכפלנו: Mo30 כפלנו</ref> הקטנים זה על זה עלו<ref group=I>עלו: Mo30 יהיה; O187 ועלו</ref> כ"ד<ref group=I>עלו כ"ד: P1050 marg.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 והיה; O187 הנה</ref> המבוקש<ref group=I>המבוקש: III המחובר; P1029 המבוקר<sup>ש</sup></ref> תרכ"ד‫<ref group=I>ויש שיספיק לך ... תרכ"ד: Mo30 marg.</ref> | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=I>הנה: V397 והנה</ref> כ'<ref group=I>כ': W152 הכ'</ref> כולל שני<ref group=I>שני: P1050; P1051; V397; V398 om.; P1029 top</ref> המספרים חברנו ד' עם<ref group=I>עם: O187; P1029; P1050; P1051; V398; III על</ref> כ"ו שהוא הגדול<ref group=I>שהוא הגדול: Mo30 om.; V397 marg. שהוא המספר הגדול</ref> עלה<ref group=I>עלה: P1051; V397 עולה; P1029 om.</ref> המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו<ref group=I>עלו: Mo30 עלה</ref> ת"ר וכפלנו<ref group=I>וכפלנו: Mo30 כפלנו</ref> הקטנים זה על זה עלו<ref group=I>עלו: Mo30 יהיה; O187 ועלו</ref> כ"ד<ref group=I>עלו כ"ד: P1050 marg.</ref> והנה<ref group=I>והנה: Mo30 והיה; O187 הנה</ref> המבוקש<ref group=I>המבוקש: III המחובר; P1029 המבוקר<sup>ש</sup></ref> תרכ"ד‫<ref group=I>ויש שיספיק לך ... תרכ"ד: Mo30 marg.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *three-digit number by three-digit number - nine steps | + | *<span style="color:red">three-digit number by three-digit number - nine steps</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If you multiply 3 digits by 3 [digits], you have to do this nine times. | ||
|style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: W152 אם</ref> תכפול ג' מספרים על ג'<ref group=I>ג': O187; III ג' מספרים</ref> אתה צריך לעשות זה ט' פעמים | |style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: W152 אם</ref> תכפול ג' מספרים על ג'<ref group=I>ג': O187; III ג' מספרים</ref> אתה צריך לעשות זה ט' פעמים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |According to this procedure for every number. |
|style="text-align:right;"|ועל זה הסדר<ref group=I>הסדר: P1051 הסדר החשבון<br>זה הסדר: P1029 סדר זה</ref> כל {{#annot:term|228|m9oU}}החשבון{{#annotend:m9oU}}‫<ref group=I>החשבון: III חשבון</ref> | |style="text-align:right;"|ועל זה הסדר<ref group=I>הסדר: P1051 הסדר החשבון<br>זה הסדר: P1029 סדר זה</ref> כל {{#annot:term|228|m9oU}}החשבון{{#annotend:m9oU}}‫<ref group=I>החשבון: III חשבון</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |See, whether the number consists of one or many [digits]. |
|style="text-align:right;"|וראה<ref group=I>וראה: V397 נראה</ref> אם המספר אחד<ref group=I>אחד: O187 האחד</ref> או רבים‫<ref group=I>רבים: O187 הרבים; P1051 <sup>ה</sup>רבים</ref> | |style="text-align:right;"|וראה<ref group=I>וראה: V397 נראה</ref> אם המספר אחד<ref group=I>אחד: O187 האחד</ref> או רבים‫<ref group=I>רבים: O187 הרבים; P1051 <sup>ה</sup>רבים</ref> | ||
|- | |- | ||
− | !Multiplication of evens and odds | + | !<span style="color:red">Multiplication of evens and odds</span> |
| | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *even number | + | *If it is an even number, the product is also an even number. <math>\scriptstyle2a\times2b</math> |
|style="text-align:right;"|אם<ref group=I>אם: O187; P1050 om.; P1029 ואם</ref> הוא<ref group=I>אם הוא: Mo30; III והוא</ref> מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫<ref group=I>זוג: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|אם<ref group=I>אם: O187; P1050 om.; P1029 ואם</ref> הוא<ref group=I>אם הוא: Mo30; III והוא</ref> מספר זוג גם המחובר יהיה זוג‫<ref group=I>זוג: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :<span style="color:red">The digit of the units indicates if the number is even:</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :The essence of the even number is in the units. | ||
|style="text-align:right;"|וטעם הזוג<ref group=I>הזוג: O187 הזוג והנפרד</ref> הוא באחדים | |style="text-align:right;"|וטעם הזוג<ref group=I>הזוג: O187 הזוג והנפרד</ref> הוא באחדים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :every | + | :Because every decade is an even number. |
|style="text-align:right;"|כי כל כלל הוא זוג‫<ref group=I>הוא זוג: O187; P1029 זוג הוא; P1051; V397 זוג זוג הוא</ref> | |style="text-align:right;"|כי כל כלל הוא זוג‫<ref group=I>הוא זוג: O187; P1029 זוג הוא; P1051; V397 זוג זוג הוא</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *even | + | *If one number is even and the other is odd, meaning that it is not even, whichever one of them is, the product is also an even number. <math>\scriptstyle2a\times\left(2b-1\right)</math> |
|style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: V398 ואף אם</ref> המספר האחד<ref group=I>האחד: V397 marg. אחד</ref> זוג<ref group=I>זוג: V398; P1050; III הוא זוג</ref> והשני נפרד<ref group=I>נפרד: O187 נפרד המחובר זוג; W152 הוא נפרד</ref> והטעם<ref group=I>והטעם: III הטעם</ref> שאינו<ref group=I>שאינו: O187 כשהוא</ref> זוג<ref group=I>והטעם שאינו זוג: P1050 om.</ref> איזה מהם<ref group=I>מהם: P1029; V398 מהן</ref> שיהיה גם המחובר יהיה זוג | |style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: V398 ואף אם</ref> המספר האחד<ref group=I>האחד: V397 marg. אחד</ref> זוג<ref group=I>זוג: V398; P1050; III הוא זוג</ref> והשני נפרד<ref group=I>נפרד: O187 נפרד המחובר זוג; W152 הוא נפרד</ref> והטעם<ref group=I>והטעם: III הטעם</ref> שאינו<ref group=I>שאינו: O187 כשהוא</ref> זוג<ref group=I>והטעם שאינו זוג: P1050 om.</ref> איזה מהם<ref group=I>מהם: P1029; V398 מהן</ref> שיהיה גם המחובר יהיה זוג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *If the one number is odd and the other is also, the product is also odd. <math>\scriptstyle\left(2a-1\right)\times\left(2b-1\right)</math> |
|style="text-align:right;"|ואם המספר<ref group=I>המספר: Mo30 om.</ref> האחד<ref group=I>האחד: V397 אחד</ref> נפרד<ref group=I>נפרד: P1051 יהיה נפרד</ref> וגם<ref group=I>וגם: V398; III גם</ref> כן<ref group=I>כן: Lo27153 top<br>וגם כן: O187 ג"כ</ref> האחר<ref group=I>האחר: P1029; P1051; V397 האחר נפרד</ref> גם<ref group=I>גם: P1050 הנה גם כן; W152; W194 גם כן</ref> המחובר<ref group=I>המחובר: Mo30 המרובע</ref> יהיה נפרד‫<ref group=I>נפרד: Lo27153 זוג marg. ד"ת נפרד</ref> | |style="text-align:right;"|ואם המספר<ref group=I>המספר: Mo30 om.</ref> האחד<ref group=I>האחד: V397 אחד</ref> נפרד<ref group=I>נפרד: P1051 יהיה נפרד</ref> וגם<ref group=I>וגם: V398; III גם</ref> כן<ref group=I>כן: Lo27153 top<br>וגם כן: O187 ג"כ</ref> האחר<ref group=I>האחר: P1029; P1051; V397 האחר נפרד</ref> גם<ref group=I>גם: P1050 הנה גם כן; W152; W194 גם כן</ref> המחובר<ref group=I>המחובר: Mo30 המרובע</ref> יהיה נפרד‫<ref group=I>נפרד: Lo27153 זוג marg. ד"ת נפרד</ref> | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 447: | Line 584: | ||
| | | | ||
+ | |- | ||
+ | |Know that if the numbers to be multiplied by each other are many, you have to multiply them by writing the 9 characters that I have showed you. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ודע כי אם היו<ref group=I>היו: Mo30 יהיו</ref> המספרים<ref group=I>המספרים: Mo30; III מספרים; P1051; V397 om.</ref> הנכפלים<ref group=I>הנכפלים: V398; P1050; III om.</ref> אלה<ref group=I>אלה: V397; P1051 top האלה</ref> על אלה רבים אתה צריך לכפול<ref group=I>לכפול: V397 לכתוב</ref> אותם<ref group=I>לכפול אותם: P1029 לכלם</ref> במכתב<ref group=I>במכתב: Mo30 במספר</ref> ט' {{#annot:term|204|caYJ}}אותיות{{#annotend:caYJ}} שהראיתיך‫<ref group=I>שהראיתיך: V397 marg.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | *<span style="color:red">The multiplicand of which the highest rank is smaller is written on the top line:</span> | |
+ | | | ||
|- | |- | ||
− | |the | + | | |
+ | :The paved way is that you put the smaller number in the top row; the meaning of the smaller number is the one whose decade is smaller; do not consider the units. | ||
|style="text-align:right;"|והדרך הסלולה<ref group=I>הסלולה: P1050 הצל הסלולה; V398 הצלולה</ref> שתשים טורי המספר המעט<ref group=I>המעט: Mo30 marg.</ref> עליונים<ref group=I>עליונים: P1050; P1051; V398; III העליונים</ref> ופירוש<ref group=I>ופירוש: O187 פי'</ref> המעט<ref group=I>המעט: P1050 המעט marg. בהם</ref> בחשבון הכלל ולא<ref group=I>ולא: Lo27153 לא; Mo30 ואל</ref> תחוש מן<ref group=I>מן: P1051 om.</ref> הפרטים | |style="text-align:right;"|והדרך הסלולה<ref group=I>הסלולה: P1050 הצל הסלולה; V398 הצלולה</ref> שתשים טורי המספר המעט<ref group=I>המעט: Mo30 marg.</ref> עליונים<ref group=I>עליונים: P1050; P1051; V398; III העליונים</ref> ופירוש<ref group=I>ופירוש: O187 פי'</ref> המעט<ref group=I>המעט: P1050 המעט marg. בהם</ref> בחשבון הכלל ולא<ref group=I>ולא: Lo27153 לא; Mo30 ואל</ref> תחוש מן<ref group=I>מן: P1051 om.</ref> הפרטים | ||
|- | |- | ||
− | |the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line | + | | |
+ | *<span style="color:red">the multiplicand of which the highest rank is larger is written on the lower line:</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :Put the number whose decade is greater in another lower row below. | ||
|style="text-align:right;"|ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול | |style="text-align:right;"|ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול | ||
|- | |- | ||
− | |the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line | + | | |
+ | *<span style="color:red">the number that consists of a greater number of ranks is written on the top line:</span> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If, however, the number, whose decade is smaller, consists of more digits than the number whose decade is greater, then put this in the top row without consideration. | ||
|style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: P1050 ואף <sup>אם</sup></ref> החשבון שכללו קטן<ref group=I>קטן: P1051 קטון</ref> הם<ref group=I>הם: Lo27153 הוא</ref> יותר מספרים מחשבון שכללו גדול<ref group=I>גדול: P1051 marg. הגדול</ref> שים אותם<ref group=I>אותם: P1029 אותה</ref> עליונים ולא תחוש | |style="text-align:right;"|ואם<ref group=I>ואם: P1050 ואף <sup>אם</sup></ref> החשבון שכללו קטן<ref group=I>קטן: P1051 קטון</ref> הם<ref group=I>הם: Lo27153 הוא</ref> יותר מספרים מחשבון שכללו גדול<ref group=I>גדול: P1051 marg. הגדול</ref> שים אותם<ref group=I>אותם: P1029 אותה</ref> עליונים ולא תחוש | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you would do the other way around, it does no harm, just confuses the student a little. |
|style="text-align:right;"|ואלו<ref group=I>ואלו: Mo30; P1050 ואם</ref> היית<ref group=I>היית: Mo30; P1029; P1051 היתה<br>ואלו היית: P1029 ואלו היתה ואלו היתה</ref> עושה להפך לא יזיק<ref group=I>יזיק: O187 היה מזיק</ref> רק יתבלבל מעט<ref group=I>מעט: O187 ממנו</ref> על התלמיד‫<ref group=I>התלמיד: P1029 התלמידים<br>על התלמיד: Mo30 המלמד</ref> | |style="text-align:right;"|ואלו<ref group=I>ואלו: Mo30; P1050 ואם</ref> היית<ref group=I>היית: Mo30; P1029; P1051 היתה<br>ואלו היית: P1029 ואלו היתה ואלו היתה</ref> עושה להפך לא יזיק<ref group=I>יזיק: O187 היה מזיק</ref> רק יתבלבל מעט<ref group=I>מעט: O187 ממנו</ref> על התלמיד‫<ref group=I>התלמיד: P1029 התלמידים<br>על התלמיד: Mo30 המלמד</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *After you put the digits, as many as they are, in the top row and the others in the bottom row, multiply the first from the top row by the first from the bottom row, and write the result corresponding to the first [that in the] top row. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון<ref group=I>העליון: P1051 <sup>ה</sup>עליון</ref> והאחרים<ref group=I>והאחרים: O187 והא<sup>ח</sup>דים</ref> בטור השפל כפול הראשון<ref group=I>הראשון: P1029 <s>העליון</s> הראשון</ref> של<ref group=I>של: P1050; III מן</ref> הטור<ref group=I>הטור: Mo30; O187; P1051 טור</ref> העליון על הראשון<ref group=I>הראשון: P1029 ראשון</ref> שבטור<ref group=I>שבטור: O187; P1051; V397; III בטור; P1050 <sup>ש</sup>בטור</ref> השפל<ref group=I>השפל: W152 <s>השפל</s> <sup>השפל</sup>; P1029 top</ref> והעולה כתוב<ref group=I>והעולה כתוב: Mo30 והעולה כתוב marg. וכתוב העולה<br>כפול הראשון ...והעולה כתוב: Mo30 marg.</ref> אותו כנגד הטור<ref group=I>הטור: O187 המספר</ref> הראשון<ref group=I>הראשון: Mo30; P1051; V397 om.</ref> העליון‫<ref group=I>העליון: W152 העליון הראשון; P1050 העליון marg. בטור השלישי</ref> | |style="text-align:right;"|ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון<ref group=I>העליון: P1051 <sup>ה</sup>עליון</ref> והאחרים<ref group=I>והאחרים: O187 והא<sup>ח</sup>דים</ref> בטור השפל כפול הראשון<ref group=I>הראשון: P1029 <s>העליון</s> הראשון</ref> של<ref group=I>של: P1050; III מן</ref> הטור<ref group=I>הטור: Mo30; O187; P1051 טור</ref> העליון על הראשון<ref group=I>הראשון: P1029 ראשון</ref> שבטור<ref group=I>שבטור: O187; P1051; V397; III בטור; P1050 <sup>ש</sup>בטור</ref> השפל<ref group=I>השפל: W152 <s>השפל</s> <sup>השפל</sup>; P1029 top</ref> והעולה כתוב<ref group=I>והעולה כתוב: Mo30 והעולה כתוב marg. וכתוב העולה<br>כפול הראשון ...והעולה כתוב: Mo30 marg.</ref> אותו כנגד הטור<ref group=I>הטור: O187 המספר</ref> הראשון<ref group=I>הראשון: Mo30; P1051; V397 om.</ref> העליון‫<ref group=I>העליון: W152 העליון הראשון; P1050 העליון marg. בטור השלישי</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Then, multiply the first top digit by the second bottom digit and write [the result] in the third row corresponding to the second top digit. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר כן<ref group=I>ואחר כך: Mo30 אח"כ</ref> כפול המספר<ref group=I>המספר: P1029 מספר</ref> הראשון<ref group=I>הראשון: Mo30 om.</ref> העליון על המספר<ref group=I>המספר: P1029 מספר</ref> השני השפל וכתוב בטור השלישי<ref group=I>השלישי: O187; P1029 שלישי</ref> כנגד המספר<ref group=I>המספר: Mo30 מספר; P1051 twice</ref> השני העליון | |style="text-align:right;"|ואחר כן<ref group=I>ואחר כך: Mo30 אח"כ</ref> כפול המספר<ref group=I>המספר: P1029 מספר</ref> הראשון<ref group=I>הראשון: Mo30 om.</ref> העליון על המספר<ref group=I>המספר: P1029 מספר</ref> השני השפל וכתוב בטור השלישי<ref group=I>השלישי: O187; P1029 שלישי</ref> כנגד המספר<ref group=I>המספר: Mo30 מספר; P1051 twice</ref> השני העליון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :So on for all bottom digits with the first upper digit. | ||
|style="text-align:right;"|וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫<ref group=I>העליון הראשון: W152 הראשון העליון</ref> | |style="text-align:right;"|וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון‫<ref group=I>העליון הראשון: W152 הראשון העליון</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *The product of two digits is equal to units and tens | + | :*<span style="color:red">The product of two digits is equal to units and tens:</span> |
− | + | | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::If, when you multiply the first upper digit by its corresponding one in the bottom [row] there is a decade and units in the product, write the units in the place to which it belongs and write the number of the decade as the following digit. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואם כאשר תכפול הראשון העליון<ref group=I>העליון: O187 של העליון; III om.; P1050 top</ref> על שכנגדו בשפל ויתחבר<ref group=I>ויתחבר: V397 ויתחייב</ref> במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל<ref group=I>והכלל: P1029 והכל</ref> במספרו<ref group=I>במספרו: V397 במספר</ref> תכתבנו בחשבון שהוא אחריו | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *After you have finished multiplying the first digit of the top row by all the digits of the bottom row, start to multiply the second digit of the top row by the first digit of the bottom row and write the result in the third row corresponding to the second upper [digit]. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר שתשלים<ref group=I>שתשלים: P1029 שתשים</ref> לכפול החשבון הראשון של הטור<ref group=I>הטור: Lo27153; Mo30; O187; P1050; V398 טור</ref> העליון על כל מספרי<ref group=I>מספרי: P1051 מספר</ref> הטור<ref group=I>הטור: Mo30 om.</ref> השפל תחל לכפול<ref group=I>לכפול: Lo27153 <s>לשמור</s> לכפול</ref> המספר<ref group=I>המספר: P1029 <s>המספר</s> המספר</ref> השני של הטור<ref group=I>הטור: Mo30 טור<br>של הטור: V397 מטור</ref> העליון על מספר<ref group=I>מספר: O187; P1051 המספר</ref> הראשון של הטור<ref group=I>הטור: Mo30 טור; V397; P1051; V398 מספר<br>של הטור: O187 מטור; P1029 om.</ref> השפל והעולה כתבהו<ref group=I>כתבהו: P1050 כתבנו; P1051; V397 תכתבנו</ref> בטור השלישי כנגד השני העליון | |style="text-align:right;"|ואחר שתשלים<ref group=I>שתשלים: P1029 שתשים</ref> לכפול החשבון הראשון של הטור<ref group=I>הטור: Lo27153; Mo30; O187; P1050; V398 טור</ref> העליון על כל מספרי<ref group=I>מספרי: P1051 מספר</ref> הטור<ref group=I>הטור: Mo30 om.</ref> השפל תחל לכפול<ref group=I>לכפול: Lo27153 <s>לשמור</s> לכפול</ref> המספר<ref group=I>המספר: P1029 <s>המספר</s> המספר</ref> השני של הטור<ref group=I>הטור: Mo30 טור<br>של הטור: V397 מטור</ref> העליון על מספר<ref group=I>מספר: O187; P1051 המספר</ref> הראשון של הטור<ref group=I>הטור: Mo30 טור; V397; P1051; V398 מספר<br>של הטור: O187 מטור; P1029 om.</ref> השפל והעולה כתבהו<ref group=I>כתבהו: P1050 כתבנו; P1051; V397 תכתבנו</ref> בטור השלישי כנגד השני העליון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Then, multiply the second [of the] top by the second that is in the bottom row and write it in the third row as the third digit, which is second to the digit from with which you have now started. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: P1051 ואחרי</ref> כן תכפול השני<ref group=I>השני: P1050 השני marg. שבטור</ref> העליון על שני<ref group=I>שני: P1050 השני</ref> שבטור השפל ותכתבהו<ref group=I>ותכתבהו: O187 והעולה תכתבהו; P1050 וכתבנו</ref> בטור השלישי<ref group=I>כנגד השני ... בטור השלישי: P1029 om.</ref> במספר השלישי<ref group=I>במספר השלישי: P1051; V397 om.</ref><ref group=note>במספר השלישי: V398 marg. פי' במעלה השלי'</ref> שהוא שני<ref group=I>שני: P1051 שלישי</ref> למספר<ref group=I>למספר: O187 של מספר</ref> שהחלות<ref group=I>שהחלות: V397 שהתחלנו</ref> עתה ממנו‫<ref group=I>ממנו: O187 ממנו וכן עד השלימך מספרי הטור השפל</ref> | |style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: P1051 ואחרי</ref> כן תכפול השני<ref group=I>השני: P1050 השני marg. שבטור</ref> העליון על שני<ref group=I>שני: P1050 השני</ref> שבטור השפל ותכתבהו<ref group=I>ותכתבהו: O187 והעולה תכתבהו; P1050 וכתבנו</ref> בטור השלישי<ref group=I>כנגד השני ... בטור השלישי: P1029 om.</ref> במספר השלישי<ref group=I>במספר השלישי: P1051; V397 om.</ref><ref group=note>במספר השלישי: V398 marg. פי' במעלה השלי'</ref> שהוא שני<ref group=I>שני: P1051 שלישי</ref> למספר<ref group=I>למספר: O187 של מספר</ref> שהחלות<ref group=I>שהחלות: V397 שהתחלנו</ref> עתה ממנו‫<ref group=I>ממנו: O187 ממנו וכן עד השלימך מספרי הטור השפל</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Then, start with the third upper digit, multiply it by the first of the bottom row, and write the result corresponding to the third [digit] with which you have started. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: P1051 ואחרי</ref> כן תחל במספר השלישי העליון<ref group=I>העליון: Mo30 בטור העליון</ref> לכפול אותו<ref group=I>לכפול אותו: P1029 לכפלו</ref> על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו<ref group=I>תכתבהו: V397; V398 תכתבנו</ref> כנגד טור<ref group=I>טור: Mo30 הטור; O187; P1051 om.<br>כנגד טור: Lo27153 בטור</ref> השלישי שהחילות<ref group=I>שהחלות: Lo27153 שהחלו<s>ת</s><sup>ת</sup></ref> ממנו | |style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: P1051 ואחרי</ref> כן תחל במספר השלישי העליון<ref group=I>העליון: Mo30 בטור העליון</ref> לכפול אותו<ref group=I>לכפול אותו: P1029 לכפלו</ref> על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו<ref group=I>תכתבהו: V397; V398 תכתבנו</ref> כנגד טור<ref group=I>טור: Mo30 הטור; O187; P1051 om.<br>כנגד טור: Lo27153 בטור</ref> השלישי שהחילות<ref group=I>שהחלות: Lo27153 שהחלו<s>ת</s><sup>ת</sup></ref> ממנו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This is the procedure for all endlessly with the rule that the units are into the lower rank and the decade following it in the next rank. |
|style="text-align:right;"|וככה<ref group=I>ממנו וככה: V397 וככה ממנו</ref> המשפט<ref group=I>המשפט: Mo30; O187 משפט</ref> לכלם<ref group=I>לכלם: O187 כולם</ref> עד<ref group=I>עד: Mo30 כי</ref> אין קץ עם משפט<ref group=I>משפט: Mo30; P1029; P1050; P1051; III משפטי; V397 משפטי משפטי</ref> הפרט<ref group=I>הפרט: Lo27153 <s>הפרט</s> הפרט; P1051 פרט</ref> להיות התחתון<ref group=I>התחתון: O187 תחתיו; P1029; P1050; P1051; V397; III תחתון</ref> והכלל<ref group=I>והכלל: P1051; V397 עם הכלל<br>שהחילות ... והכלל: V398 om.</ref> שיבא<ref group=I>שיבא: Mo30 הבא; V398 ושיבא; W152 כשיבא</ref> אחריו בטור<ref group=I>בטור: O187 במספר</ref> השני לו | |style="text-align:right;"|וככה<ref group=I>ממנו וככה: V397 וככה ממנו</ref> המשפט<ref group=I>המשפט: Mo30; O187 משפט</ref> לכלם<ref group=I>לכלם: O187 כולם</ref> עד<ref group=I>עד: Mo30 כי</ref> אין קץ עם משפט<ref group=I>משפט: Mo30; P1029; P1050; P1051; III משפטי; V397 משפטי משפטי</ref> הפרט<ref group=I>הפרט: Lo27153 <s>הפרט</s> הפרט; P1051 פרט</ref> להיות התחתון<ref group=I>התחתון: O187 תחתיו; P1029; P1050; P1051; V397; III תחתון</ref> והכלל<ref group=I>והכלל: P1051; V397 עם הכלל<br>שהחילות ... והכלל: V398 om.</ref> שיבא<ref group=I>שיבא: Mo30 הבא; V398 ושיבא; W152 כשיבא</ref> אחריו בטור<ref group=I>בטור: O187 במספר</ref> השני לו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there is zero, whether in the top row or in the bottom row, the rule is to write it in its appropriate position, as is the rule for all numbers next to it. |
|style="text-align:right;"|ואם היה<ref group=I>היה: O187 יהיה</ref> גלגל בין בטור<ref group=I>בטור: Mo30 הטור; V397 <sup>ב</sup>טור</ref> העליון בין<ref group=I>בין: Mo30; P1051; V397; V398 ובין</ref> בטור<ref group=I>בטור: Mo30 הטור; V397 <sup>ב</sup>טור</ref> השפל משפטו<ref group=I>משפטו: Lo27153; P1050 משפט</ref> לכתבו במקום<ref group=I>במקום: Mo30 בטור</ref> הראוי לו<ref group=note>V398 marg. פי' להכיר מה שבא אחריו מן המספר באיזה מעלה היא</ref> כמשפט כל המספרים שעליו‫<ref group=I>שעליו: P1029 שעליו ואחריו; W152 שלעליו marg. שעליו</ref> | |style="text-align:right;"|ואם היה<ref group=I>היה: O187 יהיה</ref> גלגל בין בטור<ref group=I>בטור: Mo30 הטור; V397 <sup>ב</sup>טור</ref> העליון בין<ref group=I>בין: Mo30; P1051; V397; V398 ובין</ref> בטור<ref group=I>בטור: Mo30 הטור; V397 <sup>ב</sup>טור</ref> השפל משפטו<ref group=I>משפטו: Lo27153; P1050 משפט</ref> לכתבו במקום<ref group=I>במקום: Mo30 בטור</ref> הראוי לו<ref group=note>V398 marg. פי' להכיר מה שבא אחריו מן המספר באיזה מעלה היא</ref> כמשפט כל המספרים שעליו‫<ref group=I>שעליו: P1029 שעליו ואחריו; W152 שלעליו marg. שעליו</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Then, start adding up the interim products of the top row with the bottom: | ||
|style="text-align:right;"|ואחר כן תחל<ref group=I>תחל: Mo30 תשוב</ref> לחבר<ref group=I>לחבר: Lo27153 <s>לחסר</s> לחבר</ref> מה שעלה<ref group=I>שעלה: P1051; V397 שעולה</ref> בטור<ref group=I>בטור: O187 מטור</ref> העליון עם השפל‫<ref group=note>P1051 marg. פי'ק' ר"ל מכפילת הטור העליון עם השפל</ref> | |style="text-align:right;"|ואחר כן תחל<ref group=I>תחל: Mo30 תשוב</ref> לחבר<ref group=I>לחבר: Lo27153 <s>לחסר</s> לחבר</ref> מה שעלה<ref group=I>שעלה: P1051; V397 שעולה</ref> בטור<ref group=I>בטור: O187 מטור</ref> העליון עם השפל‫<ref group=note>P1051 marg. פי'ק' ר"ל מכפילת הטור העליון עם השפל</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*If there are no tens there, write down the sum. | ||
|style="text-align:right;"|אם<ref group=I>אם: Mo30 כי; O187 ואם</ref> אין בו<ref group=I>בו: O187 לו; V397 om.</ref> עשרות<ref group=I>עשרות: Mo30 עשיריות</ref> תכתוב מה שהוא בחבור‫<ref group=I>שהוא בחבור: O187 שבחבור</ref> | |style="text-align:right;"|אם<ref group=I>אם: Mo30 כי; O187 ואם</ref> אין בו<ref group=I>בו: O187 לו; V397 om.</ref> עשרות<ref group=I>עשרות: Mo30 עשיריות</ref> תכתוב מה שהוא בחבור‫<ref group=I>שהוא בחבור: O187 שבחבור</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*If there is ten, write one after it. | ||
|style="text-align:right;"|ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו | |style="text-align:right;"|ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*If there is more, write the excess aside from the sum you have and instead of the ten write one next to it. | ||
|style="text-align:right;"|ואם יש בו<ref group=I>בו: O187; V397 לו</ref> יותר כתוב<ref group=I>כתוב: P1029 om.</ref> היותר<ref group=I>היותר: O187; V397 יותר; P1050 האחד</ref> מבחוץ<ref group=I>מבחוץ: Mo30 מחוץ</ref> בחבור<ref group=I>בחבור: P1029 om.</ref> שיש לך<ref group=I>מבחוץ בחבור שיש לך: V398 בחבור שיש לך מבחוץ</ref> ובמקום העשרה כתוב אחד שני<ref group=I>שני: Lo27153 שיש; Mo30 marg.</ref> לו<ref group=I>לו: Lo27153 לו marg. לך; P1051 top</ref> נוסף | |style="text-align:right;"|ואם יש בו<ref group=I>בו: O187; V397 לו</ref> יותר כתוב<ref group=I>כתוב: P1029 om.</ref> היותר<ref group=I>היותר: O187; V397 יותר; P1050 האחד</ref> מבחוץ<ref group=I>מבחוץ: Mo30 מחוץ</ref> בחבור<ref group=I>בחבור: P1029 om.</ref> שיש לך<ref group=I>מבחוץ בחבור שיש לך: V398 בחבור שיש לך מבחוץ</ref> ובמקום העשרה כתוב אחד שני<ref group=I>שני: Lo27153 שיש; Mo30 marg.</ref> לו<ref group=I>לו: Lo27153 לו marg. לך; P1051 top</ref> נוסף | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|וכן | + | :Proceed so with all the interim products of the top and bottom rows and take out the excesses aside from the tens. |
+ | |style="text-align:right;"|וכן תעשה<ref group=I>תעשה: Mo30 עשרה</ref> לכל היוצאים<ref group=I>היוצאים: O187 היוצא</ref> מהטור<ref group=I>מהטור: Mo30; P1029 מן הטור; O187 מהטורים; P1051 מן הטורים</ref> העליון<ref group=I>העליון: P1051 העליונים</ref> והשפל<ref group=I>והשפל: Mo30; P1050; V398 והטור השפל</ref> והוצא<ref group=I>והוצא: P1029 והיוצא</ref> הנותר<ref group=I>הנותר: V398 הנזכר marg. הנותר</ref> מעשרות<ref group=I>מעשרות: O187; P1029; V398; III מהעשרות</ref> מבחוץ | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *After you know how much the sum in the third row is, count its ranks and see: if they are as much as the number of the ranks of the two upper rows minus one, know that your calculation is correct. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר שידעת כמה הוא<ref group=I>הוא: P1029 om.</ref> המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו<ref group=I>היו: P1029 הם</ref> כמספר מעלות השנים<ref group=I>השנים: P1029 השני</ref> טורים העליונים<ref group=I>העליונים: V398 <s>עול</s> עליונים; O187; P1029; V397; III עליונים</ref> ממנו בחסרון אחד<ref group=I>אחד: Mo30 האחד</ref> תדע<ref group=I>תדע: O187; W152 דע</ref> כי חשבונך אמת‫<ref group=note>V398 marg. בספר אחר ראיתי הדרך אחרת</ref> | |style="text-align:right;"|ואחר שידעת כמה הוא<ref group=I>הוא: P1029 om.</ref> המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו<ref group=I>היו: P1029 הם</ref> כמספר מעלות השנים<ref group=I>השנים: P1029 השני</ref> טורים העליונים<ref group=I>העליונים: V398 <s>עול</s> עליונים; O187; P1029; V397; III עליונים</ref> ממנו בחסרון אחד<ref group=I>אחד: Mo30 האחד</ref> תדע<ref group=I>תדע: O187; W152 דע</ref> כי חשבונך אמת‫<ref group=note>V398 marg. בספר אחר ראיתי הדרך אחרת</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :If the product of last digit in the top row multiplied by the last digit in the bottom row is a decade, the number of ranks in the third row is the same as to the number of [ranks of] the two upper rows without the subtraction of one. | ||
|style="text-align:right;"|ואם המספר<ref group=I>המספר: Mo30; P1029; P1050; P1051; V398 היה המספר; O187 יהיה מספר; V397 יהיה המספר</ref> האחרון<ref group=I>האחרון: O187 אחרון</ref> בטור העליון הנכפל במספר האחרון<ref group=I>האחרון: Mo30 העליון; O187 אחרון</ref> בטור השפל ממנו<ref group=I>ממנו: V397 <s>ממנו</s> ממנו</ref> יוצא אל כלל<ref group=I>כלל: P1050; III הכלל</ref><ref group=note>יוצא אל כלל: Mo30 marg. ר"ל מגיע עד מדרגת העשרות</ref> יהיה<ref group=I>יהיה: P1029 היה</ref> מספר<ref group=I>מספר: P1029 המספר</ref> מעלות הטור<ref group=I>הטור: V397 om.<br>מעלות הטור: Mo30 המעלות טור; P1051 המעלות בטור</ref> השלישי<ref group=I>הטור השלישי: P1029 טור ג'</ref> כמספר שני טורים<ref group=I>טורים: P1050; P1051; V398 הטורים</ref> העליונים<ref group=I>העליונים: P1029; V397 עליונים</ref> בלי<ref group=I>בלי: III בלתי</ref> מגרעת אחד‫<ref group=I>אחד: P1029; P1050 אחת</ref> | |style="text-align:right;"|ואם המספר<ref group=I>המספר: Mo30; P1029; P1050; P1051; V398 היה המספר; O187 יהיה מספר; V397 יהיה המספר</ref> האחרון<ref group=I>האחרון: O187 אחרון</ref> בטור העליון הנכפל במספר האחרון<ref group=I>האחרון: Mo30 העליון; O187 אחרון</ref> בטור השפל ממנו<ref group=I>ממנו: V397 <s>ממנו</s> ממנו</ref> יוצא אל כלל<ref group=I>כלל: P1050; III הכלל</ref><ref group=note>יוצא אל כלל: Mo30 marg. ר"ל מגיע עד מדרגת העשרות</ref> יהיה<ref group=I>יהיה: P1029 היה</ref> מספר<ref group=I>מספר: P1029 המספר</ref> מעלות הטור<ref group=I>הטור: V397 om.<br>מעלות הטור: Mo30 המעלות טור; P1051 המעלות בטור</ref> השלישי<ref group=I>הטור השלישי: P1029 טור ג'</ref> כמספר שני טורים<ref group=I>טורים: P1050; P1051; V398 הטורים</ref> העליונים<ref group=I>העליונים: P1029; V397 עליונים</ref> בלי<ref group=I>בלי: III בלתי</ref> מגרעת אחד‫<ref group=I>אחד: P1029; P1050 אחת</ref> | ||
|- | |- | ||
− | !Check: casting out by 9 | + | !<span style="color:red">Check: casting out by 9</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |Finally, check it through the scales. | ||
|style="text-align:right;"|‫<ref group=I>P1050; III example before the check</ref>ובחן<ref group=I>ובחן: O187; P1051; V397 ובחון</ref> באחרונה במאזנים‫<ref group=I>במאזנים: P1029; P1051 מאזנים</ref> | |style="text-align:right;"|‫<ref group=I>P1050; III example before the check</ref>ובחן<ref group=I>ובחן: O187; P1051; V397 ובחון</ref> באחרונה במאזנים‫<ref group=I>במאזנים: P1029; P1051 מאזנים</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |You proceed as follows: |
|style="text-align:right;"|וככה<ref group=I>וככה: Mo30 וכה; V398; P1050; III ככה</ref> תעשה‫<ref group=I>תעשה: V398; P1050; III om.</ref> | |style="text-align:right;"|וככה<ref group=I>וככה: Mo30 וכה; V398; P1050; III ככה</ref> תעשה‫<ref group=I>תעשה: V398; P1050; III om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Consider every digit in the top row in any rank as if it were units, sum them and cast out the nines from the sum if it is more than 9, or less than it write alone, and this is the scale of the top row. |
|style="text-align:right;"|חשוב<ref group=I>חשוב: O187; V397 הוצא</ref> כל חשבון<ref group=I>חשבון: P1029; P1051; V398 החשבון</ref> שתמצא בטור העליון באיזו<ref group=I>באיזו: Mo30; O187; P1051; V397 באיזה</ref> מעלה שיהיה<ref group=I>שיהיה: W152 שיהיו</ref> כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר<ref group=I>המחובר: P1051 marg.; P1050 המספר</ref> ט' ט' אם<ref group=I>אם: Mo30; V398 ואם</ref> יותר<ref group=I>יותר: Mo30 ישאר; P1029 יוסר; P1050 הוא יותר אחד</ref> ט'<ref group=I>ט': P1050; W152 מט'</ref> או<ref group=I>או: Lo27153 <s>או</s> או</ref> פחות ממנו כתוב אותו לבדו<ref group=I>לבדו: O187 לבד; V397 לבדד</ref> והוא<ref group=I>והוא: V397 והם</ref> מאזני הטור העליון | |style="text-align:right;"|חשוב<ref group=I>חשוב: O187; V397 הוצא</ref> כל חשבון<ref group=I>חשבון: P1029; P1051; V398 החשבון</ref> שתמצא בטור העליון באיזו<ref group=I>באיזו: Mo30; O187; P1051; V397 באיזה</ref> מעלה שיהיה<ref group=I>שיהיה: W152 שיהיו</ref> כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר<ref group=I>המחובר: P1051 marg.; P1050 המספר</ref> ט' ט' אם<ref group=I>אם: Mo30; V398 ואם</ref> יותר<ref group=I>יותר: Mo30 ישאר; P1029 יוסר; P1050 הוא יותר אחד</ref> ט'<ref group=I>ט': P1050; W152 מט'</ref> או<ref group=I>או: Lo27153 <s>או</s> או</ref> פחות ממנו כתוב אותו לבדו<ref group=I>לבדו: O187 לבד; V397 לבדד</ref> והוא<ref group=I>והוא: V397 והם</ref> מאזני הטור העליון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Do the same with the scale of the bottom row until you know how much its scale is. |
|style="text-align:right;"|ככה<ref group=I>ככה: Mo30 וכך; V398; P1050; III וכן</ref> תעשה למאזני הטור<ref group=I>למאזני הטור: P1051 לטור מאזני</ref> השפל עד שתדע כמה המאזנים<ref group=I>המאזנים: O187 מאזנים</ref> שלו‫<ref group=I>שלו: W152 שלא</ref> | |style="text-align:right;"|ככה<ref group=I>ככה: Mo30 וכך; V398; P1050; III וכן</ref> תעשה למאזני הטור<ref group=I>למאזני הטור: P1051 לטור מאזני</ref> השפל עד שתדע כמה המאזנים<ref group=I>המאזנים: O187 מאזנים</ref> שלו‫<ref group=I>שלו: W152 שלא</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Multiply the scale of the top row by the scale of the other row, then cast out the nines from the product and keep the remainder with you. |
|style="text-align:right;"|וכפול מאזני הטור העליון<ref group=I>העליון: Mo30 השני</ref> על מאזני הטור השני<ref group=I>השני: P1050; III השפל<br>על מאזני הטור השני: Mo30 om.</ref> והנכפל<ref group=I>והנכפל: P1029; V397 והכפל</ref> הוציאהו<ref group=I>הוציאהו: Mo30 תוציאנו; O187; P1029; P1051; V397 הוציאנו; V398 הוציאו; W152 הוציאוהו</ref> ט' ט' והנשאר<ref group=I>והנשאר: Mo30 om.</ref> יהיה<ref group=I>יהיה: Mo30 ויהיה; O187 שיהיה</ref> עמך<ref group=I>עמך: O187; V397 בידך</ref> שמור | |style="text-align:right;"|וכפול מאזני הטור העליון<ref group=I>העליון: Mo30 השני</ref> על מאזני הטור השני<ref group=I>השני: P1050; III השפל<br>על מאזני הטור השני: Mo30 om.</ref> והנכפל<ref group=I>והנכפל: P1029; V397 והכפל</ref> הוציאהו<ref group=I>הוציאהו: Mo30 תוציאנו; O187; P1029; P1051; V397 הוציאנו; V398 הוציאו; W152 הוציאוהו</ref> ט' ט' והנשאר<ref group=I>והנשאר: Mo30 om.</ref> יהיה<ref group=I>יהיה: Mo30 ויהיה; O187 שיהיה</ref> עמך<ref group=I>עמך: O187; V397 בידך</ref> שמור | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the scale of one of the rows is 9, do not weary yourself to find the scale of the other row, because it will always be casted out by 9. |
|style="text-align:right;"|ואם מאזני אחד מהטורים<ref group=I>מהטורים: III מן הטורים</ref> יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫<ref group=I>לעולם: V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואם מאזני אחד מהטורים<ref group=I>מהטורים: III מן הטורים</ref> יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם‫<ref group=I>לעולם: V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, examine the scale of the third row and see: if it is the same as the reserved, then your calculation is true, but if not, you were wrong. |
|style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: O187 ואחר כך; V397 ואחר כן; P1050 ואח"כ</ref> בדוק מאזני<ref group=I>מאזני: W152 במאזני</ref> הטור השלישי וראה אם<ref group=I>אם: Lo27153 כי אם</ref> היה שוה<ref group=I>שוה: Mo30; P1051 חשבונך שוה</ref> לשמור חשבונך<ref group=I>חשבונך: Mo30 אז תדע כי חשבונך; O187; V397 תדע כי חשבונך; P1029 יהיה חשבונך</ref> אמת ואם לאו<ref group=I>לאו: P1029; P1051 לא</ref> הנה<ref group=I>הנה: P1029 om.</ref> טעית‫<ref group=I>הנה טעית: Lo27153 <sup>הנה</sup> הוא טעות<br>ואם לאו הנה טעית: O187; V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואחר<ref group=I>ואחר: O187 ואחר כך; V397 ואחר כן; P1050 ואח"כ</ref> בדוק מאזני<ref group=I>מאזני: W152 במאזני</ref> הטור השלישי וראה אם<ref group=I>אם: Lo27153 כי אם</ref> היה שוה<ref group=I>שוה: Mo30; P1051 חשבונך שוה</ref> לשמור חשבונך<ref group=I>חשבונך: Mo30 אז תדע כי חשבונך; O187; V397 תדע כי חשבונך; P1029 יהיה חשבונך</ref> אמת ואם לאו<ref group=I>לאו: P1029; P1051 לא</ref> הנה<ref group=I>הנה: P1029 om.</ref> טעית‫<ref group=I>הנה טעית: Lo27153 <sup>הנה</sup> הוא טעות<br>ואם לאו הנה טעית: O187; V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 539: | Line 711: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We write 127 in the top row and the number 355 beneath it, each characters in its place, like this. | ||
|style="text-align:right;"|וכתבנו<ref group=I>וכתבנו: Mo30 כתוב; P1050; III כתבנו; P1029 וכתו'</ref> קכ"ז בטור העליון<ref group=I>קכ"ז בטור העליון: Mo30; P1029 בטור העליון קכ"ז</ref> כזה<ref group=I>כזה: Lo27153; Mo30; P1029; P1050 om.</ref> ומספר<ref group=I>ומספר: P1029 ובשני</ref> שנ"ה תחתיו אות אות<ref group=I>אות אות: III כל אות ואות; W194 <sup>כל</sup> אות <sup>ואות</sup></ref> במקומו<ref group=I>תחתיו אות אות במקומו: P1029 om.</ref> כזה‫<ref group=I>כזה: P1029 בזו הצורה; P1050; W152; W194 om.<br>ומספר ...כזה: Mo30 ובשניה שנ"ה</ref> | |style="text-align:right;"|וכתבנו<ref group=I>וכתבנו: Mo30 כתוב; P1050; III כתבנו; P1029 וכתו'</ref> קכ"ז בטור העליון<ref group=I>קכ"ז בטור העליון: Mo30; P1029 בטור העליון קכ"ז</ref> כזה<ref group=I>כזה: Lo27153; Mo30; P1029; P1050 om.</ref> ומספר<ref group=I>ומספר: P1029 ובשני</ref> שנ"ה תחתיו אות אות<ref group=I>אות אות: III כל אות ואות; W194 <sup>כל</sup> אות <sup>ואות</sup></ref> במקומו<ref group=I>תחתיו אות אות במקומו: P1029 om.</ref> כזה‫<ref group=I>כזה: P1029 בזו הצורה; P1050; W152; W194 om.<br>ומספר ...כזה: Mo30 ובשניה שנ"ה</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||1||2||7 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||3||5||5 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||2||3||3||5 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||1||5|| | ||
+ | |- | ||
+ | | ||6||1|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |3||5||5|| || | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |the product | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |4||5||0||8||5 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
|- | |- | ||
Line 573: | Line 780: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | {| | + | ::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span> |
+ | ::{| | ||
|- | |- | ||
|127||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}</math>||12<span style="color:red>7</span>||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}</math>||12<span style="color:red>7</span>||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}</math>|| 12<span style="color:red>7</span> | |127||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}</math>||12<span style="color:red>7</span>||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times5}}={\color{blue}{35}}}</math>||12<span style="color:red>7</span>||rowspan="4"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{7\times3}}={\color{blue}{21}}}</math>|| 12<span style="color:red>7</span> | ||
Line 583: | Line 791: | ||
| || || <span style="color:#0000FF>5</span> || <span style="color:#0000FF>1</span>5  | | || || <span style="color:#0000FF>5</span> || <span style="color:#0000FF>1</span>5  | ||
|} | |} | ||
− | |style="text-align:right;"|כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 נכפול</ref> ז' על ה' עלו<ref group=I>עלו: Mo30; P1029 ויהיו</ref> ל"ה כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30 כתוב; P1029 תכתוב</ref> ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל'<ref group=I>שהוא ל': Mo30; P1029 om.</ref> במעלה השניה‫<ref group=I>השניה: P1050; III השנית<br>במעלה השניה: Mo30; P1029 בשנית</ref> | + | | |
− | עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; III נכפול</ref> ז' על ה' השני התחתון<ref group=I>השני התחתון: Mo30 פעם אחרת; P1029 שלו האחרת</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ל"ה<ref group=I>עלו ל"ה: P1050; III om.</ref> כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30; P1029 כתוב; P1050; III וכתבנו</ref> ה'<ref group=I>ה': Mo30; P1029 הה'</ref> במעלה השנית<ref group=I>השנית: P1050 שנית</ref> תחת ג'<ref group=I>ג': Mo30; P1029 הג'<br>תחת ג': P1050; III om.</ref> וג' בשלישית‫<ref group=I>בשלישית: P1050 במעלה שלישית; III במעלה השלישית</ref> | + | |- |
− | עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול</ref> ז' הראשון<ref group=I>הראשון: P1050; III om.</ref> על ג' התחתון<ref group=I>התחתון: III התחתון השלישית; P1050 התחתון השלישי</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> כ"א כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30; P1029 כתוב</ref> א'<ref group=I>א': P1029 הא'; P1050 <s>ב</s> א'</ref> בשלישית תחת ג'<ref group=I>תחת ג': P1029 הג'; P1050; III om.</ref> וב' ברביעית<ref group=I>ברביעית: P1029 <s>רב</s> ברביעית</ref> | + | | |
+ | :*We multiply 7 by 5; the result is 35. We write 5 in the first rank and 3, which is 30, in the second rank. | ||
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 נכפול</ref> ז' על ה' עלו<ref group=I>עלו: Mo30; P1029 ויהיו</ref> ל"ה כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30 כתוב; P1029 תכתוב</ref> ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל'<ref group=I>שהוא ל': Mo30; P1029 om.</ref> במעלה השניה‫<ref group=I>השניה: P1050; III השנית<br>במעלה השניה: Mo30; P1029 בשנית</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply 7 by the second bottom 5; the result is 35. We write 5 in the second rank beneath the 3 and 3 in the third [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; III נכפול</ref> ז' על ה' השני התחתון<ref group=I>השני התחתון: Mo30 פעם אחרת; P1029 שלו האחרת</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ל"ה<ref group=I>עלו ל"ה: P1050; III om.</ref> כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30; P1029 כתוב; P1050; III וכתבנו</ref> ה'<ref group=I>ה': Mo30; P1029 הה'</ref> במעלה השנית<ref group=I>השנית: P1050 שנית</ref> תחת ג'<ref group=I>ג': Mo30; P1029 הג'<br>תחת ג': P1050; III om.</ref> וג' בשלישית‫<ref group=I>בשלישית: P1050 במעלה שלישית; III במעלה השלישית</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply the first 7 by the bottom 3; the result is 21. We write 1 in the third [rank] beneath 3 and 2 in the fourth [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול</ref> ז' הראשון<ref group=I>הראשון: P1050; III om.</ref> על ג' התחתון<ref group=I>התחתון: III התחתון השלישית; P1050 התחתון השלישי</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> כ"א כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30; P1029 כתוב</ref> א'<ref group=I>א': P1029 הא'; P1050 <s>ב</s> א'</ref> בשלישית תחת ג'<ref group=I>תחת ג': P1029 הג'; P1050; III om.</ref> וב' ברביעית<ref group=I>ברביעית: P1029 <s>רב</s> ברביעית</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :{| | + | ::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span> |
+ | ::{| | ||
|- | |- | ||
|rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7||rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7||rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7 | |rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7||rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times5}}={\color{blue}{10}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7||rowspan="5"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{2\times3}}={\color{blue}{6}}}</math>|| 1<span style="color:red>2</span>7 | ||
Line 600: | Line 819: | ||
| <span style="color:#0000FF>1</span>  || 1  ||<span style="color:#0000FF>6</span>1   | | <span style="color:#0000FF>1</span>  || 1  ||<span style="color:#0000FF>6</span>1   | ||
|} | |} | ||
− | | | + | | |
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :{| | + | :*We also multiply the middle upper 2 by the first 5 from the bottom [row]; the result is 10. We write 1 in the third ]rank] beneath the 1. |
+ | |style="text-align:right;"|עוד<ref group=I>עוד: W152 ועוד</ref> כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30 תכפול; III נכפול; P1029 כפול</ref> ב' האמצעי העליון<ref group=I>העליון: P1029 מהטור העליון</ref> על ה' הראשון<ref group=I>הראשון: W152; W194 om.<br>ה' הראשון: Mo30 הראשנה; P1029 הא'</ref> מן<ref group=I>מן: III om.; P1050 top</ref> התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30 הטור התחתון</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 ועלו</ref> י' כתבנו<ref group=I>כתבנו: Mo30; P1029 כתוב</ref> א' בשלישית<ref group=I>כתבנו א' בשלישית: III והיה ראוי לכתבו</ref> תחת הא‫'<ref group=I>א': Mo30 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply the upper 2 by the second lower 5; the result is also 10. We write 1 beneath 2 in the fourth [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> ב'<ref group=I>ב': Mo30; P1029 הב'</ref> העליון<ref group=I>העליון: Mo30 האמצעי; P1029 בעצמה</ref> על ה'<ref group=I>ה': P1029 הה'<br>ה' הראשון ... ב' העליון על ה': P1029 marg.</ref> השנית<ref group=I>השנית: P1029 האמצעי; P1050 השני<br>ה' השנית: Mo30 הה' השניים</ref> התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30 של מטה; P1029 מהטור התחתון</ref> היו<ref group=I>היו: P1029 יעלו; P1050; III יהיו</ref> גם כן<ref group=I>גם כן: Mo30; P1029 om.</ref> י' כתבנו<ref group=I>כתבנו: P1029 כתוב; P1050; III נכתוב</ref> א'<ref group=I>א': P1029 הא'<br>כתבנו א': Mo30 ושים אותם; W194 אלה</ref> תחת ב'<ref group=I>תחת ב': P1050; III om.</ref> ברביעית‫<ref group=I>ברביעית: Mo30 om.<br>תחת ב' ברביעית: P1029 ברביעית תחת ב'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply the top 2 by the bottom 3; the result is 6. We write it under 1 in the fourth [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> ב'<ref group=I>ב': Mo30 הב'</ref> העליון<ref group=I>העליון: Mo30 האמצעי; P1029 האמצעי מהטור העליון</ref> על ג'<ref group=I>ג': Mo30 הג'</ref> התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30; P1050 om.; P1029 התחתון מן הטור השפל</ref> והיו<ref group=I>והיו: Mo30 ויהיו; P1029 יעלו; P1050; III עלו</ref> ו' כתבנו אותו<ref group=I>כתבנו אותו: Mo30 ושים אותם; P1029 כתבהו; P1050; III ונכתבנו</ref> תחת א'<ref group=I>א': Lo27153 <s>ה</s>א'<br>תחת א': Mo30 om.</ref> ברביעית‫<ref group=I>ברביעית: Mo30 במדרגה <s>חמישית</s> <sup>ד'</sup><br>תחת א' ברביעית: P1029 ברביעית תחת הב'<br>עוד כפלנו ב' העליון ... ברביעית: Mo30 marg.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::<span style=color:red>[Illustration of the procedure:]</span> | ||
+ | ::{| | ||
|- | |- | ||
|rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}</math>|| <span style="color:red>1</span>27||rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}</math>|| <span style="color:red>1</span>27||rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}</math>||  <span style="color:red>1</span>27 | |rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}</math>|| <span style="color:red>1</span>27||rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times5}}={\color{blue}{5}}}</math>|| <span style="color:red>1</span>27||rowspan="6"|<math>\scriptstyle\xrightarrow{{\color{red}{1\times3}}={\color{blue}{3}}}</math>||  <span style="color:red>1</span>27 | ||
Line 619: | Line 849: | ||
| <span style="color:#0000FF>5</span>  ||<span style="color:#0000FF>5</span>5  ||<span style="color:#0000FF>3</span>55   | | <span style="color:#0000FF>5</span>  ||<span style="color:#0000FF>5</span>5  ||<span style="color:#0000FF>3</span>55   | ||
|} | |} | ||
− | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; P1050; III נכפול</ref> א' העליון האחרון<ref group=I>האחרון: P1050 om.<br>העליון האחרון: Lo27153 האחרון העליון</ref> על ה'<ref group=I>ה': P1029 הה'</ref> הראשון התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30; P1029 מטור התחתון<br>הראשון התחתון: P1050; III התחתון הראשון</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ה'<ref group=I>עלו ה': Mo30 om.</ref> כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו</ref> בשלישית‫<ref group=I>בשלישית: Mo30 בג'</ref> | + | | |
− | עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> א'<ref group=I>א': Mo30; P1029 א' העליון</ref> על ה'<ref group=I>ה': P1029 הה'</ref> השני<ref group=I>השני: Lo27153 השנית; Mo30; P1029 om.</ref> התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ה'<ref group=I>ה': P1050 ג"כ ה'</ref> כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1050 כתבנו; P1029 כתבהו</ref> ברביעית‫<ref group=I>ברביעית: Mo30; P1029 ברביעית תחת הב'</ref> | + | |- |
− | עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> א'<ref group=I>א': Mo30 הא'</ref> העליון על ג' התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30 מהטור העליון; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.</ref> היו<ref group=I>היו: Mo30; P1050; III עלו; P1029 יעלו</ref> ג' כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו</ref> בחמישית<ref group=I>בחמישית: P1029 בה'</ref> אחר ב'‫<ref group=I>ב': Mo30; P1029 הב'<br>אחר ב': P1050; III om.</ref> | + | | |
+ | :*We also multiply the last upper 1 by the first lower 5; the result is 5. We write it in the third [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 תכפול; P1050; III נכפול</ref> א' העליון האחרון<ref group=I>האחרון: P1050 om.<br>העליון האחרון: Lo27153 האחרון העליון</ref> על ה'<ref group=I>ה': P1029 הה'</ref> הראשון התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30; P1029 מטור התחתון<br>הראשון התחתון: P1050; III התחתון הראשון</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ה'<ref group=I>עלו ה': Mo30 om.</ref> כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו</ref> בשלישית‫<ref group=I>בשלישית: Mo30 בג'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply 1 by the second lower 5; the result is 5. We write it in the fourth [rank]. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> א'<ref group=I>א': Mo30; P1029 א' העליון</ref> על ה'<ref group=I>ה': P1029 הה'</ref> השני<ref group=I>השני: Lo27153 השנית; Mo30; P1029 om.</ref> התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.</ref> עלו<ref group=I>עלו: P1029 יעלו</ref> ה'<ref group=I>ה': P1050 ג"כ ה'</ref> כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1050 כתבנו; P1029 כתבהו</ref> ברביעית‫<ref group=I>ברביעית: Mo30; P1029 ברביעית תחת הב'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We also multiply the upper 1 by the bottom 3; the result is 3. We write it in the fifth [rank] after 2. | ||
+ | |style="text-align:right;"|עוד כפלנו<ref group=I>כפלנו: Mo30; P1029 כפול; P1050; III נכפול</ref> א'<ref group=I>א': Mo30 הא'</ref> העליון על ג' התחתון<ref group=I>התחתון: Mo30 מהטור העליון; P1029 מהטור התחתון; P1050 om.</ref> היו<ref group=I>היו: Mo30; P1050; III עלו; P1029 יעלו</ref> ג' כתבנוהו<ref group=I>כתבנוהו: Mo30; P1029 כתבהו; P1050 כתבנו</ref> בחמישית<ref group=I>בחמישית: P1029 בה'</ref> אחר ב'‫<ref group=I>ב': Mo30; P1029 הב'<br>אחר ב': P1050; III om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Thus, the multiplication is complete. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נשלם הכפל‫<ref group=I>והנה נשלם הכפל: Mo30; P1029 om.</ref> | |style="text-align:right;"|והנה נשלם הכפל‫<ref group=I>והנה נשלם הכפל: Mo30; P1029 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We add up all these numbers: all that is of the same rank together and what exceeds over ten or equal to ten, write it after that rank. | ||
|style="text-align:right;"|חברנו<ref group=I>חברנו: Mo30; P1029 חבר</ref> כל אלו<ref group=I>אלו: Lo27153 <s>אלה</s> אילו; P1029; W152 אלה</ref> המספרים כל<ref group=I>כל: Mo30 וכל; P1029 לכל</ref> מה שהוא ממעלה<ref group=I>ממעלה: Mo30; P1029 במעלה</ref> אחת יחד<ref group=I>יחד: Mo30; P1029 תחבר; P1050 <sup>תחבר</sup> יחד</ref> הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה<ref group=I>או עשרה: P1029 om.</ref> כתבהו<ref group=I>כתבהו: Lo27153 כתבנוהו</ref> אחר המעלה ההיא | |style="text-align:right;"|חברנו<ref group=I>חברנו: Mo30; P1029 חבר</ref> כל אלו<ref group=I>אלו: Lo27153 <s>אלה</s> אילו; P1029; W152 אלה</ref> המספרים כל<ref group=I>כל: Mo30 וכל; P1029 לכל</ref> מה שהוא ממעלה<ref group=I>ממעלה: Mo30; P1029 במעלה</ref> אחת יחד<ref group=I>יחד: Mo30; P1029 תחבר; P1050 <sup>תחבר</sup> יחד</ref> הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה<ref group=I>או עשרה: P1029 om.</ref> כתבהו<ref group=I>כתבהו: Lo27153 כתבנוהו</ref> אחר המעלה ההיא | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :The total product is 45 thousand and 85. |
|style="text-align:right;"|ויעלה<ref group=I>ויעלה: Mo30; P1029 ותמצא שיעלה; III ועלה</ref> המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫<ref group=I>ופ"ה: Mo30 ופ"ה למאזנים עשה כמו שידעת. נשלם השער הראשון; P1029 ופ"ה כזו הצורה וכלל זו הצורה כלומר המבוקש ממנה ה'ח'0'ה'ד' והמאזנים עשה כמו שידעת</ref> | |style="text-align:right;"|ויעלה<ref group=I>ויעלה: Mo30; P1029 ותמצא שיעלה; III ועלה</ref> המחובר מ"ה אלפים ופ"ה‫<ref group=I>ופ"ה: Mo30 ופ"ה למאזנים עשה כמו שידעת. נשלם השער הראשון; P1029 ופ"ה כזו הצורה וכלל זו הצורה כלומר המבוקש ממנה ה'ח'0'ה'ד' והמאזנים עשה כמו שידעת</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 666: | Line 908: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |<span style=color:red>Definition of a number:</span>{{#annot:definition|35|E7cZ}}every number is a sum of units. | + | |<span style=color:red>Definition of a number:</span>{{#annot:definition|35|E7cZ}}Know that that every number is a sum of units. |
|style="text-align:right;"|דע כי<ref group=II>כי: V397 om.</ref> כל חשבון הוא חברת האחדים{{#annotend:E7cZ}} | |style="text-align:right;"|דע כי<ref group=II>כי: V397 om.</ref> כל חשבון הוא חברת האחדים{{#annotend:E7cZ}} | ||
|- | |- | ||
− | !One | + | !<span style=color:red>One</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |One alone does not assume any change, no increase and no division. | ||
|style="text-align:right;"|והאחד<ref group=II>והאחד: Mo30; P1051 רק האחד</ref> לבדו לא יקבל שנוי<ref group=II>שנוי: Mo30 לא שנוי</ref> ולא<ref group=II>ולא: O187 לא</ref> רבוי ולא חלוק | |style="text-align:right;"|והאחד<ref group=II>והאחד: Mo30; P1051 רק האחד</ref> לבדו לא יקבל שנוי<ref group=II>שנוי: Mo30 לא שנוי</ref> ולא<ref group=II>ולא: O187 לא</ref> רבוי ולא חלוק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |It is the cause of every increase, change and division. |
|style="text-align:right;"|והוא סבת כל<ref group=II>כל: V398 om.</ref> רבוי ושנוי<ref group=II>ושנוי: P1051 om.</ref> וחלוק | |style="text-align:right;"|והוא סבת כל<ref group=II>כל: V398 om.</ref> רבוי ושנוי<ref group=II>ושנוי: P1051 om.</ref> וחלוק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |One is eternal and every number created through it. |
|style="text-align:right;"|והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו | |style="text-align:right;"|והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side | + | *<span style=color:red>Every number is half of the sum of the numbers on either side - one is half the sum of its one side</span> |
− | + | | | |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | :It does with one side what every [other] number does with its two sides. |
+ | |style="text-align:right;"|והוא יעשה<ref group=II>יעשה: V398 שיעשה</ref> בפאה אחת<ref group=II>אחת: P1051; V398 האחת</ref> מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|וככה כל מספר | + | :For two is the preceding side for the number three and four is the other following side, and the sum of the two sides is 6, which is double the number three, and so for every number. |
+ | |style="text-align:right;"|כי שנים<ref group=II>שנים: Mo30 om.; O187 שתים</ref> לחשבון שלשה<ref group=II>שלשה: P1051 השלשה</ref> ה{{#annot:term|327|gUdN}}פאה{{#annotend:gUdN}}<ref group=II>הפאה: O187; V397 הוא הפאה</ref> האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה<ref group=II>וארבעה הפאה: Mo30 ארבעה והפאה; P1051 שהיא הפאה</ref> האחרת שהיא אחריו ושתי<ref group=II>ושתי: Mo30 שתים וב'</ref> הפאות המחוברות<ref group=II>המחוברות: Mo30 מחוברות</ref> ששה שהם<ref group=II>שהם: Mo30 והוא; P1051</ref> כפל שלשה וככה כל מספר | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :But the one has no side that precedes it and following it is one side, which is two, and it is double the one. | ||
|style="text-align:right;"|והנה האחד<ref group=II>האחד: O187; V397 אחד</ref> אין לפניו<ref group=II>לפניו: P1051 לו marg. לפניו</ref> פאה ואחריו<ref group=II>לפניו פאה ואחריו: O187 לפניו פאה ולאחריו; V397 פאה לפניו ולאחריו</ref> פאה אחת שהיא שנים<ref group=II>שנים: Mo30 שתים</ref> והם כפל האחד‫<ref group=II>האחד: Mo30 אחד</ref> | |style="text-align:right;"|והנה האחד<ref group=II>האחד: O187; V397 אחד</ref> אין לפניו<ref group=II>לפניו: P1051 לו marg. לפניו</ref> פאה ואחריו<ref group=II>לפניו פאה ואחריו: O187 לפניו פאה ולאחריו; V397 פאה לפניו ולאחריו</ref> פאה אחת שהיא שנים<ref group=II>שנים: Mo30 שתים</ref> והם כפל האחד‫<ref group=II>האחד: Mo30 אחד</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall talk about every number that has whole integers without fractions. |
|style="text-align:right;"|ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי<ref group=II>בלי: Mo30 ולא</ref> שבר | |style="text-align:right;"|ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי<ref group=II>בלי: Mo30 ולא</ref> שבר | ||
|- | |- | ||
− | !Sexagesimal Fractions | + | !<span style=color:red>Sexagesimal Fractions</span> |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |12 zodiac signs | + | |<span style=color:red>12 zodiac signs:</span> Know that the astrologers have divided the celestial sphere into twelve parts. |
|style="text-align:right;"|ודע כי חכמי המזלות חלקו את<ref group=II>את: Mo30; P1051; V398 om.</ref> הגלגל על שנים עשר<ref group=II>על שנים עשר: O187; P1051; V397 לי"ב</ref> חלקים | |style="text-align:right;"|ודע כי חכמי המזלות חלקו את<ref group=II>את: Mo30; P1051; V398 om.</ref> הגלגל על שנים עשר<ref group=II>על שנים עשר: O187; P1051; V397 לי"ב</ref> חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :: | + | ::They did this because the solar year has 12 lunar months and because there is no number, smaller than 12, that has as many parts as it, for it has whole integers in its half, its third, its quarter, its sixth and its half of one-sixth. |
|style="text-align:right;"|ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב<ref group=II>י"ב: O187 היא שנים עשר; V397 היא י"ב</ref> חדשי<ref group=II>חדשי: V397 חדש</ref> הלבנה<ref group=II>הלבנה: P1051 לבנה</ref> ואין חשבון<ref group=II>חשבון: O187; V397 בחשבון</ref> קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים<ref group=II>רבים: V397 om.</ref> כמוהו כי יש לו אחדים<ref group=II>אחדים: P1051 <s>חלקים רבים אחדי</s></ref> שלמים<ref group=II>שלמים: Mo30; P1051 שלמים בלי שבר</ref> בחציו ושלישיתו<ref group=II>ושלישיתו: Mo30p; V398 ובשלישיתו</ref> ורביעיתו<ref group=II>ורביעיתו: Mo30 וברביעיתו</ref> וששיתו וחצי ששיתו‫<ref group=II>וחצי ששיתו: Mo30; V398 om.</ref><ref group=note>P1051 marg. אינו מן הספר; V398 marg. ו' ד' ג' ב'</ref> | |style="text-align:right;"|ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב<ref group=II>י"ב: O187 היא שנים עשר; V397 היא י"ב</ref> חדשי<ref group=II>חדשי: V397 חדש</ref> הלבנה<ref group=II>הלבנה: P1051 לבנה</ref> ואין חשבון<ref group=II>חשבון: O187; V397 בחשבון</ref> קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים<ref group=II>רבים: V397 om.</ref> כמוהו כי יש לו אחדים<ref group=II>אחדים: P1051 <s>חלקים רבים אחדי</s></ref> שלמים<ref group=II>שלמים: Mo30; P1051 שלמים בלי שבר</ref> בחציו ושלישיתו<ref group=II>ושלישיתו: Mo30p; V398 ובשלישיתו</ref> ורביעיתו<ref group=II>ורביעיתו: Mo30 וברביעיתו</ref> וששיתו וחצי ששיתו‫<ref group=II>וחצי ששיתו: Mo30; V398 om.</ref><ref group=note>P1051 marg. אינו מן הספר; V398 marg. ו' ד' ג' ב'</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |<span style=color:red>degrees:</span> They divided each sign to thirty degrees. |
|style="text-align:right;"|וחלקו המזל לשלשים<ref group=II>לשלשים: O187 ל'</ref> מעלות | |style="text-align:right;"|וחלקו המזל לשלשים<ref group=II>לשלשים: O187 ל'</ref> מעלות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :: | + | ::Because this number has more whole units than 12; for it has one-half, one-third, one-fifth, one-sixth and one-tenth. |
|style="text-align:right;"|כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית<ref group=II>וששית: Mo30 om.<br>וחמישית וששית: P1051 וששית וחמישית</ref> ועשירית‫<ref group=note>V398 marg. ט"ו י' ו' ה' ג'</ref> | |style="text-align:right;"|כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית<ref group=II>וששית: Mo30 om.<br>וחמישית וששית: P1051 וששית וחמישית</ref> ועשירית‫<ref group=note>V398 marg. ט"ו י' ו' ה' ג'</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | |
+ | ::So, the number of degrees of the celestial sphere is 360. | ||
|style="text-align:right;"|והנה עלה מספר<ref group=II>מספר: V398 המספר</ref> מעלות<ref group=II>מעלות: V397 om.</ref> הגלגל<ref group=II>הגלגל: V398 om.</ref> ש"ס‫<ref group=II>ש"ס: O187 לש"ס</ref> | |style="text-align:right;"|והנה עלה מספר<ref group=II>מספר: V398 המספר</ref> מעלות<ref group=II>מעלות: V397 om.</ref> הגלגל<ref group=II>הגלגל: V398 om.</ref> ש"ס‫<ref group=II>ש"ס: O187 לש"ס</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :: | + | ::This number has one-half, one-third, a quarter, one-fifth, one-sixth, one-eighth, one-ninth and one-tenth only the seventh is missing. |
|style="text-align:right;"|וזה המספר<ref group=II>וזה המספר: O187 וזה המספר קרוב לימות שנת החמה וזה המספר; P1051 וזה המספר יש לו קרוב לימות החמה; V397 וזה המספר לימי שנות החמה וזה המספר</ref> יש<ref group=II>יש: P1051 ויש</ref> לו חצי ושלישית<ref group=II>ושלישית: Mo30 ושליש</ref> ורביעית<ref group=II>ורביעית: Mo30 ורביע</ref> וחמישית<ref group=II>וחמישית: Mo30 וחומש</ref> וששית ושמינית ותשיעית ועשירית<ref group=II>ועשירית: Mo30 ועשור</ref> והנה לא<ref group=II>והנה לא: Mo30 ולא</ref> יחסר לו רק<ref group=II>רק: P1051 top</ref> השביעית‫<ref group=note>V398 marg. ק"פ ק"כ צ' ע"ב ס' מ"ה מ' ל"ו</ref> | |style="text-align:right;"|וזה המספר<ref group=II>וזה המספר: O187 וזה המספר קרוב לימות שנת החמה וזה המספר; P1051 וזה המספר יש לו קרוב לימות החמה; V397 וזה המספר לימי שנות החמה וזה המספר</ref> יש<ref group=II>יש: P1051 ויש</ref> לו חצי ושלישית<ref group=II>ושלישית: Mo30 ושליש</ref> ורביעית<ref group=II>ורביעית: Mo30 ורביע</ref> וחמישית<ref group=II>וחמישית: Mo30 וחומש</ref> וששית ושמינית ותשיעית ועשירית<ref group=II>ועשירית: Mo30 ועשור</ref> והנה לא<ref group=II>והנה לא: Mo30 ולא</ref> יחסר לו רק<ref group=II>רק: P1051 top</ref> השביעית‫<ref group=note>V398 marg. ק"פ ק"כ צ' ע"ב ס' מ"ה מ' ל"ו</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::When you multiply this number by 7, the result is two thousand and 520, and this number includes all fractions up to tenths. | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תכפול זה המספר<ref group=II>המספר: V397 om.</ref> על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫<ref group=II>עשרה: O187 העשרה</ref> | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול זה המספר<ref group=II>המספר: V397 om.</ref> על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה‫<ref group=II>עשרה: O187 העשרה</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *When the astrologers multiply degrees by degrees, the product is degrees, which are whole units. |
|style="text-align:right;"|והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות<ref group=II>מעלות: V397 המעלות</ref> על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם<ref group=II>שהם: P1051; V397 שהן</ref> אחדים<ref group=II>אחדים: O187; V397 כאחדים</ref> שלמים | |style="text-align:right;"|והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות<ref group=II>מעלות: V397 המעלות</ref> על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם<ref group=II>שהם: P1051; V397 שהן</ref> אחדים<ref group=II>אחדים: O187; V397 כאחדים</ref> שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *Similarly, when they divide degrees by degrees, the quotient is degrees, which are whole units. |
|style="text-align:right;"|וככה כאשר יחלקו<ref group=II>יחלקו: Mo30; P1051; V397 יתחלקו</ref> מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק<ref group=II>העולה בחלוק: Mo30; P1051 המחובר</ref> מעלות שהם אחדים שלמים‫<ref group=II>וככה ... שלמים: Mo30 marg.; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|וככה כאשר יחלקו<ref group=II>יחלקו: Mo30; P1051; V397 יתחלקו</ref> מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק<ref group=II>העולה בחלוק: Mo30; P1051 המחובר</ref> מעלות שהם אחדים שלמים‫<ref group=II>וככה ... שלמים: Mo30 marg.; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 735: | Line 985: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall give you a rule how to divide every number, whether it consists of one, two or many digits: |
|style="text-align:right;"|ועתה אתן לך כלל<ref group=II>כלל: P1051 <s>משל</s> כלל</ref> איך תחלק<ref group=II>תחלק: O187 תסלק; V398 יתחלק</ref> כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים | |style="text-align:right;"|ועתה אתן לך כלל<ref group=II>כלל: P1051 <s>משל</s> כלל</ref> איך תחלק<ref group=II>תחלק: O187 תסלק; V398 יתחלק</ref> כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Write them in one row, each according to its rank, then write the number by which you divide in another row, whether it consists of one or many digits, each according to its rank corresponding to each digit according to its rank in the top row, and leave a space between the upper row and the bottom row so that you can write a middle row in between them; whether the quotient consists of one or many digits, you place each one according to its rank. |
|style="text-align:right;"|כתוב אותם<ref group=II>אותם: V397 אותן</ref> בטור אחד כל אחד כפי<ref group=II>כפי: O187; V397 לפי</ref> מעלתו ואחר כך<ref group=II>ואחר כך: Mo30 אח"כ</ref> כתוב<ref group=II>אותם ... כתוב: V397 marg.</ref> החשבון שתחלק עליו בטור<ref group=II>בטור: O187 הטור</ref> אחר<ref group=II>אחר: O187; V397 האחר<br>בטור אחר: P1051 om.</ref> בין שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שהיה</ref> מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו<ref group=II>ואחר כך ... מעלתו: V398 om.</ref> ויהיה כל חשבון<ref group=II>חשבון: Mo30 החשבון</ref> לפי מעלתו<ref group=II>ויהיה כל חשבון לפי מעלתו: P1051 om.; V398 marg. ויהיה כל חשבון לפי מעלתו בטור השפל</ref> כנגד כל<ref group=II>כל: O187 top</ref> חשבון<ref group=II>לפי מעלתו כנגד כל חשבון: Mo30 om.</ref> כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור<ref group=II>הטור: O187; V397 טור</ref> העליון והטור<ref group=II>והטור: O187; V397 לטור</ref> השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי<ref group=II>אמצעי: Mo30 האמצעי; O187; V397 אחד</ref> ביניהם<ref group=II>ביניהם: O187; V397 בין שניהם</ref> בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫<ref group=II>תשים כפי מעלתו: V397 כפי מעלתו תשים</ref> | |style="text-align:right;"|כתוב אותם<ref group=II>אותם: V397 אותן</ref> בטור אחד כל אחד כפי<ref group=II>כפי: O187; V397 לפי</ref> מעלתו ואחר כך<ref group=II>ואחר כך: Mo30 אח"כ</ref> כתוב<ref group=II>אותם ... כתוב: V397 marg.</ref> החשבון שתחלק עליו בטור<ref group=II>בטור: O187 הטור</ref> אחר<ref group=II>אחר: O187; V397 האחר<br>בטור אחר: P1051 om.</ref> בין שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שהיה</ref> מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו<ref group=II>ואחר כך ... מעלתו: V398 om.</ref> ויהיה כל חשבון<ref group=II>חשבון: Mo30 החשבון</ref> לפי מעלתו<ref group=II>ויהיה כל חשבון לפי מעלתו: P1051 om.; V398 marg. ויהיה כל חשבון לפי מעלתו בטור השפל</ref> כנגד כל<ref group=II>כל: O187 top</ref> חשבון<ref group=II>לפי מעלתו כנגד כל חשבון: Mo30 om.</ref> כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור<ref group=II>הטור: O187; V397 טור</ref> העליון והטור<ref group=II>והטור: O187; V397 לטור</ref> השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי<ref group=II>אמצעי: Mo30 האמצעי; O187; V397 אחד</ref> ביניהם<ref group=II>ביניהם: O187; V397 בין שניהם</ref> בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו‫<ref group=II>תשים כפי מעלתו: V397 כפי מעלתו תשים</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The number by which you divide should be less than the number that you divide by it. |
|style="text-align:right;"|וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו<ref group=II>ממנו: Mo30; P1051; V397 om.</ref> וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫<ref group=II>השלמים: V397 בשלמים</ref> | |style="text-align:right;"|וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו<ref group=II>ממנו: Mo30; P1051; V397 om.</ref> וזה הדבר הוא בחלוק השלמים‫<ref group=II>השלמים: V397 בשלמים</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |But this is only for the division of integers, not for fractions, as I will explain with the help of God. |
|style="text-align:right;"|ולא<ref group=II>ולא: Mo30 לא</ref> כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל | |style="text-align:right;"|ולא<ref group=II>ולא: Mo30 לא</ref> כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When you set up the rows, as I said, you start dividing by the last digit in the top row. |
|style="text-align:right;"|ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל<ref group=II>תחל: V397 תחל<s>ק</s></ref> לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור<ref group=II>בטור: V398 om.</ref> העליון | |style="text-align:right;"|ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל<ref group=II>תחל: V397 תחל<s>ק</s></ref> לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור<ref group=II>בטור: V398 om.</ref> העליון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Divide it by the last number in the bottom row. |
|style="text-align:right;"|ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור<ref group=II>שהוא בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל<ref group=II>השפל: P1051 <s>העליון</s> השפל</ref> | |style="text-align:right;"|ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור<ref group=II>שהוא בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל<ref group=II>השפל: P1051 <s>העליון</s> השפל</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Consider the two numbers, even though they are decades, consider them as units. |
|style="text-align:right;"|וחשוב שנים<ref group=II>שנים: V397 שני</ref> המספרים<ref group=II>המספרים: Mo30 מס'; P1051 <sup>ה</sup>מספרים</ref> אע"פ שהם כללים חשוב<ref group=II>חשוב: P1051 חשב</ref> אותם<ref group=II>אותם: V398 אותו</ref> כמו אחדים<ref group=note>P1051 marg. פי' ק' ואחר כך תמצא אמתתם במעלתם</ref> | |style="text-align:right;"|וחשוב שנים<ref group=II>שנים: V397 שני</ref> המספרים<ref group=II>המספרים: Mo30 מס'; P1051 <sup>ה</sup>מספרים</ref> אע"פ שהם כללים חשוב<ref group=II>חשוב: P1051 חשב</ref> אותם<ref group=II>אותם: V398 אותו</ref> כמו אחדים<ref group=note>P1051 marg. פי' ק' ואחר כך תמצא אמתתם במעלתם</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The quotient: see how far the last digit of the bottom row is from the first digit, whether it is units or a zero, and as the number of the distance, return back and write the quotient there above the bottom row, which is beneath the top row. |
|style="text-align:right;"|והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר<ref group=II>המספר: V397 מספר</ref> האחרון מהטור השפל<ref group=II>העליון ותחלק ... מהטור השפל: Mo30 marg.</ref> מהמספר הראשון בין שיהיו<ref group=II>שיהיו: V397 שיהיה</ref> בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30; P1051; V398 תשוב</ref> אחורנית<ref group=note>P1051 marg. פי' ק' מהמספר האחרון שבטור העליון</ref> ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון | |style="text-align:right;"|והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר<ref group=II>המספר: V397 מספר</ref> האחרון מהטור השפל<ref group=II>העליון ותחלק ... מהטור השפל: Mo30 marg.</ref> מהמספר הראשון בין שיהיו<ref group=II>שיהיו: V397 שיהיה</ref> בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30; P1051; V398 תשוב</ref> אחורנית<ref group=note>P1051 marg. פי' ק' מהמספר האחרון שבטור העליון</ref> ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If a number that cannot be divided remains from the last digit, and [the division] has not yet reached the ranks of the units, return the remaining number back to the preceding rank, which is lower than it and consider each unit as ten. |
|style="text-align:right;"|ואם ישאר במספר האחרון<ref group=II>האחרון: V397 אחרון</ref> חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים<ref group=II>האחדים: P1051; V398 אחדים</ref> השב אחורנית המספר הנשאר למעלה<ref group=II>למעלה: Mo30 ולמעלה</ref> הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל<ref group=II>כל: Mo30 ככל</ref> אחד עשרה | |style="text-align:right;"|ואם ישאר במספר האחרון<ref group=II>האחרון: V397 אחרון</ref> חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים<ref group=II>האחדים: P1051; V398 אחדים</ref> השב אחורנית המספר הנשאר למעלה<ref group=II>למעלה: Mo30 ולמעלה</ref> הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל<ref group=II>כל: Mo30 ככל</ref> אחד עשרה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, divide by the number by which you divide, and write the quotient back from the first rank you wrote, before the first quotient. |
|style="text-align:right;"|ואחר כך חלק על המספר<ref group=II>המספר: V398 מספר</ref> שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו<ref group=II>תכתוב אותו: Mo30 תכתבהו</ref> אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני<ref group=II>לפני: Mo30; V397 om.</ref> מה שעלה בחלוק בראשונה | |style="text-align:right;"|ואחר כך חלק על המספר<ref group=II>המספר: V398 מספר</ref> שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו<ref group=II>תכתוב אותו: Mo30 תכתבהו</ref> אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני<ref group=II>לפני: Mo30; V397 om.</ref> מה שעלה בחלוק בראשונה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Proceed always like this until you reach a number that is smaller than the divisor and write the remainder above the top row according to its rank. In the fifth chapter I will explain what you should do with it. |
|style="text-align:right;"|ככה תעשה תמיד עד שתגיע<ref group=II>שתגיע: V397 שישיג; V398 שיגיע</ref> אל המספר<ref group=II>המספר: Mo30; P1051; V398 מספר</ref> שהוא פחות מהמחולק עליו<ref group=II>מהמחולק עליו: Mo30 מהמחלק</ref> ואותו הנשאר תכתבנו<ref group=II>תכתבנו: Mo30 תכתבהו</ref> למעלה מהטור<ref group=II>מהטור: Mo30; P1051 מן הטור</ref> העליון כפי מעלתו ובשער החמישי<ref group=II>החמישי: P1051 השלישי</ref> אפרש לך מה שתעשה<ref group=II>שתעשה: Mo30; P1051 תעשה</ref> ממנו | |style="text-align:right;"|ככה תעשה תמיד עד שתגיע<ref group=II>שתגיע: V397 שישיג; V398 שיגיע</ref> אל המספר<ref group=II>המספר: Mo30; P1051; V398 מספר</ref> שהוא פחות מהמחולק עליו<ref group=II>מהמחולק עליו: Mo30 מהמחלק</ref> ואותו הנשאר תכתבנו<ref group=II>תכתבנו: Mo30 תכתבהו</ref> למעלה מהטור<ref group=II>מהטור: Mo30; P1051 מן הטור</ref> העליון כפי מעלתו ובשער החמישי<ref group=II>החמישי: P1051 השלישי</ref> אפרש לך מה שתעשה<ref group=II>שתעשה: Mo30; P1051 תעשה</ref> ממנו | ||
|- | |- | ||
Line 774: | Line 1,024: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :According to the following diagram. | ||
|style="text-align:right;"|בזאת הצורה‫<ref group=II>בזאת הצורה: Mo30 om.; V397 בצורה הזאת</ref> | |style="text-align:right;"|בזאת הצורה‫<ref group=II>בזאת הצורה: Mo30 om.; V397 בצורה הזאת</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |0||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |2||6||4|| | ||
+ | |- | ||
+ | |9||0||0||0 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||2||8 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||7||0 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
|- | |- | ||
Line 813: | Line 1,084: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|הנה נשים ע'<ref group=II>ע': Mo30 ז'; P1051 ט'</ref> בטור השפל<ref group=II>השפל: Mo30 שפל כפי מעלתו וט' בטור עליון; P1051 העליון; V398 שפל</ref> כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה<ref group=II>והנה: P1051 הנה</ref> נתן לו<ref group=II>נתן לו: P1051 נתתי לך</ref> א' ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו; V397 וכתבנו ונכתבנו</ref> במעלה השנית<ref group=II>השנית: V397 שנית</ref> אחורנית מהמספר<ref group=II>מהמספר: Mo30 ממספר</ref> האחרון שהוא בטור הראשון<ref group=II>הראשון: Mo30; P1051; V398 העליון</ref> כי ע' הוא שני לטור השפל<ref group=note>Mo30 marg. ר"ל כשנתחיל מהאחדים</ref> ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו</ref> באמצע ונשארו לנו<ref group=II>לנו: P1051 om.</ref> שנים | + | :*We put 70 in the bottom row according to its ranks and consider all as units. We give it 1 and write it in the second rank back from the last digit of the first row, because the 70 is in the second rank in the lower row and we write it in the middle. We are left with two. |
− | + | |style="text-align:right;"|הנה נשים ע'<ref group=II>ע': Mo30 ז'; P1051 ט'</ref> בטור השפל<ref group=II>השפל: Mo30 שפל כפי מעלתו וט' בטור עליון; P1051 העליון; V398 שפל</ref> כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה<ref group=II>והנה: P1051 הנה</ref> נתן לו<ref group=II>נתן לו: P1051 נתתי לך</ref> א' ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו; V397 וכתבנו ונכתבנו</ref> במעלה השנית<ref group=II>השנית: V397 שנית</ref> אחורנית מהמספר<ref group=II>מהמספר: Mo30 ממספר</ref> האחרון שהוא בטור הראשון<ref group=II>הראשון: Mo30; P1051; V398 העליון</ref> כי ע' הוא שני לטור השפל<ref group=note>Mo30 marg. ר"ל כשנתחיל מהאחדים</ref> ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 ונכתבהו</ref> באמצע ונשארו לנו<ref group=II>לנו: P1051 om.</ref> שנים | |
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ואם היה המספר באחדים<ref group=II>באחדים: Mo30 מאחדים<br>היה המספר באחדים: P1051 om.</ref> המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב<ref group=II>ותחשוב: V397 om.</ref> מאותו מקום<ref group=II>מאותו מקום: Mo30 אותו המקום</ref> וכפי מרחק<ref group=II>מרחק: P1051 המרחק</ref> המספר המחולק עליו תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30 תשוב</ref> אחורנית<ref group=II>אחורנית: P1051 אחורנית marg. וחשוב כל אחד עשרה</ref> ועשה<ref group=II>ועשה: V397 ותעשה</ref> כמשפט | + | :*We return it back, so it is twenty. We divide [them] by 7, we give it 2 and write it back before what was written first; we are left with 6. |
+ | |style="text-align:right;"|נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק<ref group=II>נחלק: Mo30 נחלקם</ref> על ז' והנה נתן<ref group=II>והנה נתן: Mo30 ונתן</ref> לו<ref group=II>לו: P1051 לנו</ref> ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה<ref group=note>P1051 marg. פי' ק' פי' שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק</ref> ונשארו לנו ו‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return it back, so it is sixty. We divide them by 7, we give it 8. Write it back. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: V397 נשיבם</ref> אחורנית יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו</ref> ששים נחלקנו<ref group=II>נחלקנו: Mo30 נחלקהו; V398 נחלקם</ref> על ז' נתן לו<ref group=II>לו: P1051 לנו<br>נתן לו: Mo30 ויהיו</ref> ח' תכתבהו<ref group=II>תכתבהו: Mo30 ונכתבהו; P1051; V398 ונכתבנו</ref> אחורנית<ref group=note>P1051 marg. פי' לפני הנכתב שנית שהוא במעלה שנית אחורנית מהמספר המחלק</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We are left with 4, which is in the second rank, so it is 40 and the divisor is greater than it. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונשארו לנו ד'<ref group=II>ד': V397 ה'</ref> והם במעלה השנית והם מ'<ref group=II>מ': V397 <s>מ'</s> <sup>נ'</sup></ref> והמספר המחולק עליו<ref group=II>עליו: V398 om.<br>המחולק עליו: Mo30 החולק</ref> גדול ממנו<ref group=II>והמספר המחולק עליו גדול ממנו: P1051 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | |If the divisor as units is greater than the last digit in the top row, return it back and calculate from this position, according to the distance of the divisor, return it back and proceed according to the rule. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואם היה המספר באחדים<ref group=II>באחדים: Mo30 מאחדים<br>היה המספר באחדים: P1051 om.</ref> המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב<ref group=II>ותחשוב: V397 om.</ref> מאותו מקום<ref group=II>מאותו מקום: Mo30 אותו המקום</ref> וכפי מרחק<ref group=II>מרחק: P1051 המרחק</ref> המספר המחולק עליו תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30 תשוב</ref> אחורנית<ref group=II>אחורנית: P1051 אחורנית marg. וחשוב כל אחד עשרה</ref> ועשה<ref group=II>ועשה: V397 ותעשה</ref> כמשפט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 827: | Line 1,108: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :According to the following diagram. | ||
|style="text-align:right;"|בזאת הצורה‫<ref group=II>בזאת הצורה: Mo30 om.</ref> | |style="text-align:right;"|בזאת הצורה‫<ref group=II>בזאת הצורה: Mo30 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||0||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |0||2||2||2|| | ||
+ | |- | ||
+ | |2||0||0||0||0 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||2||2||2 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||9||0 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
|- | |- | ||
Line 866: | Line 1,168: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=II>והנה: Mo30; V398 הנה</ref> בעבור כי מספר<ref group=II>מספר: V397 משפט</ref> ט' גדול מב' נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: Mo30 נשיבם</ref> אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 אחורנית במעלה הרביעית</ref> והם<ref group=II>והם: V397 והנה</ref> כ' נחלקם<ref group=II>נחלקם: Mo30 ונחלקם; P1051; V397 נחלק</ref> על ט' והנה<ref group=II>והנה: Mo30 ונתן לו marg. והנה; P1051 והנם; V398 ויהיו</ref> ב' נכתבנו<ref group=II>נכתבנו: Mo30; V397 ונכתבנו</ref> במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו<ref group=II>ב' ... ממנו: Mo30 marg.</ref> ונשארו ב‫'<ref group=II>ב': V397 <s>עשרים נחלק</s> <sup>ב'</sup></ref> | + | :*Since the number 9 is greater than 2, we return it back, so it is 20. We divide it by 9; the result is 2. We write it back in the third rank, which is the second to the digit that we divided; 2 remain. |
− | + | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=II>והנה: Mo30; V398 הנה</ref> בעבור כי מספר<ref group=II>מספר: V397 משפט</ref> ט' גדול מב' נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: Mo30 נשיבם</ref> אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 אחורנית במעלה הרביעית</ref> והם<ref group=II>והם: V397 והנה</ref> כ' נחלקם<ref group=II>נחלקם: Mo30 ונחלקם; P1051; V397 נחלק</ref> על ט' והנה<ref group=II>והנה: Mo30 ונתן לו marg. והנה; P1051 והנם; V398 ויהיו</ref> ב' נכתבנו<ref group=II>נכתבנו: Mo30; V397 ונכתבנו</ref> במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו<ref group=II>ב' ... ממנו: Mo30 marg.</ref> ונשארו ב‫'<ref group=II>ב': V397 <s>עשרים נחלק</s> <sup>ב'</sup></ref> | |
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We return them back to the third rank, so they are 20. We divide them by 9; the result is 2, and 2 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבם<ref group=II>נשיבם: Mo30 עוד נשיבם; P1051 ונשיבם; V398 נשיב ב'</ref> אחורנית במעלה השלישית<ref group=II>במעלה השלישית: Mo30 om.<br>אחורנית שהיא שנית ... במעלה השלישית: P1051 marg.</ref> והם<ref group=II>והם: P1051 הם</ref> כ' נחלקם<ref group=II>נחלקם: P1051 נחלק</ref> על ט'<ref group=II>נחלקם על ט': Mo30 om.</ref> והנה<ref group=II>והנה: Mo30 ונתן לו; P1051; V398 והנם</ref> ב' ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30 נשארו עוד; P1051 נשארו</ref> ב‫'<ref group=II>נשיבם ... ב': V397 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return them back to the second rank, they are twenty. We divide them by 9; the result is and 2 remain, which are twenty, because they are in the second rank in the top row. This number is smaller than our number, so we write back a zero, because no units resulted, and it cannot be taken out completely. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבם אחורנית במעלה השנית<ref group=II>השנית: Mo30 השנית <sup>הג'</sup></ref> והם עשרים נחלק על ט'<ref group=II>נחלק על ט': Mo30 om.</ref> והנם<ref group=II>והנם: Mo30 ונתן לו</ref> ב'<ref group=II>והנם ב': V397 om.</ref> ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30; P1051 נשארו</ref> ב' שהם עשרים כי הם<ref group=II>כי הם: V397 שהם</ref> במעלה השנית בטור העליון<ref group=II>כי הם ... העליון: Mo30 om.</ref> וזה המספר<ref group=II>וזה המספר: Mo30 והוא</ref> פחות ממספרנו<ref group=II>ממספרנו: Mo30 מהחולק; P1051 ממספר ט'</ref> על<ref group=II>על: Mo30 ועל</ref> כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים<ref group=II>עלו אחדים: V398 אחדים הם</ref> כי לא יצא לחוץ | ||
+ | |- | ||
+ | |If there is a zero in one of the positions and you cannot divide by the divisor, return it back from the higher [rank]. | ||
|style="text-align:right;"|ואם היה גלגל<ref group=II>גלגל: Mo30 הגלגל</ref> באחד המקומות<ref group=II>המקומות: V397 <sup>מ</sup>המקומות</ref> ולא<ref group=II>ולא: Mo30 לא</ref> תוכל<ref group=II>תוכל: P1051 נוכל</ref> לחלק על המספר המחולק<ref group=II>המחולק: Mo30 om.</ref> השב אחורנית מהגבוה<ref group=II>מהגבוה: P1051 מגבוה</ref> ממנו | |style="text-align:right;"|ואם היה גלגל<ref group=II>גלגל: Mo30 הגלגל</ref> באחד המקומות<ref group=II>המקומות: V397 <sup>מ</sup>המקומות</ref> ולא<ref group=II>ולא: Mo30 לא</ref> תוכל<ref group=II>תוכל: P1051 נוכל</ref> לחלק על המספר המחולק<ref group=II>המחולק: Mo30 om.</ref> השב אחורנית מהגבוה<ref group=II>מהגבוה: P1051 מגבוה</ref> ממנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot: | + | *{{#annot:4032÷30|157|wcHu}}Example: we wish to divide 4 thousands and 32 by 30. |
− | :<math>\ | + | :<math>\scriptstyle4032\div30</math> |
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו<ref group=II>בקשנו: Mo30 נרצה</ref> לחלק<ref group=II>בקשנו לחלק: P1051 חלקנו; V398 om.</ref> ד' אלפים ול"ב על שלשים‫<ref group=II>בקשנו ... שלשים: V397 om.<br>ד' אלפים ול"ב על שלשים: V398 marg.</ref>{{#annotend:wcHu}} | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו<ref group=II>בקשנו: Mo30 נרצה</ref> לחלק<ref group=II>בקשנו לחלק: P1051 חלקנו; V398 om.</ref> ד' אלפים ול"ב על שלשים‫<ref group=II>בקשנו ... שלשים: V397 om.<br>ד' אלפים ול"ב על שלשים: V398 marg.</ref>{{#annotend:wcHu}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |0||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |1||1||1|| | ||
+ | |- | ||
+ | |4||0||3||2 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||3||4 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||3||0 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
| | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
Line 918: | Line 1,244: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|חלקנו ד' על ג'<ref group=II>חלקנו ד' על ג': P1051 om.</ref> ועלה בידינו א'<ref group=II>א': V398 אחד marg. ונשאר אחד</ref> וכתבנוהו אחורנית במעלת<ref group=II>במעלת: V397 במעלה</ref> המאות כי הוא שני לו<ref group=II>וכתבנוהו ... שני לו: Mo30 om.</ref> נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 ונשארו</ref> לנו<ref group=II>לנו: Mo30 om.</ref> עוד<ref group=II>עוד: Mo30; V398 om.</ref> א‫'<ref group=note>P1051 marg. ק' פי' על ד'</ref> | + | :*We divide 4 by 3; we get 1. We write it back in the rank of the hundreds, because it is second to it; we are still left with 1. |
− | + | |style="text-align:right;"|חלקנו ד' על ג'<ref group=II>חלקנו ד' על ג': P1051 om.</ref> ועלה בידינו א'<ref group=II>א': V398 אחד marg. ונשאר אחד</ref> וכתבנוהו אחורנית במעלת<ref group=II>במעלת: V397 במעלה</ref> המאות כי הוא שני לו<ref group=II>וכתבנוהו ... שני לו: Mo30 om.</ref> נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 ונשארו</ref> לנו<ref group=II>לנו: Mo30 om.</ref> עוד<ref group=II>עוד: Mo30; V398 om.</ref> א‫'<ref group=note>P1051 marg. ק' פי' על ד'</ref> | |
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We return it back to the rank of the hundreds; so, they are 10. We divide them by 3; the quotient is 3, 1 is left to us. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: V397 נשיבהו נשיבהו</ref> אחורנית במעלת<ref group=II>במעלת: Mo30 ונכתבנו במעלת; V397; V398 במעלה</ref> המאות<ref group=note>P1051 marg. פי' נחשוב אותו עשרה</ref> והיו<ref group=II>והיו: Mo30 ויהיו; V397 היו; V398 והוא</ref> י'<ref group=II>והיו י': P1051 om.</ref> נחלקנו<ref group=II>נחלקנו: Mo30 ואותם העשרה נחלק</ref> על ג' ועלה בחלוק<ref group=II>בחלוק: V397 בחלק<br>ויעלה בחלוק: Mo30 ויצאו</ref> ג' נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 ונשאר</ref> לנו א‫'<ref group=II>א': Mo30 א' במקום המאות</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return it back to the rank of the tens; so, they are 10. We add them to what is written in the second rank; they are 13. We divide them by 3 and give it 4; so, we are left with 1. | ||
+ | |style="text-align:right;"|השבנוהו<ref group=II>השבנוהו: Mo30 ונשיבהו; P1051; V398 השיבנו אותו</ref> אחורנית במעלת העשרות ויהיו<ref group=II>ויהיו: V397 היה</ref> י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה<ref group=II>במעלה: P1051 למעלה</ref> השנית<ref group=II>ויהיו ... השנית: V398 om.<br>במעלת העשרות ... במעלה השנית: Mo30 ונחבר אליו הג' אשר בעשרות</ref> היו<ref group=II>היו: Mo30 ויהיו</ref> י"ג<ref group=II>י"ג: V398 י"ג עם הג' שעל המעלה ההיא</ref> חלקנו אותו<ref group=II>חלקנו אותו: Mo30 נחלקם; V398 חלק</ref> על ג' ונתנו<ref group=II>ונתנו: P1051; V397 נתנו</ref> לו<ref group=II>לו: P1051; V397 להם<br>ונתנו לו: Mo30 ויצאו</ref> ד'<ref group=II>ונתנו לו ד': V398 יהיו ד'</ref> נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 ונשאר; P1051 נשארו</ref> לנו<ref group=II>לנו: Mo30 om.</ref> א‫'<ref group=II>א': Mo30 אחד במקום העשרה והוא פחות מהמספר החולק</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return it back to the first rank; they are 12 that cannot be divided, because the remainder is less than the divisor, and everything is already taken out. | ||
+ | |style="text-align:right;"|השיבונוהו<ref group=II>השיבונוהו: Mo30 ונשיבם; P1051 השיבונו אותו</ref> אחורנית<ref group=II>נשאר לנו א' השיבונוהו אחורנית: V398 כתוב; marg. ד' במעלה הראשונה והנה נשאר לנו אחד תשיבהו אחורנית</ref> במעלה הראשונה<ref group=II>במעלה הראשונה: Mo30 ר"ל אל האחדים ועם הב' אשר באחדים</ref> היו<ref group=II>היו: Mo30 יהיו; P1051; V398 והיו</ref> י"ב<ref group=II>י"ב: V398 י"ב marg. עם ב' שעל המעלה הר' שלא'</ref> שלא<ref group=II>שלא: Mo30 ולא</ref> יתחלקו כי הנשאר<ref group=II>הנשאר: Mo30 הם</ref> פחות מאותו<ref group=II>מאותו: Mo30 מהמספר</ref> המחולק<ref group=II>המחולק: V397 המחובר</ref> עליו וכבר<ref group=II>וכבר: P1051 וככה</ref> יצא לחוץ | ||
+ | |- | ||
+ | |If we want to divide one digit or two digits or many digits by one digit or two digits or three or many, provided that they are less than the digits in the top row, you proceed as follows: | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני<ref group=II>שני: Mo30 שנים</ref> מספרים או מספרים<ref group=II>מספרים: P1051 <s>ג'</s> מספרים</ref> רבים על מספר אחד או על שני<ref group=II>שני: P1051 om.</ref> מספרים<ref group=II>שני מספרים: V397 שנים</ref> או על<ref group=II>על: Mo30 om.</ref> שלשה או על<ref group=II>על: Mo30; V398 om.<br>או על שלשה או על: P1051 om.</ref> רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה | |style="text-align:right;"|וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני<ref group=II>שני: Mo30 שנים</ref> מספרים או מספרים<ref group=II>מספרים: P1051 <s>ג'</s> מספרים</ref> רבים על מספר אחד או על שני<ref group=II>שני: P1051 om.</ref> מספרים<ref group=II>שני מספרים: V397 שנים</ref> או על<ref group=II>על: Mo30 om.</ref> שלשה או על<ref group=II>על: Mo30; V398 om.<br>או על שלשה או על: P1051 om.</ref> רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Give the last in the bottom row of the top row, as much as you can give it from the last digit in the top row, and give the preceding in the bottom row, which is first to the last, as much as the product of the number you gave the last multiplied by the digit in the bottom row that precedes the last digit. |
|style="text-align:right;"|תן לאחרון שבטור השפל מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30; P1051; V398 מהטור</ref> העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר<ref group=II>מהמספר: V398 מן המספר</ref> האחרון שבטור העליון ותן<ref group=II>ותן: Mo30; P1051; V397 ותתן</ref> לראשון מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30 מהטור</ref> השפל שהוא ראשון לאחרון<ref group=note>ראשון לאחרון: Mo30 marg. ר"ל קודם האחרון</ref> ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר<ref group=II>על מספר: V398 <s>על</s> <sup>מ</sup>מספר</ref> הטור השפל שהוא לפני האחרון | |style="text-align:right;"|תן לאחרון שבטור השפל מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30; P1051; V398 מהטור</ref> העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר<ref group=II>מהמספר: V398 מן המספר</ref> האחרון שבטור העליון ותן<ref group=II>ותן: Mo30; P1051; V397 ותתן</ref> לראשון מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30 מהטור</ref> השפל שהוא ראשון לאחרון<ref group=note>ראשון לאחרון: Mo30 marg. ר"ל קודם האחרון</ref> ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר<ref group=II>על מספר: V398 <s>על</s> <sup>מ</sup>מספר</ref> הטור השפל שהוא לפני האחרון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you cannot do this, reduce the number that you gave it first. |
− | |style="text-align:right;"|ואם לא תוכל לעשות<ref group=II>תוכל לעשות: V397 illegible</ref> ככה שוב וגרע ממספרך<ref group=II>ממספרך: P1051 עד ע' ממספרך</ref> שנתת לו בתחלה וכשאתה צריך לקחת מהטור<ref group=II>מהטור: P1051 top</ref> שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות | + | |style="text-align:right;"|ואם לא תוכל לעשות<ref group=II>תוכל לעשות: V397 illegible</ref> ככה שוב וגרע ממספרך<ref group=II>ממספרך: P1051 עד ע' ממספרך</ref> שנתת לו בתחלה |
+ | |- | ||
+ | |When you have to take any digit from the digit that precedes the last, return it back as tens. | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכשאתה צריך לקחת מהטור<ref group=II>מהטור: P1051 top</ref> שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This is how you proceed with all the ranks. |
|style="text-align:right;"|ככה תעשה לכל המעלות | |style="text-align:right;"|ככה תעשה לכל המעלות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there is a zero in one of the ranks of the upper row, return back from the higher rank next to it as tens and take from them as much as is necessary. |
|style="text-align:right;"|ואם<ref group=II>ואם: V398 אם</ref> היה באחת ממעלות<ref group=II>ממעלות: V397 מהמעלות</ref> הטור העליון גלגל השב מן הגבוה<ref group=II>מן הגבוה: V397 מהגבוה</ref> ממנו אחורנית<ref group=II>אחורנית: V398 om.</ref> בעשרות וקח ממנו<ref group=II>ממנו: V397 מהם</ref> מה שצריך לו | |style="text-align:right;"|ואם<ref group=II>ואם: V398 אם</ref> היה באחת ממעלות<ref group=II>ממעלות: V397 מהמעלות</ref> הטור העליון גלגל השב מן הגבוה<ref group=II>מן הגבוה: V397 מהגבוה</ref> ממנו אחורנית<ref group=II>אחורנית: V398 om.</ref> בעשרות וקח ממנו<ref group=II>ממנו: V397 מהם</ref> מה שצריך לו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are two zeros in the ranks of the upper row and in the ranks of the lower row there are numbers, you return back the higher [number] that corresponds to the digit that follows the last zero and take what you need from it. Then you return the remainder back as tens, and take what you need for the multiple of the number that is in the bottom row from the rank from which it should be taken. |
|style="text-align:right;"|ואם היו שני<ref group=II>שני: Mo30; P1051; V398 שנים</ref> גלגלים במעלות<ref group=II>במעלות: Mo30 למעלות; P1051; V397 במעלת</ref> הטור העליון ובמעלות<ref group=II>ובמעלות: Mo30; V397 ובמעלת</ref> הטור השפל מספרים<ref group=II>מספרים: V397 om.</ref> תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30 השב</ref> אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר<ref group=II>אחר: Mo30 אחרון</ref> הגלגל האחרון<ref group=II>האחרון: V397 om.</ref> ותקח מהם<ref group=II>מהם: V398 <s>מהם</s> <sup>ממנו</sup></ref> מה שתצטרך<ref group=II>שתצטרך: Mo30 שצריך; V397 שיצטרך</ref> ומהנשאר<ref group=II>ומהנשאר: Mo30 ומה שנשאר; P1051 ומהשאר</ref> תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך<ref group=II>ומהנשאר ... שתצטרך: V397 marg.</ref> בכפל<ref group=II>בכפל: V397 בכל</ref> המספר שהוא<ref group=II>שהוא: V397 שהוא אחר הגלגל ותקח מהם</ref> בטור השפל מן המעלה<ref group=II>מן המעלה: V397 מהמעלה</ref> שהיא ראויה לקחת ממנה‫<ref group=II>ממנה: V397 ממנו</ref> | |style="text-align:right;"|ואם היו שני<ref group=II>שני: Mo30; P1051; V398 שנים</ref> גלגלים במעלות<ref group=II>במעלות: Mo30 למעלות; P1051; V397 במעלת</ref> הטור העליון ובמעלות<ref group=II>ובמעלות: Mo30; V397 ובמעלת</ref> הטור השפל מספרים<ref group=II>מספרים: V397 om.</ref> תשיב<ref group=II>תשיב: Mo30 השב</ref> אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר<ref group=II>אחר: Mo30 אחרון</ref> הגלגל האחרון<ref group=II>האחרון: V397 om.</ref> ותקח מהם<ref group=II>מהם: V398 <s>מהם</s> <sup>ממנו</sup></ref> מה שתצטרך<ref group=II>שתצטרך: Mo30 שצריך; V397 שיצטרך</ref> ומהנשאר<ref group=II>ומהנשאר: Mo30 ומה שנשאר; P1051 ומהשאר</ref> תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך<ref group=II>ומהנשאר ... שתצטרך: V397 marg.</ref> בכפל<ref group=II>בכפל: V397 בכל</ref> המספר שהוא<ref group=II>שהוא: V397 שהוא אחר הגלגל ותקח מהם</ref> בטור השפל מן המעלה<ref group=II>מן המעלה: V397 מהמעלה</ref> שהיא ראויה לקחת ממנה‫<ref group=II>ממנה: V397 ממנו</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 947: | Line 1,286: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | |
− | {|class="wikitable" style=" | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
{|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
− | + | | ||0|| || | |
|- | |- | ||
− | + | |0||1||9|| | |
|- | |- | ||
− | | | + | |1||2||0|| |
|- | |- | ||
− | | | + | |2||1||5||4 |
|- | |- | ||
− | |style="text-align:right;"|ח||ב||א||ג | + | |8||2||1||3 |
+ | |- | ||
+ | | || ||2||3 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||3||5||3 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | |style="text-align:right;"| ||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |style="text-align:right;"|0||א||ט|| | ||
+ | |- | ||
+ | |style="text-align:right;"|א||ב||0|| | ||
+ | |- | ||
+ | |style="text-align:right;"|ב||א||ה||ד | ||
+ | |- | ||
+ | |style="text-align:right;"|ח||ב||א||ג | ||
|- | |- | ||
|style="text-align:right;"| || ||ב||ג | |style="text-align:right;"| || ||ב||ג | ||
Line 989: | Line 1,349: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ד'ט'<ref group=II>ד'ט': P1051 om.</ref> שכתבנו הוא<ref group=II>הוא: V397 והוא</ref> הנשאר<ref group=II>הנשאר: V397 הנשמר</ref> מן החשבון<ref group=II>מן החשבון: P1051; V397 מחשבון</ref> <ref group=II>MS St.P569 excerpt 2 begin.</ref>שלא יתחלק‫<ref group=II>יתחלק: P1051 נתחלק כזאת הצורה; V397 נתחלק<br>ד'ט' ... יתחלק: Mo30; V398 om.</ref> | + | :*The 94 that we wrote is the remainder of the number that cannot be divided. |
− | + | |style="text-align:right;"|ד'ט'<ref group=II>ד'ט': P1051 om.</ref> שכתבנו הוא<ref group=II>הוא: V397 והוא</ref> הנשאר<ref group=II>הנשאר: V397 הנשמר</ref> מן החשבון<ref group=II>מן החשבון: P1051; V397 מחשבון</ref> <ref group=II>MS St.P569 excerpt 2 begin.</ref>שלא יתחלק‫<ref group=II>יתחלק: P1051 נתחלק כזאת הצורה; V397 נתחלק<br>ד'ט' ... יתחלק: Mo30; V398 om.</ref> | |
− | |||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*When we divide 8, which is the last [digit] of the upper row, by 3, which is the last [digit] of the lower row, we give it two, and because the 3 of the lower row is third, we return it back to the third [digit] from there, and it reaches the rank of tens. We are left with two on the digit 8. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=II>והנה: Mo30 הנה</ref> כאשר<ref group=II>והנה כאשר: V398 <s>וכאשר</s> והנה כאשר</ref> חלקנו ח' שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30 <sup>ש</sup><s>ש</s>הוא</ref> אחרון בטור העליון על<ref group=II>על: Mo30 עם</ref> ג' שהוא אחרון<ref group=II>אחרון: V397 האחרון</ref> בטור השפל והנה נתנו<ref group=II>נתנו: Mo30 נתן</ref> לו שנים ובעבור שהיה<ref group=II>שהיה: P1051; V397 כי היה</ref> הג'<ref group=II>הג': Mo30 בג'</ref> שבטור השפל שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 במעלה השלישית</ref> החזרנו<ref group=II>החזרנו: P1051 החזירהו</ref> לשלישי<ref group=II>לשלישי: Mo30 לשלישית</ref> ממנו אחורנית והגיע למעלת<ref group=II>למעלת: P1051 למעלות</ref> העשרות ונשאר לנו במספר הח'<ref group=II>הח': P1051 ח'</ref> שנים | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We leave there one, because one is enough for us, and return the one back to the two; they are 12. We subtract from them 10, which is double five, which is the middle in the bottom row, so 2 are left on the 2. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה הנחנו שם אחד<ref group=II>אחד: V398 top</ref> כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד<ref group=II>האחד: Mo30 הא' לאחור</ref> אצל השנים והיו<ref group=II>והיו: Mo30 והוא; P1051 יהיו</ref> י"ב וחסרנו<ref group=II>וחסרנו: P1051 חסרנו</ref> ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב‫'<ref group=II>הב': V397 ב'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We leave there one and return one back on the one, which is third; they are 11. We subtract from them 6 for 3, which is first in the bottom row; so, 5 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו<ref group=II>ויהיו: Mo30 יהיו</ref> י"א נסיר ממנו ו'<ref group=II>ו': V398 ב' marg. ב' פעמי' שהוא ו'</ref> לג' שהוא ראשון שבטור<ref group=II>שבטור: P1051 לטור</ref> השפל<ref group=II>ממנו ו' ... שבטור השפל: Mo30 לג' שהוא ראשון שבטור השפל כפל ב' פעמים ג' והם ו' והסירם</ref> נשארו ה‫'<ref group=II>נשארו ה': V397 illegible</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :Thus, all 3 lower [digits] have what they are entitled to. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=II>והנה: Mo30 והנה נתת; P1051 <s>ת</s> הנה; V398 הנה</ref> לכל הג' השפלים מה שראוי להם | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We divide again, because are left with 1 on the 8, 1 on the 2 and 5 on the 1. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק כי נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 נשארו; V397 illegible</ref> לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫' | |style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק כי נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 נשארו; V397 illegible</ref> לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א‫' | ||
|} | |} | ||
Line 1,021: | Line 1,395: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|נשיב הא' שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30 om.<br>הא' שהוא: V397 om.</ref> על הח'<ref group=II>הח': Mo30 הא'; V398 ח'</ref> אחורנית על א' אשר על הב'<ref group=II>על א' אשר על הב': Mo30; P1051; V397 om.</ref> יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו</ref> י"א נחלק אותם על ג' שהוא<ref group=II>שהוא: P1051 om.</ref> בטור<ref group=II>שהוא בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל יהיו ג'<ref group=II>שהוא בטור השפל יהיו ג': V397 om.</ref> ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 וכתבנו</ref> כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים<ref group=II>השנים: V397 ב'</ref> ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30 נשארו</ref> לנו ב‫' | + | :*We return the 1, which is on the 8 back on the 1 above the 2; they are 11. We divide them by the 3, which is in the bottom row; they are 3. We write it corresponding to the first digit, which precedes the two; so, we are left with 2. |
− | נשיבם על הה'<ref group=II>על הה': P1051; V397 om.</ref> אחורנית<ref group=II>על הה' אחורנית: Mo30 אחורנית על הה'</ref> יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי<ref group=II>האמצעי: Mo30 האמצעית; P1051 האמצעים</ref> שבטור השפל<ref group=II>נתן ... השפל: V398 נסיר</ref> ט"ו ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30; P1051 נשארו; V397 ונשארו לנו</ref> עשרה | + | |style="text-align:right;"|נשיב הא' שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30 om.<br>הא' שהוא: V397 om.</ref> על הח'<ref group=II>הח': Mo30 הא'; V398 ח'</ref> אחורנית על א' אשר על הב'<ref group=II>על א' אשר על הב': Mo30; P1051; V397 om.</ref> יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו</ref> י"א נחלק אותם על ג' שהוא<ref group=II>שהוא: P1051 om.</ref> בטור<ref group=II>שהוא בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל יהיו ג'<ref group=II>שהוא בטור השפל יהיו ג': V397 om.</ref> ונכתבנו<ref group=II>ונכתבנו: Mo30 וכתבנו</ref> כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים<ref group=II>השנים: V397 ב'</ref> ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30 נשארו</ref> לנו ב‫' |
− | נשיב אחד אחורנית על הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref><ref group=note>P1051 marg. פי' ק' כדי שיתחלק עליהם ג' ראשון שבטור השפל ויהיו י"ג נחלקם על הג' נתן לו ג' ואע"פ שיספיק לתת ד' לא נתן עולה כי אם בשוה מה שנתננו לאחדים בחלוק וישארו ד' על הג'</ref> וישארו ט' והא' עם הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> י"ג<ref group=II>י"ג: Mo30 יהיו י"ג</ref> ונקח<ref group=II>ונקח: P1051 נקח; V397 ויקח</ref> מהם<ref group=II>מהם: Mo30 ממנו</ref> ט'<ref group=II>ט': Mo30 ט' מי"ג</ref> וישארו<ref group=II>וישארו: P1051; V397 ישארו</ref> ד‫'<ref group=II>ד': Mo30 ד' על ג'</ref> | + | |- |
− | וט' על הה'<ref group=II>הה': P1051 האחד</ref> כי לא יכולנו<ref group=II>יכולנו: Mo30 יוכלו; V397 יכול</ref> לקחת בראשונה<ref group=II>בראשונה: P1051 כבראשונה; V398 עתה marg. <s>בראשונה</s></ref> הג' מהי'<ref group=II>מהי': Mo30 מהט'</ref> אע"פ שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 לנו</ref> כי אינו מעלתו עכשיו<ref group=II>מעלתו עכשיו: Mo30 עתה מעלתו</ref> אע"פ שלקח ממנו בראשונה<ref group=II>הג' מהי' ... ממנו בראשונה: P1051 om.</ref> כי בראשונה<ref group=II>בראשונה: V398 הראשונה</ref> היה<ref group=II>היה: V397 היו</ref> שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 שלישית</ref> לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן<ref group=II>הח' אבל עתה לקח מן: Mo30 om.</ref> הב'<ref group=II>הב': Mo30 ב'</ref> א'<ref group=II>א': Mo30; P1051; V398 om.</ref> ואחר שהוא שלישי צריך הוא<ref group=II>הוא: Mo30; P1051; V397 om.</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30; V398 שנקח</ref> ממעלתו<ref group=II>ממעלתו: Mo30 מן מעלתו</ref> השלישית<ref group=II>השלישית: Mo30 הג' השלישי; P1051; V398 השלישי</ref><ref group=II>MS St.P569 excerpt 2 end</ref> והנה<ref group=II>והנה: Mo30 והיה; V397 הנה</ref> הנשאר<ref group=II>הנשאר: Mo30 הנשאר בלתי מחולק בט'; V397 נשאר</ref> ד' ט‫'<ref group=II>ד'ט': Mo30 marg. והנשאר ד'ט'; P1051; V398 ט'ד'</ref> | + | | |
+ | :*We return them back on the 5; they are 25. We give 15 to the 5 that is middle in the lower row; 10 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבם על הה'<ref group=II>על הה': P1051; V397 om.</ref> אחורנית<ref group=II>על הה' אחורנית: Mo30 אחורנית על הה'</ref> יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי<ref group=II>האמצעי: Mo30 האמצעית; P1051 האמצעים</ref> שבטור השפל<ref group=II>נתן ... השפל: V398 נסיר</ref> ט"ו ונשארו<ref group=II>ונשארו: Mo30; P1051 נשארו; V397 ונשארו לנו</ref> עשרה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return one back on the 3; 9 remain. The 1 with the 3 are 13; we take from them 9 and 4 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיב אחד אחורנית על הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref><ref group=note>P1051 marg. פי' ק' כדי שיתחלק עליהם ג' ראשון שבטור השפל ויהיו י"ג נחלקם על הג' נתן לו ג' ואע"פ שיספיק לתת ד' לא נתן עולה כי אם בשוה מה שנתננו לאחדים בחלוק וישארו ד' על הג'</ref> וישארו ט' והא' עם הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> י"ג<ref group=II>י"ג: Mo30 יהיו י"ג</ref> ונקח<ref group=II>ונקח: P1051 נקח; V397 ויקח</ref> מהם<ref group=II>מהם: Mo30 ממנו</ref> ט'<ref group=II>ט': Mo30 ט' מי"ג</ref> וישארו<ref group=II>וישארו: P1051; V397 ישארו</ref> ד‫'<ref group=II>ד': Mo30 ד' על ג'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*The 9 on the 5, because we cannot take the 3 out of the 10 first, although it was enough for it, for it is not the same rank now; although it was taken first, it was first third to it, since the last of the bottom row took from the 8, but now it took from the 2, and since it is third, it must take from the same rank. So, the remainder is 94. | ||
+ | |style="text-align:right;"|וט' על הה'<ref group=II>הה': P1051 האחד</ref> כי לא יכולנו<ref group=II>יכולנו: Mo30 יוכלו; V397 יכול</ref> לקחת בראשונה<ref group=II>בראשונה: P1051 כבראשונה; V398 עתה marg. <s>בראשונה</s></ref> הג' מהי'<ref group=II>מהי': Mo30 מהט'</ref> אע"פ שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 לנו</ref> כי אינו מעלתו עכשיו<ref group=II>מעלתו עכשיו: Mo30 עתה מעלתו</ref> אע"פ שלקח ממנו בראשונה<ref group=II>הג' מהי' ... ממנו בראשונה: P1051 om.</ref> כי בראשונה<ref group=II>בראשונה: V398 הראשונה</ref> היה<ref group=II>היה: V397 היו</ref> שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 שלישית</ref> לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן<ref group=II>הח' אבל עתה לקח מן: Mo30 om.</ref> הב'<ref group=II>הב': Mo30 ב'</ref> א'<ref group=II>א': Mo30; P1051; V398 om.</ref> ואחר שהוא שלישי צריך הוא<ref group=II>הוא: Mo30; P1051; V397 om.</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30; V398 שנקח</ref> ממעלתו<ref group=II>ממעלתו: Mo30 מן מעלתו</ref> השלישית<ref group=II>השלישית: Mo30 הג' השלישי; P1051; V398 השלישי</ref><ref group=II>MS St.P569 excerpt 2 end</ref> והנה<ref group=II>והנה: Mo30 והיה; V397 הנה</ref> הנשאר<ref group=II>הנשאר: Mo30 הנשאר בלתי מחולק בט'; V397 נשאר</ref> ד' ט‫'<ref group=II>ד'ט': Mo30 marg. והנשאר ד'ט'; P1051; V398 ט'ד'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 1,032: | Line 1,416: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||2|| || | ||
+ | |- | ||
+ | | ||3||0|| | ||
+ | |- | ||
+ | |0||5||1|| | ||
+ | |- | ||
+ | |3||6||0||5 | ||
+ | |- | ||
+ | |9||3||8||1 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||3||1 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||2||9||6 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
| | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
Line 1,074: | Line 1,479: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|באנו<ref group=II>באנו: V397 בקשנו</ref> לחלק<ref group=II>לחלק: Mo30 לחלק מספר כמו שהוא לפניך הנה אנו צריכין לחלק</ref> ט'<ref group=II>ט': Mo30 ט' אחרונה שבטור העליון</ref> על שנים<ref group=II>שנים: Mo30 ב' אחרונה שבטור השפל</ref> והנה לא יכולנו<ref group=II>יכולנו: V397 יכול</ref> לתת לו ד' כי לא ישאר<ref group=II>ישאר: Mo30 נשאר</ref> אלא א' וכאשר תשיבהו<ref group=II>תשיבהו: V397 נשיבהו</ref> אחורנית הנה<ref group=II>הנה: Mo30 הנה עלו; V397 om.</ref> עם הג'<ref group=II>עם הג': Mo30 om.</ref> י"ג וט' ד' פעמים ל"ו<ref group=II>ל"ו: Mo30 עלו ל"ו</ref> על כן<ref group=II>על כן: P1051; V397 om.</ref> נתן לו ג' נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו</ref> ג‫' | + | :*We want to divide 9 by two, but we cannot give it 4, because then only 1 remains, and when you return it back, with the 3 they are 13, but 4 times 9 is 36. So, we give it 3; 3 remain. |
− | נשיבם כלם<ref group=II>נשיבם כלם: Mo30 כלם נשיבם</ref> אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו<ref group=II>ויהיו: P1051 יהיו</ref> שם<ref group=II>ויהיו שם: V397 ...הוא</ref> ל"ג נתן לט'<ref group=II>לט': V398 לו לט'</ref> ג' יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו; P1051 יהיה</ref> כ"ז נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו</ref> ו' על הג‫'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> | + | |style="text-align:right;"|באנו<ref group=II>באנו: V397 בקשנו</ref> לחלק<ref group=II>לחלק: Mo30 לחלק מספר כמו שהוא לפניך הנה אנו צריכין לחלק</ref> ט'<ref group=II>ט': Mo30 ט' אחרונה שבטור העליון</ref> על שנים<ref group=II>שנים: Mo30 ב' אחרונה שבטור השפל</ref> והנה לא יכולנו<ref group=II>יכולנו: V397 יכול</ref> לתת לו ד' כי לא ישאר<ref group=II>ישאר: Mo30 נשאר</ref> אלא א' וכאשר תשיבהו<ref group=II>תשיבהו: V397 נשיבהו</ref> אחורנית הנה<ref group=II>הנה: Mo30 הנה עלו; V397 om.</ref> עם הג'<ref group=II>עם הג': Mo30 om.</ref> י"ג וט' ד' פעמים ל"ו<ref group=II>ל"ו: Mo30 עלו ל"ו</ref> על כן<ref group=II>על כן: P1051; V397 om.</ref> נתן לו ג' נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו</ref> ג‫' |
− | נקח<ref group=II>נקח: Mo30 ונקח</ref> מהם א'<ref group=II>מהם א': Mo30 <sup>א'</sup> מהם</ref> ונניח ה' נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: P1051 נשימהו; V397 נשימהו נשימהו</ref> על הח' שהוא שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 שלישית</ref> לאחרון<ref group=II>לאחרון: Mo30; P1051; V398 לאחריו</ref> שבטור העליון ועם הח' יהיו<ref group=II>יהיו: V397 שהוא; Mo30; V398 הוא</ref> י"ח נתן<ref group=II>נתן: Mo30 ונתן</ref> אותם<ref group=II>אותם: V398 לו</ref> כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב<ref group=II>נכתוב: Mo30 ונכתוב</ref> על הח' גלגל לפי שלא נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 נשאר ממנו</ref> על הח'<ref group=II>על הח': Mo30 om.</ref> מאומה | + | |- |
+ | | | ||
+ | :*We return all back to the second to it, which is 3; they are 33 there. We give 3 to the 9; they are 27; 6 remain on the 3. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבם כלם<ref group=II>נשיבם כלם: Mo30 כלם נשיבם</ref> אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו<ref group=II>ויהיו: P1051 יהיו</ref> שם<ref group=II>ויהיו שם: V397 ...הוא</ref> ל"ג נתן לט'<ref group=II>לט': V398 לו לט'</ref> ג' יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו; P1051 יהיה</ref> כ"ז נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו</ref> ו' על הג‫'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We take one from them and leave 5. We return it back on the 8, which is the third from the last of the top row; with the 8 they are 18. We give all to the 6, which is the third of the bottom row. We write a zero on the 8, because there is nothing left on the 8. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נקח<ref group=II>נקח: Mo30 ונקח</ref> מהם א'<ref group=II>מהם א': Mo30 <sup>א'</sup> מהם</ref> ונניח ה' נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: P1051 נשימהו; V397 נשימהו נשימהו</ref> על הח' שהוא שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 שלישית</ref> לאחרון<ref group=II>לאחרון: Mo30; P1051; V398 לאחריו</ref> שבטור העליון ועם הח' יהיו<ref group=II>יהיו: V397 שהוא; Mo30; V398 הוא</ref> י"ח נתן<ref group=II>נתן: Mo30 ונתן</ref> אותם<ref group=II>אותם: V398 לו</ref> כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב<ref group=II>נכתוב: Mo30 ונכתוב</ref> על הח' גלגל לפי שלא נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 נשאר ממנו</ref> על הח'<ref group=II>על הח': Mo30 om.</ref> מאומה | ||
|} | |} | ||
Line 1,101: | Line 1,513: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק שעדין<ref group=II>שעדין: P1051 <sup>ש</sup>עדין</ref> לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30 בטור שהם; P1051; V397 שהם; V398 שהם marg. שהוא</ref> אחד נכתוב<ref group=II>נכתוב: V397 ונכתוב</ref> זה האחד<ref group=II>זה האחד: Mo30 האחד הזה</ref> על הו' אחרי הג' ששמנו על הט'<ref group=II>אחרי הג' ששמנו על הט': P1051 om.</ref> בחלוק הראשון<ref group=II>הראשון: P1051 ראשון</ref> והוא שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 <s>ג'</s> שלישי</ref> בטור השפל וכבר יצא לחוץ | + | :*We divide again, because not everything has been taken out yet. We take two, from the 5 that we left on the 3, which is the second in the top row; [the multiple] is one. We write this one on the 6 after the 3, which we put on the 9 in the first division, which is the third in the bottom row, then everything has already been removed. |
− | + | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק שעדין<ref group=II>שעדין: P1051 <sup>ש</sup>עדין</ref> לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30 בטור שהם; P1051; V397 שהם; V398 שהם marg. שהוא</ref> אחד נכתוב<ref group=II>נכתוב: V397 ונכתוב</ref> זה האחד<ref group=II>זה האחד: Mo30 האחד הזה</ref> על הו' אחרי הג' ששמנו על הט'<ref group=II>אחרי הג' ששמנו על הט': P1051 om.</ref> בחלוק הראשון<ref group=II>הראשון: P1051 ראשון</ref> והוא שלישי<ref group=II>שלישי: Mo30 <s>ג'</s> שלישי</ref> בטור השפל וכבר יצא לחוץ | |
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We take one from the 3 that is above the 3; two remain. We give the one to the zero; they are 10. We give 9 to the 9 that is in the bottom row; 1 remains on the zero. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נקח מן הג'<ref group=II>מן הג': Mo30; V397 מהג'</ref> שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור<ref group=II>שבטור: V398 שהוא בטור</ref> השפל ט' נשאר על הגלגל א‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We return it back on the 1, which is the fourth foremost in the top row; they are 11. We give it 6; 5 remain on the 1. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון<ref group=II>וראשון: P1051 והראשון</ref> בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו</ref> ה' על הא‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :There remainders on the top row are: 5, zero and 2, which are 205. These cannot be divided further, because the 3 [digits] in the bottom row are 296. So, the taken for each [= the quotient] is 31. | ||
|style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> הנשארים<ref group=II>הנשארים: Mo30 נשארו</ref> על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה<ref group=II>ר"ה: Mo30 <s>ר"א</s> <sup>ר"ה</sup></ref> ולא יתחלקו יותר<ref group=II>יותר: V397 נותר</ref> שהג' שבטור<ref group=II>שבטור: V397 שהם בתור</ref> השפל הם רצ"ו<ref group=II>ולא ... רצ"ו: Mo30; P1051; V398 om.</ref> והנלקח לכל אחד ל"א | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> הנשארים<ref group=II>הנשארים: Mo30 נשארו</ref> על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה<ref group=II>ר"ה: Mo30 <s>ר"א</s> <sup>ר"ה</sup></ref> ולא יתחלקו יותר<ref group=II>יותר: V397 נותר</ref> שהג' שבטור<ref group=II>שבטור: V397 שהם בתור</ref> השפל הם רצ"ו<ref group=II>ולא ... רצ"ו: Mo30; P1051; V398 om.</ref> והנלקח לכל אחד ל"א | ||
|- | |- | ||
Line 1,114: | Line 1,534: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | |0||8||1||8|| | ||
+ | |- | ||
+ | |2||4||4||2|| | ||
+ | |- | ||
+ | |3||5||6||4|| | ||
+ | |- | ||
+ | |5||4||0||9||3 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||1||8 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||2||9||4||5 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
| | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
Line 1,156: | Line 1,597: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל<ref group=II>השפל: P1051 השפל כמו שכתוב ומצוייר לפניך בזאת הצורה marg. והנה</ref> לתת לו<ref group=note>לו: P1051 marg. פי' לאות האחרון מהטור העליון</ref> ב'<ref group=II>ב': P1051 ב' פעמים <sup>ב'</sup></ref> לא<ref group=II>לא: V397 ולא</ref> נוכל<ref group=II>לא נוכל: Mo30; V398 אי אפשר</ref> שלא<ref group=II>שלא: Mo30 כי לא</ref> ישאר כי אם<ref group=II>אם: V398 top</ref> א' וד'<ref group=II>וד': V397 ועם ד'</ref> והם<ref group=II>והם: V397 om.; Mo30; V398 הם</ref> י"ד<ref group=II>והם י"ד: P1051 om.</ref> ויש לנו<ref group=II>ויש לנו: Mo30 וישארו</ref> לחלק על ט'<ref group=note>P1051 marg פי' ק' ולא יספיק לתת ב' לט' כאשר נתננו לב'</ref> ב' פעמים<ref group=II>ב' פעמים: Mo30; P1051; V397; V398 om.</ref> אך נתן<ref group=II>אך נתן: V398 ונתן</ref> לו<ref group=II>אך נתן לו: Mo30 ולכן לא נתן רק</ref> א' ונשים אותו<ref group=II>ונשים אותו: V397 om.</ref> כנגד ט'<ref group=II>ט': Mo30; P1051 הט'</ref> שהם<ref group=II>שהם: Mo30 om.</ref> בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים<ref group=II>כשנים: P1051 om.; V398 כמו הב'</ref> בטור<ref group=II>בטור: P1051 שבטור; V397 שהוא בטור</ref> השפל<ref group=II>השפל: P1051 העליון</ref> שהוא<ref group=II>שהוא: P1051 כי ב' שבטור השפל הוא</ref> רביעי לה' ראש<ref group=II>ראש: P1051 ראשונה</ref> שבטור<ref group=II>שבטור: V397 שהוא בטור</ref> השפל נשארו ג' על<ref group=II>על: V397 והם ג' על</ref> הה‫'<ref group=II>הה': Mo30 ה'</ref> | + | :*We want to divide the top row by the bottom row. We cannot give it 2, because then only 1 remains and with 4 they are 14, but we have to divide it by 9 twice. So, we only give it 1 and write it corresponding to the 9 that is in the top row, which is fourth to the 5 back, as the two of the lower row, which is fourth to the first 5 in the bottom row. 3 remain on the 5. |
− | + | |style="text-align:right;"|בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל<ref group=II>השפל: P1051 השפל כמו שכתוב ומצוייר לפניך בזאת הצורה marg. והנה</ref> לתת לו<ref group=note>לו: P1051 marg. פי' לאות האחרון מהטור העליון</ref> ב'<ref group=II>ב': P1051 ב' פעמים <sup>ב'</sup></ref> לא<ref group=II>לא: V397 ולא</ref> נוכל<ref group=II>לא נוכל: Mo30; V398 אי אפשר</ref> שלא<ref group=II>שלא: Mo30 כי לא</ref> ישאר כי אם<ref group=II>אם: V398 top</ref> א' וד'<ref group=II>וד': V397 ועם ד'</ref> והם<ref group=II>והם: V397 om.; Mo30; V398 הם</ref> י"ד<ref group=II>והם י"ד: P1051 om.</ref> ויש לנו<ref group=II>ויש לנו: Mo30 וישארו</ref> לחלק על ט'<ref group=note>P1051 marg פי' ק' ולא יספיק לתת ב' לט' כאשר נתננו לב'</ref> ב' פעמים<ref group=II>ב' פעמים: Mo30; P1051; V397; V398 om.</ref> אך נתן<ref group=II>אך נתן: V398 ונתן</ref> לו<ref group=II>אך נתן לו: Mo30 ולכן לא נתן רק</ref> א' ונשים אותו<ref group=II>ונשים אותו: V397 om.</ref> כנגד ט'<ref group=II>ט': Mo30; P1051 הט'</ref> שהם<ref group=II>שהם: Mo30 om.</ref> בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים<ref group=II>כשנים: P1051 om.; V398 כמו הב'</ref> בטור<ref group=II>בטור: P1051 שבטור; V397 שהוא בטור</ref> השפל<ref group=II>השפל: P1051 העליון</ref> שהוא<ref group=II>שהוא: P1051 כי ב' שבטור השפל הוא</ref> רביעי לה' ראש<ref group=II>ראש: P1051 ראשונה</ref> שבטור<ref group=II>שבטור: V397 שהוא בטור</ref> השפל נשארו ג' על<ref group=II>על: V397 והם ג' על</ref> הה‫'<ref group=II>הה': Mo30 ה'</ref> | |
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We take one from them; 2 remain on the 5. We return it back on the 4; they are 14. 9 are taken; 5 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נקח מהם אחד<ref group=II>מהם אחד: V398 אחד מהם</ref> ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30 נשארו</ref> ב' על הה'<ref group=II>ישארו ב' על הה': V398 om.</ref> נשיבהו<ref group=II>נשיבהו: Mo30 ונשיבהו</ref> אחורנית על הד' יהיו י"ד<ref group=II>יהיו י"ד: Mo30; V397; V398 om.</ref> יקח<ref group=II>יקח: Mo30 נקח</ref> ט'<ref group=II>יקח ט': V397 om.</ref> ישארו ה‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*The 4 in the bottom row must take from the third in the top row, because it is third, but we cannot, because the third in the top row is a zero. So, we return one from the 5 that we left on the 4 back on the zero; they are 10. 4 are taken; 6 remain on the zero. | ||
+ | |style="text-align:right;"|יש<ref group=II>יש: Mo30 ויש</ref> לד'<ref group=II>לד': Mo30 לך</ref> שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא<ref group=II>למען כי שלישי הוא: Mo30; V398 om.</ref> ולא נוכל כי השלישי<ref group=II>השלישי: V397 <sup>ה</sup>שלישי <s>הוא</s></ref> שבטור העליון גלגל הוא<ref group=II>גלגל הוא: Mo30 הוא גלגל</ref> נשיב<ref group=II>נשיב: V397 נשוב</ref> מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל<ref group=II>על הד' אחד על הגלגל: Mo30 על הד' על הגלגל על הד' על הגלגל marg. אחד</ref> יהיו י' יקח<ref group=II>יקח: Mo30 נקח</ref> ד' ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30 וישארו</ref> ו' על הגלגל | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*The 5 that is the beginning of the bottom row, which is fourth, takes from the fourth in the upper row, which is 9; 4 remain on the 9. | ||
+ | |style="text-align:right;"|יקח הה'<ref group=II>הה': V397 ה'</ref> שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי<ref group=II>רביעי: V397 רביעית</ref> יקח<ref group=II>יקח: V397 om.</ref> מהרביעי שבטור<ref group=II>שבטור: V397 שהוא בטור</ref> העליון שהוא ט' ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30; V397 marg. ישאר</ref> על ט'<ref group=II>ט': Mo30 הט'</ref> ד‫' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We divide again, because not everything has been taken out yet. The remainders from the top row are the 3, which is the first and fifth, 4 on the 9, 6 on the zero, 4 on the 4, and 2 on the 5. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V397 שוב</ref> לחלק כי עדין לא יצא<ref group=II>יצא: Mo30 יצא לחוץ</ref> והנשארים ג' מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30; V397 מהטור</ref> העליון שהוא ראשון וחמישי<ref group=II>וחמישי: Mo30 marg.</ref> ועל הט' ד'<ref group=II>ועל הט' ד': Mo30 וד' על הט'</ref> ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'<ref>ב': Mo30 ב' וזו הב' הנשארת על הה' בטור העליון לא נקנה על הב' בטור השפל אי אפשר אלא נשיב אותה כלה אחורנית על הד' אצלה ויהיו כ"ד נחלקם על הב' בטור השפל לא תוכל לתת לו יותר מח' בשביל הבאים אחריו ואותה הח' תכתוב אותה במקומה ממעל לה' הראשנה שבטור השפל <s>וממעל</s> ומתחת הג' הראשנה שבטור העליון</ref> | |style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V397 שוב</ref> לחלק כי עדין לא יצא<ref group=II>יצא: Mo30 יצא לחוץ</ref> והנשארים ג' מן הטור<ref group=II>מן הטור: Mo30; V397 מהטור</ref> העליון שהוא ראשון וחמישי<ref group=II>וחמישי: Mo30 marg.</ref> ועל הט' ד'<ref group=II>ועל הט' ד': Mo30 וד' על הט'</ref> ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב‫'<ref>ב': Mo30 ב' וזו הב' הנשארת על הה' בטור העליון לא נקנה על הב' בטור השפל אי אפשר אלא נשיב אותה כלה אחורנית על הד' אצלה ויהיו כ"ד נחלקם על הב' בטור השפל לא תוכל לתת לו יותר מח' בשביל הבאים אחריו ואותה הח' תכתוב אותה במקומה ממעל לה' הראשנה שבטור השפל <s>וממעל</s> ומתחת הג' הראשנה שבטור העליון</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 1,187: | Line 1,639: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|נשיב<ref group=II>נשיב: V397 ונשים</ref> הב' על הד' והם כ"ד נתן<ref group=II>נתן: V397 וכן</ref> לב' שהוא רביעי שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> השפל ח'<ref group=II>ח': V397 ה'<br>נשיב הב' ... ח': Mo30 marg.</ref> נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 וישארו</ref> ח' על הד‫' | + | :*We return the 2 back on the 4; they are 24. We give 8 to the 2, which is the fourth in the lower row; 8 remain on the 4. |
− | נשיב<ref group=II>נשיב: V397 אם נאמר נשב</ref> מהם ז' על הו'<ref group=II>הו': Mo30; V398 ו'</ref> אחורנית<ref group=II>על הו' אחורנית: Mo30 marg. אחורנית על הו'</ref> וא' נשאר על הד' ויהיו<ref group=II>ויהיו: V397 ויהיה</ref> ע"ו נקח<ref group=II>נקח: V397 יקחו</ref> לט'<ref group=II>לט': V397 הט'</ref> ע"ב נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו; V397 ישארו</ref> ד' במקום הו‫' | + | |style="text-align:right;"|נשיב<ref group=II>נשיב: V397 ונשים</ref> הב' על הד' והם כ"ד נתן<ref group=II>נתן: V397 וכן</ref> לב' שהוא רביעי שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> השפל ח'<ref group=II>ח': V397 ה'<br>נשיב הב' ... ח': Mo30 marg.</ref> נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 וישארו</ref> ח' על הד‫' |
− | + | |- | |
− | + | | | |
− | + | :*We return 7 of them back on the 6, and 1 remains on the 4; they are 76. We take 72 for the 9; 4 remain instead of the 6. | |
+ | |style="text-align:right;"|נשיב<ref group=II>נשיב: V397 אם נאמר נשב</ref> מהם ז' על הו'<ref group=II>הו': Mo30; V398 ו'</ref> אחורנית<ref group=II>על הו' אחורנית: Mo30 marg. אחורנית על הו'</ref> וא' נשאר על הד' ויהיו<ref group=II>ויהיו: V397 ויהיה</ref> ע"ו נקח<ref group=II>נקח: V397 יקחו</ref> לט'<ref group=II>לט': V397 הט'</ref> ע"ב נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ונשארו; V397 ישארו</ref> ד' במקום הו‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*If we return 3 of them, the 4 in the lower row indeed can take from the 3 together with the 4 that follows it, which are 34, but only two will remain, and when we return it to the 3, they are only 23, whereas the 5 have to take 40. | ||
+ | |style="text-align:right;"|אם<ref group=II>אם: Mo30 ואם</ref> נשיב מהם ג'<ref group=II>ג': Mo30 om.</ref> ואמת<ref group=II>ואמת: Mo30 באמת; V397 האמת</ref> כי הד' שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> השפל יוכלו לקחת<ref group=II>לקחת: V397 לקח</ref> מהג'<ref group=II>מהג': Mo30 marg. מן הג'</ref> עם הד' שאחריהם<ref group=II>נשארו ח' על הד' ... שאחריהם: Mo30 twice - once on marg. and on the next page</ref> שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב<ref group=II>וכשנשיב: Mo30; V398 ואם נשיב</ref> אותו על הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> יהיו כ"ג לבד<ref group=II>יהיו כ"ג לבד: V397 לא יהיו בם כ"ד</ref> ויש לה'<ref group=II>לה': Mo30 לה' שבטור השפל</ref> שיקחו<ref group=II>שיקחו: Mo30 ליקח</ref> מ‫'<ref group=II>מ': Mo30 ד'</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::Therefore, we return the whole 4 back to the 4 and write a zero instead of the 4 corresponding to the zero in the upper row; they are 44. The 4 take 32; 12 remain. | ||
+ | |style="text-align:right;"|לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל<ref group=II>הגלגל: Mo30 הג'; V397 גלגל</ref> שבטור העליון והם מ"ד יקחו<ref group=II>יקחו: Mo30 נקח</ref> הד' ל"ב<ref group=II>הד' ל"ב: Mo30 לד' שבטור השפל</ref> נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 וישארו; V397 ישארו</ref> י"ב | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We take 4 from them, because less is not enough for us; 8 remain on the 4 that are on the 9. With the 3 they are 43. The 5 take from 40. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נקח מהם ד'<ref group=II>ד': Mo30 <sup>ד'</sup> ונשיבם אחורנית על הג' הראשנה שבטור הראשנה כדי לחלקו על ה' הראשנה שבטור השפל וישאר ח' במעלה השניה</ref> כי לא יהיה די<ref group=II>די: Mo30 om.</ref> לנו<ref group=II>די לנו: V398 לנו די</ref> בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם<ref group=II>ועם: Mo30 והד' עם</ref> הג'<ref group=II>כי לא יהיה ... הג': Mo30 marg.</ref> הם<ref group=II>הם: Mo30 ויהיה</ref> מ"ג<ref group=II>מ"ג: Mo30 מ"ג בראשנה שבטור העליון</ref> יקחו<ref group=II>יקחו: Mo30 תן</ref> הה' מ‫'<ref group=II>הה' מ': Mo30 המ' על הה' שבטור השפל</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :3 remain on the 3, 8 on the 9, which are 80, a zero, which takes the number out of the hundreds and into the thousands, and 1 on the fourth that is on the 4, which is one thousand. These cannot be divided, because the divisor is greater than it; this is 2 thousand 9 hundred and 45. | ||
|style="text-align:right;"|ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30 ישאר</ref> ג' על<ref group=II>על: V398 ועל</ref> הג' וח' על הט'<ref group=II>הט': V397 ט'</ref> שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים<ref group=II>לאלפים: V397 באלפים</ref> וא' על<ref group=II>וא' על: V397 ואחר</ref> הרביעי שהוא על הד'<ref group=II>הד': V397 ד'</ref> שהוא אלף<ref group=II>ג' ...אלף: Mo30 ג' במעלה הראשנה בטור העליון וח' במעלה שניה וא' במעלה רביעית</ref> ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫<ref group=II>וט' מאות: V397 ותתקמ"ה</ref> | |style="text-align:right;"|ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30 ישאר</ref> ג' על<ref group=II>על: V398 ועל</ref> הג' וח' על הט'<ref group=II>הט': V397 ט'</ref> שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים<ref group=II>לאלפים: V397 באלפים</ref> וא' על<ref group=II>וא' על: V397 ואחר</ref> הרביעי שהוא על הד'<ref group=II>הד': V397 ד'</ref> שהוא אלף<ref group=II>ג' ...אלף: Mo30 ג' במעלה הראשנה בטור העליון וח' במעלה שניה וא' במעלה רביעית</ref> ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה‫<ref group=II>וט' מאות: V397 ותתקמ"ה</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 1,202: | Line 1,668: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :This is the diagram: | ||
|style="text-align:right;"|וזהו הדמיון‫<ref group=II>וזהו הדמיון: Mo30; V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|וזהו הדמיון‫<ref group=II>וזהו הדמיון: Mo30; V397 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||4|| | ||
+ | |- | ||
+ | |0||5||4||7||4 | ||
+ | |- | ||
+ | |6||8||9||2||1 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || || ||9 | ||
+ | |- | ||
+ | | ||7||0||5||3 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
|- | |- | ||
Line 1,240: | Line 1,727: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ז'<ref group=II>ז': Mo30 והנה ז'; V397 ... illegible</ref> שהוא רביעי<ref group=II>רביעי: V397 marg. הרביעי</ref> בטור השפל לא יוכל<ref group=II>יוכל: Mo30; V397 נוכל</ref> לקחת מו'<ref group=II>מו': Mo30 מן הו'</ref> שהוא חמישי בטור העליון ומאחר<ref group=II>ומאחר: Mo30 ואח"כ אחר marg. וא"כ; V397 ... illegible; V398 אחר</ref> שלא נוכל<ref group=II>נוכל: Mo30 תוכל; V398 יוכל</ref> לתת לז' כל<ref group=II>כל: V397; V398 om.</ref> הצורך‫<ref group=II>הצורך: Mo30 צרכה | + | :*The 7, which is fourth in the bottom row, cannot take from the 6, which is the fifth in the top row, since we cannot give the 7 what it needs. |
− | + | |style="text-align:right;"|ז'<ref group=II>ז': Mo30 והנה ז'; V397 ... illegible</ref> שהוא רביעי<ref group=II>רביעי: V397 marg. הרביעי</ref> בטור השפל לא יוכל<ref group=II>יוכל: Mo30; V397 נוכל</ref> לקחת מו'<ref group=II>מו': Mo30 מן הו'</ref> שהוא חמישי בטור העליון ומאחר<ref group=II>ומאחר: Mo30 ואח"כ אחר marg. וא"כ; V397 ... illegible; V398 אחר</ref> שלא נוכל<ref group=II>נוכל: Mo30 תוכל; V398 יוכל</ref> לתת לז' כל<ref group=II>כל: V397; V398 om.</ref> הצורך‫<ref group=II>הצורך: Mo30 צרכה</ref> | |
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | :*We return all of it back on the 8; they are 68. So, from the 8, which is the fourth in the top row, we give 9 to the 7; we take it out on the 3, which is the fourth in the bottom row; so, 5 remain on the 8. |
− | + | |style="text-align:right;"|נשיב אותו<ref group=II>אותו: Mo30 הו'</ref> כלו<ref group=II>כלו: Mo30 אלו</ref> אחורנית<ref group=II>כלו אחורנית: V397 אחורנית כלו</ref> על הח' ויהיו<ref group=II>ויהיו: V397 שהוא</ref> ס"ח הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> חלקנו מן הח'<ref group=II>מן הח': V397 מהח'</ref> שהוא רביעי לטור העליון<ref group=II>חלקנו ... העליון: Mo30 om.</ref> נתן לז'<ref group=II>לז': Mo30 לה</ref> ט'<ref group=II>ט': Mo30 ט' והנה ז' פעמים ט' הם ס"ג וזו הט'</ref> נוציאנו<ref group=II>נוציאנו: Mo30 נכתוב אותה; V398 נוציא לו</ref> לחוץ<ref group=II>לחוץ: Mo30 בחוץ</ref> על הג'<ref group=II>הג': V398 ג'</ref> שהוא רביעי בטור<ref group=II>שהוא רביעי בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 נמצא שהיא עומדת במעלה ראשנה וישאר</ref> ה' על הח‫'<ref group=II>ה' על הח': Mo30 על הח' ה'</ref> | |
− | |style="text-align:right;"|< | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The second to the 7 does not take anything because it is a zero. | ||
+ | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> השני לז' לא יקח מאומה<ref group=II>מאומה: Mo30 מה' מאומה</ref> כי הוא גלגל | ||
+ | |- | ||
| | | | ||
− | + | :*The 5 must take from the 2, the fourth in the top row, which is the third in the division, but cannot take it. | |
+ | |style="text-align:right;"|יש לה'<ref group=II>יש לה': Mo30 והנה הה' בטור השפל יש לנו</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן ב'<ref group=II>ב': V398 הב'</ref> הרביעי<ref group=II>מן ב' הרביעי: V397 מהרביעי ... illegible</ref> בטור העליון שהוא שלישי לחלוק<ref group=II>לחלוק: Mo30 בחלוק</ref> לא<ref group=II>לא: Mo30; V397 ולא</ref> יוכל<ref group=II>יוכל: Mo30; V398 נוכל</ref> לקחת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | + | :*So, we take 5 from the 9 that follows it. We return it back on the 2; they are 52, and 4 remain on the 9. The 5 take 45 out of 52; 7 remain on the 2. |
+ | |style="text-align:right;"|נקח<ref group=II>לקחת נקח: Mo30 אלא ליקח</ref> מן הט' שאחריו ה' נשיבם<ref group=II>נשיבם: Mo30 ונשיבם אחור; V397 נשיבהו; V398 נשיב אותם</ref> על הב'<ref group=II>הב': V398 ב'</ref> יהיו<ref group=II>יהיו: Mo30 ויהיו</ref> נ"ב<ref group=II>נ"ב: V397 om.</ref> וד' נשאר<ref group=II>נשאר: V398 שנשאר<br>וד' נשאר: V397 נשאר ד'</ref> על הט' והה' מנ"ב<ref group=II>מנ"ב: V398 מהנ"ב</ref> יקחו מ"ה<ref group=II>והה' מנ"ב יקחו מ"ה: Mo30 ומאלה ג"כ ‫[marg. נ"ב]‫ תתן מ"ה לה' שבטור השפל</ref> ישארו<ref group=II>ישארו: Mo30 וישארו</ref> ז' על הב‫'<ref group=II>על הב': V397 om.</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*We take 3 from the 7 and return them back on the 1; they are 31. The 3 take 27; 4 remain on the 1. | ||
+ | |style="text-align:right;"|מן<ref group=II>מן: Mo30 ומזו; V398 ומן</ref> הז' נקח ג' ונשיבם<ref group=II>ונשיבם: V398 נשיבם</ref> אחורנית על א'<ref group=II>א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון</ref> והם<ref group=II>והם: Mo30 ויהיו</ref> ל"א יקחו ג' כ"ז<ref group=II>כ"ז: V397 ט' marg. כ"ז<br>יקחו ג' כ"ז: Mo30 מהם תתן כ"ז לג' שבטור השפל</ref> נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30 וישאר</ref> ד' על א‫'<ref group=II>א': Mo30 הא' הראשנה שבטור העליון וד' במעלה שניה וד' <s>וא'</s> במעלה שלישית וה' במעלה רביעית בלי חלוק כי טור השפל יותר ממנו</ref> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *{{#annot:680402÷2009|157|q1Q1}}Another example: we wish to divide 680402 by 2009. | ||
+ | :<math>\scriptstyle680402\div2009</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big><ref group=II>אחר: V398 om.</ref> נרצה<ref group=II>נרצה: V397 רצינו</ref> לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט‫'<ref group=II>תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט': Mo30; V397; V398 om.</ref>{{#annotend:q1Q1}} | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | ||0|| ||3|| || | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||1||4||6|| | ||
+ | |- | ||
+ | |0||7||7||7||3||0 | ||
+ | |- | ||
+ | |6||8||0||4||0||2 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||3||3||8 | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||2||0||0||9 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
+ | | | ||
+ | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
|- | |- | ||
|style="text-align:right;"| ||0|| ||ג|| || | |style="text-align:right;"| ||0|| ||ג|| || | ||
Line 1,275: | Line 1,797: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Digits by digits so that there are 2 zeros in the top row and in the bottom row. | ||
|style="text-align:right;"|מספרים על מספרים<ref group=II>על מספרים: Mo30 om.</ref> שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שיהיו</ref> בטור העליון<ref group=II>וד' במעלה שניה ... בטור העליון: Mo30 twice</ref> ב'<ref group=II>ב': Mo30 om.</ref> גלגלים וכן בטור השפל | |style="text-align:right;"|מספרים על מספרים<ref group=II>על מספרים: Mo30 om.</ref> שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שיהיו</ref> בטור העליון<ref group=II>וד' במעלה שניה ... בטור העליון: Mo30 twice</ref> ב'<ref group=II>ב': Mo30 om.</ref> גלגלים וכן בטור השפל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We give the 2 that is the fourth in the bottom row, 3 from the 6 that is the sixth in the top row. | ||
|style="text-align:right;"|נתן<ref group=II>נתן: Mo30 תן</ref> לב' הרביעי בטור<ref group=II>בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל ג' מהו' הששי<ref group=II>הששי: V397 om.</ref> בטור<ref group=II>בטור: V397 שבטור</ref> העליון | |style="text-align:right;"|נתן<ref group=II>נתן: Mo30 תן</ref> לב' הרביעי בטור<ref group=II>בטור: Mo30 שבטור</ref> השפל ג' מהו' הששי<ref group=II>הששי: V397 om.</ref> בטור<ref group=II>בטור: V397 שבטור</ref> העליון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The zero that is the second in the bottom row has to take from the 8, but it takes nothing. | ||
|style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> הגלגל שני<ref group=II>שני: Mo30 השני</ref> בטור השפל יש לו שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הח' ולא יקח כלום | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> הגלגל שני<ref group=II>שני: Mo30 השני</ref> בטור השפל יש לו שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הח' ולא יקח כלום | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The zero that is the third in the bottom row has to take from the zero that is the third in the top row, but cannot take. | ||
|style="text-align:right;"|והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הגלגל<ref group=II>הגלגל: Mo30; V398 om.</ref> השלישי בטור<ref group=II>בטור: Mo30 שבטור</ref> העליון ולא יוכל<ref group=II>יוכל: Mo30 <s>יון</s> יוכל</ref> לקחת | |style="text-align:right;"|והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הגלגל<ref group=II>הגלגל: Mo30; V398 om.</ref> השלישי בטור<ref group=II>בטור: Mo30 שבטור</ref> העליון ולא יוכל<ref group=II>יוכל: Mo30 <s>יון</s> יוכל</ref> לקחת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The 9 that is the first in the bottom row must take from the 4 in the top row but cannot. Therefore, we have to return from the 8 that is the second in the top row, what is enough for it. We return 1 back, because it is enough for us. We write 7 on the 8, and the 1 that we have returned back on zero; it is taken as tens for us. That is still not enough. We take from them 3, return them back; 7 remain on the zero, and with the 3 they are 30 on the 4. | ||
|style="text-align:right;"|יש<ref group=II>יש: Mo30 ויש</ref> לט' הראשון<ref group=II>הראשון: Mo30 הראשנה</ref> בטור השפל לקחת<ref group=II>יש ... לקחת: V398 om.; marg. וט'</ref> מד' שבטור העליון לא<ref group=II>לא: Mo30 ולא</ref> יוכל<ref group=II>יוכל: V397 נוכל</ref> צריכין<ref group=II>צריכין: V398 צריכים</ref> אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 <s>ולא</s></ref> נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב<ref group=II>ונכתוב: V397 וכתוב</ref> על הח' ז' והא' שהשיבונו<ref group=II>שהשיבונו: V397 שהשבנו</ref> אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד<ref group=II>V398 marg. נ"ל שחסר מכאן</ref> לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג'<ref group=II>והג': Mo30 וג'</ref> הם ל'<ref group=II>הם ל': Mo30 om.</ref> על הד‫'<ref group=II>הד': Mo30 הד' והם ל"ד נקח <s>כ"א</s> marg. כ"ז; V398 הד' והם ל"ד נקח כ"ז</ref> | |style="text-align:right;"|יש<ref group=II>יש: Mo30 ויש</ref> לט' הראשון<ref group=II>הראשון: Mo30 הראשנה</ref> בטור השפל לקחת<ref group=II>יש ... לקחת: V398 om.; marg. וט'</ref> מד' שבטור העליון לא<ref group=II>לא: Mo30 ולא</ref> יוכל<ref group=II>יוכל: V397 נוכל</ref> צריכין<ref group=II>צריכין: V398 צריכים</ref> אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 <s>ולא</s></ref> נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב<ref group=II>ונכתוב: V397 וכתוב</ref> על הח' ז' והא' שהשיבונו<ref group=II>שהשיבונו: V397 שהשבנו</ref> אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד<ref group=II>V398 marg. נ"ל שחסר מכאן</ref> לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג'<ref group=II>והג': Mo30 וג'</ref> הם ל'<ref group=II>הם ל': Mo30 om.</ref> על הד‫'<ref group=II>הד': Mo30 הד' והם ל"ד נקח <s>כ"א</s> marg. כ"ז; V398 הד' והם ל"ד נקח כ"ז</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :So, 7 remain instead of 4, as well as zero and two that are the first in the top row, 7 on the zero, and 7 on the 8. | ||
|style="text-align:right;"|נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 שנשארו</ref> ז' במקום ד'<ref group=II>ד': Mo30 הד'</ref> וגלגל ושנים הראשונים<ref group=II>הראשונים: Mo30 ראשנים</ref> שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> העליון וז' שעל הגלגל וז'<ref group=II>שעל הגלגל וז': V397 om.</ref> שעל הח‫' | |style="text-align:right;"|נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 שנשארו</ref> ז' במקום ד'<ref group=II>ד': Mo30 הד'</ref> וגלגל ושנים הראשונים<ref group=II>הראשונים: Mo30 ראשנים</ref> שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30 בטור</ref> העליון וז' שעל הגלגל וז'<ref group=II>שעל הגלגל וז': V397 om.</ref> שעל הח‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again, because not everything has been taken. We take 3 from the 7 that is on the 8 and put them beneath the first zero, which is fourth from the 8. | ||
|style="text-align:right;"|עוד נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק שהרי לא<ref group=II>לא: Mo30 עדין לא</ref> יצא<ref group=II>יצא: Mo30 יצא לחוץ</ref> נקח<ref group=II>נקח: Mo30 נתן</ref> לו<ref group=II>לו: Mo30 לב'</ref> ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו<ref group=II>מן ... ונשימהו: V397 om.</ref> תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫' | |style="text-align:right;"|עוד נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק שהרי לא<ref group=II>לא: Mo30 עדין לא</ref> יצא<ref group=II>יצא: Mo30 יצא לחוץ</ref> נקח<ref group=II>נקח: Mo30 נתן</ref> לו<ref group=II>לו: Mo30 לב'</ref> ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו<ref group=II>מן ... ונשימהו: V397 om.</ref> תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::1 remains on the 8. | ||
|style="text-align:right;"|ונשאר א' על הח‫'<ref group=II>הח': Mo30 ח'</ref> | |style="text-align:right;"|ונשאר א' על הח‫'<ref group=II>הח': Mo30 ח'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The zero has to take the from the zero but cannot. | ||
|style="text-align:right;"|יש לגלגל שיקח מן הגלגל<ref group=II>הגלגל: V397 שעל הגלגל</ref> לא יוכל‫<ref group=II>יש לגלגל ... לא יוכל: Mo30 om.</ref> | |style="text-align:right;"|יש לגלגל שיקח מן הגלגל<ref group=II>הגלגל: V397 שעל הגלגל</ref> לא יוכל‫<ref group=II>יש לגלגל ... לא יוכל: Mo30 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The zero that follows is has to take from its rank, which is the 7 on the 4 but cannot. | ||
|style="text-align:right;"|ויש לגלגל<ref group=II>ויש לגלגל: Mo30 וגלגל</ref> שאחריו<ref group=II>שאחריו: Mo30 om.; V397 שלאחריו</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 יקח</ref> ממעלתו שהיא<ref group=II>שהיא: Mo30; V397 שהוא</ref> הז' שעל<ref group=II>שעל: Mo30; V398 על</ref> הד' לא<ref group=II>לא: Mo30 ולא</ref> יוכל | |style="text-align:right;"|ויש לגלגל<ref group=II>ויש לגלגל: Mo30 וגלגל</ref> שאחריו<ref group=II>שאחריו: Mo30 om.; V397 שלאחריו</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 יקח</ref> ממעלתו שהיא<ref group=II>שהיא: Mo30; V397 שהוא</ref> הז' שעל<ref group=II>שעל: Mo30; V398 על</ref> הד' לא<ref group=II>לא: Mo30 ולא</ref> יוכל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The 9 must take from the zero that is in its rank, because it is the fourth in the division, but cannot, since there is nothing on the zero and it is impossible to return it back on the two, because the two is not in its rank. So, we return 3 from the 7 that is on the preceding 4 back to zero; they are 30. | ||
|style="text-align:right;"|יש לט'<ref group=II>יש לט': Mo30 om.</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הגלגל<ref group=II>מן הגלגל: V397 מהגלגל</ref> שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי<ref group=II>רביעי: Mo30 רביעית</ref> לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא<ref group=II>וגם לא: Mo30 ולא</ref> יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם<ref group=II>כי השנים אינם: Mo30 שאינם<br>השנים כי השנים אינם: V397 illegible</ref> מעלתו נשיב מן הז' שעל<ref group=II>שעל: Mo30 על</ref> הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫' | |style="text-align:right;"|יש לט'<ref group=II>יש לט': Mo30 om.</ref> שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הגלגל<ref group=II>מן הגלגל: V397 מהגלגל</ref> שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי<ref group=II>רביעי: Mo30 רביעית</ref> לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא<ref group=II>וגם לא: Mo30 ולא</ref> יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם<ref group=II>כי השנים אינם: Mo30 שאינם<br>השנים כי השנים אינם: V397 illegible</ref> מעלתו נשיב מן הז' שעל<ref group=II>שעל: Mo30 על</ref> הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :3 remain on the zero, as well as 4 on the preceding 4, 7 on the zero that precedes the 8 and 1 on the 8. | ||
|style="text-align:right;"|נשארו ג' על הגלגל וד' על הד'<ref group=II>הד': V398 ד'</ref> לפניו<ref group=II>ג' נשימם ... הד' לפניו: Mo30 om.</ref> וז' על הגלגל שהוא לפני הח'<ref group=II>הח': Mo30 א'</ref> וא'<ref group=II>וא': Mo30 והא'</ref> על הח‫' | |style="text-align:right;"|נשארו ג' על הגלגל וד' על הד'<ref group=II>הד': V398 ד'</ref> לפניו<ref group=II>ג' נשימם ... הד' לפניו: Mo30 om.</ref> וז' על הגלגל שהוא לפני הח'<ref group=II>הח': Mo30 א'</ref> וא'<ref group=II>וא': Mo30 והא'</ref> על הח‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again because it is not all taken yet. The last in the lower row cannot take from the 1, so we return it back on the 7 that is on the zero; they are 17. We give it 8, take it out after the 3 that is the fourth in the division, because we divided from 7 that is on the zero. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק שעדין<ref group=II>שעדין: V397 שעוד</ref> לא יצא לחוץ הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> מן הא' לא יוכל לקחת<ref group=II>לקחת: V397 ליקח</ref> האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם<ref group=II>והם: Mo30 שהוא</ref> י"ז נתן לו ח'<ref group=II>ח': Mo30 ב' פעמים ח' marg. יהיו י"ו</ref> נוציאם לחוץ אחרי<ref group=II>אחרי: Mo30; V398 אחר</ref> הג' כי הוא<ref group=II>הוא: Mo30 om.</ref> רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו | |style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק שעדין<ref group=II>שעדין: V397 שעוד</ref> לא יצא לחוץ הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> מן הא' לא יוכל לקחת<ref group=II>לקחת: V397 ליקח</ref> האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם<ref group=II>והם: Mo30 שהוא</ref> י"ז נתן לו ח'<ref group=II>ח': Mo30 ב' פעמים ח' marg. יהיו י"ו</ref> נוציאם לחוץ אחרי<ref group=II>אחרי: Mo30; V398 אחר</ref> הג' כי הוא<ref group=II>הוא: Mo30 om.</ref> רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::1 remains there. | ||
|style="text-align:right;"|ושם נשאר<ref group=II>נשאר: V397 נשאר לנו</ref> א‫' | |style="text-align:right;"|ושם נשאר<ref group=II>נשאר: V397 נשאר לנו</ref> א‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The zero has to take from the 4, but cannot take. | ||
|style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> יש<ref group=II>הנה יש: V397 ויש</ref> לגלגל שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הד' ולא יקח | |style="text-align:right;"|הנה<ref group=II>הנה: Mo30 והנה</ref> יש<ref group=II>הנה יש: V397 ויש</ref> לגלגל שיקח<ref group=II>שיקח: Mo30 ליקח</ref> מן הד' ולא יקח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Also the other zero has to take from the 3 that is on the zero that is in the top row but cannot take. | ||
|style="text-align:right;"|גם<ref group=II>גם: V397 וגם</ref> יש לגלגל האחר שיקח מן הג'<ref group=II>מן הג': V397 מהג'</ref> שעל הגלגל שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30; V398 בטור</ref> העליון ולא יקח‫<ref group=II>יקח: V397 יקח ט'</ref> | |style="text-align:right;"|גם<ref group=II>גם: V397 וגם</ref> יש לגלגל האחר שיקח מן הג'<ref group=II>מן הג': V397 מהג'</ref> שעל הגלגל שבטור<ref group=II>שבטור: Mo30; V398 בטור</ref> העליון ולא יקח‫<ref group=II>יקח: V397 יקח ט'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The 9 has to take from the 2, but cannot, so we return back. If we say to the 3 that is on the zero that to give to the 2 that is first to the zero, it does not have enough, because it only has 3. So, we take one from the 4, which replaces the 4, it is on the zero, with the 3 they are 13. We take 7 from them and return them back on the 2; they are 72. All is taken out by the 9. | ||
|style="text-align:right;"|ויש לט' שיקח<ref group=II>שיקח: V398 שיקחו</ref> מן הב'<ref group=II>מן הב': V397 מהב'</ref> ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן<ref group=II>שיתן: Mo30; V398 om.</ref> לב' הראשון לגלגל<ref group=II>לגלגל: Mo30; V398 om.<br>שיתן ... לגלגל: V397 om.</ref> אין לו מה שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 marg.</ref> כי אין לו אלא<ref group=II>אלא: V398 אלה</ref> ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל<ref group=II>על הגלגל: V398 לגלגל<br>כי אין לו ... ויהיה על הגלגל: Mo30 om.</ref> עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל<ref group=II>הכל: V397 על הכל</ref> בט‫' | |style="text-align:right;"|ויש לט' שיקח<ref group=II>שיקח: V398 שיקחו</ref> מן הב'<ref group=II>מן הב': V397 מהב'</ref> ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן<ref group=II>שיתן: Mo30; V398 om.</ref> לב' הראשון לגלגל<ref group=II>לגלגל: Mo30; V398 om.<br>שיתן ... לגלגל: V397 om.</ref> אין לו מה שיספיק לו<ref group=II>לו: Mo30 marg.</ref> כי אין לו אלא<ref group=II>אלא: V398 אלה</ref> ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל<ref group=II>על הגלגל: V398 לגלגל<br>כי אין לו ... ויהיה על הגלגל: Mo30 om.</ref> עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל<ref group=II>הכל: V397 על הכל</ref> בט‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We write a zero on the 2, because there is nothing left on it; 6 are left on the zero that is second to the 2, 3 on the 4 and 1 on the zero that is second to the 8. These remain as they cannot be divided, because the divisor is greater from them. The remainder is one thousand 3 hundred and 60 and the divisor two thousand and 9. | ||
|style="text-align:right;"|ונכתוב<ref group=II>ונכתוב: Mo30 ותכתוב</ref> גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום<ref group=II>כלום: V397 כלל</ref> ועל הגלגל שהוא שני לב'<ref group=II>לב': Mo30 marg.</ref> נשארו ו' וג'<ref group=II>נשארו ו' וג': Mo30 om.</ref> על ד'<ref group=II>ד': Mo30 הז'; V397 הד'</ref> וא'<ref group=II>וא': Mo30 ואם</ref> על הגלגל שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30; V398 om.</ref> שני<ref group=II>שני: Mo30 om.</ref> לח' ואלה נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ישאר</ref> שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף<ref group=II>אלף: Mo30 הוא אלף; V398 הוא א' marg. אלף</ref> וג' מאות וס'<ref group=II>וג' מאות וס': V397 וש"ס</ref> והמחולק עליו הוא אלפים וט‫' | |style="text-align:right;"|ונכתוב<ref group=II>ונכתוב: Mo30 ותכתוב</ref> גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום<ref group=II>כלום: V397 כלל</ref> ועל הגלגל שהוא שני לב'<ref group=II>לב': Mo30 marg.</ref> נשארו ו' וג'<ref group=II>נשארו ו' וג': Mo30 om.</ref> על ד'<ref group=II>ד': Mo30 הז'; V397 הד'</ref> וא'<ref group=II>וא': Mo30 ואם</ref> על הגלגל שהוא<ref group=II>שהוא: Mo30; V398 om.</ref> שני<ref group=II>שני: Mo30 om.</ref> לח' ואלה נשארו<ref group=II>נשארו: Mo30 ישאר</ref> שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף<ref group=II>אלף: Mo30 הוא אלף; V398 הוא א' marg. אלף</ref> וג' מאות וס'<ref group=II>וג' מאות וס': V397 וש"ס</ref> והמחולק עליו הוא אלפים וט‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Another example, which is more valuable and difficult than all previous calculations without zero. | ||
|style="text-align:right;"|'''דמיון אחר''' נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו<ref group=II>שתחתיו: Mo30 om.</ref> מאין<ref group=II>מאין: V397 מעין</ref> גלגל | |style="text-align:right;"|'''דמיון אחר''' נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו<ref group=II>שתחתיו: Mo30 om.</ref> מאין<ref group=II>מאין: V397 מעין</ref> גלגל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |First, I shall explain that whenever a digit is separated from a digit, meaning that a zero is written in between, as for example, 203, we do not say: we return the 2 or, as much is needed according to the digit in the lower row, back to the 3, because the zero is in the middle, so we return the 2 or the one back to the zero and then divide according to the rule. |
|style="text-align:right;"|ובראשונה אפרש<ref group=II>אפרש: V397 נפרש</ref> כי לעולם כשיתרחק<ref group=II>כשיתרחק: V397 שיתרחק</ref> חשבון מחשבון והטעם שיכתב<ref group=II>שיכתב: Mo30 שיכתוב; V397 כי שיכתוב</ref> גלגל באמצע כדמיון זה<ref group=II>כדמיון זה: Mo30 כזה הדמיון</ref> ג0ב<ref group=II>ג0ב: Mo30 om.</ref> <ref group=II>MS St.P374 excerpt 2 begin.</ref>לא נאמר נשיב הב'<ref group=II>הב': V397 om; Mo30 ב'; V398 שנים</ref> אל הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> או כמה<ref group=II>כמה: Mo30; V397 כמו</ref> שיצטרך<ref group=II>שיצטרך: Mo30; V398 שנצטרך</ref> לפי החשבון<ref group=II>החשבון: V398 חשבון</ref> שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב'<ref group=II>הב': V397 ב'</ref> או האחד<ref group=II>האחד: V397 א'</ref> אל<ref group=II>אל: V397 על</ref> הגלגל ואז נחלק כמשפט‫<ref group=II>ואז נחלק כמשפט: Mo30; V397; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ובראשונה אפרש<ref group=II>אפרש: V397 נפרש</ref> כי לעולם כשיתרחק<ref group=II>כשיתרחק: V397 שיתרחק</ref> חשבון מחשבון והטעם שיכתב<ref group=II>שיכתב: Mo30 שיכתוב; V397 כי שיכתוב</ref> גלגל באמצע כדמיון זה<ref group=II>כדמיון זה: Mo30 כזה הדמיון</ref> ג0ב<ref group=II>ג0ב: Mo30 om.</ref> <ref group=II>MS St.P374 excerpt 2 begin.</ref>לא נאמר נשיב הב'<ref group=II>הב': V397 om; Mo30 ב'; V398 שנים</ref> אל הג'<ref group=II>הג': Mo30 ג'</ref> או כמה<ref group=II>כמה: Mo30; V397 כמו</ref> שיצטרך<ref group=II>שיצטרך: Mo30; V398 שנצטרך</ref> לפי החשבון<ref group=II>החשבון: V398 חשבון</ref> שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב'<ref group=II>הב': V397 ב'</ref> או האחד<ref group=II>האחד: V397 א'</ref> אל<ref group=II>אל: V397 על</ref> הגלגל ואז נחלק כמשפט‫<ref group=II>ואז נחלק כמשפט: Mo30; V397; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I shall tell you one rule for all the numbers you divide, whether they are many or a few: You always have to divide the upper number by the lower one, until the end of the digits when it has come to its end. If there is a zero above, it can no longer be divided. |
|style="text-align:right;"|ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫<ref group=II>ואומר ... עוד: Mo30; V397; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד‫<ref group=II>ואומר ... עוד: Mo30; V397; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Like the following and this is the diagram of the valuable and difficult: | ||
|style="text-align:right;"|כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫<ref group=II>כמו ...והקשה: Mo30; V397; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה‫<ref group=II>כמו ...והקשה: Mo30; V397; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 1,346: | Line 1,888: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :{|class="wikitable" style="color:blue; text-align:center;" | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | {|style="margin-left: auto; margin-right: 0px;" | ||
+ | |- | ||
+ | | || || || ||0|| || || || | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||0||1|| || || || | ||
+ | |- | ||
+ | | || || ||2||5||5|| || || | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||0||8||6||6|| || || | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||1||9||3||0|| || || | ||
+ | |- | ||
+ | | || ||7||5||5||5||5|| || | ||
+ | |- | ||
+ | | ||0||8||8||6||6||6|| || | ||
+ | |- | ||
+ | | ||1||4||9||2||3||0|| || | ||
+ | |- | ||
+ | | ||7||7||5||5||5||5||6|| | ||
+ | |- | ||
+ | |0||8||8||8||1||1||2||0|| | ||
+ | |- | ||
+ | |1||4||4||4||4||4||4||5||2 | ||
+ | |- | ||
+ | |7||7||7||7||7||7||7||7||7 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || || ||7||7||7||8||5 | ||
+ | |- | ||
+ | | || || || || ||9||9||9||9 | ||
+ | |} | ||
+ | |- | ||
+ | |} | ||
| | | | ||
{|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | {|class="wikitable" style="margin-left: auto; margin-right: 0px; text-align:center;" | ||
Line 1,384: | Line 1,961: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :First, I shall teach you how to divide after you see that the 7 is less than the 9. | ||
|style="text-align:right;"|הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ<ref group=II>אורך: Mo30 אלמדך</ref> איכה<ref group=II>איכה: Mo30 איך</ref> תחלק<ref group=II>תחלק: V397 תחלה</ref> אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'<ref group=II>מהט': V397 התשעה</ref> | |style="text-align:right;"|הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ<ref group=II>אורך: Mo30 אלמדך</ref> איכה<ref group=II>איכה: Mo30 איך</ref> תחלק<ref group=II>תחלק: V397 תחלה</ref> אחר שתראה שהז' פחות מהט‫'<ref group=II>מהט': V397 התשעה</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 1,390: | Line 1,968: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*You have to return it back. This is the diagram. First, when you start dividing, give 7 to the 9 and write it back in the rank of the 4, which you are dividing, that is second to the 9. | ||
|style="text-align:right;"|תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון<ref group=II>הדמיון: V397 הדמיון שאראה לך</ref> ותחלה כשתחל<ref group=II>כשתחל: V397 תחלה שתחלק</ref> לחלק תתן לט'<ref group=II>לט': V397 om.</ref> ז' ותכתבנה אחורנית<ref group=II>ותכתבנה אחורנית: V397 om.</ref> במעלת<ref group=II>במעלת: V397 במעלה</ref> הד' שתחלק<ref group=II>שתחלק: V397 שתחלוק; V398 שהחלוק</ref> ממנו שהוא שני לט‫' | |style="text-align:right;"|תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון<ref group=II>הדמיון: V397 הדמיון שאראה לך</ref> ותחלה כשתחל<ref group=II>כשתחל: V397 תחלה שתחלק</ref> לחלק תתן לט'<ref group=II>לט': V397 om.</ref> ז' ותכתבנה אחורנית<ref group=II>ותכתבנה אחורנית: V397 om.</ref> במעלת<ref group=II>במעלת: V397 במעלה</ref> הד' שתחלק<ref group=II>שתחלק: V397 שתחלוק; V398 שהחלוק</ref> ממנו שהוא שני לט‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::The remainder is 14. Proceed so, until 7 remain in the first rank of the division, likewise 7 in the second [rank] of the division, 8 in the third of the division and 4 in the fourth of the division. | ||
|style="text-align:right;"|והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז'<ref group=II>וכן תעשה ...לחלוק ז': V397 om.</ref> ובשלישי<ref group=II>ובשלישי: V397 ומהנשאר בשלישי</ref> לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫' | |style="text-align:right;"|והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז'<ref group=II>וכן תעשה ...לחלוק ז': V397 om.</ref> ובשלישי<ref group=II>ובשלישי: V397 ומהנשאר בשלישי</ref> לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again: we return the 7 that is in the second [rank] back to the third. We divide from there and write 7 beneath the sixth 7, which is fourth of the division; the remainder is 14. Proceed so, until 7 remain, after it we write 8, then 5 and then 4. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב לחלק נשיב<ref group=II>נשיב: V397 נשוב</ref> הז'<ref group=II>הז': V397 om.; V398 ז'</ref> שהוא בשני אל השלישי אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 om.</ref> ונחלק<ref group=II>ונחלק: V398 ומה ^ נחלק marg. ואשר</ref> ממנו<ref group=II>ממנו: V398 om.<br>ונחלק ממנו: V397 ומהג' נחלק</ref> ונכתוב ז' תחת ז' ששי<ref group=II>ששי: V398 om.</ref> שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז'<ref group=II>וכן תעשה עד שישאר ז': V397 om.</ref> ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה'<ref group=II>ואחריו ה': V397 om.</ref> ואחריו ד‫' | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק נשיב<ref group=II>נשיב: V397 נשוב</ref> הז'<ref group=II>הז': V397 om.; V398 ז'</ref> שהוא בשני אל השלישי אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 om.</ref> ונחלק<ref group=II>ונחלק: V398 ומה ^ נחלק marg. ואשר</ref> ממנו<ref group=II>ממנו: V398 om.<br>ונחלק ממנו: V397 ומהג' נחלק</ref> ונכתוב ז' תחת ז' ששי<ref group=II>ששי: V398 om.</ref> שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז'<ref group=II>וכן תעשה עד שישאר ז': V397 om.</ref> ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה'<ref group=II>ואחריו ה': V397 om.</ref> ואחריו ד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again: we return the 7 that on the 8 and put it in the fourth rank; the remainder is 15 and what you leave is: 8, then 5, then 5 and then 4. Write 7 beneath the third that is the fourth of the division. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק נשיב ז'<ref group=II>ז': V398 om.</ref> על הח'<ref group=II>הח': V398 הז'</ref> ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה<ref group=II>ומה: V398 נשיב ז' אחורנית מה</ref> שתשאיר<ref group=II>שתשאיר: V398 שנשאיר</ref> ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי<ref group=II>הרביעי: V398 השביעי</ref> לחלוק‫<ref group=II>לחלוק: V398 om.<br>נשוב לחלק ... הרביעי לחלוק: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|נשוב<ref group=II>נשוב: V398 נשיב</ref> לחלק נשיב ז'<ref group=II>ז': V398 om.</ref> על הח'<ref group=II>הח': V398 הז'</ref> ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה<ref group=II>ומה: V398 נשיב ז' אחורנית מה</ref> שתשאיר<ref group=II>שתשאיר: V398 שנשאיר</ref> ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי<ref group=II>הרביעי: V398 השביעי</ref> לחלוק‫<ref group=II>לחלוק: V398 om.<br>נשוב לחלק ... הרביעי לחלוק: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again: we return the 8 back to the 5 and put 8 beneath the eighth, which is 7 that is the fourth of the division. 5 remain on 5, then 5, then 5 and then 5. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב לחלק נשיב<ref group=II>נשיב: V397 נשוב</ref> ח' על ה' ונתן ח'<ref group=II>ח': V397 ה'</ref> תחת השמיני<ref group=II>השמיני: V397 שמיני; V398 השמינית</ref> שהוא ז'<ref group=II>ז': V398 om.</ref> רביעי<ref group=II>רביעי: V397 השביעי</ref> לחלוק ישאר ה' על ה'<ref group=II>ה' על ה': V397 על ה' י"ב; V398 על ה' ה'</ref> ואחריו<ref group=II>ואחריו: V397 ומה שתשאר</ref> ה' ואחריו ה'<ref group=II>ה': V397 י"ד</ref> ואחריו ה‫'<ref group=II>ה': V397 ד'</ref> | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק נשיב<ref group=II>נשיב: V397 נשוב</ref> ח' על ה' ונתן ח'<ref group=II>ח': V397 ה'</ref> תחת השמיני<ref group=II>השמיני: V397 שמיני; V398 השמינית</ref> שהוא ז'<ref group=II>ז': V398 om.</ref> רביעי<ref group=II>רביעי: V397 השביעי</ref> לחלוק ישאר ה' על ה'<ref group=II>ה' על ה': V397 על ה' י"ב; V398 על ה' ה'</ref> ואחריו<ref group=II>ואחריו: V397 ומה שתשאר</ref> ה' ואחריו ה'<ref group=II>ה': V397 י"ד</ref> ואחריו ה‫'<ref group=II>ה': V397 ד'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again: we return the 5 back to the 5 and put 5 beneath 7 that is the ninth, which is the fourth of the division; the remainder is 10 and what you leave is: 5, then 5, then 6 and then 2. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 om.</ref> ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר<ref group=II>שתשאיר: V397 שתשאר; V398 שנשאיר</ref> ה' ואחריו ה' ואחריו ו'<ref group=II>ו': V397 ה'</ref> ואחריו ב‫'<ref group=II>ב': V397 ג'</ref> | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית<ref group=II>אחורנית: V397 om.</ref> ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר<ref group=II>שתשאיר: V397 שתשאר; V398 שנשאיר</ref> ה' ואחריו ה' ואחריו ו'<ref group=II>ו': V397 ה'</ref> ואחריו ב‫'<ref group=II>ב': V397 ג'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :It cannot be divided further, because everything has already been removed with the 5 and because the remainder is 5 thousand 5 hundred and 62 and the divisor is 9 thousand 9 hundred and 99. The received number is 77 thousand 7 hundred and 85. | ||
|style="text-align:right;"|ועוד לא יתחלק כי כבר יצא<ref group=II>יצא: V397 יצאנו</ref> לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב<ref group=II>וה' מאות וס"ב: V397 ותקס"ב</ref> והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט<ref group=II>והמחולק ... וצ"ט: V397 om.</ref> והמקובל<ref group=II>והמקובל: V397 והמקובל הוא</ref> ע"ז אלף<ref group=II>אלף: V397 אלפים</ref> וז' מאות ופ"ה‫<ref group=II>וז' מאות ופ"ה: V397 ותשפ"ה</ref> | |style="text-align:right;"|ועוד לא יתחלק כי כבר יצא<ref group=II>יצא: V397 יצאנו</ref> לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב<ref group=II>וה' מאות וס"ב: V397 ותקס"ב</ref> והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט<ref group=II>והמחולק ... וצ"ט: V397 om.</ref> והמקובל<ref group=II>והמקובל: V397 והמקובל הוא</ref> ע"ז אלף<ref group=II>אלף: V397 אלפים</ref> וז' מאות ופ"ה‫<ref group=II>וז' מאות ופ"ה: V397 ותשפ"ה</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :In total of the division of the number occurred: three 7, three 8, three 4, nine 5, one 6 and one 2. | ||
|style="text-align:right;"|וכלל חלוק החשבון ג'<ref group=II>ג': V397 ד'</ref> זיינין וג'<ref group=II>וג': V397 וד'</ref> חיתין וג'<ref group=II>וג': V397 וד'</ref> דלתין<ref group=II>דלתין: V397 דלתין וב' זתין כמספר דלתין</ref> וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫<ref group=II>וו' אחת וב' אחת: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|וכלל חלוק החשבון ג'<ref group=II>ג': V397 ד'</ref> זיינין וג'<ref group=II>וג': V397 וד'</ref> חיתין וג'<ref group=II>וג': V397 וד'</ref> דלתין<ref group=II>דלתין: V397 דלתין וב' זתין כמספר דלתין</ref> וט' ההין וו' אחת וב' אחת‫<ref group=II>וו' אחת וב' אחת: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The rule is that in all the divisions there were 4 [digits in the dividends] except the last one, where it decreased to 3 [digits]. | ||
|style="text-align:right;"|והכלל כי עם<ref group=II>עם: V397 על</ref> כל<ref group=II>כל: V398 om.</ref> החלוקים ד' חוץ<ref group=II>חוץ: V398 om.</ref> מן האחרון שנתמעט עד ג‫' | |style="text-align:right;"|והכלל כי עם<ref group=II>עם: V397 על</ref> כל<ref group=II>כל: V398 om.</ref> החלוקים ד' חוץ<ref group=II>חוץ: V398 om.</ref> מן האחרון שנתמעט עד ג‫' | ||
|- | |- | ||
Line 1,449: | Line 2,036: | ||
|style="text-align:right;"|וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'<ref group=II>ב' ו' ה' ה': Mo30 marg.</ref> | |style="text-align:right;"|וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה‫'<ref group=II>ב' ו' ה' ה': Mo30 marg.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | !Check | + | !<span style="color:red>Check</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |We complete by knowing the test for whether you divided correctly. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נשלים<ref group=II>נשלים: Mo30 נשלם</ref> לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫<ref group=II>אם חלקת נכונה: Mo30; V397; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|והנה נשלים<ref group=II>נשלים: Mo30 נשלם</ref> לדעת המאזנים אם חלקת נכונה‫<ref group=II>אם חלקת נכונה: Mo30; V397; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *casting out by 9 | + | *<span style="color:red>casting out by 9</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*Know the scale of the number by which you have divided [= the divisor], whether it consists of one or more digits. | ||
|style="text-align:right;"|דע מאזני המספר<ref group=II>המספר: V397 מספר</ref> שחלקת עליו בין שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שהיה</ref> אחד או רבים | |style="text-align:right;"|דע מאזני המספר<ref group=II>המספר: V397 מספר</ref> שחלקת עליו בין שיהיה<ref group=II>שיהיה: Mo30 שהיה</ref> אחד או רבים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Know also the scale of the quotient that you wrote between the two rows, whether it consists of one or more digits. | ||
|style="text-align:right;"|גם<ref group=II>גם: Mo30 ג"כ</ref> דע מאזני המספר<ref group=II>המספר: V397; V398 מספר</ref> שעלה בחלוק שכתבת<ref group=II>שכתבת: Mo30; V397 שהוא</ref> בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים | |style="text-align:right;"|גם<ref group=II>גם: Mo30 ג"כ</ref> דע מאזני המספר<ref group=II>המספר: V397; V398 מספר</ref> שעלה בחלוק שכתבת<ref group=II>שכתבת: Mo30; V397 שהוא</ref> בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Multiply them by each other, the middle one by the lower one and know how much remains [after subtracting] the nines; this is the reserved, if you have no remainder that remains, because it is smaller than the divisor. | ||
|style="text-align:right;"|וכפול זה<ref group=II>זה: V397 marg.</ref> על זה האמצעי<ref group=II>האמצעי: V397 אמצעי; V398 ר"ל אמצעי</ref> על התחתון ודע כמה נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30; V398 הנשאר</ref> על ט' ט'<ref group=II>ט'ט': Mo30 התשיעיות; V397 התשיעית; V398 תשיעית</ref> והוא השמור אם<ref group=II>אם: Mo30 ואם</ref> לא נשאר לך מספר שנשאר<ref group=II>שנשאר: V397 ששוי לחלק; Mo30; V398 שנשאר לחלק</ref> שהוא פחות מהמספר<ref group=II>מהמספר: Mo30 המספר</ref> שחלקת עליו‫<ref group=II>עליו: Mo30 עליו marg. לא תקח מאומה</ref> | |style="text-align:right;"|וכפול זה<ref group=II>זה: V397 marg.</ref> על זה האמצעי<ref group=II>האמצעי: V397 אמצעי; V398 ר"ל אמצעי</ref> על התחתון ודע כמה נשאר<ref group=II>נשאר: Mo30; V398 הנשאר</ref> על ט' ט'<ref group=II>ט'ט': Mo30 התשיעיות; V397 התשיעית; V398 תשיעית</ref> והוא השמור אם<ref group=II>אם: Mo30 ואם</ref> לא נשאר לך מספר שנשאר<ref group=II>שנשאר: V397 ששוי לחלק; Mo30; V398 שנשאר לחלק</ref> שהוא פחות מהמספר<ref group=II>מהמספר: Mo30 המספר</ref> שחלקת עליו‫<ref group=II>עליו: Mo30 עליו marg. לא תקח מאומה</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :For, if there is a remainder, take its scale and add it to the reserved that you have; the sum is the actual reserved. | ||
|style="text-align:right;"|כי<ref group=II>כי: Mo30 אבל</ref> אם<ref group=II>כי אם: V398 ואם</ref> נשאר קח<ref group=II>קח: Mo30 מן</ref> המאזנים שלו וחבר<ref group=II>וחבר: Mo30 תחבר</ref> אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת | |style="text-align:right;"|כי<ref group=II>כי: Mo30 אבל</ref> אם<ref group=II>כי אם: V398 ואם</ref> נשאר קח<ref group=II>קח: Mo30 מן</ref> המאזנים שלו וחבר<ref group=II>וחבר: Mo30 תחבר</ref> אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Look at the scale of the number that you have divided [= the dividend] that was in the top row, if it is equal to the scale of the reserved, you know that your calculation is correct. | ||
|style="text-align:right;"|וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה<ref group=II>שהיה: V397 שיהיה</ref> בטור העליון אם<ref group=II>אם: Mo30 ואם</ref> היה<ref group=II>MS St.P374 excerpt 2 end</ref> שוה למאזני<ref group=II>שוה למאזני: Mo30 כמאזני</ref> השמור תדע כי חשבונך אמת | |style="text-align:right;"|וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה<ref group=II>שהיה: V397 שיהיה</ref> בטור העליון אם<ref group=II>אם: Mo30 ואם</ref> היה<ref group=II>MS St.P374 excerpt 2 end</ref> שוה למאזני<ref group=II>שוה למאזני: Mo30 כמאזני</ref> השמור תדע כי חשבונך אמת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *inverse operation - multiplication | + | *<span style="color:red>inverse operation - multiplication:</span> |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :If you multiply the quotient by the divisor, then add to them the remainder from the division, then the sum is equal to the digits of the top row and the division is correct. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תכפול מה<ref group=II>מה: V398 כל מה</ref> שיעלה<ref group=II>שיעלה: V397 שתעלה; Mo30; V398 שעלה</ref> בחלוק על<ref group=II>על: V398 על כל</ref> המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק<ref group=II>לחלק: V398 לחלוק</ref> אז יהיה המחובר שוה למספרי<ref group=II>למספרי: Mo30; V397 למספר</ref> הטור העליון וחלוק נכון‫<ref group=II>וחלוק נכון: Mo30; V397; V398 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואם תכפול מה<ref group=II>מה: V398 כל מה</ref> שיעלה<ref group=II>שיעלה: V397 שתעלה; Mo30; V398 שעלה</ref> בחלוק על<ref group=II>על: V398 על כל</ref> המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק<ref group=II>לחלק: V398 לחלוק</ref> אז יהיה המחובר שוה למספרי<ref group=II>למספרי: Mo30; V397 למספר</ref> הטור העליון וחלוק נכון‫<ref group=II>וחלוק נכון: Mo30; V397; V398 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
!Additional excerpts<ref group=II>Mo30; V397 om.</ref> | !Additional excerpts<ref group=II>Mo30; V397 om.</ref> | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |The rule of Division | ||
|style="text-align:right;"|'''כלל החלוק''' | |style="text-align:right;"|'''כלל החלוק''' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the number you by which you divide [= the divisor] is two digits or more, divide the last of the top row by the last of the bottom row, if the digit of the top row is greater than that of the bottom [row]. |
|style="text-align:right;"|אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון<ref group=II>העליון: V398 om.</ref> על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל | |style="text-align:right;"|אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון<ref group=II>העליון: V398 om.</ref> על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |But if the lower one is greater than the upper one, return the last of the upper one back as tens to the preceding rank and add it to what is written there. |
|style="text-align:right;"|ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה | |style="text-align:right;"|ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there is a zero in the preceding rank, count the tens. |
|style="text-align:right;"|ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות | |style="text-align:right;"|ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Take from there what you can give the last lower digit. Write down what you can give to all the other bottom digits, as what you give to the last, and write the quotient in the middle between the two rows, far from the rank you divided as the distance from the last bottom digit from the starting digit. |
|style="text-align:right;"|וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה<ref group=II>וכתוב מה: V398 ובתנאי</ref> שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו | |style="text-align:right;"|וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה<ref group=II>וכתוב מה: V398 ובתנאי</ref> שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Proceed like this for all the divisions, doing the same for them as for this division: count from the rank which you divided as the distance of the last bottom digit from its starting digit, and write the quotient there. Then, from the digit that is second to the last bottom digit take the digit that is next to the rank from which you divided, as much times as the number that is written between the rows. |
|style="text-align:right;"|וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר<ref group=II>ומהמספר: V398 והמספר</ref> השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים | |style="text-align:right;"|וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר<ref group=II>ומהמספר: V398 והמספר</ref> השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If it is not enough for you, return what is left of the rank that you first divided back to the preceding rank and add it to what is written in it, then take your number from it. Do this with all. |
|style="text-align:right;"|ואם לא יספיק לך תשיב<ref group=II>תשיב: V398 השיב</ref> מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף<ref group=II>ותצרף: V398 ותצטרף</ref> עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם | |style="text-align:right;"|ואם לא יספיק לך תשיב<ref group=II>תשיב: V398 השיב</ref> מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף<ref group=II>ותצרף: V398 ותצטרף</ref> עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם | ||
|- | |- | ||
Line 1,499: | Line 2,104: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The 9 in the bottom row is greater than 8 that is the end of the top [row], so you return the 8 back to the 3; they are 83. We give 9 of the 83 to the 9; they are 81 and 2 are left on the 3. | ||
|style="text-align:right;"|הנה הט' שבטור השפל יותר<ref group=II>יותר: V398 יתר</ref> מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב<ref group=II>תשיב: V398 השיב</ref> הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג' | |style="text-align:right;"|הנה הט' שבטור השפל יותר<ref group=II>יותר: V398 יתר</ref> מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב<ref group=II>תשיב: V398 השיב</ref> הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The zero cannot take from the top 5. | ||
|style="text-align:right;"|והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון | |style="text-align:right;"|והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The bottom 3 cannot take from the top 5, because it is not of the same rank, so return three from 5 back to 2; they are 32. We subtract 27 from them, which are 9 times 3, which is the first of the lower [row]; 5 remain on the 2 and 2 on the 5. | ||
|style="text-align:right;"|והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון<ref group=II>והג' ... העליון: V398 om.</ref> כי<ref group=II>כי: V398 כי marg. אע"פ שהוא</ref> אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫' | |style="text-align:right;"|והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון<ref group=II>והג' ... העליון: V398 om.</ref> כי<ref group=II>כי: V398 כי marg. אע"פ שהוא</ref> אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Since the lower 9 is in the third rank and 9 has already resulted in the division, we write it in the second rank, which is the third to the top 3 which you divided. | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו<ref group=II>נכתבנו: V398 תכתבהו</ref> במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו | |style="text-align:right;"|ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו<ref group=II>נכתבנו: V398 תכתבהו</ref> במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We divide again and return the 2 that is on the 3 back to the 2 that is on the 5; they are 22. We subtract 9 twice from them, because 9 is the lower [digit]; 4 remain on the 5. We write the 2 in the first rank, which is the third to the top 5, which you divided in this division. | ||
|style="text-align:right;"|נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על<ref group=II>על: V398 אל</ref> הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט'<ref group=II>כי ט': V398 <s>כי ט'</s> כי ט'</ref> הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק | |style="text-align:right;"|נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על<ref group=II>על: V398 אל</ref> הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט'<ref group=II>כי ט': V398 <s>כי ט'</s> כי ט'</ref> הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The zero cannot take anything from the 5 that is on the 2. | ||
|style="text-align:right;"|הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על<ref group=II>אשר על: V398 שעל</ref> הב‫' | |style="text-align:right;"|הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על<ref group=II>אשר על: V398 שעל</ref> הב‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The lower 3 cannot take from the upper 1, because there is only one in it, so we return one from the 5 that is on the 2 back to the 1; they are 11. We take from them 6 for the lower 3, which are 2 times 3. | ||
|style="text-align:right;"|והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫' | |style="text-align:right;"|והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :4 remain on the 5, 4 on the 2 and 5 on the 1, which cannot be divided. | ||
|style="text-align:right;"|ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫<ref group=II>יתחלקו: V398 נתחלקו</ref> | |style="text-align:right;"|ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו‫<ref group=II>יתחלקו: V398 נתחלקו</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 1,528: | Line 2,141: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We take 1 from the last top 1 and write it in the third rank beneath the top 3; because the last lower 1 is in the third rank, so we remove the result from the last digit from which you started dividing. | ||
|style="text-align:right;"|לקחנו א'<ref group=II>א': V398 א' האחרון בטור השפל</ref> מן הא' האחרון העליון<ref group=II>העליון: V398 <s>בטור</s> העליון</ref> וכתבנוהו<ref group=II>וכתבנוהו: V398 והנה א' וכתבנוהו</ref> במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר<ref group=II>המספר: V398 העליון</ref> שהחלות לחלק ממנו | |style="text-align:right;"|לקחנו א'<ref group=II>א': V398 א' האחרון בטור השפל</ref> מן הא' האחרון העליון<ref group=II>העליון: V398 <s>בטור</s> העליון</ref> וכתבנוהו<ref group=II>וכתבנוהו: V398 והנה א' וכתבנוהו</ref> במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר<ref group=II>המספר: V398 העליון</ref> שהחלות לחלק ממנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Take also the second bottom 1 from the fourth upper 1. | ||
|style="text-align:right;"|וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון | |style="text-align:right;"|וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Since nothing remains in the fourth rank, we have to divide again from the top 3. We take from it 3 for the last bottom 1. | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל | |style="text-align:right;"|ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We write 3 in the first rank, which is the third for the upper 3 from which we started now to divide. Hence, we put a zero in the second rank. | ||
|style="text-align:right;"|ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית | |style="text-align:right;"|ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :This is because in the first division we started from the last [digit] of the upper [row], therefore we write the quotient at a distance of 3 ranks backwards, as much as the number of ranks of the last bottom [digit]. | ||
|style="text-align:right;"|וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל | |style="text-align:right;"|וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :However, in this second division we started dividing from the top 3, so we write the result 3 ranks backwards and it arrives to the first rank. | ||
|style="text-align:right;"|אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה | |style="text-align:right;"|אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :For the second 1 in the bottom row, we take from the top 5; 2 are left on the 5 and these are twenty that cannot be divided. | ||
|style="text-align:right;"|וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה'<ref group=II>הה': V398 ה'</ref> והם עשרים שלא יתחלקו‫<ref group=II>יתחלקו: V398 נתחלקו</ref> | |style="text-align:right;"|וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה'<ref group=II>הה': V398 ה'</ref> והם עשרים שלא יתחלקו‫<ref group=II>יתחלקו: V398 נתחלקו</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :So, the quotient is 103. | ||
|style="text-align:right;"|והנה היוצא בחלוק ק"ג | |style="text-align:right;"|והנה היוצא בחלוק ק"ג | ||
|- | |- | ||
− | |from here proceeds to the check | + | |<span style="color:red">from here proceeds to the check</span> |
+ | | | ||
|} | |} | ||
{| | {| | ||
Line 1,559: | Line 2,181: | ||
== Chapter Three – Addition == | == Chapter Three – Addition == | ||
− | !style="text-align:right;"|השער השלישי‫<ref group=III>השלישי: Mo30 החמ<sup>של</sup>ישי</ref> | + | !style="text-align:right;"|<big>השער השלישי</big>‫<ref group=III>השלישי: Mo30 החמ<sup>של</sup>ישי</ref> |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 1,735: | Line 2,357: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :They are 8 minus 1, thus 7 is the sum. | + | :They are 8 minus 1, thus 7 and this is the sum. |
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{3} \left(1\sdot2^{i-1}\right)=8-1=7}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sum_{i=1}^{3} \left(1\sdot2^{i-1}\right)=8-1=7}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר | |style="text-align:right;"|הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר | ||
+ | |- | ||
+ | |Likewise, if one says only the last number. | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | *Such as, if one asks: how much are the doubles up to 32? |
+ | |style="text-align:right;"|כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Double 32; it is 64, subtract one, which is the first; 63 remain and this is the required. | ||
|style="text-align:right;"|כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש | |style="text-align:right;"|כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש | ||
|- | |- | ||
Line 1,783: | Line 2,410: | ||
|style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה<ref group=III>הדרך הזה: Mo30 זה הדרך</ref> תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫<ref group=III>כל השאלות מזה הענין: Mo30 השאר<br>ועל הדרך ... מזה הענין: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ועל הדרך הזה<ref group=III>הדרך הזה: Mo30 זה הדרך</ref> תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין‫<ref group=III>כל השאלות מזה הענין: Mo30 השאר<br>ועל הדרך ... מזה הענין: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |There is no need to mention all of this, but I shall only mention the method of the scales. |
|style="text-align:right;"|ואין צורך להזכיר כל<ref group=III>כל: V397 om.</ref> זה<ref group=III>כל זה: Mo30 om.</ref> רק אזכיר דרך המאזנים | |style="text-align:right;"|ואין צורך להזכיר כל<ref group=III>כל: V397 om.</ref> זה<ref group=III>כל זה: Mo30 om.</ref> רק אזכיר דרך המאזנים | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 1,792: | Line 2,421: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When you add a number to a number, even if they [consist of] many [digits], put one number in the upper row according to its ranks, put also the other number according to its ranks in the lower row. |
|style="text-align:right;"|כש{{#annot:term|178|vIio}}תחבר<ref group=III>כשתחבר: V397 בשחבר</ref> מספר אל מספר{{#annotend:vIio}} בין שיהיו<ref group=III>שיהיו: Mo30 שיהיה</ref> רבים אלו ואלו<ref group=III>אלו ואלו: V397 אלה על אלה</ref> שים המספר האחד<ref group=III>האחד: V397 om.</ref> בטור העליון<ref group=III>העליון: V397 אחד</ref> כפי מעלותיו<ref group=III>מעלותיו: V397 מעלתו</ref> גם<ref group=III>גם: V397 וגם</ref> שים המספר<ref group=III>המספר: V397 מספר</ref> השני כפי מעלותיו<ref group=III>מעלותיו: V397 מעלתו</ref> בטור השפל | |style="text-align:right;"|כש{{#annot:term|178|vIio}}תחבר<ref group=III>כשתחבר: V397 בשחבר</ref> מספר אל מספר{{#annotend:vIio}} בין שיהיו<ref group=III>שיהיו: Mo30 שיהיה</ref> רבים אלו ואלו<ref group=III>אלו ואלו: V397 אלה על אלה</ref> שים המספר האחד<ref group=III>האחד: V397 om.</ref> בטור העליון<ref group=III>העליון: V397 אחד</ref> כפי מעלותיו<ref group=III>מעלותיו: V397 מעלתו</ref> גם<ref group=III>גם: V397 וגם</ref> שים המספר<ref group=III>המספר: V397 מספר</ref> השני כפי מעלותיו<ref group=III>מעלותיו: V397 מעלתו</ref> בטור השפל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then add each [digit] in its rank and write the sum in a third row. |
|style="text-align:right;"|אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי | |style="text-align:right;"|אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then add the scale of the top row to the scale of the bottom row. |
|style="text-align:right;"|אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל<ref group=III>אל: V397 עם</ref> מאזני הטור התחתון‫<ref group=III>התחתון: V397 השפל</ref> | |style="text-align:right;"|אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל<ref group=III>אל: V397 עם</ref> מאזני הטור התחתון‫<ref group=III>התחתון: V397 השפל</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the sum of the two is equal to the scale of the third row, know that your calculation is correct. |
|style="text-align:right;"|ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי<ref group=III>השלישי: V397 השפל</ref> אז תדע כי חשבונך אמת | |style="text-align:right;"|ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי<ref group=III>השלישי: V397 השפל</ref> אז תדע כי חשבונך אמת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall explain how to approach the tables of astrology and how to take add seconds to minutes and minutes to degrees and degrees to signs. |
|style="text-align:right;"|ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫<ref group=III>ועתה ... למזלות: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות‫<ref group=III>ועתה ... למזלות: V397 om.</ref> | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
=== Addition of Sexagesimal Fractions === | === Addition of Sexagesimal Fractions === | ||
− | + | | | |
+ | |- | ||
+ | |Now I shall give you a general method of astrology. | ||
|style="text-align:right;"|ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות | |style="text-align:right;"|ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The celestial sphere was divided into 12 signs and the sign into 30 degrees. |
|style="text-align:right;"|חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות | |style="text-align:right;"|חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The degrees are as units in the number; each degree is divided into sixtieths, which are called minutes. |
|style="text-align:right;"|והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים | |style="text-align:right;"|והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Each minute is also divided into sixtieths, which are called seconds. |
|style="text-align:right;"|גם כל<ref group=III>כל: V397 על</ref> ראשון יתחלק לששים עוד<ref group=III>עוד: V397 ועוד</ref> ויקראו שניים | |style="text-align:right;"|גם כל<ref group=III>כל: V397 על</ref> ראשון יתחלק לששים עוד<ref group=III>עוד: V397 ועוד</ref> ויקראו שניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |There are no more fractions than these in the tables of the planets. |
|style="text-align:right;"|ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה | |style="text-align:right;"|ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Know that the tables of the planets of the mean motion are according to two ways: |
|style="text-align:right;"|ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים | |style="text-align:right;"|ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *One according to the solar years, in which the years of the decades are summed twenty by twenty. | ||
|style="text-align:right;"|האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫<ref group=III>עשרים עשרים: V397 כ' על כ'</ref> | |style="text-align:right;"|האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים‫<ref group=III>עשרים עשרים: V397 כ' על כ'</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *The second way according to the lunar years, in which the years of the decades are summed thirty by thirty. | ||
|style="text-align:right;"|והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים | |style="text-align:right;"|והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I will explain this in the book |
|style="text-align:right;"|ובספר<ref group=III>ובספר: V397 ובמספר</ref> טעמי הלוחות אפרש זה | |style="text-align:right;"|ובספר<ref group=III>ובספר: V397 ובמספר</ref> טעמי הלוחות אפרש זה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When they want to know the position of any planet required at any hour required, they approach the years of the decades that have passed and write down the number of the signs they find written there, and they write this at the beginning of a row. |
|style="text-align:right;"|והנה ברצותם לדעת<ref group=III>לדעת: V397 om.</ref> מקום איזה משרת שיבקשו<ref group=III>שיבקשו: V397 יבקשו</ref> באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה<ref group=III>זה: V397 שם <sup>זה</sup></ref> בתחלת הטור | |style="text-align:right;"|והנה ברצותם לדעת<ref group=III>לדעת: V397 om.</ref> מקום איזה משרת שיבקשו<ref group=III>שיבקשו: V397 יבקשו</ref> באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה<ref group=III>זה: V397 שם <sup>זה</sup></ref> בתחלת הטור | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they write the degrees they find, after the first number in the same row and they do a long dividing line between the two numbers. |
|style="text-align:right;"|ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות <ref>MS St.P374 excerpt 1 begin.</ref>אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך | |style="text-align:right;"|ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות <ref>MS St.P374 excerpt 1 begin.</ref>אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they write the minutes they want find after the degrees and the signs and make a separation between the two numbers with a long line in the same row. |
|style="text-align:right;"|אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים<ref group=III>מן הראשונים: V397 מהראשונים</ref> אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו<ref group=III>באותו: V397 <s>המעלות והמזלות ויש</s> באותו</ref> הטור בעצמו | |style="text-align:right;"|אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים<ref group=III>מן הראשונים: V397 מהראשונים</ref> אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו<ref group=III>באותו: V397 <s>המעלות והמזלות ויש</s> באותו</ref> הטור בעצמו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they write the seconds after the minutes in the same row and separate between them with a long line. |
|style="text-align:right;"|אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך | |style="text-align:right;"|אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they approach the single years that have passed and write what they find, the signs under the signs, the degrees under the degrees, the minutes under the minutes and the seconds under the seconds. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו<ref group=III>שימצאו: V397 שנמצאות</ref> במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים | |style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו<ref group=III>שימצאו: V397 שנמצאות</ref> במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they approach the months that have passed and write everything they find there, each type under its type. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו | |style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, they approach the days of the month that have passed of a month that has not been completed and write everything they find there each type under its type. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו | |style="text-align:right;"|ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The same is done with the whole hours that have passed after the middle of the day and the same with the parts of an hour that has not been completed. |
|style="text-align:right;"|וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה | |style="text-align:right;"|וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, one starts to add up all the sixtieths: takes one minute for every sixty seconds and write how many minutes come out of the seconds with the minutes that precede the seconds, and write the remainder of the seconds that are less than sixty alone in another place. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים<ref group=III>מן הששים: V397 משישים</ref> יכתבם לבדד במקום<ref group=III>במקום: V397 במקום <s>במקום</s></ref> אחר | |style="text-align:right;"|ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים<ref group=III>מן הששים: V397 משישים</ref> יכתבם לבדד במקום<ref group=III>במקום: V397 במקום <s>במקום</s></ref> אחר | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, one adds again all the minutes: takes one degree for every sixty minutes and write the degrees that are summed with the degrees that precede the minutes and the remaining minutes that are less than sixty, write them in the row where you wrote the seconds, only that they are written before the seconds. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות<ref group=III>מן המעלות: V397 מהמעלות</ref> כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת<ref group=III>שכתבת: V397 <s>כמו</s> שכתבת</ref> שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים | |style="text-align:right;"|ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות<ref group=III>מן המעלות: V397 מהמעלות</ref> כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת<ref group=III>שכתבת: V397 <s>כמו</s> שכתבת</ref> שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, add again the degrees: take one sign for every thirty degrees and write the [signs] that come out with all the [signs] that you had and what remains of the degrees that are less than thirty, write them alone before the minutes that you wrote before the seconds. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות<ref group=III>המעלות: V397 <s>המעלות</s> marg. המזלות</ref> העולים עם כל המעלות<ref group=III>המעלות: V397 המזלות</ref> שהיו לך ומה שישארו מן המעלות<ref group=III>מן המעלות: V397 מהמעלות</ref> שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד | |style="text-align:right;"|ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות<ref group=III>המעלות: V397 <s>המעלות</s> marg. המזלות</ref> העולים עם כל המעלות<ref group=III>המעלות: V397 המזלות</ref> שהיו לך ומה שישארו מן המעלות<ref group=III>מן המעלות: V397 מהמעלות</ref> שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, take out every twelve signs you find, and write the remainder alone before the degrees you wrote before the minutes preceding the seconds. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות<ref group=III>מזלות: V397 om.</ref> שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד | |style="text-align:right;"|ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות<ref group=III>מזלות: V397 om.</ref> שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |So, you have the position of the planet on the celestial sphere along with its degrees, minutes and seconds. |
|style="text-align:right;"|אז<ref group=III>אז: V397 <s>אז</s> marg. אז</ref> יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו | |style="text-align:right;"|אז<ref group=III>אז: V397 <s>אז</s> marg. אז</ref> יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |You always start to count the signs from the sign of Aries. |
|style="text-align:right;"|ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה | |style="text-align:right;"|ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the number of signs is twelve, write a zero in the place where the signs must be written to indicate that the planet is still in the sign of Aries, for this is not yet complete, but that it has only moved away from the sign in accordance with the degrees that have been written there and the minutes belong to the following degree. |
|style="text-align:right;"|ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם<ref group=III>שם: V397 om.</ref> מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה<ref group=III>מן המעלה: V397 מהמעלה</ref> הבאה | |style="text-align:right;"|ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם<ref group=III>שם: V397 om.</ref> מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה<ref group=III>מן המעלה: V397 מהמעלה</ref> הבאה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::For, if the degrees are 17, the minutes are those that have passed from the 18th degree. Suppose the whole minutes are 15 and say the seconds are 45, so they are three-quarters of one minute of sixteen minutes. | ||
|style="text-align:right;"|כי אם<ref group=III>כי אם: V397 <s>כי אם</s> כי אם</ref> היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת<ref group=III>ממעלת: V397 ממעלות</ref> י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים | |style="text-align:right;"|כי אם<ref group=III>כי אם: V397 <s>כי אם</s> כי אם</ref> היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת<ref group=III>ממעלת: V397 ממעלות</ref> י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 1,889: | Line 2,527: | ||
== Chapter Four – Subtraction == | == Chapter Four – Subtraction == | ||
− | !style="text-align:right;"|השער הרביעי | + | !style="text-align:right;"|<big>השער הרביעי</big> |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 1,896: | Line 2,534: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Subtracting one number from the another is easy. |
|style="text-align:right;"|לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא | |style="text-align:right;"|לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I shall give you only a general method of subtracting many digits from many digits, using the method of the arithmeticians as well as the method of the astrologers, for they have a different method. |
|style="text-align:right;"|רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים<ref group=IV>מחשבונים רבים: V397 marg.</ref> על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת<ref group=IV>אחרת: V397 אמת</ref> יש להם | |style="text-align:right;"|רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים<ref group=IV>מחשבונים רבים: V397 marg.</ref> על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת<ref group=IV>אחרת: V397 אמת</ref> יש להם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Do as follows: |
|style="text-align:right;"|וככה תעשה | |style="text-align:right;"|וככה תעשה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Write the number from which you want to subtract [= the minuend] in the upper row and write the digits you want to subtract [= the subtrahend] in the lower row. |
|style="text-align:right;"|כתוב החשבון<ref group=IV>החשבון: V397 המספר</ref> שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ<ref group=IV>שתחפוץ: V397 שתרצה</ref> לגרעם<ref group=IV>לגרעם: V397 לגרוע אותם</ref> בטור השפל | |style="text-align:right;"|כתוב החשבון<ref group=IV>החשבון: V397 המספר</ref> שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ<ref group=IV>שתחפוץ: V397 שתרצה</ref> לגרעם<ref group=IV>לגרעם: V397 לגרוע אותם</ref> בטור השפל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The last digit in the top row must always be greater than the last digit in the bottom row. Do not consider the other digits. |
|style="text-align:right;"|ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים | |style="text-align:right;"|ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you find in one of the ranks that the digit in the lower row is greater than the corresponding digit in the upper row, return one alone from the digit that follows, for that is enough for you and consider it as ten, as the way we do in the division. |
|style="text-align:right;"|והנה<ref group=IV>והנה: V397 וכן</ref> אם מצאת באחת<ref group=IV>באחת: V397 באחדות</ref> מן<ref group=IV>מן: V397 om.</ref> המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר<ref group=IV>מהמספר: V397 ממספר</ref> שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 הטור</ref> העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו<ref group=IV>שאחריו: V397 שהוא אחריו</ref> אחד<ref group=IV>אחד: V397 ואחד</ref> לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק | |style="text-align:right;"|והנה<ref group=IV>והנה: V397 וכן</ref> אם מצאת באחת<ref group=IV>באחת: V397 באחדות</ref> מן<ref group=IV>מן: V397 om.</ref> המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר<ref group=IV>מהמספר: V397 ממספר</ref> שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 הטור</ref> העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו<ref group=IV>שאחריו: V397 שהוא אחריו</ref> אחד<ref group=IV>אחד: V397 ואחד</ref> לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot:5432-2379|155|lNHB}}Example: <math>\scriptstyle5432-2379</math> | + | *{{#annot:5432-2379|155|lNHB}}Example: The top row is 5432 and the bottom row is 2379. |
− | |style="text-align:right;"| | + | :<math>\scriptstyle5432-2379</math> |
+ | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב‫'{{#annotend:lNHB}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Each [digit] of the bottom should be subtracted from the top [digits], each one from its rank: 2 from 5 and 3 from 4. | ||
|style="text-align:right;"|וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים<ref group=IV>מן העליונים: V397 מהעליונים</ref> כל אחד ממעלתו<ref group=IV>ממעלתו: V397 ממעלותו</ref> ב' מה' וג' מד‫' | |style="text-align:right;"|וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים<ref group=IV>מן העליונים: V397 מהעליונים</ref> כל אחד ממעלתו<ref group=IV>ממעלתו: V397 ממעלותו</ref> ב' מה' וג' מד‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :But we cannot subtract 7 from 3, nor 9 from 2. | ||
|style="text-align:right;"|ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'<ref group=IV>ולא נוכל ... מב': V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב‫'<ref group=IV>ולא נוכל ... מב': V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We always start to subtract backwards, as with the way of division, and write the remainder in the third row corresponding to the same rank in the lower row. |
|style="text-align:right;"|ולעולם<ref group=IV>ולעולם: V397 וככה הכל ולעולם</ref> נחל לחסר<ref group=IV>לחסר: V397 ולהסר</ref> אחורנית<ref>MS St.P374 excerpt 1 end</ref> כדרך החלוק והנשאר נכתבנו<ref group=IV>נכתבנו: V397 נכתוב אותו</ref> בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל | |style="text-align:right;"|ולעולם<ref group=IV>ולעולם: V397 וככה הכל ולעולם</ref> נחל לחסר<ref group=IV>לחסר: V397 ולהסר</ref> אחורנית<ref>MS St.P374 excerpt 1 end</ref> כדרך החלוק והנשאר נכתבנו<ref group=IV>נכתבנו: V397 נכתוב אותו</ref> בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*So, we subtract 2 from 5; we are left with 3; we write it beneath the fourth rank. | ||
|style="text-align:right;"|והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו<ref group=IV>כתבנו אותו: V397 כתבנוהו</ref> תחת מעלה הרביעית‫<ref group=IV>תחת מעלה הרביעית: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו<ref group=IV>כתבנו אותו: V397 כתבנוהו</ref> תחת מעלה הרביעית‫<ref group=IV>תחת מעלה הרביעית: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We subtract 3 from 4; we are left with one, but we do not write it down, we only put a zero instead, because we have to return one back, for the preceding digit that is in the lower row is greater than the corresponding upper one. So, they are 13. We subtract 7 from it; 6 remain. However, because the first digit in the bottom row is greater than the [first digit] in the top row, we have to return one back and write 5 in the third row. So, there are 12 above; we subtract 9, 3 remain. | ||
|style="text-align:right;"|חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו<ref group=IV>שמנו גלגל במקומו: V397 כתבנו במקומו גלגל</ref> כי הוצרכנו להשיב אחד<ref group=IV>אחד: V397 top</ref> אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו<ref group=IV>שבטור השפל לפניו: V397 שהוא לפניו בטור השפל</ref> גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו<ref group=IV>ונשארו: V397 נשאר</ref> ו' רק בעבור כי<ref group=IV>כי: V397 שהוא</ref> החשבון הראשון שבטור השפל<ref group=IV>שבטור השפל: V397 בשפל</ref> גדול מן<ref group=IV>מן: V397 משל</ref> העליון שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 בטור</ref> העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב<ref group=IV>ונכתוב: V397 וכתבנו</ref> ה' בטור השלישי והנה היו<ref group=IV>היו: V397 היה לנו</ref> למעלה י"ב נחסר ט'<ref group=IV>נחסר ט': V397 om.</ref> ונשארו<ref group=IV>ונשארו: V397 נשארו</ref> ג‫' | |style="text-align:right;"|חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו<ref group=IV>שמנו גלגל במקומו: V397 כתבנו במקומו גלגל</ref> כי הוצרכנו להשיב אחד<ref group=IV>אחד: V397 top</ref> אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו<ref group=IV>שבטור השפל לפניו: V397 שהוא לפניו בטור השפל</ref> גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו<ref group=IV>ונשארו: V397 נשאר</ref> ו' רק בעבור כי<ref group=IV>כי: V397 שהוא</ref> החשבון הראשון שבטור השפל<ref group=IV>שבטור השפל: V397 בשפל</ref> גדול מן<ref group=IV>מן: V397 משל</ref> העליון שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 בטור</ref> העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב<ref group=IV>ונכתוב: V397 וכתבנו</ref> ה' בטור השלישי והנה היו<ref group=IV>היו: V397 היה לנו</ref> למעלה י"ב נחסר ט'<ref group=IV>נחסר ט': V397 om.</ref> ונשארו<ref group=IV>ונשארו: V397 נשארו</ref> ג‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :This is the diagram: | ||
|style="text-align:right;"|וזו היא הצורה‫<ref group=IV>וזו היא הצורה: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|וזו היא הצורה‫<ref group=IV>וזו היא הצורה: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When you want to know the scales: |
|style="text-align:right;"|וכאשר תרצה<ref group=IV>תרצה: V397 נרצה</ref> לדעת המאזנים | |style="text-align:right;"|וכאשר תרצה<ref group=IV>תרצה: V397 נרצה</ref> לדעת המאזנים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Subtract the scale of the lower row from the scales of the upper row and keep the remainder. |
|style="text-align:right;"|תגרע<ref group=IV>תגרע: V397 נגרע</ref> מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור<ref group=IV>ותשמור: V397 ונשמור</ref> הנשאר | |style="text-align:right;"|תגרע<ref group=IV>תגרע: V397 נגרע</ref> מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור<ref group=IV>ותשמור: V397 ונשמור</ref> הנשאר | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |See: if the scale of the third row is the same, then you know that your calculation is correct. |
|style="text-align:right;"|ותראה<ref group=IV>ותראה: V397 ונראה</ref> אם היו<ref group=IV>היו: V397 om.</ref> מאזני הטור השלישי כמוהו דע<ref group=IV>דע: V397 נדע</ref> כי חשבונך<ref group=IV>חשבונך: V397 חשבוננו</ref> אמת | |style="text-align:right;"|ותראה<ref group=IV>ותראה: V397 ונראה</ref> אם היו<ref group=IV>היו: V397 om.</ref> מאזני הטור השלישי כמוהו דע<ref group=IV>דע: V397 נדע</ref> כי חשבונך<ref group=IV>חשבונך: V397 חשבוננו</ref> אמת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the scale of the bottom row is greater than the scale of the top row, always add 9 to the scale of the top, subtract the scale of the bottom from the sum and proceed according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם היו<ref group=IV>היו: V397 היה</ref> מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור<ref group=IV>הטור: V397 om.</ref> העליון הוסף<ref group=IV>הוסף: V397 ה<sup>ו</sup>סף</ref> לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה<ref group=IV>ותעשה: V397 ונעשה</ref> כמשפט‫<ref group=IV>כמשפט: V397 <s>השפל</s> marg. כמשפט</ref> | |style="text-align:right;"|ואם היו<ref group=IV>היו: V397 היה</ref> מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור<ref group=IV>הטור: V397 om.</ref> העליון הוסף<ref group=IV>הוסף: V397 ה<sup>ו</sup>סף</ref> לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה<ref group=IV>ותעשה: V397 ונעשה</ref> כמשפט‫<ref group=IV>כמשפט: V397 <s>השפל</s> marg. כמשפט</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Example. We subtract 1 from 2; 1 remains. We return it back to the zero; they are 10. We subtract 7; 3 remain. |
|style="text-align:right;"|'''דמיון''' החסרנו<ref group=IV>החסרנו: V397 חסרנו</ref> א' מב' נשאר א' השיבונו<ref group=IV>השיבונו: V397 השיבונו אותו</ref> אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז'<ref group=IV>והיו י' חסרנו ז': V397 om.</ref> נשארו ג‫' | |style="text-align:right;"|'''דמיון''' החסרנו<ref group=IV>החסרנו: V397 חסרנו</ref> א' מב' נשאר א' השיבונו<ref group=IV>השיבונו: V397 השיבונו אותו</ref> אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז'<ref group=IV>והיו י' חסרנו ז': V397 om.</ref> נשארו ג‫' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The scale of the lower [row] is 8 and the scale of the upper [row] is 2. We add 9 to it; they are 11. We subtract 8; 3 remain and so is the bottom scale. |
|style="text-align:right;"|והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו<ref group=IV>והיו: V397 היו</ref> י"א החסרנו<ref group=IV>החסרנו: V397 חסרנו</ref> ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל | |style="text-align:right;"|והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו<ref group=IV>והיו: V397 היו</ref> י"א החסרנו<ref group=IV>החסרנו: V397 חסרנו</ref> ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now, we shall speak about the method of the astrologers, because they need this chapter more than the arithmeticians. |
|style="text-align:right;"|עתה נדבר על דרך חכמי<ref>MS N2624 end</ref> המזלות כי יותר צורך יש<ref group=IV>יש: V397 om.</ref> להם לשער הזה מחכמי החשבון | |style="text-align:right;"|עתה נדבר על דרך חכמי<ref>MS N2624 end</ref> המזלות כי יותר צורך יש<ref group=IV>יש: V397 om.</ref> להם לשער הזה מחכמי החשבון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We already mentioned that you should set up the signs in the first rank, degrees in the second, the minutes in the third and seconds in the fourth. |
|style="text-align:right;"|וכבר הזכרנו כי כן תכון<ref group=IV>כן תכון: V397 om.</ref> המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים<ref group=IV>והראשונים: V397 והחלקים הראשונים</ref> בשלישית<ref>MS St.P569 excerpt 1 end</ref> והשניים ברביעית | |style="text-align:right;"|וכבר הזכרנו כי כן תכון<ref group=IV>כן תכון: V397 om.</ref> המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים<ref group=IV>והראשונים: V397 והחלקים הראשונים</ref> בשלישית<ref>MS St.P569 excerpt 1 end</ref> והשניים ברביעית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |One always starts to subtract backwards: the seconds in the bottom row from the seconds in the top row. The remainder is written in the third row corresponding to the upper seconds. |
|style="text-align:right;"|ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים<ref group=IV>השניים: V397 כי השניים</ref> בטור השפל<ref group=IV>השפל: V397 שפל</ref> מהשניים<ref group=IV>מהשניים: V397 יחלו לגרוע מהשניים</ref> בטור העליון והנשאר יכתבהו<ref group=IV>יכתבהו: V397 יכתבנו</ref> בטור השלישי כנגד השניים העליונים | |style="text-align:right;"|ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים<ref group=IV>השניים: V397 כי השניים</ref> בטור השפל<ref group=IV>השפל: V397 שפל</ref> מהשניים<ref group=IV>מהשניים: V397 יחלו לגרוע מהשניים</ref> בטור העליון והנשאר יכתבהו<ref group=IV>יכתבהו: V397 יכתבנו</ref> בטור השלישי כנגד השניים העליונים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the lower seconds are more than the upper ones, he takes one from the upper minutes, considers it as 60 seconds, adds to them the seconds that are in the upper row, and then subtracts the lower seconds according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים<ref group=IV>העליונים: V397 om.</ref> אחד יחשבהו<ref group=IV>יחשבהו: V397 ויחשוב אותו</ref> ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים<ref group=IV>העליונים: V397 om.</ref> אחד יחשבהו<ref group=IV>יחשבהו: V397 ויחשוב אותו</ref> ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If he has taken one from the upper [minutes], he subtracts it from the number of minutes that are there. |
|style="text-align:right;"|ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם | |style="text-align:right;"|ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, he subtracts the lower minutes from the upper minutes that are there and writes the remainder corresponding to them in the third row. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי | |style="text-align:right;"|ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, he subtracts the degrees from the degrees and write the [remainder] corresponding to them in the third row. |
|style="text-align:right;"|ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם | |style="text-align:right;"|ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the degrees in the lower row are more than the degrees in the upper row, he takes one from the signs, considers it as 30, adds them to the degrees that are written there, then subtracts, but makes sure that he subtracts one from the number of the signs that are written in the first [rank]. |
|style="text-align:right;"|ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות<ref group=IV>מהמזלות: V397 מהמעלות marg. מהמזלות</ref> אחד<ref group=IV>אחד: V397 om.</ref> ויחשבנו<ref group=IV>ויחשבנו: V397 וי<s>ת</s><sup>ח</sup>שבנו</ref> ל'<ref group=IV>ל': V397 למעלה marg. למעלות</ref> ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה | |style="text-align:right;"|ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות<ref group=IV>מהמזלות: V397 מהמעלות marg. מהמזלות</ref> אחד<ref group=IV>אחד: V397 om.</ref> ויחשבנו<ref group=IV>ויחשבנו: V397 וי<s>ת</s><sup>ח</sup>שבנו</ref> ל'<ref group=IV>ל': V397 למעלה marg. למעלות</ref> ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Then, he subtracts the signs from the signs and write the remainder in the third row corresponding to them. |
|style="text-align:right;"|ואחר כך יגרע<ref group=IV>וישמר ... יגרע: V397 marg.</ref> מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם | |style="text-align:right;"|ואחר כך יגרע<ref group=IV>וישמר ... יגרע: V397 marg.</ref> מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the lower signs are more than the upper ones, he always adds 12 to the upper ones, then subtracts and proceeds according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם היו המזלות השפלים גדולים<ref group=IV>גדולים: V397 הגדולים</ref> מהעליונים יוסיף<ref group=IV>יוסיף: V397 נוסיף</ref> לעולם<ref group=IV>לעולם: V397 om.</ref> על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם היו המזלות השפלים גדולים<ref group=IV>גדולים: V397 הגדולים</ref> מהעליונים יוסיף<ref group=IV>יוסיף: V397 נוסיף</ref> לעולם<ref group=IV>לעולם: V397 om.</ref> על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |To know the scales: |
|style="text-align:right;"|לדעת המאזנים | |style="text-align:right;"|לדעת המאזנים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |One starts with the seconds, subtracts the scale of the lower seconds from the scale of the upper ones, keeps the remainder and see if the scale of seconds in the third row is just as much, then his calculation is correct. |
|style="text-align:right;"|יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני<ref group=IV>ממאזני: V397 ומאזני</ref> השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת | |style="text-align:right;"|יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני<ref group=IV>ממאזני: V397 ומאזני</ref> השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If he sees that he has taken one minute from the minutes and added to the seconds, he adds 6 to the scale of the upper seconds and then subtracts according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט‫<ref group=IV>יגרע כמשפט: V397 om.</ref> | |style="text-align:right;"|ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט‫<ref group=IV>יגרע כמשפט: V397 om.</ref> | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |He does with the scales of the minutes as he has done with the seconds. |
|style="text-align:right;"|ויעשה<ref group=IV>ויעשה: V397 יעשה</ref> למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים | |style="text-align:right;"|ויעשה<ref group=IV>ויעשה: V397 יעשה</ref> למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If he had to take a degree and convert it to 60 minutes to add them to those that are written there, add 6 to the scale of the minutes that are there, then subtract and proceed according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה<ref group=IV>והשיבה: V397 והשיב אותו</ref> לס' ראשונים לחברם<ref group=IV>לחברם: V397 לחבר אותו</ref> עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה<ref group=IV>והשיבה: V397 והשיב אותו</ref> לס' ראשונים לחברם<ref group=IV>לחברם: V397 לחבר אותו</ref> עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Do with the scales of the degrees the same as with the minutes and seconds. |
|style="text-align:right;"|גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים | |style="text-align:right;"|גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you have taken from the signs one that you have set with the degrees, add 3 to the scale of the degrees that are written, then subtract and proceed according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם לקחת מן המזלות<ref group=IV>מן המזלות: V397 מהמזלות</ref> אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות<ref group=IV>הוסף על מאזני המעלות: V397 marg.</ref> הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם לקחת מן המזלות<ref group=IV>מן המזלות: V397 מהמזלות</ref> אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות<ref group=IV>הוסף על מאזני המעלות: V397 marg.</ref> הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Do with the scales of signs the same as you did with all of them. |
|style="text-align:right;"|ועשה במאזני המזלות<ref group=IV>המזלות: V397 המעלות</ref> כמשפט שעשית בכל אלה | |style="text-align:right;"|ועשה במאזני המזלות<ref group=IV>המזלות: V397 המעלות</ref> כמשפט שעשית בכל אלה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you added 12 to the original signs, add 3 to the scale of the signs that were first written, then subtract and proceed according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I shall tell you a rule, one thing that is necessary when subtracting: |
|style="text-align:right;"|כלל אומר לך<ref group=IV>כלל אומר לך: V397 om.</ref> דבר שהוא צורך<ref group=IV>צורך: V397 צריך</ref> למגרעת | |style="text-align:right;"|כלל אומר לך<ref group=IV>כלל אומר לך: V397 om.</ref> דבר שהוא צורך<ref group=IV>צורך: V397 צריך</ref> למגרעת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The last [digit] at the end of the upper row must always be greater than the last [digit] in the lower row, when the rows are the same, the upper [has] the same [number of ranks] as the lower one. |
|style="text-align:right;"|לעולם האחרון<ref group=IV>האחרון: V397 אותו</ref> שבסוף<ref group=IV>שבסוף: V397 בסוף</ref> הטור העליון יהיה גדול מהאחרון<ref group=IV>מהאחרון: V397 מאותו האחרון</ref> שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 בטור</ref> השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון | |style="text-align:right;"|לעולם האחרון<ref group=IV>האחרון: V397 אותו</ref> שבסוף<ref group=IV>שבסוף: V397 בסוף</ref> הטור העליון יהיה גדול מהאחרון<ref group=IV>מהאחרון: V397 מאותו האחרון</ref> שבטור<ref group=IV>שבטור: V397 בטור</ref> השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If the rows are not the same, as the upper one is greater than the lower one in respect of the number of digits, as here [igure is missing], return one back and that is enough. |
|style="text-align:right;"|ואם אין הטורים שוים שהעליון<ref group=IV>שהעליון: V397 העליון</ref> גדול מן התחתון<ref group=IV>מן התחתון: V397 מ<sup>ה</sup>תחתון</ref> במספר אותיות<ref group=IV>אותיות: V397 אותיות סימנים</ref> כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫<ref group=IV>ודי לו: V397 ודי לו לכתוב בחלוק והוא צרך לעולם יש לנו לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבון יצא לחשבון אם גלגל עליו עוד לא יתחלק דמיון<br>ב ג ד ה ו ז<br>‫0 ב ט ח</ref> | |style="text-align:right;"|ואם אין הטורים שוים שהעליון<ref group=IV>שהעליון: V397 העליון</ref> גדול מן התחתון<ref group=IV>מן התחתון: V397 מ<sup>ה</sup>תחתון</ref> במספר אותיות<ref group=IV>אותיות: V397 אותיות סימנים</ref> כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו‫<ref group=IV>ודי לו: V397 ודי לו לכתוב בחלוק והוא צרך לעולם יש לנו לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבון יצא לחשבון אם גלגל עליו עוד לא יתחלק דמיון<br>ב ג ד ה ו ז<br>‫0 ב ט ח</ref> | ||
|- | |- | ||
Line 2,037: | Line 2,681: | ||
| | | | ||
|style="text-align:right;"|ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫' | |style="text-align:right;"|ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב‫' | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 2,042: | Line 2,688: | ||
== Chapter Five - Fractions == | == Chapter Five - Fractions == | ||
− | !style="text-align:right;"|השער הה' הוא שער השברים | + | !style="text-align:right;"|<big>השער הה' הוא שער השברים</big> |
|- | |- | ||
− | | | + | |It is known that the one is as a point in a circle; therefore one cannot be a fraction. Just because the whole is named with one name, as the shape that represents the entire body, while the body is composed of surfaces, therefore man considers the one as fractions and fraction of fractions in thought. |
|style="text-align:right;"|ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך {{#annot:term|304|Twc4}}עגולה{{#annotend:Twc4}} על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים | |style="text-align:right;"|ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך {{#annot:term|304|Twc4}}עגולה{{#annotend:Twc4}} על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The arithmeticians take all their fractions from a great number so that its fractions are whole units, thus they take the half from two, the third from three and so on to the end of the first rank of the number. |
|style="text-align:right;"|וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון | |style="text-align:right;"|וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The analogous number from which they derive is called the "denominator"; for the product is divided by its square. The remainder that cannot be divided is one part of it or a number of parts that can be named by the name of the units, such as one-quarter, one-third and their similar. |
|style="text-align:right;"|והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם | |style="text-align:right;"|והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Sometimes the denominator is a number that has no parts that man can express, because it is a prime number that is not composed, such as 11 or 13, and their like. |
|style="text-align:right;"|ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם | |style="text-align:right;"|ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I have already mentioned that the first rank consists of 9 numbers. |
|style="text-align:right;"|וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים | |style="text-align:right;"|וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The one, on the one hand, is not a number, and on the other hand, it is a number. |
|style="text-align:right;"|והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר | |style="text-align:right;"|והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |It is similar to an odd number, because when you sum all the odd numbers together successively the squares are generated. |
|style="text-align:right;"|והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים | |style="text-align:right;"|והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |As well as many other matters, which there is no need to mention. |
|style="text-align:right;"|ודברים רבים אין צורך להזכירם | |style="text-align:right;"|ודברים רבים אין צורך להזכירם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |So, eight numbers remain in the first rank, half of which are prime numbers, and the other half are composite numbers. |
|style="text-align:right;"|והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים | |style="text-align:right;"|והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The prime numbers are two, three, five and seven. | ||
|style="text-align:right;"|הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה | |style="text-align:right;"|הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The composite numbers are four, six, eight and nine. | ||
|style="text-align:right;"|והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה | |style="text-align:right;"|והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When there is a need for two fractions that are not of one kind, which are not similar to each other, one looks for each of the fractions: from which number each of them is derived and multiplies one number by the other; the product is the denominator. |
|style="text-align:right;"|וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה | |style="text-align:right;"|וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are 3 types, one multiplies the number from which the [first] fraction is derived by the second number from which the second fraction is derived and multiply the product by the number from which the third fraction is derived. |
|style="text-align:right;"|ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי | |style="text-align:right;"|ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The same is done if there are 4 types or more: one looks for a common denominator for all. |
|style="text-align:right;"|וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם | |style="text-align:right;"|וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |It is called by this name [moreh, lit. indicator], because it indicates the straight path; if you want, name it by a different name, it does no harm. |
|style="text-align:right;"|ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק | |style="text-align:right;"|ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |After I have told you the methods of the denominator, I will tell you how you can calculate two fractions of two denominators, for it is in a shorter way. |
|style="text-align:right;"|ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה | |style="text-align:right;"|ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |After I will finish talking about the fractions in the method of the arithmeticians and their argumentations, I will explain you the fractions of the astrologers, for they have a different method. |
|style="text-align:right;"|ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם | |style="text-align:right;"|ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I will start giving you examples from the easy ones, then I will mention the difficult ones. |
|style="text-align:right;"|ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים | |style="text-align:right;"|ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |First, I shall tell you a rule: that the multiplication of fractions is opposite to the multiplication of integers. |
|style="text-align:right;"|ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים | |style="text-align:right;"|ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Because when it is said: multiply one-half by one-half it is as if it is said: take one-half of one-half; the result is one-quarter. |
|style="text-align:right;"|כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד | |style="text-align:right;"|כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We know that the half is derived from two; its half is 1 and the other half is also one; one multiplied by one is one; the square of the denominator is 4, so this one is one-quarter, that is the half of one-half. |
|style="text-align:right;"|ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי | |style="text-align:right;"|ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We proceed oppositely to our practice with the integers, because we are always looking for the ratio of the product to the square of the denominator. |
|style="text-align:right;"|והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה | |style="text-align:right;"|והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The multiplication of one-third by one-third is one-ninth. | ||
|style="text-align:right;"|וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית | |style="text-align:right;"|וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The multiplication of one-quarter by one-quarter is 16 and the numerator is one, which is one-half of one-eighth. | ||
|style="text-align:right;"|וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית | |style="text-align:right;"|וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |In this way up to ten and beyond. |
|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Such as one part of 11 multiplied by one part of 11; it is one part of 121, which is the square. | ||
|style="text-align:right;"|כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע | |style="text-align:right;"|כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |In this way you multiply fractions of one type by fractions of the same type, whether they are the equal or one of them is greater than the other, then you divide the product by the square of the denominator. |
|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל | ||
|- | |- | ||
Line 2,131: | Line 2,782: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 4 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 4. |
|style="text-align:right;"|והנה המורה ד' | |style="text-align:right;"|והנה המורה ד' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*We take 3 for each of the 3 quarters | + | :*We take 3 for each of the 3 quarters, so the product is 9 <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)\times\left(\frac{3}{4}\sdot4\right)=3\times3=9}}</math> |
|style="text-align:right;"|לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט' | |style="text-align:right;"|לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*We divide it by 16, which is the square of the denominator | + | :*We divide it by 16, which is the square of the denominator; it is one-half and half the eighth. |
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=9\div4^2=9\div16=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{4}\times\frac{3}{4}=9\div4^2=9\div16=\frac{1}{2}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{8}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו | |style="text-align:right;"|חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::If you want, divide 9 by 4, the result is the same, because one-quarter of the quarter is half the eighth. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית | |style="text-align:right;"|ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית | ||
|- | |- | ||
Line 2,152: | Line 2,804: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 5 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 5. |
|style="text-align:right;"|והנה המורה ה' | |style="text-align:right;"|והנה המורה ה' | ||
|- | |- | ||
Line 2,160: | Line 2,812: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::This is 2 fifths of the square and two-fifths of one-fifth. | ||
|style="text-align:right;"|והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית | |style="text-align:right;"|והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If one says fractions of two kinds: |
|style="text-align:right;"|ואם אמר שברים מב' מינים | |style="text-align:right;"|ואם אמר שברים מב' מינים | ||
|- | |- | ||
Line 2,171: | Line 2,824: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> We | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> We are looking for a denominator for both: we multiply 3 by 4 and this is the denominator <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times4}}</math> |
|style="text-align:right;"|נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה | |style="text-align:right;"|נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*We take 8 for the 2 thirds and 9 for the 3 quarters, we multiply 8 by 9, the result is 72 and this is a half of 144, which is the square of the denominator <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\times4\right)\right]\times\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\times4\right)\right]=8\times9=72=\frac{1}{2}\sdot144=\frac{1}{2}\sdot\left(3\times4\right)^2}}</math> | + | :*We take 8 for the 2 thirds and 9 for the 3 quarters, we multiply 8 by 9, the result is 72 and this is a half of 144, which is the square of the denominator. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\frac{2}{3}\sdot\left(3\times4\right)\right]\times\left[\frac{3}{4}\sdot\left(3\times4\right)\right]=8\times9=72=\frac{1}{2}\sdot144=\frac{1}{2}\sdot\left(3\times4\right)^2}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה | |style="text-align:right;"|והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה | ||
|- | |- | ||
Line 2,184: | Line 2,837: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::If you multiply 2 by 3, it is also half the denominator, which is 12. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב | |style="text-align:right;"|ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you do it with 2 denominators it is easier and there is no need for the square of the denominator, you only look at the product that resulted by multiplying one denominator by the other, consider it as the square, and divide by it. |
|style="text-align:right;"|ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק | |style="text-align:right;"|ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Example. We have taken the one denominator 3, because it was said thirds, and the other denominator 4, because it was said quarters. We multiply the one denominator, which is 3, by the other denominator, which is 4, the result is 12 and it is the required, because we take the ratio of the product to it. We take two for the 2 thirds, because we have taken it from the 3, and three for the 3 quarter, because we have taken it from the 4. We multiply 2 by 3, the result is 6, which is half the product of the denominators. | ||
|style="text-align:right;"|'''דמיון''' לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים | |style="text-align:right;"|'''דמיון''' לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים | ||
|- | |- | ||
Line 2,210: | Line 2,865: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::When we divide our first number by 63, the result is 28, which are 4 by7, and they are 4 ninths of 63, or if you want to say that they are 3 sevenths and one-ninth of a seventh. | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית | |style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*If we calculate with 2 denominators, the product is 63 and our result from the multiplication is 28, so it is the same thing. | ||
|style="text-align:right;"|ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה | |style="text-align:right;"|ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are fractions of three types: |
|style="text-align:right;"|ואם היו שברים מג' מינים | |style="text-align:right;"|ואם היו שברים מג' מינים | ||
|- | |- | ||
Line 2,224: | Line 2,881: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times6\times7=18\times7=126}}</math> | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> Take one denominator for them: it is by multiplying 3 by 6; the result is 18. We multiply 18 by 7; the result is 126 and this is the denominator. <math>\scriptstyle{\color{blue}{3\times6\times7=18\times7=126}}</math> |
|style="text-align:right;"|קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה | |style="text-align:right;"|קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot126=84}}</math> | + | ::*2 thirds of 126 are 84. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\sdot126=84}}</math> |
|style="text-align:right;"|הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד | |style="text-align:right;"|הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot126=105}}</math> | + | ::*5 sixths are 105. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{6}\sdot126=105}}</math> |
|style="text-align:right;"|וה' ששיות ק"ה | |style="text-align:right;"|וה' ששיות ק"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\sdot126=72}}</math> | + | ::*4 sevenths are 72. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}\sdot126=72}}</math> |
|style="text-align:right;"|וד' שביעיות ע"ב | |style="text-align:right;"|וד' שביעיות ע"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply 84 by 105 and the product by 72. The result of their division is a part of the square of 126; the quotient is 40. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\frac{84\times105\times72}{126^2}=40}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{5}{6}\times\frac{4}{7}=\frac{84\times105\times72}{126^2}=40}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ' | |style="text-align:right;"|כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If we take 3 denominators for them, since they are three types, you do not need the square of the denominator, but take the denominator and divide the product of the numbers by it. |
|style="text-align:right;"|ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים | |style="text-align:right;"|ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Example: We multiply 2 by 5, the product is 10. We multiply 10 by 4; the result is 40 and it is a part of 126, which are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh. | ||
|style="text-align:right;"|דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | |style="text-align:right;"|דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Or you proceed like this: Multiply 3 by 6; it is 18 and this is the denominator. Multiply 2 by 5; they are 10. We take 4 sevenths from 10; they are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh. | ||
|style="text-align:right;"|או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | |style="text-align:right;"|או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Or multiply 6 by 7; they are 42 and this is the denominator. Multiply 5 by 4; they are 20. We take 2 thirds from 20; they are 2 sevenths and 2 ninths of the seventh. | ||
|style="text-align:right;"|או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | |style="text-align:right;"|או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Or multiply 3 by 7; they 21 and this is the denominator. Then we multiply 2 by 4; the result is 8. We take 5 sixths and the result is a part of 21. | ||
|style="text-align:right;"|או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א | |style="text-align:right;"|או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If we have integers together with a number that contains no integer but only fractions: |
|style="text-align:right;"|ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים | |style="text-align:right;"|ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We take the fractions from the denominator and give the whole denominator for each integer according to the number of the whole denominator and finally divide by the denominator. |
|style="text-align:right;"|נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה | |style="text-align:right;"|נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה | ||
|- | |- | ||
Line 2,270: | Line 2,932: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 5 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 5. |
|style="text-align:right;"|והמורה ה' | |style="text-align:right;"|והמורה ה' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Since we have 4 integers, we take 20 for them. We multiply 4 by 3 and divide by 5; the result is 2 integers and 2 fifths. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=2+\frac{2}{5}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=2+\frac{2}{5}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות | |style="text-align:right;"|ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If we want to multiply integers and fractions by integers and fractions that are of the same kind. |
|style="text-align:right;"|ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד | |style="text-align:right;"|ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We first multiply the integers by the integers, then the fractions by the integers of the one number, likewise the integers of the other number by the fractions of the one number and then the fractions by the fractions. |
− | |style="text-align:right;"|נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון | + | |style="text-align:right;"|נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחר על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים |
|- | |- | ||
− | | | + | |Or we convert all into fractions and multiply these by those and divide the product by the square of the denominator. |
|style="text-align:right;"|או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה | |style="text-align:right;"|או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה | ||
|- | |- | ||
Line 2,289: | Line 2,952: | ||
*{{#annot:(4+⅖)×(5+⅗)|17|izuY}}Example: we wish to multiply 4 integers and 2 fifths by 5 integers and 3 fifths. | *{{#annot:(4+⅖)×(5+⅗)|17|izuY}}Example: we wish to multiply 4 integers and 2 fifths by 5 integers and 3 fifths. | ||
:<math>\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)</math> | :<math>\scriptstyle\left(4+\frac{2}{5}\right)\times\left(5+\frac{3}{5}\right)</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות{{#annotend:izuY}} | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות{{#annotend:izuY}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :As follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|כזה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*First, we multiply the integers by the integers; the result is 20. | ||
|style="text-align:right;"|נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' | |style="text-align:right;"|נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}}}</math> | + | ::*Then we multiply 4 by 3; they are 12 fifths <math>\scriptstyle{\color{blue}{4\times\frac{3}{5}=\frac{4\times3}{5}=\frac{12}{5}}}</math> |
|style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים | |style="text-align:right;"|אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{2}{5}=\frac{5\times2}{5}=\frac{10}{5}}}</math> | + | ::*Also 2 by 5; they are 10 fractions of the same kind. <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\times\frac{2}{5}=\frac{5\times2}{5}=\frac{10}{5}}}</math> |
|style="text-align:right;"|גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם | |style="text-align:right;"|גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{red}{\frac{12}{5}+\frac{10}{5}}}{\color{blue}{=\frac{22}{5}}}</math> | + | :*So, 22 fractions. <math>\scriptstyle{\color{red}{\frac{12}{5}+\frac{10}{5}}}{\color{blue}{=\frac{22}{5}}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה כ"ב שברים | |style="text-align:right;"|והנה כ"ב שברים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Then, we multiply the fractions by fractions: 2 by 3; the result is 6 and they are fractions of fractions, in the third rank. We divide the integers by 5, which is the denominator; the result is one fraction and one remains in the third stage, which is a fraction of a fraction. We add the fraction we received to the 22 we had; it is 23. We divide it by 5; the result is 4 integers, and 3 remain. So, the integers are 24 and the fractions are 3, which are 3 fifths that are 15 of 25, which is the square and the fraction of the fraction, which is one-fifth of a fifth and these are 16 of 25. | ||
|style="text-align:right;"|ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה | |style="text-align:right;"|ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|'''והדרך האחרת''' | + | :The other method is: |
+ | |style="text-align:right;"|'''והדרך האחרת''' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|גם השני על הדרך הזאת כ"ח נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו | + | :*We take 20 for the 4 integers, add to them 2, which are the fractions; the result is 22 fifths, and this is the one number. |
+ | |style="text-align:right;"|לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*The second in this way also is 28. | ||
+ | |style="text-align:right;"|גם השני על הדרך הזאת כ"ח | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We multiply one by the other and divide the product by the square, which is 25; the result is 24 and remain 16, which cannot be divided. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
*{{#annot:(3+⅘)×(2+⅗)|17|UZBp}}Another example: we wish to multiply 3 integers and 4 fifths by 2 integers and 3 fifths. | *{{#annot:(3+⅘)×(2+⅗)|17|UZBp}}Another example: we wish to multiply 3 integers and 4 fifths by 2 integers and 3 fifths. | ||
:<math>\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)</math> | :<math>\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(2+\frac{3}{5}\right)</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין{{#annotend:UZBp}} כזה | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין{{#annotend:UZBp}} |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :as follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|כזה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*First, we multiply integers by integers; they are 6. | ||
|style="text-align:right;"|נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' | |style="text-align:right;"|נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Then we multiply integers by the opposite fractions: | ||
|style="text-align:right;"|ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין | |style="text-align:right;"|ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::*3 by 3 are 9 | ||
|style="text-align:right;"|ג' על ג' והם ט' | |style="text-align:right;"|ג' על ג' והם ט' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::*2 by 4 are 8 | ||
|style="text-align:right;"|וב' על ד' והם ח' | |style="text-align:right;"|וב' על ד' והם ח' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The total is 17 fractions of the upper rank. | ||
|style="text-align:right;"|ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה | |style="text-align:right;"|ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We multiply fractions by fractions, 4 by 3; they are 12 fractions of fractions of the second rank. | ||
|style="text-align:right;"|ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית | |style="text-align:right;"|ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב | + | ::We divide them by 5; we get 2 fractions, and 2 fractions of fractions remain that cannot be divided. We add the quotient to the fractions, which are 17; they are 19. We divide by 5; the result is 3 integers. We add them to the integers that are 6; they are 9 and 4 remain, which are 20 fractions of fractions, and with the two we had, they are 22. |
+ | |style="text-align:right;"|נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :So, the total is 9 integers and 22 fractions of 25. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם | ||
+ | |- | ||
+ | |Example. We want to multiply integers and fractions by integers and fractions where the fractions are not of the same kind. | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)</math> | + | *According to this way: the one is 3 integers and 4 fifths and the other is 6 integers and 7 eighths. |
− | |style="text-align:right;"|הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות | + | :<math>\scriptstyle\left(3+\frac{4}{5}\right)\times\left(6+\frac{7}{8}\right)</math> |
+ | |style="text-align:right;"|הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :as follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|כזה | ||
+ | |- | ||
+ | |Multiply the units by the units that are in the first number. | ||
|style="text-align:right;"|כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון | |style="text-align:right;"|כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Multiply also the fractions by the fractions according to the rule, because the product of the fractions by the fractions is parts of the denominator. |
|style="text-align:right;"|גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה | |style="text-align:right;"|גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |But, when multiplying the integers by the fractions, we have to remember that their parts are not the same. |
|style="text-align:right;"|רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה | |style="text-align:right;"|רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We multiply integers by integers, 3by 6; the result is 18. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח | |style="text-align:right;"|והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' | + | :*We also multiply these 3 by the fractions of the number that are 7; the result is 21. We divide it by 8, because there are eighths; the result is 2 integers. So, 20 integers, and 5 eighths remain. We know that the denominator is 40, because you multiply 5 by 8, and these 5 eighths are 25 parts, for you multiply 5 by fifths, which are 5. |
+ | |style="text-align:right;"|ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We multiply again the 6 by 4 fifths; the result is 24. We divide it by 5; the result is 4 integers. So, the integers are 24, and 4 fifths remain that are 32 parts. When you multiply 4 by 8, we add to them the 25 parts that we had, the result is 57 parts. We make one integer of forty; they are 25 integers and 17 remain. Then, we multiply 4 by 7; the result is 28 parts. We add 17 to them; they are 45. We give a integer from the 40; the integers are 26 and the remainder is 5 parts that are one-eighth. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד | ||
+ | |- | ||
+ | |The method of the arithmeticians is that they look for one common denominator for fractions that are not of one kind and the number of the denominator is one integer. | ||
|style="text-align:right;"|ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם | |style="text-align:right;"|ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*Since the fractions are fifths and eighths, the denominator is forty. We take 120 for the number 3 and 32 for the 4 fifths, so the number is 152. Here is the diagram of the digits. We take 240 for the 6 integers, add to them 35; which are 7 eighths, so the second number is 275. We multiply one by the other; the result is 41 thousand and 8 hundreds; this is the figure. | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה | |style="text-align:right;"|ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We divide it by one thousand and six hundred, which is the square of the denominator; the result is 26 integers and 200 remain that cannot be divided. | ||
|style="text-align:right;"|חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון | |style="text-align:right;"|חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Seek how much is 200 of the square, which is one thousand and six hundred; it is its eighth. | ||
|style="text-align:right;"|ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו | |style="text-align:right;"|ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We can know the remainder in another way: |
− | |style="text-align:right;"|ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו | + | |style="text-align:right;"|ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת |
+ | |- | ||
+ | |We always divide the remainder of the square by the denominator itself, so the quotient is parts of it. | ||
+ | |style="text-align:right;"|שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::So, we divide 200 by 40; the result is 5, which is its eighth. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו | |style="text-align:right;"|והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Another method with 2 denominators: |
|style="text-align:right;"|דרך אחרת מב' מורים | |style="text-align:right;"|דרך אחרת מב' מורים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We set the one number, which is 3, as 15; add 4 to it; so, the first number is 19. We take 48 for the six; add 7 to it; the result is 55 and this is the second number. We multiply one by the other; the result is one thousand and 45. We divide it by the product, which is 5 by 8 that is 40; the result is 26 integers and 5 remain, which are one-eighth. | ||
|style="text-align:right;"|הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית | |style="text-align:right;"|הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now, we should speak of integers and fractions that man cannot express. |
|style="text-align:right;"|ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם | |style="text-align:right;"|ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If one of the fractions is one that can be expressed and the other is one that cannot be expressed, then proceed as follows: |
|style="text-align:right;"|והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה | |style="text-align:right;"|והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Example. How much is three-sevenths by 5 parts of 11? For if is the integer that man cannot express. | ||
|style="text-align:right;"|דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו | |style="text-align:right;"|דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' | + | :*We multiply the fractions by the fractions; the denominator is 77. |
+ | |style="text-align:right;"|והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We now have to beware that the fractions are reversed, because each of the 7 become 11 and each of the 11 become 7. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We take 33 for the 3 sevenths, and we take 35 for the 5 parts of 11. We multiply these by the others; the result is one thousand and 155. We divide them by 77, so that we know how much are the fractions resulting from this product in ratio to 77, which are the integer that is 15; that is a little less than one-fifth out of 77. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :In a very precise way: we divide these 15 by 11, which is the seventh; the result is one-seventh and 4 parts of 11. | ||
|style="text-align:right;"|ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א | |style="text-align:right;"|ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :If we divide by 7, the result is 2 parts of 11 and one-seventh of the part. | ||
|style="text-align:right;"|ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק | |style="text-align:right;"|ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Another example for 2 fractions that the man cannot express. | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We take the one number 13 and the other 19 | ||
|style="text-align:right;"|נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט | |style="text-align:right;"|נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We want to multiply 9 parts of 13 by 17 parts of 19. | ||
|style="text-align:right;"|והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט | |style="text-align:right;"|והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> First, we look for the denominator by multiplying 13 by 19; the result is the number 247 and it is the denominator. <math>\scriptstyle{\color{blue}{13\times19=247}}</math> |
|style="text-align:right;"|נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה | |style="text-align:right;"|נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{9\times19=171}}</math> | + | ::*Then, we multiply 9 by 19; the product is 171. <math>\scriptstyle{\color{blue}{9\times19=171}}</math> |
|style="text-align:right;"|אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א | |style="text-align:right;"|אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{17\times13=221}}</math> | + | ::*We multiply 17 by 13; the product is 221. <math>\scriptstyle{\color{blue}{17\times13=221}}</math> |
|style="text-align:right;"|וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א | |style="text-align:right;"|וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{171\times221=37791}}</math> | + | :*We multiply one by another; the product is 37 thousand and 791. <math>\scriptstyle{\color{blue}{171\times221=37791}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א | |style="text-align:right;"|והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We divide it by 247; it is 153. The product of 9 by 17 is also 153; the ratio of it to 247 is as the ratio of the first number to the square of 247 and this is the required. | ||
|style="text-align:right;"|חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש | |style="text-align:right;"|חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :If you want to make it more precise, divide 153 by 19; they are 8 parts of 13 and one part of 19 of 13. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג | |style="text-align:right;"|ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Or if you want, divide it by 13; they are 11 parts of 19 and 10 part of 13 of 19. | ||
|style="text-align:right;"|או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט | |style="text-align:right;"|או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you have integers and fractions that are like this, proceed in the way that I have shown you when you have integers and fractions that you can express. |
|style="text-align:right;"|ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם | |style="text-align:right;"|ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I mentioned this method because it is very necessary for most problems and for the matters of the square numbers to know their roots, when they are fractions that man cannot express, as I will explain in chapter seven. |
|style="text-align:right;"|והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי | |style="text-align:right;"|והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I shall tell you a general method for a fraction of fractions of fractions and give you one example that is enough for you, because it is not needed for proportions, neither for roots, nor for problems. |
|style="text-align:right;"|ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות | |style="text-align:right;"|ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)</math> | + | *Example. We multiply 2 thirds of one-quarter of one-fifth by [4] sevenths of one-eighth. |
+ | :<math>\scriptstyle\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{4}\sdot\frac{1}{5}\right)\times\left(\frac{4}{7}\sdot\frac{1}{8}\right)</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית | + | :The fractions are numerous; but I shall teach you a short method how to proceed: |
+ | |style="text-align:right;"|והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*Know that since you have sixths and an eighth, there is no need for a third and a quarter. So, we are looking for a number that has a fifth, a sixth, a seventh and an eighth. | ||
+ | |style="text-align:right;"|דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We multiply 5 by 6; they are 30; also 30 by 7; they are 210; also 210 by 8; the result is one thousand 6 hundred and 80. | ||
|style="text-align:right;"|נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ' | |style="text-align:right;"|נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We look for the first number. One-fifth of the denominator is 336; its quarter is 84; its 2 thirds are 56 and this is the one number. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד | |style="text-align:right;"|והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*We already know that the eighth is 210; its seventh is 30; since they are 4 sevenths the second number is 120. | ||
|style="text-align:right;"|וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ | |style="text-align:right;"|וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply one by the other; the number is 10 thousand and 80. We divide this by one thousand 6 hundred and 80; the result is 6 and these 6 are one-fifth of one-eighth of one-seventh, for the seventh is 240, the eighth is 30 and the fifth is 6. | ||
|style="text-align:right;"|נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו' | |style="text-align:right;"|נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now we talk again about the division of the fractions. Do as I have shown you, by turning the fractions into whole units. |
|style="text-align:right;"|ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי' | |style="text-align:right;"|ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are integers with the fractions, proceed according to the instructions. |
|style="text-align:right;"|ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט | |style="text-align:right;"|ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)</math> | + | *Example: We wish to divide 3 integers and two-fifths by 2 integers and 4 sevenths. |
+ | :<math>\scriptstyle\left(3+\frac{2}{5}\right)\div\left(2+\frac{4}{7}\right)</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 35 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 35. |
|style="text-align:right;"|והנה המורה ל"ה | |style="text-align:right;"|והנה המורה ל"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The 3 integers are 105 and the 2 fifths are 14; so, the number is 119. We turn the 2 integers into 70 and the 4 sevenths into 20; they are 90. We divide 119 by it; the quotient is one integer and 29 remain, which are two-ninths and one-tenth. | ||
|style="text-align:right;"|והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד | |style="text-align:right;"|והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot:⁷/₉÷²/₇|552|wf6O}}Example | + | *{{#annot:⁷/₉÷²/₇|552|wf6O}}Example of fractions alone: divide 7 ninths by 2 sevenths. |
:<math>\scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}</math> | :<math>\scriptstyle\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות{{#annotend:wf6O}} | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות{{#annotend:wf6O}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 63 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 63. |
|style="text-align:right;"|והנה המורה ס"ג | |style="text-align:right;"|והנה המורה ס"ג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot63=49}}</math> | + | ::*Its seven-ninths are 49. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\sdot63=49}}</math> |
|style="text-align:right;"|ושבע תשיעיותיו מ"ט | |style="text-align:right;"|ושבע תשיעיותיו מ"ט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}\sdot63=18}}</math> | + | ::*Its 2 sevenths are 18. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{7}\sdot63=18}}</math> |
|style="text-align:right;"|וב' שביעיותיו י"ח | |style="text-align:right;"|וב' שביעיותיו י"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We divide one by the other; the result is 2 and 6 ninths and one-half of one-ninth. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}=\frac{49}{18}=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{9}\div\frac{2}{7}=\frac{49}{18}=2+\frac{6}{9}+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{9}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית | |style="text-align:right;"|חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |You proceed in this way, because there is no great need to divide fractions. |
|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We talk again about their addition. |
|style="text-align:right;"|ונשוב לדבר על חבורם | |style="text-align:right;"|ונשוב לדבר על חבורם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}</math> | + | *We add 2 fifths to 5 sevenths. How much is the sum? |
+ | :<math>\scriptstyle\frac{2}{5}+\frac{5}{7}</math> | ||
|style="text-align:right;"|חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה | |style="text-align:right;"|חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 35 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is 35. |
|style="text-align:right;"|הנה המורה ל"ה | |style="text-align:right;"|הנה המורה ל"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot35=14}}</math> | + | ::*Its 2 fifths are 14. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}\sdot35=14}}</math> |
|style="text-align:right;"|וב' חמישיותיו י"ד | |style="text-align:right;"|וב' חמישיותיו י"ד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot35=25}}</math> | + | ::*Its 5 sevenths are 25. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot35=25}}</math> |
|style="text-align:right;"|וה' שביעיותיו כ"ה | |style="text-align:right;"|וה' שביעיותיו כ"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{14+25=39}}</math> | + | :*We sum them; the sum is 39. <math>\scriptstyle{\color{blue}{14+25=39}}</math> |
|style="text-align:right;"|נחברם והנה ל"ט | |style="text-align:right;"|נחברם והנה ל"ט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We take one integer for the 35; 4 remain, which are 4 fifths of one-seventh that are one of 35. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}+\frac{5}{7}=\frac{39}{35}=1+\frac{4}{35}=1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{5}+\frac{5}{7}=\frac{39}{35}=1+\frac{4}{35}=1+\left(\frac{4}{5}\sdot\frac{1}{7}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה | |style="text-align:right;"|נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה | ||
|- | |- | ||
− | |'''How Much Problem - Money''' | + | |'''<span style=color:red>How Much Problem - Money</span>''' |
| | | | ||
|- | |- | ||
Line 2,544: | Line 3,290: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<span style=color:red>common denominator:</span> 90 | + | :*<span style=color:red>common denominator:</span> We set the denominator as 90. |
|style="text-align:right;"|נשים המורה צ' | |style="text-align:right;"|נשים המורה צ' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :It is known that its ninth and its tenth are 19, we add them to 90; they are 109. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{90+\left(\frac{1}{9}\sdot90\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot90\right)=90+19=109}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט | |style="text-align:right;"|וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We also convert the 50 into ninths; they are 4 hundred and 50. We convert the 4 hundred and 50 into tenths; they are 4 thousand and 500. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{50\sdot9\sdot10=450\sdot10=4500}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק | |style="text-align:right;"|והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We divide this by 109; the result is 41 integers and 31 parts of the divisor. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{4500}{109}=41+\frac{31}{109}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו | |style="text-align:right;"|נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו | ||
|- | |- | ||
− | |Check: | + | | |
+ | *<span style=color:red>Check:</span> We check whether it is correct. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נבחן אם זה אמת | |style="text-align:right;"|והנה נבחן אם זה אמת | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot40=4}}</math> | + | :*We know that one- tithe of 40 are 4 integers. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot40=4}}</math> |
|style="text-align:right;"|ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים | |style="text-align:right;"|ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}=\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}=\frac{14}{109}}}</math> | + | :*We take 109 for the remaining one, add to it 31 that exceed over the integers; the result is 140. Its tenth is 14 and these are the parts of the tenth that exceed over the integers. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{10}\sdot\left(1+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{10}\sdot\frac{109+31}{109}=\frac{1}{10}\sdot\frac{140}{109}=\frac{14}{109}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים | |style="text-align:right;"|ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot36=4}}</math> | + | :*We take also the ninth of 36; they are 4 integers. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot36=4}}</math> |
|style="text-align:right;"|ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים | |style="text-align:right;"|ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}=\frac{64}{109}}}</math> | + | :*5 integers remain. We consider each of them as 109; they are 545. We add to them the 31 that exceed over the integers; they are 576. Its ninth is 64. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(5+\frac{31}{109}\right)=\frac{1}{9}\sdot\frac{\left(5\sdot109\right)+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{545+31}{109}=\frac{1}{9}\sdot\frac{576}{109}=\frac{64}{109}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד | |style="text-align:right;"|ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We add to them the 14 that resulted from the tenth; they are 78. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{109}+\frac{14}{109}=\frac{78}{109}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{64}{109}+\frac{14}{109}=\frac{78}{109}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח | |style="text-align:right;"|נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We also add to them the exceeding 31; they are 109, which is 1 integer. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{109}+\frac{31}{109}=\frac{109}{109}=1}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{78}{109}+\frac{31}{109}=\frac{109}{109}=1}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם | |style="text-align:right;"|גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The total is 50 integers. | ||
|style="text-align:right;"|והנה הכל נ' שלמים | |style="text-align:right;"|והנה הכל נ' שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Another question: we take one-fifth of an amount, plus its seventh and its. How much is it from the value of the amount? | ||
|style="text-align:right;"|<big>שאלה אחרת</big> לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון | |style="text-align:right;"|<big>שאלה אחרת</big> לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :You can solve this problem in two ways. | ||
|style="text-align:right;"|תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים | |style="text-align:right;"|תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :*The first: the ninth is smaller than the other fractions; we consider them as 3 ninths. The difference between the fifth and ninth is 4 and the difference between the fifth and the seventh is 2. We now multiply 2 by 4; the product is 8. We convert the 7 into one-ninth; they are 4 ninths and one remains. The difference between the seventh and the ninth is 2. So, the amount is 4 ninths and 3 parts that are 3 fifths of one-seventh of one-ninth. | ||
|style="text-align:right;"|'''האחד''' שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית | |style="text-align:right;"|'''האחד''' שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|'''והדרך האחרת''' שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה | + | :*The other way: we look for the denominator by multiplying 5 by 7; they are 35, and multiplying this by 9; the product is 315 and this is the denominator. |
+ | |style="text-align:right;"|'''והדרך האחרת''' שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה | ||
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | ::Then we add one-fifth of this denominator, its seventh and its ninth; they are 143. We divide them by 35; the result is 4 ninths and 3 parts of 35 remain, because 35 is the ninth and the 5 is one-seventh of one-ninth, therefore 3 parts are 3 fifths of one-seventh of one-ninth. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 2,610: | Line 3,370: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We know that the half, the third and the sixth are one integer. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{6}=1}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם | |style="text-align:right;"|ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We think as if it was one, so it is two and we have the addition of the fifth. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{5}+\frac{1}{6}=1+1+\frac{1}{5}=2+\frac{1}{5}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית | |style="text-align:right;"|ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We have to divide 40 by 2 and one-fifth, so the quotient is the amount. We take 5 for each of the integers, add to them 1, which is the fifth; they are 11. We also multiply 40 by 5, so that all is of one kind; they are 200. We divide them by 11; the result is 18 integers and 2 parts of 11. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{40}{2+\frac{1}{5}}=\frac{40\sdot5}{\left(2\sdot5\right)+1}=\frac{200}{11}=18+\frac{2}{11}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א | |style="text-align:right;"|הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א | ||
Line 2,623: | Line 3,386: | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | |Check: | + | | |
+ | *<span style=color:red>Check:</span> We check this. | ||
|style="text-align:right;"|נבחן זה | |style="text-align:right;"|נבחן זה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=9+\frac{1}{11}}}</math> | + | :*We take its half, which is 9 integers and one part of 11. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{2}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=9+\frac{1}{11}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א | |style="text-align:right;"|נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We have 27 integers and 3 parts of 11. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)=27+\frac{3}{11}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(18+\frac{2}{11}\right)+\left(9+\frac{1}{11}\right)=27+\frac{3}{11}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א | |style="text-align:right;"|והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | + | :*The third is 6 integers and 2 thirds of one. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{3}\sdot\left(18+\frac{2}{11}\right)=6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד | |style="text-align:right;"|והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::So, we have 33 and 3 parts and 2 thirds. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]=33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(27+\frac{3}{11}\right)+\left[6+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)\right]=33+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות | |style="text-align:right;"|והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=3}}</math> | + | ::*We take the fifth of 15, 3 integers. |
+ | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot15\right)=3}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים | |style="text-align:right;"|והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::So we have 36 integers. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{33+3=36}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{33+3=36}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|היו לנו ל"ו שלמים | |style="text-align:right;"|היו לנו ל"ו שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(3+\frac{2}{11}\right)=\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}=\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}=\frac{7}{11}}}</math> | + | ::*We still have to take one-fifth of 3 integers, so we take for each 11 and add to them the additional 2 parts; they are 35 and their fifth is 7. |
+ | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot\left(3+\frac{2}{11}\right)=\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(3\sdot11\right)+2}{11}=\frac{1}{5}\sdot\frac{35}{11}=\frac{7}{11}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' | |style="text-align:right;"|ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We add to them the 3 parts and 2 thirds that we had. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות | |style="text-align:right;"|נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot18=3}}</math> | + | ::*We take one-sixth of 18; they are 3 integers. |
+ | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot18=3}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים | |style="text-align:right;"|ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We add them to 36; they are 39 integers. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{36+3=39}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{36+3=39}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים | |style="text-align:right;"|נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}}}</math> | + | ::*Two-sixths are one-third |
− | |style="text-align:right;"|ושתי ששיות | + | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{6}\sdot\frac{2}{11}=\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ושתי ששיות הם שליש אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We add it to 10 parts and 2 thirds of a part that we had; they are 11 parts and it is one integer. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=1}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7}{11}+\frac{3}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=\frac{10}{11}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot\frac{1}{11}\right)=1}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם | |style="text-align:right;"|נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The total is 40. | ||
|style="text-align:right;"|והכל מ' | |style="text-align:right;"|והכל מ' | ||
|} | |} | ||
{| | {| | ||
|- | |- | ||
− | |'''How Many Problem - Group of People''' | + | |'''<span style=color:red>How Many Problem - Group of People</span>''' |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:group of people|649|3PIw}}A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us | + | |{{#annot:group of people|649|3PIw}}A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us together with you would be one hundred. |
− | <math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math> | + | :<math>\scriptstyle X+X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{4}X+1=100</math> |
|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה{{#annotend:3PIw}} | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה{{#annotend:3PIw}} | ||
|- | |- | ||
− | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}</math> | + | | |
+ | :We take one for their number and one for him; it is two; and a half of us; it is two and a half. We add a quarter of us; they are two and 3 quarters. Since we have quarters, we take 4 for each integer; they are 8. We add to them the 3 quarters, they are 11. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+1+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{1}{2}+\frac{1}{4}=2+\frac{3}{4}=\frac{\left(4\sdot2\right)+3}{4}=\frac{8+3}{4}=\frac{11}{4}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א | |style="text-align:right;"|והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א | ||
|- | |- | ||
− | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}</math> | + | | |
+ | :Since they said that they are one hundred with him, their number together with the addition is 99. We convert it into quarters; they are 396, divide them by 11; they are 36 and this is their number. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4\sdot\left(100-1\right)}{11}=\frac{4\sdot99}{11}=\frac{396}{11}=36}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם | |style="text-align:right;"|ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם | ||
|- | |- | ||
− | |'''Buy and Sell Problem''' | + | |'''<span style=color:red>Buy and Sell Problem</span>''' |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:WP|641|F6qR}}A man | + | | |
− | <math>\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100</math> | + | *{{#annot:WP|641|F6qR}}Question: A man buys 100 liṭra for 100 zehuvim. He sells 50 [of them] at 1¼ liṭra for one zahuv, and the other 50 at (1‒¼) liṭra for one zahuv. We want to know: did he earn or lose? |
+ | :<math>\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד{{#annotend:F6qR}} | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד{{#annotend:F6qR}} | ||
|- | |- | ||
− | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math> | + | | |
+ | :We convert the first 50 into 200, because they are quarters, divide them by 5, because he sells one liṭra and one-quarter of a liṭra for one zahuv; they are 40 zehuvim. We also multiply the other 50 by 4; they are 200, divide them by 3, because he sells 3 quarters for one zahuv; they are 66 zehuvim and two thirds of one zahuv. We add the 40 to them; the profit is 6 zehuvim and two thirds. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(\frac{50}{1+\frac{1}{4}}+\frac{50}{1-\frac{1}{4}}\right)-100&\scriptstyle=\left(\frac{4\sdot50}{5}+\frac{4\sdot50}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left(\frac{200}{5}+\frac{200}{3}\right)-100\\&\scriptstyle=\left[40+\left(66+\frac{2}{3}\right)\right]-100\\&\scriptstyle=6+\frac{2}{3}\\\end{align}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות | |style="text-align:right;"|נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות | ||
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
− | + | *{{#annot:WP|641|qqUI}}Another question: A man buys three fifths of a liṭra for one pašuṭ, then he sells four sevenths of a liṭra for one pašuṭ and he earns one pašuṭ. How much money did he have originally? | |
− | + | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1</math> | |
− | <math>\scriptstyle\frac{\frac{3}{5}X}{\frac{4}{7}}=X+1</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>שאלה אחרת</big> אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו{{#annotend:qqUI}} | |style="text-align:right;"|<big>שאלה אחרת</big> אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו{{#annotend:qqUI}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<span style=color:red>common denominator:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}</math> | + | ::<span style=color:red>common denominator:</span> Find the denominator, it is 35, which is the product of 5 by 7. <math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7=35}}</math> |
|style="text-align:right;"|בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז' | |style="text-align:right;"|בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}</math> | + | ::Its 3 fifths are 21. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{3}{5}\sdot35=21}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה ג' חמישיותיו כ"א | |style="text-align:right;"|והנה ג' חמישיותיו כ"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}</math> | + | ::Its 4 sevenths are 20. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{4}{7}\sdot35=20}}</math> |
− | |style="text-align:right;"|וד' שביעיותיו כ' | + | |style="text-align:right;"|וד' שביעיותיו כ' |
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | :The amount was 20 and the number of liṭra was 12. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והממון היה כ' והליט' י"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot:WP|641|rdA4}}Question: a man | + | *{{#annot:WP|641|rdA4}}Question: a man buys four sevenths of a liṭra for one pašuṭ, then he sells five ninths of a liṭra for one pašuṭ and he earns one pašuṭ. How much money did he have originally? |
:<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1</math> | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+1</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון{{#annotend:rdA4}} | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון{{#annotend:rdA4}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::It is known that 4 sevenths are more than 5 ninths. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{7}>\frac{5}{9}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד | |style="text-align:right;"|ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<span style=color:red>common denominator:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{63}}</math> | + | ::<span style=color:red>common denominator:</span> The denominator is <math>\scriptstyle{\color{blue}{63}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה המורה ס"ג | |style="text-align:right;"|והנה המורה ס"ג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}</math> | + | ::Its 5 ninths are 35 <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{5}{9}\sdot63=35}}</math> |
|style="text-align:right;"|וה' תשיעיותיו ל"ה | |style="text-align:right;"|וה' תשיעיותיו ל"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}</math> | + | ::Its 4 sevenths are 36. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1\frac{4}{7}\sdot63=36}}</math> |
|style="text-align:right;"|וד' שביעיותיו ל"ו | |style="text-align:right;"|וד' שביעיותיו ל"ו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}</math> | + | :*<span style=color:red>Check:</span> You can check it out. Since he bought 4 sevenths of a liṭra for one pašuṭ and his money is 35, he has 20 liṭra. Convert them to ninths; they are 180, divide this number by 5, because he sold 5 ninths for one pašuṭ; you get 36. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{\frac{4}{7}\sdot35}{\frac{5}{9}}=\frac{20}{\frac{5}{9}}=\frac{20\sdot9}{5}=\frac{180}{5}=36=35+1}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו | |style="text-align:right;"|ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *If he earned | + | *If he said that he had earned 2 pešuṭim. |
:<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2</math> | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+2</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים | |style="text-align:right;"|ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}</math> | + | ::Multiply them by 35; they are 70. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=2\sdot35=70}}</math> |
|style="text-align:right;"|כפלם על ל"ה יהיו ע' | |style="text-align:right;"|כפלם על ל"ה יהיו ע' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *If he | + | *If he said 3 pešuṭim. |
:<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3</math> | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{4}{7}X}{\frac{5}{9}}=X+3</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם אמר ג' פשוטים | |style="text-align:right;"|ואם אמר ג' פשוטים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}</math> | + | ::Multiply 35 by 3. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=3\sdot35}}</math> |
− | |style="text-align:right;"|יכפול על ל"ה ג' פעמים | + | |style="text-align:right;"|יכפול על ל"ה ג' פעמים |
|- | |- | ||
− | | | + | |And so on to the end of all numbers |
− | | | + | |style="text-align:right;"|וככה עד סוף החשבון |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot:WP|641|CLpQ}}Question: a man | + | *{{#annot:WP|641|CLpQ}}Question: a man buys 9 parts of 17 of a liṭra for one pašuṭ, then he sold 10 parts of 19 parts of a liṭra for one pašuṭ and he earned one pašuṭ. How much money did he have originally? |
:<math>\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1</math> | :<math>\scriptstyle\frac{\frac{9}{17}X}{\frac{10}{19}}=X+1</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון{{#annotend:CLpQ}} | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון{{#annotend:CLpQ}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<span style=color:red>common denominator:</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{323}}</math> | + | ::<span style=color:red>common denominator:</span> Search the denominator; it is 323. <math>\scriptstyle{\color{blue}{323}}</math> |
|style="text-align:right;"|בקש המורה והוא שכ"ג | |style="text-align:right;"|בקש המורה והוא שכ"ג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}</math> | + | ::It is known that 9 parts of 17 are 171. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x+1=\frac{9}{17}\sdot323=171}}</math> |
|style="text-align:right;"|ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א | |style="text-align:right;"|ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}</math> | + | ::10 parts of 19 are 170 and so was the amount. <math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10}{19}\sdot323=170}}</math> |
− | |style="text-align:right;"|וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון | + | |style="text-align:right;"|וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|וזה דבר המגרעת קל הוא כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם | + | :The number of liṭra is 90. |
+ | |style="text-align:right;"|והליט' צ' | ||
+ | |- | ||
+ | |The following reason of subtraction is easy: | ||
+ | |style="text-align:right;"|וזה דבר המגרעת קל הוא | ||
+ | |- | ||
+ | |For you set one denominator for two fractions, then consider the denominator as one integer. | ||
+ | |style="text-align:right;"|כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 2,800: | Line 3,592: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot63=45}}</math> | + | ::*Its 5 sevenths are 45: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5}{7}\sdot63=45}}</math> |
|style="text-align:right;"|וה' שביעיותיו מ"ה | |style="text-align:right;"|וה' שביעיותיו מ"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | ::*<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot63=28}}</math> | + | ::*Its 4 ninths are 28: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{4}{9}\sdot63=28}}</math> |
|style="text-align:right;"|וד' תשיעיותיו כ"ח | |style="text-align:right;"|וד' תשיעיותיו כ"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*<math>\scriptstyle{\color{blue}{45-28=17}}</math> | + | :*We subtract 28 from 45, 17 remain: <math>\scriptstyle{\color{blue}{45-28=17}}</math> |
|style="text-align:right;"|חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז | |style="text-align:right;"|חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now, we shall discuss the method of astrology again |
|style="text-align:right;"|עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות | |style="text-align:right;"|עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Make sure you understand their ways; because Ptolemy and his colleagues found the way to the roots of square numbers only according to them. |
|style="text-align:right;"|ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם | |style="text-align:right;"|ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Know that man can divide every circle and what is non-circular into as many parts as he wants, depending on his need and desire. |
|style="text-align:right;"|ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו | |style="text-align:right;"|ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The arithmeticians found no smaller number that has many parts that are integers, only 12, because it has a half, a third, a quarter, a sixth and a half of a sixth. |
|style="text-align:right;"|והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית | |style="text-align:right;"|והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This is because there is no number smaller than it, whose factors add up to more than itself, only it alone, because its factors exceeds by one-third over itself. |
|style="text-align:right;"|והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית | |style="text-align:right;"|והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |120 is its analogous number in the tens; therefore, its factors are twice the number, no more nor less. |
|style="text-align:right;"|וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת | |style="text-align:right;"|וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |That is why the astrologers divided the sphere into 12 parts. |
|style="text-align:right;"|ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב | |style="text-align:right;"|ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |They named each sign after the shape of the constellation of the highest stars, which are close to the line of the celestial circle. |
|style="text-align:right;"|וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות | |style="text-align:right;"|וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Also because they found that in the solar year the moon reappears 12 times. |
|style="text-align:right;"|ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים | |style="text-align:right;"|ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |They divided the celestial sphere into 360 degrees, because this number is close to the number of the days of the solar year. |
|style="text-align:right;"|וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה | |style="text-align:right;"|וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |There is no number smaller than it that has all the parts that man can express except the seventh. |
|style="text-align:right;"|ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית | |style="text-align:right;"|ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Therefore, when this number is multiplied by 7, the result is 2520 and this is the number that has all parts. |
|style="text-align:right;"|ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים | |style="text-align:right;"|ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Often the arithmeticians need it. |
|style="text-align:right;"|ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו | |style="text-align:right;"|ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |As saying: A number, We have added to it all of its parts from half to tenth; what is the ratio of the sum to it? |
|style="text-align:right;"|כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו | |style="text-align:right;"|כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This whole number is considered as one integer. |
|style="text-align:right;"|כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם | |style="text-align:right;"|כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When we divide the celestial sphere into 12 parts, each sign has 30 degrees and there is no number smaller than it that has so many parts as it, because it has a half, a third, a fifth, a sixth and a tenth. |
|style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית | |style="text-align:right;"|וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Since it does not have a quarter, this number has been doubled, so it become 60. |
− | |style="text-align:right;"|ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו | + | |style="text-align:right;"|ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' |
+ | |- | ||
+ | |Therefore, they divide each degree by it, which is as a sixtieth, and they called them "primes". | ||
+ | |style="text-align:right;"|על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים | ||
+ | |- | ||
+ | |They divided each prime to 60 and called them "seconds". | ||
+ | |style="text-align:right;"|וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים | ||
+ | |- | ||
+ | |Likewise, they divide each second into 60 and called the result "thirds". | ||
+ | |style="text-align:right;"|גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים | ||
+ | |- | ||
+ | |They proceed so to ten, each [is divided] in sixtieths, and even further if necessary. | ||
+ | |style="text-align:right;"|וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now, it should be discussed about how they are multiplied one by the other. |
|style="text-align:right;"|ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה | |style="text-align:right;"|ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Always consider the degrees as if they are units of integers. |
|style="text-align:right;"|ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים | |style="text-align:right;"|ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |So, if you multiply degrees by degrees, the product is degrees. The product of degrees by minutes is minutes, and by seconds is seconds. |
|style="text-align:right;"|והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים | |style="text-align:right;"|והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The rule: the product of degrees by any type is the same type itself. |
|style="text-align:right;"|'''והכלל''' כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו | |style="text-align:right;"|'''והכלל''' כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The product of minutes multiplied by minutes is seconds, and the product of minutes by seconds is thirds and in this way for all types. |
|style="text-align:right;"|וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין | |style="text-align:right;"|וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The product of seconds multiplied by seconds is fourths, and by thirds is fifths. |
|style="text-align:right;"|וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים | |style="text-align:right;"|וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The product of thirds by thirds is sixths, and so is the product of thirds by fourths sevenths. |
|style="text-align:right;"|וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים | |style="text-align:right;"|וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Fifths by fifths or thirds by sevenths is tenths. |
|style="text-align:right;"|וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים | |style="text-align:right;"|וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall give you two correct methods: |
|style="text-align:right;"|והנה אתן לך שנים דרכים נכונים | |style="text-align:right;"|והנה אתן לך שנים דרכים נכונים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The first method by writing: |
|style="text-align:right;"|הדרך האחד במכתב | |style="text-align:right;"|הדרך האחד במכתב | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Set the degrees in the first rank, the minutes in the second rank and so on, all fractions successively. |
|style="text-align:right;"|שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה | |style="text-align:right;"|שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This writing is opposite to what we do in the multiplication of integers, because the smallest number is in the first [rank]. |
|style="text-align:right;"|וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה | |style="text-align:right;"|וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you have no degrees, write a zero in the first [rank]; if you have no minutes, write a zero in its place, and so you do it at the place of each fraction, if there is a smaller fraction after it. |
|style="text-align:right;"|ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו | |style="text-align:right;"|ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |With this method you can know in which rank of the fractions any fraction will stand. |
− | |style="text-align:right;"|ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם | + | |style="text-align:right;"|ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה |
+ | |- | ||
+ | |Proceed as with integers, but you have to make sure that you put a vertical line between all types of fractions. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are 2 digits of whichever type of fractions, such as 22, when you write them down, you have to do like this: set them breadthwise between the two lines according to their rank, as you do it with integers. |
|style="text-align:right;"|ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה | |style="text-align:right;"|ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We have already drawn lines between the fractions and arrived to thirds for the upper rows and also for the lower rows. |
|style="text-align:right;"|הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים | |style="text-align:right;"|הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When we multiply the upper rows by the lower rows, their product is the number that is written in the bottom. |
|style="text-align:right;"|וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה | |style="text-align:right;"|וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We divide each rank by 60, then add the quotient to what is in the preceding rank, and write the remainder alone. We do this with each rank until we arrived to the degrees that are as the integers. |
|style="text-align:right;"|חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים | |style="text-align:right;"|חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |So, of sixths remain 33, of the fifths 56, of the fourths 31, of the thirds 24, of the seconds 30, of the minutes 7 and of the degrees also 7. |
|style="text-align:right;"|והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז' | |style="text-align:right;"|והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |The second method is by expression: |
|style="text-align:right;"|והדרך השנית במבטא | |style="text-align:right;"|והדרך השנית במבטא | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |You sum the two fractions by adding the ranks of the fractions. |
|style="text-align:right;"|שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים | |style="text-align:right;"|שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When we do according to the method of the arithmeticians that we convert the upper rows into thirds, the resulting number is: 464643. |
|style="text-align:right;"|וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד' | |style="text-align:right;"|וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Likewise, we do it with the lower [rows], the resulting number is: 715451. |
|style="text-align:right;"|ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז' | |style="text-align:right;"|ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We multiply one by the other, the resulting number is: 332429298993; it has 12 rows. |
|style="text-align:right;"|והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים | |style="text-align:right;"|והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |All these are sixths; we divide them by 60 and the result are fifths: 5540488316, and 35 sixths remain in the first number. |
− | |style="text-align:right;"|והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון | + | |style="text-align:right;"|והנה כל אלה ששיים<br> |
+ | חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We proceed so successively; the number resulting last and what is left of each rant will be as the number in the first method. |
|style="text-align:right;"|וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה | |style="text-align:right;"|וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |I had to show the method of these parts, which are minutes to thirds, because with this method King Ptolemy calculated the chords of the arcs until reaching to fifths, which are by multiplying tenths. |
|style="text-align:right;"|והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים | |style="text-align:right;"|והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |He also did all of this to extract the roots of the square numbers that do not have a real root truly, but it is only approximated to the truth, because there are no minutes or seconds left in dividing the product, not even thirds, as I will explain in the seventh chapter. |
|style="text-align:right;"|וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי | |style="text-align:right;"|וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Know that in every science there are things that are hidden from the eyes of all the ancient sages and also those that follow them. |
|style="text-align:right;"|ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם | |style="text-align:right;"|ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Such as: the roots of the numbers that are not square numbers, in arithmetic. |
|style="text-align:right;"|כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון | |style="text-align:right;"|כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |As well as in geometry, to know the the perimeter from a known diameter. |
|style="text-align:right;"|וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע | |style="text-align:right;"|וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Archimedes the wise could not approximate it to the truth, but only gave evidences from geometry that the perimeter should be three times the diameter plus an excess of 10 parts of 70 of the first rank, and he brought evidences that they had to be less than one part of the seconds, but did not know how many they are, only proved that the excess had to be more than 10 parts of 70 parts and one-half of the part. |
|style="text-align:right;"|ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק | |style="text-align:right;"|ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |King Ptolemy took the middle path and therefore said that the excess is 8 parts of 63, and 30 seconds. We shall discuss it at the end of the seventh chapter. |
|style="text-align:right;"|ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה | |style="text-align:right;"|ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |So also in astrology sages found, by experiment on herbs, stones and the joints of the human body that are true, but none of them knows why this is so, only the sublime God alone. |
|style="text-align:right;"|וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו | |style="text-align:right;"|וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,137: | Line 3,947: | ||
| | | | ||
|style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,143: | Line 3,955: | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall write a lot of problem for you to practice |
− | |style="text-align:right;"|ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך | + | |style="width:45%; text-align:right;"|ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך |
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>How Much Problem - Money</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:money|648|Jmrn}}Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money? | + | |{{#annot:money|648|Jmrn}}Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money? |
− | <math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{6}X+\frac{1}{7}X=10</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון{{#annotend:Jmrn}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> We seek the denominator by multiplying 5 by 6; the result is 30, then this by 7; they are 210 and this is the denominator. |
− | |style="text-align:right;"|בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם<ref>MS N2561 end</ref> זה על ז' והיו ר"י והוא המורה | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot6\sdot7=30\sdot7=210}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם‫<ref>MS N2561 end</ref> זה על ז' והיו ר"י והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :<span style=color:green>'''False Position:'''</span> Its one-fifth is 42; its one-sixth 35 and its one-seventh 30; all three together are 107. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot210\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot210\right)=42+35+30=107}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז | |style="text-align:right;"|וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Thus the ratio of the amount that is summed from them, which is 10, to the whole amount, which is not known, is as the ratio of 107 to 210, meaning the denominator. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{10:X=107:210}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה | |style="text-align:right;"|הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We make the diagram like this: | ||
|style="text-align:right;"|ונעשה הדמיון כך | |style="text-align:right;"|ונעשה הדמיון כך | ||
|- | |- | ||
Line 3,184: | Line 4,000: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply the extremes, which are 10 by 210; they are 2100. We divide them by the mean, which is 107; the result is 19 integers 67 parts of 107 remain. This is the amount. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{10\sdot210}{107}=\frac{2100}{107}=19+\frac{67}{107}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק | + | |style="text-align:right;"|כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק‫'<br> |
חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון | חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Replacing lines | + | *<span style=color:green>'''Replacing lines:'''</span> If we would do it vice versa, it would be the same, like this: |
|style="text-align:right;"|ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה | |style="text-align:right;"|ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה | ||
|- | |- | ||
Line 3,208: | Line 4,025: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *<span style=color:green>'''Check:'''</span> We shall check it: |
− | : | + | |style="text-align:right;"|ונבחן זה |
− | |style="text-align:right;"|ונבחן זה | ||
− | |||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
− | | | + | | |
− | <math>\scriptstyle \frac{1}{ | + | ::3 integers are one-fifth and 4 integers remain, the fifth of which we have not taken. We convert all to 107 of each and add 67 to the sum; the total is 495, a fifth of which is 99. |
− | + | |style="text-align:right;"|כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם<br> | |
+ | נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{5}\sdot\left(15+4+\frac{67}{107}\right)=3+\frac{1}{5}\sdot\left(4+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{\left(4\sdot107\right)+67}{107}\right)=3+\left(\frac{1}{5}\sdot\frac{495}{107}\right)=3+\frac{99}{107}\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | ::A sixth of 18 is 3, for the remaining 1 we take 107 and add 67 to it; they are 174 and its sixth is 29. |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט |
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{6}\sdot\left(18+1+\frac{67}{107}\right)=3+\frac{1}{6}\sdot\left(1+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{107+67}{107}\right)=3+\left(\frac{1}{6}\sdot\frac{174}{107}\right)=3+\frac{29}{107}\\\end{align}}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::A seventh is 2 integers; 5 remain that do not have a seventh. We take 107 for each; they are 535. We add 67 to them; they are 602 and its seventh is 86. | ||
+ | |style="text-align:right;"|גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית<br> | ||
+ | נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה<br> | ||
+ | נחבר אליהם ס"ז יהיו תר"ב ושביעיתם פ"ו | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)&\scriptstyle=\frac{1}{7}\sdot\left(14+5+\frac{67}{107}\right)=2+\frac{1}{7}\sdot\left(5+\frac{67}{107}\right)\\&\scriptstyle=2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{535+67}{107}\right)=2+\left(\frac{1}{7}\sdot\frac{602}{107}\right)=2+\frac{86}{107}\\\end{align}}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::We sum all the parts; they are two integers. We add them to the integers; they are 10. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נחבר החלקים יהיו שנים שלמים<br> | ||
+ | נחברם אל השלמים והיו י‫' | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}&\scriptstyle\left[\frac{1}{5}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{6}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]+\left[\frac{1}{7}\sdot\left(19+\frac{67}{107}\right)\right]\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{99}{107}\right)+\left(3+\frac{29}{107}\right)+\left(2+\frac{86}{107}\right)=3+3+2+2=10\\\end{align}}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |Another example: {{#annot:money|648|lajl}}We took its seventh and its ninth; they are 7. | ||
+ | :<math>\scriptstyle \frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=7</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז'{{#annotend:lajl}} | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> The denominator is 63. | ||
+ | |style="text-align:right;"|המורה ס"ג | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> The seventh and the ninth is 16 and the diagram is as follows: | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=16}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,239: | Line 4,089: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> The number is 27 integers and 9 parts of 16. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x={\color{red}{\frac{7\sdot63}{16}}}=27+\frac{9}{16}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו | |style="text-align:right;"|הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>First from Last Problem - Money</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:money|651|DxTN}} | + | |{{#annot:money|651|DxTN}}If one reversed the saying and says: We have subtracted from an amount of money its seventh and its ninth and 7 remain. |
− | <math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7</math> | + | :<math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=7</math> |
− | |style="text-align:right;"|ואם הפך הדבר ואמר | + | |style="text-align:right;"|ואם הפך הדבר ואמר חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז'{{#annotend:DxTN}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We also reverse the denominator. For, the denominator is the same, but we subtract 16, which is the seventh and the ninth of the denominator, then 47 remain. We write it like this: |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{63-16=47}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה | |style="text-align:right;"|גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה | ||
|- | |- | ||
Line 3,269: | Line 4,121: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 7 by 63; they are 441. We divide [this] by 47; the result is 9 and 18 parts of 47 and this is it. |
− | |style="text-align:right;"|כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot63}{47}=\frac{441}{47}=9+\frac{18}{47}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א<br> | ||
+ | חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Check:< | + | *<span style=color:green>'''Check:'''</span> its seventh is 1 integers and 16 parts, as I have shown you. |
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{ | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)=1+\frac{16}{47}}}</math> |
− | |style="text-align:right;"|ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי' | + | |style="text-align:right;"|ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי‫' |
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | :We take its ninth, it is one integer and 2 parts. | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(9+\frac{18}{47}\right)=1+\frac{2}{47}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי‫' | ||
|- | |- | ||
− | |{{ | + | | |
− | |style="text-align:right;"| | + | :7 integers remain. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(9+\frac{18}{47}\right)-\left[\left(1+\frac{16}{47}\right)-\left(1+\frac{2}{47}\right)\right]=7}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונשארו ז' שלמים | ||
|- | |- | ||
+ | !'''<span style=color:green>Partnership Problem - For the Same Time</span>''' | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | |- |
+ | |{{#annot:four partners|661|9sC4}}Question: 4 people - one of them have 11 dinar, the second have 13 dinar, the third have 15 dinar, and the fourth have 17 dinar. They earned 19 dinar. How much does each get? | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד{{#annotend:9sC4}} | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We sum up the components of all their money; it is 56. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{11+13+15+17=56}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו | |style="text-align:right;"|נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> As the ratio of each to 56, so he takes from the 19. We do like this: |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{a_i:56=x_i:19}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך | |style="text-align:right;"|וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך | ||
|- | |- | ||
Line 3,307: | Line 4,173: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply 11 by 19; the product is 209. We divide this by 56; the result is 3 integers and 41 parts remain. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=\frac{11\sdot19}{56}=\frac{209}{56}=3+\frac{41}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫' | + | |style="text-align:right;"|נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט<br> |
+ | נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We do the same with 13: | ||
|style="text-align:right;"|עשינו כן בי"ג | |style="text-align:right;"|עשינו כן בי"ג | ||
|- | |- | ||
Line 3,329: | Line 4,198: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The product is 247. We divide it by 56; the result is 4 integers and 23 parts. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=\frac{13\sdot19}{56}=\frac{247}{56}=4+\frac{23}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫' | + | |style="text-align:right;"|עלו רמ"ז<br> |
+ | חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We do the same with 15: | ||
|style="text-align:right;"|עשינו כך בט"ו | |style="text-align:right;"|עשינו כך בט"ו | ||
|- | |- | ||
Line 3,351: | Line 4,223: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The product is 285. We divide it by 56; the result is 5 integers and 5 parts. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=\frac{15\sdot19}{56}=\frac{285}{56}=5+\frac{5}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫' | + | |style="text-align:right;"|ועלו רפ"ה<br> |
+ | חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We do the same with 17: | ||
|style="text-align:right;"|עשינו כך בי"ז | |style="text-align:right;"|עשינו כך בי"ז | ||
|- | |- | ||
Line 3,373: | Line 4,248: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The product is 323. We divide it by 56; the result is 5 integers and 43 parts. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_4=\frac{17\sdot19}{56}=\frac{323}{56}=5+\frac{43}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים | + | |style="text-align:right;"|עלו שכ"ג<br> |
+ | חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}</math> | + | *<span style=color:green>'''Check:'''</span> We sum the integers and these parts; the result is 19 integers, because these parts are parts of 56. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(3+\frac{41}{56}\right)+\left(4+\frac{23}{56}\right)+\left(5+\frac{5}{56}\right)+\left(5+\frac{43}{56}\right)=19}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם | |style="text-align:right;"|חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *Another method: we convert the profit into pešuṭim |
|style="text-align:right;"|דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים | |style="text-align:right;"|דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :By multiplying the 19 dinar by 12; the product is 228. We divide it by 56; the result is 4 pešuṭim and 4 parts of 56. Because each pašuṭ is divided to 56, which are one-half of one-seventh of a pašuṭ for each dinar. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{19\sdot12}{56}=\frac{228}{56}=4+\frac{4}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו<br> | + | |style="text-align:right;"|שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח<br> |
− | כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ' | + | חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו<br> |
+ | כי כל פשוט יתחלק לנ"ו שהם חצי שביעית פשוט לכל דינ‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply 11 by 4; the result is 44 pešuṭim, which are 3 dinar, 8 pešuṭim and 44 parts of one pašuṭ. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_1=11\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=44+\frac{44}{56}=\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט | |style="text-align:right;"|והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply also 13 by 4; the result is 52, which are 4 dinar, 4 pešuṭim and 52 part. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_2=13\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=52+\frac{52}{56}=\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי' | |style="text-align:right;"|גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply also 15 by 4; the result is 60 pešuṭim, which are 5 dinar and 60 parts. We add one pašuṭ of 56; 4 parts remain. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_3=15\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=60+\frac{60}{56}=\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים | + | |style="text-align:right;"|גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי‫'<br> |
+ | חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :We multiply also 17 by 4; the result is 68 pešuṭim, which are 5 dinar, 8 pešuṭim and 68 parts. We add one pašuṭ of them; 12 parts remain. |
− | |style="text-align:right;"|גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים | + | |style="text-align:right;"|גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי‫'<br> |
+ | נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים | ||
|- | |- | ||
− | |} | + | |colspan="2"| |
− | { | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{x_4=17\sdot\left(4+\frac{4}{56}\right)=68+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+\frac{68}{56}=\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}}}</math> |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | ::<span style=color:green>'''Check:'''</span> We sum all the parts; they are 3 pešuṭim. We sum all the pešuṭim; they are 2 dinar. We add them to the greater share; the total is 19 dinar. | |
− | :< | + | |style="text-align:right;"|נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ‫'<br> |
− | |style="text-align:right;"|נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ' | + | נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ‫' |
|- | |- | ||
− | |} | + | |colspan="2"| |
− | { | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[\left(3\sdot12\right)+8+\frac{44}{56}\right]+\left[\left(4\sdot12\right)+4+\frac{52}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+\frac{60}{56}\right]+\left[\left(5\sdot12\right)+8+1+\frac{12}{56}\right]=19\sdot12}}</math> |
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Purchase Problem – Moneychanger</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:moneychanger|642|gRIw}}Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive | + | |{{#annot:moneychanger|642|gRIw}}Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive. |
− | <math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+\frac{1}{6}X=12</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים{{#annotend:gRIw}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> <math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)+\left(\frac{1}{6}\sdot12\right)=9}}</math> |
|style="text-align:right;"|בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר | |style="text-align:right;"|בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר | ||
|- | |- | ||
Line 3,444: | Line 4,329: | ||
| | | | ||
:16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{6}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}</math> | :16 pešuṭim of coin 6 are 8 pešuṭim of coin 3: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{16}{6}=\frac{2\sdot8}{2\sdot3}=\frac{8}{3}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג' | + | |style="text-align:right;"|וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,465: | Line 4,350: | ||
|style="text-align:right;"|וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך | |style="text-align:right;"|וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Another example, which is difficult because it has difficult ratios: |
− | | | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי |
|- | |- | ||
− | |{{#annot:moneychanger|642| | + | |{{#annot:moneychanger|642|oOb4}}The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brings one zahuv and wants to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally. |
− | <math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=1</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד{{#annotend:oOb4}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> Proceed according to the rule: multiply 5 by 7; the product is 35; then multiply it by 9; the result is 315 and this is the denominator. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=35\sdot9=315}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה | |style="text-align:right;"|עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> Its fifth is 63, its seventh 45 and its ninth 35. When we add these three, they are 143 and this is the dinar. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{5}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{7}\sdot315\right)+\left(\frac{1}{9}\sdot315\right)=63+45+35=143}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ' | + | |style="text-align:right;"|וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We divide the denominator by this number; the result is 2 dinar, and 29 parts of 143 remain; that much he takes from each [type of] coin. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע | |style="text-align:right;"|נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Check | + | *<span style=color:green>'''Check:'''</span> to examine this is difficult because of the parts, except in the way that I will give you. |
|style="text-align:right;"|ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים | |style="text-align:right;"|ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We start to examine by converting the mentioned number of coin 7 and coin 9 to coin 5. We do as follows: | ||
|style="text-align:right;"|והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה | |style="text-align:right;"|והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We convert the dinar to parts of 143 and set with them the parts that are 315; this is the denominator. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה | |style="text-align:right;"|נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 7 to coin 5: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 7 to coin 5:</span> We want to exchange coin 7 to coin 5. We multiply 315 by 5; the product is 1575. We divide it by 7; they are 225 parts of coin 5. |
− | |style="text-align:right;"|ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה' | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{7}=\frac{1575}{7}=225}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה<br> | ||
+ | נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה‫' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 9 to coin 5: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 9 to coin 5:</span> Likewise, [we divide] 1575 by 9 to know how much of the second coin there are; the result is 175. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot5}{9}=\frac{1575}{9}=175}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה | |style="text-align:right;"|גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :When you sum these three numbers that are of one coin: 315, 225, and 175 - the total is 715. We divide it by 143, which is the dinar; the result is 5 identical dinar. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+225+175}{143}=\frac{715}{143}=5}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' <ref>MS St.P1385 begin</ref>עלו ה' דינ' שוים | + | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' ‫<ref>MS St.P1385 begin</ref>עלו ה' דינ' שוים |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Or, if you want, calculate like this: There are already 2 dinar and 29 parts of coin 5. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=2+\frac{29}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים | |style="text-align:right;"|או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 7 to coin 5: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 7 to coin 5:</span> When we exchange this number of coin 7, they are 225 parts, which are one dinar, and 82 parts. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{225}{143}=1+\frac{82}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים | |style="text-align:right;"|וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 9 to coin 5: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 9 to coin 5:</span> If of coin 9, they are 175, which are one dinar, and 32 parts. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{175}{143}=1+\frac{32}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים | |style="text-align:right;"|ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We sum all the parts; they are 143, which are one dinar, so the same number results. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{29}{143}+\frac{82}{143}+\frac{32}{143}=\frac{143}{143}=1}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד | |style="text-align:right;"|חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We convert all to coin 7: we already have 315 parts, which is the denominator. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה | |style="text-align:right;"|ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 5 to coin 7: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 5 to coin 7:</span> We want to know how many parts are of coin 5. We multiply 315 by 7; the product is 2205. We divide [it] by 5; the result is 441. |
− | |style="text-align:right;"|ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{5}=\frac{2205}{5}=441}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה<br> | ||
+ | נחלק על ה' יעלו תמ"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 9 to coin 7: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 9 to coin 7:</span> We also divide the same number by 9; the result is 245. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot7}{9}=\frac{2205}{9}=245}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה | |style="text-align:right;"|גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We sum all these parts and divide the sum by 143; the result is 7 dinar. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+441+245}{143}=7}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ' | + | |style="text-align:right;"|נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We convert all to coin 9: it has 315 parts of its own coin, which is the denominator; they are 2 dinar and 29 parts. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315}{143}=2+\frac{29}{143}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי' | + | |style="text-align:right;"|ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 5 to coin 9: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 5 to coin 9:</span> We multiply 315 by 9; the product is 2835. We divide it by 5; they are 567. |
− | |style="text-align:right;"|ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{5}=\frac{2835}{5}=567}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה<br> | ||
+ | נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :converting coin 7 to coin 9: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}</math> | + | :<span style=color:green>converting coin 7 to coin 9:</span> We also divide it by 7, which is the other type of coin, they are 405. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315\sdot9}{7}=\frac{2835}{7}=405}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה | |style="text-align:right;"|גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :When we sum these parts of the three types of coin, they are 1287; and when we divide them by 143, they are 9 whole dinar. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{315+567+405}{143}=\frac{1287}{143}=9}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים | |style="text-align:right;"|וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים | ||
|- | |- | ||
+ | |Do the same if there are [4 types] of coins or more. | ||
+ | |style="text-align:right;"|וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר | ||
+ | |- | ||
+ | !<span style=color:green>explanation - the position of the zero [= representing the unknown]</span> | ||
| | | | ||
− | |||
|- | |- | ||
− | + | |Now I want to explain to you where to put the wheel. So we shall give an example: | |
|style="text-align:right;"|עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון | |style="text-align:right;"|עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Payment Problem</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:one worker|612|UtpS}}Question: Reuven hired Shimon to work with him 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days. | + | |{{#annot:one worker|612|UtpS}}Question: Reuven hired Shimon to work with him for 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days. |
− | <math>\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{17}{11}=\frac{9}{X}</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים{{#annotend:UtpS}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> No doubt that as the ratio of the days that he worked to the whole [number of] days on which the condition was, the same ratio he will take of the 11, which are pešuṭim. |
+ | :<span style=color:green>(working days) : (total days) = (actual payment) : 11 pešuṭim</span> | ||
|style="text-align:right;"|והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים | |style="text-align:right;"|והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*the | + | :*We set the wheel first, 11 the second, 9 the third and 17 the fourth, like this: |
|style="text-align:right;"|והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה | |style="text-align:right;"|והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה | ||
|- | |- | ||
Line 3,592: | Line 4,504: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*the | + | :*If we want, we set the wheel second and the fourth number 9, by writing like this: |
|style="text-align:right;"|ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה | |style="text-align:right;"|ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה | ||
|- | |- | ||
Line 3,611: | Line 4,523: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :Because, when we set the greater number of pešuṭim first, we have to set the second number, which is the greater number of working days as the third, which is the first of the last two. |
|style="text-align:right;"|כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים | |style="text-align:right;"|כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*the | + | :*We can set the wheel as the third, like this: |
|style="text-align:right;"|ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה | |style="text-align:right;"|ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה | ||
|- | |- | ||
Line 3,634: | Line 4,546: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :*the | + | :*We can set the wheel as the fourth, like this: |
|style="text-align:right;"|ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה | |style="text-align:right;"|ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה | ||
|- | |- | ||
Line 3,653: | Line 4,565: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :all options are the same | + | :all [options are] the same |
|style="text-align:right;"|והכל שוה | |style="text-align:right;"|והכל שוה | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Payment Problem - Carrying Wheat</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:carrying wheat|612|P6Wa}}Question: Reuven hired Shimon to carry 13 measures of wheat on his beast | + | |{{#annot:carrying wheat|612|P6Wa}}Question: Reuven hired Shimon to carry for him 13 measures of wheat on his beast a path of 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his wages? |
− | <math>\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{13\sdot17}{19}=\frac{7\sdot11}{X}</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו{{#annotend:P6Wa}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :the rule of four | + | :Do this: you should apply the proportions [= the rule of four] twice, for there is no other way to extract them. |
|style="text-align:right;"|ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם | |style="text-align:right;"|ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Calculate as if he had carried the 7 measures the whole way, which are 17. Set the diagram like this: | ||
|style="text-align:right;"|וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון | |style="text-align:right;"|וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון | ||
|- | |- | ||
Line 3,686: | Line 4,599: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes, which are 7 and 19; the product is 133. We divide it by 13; the result is 10 integers and 3 parts of 13 of one pašuṭ remain. |
− | |style="text-align:right;"|הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot19}{13}=\frac{133}{13}=10+\frac{3}{13}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג<br> | ||
+ | נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Since he carried only 7 measures for only 11 miles, we have to set a different proportion and a different diagram, and this is how we do it: 11 17 wheel 10 and 3 parts of 13 and this is its diagram: | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו | |style="text-align:right;"|ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו | ||
|- | |- | ||
Line 3,708: | Line 4,624: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Since we have to multiply the extremes, then divide the product by 17, and we have 3 parts of 13 in fourth place, we have to find a common denominator for both. This is how we find it: | ||
|style="text-align:right;"|ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו | |style="text-align:right;"|ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply 13 by 17; the product is 221 and it is the denominator, which is one integer. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{13\sdot17=221}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם | |style="text-align:right;"|שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}</math> | + | :3 parts of 13 are 51 of 221: <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{3}{13}=\frac{51}{221}}}</math> |
|style="text-align:right;"|והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א | |style="text-align:right;"|והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 11 by 10; the product is 110. We multiply also 11, which are integers, by 51, which are parts; the product is 561. We divide it by 221, which is one integer; the result is 2 integers. We add them to 110; they are 112, and 119 parts of 221 remain. We divide 112 by 17 integers; the result is 6 whole pešuṭim, and 10 whole pešuṭim remain. We convert them into 221ths and add to them the 119 that remain, which are parts of one pašuṭ that consists of 221 parts; the result is 2329. We divide them by 17; the result is 137. The total is 6 whole pešuṭim and 137 parts of which one is 221. |
− | + | |style="text-align:right;"|ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י<br> | |
− | |style="text-align:right;"|ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א<br> | + | גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א<br> |
נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים<br> | נחלקם על רכ"א שהוא האחד השלם יעלו ב' שלמים<br> | ||
נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א<br> | נחברם אל ק"י יהיו קי"ב וישארו קי"ט חלקים מרכ"א<br> | ||
Line 3,728: | Line 4,646: | ||
נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א | נחלקם על י"ז ויעלו ז'ג'א' וסך הכל ו' פשו' שלמים וקל"ז חלקים שהאחד רכ"א | ||
|- | |- | ||
− | |'''Payment Problem - Digging a Hole''' | + | |colspan="2"| |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{11\sdot\left(10+\frac{3}{13}\right)}{17}&\scriptstyle=\frac{11\sdot\left(10+\frac{51}{221}\right)}{17}=\frac{110+\frac{561}{221}}{17}=\frac{110+2+\frac{119}{221}}{17}\\&\scriptstyle=\frac{112+\frac{119}{221}}{17}=6+\frac{10+\frac{119}{221}}{17}=6+\frac{\frac{2329}{221}}{17}=6+\frac{137}{221}\\\end{align}}}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | !'''<span style=color:green>Payment Problem - Digging a Hole</span>''' | ||
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:digging a hole|612|4BkY}}Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width | + | |{{#annot:digging a hole|612|4BkY}}Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width, for which he would pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב{{#annotend:4BkY}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :No doubt that he will be paid a quarter, because the product of one-half by one-half is one-quarter. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{{\color{red}{\frac{17\sdot5\sdot5}{10\sdot10}=17\sdot}}\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{2}={\color{red}{17\sdot}}\frac{1}{4}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם | |style="text-align:right;"|אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :Because, if he had dug half the length by the whole width or half the width by the whole length, he would have been paid a half of the payment. |
|style="text-align:right;"|כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון | |style="text-align:right;"|כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:digging a hole|612|fhB1}} | + | |{{#annot:digging a hole|612|fhB1}}If he said that he agreed with him that he should dig 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and for this he would pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment? |
− | <math>\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{7\sdot6\sdot5}{11}=\frac{6\sdot5\sdot4}{X}</math> |
|style="text-align:right;"|רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו{{#annotend:fhB1}} | |style="text-align:right;"|רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו{{#annotend:fhB1}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We need proportions: | ||
+ | |style="text-align:right;"|הנה אנחנו צריכים לערכים | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We multiply the first number, which is 7, by 6; the product is 42; multiply it by 5, which is the depth; it is 210. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot6\sdot5=42\sdot5=210}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב<br> |
+ | כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We also multiply the second number, which is 6, by 5; the product is 30; we multiply it by 4, which is the depth; it is 120. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{6\sdot5\sdot4=30\sdot4=120}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ | + | |style="text-align:right;"|גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל'<br> |
+ | גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We set the proportion diagram as follows: | ||
|style="text-align:right;"|ועתה נעשה דמיון הערכים כזה | |style="text-align:right;"|ועתה נעשה דמיון הערכים כזה | ||
|- | |- | ||
Line 3,773: | Line 4,704: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the known means; the product is one thousand and 320. We divide it by 210; the result is 6 integers, and 60 remain, which are two sevenths of one pašuṭ. |
− | |style="text-align:right;"|כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{11\sdot120}{210}=\frac{1320}{210}=6+\frac{60}{210}=6+\frac{2}{7}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ<br> | ||
+ | חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Pricing Problem - Find the Amount</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:wheat|630|d3Sj}}Question: a man sells 13 measures of wheat for 23. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]? | + | |{{#annot:wheat|630|d3Sj}}Question: a man sells 13 measures of wheat for 23 pešuṭim. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]? |
− | <math>\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{X}{7}</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו‫'{{#annotend:d3Sj}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We set the proportion diagram as this rule: | ||
|style="text-align:right;"|נעשה דמיון הערך כמשפט הזה | |style="text-align:right;"|נעשה דמיון הערך כמשפט הזה | ||
|- | |- | ||
Line 3,802: | Line 4,736: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> Multiply the extremes that are known; the product is 91. We divide it by 23; the result is 3 measures and 22 parts of 23 of one measure. |
− | |style="text-align:right;"|הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot13}{23}=\frac{91}{23}=3+\frac{22}{23}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א<br> | ||
+ | נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Pricing Problem - Find the Price</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |We reverse the question, by that we want to know how much will he get for 7 measures? |
<math>\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}</math> | <math>\scriptstyle\frac{13}{23}=\frac{7}{X}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות | |style="text-align:right;"|ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We set the diagram as follows: | ||
|style="text-align:right;"|והנה נעשה הדמיון כזה | |style="text-align:right;"|והנה נעשה הדמיון כזה | ||
|- | |- | ||
Line 3,832: | Line 4,769: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes; the product is 161. We divide it by 13; the result is 12 pešuṭim and 5 parts of 13 of one pašuṭ. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot23}{17}=\frac{161}{17}=12+\frac{5}{13}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד | |style="text-align:right;"|נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Motion Problem – Pursuit</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:messenger|657|ofgI}}Question: a man | + | |{{#annot:messenger|657|ofgI}}Question: a man sends a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days, he sends another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him? |
− | <math>\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)</math> | + | :<math>\scriptstyle29X=37\sdot\left(X-10\right)</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו{{#annotend:ofgI}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the miles he walks in 10 days; the product is 290. We divide it by the difference between the two messengers, which is 8; the result is 36 days and one-quarter of a day. |
− | |style="text-align:right;"|נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{29\sdot10}{37-29}=\frac{290}{8}=36+\frac{1}{4}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ<br> | ||
+ | נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Give and Take Problem</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:donation|627|jOtM}}Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring? | + | |{{#annot:donation|627|jOtM}}Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring? |
− | <math>\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2</math> | + | :<math>\scriptstyle2\sdot\left[2\sdot\left[2\sdot\left(2X-2\right)-2\right]-2\right]=2</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא{{#annotend:jOtM}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :He had <math>\scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}</math> | + | :He had in fact 2 pešuṭim minus one-eighth of a pašuṭ. <math>\scriptstyle{\color{blue}{2-\frac{1}{8}}}</math> |
|style="text-align:right;"|האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט | |style="text-align:right;"|האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Motion Problem – Encounter</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:brothers|658|Bc0h}}Question: Reuven left his city | + | |{{#annot:brothers|658|Bc0h}}Question: Reuven left his city on the morning of the first day of the month, to meet his brother Shimon in his city. On that same day Shimon left his city, to meet his brother Reuven in his city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven walks 19 miles a day and Shimon walks 17 miles a day. We ask: when will they meet? |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו{{#annotend:Bc0h}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Do as follows: sum the two daily routes; they are 36. Divide the 100 miles by them; the result is two days, and 28 parts of 36 of one day remain, which are 7 ninths of a day. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{100}{19+17}=\frac{100}{36}=2+\frac{28}{36}=2+\frac{7}{9}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום | + | |style="text-align:right;"|ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו<br> |
+ | חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *You can convert them into hours of the day by the method of proportion: |
|style="text-align:right;"|ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין | |style="text-align:right;"|ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין | ||
|- | |- | ||
Line 3,888: | Line 4,830: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 7 by 12; the product is 84. We divide [it] by 9; the result is 9, which are hours, and 3 remain, which are one-third of one hour. |
− | |style="text-align:right;"|וככה תעשה<ref>MS St.P1385 end</ref> כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{7\sdot12}{9}=\frac{84}{9}=9+\frac{3}{9}=9+\frac{1}{3}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|וככה תעשה<ref>MS St.P1385 end</ref> כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד<br> | ||
+ | חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :Another method: we know that the ratio of 12 to 9 is the same as it plus its third. |
− | |style="text-align:right;"|ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{12:9=1+\frac{1}{3}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Since we had ninths, we take for the 7 ninths 7 thirds, we divide them by 3; they are 2 hours and one-third of an hour. We add them to the seven that we had and the result is the same. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{7\sdot\frac{12}{9}=7\sdot\left(1+\frac{1}{3}\right)=7+\frac{7}{3}=7+\left(2+\frac{1}{3}\right)=9+\frac{1}{3}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה | + | |style="text-align:right;"|כי תשיעיות היו לנו והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות<br> |
+ | נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה<br> | ||
+ | נחברם אל השבע שהיו לנו והנה הדבר שוה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 3,904: | Line 4,852: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :in two days he walked 38 miles <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}</math> | + | :We already know that in two days he walked 38 miles. <math>\scriptstyle{\color{blue}{2\sdot19=38}}</math> |
|style="text-align:right;"|כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין | |style="text-align:right;"|כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We already said that he walked 7 ninths of the day. We set the proportion as follows: | ||
|style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך | |style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
Line 3,926: | Line 4,875: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 7 by 19; the product is 133. We divide it by 9; the result is 14 and seven-ninths. |
− | |style="text-align:right;"|כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{7\sdot19}{9}=\frac{133}{9}=14+\frac{7}{9}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג<br> | ||
+ | חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :total miles | + | :Hence, the total is 52 miles and 7 ninths |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{38+\left(14+\frac{7}{9}\right)=52+\frac{7}{9}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות | |style="text-align:right;"|והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:three workers|612|egDK}}A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They | + | |{{#annot:three workers|612|egDK}}Question: A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They worked together for the 20 days and there was a a supervisor sitting with them, who wrote down how many hours and parts of hours each of them worked a day. Finally, he paid each of them an equal share. We wish to know: how much is the share of each of them? |
− | <math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}</math> | + | :<math>\scriptstyle\begin{cases}\scriptstyle\frac{5}{20}X=\frac{4}{20}Y=\frac{3}{20}Z\\\scriptstyle X+Y+Z=20\end{cases}</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה<br> |
והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים<br> | והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים<br> | ||
ואם שמעון ד'<br> | ואם שמעון ד'<br> | ||
Line 3,946: | Line 4,898: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{ | + | :Know that Reuven works 4 days for one zahuv, Shimon 5 days and Levi 6 days and 2 thirds of a day. The total is 15 integers and 2 thirds of one day. |
− | |style="text-align:right;"| | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{4+5+6+\frac{2}{3}=15+\frac{2}{3}}}</math> |
− | והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב | + | |style="text-align:right;"|דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד |
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We divide 20 by this number; the result is one integer, and 4 integers and one-third remain. Because of the third, we convert all to thirds: we convert the 20 days to 60 thirds; the 15 and 2 thirds to 47 thirds; the 4 and one-third of a day to 13. So each took one zahuv and 13 pešuṭim of a coin of 47 [pešuṭim]. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20}{15+\frac{2}{3}}=1+\frac{4+\frac{1}{3}}{15+\frac{2}{3}}=\frac{\frac{60}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{\frac{13}{3}}{\frac{47}{3}}=1+\frac{13}{47}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד<br> | ||
+ | והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג<br> | ||
+ | והנה כל אחד לקח זהוב אחד וי"ג פשוטים ממטבע מ"ז בזהוב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We ask how much each had to work until completing the 20 days. | ||
|style="text-align:right;"|ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום | |style="text-align:right;"|ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Levi | + | *We start with Levi, who he had to work 6 days and 2 thirds of a day for the zahuv that he took. We convert them to thirds; they are 20. |
|style="text-align:right;"|והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ' | |style="text-align:right;"|והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We want to know how much he had to work for the 13 pešuṭim that he took. We set the proportion as follows: | ||
|style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
Line 3,976: | Line 4,937: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right) | + | :We multiply 13 by 20; the product is 260. We divide it by 47; the result is 5 and 25 parts remain. We add the 5 to the 20; they are thirds and 25 parts of 47. We divide these thirds by 3; the result is 8 integers and one remains. We take 4 hours for it, which are one-third of a day. We multiply also 25 parts by 4; the product is one hundred. We divide it by 47; the result is two hours and 6 parts remain. So Levi has worked 8 days, 6 hours and 6 parts. |
− | + | |style="text-align:right;"|כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס<br> | |
+ | חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים<br> | ||
+ | נוסיף הה' על הכ' ויהיו כ"ה שלישיות גם כ"ה חלקים ממ"ז<br> | ||
+ | וחלקנו אלה השלישיות על ג' עלו ח' שלמים ונשאר אחד<br> | ||
+ | נקח לו ד' שעות שהם שלישית יום<br> | ||
+ | גם נכפול כ"ה חלקים על ד' יעלו מאה<br> | ||
+ | נחלקם על מ"ז עלו שתי שעות ונשארו ו' חלקים<br> | ||
+ | והנה לוי עבד ח' ימים גם ו' שעות גם ו' חלקים | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\left(6+\frac{2}{3}\right)&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{20}{3}=\frac{20}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{20}{3}\right)=\frac{20}{3}+\frac{\frac{13\sdot20}{47}}{3}=\frac{20}{3}+\frac{\frac{260}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{20}{3}+\frac{5}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=\frac{25}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{1}{3}+\frac{\frac{25}{47}}{3}=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot25}{47}}{12}\\&\scriptstyle=8+\frac{4}{12}+\frac{\frac{100}{47}}{12}=8+\frac{4}{12}+\frac{2}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}=8+\frac{6}{12}+\frac{\frac{6}{47}}{12}\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Shimon | + | *We want to know how long Shimon worked. |
− | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה עבד שמעון | + | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה עבד שמעון |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך | + | :For one zahuv he had to work 5 days, which are 15 thirds. |
+ | |style="text-align:right;"|והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We want to know how much did he work for the 13 pešuṭim that he took. We set the proportion as follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,002: | Line 4,978: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right) | + | :We multiply 15 by 13; the product is 195. We divide it by 47; the result is 4, and 7 parts remain. We add the 4 to the 15, because they are thirds; the result is 19 thirds. We divide them by 3; they are 6 whole days. For the remaining one, we take 4 hours. We multiply also 7 by 4; the product is 28. So they are 6 days, 4 hours and 28 parts and that is how long Shimon worked. |
− | + | |style="text-align:right;"|נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה<br> | |
+ | נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים<br> | ||
+ | נחבר הד' אל הט"ו כי שלישיות הם יעלו י"ט שלישיות<br> | ||
+ | נחלקם על ג' יהיו ו' ימים שלמים<br> | ||
+ | ונקח לאחד הנשאר ד' שעות<br> | ||
+ | גם נכפול ז' על ד' יהיו כ"ח<br> | ||
+ | והנה הם ו' ימים ד' שעות וכ"ח חלקים וככה עבד שמעון | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot5&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{15}{3}=\frac{15}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{15}{3}\right)=\frac{15}{3}+\frac{\frac{13\sdot15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{195}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{15}{3}+\frac{4}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=\frac{19}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{1}{3}+\frac{\frac{7}{47}}{3}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{4\sdot7}{47}}{12}=6+\frac{4}{12}+\frac{\frac{28}{47}}{12}\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Reuven | + | *We want to know how long Reuven worked. |
− | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה עבד ראובן | + | |style="text-align:right;"|ונבקש לדעת כמה עבד ראובן |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :For one zahuv he worked 4 days, which are 12 thirds. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :For the 13 pešuṭim that he took, we set the proportion as follows: | ||
|style="text-align:right;"|ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך | |style="text-align:right;"|ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך | ||
|- | |- | ||
Line 4,028: | Line 5,018: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :We multiply 13 by 12; the product is 156. We divide it by 47; the result is 3, and 15 parts remain. We add these 3 to the 12 that we had; they are 15, which are thirds, so he had worked 5 days. We multiply also the 15 parts by 4; the product is 60. We divide them by 47; the result is one hour and 13 parts of an hour remain and that is how long Reuven worked. |
− | |style="text-align:right;"|נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה | + | |style="text-align:right;"|נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו<br> |
+ | נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים<br> | ||
+ | חברנו אלו הג' עם הי"ב שהיו לנו היו ט"ו והם שלישיות והנה עבד ה' ימים<br> | ||
+ | גם נכפול הט"ו חלקים על ד' עלו ס' חלקים<br> | ||
+ | נחלקם על מ"ז עלתה שעה אחת ונשארו י"ג חלקים משעה וככה עבד ראובן | ||
|- | |- | ||
− | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left( | + | |colspan="2"| |
− | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot4&\scriptstyle=\left(1+\frac{13}{47}\right)\sdot\frac{12}{3}=\frac{12}{3}+\left(\frac{13}{47}\sdot\frac{12}{3}\right)=\frac{12}{3}+\frac{\frac{13\sdot12}{47}}{3}=\frac{12}{3}+\frac{\frac{156}{47}}{3}\\&\scriptstyle=\frac{12}{3}+\frac{3}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=\frac{15}{3}+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{15}{47}}{3}=5+\frac{\frac{4\sdot15}{47}}{12}=5+\frac{\frac{60}{47}}{12}=5+\frac{1}{12}+\frac{\frac{13}{47}}{12}\\\end{align}}}</math> | |
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> When you sum these parts, they add up to one hour, no more nor less. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{47}+\frac{28}{47}+\frac{13}{47}=1}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :When you add this hour to the mentioned hours, they are 12 hours, which is one day. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{6}{12}+\frac{4}{12}+\frac{1}{12}+\frac{1}{12}=1}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :When you add the one day to the mentioned days, they are twenty days, no more nor less. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{8+6+5+1=20}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת | ||
+ | |- | ||
+ | !'''<span style=color:green>Boiling Problem</span>''' | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |{{#annot:WP|663|Ult1}}Question: A man had 10 measures of must and he wants to cook them so that only one-third remains. He starts to cook [them] until eight measures are left of them. Then, two measures overflow. Now he wants to cook [the remaining 6 measures] until it is reduced [as he planned] at first. | ||
+ | :<math>\scriptstyle\frac{8}{\frac{1}{3}\sdot10}=\frac{8-2}{X}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון{{#annotend:Ult1}} | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | |
− | + | :You have 3 known numbers: firstly how much is one-third of 10; it is known to be 3 and one-third. It is also known that eight are measures that should have been cooked. It is also known that six remain. | |
− | |style="text-align:right;"|'' | + | |style="text-align:right;"|והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו |
|- | |- | ||
− | | | + | | |
− | |style="text-align:right;"| | + | :make the diagram like this: |
+ | |style="text-align:right;"|והנה תעשה הדמיון ככה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,059: | Line 5,073: | ||
|} | |} | ||
|- | |- | ||
− | |<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}</math> | + | | |
− | |style="text-align:right;"|והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 6 by 3 and one-third; they are 20. We divide them by 8; the result is two and a half. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{x=\frac{\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)\sdot\left(8-2\right)}{8}=\frac{\left(3+\frac{1}{3}\right)\sdot6}{8}=\frac{20}{8}=2+\frac{1}{2}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ'<br> | ||
+ | נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Another example: We have 9 measures of must, and he wants them to be cooked until the third part of it remains. It was now cooked until 6 measures were left. Then 4 measures were overflow, and 2 measures remain. |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The proportion is as follows: | ||
|style="text-align:right;"|וככה הערך | |style="text-align:right;"|וככה הערך | ||
|- | |- | ||
Line 4,085: | Line 5,103: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We multiply 2 by 3; the product is 6, so it is 1. Hence, the cooked must be one measure. | ||
|style="text-align:right;"|כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת | |style="text-align:right;"|כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>How Much Problem - Money</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:money|648|Wwzb}}Question: an amount of money, we | + | |{{#annot:money|648|Wwzb}}Question: an amount of money, we sum its fifth, its seventh, and its ninth and they are 10, how much is the money? |
− | <math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10</math> | + | :<math>\scriptstyle\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X=10</math> |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון{{#annotend:Wwzb}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We seek for the denominator; it is 315. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{5\sdot7\sdot9=315}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נבקש המורה והוא שט"ו | |style="text-align:right;"|נבקש המורה והוא שט"ו | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :The mentioned parts are 143: |
|style="text-align:right;"|והחלקים הנזכרים הם קמ"ג | |style="text-align:right;"|והחלקים הנזכרים הם קמ"ג | ||
− | כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג< | + | |- |
− | וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה< | + | | |
− | ועל ט' יעלו ל"ה< | + | :*When you divide 315 by 5, the result is 63. |
− | חברם יחד יעלו קמ"ג ונעשה הערך כך | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{5}\sdot315=63}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*When you divide by 7, the result is 45. | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot315=45}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :*By 9, the result is 35. | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot315=35}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|ועל ט' יעלו ל"ה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :Sum them together, the result is 143. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{63+45+35=143}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|חברם יחד יעלו קמ"ג | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We set the proportion as follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,122: | Line 5,162: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 315 by 10; the product is 3 thousand and 150. We divide it by 143; the result is 22 and 4 parts of 143. |
− | |style="text-align:right;"|נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{143}=\frac{3150}{143}=22+\frac{4}{143}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ<br> | ||
+ | נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג | ||
|- | |- | ||
− | + | !'''<span style=color:green>First from Last Problem - Money</span>''' | |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:money|651|Sndz}}An amount of money - we subtracted from it its fifth, its seventh and its ninth and 10 remain. | + | |We do the opposite: {{#annot:money|651|Sndz}}An amount of money - we have subtracted from it its fifth, its seventh and its ninth and 10 remain. |
− | <math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10</math> | + | :<math>\scriptstyle X-\left(\frac{1}{5}X+\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X\right)=10</math> |
|style="text-align:right;"|נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'{{#annotend:Sndz}} | |style="text-align:right;"|נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י'{{#annotend:Sndz}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We subtract 143, which are the fractions, from 315, which is the denominator; 172 remain. |
− | |style="text-align:right;"|נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב ונעשה הערך כך | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{315-143=172}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We set the proportion as follows: | ||
+ | |style="text-align:right;"|ונעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,152: | Line 5,199: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply 10 by 315; the product is 3 thousand and 150. We divide it by 172; The result is 18 integers and 54 parts of 172. |
− | |style="text-align:right;"|כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{315\sdot10}{172}=\frac{3150}{172}=18+\frac{54}{172}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ<br> | ||
+ | חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים | + | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> We take away one-fifth, one-seventh and one-ninth of this number; we are left with 10 integers. |
+ | |style="text-align:right;"|לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים | ||
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | :According to this way. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ועל זה הדרך | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:tree|650|s6H4}}A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree?<br> | + | !'''<span style=color:green>Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree</span>''' |
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |{{#annot:tree|650|s6H4}}Question: A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree?<br> | ||
:<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X</math> | :<math>\scriptstyle\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X+10=X</math> | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|<big>שאלת</big> האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן{{#annotend:s6H4}} |
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | <span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> We seek for a number that has a third and a quarter; it is 12. | |
− | |style="text-align:right;"|נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב | + | |style="text-align:right;"|נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב |
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> The sum of its third and its quarter is 7. We subtract this from 12; 5 remain. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{12-\left(\frac{1}{3}\sdot12\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot12\right)=12-7=5}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז'<br> | ||
+ | נחסרם מי"ב ישארו ה' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We set the proportion as follows: | ||
|style="text-align:right;"|נעשה הערך כך | |style="text-align:right;"|נעשה הערך כך | ||
|- | |- | ||
Line 4,188: | Line 5,249: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes; the product is 120. We divide it by 5; the result is 24 and this is the height of the tree. |
− | |style="text-align:right;"|הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{12\sdot10}{5}=\frac{120}{5}=24}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ<br> | ||
+ | חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :Check: <math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}</math> | + | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> Because its third is 8, its quarter is 6, and their sum is 14. We subtract this from 24; 10 integers remain, no less and no more. |
− | |style="text-align:right;"|כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{24-\left(\frac{1}{3}\sdot24\right)-\left(\frac{1}{4}\sdot24\right)=24-8-6=24-14=10}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד<br> | ||
+ | נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר | ||
+ | |- | ||
+ | |Another example: {{#annot:tree|650|cO00}}A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water. | ||
+ | :<math>\scriptstyle\frac{1}{7}X+\frac{1}{9}X+8=X</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>דמיון אחר</big> אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח'{{#annotend:cO00}} | ||
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | *<span style=color:green>'''Common Denominator:'''</span> The denominator is 63. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה המורה ס"ג | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | |
− | :<math>\scriptstyle\frac{1}{7} | + | *<span style=color:green>'''False Position:'''</span> We subtract from it 16, which is one-seventh and one-ninth; 47 remain. |
− | |style="text-align:right;"| | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{63-\left(\frac{1}{7}\sdot63\right)-\left(\frac{1}{9}\sdot63\right)=63-16=47}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | + | :We set the proportion as follows: | |
− | |style="text-align:right;"| | + | |style="text-align:right;"|ונעשה הערך כך |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,222: | Line 5,293: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<span style=color: | + | *<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes; they are 504. We divide them by 47; the result is 10 integers and 34 parts. |
− | |style="text-align:right;"|הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{X=\frac{63\sdot8}{47}=\frac{504}{47}=10+\frac{34}{47}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד<br> | ||
+ | חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :Check:< | + | :<span style=color:green>'''Check:'''</span> |
− | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{ | + | ::One-seventh of this number is one integer and 25 parts. |
− | |style="text-align:right;"|ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים | + | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{7}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)=1+\frac{25}{47}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים | ||
|- | |- | ||
− | |||
| | | | ||
+ | ::One-ninth is one integer and 9 parts. | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}\sdot\left(10+\frac{34}{47}\right)=1+\frac{9}{47}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים | ||
|- | |- | ||
− | |{{#annot:inheritance|645|gXlK}}Jacob died. Reuven issued a deed with two witnesses, according to which his father Jacob has given him all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well according to which half of his property should be granted to him. | + | | |
− | |style="text-align:right;"| | + | :We sum the parts mentioned; they are 34 and the integers are 2. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(1+\frac{25}{47}\right)+\left(1+\frac{9}{47}\right)=2+\frac{34}{47}}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב' | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :We subtract them from the number mentioned, 8 remain. | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(10+\frac{34}{47}\right)-\left(2+\frac{34}{47}\right)=8}}</math> | ||
+ | |style="text-align:right;"|חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח' | ||
+ | |- | ||
+ | !'''<span style=color:green>Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance</span>''' | ||
+ | | | ||
+ | |- | ||
+ | |{{#annot:inheritance|645|gXlK}}Question: Jacob died. His son Reuven issued a deed with two credible witnesses, according to which his father Jacob has given him alone all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well, according to which his father instructed that half of his property should be granted to him. Levi also issued a deed, according to which his father instructed that one-third of his property should be given to him. Yehudah too issued a deed, according to which one-quarter of his property should be granted to him. All of them wrote this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour | ||
+ | |style="text-align:right;"|<big>שאלה</big> יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו<br> | ||
גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו<br> | גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו<br> | ||
גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו<br> | גם לוי הוציא שטר שאביו צוה שינתן לו שליש ממונו<br> | ||
Line 4,240: | Line 5,329: | ||
ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות{{#annotend:gXlK}} | ולכלם יום אחד וזמן אחד ושעה אחת בירושלם שכותבין בו שעות{{#annotend:gXlK}} | ||
|- | |- | ||
− | |Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion: | + | |<span style=color:green>Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion:</span> |
| | | | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * '''The | + | *'''The wise men of Israel''' divide it according to the demand of each |
|style="text-align:right;"|והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד | |style="text-align:right;"|והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * '''The Gentile sages''' - according to the ratio of each | + | *'''The Gentile sages''' - according to the ratio of share claimed by each. |
|style="text-align:right;"|וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד | |style="text-align:right;"|וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * '''The arithmeticians''' - | + | *'''The arithmeticians''' - consider the property as if it were one. |
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{red}{X+\frac{1}{2}X+\frac{1}{3}X+\frac{1}{4}X=120}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד | |style="text-align:right;"|וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :When you add to it its half, its third and its quarter, the total is two and one-half of one-sixth. | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}=2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We set the one integer as sixty, which has all the parts mentioned; the total is 125. | ||
:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}</math> | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot60=125}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה | |style="text-align:right;"|והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Or we set the one integer as 12 and the mentioned fractions as 13. | ||
:::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}</math> | :::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left[2+\left(\frac{1}{2}\sdot\frac{1}{6}\right)\right]\sdot12=12+13}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג | |style="text-align:right;"|או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Whichever of the two you take, the same number results at last. | ||
|style="text-align:right;"|ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח | |style="text-align:right;"|ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח | ||
|- | |- | ||
− | | | + | | |
+ | :We seek how much Reuven takes according to his proportional share: We set the proportion at 60, because he demands the whole property. We say that the property is ten dinar, which are 120 pešuṭim. | ||
|style="text-align:right;"|והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון<br> | |style="text-align:right;"|והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון<br> | ||
ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים | ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Reuven | + | *The following is the proportion of the money that Reuven takes: |
|style="text-align:right;"|וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן | |style="text-align:right;"|וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן | ||
|- | |- | ||
Line 4,298: | Line 5,389: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<span style=color: | + | :<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes; the product is 7 thousand and 200. We divide this by 125; the result is 57 pešuṭim and 75 parts. This is Reuven's share. |
− | |style="text-align:right;"|כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן | + | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{60\sdot120}{125}=\frac{7200}{125}=57+\frac{75}{125}}}</math> |
+ | |style="text-align:right;"|כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור'<br> | ||
+ | חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Shimon | + | *The following is the diagram of proportion of Shimon: |
|style="text-align:right;"|וזו צורת ערך שמעון | |style="text-align:right;"|וזו צורת ערך שמעון | ||
|- | |- | ||
Line 4,321: | Line 5,414: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<span style=color: | + | :<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply the extremes and divide according to the rule. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{30\sdot120}{125}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נכפול הקצוות ונחלק כמשפט | |style="text-align:right;"|נכפול הקצוות ונחלק כמשפט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Levi's share | + | *The following is the diagram of Levi's share: |
|style="text-align:right;"|וזו צורת חלק לוי | |style="text-align:right;"|וזו צורת חלק לוי | ||
|- | |- | ||
Line 4,344: | Line 5,438: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<span style=color: | + | :<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> We multiply and divide according to the rule. |
+ | :<math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{20\sdot120}{125}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|נכפול ונחלק כמשפט | |style="text-align:right;"|נכפול ונחלק כמשפט | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Yehudah's share | + | *The following is the diagram of Yehudah's share: |
|style="text-align:right;"|וזו צורת חלק יהודה | |style="text-align:right;"|וזו צורת חלק יהודה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :<span style=color: | + | :<span style=color:green>'''Rule of Three:'''</span> <math>\scriptstyle{\color{OliveGreen}{\frac{15\sdot120}{125}}}</math> |
| | | | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Another method in a shorter way <span style=color:green>[according to the '''Gentile sages''']</span>: |
|style="text-align:right;"|'''ענין אחר''' בדרך קצרה | |style="text-align:right;"|'''ענין אחר''' בדרך קצרה | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Shimon's share = ½ Reuven | + | *Shimon takes a half of Reuven's share. <span style=color:red>Shimon = ½ Reuven</span> |
|style="text-align:right;"|יקח שמעון חצי חלק ראובן | |style="text-align:right;"|יקח שמעון חצי חלק ראובן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Levi's share = ⅓ Reuven | + | *Levi takes the third part of Reuven's share. <span style=color:red>Levi = ⅓ Reuven</span> |
|style="text-align:right;"|גם יקח לוי שליש חלק ראובן | |style="text-align:right;"|גם יקח לוי שליש חלק ראובן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Yehudah's share = ¼ Reuven | + | *Yehudah takes the fourth part of Reuven's share. <span style=color:red>Yehudah = ¼ Reuven</span> |
|style="text-align:right;"|גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן | |style="text-align:right;"|גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120 | + | :When you sum all these parts and integers, they are 120 pešuṭim, which are 10 dinar. |
+ | :<span style=color:red>Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120</span> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ' | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ' | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |According to the procedure of the '''sages of Israel''': |
|style="text-align:right;"|ועל דרך חכמי ישראל | |style="text-align:right;"|ועל דרך חכמי ישראל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Yehudah | + | *The three older brothers say to their brother Yehudah: You only claim 30 pešuṭim and each of us has the same claim of them. Take 7 and one-half, which the quarter, and leave us. Each of the three brothers takes just as much. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{4}\sdot30=7+\frac{1}{2}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים | + | |style="text-align:right;"|יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם<br> |
+ | קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Levi's share = | + | *Reuven also says to Levi: You only claim 40 pešuṭim. You have already took your share of the 30, of which all four of us have claimed. Take one-third of the 10, which is one-fourth of 40, and leave us. Thus, Lewi's share is ten and five-sixths, because the half of the 7 and a half that he had already took is 3 sixths; and the one-third of the 10 is 2 sixths; so they are 5 sixths. |
− | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{ | + | |style="text-align:right;"|ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם<br> |
− | + | קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו<br> | |
+ | והנה חלק לוי עשרה וחמש ששיות פי' כי החצי מן הז' והחצי שלקח כבר הם ג' ששיות ושליש אחד מן הי' הם ב' ששיות הרי ה' ששיות | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]=\left(7+\frac{1}{2}\right)+\left(\frac{1}{3}\sdot10\right)=\left(7+\frac{3}{6}\right)+\left(3+\frac{2}{6}\right)=10+\frac{5}{6}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Shimon's share | + | *Reuven also says to Shimon: You only claim half of the assets, which is 60, and the other half is entirely mine. You have already took your share of 40, so between you and me there is a dispute only about 20. Take half of it and leave me. Thus, Shimon's share is twenty and five-sixths of one pašuṭ. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]=20+\frac{5}{6}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו' | + | |style="text-align:right;"|גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים<br> |
+ | קח חציים ולך מעלי<br> | ||
+ | והנה חלק שמעון עשרים וחמש ששיות פשו' | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *Reuven's share | + | *Reuven's share if eighty and five-sixths of one pašuṭ. |
− | |||
|style="text-align:right;"|וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד | |style="text-align:right;"|וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{red}{\left(\frac{1}{4}\sdot30\right)+\left[\frac{1}{3}\sdot\left(\frac{1}{4}\sdot40\right)\right]+\left[\frac{1}{2}\sdot\left(\frac{1}{3}\sdot60\right)\right]+\left(\frac{1}{2}\sdot120\right)=80+\frac{5}{6}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120 | + | :If you sum these parts they are 10 dinar. |
+ | :<span style=color:red>Reuven+Shimon+Levi+Yehudah=120</span> | ||
|style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ' | |style="text-align:right;"|וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ' | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,552: | Line 5,660: | ||
|You need this method when determining the position of Mars or Mercury, however you do not need it for the determination of the position of Saturn and Jupiter, because in the fifth row and the seventh row there are no degrees, only minutes. | |You need this method when determining the position of Mars or Mercury, however you do not need it for the determination of the position of Saturn and Jupiter, because in the fifth row and the seventh row there are no degrees, only minutes. | ||
|style="text-align:right;"|וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם | |style="text-align:right;"|וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם | ||
+ | |} | ||
+ | {| | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,557: | Line 5,667: | ||
== Chapter Seven - Extraction of Roots == | == Chapter Seven - Extraction of Roots == | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>השער הז' בהוצאת השרשים</big> | + | |style="width:45%;text-align:right;"|<big>השער הז' בהוצאת השרשים</big> |
|- | |- | ||
|All the numbers are according to three ways: | |All the numbers are according to three ways: | ||
Line 4,744: | Line 5,854: | ||
| | | | ||
::Therefore we give it 4. Multiplied by 20 it is 80, so 20 remain. We subtract from it 16, which the square of the quotient; 4 remain. We subtract this from two hundred, 196 remain and this is the square number closest to 200. | ::Therefore we give it 4. Multiplied by 20 it is 80, so 20 remain. We subtract from it 16, which the square of the quotient; 4 remain. We subtract this from two hundred, 196 remain and this is the square number closest to 200. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד'<br> | |style="text-align:right;"|והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד'<br> | ||
נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים | נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle14^2=\left(10+4\right)&\scriptstyle={\color{red}{200-\left[200-\left(10+4\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(2\sdot10\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left[100-\left(20\sdot4\right)-4^2\right]\\&\scriptstyle=200-\left(100-80-16\right)\\&\scriptstyle=200-\left(20-16\right)=200-4=196\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,787: | Line 5,899: | ||
| | | | ||
::When we multiply 3 by 40, which is double the root, the result is 120; we subtract this number from 400, it is 280; we add to it the square of 3, which is 9, because the number precedes the analogous square gives; the result is 289 and this is the square number. | ::When we multiply 3 by 40, which is double the root, the result is 120; we subtract this number from 400, it is 280; we add to it the square of 3, which is 9, because the number precedes the analogous square gives; the result is 289 and this is the square number. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ<br> | |style="text-align:right;"|וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ<br> | ||
נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ<br> | נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ<br> | ||
נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע | נוסיף עליו מרובע ג' שהוא ט' בעבור שהחשבון הוא לפני המרבע הנמשל יהיה רפ"ט והוא המרבע | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(20-3\right)^2&\scriptstyle=400-\left(2\sdot20\sdot3\right)+3^2=400-\left(40\sdot3\right)+9^2\\&\scriptstyle=400-120+9=280+9=289\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,839: | Line 5,953: | ||
| | | | ||
::We multiply 7 by 20, which is double the root; the remainder is 140. We add to it 100, which is the square number; the sum 240. Then we add to it 49, which is the square of the quotient; the result is 289 and this is the square number. | ::We multiply 7 by 20, which is double the root; the remainder is 140. We add to it 100, which is the square number; the sum 240. Then we add to it 49, which is the square of the quotient; the result is 289 and this is the square number. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ<br> | |style="text-align:right;"|ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ<br> | ||
נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ<br> | נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ<br> | ||
נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע | נחבר אליהם מ"ט שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיו רפ"ט והוא המרובע | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(10+7\right)^2&\scriptstyle=100+\left(2\sdot10\sdot7\right)+7^2=100+\left(20\sdot7\right)+7^2\\&\scriptstyle=100+140+49=240+49=289\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,862: | Line 5,978: | ||
| | | | ||
::We multiply 60 by 4; it is 240. We add it to the preceding analogous square; the sum is 1140. We add to it also the square of the quotient, which is 16; the total is 1156 and this is the square, which is the closest to the given number. | ::We multiply 60 by 4; it is 240. We add it to the preceding analogous square; the sum is 1140. We add to it also the square of the quotient, which is 16; the total is 1156 and this is the square, which is the closest to the given number. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ<br> | |style="text-align:right;"|נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ<br> | ||
נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ<br> | נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ<br> | ||
גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון | גם נחבר אליו מרובע מה שעלה בחלוק והוא י"ו והנה הכל אלף קנ"ו וזהו המרובע הקרוב אל המספר הנתון | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(30+4\right)^2&\scriptstyle=900+\left(2\sdot30\sdot4\right)+4^2=900+\left(60\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=900+240+16=1140+16=1156\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,887: | Line 6,005: | ||
| | | | ||
::When we multiply the double of the root by 4, the product is 720. We subtract this number from the analogous square; the remainder is 7380. We add to it the square of the quotient, which is 16; the total is 7396. | ::When we multiply the double of the root by 4, the product is 720. We subtract this number from the analogous square; the remainder is 7380. We add to it the square of the quotient, which is 16; the total is 7396. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ<br> | |style="text-align:right;"|וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ<br> | ||
נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ<br> | נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ<br> | ||
נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו | נוסיף עליו מרובע החלוק שהוא י"ו יהיה הכל ז' אלפי' שצ"ו | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(90-4\right)^2&\scriptstyle=8100-\left(2\sdot90\sdot4\right)+4^2=8100-\left(180\sdot4\right)+4^2\\&\scriptstyle=8100-720+16=7380+16=7396\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,914: | Line 6,034: | ||
| | | | ||
::We add it to the preceding root; it is 150, and we are still left with 3 thousand. We subtract from it two thousand and 500, which is the square of the quotient; 500 remain. We divide it by 300, which is double the root that we had recently, and give it one. | ::We add it to the preceding root; it is 150, and we are still left with 3 thousand. We subtract from it two thousand and 500, which is the square of the quotient; 500 remain. We divide it by 300, which is double the root that we had recently, and give it one. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים<br> | |style="text-align:right;"|נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים<br> | ||
נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק<br> | נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק<br> | ||
נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד | נחלקם על ש' שהוא כפל השרש שהיה לנו באחרונה הנה נתן לו אחד | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{23000-150^2}{2\sdot150}&\scriptstyle=\frac{23000-10000-10000-2500}{300}\\&\scriptstyle=\frac{3000-2500}{300}=\frac{500}{300}>1\longrightarrow n=1\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,939: | Line 6,061: | ||
| | | | ||
::The addition is 400. We subtract it from the given number; 84600 remain and with the addition of 81, which is the square of the quotient, it is 84681, which is actually the square. | ::The addition is 400. We subtract it from the given number; 84600 remain and with the addition of 81, which is the square of the quotient, it is 84681, which is actually the square. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|והנה יש לו תוספת ת'<br> | |style="text-align:right;"|והנה יש לו תוספת ת'<br> | ||
נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת | נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\left(300-9\right)^2&\scriptstyle=90000-\left(2\sdot300\sdot9\right)+9^2\\&\scriptstyle=84600+81=84681\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,958: | Line 6,082: | ||
| | | | ||
::We multiply this number by 800; the result is 32 thousand, and 8 thousand remain. We subtract from this one-thousand and 6 hundred, which is the square of 40, 6 thousand and 4 hundred remain. Now our root is 440 and its double is 880. We divide the remaining number by this double and give it 7; we are left with 240. | ::We multiply this number by 800; the result is 32 thousand, and 8 thousand remain. We subtract from this one-thousand and 6 hundred, which is the square of 40, 6 thousand and 4 hundred remain. Now our root is 440 and its double is 880. We divide the remaining number by this double and give it 7; we are left with 240. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף<br> | |style="text-align:right;"|ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף<br> | ||
נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות<br> | נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות<br> | ||
ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ<br> | ועתה יהיה השרש שלנו ת"מ וכפלו תת"פ<br> | ||
נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז' וישארו לנו ר"מ | נחלק המספר הנשאר על זה הכפול והנה נתן לו ז' וישארו לנו ר"מ | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{200000-440^2}{2\sdot440}&\scriptstyle=\frac{200000-\left(400+40\right)^2}{2\sdot440}=\frac{200000-160000-\left(40\sdot800\right)-40^2}{880}\\&\scriptstyle=\frac{40000-32000-1600}{880}=\frac{8000-1600}{880}=\frac{6400}{880}>7\longrightarrow n=7\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We subtract also the square of 7; 191 remain. We subtract this number from the given number, 199809 remain; this is the square. | ::We subtract also the square of 7; 191 remain. We subtract this number from the given number, 199809 remain; this is the square. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א<br> | |style="text-align:right;"|נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א<br> | ||
נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע | נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle447^2=\left(440+7\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{200000-\left[200000-\left(440+7\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=200000-\left[200000-440^2-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]}}\\&\scriptstyle=200000-\left[6400-\left(2\sdot440\sdot7\right)-7^2\right]\\&\scriptstyle=200000-\left(240-7^2\right)=200000-191=199809\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 4,980: | Line 6,108: | ||
| | | | ||
::Since the analogous square follows the number, we take the difference, which is 40, for 6 hundred thousand are similar to 60, and when we divide it by one-thousand and 6 hundred, we give it all we can, even if it is really a little bit less. | ::Since the analogous square follows the number, we take the difference, which is 40, for 6 hundred thousand are similar to 60, and when we divide it by one-thousand and 6 hundred, we give it all we can, even if it is really a little bit less. | ||
+ | |style="text-align:right;"|בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו ואם יחסר מעט מהאמת | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{800^2-600000}{2\sdot800}=\frac{640000-600000}{1600}=\frac{40000}{1600}<26\longrightarrow n=26}}</math> | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We subtract it from the root of the analogous square, which is 8 hundred that is similar to 8, so the root is 774. We already have 41 thousand and 600 and we had 40 thousand, which is the difference, so we only have to subtract one-thousand and 6 hundred from the given number and add to it the square of 26 that is the quotient, which is 676. So the result is 600 that corresponds to 600. Hence only 924 should be subtracted, because we have 76 added in the square of the quotient. The square is 599076 and this is actually the square. | ::We subtract it from the root of the analogous square, which is 8 hundred that is similar to 8, so the root is 774. We already have 41 thousand and 600 and we had 40 thousand, which is the difference, so we only have to subtract one-thousand and 6 hundred from the given number and add to it the square of 26 that is the quotient, which is 676. So the result is 600 that corresponds to 600. Hence only 924 should be subtracted, because we have 76 added in the square of the quotient. The square is 599076 and this is actually the square. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד<br> | |style="text-align:right;"|חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד<br> | ||
וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו<br> | וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו<br> | ||
והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת | והנה יצא ת"ר כנגד ת"ר והנה אין לחסר אלא תת"ק כ"ד כי ע"ו יש לנו נוספים במרובע החלוק והנה המרובע הוא ת"ק אלף וצ"ט אלפים וע"ו וזהו המרובע באמת | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle774^2=\left(800-26\right)^2&\scriptstyle=640000-\left(2\sdot800\sdot26\right)+26^2\\&\scriptstyle=600000+40000-41600+676\\&\scriptstyle=600000-1600+676\\&\scriptstyle=600000-924=599076\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,000: | Line 6,132: | ||
| | | | ||
::This rank is similar to the first, and the sought number is similar to 5. We subtract the square, which is 4; we are left with one-thousand of thousands. Our preceding root is two thousand and its double 4 thousand. We divide the remaining number by it. | ::This rank is similar to the first, and the sought number is similar to 5. We subtract the square, which is 4; we are left with one-thousand of thousands. Our preceding root is two thousand and its double 4 thousand. We divide the remaining number by it. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים<br> | |style="text-align:right;"|והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים<br> | ||
נחלק עליו המספר הנשאר | נחלק עליו המספר הנשאר | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5000000-2000^2}{2\sdot2000}=\frac{5000000-4000000}{4000}=\frac{1000000}{4000}={\color{red}{250}>200}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::The result is 800 thousand and we are left with 200 thousand. We subtract from it the square of the quotient, which is 40 thousand; we are left with 160 thousand. The root of the preceding number is two thousand and 200 and its double is 4 thousand 400. We divide the remaining number by it and give it 30. | ::The result is 800 thousand and we are left with 200 thousand. We subtract from it the square of the quotient, which is 40 thousand; we are left with 160 thousand. The root of the preceding number is two thousand and 200 and its double is 4 thousand 400. We divide the remaining number by it and give it 30. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף<br> | |style="text-align:right;"|יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף<br> | ||
נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף<br> | נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף<br> | ||
והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות'<br> | והנה שרש המספר שעבר אלפים ור' וכפלו ד' אלפים ות'<br> | ||
נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל' | נחלק המספר הנשאר עליו נתן לו ל' | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2200^2}{2\sdot2200}&\scriptstyle=\frac{5000000-4000000-\left(2\sdot2000\sdot200\right)-200^2}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{1000000-800000-40000}{4400}\\&\scriptstyle=\frac{200000-40000}{4400}=\frac{160000}{4400}>30\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We are left with 28 thousand. We subtract from it the square of the quotient that is 30, which is 900; 27 thousand and 100 remain. The preceding root is two thousand and 230 and its double is 4 thousand and 460. We divide the remaining number by it; the result is 6. | ::We are left with 28 thousand. We subtract from it the square of the quotient that is 30, which is 900; 27 thousand and 100 remain. The preceding root is two thousand and 230 and its double is 4 thousand and 460. We divide the remaining number by it; the result is 6. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|ישאר לנו כ"ח אלף<br> | |style="text-align:right;"|ישאר לנו כ"ח אלף<br> | ||
נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק'<br> | נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק'<br> | ||
והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס<br> | והנה השרש שעבר יהיה אלפים ור"ל וכפלו ד' אלפים ות"ס<br> | ||
נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו' | נחלק עליו המספר הנשאר יעלו ו' | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\frac{5000000-2230^2}{2\sdot2230}&\scriptstyle=\frac{5000000-2200^2-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{160000-\left(2\sdot2200\sdot30\right)-30^2}{4460}\\&\scriptstyle=\frac{28000-900}{4460}=\frac{27100}{4460}>6\longrightarrow n=6\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
::We are left with 540. We subtract from it 36, which is the square of 6; 304 remain. We subtract this from the number given at first; 4999696 remain. This is actually the square, and its root is two thousand and 236. | ::We are left with 540. We subtract from it 36, which is the square of 6; 304 remain. We subtract this from the number given at first; 4999696 remain. This is actually the square, and its root is two thousand and 236. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|נשאר לנו ש"מ<br> | |style="text-align:right;"|נשאר לנו ש"מ<br> | ||
נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד<br> | נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד<br> | ||
נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו | נחסרנו מהמספר הנתון בראשונה ישאר ד' אלפי אלפים ותת"ק אלף וצ"ט אלף ותרצ"ו וזהו המרובע באמת ושרשו אלפים ורל"ו | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle2236^2=\left(2230+6\right)^2&\scriptstyle={\color{red}{5000000-\left[5000000-\left(2230+6\right)^2\right]}}\\&\scriptstyle{\color{red}{=5000000-\left[5000000-2230^2-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]}}\\&\scriptstyle=5000000-\left[27100-\left(2\sdot2230\sdot6\right)-6^2\right]\\&\scriptstyle=5000000-\left(340-36\right)=5000000-304=4999696\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
|Test this with all the testing methods and you will find it correct. | |Test this with all the testing methods and you will find it correct. | ||
Line 5,266: | Line 6,406: | ||
::We subtract one, as we have said; 5 remain. [The sum of] the numbers that precede it is 15, and so is number of the differences. | ::We subtract one, as we have said; 5 remain. [The sum of] the numbers that precede it is 15, and so is number of the differences. | ||
|style="text-align:right;"|נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני' | |style="text-align:right;"|נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני' | ||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | |||
=== Fractions === | === Fractions === | ||
| | | | ||
Line 5,277: | Line 6,416: | ||
|- | |- | ||
|We say a general statement about the square fractions that are alone or combined with integers: | |We say a general statement about the square fractions that are alone or combined with integers: | ||
− | |style="text-align:right;"|ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' | + | |style="text-align:right;"|ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי‫' |
|- | |- | ||
|See if the fraction is one-half, third, fifth, sixth, seventh, or eighth, it is not a square. | |See if the fraction is one-half, third, fifth, sixth, seventh, or eighth, it is not a square. | ||
Line 5,283: | Line 6,422: | ||
|- | |- | ||
|This is because these numbers as integers are not squares. | |This is because these numbers as integers are not squares. | ||
− | |style="text-align:right;"|והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' | + | |style="text-align:right;"|והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי‫' |
|- | |- | ||
|Only if there is one-quarter, or one-fifth of one-fifth, one-sixth of one-sixth, one-seventh of one-seventh; or one-eighth of one-eighth, or one-half of one-eighth, for it is one-sixteenth. | |Only if there is one-quarter, or one-fifth of one-fifth, one-sixth of one-sixth, one-seventh of one-seventh; or one-eighth of one-eighth, or one-half of one-eighth, for it is one-sixteenth. | ||
Line 5,294: | Line 6,433: | ||
|- | |- | ||
|We begin to discuss the square fractions that are alone without integers: | |We begin to discuss the square fractions that are alone without integers: | ||
− | |style="text-align:right;"|ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' | + | |style="text-align:right;"|ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי‫' |
|- | |- | ||
|We have already said that the fractions are reversed to the integers. | |We have already said that the fractions are reversed to the integers. | ||
− | |style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' | + | |style="text-align:right;"|וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי‫' |
|- | |- | ||
|When you multiply an integer by and integer whether by itself or by another, the product is greater than the [multiplied] numbers; the reverse is with fractions. | |When you multiply an integer by and integer whether by itself or by another, the product is greater than the [multiplied] numbers; the reverse is with fractions. | ||
− | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' | + | |style="text-align:right;"|וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי‫' |
|- | |- | ||
|Also, while the squares of the integers are greater than their roots, the opposite is for the square fractions: their roots are greater than their squares. | |Also, while the squares of the integers are greater than their roots, the opposite is for the square fractions: their roots are greater than their squares. | ||
Line 5,319: | Line 6,458: | ||
|- | |- | ||
|I shall give you a general way in the way of the astrologers that extract all their numbers from the number 60. | |I shall give you a general way in the way of the astrologers that extract all their numbers from the number 60. | ||
− | |style="text-align:right;"|ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס' | + | |style="text-align:right;"|ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,328: | Line 6,467: | ||
| | | | ||
:Multiply 40 by 40; they are 1600. Divide them by 60; they are 26 primes and 40 second remain. The total is 4 ninths. | :Multiply 40 by 40; they are 1600. Divide them by 60; they are 26 primes and 40 second remain. The total is 4 ninths. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר<br> | |style="text-align:right;"|תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר<br> | ||
חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות | חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{2}{3}\times\frac{2}{3}=\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}\sdot\frac{\frac{2}{3}\sdot60}{60}=\frac{40}{60}\sdot\frac{40}{60}=\frac{\frac{40\sdot40}{60}}{60}=\frac{\frac{1600}{60}}{60}=\frac{26}{60}+\frac{40}{60^2}=\frac{4}{9}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
:Because, one-ninth is 6 primes and 40 seconds, which are two-thirds of one prime. If we convert this number to thirds, they are 20. We multiply also the 60 by 3; they are 180, and all is in the same ratio. When we divide this number by 20; the result is 9, which is one-ninth. | :Because, one-ninth is 6 primes and 40 seconds, which are two-thirds of one prime. If we convert this number to thirds, they are 20. We multiply also the 60 by 3; they are 180, and all is in the same ratio. When we divide this number by 20; the result is 9, which is one-ninth. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{1}{9}=\frac{20}{180}=\frac{20}{3\sdot60}=\frac{20}{3}\sdot\frac{1}{60}=\frac{6}{60}+\left(\frac{2}{3}\sdot\frac{1}{60}\right)=\frac{6}{60}+\frac{40}{60^2}}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ'<br> | + | |style="text-align:right;"|כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ‫'<br> |
גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת | גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת | ||
|- | |- | ||
Line 5,345: | Line 6,486: | ||
| | | | ||
:You also reverse the thing around by knowing how much are 4 ninths of 60. We have already said that they are 26 primes and 40 seconds. Convert the minutes to seconds and add the seconds to them; the total is 1600. This number is of the even [ranks], similar to 16. consider it as integers; the root is 40. Consider them again as minutes and so is the root. | :You also reverse the thing around by knowing how much are 4 ninths of 60. We have already said that they are 26 primes and 40 seconds. Convert the minutes to seconds and add the seconds to them; the total is 1600. This number is of the even [ranks], similar to 16. consider it as integers; the root is 40. Consider them again as minutes and so is the root. | ||
− | |style="text-align:right;"|הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי'<br> | + | |style="text-align:right;"|הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי‫'<br> |
עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש | עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש | ||
|- | |- | ||
Line 5,351: | Line 6,492: | ||
*Example of a number that is not divisible by 60: We multiply 4 sevenths by 4 sevenths. | *Example of a number that is not divisible by 60: We multiply 4 sevenths by 4 sevenths. | ||
:<math>\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}</math> | :<math>\scriptstyle\frac{4}{7}\times\frac{4}{7}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בחשבון שלא יתחלק על ס'<br> | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בחשבון שלא יתחלק על ס‫'<br> |
כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות | כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות | ||
|- | |- | ||
Line 5,362: | Line 6,503: | ||
| | | | ||
:In a way that is similar to that of the astrologers: its fractions are seventieths. 4 sevenths are 40. We multiply 40 by 40, they are 1600. We divide them by 70; the result is 22 primes and 60 seconds, and this is the square. | :In a way that is similar to that of the astrologers: its fractions are seventieths. 4 sevenths are 40. We multiply 40 by 40, they are 1600. We divide them by 70; the result is 22 primes and 60 seconds, and this is the square. | ||
− | |style="text-align:right;"|ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ'<br> | + | |style="text-align:right;"|ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ‫'<br> |
נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר<br> | נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר<br> | ||
נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע | נחלקם על ע' יהיו כ"ב ראשוני' גם ס' שניים והוא המרובע | ||
Line 5,378: | Line 6,519: | ||
| | | | ||
:If we wish to convert this from the seventieths to sixtieths: | :If we wish to convert this from the seventieths to sixtieths: | ||
− | |style="text-align:right;"|ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' | + | |style="text-align:right;"|ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
:We multiply 40 by 60 and divide the product by 70; the result is 34 and 20 remain. We multiply this by 60 again and divide the product by 70; the result is 17 and we are left with what he called one that is ten, therefore the number is not precise. We convert it to sixtieths, and because 70 is greater than 60, we multiply it again; they are 3,600. We divide them by 70; the result is 51 and this is enough for us. | :We multiply 40 by 60 and divide the product by 70; the result is 34 and 20 remain. We multiply this by 60 again and divide the product by 70; the result is 17 and we are left with what he called one that is ten, therefore the number is not precise. We convert it to sixtieths, and because 70 is greater than 60, we multiply it again; they are 3,600. We divide them by 70; the result is 51 and this is enough for us. | ||
− | |style="text-align:right;"|נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ'<br> | + | |style="text-align:right;"|נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ‫'<br> |
נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר<br> | נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר<br> | ||
נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה | נחלקם על ע' עלו נ"א ויספוק לנו זה | ||
Line 5,394: | Line 6,535: | ||
:The result is one-ninth and this is the square. We convert it to ninetieths. Its third is 30. We multiply it by itself; the result is 900. We divide this by 90; the result is 10 parts and this is the square. | :The result is one-ninth and this is the square. We convert it to ninetieths. Its third is 30. We multiply it by itself; the result is 900. We divide this by 90; the result is 10 parts and this is the square. | ||
|style="text-align:right;"|עלה תשיעית אחד והוא המרובע<br> | |style="text-align:right;"|עלה תשיעית אחד והוא המרובע<br> | ||
− | ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל'<br> | + | ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל‫'<br> |
כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק<br> | כפלנו אותו על עצמו עלו תת"ק<br> | ||
נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע | נחלקנו על צ' ועלה י' חלקים והוא המרובע | ||
Line 5,435: | Line 6,576: | ||
|[Latter], I will give you a method by which you will be able to extract for every square fraction its root by approximation to the truth. | |[Latter], I will give you a method by which you will be able to extract for every square fraction its root by approximation to the truth. | ||
|style="text-align:right;"|ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת | |style="text-align:right;"|ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת | ||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,457: | Line 6,596: | ||
והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים<br> | והנה המרחק מהמרובע שעבר ב' שלמים<br> | ||
נשיבם ראשונים יהיו ק"כ<br> | נשיבם ראשונים יהיו ק"כ<br> | ||
− | נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ'<br> | + | נחלקם על כפל השרש שעבר שהוא ו' יהיו כ‫'<br> |
והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש | והנה השרש ג' שלמים וכ' חלקים ושליש | ||
|- | |- | ||
Line 5,491: | Line 6,630: | ||
| | | | ||
:So, we subtract this square, which is fractions of fractions and see how much is the difference between the integers and the preceding square: it is 8. We convert them to minutes; they are 480. We divide them by 12, which is double the root of the preceding square; they are 40 primes, so the root is 6 integers and 40 parts, for the 40 are fractions and 40 of 60 are 2 thirds. We multiply 2 by 2; they are 4. We divide them by 3; the result is one-third, and one-third of one-third remains, which are 4 ninths. | :So, we subtract this square, which is fractions of fractions and see how much is the difference between the integers and the preceding square: it is 8. We convert them to minutes; they are 480. We divide them by 12, which is double the root of the preceding square; they are 40 primes, so the root is 6 integers and 40 parts, for the 40 are fractions and 40 of 60 are 2 thirds. We multiply 2 by 2; they are 4. We divide them by 3; the result is one-third, and one-third of one-third remains, which are 4 ninths. | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח'<br> | + | |style="text-align:right;"|והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח‫'<br> |
נשיבם ראשונים יהיו ת"פ<br> | נשיבם ראשונים יהיו ת"פ<br> | ||
נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות<br> | נחלקם על י"ב שהוא כפל שרש המרובע שעבר יהיו מ' חלקים ראשונים והנה השרש ו' שלמים ומ' חלקים כי מ' הם השברים ומ' מס' הם ב' שלישיות<br> | ||
− | והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד'<br> | + | והנה נכפול ב' על ב' יהיו ד‫'<br> |
נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות | נחלקם על ג' יעלה שלישית אחת ונשאר שלישית השלישית והנה הם ד' תשיעיות | ||
|- | |- | ||
Line 5,502: | Line 6,641: | ||
נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים<br> | נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים<br> | ||
נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד<br> | נחברם עם הל"ו ויהיו מ"ד<br> | ||
− | נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט' | + | נכפול מ' על עצמו ונחלק העולה על ס' ומה שישאר הם שניים והם כ"ו ומ' והם ד' תשיעיות כי ערכם אל ס' כערך ד' אל ט‫' |
|- | |- | ||
|After I have mentioned these examples, proceed in this way with all the ranks. | |After I have mentioned these examples, proceed in this way with all the ranks. | ||
|style="text-align:right;"|ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות | |style="text-align:right;"|ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות | ||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,537: | Line 6,674: | ||
| | | | ||
::Its distance from the preceding square is 4. | ::Its distance from the preceding square is 4. | ||
− | ::If you convert it to | + | ::If you convert it to primes, then divide by double the root, they are 30, which are half of 60. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\left(60\sdot4\right)^\prime}{8}=30^\prime=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)^\prime}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{20-4^2}{2\sdot4}=\frac{4}{8}=\frac{\left(60\sdot4\right)^\prime}{8}=30^\prime=\left(\frac{1}{2}\sdot60\right)^\prime}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד'<br> | + | |style="text-align:right;"|והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד‫'<br> |
− | ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס' | + | ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
::If you take the distance of 20 from the succeeding square, it is as the root [of the succeeding square]. | ::If you take the distance of 20 from the succeeding square, it is as the root [of the succeeding square]. | ||
− | ::We convert them to | + | ::We convert them to primes, then divide them by 10, which is double the root, they are 30. |
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\left(60\sdot5\right)^\prime}{10}=30^\prime}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{5^2-20}{2\sdot5}=\frac{5}{10}=\frac{\left(60\sdot5\right)^\prime}{10}=30^\prime}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל' | + | |style="text-align:right;"|ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,552: | Line 6,689: | ||
|style="text-align:right;"|על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי | |style="text-align:right;"|על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now, note: if your number is close to the preceding square, look at the difference between them, convert it to primes. |
|style="text-align:right;"|ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים | |style="text-align:right;"|ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If there are primes in your number, add them to the primes you got. |
|style="text-align:right;"|ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית | |style="text-align:right;"|ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you also have seconds, convert all to seconds. |
|style="text-align:right;"|ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים | |style="text-align:right;"|ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Or choose the following shorter way: if the seconds are less than 30, leave them out; if they are more, add one prime instead of them. |
|style="text-align:right;"|או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם | |style="text-align:right;"|או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |When you know of how many primes the difference is, divide it by twice the preceding root and add the quotient to the preceding root. The sum is called "the first root". |
|style="text-align:right;"|וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון | |style="text-align:right;"|וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If your number is in hundreds or thousands, this root is enough for you in geometry, because it does no harm. |
|style="text-align:right;"|ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק | |style="text-align:right;"|ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |However, if the number is small, you still need a second root, which is more precise. |
|style="text-align:right;"|רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק | |style="text-align:right;"|רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |To calculate chords and arches, you need a third root, which is even more precise. |
|style="text-align:right;"|ולהוציא ה{{#annot:term|1118|BVOw}}יתרים{{#annotend:BVOw}} וה{{#annot:term|1119|Gr5j}}קשתות{{#annotend:Gr5j}} אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר | |style="text-align:right;"|ולהוציא ה{{#annot:term|1118|BVOw}}יתרים{{#annotend:BVOw}} וה{{#annot:term|1119|Gr5j}}קשתות{{#annotend:Gr5j}} אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |This is how the approximation is applied: when you have the primes of the difference, know how much is their square, divide it by twice the first root, then know how much the quotient is, and in what rank it is, whether in primes or in seconds, as I have shown you in the chapter of the fractions and subtract it from the first root; the remainder is the second root. |
|style="text-align:right;"|וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני | |style="text-align:right;"|וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |If you want to calculate it more precisely, take the square of the quotient and divide it by double the second root. |
|style="text-align:right;"|ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני | |style="text-align:right;"|ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני | ||
|- | |- | ||
− | | | + | |Now I shall give you examples according to way of the arithmeticians with approximate calculation. |
|style="text-align:right;"|ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב | |style="text-align:right;"|ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב | ||
|- | |- | ||
Line 5,591: | Line 6,728: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :The preceding square is 196, the difference is 4 integers. When you divide them by 28, which is double the root, the result is one-seventh, so the root is 14 and one-seventh. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{200}\approx14+\frac{200-14^2}{2\sdot14}=14+\frac{200-196}{28}=14+\frac{4}{28}=14+\frac{1}{7}}}</math> | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,600: | Line 6,740: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :Multiply this root by 10; the result is 141 and 3 sevenths. | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{20000}=10\sdot\sqrt{200}\approx10\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)=141+\frac{3}{7}}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות | |style="text-align:right;"|כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> | + | *If we want to know the root of two from the root of two hundred, which is 14 and one-seventh. |
+ | :<math>\scriptstyle\sqrt{2}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית | |style="text-align:right;"|ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | : | + | :We take its tenth: From 10 we take one integer. One-tenth of 4 are 4 tenths and we know that 4 tenths are 2 fifths, which are 24 minutes. We have to take one-tenth of the seventh. As we said before, one-seventh of 60 is 8, 34 seconds. We convert all to seconds; they are 514 and their tenth is 52. Hence, the first root is 1° 24' 52" and it is approximated to the truth. |
|style="text-align:right;"|נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם<br> | |style="text-align:right;"|נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם<br> | ||
ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים<br> | ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים<br> | ||
ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים<br> | ויש לנו לקחת עשירית השביעית והנה שביעית ס' כבר אמרנו שהוא ח' ל"ד שניים<br> | ||
נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת | נשיב הכל שניים יהיו תקי"ד ועשיריתם נ"ב והנה יהיה השרש הראשון א' כ"ד נ"ב והוא כמעט קרוב אל האמת | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}=\frac{1}{10}\sdot\sqrt{200}&\scriptstyle\approx\frac{1}{10}\sdot\left(14+\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=\left(\frac{1}{10}\sdot10\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot4\right)+\left(\frac{1}{10}\sdot\frac{1}{7}\right)\\&\scriptstyle=1+\frac{4}{10}+\left[\frac{1}{10}\sdot\left(8^\prime+34^{\prime\prime}\right)\right]\\&\scriptstyle=1+\frac{2}{5}+\left(\frac{1}{10}\sdot514^{\prime\prime}\right)\approx1+24^\prime+52^{\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף | + | *We turn to extract this root from 20 thousand. |
+ | |style="text-align:right;"|נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"| | + | :We know that this number is similar to the units and 10 thousand is similar to one, which is the analogous square. |
+ | |style="text-align:right;"|וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We subtract 10, meaning take the minutes of the difference, after you divide them by double the preceding root and they are the minutes that you have in the root. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש | ||
+ | |- | ||
+ | |Or if you wish, say that you take the first root, square it and see how close it is. Then, divide its excess over your first number by double the first root, subtract the quotient from the first root and the remainder is the second root. | ||
+ | |style="text-align:right;"|או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | :[Subtract] 406 from our number; 10,000 remain. We divide them by double the root, which is 200, yet we do not give it all that we can, but leave as much as the square of the quotient. So, we give it 40 and we have two thousand left. We subtract one thousand and 600 from this, which is the square of the quotient; 400 remain. Our root is 140, its double is 280. We divide the remainder by it. We give it one; 120 remain. We subtract 1 from it, which is the square of 1; 119 remain, and our root is 141. We convert the remainder into minutes, they are 7 thousand and 140. We divide them by 282, which is double our roots; the result is 25 minutes and 19 seconds. We divide all the integers and the seconds that we have said by 100; the result is one integer 24 51 11. This is more accurate than the first [root] that we mentioned. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו | ||
+ | |- | ||
+ | |If you take any number that is twice a square number and multiply the root of this square number by this root, you will get the root of the number exactly. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק | |style="text-align:right;"|ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *{{#annot:√18|439|aS7F}} | + | *{{#annot:√18|439|aS7F}}Example: we wish to know how much is the root of 18. |
:<math>\scriptstyle\sqrt{18}</math> | :<math>\scriptstyle\sqrt{18}</math> | ||
|style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לדעת כמה שרש י"ח{{#annotend:aS7F}} | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> רצינו לדעת כמה שרש י"ח{{#annotend:aS7F}} | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :We double the root of the square, the double of which is this number; the result is 4 integers, 14 minutes, 33 seconds and 33 thirds. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
:<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)\\&\scriptstyle=4+14^\prime+33^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{18}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot3^2}=3\sdot\sqrt{2}\\&\scriptstyle\approx3\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)\\&\scriptstyle=4+14^\prime+33^{\prime\prime}+33^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}</math> | + | *If we double this number, it is the root of 72, which is the double of the double of 18. |
+ | :<math>\scriptstyle2\sdot\sqrt{18}=\sqrt{2^2\sdot18}=\sqrt{72}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח | |style="text-align:right;"|ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | *<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}</math> | + | *If we take half of this root, it is the root of 4 and one-half, which is a quarter of 18. |
+ | :<math>\scriptstyle\frac{1}{2}\sdot\sqrt{18}=\sqrt{\frac{1}{2}^2\sdot18}=\sqrt{\frac{1}{4}\sdot18}=\sqrt{4+\frac{1}{2}}</math> | ||
|style="text-align:right;"|ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח | |style="text-align:right;"|ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | * | + | *If we take the square of 7 thousand and 200, which is twice the square of 60, the root is 84 integers, 51 minutes and 11 seconds and this is the root of 2 itself, because we convert them to minutes. Consider these 84 that are integers as minutes, and the minutes as seconds, and the seconds as thirds. |
|style="text-align:right;"|ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים | |style="text-align:right;"|ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle\begin{align}\scriptstyle\sqrt{7200}&\scriptstyle=\sqrt{2\sdot60^2}\\&\scriptstyle=84+51^\prime+11^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=60\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}\right)+11^{\prime\prime\prime}=60\sdot\sqrt{2}\\\end{align}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :If you multiply this number by itself after you have converted it into thirds and divide then as the rule to convert them to the first rank, you are not left even with one second, let alone a minute. | ||
|style="text-align:right;"|ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון | |style="text-align:right;"|ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We go back to extract the root of 2 as it is analogous for the units. The preceding square is one; the difference between it and our number is one. We convert is to minutes; they are 60. We divide them by double the root, which is two; they are 30 minutes. So, the first root is 1 and 30 minutes. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{2}}{60}=1+30^\prime}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{2}\approx1+\frac{2-1^2}{2\sdot1}=1+\frac{2-1}{2}=1+\frac{1}{2}=1+\frac{\frac{60\sdot1}{2}}{60}=1+30^\prime}}</math> | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | |style="text-align:right;"|ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק | + | ::But this is inaccurate because it is a small number; for when we extracted it from the number 200, it was closer to the truth, and from 20 thousand it was more accurate and the first root was enough for us. |
+ | |style="text-align:right;"|ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק ויספיק לנו השרש הראשון | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::Our quotient is 30 minutes; its square is 15 minutes, because the product of minutes by minutes is seconds, that is 9 hundred, we divide them by 60; they are 15 minutes. We divide them by double the root we had, which is 3; the result is 5. We subtract them from the root that we had, so the second root is one integer and 25 minutes, which is still inaccurate because it is a small number. | ||
+ | |style="text-align:right;"|והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים<br> | ||
+ | ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה‫'<br> | ||
+ | נחסרם מן השרש שהיה לנו יהיה השרש השני א' שלם וכ"ה ראשונים ועודנו אינו מדוקדק בעבור היותו חשבון קטן | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+30^\prime\right)-\frac{\left(30^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{15^\prime}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-5^\prime=1+25^\prime\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+30^\prime\right)-\frac{\left(30^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+30^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{\frac{900}{60^2}}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-\frac{15^\prime}{3}\\&\scriptstyle=\left(1+30^\prime\right)-5^\prime=1+25^\prime\\\end{align}}}</math> | ||
− | |||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | ::We take again the square of the quotient, which is 25 and they are seconds, and double the second root that we had, which is one integer and 25 minutes, is 2 integers and 50 minutes. We divide the seconds by it. Since we have 5 sixths, we convert all into sixths: so multiply 25 by 6; they are 150. We divide them by 17. We give it 8, and 14 remain. We convert them into sixtieths; they are 840. We divide them by 17; the result is 49 and they are thirds, and 7 remain of 17. We leave them out, because we do not need them, for now we still have to subtract the square of the quotient. When we subtract 8 seconds and 49 thirds from the second root, the remainder is one integer, 24 minutes, 51 seconds and 11 thirds. | ||
+ | |style="text-align:right;"|נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה<br> | ||
+ | ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\frac{\left(5^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+50^\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{6\sdot25}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{150}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(8+\frac{14}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{60\sdot14}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{840}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(49+\frac{7}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)=1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\frac{\left(5^\prime\right)^2}{2\sdot\left(1+25^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+50^\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\frac{25^{\prime\prime}}{2+\frac{5}{6}}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{6\sdot25}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(\frac{150}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left(8+\frac{14}{17}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{60\sdot14}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(\frac{840}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(1+25^\prime\right)-\left[8^{\prime\prime}+\left(49+\frac{7}{17}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle\approx\left(1+25^\prime\right)-\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)=1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ||
− | |||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | :If we calculate according to the way of astrologers, it would be the same. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה | ||
+ | |- | ||
+ | | | ||
+ | ::If we calculate even more precisely by taking the square of the 8 seconds and 49 thirds that we mentioned, the resulting root would be as precisely as possible, 1, 24 minutes, 51 seconds, 17 thirds and 54 fourths. | ||
+ | |style="text-align:right;"|ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)-\frac{\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)^2}{2\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}+17^{\prime\prime\prime}+54^{\prime\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ::<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{2}&\scriptstyle\approx\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)-\frac{\left(8^{\prime\prime}+49^{\prime\prime\prime}\right)^2}{2\sdot\left(1+24^\prime+51^{\prime\prime}+11^{\prime\prime\prime}\right)}\\&\scriptstyle\approx1+24^\prime+51^{\prime\prime}+17^{\prime\prime\prime}+54^{\prime\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ||
− | |||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,679: | Line 6,863: | ||
:We divide them by 6, which is double the preceding root, it is 10. | :We divide them by 6, which is double the preceding root, it is 10. | ||
:Hence, the first [approximate] root is 3 integers and 10 minutes. | :Hence, the first [approximate] root is 3 integers and 10 minutes. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד<br> | |style="text-align:right;"|והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד<br> | ||
נשיבנו ראשונים יהיו ס‫'<br> | נשיבנו ראשונים יהיו ס‫'<br> | ||
נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י‫'<br> | נחלקנו על ו' שהוא כפל השרש שעבר יהיה י‫'<br> | ||
והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים | והנה השרש הראשון ג' שלמים י' ראשונים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10}\approx3+\frac{10-3^2}{2\sdot3}=3+\frac{1}{6}=3+\frac{\frac{60\sdot1}{6}}{60}=3+\frac{60^\prime}{6}=3+10^\prime}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,692: | Line 6,878: | ||
:We divide them by 19, the result is 47. | :We divide them by 19, the result is 47. | ||
:We have to subtract it from the 10 parts: we subtract 15 seconds and 15 thirds, the remainder is 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds. | :We have to subtract it from the 10 parts: we subtract 15 seconds and 15 thirds, the remainder is 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds. | ||
− | :So, the second [approximate] root is 3 integers, 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds. | + | :So, the second [approximate] root is 3 integers, 9 minutes, 44 seconds and [13] thirds. |
− | |||
|style="text-align:right;"|נשוב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון<br> | |style="text-align:right;"|נשוב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון<br> | ||
ונשיב הכל מערך ג‫'<br> | ונשיב הכל מערך ג‫'<br> | ||
Line 5,703: | Line 6,888: | ||
יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים<br> | יהיה הנשאר ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים<br> | ||
והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים | והנה השרש השני הוא ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים מ"ה שלישיים | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{10}&\scriptstyle\approx\left(3+10^\prime\right)-\frac{\left(10^\prime\right)^2}{2\sdot\left(3+10^\prime\right)}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\frac{100^{\prime\prime}}{6+\frac{1}{3}}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\frac{3\sdot100^{\prime\prime}}{19}\\&\scriptstyle=\left(3+\frac{10}{60}\right)-\left(\frac{300}{19}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left(15+\frac{15}{19}\right)^{\prime\prime}\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(\frac{60\sdot15}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(\frac{900}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle=\left(3+10^\prime\right)-\left[15^{\prime\prime}+\left(47+\frac{7}{19}\right)^{\prime\prime\prime}\right]\\&\scriptstyle\approx\left(3+10^\prime\right)-\left(15^{\prime\prime}+47^{\prime\prime\prime}\right)=3+9^\prime+44^{\prime\prime}+{\color{red}{13}}^{\prime\prime\prime}\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,735: | Line 6,923: | ||
:Thus, we subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall, 8 remain and their square is 64. | :Thus, we subtract the 2 cubits by which the top [of the ladder] was lowered from the top of the wall, 8 remain and their square is 64. | ||
:We subtract it from 100, which is the square of the ladder, 36 remain, their root is 6 and this is the distance of the ladder from the base at the bottom. | :We subtract it from 100, which is the square of the ladder, 36 remain, their root is 6 and this is the distance of the ladder from the base at the bottom. | ||
− | |||
|style="text-align:right;"|והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד<br> | |style="text-align:right;"|והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד<br> | ||
נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד | נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\sqrt{10^2-\left(10-2\right)^2}=\sqrt{10^2=8^2}=\sqrt{100-64}=\sqrt{36}=6}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,781: | Line 6,971: | ||
:We divide [the square of half the chord] by the versed sine, the result is 7. | :We divide [the square of half the chord] by the versed sine, the result is 7. | ||
:We add to it 3 and it is the diameter. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{3}+3=7+3}}</math> | :We add to it 3 and it is the diameter. <math>\scriptstyle{\color{blue}{\frac{21}{3}+3=7+3}}</math> | ||
− | |style="text-align:right;"|חלקנוהו על החץ עלה ז'<br> | + | |style="text-align:right;"|חלקנוהו על החץ עלה ז‫'<br> |
והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון | והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון | ||
|- | |- | ||
Line 5,788: | Line 6,978: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
− | :Half the diameter is 5, the versed sine is one. We subtract it from 5, 4 remains to the midpoint and its square is 16. We subtract is from 25, which is the square of half the diameter, 9 remains, its root is 3 and so is half the chord. | + | :Half the diameter is 5, the versed sine is one. We subtract it from 5, 4 remains to the midpoint and its square is 16. We subtract is from 25, which is the square of half the diameter, 9 remains, its root is 3 and so is half the chord. |
|style="text-align:right;"|הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד<br> | |style="text-align:right;"|הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד<br> | ||
נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו<br> | נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו<br> | ||
נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר | נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי אלכסון ישארו ט' ושרשו ג' וככה חצי היתר | ||
+ | |- | ||
+ | | colspan="2"| | ||
+ | :<math>\scriptstyle{\color{blue}{\begin{align}\scriptstyle\sqrt{\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)^2-\left[\left(\frac{1}{2}\sdot10\right)-1\right]^2}&\scriptstyle=\sqrt{5^2-\left(5-1\right)^2}\\&\scriptstyle=\sqrt{25-4^2}=\sqrt{25-16}=\sqrt{9}=3\\\end{align}}}</math> | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
:Thus, the whole chord is 6. | :Thus, the whole chord is 6. | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה כל היתר ו' | + | |style="text-align:right;"|והנה כל היתר ו‫' |
|- | |- | ||
|This matter should be a foundation for you, as the square of what remains from the versed sine to the midpoint plus the square of half the chord are equal the the square of half the diameter. | |This matter should be a foundation for you, as the square of what remains from the versed sine to the midpoint plus the square of half the chord are equal the the square of half the diameter. | ||
− | |style="text-align:right;"|וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל ה{{#annot: | + | |style="text-align:right;"|וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל ה{{#annot:midpoint|833|vdqX}}נקודה{{#annotend:vdqX}} עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון |
|- | |- | ||
|Another way to extract the chord: multiply the versed sine by the remainder from the diameter; the product is the square of half the chord. Extract its root and double it; then you will find the whole chord. | |Another way to extract the chord: multiply the versed sine by the remainder from the diameter; the product is the square of half the chord. Extract its root and double it; then you will find the whole chord. | ||
Line 5,809: | Line 7,002: | ||
| | | | ||
*Example for the circle mentioned: The versed sine is 2, so its ratio to the whole diameter is one-fifth. One-fifth of 100, which is the square of the whole diameter, is 20. This number contains the square of the versed sine and the square of half the chord. The square of the versed sine must be one-fifth of 20, which is 4. We subtract this from the 20; 16 remain and this is the square of half the chord. | *Example for the circle mentioned: The versed sine is 2, so its ratio to the whole diameter is one-fifth. One-fifth of 100, which is the square of the whole diameter, is 20. This number contains the square of the versed sine and the square of half the chord. The square of the versed sine must be one-fifth of 20, which is 4. We subtract this from the 20; 16 remain and this is the square of half the chord. | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד'<br> | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד‫'<br> |
נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר | נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר | ||
|- | |- | ||
Line 5,875: | Line 7,068: | ||
| | | | ||
::Then the square of the chord, 3 13 20 remains. | ::Then the square of the chord, 3 13 20 remains. | ||
− | |style="text-align:right;"|וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב' | + | |style="text-align:right;"|וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,890: | Line 7,083: | ||
| | | | ||
*Example: It is said that the chord is 6. | *Example: It is said that the chord is 6. | ||
− | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אמר כי היתר ו' | + | |style="text-align:right;"|<big>דמיון</big> אמר כי היתר ו‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
:We take the square of its half, which is 9. We subtract it from 25, which is the square of half the diameter; 16 remain, the root of which is 4. We subtract this from half the diameter, which is 5; one remains and so is the versed sine. | :We take the square of its half, which is 9. We subtract it from 25, which is the square of half the diameter; 16 remain, the root of which is 4. We subtract this from half the diameter, which is 5; one remains and so is the versed sine. | ||
− | |style="text-align:right;"|נקח מרובע חציו שהוא ט'<br> | + | |style="text-align:right;"|נקח מרובע חציו שהוא ט‫'<br> |
− | נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד'<br> | + | נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד‫'<br> |
נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ | נחסרנו מחצי האלכסון שהוא ה' ישאר אחד וככה הוא החץ | ||
|- | |- | ||
Line 5,927: | Line 7,120: | ||
| | | | ||
*'''Archimedes''' the wise proved that it is less than this number, as he said that the excess [over 3] is less than 10 parts of 70. | *'''Archimedes''' the wise proved that it is less than this number, as he said that the excess [over 3] is less than 10 parts of 70. | ||
− | |style="text-align:right;"|וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' | + | |style="text-align:right;"|וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
Line 5,961: | Line 7,154: | ||
|- | |- | ||
|For every number preceding 10, the ratio of the triangle on the third [of the diameter] to the perimeter is as the ratio [of the number] to 10. | |For every number preceding 10, the ratio of the triangle on the third [of the diameter] to the perimeter is as the ratio [of the number] to 10. | ||
− | |style="text-align:right;"|וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אל י' | + | |style="text-align:right;"|וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אל י‫' |
|- | |- | ||
|If it is greater than 10, the ratio of the perimeter to the triangle on the third is as the ratio of 10 to the diameter. | |If it is greater than 10, the ratio of the perimeter to the triangle on the third is as the ratio of 10 to the diameter. | ||
Line 6,020: | Line 7,213: | ||
| | | | ||
*You will see it in the example: We wish to multiply 200 by 300. | *You will see it in the example: We wish to multiply 200 by 300. | ||
− | |style="text-align:right;"|ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' | + | |style="text-align:right;"|ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש‫' |
|- | |- | ||
| | | | ||
:The analogous numbers are 2 and 3. We multiply them by each other; they are 6. The number of ranks is also 6. We subtract one for the foundation; 5 remain. Hence, they begin from 10 thousand, so ithey are 60 thousand. | :The analogous numbers are 2 and 3. We multiply them by each other; they are 6. The number of ranks is also 6. We subtract one for the foundation; 5 remain. Hence, they begin from 10 thousand, so ithey are 60 thousand. | ||
− | |style="text-align:right;"|והנה הנמשלים ב' וג'<br> | + | |style="text-align:right;"|והנה הנמשלים ב' וג‫'<br> |
− | כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו'<br> | + | כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו‫'<br> |
− | נחסר אחד למוסד ישאר ה'<br> | + | נחסר אחד למוסד ישאר ה‫'<br> |
ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף | ותחלתם י' אלפים והנה הם ששים אלף | ||
|- | |- | ||
Line 6,390: | Line 7,583: | ||
|- | |- | ||
| | | | ||
+ | *Question: A trader said to his servant: I give you 100 pešiṭim , buy me with them 100 fowls of 3 kinds - roosters, geese and birds; the goose is worth 5 pešiṭim, the rooster 3 pešiṭim and the birds twenty of them for one pašuṭ. How much did he take of each kind? | ||
|style="text-align:right;"|שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט<br> | |style="text-align:right;"|שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט<br> | ||
כמה לקח מכל מין | כמה לקח מכל מין | ||
Line 6,833: | Line 8,027: | ||
:25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428) | :25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428) | ||
:26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503) | :26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503) | ||
− | ::[[https://digital.bodleian.ox.ac.uk/ | + | ::[[https://digital.bodleian.ox.ac.uk/objects/f10be5db-955b-4c7b-89bf-0d7cdb81ed7f/surfaces/cba22ef6-f254-4d31-8789-3510f4cb021a/ O187]] |
:27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century) | :27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century) | ||
::[[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9064672r/f46.image.r=Hébreu.langEN P1029]] | ::[[https://gallica.bnf.fr/ark:/12148/btv1b9064672r/f46.image.r=Hébreu.langEN P1029]] |
Latest revision as of 11:07, 30 December 2022
Contents
- 1 Prologue
- 2 Chapter One – [Multiplication]
- 3 Chapter Two – Division
- 4 Chapter Three – Addition
- 5 Chapter Four – Subtraction
- 6 Chapter Five - Fractions
- 7 Chapter Six - Proportions
- 8 Chapter Seven - Extraction of Roots
- 9 Additional Excerpt
- 10 Notes
- 11 Apparatus
- 12 Appendix I: Glossary of Terms
- 13 Appendix II: Bibliography
ראה ספר מחוקק באמונה[1] | |
ותמצא בו[2] לכל מספר תכונה | |
אשר חבר בנו מאיר למאיר | |
קטן שנים וחכם בתבונה[3] | |
ספר המספר[4] | |
---|---|
Prologue |
|
Numeration |
|
Since the sublime God alone has created in the upper world nine large heavenly spheres revolving around the earth, which is the lower world. | בעבור[5] כי השם הנשגב[6] לבדו[7] ברא בעולם[8] העליון[9] תשע עגולות גדולות[10] סובבות את[11] הארץ שהוא[12] העולם[13] השפל |
Reference to the triple repetition of the word sefer in Sefer Yezira [the Book of Creation] – interpretation of one of them as representing the concept of the nine numbers: | |
And the author of the Sefer Yezira has said that the paths of the wisdom are by Sefar and Sefer and Sipur and the Sefar is nine numbers. | ובעל ספר[14] יצירה[15] אמר[16] כי נתיבות החכמה[17] הם בִּסְפָר[note 1] וְסֵפֶר[18] וְסִפּוּר[19][note 2] |
|
|
|
כי תשעה[22] סוף כל חשבון[23] ואלה[24] יקראו[25] האחדים[26] שהם במעלה הראשונה[27] |
|
|
|
כי עשרה[28] דומה לאחד |
|
|
|
והיה[32] ראוי שיקראוהו[33] עֶשְׂרַיִם[34] כאשר יקראו[35] ממאה[36] מאתים ומאלף[37] אַלְפַּים רק בעבור[38] חבריו הבאים אחריו[39] שהם[40] שלשים[41] עד תשעים נהגו[42] כמנהגם[43] |
|
והנה שלשים[44] מגזרת שלש[45] וככה כלם[46] |
|
והנה מאה[47] דומה[48] לאחד גם[49] לעשרה[50] |
|
וככה אלף ורבבה שהם ראשי[54] כללים למספרים[55] הבאים אחריהם[56] שהם[57] א'י'ק' ב'כ'ר'[58][note 3] |
|
|
|
והאות על זה[59][note 4] כשתעשה[60] עגול[61][note 5] ותכתוב סביבו[62] תשעה מספרים |
|
ותכפול תשעה[63] על[64] עצמו והטעם[65] להיותו[66] מרובע ארכו כרחבו תראה זה[67] וככה הוא[68] |
|
והנה המרובע[69] אחד ושמונים[70] והנה[71] האחד[72] לשמאלו של[73] תשעה[74] שהוא ראש האחדים[75] וח' שהוא[76] כנגד שמונים[77] בכלל לימין תשעה |
|
ואם תכפול ט' על ח' יהיה המחובר[78] ע"ב והנה ב'[79] לשמאלו[80] וז' שהוא[81] כנגד[82] ע'[83] לימינו |
|
ואם תכפול[84] ט' על[85] ז'[86] יהיה המחובר[87] ס"ג והנה[88] ג'[89] לשמאלו וו'[90] לימינו שהוא כנגד ס'[91] |
|
ואם תכפול ט' על ו' יהיה המחובר[92] נ"ד והנה[93] ד' לשמאלו[94] וה'[95] שהוא[96] כנגד נ'[97] לימינו[98] |
|
ובעבור כי חשבון[99] חמשה[100] הוא אמצעי בט' מספרים[101] על[102] כן[103] נקרא חשבון עגול[note 6] כי הוא מתגלגל[104] על עצמו כי מרובעו[105] יש בו חמשה[106] |
|
וכאשר תכפול[107] ט' על ה'[108] יתגלגל הדבר בעגול[109] כי[110] האחדים יהיו[111] לימין ט'[112] והכללים[113] לשמאלו כי המחובר[114] הוא[115] מ"ה והנה הה'[116] מפאת ימין ט'[117] והכללים[118]לשמאלו שהוא[119] ד'[120] במקום המ'[121] |
|
וכאשר תכפול ט' על ד'[122] יהיה המחובר ל"ו והנה ג'[123] כנגד שלשים[124] |
|
וכאשר תכפול ט'[125] על ג'[126] יהיה המחובר כ"ז והנה[127] ב'[128] כנגד עשרים[129] |
|
וכאשר תכפול ט'[130] על ב'[131] יהיה המחובר י"ח והנה[132] א' כנגד עשרה[133] |
Hence the checking scales are based on modulo 9 | |
Therefore, the scales of a number that is multiplied by itself or by another is 9. | על[134] כן[135] מאזני מספר[136] שהוא כפול[137] על עצמו או על אחר[138] הם[139] ט'[140] |
The Positional Decimal System |
|
|
|
|
[141]על כן[142] עשו[143] חכמי הודו כל מספרם[144] על תשעה[145] ועשו צורות לט' מספרים[146] |
|
|
|
והנה לעולם אם[149] יש בידך[150] מספר[151] אחדים[152] ותחלת[153] הכללים[154] שהם עשרות[155] יכתוב בתחלה[156] מספר[157] האחדים[158] ואחר כך מספר הכלל[159] |
|
|
|
ואם אין[160] לו[161] מספר האחדים[162] ויש לו מספר[163] במעלה השנית שהם[164] העשרות[165] ישים[166] כדמות גלגל[167][note 7] בראשונה[168] להורות[169] כי אין[170] במעלה הראשונה[171] מספר[172] ויכתוב[173] המספר[174] שיש לו בעשרות[175] אחריו[176] |
|
|
|
ואם הכלל שלו[177] מהמאות[178] ומהעשרות[179] יכתוב גלגל[180] בראשונה ואחר כך[181] מספר העשרות[182] בשנית ומספר[183] המאות בשלישית[184] |
|
|
|
ואם[185] יש לו מספר[186] אלפים ברביעית[187] ומספר עשרת[188] אלפים בחמישית ומספר מאות[189] אלפים[190] בששית[191] |
|
|
|
כי א'י'ק'[192] יחזור[193] ברביעית לאלפים[194][note 8] ובשביעית[195] לאלף[196] אלפים ובעשירית לאלף[197] אלפי אלפים[198] וככה[199] עד אין קץ[200] |
|
|
|
ואם יש[201] לו מספר אחדים ומאות ואין לו עשרות[202][note 9] יכתוב[203] מספר[204] האחדים[205] בראשונה וגלגל בשנית ומספר המאה[206] בשלישית |
|
|
|
ועל זה הדרך[207] ישים[208] שנים[209] גלגלים בראשונה[210] או כפי מה שיצטרך עד אין חקר[211] או באמצע[212] |
Table of Contents |
|
ואחר שהזכרתי זה אזכיר[213] שערי זה[214] הספר[215] ונאמר[216] שהם[217] שבעה[218] | |
|
השער הא'[219][note 10] לכפול[220] חשבון על עצמו[221][note 11] או על[222] אחר[note 12] או כפל[223] חשבון אחד[224] על שנים[225] חשבונות[226][note 13] או יותר[227] או כפל[228] חשבונות[229] רבים על רבים[230][note 14] |
|
השער הב'[231][note 15] לחלק[232] חשבון כלל[233] על פרט[234] או שנים[235] כללים[236] על פרט אחד[237] או כללים גבוהים על כללים[238] שפלים או[239] כללים ופרטים[240] על פרטים[241] גם אדבר על המאזנים[242][note 16] של[243] שער[244] הכפל[245] והחלוק[246] |
|
השער הג'[247][note 17] בחבור[248] מספר על[249] מספר[250][note 18] פרט[251] עם[252] כלל[253] או כלל עם[254] כלל[255] |
|
השער הד'[256][note 19] לחסר[257] מספר[258] ממספר[note 20] פרט[259] מכלל[260] או כלל מכלל גם אדבר[261] על מאזני שער[262] החבור[263] והמגרעת[264] |
השער הה'[265] על השברים[266] והם על[267] דרכים[268] רבים שלמים על[269] שלמים[270] ונשברים[271] עמהם או שלמים ונשברים[272] עם[273] שלמים[274] ונשברים[275] למיניהם[276] או שברים עם[277] שברים או שברים[278] על[279] שברי[280] שברים[281] או שברי שברים[282] על[283] שברי[284] שברים[285] בין לכפול בין לחלק בין לחבר[286] בין לגרוע[287] ומאזניהם[288] | |
השער הו'[289] בערכים[290] והוא שער נכבד מאד[291] כי ממנו יוכל[292] להוציא[293] רובי[294] השאלות הקשות ורוב[295] הראיות[296] מחכמת[297] המזלות יצאו מזה[298] הערך[299] | |
השער הז'[300] על שרשי[301] המרובעים והמאזנים[302] שלהם כי הם רבים[303] וחכמת המדות תלויה[304] בשער הזה[305] וזה[306] השער[307] חמור[308] מכל השערים[309] ואין[310] כח במשכיל[311] לדעת קדרות[312] המאורות אם לא ילמד[313] זה[314] השער[315] ויתרי[316] קשתי[317] העגול[318] יצאו[319] מהשער הזה[320] |
Chapter One – [Multiplication] |
השער הראשון |
---|---|
Shortcuts |
|
|
|
|
כבר הזכרתי איך הם[I 1] מעלות המספר[I 2] והנה[I 3] כשיבואו[I 4] לך שנים[I 5] מספרים לכפול[I 6] כלל על[I 7] כלל בין שיהיה[I 8] על עצמו[I 9] |
I will discuss the meaning of the foundation in my discussion about the secret of the one, with the help of God. | ועוד אדבר על טעם[I 33] המוסד[I 34] בדברי על סוד האחד[I 35] בע"ה[I 36] |
|
דמיון רצינו[I 37] לכפול שלשים על מאתים |
|
והנה[I 38] דמיון שלשים[I 39] שלשה[I 40] ודמיון[I 41] מאתים שנים[I 42] כפלנו ב'[I 43] על ג' והנה[I 44] עלו[I 45] ששה וזהו[I 46] החשבון השמור[I 47] |
|
דמיון[I 71] אחר[I 72] בקשנו[I 73] לכפול מאתים על שבע מאות |
|
והנה כפלנו שנים על שבעה[I 74] והנה[I 75] י"ד והוא[I 76] השמור והנה מאתים[I 77] מהמעלה השלישית וז' מאות גם כן[I 78] מהמעלה השלישית[I 79] נקח[I 80] להם[I 81] ששה ונחסר[I 82] אחד[I 83] הנה[I 84] חמשה |
|
ועל[I 100] זה הסדר[I 101] תוכל לעשות עד אין קץ[I 102] |
|
|
|
ואם היו שנים[I 103] מספרים מרחקם[I 104] מחשבון[I 105] כלל כמרחק שנים[I 106] מספרים[I 107] אחרים[I 108] רק[I 109] האחד במגרעת והשני בתוספת[I 110] דע כמה[I 111] מרובע[I 112] מספר[I 113] הכלל[I 114] וגרע ממנו לעולם מרובע החשבון היתר והחסר[I 115] והנשאר הוא[I 116] החשבון[I 117] המבוקש |
|
דמיון רצינו לכפול כ"ט על ל"א[I 118] |
|
והנה חשבון[I 119] הכלל הוא[I 120] שלשים ומרובעו[I 121] ט' מאות כי שלשה על שלשה[I 122] הם[I 123] תשעה [I 124]והיתרון והחסרון[I 125] הוא[I 126] אחד[I 127] ומרובעו אחד[I 128] חסרנום[I 129] ממרובע[I 130] הכלל[I 131] והנשאר הוא המבוקש והוא[I 132] תתצ"ט[I 133] |
|
דמיון אחר רצינו לכפול ס"ו על נ"ד[I 134] |
|
והנה חשבון[I 135] הכלל ס'[I 136] והחסרון והיתרון[I 137] הוא[I 138] ששה והנה מרובע הכלל[I 139] ג' אלפים ות"ר נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע[I 140] החסרון והיתרון[I 141] והנשאר[I 142] הוא המבוקש[I 143] |
|
[I 144]דמיון אחר[I 145] המספר האחד ר"נ והמספר האחר[I 146] ש"נ |
|
והנה הכלל[I 147] הוא[I 148] ש' ומרובעו[I 149] צ'[I 150] אלף נחסר ממנו מרובע[I 151] נ' שהוא[I 152] החסרון והיתרון[I 153] ומספרו[I 154] אלפים ות"ק והנשאר הוא המבוקש[I 155] |
|
ועל זה הסדר[I 156] נוכל[I 157] לעשות שאר[I 158] המספרים[I 159] הדומים לאלה[I 160] שהחסרון[I 161] כמו היתרון[I 162] |
|
|
|
[note 21]דרך אחרת נכבדת[I 163] שהוצאתי[I 164] בדרך[I 165] השלישית[I 166] שנקח[I 167] שלישית החשבון[I 168] ונדע כמה מרובעו ונקח כמוהו בכלל הגבוה ממנו ונחסר מרובע השלישית ממנו[I 169] והנשאר הוא המבוקש |
|
[I 170]דמיון בקשנו[I 171] לדעת כמה מספר מרובע[I 172] ג' |
|
נקח[I 173] שלישיתו[I 174] שהוא[I 175] אחד ומרובעו[I 176] אחד[I 177] ועשרה[I 178] שהוא הכלל[I 179] הקרוב אליו נחסר ממנו[I 180] מרובע אחד שהוא[I 181] השלישית[I 182] וישאר[I 183] ט' והוא[I 184] המבוקש |
|
דמיון אחר[I 185] בקשנו לדעת מרובע ט"ו |
|
ושלישיתו ה' ומרובעו כ"ה והדומה[I 186] בכלל הקרוב אליו[I 187] ר"נ[I 188] חסר[I 189] ממנו מרובע ה' שהוא השלישית[I 190] ישאר[I 191] רכ"ה[I 192] |
|
[I 193]דמיון אחר[I 194] בקשנו לדעת כמה[I 195] מרובע כ"ד |
|
הנה[I 196] שלישיתו[I 197] ח' ומרובעו ס"ד ודמיונו[I 198] במעלה הגבוהה[I 199] ממנו תר"מ[I 200] נחסר ממנו[I 201] מרובע[I 202] השלישית שהוא ס"ד ישאר[I 203] תקע"ו והוא המבוקש |
|
|
|
ואם לא היה[I 204] למספר שלישית שלמה ויהיה בו[I 205] תוספת אחד[I 206] חסר[I 207] האחד[I 208] מהמספר[I 209] והוצא[I 210] המספר[I 211] המבוקש כמשפט[I 212] שהראיתיך ומה שיעלה[I 213] הוסף[I 214] עליו המספר שיש לו[I 215] שלישית[I 216] והמספר בעצמו והמחובר הוא המבוקש |
|
דמיון בקשנו לדעת מרובע ז' |
|
והנה אין[I 217] לו[I 218] שלישית חסרנו[I 219] ממנו[I 220] אחד שהוא נוסף[I 221] והנה שלישית[I 222] הנשאר[I 223] שנים ומרובעו ארבעה והנה[I 224] בכלל הקרוב הדומה[I 225] אליו מ'[I 226] נחסר[I 227] ממנו[I 228] ד' שהוא מרובע השלישית[I 229] וישאר[I 230] ל"ו שהוא[I 231] מרובע ו' נחבר אליו[I 232] הו' שיש לו שלישית[I 233] והז' שהיה[I 234] מספרנו בראשונה ושניהם י"ג יהיה המחובר[I 235] מ"ט והוא מרובע ז' |
|
דמיון אחר[I 236] רצינו[I 237] לדעת[I 238] כמה[I 239] מרובע כ"ב |
|
והנה[I 240] חסרנו אחד ונשאר[I 241] כ"א ושלישיתו[I 242] ז' ומרובעו[I 243] מ"ט והנה[I 244] בכלל[I 245] הקרוב[I 246] אליו[I 247] ת"צ[I 248] נחסר ממנו[I 249] מ"ט שהוא מרובע השלישית[I 250] נשארו[I 251] תמ"א שהוא מרובע כ"א נוסיף כ"א גם[I 252] כ"ב מחוברים[I 253] שהם[I 254] מ"ג[I 255] יעלה[I 256] המחובר[I 257] תפ"ד וזהו[I 258] מרובע כ"ב |
|
|
|
ואם היו[I 259] שנים[I 260] בין המספר[I 261] שלנו[I 262] ובין[I 263] המספר[I 264] שיש לו שלישית[I 265] נעשה להפך שנוסיף[I 266] על המספר שלנו[I 267] אחד ונדע כמה מרובע[I 268] מספר[I 269] שיש לו שלישית[I 270] ונחסר[I 271] ממנו כמספר[I 272] שיש לו שלישית[I 273] וכמספר[I 274] שהיה לנו והנשאר הוא המבוקש |
|
דמיון בקשנו לדעת כמה מרובע[I 275] כ"ג |
|
והנה בעבור שאין לו[I 276] שלישית שלמה[I 277] נוסיף אחד יהיו[I 278] כ"ד ושלישיתו[I 279] ח' ומרובעו ס"ד והדומה לו[I 280] תר"מ נחסר ממנו ס"ד שהוא מרובע השלישית ישאר[I 281] תקע"ו והוא מרובע כ"ד גם[I 282] נחסר[I 283] מזה המספר[I 284] מ"ז שהוא כ"ד עם כ"ג מחוברים[I 285] ויהיה הנשאר[I 286] תקכ"ט והוא המבוקש |
The number of steps required for receiving the product: | |
|
|
|
ודע כי אם יהיו[I 287] שנים[I 288] מספרים לכפול זה על זה יספיק לך פעם אחת |
|
|
|
ואם היה[I 289] מספר אחד[I 290] על[I 291] שנים[I 292] מספרים[I 293] אתה צריך לעשות זה פעמים[I 294] |
|
|
|
ואם על שלשה שלשה[I 295] |
And so on according to this rule. | ועל[I 296] זה המשפט הכל |
|
|
|
ואם הם שני[I 297] מספרים על שני[I 298] מספרים[I 299] אתה צריך[I 300] לעשות[I 301] זה[I 302] ד' פעמים |
|
דמיון רצינו לכפול י"ג על כ"ח |
|
והנה[I 303] כפלנו י' על כ' שהוא כלל[I 304] גם י'[I 305] על[I 306] ח'[I 307] עלו[I 308] ר"פ[I 309] ואחר[I 310] כפלנו ג' על כ' גם[I 311] על[I 312] ח' עלו[I 313] פ"ד[I 314] והנה[I 315] הכל[I 316] שס"ד |
|
|
|
ואם היה כלל אחד כולל[I 317] שני[I 318] המספרים[I 319] די לך[I 320] בג' פעמים |
|
דמיון בקשנו[I 321] לכפול[I 322] י"ג על י"ו |
|
והנה[I 323] י' כולל שני[I 324] המספרים[I 325] והנה נחבר[I 326] ג' עם[I 327] ו'[I 328] עם[I 329] י'[I 330] והנה יהיה[I 331] מספרינו י"ט נכפול[I 332] אותו[I 333] בעשרה עלו[I 334] ק"צ[I 335] נכפול[I 336] שני[I 337] המספרים הקטנים[I 338] שהם[I 339] ג' על ו' יעלו[I 340] י"ח והנה הכל[I 341] ר"ח[I 342] |
|
ויש[I 343] שיספיק לך שני[I 344] פעמים לבדם |
|
דמיון[I 345] בקשנו לכפול[I 346] כ"ד[I 347] על כ"ו[I 348] |
|
הנה[I 349] כ'[I 350] כולל שני[I 351] המספרים חברנו ד' עם[I 352] כ"ו שהוא הגדול[I 353] עלה[I 354] המספר ל' כפלנו כ' על ל' עלו[I 355] ת"ר וכפלנו[I 356] הקטנים זה על זה עלו[I 357] כ"ד[I 358] והנה[I 359] המבוקש[I 360] תרכ"ד[I 361] |
|
|
|
ואם[I 362] תכפול ג' מספרים על ג'[I 363] אתה צריך לעשות זה ט' פעמים |
According to this procedure for every number. | ועל זה הסדר[I 364] כל החשבון[I 365] |
See, whether the number consists of one or many [digits]. | וראה[I 366] אם המספר אחד[I 367] או רבים[I 368] |
Multiplication of evens and odds | |
|
אם[I 369] הוא[I 370] מספר זוג גם המחובר יהיה זוג[I 371] |
|
|
|
וטעם הזוג[I 372] הוא באחדים |
|
כי כל כלל הוא זוג[I 373] |
|
ואם[I 374] המספר האחד[I 375] זוג[I 376] והשני נפרד[I 377] והטעם[I 378] שאינו[I 379] זוג[I 380] איזה מהם[I 381] שיהיה גם המחובר יהיה זוג |
|
ואם המספר[I 382] האחד[I 383] נפרד[I 384] וגם[I 385] כן[I 386] האחר[I 387] גם[I 388] המחובר[I 389] יהיה נפרד[I 390] |
Written calculations |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Know that if the numbers to be multiplied by each other are many, you have to multiply them by writing the 9 characters that I have showed you. | ודע כי אם היו[I 391] המספרים[I 392] הנכפלים[I 393] אלה[I 394] על אלה רבים אתה צריך לכפול[I 395] אותם[I 396] במכתב[I 397] ט' אותיות שהראיתיך[I 398] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והדרך הסלולה[I 399] שתשים טורי המספר המעט[I 400] עליונים[I 401] ופירוש[I 402] המעט[I 403] בחשבון הכלל ולא[I 404] תחוש מן[I 405] הפרטים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ותשים בטור אחר שפל למטה החשבון שהוא כללו גדול | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם[I 406] החשבון שכללו קטן[I 407] הם[I 408] יותר מספרים מחשבון שכללו גדול[I 409] שים אותם[I 410] עליונים ולא תחוש | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you would do the other way around, it does no harm, just confuses the student a little. | ואלו[I 411] היית[I 412] עושה להפך לא יזיק[I 413] רק יתבלבל מעט[I 414] על התלמיד[I 415] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר שתשים המספרים כמה שיהיו בטור העליון[I 416] והאחרים[I 417] בטור השפל כפול הראשון[I 418] של[I 419] הטור[I 420] העליון על הראשון[I 421] שבטור[I 422] השפל[I 423] והעולה כתוב[I 424] אותו כנגד הטור[I 425] הראשון[I 426] העליון[I 427] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כן[I 428] כפול המספר[I 429] הראשון[I 430] העליון על המספר[I 431] השני השפל וכתוב בטור השלישי[I 432] כנגד המספר[I 433] השני העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וככה לכל המספרים השפלים עם המספר העליון הראשון[I 434] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם כאשר תכפול הראשון העליון[I 435] על שכנגדו בשפל ויתחבר[I 436] במספר כלל ופרט תכתוב הפרט במקום הראוי לו והכלל[I 437] במספרו[I 438] תכתבנו בחשבון שהוא אחריו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר שתשלים[I 439] לכפול החשבון הראשון של הטור[I 440] העליון על כל מספרי[I 441] הטור[I 442] השפל תחל לכפול[I 443] המספר[I 444] השני של הטור[I 445] העליון על מספר[I 446] הראשון של הטור[I 447] השפל והעולה כתבהו[I 448] בטור השלישי כנגד השני העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר[I 449] כן תכפול השני[I 450] העליון על שני[I 451] שבטור השפל ותכתבהו[I 452] בטור השלישי[I 453] במספר השלישי[I 454][note 22] שהוא שני[I 455] למספר[I 456] שהחלות[I 457] עתה ממנו[I 458] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר[I 459] כן תחל במספר השלישי העליון[I 460] לכפול אותו[I 461] על הראשון שבטור השפל והעולה תכתבהו[I 462] כנגד טור[I 463] השלישי שהחילות[I 464] ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is the procedure for all endlessly with the rule that the units are into the lower rank and the decade following it in the next rank. | וככה[I 465] המשפט[I 466] לכלם[I 467] עד[I 468] אין קץ עם משפט[I 469] הפרט[I 470] להיות התחתון[I 471] והכלל[I 472] שיבא[I 473] אחריו בטור[I 474] השני לו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If there is zero, whether in the top row or in the bottom row, the rule is to write it in its appropriate position, as is the rule for all numbers next to it. | ואם היה[I 475] גלגל בין בטור[I 476] העליון בין[I 477] בטור[I 478] השפל משפטו[I 479] לכתבו במקום[I 480] הראוי לו[note 23] כמשפט כל המספרים שעליו[I 481] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר כן תחל[I 482] לחבר[I 483] מה שעלה[I 484] בטור[I 485] העליון עם השפל[note 24] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם[I 486] אין בו[I 487] עשרות[I 488] תכתוב מה שהוא בחבור[I 489] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יש בו עשרה כתוב אחד אחריו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם יש בו[I 490] יותר כתוב[I 491] היותר[I 492] מבחוץ[I 493] בחבור[I 494] שיש לך[I 495] ובמקום העשרה כתוב אחד שני[I 496] לו[I 497] נוסף | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן תעשה[I 498] לכל היוצאים[I 499] מהטור[I 500] העליון[I 501] והשפל[I 502] והוצא[I 503] הנותר[I 504] מעשרות[I 505] מבחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואחר שידעת כמה הוא[I 506] המחובר בטור השלישי ספור מעלותיו וראה אם היו[I 507] כמספר מעלות השנים[I 508] טורים העליונים[I 509] ממנו בחסרון אחד[I 510] תדע[I 511] כי חשבונך אמת[note 25] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם המספר[I 512] האחרון[I 513] בטור העליון הנכפל במספר האחרון[I 514] בטור השפל ממנו[I 515] יוצא אל כלל[I 516][note 26] יהיה[I 517] מספר[I 518] מעלות הטור[I 519] השלישי[I 520] כמספר שני טורים[I 521] העליונים[I 522] בלי[I 523] מגרעת אחד[I 524] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Check: casting out by 9 | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Finally, check it through the scales. | [I 525]ובחן[I 526] באחרונה במאזנים[I 527] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
You proceed as follows: | וככה[I 528] תעשה[I 529] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consider every digit in the top row in any rank as if it were units, sum them and cast out the nines from the sum if it is more than 9, or less than it write alone, and this is the scale of the top row. | חשוב[I 530] כל חשבון[I 531] שתמצא בטור העליון באיזו[I 532] מעלה שיהיה[I 533] כאילו הם אחדים וחברם והוצא המחובר[I 534] ט' ט' אם[I 535] יותר[I 536] ט'[I 537] או[I 538] פחות ממנו כתוב אותו לבדו[I 539] והוא[I 540] מאזני הטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Do the same with the scale of the bottom row until you know how much its scale is. | ככה[I 541] תעשה למאזני הטור[I 542] השפל עד שתדע כמה המאזנים[I 543] שלו[I 544] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Multiply the scale of the top row by the scale of the other row, then cast out the nines from the product and keep the remainder with you. | וכפול מאזני הטור העליון[I 545] על מאזני הטור השני[I 546] והנכפל[I 547] הוציאהו[I 548] ט' ט' והנשאר[I 549] יהיה[I 550] עמך[I 551] שמור | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the scale of one of the rows is 9, do not weary yourself to find the scale of the other row, because it will always be casted out by 9. | ואם מאזני אחד מהטורים[I 552] יהיה ט' אל תיגע עצמך לבקש מאזני הטור האחר כי ט' יצא לעולם[I 553] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, examine the scale of the third row and see: if it is the same as the reserved, then your calculation is true, but if not, you were wrong. | ואחר[I 554] בדוק מאזני[I 555] הטור השלישי וראה אם[I 556] היה שוה[I 557] לשמור חשבונך[I 558] אמת ואם לאו[I 559] הנה[I 560] טעית[I 561] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
[I 562]דמיון זה[I 563] רצינו לכפול קכ"ז על שנ"ה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכתבנו[I 564] קכ"ז בטור העליון[I 565] כזה[I 566] ומספר[I 567] שנ"ה תחתיו אות אות[I 568] במקומו[I 569] כזה[I 570] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כפלנו[I 571] ז' על ה' עלו[I 572] ל"ה כתבנו[I 573] ה' במעלה הראשונה וג' שהוא ל'[I 574] במעלה השניה[I 575] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 576] ז' על ה' השני התחתון[I 577] עלו[I 578] ל"ה[I 579] כתבנו[I 580] ה'[I 581] במעלה השנית[I 582] תחת ג'[I 583] וג' בשלישית[I 584] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 585] ז' הראשון[I 586] על ג' התחתון[I 587] עלו[I 588] כ"א כתבנו[I 589] א'[I 590] בשלישית תחת ג'[I 591] וב' ברביעית[I 592] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד[I 593] כפלנו[I 594] ב' האמצעי העליון[I 595] על ה' הראשון[I 596] מן[I 597] התחתון[I 598] עלו[I 599] י' כתבנו[I 600] א' בשלישית[I 601] תחת הא'[I 602] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 603] ב'[I 604] העליון[I 605] על ה'[I 606] השנית[I 607] התחתון[I 608] היו[I 609] גם כן[I 610] י' כתבנו[I 611] א'[I 612] תחת ב'[I 613] ברביעית[I 614] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 615] ב'[I 616] העליון[I 617] על ג'[I 618] התחתון[I 619] והיו[I 620] ו' כתבנו אותו[I 621] תחת א'[I 622] ברביעית[I 623] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 624] א' העליון האחרון[I 625] על ה'[I 626] הראשון התחתון[I 627] עלו[I 628] ה'[I 629] כתבנוהו[I 630] בשלישית[I 631] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 632] א'[I 633] על ה'[I 634] השני[I 635] התחתון[I 636] עלו[I 637] ה'[I 638] כתבנוהו[I 639] ברביעית[I 640] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד כפלנו[I 641] א'[I 642] העליון על ג' התחתון[I 643] היו[I 644] ג' כתבנוהו[I 645] בחמישית[I 646] אחר ב'[I 647] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה נשלם הכפל[I 648] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
חברנו[I 649] כל אלו[I 650] המספרים כל[I 651] מה שהוא ממעלה[I 652] אחת יחד[I 653] הכל ומה שיעלה יותר מעשרה או עשרה[I 654] כתבהו[I 655] אחר המעלה ההיא | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויעלה[I 656] המחובר מ"ה אלפים ופ"ה[I 657] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
P1050 marg. another method | דרך אחרת יותר קצרה עשויה בשליבה נק' בלשונ' ביריקוקלי ונעשית בזה הדרך שאין כותבי' רק האחדי' שבידך ושומרי' העשרו' לקבצם עם העשרו' מהמספר הבא אחריו וכן ממדרגה למדרגה עושין כן | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
דמ' תרצה לכפול קכ"ז על שנ"ה תכפול ז' על ה' עלה ל"ה כתו' ה' במדרגת האחדי' ושמור בפיך ובלבבך ל' שהם ג' במדרג' השנית וכפול ז' על ה' עלו ל"ה וג' עשרו' וג' עשרו' היו בידך בין הכל עלו ל"ח כתו' ח' במדרגה השנית ושמור ג' מאות | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עו' תשוב תכפול ב' עם ה' עלו י' והיה ראוי לכותבו תחת העשרות בשורה אחרת תחת הראשונה ולפי שהו' ר"ל י' עשרות שהם מאה כתו' עגול במדרגת העשרו' ושמור אחד שהוא מאה וכפול ב' על ה' השני עלו י' וא' שהיה שמור הנה י"א כתו' א' במדרגת המאות ובידך שמור א' שהוא אלף | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
עוד כפול א' על וא' על ה' השני וכתו' במדרגת האלפי' ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ואח"כ קבץ הכל בדרך קבוץ וכתו' למטה כאשר אתה רואה | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Chapter Two – Division |
השער השני | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Introduction - Preliminary definitions |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Definition of a number:Know that that every number is a sum of units. | דע כי[II 1] כל חשבון הוא חברת האחדים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One alone does not assume any change, no increase and no division. | והאחד[II 2] לבדו לא יקבל שנוי[II 3] ולא[II 4] רבוי ולא חלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
It is the cause of every increase, change and division. | והוא סבת כל[II 5] רבוי ושנוי[II 6] וחלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
One is eternal and every number created through it. | והאחד קדמון לבדו וכל חשבון מתחדש בעבורו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והוא יעשה[II 7] בפאה אחת[II 8] מה שיעשה כל חשבון בשתי פאותיו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי שנים[II 9] לחשבון שלשה[II 10] הפאה[II 11] האחת שהיא לפניו וארבעה הפאה[II 12] האחרת שהיא אחריו ושתי[II 13] הפאות המחוברות[II 14] ששה שהם[II 15] כפל שלשה וככה כל מספר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה האחד[II 16] אין לפניו[II 17] פאה ואחריו[II 18] פאה אחת שהיא שנים[II 19] והם כפל האחד[II 20] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now I shall talk about every number that has whole integers without fractions. | ועתה אדבר על כל חשבון שיש לו אחדים שלמים בלי[II 21] שבר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Sexagesimal Fractions | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
12 zodiac signs: Know that the astrologers have divided the celestial sphere into twelve parts. | ודע כי חכמי המזלות חלקו את[II 22] הגלגל על שנים עשר[II 23] חלקים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועשו זה בעבור ששנת השמש י"ב[II 24] חדשי[II 25] הלבנה[II 26] ואין חשבון[II 27] קטן מי"ב שיש לו חלקים רבים[II 28] כמוהו כי יש לו אחדים[II 29] שלמים[II 30] בחציו ושלישיתו[II 31] ורביעיתו[II 32] וששיתו וחצי ששיתו[II 33][note 27] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
degrees: They divided each sign to thirty degrees. | וחלקו המזל לשלשים[II 34] מעלות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי זה המספר יש לו אחדים שלמים יותר מי"ב כי יש לו חצי ושלישית וחמישית וששית[II 35] ועשירית[note 28] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה עלה מספר[II 36] מעלות[II 37] הגלגל[II 38] ש"ס[II 39] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה המספר[II 40] יש[II 41] לו חצי ושלישית[II 42] ורביעית[II 43] וחמישית[II 44] וששית ושמינית ותשיעית ועשירית[II 45] והנה לא[II 46] יחסר לו רק[II 47] השביעית[note 29] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכאשר תכפול זה המספר[II 48] על ז' יהיה העולה אלפים ותק"כ וזה החשבון כולל כל החלקים עד עשרה[II 49] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה חכמי המזלות כאשר יכפלו מעלות[II 50] על מעלות יהיה המחובר מעלות שהם[II 51] אחדים[II 52] שלמים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וככה כאשר יחלקו[II 53] מעלות על מעלות יהיה העולה בחלוק[II 54] מעלות שהם אחדים שלמים[II 55] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Written calculations |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Now I shall give you a rule how to divide every number, whether it consists of one, two or many digits: | ועתה אתן לך כלל[II 56] איך תחלק[II 57] כל חשבון בין שיהיה אחד או שנים או מספרים רבים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Write them in one row, each according to its rank, then write the number by which you divide in another row, whether it consists of one or many digits, each according to its rank corresponding to each digit according to its rank in the top row, and leave a space between the upper row and the bottom row so that you can write a middle row in between them; whether the quotient consists of one or many digits, you place each one according to its rank. | כתוב אותם[II 58] בטור אחד כל אחד כפי[II 59] מעלתו ואחר כך[II 60] כתוב[II 61] החשבון שתחלק עליו בטור[II 62] אחר[II 63] בין שיהיה[II 64] מספר אחד או רבים כל אחד כפי מעלתו[II 65] ויהיה כל חשבון[II 66] לפי מעלתו[II 67] כנגד כל[II 68] חשבון[II 69] כפי מעלתו בטור העליון וריוח תשים בין הטור[II 70] העליון והטור[II 71] השפל כדי שתוכל לכתוב טור אמצעי[II 72] ביניהם[II 73] בין שיהיה העולה מספר אחד או מספרים רבים כל אחד תשים כפי מעלתו[II 74] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The number by which you divide should be less than the number that you divide by it. | וראוי להיות המספר שתחלק עליו פחות מהמספר המחולק ממנו[II 75] וזה הדבר הוא בחלוק השלמים[II 76] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
But this is only for the division of integers, not for fractions, as I will explain with the help of God. | ולא[II 77] כן בשברים כאשר אפרש בעזרת האל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you set up the rows, as I said, you start dividing by the last digit in the top row. | ובתקנך הטורים כאשר אמרתי תחל[II 78] לחלק מהמספר האחרון שהוא בטור[II 79] העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Divide it by the last number in the bottom row. | ותחלק אותו על המספר האחרון שהוא בטור[II 80] השפל[II 81] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Consider the two numbers, even though they are decades, consider them as units. | וחשוב שנים[II 82] המספרים[II 83] אע"פ שהם כללים חשוב[II 84] אותם[II 85] כמו אחדים[note 30] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The quotient: see how far the last digit of the bottom row is from the first digit, whether it is units or a zero, and as the number of the distance, return back and write the quotient there above the bottom row, which is beneath the top row. | והעולה בחלוק ראה כמה מרחק המספר[II 86] האחרון מהטור השפל[II 87] מהמספר הראשון בין שיהיו[II 88] בו אחדים או גלגל וכפי מספר המרחק תשיב[II 89] אחורנית[note 31] ושם תכתוב העולה בחלוק למעלה מהטור השפל שהוא למטה מהטור העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If a number that cannot be divided remains from the last digit, and [the division] has not yet reached the ranks of the units, return the remaining number back to the preceding rank, which is lower than it and consider each unit as ten. | ואם ישאר במספר האחרון[II 90] חשבון שלא נתחלק ולא הגיע למעלת האחדים[II 91] השב אחורנית המספר הנשאר למעלה[II 92] הראשונה שהיא פחותה ממנו וחשוב כל[II 93] אחד עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Then, divide by the number by which you divide, and write the quotient back from the first rank you wrote, before the first quotient. | ואחר כך חלק על המספר[II 94] שחלקת עליו והעולה בחלוק תכתוב אותו[II 95] אחורנית מהמעלה הראשונה שכתבת לפני[II 96] מה שעלה בחלוק בראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Proceed always like this until you reach a number that is smaller than the divisor and write the remainder above the top row according to its rank. In the fifth chapter I will explain what you should do with it. | ככה תעשה תמיד עד שתגיע[II 97] אל המספר[II 98] שהוא פחות מהמחולק עליו[II 99] ואותו הנשאר תכתבנו[II 100] למעלה מהטור[II 101] העליון כפי מעלתו ובשער החמישי[II 102] אפרש לך מה שתעשה[II 103] ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון[II 104] בקשנו לחלק ט' אלפים על ע' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בזאת הצורה[II 105] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
0 00 2 26 264 9000 9000 9000 9000 1 12 128 70 70 70 70
|
הנה נשים ע'[II 106] בטור השפל[II 107] כפי מעלתו ונחשוב כי הכל אחדים והנה[II 108] נתן לו[II 109] א' ונכתבנו[II 110] במעלה השנית[II 111] אחורנית מהמספר[II 112] האחרון שהוא בטור הראשון[II 113] כי ע' הוא שני לטור השפל[note 32] ונכתבנו[II 114] באמצע ונשארו לנו[II 115] שנים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבם אחורנית והם עשרים נחלק[II 116] על ז' והנה נתן[II 117] לו[II 118] ב' ונכתוב אותו אחורנית לפני הנכתב בראשונה[note 33] ונשארו לנו ו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבהו[II 119] אחורנית יהיו[II 120] ששים נחלקנו[II 121] על ז' נתן לו[II 122] ח' תכתבהו[II 123] אחורנית[note 34] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשארו לנו ד'[II 124] והם במעלה השנית והם מ'[II 125] והמספר המחולק עליו[II 126] גדול ממנו[II 127] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the divisor as units is greater than the last digit in the top row, return it back and calculate from this position, according to the distance of the divisor, return it back and proceed according to the rule. | ואם היה המספר באחדים[II 128] המחולק עליו גדול מהמספר האחרון בטור העליון תשיבהו אחורנית ותחשוב[II 129] מאותו מקום[II 130] וכפי מרחק[II 131] המספר המחולק עליו תשיב[II 132] אחורנית[II 133] ועשה[II 134] כמשפט | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון בקשנו[II 135] לחלק כ' אלף על צ' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
בזאת הצורה[II 136] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
0 00 02 022 0222 20000 20000 20000 20000 2 22 222 90 90 90 90
|
והנה[II 137] בעבור כי מספר[II 138] ט' גדול מב' נשיבהו[II 139] אחורנית[II 140] והם[II 141] כ' נחלקם[II 142] על ט' והנה[II 143] ב' נכתבנו[II 144] במעלה השלישית אחורנית שהיא שנית לחשבון שחלקנו ממנו[II 145] ונשארו ב'[II 146] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבם[II 147] אחורנית במעלה השלישית[II 148] והם[II 149] כ' נחלקם[II 150] על ט'[II 151] והנה[II 152] ב' ונשארו[II 153] ב'[II 154] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבם אחורנית במעלה השנית[II 155] והם עשרים נחלק על ט'[II 156] והנם[II 157] ב'[II 158] ונשארו[II 159] ב' שהם עשרים כי הם[II 160] במעלה השנית בטור העליון[II 161] וזה המספר[II 162] פחות ממספרנו[II 163] על[II 164] כן נכתוב גלגל אחורנית כי לא עלו אחדים[II 165] כי לא יצא לחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If there is a zero in one of the positions and you cannot divide by the divisor, return it back from the higher [rank]. | ואם היה גלגל[II 166] באחד המקומות[II 167] ולא[II 168] תוכל[II 169] לחלק על המספר המחולק[II 170] השב אחורנית מהגבוה[II 171] ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון בקשנו[II 172] לחלק[II 173] ד' אלפים ול"ב על שלשים[II 174] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
0 00 1 11 111 4032 4032 4032 4032 1 13 134 30 30 30 30
|
חלקנו ד' על ג'[II 175] ועלה בידינו א'[II 176] וכתבנוהו אחורנית במעלת[II 177] המאות כי הוא שני לו[II 178] נשאר[II 179] לנו[II 180] עוד[II 181] א'[note 35] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבהו[II 182] אחורנית במעלת[II 183] המאות[note 36] והיו[II 184] י'[II 185] נחלקנו[II 186] על ג' ועלה בחלוק[II 187] ג' נשאר[II 188] לנו א'[II 189] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השבנוהו[II 190] אחורנית במעלת העשרות ויהיו[II 191] י' חברנו אותו עם הכתוב במעלה[II 192] השנית[II 193] היו[II 194] י"ג[II 195] חלקנו אותו[II 196] על ג' ונתנו[II 197] לו[II 198] ד'[II 199] נשאר[II 200] לנו[II 201] א'[II 202] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
השיבונוהו[II 203] אחורנית[II 204] במעלה הראשונה[II 205] היו[II 206] י"ב[II 207] שלא[II 208] יתחלקו כי הנשאר[II 209] פחות מאותו[II 210] המחולק[II 211] עליו וכבר[II 212] יצא לחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If we want to divide one digit or two digits or many digits by one digit or two digits or three or many, provided that they are less than the digits in the top row, you proceed as follows: | וכאשר נרצה לחלק מספר אחד או שני[II 213] מספרים או מספרים[II 214] רבים על מספר אחד או על שני[II 215] מספרים[II 216] או על[II 217] שלשה או על[II 218] רבים על מנת שיהיו פחותים ממספרי הטור העליון ככה תעשה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Give the last in the bottom row of the top row, as much as you can give it from the last digit in the top row, and give the preceding in the bottom row, which is first to the last, as much as the product of the number you gave the last multiplied by the digit in the bottom row that precedes the last digit. | תן לאחרון שבטור השפל מן הטור[II 219] העליון מה שתוכל לתת לו מהמספר[II 220] האחרון שבטור העליון ותן[II 221] לראשון מן הטור[II 222] השפל שהוא ראשון לאחרון[note 37] ככפל המספר שנתת לאחרון על מספר[II 223] הטור השפל שהוא לפני האחרון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If you cannot do this, reduce the number that you gave it first. | ואם לא תוכל לעשות[II 224] ככה שוב וגרע ממספרך[II 225] שנתת לו בתחלה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
When you have to take any digit from the digit that precedes the last, return it back as tens. | וכשאתה צריך לקחת מהטור[II 226] שהוא לפני האחרון שום מספר השיבהו אחורנית לעשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
This is how you proceed with all the ranks. | ככה תעשה לכל המעלות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If there is a zero in one of the ranks of the upper row, return back from the higher rank next to it as tens and take from them as much as is necessary. | ואם[II 227] היה באחת ממעלות[II 228] הטור העליון גלגל השב מן הגבוה[II 229] ממנו אחורנית[II 230] בעשרות וקח ממנו[II 231] מה שצריך לו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If there are two zeros in the ranks of the upper row and in the ranks of the lower row there are numbers, you return back the higher [number] that corresponds to the digit that follows the last zero and take what you need from it. Then you return the remainder back as tens, and take what you need for the multiple of the number that is in the bottom row from the rank from which it should be taken. | ואם היו שני[II 232] גלגלים במעלות[II 233] הטור העליון ובמעלות[II 234] הטור השפל מספרים[II 235] תשיב[II 236] אחורנית הגבוה שהוא כנגד החשבון שהוא אחר[II 237] הגלגל האחרון[II 238] ותקח מהם[II 239] מה שתצטרך[II 240] ומהנשאר[II 241] תשיב אחורנית בעשרות ותקח ממנו מה שתצטרך[II 242] בכפל[II 243] המספר שהוא[II 244] בטור השפל מן המעלה[II 245] שהיא ראויה לקחת ממנה[II 246] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון זה[II 247] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
1 1 2 2 215 8213 8213 8213 8213 2 2 2 353 353 353 353
|
ד'ט'[II 248] שכתבנו הוא[II 249] הנשאר[II 250] מן החשבון[II 251] [II 252]שלא יתחלק[II 253] |
|
והנה[II 254] כאשר[II 255] חלקנו ח' שהוא[II 256] אחרון בטור העליון על[II 257] ג' שהוא אחרון[II 258] בטור השפל והנה נתנו[II 259] לו שנים ובעבור שהיה[II 260] הג'[II 261] שבטור השפל שלישי[II 262] החזרנו[II 263] לשלישי[II 264] ממנו אחורנית והגיע למעלת[II 265] העשרות ונשאר לנו במספר הח'[II 266] שנים |
|
והנה הנחנו שם אחד[II 267] כי אחד יספיק לנו והחזרנו האחד[II 268] אצל השנים והיו[II 269] י"ב וחסרנו[II 270] ממנו י' שהוא כפל חמשה האמצעי שבטור השפל והנה נשארו ב' על הב'[II 271] |
|
נניח שם אחד ונחזיר אחד אחורנית על אחד שהוא שלישי ויהיו[II 272] י"א נסיר ממנו ו'[II 273] לג' שהוא ראשון שבטור[II 274] השפל[II 275] נשארו ה'[II 276] |
|
והנה[II 277] לכל הג' השפלים מה שראוי להם |
|
נשוב[II 278] לחלק כי נשאר[II 279] לנו א' על ח' וא' על ב' וה' על א' |
- [Illustration of the procedure:]
0 0 01 019 12 120 120 215 215 2154 8213 8213 8213 23 23 23 353 353 353
|
נשיב הא' שהוא[II 280] על הח'[II 281] אחורנית על א' אשר על הב'[II 282] יהיו[II 283] י"א נחלק אותם על ג' שהוא[II 284] בטור[II 285] השפל יהיו ג'[II 286] ונכתבנו[II 287] כנגד הטור הראשון שהוא לפני השנים[II 288] ונשארו[II 289] לנו ב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבם על הה'[II 290] אחורנית[II 291] יהיו כ"ה נתן לחמשה האמצעי[II 292] שבטור השפל[II 293] ט"ו ונשארו[II 294] עשרה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיב אחד אחורנית על הג'[II 295][note 38] וישארו ט' והא' עם הג'[II 296] י"ג[II 297] ונקח[II 298] מהם[II 299] ט'[II 300] וישארו[II 301] ד'[II 302] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וט' על הה'[II 303] כי לא יכולנו[II 304] לקחת בראשונה[II 305] הג' מהי'[II 306] אע"פ שיספיק לו[II 307] כי אינו מעלתו עכשיו[II 308] אע"פ שלקח ממנו בראשונה[II 309] כי בראשונה[II 310] היה[II 311] שלישי[II 312] לו כי האחרון שבטור השפל לקח מן הח' אבל עתה לקח מן[II 313] הב'[II 314] א'[II 315] ואחר שהוא שלישי צריך הוא[II 316] שיקח[II 317] ממעלתו[II 318] השלישית[II 319][II 320] והנה[II 321] הנשאר[II 322] ד' ט'[II 323] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר[II 324] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
0 05 3 36 360 9381 9381 9381 9381 3 3 3 296 296 296 296
|
באנו[II 325] לחלק[II 326] ט'[II 327] על שנים[II 328] והנה לא יכולנו[II 329] לתת לו ד' כי לא ישאר[II 330] אלא א' וכאשר תשיבהו[II 331] אחורנית הנה[II 332] עם הג'[II 333] י"ג וט' ד' פעמים ל"ו[II 334] על כן[II 335] נתן לו ג' נשארו[II 336] ג' |
|
נשיבם כלם[II 337] אחורנית לשני לו שהוא ג' ויהיו[II 338] שם[II 339] ל"ג נתן לט'[II 340] ג' יהיו[II 341] כ"ז נשארו[II 342] ו' על הג'[II 343] |
|
נקח[II 344] מהם א'[II 345] ונניח ה' נשיבהו[II 346] על הח' שהוא שלישי[II 347] לאחרון[II 348] שבטור העליון ועם הח' יהיו[II 349] י"ח נתן[II 350] אותם[II 351] כלם לו' שהוא שלישי שבטור השפל נכתוב[II 352] על הח' גלגל לפי שלא נשאר[II 353] על הח'[II 354] מאומה |
- [Illustration of the procedure:]
2 2 3 3 30 05 051 051 360 360 3605 9381 9381 9381 31 31 31 296 296 296
|
נשוב לחלק שעדין[II 355] לא יצא לחוץ נקח מן הה' שהנחנו על הג' שהוא שני בטור העליון שנים שהוא[II 356] אחד נכתוב[II 357] זה האחד[II 358] על הו' אחרי הג' ששמנו על הט'[II 359] בחלוק הראשון[II 360] והוא שלישי[II 361] בטור השפל וכבר יצא לחוץ | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח מן הג'[II 362] שעל הג' אחד וישארו שנים נתן האחד על הגלגל והם י' נתן לט' שבטור[II 363] השפל ט' נשאר על הגלגל א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיבהו אחורנית על הא' שהוא רביעי וראשון[II 364] בטור העליון והם י"א נתן לו ו' נשארו[II 365] ה' על הא' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה[II 366] הנשארים[II 367] על הטור העליון ה' וגלגל וב' שהם ר"ה[II 368] ולא יתחלקו יותר[II 369] שהג' שבטור[II 370] השפל הם רצ"ו[II 371] והנלקח לכל אחד ל"א | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
2 | 24 | 24 | ||||||
3 | 35 | 356 | 3564 | |||||
54093 | 54093 | 54093 | 54093 | 54093 | ||||
1 | 1 | 1 | 1 | |||||
2945 | 2945 | 2945 | 2945 | 2945 |
|
בקשנו לחלק הטור העליון על הטור השפל[II 372] לתת לו[note 39] ב'[II 373] לא[II 374] נוכל[II 375] שלא[II 376] ישאר כי אם[II 377] א' וד'[II 378] והם[II 379] י"ד[II 380] ויש לנו[II 381] לחלק על ט'[note 40] ב' פעמים[II 382] אך נתן[II 383] לו[II 384] א' ונשים אותו[II 385] כנגד ט'[II 386] שהם[II 387] בטור העליון שהוא רביעי לה' אחורנית כשנים[II 388] בטור[II 389] השפל[II 390] שהוא[II 391] רביעי לה' ראש[II 392] שבטור[II 393] השפל נשארו ג' על[II 394] הה'[II 395] |
|
נקח מהם אחד[II 396] ישארו[II 397] ב' על הה'[II 398] נשיבהו[II 399] אחורנית על הד' יהיו י"ד[II 400] יקח[II 401] ט'[II 402] ישארו ה' |
|
יש[II 403] לד'[II 404] שבטור[II 405] השפל לקחת מן השלישי שבטור העליון למען כי שלישי הוא[II 406] ולא נוכל כי השלישי[II 407] שבטור העליון גלגל הוא[II 408] נשיב[II 409] מן הה' שהנחנו על הד' אחד על הגלגל[II 410] יהיו י' יקח[II 411] ד' ישארו[II 412] ו' על הגלגל |
|
יקח הה'[II 413] שהוא ראש בטור השפל והוא רביעי[II 414] יקח[II 415] מהרביעי שבטור[II 416] העליון שהוא ט' ישארו[II 417] על ט'[II 418] ד' |
|
נשוב[II 419] לחלק כי עדין לא יצא[II 420] והנשארים ג' מן הטור[II 421] העליון שהוא ראשון וחמישי[II 422] ועל הט' ד'[II 423] ועל הגלגל ו' ועל הד' ד' ועל הה' ב'[321] |
- [Illustration of the procedure:]
1 | 1 | 10 | ||||||
08 | 08 | 081 | 0818 | |||||
24 | 244 | 2442 | 2442 | |||||
3516 | 3516 | 3516 | 3516 | |||||
54093 | 54093 | 54093 | 54093 | |||||
18 | 18 | 18 | 18 | |||||
2945 | 2945 | 2945 | 2945 |
|
נשיב[II 424] הב' על הד' והם כ"ד נתן[II 425] לב' שהוא רביעי שבטור[II 426] השפל ח'[II 427] נשארו[II 428] ח' על הד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיב[II 429] מהם ז' על הו'[II 430] אחורנית[II 431] וא' נשאר על הד' ויהיו[II 432] ע"ו נקח[II 433] לט'[II 434] ע"ב נשארו[II 435] ד' במקום הו' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אם[II 436] נשיב מהם ג'[II 437] ואמת[II 438] כי הד' שבטור[II 439] השפל יוכלו לקחת[II 440] מהג'[II 441] עם הד' שאחריהם[II 442] שהם ל"ד אך לא ישאר כי אם שנים וכשנשיב[II 443] אותו על הג'[II 444] יהיו כ"ג לבד[II 445] ויש לה'[II 446] שיקחו[II 447] מ'[II 448] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לפיכך נשיב כל הד' אחורנית על הד' ונכתוב גלגל במקום הו' כנגד הגלגל[II 449] שבטור העליון והם מ"ד יקחו[II 450] הד' ל"ב[II 451] נשארו[II 452] י"ב | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח מהם ד'[II 453] כי לא יהיה די[II 454] לנו[II 455] בפחות וישארו ח' על הד' שהם על הט' ועם[II 456] הג'[II 457] הם[II 458] מ"ג[II 459] יקחו[II 460] הה' מ'[II 461] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ישארו[II 462] ג' על[II 463] הג' וח' על הט'[II 464] שהם פ' וגלגל להוציאו ממאות ולהכניסו לאלפים[II 465] וא' על[II 466] הרביעי שהוא על הד'[II 467] שהוא אלף[II 468] ואלה לא יתחלקו כי המחולק גדול מזה שהוא אלפים וט' מאות ומ"ה[II 469] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר בקשנו לחלק ס"ח אלפים[II 470] וט' מאות וכ"א[II 471] על ז' אלפים ונ"ג[II 472] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזהו הדמיון[II 473] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
- [Illustration of the procedure:]
4 05 0547 05474 68921 68921 68921 68921 9 9 9 7053 7053 7053 7053
|
ז'[II 474] שהוא רביעי[II 475] בטור השפל לא יוכל[II 476] לקחת מו'[II 477] שהוא חמישי בטור העליון ומאחר[II 478] שלא נוכל[II 479] לתת לז' כל[II 480] הצורך[II 481] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשיב אותו[II 482] כלו[II 483] אחורנית[II 484] על הח' ויהיו[II 485] ס"ח הנה[II 486] חלקנו מן הח'[II 487] שהוא רביעי לטור העליון[II 488] נתן לז'[II 489] ט'[II 490] נוציאנו[II 491] לחוץ[II 492] על הג'[II 493] שהוא רביעי בטור[II 494] השפל נשארו[II 495] ה' על הח'[II 496] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה[II 497] השני לז' לא יקח מאומה[II 498] כי הוא גלגל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יש לה'[II 499] שיקח[II 500] מן ב'[II 501] הרביעי[II 502] בטור העליון שהוא שלישי לחלוק[II 503] לא[II 504] יוכל[II 505] לקחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נקח[II 506] מן הט' שאחריו ה' נשיבם[II 507] על הב'[II 508] יהיו[II 509] נ"ב[II 510] וד' נשאר[II 511] על הט' והה' מנ"ב[II 512] יקחו מ"ה[II 513] ישארו[II 514] ז' על הב'[II 515] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
מן[II 516] הז' נקח ג' ונשיבם[II 517] אחורנית על א'[II 518] והם[II 519] ל"א יקחו ג' כ"ז[II 520] נשאר[II 521] ד' על א'[II 522] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר[II 523] נרצה[II 524] לחלק תר"פ אלפים ות"ב על אלפים וט'[II 525] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
מספרים על מספרים[II 526] שיהיה[II 527] בטור העליון[II 528] ב'[II 529] גלגלים וכן בטור השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נתן[II 530] לב' הרביעי בטור[II 531] השפל ג' מהו' הששי[II 532] בטור[II 533] העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה[II 534] הגלגל שני[II 535] בטור השפל יש לו שיקח[II 536] מן הח' ולא יקח כלום | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגלגל השלישי שבטור השפל יש לו שיקח[II 537] מן הגלגל[II 538] השלישי בטור[II 539] העליון ולא יוכל[II 540] לקחת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יש[II 541] לט' הראשון[II 542] בטור השפל לקחת[II 543] מד' שבטור העליון לא[II 544] יוכל[II 545] צריכין[II 546] אנו שנשיב מן הח' השני בטור העליון מה שיספיק לו[II 547] נשיב א' אחורנית כי די לנו בא' ונכתוב[II 548] על הח' ז' והא' שהשיבונו[II 549] אחורנית על הגלגל יצא לנו בעשרות ועוד[II 550] לא יספיק נקח מהם ג' ונשיבם אחורנית ונשארו ז' על הגלגל והג'[II 551] הם ל'[II 552] על הד'[II 553] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשארו[II 554] ז' במקום ד'[II 555] וגלגל ושנים הראשונים[II 556] שבטור[II 557] העליון וז' שעל הגלגל וז'[II 558] שעל הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
עוד נשוב[II 559] לחלק שהרי לא[II 560] יצא[II 561] נקח[II 562] לו[II 563] ג' מן הז' שעל הח' ונשימהו[II 564] תחת הגלגל הראשון שהוא רביעי לח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשאר א' על הח'[II 565] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יש לגלגל שיקח מן הגלגל[II 566] לא יוכל[II 567] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויש לגלגל[II 568] שאחריו[II 569] שיקח[II 570] ממעלתו שהיא[II 571] הז' שעל[II 572] הד' לא[II 573] יוכל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
יש לט'[II 574] שיקח[II 575] מן הגלגל[II 576] שהוא מעלתו לפי שהוא רביעי[II 577] לחלוק ולא יוכל לפי שאין על הגלגל כלום וגם לא[II 578] יוכל להשיב אותו אחורנית על השנים כי השנים אינם[II 579] מעלתו נשיב מן הז' שעל[II 580] הד' שלפניו ג' נשימם על הגלגל והם ל' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשארו ג' על הגלגל וד' על הד'[II 581] לפניו[II 582] וז' על הגלגל שהוא לפני הח'[II 583] וא'[II 584] על הח' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב[II 585] לחלק שעדין[II 586] לא יצא לחוץ הנה[II 587] מן הא' לא יוכל לקחת[II 588] האחרון שבטור השפל נשיב אותו אחורנית על הז' שהוא על הגלגל והם[II 589] י"ז נתן לו ח'[II 590] נוציאם לחוץ אחרי[II 591] הג' כי הוא[II 592] רביעי לחלוק כי מן הז' שעל הגלגל חלקנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ושם נשאר[II 593] א' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה[II 594] יש[II 595] לגלגל שיקח[II 596] מן הד' ולא יקח | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
גם[II 597] יש לגלגל האחר שיקח מן הג'[II 598] שעל הגלגל שבטור[II 599] העליון ולא יקח[II 600] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ויש לט' שיקח[II 601] מן הב'[II 602] ולא יוכל נשיב אחורנית אם נאמר לג' שעל הגלגל שיתן[II 603] לב' הראשון לגלגל[II 604] אין לו מה שיספיק לו[II 605] כי אין לו אלא[II 606] ג' נקח מן הד' שבמקום הד' אחד ויהיה על הגלגל[II 607] עם הג' י"ג נקח מהם ז' ונשיבם על הב' והם ע"ב יצאו הכל[II 608] בט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב[II 609] גלגל על הב' שלא נשאר עליו כלום[II 610] ועל הגלגל שהוא שני לב'[II 611] נשארו ו' וג'[II 612] על ד'[II 613] וא'[II 614] על הגלגל שהוא[II 615] שני[II 616] לח' ואלה נשארו[II 617] שלא יתחלקו כי המחולק גדול מזה כי המספר הנשאר אלף[II 618] וג' מאות וס'[II 619] והמחולק עליו הוא אלפים וט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר נכבד וקשה מכל החשבונים שתחתיו[II 620] מאין[II 621] גלגל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
First, I shall explain that whenever a digit is separated from a digit, meaning that a zero is written in between, as for example, 203, we do not say: we return the 2 or, as much is needed according to the digit in the lower row, back to the 3, because the zero is in the middle, so we return the 2 or the one back to the zero and then divide according to the rule. | ובראשונה אפרש[II 622] כי לעולם כשיתרחק[II 623] חשבון מחשבון והטעם שיכתב[II 624] גלגל באמצע כדמיון זה[II 625] ג0ב[II 626] [II 627]לא נאמר נשיב הב'[II 628] אל הג'[II 629] או כמה[II 630] שיצטרך[II 631] לפי החשבון[II 632] שבטור השפל לפי שגלגל באמצע אך נשיב הב'[II 633] או האחד[II 634] אל[II 635] הגלגל ואז נחלק כמשפט[II 636] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
I shall tell you one rule for all the numbers you divide, whether they are many or a few: You always have to divide the upper number by the lower one, until the end of the digits when it has come to its end. If there is a zero above, it can no longer be divided. | ואומר לך כלל אחד מכל החשבונות שתחלק בין רבים בין מעטים לעולם יש לך לחלק חשבון העליון על התחתון עד שיצא לסוף החשבונות בא על סופו אם יש גלגל עליו לא יתחלק עוד[II 637] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כמו זה וזה צורת הנכבד והקשה[II 638] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון בקשנו לחלק חשבון[II 639] ט' שביעיות[II 640] על ד' תשיעיות[II 641] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
| ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה ראש כל דבר אוֹרְךָ[II 642] איכה[II 643] תחלק[II 644] אחר שתראה שהז' פחות מהט'[II 645] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
First version | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
תצטרך להשיבו אחורנית וזהו הדמיון[II 646] ותחלה כשתחל[II 647] לחלק תתן לט'[II 648] ז' ותכתבנה אחורנית[II 649] במעלת[II 650] הד' שתחלק[II 651] ממנו שהוא שני לט' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר במעלת א' לחלוק ז' וכן בשני לחלוק ז'[II 652] ובשלישי[II 653] לחלוק ח' וברביעי לחלוק ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב לחלק נשיב[II 654] הז'[II 655] שהוא בשני אל השלישי אחורנית[II 656] ונחלק[II 657] ממנו[II 658] ונכתוב ז' תחת ז' ששי[II 659] שהוא ד' לחלוק והנשאר י"ד וכן תעשה עד שישאר ז'[II 660] ואחריו נכתוב ח' ואחריו ה'[II 661] ואחריו ד' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב[II 662] לחלק נשיב ז'[II 663] על הח'[II 664] ונשים אותה במערכת ד' והנותר ט"ו ומה[II 665] שתשאיר[II 666] ח' ואחריו ה' ואחריו ה' ואחריו ד' ותכתוב ז' תחת השלישי שהוא הרביעי[II 667] לחלוק[II 668] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב לחלק נשיב[II 669] ח' על ה' ונתן ח'[II 670] תחת השמיני[II 671] שהוא ז'[II 672] רביעי[II 673] לחלוק ישאר ה' על ה'[II 674] ואחריו[II 675] ה' ואחריו ה'[II 676] ואחריו ה'[II 677] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב לחלק נתן ה' על ה' אחורנית[II 678] ונתן ה' תחת ז' התשיעי והוא רביעי לחלוק והנשאר י' ומה שתשאיר[II 679] ה' ואחריו ה' ואחריו ו'[II 680] ואחריו ב'[II 681] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ועוד לא יתחלק כי כבר יצא[II 682] לחוץ בה' וכי הנותר הוא ה' אלפים וה' מאות וס"ב[II 683] והמחולק עליו ט' אלפים וט' מאות וצ"ט[II 684] והמקובל[II 685] ע"ז אלף[II 686] וז' מאות ופ"ה[II 687] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכלל חלוק החשבון ג'[II 688] זיינין וג'[II 689] חיתין וג'[II 690] דלתין[II 691] וט' ההין וו' אחת וב' אחת[II 692] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והכלל כי עם[II 693] כל[II 694] החלוקים ד' חוץ[II 695] מן האחרון שנתמעט עד ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Second version | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
לכן שימהו לאחור לז' ויהיו ע"ז וחלקם על ט' ולא תוכל ליתן[II 696] לו יותר מז' לצורך שאר המספר וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק השני וז' תשימהו לאחור על הז' השלישי ויהיו ע"ז וחלקם על ט' השני וישארו י"ד תניח מהם ז'[II 697] לחלוק שני[II 698] והז' תשימהו לאחור אל הרביעי יהיו ע"ז וחלקם על[II 699] הט' השלישי וישארו י"ד תניח מהם ח' לחלוק שני והו' תשימהו לאחור אל הז' החמישי ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
נמצא שנשארו[II 700] לחלוק השני ז' ז' ז' ז' ז' ח' ז' ז'[II 701] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
החלוק השני תשלח ז' לאחור ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הראשון וישארו י"ד תניח מהם ז' לחלוק שלישי והז' שלחהו לח' שלפניו ויהיו ע"ח וחלקם על הט' השני ותן[II 702] לו ז' כמו כן וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק שלישי וז' תשלחהו לאחור אל הד' ויהיו ע"ד וחלקם על הט' השלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק שלישי והו' שלחהו אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
נמצא שנשארו לחלוק שלישי ז' ז' ז' ד' ה' ח' ז'[II 703] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
החלוק השלישי[II 704] תשיב[II 705] ז' לאחור ויהיו ע"ח חלקם על ט' הראשון ותוכל לתת לו ז' ולא[II 706] יותר וישארו ט"ו תניח מהם ח' לחלוק הרביעי והז'[II 707] שימהו לאחור אל הה'[II 708] ויהיו ע"ה וחלקם על ט' השני ותן לו ז' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק רביעי והז' שימהו[II 709] לאחור אל ד'[II 710] ויהיו ע"ד וחלקם[II 711] על ט' שלישי וישארו י"א תניח מהם ה' לחלוק הרביעי[II 712] והו' שימהו אחורנית אל הז' ויהיו ס"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ד' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונמצא שנשארו לחלוק רביעי ז' ז' ד' ה' ה' ח' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
חלוק הרביעי[II 713] שים ח'[II 714] אחורנית[II 715] על הה' ויהיו פ"ה תוכל לחלקם על הט' הראשון וליתן לו ח' וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי[II 716] והח'[II 717] שלחהו אחורנית אל הה' ויהיו פ"ה וחלקם[II 718] על הט'[II 719] השני וישארו י"ג תניח מהם ה' לחלוק חמישי[II 720] והח'[II 721] שלחהו אחורנית אל הד' ויהיו פ"ד וחלקם על הט' השלישי ח' כמו כן וישארו י"ב תניח מהם ה' לחלוק חמישי והז' שלחהו לאחור אל הז'[II 722] ויהיו ע"ז וחלקם על הט' הרביעי וישארו ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
ונמצא הנשאר לחלוק חמישי ז' ה' ה' ה' ה' | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
חלוק חמישי שים ה' אחורנית ויהיו נ"ה תן מהם ה' על הט' הראשון[II 723] וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'[II 724] תשלח אחורנית אל הה' השלישי[II 725] ויהיו נ"ה ותן על הט' השני ה' כמו כן וישארו י' תניח מהם ה' בלתי מחולקים והה'[II 726] שלחהו[II 727] אל ה'[II 728] הרביעי ויהיו נ"ה ותן על הט' השלישי ה' כמו כן[II 729] וישארו י' תניח מהם ו' בלתי מחולקים והד' שלחהו[II 730] אל הז' ויהיו מ"ז וחלקם על הט' הרביעי ה' כמו כן | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
וישארו בלתי מחולקים ב' ו' ה' ה'[II 731] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Check | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
We complete by knowing the test for whether you divided correctly. | והנה נשלים[II 732] לדעת המאזנים אם חלקת נכונה[II 733] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דע מאזני המספר[II 734] שחלקת עליו בין שיהיה[II 735] אחד או רבים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
גם[II 736] דע מאזני המספר[II 737] שעלה בחלוק שכתבת[II 738] בין שני הטורים בין שיהיה אחד או רבים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכפול זה[II 739] על זה האמצעי[II 740] על התחתון ודע כמה נשאר[II 741] על ט' ט'[II 742] והוא השמור אם[II 743] לא נשאר לך מספר שנשאר[II 744] שהוא פחות מהמספר[II 745] שחלקת עליו[II 746] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
כי[II 747] אם[II 748] נשאר קח[II 749] המאזנים שלו וחבר[II 750] אותו עם השמור שהיה לך והמחובר הוא השמור באמת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וראה מאזני המספר הגדול שחלקת אותו שהיה[II 751] בטור העליון אם[II 752] היה[II 753] שוה למאזני[II 754] השמור תדע כי חשבונך אמת | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ואם תכפול מה[II 755] שיעלה[II 756] בחלוק על[II 757] המספר שחלקת עליו אחר שתחבר אליהם מה שנשאר לחלק[II 758] אז יהיה המחובר שוה למספרי[II 759] הטור העליון וחלוק נכון[II 760] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Additional excerpts[II 761] | |||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
The rule of Division | כלל החלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If the number you by which you divide [= the divisor] is two digits or more, divide the last of the top row by the last of the bottom row, if the digit of the top row is greater than that of the bottom [row]. | אם המספר שתחלק עליו שני מספרים או יותר חלק סוף הטור העליון[II 762] על סוף הטור השפל אם מספר העליון גדול מהשפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
But if the lower one is greater than the upper one, return the last of the upper one back as tens to the preceding rank and add it to what is written there. | ואם השפל גדול מהעליון השב סוף העליון לעשרות אחורנית על המעלה הקודמת לה ותצרפם עם הנכתב בה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If there is a zero in the preceding rank, count the tens. | ואם במעלה הקודמת לה גלגל ספור העשרות | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Take from there what you can give the last lower digit. Write down what you can give to all the other bottom digits, as what you give to the last, and write the quotient in the middle between the two rows, far from the rank you divided as the distance from the last bottom digit from the starting digit. | וקח ממנו מה שתוכל לתת למספר השפל האחרון וכתוב מה[II 763] שתוכל לתת לכל מספרי השפל האחרים מה שתתן לאחרון והיוצא כתבהו באמצע שני הטורים רחוק מן המעלה שחלקת ממנה כמרחק סוף השפל מראשו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Proceed like this for all the divisions, doing the same for them as for this division: count from the rank which you divided as the distance of the last bottom digit from its starting digit, and write the quotient there. Then, from the digit that is second to the last bottom digit take the digit that is next to the rank from which you divided, as much times as the number that is written between the rows. | וכן תעשה לכל החלוקים שתשוב עליהם בזה החלוק שתמנה מן המעלה שחלקת ממנה כמספר סוף השפל מראשו ושם תכתוב היוצא בחלוק ומהמספר[II 764] השני לסוף השפל תקחנו מן הסמוך למעלה שחלקת ממנו כמספר הכתוב באמצע הטורים | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
If it is not enough for you, return what is left of the rank that you first divided back to the preceding rank and add it to what is written in it, then take your number from it. Do this with all. | ואם לא יספיק לך תשיב[II 765] מה שנשאר מן המעלה שחלקת תחלה אחורנית אל המעלה הקודמת לה ותצרף[II 766] עם מה שנכתב בה וקח ממנה מספרך וכן תעשה לכלם | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון רצינו לחלק פ"ג אלפים ותקכ"א על תתק"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה הט' שבטור השפל יותר[II 767] מח' שהוא סוף העליון על כן תשיב[II 768] הח' אחורנית על הג' יהיו פ"ג ונתן לט' מהפ"ג ט' יהיו פ"א ונשארו ב' על הג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והגלגל לא יוכל לקחת מן הה' העליון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והג' התחתון לא יוכל לקחת מן הה' העליון[II 769] כי[II 770] אינו מעלתו לכן השיב מן הה' שלשה על הב' יהיו ל"ב נסיר מהם כ"ז שהם ט' פעמים ג' שהוא ראשון השפל ונשארו ה' על הב' וב' על הה' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעבור שהט' התחתון הוא במעלה השלישית וכבר יצא בחלוק ט' נכתבנו[II 771] במעלה השנית שהוא שלישי לג' העליון שחלקת ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
נשוב לחלק ונשיב ב' אשר על הג' אל הב' אשר על[II 772] הה' יהיו כ"ב נסיר מהם ב' פעמים ט' כי ט'[II 773] הוא השפל ונשארו ד' על הה' ונכתוב ב' במעלה הראשונה שהיא שלישית לה' העליון שחלקת ממנו בזה החלוק | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
הנה הגלגל לא יוכל לקחת מאומה מן הה' אשר על[II 774] הב' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והג' השפל לא יוכל לקחת מן הא' העליון ב' כי אין בו רק אחד על כן נשיב אחד מן הה' שעל הב' אל הא' יהיו י"א ונקח מהם לג' התחתון ו' שהם ב' פעמים ג' | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונשארו ד' על הה' וד' על הב' וה' על א' שלא יתחלקו[II 775] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
דמיון אחר רצינו לחלק י"א אלף וש"נ[II 776] על ק"י | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
לקחנו א'[II 777] מן הא' האחרון העליון[II 778] וכתבנוהו[II 779] במעלה השלישית תחת הג' העליון לפי שא' האחרון השפל הוא במעלה השלישית וככה נרחיק היוצא מסוף המספר[II 780] שהחלות לחלק ממנו | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וכן קח מא' הרביעי העליון א' השני התחתון | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ובעבור שלא נשאר במעלה הרביעית מאומה ונצטרך לשוב לחלק מהג' העליון נקח מהם ג' לא' האחרון מהשפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
ונכתוב ג' במעלה הראשונה שהיא שלישית לג' העליון שהחלנו עתה לחלק ממנו ולכן שמנו גלגל במעלה השנית | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וזה כי בחלוק הראשון החלונו מסוף העליון ולכן כתבנו היוצא בחלוק ברחוק ג' מעלות ממנו אחורנית כמספר מעלות סוף השפל | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
אבל בחלוק השני הזה החלונו לחלק מהג' העליון ולכן נכתוב היוצא רחוק ג' מעלות אחורנית והגיע זה אל המעלה הראשונה | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
וא' השני בטור השפל נקח מה' העליון ישארו ב' על הה'[II 781] והם עשרים שלא יתחלקו[II 782] | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
והנה היוצא בחלוק ק"ג | ||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
from here proceeds to the check |
Chapter Three – Addition |
השער השלישי[III 1] |
---|---|
Sums |
|
It is written in the books of the arithmeticians that he who wants to know how much is the sum of the numbers that proceed successively up to a known number, multiplies it by its half plus one half and the result is the sum.
|
כתוב בספרי[III 2] חכמי החשבון כי[III 3] הרוצה לדעת כמה המחובר מן המספרים[III 4] שיעברו[III 5] על הסדר עד סוף מספר ידוע יכפול[III 6] אותו על חציו[III 7] בתוספת[III 8] חצי אחד והעולה הוא המחובר |
|
דמיון רצינו לדעת כמה הם[III 9] המספרים[III 10] המחוברים[III 11] מא' עד סוף[III 12] י"א |
|
הנה ידענו[III 13] כי חצי י"א ה' וחצי נוסיף חצי אחד הנה[III 14] יהיו[III 15] ו' והנה[III 16] נכפול י"א על ו' יעלו[III 17] ס"ו והוא המחובר[III 18] |
|
דמיון אחר בזוגות כמה[III 19] המחובר עד סוף[III 20] י"ח |
|
והנה[III 21] לקחנו חציו והוא[III 22] ט' כפלנו[III 23] י"ח עליו ועלו[III 24] קס"ב ועוד[III 25] יש[III 26] לכפול חשבון[III 27] י"ח על חצי אחד יעלו[III 28] ט' חבר אותו[III 29] עם[III 30] קס"ב יעלו קע"א והוא המחובר |
Every number is in accordance with these two ways. | ועל אלו שני[III 31] הדרכים[III 32] הולך[III 33] כל חשבון[III 34] |
Another way: add one to the last number, multiply by half the number and the result is the sum.
|
דרך אחרת הוסף על סוף המספר אחד שלם וכפול על החצי מהמספר והעולה הוא המחובר |
|
דמיון בנפרדים כמה המחובר עד סוף י"א |
|
הוספנו אחד והיו י"ב והנה חצי י"א ה' וחצי כפלנו י"ב על ה' וחצי עלו ס"ו וככה המחובר |
|
ובזוגות עד סוף י"ח |
|
הנה חציו הוא ט' הוספנו אחד על י"ח היו י"ט כפלנו י"ט על ט' עלו קע"א[III 35] |
Abraham the author said: | אמר אברהם[III 36] המחבר |
I have found another way: add to the square of the last number the root that is the last number itself, then see how much is the sum and half the sum is the required.
|
מצאתי דרך אחרת תוסיף[III 37] על מרובע[III 38] סוף החשבון השרש שהוא[III 39] בעצמו[III 40] וראה כמה[III 41] המחובר[III 42] וחצי המחובר הוא המבוקש |
|
דמיון ידענו כי מרובע י"א קכ"א ואחר[III 43] נוסיף על[III 44] י"א שהוא השרש[III 45] והוא סוף החשבון יעלו קל"ב וחציו ס"ו |
From this way you can derive all the questions that are concerning this matter. | ומזה הדרך[III 46] תוכל להוציא כל השאלות שהם בענין הזה[III 47] |
|
דמיון שאל שואל חברתי[III 48] מספרים[III 49] עד שהגיעו[III 50] למספר ידוע ועלה המחובר תס"ה כמה הוא סוף החשבון |
Always double the sum, then take the root of the preceding square and check it: if between the square and the double remains the root no more and no less, know that the calculation is correct and the [last] number is itself the root.
|
כפול לעולם החשבון[III 51] המחובר וקח שרש הנכפל שעבר ובחון[III 52] אותו כי אם נשאר בין המרובע ובין הנכפל כמו השרש בלי תוספת ומגרעת תדע כי החשבון נכון והחשבון בעצמו השרש[III 53] |
|
והנה כפלנו[III 54] תס"ה ועלה[III 55] תתק"ל וידוע[III 56] כי המרובע שעבר היה[III 57] תת"ק ושרשו ל' והוא סוף המספרים המחוברים והנה אין בין המרובע והנכפל כי אם ל' והוא סוף[III 58] החשבון |
Another general way for an even and an odd number [of terms]: double the square of half the [last] number, then add to it the root of this square, which is half the number and the result is the required.
|
דרך אחרת כוללת לזוגות ולנפרדים תכפול מרובע חצי המספר ותוסיף עליו שורש זה המרובע שהוא חצי החשבון והעולה הוא המבוקש |
|
דמיון רצינו לדעת כמה המחברים עד י"ב |
|
והנה חצי המספר ו' והמרובע ל"ו כפלהו יהיו ע"ב הוסיף על זה ו' שהוא השורש עלו ע"ח והוא המבוקש[III 59] |
Another question: we sum the squares up to a known number, how much is the sum?
|
שאלה אחרת חברנו כל המרובעים[III 60] שהם עד סוף החשבון[III 61] שהוא[III 62] ידוע כמה המחובר |
You should know the sum of the numbers preceding the [last] mentioned number including [the last number] and we name it and call it a sum, then we take two thirds of the [last] mentioned number plus one third, multiply it by the sum and the result is the required, which is the sum of the squares up to the mentioned number.
|
יש לך לדעת אותו החשבון שהזכיר כמה יעלה המחובר מהמספרים שלפניו ועמו נשים[III 63] שם[III 64] לאותו המספר[III 65] הידוע ונקראנו[III 66] סכום והנה נקח שתי שלישיות המספר שהזכיר עם תוספת שלישית אחד[III 67] ונכפול[III 68] זה המחובר[III 69] על סכום המספר והעולה הוא המבוקש והוא המחובר מהמרובעים עד סוף המספר הנזכר |
|
דמיון רצינו לדעת כמה המרובעים שהם[III 70] עד סוף שבעה[III 71] |
|
וכבר[III 72] ידענו שהמחובר[III 73] כ"ח ונשוב[III 74] לדעת כמה שתי שלישיות שבעה[III 75] עם תוספת שלישית אחד[III 76] והם חמשה כי שתי שלישיות ששה הם[III 77] ארבעה ויש[III 78] לנו עוד שתי שלישיות ועם תוספת שלישית אחד[III 79] והנה נכפול[III 80] על הסכום ה' ועלו ק"מ והוא המבוקש |
|
דמיון אחר כמה המחובר[III 81] מהמרובעים שהם[III 82] עד סוף[III 83] י"ב[III 84] |
|
וידוע[III 85] כי הסכום שלו ע"ח ושתי שלישיותיו ח' נכפלנו על ע"ח יעלו[III 86] תרכ"ד נחבר[III 87] אליו שלישית הסכום שהוא כ"ו יעלו תר"נ והוא המבוקש |
From this way you can derive all the questions that are concerning this matter. | ועל זה הדרך תוכל להוציא כל השאלות שהם[III 88] מזה הענין |
Additional excerpts | |
I have found an easy way to sum the cubes: | ואני[III 89] מצאתי דרך נקלה לחבור[III 90] המעוקבים |
If you want to know the [sum of the] cubes up to a known number, know the sum of the numbers up to that last number and take its square - it is the sum of the cubes up to the last number.
|
שאם תרצה לידע המעוקבים שהם עד מספר ידוע דע[III 91] המספר המחובר עד סוף המספר ההוא וקח מרובעו והוא יהיה חבור המעוקבים עד סוף החשבון ההוא[III 92] |
|
דמיון רצינו לידע כמה מספר המעוקבים המחוברים עד ה' |
|
והנה מספר המחובר עד סוף ה' הוא ט"ו קח מרובעו יהיו רכ"ה והוא יהיה מספר המעוקבים עד ה'[III 93] |
Another matter: to know the sum of all the doubles.
|
[III 94]ענין אחר לדעת כמה המחובר מכל הנכפל |
It is [equal to] double the last minus the first.
|
והוא כפל האחרון במגרעת הראשון |
|
דמיון כי המחובר מן ג' ו' י"ב |
|
הם כ"ד בחסרון ג' הרי כ"א והוא המחובר |
|
דמיון אחר א' ב' ד' |
|
הם ח' במגרע א' הרי ז' והוא המחובר |
Likewise, if one says only the last number. | וכן אם לא יגיד כי אם סכום אחרון |
|
כמו אם ישאל כמה הם הכפולים זה על זה עד ל"ב |
|
כפול ל"ב יהיה ס"ד תחסר אחד שהוא ראשון ישאר ס"ג והוא המבוקש |
תמצא חבורו מראשו כמ' שהראיתיך עתה ויהיו כ"ח ושמרהו ועוד תקח מן הז' שני שלישיתיו ושליש והם ה' וכפול ה' בכ"ח ששמרת ויעלו | |
אז תדע חבורו מראשו ועד י"ב והם כמ' שידעת ע"ח ושמרהו וחזור ותקח שני שלישי י"ב והם ח' ותכפלם על ע"ח יהיו תרכ"ד ועוד חבר לאלו שליש ע"ח והם | |
ודע כי החבור הוא שתחל לחבר האחדים תחלה ואחר כן העשרות וכן בסדר וזה הפך החלוק שהוא יעשה אחורנית | |
דרך אחרת קח המחובר מן י"ב והם ע"ח ותקח שני שלישי י"ג והם ח' וב' שלישים והסר מהם שליש אחד וישארו ח' ושליש ותכפלם על ע"ח תדע כי הם יעלו כמו כן תר"נ | |
|
ואם יאמר כמה המחובר מהמרובעים עד ח' |
קח חבורו של ח' והם ל"ו ובקש שני שלישי ט' והם ו' ותכפלם בל"ו ויעלו רי"ו הסר מהם שליש ל"ו והם י"ב וישאר ר"ד והוא המבוקש | |
|
שאלה כמה הוא המחובר מד' עד ט' |
אז תעשה כמ' שלמדתיך למטה לכפול ה' בט' ויעלו מ"ה והסר מהם ב' פעמים ג' והם ו' וישארו ל"ט והוא המבוקש | |
|
ואם עוד ישאל כמה היא המחובר מהמרובעים כסדר מד' ועד ט' |
אז תעשה כמ' שצויתיך למעלה למצוא מחוברם מראשם והם מ"ה ושמרם וקח שני שלישי ט' והם ו' וכפלם במ"ה ויעלו ר"ע ועוד שליש מ"ה והם ט"ו ויעלו רפ"ה ותסיר מזה מרובע א' ב' ג' והם י"ד וישארו רע"א והוא המבוקש | |
ועל הדרך הזה[III 95] תוכל להוציא כל השאלות מזה הענין[III 96] | |
There is no need to mention all of this, but I shall only mention the method of the scales. | ואין צורך להזכיר כל[III 97] זה[III 98] רק אזכיר דרך המאזנים |
Written calculations |
|
When you add a number to a number, even if they [consist of] many [digits], put one number in the upper row according to its ranks, put also the other number according to its ranks in the lower row. | כשתחבר[III 99] מספר אל מספר בין שיהיו[III 100] רבים אלו ואלו[III 101] שים המספר האחד[III 102] בטור העליון[III 103] כפי מעלותיו[III 104] גם[III 105] שים המספר[III 106] השני כפי מעלותיו[III 107] בטור השפל |
Then add each [digit] in its rank and write the sum in a third row. | אחר כן חבר כל אחד אל מעלתו והמחובר כתוב אותו בטור שלישי |
Then add the scale of the top row to the scale of the bottom row. | אחר כן חבר מאזני הטור העליון אל[III 108] מאזני הטור התחתון[III 109] |
If the sum of the two is equal to the scale of the third row, know that your calculation is correct. | ואם היה העולה בין שניהם כמאזני הטור השלישי[III 110] אז תדע כי חשבונך אמת |
Now I shall explain how to approach the tables of astrology and how to take add seconds to minutes and minutes to degrees and degrees to signs. | ועתה אפרש היאך יכנס בלוחות חכמת המזלות והיאך יצרף שניים לראשונים וראשונים למעלות ומעלות למזלות[III 111] |
Addition of Sexagesimal Fractions |
|
Now I shall give you a general method of astrology. | ועתה אתן לך דרך כוללת בחכמת המזלות |
The celestial sphere was divided into 12 signs and the sign into 30 degrees. | חלקו הגלגל על י"ב מזלות והמזל על ל' מעלות |
The degrees are as units in the number; each degree is divided into sixtieths, which are called minutes. | והמעלות הם כמו אחדים במספר וכל מעלה מתחלקת על ששים יקראו ראשונים |
Each minute is also divided into sixtieths, which are called seconds. | גם כל[III 112] ראשון יתחלק לששים עוד[III 113] ויקראו שניים |
There are no more fractions than these in the tables of the planets. | ואין בלוחות המשרתים שברים יותר מאלה |
Know that the tables of the planets of the mean motion are according to two ways: | ודע כי לוחות המשרתים במהלך האמצעי על שני דרכים |
|
האחד על שנות השמש והם שנות הכלל מחוברים עשרים עשרים[III 114] |
|
והדרך השנית על שנות הלבנה ושנות הכלל מחוברים שלשים שלשים |
I will explain this in the book | ובספר[III 115] טעמי הלוחות אפרש זה |
When they want to know the position of any planet required at any hour required, they approach the years of the decades that have passed and write down the number of the signs they find written there, and they write this at the beginning of a row. | והנה ברצותם לדעת[III 116] מקום איזה משרת שיבקשו[III 117] באיזו שעה שירצו יכנסו בשנות הכלל שעברו ויכתבו מה שימצאו כתוב שם ממספר המזלות ויכתבו זה[III 118] בתחלת הטור |
Then, they write the degrees they find, after the first number in the same row and they do a long dividing line between the two numbers. | ואחר יכתבו מה שימצאו במעלות [322]אחרי המספר הראשון באותו הטור בעצמו וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך |
Then, they write the minutes they want find after the degrees and the signs and make a separation between the two numbers with a long line in the same row. | אחר כן יכתבו מה שימצאו מן הראשונים[III 119] אחרי המעלות והמזלות וישימו הפרש בין שני המספרים בקו ארוך באותו[III 120] הטור בעצמו |
Then, they write the seconds after the minutes in the same row and separate between them with a long line. | אחר כן ישימו השניים אחרי הראשונים באותו הטור בעצמו ויפרישו ביניהם בקו ארוך |
Then, they approach the single years that have passed and write what they find, the signs under the signs, the degrees under the degrees, the minutes under the minutes and the seconds under the seconds. | ואחר כן יכנסו בשנות הפרט שעברו ויכתבו מה שימצאו[III 121] במזלות תחת המזלות והמעלות תחת המעלות והראשונים תחת הראשונים והשניים תחת השניים |
Then, they approach the months that have passed and write everything they find there, each type under its type. | ואחר כן יכנסו כנגד החדשים שעברו ויכתבו כל מה שימצאו שם כל מין תחת מינו |
Then, they approach the days of the month that have passed of a month that has not been completed and write everything they find there each type under its type. | ואחר כן יכנסו בימות החדש שעברו אל החדש שלא נשלם ויכתבו כל מה שימצאו כנגדם כל מין תחת מינו |
The same is done with the whole hours that have passed after the middle of the day and the same with the parts of an hour that has not been completed. | וככה יעשו בשעות השלמות שעברו אחר חצי היום וככה בחלקי השעה שלא נשלמה |
Then, one starts to add up all the sixtieths: takes one minute for every sixty seconds and write how many minutes come out of the seconds with the minutes that precede the seconds, and write the remainder of the seconds that are less than sixty alone in another place. | ואחר כן יחל לחבר כל הששים ויקח לכל ששים שניים חלק ראשון ויכתוב כמה ראשונים יעלו מן השניים עם הראשונים שהם לפני השניים והנשאר מן השניים שהם פחותים מן הששים[III 122] יכתבם לבדד במקום[III 123] אחר |
Then, one adds again all the minutes: takes one degree for every sixty minutes and write the degrees that are summed with the degrees that precede the minutes and the remaining minutes that are less than sixty, write them in the row where you wrote the seconds, only that they are written before the seconds. | ואחר כן ישוב לחבר כל הראשונים ויקח לכל ששים ראשונים מעלה אחת ומה שיתחבר מן המעלות[III 124] כתוב אותם עם המעלות שהיו לפני הראשונים והראשונים הנשארים שהם פחותים מששים כתוב אותם בטור שכתבת[III 125] שם השניים רק יהיו נכתבים לפני השניים |
Then, add again the degrees: take one sign for every thirty degrees and write the [signs] that come out with all the [signs] that you had and what remains of the degrees that are less than thirty, write them alone before the minutes that you wrote before the seconds. | ואחר כן שוב לחבר המעלות וקח לכל שלשים מעלות מזל אחד וכתוב המעלות[III 126] העולים עם כל המעלות[III 127] שהיו לך ומה שישארו מן המעלות[III 128] שהם פחותים משלשים כתוב אותם לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד |
Then, take out every twelve signs you find, and write the remainder alone before the degrees you wrote before the minutes preceding the seconds. | ואחר כן הוצא כל שנים עשר מזלות[III 129] שתמצא והנשאר כתוב אותם לפני המעלות שכתבת לפני הראשונים שכתבת לפני השניים לבדד |
So, you have the position of the planet on the celestial sphere along with its degrees, minutes and seconds. | אז[III 130] יהיה לך מקום המשרת בגלגל המזלות עם מעלותיו וחלקיו ושנייו |
You always start to count the signs from the sign of Aries. | ולעולם תחל לספור המזלות מראש מזל טלה |
If the number of signs is twelve, write a zero in the place where the signs must be written to indicate that the planet is still in the sign of Aries, for this is not yet complete, but that it has only moved away from the sign in accordance with the degrees that have been written there and the minutes belong to the following degree. | ואם היה מספר המזלות שנים עשר כתוב אותם במקום הראוי להכתב שם[III 131] מזלות גלגל להודיע כי המשרת עודנו במזל טלה כי לא נשלם רק עבר מן המזל כפי המעלות שתמצא כתובות ויהיו הראשונים מן המעלה[III 132] הבאה |
|
כי אם[III 133] היו המעלות י"ז יהיו הראשונים הם שעברו ממעלת[III 134] י"ח ונחשוב כי הראשונים השלמים היו ט"ו שלמים ונאמר כי השניים היו מ"ה והנה הם שלש רביעיות החלק הראשון של ששה עשר ראשונים |
Chapter Four – Subtraction |
השער הרביעי |
---|---|
Written calculations |
|
Subtracting one number from the another is easy. | לגרוע חשבון אחד מחשבון אחר קל הוא |
I shall give you only a general method of subtracting many digits from many digits, using the method of the arithmeticians as well as the method of the astrologers, for they have a different method. | רק אתן לך דרך כוללת לגרוע חשבונים רבים מחשבונים רבים[IV 1] על דרך חכמי החשבון גם על דרך חכמי המזלות כי דרך אחרת[IV 2] יש להם |
Do as follows: | וככה תעשה |
Write the number from which you want to subtract [= the minuend] in the upper row and write the digits you want to subtract [= the subtrahend] in the lower row. | כתוב החשבון[IV 3] שתרצה לגרוע ממנו בטור העליון וכתוב המספרים שתחפוץ[IV 4] לגרעם[IV 5] בטור השפל |
The last digit in the top row must always be greater than the last digit in the bottom row. Do not consider the other digits. | ולעולם יהיה המספר האחרון בטור העליון גדול מהמספר האחרון שהוא בטור השפל ואל תחוש מן המספרים האחרים |
If you find in one of the ranks that the digit in the lower row is greater than the corresponding digit in the upper row, return one alone from the digit that follows, for that is enough for you and consider it as ten, as the way we do in the division. | והנה[IV 6] אם מצאת באחת[IV 7] מן[IV 8] המעלות מספר הטור השפל גדול מהמספר[IV 9] שבטור[IV 10] העליון שהוא כנגדו השב אחורנית מהמספר שאחריו[IV 11] אחד[IV 12] לבדו כי יספיק לך וחשוב אותו עשרה על הדרך שאנו עושין בחלוק |
|
דמיון הטור העליון ב'ג'ד'ה' והטור השפל ט'ז'ג'ב' |
|
וראוי לגרוע כל אחד מהשפלים מן העליונים[IV 13] כל אחד ממעלתו[IV 14] ב' מה' וג' מד' |
|
ולא נוכל לחסר ז' מג' ולא ט' מב'[IV 15] |
We always start to subtract backwards, as with the way of division, and write the remainder in the third row corresponding to the same rank in the lower row. | ולעולם[IV 16] נחל לחסר[IV 17] אחורנית[323] כדרך החלוק והנשאר נכתבנו[IV 18] בטור השלישי כנגד אותה המעלה שבטור השפל |
|
והנה גרענו ב' מה' נשאר לנו ג' כתבנו אותו[IV 19] תחת מעלה הרביעית[IV 20] |
|
חסרנו ג' מד' נשאר לנו אחד ולא כתבנוהו רק שמנו גלגל במקומו[IV 21] כי הוצרכנו להשיב אחד[IV 22] אחורנית כי המספר שבטור השפל לפניו[IV 23] גדול משכנגדו העליון והנה היו י"ג חסרנו ממנו ז' ונשארו[IV 24] ו' רק בעבור כי[IV 25] החשבון הראשון שבטור השפל[IV 26] גדול מן[IV 27] העליון שבטור[IV 28] העליון על כן הוצרכנו להשיב אחורנית אחד ונכתוב[IV 29] ה' בטור השלישי והנה היו[IV 30] למעלה י"ב נחסר ט'[IV 31] ונשארו[IV 32] ג' |
|
וזו היא הצורה[IV 33] |
When you want to know the scales: | וכאשר תרצה[IV 34] לדעת המאזנים |
Subtract the scale of the lower row from the scales of the upper row and keep the remainder. | תגרע[IV 35] מאזני הטור השפל ממאזני הטור העליון ותשמור[IV 36] הנשאר |
See: if the scale of the third row is the same, then you know that your calculation is correct. | ותראה[IV 37] אם היו[IV 38] מאזני הטור השלישי כמוהו דע[IV 39] כי חשבונך[IV 40] אמת |
If the scale of the bottom row is greater than the scale of the top row, always add 9 to the scale of the top, subtract the scale of the bottom from the sum and proceed according to the instructions. | ואם היו[IV 41] מאזני הטור השפל גדול ממאזני הטור[IV 42] העליון הוסף[IV 43] לעולם על מאזני העליון ט' וגרע מהמחובר מאזני השפל ותעשה[IV 44] כמשפט[IV 45] |
Example. We subtract 1 from 2; 1 remains. We return it back to the zero; they are 10. We subtract 7; 3 remain. | דמיון החסרנו[IV 46] א' מב' נשאר א' השיבונו[IV 47] אחורנית על הגלגל והיו י' חסרנו ז'[IV 48] נשארו ג' |
The scale of the lower [row] is 8 and the scale of the upper [row] is 2. We add 9 to it; they are 11. We subtract 8; 3 remain and so is the bottom scale. | והנה מאזני השפל ח' ומאזני העליון ב' הוספנו עליו ט' והיו[IV 49] י"א החסרנו[IV 50] ח' נשארו ג' וככה מאזני השפל |
Now, we shall speak about the method of the astrologers, because they need this chapter more than the arithmeticians. | עתה נדבר על דרך חכמי[324] המזלות כי יותר צורך יש[IV 51] להם לשער הזה מחכמי החשבון |
We already mentioned that you should set up the signs in the first rank, degrees in the second, the minutes in the third and seconds in the fourth. | וכבר הזכרנו כי כן תכון[IV 52] המזלות במעלה הראשונה והמעלות בשנית והראשונים[IV 53] בשלישית[325] והשניים ברביעית |
One always starts to subtract backwards: the seconds in the bottom row from the seconds in the top row. The remainder is written in the third row corresponding to the upper seconds. | ולעולם יחלו לגרוע אחורנית השניים[IV 54] בטור השפל[IV 55] מהשניים[IV 56] בטור העליון והנשאר יכתבהו[IV 57] בטור השלישי כנגד השניים העליונים |
If the lower seconds are more than the upper ones, he takes one from the upper minutes, considers it as 60 seconds, adds to them the seconds that are in the upper row, and then subtracts the lower seconds according to the instructions. | ואם היו השניים השפלים רבים מהעליונים יקח מהראשונים העליונים[IV 58] אחד יחשבהו[IV 59] ס' שניים ויחבר אליהם השניים הנמצאים בטור העליון ואחר כן יגרע השניים השפלים כמשפט |
If he has taken one from the upper [minutes], he subtracts it from the number of minutes that are there. | ואם לקח אחד מהעליונים יגרענו מהמספרים הראשונים שהיו שם |
Then, he subtracts the lower minutes from the upper minutes that are there and writes the remainder corresponding to them in the third row. | ואחר כן יחסר הראשונים השפלים מהראשונים העליונים הנמצאים שם ויכתוב הנשארים כנגדם בטור השלישי |
Then, he subtracts the degrees from the degrees and write the [remainder] corresponding to them in the third row. | ואחר כן יחסר מעלות ממעלות והנשארים יכתבם בטור השלישי כנגדם |
If the degrees in the lower row are more than the degrees in the upper row, he takes one from the signs, considers it as 30, adds them to the degrees that are written there, then subtracts, but makes sure that he subtracts one from the number of the signs that are written in the first [rank]. | ואם היו המעלות בטור השפל רבות ממעלות הטור העליון יקח מהמזלות[IV 60] אחד[IV 61] ויחשבנו[IV 62] ל'[IV 63] ויחברם אל המעלות הכתובות שם ואחר כך יגרע וישמר שיגרע אחד ממספר המזלות הכתובים בראשונה |
Then, he subtracts the signs from the signs and write the remainder in the third row corresponding to them. | ואחר כך יגרע[IV 64] מזלות ממזלות ויכתוב הנשארים בטור השלישי כנגדם |
If the lower signs are more than the upper ones, he always adds 12 to the upper ones, then subtracts and proceeds according to the instructions. | ואם היו המזלות השפלים גדולים[IV 65] מהעליונים יוסיף[IV 66] לעולם[IV 67] על העליונים י"ב ואחר כן יגרע ויעשה כמשפט |
To know the scales: | לדעת המאזנים |
One starts with the seconds, subtracts the scale of the lower seconds from the scale of the upper ones, keeps the remainder and see if the scale of seconds in the third row is just as much, then his calculation is correct. | יחל מהשניים ויגרע מאזני השניים השפלים ממאזני[IV 68] השניים העליונים וישמור הנשאר ויראה אם היה כמוהו מאזני השניים בטור השלישי חשבונו אמת |
If he sees that he has taken one minute from the minutes and added to the seconds, he adds 6 to the scale of the upper seconds and then subtracts according to the instructions. | ואם ראה שלקח ראשון אחד מן הראשונים ושם עם השניים יוסיף על מאזני השניים העליונים ו' ואחר כך יגרע כמשפט[IV 69] |
He does with the scales of the minutes as he has done with the seconds. | ויעשה[IV 70] למאזני הראשונים כאשר עשה לשניים |
If he had to take a degree and convert it to 60 minutes to add them to those that are written there, add 6 to the scale of the minutes that are there, then subtract and proceed according to the instructions. | ואם הוצרך לקחת מעלה והשיבה[IV 71] לס' ראשונים לחברם[IV 72] עם הכתובים שם הוסף על מאזני הראשונים שהיו שם ו' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט |
Do with the scales of the degrees the same as with the minutes and seconds. | גם כן תעשה במאזני המעלות כמשפט הראשונים והשניים |
If you have taken from the signs one that you have set with the degrees, add 3 to the scale of the degrees that are written, then subtract and proceed according to the instructions. | ואם לקחת מן המזלות[IV 73] אחד ששמת אותו עם המעלות הוסף על מאזני המעלות[IV 74] הכתובים בראשונה ג' ואחר כן תגרע ותעשה כמשפט |
Do with the scales of signs the same as you did with all of them. | ועשה במאזני המזלות[IV 75] כמשפט שעשית בכל אלה |
If you added 12 to the original signs, add 3 to the scale of the signs that were first written, then subtract and proceed according to the instructions. | ואם הוספת על המזלות הראשונים י"ב הוסף על מאזני המזלות הכתובים בראשונה ג' ואחר כך תגרע ותעשה כמשפט |
I shall tell you a rule, one thing that is necessary when subtracting: | כלל אומר לך[IV 76] דבר שהוא צורך[IV 77] למגרעת |
The last [digit] at the end of the upper row must always be greater than the last [digit] in the lower row, when the rows are the same, the upper [has] the same [number of ranks] as the lower one. | לעולם האחרון[IV 78] שבסוף[IV 79] הטור העליון יהיה גדול מהאחרון[IV 80] שבטור[IV 81] השפל כשהטורים שוים שהעליון כמו התחתון |
If the rows are not the same, as the upper one is greater than the lower one in respect of the number of digits, as here [igure is missing], return one back and that is enough. | ואם אין הטורים שוים שהעליון[IV 82] גדול מן התחתון[IV 83] במספר אותיות[IV 84] כזה ישיב האחד אחורנית ודי לו[IV 85] |
[IV 86]דרך אחרת לגרוע חשבון מחשבון בהפך שכתוב למעלה שיחל לגרוע מן האחדים | |
דמיון רצינו לגרוע ט' מב' והנו כזו הצורה | |
נקח מג' שלפניו ויחזירנה לאחור ויהיו י"ב נשארו ג' ויכתבם בטור השלישי | |
ועתה נרצה לגרוע ז' מג' ולא נוכל כי לא נשאר במקום הג' כי אם ב' נקח מן הד' א' ונחזירהו לאחור על הג' שהוא ב' ויהיו י"ב גרע מהם ז' וישארו ה' ונכתבנו בטור השלישי כנגד הז' | |
ואחר כן נגרע ג' מד' שהוא ג' שכבר חסרנו ממנו א' ויצא זה כנגד זה לכן נכתוב גלגל בטור השלישי תחת הג' | |
ואחר כן נגרע מה' וישארו ג' ונכתבנה בטור השלישי תחת הב' |
Chapter Five - Fractions |
השער הה' הוא שער השברים |
---|---|
It is known that the one is as a point in a circle; therefore one cannot be a fraction. Just because the whole is named with one name, as the shape that represents the entire body, while the body is composed of surfaces, therefore man considers the one as fractions and fraction of fractions in thought. | ידוע כי האחד כמו נקודה בתוך עגולה על כן לא יתכן להיות האחד נשבר רק בעבור שיקרא הכלל בשם אחד כמו הצורה שהיא כוללת כל הגוף והגוף מורכב משטחים ובעבור זה יעשה האדם מן האחד שברים במחשבה ושברי שברים |
The arithmeticians take all their fractions from a great number so that its fractions are whole units, thus they take the half from two, the third from three and so on to the end of the first rank of the number. | וחכמי החשבון יקחו כל שבריהם מחשבון גדול שיהיו שבריו אחדים שלמים על כן יוציאו החצי משנים והשליש משלשה וככה עד סוף המערכת הראשונה בחשבון |
The analogous number from which they derive is called the "denominator"; for the product is divided by its square. The remainder that cannot be divided is one part of it or a number of parts that can be named by the name of the units, such as one-quarter, one-third and their similar. | והדמיון שיקחו ממנו יקראוהו המורה כי על מרובעו יחלקו העולה בחשבון והנשאר שלא יתחלק יהיה חלק ממנו או חלקים שיוכל להזכירו בשם האחדים כמו רביעית שלישית והדומה להם |
Sometimes the denominator is a number that has no parts that man can express, because it is a prime number that is not composed, such as 11 or 13, and their like. | ויש פעמים שיהיה המורה חשבון שאין לו חלקים שיוכל האדם לבטא בהם כי הוא חשבון ראשון איננו מורכב כמו י"א או י"ג והדומים להם |
I have already mentioned that the first rank consists of 9 numbers. | וכבר הזכרתי כי המערכת הראשונה ט' מספרים |
The one, on the one hand, is not a number, and on the other hand, it is a number. | והנה האחד מפאה אחד איננו מספר ומפאה אחרת הוא מספר |
It is similar to an odd number, because when you sum all the odd numbers together successively the squares are generated. | והוא דומה לנפרד כי בחברך כל הנפרדים זה על זה על הסדר יולדו המרובעים |
As well as many other matters, which there is no need to mention. | ודברים רבים אין צורך להזכירם |
So, eight numbers remain in the first rank, half of which are prime numbers, and the other half are composite numbers. | והנה נשארו במערכת הראשונה שמנה מספרים והנה חציים ראשונים וחציים מורכבים |
|
הראשונים הם שנים שלשה חמשה ושבעה |
|
והמורכבים ארבעה ששה שמנה ותשעה |
When there is a need for two fractions that are not of one kind, which are not similar to each other, one looks for each of the fractions: from which number each of them is derived and multiplies one number by the other; the product is the denominator. | וכאשר יצטרכו לשנים שברים שאינם ממין אחד שלם שלא ידמה זה לזה יבקשו כל אחד מהשברים מאיזה חשבון יצא כל אחד מהם ויכפלו חשבון האחד על האחר והעולה בחבור הוא המורה |
If there are 3 types, one multiplies the number from which the [first] fraction is derived by the second number from which the second fraction is derived and multiply the product by the number from which the third fraction is derived. | ואם היה ג' מינים יכפול החשבון שיצאו ממנו השברים על החשבון השני שיצאו ממנו שברי השני והמחובר יכפלהו על המספר שיצאו ממנו שברי השלישי |
The same is done if there are 4 types or more: one looks for a common denominator for all. | וככה יעשה אם היו ד' מינים או יותר כי יבקשו מורה אחד לכלם |
It is called by this name [moreh, lit. indicator], because it indicates the straight path; if you want, name it by a different name, it does no harm. | ונקרא בשם הזה בעבור כי הוא יורה הדרך הישר ואם תרצה קרא לו שם אחר כי לא יזיק |
After I have told you the methods of the denominator, I will tell you how you can calculate two fractions of two denominators, for it is in a shorter way. | ואחר שאומר לך דרכי זה המורה אומר לך איך תוכל להוציא שני שברים משני מורים כי הם יותר דרך קצרה |
After I will finish talking about the fractions in the method of the arithmeticians and their argumentations, I will explain you the fractions of the astrologers, for they have a different method. | ואחר שאשלים לדבר על שברי דרך חכמי החשבון ומחלוקותיהם אפרש לך שברי חכמי המזלות כי דרך אחרת להם |
I will start giving you examples from the easy ones, then I will mention the difficult ones. | ואחל לתת לך דמיונות מן הקלים ואח"כ אזכיר הכבדים |
First, I shall tell you a rule: that the multiplication of fractions is opposite to the multiplication of integers. | ואומר לך כלל בתחלה כי כפלי השברים הפך כפלי השלמים |
Because when it is said: multiply one-half by one-half it is as if it is said: take one-half of one-half; the result is one-quarter. | כי האומר כפול חצי על חצי כאלו אומר קח חצי החצי והנה העולה רביעית אחד |
We know that the half is derived from two; its half is 1 and the other half is also one; one multiplied by one is one; the square of the denominator is 4, so this one is one-quarter, that is the half of one-half. | ידענו כי החצי יצא משנים והנה חציו אחד וחצי האחר גם הוא אחד והנה אחד על אחד אחד והנה מרובע המורה ד' והנה זה האחד הוא רביעי והוא חצי החצי |
We proceed oppositely to our practice with the integers, because we are always looking for the ratio of the product to the square of the denominator. | והנה נעשה להפך מנהגנו בשלמים כי נבקש לעולם מהו ערך הנכפל ממרובע המורה |
|
וכפל שלישית על שלישית יהיה העולה תשיעית |
|
וכפל רביעית על רביעית יהיה העולה י"ו והנכפל אחד והנה הוא חצי שמינית |
In this way up to ten and beyond. | ועל זה הדרך עד עשרה וככה למעלה ממנו |
|
כמו חלק אחד מי"א כפול על חלק אחד מי"א והנה חלק אחד מקכ"א שהוא המרובע |
In this way you multiply fractions of one type by fractions of the same type, whether they are the equal or one of them is greater than the other, then you divide the product by the square of the denominator. | ועל זה הדרך תכפול שברי מין האחד על שברי המין בעצמו בין שיהיו שוים או שיהיה אחד מהם גדול מהאחר ואח"כ תחלק על מרובע המורה הנכפל |
|
דמיון רצינו לכפול ג' רביעיות על ג' רביעיות |
|
והנה המורה ד' |
|
לקחנו לכל אחד מג' רביעיות ג' והנה הנכפל ט' |
|
חלקנו אותם על י"ו שהוא מרובע המורה הנה הוא חציו וחצי שמיניתו |
|
ואם תרצה חלק ט' על ד' והדבר יצא שוה כי רביעית הרביעית חצי השמינית |
|
דמיון בקשנו לכפול ג' חמישיות על ד' חמישיות |
|
והנה המורה ה' |
|
לקחנו בעבור הג' חמישיות ג' ובעבור הד' חמישיות ד' כפלנו ד' על ג' עלו י"ב והוא הנכפל |
|
והנה ב' חמישיות המרובע וב' חמישיות חמישית |
If one says fractions of two kinds: | ואם אמר שברים מב' מינים |
|
שיאמר כפול לי ב' שלישיות אחד על ג' רביעיותיו |
|
נבקש המורה לשניהם ונכפול ג' על ד' והוא המורה |
|
והנה נקח בעבור ב' השלישיות ח' וג' רביעיות ט' נכפול ח' על ט' יעלו ע"ב והוא חצי קמ"ד שהוא מרובע המורה |
|
ועלה בחשבון מחצית אחד שוה |
|
ואם תכפול ב' על ג' יהיה כמו כן מחצית המורה שהוא י"ב |
If you do it with 2 denominators it is easier and there is no need for the square of the denominator, you only look at the product that resulted by multiplying one denominator by the other, consider it as the square, and divide by it. | ואם עשית זה מב' מורים יהיה הדבר יותר קל ואין צורך למרובע המורה רק הסתכל לעולם אל הנכפל העולה מכפל המורה האחד על האחר וחשבהו כמו המרובע ועליו תחלק |
|
דמיון לקחנו המורה האחד ג' בעבור כי אמר שלישיות והמורה האחר ד' בעבור כי אמר רביעיות נכפול המורה האחד שהוא ג' על המורה האחר שהוא ד' ועלו י"ב והוא המבוקש כי העולה נקח ערכו אליו ונקח בעבור הב' שלישיות שנים כי מג' לקחנוהו ומג' רביעיות שלשה כי מד' לקחנוהו ונכפול ב' על ג' עלו ו' והוא חצי מספר הנכפל מהמורים |
|
שאלה כמה ד' שביעיות כפולים על ז' תשיעיות |
|
נבקש מורה אחד לשניהם והנו ס"ג בכפל ז' על ט' |
|
וד' שביעיותיו הם ל"ו כי השביעית ט' וז' תשיעיות מ"ט כי התשיעית ז' ונכפול ל"ו על מ"ט עלו אלף ותשס"ד |
|
ומרובע המורה ג' אלפים וט' מאות וס"ט |
|
וכאשר חלקנו חשבוננו הראשון על ס"ג עלו כ"ח שהם ד' על ז' והם מן ס"ג ד' תשיעיות שלמות או אם תרצה לומר שהם ג' שביעיות ותשיעית שביעית |
|
ואם לקחנו בב' מורים יהיה הנכפל ס"ג והעולה בידנו בכפל כ"ח והנה הדבר שוה |
If there are fractions of three types: | ואם היו שברים מג' מינים |
|
כמו ב' שלישיות וה' ששיות וד' שביעיות |
|
קח להם מורה אחד והוא שנכפול ג' על ו' עלו י"ח עוד נכפול י"ח על ז' עלה קכ"ו והוא המורה |
|
הנה ב' שלישיות קכ"ו פ"ד |
|
וה' ששיות ק"ה |
|
וד' שביעיות ע"ב |
|
כפלנו פ"ד על ק"ה והמחובר על ע"ב והעולה מהם בחלוק הוא חלק ממרובע קכ"ו והחלוק יהיה מ' |
If we take 3 denominators for them, since they are three types, you do not need the square of the denominator, but take the denominator and divide the product of the numbers by it. | ואם נקח להם ג' מורים מפני היותם ג' מינים לא תצטרך למרובע המורה אבל תקח המורה עליו תחלק הנכפל מהמספרים |
|
דמיון כפלנו ב' על ה' עלו י' כפלנו י' על ד' עלו מ' והוא חלק מקכ"ו שהם ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית |
|
או תעשה כן כפול ג' על ו' והוא י"ח והוא המורה וכפול ב' על ה' יהיו י' נקח ד' שביעיות מי' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית |
|
או כפול ו' על ז' והיו מ"ב והוא המורה וכפול ה' על ד' יהיו כ' נקח ב' שלישיות מכ' יהיו ב' שביעיות וב' תשיעיות השביעית |
|
או כפול ג' על ז' עלו כ"א והוא המורה ואח"כ כפלנו ב' על ד' עלו ח' לקחנו ה' ששיות והעולה הוא חלק מכ"א |
If we have integers together with a number that contains no integer but only fractions: | ואם היה לנו שלמים עם מספר שאין שם שלמים כי אם שברים |
We take the fractions from the denominator and give the whole denominator for each integer according to the number of the whole denominator and finally divide by the denominator. | נקח השברים מהמורה ולכל שלם נתן לו מורה שלם כמספר המורה השלם ונחלק באחרונה על המורה |
|
דמיון רצינו לכפול ד' שלמים על ג' חמישיות אחד |
|
והמורה ה' |
|
ובעבור שיש לנו ד' שלמים נקח להם כ' ונכפול ד' על ג' ונחלק בה' יעלו ב' שלמים וב' חמישיות |
If we want to multiply integers and fractions by integers and fractions that are of the same kind. | ואם רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שהם ממין אחד |
We first multiply the integers by the integers, then the fractions by the integers of the one number, likewise the integers of the other number by the fractions of the one number and then the fractions by the fractions. | נכפול בתחלה השלמים על השלמים ואח"כ הנשברים על השלמים של חשבון האחד גם השלמים של חשבון האחר על הנשברים של החשבון האחד ואח"כ הנשברים על הנשברים |
Or we convert all into fractions and multiply these by those and divide the product by the square of the denominator. | או נשיב הכל נשברים ונכפול אלה על אלה והעולה נחלקנו על מרובע המורה |
|
דמיון רצינו לכפול ד' שלמים וב' חמישיות על ה' שלמים וג' חמישיות |
|
כזה |
|
נכפול תחלה השלמים על השלמים עלו כ' |
|
אח"כ נכפול ד' על ג' יהיו י"ב חמישיות שברים |
|
גם ב' על ה' יהיו י' שברים במיניהם |
|
והנה כ"ב שברים |
|
ואח"כ נכפול השברים על השברים ב' על ג' יעלו ו' והם שברי שברים במעלה השלישית השלמים נחלקם על ה' שהוא המורה עלה שבר אחד ונשאר לנו במעלה השלישית אחד שהוא שבר השבר והשבר שעלה בידנו נחברנו אל כ"ב שהיה לנו הנה כ"ג נחלקם על ה' עלו ד' שלמים ונשארו ג' והנה השלמים כ"ד והשברים ג' שהם ג' חמישיות שהם ט"ו מכ"ה שהוא המרובע ושבר השבר שהוא חומש החומש שהוא והם י"ו מכ"ה |
|
והדרך האחרת |
|
לקחנו לד' השלמים כ' הוספנו עליו ב' שהם השברים עלו כ"ב חומשין והוא החשבון האחד |
|
גם השני על הדרך הזאת כ"ח |
|
נכפול זה על זה ונחלק העולה על המרובע שהוא כ"ה יעלו כ"ד וישארו י"ו שלא יתחלקו |
|
דמיון אחר רצינו לכפול ג' שלמים וד' חומשין על ב' שלמים וג' חומשין |
|
כזה |
|
נכפול תחלה שלמים על שלמים והם ו' |
|
ואח"כ נכפול שלמים על שברים האלכסונין |
|
ג' על ג' והם ט' |
|
וב' על ד' והם ח' |
|
ובין הכל י"ז שברים ממעלה העליונה |
|
ונכפול שברים על שברים ד' על ג' והם י"ב שברי שברים מהמעלה השנית |
|
נחלקם על ה' עלו בידנו ב' שברים והנשאר ב' שברי שברים שלא עלה בחלוק נחבר מה שעלה בחלוק עם השברים שהוא י"ז והם י"ט נחלק על ה' עלו ג' שלמים נחברם אל השלמים שהיו ו' והם ט' נשארו ד' שהם כ' שברי שברים ועם שנים שהיו לנו הם כ"ב |
|
והנה סך הכל ט' שלמים וכ"ב שברים מכ"ה השלם |
Example. We want to multiply integers and fractions by integers and fractions where the fractions are not of the same kind. | דמיון רצינו לכפול שלמים ושברים על שלמים ושברים שאין השברים ממין אחד |
|
הנה על הדרך הזה האחד ג' שלמים וד' חמישיות והשני ו' שלמים וז' שמיניות |
|
כזה |
Multiply the units by the units that are in the first number. | כפול האחדים על האחדים שהם במספר הראשון |
Multiply also the fractions by the fractions according to the rule, because the product of the fractions by the fractions is parts of the denominator. | גם כפול השברים על השברים כמשפט כי כפל השברים על השברים הם חלקי המורה |
But, when multiplying the integers by the fractions, we have to remember that their parts are not the same. | רק יש לנו לשמור כשנכפול השלמים על השברים כי אין מחלקותם שוה |
|
והנה נכפול שלמים על שלמים ג' על ו' עלו י"ח |
|
ונכפול עוד אלו ג' על שברי החשבון שהם ז' יעלו כ"א נחלקם על ח' כי שמיניות הם יעלו ב' שלמים והנה ב' שלמים ונשארו ה' שמיניות ידענו כי המורה הוא מ' כי תכפול ה' על ח' ואלה הה' שמיניות כ"ה חלקים כי תכפול ה' על חמישיות שהם ה' |
|
ונשוב לכפול הו' על ד' חמישיות יעלו כ"ד נחלקם על ה' יעלו ד' שלמים והנה יהיו השלמים כ"ד וישארו ד' חמישיות והם ל"ב חלקים כשתכפול ד' על ח' נחבר אליהם הכ"ה חלקים שהיו לנו יעלו נ"ז חלקים נעשה מהם אחד שלם מארבעים ויהיו כ"ה שלמים ונשארו י"ז אח"כ נכפול ד' על ז' יעלו כ"ח חלקים נחבר אליהם י"ז יהיו מ"ה והנה נתן אחד שלם ממ' ויהיו השלמים כ"ו והנשאר ה' חלקים שהם שמינית אחד |
The method of the arithmeticians is that they look for one common denominator for fractions that are not of one kind and the number of the denominator is one integer. | ודרך חכמי החשבון שיבקשו לשברים שאינם ממין אחד מורה אחד כולל שניהם ומספר המורה הוא אחד שלם |
|
ובעבור כי השברים הם חמישיות ושמיניות יהיה המורה ארבעים והנה נקח לחשבון שהוא ג' ק"כ ולד' חמישיות ל"ב הנה המספר קנ"ב וזה צורת האותיות ונקח לו' השלמים ר"מ ונחבר אליהם ל"ה שהם ז' שמיניות יהיה המספר השני רע"ה והנה נכפול זה על זה והנה עלה מ"א אלף וח' מאות וז' הצורה |
|
חלקנום על אלף ושש מאות שהוא מרובע המורה עלו כ"ו שלמים נשארו ר' שלא עלו בחשבון |
|
ובקש מהו ר' מן המרובע שהוא אלף ושש מאות והנה הוא שמיניתו |
We can know the remainder in another way: | ונוכל לדעת זה הנשאר בדרך אחרת |
We always divide the remainder of the square by the denominator itself, so the quotient is parts of it. | שנחלק לעולם הנשאר מהמרובע על המורה בעצמו והעולה הם חלקים ממנו |
|
והנה נחלק ר' על מ' עלו ה' שהוא שמיניתו |
Another method with 2 denominators: | דרך אחרת מב' מורים |
|
הנה נשים החשבון האחד שהוא ג' ט"ו ונחבר אליהם ד' יהיה החשבון הראשון י"ט נקח לששה מ"ח נחבר אליהם ז' יעלו נ"ה והוא החשבון השני נכפול זה על זה יעלו אלף ומ"ה נחלק אותו על הנכפל שהוא כפל ה' על ח' והוא מ' ויעלו כ"ו שלמים נשארו ה' שהוא שמינית |
Now, we should speak of integers and fractions that man cannot express. | ועתה יש לנו לדבר על שלמים ונשברים שלא יוכל האדם לבטא בהם |
If one of the fractions is one that can be expressed and the other is one that cannot be expressed, then proceed as follows: | והנה אם היה אחד מהשברים שיוכל לבטא בהם והאחרים שלא יוכל לבטא בהם יעשה ככה |
|
דמיון כמה שלש שביעיות אחד על ה' חלקים מי"א כי הוא השלם ולא יוכל אדם לבטא בו |
|
והנה נכפול השברים על השברים והנה יהיה המורה ע"ז |
|
והנה יש לנו להשמר כי השברים יהיו להפך כי כל אחד מהז' יהיו י"א וכל אחד מהי"א יהיו ז' |
|
והנה נקח בעבור ג' שביעיות ל"ג ובעבור ה' חלקים מי"א נקח ל"ה והנה נכפול אלה על אלה עלו אלף קנ"ה נחלקם על ע"ז עד שנדע כמה הם השברים העולים מזה הכפל אל ערך ע"ז שהוא השלם והם ט"ו והנה מן ע"ז פחות מעט מחמישית אחד |
|
ועל דרך דקדוק יפה נחלק אלה ט"ו על י"א שהוא השביעית יעלה שביעית אחד שלם וד' חלקים מי"א |
|
ואם נחלק על ז' יעלו ב' חלקים מי"א ושביעית חלק |
|
דמיון אחר לב' שברים שלא יוכל האדם לבטא בהם |
|
נשים החשבון האחד י"ג והשני י"ט |
|
והנה בקשנו לכפול ט' חלקים מי"ג על י"ז חלקים מי"ט |
|
נבקש בתחלה המורה בזה הדרך שנכפול י"ג על י"ט ועלה המספר רמ"ז והוא המורה |
|
אח"כ כפלנו ט' בי"ט ועלה קע"א |
|
וכפלנו י"ז בי"ג ועלה רכ"א |
|
והנה כפלנו זה על זה והיה העולה ל"ז אלפים ותשצ"א |
|
חלקנום על רמ"ז והיה קנ"ג והנה העולה מכפלנו ט' בי"ז הוא ג"כ קנ"ג וערך זה אל רמ"ז כערך המספר הראשון אל המרובע רמ"ז והוא המבוקש |
|
ואם תרצה לדקדקנו חלק קנ"ג על י"ט ויהיו ח' חלקי' מי"ג וחלק אחד מי"ט בי"ג |
|
או אם תרצה חלקהו על י"ג ויהיו י"א חלקי' מי"ט וי' חלקים מי"ג בי"ט |
If you have integers and fractions that are like this, proceed in the way that I have shown you when you have integers and fractions that you can express. | ואם היו לך שלמים עם שברים שהם בדרך זה עשה כדרך שהראיתיך כשיהיו לך שלמים עם שברים שתוכל לבטא בהם |
I mentioned this method because it is very necessary for most problems and for the matters of the square numbers to know their roots, when they are fractions that man cannot express, as I will explain in chapter seven. | והזכרתי זה הדרך כי צורך גדול יש אליו ברובי השאלות ובדברי המרובעים לדעת שרשיהם כשהם נשברים ולא יוכל האדם לבטא בהם כמו שאפרש בשער השביעי |
I shall tell you a general method for a fraction of fractions of fractions and give you one example that is enough for you, because it is not needed for proportions, neither for roots, nor for problems. | ואומר לך דרך כוללת לשבר שברי הנשברים ואתן דמיון אחד ויספיק לך כי אין צורך לדבר הזה בערכים ולא בשרשים ולא בשאלות |
|
דמיון כפלנו ב' שלישיות רביעית חמישית על שש (ד') שביעיות שמינית |
|
והנה השברים רבים אך אלמד לך דרך קצרה איך תעשה |
|
דע כי מאחר שיש לך ששיות ושמינית אין צורך לשלישית ורביעית והנה נבקש חשבון שיש לו חמישית וששית ושביעית ושמינית |
|
נכפול ה' על ו' יעלו ל' גם ל' על ז' יהיו ר"י גם ר"י על ח' יעלו אלף ו' מאות ופ' |
|
והנה נבקש המספר הראשון והנה חמישית המורה של"ו ורביעיתו פ"ד וב' שלישיותיו נ"ו וזהו החשבון האחד |
|
וכבר ידענו כי השמינית ר"י ושביעיתו ל' ובעבור שהם ד' שביעיות יהיה המספר השני ק"כ |
|
נכפול זה על זה יהיה המספר י' (ו') אלפים ופ' (תש"כ) חלקנו זה על אלף ו' מאות ופ' עלו ו' (ד') ואלה הו' (ד') הם חמישית שמינית (חצי ששית) השביעית שהשביעית ר"מ והשמינית ל' והחמישית ו' |
Now we talk again about the division of the fractions. Do as I have shown you, by turning the fractions into whole units. | ועתה נשוב לדבר על חלוק השברים עשה כדרך שהראיתיך שתשיב הנשברים אחדים שלמי' |
If there are integers with the fractions, proceed according to the instructions. | ואם היו שלמים עם השברי' עשה כמשפט |
|
דמיון בקשנו לחלק ג' שלמים ושתי חמישיות על ב' שלמי' וד' שביעיות אחד |
|
והנה המורה ל"ה |
|
והג' שלמים ק"ה וב' חמישיות י"ד והנה החשבון קי"ט ונשיב הב' השלמים האחדים ע' והד' שביעיות כ' הנה צ' חלקנו קי"ט עליו עלה אחד שלם ונשארו כ"ט שהם שתי תשיעיות ועשירית אחד |
|
דמיון לנשברים לבדם חלק ז' תשיעיות על ב' שביעיות |
|
והנה המורה ס"ג |
|
ושבע תשיעיותיו מ"ט |
|
וב' שביעיותיו י"ח |
|
חלקנו זה על זה עלו ב' וו' תשיעיות וחצי תשיעית |
You proceed in this way, because there is no great need to divide fractions. | ועל זה הדרך תעשה כי אין צורך גדול לחלק הנשברים |
We talk again about their addition. | ונשוב לדבר על חבורם |
|
חברנו ב' חמישיות אחד על ה' שביעיות אחד כמה העולה |
|
הנה המורה ל"ה |
|
וב' חמישיותיו י"ד |
|
וה' שביעיותיו כ"ה |
|
נחברם והנה ל"ט |
|
נקח בעבור ל"ה אחד שלם ונשארו ד' שהם ד' חמישיות מהשביעית שהם אחד מל"ה |
How Much Problem - Money | |
|
שאלה חברנו אל ממון תשיעיתו ועשירתו והיו נ' |
|
נשים המורה צ' |
|
וידוע כי תשיעיתו ועשיריתו י"ט נוסיפם על צ' יהיו ק"ט |
|
והנה גם נשיב הנ' מערך התשיעית יהיו ד' מאות ונ' נשיב הד' מאות ונ' מערך העשירית יהיו ד' אלפים ות"ק |
|
נחלק זה על ק"ט ויעלו מ"א שלמים גם ל"א חלקים מזה שחלקנו עליו |
|
והנה נבחן אם זה אמת |
|
ידענו כי עשירית מ' ד' שלמים |
|
ונקח לאחד שנשאר ק"ט נחבר אליו ל"א שהם יתרים על השלמים הנה ק"מ ועשיריתם י"ד ואלה הם חלקי העשירית הנוספים על השלמים |
|
ונשוב לקחת התשיעית והנה מל"ו ד' שלמים |
|
ונשארו ה' שלמים נשים כל אחד ק"ט יהיו תקמ"ה נחבר אליהם ל"א היתרים על השלמים יהיו תקע"ו ותשיעיתם ס"ד |
|
נחבר אליהם י"ד שעלו מן העשירית יהיו ע"ח |
|
גם נחבר אליהם ל"א היתרים יהיו ק"ט והנה אחד שלם |
|
והנה הכל נ' שלמים |
|
שאלה אחרת לקחנו חמישית ממון גם שביעיתו ותשיעיתו כמה הוא מערך הממון |
|
תוכל להוציא שאלה זו על שני דרכים |
|
האחד שהתשיעית פחותה משאר השברים האחרים הנה נחשוב כי הם ג' תשיעיות והיתרון שיש בין החמישית והתשיעית ד' והיתרון שיש בין החמישית והשביעית ב' נכפול ב' על ד' יעלו ח' נעשה מן הז' תשיעית אחת יהיו ד' תשיעיות שלמות ונשאר אחד והיתרון בין השביעית (?) והתשיעית (?) ב' והנה הממון הוא ד' תשיעיות וג' חלקים שהם ג' חמישיות שביעית תשיעית |
|
והדרך האחרת שנבקש מורה שנכפול ה' על ז' יהיו ל"ה גם נכפול זה על ט' יעלו שט"ו והוא המורה |
|
ואח"כ נחבר חמישית זה המורה ושביעיתו ותשיעיתו יהיו קמ"ג נחלקם על ל"ה והנה הם ד' תשיעיות ונשארו ג' חלקים מל"ה כי ל"ה הוא התשיעית וה' הוא שביעית התשיעית ולכן ג' חלקים הם ג' חמישיות שביעית התשיעית |
|
שאלה אחרת ממון הוספנו עליו מחציתו ושלישיתו וחמישיתו וששיתו ובין הכל היו מ' כמה היה הממון |
|
ידענו כי החצי והשלישית והששית הוא אחד שלם |
|
ונחשוב כי היה לו אחד והנה שנים ויש לנו תוספת החמישית |
|
הנה יש לנו לחלק מ' על ב' וחמישית והעולה הוא הממון והנה נקח לכל אחד מהשלמים ה' ונשים עמהם א' שהוא החמישית יהיו י"א גם נכפול מ' על ה' עד שיהיו דרך אחד יהיו ר' נחלקם על י"א יעלו י"ח שלמים ועוד ב' חלקים מי"א |
|
נבחן זה |
|
נקח חציו שהוא ט' שלמים וחלק אחד מי"א |
|
והנה יהיה לנו כ"ז שלמים וג' חלקים מי"א |
|
והשלישית ו' שלמים וב' שלישיות אחד |
|
והנה יהיו לנו ל"ג וג' חלקים וב' שלישיות |
|
והחמישית מט"ו נקח ג' שלמים |
|
היו לנו ל"ו שלמים |
|
ונשאר לנו לקחת חמישית ג' שלמים והנה נקח לכל אחד י"א ונחבר אליהם הב' חלקים היתרים יהיו ל"ה וחמישיתם ז' |
|
נחבר אליהם הג' חלקים שהיו לנו וב' שלישיות |
|
ונקח ששית י"ח יהיו ג' שלמים |
|
נחברם אל ל"ו יהיו ל"ט שלמים |
|
ושתי ששיות הם שליש אחד |
|
נחברנו אל י' חלקים וב' שלישיות חלק שהיו לנו יהיו י"א חלקים והוא אחד שלם |
|
והכל מ' |
How Many Problem - Group of People | |
A man passed by a group of people. He said to them: hello one hundred people. They answered him: we are not one hundred people, but all of us, and other like us, and half of us, and a quarter of us together with you would be one hundred.
|
שאלה אדם עבר על אנשים אמר להם שלום עליכם מאה איש ענו לו אין אנחנו מאה רק אנחנו ואחרים כמונו ומחציתנו ורביעיתנו ועמך נהיה מאה |
|
והנה נקח למספרם אחד ואחד כמוהו הנה שנים וחצינו חצי אחד הנה שנים וחצי נוסיף רביעיתנו הנה יהיו שנים וג' רביעית ובעבור שיש לנו רביעיות נקח לכל אחד שלם ד' יהיו ח' ונחבר אליהם הג' רביעים יהיו י"א |
|
ובעבור שאמרו כי עמו יהיו מאה יהיה מספרם עם התוספת (ת)צ"ט נשיבם מדרך הד' יהיו שצ"ו נחלקם על י"א יהיו ל"ו וככה מספרם |
Buy and Sell Problem | |
|
שאלה אדם קנה בק' זהובים ק' ליט' ואח"כ מכר הנ' ליט' ורביע בזהוב והנ' האחרים מכר ליט' פחות רביע בזהוב נבקש לדעת אם הרויח או הפסיד |
|
נשיב הנ' ראשונים ר' כי רביעיים הם נחלקם על ה' כי ליט' ורבי' ליט' מכר בזהוב ויהיו מ' זהובים גם נכפול הנ' האחרי' על ד' יהיו ר' נחלקם על ג' כי ג' רביעיי' מכר בזהוב והנה יהיו ס"ו זהובים ושתי שלישיות זהוב נחבר אליהם המ' יהיה הריוח ו' זהובים ושתי שלישיות |
|
שאלה אחרת אדם קנה ג' חמישיות ליט' בפשוט ומכר ד' שביעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה ממונו |
|
בקש המורה והוא ל"ה שהוא כפל ה' על ז' |
|
והנה ג' חמישיותיו כ"א |
|
וד' שביעיותיו כ' |
|
והממון היה כ' והליט' י"ב |
|
שאלה אדם קנה ד' שביעיות ליט' בפשוט ומכר אותם ה' תשיעיות ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון |
|
ידוע כי ד' שביעיות אחד יותר מה' תשיעיות אחד |
|
והנה המורה ס"ג |
|
וה' תשיעיותיו ל"ה |
|
וד' שביעיותיו ל"ו |
|
ותוכל לבחון זה כי אחר שקנה ד' שביעיות ליט' בפשוט וממונו ל"ה הנה יש לו כ' ליט' עשה מהם תשיעיות יהיו ק"פ חלק זה המספר על ה' כי ה' תשיעיות מכר בפשוט יעלה בידך ל"ו |
|
ואלו אמר כי הרויח ב' פשוטים |
|
כפלם על ל"ה יהיו ע' |
|
ואם אמר ג' פשוטים |
|
יכפול על ל"ה ג' פעמים |
And so on to the end of all numbers | וככה עד סוף החשבון |
|
שאלה אדם קנה ט' חלקים מי"ז חלקי ליט' בפשוט ומכרם י' חלקים מי"ט חלקי ליט' בפשוט והרויח פשוט כמה היה הממון |
|
בקש המורה והוא שכ"ג |
|
ידוע כי ט' חלקים מי"ז הם קע"א |
|
וי' חלקים מי"ט הם ק"ע וכך היה הממון |
|
והליט' צ' |
The following reason of subtraction is easy: | וזה דבר המגרעת קל הוא |
For you set one denominator for two fractions, then consider the denominator as one integer. | כי תשים מורה אחד לב' שברים והמורה תשימנו אחד שלם |
|
דמיון רצינו לגרוע ד' תשיעיות מה' שביעיות |
|
המורה ס"ג |
|
וה' שביעיותיו מ"ה |
|
וד' תשיעיותיו כ"ח |
|
חסרנו כ"ח ממ"ה ישארו י"ז |
Now, we shall discuss the method of astrology again | עתה נשוב לדבר על דרך חכמת המזלות |
Make sure you understand their ways; because Ptolemy and his colleagues found the way to the roots of square numbers only according to them. | ושים לבך להבין דרכיהם כי תלמי וחביריו לא מצאו דרך שרשי המרובעים אלא על פיהם |
Know that man can divide every circle and what is non-circular into as many parts as he wants, depending on his need and desire. | ודע כי כל עגול ומה שאיננו עגול יכול האדם לחלקו על כמה חלקים שירצה כפי חפצו וצרכו |
The arithmeticians found no smaller number that has many parts that are integers, only 12, because it has a half, a third, a quarter, a sixth and a half of a sixth. | והנה חכמי החשבון לא מצאו חשבון קטן שיש לו חלקים רבים שהם אחדים שלמים רק י"ב כי יש לו חצי ושלישית ורביעית וששית וחצי ששית |
This is because there is no number smaller than it, whose factors add up to more than itself, only it alone, because its factors exceeds by one-third over itself. | והיה כן בעבור שאין חשבון פחות ממנו שיהיו חלקיו רבים ממנו רק הוא לבדו כי חלקיו יוסיפו עליו שלישית |
120 is its analogous number in the tens; therefore, its factors are twice the number, no more nor less. | וק"כ דומה לו בעשרות על כן חלקיו כפל המספר בלי תוספת ומגרעת |
That is why the astrologers divided the sphere into 12 parts. | ע"כ חלקו חכמי המזלות הגלגל לי"ב |
They named each sign after the shape of the constellation of the highest stars, which are close to the line of the celestial circle. | וקראו כל מזל בשם צורת הכוכבים העליונים שהם קרובים לקו גלגל המזלות |
Also because they found that in the solar year the moon reappears 12 times. | ועוד כי מצאו בשנת השמש שתתחדש הלבנה י"ב פעמים |
They divided the celestial sphere into 360 degrees, because this number is close to the number of the days of the solar year. | וחלקו הגלגל על ש"ס מעלות שזה המספר קרוב למספר ימי שנת החמה |
There is no number smaller than it that has all the parts that man can express except the seventh. | ואין מספר פחות ממנו שכל החלקים שיבטא אדם בהם יש לו חוץ מהשביעית |
Therefore, when this number is multiplied by 7, the result is 2520 and this is the number that has all parts. | ע"כ כשיכפול זה החשבון על ז' יעלה אלפַים וה' מאות וכ' וזהו המספר שיש לו כל החלקים |
Often the arithmeticians need it. | ופעמים רבות שיצטרכו בעלי החשבון אליו |
As saying: A number, We have added to it all of its parts from half to tenth; what is the ratio of the sum to it? | כאומר חשבון חברנו אליו כל החלקים מחצי עד עשירית מה ערך המספר אליו |
This whole number is considered as one integer. | כי יחשוב זה החשבון הכולל כי הוא אחד שלם |
When we divide the celestial sphere into 12 parts, each sign has 30 degrees and there is no number smaller than it that has so many parts as it, because it has a half, a third, a fifth, a sixth and a tenth. | וכאשר חלקנו הגלגל על י"ב עלה לכל מזל ל' מעלות ואין מספר פחות ממנו שיש לו חלקים רבים כמוהו כי יש לו חצי שלישית חמישית ששית ועשירית |
Since it does not have a quarter, this number has been doubled, so it become 60. | ובעבור שאין לו רביעית כפלו זה החשבון והיה ס' |
Therefore, they divide each degree by it, which is as a sixtieth, and they called them "primes". | על כן חלקו כל מעלה ממנו שהיא כמו אחד על ששים חלקים וקראו אותם חלקים ראשונים |
They divided each prime to 60 and called them "seconds". | וחלקו כל ראשון לששים וקראום שניים |
Likewise, they divide each second into 60 and called the result "thirds". | גם ככה עשו על כל שני על ששים והעולה יקראו שלישיים |
They proceed so to ten, each [is divided] in sixtieths, and even further if necessary. | וככה יעשו עד עשרה כל אחד לששים ויותר אם יצטרכו |
Now, it should be discussed about how they are multiplied one by the other. | ועתה יש לדבר איך יכפלו זה על זה |
Always consider the degrees as if they are units of integers. | ולעולם חשוב כי המעלות הם כמו אחדים שלמים |
So, if you multiply degrees by degrees, the product is degrees. The product of degrees by minutes is minutes, and by seconds is seconds. | והנה אם כפלת מעלות על מעלות יהיה הנכפל מעלות וכפל מעלות על ראשונים ראשונים ועל שניים שניים |
The rule: the product of degrees by any type is the same type itself. | והכלל כפל מעלות על איזה מין שיהיה יעמוד אותו המין בעצמו |
The product of minutes multiplied by minutes is seconds, and the product of minutes by seconds is thirds and in this way for all types. | וכפל ראשונים על ראשונים יהיה העולה שניים וראשונים על שניים יהיה העולה שלישיים ועל זה הדרך כל המינין |
The product of seconds multiplied by seconds is fourths, and by thirds is fifths. | וכפל שניים על שניים יהיה הנכפל רביעיים ועל שלישיים חמישיים |
The product of thirds by thirds is sixths, and so is the product of thirds by fourths sevenths. | וכפל שלישיים על ששיים ששיים עד שיהיה כפל שלישיים על רביעיים שביעיים |
Fifths by fifths or thirds by sevenths is tenths. | וחמישיים על חמישיים או שלישיים על שביעיים עשיריים |
Now I shall give you two correct methods: | והנה אתן לך שנים דרכים נכונים |
The first method by writing: | הדרך האחד במכתב |
Set the degrees in the first rank, the minutes in the second rank and so on, all fractions successively. | שתשים המעלות במעלה הראשונה והראשונים במעלה השנית וככה כל השברים זה אחר זה |
This writing is opposite to what we do in the multiplication of integers, because the smallest number is in the first [rank]. | וזה המכתב בהפך מה שאנו עושים בכפל השלמים כי החשבון המעט הוא בראשונה |
If you have no degrees, write a zero in the first [rank]; if you have no minutes, write a zero in its place, and so you do it at the place of each fraction, if there is a smaller fraction after it. | ואם אין לך מעלות כתוב גלגל בראשונה ואם אין לך ראשונים כתוב גלגל במקומו וככה תעשה במקום כל שבר אם יש שבר אחריו פחות ממנו |
With this method you can know in which rank of the fractions any fraction will stand. | ובזה הדרך תוכל לדעת באיזו מעלה מן השברים יעמד איזה שבר שתרצה |
Proceed as with integers, but you have to make sure that you put a vertical line between all types of fractions. | ועשה כדרך השלמי' רק יש לך להשמר שתשים קו באורך בין מיני השברים כלם |
If there are 2 digits of whichever type of fractions, such as 22, when you write them down, you have to do like this: set them breadthwise between the two lines according to their rank, as you do it with integers. | ואם היו ב' חשבונים באיזה מין שיהיה מן השברים כגון כ"ב יש לך לעשות כשתכתבם שים אותם ברוחב שבין שני הקוים במעלתם על הדרך שאתה עושה בשלמים כזה |
We have already drawn lines between the fractions and arrived to thirds for the upper rows and also for the lower rows. | הנה כבר שמנו קוים בין השברים והגענום עד שלישיים ככה הטורים העליונים וככה השפלים |
When we multiply the upper rows by the lower rows, their product is the number that is written in the bottom. | וכאשר כפלנו הטורים העליונים על השפלים עלה מספרם המספר הכתוב למטה |
We divide each rank by 60, then add the quotient to what is in the preceding rank, and write the remainder alone. We do this with each rank until we arrived to the degrees that are as the integers. | חלקנו כל מעלה על ששים וחברנו העולה על ההוה במעלה הראשונה והנשאר כתבנו לבדד וככה עשינו מכל מעלה ומעלה עד שהגענו למעלות שהם כמו השלמים |
So, of sixths remain 33, of the fifths 56, of the fourths 31, of the thirds 24, of the seconds 30, of the minutes 7 and of the degrees also 7. | והנה נשארו מן הששיים ג'ג' ומן החמישיים ו'ה' ומהרביעיים א'ג' ומהשלישיים ד'ב' ומהשניים 0ג' ומהראשונים ז' ומהמעלות גם כן ז' |
The second method is by expression: | והדרך השנית במבטא |
You sum the two fractions by adding the ranks of the fractions. | שתחבר השנים השברים ובמחברתם מעלות השברים |
When we do according to the method of the arithmeticians that we convert the upper rows into thirds, the resulting number is: 464643. | וכאשר עשינו על דרך חכמי החשבון שהשיבונו הטורים העליונים אל שלישיים עלה החשבון כך ג' ד' ו' ד' ו' ד' |
Likewise, we do it with the lower [rows], the resulting number is: 715451. | ככה עשינו בשפלים עלה החשבון כך א' ה' ד' ה' א' ז' |
We multiply one by the other, the resulting number is: 332429298993; it has 12 rows. | והנה כפלנו זה על זה ועלה המספר כזה ג'ט' ט'ח' ט'ב' ט'ב' ד'ב' ג'ג' והם י"ב טורים |
All these are sixths; we divide them by 60 and the result are fifths: 5540488316, and 35 sixths remain in the first number. | והנה כל אלה ששיים חלקנום על ס' ועלו חמישיים כזה ו' א' ג' ח'ח' ד'0 ד'ה'ה' ונשארו ל"ה ששיים במספר הראשון |
We proceed so successively; the number resulting last and what is left of each rant will be as the number in the first method. | וככה עשינו על זה הסדר והיה המספר שעלה באחרונה גם הנשאר מכל מעלה ומעלה כמספר הדרך הראשונה |
I had to show the method of these parts, which are minutes to thirds, because with this method King Ptolemy calculated the chords of the arcs until reaching to fifths, which are by multiplying tenths. | והוצרכתי להראות דרך אלה החלקים שהם הראשוני' עד שלישיים כי על זה הדרך הוציא תלמי המלך יתרי הקשתות עד שהגיעם אל חמישיים והם בכפל עשיריים |
He also did all of this to extract the roots of the square numbers that do not have a real root truly, but it is only approximated to the truth, because there are no minutes or seconds left in dividing the product, not even thirds, as I will explain in the seventh chapter. | וכל זה עשה להוציא שרשי המרובעים שאין להם שורש נכון באמת רק יוציאוהו קרוב אל האמת כי לא ישארו בחלוק הכפל ראשונים ולא שניים ואפילו שלישיים כאשר אפרש בשער השביעי |
Know that in every science there are things that are hidden from the eyes of all the ancient sages and also those that follow them. | ודע כי יש בכל חכמה דברים נעלמו מעיני כל החכמים הקדמונים וגם מכל הבאים אחריהם |
Such as: the roots of the numbers that are not square numbers, in arithmetic. | כמו שרשי המספרים שאינם מרובעים בחכמת החשבון |
As well as in geometry, to know the the perimeter from a known diameter. | וככה בחכמת המדות לדעת הקו הסובב מאלכסון ידוע |
Archimedes the wise could not approximate it to the truth, but only gave evidences from geometry that the perimeter should be three times the diameter plus an excess of 10 parts of 70 of the first rank, and he brought evidences that they had to be less than one part of the seconds, but did not know how many they are, only proved that the excess had to be more than 10 parts of 70 parts and one-half of the part. | ולא יכול ארישמדס החכם לקרבו אל האמת רק שנתן ראיות מחכמת המדות כי הקו הסובב ראוי להיותו שלשה מהאלכסון ותוספת י' חלקים מע' במעלה אחת והביא ראיות שיפחתו מחלק אחד מאלו החלקים שניים ולא ידע כמה הם רק הביא ראיה כי התוספת ראויה להיות יותר י' חלקים מע' חלקים וחצי חלק |
King Ptolemy took the middle path and therefore said that the excess is 8 parts of 63, and 30 seconds. We shall discuss it at the end of the seventh chapter. | ותלמי המלך תפס הדרך האמצעית על כן אמר כי התוספת היא ח' חלקים מס"ג גם ל' שניים ובסוף השער השביעי נדבר על זה |
So also in astrology sages found, by experiment on herbs, stones and the joints of the human body that are true, but none of them knows why this is so, only the sublime God alone. | וככה בחכמת התולדת מצאו חכמים בדרך נסיון בעשבים ובאבנים ובבתי אברי הגוף האדם והם אמת ואין אחד מהם יודע למה היה ככה רק השם ית' הנשגב לבדו |
Chapter Six - Proportions |
השער הו' הוא שער הערך |
---|---|
The types of the proportions are according to three ways: | מיני הערכי' על ג' דרכים |
|
האחד ערכי החשבון והם על הסדר |
|
כמו א' ב' ג' |
|
כי לא יתכן להיות הערך פחות מג' מספרים |
|
או ב' ד' ו' |
|
או ג' ו' ט' |
|
והטעם כי הערך בכלם שוה |
|
פי' כי כיתרון ד' על ב' כן יתרון ו' על ד' |
|
והערך השני ערכי המדות |
|
כמו ד' ו' ט' |
|
כי ערך ד' אל ו' כמו ערך ו' אל ט' |
|
כן כפל הקטן אל הגדול ככפל התיכון על עצמו שהוא מרובעו |
|
ודע כי אלה הג' מספרים הם כמו ד' כי האמצעי יחשב כאלו הוא מספר אחד |
|
על כן כל ד' מספרי' שערך הראשון אל השני כערך השלישי אל הרביעי אם תחבר מרובעי ארבעתן ותדע כמה יעלה ותחבר הראשון עם הרביעי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין השני ובין השלישי יהיה שוה כעולה בראשונה |
Likewise, if you sum the second and third, take the square of the sum and add to it the square of the difference between the first and fourth, the result is the same as the first [result]. | וככה אם תחבר השני והשלישי ותקח מרובע המחובר ותוסיף עליו מרובע היתרון שיש בין הראשון ובין הרביעי ימצא העולה שוה לראשון |
|
דמיון ערך ד' על ו' כערך ח' אל י"ב |
|
והנה מרובעיהם ר"ס והמחובר מן הראשון והרביעי י"ו ומרובעו רנ"ו והיתרון בין ו' וח' הוא ב' ומרובעו ד' והנה המספר שוה |
|
וככה המחובר מן השני והשלישי י"ד ומרובעו קצ"ו והיתרון בין הראשון והרביעי ח' ומרובעו ס"ד והנה המספר שוה |
|
ודע כי רוב חכמת המזלות ותקוני מקום המשרתים תלויים בחכמת ערכי המדות וככה רובי דיני השאלות בחשבון |
|
והדרך השלישי ערכי חכמת הנגינות |
|
והיא חכמה מפוארת מאד כי ערכיה מורכבים מערכי החשבון וערכי המדות |
|
כי לעולם יהיה הערך שבין הראשון לתיכון אל ערך שיהיה בין התיכון [326]לאחרון כערך המספר הראשון למספר האחרון |
|
דמיון ב' ג' ו' |
|
ידענו כי הערך שבין ב' וג' אחד והערך שבין ג' ובין ו' שלשה וככה ערך ב' אל ו' |
|
דמיון אחר ג' ד' ו' או אם תרצה כ' ל' ס' |
|
והנה הערך שבין ג' וד' אחד והערך שבין ד' וו' שנים והנה הוא כפלו וככה ו' אל ג' |
If you know two numbers, you can extract the third. | והנה אם ידעת השנים מספרי' תוכל להוציא השלישי |
|
כי אם ידעת הראשון והשני ולא תדע השלישי כפול הראשון על השני והעולה חלקנו על הראשון אחר שתגרע ממנו פי' מהראשון היתרון שיש בינו ובין השני |
|
דמיון הראשון כפלנו ב' על ג' וחלקנו העולה על הראשון אחר שגרענו ממנו היתרון שבין הראשון והשני והוא אחד והנה היו ו' והוא השלישי |
|
ובדמיון השני כפל ג' על ד' היו י"ב והיתרון בין ג' וד' אחד גרענוהו מג' שהוא הראשון ונשארו ב' |
|
ונאמ' כי אם ידענו השני והשלישי ולא ידענו הראשון נכפול אלה הידועי' שהם השני והשלישי ונחלק העולה על המחובר מהמספר השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי והעולה הוא הראשון |
|
והנה בדמיון הראשון כפלנו ג' על ו' והעולה י"ח והיתרון שבין השני והשלישי שלשה חברנום אל ו' והיו ט' חלקנו י"ח עליו עלו ב' והוא הראשון |
|
ובדמיון השני כפלנו ד' על ו' והיו כ"ד חלקנום על ח' שהוא כמספר החשבון השלישי עם היתרון שיש בין השני והשלישי עלו ג' והוא הראשון |
|
ואם לא ידענו האמצעי ונבקש לדעתו נכפול הראשון על השלישי ונחלק העולה על המחובר מן השנים מספרים והעולה בחלוק נכפלנו והוא המספר האמצעי |
|
דמיון הראשון כפלנו ב' על ו' עלו י"ב חלקנו על ח' שהוא המחובר משניהם עלה א' וחצי |
|
ובדמיון האחר כפלנו ג' על ו' עלו י"ח חלקנו על ט' שהוא המחובר משניהם עלו ב' |
|
וככה בערכי המדות אם לא ידענו האחד מן הד' נוכל להוציאו מן הג' |
|
ולעולם נשים שתי הקצוות שהם הראשון והרביעי חברים והשנים האמצעיי' שהם השני והשלישי חברים |
|
והנה אם לא ידענו אחד מן הקצוות איזה מהם שיהיה נכפול האמצעי על חבירו והעולה נחלקנו על אחד מהקצוות שהוא נודע והעולה הוא המבוקש |
|
ואם לא ידענו אחד מהאמצעיים נכפול אחד מהקצוות על חברו ונחלק העולה על האמצעי הנודע אז ימצא המבוקש |
ועל זה הדרך תעשה בכל השאלות ויש לך להשמר באיזה מקום תשים הגלגל |
Word Problems |
|||||||||||||
Now I shall write a lot of problem for you to practice | ועתה אכתוב לך שאלות רבות כדי להרגילך | ||||||||||||
How Much Problem - Money | |||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Question: a fifth, a sixth, and a seventh of an amount of money make 10, how much is the money?
|
שאלה ממון חברנו חמישיתו וששיתו ושביעיתו והיו עשרה כמה הממון | ||||||||||||
|
בקשנו המורה שכפלנו ה' על ו' עלו ל' גם[327] זה על ז' והיו ר"י והוא המורה | ||||||||||||
|
וחמישיתו מ"ב וששיתו ל"ה ושביעיתו ל' והנה שלשתם ק"ז | ||||||||||||
|
הנה ערך הממון שהוא עשרה המחובר מהם אל כל הממון שאינו נודע כערך ק"ז אל ר"י פי' שהוא המורה | ||||||||||||
|
ונעשה הדמיון כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו הקצוות שהם י' על ר"י והיו אלפי' וק' חלקנום על האמצעי שהוא ק"ז עלו י"ט שלמים ונשארו ס"ז חלקי' מן ק"ז והוא כל הממון | ||||||||||||
|
ואלו היינו עושים להפך היה הדבר שוה כזה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
ונבחן זה | ||||||||||||
|
כי ג' שלמים חמישית ט"ו ונשארו ד' שלמי' שלא לקחנו חמישיתם נעשה מן כל אחד ק"ז ונחבר אל המחובר ס"ז יהיה הכל תצ"ה וחמישיתם צ"ט | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
וששית י"ח ג' ונקח לא' הנשאר ק"ז נחבר אליו ס"ז יהיו קע"ד וששיתו כ"ט | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
גם השביעית שנים שלמי' נשארו ה' שאין להם שביעית נקח לכל אחד ק"ז יהיו תקל"ה | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
נחבר החלקים יהיו שנים שלמים נחברם אל השלמים והיו י' | ||||||||||||
| |||||||||||||
Another example: We took its seventh and its ninth; they are 7.
|
דמיון אחר לקחנו שביעיתו ותשיעיתו והיו ז' | ||||||||||||
|
המורה ס"ג | ||||||||||||
|
והשביעית והתשיעית י"ו וככה הצורה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
הנה החשבון כ"ז שלמים וט' חלקי' מי"ו | ||||||||||||
First from Last Problem - Money | |||||||||||||
If one reversed the saying and says: We have subtracted from an amount of money its seventh and its ninth and 7 remain.
|
ואם הפך הדבר ואמר חסרנו מהממון שביעיתו ותשיעיתו נשארו ז' | ||||||||||||
|
גם אנו נעשה המורה להפך כי המורה הוא אחד רק נחסר י"ו שהוא השביעית והתשיעית מהמורה ונשארו מ"ז ונכתבהו ככה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו ז' על ס"ג והיו תמ"א חלקנו על מ"ז עלו ט' וי"ח חלקי' ממ"ז ועתה הוא | ||||||||||||
|
ושביעיתם כדרך שהראיתיך עלה אחד שלם גם י"ו חלקי' | ||||||||||||
|
לקחנו תשיעיתו והוא אחד שלם וב' חלקי' | ||||||||||||
|
ונשארו ז' שלמים | ||||||||||||
Partnership Problem - For the Same Time | |||||||||||||
Question: 4 people - one of them have 11 dinar, the second have 13 dinar, the third have 15 dinar, and the fourth have 17 dinar. They earned 19 dinar. How much does each get? | שאלה ד' אנשים יש לאחד מהם י"א דינ' ולשני י"ג דינ' ולשלישי ט"ו דינ' ולרביעי י"ז דינ' והרויחו י"ט דינ' כמה יקח כל אחד ואחד | ||||||||||||
|
נבחר ראשי כל ממונם והיו נ"ו | ||||||||||||
|
וכערך כל אחד אל נ"ו ככה יקח מי"ט ונעשה כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול י"א על י"ט יעלו ר"ט נחלק על נ"ו עלו ג' שלמי' ונשארו מ"א חלקי' | ||||||||||||
|
עשינו כן בי"ג | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
עלו רמ"ז חלקנום על נ"ו עלו ד' שלמי' וכ"ג חלקי' | ||||||||||||
|
עשינו כך בט"ו | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
ועלו רפ"ה חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמי' וה' חלקי' | ||||||||||||
|
עשינו כך בי"ז | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
עלו שכ"ג חלקנום על נ"ו עלו ה' שלמים ומ"ג חלקים | ||||||||||||
|
חברנו השלמי' ואלה החלקי' ועלו י"ט שלמי' כי אלה החלקי' חלקי נ"ו הם | ||||||||||||
|
דרך אחרת השיבונו הריוח כלו פשוטים | ||||||||||||
|
שכפלנו הי"ט דינ' בי"ב עלו רכ"ח חלקנום על נ"ו עלו ד' פשוטי' גם ד' חלקי' מנ"ו | ||||||||||||
|
והנה כפלנו י"א על ד' עלו מ"ד פשוטי' שהם ג' דינ' ח' פשוטי' ומ"ד חלקי פשוט | ||||||||||||
|
גם כפלנו י"ג על הד' והיו נ"ב שהם ד' דינ' וד' פשוטי' ונ"ב חלקי' | ||||||||||||
|
גם כפלנו ט"ו על ד' והיו ס' פשוטי' שהם ה' דינ' וס' חלקי' חברנו פשוט מנ"ו ושארו ד' חלקים | ||||||||||||
|
גם כפלנו י"ז על הד' והיו ס"ח פשו' שהם ה' דינ' וח' פשו' וס"ח חלקי' נחבר מהם פשוט ישארו י"ב חלקים | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
נחבר החלקים כלם יהיו ג' פשו' ונחבר הפשוטי' יהיו ב' דינ' נחברם אל החלק הגדול יהיו בין הכל י"ט דינ' | ||||||||||||
| |||||||||||||
Purchase Problem – Moneychanger | |||||||||||||
Question: the moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth three dinar of the first [kind of] coins; or four of the second [kind]; or six of the third [kind]. A man came and asked the moneychanger to give him from the three [kinds of] coins for one zahuv equally, so that the amount of the expensive will be equal to the amount of the inexpensive.
|
שאלה יש אצל המחליף שלשה המטבעים שוה הזהוב ממטבע האחד ג' דינ' וממטבע השני ד' דינ' וממטבע השלישי' ו' דינ' ובא אדם אחד ובקש למחליף שיתן לו מג' המטבעי' בזהוב ויהיה המספר בשוה מן היקרים כמו משאינם יקרים | ||||||||||||
|
בקש חשבון שיש לו שלישית ורביעית וששית והוא י"ב והוא המורה וכל החלקים הנזכרים הם ט' והוא דינר | ||||||||||||
|
ונבקש מה ערך י"ב אל ט' והנה הוא כמוהו ושלישיתו | ||||||||||||
|
והנה נוסיף על י"ב פשו' שהוא דינר ד' פשו' שהוא שלישיתו ועלו י"ו פשו' וככה לקח מכל מטבע | ||||||||||||
|
ולבחון דבר זה קל הוא כי הערכי' נמצאים במהרה | ||||||||||||
והנה נשים המטבע של שלשה עקר | |||||||||||||
|
וידענו כי הי"ו ממטבע ו' הם ח' פשו' ממטבע ג' כי ו' כפל ג' | ||||||||||||
|
והנה בין שניהם כ"ד | ||||||||||||
|
וידוע כי ערך ג' אל ד' ג' רביעיות | ||||||||||||
|
על כן יהיה חילוף י"ו פשו' ממטבע ד' הם י"ב פשו' ממטבע ג' והנו דינר אחד | ||||||||||||
|
וג' דינ' ממטבע האחד | ||||||||||||
וככה תוכל להשיב חלוף מה שלקח לאיזה מטבע שתרצה ואין צורך להאריך | |||||||||||||
Another example, which is difficult because it has difficult ratios: | דמיון אחר קשה כי אין לו ערכים כי אם בקושי | ||||||||||||
The moneychanger has three [kinds of] coins. One zahuv is worth five dinar of the first [kind of coins]; or seven of the second [kind]; or nine of the third [kind]. [A man] brings one zahuv and wants to take from all [kinds of coins] for one zahuv equally.
|
וזהו מחליף יש לו ג' מטבעים האחד ה' דינ' בזהוב והשני ז' והשלישי ט' והביא זהוב ורצה לקחת בשוה מספר שוה מכלם בזהוב אחד | ||||||||||||
|
עשה כמשפט וכפול ה' בז' והעולה ל"ה וכפול זה על ט' יהיו שט"ו והוא המורה | ||||||||||||
|
וחמישיתו ס"ג ושביעיתו מ"ה ותשיעיתו ל"ה והנה כשנחבר אלה שלשתם יהיו קמ"ג והוא הדינ' | ||||||||||||
|
נחלק המורה על זה המספר יהיו ב' דינ' וישארו כ"ט חלקים מן קמ"ג וככה יקח מכל מטבע | ||||||||||||
|
ולבחון זה קשה הוא כי אם על הדרך שאומר לך בעבור החלקים | ||||||||||||
|
והנה נחל לבחון להשיב המספר הנזכר ממנו ממטבע ז' וממטבע ט' אל מטבע ה' וככה נעשה | ||||||||||||
|
נשיב הדינ' חלקי' מקמ"ג ונשים עמהן החלקים שהם שט"ו והוא המורה | ||||||||||||
|
ונבקש להחליף מטבע ז' אל ה' ונכפול שט"ו על ה' ויהיו אלף תקע"ה נחלקם על ז' יהיו רכ"ה חלקים ממטבע ה' | ||||||||||||
|
גם אלף תקע"ה על ט' לדעת כמה יהיו מהמטבע השני והנה קע"ה | ||||||||||||
|
וכאשר תחבר אלה ג' מספרים שהם ממטבע אחד שט"ו גם רכ"ה גם קע"ה והנה הכל תשט"ו חלקנום על קמ"ג שהוא הדינ' [328]עלו ה' דינ' שוים | ||||||||||||
|
או אם תרצה חשוב ככה כבר היו ממטבע ה' ב' דינ' וכ"ט חלקים | ||||||||||||
|
וכאשר החלפנו זה המספר ממטבע ז' יהיו רכ"ה חלקים שהם דינ' אחד ופ"ב חלקים | ||||||||||||
|
ואם ממטבע ט' יהיו קע"ה שהם דינ' אחד ול"ב חלקים | ||||||||||||
|
חברנו כל החלקים יהיו קמ"ג שהם דינ' אחד והנה המספר אחד | ||||||||||||
|
ועוד נשיב הכל למטבע ז' והנה כבר היו לנו שט"ו חלקים שהוא המורה | ||||||||||||
|
ונרצה לדעת כמה חלקי' יהיו ממטבע ה' והנה נכפול שט"ו על ז' יעלו אלפים ור"ה נחלק על ה' יעלו תמ"א | ||||||||||||
|
גם נחלק עוד זה המספר על ט' יהיה העולה רמ"ה | ||||||||||||
|
נחבר כל אלה החלקים ונחלק המחובר על קמ"ג יהיו ז' דינ' | ||||||||||||
|
ועוד נשיב הכל למטבע ט' והנה יש לו מהמטבע שלו שט"ו חלקים שהוא המורה שהם ב' דינ' גם כ"ט חלקי' | ||||||||||||
|
ונשוב לכפול שט"ו על ט' יהיו אלפים ותתל"ה נחלק זה המספר על ה' יהיו תקס"ז | ||||||||||||
|
גם נחלק זה על ז' שהוא המטבע האחר יהיו ת"ה | ||||||||||||
|
וכאשר נחבר אלה החלקים של ג' מטבעים יהיו אלף רפ"ז וכאשר נחלק זה על קמ"ג יהיו ט' דינ' שלמים | ||||||||||||
Do the same if there are [4 types] of coins or more. | וככה תעשה אם היו מטבעים או יותר | ||||||||||||
explanation - the position of the zero [= representing the unknown] | |||||||||||||
Now I want to explain to you where to put the wheel. So we shall give an example: | עתה ארצה לבאר לך באיזה מקום תשים הגלגל והנה נעשה דמיון | ||||||||||||
Payment Problem | |||||||||||||
Question: Reuven hired Shimon to work with him for 17 days and he will pay him 11 pešuṭim, but he worked 9 days.
|
שאלה ראובן שכר שמעון שיעבוד עמו י"ז ימים ויתן לו י"א פשו' והנה עבד ט' ימים | ||||||||||||
|
והוא אין ספק כי כערך הימים שעבד אל כל הימים שהיה התנאי שאותו הערך בעצמו יקח מי"א שהם הפשוטים | ||||||||||||
|
והנה נשים הגלגל הראשון והשני י"א והשלישי ט' והרביעי י"ז ככה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
ואם נרצה נשים הגלגל שני ומספר הרביעי ט' שנעשה ככה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כי כאשר שמנו המספר הגדול בראשונה של פשוטים ככה נשים במספר השני המספר הגדול של ימי העבודה שלישי ראשון לשנים האחרונים | ||||||||||||
|
ונוכל לשום הגלגל שלישי כזה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
ונוכל לשום הגלגל רביעי ככה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
והכל שוה | ||||||||||||
Payment Problem - Carrying Wheat | |||||||||||||
Question: Reuven hired Shimon to carry for him 13 measures of wheat on his beast a path of 17 miles and his payment will be 19 pešiṭim, but he carried 7 measures for a distance of 11 miles. How much should be his wages?
|
שאלה ראובן שכר שמעון שיוליך לו על בהמתו י"ג מדות חטה מהלך י"ז מילין ויהיה שכרו י"ט פשוטים והוא הוליך שבע מדות מהלך י"א מילין כמה שכרו | ||||||||||||
|
ככה תעשה צריך אתה לעשות הערכים פעמים כי אין דרך אחרת להוציאם | ||||||||||||
|
וחשוב כי הז' מדות הוליך אותם כל התנאי שהם י"ז והנה תעשה ככה הדמיון | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
הנה נכפול הקצוות שהם ז' וי"ט יהיו קל"ג נחלקם על י"ג יעלו י' שלמים ונשארו ג' חלקים מי"ג בפשוט אחד | ||||||||||||
|
ובעבור שלא הוליך אלא ז' מדות רק י"א מילין אנחנו צריכים לעשות ערך אחר ודמיון אחר ונעשה ככה י"א י"ז גלגל י' גם ג' חלקים מי"ג וזה דמיונו | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
ובעבור שאנו צריכין לכפול הקצוות ולחלק העולה על י"ז ויש לנו ברביעי ג' חלקים מי"ג צריכין אנו לבקש מורה אחד לשניהם וככה נמצאנו | ||||||||||||
|
שנכפול י"ג על י"ז יעלו רכ"א והוא המורה והוא אחד שלם | ||||||||||||
|
והנה ג' חלקים מי"ג יהיו נ"א מרכ"א | ||||||||||||
|
ונשוב לכפול י"א על י' יהיו ק"י גם נכפול י"א שהם שלמים על נ"א שהם חלקים ויעלו תקס"א | ||||||||||||
| |||||||||||||
Payment Problem - Digging a Hole | |||||||||||||
Question: Reuven hired Shimon to dig for him in the ground 10 in length, 10 in width, for which he would pay him 17 pešuṭim, but Shimon dug 5 in length and 5 in width | שאלה ראובן שכר שמעון שיחפור לו בקרקע י' באורך וי' ברוחב ויתן לו י"ז פשו' ושמעון חפר ה' באורך וה' ברוחב | ||||||||||||
|
אין ספק כי הרביעית יקח כי כפל חצי על חצי רביעי אחד שלם | ||||||||||||
|
כי אלו היה כופל חצי האורך על כל הרוחב או חצי הרוחב על כל האורך אז היה לוקח חצי הממון | ||||||||||||
If he said that he agreed with him that he should dig 7 in length, 6 in width, 5 in depth, and for this he would pay him 11 pešiṭim, but he dug 6 in length, 5 in width, 4 in depth. How much should be his payment?
|
רק אם אמר שהסכים עמו שיחפור ז' באורך וו' ברוחב וה' בעומק ויתן לו י"א פשו' והוא חפר ו' באורך וה' ברוחב וד' בעומק כמה שכרו | ||||||||||||
|
הנה אנחנו צריכים לערכים | ||||||||||||
|
ונכפול המספר הראשון שהוא ז' על ו' הרי מ"ב כפלה על ה' שהוא העומק ויהיו ר"י | ||||||||||||
|
גם נכפול המספר השני שהוא ו' על ה' והם ל' גם נכפול זה על ד' שהוא העומק יהיו ק"כ | ||||||||||||
|
ועתה נעשה דמיון הערכים כזה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו האמצעיים הידועים והיו אלף וש"כ חלקנום על ר"י עלו ו' שלמים ונשארו ס' שהם שתי שביעיות פשוט | ||||||||||||
Pricing Problem - Find the Amount | |||||||||||||
Question: a man sells 13 measures of wheat for 23 pešuṭim. How many measures will he sell for 7 [pešuṭim]?
|
שאלה אדם מוכר חטה י"ג מדות בכ"ג פשו' כמה מדות יתן בז' פשו' | ||||||||||||
|
נעשה דמיון הערך כמשפט הזה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
הנה כפול הקצוות שהם נודעים יהיו צ"א נחלקם על כ"ג יהיו ג' מדות וכ"ב חלקים מכ"ג במדה אחת | ||||||||||||
Pricing Problem - Find the Price | |||||||||||||
We reverse the question, by that we want to know how much will he get for 7 measures?
|
ועוד נהפוך הענין שנבקש לדעת בכמה יתן ז' מדות | ||||||||||||
|
והנה נעשה הדמיון כזה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול הקצוות יהיו קס"א נחלקם על י"ג יהיו י"ב פשו' וה' חלקים מי"ג בפשו' אחד | ||||||||||||
Motion Problem – Pursuit | |||||||||||||
Question: a man sends a messenger to walk 29 miles a day. After 10 days, he sends another messenger to walk after him 37 miles a day. When will he catch up with him?
|
שאלה אדם שלח רץ שילך בכל יום כ"ט מלין ואחר עשרה ימים שלח רץ אחר אחריו שילך בכל יום יום ל"ז מילין מתי ישיגנו | ||||||||||||
|
נכפול המילין שהלך בי' ימים יהיו ר"צ נחלקם על היתרון שבין שני המהלכים שהוא ח' והנו ל"ו ימים ורביעית יום | ||||||||||||
Give and Take Problem | |||||||||||||
Question: a man left his city and arrived to another country. He took an oath that if God will double his money he will donate two pešuṭim each day. After two days he ran out of money. How much did he bring?
|
שאלה אדם יצא מעירו ונכנס במדינה אחרת נדר אם יכפול המקום ממונו יתן בכל יום ב' פשו' לסוף ד' ימים הלך ממונו כמה הביא | ||||||||||||
|
האמת כי היה לו ב' פשוטים פחות שמינית פשוט | ||||||||||||
Motion Problem – Encounter | |||||||||||||
Question: Reuven left his city on the morning of the first day of the month, to meet his brother Shimon in his city. On that same day Shimon left his city, to meet his brother Reuven in his city. The distance between the two cities is 100 miles. Reuven walks 19 miles a day and Shimon walks 17 miles a day. We ask: when will they meet? | שאלה ראובן יצא מעירו ללכת לקראת שמעון אחיו לעירו בקר יום ראשון של ראש החדש ובעצם היום הזה יצא גם שמעון מעירו ללכת לקראת ראובן אחיו לעירו והמרחק בין שני הערים ק' מילין ומהלך ראובן ביום אחד י"ט מילין ומהלך שמעון ביום אחד י"ז מילין נשאל מתי יתחברו | ||||||||||||
|
ככה תעשה חבר שני המהלכים והם ל"ו חלק עליו המאה מילין יהיה שני ימים ישארו כ"ח חלקים מל"ו ביום אחד שהם ז' תשיעיות יום | ||||||||||||
|
ותוכל להושיבם לשעות היום בדרך הערכין | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
וככה תעשה[329] כפלנו ז' על י"ב עלו פ"ד חלקנו על ט' עלו ט' והם שעות נשארו ג' שהם שלישית שעה | ||||||||||||
|
ועל דרך אחרת ידענו כי ערך י"ב אל ט' כמוהו ושלישיתו | ||||||||||||
|
כי תשיעיות היו לנו והנה נקח לז' תשיעיות ז' שלישיות נחלקם על ג' יהיו ב' שעות ושלישית שעה | ||||||||||||
|
ואם בקשנו לדעת כמה מילין הלך ראובן | ||||||||||||
|
כבר ידענו כי בשני ימים הלך ל"ח מילין | ||||||||||||
|
וכבר אמרנו כי ז' תשיעיות היום הלך והנה נעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו ז' על י"ט עלו קל"ג חלקנום על ט' עלו י"ד ושבע תשיעיות | ||||||||||||
|
והנה הכל נ"ב מילין וז' תשיעיות | ||||||||||||
Payment Problem - three workers, three different daily wages, the same actual payment | |||||||||||||
Question: A man hired three brothers – Reuven, Shimon, and Levi – to do his work for 20 days from morning until evening, any one of them in turns so that the work will not cease. If Reuven works all the days he will pay him 5 zehuvim; if Shimon – 4, if Levi – 3. They worked together for the 20 days and there was a a supervisor sitting with them, who wrote down how many hours and parts of hours each of them worked a day. Finally, he paid each of them an equal share. We wish to know: how much is the share of each of them?
|
שאלה אדם שכר ג' אחים ראובן שמעון ולוי שיעשו עבודתו כ' ימים מן הבקר עד הערב מאיזה מהם שתהיה ולא תשבות המלאכה והנה אם עבד ראובן כל הימים יתן לו ה' זהובים | ||||||||||||
|
דע כי ראובן ישמש ד' ימים בזהוב אחד ושמעון ה' ימים ולוי ו' ימים וב' שלישיות יום והנה הכל ט"ו שלמים וב' שלישיות יום אחד | ||||||||||||
|
נחלק כ' על זה המספר ועלה אחד שלם ונשארו ד' שלמים ושלישית אחד והנה בעבור השלישית נשיב הכל שלישיות והנה נשיב הכ' יום ס' שלישיות והט"ו וב' שלישיות מ"ז שלישיות והד' ושלישית יום י"ג | ||||||||||||
|
ועתה נבקש כמה חיוב כל אחד שיעבוד עד שישלימו הכ' יום | ||||||||||||
|
והנה נחל מלוי שהוא חייב לשמש בזהוב שלקח ו' ימים וב' שלישיות יום ונעשה מאלה שלישיות ויהיו כ' | ||||||||||||
|
ונבקש לדעת כמה יש לו לעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח ונעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו י"ג על כ' והיו ר"ס חלקנום על מ"ז עלו ה' ונשארו כ"ה חלקים | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
ונבקש לדעת כמה עבד שמעון | ||||||||||||
|
והנה חייב לעבוד בעבור הזהוב ה' ימים שהם ט"ו שלישיות | ||||||||||||
|
ונבקש לדעת כמה יעבוד בעבור י"ג פשו' שלקח והנה נעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול ט"ו על י"ג יעלו קצ"ה נחלקם על מ"ז עלו ד' ונשארו ז' חלקים | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
ונבקש לדעת כמה עבד ראובן | ||||||||||||
|
והנה עבד בשביל הזהוב ד' ימים שהם י"ב שלישיות | ||||||||||||
|
ונעשה בעבור הי"ג פשוטים שלקח הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול י"ג על י"ב יעלו קנ"ו נחלקם על מ"ז עלו ג' ונשארו ט"ו חלקים | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
וכאשר תחבר אלה החלקים יתחבר מהם שעה אחת בלי תוספת ומגרעת | ||||||||||||
|
וכאשר תחבר זאת השעה אל השעות הנזכרות יהיו י"ב שעות שהוא יום אחד | ||||||||||||
|
וכאשר תחבר היום לימים הנזכרים יהיו עשרים יום בלי תוספת ומגרעת | ||||||||||||
Boiling Problem | |||||||||||||
Question: A man had 10 measures of must and he wants to cook them so that only one-third remains. He starts to cook [them] until eight measures are left of them. Then, two measures overflow. Now he wants to cook [the remaining 6 measures] until it is reduced [as he planned] at first.
|
שאלה אדם היו לו י' מדות מתירוש ורצה לבשלם עד שלא ישאר מהם כי אם השלישית והנה החל לבשל עד שנשארו מהם ח' מדות ונשפך ב' מדות והנה ירצה לבשלם עד שיהיו כמשפט הראשון | ||||||||||||
|
והנה יש לך ג' מספרים ידועים הא' כמה שלישית י' ידוע כי הוא ג' ושליש וידוע כי שמנה יהיו המדות שיתבשלו וידוע כי ששה נשארו | ||||||||||||
|
והנה תעשה הדמיון ככה | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
והנה נכפול ו' על ג' ושליש יהיו כ' נחלקם על ח' יהיו שנים וחצי | ||||||||||||
Another example: We have 9 measures of must, and he wants them to be cooked until the third part of it remains. It was now cooked until 6 measures were left. Then 4 measures were overflow, and 2 measures remain. | דמיון אחר היו לנו ט' מדות תירוש וירצה שיתבשלו עד שישאר השליש והוא נתבשל עד שנשארו ו' מדות ונשפכו ד' וב' נשארו | ||||||||||||
|
וככה הערך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפול ב' על ג' עלו ו' יהיה אחד והנה המשפט להיות המבושל מדה אחת | ||||||||||||
How Much Problem - Money | |||||||||||||
Question: an amount of money, we sum its fifth, its seventh, and its ninth and they are 10, how much is the money?
|
שאלה ממון חברנו חמישיתו ושביעיתו ותשיעיתו והיו עשרה כמה הממון | ||||||||||||
|
נבקש המורה והוא שט"ו | ||||||||||||
|
והחלקים הנזכרים הם קמ"ג | ||||||||||||
|
כאשר תחלק שט"ו על ה' יעלו ס"ג | ||||||||||||
|
וכשתחלק על ז' יעלו מ"ה | ||||||||||||
|
ועל ט' יעלו ל"ה | ||||||||||||
|
חברם יחד יעלו קמ"ג | ||||||||||||
|
ונעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול שט"ו על י' יעלו ג' אלפים וק"נ נחלקם על קמ"ג עלו כ"ב שלמים וד' חלקים מקמ"ג | ||||||||||||
First from Last Problem - Money | |||||||||||||
We do the opposite: An amount of money - we have subtracted from it its fifth, its seventh and its ninth and 10 remain.
|
נעשה להפך ממון חסרנו ממנו חמישיתו שביעיתו ותשיעיתו ונשארו י' | ||||||||||||
|
נחסר קמ"ג שהם השברים מן שט"ו שהוא המורה ישארו קע"ב | ||||||||||||
|
ונעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו י' על שט"ו עלו ג' אלפים וק"נ חלקנום על קע"ב עלו י"ח שלמים ונ"ד חלקים מקע"ב | ||||||||||||
|
לקחנו חמישית ושביעית ותשיעית זה המספר ישארו לנו י' שלמים | ||||||||||||
|
ועל זה הדרך | ||||||||||||
Find a Quantity Problem - Whole from Parts - Tree | |||||||||||||
Question: A tree, a third of it is in the water, a quarter of it is [ingrained] in the soil, and 10 cubits of it are up above the water, how much is the length of the whole tree? |
שאלת האילן ששלישיתו במים ורביעיתו בעפר ולמעלה מן המים י' אמות כמה גבהות כל האילן | ||||||||||||
Common Denominator: We seek for a number that has a third and a quarter; it is 12. |
נבקש מנין שיש לו שלישית ורביעית והוא י"ב | ||||||||||||
|
ושלישיתו ורביעיתו מחוברים ז' נחסרם מי"ב ישארו ה' | ||||||||||||
|
נעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
הנה כפלנו הקצוות עלו ק"כ חלקנום על ה' עלו כ"ד וזהו גבהות כל האילן | ||||||||||||
|
כי שלישיתו שמנה ורביעיתו ששה והמחוברים י"ד נחסרם מכ"ד ישארו י' שלמים לא פחות ולא יותר | ||||||||||||
Another example: A tree, a seventh of it is in the water, a ninth of it is [ingrained] in the soil, and 8 [cubits] of it are up above the water.
|
דמיון אחר אילן שביעיתו במים ותשיעיתו בעפר ולמעלה מן המים ח' | ||||||||||||
|
והנה המורה ס"ג | ||||||||||||
|
נחסר ממנו י"ו שהוא השביעית והתשיעית נשארו מ"ז | ||||||||||||
|
ונעשה הערך כך | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
הנה כפלנו הקצוות והיו תק"ד חלקנום על מ"ז עלו י' שלמים גם ל"ד חלקים | ||||||||||||
|
ושביעית זה המספר אחד שלם וכ"ה חלקים | ||||||||||||
|
ותשיעיתו אחד שלם וט' חלקים | ||||||||||||
|
חברנו החלקים הנזכרים והם ל"ד והשלמים ב' | ||||||||||||
|
חסרנום מהמספר הנזכר נשארו ח' | ||||||||||||
Divide a Quantity Problem - Proportional Division – Inheritance | |||||||||||||
Question: Jacob died. His son Reuven issued a deed with two credible witnesses, according to which his father Jacob has given him alone all the property he had and instructed so in case of death. His son Shimon issued a deed as well, according to which his father instructed that half of his property should be granted to him. Levi also issued a deed, according to which his father instructed that one-third of his property should be given to him. Yehudah too issued a deed, according to which one-quarter of his property should be granted to him. All of them wrote this in Jerusalem in the same day, the same time, the same hour | שאלה יעקב מת והוציא ראובן בנו שטר בשני עדים כשרים שנתן לו לבדו יעקב אביו כל הממון שהיה לו וצוה כן מחמת מיתה ביום מותו גם הוציא שמעון בנו שטר שאביו צוה מחמת מיתה שינתן לו חצי ממונו | ||||||||||||
Three methods to divide the property between the four sons each according to his relative portion: | |||||||||||||
|
והנה חכמי ישראל מחלקים אותו על דרך בקשת כל אחד | ||||||||||||
|
וחכמי הגוים על דרך ערך הממון שלכל אחד | ||||||||||||
|
וחכמי החשבון יחשבו כי הממון היה אחד | ||||||||||||
|
וכאשר תחבר אליו חציו ושלישיתו ורביעיתו יהיה הכל שנים וחצי ששית | ||||||||||||
|
והנה נשים האחד שלם ששים שיש לו כל החלקים הנזכרים והנה יהיה בין הכל קכ"ה | ||||||||||||
|
או נשים האחד שלם י"ב והשברים הנזכרים י"ג | ||||||||||||
|
ושוה יצא המספר באחרונה איזה מהם שתקח | ||||||||||||
|
והנה נבקש כמה יקח ראובן כפי ערך ממונו ונעשה הערך ככה על דרך ששים כי הוא מבקש כל הממון ונאמר כי הממון עשרה דינרים שהם ק"כ פשוטים | ||||||||||||
|
וזה תורת ערך הממון שיקח ראובן | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
כפלנו הקצוות ועלו ז' אלפים ור' חלקנום על קכ"ה עלו נ"ז פשו' וע"ה חלקים וזה חלק ראובן | ||||||||||||
|
וזו צורת ערך שמעון | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול הקצוות ונחלק כמשפט | ||||||||||||
|
וזו צורת חלק לוי | ||||||||||||
|
| ||||||||||||
|
נכפול ונחלק כמשפט | ||||||||||||
|
וזו צורת חלק יהודה | ||||||||||||
|
|||||||||||||
Another method in a shorter way [according to the Gentile sages]: | ענין אחר בדרך קצרה | ||||||||||||
|
יקח שמעון חצי חלק ראובן | ||||||||||||
|
גם יקח לוי שליש חלק ראובן | ||||||||||||
|
גם יקח יהודה רביעית חלק ראובן | ||||||||||||
|
וכאשר תחבר כל אלה החלקים והשלמים יהיו ק"כ פשו' שהם י' דינ' | ||||||||||||
According to the procedure of the sages of Israel: | ועל דרך חכמי ישראל | ||||||||||||
|
יאמרו הג' אחים הגדולים ליהודה אחיהם אין אתה מערער רק על ל' פשוטים וערעור כל אחד ממנו שוה בהם קח ז' וחצי שהוא הרביעית ולך מעמנו וכמו כן יקח כל אחד מהג' אחים | ||||||||||||
|
ועוד יאמר ראובן ללוי אין אתה מערער רק על מ' פשו' וכבר לקחת חלקך מהל' שארבעתנו ערערנו עליהם קח אתה שלישית י' שהוא רביעית מ' ולך מעמנו | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
גם יאמר ראובן לשמעון אין אתה מערער אלא על חצי הממון שהוא ס' והחצי האחר הוא כלו שלי וכבר לקחת חלקך מהמ' והנה נשאר ביני ובינך הערעור בעשרים קח חציים ולך מעלי | ||||||||||||
|
וחלק ראובן שמונים גם חמש ששיות פשו' אחד | ||||||||||||
| |||||||||||||
|
וכאשר תחבר אלו החלקים יהיו עשרה דינ' |
Rule of Four in Astronomical Tables |
|||||||||
Now, I shall explain the method of the astrologers in the tables of the determination of the planets. | ועתה אפרש דרך חכמי המזלות בספרי הלוחות בתקון המשרתים | ||||||||
When determining the moon and also when determining 5 planets, there is a row that is called the row of ratio and this ratio is to 60. | כי בתקון הלבנה גם בתקון ה' המשרתים טור יקרא טור הערך וזה הערך הוא אל ס' | ||||||||
For, if 60 is written in the row of the ratio, | כי אם היה כתוב בטור הערך ס' יהיה בטור אחריו שיקרא הטור החמשי או הכתוב בטור השביעי מה שיהיה כתוב באחד מהם ראשונים לבדם או ראשונים ומעלות הכל יקח | ||||||||
So it is when determining the position of the moon. | וככה בתקון מקום הלבנה | ||||||||
If it is less than 60, one should take the ratio from the parts that are written in the fifth or seventh row. | ואם היתה פחותה מס' יקח כפי הערך מהחלקים הכתובים בטור החמישי או השביעי | ||||||||
|
דמיון יש חלקים יתרים על המעלות מ' ובטור הערך ט"ו | ||||||||
|
ואתה צריך לכפול ט"ו על מ' והעולה תחלקנו על ס' והוא המבוקש ועשה דמיון הערך כזה | ||||||||
|
| ||||||||
|
כפול ט"ו על מ' עלו ו' מאות חלקם על ס' יעלו י' חלקים | ||||||||
|
ויותר קרוב מזה שתבקש מה ערך מ' אל ס' והם ב' שלישיות גם זה הערך קח מט"ו והנו י' | ||||||||
|
או בקש מה ערך ט"ו אל ס' והנו רביעית ס' קח רביעית מ' והוא י' | ||||||||
|
דמיון אחר המספר האחד ל' והשני מ"ה | ||||||||
|
והנה ערך מ"ה אל ס' ג' רביעיות נקח שלש רביעיות ל' והם כ"ב וחצי שהם ל' שניים | ||||||||
|
או נקח הערך מן הל' שהוא חצי ס' ג"כ נקח חצי מ"ה והנו כ"ב וחצי | ||||||||
|
דמיון לב' מספרי' שהאחד יש לו ערך והשני אין לו ערך כמו המספר האחד כ' והשני ל"ג | ||||||||
|
והנה ערך כ' אל ס' שלישית והנה נקח שלישית ל"ג והם י"א ראשונים | ||||||||
|
וככה יבא בדרך הכפל כאשר תכפול כ' על ל"ג ותחלק העולה על ס' והעולה בחלוק יהיה י"א | ||||||||
|
ובעבור כי ל"ג קרוב מחצי ס' נקח גם הערך ממנו והנו י' ראשונים שהוא חצי כ' ובעבור שיש לנו תוספת ג' על החצי נכפול ג' על כ' יהיו ס' ואין ספק כי הם שניים כי כפל ראשונים על ראשונים יעלו שניים כי אחד על אחד שנים והם ס' שניים והם חלק ראשון נחברם על י' והוא י"א | ||||||||
|
דמיון אחר המספר האחד כ' והשני כ"ח | ||||||||
|
והנה ערך כ' אל ס' שלישית ושלישית כ"ח ט' ראשונים וב' שניים | ||||||||
|
ועוד נחשוב כי כ"ח חצי ס' כי הוא קרוב ממנו והנה חצי כ' י' ובעבור כי ב' יחסרו מהחצי נכפול ב' על כ' יהיו מ' שניים נחסרם מהראשון אחד יהיו הנשארים ט' ראשונים וכ' שניים | ||||||||
|
דמיון לחסר הערך שחשבונו האחד י"ד והשני כ"ט | ||||||||
|
והנה נקח הערך מכ"ט ונחשוב כי הוא חצי ס' נקח חצי י"ד והם ז' ראשונים ובעבור כי אחד יחסר מהחצי נכפלנו על י"ד יהיו י"ד שניים נחסרם מחלק ראשון ישארו ו' ראשונים ומ"ו שניים | ||||||||
|
דמיון אחר המספר האחד לחסר והשני להוסיף והנה נשים האחד י"ח והשני מ"ב | ||||||||
|
והנה נקח הערך ממ"ב ונחשוב כי הוא שתי שלישיות נקח שתי שלישיות י"ח והנה י"ב ובעבור שיש לנו תוספת ב' נכפלם על י"ח יהיו ל"ו שניים וככה יהיה העולה בדרך הכפל | ||||||||
|
וגם נקח הערך מי"ח ונחשוב כי הוא שלישית והנה שלישית מ"ב י"ד ובעבור שהוספנו ב' נכפלם על מ"ב והיו פ"ד שניים שהם חלק ראשון וכ"ד שניים נחסרם מי"ד ישאר כמספר הראשון שהוא י"ב גם ל"ו שניים | ||||||||
|
ונוכל לקחת עוד הערך בתוספת משניהם שנחשוב י"ח שהוא רביעית ס' והנה נקח רביעית מ"ב יהיו י' ראשונים ול' שניים ובעבור שיש לנו תוספת ג' נכפול מ"ב על ג' יהיו קכ"ו שניים שהם ב' ראשונים וו' שניים נוסיף זה על המספר הנזכר יהיו י"ב ראשונים ל"ו שניים | ||||||||
|
ואילו היינו חושבים כי מ"ב הם ג' רביעיות היה הדבר יוצא נכון | ||||||||
|
ונוכל לעשות הערך מי"ד שנחשוב כי הוא רביעית ס' נקח רביעית כ"ט והם ז' ורביעית שהם שניים ובעבור כי החסרון מרביעית הוא חלק ראשון נכפול כ"ט על כ"ט יהיו כ"ט שניים נחסרנו מן המספר הנזכר ישארו ו' ראשונים | ||||||||
I shall tell you the rule: if the parts in the row of the ratio do not share a ratio [to 60], proceed in the way of the multiplication, as I have mentioned for the fraction. | וכלל אומר לך כי אם לא היה ערך לחלקים הנמצאים בטור הערך שוב לעשות על דרך הכפל כאשר הזכרתי בשברים | ||||||||
Always see: if there are any fractions added to the degrees of the determined center that are less than 30, leave them out and take the minutes that are written in the row of the ratio corresponding to the preceding degrees. | ולעולם ראה אם היו חלקים נוספים על מעלות המוצק המתוקן והם פחותים מל' הניחם וקח הראשונים הכתובים בטור הערך כנגד המעלות שעברו | ||||||||
If the fractions that are with the determined center are more than 30, add one degree to the preceding degrees and take the fractions you find corresponding to it in the row of the ratio, whether it is after the whole degree or higher. | ואם החלקים שהם עם המוצק המתוקן יותר מל' הוסף מעלה אחת על המעלות שעברו וקח מה שתמצא כנגדה בחלקי טור הערך בין שתהיה אחר המעלה השלמה או למעלה ממנה | ||||||||
If you find the determined quotient between 4 constellations to 8 constellations and you find that there is a difference between the fractions of the row of the ratio corresponding to the preceding degree and the fractions of the row of the ratio corresponding to the added degree - the difference between them will always be only one minute at most - proceed in the way of the multiplication, that you give the fractions added to the preceding degree the seconds they deserve. | ואם מצאת המנה המתוקנת שהיא בין ד' מזלות עד ח' מזלות ומצאת כי יש הפרש בין חלקי טור הערך שהם כנגד המעלה שעברה ובין חלקי טור הערך שכנגד המעלה הנוספת ולא יהיה לעולם ביניהם רק חלק ראשון עשה כדרך הכפל שתתן לחלקים הנוספים על המעלה שעברה מה שראוי מהשניים | ||||||||
You need this method when determining the position of Mars or Mercury, however you do not need it for the determination of the position of Saturn and Jupiter, because in the fifth row and the seventh row there are no degrees, only minutes. | וזה המעשה יש לך צורך בתקון מאדים או כוכב חמה רק בתקון שבתי וצדק אין לך צורך כי אם בטור החמישי גם בטור הז' אין מעלות כי אם ראשונים לבדם |
Chapter Seven - Extraction of Roots |
השער הז' בהוצאת השרשים | ||||||||
All the numbers are according to three ways: | כל המספרים הם על שלשה דרכים | ||||||||
|
האחד שרשים והשני מרובעים והשלישי לא שרשים ולא מרובעים | ||||||||
|
והנה המרובע הוא המחובר מכפל שורש על עצמו | ||||||||
|
כמו ט' כי הוא מרובע ארכו כרחבו ושרשו ג' | ||||||||
There are numbers that have no true [rational] root at all, and they are the majority. | ויש חשבון שאין לו שורש אמת כלל והוא הרוב | ||||||||
|
כמו ב' במעלה הראשונה גם ג' וה' וו' וז' וח' | ||||||||
The square of an integer is always greater than the root. | ולעולם מרובע השלמים גדול מהשורש | ||||||||
Vice versa for the squares of fractions. | והפך הדבר במרובעי' הנשברי' | ||||||||
This is because when multiplying a fraction by a fraction, the product is less than the multiplied fraction. | והיה כן בעבור כי כפל שבר על שבר יהיה המחובר פחות מהשבר הנכפל | ||||||||
The one alone is both root and square; because it is between the fractions and the integers. | והיה האחד לבדו שורש ומרובע כי הוא בין השברי' והשלמי' | ||||||||
Integers |
|||||||||
First, we shall give test methods: | והנה נתן בתחלה מאזנים | ||||||||
Observe:
|
הסתכל אם לא היו מאזני המרובע ככפל מאזני השרש על עצמו אין המספר מרובע | ||||||||
|
ואם היה כמוהו יתכן להיות מרובע | ||||||||
|
דמיון המרובע קמ"ד | ||||||||
|
והמאזנים ט' והשרש י"ב ומאזניו ג' וכפל על עצמו הוא ט' | ||||||||
והוא מאזני השרש ת' | |||||||||
Another test: | מאזנים אחרים | ||||||||
|
אם מאזני המספר ב' או ג' או ה' או ו' או ח' איננו מרובע | ||||||||
|
ואם היו המאזנים אחד מהמרובעים שהם במעלה הראשונה שהם א' או ד' או ט' גם ז' עמהם יתכן להיות מרובע | ||||||||
Another test: | מאזנים אחרים | ||||||||
|
אם היה במספר המבוקש ממספרי המעלה הראשונה ב' או ג' או ז' או ח' אין המספר מרובע | ||||||||
|
ואם היה אחד מן המרובעים א' או ד' או ט' או מן המתגלגלים שהם ה' ו' יתכן שיהיה המספר מרובע | ||||||||
Another test that is reliable: | מאזנים אחרים שהם מאזני צדק | ||||||||
|
אם מצאת במספר המבוקש מן המעלה הראשונה אחד דע שיש בשורש אחד או ט' | ||||||||
|
ואם היה במספר ד' דע שיש בשורש ב' או ח' | ||||||||
|
ואם היה במספר ו' דע שיש בשרש ד' או ו' | ||||||||
|
ואם במספר ט' דע כי יש בשרש ג' או ז' | ||||||||
|
ואם במרובע ה' דע שיש בשרש ה' | ||||||||
Now I shall give you a way by which you can know which of the two mentioned [digits] is in the root. | ועתה אתן לך דרך שתוכל לדעת איזה מן השנים הנזכרים יהיה בשרש | ||||||||
Now, note that the square numbers that are in the first rank are 3, which are 1, 4 9, | ועתה שים לבך כי המרובעים במעלה הראשונה הם ג' והם א' ד' ט' | ||||||||
In the second rank they are 6, which are 16, 25, 36, 49, 64, 81. | ובמעלה השנית ו' והם י"ו כ"ה ל"ו מ"ט ס"ד פ"א | ||||||||
All the ranks that follow these two have the same method: | וכל המעלות שהם אחר אלה השתים דרך אחת להן | ||||||||
|
כי כל מעלה שאיננה זוג הולכת על דרך המעלה הראשונה | ||||||||
|
וכל מעלה שהיא זוג הולכת על דרך המעלה השנית | ||||||||
The square numbers that are analogous to the square numbers, which are in the first rank, are always one digit, and those that are in the second rank as well as every even [rank] are two digits and so are all the analogous. | ולעולם יהיו המרובעי' הנמשלים למרובעים שהם במעלה הראשונה מספר אחד ואשר הם במעלה השנית וכל זוג הם שני מספרים גם כל הנמשלים | ||||||||
From the analogous squares you can know all the square numbers that precede them or succeed them. | ומהנמשלים תוכל לדעת כל המרובעים שהם לפניהם או לאחריהם | ||||||||
When you know the root of the first rank or the second and you wish to find the root of the analogous number in whichever rank, proceed as follows: | וכאשר תדע שרש המעלה הראשונה או השנית ותרצה לדעת שרש הנמשל באיזו מעלה שיהיה ככה תעשה | ||||||||
Know that the units that are in the first rank, are tens in the third rank, hundreds in the fifth, thousands in the seventh, tens of thousands in the ninth, hundreds of thousands in the eleventh, and so on by skipping endlessly. | דע כי ההוה במעלה הראשונה מהאחדים הם במעלה השלישית עשרות ובחמישית מאות ובשביעית אלפים ובתשיעית עשרת אלפים ובאחד עשר מאת אלף וככה עד אין קץ בדלוג | ||||||||
Because, the skipping is from an odd number to an odd number. | כי ידלג ממספר שאיננו זוג אל מספר שאיננו זוג | ||||||||
The units that are in the second rank of the roots are tens for the fourth rank, hundreds for the sixth, thousand for the eighth, tens of thousands for the tenth and hundreds of thousands for the twelfth. | והאחדים שהם במעלה השנית בשרשים הם מעלה הרביעית עשרות ובששית מאות ובשמינית אלפים ובעשירית עשרת אלפים ובשנים עשר מאה אלף | ||||||||
Because, the skipping is always from an even number to an even number. | כי לעולם ידלג מזוג אל זוג | ||||||||
Now I will tell you how to proceed if you know the analogous square and you know its root: | ועתה אומר לך איך תעשה כאשר תדע המרובע הנמשל ותדע שרשו | ||||||||
Subtract the square from the sought number, after making sure that you take only the preceding square, which is the closest to the number, see the difference between the square [and the sought number] and divide it by double the root of the preceding square. Make it so that you do not give everything you can for it, but leave a little bit of it so that you can still take the square of the quotient of it. When you see that the difference between the preceding square [and the sought number] is as much as the quotient, then you know that the square number is true.
|
חסר המרובע מהמספר המבוקש אחר שתשמור שלא תקח לעולם כי אם המרבע שעבר שהוא קרוב אל מספר וראה המרחק שבין המרבע וחלקהו על כפל שרש המרבע שעבר וככה עשה שלא תתן לו כל מה שתוכל רק הנח ממנו שתוכל לקחת מרבע מה שעלה בחלוק וכאשר תראה שיהיה המרחק בין המרובע שעבר כמספר מה שעלה בחלוק אז תדע שהמרבע אמת | ||||||||
If the sought number is less than the analogous square number, see how much the difference between your number and the succeeding square number is. Since you have to give it a little bit more than you can because your number precedes the analogous squares, as I will explain later, do not add the square of the quotient to your number. See if the number is as much as double the root multiplied, then you know that your number is true.
|
ואם היה המספר המבוקש פחות מהמרבע הנמשל ראה כמה מרחק בין מספרך ובין המרבע הבא לפי שאתה צריך לתן לו מעט יותר ממה שתוכל בעבור היות מספרך לפני המרבע הנמשל כאשר אפרש ואל תכניס במספרך מרובע החלוק | ||||||||
If it is 1, subtract one from tens, then 9 remain. | כי אם היה אחד חסר מן העשרות אחד וישארו ט' | ||||||||
In this way you can know: if you find 1 or 9 in the square, then it must be in the root, as you will see from the examples. | ובדרך הזה תוכל לדעת כשתמצא א' במרבע או ט' ראוי להיות בשרש כאשר תראה בדמיונות | ||||||||
|
דמיון בקשנו לדעת מרובע שעבר קרוב אל מאתים | ||||||||
|
והנה זה מהמעלה השלישית שאיננה זוג ונבקש זה מהמעלה הראשונה וכבר אמרנו כי המרבעי' שיש בה א' ד' ט' והנמשלי' אליהם מאה וד' מאות וט' מאות | ||||||||
|
והנה נתן לו ד' כפולים על כ' הם פ' נשארו כ' נחסר ממנו י"ו שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישאר ד' נחסרנו מהמאתים ישארו קצ"ו וזהו המרבע הקרוב אל מאתים | ||||||||
| |||||||||
|
ונוסיף ד' שעלה בחלוק על השרש הראשון שהיה י' יהיו י"ד וזהו שרש המרבע באמת | ||||||||
|
והנה נבחן אותו במאזנים כמשפט ידוע כי מאזני י"ד ה' וכפלו על עצמו כ"ה והנה המאזני' ז' וככה בדרך קצ"ו | ||||||||
|
ובמאזני' אחרי' בעבור שיש שם חשבון מתגלגל נכון להיותו מרבע | ||||||||
|
ובמאזני' אחרי' בעבור שיש במרובעו ו' ראוי להיות בשרש ד' או ו' | ||||||||
|
והנה המרחק מהמרבע הנמשל ק' וכפל [שורש] מרובע הנמשל כ' כפלנוהו על ד' עלו פ' | ||||||||
|
דמיון אחר במעלה הזאת בקשנו לדעת מרבע הקרוב אל ג' מאות | ||||||||
|
וג' מאות יותר קרובי' אל ד' מאות שהוא מרבע הנמשל במעלה הזאת ממרובע הראשון שהוא ק' | ||||||||
|
והנה נסתכל המרחק מהמרבע הבא והוא ק' וידענו כי שרש ד' מאות הוא כ' וכפלו מ' נחלוק ק' עליו ונתן לו מעט יותר ממה שנוכל בעבור היות המספר לפני המרובע | ||||||||
|
וכאשר נכפול ג' על מ' שהוא כפל השרש יהיו ק"כ נחסר זה המספר מת' יהיו ר"פ | ||||||||
| |||||||||
|
והנה נחסר הג' מכ' שהוא שרש המרובע הנמשל וישארו י"ז והוא שרש זה המרובע | ||||||||
|
ובעבור כי יש במרובעו ט' הנה התבאר שראוי שיהיה בשרש ז' ולא ג' כי לא יתכן להיות ג' במרובע רק אם היה קרוב אל המרובע הנמשל שעבר | ||||||||
In this way you can know if there is 1 or 9 in the square according to the distance from the preceding and succeeding analogous squares. | ועל זה הדרך תוכל לדעת במרובע ששם א' או ט' כפי המרחק מהמרובע שעבר ומהמרובע הנמשל העתיד | ||||||||
Similarly, you can deduce if you find 4 in the square, whether there is 2 or 8 in the square root. | ובזה תוכל להפריש אם מצאת במרובע ד' אם יש בשרש ב' או ח' | ||||||||
likewise, if there is 6 in the square, you can know whether there must be 4 or 6 in the root. | וככה אם יש במרובע ו' תדע אם ראוי להיות בשרש ד' או ו' | ||||||||
Now I shall reveal to you the secret why this is so. | והנה אגלה לך קצת זה הסוד למה היה כך | ||||||||
Know that the two major orbits, one goes east and the other goes west, and that the upper force is one in both. | דע כי השתים המסיבות הגדולות אחת הולכת למזרח ואחת הולכת למערב וכח עליון הוא אחד בשתיהם | ||||||||
So, one is the square of one, and there is one in the square of 9. | והנה אחד מרובע אחד יש במרובע ט' אחד | ||||||||
As the number 2 is second to the one, so the number 8 is second to the 9 backwards, since the course of this is opposite to the course of the other. | וכאשר הוא חשבון ב' שני לאחד ככה חשבון ח' שני לט' אחרונית כי מהלך זה הפך מהלך זה | ||||||||
The square of 2 is 4 and there is 4 in the square of 8. | ומרובע ב' ד' וככה יש במרובע ח' ד' | ||||||||
The same applies to 3 and 7; 4 and 6. | וכן דרך ג' אל ז' וד' עם ו' | ||||||||
Thus, the number 5 is left as a mean, therefore it is recurring around itself. | והנה נשאר חשבון ה' אמצעי וע"כ הוא מתגלגל על עצמו | ||||||||
|
ותוכל להוציא המרובע הנז' על הדרך הראשונה שהזכרתי במרובע קצ"ו שתחסר המרובע שהוא ק' מהמספר הנתון שהוא ש' יהיה המספר ר' וידוע כי שרש ק' י' וכפלו כ' והנה לא נוכל לתת לו י' כי לא ישאר מספר שנוכל לחסר ממנו מרובע מה שיעלה בחלוק | ||||||||
|
ונכפול ז' על כ' שהוא כפל השרש יהיו ק"מ נוסיף עליהם הק' שהוא המרובע יהיו ר"מ | ||||||||
| |||||||||
|
גם נוסיף שעלה בחלוק על י' שהיה השרש והנה יהיה שרש זה המרובע י"ז | ||||||||
|
דמיון במעלה הרביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל אלף ור' | ||||||||
|
והנה בעבור שהוא מספר זוג נבקש במעלה השנית מספר דומה לזה והוא י"ב ומרובע שעבר הוא ט' וככה ט' מאות וכאשר שרש ט' ג' ככה שרש ט' מאות ל' | ||||||||
|
נכפול ס' על ד' יהיו ר"מ נחברם אל המרובע הנמשל שעבר יהיה אלף וק"מ | ||||||||
| |||||||||
|
ובעבור שעלה בחלוק ד' נוסיפנו על שרש המרובע הנמשל שעבר שהיה ל' יהיה שרש זה המרובע ל"ד | ||||||||
|
והוא אמת בכל המאזנים | ||||||||
|
דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרבע הקרוב לז' אלפים ת"ק | ||||||||
|
והנה זה המספר דומה לע"ה כי הוא מן הזוגות ובעבור שהוא קרוב אל פ"א יותר מס"ד וידענו כי שרש פ"א ט' וככה יהיה שרש ח' אלפי' וק' צ' וכפלו ק"פ והנה המרחק ו' מאות נתן לו ד' אע"פ שאינו שלם בעבור שהחשבון הנתון הוא לפני המרובע הנמשל | ||||||||
|
וכאשר נכפול כפל השרש על ד' יעלו תש"כ נחסר זה המספר מהמרובע הנמשל יהיה הנשאר ז' אלפים ש"פ | ||||||||
| |||||||||
|
ושרשו פ"ו כי נחסר ד' וזהו המרובע באמת | ||||||||
|
וגם אם עשינו בדרך האחרת שהזכרתי בדמיונים שעברו יהיה הדבר שוה | ||||||||
|
דמיון במעלה החמישית נבקש המרובע הקרוב אל כ"ג אלף | ||||||||
|
והנה זה דומה למעלה הראשונה כי איננו זוג והנה י' אלפים כמו אחד וכבר אמרנו מה שהוא במעלה הראשונה אחד יהיה במעלה החמישית מאה והנה המרובע [330]שעבר י' אלפים | ||||||||
|
נוסיפנו על השרש שעבר יהיה ק"נ ונשאר לנו עוד ג' אלפים נחסר ממנו אלפים ת"ק שהוא מרובע מה שעלה בחלוק ישארו ת"ק | ||||||||
| |||||||||
|
ויהיה המרובע כ"ב אלף ותת"א והשרש קנ"א | ||||||||
|
כאשר יכפול המספר אם יעלה לעשרות חבר עשרות עם עשרות לפי המעלות ואם יש שם אחדים שים במקום האחדים אשר כפלת | ||||||||
|
דמיון אחר במעלה הזאת נבקש המרובע הקרוב אל פ"ה אלפים | ||||||||
|
והנה הוא קרוב אל המרובע הנמשל שהוא צ' אלף ושרשו ש' והנה המרחק ה' אלפים נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ר ונתן לו ט' הקרוב יותר ממה שנוכל | ||||||||
|
והנה יש לו תוספת ת' נחסרם מהמספר הנתון ישארו פ"ד אלפים ות"ר ועם תוספת פ"א שהוא מרובע מה שעלה בחלוק יהיה פ"ד אלף תרפ"א וזה הוא המרובע באמת | ||||||||
| |||||||||
|
ושרשו רצ"א | ||||||||
|
דמיון במעלה הששית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ר' אלף | ||||||||
|
ובעבור שזאת המעלה מן הזוגות היא דומה לעשרים והמרובע שעבר הוא י"ו וכבר אמרנו כי מה שהוא במעלה השנית אחדים יהיו במעלה הששית מאות והנה השרש ת' והמרובע שעבר ק"ס אלפים והנה המרחק מ' אלף נחלקנו על כפל השרש שהוא ת"ת והנה לא נוכל לתת לו ה' בעבור מרובע החלוק נתן לו ד' שהם מ' | ||||||||
|
ונכפול זה המספר על ת"ת יעלו ל"ב אלף ונשארו ח' אלף נסיר מהם אלף וו' מאות שהוא מרובע מ' ישארו ו' אלף וד' מאות | ||||||||
| |||||||||
|
נחסר עוד מרובע ז' נשאר קצ"א נחסר זה המספר מהמספר הנתון ישארו קצ"ט אלף ותת"ט וזהו המרובע | ||||||||
| |||||||||
|
והשרש תמ"ז | ||||||||
|
דמיון אחר במעלה הזאת לדעת מרובע הקרוב אל ו' מאות אלף | ||||||||
|
בעבור כי המרובע הנמשל הוא אחרי החשבון נקח המרחק שהוא מ' כי ו' מאות אלף הם כמו ס' וכאשר חלקנום על אלף וו' מאות נתננו לו כל מה שיכולנו ואם יחסר מעט מהאמת | ||||||||
| |||||||||
|
חסרנו זה משרש המרובע הנמשל שהוא ח' מאות ושהם דומים לח' והנה השרש תשע"ד וכבר היה לנו מ"א אלף ות"ר והיה לנו מ' אלף שהוא המרחק והנה אין לנו לחסר כי אם אלף וו' מאות מהמספר הנתון ויש לנו להוסיף עליו מרובע כ"ו שעלה בחלוק שהוא תרע"ו | ||||||||
| |||||||||
|
דמיון במעלה השביעית בקשנו לדעת המרובע הקרוב אל ה' אלפי אלפים | ||||||||
|
ונאריך לבאר זה הדמיון כהוגן עד שיהיה עקר להוציא המרובעים שהם במעלות אחרות עד אין קץ אע"פ שאין צורך להם בדברי החכמות | ||||||||
|
והנה המעלה הזאת דומה לראשונה והחשבון המבוקש כמו ה' והנה נסיר המרובע שהוא ד' ישאר לנו אלף אלפים והשרש שלנו שעבר אלפים וכפלו ד' אלפים נחלק עליו המספר הנשאר | ||||||||
| |||||||||
|
יעלו ת"ת אלף ונשאר לנו ר' אלף נחסר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק שהוא מ' אלף נשאר לנו ק"ס אלף | ||||||||
| |||||||||
|
ישאר לנו כ"ח אלף נסיר ממנו מרובע מה שעלה בחלוק זה שהוא ל' והם תת"ק נשאר כ"ז אלף וק' | ||||||||
| |||||||||
|
נשאר לנו ש"מ נחסר ממנו ל"ו שהוא מרובע ו' ישאר ש"ד | ||||||||
| |||||||||
Test this with all the testing methods and you will find it correct. | ותבחן זה בכל המאזנים ותמצאנו נכון | ||||||||
|
וככה בדרך כפל השרש על עצמו | ||||||||
|
כי כפל אלפים על אלפים יהיו שנים על שנים במעלה השביעית שהם ד' אלפי אלפים ונשאר לנו המספר הנז' | ||||||||
|
והנה נכפול אלפים במאתים פעמים יהיה ת"ת אלף ונשארו קצ"ט אלפים גם תרצ"ו | ||||||||
|
נשוב לכפול אלפים על ל' פעמים יעלו ק"כ אלף | ||||||||
|
נסירם מהמספר הנשאר ישארו ע"ט אלף וגם תרצ"ו | ||||||||
|
נשוב לכפול אלפים על ו' פעמים[331] יעלו כ"ד אלף | ||||||||
|
נסירם מהמספר הנשאר וישארו נ"ה אלפים גם תרצ"ו | ||||||||
|
וכבר כפלנו האלפים על כל המספרים | ||||||||
|
עתה נחל לכפול מאתים על עצמו ועל האחרים שהם אחריו | ||||||||
|
והנה כפלו על עצמו מ' אלפים | ||||||||
|
חסרנום מהמספר הנשאר ישארו ט"ו אלפים תרצ"ו | ||||||||
|
גם נכפול ר' על ל' פעמ' יעלו י"ב אלף | ||||||||
|
נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו ג' אלפים תרצ"ו | ||||||||
|
ועוד נכפול ר' על ו' פעמ' יעלו אלפים ות' | ||||||||
|
נסירם מהמספר הנשאר ישארו אלף ורצ"ו | ||||||||
|
וכבר השלמנו לכפול ר' על כל המספרים שהם אחריו | ||||||||
|
נחל מן ל' | ||||||||
|
והנה כפלו על עצמו תת"ק | ||||||||
|
נחסרנו מהמספר הנשאר ישארו שצ"ו | ||||||||
|
נכפול עוד ל' על ו' פעמים יהיו ש"ס ונשארו ל"ו שהוא מרובע ו' והנה החשבון נכון | ||||||||
Before I will discuss the numbers that have no root, I shall show you a method how you can know many square numbers from one square number and many roots from one root: | וקודם שאדבר על המספרים שאין להם שרש אראה לך דרך איך תוכל לדעת מרובעים רבים ממרובע אחד גם שרשים רבים משרש אחד | ||||||||
Know that the product of a square by a square is always a square and its root is the product of the root of one of the squares by the root of the other square.
|
ודע כי כפל מרובע על מרובע לעולם יהיה מרובע והשורש יהיה כמו העולה מכפל שרש אחד מהמרובעים על שרש מרובע האחר | ||||||||
|
דמיון כפלנו מרובע ה' על מרובע ט' ועלה אלפים וכ"ה וזה החשבון מרובע בקשנו לדעת כמה שרשו כפלנו ה' על ט' ועלו מ"ה והוא השרש באמת | ||||||||
The ratio of a square to a square is also a square. | וערך מרובע אל מרובע גם הוא מרובע | ||||||||
If you divide the larger one by the smaller one, you will find its root. | ואם חלקת הגדול על הקטן תמצא שרשו | ||||||||
|
דמיון מה ערך מ"ט אל ק' | ||||||||
|
הנה הוא כפלו וב' שביעיות שביעית | ||||||||
|
בקשנו לדעת שרש זה המרובע | ||||||||
|
חלקנו י' על ז' עלה אחד וג' שביעיות וזהו השרש | ||||||||
|
כי אחד על אחד אחד | ||||||||
|
וכפל אחד על ג' שביעיות פעמי' ו' שביעיות | ||||||||
|
וכפל ג' שביעיות על ג' שביעיות ט' שביעיות שביעית | ||||||||
|
והנה נעשה מן הז' שביעיות שביעית אחת ונחברנה אל הו' שביעיות שהיו לנו יעלו אחד שלם | ||||||||
|
והנה יש לנו שנים שלמים וב' שביעיות שביעית | ||||||||
We wish to know the square of a known number from a known square of a known number: we divide the greater known number by the smaller known number, whose square we know; we take the square of [the quotient] and multiply it by the known square; the result is the square of the greater number that we knew.
|
בקשנו לדעת מרובע מספר ידוע ממרובע ידוע למספר ידוע חלקנו המספר הידוע הגדול על מספר הידוע הקטן שידענו מרובעו ונקח מרובעו ונכפלנו על המרובע הידוע והעולה הוא מרובע המספר הגדול שידענו | ||||||||
|
דמיון בקשנו לדעת מרובע י"ט ממרובע ז' שהוא מ"ט | ||||||||
|
חלקנו י"ט על ז' עלו ב' וה' שביעיות | ||||||||
|
כפלנו מרובע זה והנה ב' על ב' ד' שלמי' | ||||||||
|
וב' על ה' שביעיות פעמי' הם כ' שביעיו' | ||||||||
|
וה' על ה' הם כ"ה שביעיות שביעית | ||||||||
|
נעשה מהם ג' שביעיות נשאר לנו ד' שביעיות שביעית נחבר הג' שביעיות שהיו לנו על הכ' יהיו כ"ג | ||||||||
|
והנה המרובע ז' שלמים וב' שביעיות וד' שביעיות שביעית | ||||||||
|
והנה נכפול מ"ט על ז' יעלו שמ"ג נחבר אליהם י"ד שהם ב' שביעיות מ"ט יהיו שנ"ז | ||||||||
If we sum 2 squares, whether they are successive or far apart from each other, we double the sum, then subtract from this double the square of the difference between their two roots. The remainder is always a square, and the sum of the two roots is [its] root. | ואם חברנו ב' מרובעים בין שיהיו על הסדר או שיהיו מרוחקי' זה מזה נכפול המחובר ונחסר מזה הכפל מרובע היתרון שיש בין שני המספרי' שהם השרשים יהיה הנשאר לעולם מרובע והמחובר מהב' שרשים הוא השרש | ||||||||
|
דמיון חברנו פ"א שהוא מרובע ט' עם תשכ"ט שהוא מרובע כ"ז יהיו תת"י וכפלו אלף ותר"כ וידענו כי שרש המרובע הקטן ט' ושרש המרובע הגדול כ"ז והיתרון ביניהם י"ח ומרובעו שכ"ד חסרנום מהכפול נשאר אלף ורצ"ו והוא מרובעו ושרשו ל"ו שהוא מחובר מט' עם כ"ז | ||||||||
If we sum 3 squares, we triple them, then subtract from the product the [sum of] squares of the 3 differences that are between the roots of the 3 numbers. The remainder is also a square. If you sum the 3 roots, the sum is the root of the remainder. | ואם חברנו ג' מרובעי' ונכפלם ג' פעמים ונחסר מהעולה באחרונה מרובעי הג' יתרונים שיש בין שרשי הג' מספרים והעולה באחרונה יהיה גם הנשאר מרובע וכאשר תחבר הג' שרשים יהיה המחובר שרש הנשאר | ||||||||
|
דמיון חברנו ל"ו שהוא מרובע ו' עם ס"ד שהוא מרובע ח' ועם ד' מאות שהוא מרובע כ' והנה המחובר מג' מרובעי' הוא ת"ק כפלנוהו ג' פעמים עלו אלף ות"ק שמרנו זה החשבון | ||||||||
|
והמחובר מן הג' שרשים הוא ל"ד והוא שרש מרובע הנשאר | ||||||||
Likewise, if you sum 4 or 5 numbers and multiply them a certain number of times. | ועל זה הדרך אם חברת ד' מספרים או ה' ותכפלם כך פעמ' | ||||||||
The rule is that you multiply by the number of squares that you sum, then always subtract the squares of the differences, as many as they are, from the sum; the remainder is a square. You just have to be sure to know the differences. | והכלל שתכפול כפי מספר המרובעי' שחברת ותחסר לעולם מרובעי היתרוני' כמה שיהיו מהמחובר יהיה הנשאר מרובע ויש לך להישמר לדעת היתרונים | ||||||||
I will tell you [a rule] according to which you can know how much the number of differences is: always subtract one from the number of squares and know how much is the sum of all numbers that precede this number, as I showed you and as the sum so is the number of differences. | ואומר לך שתוכל לדעת ממנו כמה מספר היתרונים חסר לעולם אחד ממספר המרובעי' ודע כמה מספר המחובר שלפני אותו המספר כאשר הראיתיך וכמספר המחובר יהיה המספר היתרונים | ||||||||
|
דמיון חברנו ו' מרובעי' ונרצה לדעת מספרי היתרוני' | ||||||||
|
נחסר אחד כאשר דברנו ישארו ה' והמספרי' שהם לפניו יהיו ט"ו וככה יהיו מספרי היתרוני' | ||||||||
Fractions |
|||||||||
Now we start to discuss the square fractions that have a true root: | עתה נחל לדבר על הנשברי' המרובעי' שיש להם שרש אמת | ||||||||
We say a general statement about the square fractions that are alone or combined with integers: | ונאמ' דבר כולל לנשברי' המרובעי' שהם לבדם או שהם עם שלמי' | ||||||||
See if the fraction is one-half, third, fifth, sixth, seventh, or eighth, it is not a square. | הסתכל אם היה הנשבר חצי או שלישית או חמישית או ששית או שביעית או שמינית אינו מרובע | ||||||||
This is because these numbers as integers are not squares. | והיה כן בעבור כי אלה המספרי' בשלמי' אינם מרובעי' | ||||||||
Only if there is one-quarter, or one-fifth of one-fifth, one-sixth of one-sixth, one-seventh of one-seventh; or one-eighth of one-eighth, or one-half of one-eighth, for it is one-sixteenth. | רק אם היה בו רביעית או חמישית חמישית או ששית ששית או שביעית שביעית או שמינית שמינית או חצי שמינית כי הוא חלק מי"ו | ||||||||
Observe: if there is one-quarter in square, know that there is one-half in the root; if there is one-ninth there, know that there is one-third in the root; if there is one-half of one-eighth there, know that there is one-quarter in the root. | והנה הסתכל אם היה במרובע רביעית דע כי בשרש חצי ואם שם תשיעית דע כי יש בשרש שלישית | ||||||||
We begin to discuss the square fractions that are alone without integers: | ונחל לדבר על המרובעי' נשברי' לבדם שאין עמהם שלמי' | ||||||||
We have already said that the fractions are reversed to the integers. | וכבר אמרנו כי הנשברי' הפך השלמי' | ||||||||
When you multiply an integer by and integer whether by itself or by another, the product is greater than the [multiplied] numbers; the reverse is with fractions. | וכאשר תכפול חשבון שלם על חשבון שלם בין יהיה על עצמו או על אחר יהיה העולה גדול מהמספרי' והפך זה בנשברי' | ||||||||
Also, while the squares of the integers are greater than their roots, the opposite is for the square fractions: their roots are greater than their squares. | וכאשר המרובעי' השלמי' גדולי' משרשיהם יהיו המרובעי' הנשברי' להפך בי' שרשיהם גדולים ממרובעיהם | ||||||||
Extracting the squares from their roots is easy: for, the product of one-half by one-half is one-quarter and this is the square; likewise one-third by one-third is one-ninth; 2 thirds by 2 thirds are one-third; one-third of one-third is one-ninth; 4 fifths by 4 fifths are 3 fifths and one-fifth of one-fifth and this is the square. | ולהוציא המרובעי' משרשיהם דבר קל כי כפל חצי על חצי הוא רביעית אחד והוא המרובע וככה שלישית על שלישית תשיעית אחת | ||||||||
In this way for all. | ועל זה הדרך הכל | ||||||||
But, it is difficult to extract the root from the square. | רק הקשה להוציא השרש מהמרובע | ||||||||
I shall give you a general way in the way of the astrologers that extract all their numbers from the number 60. | ואתן לך דרך כוללת על דרך חכמי המזלות שיוציאו כל חשבונם מחשבון ס' | ||||||||
|
אם ישאל אדם כמה הם ב' שלישיות כפולות על ב' שלישיות | ||||||||
|
תכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר חלקם על ס' יהיו כ"ו חלקי' ראשוני' ונשארו מ' שניים והכל ד' תשיעיות | ||||||||
| |||||||||
|
כי תשיעית ו' ראשוני' גם מ' שניים שהם שתי שלישיות ראשון ואם עשינו מזה המספר שלישיות יהיו כ' גם נכפול ס' על ג' יהיו ק"פ והכל יהיו ממתכונת אחת וכאשר נחלק זה המספר על כ' עלו ט' שהוא תשיעית אחת | ||||||||
|
ואם הפך השואל השאלה ואמר כי המרובע ד' תשיעיות אחד כמה השרש | ||||||||
|
הפוך גם אתה הדבר שתדע כמה הם ד' תשיעיות ס' וכבר אמרנו שהם כ"ו ראשוני' ומ' שניי' עשה מן הראשוני' שני' ושים השניי' עמהם יהיו הכל אלף ת"ר וזה המספר בזוגות דומה לי"ו וחשוב שהם שלמי' והנה השרש מ' שוב וחשוב כי הם ראשוני' וככה הוא השרש | ||||||||
|
דמיון בחשבון שלא יתחלק על ס' כפלנו ד' שביעיות על ד' שביעיות | ||||||||
|
והוא על דרך חכמי החשבון נכפול ד' על ד' יהיו י"ו | ||||||||
|
ועל דרך הדומה לחכמי המזלות יהיו חלקיו ע' והנה ד' שביעיות הם מ' נכפול מ' על מ' יהיו אלף ות"ר | ||||||||
|
ואם השואל יהפוך השאלה ויאמר כמה שרש זה המרובע שהוא ככה | ||||||||
|
גם אנחנו נהפוך הכ"ב ראשוני' ונעשה מהם שניי' ונוסיף עליהם הס' שניים שהיו לנו יהיו אלף ות"ר נחשוב כי הם שלמי' ושרשם מ' ונחשוב כי הם ראשוני' וזהו השרש באמת | ||||||||
|
ואם רצינו להשיב ממתכונת ע' אל מתכונת ס' | ||||||||
|
נכפול מ' על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו ל"ד וישארו כ' נכפלם פעם אחרת על ס' ונחלק העולה על ע' יעלו י"ז וישאר לנו זה שאמר שהוא אחד הוא עשרה לכן החשבון אינו מדקדק נעשה ממנו ס' ובעבור כי ע' גדול מס' נכפלנו עוד ויהיו ג' אלפים ות"ר | ||||||||
|
דמיון אחר כפלנו שלישית על שלישית | ||||||||
|
עלה תשיעית אחד והוא המרובע ונעשה חלקיו צ' ושלישיתו ל' | ||||||||
|
והפך זה בקשנו לדעת השרש מזה המרובע | ||||||||
|
עשינו מהי' חלקים שניים והם תת"ק חשבנו שהם שלמי' וכמספר הזה יהיו ראשוני' והוא השרש | ||||||||
All of this is true if there is a real square number and a real root, but not if it is said about fractions that have no real root, whether divisible by 60, or not. | וכל זה נכון אם יש מרובע אמת ושרש אמת רק אם אמר חשבון חלקים שאין להם שרש אמת בין שיהיה להם ערך אל ס' או לא יהיה | ||||||||
|
כי אם אמר י"ב חלקים הוא המרובע כמה השרש | ||||||||
|
ידענו כי י"ב הוא חמישית ס' וכבר אמרנו כי לא יתכן להיות במרובע חמישית | ||||||||
|
וככה אם אמר כי המרובע י' חלקים שהוא ששית אחת לא יתכן להיות | ||||||||
|
רק אם אמר כי המרובע חלק אחד ומ' שניים שהוא ששית הששית הוא הנכון | ||||||||
As for the numbers that are divisible by 60, most of them are not squares. | והנה במספר שיש לו ערך אל ס' לא יתכן להיות רובי המספרים מרובעים | ||||||||
All the more so the numbers that are not divisible at all, such as 11, 13, (15), 17, 19 and many others that have no divisor. | אף כי המספרים שאין להם ערך כלל כמו י"א י"ג ט"ו י"ז י"ט ואחרים רבים שאין להם ערך | ||||||||
[Latter], I will give you a method by which you will be able to extract for every square fraction its root by approximation to the truth. | ועוד אתן לך דרך שתוכל להוציא לכל מרבע נשבר שרשו בדרך שהיא קרובה אל האמת | ||||||||
Integers and Fractions |
|||||||||
Now, I shall discuss the integers with fractions that are squares. | ועתה אדבר על השלמים שיש בהם נשברים והם מרובעים | ||||||||
|
דמיון אמר אומר מרובע שהוא י"א ותשיעית כמה השרש | ||||||||
|
אחר שאמר שיש בו תשיעית נכון הוא להיותו מרובע ובשרשו שלישית נכח התשיעית חסר ממנו התשיעית שהוא מרובע שבר השבר נשארו י"א שלמים | ||||||||
|
דמיון אחר המרובע שהוא ז' שלמים ונ' חלקים ראשונים וכ"ד שניים | ||||||||
|
הנה בעבור ששם כ"ד שניים ידענו שיש בחשבון חומש החומש שהוא ב' חלקים וכ"ד שניים נחסר זה מרובע השבר מהמספר הנתון ישאר ז' שלמים ומ"ח ראשונים והנה המרחק מהמרובע שהוא אחריו אחד שלם וי"ב חלקים שהם ע"ב ראשונים | ||||||||
|
והנה נבחן זה בכפל כי הנה ב' על ב' ד' שלמים וידענו כי ב' על מ"ח פעמים יהיו קצ"ב ומ"ח הם ד' חמישיות יהיו י"ו חמישיות נעשה מהם ג' שלמים וישאר חמישית אחת | ||||||||
|
דמיון מרובע שהוא מ"ד וד' תשיעיות | ||||||||
|
ידענו כי התשיעיות מן השלישיות יצאו | ||||||||
|
והנה נסיר זה המרובע שהוא לשברי שברים ונבקש כמה מרחק השלמים מן המרובע שעבר והנה ח' נשיבם ראשונים יהיו ת"פ | ||||||||
|
ובדרך חכמי המזלות נכפול ו' על ו' והם ל"ו ונכפול ו' על מ' ומ' על ו' והם ת"פ ראשונים נחלקם על ס' ועלו ח' שלמים | ||||||||
After I have mentioned these examples, proceed in this way with all the ranks. | ואחר שהזכרתי אלה הדמיונים תעשה כדרך הזה בכל המעלות | ||||||||
Approximations |
|||||||||
Now I will tell you a general way for all the numbers that have a root or do not have [a root]: | ועתה אומר לך דרך כלל לכל המספרים שיש להם שרש אמת או אין להם | ||||||||
Know that between two successive [square] numbers there are always [numbers] as the number of the roots of both. | דע כי לעולם יהיה בין ב' מספרים שהם על הסדר כמספר השנים שרשים | ||||||||
Look at the number you want: how much is its distance from the preceding square? If the difference between your number and the preceding square is as the root of the preceding square, it is the mean number. | והנה הסתכל במספר שתרצה כמה מרחקו מהמרבע שעבר אם היה המרחק בין מספרך ובין המרובע שעבר כשרש המרובע שעבר הוא מספר האמצעי | ||||||||
Extract any number that is less than the mean from the preceding square number | וכל מספר שיהיה פחות מהאמצעי הוציאהו מהמספר המרובע שעבר | ||||||||
If it is greater than the root of the preceding [square], extract it backwards from the succeeding square. | ואם היה יותר מהשרש שעבר הוציאהו אחורנית מהמרובע שלפניו | ||||||||
|
דמיון המספר עשרים | ||||||||
|
והנה מרחקו מן המרובע שעבר ד' ואם תשיבם ראשונים ותחלקם על ח' שהוא כפל השרש יהיו ל' שהוא חצי ס' | ||||||||
|
ואם לקחנו מרחק הכ' מהמרובע הבא יהיה כמספר השרש נשיבם ראשונים ונחלקם על י' שהוא כפל השרש יהיו ל' | ||||||||
|
על כן אמרתי כי כ' הוא חשבון אמצעי | ||||||||
Now, note: if your number is close to the preceding square, look at the difference between them, convert it to primes. | ועתה שים לבך אם היה מספרך קרוב אל המרובע שעבר ראה המרחק שיש ביניהם ועשה ממנו ראשונים | ||||||||
If there are primes in your number, add them to the primes you got. | ואם יש בחשבונך ראשונים הוסיפם על הראשונים שעשית | ||||||||
If you also have seconds, convert all to seconds. | ואם יש עמך שניים השב הכל במערכת השניים | ||||||||
Or choose the following shorter way: if the seconds are less than 30, leave them out; if they are more, add one prime instead of them. | או קח דרך קצרה אם היו השנים פחותים מל' הניחם ואם יותר הוסף ראשון אחד עליהם | ||||||||
When you know of how many primes the difference is, divide it by twice the preceding root and add the quotient to the preceding root. The sum is called "the first root". | וכאשר תדע כמה הראשונים של המרחק חלקם על כפל השרש שעבר וההוה הוסיפנו על השרש שעבר והמחובר יקרא שרש ראשון | ||||||||
If your number is in hundreds or thousands, this root is enough for you in geometry, because it does no harm. | ואם חשבונך היה במאות ואלפים זה השרש יספיק לך במדות כי לא יזיק | ||||||||
However, if the number is small, you still need a second root, which is more precise. | רק אם המספר היה קטן אתה צריך לשרש שני שהוא יותר מדוייק | ||||||||
To calculate chords and arches, you need a third root, which is even more precise. | ולהוציא היתרים והקשתות אתה צריך לשרש שלישי שמדוייק יותר | ||||||||
This is how the approximation is applied: when you have the primes of the difference, know how much is their square, divide it by twice the first root, then know how much the quotient is, and in what rank it is, whether in primes or in seconds, as I have shown you in the chapter of the fractions and subtract it from the first root; the remainder is the second root. | וככה יהיה הדקדוק כשיהיו לך הראשונים של המרחק דע כמה מרובעם וחלקהו על כפל השרש הראשון ודע העולה כמה הם ובאיזה מעלה הם בראשונים או בשניים כאשר הראיתיך בשער השברים וההוה חסרהו מן השרש הראשון והנשאר הוא השרש השני | ||||||||
If you want to calculate it more precisely, take the square of the quotient and divide it by double the second root. | ואם תרצה לדקדקו עוד קח מרובע זה שעלה בחלוק וחלקהו על כפל השרש השני | ||||||||
Now I shall give you examples according to way of the arithmeticians with approximate calculation. | ועתה אתן לך דמיון על דרך חכמי החשבון בדרך קרוב | ||||||||
|
בקשנו לדעת שרש מאתים | ||||||||
|
והנה המרובע שעבר קצ"ו והמרחק ד' שלמים כשתחלקם על כ"ח שהוא כפל השרש תעלה שביעית אחת והנה השרש י"ד ושביעית אחת | ||||||||
| |||||||||
|
ואם רצית לדעת שרש עשרים אלף | ||||||||
|
כפול זה השרש על י' יעלה קמ"א וג' שביעיות | ||||||||
|
ואם בקשנו לדעת כמה שרש שנים משרש מאתים שהוא י"ד ושביעית | ||||||||
|
נקח עשיריתו והנה מי' נקח אחד שלם ועשירית ד' והם ד' עשיריות וידענו כי ד' עשיריות הם ב' חמישיות שהם כ"ד ראשונים | ||||||||
| |||||||||
|
נשוב להוציא זה השרש מכ' אלף | ||||||||
|
וידענו כי זה החשבון הוא דומה לאחדים וי' אלפים כמו אחד והוא המרובע הנמשל | ||||||||
|
והנה נחסר י' הפירוש שתקח הראשונים של המרחק אחר שלקחת אותם על כפל השרש שעבר והם הראשונים אשר עלו לך בשרש | ||||||||
Or if you wish, say that you take the first root, square it and see how close it is. Then, divide its excess over your first number by double the first root, subtract the quotient from the first root and the remainder is the second root. | או אם תרצה אמור שתקח השרש הראשון ותרבעהו ותראה כמה יהיה הקרוב והתוספת אשר בו על מספרך הראשון והתוספת ההוא תחלק על כפל השרש הראשון והיוצא בחלוקה תחסר מהשרש הראשון והנשאר הוא השורש השני | ||||||||
|
ת"ו אלפים ממספרנו ישארו י' אלפים נחלקם על כפל השרש שהוא ר' ולא נתן לו כל מה שנוכל אך נניח כפי מרובע החלוק והנה נתן לו מ' וישארו לנו אלפים נסיר מהם אלף ות"ר שהוא מרובע החלוק נשאר ת' והשרש שלנו ק"מ וכפלו ר"פ נחלק הנשאר עליו נתן לו אחד נשארו ק"כ נחסר ממנו א' שהוא מרובע א' נשאר קי"ט והשרש שלנו קמ"א נעשה מהנשארים ראשונים יהיו ז' אלף וק"מ נחלקם על רפ"ב שהוא כפל השרש שלנו עלו כ"ה חלקים ראשונים וי"ט שניים נחלק כל מה שאמרנו מן השלמים והשניים על ק' יהיה העולה אחד שלם כ"ד נ"א י"א וזהו מדוקדק יותר מן הראשון שהזכרנו | ||||||||
If you take any number that is twice a square number and multiply the root of this square number by this root, you will get the root of the number exactly. | ואם תקח כל חשבון שהוא כפל מרובע ותכפול שרש המרובע על זה השרש יצא לך שרש החשבון מדוקדק | ||||||||
|
דמיון רצינו לדעת כמה שרש י"ח | ||||||||
|
והנה כפלנו שרש המרובע שזה המספר כפלו ועלה ד' שלמים י"ד ראשונים ל"ג שניים ל"ג שלישיים | ||||||||
| |||||||||
|
ואם כפלנו זה המספר יהיה שרש ע"ב שהוא כפל כפל י"ח | ||||||||
|
ואם לקחנו חצי זה שרש יהיה שרש ד' וחצי שהוא רביעית י"ח | ||||||||
|
ואם נקח מרובע ז' אלפים ור' שהוא כפל מרובע ס' יהיה השרש פ"ד שלמים נ"א ראשונים י"א שניים וזהו שרש שנים בעצמו כי השיבונום בדרך ראשונים והנה חשוב אלה פ"ד שהיו שלמים חשבם ראשונים והראשונים שניים והשניים שלישיים | ||||||||
| |||||||||
|
ואם תכפול זה המספר על עצמו אחר שתשיבם שלישיים ותחלקם במשפט שתשיבם אל המעלה הראשונה לא ישאר לך שני אחד ואף כי ראשון | ||||||||
|
נשוב להוציא שרש שנים להיותו דמיון לאחדים הנה המרובע שעבר הוא אחד והמרחק בין חשבוננו ובינו הוא אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' נחלקם על כפל השרש שהוא שנים יהיו ל' ראשונים והנה השרש הראשון א' ול' ראשונים | ||||||||
| |||||||||
|
ואינו נכון בעבור שהוא בחשבון קטן כי הנה כאשר הוציאנו אותו מחשבון ר' היה קרוב אל האמת ומהחשבון כ' אלף יותר מדוקדק ויספיק לנו השרש הראשון | ||||||||
|
והנה עלה לנו בחלוק ל' חלקים ראשונים ומרובעו ט"ו ראשונים כי כפל ראשונים על ראשונים שניים והם ט' מאות נחלקם על ס' יהיו ט"ו ראשונים נחלקם על כפל השרש שהיה לנו הוא ג' יעלו ה' | ||||||||
| |||||||||
|
נשוב ונקח מרובע החלוק שהוא כ"ה והם שניים והשרש השני שהיה לנו שהיה אחד שלם וכ"ה ראשונים יהיה כפלו ב' שלמים נ' ראשונים נחלק השניים על זה ובעבור שיש לנו ה' ששיות נשיב הכל מערך ו' והנה נכפול כ"ה על ו' יהיו ק"נ נחלקם על י"ז נתן לו ח' ונשארו י"ד נשיבם ממערכת ס' יהיו תת"מ נחלקם על י"ז עלו מ"ט והם שלישיים ונשארו ז' מי"ז נשליכם כי אין צורך אליהם כי יש לנו עוד לחסר מרובע שעלה בחלוק עתה והנה כאשר נחסר ח' שניים גם מ"ט שלישיים מהשרש השני יהיה הנשאר אחד שלם כ"ד ראשונים נ"א שניים י"א שלישיים | ||||||||
| |||||||||
|
ואילו עשינו על דרך חכמי המזלות יהיה הדבר שוה | ||||||||
|
ואם היינו מדקדקים עוד מדרך מרובע ח' שניים מ"ט שלישיים שאמרנו היה יוצא השרש מדוייק שאין דיוק כמוהו א' כ"ד ראשונים נ"א שניים י"ז שלישיים נ"ד רביעיים | ||||||||
| |||||||||
|
בקשנו להוציא שרש י' | ||||||||
|
והנה המרחק מהמרובע שעבר אחד נשיבנו ראשונים יהיו ס' | ||||||||
| |||||||||
|
נשוב לדקדקו והנה נקח הק' שהוא מרובע החלוק ונחלקנו על ו' ושלישית שהוא כפל השרש הראשון ונשיב הכל מערך ג' | ||||||||
| |||||||||
|
ואם נדקדקנו יותר יהיה ג' שלמים ט' ראשונים מ"ד שניים י"ב שלישיים | ||||||||
|
וכשנכפול זה החשבון על י' יהיה העולה ל"א שלמים ל"ז ראשונים כ"ב שניים וזהו שרש אלף | ||||||||
|
ואם נכפלנו על אלף נמצא שרש עשרת אלפי אלפים | ||||||||
|
שאלה חלקנו שרש י"ח על שרש ח' כמה יעלה בחלוק | ||||||||
|
ידענו כי אין לי"ח שרש ג"כ לח' והנה נעשה דרך אחרת שנחלק י"ח על ח' ויעלה בחלוק ב' ורביע וזה החשבון מרובע ושרשו אחד וחצי והנה כאשר נוסיף על כפל שרש ב' חציו תמצא שרש י"ח מדוקדק | ||||||||
|
שאלה הצבנו סולם אל קיר י' אמות גבהותו וככה גבהות הסולם הורדנו ראש הסולם מלמעלה ב' אמות נבקש לדעת כמה יהיה מרחק הסולם מיסוד הקיר | ||||||||
I will give you a rule concerning this matter: the square of the remainder from the top of the ladder plus the square of the distance of the foot from the base are always equal to the square of the ladder. | אתן לך כלל בדבר זה לעולם יהיה מרובע הנשאר מראש הסולם עם מרובע מרחק הרגל מן היסוד שוים אל מרובע הסולם | ||||||||
|
והנה חסרנו ב' אמות שירד הראש מתחלת הקיר נשארו ח' ומרובעו ס"ד נחסרנו מק' שהוא מרובע הסולם ישארו ל"ו ושרשו ו' וככה הוא מרחק הסולם למטה מן היסוד | ||||||||
| |||||||||
|
דמיון אחר הורדנו הראש אמה כמה המרחק מן היסוד | ||||||||
|
חסרנו א' מי' ונשארו ט' ומרובעו פ"א נחסרנו מק' ישארו י"ט וזהו מרובע המרחק וככה נוציא שרשו | ||||||||
The Circle |
|||||||||
Now we shall start talking about the circle as it depends on the root: | ועתה נחל לדבר בעגול יען שהוא תלוי בשרש | ||||||||
Know that there are many matters in the circle: one is the perimeter, the second is the diameter, the third is the multiplier [= pi], the fourth is the chord, the fifth is the versed sine, the sixth is the area. | דע כי יש בעגול דברים רבים האחד קו העגול והשני האלכסון והשלישי הכפל והרביעי היתר והחמישי החץ והששי השברים | ||||||||
You can extract each of them that is unknown from two that are known and there are those among them of which one that is unknown can be known from another, as I will explain and give an example for each. | ותוכל להוציא אחד מהם שאינו ידוע מב' שהם ידועים ויש מהם שיוכל לדעת אחד מהם שאינו ידוע מאחר כאשר אפרש ואתן דמיון לכל אחד ואחד | ||||||||
|
נחשוב עגול אלכסונו י' וחצי היתר ד' והחץ ב' כמה האלכסון | ||||||||
|
חלקנו מרובע חצי היתר על החץ והוספנו החץ בעצמו על מה שעלה בחלוק והמחובר הוא האלכסון | ||||||||
|
דמיון אחר באלכסון י' והחץ ג' ומרובע חצי היתר כ"א | ||||||||
|
חלקנוהו על החץ עלה ז' והוספנו עליו ג' והנה הוא האלכסון | ||||||||
A way to extract the chord from the versed sine and the diameter: | דרך להוציא היתר מן החץ ומן האלכסון | ||||||||
|
הנה חצי האלכסון ה' והחץ אחד נחסרנו מה' ישאר ד' אל הנקודה ומרובעו י"ו | ||||||||
| |||||||||
|
והנה כל היתר ו' | ||||||||
This matter should be a foundation for you, as the square of what remains from the versed sine to the midpoint plus the square of half the chord are equal the the square of half the diameter. | וזה הדבר יהיה לך יסוד כי לעולם מרובע מה שנשאר מן החץ אל הנקודה עם מרובע חצי היתר יהיו שוים אל מרובע חצי האלכסון | ||||||||
Another way to extract the chord: multiply the versed sine by the remainder from the diameter; the product is the square of half the chord. Extract its root and double it; then you will find the whole chord. | דרך אחרת להוציא היתר כפול החץ על כל הנשאר מן האלכסון והעולה הוא מרובע חצי היתר קח שרשו וכפלהו ותמצא כל היתר | ||||||||
Another method: See how much the ratio of the versed sine to the whole diameter is; take the same from the square of the diameter and this is the sum of the square of the versed sine and the square of half the chord. The ratio of the square of the versed sine to the [sum of] the square of the versed sine and the square of half the chord is as the ratio of the versed sine to the entire diameter. | דרך אחרת ראה כמה ערך החץ אל כל האלכסון וככה תקח ממרובע האלכסון והוא המחובר ממרובע החץ וממרובע חצי היתר וערך מרובע החץ אל מרובע החץ ומרובע חצי היתר כערך החץ אל כל האלכסון | ||||||||
|
דמיון בעגול הנזכר החץ ב' והנה ערכו אל כל האלכסון החמישית והנה חמישית ק' שהוא מרובע כל האלכסון כ' וזה המספר כולל מרובע החץ ומרובע חצי היתר וראוי להיות מרובע החץ חמישית כ' שהוא ד' נחסרם מהכ' ישארו י"ו והוא מרובע חצי היתר | ||||||||
|
דמיון אחר בחשבון שיש לו חלקים ונאמר כי החץ ג' שלמים וכ' חלקים | ||||||||
|
וזה ערכו אל י' שלישית הנה נקח שלישית ק' שהוא מרובע האלכסון והוא ל"ג שלמים וו' ראשונים ומ' חלקים שניים והוא מרובע החץ נחסרם מל"ג וישארו כ"ב י"ג כ' והוא מרובע חצי היתר | ||||||||
I shall give you a general way for the concepts of circle: | ואתן לך דרך כלל בדברי העגול | ||||||||
We know that 2 equal diameters are cutting the circle. | ידענו כי ב' אלכסונים שוים מחלקים העגול | ||||||||
If the versed sine is one-third of the diameter, the square of half the chord is its double; together they are three [times]. | ואם החץ שלישית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר כפלו בין שניהם הם ג' | ||||||||
If the versed sine is one-quarter of the diameter, the square of half the chord is triple the square of the versed sine. | ואם החץ רביעית האלכסון יהיה מרובע חצי היתר ג' כפל מרובע החץ | ||||||||
In this way for every number. | ועל זה הדרך כל החשבון | ||||||||
|
שאלה אם אמר החץ כ' חלקים | ||||||||
|
זה הערך תוכל לקחתו על שני דרכים | ||||||||
|
האחד שתשיב האלכסון כלו ראשונים יהיו ת"ר ותעשה הערך כך | ||||||||
|
| ||||||||
|
והנה נכפול ב' בק' מרובע האלכסון יהיו אלפים נחלקם על ת"ר יהיו ג' שלמים ושלישית אחד שהם ב' חלקים | ||||||||
|
ואם שבנו עוד להפריד מרובע החץ ממרובע חצי היתר נקח מג' כ' ערך ג' כ' אל ק' והיה ו' מ' והוא מרובע החץ | ||||||||
|
וישאר מרובע היתר ג' י"ג ב' | ||||||||
|
ובדרך אחרת ידענו כי כ' חלקים מי' שלמים הוא שליש העשירית נקח מק' שהוא מרובע האלכסון שליש העשירית יהיה ג' שלמים וכ' חלקים | ||||||||
A way to extract the versed sine from the chord: | דרך להוציא החץ מהיתר | ||||||||
Subtract the square of half the chord from the square of half the diameter, take the root of the remainder and subtract it from half the diameter; the remainder is the versed sine. | גרע מרבע חצי היתר ממרובע חצי האלכסון וקח שרש הנשאר וגרעהו מחצי האלכסון והנשאר הוא החץ | ||||||||
|
דמיון אמר כי היתר ו' | ||||||||
|
נקח מרובע חציו שהוא ט' נחסרנו מכ"ה שהוא מרובע חצי האלכסון וישארו י"ו ושרשו ד' | ||||||||
To extract the perimeter from the diameter | להוציא קו העגול מן קו האלכסון | ||||||||
|
חכמי המדות אמרו כי הקו הסובב הוא ג' מהאלכסון ויותר שביעית והנה הוא בחשבון ז' אל כ"ב | ||||||||
|
ואם כפלת האלכסון על ג' ושביעית יהיה העולה הקו הסובב | ||||||||
|
או אם תכפול האלכסון שתרצה על כ"ב ותחלק העולה על ז' תמצא הקו הסובב | ||||||||
|
והפך זה אם ידעת הקו הסובב ותרצה לדעת האלכסון | ||||||||
|
כפול הקו על ז' וחלק העולה על כ"ב תמצא האלכסון | ||||||||
|
והנה על דעת אלה אם היה האלכסון אחד יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' הראשונים ל"ד שניים י"ז שלישיים | ||||||||
|
וארישמדס החכם נתן ראיה כי הוא פחות מזה המספר כי אמר שהנוסף פחות מי' חלקים מע' | ||||||||
|
גם הביא ראיה כי הנוסף יותר מי' חלקים מע' וחצי והנה הנוסף על השלשה שלמים ח' ראשונים כ"ד שניים ל"ה שלישיים | ||||||||
|
ונתן ראיה כי ראוי להיות יותר מזה המספר | ||||||||
|
ותלמי עשה חשבונו אמצעי כי התוספת ח' ראשונים ל' שניים | ||||||||
|
וחכמי הודו אמרו כי אם היה כ' אלף יהיה הקו הסובב ס"ב אלף ותתל"ח | ||||||||
When you look closely, you will find it closer than Ptolemy's saying; between them only 3 thirds. | וכאשר תסתכל זה תמצאנו קרוב מדברי תלמי ואין ביניהם כי אם ג' שלישיים | ||||||||
Since 10 is similar to one and the circle is surrounded by one line, if we set the diameter as 10, the square of the chord is as one-third of the diameter by the perimeter, no more nor less. | ובעבור כי י' דומה לאחד והעגול יסובבהו קו אחד הנה אם שמנו האלכסון י' יהיה מרובע היתר כשלישית האלכסון במספר הקו בלי תוספת ומגרעת | ||||||||
Likewise, if you make the square between the upper third and the lower third, its area is as the perimeter. | וככה אם עשית מרובע בשלישית העליונה ובשלישית השפלה יהיו שבריו במספר הקו | ||||||||
We can only know the square of it, which is 987, 5 ninths and 4 eighths of one-ninth that are 53 parts of 81. | רק המרובע נוכל לדעת שהוא תת"ק פ"ז וה' תשיעיות וד' שמיניות תשיעית שהם נ"ג חלקים מן פ"א | ||||||||
If we set the diameter as 10, we extract the chord from its one-third and construct an [isosceles] triangle on it, so that the area of the triangle is as to the perimeter. | והנה אם שמנו האלכסון י' ונוציא יתר בשלישית ונעשה עליו משולש יהיה רבוע המשלש כקו הסובב | ||||||||
For every number preceding 10, the ratio of the triangle on the third [of the diameter] to the perimeter is as the ratio [of the number] to 10. | וכל מספר שהוא לפני י' יהיה ערך המשלש בשלישית אל הקו המקיף בערכו אל י' | ||||||||
If it is greater than 10, the ratio of the perimeter to the triangle on the third is as the ratio of 10 to the diameter. | ואם הוא יותר מעשרה יהיה ערך הקו המקיף אל המשלש בשלישית כערך י' אל הקו | ||||||||
When we look for the perimeter - how much is it if the diameter is one: | וכאשר נחפש הקו הסובב כמה יהיה אם היה האלכסון אחד | ||||||||
The perimeter is 3 integers, 8 primes, 33 seconds, 42 thirds and 30 fourths. | יהיה הקו הסובב ג' שלמים ח' ראשונים ל"ג שניים מ"ב שלישים גם ל' רביעיים | ||||||||
Therefore, the area of the circle, whose diameter is 15, is the root of 5 thousand, no more nor less. | על כן שברי עגול שאלכסונו ט"ו שרש חמשת אלפים בלי תוספת ומגרעת | ||||||||
In geometry and astrology there is no need to make it accurate. | ובמדות ובחכמת המזלות אין צריך לדקדק זה | ||||||||
|
והנה הוא כאשר אמר ארישמדס שהוא יותר מי' חלקים מע' וחצי וקרוב מאד לדברי חכמי הודו שאין ביניהם רק דבר שאין בו ממש | ||||||||
|
ולדעת הקשתות והמיתרים על דעת חכמי המזלות | ||||||||
|
אדבר עליהם בספר טעמי הלוחות | ||||||||
|
כי הם מבקשים למוד הקו הסובב מהיתרים | ||||||||
|
וחכמי המדות מבקשים לדעת כמה שברים יכילו בעגול | ||||||||
|
ולפי דעתם אם ידעת האלכסון כפול מרובעו על י"א וחלק העולה על י"ד אז תמצא שברי העגול | ||||||||
|
והפך זה אם ידעת כמה שברי העגול ותרצה לדעת כמה האלכסון | ||||||||
Multiply the area by 14 and divide the product by 11; the quotient is the square of the diameter and its root is the diameter. | כפול השברים על י"ד וחלק העולה על י"א והעולה בחלוק הוא מרובע האלכסון ושרשו הוא האלכסון | ||||||||
Now I shall talk again about why the arithmeticians subtract one for the foundation. | ועתה אשוב לדבר למה יחסרו חכמי החשבון אחד ליסוד | ||||||||
Know that one to 9 are the real numbers that correspond to the 9 spheres and all numbers that follow them are similar to them. The similar numbers should be given their ranks from them: 10 in first rank, 100 in the second rank, one-thousand in the third, 10 thousand in the fourth, 100 thousands in the fifth and one-thousand of thousands in the sixth, and so on endlessly. | דע כי אחד עד ט' הם המספרים באמת שהם כנגד ט' עגולות וכל המספרים אחריהם הם נמשלים להם והנה הנמשלים הם ראויים לקחת המעלות מהם והי' ראוים אל מעלה ראשונה והק' בשנית והאלף בשלישית והי' אלף ברביעית וק' אלף בחמישית ואלף אלפים בששית וככה עד אין קץ | ||||||||
The arithmeticians set the first numbers in the ranks, therefore they had to subtract one to the foundation and this is clear. | וחכמי החשבון שמו המספרים הראשונים במעלות על כן הוצרכו לגרוע אחד ליסוד וברור זה | ||||||||
|
ותראה בדמיון בקשנו לכפול ר' על ש' | ||||||||
|
והנה הנמשלים ב' וג' כפלנו זה על זה והיו ו' והמעלות גם כן הם ו' | ||||||||
I have already mentioned that in the true calculation the beginning of the fourth rank is 10 thousand and this is the same thing. | וכבר הזכרתי כי בחשבון האמת תחלת הארבעה לי' אלפים הוא והנה הדבר שוה | ||||||||
They only did so to make it easier for the students. | אך עשו כן כדי להקל על התלמידים | ||||||||
תם ונשלם תהלה לאל עולם סלה |
ראה ספר כליל שפר יסוד מספר שמו נקרא לאברהם בנו מאיר ספרדי אבן עזרא
Additional Excerpt
F14649 ל"ז1
שאלה ג' אנשים רצו לקנות דג במחיר י"ז פשיטים אמר אחד מהם אני אתן כל מה שיש בידי ואתם תנו חצי מה שיש בידכם | |
תשובה נבקש מאמר שנוכל להוסיף עליו עד שיהיה המספר ההוא אחר התוספת חציו ושני שלישיותיו ושלש רביעיותיו והוא המורה ובעבור כי מחיר הדג י"ז פשוטים והנה יותר מי"ב | |
והנה המספר המבוקש פחות מי"ב וכאשר חברנוהו י"ב והוא המורה עם מחיר הדג שהם י"ז יעלו כ"ט | |
תסיר מהם הי"ז ישארו י"ב נמצאו ביד שנים מהם י"ב פשוטים | |
וכאשר נוסיף על י"ב חצי הכפל הנשאר שהם ה' מי"ב ועד י"ז וכפלם כ"ה וחציו י"ב וחצי יהיו כ"ד וחצי ויש לך עוד כ"ט ה' וככה ממון ראשונים | |
וכאשר הוספת על י"ב ו' שיהיה י"ב שתי שלישיותיו היו י"ח הנה יש להשלים עד כ"ט י"ח והוא הממון השני | |
וכאשר הוספנו על י"ב ד' בלבד עד שיהיו י"ב ג' רביעיותיו והנה היו י"ו וממנו עד כ"ט י"ג והוא הממון השלישי | |
דבר אחר ממה שיצטרך ידיעתו בחכמה הזאת הוא שהבדל גדול יש בין אמרנו ערך מספר קטן אל הגדול ובין אמרנו ערך מספר גדול אל הקטן | |
והוא המוזכר אחרון בערך יהיה הראשון הנזכר חלק ממנו ולא יתהפך זה עד שיהיה האחרון חלק מן הראשון וזה יתברר בשני מספרים שאין חלקיהם שוים | |
המשל בזה כי כאשר אמרנו ערך ג' אל ה' הרצון בו שג' הוא שלשה חלקי הה' ר"ל ג' חמישיותיו | |
והפך זה אמרנו ערך ה' אל ג' הרצון בו שהחמשה יש בו פעם אחת ג' ושני שלישיותיו | |
וככה ערך י' אל י"ו הכונה בו שהוא חמש שמיניות של י"ו אבל אמרנו ערך י"ו אל י' הכונה בו שהוא פעם אחת מספר י' וג' חמישיותיו של י' | |
דבר אחר דע כי כפל מניין על מניין הוא כפל האורך על הרוחב אם שיהיה מרובע רבוע שא' שארכו כרחבו כאמרנו ד' על ד' הם י"ו וגם שיהיה ארכו יותר מרחבו כאמרנו י"ו שהם אמות אומדות שארכם כרחבם כזה או מרובע ארוך כזה | |
על כן כפל המספר שלמים על שלמים יוסיפו ובו תדע תשבורת הכל אבל כפל שברים על שברים יהיה היוצא ממין השברים | |
וכשתכפול השברים על השלמים כאמרנו כפול ד' על חצי הוא כאמרנו כפול ד' על חצאים כלומ' שיהיה ארכו ד' אמות ורחבו חצי אמה כזה | |
כפול שברים על שברים כאמרנו חצי על חצי ויהיה רביעית כלומ' יהיה חצי אמה אורך וחצי אמה רוחב ושברו הוא רביעית | |
וכאשר נכפול שלמים על שלמים כאמרנו כפול ד' על ד' יהיה מרובעו י"ו מרובעות וכאשר תכפול ב' על ב' יהיה מרובעו ד' | |
ככה הענין בשברים על כן שלישית על שלישית יהיה תשיעית וכן כל השאר | |
אבל החלוק הוא שתחלק האורך על הרחב כי לעולם הגדול נחלק על הקטן כי אם חלקנו הקטן על הגדול אותו יקרא ערך ואינו חילוק כי הוא כאמרנו ערך מספר קטן אל מספר גדול | |
ועל כן כשנחלק שלמים על שלמים יצא בחלוק שלמים כמו שאמרנו | |
דמיון חלקנו י"ו על ב' עלה ח' הוא שתשבורת הכל השיבונו על קו שיהיה רחבו ב' אם כן יהיה ארכו ח' | |
ואם חלקנו שלמים על שברים כאמרנו חלקנו י"ו על חצי אחד הנה יהיה ארכו ל"ב ורחבו חצי אחד | |
ועל כן נחלקנו שברים על שברים ממינם יהיו שלמים | |
כאמרנו חלקנו ג' רביעיות על ב' רביעיות הוא שנעשה קו ארכו אחד וחצי ורחבו ב' רביעיות כי מה שהיה תשברתו שלשה ו' רביעיות באורך וברוחב חלקנו על הרחב ושמנו רחבו חצי אמה וארכו אמה וחצי | |
על כן כשנחלק מעלות על מעלות או על ראשונים או על שניים או על איזה חלקים שנרצה יצא בחלוק מעלות שהשיבונו התשבורת כולו אל האורך וקצרנו ברחב | |
ואם חלקנו ראשונים על שניים יצא בחלוק מעלות גם כן | |
כי נשיב הראשונים אל השניים ויהיו דומים וישובו מעלות באורך ושניים ברחב ומה שיהיה ישובו מעלות | |
ואם תחלק הקטן על הגדול ישוב היוצא אל מין אחד גבוה על הקטן והקטן מן הגדול ומזה תבין כל מיני החלוק | |
שאלה שלשה אנשים באו לקנות דג שמחירו י"ב פשיטי' ומחצה הראשון יתן כל מה שבידו והשני רביעיות והאחרים רביעיתם או השלישי כל מה שבידו והאחרים חמישיתם נרצה לדעת כמה ביד כל אחד | |
תשובה שמחיר הדג למעלה מי"ב הנה י"ב הוא מספר מכוון שיהיה לנו אחר התוספת שלישית והוא י"ח ורביעית והוא י"ו וחמישית והוא ט"ו הנה כאשר חברנו י"ב על מחיר הדג יהיה כ"ד פשוטים ומחצה | |
הנה מי"ח עד כ"ד ומחצה הוא ו' מחצה וככה ממון הראשון | |
ומי"ו עד כ"ד ומחצה ח' ומחצה והוא ממון השני | |
ומט"ו עד כ"ד ומחצה ט' ומחצה והוא ממון השלישי | |
ולהוציא אל השאלות והדומות אליהן דע כי חלקי האנשים הן כפי חלקי המורה מחובר עם המחיר | |
וכאשר רצינו לחדש שאלה דומה לזו הוא שיקח המורה מחובר עם המחיר | |
ולכן כשנרצה להוסיף עליהם החלקים שנוכל להוסיף עליו ונחבר כל החלקים עמו ונראה כמה עולה עם החלקים וגם החלקים לבד נקח כל העולה והעולה הוא מחיר הדג או מחיר דבר קנוי | |
דמיון לחלקים כשהם ב' אנשים לבד | |
נקח ד' על דרך משל המורה וכאשר נכפלהו היו ח' וכאשר נוסיף על ד' שלישית מלבד יהיו ו' הנה הוספנו על זה האחרון ב' על ד' | |
וכאשר נחבר ב' על ח' עלו י' והוא מחיר הדג | |
והנה המורה ד' כמו שאמרנו נחברהו על המחיר שהוא י' ויהיו י"ד והנה הראשון שכפל המורה והיו ח' הנה מח' עד י"ד הם ו' והוא ממון הראשון | |
והב' שליש וד' יהיו ו' והנה מו' עד י"ד ח' וככה ממון השני | |
הנה בזה אמ' הראשון לשני אני אתן מה שבידי ואתה שליש מה שבידך | |
וכן תעשה לעולם על הדרך הזה בשני אנשים | |
ודמיון לשלשה ככה שתקח חצי העולה מן המורה כל החלקים השלשה ותדע להם המחיר והוא שתקח למשל השאלה הראשונה י"ב והוא המורה | |
וכאשר חברנו אליו כפלו ושלישיתו מלבד שהוא חציו מלגיו והוא ו' ורביעיתו מלבד והוא שלישיתו מלגיו והם ד' וחמישיתו מלבד שהוא רביעיתו מלגיו והם ג' יעלו הכל כ"ה וחצאים י"ב וחצי וככה מחיר הדג | |
אחר כן תוסיף חלק כל אחד מהם כפי מה שהראיתיך למעלה | |
וכאשר רצינו לעשות כזה לד' אנשים נקח המורה שנרצה ונחבר אליו כל הד' שנרצה להוסיף עליו ומן המחובר קח השלישית והוא המחיר | |
וכאשר תרצה לעשות זה בה' אנשים קח הרביעית ולו' קח החמישית וכן עד אין קץ | |
שאלה שלשה אנשים רצו לקנות דג ואמרו שיתן כל אחד כמה שיש לו . אם כן כמה היה מחירו . וכמה היה לכל אחד ואחד | |
תשובה דע כי דמי הדג דמי הדג היו י"ז פשוטים והיו לראשון ה' ולשני י"א ולשלישי י"ג | |
וכיצד הוצאת החשבון נבקש תחלה המורה וככה תעשה תחשוב איזהו חשבון שאם תטול ממנו רביעיתו ישאר ג' מניין האנשים והנה הוא ד' | |
אחר כן תחשוב מספר אשר תטול ממנו שלישיתו וישאר ג' תמצא שהוא ד' ומחצה | |
אחר כך תחשוב מספר אשר תטול ממנו חציו וישאר ג' תמצא שהוא ו' | |
וכדי שלא יהיה שברים בחשבון תכפלם ויהיה המספר הראשון ח' והשני ט' והשלישי י"ב ונמצא שעולין כ"ט | |
עתה קח מספר האנשים שהוא ג' וחסר ממנו אחד ישארו ב' כפול הי"ב באלו הב' יעלו כ"ד תוציאם מכ"ט וישארו ה' וזהו ממון הראשון | |
עתה כפול הט' בב' הנזכרים ויעלו י"ח תוציאם מכ"ט וישארו י"א והוא ממון השני | |
עתה תכפול הח' בב' הנזכרים ויעלו י"ו תסירם מכ"ט ישארו י"ג והוא ממון השלישי | |
וכולם על זה הדרך | |
חשבון האצבעות הנקרא בערבי אל גבאר | |
אלה שמות האצבעות גודל אצבע אמה קמיצה זרת | |
פרק אמצעי של זרת קרוי א' | |
אמצעי של קמיצה קרוי ב' | |
אמצעי של אמה עמהם קרוי ג' | |
כשתסיר הזרת קרוי ד' | |
כשתסיר הקמיצה קרוי ה' | |
כשתסיר האמה ותשפיל הקמיצה לבד קרוי ו' | |
זרת שוכב קרוי ז' | |
קמיצה עמו קרוי ח' | |
אמה עמהם קרוי ט' | |
הרי באלו הג' אצבעות משתמש האדם מא' ועד ט' | |
גודל ואצבע משתמשין מי' ועד ק' | |
כיצד יסודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי י' | |
גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי כ' בשרשיהם זה עם זה קרוי ל' | |
גודל על אצבע מ' | |
גודל על הכף קרוי נ' | |
פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי ס' | |
גודל פשוט ופרק אמצעי של אצבע כנגד חודו קרוי ע' | |
פרק אמצעי של אצבע על פרק ראשון של גודל קרוי פ' | |
אצבע בתוך וגודל סביבו קרוי צ' | |
עד כאן ביד ימין | |
וביד שמאל משתמשין מאות ממאה ועד מאה אלף | |
כיצד חודו של אצבע בסוף פרק אמצעי של גודל קרוי ק' | |
גודל ואצבע מחוברין זה עם זה קרוי ר' | |
שרשיהם מנשקים זה עם זה קרוי ש' | |
גודל על אצבע קרוי ת' | |
גודל כפוף ביד שמאל קרוי רבבה שהם י' אל אלפים | |
כמו שחשבנו ביד ימין לאחדים כן נחשוב ביד שמאל למאות וסימניך יפול מצדך אלף ורבבה מימנך | |
והמשכילים יזהירו כזוהר הרקיע | |
שאלה חלק ס' על ג' בני אדם לאחד השליש ולאחד הרביע ולאחד החומש ולא ישאר מהס' | |
תשובה נשים המורה והוא שנחבר השליש והרביע והחומש מס' הנה שליש ס' הם כ' ורביעיתם ט"ו וחמישיתם י"ב נחברם ויעלו מ"ז והוא המורה | |
עתה כפול המספר הראשון המתחלק שהוא ס' על כל אחד מהשלשה חלקים שהם השלישית והרביעית והחמישית והעולה בכפל תחלקהו על המורה והיוצא מהחלוק הוא חלק כל אחד מהשלשה כפי החלק שיש לו לקחת | |
וככה תעשה כפול ס' על כ' יעלו ת"ר תחלקם על מ"ז שהוא המורה ויעלו י"ג בקרוב כי הנה בדקדוק הם י"ב שלמים ול"ו שברים וזה חלק בעל השליש | |
עתה נכפול ס' על ט"ו יעלו תת"ק נחלקם על מ"ז ויצא מן החלוק י"ט והוא חלק בעל הרביע | |
עתה נחזור לכפול ס' על י"ב יעלו תש"כ תחלקם על מ"ז יצא בחילוק י"ח והוא חלק בעל החומש | |
והבחינה בזה שתחבר הכל יחד ויעלו ס' | |
וכן כל כיוצא בזה | |
ושאלה זו יוצאה משאלת ד' אנשים שהרויחו י"ט דינרי' שהוא שאלה שנייה משער ו' | |
שאלה ממון לקחנו ממנו שלישיתו ורביעיתו ועוד ב' ונש' ונשארו עשרה כמה הוא הממון | |
תשובה נאמר כי השאלה היא כ"ד | |
נקח ממנו שלישיתו ורביעיתו שהוא השליש ח' והרביע ו' עלו י"ד ונשארו י' | |
נסיר ב' מי' ונשארו ח' ועדיין לא יצא אמתי | |
אם כן נעשה הרביע ובתחלה נעשה המורה והוא שנכפול ג' בד' ויעלו י"ב והוא המורה | |
נסיר מהם שלישיתו ורביעיתו שהם ז' וישארו ה' והנה יש לנו שלשה מספרים ידועים והם המורה שהוא י"ב | |
מעתה נשים האמצעיים חברים שהם הי"ב והי"ב ונכפול זה על זה ויעלו קמ"ד נחלקם ה' ויצא בחילוק כ"ד שלמים וד' חומשים | |
ואם תבדוק תמצאנו אמתי | |
שאלה היו לשר אחד עשרים משרתים בין זכרים בין נקבות ונתן להם עשרים ככרי לחם ואמר להם מאלו עשרים ככרות תקחו כל א' זכר בכם ב' ככרות וכל נקבה חצי ככר כדי שיבא ככר אחד לשתי נקבות ותשאירו לי ככר לחם אחד יש לשאול כמה היו הזכרים וכמה היו הנקבות | |
תשובה האנשים היו ששה והנשים י"ד לקחו האנשים הששה י"ב ככרות והנשי' הי"ד לקחו ז' ככרות הרי י"ט ככרות נשאר אחד לאכילת השר | |
שאלה היו לשר אחד עשרים בהמות בין סוסים ופרדים וחמורים ונתן לעבדו עשרים עמרים של שעורים וצוה לו שיתן לכל סוס מהם ב' עמרים ולכל פרד עמר אחד ולכל חמור חצי עמר כמה בהמות היו לו מכל מין | |
תשובה הסוסים היו ד' והפרדים היו ח' והחמורים היו ח' ונתן לד' הסוסים ב' עמרים לכל אחד הנה ח' עמרים נתן לח' פרדים עמר לפרד הנה ח' עמרים | |
|
שאלה תגר אחד אמר למשרתו הנני נותן לך ק' פשיטים קנה לי בהם ק' עופות שיהיו מג' מינים תרנוגלין ואווזים וצפרים והיה שוה האווז ה' פשיטים והתרנגול ג' פשיטים והצפרים עשרים מהם בפשוט כמה לקח מכל מין |
תשובה מן האווזים לקח י"ח ומן התרנוגלין ב' ומן הצפרים פ' נתן בי"ח אווזים צ' פשיטים ונתן בב' תרנוגלין ו' פשיטים הנה צ"ו פשיטים וכ' עופות נתן עוד ד' פשיטים בפ' צפרים הרי ק' עופות וק' פשיטים | |
שאלה אדם אחד אהב אשה ואמרה לו אם תתן לי תפוח אחד מגנת המלך אהיה נכבשת לך ואם לאו לא אכבש לך והלך לשוער הגן ושאל לו תפוח | |
תשובה מאשר שאלו כל אחד מחצית שבידו וחצי תפוח יותר ושלא יתחלק שום תפוח מזה ידענו שליקט נפרדים | |
ועתה נוציא מספרים הוא הוציא לחוץ תפוח אחד והוסיף לשוער הראשון חצי תפוח ממה שהיה בידו אם כן תפוח וחצי היה מחצית מה שנשאר לו מן השוער השני | |
נכפלם ועולים ג' וחצי תפוח שהוסיף לשני הרי ג' וחצי וזהו החצי שנשאר לו מן השוער הפנימי | |
נכפלם ויהיו ז' וחצי תפוח שהוסיף לשוער הפנימי הרי ז' וחצי וזהו חצי מה שליקט | |
[נכפלם] ועולים ט"ו עתה נ | |
כלל אם תרצה לידע תשבורת העגולה | |
קח רביע הקו המקיף וכפול אותו על הקוטר ומה שיצא הוא תשבורת העגולה | |
דמיון הקו המקיף שיעורו כ"ב מעלות הנה הקוטר ז' | |
כפול ז' על ה' וחצי והנה המבוקש ל"ח וחצי והוא התשבורת | |
וכל זה בעגולה השטחית | |
אבל בכדור יצטרך לכפול כל הקוטר על כל הקו המקיף ואז ידע תשבורת כל הקף הכדור | |
דמיון נכפול ז' שהוא הקוטר על כ"ב שהוא הקו המקיף ויעלה קנ"ד והוא תשבורת הכדור | |
ולדעת שטח כל הכדור נכפול כל התשבורת בששית הקוטר ונשיג המבוקש | |
כלל כשתרצה להוציא שורש מספר אחד ממספר אחר | |
קח כפלו וכפל כפלו ותקח שרש העולה וחצי השורש ההוא הוא שרש מבוקשך | |
דמיון תרצה למצוא שורש ט' | |
קח כפלו והוא י"ח וכפל י"ח שהוא כפלו של ט' ויעלו ל"ו, תקח שרשם והוא ו' וחציו ג' וזהו שרש ט' | |
דמיון אחר רצינו למצוא שרש י"ו | |
קח כפלו והוא ל"ב וכפלם ועלו ס"ד ושרשם ח' וחציו ד' והוא שרש י"ו | |
שאלה ראובן לקח משמעון בהלואה תיבה אחת מלאה חטה והיתה מכילה ח' מדות בחשבון מעוקב רוצה לומ' ח' מדות מדות באורך וח' ברוחב וח' בגובה ולקץ שנה רצה לפרוע והביא תיבה אחרת שהיתה מכילה ד' על ד' באורך וברחב ובגובה עתה נדע כמה השיב לו אם חצי החצ החטה או שלישית או רביעית | |
ונעשה החשבון ככה נכפול ח' על ח' עלו ס"ד ונכפול ח' על ס"ד למצוא המעוקב ועלו תקי"ב והוא מה שלקח שמעון בהלואה | |
עתה נמנה מה שהשיב לו כמה הוא נכפול ד' על ד' עלו י"ו ונכפול ד' על י"ו עלו ס"ד וזהו מה שהשיב לו | |
עתה ניחס אותו לדעת אלו הס"ד כמה חלקים הם מתקי"ב מצאנו שהם שמיניתם ואם כן השיב לו שמינית החטה והשאר במעות | |
ז'ל'ל ש'ל'ע' |
Notes |
||
|
||
Apparatus |
||
| ||
Chapter One | ||
---|---|---|
| ||
Chapter Two | ||
| ||
Chapter Three | ||
| ||
Chapter Four | ||
|
Appendix I: Glossary of Terms
to add | חבר (אל, עם, על), הוסיף (על) |
addition | חבור |
sum | סכום, מחובר |
to divide | חלק (על) |
division | חלוק |
dividend | (מספר) המחולק |
divisor | (מספר) המחולק עליו |
quotient | היוצא בחלוק |
to double | כפל |
double | כפל |
to multiply | כפל (על) |
multiplication | כפל |
to subtract | חסר (מן), גרע (מן) |
subtraction | חסור, מגרעת |
arithmetic | חכמת המספר, חכמת החשבון |
arithmetician | חכמי המספר, חכמי החשבון |
astronomer | חכמי המזלות |
astronomy | חכמת המזלות |
music | חכמת הנגינות |
geometry | חכמת המדות |
question | שאלה |
to calculate | הוציא |
to extract | הוציא |
example | דמיון |
decade | מספר) כלל) |
difference | מרחק (מן) |
integer | שלם |
fraction | שבר |
fraction of fraction | שבר השבר |
units | פרטים, אחדים |
even number | מספר זוג |
odd number | מספר נפרד |
odd | נפרד |
required | מבוקש |
equal | שוה |
double | כפל |
point | נקודה |
midpoint | נקודה |
arc | קשתות |
chord | יתר, יתרים |
perimeter | הקו הסובב, קו העגול |
versed sine | חץ |
circle | עגול, עגולה |
triangle | משולש |
diameter | אלכסון |
figure, shape | צורה |
area | שברים, (תשבורת additional) |
rank | מעלה |
to result | עלה, יצא |
million | אלף אלפים |
denominator | מורה |
zero | סיפרא, גלגל |
prime number | מספר ראשון |
proof | מאזנים |
product | המחובר |
proportion | ערך |
square | מרובע |
square root | שרש מרובע |
to calculate | חשב |
calculation | חשבון |
remainder | הנשאר |
result | העולה, היוצא |
diagram | דמיון |
aspect | פאה |
degree | מעלה |
minutes | ראשונים |
seconds | שניים |
thirds | שלישיים |
fourths | רביעיים |
fifths | חמישיים |
sixths | ששיים |
sevenths | שביעיים |
eighths | שמיניים |
tenths | עשיריים |
part | חלק |
excess | תוספת, יתרון |
addition | נוסף |
proportion | ערך |
arithmetic proportion | ערכי החשבון |
geometric proportion | ערכי המדות |
harmonic proportion | ערכי הנגינות |
square | מרובע |
root | שרש |
number | חשבון, מספר |
digit | אות, חשבון, מספר |
composite number | מספר מורכב |
Appendix II: Bibliography
Abraham ben Meir Ibn ‛Ezra
b. 1089, Tudela, Spain – d. 1167
Sefer ha-Mispar (The Book of Number)
Lucca, Italy, between 1142 and 1145
Manuscripts:
- 1) Berlin, Staatsbibliothek (Preußischer Kulturbesitz) Or. Oct. 244/13 (IMHM: f 1996), ff. 60r-112r (15th-16th century)
- [B244]
- 2) Cambridge, University Library Add. 670, 2 (IMHM: f 16999) (15th-16th century)
- 3) Cambridge, University Library Add. 1015, 2 (IMHM: f 15886; f 17024), f. 92v (14th-15th century)
- 4) Cambridge, University Library Add. 1527, 2 (IMHM: f 17464) (15th century)
- 5) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Or. 489/5 (IMHM: f 19164), ff. 137r-147v (1443)
- 6) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.28/1 (IMHM: f 17849), ff. 1r-48v (14th-15th century)
- [F88.28]
- 7) Firenze, Biblioteca Medicea Laurenziana Plut.88.46/1 (IMHM: f 17970), ff. 1r-45v (14th century)
- [F88.46]
- 8) Halle, Universitätsbibliothek Yb Qu. 5/1 (IMHM: f 71790), ff. 88r-92v (15th century)
- 9) Jerusalem, Museum of Italian Jewish Art 30 (IMHM: f 5069; f 45045) (16th century)
- 10) Leeuwarden, Tresoar, the Frisian Historical and Literary Centre B.A. Fr. 21/1 (IMHM: f 3481), ff. 1r-51r (14th-15th century)
- 11) London, British Library Add. 27153/7 (IMHM: f 5826), ff. 13v-37r (cat. Margo. 1085, 7) (Siena, 1431)
- [Lo27153]
- 12) London, British Library Or. 10785 (IMHM: f 8100) (Verona, 1647)
- [Lo10785]
- 13) London, Montefiore Library 419 (IMHM: f 5352) (15th century)
- 14) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 30/1 (IMHM: f 6711), ff. 2r-38r (1503)
- [Mo30]
- 15) Moscow, Russian State Library, Ms. Guenzburg 1383 (IMHM: f 48474) (Paris, 18th-19th century)
- 16) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 43/8 (IMHM: f 1150), ff. 103v-146r (16th century)
- [Mu43]
- 17) München, Bayerische Staatsbibliothek, Cod. Hebr. 150/5 (IMHM: f 1168), ff. 83v-108v (15th century)
- [Mu150]
- 18) New York, Columbia University X 893 Sh 4 (IMHM: f 16483) (16th-17th century)
- 19) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2561, (IMHM: f 28814) (17th century)
- short excerpt from Chapter VI - Proportions
- [N2561]
- 20) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2624/1 (IMHM: f 28877), ff. 1r-10v (16th century)
- partial: mid. Chapter I - mid. Chapter IV
- [N2624]
- 21) New York, Jewish Theological Seminary Ms. 2627/1 (IMHM: f 28880), ff. 1r-48v (17th century)
- [N2627]
- 22) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/1 (IMHM: f 19304), ff. 1r-9v (cat. Neub. 2019, 1) (15th century)
- 23) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 213/2 (IMHM: f 19304), ff. 14r-66r (cat. Neub. 2019, 2) (16th century)
- 24) Oxford, Bodleian Library MS Mich. 319/1 (IMHM: f 19303), ff. 1r-64v (cat. Neub. 2018, 1) (14th century)
- 25) Oxford, Bodleian Library MS Opp. 697/9 (IMHM: f 19364), ff. 46v-52v (cat. Neub. 2079, 9) (1428)
- 26) Oxford, Bodleian Library MS Poc. 187/2 (IMHM: f 19350), ff. 49r-86r (cat. Neub. 2065, 2) (1503)
- [O187]
- 27) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1029/3 (IMHM: f 15721), ff. 45r-71v (15th-16th century)
- [P1029]
- 28) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1049/1 (IMHM: f 27767), ff. 1r-34v (14th century)
- starts from Chapter IV - Subtraction
- [P1049]
- 29) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1050/2 (IMHM: f 14646), ff. 1v-29v (15th century)
- [P1050]
- 30) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1051/2 (IMHM: f 14656), ff. 2r-40v (1482)
- [P1051]
- 31) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/1 (IMHM: f 14649), ff. 1r-41v (15th century)
- [P1052-1]
- 32) Paris, Bibliothèque Nationale de France heb. 1052/4 (IMHM: f 14649), ff. 55r-58r (15th century)
- [P1052-4]
- 33) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 13/5 (IMHM: f 52914), ff. 155r-163r (18th-19th century)
- 34) St. Petersburg, Inst. Of Oriental Studies of the Russian Academy B 454 (IMHM: f 53740) (17th -18th century)
- 35) St. Petersburg, Russian National Library Evr. I 374/1 (IMHM: f 50951), ff. 1r-2v (18th century)
- two short excerpts: (1) from Chapters III-IV; (2) from Chapter II
- [St.P374]
- 36) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 569 (IMHM: f 70777) (14th-15th century)
- two short excerpts: (1) from Chapters II-IV (ff. 10, 2-9, 1v); (2) from Chapter II (f. 11r-v)
- [St. Petersburg569]
- 37) St. Petersburg, Russian National Library Evr. II A 1385 (IMHM: f 66722) (17th century)
- short excerpt from Chapter VI - Proportions
- [St.P1385]
- 38) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 171/18 (IMHM: f 8630), ff. 98r-101r (Canea, 1493)
- [V171]
- 39) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 386/3 (IMHM: f 468), ff. 137v-206v (14th century)
- [V386]
- 40) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 397/2 (IMHM: f 475), ff. 3r-49r (Murcia, 1384/1385)
- [V397]
- 41) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 398/1 (IMHM: f 476), ff. 1r-2v; 9r-30v; 118r-123v (14th century)
- [V398]
- 42) Vatican, Biblioteca Apostolica ebr. 530/11 (IMHM: f 2707; f 18511), ff. 101r-v (26.fs.0000) (14th century)
- short excerpt from Chapter VII - Square Roots
- [V530]
- 43) Warszaw, Żydowski Instytut Historyczny 288/2 (IMHM: f 12013), ff. 24r-64v (15th century)
- 44) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 152/2 (IMHM: f 1422), ff. 4r-34v (18th-19th century)
- [W152]
- 45) Wien, Öesterreichische Nationalbibliothek Cod hebr. 194/7 (IMHM: f 1456), ff. 90v-99v (16th century)
- [W194]
Edition:
- Ibn ‛Ezra, Abraham. Sefer ha-Mispar, Das Buch der Zahl: ein hebräisch-arithmetisches Werk. Ed. Moritz Silberberg. Frankfurt a. M.: J. Kauffmann, 1895.
Bibliography:
- Langermann, Tzvi and Shai Simonson. 2000. The Hebrew Mathematical Tradition. In: Helaine Seline ed. Mathematics Across Cultures. Dordrecht: Kluwer, pp. 167–188.
- Sarfatti, Gad ben ‛Ami. 1968. Mathematical Terminology in Hebrew Scientific Literature of the Middle Ages. Jerusalem: Magnes Press, pp. 130-155.
- Sela, Shlomo. 2000. Encyclopedic Aspects of Abraham Ibn Ezra’s Scientific Corpus. In: Steven Harvey ed. The Medieval Hebrew Encyclopedias of Science and Philosophy. Dordrecht, Boston, London: Kluwer Academic Publisher, pp.154-170
- Sela, Shlomo, and Gad Freudenthal. 2006. Abraham Ibn Ezra’s scholarly writings: a chronological listing, Aleph 6, pp. 13-55.
- Steinschneider, Moritz. 1893-1901. Mathematik bei den Juden. Berlin-Leipzig-Frankfurt: Kaufmann, pp. 87-91 (d38-d42); repr. Hildesheim: G. Olms, 1964 and 2001.
– Commentary on Sefer ha-Mispar–
Anonymous
Manuscript:
- Genève, Bibliothèque de Genève, MS héb. 10/2 (IMHM: f 2320), ff. 39r-65r (14th-15th century)